Answer:
解【解答】解：如果 $\star \times \triangle=\square$, 那么, $\star=\square \div \triangle, \triangle=\square \div \star$ （从 “ $\star 、 \triangle 、 \square 、+、-、 \times 、$

”中选填）；这样填的依据是乘与除的互逆关系（填文字）。

故答案为: $\square \div \triangle$; $\square \div \star$; 。乘与除的互逆关系

Question:
（2022 春・梁平区期末）如果 $\star \times \triangle=\square$, 那么, $\star=$ $\qquad$ , $\triangle=$ $\qquad$

<ImageHere>
$+、-、 \times 、 \div$ 中选填）; 这样填的依据是 $\qquad$ （填文字）。

代数

解【解答】解：如果 $\star \times \triangle=\square$, 那么, $\star=\square \div \triangle, \triangle=\square \div \star$ （从 “ $\star 、 \triangle 、 \square 、+、-、 \times 、$

”中选填）；这样填的依据是乘与除的互逆关系（填文字）。

故答案为: $\square \div \triangle$; $\square \div \star$; 。乘与除的互逆关系


Answer: 斜

Question: 在直角三角形中, 最长的边是 ( $\quad$ ) 边。

解析几何


Answer: 千克 克 千克 克

Question: 我们学过的质量单位有 ( ) 和 ( ), 在称一般的物品时, 通常用 ( ) 作单位, 在称比较轻的物品时, 常用 ( $\quad$ ) 作单位。

算术


Answer: $54 \quad 40$

Question: 比 18 千克多 36 千克是（）千克, 65 千克比 25 千克多（）千克。

算术


Answer: $1000 \quad 1$

Question: 一袋小米重 500 克, 2 袋小米重 ( ) 克, 合 ( ) 千克。

算术


Answer: 55

Question: 3 千克鸡蛋 15 元钱, 1 千克鸡蛋要 ( ) 元, 25 元可以买（）千克鸡蛋。

算术


Question:
在O里填上 “>”、“<”或 “=”。

<ImageHere>

<ImageHere>

$0 \bigcirc 0$

<ImageHere>

<ImageHere>

$\otimes \bigcirc \otimes$

算术


Answer: 千克 克 克 千克

Question:
填上合适的质量单位。
250
19(

算术


Answer: $1000 \quad 6 \quad 9$

Question:
填上合适的数。
1 千克 $=($
) 克
6000 克= $=($
) 千克
9000 克= $=($
) 千克

算术


Answer:
2 千克
1 千克 500 克
1400 克
250 克
80 克

Question:
将下列质量按从大到小顺序排列。

$$
\begin{gathered}
80 \text { 克 } \quad 1400 \text { 克 } \quad 250 \text { 克 } \quad 2 \text { 千克 } \quad 1 \text { 千克 } 500 \text { 克 } \\
(\quad)>(\quad)>(\quad)>(\quad)>(\quad)
\end{gathered}
$$

算术


Answer: 4

Question: 1 块香白重 250 克, 1 个苹果重 200 克, 5 个苹果的重量相当于 ( ) 块香㿝的重量。

算术


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 比 1 米短 40 厘米是 60 厘米。

算术


Answer: $\mathrm{x}$

Question: 小明步行去上学, 他 1 分钟走了 50 厘米。

算术


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 两位数加两位数的和可能是三位数, 也可能是两位数。

算术


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 笔算加减法时, 都要把相同数位对齐, 从个位算起。

算术


Answer: $\mathrm{x}$

Question: 两个数相加的和一定比它们的差大。

算术


Answer: $\mathrm{x}$

Question: 明明有 2 张 10 元纸币, 买一套尺子用了 6 元, 还剩下 4 元。

算术


Answer: $\mathrm{x}$

Question: 商店里进了一批货, 卖了 48 件后还剩 27 件, 则进了 65 件。

算术


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 比直角小的角是锐角。

算术


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 个 5 相加的和是 10 。

算术


Answer: $\mathrm{x}$

Question: $6+6+6+6+6+4$ 改写成乘法算式是 $6 \times 6$ 。

算术


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 两个数的积不一定比它们的和大。

算术


Answer: $\mathrm{x}$

Question: 两个因数都是 5 , 它们的积是 10 。

算术


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 两个数相乘, 积可能比乘数大。

算术


Answer: $\times$

Question: 小明步行去上学, 他 1 分钟走了 50 厘米。

算术


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 两个数的积不一定比它们的和大。

算术


Answer: $\times$

Question: 公共汽车上原有 43 人, 到站后下去了 18 人, 又上来 20 人。现在公共汽车上的人数比原来少了。

算术


Answer: $\mathrm{x}$

Question: 莉莉有两种不同的笔, 一种 3 支, 另一种 7 支, 一共 21 支笔。（）

算术


Answer: $\mathrm{x}$

Question: 每一句乘法口诀都能写出两道乘法算式。

算术


Answer: $\sqrt{ }$

Question: $4 \times 9=6 \times 6$ 。

算术


Answer: $\mathrm{x}$

Question: 求 5 个 8 相加是多少? 列式是 $5+8$ 。

算术


Answer: $\mathrm{x}$

Question: ( ) $\times 7<49$, 括号里最大能填 7 。

算术


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 5 分也可以说成是一刻。

算术


Answer: $\mathrm{x}$

Question: 分针走 1 小格是 5 分钟。

算术


Answer:
3 \times 5=15, \quad 5 \times 3=15$,

$15 \div 3=5,15 \div 5=3$

| 被除数 | 10 | 15 | 24 | 24 | 8 | 12 | 30 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 除数 | 2 | 3 | 4 | 8 | 2 | 3 | 5 |
| 商 | 5 | 5 | 6 | 3 | 4 | 4 | 6 |

$\left\{\begin{array}{l}4 \times 6=24 \\ 24 \div 4=6 \\ 24 \div 6=4\end{array} \quad\left\{\begin{array}{l}5 \times 4=20 \\ 20 \div 4=5 \\ 20 \div 5=4\end{array} \quad\left\{\begin{array}{l}5 \times 3=15 \\ 15 \div 5=3 \\ 15 \div 3=5\end{array}\right.\right.\right.$

Question:
<ImageHere>

乘法算式: $(\quad) \mathrm{X}(\quad)=(\quad),(\quad) \mathrm{X}(\quad)=(\quad)$

除法算式: $(\quad) \div(\quad)=(\quad),(\quad) \div(\quad)=(\quad)$

算术


Answer:
30 \div 5=6$

被除数 除号 除数 商

Question:
30 \div 5=6$

( ) ( ) ( ) ( )

算术


Answer:
20 \div 5=4 \quad 20 \div 4=5$

$12 \div 4=3 \quad 12 \div 3=4$

$18 \div 3=6 \quad 18 \div 6=3$

Question:
下面卡片上的数摆成学过的除法算式。

<ImageHere>
$\square \div \square=\square$
$\square \div \square=\square$
$\square \div \square=\square$
$\square \div \square=\square$
$\square \div \square=\square$
$\square \div \square=\square$

算术


Answer: 6 \div 2=3$ 2, 3

Question:
<ImageHere>

( )只分为一组, 可以分成这样的 ( )组。

算术


Answer: 6,3

Question:
果 $\square+\square+※+※+※=21$,

$\square+\square+※+※+※+※+※=27$

那么, $\square=(\quad), \mathbb{N}=(\quad)$

算术


Answer: 被除数 除数 商

Question:
在 $63 \div 9=7$ 中, 63 是 (
), 9 是 (
), 7 是 ( $\quad$ 。

算术


Answer:
$(1) 63$

(2) 9

【分析】(1) 3 天读了 27 页, 则平均每天读 $27 \div 3=9$ 页。用平均每天读书页数乘 9 , 求出 7 天读书页数。

(2) 用全书总页数除以平均每天读书页数, 求出读完这本书需要的天数。

(1)

$27 \div 3=9$ (页)

$7 \times 9=63$ (页)

照这种速度, 7 天可以读 63 页。

(2)

$81 \div 9=9$ (天)

全书 81 页, 9 天读完。

【点睛】本题考查工程问题和归一问题, 关键是明确归一问题的解题方法, 应先求单一量, 再根据题意用乘法或除法解答。

Question:
小方读一本故事书, 3 天读了 27 页。

(1)照这种速度， 7 天可以读( )页。

(2)全书 81 页， $(\quad)$ 天读完。

算术

$(1) 63$

(2) 9

【分析】(1) 3 天读了 27 页, 则平均每天读 $27 \div 3=9$ 页。用平均每天读书页数乘 9 , 求出 7 天读书页数。

(2) 用全书总页数除以平均每天读书页数, 求出读完这本书需要的天数。

(1)

$27 \div 3=9$ (页)

$7 \times 9=63$ (页)

照这种速度, 7 天可以读 63 页。

(2)

$81 \div 9=9$ (天)

全书 81 页, 9 天读完。

【点睛】本题考查工程问题和归一问题, 关键是明确归一问题的解题方法, 应先求单一量, 再根据题意用乘法或除法解答。


Answer:
$><>>=<$

【详解】略

Question:
在括号里填上“ $>" “<$ ”或“=”。
$33+16($
) $24+19$
$0 \times 7($
) $7+0$
25(
) $5 \times 2$

2 米 $\quad) 20$ 厘米 60 厘米 +40 厘米 $\quad$ )1 米 $36 \div 9(6 \times 1$

算术


Answer: 34

Question:
24 块蛋糕, 每 8 块装一盒, 可以装(

)盒; 如果每 6 块装一盒, 可以装(

)盒。

算术


Answer:
4 四八三十二 84

【详解】略

Question: $32 \div 8=(\quad)$, 想乘法口诀 $(\quad)$ 求商, 这个算式表示 32 里面有 $(\quad)$ 个 $(\quad)$ 。

算术

4 四八三十二 84

【详解】略


Answer:
$\quad 7 \quad 1$

【详解】略

Question: $\triangle+\circ=8, \triangle-\circ=6, \triangle \times 0=7, \triangle \div o=7, \triangle=(\quad), \circ=(\quad)$ 。

算术


Answer: 9

Question: 妈妈把 18 元钱平均分给她的 2 个孩子，每个孩子分到( )元。

算术


Answer:
36 除以 4 等于 $9 \quad 36 \quad 4 \quad 9 \quad 4 \quad 9 \quad 9 \quad 4$

【分析】根据除法算式的各部分名称, 读出这个算式, 再根据平均除法与包含除法的意义解答此题。

【详解】 $36 \div 4=9$ 这个算式读作: 36 除以 4 等于 9 。被除数是 36 , 除数是 4 , 商是 9 。把 36 平均分成 4 份, 每份是 9 。还可以表示 36 里有 9 个 4 。

【点睛】熟练掌握除法算式的读写法, 再根据平均除法与除法的意义完成填空是此题的关键。

Question:
$36 \div 4=9$ 这个算式读作 (

)。其中被除数是 (

) , 除数是 (

<ImageHere>

) , 商是 (

表示把 36 平均分成 ( ) 份。每份是 (

)。还可以表示 36 里面有 (

) 个 (

)。

算术

36 除以 4 等于 $9 \quad 36 \quad 4 \quad 9 \quad 4 \quad 9 \quad 9 \quad 4$

【分析】根据除法算式的各部分名称, 读出这个算式, 再根据平均除法与包含除法的意义解答此题。

【详解】 $36 \div 4=9$ 这个算式读作: 36 除以 4 等于 9 。被除数是 36 , 除数是 4 , 商是 9 。把 36 平均分成 4 份, 每份是 9 。还可以表示 36 里有 9 个 4 。

【点睛】熟练掌握除法算式的读写法, 再根据平均除法与除法的意义完成填空是此题的关键。


Answer:
$6 \quad 6$

【分析】求 30 里面有几个 5 , 用除法解答; 根据平均分的意义, 用除法即可求出把 45 平均分成 9 份,每份是多少。

【详解】 $30 \div 5=6$

$45 \div 9=5$

【点睛】本题考查除法, 明确除法的意义是解题的关键。

Question: 30 里面有 ( )个 5 , 把 45 平均分成 9 份，每份是 $(\quad)$ 。

算术

$6 \quad 6$

【分析】求 30 里面有几个 5 , 用除法解答; 根据平均分的意义, 用除法即可求出把 45 平均分成 9 份,每份是多少。

【详解】 $30 \div 5=6$

$45 \div 9=5$

【点睛】本题考查除法, 明确除法的意义是解题的关键。


Answer:
$7 \quad 1$

【分析】用促销的总价除以总个数即可求出现价, 用原价减去现价即可求出现价比原来便宜的价格。

【详解】 $21 \div 3=7$ (元)

现在优惠促销, 3 个 21 元。现在 1 个鸡腿 7 元

$8-7=1 （$ 元 $)$

鸡腿原来 8 元一个, 现在优惠促销, 3 个 21 元。比原来便宜 1 元。

【点睛】本题主要考查了根据 7 的乘法口诀求商的实际应用。

Question:
鸡腿原来 8 元一个, 现在优惠促销, 3 个 21 元。现在 1 个鸡腿( )元，比原来便宜 $(\quad)$
元。

算术

$7 \quad 1$

【分析】用促销的总价除以总个数即可求出现价, 用原价减去现价即可求出现价比原来便宜的价格。

【详解】 $21 \div 3=7$ (元)

现在优惠促销, 3 个 21 元。现在 1 个鸡腿 7 元

$8-7=1 （$ 元 $)$

鸡腿原来 8 元一个, 现在优惠促销, 3 个 21 元。比原来便宜 1 元。

【点睛】本题主要考查了根据 7 的乘法口诀求商的实际应用。


Answer:
9

【分析】根据平均分的意义，用 36 除以 4 即可解答。

【详解】 $36 \div 4=9$ (段)

【点睛】本题考查平均分, 明确平均分用除法是解题的关键。

Question: 一根 36 米的绳子每 4 米分成一段, 可以分成( )段。

算术

9

【分析】根据平均分的意义，用 36 除以 4 即可解答。

【详解】 $36 \div 4=9$ (段)

【点睛】本题考查平均分, 明确平均分用除法是解题的关键。


Answer:
$\quad 6 \div 2=3 \quad 18 \div 6=3 \quad 27 \div 9=3 \quad 12 \div 4=3$

【分析】根据表内乘法口诀, 进行解答即可。(答案不唯一)
【详解】商是 3 的四个算式: $6 \div 2=3 、 18 \div 6=3 、 27 \div 9=3 、 12 \div 4=3$ 。

【点睛】本题考查表内除法的计算。注意计算的准确性。

Question: 写出商是 3 的四个算式: \$ \qquad \$ \$ \qquad \$ \$ \qquad \$ \$ \qquad \$ .

算术

$\quad 6 \div 2=3 \quad 18 \div 6=3 \quad 27 \div 9=3 \quad 12 \div 4=3$

【分析】根据表内乘法口诀, 进行解答即可。(答案不唯一)
【详解】商是 3 的四个算式: $6 \div 2=3 、 18 \div 6=3 、 27 \div 9=3 、 12 \div 4=3$ 。

【点睛】本题考查表内除法的计算。注意计算的准确性。


Answer:
六九五十四

【分析】分别计算出两个算式得数可以看出这两个算式用了同一句乘法口诀。

【详解】 $54 \div 9=6$ 和 $54 \div 6=9$ 都可以用乘法口决（六九五十四）计算。

【点睛】本题主要考查了两个因数不同的乘法口诀可以写出两道除法算式。

Question: $54 \div 9$ 和 $54 \div 6$ 都可以用乘法口决( )计算。

算术

六九五十四

【分析】分别计算出两个算式得数可以看出这两个算式用了同一句乘法口诀。

【详解】 $54 \div 9=6$ 和 $54 \div 6=9$ 都可以用乘法口决（六九五十四）计算。

【点睛】本题主要考查了两个因数不同的乘法口诀可以写出两道除法算式。


Answer:
$<=>$

【分析】分别计算出括号左右两边算式的得数, 然后比较大小即可。

【详解】 $35 \div 7=5,35 \div 5=7,35 \div 7<35 \div 5$

$63 \div 9=7,56 \div 8=7,63 \div 9=56 \div 8$

$24 \div 3=8,24 \div 4=6,24 \div 3>24 \div 4$

【点睛】本题主要考查了用表内乘法口诀求商, 能够正确的计算出各个算式的结果。

Question:
在括号里填上“>”“<”或“=”。

$35 \div 7(\quad) 35 \div 5 \quad 63 \div 9(\quad) 56 \div 8 \quad 24 \div 3(\quad) 24 \div 4$

算术

$<=>$

【分析】分别计算出括号左右两边算式的得数, 然后比较大小即可。

【详解】 $35 \div 7=5,35 \div 5=7,35 \div 7<35 \div 5$

$63 \div 9=7,56 \div 8=7,63 \div 9=56 \div 8$

$24 \div 3=8,24 \div 4=6,24 \div 3>24 \div 4$

【点睛】本题主要考查了用表内乘法口诀求商, 能够正确的计算出各个算式的结果。


Answer: $35 \quad 9$

Question: 一个星期有 7 天, 5 个星期有 ( ) 天; 63 天是 ( ) 个星期。

算术


Answer: 2

Question: 鸡腿原来 9 元一个, 现在优惠促销, 3 个 21 元。现在每个鸡腿比原来便宜 ( ) 元。

算术


Answer:
$6 \times 9=54 \# \# 9 \times 6=54 \quad 54 \div 6=9 \# \# 54 \div 9=6$

【详解】略

Question:
根据口诀“六九五十四”写出一道乘法算式和一道除法算式: (

)、( $\quad$ )。

算术


Answer:
9

【解析】略

Question: 一道除法算式的被除数是 27 , 除数是 3 , 则商是 ( )。

算术


Answer: 428 除以 7 等于 4 四七二十八

Question: $28 \div 7=(\quad)$, 读作 $\quad$ ), 可以用口诀 ( )计算。

算术

428 除以 7 等于 4 四七二十八


Answer: 7

Question: 28 个〇平均分成 4 份, 每份是 ( ) 个。

算术


Answer: 86

Question: 从 64 里连续减去 $\quad$ )个 8 , 结果为 $0 ; 54$ 里面有 ( ) 个 9 。

算术


Answer:
$\quad 9 \quad 1$

【分析】把 36 元平均分成 4 份, 每份多少元就是促销面包每个的价钱, 用除法; 用面包原来的价钱和现在每个面包的价钱相减, 可以求出每个比原来便宜多少元, 据此解答。

【详解】 $36 \div 4=9$ (元), 知道促销面包每个 9 元;

$10-9=1$ (元), 知道每个比原来便宜 1 元。

【点睛】 掌握用 9 的乘法口诀求商是解答此题的关键。

Question: 面包原来 10 元一个, 现在一次买 4 个 36 元, 促销面包每个 ( )元, 每个比原来便宜 ( )元。

算术

$\quad 9 \quad 1$

【分析】把 36 元平均分成 4 份, 每份多少元就是促销面包每个的价钱, 用除法; 用面包原来的价钱和现在每个面包的价钱相减, 可以求出每个比原来便宜多少元, 据此解答。

【详解】 $36 \div 4=9$ (元), 知道促销面包每个 9 元;

$10-9=1$ (元), 知道每个比原来便宜 1 元。

【点睛】 掌握用 9 的乘法口诀求商是解答此题的关键。


Answer:
9

【分析】根据平均分的意义, 用 36 除以 4 即可解答。

【详解】 $36 \div 4=9$ (段)

【点睛】本题考查平均分, 明确平均分用除法是解题的关键。

Question: 一根 36 米的绳子每 4 米分成一段, 可以分成()段。

算术

9

【分析】根据平均分的意义, 用 36 除以 4 即可解答。

【详解】 $36 \div 4=9$ (段)

【点睛】本题考查平均分, 明确平均分用除法是解题的关键。


Answer:
$64 \quad 9 \quad 8$

【分析】思考每个除法算式所对应的乘法口诀，依次补充空缺的数字。

【详解】 $32 \div 4=8 \quad 27 \div 3=9 \quad 8 \times 8=64$

| 被除数 | 32 | 27 | 64 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 除数 | 4 | 9 | 8 |
| 商 | 8 | 3 | 8 |

【点睛】本题考查表内除法的计算, 熟练掌握利用乘法口诀计算表内除法。

Question:
填表。

| 被除数 | 32 | 27 | $(\quad)$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 除数 | 4 | $(\quad)$ | 8 |
| 商 | $(\quad)$ | 3 | 8 |

算术

$64 \quad 9 \quad 8$

【分析】思考每个除法算式所对应的乘法口诀，依次补充空缺的数字。

【详解】 $32 \div 4=8 \quad 27 \div 3=9 \quad 8 \times 8=64$

| 被除数 | 32 | 27 | 64 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 除数 | 4 | 9 | 8 |
| 商 | 8 | 3 | 8 |

【点睛】本题考查表内除法的计算, 熟练掌握利用乘法口诀计算表内除法。


Answer:
【分析】根据 100 以内的加减法以及表内乘、除法填空即可。

【详解】 $9 \times 8=72$

$5+5=10$

$36 \div 6=6$

$28-4=24$

【点睛】熟练掌握整数四则计算的方法是解题关键。

Question:
在括号里填上“+”“一”“×”或“$\cdot$”。

$$
9(\quad) 8=72 \quad 5(\quad) 5=10 \quad 36(\quad) 6=6 \quad 28(\quad) 4=24
$$

算术

【分析】根据 100 以内的加减法以及表内乘、除法填空即可。

【详解】 $9 \times 8=72$

$5+5=10$

$36 \div 6=6$

$28-4=24$

【点睛】熟练掌握整数四则计算的方法是解题关键。


Answer:
$6 \quad 6$

【分析】把 24 人按每份 4 人分组，可分几组，即 24 里面有几个 4 ，用除法计算; 把 24 人平均分成 3 组, 即把 24 平均分成 3 份, 每份是多少，用除法计算。据此解答。

【详解】 $24 \div 4=6$ (个) $； 24 \div 3=8$ (人)。

所以 24 个同学做游戏。如果每 4 人分成一组, 可以分成（ 6 ) 个组; 如果把 24 个同学平均分成 3 个组，每组分（ 8 ) 人。

【点睛】本题考查平均分及表内除法的应用, 解题的关键是: 把总人数按每份 4 人分几组或按 3 组平均分几人都用除法计算。

Question:
24 个同学做游戏。如果每 4 人分成一组, 可以分成(

)个组；如果把 24 个同学平均分成 3 个组, 每组分 $(\quad)$ 人。

算术

$6 \quad 6$

【分析】把 24 人按每份 4 人分组，可分几组，即 24 里面有几个 4 ，用除法计算; 把 24 人平均分成 3 组, 即把 24 平均分成 3 份, 每份是多少，用除法计算。据此解答。

【详解】 $24 \div 4=6$ (个) $； 24 \div 3=8$ (人)。

所以 24 个同学做游戏。如果每 4 人分成一组, 可以分成（ 6 ) 个组; 如果把 24 个同学平均分成 3 个组，每组分（ 8 ) 人。

【点睛】本题考查平均分及表内除法的应用, 解题的关键是: 把总人数按每份 4 人分几组或按 3 组平均分几人都用除法计算。


Answer:
$\quad 1 \quad 64$

【分析】根据题目意思, 列出算式计算即可。

【详解】 $9 \div 9=1$

$8 \times 8=64$

【点睛】本题主要考查利用表内乘法口诀求商、求积, 注意计算要仔细认真。

Question: 被除数和除数都是 9 , 商是 $(\quad)$ 。两个 8 相乘, 积是 ( )。

算术

$\quad 1 \quad 64$

【分析】根据题目意思, 列出算式计算即可。

【详解】 $9 \div 9=1$

$8 \times 8=64$

【点睛】本题主要考查利用表内乘法口诀求商、求积, 注意计算要仔细认真。


Answer:
$\quad=><$

【分析】先算出得数, 在比较大小, 据此解答。

【详解】 $48 \div 8=6,54 \div 9=6,6=6$, 故 $48 \div 8=4 \div 9$;

$36 \div 6=6,2+3=5,6>5$, 故 $36 \div 6>2+3$;

$3+6 \times 5$

$=3+30$

$=33,33<45$, 故 $3+6 \times 5<45$

【点睛】本题考查表内除法及大小的比较。

Question: 在括号里填上“>”“<”或“=”。 $48 \div 8(\quad) 54 \div 9 \quad 36 \div 6(\quad) 2+3 \quad 3+6 \times 5(\quad) 45$

算术


Answer:
36 除以 4 等于 $9 \quad 36 \quad 4 \quad 9 \quad 4 \quad 9$ 四九三十六 $36 \div 9=4$

【分析】 根据平均分的意义以及用乘法口诀求商的方法进行解答即可。

【详解】 $36 \div 4=9$ 读作: 36 除以 4 等于 9 , 可以表示把 36 平均分成 4 , 每份是 9 ; 也可以表示 36 里面有 4 个 9 。计算时用到的乘法口诀是四九三十六, 根据这个乘法口诀还可以写出另一个除法算式是 $36 \div 9$ $=4$ 。

【点睛】熟练掌握乘法的意义以及乘法和除法的关系是解题关键。

Question: $36 \div 4=9$ 读作: ( ), 可以表示把 $(\quad)$ 平均分成( ), 每份是 $\quad$ ); 也可以表示 36 里面有 ( ) 个( )。计算时用到的乘法口诀是( ), 根据这个乘法口诀还可以写出另一个除法算式是 $(\quad)$ 。

算术

36 除以 4 等于 $9 \quad 36 \quad 4 \quad 9 \quad 4 \quad 9$ 四九三十六 $36 \div 9=4$

【分析】 根据平均分的意义以及用乘法口诀求商的方法进行解答即可。

【详解】 $36 \div 4=9$ 读作: 36 除以 4 等于 9 , 可以表示把 36 平均分成 4 , 每份是 9 ; 也可以表示 36 里面有 4 个 9 。计算时用到的乘法口诀是四九三十六, 根据这个乘法口诀还可以写出另一个除法算式是 $36 \div 9$ $=4$ 。

【点睛】熟练掌握乘法的意义以及乘法和除法的关系是解题关键。


Answer:
$5 \quad 32 \quad 64$

【分析】先根据乘法口诀求出等号左边算式的结果也就是等号右边算式的商, 再根据乘法口诀填空即可。

【详解】 $56 \div 8=7=35 \div 5$

$48 \div 6=8=32 \div 4$

$4 \times 2=8=64 \div 8$

【点睛】解答本题关键是熟练掌握乘法口诀正确进行计算。

Question:
填一填。

$56 \div 8=35 \div(\quad) \quad 48 \div 6=(\quad) \div 4 \quad 4 \times 2=(\quad) \div 8$

算术

$5 \quad 32 \quad 64$

【分析】先根据乘法口诀求出等号左边算式的结果也就是等号右边算式的商, 再根据乘法口诀填空即可。

【详解】 $56 \div 8=7=35 \div 5$

$48 \div 6=8=32 \div 4$

$4 \times 2=8=64 \div 8$

【点睛】解答本题关键是熟练掌握乘法口诀正确进行计算。


Answer:
$9 \quad 6$

【分析】有 36 个气球, 挂 4 行, 求每行挂几个, 用除法计算; 如果每行挂 6 个, 求可以挂几行, 用除法计算。

【详解】 $36 \div 6=9$ (个)

$36 \div 6=6($ 行 $)$

【点睛】本题主要考查表内除法的计算。

Question: 有 36 个气球, 挂 4 行, 平均每行挂 ( )个; 如果每行挂 6 个, 可以挂 ( )行。

算术

$9 \quad 6$

【分析】有 36 个气球, 挂 4 行, 求每行挂几个, 用除法计算; 如果每行挂 6 个, 求可以挂几行, 用除法计算。

【详解】 $36 \div 6=9$ (个)

$36 \div 6=6($ 行 $)$

【点睛】本题主要考查表内除法的计算。


Answer:
$56 \div 8=7$

【解析】略

Question: 被除数是 56 , 除数是 8 ，商是 7 。算式是 (

算术


Answer:
$6 \quad 6 \div 3=6$

【解析】略

Question: 18 里面连续减去 $\quad$ ) 个 3 , 结果等于 0 。列式为 $(\quad)$ 。

算术


Answer:
8

【解析】略

Question: 现在有 32 个鸡蛋, 要把这 32 个鸡蛋放到 4 个篮子里, 每个篮子里可以放( ) 个鸡蛋。

算术


Answer:
三九二十七

【分析】根据与 9 有关的乘法口诀进行解答即可。

【详解】由分析得：计算 $27 \div 3$ 时, 用到的乘法口决是三九二十七。

【点睛】此题的关键是要熟练掌握乘法口诀。

Question: 计算 $27 \div 3$ 时, 用到的乘法口决是 ( )。

算术

三九二十七

【分析】根据与 9 有关的乘法口诀进行解答即可。

【详解】由分析得：计算 $27 \div 3$ 时, 用到的乘法口决是三九二十七。

【点睛】此题的关键是要熟练掌握乘法口诀。


Answer:
36 除以 4 等于 $9 \quad 36 \quad 4 \quad 9 \quad 4 \quad 9 \quad 9 \quad 4$

【分析】根据除法算式的各部分名称, 读出这个算式, 再根据平均除法与包含除法的意义解答此题。

【详解】 $36 \div 4=9$ 这个算式读作: 36 除以 4 等于 9 。被除数是 36 , 除数是 4 , 商是 9 。把 36 平均分成 4 份, 每份是 9 。还可以表示 36 里有 9 个 4 。

【点睛】熟练掌握除法算式的读写法, 再根据平均除法与除法的意义完成填空是此题的关键。

Question:
$36 \div 4=9$ 这个算式读作 (
  )。其中被除数是(
  ) , 除数是 (
  ) , 商是 (
  表示把 36 平均分成 () 份。每份是 (
  )。还可以表示 36 里面有 (
  ) 个(

算术

36 除以 4 等于 $9 \quad 36 \quad 4 \quad 9 \quad 4 \quad 9 \quad 9 \quad 4$

【分析】根据除法算式的各部分名称, 读出这个算式, 再根据平均除法与包含除法的意义解答此题。

【详解】 $36 \div 4=9$ 这个算式读作: 36 除以 4 等于 9 。被除数是 36 , 除数是 4 , 商是 9 。把 36 平均分成 4 份, 每份是 9 。还可以表示 36 里有 9 个 4 。

【点睛】熟练掌握除法算式的读写法, 再根据平均除法与除法的意义完成填空是此题的关键。


Answer:
$28 \div 4=7 \quad 28 \div 7=4$

【分析】先根据“四七二十八”可知乘法算式: $4 \times 7=28$, 用积除以其中的一个因数就会得到另一个因数。

【详解】根据“四七二十八”这句口诀写出两个除法算式是 $28 \div 4=7$ 和 $28 \div 7=4$ 。

【点睛】本题考查了运用乘法口诀计算表内乘除法, 注意要熟记口诀。

Question: 用口诀“四七二十八”写出两个除法算式是( )和( )。

算术

$28 \div 4=7 \quad 28 \div 7=4$

【分析】先根据“四七二十八”可知乘法算式: $4 \times 7=28$, 用积除以其中的一个因数就会得到另一个因数。

【详解】根据“四七二十八”这句口诀写出两个除法算式是 $28 \div 4=7$ 和 $28 \div 7=4$ 。

【点睛】本题考查了运用乘法口诀计算表内乘除法, 注意要熟记口诀。


Answer: $6 \quad 3$

Question: 学校买了 24 个足球, 如果把这些足球平均分给 4 个队, 那么每队可以分到( )。如果每队分 8 个足球，那么可以分给( $\quad$ )队。

算术


Answer: 6

Question: 有 48 个苹果 ,每 8 个装一袋, 可以装 $(\quad)$ 袋。

算术


Answer:
$7 \quad 4$

【分析】根据题意, 把一根 32 米长的绳子, 平均截成 8 段, 截的次数比平均截成的段 8 少 1 次, 即 7 次; 要求每段是多少米, 用绳子的长度 32 米除以截成的段数 8 即可。

【详解】根据题意可得:

截的次数是: $8-1=7$ (次)

每段的长度是: $32 \div 8=4$ (米)

所以需要截 ( 7 ) 次, 每段是 ( 4 ) 米。

【点睛】截绳子问题, 截的次数比截成的段数少 1 , 然后再根据题意进一步解答即可。

Question: 一根 32 米长的绳子, 平均截成 8 段, 需要截 ) 次，每段是 $(\quad)$ 米。

算术

$7 \quad 4$

【分析】根据题意, 把一根 32 米长的绳子, 平均截成 8 段, 截的次数比平均截成的段 8 少 1 次, 即 7 次; 要求每段是多少米, 用绳子的长度 32 米除以截成的段数 8 即可。

【详解】根据题意可得:

截的次数是: $8-1=7$ (次)

每段的长度是: $32 \div 8=4$ (米)

所以需要截 ( 7 ) 次, 每段是 ( 4 ) 米。

【点睛】截绳子问题, 截的次数比截成的段数少 1 , 然后再根据题意进一步解答即可。


Answer: 356

Question: 一个乘数是 5 , 另一个乘数是 7 , 积是 $(\quad)$; 被除数是 42 , 除数是 7 , 商是 $(\quad)$ 。

算术


Answer: $35 \quad 6$

Question: 猜一猜, $\triangle \div 5=7, \triangle$ 代表( ); $42 \div \square=7$, $\square$ 表示 $(\quad)$ 。

算术


Answer:
$6 \times 8=48 \quad 48 \div 6=8$

【分析】口诀“六八四十八”中, 6 和 8 是两个因数, 积是 48 , 由此写出两个乘法算式, 再根据乘法和除法的互逆关系, 写出两道除法算式。

【详解】 口诀“六八四十八”可以写成的乘法算式是: $6 \times 8=48$ 或 $8 \times 6=48$可以写成的除法算式是: $48 \div 6=8$ 或 $48 \div 8=6$

【点睛】本题考查了乘除法最基础的内容乘法口诀, 要熟记口诀, 并能根据口诀写出乘法和除法算式。

Question: 根据口块“六八四十八”可以写出两道算式为( )或( )。

算术

$6 \times 8=48 \quad 48 \div 6=8$

【分析】口诀“六八四十八”中, 6 和 8 是两个因数, 积是 48 , 由此写出两个乘法算式, 再根据乘法和除法的互逆关系, 写出两道除法算式。

【详解】 口诀“六八四十八”可以写成的乘法算式是: $6 \times 8=48$ 或 $8 \times 6=48$可以写成的除法算式是: $48 \div 6=8$ 或 $48 \div 8=6$

【点睛】本题考查了乘除法最基础的内容乘法口诀, 要熟记口诀, 并能根据口诀写出乘法和除法算式。


Answer:
$\quad 3 \times 7=21 \quad 21 \div 3=7$

【分析】根据三七二十一这句乘法口诀可以写出两道乘法算式和两道除法算式。

【详解】三七二十一
$3 \times 7=21$

$7 \times 3=21$

$21 \div 3=7$

$21 \div 7=3$

【点睛】本题主要考查了一句乘法口诀可以写出乘法算式和除法算式。

Question:
根据乘法口块“三七二十一”写出一个乘法算式是(

), 再写出一个除法算式是 $(\quad)$ 。

算术

$\quad 3 \times 7=21 \quad 21 \div 3=7$

【分析】根据三七二十一这句乘法口诀可以写出两道乘法算式和两道除法算式。

【详解】三七二十一
$3 \times 7=21$

$7 \times 3=21$

$21 \div 3=7$

$21 \div 7=3$

【点睛】本题主要考查了一句乘法口诀可以写出乘法算式和除法算式。


Answer:
5

【分析】根据“被除数 $\div$ 除数 $=$ 商”, 再根据 8 的乘法口诀即可得出答案。

【详解】 $40 \div 8=5$, 所以商是 5 。

【点睛】本题考查学生对用 8 的乘法口诀求商的掌握和运用。

Question: 被除数是 40 ，除数是 8 ，商是 $(\quad)$ 。

算术

5

【分析】根据“被除数 $\div$ 除数 $=$ 商”, 再根据 8 的乘法口诀即可得出答案。

【详解】 $40 \div 8=5$, 所以商是 5 。

【点睛】本题考查学生对用 8 的乘法口诀求商的掌握和运用。


Answer:
$<=<>$

【分析】计算出左边或右边式子的结果, 再进行比较即可。

【详解】 $10 \div 2=5,5<10$, 则 $10 \div 2<10 ; 28 \div 7=4$, 则 $4=28 \div 7$;

$3+3=6,3 \times 3=9,6<9$, 则 $3+3<3 \times 3 ; 48 \div 6 \div 2=4,4>3$, 则 $48 \div 6 \div 2>3$

【点睛】此题的关键是要灵活运用乘法口诀, 并掌握 20 以内的数的大小比较。

Question:
在 ( ) 里填上“ $>” “>”$ 或“ $=”$ 。

$10 \div 2(\quad) 104(\quad) 28 \div 7 \quad 3+3(\quad) 3 \times 3 \quad 48 \div 6 \div 2(\quad) 3$

算术


Answer:
$\begin{array}{lllll}8 & 7 & 36 & 8 & 2\end{array}$

【分析】 根据 $8 、 6 、 4$ 的乘法口决来解题即可。

【详解】 (1) 三八二十四, 所以 $3 \times 8=24$;

(2) 七八五十六, 所以 $56 \div 7=8$;

$(3)$ 六六三十六, 所以 $36 \div 6=6$;

(4) 二四得八, 所以 $8 \div 2=4$ (答案不唯一)。

【点睛】掌握表内乘、除法是解题的关键。

Question:
在 $(）$ 里填上适当的数。

$3 \times(\quad)=24 \quad 56 \div(\quad)=8 \quad(\quad) \div 6=6 \quad(\quad) \div(\quad)=4$

算术

$\begin{array}{lllll}8 & 7 & 36 & 8 & 2\end{array}$

【分析】 根据 $8 、 6 、 4$ 的乘法口决来解题即可。

【详解】 (1) 三八二十四, 所以 $3 \times 8=24$;

(2) 七八五十六, 所以 $56 \div 7=8$;

$(3)$ 六六三十六, 所以 $36 \div 6=6$;

(4) 二四得八, 所以 $8 \div 2=4$ (答案不唯一)。

【点睛】掌握表内乘、除法是解题的关键。


Answer:
$\quad 21 \quad 7 \quad 3 \quad 21 \quad 3 \quad 7 \quad 21 \div 7=3$

【分析】数清楚星星的总数和圆圈中星星的数量, 再根据除法的意义进行解答即可。

【详解】有 21 个凸, 按每 7 个分一份, 可以分成 3 份, 也就是 21 里面有 3 个 7 ; 可以列式为: $21 \div 7$ $=3$ 。

【点睛】本题考查学生对表内除法以及除法意义的掌握和运用。

Question:
<ImageHere>

有

) 个出, 按每 (

)个分一份，可以分成(

) 份，也就是 (

)里面有

( )个( ) 算式: ( )。

算术

$\quad 21 \quad 7 \quad 3 \quad 21 \quad 3 \quad 7 \quad 21 \div 7=3$

【分析】数清楚星星的总数和圆圈中星星的数量, 再根据除法的意义进行解答即可。

【详解】有 21 个凸, 按每 7 个分一份, 可以分成 3 份, 也就是 21 里面有 3 个 7 ; 可以列式为: $21 \div 7$ $=3$ 。

【点睛】本题考查学生对表内除法以及除法意义的掌握和运用。


Answer:
7

【分析】 35 里面有几个 5 就可以买几块这样的手帕, 用除法解答即可。

【详解】 $35 \div 5=7$ (块)

【点睛】本题考查除法, 明确除法的意义是解题的关键。

Question: 一块手帕 5 元, 35 元钱可以买 ()块这样的手帕。

算术

7

【分析】 35 里面有几个 5 就可以买几块这样的手帕, 用除法解答即可。

【详解】 $35 \div 5=7$ (块)

【点睛】本题考查除法, 明确除法的意义是解题的关键。


Answer:
9 七九六十三 $7 \times 9=63 \quad 9 \times 7=63 \quad 63 \div 9=7$

【分析】算除法和乘法时, 我们一般运用乘法口诀进行计算。

【详解】 $63 \div 7=9$, 想口决: 七九六十三, 用这句口决还可以算的算式有 $7 \times 9=63,9 \times 7=63,63 \div 9$ $=7$ 。

【点睛】本题考查除法, 明确根据乘法口诀算除法是解题的关键。

Question: $63 \div 7=(\quad)$, 想口诀: ( ), 用这句口决还可以算的算式有

算术

9 七九六十三 $7 \times 9=63 \quad 9 \times 7=63 \quad 63 \div 9=7$

【分析】算除法和乘法时, 我们一般运用乘法口诀进行计算。

【详解】 $63 \div 7=9$, 想口决: 七九六十三, 用这句口决还可以算的算式有 $7 \times 9=63,9 \times 7=63,63 \div 9$ $=7$ 。

【点睛】本题考查除法, 明确根据乘法口诀算除法是解题的关键。


Answer:
$\begin{array}{llll}10 & 8 & 7\end{array}$

【详解】略

Question:
在括号里填上合适的数。
$(\quad)+4 \times 7=38$
$64 \div 8=($
$2 \times($
)$=14$

算术

$\begin{array}{llll}10 & 8 & 7\end{array}$

【详解】略


Answer:
$\quad 12 \quad 20 \quad 8$

【分析】一张桌子有 4 条腿, 求 3 张桌子和 5 张桌子分别有多少条腿, 用乘法计算; 32 条腿有多少张桌子, 用除法计算。

【详解】 $3 \times 4=12$ (条)

$5 \times 4=20$ (条)

$32 \div 4=8$ (张)

【点睛】此题考查表内乘除法的简单应用。

Question:
一张桌子 4 条腿, 3 张桌子 (

)条腿, 5 张桌子 (

)条腿

)张桌子 32

条腿。

算术

$\quad 12 \quad 20 \quad 8$

【分析】一张桌子有 4 条腿, 求 3 张桌子和 5 张桌子分别有多少条腿, 用乘法计算; 32 条腿有多少张桌子, 用除法计算。

【详解】 $3 \times 4=12$ (条)

$5 \times 4=20$ (条)

$32 \div 4=8$ (张)

【点睛】此题考查表内乘除法的简单应用。


Answer:
$48 \quad 6 \quad 8$

【详解】略

Question:
二（2）班有男生 25 人，女生 23 人，共有学生( )人，如果每组 8 人，可分成(
组, 如果每组 6 人, 可分成( )组。

算术


Answer:
34

【详解】略

Question: 24 块蛋糕, 每 8 块装一盒, 可以装( )盒; 如果每 6 块装一盒, 可以装( )盒。

算术


Answer:
$5 \quad 35 \div 7=5$

【详解】略

Question: 35 天有 ( )个星期。算式是( )。

算术


Question:
在括号里填上“>”“<”或“=”。
(1) $5 \mathrm{~cm}(\quad) 5 \mathrm{~m}$
(2) $45 \div 5(\quad) 45 \div 9$
(3) $4 \times 7(\quad) 5 \times 6$
(4) $1 \mathrm{~m}(\quad) 99 \mathrm{~cm}$
(5) $18 \div 3(\quad) 2 \times 3$
(6) $3 \times 5(\quad) 3+5$

算术


Answer:
9

【分析】用每排站的人数乘排数可以计算出做课间操的同学一共有多少人, 再用做课间操的同学总数
除以实际站的排数, 就可以计算出平均每排站多少人。

【详解】 $6 \times 6 \div 4$

$=36 \div 4$

$=9$ (人)

平均每排站 9 人。

【点睛】本题考查归总问题的解题方法, 解题关键是抓住归总问题总数不变, 再利用每排站的人数、站的排数、做课间操的同学总数之间的关系, 列式计算。

Question: 同学们排队做课间操。如果每排站 6 人，可以站 6 排；如果站成 4 排，平均每排站( )人。

算术

9

【分析】用每排站的人数乘排数可以计算出做课间操的同学一共有多少人, 再用做课间操的同学总数
除以实际站的排数, 就可以计算出平均每排站多少人。

【详解】 $6 \times 6 \div 4$

$=36 \div 4$

$=9$ (人)

平均每排站 9 人。

【点睛】本题考查归总问题的解题方法, 解题关键是抓住归总问题总数不变, 再利用每排站的人数、站的排数、做课间操的同学总数之间的关系, 列式计算。


Answer:
$\quad 6 \quad 9 \quad 9 \quad 54 \quad 54 \quad 6 \quad 9$

【分析】根据表内乘法口诀即可解答。

【详解】 $6 \times 9=54 \quad 54 \div 6=9$

【点睛】本题主要考查表内乘法口诀的灵活运用。

Question:
根据口诀“六九五十四”写算式。

)$\times(\quad)=(\quad)(\quad) \div(\quad)=(\quad)$

算术

$\quad 6 \quad 9 \quad 9 \quad 54 \quad 54 \quad 6 \quad 9$

【分析】根据表内乘法口诀即可解答。

【详解】 $6 \times 9=54 \quad 54 \div 6=9$

【点睛】本题主要考查表内乘法口诀的灵活运用。


Answer: $2 \mathrm{~kg} \quad 400 \mathrm{~g} \quad 30 \mathrm{~kg}$

Question:
下面的物品有多重, 请填在括号里。
<ImageHere>

$(\quad)$

<ImageHere>

(

度量几何学

$2 \mathrm{~kg} \quad 400 \mathrm{~g} \quad 30 \mathrm{~kg}$


Answer: $\mathrm{x}$

Question: 长 1 米的木棒比 100 厘米的铁丝短。

度量几何学


Answer: $\mathrm{x}$

Question: 数学课本封面的长是 20 米。

度量几何学


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 我沿着学校操场的跑道跑了一圈, 刚好跑了 400 厘米。

度量几何学


Answer: $\sqrt{ }$

Question:
<ImageHere>
这个图形中有 1 个角。

度量几何学


Answer: $x$

Question: 一个角的两边越长, 角的度数越大。

度量几何学


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 角都有一个顶点, 两条边。

度量几何学


Answer: $\times$

Question: 一个角的两边越长, 角的度数越大。

度量几何学


Answer: $\mathrm{x}$

Question: 直角比钝角和锐角都大。

立体几何学


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 观察球时，不管从哪个方向看，看到的形状都是圆。（ ）

立体几何学


Answer: 1)

Question:
是在上面看到的。

<ImageHere>

<ImageHere>

(1)

<ImageHere>

(2)

<ImageHere>

(3)

画法几何学


Answer: 2)

Question:
果看到的是

<ImageHere>

<ImageHere>

(1)

<ImageHere>

(2)

<ImageHere>

(3)

<ImageHere>

(2)

<ImageHere>

(3)

画法几何学


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 从不同的角度观察物体, 看到的形状不一定相同。

变换几何


Answer: (3)

Question:
面的照片是在房子后边拍的。
<ImageHere>

(1)

变换几何


Answer: 2)

Question:
到的照片正好是左右相反的。

(1)其琪和果果

(2) 果果和乔乔

(3)其琪和乔乔

<ImageHere>

变换几何


Answer: [](本地图片-3673.jpg)

Question:
画出下面各图形的对称轴。

<ImageHere>

变换几何


Answer: $\square \quad \square \quad \square \quad \circ \quad \circ$

Question:
下列现象是平移的在括号里画 “ $\bigcirc$ ”, 是旋转的在括号里画 “ $\square$ ”。
   <ImageHere>

$(\quad)$

变换几何

$\square \quad \square \quad \square \quad \circ \quad \circ$


Answer: 3)

Question:
个物体, 从某个位置看到的图形是长方形, 这个物体的形状不可能是

<ImageHere>

(1)

<ImageHere>

(2)

<ImageHere>

(3)

组合几何学


Answer: $\mathrm{x}$

Question: 个同学站成一排合影, 一共有 3 种站法。

组合数学


Answer: $\mathrm{x}$

Question: 爸爸有 4 件上衣, 3 条裤子。每次只穿 1 件上衣和 1 条裤子, 一共有 7 种不同的穿法。

组合数学


Answer: $\mathrm{x}$

Question: 有三个同学, 每两人握一次手, 一共要握 6 次手。

组合数学


Answer:
(1) $364 \quad 24$

(2) 4

【解析】(1)

略

(2)

略

Question:
<ImageHere>

(1)有 $(\quad)$ 束气球，每束有 (

) 个，一共(

)个。

(2)把这些气球平均分给 6 个小朋友, 每人分得 (

)个。

组合数学


Answer:
$\quad 8 \quad 5$

【详解】略

9.

Question:
用 48 个 $O$ 可以拼摆成 (

$$
\text { )朵 }
$$

<ImageHere>

用 25 个口可以摆成(

<ImageHere>

9.

组合数学


Answer:
$\quad 8 \quad 6$

【分析】共有 24 根小棒, 摆一个三角形需要 3 根, 可以摆的个数用总根数除以一个三角形需要的根数; 摆一个正方形需要 4 根小棒, 可以摆的个数用总根数除以一个正方形需要的根数即可解答。

【详解】 $24 \div 3=8$ (个)

$24 \div 4=6$ (个)

用 24 根小棒可以摆成 8 个三角形或 6 个正方形。

【点睛】本题主要考查了表内除法的应用。

Question:
用 24 根小棒可以摆成(

<ImageHere>
)个廿。

计数

$\quad 8 \quad 6$

【分析】共有 24 根小棒, 摆一个三角形需要 3 根, 可以摆的个数用总根数除以一个三角形需要的根数; 摆一个正方形需要 4 根小棒, 可以摆的个数用总根数除以一个正方形需要的根数即可解答。

【详解】 $24 \div 3=8$ (个)

$24 \div 4=6$ (个)

用 24 根小棒可以摆成 8 个三角形或 6 个正方形。

【点睛】本题主要考查了表内除法的应用。


Answer: 63

Question: 18 根小棒可以摆成 ( ) 个 , 如果是摆 , 可以摆 ( ) 个。

计数


Answer: 2

Question: 摆一个用 3 根小棒, 6 根小棒能摆 ( ) 个』。

计数


Answer: $ \times$

Question: 39 里面最多有 7 个 6 。

计数


Answer: 数学

Question:
他们分别拿着语文、数学、英语书, 根据对话内容可知, 小兰拿着 ( ）书。

<ImageHere>

逻辑题


Answer: 灰 白

Question: 小花兔、小灰兔和小白兔三只兔子在赛跑。小花兔说: “我跑得不是最快的, 但比小白兔快。”请你说说, 小 ( ) 兔跑得最快, 小 ( ) 兔跑得最慢。

逻辑题


Answer: (1) $11 \quad 101 \quad$ (2) 合 喜 天

Question:
仔细观察, 可以发现一些数字与汉字是轴对称图形, 请按要求写一写。

$$
\begin{array}{lllllllllll}
11 & 38 & 54 & 66 & 79 & 101 & \text { 合家欢喜连天 }
\end{array}
$$

(1) 找出是轴对称图形的数字: (

(2) 找出是轴对称图形的汉字: (

)。

图论


Answer:
直

【分析】根据直角、钝角的意义, 90 度角是直角, 大于 90 度小于 180 度的角叫做钝角。由生活经验可知: 钟面上 3 时整, 时针与分针所成的角是直角。

【详解】据分析可知: 3 时整，时针与分针所成的角是直角。

【点睛】此题考查的目的是理解掌握直角、钝角的意义及应用。

Question: 3 时整, 时针与分针所成的角是 $(\quad)$ 角。

解析几何

直

【分析】根据直角、钝角的意义, 90 度角是直角, 大于 90 度小于 180 度的角叫做钝角。由生活经验可知: 钟面上 3 时整, 时针与分针所成的角是直角。

【详解】据分析可知: 3 时整，时针与分针所成的角是直角。

【点睛】此题考查的目的是理解掌握直角、钝角的意义及应用。


Answer: \quad 1,2$.

Question: 已知命题 $\mathrm{p}:|\mathrm{x}-1| \geq 2$ 和命题 $\mathrm{q}: \mathrm{x} \in \mathrm{Z}$. 若 “ $p$ 且 $q$ ” 与 “非 $\mathrm{q}$ ” 同时为假命题, 求实数 $x$ 的值

逻辑题

由命题 $p:|x-1| \geqslant 2$, 得到命题 $P: x-1 \geqslant 2$ 或 $x-1 \leqslant-2$, 即命题 $P: x \geqslant 3$ 或 $x \leqslant-1$; $ecause
eg q$ 为假命题, $	herefore$ 命题 $q: x \in Z$ 为真命题, 再由 “ $p$ 且 $q$ ” 为假命题, 知命题 $P: x \geqslant 3$或 $x \leqslant-1$ 是假命题, 故 $-1<x<3, x \in Z ， 	herefore$ 满足条件的 $x$ 的值为: $0,1,2$, 故答案为 $0,1,2$.


Answer:
$\left(rac{5}{4}, 2
ight]$

Question: 已知命题 $P: \forall x \in R, \log _{2}\left(x^{2}+x+a\right)>0$ 恒成立, 命题 $Q: \exists x_{0} \in[-2,2]$, 使得 $2^{\mathrm{a}} \leqslant$ $2^{x_{0}}$, 若命题 $P \wedge Q$ 为真命题, 则实数 $a$ 的取值范围为

逻辑题

因为命题P: $orall x \in R, \log _{2}\left(x^{2}+x+a
ight)>0$ 恒成立,所以 $x^{2}+x+a-1>0$ 对于 $orall x \in R$ 恒成立, 即 $\Delta=1-4(a-1)<0$, 解得 $a>$ $rac{5}{4}$;因为命题 $Q: \exists x_{0} \in[-2,2]$, 使得 $2^{a} \leq 2^{x_{0}}$, 所以 $a \leq 2$. 因为命题 $P \wedge Q$ 为真命题,<ImageHere>


Answer: $orall x<1, \quad x^{2}+2 x+1>0$

Question: 命题 “ $\exists x<1, \quad x^{2}+2 x+1 \leq 0$ ” 的否定是

逻辑题

特称命题的否定是全称命题, 命题 “ $\exists x<1, x^{2}+2 x+1 \leq 0$ ” 的否定是: “ $orall x$ $<1, x^{2}+2 x+1>0$ ”.故答案为 $orall x<1, x^{2}+2 x+1>0$.


Question: “若 $x<0$, 则 $x^{2}>x$ ” 的否命题是 \$ \qquad \$命题. （请在 “真” 或 “假”中选择恰当的一个填在横线上）

逻辑题

命题 “若 $\mathrm{x}<0$, 则 $\mathrm{x} 2>\mathrm{x}$ ” 的否命题是: “若 $\mathrm{x} \geq 0$, 则 $\mathrm{x} 2 \leq \mathrm{x}$ ”,这是一个假命题,如 $x=3$,则 $x^{2}>x$. 故答案为假.


Answer: 1

Question: 命题 “若 $a>-3$, 则 $a>-6$ ” 的逆命题、否命题、逆否命题中, 真命题的个数为

逻辑题

因为在命题的四种形式中原命题和逆否命题互为逆否命题, 同真同假,否命题和逆命题互为逆否命题同真同假.$ecause$ 原命题 “若 $a>-3$, 则 $a>-6$ ” 为真命题; 逆命题 “若 $a>-6$, 则 $a>-$ 3 ” 是假命题, $	herefore$ 命题的逆否命题为真命题, 否命题为假命题. 故答案为 1 .


Answer: 答案: $m>2$

Question: 17. 已知命题 $p:\left|1-\frac{x+1}{2}\right| \leq 1$, 命题 $q: x^{2}-2 x+1-m^{2}<0(m>0)$, 若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件, 则实数 $m$ 的范围是

逻辑题

: 解答: 命题 $p$ 首先化简为 $-1 \leq x \leq 3$, 命题 $q$ 是二次不等式, $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件说 明当 $-1 \leq x \leq 3$ 时不等式 $x^{2}-2 x+1-m^{2}<0$ 恒成立, 故 $\left\{\begin{array}{l}(-1)^{2}-2 \times(-1)+1-m^{2}<0, \\ 3^{2}-2 \times 3+1-m^{2}<0,\end{array}\right.$ 又 $m>0$, 故可解得 $m>2$
分析: 本题主要考查了绝对值不等式的解法, 解决问题的关键是根据绝对值不等式的解法结合命题的关系分析计算即可


Answer: 答案: $\left(a_{1}-1\right)+\left(a_{2}-2\right)+\cdots+\left(a_{7}-7\right)=\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{7}\right)-(1+2+\cdots+7)$

Question: 16. 完成反证法证题的全过程. 设 $\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots, \mathrm{a}_{7}$ 是 $1,2, \ldots, 7$ 的一个排列,求证: 乘积 $\mathrm{p}=\left(\mathrm{a}_{1}-1\right)\left(\mathrm{a}_{2}-2\right) \ldots\left(\mathrm{a}_{2}-7\right)$ 为偶数. 证明:假设 $\mathrm{p}$ 为奇数, 则 $\mathrm{a}_{1}-1, \mathrm{a}_{2}-2, \ldots, \mathrm{a}_{7}-7$ 均为奇数. 因奇数个奇数之和为奇数, 故有奇数 $=$ \$ \qquad \$ $=0$.但 $0 \neq$ 奇数, 这一矛盾说明 $\mathrm{p}$ 为偶数.

逻辑题

: 解答: 因为 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{7}$ 是 $1,2,3, \cdots$ 的一个排列, 所以 $\left(a_{1}-1\right)+\left(a_{2}-2\right)+\cdots+\left(a_{7}-7\right)$ $=\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{7}\right)-(1+2+\cdots+7)=0$, 所以答案为
$\left(a_{1}-1\right)+\left(a_{2}-2\right)+\cdots+\left(a_{7}-7\right)=\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{7}\right)-(1+2+\cdots+7)$.

分析: 本题主要考查了反证法的应用, 解决问题的关键是根据所给证明步骤进行分析即可.


Answer: ：答案: (3)(1)(2)

Question:
10. 用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:

(1) $\angle A+\angle B+\angle C=90^{\circ}+90^{\circ}+\angle C>180^{\circ}$, 这与三角形内角和为 $180^{\circ}$ 矛盾, 故假设错误.

(2)所以一个三角形不能有两个直角.

(3)假设 $\triangle A B C$ 中有两个直角, 不妨设 $\angle A=90^{\circ}, \angle B=90^{\circ}$.

上述步骤的正确顺序为 \$ \qquad \$ .(填序号)

逻辑题

：【解答】根据反证法知, 上述步骤的正确顺序应为(3)(1)(2)

【分析】本题主要考查了反证法与放缩法, 解决问题的关键是根据反证法的步骤分析判断即可.


Answer:
$\left(rac{1}{2}, 2
ight)$

Question: 命题 $p: a^{2}-a-2<0$, 命题 $q:$ 函数 $y=1 g\left(a x^{2}-x+a\right)$ 的定义域为 $R$, 若 “ $\mathrm{p}$ 且 $q$ ” 为真命题, 则 $\mathrm{a}$ 的取值范围是

代数

因为当命题 $p: a^{2}-a-2<0$ 为真时, $-1<a<2$;当命题 $q$ : 函数 $y=1 g\left(a x^{2}-x+a
ight)$ 的定义域为 $R$ 为真时, $\left\{egin{array}{l}a>0 \ 1-4 a^{2}<0\end{array}
ight.$, 解析得 $a>rac{1}{2}$. 要 “ $p$ 且 $q$ ” 为真命题, 则 $p$ 与 $q$ 都是真命题, 所以 $a$ 的取值范围是 $rac{1}{2}<$ $a<2$. 故答案为 $\left(rac{1}{2}, 2
ight)$.


Answer: 答案: $a b \geq 9$

Question: 20. 若正数 $\mathrm{a} . \mathrm{~b}$ 满足 $a b=a+b+3$, 则 $a b$ 的取值范围是

代数

: 解答: 由 $\mathrm{a} . \mathrm{~b}$ 均为正数, 有 $a+b \geq 2 \sqrt{a b}$, 则 $a b \geq 2 \sqrt{a b}+3$, 利用换元法设 $t=\sqrt{a b}$ $(t>0)$, 解得 $t \leq-1$ (舍), 或 $t \geq 3$, 即 $a b \geq 9$.

分析: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用, 解决问题的关键是根据基本不等式分析进行即可


Answer: 答案: 9

Question: 21. 已知 $0<x<1$, 则函数 $y=\frac{4}{x}+\frac{1}{1-x}$ 的最小值为 \$ \qquad \$ .

代数

: 解答: 由 $0<x<1 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x>0 \\ 1-x>0\end{array}\right.$,而

$y=\frac{4}{x}+\frac{1}{1-x}=\frac{4}{x}-4+\frac{1}{1-x}-1+5=\frac{4(1-x)}{x}+\frac{x}{1-x}+5 \geq 2 \sqrt{4}+5=9$, 当且仅当 $x=\frac{2}{3}$

时, 上式取“=”,所以 $y_{\text {min }}=9$.

分析: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用, 解决问题的关键是根据所给不等式分析计算即可


Answer: $\left[x_{3}, x_{4}\right]$.

Question:
15.如图 1-1-5 所示, 函数 $y=f(x)$ 在 $\left[x_{1}, x_{2}\right],\left[x_{2}, x_{3}\right],\left[x_{3}, x_{4}\right]$ 这几个区间内, 平均变化率最大的一个区间是 \$ \qquad \$ .

<ImageHere>

图 1-1-5

代数

： $\left[x_{3}, x_{4}\right]$

由平均变化率的定义可知, 函数 $y=f(x)$ 在区间 $\left[x_{1}, x_{2}\right],\left[x_{2}, x_{3}\right],\left[x_{3}, x_{4}\right]$ 上的平均变化率分别为: $\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}, \frac{f\left(x_{3}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{3}-x_{2}}, \frac{f\left(x_{4}\right)-f\left(x_{3}\right)}{x_{4}-x_{3}}$, 结合图象可以发现函数 $y$ $=f(x)$ 的平均变化率最大的一个区间是 $\left[x_{3}, x_{4}\right]$.


Answer: 答案: $[-1,3]$

Question: 15. 对于任意实数 $a(a \neq 0)$ 和 $b$ 不等式 $|a+b|+|a-b| \geq|a||x-1|$ 恒成立, 则实数 $\mathrm{x}$ 的取值范围是

代数

：解答：依题意可得 $|x-1| \leq\left|1-\frac{b}{a}\right|+\left|1+\frac{b}{a}\right|$ 恒成立, 等价于 $|x-1|$ 小于或等于 $\left|1-\frac{b}{a}\right|+\left|1+\frac{b}{a}\right|$ 的 最 小 值. 因 为 $\left|1-\frac{b}{a}\right|+\left|1+\frac{b}{a}\right| \geq\left|\left(1-\frac{b}{a}\right)+\left(1+\frac{b}{a}\right)\right|=2$. 所 以 $|x-1| \leq 2, \therefore x \in[-1,3]$.

分析: 本题主要考查了绝对值不等式的解法, 解决问题的关键是根据绝对值不等式的性质分析计算即可


Answer: 答案: $[-2,5]$

Question: 18. 若不等式 $|x+3|+|x-7| \geq a^{2}-3 a$ 的解集为 $R$, 则实数 $a$ 的取值范围是 $—$.

代数


Answer: 答案: $a>10$

Question: 19. 如果关于 $\mathrm{x}$ 的不等式 $|x-10|+|x-20|<a$ 的解集不是空集, 则实数 $\mathrm{a}$ 的取值范围为

代数

: 解答: $|x-10|+|x-20|$ 表示 $\mathrm{x}$ 轴上的点到点 10 和 20 的距离和, 因为 $\mathrm{x}$ 轴上的点 10 和 20 的距离是 10 , 所以 $|x-10|+|x-20|<a$ 的解集不是空集的话 $\mathrm{a}>10$.

分析: 本题主要考查了绝对值不等式的解法, 解决问题的关键是根据绝对值的性质分析计算即可


Answer: 答案: $(-7,-1] \cup[5,11)$

Question: 20. 不等式 $3 \leq|x-2|<9$ 的解集为 \$ \qquad \$

代数

：解答: 不等式 $3 \leq x-2 \mid<9$ 可化为 $\left\{\begin{array}{l}|x-2| \geq 3 \\ |x-2|<9\end{array}\right.$

由 $|x-2| \geq 3$ 得 $x-2 \geq 3$ 或 $x-2 \leq-3$. 解得 $x \geq 5$ 或 $x \leq-1$

由 $|x-2|<9$ 得 $-9<x-2<9$, 解得 $-7<x<11$

将上述结果用数轴表示出来, 如图示。

解得不等式 $3 \leq x-2 \mid<9$ 的解集为 $(-7,-1] \cup[5,11)$

<ImageHere>

分析: 本题主要考查了绝对值不等式的解法, 解决问题的关键是根据绝对值的几何意义结合数轴分析计算即可


Answer:
答案: $-x^{5}$

【解析】 $\left(x-\frac{1}{7 x}\right)^{7}$ 的展开式的第 2 项为 $T_{2}=C_{7} \cdot\left(-\frac{1}{7}\right)^{1} \cdot x^{5}=-x^{5}$,

故答案为: $-x^{5}$.

Question: $\left(x-\frac{1}{7 x}\right)^{7}$ 的展开式的第 2 项为

代数


Answer: :答案: 充要

Question: 15. 设 $p, q$ 均为实数, 则 “ $q<0$ ” 是“方程 $x^{2}+p x+q=0$ 有一个正实根和一个负实根” 的条件.(选填：充要.必要不充分.充分不必要.既不充分也不必要)

代数

:【解答】 $\because q<0, \therefore \Delta=p^{2}-4 q>0$.

$\therefore$ “方程 $x^{2}+p x+q=0$ 有一个正实根和一个负实根”成立.

$\because “$ 方程 $x^{2}+p x+q=0$ 有一个正实根和一个负实根”成立, $\therefore q<0$

【分析】本题主要考查了分析法与综合法, 解决问题的关键是根据所给条件 $q<0$, 可得 $\Delta$ $=p^{2}-4 q>0$ ，然后分析判断即可.


Answer: 答案: $a^{2}+b^{2}-2 a b \geq 0 \quad(a-b)^{2} \geq 0 \quad(a-b)^{2} \geq 0$

Question:
16. 补足下面用分析法证明基本不等式 $\frac{a^{2}+b^{2}}{2} \geq a b$ 的步骤:

要证明 $\frac{a^{2}+b^{2}}{2} \geq a b$,

只需证明 $a^{2}+b^{2} \geq 2 a b$,
只需证

只需证 \$ \qquad \$
由于显然成立, 因此原不等式成立.

代数

:【解答】要证明

$$
\frac{a^{2}+b^{2}}{2} \geq a b
$$

只需证明 $a^{2}+b^{2} \geq 2 a b$,

只需证 $a^{2}+b^{2}-2 a b \geq 0$,

只需证 $(a-b)^{2} \geq 0$,

由于 $(a-b)^{2} \geq 0$ 显然成立, 因此原不等式成立

【分析】本题主要考查了分析法与综合法, 解决问题的关键是根据分析法的怎么步骤分析计算即可.


Answer: 答案: 偶

Question: 17. 设 $y=f(x)(x \in \mathbf{R}, x \neq 0)$ 对任意非零实数 $x_{1}, x_{2}$ 均满足 $f\left(x_{1} x_{2}\right)=f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)$, 则 $f(x)$ 为函数. (填 “奇” 或 “偶”)

代数

：解答：因为 $\mathrm{f}(1 \times 1)=\mathrm{f}(1)+\mathrm{f}(1)$, 所以 $\mathrm{f}(1)=0$,

$\mathrm{f}[(-1) \times(-1)]=\mathrm{f}(-1)+\mathrm{f}(-1)=0$, 所以 $\mathrm{f}(-1)=0, \mathrm{f}[(-1) \mathrm{x}]=\mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{f}(-1)$,

即 $\mathrm{f}(-\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 所以 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是偶函数.

分析: 本题主要考查了综合法, 解决问题的关键是根据所给条件和所求结论运用综合法分析计算即可证明问题.


Answer: 答案: $a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n} \leq \sqrt{n}$

Question:
19. 请阅读下列材料: 若两个正实数 $\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}$ 满足 $\mathrm{a}_{1}{ }^{2}+\mathrm{a}_{2}{ }^{2}=1$, 那么 $\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{2} \leq \sqrt{2}$.

证明: 构造函数 $\mathrm{f}(x)=\left(x-\mathrm{a}_{1}\right)^{2}+\left(x-\mathrm{a}_{2}\right)^{2}=2 x^{2}-2\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{2}\right) x+1$, 因为对一切实数 $x$, 恒有 $\mathrm{f}(x) \geq 0$,所以 $\Delta \leq 0$, 从而得 $4\left(a_{1}+a_{2}\right)^{2}-8 \leq 0$, 所以 $a_{1}+a_{2} \leq \sqrt{2}$.

根据上述证明方法, 若 $\mathrm{n}$ 个正实数满足 $\mathrm{a}_{1}{ }^{2}+\mathrm{a}_{2}{ }^{2}+\ldots+\mathrm{a}_{\mathrm{n}}{ }^{2}=1$ 时, 你能得到的结论为 \$ \qquad \$ .

代数

: 解答: 构造函数 $\mathrm{f}(x)=\left(x-\mathrm{a}_{1}\right)^{2}+\left(x-\mathrm{a}_{2}\right)^{2}+\ldots+\left(x-\mathrm{a}_{n}\right)^{2}=\mathrm{n} x^{2}-2\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{2}+\ldots+\mathrm{a}_{n}\right) x+1$,因为对一切实数 $x$, 恒有 $\mathrm{f}(x) \geq 0$, 所以 $\Delta \leq 0$, 从而得 $4\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{2}+\ldots+\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right)^{2}-4 \mathrm{n} \leq 0$,所以 $\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{2}+\ldots+\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \leq \sqrt{n}$.

分析: 本题主要考查了公理化思想, 解决问题的关键是根据所给条件与结论之间的联系进行构造函数, 运用公理化思想进行分析计算即可得到所求结论.


Answer: 答案: 9

Question: 20. 设 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 为正数, 若 $a+b+c=1$, 则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq$ \$ \qquad \$ .

代数

: 解答: 因为 $a+b+c=1$, 所以 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$ $=3+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c} \geq 3++2+2+2=9$.

分析: 本题主要考查了综合法, 解决问题的关键是根据所给条件结合所求命题进行分析计算即可.


Answer:
答案: $\frac{3}{16}$

解析：由题意得 $P(X=4)=\mathrm{C}_{5}^{+}\left(\frac{1}{2}\right)^{+} \times\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{32}, \quad P(X=5)=\mathrm{C}_{5}^{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{32}$,

$\therefore P(X \ldots 4)=P(X=4)+P(X=5)=\frac{5}{32}+\frac{1}{32}=\frac{3}{16}$

Question: 若 $X \sim B\left(5, \frac{1}{2}\right)$, 则 $P(X \geq 4)=$

代数


Answer: $\sqrt{3}$

Question: 若复数 $z$ 满足 $z \cdot z=3$ 则 $|z|=$

代数

设 $z=a+b \mathrm{i}(a, b \in \mathrm{R})$ 有 $z \cdot z=a^{2}+b^{2}=3, \mid z \models \sqrt{3}$


Answer: $-rac{5}{4}$

Question:
执行如图所示的程序框图, 若输入 $x=10$, 则输出 $\mathrm{y}$ 的值为

<ImageHere>

结束

代数

本题程序框图实际上是迭代求函数值, 条件是函数值与自变量的差的绝对值小于 1 时就停止, 输出 $^{y}$.把初始值 10 代入计算,最后可得结论 ${ }^{-rac{5}{4}}$


Answer: 答案: $(0,1)$

Question: 已知复数 ${ }^{z=\frac{1}{i} \text {, 则 }}{ }^{z}$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点的坐标为

代数

答案: $(0,1)$

解析: 复数 $z=\frac{1}{\mathrm{i}}=\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{i}^{2}}=-\mathrm{i}$, 故 $\bar{z}=\mathrm{i}$, 得 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点的坐标为 $(0,1)$.


Answer: $\{a \mid a<-27$ 或 $a>5\}$

Question: 已知曲线 $f(x)=-x^{3}+3 x^{2}+9 x+a$ 与 $x$ 轴只有一个交点, 则实数 $a$ 的取值范围为

代数


Answer: 答案: $a_{5}>b_{5}$

Question: 18. 在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和等差数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=b_{1}>0, a_{3}=b_{3}>0, a_{1} \neq a_{3}$, 则 $a_{5}$ 与 $b_{5}$ 的大小关系为

算术

：解答：设公比为 $q$, 公差为 $d$. 则 $a_{3}=a_{1} q^{2}, b_{3}=b_{1}+2 d=a_{1}+2 d$,

由 $\mathrm{a}_{3}=\mathrm{b}_{3}, \therefore 2 \mathrm{~d}=\mathrm{a}_{1}\left(\mathrm{q}^{2}-1\right)$.

又 $\because \mathrm{a}_{1} \neq \mathrm{a}_{3}, \quad \therefore \mathrm{q}^{2} \neq 1$.

$\therefore \mathrm{a}_{5}-\mathrm{b}_{5}=\mathrm{a}_{1} \mathrm{q}^{4}-\left(\mathrm{a}_{1}+4 \mathrm{~d}\right)=\mathrm{a}_{1}\left(\mathrm{q}^{2}-1\right)^{2}>0 . \therefore \mathrm{a}_{5}>\mathrm{b}_{5}$.

分析: 本题主要考查了综合法的思考过程、特点及应用, 解决问题的关键是根据所求命题与所给条件综合分析计算比较大小即可.


Answer: :答案：质数只有有限多个除 $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ 之外

Question:
11. 用反证法证明质数有无限多个的过程如下:假设 \$ \qquad \$ . 设全体质数为 $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, 令 $p=p_{1} p_{2} \ldots p_{n}+1$.

显然, $p$ 不含因数 $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ 故 $p$ 要么是质数, 要么含有 \$ \qquad \$的质因数. 这表明, 除质数 $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ 之外, 还有质数, 因此原假设不成立.于是, 质数有无限多个。

算术

:【解答】由反证法的步骤可得, 应假设质数只有有限多个, 故 $p$ 要么是质数, 要么含有除 $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ 之外的质因数

【分析】本题主要考查了反证法与放缩法, 解决问题的关键是根据反证法的证明原理进行具体分析判断步骤即可.


Answer:
<ImageHere>

$$
k \pi-\frac{\pi}{4}(k \in \mathbf{Z})
$$

Question: 若复数 $\cos \theta-i \sin \theta$ 与 $-\sin \theta+i \cos \theta(\theta \in \mathbf{R})$ 相等, 则 $\theta=$ \$ \qquad \$。

算术

答案:

$$
k \pi-\frac{\pi}{4}(k \in \mathbf{Z})
$$

解析：由复数相等的条件得 $\cos \theta=-\sin \theta$,

$$
\theta=k \pi-\frac{\pi}{4}(k \in \mathbf{Z})
$$


Answer:
答案: 24

【解析】分三步来完成:第一步,放第一个小球,有 4 种放法;

第二步,放第二个小球, 有 3 种放法;

第三步,放第三个小球, 有 2 种放法.

根据分步乘法计数原理. 得共有 $4 \times 3 \times 2=24$ 种放法.

Question: 个不同的小球放入 4 个不同的盒子,每个盒子至多放 1 个小球,共有种放法.

组合数学

答案: 24

【解析】分三步来完成:第一步,放第一个小球,有 4 种放法;

第二步,放第二个小球, 有 3 种放法;

第三步,放第三个小球, 有 2 种放法.

根据分步乘法计数原理. 得共有 $4 \times 3 \times 2=24$ 种放法.


Answer:
答案: 192

【解析】 不能被 5 整除实质上是末位数字不是 0 或 5 ,则可以在全部符合条件的四位数中排除末位数字是 0 或 5 的即可; 所有 4 位数有 $A_{5}^{3} \cdot A_{5}^{3}=300$ 个, 末位为 0 时有 $A_{5}^{3}=60$ 个, 末位为 5 时有 $A_{1}^{2} \cdot A_{4}^{2}=4 \times 12=48$ 个, 则不能被 5 整除的数共有有 $300-60-48=192$ 个;

Question:
在由数字 $0,1,2,3,4,5$ 所组成的没有重复数字的四位数中, 不能被 5 整除的数共有个. (用数字作答)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_7da760c0cd38339a5113g-

组合数学


Answer: 253

Question:
杨辉, 字谦光, 南宋时期杭州人, 在他 1261 年所著的一书中, 辑录了如图所示的角形数表, 称之为“开方作法本源”图, 并说明此表引自 11 世纪中叶（约公元 1050 年)贾宪的 “释锁算术》并绘画了“古法七乘方图”, 故此, 杨辉三角又被称为“贾宪三角”, 杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表, 一般形式如图: 基于上述规律, 可以推测, 当 $n=23$ 时, 从左往右第 22 个数为 \$ \qquad \$ .

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_7da760c0cd38339a5113g-

组合数学


Answer: 1

Question:
将三项式 $\left(x^{2}+x+1\right)^{n}$ 展开,当 $n=0,1,2,3, \cdots$ 时,得到以下等式:

$\left(x^{2}+x+1\right)^{0}=1$

$\left(x^{2}+x+1\right)^{1}=x^{2}+x+1$

$\left(x^{2}+x+1\right)^{2}=x^{4}+2 x^{3}+3 x^{2}+2 x+1$

$\left(x^{2}+x+1\right)^{3}=x^{6}+3 x^{5}+6 x^{4}+7 x^{3}+6 x^{2}+3 x+1$

观察多项式系数之间的关系, 可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形, 其构造方法为: 第 0 行为 1 , 以下各行每个数是它正头顶上与左右两肩上 3 个数 (不足 3 个数的, 缺少的数记为 0 )的和, 第 $k$ 行共有 $2 k+1$ 个数, $\left(x^{2}+x+1\right)^{5}(1+a x)$ 在的展开式中, $x^{7}$ 项的系数为 75 ,则实数 $a$ 的值为

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_7da760c0cd38339a5113g-

组合数学


Answer:
答案:2

【解析】由图(2)可得: $S_{1}=1, S_{2}=2, S_{3}=2, S_{4}=4, S_{5}=2, S_{6}=4, S_{7}=4, S_{8}=8, \ldots$,由此可以发现: 第一行 1 个 1 , 即第 $2^{1-1}$ 行有 $2^{1-1}$ 个 1 , 第二行 2 个 1 , 即第 $2^{2-1}$ 行有 $2^{2-1}$ 个 1 , 第四行 4 个 1 , 即第 $2^{3-1}$ 行有 $2^{3-1}$ 个 1 , 第八行 8 个 1 , 即第 $2^{4-1}$ 行有 $2^{4-1}$ 个 $1, \ldots$, 因
为 $32=2^{6-1}$, 所以第 $2^{6-1}$ 行有 $2^{6-1}$ 个 1 , 即第 32 行的数全为奇数, 由杨辉三角形的特点可得第 33 行应为 2 个奇数, 即 $S_{33}=2$.

Question:
我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中, 用图(1)的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列, 俗称“杨辉三角形”, 该数表的规律是每行首尾数字均为 1 , 从第三行开始, 其余的数字是它 “上方” 左右两个数字之和。现将杨辉三角形中的奇数换成 1 , 偶数换成 0 , 得到图(2)所示的由数字 0 和 1 组成的三角形数表, 由上往下数, 记第 $n$ 行各数字的和为 $S_{n}$, 如 $S_{1}=1, S_{2}=2, S_{3}=2, S_{4}=4, S_{5}=2, \ldots \ldots$, 则 $S_{33}=$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_7da760c0cd38339a5113g-

组合数学


Answer:
答案:$n^{2}+2$

解析:

Question:
如图, 一个类似杨辉三角的数阵, 请写出第 $n(n \geq 2)$ 行的第 2 个数为

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_7da760c0cd38339a5113g-

组合数学


Answer: (1)(4)

Question:
已知 $\alpha, \beta, \gamma$ 是三个平面, $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 是两条直线, 有下列四个命题:

(1)如果 $\mathrm{m} \perp \alpha, \mathrm{m} \subset \beta$ ，那么 $\alpha \perp \beta$;

(2)如果 $\mathrm{m} \perp \mathrm{n}, \mathrm{m} \perp \alpha$ ，那么 $\mathrm{n} / / \alpha$;

(3)如果 $\alpha \perp \beta, \mathrm{m} / / \alpha$, 那么 $\mathrm{m} \perp \beta$;

(4)如果 $\alpha / / \beta, \alpha \cap \gamma=m, \beta \cap \gamma=n$, 那么 $m / / n$.

其中正确的命题有 . (写出所有正确命题的序号)

立体几何学

(1)由面面垂直的判定定理可知, 如果 $m \perp \alpha, m \subset eta$, 那么 $\alpha \perp eta$; 故(1)正确.(2)如果 $\mathrm{m} \perp \mathrm{n}, \mathrm{m} \perp \alpha$ ，那么 $\mathrm{n} / / \alpha$ 或 $\mathrm{n} \subset \alpha$; 故(2)错误；(3)如果 $\alpha \perp eta, m / / \alpha$, 那么 $m$, $eta$ 位置关系不确定; 故(3)错误;(4)如果 $\alpha / / eta, \alpha \cap \gamma=m, eta \cap \gamma=n$, 那么 $m / / n$. 正确.故答案为(1)(4).


Answer: (1)(4)

Question:
已知 $\alpha, \beta, \gamma$ 是三个平面, $m, n$ 是两条直线, 有下列四个命题:

(1)如果 $\mathrm{m} \perp \alpha, \mathrm{m} \subset \beta$, 那么 $\alpha \perp \beta$;

(2)如果 $\mathrm{m} \perp \mathrm{n}, \mathrm{m} \perp \alpha$, 那么 $\mathrm{n} / / \alpha$;

(3)如果 $\alpha \perp \beta, \mathrm{m} / / \alpha$, 那么 $\mathrm{m} \perp \beta$;

(4)如果 $\alpha / / \beta, \alpha \cap \gamma=m, \beta \cap \gamma=n$, 那么 $m / / n$.

其中正确的命题有 . (写出所有正确命题的序号)

立体几何学

(1)由面面垂直的判定定理可知, 如果 $\mathrm{m} \perp \alpha, \mathrm{m} \subset eta$, 那么 $\alpha \perp eta$; 故(1)正确.(2)如果 $\mathrm{m} \perp \mathrm{n}, \mathrm{m} \perp \alpha$ ，那么 $\mathrm{n} / / \alpha$ 或 $\mathrm{n} \subset \alpha$; 故(2)错误;(3)如果 $\alpha \perp eta, \mathrm{m} / / \alpha$ ，那么 $\mathrm{m}, eta$ 位置关系不确定; 故(3)错误;(4)如果 $\alpha / / eta, \alpha \cap \gamma=m, eta \cap \gamma=n$, 那么 $m / / n$. 正确.故答案为(1)(4).


Answer: 答案: (1)(4)

Question:
15. 如图, 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $P$ 为 $B D_{1}$ 的中点, 则 $\triangle P A C$ 在该正方体各个面上的射影可能是 \$ \qquad \$ .

<ImageHere>

立体几何学

：解答：由所给的正方体知, $\triangle \mathrm{PAC}$ 在该正方体上下面上的射影是(1), $\triangle \mathrm{PAC}$ 在该正方体左右面上的射影是(4), $\triangle \mathrm{PAC}$ 在该正方体前后面上的射影是(4)故答案为: (1) (4)

分析: 本题主要考查了直角三角形的射影定理, 解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理根据点的投影的做法, 做出 $\triangle \mathrm{PAC}$ 在该正方体各个面上的射影, 这里应该有三种情况, 做出在前后面上的投影, 在上下面上的投影, 在左右面上的投影, 得到结果.


Answer: 答案: 3

Question: 7. 已知柱坐标系 $O x y z$ 中, 点 $M$ 的柱坐标为 $\left(2, \frac{\pi}{3}, \sqrt{5}\right)$, 则 $|O M|=$

立体几何学

：解答：因为 $(\rho, \theta, z)=\left(2, \frac{\pi}{3}, \sqrt{5}\right)$,

设 $M$ 的直角坐标为 $(x, y, z)$, 则 $x^{2}+y^{2}=\rho^{2}=4$, 所以

$|O M|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\sqrt{4+(\sqrt{5})^{2}}=3$.

分析: 本题主要考查了柱.球坐标系与空间直角坐标系的区别, 解决问题的关键是根据柱.球坐标系与空间直角坐标系的区别转化计算即可


Answer: 答案: $(3,3 \sqrt{3}, 0)$

Question: 8. 点 $M$ 的球坐标为 $\left(6, \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}\right)$, 则它的直角坐标为

立体几何学

: 解答: $x=6 \cdot \sin \frac{\pi}{2} \cdot \cos \frac{\pi}{3}=3, y=6 \sin \frac{\pi}{2} \cdot \sin \frac{\pi}{3}=3 \sqrt{3}, z=6 \cos \frac{\pi}{2}=0, \therefore$ 它的直角坐标为 $(3,3 \sqrt{3}, 0)$.

分析: 本题主要考查了球坐标刻画点的位置, 解决问题的关键是转化为直角坐标即可


Answer: 答案: $\frac{5 \sqrt{3}}{6} \pi$

Question: 13. 正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 1 , 在正方体的表面上与点 $A$ 距离为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 的点形成一条曲线, 这条曲线的长度为

立体几何学

:【解答】这条曲线在面 $A D D_{1} A_{1}$ 上的一段是以 $A$ 为圆心, $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 为半径, 管为圆心角的一段圆弧, 在面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上的一段是以 $A_{1}$ 为圆心, $\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3} \frac{1}{3}$ 为半径, $\frac{\pi}{2}$ 为圆心角的一段圆弧, 由正方体的对称性知, 这条曲线的长度为 $3\left(\frac{\pi}{6} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3}+\frac{\pi}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{5 \sqrt{3}}{6} \pi$

【分析】本题主要考查了分析法与综合法, 解决问题的关键是根据所给条件分析得到曲线在
面 $A D D_{1} A_{1}$ 上的一段是以 $A$ 为圆心, $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 为半径, $\frac{\pi}{6}$ 为圆心角的一段圆弧, 然后计算即可.


Answer:
答案: $\frac{10}{3}$

.

Question:
16. 如图, $\mathrm{AB} / / \mathrm{CD} / / \mathrm{EF}, \mathrm{AF}, \mathrm{BE}$ 相交于点 $\mathrm{O}$, 若 $\mathrm{AO}=\mathrm{OD}=\mathrm{DF}, \mathrm{BE}=10 \mathrm{~cm}$, 则 $\mathrm{BO}=$ $\mathrm{cm}$.

<ImageHere>

组合几何学

: 解答: 如图,过点 $\mathrm{O}$ 作 $1 / / \mathrm{AB}$, 则 $1 / / \mathrm{AB} / / \mathrm{CD} / / \mathrm{EF} \because \mathrm{AO}=\mathrm{OD}=\mathrm{DF}, \therefore \mathrm{BO}=\mathrm{OC}=\mathrm{CE}, \therefore$ $\mathrm{BO}=\frac{1}{3} \mathrm{BE}=\frac{10}{3} \mathrm{~cm}$.

<ImageHere>

分析: 本题主要考查了平行线等分线段定理, 解决问题的关键是根据平行线等分线段定理计算即可.


Answer: 答案: 6

Question:
17. 如图, 在正方形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 中, $O^{\prime}$ 是两条对角线 $A^{\prime} C^{\prime}$ 与 $B^{\prime} D^{\prime}$ 的交点, 作 $O^{\prime} F^{\prime} / / C^{\prime} D^{\prime}$ 交 $A^{\prime} D^{\prime}$ 于点 $F^{\prime}$, 且正方形边长等于 12 , 则 $A^{\prime} F^{\prime}=$

<ImageHere>

组合几何学

: 解答: 因为四边形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 是正方形,$O^{\prime}$ 是 $A^{\prime} C^{\prime}$ 与 $B^{\prime} D^{\prime}$ 的交点, 所以 $A^{\prime} O^{\prime}=O^{\prime} C^{\prime}$. 又因为 $O^{\prime} F^{\prime} / / C^{\prime} D^{\prime}$, 所以 $A^{\prime} F^{\prime}=F^{\prime} D^{\prime}$, 即 $A^{\prime} F^{\prime}=\frac{1}{2} A^{\prime} D^{\prime}=\frac{1}{2} \times 12=6$.

分析: 本题主要考查了平行线等分线段定理, 解决问题的关键是根据平行线等分线段定理计算即可.


Answer: 答案: 8

Question:
18. 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\mathrm{AD}$ 是 $\mathrm{BC}$ 边上的中线, $\mathrm{M}$ 是 $\mathrm{AD}$ 的中点, $\mathrm{BM}$ 的延长线交 $\mathrm{AC}$ 于点 $\mathrm{N}, \mathrm{AN}=4 \mathrm{~cm}$,
则 $\mathrm{CN}=$ $\mathrm{cm}$.

度量几何学

：解答：如图, 过点 $\mathrm{D}$ 作 $\mathrm{DE} / / \mathrm{BN}$, 交 $\mathrm{AC}$ 于点 $\mathrm{E} . \because \mathrm{D}$ 为 $\mathrm{BC}$ 的中点, $\therefore \mathrm{NE}=\mathrm{EC}$. 又 $\because \mathrm{M}$ 为 $\mathrm{AD}$ 的中点, $\mathrm{MN} / / \mathrm{DE}, \therefore \mathrm{AN}=\mathrm{NE}, \therefore \mathrm{AN}=\mathrm{NE}=\mathrm{EC} . \therefore \mathrm{CN}=2 \mathrm{AN}=8 \mathrm{~cm}$.

<ImageHere>

分析: 本题主要考查了平行线等分线段定理, 解决问题的关键是根据平行线等分线段定理方向计算即可.


Answer: 7

Question:
9. 如图,在梯形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{AD} / / \mathrm{EF} / / \mathrm{BC}, \mathrm{BE}=3 \mathrm{AE}, \mathrm{AD}=3, \mathrm{EF}=4$,则 $\mathrm{BC}=$

<ImageHere>

度量几何学

: 解答: 如图,

<ImageHere>

分别取 $\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ 的中点 $\mathrm{G}, \mathrm{H}$, 连接 $\mathrm{GH}$,

则 $\mathrm{GH}$ 为梯形 $\mathrm{ABCD}$ 的中位线, $\mathrm{EF}$ 为梯形 $\mathrm{AGHD}$ 的中位线,

故 $\mathrm{GH}=2 \mathrm{EF}-\mathrm{AD}=2 \times 4-3=5, \mathrm{BC}=2 \mathrm{GH}-\mathrm{AD}=2 \times 5-3=7$.

分析: 本题主要考查了平行线分线段成比例定理, 解决问题的关键是根据平行线分线段成比例定理分析计算即可


Answer: 3

Question: 11. 在极坐标系中, 已知两点 $A, B$ 的极坐标分别为 $\left(3, \frac{\pi}{3}\right),\left(4, \frac{\pi}{6}\right)$, 则 $\triangle A O B$ (其中 0 为极点）的面积为

度量几何学

: 解答: 如图所示, $|O A|=3,|O B|=4, \angle A O B=\frac{\pi}{6}$ ，所以 $S_{\triangle A O B}=\frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \frac{1}{2}=3$.

<ImageHere>

分析: 本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化, 解决问题的关键是根据极坐标与直角坐标系关系计算即可


Answer: 答案: $\frac{1}{3}$

Question:
10. 在 Rt $\triangle \mathrm{ACB}$ 中, $\angle \mathrm{C}=90^{\circ}, \mathrm{CD} \perp \mathrm{AB}$ 于 $\mathrm{D}$, 若 $\mathrm{BD}: \mathrm{AD}=1: 9$, 则 $\tan \angle \mathrm{BCD}=$

<ImageHere>

度量几何学

：解答：在 Rt $\triangle \mathrm{ACB}$ 中, $\mathrm{CD} \perp \mathrm{AB}$, 由射影定理得 $\mathrm{CD}^{2}=\mathrm{AD} \cdot \mathrm{BD}$.

又 $B D ： A D=1: 9$, 令 $B D=x$, 则 $A D=9 x （ x>0 ） . \therefore D^{2}=9 x^{2} . \therefore C D=3 x$.

在 Rt $\triangle \mathrm{CDB}$ 中, $\tan \angle \mathrm{BCD}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{x}}{3 \mathrm{x}}=\frac{1}{3}$

分析: 本题主要考查了直角三角形的射影定理, 解决问题的关键是根据直角三角形的射影定
理结合所给条件计算即可


Answer:
: 答案: $2 \sqrt{3}$

<ImageHere>

Question: 11. 如图, Rt $\triangle A B P$ 中, $\angle A B P=90^{\circ}, B C \perp A P$, 垂足为点 $C$, 且 $A B=2 \sqrt{6}, A C=4$, 则 $P B=$

度量几何学

: 解答: $\because$ 在 Rt $\triangle \mathrm{ABP}$ 中, $\angle \mathrm{ABP}=90^{\circ}, \mathrm{BC} \perp \mathrm{AP}, \therefore \mathrm{AB}=\mathrm{AC} \cdot \mathrm{AP}$, 即 $(2 \sqrt{6})^{2}=4 \mathrm{AP}$, 解得 $\mathrm{AP}=6$.

在 Rt $\triangle \mathrm{ABP}$ 中,由勾股定理, 得 $\mathrm{BP}=\sqrt{\mathrm{AP}^{2}-\mathrm{AB}^{2}}=\sqrt{6^{2}-(2 \sqrt{6})^{2}}=2 \sqrt{3}$.

分析: 本题主要考查了直角三角形的射影定理, 解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理集合所给条件运用勾股定理计算即可


Answer: 8

Question:
13. 如图, 圆 $O$ 上一点 $C$ 在直径 $A B$ 上的射影为 $D$, 点 $D$ 在半径 $O C$ 上的射影为 $E$. 若 $A B=3 A D$,则 $\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EO}}$ 的值为

<ImageHere>

度量几何学

:

解答: 设 $A D=2$, 则 $A B=6$,于是 $B D=4, O D=1$.

<ImageHere>

如图,由射影定理得
$\mathrm{CD}^{2}=\mathrm{AD} \cdot \mathrm{BD}=8$,

则 $\mathrm{CD}=2 \sqrt{2}$.

在 Rt $\triangle \mathrm{OCD}$ 中, $\mathrm{DE}=\frac{\mathrm{OD} \cdot \mathrm{CD}}{\mathrm{OC}}=\frac{1 \times 2 \sqrt{2}}{3}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$则 $\mathrm{CE}=\sqrt{\mathrm{DC}^{2}-\mathrm{DE}^{2}}=\sqrt{8-\frac{8}{9}}=\frac{8}{3}$, $\mathrm{EO}=\mathrm{OC}-\mathrm{CE}=3-\frac{8}{3}=\frac{1}{3}$.因此 $\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EO}}=\frac{\frac{8}{3}}{\frac{1}{3}}=8$.

分析: 本题主要考查了直角三角形的射影定理, 解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理结合所给三角形满足的条件分析计算即可


Answer: 答案: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Question:
16. 如图, Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, C D \perp A B$ 于 $D, B C=\sqrt{3}, A C=3$, 则 $B D=$ \$ \qquad \$ .

<ImageHere>

度量几何学

: 解答: 由勾股定理得 $A B=\sqrt{B C^{2}+A C^{2}}=\sqrt{3+9}=2 \sqrt{3}$. 由直角三角形射影定理, $\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{BD} \times \mathrm{BA}, \quad 3=2 \sqrt{3} \times \mathrm{BD}, \quad \mathrm{BD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

故答案为: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

分析: 本题主要考查了直角三角形的射影定理, 解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理应用勾股定理先求出 $\mathrm{AB}$, 再由直角三角形射影定理, $\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{BD} \times \mathrm{BA}$ 代入数据求出 $\mathrm{BD}$.


Answer: 答案: 5

Question:
17. 如图所示, 圆 0 上一点 $C$ 在直径 $A B$ 上的射影为 $D, C D=4, B D=8$, 则圆 0 的半径等于

<ImageHere>

度量几何学

: 解答: $\mathrm{AB}$ 为圆的直径, $\therefore \angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}$

在 Rt $\triangle \mathrm{ABC}$ 中由射影定理可知 $\mathrm{CD}^{2}=\mathrm{BD} \times \mathrm{AD}, \therefore 16=8 \times \mathrm{AD}$,

$\therefore \mathrm{AD}=2, \quad \therefore$ 半径 $=5$

故答案为: 5

分析: 本题主要考查了直角三角形的射影定理, 解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理先利用 $A B$ 为圆的直径, 判断出 $\triangle A B C$ 为直角三角形, 进而利用射影定理求得 $A D$, 最后根据 $\mathrm{AB}=\mathrm{AD}+\mathrm{BD}$ 求得 $\mathrm{AB}$, 则圆的半径可求.


Answer: 答案: $\frac{9}{2}$

Question:
9. 如图, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $A C \perp B C$, 点 $C$ 在 $A B$ 上的正射影为点 $D$, 且 $A C=3, A D=2$, 则 $A B=$

<ImageHere>

度量几何学

: 解答: $\because \mathrm{AC} \perp \mathrm{CB}$, 又 $\because$ 点 $\mathrm{D}$ 是点 $\mathrm{C}$ 在 $\mathrm{AB}$ 上的正射影, $\therefore \mathrm{CD} \perp \mathrm{AB}, \therefore \mathrm{AC}=\mathrm{AD} \cdot \mathrm{AB}$.

$$
\text { 又 } \because A C=3, A D=2, \therefore A B=\frac{A C^{2}}{A D}=\frac{9}{2}
$$

分析: 本题主要考查了直角三角形的射影定理, 解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理结合所给几何关系分析计算即可


Answer: 答案: $\frac{1}{16}$

Question: 20. 已知 $\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}, \cos \frac{\pi}{5} \cos \frac{2 \pi}{5}=\frac{1}{4}, \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2 \pi}{7} \cos \frac{3 \pi}{7}=\frac{1}{8}, \ldots$, 根据这些结果,猜想 $\cos \frac{\pi}{9} \cos \frac{2 \pi}{9} \cos \frac{3 \pi}{9} \cos \frac{4 \pi}{9}=$

度量几何学

: 解答: 根据题意, 分析所给的等式可得: $\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$, 可化为 $\cos \frac{1 \times \pi}{2 \times 1+1}=\frac{1}{2^{1}}$, $\cos \frac{\pi}{5} \cos \frac{2 \pi}{5}=\frac{1}{4}$, 可化为 $\cos \frac{1 \times \pi}{2 \times 2+1} \cos \frac{2 \times \pi}{2 \times 2+1}=\frac{1}{2^{2}}, \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2 \pi}{7} \cos \frac{3 \pi}{7}=\frac{1}{8}$,可化为 $\cos \frac{1 \times \pi}{2 \times 3+1} \cos \frac{2 \times \pi}{2 \times 3+1} \cos \frac{3 \times \pi}{2 \times 3+1}=\frac{1}{2^{3}}$;

则一般的结论为 $\cos \frac{\pi}{2 n+1} \cos \frac{2 \pi}{2 n+1} \ldots \cos \frac{n \pi}{2 n+1}=\frac{1}{2^{n}}$ ；

$\therefore \cos \frac{\pi}{9} \cos \frac{2 \pi}{9} \cos \frac{3 \pi}{9} \cos \frac{4 \pi}{9}=\cos \frac{\pi}{2 \times 4+1} \cos \frac{2 \pi}{2 \times 4+1} \cos \frac{3 \pi}{2 \times 4+1} \cos \frac{4 \pi}{2 \times 4+1}=$

$$
\frac{1}{2^{4}}=\frac{1}{16}
$$

分析: 本题主要考查了归纳推理, 解决问题的关键是根据所给式子的特征进行归纳得到对应的规律即可.


Answer: 答案: 105

Question:
10. 如图, 若 $\angle \mathrm{BAD}=75^{\circ}$, 则 $\angle \mathrm{BCD}=$

<ImageHere>

度量几何学

：解答： $\mathrm{BAD}$ 是 $\mathrm{BCD}$ 所对的圆周角, $\angle \mathrm{BCD}$ 是 $\mathrm{BAD}$ 所对的圆周角, 则 $\mathrm{BCD}$ 所对的圆心角为 $2 \times 75^{\circ}=150^{\circ}$.

又 $\because \mathrm{BCD}$ 和 $\mathrm{BAD}$ 所对圆心角的和是周角 $360^{\circ}$,

$\therefore \mathrm{BAD}$ 所对圆心角是 $360^{\circ}-150^{\circ}=210^{\circ}$,

$\therefore \mathrm{BAD}$ 所对圆周角 $\angle \mathrm{BCD}=\frac{1}{2} \times 210^{\circ}=105^{\circ}$.

分析: 本题主要考查了圆周角定理, 解决问题的关键是根据圆周角定理结合所给条件计算即可


Answer: 答案: $\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$

Question: 15. 已知 $A(2,1), B(-1,1), O$ 为坐标原点,动点 $M$ 满足 $\overrightarrow{O M}=m \overrightarrow{O A}+n \overrightarrow{O B}$, 其中 $m, n \in \mathbf{R}$, 且 $2 m^{2}-n^{2}=2$, 则 $M$ 的轨迹方程为

解析几何

：解答：设 $M(x, y)$ ，

则 $(x, y)=m(2,-1)+n(-1,1)=(2 m-n, n-m)$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}x=2 m-n_{s} \\ y=n-m .\end{array}\right.$ 又 $2 m^{2}-n^{2}=2$, 消去 $m, n$ 得 $\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$.

分析: 本题主要考查了平面直角坐标系与曲线方程, 解决问题的关键是根据所给条件求解曲线方程即可


Answer: 答案: $\theta=\frac{\pi}{2}+\alpha$

Question: 12. 直线 $x \cos a+y \sin a=0$ 的极坐标方程为

解析几何

：解答： $\rho \cos \theta \cos \alpha+\rho \sin \theta \sin \alpha=0, \cos (\theta-\alpha)=0$, 取 $\theta-\alpha=\frac{\pi}{2}$

分析: 本题主要考查了极坐标系, 解决问题的关键是根据所给方程化为极坐标即可


Answer: :答案: $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$

Question: 13. 在直角坐标系 $\mathrm{xOy}$ 中, 以 $\mathrm{O}$ 为极点, $\mathrm{x}$ 正半轴为极轴建立极坐标系,且在两种坐标系中取相同的单位长度,将点 $\mathrm{P}$ 的极坐标 $\left(2, \frac{\pi}{4}\right)$ 化成直角坐标

解析几何

: 解答: 本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化, 由点 $\mathrm{P}$ 的极坐标为 $\left(2, \frac{\pi}{4}\right)$, 设点 $\mathrm{P}$的直角坐标为 $(\mathrm{x}, \mathrm{y})$,所以 $x=2 \cos \frac{\pi}{4}=\sqrt{2}, y=2 \sin \frac{\pi}{4}=\sqrt{2}$, 故填 $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$

分析: 本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化, 解决问题的关键是根据点的极坐标和直角坐标的互化分析计算即可


Answer: 答案: $2 \sqrt{3}$

Question: 14. 在极坐标系中, 若过点 $(3,0)$ 且与极轴垂直的直线交曲线 $\rho=4 \cos \theta$ 于 $\mathrm{A} . \mathrm{~B}$ 两点, 则 $|A B|=$ \$ \qquad \$ .

解析几何

: 解答: 本题考查极坐标系与直角坐标系的互化, 意在考查考生的运算求解能力. 曲线 $\rho=4 \cos \theta$ 化为直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}-4 x=0$, 过点 $(3,0)$ 且与极轴垂直的直线为 $x=3$ 直线与圆联立得 $A(3, \sqrt{3}), B(3,-\sqrt{3})$, 故 $|A B|=2 \sqrt{3}$. 故本题正确答案为 $2 \sqrt{3}$.

分析: 本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化, 解决问题的关键是根据点的极坐标和直角坐标的互化分析计算即可


Answer: 答案: $-2 \leq a \leq 4$

Question: 16. 若存在实数 $x$ 使 $|x-a|+|x-1| \leq 3$ 成立, 则实数 $a$ 的取值范围是

解析几何

: 解答: 在数轴上, $|x-a|$ 表示横坐标为 $X$ 的点 $P$ 到横坐标为 $\mathrm{a}$ 的点 $\mathrm{A}$ 距离, $|x-1|$ 就表示点 $P$ 到横坐标为 1 的点 $\mathrm{B}$ 的距离, 所以 $(|P A|+|P B|)_{\text {min }}=|a-1|$,

从而 $|a-1| \leq 3$, 解得 $-2 \leq a \leq 4$. 故答案为 $-2 \leq a \leq 4$.

分析: 本题主要考查了绝对值不等式的解法, 解决问题的关键是为使存在实数 $X$ 使 $|x-a|+|x-1| \leq 3$ 成立, 只需 $|\mathrm{x}-\mathrm{a}|+|\mathrm{x}-1|$ 的最小值满足不大于


Answer: 答案: $\theta=\frac{\pi}{6}$ 或 $\theta=\frac{7 \pi}{6}$

Question: 10. 直线 $\frac{\sqrt{3}}{3} x-y=0$ 的极坐标方程为

解析几何

: 解答: 直线方程 $\frac{\sqrt{3}}{3} x-y=0$ 变为 $\frac{\sqrt{3}}{3} \rho \cos \theta-\rho \sin \theta=0$, 即 $\frac{\sqrt{3}}{3} \cos \theta-\sin \theta=0$,故 $\tan \theta=\frac{\sqrt{3}}{3}$, 故 $\theta=\frac{\pi}{6}$ 或 $\theta=\frac{7 \pi}{6}$.所以直线 $\frac{\sqrt{3}}{3} x-y=0$ 的极坐标方程为 $\theta=\frac{\pi}{6}$ 或 $\theta=\frac{7 \pi}{6}$.

分析: 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程, 解决问题的关键是将所给普通方程转化即可


Answer: 答案: $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Question: 11. 在极坐标系中, 曲线 $C_{1}: \rho(\sqrt{2} \cos \theta+\sin \theta)=1$ 与曲线 $C_{2}: \rho=a(a>0)$ 的一个交点在极轴上, 则 $a=$

解析几何

: 解答: 曲线 $C_{1}$ 的直角坐标方程是 $\sqrt{2} x+y=1$, 曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程是 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$,因为曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 的一个交点在极轴上, 所以 $C_{1}$ 与 $\mathrm{x}$ 轴交点的横坐标与 $\mathrm{a}$ 值相等, 由 $y=0, x=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 知 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

分析: 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程, 解决问题的关键是转化为普通方程分析判定即可


Answer: 答案: $\rho \cos \theta=\frac{3}{2}$

Question: 12. 在极坐标系中, 过点 $P\left(3, \frac{\pi}{3}\right)$ 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是

解析几何

: 解答: 因 $3 \times \cos \frac{\pi}{3}=\frac{3}{2}$, 故过点 $P\left(3, \frac{\pi}{3}\right)$ 且垂直于极轴的直线与极轴的交点 $\left(\frac{3}{2}, 0\right)$,因为过 $\left(\frac{3}{2}, 0\right)$ 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 $\rho \cos \theta=\frac{3}{2}$.故过 $P\left(3, \frac{\pi}{3}\right)$ 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 $\rho \cos \theta=\frac{3}{2}$分析: 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程, 解决问题的关键是根据所给极坐标关系分析
即可


Answer: 答案: $\rho \cos \theta=2$

Question: 13. 在极坐标系中, 过点 $\left(2 \sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ 作圆 $\rho=4 \sin \theta$ 的切线, 则切线的极坐标方程为

解析几何

: 解答: 点 $\left(2 \sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ 的直角坐标为 $(2,2)$, 圆 $\rho=4 \sin \theta$ 的直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}-4 y=0$, 配方, 得 $x^{2}+(y-2)^{2}=4$, 所以过点 $(2,2)$ 的圆的切线方程为 $x=2$,化为极坐标方程为 $\rho \cos \theta=2$.

分析: 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程, 解决问题的关键是转化为普通方程分析即可


Answer: 答案: $(x-1)^{2}+y^{2}=1$

Question: 16. 已知圆的极坐标方程是 $\rho=2 \cos \theta$, 那么该圆的直角坐标方程是 \$ \qquad \$

解析几何

: 解答: $\because \rho=2 \cos \theta, \therefore \rho^{2}=2 \rho \cos \theta, \therefore x^{2}+y^{2}=2 x$, 即 $(x-1)^{2}+y^{2}=1$分析: 本题主要考查了圆的极坐标方程, 解决问题的关键是根据所给极坐标方程转化即可


Answer: 答案: $\rho=8 \cos (\theta-\pi)$

Question: 17. 设有半径为 4 的圆, 在极坐标系内它的圆心坐标为 $(4, \pi)$, 则这个圆的极坐标方程是

解析几何

: 解答: 根据公式圆心为 $\left(a, \theta_{0}\right)$, 半径 $a$ 的圆的极坐标方程是 $\rho=2 a \cos \left(\theta-\theta_{0}\right)$ 得此圆的极坐标方程是 $\rho=8 \cos (\theta-\pi)$

分析: 本题主要考查了圆的极坐标方程, 解决问题的关键是根据所给普通方程转化即可


Answer: 答案: $y=x-2$

Question: 18. 圆 $O_{1}$ 和圆 $O_{2}$ 的极坐标方程分别为 $\rho=4 \cos \theta, \rho=-4 \sin \theta$, 则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为 \$ \qquad \$ .

解析几何

: 解答: 圆 $O_{1}: \rho=4 \cos \theta$ 的直角坐标方程为 $(x-2)^{2}+y^{2}=4$, 其圆心为 $O_{1}(2,0)$;圆 $O_{1}: \rho=-4 \sin \theta$ 的直角坐标方程为 $x^{2}+(y+2)^{2}=4$, 其圆心为 $O_{2}(0,-2)$, 由直线两点式方程求得经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为 $y=x-2$ 。

分析: 本题主要考查了圆的极坐标方程, 解决问题的关键是要解决坐标系与参数方程的问题,需将问题转化为直角坐标系的问题


Answer: 答案: $2 \sqrt{3}$

Question: 19. 已知圆的极坐标方程为 $\rho=4 \cos \theta$, 圆心为 $\mathrm{C}$, 点 $\mathrm{P}$ 的极坐标为 $\left(4, \frac{\pi}{3}\right)$, 则 $|\mathrm{CP}|=$ \$ \qquad \$ .

解析几何

: 解答: 由题意知, 圆心坐标为 $(2,0)$, 设点 $\mathrm{P}(x, y)$, 则 $\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, x=\rho \cos \theta=2$,
$y=\rho \sin \theta=2 \sqrt{3}$,

所以点 $\mathrm{P}$ 的坐标为 $(2,2 \sqrt{3})$, 所以 $|\mathrm{CP}|=2 \sqrt{3}$.

分析: 本题主要考查了圆的极坐标方程, 解决问题的关键是化为普通方程分析计算即可


Answer: 答案: $2+\sqrt{3}$

Question: 20. 已知某圆的极坐标方程为 $\rho^{2}-4 \sqrt{2} \rho \cos \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)+6=0$, 若点 $P(x, y)$ 在该圆上, 则 $\frac{y}{x}$ 的最大值是

解析几何

: 解答: 极坐标方程 $\rho^{2}-4 \sqrt{2} \rho \cos \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)+6=0$, 整理的 $(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=2$,圆心 $(2,2)$ 半径 $r=\sqrt{2}, \frac{y}{x}=\frac{y-0}{x-0}$ 看作连接 $(x, y),(0,0)$ 的直线斜率, 当直线与圆相切时,斜率取得最值, 设直线为 $k x-y=0 \therefore \frac{|2 k-2|}{\sqrt{k^{2}+1}}=\sqrt{2} \therefore k=2+\sqrt{3}$

分析: 本题主要考查了圆的极坐标方程, 解决问题的关键是数形结合法将所求 $\frac{y}{x}$ 转化为切线斜率, 进而利用直线与圆相切得到 $\boldsymbol{d}=\boldsymbol{r}$ 求解, 此题用到了数形结合法, 此法解题时经常用到, 本题难度适中


Answer: 答案: $A D=2$ 或 3

Question: 12. 在 Rt $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}, \mathrm{CD} \perp \mathrm{AB}$ 于点 $\mathrm{D}, \mathrm{CD}=\sqrt{6}, \mathrm{AB}=5$, 则 $\mathrm{AD}=$

解析几何

：解答: $\because \angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}, \mathrm{CD} \perp \mathrm{AB}, \therefore \mathrm{CD}^{2}=\mathrm{AD} \cdot \mathrm{DB}$.

$\because \mathrm{CD}=\sqrt{6}, \therefore \mathrm{AD} \cdot \mathrm{DB}=6$. 又 $\because \mathrm{AB}=5, \therefore \mathrm{DB}=5-\mathrm{AD}$.

$\therefore A D(5-A D)=6$,解得 $A D=2$ 或 3 .

分析: 本题主要考查了直角三角形的射影定理, 解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理结合所给条件计算即可


Answer: 10

Question: 14. 直角三角形斜边上的高把斜边分成了 $3: 2$ 两段, 且斜边上的高为 $2 \sqrt{6}$ 厘米, 则斜边长为厘米.

解析几何

：解答：设斜边长为 $5 \mathrm{acm}$,则斜边上的高把斜边分成两段的长分别为 $3 \mathrm{a} \mathrm{cm}, 2 \mathrm{a} \mathrm{cm}$, 则由射影定理得 $3 a \cdot 2 a=(2 \sqrt{6})^{2}$, 解得 $a=2$, 则斜边长为 $5 a=5 \times 2=10(\mathrm{~cm})$.

分析: 本题主要考查了直角三角形的射影定理, 解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理结合所给三角形满足条件分析计算即可


Answer: 答案: $(1, \sqrt{3}, 8)$

Question: 6. 点 $M$ 的柱坐标为 $\left(2, \frac{\pi}{3}, 8\right)\left(2, \frac{\pi}{3}, 8\right)$, 则它的直角坐标为

解析几何

: 解答: $\because x=2 \cos \frac{\pi}{3}=1, y=2 \sin \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}, z=8 . \therefore$ 它的直角坐标为 $(1, \sqrt{3}, 8)$分析: 本题主要考查了柱坐标刻画点的位置, 解决问题的关键是转化即可


Answer: (4, 5)

Question: 已知椭圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{m-3}+\frac{y^{2}}{5-m}=1$, 若其焦点在 $x$ 轴上, 则 $m$ 的取值范围是

解析几何


Answer: $rac{x^{2}}{9}+rac{y^{2}}{5}=1$

Question: 已知过定点 $\mathrm{A}(-2,0)$ 的动圆 $\mathrm{M}$ 与定圆 $\mathrm{B}:(\mathrm{x}-2)^{2}+\mathrm{y}^{2}=36$ 相内切, 则动圆的圆心 $\mathrm{P}$ 的轨迹方程为

解析几何

圆 $B:(x-2)^{2}+y^{2}=36$, 圆心为 $B(2,0)$, 半径为 $r=6$, 设动圆的圆心为 $\mathrm{P}, ecause$ 圆 $\mathrm{M}$ 过点 $\mathrm{A}(-2,0)$, 圆 $\mathrm{M}$ 与圆 $\mathrm{B}$ 相内切, $	herefore|\mathrm{PB}|=6-|\mathrm{PA}|$, 得 $|\mathrm{PB}|+|\mathrm{PA}|=6>|\mathrm{AB}|$ (定值) 因此, 动点 $P$ 的轨迹为以 $A 、 B$ 为焦点的椭圆, $2 a=6, c=2$, 可得 $b=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}:$.椭圆的方程为 $rac{\mathrm{x}^{2}}{9}+rac{\mathrm{y}^{2}}{5}=1$, 即为动圆圆心的轨迹方程.


Answer: $rac{\mathrm{x}^{2}}{25}+rac{\mathrm{y}^{2}}{20}=1$ 由粗圆 $rac{\mathrm{x}^{2}}{9}+rac{\mathrm{y}^{2}}{4}=1$, 得 $\mathrm{a}^{2}=9, \quad \mathrm{~b}^{2}=4, 	herefore \mathrm{c}^{2}=\mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2}=5$, $	herefore$ 该粗圆的焦点坐标为 $( \pm \sqrt{5}, 0)$,设所求粗圆方程为 $rac{x^{2}}{a^{2}}+rac{y^{2}}{b^{2}}=1, a>b>0$, 则 $c=\sqrt{5}$, 又 $rac{c}{a}=rac{\sqrt{5}}{5}$, 得 $a=5, 	herefore b^{2}=25-5=20$, $	herefore$ 所求椭圆方程为: $rac{\mathrm{x}^{2}}{25}+rac{\mathrm{y}^{2}}{20}=1$.

Question: 与粗圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 有相同的焦点, 且离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 的椭圆标准方程为

解析几何


Question: 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{\mathrm{~m}+2}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{4}=1$ 的离心率 $\mathrm{e}=\frac{1}{3}$, 则 $\mathrm{m}$ 的值等于

解析几何


Answer: 8

Question: 粗圆 $\frac{x^{2}}{8}+y^{2}=1$ 的左、右焦点为 $F_{1}, F_{2}$, 点 $P$ 在椭圆上, 则 $\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|$ 最大值为

解析几何

由椭圆方程 $rac{x^{2}}{8}+y^{2}=1$ 可知: $a=2 \sqrt{2},\left|P F_{1}
ight|+\left|P F_{2}
ight|=2 a=4 \sqrt{2}$, 则基本不等式的性质可知: $\left|P F_{1}
ight| \cdot\left|P F_{2}
ight| \leq\left(rac{\left|P F_{1}
ight|+\left|P F_{2}
ight|}{2}
ight)^{2}=8$, 当且仅当 $\left|P F_{1}
ight|=\left|P F_{2}
ight|=2 \sqrt{2}$ 时, 取等号, $\left|P F_{1}
ight| \cdot\left|P F_{2}
ight|$最大值为 8 ,


Answer: $rac{1}{2}$

Question: 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F, A(-a, 0), B(0, b)$ 为椭圆的两个顶点, 若 $F$ 到 $A B$ 的距离等于 $\frac{b}{\sqrt{7}}$, 则粗圆的离心率为

解析几何


Answer: 2 \sqrt{5}$

Question: 椭圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的焦距是 \$ \qquad \$

解析几何


Answer: $rac{5}{4}$

Question: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 已知 $\triangle A B C$ 顶点 $A(-4,0)$ 和 $C(4,0)$, 顶点 $B$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 上, 则 $\frac{\sin A+\sin C}{\sin B}=$ \$ \qquad \$

解析几何

利用椭圆定义得三角形的三边存在 $a+c=2 	imes 5=10, b=2 	imes 4=8$, 由正弦定理得 $rac{\sin A+\sin C}{\sin B}=rac{a+c}{b}=rac{10}{8}=rac{5}{4}$. 故答案为 $rac{5}{4}$.


Answer: 28

Question: 如果 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 的左、右焦点, $A B$ 是双曲线左支上过点 $F_{1}$ 的弦, 且 $|A B|=6$,则 $\triangle A B F_{2}$ 的周长是

解析几何


Answer: $rac{x^{2}}{2}-rac{y^{2}}{2}=1$

Question: 以椭圆 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 长轴的端点为焦点, 以陏圆的焦点为顶点的双曲线方程为

解析几何


Answer:
: $\left\{\begin{array}{l}x^{s}=\frac{x}{2} \\ y^{\prime}=\frac{y}{3}\end{array}\right.$

<ImageHere>

分析: 本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换, 解决问题的关键是根据伸缩变换计算即可

Question: 11. 将点 $P(2,3)$ 变换为点 $(1,1)$ 的一个伸缩变换公式为

变换几何

: $\left\{\begin{array}{l}x^{s}=\frac{x}{2} \\ y^{\prime}=\frac{y}{3}\end{array}\right.$

<ImageHere>

分析: 本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换, 解决问题的关键是根据伸缩变换计算即可


Answer: 答案: $\left\{\begin{array}{c}x^{s}=3 x, \\ y^{\prime}=\frac{1}{2} y\end{array}\right.$

Question: 12. 将点 $P(-2,2)$ 变换为 $P^{\prime}(-6,1)$ 的伸缩变换公式为

变换几何

: 解答: 由伸缩变换公式 $\left\{\begin{array}{c}x^{3}=\lambda x(\lambda>0), \\ y^{3}=\mu y(\mu>0)\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{c}-6=\lambda \times(-2), \\ 1=\mu \times 2,\end{array}\right.$ 所以 $\lambda=3, \mu=\frac{1}{2}$.

故伸缩变换公式为 $\left\{\begin{array}{l}x^{*}=3 x, \\ y^{\prime}=\frac{1}{2} y .\end{array}\right.$
分析: 本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换, 解决问题的关键是根据伸缩变换的原理计算即可


Answer:
答案: 1560

【解析】 依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40 人中任选两人的排列数,所以全班共写了 $A^{2}=40 \times 39=1560$ 条毕业留言,故应填入 1560 .

Question: 某高三毕业班有 40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)

计数

答案: 1560

【解析】 依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40 人中任选两人的排列数,所以全班共写了 $A^{2}=40 \times 39=1560$ 条毕业留言,故应填入 1560 .


Answer:
答案: 112

【解析】 由分层抽样可得, 应从 8 名女生中抽取 2 人, 从 4 名男生中抽取 1 人, 所以不同的抽取方法共有 $\mathrm{C}_{8}^{2} \mathrm{C}_{+}^{1}=112$ 种.

Question: 从 8 名女生和 4 名男生中, 抽取 3 名学生参加某档电视节目, 如果按性别比例分层抽样,则不同的抽取方法数为

计数

答案: 112

【解析】 由分层抽样可得, 应从 8 名女生中抽取 2 人, 从 4 名男生中抽取 1 人, 所以不同的抽取方法共有 $\mathrm{C}_{8}^{2} \mathrm{C}_{+}^{1}=112$ 种.


Answer:
答案:(2)

解析：(1)(3)(4)中的随机变量 $X$ 的所有取值, 我们都可以按照一定的次序一一列出, 因此它们是离散型随机变量; (2)中随机变量 $X$ 可以取某一区间内的一切值, 但无法按一定次序一一列出, 故不是离散型随机变量.

Question:
下列随机变量中不是离散型随机变量的有 .(填序号)

(1)某宾馆每天入住的旅客数量 $X$;

(2)广州某水文站观测到一天中珠江的水位 $X$;

(3) 深圳欢乐谷一日接待游客的数量 $X$;

(4)虎门大桥一天经过的车辆数 $X$.

计数

答案:(2)

解析：(1)(3)(4)中的随机变量 $X$ 的所有取值, 我们都可以按照一定的次序一一列出, 因此它们是离散型随机变量; (2)中随机变量 $X$ 可以取某一区间内的一切值, 但无法按一定次序一一列出, 故不是离散型随机变量.


Answer: $rac{2}{9}$

Question:
若随机变量 $X$ 的分布列为

| $X$ | 0 | 1 |
| :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{2}{3}$ | $m$ |

则 $D(X)=$

计数

由分布列的性质可得 $rac{2}{3}+m=1, 	herefore m=rac{1}{3}$, 由两点分布的方差可得 $D(X)=rac{1}{3} 	imes\left(1-rac{1}{3}
ight)=rac{2}{9}$.


Answer:
答案: $2 p-3$

【解析】$E(X)=0 \cdot(1-p)+1 \cdot p=p$ 则 $E(2 X-3)=2 E(X)-3=2 p-3$ 故答案是 $2 p-3$

Question: 若 $P(X=0)=1-P, P(X=1)=P$, 则 $E(2 X-3)=$

计数


Answer:
答案: $\frac{2}{5}$

【解析】 本题主要考查方差与概率.

已知 $P(\xi=0)=\frac{1}{5}$, 设 $P(\xi=1)=x, P(\xi=2)=y$.

故 $E(\xi)=0 \times \frac{1}{5}+1 \times x+2 \times y=x+2 y=1$ ，

又因为 $\frac{1}{5}+x+y=1$, 所以 $x=\frac{3}{5}, y=\frac{1}{5}$,故 $D(\xi)=\frac{1}{5} \times(0-1)^{2}+\frac{3}{5} \times(1-1)^{2}+\frac{1}{5} \times(2-1)^{2}=\frac{2}{5}$.

Question: 随机变量 $\xi^{\xi}$ 的取值为 $0,1,2$, 若 $P(\xi=0)=\frac{1}{5}, E(\xi)=1$, 则 $D(\xi)=$

计数


Answer: 0.6

Question: 已知随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N\left(40, a^{2}\right)$, 若 $P(\xi<30)=

计数


Answer: 0.3

Question: 随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$, 且 $P(X<-3)=P(X>1)=

计数


Answer: D

Question: , 样本点的中心为 $(4,5)$, 则回归直线方程是

计数

答案: D

解析: 由线性回归方程 $\$=


Answer: 185

Question: 某数学老师身高 $176 \mathrm{~cm}$, 他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 $173 \mathrm{~cm}, 170 \mathrm{~cm}$ 和 $182 \mathrm{~cm}$. 因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 $\mathrm{cm}$.

计数


Answer: $\hat{y}=1.23 x+0.08$

Question: 若回归直线方程的斜率的估计值是

计数


Answer: 4.772

Question:
下表是关于喜欢抢红包与性别是否有关的列联表,依据表中的数据,得到 $K^{2}$ 的观测值 $k$ 为 (结果保留到小数点后三位).

|  | 喜欢抢红包 | 不喜欢抢红包 | 总计 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 女 | 40 | 28 | 68 |
| 男 | 5 | 12 | 17 |
| 总计 | 45 | 40 | 85 |

计数

$, 我们有 $99 \%$ 的把握认为吸烟与患肺病有关系, 而不是在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病, 故 A 不正确; 从独立性检验可知有 $99 \%$ 的把握认为吸烟与患肺病有关系时, 并不是吸烟的人就有 $99 \%$ 的可能患有肺病, 故 B 不正确; 若从统计量中求出有 $95 \%$ 的把握认为吸烟与患肺病有关系, 是指有 $5 \%$ 的可能性使得推断出现错误,C 正确.故选 C.

2.答案: C

解析：在确定两个问题是否相关时, 需进行独立性检验, 故利用独立性检验的方法最有说服力.故选 C.


Answer:
答案: $\frac{3}{8} ; \frac{3}{4}$

【解析】 由已知 $P(A)=\frac{4}{15}, P(B)=\frac{2}{15}, P(A \cap B)=\frac{1}{10}$,

$$
\therefore P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{10}}{\frac{4}{15}}=\frac{3}{8}
$$

$P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{3}{4}$

Question: 某气象台统计, 该地区下雨的概率为 $\frac{4}{15}$, 刮四级以上风的概率为 $\frac{2}{15}$, 既利四级以上的风又下雨的概率为 $\frac{1}{10}$. 设 $A$ 为下雨, $B$ 为刮四级以上的风, 则 $P(B \mid A)=$ $P(A \mid B)=$

统计数学


Answer: 答案: 线段或三角形

Question: 16. 一个等腰直角三角形在平面内的正投影可能是

画法几何学

: 解答: 当直角三角形和平面垂直的时候, 其投影为一条线段, 当直角三角形与平面的夹角不为 $90^{\circ}$ 时, 其投影为三角形.

故答案为: 线段或三角形

分析: 本题主要考查了平行射影, 解决问题的关键是根据平行射影性质结合三角形的位置分情况探讨各线段的投影即可


Answer: 答案: 10

Question:
16. 已知某一项工程的工序流程图如图所示, 其中时间单位为“天”, 根据这张图就能算出工
程的工期，这个工程的工期为天.

<ImageHere>

图论

: 解答: 由题意可知: 工序(1) $\rightarrow$ 工序(4)工时数为 2 , 工序(4) $\rightarrow$ 工序(6)工时数为 2 , 工序 (6) $\rightarrow$ 工序(7)工时数为 5 , 工序(7) $\rightarrow$ 工序(8)工时数为 1 , 所以所用工程总时数为: $2+2+5+1=10$天.

故答案为: 10 .

分析: 本题主要考查了工序流程图 (即统筹图), 解决问题的关键是仔细观察工序流程图,寻找关键路线, 注意利用优选法对重复的供需选择用时较多的. 进而问题即可获得解答.


Answer: 答案: (1)2

Question:
19. 下面的图示中, 是流程图的是

<ImageHere>

图论

: 解答: (1)(2)为流程图, (3)(4)为结构图

分析: 本题主要考查了绘制简单实际问题的流程图, 解决问题的关键是根据流程图与结构图的联系与区别进行分析解决.


Answer: -2 或 1

Question: 若 $2 \in\left\{1, x^{2}+x\right\}$, 则 $x$ 的值为

算术

$2 \in\left\{1, x^{2}+x\right\}$, 故 $2=x^{2}+x \therefore x=1$ 或- 2 , 经检验满足元素的互异性.

故填 -2 或 1

【分析】利用元素和集合的关系结合一元二次方程求根的方法求出 $\mathrm{x}$ 的值, 再用元素的互异性得出满足要求的 $\mathrm{x}$ 的值。


Answer: 6

Question: 已知 $P=\{x \mid 2<x<a, x \in N\}$, 已知集合 $P$ 中恰有 3 个元素, 则整数 $a=$

算术

根据题意得出 3、4、 $4 \in P, 6 \notin P, \therefore\left\{\begin{array}{l}a>5 \\ a \leq 6,\end{array}\right.$ 即 $5<a \leq 6$.

因此, 整数 $a$ 的值为 6 .

【分析】根据题意得出 3、 $4 、 5 \in P, 6 \notin P$, 从而可得出实数 $a$ 的不等式, 解出即可得出整数 $a$ 的值.


Answer: $\{-1,0,3,8\}$

Question: 用列举法表示集合 $M=\left\{m \left\lvert\, \frac{10}{m+2} \in N\right., m \in Z\right\}=$

算术

$\because \frac{10}{m+2} \in N, m \in Z \therefore m+2$ 为 10 的正因数,

$\therefore m+2=1,2,5,10, \quad \therefore m=-1,0,3,8$

故答案为: $\{-1,0,3,8\}$

【分析】利用题目条件, 依次代入, 使 $\frac{10}{m+2} \in N, m \in Z$, 从而确定 $m$ 的值, 即可得到所求集合。


Answer: 1

Question: 计算 $5^{\sqrt{2}} \cdot\left(\frac{1}{5}\right)^{\sqrt{2}}=$

算术


Answer: 19

Question: 计算 $0.027^{-\frac{1}{3}}-\left(-\frac{1}{7}\right)^{-2}+256^{\frac{3}{4}}-3^{-1}+(\sqrt{2}-1)^{0}=$

算术


Answer: $9 ; 6$

Question: 若 $\log _{3} m=2$, 则 $m=$ $2^{\log _{2} 3}+3^{0}+\log _{3} 9=$

算术


Answer: -1

Question:
计算:

$$
\frac{8^{\frac{2}{3}} \times 3^{-\log _{3} 2}}{\ln e+\log _{4} \frac{1}{64}}=
$$

算术


Answer: 22

Question:
计算 $2 \log _{5} 25+3 \log _{2} 64-8 \log _{7} 1=$

$19.2^{a}=3^{b}=k(k>0$ 且 $k \neq 1), \frac{2}{a}+\frac{1}{b}=2$, 则 $k=$

算术

$2 \log _{5} 25+3 \log _{2} 64-8 \log _{7} 1=2 \times 2+3 \times 6-8 \times 0=4+18-0=22$

故答案为: 22

【分析】先算出每一个对数式的值, 再代入进行乘法和加减运算即可.


Answer: $\left\{x \left\lvert\, 0<x \leq \frac{1}{5}\right.\right\}$

Question: 函数 $f(x)=\sqrt{\lg \frac{2}{x}-1}$ 的定义域为

算术

由题意可得, $\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{x}>0 \\ \lg \frac{2}{x}-1 \geqslant 0, \text { 解得, } 0<x \leqslant \frac{1}{5},\end{array}\right.$

故答案为 $\left\{x \left\lvert\, 0<x \leqslant \frac{1}{5}\right.\right\}$.

【分析】由题意可得, $\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{x}>0 \\ \lg \frac{2}{x}-1 \geqslant 0, \text { 解不等式可求. }\end{array}\right.$


Answer: 4.9

Question:
（2017 春 -大丰市校级期中）阅读如图所示的伪代码：若输入 $x$ 的值为 12 , 则 $p=$

Read $x$

If $x \leqslant 10$ Then

$$
p \leftarrow 0.35 \mathrm{x}
$$

Else

$p \leftarrow 3.5+0.7(x-10)$

## End If

## Print $p$

算术


Question: 018 春・惠山区校级期中)执行算法代码“ForIFrom 1 To50 Step 2”, 共执行的循环次数为

算术

算法代码是 “ForIFrom 1 To 50 Step 2”,

$I$ 的取值构成等差数列, 等差 $d=2, a_{1}=1, a_{n}=50$,

根据等差数列的通项公式: $a_{n}=a_{1}+(n-1) d$, 可得: $50=1+(n-1) \times 2$

$\therefore$ 可解得: $n=25.5$, 共执行 25 次.

故答案为: 25 .


Answer: 6 .

Question: （2018 秋・怀仁市校级期末）用秦九韶算法求函数 $f(x)=1+2 x+x^{2}-3 x^{3}+2 x^{4}$, 当 $x=-1$ 时的值时, $v_{2}$ 的结果是 \$ \qquad \$ .

算术


Question: 019 春 $・$ 乐山期中) 若二进制数 $10 b 1_{(2)}$ 和三进制数 $a 02_{(3)}$ 相等, $a, b$ 为正整数, 则 $2 a+b=$ \$ \qquad \$ .

算术


Answer: 56 .

Question: （2020 秋・黑龙江期中）二进制数 101110 转化为等值的八进制数为

算术


Answer: 20 .

Question:
（2020 春・宁县校级期末）用秦九韶算法求多项式 $f(x)=x^{6}-5 x^{5}+6 x^{4}+x^{2}+3 x+2$ 的值, 当 $x=-2$
   时, $v_{2}$ 的值为 \$ \qquad \$

算术


Answer: 14

Question: 定义集合 $A, B$ 的一种运算“*”, $A * B=\{p \mid p=x+y, x \in A, y \in B\}$. 若 $A=\{1,2,3\}, B=\{1,2\}$, 则集合 $A * B$ 中所有元素的和

代数

$\because A * B=\{p \mid p=x+y, x \in A, y \in B\}, A=\{1,2,3\}, B=\{1,2\}$,

$\therefore A * B=\{2,3,4,5\}, 2+3+4+5=14$.

故答案为: 14 .

【分析】由 $\mathrm{A} * \mathrm{~B}=\{\mathrm{p} \mid \mathrm{p}=\mathrm{x}+\mathrm{y}, \mathrm{x} \in \mathrm{A}, \mathrm{y} \in \mathrm{B}\}, \mathrm{A}=\{1,2,3\}, \mathrm{B}=\{1,2\}$, 知 $\mathrm{A} * \mathrm{~B}=\{2,3,4,5\}$, 由此能求出集合 $\mathrm{A} * \mathrm{~B}$ 中所有元素的和.


Answer: $a \geq \frac{9}{8}$ 或 $a=0$ 。

Question: 已知集合 $A=\left\{x \mid a x^{2}-3 x+2=0\right\}$ 至多有一个元素, 则 $a$ 的取值范围

代数

$\because$ 集合 $A$ 中至多有一个元素, $\therefore$ 当 $a=0$ 时, $A=\left\{x \mid a x^{2}-3 x+2=0\right\}=\left\{\frac{2}{3}\right\}$, 合题意;

当 $a \neq 0$ 时, $\triangle=9-8 a \leq 0$ 解得 $a \geq \frac{9}{8}$, 总之 $\left\{d a \geq \frac{9}{8}\right.$ 或 $\left.a=0\right\}$,

故答案为 $\left\{d a \geq \frac{9}{8}\right.$ 或 $\left.a=0\right\}$ 。

【分析】由已知分两种情况讨论 $\mathrm{a}$, 当 $a=0$ 时, $A=\left\{\frac{2}{3}\right\}$, 符合题意, 当 $a \neq 0$ 时, 由 $\triangle=9-8 a \leq 0$,

可得 $a \geq \frac{9}{8}$, 即可求出 $a$ 的取值范围.


Answer: $2 \leq a \leq 4$

Question: 设集合 $A=\{x|x-a|<1, x \in R\}, B=\{x \mid 1<x<5, x \in R\}$, 若 $\stackrel{A \subset B}{\mp}$, 则 $a$ 的取值范围为

代数

由 $|x-a|<1$ 得 $-1<x-a<1, \therefore a-1<x<a+1$,

<ImageHere>

又当 $a=2$ 时, $\mathrm{A}=\{x \mid 1<x<3\}$ 满足 $A \subset B$,

$a=4$ 时, $A=\{x \mid 3<x<5\}_{\text {也满足 }} \stackrel{A \subset B}{\mp}, \therefore 2 \leq a \leq 4$.

故答案为 $2 \leq a \leq 4$
【分析】先化简集合 $\mathrm{A}$,再根据 $A \subset B$ 得到关于 $\mathrm{a}$ 的不等式求出 $\mathrm{a}$ 的取值范围.


Answer: $M \cap N=[2,4)$

Question: 11. 设集合 $M=\{x \mid 2 \leq x<5\}, N=\left\{x l x^{2}-4 x<0\right\}$, 则集合 $M \cap N=$

代数

解: $N=\left(x x^{2}-4 x<0\right\}=\{x \mid 0<x<4\}$, 又 $M=\{x \mid 2 \leq x<5\}$, 所以 $M \cap N=[2,4)$ 。

【分析】利用一元二次不等式求解集的方法求出集合 $N$, 再利用交集的运算法则求出集合 $M$ 和集合 $\mathrm{N}$ 的交集。


Answer: $-\frac{1}{4}$

Question: 已知 $f\left(\frac{1}{2} x-1\right)=2 x+3$, 且 $f(m)=6$, 则 $\mathrm{m}$ 等于

代数

设 $\frac{1}{2} x-1=t$, 则 $x=2 t+2$,

所以 $y=f(t)=2(2 t+2)+3=4 t+7$,

所以 $f(m)=4 m+7=6 \Rightarrow m=-\frac{1}{4}$ 。

【分析】利用换元法求出函数解析式, 再利用已知的函数值, 从而求出 $\mathrm{m}$ 的值。


Answer: $\lfloor 3,+\infty)$

Question: 函数 $f(x)=\sqrt{x}(\sqrt{x}-4)+x-1_{\text {的值域为 }}$

代数

函数的定义域为 $\lfloor 0,+\infty)$

$f(x)=\sqrt{x}(\sqrt{x}-4)+x-1=2 x-4 \sqrt{x}-1$

$f(x)=2(\sqrt{x}-1)^{2}-3 \geq-3$

所以函数的值域为 $\lfloor 3,+\infty)$

故答案为: $\lfloor 3,+\infty)$

【分析】利用配方法化简式子, 可得 $f(x)=2(\sqrt{x}-1)^{2}-3$, 然后根据观察法, 可得结果.


Answer: $[2,4]$

Question: 设函数 $f(x)=-3 x^{2}+6 x$ 在区间 $[a, b]$ 上的值域是 $[-9,3]$, 则 $b-a$ 的取值范围是

代数


Answer: $[4,9]$

Question: 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0,1]$, 则函数 $f(\sqrt{x}-2)$ 的定义域为

代数

解: 因为函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0,1]$,

由 $0 \leqslant \sqrt{x}-2 \leqslant 1$, 得: $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}-2 \geqslant 0(1) \\ \sqrt{x}-2 \leqslant 1(2)\end{array}\right.$

解(1)得: $x \geqslant 4$, 解(2)得: $x \leqslant 9$.

所以, 函数 $f(\sqrt{x}-2)$ 的定义域为 $\lfloor 4,9\rfloor$.

故答案为: $\lfloor 4,9\rfloor$.

【分析】根据函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0,1]$, 由 $\sqrt{x}-2 \in[0,1]$, 求出 $x$ 的取值集合即可得函数 $f(\sqrt{x}-2)$ 的定义域.


Answer: $\lfloor 0,4\rfloor$

Question: 若函数 $y=\sqrt{a x^{2}+a x+1}$ 的定义域为 $R$, 则 $a$ 的取值范围为

代数

由题意得 $a x^{2}+a x+1 \geq 0$ 在 $R$ 上恒成立.

(1)当 $a=0$ 时, 则 $1 \geq 0$ 恒成立,

$\therefore a=0$ 符合题意;

(2)当 $a \neq 0$ 时,

则 $\left\{\begin{array}{l}a>0 \\ a^{2}-4 a \leq 0,\end{array}\right.$ 解得 $0<a \leq 4$.

综上可得 $0 \leq a \leq 4 ，$

$\therefore$ 实数 $a$ 的取值范围为 $[0,4]$.

故答案为: $[0,4]$

【分析】不等式 $a x^{2}+b x+c>0$ 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 $a=0$ 时, $b=0, c>0$; 当

$a \neq 0$ 时, $\left\{\begin{array}{l}a>0 \\ -<0 ;\end{array}\right.$ 不等式 $a x^{2}+b x+c<0$ 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 $a=0$ 时, $b=0, c<0$; 当 $a \neq 0$ 时, $\left\{\begin{array}{l}a<0 \\ \Delta<0\end{array}\right.$.


Answer:
$$
f(x)=x^{2}-2, x \in(-\infty,-2] \cup[2,+\infty)
$$

Question: 已知 $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$, 则 $f(x)=$

代数


Answer: $3 x$

Question: 已知函数 $f(x)$ 满足 $2 f(x)+f(-x)=3 x \quad, \quad$ 则 $f(x)=$

代数

因为 $2 f(x)+f(-x)=3 x$,

所以将 $x$ 用 $-x$ 替换，得 $2 f(-x)+f(x)=-3 x$ ，

解由(1)(2)组成的方程组得 $f(x)=3 x$.

故答案为: $3 x$

【分析】由 $2 \mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{f}(-\mathrm{x})=3 \mathrm{x}$, 用 $-\mathrm{x}$ 代入可得 $2 \mathrm{f}(-\mathrm{x})+\mathrm{f}(\mathrm{x})=-3 \mathrm{x}$, 由两式联立解方程组消去 $\mathrm{f}(-\mathrm{x})$即可求解出 $f(x)=3 x$ 。


Answer: $f(x)=x-\frac{1}{2}$

Question: 已知一次函数 $f(x)$ 满足条件 $f(x+1)+f(x)=2 x$, 则函数 $f(x)$ 的解析式为 $f(x)=$

代数

设 $f(x)=k x+b, k \neq 0$,

$\because f(x+1)+f(x)=2 x$,

$\therefore k(x+1)+b+k x+b=2 x$,

即 $2 k x+k+2 b=2 x$ ，

$\{2 k=2$

$\therefore k+2 b=0$,

解可得, $k=1, \quad b=-\frac{1}{2}$,

$\therefore f(x)=x-\frac{1}{2}$

故答案为: $f(x)=x-\frac{1}{2}$

【分析】先设 $f(x)=k x+b, k \neq 0$, 然后根据 $f(x+1)+f(x)=2 x$, 代入后根据对应系数相等可求 $k, b$, 即可求解.

三、解答题


Answer: $k<-2$

Question: 函数 $y=(k+2) x+1$ 在实数集上是减函数, 则 $\mathrm{k}$ 的范围是

代数

$\because$ 函数 $y=(k+2) x+1$ 在实数集上是减函数,

当 $k+2=0$ 时, $y=1$ 是常函数, 不满足题意,

$\therefore k+2<0, \quad \therefore k<-2$

故答案为: $(-\infty,-2)$

【分析】先验证当 $k+2=0$ 时函数 $y=(k+2) x+1=1$ 为常函数不满足条件, 然后根据一次函数是减函数时斜率必为小于 0 的数从而可求出 $k$ 的值, 确定答案.


Answer: $-\frac{5}{4}$

Question: 函数 $f(x)=x^{2}+x-1$ 的最小值是

代数

$\because f(x)=x^{2}+x-1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{5}{4}$,

因此, 函数 $f(x)=x^{2}+x-1$ 的最小值是 $-\frac{5}{4}$.
故答案为: $-\frac{5}{4}$.

【分析】将二次函数 $y=f(x)$ 的解析式进行配方, 可得出该函数的最小值.


Answer: 9

Question: 函数 $f(x)=9 x^{2}+\sqrt{x-1}$ 的最小值为

代数

$\because f(x)$ 的定义域为 $\lfloor 1,+\infty)$, 且 $f(x)$ 在定义域上单调递增,

$\therefore f(x)_{\min }=f(1)=9$.

故答案为: 9

【分析】结合 $f(x)$ 的定义域, 判断出 $f(x)$ 的单调性, 由此求得 $f(x)$ 的最小值.


Answer: $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$

Question: 已知函数 $f(x)=\sqrt{a x^{2}-2 x-5 a+5}$ 在 $\lfloor 2,+\infty)$ 是增函数, 则实数 $a$ 的取值范围是

代数

当 $a=0$ 时, $f(x)=\sqrt{-2 x+5}$, 显然在 $\lfloor 2,+\infty)$ 不是增函数, 所以舍去;

当 $a \neq 0$ 时, 由题得 $\left\{\begin{array}{l}a>0 \\ -\frac{-2}{2 a} \leq 2 \\ a \cdot 2^{2}-4-5 a+5 \geq 0, \text { 所以 } \frac{1}{2} \leq a \leq 1\end{array}\right.$.

所以实数 $\mathrm{a}$ 的取值范围为 $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$.

故答案为:

$\left[\frac{1}{2}, 1\right]$

【分析】对 $a$ 分 $a=0$ 和 $a \neq 0$ 两种情况结合复合函数的单调性讨论得解.


Answer: $\left(-\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right)$

Question: 已知 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是定义在 $(-2,2)$ 上的减函数, 并且 $\mathrm{f}(\mathrm{m}-1)-\mathrm{f}(1-2 \mathrm{~m})>0$, 则实数 $m$ 的取值范围是

代数


Answer: $\frac{1}{2}$

Question: 已知一个奇函数的定义域为 $[\mathrm{a}+1, \mathrm{~b}-2]$, 则 $\frac{a+b}{2}=$

代数

根据题意, 函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是奇函数, 且其定义域为 $[\mathrm{a}+1, \mathrm{~b}-2]$,

则有 $a+1+b-2=0$, 解得: $a+b=1$,

即 $\frac{a+b}{2}=\frac{1}{2}$,

故答案为: $\frac{1}{2}$.

【分析】根据题意, 由函数奇偶性的定义可得 $\mathrm{a}+1+\mathrm{b}-2=0$, 即可得答案.


Answer: 1

Question: 若函数 $y=(x+1)(x-a)$ 为偶函数, 则 $a=$

代数

函数 $y=(x+1)(x-a)=x^{2}+(1-a) x-a$

$\because$ 函数 $y=(x+1)(x-a)$ 为偶函数,

$\therefore(-x)^{2}+(1-a)(-x)-a=x^{2}+(1-a) x-a$

$\therefore 1-a=0, \quad \therefore a=1$

【分析】根据偶函数的定义, 可得一次项系数为 0 , 从而可得结论.


Answer: $(-\infty,-4) \cup(0,+\infty)$

Question: 设函数 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数, 记 $g(x)=f(x)-x^{2}$, 且函数 $g(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上是增函数, 则不等式 $f(x+2)-f(2)>x^{2}+4 x$ 的解集为

代数

根据题意 $g(x)$, 且 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数,

则 $g(-x)=f(-x)-(-x)^{2}=f(x)-x^{2}=g(x)$, 则函数 $g(x)$ 为偶函数,

$f(x+2)-f(2)>x^{2}+4 x \Rightarrow f(x+2)-(x+2)^{2}>f(2)-4 \Rightarrow g(x+2)>g(2)$,

又由 $g(x)$ 为增函数且在区间 $[0,+\infty)$ 上是增函数,

则 $|x+2|>2$, 解得: $x<-4$ 或 $x>0$,

即 $x$ 的取值范围为 $(-\infty,-4) \cup(0,+\infty)$,

故答案为 $(-\infty,-4) \cup(0,+\infty)$;

【分析】根据题意, 分析可得 $g(x)$ 为偶函数, 进而分析可得原不等式转化为 $g(x+2)>g(2)$, 结合函数的奇偶性与单调性分析可得 $|x+2|>2$, 解可得 $x$ 的取值范围.


Answer: $(-1,0) \cup(1,+\infty)$

Question: 已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x)+f(-x)=0$, 对任 意的 $x_{1}, x_{2} \in(0,+\infty)$ 都 有 $\frac{x_{2} f\left(x_{2}\right)-x_{1} f\left(x_{1}\right)}{x_{1}-x_{2}}<0$ 恒成立, 且 $f(1)=0$, 则关于 $x$ 的不等式 $f(x)<0$ 的解集为

代数


Answer: 47

Question: 已知 $a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=3$, 求值 $\mathrm{a}^{2}+\mathrm{a}^{-2}=$

代数


Answer: $2 \sqrt{2}$

Question: $\sqrt{5+2 \sqrt{6}}-\sqrt{6-4 \sqrt{2}}+\sqrt{7-4 \sqrt{3}}=$

代数


Answer: $(-\infty,-1)$

Question: 不等式 $0.5^{2 x}>0.5^{x-1}$ 的解集为 （用区间表示）.

代数

根据函数单调性可有: $2 x<x-1$, 所以 $x \in(-\infty,-1)$

【分析】由已知利用指数函数的单调性, 得到 $2 x<x-1$, 即可求出解集.


Question:
已知函数 $f(x)$ 是指数函数, 如果 $f(3)=9 f(1)$, 那么 $f(8)$ $f(4)$

（请在横线上填写“ >”, “ =”或“ < ”)

代数


Answer: (1)(2)

Question:
已知实数 $a, b$ 满足等式 $2019^{a}=2020^{b}$, 下列五个关系式:
(1) $0<b<a$;
(2) $a<b<0$;
(3) $0<a<b$;
(4) $b<a<0$;
(5) $a=b$.

其中可能成立的关系式有

代数


Answer: $\left(1, e^{\frac{2}{6}}\right)$

Question: 若函数 $f(x)=a^{x}(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 在定义域 $[m, n]$ 上的值域是 $\left[m^{2}, n^{2}\right](1<m<n)$, 则 $a$ 的取值范围是

代数

由题意知: $f(x)=a^{x}$ 与 $y=x^{2}$ 的图像在 $(1,+\infty)$ 上恰有两个交点

考查临界情形: $y=a_{0}^{x}$ 与 $y=x^{2}$ 切于 $x_{0}$,

$\left\{\begin{array}{l}a_{0}^{x_{0}}=x_{0}^{2} \\ a_{0}^{x_{0}} \ln a=2 x_{0}\end{array} \Rightarrow a_{0}=e^{\frac{2}{\varepsilon}} \Rightarrow a \in\left(1, e^{\frac{2}{\varepsilon}}\right)\right.$.

故答案为: $\left(1, e^{\frac{2}{6}}\right)$.

【分析】 $f(x)=a^{x}$ 在定义域 $[m, n]$ 上的值域是 $\left[m^{2}, n^{2}\right]$, 等价转化为 $f(x)=a^{x}$ 与 $y=x^{2}$ 的图像在 $(1,+\infty)$ 上恰有两个交点, 考虑相切状态可求 $a$ 的取值范围.


Answer: $\left[\frac{1}{3},+\infty\right) ;[1,+\infty)$

Question: 函数 $y=\left(\frac{1}{3}\right)^{-x 2+2 x}$ 的值域是 ，单调递增区间是

代数

因为 $-x^{2}+2 x=-(x-1)^{2}+1 \leq 1$,

所以 $\left(\frac{1}{3}\right)^{-x^{2}+2 x} \geq \frac{1}{3}$,

即函数 $y=\left(\frac{1}{3}\right)^{-x 2+2 x}$ 的值域是 $\left[\frac{1}{3},+\infty\right)$,

因为 $y=\left(\frac{1}{3}\right)^{t}$ 单调递减, $\mathrm{t}=-x^{2}+2 x$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递减,

因此函数 $y=\left(\frac{1}{3}\right)^{-x 2+2 x}$ 的单调递增区间是 $(1,+\infty)$.

【分析】本题利用复合函数求值域的方法求出值域, 再利用求复合函数单调性的方法求出单调区间,注意复合函数单调性判断的法则, 即同单调性为增函数, 不同单调性为减函数。

四、解答题


Answer: 4

Question: 已知 $\lg a+\lg b=2$, 则 $\lg a^{2}+\lg b^{2}=$

代数

依题意, $\lg a^{2}+\lg b^{2}=2(\lg a+\lg b)=2 \times 2=4$.

故填: 4.

【分析】利用对数运算公式, 化简所求表达式, 求得表达式的值.


Answer: (2)(3)

Question:
已知 $3^{a}=12, b=2 \log _{3} 2$, 现有下列四个结论:
(1) $a=2 b$;
(2) $a-b=1$;
(3) $a<2 b$;
(4) $a+b<3$.

其中所有正确结论的编号是

代数


Answer: $\frac{1}{3}$

Question: \text{如果函数 }y=\log_ax_\text{的图象过点}\left(\frac19,2\right),\text{则 }a=

代数

<ImageHere>

$\because a>0$ 且 $a \neq 1$, 因此, $a=\frac{1}{3}$.

故答案为: $\frac{1}{3}$.将点的坐标代入对数函数解析式, 利用对数式化指数式可求出实数 $a$ 的值.


Answer: 1

Question: 设函数 $f(x)=\log _{a}(x-1)+1(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 恒过点 $(m, n)$, 则 $m-n=$

代数

<ImageHere>

故答案为: 1根据函数过定点得到 $m=2, n=1$, 计算得到答案.


Answer: $(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)$

Question: 函数 $f(x)=\ln \frac{x+1}{x-1}$ 的值域为

代数

$\ln \frac{x+1}{x-1}=\ln \frac{x-1+2}{x-1}=\ln \left(1+\frac{2}{x-1}\right)$

$\because 1+\frac{2}{x-1}>0$ 且 $1+\frac{2}{x-1} \neq 1 \quad \therefore \ln \left(1+\frac{2}{x-1}\right) \neq 0$

$\therefore f(x)$ 值域为: $(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)$

故答案为: $(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)$

【分析】把已知对数函数变形整理, 得到 $f(x)=\ln \left(1+\frac{2}{x-1}\right)$, 利用 ${ }^{1+\frac{2}{x-1}>0}$ 且 $1+\frac{2}{x-1} \neq 1$,即可求出函数的值域.


Answer: $x^{-\frac{1}{3}}$

Question: 已知幂函数 $f(x)$ 的图象过点 $\left(8, \frac{1}{2}\right)$, 则此幂函数的解析式是 $f(x)=$

代数

设 $f(x)=x^{\alpha}$, 因为 $y=f(x)$ 的图象过点 $\left(8, \frac{1}{2}\right)$,

所以 $8^{\alpha}=\frac{1}{2}$, 即 $2^{3 \alpha}=2^{-1}$,

$\therefore 3 \alpha=-1$, 解得 $\alpha=-\frac{1}{3}$, 因此 $f(x)=x^{-\frac{1}{3}}$.

故答案为 $x^{-\frac{1}{3}}$.

【分析】设函数 $f(x)=x^{\alpha}$, 将点 $\left(8, \frac{1}{2}\right)$ 的坐标代入函数 $y=f(x)$ 的解析式, 求出 $\alpha$ 的值, 即可得

<ImageHere>


Answer: $\pm 2$

Question: 已知关于 $x$ 的函数 $y=\left(m^{2}-3\right) x^{2 m}$ 是幂函数, 则 $m=$

代数

关于 $x$ 的函数 $y=\left(m^{2}-3\right) x^{2 m}$ 是幂函数, 则 $m^{2}-3=1 \Rightarrow m= \pm 2$.

【分析】由已知利用幂函数的概念, 得到 $m^{2}-3=1$, 即可求出 $\mathrm{m}$ 的值.


Answer: -2

Question: 设 $\alpha \in\left\{\frac{1}{3}, \frac{1}{2},-1,-2,3\right\}$, 若 $f(x)=x^{\alpha}$ 为偶函数, 则 $\alpha=$

代数

由题可知, $\alpha=-2$ 时, $f(x)=x^{-2}$, 满足 $\mathrm{f}(-\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})$, 所以是偶函数;

当 $\alpha=\frac{1}{3}, \frac{1}{2},-13$ 时, 不满足 $\mathrm{f}(-\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})$,

$\therefore \alpha=-2$.

故答案为: -2 .

【分析】将不同的 $\alpha$ 值代入，逐一验证即可.


Answer: 2

Question: 幕函数 $y=\left(m^{2}-m-1\right) x^{-5 m-3}$ 在 $x \in(0,+\infty)$ 时为减函数, 则 $\mathrm{m}=$

代数

因为 $y=\left(m^{2}-m-1\right) x^{-2 m-3}$ 是幕函数,

所以 $m^{2}-m-1=1$, 故 $\mathrm{m}=2$ 或 $\mathrm{m}=-1$,

又幂函数 $y=\left(m^{2}-m-1\right) x^{-5 m-3}$ 在 $x \in(0,+\infty)$ 时为减函数,

所以 $-5 \mathrm{~m}-3<0$, 所以 $\mathrm{m}=2$.

【分析】由已知函数 $y=\left(m^{2}-m-1\right) x^{-2 m-3}$ 是幂函数列式, 得到 $\mathrm{m}=2$ 或 $\mathrm{m}=-1$, 结合函数的单调性,即可判断 $\mathrm{m}$ 的值.

三、解答题


Answer: 2

Question:
(2020 - 吴江区模拟) 如图是一个算法的程序框图, 当输入的值 $x$ 为 8 时, 则其输出的结果是

<ImageHere>

代数


Answer: 14 .

Question:
（2019$\cdot$苏州模拟）如图所示是一个算法的伪代码，输出结果是

<ImageHere>

代数

解：由程序语句得程序的流程为:

$$
\begin{aligned}
& a=2, \quad S=0+2=2 \\
& a=2 \times 2=4, \quad S=2+4=6 \\
& a=2 \times 4=8, \quad S=8+6=14
\end{aligned}
$$

故输出 $S=14$.

故答案为: 14 .


Answer: 1 .

Question:
（2019 春・鄂州期末）运行如图所示的程序, 其输出的结果为

<ImageHere>

代数


Answer: 859.

Question: （2019 秋 -内江期末）秦九韶是我国南宋时期的数学家, 普州（现四川省安岳县）人, 他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法, 至今仍是比较先进的算法. 已知一个 5 次多项式为 $f(x)=4 x^{5}-3 x^{3}-2 x^{2}-5 x+1$, 用秦九韶算法求这个多项式当 $x=3$ 时的值为 \$ \qquad \$ .

代数


Answer: 24 .

Question: （2020 秋・广西期中）已知 $f(x)=x^{5}-2 x^{3}+3 x^{2}-x+1$, 应用秦九韶算法计算 $x=3$ 时的值时, $v_{3}$的值为 \$ \qquad \$ .

代数


Answer: 4485 .

Question: (2020 春・黄山期末) 已知函数 $f(x)=x^{5}+2 x^{4}+x^{3}-x^{2}+3 x-5$, 用秦九韶算法计算 $f(5)=$ \$ \qquad \$

代数


Answer: 1209.4 .

Question: （2019 春・息县期中）用秦九韶算法求多项式 $f(x)=4 x^{5}+2 x^{4}+3.5 x^{3}-2.6 x^{2}+1.7 x-0.8$ 当 $x=3$ 时的值为 \$ \qquad \$ ;

代数


Answer: 18 .

Question:
（2020$\cdot$江苏模拟）如图是某算法的伪代码, 输出的结果 $S$ 的值为

<ImageHere>

代数


Answer: sqrt{e}$.

Question:
020$\cdot$ 陵区校级模拟) 根据如图所示的伪代码, 当输出 $y$ 的值为 $\frac{1}{2}$ 时, 则输入的 $x$ 的值为 \$ \qquad \$ .

<ImageHere>

代数

根据如图所示的伪代码知, 程序的功能是输出函数 $y=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+1, x \leq 0 \\ \ln x, x>0\end{array}\right.$;

当输出 $y$ 的值为 $\frac{1}{2}$ 时, 若 $x \leqslant 0$, 则 $x^{2}+1=\frac{1}{2}$, 此时方程无解;

若 $x>0$, 则 $\ln x=\frac{1}{2}$, 解得 $x=\sqrt{e}$;

所以输入 $x$ 的值为 $\sqrt{e}$.

故答案为: $\sqrt{e}$.


Answer: 32 .

Question:
（2020 春・商丘期末）如图所示的程序执行后输出的结果为

<ImageHere>

代数


Answer: 16 .

Question:
(2020$\cdot$鼓楼区校级模拟) 一个算法的伪代码如图所示, 执行此算法, 最后输出的 $S$ 的值为

<ImageHere>

代数


Answer:
$\frac{3}{4}$.

<ImageHere>

Question: （2020 春 - 金牛区校级月考）在区间 $[0,1]$ 上任取两个数 $a 、 b$, 则函数 $f(x)=x^{2}+a x+b^{2}$ 无零点的概率为 \$ \qquad \$ .

代数

解: 若 $f(x)=x^{2}+a x+b^{2}$ 无零点, 则 $\triangle=a^{2}-4 b^{2}<0$,

又 $a, b \in[0,1]$, 故 $a<2 b$,
在平面直角坐标系 $a O b$ 中作出正方形 $O A B C$,

设直线 $a=2 b$ 与 $A B$ 交点为 $D$, 则 $D$ 为 $A B$ 的中点,

故当点（ $a, b ）$ 在梯形 $D B C O$ （不含边界 $O D ）$ 时, 函数 $f(x)$ 无零点.

故所求概率 $P=\frac{S_{\text {梯柇 } B C O D}}{S_{\text {正方形 } O A B C}}=\frac{3}{4}$.

故答案为: $\frac{3}{4}$.

<ImageHere>


Answer: -3

Question: 已知实数集合 $\{1,2,3, x\}$ 的最大元素等于该集合的所有元素之和, 则 $x=$

逻辑题

因为实数集合 $\{1,2,3, x\}$ 的最大元素等于该集合的所有元素之和,

所以 $1+2+3+x=x$ (无解) 或者 $1+2+3+x=3$, 解得: $x=-3$.

故答案为: -3 .

【分析】根据题意求元素的关系.


Answer: -1

Question: 若集合 $A=\{x \mid x \leq m\}, B=\{x \mid x \geq-1\}$, 且 $A \cap B=\{m\}$, 则实数 $\mathrm{m}$ 的值为

逻辑题

解: $\because A=\{x \mid x \leq m\}, B=\{x \mid x \geq-1\}$, 且 $A \cap B=\{m\}$,

$\therefore m=-1$,

故答案为: -1 .

【分析】直接根据交集运算的定义求解即可.


Answer: 平行

Question: 如果规定: $x=y, y=z$, 则 $x=z$, 叫作 $x, y, z$ 关于相等关系具有传递性, 那么空间三个平面 $\alpha, \beta, \gamma$ 关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是

逻辑题

由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性.


Answer: 52,1 处.

Question:
（2017 秋・云岩区校级月考）下面程序执行后输出的结果是 \$ \qquad \$ , 若要求画出对应的猜想框

图, 则选择程序框有 \$ \qquad \$ .

<ImageHere>

逻辑题


Answer: 49

Question: 已知集合 $P=\{1,2,3,4,5\}$, 若 $A, B$ 是 $P$ 的两个非空子集, 则所有满足 $A$ 中的最大数小于 $B$ 中的最小数的集合对 $(A, B)$ 的个数为

组合数学


Answer: 4

Question: 已知集合 $A=\{1,2,3\}, B=\{2,3,4\}$, 则集合 $A \cup B$ 中元素的个数为

组合数学

解: 因为集合 $A=\{1,2,3\}, B=\{2,3,4\}$,

所以 $A \cup B=\{1,2,3,4\}$.

所以集合 $A \cup B$ 中元素的个数为 4 ,

故答案为 4 。

【分析】本题首先可以通过题意得出集合 $\mathrm{A}$ 以及集合 $\mathrm{B}$ 所包含的元素，然后利用并集定义写出 $A \cup B$, 即可得出结果。


Answer: $\{x \mid 0 \leq x \leq 1$, 或 $x>3\}$

Question: 设 $A, B$ 是非空集合, 定义 $A \times B=\{x \mid x \in A \cup B$ 且 $x \notin A \cap B\}$, 已知 $A=\{x \mid 0 \leq x \leq 3\}, B=\{x \mid x>1\}$, 则 $A \times B=$

组合数学

解：根据题意可知 $A \times B$ 表示的图像如下图阴影部分所示，

<ImageHere>
而 $A=\{x \mid 0 \leq x \leq 3\}, B=\{x \mid x>1\}, \quad A \cap B=\{x \mid 1<x \leq 3\}, \quad A \cup B=\{x \mid x \geq 0\}$,

故 $A \times B=\{x \mid 0 \leq x \leq 1$, 或 $x>3\}$.

故填: $\{x \mid 0 \leq x \leq 1$, 或 $x>3\}$.

【分析】由已知给出的定义, 得到 $A \times B$ 所表示的韦恩图, 利用交集，并集的运算即可求出 $A \times B$.


Answer: 抽签法

Question: 福利彩票的中奖号码是从 1-36 的号码中, 依次选出 7 个号码来确定的, 这种从 36 个号码中选 7 个号码的抽样方法是

组合数学

抽签法，故答案为:抽签法


Answer: 不正确

Question: 在平时的生活中, 对于抽签, 有人认为先抽白人会占便宜, 这种想法 （填“正确”或 “不正确”)

组合数学

不正确 抽签时每个个体被抽到的机会是相等的, 与先后顺序无关.故答案为:不正确


Answer: 1

Question: 一个布袋中有 10 个同样质地的小球，从中不放回地依次抽取 3 个小球，则某一特定小球被抽到的可能性是 \$ \qquad \$ , 第三次抽取时, 剩余每个小球被抽到的可能性是

组合数学

因为简单随机抽样过程中每个个体被抽到的可能性均为, 所以第一个空填因
本题中的抽样是不放回抽样, 所以第一次抽取时, 每个小球被抽到的可能性为 1 , 第二次抽取时, 剩余 9 个小球，每个小球被抽到的可能性为 2 , 第三次抽取时, 剩余 8 个小球，每个小球被抽到的可能性为 1 .故答案为:1


Answer: 1010 (2).

Question: (2019 秋・南充期末) 把十进制数 10 化为二进制数为 \$ \qquad \$ .

组合数学


Answer: $\frac{7}{10}$.

Question: （2020 秋・天津期末）从 11 至 14 世纪涌现出一批著名的数学家和其创作的数学著作, 如秦九韶的《数书九章》, 李冶的《测圆海镜》, 杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》. 某学校团委为拓展学生课外学习兴趣, 现从上述五部著作中任意选择两部作为学生课外拓展学习的参考书目，则所选的两部中至少有一部不是杨辉著作的概率为

组合数学

解: 秦九韶的《数书九章》, 李冶的《测圆海镜》, 杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.

某学校团委为拓展学生课外学习兴趣, 现从上述五部著作中任意选择两部作为学生课外拓展学习的参考书目，

基本事件总数 $n=C_{5}^{2}=10$,

所选的两部中至少有一部不是杨辉著作包含的基本事件个数 $m=C_{2}^{2}+C_{3}^{1} C_{2}^{1}=7$,

则所选的两部中至少有一部不是杨辉著作的概率 $P=\frac{m}{n}=\frac{7}{10}$.

故答案为: $\frac{7}{10}$.


Answer: $\frac{3}{10}$.

Question: （2020 秋 - 沙依巴克区校级期末）一个袋中装有大小相同的 5 个球, 现将这 5 个球分别编号为 1 、 $2 、 3 、 4 、 5$, 从袋中取出两个球, 每次只取出一个, 并且取出的球不放回, 求取出的两个球上编号之积为奇数的概率为

组合数学

解: 一个袋中装有大小相同的 5 个球, 现将这 5 个球分别编号为 $1 、 2 、 3 、 4 、 5$,从袋中取出两个球, 每次只取出一个, 并且取出的球不放回,基本事件总数 $n=5 \times 4=20$,取出的两个球上编号之积为奇数包含的基本事件个数 $m=3 \times 2=6$.

$\therefore$ 取出的两个球上编号之积为奇数的概率 $P=\frac{m}{n}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$.

故答案为: $\frac{3}{10}$.


Answer: $\left[-\frac{3}{4}, \frac{3}{7}\right)$

Question: 若 $f(x)=\frac{2 x-5}{x+3}, x \in[1,4)$, 则 $f(x)$ 的值域是 (请用区间表示)

解析几何


Answer: 0

Question: 已知 $f(\sqrt{x}-1)=x-2 \sqrt{x}$, 则 $f(1)=$

解析几何


Answer: $(-\infty,-3]$

Question: 函数 $y=\sqrt{x^{2}+2 x-3}$ 的单调递减区间是

解析几何

因为函数 $y=\sqrt{x^{2}+2 x-3}$ 有意义,

则满足 $x^{2}+2 x-3 \geq 0 \Leftrightarrow(x+3)(x-1) \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1, x \leq-3$,

而二次函数 $y=x^{2}+2 x-3$ 开口向上, 对称轴为 $x=1$,

那么根据复合函数的单调性, 可知当 $x \leq-3$ 时, 函数是递减的,

因此答案为 $(-\infty,-3]$.

【分析】首先求出函数的定义域，结合二次函数的图像求出其单调区间，再利用符合函数的单调性：单调性一致为增不一致为减, 即可求出结果。


Answer: $(2,-3)$

Question: 已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}^{\mathrm{x}-2}-4(\mathrm{a}>0, \mathrm{a} \neq 1)$ 的图象恒过定点 $\mathrm{A}$, 则 $\mathrm{A}$ 的坐标为

解析几何


Answer: $\frac{3}{2}$

Question: 设幂函数 $f(x)=k x^{a}$ 的图像经过点 $(4,2)$, 则 $k+\alpha=$

解析几何

由题意得 $k=1,2=4^{\alpha} \Rightarrow \alpha=\frac{1}{2} \therefore k+\alpha=\frac{3}{2}$

【分析】利用已知条件幂函数的图象经过点 $(4,2)$, 借助代入法和幂函数的定义求出 $\mathrm{k}$ 和 $\mathrm{a}$ 的值, 从而求出 $\mathrm{k}+\mathrm{a}$ 的值。


Answer: $\frac{1}{2}$.

Question: （2020 春・双流区校级月考）关于 $x$ 的方程 $x^{2}-4 x+m=0(-1 \leqslant m \leqslant 7)$ 有两个正实根的概率是 \$ \qquad \$

解析几何


Answer: 9

Question: 函数 $y=\log _{a}(2 x-3)+4$ 的图像恒过定点 $A$, 且点 $A$ 在幂函数 $f(x)$ 的图像上, 则 $f(3)=$ \$ \qquad \$ .

解析几何

$\because \log _{a} 1=0, \therefore$ 当 $2 x-3=1$, 即 $x=2$ 时, $y=4, \therefore$ 点定点 $A$ 的坐标是 $P(2,4)$, 幂函数 $f(x)=x^{\alpha}$ 图象过点 $A(2,4), \therefore 4=2^{\alpha}$, 解得 $\alpha=2, \therefore$ 幂函数为 $f(x)=x^{2}$, 则 $f(3)=9$, 故答案为 9 .


Answer: 2

Question: 定义区间 $\left[x_{1}, x_{2}\right]$ 的长度为 $x_{2}-x_{1}$, 已知函数 $f(x)=3^{|x|}$ 的定义域为 $[a, b]$, 值域为 $[1,9]$, 则区间 $[a, b]$长度的最小值为 \$ \qquad \$

解析几何

【详解】

$\because$ 函数 $f(x)=3^{|x|}$ 的定义域为 $[a, b]$, 值域为 $[1,9]$, 又 $3^{0}=1,3^{2}=3^{|2|}=9, \therefore 0 \in[a, b] .2$ 和 -2 至少有一个属于区间 $[a, b]$,

故区间 $[a, b]$ 的长度最小时为 $[-2,0]$ 或 $[0,2]$, 即区间 $[a, b]$ 长度的最小值为 2 .

故答案为: 2 .

【点睛】

本题主要考查指数函数的图象和性质, 考查绝对值不等式的解法, 属于中档题.


Answer: 2

Question: 设 $[t]$ 表示不超过实数 $t$ 的最大整数 (如 $[-1.3]=-2,[2.6=2$ ), 则函数 $f(x)=|2 x-1|-|x|$ 的零点个数为

解析几何

函数 $f(x)=|2 x-1|-\lfloor x\rfloor$ 的零点即方程 $|2 x-1|=\lfloor x\rfloor$ 的根,

$\therefore$ 函数 $f(x)$ 的零点个数, 即方程 $|2 x-1|=\lfloor x\rfloor$ 的根的个数.

$\because|2 x-1| \geq 0, \therefore|x| \geq 0, \therefore x \geq 0$.

当 $0 \leq x<1$ 时, $[x]=0, \therefore|2 x-1|=0, \therefore x=\frac{1}{2}$.

当 $x=1$ 时, $\lfloor x\rfloor=1 ， \therefore|2 x-1|=1, \therefore 2 x-1=1$ 或 $2 x-1=-1 \therefore x=1$ 或 $x=0$ (舍).

当 $x>1$ 时, $|2 x-1|=2 x-1>x \geq\lfloor x\rfloor, \therefore$ 方程 $|2 x-1|=\lfloor x\rfloor_{\text {无解. }}$.

综上, 方程 $|2 x-1|=\lfloor x\rfloor_{\text {的根为 }} \frac{1}{2}, 1$.

所以方程 $|2 x-1|=\lfloor x\rfloor$ 有 2 个根, 即函数 $f(x)=|2 x-1|-\lfloor x\rfloor$ 有 2 个零点.

故答案为: 2 .

【分析】函数 $f(x)=|2 x-1|-\lfloor x\rfloor$ 的零点即方程 $|2 x-1|=\lfloor x\rfloor$ 的根, 由 $\mid 2 x-1 \geq \geq 0$ 可得 $x \geq 0$. 分
$0 \leq x<1 、 x=1$ 和 $x>1$ 讨论, 求出方程 $|2 x-1|=\lfloor x \mid$ 的根, 即得函数 $f(x)$ 的零点个数.


Answer: \left(x_{1}+x_{2}\right) / 2\left(y_{1}+y_{2}\right) / 2

Question:
已知 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 是平面上的两点, 试根据平面几何中的中点坐标公式设计一个程序, 要求输入 $A, B$ 两点的坐标, 输出它们连线中点的坐标. 现已给出程序的一部分,请在横线处把程序补充完整: \$ \qquad \$

<ImageHere>

$\mathrm{y}=$

PRINT $\mathrm{x}, \mathrm{y}$

END

解析几何


Answer: \not \subset \alpha, b \subset \alpha, a / / b$

Question: 请你正确地使用符号写出直线与平面平行的判定定理条件

解析几何

【分析】

直线与平面平行的判定定理为: 如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行, 那么这条直线与这个平面平行，将文字语言转化为符号语言即可.

## 【详解】

直线与平面平行的判定定理的条件为“平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行”,转化为符号语言为: “ $a \not \subset \alpha, b \subset \alpha, a / / b$ ”

故答案为: $a \not \subset \alpha, b \subset \alpha, a / / b$

## 【点睛】

本题主要考查直线与平面平行的判定定理, 考查学生正确运用符号表示立体几何位置关系的能力，属于基础题.


Answer:
(1) 由图可知, $f(2)=0$, 所以 $f[f(2)]=f(0)=4$

(2) 由图可知, 函数值小于等于 2 的解集为 $[1,4]$

Question:
如图, 函数 $f(x)$ 的图象是折线段 $A B C$, 其中 $A, B, C$ 的坐标分别为 $(0,4),(2,0),(6,4)$, 则 $f[f(2)]=$ ; 不等式 $f(x) \leq 2$ 的解集为

<ImageHere>

解析几何


Answer: $[3,+\infty)$

Question: 函数 $f(x)=\sqrt{x^{2}-2 x-3}$ 的单调递增区间为

解析几何

【详解】

令 $x^{2}-2 x-3 \geq 0$, 解得 $x \leq-1$ 或 $x \geq 3$,

函数 $f(x)=\sqrt{x^{2}-2 x-3}$ 的定义域为 $(-\infty,-1] \cup[3,+\infty)$.

内层函数 $u=x^{2}-2 x-3$ 的减区间为 $(-\infty,-1]$, 增区间为 $[3,+\infty)$.

外层函数 $y=\sqrt{u}$ 在 $[0,+\infty)$ 上为增函数,

由复合函数法可知, 函数 $f(x)=\sqrt{x^{2}-2 x-3}$ 的单调递增区间为 $[3,+\infty)$.

故答案为 $[3,+\infty)$.

【点睛】

本题考查函数单调区间的求解, 常用的方法有复合函数法、图象法, 另外在求单调区间时, 首先应求函数的定义域, 考查分析问题和解决问题的能力, 属于中等题.


Answer: -4

Question: 函数 $f(x)=\frac{a}{x}+b x+3$ (a, b 均为正数), 若 $\mathbf{f}(\mathbf{x})$ 在 $(\mathbf{0},+\infty)$ 上有最小值 $\mathbf{1 0}$, 则 $\mathbf{f}(\mathrm{x})$ 在 $(-\infty, 0)$ 上的最大值为

解析几何

函数 ( $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 均为正数),

$$
f(x)=\frac{a}{x}+b x+3
$$

可设 $g(x)=\frac{\underline{a}}{\underline{a}}+b x$, 可得 $g(-x)=-\left(\frac{a}{x}+b x\right)=-g(x)$ ，

即 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 为奇函数,

设 $g(x)$ 在 $x>0$ 的最小值为 $m$, 在 $x<0$ 的最大值为 $n$,

且 $m+n=0$,

由 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $(0,+\infty)$ 上有最小值 10 ,

可得 $m+3=10$,

即 $m=7$, 可得 $n=-7$,

则 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上的最大值为 $-7+3=-4$.

故答案为: -4 .


Answer: 3

Question: 三条平行直线最多能确定的平面的个数为

度量几何学

当三条平行直线在一个平面内时，可以确定 1 个平面；当三条平行直线不在同一平面上时，可以确定 3 个平面. 综上最多可确定 3 个平面.


Answer: 平行

Question: 已知平面 $\alpha$ 和 $\beta$, 在平面 $\alpha$ 内任取一条直线 $a$, 在 $\beta$ 内总存在直线 $b / / a$, 则 $\alpha$ 与 $\beta$ 的位置关系是 \$ \qquad \$ . (填 “平行” 或 “相交”)

度量几何学

若 $\alpha \cap \beta=l$ ，则在平面 $\alpha$ 内，与 $l$ 相交的直线 $a$ ，

设 $a \cap l=A$ ，对于 $\beta$ 内的任意直线 $b$ ，

若 $b$ 过点 $A$ ，则 $a$ 与 $b$ 相交，若 $b$ 不过点 $A$ ，则 $a$ 与 $b$ 异面，即 $\beta$ 内不存在直线 $b / / a$ ，矛盾.

故 $\alpha / / \beta$.


Answer:
$\frac{1}{4 \pi}$.

<ImageHere>

Question:
（2021・十五模拟）如图是一个圆形射击靶的示意图, 靶心为圆心 $O$, 半径为 2 分米. 一名运动员在练习射击的时候, 在靶上画了一个标志胜利的 “ $V$ ” 形轴对称图案 $A O B C$, 其中 $\angle A O B=60^{\circ}$,点 $A, B$ 在圆形靶的边缘上, 点 $C$ 与靶的边缘的最短距离为 1 分米. 该运动员朝靶上任意射击一次，没有脱靶，则命中靶中 “ $V$ ” 形图案的概率为 \$ \qquad \$

<ImageHere>

度量几何学

解: 连接 $A B$, 由题意可得 $\triangle A O B$ 是边长为 2 的等边三角形,

则靶中 “ $V$ ” 形图案的面积为 $S_{\triangle A B C}-S_{\triangle A O B}=\frac{1}{2} \times 2 \times(1+\sqrt{3})-\frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{3}=1$,

又圆形靶的面积为 $4 \pi$,

根据几何概型的概率计算公式得命中靶中 “ $V$ ” 形图案的概率为 $\frac{1}{4 \pi}$,

故答案为: $\frac{1}{4 \pi}$.

<ImageHere>


Answer:
frac{5 \sqrt{6} \pi}{96}$.

<ImageHere>

Question: 020 秋・二道区校级期末）在矩形 $A B C D$ 中, $A B=5, A C=7$, 现向该矩形 $A B C D$ 内随机投一点 $P$, 则 $\angle A P B>90^{\circ}$ 的概率为 \$ \qquad \$ .

度量几何学

由题意, $A D=\sqrt{A C^{2}-A B^{2}}=2 \sqrt{6}$, 矩形的面积为 $10 \sqrt{6}$, 如图而使 $\angle A P B>90^{\circ}$ 成立的区域为以 $A B$ 为直径的半圆, 面积为 $\frac{1}{2} \pi\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{25 \pi}{8}$,由几何概型公式得到向该矩形 $A B C D$ 内随机投一点 $P$, 则 $\angle A P B>90^{\circ}$ 的概率为: $\frac{\frac{25 \pi}{8}}{10 \sqrt{6}}=\frac{5 \sqrt{6} \pi}{96}$;故答案为: $\frac{5 \sqrt{6} \pi}{96}$.

<ImageHere>


Answer: 1 或 4

Question: 已知空间四点中无任何三点共线, 那么这四点可以确定平面的个数是

立体几何学

其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定 1 个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定 4 个平面.


Answer: 三点共线

Question: 若直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 相交于点 $O, A, B \in l, C, D \in \alpha$, 且 $A C / / B D$, 则 $O, C, D$ 三点的位置关系是

立体几何学

because A C / / B D$ ，

$\therefore A C$ 与 $B D$ 确定一个平面，记作平面 $\beta$ ，则 $\alpha \cap \beta=$ 直线 $C D$.

<ImageHere>

$\because l \cap \alpha=O, \quad \therefore O \in \alpha$.

又 $\because O \in A B \subset \beta$,
$\therefore O \in$ 直线 $C D$ ，

$\therefore O, C, D$ 三点共线.


Answer: (3)

Question:
线 $l$ 上有两个点在平面 $\alpha$ 内, 则下列说法中正确的序号为

(1)直线 $l$ 上至少有一个点在平面 $\alpha$ 外;

(2)直线 $l$ 上有无穷多个点在平面 $\alpha$ 外;

(3)直线 $l$ 上所有点都在平面 $\alpha$ 内;

(4)直线 $l$ 上至多有两个点在平面 $\alpha$ 内

立体几何学


Answer: 5

Question:
如图, 空间四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C=8, B D=6, M, N$ 分别为 $A B, C D$ 的中点, 并且异面直线 $A C$ 与 $B D$ 所成的角为 $90^{\circ}$, 则 $M N=$

<ImageHere>

立体几何学

取 $A D$ 的中点 $P$ ，连接 $P M ， P N$ ，

<ImageHere>

则 $B D / / P M ， A C / / P N$ ，

$\therefore \angle M P N$ 即为异面直线 $A C$ 与 $B D$ 所成的角，

$\therefore \angle M P N=90^{\circ}$,

$P N=\frac{1}{2} A C=4, \quad P M=\frac{1}{2} B D=3$,

$\therefore M N=5$.


Answer: (1)(3)

Question:
正方体纸盒展开后如图所示, 在原正方体纸盒中有如下结论:

<ImageHere>

(1) $A B \perp E F$;

(2) $A B$ 与 $C M$ 所成的角为 $60^{\circ}$;

(3)EF 与 $M N$ 是异面直线;

(4) $M N / / C D$.

以上结论正确的为 \$ \qquad \$ . (填序号)

立体几何学

方体的平面展开图还原成原来的正方体可知， $A B \perp E F ， E F$ 与 $M N$ 是异面直线， $A B / / C M ， M N \perp C D$ ，只有(1)(3)正确.


Answer: (3) (4)

Question:
如图所示, 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $M, N$ 分别为棱 $C_{1} D_{1}, C_{1} C$ 的中点, 有以下四个结论:

<ImageHere>

(1)直线 $A M$ 与 $C C_{1}$ 是相交直线;

(2)直线 $A M$ 与 $B N$ 是平行直线;

(3)直线 $B N$ 与 $M B_{1}$ 是异面直线;

(4)直线 $A M$ 与 $D D_{1}$ 是异面直线.

其中正确的结论为 . (填序号)

立体几何学

直线 $A M$ 与 $C C_{1}$ 是异面直线，直线 $A M$ 与 $B N$ 也是异面直线，故(1)(2)错误; (3)(4)正确.


Answer: 相交

Question: 若点 $A \in \alpha, B \notin \alpha, C \notin \alpha$, 则平面 $A B C$ 与平面 $\alpha$ 的位置关系是

立体几何学

$\because$ 点 $A \in \alpha ， B \notin \alpha ， C \notin \alpha$ ，

$\therefore$ 平面 $A B C$ 与平面 $\alpha$ 有公共点，且不重合，
$\therefore$ 平面 $A B C$ 与平面 $\alpha$ 的位置关系是相交.


Answer: (3) (4)

Question:
下列说法中正确的是 \$ \qquad \$ . (填序号)

(1)若直线 $a$ 不在平面 $\alpha$ 内，则 $a / / \alpha$;

(2)若直线 $l$ 上有无数个点不在平面 $\alpha$ 内, 则 $l / /$;

(3)若直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 平行, 则 $l$ 与 $\alpha$ 内任何一条直线都没有公共点;

(4)平行于同一平面的两条直线可以相交.

立体几何学

当 $a \cap \alpha=A$ 时， $a \downarrow \alpha$ ，故(1)错; 当直线 $l$ 与 $\alpha$ 相交时， $l$ 上有无数个点不在 $\alpha$ 内，故(2)错；若 $l / / \alpha$ ，则 $l$ 与 $\alpha$ 无公共点，则 $l$ 与 $\alpha$ 内任何一条直线都无公共点，故(3)正确；在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 相交，且都与平面 $A B C D$ 平行，故(4)正确. 故答案为 (3) (4).


Answer: 8

Question: 互不重合的三个平面最多可以把空间分成 \$ \qquad \$个部分.

立体几何学

重合的三个平面将空间分成五种情形: 当三个平面互相平行时，将空间分成四部分；当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分；当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分; 当三个平面相交于三条直线时，且三条交线交于同一点时，将空间分成八个部分；当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分. 即不重合的三个平面可以将空间分成四部分或六部分或七部分或八部分. 所以最多将空间分成 8 部分.


Answer: (3)

Question:
已知下列说法:

(1)若两个平面 $\alpha / / \beta, a \subset \alpha, b \subset \beta$, 则 $a / / b$;

(2)若两个平面 $\alpha / / \beta, a \subset \alpha, b \subset \beta$, 则 $a$ 与 $b$ 是异面直线;

(3)若两个平面 $\alpha / / \beta, a \subset \alpha, b \subset \beta$, 则 $a$ 与 $b$ 平行或异面;

(4)若两个平面 $\alpha \cap \beta=b, a \subset \alpha$, 则 $a$ 与 $\beta$ 一定相交.

其中正确的序号是

立体几何学

(1)错， $a$ 与 $b$ 也可能异面;

(2)错， $a$ 与 $b$ 也可能平行；

(3)对， $\because \alpha / / \beta ， \therefore \alpha$ 与 $\beta$ 无公共点，又 $\because a \subset \alpha ， b \subset \beta ， \therefore a$ 与 $b$ 无公共点，那么 $a / / b$ 或 $a$ 与 $b$ 异面；

(4)错， $a$ 与 $\beta$ 也可能平行.


Answer: 平行

Question: 三棱雉 $S A B C$ 中, $G$ 为 $\triangle A B C$ 的重心, $E$ 在棱 $S A$ 上, 且 $A E=2 E S$, 则 $E G$ 与平面 $S B C$的关系为

立体几何学

如图, 延长 $A G$ 交 $B C$ 于 $F$, 连接 $S F$, 则由 $G$ 为 $\triangle A B C$ 的重心知 $A G: G F=2$, 又 $A E: E S$ $=2 ， \therefore E G / / S F$ ，又 $S F \subset$ 平面 $S B C ， E G$ 平面 $S B C$ ，

<ImageHere>

$\therefore E G / /$ 平面 $S B C$.