Question: 若关于 $x$ 的不等式 $x^{2}-4 a x+3 a^{2}<0(a>0)$ 的解集为 $\left(x_{1}, x_{2}\right)$, 则 $x_{1}+x_{2}+\frac{a}{x_{1} x_{2}}$ 的最小值是( )

代数


Question: 已知正实数 $a, b$ 满足 $a+2 b=1$, 则 $a^{2}+4 b^{2}+\frac{1}{a b}$ 最小值为 ( )

代数


Question: 若正实数 $a, b$ 满足 $a+b=1$, 则 ( )

代数

因为正实数 $a, b$ 满足 $a+b=1$, 所以 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{a}+\frac{a+b}{b}=2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \geq 2+2=4$,故 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 有最小值 4 , 故 A 不正确; 由基本不等式可得 $a+b=1 \geq 2 \sqrt{a b}, \therefore a b \leq \frac{1}{4}$, 故 $a b$ 有最大值 $\frac{1}{4}$, 故 B 不正确; 由于 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}=a+b+2 \sqrt{a b}=1+2 \sqrt{a b} \leq 2, \therefore \sqrt{a}+\sqrt{b} \leq \sqrt{2}$, 故 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$由最大值为 $\sqrt{2}$, 故 C 正确; $\because a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2 a b=1-2 a b \geq 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$, 故 $a^{2}+b^{2}$ 由最小值 $\frac{1}{2}$,故 D 不正确.


Question: 已知 $a>1, b>1$, 且 $\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}=1$, 则 $a+4 b$ 的最小值为

代数


Question: 已知 $2 x+3 y=3$. 若 $x, y$ 均为正数, 则 $\frac{3}{x}+\frac{2}{y}$ 的最小值是 ( )

代数


Question: 下列函数中，周期为 $2 \pi$ 的偶函数是

A. $y=\sin \frac{x}{2}$
B. $y=\sin 2 x$
C. $y=\left|\sin \frac{x}{2}\right|$
D. $y=|\sin 2 x|$

计数


Question: 完成一项装修工程, 请木工共需付工资每人 500 元, 请瓦工共需付工资每人 400 元, 现有工人工资预算 20000 元, 设木工 $x$ 人, 瓦工 $y$ 人,则工人满足的关系式是 ( )

计数


Question:
函数 $y=\tan \left(\frac{1}{2} x-\frac{\pi}{3}\right)$ 在一个周期内的大致图象是

<ImageHere>

A.

<ImageHere>

B

<ImageHere>

C

<ImageHere>

D

变换几何

解析:由函数周期 $T=\frac{\pi}{\frac{1}{2}}=2 \pi$ ，排除选项 B、D.

将 $x=\frac{2}{3} \pi$ 代入函数解析式中，得

$y=\tan \left(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \pi-\frac{\pi}{3}\right)=\tan 0=0$,

故函数图象与 $x$ 轴的一个交点为 $\left(\frac{2}{3} \pi ， 0\right)$ ，排除 C，故选 A.

答案: A


Question: 要得到函数 $y=\sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象, 只要把函数 $y=\sin x$ 的图象

A. 向上平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度

B. 向下平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度

C. 向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度

D. 向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度

变换几何

解析: 由题意，只要把函数 $y=\sin x$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度即可.

答案: D


Question: 将函数 $y=\sin 2 x$ 的图象向左平移 $\varphi(\varphi>0)$ 个单位长度, 所得图象对应的函数为偶函数, 则 $\varphi$ 的最小值为

变换几何

解析 : 由题意得，将函数 $y=\sin 2 x$ 的图象向左平移 $\varphi(\varphi>0)$ 个单位长度，得函数 $y=\sin 2(x$ $+\varphi)=\sin (2 x+2 \varphi)$ 的图象. 因为它是偶函数，所以 $2 \varphi=\frac{\pi}{2}+k \pi ， k \in \mathbf{Z}$ ，即 $\varphi=\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{2} ， k \in \mathbf{Z}$ ，所以 $\varphi$ 的最小值是 $\frac{\pi}{4}$ ，故选 C.

答案:


Question: 为了得到 $y=\cos \frac{x}{4}$ 的图象, 只需把 $y=\cos x$ 的图象上的所有点

A. 横坐标伸长到原来的 4 倍, 纵坐标不变

B. 横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$, 纵坐标不变

C. 纵坐标伸长到原来的 4 倍, 横坐标不变

D. 纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$, 横坐标不变

变换几何

解析: 由图象的周期变换可知， A 正确.

答案: A


Question: 要得到函数 $y=\sin \left(4 x-\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象, 只需将函数 $y=\sin 4 x$ 的图象

A. 向左平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位长度

B. 向右平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位长度

C. 向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度

D. 向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度

变换几何

解析: $y=\sin \left(4 x-\frac{\pi}{3}\right)=\sin \left[4\left(x-\frac{\pi}{12}\right)\right]$, 故只需将函数 $y=\sin 4 x$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位长

度. 故选 B.
答案: B


Question: 把函数 $y=\cos x$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$, 纵坐标伸长到原来的 2 倍, 最后把图象向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度, 则所得图象表示的函数的解析式为

A. $y=2 \sin 2 x$
B. $y=-2 \sin 2 x$
C. $y=2 \cos \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$
D. $y=2 \cos \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)$

变换几何

解析: 把函数 $y=\cos x$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，所得图象的函数解析式为 $y=\cos 2 x$ ，再把纵坐标伸长到原来的 2 倍，所得图象的函数解析式为 $y=2 \cos 2 x$ ，最后把图象向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度，所得图象的函数解析式为 $y=2 \cos \left[2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right]=-2 \sin 2 x$.答案: B


Question: 把函数 $f(x)=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象向左平移 $\varphi(0<\varphi<\pi)$ 个单位长度可以得到函数 $g(x)$ 的图象. 若 $g(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称, 则 $\varphi$ 的值为

变换几何

解析: 由题意，得 $g(x)=\sin \left[2(x+\varphi)-\frac{\pi}{3}\right]=\sin \left(2 x+2 \varphi-\frac{\pi}{3}\right)$.

$\because g(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称， $\therefore g(x)$ 为偶函数，

$\therefore 2 \varphi-\frac{\pi}{3}=k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in \mathbf{Z}), \quad \therefore \varphi=\frac{k \pi}{2}+\frac{5 \pi}{12}(k \in \mathbf{Z})$.

当 $k=0$ 时， $\varphi=\frac{5 \pi}{12}$ ；当 $k=1$ 时， $\varphi=\frac{11 \pi}{12}$ ，故选 D.

答案: D


Question: 已知函数 $f(x)=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$. 若存在 $a \in(0, \pi)$, 使得 $f(x+a)=f(x-a)$ 恒成立, 则 $a$ 的值是

图论

解析: 因为 $f(x+a)=f(x-a)$ ，所以函数 $f(x)=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的周期为 $2 a$. 因为 $a \in(0 ， \pi)$ ，所以 $2 a=\frac{2 \pi}{2}$ ，即 $a=\frac{\pi}{2}$ ，故选 D.

答案: D


Question:
如图, 设点 $A$ 是单位圆上的一定点, 动点 $P$ 从点 $A$ 出发在圆上按逆时针方向旋转一周, 点 $P$ 所旋转过的弧 $\widehat{A P}$ 的长为 $l$, 弦 $A P$ 的长为 $d$, 则函数 $d=f(l)$ 的图象大致是 $(\quad)$

<ImageHere>

<ImageHere>

A.

<ImageHere>

C

<ImageHere>

B

<ImageHere>

D

组合几何学

解析: 如图，过 $O$ 作 $O D \perp A P$ 于 $D$.由题意知， $\angle A O D=\frac{l}{2} ， O A=1 ， A D=\frac{d}{2} ， \therefore \sin \frac{l}{2}=\frac{d}{2}$ ，即 $d=2 \sin \frac{1}{2}$结合图象知选 C.

<ImageHere>

答案: C


Question:
如图所示的是一半径为 $3 \mathrm{~m}$ 的圆形水轮, 水轮的中心 $O$ 距离水面 $2 \mathrm{~m}$, 已知水轮自点 $B$ 开始旋转, $15 \mathrm{~s}$ 旋转一圈, 水轮上的点 $P$ 到水面的距离 $y(\mathrm{~m})$ 与时间 $x(\mathrm{~s})$ 满足函数关系式 $y=$ $A \sin (\omega x+\varphi)+2$, 则有

<ImageHere>

组合几何学

解析: $\because T=15 ， \therefore \omega=\frac{2 \pi}{T}=\frac{2 \pi}{15}$.

显然 $y_{\max }-y_{\text {min }}=6 ，$

$\therefore A=\frac{y_{\text {max }}-y_{\text {min }}}{2}=\frac{6}{2}=3$,

答案: A


Question: 已知三角形面积为 $\frac{1}{4}$, 外接圆面积为 $\pi$, 则这个三角形的三边之积为 $($ )

立体几何学

解析 设三角形外接圆半径为 $R$, 则由 $\pi R^{2}=\pi$,

得 $R=1$, 由 $S_{\triangle}=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{a b c}{4 R}=\frac{a b c}{4}=\frac{1}{4}, \therefore a b c=1$.


Question: 扇形的周长为 $6 \mathrm{~cm}$, 面积是 $2 \mathrm{~cm}^{2}$, 则扇形的圆心角的弧度数是

立体几何学

解析:设扇形的圆心角为 $a \mathrm{rad}$, 半径为 $R \mathrm{~cm}$,
则 $\left\{\begin{array}{l}2 R+\alpha \cdot R=6, \\ \frac{1}{2} R^{2} \cdot \alpha=2,\end{array}\right.$ 解得 $\alpha=1$ 或 $\alpha=4$, 选 C.

答案: C


Question: 若向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 满足 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$ 且 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{c}$, 则 $\boldsymbol{c} \cdot(\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b})=$

立体几何学

解析: $\because a / / b, \therefore b=\lambda a, \lambda \in \mathbf{R} . \therefore c \cdot(a+2 b)=c \cdot(a+2 \lambda a)=c \cdot a(1+2 \lambda) . \because a \perp c, \therefore a \cdot c=0 . \therefore c \cdot(a$ $+2 b)=0$.

答案: D


Question: 已知 $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=2, \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=2$, 则 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=$

立体几何学

解析: $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^{2}}=\sqrt{(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})^{2}}=\sqrt{\boldsymbol{a}^{2}-2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}}=\sqrt{2^{2}-2 \times 2+2^{2}}=\sqrt{4}=2$.

答案: C


Question:
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分

别为 $a, b, c$, 若 $a=1, \sqrt{3} \sin A \cos C+(\sqrt{3} \sin C+b) \cos A=0$, 则角 $A=$

立体几何学

 $\because a=1, \sqrt{3} \sin A \cos C+(\sqrt{3} \sin C+b) \cos A=0$,

$\therefore \sqrt{3} \sin A \cos C+\sqrt{3} \sin C \cos A=-b \cos A$,
$\therefore \sqrt{3} \sin (A+C)=\sqrt{3} \sin B=-b \cos A$,

$\therefore \sqrt{3} a \sin B=-b \cos A$,

由正弦定理可得： $\sqrt{3} \sin A \sin B=-\sin B \cos A$,

$\because \sin B>0, \therefore \sqrt{3} \sin A=-\cos A$, 即 $\tan A=-\frac{\sqrt{3}}{3}$,

$\because A \in(0, \pi), \therefore A=\frac{5 \pi}{6}$. 故选 D.


Question: 已知 $A, B, C$ 是海面上的三座岛屿, 测得 $\angle A B C=30^{\circ}, \angle B A C=105^{\circ}$, 从岛屿 $A$ 到岛屿 $C$ 需要 30 分钟, 按照同样的速度, 从岛屿 $A$ 到岛屿 $B$ 需要 (取 $\sqrt{2} \approx 1.4, \sqrt{3} \approx 1.7$ )

立体几何学

设从从岛屿 $A$ 到岛屿 $C$ 速度为 $v$, 从岛屿 $A$ 到岛屿 $B$ 需要 $t$ 分钟, 由正弦定理, 得
$\frac{30 v}{\sin 30^{\circ}}=\frac{v t}{\sin \left(180^{\circ}-30^{\circ}-105^{\circ}\right)}, t=\frac{30 \sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}=30 \sqrt{2} \approx 42$. 故选 B.


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, 角 $B$ 为 $\frac{3 \pi}{4}, B C$ 边上的高恰为 $B C$ 边长的一半, 则 $\cos A=$

立体几何学

作 $A H \perp B C$, 垂足点 $H$ 在 $C B$ 的延长线上, $\triangle A H B$ 为等腰直角三角形, 设 $B C=2 a$, 则 $A B=\sqrt{2} a, A H=a, C H=3 a$, 由勾股定理得 $A C=\sqrt{10} a$, 由余弦定理得 $\cos A=\frac{2 a^{2}+10 a^{2}-4 a^{2}}{2 \times \sqrt{2} a \times \sqrt{10} a}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$, 故选 A.


Question: 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题: “远望巍巍塔七层, 红光点点倍加增,共灯三百八十一, 请问尖头几盛灯? ” 意思是: 一座 7 层塔共挂了 381 盏灯, 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍, 则塔的顶层共有灯 ( )

组合数学

设这个塔顶层有 $\mathrm{a}$ 盏灯, $\because$ 宝塔一共有七层, 每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍, $\therefore$从塔顶层依次向下每层灯数是以 2 为公比、 $\mathrm{a}$ 为首项的等比数列, 又总共有灯 381 盛, $\therefore 381=\frac{a\left(1-2^{7}\right)}{1-2}=127 \mathrm{a}$, 解得 $\mathrm{a}=3$, 则这个塔顶层有 3 盛灯.故选 $\mathrm{B}$


Question: 已知集合 $A=\{x \in N \mid x \leq 6\}, B=\left\{x \in R \mid x^{2}-4 x>0\right\}$, 则 $A \cap B=（ ）$

组合数学


Question: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2 n+2$, 将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵. 记 $b_{n}$ 为数阵从左至右的 $n$ 列, 从上到下的 $n$ 行共 $n^{2}$ 个数的和, 则数列 $\left\{\frac{n}{b_{n}}\right\}$ 的前 2020 项和为 ( )

组合数学


Question:
下列命题: (1)若 $a>b$ 且 $a, b$ 同号, 则 $\frac{1}{-}<\frac{1}{b}$; (2) 若 $\frac{1}{-}>1$, 则 $0<a<1$;

(3) $a \geqslant b$ 且 $a c \geqslant b c \Rightarrow c \geqslant 0$;

(4) 若 $a>b, n \in N_{+} \Rightarrow a^{2 n-1}>b^{2 n-1}$.

其中真命题个数为 ( )

逻辑题

(1)正确.

$$
\because a b>0, a>b, \therefore \frac{a}{a b}>\frac{b}{a b}, \frac{1}{1} \frac{1}{a} \text {, 即 } b>a \text {. }
$$

$\xrightarrow{1}>1$

(2)正确, 由 ${ }^{a}$, 可得 $\mathrm{a}$ 正数, 两边同乘以 $a$ 可得 $0<a<1$,

(3)错误. $\because a c \geq b c ，$ 即 $(a-b) c \geq 0$ ，而 $a \geq b$ ，当 $a=b$ 时， $c \in R$,

(4)正确. $\because n \in N_{+}, 2 n-1$ 为奇数, $y=x^{2 n-1}$ 为增函数, 因为 $a>b$, 则得 $a^{2 n-1}>b^{2 n-1}$, 故选 $C$.


Question: 已知 $a, b \in \mathbf{R}$, 则命题 “若 $a>b$, 则 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$ ” 的逆命题、否命题、逆否命题, 这三个命题中真命题的个数有 $($ )

逻辑题

解析 ：原命题 “ $a>b$, 则 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$ ” 是假命题, 其逆命题 “ $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$, 则 $a>b$ ” 也是假命题, 又原命题与逆否命题等价, 逆命题与否命题等价,故三个命题都是假命题。

答案 ：A


Question:
下列命题:

(1) “全等三角形的面积相等” 的逆命题;

(2) “正三角形的三个角均为 $60^{\circ}$ ” 的否命题;

(3) “若 $k<0$, 则方程 $x^{2}+(2 k+1) x+k=0$ 必有两相异实数根” 的逆否命题.

其中真命题的个数是( )

逻辑题

解析 ：(1)的逆命题 “面积相等的三角形必全等” 是假命题.

(2) 的否命题 “不是正三角形的三个内角不全为 $60^{\circ}$ ” 为真命题.

(3) 当 $k<0$ 时, $\Delta=(2 k+1)^{2}-4 k=4 k^{2}+1>0$, 方程有两相异实根,原命题与逆否命题均为真命题.

答案 ：C


Question: 命题 “若方程 $a x^{2}+b x+c=0(a \neq 0)$ 的 $\Delta=b^{2}-4 a c<0$, 则方程无实根” 的否命题的逆否命题是( )

A. 若方程 $a x^{2}+b x+c=0(a \neq 0)$ 的 $\Delta=b^{2}-4 a c \geqslant 0$, 则方程有二实根

B. 若方程 $a x^{2}+b x+c=0(a \neq 0)$ 无实根, 则其 $\Delta=b^{2}-4 a c<0$

C. 若方程 $a x^{2}+b x+c=0(a \neq 0)$ 有二实根, 则其 $\Delta=b^{2}-4 a c \geqslant 0$

D. 以上均不对

逻辑题


Question: 下列命题为特称命题的是 ( )

A. 偶函数的图象关于 $y$ 轴对称

B. 正四棱柱都是平行六面体

C. 不相交的两条直线是平行线

D. 存在大于等于 3 的实数

逻辑题

解析 :选项 A, B, C 都是全称命题, 选项 D 含有存在量词, 是特称命题.

答案: D


Question: 命题 “存在实数 $x$, 使 $x>1$ ” 的否定是 ( )

A. 对任意实数 $x$, 都有 $x>1$

B. 不存在实数 $x$, 使 $x \leqslant 1$

C. 对任意实数 $x$ ，都有 $x \leqslant 1$

D. 存在实数 $x$, 使 $x \leqslant 1$

逻辑题


Question: 已知命题 $p_{1}$ ：函数 $y=2^{x}-2^{-x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上为增函数; $p_{2}$ ：函数 $y$ $=2^{x}+2^{-x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上为减函数. 则在命题 $q_{1}: p_{1} \vee p_{2}, q_{2}: p_{1} \wedge p_{2}, q_{3}:$ (綈 $\left.p_{1}\right) \vee p_{2}$ 和 $q_{4}: p_{1} \wedge$ (綈 $\left.p_{2}\right)$ 中，真命题是 $(\quad)$

逻辑题

解析 :由题知, $p_{1}$ 为真命题, $p_{2}$ 为假命题,

$\therefore q_{1}, q_{4}$ 为真命题, 故选 C.

答案 :C


Question: 命题 $p$ : 若不等式 $x^{2}+x+m>0$ 恒成立, 则 $m>\frac{1}{4}$, 命题 $q$ : 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A>\angle B$ 是 $\sin A>\sin B$ 的充要条件, 则( )

A. $p$ 真 $q$ 假
B. “ $p \wedge q$ ” 为真
C. “ $p \vee q$ ” 为假
D. “綈 $p \bigvee$ 綈 $q$ ” 为真

逻辑题

解析 :$x^{2}+x+m>0$ 恒成立, 只需 $\Delta=1-4 m<0$, 即 $m>\frac{1}{4}, \therefore$ 命题 $p$ 正确. 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A>\angle B \Leftrightarrow \sin A>\sin B, \therefore$ 命题 $q$ 正确. 故选 B.

答案 :B


Question: 由下列各组命题构成的 “ $p \vee q$ ” “ $p \wedge q$ ” “綈 $p$ ” 形式的新命题中, “ $p \vee q$ ” 为真, “ $p \wedge q$ ” 为假, “綈 $p$ ” 为真的是 ( )

逻辑题

解析: 选项 B 中, $\because p: 3+2=6$ 为假命题, $\therefore$ 綈 $p$ 为真. $q: 5>3$为真命题, $\therefore “ p \vee q$ ” 为真, “ $p \wedge q$ ”为假.

答案 :B


Question: 下列语句中,不能称为命题的是 ( )

A. $5>12$
B. $x>0$
C. 若 $a \perp b$,则 $a \cdot b=0$
D.三角形的三条中线交于一点

逻辑题

解析:解答:选项 A 能判断为假,选项 C,D 能判断为真,而选项 B 中, 因为在给 $x$ 赋值之前, 不能判断 $x>0$ 的真假,所以 $x>0$ 不是命题., 故选 B.

分析:可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题,并不是任何语句都是命题,只有那些能判断真假的语句才是命题.一般来说, 疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.在数学或其他领域, 有一类陈述句, 如“每一个不小于 6 的偶数都是两个奇质数的和”, 目前不能判断它的真假,但以后总能确定它的真假,因此通常把它也算作命题.


Question: 命题: “若 $x^{2}<1$, 则 $-1<x<1$ ” 的逆否命题是( )

逻辑题

解析：解答：逆否命题是逆命题的否命题：若 $x^{2}<1$, 则 $-1<x<1$ 的逆否命题为“若 $x \leq-1$ 或 $x \geq 1$, 则 $x^{2} \geq 1$ ”. 故选 D.

分析： 逆命题：交换原命题的条件和结论;

否命题: 同时否定原命题的条件和结论;

逆否命题：交换原命题的条件和结论，并同时否定.


Question: 下列四个命题中的真命题是 ( )

A. $\forall x \in \mathrm{R}, x^{2}+3<0$
B. $\forall x \in \mathrm{N}, x^{2} \geq 1$
C. $\exists x \in Z ，$ 使 $x^{5}<1$
D. $\exists x \in Q, x^{2}=3$

逻辑题

解析: 解答: 由于 $\forall x \in \mathrm{R}$, 都有 $x^{2} \geq 0$, 因而有 $x^{2}+3 \geq 3$, 所以命题 “ $\forall x \in \mathrm{R}, x^{2}+3<0$ ”为假命题; 由题 $0 \in \mathrm{N}$, 当 $x=0$ 时, $x^{2} \geq 1$ 不成立, 所以命题: $\forall x \in \mathrm{N}, x^{2} \geq 1$ ”是假命题; 由于 $-1 \in$ $Z$, 当 $x=-1$ 时, $x^{5}<1$, 所以命题 “ $\exists x \in Z$, 使 $x^{5}<1$ ” 为真命题; 由于使 $x^{3}=3$ 成立的数只有 $\pm \sqrt{3}$, 而它们都不是有理数, 因此没有任何一个有理数的平方能等于 3 , 所以命题“ $\exists x \in$ $Q, x^{3}=3$ ”是假命题. 故选 C.

分析：本题主要考查命题的是全称命题与特称命题的真假判断, 根据概念逐项分析即可。


Question: 已知命题 $p: \exists x \in R, x^{2}+x-1<0$, 则 $\neg p$ 为 ( )

A. $\exists x \in \mathrm{R}, x^{2}+x-1>0$
B. $\forall x \in \mathrm{R}, x^{2}+x-1 \geq 0$
C. $\exists x \notin \mathrm{R}, x^{2}+x-1 \geq 0$
D. $\forall x \notin \mathrm{R}, x^{2}+x-1>0$

逻辑题

解析: 解答: 命题 $p: \exists x \in \mathrm{R}, x^{2}+x-1<0$, 则 $\neg p: \forall x \in \mathrm{R}, x^{2}+x-1 \geq 0$. 故选 B

分析: 本题主要考查含有存在量词的命题的否定, 需将存在量词改为全称量词, 并将结论否定;


Question: 2022 的绝对值是 ( )

算术


Question:
实数 $\mathrm{a}$ 在数轴上的位置如图所示, 则 $-\frac{1}{a}, 1,0$ 的大小顺序是 ( )

<ImageHere>

算术

because-1<\mathrm{a}<0$

$-\frac{1}{a}>1$
$\therefore 0<1<-\frac{1}{a}$.

故答案为: $\mathrm{C}$


Question: 如果一个数的绝对值是它的相反数, 则这个数是（）

A. 正数
B. 负数
C. 正数或零
D. 负数或零

算术

$\because$ 一个数的绝对值是它的相反数,

设这个数是 $a$, 则

$|a|=-a \geq 0$

$\therefore \mathrm{a} \leq 0$.

故答案为: D.


Question: 如果用・代表间一个自然数 $(\bullet \neq 0)$, 那么下面各式中, 得数最大的是（ ）

A. $\bullet \div \frac{6}{7}$
B. $\frac{6}{7} \div$
C. $\bullet \times \frac{6}{7}$
D. $\cdot-\frac{6}{7}$

算术


Question: 若 $\mathrm{a}$ 表示一个有理数, 且有 $|-3-a|=3+|a|$, 则 $\mathrm{a}$ 应该是（）

任意一个有理数
B. 任意一个正数
C. 任意一个负数
D. 任意一个非负数

算术

当 $a \geq 0$ 时, 得 $3+a=3+a, \therefore a$ 为可以为一切非负数,当 $-3 \leq a<0$ 时, 得 $3+a=3-a, \quad \therefore a$ 为 0 , 不符合题意, 舍去,当 $a<-3$ 时, 得 $3+a=3-a, \therefore a$ 为 0 , 不符合题意, 舍去,综上 a 为可以为一切非负数,故答案为: D


Question: 有理数 $a 、 b$ 满足 $|a-b|=|a|+|b|$, 则 $a 、 b$ 应满足的条件是 ( )

$a b \geq 0$
B. ab $>1$
C. $a b \leq 0$
D. $a b \leq 1$

算术

$\because$ 有理数 $a 、 b$ 满足 $|a-b|=|a|+|b|$,

当 $a>0, b>0$ 时 $|a-b|<a+b=|a|+|b|$, 不满足条件,

| 1 | c |  |
| :--- | :--- | :--- |
| 0 | $a$ | $b$ |

当 $a<0, b<0,|a-b|<-a-b=|a|+|b|$, 不满足条件,

| $c$ | c. |  |
| :--- | :--- | :--- |
| $b$ | $a$ | 0 |

当 $a \geq 0, b \leq 0,|a-b|=a-b,|a|+|b|=a-b,|a-b|=|a|+|b|$, 满足条件,

| $b$ | 1 |  |
| :--- | :--- | :--- |
| $b$ | $a$ | $a$ |

当 $\mathrm{a} \leq 0, \mathrm{~b} \geq 0,|\mathrm{a}-\mathrm{b}|=\mathrm{b}-\mathrm{a},|\mathrm{a}|+|\mathrm{b}|=\mathrm{b}-\mathrm{a},|\mathrm{a}-\mathrm{b}|=|\mathrm{a}|+|\mathrm{b}|$, 满足条件,

<ImageHere>

A、 $a b \geq 0$, 可知 $a 、 b$ 是同号或为 0 , 都为 0 是成立, 同号时条件不成立, 故此选项不正确;

B、 $a b>1$ ，可知 $a 、 b$ 是同号，同号时条件不成立，故此选项不正确;

C、 $a b \leq 0$, 可知 $a 、 b$ 是异号或为 0 , 满足条件, 故此选项正确;

D、 $a b \leq 1$, 当 $0<a b \leq 1$ 时, 可知 $a 、 b$ 是同号, 不满足条件, 故此选项不正确.故答案为: $\mathrm{C}$.


Question:
已知有理数 $a, b, c$ 在数轴上的位置如图所示, 且满足 $|a|<|c|<|b|$. 则下列各式:
(1) $-b>-a>-c$;
(2) $\frac{a b}{|a b|}-\frac{a c}{|a c|}=0$
(3) $|a+b|=|a|+|b|$
(4) $|a-b|-|c-b|+|a-c|=$

0 . 其中正确的有 $(\quad)$

<ImageHere>

算术

$\because|a|<|b|<|c|$,

$\therefore$ (1)-b>-a>-c, 故(1) 符合题意;

(2) $\frac{a b}{|a b|}-\frac{a c}{|a c|}=\frac{a b}{-a b}-\frac{a c}{a c}=1+1=2$, 故(2)不符合题意;

(3) $|a+b|=|a|+|b|$, 故(3)符合题意;

(4) $|\mathrm{a}-\mathrm{b}|-|\mathrm{c}-\mathrm{b}|+|\mathrm{a}-\mathrm{c}|=\mathrm{a}-\mathrm{b}-(\mathrm{c}-\mathrm{b})+(\mathrm{c}-\mathrm{a})=\mathrm{a}-\mathrm{b}-\mathrm{c}+\mathrm{b}+\mathrm{c}-\mathrm{a}=0$, 故(4)符合题意:

所以正确的个数有(1)(3)(4), 共 3 个.

故答案为: B.


Question: 下列式子中正确的是 $(\quad)$

算术


Question:
观察下列式子:

$1 \times 2+2 \times 3+3 \times 4=\frac{1}{3} \times 3 \times 4 \times 5$

$1 \times 2+2 \times 3+3 \times 4+4 \times 5=\frac{1}{3} \times 4 \times 5 \times 6$

$1 \times 2+2 \times 3+3 \times 4+4 \times 5+5 \times 6=\frac{1}{3} \times 5 \times 6 \times 7$

探索以上式子的规律, 与计算 $11 \times 12+12 \times 13+\cdots+18 \times 19+19 \times 20$ 的结果相等的算式是

A. $\frac{1}{3} \times(19 \times 20 \times 21-9 \times 10 \times 11)$
B. $\frac{1}{3} \times(19 \times 20 \times 21-10 \times 11 \times 12)$
C. $\frac{1}{3} \times(18 \times 19 \times 20-9 \times 10 \times 11)$
D. $\frac{1}{3} \times(18 \times 19 \times 20-10 \times 11 \times 12)$

算术

$11 \times 12+12 \times 13+\cdots+18 \times 19+19 \times 20=(1 \times 2+2 \times 3+\cdots+19 \times 20)-(1 \times 2+$ $2 \times 3+\cdots+10 \times 11)=\frac{1}{3} \times 19 \times 20 \times 21-\frac{1}{3} \times 10 \times 11 \times 12$

$=\frac{1}{3} \times(19 \times 20 \times 21-10 \times 11 \times 12)$

故答案为: B.


Question:
小明做了下列 3 道计算题:
(1) $\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \times 2=0 \times 2=0$,
(2) $-2^{3}-(-3)^{2}=-8-9=-17$
(3) $6 \div\left(\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\right)=6 \div \frac{3}{2}-6 \div \frac{2}{3}=$ $9-6=3$. 其中正确的有

算术


Question: 已知两个数的和为负数, 则这两个有理数 ( )

A. 都为负数
B. 都为正数
C. 至少有一个为负数
D. 必须一正一负

算术

两个数的和为负数, 这两个有理数可以都是负数或者有一个是负数且负数的绝对值比另一个数的绝对值大.

故答案为: $\mathrm{C}$


Question: 预防和控制新冠肺炎最有效的办法就是接种疫苗.截止 2021 年 12 月 1 日, 某市累计接种新冠病毒疫苗超过 350 万剂次，用科学记数法表示 350 万为 $(\quad)$

算术


Question: 计算 $2+2 \stackrel{m \uparrow}{\stackrel{m \uparrow}{n}} 2+2+3 \times 3 \widetilde{\times} \cdots \times 3=(\quad)$

算术


Question: 下列说法正确的是

非零两数的和一定大于任何一个加数

B. 非零两数的差一定小于被减数

C. 大于 1 的两数之积一定大于任何一个因数

D. 小于 1 的两数之商一定小于被除数

算术

$\because$ 两个负数的和小于任何一个加数,

$\therefore$ 选项 $A$ 不符合题意;

$\because$ 当减数是小于或等于 0 的数时, 差是大于或等于被减数的,

$\therefore$ 选项 $B$ 不符合题意;

$\because$ 大于 1 的两数之积一定大于任何一个因数,

$\therefore$ 选项 $C$ 符合题意;

$\because$ 当除数是真分数, 被除数是正数时, 商大于被除数,
$\therefore$ 选项 $D$ 不符合题意.

故答案为: C.


Question: 现定义两种运算“ $\oplus$ ”, “*”.对于任意两个整数, $\quad a \oplus b=a+b-1, \quad a * b=a \times b-1$,则 $(6 \oplus 8) *(3 \oplus 5)$ 的结果是 $(\quad)$

算术


Question: 观察下列各式: $-\frac{1}{1 \times 2}=-1+\frac{1}{2},-\frac{1}{2 \times 3}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{3} ，-\frac{1}{3 \times 4}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{4},-\frac{1}{4 \times 5}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$, 按照上面的规律, 计算式子 $-\frac{1}{1 \times 2}-\frac{1}{2 \times 3}-\frac{1}{3 \times 4}-\cdots-\frac{1}{2020 \times 2021}$ 的值为 $(\quad)$

算术


Question: 2022 年 2 月 5 日, 杭州某区最商气湿 $7^{\circ} \mathrm{C}$, 最低气温为 $-2^{\circ} \mathrm{C}$, 那么这天的最高气温比最低气温高

A. $5^{\circ} \mathrm{C}$
B. $9^{\circ} \mathrm{C}$
C. $-5^{\circ} \mathrm{C}$
D. $-9^{\circ} \mathrm{C}$

算术


Question: 如果有 4 个不同的正整数 $a 、 b 、 c 、 d$ 满足 $(2019-a)(2019-b)(2019-c)(2019-$ $d)=9$, 那么 $a+b+c+d$ 的值为（）

算术


Question: 下列计算结果是负数的是 $(\quad)$

算术


Question: 两个有理数的和为 0 , 则这两个数

A. 都是 0
B. 至少有一个为 0
C. 互为相反数
D. 一正一负

算术

这两个数的和为零, 必定互为相反数.

故答案为: C.


Question: 2021 年是伟大的中国共产党百年华诞, 从南陈北李相约建党历经百年沧桑发展到今天已有近 9200 万党员, 其中 9200 万用科学记数法表示为

算术


Question: 若规定一种运算“※”: $a ※ b=a^{b}+a b$, 则 $(-1) ※ 4=$

算术


Question: 设 $n$ 是自然数, 则 $\frac{(-1)^{n}+(-1)^{n+1}}{2}$ 的值为 $(\quad)$

算术


Question: 2021 减去它的 $\frac{1}{2}$, 再减去余下的 $\frac{1}{3}$, 再减去余下的 $\frac{1}{4}, \ldots$, 以此类推, 一直减到余下的 $\frac{1}{2021}$, 则最后剩下的数是 $(\quad)$

算术

根据题意得 $2021 \times\left(1-\frac{1}{2}\right) \times\left(1-\frac{1}{3}\right) \times\left(1-\frac{1}{4}\right) \times \cdots \times\left(1-\frac{1}{2021}\right)$

$=2021 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \cdots \times \frac{2020}{2021}=1$.

故答案为: $\mathrm{B}$.


Question: 下列计算结果是负数的是

算术

$\because 3-2=1$, 计算结果是正数,

$\therefore$ 选项 A 不正确;

$\because 3 \times(-2)=-6$, 计算结果是负数,

$\therefore$ 选项 B 正确;

$\because 3^{-2}=\frac{1}{9}$, 计算结果是正数,

$\therefore$ 选项 $\mathrm{C}$ 不正确;

$\because \sqrt{3}$ 是一个正数,

$\therefore$ 选项 D 不正确.

故选: B.


Question: 定义运算 $\mathrm{a} \otimes \mathrm{b}=\mathrm{a}(\mathrm{b}-1)$, 下面给出了关于这种运算的四个结论: (1) $2 \otimes(-1)=-4$; (2) $\mathrm{a} \otimes \mathrm{b}=\mathrm{b} \otimes \mathrm{a}$; (3)若 $a+b=1$, 则 $a \otimes a=b \otimes b$; (4)若 $b \otimes a=0$, 则 $a=0$ 或 $b=1$. 其中正确结论的序号是

算术

(1)根据题意得: 原式 $=2 \times(-1-1)=2 \times(-2)=-4$, 正确;

(2) 根据题意得: $\mathrm{a} \otimes \mathrm{b}=\mathrm{a}(\mathrm{b}-1), \mathrm{b} \otimes \mathrm{a}=\mathrm{b}(\mathrm{a}-1)$, 不相等, 错误;

(3) 由 $a+b=1$, 得到 $b=1-a, a=1-b$,

则 $\mathrm{a}^{\otimes} \mathrm{a}=\mathrm{a}(\mathrm{a}-1)=-\mathrm{ab}, \mathrm{b} \otimes \mathrm{b}=\mathrm{b}(\mathrm{b}-1)=-\mathrm{ab}$, 即 $\mathrm{a} \otimes \mathrm{a}=\mathrm{b} \otimes \mathrm{b}$, 正确;

(4) $b \otimes a=b(a-1)=0$, 得到 $b=0$ 或 $a=1$, 错误,

则正确结论的序号是 (1) (3),

故选 D.


Question: 下列不是无理数的是 $(\quad)$

算术

A、 $\sqrt{4}$ 是有理数, 故 A 错误;

B、3.141141114...是无理数，故 B 正确;

C、 $\sqrt{3}$ 是无理数，故 C 正确;

D、 $\pi$ 是无理数, 故 D 正确;

故选: A.


Question: 在算式 $(-\sqrt{0.3})$ 口 $(-\sqrt{0.3})$ 叶填上运算符号, 使结果最大, 这个运算符号是 ( )

加号
B. 减号
C. 乘号
D. 除号

算术


Question: 若 $|a|=4, \sqrt{b^{2}}=3$, 且 $\mathrm{a}+\mathrm{b}<0$, 则 $\mathrm{a}-\mathrm{b}$ 的值是（）

算术

$\because|\mathrm{a}|=4, \sqrt{b^{2}}=3$, 且 $\mathrm{a}+\mathrm{b}<0$,

$\therefore \mathrm{a}=-4, \mathrm{a}=-3 ; \mathrm{a}=-4, \mathrm{~b}=3$,

则 $\mathrm{a}-\mathrm{b}=-1$ 或 -7 .

故选 D


Question:
实数 $\mathrm{a}$ 在数轴上的位置如图所示, 则下列说法不正确的是 ( )

<ImageHere>

A. $\mathrm{a}$ 的相反数大于 2
B. $a$ 的相反数是 2
C. $|a|>2$
D. $2 \mathrm{a}<0$

算术

由数轴可知, $a<-2$,

A、a 的相反数 $>2$, 故本选项正确, 不符合题意;

B、a 的相反数 $\neq 2$, 故本选项错误，符合题意;

C、a 的绝对值 $>2$, 故本选项正确, 不符合题意;

D、 $2 \mathrm{a}<0$, 故本选项正确, 不符合题意.

故选: B


Question: 一个正偶数的算术平方根是 a, 那么与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是 ( )

算术

一个正偶数的算术平方根是 $a$, 得到这个正偶数为 $a^{2}$,所以与这个正偶数相邻的下一个正偶数为 $\mathrm{a}^{2}+2$,从而与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是 $\sqrt{a^{2}+2}$故选 C.


Question: 已知 $0<x<1$, 则 $x^{2} 、 x 、 \frac{1}{x}$ 大小关系是

算术

已知 $\mathrm{x}$ 的取值范围, 可运用取特殊值的方法, 选取一个符合条件的实数代入选项求得答案.

【解答】 $\because 0<\mathrm{x}<1$,

$\therefore$ 可假设 $\mathrm{x}=0.1$,

则 $\mathrm{x}^{2}=(0.1)^{2}=\frac{1}{100}, \frac{1}{x}=\frac{1}{0.1}=10$,

$\because \frac{1}{100}<0.1<10$

$\therefore \mathrm{x}^{2}<\mathrm{x}<\frac{1}{x}$.

故选 A.


Question: 下列各式中, 正确的是 ( )

算术


Question: 在下列各数: $3.14159,0.10110101110 \ldots, \pi, \sqrt[3]{-27}$ 中, 无理数的个数有（）

算术


Question: 晓影设计了一个关于实数运算的程序: 输入一个数后, 输出的数总是比该数的平方小 1 , 晓影按照此程序输入 $\sqrt{2007}$ 后, 输出的结果应为

算术


Question: 下列判断中, 你认为正确的是 ( )

算术

A、 0 没倒数, 故 A 错误;

B、 $\sqrt{9}=3$, 故 B 错误;

C、分数的分子分母都是整数, 故 $\mathrm{C}$ 错误;

D、 $(\sqrt{1.01})^{2}>1^{2}$, $\sqrt{1.01}>1$, 故 D 正确,

故选: D.


Question: 当 $a^{2}=b^{2}$ 时, 下列等式中成立的是（）

算术

$\because \mathrm{a}^{2}=\mathrm{b}^{2}$,

$\therefore|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|$,

$\therefore|a|=\sqrt{b^{2}}$.

故选: B.


Question: -2 的立方与 -2 的平方的和是 ()

算术


Question:
已知数 $\mathrm{a}$ 在数轴上的位置如图所示, 则 $\mathrm{a} 、-\mathrm{a} 、 \frac{1}{a} 、-\frac{1}{a}$ 大小关系正确的是

| -1 | $a$ | 0 | 1 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |

算术

$\because-1<\mathbf{a}<0$,

$\therefore \frac{1}{a}<-1,0<-\mathrm{a}<1, \quad-\frac{1}{a}>1$,

$\therefore \frac{1}{a}<\mathrm{a}<-\mathrm{a}<-\frac{1}{a}$.

故答案为: D.


Question: 下列运算正确的是 $(\quad)$

算术


Question: 已知 $|x|=6, y^{2}=4$, 且 $x y<0$. 则 $x+y$ 的值为 ( )

算术


Question: 在 $\frac{22}{7}, 3.14, \sqrt{16}, 0.1010010001, \pi-1, \sqrt[3]{125}$ 中, 无理数的个数有（）

算术


Question: $\sqrt{169}$ 的算术平方根为 $(\quad)$

算术

$\because \sqrt{169}=13$,

$\therefore \sqrt{169}$ 的算术平方根即为 13 的算术平方根,

结果为 $\sqrt{13}$,

故答案为: $\mathrm{C}$.


Question: 下列说法正确的是 ( )

一个数的立方根有两个, 它们互为相反数

B. 负数没有立方根

C. 任何数的立方根都只有一个

D. 如果一个数有立方根, 那么这个数也一定有平方根

算术

$\because$ 一个正数有一个正的立方根, 一个负数有一个负的立方根, 0 的立方根是 0 , 即任何数都
只有一个立方根,

$\therefore \mathrm{A}$ 选项说法不正确;

$\because$ 一个负数有一个负的立方根,

$\therefore \mathrm{B}$ 选项说法不正确;

$\because$ 一个正数有一个正的立方根, 一个负数有一个负的立方根, 0 的立方根是 0 ,

$\therefore \mathrm{C}$ 选项说法正确;

$\because$ 一个负数有一个负的立方根, 但负数没有平方根,

$\therefore \mathrm{D}$ 选项说法不正确.

综上, 说法正确的是 $\mathrm{C}$ 选项.

故答案为: C.


Question: 求 $\frac{49}{81}$ 的平方根的数学表达式为 $(\quad)$

算术


Question: 以下各数没有平方根的是 $(\quad)$

算术

A、 $\because 64>0$,

$\therefore 64$ 有平方根, 故 A 不符合题意;

B、 $\because(-2)^{2}=4>0$,

$\therefore 4$ 有平方根, 故 B 不符合题意;

C、 $\because|-3|=3>0$

$\therefore|-3|$ 有平方根, 故 $\mathrm{C}$ 不符合题意;

D、 $\because-2^{-2}=-\frac{1}{4}<0$

$\therefore-2^{-2}$ 没有平方根, 故 D 符合题意;故答案为: D.


Question: 下列说法正确的是

倒数等于它本身的数只有 1
B. 正数的绝对值是它本身
C. 平方等于它本身的数只有 1
D. 立方等于它本身的数只有 1

算术

A、倒数等于它本身的数有 $\pm 1$, 此项说法不符合题意;

B、正数的绝对值是它本身, 此项说法符合题意;

C、平方等于它本身的数有 0 和 1 , 此项说法不符合题意;

D、立方等于它本身的数有 0 和 $\pm 1$, 此项说法不符合题意;

故答案为: $\mathrm{B}$
B.


Question: $\sqrt{81}$ 的算术平方根是 $(\quad)$

算术

$\because \sqrt{81}=9$,

$\therefore \sqrt{81}$ 的算术平方根是 $\sqrt{9}=3$,

故答案为: A.


Question: 下列各组数中, 不相等的一组是 ( ).

算术


Question: 下列计算正确的是 $(\quad)$

算术

A、 $\sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{2}{5}$, 错误;

B、 $\because \sqrt{-\frac{4}{25}}$ 无意义，错误;

CD、 $\pm \sqrt{\frac{4}{25}}= \pm \frac{2}{5}$, 故 C 错误, D 正确;

故答案为: D.


Question:
下列判断: (1)一个数的平方根等于它本身, 这个数是 0 和 1 ; (2)实数包括无理数和有理数;

(3) 2 的算术平方根是 $\sqrt{2}$; (4)无理数是带根号的数. 正确的有 ( )

算术

(1)一个数的平方根等于它本身, 只有 0 , 该项不符合题意; (2) 实数包括无理数和有理数, 该项符合题意; (3) 2 的算术平方根是 $\sqrt{2}$, 该项符合题意; (4)无理数是带根号的数, 例如: $\sqrt{4}$ 不是无理数, 该项不符合题意.

故答案为:
B.


Question: 一个正数的平方根是 $x-5$ 和 $x+1$, 则 $x$ 的值为 (

算术

$\because$ 一个正数的平方根是 $\mathrm{x}-5$ 和 $\mathrm{x}+1$

$\therefore \mathrm{x}-5+\mathrm{x}+1=0$

解之: $x=2$.

故答案为: A.


Question: 下列说法正确的是 ( )

算术

$\mathrm{A}$ 选项, $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 是无理数, $\mathrm{A}$ 选项不正确;

B 选项, 16 的平方根是 $\pm 4$, 即 $\pm \sqrt{16}= \pm 4$, B 选项不正确;

$\mathrm{C}$ 选项, 8.30 万精确到百位, $\mathrm{C}$ 选项不正确;

D 选项, $\because \sqrt{a-2022}+|b+1|=0$

$\therefore \mathrm{a}-2022=0, \mathrm{~b}+1=0$

$\therefore \mathrm{a}=2022, \mathrm{~b}=-1$

$\therefore b^{a}=1$

D 选项正确;

故答案为: D.


Question: 一个自然数的算术平方根是 $\mathrm{a}$, 则它下一个自然数的算术平方根是 ( )

算术

$\because$ 一个自然数的算术平方根是 a,

$\therefore$ 这个自然数为 $\mathrm{a}^{2}$,

$\therefore$ 它下一个自然数的算术平方根是 $\sqrt{a^{2}+1}$.

故答案为:
B.


Question: 某商店在甲批发市场以每包 $\mathrm{a}$ 元的价格进了 50 包茶叶, 又在乙批发市场以每包 $\mathrm{b}$ 元 $(\mathrm{a}>\mathrm{b})$ 的价格进了同样的 70 包茶叶, 如果以每包 $\frac{a+b}{2}$ 元价格全部卖出这种茶叶, 那么这家商店（）

A. 盈利了
B. 亏损了
C. 不盈不亏
D. 盈亏不能确定

算术

$\because \mathrm{a}>\mathrm{b}$,

$\therefore(50+70) \times \frac{a+b}{2}-(50 a+70 b)$

$=60 a+60 b-50 a-70 b$

$=10 \mathrm{a}-10 \mathrm{~b}$

$=10(a-b)>0$,

$\therefore$ 这家商店盈利了,
故答案为: A.


Question: 下列计算正确的是

算术

$\mathrm{A}$ 选项, 原式 $=6 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{n}^{2}$, 故该选项不符合题意;

$\mathrm{B}$ 选项, $3 \mathrm{x}$ 与 $2 \mathrm{y}$ 不是同类项, 不能合并, 故该选项不符合题意;

$\mathrm{C}$ 选项, 原式 $=-\frac{8}{3} \pi \mathrm{x}^{2}$, 故该选项符合题意;

$\mathrm{D}$ 选项, 原式 $=3 \mathrm{x}^{3}$, 故该选项不符合题意;

故答案为: C.


Question: 已知 $2 a^{n} b^{n}$ 与 $3 a^{3} b^{m+2}$ 是同类项, 则 $m+n=$

算术

$\because 2 a^{n} b^{n}$ 与 $3 a^{3} b^{m+2}$ 是同类项,

$\therefore \mathrm{m}+2=\mathrm{n}, \mathrm{n}=3$,

解得： $m=1$,

则 $m+n=1+3=4$.

故答案为: B.


Question: 下列表述正确的是

算术

A、单项式 ab 的系数是 1 , 次数是 2 , 故此选项不合题意;

B、 $-2 x^{2} y^{3}$ 的系数是 -2 , 次数是 5, 故此选项不合题意;

C、 $x-1$ 是一次二项式, 故此选项符合题意;

D、 $-a b^{2}+3 a-1$ 的项是 $-a b^{2}, 3 a,-1$, 故此选项不合题意.

故答案为: $\mathrm{C}$


Question: 如果式子 $-2 m+3 n+6$ 的值为 16 , 那么式子 $-9 n+6 m+2$ 的值等于 ( )

算术


Question:
观察下列三行数:

第一行: $2 、 4 、 6 、 8 、 10 、 12 \ldots \ldots$

第二行：3、5、7、9、11、13....

第三行：1、4、9、16、25、36....

设 $\mathrm{x} 、 \mathrm{y} 、 \mathrm{z}$ 分别为第一、第二、第三行的第 100 个数，则 $2 x-y+2 z$ 的值为 ( )

算术


Question: 为解决老百姓看病难问题.决定下调药品价格, 某种药品在第一年涨价 $40 \%$ 后, 第二年在第一年的基础上降价 $70 \%$ 调至 a 元, 则这种药品在第一年涨价前的价格为（）

算术


Question: 为调研大众的低碳环保意识, 小明在某超市出口统计后发现: 一小时内使用自带环保袋的人数比使用超市塑料袋人数的 2 倍少 4 人, 若使用超市塑料袋的为 $\mathrm{x}$ 人, 则使用自带环保袋的人数为

算术

由题意, 使用超市塑料袋的为 $\mathrm{x}$ 人, 则使用自带环保袋的人数为 $2 x-4$,故答案为: $\mathrm{B}$.


Question: 商品的原售价为 $m$ 元，若按该价的 8 折出售，仍获利 $\mathrm{n} \%$, 则该商品的进价为 ( ) 元

算术


Question: 下列运算中, 正确的是 ( )

算术

A、 $3 \mathrm{a}$ 和 $\mathrm{b}$ 含有不同字母, 不是同类项, 不能合并, 故计算不符合题意;

B、3a-a 合并同类项后应为 $2 \mathrm{a}$, 不是 3, 故计算不符合题意;

C、 $-5 a^{2}-3 a^{2}$ 合并同类项后应为 $-8 a^{2}$, 不是 $-2 a^{2}$, 故计算不符合题意;

D、 $-a^{2} b+2 a^{2} b=a^{2} b$ ，故计算符合题意.

故答案为: D.


Question:
下列说法错误的有

(1) 0 是绝对值最小的数

(2) $3 a-2$ 的相反数是 $-3 a-2$

(3) $5 \pi R^{2}$ 的系数是 5

(4) 一个有理数不是整数就是分数

(5) $3^{4} x^{3}$ 是 7 次单项式

算术

(1) 0 是绝对值最小的数, 故(1)符合题意;

(2) $3 a-2$ 的相反数时 2-3a, 故 (2) 不符合题意;

(3) $5 \pi \mathrm{R}^{2}$ 的系数是 $5 \pi$, 故(3)不符合题意;

(4)一个有理数不是整数就是分数, 故(4)符合题意;

(5) $3^{4} x^{3}$ 是 3 次单项式, 故(5)不符合题意;

综上, 错误的有(2)(3)(5)共 3 个,

故答案为: $\mathrm{C}$


Question:
有理数 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b} 、 \mathrm{c}$ 在数轴上位置如图，则 $|c-a|-|a+b|-|b-c|$ 的值为（）

<ImageHere>

算术

解：观察数轴得： $b<c<0<a,|b|>|a|$,

$\therefore c-a<0, a+b<0, b-c<0$,

$\therefore|c-a|-|a+b|-|b-c|$

$$
\begin{gathered}
=-(c-a)-[-(a+b)]-(c-b) \\
=-c+a+a+b-c+b
\end{gathered}
$$

$=2 a+2 b-2 c$.

故答案为: A


Question: 已知 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 是有理数, 且 $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0$, $\mathrm{abc}$ (乘积) 是负数, 则 $\frac{b+c}{|a|}+\frac{a+c}{|b|}+\frac{a+b}{|c|}$ 的值是

代数

由题意知, $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 中只能有一个负数, 另两个为正数, 不妨设 $\mathrm{a}<0, \mathrm{~b}>0, \mathrm{c}>0$.由 $a+b+c=0$ 得出: $a+b=-c, b+c=-a, a+c=-b$,

代入代数式, 原式 $=\frac{-a}{|a|}+\frac{-b}{|b|}+\frac{-c}{|c|}=1-1-1=-1$,

故答案为: D.


Question: 已知 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 为实数, 下列说法: (1)若 $\mathrm{ab}<0$, 且 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 互为相反数, 则 $\frac{a}{b}=-1$; (2)若 $\mathrm{a}+\mathrm{b}<0$, $a b>0$, 则 $|2 a+3 b|=-2 a-3 b$; (3)若 $|a-b|+a-b=0$, 则 $b>a$; (4)若 $|a|>|b|$, 则（a+b) $\times(a-b)$ 是正数; (5) 若 $a<b, a b<0$ 且 $|a-3|<|b-3|$, 则 $a+b>6$, 其中正确的说法有（() 个.

代数

(1)若 $\mathrm{ab}<0$, 且 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 互为相反数, 则 $\frac{a}{b}=-1$, 正确 ;

(2) $\because a+b<0, a b>0, \quad \therefore a<0, b<0, \quad \therefore 2 a+3 b<0, \quad \therefore|2 a+3 b|=-2 a-3 b$, 正确;

(3) $\because|\mathrm{a}-\mathrm{b}|+\mathrm{a}-\mathrm{b}=0, \quad \therefore|\mathrm{a}-\mathrm{b}|=\mathrm{b}-\mathrm{a} \geq 0, \quad \therefore \mathrm{b} \geq \mathrm{a}$, 错误;

(4) 当 $a>0, \quad b>0$ 时, 则 $a>b, \quad \therefore a-b>0, a+b>0, \quad \therefore(a+b)$. (a-b)为正数;

当 $a>0, b<0$ 时, $a-b>0, a+b>0, \quad \therefore(a+b) .(a-b)$ 为正数;

当 $a<0, b>0$ 时, $a-b<0, a+b<0, \quad \therefore(a+b)$. (a-b) 为正数;

当 $a<0, b<0$ 时, $a-b<0, a+b<0, \therefore(a+b) .(a-b)$ 为正数;

故 (4) 正确;

(5) $\because a<b, \quad a b<0, \quad \therefore b>0, \quad a<0$,

当 $0<b<3$ 时，

$\because|a-3|<|b-3|$

$\therefore 3-a<3-b$, 不符合题意

$\therefore b>3$,

$\because|a-3|<|b-3|$

$\therefore 3-a<b-3$,

$\therefore \mathrm{a}+\mathrm{b}>6$, 正确.

综上, 正确的有 4 项.

故答案为: C.


Question: 求 $1+3+3^{2}+3^{3}+\cdots+3^{2019}$ 的值, 可令 $S=1+3+3^{2}+3^{3}+\cdots+3^{2019}$ (1), (1)式两边都乘以 3 , 则 $3 S=3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+\cdots+3^{2020}$ (2), (2)-(1)得 $3 S-S=3^{2020}-1$, 则 $S=\frac{3^{2020}-1}{2}$仿照以上推理, 计算出 $1+5+5^{2}+5^{3}+5^{4}+\cdots+5^{2019}$ 的值为 $(\quad)$

代数


Question: 已知 $(a-1)^{2}+|b+2|=0$, 则 $(a+b)^{2022}$ 的值是 ( )

代数

$\because(\mathrm{a}-1)^{2}+|\mathrm{b}+2|=0$,

$\therefore \mathrm{a}-1=0, \mathrm{~b}+2=0$,

$\therefore \mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=-2$,

$\therefore(1-2)^{2022}=1$,

故答案为: B


Question: 设 $6-\sqrt{13}$ 的整数部分为 $a$, 小数部分为 $b$, 那么 $2 a-b$ 的值是

代数

$\because 3<\sqrt{13}<4$,

$\therefore-4<-\sqrt{13}<-3$,

$\therefore 2<6-\sqrt{13}<3$,

$\therefore \mathrm{a}=2, \mathrm{~b}=4-\sqrt{13}$,

$\therefore 2 \mathrm{a}-\mathrm{b}=2 \times 2-(4-\sqrt{13})=\sqrt{13}$,

故选 C.


Question: 已知 $\mathrm{x}$ 没有平方根, 且 $|\mathrm{x}|=64$, 则 $\mathrm{x}$ 的立方根为 $(\quad)$

代数

由题意得, $x$ 为负数,

又 $\because|x|=64$,

$\therefore \mathrm{x}=-64$,

故可得: $\mathrm{x}$ 的立方根为: -4 .
故选 D.


Question:
下列四种说法中:

（ 1 ）负数没有立方根；（2） 1 的立方根与平方根都是 1；（3） $\sqrt[3]{8}$ 的平方根是 $\pm \sqrt{2}$ ；(4) $\sqrt[3]{8+\frac{1}{8}}=2+\frac{1}{2}=2 \frac{1}{2}$. 共有 ( ) 个是错误的.

代数


Question: 已知 $|a|=5, \sqrt{b^{2}}=7$, 且 $|a+b|=a+b$, 则 $a-b$ 的值为 ( )

代数


Question: 已知数 $\mathrm{a}$ 的平方根与其立方根相同, 数 $\mathrm{b}$ 和其相反数相等, 则 $\mathrm{a}+\mathrm{b}=(\quad)$

代数

$\mathrm{a}$ 的平方根与其立方根相同,

$\therefore a=0$

$\because$ 数 $\mathrm{b}$ 和其相反数相等,

$\therefore \mathrm{b}=0$,

$\therefore \mathrm{a}+\mathrm{b}=0$.

故答案为: B.


Question: 下列计算, 结果正确的是

代数

A、 $4 a^{2} b$ 与 $-5 a b^{2}$, 不是同类项, 不能合并, 故本选项错误, 不符合题意;

B、 $5 a^{2}+3 a^{2}=8 a^{2}$, 故本选项错误, 不符合题意;

C、 $2 x$ 和 $3 y$ ，不是同类项, 不能合并, 故本选项错误, 不符合题意;

D、 $3 x y-5 y x=-2 x y$, 故本选项正确, 符合题意;

故答案为: $\mathrm{D}$.


Question: 若 $-2 a^{n} b^{5}$ 与 $5 a^{3} b^{2 m+n}$ 的差仍是单项式, 则 $m+n$ 的值是 ( )

代数

$\because-2 a^{n} b^{5}$ 与 $5 a^{3} b^{2 m+n}$ 的差仍是单项式,

$\therefore \mathrm{n}=3,2 \mathrm{~m}+\mathrm{n}=5$,

$\therefore \mathrm{n}=3, \mathrm{~m}=1$,

$\therefore \mathrm{m}+\mathrm{n}=1+3=4$,

故答案为: $\mathrm{C}$.


Question: 下列说法中, 正确的是

A. 多项式 $a^{2}+2 a^{2} b+3$ 是二次三项式

B. 单项式 $-\pi x^{2} y$ 的系数是 -1

C. 单项式 $4 m^{2} n$ 和 $-n m^{2}$ 是同类项
D. $a b+3 b$ 是单项式

代数

A、多项式 $a^{2}+2 a^{2} b+3$ 是三次三项式, 故原说法错误;

B、单项式 $-\pi x^{2} y$ 的系数是 $-\pi$, 故原说法错误;

C、单项式 $4 m^{2} n$ 和 $-n m^{2}$ 是同类项, 故原说法正确;

D、 $a b+3 b$ 是多项式, 故原说法错误;

故答案为: $\mathrm{C}$.


Question: 如果代数式 $6 y^{2}+3 y+2$ 的值是 5, 那么 $2 y^{2}+y-3$ 的值为 ( )

代数


Question:
对于代数式 $\frac{y^{2}-1}{2}$, 第三学习小组讨论后得出如下结论: (1)代数式还可以写成 $\frac{y^{2}}{2}-\frac{1}{2}$; (2)如图,较大正方形的边长为 $\mathrm{y}$, 较小正方形的边长为 1 , 则代数式表示阴影部分的面积; (3)其可以叙述为: $\mathrm{y}$ 与 1 的平方差的一半; (4) 代数式的值可能是 -1 , 其中正确的个数为

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代数

代数式 $\frac{y^{2}-1}{2}$ 还可以写成 $\frac{y^{2}}{2}-\frac{1}{2}$, 则 (1) 符合题意;
图中阴影部分的面积等于较大正方形的面积与较小正方形的面积之差的一半, 即为 $\frac{y^{2}-1}{2}$, 则 (2)符合题意;

代数式 $\frac{y^{2}-1}{2}$ 可以叙述为: $y$ 与 1 的平方差的一半, 则 (3)符合题意;

$\because y^{2} \geq 0$

$\therefore \frac{y^{2}-1}{2}=\frac{y^{2}}{2}-\frac{1}{2} \geq-\frac{1}{2}>-1$,

所以代数式 $\frac{y^{2}-1}{2}$ 的值不可能是 -1 , 即(4)不符合题意;

综上, 正确的个数为 3 个,

故答案为: C.


Question: 观察等式: $2+2^{2}=2^{3}-2 ; 2+2^{2}+2^{3}=2^{4}-1 ; 2+2^{2}+2^{3}+2^{4}=2^{5}-2 \ldots$ 已知按一定规律排列的一组数: $2^{45} 、 2^{46} 、 2^{47} 、 \cdots 、 2^{89} 、 2^{90}$. 若 $2^{45}=m$, 用含 $m$ 的式子表示这组数的和是 $(\quad)$

代数


Question: 若代数式 $a x^{2}+4 x-y+3-\left(2 x^{2}-b x+5 y-1\right)$ 的值与 $\mathrm{x}$ 的取值无关, 则 $a+b$ 的值为 ( )

代数


Question: 已知: $(2 x+1)^{3}=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$, 那么代数式 $f(x)=\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}$ 的值是 ( )

代数

令 $\mathrm{x}=1$, 原等式变形为: $(2+1)^{3}=a+b+c+d$,即 $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}=27$,
$\therefore$ 代数式 $f(x)=\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}$ 的值是 27 .

故答案为: $\mathrm{C}$.


Question: 下列表述正确的是 $(\quad)$

代数

A、单项式 ab 的系数是 1 , 次数是 2 , 故此选项不合题意;

B、 $-2 x^{2} y^{3}$ 的系数是 -2 , 次数是 5 , 故此选项不合题意;

C、 $x-1$ 是一次二项式, 故此选项符合题意;

D、 $-a b^{2}+3 a-1$ 的项是 $-a b^{2}, 3 a,-1$, 故此选项不合题意.

故答案为: $\mathrm{C}$.
C.


Question: 已知 $3 x^{6} y^{2}$ 和 $x^{3 m} y^{n}$ 是同类项, 则 $2 m-n$ 的值是 ( )

代数

$\because 3 x^{6} y^{2}$ 和 $x^{3 m} y^{n}$ 是同类项，

$\therefore 3 m=6, n=2$,

$\therefore \mathrm{m}=2$,

$\therefore 2 m-n=2 \times 2-2=2$.

故答案为: D.


Question: 若代数式 $2 x^{2}+3 x=8$, 则代数式 $4 x^{2}+6 x+15$ 的值是（ $\quad ）$

代数


Question: 已知无论 $x, y$ 取什么值, 多项式 $\left(3 x^{2}-m y+9\right)-\left(n x^{2}+5 y-3\right)$ 的值都等于定值 12 , 则 $m+n$等于（）。

代数


Question: 对于任意实数 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{b}$, 如果满足 $\frac{a}{3}+\frac{b}{4}=\frac{a+b}{3+4}+\frac{2}{3 \times 4}$ 那么我们称这一对数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 为“友好数对”, 记为 $(a, b)$. 若 $(x, y)$ 是“友好数对”, 则 $2 x-3[6 x+(3 y-4)]=$

代数


Question: 一个长方形的周长为 $6 a+8 b$, 其一边长为 $2 a+3 b$, 则另一边长为

代数

另一边长为 $(6 a+8 b) \div 2-(2 a+3 b)=3 a+4 b-2 a-3 b=a+b$;

故答案为: B.

【分析】由于长方形的周长等于两邻边和的 2 倍, 故知道周长及一条边长, 可以用周长除以 2 再减去已知的边长, 据此列出式子, 进而根据整式的加减法法则算出答案.


Question: 用字母 $\mathrm{a}$ 表示任意一个有理数, 下列四个代数式中，值不可能为 0 的是（）

代数

当字母 $a$ 表示任意一个有理数时, $a^{2} \geq 0$,

$\therefore 1+\mathrm{a}^{2}>0$, 故 A 选项符合题意;

当 $a=0$ 时, $a^{2}=0$, 故 $C$ 选项不符合题意;

当 $a=-1$ 时, $|a+1|=0, a^{3}+1=0$, 故 B 选项, D 选项均不符合题意;

故答案为: A.


Question: 若代数式 $a x^{2}+4 x-y+3-\left(2 x^{2}-b x+5 y-1\right)$ 的值与 $\mathrm{x}$ 的取值无关, 则 $a+b$ 的值为

代数


Question: 观察等式: $2^{2}+2^{2}=2^{3}-2 ; 2^{2}+2^{2}+2^{3}=2^{4}-2 ; 2^{2}+2^{2}+2^{3}+2^{4}=2^{5}-2 \ldots$ 已知按一定规律排列的一组数: $2^{100} 、$ $2^{101} 、 2^{102} \ldots 、 2^{199} 、 2^{200}$, 设 $2^{100}=a$, 用含 $a$ 的式子表示这组数的和是 ( )

代数


Question: 若单项式 $3 a b^{4 n+1}$ 与 $9 a b^{(2 n+2)-1}$ 是同类项, 则 $n$ 的值是 ( )

代数

$\because$ 单项式 $3 a b^{4 n+1}$ 与 $9 a b^{(2 n+2)-1}$ 是同类项,

$\therefore 4 \mathrm{n}+1=(2 \mathrm{n}+2)-1$,

$\therefore 4 \mathrm{n}+1=2 \mathrm{n}+2-1$,

移项得: $2 \mathrm{n}=0$
$\therefore \mathrm{n}=0$,

故选: C.


Question: 下列说法中, 正确的有

等式两边各加上一个式子, 所得的结果仍是等式

B. 等式两边各乘以一个数, 所得的结果仍是等式

C. 等式两边都除以同一个数, 所得的结果仍是等式

D. 一个等式的左右两边分别与另一个等式的左右两边相加, 所得的结果仍是等式.

代数

A、等式两边各加上同一个式子，所得的结果仍是等式，应是加上同一个式子，故此选项不符合题意;

B、等式两边各乘以一个相同的数, 所得的结果仍是等式, 应是乘以相同的数, 故此选项不符合题意;

C、等式两边都除以同一个不为 0 的数, 所得的结果仍是等式, 应是除以不为 0 的数, 故此选项不符合题意;

D、一个等式的左右两边分别与另一个等式的左右两边相加, 所得的结果仍是等式, 故此选项符合题意;

故答案为: D.


Question: 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作, 奠定了中国传统数学的基本框架. 它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就. 《九章算术》中有这样一个问题: “今有善行者行一百步, 不善行者行六十步,今不善行者先行一百步, 善行者追之, 问几何步及之?"译文: “相同时间内, 走路快的人走 100 步, 走路慢的人只走 60 步.若走路慢的人先走 100 步, 走路快的人要走多少步才能追上? (注: 步为长度单位) ”设走路快的人要走 $\mathrm{x}$ 步才能追上，根据题意可列出的方程是

代数

令在相同时间 $\mathrm{t}$ 内走路快的人走 100 步, 走路慢的人只走 60 步, 从而得到走路快的人的速度 $\frac{100}{t}$ 步 , 走路慢的人的速度 $\frac{60}{t}$ 步,

设走路快的人要走 $\mathrm{x}$ 步才能追上, 根据题意可得 $x=100+\frac{60}{t} \times \frac{x}{\frac{100}{t}}$,

$\therefore$ 根据题意可列出的方程是 $x=100+\frac{60}{100} x$.

故答案为: B.


Question: 下列等式的变形中, 正确的是 $(\quad)$

A. 如果 $\frac{a}{2 c}=\frac{b}{2 c}$, 那么 $\mathrm{a}=\mathrm{b}$
B. 如果 $\mathrm{a}=\mathrm{b}$, 那么 $\frac{a}{2 c+1}=\frac{b}{2 c+1}$
C. 如果 $a x=a y$, 那么 $x=y$
D. 如果 $\mathrm{m}=\mathrm{n}$, 那么 $\frac{m}{c^{2}-4}=\frac{n}{c^{2}-4}$

代数

A. 如果 $\frac{a}{2 c}=\frac{b}{2 c}$, 那么 $\mathrm{a}=\mathrm{b}$, 符合题意;

B. 当 $c=-\frac{1}{2}$ 时, 等式不成立, 不符合题意;

C. 当 $\mathrm{a}=0$ 时, 等式成立, 但 $\mathrm{x}$ 和 $\mathrm{y}$ 不一定相等, 不符合题意;

D. 当 $c= \pm 2$ 时, 等式不成立, 不符合题意.

故答案为: A.


Question: 若方程 $2 x+1=-3$ 的解是关于 $x$ 的方程 $7-2(x-a)=3$ 的解, 则 $a$ 的值为 ( )

代数


Question: 若等式 $m+a=n-b$ 根据等式的性质变形得到 $m=n$, 则 $a 、 b$ 满足的条件是

A. 相等
B. 互为倒数
C. 互为相反数
D. 无法确定

代数

$m+a=n-b$ 两边都加上 $b$ 得, $m+a+b=n$,

$\because$ 等式可变形为 $\mathrm{m}=\mathrm{n}$,

$\therefore \mathrm{a}+\mathrm{b}=0$,

$\therefore \mathrm{a}=-\mathrm{b}$.

故答案为: C.


Question: 若关于 $\mathrm{x}$ 的一元一次方程 $\frac{2 x-k}{3}-\frac{x-3 k}{2}=1$ 的解是 $\mathrm{x}=-1$, 则 $\mathrm{k}$ 的值是 ( )

代数


Question: 一元一次方程 $\frac{2 x-0.3}{0.5}-\frac{x+0.4}{0.3}=1$ 可以化简成 $\frac{20 x-3}{5}-\frac{10 x+4}{3}=1$, 其依据是 ( ）

A. 等式的性质 1
B. 分数的性质
C. 分配律
D. 等式的性质 2

代数


Question: 阅读: 关于 $\mathrm{x}$ 方程 $\mathrm{ax}=\mathrm{b}$ 在不同的条件下解的情况如下:（1）当 $\mathrm{a} \neq 0$ 时，有唯一解 $\mathrm{x}=\frac{b}{a}$; (2) 当 $\mathrm{a}=0, \mathrm{~b}=0$ 时有无数解; (3) 当 $\mathrm{a}=0, \mathrm{~b} \neq 0$ 时无解. 请你根据以上知识作答: 已知关于 $\mathrm{x}$ 的方程 $\frac{x}{3} \mathrm{a}=$ $\frac{x}{2}-\frac{1}{6}(x-6)$ 无解, 则 $\mathrm{a}$ 的值是 $(\quad)$

代数

要把原方程变形化简，去分母得：2ax=3x - $(x-6)$,去括号得: $2 \mathrm{ax}=2 \mathrm{x}+6$,

移项, 合并得, $\mathrm{x}=\frac{3}{a-1}$,

因为无解，所以 $\mathrm{a}-1=0$, 即 $\mathrm{a}=1$.

故答案为: A.


Question: 下列变形正确的是 $(\quad)$

代数


Question: 已知关于 $x$ 的方程 $2 x+a=1-x$ 与方程 $2 x-3=1$ 的解相同, 则 $a$ 的值为

代数

$\because 2 x-3=1$,

$\therefore \mathrm{x}=2$,

$\because$ 方程 $2 x+a=1-x$ 与方程 $2 x-3=1$ 的解相同,

$\therefore 2 \times 2+a=1-2$,

$\therefore \mathrm{a}=-5$.

故答案为: D.


Question: 某商场把一个双肩包按进价提高 $30 \%$ 标价, 然后按八折出售, 这样商场每卖出一个书包仍可盈利 10 元.设每个双肩书包的进价是 $\mathrm{x}$ 元，根据题意列一元一次方程正确的是 ( )

代数

根据题意得： $(1+30 \%) \mathrm{x} \cdot 80 \%-\mathrm{x}=10$,

故答案为: B.


Question: 若不论 $k$ 取什么实数, 关于 $x$ 的方程 $\frac{2 k x+a}{3}-\frac{x-b k}{6}=1 （ a 、 b$ 常数）的解总是 $x=$ 1 , 则 $a+b$ 的值是

代数

because$ 关于 $\mathrm{x}$ 的方程 $\frac{2 k x+a}{3}-\frac{x-b k}{6}=1$ 的解总是 $x=1$

$\therefore \frac{2 k+a}{3}-\frac{1-b k}{6}=1$

$\therefore 4 k+2 a-1+b k=6$

$\therefore(4+b) k=7-2 a$

$\therefore\left\{\begin{array}{l}4+b=0 \\ 7-2 a=0\end{array}\right.$
解得: $\left\{\begin{array}{c}a=\frac{7}{2} \\ b=-4\end{array}\right.$

$\therefore a+b=\frac{7}{2}-4=-\frac{1}{2}$

故答案为: A.


Question: 已知代数式 $8 x-7$ 与 $6-2 x$ 的值互为相反数, 那么 $x$ 的值等于 ( )

代数


Question: 一列火车匀速行驶, 经过一条长 800 米的隧道, 从车头开始进入隧道到车尾离开隧道一共需要 50 秒的时间: 在隧道中央的顶部有一盋灯, 垂直向下发光照在火车上的时间是 18 秒, 设该火车的长度为 $\mathrm{x}$ 米，根据题意可列一元一次方程为 $(\quad)$

代数

设该火车的长度为 $\mathrm{x}$ 米, 根据火车速度 $=$ 火车长度 - 灯照时间 $=($ 隧道长 + 火车长 $) \div$ 通过隧道的时间即可列出方程.

依题意, 得: $\frac{800+x}{50}=\frac{x}{18}$.

故答案为: C.


Question: 在光明区举办的“周年艺术季”期间, 小颖一家去欣赏了一台音乐剧, 路上预计用时 25 分钟, 但由于堵车, 所以实际车速比预计的每小时慢了 10 千米, 且路上多用了 5 分钟. 设预计车速为 $\mathrm{x}$ 千米/时, 根据题意可列方程为

代数


Question: 阅读: 关于 $\mathrm{x}$ 方程 $\mathrm{ax}=\mathrm{b}$ 在不同的条件下解的情况如下: (1) 当 $\mathrm{a} \neq 0$ 时, 有唯一解 $\mathrm{x}=\frac{b}{a}$; (2) 当 $\mathrm{a}=0, \mathrm{~b}=0$ 时有无数解; (3) 当 $\mathrm{a}=0, \mathrm{~b} \neq 0$ 时无解. 请你根据以上知识作答: 已知关于 $\mathrm{x}$ 的方程 $\frac{x}{3} \mathrm{a}=$ $\frac{x}{2}-\frac{1}{6}(x-6)$ 无解, 则 $\mathrm{a}$ 的值是 $(\quad)$

代数

要把原方程变形化简, 去分母得: $2 a x=3 x-(x-6)$,

去括号得: $2 \mathrm{ax}=2 \mathrm{x}+6$,

移项, 合并得, $\mathrm{x}=\frac{3}{a-1}$,

因为无解, 所以 $\mathrm{a}-1=0$, 即 $\mathrm{a}=1$.

故答案为: A.


Question: 下列说法正确的是 ( $\quad ）$

代数

A、 0 的平方根是 0, 正确,

B、 $(-3)^{2}$ 的平方根是 $\pm 3$, 原命题错误;

C、 1 的立方根是 1 , 原命题错误;

D、 -4 没有平方根，原命题错误，

故答案为: A.


Question: $x 、 y 、 z$ 是有理数且 $x y z<0$, 则 $\frac{|x|}{x}+\frac{|y|}{y}+\frac{|z|}{z}$ 的值是 ( ）

代数

$\because x y z<0$,

$\therefore \mathrm{x} 、 \mathrm{y} 、 \mathrm{z}$ 这三个数中有一个或三个数为负数,

当这三个数中有一个负数时, 假设 $x<0, y>0, z>0$,

则 $\frac{|x|}{x}+\frac{|y|}{y}+\frac{|z|}{z}=\frac{-x}{x}+\frac{y}{y}+\frac{z}{z}=-1+1+1=1$;

当这三个数中有三个负数时，假设 $x<0, y<0, z<0$,

则 $\frac{|x|}{x}+\frac{|y|}{y}+\frac{|z|}{z}=\frac{-x}{x}+\frac{-y}{y}+\frac{-z}{z}=-1-1-1=-3$; 故 D 符合题意.

故答案为:
D.


Question: 为鼓励居民节约用水, 某市对居民用水实行“阶梯收费”, 规定每户每月用水量不超过 10 吨, 水价为每吨 2 元; 超过 10 吨的部分每吨 3.5 元. 已知小莉家某月交水费 34 元, 则小莉家该月用水多少吨？若设小莉家该月用水 $\mathrm{x}$ 吨，则可列方程为 $(\quad)$

代数

设小莉家该月用水 $x$ 吨, 根据题意得:

$2 \times 10+3.5 \times(x-10)=34$, 故 $\mathrm{D}$ 符合题意.

故答案为: D.


Question: 某车间 28 名工人生产螺栓和螺母, 每人每天平均生产螺栓 12 个或螺母 18 个, 一个螺栓需要两个螺母与之配套, 如何安排生产螺栓才能让螺栓和蝶母正好配套? 设有 $\mathrm{x}$ 名工人生产螺栓, 其余人生产螺母, 依题意列方程应为 $(\quad)$

代数

设有 $\mathrm{x}$ 名工人生产螺栓, 则 $(28-x)$ 人生产螺母, 依题意得,

$2 \times 12 x=18(28-x)$,

故答案为: B.


Question: 我国“DF-41 型”导弹俗称“东风快递”, 速度可达到 26 马赫 (1 马赫 $=340$ 米(秒), 则“DF -41 型”导弹飞行多少分钟能打击到 12000 公里处的目标? 设飞行 $x$ 分钟能打击到目标, 可以得到方程 $(\quad)$

代数

设飞行 $\mathrm{x}$ 分钟能打击到目标, 根据题意得 $\frac{26 \times 340 \times 60 x}{1000}=12000$.

故答案为: D.


Question: 小明与他的爸爸一起做“投篮球”游戏. 两人商定游戏规则为：小明投中 1 个得 2 分, 小明爸爸投中 1 个得 1 分, 两人共投中了 25 个. 经计算, 发现小明比爸爸多得 2 分, 你知道小明投中几个吗?设小明投中 $\mathrm{x}$ 个, 根据题意, 列方程正确的是 $(\quad)$

代数

设小明投中数为 $\mathrm{x}$ 个, 可知小明爸爸投中数为 $25-\mathrm{x}$ 个, 由题可知小明比爸爸多得 2 分, 根据题意列方程:

$2 x-(25-x)=2$

故答案为: A


Question: 已知 $a, b$ 为实数, 下列说法: (1) 若 $a b<0$, 且 $a, b$ 互为相反数, 则 $\frac{a}{b}=-1$; (2)若 $a+b<0$, $a b>0$, 则 $|2 a+3 b|=-2 a-3 b$; (3)若 $|a-b|+a-b=0$, 则 $b>a$; (4)若 $|a|>|b|$, 则 $(a+b) \times(a-b)$ 是正数; (5) 若 $a<b, a b<0$ 且 $|a-3|<|b-3|$, 则 $a+b>6$, 其中正确的说法有（）个.

代数

)若 $\mathrm{ab}<0$, 且 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 互为相反数, 则 $\frac{a}{b}=-1$, 正确 ;

(2) $\because a+b<0, \quad a b>0, \quad \therefore a<0, \quad b<0, \quad \therefore 2 a+3 b<0, \quad \therefore|2 a+3 b|=-2 a-3 b$, 正确;

(3) $\because|\mathrm{a}-\mathrm{b}|+\mathrm{a}-\mathrm{b}=0, \quad \therefore|\mathrm{a}-\mathrm{b}|=\mathrm{b}-\mathrm{a} \geq 0, \quad \therefore \mathrm{b} \geq \mathrm{a}$, 错误;

(4) 当 $a>0, \quad b>0$ 时, 则 $a>b, \quad \therefore a-b>0, a+b>0, \quad \therefore(a+b) .(a-b)$ 为正数;

当 $a>0, b<0$ 时, $a-b>0, a+b>0, \therefore(a+b) .(a-b)$ 为正数;

当 $a<0, b>0$ 时, $a-b<0, a+b<0, \therefore(a+b) .(a-b)$ 为正数;

当 $a<0, b<0$ 时, $a-b<0, a+b<0, \quad \therefore(a+b) .(a-b)$ 为正数;

故 (4) 正确;

(5) $\because a<b, \quad a b<0, \quad \therefore b>0, a<0$,

当 $0<b<3$ 时,
$\because|\mathrm{a}-3|<|b-3|$

$\therefore 3-a<3-b$, 不符合题意;

$\therefore b>3$,

$\because|a-3|<|b-3|$

$\therefore 3-a<b-3$,

$\therefore \mathrm{a}+\mathrm{b}>6$, 正确.

综上，正确的有 4 项.

故答案为: C.


Question: 若 $a b c \neq 0$, 则 $\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{c}{|c|}$ 的值为 ( )

代数


Question: 若关于 $x 、 y$ 的多项式 $2 x^{2}+m x+5 y-2 n x^{2}-y+5 x+7$ 的值与 $x$ 的取值无关, 则 $m+n=(\quad)$

代数


Question:
已知 $a_{1}+a_{2}=1, a_{2}+a_{3}=2, a_{3}+a_{4}=-3, a_{4}+a_{5}=-4, a_{5}+a_{6}=5, a_{6}+a_{7}=6, a_{7}+a_{8}=-7, a_{8}+a_{9}=-$

$8, \ldots \ldots, a_{99}+a_{100}=-99, a_{100}+a_{1}=-100$, 那么 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots . .+a_{100}$ 的值为 $(\quad)$

代数


Question: 符合条件 $|\mathrm{a}+5|+|\mathrm{a}-3|=8$ 的整数 $\mathrm{a}$ 的值有（）.

代数

$|a+5|$ 表示 $a$ 到 -5 点的距离,

$|a-3|$ 表示 $a$ 到 3 点的距离,

由-5 到 3 点的距离为 8 ,

故 -5 到 3 之间的所有点均满足条件,

即 $-5 \leq a \leq 3 ，$

又由 $\mathrm{a}$ 为整数,

故满足条件的 a 有: $-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3$ 共 9 个,

故答案为: D.


Question: 已知 $|a|=8,|b|=3$, 且 $|a-b|=b-a$, 则 $a+b$ 的值为（）

代数

$\because|a|=8,|\mathbf{b}|=3$,

$$
\therefore a= \pm 8, b= \pm 3 \text {, }
$$

$\because|\mathrm{a}-\mathrm{b}|=\mathrm{b}-\mathrm{a}$,

$$
\therefore b \geq a \text {, }
$$

$\therefore a=-8, b=3$ 或 $a=-8, b=-3$,

$\therefore a+b=-8+3=-5$ 或 $a+b=-8+(-3)=-11$,

故答案为: B


Question: 已知代数式 $8 x-7$ 与 $6-2 x$ 的值互为相反数, 那么 $x$ 的值等于

代数


Question:
如图, 数轴上的三个点 $A 、 B 、 C$ 表示的数分别是 $a 、 b 、 C$, 且 $|a|=|b|, A B=B C$, 则下列结论中 (1) $a b<0$; (2) $a=-b$ : (3) $a+c>0$; (4) $3 a+c=0$ 中, 正确的有（）个.

| $A$ | 0 | $B$ | $C$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |

代数

根据 $a 、 b 、 C$ 在数轴上的位置, 得 $a<0<b<c, \quad|a|=|b|<|c| ，$ $\therefore \mathrm{ab}<0, \quad \mathrm{a}+\mathrm{c}>0$,

故(1)(3)正确;

$\because|a|=|b|$,

$\therefore \mathrm{a}, \mathrm{b}$ 互为相反数,

$\therefore \mathrm{a}=-\mathrm{b}$, 故(2)正确:

$\because \mathrm{AB}=\mathrm{BC}, \mathrm{a}=-\mathrm{b}$,

$\therefore c=3 b==-3 a$,

$\therefore 3 a+c=0$, 故(4)正确,

故答案为: D.


Question:
有下列说法: (1) -3 是 $\sqrt{81}$ 的平方根; (2) 7 是 $(-7)^{2}$ 的算术平方根; (3)27的立方根是 $\pm 3$;
(4)1的平方根是 $\pm 1$;
(5)0没有算术平方根. 其中正确的有 ( )

代数

解: (1) $\sqrt{81}=9$, 故 -3 是 $\sqrt{81}$ 的平方根, (1)正确;

(2) $(-7)^{2}=49,7$ 是 $(-7)^{2}$ 的算术平方根, (2)正确;

(3) 27 的立方根是 $3 ，(3)$ 错误;

(4)1的平方根是 $\pm 1$, (4)正确;

(5) 0 的算术平方根是 $0, \quad(5)$ 错误;

故选: $C$.

根据平方根与立方根的定义即可求出答案.

本题考查平方根与立方根, 解题的关键是正确理解平方根与立方根, 本题属于基础题型.


Question:
下列说法中, 正确的有 ( )

(1)只有正数才有平方根; (2) $a$ 一定有立方根; (3) $\sqrt{-a}$ 没意义; (4) $\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$;

(5)只有正数才有立方根.

代数

析】

## 【分析】

本题考查平方根和立方根的性质.利用平方根与立方根的性质, 对各个选项一一判断即可.

## 【解答】

解: 非负数都有平方根, 所以 (1)是错误的;

任何数的立方根都只有一个, 所以(2)是正确的;

$a>0$ 时, $\sqrt{-a}$ 没意义, 所以所以(3)是错误的;

$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$, 所以(4)是正确的.

所以正确的有 2 个.

故选 $B$.


Question: （2022$\cdot$浙江七年级）若方程组 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y=1-3 k \\ x+2 y=2\end{array}\right.$ 的解满足 $x+y=0$, 则 $k$ 的值为 $(\quad)$

代数

方程组中两方程相加得到以 $\mathrm{k}$ 为未知数的方程, 解方程即可得答案.

【详解】解：(1)+(2), 得 $3(x+y)=3-3 k$, 由 $x+y=0$, 得 $3-3 k=0$, 解得 $k=1$, 故选: B.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解, 利用等式的性质是解题关键.


Question: （2022$\cdot$ 重庆礼嘉中学八年级月考）如果把 $\frac{2 y}{2 x-3 y}$ 中的 $x$ 和 $y$ 都扩大 6 倍, 那么分式的值（）

A. 扩大 6 倍
B. 不变
C. 缩小 6 倍
D. 扩大 5 倍

代数

根据分式的基本性质即可得.
【详解】把 $X$ 和 $y$ 都扩大 6 倍后的分式为 $\frac{2 \times 6 y}{2 \times 6 x-3 \times 6 y}=\frac{2 \times 6 y}{6(2 x-3 y)}=\frac{2 y}{2 x-3 y}$, 即分式的值不变,故选: B.

【点睛】本题考查了分式的基本性质, 熟练掌握分式的基本性质是解题关键.


Question: (2022.广东八年级期末) 小明是一位密码翻译爱好者, 在他的密码手册中, 有这样一条信息: $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$, $x-y, x+y, \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}, x^{2}-y^{2}, a^{2}-b^{2}$ 分别对应下列六个字: 头、爱、我、汕、丽、美, 现将 $\left(x^{2}-y^{2}\right) a^{2}-\left(x^{2}-y^{2}\right) b^{2}$ 因式分解, 结果呈现的密码信息可能是 $(\quad)$

我爱美
B. 汕头美
C. 我爱汕头
D. 汕头美丽

代数

先提取公因式 $\left(x^{2}-y^{2}\right)$, 然后再利用平方法公式因式分解可得.

【详解】 $\left(x^{2}-y^{2}\right) a^{2}-\left(x^{2}-y^{2}\right) b^{2}=\left(x^{2}-y^{2}\right)\left(a^{2}-b^{2}\right)=(x+y)(x-y)(a+b)(a-b)$故对应的密码为: 我爱汕头 故选: C

【点睛】本题考查因式分解, 注意, 当式子可提取公因式时, 我们在因式分解中, 往往先提取公因式.


Question: （2022-浙江杭州市$\cdot$七年级其他模拟）已知被除式是 $x^{3}+3 x^{2}-1$, 商式是 $x$, 余式是 - 1 , 则除式是

代数

$x^{2}+3 x-1$
   B. $x^{2}+3 x$
   C. $x^{2}-1$
   D. $x^{2}-3 x+1$

## 【答案】B

分析：按照 “被除式、除式、商式和余式间的关系” 进行分析解答即可.

【解析】由题意可得, 除式为: $\left[\left(x^{3}+2 x^{2}-1\right)-(-1)\right] \div x=\left(x^{3}+2 x^{2}\right) \div x=x^{2}+2 x$.故选 B.

点睛: 熟知 “被除式、除式、商式和余式间的关系: 被除式=除式×商式+余式” 是解答本题的关键.


Question: (2021$\cdot$普定县第二中学九年级二模) 已知关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x}{x-1}-2=\frac{k}{x-1}$ 的解为正数, 则 $k$的取值范围为

代数

分式方程去分母转化为整式方程, 表示出整式方程的解, 由分式方程的解为正数确定出 $k$ 的范围即可.

【详解】解: $\frac{x}{x-1}-2=\frac{k}{x-1}$ 去分母得: $x-2(x-1)=k$, 去括号得: $x-2 x+2=k$, 解得: $x=2-k$,由分式方程的解为正数, 得到 $2-k>0$, 且 $2-k \neq 1$, 解得: $k<2$ 且 $k \neq 1$, 故选: $A$.

【点睛】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为 0 这个条件.


Question: （2022$\cdot$浙江金华市$\cdot$七年级月考）下列等式，错误的是（）

代数

根据幂的乘方和积的乘方法则判断即可.

【详解】解: $A 、\left(x^{2} y^{3}\right)^{2}=x^{4} y^{6}$, 故选项正确; $B 、(-x y)^{3}=-x^{3} y^{3}$, 故选项错误;

C、 $\left(3 m^{2} n^{2}\right)^{2}=9 m^{4} n^{4}$, 故选项正确; $D 、\left(-a^{2} b^{3}\right)^{2}=a^{4} b^{6}$, 故选项正确; 故选 $B$.

【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方, 解题的关键是掌握运算法则.


Question:
（2022$\cdot$浙江杭州市$\cdot$七年级期中）在多项式中，（1） $a^{2}-b^{2}+2 a b$ （2） $1-a+a^{2}$ (3） $\frac{1}{4}-x+x^{2}$

（4） $-4 x^{2}+12 x y-9 y^{2}$ 其中能用完全平方公式分解因式的个数有（）

代数

直接利用完全平方公式分别分解因式进而判断即可.

【详解】解：（1） $a^{2}-b^{2}+2 a b$ 无法运用完全平方公式分解因式;

(2) $1-a+a^{2}$ 无法运用完全平方公式分解因式;

(3) $\frac{1}{4}-x+x^{2}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}$ ，能运用完全平方公式分解因式;

(4) $-4 x^{2}+12 x y-9 y^{2}=-(2 x-3 y)^{2}$, 能运用完全平方公式分解因式; 故选 B.

【点睛】此题主要考查了公式法分解因式, 正确应用公式是解题关键.


Question:
数轴上有 $O, A, B, C, D$ 五个点, 各点的位置与所表示的数如图所示, 且 $3<|d|<$ 5 . 若数轴上有一点 $M, M$ 所表示的数为 $m$, 且 $|m-d|=|m-3|$, 则关于点 $M$ 的位置, 下列叙述正确的是

<ImageHere>

A. $M$ 在 $O, B$ 之间
B. $M$ 在 $O, C$ 之间
C. $M$ 在 $C, D$ 之间
D. $M$ 在 $A, D$ 之间

度量几何学

由题意可得: 点 $\mathrm{A}$ 表示的数为 -5 , 点 $\mathrm{B}$ 表示的数为 3 , 点 $\mathrm{C}$ 表示的数为 -1 , 点 $\mathrm{D}$ 表示的数为 $d$, 且 $A C=B C$

$\because|m-d|=|m-3|$

$\therefore \mathrm{MD}=\mathrm{BD}$,

又 $\because-5<\mathrm{d}<-1<3$

$\therefore \mathrm{M}$ 点介于 $\mathrm{O} 、 \mathrm{C}$ 之间,

故答案为: B.


Question: $\odot O$ 的半径是 3, 直线 $l$ 与 $\odot O$ 相交, 圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离是 $d$, 则 $d$ 不可能是 ( )

度量几何学


Question: 若两圆的半径分别是 $2 \mathrm{~cm}$ 和 $3 \mathrm{~cm}$, 圆心距为 $4 \mathrm{~cm}$, 则这两个圆的位置关系是 ( )

度量几何学


Question:
如图, $P A$ 为 $\odot O$ 的切线, $A$ 为切点, $P O$ 交 $\odot O$ 于点 $B$, $P A=3, O A=4$, 则 $\cos \angle A P O$ 的值为 $(\quad)$

  <ImageHere>

  第 5 题

度量几何学


Question:
如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $B C$ 交 $\odot O$ 于点 $D, D E \perp A C$ 于点 $E$, 要使 $D E$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线, 还需补充一个条件, 则补充的条件不正确的是 $(\quad)$

  <ImageHere>

  第 7 题

A. $D E=$ DO
  B. $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$
  C. $C D=D B$
  D. $\mathrm{AC} / / \mathrm{OD}$

度量几何学


Question:
如图, 数轴上 $\mathrm{C}, \mathrm{B}$ 两点表示的数分别是 $2, \sqrt{13}$, 且点 $\mathrm{C}$ 是 $\mathrm{AB}$ 的中点, 则点 $\mathrm{A}$ 表示的数是

<ImageHere>

度量几何学

$\mathrm{A}$ 表示的数是 $\mathrm{x}$,
$\because$ 点 $\mathrm{C}$ 是 $\mathrm{AB}$ 的中点,

$\therefore A C=B C$,

$\therefore 2-x=\sqrt{13}-2$,

解得 $x=4-\sqrt{13}$,

故答案为: C.


Question:
如图, 数轴上 $A, B$ 两点表示的数分别为 -1 和 $\sqrt{3}$, 点 $\mathrm{B}$ 关于点 $\mathrm{A}$ 的对称点为 $\mathrm{C}$, 则点 $\mathrm{C}$ 所表示的数为 $(\quad)$

<ImageHere>

度量几何学

$\mathrm{C}$ 表示的数是 $\mathrm{x}$,

$\because \mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点表示的数分别为 -1 和 $\sqrt{3}, \mathrm{C}, \mathrm{B}$ 两点关于点 $\mathrm{A}$ 对称, $\therefore \frac{x+\sqrt{3}}{2}=-1$,

解得 $\mathrm{x}=-2-\sqrt{3}$.

故选: A.


Question:
如图, $A, B, C, D, E$ 分别是数轴上五个连续整数所对应的点, 其中有一点是原点, 数 $a$ 对应的点在 $B$ 与 $C$ 之间, 数 $b$ 对应的点在 $D$ 与 $E$ 之间, 若 $|a|+|b|=3$, 则原点可能是

<ImageHere>

度量几何学

$\because \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DE}=1$,

$\therefore|\mathrm{AB}|=|\mathrm{BC}|=|\mathrm{CD}|=|\mathrm{DE}|=1$,

$\therefore|\mathrm{AE}|=4$

(1) 当原点在 $C$ 点时, $|a|+|b|<3$, 又因为 $|\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|=3$, 所以, 原点不可能在 C 点;

(2) 当原点在 $B$ 或 $E$ 时, $|a|+|b|=3$;

(3)当原点在 $\mathrm{A}$ 点时, $|\mathrm{a}|+|\mathrm{b}|>3$, 又因为 $|\mathbf{a}|+|\mathrm{b}|=3$, 所以, 原点不可能在 $\mathrm{A}$ 点;综上所述, 此原点应是在 $\mathrm{B}$ 或 $\mathrm{E}$ 点.
故答案为: D.


Question:
(2 分）如图所示, 某公园入口处原有三级台阶, 每级台阶高 $20 \mathrm{~cm}$, 宽 $30 \mathrm{~cm}$. 为方便残疾人士, 拟将台阶改为斜坡。现台阶的起点为 $\mathrm{A}$, 斜坡的起始点为 $\mathrm{C}$, 若将坡角 $\angle \mathrm{BCA}$设计为 $30^{\circ}$, 则 $\mathrm{AC}$ 的长度应为 $(\quad)$

<ImageHere>

度量几何学

解: 过点 $B$ 作 $B D \perp A C$ 于 $D$,

根据题意得: $A D=2 \times 30=60 \mathrm{~cm}, B D=20 \times 3=60 \mathrm{~cm}$,

$\because$ 坡角 $\angle B C A=30^{\circ}$,

$\therefore \mathrm{BD}: \mathrm{CD}=1: \sqrt{3}$,

$\therefore \mathrm{CD}=\sqrt{3} \mathrm{BD}=\sqrt{3} \times 60=60 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$,

$\therefore \mathrm{AC}=\mathrm{CD}-\mathrm{AD}=60 \sqrt{3}-60=60(\sqrt{3}-1) \mathrm{cm}$.


Question:
(2 分) 如图所示, $\triangle \mathrm{ABC}$ 的顶点是正方形网格的格点, 则 $\sin \mathrm{A}$ 的值为 ( )

<ImageHere>

度量几何学

解: 如图: 连接 $\mathrm{CD}$ 交 $\mathrm{AB}$ 于 $\mathrm{O}$,
根据网格的特点, $\mathrm{CD} \perp \mathrm{AB}$,

在 Rt $\triangle A O C$ 中,

$\mathrm{CO}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$

$\mathrm{AC}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$

则 $\sin \mathrm{A}=\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{AC}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.


Question:
(2 分）如图, 已知: $45^{\circ}<\angle \mathrm{A}<90^{\circ}$, 则下列各式成立的是（）

<ImageHere>

A. $\sin A=\cos A$
B. $\sin A>\cos A$
C. $\sin A>\tan A$
D. $\sin \mathrm{A}<\cos \mathrm{A}$

度量几何学

解: $\because 45^{\circ}<\mathrm{A}<90^{\circ}$,

$\therefore$ 根据 $\sin 45^{\circ}=\cos 45^{\circ}, \sin \mathrm{A}$ 随角度的增大而增大, $\cos \mathrm{A}$ 随角度的增大而减小,当 $\angle A>45^{\circ}$ 时, $\sin A>\cos A$,


Question:
(2 分) 小明想测量一棵树的高度, 他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上, 如图, 此时测得地面上的影长为 8 米, 坡面上的影长为 4 米. 已知斜坡的坡角为 $30^{\circ}$, 同一时刻, 一根长为 1 米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米, 则树的高度为

<ImageHere>

度量几何学

解: 延长 $\mathrm{AC}$ 交 $\mathrm{BF}$ 延长线于 $\mathrm{D}$ 点,

则 $\angle \mathrm{CFE}=30^{\circ}$, 作 $\mathrm{CE} \perp \mathrm{BD}$ 于 $\mathrm{E}$,

在 Rt $\triangle \mathrm{CFE}$ 中, $\angle \mathrm{CFE}=30^{\circ}, \mathrm{CF}=4 \mathrm{~m}$,

$\therefore \mathrm{CE}=2$ (米), $\mathrm{EF}=4 \cos 30^{\circ}=2 \sqrt{3}$ (米),

在 Rt $\triangle \mathrm{CED}$ 中,

$\because$ 同一时刻, 一根长为 1 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米, $\mathrm{CE}=2$

(米), $\mathrm{CE}: \mathrm{DE}=1: 2$,

$\therefore \mathrm{DE}=4($ 米 $)$,

$\therefore \mathrm{BD}=\mathrm{BF}+\mathrm{EF}+\mathrm{ED}=12+2 \sqrt{3}$ (米)

在 Rt $\triangle \mathrm{ABD}$ 中, $\mathrm{AB}=\frac{1}{2} \mathrm{BD}=\frac{1}{2}(12+2 \sqrt{3})=(\sqrt{3}+6)$ (米).


Question:
（2 分）江郎山位我国典型的丹霞地貌景观，被称为“中国丹霞第一奇峰”。九年级（2）班课题学习小组的同学要测量三块巨石中的最左边的“郎峰”的高度, 他们在山脚的平地上选取一处观测点 $\mathrm{C}$, 测得 $\angle B C D=28^{\circ}, \angle A C D=48^{\circ} 25^{\prime}$, 已知从观测点 $C$ 到“郎峰”脚 $B$ 的垂直高度为 322 米，如图所示，那么“郎峰”AB 的高度约为（）

<ImageHere>

度量几何学

解: 在直角 $\triangle \mathrm{BCD}$ 中, $\tan \angle \mathrm{BCD}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}$,

则 $\mathrm{CD}=\frac{\mathrm{BD}}{\tan \angle \mathrm{BCD}}=\frac{322}{\tan 28^{\circ}}=\frac{322}{0.5317} \approx 605.6$ (米).

$\therefore \mathrm{AD}=\mathrm{CD} \times \tan \angle \mathrm{ACD}=\mathrm{CD} \times \tan 48^{\circ} 25^{\prime}=605.6 \times 1.127 \approx 682.5$ (米).

$\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{AD}-\mathrm{BD}=682.5-322 \approx 361$ (米).


Question:
如图是 $5 \times 5$ 方格子 (每个小正方格的边长为 1 个单位长度)、图中阴影部分是正方形, 则正方形的边长为

<ImageHere>

度量几何学

由题意可知正方形的边长为: $\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}$.故答案为: $\mathrm{C}$


Question:
已知数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 在数轴上的位置如图所示, 化简 $|\mathrm{a}+\mathrm{b}|-|\mathrm{a}-\mathrm{b}|+|\mathrm{a}+\mathrm{c}|$ 的结果为

<ImageHere>

$-\mathrm{a}-\mathrm{c}$
B. $-\mathrm{a}-\mathrm{b}-\mathrm{c}$
C. $-a-2 b-c$
D. $a-2 b+c$

度量几何学

通过数轴得到 $a<0, c>0, b>0,|a|>|c|>|b|$,

$\therefore \mathrm{a}+\mathrm{b}<0, \mathrm{a}-\mathrm{b}<0, \mathrm{a}+\mathrm{c}<0$

$\therefore|a+b|-|a-b|+|a+c|=-a-b+a-b-a-c=-a-2 b-c$.

故答案为: C.


Question:
已知有理数 $a, b, \quad c$ 在数轴上的位置如图, 且 $|c|>|a|>|b|$, 则 $|a+b|-2|c-b|+$ $|a+c|=(\quad)$.

<ImageHere>

度量几何学


Question:
已知数轴上的四点 $P, Q, R, S$ 对应的数分别为 $p, q, r, s$. 且 $p, q$, $r, s$ 在数轴上的位置如图所示, 若 $r-p=10, s-p=12, s-q=9$, 则 $r-q$ 等于 $(\quad)$.

<ImageHere>

度量几何学

由数轴可知: $\mathrm{p}<\mathrm{r}, \mathrm{p}<\mathrm{s}, \mathrm{q}<\mathrm{s}, \mathrm{q}<\mathrm{r}$,

$\because \mathrm{r}-\mathrm{p}=10, \mathrm{~s}-\mathrm{p}=12, \mathrm{~s}-\mathrm{q}=9$,

$\therefore \mathrm{r}-\mathrm{q}=(\mathrm{r}-\mathrm{p})-(\mathrm{s}-\mathrm{p})+(\mathrm{s}-\mathrm{q})=10-12+9=7$.

故答案为: A.


Question:
如图, 长为 $\mathrm{y}(\mathrm{cm})$, 宽为 $\mathrm{x}(\mathrm{cm})$ 的大长方形被分割为 7 小块, 除阴影 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 外, 其余 5 块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为 $4 \mathrm{~cm}$ ，下列说法中正确的有（ ）

(1)小长方形的较长边为 $\mathrm{y}-12$;

(2) 阴影 $\mathrm{A}$ 的较短边和阴影 $\mathrm{B}$ 的较短边之和为 $\mathrm{x}-\mathrm{y}+4$;

(3)若 $\mathrm{x}$ 为定值, 则阴影 $\mathrm{A}$ 和阴影 $\mathrm{B}$ 的周长和为定值;

(4)当 $\mathrm{x}=20$ 时, 阴影 $\mathrm{A}$ 和阴影 $\mathrm{B}$ 的面积和为定值.

<ImageHere>

度量几何学

(1) $\because$ 大长方形的长为 $\mathrm{ycm}$, 小长方形的宽为 $4 \mathrm{~cm}$,

$\therefore$ 小长方形的长为 $\mathrm{y}-3 \times 4=(\mathrm{y}-12) \mathrm{cm}$, 说法(1)正确;

(2) $\because$ 大长方形的宽为 $\mathrm{xcm}$, 小长方形的长为 $(\mathrm{y}-12) \mathrm{cm}$, 小长方形的宽为 $4 \mathrm{~cm}$,

$\therefore$ 阴影 $\mathrm{A}$ 的较短边为 $\mathrm{x}-2 \times 4=(\mathrm{x}-8) \mathrm{cm}$, 阴影 $\mathrm{B}$ 的较短边为 $\mathrm{x}-(\mathrm{y}-12)=(\mathrm{x}-\mathrm{y}+12) \mathrm{cm}$,

$\therefore$ 阴影 $\mathrm{A}$ 的较短边和阴影 $\mathrm{B}$ 的较短边之和为 $\mathrm{x}-8+\mathrm{x}-\mathrm{y}+12=(2 \mathrm{x}+4-\mathrm{y}) \mathrm{cm}$, 说法(2)错误;

(3) $\because$ 阴影 $\mathrm{A}$ 的较长边为 $(\mathrm{y}-12) \mathrm{cm}$, 较短边为 $(\mathrm{x}-8) \mathrm{cm}$, 阴影 $\mathrm{B}$ 的较长边为 $3 \times 4=12 \mathrm{~cm}$, 较短边为 $(x-y+12) \mathrm{cm}$,

$\therefore$ 阴影 $\mathrm{A}$ 的周长为 $2(\mathrm{y}-12+\mathrm{x}-8)=2(\mathrm{x}+\mathrm{y}-20) \mathrm{cm}$, 阴影 $\mathrm{B}$ 的周长为 $2(12+\mathrm{x}-\mathrm{y}+12)=2(\mathrm{x}$ $-\mathrm{y}+24) \mathrm{cm}$,

$\therefore$ 阴影 $\mathrm{A}$ 和阴影 $\mathrm{B}$ 的周长之和为 $2(\mathrm{x}+\mathrm{y}-20)+2(\mathrm{x}-\mathrm{y}+24)=2(2 \mathrm{x}+4)$,

$\therefore$ 若 $\mathrm{x}$ 为定值, 则阴影 $\mathrm{A}$ 和阴影 $\mathrm{B}$ 的周长之和为定值, 说法(3)正确;

(4) $\because$ 阴影 $\mathrm{A}$ 的较长边为 $(\mathrm{y}-12) \mathrm{cm}$, 较短边为 $(\mathrm{x}-8) \mathrm{cm}$, 阴影 $\mathrm{B}$ 的较长边为 $3 \times 4=12 \mathrm{~cm}$, 较短边为 $(x-y+12) \mathrm{cm}$,

$\therefore$ 阴影 $A$ 的面积为 $(y-12)(x-8)=(x y-12 x-8 y+96) \mathrm{cm}^{2}$, 阴影 $B$ 的面积为 $12(x-y+12)=$ $(12 x-12 y+144) \mathrm{cm}^{2}$,

$\therefore$ 阴影 $\mathrm{A}$ 和阴影 B 的面积之和为 $\mathrm{xy}-12 \mathrm{x}-8 \mathrm{y}+96+12 \mathrm{x}-12 \mathrm{y}+144=(\mathrm{xy}-20 \mathrm{y}+240) \mathrm{cm}^{2}$,

当 $x=20$ 时, $x y-20 y+240=240 \mathrm{~cm}^{2}$, 说法(4)正确,

综上所述, 正确的说法有(1)(3)(4), 共 3 个,

故答案为: C.


Question:
把如图 1 的两张大小相同的长方形卡片放置在图 2 与图 3 中的两个相同大长方形中, 已知这两个大长方形的长比宽长 $20 \mathrm{~cm}$, 若记图 2 中阴影部分的周长为 $\mathrm{C}_{1}$, 图 3 中阴影部分的周长为 $\mathrm{C}_{2}$, 那 $么 \mathrm{C}_{1}-\mathrm{C}_{2}=(\quad)$

<ImageHere>

[社|

图2

<ImageHere>

图3

$10 \mathrm{~cm}$
B. $20 \mathrm{~cm}$
C. $30 \mathrm{~cm}$
D. $40 \mathrm{~cm}$

度量几何学


Question:
在长方形 $A B C D$ 中, 放入 6 个形状大小完全相同的小长方形, 所标尺寸如图所示, 则小长方形的宽 $A E$ 的长度为 $(\quad) \mathrm{cm}$.

<ImageHere>

度量几何学

$\mathrm{AE}=\mathrm{xcm}$, 得出大长方形的宽为 $(6+2 \mathrm{x}) \mathrm{cm}$, 小长方形的长为 $(14-3 \mathrm{x}) \mathrm{cm}$, 从而得出大长方形的宽为 $(\mathrm{x}+14-3 \mathrm{x}) \mathrm{cm}$, 根据用两个不同的式子表示同一个量, 则这两个式子应该相等

依题意, 得: $6+2 x=x+(14-3 x)$,

解得: $x=2$

故答案为: C.


Question:
如图, 长为 $\mathrm{y}(\mathrm{cm})$, 宽为 $\mathrm{x}(\mathrm{cm})$ 的大长方形被分割为 7 小块, 除阴影 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 外, 其余 5 块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为 $4 \mathrm{~cm}$, 下列说法中正确的有（）

(1) 小长方形的较长边为 $\mathrm{y}-12$;

(2) 阴影 $\mathrm{A}$ 的较短边和阴影 $\mathrm{B}$ 的较短边之和为 $x-y+4$;

(3)若 $\mathrm{x}$ 为定值, 则阴影 $\mathrm{A}$ 和阴影 $\mathrm{B}$ 的周长和为定值;

(4) 当 $x=20$ 时, 阴影 $A$ 和阴影 $B$ 的面积和为定值.

<ImageHere>

度量几何学

) $\because$ 大长方形的长为 $\mathrm{ycm}$, 小长方形的宽为 $4 \mathrm{~cm}$,

$\therefore$ 小长方形的长为 $\mathrm{y}-3 \times 4=(\mathrm{y}-12) \mathrm{cm}$, 说法(1)正确;

(2) $\because$ 大长方形的宽为 $\mathrm{xcm}$, 小长方形的长为 $(\mathrm{y}-12) \mathrm{cm}$, 小长方形的宽为 $4 \mathrm{~cm}$,
$\therefore$ 阴影 $\mathrm{A}$ 的较短边为 $\mathrm{x}-2 \times 4=(\mathrm{x}-8) \mathrm{cm}$, 阴影 $\mathrm{B}$ 的较短边为 $\mathrm{x}-(\mathrm{y}-12)=(\mathrm{x}-\mathrm{y}+12) \mathrm{cm}$,

$\therefore$ 阴影 $\mathrm{A}$ 的较短边和阴影 $\mathrm{B}$ 的较短边之和为 $\mathrm{x}-8+\mathrm{x}-\mathrm{y}+12=(2 \mathrm{x}+4-\mathrm{y}) \mathrm{cm}$, 说法(2)错误;

(3) $\because$ 阴影 $\mathrm{A}$ 的较长边为 $(\mathrm{y}-12) \mathrm{cm}$, 较短边为 $(\mathrm{x}-8) \mathrm{cm}$, 阴影 $\mathrm{B}$ 的较长边为 $3 \times 4=12 \mathrm{~cm}$, 较短边为 $(x-y+12) \mathrm{cm}$,

$\therefore$ 阴影 $\mathrm{A}$ 的周长为 $2(\mathrm{y}-12+\mathrm{x}-8)=2(\mathrm{x}+\mathrm{y}-20) \mathrm{cm}$, 阴影 $\mathrm{B}$ 的周长为 $2(12+\mathrm{x}-\mathrm{y}+12)=2(\mathrm{x}$ $-\mathrm{y}+24) \mathrm{cm}$,

$\therefore$ 阴影 $\mathrm{A}$ 和阴影 $\mathrm{B}$ 的周长之和为 $2(\mathrm{x}+\mathrm{y}-20)+2(\mathrm{x}-\mathrm{y}+24)=2(2 \mathrm{x}+4)$,

$\therefore$ 若 $\mathrm{x}$ 为定值, 则阴影 $\mathrm{A}$ 和阴影 $\mathrm{B}$ 的周长之和为定值, 说法(3)正确;

(4) $\because$ 阴影 $\mathrm{A}$ 的较长边为 $(\mathrm{y}-12) \mathrm{cm}$, 较短边为 $(\mathrm{x}-8) \mathrm{cm}$, 阴影 $\mathrm{B}$ 的较长边为 $3 \times 4=12 \mathrm{~cm}$, 较短边为 $(x-y+12) \mathrm{cm}$,

$\therefore$ 阴影 A 的面积为 $(\mathrm{y}-12)(\mathrm{x}-8)=(\mathrm{xy}-12 \mathrm{x}-8 \mathrm{y}+96) \mathrm{cm}^{2}$, 阴影 $\mathrm{B}$ 的面积为 $12(\mathrm{x}-\mathrm{y}+12)=$ $(12 x-12 y+144) \mathrm{cm}^{2}$

$\therefore$ 阴影 A 和阴影 B 的面积之和为 $\mathrm{xy}-12 \mathrm{x}-8 \mathrm{y}+96+12 \mathrm{x}-12 \mathrm{y}+144=(\mathrm{xy}-20 \mathrm{y}+240) \mathrm{cm}^{2}$,

当 $x=20$ 时, $x y-20 y+240=240 \mathrm{~cm}^{2}$, 说法(4)正确,

综上所述, 正确的说法有①(3)(4), 共 3 个,

故答案为: C.


Question:
已知有理数 $a 、 b 、 c$ 在数轴上的对应点的位置如图所示, 则下列关系中, 正确的是 ( )

<ImageHere>

度量几何学

由数轴知, $a<-2<b<-1<0<c$,

$\therefore \mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}<0, \quad a b c>0, \quad \mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c}<0, \quad \frac{a b}{c}>1$,

故答案为: B.


Question: 一段跑道长 100 米, 两端分别记为点 A、B. 甲、乙两人分别从 A、B 两端同时出发, 在这段跑道上来回练习跑步, 甲跑步的速度是 $6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$, 乙跑步的速度为 $4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$, 练习了足够长时间, 他们经过了多次相遇, 相遇点离 A 端不可能是 $(\quad)$

度量几何学

步时间为 $\mathrm{ts} ，$

第一次相遇 $: 100=6 t+4 t$
$t=10$,

$\therefore$ 相遇点距 A 为 60 米，故 A 不符合题意;

第二次相遇: $300=6 t+4 t ，$

$t=30$,

$6 \times 30=180$ (米),

$\therefore$ 相遇点距 A 为 20 米，故 C 不符合题意;

第三次相遇 $: 500=6 t+4 t$,

$t=50$,

$6 \times 50=300$ (米),

$\therefore$ 相遇点距 A 为 100 米, 选项 D 说法符合题意，不符合题意;

第四次相遇 $: 700=6 t+4 t$

$t=70$,

$6 \times 70=420$ (米),

$\therefore$ 相遇点距 A 为 20 米;

第五次相遇 $: 900=6 t+4 t$

$t=90$,

$6 \times 90=540($ 米 $)$,

$\therefore$ 相遇点距 A 为 60 米;

综上, 相遇点离 $\mathrm{A}$ 端不可能是 0 米,

故答案为:
B.


Question:
如图, 按照上北下南, 左西右东的规定画出方向十字线, $\angle \mathrm{AOE}=\mathrm{m}^{\circ}, \angle \mathrm{EOF}=90^{\circ}, \mathrm{OM} 、 \mathrm{ON}$分别平分 $\angle \mathrm{AOE}$ 和 $\angle \mathrm{BOF}$, 下面说法:

(1)点 $\mathrm{E}$ 位于点 $\mathrm{O}$ 的北偏西 $\mathrm{m}^{\circ}$; (2)图中互余的角有 4 对; (3)若 $\angle \mathrm{BOF}=4 \angle \mathrm{AOE}$, 则 $\angle \mathrm{DON}=$ $54^{\circ}$; (4)若 $\frac{\angle M O N}{\angle A O E+\angle B O F}=n$, 则 $\mathrm{n}$ 的倒数是 $\frac{2}{3}$, 其中正确有 $(\quad)$

<ImageHere>

度量几何学

$\because \angle \mathrm{AOE}=\mathrm{m}^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{EOD}=90^{\circ}-\mathrm{m}^{\circ}$,

$\therefore$ 点 $\mathrm{E}$ 位于点 $\mathrm{O}$ 的北偏西 $90^{\circ}-\mathrm{m}^{\circ}$, 故 (1)错误;

$\because \angle \mathrm{EOF}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{EOD}+\angle \mathrm{DOF}=90^{\circ}, \angle \mathrm{AOE}+\angle \mathrm{BOF}=90^{\circ}$,

$\because \angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{BOD}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{AOE}+\angle \mathrm{EOD}=90^{\circ}, \angle \mathrm{DOF}+\angle \mathrm{FOB}=90^{\circ}$,

$\angle \mathrm{AOM}+\angle \mathrm{MOD}=90^{\circ}, \angle \mathrm{BON}+\angle \mathrm{DON}=90^{\circ}$,

$\because \mathrm{OM} 、 \mathrm{ON}$ 分别平分 $\angle \mathrm{AOE}$ 和 $\angle \mathrm{BOF}$,

$\therefore \angle \mathrm{AOM}=\angle \mathrm{EOM}, \angle \mathrm{BON}=\angle \mathrm{FON}$,
$\therefore \angle \mathrm{EOM}+\angle \mathrm{MOD}=90^{\circ}, \angle \mathrm{FON}+\angle \mathrm{DON}=90^{\circ}$,

$\therefore$ 图中互余的角共有 8 对, 故(2)错误;

$\because \angle \mathrm{BOF}=4 \angle \mathrm{AOE}, \angle \mathrm{AOE}+\angle \mathrm{BOF}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BOF}=72^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BON}=36^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{DON}=90^{\circ}-36^{\circ}=54^{\circ}$; 故(3)正确;

$\because \angle \mathrm{AOE}+\angle \mathrm{BOF}=90^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{MOE}+\angle \mathrm{NOF}=\frac{1}{2}(\angle A O E+\angle B O F)=\frac{1}{2} \times 90^{\circ}=45^{\circ}$,

$\therefore \angle M O N=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}$

$\therefore \frac{\angle M O N}{\angle A O E+\angle B O F}=\frac{135^{\circ}}{90^{\circ}}=\frac{3}{2}=n$,

$\therefore \mathrm{n}$ 的倒数是 $\frac{2}{3}$, 故(4)正确;

$\therefore$ 正确的选项有(3)(4), 共 2 个;

故答案为: $\mathrm{B}$.


Question:
如图, 点 $\mathrm{A}, \mathrm{O}, \mathrm{B}$ 在一条直线上, $\mathrm{OE} \perp \mathrm{AB}$ 于点 $\mathrm{O}$, 如果 $\angle 1$ 与 $\angle 2$ 互余, 那么图中相等的角有

<ImageHere>

度量几何学

图中相等的角有 $\angle 1=\angle C O A, \angle 2=\angle B O D, \angle A O E=\angle B O E, \angle C O D=\angle B O E, \angle C O D=$ $\angle A O E$, 共 5 对

故答案为: B


Question:
如图, 点 $\mathrm{C} 、 \mathrm{D}$ 分别是线段 $\mathrm{AB}$ 上两点 ( $\mathrm{CD}>\mathrm{AC}, \mathrm{CD}>\mathrm{BD})$, 用圆规在线段 $\mathrm{CD}$ 上截取 $\mathrm{CE}=\mathrm{AC}$, $\mathrm{DF}=\mathrm{BD}$, 若点 $\mathrm{E}$ 与点 $\mathrm{F}$ 恰好重合, $\mathrm{AB}=8$, 则 $\mathrm{CD}=(\quad)$

<ImageHere>

度量几何学

$\because \mathrm{CE}=\mathrm{AC}, \mathrm{DF}=\mathrm{BD}$,

$\therefore \mathrm{CE}=\frac{1}{2} \mathrm{AE}, \quad \mathrm{DF}=\frac{1}{2} \mathrm{FB}$,

$\therefore \mathrm{CD}=\mathrm{CE}+\mathrm{DF}=\frac{1}{2} \mathrm{AE}+\frac{1}{2} \mathrm{FB}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}=4$,
故答案为: A.


Question: 近几年宁波市常住人口总量持续增长, 根据第七次全国人口普查数据显示宁波市常住人口约为 940.43 万人, 940.43 万精确到（）

十分位
B. 百分位
C. 百位
D. 万位

计数

940.43 万精确到百位.

故答案为: C.


Question:
(3 分) 在李咏主持的“幸运 52 ”栏目中, 曾有一种竟猜游戏, 游戏规则是: 在 20 个商标牌中, 有 5 个商标牌的背面注明了一定的奖金, 其余商标牌的背面是一张“哭脸”, 若翻到“哭
脸”就不获奖, 参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会, 且翻过的牌不能再翻. 有一位观众已翻牌两次，一次获奖，一次不获奖，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（）

计数

解：根据题意, 得

全部还有 18 个商标牌, 其中还有 4 个中奖, 所以第三次翻牌获奖的概率是 $\frac{4}{18}=\frac{2}{9}$.


Question:
(3 分) 一只小鸟自由自在地在空中飞行, 然后随意落在图中所示的某个方格中 (每个方格除颜色外完全一样), 那么小鸟停在黑色方格中的概率是（）

<ImageHere>

计数

解: 图上共有 15 个方格, 黑色方格为 5 个,

小鸟最终停在黑色方格上的概率是 $\frac{5}{15}$, 即 $\frac{1}{3}$.


Question: (3 分) 为了估计湖中有多少条鱼, 先从湖中捕捉 50 条鱼做记号, 然后放回湖里, 经过一段时间, 等带记号的鱼完全混于鱼群中之后, 再捕捞第二次, 鱼共 200 条, 有 10 条做了记号, 则估计湖里有多少条鱼 $(\quad)$

计数


Question: 某次数学竟赛共有 20 道题, 已知做对一道得 4 分, 做错一道或者不做扣 1 分, 某同学最后的得分是 50 分, 则他做对 $(\quad)$ 道题.

计数

设他做对 $\mathrm{x}$ 道题,

根据题意得: $4 x-(20-x)=50$,

$\therefore \mathrm{x}=14$,

$\therefore$ 他做对 14 道题,

故答案为: A.


Question: (2021$\cdot$江苏八年级期中) 为了解 2019 年泰兴市八年级学生的视力情况, 从中随机调查了 500 名学生的视力情况. 下列说法正确的是 ( )

2016 年泰兴市八年级学生是总体
B. 每一名八年级学生是个体
C. 500 名八年级学生是总体的一个样本
D. 样本容量是 500

计数

总体是指考查的对象的全体, 个体是总体中的每一个考查的对象, 样本是总体中所抽取的一部分个体, 而样本容量则是指样本中个体的数目. 我们在区分总体、个体、样本、样本容量, 这四个概念时, 首先找出考查的对象. 从而找出总体、个体. 再根据被收集数据的这一部分对象找出样本,最后再根据样本确定出样本容量.

【详解】A. 2019 年泰兴市八年级学生的视力情况是总体, 故 A 错误; B. 每一名八年级学生的视力情况是个体, 故 B 错误; C. 从中随机调查了 500 名学生的视力情况是一个样本, 故 C 错误;

D. 样本容量是 500, 故 D 正确; 故选: D.

【点睛】此题考查总体、个体、样本、样本容量, 解题关键在于掌握它们的定义及区别.


Question: （2021$\cdot$河南南阳市$\cdot$九年级一模）某地区经过三年的乡村振兴建设, 农村的经济收入是振兴前的 2 倍. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况, 统计了该地区乡村振兴建设前后农村的经济收入构成比例, 绘制了下面的扇形统计图, 则下列说法错误的是 ( )

A. 乡村振兴建设后, 养殖收入是振兴前的 2 倍

B. 乡村振兴建设后, 种植收入减少

C. 乡村振兴建设后, 其他收入是振兴前的 2 倍以上

D. 乡村振兴建设后, 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

<ImageHere>

乡村振兴前

<ImageHere>

乡村振兴后

##

计数

根据某地区经过三年的乡村振兴建设, 农村的经济收入是振兴前的 2 倍和扇形统计图, 可以判断各个选项中的说法是否正确, 从而得到正确答案.

【详解】解: 由题意得乡村振兴建设后, 养殖收入是振兴前的 2 倍, 故 A 选项正确;

乡村振兴建设后, 种植收入相当于振兴前的 $37 \% \times 2=74 \%$, 相对于振兴前收入增加了, 故 B 选项错误;乡村振兴建设后, 其他收入是振兴前的 2 倍以上, 故 C 选项正确;

乡村振兴建设后, 养殖收入与第三产业收入的总和占总收入的 $30 \%+28 \%=58 \%$, 故 D 选项正确; 选 B.

【点睛】本题考查了扇形统计图, 解答本题的关键是明确题意, 利用数形结合的思想解答.


Question: 小慧去花店购买鲜花, 若买 5 支玫瑰和 3 支百合, 则她所带的钱还剩下 10 元; 若买 3 支玫瑰和 5 支百合, 则她所带的钱还缺 4 元. 若只买 8 支玫瑰, 则她所带的钱还剩下 ( )

计数

【答案】 $A$

【解析】

【分析】

本题考查了二元一次方程的应用, 找准等量关系, 正确列出二元一次方程是解题的关键.设每支玫瑰 $x$ 元，每支百合 $y$ 元，根据总价=单价 $\times$ 数量结合小慧带的钱数不变, 可得出关于 $x, y$ 的二元一次方程, 整理后可得出 $y=x+7$, 再将其代入 $5 x+3 y+10-8 x$ 中即可求出结论.

【解答】

解: 设每支玫瑰 $x$ 元，每支百合 $y$ 元，

依题意, 得: $5 x+3 y+10=3 x+5 y-4$,

$\therefore y=x+7$,

$\therefore 5 x+3 y+10-8 x=5 x+3(x+7)+10-8 x=31$.

故选 $A$.


Question: 为确定本市七、八、九年级学生校服生产计划, 有关部门准备对180名初中学生的身高作调查, 现有四种调查方案, 样本选取正确的是( )

A. 测量体校篮球队和排球队中 180 名队员的身高

B. 随机抽取本市一所学校的180名学生的身高

C. 查阅有关外地180名学生身高的统计资料

D. 在本地的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学, 在这六所学校的七、八、九年级的一个班中, 用抽签的方法分别选出 10 名学生, 然后测量他们的身高

计数

【答案】 $D$

【解析】解： $A$ 方案所选取的样本太特殊, 不具备代表性;

$B$ 方案只抽取一所学校的学生, 代表性不强;

$C$ 方案所选取的样本与调查对象无关;

$D$ 方案在各层次, 各方面抽取样本, 更具有代表性和科学性;

故选: D。

样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的, 即各个方面, 各个层次的对象都要有所体现。根据抽取的样本是否具有代表性进行分析。

本题考查了样本的选择, 注意抽取的样本一定要具有代表性。


Question:
某地区经过三年的新农村建设, 年经济收入实现了翻两番(即是原来的 $2^{2}$ 倍). 为了更好地了解该地区的经济收入变化情况, 统计了该地区新农村建设前后的年经济收入构成结构如图, 则下列结论中不正确的是（）
设前年经济收入结构统计图

<ImageHere>

设后年经济收入结构统计图

<ImageHere>

A. 新农村建设后, 种植收入减少了

B. 新农村建设后, 养殖收入实现了翻两番

C. 新农村建设后, 第三产业收入比新农村建设前的年经济收入还多

D. 新农村建设后, 第三产业收入与养殖收入之和超过了年经济收入的一半

计数

【答案】A

【解析】解：设建设前经济收入为 $a$, 建设后经济收入为 $4 a$.

A、建设后，种植收入为 $30 \% \times 4 a=120 \% a$ ，

建设前, 种植收入为 $55 \% a$,

故新农村建设后, 种植收入增加了, 故 $A$ 项符合题意;

B、建设后，养殖收入为 $30 \% \times 4 a=120 \% a$ ，

建设前, 养殖收入为 $30 \% a$,

故 $120 \% a \div 30 \% a=4$, 故 B 项不符合题意;

C、建设后，第三产业收入为 $32 \% \times 4 a=128 \% a$, 故第三产业收入比新农村建设前的年经济收入还多, 故 $C$ 项不符合题意;

、、建设后, 养殖收入与第三产业收入总和为 $(30 \%+32 \%) \times 4 a=248 \% a$,

经济收入的一半为 $2 a$,

故 $248 \% a>2 a$, 故 $D$ 项不符合题意.

故选: A.

设建设前经济收入为 $a$, 建设后经济收入为 $4 a$. 通过选项逐一分析新农村建设前后, 经济
收入情况, 利用数据推出结果.

本题主要考查扇形统计图的应用, 命题的真假的判断, 考查发现问题解决问题的能力.


Question: 根据我国国民倾向的阅读形式的调查研究发现, 36.7\%的成年国民倾向于 “拿一本纸质图书阅读” , 有 $43.5 \%$ 的国民倾向于 “手机阅读” , 有 10.6\%的国民更倾向于 “网络在线阅读”, 有 $7.8 \%$ 的人倾向于 “在电子阅读器上阅读” , 有 $1.4 \%$ 的国民 “习惯从网上下载并打印下来阅读”. 以上数据最适合用下列哪种统计图描述（）

A. 条形统计图
B. 折线图
C. 频数分布直方图
D. 扇形统计图

计数

【答案】D

【解析】解：由题意，用扇形统计图，可以描述国民阅读形式的百分比.

故选: D.

通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量与总数之间的关系.

本题考查扇形统计图, 解题的关键是理解题意, 掌握各种统计图的特征, 灵活运用所学知识解决问题.


Question:
根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图, 由图可知,下列说法错误的是 ( )

<ImageHere>

A. 扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比

B. 每天阅读 30 分钟以上的居民家庭孩子超过 $50 \%$

C. 每天阅读 1 小时以上的居民家庭孩子占 $20 \%$

D. 每天阅读 30 分钟至 1 小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是 $108^{\circ}$

<ImageHere>

计数

【答案】 $C$

【解析】

【分析】

本题主要考查扇形统计图, 扇形统计图是用整个圆表示总数, 用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数. 根据扇形统计图中的百分比的意义逐一判断即可得.

【解答】

解:

A.扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比, 此选项正确;

B.每天阅读 30 分钟以上的居民家庭孩子的百分比为 $1-40 \%=60 \%$, 超过 $50 \%$, 此选项正确;

C.每天阅读 1 小时以上的居民家庭孩子占 $20 \%+10 \%=30 \%$, 此选项错误; D. 每天阅读 30 分钟至 1 小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是 $360^{\circ} \times(1-40 \%-$ $10 \%-20 \%)=108^{\circ}$, 此选项正确;

故选 $C$.


Question:
今年某市有 4 万名学生参加中考, 为了了解这些考生的数学成绩, 从中抽取 2000 名考生的数学成绩进行统计分析. 在这个问题中, 有下列说法:

(1) 这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体;

(2)每名考生是个体;

(3)2000名考生是总体的一个样本;

(4)样本容量是 2000 .

其中正确的有

计数

【答案】 $C$

【解析】

【分析】

本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念, 解题要分清具体问题中的总体、个体与样本, 关键是明确考查的对象. 总体、个体与样本的考查对象是相同的, 所不同的是范围的大小. 样本容量是样本中包含的个体的数目, 不能带单位.

总体是指考查的对象的全体, 个体是总体中的每一个考查的对象, 样本是总体中所抽取的一部分个体, 而样本容量则是指样本中个体的数目. 我们在区分总体、个体、样本、样本容量, 这四个概念时, 首先找出考查的对象, 从而找出总体、个体. 再根据被收集数据的这一部分对象找出样本, 最后再根据样本确定出样本容量.

【解答】

解: 这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体;

每个考生的数学中考成绩是个体;

2000名考生的中考数学成绩是总体的一个样本, 样本容量是 2000 .

故正确的是(1)(4).

故选 $C$.


Question:
2018年1 4月我国新能源乘用车的月销量情况如图

2018年1 4月新能源乘用车

月销量统计图

所示，则下列说法错误的是( )

A. 1 月份销量为 2.2 万辆

B. 从2月到 3 月的月销量增长最快
C. 4 月份销量比 3 月份增加了 1 万辆
D. $1 \sim 4$ 月新能源乘用车销量逐月增加

计数

【答案】D

【解析】

【分析】

此题考查数据收集中的折线统计图.

解答此题的关键是仔细阅读分析折线统计图有关数据和折线的形状及倾斜度, 然后根据题意一一辨析选择即可.

【解答】

A.根据折线统计图一月份对应的数值 2.2 , 可知 1 月份销量为 2.2 万辆的说法正确, 故 $A$不符合题意;

B. 2 月份到 3 月份的线段最陡, 所以 2 月到 3 月的月销量增长最快, 说法正确, 故 $B$ 不符合题意;

C. 4 月份销量为 4.3 万辆, 3 月份销量为 3.3 万量, $4.3-3.3=1$ (万辆), 说法正确, 故不符合题意;

D.统计图中1月到2月线是下降的表示这期间销量是减少的, 所以新能源乘用车销量逐月增加的说法错误, 故 $D$ 符合题意.

故选 $D$.


Question: (3 分) 在一副 52 张扑克牌中（没有大小王）任抽一张牌是方块的机会是（）

组合数学


Question:
(3 分) 如图所示, 小明走进迷宫, 站在 A 处, 迷宫的 8 扇门每一扇门都相同, 其中 6 号门为迷宫出口，则小明一次就能走出迷宫的概率是（）

<ImageHere>

组合数学

解: 由图易得共有 $2 \times 3=6$ 种可能, 小明一次就能走出迷宫的有 1 种, 所以概率是 $\frac{1}{6}$.


Question: (3 分) 有五条线段长分别为 $1,3,5,7,9$, 从中任取三条, 能组成三角形的概率是 ( )

组合数学

解: 从 5 个数中取 3 个数, 共有 10 种可能的结果,

能构成三角形，满足两边之和大于第三边的有: 3、5、7; 3、7、9；5、7、9 三种，

$\therefore \mathrm{P}($ 从中任取三条, 能组成三角形 $)=\frac{3}{10}$.


Question:
(3 分) 某商场利用转盘进行有奖促销, 转盘扇形区域的圆心角及奖品设置如下表:

|  | 特等奖 | 一等奖 | 二等奖 | 三等奖 | 鼓励奖 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 圆心角 | $1^{\circ}$ | $10^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $90^{\circ}$ | $199^{\circ}$ |
| 奖品 | 冰箱 | 彩电 | 学习机 | 自行车 | 笔记本 |

小英有一次转转盘的机会, 她能获得奖品为学习机的概率是 ( )

组合数学

解： 由题意可得出：她能获得奖品为学习机所占圆心角为 $60^{\circ}$,

$\therefore$ 她能获得奖品为学习机的概率是: $\frac{60}{360}=\frac{1}{6}$.


Question:
(3 分) 如图, 两个标有数字的轮子可以分别绕轮子中心旋转, 旋转停止时, 每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字, 这两个数字和为偶数的概率是 ( )
<ImageHere>

组合数学

解：根据题意, 旋转停止时, 按箭头指着轮子上的数字, 共 $3 \times 4=12$ 种情况,

其中两数字和为偶数的有 $2 、 6 ; 4 、 6 ; 8 、 6 ; 5 、 3 ; 5 、 7$, 共 5 种情况;

根据概率的计算公式，可得其概率为 $\frac{5}{12} ;$


Question: 在平面直角坐标系中, 以点 $(2,1)$ 为圆心、 1 为半径的圆必与 ( )

A. $x$ 轴相交
    B. $y$ 轴相交
    C. $x$ 轴相切
    D. $y$ 轴相切

解析几何


Question: 已知 $\odot O_{1}$ 与 $\odot O_{2}$ 内切, 它们的半径分别为 2 和 3 , 则这两圆的圆心距 $d$ 满足 ( )

解析几何


Question: 已知正三角形的内切圆半径为 $\frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{~cm}$, 则它的边长是 ( )

A. $2 \mathrm{~cm}$
B. $\frac{4}{3} \mathrm{~cm}$
C. $2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$
D. $\sqrt{3} \mathrm{~cm}$

解析几何


Question:
(2 分) 如图, $\mathrm{P}$ 是 $\angle \alpha$ 的边 $\mathrm{OA}$ 上一点, 且点 $\mathrm{P}$ 的坐标为 (3, 4), 则 $\sin \alpha=(\quad)$

<ImageHere>

解析几何

解: $\because$ 点 $\mathrm{P}$ 的坐标为 $(3,4), \therefore \mathrm{OP}=5$.

$\therefore \sin \alpha=\frac{4}{5}$.


Question: (2 分) 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}$, 如果 $\cos A=\frac{4}{5}$, 那么 $\tan B$ 的值为

解析几何

解: $\because$ 在 Rt $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\angle \mathrm{C}=90^{\circ}$,

$\therefore \cos A=\frac{b}{c}, \tan B=\frac{b}{a}, a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

$\because \cos A=\frac{4}{5}$, 设 $b=4 x$, 则 $c=5 x, a=3 x$.

$\therefore \tan B=\frac{b}{a}=\frac{4 x}{3 x}=\frac{4}{3}$.


Question:
(2 分) 小明在学习“锐角三角函数”中发现, 将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠, 使点 $\mathrm{A}$ 落在 $\mathrm{BC}$ 上的点 $\mathrm{E}$ 处, 还原后, 再沿过点 $\mathrm{E}$ 的直线折叠, 使点 $\mathrm{A}$ 落在 $\mathrm{BC}$上的点 $\mathrm{F}$ 处，这样就可以求出 $67.5^{\circ}$ 角的正切值是 $(\quad)$

<ImageHere>

解析几何

解: $\because$ 将如图所示的矩形纸片 $\mathrm{ABCD}$ 沿过点 $\mathrm{B}$ 的直线折叠, 使点 $\mathrm{A}$ 落在 $\mathrm{BC}$ 上的点 $\mathrm{E}$处,

$\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{BE}, \angle \mathrm{AEB}=\angle \mathrm{EAB}=45^{\circ}$,

$\because$ 还原后, 再沿过点 $\mathrm{E}$ 的直线折叠, 使点 $\mathrm{A}$ 落在 $\mathrm{BC}$ 上的点 $\mathrm{F}$ 处,
$\therefore \mathrm{AE}=\mathrm{EF}, \quad \angle \mathrm{EAF}=\angle \mathrm{EFA}=\frac{45^{\circ}}{2}=22.5^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{FAB}=67.5^{\circ}$,

设 $A B=x$

则 $\mathrm{AE}=\mathrm{EF}=\sqrt{2} \mathrm{x}$,

$\therefore \tan \angle \mathrm{FAB}=\tan 67.5^{\circ}=\frac{\mathrm{FB}}{\mathrm{AB}}=\frac{\sqrt{2} \mathrm{x}+\mathrm{x}}{\mathrm{x}}=\sqrt{2}+1$.


Question:
(2 分) 如图, 客轮在海上以 $30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的速度由 $B$ 向 $C$ 航行, 在 $B$ 处测得灯塔 $A$ 的方位角为北偏东 $80^{\circ}$, 测得 $\mathrm{C}$ 处的方位角为南偏东 $25^{\circ}$, 航行 1 小时后到达 $\mathrm{C}$ 处, 在 $\mathrm{C}$ 处测得 $\mathrm{A}$ 的方位角为北偏东 $20^{\circ}$, 则 C 到 A 的距离是 $(\quad)$

<ImageHere>

解析几何

解: 过点 $\mathrm{B}$ 作 $\mathrm{BD} \perp \mathrm{AC}$ 于点 $\mathrm{D}$.

过 $C$ 作方位线, 由平行得到 $\angle 1=\angle 2=25^{\circ}$, 又 $\angle 3=20^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BCD}=45^{\circ}$,

$\therefore \triangle \mathrm{BCD}$ 为等腰直角三角形,

$\therefore B D=C D=30 \times \frac{\sqrt{2}}{2}=15 \sqrt{2}$.

$\because \mathrm{AD}=\mathrm{BD} \cdot \tan 30^{\circ}=5 \sqrt{6}$,

$\therefore C A=15 \sqrt{2}+5 \sqrt{6}=5(\sqrt{6}+3 \sqrt{2})$.


Question: 木匠在木料上画线, 先确定两个点的位置, 就能把线画得很准确, 其依据是 ( )

A. 两点之间线段最短

B. 过一点有无数条直线

C. 两点确定一条直线

D. 两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离

解析几何

木匠在木料上画线, 先确定两个点的位置, 就能把线画得很准确, 其依据是：两点确定一条直线.

故答案为: C.


Question: 已知, 点 $C$ 在直线 $A B$ 上, $A C=a, B C=b$, 且 $a \neq b$, 点 $M$ 是线段 $A B$ 的中点, 则线段 $\mathrm{MC}$ 的长为

解析几何

由于点 B 的位置不能确定, 故应分四种情况讨论:

(1)当 $a>b$ 且点 $C$ 在线段 $A B$ 上时, 如图 1.

## $\overrightarrow{\mathrm{A}} \quad \dot{\mathrm{M}} \quad \dot{\mathrm{C}} \quad \dot{\mathrm{B}}$

图1

$\because \mathrm{AC}=\mathrm{a}, \mathrm{BC}=\mathrm{b}$,

$\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{AC}+\mathrm{BC}=\mathrm{a}+\mathrm{b}$.

$\because$ 点 $\mathrm{M}$ 是 $\mathrm{AB}$ 的中点,

$\therefore \mathrm{AM}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}=\frac{1}{2}(a+b)$,

$\therefore \mathrm{MC}=\mathrm{AC}-\mathrm{AM}=a-\frac{1}{2}(a+b)=\frac{a-b}{2}$.

(2) 当 $a>b$ 且点 $C$ 在线段 $A B$ 的延长线上时, 如图 2 .

$\overrightarrow{\mathrm{A}} \quad \dot{\mathrm{M}} \quad \overrightarrow{\mathrm{B}} \quad \dot{\mathrm{C}}$

图2

$\because \mathrm{AC}=\mathrm{a}, \quad \mathrm{BC}=\mathrm{b}$,

$\therefore A B=A C-B C=a-b$.

$\because$ 点 $\mathrm{M}$ 是 $\mathrm{AB}$ 的中点,

$\therefore \mathrm{AM}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}=\frac{1}{2}(a-b)$,

$\therefore \mathrm{MC}=\mathrm{AC}-\mathrm{AM}=a-\frac{1}{2}(a-b)=\frac{a+b}{2}$.

(3)当 $\mathrm{a}<\mathrm{b}$ 且点 $\mathrm{C}$ 在线段 $A B$ 上时, 如图 3.

$\vec{A} \quad \dot{C} \quad \dot{\mathrm{M}}$

图3

$\because \mathrm{AC}=\mathrm{a}, \quad \mathrm{BC}=\mathrm{b}$

$\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{AC}+\mathrm{BC}=\mathrm{a}+\mathrm{b}$.

$\because$ 点 $\mathrm{M}$ 是 $A B$ 的中点,

$\therefore \mathrm{AM}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}=\frac{1}{2}(a+b)$

$\therefore \mathrm{MC}=\mathrm{AM}-\mathrm{AC}=\frac{1}{2}(a+b)-a=\frac{b-a}{2}$.

(4) 当 $\mathrm{a}<\mathrm{b}$ 且点 $\mathrm{C}$ 在线段 $\mathrm{AB}$ 的方向延长线上时, 如图 4.

| $\dot{\mathrm{C}}$ | $\vec{A}$ | $\dot{\mathrm{M}}$ | $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |

图4

$\because \mathrm{AC}=\mathrm{a}, \quad \mathrm{BC}=\mathrm{b}$,

$\therefore A B=B C-A C=b-a$.

$\because$ 点 $M$ 是 $A B$ 的中点,
$\therefore \mathrm{AM}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}=\frac{1}{2}(b-a)$,

$\therefore \mathrm{MC}=\mathrm{AC}+\mathrm{AM}=a+\frac{1}{2}(b-a)=\frac{a+b}{2}$.

综上所述: $\mathrm{MC}$ 的长为 $\frac{a+b}{2}$ 或 $\frac{a-b}{2}(\mathrm{a}>\mathrm{b})$ 或 $\frac{b-a}{2}(\mathrm{a}<\mathrm{b})$, 即 $\mathrm{MC}$ 的长为 $\frac{a+b}{2}$ 或 $\frac{|a-b|}{2}$.故答案为: D.


Question:
如图, 点 $O$ 为线段 $A D$ 外一点, 点 $M, C, B, N$ 为 $A D$ 上任意四点, 连接 $O M$, $O C, O B, O N$, 下列结论错误的是 $(\quad)$

<ImageHere>

A. 以 $O$ 为顶点的角共有 15 个

B. 若 $M C=C B, M N=N D$, 则 $C D=2 C N$

C. 若 $M$ 为 $A B$ 中点, $N$ 为 $C D$ 中点, 则 $M N=\frac{1}{2}(A D-C B)$

D. 若 $O M$ 平分 $\angle A O C, O N$ 平分 $\angle B O D, \angle A O D=5 \angle C O B$, 则 $\angle M O N=\frac{3}{2}(\angle M O C+$ $\angle B O N)$

解析几何

$\mathrm{O}$ 为顶点的角有 $\frac{6 \times 5}{2}=15$ 个,

所以 $\mathrm{A}$ 选项不符合题意;

$\because M N=N D$

$\therefore N D>C N$,

$\therefore C D=C N+N D>C N+C N ，$ 即 $C D>2 C N$ ，

所以 $\mathrm{B}$ 选项符合题意;

由中点定义可得: $M B=\frac{1}{2} A B, \quad N C=\frac{1}{2} C D$,

$\therefore M N=M B+C N-C B=\frac{1}{2} A B+\frac{1}{2} C D-C B=\frac{1}{2}(A B+C D)-C B$,

$\because A B+C D=A D+C B$

$\therefore M N=\frac{1}{2}(A D+C B)-C B=\frac{1}{2}(A D-C B)$,

所以 $\mathrm{C}$ 选项不符合题意;

由角平分线的定义可得： $\angle A O C=2 \angle M O C, \angle B O D=2 \angle B O N$,

$\because \angle A O D=\angle A O C+\angle C O B+\angle D O B=5 \angle C O B$,

$\therefore 2 \angle M O C+2 \angle B O N+\angle B O C=5 \angle B O C$,

$\therefore \angle M O C+\angle B O N=2 \angle B O C$,

$$
\therefore \angle M O N=\angle M O C+\angle C O B+\angle B O N=2 \angle C O B+\angle C O B=3 \angle C O B
$$

$\frac{3}{2}(\angle M O C+\angle B O N)=\frac{3}{2} \times 2 \angle C O B=3 \angle C O B$,

$\therefore \angle M O N=\frac{3}{2}(\angle M O C+\angle B O N)$

所以 $D$ 选项不符合题意,

所以错误的只有 $B$,

故答案为: B.


Question:
(2 分) 如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, 弦 $A C, B D$ 相交于点 $P$, 则 $\frac{C D}{A B}$ 等于 ( )

<ImageHere>

A. $\sin \angle \mathrm{BPC}$
B. $\cos \angle \mathrm{BPC}$
C. $\tan \angle \mathrm{BPC}$
D. 以上都不对

组合几何学

解: 连接 $\mathrm{BC}$.

$\because \mathrm{AB}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的直径,

$\therefore \angle \mathrm{BCP}=90^{\circ}$.

根据同弧所对的圆周角相等得:

$\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{D}, \angle \mathrm{DCA}=\angle \mathrm{PBA}$

$\therefore \triangle \mathrm{PCD} \sim \triangle \mathrm{PBA}$.

$\therefore \frac{C D}{A B}=\frac{P C}{P B}=\cos \angle \mathrm{BPC}$.


Question:
如图 1 所示, 在一个边长为 $\mathrm{a}$ 的正方形纸片上剪去两个小长方形, 得到一个如图 2 的图案所示,再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形, 如图 3 所示, 则新长方形的周长可表示为 ( )

<ImageHere>

图1

<ImageHere>

图2

<ImageHere>

图3

组合几何学

根据题意得小长方形的长为: $\mathrm{a}-\mathrm{b}$, 宽为: $\frac{a-3 b}{2}$,

$\therefore$ 新长方形的周长为: $\left(\frac{a-3 b}{2} \times 2+a-b\right) \times 2=4 a-8 b$.

故答案为: D.


Question:
在长方形 $A B C D$ 中, 放入 6 个形状大小完全相同的小长方形, 所标尺寸如图所示, 则小长方形的宽 $A E$ 的长度为 $(\quad) \mathrm{cm}$.

<ImageHere>

组合几何学

设 $\mathrm{AE}=\mathrm{xcm}$,

依题意, 得: $6+2 x=x+(14-3 x)$,

解得: $x=2$

故答案为: C.


Question:
将尺寸如图的 4 块完全相同的长方形薄木块（厚度忽略不计）进行拼摆, 恰好可以不重叠地摆放在如图的甲、乙两个方框内. 已知小木块的宽为 2 , 图甲中阴影部分面积为 19 , 则图乙中 $\mathrm{AD}$ 的长为 $(\quad)$

<ImageHere>

立体几何学


Question:
如图, 该平面展开图按虚线折叠成正方体后, 相对面上两个数之和为 8 , 则 $\mathrm{x}+\mathrm{y}$ 的值是 ( )

<ImageHere>

立体几何学

$\because$ 与 $\mathrm{x}$ 相对的面是 2 , 与 $\mathrm{y}$ 相对的面是 4 ,

$\therefore \mathrm{x}+2=8, \mathrm{y}+4=8$,

$\therefore \mathrm{x}=6, \mathrm{y}=4$,

$\therefore \mathrm{x}+\mathrm{y}=10$.

故答案为: D.


Question: 如图, 点 $\mathrm{C}$ 在线段 $\mathrm{AB}$ 上, $\mathrm{AB}=10, \mathrm{AC}=4$, 点 $\mathrm{D}$ 是 $\mathrm{BC}$ 的中点, 则 $\mathrm{BD}$ 的长为 $(\quad)$

立体几何学

$\because \mathrm{AB}=10, \mathrm{AC}=4$,

$\therefore \mathrm{BC}=\mathrm{AB}-\mathrm{AC}=6$,

$\because$ 点 $\mathrm{D}$ 是 $\mathrm{BC}$ 的中点,
$\therefore \mathrm{BD}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}=3$.

故答案为: B


Question:
把如图 1 的两张大小相同的长方形卡片放置在图 2 与图 3 中的两个相同大长方形中, 已知这两个大长方形的长比宽长 $20 \mathrm{~cm}$, 若记图 2 中阴影部分的周长为 $\mathrm{C}_{1}$, 图 3 中阴影部分的周长为 $\mathrm{C}_{2}$, 那 $么 \mathrm{C}_{1}-\mathrm{C}_{2}=(\quad)$

<ImageHere>

图।

<ImageHere>

图2

<ImageHere>

图3

$10 \mathrm{~cm}$
B. $20 \mathrm{~cm}$
C. $30 \mathrm{~cm}$
D. $40 \mathrm{~cm}$

画法几何学


Question:
如图, 将图 1 中的长方形纸片前成（1）号、(2) 号、(3) 号、(4) 号正方形和（5）号长方形, 并将它们按图 2 的方式无重叠地放入另一个大长方形中, 若需求出没有覆盖的阴影部分的周长, 则下列说法中错误的是 $(\quad)$

<ImageHere>

图 1

<ImageHere>

图 2

只需知道图 1 中大长方形的周长即可

B. 只需知道图 2 中大长方形的周长即可

C. 只需知道 $(3)$ 号正方形的周长即可

D. 只需知道 $(5)$ 号长方形的周长即可

画法几何学

(1)号正方形的边长为 $\mathrm{a}$, (2)号正方形的边长为 $\mathrm{b}$, 则 (3)号正方形的边长为 $\mathrm{a}+\mathrm{b}$, (4)号正方形的边长为 $2 a+b$, (5) 号长方形的长为 $3 a+b$, 宽为 $b-a$,

$$
\text { 如图, } A D=b-a+b+a=2 b, \quad A B=a+b+2 a+b-b=3 a+b
$$

<ImageHere>

$\therefore$ 矩形 $\mathrm{ABCD}$ 的周长为 $2(A B+A D)=2(3 a+b+b-a)=6(a+b)$

图 1 中大长方形的周长为: $2(a+b+b+a+b+2 a+b)=8(a+b)$

图 2 中大长方形的周长为 $2(b-a+b+2 a+b+3 a+2 b)=2(5 b+4 a)$

(3) 号正方形周长为 $4(a+b)$

(5)号正方形周长为 $2(2 a+b+b-a)=4(a+b)$

所以, 只有 $2(5 b+4 a)$ 不能得出 $6(a+b)$ 的值,

故答案为: B.


Question:
如图, 将长方形 $\mathrm{ABCD}$ 分成 2 个长方形与 2 个正方形, 其中 (3)、(4)为正方形, 记长方形(1)的周长为 $C_{1}$, 长方形 (2)的周长为 $C_{2}$, 则 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的大小为 ( $)$

<ImageHere>

画法几何学

:

<ImageHere>

$\because$ 将长方形 $\mathrm{ABCD}$ 分成 2 个长方形与 2 个正方形, 其中(3)、(4)为正方形

$\therefore C G=B E, \quad A E=D G, \quad B C=A D, \quad A B=C D$

设正方形(3)的边长为 $\mathrm{a}$, 正方形(4)的边长为 $\mathrm{b}$

$\therefore C G=B E=a, \quad C F=B C-B E=A D-a, \quad A E=D G=b, \quad A H=A D-D H=A D-b$

$\therefore$ 长方形(1)的周长为 $C_{1}=2 A H+2 A E=2 A D-2 b+2 b=2 A D$,

长方形(2)的周长为 $C_{2}=2 C F+2 C G=2 A D-2 a+2 a=2 A D$

$\therefore C_{1}=C_{2}$

故答案为:
B.


Question:
（2021$\cdot$浙江温州市$\cdot$七年级期末）将图 1 中周长为 32 的长方形纸片剪成 1 号、 2 号、 3 号、 4 号正方形和 5 号长方形, 并将它们按图 2 的方式放入周长为 48 的长方形中, 则没有覆盖的阴影部分的周
长为 $(\quad)$

<ImageHere>

(图 1)

<ImageHere>

(图 2 )

画法几何学

设 1 号正方形的边长为 $\mathrm{x}, 2$ 号正方形的边长为 $\mathrm{y}$, 则 3 号正方形的边长为 $\mathrm{x}+\mathrm{y}, 4$ 号正方形的边长为 $2 \mathrm{x}+\mathrm{y}, 5$ 号长方形的长为 $3 \mathrm{x}+\mathrm{y}$, 宽为 $\mathrm{y}-\mathrm{x}$, 根据图 1 中长方形的周长为 32 , 求得 $\mathrm{x}+\mathrm{y}=4$, 根据图 2 中长方形的周长为 48 , 求得 $A B=24-3 x-4 y$, 根据平移得: 没有覆盖的阴影部分的周长为四边形 $A B C D$ 的周长 $=2(A B+A D)$, 计算即可得到答案.

【详解】设 1 号正方形的边长为 $\mathrm{x}, 2$ 号正方形的边长为 $\mathrm{y}$, 则 3 号正方形的边长为 $\mathrm{x}+\mathrm{y}, 4$ 号正方形的边长为 $2 x+y, 5$ 号长方形的长为 $3 x+y$, 宽为 $y-x$,

由图 1 中长方形的周长为 32 , 可得, $y+2(x+y)+(2 x+y)=16$, 解得: $x+y=4$,

如图, $\because$ 图 2 中长方形的周长为 $48, \therefore A B+2(x+y)+2 x+y+y-x=24, \quad \therefore A B=24-3 x-4 y$,

根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形 $\mathrm{ABCD}$ 的周长,

$\therefore 2(A B+A D)=2(24-3 x-4 y+x+y+2 x+y+y-x)=2(24-x-y)=48-2(x+y)=48-8=40$, 故选: D.

<ImageHere>

【点睛】此题考查整式加减的应用, 平移的性质, 利用平移的性质将不规则图形变化为规则图形进而求解, 解题的关键是设出未知数, 列代数式表示各线段进而解决问题.


Question:
(2021 浙江七年级期中) 将一张边沿互相平行的纸条如图折叠后, 若边 $A D / / B C$, 则翻折角 $\angle 1$与 $\angle 2$ 一定满足的关系是 $(\quad)$

<ImageHere>

画法几何学

根据平行可得出 $\angle D A B+\angle C B A=180^{\circ}$, 再根据折叠和平角定义可求出 $\angle 1+\angle 2=90^{\circ}$.

【详解】解：由翻折可知, $\angle D A E=2 \angle 1, \angle C B F=2 \angle 2$,

$\because A D / / B C, \therefore \angle D A B+\angle C B A=180^{\circ}, \therefore \angle D A E+\angle C B F=180^{\circ}$,

即 $2 \angle 1+2 \angle 2=180^{\circ}, \therefore \angle 1+\angle 2=90^{\circ}$ ，故选: $B$.

<ImageHere>

【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质, 解题关键是熟练运用平行线的性质进行推理计

算.

##


Question:
有下列语句: (1)不相交的两条直线叫平行线;

(2)两条直线的位置关系只有两种: 相交和平行;

(3)如果线段 $A B$ 和线段 $C D$ 不相交, 那么直线 $A B$ 和直线 $C D$ 平行;

(4)如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线平行;

(5)过一点有且只有一条直线与已知直线平行. 正确的个数是

逻辑题

【答案】A

【解析】解：(1)不相交的两条直线叫平行线, 必须是在同一平面内, 故错误; (2)在同一平面内, 不重合的两条直线的位置关系只有两种: 相交和平行, 故错误;

(3)线段 $A B$ 和线段 $C D$ 不相交, 直线 $A B$ 和直线 $C D$ 不一定平行, 故错误;

(4)如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线平行, 故正确;

(5)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行, 故错误, 故选 A.


Question: 将一张长方形纸片沿 $E F$ 折叠, 折叠后的位置如图所示, 若 $\angle E F B=65^{\circ}$, 则 $\angle A E D^{\prime}$ 等于( )

变换几何

【答案】C

【解析】解: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,

$\therefore A D / / B C$,

$\therefore \angle D E F=\angle E F B=65^{\circ}$,

由翻折不变性可知: $\angle D E F=\angle F E D^{\prime}=65^{\circ}$,

$\therefore \angle D E D^{\prime}=130^{\circ}$,

$\therefore \angle A E D^{\prime}=180^{\circ}-130^{\circ}=50^{\circ}$,

故选: $C$.

利用平行线的性质以及翻折不变性解决问题即可.

本题考查平行线的性质, 矩形的性质, 翻折变换等知识, 解题的关键是熟练掌握基本知识, 属于中考常考题型.


Question: 如图, 将三角形 $A B C$ 沿射线 $A B$ 平移到三角形 $D E F$ 的位置, 则以下说法不正确的是 ( )

A. $A C / / D F$.
B. $\angle C=\angle F$.

<ImageHere>
C. $A C=D B$.
D. $A D=B E$

变换几何

【答案】 $C$

解: $A$. 因为 $\angle A=\angle F D E$, 所以 $A C / / D F$, 故 $A$ 正确;

B. B 正确;

$C . A C \neq D B$, 故 $C$ 错误;

$D$. 因为 $A B=D E$, 所以 $A D=B E$. 所以 $D$ 正确.

故选 $C$.


Question:
如图, 将三角形 $A B C$ 沿水平方向向右平移到三角形 $D E F$ 的位置. 已知点 $A, D$ 之间的距离为 $1, C E=2$, 则 $B F$ 的长为 $(\quad)$

<ImageHere>

变换几何

解【答案】 $C$

【解析】解: $\because$ 三角形 $A B C$ 沿水平方向向右平移到三角形 $D E F$,

$\therefore B E=C F=A D=1$,

$\therefore B F=B E+C E+C F=1+2+1=4$.

根据平移的性质得到 $B E=C F=A D=1$, 然后计算 $B E+C E+C F$ 即可.

本题考查了平移的性质.


Question:
以下现象中, 属于平移的是( )
(1)在荡秋千的小朋友;
(2)电梯上升过程;

(3)宇宙中行星的运动; (4)生产过程中传送带上的电视机的移动过程.

变换几何

【答案】 $B$

解: (1)在荡秋千的小朋友是旋转运动, 不是平移;

(2)电梯上升过程是平移;

(3)宇宙中行星的运动不是平移;

(4)生产过程中传送带上的电视机的移动过程是平移;

故选 $B$.


Question:
如图, 圆的周长为 4 个单位长度, 在该圆的四等分点处分别标上数字 $0 、 1 、 2 、 3$, 先让圆周上表示数字 0 的点与数轴上表示数 -1 的点重合, 再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上, 则数轴上表示数 -2019 的点与圆周上重合的点表示的数字为 $(\quad)$

<ImageHere>

图论

解: 因为 -1 与 -2019 之间的距离是 2018 个单位长度, 而 $2018 \div 4=504 \cdots \cdots 2$, 所以数轴上表示数-2019的点与圆周上表示数字 2 的点重合, 故选 $C$.


Question: 在扇形统计图中, 其中一个扇形的圆心角为 $72^{\circ}$, 则这个扇形所表示的区域占总体区域的( )

统计数学

 根据题意, 这个扇形所表示的区域占总体区域的 $\frac{72}{360} \times 100 \%=20 \%$,
故选: $B$.


Question: 已知二次函数 $y=x^{2}$, 当 $a \leq x \leq b$ 时 $m \leq y \leq n$, 则下列说法正确的是

A. 当 $n-m=1$ 时, $b-a$ 有最大值
B. 当 $n-m$ 时,$b-a$ 有最小值
C. 当 $b-a=1$ 时, $n-m$ 无最小值
D. 当 $b-a=1$ 时, $n-m$ 有最大值

解析几何

(1)当 $b-a=1$ 时, 如图 1 , 过点 $B$ 作 $B C \perp A D$ 于 $C$,

<ImageHere>

图 1

$\therefore \angle B C D=90^{\circ}$,

$\because \angle A D E=\angle B E D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A D O=\angle B C D=\angle B E D=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $B C D E$ 是矩形,

$\therefore B C=D E=b-a=1, C D=B E=m$,

$\therefore A C=A D-C D=n-m$,

在Rt $\triangle A C B$ 中,

$\tan \angle A B C=\frac{A C}{B C}=n-m$,

$\because$ 点 $A, B$ 在抛物线 $y=x^{2}$ 上,

$\therefore 0^{\circ} \leq \angle A B C<90^{\circ}$,

$\therefore \tan \angle A B C \geq 0$,

$\therefore n-m \geq 0$,

即 $n-m$ 无最大值, 有最小值, 最小值为 0 , 故选项 $C, D$ 都错误;

(2)当 $n-m=1$ 时, 如图 2 , 过点 $N$ 作 $N H \perp M Q$ 于 $H$,

图 2

<ImageHere>
同 (1)的方法得, $N H=P Q=b-a, H Q=P N=m$,

$\therefore M H=M Q-H Q=n-m=1$,

在 $R t \triangle M H Q$ 中，

$\tan \angle M N H=\frac{M H}{N H}=\frac{1}{b-a}$,

$\because$ 点 $M, N$ 在抛物线 $y=x^{2}$ 上,

$\therefore m \geq 0$,

当 $m=0$ 时, $n=1$,

$\therefore$ 点 $N(0,0), M(1,1)$,

$\therefore N H=1$,

此时, $\angle M N H=45^{\circ}$,

$\therefore 45^{\circ} \leq \angle M N H<90^{\circ}$,

$\therefore \tan \angle M N H \geq 1$,

$\therefore \frac{1}{b-a} \geq 1$,

$\therefore b-a$ 无最小值, 有最大值, 最大值为 1 , 故选项 $B$ 错误.

故选: $A$.


Question: 如图, $\odot O$ 的半径为 $2, A B, C D$ 是互相垂直的两条直径, 点 $P$是 $\odot O$ 上任意一点, 过点 $P$ 作 $P M \perp A B$ 于 $M, P N \perp C D$ 于 $N$,点 $Q$ 是 $M N$ 的中点, 当点 $P$ 沿着圆周从点 $D$ 逆时针方向运动到点 $C$ 的过程中, 当 $\angle Q C N$ 度数取最大值时, 线段 $C Q$ 的长为 $(\quad)$

解析几何

连接 $O Q$,

<ImageHere>

$\because M N=O P$ (矩形对角线相等), $\odot O$ 的半径为 2 ,

$\therefore O Q=\frac{1}{2} M N=\frac{1}{2} O P=1$,

可得点 $Q$ 的运动轨迹是以 $O$ 为圆心, 1 为半径的圆, 当 $C Q$ 与此圆相切时, $\angle Q C N$ 最大,

此时, 在直角三角形 $C Q^{\prime} O$ 中,

$\angle C Q^{\prime} O=90^{\circ}, O Q^{\prime}=1, C O=2$,

$\therefore C Q^{\prime}=\sqrt{C O^{2}-O Q^{\prime 2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$,

即线段 $C Q$ 的长为 $\sqrt{3}$.

故选 $C$.


Question: $P A 、 P B$ 分别切 $\odot O$ 于点 $A 、 B$, 点 $C$ 为 $\odot O$ 上一个动点 (不与 $A 、 B$ 重合), 若 $\angle A P B=40^{\circ}$. 则 $\angle A C B$的度数为 ( $)$

解析几何

连接 $O A 、 O B$,

<ImageHere>
$\because P A 、 P B$ 分别切 $\odot O$ 于 $A 、 B$ 两点,

$\therefore O A \perp A P, O B \perp P B$,

(1) 当点 $C$ 在优弧 $A B$ 上时,

$\angle A O B=180^{\circ}-\angle A P B=140^{\circ}$,

$\therefore \angle A C^{\prime} B=70^{\circ}$;

(2)当点 $C$ 在劣弧 $A B$ 上时, $\angle A C B=180^{\circ}-\angle A C^{\prime} B=110^{\circ}$.

综上可得: $\angle A C B=70^{\circ}$ 或 $110^{\circ}$.

故选 $D$.


Question: $\triangle A B C$ 中 $\angle A, \angle B$ 为锐角, 且 $\left|\tan ^{2} B-3\right|+(2 \sin A-\sqrt{3})^{2}=0$, 则 $\triangle A B C(\quad)$

A. 直角三角形
B. 等边三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰直角三角形

解析几何

由 $\left|\tan ^{2} B-3\right|+(2 \sin A-\sqrt{3})^{2}=0$, 得

$\tan ^{2} B-3=0,2 \sin A-\sqrt{3}=0$,

由 $\angle A, \angle B$ 均为锐角, 得

$\tan B=\sqrt{3}, \sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$,

$A=60^{\circ}, B=60^{\circ}$,

$\angle C=180^{\circ}-\angle A-\angle B=60^{\circ}$,

$\therefore \angle C=\angle A=\angle B=60^{\circ}$,

$\therefore \triangle A B C$ 是等边三角形,

故选 $B$.


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\text {” }}, \tan A$ 和 $\tan B$ 的值是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-\frac{4 \sqrt{3}}{3} x+m=0$ 的根, 则 $m$ 等于 $(\quad)$

解析几何

: $\angle C=90^{\circ}$,

$\therefore \tan A \cdot \tan B=\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}=1$,

$\because \tan A$ 和 $\tan B$ 的值是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-\frac{4 \sqrt{3}}{3} x+m=0$ 的根,

$\therefore m=\tan A \cdot \tan B=1$.

故选 $A$.


Question:
下列说法: (1)平分弦的直径垂直于弦; (2)三点确定一个圆; (3)相等的圆心角所对的弧相等; (4)
垂直于半径的直线是圆的切线; (5)三角形的内心到该三角形三条边的距离相等。其中正确的个数为 $(\quad)$

解析几何

1)当两弦都是直径时, 它们相互平分，但可以不垂直, 1错误;

(2)当三点共线时不能确定一个圆; (2)错误;

(3)当圆半径相等时才有相等的圆心角所对的弧相等, (3)错误;

(4)过半径的外端点且垂直于半径的直线才是圆的切线, (4)错误;

(5)根据角平分线的性质即可得出三角形的内心到三角形的三边距离相等, $\therefore$ (5)正确;

故选 $A$.


Question: 在直角坐标系中, 我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点. 对于一条直线, 当它与一个圆的公共点都是整点时, 我们把这条直线称为这个圆的 “整点直线”. 已知 $\odot O$ 是以原点为圆心, 半径为 $2 \sqrt{2}$ 的圆, 则 $\odot O$ 的 “整点直线” 共有 $(\quad)$ 条

解析几何

$\because$ 圆的半径为 $2 \sqrt{2}$,

$\therefore$ 圆上的整数点有四个, $(2,2),(2,-2),(-2,2),(-2,-2)$,
若直线与圆有两个交点, 则两点确定一直线, 可以画 6 条,

若直线与圆只有一个交点, 则分别过这四个点画圆的切线, 可以有 4 条,

$\therefore$ 一共有 10 条,

故选 $D$.


Question: 正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 $(\quad)$

解析几何

设正六边形的半径是 $r$,则外接圆的半径是 $r$, 内切圆的半径是正六边形的边心距, 因而是 $\frac{\sqrt{3}}{2} r$,
因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 $2: \sqrt{3}$. 故选 $C$.


Question:
如图, $\odot \mathrm{O}$ 中, 弦 $\mathrm{AB}$ 的长为 $8 \mathrm{~cm}$, 圆心 $\mathrm{O}$ 到 $\mathrm{AB}$ 的距离为 $3 \mathrm{~cm}$, 则 $\odot \mathrm{O}$ 的半径长为 ( )

<ImageHere>

A. $3 \mathrm{~cm}$
B. $4 \mathrm{~cm}$
C. $5 \mathrm{~cm}$
D. $6 \mathrm{~cm}$

解析几何

<ImageHere>

过点 $\mathrm{O}$ 作 $\mathrm{OC} \perp \mathrm{AB}$ 于 $\mathrm{C}$, 连接 $\mathrm{OA}, \therefore \mathrm{OC}=3 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}=\frac{1}{2} \times 8=4(\mathrm{~cm})$,

$\therefore$ 在 Rt $\triangle \mathrm{AOC}$ 中, $\mathrm{OA}=\sqrt{A C^{2}+O C^{2}}=5 \mathrm{~cm}$. 故选: C.


Question:
如图, 直线 1 是 $\odot O$ 的切线, 点 $A$ 为切点, $B$ 为直线 1 上一点, 连接 $O B$ 交 $\odot O$ 于点 $C, D$ 是优弧 $\mathrm{AC}$ 上一点, 连接 $\mathrm{AD}, \mathrm{CD}$. 若 $\angle \mathrm{ABO}=40^{\circ}$. 则 $\angle \mathrm{D}$ 的大小是 $(\quad)$

<ImageHere>

解析几何

$\because$ 直线 $l$ 是 $\odot O$ 的切线, 点 $A$ 为切点, $\therefore \angle O A B=90^{\circ}, \therefore \angle A O B=90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$, $\therefore \angle D=\frac{1}{2} \angle A O B=25^{\circ}$. 故选 D.


Question:
如图, 边长为 1 的小正方形构成的网格中, 半径为 1 的 $\odot \mathrm{O}$ 的圆心 $\mathrm{O}$ 在格点上, 则 $\angle \mathrm{BED}$ 的正切值等于 $(\quad)$

<ImageHere>

解析几何

$\because \angle \mathrm{DAB}=\angle \mathrm{DEB}$,

$\therefore \tan \angle \mathrm{DEB}=\tan \angle \mathrm{DAB}=\frac{1}{2}$, 故选 D.


Question: Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, \cos A=\frac{3}{5}, A C=6 \mathrm{~cm}$, 那么 $B C$ 等于 ( )

解析几何

$\because$ 在 $\mathrm{Rt} \triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\angle \mathrm{C}=90^{\circ}, \cos \mathrm{A}=\frac{A C}{A B}=\frac{3}{5}, \mathrm{AC}=6 \mathrm{~cm}$,

$\therefore \mathrm{AB}=10 \mathrm{~cm}, \quad \therefore \mathrm{BC}=\sqrt{A B^{2}-A C^{2}}=8 \mathrm{~cm}$. 故选: A.


Question:
已知等腰 $\triangle A B C$ 内接于 $\odot O, \odot O$ 的半径为 5 , 如果底边 $B C$ 的长为 6 , 则底角的正切值为 ( )

<ImageHere>

解析几何

<ImageHere>

(1)

<ImageHere>

(2)

如图 (1), 可求得 $A D=O A+O D=9, \quad \tan \angle A B D=\frac{A D}{B D}=3$,

如图 (2) , 可求得 $A D=O A-O D=1, \tan \angle A B D=\frac{A D}{B D}=\frac{1}{3}$, 综上, $\tan \angle A B D=3$ 或 $\frac{1}{3}$. 故选: D.


Question: 已知 $\alpha$ 为锐角, 且 $\tan \alpha=3$, 则 $\frac{\sin \alpha-2 \cos \alpha}{2 \cos \alpha+\sin \alpha}$ 的值为 ()

解析几何

$\because \alpha$ 为锐角, 且 $\tan \alpha=3$,

$\therefore \frac{\sin \alpha-2 \cos \alpha}{2 \cos \alpha+\sin \alpha}=\frac{\tan \alpha-2}{2+\tan \alpha}=\frac{3-2}{2+3}=\frac{1}{5}$. 故选 C.


Question:
如图一艘轮船由海平面上 A 地出发向南偏西 $40^{\circ}$ 的方向行驶 40 海里到达 B 地, 再由 B 地向北偏西 $20^{\circ}$ 的方向行驶 40 海里到达 C 地, 则 A、C 两地相距（）

<ImageHere>

解析几何

由题意得 $\angle A B C=60^{\circ}, A B=B C=40$

$\therefore \triangle \mathrm{ABC}$ 是等边三角形

$\therefore \mathrm{AC}=\mathrm{AB}=40$ 海里. 故选 $\mathrm{B}$.


Question: 小林同学在教学活动课中, 用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验, 通过观察, 发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是 $(\quad)$

A. 线段
B. 三角形
C. 平行四边形
D. 正方形

解析几何

解：将长方形硬纸的板面与投影线平行时, 形成的影子为线段;

将长方形硬纸板与地面平行放置时, 形成的影子为矩形;

将长方形硬纸板倾斜放置形成的影子为平行四边形;

由物体同一时刻物高与影长成比例, 且长方形对边相等, 故得到的投影不可能是三角形.

故选: $B$.

根据平行投影的性质进行分析即可得出答案.

本题考查了投影与视图的有关知识, 是一道与实际生活密切相关的热点试题, 灵活运用平行投影的性质是解题的关键.


Question: (本题 3 分) (2022-浙江$\cdot$九年级专题练习) 已知抛物线 $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 与 $x$ 轴的交点为 $A 1,0$ 和 $B(3,0)$, 点 $P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 是抛物线上不同于 $A, B$ 的两个点,记 $\triangle P_{1} A B$ 的面积为 $S_{1}, \triangle P_{2} A B$ 的面积为 $S_{2}$. 有下列结论: (1)当 $x_{1}>x_{2}+2$ 时, $S_{1}>S_{2}$;当 $x_{1}<2-x_{2}$ 时, $S_{1}<S_{2}$; (3)当 $\left|x_{1}-2\right|>\left|x_{2}-2\right|>1$ 时, $S_{1}>S_{2}$; (4)当 $\left|x_{1}-2\right|>\left|x_{2}+2\right|>1$时, $S_{1}<S_{2}$. 其中正确结论的个数是（ ）

解析几何


Question: (本题 3 分) (2020 浙江$\cdot$九年级期末) 抛物线 $y=3(x-2)^{2}+5$ 的顶点坐标是

解析几何

C【解析】【分析】根据二次函数的性质y=a(x-h)^2+k的顶点坐标是(h,k)进行求解即可.【详解】because抛物线解析式为y=3(x-2)^2+5,therefore二次函数图象的顶点坐标是(2,5).故选C.【点睛】本题考查了二次函数的性质,根据抛物线的顶点式,可确定抛物线的开口方向,顶点坐标(对称轴),最大(最小)值,增减性等.


Question: (本题 3 分) (2020 浙江省温岭市第四中学九年级期中) 对于二次函数 $\mathrm{y}=2(\mathrm{x}-2)$${ }^{2}+1$, 下列说法中正确的是 $(\quad)$

A. 图象的开口向下B. 函数的最大值为 1C. 图象的对称轴为直线 $\mathrm{x}=-2$D. 当 $\mathrm{x}<2$ 时 $\mathrm{y}$ 随 $\mathrm{x}$ 的增大而减小

解析几何

D【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质,可以判断各个选项中的说法是否正确.【详解】二次函数y=2(x-2)2+1,a=2>0,therefore该函数的图象开口向上,故选项A错误,函数的最小值是y=1，故选项B错误，图象的对称轴是直线x=2,故选项C错误,当x<2时y随x的增大而减小,故选项D正确,故选D.【点睛】考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.


Question: (本题 3 分)（2020-浙江$\cdot$浣江教育九年级期中）将抛物线 $y=2 x^{2}$ 向上平移 3 个单位长度, 再向右平移 2 个单位长度, 所得到的抛物线为 $(\quad)$.

解析几何

B【解析】【分析】根据抛物线图像的平移规律“左加右减,上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.【详解】解：将抛物线y=2x^2向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到的抛物线的解析式为y=2(x-2)^2+3,故选B.【点睛】本题考查了二次函数的平移规律,熟练掌握其平移规律是解题的关键.


Question: (本题 3 分) (2020-浙江温州$\cdot$九年级阶段练习) 烟花厂某种礼炮的升空高度 $h(m)$与飞行时间 $t(s)$ 的关系式是 $h=-2 t^{2}+20 t+1$, 若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆, 则从点火升空到引爆需要的时间为

解析几何

C【解析】【分析】将h关于t的函数关系式变形为顶点式，即可得出升到最高点的时间，从而得出结论.【详解】解:becauseh=-2t^2+20t+1=-2(t-5)^2+51,therefore当t=5时,礼炮升到最高点.故选:C.【点睛】本题考查了二次函数的应用,解题的关键是将二次函数的关系式变形为顶点式.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,将函数的关系式进行变换找出顶点坐标即可.


Question: (本题 3 分) (2017$\cdot$全国$\cdot$九年级课时练习) 在平面直角坐标系中, 二次函数 $y=a(x-h)^{2} \quad(a \neq 0)$ 的图象可能是 ( $)$

解析几何

D【解析】【分析】根据二次函数y=a(x-h)^2(aneq0)的顶点坐标为(h,0),它的顶点坐标在x轴上,即可解答.【详解】二次函数y=a(x-h)^2(aneq0)的顶点坐标为(left.h,0right),它的顶点坐标在x轴上,故选D.


Question: (本题 3 分) (2020$\cdot$浙江省临海市大成中学九年级期中) 已知点 $A\left(1, y_{1}\right), B\left(2, y_{2}\right)$ 在抛物线 $y=-(x+1)^{2}+2$ 上, 则下列结论正确的是（）

解析几何

A【解析】【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值,然后对各选项进行判断.【详解】当x=1时,y1=-(x+1)^2+2=-(1+1)^2+2=-2;当x=2时,y_1=-(x+1)^2+2=-(2+1)^2+2=-7;所以2>y_1>y_2.故选A【点睛】此题考查二次函数顶点式以及二次函数的性质,解题关键在于分析函数图象的情况


Question: (本题 3 分) (2020 浙江绍兴$\cdot$九年级期中) 对于二次函数 $y=(x-1)^{2}+2$ 的图象, 下列说法正确的是 $(\quad)$

A. 开口向下B. 对称轴是 $x=-1$C. 顶点坐标是 $(1$,2) D. 与 $x$ 轴有两个交点

解析几何

C【解析】【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上,根据顶点式得到顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=1,从而可判断抛物线与x轴没有公共点.【详解】解:二次函数y=(x-1)^2+2的图象开口向上,顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=1,抛物线与x轴没有公共点.故选:C.【点睛】本题考查了二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键,即在y=a(x-h)^2+k中，其顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h.当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下.


Question: (本题 3 分)（2021 $\cdot$九年级期中）将 $y=x^{2}$ 向上平移 2 个单位后所得的抛物线的解析式为 $(\quad)$

解析几何

A【解析】【详解】试题分析：抛物线y=x^2的顶点坐标为(0,0)，把点(0,0)向上平移2个单位得到的点的坐标为(0,2),所以平移后的抛物线的解析式为y=x^2+2.故选A.考点:二次函数图象与几何变换.


Question: (本题 3 分)（2019$\cdot$浙江$\cdot$九年级期末）在同一直角坐标系中 $y=a x^{2}+b$ 与 $\mathrm{y}=\mathrm{ax}+\mathrm{b}(\mathrm{a} \neq 0, \mathrm{~b} \neq 0)$ 图象大致为 $(\quad)$

解析几何

A【解析】【分析】本题由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负,再与二次函数y=ax^2+b的图象相比较看是否一致.【详解】解:A、由抛物线可知,a<0,~b<0,由直线可知,a<0,~b<0,故本选项正确;B、由抛物线可知,a<0,~b>0,由直线可知,a>0,~b>0,故本选项错误;C、由抛物线可知,a>0,~b<0,由直线可知,a>0,~b>0,故本选项错误;D、由抛物线可知,a>0,b>0,由直线可知,a<0,b>0,故本选项错误.故选A.【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象cdot解答该题时,一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质.


Question: (本题 3 分) (2019- 浙江台州$\cdot$九年级期末) 抛物线 $y=x^{2}+2 x-3$ 的最小值是

解析几何

D【解析】【分析】把y=x^2+2x-3配方变成顶点式,求出顶点坐标即可得抛物线的最小值.【详解】becausey=x2+2x-3=(x+1)2-4therefore顶点坐标为(-1,-4),becausea=1>0,therefore开口向上,有最低点,有最小值为-4.故选D.【点睛】本题考查二次函数最值的求法:求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，熟练掌握并灵活运用适当方法是解题关键，


Question: (本题 3 分) (2019$\cdot$浙江台州$\cdot$九年级期末) 已知二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 的部分图象如图所示, 下列关于此函数图象的描述中，错误的是<ImageHere>

A. 对称轴是直线 $x=1$B. 当 $\mathrm{x}<0$ 时, 函数 $\mathrm{y}$ 随 $\mathrm{x}$ 增大而增大C. 图象的顶点坐标是 $(1,4)$D. 图象与 $x$ 轴的另一个交点是 $(4,0)$

解析几何

D【解析】【分析】利用二次函数的图像与性质,判断选项的正误即可.【详解】由函数图像可知,对称轴是直线x=1故选项A正确;当x<0时,函数y随x增大而增大，故选项B正确;图象的顶点坐标是(1,4),故选项C正确;图象与x轴的另一个交点是(3,0),故选项D错误.故选D【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质,熟练掌握性质是解题的关键.


Question: (本题 3 分)（2018$\cdot$浙江$\cdot$九年级期中）对于题目“一段抛物线 $L: y=-x(x-3)+c$ $(0 \leq x \leq 3)$ 与直线 $1: y=x+2$ 有唯一公共点, 若 $\mathrm{c}$ 为整数, 确定所有 $\mathrm{c}$ 的值, "甲的结果是 $\mathrm{c}=1$, 乙的结果是 $\mathrm{c}=3$ 或 4 , 则

A. 甲的结果正确B. 乙的结果正确C. 甲、乙的结果合在一起才正确D. 甲、乙的结果合在一起也不正确

解析几何

D【解析】【分析】分两种情况进行讨论,(1)当抛物线与直线相切,triangle=0求得c=1,(2)当抛物线与直线不相切，但在0leqxleq3上只有一个交点时，找到两个临界值点，可得c=3，4，5,故c=3,4,5【详解】解:because抛物线L:y=-x(x-3)+c(0leqxleq3)与直线1:y=x+2有唯一公共点therefore(1)如图1,抛物线与直线相切,<ImageHere>图1联立解析式leftbeginarrayly=-x(x-3)+cy=x+2endarrayright.得x^2-2x+2-c=0Delta=(-2)^2-4(2-c)=0解得：c=1,当c=1时,相切时只有一个交点，和题目相符所以不用舍去;(2)如图2,抛物线与直线不相切,但在0leqxleq3上只有一个交点<ImageHere>图2此时两个临界值分别为(0,2)和(3,5)在抛物线上thereforec的最小值=2,但取不到,c的最大值=5,能取到therefore2<cleq5又becausec为整数thereforec=3,4,5综上,c=1,3,4,5,所以甲乙合在一起也不正确,故选D.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式等知识点,数形结合是解此题的关键.


Question: (本题 3 分)（2019$\cdot$浙江$\cdot$天台精跃文化教育培训学校有限公司九年级期中）二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 的图象如图所示, 对称轴是 $x=-1$. 有以下结论: (1) $a b c>0$, (2) $4 a c<b^{2}$, (3) $2 \mathrm{a}+\mathrm{b}=0$ ，(4) $\mathrm{a}-\mathrm{b}+\mathrm{c}>2$ ，其中正确的结论的个数是（ $\quad$ )<ImageHere>

解析几何


Question: (本题 3 分) (2022$\cdot$浙江衢州 $\cdot$ 九年级期末) 已知 $\odot O$ 的半径是 3 , 若 $O A=3$, 则点 $A$

A. 在 $\odot O$ 上B. 在 $\odot O$ 内C. 在 $\odot O$ 外D. 无法判定

解析几何

A【解析】【分析】根据点与圆的位置关系判断即可.【详解】becauseodotO的半径是3,OA=3,3=3,therefore点A在odotO上,故选:A.【点睛】本题考查了点与圆的位置关系,能熟记点与圆的位置关系的内容是解此题的关键,已知odotO的半径为r,点P到圆心O的距离为d,(1)当d<r时,点P在odotO内,(2)当d=r时,点P在odotO上,(3)当d>r时,点P在odotO外,反之亦然.


Question: (本题 3 分)（2022$\cdot$浙江$\cdot$九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点, 半径为 2 的 $\odot O$ 与 $x$ 轴的负半轴交于点 $\mathrm{A}$, 点 $B$ 是 $\odot O$ 上一动点, 点 $P$ 为弦 $A B$的中点, 直线 $y=-\frac{4}{3} x+4$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $C, E$, 则 $\triangle P C E$ 面积的最小值为 $(\quad)$<ImageHere>

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Question: (本题 3 分)（2022$\cdot$浙江宁波$\cdot$三模）已知 $\odot O$ 的直径 $C D=10 \mathrm{~cm}, A B$ 是 $\odot O$ 的弦,$A B \perp C D$, 垂足为 $M$, 且 $A B=8 \mathrm{~cm}$, 则 $A C$ 的长为 ( )

A. $2 \sqrt{5} \mathrm{~cm}$B. $4 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$C. $2 \sqrt{5} \mathrm{~cm}$ 或 $4 \sqrt{5} \mathrm{~cm}$D. $2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$ 或$4 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$

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Question: (本题 3 分)（2022$\cdot$浙江$\cdot$金华市婺城区教育局教研室模拟预测）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图, 它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形 $E F G H$ 组成, 恰好拼成一个大正方形 $A B C D$ 。 连结 $E G$ 并延长交 $B C$ 于点$M$. 若 $A B=\sqrt{13}, E F=1$, 则 $G M$ 有长为 $(\quad)$<ImageHere>

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Question: (本题 3 分) (2018 浙江杭州 $\cdot$九年级期末) 如图, 在边长为 1 的格点图形中, 与 $\triangle \mathrm{ABC}$ 相似的是 $(\quad)$<ImageHere>

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A【分析】根据勾股定理求出triangleABC的三边,并求出三边之比,然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比,再根据三边对应成比例,两三角形相似选择答案.【详解】解：已知给出的三角形的各边分别为sqrt2、2、sqrt10,所以triangleABC的三边之比为sqrt2:2:sqrt10=1:sqrt2:sqrt5,A、三角形的三边分别为1,sqrt2,sqrt5,三边之比为1:sqrt2:sqrt5,故A选项正确;B、三角形的三边分别为sqrt2,sqrt5,3,三边之比为sqrt2:sqrt5:3,故B选项错误;C、三角形的三边分别为1,sqrt5,2sqrt2,三边之比为1:sqrt5:2sqrt2,故C选项错误;D、三角形的三边分别为:2,sqrt5,sqrt13,三边之比为2:sqrt5:sqrt13,故D选项错误.故选A.【点睛】题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识,根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长,并求出三边之比是解题的关键.


Question: (本题 3 分) (2022- 浙江唯州$\cdot$二模) 如图, 正方形 $A B C D$ 的顶点 $B$ 在 $x$ 轴上, 点 $A 、$ 点 $C$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0, x>0)$ 图象上. 若直线 $B C$ 的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}$ $x-4$, 则反比例函数表达式为 $(\quad)$<ImageHere>

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