# T2灰盒神经本构主线：离散能量约束的神经硬化返回映射

## 研究问题

材料点随机留出精度不能回答未知加载路径、时间步变化和结构有限元收敛问题。
现有白盒物理积分网络直接使用J2/Chaboche硬化公式，适合作为算法积分上限，
不能证明神经网络能够学习未知本构演化。下一阶段只保留可靠的力学骨架，让
网络学习未知硬化记忆，并检验该模型能否从材料点进入结构Newton求解。

核心问题为：

> 在不提供Chaboche硬化演化公式的条件下，能否从有限的多轴应力—应变历程中
> 学得紧凑、客观、耗散可接受的硬化记忆，并在未见路径、改变时间步和非均匀
> 结构中保持精度与求解稳定性？

## 文献判断

现有重要路线包括：

1. TANN从自由能和耗散出发，将热力学关系嵌入网络；
2. Sobolev/level-set方法学习屈服面与硬化并控制函数导数；
3. Meyer—Ekre方法将神经网络嵌入标准耗散材料结构，学习并进一步识别未知演化律；
4. 隐式层方法把塑性更新写成可微凸优化层；
5. 2026年的hard-thermodynamic与thermodynamic-hierarchy工作进一步比较自由能、
   耗散势、传输算子和神经ODE等框架。

因此，本项目不把“热力学神经网络”“神经返回映射”或“学习演化律”本身作为
新的概念。可形成差异的部分是：以一个明确不完备的J2骨架为起点，把未知硬化
学习、后向欧拉离散能量分账、时间步OOD、一致算法切线及结构Newton门统一在
同一条可复现的AgentFEM工作流中。

## 唯一主架构

定名为 **DENIM（Discrete-Energy Neural Internal-variable Model，离散能量神经内变量模型）**。
名称指向“离散能量＋可学习内变量”的方法范式；当前实例限定为小应变J2循环塑性，不把名称扩张为所有材料模型的通用解。

### 保留的已知物理

- 小应变各向同性线弹性；
- J2屈服几何；
- 关联流动方向；
- 塑性不可压缩；
- 非负塑性乘子与PEEQ单调；
- 弹性预测—隐式塑性校正；
- 接受状态的commit/rollback语义。

### 故意移除的物理

- Voce指数型各向同性硬化公式；
- 固定Armstrong—Frederick动态恢复公式；
- 数据生成器中的Chaboche参数及其更新方程。

### 神经硬化状态

状态为塑性应变、PEEQ、标量各向同性硬化量和两个无迹二阶记忆张量。两个张量
表示快、慢两类方向记忆，但不向网络提供Chaboche的解析更新。

各向同性硬化使用零点锚定的单调神经函数

`R_theta(p) >= 0, dR_theta/dp >= 0, R_theta(0)=0`。

张量记忆采用客观的后向欧拉更新。网络只读取张量不变量、与当前流动方向的
投影、PEEQ和反向加载指标，输出非负动态恢复率；生产模量保持为正的可学习
材料常数。经典双背应力Chaboche是该模型的一个特例，但网络也可表达随状态和
方向历史变化的恢复规律。

### 离散能量

每个接受增量显式记录：

- 塑性功；
- 各向同性硬化储能变化；
- 运动硬化储能变化；
- 初始屈服耗散；
- 动态恢复耗散；
- 后向欧拉数值耗散；
- 离散能量余额。

正参数化和单调硬化保证关键耗散通道非负；训练、验证和结构部署均使用同一
分账定义。连续热力学正确但离散积分失真的模型不能通过时间步门。

### 一致切线

局部塑性校正写成隐式残量。训练阶段可使用可微固定点/隐式微分，部署阶段由
局部残量的Jacobian得到算法切线，并以固定旧状态的有限差分独立核验。结构门
同时报告反力误差、Newton迭代、cutback和回退，不以材料点RMSE替代稳定性。

## 数据设计

不重新海选网络，只增加一组面向演化发现的固定材料队列：

1. 已知`E, nu, sigma_y`，隐藏所有硬化公式与硬化参数；
2. 训练路径使用比例、剪切、顺序轴剪、正交和方形非比例加载；
3. 验证留出旋转主方向；
4. 测试完整留出Lissajous和随机五维方向块；
5. 对同一连续路径随机改变离散步长，形成时间步OOD；
6. 第一真值为AgentFEM组合硬化，用于验证能否恢复已知规律；
7. 第二真值使用非指数表格硬化和多时间尺度记忆，避免提出模型与生成器同构；
8. 最后增加公开OFHC铜/316钢路径或实验数据，不把合成结果冒充实验发现。

## 最小对照组

只保留三个必要对照，不重新训练一排相似网络：

1. 现有GRU：代表黑箱历史模型；
2. 不含硬化的J2骨架：代表物理不完备但没有学习；
3. DENIM：本文方法。

现有白盒物理积分网络只作为不可超越的“知道真公式”参考上限，不参与公平的
未知物理排名。

## 成功门槛

DENIM必须同时满足：

- 路径OOD应力RMSE显著低于GRU；
- PEEQ、塑性不可压缩和客观性零违例；
- 离散能量余额达到数值积分容差，耗散通道无负值；
- 241、121及非均匀时间步下终态和历程保持自洽；
- 算法切线与固定旧状态有限差分一致；
- 二维或三维非均匀结构中达到可接受反力误差，并稳定完成全局Newton；
- 公开路径/实验对照不劣于经标定的经典基线。

若DENIM不能超过GRU，应保留失败结果并检查信息不足、状态维数、离散更新和
训练路径覆盖，不通过增删测试集制造胜出。

## 论文主线

建议题目方向：

**From trajectory fitting to deployable constitutive discovery: a discrete-energy neural return map for path-dependent plasticity**

文章的核心贡献不是新网络名称，而是证明：未知硬化可以在保留少量可靠物理的
条件下学习；连续层面的物理约束仍不够，离散能量、时间步一致性、算法切线和
结构平衡必须共同构成神经本构的可信验证链。

## 主要文献入口

- Masi et al., Thermodynamics-based Artificial Neural Networks, JMPS 2021,
  https://doi.org/10.1016/j.jmps.2020.104277
- Vlassis and Sun, Sobolev training of thermodynamic-informed neural networks,
  CMAME 2021, https://doi.org/10.1016/j.cma.2021.113695
- Meyer and Ekre, Thermodynamically consistent neural network plasticity
  modeling and discovery of evolution laws, JMPS 2023,
  https://doi.org/10.1016/j.jmps.2023.105416
- Bleyer, Learning elastoplasticity with implicit layers, CMAME 2025,
  https://doi.org/10.1016/j.cma.2025.118145
- Masi, Learning inelastic constitutive models from stress-strain data under
  hard thermodynamic constraints, CMAME 2026,
  https://doi.org/10.1016/j.cma.2026.119260
- Jones and Fuhg, A hierarchy of thermodynamics learning frameworks for
  inelastic constitutive modeling, arXiv:2603.02645