Answer:
解: (1) $\because \overparen{A B}$ 的半径 $O A=2, O C \perp A B$ 于点 $C, \angle A O C=60^{\circ}$,

$\therefore A C=O A \cdot \sin 60^{\circ}=2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$,

$\therefore A B=2 A C=2 \sqrt{3}$;

(2) $\because O C \perp A B, \angle A O C=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A O B=120^{\circ}$,

$\because O A=2$,

$\therefore \overparen{A B}$ 的长是: $\frac{120 \pi \times 2}{180}=\frac{4 \pi}{3}$.
【解析】本题考查弧长的计算以及锐角三角函数的定义, 解答本题的关键是明确题意, 利用数形结合的思想解答.

(1)根据锐角三角函数的定义, 可以求得 $A C$ 的长, 然后即可得到 $A B$ 的长;

(2)根据 $\angle A O C=60^{\circ}$, 可以得到 $\angle A O B$ 的度数, 然后根据弧长公式计算即可.

Question:
(本小题 8.0 分)

如图, $\overparen{A B}$ 的半径 $O A=2, O C \perp A B$ 于点 $C, \angle A O C=60^{\circ}$.

(1)求弦 $A B$ 的长.

(2)求 $\overparen{A B}$ 的长.

<ImageHere>

解析几何

解: (1) $\because \overparen{A B}$ 的半径 $O A=2, O C \perp A B$ 于点 $C, \angle A O C=60^{\circ}$,

$\therefore A C=O A \cdot \sin 60^{\circ}=2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$,

$\therefore A B=2 A C=2 \sqrt{3}$;

(2) $\because O C \perp A B, \angle A O C=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A O B=120^{\circ}$,

$\because O A=2$,

$\therefore \overparen{A B}$ 的长是: $\frac{120 \pi \times 2}{180}=\frac{4 \pi}{3}$.
【解析】本题考查弧长的计算以及锐角三角函数的定义, 解答本题的关键是明确题意, 利用数形结合的思想解答.

(1)根据锐角三角函数的定义, 可以求得 $A C$ 的长, 然后即可得到 $A B$ 的长;

(2)根据 $\angle A O C=60^{\circ}$, 可以得到 $\angle A O B$ 的度数, 然后根据弧长公式计算即可.


Answer:
解: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,

$\therefore \angle B=90^{\circ}$.

$\because E$ 是 $B C$ 的中点, $B C=2 \sqrt{5}$,

$\therefore B E=C E=\frac{1}{2} B C=\sqrt{5}$.

$\therefore A E=\sqrt{A B^{2}+B E^{2}}=\sqrt{2^{2}+(\sqrt{5})^{2}}=3$.

由翻折的性质得 $\angle A E F=\angle A E B, E F=B E=\sqrt{5}$,

$\therefore E F=C E$.
$\therefore \angle E F C=\angle E C F$.

$\because \angle B E F=\angle E F C+\angle E C F$,

$\therefore \angle A E B=\angle E C F$.

$\therefore \cos \angle E C F=\cos \angle A E B=\frac{B E}{A E}=\frac{\sqrt{5}}{3}$.

【解析】见答案

Question:
(本小题 8.0 分)

如图, 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=2, B C=2 \sqrt{5}, E$ 是 $B C$ 的中点, 将 $\triangle A B E$ 沿直线 $A E$ 翻折, 点 $B$ 落在点 $F$ 处, 连接 $C F$, 求 $\cos \angle E C F$ 的值.

<ImageHere>

解析几何

解: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,

$\therefore \angle B=90^{\circ}$.

$\because E$ 是 $B C$ 的中点, $B C=2 \sqrt{5}$,

$\therefore B E=C E=\frac{1}{2} B C=\sqrt{5}$.

$\therefore A E=\sqrt{A B^{2}+B E^{2}}=\sqrt{2^{2}+(\sqrt{5})^{2}}=3$.

由翻折的性质得 $\angle A E F=\angle A E B, E F=B E=\sqrt{5}$,

$\therefore E F=C E$.
$\therefore \angle E F C=\angle E C F$.

$\because \angle B E F=\angle E F C+\angle E C F$,

$\therefore \angle A E B=\angle E C F$.

$\therefore \cos \angle E C F=\cos \angle A E B=\frac{B E}{A E}=\frac{\sqrt{5}}{3}$.

【解析】见答案


Answer:
解: 过点 $A$ 作 $A D \perp B C$ 于 $D$, 如图所示:

<ImageHere>

由题意, 得 $\angle A B C=180^{\circ}-75^{\circ}-45^{\circ}=60^{\circ}$.

$\because A D \perp B C$,

$\therefore \angle A D B=\angle A D C=90^{\circ}$,

在Rt $\triangle A B D$ 中, $\angle D A B=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}, A B=80$,

$\therefore B D=40, A D=40 \sqrt{3}$,

$\because \angle C A B=30^{\circ}+45^{\circ}=75^{\circ}$,

$\therefore \angle D A C=\angle C A B-\angle D A B=75^{\circ}-30^{\circ}=45^{\circ}$,

$\therefore \triangle A D C$ 是等腰直角三角形,

$\therefore A C=\sqrt{2} A D=\sqrt{2} \times 40 \sqrt{3}=40 \sqrt{6}$ (海里).

答: 货船与港口 $A$ 之间的距离是 $40 \sqrt{6}$ 海里.

【解析】本题考查了解直角三角形的应用一方位角问题、等腰直角三角形的判定与性质等知识;通过作辅助线得出直角三角形是解题的关键.

过点 $A$ 作 $A D \perp B C$ 于 $D$, 求出 $\angle A B C=60^{\circ}$, 在 $R t \triangle A B D$ 中, $\angle D A B=30^{\circ}$, 求出 $A D=40 \sqrt{3}$, 求出 $\angle D A C=\angle C A B-\angle D A B=45^{\circ}$, 则 $\triangle A D C$ 是等腰直角三角形, 得出 $A C=\sqrt{2} A D=40 \sqrt{6}$ 海里即可.

Question:
(本小题 8.0 分)

如图, 我国某海域有 $A, B$ 两个港口, 相距 80 海里, 港口 $B$ 在港口 $A$ 的东北方向, 点 $C$ 处有一艘货船, 该货船在港口 $A$ 的北偏西 $30^{\circ}$ 方向, 在港口 $B$ 的北偏西 $75^{\circ}$ 方向, 求货船与港口 $A$ 之间的距离. (结果保留根号)

<ImageHere>

解析几何

解: 过点 $A$ 作 $A D \perp B C$ 于 $D$, 如图所示:

<ImageHere>

由题意, 得 $\angle A B C=180^{\circ}-75^{\circ}-45^{\circ}=60^{\circ}$.

$\because A D \perp B C$,

$\therefore \angle A D B=\angle A D C=90^{\circ}$,

在Rt $\triangle A B D$ 中, $\angle D A B=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}, A B=80$,

$\therefore B D=40, A D=40 \sqrt{3}$,

$\because \angle C A B=30^{\circ}+45^{\circ}=75^{\circ}$,

$\therefore \angle D A C=\angle C A B-\angle D A B=75^{\circ}-30^{\circ}=45^{\circ}$,

$\therefore \triangle A D C$ 是等腰直角三角形,

$\therefore A C=\sqrt{2} A D=\sqrt{2} \times 40 \sqrt{3}=40 \sqrt{6}$ (海里).

答: 货船与港口 $A$ 之间的距离是 $40 \sqrt{6}$ 海里.

【解析】本题考查了解直角三角形的应用一方位角问题、等腰直角三角形的判定与性质等知识;通过作辅助线得出直角三角形是解题的关键.

过点 $A$ 作 $A D \perp B C$ 于 $D$, 求出 $\angle A B C=60^{\circ}$, 在 $R t \triangle A B D$ 中, $\angle D A B=30^{\circ}$, 求出 $A D=40 \sqrt{3}$, 求出 $\angle D A C=\angle C A B-\angle D A B=45^{\circ}$, 则 $\triangle A D C$ 是等腰直角三角形, 得出 $A C=\sqrt{2} A D=40 \sqrt{6}$ 海里即可.


Answer:
解：作 $P Q \perp A B$ 于点 $Q$, 如图,

<ImageHere>

$\therefore \angle P Q A=\angle P Q B=90^{\circ}$,

由题意可得: $\angle A=60^{\circ}, \angle B=37^{\circ}, P A=70 \times 6=420 m$,

$\therefore A Q=P A \times \cos A=210 \mathrm{~m}, P Q=P A \times \sin A=210 \sqrt{3} \mathrm{~m}$,

$$
\therefore Q B=\frac{P Q}{\tan B}=280 \sqrt{3}
$$

$\therefore P A+A B=420+210+280 \sqrt{3} \approx 1106 m$.

答: 小明步行的总路程 $1106 \mathrm{~m}$.

【解析】本题考查的是解直角三角形的应用有关知识, 作 $P Q \perp A B$ 于点 $Q$ 可得 $\angle P Q A=\angle P Q B=90^{\circ}$,然后再利用锐角三角形函数的定义计算出 $A Q, Q B$, 最后利用 $P A+A B$ 计算即可.

Question:
(本小题 8.0 分)
如图, 小明从 $P$ 处出发, 沿北偏东 $60^{\circ}$ 方向以 $70 \mathrm{~m} / \mathrm{min}$ 的速度步行 $6 \mathrm{~min}$ 后到达 $A$ 处, 接着向正南方向步行一段时间后到达终点 $B$ 处, 在 $B$ 处观测到出发时所在的 $P$ 处在北偏西 $37^{\circ}$ 方向上. 求小明步行的总路程 (精确到 $1 m$ ). 参考数据: $\sin 37^{\circ} \approx 0.6, \cos 37^{\circ} \approx 0.8, \tan 37^{\circ} \approx 0.75, \sqrt{2} \approx$ $1.4, \sqrt{3} \approx 1.7$

<ImageHere>

解析几何

解：作 $P Q \perp A B$ 于点 $Q$, 如图,

<ImageHere>

$\therefore \angle P Q A=\angle P Q B=90^{\circ}$,

由题意可得: $\angle A=60^{\circ}, \angle B=37^{\circ}, P A=70 \times 6=420 m$,

$\therefore A Q=P A \times \cos A=210 \mathrm{~m}, P Q=P A \times \sin A=210 \sqrt{3} \mathrm{~m}$,

$$
\therefore Q B=\frac{P Q}{\tan B}=280 \sqrt{3}
$$

$\therefore P A+A B=420+210+280 \sqrt{3} \approx 1106 m$.

答: 小明步行的总路程 $1106 \mathrm{~m}$.

【解析】本题考查的是解直角三角形的应用有关知识, 作 $P Q \perp A B$ 于点 $Q$ 可得 $\angle P Q A=\angle P Q B=90^{\circ}$,然后再利用锐角三角形函数的定义计算出 $A Q, Q B$, 最后利用 $P A+A B$ 计算即可.


Answer:
(1)解：过点 $D$ 作 $D N \perp x$ 轴于点 $N$,

令 $y=0$, 得: $a x^{2}-2 a x-3 a=0$,

$\because a>0$,

$\therefore x^{2}-2 x-3=0$,

解得: $x_{1}=3, x_{2}=-1$,

$\therefore A(-1,0), B(3,0)$,

将 $B(3,0)$ 代入 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3} x+b$,

解得: $b=\sqrt{3}$,

$\therefore y=-\frac{\sqrt{3}}{3} x+\sqrt{3}$;

$\therefore E(\sqrt{3}, 0)$, 易证得 $\triangle B O E \sim \triangle B N D$,

$\therefore \frac{O E}{N D}=\frac{B O}{B N}=\frac{B E}{B D}$,

又 $\because \frac{D E}{B E}=\frac{2}{3}$,

$\therefore \frac{B E}{B D}=\frac{3}{5}$,

$\therefore B N=5, D N=\frac{5}{3} \sqrt{3}$,

$\therefore D\left(-2, \frac{5}{3} \sqrt{3}\right)$,

将点 $D\left(-2, \frac{5}{3} \sqrt{3}\right)$ 代入 $y=a x^{2}-2 a x-3 a$,

解得 $a=\frac{\sqrt{3}}{3}$,

$\therefore y=\frac{\sqrt{3}}{3} x^{2}-\frac{2}{3} \sqrt{3} x-\sqrt{3}$

<ImageHere>

(2) 由题意, 动点 $M$ 运动的路径为折线 $A M+M D$, 运动时间: $t=A M+\frac{1}{2} D M$, 由题意可知 $\angle A B D=$ $30^{\circ}$, 可转化 $\frac{1}{2} D M$ 为 $D M$ 投影到 $y$ 轴的线段长, 如图, 过点 $D$ 作 $D H \perp y$ 轴于点 $H$, 过点 $A$ 作 $A G \perp D H$于点 $G$, 交 $B D$ 于点 $P$, 则点 $P$ 即为所求.

$\because$ 直线 $B D$ 的解析式为 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3} x+\sqrt{3}, \therefore \angle P B A=\angle P D G=30^{\circ}$,

$\because A B=4$,

$\therefore A P=\frac{4 \sqrt{3}}{3}$,

$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $\left(-1, \frac{4}{3} \sqrt{3}\right)$.

(3)解: 由题意易得 $\triangle A C B$ 为直角三角形, $B C=2 \sqrt{3}, A B=4, A C=2$, $O C=O E=\sqrt{3}, \quad \therefore \angle A C B=90^{\circ}, \angle A B C=\angle E B O=30^{\circ}$,将 $\triangle A B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $\alpha\left(0^{\circ}<\alpha<180^{\circ}\right)$,当点 $A$ 的对应点 $A^{\prime}$ 落在 $\triangle E C B$ 的边所在直线上时分以下三种情况:

(i)如图,

<ImageHere>

当点 $A$ 的对应点 $A^{\prime}$ 落在 $B E$ 边所在直线上时, $B C^{\prime}=B C=2 \sqrt{3}$,

可求得点 $C^{\prime}$ 的坐标为 $C_{1}{ }^{\prime}(3-2 \sqrt{3}, 0)$;

(ii)如图, 过点 $C^{\prime}$ 作 $C^{\prime} H$ 垂直 $x$ 轴, 过 $A^{\prime}$ 作 $A^{\prime} F$ 垂直 $C^{\prime} H$,

<ImageHere>

当点 $A$ 的对应点 $A^{\prime}$ 落在 $E C$ 边所在直线上时, $A B=A^{\prime} B=4, A^{\prime} O=\sqrt{7}$,

$\triangle A^{\prime} F C^{\prime} \sim \triangle C^{\prime} H B$,

$\therefore \frac{C^{\prime} H}{A^{\prime} F}=\frac{B H}{F C^{\prime}}=\frac{B C^{\prime}}{A^{\prime} C^{\prime}}=\sqrt{3}$,

$\therefore C^{\prime} H=\sqrt{3} A^{\prime} F, B H=3+O H=\sqrt{3} F C^{\prime}=\sqrt{3}\left(A^{\prime} O-C^{\prime} H\right)$,

$\therefore O H=\frac{\sqrt{21}-3}{4}$,

可求得点 $C^{\prime}$ 的坐标为 $C_{2}{ }^{\prime}\left(\frac{3-\sqrt{21}}{4}, \frac{3 \sqrt{7}-3 \sqrt{3}}{4}\right)$;

(iii)如图,

<ImageHere>

当点 $A$ 的对应点 $A^{\prime}$ 落在 $B C$ 边所在直线上时,

在 $R t \triangle B C^{\prime} H$ 中, 由 $B C^{\prime}=B C=2 \sqrt{3}, \angle C^{\prime} B H=60^{\circ}$,

可用锐角三角函数求得 $C^{\prime} H=3, B H=\sqrt{3}$,

可求得点 $C^{\prime}$ 的坐标为 $C_{3}{ }^{\prime}(3+\sqrt{3}, 3)$;

综上所述: 当点 $A$ 的对应点 $A^{\prime}$ 落在 $\triangle E C B$ 的边所在直线上时, 对应的点 $C^{\prime}$ 的坐标为 $(3-2 \sqrt{3}, 0)$ 或 $\left(\frac{3-\sqrt{21}}{4}, \frac{3 \sqrt{7}-3 \sqrt{3}}{4}\right)$ 或 $(3+\sqrt{3}, 3)$.

【解析】本题考查一次函数的图像, 性质和用待定系数法求一次函数的解析式, 二次函数的图像,性质和用待定系数法求二次函数的解析式, 平面直角坐标系中点坐标, 相似三角形的性质和判定,特殊角的三角函数值, 解直角三角形, 旋转的性质, 分类讨论的数学思想.

(1)首先求出点 $A 、 B$ 坐标, 然后求出直线 $B D$ 的解析式, 求得点 $D$ 坐标, 代入抛物线解析式, 求得 $a$的值;

(2) 由题意, 动点 $M$ 运动的路径为折线 $A M+M D$, 运动时间: $t=A M+\frac{1}{2} D M$, 由题意可知 $\angle A B D=$ $30^{\circ}$, 可转化 $\frac{1}{2} D M$ 为 $D M$ 投影到 $y$ 轴的线段长, 如图, 过点 $D$ 作 $D H \perp y$ 轴于点 $H$, 过点 $A$ 作 $A G \perp D H$于点 $G$, 交 $B D$ 于点 $P$, 则点 $P$ 即为所求, 进而根据直线 $B D$ 的表达式得到角的度数, 求出 $A P$ 的长,即可得解;

(3) 将 $\triangle A B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $\alpha\left(0^{\circ}<\alpha<180^{\circ}\right)$, 当点 $A$ 的对应点 $A^{\prime}$ 落在 $\triangle E C B$ 的边所在直线上时分以下三种情况:

(i)如图, 当点 $A$ 的对应点 $A^{\prime}$ 落在 $B E$ 边所在直线上时;

(ii)如图, 当点 $A$ 的对应点 $A^{\prime}$ 落在 $E C$ 边所在直线上时,

(iii)如图, 当点 $A$ 的对应点 $A^{\prime}$ 落在 $B C$ 边所在直线上时,利用解直角三角形即可解答.

Question:
(本小题 8.0 分)

如图, 已知抛物线 $y=a x^{2}-2 a x-3 a(a$ 为常数, 且 $a>0)$ 与 $x$ 轴从左至右依次交于 $A, B$ 两点,与 $y$ 轴交于点 $C$, 经过点 $B$ 的直线 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3} x+b$ 与抛物线的另一交点为 $D$, 与 $y$ 轴交于点 $E$, 且 $D E: B E=2: 3$.
<ImageHere>

(备用图)

(1)求抛物线的函数表达式;

(2) 设 $P$ 为线段 $B D$ 上一点 (不含端点), 连接 $A P$, 一动点 $M$ 从点 $A$ 出发, 沿线段 $A P$ 以每秒 1 个单位的速度运动到 $P$, 再沿线段 $P D$ 以每秒 2 个单位的速度运动到 $D$ 后停止.当点 $P$ 的坐标是多少时,点 $M$ 在整个运动过程中用时最少?

(3)将 $\triangle A B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $\alpha\left(0^{\circ}<\alpha<180^{\circ}\right.$ ， 当点 $A$ 的对应点 $A^{\prime}$ 落在 $\triangle E C B$ 的边所在直线上时, 求此时点 $C$ 的对应点 $C^{\prime}$ 的坐标.

解析几何

(1)解：过点 $D$ 作 $D N \perp x$ 轴于点 $N$,

令 $y=0$, 得: $a x^{2}-2 a x-3 a=0$,

$\because a>0$,

$\therefore x^{2}-2 x-3=0$,

解得: $x_{1}=3, x_{2}=-1$,

$\therefore A(-1,0), B(3,0)$,

将 $B(3,0)$ 代入 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3} x+b$,

解得: $b=\sqrt{3}$,

$\therefore y=-\frac{\sqrt{3}}{3} x+\sqrt{3}$;

$\therefore E(\sqrt{3}, 0)$, 易证得 $\triangle B O E \sim \triangle B N D$,

$\therefore \frac{O E}{N D}=\frac{B O}{B N}=\frac{B E}{B D}$,

又 $\because \frac{D E}{B E}=\frac{2}{3}$,

$\therefore \frac{B E}{B D}=\frac{3}{5}$,

$\therefore B N=5, D N=\frac{5}{3} \sqrt{3}$,

$\therefore D\left(-2, \frac{5}{3} \sqrt{3}\right)$,

将点 $D\left(-2, \frac{5}{3} \sqrt{3}\right)$ 代入 $y=a x^{2}-2 a x-3 a$,

解得 $a=\frac{\sqrt{3}}{3}$,

$\therefore y=\frac{\sqrt{3}}{3} x^{2}-\frac{2}{3} \sqrt{3} x-\sqrt{3}$

<ImageHere>

(2) 由题意, 动点 $M$ 运动的路径为折线 $A M+M D$, 运动时间: $t=A M+\frac{1}{2} D M$, 由题意可知 $\angle A B D=$ $30^{\circ}$, 可转化 $\frac{1}{2} D M$ 为 $D M$ 投影到 $y$ 轴的线段长, 如图, 过点 $D$ 作 $D H \perp y$ 轴于点 $H$, 过点 $A$ 作 $A G \perp D H$于点 $G$, 交 $B D$ 于点 $P$, 则点 $P$ 即为所求.

$\because$ 直线 $B D$ 的解析式为 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3} x+\sqrt{3}, \therefore \angle P B A=\angle P D G=30^{\circ}$,

$\because A B=4$,

$\therefore A P=\frac{4 \sqrt{3}}{3}$,

$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $\left(-1, \frac{4}{3} \sqrt{3}\right)$.

(3)解: 由题意易得 $\triangle A C B$ 为直角三角形, $B C=2 \sqrt{3}, A B=4, A C=2$, $O C=O E=\sqrt{3}, \quad \therefore \angle A C B=90^{\circ}, \angle A B C=\angle E B O=30^{\circ}$,将 $\triangle A B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $\alpha\left(0^{\circ}<\alpha<180^{\circ}\right)$,当点 $A$ 的对应点 $A^{\prime}$ 落在 $\triangle E C B$ 的边所在直线上时分以下三种情况:

(i)如图,

<ImageHere>

当点 $A$ 的对应点 $A^{\prime}$ 落在 $B E$ 边所在直线上时, $B C^{\prime}=B C=2 \sqrt{3}$,

可求得点 $C^{\prime}$ 的坐标为 $C_{1}{ }^{\prime}(3-2 \sqrt{3}, 0)$;

(ii)如图, 过点 $C^{\prime}$ 作 $C^{\prime} H$ 垂直 $x$ 轴, 过 $A^{\prime}$ 作 $A^{\prime} F$ 垂直 $C^{\prime} H$,

<ImageHere>

当点 $A$ 的对应点 $A^{\prime}$ 落在 $E C$ 边所在直线上时, $A B=A^{\prime} B=4, A^{\prime} O=\sqrt{7}$,

$\triangle A^{\prime} F C^{\prime} \sim \triangle C^{\prime} H B$,

$\therefore \frac{C^{\prime} H}{A^{\prime} F}=\frac{B H}{F C^{\prime}}=\frac{B C^{\prime}}{A^{\prime} C^{\prime}}=\sqrt{3}$,

$\therefore C^{\prime} H=\sqrt{3} A^{\prime} F, B H=3+O H=\sqrt{3} F C^{\prime}=\sqrt{3}\left(A^{\prime} O-C^{\prime} H\right)$,

$\therefore O H=\frac{\sqrt{21}-3}{4}$,

可求得点 $C^{\prime}$ 的坐标为 $C_{2}{ }^{\prime}\left(\frac{3-\sqrt{21}}{4}, \frac{3 \sqrt{7}-3 \sqrt{3}}{4}\right)$;

(iii)如图,

<ImageHere>

当点 $A$ 的对应点 $A^{\prime}$ 落在 $B C$ 边所在直线上时,

在 $R t \triangle B C^{\prime} H$ 中, 由 $B C^{\prime}=B C=2 \sqrt{3}, \angle C^{\prime} B H=60^{\circ}$,

可用锐角三角函数求得 $C^{\prime} H=3, B H=\sqrt{3}$,

可求得点 $C^{\prime}$ 的坐标为 $C_{3}{ }^{\prime}(3+\sqrt{3}, 3)$;

综上所述: 当点 $A$ 的对应点 $A^{\prime}$ 落在 $\triangle E C B$ 的边所在直线上时, 对应的点 $C^{\prime}$ 的坐标为 $(3-2 \sqrt{3}, 0)$ 或 $\left(\frac{3-\sqrt{21}}{4}, \frac{3 \sqrt{7}-3 \sqrt{3}}{4}\right)$ 或 $(3+\sqrt{3}, 3)$.

【解析】本题考查一次函数的图像, 性质和用待定系数法求一次函数的解析式, 二次函数的图像,性质和用待定系数法求二次函数的解析式, 平面直角坐标系中点坐标, 相似三角形的性质和判定,特殊角的三角函数值, 解直角三角形, 旋转的性质, 分类讨论的数学思想.

(1)首先求出点 $A 、 B$ 坐标, 然后求出直线 $B D$ 的解析式, 求得点 $D$ 坐标, 代入抛物线解析式, 求得 $a$的值;

(2) 由题意, 动点 $M$ 运动的路径为折线 $A M+M D$, 运动时间: $t=A M+\frac{1}{2} D M$, 由题意可知 $\angle A B D=$ $30^{\circ}$, 可转化 $\frac{1}{2} D M$ 为 $D M$ 投影到 $y$ 轴的线段长, 如图, 过点 $D$ 作 $D H \perp y$ 轴于点 $H$, 过点 $A$ 作 $A G \perp D H$于点 $G$, 交 $B D$ 于点 $P$, 则点 $P$ 即为所求, 进而根据直线 $B D$ 的表达式得到角的度数, 求出 $A P$ 的长,即可得解;

(3) 将 $\triangle A B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $\alpha\left(0^{\circ}<\alpha<180^{\circ}\right)$, 当点 $A$ 的对应点 $A^{\prime}$ 落在 $\triangle E C B$ 的边所在直线上时分以下三种情况:

(i)如图, 当点 $A$ 的对应点 $A^{\prime}$ 落在 $B E$ 边所在直线上时;

(ii)如图, 当点 $A$ 的对应点 $A^{\prime}$ 落在 $E C$ 边所在直线上时,

(iii)如图, 当点 $A$ 的对应点 $A^{\prime}$ 落在 $B C$ 边所在直线上时,利用解直角三角形即可解答.


Answer:
解: (1)连接 $D F, C E$, 如图所示:

<ImageHere>

$\because E$ 为 $A B$ 中点,

$\therefore A E=A F=\frac{1}{2} A B$,

$\therefore E F=A B$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是菱形,

$\therefore E F=A B=C D, C D / / E F$,

$\therefore$ 四边形 $D F E C$ 是平行四边形.

(2)作 $C H \perp B H$, 设 $A E=F A=m$, 如图所示,

<ImageHere>

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是菱形,

$\therefore C D / / E F$,

$\therefore \triangle C D G \sim \triangle F E G$,

$\therefore \frac{C D}{C G}=\frac{E F}{F G}$,

$\therefore F G=E F=2 m$,

在Rt $\triangle C B H$ 中, $\angle C B H=60^{\circ}, B C=2$,

$\therefore \angle B C H=30^{\circ}$,

$\therefore B H=1, C H=\sqrt{3}$,

在Rt $\triangle C F H$ 中, $C F=2+2 m, C H=\sqrt{3}, F H=3+m$,

$C F^{2}=C H^{2}+F H^{2}$,

即 $(2+2 m)^{2}=(\sqrt{3})^{2}+(3+m)^{2}$,

整理得: $3 m^{2}+2 m-8=0$,

解得: $m_{1}=\frac{4}{3}, m_{2}=-2$ (舍去),

$\therefore A E=\frac{4}{3}$.

(3)因 $E$ 点沿线段 $A B$ 运动, $F$ 点沿线段 $B A$ 的延长线运动, 并且 $C D / / A B$, 线段 $E D$ 与线段 $C F$ 的交点 $G$点运动轨迹为线段 $A G$, 运动刚开始时, $A 、 E 、 F 、 G$ 四点重合, 当 $E$ 点与 $B$ 点重合时, $G$ 点运动到极限位置, 所以 $G$ 点轨迹为线段 $A G$.

如图所示, 作 $G H \perp A B$,

<ImageHere>
$\because$ 四边形 $A B C D$ 为菱形, $\angle D A B=60^{\circ}, A B=2$,

$\therefore C D / / B F, B D=2$,

$\therefore \triangle C D G \sim \triangle F B G$,

$\therefore \frac{C D}{B F}=\frac{D G}{B G}$, 即 $B G=2 D G$,

$\because B G+D G=B D=2$,

$\therefore B G=\frac{4}{3}$,

在Rt $\triangle G H B$ 中, $B G=\frac{4}{3}, \angle D B A=60^{\circ}$,

$\therefore \angle H G B=30^{\circ}$,

$\therefore B H=\frac{2}{3}, G H=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$,

在Rt $\triangle A H G$ 中, $A H=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}, G H=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$,

$A G^{2}=\left(\frac{4}{3}\right)^{2}+\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$,

$\therefore A G=\frac{2 \sqrt{7}}{3}$.

$\therefore G$ 点运动路径的长度为 $\frac{2 \sqrt{7}}{3}$.

【解析】

【分析】

本题主要考查平行四边形的判定, 菱形的性质, 相似三角形的判定和性质, 含 $30^{\circ}$ 角的直角三角形的性质以及勾股定理，根据题意表示出相关线段的长度是解题的关键..

(1)利用平行四边形的判定定理: 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,

(2)作 $C H \perp B H$, 设 $A E=F A=m$, 利用三角形相似, 求出此时 $F G$ 的长, 进而表示出相关线段的长度, 再在 $R t \triangle C F H$ 中, 利用勾股定理求解即可,

(3)连接 $A G$, 作 $G H \perp A B$, 分析出点 $G$ 的运动路径是线段 $A G$, 先在 $R t \triangle G H B$ 中, 求出 $B H=\frac{2}{3}, G H=$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$, 再在 $R t \triangle A H G$ 中, 利用勾股定理求出 $A G$ 的长度即可.

Question:
(本小题 8.0 分)

如图, 在菱形 $A B C D$ 中, $\angle D A B=60^{\circ}, A B=2$, 点 $E$ 为边 $A B$ 上一个动点, 延长 $B A$ 到点 $F$, 使 $A F=A E ，$ 且 $C F 、 D E$ 相交于点 $G$.

<ImageHere>

<ImageHere>

备用图

(1)当点 $E$ 运动到 $A B$ 中点时, 证明: 四边形 $D F E C$ 是平行四边形;

(2)当 $C G=2$ 时，求 $A E$ 的长;

(3)当点 $E$ 从点 $A$ 开始向右运动到点 $B$ 时, 求点 $G$ 运动路径的长度.

解析几何

解: (1)连接 $D F, C E$, 如图所示:

<ImageHere>

$\because E$ 为 $A B$ 中点,

$\therefore A E=A F=\frac{1}{2} A B$,

$\therefore E F=A B$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是菱形,

$\therefore E F=A B=C D, C D / / E F$,

$\therefore$ 四边形 $D F E C$ 是平行四边形.

(2)作 $C H \perp B H$, 设 $A E=F A=m$, 如图所示,

<ImageHere>

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是菱形,

$\therefore C D / / E F$,

$\therefore \triangle C D G \sim \triangle F E G$,

$\therefore \frac{C D}{C G}=\frac{E F}{F G}$,

$\therefore F G=E F=2 m$,

在Rt $\triangle C B H$ 中, $\angle C B H=60^{\circ}, B C=2$,

$\therefore \angle B C H=30^{\circ}$,

$\therefore B H=1, C H=\sqrt{3}$,

在Rt $\triangle C F H$ 中, $C F=2+2 m, C H=\sqrt{3}, F H=3+m$,

$C F^{2}=C H^{2}+F H^{2}$,

即 $(2+2 m)^{2}=(\sqrt{3})^{2}+(3+m)^{2}$,

整理得: $3 m^{2}+2 m-8=0$,

解得: $m_{1}=\frac{4}{3}, m_{2}=-2$ (舍去),

$\therefore A E=\frac{4}{3}$.

(3)因 $E$ 点沿线段 $A B$ 运动, $F$ 点沿线段 $B A$ 的延长线运动, 并且 $C D / / A B$, 线段 $E D$ 与线段 $C F$ 的交点 $G$点运动轨迹为线段 $A G$, 运动刚开始时, $A 、 E 、 F 、 G$ 四点重合, 当 $E$ 点与 $B$ 点重合时, $G$ 点运动到极限位置, 所以 $G$ 点轨迹为线段 $A G$.

如图所示, 作 $G H \perp A B$,

<ImageHere>
$\because$ 四边形 $A B C D$ 为菱形, $\angle D A B=60^{\circ}, A B=2$,

$\therefore C D / / B F, B D=2$,

$\therefore \triangle C D G \sim \triangle F B G$,

$\therefore \frac{C D}{B F}=\frac{D G}{B G}$, 即 $B G=2 D G$,

$\because B G+D G=B D=2$,

$\therefore B G=\frac{4}{3}$,

在Rt $\triangle G H B$ 中, $B G=\frac{4}{3}, \angle D B A=60^{\circ}$,

$\therefore \angle H G B=30^{\circ}$,

$\therefore B H=\frac{2}{3}, G H=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$,

在Rt $\triangle A H G$ 中, $A H=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}, G H=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$,

$A G^{2}=\left(\frac{4}{3}\right)^{2}+\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$,

$\therefore A G=\frac{2 \sqrt{7}}{3}$.

$\therefore G$ 点运动路径的长度为 $\frac{2 \sqrt{7}}{3}$.

【解析】

【分析】

本题主要考查平行四边形的判定, 菱形的性质, 相似三角形的判定和性质, 含 $30^{\circ}$ 角的直角三角形的性质以及勾股定理，根据题意表示出相关线段的长度是解题的关键..

(1)利用平行四边形的判定定理: 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,

(2)作 $C H \perp B H$, 设 $A E=F A=m$, 利用三角形相似, 求出此时 $F G$ 的长, 进而表示出相关线段的长度, 再在 $R t \triangle C F H$ 中, 利用勾股定理求解即可,

(3)连接 $A G$, 作 $G H \perp A B$, 分析出点 $G$ 的运动路径是线段 $A G$, 先在 $R t \triangle G H B$ 中, 求出 $B H=\frac{2}{3}, G H=$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$, 再在 $R t \triangle A H G$ 中, 利用勾股定理求出 $A G$ 的长度即可.


Answer:
证明: (1)连接 $A O$,

<ImageHere>

$\because O A=O D$,

$\therefore \angle O A D=\angle O D A$,

$\because A C=F C$,

$\therefore \angle C A F=\angle C F A=\angle O F D$,

$\because D$ 为 $B E$ 的下半圆弧的中点,

$\therefore O D \perp B E$,

$\therefore \angle O D A+\angle O F D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle C F A+\angle D A O=90^{\circ}$,

$\therefore \angle O A C=90^{\circ}$, 且 $O A$ 是半径,

$\therefore A C$ 是 $\odot O$ 的切线;

(2)在 $R t \triangle O D F$ 中, $D F^{2}=O D^{2}+O F^{2}$,

$\therefore 10=O D^{2}+(4-O D)^{2}$,

$\therefore O D=1$ (不合题意舍去), $O D=3$,

$\therefore \odot 0$ 的半径为 3 .

【解析】(1)由等腰三角形的性质和垂径定理可求 $\angle O A C=90^{\circ}$, 可得结论;

(2) 由勾股定理可求解.

本题考查了切线的判定定理: 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要证某线是圆的切线, 已知此线过圆上某点, 连接圆心与这点 (即为半径), 再证垂直即可. 也考查了垂径定
理.

Question:
(本小题 8.0 分)

如图, 以 $\triangle A B C$ 的 $B C$ 边上一点 $O$ 为圆心的圆, 经过 $A 、 B$ 两点, 且与 $B C$ 边交于点 $E, D$ 为 $B E$ 的下半圆弧的中点, 连接 $A D$ 交 $B C$ 于 $F$, 若 $A C=F C$.

(1)求证: $A C$ 是 $\odot O$ 的切线;

(2)若 $B F=4, D F=\sqrt{10}$, 求 $\odot O$ 的半径.

<ImageHere>

解析几何

证明: (1)连接 $A O$,

<ImageHere>

$\because O A=O D$,

$\therefore \angle O A D=\angle O D A$,

$\because A C=F C$,

$\therefore \angle C A F=\angle C F A=\angle O F D$,

$\because D$ 为 $B E$ 的下半圆弧的中点,

$\therefore O D \perp B E$,

$\therefore \angle O D A+\angle O F D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle C F A+\angle D A O=90^{\circ}$,

$\therefore \angle O A C=90^{\circ}$, 且 $O A$ 是半径,

$\therefore A C$ 是 $\odot O$ 的切线;

(2)在 $R t \triangle O D F$ 中, $D F^{2}=O D^{2}+O F^{2}$,

$\therefore 10=O D^{2}+(4-O D)^{2}$,

$\therefore O D=1$ (不合题意舍去), $O D=3$,

$\therefore \odot 0$ 的半径为 3 .

【解析】(1)由等腰三角形的性质和垂径定理可求 $\angle O A C=90^{\circ}$, 可得结论;

(2) 由勾股定理可求解.

本题考查了切线的判定定理: 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要证某线是圆的切线, 已知此线过圆上某点, 连接圆心与这点 (即为半径), 再证垂直即可. 也考查了垂径定
理.


Answer:
解：由题意得： $\Delta=0$

即: $(-2 \sin \alpha)^{2}-4\left(\sqrt{3} \sin \alpha-\frac{3}{4}\right)=0$,

$4 \sin ^{2} \alpha-4 \sqrt{3} \sin \alpha+3=0$,

$(2 \sin \alpha-\sqrt{3})^{2}=0$,

$\sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$,

$\alpha=60^{\circ}$.

Question: (6 分) 已知锐角 $\alpha$ 使关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2 \sin \alpha \cdot x+\sqrt{3} \sin \alpha-\frac{3}{4}=0$ 有两个相等的实数根, 求 $\alpha$ 的度数.

代数


Answer:
$-\frac{1}{5}$ 【解析】原式 $=\left(\frac{1-x^{2}}{x+1}+\frac{3}{x+1}\right) \div \frac{(x+2)^{2}}{x+1}$

$=\frac{(2+x)(2-x)}{x+1} \cdot \frac{x+1}{(2+x)^{2}}$

$=\frac{2-x}{2+x}$,

当 $x=\tan 45^{\circ}+\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=1+2=3$ 时, 原式 $=\frac{2-2}{2+3}=-\frac{1}{5}$.

Question: 先化简, 再求值: $\left(1-\mathrm{x}+\frac{3}{x+1}\right) \div \frac{x^{2}+4 x+4}{x+1}$, 其中 $\mathrm{x}=\tan 45^{\circ}+\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$.

代数


Answer: (1)、$m=0;(2)、mneq0$且$mneq1$

Question: (本题6分)(2019$cdot$浙江金华$cdot$九年级期中）已知函数${y}=left({m}^{2}-{m}right){x}^{2}+({m}-1)$${x}+{m}+1$.(1)若这个函数是一次函数,求$m$的值;(2)若这个函数是二次函数,则$m$的值应怎样?

代数

【分析】根据一次函数与二次函数的定义求解.【详解】解:(1)根据一次函数的定义,得:${m}^{2}-{m}=0$解得${m}=0$或${m}=1$又$becausem-1neq0$即$mneq1$;$therefore$当${m}=0$时,这个函数是一次函数;(2)根据二次函数的定义，得:${m}^{2}-{m}neq0$解得${m}_{1}neq0,{~m}_{2}neq1$$therefore$当${m}_{1}neq0,{~m}_{2}neq1$时,这个函数是二次函数.【点睛】考点:二次函数的定义;一次函数的定义


Answer: (1）$y=-2x+80（20leqxleq28)$;（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单价定为28元时,才能使文具店销售该纪念册所获利润最大,最大利润是192元

Question: (本题8分)（2020$cdot$浙江$cdot$乐清市英华学校九年级阶段练习）某文具店购进一批纪念册,每本进价为20元,出于营销考虑,要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量$y$（本）与每本纪念册的售价$x$（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时,销售量为36本;当销售单价为24元时，销售量为32本.(1)求出$y$与$x$的函数关系式;（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时,每本纪念册的销售单价是多少元?（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为$w$元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？

代数

【分析】(1)待定系数法列方程组求一次函数解析式.(2)根据（1）中解析式,列一元二次方程求解.(3)总利润$=$单件利润$times$销售量:$w=(x-20)(-2x+80)$,得到二次函数,先配方,在定义域上求最值.【详解】(1)设$y$与$x$的函数关系式为$y=kx+b$.把$(22,36)$与$(24,32)$代入,得$left{begin{array}{l}22k+b=3624k+b=32.end{array}right.$解得$left{begin{array}{l}k=-2b=80end{array}right.$，$thereforey=-2x+80(20leqxleq28)$.(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时,每本纪念册的销售单价是$x$元，根据题意,得:$(x-20)y=150$,即$(x-20)(-2x+80)=150$.解得$x_{1}=25,x_{2}=35$(舍去).答:每本纪念册的销售单价是25元.(3)由题意,可得$w=(x-20)(-2x+80)=-2(x-30)^{2}+200$.$because$售价不低于20元且不高于28元，当$x<30$时，$y$随$x$的增大而增大,$therefore$当$x=28$时,$w_{text{最大}}=-2times(28-30)^{2}+200=192($元).答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元.


Answer: $(1)(-3x+300)$(2)$y=-3x^{2}+468x-16800$;(3)当销售单价定为每支78元时，所得月平均利润最大

Question: (本题8分)(2022$cdot$浙江宁波$cdot$九年级期末)某琴行销售一种笛子，每支进价为56元.当售价每支为80元时,月平均销售量为60支.为了倡导、弘扬艺术，琴行对该型号的笛子作降价销售（在不亏本的前提下).经市场调查表明,当每支笛子的售价每降低1元时,月平均销售量将增加3支.(1)若设销售单价为$x$元/支，则销售量为$qquad$支（用含$x$的代数式表示)；(2)求月平均销售利润$y$(单位:元)关于销售单价$x$(单位:元/支)的函数表达式;(3)当销售单价定为每支多少元时，所得月平均利润最大?

代数

【分析】（1）根据售价每支为80元时，月平均销售量为60支，当每支笛子的售价每降低1元时，月平均销售量将增加3支，列出销售量代数式;（2）根据“总利润$=$单件利润$times$销售量”列出函数解析式即可;(3)利用二次函数的性质求函数最值即可.(1)根据题意，当销售单价为$x$元/支时，销量为：$60+3(80-x)=-3x+300$,$therefore$销售量为$(-3x+300)$支，故答案为:$(-3x+300)$;(2)设销售单价为$x$元/盋,月销售利润$y$元，根据题意得：$y=(x-56)(-3x+300)=-3x^{2}+468x-16800$,$therefore$月平均销售利润$y$关于销售单价$x$的函数表达式为$y=-3x^{2}+468x-16800$;(3)由(2)知:$y=-3x^{2}+468x-16800=-3(x-78)^{2}+1452$,$because-3<0,56leqxleq80$,$therefore$当$x=78$时,$y$有最大值,最大值为1452,$therefore$当销售单价定为每支78元时,所得月平均利润最大.【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法,解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系.


Answer: (1)$frac{6}{5}$(2)$-frac{5}{2}$

Question: (本题8分)(2022$cdot$浙江$cdot$九年级专题练习)根据条件求值.(1)若$frac{a}{b}=frac{1}{5}$,求$frac{a+b}{b}$的值;(2)若$frac{x}{y}=frac{1}{3}$,求$frac{2x+y}{x-y}$的值.

代数


Answer: $-frac{18}{5}$

Question: (本题6分)(2021$cdot$浙江杭州$cdot$九年级阶段练习)已知$frac{a}{3}=frac{b}{2}=frac{c}{6}$,求$frac{2a+3b+c}{a-b-c}$的值.

代数


Answer:
解: (1)作 $O C \perp A D$ 于点 $C$, 连接 $O D$, 则 $\triangle O C D$ 是直角三角形.

可知 $O D=36 \div 2=18 \mathrm{~cm}$

$O C=27-18=9 \mathrm{~cm}$,

$\therefore C D=9 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$,

$\therefore A D=2 C D=18 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$

(2)由(1)知 $\angle C O D=60^{\circ}$, 那么 $\angle A O D=120^{\circ}$,
$\therefore$ 上下底面的面积和为:

$$
2\left[\frac{(360-120) \pi \times 18^{2}}{360}+\frac{1}{2} \times 18 \sqrt{3} \times 9\right]=512 \pi+162 \sqrt{3}\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)
$$

侧面积和为:

$$
18 \sqrt{3} \times 40+\frac{240 \pi \times 18}{180} \times 40=720 \sqrt{3}+960 \pi\left(\mathrm{cm}^{2}\right)
$$

所以这个柱体的表面积和为 $1472 \pi+882 \sqrt{3}\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$

Question:
如图 1 所示为过圆柱体木块底面的一条弦 $A D$, 沿母线 $A B$ 剖开后得到的柱体,剖面是矩形 $A B C D$, $O$ 为原圆柱体木块底面的圆心. 如图 2 所示为该柱体的主视图和俯视图. 请你根据图中标注的数据解决以下问题.

<ImageHere>

图 1

<ImageHere>

主视图

<ImageHere>

图 2

(1)求弦 $A D$ 的长度.

(2)求这个柱体的表面积. (结果可保留 $\pi$ 和根号)

立体几何学

解: (1)作 $O C \perp A D$ 于点 $C$, 连接 $O D$, 则 $\triangle O C D$ 是直角三角形.

可知 $O D=36 \div 2=18 \mathrm{~cm}$

$O C=27-18=9 \mathrm{~cm}$,

$\therefore C D=9 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$,

$\therefore A D=2 C D=18 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$

(2)由(1)知 $\angle C O D=60^{\circ}$, 那么 $\angle A O D=120^{\circ}$,
$\therefore$ 上下底面的面积和为:

$$
2\left[\frac{(360-120) \pi \times 18^{2}}{360}+\frac{1}{2} \times 18 \sqrt{3} \times 9\right]=512 \pi+162 \sqrt{3}\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)
$$

侧面积和为:

$$
18 \sqrt{3} \times 40+\frac{240 \pi \times 18}{180} \times 40=720 \sqrt{3}+960 \pi\left(\mathrm{cm}^{2}\right)
$$

所以这个柱体的表面积和为 $1472 \pi+882 \sqrt{3}\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$


Answer:
面 $F$ 面 $E$

解: (1) “ “相间 $Z$ 端是对面”，可得 $B$ 的对面为 $F, C$ 的对面是 $E$,

故答案为: 面 $F$, 面 $E$.

(2)由题意得: $A$ 与 $D$ 相对, $B$ 与 $F$ 相对, $C$ 与 $E$ 相对,

$$
A+D=B+F=C+E
$$

将 $A=a^{3}+\frac{1}{5} a^{2} b+3, B=-\frac{1}{2} a^{2} b+a^{3}, C=a^{3}-1, D=-\frac{1}{5}\left(a^{2} b+15\right)$ 代入得,

$a^{3}+\frac{1}{5} a^{2} b+3-\frac{1}{5}\left(a^{2} b+15\right)=-\frac{1}{2} a^{2} b+a^{3}+F=a^{3}-1+E$,

$\therefore F=\frac{1}{2} a^{2} b$,

$E=1$,

Question:
如图所示是一个正方体的表面展开图, 请回答下列问题:

(1)与面 $B$ 、面 $C$ 相对的面分别是 \$ \qquad \$和 \$ \qquad \$
(2) 若 $A=a^{3}+\frac{1}{5} a^{2} b+3, B=-\frac{1}{2} a^{2} b+a^{3}, C=a^{3}-1, D=$

<ImageHere>
$-\frac{1}{5}\left(a^{2} b+15\right)$, 且相对两个面所表示的代数式的和都相等, 求 $E 、 F$

(1)请在图中画出光源 $O$ 点的位置, 并画出 $O$ 到 $M N$ 的垂线段 $O H$ (不写画法);

<ImageHere>

(2)若小明身高 $1.5 m$, 求 $O H$ 的长.

立体几何学


Answer:
(1) $a=3, b=1, c=1$;（2）最多由 11 个小立方体搭成; 最少由 9 个小立方体搭成;见解析.

【解析】 (1) $a=3, b=1, c=1$;

(2) $6+2+3=11$ (个), $4+2+3=9$ (个).

这个几何体最多由 11 个小立方体搭成; 最少由 9 个小立方体搭成.

(3) 如图所示.

<ImageHere>

Question:
用相同的小立方体搭一个几何体, 从正面、上面看到的形状图如图所示, 从上面看到的形状图中小正方形的字母表示在该位置上小立方体的个数，请回答下列问题:

<ImageHere>

从正面看

<ImageHere>

从上面看

(1) a，b，c 各表示的数字是几?

（2）这个几何体最多由几个小立方体搭成？最少呢?

（3）当 $d=e=1, f=2$ 时, 画出这个几何体从左面看得到的形状图.

立体几何学

(1) $a=3, b=1, c=1$;（2）最多由 11 个小立方体搭成; 最少由 9 个小立方体搭成;见解析.

【解析】 (1) $a=3, b=1, c=1$;

(2) $6+2+3=11$ (个), $4+2+3=9$ (个).

这个几何体最多由 11 个小立方体搭成; 最少由 9 个小立方体搭成.

(3) 如图所示.

<ImageHere>


Answer:
（1）8; （2）答案见解析：（3）200000 立方厘米

【解析】(1) 小明共剪了 8 条棱, 故答案为 8 .

（2）如图，四种情况.

<ImageHere>

(1)

(2)

<ImageHere>

(3)

(4)

（3） $\because$ 长方体纸盒的底面是一个正方形,

$\therefore$ 设最短的棱长高为 $\mathrm{acm}$, 则长与宽相等为 $5 \mathrm{acm}$,

$\because$ 长方体纸盒所有棱长的和是 $880 \mathrm{~cm}$,

$\therefore 4(a+5 a+5 a)=880$, 解得 $a=20 \mathrm{~cm}$,

$\therefore$ 这个长方体纸盒的体积为: $20 \times 100 \times 100=200000 \mathrm{~cm}^{3}$.

Question:
小明在学习了 《展开与折叠》这一课后, 明白了很多几何体都能展开成平面图形. 于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒, 可是一不小心多剪了一条棱, 把纸盒剪成了两部分, 即图中的(1)和(2). 根据你所学的知识, 回答下列问题:

<ImageHere>

(1)

<ImageHere>

(2)

<ImageHere>

宽

高

长

(1) 小明总共剪开了条棱. \$ \qquad \$

<ImageHere>
盒, 你认为他应该将剪断的纸条粘贴到(1)中的什么位置? 请你帮助小明在(1)上补全.

（3）小明说: 他所剪的所有棱中, 最长的一条棱是最短的一条棱的 5 倍. 现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形, 并且这个长方体纸盒所有棱长的和是 $880 \mathrm{~cm}$, 求这个长方体纸盒的体积.

立体几何学

（1）8; （2）答案见解析：（3）200000 立方厘米

【解析】(1) 小明共剪了 8 条棱, 故答案为 8 .

（2）如图，四种情况.

<ImageHere>

(1)

(2)

<ImageHere>

(3)

(4)

（3） $\because$ 长方体纸盒的底面是一个正方形,

$\therefore$ 设最短的棱长高为 $\mathrm{acm}$, 则长与宽相等为 $5 \mathrm{acm}$,

$\because$ 长方体纸盒所有棱长的和是 $880 \mathrm{~cm}$,

$\therefore 4(a+5 a+5 a)=880$, 解得 $a=20 \mathrm{~cm}$,

$\therefore$ 这个长方体纸盒的体积为: $20 \times 100 \times 100=200000 \mathrm{~cm}^{3}$.


Answer:
(1) $500 \pi ; \quad(2) 50 \mathrm{~cm}$.

【解析】 (1)由题意, 可得圆雉的母线 $\mathrm{SA}=\sqrt{A O^{2}+S O^{2}}=\sqrt{(10 \sqrt{15})^{2}+10^{2}}=40(\mathrm{~cm})$,

$\therefore \mathrm{S}_{\text {侧 }}=\pi \times 10 \times 40=400 \pi\left(\mathrm{cm}^{2}\right), \mathrm{S}_{\text {底 }}=\pi \mathrm{AO}^{2}=100 \pi\left(\mathrm{cm}^{2}\right)$,

$\therefore S_{\text {全 }}=S_{\text {则 }}+S_{\text {底 }}=(400+100) \pi=500 \pi\left(\mathrm{cm}^{2}\right)$.

(2)沿母线 SA 将圆锥的侧面展开, 如图,

<ImageHere>

则线段 $\mathrm{AM}$ 的长就是蚂蚁所走的最短距离.

由(1)知, $\mathrm{SA}=40 \mathrm{~cm}, A A^{\prime}=20 \pi \mathrm{cm}$.

$\because \frac{n \pi \times 40}{180}=20 \pi(\mathrm{cm})$,

$\therefore \mathrm{n}=\frac{180 \times 20 \pi}{40 \pi}=90$,

$\therefore \angle \mathrm{S}=90^{\circ}$.

$\because \mathrm{SA}^{\prime}=\mathrm{SA}=40 \mathrm{~cm}, \mathrm{SM}=3 \mathrm{~A}^{\prime} \mathrm{M}$,

$\therefore \mathrm{SM}=30 \mathrm{~cm}$,

$\therefore$ 在 Rt $\triangle \mathrm{ASM}$ 中, 由勾股定理得 $\mathrm{AM}=50 \mathrm{~cm}$,

$\therefore$ 蚂蚁所走的最短距离是 $50 \mathrm{~cm}$.

Question:
如图, 圆锥的底面半径为 $10 \mathrm{~cm}$, 高为 $10 \sqrt{15} \mathrm{~cm}$.

(1)求圆锥的全面积;

(2)若一只蚂蚁从底面上一点 $A$ 出发绕圆锥侧面一周回到 $S A$ 上的点 $M$ 处, 且 $S M=3 A M$, 求它所走的最短距离.

<ImageHere>

立体几何学

(1) $500 \pi ; \quad(2) 50 \mathrm{~cm}$.

【解析】 (1)由题意, 可得圆雉的母线 $\mathrm{SA}=\sqrt{A O^{2}+S O^{2}}=\sqrt{(10 \sqrt{15})^{2}+10^{2}}=40(\mathrm{~cm})$,

$\therefore \mathrm{S}_{\text {侧 }}=\pi \times 10 \times 40=400 \pi\left(\mathrm{cm}^{2}\right), \mathrm{S}_{\text {底 }}=\pi \mathrm{AO}^{2}=100 \pi\left(\mathrm{cm}^{2}\right)$,

$\therefore S_{\text {全 }}=S_{\text {则 }}+S_{\text {底 }}=(400+100) \pi=500 \pi\left(\mathrm{cm}^{2}\right)$.

(2)沿母线 SA 将圆锥的侧面展开, 如图,

<ImageHere>

则线段 $\mathrm{AM}$ 的长就是蚂蚁所走的最短距离.

由(1)知, $\mathrm{SA}=40 \mathrm{~cm}, A A^{\prime}=20 \pi \mathrm{cm}$.

$\because \frac{n \pi \times 40}{180}=20 \pi(\mathrm{cm})$,

$\therefore \mathrm{n}=\frac{180 \times 20 \pi}{40 \pi}=90$,

$\therefore \angle \mathrm{S}=90^{\circ}$.

$\because \mathrm{SA}^{\prime}=\mathrm{SA}=40 \mathrm{~cm}, \mathrm{SM}=3 \mathrm{~A}^{\prime} \mathrm{M}$,

$\therefore \mathrm{SM}=30 \mathrm{~cm}$,

$\therefore$ 在 Rt $\triangle \mathrm{ASM}$ 中, 由勾股定理得 $\mathrm{AM}=50 \mathrm{~cm}$,

$\therefore$ 蚂蚁所走的最短距离是 $50 \mathrm{~cm}$.


Answer:
(1)三棱柱; (2) 见解析; (3) $120 \mathrm{~cm}^{2}$

【解析】(1) 三棱柱; (2) 如图所示:

<ImageHere>

(3) $3 \times 10 \times 4=120 \mathrm{~cm}^{2}$.

Question:
已知图为一几何体从不同方向看的图形:

(1) 写出这个几何体的名称;

（2）任意画出这个几何体的一种表面展开图;

(3) 若长方形的高为 10 厘米, 三角形的边长为 4 厘米, 求这个几何体的侧面积.

<ImageHere>

从正面看

<ImageHere>

从左面看

<ImageHere>

从上面看

立体几何学


Answer:
(1) 矩形; (2) $\sqrt{2} a^{2}$

【解析】（1）正方体在平面 $H$ 上的正投影图形是矩形;

(2) $\because$ 正方体边长为 $a c m, \quad \therefore B D=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=\sqrt{2} a(\mathrm{~cm}) ， \therefore$ 投影 $M N P Q$ 的面积为 $\sqrt{2} a \times a=\sqrt{2} a^{2}$ $\left(\mathrm{cm}^{2}\right)$.

Question:
如图, 边长为 $\mathrm{acm}$ 的正方体其上下底面的对角线 $\mathrm{AC} 、 \mathrm{~A}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 与平面 $\mathrm{H}$ 垂直.

<ImageHere>

(1)指出正方体在平面 $\mathrm{H}$ 上的正投影图形;

(2)计算投影 MNP 的面积.

立体几何学

(1) 矩形; (2) $\sqrt{2} a^{2}$

【解析】（1）正方体在平面 $H$ 上的正投影图形是矩形;

(2) $\because$ 正方体边长为 $a c m, \quad \therefore B D=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=\sqrt{2} a(\mathrm{~cm}) ， \therefore$ 投影 $M N P Q$ 的面积为 $\sqrt{2} a \times a=\sqrt{2} a^{2}$ $\left(\mathrm{cm}^{2}\right)$.


Answer:
这个几何体的表面积是 $376 \mathrm{~mm}^{2}$
【解析】 根据三视图可得：上面的长方体长 $6 \mathrm{~mm}$, 高 $6 \mathrm{~mm}$, 宽 $3 \mathrm{~mm}$,

下面的长方体长 $8 \mathrm{~mm} ，$ 宽 $10 \mathrm{~mm} ，$ 高 $3 \mathrm{~mm} ，$

$2(3 \times 8+3 \times 10+8 \times 10)+2 \times(3 \times 6+6 \times 6)=268+108=376 \mathrm{~mm}^{2}$.

答：这个几何体的表面积是 $376 \mathrm{~mm}^{2}$.

20．（1）如图（一），左视图没有发生改变；（2）如图 1 所示见解析，（3）如图 2 所示见解析.

【解析】（1）如图（一）, 它是由 6 个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体(1)移走后，新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，左视图没有发生改变;
(2) 如图 1 所示,
(3) 如图 2 所示.

<ImageHere>

图1

<ImageHere>

图2

Question:
如图是两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图, 根据图中所标尺寸单位 (毫米), 求这个几何体的表面积.

<ImageHere>

主视图

<ImageHere>

左视图

<ImageHere>

俯视图

立体几何学

这个几何体的表面积是 $376 \mathrm{~mm}^{2}$
【解析】 根据三视图可得：上面的长方体长 $6 \mathrm{~mm}$, 高 $6 \mathrm{~mm}$, 宽 $3 \mathrm{~mm}$,

下面的长方体长 $8 \mathrm{~mm} ，$ 宽 $10 \mathrm{~mm} ，$ 高 $3 \mathrm{~mm} ，$

$2(3 \times 8+3 \times 10+8 \times 10)+2 \times(3 \times 6+6 \times 6)=268+108=376 \mathrm{~mm}^{2}$.

答：这个几何体的表面积是 $376 \mathrm{~mm}^{2}$.

20．（1）如图（一），左视图没有发生改变；（2）如图 1 所示见解析，（3）如图 2 所示见解析.

【解析】（1）如图（一）, 它是由 6 个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体(1)移走后，新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，左视图没有发生改变;
(2) 如图 1 所示,
(3) 如图 2 所示.

<ImageHere>

图1

<ImageHere>

图2


Answer:
证明见解析.

【解析】连接 $\mathrm{OD}$, 可得 $\mathrm{OB}=\mathrm{OD}$,

$\because \mathrm{AB}=\mathrm{AD}, \quad \therefore \mathrm{AE}$ 垂直平分 $\mathrm{BD}$,

在 Rt $\triangle \mathrm{BOE}$ 中, $\mathrm{OB}=3, \cos \angle \mathrm{BOE}=\frac{3}{5}, \therefore \mathrm{OE}=\frac{9}{5}$,

根据勾股定理得: $\mathrm{BE}=\sqrt{B O^{2}-O E^{2}}=\frac{12}{5}, \mathrm{CE}=\mathrm{OC}-\mathrm{OE}=\frac{16}{5}$,

在 Rt $\triangle \mathrm{CEB}$ 中, $\mathrm{BC}=\sqrt{C E^{2}+B E^{2}}=4$,

$\because \mathrm{OB}=3, \mathrm{BC}=4, \quad \mathrm{OC}=5, \quad \therefore O B^{2}+B C^{2}=O C^{2}$,

$\therefore \angle \mathrm{OBC}=90^{\circ}$, 即 $\mathrm{BC} \perp \mathrm{OB}$, 则 $\mathrm{BC}$ 为圆 $\mathrm{O}$ 的切线.

<ImageHere>

Question:
如图, 在四边形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{AB}=\mathrm{AD}$, 对角线 $\mathrm{AC}, \mathrm{BD}$ 交于点 $\mathrm{E}$, 点 $\mathrm{O}$ 在线段 $\mathrm{AE}$ 上, $\odot O$ 过 $\mathrm{B}$, $\mathrm{D}$ 两点, 若 $\mathrm{OC}=5, \mathrm{OB}=3$, 且 $\cos \angle \mathrm{BOE}=\frac{3}{5}$. 求证: $\mathrm{CB}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线.

<ImageHere>

组合几何学

证明见解析.

【解析】连接 $\mathrm{OD}$, 可得 $\mathrm{OB}=\mathrm{OD}$,

$\because \mathrm{AB}=\mathrm{AD}, \quad \therefore \mathrm{AE}$ 垂直平分 $\mathrm{BD}$,

在 Rt $\triangle \mathrm{BOE}$ 中, $\mathrm{OB}=3, \cos \angle \mathrm{BOE}=\frac{3}{5}, \therefore \mathrm{OE}=\frac{9}{5}$,

根据勾股定理得: $\mathrm{BE}=\sqrt{B O^{2}-O E^{2}}=\frac{12}{5}, \mathrm{CE}=\mathrm{OC}-\mathrm{OE}=\frac{16}{5}$,

在 Rt $\triangle \mathrm{CEB}$ 中, $\mathrm{BC}=\sqrt{C E^{2}+B E^{2}}=4$,

$\because \mathrm{OB}=3, \mathrm{BC}=4, \quad \mathrm{OC}=5, \quad \therefore O B^{2}+B C^{2}=O C^{2}$,

$\therefore \angle \mathrm{OBC}=90^{\circ}$, 即 $\mathrm{BC} \perp \mathrm{OB}$, 则 $\mathrm{BC}$ 为圆 $\mathrm{O}$ 的切线.

<ImageHere>


Answer:
证明见解析.

【解析】

连结 $\mathrm{OC}$, 如图,

<ImageHere>

$\because \quad$ 直线 $\mathrm{CE}$ 与 $\odot \mathrm{O}$ 相切于点 $C, \therefore \quad \mathrm{OC} \perp \mathrm{CE}$,

$\because \quad \mathrm{AD} \perp \mathrm{CE}, \therefore \quad \mathrm{OC} / / \mathrm{AD}, \therefore \quad \angle 1=\angle 3$,

$\because \quad \mathrm{OA}=\mathrm{OC}, \therefore \quad \angle 2=\angle 3$,

$\therefore \quad \angle 1=\angle 2, \therefore \quad \mathrm{AC}$ 平分 $\angle \mathrm{DAB}$.

Question:
如图, 已知 $\mathrm{AB}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的直径, 直线 $\mathrm{CE}$ 与 $\odot \mathrm{O}$ 相切于点 $C$, 交 $\mathrm{AB}$ 的延长线交于点 $\mathrm{E}$. 作 $\mathrm{AD} \perp \mathrm{CE}$, 垂足为 $\mathrm{D}$, 连接 $\mathrm{AC}$. 求证: $\mathrm{AC}$ 平分 $\angle \mathrm{DAB}$.

<ImageHere>

组合几何学

证明见解析.

【解析】

连结 $\mathrm{OC}$, 如图,

<ImageHere>

$\because \quad$ 直线 $\mathrm{CE}$ 与 $\odot \mathrm{O}$ 相切于点 $C, \therefore \quad \mathrm{OC} \perp \mathrm{CE}$,

$\because \quad \mathrm{AD} \perp \mathrm{CE}, \therefore \quad \mathrm{OC} / / \mathrm{AD}, \therefore \quad \angle 1=\angle 3$,

$\because \quad \mathrm{OA}=\mathrm{OC}, \therefore \quad \angle 2=\angle 3$,

$\therefore \quad \angle 1=\angle 2, \therefore \quad \mathrm{AC}$ 平分 $\angle \mathrm{DAB}$.


Answer:
(1) $A C=4$; (2)详见解析.

【解析】 (1) $\because \mathrm{AB}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 直径, $\mathrm{C}$ 在 $\odot \mathrm{O}$ 上,

$\therefore \angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}$, 又 $\because \mathrm{BC}=3, \mathrm{AB}=5, \therefore$ 由勾股定理得 $\mathrm{AC}=4$;

(2) 证明: 连接 $\mathrm{OC} \because \mathrm{AC}$ 是 $\angle \mathrm{DAB}$ 的角平分线,

$\therefore \angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BAC}$, 又 $\because \mathrm{AD} \perp \mathrm{DC}$,

$\therefore \angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}, \therefore \triangle \mathrm{ADC} \sim \triangle \mathrm{ACB}$,

$\therefore \angle \mathrm{DCA}=\angle \mathrm{CBA}$, 又 $\because \mathrm{OA}=\mathrm{OC}$,

$\therefore \angle \mathrm{OAC}=\angle \mathrm{OCA}, \because \angle \mathrm{OAC}+\angle \mathrm{OBC}=90^{\circ}$,
$\therefore \angle \mathrm{OCA}+\angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{OCD}=90^{\circ}, \quad \therefore \mathrm{DC}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线.

<ImageHere>

Question:
如图, $\odot \mathrm{O}$ 的直径为 $\mathrm{AB}$, 点 $\mathrm{C}$ 在圆周上(异于点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ), $\mathrm{AD} \perp \mathrm{CD}$.

(1)若 $\mathrm{BC}=3, \mathrm{AB}=5$, 求 $\mathrm{AC}$ 的长;

(2)若 $\mathrm{AC}$ 是 $\angle \mathrm{DAB}$ 的平分线, 求证: 直线 $\mathrm{CD}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线.

<ImageHere>

组合几何学

(1) $A C=4$; (2)详见解析.

【解析】 (1) $\because \mathrm{AB}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 直径, $\mathrm{C}$ 在 $\odot \mathrm{O}$ 上,

$\therefore \angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}$, 又 $\because \mathrm{BC}=3, \mathrm{AB}=5, \therefore$ 由勾股定理得 $\mathrm{AC}=4$;

(2) 证明: 连接 $\mathrm{OC} \because \mathrm{AC}$ 是 $\angle \mathrm{DAB}$ 的角平分线,

$\therefore \angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BAC}$, 又 $\because \mathrm{AD} \perp \mathrm{DC}$,

$\therefore \angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}, \therefore \triangle \mathrm{ADC} \sim \triangle \mathrm{ACB}$,

$\therefore \angle \mathrm{DCA}=\angle \mathrm{CBA}$, 又 $\because \mathrm{OA}=\mathrm{OC}$,

$\therefore \angle \mathrm{OAC}=\angle \mathrm{OCA}, \because \angle \mathrm{OAC}+\angle \mathrm{OBC}=90^{\circ}$,
$\therefore \angle \mathrm{OCA}+\angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{OCD}=90^{\circ}, \quad \therefore \mathrm{DC}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线.

<ImageHere>


Answer:
（1）答案见解析; (2) 2 .

【解析】(1) 连接 $O C$.

$\because A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $C$ 是 $\odot O$ 上一点,

$\therefore \angle A C B=90^{\circ}$, 即 $\angle A C O+\angle O C B=90^{\circ}$.

$\because O A=O C, \angle B C D=\angle A, \quad \therefore \angle A C O=\angle A=\angle B C D$,

$\therefore \angle B C D+\angle O C B=90^{\circ}$, 即 $\angle O C D=90^{\circ}, \therefore C D$ 是 $\odot O$ 的切线.

(2) 在 Rt $\triangle O C D$ 中, $\angle O C D=90^{\circ}, O C=3, C D=4$,

$\therefore O D=\sqrt{O C^{2}+C D^{2}}=5$,

$\therefore B D=O D-O B=5-3=2$.

<ImageHere>

Question:
如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $C$ 是 $\odot O$ 上一点, $D$ 在 $A B$ 的延长线上, 且 $\angle B C D=\angle A$.

(1) 求证: $C D$ 是 $\odot O$ 的切线;

(2) $\odot O$ 的半径为 $3, C D=4$, 求 $B D$ 的长.

<ImageHere>

组合几何学

（1）答案见解析; (2) 2 .

【解析】(1) 连接 $O C$.

$\because A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $C$ 是 $\odot O$ 上一点,

$\therefore \angle A C B=90^{\circ}$, 即 $\angle A C O+\angle O C B=90^{\circ}$.

$\because O A=O C, \angle B C D=\angle A, \quad \therefore \angle A C O=\angle A=\angle B C D$,

$\therefore \angle B C D+\angle O C B=90^{\circ}$, 即 $\angle O C D=90^{\circ}, \therefore C D$ 是 $\odot O$ 的切线.

(2) 在 Rt $\triangle O C D$ 中, $\angle O C D=90^{\circ}, O C=3, C D=4$,

$\therefore O D=\sqrt{O C^{2}+C D^{2}}=5$,

$\therefore B D=O D-O B=5-3=2$.

<ImageHere>


Answer: (1)见解析(2)见解析

组合几何学


Answer: (1)见解析(2)弦$BD$的长为$16{~cm}$

Question: (本题9分)(2021:浙江$cdot$杭州仁和实验学校九年级期中)如图,$AC$为$odotO$的直径,$BD$是弦,且$ACperpBD$于点$E$.连接$AB、OB、BC$.<ImageHere>(1)求证:$angleCBO=angleABD$;(2)若$AE=4{~cm},CE=16{~cm}$,求弦$BD$的长.

组合几何学


Answer: (1)见解析;(2)$EF=2$

Question: (本题6分)(2020$cdot$浙江$cdot$诸暨市滨江初级中学九年级期中)如图,已知$AB//DC$,点$E、F$在线段$BD$上,$AB=2DC,BE=2DF$.<ImageHere>(1)求证:$triangleABEsimtriangleCDF$.(2)若$BD=8,DF=2$,求$EF$的长.

组合几何学


Answer: (1)见解析(2)4

Question: (本题6分)(2022浙江湖州$cdot$九年级期末）如图,在四边形$ABCD$中,$AD//BC$,$angleB=angleACD=90^{circ}$,<ImageHere>(1)求证:$triangleABCsimtriangleDCA$.(2)若$BC=1,AC=2$,求$AD$的长.

组合几何学


Answer: (1)证明见解析(2)$20^{circ}$

组合几何学


Answer:
解：由折叠性质得 $E F=A E=10$,

在 $R t \triangle E F B$ 中, $B F=6$,

$$
\therefore E B=\sqrt{E F^{2}-B F^{2}}=8
$$

$\therefore C D=A B=A E+B E=10+8=18$,

$\because \angle E F D=\angle A=90^{\circ}$,

$\therefore \angle E F B+\angle D F C=90^{\circ}$,

$\because \angle B E F+\angle E F B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle D F C=\angle B E F$,

$\because \angle B=\angle C$,

$\therefore \triangle B E F \sim \triangle C F D$,

$\therefore \frac{C F}{B E}=\frac{C D}{B F}$, 即 $\frac{C F}{8}=\frac{18}{6}$

$\therefore C F=24$,

$\therefore A D=B C=B F+C F=30$,

$\therefore \tan \angle A D E=\frac{A E}{A D}=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$.

【解析】见答案

Question:
(本小题8.0分)

如图, 在矩形 $A B C D$ 中, 点 $E$ 在边 $A B$ 上, 将矩形 $A B C D$ 沿直线 $D E$ 折叠, 点 $A$ 恰好落在边 $B C$ 的点 $F$ 处. 若 $A E=10, B F=6$, 求 $\tan \angle A D E$ 的值.

<ImageHere>

组合几何学

解：由折叠性质得 $E F=A E=10$,

在 $R t \triangle E F B$ 中, $B F=6$,

$$
\therefore E B=\sqrt{E F^{2}-B F^{2}}=8
$$

$\therefore C D=A B=A E+B E=10+8=18$,

$\because \angle E F D=\angle A=90^{\circ}$,

$\therefore \angle E F B+\angle D F C=90^{\circ}$,

$\because \angle B E F+\angle E F B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle D F C=\angle B E F$,

$\because \angle B=\angle C$,

$\therefore \triangle B E F \sim \triangle C F D$,

$\therefore \frac{C F}{B E}=\frac{C D}{B F}$, 即 $\frac{C F}{8}=\frac{18}{6}$

$\therefore C F=24$,

$\therefore A D=B C=B F+C F=30$,

$\therefore \tan \angle A D E=\frac{A E}{A D}=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$.

【解析】见答案


Answer:
解: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,

$\therefore A B=C D, \angle D=90^{\circ}$,

$\because$ 将矩形 $A B C D$ 沿 $C E$ 折叠, 点 $B$ 恰好落在边 $A D$ 的 $F$ 处,

$\therefore C F=B C$,

$\because \frac{A B}{B C}=\frac{2}{3}$,

$\therefore \frac{C D}{C F}=\frac{2}{3}$

设 $C D=2 x, C F=3 x$,

$\therefore D F=\sqrt{C F^{2}-C D^{2}}=\sqrt{5} x$,

$\therefore \tan \angle D C F=\frac{D F}{C D}=\frac{\sqrt{5} x}{2 x}=\frac{\sqrt{5}}{2}$,

故答案为: $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

【解析】此题考查了矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理. 此题比较简单, 注意折叠中的对应关系, 注意数形结合思想的应用. 由矩形 $A B C D$ 沿 $C E$ 折叠, 点 $B$ 恰好落在边 $A D$ 的 $F$ 处, 即可得 $B C=$ $C F, C D=A B$, 由 $\frac{A B}{B C}=\frac{2}{3}$, 可得 $\frac{C D}{C F}=\frac{2}{3}$, 然后设 $C D=2 x, C F=3 x$, 利用勾股定理即可求得 $D F$ 的
值, 继而求得 $\tan \angle D C F$ 的值.

Question:
(本小题8.0分)

如图, 将矩形 $A B C D$ 沿 $C E$ 折叠, 使点 $B$ 恰好落在边 $A D$ 上的点 $F$ 处, 若 $\frac{B C}{B C}=\frac{2}{3}$, 求 $\tan \angle D C F$ 的值.

<ImageHere>

组合几何学

解: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,

$\therefore A B=C D, \angle D=90^{\circ}$,

$\because$ 将矩形 $A B C D$ 沿 $C E$ 折叠, 点 $B$ 恰好落在边 $A D$ 的 $F$ 处,

$\therefore C F=B C$,

$\because \frac{A B}{B C}=\frac{2}{3}$,

$\therefore \frac{C D}{C F}=\frac{2}{3}$

设 $C D=2 x, C F=3 x$,

$\therefore D F=\sqrt{C F^{2}-C D^{2}}=\sqrt{5} x$,

$\therefore \tan \angle D C F=\frac{D F}{C D}=\frac{\sqrt{5} x}{2 x}=\frac{\sqrt{5}}{2}$,

故答案为: $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

【解析】此题考查了矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理. 此题比较简单, 注意折叠中的对应关系, 注意数形结合思想的应用. 由矩形 $A B C D$ 沿 $C E$ 折叠, 点 $B$ 恰好落在边 $A D$ 的 $F$ 处, 即可得 $B C=$ $C F, C D=A B$, 由 $\frac{A B}{B C}=\frac{2}{3}$, 可得 $\frac{C D}{C F}=\frac{2}{3}$, 然后设 $C D=2 x, C F=3 x$, 利用勾股定理即可求得 $D F$ 的
值, 继而求得 $\tan \angle D C F$ 的值.


Answer:
解: : 四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O, \angle B A D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle C=180^{\circ}-\angle B A D=90^{\circ}, \angle A B C+\angle A D C=180^{\circ}$.

作 $A E \perp B C$ 于 $E, D F \perp A E$ 于 $F$, 则四边形 $C D F E$ 是矩形, $E F=C D=10$.

<ImageHere>

在Rt $\triangle A E B$ 中,

$\because \angle A E B=90^{\circ}, A B=17, \cos \angle A B C=\frac{3}{5}$,

$\therefore B E=A B \cdot \cos \angle A B E=\frac{51}{5}$.

$\therefore A E=\sqrt{A B^{2}-B E^{2}}=\frac{68}{5}$.

$\therefore A F=A E-E F=\frac{68}{5}-10=\frac{18}{5}$.

$\because \angle A B C+\angle A D C=180^{\circ}, \angle C D F=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C+\angle A D F=90^{\circ}$.

$\because \cos \angle A B C=\frac{3}{5}$,

$\therefore \sin \angle A D F=\cos \angle A B C=\frac{3}{5}$.

在Rt $\triangle A D F$ 中,

$\because \angle A F D=90^{\circ}, \sin \angle A D F=\frac{3}{5}$,

$\therefore A D=\frac{A F}{\sin \angle A D F}=\frac{\frac{18}{5}}{\frac{3}{5}}=6$.

【解析】本题考查了圆内接四边形的性质, 矩形的判定与性质, 勾股定理, 解直角三角形, 求出 $A F=\frac{18}{5}$ 以及 $\sin \angle A D F=\frac{3}{5}$ 是解题的关键. 根据圆内接四边形的对角互补得出 $\angle C=90^{\circ}, \angle A B C+$ $\angle A D C=180^{\circ}$. 作 $A E \perp B C$ 于 $E, D F \perp A E$ 于 $F$, 则 $C D F E$ 是矩形, $E F=C D=10$. 解 $R t \triangle A E B$, 得出 $B E=A B \cdot \cos \angle A B E=\frac{51}{5}, A E=\sqrt{A B^{2}-B E^{2}}=\frac{68}{5}$, 那么 $A F=A E-E F=\frac{18}{5}$. 再证明 $\angle A B C+$ $\angle A D F=90^{\circ}$, 根据互余角的互余函数相等得出 $\sin \angle A D F=\cos \angle A B C=$
$\frac{3}{5}$ 解 $R t \triangle A D F$, 即可求出 $A D=\frac{A F}{\sin \angle A D F}=6$.

Question:
(本小题8.0分)

如图, 四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O, A B=17, C D=10, \angle A=90^{\circ}, \cos B=\frac{3}{5}$, 求 $A D$ 的长.

<ImageHere>

组合几何学

解: : 四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O, \angle B A D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle C=180^{\circ}-\angle B A D=90^{\circ}, \angle A B C+\angle A D C=180^{\circ}$.

作 $A E \perp B C$ 于 $E, D F \perp A E$ 于 $F$, 则四边形 $C D F E$ 是矩形, $E F=C D=10$.

<ImageHere>

在Rt $\triangle A E B$ 中,

$\because \angle A E B=90^{\circ}, A B=17, \cos \angle A B C=\frac{3}{5}$,

$\therefore B E=A B \cdot \cos \angle A B E=\frac{51}{5}$.

$\therefore A E=\sqrt{A B^{2}-B E^{2}}=\frac{68}{5}$.

$\therefore A F=A E-E F=\frac{68}{5}-10=\frac{18}{5}$.

$\because \angle A B C+\angle A D C=180^{\circ}, \angle C D F=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C+\angle A D F=90^{\circ}$.

$\because \cos \angle A B C=\frac{3}{5}$,

$\therefore \sin \angle A D F=\cos \angle A B C=\frac{3}{5}$.

在Rt $\triangle A D F$ 中,

$\because \angle A F D=90^{\circ}, \sin \angle A D F=\frac{3}{5}$,

$\therefore A D=\frac{A F}{\sin \angle A D F}=\frac{\frac{18}{5}}{\frac{3}{5}}=6$.

【解析】本题考查了圆内接四边形的性质, 矩形的判定与性质, 勾股定理, 解直角三角形, 求出 $A F=\frac{18}{5}$ 以及 $\sin \angle A D F=\frac{3}{5}$ 是解题的关键. 根据圆内接四边形的对角互补得出 $\angle C=90^{\circ}, \angle A B C+$ $\angle A D C=180^{\circ}$. 作 $A E \perp B C$ 于 $E, D F \perp A E$ 于 $F$, 则 $C D F E$ 是矩形, $E F=C D=10$. 解 $R t \triangle A E B$, 得出 $B E=A B \cdot \cos \angle A B E=\frac{51}{5}, A E=\sqrt{A B^{2}-B E^{2}}=\frac{68}{5}$, 那么 $A F=A E-E F=\frac{18}{5}$. 再证明 $\angle A B C+$ $\angle A D F=90^{\circ}$, 根据互余角的互余函数相等得出 $\sin \angle A D F=\cos \angle A B C=$
$\frac{3}{5}$ 解 $R t \triangle A D F$, 即可求出 $A D=\frac{A F}{\sin \angle A D F}=6$.


Answer:
(1)解: $\because E$ 是 $\triangle A B C$ 的内心,

$\therefore A E$ 平分 $\angle B A C, B E$ 平分 $\angle A B C, C E$ 平分 $\angle A C B$.

$\because \angle C B D=34^{\circ}$,

$\therefore \angle C A D=\angle C B D=34^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C=2 \angle C B D=68^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C+\angle A C B=180^{\circ}-68^{\circ}=112^{\circ}$,

$\therefore \angle A B E+\angle A C E=\frac{1}{2} \times 112^{\circ}=56^{\circ}$,

$\therefore \angle B E C=\angle B A C+\angle A B E+\angle A C E=68^{\circ}+56^{\circ}=124^{\circ} ;$

(2)证明: $\because$ 点 $E$ 是 $\triangle A B C$ 的内心,

$\therefore \angle B A D=\angle C A D, \angle A B E=\angle C B E$,

由圆周角定理得, $\angle D A C=\angle D B C$,

$\angle D B E=\angle D B C+\angle E B C, \angle D E B=\angle E B A+\angle E A B$,
$\therefore \angle D B E=\angle D E B$,

$\therefore D E=D B$.

【解析】(1)由点 $E$ 是 $\triangle A B C$ 的内心可得 $A E$ 平分 $\angle B A C, B E$ 平分 $\angle A B D, C E$ 平分 $\angle A C B$, 根据同弧所对的圆周角相等可得 $\angle C A D=\angle C B D$, 进而求出 $\angle B A C$ 的度数; 根据三角形内角和 $180^{\circ}$ 得到

$\angle A B C+\angle A C B=180^{\circ}-\angle B A C$, 利用三角形外角的性质得到 $\angle B E C=\angle B A C+\angle A B E+\angle A C E$, 进而求出 $\angle B E C$ 的度数;

(2)根据内心的性质, 三角形内角和定理证明.

本题考查的是三角形的内切圆与内心, 三角形的外接圆与外心, 掌握圆周角定理, 三角形的内心的概念, 三角形的外角的性质是解题的关键.

Question:
(本小题8.0分)

如图, 点 $E$ 是 $\triangle A B C$ 的内心, $A E$ 的延长线和 $\triangle A B C$ 的外接圆相交于点 $D$, 连接 $B E$.

(1)若 $\angle C B D=34^{\circ}$, 求 $\angle B E C$ 的度数;

(2)求证: $D E=D B$.

<ImageHere>

组合几何学

(1)解: $\because E$ 是 $\triangle A B C$ 的内心,

$\therefore A E$ 平分 $\angle B A C, B E$ 平分 $\angle A B C, C E$ 平分 $\angle A C B$.

$\because \angle C B D=34^{\circ}$,

$\therefore \angle C A D=\angle C B D=34^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C=2 \angle C B D=68^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C+\angle A C B=180^{\circ}-68^{\circ}=112^{\circ}$,

$\therefore \angle A B E+\angle A C E=\frac{1}{2} \times 112^{\circ}=56^{\circ}$,

$\therefore \angle B E C=\angle B A C+\angle A B E+\angle A C E=68^{\circ}+56^{\circ}=124^{\circ} ;$

(2)证明: $\because$ 点 $E$ 是 $\triangle A B C$ 的内心,

$\therefore \angle B A D=\angle C A D, \angle A B E=\angle C B E$,

由圆周角定理得, $\angle D A C=\angle D B C$,

$\angle D B E=\angle D B C+\angle E B C, \angle D E B=\angle E B A+\angle E A B$,
$\therefore \angle D B E=\angle D E B$,

$\therefore D E=D B$.

【解析】(1)由点 $E$ 是 $\triangle A B C$ 的内心可得 $A E$ 平分 $\angle B A C, B E$ 平分 $\angle A B D, C E$ 平分 $\angle A C B$, 根据同弧所对的圆周角相等可得 $\angle C A D=\angle C B D$, 进而求出 $\angle B A C$ 的度数; 根据三角形内角和 $180^{\circ}$ 得到

$\angle A B C+\angle A C B=180^{\circ}-\angle B A C$, 利用三角形外角的性质得到 $\angle B E C=\angle B A C+\angle A B E+\angle A C E$, 进而求出 $\angle B E C$ 的度数;

(2)根据内心的性质, 三角形内角和定理证明.

本题考查的是三角形的内切圆与内心, 三角形的外接圆与外心, 掌握圆周角定理, 三角形的内心的概念, 三角形的外角的性质是解题的关键.


Answer: (1)$frac{1}{3}$(2)$frac{2}{9}$

Question: (本题6分)(2022-浙江杭州$cdot$九年级期末)一个布袋里装有三个小球,上面分别写着“"”,“2”,“3”,除数字外三个小球无其他差别.(1)从布袋里任意摸出一个小球,求上面的数字恰好是“3”的概率.(2)从布袋里任意摸出一个小球,记录其数字,放回并摇匀,再从中任意摸出一个小球,记录其数字,求两次记录的数字之和为3的概率.(要求列表或画树状图说明)

组合数学

【分析】（1）写有“3”的球的个数除以总的球的个数即可得解;(2)利用树状图列举法即可求解;(1)根据题意,上面的数字恰好是“3”的概率为:$frac{text{写有}3text{的球的个数}}{text{球的总个数}}=frac{1}{3}$,即所求概率为$frac{1}{3};$$(2)$利用树状图列举法:如图<ImageHere>两次之和为“3”的次数共计有2次，总计有9种抽球的方式，则两次之和为“3”的概率为:$frac{2}{9}$.【点睛】本题考查了公式法和列举法求概率的知识,掌握理解列举法的基本原理是解答本题的关键.


Answer: $frac{1}{3}$

Question: (本题9分)(2022-浙江杭州$cdot$九年级期末)在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活动中,获奖者从放有只有颜色不同的3个小球（1个黑球，1个白球，1个黄球）的不透明布袋中摸球．若模到一个黑球奖励一个亚运会吉祥物“宸宸”,摸到一个白球奖励一个“琮琮”,摸到一个黄球奖励一个“莲莲”.一个获奖者先从布袋中任意摸出一球,不放回,再摸出一球,求得到一个“蓬莲”和一个“琮琮”的概率.<ImageHere>抗州2022年第19届亚运会吉样物

组合数学

【分析】根据题意作图树状图,可知共有6种可能情况，而满足条件的有2种情况，进而求概率即可。【详解】解：根据题意，可作树状图如下,<ImageHere>由树状图可知，共有6种可能情况，满足条件的有2种情况，所以,得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率为$P=frac{2}{6}=frac{1}{3}$.【点睛】本题主要考查了列举法求概率的知识，能够正确作出树状图是解题关键.


Answer:
 (1) $\frac{3}{20}$

(2) 33

Question:
（6 分）一个不透明的盒子里装有 20 张红色卡片, 15 张黄色卡片, 12 张蓝色卡片和若干张黑色卡片, 每张卡片除颜色外都相同, 从中任意摸出一张卡片, 摸到红色卡片的概率是 0.25 .

(1)从中任意摸出一张卡片, 摸到蓝色卡片的概率是多少?

(2)求盒子里黑色卡片的个数.

组合数学

(1) 根据摸到红色卡片的概率是 0.25 求出卡片的总数, 进而根据概率计算公式进行求解即可;

（2）用卡片总数减去其他颜色卡片的张数即可求出黑色卡片的张数.

【详解】(1) 解: 由题意, 得卡片的总张数为 $\frac{20}{0.25}=80$ (张),

$\therefore$ 任意摸出一张卡片, 摸到蓝色卡片的概率是 $\frac{12}{80}=\frac{3}{20}$;

（2）解：盒子里黑色卡片的个数为 $80-15-20-12=33$.

答: 盒子里黑色卡片的个数为 33 张.

【点睛】此题主要考查了概率公式, 熟练掌握概率的意义是解题的关键.


Answer: (1)$frac{1}{9}$(2)4号

Question: (本题8分)(2022$cdot$浙江杭州$cdot$九年级期末)将6个球分别放入标有$1，2，3，4$,5,6这6个号码的盒子中.如图,将一个圆形转盘平均分成3份,分别标上数字1,2,3,现转动转盘两次,两次转得的数字之和是几,从几号盘子中摸出一个球（如:第一次转得数字为2,第二次转得数字为3,则和为5,就从5号盒子中摸球).<ImageHere>(1)求从6号盒子中摸球的概率;(2)通过计算，判断从几号盒子中摸球的概率最大?

计数

【分析】（1）先利用树状图展示所有9种等可能的结果，再找出符合条件的情况数,最后利用概率公式计算;（2）分别计算出从各个盒子中摸球的概率,再比较即可.(1)解:如图,<ImageHere>共有9种等可能的结果,其中两次摸出的小球所标注数字之和为6的结果数为1,$therefore$从6号盒子中摸球的概率为$frac{1}{9}$;(2)由树状图可知:从1号盒子中摸球的概率为:$frac{0}{9}=0$,从2号盒子中摸球的概率为:$frac{1}{9}$,从3号盒子中摸球的概率为:$frac{2}{9}$,从4号盒子中摸球的概率为:$frac{3}{9}=frac{1}{3}$,从5号盒子中摸球的概率为:$frac{2}{9}$,从6号盒子中摸球的概率为:$frac{1}{9}$,$therefore$从4号盒子中摸球的概率最大.【点睛】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出$n$,再从中选出符合事件$A$或$B$的结果数目$m$,然后根据概率公式计算事件$A$或事件$B$的概率.


Answer: (1)列表见解析;共有9种等可能的结果数;(2)点$M(x,y)$在函数$y=-$$x+1$的图象上的概率$=frac{2}{9}$

Question: (本题10分)(2019-浙江$cdot$九年级期中)在甲、乙两个不透明的布袋,甲袋中装有3个完全相同的小球,分别标有数字$0,1,2$;乙袋中装有3个完全相同的小球,分别标有数字$-1,-2,0$;现从甲袋中随机抽取一个小球,记录标有的数字为$x$,再从乙袋中随机抽取一个小球,记录标有的数字为$y$,确定点$M$坐标为$(x,y)$.（1）用树状图或列表法列举点$M$所有可能的坐标;(2)求点$M(x,y)$在函数$y=-x+1$的图象上的概率.

计数


Answer:
 (1)随机, 不可能

(2) $P_{\text {(拱到黄冰) }}=\frac{1}{2}$

Question:
(6 分) 不透明的袋中装有 2 个红球、 3 个黄球和 1 个白球，它们除颜色外都相同. (1)从中随机取出一个球是红球是 $\qquad$事件, 随机取出一个球是黑球是 $\qquad$事件;

(2)求从袋中任意摸出一个球是黄球的概率.
<ImageHere>

计数

(1) 根据事件的分类解答即可;

（2）根据概率公式计算即可.

【详解】(1) $\because$ 一个不透明的袋中装有 2 个红球、 3 个黄球和 1 个白球, 它们除颜色外都相同,

$\therefore$ 从中随机取出一个球是红球是随机事件, 随机取出一个球是黑球是不可能事件.

故答案为: 随机, 不可能;

（2） $\because$ 袋中装有 2 个红球、 3 个黄球和 1 个白球,

$\therefore$ 从袋中任意摸出一个球可能的结果有 6 种,

$\therefore P_{\text {(摸到黄球) }}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

【点睛】本题考查了事件的分类, 概率的计算, 熟练掌握各知识点是解答本题的关键.


Answer:
 (1) $a=188, \quad b=0.949$

(2) 0.95

(3) 4275 个

Question:
(8 分) 某批乒乓球的质量检验结果如下:

| 抽取的乒乓球数 $n$ | 50 | 100 | 200 | 500 | 1000 | 1500 | 2000 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 优等品的频数 $m$ | 48 | 95 | $a$ | 471 | 946 | 1426 | 1898 |
| 优等品的频率 $m / n$ | 0.960 | 0.950 | 0.940 | 0.942 | 0.946 | 0.951 | $b$ |

(1)请求出 $a, \quad b$ 的值, $a=$ $\qquad$ $b=$ $\qquad$
(2)从这批乒兵球中, 任意抽取一只乒兵球是优等品的概率的估计值是 (精确到 0.01 ); (3)若这批乒兵球共有 4500 个, 请估计其中是优等品的个数.

计数

(1) 根据优等品的频率 $\frac{m}{n}$ 计算即可;

（2）大量重复实验时, 事件发生的频率在某个固定位置左右摆动, 并且摆动的幅度越来越小, 根据这个频率稳定性定理, 可以用频率的集中趋势来估计概率, 这个固定的近似值就是这个事件的概率. 根据表中优等品的频率判定即可;

（3）用 4500 乘以优等品的概率即可得解.

【详解】(1) 解: $a=200 \times 0.940=188, \quad b=\frac{1898}{2000}=0.949$;

（2）从这批乒兵球中，任意抽取一只乒乓球是优等品的概率的估计值是 0.95 ;

(3) $4500 \times 0.95=4275$ (个),

$\therefore$ 优等品的个数是 4275 个.

【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率, 理解利用频率估计概率的相关知识, 并准确计算是解题的关键.


Answer: （1）不公平, 理由见解析; （2）只要把转盘 B 上的两个偶数中的一个改为奇数即可

Question:
(8 分) 如图有两个质地均匀的转盘 A、B, 转盘 $\mathrm{A}$ 被分成 3 份, 分别标有数字 1 , 2, 3; 转盘 $\mathrm{B}$ 被 3 等分, 分别标有数字 $4,5,6$. 小强与小华用这两个转盘玩游戏,小强说“随机转动 $A 、 B$ 转盘各一次, 转盘停止后, 将 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 转盘的指针所指的数字相乘, 积为偶数我赢; 积为奇数你赢." (指针指向两个扇形的交线时, 重新转动转盘).

（1）小强指定的游戏规则对双方公平吗？并说明理由;

（2）小华认为只要在转盘 B 上修改其中一个数字，也可以使这个游戏对双方公平. 你能帮助小华如何进行修改吗?

计数

游戏是否公平, 关键要看游戏双方取胜的机会是否相等, 即判断双方取胜的概率是否相等, 或转化为在总情况明确的情况下, 判断双方取胜所包含的情况数目是否相等.
【详解】解:（1）不公平; 因为按照游戏规则, 根据树状图分析可得:
<ImageHere>
$1 \times 4 \quad 1 \times 5$
$1 \times 62 \times 4$
$2 \times 5$
$2 \times 63 \times 4$
$3 \times 5 \quad 3 \times 6$

一共有 9 种等可能结果, 其中偶数情况有 7 种, 奇数情况有 2 种

$\mathrm{P}$ (小强胜 $)=\frac{7}{9}, \mathrm{P}$ (小华胜 $)=\frac{2}{9}$;

(2) 只要把转盘 $\mathrm{B}$ 上的两个偶数中的一个改为奇数即可.

【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断, 判断游戏公平性就要计算每个事件的概率, 概率相等就公平, 否则就不公平, 用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比.


Answer:
 (1) $\frac{1}{4}$

(2) $\frac{1}{4}$

Question:
(10 分) 如图是某城市地铁线路图的一部分，已知甲从 $A$ 站上车，随机从 $B 、 C 、 D$ 、 $E$ 中的某一站下车.

<ImageHere>

(1)甲从 $C$ 站下车的概率是 $\qquad$
(2)若乙与甲乘坐同一趟地铁从 $A$ 站上车，随机从 $B 、 C 、 D 、 E$ 中的某一站下车,

(1)求甲、乙从 $B 、 C 、 D 、 E$ 中的某一站下车有多少种不同的可能. (用列表法或树状图表示)

(2)求甲、乙两人恰好从同一站下车的概率.

计数


Answer:
 (1) A 的销售单价为 30 元、 $B$ 的销售单价为 24 元

(2)当 $m=5$ 时, 商场销售 $A 、 B$ 两种商品可获得总利润最大，最大利润是 810 元.

Question:
某商场销售 $A 、 B$ 两种商品, 每件进价均为 20 元. 调查发现, 如果售出 $\mathrm{A}$ 种 20 件, $B$ 种 10 件, 销售总额为 840 元; 如果售出 $\mathrm{A}$ 种 10 件, $B$ 种 15 件, 销售总额为 660 元.

(1)求 $A, B$ 两种商品的销售单价.

(2)经市场调研, A 种商品按原售价销售，可售出 40 件，原售价每降价 1 元，销售量可增加 10 件; $B$ 种商品的售价不变, $\mathrm{A}$ 种商品售价不低于 $B$ 种商品售价. 设 $\mathrm{A}$ 种商品降价 $m$ 元, 如果 $A, B$ 两种商品销售量相同, 求 $m$ 取何值时, 商场销售 $A, B$ 两种商品可获得总利润最大? 最大利润是多少?

计数

(1) 设 $\mathrm{A}$ 的销售单价为 $x$ 元、 $B$ 的销售单价为 $y$ 元, 根据题中售出 $\mathrm{A}$ 种 20 件, $B$ 种 10 件, 销售总额为 840 元; 售出 $\mathrm{A}$ 种 10 件, B种 15 件, 销售总额为 660 元列方程组求解即可得到答案;

(2) 设利润为 $w$, 根据题意, 得到 $w=-10(m-5)^{2}+810$, 结合二次函数性质及题中限制条件分析求解即可得到答案.

【详解】(1) 解：设 $\mathrm{A}$ 的销售单价为 $x$ 元、 $B$ 的销售单价为 $y$ 元, 则

$$
\left\{\begin{array} { l }
{ 2 0 x + 1 0 y = 8 4 0 } \\
{ 1 0 x + 1 5 y = 6 6 0 }
\end{array} \text { , 解得 } \left\{\begin{array}{l}
x=30 \\
y=24
\end{array}\right.\right. \text {, }
$$

答: $A$ 的销售单价为 30 元、 $B$ 的销售单价为 24 元;

(2) 解: $\because \mathrm{A}$ 种商品售价不低于 $B$ 种商品售价, $\therefore 30-m \geq 24$, 解得 $m \leq 6$, 即 $0 \leq m \leq 6$,设利润为 $w$, 则

$w=(40+10 m) \times[(30-m-20)+(24-20)]$

$=-10 m^{2}+100 m+560$

$=-10(m-5)^{2}+810$,

$\because-10<0$,

$\therefore w$ 在 $m=5$ 时能取到最大值, 最大值为 810 ,

$\therefore$ 当 $m=5$ 时, 商场销售 $A, B$ 两种商品可获得总利润最大, 最大利润是 810 元.

【点睛】本题考查二元一次方程组及二次函数解实际应用题, 读懂题意, 根据等量关系列出方程组，根据函数关系找到函数关系式分析是解决问题的关键.


Answer:
 (1)见解析;

(2) $\frac{25}{2}$.

Question:
(6 分) 如图, 在直角 $\triangle O A B$ 中, $\angle O A B=90^{\circ}$, 且点 $B$ 的坐标为（4，3）.

(1) 在图中画出 $\triangle O A B$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 后的 $\triangle O A B_{1}$;

(2)连接 $B B_{1}$, 则 $\triangle O B B_{1}$ 的面积 $\qquad$ .

<ImageHere>

变换几何

(1) 根据旋转角度、旋转中心及旋转方向确定各点的对称点, 顺次连接即可; （2）根据勾股定理计算即可得出.

【详解】(1) 解: 如图, $\triangle O A_{1} B_{1}$ 为所作:

<ImageHere>

（2）解：依题意得, $O B=O B_{1}, \angle B O B_{1}=90^{\circ}$

在 Rt $\triangle A O B$ 中, $O B=\sqrt{O A^{2}+A B^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$,

$\therefore S_{\triangle B O B_{1}}=\frac{1}{2} O B \cdot O B_{1}=\frac{1}{2} \times 5 \times 5=\frac{25}{2}$.

【点睛】本题考查了利用旋转的性质作图, 勾股定理, 熟练掌握相关知识是解题的关键.


Answer: （1）见解析;（2）(-3,3), (-4, 1), ( - 2, 0), ( -1, 2)

Question:
(8 分) 如图, 在平面直角坐标系中, 四边形 $A B C D$ 的坐标分别为 $A(-6,6)$, $B(-8,2), C(-4,0), D(-2,4)$. (1) 画出一个四边形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$, 使四边形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 与四边形 $A B C D$ 是以原点 $O$ 为位似中心，相似比为 $1: 2$ 的位似图形.

(2) 直接写出点的坐标: $A^{\prime}($ $\qquad$ ),

$B^{\prime}$ $\qquad$ ), $C^{\prime}$ $\qquad$ ), $D^{\prime}($ $\qquad$ ).

<ImageHere>

变换几何

(1)、(2) 把 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B} 、 \mathrm{C} 、 \mathrm{D}$ 的横纵坐标都乘以 $\frac{1}{2}$ 得到四边形 $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}$ 四个顶点坐标,然后描点即可.

【详解】解：（1）如图, 四边形 $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}$ 为所作;

<ImageHere>

(2) $\mathrm{A}^{\prime}(-3,3), \mathrm{B}^{\prime}(-4,1), \mathrm{C}^{\prime}(-2,0), \mathrm{D}^{\prime}(-1,2)$.

故答案为 $(-3,3),(-4,1),(-2,0),(-1,2)$.

【点睛】本题考查作图-位似变换, 利用位似图形的性质得出对应点位置是解题的关键.


Answer:
 （1）解：由勾股定理可得原三角形的各边长分别为 $1, \sqrt{2}, \sqrt{5}$,

所画三角形与原三角形的相似比为 $\sqrt{2}: 1$, 则所画三角形的各边长分别为 $\sqrt{2} 、 2 、 \sqrt{10}$, 如下图所示

<ImageHere>

（2）解: 由勾股定理可得原三角形的各边长分别为 $2,2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{5}$,

有一个边为公共边, 假设公共边为 2 , 并且所画三角形边长为 2 的边与原三角形边长为 $2 \sqrt{2}$边相对应, 此时相似比为 $1: \sqrt{2}$,

则所画三角形的各边长为 $\sqrt{2}, 2, \sqrt{10}$, 如下图所示:

<ImageHere>

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质, 勾股定理, 解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质.

Question:
(6 分) 如图, 在正方形网格中, 每个小正方形边长为 1 , 当三角形的三个顶点都在正方形网格线的交点上时, 我们称三角形为格点三角形.

(1)如图 1, 请在图 1 中画一个格点三角形与原三角形相似, 且所画三角形与原三角形的相似比为 $\sqrt{2}: 1$.

(2)请在图 2 中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边, 并写出所画三角形与原三角形相似比. 相似比为: $\qquad$

<ImageHere>

图 1

图2

变换几何

）解：由勾股定理可得原三角形的各边长分别为 $1, \sqrt{2}, \sqrt{5}$,

所画三角形与原三角形的相似比为 $\sqrt{2}: 1$, 则所画三角形的各边长分别为 $\sqrt{2} 、 2 、 \sqrt{10}$, 如下图所示

<ImageHere>

（2）解: 由勾股定理可得原三角形的各边长分别为 $2,2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{5}$,

有一个边为公共边, 假设公共边为 2 , 并且所画三角形边长为 2 的边与原三角形边长为 $2 \sqrt{2}$边相对应, 此时相似比为 $1: \sqrt{2}$,

则所画三角形的各边长为 $\sqrt{2}, 2, \sqrt{10}$, 如下图所示:

<ImageHere>

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质, 勾股定理, 解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质.


Answer: 证明见解析.

Question:
(6 分) 如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, 点 $C, D$ 是 $\odot O$ 上的两点, 且 $A C=C D$,求证: $O C / / B D$.

<ImageHere>

图论

利用 $A C=C D$ 证明 $\angle A B C=\angle C B D$, 再利用 $O B=O C$ 证明 $\angle A B C=\angle O C B$, 利用等量代换可得 $\angle O C B=\angle C B D$, 即可证明 $O C / / B D$.

【详解】证明: $\because A C=C D$,

$\therefore \angle A B C=\angle C B D$,

$\because O B=O C$,

$\therefore \angle A B C=\angle O C B$,

$\therefore \angle O C B=\angle C B D$,

$\therefore O C / / B D$.

【点睛】本题考查同圆中, 等弧对等角, 在同一个三角形中, 等边对等角, 平行线的判定定理, 解题的关键是熟练掌握以上相关知识, 并能够综合运用.


Answer: 答案: $\times$

Question:
直接写得数。(6 分)

$$
\begin{array}{llll}
2 \times \frac{5}{6}= & \frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\quad 1 \div

算术


Answer: 答案: \frac{5}{3} & \frac{1}{12} & 20 &

Question:
求未知数 $x$ 。(12 分)
$x-35 \% x=

算术


Answer: $27 \div 60 \% \div 3$=45 \div 3$$=15($ 元 $)$答: 每张门票原价 15 元。

Question: 小红以六折优惠价买 3 张欢乐园儿童票, 一共花了 27 元。每张门票原价多少元?

算术


Answer: 解: $60 	imes 5 \% 	imes 7 \%=0.21$ (万元)答: 一月份缴纳城市维护建设费 0.21 万元。

Question: 六一儿童节, 书店所有图书一律八五折销售, 小明买了一本《趣味数学》少花了

算术


Answer: 解： $48 \div(1+20 \%)=40$ (吨)答: 这个林场去年共收特等茶叶 40 吨。

Question: 阳台山林场有一块精品茶园, 今年共收特等茶叶 48 吨, 比去年增产二成。这个林场去年共收特等茶叶多少吨?

算术


Answer: (1) 解： $80 	imes 6500 	imes 90 \%$$=520000 	imes 0.9$$=468000($ 元 $)$答: 应付 468000 元.(2) 解: $80 	imes 6500 	imes 30 \$$=520000 	imes 0.3$$=156000$ (元)答: 首期应付 156000 元.（3）解： $468000 	imes 1.5 \%=7020$ (元)答: 要缴纳契税 7020 元.

Question:
李叔叔在郊区购买了一套 80 平方米的商品房, 每平方米售价 6500 元; 如果一次性付清房款, 可享受九折优惠; 如果按揭贷款付款, 首期应付 $30 \%$ 。

(1) 一次性付款, 应付多少钱?

（2）如果按揭贷款付款，首期应付多少钱?

(3) 按规定买房要缴纳 $

算术


Answer: <ImageHere>

Question:
在直线上表示下列各数.

<ImageHere>27.在直线下面填整数或小数, 上面填分数.

![](本地图片-4720/.jpg)

算术


Answer: 解: $3+4=7$; 五年级植树: $420 	imes rac{3}{7}=180$ (棵)六年级植树： $420 	imes rac{4}{7}=240($ 棵 ) 或 $420-180=240$ (棵)

Question: 学校高年级到小区植树 420 棵, 五年级和六年级植树棵数的比是 $3: 4$ ，五、六年级各植树多少棵？

算术


Answer: 答案:解: $20 \times 18 \div 30=12$ (天)

Question:
小明看一本故事书, 计划每天看 20 页, 18 天看完, 实际每天看 30 页,实际多少天看完?
时?

算术


Answer: 答案:6 \quad

Question:
怎样计算简单就怎样算: (4 分, 每题 2 分)

$$
\frac{3}{5} \times

算术


Answer: $egin{array}{llll}rac{13}{5} & rac{7}{16} & 100 & 9\end{array}$

Question:
求未知数 $X:$ (共 8 分, 每题 2 分)

$\frac{1}{2} x-\frac{2}{5}=\frac{9}{10}$

$\frac{4}{5}: \frac{7}{15}=\frac{3}{4}: x$

$X: 80=5: 4$ $\frac{1}{15}: \frac{1}{5}=\frac{1}{X}: \frac{1}{3}$27.给右面的转盘按要求涂红.黄.白.蓝四种颜色并计算。

<ImageHere>

（1）使指针停在红色区域的可能性是黄色区域的 2 倍, 停在蓝色区域的可能性是红色区域的 3 倍。

(2) 在你设计的转盘上, 指针停在白色区域的可能性是多少?

算术


Answer:
（1） $(100+95+91+88+94+96) \div 6$

$=564 \div 6$

$=94$ (分)

答: 这六名同学的平均分是 94 分.

（2） 100-94=+6 (分); 95-94=+1 (分); 91-94=-3 (分); 88-94=-6 (分); 94-94=0(分)；96-94=+2(分)

| 姓名 | 刘芳 | 李刚 | 张进 | 王英 | 叶莎 | 夏斌 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 与平均 <br> 分数比 | +6 | +1 | -3 | -6 | 0 | +2 |

Question:
 （ 10 分）用正、负数填表。

四 (1) 班第一小组上学期期末数学测验成绩分别是: 刘芳 100 分, 李刚 95 分,张进 91 分, 王英 88 分, 叶莎 94 分, 夏斌 96 分. (先算出 6 个人的平均分,高于平均分的用正数表示, 低于平均分的用负数表示)

(1) 这六名同学的平均分是多少?
(2)

| 姓名 | 刘芳 | 李刚 | 张进 | 王英 | 叶莎 | 夏斌 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 与平均 <br> 分数比 |  |  |  |  |  |  |

算术


Answer:
解：向北走记为正, 那么向南走记为负。

$$
(+5)+(-4)+(+3)+(-2)+(+1)=3 \text { (米) }
$$

答：现在所在位置距离出发点 3 米的北方。

Question: （5 分）向北走 5 米，然后向南走 4 米，再向北走 3 米，再向南走 2 米，再向北走 1 米，现在所在位置距离出发点几米的什么方向?

算术

解：向北走记为正, 那么向南走记为负。

$$
(+5)+(-4)+(+3)+(-2)+(+1)=3 \text { (米) }
$$

答：现在所在位置距离出发点 3 米的北方。


Answer: 解：抢答 5 次，答对 4 道题，答错 1 道题。

Question: （ 5 分）一次智力测验比赛共 10 道抢答题, 规定答对 1 题得 5 分, 答错 1 题得 -8 分，不答得 0 分，小明共得 12 分，他抢答几次？答对几题？答错几题?

算术

解：抢答 5 次，答对 4 道题，答错 1 道题。


Answer: $5200 \times 85 \%=4420$ (元)

Question: （5 分）有一台电脑, 定价 5200 元. 如果八五折(原价的 85\%)出售,售价是多少元?

算术


Answer: $960 \div 80 \% \div(1+50 \%)=800$ (元)

Question: （５分）服装店进了一套衣服，按 $50 \%$ 的盈利标价出售，第一周没有售出, 第二周按标价的八折出售, 以 960 元的价格售出了。这套衣服的进价是多少?

算术


Answer: $20000 \times 4.25 \% \times 3=2550$ (元)

Question: （ 5 分）小丽的妈妈在 2013 年 1 月 1 日把 20000 元钱存入银行, 整存整取 3 年, 年利率是 $4.25 \%$ 。到期时她可以得到利息多少元?

算术


Answer:
$288 \div 80 \% \div(1+20 \%)=300$ (元)

赔了 $300-288=12$ (元)

Question: （５分）一件商品按成本价提高 $20 \%$ 后标价，后来因季节关系，按标价的八折降价出售. 降价后卖 288 元。这件商品卖出后是赚还是赔?赚或赔了多少钱?

算术


Answer: $(3600-800) \times(1-14 \%)+800=3208$ (元)

Question: （５分）小丽的爸爸写了一本《数学家的故事》，应得稿费 3600 元。按规定：一次稿费超过 800 元的部分按 14\%的税率纳税。小丽爸爸的稿费实际收入是多少元?

算术


Answer: $168 \div\{(1+20 \%) \times 88 \%-1)=3000$ (元)

Question: （5 分）一款电视按 $20 \%$ 的利润定价, 然后按八八折卖出, 共得利润 168 元，这款电视机的成本是多少元?

算术


Answer:
设需要走 $x$ 时.

$6: x=4.5: 1.5$ 或 $\frac{6}{x}=\frac{4.5}{1.5}$;

$\mathrm{x}=2$

Question: (6 分）学校组织同学们进行耐力训练，1.5 小时行路 4.5 千米. 照这样的速度, 要行 6 千米,需要走多少小时?

算术


Answer:
方法 $1: 2+3+4=9, \quad 180 \times \frac{3}{9}=60$ (张), $80-60=20$ (张).

方法 2: $2+3+4=9, \quad 180 \times\left(\frac{4}{9}-\frac{3}{9}\right)=180 \times \frac{1}{9}=20$ (张).

Question: （6 分）王老师有 180 张纪念邮票，他按 $2: 3: 4$ 分给小聪、小明、和小好. 小好比小明多分了多少张?

算术


Answer:
方法 $1:$ 养鸡:

$$
120 \times \frac{5}{8}=75(\text { 只 }), \text { 养鸭: } 120 \times \frac{3}{8}=45(\text { 只 }), 75-45=30 \text { (只) }
$$

方法 2 :

$$
120 \times\left(\frac{5}{8}-\frac{3}{8}\right)=120 \times \frac{1}{4}=30(\text { 只 })
$$

Question: （6 分）小聪家共养鸡和鸭 120 只, 鸡和鸭只数的比是 $5 ： 3$. 他家养的鸡比鸭多多少只?

算术


Answer: $100 \div(5-3) \times 5=250$ (克)

Question: （6 分）一块合金中含有金和锡, 锡和金的质量比是 5：3, 已知锡比金多 100 克, 锡有多少克?

算术


Answer:
（1）解： $95-87=8$ (分) 即 +8 分

答: 李阳得了 95 分, 应记作 +8 分。

(2)  $87+(-5)=82$ (分)

答: 刘洋被记作了-5 分, 他实际得分是 82 。

（3）解： $87-87=0$ (分)

答：王刚得了 87 分，应记作 0 分。

(4)  $95-82=13$ (分)

答: 李阳和刘洋相差 13 分。

Question:
 (16 分) 在一次数学测试中，六（1）班的平均成绩 87 分，把高于平均分的记作正数。

（1）（4 分）李阳得了 95 分，应记作多少?

（2）（4 分）刘洋被记作了-5 分，他实际得分是多少?

（3）（4 分）王刚得了 87 分，应记作多少?

（4）（4 分）李阳和刘洋相差多少分?

算术


Answer:
$0^{\circ} \mathrm{C}>-39^{\circ} \mathrm{C}>-117^{\circ} \mathrm{C}$

$0^{\circ} \mathrm{C}$ 与 $-117^{\circ} \mathrm{C}$ 相差 $117^{\circ} \mathrm{C}$

答: 水的冻结温度最高, 酒精的冻结温度最低, 相差 $117^{\circ} \mathrm{C}$.

Question: (5 分) 水冻结的温度是 $0^{\circ} \mathrm{C}$, 酒精冻结的温度是 $-117^{\circ} \mathrm{C}$, 水银冻结的温度是 $-39^{\circ} \mathrm{C}$, 哪一个冻结温度最高?哪一个最低, 它们相差多少?

算术

$0^{\circ} \mathrm{C}>-39^{\circ} \mathrm{C}>-117^{\circ} \mathrm{C}$

$0^{\circ} \mathrm{C}$ 与 $-117^{\circ} \mathrm{C}$ 相差 $117^{\circ} \mathrm{C}$

答: 水的冻结温度最高, 酒精的冻结温度最低, 相差 $117^{\circ} \mathrm{C}$.


Answer: $60 \times 2 \%+60 \times 0.03 \%=1.218$ (万元)

Question: (6 分) 王萍家购买了一套新房,总价 60 万元。按规定,王萍家还要按购房总价的 2\%缴纳契税,按购房总价的 $0.03 \%$ 缴纳印花税。她家一共要缴纳多少万元税费?

算术


Answer: 解： $3000 \times 90 \% \times 95 \%=2700 \times 0.95=2565$ (元)答：实际用了 2565 元.

Question: （6 分）一台全自动洗衣机原价 3000 元, 现价打九折出售; 如果有贵宾卡,还可以再打九五折 。王叔叔用贵宾卡买了一台洗衣机 ，实际用了多少元?

算术


Answer:
$5000-800=4200$ （元） $4200 \times 14 \%=588$ （元）.

答: 陈老师应交税 588 元.

Question: (6 分) 陈老师出版了一本《小学数学解答 100 问》, 获得稿费 5000 元, 按规定, 超出 800 元的部分应缴纳 14\%的个人所得税。陈老师应交税多少元？

算术


Answer:
解：设这辆车的原价是 $\mathrm{x}$ 元.

$x+7 \% x-95 \% x=8400$

$0.12 x=8400$

$\mathrm{x}=70000$

答: 这辆车的原价是 70000 元.

Question: （6 分）爸爸去头汽车，销售人员告诉他，如果分期付款加价 7\%，如果现金购买可享受九五折优惠。爸爸算了算, 发现分期付款比现金购头要多付 8400 元。这辆车的原价是多少元?

算术


Answer:
$20000+20000 \times 3 \times 2.75 \%=21650$ （元）

答：到期后实际能取回 21650 元钱.

Question: （6 分）王大伯把 20000 元人民币存入银行, 定期 3 年, 年利率为 $2.75 \%$, 到期后实际能取回多少钱?

算术


Answer:
$30000+30000 \times 4.5 \% \times 3$

$=30000+4050$

$=34050$ (元)

答：到期王阿姨可以领到利息和本金 34050 元.

Question: （6 分）2016 年的银行年利率是 4.5\%,王阿姨把 30000 元钱存入银行 3 年，到期王阿姨可以领到利息和本金共多少元?

算术


Answer: $15 \div(1-90 \%)=15 \div 10 \%=150$ (元)答: 这个篮球原价 150 元.

Question: （6 分）体育用品商店的篮球打九折销售, 浩浩头了一个篮球便宜了 15 元, 这个篮球原价多少元?

算术


Answer:
银行的利率分别为：定期一年 3.25\% 定期两年 3.75\%一年定期到期后连本带息再存一年定期获得的利息为:

$2000 \times(1+3.25 \%)(1+3.25 \%)-2000=2000 \times 1.0325 \times 1.0325-2000=2065 \times 1.0325-2000=2132.11-2000=132$.11 (元) 直接存两年期到期后获得的利息为: $2000 \times 3.75 \% \times 2=2000 \times 0.0375 \times 2=150$ (元) $150>132.11$

答：直接存两年期到期后获得的利息多.

Question: （6 分）利用收集到的存款利率算一算：甲用 2000 元先存一年定期，到期后连本带息再存一年定期；乙用 2000 元直接存了二年定期. 哪种存款方式到期后获得的利息多?

算术


Answer: (2300-800)x14\%=210 元答: 李老师应缴纳个人所得税 210 元.

Question: （7 分）李老师编写了一本儿童读物，在出版社出版后获得稿费 2300 元. 按规定，稿费收入扣除 800 元后按 $14 \%$ 的税率缴纳个人所得税，李老师应缴纳个人所得税多少元?

算术


Answer:
（1） $x=96-64$

$$
x=32
$$

（2） $25 x=8$

$25 x \div 25=8 \div 25$

$$
x=\frac{8}{25}
$$

（3） $70 \% x=280$

$70 \% x \div 70 \%=280 \div 70 \%$

$$
x=400
$$

（4） $0.8 \mathrm{x}=\frac{4}{3}$

$0.8 x \div \frac{4}{5}=\frac{4}{3} \div \frac{4}{5}$

$$
{ }^{x}=\frac{5}{3}
$$

Question:
 （12 分）解方程
(1) $96-x=64$
(2) $\frac{1}{5}=\frac{5 x}{8}$
(3) $20 \% x+{ }_{\frac{1}{2}} x=280$
(4) 1.6x:
$\frac{6}{13}=\frac{26}{9}: 0.5$

算术


Answer:
(1)  $0.2: 4=\mathrm{x}: 20$

$$
\begin{aligned}
& 4 x=0.2 \times 20 \\
& 4 x=4 \\
& x=4 \div 4 \\
& x=1 \\
& \text { (2)  } 2: \frac{1}{20}^{2}=8: x
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& 2 x=\frac{1}{20}^{\times 8} \\
& 2 x=0.4 \\
& x=0.4 \div 2 \\
& x=0.2
\end{aligned}
$$

Question:
 （8 分）根据下面的条件写出比例, 并解比例

（1）（4 分） 0.2 与 4 的比等于 $x$ 与 20 的比。

（2）（4 分）比的两个外项是 2 与 $x$, 两个内项是 $\frac{1}{20}$ 与 8 。

算术


Answer:
设还需要 $x$ 元。

$$
\frac{x}{80}=\frac{192}{30} \quad \mathrm{x}=512
$$

Question: （4 分）宏达书店购进 30 本《格林童话》,花了 192 元,由于供不应求,老板决定再购进 80 本,还需要多少元?

算术


Answer:
设每人要栽 $x$ 棵。

$(40+10) x=40 \times 15$

$$
\begin{aligned}
& 50 x=600 \\
& x=600 \div 50 \\
& x=12
\end{aligned}
$$

答: 每人要栽 12 棵。

Question: (4 分) 有一批树苗,原计划 40 人去栽,每人要栽 15 棵,后来增加 10 人去栽,每人要栽多少棵?

算术


Answer:
设可以换旧管 $\mathrm{x}$ 根.

$5 x=8 \times 200$

$x=1600 \div 5$

$x=320$

答: 可以换 320 根旧管.

Question: （4 分）城建工人修建一条自来水管道, 用 8 米长的新管换原来 5 米长的旧管。现在用新管 200 根，可以换旧管多少根？

算术


Answer:
解：设返回时用了 $x$ 小时. $45 \times(8-x)=35 x 360-45 x=35 x 35 x+45 x=36080 x=360 x=360 \div 80$ $\mathrm{x}=4.5$

$35 \times 4.5=157.5(\mathrm{~km})$

答: $\mathrm{AB}$ 两地相距 157.5 千米.

Question: （4 分）一艘货轮往返于 A、B 两港之间一次共用 8 小时，由于顺风，从 $\mathrm{A}$ 港开往 $\mathrm{B}$ 港每小时行 $45 \mathrm{~km}$ ，返回时每小时行 $35 \mathrm{~km}$ ，A、B 两港相距多少 $\mathrm{km}$ ?

算术


Answer:
设模型长度 $\mathrm{x}$ 米. $500: \mathrm{x}=800: 1800 \mathrm{x}=500 \times 1 \mathrm{x}=500 \div 800 \mathrm{x}=5$

$\overline{8}$

答: 模型长 ${ }_{5}^{8}$ 米.

Question: (4 分) 一列火车的实际长度是 500 米, 它的长度与模型长度的比是 $800: 1$, 模型长度是多少米?

算术


Answer: <ImageHere>

Question:
 直接写出得数。（10 分）
    $\frac{1}{3} \times 0=$
    $\frac{1}{4} \times \frac{2}{5}=$
    $\frac{5}{6} \times 12=$
    $\frac{7}{12} \times \frac{3}{14}=$
    $45 \times \frac{3}{5}=$
    $9 \times \frac{7}{18}=\quad \frac{2}{3} \times \frac{9}{10}=$
    $\frac{4}{25} \times 100$
    $18 \times \frac{1}{6}=$
    $\frac{4}{11} \times \frac{11}{4}=$

算术


Answer: $9 \frac{9}{16} \quad 44 \quad \frac{5}{9} \quad \frac{5}{2} \quad \frac{4}{15} 14$

Question:
 能简算的要简算。
   $17 \times \frac{9}{16}$
   $\left(\frac{3}{4}+\frac{5}{8}\right) \times 32$
   $\frac{5}{9} \times \frac{3}{4}+\frac{5}{9} \times \frac{1}{4}$
   $\frac{4}{5} \times \frac{1}{8} \times 16$
   $\frac{1}{5}+\frac{2}{9} \times \frac{3}{10}$
   $44-72 \times \frac{5}{12}$

算术


Answer:
$400 \times\left(1-\frac{3}{5}\right)=160$ (m)

$168 \times\left(1+\frac{2}{7}\right)=216(\mathrm{t})$

$480 \times \frac{5}{6}=400$ （元）

$160 \times \frac{7}{8} \times \frac{4}{5}=112$ (朵)

Question:
 看图列式计算。(12 分)
    <ImageHere>

算术


Answer: $48 \times\left(1+\frac{1}{4}\right)=60$ (张)

Question: 小芳有 48 张邮票, 小军的邮票张数比小芳多 $\frac{1}{4}$, 小军有多少张邮票? (4 分)

算术


Answer: $480 \times \frac{5}{8}+45=345$ （人）

Question: 制衣厂有男职工 480 人，女职工人数比男职工人数的 $\frac{5}{8}$ 还多 45 人，女职工有多少人?(4 分)

算术


Answer: $500 \times \frac{4}{5} \times \frac{8}{9}=450$ (元)

Question: 六年级同学给灾区捐款 $\frac{9}{8}$ 六 (1) 班捐了 500 元，六 (2) 班捐的钱数是六 (1) 班的 $\frac{4}{5}$,六 (3) 班捐的钱数是六 (2) 班的 。六 (3) 班捐款多少元?（4 分）

算术


Answer: $180 \times\left(1-\frac{1}{5}\right.$ ) $=144$ (元)

Question: 一件西服原价 180 元，现在的价格比原价降低了 $\frac{1}{5}$, 现在的价格是多少元? (5 分)

算术


Answer: $5 \times \frac{2}{5}-\frac{2}{5}=\frac{8}{5} \quad(\mathrm{~km})$

Question: 修路队计划修路 $5 \mathrm{~km}$, 已经修了 $\frac{2}{5} \mathrm{~km}$, 还要修多少千米, 就正好修了全长的 $\frac{2}{5} ?$ (5 分)

算术


Answer: $\frac{3}{4} x(9-1)=6$ (分钟)

Question: 一根钢管锯成 2 段要 $\frac{3}{4}$ 分钟, 若锯成 9 段需要多少分钟? (5 分)

算术


Answer: $138 \frac{68}{69}$

Question: 计算: $139 \times \frac{137}{138}+137 \times \frac{1}{138}$

算术


Answer: $\frac{1}{4} \quad \frac{21}{16} \quad 8  \quad\frac{1}{3} \quad 0\quad  \frac{4}{5}$

Question:
 看谁算得又对又快。(18 分)

$\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \div 2$

$\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{8}\right) \div \frac{2}{9}$

$10-1.5 \div \frac{3}{4}$

$\frac{7}{10} \div \frac{16}{5} \div \frac{21}{32}$

$2-\frac{6}{13} \div \frac{9}{26}-\frac{2}{3}$

$0.8 \times \frac{2}{3}+0.2 \div 0.75$

算术


Answer:
答案:（1）-150 $\quad$ (2) 提示:画出线段长 2 厘米。(3) 提示: 画出线段距上元大街2.5 厘米。

<ImageHere>

25.答案: 解:设六年级募捐善款 $x$ 元, 五年级募捐善款 $\frac{3}{4} x$ 元。

$x+\frac{3}{4} x=2800 \quad x=1600 \quad \frac{3}{4} x \frac{3}{4} \times 1600=1200$

Question: 在 “玉树抗震救灾献爱心” 捐款活动中, 科学园小学五、六年级同学共募捐善款 2800 元, 其中五年级募捐的款项是六年级的 $\frac{3}{4}$ ，五、六年级各募捐善款多少元？（用方程解）

代数

答案:（1）-150 $\quad$ (2) 提示:画出线段长 2 厘米。(3) 提示: 画出线段距上元大街2.5 厘米。

<ImageHere>

25.答案: 解:设六年级募捐善款 $x$ 元, 五年级募捐善款 $\frac{3}{4} x$ 元。

$x+\frac{3}{4} x=2800 \quad x=1600 \quad \frac{3}{4} x \frac{3}{4} \times 1600=1200$


Answer: $ x=\frac{1}{10} \quad x=\frac{1}{3} \quad x=24$

Question:
 解方程。(9 分)

$\mathrm{x} \div \frac{5}{6}=\frac{5}{12}$

$\frac{1}{4} x+\frac{3}{4}=\frac{5}{6}$

$x+\frac{1}{2} x=36$

代数


Answer:
苹果: $240 \div\left(1+\frac{3}{5}\right)=150(\mathrm{~kg})$

梨: $240-150=90(\mathrm{~kg})$

或 $150 x \frac{3}{5}=90(\mathrm{~kg})$

Question: 水果店运进苹果和梨共 $240 \mathrm{~kg}$, 其中梨的质量是苹果的 $\frac{3}{5}$, 运进苹果和梨各多少千克?(6 分)

代数


Answer:
(1) $120 \times \frac{3}{4}-15$
   (2) $30 \div(120+30)$
   (3) $140 \times\left(1+\frac{2}{7}\right)$
   (4) $357 \div(1+75 \%)$

Question:
 只列综合算式或方程，不必计算。（16 分）

(1) 图书馆里连环画册的本数是科技书的 $\frac{3}{4}$, 故事书的本数比连环画册少 15 本。已知科技书有 120 本，故事书有多少本? (4 分)

（2）学校建综合楼，实际投资 120 万元，节约了 30 万元，节约了百分之几？（4 分）

(3) 为迎接元旦, 学校制作了一批纸花, 其中红花 140 朵, 黄花比红花多 $\frac{2}{7}$, 黄花有多少朵? (4 分)

(4)希望小学五、六年级一共有学生 357 人，五年级学生人数是六年级的 $75 \%$ 。六年级有多少学生?

代数


Answer:
答案:180 分 $=3$ 小时 1 天 $=24$ 小时

解: 设 “神舟十号”飞船一天能绕地球飞行 $x$ 圈。

$3: 2=24: x \quad x=16$

Question:
我校在 “创建绿色循环经济示范单位” 活动中, 打算在生物园新挖一个直径是 6 米，深 12 分米的圆形水池。

(1) 这个水池的占地面积是多少?

（2）如果这个水池修好后，需要用水泥把池底和侧壁粉刷，粉刷的面积有多大?

度量几何学

答案:180 分 $=3$ 小时 1 天 $=24$ 小时

解: 设 “神舟十号”飞船一天能绕地球飞行 $x$ 圈。

$3: 2=24: x \quad x=16$


Answer: 反

Question: 平行四边形的面积一定, 它的底和高成 ( ) 比例。

度量几何学


Question:
在下面的 $\mathrm{O}$ 里填入 “>”、“<”或 “=”。

$$
-

度量几何学


Answer:
答案: 解: $12 \div \frac{1}{5000000}=60000000$ (厘米), 60000000 厘米 $=600$ 千米 $600 \div\left(90+90 \times \frac{2}{3}\right)$
$=600 \div 150$

$=4$ (小时)

答: 两车 4 小时后相遇.

Question: 在比例尺是 1： 5000000 的地图上，量得两地的距离是 12 厘米，甲、乙两辆汽车同时从两地相对开出, 已知甲车速度每小时 90 千米, 乙车的速度是甲车的 $\frac{2}{3}$, 两车几小时后相遇?

度量几何学


Answer: 答案:12 分米 $=

Question: 我校在 “创建绿色循环经济示范单位” 活动中, 打算在生物园新挖一个直径是 6 米, 深 12 分米的圆形水池。如果这个水池修好后, 需要用水泥把池底和侧壁粉刷, 粉刷的面积有多大?

度量几何学


Answer: 答案: $9.42 ; 25.12 ; 28.26 ; 0.04$

Question:
直接写出得数。

\begin{tabular}{llll}
$3 \pi=$ & $8 \pi=$ & $9 \pi=$ & $

度量几何学


Answer:
$5-2=3$ (米)

答: 露出水面的部分记为 +3 米。

Question: （5 分 ）一根 5 米长的竹竿，插在水中的部分有 2 米，记作 -2 米. 那么露出水面的部分如何记?

度量几何学

$5-2=3$ (米)

答: 露出水面的部分记为 +3 米。


Answer:
（1）解： +0.05 米表示水面高于标准水位 0.05 米，-0.8 米表示水面低于标准水位 0.8 米。

（2） 水位高于标准水位 0.45 米，记作： +0.45 米。

Question:
 （8 分）某游泳池的标准水位记为 0 米, 如果用正数表示水面高于标准水位的高度, 那么:

(1) (4 分) +0.05 米和 -0.8 米各表示什么?

（2）（4 分）水位高于标准水位 0.45 米怎样表示?

度量几何学

（1）解： +0.05 米表示水面高于标准水位 0.05 米，-0.8 米表示水面低于标准水位 0.8 米。

（2） 水位高于标准水位 0.45 米，记作： +0.45 米。


Answer:
（1）解： $10 \times 80=800$ (千米)

（2） $600 \div 80=7.5$ (时)

Question:
 （10 分）一辆汽车在公路上行驶,行驶的时间和路程如图。

<ImageHere>

（1）（5 分）10 时行了多少千米?

(2)（5 分）行驶 600 千米,需要几时?

度量几何学


Answer:
辣椒: $360 \times \frac{3}{5}=216\left(\mathrm{~m}^{2}\right)$
    西红柿:(30-216) $\times \frac{5}{8}=9(\mathrm{~m})$

黄瓜:(360-216) $\times \frac{3}{8}=54(\mathrm{~m})$

Question: 有一个 $360 \mathrm{~m}^{2}$ 的蔬菜大棚, 准备用 $\frac{3}{5}$ 种辣椒, 剩下的按 $5: 3$ 的面积比种西红柿和黄瓜。三种蔬菜各种多少平方米?(6 分)

度量几何学


Answer: $20 .56 \mathrm{~cm} \quad 82.26 \mathrm{~cm}$

Question:
 求下面图形的周长。(8 分)
    <ImageHere>

度量几何学


Answer: $62 .8 \mathrm{~cm}^{2} \quad 7.74 \mathrm{dm}$

Question:
 求出下面各图中阴影部分的面积。(8 分)
    <ImageHere>

度量几何学


Answer:
$4 \times 2 \times $$3.14=25.12(\mathrm{~cm})$
      $25.12 \times 24=602.88(\mathrm{~cm})$

Question: 一只闹钟, 它的分针长 $4 \mathrm{~cm}$, 这根分针的尖端转动一昼夜所走的路程是多少厘米? (5 分)<ImageHere>

度量几何学


Answer:
$0 .35 \times 2 \times 3.14=2.198(\mathrm{~m})$

   $2.198 \times 100 \times 60=13188(\mathrm{~m})$

Question: 一辆自行车的车轮半径是 $35 \mathrm{~cm}$, 如果车轮平均每分钟转 100 圈, 这辆自行车每小时能行驶多少米?(5 分)

度量几何学


Answer: $10 \times 8-\left(\frac{10}{2}\right){ }^{2} \times 3.14 \div 2=40.75\left(\mathrm{dm}^{2}\right)$

Question: 从一个长 $10 \mathrm{dm}$ 、宽 $8 \mathrm{dm}$ 的长方形本板上锯下一个最大的半圆, 剩下的木板是多少平方分米?(6 分)

度量几何学


Answer: 答案:rac{1}{3} 	imes 3.14 	imes(6 \div 2)^{2} 	imes 2.5=23.55$ (立方米) $23.55 	imes 1.8 \div 8 \approx 6$ (次)

Question: 一个圆锥形沙堆, 底面直径是 6 米, 高是

立体几何学


Answer:
$3.14 	imes(12 \div 2)^{2} 	imes 14 	imes rac{1}{3}$=3.14 	imes 36 	imes 14 	imes rac{1}{3}$$=527.52\left(\mathrm{~cm}^{3}
ight)$

Question:
求下图圆锥的体积。

<ImageHere>24.如图是一种钢制的配件（图中数据单位: cm）请计算它的表面积和体积．

<ImageHere>

立体几何学


Answer: 解: $20 \div 2=10$ (厘米)$10 	imes 10 	imes 3.14 	imes 30=9420$ (立方厘米)$25 \div 2=12.5$ (厘米)$12.5 	imes 12.5 	imes 3.14 	imes 20=9812.5$ （立方厘米）$9420<9812.5$答: 这个圆柱的体积是 9812.5 立方厘米。

Question: 将一个长 30 厘米, 宽 25 厘米, 高 20 厘米的长方体木块削成一个最大的圆柱, 这个圆柱的体积是多少?

立体几何学


Answer:
; 84.78$

22.答案:解: $

Question: 已知一根长 3 米的圆柱形木料, 将它截成 4 段, 其表面积增加

立体几何学


Answer: 解：底面积：3.14× ( $8 \div 2)^{2}$ $=3.14 	imes 16$$=50.24$ (平方分米)侧面积: $3.14 	imes 8 	imes 12$$=3.14 	imes 96$$=301.44$ (平方分米) 需要铁皮重量:$(50.24+301.44) 	imes 50 	imes 6.5$$=351.68 	imes 325$$=114296$ (千克)答: 做好这些铁桶应该用 114296 千克的铁皮。

Question: 李师傅做了 50 个直经是 $8 \mathrm{dm}$ 高是 $12 \mathrm{dm}$ 的圆柱形铁桶, 每 $1 \mathrm{dm}^{2}$ 的铁桶重 $

立体几何学


Answer: (1) 解: $18.84 \div 3.14 \div 2$$=6 \div 2$$=3$ (分米)$18.84 	imes 5+3.14 	imes 3^{2}$$=18.84 	imes 5+3.14 	imes 9$$=94.2+28.26$$=122.46$ (平方分米)答: 做这个水桶至少用去木板 122.46 平方分米。(2) 解： $3.14 	imes 3^{2} 	imes 5$$=3.14 	imes 9 	imes 5$$=28.26 	imes 5$$=141.3$ （立方分米）$=141.3$ (升)141.3 升 $>100$ 升, 能装下。答: 这个水桶能盛 100 升水。

Question:
一个圆柱形水桶, 底面半径是 10 厘米, 高是 20 厘米。

（1）给这个水桶加个盖,水桶盖的面积至少是多少平方厘米?

（2）给这个水桶(不包括盖)外面刷上油漆,刷油漆的面积是多少平方厘米?

（3）这个水桶能装多少升水?(水桶的厚度忽略不计)

立体几何学


Answer:
$3.14 	imes\left(rac{2}{2}
ight)^{2} 	imes 5 \div(8 	imes 3.14)=0.625$ (米)

Question: 学校把一个堆成底面直径是 2 米, 高 5 米的圆锥形沙子, 填铺到一个长 8 米, 宽

立体几何学


Answer:
圆雉和圆柱的面积共为: $3.14 \times(18.84 \div 3.14 \div 2)^{2}=28.26$ (平方米),所以圆锥和圆柱的总体积（即粮仓的总容积）为： $\frac{1}{3} \times 28.26 \times 0.6+28.26 \times 2=62.172$ (立方米),

稻谷的质量为: $600 \times 62.172=37303.2$ (千克)。

Question: （５分）一个粮仓装满稻谷后上半部分是圆锥形，下半部分是圆柱形。粮仓的底面周长是 18.84 米，圆柱高 2 米，圆锥高 0.6 米。如果每立方米稻谷重 600 千克，那么这个粮仓装有多少千克稻谷?

立体几何学


Answer: $15 \times 15 \times 15 \div\left(3.14 \mathrm{X} 20^{2}\right) \approx 2.7$ (厘米)

Question: （5 分）将一个棱长为 15 厘米的正方体容器装满水, 倒入一个底面半径是 20 厘米的圆柱体容器中, 这时圆柱体容器的水深多少厘米? (得数保留一位小数）

立体几何学

$15 \times 15 \times 15 \div\left(3.14 \mathrm{X} 20^{2}\right) \approx 2.7$ (厘米)


Answer: $3.14 \times 10^{2} \times 20 \div 2+20 \times 20 \times 20=11140$ (立方厘米) $=11.41$ (立方分米)

Question:
 （ 5 分）一个工具箱的下半部分是棱长为 20 厘米的正方体，上半部分是圆柱体的一半。这个工具箱的体积是多少立方分米?

<ImageHere>

立体几何学


Answer:
$3.14 \div 2 \div 3.14=0.5$ (分米)

$3.14 \times 0.52 \times 0.8 \div\left(1-\frac{2}{3}\right)=1.884$ (立方分米 $)$

Question: ( 6 分 ）一个底面周长是 3.14 分米的圆柱形玻璃杯内盛有一些水, 恰好占杯子容量的 $\frac{2}{3}$ 。将两个同样大小的鸡蛋放人杯子中, 浸没在水里。这时水面上升 8 厘米, 刚好与杯子口平齐, 求玻璃杯的容积。

立体几何学


Answer:
$3.6 \times \frac{2}{3}=2.4$ (立方米)

$4 \times 2=8$ (平方米)

Question: （6 分）有一个圆雉体沙堆, 底面积是 3.6 平方米, 高 2 米。将这些沙铺在一个长 4 米, 宽 2 米的长方体沙坑里, 能铺多厚?

立体几何学


Answer:
$12.56 \div 2 \div 3.14=2(\mathrm{dm})$

$2 \mathrm{~cm}=0.2 \mathrm{dm}$

Question: ( 6 分 ) 把一个底面半径为 $1 \mathrm{dm}$ 的圆雉形金属完全浸没在底面周长为 $12.56 \mathrm{dm}$ 的装有水的圆柱玻璃杯中, 杯子的水面比原来上升了 $2 \mathrm{~cm}$ (水没有溢出), 求圆雉的高。

立体几何学


Answer: 先求长、宽、高的和: $120 \div 4=30(\mathrm{~cm})$, 再按比分配, 长是 $15 \mathrm{~cm}$, 宽 $10 \mathrm{~cm}$, 高 $5 \mathrm{~cm}$.

Question: （7 分）工人王师傅用 $120 \mathrm{~cm}$ 的细铁丝焊接成一个长方体, 长、宽、高的比是 $3: 2: 1$. 这个长方体的长、宽、高分别是多少?

立体几何学

先求长、宽、高的和: $120 \div 4=30(\mathrm{~cm})$, 再按比分配, 长是 $15 \mathrm{~cm}$, 宽 $10 \mathrm{~cm}$, 高 $5 \mathrm{~cm}$.


Answer: D

Question:
怎样计算简单就怎样算: (12 分)
$\left(\frac{4}{7}-\frac{3}{14}\right) \div \frac{1}{28}$
$22.下图是某市世纪联华超市附近的平面图, 仔细观察, 填一填, 画一画。 (6 分)

(1) 若从世纪联华往北走 50 米, 记世纪联华往南走 150 米, 记作

(2) 幼儿园在世纪联华南偏东

<ImageHere>
处, 请在图中标出幼儿园的位置。

(3) 金箔路与上元大街平行, 并垂直于竹山路, 距上元大街 500 米, 请在图中画出金箔路的位置。

解析几何


Answer:
$80 \div 2=40$ (cm)

长: $40 \times \frac{5}{8}=25(\mathrm{~cm})$

宽: $40 \times \frac{3}{8}=15(\mathrm{~cm})$

Question: 用 $80 \mathrm{~m}$ 长的铁丝做一个长方形的框架, 宽是长的 $\frac{4}{5}$ 。这个长方形框架的长、宽分别是多少?(6 分)

解析几何


Answer: 答案:解: $25000+25000 \times

Question: 淘气的妈妈买了 25000 元的国家建设债券, 期限三年, 当时的年利率为 $

计数


Answer:
答案:解:

| 星期一 | +

Question:
某商场一星期的经营情况如下:

星期一: 盈利

计数

答案:解:

| 星期一 | +


Answer: (1) 解: $8>-2$, 所以南京的最高温度高。答: 北京与南京, 南京的最高温度高。 (2) 解: 因为 $9>9$, 所以 $9^{\circ} \mathrm{C}>8^{\circ} \mathrm{C}$; 因为 $2<8$, 所以 $-2^{\circ} \mathrm{C}>-8^{\circ} \mathrm{C}$; 又因为正数一定大于负数, 所以 $9^{\circ} \mathrm{C}>8^{\circ} \mathrm{C}>-2^{\circ} \mathrm{C}>-8^{\circ} \mathrm{C}$ 。答: 这 4 座城市的最高温度从高到低排列是: $9^{\circ} \mathrm{C}>8^{\circ} \mathrm{C}>-2^{\circ} \mathrm{C}>-8^{\circ} \mathrm{C}$ 。(3) 解: 由第 (2) 问可知: 这 4 座城市的最高温度从高到低排列是: $9^{\circ} \mathrm{C}>8^{\circ} \mathrm{C}>-2^{\circ} \mathrm{C}>-8^{\circ} \mathrm{C}$, 所以最高温度最低的城市是哈尔滨, 最高温度最高的城市是上海。又因为 $9-(-8)=9+8=17^{\circ} \mathrm{C}$, 所以它们的最高温度相差 $17^{\circ} \mathrm{C}$ 。答: 在这 4 座城市中, 最高温度最低的城市是哈尔滨, 最高温度最高的城市是上海, 它们的最高温度相差 $17^{\circ} \mathrm{C}$ 。

Question:
看表回答问题。

某天几座城市的最高温度统计表

| 城市 | 哈尔滨北京 | 南京 | 上海 |  |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 最高温度 | $-8^{\circ} \mathrm{C}$ | $-2^{\circ} \mathrm{C}$ | $8^{\circ} \mathrm{C}$ | $9^{\circ} \mathrm{C}$ |

(1) 北京与南京, 哪座城市的最高温度高?

(2) 把这 4 座城市的最高温度从高到低排列出来。

（3）在这 4 座城市中, 最高温度最低的城市是哪一座? 最高温度最高的城市是哪一座? 它们的最高温度相差多少 $?$

计数


Answer: 答案:解: 设需要走 $x$ 时.$$egin{aligned}& 6: x=4.5: 1.5 	ext { 或 } rac{6}{x}=rac{4.5}{1.5} ; \& x=2\end{aligned}$$

Question: 学校组织同学们进行耐力训练,

计数


Answer:
答案: $13 \div 3=4 \cdots 1$

$4+1=5$

答：其中必有一次的点数不低于 5 .

Question: 小王郑股子, 3 次的点数加起来是 13 , 其中必有一次的点数不低于多少?

计数

答案: $13 \div 3=4 \cdots 1$

$4+1=5$

答：其中必有一次的点数不低于 5 .


Answer: $10 \div 100=10 \%, 1800 	imes(1-10 \%)=1620$ (棵)

Question: 飞云雅琳农园，计划种植 1800 棵果树。先试种了 100 棵，其中没有成活的有 10 棵。试种时树苗的成活率是多少？根据此成活率估算这批树苗可以成活多少棵？

计数


Answer:
（1） +1.5 万元表示盈利 1.5 万元.

（2） -0.2 万元表示亏损 0.2 万元.

（3） $+4.9>+3.2>+2.3>+1.5>-0.2>-1.2$

Question:
（20 分）新华小吃店今年上半年营业利润情况如下表.

| 月分 | - | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 盈亏金额 <br> (万元) | +1.5 | +2.3 | -0.2 | +3.2 | +4.9 | -1.2 |

从上表中你知道了哪些情况?

（1）你知道 “ +1.5 万元” 表示什么吗?

（2）知道 “ -0.2 万元” 表示什么吗?

（3）哪个月的营业情况最好？这个月的营业利润是多少元?

（4）新华小吃店，在上半年里有几个月盈利？有几个月亏损？

你知道吗, 在通常情况下，盈利用正数表示，亏损用负数表示。

计数


Answer:
（1）解：变动情况如表所示。.

| 站名 | 上车 | 下车 |
| :--- | :--- | :--- |
| 商品城 | +15 | 0 |
| 广场 | +6 | -8 |
| 电影院 | +9 | -7 |
| 电视台 | +12 | -10 |

（2） $15+6+9+12=42$ (人)

答: 车上一共载过 42 位乘客。

(3)  $42 \times 2=84$ (元)

答: 车上共售票 84 元。

Question:
 （12 分

<ImageHere>
商品城 $\rightarrow$ 广场 $\rightarrow$ 电影院 $\rightarrow$ 电视台 $\rightarrow$ 车站

商品城上车 15 人。广场下车 8 人，上车 6 人。电影院下车 7 人，上车 9 人。电视台下车 10 人, 上车 12 人。

（1）（4 分）在表格内用正、负数记录公交车的人数变动情况。

| 站名 | 上车 | 下车 |
| :--- | :--- | :--- |
| 商品城 | +15 | 0 |
| 广场 |  |  |
| 电影院 |  |  |
| 电视台 |  |  |

（2）（4 分）从商品城到车站（终点站），车上一共载过多少乘客？

（3）（4 分）若每人票价按 2 元计算，则车上共售票多少元？

计数


Answer:
（1）解：杨阳、王昆、刘明和郭成达到了标准。

(2)  $9-3+9-1+9+9+2+9-2+9-2+9+9+3=69$ (个)

答: 这 8 名男生共做了 69 个引体向上。

Question:
 （8 分）体育课上, 8 名男生进行引体向上测试, 以 9 个为标准, 超过的次数用正数表示,不足的次数用负数表示, 记录如下:

| 学生 | 张亮 | 李忠 | 杨阳 | 王昆 | 陈平 | 孙刚 | 刘明 | 郭成 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 记录数 | -3 | -1 | 0 | 2 | -2 | -2 | 0 | 3 |

（1）（4 分）从上表中你发现: 哪几名男生达到标准?

（2）（4 分）这 8 名男生共做了多少个引体向上?

计数


Answer: $600 \div(2 \times 3.14 \times 5)=19$ (个)

Question: 一根 $60 \mathrm{dm}$ 长的铁丝, 将它做成半径为 $5 \mathrm{~cm}$ 的铁圈(接头处忽略不计), 最多可以做多少个?(5 分)

计数


Answer: $12 \div 30=0.4=40 \%$

Question: 古诗《春》是这样的:春水春池满, 春进春草生。春树绽春芯, 春雨伴春风。春人饮春酒, 春鸟弄春色。作者在这首诗中放情吟春, 神采飞扬。全诗中 “春” 字出现得特别多。请你算一算, “春” 的字数占全诗总字数的百分之几?(5 分)

计数


Answer: 答案:(1) $10.1-4 x=2.9$解: $10.1-2.9=4 \mathrm{x}$$$egin{gathered}4 x=7.2 \x=7.2 \div 4 \x=1.8\end{gathered}$$(2) 7.5: $x=24: 12$解: $24 \mathrm{x}=12 	imes 7.5$$$egin{aligned}24 x & =90 \x & =3.7\end{aligned}$$

Question:
解比例或解方程。
(1) $

画法几何学


Answer: 作图如下:<ImageHere>

Question:
根据描述，在平面图上标出各场所位置.

(1) 图书馆在校门的北偏西 $35^{\circ}$ 方向 $200 \mathrm{~m}$.

(2) 体育馆在校门的北偏东 $45^{\circ}$ 方向 $150 \mathrm{~m}$.

（3）餐厅在图书馆的正西方向 $50 \mathrm{~m}$.

(4) 实验楼在体育馆的北偏西 $60^{\circ}$ 方向 $100 \mathrm{~m}$.

<ImageHere>

画法几何学


Answer: 答案:9 个

Question: 盒子里有红球、黄球各 8 个, 最少摸出几个, 才能保证有两种不同颜色的球?

组合数学


Answer:
答案: $5 \times 4 \div 2=10$ (种)

$10 \times 3+1=31($ 人)

答: 至少有 31 人去取才能保证有 4 人取的书完全一样.

Question:
有 A、B、C、D、E 五种课外读物各若干本，如果每个人可以在 5 种读物
中任取 2 种各 1 本. 至少有多少人去取才能保证有 4 人取的书完全一样?

组合数学

答案: $5 \times 4 \div 2=10$ (种)

$10 \times 3+1=31($ 人)

答: 至少有 31 人去取才能保证有 4 人取的书完全一样.


Answer:
答案: $11 \div 3=3$ （封） $\cdots 2$ （封）

$3+1=4$ （封）

答：至少有 4 封信投入同一个信箱里; 因为平均每个邮箱放 3 封, 还余 2 封, 这 2 封无论怎么放, 都至少有 4 封信投入同一个信箱里.

Question: 11 封信投入 3 个邮箱里, 至少有 4 封信投入同一个信箱里, 为什么?（用自己喜欢的方式说明）

组合数学

答案: $11 \div 3=3$ （封） $\cdots 2$ （封）

$3+1=4$ （封）

答：至少有 4 封信投入同一个信箱里; 因为平均每个邮箱放 3 封, 还余 2 封, 这 2 封无论怎么放, 都至少有 4 封信投入同一个信箱里.


Answer:
解：设乙书架有 $\mathrm{x}$ 本，那么甲 $108-\mathrm{x}$ 本，丙 $140-\mathrm{x}$ 本， $(108-\mathrm{x}) ：(140-\mathrm{x})=3 ： 7$
$(140-108) \div(7-3) \times 3=24$ (本)
甲书架有书的本数

$108-24=84($ 本 $)$ $\qquad$乙书架有书的本数

或

$$
(140-108) \div(7-3) \times 7=56 \text { (本) }
$$

.丙书架有书的本数
$140-56=84$ (本) $\qquad$乙书架有书的本数

Question: （6 分）甲、乙两书架共有书 108 本, 乙、丙两书架共有书 140 本, 甲、丙书架上书的本数的比是 3:7, 乙书架有书多少本?

组合数学


Answer:
$4+1=5$ (次)

答: 他至少摸 5 次, 才能保证有 2 次摸出的球相同。

Question: （6 分）1 只口袋里装有 10 个黄球和 10 个红球（这些球除颜色不同外其他都相同）。小明 1 次从袋子中摸出 3 个球。他至少摸几次，才能保证有 2 次摸出的球相同?

组合数学

$4+1=5$ (次)

答: 他至少摸 5 次, 才能保证有 2 次摸出的球相同。


Answer: 答: 因为如果前 6 天各穿一套衣服, 那么第 7 天无论穿哪套衣服, 都至少有两天拍的照片中她穿的是同一套衣服。

Question:
（6 分）张阿姨 “五一”放假的时候参加 “泰国七日游”（七日包括出
发日和返回日）。出门前, 包括出发当天身上穿的衣服在内，她一共整理了 6 套衣服（旅游期间，张阿姨只按搭配好的套装穿，每天换一套，不混搭，不另购）。如果张阿姨每天都拍了照，七天所拍的照片中，至少有两天拍的照片中她穿的是同一套衣服。请说明理由。

组合数学

答: 因为如果前 6 天各穿一套衣服, 那么第 7 天无论穿哪套衣服, 都至少有两天拍的照片中她穿的是同一套衣服。


Answer: 答案: 13 步

Question: 一个圆形广场,小莉从一边沿直径走到另一边走了 4 步，如果每步长约 $55 \mathrm{~cm}$,那么着广场的边走一圈,大约需要走多少步? (得数保留整数)

组合几何学


Answer: 答案:明明一家从家出发向正西行驶，经过邮局、医院、少年宫、火车站，然后向西偏南 $20^{\circ}$ 的方向行驶，经过游泳馆、商店，再向东偏南 $20^{\circ}$ 的方向行驶，经过动物园，到达度假村。

Question:
下面是周日明明一家开车去度假村的行驶线路图。请根据线路图描述明明一家所行驶的路线。

<ImageHere>\begin{tabular}{|l|l|l|l|}\hline & 方 向 & 路程 & 时间 \\hline 家 $
ightarrow$ 公园 & & & 12分 \\hline 公园图书馆 & & & 8分 \\hline 全 程 & & & \\hline\end{tabular}（2）小刚走完全程的平均速度是多少?<ImageHere>

图论

答案:明明一家从家出发向正西行驶，经过邮局、医院、少年宫、火车站，然后向西偏南 $20^{\circ}$ 的方向行驶，经过游泳馆、商店，再向东偏南 $20^{\circ}$ 的方向行驶，经过动物园，到达度假村。


Answer: 10 键；-1 表示负一层， -2 表示负二层。

Question:
 如果要到 10 层按哪个键?

这里 $-1 、-2$ 表示什么意思?

逻辑题

10 键；-1 表示负一层， -2 表示负二层。


Answer: 见详解

Question:
 (1) 画出图(1)以 $O$ 为中心顺时针旋转 $90^{\circ}$ 后的图形。

(2) 画出图(2)以 $a b$ 为对称轴的另一半图形。

(3) 画出图(3)按 $2: 1$ 放大后的图形。

<ImageHere>

变换几何


Answer:
(1) 解：张山的得分为: $8,9,9,10$,

最中间的数是 9 和 9

$\therefore$ 张山得分对的中位数为: $(9+9) \div 2=9$;

方差为: $\frac{(8-9)^{2}+2(9-9)^{2}+(10-9)^{2}}{4}=0.5$

李仕的得分：7, $9,10,10$,

平均成绩为:

$$
\frac{7+9+10+10}{4}=9
$$

10 出现了 2 次, 是出现次数最多的数,

$\therefore$ 李仕得分的众数为 10 ;

| 姓名 | 平均成绩(分) | 中位数(分) | 众数(分) | 方差(分 $^{2}$ ) |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 张山 | 9 | 9 | 9 | 0.5 |
| 李仕 | 9 | 9.5 | 10 | 1.5 |

(2) 从中位数角度考虑, 李仕大于张山, 说明李仕高分项目多;从反差角度考虑, 李仕大于张山, 说明张山各项成绩均衡。

(3) 张山的综合得分为: $\frac{8 \times 4+9+2 \times 9+3 \times 10}{10}=8.9$ 分;
李仕的综合得分为: $\frac{7 \times 4+9+2 \times 10+3 \times 10}{10}=8.7$

$8.9>8.7$

$\therefore$ 张山的综合得分更高.

Question:
(15 分 ) 入为响应习近平提出的“绿水青山就是金山银山”的重要思想某校举办了“绿水青山, 生态文明"知识竞赛(竞每一项的满分 10 分, 学生得分均为整数).在这次竞赛中张山与李仕两位同学表现优秀，他们的四项成绩分布的条形统计图如图所示根据上图结果解答下列问题。

<ImageHere>

(1) 补充完成下表

| 姓名 | 平均成绩(分) | 中位数(分) | 众数(分) | 方差(分 ${ }^{2}$ ) |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 张山 | 9 |  | 9 |  |
| 李仕 |  | 9.5 |  | 1.5 |

(2) 根据(1)题数据, 分别从中位数、方差两个角度比较说明两位同学的各自优势?

（3）若实践操作、环保论文、现场抢答、笔试得分技 $4: 1: 2: 3$ 的比例折合成综合得分, 请通过计算说明哪位同学的综合得分更高。

计数


Answer:
 解：由中位数的定义可知,

这组数据从大到小排列为: $3.8,4.1,4.6,4.8,5.2,6$,

$\therefore$ 其中位数是（4.6+4.8） $\div 2=4.7 （$ 元） .

答: 中位数是 4.7 元.

Question:
(6 分) 某学校积极响应上级的号召, 举行了“决不让一个学生因贫困而失学”的捐资助学活动, 其中 6 个班同学的捐款平均数如下表:

| 班级 | 一班 | 二班 | 三班四班五班六班 |  |  |  |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 捐款平均数（元） | 6 | 4.6 | 4.1 | 3.8 | 4.8 | 5.2 |

则这组数据的中位数是多少元?

计数

 解：由中位数的定义可知,

这组数据从大到小排列为: $3.8,4.1,4.6,4.8,5.2,6$,

$\therefore$ 其中位数是（4.6+4.8） $\div 2=4.7 （$ 元） .

答: 中位数是 4.7 元.


Answer:
（1）解：依题可得：第 7 天, 这一路口的行人交通违章次数是 8 次.这 20 天中, 行人交通违章 6 次的有 5 天.

(2) 解: 补全的频数直方图如图所示:

某路口 20 天内行人交通违童

次敏的频数直方国

<ImageHere>

(3) 解: 第一次调查, 平均每天行人的交通违章次数为:

$5 \times 3+6 \times 5+7 \times 4+8 \times 5+9 \times 3$ $=7$ (次) .

$\because 7-4=3$ (次)

$\therefore$ 通过宣传教育后, 这一路口平均每天还出现 3 次行人的交通违章.

Question:
(15 分 ) 为积极创建全国文明城市, 某市对某路口的行人交通违章情况进行了 20 天的调查, 将所得数据绘制成如下统计图（图 2 不完整）：

<ImageHere>

莱路口 20 天内行人交通违费次数的境计覑造事效数

<ImageHere>

r 1莱路口 20 天内行人交通违

次数的㭥数直方目

<ImageHere>

图 2

请根据所给信息，解答下列问题:

（1）第 7 天, 这一路口的行人交通违章次数是多少次？这 20 天中，行人交通违章 6 次的有多少天?

(2) 请把图 2 中的频数直方图补充完整;

（3）通过宣传教育后, 行人的交通违章次数明显减少. 经对这一路口的再次调查发现, 平均每天的行人交通违章次数比第一次调查时减少了 4 次, 求通过宣传教育后, 这一路口平均每天还出现多少次行人的交通违章?

计数

（1）解：依题可得：第 7 天, 这一路口的行人交通违章次数是 8 次.这 20 天中, 行人交通违章 6 次的有 5 天.

(2) 解: 补全的频数直方图如图所示:

某路口 20 天内行人交通违童

次敏的频数直方国

<ImageHere>

(3) 解: 第一次调查, 平均每天行人的交通违章次数为:

$5 \times 3+6 \times 5+7 \times 4+8 \times 5+9 \times 3$ $=7$ (次) .

$\because 7-4=3$ (次)

$\therefore$ 通过宣传教育后, 这一路口平均每天还出现 3 次行人的交通违章.


Answer:
解: 平均数 $=\frac{1}{10}(2+3+4+6+7+7+7+8+9+10)=6.3$. 在这一组数据中 7 是出现次数最多的, 故众数是 7 ;

将这组数据从小到大的顺序排列（2，3，4，6，7，7，7，8，9，10），处于中间位置的那 2 个数是 7、 7 ,

那么由中位数的定义可知, 这组数据的中位数是 $\frac{\frac{7+7}{2}}{2}=7$.
综上所述, 这组数据的平均数是 6.3 , 中位数是 7 . 众数是 7

Question: (5 分) 某次数学测验中, 10 位同学某题的得分情况如下 $2,3,4,6,7,7,7,8,9,10$ 求这组数据的平均数、众数和中位数.

计数

解: 平均数 $=\frac{1}{10}(2+3+4+6+7+7+7+8+9+10)=6.3$. 在这一组数据中 7 是出现次数最多的, 故众数是 7 ;

将这组数据从小到大的顺序排列（2，3，4，6，7，7，7，8，9，10），处于中间位置的那 2 个数是 7、 7 ,

那么由中位数的定义可知, 这组数据的中位数是 $\frac{\frac{7+7}{2}}{2}=7$.
综上所述, 这组数据的平均数是 6.3 , 中位数是 7 . 众数是 7


Answer:
解: (1) 该组数据的平均数 $={ }^{\frac{1}{50}}$

$(6 \times 1+12 \times 1+15 \times 7+18 \times 18+20 \times 10+25 \times 5+27 \times 2+30 \times 2+32 \times 1+35 \times 1+36 \times 2)=20.5$;

众数为 18 ;

中位数为 18 .

(2) 该市中考女生一分钟仰卧起坐项目的合格标准应定为 18 次较为合适,

因为众数及中位数均为 18 , 且 50 人中达到 18 次以上的人数有 41 人,因此确定 18 次能保证大多数人达标.

（3）根据（2）的标准估计该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试合格率为 $82 \%$.

Question:
(5 分) 某市实行中考改革, 需要根据该市中学生体能的实际情况重新制定中考体育标准. 为此,抽取了 50 名初中毕业的女学生进行“一分钟仰卧起坐”次数测试. 测试的情况绘制成表格如下:

<ImageHere>

(1) 求这次抽样测试数据的平均数、众数和中位数;

(2) 根据这一样本数据的特点, 你认为该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格标准应定为多少次较为合适? 请简要说明理由;

（3）根据 (2) 中你认为合格的标准，试估计该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格率是多少?

计数

解: (1) 该组数据的平均数 $={ }^{\frac{1}{50}}$

$(6 \times 1+12 \times 1+15 \times 7+18 \times 18+20 \times 10+25 \times 5+27 \times 2+30 \times 2+32 \times 1+35 \times 1+36 \times 2)=20.5$;

众数为 18 ;

中位数为 18 .

(2) 该市中考女生一分钟仰卧起坐项目的合格标准应定为 18 次较为合适,

因为众数及中位数均为 18 , 且 50 人中达到 18 次以上的人数有 41 人,因此确定 18 次能保证大多数人达标.

（3）根据（2）的标准估计该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试合格率为 $82 \%$.


Answer:
 (1) 解：根据条形图可得出：

平均用水 11 吨的用户为: $100-20-10-20-10=40$ (户)，

如图所示:

<ImageHere>

(2) 解: 平均数为: $\frac{1}{100}$

根据 11 出现次数最多, 故众数为: 11,

根据 100 个数据的最中间为第 50 和第 51 个数据,

按大小排列后第 50,51 个数据是 11, 故中位数为: 11 ;

答: 这 100 个样本数据的平均数, 众数和中位数分别是 $11.6,11,11$;

（3）解：样本中不超过 12 吨的有 $20+40+10=70$ （户）,

答：黄冈市直机关 500 户家庭中月平均用水量不超过 12 吨的约有： $500 \times{ }^{\frac{70}{100}}=350$ (户)

Question:
(15 分 ) 为了倡导“节约用水, 从我做起”, 黄冈市政府决定对市直机关 500 户家庭的用水情况作一次调查, 市政府调查小组随机抽查了其中 100 户家庭一年的月平均用水量 (单位: 吨). 并将调查结果制成了如图所示的条形统计图.

<ImageHere>

(1) 请将条形统计图补充完整;

(2) 求这 100 个样本数据的平均数, 众数和中位数;

（3）根据样本数据, 估计黄冈市直机关 500 户家庭中月平均用水量不超过 12 吨的约有多少户?

计数

 (1) 解：根据条形图可得出：

平均用水 11 吨的用户为: $100-20-10-20-10=40$ (户)，

如图所示:

<ImageHere>

(2) 解: 平均数为: $\frac{1}{100}$

根据 11 出现次数最多, 故众数为: 11,

根据 100 个数据的最中间为第 50 和第 51 个数据,

按大小排列后第 50,51 个数据是 11, 故中位数为: 11 ;

答: 这 100 个样本数据的平均数, 众数和中位数分别是 $11.6,11,11$;

（3）解：样本中不超过 12 吨的有 $20+40+10=70$ （户）,

答：黄冈市直机关 500 户家庭中月平均用水量不超过 12 吨的约有： $500 \times{ }^{\frac{70}{100}}=350$ (户)


Answer:
 (1) $0|0| 1|4| 2|8| 5$

(2) $\mathrm{m}=88$

(3) 解: a 若 A 学校有 400 名初二学生, 估计这次考试成绩 80 分以上人数为:

$800 \times \frac{15}{20}=600$

(人).

答: 估计这次考试成绩 80 分以上（包含 80 分）人数为 600 人;

b: (1) $\mathrm{A}$ 学校的中位数与众数都比 ${ }^{B}$ 学校的高, 因此 $A$ 学校的成绩比 $B$ 学校的学生成绩好. (2)根据表格可知, $B$ 学校的成绩的平均数高于 $A$ 学校, $A$ 学校的方差高于 $B$ 学校成绩的方差, 因此说明 $B$ 学校的成绩好于 $A$ 学校.

解: (1)整理、描述数据:

<ImageHere>

故答案为: $0,0,1,4,2,8,5$; (2)分析数据:

经统计, $\mathrm{B}$ 校的数据中 88 出现的次数最多, 故表格中 $\mathrm{m}$ 的值是 88 .

故答案为: 88 ;

得出结论:

Question:
(15 分) 某县教育局为了对该区八年级数学学科教学质量进行检查, 对该区八年级的学生进行摸底, 为了解摸底的情况, 进行了抽样调查, 过程如下，请将有关问题补充完整.
收集数据: 随机抽取 $A$ 学校与 $B$ 学校的各 20 名学生的数学成绩（单位: 分）进行分析:

<ImageHere>

(1) 整理、描述数据：按如下数据段整理、描述这两组数据

| 分段 | $30 \leq x \leq 39$ | $40 \leq x \leq 49$ | $\|50 \leq x \leq 59\|$ | $60 \leq x \leq 69$ | $70 \leq x \leq 79$ | $\|80 \leq x \leq 89\|$ | $\|90 \leq x \leq 100\|$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $A_{\text {学校 }}$ | 1 | 1 | 0 | 0 | 3 | 7 | 8 |
| $B_{\text {学校 }}$ |  |  |  |  |  |  | $>$ |

(2) 分析数据: 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表:

| 统计量 <br> 学校 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $A$ 学校 | 81.85 | 88 | 91 | 268.43 |
| $B$ 学校 | 81.95 | 86 | $\mathrm{~m}$ | 115.25 |

（3）得出结论:

$a$ : 若 $A$ 学校有 800 名八年级学生, 估计这次考试成绩 80 分以上（包含 80 分）人数为多少人?

$b$ : 根据表格中的数据, 推断出哪所学校学生的数学水平较高, 并说明理由. （至少从两个不同的角度说明推断的合理性)

计数

 (1) $0|0| 1|4| 2|8| 5$

(2) $\mathrm{m}=88$

(3) 解: a 若 A 学校有 400 名初二学生, 估计这次考试成绩 80 分以上人数为:

$800 \times \frac{15}{20}=600$

(人).

答: 估计这次考试成绩 80 分以上（包含 80 分）人数为 600 人;

b: (1) $\mathrm{A}$ 学校的中位数与众数都比 ${ }^{B}$ 学校的高, 因此 $A$ 学校的成绩比 $B$ 学校的学生成绩好. (2)根据表格可知, $B$ 学校的成绩的平均数高于 $A$ 学校, $A$ 学校的方差高于 $B$ 学校成绩的方差, 因此说明 $B$ 学校的成绩好于 $A$ 学校.

解: (1)整理、描述数据:

<ImageHere>

故答案为: $0,0,1,4,2,8,5$; (2)分析数据:

经统计, $\mathrm{B}$ 校的数据中 88 出现的次数最多, 故表格中 $\mathrm{m}$ 的值是 88 .

故答案为: 88 ;

得出结论:


Answer:
解:

$x=\frac{13 \times 1+14 \times 4+15 \times 5+16 \times 2}{1+4+5+2} \approx 14.7$ (多)

答: 校女子排球队队员的平均年龄为 14.7 岁

Question:
(5 分) 下表是校女子排球队队员的年龄分布:

| 年龄 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 频数 | 1 | 4 | 5 | 2 |

求校女子排球队队员的平均年龄（可使用计算器）。

计数

解:

$x=\frac{13 \times 1+14 \times 4+15 \times 5+16 \times 2}{1+4+5+2} \approx 14.7$ (多)

答: 校女子排球队队员的平均年龄为 14.7 岁


Answer: （1）设增长率为$x$,根据“第一批公益课受益学生10万人次,第三批公益课受益学生12.1万人次”可列方程求解;(2)用$24.2times$(1+增长率),计算即可求解.【解析】解:(1)设这个增长率为$x$,根据题意得:$10(1+x)^{2}=12.1$,解得:$x_{1}=0.1=10%,x_{2}=-2.1$(舍去)，答:这个增长率为$10%$;(2)$12.1times(1+10%)=13.31$万人,答:预计第四批自愿者数将达到13.31万人次.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,明确题意,准确得到等量关系是解题的关键.

Question: (10分）广大党员群众积极参加公益活动,据统计某市今年第一批自愿者为10万人次,第三批自愿者为12.1万人次.（1）如果第二批、第三批自愿者人次的增长率相同,求这个增长率;（2）如果按照(1)中的增长率,预计第四批自愿者数将达到多少万人次?

计数

（1）设增长率为$x$,根据“第一批公益课受益学生10万人次,第三批公益课受益学生12.1万人次”可列方程求解;(2)用$24.2times$(1+增长率),计算即可求解.【解析】解:(1)设这个增长率为$x$,根据题意得:$10(1+x)^{2}=12.1$,解得:$x_{1}=0.1=10%,x_{2}=-2.1$(舍去)，答:这个增长率为$10%$;(2)$12.1times(1+10%)=13.31$万人,答:预计第四批自愿者数将达到13.31万人次.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,明确题意,准确得到等量关系是解题的关键.


Answer:
 (1) 解: $[20 m+60(m+2)+40(m-1)] \div(20+60+40)$,
$=(20 m+60 m+120+40 m-40) \div 120$,

$={ }^{\left(m+\frac{2}{3}\right)}$ 元,

$\therefore \therefore$ 混合果胨的售价应定为 ${ }^{\left(m+\frac{2}{3}\right)}$ 元

(2) 解: $[(m+m+2+m-1) \div 3] \times 120=120 m+40$

$20 m+60(m+2)+40(m-1)=120 m+80$

$120 m+40-(120 m+80)=-40$ ( 元) ,

所以如果按小张写的单价全部售完, 这批果胨的利润将减少, 减少 40 元

Question:
(10 分) 华润苏果超市有 A、B、C 三种果冻出售, A 种果冻 20 千克, 售价为 $m$ 元每千克, B 种果冻 60 千克, 售价比 A 种贵 2 元每千克, C 种果冻 40 千克, 售价比 A 种便宜 1 元每千克.

（1）若将这三种果冻全部混合在一起销售, 在保证总售价不变的情况下, 混合果冻的售价应定为多少?

（2）售货员小张在写混合后的销售单价牌时, 误写成原来三个单价的平均数 ，如果混合果冻按小张写的单价全部售完，超市的这批果冻的利润有何变化？变化多少元？

算术


Answer:
 (1) 解: 原式 $=5 \times \sqrt{8}-\sqrt{6} \times \sqrt{27}$

$=5 \times 2 \sqrt{2}-\sqrt{6} \times 3 \sqrt{3}$

$=10 \sqrt{2}-9 \sqrt{2}$

$=\sqrt{2}$

（2）解：由题可得：

$(x+1) \quad(2 x+1)-3 x=9$,

$2 x^{2}+3 x+1-3 x=9$

$\therefore 2 x^{2}=8$

解得: $x_{1}=2, x_{2}=-2$.

Question:
(10 分 ) 阅读下面材料, 解答问题: 将 4 个数 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b} 、 \mathrm{c} 、 \mathrm{~d}$ 排列成 2 行 2 列, 记为: $\left.\right|_{c} ^{a}{ }_{d}^{b} \mid$, 叫

<ImageHere>

(1) 请你计算 $\left|\begin{array}{cc}5 & \sqrt{6} \\ \sqrt{27} & \sqrt{8}\end{array}\right|$ 的值;

(2) 若 $\left.\right|^{x+1} \quad 2 x+1 \mid=9$, 求 $x$ 的值.

算术


Answer:
解: 设原正方形的边长为 $\mathrm{xcm}$, 则根据题意得 : $(x+3)^{2}=x^{2}+39$

解得 $x=5$.
答: 正方形的边长是 $5 \mathrm{~cm}$ 。

Question: (5 分)一个正方形的边长增加 $3 \mathrm{~cm}$, 它的面积就增加 $39 \mathrm{~cm}^{2}$, 求这个正方形的边长.

算术

解: 设原正方形的边长为 $\mathrm{xcm}$, 则根据题意得 : $(x+3)^{2}=x^{2}+39$

解得 $x=5$.
答: 正方形的边长是 $5 \mathrm{~cm}$ 。


Answer:
解：设每件祄衫应降价 $x$ 元, 则每件盈利 $40-\mathrm{x}$ 元, 每天可以售出 $10+\mathrm{x}$,由题意, 得 $(40-x)(10+x)=600$,

即: $(x-10)(x-20)=0$,

解, 得 $\mathrm{x} 1=10, x 2=20$,

为了扩大销售量, 增加盈利, 尽快减少库存, 所以 $\mathrm{x}$ 的值应为 20 ,

所以, 若商场平均每天要盈利 600 元, 每件祄衫应降价 20 元.

Question: (5 分) 某商场销售一批名牌祄衫, 平均每天可售出 10 件, 每件盈利 40 元, 为了扩大销售, 增加盈利, 尽快减少库存, 商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现, 如果每件衬衫每降价 1 元, 商场平均每天可多售出 1 件, 若商场平均每天要盈利 600 元, 每件祄衫应降价多少元?

算术

解：设每件祄衫应降价 $x$ 元, 则每件盈利 $40-\mathrm{x}$ 元, 每天可以售出 $10+\mathrm{x}$,由题意, 得 $(40-x)(10+x)=600$,

即: $(x-10)(x-20)=0$,

解, 得 $\mathrm{x} 1=10, x 2=20$,

为了扩大销售量, 增加盈利, 尽快减少库存, 所以 $\mathrm{x}$ 的值应为 20 ,

所以, 若商场平均每天要盈利 600 元, 每件祄衫应降价 20 元.


Answer:
解：设每件商品定价为 $x$ 元.

(1) 当 $x \geq 40$ 时, $(x-24)[480-20(x-40)]=7680$,

解得: $x_{1}=40, x_{2}=48$;

(2) 当 $x<40$ 时, $(x-24)[480+40(40-x)]=7680$,

解得: $x_{1}=40$ (舍去), $x_{2}=36$.

答: 要使该商品每天获利 7680 元, 应定价为 36 元/件、 40 元/件或 48 元/件.

Question:
(5 分) 某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况, 下面是调查后小张与其他两位成员交流的情况.

小张: “该商品的进价为 24 元/件. ”

成员甲: “当定价为 40 元/件时，每天可售出 480 件. ”

成员乙: “若单价每涨 1 元，则每天少售出 20 件; 若单价每降 1 元，则每天多售出 40 件. ”根据他们的对话, 请你求出要使该商品每天获利 7680 元, 应该怎样合理定价?

算术


Answer:
（1）解：设降低的百分率为 $x$, 依题意有, $25(1-x)^{2}=16$,解得, $x_{1}=0.2=20 \%, x_{2}=1.8$ (舍去) ;

（2） 解: 小红全家少上缴税 $25 \times 20 \% \times 4=20$ （元）;

（3）解：全乡少上缴税 $16000 \times 25 \times 20 \%=80000$ （元）.

答: 降低的增长率是 $20 \%$, 明年小红家减少的农业税是 20 元, 该乡农民明年减少的农业税是 80000 元.

Question:
(15 分 ) 今年，我国政府为减轻农民负担，决定在 5 年内免去农业税. 某乡今年人均上缴农业税 25 元, 若两年后人均上缴农业税为 16 元, 假设这两年降低的百分率相同.

(1) 求降低的百分率;

（2）若小红家有 4 人，明年小红家减少多少农业税?

（3）小红所在的乡约有 16000 农民，问该乡农民明年减少多少农业税?

算术

（1）解：设降低的百分率为 $x$, 依题意有, $25(1-x)^{2}=16$,解得, $x_{1}=0.2=20 \%, x_{2}=1.8$ (舍去) ;

（2） 解: 小红全家少上缴税 $25 \times 20 \% \times 4=20$ （元）;

（3）解：全乡少上缴税 $16000 \times 25 \times 20 \%=80000$ （元）.

答: 降低的增长率是 $20 \%$, 明年小红家减少的农业税是 20 元, 该乡农民明年减少的农业税是 80000 元.


Answer:
 (1) 解: 原式 $=4 \sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{12}+2 \sqrt{6}$

$=4-\sqrt{6}+2 \sqrt{6}$

$=4+\sqrt{6} ;$

(2) 解: 原式 $=(\sqrt{3}+1)^{2}+(\sqrt{3}-1)^{2}$

$=3+1+2 \sqrt{3}+3+1-2 \sqrt{3}$

$=8$

Question:
(10 分) 计算:

(1)

$\sqrt{48} \div \sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{12}+\sqrt{24}$

(2) 已知 $x=\sqrt{3}+1, y=\sqrt{3}-1$, 求 $x^{2}+y^{2}$ 的值.

算术


Answer:
(1) $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

(2) 解: $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$

$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{99}-\sqrt{98}+\sqrt{100}-\sqrt{99}$

$=-1+\sqrt{100}$

$=-1+10$

$=9$.

解: (1) $\because^{\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}=\frac{1 \times(\sqrt{5}-\sqrt{4})}{(\sqrt{5}+\sqrt{4})(\sqrt{5}-\sqrt{4})}=\sqrt{5}-\sqrt{4}}$;

$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=\frac{1 \times(\sqrt{6}-\sqrt{5})}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})}=\sqrt{6}-\sqrt{5}$

归纳总结得: $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \quad(\mathrm{n} \geq 1)$
故答案为 $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$;

Question:
(6 分) 阅读下列解题过程: $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}=\frac{1 \times(\sqrt{5}-\sqrt{4})}{(\sqrt{5}+\sqrt{4})(\sqrt{5}-\sqrt{4})}=\sqrt{5}-\sqrt{4}$, $\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=\frac{1 \times(\sqrt{6}-\sqrt{5}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})}=\sqrt{6}-\sqrt{5}$, 请回答下列回题:

(1) 观察上面的解答过程, 请写出 ${ }^{\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}=$ \$ \qquad \$
(2) 利用上面的解法, 请化简:

$$
\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99+\sqrt{100}}}
$$

算术


Answer:
 (1) $\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$

(2) 解: 原式 $=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\ldots+\sqrt{2016}-\sqrt{2015}=\sqrt{2016}-1=12 \sqrt{14}-1$.

解: (1) $\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}{(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$

故答案为: $\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$.

Question:
( 9 分 ) 阅读下列解题过程:

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{(\sqrt{5})^{2}-\left(\sqrt{4)^{2}}\right.}=\sqrt{5}-\sqrt{4}=\sqrt{5}-2$

$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{(\sqrt{6})^{2}-(\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{6}-\sqrt{5}$

请回答下列问题:

（1）观察上面的解题过程, 请直接写出结果。 $\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=$ \$ \qquad \$ .

(2) 利用上面提供的信息请化简: $\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\ldots \ldots+{ }^{\frac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2015}}}$ 的值。

算术


Answer:
解: 原式 $=3-{ }^{\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}}=3-\sqrt{4}=3-2=1$

解: 用二次根式的乘除法法则以及加减法则计算即可求解。即原式 $=3-\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=3-\sqrt{4}=3-2=1$,

Question: $(5 \text { 分 })^{\sqrt[3]{27}}-\frac{\sqrt{2} \times \sqrt{6}}{\sqrt{3}}$.

算术


Answer:
 (1) 原式 $=4-1-2+\sqrt{3}-2 \sqrt{3}$

$=-\sqrt{3}+1$

(2) $9 x^{2}-6 x+1=0$.

$(3 x-1)^{2}=0$,

$3 \mathrm{x}-1=0$,

解: $x_{1}=x_{2}=\frac{1}{3}$

Question:
(10 分) 计算或解方程

(1) 计算:

$$
\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}-(\sqrt{3} \pi)^{0}-\frac{\sqrt{20}-\sqrt{15}}{\sqrt{5}}-\sqrt{12}
$$

(2) 解方程: $9 x^{2}-6 x+1=0$

算术