Answer: $-\frac{12}{5}$

Question: 9. 已知 $\sin \alpha=\frac{4-2 m}{m+5}, \cos \alpha=\frac{m-3}{m+5}, \alpha$ 是第四象限角, 求 $\tan \alpha$ 的值.

解析几何

$\because \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1 ， \therefore\left(\frac{4-2 m}{m+5}\right)^{2}+\left(\frac{m-3}{m+5}\right)^{2}=1$.

化简、整理，得 $m(m-8)=0$. 解得 $m=0$ 或 $m=8$.

当 $m=0$ 时， $\sin \alpha=\frac{4}{5} ， \cos \alpha=-\frac{3}{5}$ (此时 $\alpha$ 不是第四象限角，故舍去)；

当 $m=8$ 时， $\sin \alpha=-\frac{12}{13} ， \cos \alpha=\frac{5}{13} ， \therefore \tan \alpha=-\frac{12}{5}$.


Answer: $\sqrt{2}-2$

Question: 13. $\frac{\cos \left(-585^{\circ}\right)}{\sin 495^{\circ}+\sin \left(-570^{\circ}\right)}$ 的值是

解析几何


Answer: 2

Question: 6. $\sin ^{2}(\pi+\alpha)-\cos (\pi+\alpha) \cdot \cos (-\alpha)+1=$

解析几何

解析 : 原式 $=(-\sin \alpha)^{2}-(-\cos \alpha) \cdot \cos \alpha+1=\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha+1=2$.


Answer: $-\frac{1}{3}$

Question: 6. 已知 $\cos \theta=\frac{1}{3}$, 则 $\sin \left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)=$

解析几何

解析 : $\sin \left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)=-\sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=-\cos \theta=-\frac{1}{3}$.


Answer: $2 \sqrt{2}$

Question: 7. 当 $\theta=\frac{5 \pi}{4}$ 时, $\frac{\sin [\theta+(2 k+1) \pi]-\sin [-\theta-(2 k+1) \pi]}{\sin (\theta+2 k \pi) \cos (\theta-2 k \pi)}(k \in \mathbf{Z})$ 的值等于

解析几何

解析 : 原式 $=\frac{-\sin \theta-\sin \theta}{\sin \theta \cos \theta}=-\frac{2}{\cos \theta}$.

当 $\theta=\frac{5 \pi}{4}$ 时, 原式 $=-\frac{2}{\cos \frac{5 \pi}{4}}=2 \sqrt{2}$.


Answer: :$\frac{13}{2}$

Question: 14. 设定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x) \cdot f(x+2)=13$. 若 $f(1)=2$, 则 $f(99)=$

解析几何


Answer: 奇函数

Question: 15. 判断函数 $f(x)=\ln \left(\sin x+\sqrt{1+\sin ^{2} x}\right)$ 的奇偶性.

解析几何

$\because \sin x+\sqrt{1+\sin ^{2} x} \geqslant \sin x+1 \geqslant 0$,

若两处等号同时取到, 则 $\sin x=0$ 且 $\sin x=-1$ 矛盾,

$\therefore$ 对 $x \in \mathbf{R}$ 都有 $\sin x+\sqrt{1+\sin ^{2} x}>0$.

$\because f(-x)=\ln \left(-\sin x+\sqrt{1+\sin ^{2} x}\right)$

$=\ln \left(\sqrt{1+\sin ^{2} x}-\sin x\right)=\ln \left(\sqrt{1+\sin ^{2} x}+\sin x\right)^{-1}$

$=-\ln \left(\sin x+\sqrt{1+\sin ^{2} x}\right)=-f(x)$,

$\therefore f(x)$ 为奇函数.


Answer: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Question: 6. 若函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$, 最小正周期为 $\frac{3 \pi}{2}$, 且满足 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\cos x, & -\frac{\pi}{2} \leqslant x<0, \\ \sin x, & 0 \leqslant x<\pi,\end{array}\right.$ 则 $f\left(-\frac{15 \pi}{4}\right)=$

解析几何

$\because T=\frac{3 \pi}{2}, \therefore f\left(-\frac{15}{4} \pi\right)=f\left(-\frac{15}{4} \pi+\frac{3}{2} \pi \times 3\right)=f\left(\frac{3}{4} \pi\right)=\sin \frac{3}{4} \pi=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

答案: $\frac{\sqrt{2}}{2}$


Answer: $(-\pi, 0]$

Question: 6. 函数 $y=\cos x$ 在区间 $[-\pi, a]$ 上为增函数, 则 $a$ 的取值范围是

解析几何

$\because y=\cos x$ 在 $[-\pi, 0]$ 上是增函数, 在 $[0, \pi]$ 上是减函数, $\therefore$ 只有 $-\pi<a \leqslant 0$ 时, 满足条件. 故 $a$ 的取值范围是 $(-\pi, 0]$.

答案: $(-\pi, 0]$


Answer: $\left[\frac{1}{4}, \frac{5}{4}\right]$

Question:
7. 已知 $f(x)=\sin ^{2} x+\cos x, x \in\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right]$, 则 $f(x)$ 的值域为

解析 : $f(x)=1-\cos ^{2} x+\cos x=-\left(\cos x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{5}{4}$.

$\because x \in\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right], \quad \therefore \cos x \in\left[-\frac{1}{2}, 1\right]$,

$\therefore f(x) \in\left[\frac{1}{4}, \frac{5}{4}\right]$.

解析几何


Answer: (2)

Question:
8. 对于函数 $f(x)=\sin 2 x$, 下列选项中正确的是

(1) $f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上是递增的

(2) $f(x)$ 的图象关于原点对称

(3) $f(x)$ 的最小正周期为 $2 \pi$

(4) $f(x)$ 的最大值为 2

解析几何

因为函数 $y=\sin x$ 在 $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 上是递减的, 所以 $f(x)=\sin 2 x$ 在 $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上是递减的, 故 (1) 错误; 因为 $f(-x)=\sin 2(-x)=\sin (-2 x)=-\sin 2 x=-f(x)$, 所以 $f(x)$ 为奇函数, 图象关于原点对称, 故(2)正确; $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$, 故(3)错误; $f(x)$ 的最大值为 1 , 故(4)错误.

答案: (2)


Answer: $\{x \mid x=4 k \pi+\pi, k \in \mathbf{Z}\}$

Question: 9. 求函数 $y=3-2 \sin \frac{1}{2} x$ 的最值及取到最值时的自变量 $x$ 的集合.

解析几何

$\because-1 \leqslant \sin \frac{1}{2} x \leqslant 1$,

$\therefore$ 当 $\sin \frac{1}{2} x=-1, \frac{1}{2} x=2 k \pi-\frac{\pi}{2}, k \in \mathbf{Z}$,

即 $x=4 k \pi-\pi, k \in \mathbf{Z}$ 时, $y_{\text {max }}=5$,

此时自变量 $x$ 的集合为 $\{x \mid x=4 k \pi-\pi, k \in \mathbf{Z}\}$;

当 $\sin \frac{1}{2} x=1, \frac{1}{2} x=2 k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathbf{Z}$,

即 $x=4 k \pi+\pi, k \in \mathbf{Z}$ 时, $y_{\text {min }}=1$,

此时自变量 $x$ 的集合为 $\{x \mid x=4 k \pi+\pi, k \in \mathbf{Z}\}$.


Answer: $[-1,3+2 \sqrt{3}]$

Question: 13. 函数 $y=\tan ^{2} x-2 \tan x\left(|x| \leqslant \frac{\pi}{3}\right)$ 的值域为

解析几何

令 $u=\tan x, \because|x| \leqslant \frac{\pi}{3}$,

$\therefore$ 由正切函数的图象知 $u \in[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$,

$\therefore$ 原函数可化为 $y=u^{2}-2 u ， u \in[-\sqrt{3} ， \sqrt{3}]$ ，

$\because$ 二次函数 $y=u^{2}-2 u$ 图象开口向上，对称轴方程为 $u=1$ ，

$\therefore$ 当 $u=1$ 时， $y_{\text {min }}=1^{2}-2 \times 1=-1$ ，

当 $u=-\sqrt{3}$ 时， $y_{\text {max }}=3+2 \sqrt{3}$ ，
$\therefore$ 原函数的值域为 $[-1,3+2 \sqrt{3}]$.

答案: $[-1,3+2 \sqrt{3}]$


Answer: $\left(k \pi-\frac{\pi}{2}, k \pi+\frac{\pi}{4}\right], k \in \mathbf{Z}$

Question: 6. 函数 $y=\sqrt{1-\tan x}$ 的定义域是

解析几何

由 $1-\tan x \geqslant 0$ ，即 $\tan x \leqslant 1$ ，结合图象(图略)可解得.

答案: $\left(k \pi-\frac{\pi}{2}, k \pi+\frac{\pi}{4}\right], k \in \mathbf{Z}$


Answer: 2 2

Question: 7. 已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)(x \in \mathbf{R}, \omega>0)$ 的最小正周期为 $\pi$, 为了得到函数 $g(x)=2 \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$的图象, 只需将 $y=f(x)$ 的图象上各点的纵坐标变为原来的倍, 横坐标变为原来的 \$ \qquad \$倍.

解析几何

由条件知 $\omega=2$ ，所以只需将 $y=f(x)$ 的图象上各点的纵坐标变为原来的 2 倍，横坐标变为原来的 2 倍，即可得到 $y=g(x)$ 的图象，且两个变换没有先后顺序.

答案: 2 2


Answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Question: 12. 若函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)\left(\omega>0\right.$ 且 $\left.|\varphi|<\frac{\pi}{2}\right)$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上是单调减函数, 且函数值从 1 减少到 -1 , 则 $f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 等于

解析几何

由题意知 $\left\{\begin{array}{l}\frac{\pi}{6} \omega+\varphi=\frac{\pi}{2}+2 k \pi \\ \frac{2 \pi}{3} \omega+\varphi=\frac{3 \pi}{2}+2 k \pi\end{array}, k \in \mathbf{Z}\right.$ ，

解之得 $\omega=2 ， \varphi=\frac{\pi}{6}+2 k \pi$ ，

又因为 $|\varphi|<\frac{\pi}{2}$ ，

所以 $\varphi=\frac{\pi}{6}$.

所以 $f(x)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$.

所以 $f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left(2 \times \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right)=\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
答案: $\frac{\sqrt{3}}{2}$


Answer: $\left[k \pi-\frac{3 \pi}{8}, k \pi+\frac{\pi}{8}\right], k \in \mathbf{Z}$

Question: 17.已知函数 $f(x)=-2 \sin (2 x+\varphi)(|\varphi|<\pi)$, 若 $f\left(\frac{\pi}{8}\right)=-2$, 则 $f(x)$ 的单调递减区间是

解析几何

由函数 $f(x)=-2 \sin (2 x+\varphi)(|\varphi|<\pi)$ ，且 $f\left(\frac{\pi}{8}\right)=-2$ ，故有 $-2 \sin \left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right)=-2$ ，

$\therefore \sin \left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right)=1, \quad \therefore \varphi=\frac{\pi}{4}$,

$\therefore$ 函数 $f(x)=-2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$.

令 $2 k \pi-\frac{\pi}{2} \leqslant 2 x+\frac{\pi}{4} \leqslant 2 k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathbf{Z}$ ，

得 $k \pi-\frac{3 \pi}{8} \leqslant x \leqslant k \pi+\frac{\pi}{8}, k \in \mathbf{Z}$.

答案: $\left[k \pi-\frac{3 \pi}{8}, k \pi+\frac{\pi}{8}\right], k \in \mathbf{Z}$


Answer: 126

Question: 10. 在 $\triangle A B C$ 中, $A=60^{\circ}, a=6 \sqrt{3}, b=12, S_{\triangle A B C}=18 \sqrt{3}$, 则 $\frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}=$

解析几何

frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}=\frac{a}{\sin A}=\frac{6 \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=12$.

$\because S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{1}{2} \times 6 \sqrt{3} \times 12 \sin C=18 \sqrt{3}$,

$\therefore \sin C=\frac{1}{2}, \therefore \frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}=12, \quad \therefore c=6$.


Answer: 2

Question: 8. 在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $A=60^{\circ}, a=\sqrt{3}, b=1$, 则 $c=$

解析几何

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$, 得 $\frac{\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}}=\frac{1}{\sin B}$,

$\therefore \sin B=\frac{1}{2}$, 故 $B=30^{\circ}$ 或 $150^{\circ}$. 由 $a>b$,

得 $A>B, \therefore B=30^{\circ}$, 故 $C=90^{\circ}$,

由勾股定理得 $c=2$.


Answer: 7

Question: 9. 在单位圆上有三点 $A, B, C$, 设 $\triangle A B C$ 三边长分别为 $a, b, c$, 则 $\frac{a}{\sin A}+\frac{b}{2 \sin B}+\frac{2 c}{\sin C}$ $=$

解析几何

$\because \triangle A B C$ 的外接圆直径为 $2 R=2$,

$\therefore \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R=2$,

$\therefore \frac{a}{\sin A}+\frac{b}{2 \sin B}+\frac{2 c}{\sin C}=2+1+4=7$.


Answer: $72^{\circ}, 432^{\circ}$

Question: 8.在 $0^{\circ} \sim 720^{\circ}$ 中与 $\frac{2 \pi}{5}$ 终边相同的角为

解析几何

$\because \frac{2 \pi}{5}=\frac{2}{5} \times 180^{\circ}=72^{\circ}$,

$\therefore$ 与角 $\frac{2 \pi}{5}$ 终边相同的角构成集合 $\left\{\theta \mid \theta=72^{\circ}+k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$.

当 $k=0$ 时, $\theta=72^{\circ}$;

当 $k=1$ 时, $\theta=432^{\circ}$

$\therefore$ 在 $0^{\circ} \sim 720^{\circ}$ 范围内,

与角 $\frac{2 \pi}{5}$ 终边相同的角为 $72^{\circ}, 432^{\circ}$.

答案: $72^{\circ}, 432^{\circ}$.


Answer: $-\sqrt{3}$

Question: 7. 若 $\alpha$ 是第二象限角, $P(x, \sqrt{5})$ 为其终边上一点, 且 $\cos \alpha=\frac{\sqrt{2}}{4} x$, 则 $x$ 的值为

解析几何

$\because \alpha$ 是第二象限角, $\therefore x<0$. 又 $r=\sqrt{x^{2}+5}$,

$\therefore \cos \alpha=\frac{x}{r}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+5}}=\frac{\sqrt{2}}{4} x$, 解得 $x=-\sqrt{3}$.

答案: $-\sqrt{3}$


Answer: 1

Question: 6. 在 $\triangle A B C$ 中, $|\overrightarrow{A B}|=|\overrightarrow{B C}|=|\overrightarrow{C A}|=1$, 则 $|\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}|$ 的值为

解析几何


Answer: 13

Question: 7. 已知 $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{O B}=\boldsymbol{b}$, 若 $|\overrightarrow{O A}|=12,|\overrightarrow{O B}|=5$, 且 $\angle A O B=90^{\circ}$, 则 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=$

解析几何


Answer: (1)0 (2) $\overrightarrow{A B}$

Question:
8. 化简: $(1) \overrightarrow{P B}+\overrightarrow{O P}-\overrightarrow{O B}=$ \$ \qquad \$
(2) $\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{C O}=$ \$ \qquad \$ .

解析几何


Answer: $\frac{1}{3}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$

Question: 12. 设 $G$ 为 $\triangle A B C$ 的重心, $O$ 为坐标原点, $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{O B}=\boldsymbol{b}, \overrightarrow{O C}=\boldsymbol{c}$, 试用 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 表示 $\overrightarrow{O G}$,则 $\overrightarrow{O G}=$

解析几何

$\overrightarrow{O G}=\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{C G}=\overrightarrow{O C}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C B})=\overrightarrow{O C}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C})=\frac{1}{3}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$.

答案: $\frac{1}{3}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$


Answer: $-\frac{2}{3} \boldsymbol{e}_{1}+\frac{5}{12} \boldsymbol{e}_{2}$

Question: 13. 在平行四边形 $A B C D$ 中, $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{e}_{1}, \overrightarrow{A C}=\boldsymbol{e}_{2}, \overrightarrow{N C}=\frac{1}{4} \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{B M}=\frac{1}{2} \overrightarrow{M C}$, 则 $\overrightarrow{M N}=$ . (用 $\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}$ 表示)

解析几何

如图, $\overrightarrow{M N}=\overrightarrow{C N}-\overrightarrow{C M}=\overrightarrow{C N}+2 \overrightarrow{B M}=\overrightarrow{C N}+\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}=-\frac{1}{4} \overrightarrow{A C}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})=-\frac{1}{4} e_{2}+\frac{2}{3}\left(\boldsymbol{e}_{2}\right.$
$\left.-\boldsymbol{e}_{1}\right)=-\frac{2}{3} \boldsymbol{e}_{1}+\frac{5}{12} \boldsymbol{e}_{2}$.

<ImageHere>

答案: $-\frac{2}{3} \boldsymbol{e}_{1}+\frac{5}{12} \boldsymbol{e}_{2}$


Answer: $\frac{1}{2}$

Question: 7. 设 $D, E$ 分别是 $\triangle A B C$ 的边 $A B, B C$ 上的点, $A D=\frac{1}{2} A B, B E=\frac{2}{3} B C$. 若 $\overrightarrow{D E}=\lambda_{1} \overrightarrow{A B}+\lambda_{2} \overrightarrow{A C}\left(\lambda_{1}\right.$, $\lambda_{2}$ 为实数), 则 $\lambda_{1}+\lambda_{2}=$

解析几何

易知 $\overrightarrow{D E}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})=-\frac{1}{6} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}$ ，所以 $\lambda_{1}+\lambda_{2}=\frac{1}{2}$.

答案: $\frac{1}{2}$


Answer:
如图， $\because \overrightarrow{A B}=\boldsymbol{e}_{2}$ ，且 $\frac{D C}{A B}=k$ ，

<ImageHere>

$\therefore \overrightarrow{D C}=k \overrightarrow{A B}=k \boldsymbol{e}_{2}$.

又 $\because \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}=0$ ，

$\therefore \overrightarrow{B C}=-\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{D A}=-\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{A D}=-\boldsymbol{e}_{2}+k \boldsymbol{e}_{2}+\boldsymbol{e}_{1}=\boldsymbol{e}_{1}+(k-1) \boldsymbol{e}_{2}$.

$\because \overrightarrow{M N}+\overrightarrow{N B}+\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A M}=0$,

$\therefore \overrightarrow{M N}=-\overrightarrow{N B}-\overrightarrow{B A}-\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{B N}+\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A M}=\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}+\boldsymbol{e}_{2}-\frac{1}{2} \overrightarrow{A D}=\frac{1}{2}\left[\boldsymbol{e}_{1}+(k-1) \boldsymbol{e}_{2}\right]+\boldsymbol{e}_{2}-\frac{1}{2} \boldsymbol{e}_{1}=$ $\frac{k+1}{2} \boldsymbol{e}_{2}$.

Question: 8. 在梯形 $A B C D$ 中, $A B / / C D, M, N$ 分别是 $D A, B C$ 的中点, 且 $\frac{D C}{A B}=k(k \neq 1)$. 设 $\overrightarrow{A D}=\boldsymbol{e}_{1}$, $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{e}_{2}$, 选择基底 $\left\{\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}\right\}$, 试写出下列向量在此基底下的分解式: $\overrightarrow{D C}, \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{M N}$.

解析几何

如图， $\because \overrightarrow{A B}=\boldsymbol{e}_{2}$ ，且 $\frac{D C}{A B}=k$ ，

<ImageHere>

$\therefore \overrightarrow{D C}=k \overrightarrow{A B}=k \boldsymbol{e}_{2}$.

又 $\because \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}=0$ ，

$\therefore \overrightarrow{B C}=-\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{D A}=-\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{A D}=-\boldsymbol{e}_{2}+k \boldsymbol{e}_{2}+\boldsymbol{e}_{1}=\boldsymbol{e}_{1}+(k-1) \boldsymbol{e}_{2}$.

$\because \overrightarrow{M N}+\overrightarrow{N B}+\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A M}=0$,

$\therefore \overrightarrow{M N}=-\overrightarrow{N B}-\overrightarrow{B A}-\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{B N}+\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A M}=\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}+\boldsymbol{e}_{2}-\frac{1}{2} \overrightarrow{A D}=\frac{1}{2}\left[\boldsymbol{e}_{1}+(k-1) \boldsymbol{e}_{2}\right]+\boldsymbol{e}_{2}-\frac{1}{2} \boldsymbol{e}_{1}=$ $\frac{k+1}{2} \boldsymbol{e}_{2}$.


Answer:
设 $\overrightarrow{B M}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{C N}=\boldsymbol{b}$ ，则 $\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C M}=-\boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b} ， \overrightarrow{B N}=2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$.

$\because A, P, M$ 和 $B, P, N$ 分别共线，

$\therefore$ 存在实数 $\lambda, \mu$ 使 $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A M}=-\lambda \boldsymbol{a}-3 \lambda \boldsymbol{b}$ ，

$\overrightarrow{B P}=\mu \overrightarrow{B N}=2 \mu \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{b}$.

$\therefore \overrightarrow{B A}=\overrightarrow{B P}-\overrightarrow{A P}=(\lambda+2 \mu) \boldsymbol{a}+(3 \lambda+\mu) \boldsymbol{b}$.

又 $\because \overrightarrow{B A}=\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}=2 \boldsymbol{a}+3 \boldsymbol{b}$,

<ImageHere>

解得 $\left\{\begin{array}{l}\lambda=\frac{4}{5} ｝ \\{\mu=\frac{3}{5},} \end{array} \text { 则 } \overrightarrow{A P}=\frac{4}{5} \overrightarrow{A M} \text {. }\end{array}\right.$

$\therefore A P$ 与 $A M$ 的比值为 $\frac{4}{5}$.

Question: 9. 在 $\triangle A B C$ 中, 点 $M$ 是 $B C$ 的中点, 点 $N$ 在 $A C$ 上且 $\overrightarrow{A N}=2 \overrightarrow{N C}, A M$ 交 $B N$ 于 $P$ 点, 求 $A P$与 $A M$ 的比值.

解析几何

设 $\overrightarrow{B M}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{C N}=\boldsymbol{b}$ ，则 $\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C M}=-\boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b} ， \overrightarrow{B N}=2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$.

$\because A, P, M$ 和 $B, P, N$ 分别共线，

$\therefore$ 存在实数 $\lambda, \mu$ 使 $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A M}=-\lambda \boldsymbol{a}-3 \lambda \boldsymbol{b}$ ，

$\overrightarrow{B P}=\mu \overrightarrow{B N}=2 \mu \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{b}$.

$\therefore \overrightarrow{B A}=\overrightarrow{B P}-\overrightarrow{A P}=(\lambda+2 \mu) \boldsymbol{a}+(3 \lambda+\mu) \boldsymbol{b}$.

又 $\because \overrightarrow{B A}=\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}=2 \boldsymbol{a}+3 \boldsymbol{b}$,

<ImageHere>

解得 $\left\{\begin{array}{l}\lambda=\frac{4}{5} ｝ \\{\mu=\frac{3}{5},} \end{array} \text { 则 } \overrightarrow{A P}=\frac{4}{5} \overrightarrow{A M} \text {. }\end{array}\right.$

$\therefore A P$ 与 $A M$ 的比值为 $\frac{4}{5}$.


Answer: $(-3,6)$

Question: 11. 已知平面上三点 $A(2,-4), B(0,6), C(-8,10)$, 则 $\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}-\frac{1}{4} \overrightarrow{B C}$ 的坐标是

解析几何


Answer: $\frac{\pi}{6}$ 或 $-\frac{\pi}{2}$

Question: 12. 已知 $A(2,3), B(1,4)$, 且 $\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}=(\sin \alpha, \cos \beta), \alpha, \beta \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, 则 $\alpha+\beta=$

解析几何

$\overrightarrow{A B}=(1,4)-(2,3)=(-1,1)$.
$\therefore(\sin \alpha, \cos \beta)=\frac{1}{2}(-1,1)$ ，

$\therefore \sin \alpha=-\frac{1}{2}, \cos \beta=\frac{1}{2}$.

又 $\because \alpha, \beta \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$,

$\therefore \alpha=-\frac{\pi}{6} ， \beta=-\frac{\pi}{3}$ 或 $\frac{\pi}{3}, \alpha+\beta=-\frac{\pi}{2}$ 或 $\frac{\pi}{6}$.

答案: $\frac{\pi}{6}$ 或 $-\frac{\pi}{2}$


Answer: $(1,-1)(-4,-3)$

Question: 5. 若 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(-3,-4), \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(5,2)$, 则向量 $\boldsymbol{a}=$ \$ \qquad \$ ，向量 $\boldsymbol{b}=$

解析几何


Answer: -3

Question:
6. 已知向量 $\boldsymbol{a}=(2,1), \boldsymbol{b}=(1,-2)$. 若 $m \boldsymbol{a}+n \boldsymbol{b}=(9,-8)(m, n \in \mathbf{R})$, 则 $m-n$ 的值为 \$ \qquad \$
.

解析几何

解析 : 由题意得 $m \boldsymbol{a}+n \boldsymbol{b}=(2 m, m)+(n － 2 n)=(2 m+n, m-2 n)=(9 ，-8)$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}2 m+n=9 ， \\ m-2 n=-8 ，\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{l}m=2 ｝ \\{n=5 ｝\end{array}\end{array}\right.$

所以 $m-n=-3$


Answer: 10

Question: 5. 已知 $A, B, C$ 三点共线, $\overrightarrow{B A}=-\frac{3}{8} \overrightarrow{A C}$, 点 $A, B$ 的纵坐标分别为 2,5 , 则点 $C$ 的纵坐标为

解析几何

设点 $C$ 的纵坐标为 $y . \because A, B ， C$ 三点共线， $\overrightarrow{B A}=-\frac{3}{8} \overrightarrow{A C}, A ， B$ 的纵坐标分别为 2 ， $5, \quad \therefore 2-5=-\frac{3}{8}(y-2), \quad \therefore y=10$
答案: 10


Answer: $(2,-4)$ 或 $(-2,4)$

Question: 6. 已知向量 $\boldsymbol{a}=(1,-2),|\boldsymbol{b}|=2 \sqrt{5}$, 且 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$, 则 $\boldsymbol{b}=$

解析几何


Answer: $(8 ，-10)$

Question: 7. 已知 $\boldsymbol{a}=\overrightarrow{A B}$, 点 $B$ 的坐标为 $(1,0), \boldsymbol{b}=(-3,4), \boldsymbol{c}=(-1,1)$, 且 $\boldsymbol{a}=3 \boldsymbol{b}-2 \boldsymbol{c}$, 求点 $A$ 的坐标.

解析几何

$\because \boldsymbol{b}=(-3,4), \boldsymbol{c}=(-1,1), \therefore 3 \boldsymbol{b}-2 \boldsymbol{c}=3(-3,4)-2(-1,1)=(-9,12)-(-2$ ， $2)=(-7,10)$ ，即 $\boldsymbol{a}=(-7,10)=\overrightarrow{A B}$.

又点 $B$ 的坐标为 $(1,0)$ ，设点 $A$ 的坐标为 $(x, y)$ ，则 $\overrightarrow{A B}=(1-x, 0-y)=(-7,10)$ ，

$\therefore\left\{\begin{array}{l}1-x=-7, \\ 0-y=10\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=8, \\ y=-10,\end{array}\right.\right.$

即点 $A$ 的坐标为 $(8 ，-10)$.


Answer: $\left(-\infty, \frac{-13-\sqrt{133}}{6}\right) \cup\left(\frac{\sqrt{133}-13}{6}, 1\right) \cup(1,+\infty)$

Question: 14. 已知 $|\boldsymbol{a}|=2,|\boldsymbol{b}|=3, \boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$. 若 $\boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b}$ 与 $\lambda \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 的夹角为锐角, 则实数 $\lambda$ 的取值范围为

解析几何

解析：由题意可得 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}| \boldsymbol{b} \left\lvert\, \cos 60^{\circ}=2 \times 3 \times \frac{1}{2}=3\right.$.

又 $\because(\boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b}) \cdot(\lambda \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\lambda \boldsymbol{a}^{2}+\left(\lambda^{2}+1\right) \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\lambda \boldsymbol{b}^{2} ，$

$\boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b}$ 与 $\lambda \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 的夹角为锐角， $\therefore \lambda \boldsymbol{a}^{2}+\left(\lambda^{2}+1\right) \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\lambda \boldsymbol{b}^{2}>0$.

$\because \boldsymbol{a}^{2}=|\boldsymbol{a}|^{2}=4, \quad \boldsymbol{b}^{2}=|\boldsymbol{b}|^{2}=9, \quad \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=3, \quad \therefore 3 \lambda^{2}+13 \lambda+3>0$,

解得 $\lambda>\frac{\sqrt{133}-13}{6}$ 或 $\lambda<\frac{-13-\sqrt{133}}{6}$.

当 $\lambda=1$ 时， $\boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b}$ 与 $\lambda \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 共线，其夹角不为锐角.

故 $\lambda$ 的取值范围是 $\left(-\infty, \frac{-13-\sqrt{133}}{6}\right) \cup\left(\frac{\sqrt{133}-13}{6}, 1\right) \cup(1,+\infty)$.


Answer: 4

Question: 6. 已知 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=16$, 若 $\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 方向上的投影为 4, 则 $|\boldsymbol{b}|=$

解析几何

解析：设 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\theta ， \because \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=16 ， \therefore|\boldsymbol{a}| \boldsymbol{b} \mid \cos \theta=16$.

又 $\because \boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 方向上的投影为 $4 ， \therefore|\boldsymbol{a}| \cos \theta=4 ， \therefore|\boldsymbol{b}|=4$.


Answer: 4

Question: 7. 若 $|\boldsymbol{a}|=5, \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=10$, 且 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$, 则 $|\boldsymbol{b}|=$

解析几何

解析：因为 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=10 ，|\boldsymbol{a}|=5$ ，所以 $|\boldsymbol{a}| \cdot|\boldsymbol{b}| \cos 60^{\circ}=10$ ，所以 $|\boldsymbol{b}|=4$.


Answer: 6

Question:
12. 已知向量 $\boldsymbol{a}=(2,-4), \boldsymbol{b}=(-3, m)$. 若 $|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|+\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$, 则实数 $m=$

.

解析几何

解析 : 由向量的数量积可知 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \theta$ ，又 $|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|+\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$ ，所以 $\cos \theta=-1$ ，所以 $\theta=\pi$ ，
即向量 $\boldsymbol{a}=(2 ，-4)$ 与 $\boldsymbol{b}=(-3, m)$ 的方向相反. 设 $\boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{b}$, 即 $(2 ，-4)=\lambda(-3 ， m)$ 可得 $\left\{\begin{array}{l}2=-3 \lambda ， \\ -4=\lambda m ，\end{array}\right.$ 解得 $m=6$


Answer: $\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$

Question: 13. 在边长为 1 的正方形 $A B C D$ 中, $M$ 为 $B C$ 的中点, 点 $E$ 在线段 $A B$ 上运动, 则 $\overrightarrow{E C} \cdot \overrightarrow{E M}$ 的取值范围是

解析几何

将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设 $E(x, 0) ， 0 \leqslant x \leqslant 1$.

<ImageHere>

因为 $M\left(1, \frac{1}{2}\right), C(1,1)$, 所以 $\overrightarrow{E M}=\left(1-x, \frac{1}{2}\right), \overrightarrow{E C}=(1-x, 1)$, 所以 $\overrightarrow{E M} \cdot \overrightarrow{E C}=\left(1-x, \frac{1}{2}\right) \cdot(1$ $-x, 1)=(1-x)^{2}+\frac{1}{2}$. 因为 $0 \leqslant x \leqslant 1$ ，所以 $\frac{1}{2} \leqslant(1-x)^{2}+\frac{1}{2} \leqslant \frac{3}{2}$ ，即 $\overrightarrow{E M} \cdot \overrightarrow{E C}$ 的取值范围是 $\left[\frac{1}{2} ， \frac{3}{2}\right]$.答案: $\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$


Answer: $120^{\circ}$

Question: 6. 已知向量 $\boldsymbol{a}=(1,2), \boldsymbol{b}=(-2,-4),|\boldsymbol{c}|=\sqrt{5}$. 若 $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}=\frac{5}{2}$, 则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{c}$ 的夹角的大小为

解析几何

设 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{c}$ 的夹角为 $\theta$ ，由 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(-1,-2)=-\boldsymbol{a},|\boldsymbol{a}|=\sqrt{5}, \cos \theta=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}}{|\boldsymbol{a}| \boldsymbol{c} \mid}=\frac{-(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}$ $=\frac{-\frac{5}{2}}{5}=-\frac{1}{2}$,

$\therefore \theta=120^{\circ}$.

答案: $120^{\circ}$


Answer: 2

Question: 7. 已知向量 $\boldsymbol{a}=(1, \sqrt{3})$, 向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}$ 的夹角是 $\frac{\pi}{3}, \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}=2$, 则 $\mid \boldsymbol{c}$ 等于

解析几何

解析：因为 $|\boldsymbol{a}|=2 ， \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}=2$ ，所以 $|\boldsymbol{a}| \cdot|\boldsymbol{c}| \cos 60^{\circ}=2$ ，得 $\boldsymbol{c} \mid=2$.


Answer: $\pm 2$

Question: 8. 已知 $\triangle A B C$ 中, $|\overrightarrow{A B}|=4,|\overrightarrow{A C}|=1, S_{\triangle A B C}=\sqrt{3}$, 则 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}$ 的值为

解析几何

因为 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} \times 4 \times 1 \times \sin A=\sqrt{3}$ ，所以 $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，得 $A=\frac{\pi}{3}$ 或 $A=\frac{2 \pi}{3} ， \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=$ $1 \times 4 \times \cos A= \pm 2$.

答案: $\pm 2$


Answer: (1)(2)(3)

Question:
14. 设 $O$ 是正方形 $A B C D$ 的中心, 则(1) $\overrightarrow{A O}=\overrightarrow{O C}$; (2) $\overrightarrow{A O} / / \overrightarrow{A C}$; (3) $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{C D}$ 共线; (4) $\overrightarrow{A O}=\overrightarrow{B O}$. 其中, 所有正确结论的序号为 \$ \qquad \$ .

<ImageHere>

解析几何

正方形的对角线互相平分, 则 $\overrightarrow{A O}=\overrightarrow{O C}$, (1)正确; $\overrightarrow{A O}$ 与 $\overrightarrow{A C}$ 的方向相同, 所以 $\overrightarrow{A O} / / \overrightarrow{A C}$, (2)正确; $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{C D}$ 的方向相反, 所以 $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{C D}$ 共线, (3)正确; 尽管 $|\overrightarrow{A O}|=|\overrightarrow{B O}|$, 然而 $\overrightarrow{A O}$ 与 $\overrightarrow{B O}$ 的方向不相同, 所以 $\overrightarrow{A O} \neq \overrightarrow{B O}$, (4)不正确.

答案: (1)(2)(3)


Answer: 梯形

Question: 12. 在四边形 $A B C D$ 中, $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}, \overrightarrow{B C}=-4 \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}, \overrightarrow{C D}=-5 \boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b}$, 则四边形 $A B C D$ 的形状是

解析几何

$\because \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}=(\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b})+(-4 \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})+(-5 \boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b})=-8 \boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}=2 \overrightarrow{B C}$ ， $\therefore A D / / B C$ ，且 $A D=2 B C . \therefore$ 四边形 $A B C D$ 是梯形.

答案: 梯形


Answer: $\frac{2}{3}$

Question: 7. 已知 $\overrightarrow{A D}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A E}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}$, 则 $\overrightarrow{D E}=$ \$ \qquad \$ $\overrightarrow{B C}$.

解析几何

$\overrightarrow{D E}=\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{A E}=-\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A E}=-\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})=\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}$.

答案: $\frac{2}{3}$


Answer: $-\frac{7}{9}$

Question:
13. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 角 $\alpha$ 与角 $\beta$ 均以 $O x$ 为始边, 它们的终边关于 $y$ 轴对称. 若 $\sin$
$\alpha=\frac{1}{3}$, 则 $\cos (\alpha-\beta)=$ \$ \qquad \$ .

解析几何

由题意知 $\alpha+\beta=\pi+2 k \pi(k \in \mathbf{Z})$ ，

$\therefore \beta=\pi+2 k \pi-\alpha(k \in \mathbf{Z}), \sin \beta=\sin \alpha, \cos \beta=-\cos \alpha$.

又 $\sin \alpha=\frac{1}{3}$ ，

$\therefore \cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta$

$=-\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha=2 \sin ^{2} \alpha-1$

$=2 \times \frac{1}{9}-1=-\frac{7}{9}$.

答案: $-\frac{7}{9}$


Answer: $\frac{\pi}{4}$

Question: 14. 已知 $\alpha, \beta$ 均为锐角, 且 $\sin \alpha=\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \sin \beta=\frac{\sqrt{10}}{10}$, 则 $\alpha-\beta=$ \$ \qquad \$ .

解析几何

$\because \alpha, \beta$ 均为锐角， $\therefore \cos \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5} ， \cos \beta=\frac{3 \sqrt{10}}{10}$.

$\therefore \cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta=\frac{\sqrt{5}}{5} \times \frac{3 \sqrt{10}}{10}+\frac{2 \sqrt{5}}{5} \times \frac{\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

又 $\because \sin \alpha>\sin \beta, \quad \therefore 0<\beta<\alpha<\frac{\pi}{2}$ ，

$\therefore 0<\alpha-\beta<\frac{\pi}{2}$ ，故 $\alpha-\beta=\frac{\pi}{4}$.

## 答案: $\frac{\pi}{4}$


Answer: $\frac{13 \pi}{3}$

Question: 10. 在 $\triangle A B C$ 中, $A=60^{\circ}, b=1, S_{\triangle A B C}=\sqrt{3}$, 则 $\triangle A B C$ 外接圆的面积是

立体几何学


Answer: $3 \pi$

Question: 11. 把同一平面内所有模不小于 1 , 不大于 2 的向量的起点, 移到同一点 $O$, 则这些向量的终点构成的图形的面积等于 \$ \qquad \$

立体几何学

这些向量的终点构成的图形是一个圆环, 其面积为 $\pi \times 2^{2}-\pi \times 1^{2}=3 \pi$.

答案: $3 \pi$


Answer: 外

Question: 7. 设点 $O$ 是 $\triangle A B C$ 所在平面上一点, 若 $|\overrightarrow{O A}|=|\overrightarrow{O B}|=|\overrightarrow{O C}|$, 则点 $O$ 是 $\triangle A B C$ 的（）心.

立体几何学


Question: 7. 比较大小: $\sin 1 .2$ $\sin 1 .5$ (填“〉”或““”).

算术


Answer: 1

Question: 8. 化简: $\left(1+\tan ^{2} \alpha\right)\left(1-\sin ^{2} \alpha\right)=$

算术

解析 : $\left(1+\tan ^{2} \alpha\right)\left(1-\sin ^{2} \alpha\right)=\left(1+\frac{\sin ^{2} \alpha}{\cos ^{2} \alpha}\right) \cdot \cos ^{2} \alpha=\frac{\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}{\cos ^{2} \alpha} \cdot \cos ^{2} \alpha=1$.


Answer: $b>a>c$

Question: 14. 已知 $a=\tan \left(-\frac{7 \pi}{6}\right), b=\cos \frac{23 \pi}{4}, c=\sin \left(-\frac{33 \pi}{4}\right)$, 则 $a, b, c$ 的大小关系是

算术


Answer: $\frac{91}{2}$

Question: 14. $\sin ^{2} 1^{\circ}+\sin ^{2} 2^{\circ}+\sin ^{2} 3^{\circ}+\cdots+\sin ^{2} 88^{\circ}+\sin ^{2} 89^{\circ}+\sin ^{2} 90^{\circ}$ 的值为

算术


Answer: $(1, \sqrt{3})$

Question: 7. 函数 $y=\tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right), x \in\left(0, \frac{\pi}{6}\right)$ 的值域是

算术

$\because x \in\left(0 ， \frac{\pi}{6}\right) ： \therefore \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4} \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right)$ ，

$\therefore \tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right) \in(1, \sqrt{3})$.

答案: $(1, \sqrt{3})$


Answer: $\frac{1}{2}$

Question: 6. $\sin 750^{\circ}=$

算术


Answer: $5+2 \sqrt{6}$

Question: 已知实数 $\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0, \sqrt{2}$ 是 $8^{\mathrm{a}}$ 与 $2^{\mathrm{b}}$ 的等比中项, 则 $\frac{1}{\mathrm{a}}+\frac{2}{\mathrm{~b}}$ 的最小值是

算术

实数 $\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0, \sqrt{2}$ 是 $8^{\mathrm{a}}$ 与 $2^{\mathrm{b}}$ 的等比中项, $\therefore 8^{a} \cdot 2^{b}=2, \therefore 2^{3 \mathrm{a}+\mathrm{b}}=2$, 解得 $3 \mathrm{a}+\mathrm{b}=1$. 则 $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=(3 a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\right)=5+\frac{b}{a}+\frac{6 a}{b} \geq 5+2 \sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{6 a}{b}}=5+2 \sqrt{6}$, 当且仅当 $b=\sqrt{6}, a=\sqrt{6}-2$ 时取等号. 故答案为 $5+2 \sqrt{6}$.


Answer: $\frac{2^{n}}{2 n+1}$

Question: 数列 $\frac{2}{3}, \frac{4}{5}, \frac{8}{7}, \frac{16}{9}, \cdots$ 的一个通项公式是

算术

分母是以 3 开头的奇数列, 分子是以 2 为首项, 以 2 为公比的等比数列,$\therefore \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\frac{2^{n}}{2 n+1}$, 故答案为: $\frac{2^{n}}{2 n+1}$


Answer: $\frac{4}{5}$

Question: 设数列为公差不为零的等差数列, $2 a_{7}-a_{8}=0$, 则 $\frac{a_{2}}{a_{1}}=$ \$ \qquad \$ .

算术


Answer: $a_{n}=6 n-3$

Question: 设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列, 且 $a_{1}=3, a_{2}+a_{5}=36$, 则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为

算术

$\because\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列, 且 $a_{1}=3, a_{2}+a_{5}=36$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}a_{1}=3 \\ a_{1}+d+a_{1}+4 d=36\end{array}\right.$, 解得 $\mathrm{a}_{1}=3, \mathrm{~d}=6, \therefore \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}+(\mathrm{n}-1) \mathrm{d}=3+(\mathrm{n}-1) \times 6=6 \mathrm{n}-3$.

$\therefore\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式为 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=6 \mathrm{n}-3$. 故答案为: $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=6 \mathrm{n}-3$.


Answer: 8

Question: 已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列, 其公差 $d<0$, 其前 $n$ 项和记为 $S_{n}$, 且 $S_{16}>0, S_{17}<0$, 则当 $S_{n}$取最大值时的 $n=$ \$ \qquad \$ .

算术


Answer: 63

Question: 设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列, 若 $a_{4}+a_{5}+a_{6}=21$, 则 $S_{9}=$

算术


Answer: 42

Question: 在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, 已知 $a_{2}+a_{3}=13, a_{1}=2$, 则 $a_{4}+a_{5}+a_{6}=$ \$ \qquad \$ .

算术


Answer: 4

Question: 在正项等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, 有 $a_{1} a_{3}+2 a_{2} a_{4}+a_{3} a_{5}=16$, 则 $a_{2}+a_{4}=$

算术


Answer: 2

Question: 在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, 已知 $a_{2}=\frac{1}{2}, a_{5}=4$, 则此数列的公比为

算术

解析 $\because a_{2}=\frac{1}{2}, a_{5}=4, \therefore \mathrm{a}_{5}=\mathrm{a}_{2} \mathrm{q}^{3}, \therefore \mathrm{q}^{3}=8, \therefore \mathrm{q}=2$, 故答案为 2


Answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Question:
6. 计算 $\cos 45^{\circ} \cdot \cos 15^{\circ}+\sin 45^{\circ} \sin 15^{\circ}=$

.

算术


Answer:
原式 $=\sin (\alpha+\beta) \cos \alpha-\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\alpha+\beta)-\sin (\alpha+\beta-\alpha)]=\sin (\alpha+\beta) \cos \alpha-\frac{1}{2}[\sin \alpha \cos (\alpha$

$+\beta)+\cos \alpha \sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha+\beta) \cos \alpha+\cos (\alpha+\beta) \sin \alpha]$

$=\sin (\alpha+\beta) \cos \alpha-\frac{1}{2} \times 2 \sin \alpha \cos (\alpha+\beta)$

$=\sin (\alpha+\beta) \cos \alpha-\cos (\alpha+\beta) \sin \alpha=\sin (\alpha+\beta-\alpha)=\sin \beta$.

Question: 9. 化简: $\sin (\alpha+\beta) \cos \alpha-\frac{1}{2}[\sin (2 \alpha+\beta)-\sin \beta]$.

算术

原式 $=\sin (\alpha+\beta) \cos \alpha-\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\alpha+\beta)-\sin (\alpha+\beta-\alpha)]=\sin (\alpha+\beta) \cos \alpha-\frac{1}{2}[\sin \alpha \cos (\alpha$

$+\beta)+\cos \alpha \sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha+\beta) \cos \alpha+\cos (\alpha+\beta) \sin \alpha]$

$=\sin (\alpha+\beta) \cos \alpha-\frac{1}{2} \times 2 \sin \alpha \cos (\alpha+\beta)$

$=\sin (\alpha+\beta) \cos \alpha-\cos (\alpha+\beta) \sin \alpha=\sin (\alpha+\beta-\alpha)=\sin \beta$.


Answer: 1

Question: 13.已知 $\tan \alpha=-2, \tan (\alpha+\beta)=\frac{1}{7}$, 则 $\tan (\alpha-\beta)=$

算术

$\tan \beta=\tan [(\alpha+\beta)-\alpha]$

$=\frac{\tan (\alpha+\beta)-\tan \alpha}{1+\tan (\alpha+\beta) \tan \alpha}$

$=\frac{\frac{1}{7}-(-2)}{1+\frac{1}{7} \times(-2)}$

$=3$,

$\therefore \tan (\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}=\frac{-2-3}{1-2 \times 3}=1$.

答案: 1


Answer: $\frac{7}{5}$

Question: 6. 若 $\tan \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{6}$, 则 $\tan \alpha=$

算术

解析 : $\because \tan \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tan \alpha-\tan \frac{\pi}{4}}{1+\tan \alpha \tan \frac{\pi}{4}}=\frac{\tan \alpha-1}{1+\tan \alpha}=\frac{1}{6} ， \therefore \tan \alpha=\frac{7}{5}$.


Answer: -3

Question: 6. 已知 $\sin \theta=-\frac{3}{5}, 3 \pi<\theta<\frac{7 \pi}{2}$, 则 $\tan \frac{\theta}{2}=$

算术


Answer: $\frac{7}{9}$

Question: 7. 已知 $\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$, 则 $\cos 2 \theta=$

算术


Answer: $\geqslant\langle>$

Question:
用不等号填空:

(1) 若 $a>b$, 则 $a c^{2}$ $b c^{2}$.

(2)若 $a+b>0, b<0$, 则 $b$ $a$.

(3)若 $a>b, c<d$, 则 $a-c$ \$ \qquad \$ $b-d$.

算术


Answer: $\frac{a+m}{b+m}>\frac{a}{b}$ 加糖之前糖水的浓度为 $\frac{a}{b}$, 加糖之后糖水的浓度为 $\frac{a+m}{b+m}$, 故 $\frac{a+m}{b+m}>\frac{a}{b}$.

Question: $b \mathrm{~g}$ 糖水中有 $a \mathrm{~g}$ 糖 $(b>a>0)$, 若再添上 $m \mathrm{~g}$ 糖 $(m>0)$, 则糖水变甜了,根据这个事实提炼的一个不等式为

算术

$\frac{a+m}{b+m}>\frac{a}{b}$ 加糖之前糖水的浓度为 $\frac{a}{b}$, 加糖之后糖水的浓度为 $\frac{a+m}{b+m}$, 故 $\frac{a+m}{b+m}>\frac{a}{b}$.


Answer: 80

Question: 7. 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=n^{2}+n+1$, 则 $a_{6}+a_{7}+\cdots+a_{10}$ 的值为

算术


Answer: 0

Question: 8. 设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $S_{p}=S_{q}\left(p, q \in \mathbf{N}^{*}\right.$ 且 $\left.p \neq q\right)$, 则 $S_{p+q}=$

算术


Answer: 5 或 6

Question: 9. 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $\left|a_{3}\right|=\left|a_{9}\right|$, 公差 $d<0$, 则使前 $n$ 项和 $S_{n}$ 取得最大值的自然数 $n$ 是

算术


Answer: $\left\{\begin{array}{l}1, \\ \frac{1}{3} \cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{n-2}, \quad n \geqslant 2\end{array}\right.$

Question: 10. 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $S_{n}$ 是其前 $n$ 项和, 若 $a_{1}=1, a_{n+1}=\frac{1}{3} S_{n}(n \geqslant 1)$, 则 $a_{n}=$

算术


Answer: -6

Question: 7. 一个数列 $\left\{a_{n}\right\}$, 其中 $a_{1}=3, a_{2}=6, a_{n+2}=a_{n+1}-a_{n}$, 那么这个数列的第 5 项是

算术


Answer: $a<0<b$

Question: $a, b \in R, a<b$ 和 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$ 同时成立的条件是 \$ \qquad \$

算术


Answer: $\quad(-\infty, 0) \cup[1,+\infty)$

Question: 不等式 $\frac{1}{x} \leq 1$ 的解集为 \$ \qquad \$

算术


Answer: 2,126

Question:
已知正项数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前项和为 $S_{n}$, 且对于任意, $q \in \mathrm{N}^{*}$, 有 $a_{p} a_{q}=a_{p+q}$, 若 $a_{2}=4$, 则
$a_{1}=$ \$ \qquad \$ , $S_{6}=$ \$ \qquad \$ .

算术


Answer: $a_{n}=5-4 n$

Question: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=-2 n^{2}+3 n$, 则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 \$ \qquad \$

算术


Answer: $\left[2 k \pi, 2 k \pi+\frac{\pi}{2}\right)(k \in \mathbf{Z})$

Question: 8. 函数 $y=\sqrt{\sin x}+\lg \cos x$ 的定义域是

代数

要使函数有意义, $x$ 需满足 $\left\{\begin{array}{l}\sin x \geqslant 0, \\ \cos x>0,\end{array}\right.$ 即 $2 k \pi \leqslant x<2 k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$.

故函数 $y=\sqrt{\sin x}+\lg \cos x$ 的定义域为 $\left[2 k \pi, 2 k \pi+\frac{\pi}{2}\right)(k \in \mathbf{Z})$.

答案: $\left[2 k \pi, 2 k \pi+\frac{\pi}{2}\right)(k \in \mathbf{Z})$


Answer: $-\frac{2}{5}$

Question: 8. 已知 $\sin (3 \pi-\alpha)=-2 \sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)$, 则 $\sin \alpha \cos \alpha$ 等于

代数

因为 $\sin (3 \pi-\alpha)=\sin (\pi-\alpha)=-2 \sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)$, 所以 $\sin \alpha=-2 \cos \alpha$, 所以 $\tan \alpha=-2$,所以 $\sin \alpha \cos \alpha=\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}=\frac{\tan \alpha}{\tan ^{2} \alpha+1}=-\frac{2}{5}$.


Answer: (1)(4)

Question:
13. 关于 $x$ 的函数 $f(x)=\sin (x+\varphi)$ 有以下命题:

(1)对任意的 $\varphi, f(x)$ 都是非奇非偶函数;

(2)不存在 $\varphi$, 使 $f(x)$ 既是奇函数, 又是偶函数;

(3) 存在 $\varphi$, 使 $f(x)$ 是奇函数;

(4)对任意的 $\varphi, f(x)$ 都不是偶函数.

其中的假命题是 \$ \qquad \$ . (写出所有假命题的序号)

代数


Answer:
$\because-\frac{\pi}{3} \leqslant x \leqslant \frac{2 \pi}{3}$,
$\therefore-\frac{\sqrt{3}}{2} \leqslant \sin x \leqslant 1$.

当 $a=0$, 不满足题意.

若 $a>0$, 则 $\left\{\begin{array}{l}2 a+b=1, \\ -\sqrt{3} a+b=-5,\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{l}a=12-6 \sqrt{3}, \\ b=-23+12 \sqrt{3} .\end{array}\right.$

若 $a<0$, 则 $\left\{\begin{array}{l}2 a+b=-5, \\ -\sqrt{3} a+b=1,\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{l}a=-12+6 \sqrt{3}, \\ b=19-12 \sqrt{3} .\end{array}\right.$

故 $a=12-6 \sqrt{3}, b=-23+12 \sqrt{3}$ 或 $a=-12+6 \sqrt{3}, b=19-12 \sqrt{3}$.

Question: 10. 已知函数 $f(x)=2 a \sin x+b$ 的定义域为 $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right]$, 函数的最大值为 1 , 最小值为 -5 , 求 $a$和 $b$ 的值.

代数

$\because-\frac{\pi}{3} \leqslant x \leqslant \frac{2 \pi}{3}$,
$\therefore-\frac{\sqrt{3}}{2} \leqslant \sin x \leqslant 1$.

当 $a=0$, 不满足题意.

若 $a>0$, 则 $\left\{\begin{array}{l}2 a+b=1, \\ -\sqrt{3} a+b=-5,\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{l}a=12-6 \sqrt{3}, \\ b=-23+12 \sqrt{3} .\end{array}\right.$

若 $a<0$, 则 $\left\{\begin{array}{l}2 a+b=-5, \\ -\sqrt{3} a+b=1,\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{l}a=-12+6 \sqrt{3}, \\ b=19-12 \sqrt{3} .\end{array}\right.$

故 $a=12-6 \sqrt{3}, b=-23+12 \sqrt{3}$ 或 $a=-12+6 \sqrt{3}, b=19-12 \sqrt{3}$.


Answer: (1)(2)

Question:
8. 关于函数 $y=\tan \frac{X}{2}$ 的说法正确的是 \$ \qquad \$ . (填所有正确答案的序号)
(1) 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递增;
(2) 为奇函数;
(3) 以 $\pi$ 为最小正周期;
(4) 定义域为
$\left\{x \left\lvert\, x \neq \frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{2}\right., \quad k \in \mathbf{Z}\right\}$.

代数

令 $x \in\left(0 ， \frac{\pi}{2}\right)$ ，则 $\frac{X}{2} \in\left(0 ， \frac{\pi}{4}\right)$ ，所以 $y=\tan \frac{\underline{x}}{2}$ 在 $\left(0 ， \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递增，(1)正确; $\tan \left(-\frac{x}{2}\right)$

$=-\tan \frac{X}{2}$ ，故 $y=\tan \frac{X}{2}$ 为奇函数，(2)正确; $T=\frac{\pi}{\omega}=2 \pi$ ，所以(3)不正确； 由 $\frac{X}{2} \neq \frac{\pi}{2}+k \pi ， k \in \mathbf{Z}$ ，

得 $x \neq \pi+2 k \pi ， k \in \mathbf{Z}$ ，即函数 $y=\tan \frac{\underline{X}}{2}$ 的定义域为 $\{x \mid x \neq \pi+2 k \pi ， k \in \mathbf{Z}\}$ ，所以(4)不正确.

答案: (1)(2)


Answer: 1

Question: 13. 已知 $\omega>0$, 函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)$ 在 $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 上单调递减, 则正整数 $\omega$ 的值是

代数

因为函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)$ 单调递减时， $\omega x+\frac{\pi}{4} \in\left[2 k \pi+\frac{\pi}{2}, 2 k \pi+\frac{3 \pi}{2}\right], k \in \mathbf{Z}$ ，又因为 $\omega>0$ ，当 $k=0$ 时， $x \in\left[\frac{\pi}{4 \omega}, \frac{5 \pi}{4 \omega}\right]$. 又已知 $x \in\left(\frac{\pi}{2} ， \pi\right)$ 时，函数 $f(x)$ 单调递减, 所以 $\left\{\begin{array}{l}\frac{\pi}{4 \omega} \leqslant \frac{\pi}{2}, \\ \frac{5 \pi}{4 \omega} \geqslant \pi ，\end{array}\right.$解得 $\frac{1}{2} \leqslant \omega \leqslant \frac{5}{4}$. 又因为 $\omega$ 为正整数，所以 $\omega=1$. 而当 $k \neq 0$ 时， $\omega$ 无解. 综上， $\omega=1$.

答案: 1


Answer: 25

Question: 6. 已知某种交流电电流 $i(A)$ 随时间 $t(s)$ 的变化规律可以用函数 $i=5 \sqrt{2} \sin \left(100 \pi t-\frac{\pi}{2}\right), t \in[0$, $+\infty)$ 表示，则这种交流电电流在 $0,.5 \mathrm{~s}$ 内往复运行 \$ \qquad \$次.

代数

解析 : $\because$ 周期 $T=\frac{2 \pi}{100 \pi}=\frac{1}{50}(\mathrm{~s}) ， \therefore$ 频率为每秒 50 次，

$\therefore 0,.5$ 秒往复运行 25 次.


Answer: $2 \sin \left(\frac{\pi}{4} x-\frac{\pi}{4}\right)+6$

Question: 7. 据市场调查, 某种商品每件的售价按月份 $x$ 呈 $f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)+B$ 的模型波动, 已知 3 月份达到最高价 8 千元, 7 月份价格最低为 4 千元, 则 $f(x)=$ \$ \qquad \$ , $x=1,2, \cdots, 12$

代数

解析 : 由题意得 $\left\{\begin{array}{l}A+B=8 ， \\ -A+B=4 ，\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}A=2 ， \\ B=6 \end{array}\right.$ 周期 $T=2 \times(7-3)=8$ ，

$\therefore \omega=\frac{2 \pi}{T}=\frac{\pi}{4}, \quad \therefore f(x)=2 \sin \left(\frac{\pi}{4} x+\varphi\right)+6$

又 $\because$ 当 $x=3$ 时， $y=8, \therefore 8=2 \sin \left(\frac{3 \pi}{4}+\varphi\right)+6$

$\therefore \sin \left(\frac{3 \pi}{4}+\varphi\right)=1 . \because|\varphi|<\frac{\pi}{2}, \quad \therefore \varphi=-\frac{\pi}{4}$.

$\therefore f(x)=2 \sin \left(\frac{\pi}{4} x-\frac{\pi}{4}\right)+6$


Answer: $y=-4 \cos \frac{5 \pi}{2} t, t \geqslant 0$

Question: 8. 一物体相对于某一固定位置的位移 $y(\mathrm{~cm})$ 和时间 $t(\mathrm{~s})$ 之间的一组对应值如下表所示, 则可近似地描述该物体的位移 $y(\mathrm{~cm})$ 和时间 $t(\mathrm{~s})$ 之间的关系的一个三角函数关系式为 \$ \qquad \$ .

代数

设 $y=A \sin (\omega t+\varphi)$ ，则从表中可以得到 $A=4 ， T=0,.8 ， \therefore \omega=\frac{2 \pi}{T}=\frac{2 \pi}{0,.8}=\frac{5 \pi}{2} ， \therefore y=$ $4 \sin \left(\frac{5 \pi}{2} t+\varphi\right)$.

又由 $4 \sin \varphi=-4,.0$ ，得 $\sin \varphi=-1$ ，取 $\varphi=-\frac{\pi}{2}$ ，

故 $y=4 \sin \left(\frac{5 \pi}{2} t-\frac{\pi}{2}\right)=-4 \cos \frac{5 \pi}{2} t, t \geqslant 0$.

答案: $y=-4 \cos \frac{5 \pi}{2} t, t \geqslant 0$


Answer: $\{-4,0,2\}$

Question: 13. 函数 $y=\frac{|\sin x|}{\sin x}+\frac{|\cos x|}{\cos x}-\frac{2|\sin x \cos x|}{\sin x \cos x}$ 的值域是

代数

解析：当 $x$ 在第一象限时, $\sin x>0, \cos x>0, y=0$;当 $x$ 在第二象限时, $\sin x>0, \cos x<0, y=2$;当 $x$ 在第三象限时, $\sin x<0, \cos x<0, y=-4$;当 $x$ 在第四象限时, $\sin x<0, \cos x>0, y=2$.


Answer: $-\frac{7}{4} \boldsymbol{m}+\frac{13}{8} \boldsymbol{n}$

Question: 5. 设向量 $m=2 a-3 b, n=4 a-2 b, p=3 a+2 b$, 试用 $\boldsymbol{m}, \boldsymbol{n}$ 表示 $\boldsymbol{p}, \boldsymbol{p}=$

代数

设 $\boldsymbol{p}=x \boldsymbol{m}+y \boldsymbol{n}$ ，则 $3 \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}=x(2 \boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b})+y(4 \boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b})=(2 x+4 y) \boldsymbol{a}+(-3 x-2 y) \boldsymbol{b}$ ，得

<ImageHere>

答案: $-\frac{7}{4} \boldsymbol{m}+\frac{13}{8} \boldsymbol{n}$


Answer: 3

Question: 6. 已知向量 $\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}$ 不共线, 实数 $x, y$ 满足 $(3 x-4 y) \boldsymbol{e}_{1}+(2 x-3 y) \boldsymbol{e}_{2}=6 \boldsymbol{e}_{1}+3 \boldsymbol{e}_{2}$, 则 $x-y=$

代数


Answer: -1

Question: 7. 若向量 $\boldsymbol{a}=\left(x+3, x^{2}-3 x-4\right)$ 与 $\overrightarrow{A B}$ 相等, 其中 $A(1,2), B(3,2)$, 则 $x=$ \$ \qquad \$

代数

$\because A(1,2) Ｂ(3,2), \therefore \overrightarrow{A B}=(2,0)$.

又 $\because \boldsymbol{a}=\overrightarrow{A B}$ ，即 $\left(x+3 ， x^{2}-3 x-4\right)=(2 ， 0)$ ，

$\therefore\left\{\begin{array}{l}x+3=2, \\ x^{2}-3 x-4=0,\end{array}\right.$ 解得 $x=-1$.

答案: -1


Answer:
$\boldsymbol{p}=2 \boldsymbol{a}+3 \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$
$=2(2,1)+3(-1,3)+(1,2)$

$=(4,2)+(-3,9)+(1,2)=(2,13)$.

设 $\boldsymbol{p}=x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}=x(2,1)+y(-1,3)$

$=(2 x-y, x+3 y)$,

$\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线，

<ImageHere>

$\therefore p=\frac{19}{7} a+\frac{24}{7} b$.

Question: 8. 已知 $\boldsymbol{a}=(2,1), \boldsymbol{b}=(-1,3), \boldsymbol{c}=(1,2)$, 求 $\boldsymbol{p}=2 \boldsymbol{a}+3 \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$, 并用基底 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 表示 $\boldsymbol{p}$.

代数

$\boldsymbol{p}=2 \boldsymbol{a}+3 \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$
$=2(2,1)+3(-1,3)+(1,2)$

$=(4,2)+(-3,9)+(1,2)=(2,13)$.

设 $\boldsymbol{p}=x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}=x(2,1)+y(-1,3)$

$=(2 x-y, x+3 y)$,

$\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线，

<ImageHere>

$\therefore p=\frac{19}{7} a+\frac{24}{7} b$.


Answer: -3

Question: 4. 已知向量 $\boldsymbol{a}=(2,6), \boldsymbol{b}=(-1, \lambda)$. 若 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$, 则 $\lambda=$

代数

$\because \boldsymbol{a}=(2,6), \boldsymbol{b}=(-1, \lambda), \boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$,

$\therefore 2 \lambda-6 \times(-1)=0, \quad \therefore \lambda=-3$.

答案: -3


Answer: $\frac{1}{2}$ 或 2

Question: 已知在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{5}-a_{1}=15, a_{4}-a_{2}=6$, 则公比 $q$ 的所有可能的值为

代数


Answer: 14

Question: 已知数列 $\sqrt{3}, 3, \sqrt{15}, \cdots, \sqrt{3(2 n-1)}$, 那么 9 是数列的第项.

代数

由 $\sqrt{3(2 n-1)}=9$. 解之得 $\mathrm{n}=14$由此可知 9 是此数列的第 14 项. 故答案为: 14


Answer: 0

Question: 5. 化简 $\frac{2}{5}(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})-\frac{1}{3}(2 \boldsymbol{a}+4 \boldsymbol{b})+\frac{2}{15}(2 \boldsymbol{a}+13 \boldsymbol{b})=$ \$ \qquad \$

代数


Answer: 3

Question:
8.如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=60^{\circ}, \angle B A C$ 的平分线交 $B C$ 于点 $D$. 若 $A B=4$, 且 $\overrightarrow{A D}=\frac{1}{4} \overrightarrow{A C}+\lambda \overrightarrow{A B}$ $(\lambda \in \mathbf{R})$, 求 $|\overrightarrow{A D}|$.

<ImageHere>

代数

因为 $B ， D ， C$ 三点共线，所以 $\frac{1}{4}+\lambda=1$ ，解得 $\lambda=\frac{3}{4}$ 如图，过点 $D$ 分别作 $A C ， A B$
的平行线交 $A B, A C$ 于点 $M, N$, 则 $\overrightarrow{A N}=\frac{1}{4} \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A M}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}$. 经计算得 $A N=A M=3, A D=3 \sqrt{3}$,即 $|\overrightarrow{A D}|=3 \sqrt{3}$.

<ImageHere>


Answer: $\frac{1}{2}$

Question: 若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{11}=\frac{1}{52}, \frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n}}=5\left(n \in N^{*}\right)$, 则 $a_{1}=$ \$ \qquad \$

代数


Answer: $\frac{1}{2}$

Question: 7.$\frac{\sin 110^{\circ} \sin 20^{\circ}}{\cos ^{2} 155^{\circ}-\sin ^{2} 155^{\circ}}=$

代数


Answer: 2300

Question: 6. 某公司租赁甲、乙两种设备生产 $A, B$ 两类产品, 甲种设备每天能生产 $A$ 类产品 5 件和 $B$ 类产品 10 件, 乙种设备每天能生产 $A$ 类产品 6 件和 $B$ 类产品 20 件. 已知设备甲每天的租赁费为 200 元, 设备乙每天的租赁费为 300 元, 现该公司至少要生产 $A$ 类产品 50 件, $B$ 类产品 140 件, 所需租赁费最少为 \$ \qquad \$元.

代数

设需租低甲种设备 $x$ 台, 乙种设备 $y$ 台, 则 $\left\{\begin{array}{l}5 x+6 y \geqslant 50, \\ 10 x+20 y \geqslant 140, \\ x \in \mathbf{N}^{*}, \\ y \in \mathbf{N}^{*} .\end{array}\right.$

目标函数为 $z=200 x+300 y$.

作出其可行域, 易知当 $x=4, y=5$ 时, $z=200 x+300 y$ 有最小值 2300 元.


Answer: 90

Question: 7. 某公司招收男职员 $x$ 名, 女职员 $y$ 名, $x$ 和 $y$ 需满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}5 x-11 y \geqslant-22, \\ 2 x+3 y \geqslant 9, \\ 2 x \leqslant 11,\end{array}\right.$ 则 $z=10 x+10 y$ 的最大值是 \$ \qquad \$ .

代数

<ImageHere>

该不等式组表示平面区域如图阴影所示, 由于 $x, y \in \mathbf{N}^{*}$, 计算区域内与点 $\left(\frac{11}{2}, \frac{9}{2}\right)$ 最近的整点为 $(5,4)$, 当 $x=5, y=4$ 时, $z$ 取得最大值为 90


Answer: $20 \quad 24$

Question: 8. 某工厂有甲、乙两种产品, 按计划每天各生产不少于 15 吨, 已知生产甲产品 1 吨需煤 9 吨, 电力 4 千瓦, 劳动力 3 个(按工作日计算); 生产乙产品 1 吨需煤 4 吨, 电力 5 千瓦,劳动力 10 个; 甲产品每吨价 7 万元, 乙产品每吨价 12 万元; 但每天用煤量不得超过 300 吨, 电力不得超过 200 千瓦, 劳动力只有 300 个, 当每天生产甲产品 \$ \qquad \$吨,乙产品吨时, 既能保证完成生产任务, 又能使工厂每天的利润最大.

代数

<ImageHere>

设每天生产甲产品 $x$ 吨, 乙产品 $y$ 吨, 总利润为 $S$ 万元,依题意约束条件为:

$$
\left\{\begin{array}{l}
9 x+4 y \leqslant 300 \\
4 x+5 y \leqslant 200 \\
3 x+10 y \leqslant 300 \\
x \geqslant 15 \\
y \geqslant 15
\end{array}\right.
$$

目标函数为 $S=7 x+12 y$.

从图中可以看出, 当直线 $S=7 x+12 y$ 经过点 $A$ 时, 直线的纵截距最大, 所以 $S$ 也取最大值.

解方程组 $\left\{\begin{array}{l}4 x+5 y-200=0, \\ 3 x+10 y-300=0,\end{array}\right.$

得 $A(20,24)$, 故当 $x=20, y=24$ 时,

$S_{\text {max }}=7 \times 20+12 \times 24=428$ (万元).


Answer: 7

Question:
6. 设变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y \geqslant 3, \\ x-y \geqslant-1, \\ 2 x-y \leqslant 3 .\end{array}\right.$ 则目标函数 $z=2 x+3 y$ 的最小值为

## 答案 7

代数

作出可行域如图所示.

<ImageHere>

由图可知, $z=2 x+3 y$ 经过点 $A(2,1)$ 时, $z$ 有最小值, $z$ 的最小值为 7 .


Answer: $(3,8)$

Question: 7. 已知 $-1<x+y<4$ 且 $2<x-y<3$, 则 $z=2 x-3 y$ 的取值范围是 \$ \qquad \$ . (答案用区间表示)

代数

由 $\left\{\begin{array}{l}-1<x+y<4, \\ 2<x-y<3\end{array}\right.$ 得平面区域如图阴影部分所示.

<ImageHere>

由 $\left\{\begin{array}{l}x+y=-1, \\ x-y=3\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l}x=1, \\ y=-2 .\end{array}\right.$

由 $\left\{\begin{array}{l}x+y=4, \\ x-y=2\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l}x=3, \\ y=1 .\end{array}\right.$

$\therefore 2 \times 3-3 \times 1<z=2 x-3 y<2 \times 1-3 \times(-2)$,

即 $3<z<8$, 故 $z=2 x-3 y$ 的取值范围是 $(3,8)$.


Answer: (1)(2)(4)

Question:
已知 $x, y, z$ 满足 $z<y<x$, 且 $x z<0$. 给出下列各式: (1) $x y>x z$; (2) $z(y$

$-\mathrm{x})>0$;

(3) $z y^{2}<x y^{2} ;$

(4) $x z(x-z)<0$. 其中正确式子的序号是

代数

(1) $\because\left\{\begin{array}{c}z<y<x, \\ x z<0\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{c}x>0, \\ z<0, \\ z<y<x\end{array} \Rightarrow x y>x z, \therefore\right.\right.$ (1)正确.

(2) $\because\left\{\begin{array}{c}z<y<x, \\ x z<0\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{c}y-x<0, \\ z<0\end{array} \Rightarrow z(y-x)>0, \therefore\right.\right.$ (2)正确.

(3) $\because z<y<x$ 且 $x z<0, \therefore x>0$ 且 $z<0$.

当 $y=0$ 时, $z y^{2}=x y^{2}$; 当 $y \neq 0$ 时, $z y^{2}<x y^{2} . \therefore$ (3)不正确.

(4) $\because \mathrm{x}>\mathrm{z}, \quad \therefore \mathrm{x}-\mathrm{z}>0 . \because \mathrm{xz}<0, \therefore(\mathrm{x}-\mathrm{z}) \mathrm{xz}<0 . \therefore$ (4)正确.

综上, (1)(2)(4)正确.


Answer: $\{x \mid 2<x \leq 3\}$

Question: 已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-5 x+6 \leq 0\right\}, B=\{x|| 2 x-1 \mid>3\}$, 则集合 $A \cap B=$

代数


Answer: $n^{2}-2 n+21$

Question: 10. 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=20, a_{n+1}=a_{n}+2 n-1, n \in \mathbf{N}^{*}$, 则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式 $a_{n}=$

代数


Answer: $\frac{2}{n}$

Question: 8. 在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{n+1}=\frac{2 a_{n}}{2+a_{n}}$, 对所有正整数 $n$ 都成立, 且 $a_{1}=2$, 则 $a_{n}=$

代数


Answer:
<ImageHere>
当 $z>0$, 且 $y=\frac{z}{x}$ 的图象过点 $\mathrm{C}$ 时, $z$ 取最大值 1 ; 当 $z<0$, 且 $y=\frac{z}{x}$ 的图象与直线 $2 x-y+1=0$相切时, $z$ 取最小值 $-\frac{1}{8}$; 当 $x=0$ 时, $z=0$. 综上, 目标函数 $z=x y$ 的取值范围为 $\left[-\frac{1}{8}, 1\right]$.

Question: 设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x \leq 0, \\ x-y \leq 0, \\ 2 x-y+1 \geq 0,\end{array}\right.$ 则目标函数 $\mathrm{z}=x y$ 的取值范围为 .

代数

<ImageHere>
当 $z>0$, 且 $y=\frac{z}{x}$ 的图象过点 $\mathrm{C}$ 时, $z$ 取最大值 1 ; 当 $z<0$, 且 $y=\frac{z}{x}$ 的图象与直线 $2 x-y+1=0$相切时, $z$ 取最小值 $-\frac{1}{8}$; 当 $x=0$ 时, $z=0$. 综上, 目标函数 $z=x y$ 的取值范围为 $\left[-\frac{1}{8}, 1\right]$.


Answer:
$a \in\left(0, \frac{1}{2}\right]$ 解析 作出不等式组所表示的平面区域, 如图所示, 由 $\left\{\begin{array}{l}2 x-y+2=0, \\ 2 x+y=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}, \\ y=1,\end{array}\right.$则 $A\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$, 当函数 $y=\log _{a}(x+1)$ 的图象经过 $A$ 点时, $1=\log _{a} \frac{1}{2} \Rightarrow a=\frac{1}{2}$, 根据对数函数的图象与性质可知, 要使得函数 $y=\log _{a}(x+1)$ 的图象经过不等式组所表示的平面区域, 则实数 $a$ 的取值范围是 $a \in\left(0, \frac{1}{2}\right]$.

<ImageHere>

Question: 若函数 $y=\log _{a}(x+1)(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象经过不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x \geq-1, \\ 2 x-y+2 \leq 0, \\ 2 x+y \leq 0\end{array}\right.$ 所表示的平面区域，则 $a$ 的取值范围是

代数

$a \in\left(0, \frac{1}{2}\right]$ 解析 作出不等式组所表示的平面区域, 如图所示, 由 $\left\{\begin{array}{l}2 x-y+2=0, \\ 2 x+y=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}, \\ y=1,\end{array}\right.$则 $A\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$, 当函数 $y=\log _{a}(x+1)$ 的图象经过 $A$ 点时, $1=\log _{a} \frac{1}{2} \Rightarrow a=\frac{1}{2}$, 根据对数函数的图象与性质可知, 要使得函数 $y=\log _{a}(x+1)$ 的图象经过不等式组所表示的平面区域, 则实数 $a$ 的取值范围是 $a \in\left(0, \frac{1}{2}\right]$.

<ImageHere>


Answer: $\left[\frac{1}{5},+\infty\right)$.

Question: 若对任意 $x>0, \frac{x}{x^{2}+3 x+1} \leq a$ 恒成立, 则 $a$ 的取值范围是

代数


Answer: $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$

Question: 6. 若 $\beta \in[0,2 \pi)$, 且 $\sqrt{1-\cos ^{2} \beta}+\sqrt{1-\sin ^{2} \beta}=\sin \beta-\cos \beta$, 则 $\beta$ 的取值范围是

度量几何学

$\because \sqrt{1-\cos ^{2} \beta}+\sqrt{1-\sin ^{2} \beta}=\sqrt{\sin ^{2} \beta}+\sqrt{\cos ^{2} \beta}=|\sin \beta|+|\cos \beta|=\sin \beta-\cos \beta ， \therefore \sin$ $\beta \geqslant 0, \cos \beta \leqslant 0, \therefore \beta$ 的终边在第二象限或在 $x$ 轴负半轴或在 $y$ 轴正半轴. $\because 0 \leqslant \beta<2 \pi$ ， $\therefore \beta \in\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$.

答案: $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$


Answer: $\frac{1}{2}$

Question: 13. 已知 $\alpha$ 为第二象限角, $\sin \alpha=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$, 则 $\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=$

度量几何学

由题意知, $\cos \alpha=-\sqrt{1-\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5}\right)^{2}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$,
$\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)}{\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)}=\frac{\cos \alpha}{-\sin \alpha}=-\frac{-\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}=\frac{1}{2}$.

答案: $\frac{1}{2}$


Answer: $\sqrt{2}+1$

Question: 7. 已知 $f(n)=\sin \frac{n \pi}{4}(n \in \mathbf{Z})$, 则 $f(1)+f(2)+\cdots+f(100)=$

度量几何学


Answer: $2 \sqrt{3}$

Question: 7. 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $a=3 \sqrt{2}, \cos C=\frac{1}{3}, S_{\triangle A B C}=4 \sqrt{3}$, 则 $b=$

度量几何学

$\because \cos C=\frac{1}{3}, \therefore \sin C=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$,

$\therefore \frac{1}{2} a b \sin C=4 \sqrt{3}, \therefore b=2 \sqrt{3}$.


Answer: $-\frac{23 \pi}{3}$

Question: 6.时钟从 6 时 50 分走到 10 时 40 分, 分针旋转了弧度。

度量几何学

时钟共走了 3 小时 50 分钟, 分针旋转了 $-\left(3 \times 2 \pi+\frac{5}{6} \times 2 \pi\right)=-\frac{23 \pi}{3}$

答案: $-\frac{23 \pi}{3}$


Answer: $47 \mathrm{~m}$

Question: 如图, 公路弯道处 $\widehat{A B}$ 的长 $l=$ (精确到 $1 \mathrm{~m}$ )<ImageHere>

度量几何学

$l=\frac{\pi}{3} \times 45 \approx 47(\mathrm{~m})$.


Answer:
(1) $\because-1480^{\circ}=-\frac{74 \pi}{9}=-10 \pi+\frac{16}{9} \pi$,

又 $0<\frac{16}{9} \pi<2 \pi, \quad \therefore-1480^{\circ}=\frac{16}{9} \pi+2 \times(-5) \pi$.

(2) $\because \beta$ 与 $\alpha$ 终边相同, $\therefore \beta=\alpha+2 k \pi=\frac{16}{9} \pi+2 k \pi(k \in \mathbf{Z})$.
当 $k=-1$ 时, $\beta=\frac{16}{9} \pi-2 \pi=-\frac{2}{9} \pi$,

当 $k=-2$ 时, $\beta=\frac{16}{9} \pi-4 \pi=-\frac{20}{9} \pi$

Question:
9.(1)把 $-1480^{\circ}$ 写成 $\alpha+2 k \pi(k \in \mathbf{Z})$ 的形式, 其中 $0 \leqslant \alpha<2 \pi$;

(2)若 $\beta \in[-4 \pi, 0]$, 且 $\beta$ 与(1)中 $\alpha$ 的终边相同, 求 $\beta$.

度量几何学


Answer: -8

Question: 14. 已知角 $\theta$ 的顶点为坐标原点, 始边为 $x$ 轴的正半轴, 若 $(4, y)$ 是角 $\theta$ 终边上一点, 且 $\sin \theta$ $=-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$, 则 $y=$

度量几何学


Answer: $(-2,3]$

Question:
8. 已知角 $\alpha$ 的终边经过点 $(3 a-9, a+2)$, 且 $\sin \alpha>0, \cos \alpha \leqslant 0$, 则实数 $a$ 的取值范围是

解析：由 $\sin \alpha>0, \cos \alpha \leqslant 0$ 可知 $\alpha$ 的终边在第二象限或 $y$ 轴正半轴上,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}3 a-9 \leqslant 0 \\ a+2>0\end{array}\right.$,

$\therefore-2<a \leqslant 3$.

度量几何学


Answer: $10 \mathrm{~J}$

Question: 6. 一个重 $20 \mathrm{~N}$ 的物体从倾斜角为 $30^{\circ}$, 斜面长 $1 \mathrm{~m}$ 的光滑斜面顶端下滑到底端, 则重力做的功是 \$ \qquad \$ .

度量几何学

$\because$ 物体沿斜面下滑的分力大小 $|\boldsymbol{F}|=\frac{1}{2} \times 20 \mathrm{~N}=10 \mathrm{~N}, \therefore W=|\boldsymbol{F}| \cdot|\boldsymbol{s}|=10 \mathrm{~J}$.

答案: $10 \mathrm{~J}$


Answer: $4 \sqrt{5}$

Question: 7. 在水流速度为 4 千米/时的河流中, 有一艘船沿与水流垂直的方向以 8 千米/时的速度航行,则船实际航行的速度的大小为 \$ \qquad \$千米/时.

度量几何学

用 $v_{0}$ 表示水流速度， $v_{1}$ 表示与水流垂直的方向的航行速度，则 $v_{0}+v_{1}$ 表示船实际航行速度. $\because\left|v_{0}\right|=4 ，\left|v_{1}\right|=8 ，$

$\therefore\left|v_{0}+v_{1}\right|=\sqrt{4^{2}+8^{2}}=4 \sqrt{5}$.

答案: $4 \sqrt{5}$


Answer: $1: 2$

Question: 8. 设 $O$ 是 $\triangle A B C$ 内部一点, 且 $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}=-2 \overrightarrow{O B}$, 则 $\triangle A O B$ 与 $\triangle A O C$ 的面积之比为 \$ \qquad \$

度量几何学

<ImageHere>

<ImageHere>

又 $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}=-2 \overrightarrow{O B}$ ，所以 $\overrightarrow{O D}=-\overrightarrow{O B}$ ，即 $O$ 为 $B D$ 的中点，即 $\triangle A O B$ 与 $\triangle A O C$ 的面积之

比为 $1: 2$.

答案: $1: 2$


Answer: $-\frac{5}{7}$

Question: 6. 若 $|\boldsymbol{a}|=5, \boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 的方向相反, 且 $|\boldsymbol{b}|=7$, 则 $\boldsymbol{a}=$ \$ \qquad \$ b.

度量几何学

$\because \boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 方向相反， $\therefore$ 设 $\boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{b}(\lambda<0) ， \therefore|\boldsymbol{a}|=|\lambda||\boldsymbol{b}|$ ，

$\therefore 5=|\lambda| \times 7, \therefore|\lambda|=\frac{5}{7}, \quad \therefore \lambda= \pm \frac{5}{7}$.

又 $\because \lambda<0, \quad \therefore \lambda=-\frac{5}{7}$.

答案: $-\frac{5}{7}$


Answer: $\frac{7 \pi}{4}$

Question: 13. 已知 $A, B$ 均为针角且 $\sin A=\frac{\sqrt{5}}{5}, \sin B=\frac{\sqrt{10}}{10}$, 则 $A+B$ 的大小为

度量几何学

$\because A, B$ 均为钝角且 $\sin A=\frac{\sqrt{5}}{5} ， \sin B=\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，

$\therefore \cos A=-\sqrt{1-\sin ^{2} A}=-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$,

$\cos B=-\sqrt{1-\sin ^{2} B}=-\frac{3 \sqrt{10}}{10}$.

$\therefore \cos (A+B)=\cos A \cos B-\sin A \sin B=-\frac{2 \sqrt{5}}{5} \times\left(-\frac{3 \sqrt{10}}{10}\right)-\frac{\sqrt{5}}{5} \times \frac{\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

又 $\because \frac{\pi}{2}<A<\pi ， \frac{\pi}{2}<B<\pi ， \therefore \pi<A+B<2 \pi$.

$\therefore A+B=\frac{7 \pi}{4}$.

答案: $\frac{7 \pi}{4}$


Answer: $\frac{\sqrt{2}}{10}$

Question: 7. 设 $\alpha$ 为锐角, 若 $\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{3}{5}$, 则 $\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{12}\right)=$

度量几何学

$\because \alpha \in\left(0 ， \frac{\pi}{2}\right) ， \alpha+\frac{\pi}{6} \in\left(\frac{\pi}{6} ， \frac{2}{3} \pi\right)$

$\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{3}{5}, \sin \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{4}{5}$

$\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{12}\right)=\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right) \cos \frac{\pi}{4}-\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right) \sin \frac{\pi}{4}=\frac{4}{5} \times \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{3}{5} \times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{10}$.

答案: $\frac{\sqrt{2}}{10}$


Answer: $\frac{8 \sqrt{2}-3}{15}$

Question: 8. 已知 $0<\alpha<\frac{\pi}{2}<\beta<\pi, \cos \left(\beta-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{3}, \sin (\alpha+\beta)=\frac{4}{5}$, 则 $\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=$

度量几何学

解析 : $\because 0<\alpha<\frac{\pi}{2}<\beta<\pi$ ，

$\therefore \frac{\pi}{4}<\beta-\frac{\pi}{4}<\frac{3}{4} \pi, \quad \frac{\pi}{2}<\alpha+\beta<\frac{3 \pi}{2}$ ，

$\therefore \sin \left(\beta-\frac{\pi}{4}\right)>0, \cos (\alpha+\beta)<0$.

$\because \cos \left(\beta-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{3}, \sin (\alpha+\beta)=\frac{4}{5}$,

$\therefore \sin \left(\beta-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{2 \sqrt{2}}{3}, \cos (\alpha+\beta)=-\frac{3}{5}$ ，

$\therefore \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\cos \left[(\alpha+\beta)-\left(\beta-\frac{\pi}{4}\right)\right]$

$=\cos (\alpha+\beta) \cos \left(\beta-\frac{\pi}{4}\right)+\sin (\alpha+\beta) \cdot \sin \left(\beta-\frac{\pi}{4}\right)$

$=-\frac{3}{5} \times \frac{1}{3}+\frac{4}{5} \times \frac{2 \sqrt{2}}{3}=\frac{8 \sqrt{2}-3}{15}$.


Answer: $-\frac{7 \pi}{4}$

Question: 10. 已知 $\tan (\alpha-\beta)=\frac{1}{2}, \tan \beta=-\frac{1}{7}$, 且 $\alpha, \beta \in(-\pi, 0)$, 求 $2 \alpha-\beta$ 的值.

度量几何学

$\because \alpha=(\alpha-\beta)+\beta ， \tan (\alpha-\beta)=\frac{1}{2} ， \tan \beta=-\frac{1}{7}$ ，

$\therefore \tan \alpha=\tan [(\alpha-\beta)+\beta]=\frac{\tan (\alpha-\beta)+\tan \beta}{1-\tan (\alpha-\beta) \tan \beta}$

$=\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{7}}{1+\frac{1}{2} \times \frac{1}{7}}=\frac{1}{3}$.

又 $2 \alpha-\beta=\alpha+(\alpha-\beta)$
$\therefore \tan (2 \alpha-\beta)=\tan [\alpha+(\alpha-\beta)]$

$=\frac{\tan \alpha+\tan (\alpha-\beta)}{1-\tan \alpha \tan (\alpha-\beta)}=\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}}=1$.

$\because \tan \alpha=\frac{1}{3}>0, \tan \beta=-\frac{1}{7}<0, \alpha, \beta \in(-\pi, 0)$,

$\therefore \alpha \in\left(-\pi,-\frac{\pi}{2}\right), \beta \in\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$,

$\therefore \alpha-\beta \in(-\pi, 0)$,

而 $\tan (\alpha-\beta)=\frac{1}{2}>0$ ，则 $\alpha-\beta \in\left(-\pi ，-\frac{\pi}{2}\right)$ ，

结合 $\alpha \in\left(-\pi ，-\frac{\pi}{2}\right)$ ，则有 $2 \alpha-\beta \in(-2 \pi ，-\pi)$ ，

$\therefore 2 \alpha-\beta=-\frac{7 \pi}{4}$.


Answer: 0 或 $-\frac{4}{3}$

Question: 13. 若 $\sin \frac{\alpha}{2}=\sqrt{1+\sin \alpha}-\sqrt{1-\sin \alpha}, 0 \leqslant \alpha \leqslant \pi$, 则 $\tan \alpha$ 的值是

度量几何学

解析：两边平方得 $\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}=2-2 \sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}$ ，

$\therefore \frac{1-\cos \alpha}{2}=2-2|\cos \alpha| \cdot(1)$

当 $0 \leqslant \alpha \leqslant \frac{\pi}{2}$ 时，(1)式为 $\frac{1-\cos \alpha}{2}=2-2 \cos \alpha$ ，

$\therefore \cos \alpha=1$ ，

$\therefore \alpha=0, \quad \therefore \tan \alpha=0$.
当 $\frac{\pi}{2}<\alpha \leqslant \pi$ 时，(1)式为 $\frac{1-\cos \alpha}{2}=2+2 \cos \alpha$ ，

$\therefore \cos \alpha=-\frac{3}{5}$,

$\therefore \sin \alpha=\frac{4}{5} . \therefore \tan \alpha=-\frac{4}{3}$.

综上, $\tan \alpha$ 的值是 0 或 $-\frac{4}{3}$.


Answer: 2

Question: 6.$ \frac{3-\sin 70^{\circ}}{2-\cos ^{2} 10^{\circ}}=$

度量几何学


Answer: $-\frac{1}{7}$

Question: 8. 已知 $\alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$, 且 $\sin \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$, 则 $\tan \left(2 \alpha+\frac{\pi}{4}\right)=$

度量几何学

因为 $\alpha \in\left(\frac{\pi}{2} ， \pi\right)$ ，且 $\sin \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，所以 $\cos \alpha=-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，所以 $\tan \alpha=-\frac{1}{2}$ ，由二倍角公

式得 $\tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha}=-\frac{4}{3} ， \tan \left(2 \alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tan 2 \alpha+1}{1-\tan 2 \alpha}=-\frac{1}{7}$.

答案: $-\frac{1}{7}$


Answer: $y=\frac{1}{4} \sin x$

Question: 6. 将函数 $y=\frac{1}{2} \sin 2 x$ 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍, 然后纵坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$,则所得图象的函数解析式为

变换几何

解析 : $y=\frac{1}{2} \sin 2 x$ 的图象 $\frac{\text { 横坐标伸长为 }}{\text { 原来的 } 2 \text { 倍 }}$

$y=\frac{1}{2} \sin 2\left(\frac{1}{2} x\right)=\frac{1}{2} \sin x$ 的图象 $\xrightarrow{\text { 纵坐标缩短为 }}$

原来的 $\frac{1}{2}$
$y=\frac{1}{4} \sin x$ 的图象，即所得图象的解析式为 $y=\frac{1}{4} \sin x$.


Answer: $\lambda=\frac{1}{4}$ ，$\mu=\frac{1}{3}$.

Question: 14. 已知 $\triangle A B C$ 内一点 $P$ 满足 $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A B}+\mu \overrightarrow{A C}$, 若 $\triangle P A B$ 的面积与 $\triangle A B C$ 的面积之比为 $1: 3$, $\triangle P A C$ 的面积与 $\triangle A B C$ 的面积之比为 $1: 4$, 求实数 $\lambda, \mu$ 的值.

组合几何学

如图，过点 $P$ 作 $P M / / A C ， P N / / A B$ ，则 $\overrightarrow{A P}=\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{A N}$ ，所以 $\overrightarrow{A M}=\lambda \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A N}=\mu \overrightarrow{A C}$.

<ImageHere>

作 $P G \perp A C$ 于点 $G, B H \perp A C$ 于点 $H$.

因为 $\frac{S_{\triangle P A C}}{S_{\triangle A B C}}=\frac{1}{4}$, 所以 $\frac{P G}{B H}=\frac{1}{4}$.

又因为 $\triangle P N G \sim \triangle B A H$ ，所以 $\frac{P G}{B H}=\frac{P N}{A B}=\frac{1}{4}$ ，

即 $\frac{A M}{A B}=\frac{1}{4}$ ，所以 $\lambda=\frac{1}{4}$ ，同理 $\mu=\frac{1}{3}$.


Answer: 0

Question:
8. 下列叙述中正确的个数是

(1)若 $a=b$, 则 $3 a>2 b$;

(2)若 $a / / b$, 则 $a$ 与 $b$ 的方向相同或相反;

(3)对任一向量 $a, \frac{a}{|a|}$ 是一个单位向量.

逻辑题

向量不能比较大小, (1)错误; 由于零向量与任一向量共线, 且零向量的方向是任意的, 故(2)错误; 对于(3), 当 $a=0$ 时, $\frac{a}{|a|}$ 无意义, 故(3)错误.

答案: 0


Answer:
(3)(1)同向不等式不具有可乘性, 如: $2>1,-1>-2$, 则 $2 \times(-1)=1 \times(-2)$,

故错误. (2)若 $\frac{c}{a}>\frac{c}{b}$, 则 $\mathrm{a}<\mathrm{b}$, 错误, 如: $\frac{1}{2}>\frac{1}{-3}, 2>-3$. (3)若 $\mathrm{a}>\mathrm{b}$, 则 $\mathrm{a} \cdot 2^{\mathrm{c}}>\mathrm{b} \cdot 2^{\mathrm{c}}$, 根据不等式的性质可知正确. 故正确命题序号为(3).

Question: 已知 $\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{R}$, 有以下命题: (1)若 $\mathrm{a}>\mathrm{b}, \mathrm{c}>d$, 则 $\mathrm{ac}>\mathrm{b} d$; (2) 若 $\frac{c}{a}>\frac{c}{b}$,则 $\mathrm{a}<\mathrm{b}$; (3)若 $\mathrm{a}>\mathrm{b}$ ，则 $\mathrm{a} \cdot 2^{\mathrm{c}}>\mathrm{b} \cdot 2^{\mathrm{c}}$. 则正确命题的序号为

逻辑题

(3)(1)同向不等式不具有可乘性, 如: $2>1,-1>-2$, 则 $2 \times(-1)=1 \times(-2)$,

故错误. (2)若 $\frac{c}{a}>\frac{c}{b}$, 则 $\mathrm{a}<\mathrm{b}$, 错误, 如: $\frac{1}{2}>\frac{1}{-3}, 2>-3$. (3)若 $\mathrm{a}>\mathrm{b}$, 则 $\mathrm{a} \cdot 2^{\mathrm{c}}>\mathrm{b} \cdot 2^{\mathrm{c}}$, 根据不等式的性质可知正确. 故正确命题序号为(3).


Answer: ： 逆否

Question: 6. 若命题 $p$ 的逆命题是 $q$, 命题 $p$ 的否命题是 $v$, 则 $q$ 是 $v$ 的命题.

逻辑题


Answer: ：逆否命题

Question: 7. 给出命题: 若函数 $y=f(x)$ 是幂函数, 则函数 $y=f(x)$ 的图象不过第四象限. 在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中, 是真命题的是

逻辑题


Answer: ：(2)(4)

Question:
8. 有下列四个命题:

(1) “若 $\angle A=60^{\circ}$, 则 $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ” 的逆命题;

(2) “若 $\angle A=\angle B$, 则 $\sin A=\sin B$ ” 的逆否命题;

(3) “若 $a+b$ 是无理数, 则 $a, b$ 都是无理数” 的逆命题;

(4) “若 $x^{2}<4$, 则 $-2<x<2$ ” 的逆否命题.

其中真命题的序号是 \$ \qquad \$

逻辑题


Answer: : 答案 :$\exists x_{0} \in \mathbf{R}$, 使 $\frac{1}{x_{0}-2}>0$ 或 $x_{0}-2=0$

Question: 5. 若命题 $p: \forall x \in \mathbf{R}, \frac{1}{x-2}<0$, 则綈 $p$ :

逻辑题


Answer: : $[-8,+\infty)$

Question: 6. 已知命题: “存在 $x \in[1,2]$, 使 $x^{2}+2 x+a \geqslant 0$ ” 为真命题, 则 $a$ 的取值范围是

逻辑题


Answer: 1473

Question: 9. 在 100 内所有能被 3 整除但不能被 7 整除的正整数之和是

组合数学


Answer: 55

Question: 3. 著名的斐波那契数列, 因数学家列昂纳多 - 斐波那契以兔子繁殖为例而引入, 故还称为 “兔子数列”,它满足: $a_{1}=, a_{2}=1$, 且 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}\left(n \in N^{*}\right)$, 则 $a_{10}=$

组合数学


Answer: $(1+q)^{12}-1$

Question: 10. 某工厂月生产总值的平均增长率为 $q$, 则该工厂的年平均增长率为

计数


Answer: -30 元

Question: 若银行账户余额增加 50 元, 记作“ +50 元”, 那么银行账户余额减少 30 元记作 \$ \qquad \$ .

算术

如果收入 50 元，记作 +50 元，那么支出 30 元记作 -30 元.故答案为: -30 元.


Answer: -14

Question: 已知 $a, b$ 均为有理数, 现我们定义一种新的运算, 规定: $a \# b=a^{2}+a b-5$, 例如: $1 \# 2=1^{2}+1 \times 2$ $-5=-2$, 则 $(-3) \# 6$ 的值是

算术


Answer: $\pm 4$

Question: 整数 $a, b, c, d$ 的绝对值均小于 5 , 且满 $1000 a+100 b^{2}+10 c^{3}+d^{4}=2021$, 则 $a b c d$的值为 \$ \qquad \$ .

算术

$\because 1000 a+100 b^{2}+10 c^{3}+d^{4}=2021$, 整数 $a 、 b 、 c 、 d$ 的绝对值均小于 5 ,

$\therefore$ 个位上的 1 一定为 $\mathrm{d}^{4}$ 产生,

$\because( \pm 3)^{4}=81,( \pm 13)^{4}=81$,

$\therefore \mathrm{d}= \pm 3$ 或 $\mathrm{d}= \pm 1$,

(1) 当 $\mathrm{d}= \pm 1, \mathrm{~d}^{4}=1$,

$\therefore 1000 \mathrm{a}+100 \mathrm{~b}^{2}+10 \mathrm{c}^{3}=2020$,

$\therefore 100 \mathrm{a}+10 \mathrm{~b}^{2}+\mathrm{c}^{3}=202$,

$\therefore$ 个位上的 2 由 $\mathrm{c}^{3}$ 产生,
$\therefore c^{3}=2$ 或 -8,

$\because c$ 的绝对值小于 5 ,

$\therefore \mathrm{c}=-2$,

$\therefore 100 a+10 b^{2}-8=202$,

$\therefore 100 \mathrm{a}+10 \mathrm{~b}^{2}=210$,

即 $10 a+b^{2}=21$,

$\therefore$ 此时个位上的 1 一定是 $\mathrm{b}^{2}$ 产生的,

$\because$ 绝对值小于 5 的整数中, 只有 $( \pm 1)^{2}=1$,

$\therefore \mathrm{b}= \pm 1$,

将 $b= \pm 1$ 代入 $10 a+b^{2}=21$,

解得 $a=2$,

$\therefore \mathrm{a}=2, \mathrm{~b}= \pm 1, \mathrm{c}=-2, \mathrm{~d}= \pm 1$,

$\therefore$ abcd $=\left\{\begin{array}{c}2 \times 1 \times(-2) \times 1=-4 \\ 2 \times(-1) \times(-2) \times 1=4 \\ 2 \times 1 \times(-2) \times(-1)=4 \\ 2 \times(-1) \times(-2) \times(-1)=-4\end{array}\right.$,

$\therefore \mathrm{abcd}= \pm 4$,

当 $d= \pm 3$ 时,$d^{4}=81$,

$1000 a+100 b^{2}+10 c^{3}=1940$,

即 $100 a+10 b+c^{3}=194$,

$\because$ 绝对值小于 5 的整数中, 只有 $4^{3}=64$,

$\therefore \mathrm{c}=4$,

$\therefore 100 \mathrm{a}+10 \mathrm{~b}^{2}=130$,

即 $10 a+b^{2}=13 ，$

$\because$ 绝对值小于 5 的整数中, 不存在某个数的平方的个位是 3 或 7 ,

$\therefore \mathrm{d}= \pm 3$ 不符合题意,

综上所述, abcd 的值为 $\pm 4$,

故答案为: $\pm 4$.


Answer: 7

Question: : $3-3 \div\left(-\frac{3}{2}\right) \times 2=$

算术

原式 $=3-3 \times\left(-\frac{2}{3}\right) \times 2=3+2 \times 2=7$,

故答案为: 7 .


Answer: -4

Question: $\mathrm{a}$ 与 $\mathrm{b}$ 互为倒数, $\mathrm{c}$ 是最大的负整数. $|m|=2$, 则 $a b+c-m^{2}$ 的值为

算术

$\because a$ 与 $b$ 互为倒数, $\mathrm{c}$ 是最大的负整数, $|\mathrm{m}|=2$,

$\therefore a b=1, \quad c=-1, \quad m= \pm 2$,

$\therefore a b+c-m^{2}$

$=1-1-4$

$=-4$.

故答案为: -4 .


Answer: 8

Question: 昆虫从点 $\mathrm{A}$ 处出发, 以每分钟 2 米的速度在一条直线上运动, 它先前进 1 米, 再后退 2 米, 又前进 3 米, 再后退 4 米, ... 依此规律继续走下去, 则运动 1 小时时这只昆虫与 $\mathrm{A}$ 点相距米.

算术

1小时 $=60$ 分,

规定昆虫每前进一次和后退一次为一运动周期, 则设昆虫的运动周期数为 $n$, 每一周期所用总时间为 $t$.

设每周期前进的距离为 $S$ ，则 $s=2(n-1)+1=2 n-1$ ；

由题意可得: $t=2(n-1)+1.5=2 n-0.5$;

假设昆虫运动所用总时间为 $\mathrm{T}$; 则 $T=(2 \times 1-0.5)+(2 \times 2-0.5)+(2 \times 3-0.5)+\cdots+(2 \times n-$ $0.5)=2(1+2+3+\cdots+n)-0.5 n=n^{2}+0.5 n$;

当 $T=60$ 分时, 代入上式中可得 $n=7$ 但还剩余 7.5 分钟, 由公式 $t=2(n-1)+1.5=2 n-0.5$ 可得第 8 周需要 15.5 分钟, 但是每一周期中后退时间比前进时间多 0.5 分钟, 所以在第 8 周期中前进时间为 7.5 分钟, 后退时间为 8 分钟.

由于运动一个周期后退一米, 所以运动 7 个周期就后退 7 米, 由于在 60 分钟内运动完 7 周期后正好剩余 7.5 分钟, 这样在第 8 周期就正好前进的距离 $S=2 \times 8-1=15$ 米, 故运动 1 小时时这只昆虫与 $A$ 点相距为 $15-7=8$ 米.

故答案为: 8


Answer: 0

Question: 计算: $\left|\frac{1}{2018}-\frac{1}{2017}\right|+\left|\frac{1}{2017}-\frac{1}{2016}\right|-\left|\frac{1}{2018}-\frac{1}{2016}\right|=$

算术


Answer: 1970

Question:
一个小球落在数轴上的某点 $P_{0}$, 第一次从点 $P_{0}$ 向左跳 1 个单位长度到点 $P_{1}$, 第二次从点 $P_{1}$ 向右跳 2 个单位长度到点 $P_{2}$, 第三次从点 $P_{2}$ 向左跳 3 个单位长度到点 $P_{3}$, 第四次从点 $P_{3}$
向右跳 4 个单位长度到点 $P_{4}, \ldots$, 按以上规律跳了 100 次时, 它落在数轴上的点 $P_{100}$ 所表示的数恰好是 2020, 则这个小球的初始位置点 $P_{0}$ 所表示的数是 \$ \qquad \$ .

算术


Answer: $\pm 2 ;-1$

Question: 如果 $x^{2}=64$, 那么 $\sqrt[3]{x}=$ \$ \qquad \$ , 最小正整数与最大负整数的积等于 \$ \qquad \$ .

算术

$\because \mathrm{x}^{2}=64$,

$\therefore \mathrm{x}= \pm 8$

$\therefore \sqrt[3]{-8}=-2, \sqrt[3]{8}=2$

最小正整数与最大负整数的积等于 $1 \times(-1)=-1$.

故答案为: $\pm 2,-1$.


Answer: $\pm 3$

Question: 对于有理数 $a, \mathrm{~b}$, 定义 $\min \{a, \mathrm{~b}\}$ 的含义为: 当 $a<\mathrm{b}$ 时, $\min \{a, \mathrm{~b}\}=a$ ， 当 $a>b$ 时， $\min \{a, \mathrm{~b}\}=b$. 例如: $\min \{1,-2\}=-2, \min \{3,-1\}=-1$. 已知 $\min \{\sqrt{21}, a\}=\sqrt{21}$, $\min \{\sqrt{21}, \mathrm{~b}\}=\mathrm{b}$, 且 $a$ 和 $\mathrm{b}$ 为两个连续正整数, 则 $a+b$ 的平方根为 \$ \qquad \$ .

算术

$\because \min \{\sqrt{21}, a\}=\sqrt{21}, \min \{\sqrt{21}, b\}=b, \mathrm{a}, \mathrm{b}$ 为两个连续的正整数, $\therefore 4<\sqrt{21}<5$
$\therefore \mathrm{a}=4, \mathrm{~b}=5$

$\therefore \mathrm{a}+\mathrm{b}=4+5=9$,

$\therefore \mathrm{a}+\mathrm{b}$ 的平方根为 $\pm 3$.

故答案为: $\pm 3$.


Answer: (4) (5)

Question: 给出下列判断: (1)若 $|a|=a$ ，则 $a>0$ ； (2)有理数包括整数、 0 和分数; (3)任何正数都大于它的倒数; (4) 代数式 $a^{2}+1$ 的值永远是正的; (5) $\frac{\sqrt{5}-1}{2}>\frac{1}{2}$; 其中判断正确的有 \$ \qquad \$ ( 填写序号即可）

算术

(1)若 $|a|=a ，$ 则 $a \geqslant 0 ，$ 本说法错误;

(2)有理数包括整数和分数, 本说法错误;

(3)小于 1 的正数都大于它的倒数, 本说法错误;

(4) $\because a^{2} \geqslant 0$

$\therefore$ 代数式 $a^{2}+1$ 的值永远是正的, 本说法正确;

(5) $\because 2<\sqrt{5}<3$

$\therefore 1<\sqrt{5}-1<2$

$\therefore \frac{\sqrt{5}-1}{2}>\frac{1}{2}$, 本说法正确;

故答案为: (4)(5).


Answer: $\frac{2}{3}$

Question: 我们知道, 无限循环小数都可以转化为分数.例如: 将 $0 . \dot{3}$ 转化为分数时, 可设 $0 . \dot{3}=x$, 则 $x=$ $0.3+\frac{1}{10} x$, 解得 $x=\frac{1}{3}$, 即 $0 . \dot{3}=\frac{1}{3}$. 仿此方法, 将 $0 . \dot{6}$ 化成分数是 \$ \qquad \$

算术


Answer: $9 ; 4 ; 2$

Question: 计算: $(-3)^{2}=$ \$ \qquad \$ , $\sqrt{16}=$ , $\sqrt[3]{8}=$

算术


Answer: 例: $-\sqrt{2}+\sqrt{2}=0$ (答案不唯一)

Question: 试举一例, 说明“两个无理数的和仍是无理数” 是错误的: \$ \qquad \$

算术

如 $-\sqrt{2}+\sqrt{2}=0$, 答案不唯一.

$\therefore$ 两个无理数的和仍是无理数是错误的。

故答案为: $-\sqrt{2}+\sqrt{2}=0$ (答案不唯一).


Answer: $\frac{2}{7}$

Question: 两个不相等的实数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$, 定义一种新的运算: $a * b=\frac{\sqrt{a+b}}{a-b}$, 例如: $3 * 2=\frac{\sqrt{3+2}}{3-2}=\sqrt{5}$, 那么 $15 *(6 * 3)=$ \$ \qquad \$

算术


Answer: ), (4)

Question: left[x\right.$ )表示小于 $x$ 的最大整数, 如 $[2.3)=2,[-4)=-5$, 则下列判断: (1) $\left[-8 \frac{3}{5}\right)=-8$; (2) $[x)-x$ 有最大值是 0 ; (3) $[x)-x$ 有最小值是 -1 ; (4) $x-1 \leq[x)<x$, 其中正确的是 \$ \qquad \$ (填编号) .

算术

由定义知 $[\mathrm{x})<\mathrm{x} \leq[\mathrm{x})+1$,

(1) $\left[-8 \frac{3}{5}\right)=-9$ (1)不正确,

(2) $[x$ )表示小于 $x$ 的最大整数, $[x)<x,[x)-x<0$ 没有最大值, (2)不正确

(3) $x \leq[x)+1,[x)-x \geq-1,[x)-x$ 有最小值是 -1 , (3)正确,

(4) 由定义知 $[x)<x \leq[x)+1$,

由 $\mathrm{x} \leq[\mathrm{x})+1$ 变形的 $\mathrm{x}-1 \leq[\mathrm{x})$,

$\because[\mathrm{x})<\mathrm{x}$,

$\therefore \mathrm{x}-1 \leq[\mathrm{x})<\mathrm{x}$

(4) 正确.

故答案为: (3)(4).


Answer: $3 ; 255$

Question:
任何实数 $\mathrm{a}$, 可用 $[a]$ 表示不大于 $\mathrm{a}$ 的最大整数, 如 $[4]=4,[\sqrt{3}]=1$, 现对 72 进行如下操作: $72 \rightarrow$ $[\sqrt{72}]=8 \rightarrow[\sqrt{8}]=2 \rightarrow[\sqrt{2}]=1$, 类似地:

( 1 ) 对 64 只需进行 \$ \qquad \$次操作后变为 1 ;

( 2 ) 只需进行 3 次操作后变为 1 的所有正整数中, 最大的是 \$ \qquad \$

算术

(1) 由题意得：

$64 \rightarrow[\sqrt{64}]=8 \rightarrow[\sqrt{8}]=2 \rightarrow[\sqrt{2}]=1$,

$\therefore$ 对 64 只需进行 3 次操作后变为 1,

故答案为: 3 ;

( 2 ) 与上面过程类似, 有 $256 \rightarrow[\sqrt{256}]=16 \rightarrow[\sqrt{16}]=4 \rightarrow[\sqrt{4}]=2 \rightarrow[\sqrt{2}]=1$, 对 256 只需进行 4 次操作即变为 1 , 类似的有 $255 \rightarrow[\sqrt{255}]=15 \rightarrow[\sqrt{15}]=3 \rightarrow[\sqrt{3}]=1$, 即只需进行 3 次操作即变为

1 , 故最大的正整数为 255 ;

故答案为: 255 .


Answer: $3 ; 4$

Question: 若 $\sqrt{3}+1<\mathrm{m}<\sqrt{47}-2$, 则整数 $\mathrm{m}$ 的值是 \$ \qquad \$或

算术

$\because \sqrt{3}+1>2$,

$\therefore \mathrm{m}>2$,

$\because \sqrt{47}<\sqrt{49}=7$,

$\therefore \mathrm{m}<7-2=5$,

$\therefore 2<\mathrm{m}<5$, 且 $\mathrm{m}$ 为整数,

$\therefore$ 整数 $\mathrm{m}$ 的值为: 3,4 .

故答案为: 3,4 .


Answer: $\pm 10$

Question:
一般地, 如果 $x^{4}=a(a \geq 0)$, 则称 $x$ 为 $a$ 的四次方根, 一个正数 $a$ 的四次方根有两个, 它们互为相

<ImageHere>\$ \qquad \$

算术

$\quad 4 \sqrt{\mathrm{m}^{4}}=10, \therefore \mathrm{m}^{4}=10^{4}, \therefore \mathrm{m}= \pm 10$.


Answer: pm 2 ;-1$

Question: 如果 $x^{2}=64$, 那么 $\sqrt[3]{x}=$ \$ \qquad \$ , 最小正整数与最大负整数的积等于 \$ \qquad \$ .

算术

$\because \mathrm{x}^{2}=64$,

$\therefore \mathrm{x}= \pm 8$

$\therefore \sqrt[3]{-8}=-2, \sqrt[3]{8}=2$

最小正整数与最大负整数的积等于 $1 \times(-1)=-1$.

故答案为: $\pm 2,-1$.


Answer: 3

Question: 若 $(m-2)^{2}+|n+7|=0$, 则 m-n 的算术平方根是 \$ \qquad \$ .

算术

由题意得: $\mathrm{m}-2=0, \mathrm{n}+7=0$,

$\therefore \mathrm{m}=2, \mathrm{n}=-7$,

$\therefore \mathrm{m}-\mathrm{n}=2-(-7)=9$,

$\therefore \mathrm{m}-\mathrm{n}$ 的算术平方根是 3 .

故答案为: 3 .


Answer: $-\sqrt{3}$

Question: 这三个数 $-\sqrt{3} 、-\frac{1}{3} 、-1$ 中, 最小的数是 \$ \qquad \$ .

算术


Answer: -2 或 -18

Question: 若有理数 $x, y$ 满足 $|y|=10, x^{2}=64$, 且 $|x-y|=x-y$, 则 $x+y$ 的值为 \$ \qquad \$ .

算术


Answer: $5 ; \sqrt[3]{10}$

Question: 已知 $\sqrt{x+4}=3$, 则 $x=$ \$ \qquad \$ $;(-\sqrt{10})^{2}$ 的立方根是 . \$ \qquad \$

算术


Answer: -4

Question: 我们用符号 $[\mathrm{x}]$ 表示一个不大于实数 $\mathrm{x}$ 的最大整数, 如: [3.69]=3, $[-0.56]=-1$, 则按这个规律 $[-\sqrt{5}-1]=$ \$ \qquad \$ .

算术


Answer: $2 b$

Question:
已知有理数 $a 、 b$ 在数轴上的位置如图所示, 化简 $|a-b|+|a+b|$ 的结果为 \$ \qquad \$ .

<ImageHere>

度量几何学

由数轴知: $\mathrm{b}>0, \mathrm{a}<0,|\mathrm{~b}|>|\mathrm{a}|$

$\therefore \mathrm{a}-\mathrm{b}<0, \mathrm{a}+\mathrm{b}>0$.

$\therefore|a-b|+|a+b|$

$=-(\mathrm{a}-\mathrm{b})+(\mathrm{a}+\mathrm{b})$

$=-a+b+a+b$

$=2 b$.

故答案为: $2 b$.


Answer: 1或-9

Question: 数轴上 $\mathrm{A}$ 点表示的数为 4 , 点 $\mathrm{B}$ 与点 $\mathrm{A}$ 位于原点两侧且到原点的距离相等, 点 $\mathrm{C}$ 与点 $\mathrm{B}$ 的距离为 5 , 则点 $\mathrm{C}$ 表示的数为

度量几何学

$\because$ 数轴上 $\mathrm{A}$ 点表示的数为 4 ,

$\therefore A$ 到原点的距离是 4,

又 $\because$ 点 $\mathrm{B}$ 与点 $\mathrm{A}$ 位于原点两侧且到原点的距离相等,

$\therefore$ 点 B 所表示的数为 -4,

$\therefore$ 到 -4 的距离是 5 的点对应的数是 $-4+5=1$ 或 $-4-5=-9$.

即点 C 所表示的有理数为 1 或 -9.

故答案为: 1 或 -9 .


Answer: $\frac{5}{2}$ 或 $\frac{35}{4}$

Question:
如图, 已知 $A, B$ 两点在数轴上, 点 $A$ 表示的数为 -10 , 点 $B$ 表示的数为 30 , 点 $M$ 以每 6 个单位长度的速度从点 $\mathrm{A}$ 向右运动, 点 $\mathrm{N}$ 以每秒 2 个单位长度的速度从点 $\mathrm{O}$ 向右运动, 其中点 $\mathrm{M}$ 、点 $\mathrm{N}$同时出发，经过秒, 点 $\mathrm{M} 、$ 点 $\mathrm{N}$ 分别到点 $\mathrm{B}$ 的距离相等.

<ImageHere>

度量几何学


Answer: -2

Question:
1, 在一条可以折叠的数轴上有点 A, B, C, 其中点 A, 点 B 表示的数分别为 -16 和 9 ,现以点 $C$ 为折点, 将数轴向右对折, 点 $A$ 对应的点 $A_{1}$ 落在 $B$ 的右边; 如图 2, 再以点 $B$ 为折点,将数轴向左折叠, 点 $\mathrm{A}_{1}$ 对应的点 $\mathrm{A}_{2}$ 落在 $\mathrm{B}$ 的左边. 若 $\mathrm{A}_{2} 、 \mathrm{~B}$ 之间的距离为 3 , 则点 $\mathrm{C}$ 表示的数为 \$ \qquad \$

<ImageHere>

图 1

<ImageHere>

图 2

度量几何学

由题意得: 点 $A_{1}, B$ 之间的距离与点 $A_{2}, B$ 之间的距离相等, 即为 3 ,

因为点 $B$ 表示的数为 9 , 且点 $A_{1}$ 在点 $B$ 的右边,

所以点 $A_{1}$ 表示的数为 $9+3=12$,

因为点 $A$ 表示的数为 -16 , 点 $A_{1}$ 是点 $A$ 以点 $C$ 为折点的对应点,

所以点 $C$ 表示的数为 $(-16+12) \div 2=-2$.

故答案为: -2 .


Answer: \frac{3+2 \sqrt{2}}{4}

Question:
如图, 扇形 $O A B, \angle A O B=90^{\circ}, \odot P$ 与 $O A 、 O B$ 分别相切于点 $F 、 E$,并且与弧 $A B$ 切于点 $C$, 则扇形 $O A B$ 的面积与 $\odot P$ 的面积比是
<ImageHere>

第 15 题

度量几何学


Answer: 11

Question: 上点 $A, B$ 分别表示实数 $\sqrt{5}-1$ 与 $\sqrt{5}+10$, 则点 $A$ 距点 $B$ 的距离为 \$ \qquad \$

度量几何学


Answer: $-\frac{\sqrt{3}}{12}$.

Question: (3 分) 计算: $\sin 30^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ}-\tan 30^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{12}$ -

度量几何学


Answer: 2

Question:
(3 分) 如图, $\mathrm{CD}$ 是 $\mathrm{Rt} \triangle \mathrm{ABC}$ 斜边上的高线, 若 $\sin \mathrm{A}=\frac{\sqrt{3}}{3}, \mathrm{BD}=1$, 则 $\mathrm{AD}=\underline{2}$.

<ImageHere>

度量几何学

证明 $\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{BCD}$, 求出 $\mathrm{BC}$ 的长; 进而求 $\mathrm{CD} 、 \mathrm{AC}$, 运用勾股定理求 $\mathrm{AD}$.

解答: 解: $\because \mathrm{CD}$ 是 Rt $\triangle \mathrm{ABC}$ 斜边上的高线,

$\therefore \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{BCD}$.

$\because \sin A=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\therefore \sin \angle B C D=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{B D}{B C}$.

$\because \mathrm{BD}=1$

$\therefore \mathrm{BC}=\sqrt{3}$,

$\therefore \mathrm{CD}=\sqrt{2}$.

$\because \sin A=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{C D}{A C}$

$\therefore \mathrm{AC}=\sqrt{6}$.

$\therefore \mathrm{AD}=2$.


Answer: \sqrt{2}

Question:
(3 分) 如图, $A B$ 是半圆 $O$ 的直径, $A C=A D, O C=2, \angle C A B=30^{\circ}$, 则点 $O$ 到 $C D$ 的距离 $\mathrm{OE}=$ $\sqrt{2}$

<ImageHere>

度量几何学

在等腰 $\triangle \mathrm{ACD}$ 中, 顶角 $\angle \mathrm{A}=30^{\circ}$, 易求得 $\angle \mathrm{ACD}=75^{\circ}$; 根据等边对等角, 可得:

$\angle O C A=\angle A=30^{\circ}$, 由此可得, $\angle O C D=45^{\circ}$; 即 $\triangle C O E$ 是等腰直角三角形, 则 $O E=\sqrt{2}$.

解答: 解: $\because \mathrm{AC}=\mathrm{AD}, \angle \mathrm{A}=30^{\circ}$;

$\therefore \angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{ADC}=75^{\circ}$

$\because \mathrm{AO}=\mathrm{OC}$

$\therefore \angle \mathrm{OCA}=\angle \mathrm{A}=30^{\circ} ;$

$\therefore \angle \mathrm{OCD}=45^{\circ}$, 即 $\triangle \mathrm{OCE}$ 是等腰直角三角形.

在等腰 Rt $\triangle \mathrm{OCE}$ 中, $\mathrm{OC}=2$; 因此 $\mathrm{OE}=\sqrt{2}$.


Answer:
$3 \sqrt{5}$.

<ImageHere>

Question:
(3 分) 如图, 在坡度为 $1: 2$ 的山坡上种树, 要求株距 (相邻两树间的水平距离) 是 $6 \mathrm{~m}$,则斜坡上相邻两树间的坡面距离是 $3 \sqrt{5} \_\mathrm{m}$.

<ImageHere>

度量几何学

利用垂直距离: 水平宽度得到水平距离与斜坡的比, 把相应的数值代入即可.

解答: 解: $\because$ 坡度为 $1: 2, \sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$, 且株距为 6 米,

$\therefore$ 株距: 坡面距离 $=2: \sqrt{5}$,

$\therefore$ 坡面距离 $=$ 株距 $\times \frac{\sqrt{5}}{2}=3 \sqrt{5}$ (米).

另解: $\because \mathrm{CB}: \mathrm{AB}=1: 2$,

设 $\mathrm{CB}=\mathrm{x}, \mathrm{AB}=2 \mathrm{x}$,

$\therefore \mathrm{AC}=\sqrt{\mathrm{x}^{2}+(2 \mathrm{x})^{2}}=\sqrt{5} \mathrm{x}$,

$\therefore \frac{A B}{A C}=\frac{2}{\sqrt{5}}$

$\because \mathrm{AB}=6 \mathrm{~m}$,

$\therefore A C=\frac{\sqrt{5}}{2} \times 6=3 \sqrt{5} \mathrm{~m}$.


Answer:
$60^{\circ}$.

<ImageHere>

Question: (3 分) 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\mathrm{AC}=\sqrt{6}, \mathrm{BC}=2, \angle \mathrm{A}=45^{\circ}$, 则 $\angle B=60^{\circ}$.

度量几何学

作 $C D \perp A B$ 于 $D$, 在 $R t \triangle A C D$ 中, 根据 $\angle A$ 的正弦可计算出 $C D=\sqrt{3}$, 然后在 $R t \triangle C D B$中, 计算出 $\sin \mathrm{B}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, 再根据特殊角的三角函数值确定 $\angle \mathrm{B}=60^{\circ}$.

解答: 解: 如图, 作 $\mathrm{CD} \perp \mathrm{AB}$ 于 $\mathrm{D}$,

在 Rt $\triangle \mathrm{ACD}$ 中, $\mathrm{AC}=\sqrt{6}, \angle \mathrm{A}=45^{\circ}$,

$\therefore \sin \mathrm{A}=\sin 45^{\circ}=\frac{C D}{A C}$,

$\therefore \mathrm{CD}=\sqrt{6} \times \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{3}$,

在 Rt $\triangle \mathrm{CDB}$ 中, $\sin \mathrm{B}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{BC}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,

$\therefore \angle \mathrm{B}=60^{\circ}$.


Answer:
$ 2\pi $

<ImageHere>

Question:
(3 分) 水管的外部需要包扎, 包扎时用带子缠绕在管道外部. 若要使带子全部包住管道且不重叠 (不考虑管道两端的情况), 需计算带子的缠绕角度 $\alpha$ ( $\alpha$ 指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面 $\mathrm{ABCD}$ 时的 $\angle \mathrm{ABC}$, 其中 $\mathrm{AB}$ 为管道侧面母线的一部分). 若带子宽度为 1 , 水管直径为 2 , 则 $\alpha$ 的余弦值为 $-\frac{1}{2 \pi}-$.

<ImageHere>

度量几何学

本题使带子全部包住管道且不重叠 (不考虑管道两端的情况), 即斜边长为水管的周长为 $2 \pi$.

解答: 解: 其展开图如图所示.

$\because$ 水管直径为 2,

$\therefore$ 水管的周长为 $2 \pi$,

$\therefore \cos \angle \alpha=\frac{1}{2 \pi}$.


Answer: $3 n+7$

Question:
如图, 有一种塑料杯子的高度是 $10 \mathrm{~cm}$, 两个以及三个这种杯子叠放时高度如图所示, 第 $n$ 个这
种杯子叠放在一起高度是 $\mathrm{cm}$ (用含 $n$ 的式子表示).
<ImageHere>

第 $n$ 个

度量几何学

由图可得，

每增加一个杯子, 高度增加 $3 \mathrm{~cm}$,

则 $\mathrm{n}$ 个这样的杯子叠放在一起高度是: $10+3(\mathrm{n}-1)=(3 \mathrm{n}+7) \mathrm{cm}$,

故答案为: $3 \mathrm{n}+7$.


Answer: 24

Question:
如图所示, 大长方形 $A B C D$ 被分割成 3 个大小不同的正方形(1)、(2)、(3)和 2 个小长方形 (4)、(5), 其中阴影部分的周长之和为 20 , 且 $A B: B C=3: 2$, 则大长方形 $A B C D$ 的面积
为

<ImageHere>

度量几何学

设(1)正方形的边长为 $\mathrm{a}$, (3)正方形的边长为 $\mathrm{b}$, (4)长方形的宽为 $\mathrm{c}$,则(1)(2)(3)(4)(5)的长与宽分别表示为:

(1)长为 $a$, 宽为 $a$, (2)长为 $a-b$, 宽为 $a-b$, (3)长为 $b$, 宽为 $b$, (4)长为 $\mathrm{a}-2 \mathrm{~b}$, 宽为 $\mathrm{c}$,

(5)长为 $a+b$, 宽为 $c-b$, 又 $\because$ 大长方形的长为: $a+b+a-2 b=2 a-b$, 宽为: $a-b+c$,

又 $\because \frac{2 a-b}{a-b+c}=\frac{3}{2}$,

$\therefore 4 a-2 b=3 a-3 b+3 c$,

$\therefore \mathrm{c}=\frac{1}{3} \quad(\mathrm{a}+\mathrm{b})$,

又 $\because$ (1)和(4)的周长和为: $4 a+2 c+2(a-b)=20$,

$\therefore 4 \mathrm{a}+2 \times \frac{1}{3}(\mathrm{a}+\mathrm{b})+2(\mathrm{a}-\mathrm{b})=20$,

化简可得: $2 a-b=6$, 即大长方形的长为 6,

$\therefore$ 长方形的宽为 $6 \div \frac{3}{2}=4$,

$\therefore$ 长方形的面积为 $6 \times 4=24$,

故答案为: 24 .


Answer: $60^{\circ}$

Question: 已知 $\angle \alpha$ 的补角是它的余角的 4 倍, 则 $\angle \alpha=$

度量几何学

$\angle \alpha$ 的补角是 $180^{\circ}-\angle \alpha, \angle \alpha$ 的余角是 $90^{\circ}-\angle \alpha$,

根据题意得: $180^{\circ}-\angle \alpha=4\left(90^{\circ}-\angle \alpha\right)$,

解得: $\angle \alpha=60^{\circ}$.

故答案为: $60^{\circ}$.


Answer: -2

Question:
如图是一个正方体纸盒的展开图, 正方体的各面标有数 $1,2,3,-3, A, B$, 相对面上的两个数互为相反数, 则 $A=$

<ImageHere>

立体几何学

由正方体的平面展开图可得,

1 的对面是 B,

2 的对面是 A,

3 的对面是-3,

因为相对面上的两个数互为相反数,

所以 $\mathrm{B}$ 为 $-1, \mathrm{~A}$ 为 -2 ,

故答案为: -2.


Answer: sqrt[3]{341}$

Question: 小红做了一个棱长为 $5 \mathrm{~cm}$ 的正方体盒子, 小明说: “我做的盒子的体积比你的大 $216 \mathrm{~cm}^{3}$,"则小明的盒子的棱长为 cm.

立体几何学


Answer: 1

Question: $m$ 与 $n$ 互为相反数, $x 、 y$ 互为倒数, 则 $3 m+2 x y+3 n-1$ 的值为

代数

$\because \mathrm{m} 、 \mathrm{n}$ 互为相反数, $\mathrm{x} 、 \mathrm{y}$ 互为倒数,

$\therefore \mathrm{m}+\mathrm{n}=0, x y=1$,

$\therefore 3 m+2 x y+3 n-1=3(m+n)+2 x y-1=0+2-1=1$,

故答案为: 1 .


Answer: 4

Question: 知道: $|5-2|$ 表示 5 与 2 的差的绝对值, 也可理解为 5 与 2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离; $|5+2|$ 也可以看成 $|5-(-2)|$, 表示 5 与 -2 之差的绝对值, 也可理解为数轴上表示 5 与 -2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离事实上, 数轴上表示有理数 $a, b$ 的点 $A, B$ 的距离均可以用 $|a-b|$ 来计算. 根据以上材料, 则使 $|x+3|+|x-4|=7$ 的所有整数 $\mathrm{x}$ 的和是

代数


Answer: -1

Question: 若 $|x-2|+(y+3)^{2}=0$, 则 $(x+y)^{2021}=$

代数


Answer: $-3 ; 9$

Question: 3 是 $m$ 的一个平方根, 则 $m$ 的另一个平方根是 \$ \qquad \$ ,$m=$ \$ \qquad \$ .

代数

$\because 3$ 是 $m$ 的一个平方根,

$\therefore \mathrm{m}$ 的另一个平方根为 -3 , 且 $\mathrm{m}=3^{2}=9$.

所以答案为 $-3,9$.


Answer: 49

Question: 如果一个正数 $\mathrm{x}$ 的平方根是 $2 \mathrm{a}-3$ 和 $5-\mathrm{a}$, 那么 $\mathrm{x}$ 的值是 \$ \qquad \$ .

代数

$\because$ 一个正数 $\mathrm{x}$ 的平方根是 $2 \mathrm{a}-3$ 和 $5-\mathrm{a}$,

$\therefore 2 \mathrm{a}-3+5-\mathrm{a}=0$,

解得 $a=-2$,

当 $a=-2$ 时 $2 a-3=-2 \times 2-3=-7$,

$\therefore \mathrm{x}=(-7)^{2}=49$.

故答案为: 49 .

【分析】 根据平方根的性质可得 $2 a-3+5-a=0$, 求出 $a$ 的值, 再将 $a$ 的值代入计算即可。


Answer: 1

Question: 若 $\mathrm{y}=\sqrt{5-x}+\sqrt{x-5}+4$ 有意义, 则 $(\mathrm{y}-\mathrm{x})^{2020}=$

代数

由题意得 $\left\{\begin{array}{l}5-x \geq 0 \\ x-5 \geq 0\end{array}\right.$

解之: $\left\{\begin{array}{l}x \leq 5 \\ x \geq 5\end{array}\right.$

$\therefore \mathrm{x}=5$

$\therefore y=4$

$\therefore(y-x)^{2020}=(4-5)^{2020}=1$.

故答案为: 1 .


Answer: 2

Question: $\left(a^{2}+b^{2}+1\right)^{2}=9$, 那么 $a^{2}+b^{2}$ 的值是

代数

$\because\left(\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+1\right)^{2}=9$,

$\therefore a^{2}+b^{2}+1= \pm 3$,

$\because \mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2} \geq 0$

$\therefore \mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}=2$.


Answer: $4,0.32,0, \frac{1}{2},(-3)^{2}$

Question: 在数 $4,-7,0.32,0, \frac{1}{2},(-3)^{2}$ 中, 有平方根的是

代数


Answer: $3 ; 4$

Question: 若 $\sqrt{3}+1<m<\sqrt{47}-2$, 则整数 $m$ 的值是 \$ \qquad \$或

代数

$\because \sqrt{3}+1>2$,

$\therefore \mathrm{m}>2$,

$\because \quad \sqrt{47}<\sqrt{49}=7$,

$\therefore \mathrm{m}<7-2=5$,

$\therefore 2<\mathrm{m}<5$, 且 $\mathrm{m}$ 为整数,

$\therefore$ 整数 $\mathrm{m}$ 的值为: 3,4 .

故答案为: 3,4 .


Answer: 9

Question: 已知 $s-t=12,3 m+2 n=10$, 则多项式 $2 s-4.5 m-(3 n+2 t)$ 的值为

代数


Answer: -1 或 1

Question: 若多项式 $3 x^{a+3}-x^{3-a}+4$ 是四次三项式, 则 $a=$

代数


Answer:
(1) 81

(2) 1

Question:
如果 $\mathrm{x}$ 取任意值, 等式 $(2 x+3)^{4}=a_{0} x^{4}+a_{1} x^{3}+a_{2} x^{2}+a_{3} x+a_{4}$ 都成立, 那么,

(1) $a_{4}=$

(2) $a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+a_{4}=$ \$ \qquad \$ .

代数


Answer: ( $2 \mathrm{x}-2)$

Question: 已知某快递公司的收费标准: 寄一件物品不超过 5 千克, 收费 8 元; 超过 5 千克时, 超过部分每千克收费 2 元. 如果小芳的妈妈在该快递公司寄一件 $\mathrm{x}$ 千克 $(x>5)$ 的物品, 那么她需要付的费用为元. (用含 $\mathrm{x}$ 的代数式表示)

代数


Answer: -1

Question: 已知 $A=2 x^{2}+x+1, B=m x+1$, 若关于 $x$ 的多项式 $A+B$ 不含一次项, 则常数 $m=$

代数

$A+B=2 x^{2}+x+1+m x+1=2 x^{2}+(m+1) x+2$,

$\because$ 若关于 $\mathrm{x}$ 的多项式 $\mathrm{A}+\mathrm{B}$ 不含一次项，

$\therefore m+1=0$,

解得 $m=-1$.

故答案为: -1 .


Answer: -2019

Question: 当 $x=1$ 时, $p x^{3}+q x+1=2021$, 则当 $x=-1$ 时, $p x^{3}+q x+1=$

代数


Answer: -13

Question: 已知关于 $x$ 的代数式 $2 x^{2}-\frac{1}{2} b x^{2}-y+6$ 和 $a x+17 x-5 y-1$ 的值都与字母 $x$ 的取值无关.则 $a+b=$

代数


Answer: -1

Question: 真奇妙: 两个有理数 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{b}$, 如果分别计算 $\mathrm{a}+\mathrm{b}, \mathrm{a}-\mathrm{b}, \mathrm{ab}, \frac{a}{b}$ 的值, 发现有三个结果恰好相同，则 $b=$ \$ \qquad \$

代数

$\because \frac{a}{b}$ 有意义

$\therefore \mathrm{b} \neq 0$,

$\therefore a+b \neq a-b$,

$\because \mathrm{a}+\mathrm{b}, \mathrm{a}-\mathrm{b}, \mathrm{ab}, \frac{a}{b}$ 的值有三个结果恰好相同,

$\therefore \mathrm{ab}=\frac{a}{b}$,

$\therefore$ 当 $\mathrm{a}=0, \mathrm{ab}=\frac{a}{b}$ 成立,

当 $a \neq 0$ 时, $b=\frac{1}{b}$ 即 $b^{2}=1$,

$\therefore \mathrm{b}= \pm 1$,

当 $a=0$ 时 $, a+b=b, a-b=-b, a b=0, \frac{a}{b}=0$,

$\therefore$ 此时不能有三个结果恰好相同;

当 $b=1$ 时, $a+b=a+1, a-b=a-1, a b=a, \frac{a}{b}=a$,

$\therefore$ 此时不能有三个结果恰好相同;

当 $\mathrm{b}=-1$ 时, $a+b=a-1, a-b=a+1, a b=-a, \frac{a}{b}=-a$,

$\therefore \mathrm{a}-1=-\mathrm{a}$ 或 $\mathrm{a}+1=-\mathrm{a}$,

$\therefore \mathrm{a}=\frac{1}{2}$ 或 $\mathrm{a}=-\frac{1}{2} ;$

$\therefore$ 能使三个结果恰好相同时, $\mathrm{b}$ 的值为 -1 ,
故答案为: -1 .


Answer: $(2 \mathrm{x}-2)$

Question: 某快递公司的收费标准：寄一件物品不超过 5 千克, 收费 8 元; 超过 5 千克时, 超过部分每千克收费 2 元. 如果小芳的妈妈在该快递公司寄一件 $\mathrm{x}$ 千克 $(x>5)$ 的物品, 那么她需要付的费用为元. (用含 $x$ 的代数式表示)

代数


Answer: $\left(45-\frac{3}{2} a-b\right)$

Question: 七年级举行一次数学基本功大赛, 某班 45 人全部参加, 有 $\frac{1}{2} a$ 人获得一等奖, $a$ 人获得二等奖, $b$ 人获得三等奖, 该班没有获得奖项的同学有人. (用含 $a 、 b$ 的代数式表示)

代数


Answer: -4041 或 1

Question: 有理数 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b} 、 \mathrm{c}$ 均不为 0 , 且 $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0$, 设 $\mathrm{x}=\frac{|a|}{b+c}+\frac{|b|}{c+a}+\frac{|c|}{a+b}$, 则代数式 $\mathrm{x}^{2021}+2021 \mathrm{x}-2021$的值为 \$ \qquad \$ .

代数


Answer: 5

Question: $\left(2 x^{2}-x-1\right)^{3}=a_{0} x^{6}+a_{1} x^{5}+a_{2} x^{4}+a_{3} x^{3}+a_{4} x^{2}+a_{5} x+a_{6}$, 求 $a_{0}+a_{2}+a_{4}=$ \$ \qquad \$

代数


Answer: 9

Question: 当 $x=2021$ 时, $a x^{3}-b x+5$ 的值为 1 ; 则当 $x=-2021$ 时, $a x^{3}-b x+5$ 的值是

代数


Answer: 1

Question: 关于 $\mathrm{x}$ 的方程 $\mathrm{a}(\mathrm{x}-3)+\mathrm{b}(3 \mathrm{x}+1)=5(\mathrm{x}+1)$ 有无穷多个解, 则 $\mathrm{a}+\mathrm{b}=$ \$ \qquad \$ .

代数

移项, 得: $a(x-3)+b(3 x+1)-5(x+1)=0$,

去括号, 得: $a x-3 a+3 b x+b-5 x-5=0$,

整理关于 $x$ 的方程, 得: $(a+3 b-5) x-(3 a-b+5)=0$,

$\because$ 方程有无穷多解,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}a+3 b-5=0 \\ 3 a-b+5=0\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{c}a=-1 \\ b=2\end{array}\right.$. 则 $\mathrm{a}+\mathrm{b}=1$.

故答案为: 1 .


Answer: $\frac{6}{9}+\frac{6-x}{12}=1$

Question: 一项工程甲单独做 9 天完成, 乙单独做 12 天完成. 现甲、乙合作一段时间后乙休假, 结果共用了 6 天完成这项工程. 设乙休假 $\mathrm{x}$ 天，可列方程为 \$ \qquad \$ .

代数


Answer: $-\frac{1}{2}$

Question:
已知代数式 $m x+2 m$, 当 $\mathrm{x}$ 取一个值时, 代数式 $m x+2 m$ 对应的值如下表所示.

| $\mathrm{x}$ | -1 | -0.5 | 0 | 0.5 | 1 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $\mathrm{mx}+2 \mathrm{~m}$ | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |

则关于 $x$ 的方程 $2 m x+4 m-3=0$ 的解为 \$ \qquad \$ .

代数


Answer: $-\frac{4}{3} ; \frac{4}{9}$

Question:
一般情况下, $\frac{m}{2}+\frac{n}{3}=\frac{m+n}{2+3}$ 不成立, 但是, 有些数可以使它成立, 例如, $m=n=0$, 我们称使得 $\frac{m}{2}+\frac{n}{3}=\frac{m+n}{2+3}$ 成立的一对数 $m 、 n$ 为“相伴数对”, 记作 ( $m, n$ ), 如果 ( $m, 3$ ) 是“相伴数对” 那
么 $\mathrm{m}$ 的值是 \$ \qquad \$ ; 小明发现 ( $\mathrm{x}, \mathrm{y})$ 是“相伴数对”, 则式子 $\frac{x}{y}$ 的值是 \$ \qquad \$ $-$

代数


Answer: 0

Question: $x=$ \$ \qquad \$时, 整式 $3 x-1$ 与 $2 x+1$ 互为相反数;

代数

$\because$ 代数式 $3 x-1$ 与 $2 x+1$ 互为相反数,

$\therefore 3 x-1+2 x+1=0$,

解得 $x=0$.


Answer: 0,2

Question: 若关于 $x$ 的方程 $m x=3-x$ 的解为整数, 则非负整数 $m$ 的值为 \$ \qquad \$ .

代数

$m x=3-x$,

移项, 得

$\mathrm{mx}+\mathrm{x}=3$,

合并同类项, 得

$(\mathrm{m}+1) \mathrm{x}=3$,

系数化为 1 , 得

$\mathrm{x}=\frac{3}{m+1}$,

$\because$ 方程的解是整数,

$\therefore \mathrm{m}+1=-3,-1,1,3$,

$\therefore \mathrm{m}=-4,-2,0,2$,

$\because \mathrm{m}$ 是非负整数,

$\therefore \mathrm{m}=0,2$,

故答案为: 0,2 .


Answer: $\mathbf{x}=1$

Question:
若关于 $\mathrm{x}$ 的方程 $\frac{a}{3} x+1=\frac{b}{5} x-2$ 的解为 $\mathrm{x}=-2$, 那么关于 $\mathrm{x}$ 的方程 $\frac{a(x-3)}{3}+1=\frac{b(x-3)}{5}-2$
的解是

代数

$\because$ 关于 $\mathrm{x}$ 的方程 $\frac{a}{3} x+1=\frac{b}{5} x-2$ 的解为 $\mathrm{x}=-2$

$\therefore$ 关于 $\mathrm{x}$ 的方程 $\frac{a(x-3)}{3}+1=\frac{b(x-3)}{5}-2$ 的解为

$x-3=-2$

解之: $\mathrm{x}=1$.

故答案为: $\mathrm{x}=1$.


Answer: $x=1000 \mathrm{a}$

Question: 已知方程 $2021 x+m=184 x+n$ 的解为 $x=a$, 则方程 $2.021 x+m=0.184 x+n$ 的解为 （用含 $\mathrm{a}$ 的式子表示）.

代数

$\because$ 方程 $2021 \mathrm{x}+\mathrm{m}=184 \mathrm{x}+\mathrm{n}$ 的解为 $\mathrm{x}=\mathrm{a}$,

$\therefore 2021 \mathrm{a}+\mathrm{m}=184 \mathrm{a}+\mathrm{n}$

所以 $n-m=1837 a$,

而 $2.021 \mathrm{x}+\mathrm{m}=0.184 \mathrm{x}+\mathrm{n}$ 的解为 $\mathrm{x}=\frac{n-m}{1.837}$,

把 $\mathrm{n}-\mathrm{m}=1837 \mathrm{a}$ 代入 $\mathrm{x}=\frac{n-m}{1.837}$ 得: $\mathrm{x}=\frac{1837 a}{1.837}=1000 a$,

$\therefore 2.021 \mathrm{x}+\mathrm{m}=0.184 \mathrm{x}+\mathrm{n}$ 的解为 $\mathrm{x}=1000 \mathrm{a}$,

故答案为: $x=1000 a$.


Answer: (1)(2) (3)

Question: 甲地到乙地, 长途汽车原需行驶 7 个小时, 开通高速公路后, 路程缩短了 30 千米, 车速平均每小时增加了 30 千米, 结果只需 4 小时即可到达, ”三位同学根据愿意, 分别获得如下数量关系: (1) 设汽车原来的速度为 $x$ 千米/小时, 则 $7 x-30=4(x+30)$; (2)设甲、乙两地之间的高速公路的路程为 $y$ 千米, 则 $\frac{y}{4}-30=\frac{y+30}{7}$; (3)设甲、乙两地之间的普通公路的路程为 $s$ 千米, 则 $\frac{s}{7}=\frac{s-30}{4}-30$. 你认为其中正确的数量关系序号为 \$ \qquad \$ .

代数

)等量关系: 长途汽车原来行驶路程 - 缩短的路程=甲地到乙地的高速路程, 长途汽车高速公路上行驶的速度 $\times$ 行驶的时间 $=$ 甲地到乙地的高速路程, 所以(1)正确;

(2)等量关系: 长途汽车高速公路上行驶的速度 - 增加的速度 $=$ 长途汽车原来的行驶速度, 长途汽车原来行驶路程 $\div$ 行驶时间 $=$ 长途汽车原来的行驶速度, 所以(2)正确;

(3)等量关系: 长途汽车原来行驶路程 + 行驶时间 $=$ 长途汽车原来的行驶速度, 长途汽车高速公路上行驶的速度 - 增加的速度 $=$ 长途汽车原来的行驶速度, 所以③正确.

故答案为: (1) (2).


Answer: $2800 \times \frac{x}{10}-2000=2000 \times 12 \%$

Question: 某商品的进价是 2000 元, 标价为 2800 元, 该商品打多少折才能获得 $12 \%$ 的利润率? 设该商品需打 $\mathrm{x}$ 折才能使利润率为 $12 \%$ ，根据题意列出方程: \$ \qquad \$ .

代数


Answer: 84

Question: 两位数, 个位上的数与十位上的数之和是 12 , 若交换个位与十位的位置则得到的两位数为原来数字的 $\frac{4}{7}$, 则原来的两位数是 \$ \qquad \$ .

代数


Answer: $x=-\frac{6}{5}$

Question: 小明做作业时, 不小心将方程 $\frac{x-2}{2}-1=\frac{4 x}{3}+$ 中的一个常数污染了看不清楚, 小芳告诉他该方程的解是负数, 并且这个常数是负整数, 该方程的解是

代数


Answer: 2024

Question: 已知 $\mathrm{n}$ 是关于 $\mathrm{x}$ 的方程 $\frac{1}{2}(1-4 x)=-m$ 的解, 则 $2022-4 m+8 n$ 的值为

代数


Answer: $\frac{6}{9}+\frac{6-x}{12}=1$

Question: 一项工程甲单独做 9 天完成，乙单独做 12 天完成．现甲、乙合作一段时间后乙休假，结果共用了 6 天完成这项工程. 设乙休假 x 天，可列方程为

代数


Answer: 1.1

Question:
今年的“十・一”黄金周是 7 天的长假, 青城山风景区在 7 天假期中每天旅游人数变化如表（正号表示人数比前一天多, 负号表示比前一天少)

| 日期 | 1 日 | 2 日 | 3 日 | 4 日 | 5 日 | 6 日 | 7 日 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 人数变化 <br> 单位 $:$ 万人 | +1.1 | -0.6 | +0.2 | -0.4 | -0.2 | +0.4 | -0.5 |

计数


Answer: 600 个.

Question: (3 分) 有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共 1000 个. 为了估计这两种颜色的球各有多少个, 小明将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色, 再把它放回箱子中, 多次重复上述过程后. 发现摸到红球的频率约为 0.6 , 据此可以估计红球的个数约为 600 个

计数

因为多次重复上述过程后, 发现摸到红球的频率约为 0.6 , 所以红球所占的百分比也就是 $60 \\%$, 根据总数可求出红球个数.\n\n解答: 解: $\\because$ 摸到红球的频率约为 0.6 ,\n\n$\\therefore$ 红球所占的百分比是 $60 \\%$.\n\n$\\therefore 1000 \\times 60 \\%=600($ 个) .


Answer: $\frac{1}{4}$.

Question:
(3 分) 如图所示, 圆盘被分成 8 个全等的小扇形, 分别写上数字 $1,2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6,7$, 8 , 自由转动圆盘, 指针指向的数字 $<3$ 的概率是 $-\frac{1}{4}$ -

<ImageHere>

计数

根据题意分析可得: 指针指向的数字共 8 种情况, 其中有 2 种情况可使指针指向的数字 $<3$, 故其概率是 $\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$.

解答: 解: $\mathrm{P}($ 数字 $<3)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$.


Answer: $\frac{1}{2}$.

Question: (3 分) 已知三角形的两边长分别为 $5 \mathrm{~cm}, 6 \mathrm{~cm}$, 从下列四条长分别为 $1 \mathrm{~cm}, 2 \mathrm{~cm}, 6 \mathrm{~cm}$, $11 \mathrm{~cm}$ 线段中任意抽出一条能与已知线段围成三角形的概率是 $-\frac{1}{2}$.

计数

此题首先根据三角形的三边关系, 找到能够组成三角形的数值, 再根据概率公式进行求解.

解答: 解: 根据三角形的三边关系, 得

第三边的取值范围是大于 1 而小于 11,显然四个数中, 有两个数符合是 2,6 .


Answer: 4000

Question: 某型号彩电每台标价为 5250 元, 按标价的八折销售, 此时每台彩电的利润率是 $5 \%$, 则该型号彩电的进价为每台元.

计数


Answer: 0.12

Question: （2022$\cdot$北大附属嘉兴实验学校七年级月考) “Lost time is never found again”(岁月既往, 一去不回),在这句谚语的所有英文字母中, 字母“e”出现的频率是

计数

找出字母“e”出现的次数, 及总的字母数, 再由频率=频数总数, 即可得出答案.

【详解】由题意得, 总共有 25 个, 字母“e”出现的次数为: 3 次,

故字母“伍”出现的频率是 $\frac{3}{25}=0.12$. 故答案为: 0.12 .

【点睛】此题考查了频数和频率的知识, 掌握频率=频数二总数是解答本题的关键, 注意在数字母频数的时候要细心.


Answer:
【答案】 $28 \%$

【解析】

【分析】

本题主要考查分式的化简求值; 设设荤菜的成本为 $m$ 元, 素菜的成本 $n$ 元, 荤菜的利润率为 $x$, 素菜的利润率为 $y, A$ 套餐和 $B$ 套餐的数量为 $a$ 份, $C$ 套餐的数量为 $b$ 份, 根据 $A$, $B$ 套餐的利润和是 $C$ 套餐利润的两倍, 得出 $b=\frac{3}{4} a$, 根据当天的总利润率是 $60 \%$, 得出 $m x+n y=0.6(m+n)$, 根据 $C$ 套餐的售价打五折, $A, B$ 套餐的售价均不变, $A 、 B 、 C$ 三种套餐的销量相同, 列出分式, 再化简即可得出答案.

【解答】

解: 设荤菜的成本为 $m$ 元, 素菜的成本 $n$ 元, 荤菜的利润率为 $x$, 素菜的利润率为 $y, A$ 套
餐和 $B$ 套餐的数量为 $a$ 份, $C$ 套餐的数量为 $b$ 份.

$\because A, B$ 套餐的利润和是 $C$ 套餐利润的两倍,

$\therefore 3(m x+n y) \times a=2 \times 2(m x+n y) \times b$,

整理得 $b=\frac{3}{4} a$,

$\because$ 当天的总利润率是 $60 \%$,

$\therefore 3(m x+n y) \times a+2(m x+n y) \times b=60 \%[3(m+n) \times a+2(m+n) \times b]$,

整理得 $m x+n y=0.6(m+n)$,

第二天店内搞活动, $C$ 套餐的售价打五折, $A, B$ 套餐的售价均不变, $A 、 B 、 C$ 三种套餐的销量相同, 设均为 $c$ 份,

则总利润率为:

$$
\begin{aligned}
& \frac{3 c \times[m(1+x)+n(1+y)]+2 c \times[m(1+x)+n(1+y)] \times 50 \%}{3 c(m+n)+2 c \times(m+n)}-1 \\
& =\frac{(3 c+c) \times[m(1+x)+n(1+y)]}{(3 c+2 c) \times(m+n)}-1 \\
& =\frac{4 c \times(m+n+m x+n y)}{5 c(m+n)}-1 \\
& =\frac{4 \times[(m+n)+0.6(m+n)]}{5(m+n)}-1 \\
& =\frac{4}{5} \times 1.6-1 \\
& =0.28
\end{aligned}
$$

$=28 \%$.

故答案为: $28 \%$.

Question: 一家快餐店销售 $A 、 B 、 C$ 三种套餐，其中 $A$ 套餐包含一荤两素， $B$ 套餐包含两荤一素, $C$ 套餐包含两荤两素, 每份套餐中一荤的成本相同, 一素的成本也相同, 已知一份 $C$ 套餐的售价是一份 $A$ 套餐和一份 $B$ 套餐售价之和的 $\frac{2}{3}$, 一天下来, 店长发现 $A$ 套餐和 $B$ 套餐的销量相同, 且 $A 、 B$ 套餐的利润和是 $C$ 套餐利润的两倍, 当天的总利润率是60\%.第二天店内搞活动, $C$ 套餐的售价打五折, $A 、 B$ 套餐的售价均不变, 当 $A$ 、 $B 、 C$ 三种套餐的销量相同时, 总利润率为 $\qquad$ .

计数

【答案】 $28 \%$

【解析】

【分析】

本题主要考查分式的化简求值; 设设荤菜的成本为 $m$ 元, 素菜的成本 $n$ 元, 荤菜的利润率为 $x$, 素菜的利润率为 $y, A$ 套餐和 $B$ 套餐的数量为 $a$ 份, $C$ 套餐的数量为 $b$ 份, 根据 $A$, $B$ 套餐的利润和是 $C$ 套餐利润的两倍, 得出 $b=\frac{3}{4} a$, 根据当天的总利润率是 $60 \%$, 得出 $m x+n y=0.6(m+n)$, 根据 $C$ 套餐的售价打五折, $A, B$ 套餐的售价均不变, $A 、 B 、 C$ 三种套餐的销量相同, 列出分式, 再化简即可得出答案.

【解答】

解: 设荤菜的成本为 $m$ 元, 素菜的成本 $n$ 元, 荤菜的利润率为 $x$, 素菜的利润率为 $y, A$ 套
餐和 $B$ 套餐的数量为 $a$ 份, $C$ 套餐的数量为 $b$ 份.

$\because A, B$ 套餐的利润和是 $C$ 套餐利润的两倍,

$\therefore 3(m x+n y) \times a=2 \times 2(m x+n y) \times b$,

整理得 $b=\frac{3}{4} a$,

$\because$ 当天的总利润率是 $60 \%$,

$\therefore 3(m x+n y) \times a+2(m x+n y) \times b=60 \%[3(m+n) \times a+2(m+n) \times b]$,

整理得 $m x+n y=0.6(m+n)$,

第二天店内搞活动, $C$ 套餐的售价打五折, $A, B$ 套餐的售价均不变, $A 、 B 、 C$ 三种套餐的销量相同, 设均为 $c$ 份,

则总利润率为:

$$
\begin{aligned}
& \frac{3 c \times[m(1+x)+n(1+y)]+2 c \times[m(1+x)+n(1+y)] \times 50 \%}{3 c(m+n)+2 c \times(m+n)}-1 \\
& =\frac{(3 c+c) \times[m(1+x)+n(1+y)]}{(3 c+2 c) \times(m+n)}-1 \\
& =\frac{4 c \times(m+n+m x+n y)}{5 c(m+n)}-1 \\
& =\frac{4 \times[(m+n)+0.6(m+n)]}{5(m+n)}-1 \\
& =\frac{4}{5} \times 1.6-1 \\
& =0.28
\end{aligned}
$$

$=28 \%$.

故答案为: $28 \%$.


Answer:
【答案】 20

【解析】

【分析】

本题考查了条形统计图, 掌握求所占的百分比的正确的计算方法是解题的关键.
根据统计图数据, 用 $A$ 等级的人数除以总人数, 计算即可得解.

【解答】

解: 达到 $A$ 等级的人数占总人数的百分比为:

$\frac{10}{10+15+12+10+3} \times 100 \%=\frac{10}{50} \times 100 \%=20 \%$.

故答案为 20 .

Question:
李老师对班上某次数学模拟考试成绩进行统计, 绘制了如图所示的统计图, 根据图中给出的信息，这次考试成绩达到 $A$ 等级的人数占总人数的 $\qquad$ $\%$.

<ImageHere>

计数

【答案】 20

【解析】

【分析】

本题考查了条形统计图, 掌握求所占的百分比的正确的计算方法是解题的关键.
根据统计图数据, 用 $A$ 等级的人数除以总人数, 计算即可得解.

【解答】

解: 达到 $A$ 等级的人数占总人数的百分比为:

$\frac{10}{10+15+12+10+3} \times 100 \%=\frac{10}{50} \times 100 \%=20 \%$.

故答案为 20 .


Answer: $321 \times 123=39483$

Question:
以下是利用图形计算正整数乘法的方法, 请根据图 1 图 4 所示的规律, 预测出图 5 所表达的算式为

<ImageHere>

图 1

<ImageHere>

图 2

<ImageHere>

$21 \times 12=252$

图 3

<ImageHere>

$31 \times 12=372$

图 4

<ImageHere>

图 5

组合几何学

形知: 图 1 中标的数字从个位开始, 从右向左排列正是结果, 为 121 , 左下方的两组交点个数逆时针排列为 11 , 右下方的两组交点个数逆时针排列为 11 , 它们为两个因数, 即 $11 \times 11=121$;

图 2 中标的数字从个位开始, 从右向左排列正是结果, 为 231 , 左下方的两组交点个数逆时针排列为 21 , 右下方的两组交点个数逆时针排列为 11 , 它们为两个因数, 即 $21 \times 11=231$;

图 3 中标的数字从个位开始, 从右向左排列正是结果, 为 252 , 左下方的两组交点个数逆时针排列为 21 , 右下方的两组交点个数逆时针排列为 12 , 它们为两个因数, 即 $21 \times 12=252$;

图 4 中标的数字从个位开始, 从右向左排列正是结果, 为 372 , 左下方的两组交点个数逆时针排列为 31 , 右下方的两组交点个数逆时针排列为 12 , 它们为两个因数, 即 $31 \times 12=372$;

由此得出图 5 中标的数字从个位开始, 从右向左排列正是结果（超过 10 个点向上一位进 1 ), 为 39483 , 左下方的三组交点个数逆时针排列为 321 , 右下方的三组交点个数逆时针排列为 123 , 它们为两个因数，即 $321 \times 123=39483$;

故答案为: $321 \times 123=39483$.


Answer: $\sqrt{2}$

Question:
如图, 在 $\triangle A B C$ 中 $\angle A=90^{\circ}, A B=A C=2 \mathrm{~cm}, \odot A$ 与 $B C$ 相切于点 $D$, 则 $\odot A$ 的半径为 $\mathrm{cm}$.
<ImageHere>
第 11 题

组合几何学


Answer: $\frac{1}{6}$.

Question: (3 分) 利用计算器产生 $1 \sim 6$ 个随机数, 连续两次随机相同的概率是 $-\frac{1}{6}$ -

组合数学

第一个数随机产生, 第二个数与第一个数相同的情况有一种, 而第二个数可能出现的情况有 6 种, 利用概率公式进行求解.

解答: 解: $\because$ 第一个数随机产生, 第二个数与第一个数相同的情况有一种, 而第二个数可能出现的情况有 6 种

$\therefore$ 连续两次随机相同的概率是 $\frac{1}{6}$.


Answer: $\frac{1}{3}$.

Question: (3 分) 在 $-1,1,2$ 这三个数中任选 2 个数分别作为 $P$ 点的横坐标和纵坐标, 过 $P$ 点画双曲线 $y=\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}$, 该双曲线位于第一、三象限的概率是 $-\frac{1}{3}$.

组合数学

根据概率求法直接列举出所有符合要求点的坐标, 再根据只有 $(1,2),(2,1)$ 符合 $x y=k>0$, 得出答案即可.

解答: 解: $\because$ 在 $-1,1,2$ 这三个数中任选 2 个数分别作为 $\mathrm{P}$ 点的横坐标和纵坐标,

$\therefore$ 符合要求的点有 $(-1,1),(-1,2),(1,2),(1,-1),(2,1),(2,-1)$,

$\therefore$ 该双曲线位于第一、三象限时, $x y=k>0$,

只有 $(1,2),(2,1)$ 符合 $x y=k>0$,

$\therefore$ 该双曲线位于第一、三象限的概率是: $2 \div 6=\frac{1}{3}$,


Answer: $\frac{2}{3}$.

Question:
(3 分) 如图, 随机闭合开关 $\mathrm{S}_{1}, \mathrm{~S}_{2}, \mathrm{~S}_{3}$ 中的两个, 能够让灯泡发光的概率为 $-\frac{2}{3}$.

<ImageHere>

组合数学

根据题意可得：随机闭合开关 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ 中的两个，有 3 种方法，其中有两种能够让
灯泡发光, 故其概率为 $\frac{2}{3}$.

解答: 解: $\mathrm{P}$ (灯泡发光) $=\frac{2}{3}$.


Answer: $\frac{1}{9}$.

Question: (3 分) 一枚均匀的正方体骰子, 六个面分别标有数字 $1,2 ， 3 ， 4 ， 5,6$, 连续抛掷两次, 朝上的数字分别是 $m$, $n$. 若把 $m, n$ 作为点 $\mathrm{A}$ 的横、纵坐标, 那么点 $\mathrm{A}(\mathrm{m}, \mathrm{n})$ 在函数 $\mathrm{y}=\frac{6}{\mathrm{x}}$ 的图象上的概率是 $-\frac{1}{9}$.

统计数学

列举出所有情况, 看所求的情况占总情况的多少即可.

解答: 解：每次都有 6 种可能, 那么共有 $6 \times 6=36$ 种可能, 其中 $(1,6)(2,3),(3,2),(6,1)在函数图象上, $\therefore$ 点 $\mathrm{A}(\mathrm{m}, \mathrm{n})$ 在函数 $\mathrm{y}=\frac{6}{\mathrm{x}}$ 的图象上的概率是 $\frac{1}{9}$.


Answer: $\frac{3}{6}-\frac{1}{2}$.

Question: (3 分) 对于平面内任意一个凸四边形 $\mathrm{ABCD}$, 现从以下四个关系式(1) $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}$; (2) $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$; (3) $\mathrm{AB} / / \mathrm{CD}$; (4) $\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{C}$ 中任取两个作为条件, 能够得出这个四边形 $\mathrm{ABCD}$是平行四边形的概率是 $-\frac{1}{2}$.

解析几何

本题是一道列举法求概率的问题, 属于基础题, 可以直接应用求概率的公式.

解答: 解：从四个条件中选两个共有六种可能: (1)(2)、(1)(3)、(1)(4)、(2)(3)、(2)(4)、

(3) (4),

其中只有(1)(2)、 (1)(3)和(3) (4)可以判断 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形, 所以其概率为 $\frac{3}{6}-\frac{1}{2}$.


Answer: $ 或 3

Question: 两圆内切, 其中一个圆的半径为 5 , 两圆的圆心距为 2 , 则另一个圆的半径为 \$ \qquad \$

解析几何


Answer: (1)(3) $\Rightarrow$ (2)或(2)(3) $\Rightarrow$ (1) $

Question: (1) $O C$ 是 $\odot O$ 的半径; (2) $A B \perp O C$; (3)直线 $A B$ 切 $\odot O$ 于点 $C$. 请以其中两个语句为条件,一个语句为结论, 写出一个真命题 \$ \qquad \$ . (写标号，用推出符号表示)

解析几何


Answer: \frac{1}{3}

Question:
如图, $\odot 0_{1}, \odot 0_{2}$ 相互外切且都内切于半圆 0 , 且 $\odot 0_{1}, \odot 0_{2}$ 切半圆 0 的直径 $A B$ 于点 0 和 $C$, 则 $\cos \angle o O_{1} O_{2}$ 的值为 \$ \qquad \$ .
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(第 $\mathrm{O} 16$ 题)

解析几何


Answer: $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$.

Question: (3 分) 在 $\mathrm{Rt} \triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\angle C=90^{\circ}$, 直角边 $\mathrm{AC}$ 是 $\mathrm{BC}$ 的 2 倍, 则 $\cos \mathrm{A}$ 的值是 $\_\frac{2 \sqrt{5}}{5}$.

解析几何

设 $\mathrm{BC}=\mathrm{x}$, 则 $\mathrm{AC}=2 \mathrm{x}$, 利用勾股定理即可求得 $\mathrm{AB}$ 的长, 然后利用余弦函数的定义即可求解.

解答: 解: 设 $\mathrm{BC}=\mathrm{x}$, 则 $\mathrm{AC}=2 \mathrm{x}$,

则 $A B=\sqrt{A C^{2}+B C^{2}}=\sqrt{5} x$,

则 $\cos A=\frac{A C}{A B}=\frac{2 x}{\sqrt{5} x}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$.


Answer: $1<\mathrm{m}<3$.

Question: (3 分) 若 $\alpha$ 为锐角, 且 $\sin \alpha=\frac{m-1}{2}$, 则 $m$ 的取值范围是 $1<m<3$.

解析几何

根据锐角三角函数的范围即可得到一个关于 $m$ 的不等式，解不等式即可求解.

解答: 解: $\because 0<\sin \alpha<1$,

$\therefore 0<\frac{m-1}{2}<1$,

解得: $1<\mathrm{m}<3$.


Answer: $\mathrm{R}=2$ 或 $\frac{4}{3} \sqrt{3}<v \leq 4 /

Question: 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, \angle A=60^{\circ}, B C=4 \mathrm{~cm}$, 以点 $C$ 为圆心, 以 $\mathrm{rcm}$ 长为半径作圆,若 $\odot \mathrm{C}$ 与线段 $\mathrm{AB}$ 只有一个交点, 则 $\mathrm{r}$ 的取值范围是 \$ \qquad \$ .

画法几何学