Answer: (1) 6.(2) 2 或 5.

Question:
(3 分) 如图, 在直角梯形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\angle \mathrm{A}=90^{\circ}, \angle \mathrm{B}=120^{\circ}, \mathrm{AD}=\sqrt{3}, \mathrm{AB}=6$. 在底边 $A B$ 上取点 $E$, 在射线 $\mathrm{DC}$ 上取点 $\mathrm{F}$, 使得 $\angle \mathrm{DEF}=120^{\circ}$.

(1) 当点 $\mathrm{E}$ 是 $\mathrm{AB}$ 的中点时, 线段 $\mathrm{DF}$ 的长度是 \qquad$;

(2) 若射线 $\mathrm{EF}$ 经过点 $\mathrm{C}$, 则 $\mathrm{AE}$ 的长是 \qquad$.

<ImageHere>

画法几何学

(1) 过 $\mathrm{E}$ 点作 $\mathrm{EG} \perp \mathrm{DF}$, 由 $\mathrm{E}$ 是 $\mathrm{AB}$ 的中点, 得出 $\mathrm{DG}=3$, 再根据 $\angle \mathrm{DEG}=60^{\circ}$ 得出 $\angle \mathrm{DEF}=120^{\circ}$, 由 $\tan 60^{\circ}=\frac{\mathrm{GF}}{\sqrt{3}}$ 即可求出 $\mathrm{GF}$ 的长, 进而得出结论;

(2) 过点 $B$ 作 $B H \perp D C$, 延长 $A B$ 至点 $M$, 过点 C 作 $C M \perp A B$ 于 $F$, 则 $B H=A D=\sqrt{3}$,再由锐角三角函数的定义求出 $\mathrm{CH}$ 及 $\mathrm{BC}$ 的长, 设 $\mathrm{AE}=\mathrm{x}$, 则 $\mathrm{BE}=6-\mathrm{x}$, 利用勾股定理用 $\mathrm{x}$ 表示出 $\mathrm{DE}$ 及 $\mathrm{EF}$ 的长, 再判断出 $\triangle \mathrm{EDF} \sim \triangle \mathrm{BCE}$, 由相似三角形的对应边成比例即可得出关于 $\mathrm{x}$ 的方程, 求出 $\mathrm{x}$ 的值即可.

解答: 解: (1) 如图 1, 过 $\mathrm{E}$ 点作 EG $\perp \mathrm{DF}$,

$\because \mathrm{E}$ 是 $\mathrm{AB}$ 的中点,

$\therefore$ DG $=3$,

$\therefore \mathrm{EG}=\mathrm{AD}=\sqrt{3}$,

$\therefore \angle \mathrm{DEG}=60^{\circ}$,

$\because \angle \mathrm{DEF}=120^{\circ}$,

$\therefore \tan 60^{\circ}=\frac{\mathrm{GF}}{\sqrt{3}}$,

解得 $\mathrm{GF}=3$,

$\therefore \mathrm{DF}=6$;

<ImageHere>

图1

<ImageHere>

图2

(2) 如图 2 所示:

过点 $B$ 作 $B H \perp D C$, 延长 $A B$ 至点 $M$, 过点 $C$ 作 $C M \perp A B$ 于 $M$, 则 $B H=A D=M F=\sqrt{3}$,

$\because \angle \mathrm{ABC}=120^{\circ}, \mathrm{AB} / / \mathrm{CD}$,

$\therefore \angle \mathrm{BCH}=60^{\circ}$,

$\therefore \mathrm{CH}=\mathrm{BM}=\frac{\mathrm{BH}}{\tan 60^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1$,

设 $\mathrm{AE}=\mathrm{x}$, 则 $\mathrm{BE}=6-\mathrm{x}$,

在 Rt $\triangle \mathrm{EFM}$ 中，

$\mathrm{EF}=\sqrt{(\mathrm{EB}+\mathrm{BM})^{2}+\mathrm{MF}^{2}}=\sqrt{(6-\mathrm{x}+1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{(7-\mathrm{x})^{2}+3}$,

$\because \mathrm{AB} / / \mathrm{CD}$

$\therefore \angle \mathrm{EFD}=\angle \mathrm{BEC}$,

$\because \angle \mathrm{DEF}=\angle \mathrm{B}=120^{\circ}$,

$\therefore \triangle \mathrm{EDF} \sim \triangle \mathrm{BCE}$, 即 $\triangle \mathrm{EDF} \sim \triangle \mathrm{BFE}$

$\therefore \frac{\mathrm{DF}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{BE}}$

$\therefore \mathrm{EF}^{2}=\mathrm{DF} \cdot \mathrm{BE}$, 即 $(7-\mathrm{x})^{2}+3=7(6-\mathrm{x})$

解得 $x=2$ 或 5


Answer:
(1) $a+3 b$

(2) $a+b+c=2 b+2$

Question:
如图 1, 在一块长方形区域中布置了图中阴影部分所示的展区, 其中的展台有三种不同的形状,其规格如图 2 所示.

<ImageHere>

图 1

<ImageHere>

图 2

(1) 该长方形区域的长可以用式子表示为

（2）根据图中信息，用等式表示 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 满足的关系为

画法几何学

解：（1）由图可知：

长方形区域的长 $=$ 小长方形的长+小长方形的宽＋小长方形的长+小长方形的长一小长方形的宽 +正方形的边长,

即: $b+c+b+b-c+a=a+3 b$;

故答案为: $a+3 b$;

(2) 长方形区域左边宽度 $=b+2+b=2 b+2$, 右边宽度 $=a+b+c$,
$\therefore a+b+c=2 b+2$

故答案为: $a+b+c=2 b+2$.


Answer:
解【答案】 220

【解析】解: 如图,

$\because$ 直线 $b$ 平移后得到直线 $a$,

$\therefore a / / b$,

$\therefore \angle 1+\angle 4=180^{\circ}$, 即 $\angle 4=180^{\circ}-\angle 1$,

$\because \angle 5=\angle 3=40^{\circ}$,

<ImageHere>

$\therefore \angle 2=\angle 4+\angle 5=180^{\circ}-\angle 1+40^{\circ}$,

$\therefore \angle 1+\angle 2=220^{\circ}$.

故答案为 220 .

如图, 利用平移的性质得 $a / / b$, 再根据平行线的性质得 $\angle 4=180^{\circ}-\angle 1$, 加上对顶角相等得 $\angle 5=\angle 3=40^{\circ}$, 则根据三角形外角性质得 $\angle 2=\angle 4+\angle 5=180^{\circ}-\angle 1+40^{\circ}$, 从而可计算出 $\angle 1+\angle 2$ 的度数.

本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动, 会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同.

Question:
如图, $\angle 3=40^{\circ}$, 直线 $b$ 平移后得到直线 $a$, 则 $\angle 1+$ $\angle 2=$ $\qquad$ $\circ$.

<ImageHere>

变换几何

解【答案】 220

【解析】解: 如图,

$\because$ 直线 $b$ 平移后得到直线 $a$,

$\therefore a / / b$,

$\therefore \angle 1+\angle 4=180^{\circ}$, 即 $\angle 4=180^{\circ}-\angle 1$,

$\because \angle 5=\angle 3=40^{\circ}$,

<ImageHere>

$\therefore \angle 2=\angle 4+\angle 5=180^{\circ}-\angle 1+40^{\circ}$,

$\therefore \angle 1+\angle 2=220^{\circ}$.

故答案为 220 .

如图, 利用平移的性质得 $a / / b$, 再根据平行线的性质得 $\angle 4=180^{\circ}-\angle 1$, 加上对顶角相等得 $\angle 5=\angle 3=40^{\circ}$, 则根据三角形外角性质得 $\angle 2=\angle 4+\angle 5=180^{\circ}-\angle 1+40^{\circ}$, 从而可计算出 $\angle 1+\angle 2$ 的度数.

本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动, 会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同.


Answer: c.

Question: （2021- 浙江七年级期末）三位先生 A、B、C 带着他们的妻子 a、b、c 到超市购物, 至于谁是谁的妻子现在只能从下列条件来推测: 他们 6 人, 每人花在买商品的钱数 (单位: 元) 正好等于商品数量的平方, 而且每位先生都比自己的妻子多花 48 元钱, 又知先生 A 比 b 多买 9 件商品, 先生 B 比 a 多买 7 件商品. 则先生 A 的妻子是 \$ \qquad \$

逻辑题

 $c$

【分析】设一对夫妻, 丈夫买了 $\mathrm{x}$ 件商品, 妻子买了 $\mathrm{y}$ 件商品, 列出关于 $\mathrm{x} 、 \mathrm{y}$ 的二元二次方程, 再根据 $\mathrm{x} 、 \mathrm{y}$ 都是正整数, 且 $x+y$ 与 $x-y$ 有相同的奇偶性, 即可得出关于 $\mathrm{x} 、 \mathrm{y}$ 的二元一次方程组,求出 $\mathrm{x} 、 \mathrm{y}$ 的值, 再找出符合 $x-y=9$ 和 $x-y=7$ 的情况即可进行解答.

【详解】设一对夫妻, 丈夫买了 $x$ 件商品, 则钱数为 $x^{2}$, 妻子买了 $y$ 件商品, 则钱数为 $y^{2}$,依题意有 $x^{2}-y^{2}=48$, 即 $(x+y)(x-y)=48$,

$\because \mathrm{x} 、 \mathrm{y}$ 都是正整数, 且 $x+y$ 与 $x-y$ 有相同的奇偶性,

又 $\because x+y>x-y, 48=24 \times 2=12 \times 4=8 \times 6$, $\therefore\left\{\begin{array}{c}x+y=24 \\ x-y=2\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}x+y=12 \\ x-y=4\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}x+y=8 \\ x-y=6\end{array}\right.$, 解得 $x=13, y=11$ 或 $x=8, y=4$ 或 $x=7, y=1$,符合 $x-y=9$ 的只有一种, 可见 $\mathrm{A}$ 买了 13 件商品, $\mathrm{b}$ 买了 4 件,同时符合 $x-y=7$ 的也只有一种, 可知 $\mathrm{B}$ 买了 8 件, $\mathrm{a}$ 买了 1 件, $\therefore \mathrm{C}$ 买了 7 件, $\mathrm{c}$ 买了 11 件.由此可知三对夫妻的组合是: A、c; B、b; C、a. 故答案为: c.

【点睛】本题考查了不定方程组的解及数的奇偶性, 根据题意列出关于 $x 、 y$ 的不定方程是解答此题的关键.


Answer: 30 或 60

Question:
如图, 已知射线 $B P \perp B A$, 点 $O$ 从 $B$ 点出发, 以每秒 1 个单位长度沿射线 $B A$ 向右运动; 同时射线 $B P$ 绕点 $B$ 顺时针旋转一周, 当射线 $B P$停止运动时, 点 $O$ 随之停止运动. 以 $O$ 为圆心, 1 个单位长度为半径画圆, 若运动两秒后, 射线 $B P$ 与 $\odot O$ 恰好有且只有一个公共点, 则射线

<ImageHere>
$B P$ 旋转的速度为每秒度.

度量几何学

设射线 $B P$ 旋转的速度为每秒 $a$ 度, 则两秒后, 射线 $B P$ 旋转 $2 a$ 度, 点 $O$ 运动到了距离 $B 2$ 个单位长度处,

根据题意可得: 有两种情况使得射线 $B P$ 与 $\odot O$ 恰好有且只有一个公共点, 即 $B P_{1} 、 B P_{2}$ 与圆相切, 如图,

<ImageHere>

当 $B P$ 旋转到 $B P_{1}$ 时, $O^{\prime} C=1, B O^{\prime}=2, O^{\prime} C \perp B C$, 即 $\angle C B O^{\prime}=30^{\circ}$,

$\therefore \angle P B C=60^{\circ}$,

即 $2 a=60$,

$a=30$,

当 $B P$ 旋转到 $B P_{2}$ 时, $O^{\prime} D=1, B O^{\prime}=2, O^{\prime} D \perp B D$, 即 $\angle D B O^{\prime}=30^{\circ}$,

$\therefore \angle P B D=120^{\circ}$,

即 $2 a=120 ，$

$a=60$,

$\therefore$ 射线 $B P$ 旋转的速度为每秒 30 或 60 度,

故答案为 30 或 60 .


Answer: 9.4

Question:
张明同学想利用树影测量校园内树的高度, 他在某一时刻测得某小树的高为 $1.5 \mathrm{~m}$, 其影长为 $1.2 \mathrm{~m}$. 同一时刻, 当他测量教学楼旁的一棵大树的影长时, 因大树靠近教学楼, 有一部分影子落
在墙上. 经测量, 大树地面部分的影长为 $6.4 \mathrm{~m}$, 墙上的影长为 $1.4 \mathrm{~m}$, 则这棵大树高 $m$.

度量几何学

设这棵大树高为 $x m$,

根据平行投影特点: 在同一时刻, 不同物体的物高和影长成比例可得:

树高比影长为 1.5 . $=1.25$,

则有 $\frac{6.4}{x-1.4}=\frac{1}{1.25}=0.8$,

解得： $x=9.4$ 米.

故答案为 9.4 .


Answer: $(12,8 \sqrt{3})$

Question:
在 $\triangle A B C$ 中, $a=12, A=60^{\circ}$, 三角形有两解, 则边 $b$ 的取值范围为 \$ \qquad \$

<ImageHere>

度量几何学

由题意得, $\triangle A B C$ 有两解时需要: $b \sin A<a<b$,

则 $b \sin 60^{\circ}<12<b$,

解得 $12<x<8 \sqrt{3} \sqrt{3}$,

所以 $x$ 的取值范围是 $(12,8 \sqrt{3})$,

故答案为 $(12,8 \sqrt{3})$.


Answer: $\frac{\sqrt{14}}{2}$

Question:
如图, 边长为 3 的正方形 $A B C D$, 以点 $A$ 为圆心作半径为 1 的圆, 点 $M$ 为 $B D$ 上一动点, 过点 $M$ 作 $\odot A$ 的切线, 切点为点 $N$, 则线段 $M N$ 的最小值为 \$ \qquad \$
三、解答题（本大题共 6 小题, 共 66 分）

<ImageHere>

度量几何学

连接 $A M 、 A N$,

$\because M N$ 为 $\odot A$ 的切线, 切点为点 $N$

$$
\therefore A N \perp M N \therefore M N=\sqrt{A M^{2}-A N^{2}} \because A N=1
$$

所以当 $A M$ 最小时, $M N$ 取最小值,

$\because$ 点 $M$ 为 $B D$ 上一动点,
$\therefore$ 当 $A M \perp B D$ 时, $A M$ 最小, $B D=\sqrt{2} A B=3 \sqrt{2}$

所以此时 $A M=\frac{1}{2} B D=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

$\therefore M N$ 的最小值为 $M N=\sqrt{A M^{2}-A N^{2}}=\sqrt{\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2}\right)^{2}-1}=\frac{\sqrt{14}}{2}$.

故答案为 $\frac{\sqrt{14}}{2}$.


Answer: $\frac{3}{2}$

Question: $\cos 30^{\circ} \cdot \tan 60^{\circ}$ 的值等于 \$ \qquad \$

度量几何学


Answer: 2 或 $\frac{8}{5}$

Question: 等腰三角形的一边长为 10 , 面积为 40 , 则底角的正切值为 \$ \qquad \$ .

度量几何学

在三角形 $A B C$ 中, $A B=A C, \angle B=\angle C=\alpha$

(1)当 $A B=10$ 时, 过 $A$ 作 $C D \perp A B$ 于 $D$,

$\because S \triangle A B C=\frac{1}{2} A B \cdot C D=40$,

$\therefore \frac{1}{2} \times 10 \cdot C D=40$,

$\therefore C D=8$.

在直角三角形 $A C D$ 中, 有勾股定理得

$A D=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$,
$B D=10-6=4$,

$\therefore$ 底角 $\tan \alpha=\frac{C D}{B D}=2$;

(2)当 $B C=10$ 时, 过 $A$ 作 $A D \perp B C$ 于 $D$, 则 $B D=5$,

$\because S \triangle A B C=\frac{1}{2} B C \cdot A D=40$,

$\therefore \frac{1}{2} \times 10 \cdot A D=40$,

$\therefore A D=8$,

$\therefore$ 底角 $\tan \alpha=\frac{A D}{B D}=\frac{8}{5}$,

綜上可知底角的正切值为 2 或 $\frac{8}{5}$.

故答案为 2 或 $\frac{8}{5}$.


Answer: $\sqrt{3}$

Question: 在 $R t \triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, \sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}, B C=3$, 则斜边上的中线长为 \$ \qquad \$ .

度量几何学

如图, $C D$ 是 $A B$ 边上的中线,

<ImageHere>

$\because, \angle C=90^{\circ}, \sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}, B C=3$,

又 $\because \sin A=\frac{B C}{A B}$,

$\therefore \frac{3}{A B}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,

$\therefore A B=2 \sqrt{3}$,

$\because C D$ 是 $A B$ 边上的中线，

$\therefore C D=\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3}=\sqrt{3}$.

故答案为 $\sqrt{3}$.


Question: 平面直角坐标系 $x O y$ 中, 若 $P\left(m, \frac{4}{m}\right), Q(3 m,-6 n+2)$ 是两个动点 $(m, n$ 是实数且 $m \neq 0)$, 则 $P Q$长度的最小值为 \$ \qquad \$ .

度量几何学

$\because P\left(m, \frac{4}{m}\right), Q(3 n,-6 n+2)$,

$\therefore$ 点 $P$ 在双曲线 $y=\frac{4}{x}$ 上, 点 $Q$ 在直线 $y=-2 x+2$ 上,
平移直线 $y=-2 x+2$ 使它与双曲线 $y=\frac{4}{x}$ 只有一个交点,

设平移后的直线为 $y=-2 x+2+b$,

联立得方程 $-2 x+2+b=\frac{4}{x}$,

整理得 $2 x^{2}-(2+b) x+4=0$ ，

$\Delta=(2+b)^{2}-4 \times 2 \times 4=0$,

解得 $b=-2+4 \sqrt{2}$ 或 $-2-4 \sqrt{2}$,

即向上平移 $-2+4 \sqrt{2}$ 或向下平移 $2+4 \sqrt{2}$ 个单位,

当向上平移 $-2+4 \sqrt{2}$ 个单位即 $A B=-2+4 \sqrt{2}$ 时, 平移前后两条直线之间的距离最小,

$\because \tan \angle B A C=\tan \angle O A D=\frac{1}{2}$,

$\therefore \frac{B C}{A C}=\frac{1}{2}, \frac{B C}{A B}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$,

解得 $B C=\frac{\sqrt{5}}{5} A B=\frac{4 \sqrt{10}-2 \sqrt{5}}{5}$,

即 $P Q$ 长度的最小值为 $\frac{4 \sqrt{10}-2 \sqrt{5}}{5}$.

<ImageHere>


Answer: $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Question:
将直角边长为 3 的等腰直角 $\triangle A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $15^{\circ}$ 后得到 $\triangle A B^{\prime} C^{\prime}$, 则图中阴影部分的面积是 \$ \qquad \$

<ImageHere>

度量几何学

: 等腰直角 $\triangle A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $15^{\circ}$ 后得到 $\triangle A B^{\prime} C^{\prime}$,

$\because \angle C A C^{\prime}=15^{\circ}$,

$\therefore \angle C^{\prime} A B=\angle C A B-\angle C A C^{\prime}=45^{\circ}-15^{\circ}=30^{\circ}, A C^{\prime}=A C=3$,

$\therefore$ 阴影部分的面积 $=\frac{1}{2} \times 3 \times \tan 30^{\circ} \times 3=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$.

故答案为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$.


Answer: 4.5

Question: 直角三角形的两条直角边分别为 5 和 12 , 则其外接圆半径与内切圆半径之差为

度量几何学

$\because$ 直角边长分别为 5 和 12 ,

$\therefore$ 斜边 $=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13$,

$\therefore$ :这个直角三角形的外接圆的半径为 6.5 .

$\because$ 直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半,

$\therefore$ 其内切圆的半径是 $\frac{12+5-13}{2}=2$,

$\therefore 6.5-2=4.5$

故答案为: 4.5 .


Answer: $28 \mathrm{~cm}$

Question:
如图, 半径为 $\sqrt{3} \mathrm{~cm}$ 的 $\odot O$ 从斜坡上的 $A$ 点处沿斜坡滚动到平地上的 $C$ 点处, 已知 $\angle A B C=120^{\circ}$, $A B=10 \mathrm{~cm}, B C=20 \mathrm{~cm}$, 那么圆心 $O$ 运动所经过的路径长度为

<ImageHere>

度量几何学

如图： 当 $\odot O$ 运动到 $\odot D$ 位置时, 与 $A B, B C$ 都相切, 连接 $O A, O^{\prime} C, D E, D F$,

<ImageHere>

则 $O A \perp A B, D E \perp A B, D F \perp B C, O^{\prime} C \perp B C$,

$\therefore$ 四边形 $O A E D$ 与四边形 $D F C O^{\prime}$ 是矩形,

$\therefore O D=A E, O^{\prime} D=C F$,

$\because \angle A B C=120^{\circ}$,

$\therefore \angle D B F=\frac{1}{2} \angle A B C=60^{\circ}$,

$\because D F=\sqrt{3} \mathrm{~cm}, \quad \therefore B F=\frac{D F}{\tan 60^{\circ}}=1 \mathrm{~cm}$,
同理: $B E=1 \mathrm{~cm}$,

$\therefore A E=A B-B E=9 \mathrm{~cm}, C F=B C-B F=19 \mathrm{~cm}$,

$\therefore O D=9 \mathrm{~cm}, O^{\prime} D=19 \mathrm{~cm}$

$\therefore$ 圆心 $O$ 运动所经过的路径长度为: $O D+O^{\prime} D=28 \mathrm{~cm}$.

故答案为 $28 \mathrm{~cm}$.


Answer: $\frac{4}{3} \pi-\sqrt{3}$

Question:
如图, 有一张矩形纸片 $A B C D$, 其中 $A D=4 \mathrm{~cm}$, 以 $A D$ 为直径的半圆, 正好与对边 $B C$ 相切, 将它沿 $D E$ 折叠, 使点 $A$ 落在 $B C$ 上, 这时, 半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积是 \$ \qquad \$

<ImageHere>

度量几何学

设半圆的圆心是 $O$, 半圆与 $A D$ 交点是 $F$, 连接 $O F$, 作 $F G \perp A^{\prime} D$ 于 $G$.在Rt $\triangle A C D$ 中, $\because A D=4, C D \perp B C$,

$\therefore C D=\frac{1}{2} A D=2$,

<ImageHere>

(甲)

<ImageHere>

(乙)

$\therefore \angle C A D=30^{\circ}$,

$\therefore \angle O D F=30^{\circ}$,

$\therefore \angle F O D=120^{\circ}$.

$\therefore$ 扇形 $O D F$ 的面积 $=\frac{120 \pi \times 4}{360}=\frac{4}{3} \pi$.

在Rt $\triangle O F G$ 中, $O F=2, \angle F O G=60^{\circ}$,

$\therefore F G=\sqrt{3}$.

$\therefore \triangle O F D$ 的面积 $=\sqrt{3}$.
$\therefore$. 阴影部分的面积 $=\frac{4}{3} \pi-\sqrt{3}$.

故答案为: $\frac{4}{3} \pi-\sqrt{3}$.


Answer: 9.4

Question: 小王同学想利用树影测量校园内的树高.他在某一时刻测得小树高为 1.5 米时, 其影长为 1.2 米, 当他测量教学楼旁的一棵大树的影长时, 因大树靠近教学楼, 有一部分影子在墙上.经测量, 地面部分影长为 6.4 米, 墙上影长为 1.4 米, 那么这棵大树高约为米.

度量几何学


Answer: 4

Question:
如图, 小明在 $A$ 时测得某树的影长为 $2 m, B$ 时又测得该树的影长为 $8 m$. 若两次日照的光线互相垂直, 则此树的高度为 $m$.

<ImageHere>

度量几何学

将实际问题转化为如图所示的模型.

<ImageHere>
由题意, 得 $\angle E C F=90^{\circ}, \angle E D C=\angle C D F=90^{\circ}$,

所以 $\angle E+\angle E C D=\angle E C D+\angle D C F=90^{\circ}$.

所以 $\angle E=\angle D C F$.

所以Rt $\triangle E D C \sim R t \triangle C D F$,

所以 $\frac{E D}{C D}=\frac{D C}{D F}$, 即 $\frac{2}{C D}=\frac{C D}{8}$, 解得 $D C=4 m$.

则此树的高度为 $4 m$ 。


Answer: 2.7

Question:
如图, 圆桌面正上方的灯泡发出的光线照射桌面后, 在地面上形成阴影(圆形).已知灯泡距离地面 $2.4 m$, 桌面距离地面 $0.8 m$ (桌面厚度不计算), 若桌面的面积是 $1.2 m^{2}$, 则地面上的阴影面积是 \$ \qquad \$ $m^{2}$.

<ImageHere>

度量几何学

如图设 $C, D$ 分别是桌面和其地面影子的圆心, $C B / / A D$,

<ImageHere>

$\therefore \triangle O B C \sim \triangle O A D$

$\therefore \frac{S_{\text {案面 }}}{S_{\text {地而 }}}=\left(\frac{O C}{O D}\right)^{2}$, 而 $O D=2.4(\mathrm{~m}), C D=0.8(\mathrm{~m})$,

$\therefore O C=O D-C D=1.6(m)$

$\therefore S_{\text {地西 }}=2.7\left(m^{2}\right)$,

这样地面上阴影部分的面积为 $2.7 \mathrm{~m}^{2}$.
故答案为 2.7 .


Answer: (1)(3)

Question:
如图, 一根直立于水平地面上的木杆 $A B$ 在灯光下形成影子, 当木杆绕 $A$ 按逆时针方向旋转直至到达地面时, 影子的长度发生变化. 设 $A B$垂直于地面时的影长为 $A C$ (假定 $A C>A B$ ), 影长的最大值为 $m$, 最小值为 $n$, 那么下列结论中: (1) $m>A C$; (2) $m=A C$;

(3) $n=A B$;

(4)

<ImageHere>
影子的长度先增大后减小. 正确的结论序号是 \$ \qquad \$ .

(直角填写正确的结论的序号).

度量几何学

当木杆绕点 $A$ 按逆时针方向旋转时, 如图所示当 $A B$ 与光线 $B C$ 垂直时, $m$ 最大, 则 $m>A C$, (1)成立;

<ImageHere>

(1)成立, 那么(2)不成立;

最小值为 $A B$ 与底面重合, 故 $n=A B$, 故(3)成立;

由上可知, 影子的长度先增大后减小, (4)成立;

故答案为: (1) (3) (4).


Answer: $(3.76,0)$

Question: 小明家的客厅有一张直径为 1.1 米, 高 0.75 米的圆桌 $B C$, 在距地面 2 米的 $A$ 处有一或灯, 圆桌的影子为 $D E$, 依据题意建立平面直角坐标系, 其中点 $D$ 的坐标为 $(2,0)$, 则点 $E$ 的坐标是 \$ \qquad \$

度量几何学

由题意得: $B C / / D E$,

$\therefore \triangle A B C \backsim \triangle A D E$,

$\therefore \frac{B C}{D E}=\frac{2-0.75}{2}$,

$\because B C=1.1$,

$\therefore D E=1.76$,

$\therefore O E=O D+D E=2+1.76=3.76$.

$\therefore E(3.76,0)$.

故答案为 $(3.76,0)$.


Answer: 7.5

Question: 如图是学校艺术馆中的柱子, 高 $4.5 \mathrm{~m}$. 为迎接艺术节的到来, 工作人员用一条花带从柱底向柱顶均匀地缠绕 3 圈, 一直缠到起点的正上方为止. 若柱子的底面周长是 $2 m$, 则这条花带至少需要 \$ \qquad \$ $m$.

度量几何学

将圆柱表面切开展开呈长方形,

则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长 $x$,

<ImageHere>

$\because$ 圆柱高 4.5 米, 底面周长 2 米,

$x^{2}=(2 \times 3)^{2}+4.5^{2}=56.25 m$,

$x=7.5 m$,
所以, 花带长至少是 $7.5 m$.

故答案为: 7.5 .


Answer: 2 或 3

Question:
已知一个圆柱的侧面展开图是如图所示的矩形, 长为 $6 \pi$, 宽为 $4 \pi$, 那么这个圆柱底面圆的半径为 \$ \qquad \$ .

<ImageHere>

度量几何学

(1) 当底面圆的周长为 $6 \pi$ 时, 底面圆的半径为 $6 \pi \div \pi \div 2=3$;

(2) 当底面圆的周长为 $4 \pi$ 时, 底面圆的半径为 $4 \pi \div \pi \div 2=2$.

故答案为 2 或 3.


Answer: $40^{\circ}$.

Question:
如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, 点 $D$ 在 $A B$ 的延长线上, $D C$ 切 $\odot O$ 于点 $C$, 若 $\angle A=25^{\circ}$, 则 $\angle D$ 等于 \$ \qquad \$ .

<ImageHere>

度量几何学

连接 $\mathrm{OC}$,

<ImageHere>

$\because \mathrm{DC}$ 切 $\odot \mathrm{O}$ 于 $\mathrm{C}, \therefore \angle \mathrm{OCD}=90^{\circ}, \because$ 弧 $\mathrm{BC}$ 对的圆周角是 $\angle \mathrm{A}$, 对的圆心角是 $\angle \mathrm{COB}$,

$\therefore \angle \mathrm{COB}=2 \angle \mathrm{A}=50^{\circ}, \quad \therefore \angle \mathrm{D}=180^{\circ}-\angle \mathrm{DCO}-\angle \mathrm{COB}=40^{\circ}$


Answer: 4

Question:
如图, $\mathrm{PA}$ 切 $\odot \mathrm{O}$ 于 $\mathrm{A}, \mathrm{PBC}$ 交 $\odot \mathrm{O}$ 于 $\mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{PA}=4 \sqrt{3}, \mathrm{PC}=12$, 则 $\mathrm{PB}=$ \$ \qquad \$

<ImageHere>

度量几何学

已知 $P A$ 切 $\odot O$ 于 $A$,

根据切割线定理, 得 $P A^{2}=P B \cdot P C ; \because \quad P A=4 \sqrt{3}, P C=12$,

$\therefore \quad P B=\frac{P A^{2}}{P C}=\frac{48}{12}=4$


Answer: 122

Question:
如图所示, $\odot \mathrm{O}$ 为 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的内切圆, $\angle \mathrm{ABC}=80^{\circ}, \angle \mathrm{ACB}=36^{\circ}$, 则 $\angle \mathrm{BOC}=$ \$ \qquad \$ ${ }^{\circ}$.

<ImageHere>

度量几何学

$\because O B 、 O C$ 是 $\angle A B C 、 \angle A C B$ 的角平分线,

$\therefore \quad \angle O B C+\angle O C B=\frac{1}{2}(\angle A B C+\angle A C B)=\frac{1}{2}\left(80^{\circ}+36^{\circ}\right)=58^{\circ}$,

$\therefore \angle B O C=180^{\circ}-58^{\circ}=122^{\circ}$. 故答案为 122 .


Answer: $\sqrt{3}$

Question:
如图, 半径为 3 的 $\odot O$ 与 Rt $\triangle A O B$ 的斜边 $A B$ 切于点 $D$, 交 $O B$ 于点 $C$, 连接 $C D$ 交直线 $O A$ 于点 $\mathrm{E}$, 若 $\angle \mathrm{B}=30^{\circ}$, 则线段 $\mathrm{AE}$ 的长为

<ImageHere>

度量几何学

连接 $\mathrm{OD}$, 如图所示,

由已知可得, $\angle B O A=90^{\circ}, \mathrm{OD}=\mathrm{OC}=3, \angle \mathrm{B}=30^{\circ}, \angle \mathrm{ODB}=90^{\circ}$,

$\therefore \mathrm{BO}=2 \mathrm{OD}=6, \angle \mathrm{BOD}=60^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{ODC}=\angle \mathrm{OCD}=60^{\circ}, \quad \mathrm{AO}=\mathrm{BO} \tan 30^{\circ}=6 \times \frac{\sqrt{3}}{3}=2 \sqrt{3}$,

$\because \angle \mathrm{COE}=90^{\circ}, \mathrm{OC}=3$,

$\therefore \mathrm{OE}=\mathrm{OCtan} 60^{\circ}=3 \times \sqrt{3}=3 \sqrt{3}$,

$\therefore \mathrm{AE}=\mathrm{OE}-\mathrm{OA}=3 \sqrt{3}-2 \sqrt{3}=\sqrt{3}$,

<ImageHere>


Answer: 26

Question:
如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径,, 是 $\odot O$ 上的点, 过点 $C$ 作 $\odot O$ 的切线交 $A B$ 的延长线于点 D. 若 $\angle A=32^{\circ}$,则 $\angle \mathrm{D}=$ \$ \qquad \$度.

<ImageHere>

度量几何学

：连接 $\mathrm{OC}$,

<ImageHere>

由圆周角定理得， $\angle \mathrm{COD}=2 \angle \mathrm{A}=64^{\circ}$,

$\because \mathrm{CD}$ 为 $\odot \mathrm{O}$ 的切线,

$\therefore \mathrm{OC} \perp \mathrm{CD}, \therefore \angle \mathrm{D}=90^{\circ}-\angle \mathrm{COD}=26^{\circ}$, 故答案为: 26 .


Answer: 5.5

Question:
如图, 小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB, 他调整自己的位置, 设法使斜边 $\mathrm{DF}$ 保持水平, 并且边 $\mathrm{DE}$ 与点 $\mathrm{B}$ 在同一直线上. 已知纸板的两条直角边 $\mathrm{DE}=40 \mathrm{~cm}$, $\mathrm{EF}=20 \mathrm{~cm}$, 测得边 $\mathrm{DF}$ 离地面的高度 $\mathrm{AC}=1.5 \mathrm{~m}, \mathrm{CD}=8 \mathrm{~m}$, 则树高 $\mathrm{AB}=$ \$ \qquad \$ $\mathrm{m}$.

<ImageHere>

度量几何学

在 $\triangle \mathrm{DEF}$ 和 $\triangle \mathrm{DBC}$ 中, $\left\{\begin{array}{l}\angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{D} \\ \angle \mathrm{DEF}=\angle \mathrm{DCB}\end{array}\right.$,
$\therefore \triangle \mathrm{DEF} \sim \triangle \mathrm{DBC}$,

$\therefore \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{BC}}$, 即 $\frac{40}{20}=\frac{8}{\mathrm{BC}}$

解得 $\mathrm{BC}=4, \because \mathrm{AC}=1.5 \mathrm{~m}, \therefore \mathrm{AB}=\mathrm{AC}+\mathrm{BC}=1.5+4=5.5 \mathrm{~m}$


Answer: $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Question: 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\angle \mathrm{C}=90^{\circ}$, 若 $\tan \mathrm{A}=\frac{1}{2}$, 则 $\sin B=$ \$ \qquad \$ .

度量几何学

如图所示:

<ImageHere>

$\because \angle \mathrm{C}=90^{\circ}, \tan \mathrm{A}=\frac{1}{2}, \therefore$ 设 $\mathrm{BC}=\mathrm{x}$, 则 $\mathrm{AC}=2 \mathrm{x}$, 故 $\mathrm{AB}=\sqrt{5} \mathrm{x}$,

则 $\sin \mathrm{B}=\frac{A C}{A B}=\frac{2 x}{\sqrt{5} x}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$. 故答案为: $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$.


Answer: $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Question:
如图。在 $4 \times 4$ 的正方形方格图形中, 小正方形的顶点称为格点. $\triangle A B C$ 的顶点都在格点上,则 $\angle B A C$ 的正弦值是 \$ \qquad \$ .

<ImageHere>

度量几何学


Answer: 12

Question:
在测量旗杆高度的活动课中, 某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量, 得到的数据如图所示, 根据这些数据计算出旗杆的高度为 $m$.

<ImageHere>

度量几何学

【分析】

本题只要是把平行投影的问题抽象到相似三角形中, 利用相似三角形的相似比, 列出方程, 通过解方程求解即可, 体现了转化的思想. 此题的文字叙述比较多, 解题时要认真分析题意.

利用平行投影的性质, 相似三角形的对应边成比例解答.

【解答】

解：设旗杆的高度为 $x m$,

根据题意, 得: $\frac{x}{9}=\frac{0.8}{0.6}$,

解得 $x=12$,

即旗杆的高度为 $12 m$,

故答案为: 12 .


Answer: $\frac{15}{\pi}$

Question: 将面积为 $225 \mathrm{~cm}^{2}$ 的正方形硬纸片围成圆柱的侧面，则此圆柱的底面直径为 $c m$ (结果保留 $\pi$.

度量几何学

解: 由面积为 $225 \mathrm{~cm}^{2}$ 的正方形可知正方形的边长 $=\sqrt{225}=15 \mathrm{~cm}$, 即是圆柱底面的周长,所以用这硬纸片围成圆柱的侧面的直径 $=\frac{15}{\pi} \mathrm{cm}$,

故答案为: $\frac{15}{\pi}$.

圆柱的底面直径 $=$ 底面周长 $\div \pi$.

此题考查圆柱的计算, 本题要先由正方形的面积求出正方形的周长, 然后再求底面的直径.


Answer: 8

Question: (本题3分)(2019$cdot$浙江杭州$cdot$九年级)如图,在$triangle{ABC}$中,${AB}={AC}=5,{BC}=4$$sqrt{5},{D}$为边${AB}$上一动点(${B}$点除外),以${CD}$为一边作正方形${CDEF}$,连接${BE}$,则$triangle{BDE}$面积的最大值为<ImageHere>

度量几何学


Answer: $frac{1}{3}$

Question: (本题3分)(2021浙江宁波$cdot$九年级期末)如图,点$D$在$triangleABC$的$BC$边上,且$CD=2BD$,点$E$是$AC$边的中点,连接$AD,DE$,假设可以随意在图中取点,那么这个点取在阴影部分的概率是<ImageHere>

度量几何学

【分析】先设阴影部分的面积是$x$,得出整个图形的面积是$3x$,再根据几何概率的求法即可得出答案.【详解】解：设阴影部分的面积是$x$,$because$点$E$是$AC$边的中点,$thereforeS_{triangleACD}=2x$,$becauseCD=2BD$$thereforeS_{triangleACB}=3x$,则这个点取在阴影部分的概率是$frac{x}{3x}=frac{1}{3}$.故答案为:$frac{1}{3}$.【点睛】本题考查几何概率的求法:首先根据题意将代数关系用面积表示出来,一般用阴影区域表示所求事件(A);然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例,这个比例即事件(A)发生的概率.


Answer: 10

Question: (本题3分)（2020$cdot$浙江温州$cdot$九年级期末）在Rt$triangleABC$中,两直角边的长分别为6和8,则这个三角形的外接圆的直径长为

度量几何学

【分析】根据题意,写出已知条件并画出图形,然后根据勾股定理即可求出${AB}$,再根据圆周角为直角所对的弦是直径即可得出结论.【详解】如图,已知:$AC=8,BC=6$,<ImageHere>由勾股定理得：$AB=sqrt{{AC}^{2}+{BC}^{2}}=10$,$becauseangleACB=90^{circ}$,$thereforeAB$是$odotO$的直径,$therefore$这个三角形的外接圆直径是$10;$故答案为:10.【点睛】此题考查的是求三角形的外接圆的直径,掌握圆周角为直角所对的弦是直径是解决此题的关键.


Answer: $22.5^{circ}$

Question: (本题3分)($2020cdot$浙江$cdot$温州市第二中学九年级阶段练习）如图,正八边形度.<ImageHere>

度量几何学

【分析】正八边形内接于圆,可求得${GF}$所对的圆心角为$45^{circ}$,进而可求得${GF}$所对的圆周角的度数.【详解】解:$because$多边形为正八边形$therefore$正八边形$ABCDEFGH$内接于圆$therefore{GF}$所对的圆心角为$45^{circ}$$therefore$GF所对的圆周角$angleGBF$为$22.5^{circ}$故答案为:$22.5^{circ}$.【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，同弧所对的圆周角与圆心角的关系，解题的关键是掌握正多边形与圆的关系.


Answer: $80^{circ}80$度

Question: (本题3分)(2021浙江金华一模)一个圆被三条半径分成面积比为$2:3:4$的三个扇形,则最小扇形的圆心角为$qquad$.

度量几何学

【分析】因为一个圆被三条半径分成面积比为2:$3:4$的三个扇形,所以其圆心角之比也为2:$3:4$,则最小扇形的圆心角度数可求.【详解】解:由题意可得,三个圆心角的和为$360^{circ}$,又因为三个圆心角的度数比为$2:3:4$,所以最小的圆心角度数为:$360^{circ}timesfrac{2}{9}=80^{circ}$.故答案为:$80^{circ}$.【点睛】此题考查扇形统计图及相关计算,解题的关键是掌握圆心角的度数$=360^{circ}times$该部分占总体的百分比.


Answer: 3

Question: (本题3分)(2022-浙江宁波$cdot$九年级期末)如图1,水车又称孔明车,是我国最古老的农业灌溉工具,是珍贵的历史文化遗产.如图2,圆心$O$在水面上方,且$odotO$被水面截得的弦$AB$长为8米,半径为5米,则圆心$O$到水面$AB$的距离为$qquad$米.<ImageHere>图1<ImageHere>$because$图2

度量几何学

【分析】过$O$作$ODperpAB$于$D$,连接$OA$,由垂径定理得$AD=BD=frac{1}{2}AB=4$(米),然后在Rt$triangleAOD$中，由勾股定理求出$OD$的长即可.【详解】解：过$O$作$ODperpAB$于$D$,连接$OA$,如图所示:<ImageHere>图2则$AD=BD=frac{1}{2}AB=4$(米),在Rt$triangleAOD$中,由勾股定理得:$OD=sqrt{OA^{2}-AD^{2}}=sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$(米),即圆心$O$到水面$AB$的距离为3米,故答案为:3.【点睛】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键.


Answer: $30^{circ}30$度

Question: (本题3分)(2022$cdot$浙江湖州$cdot$中考真题)如图,已知$AB$是$odotO$的弦,$angleAOB=$$120^{circ},OCperpAB$,垂足为$C,OC$的延长线交$odotO$于点${D}$.若$angleAPD$是$AD$所对的圆周角,则$angleAPD$的度数是<ImageHere>

度量几何学


Answer: $30^{circ}30$度

Question: (本题3分)（2022$cdot$浙江温州$cdot$模拟预测）如图,四边形$ABCD$内接于$odotO$,已知$angleBAD=angleBCD=90^{circ},AD=CD$,且$angleADC=120^{circ}$,若点$E$为弧$BC$的中点,连接$DE$,则$angleCDE$的大小是$qquad$<ImageHere>

度量几何学


Answer: $frac{pi}{3}+frac{sqrt{3}}{2}$

Question: (本题3分)($2021cdot$浙江$cdot$温州市第二中学二模)如图,已知扇形$AOB$的圆心角为$90^{circ},C$是半径$OA$的中点,过$C$作$CDperpOA$交$AB$于点$D$.若$OA=2$,则阴影部分的面积为<ImageHere>

度量几何学


Answer: $6pi$

Question: (本题3分)(2021$cdot$浙江$cdot$温州外国语学校九年级期中)已知扇形的弧长为$2pi{cm}$,半径为$6{~cm}$,则它的面积为$qquad$${cm}^{2}$.

度量几何学

【分析】直接根据扇形的面积公式即可得出结论.【详解】$because$扇形的弧度长为$2pi{cm}$,半径为$6{~cm}$$therefore$扇形的面积$S_{text{扇形}}=frac{1}{2}times2pitimes6=6pi{cm}^{2}$故答案为:$6pi$.【点睛】本题考查了扇形面积的计算,掌握扇形面积的计算是解题的关键.


Answer: $112.5^{circ}$

Question: (本题3分)(2020$cdot$浙江绍兴$cdot$模拟预测)圆内接四边形$ABCD$中,若$angleA=2angleB=3angleC$,则$angleD$的度数是$qquad$

度量几何学


Answer: 12

Question: (本题3分)（2021$cdot$浙江湖州$cdot$二模）如图所示一个圆柱体容器内装入一些水,截面$AB$在圆心$O$下方,若$odotO$的直径为$60{~cm}$,水面宽$AB=48{~cm}$,则水的最大深度为${cm}$.<ImageHere>

度量几何学


Answer: 125

Question: (本题3分)(2021ㄱ九年级期中)如图,在$triangleABC$中,$angleB=70^{circ},odotO$截三边所得的<ImageHere>

度量几何学


Answer: $2 \sqrt{3}$

Question:
如图 $\odot P$ 与 $x$ 轴、直线 $l$ 相切于 $A 、 B$ 两点, $\odot P$ 半径为 1 , 直线 $l$解析式为 $y=\sqrt{3} x$, 在直线 1 和 $x$ 轴上有两个动点 $M 、 N($ 均不同于点 $O)$, 则 $\triangle P M N$ 的周长最小值为 \$ \qquad \$

<ImageHere>

解析几何

如图, 连接 $P A, P B$, 并延长使 $P B=B D, P A=A C$, 连接 $C D$, 和直线和, $x$ 轴分别交于点 $M$,点 $N$, 作 $P E \perp C D$,

D

<ImageHere>

$\because$ 直线 $l$ 相切于 $A, B$ 两点,

$\therefore P B \perp l, P A \perp x$ 轴,

$\therefore P M=D M, P N=C N$,

$\because y=\sqrt{3} x$,

$\therefore \angle A O B=60^{\circ}$,

$\therefore \angle B P A=120^{\circ}$,

$\because P A=P B$

$\therefore P D=P C$,

$\therefore \angle E P C=60^{\circ}$,

$\therefore \angle C=30^{\circ}$,

$\therefore P E=\frac{1}{2} P C=1$,

$\therefore E C=\sqrt{3}$,

$\therefore D C=2 E C=2 \sqrt{3}$,

$\therefore \triangle P M N$ 的周长为 $P M+P N+M N=D C=2 \sqrt{3}$,

故答案为 $2 \sqrt{3}$.


Answer: 2

Question:
如图, 在边长为 1 的小正方形组成的网格中, 点 $A, B, C, D$ 都在这些小正方形的顶点上, $A B, C D$ 相交于点 $O$, 则 $\tan \angle A O D=$

<ImageHere>

解析几何

如图, 连接 $B E$,

<ImageHere>

$\because$ 四边形 $B C E D$ 是正方形,

$\therefore D F=C F=\frac{1}{2} C D, B F=\frac{1}{2} B E, C D=B E, B E \perp C D$,

$\therefore B F=C F$,

根据题意得: $A C / / B D$,

$\therefore \triangle A C P \sim \triangle B D P$,

$\therefore D P: C P=B D: A C=1: 3$,

$\therefore D P: D F=1: 2$,

$\therefore D P=P F=\frac{1}{2} C F=\frac{1}{2} B F$,

在 $R t \triangle P B F$ 中, $\tan \angle B P F=\frac{B F}{P F}=2$,

$\because \angle A P D=\angle B P F$,

$\therefore \tan \angle A P D=2$,

故答案为 2 .


Answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Question: 在直角三角形 $A B C$ 中, 若 $2 A B=A C$, 则 $\cos C=$ \$ \qquad \$

解析几何


Answer: $\left(-\frac{7}{3}, 0\right)$ 或 $P\left(-\frac{17}{3}, 0\right)$

Question:
如图, 直线 $y=-\frac{3}{4} x-3$ 交 $x$ 轴于点 $A$, 交 $y$ 轴于点 $B$, 点 $P$ 是 $x$ 轴上一动点, 以点 $P$ 为圆心,以 1 个单位长度为半径作 $\odot P$, 当 $\odot P$ 与直线 $A B$ 相切时, 点 $P$ 的坐标是 \$ \qquad \$

<ImageHere>

解析几何

$\because$ 直线 $y=-\frac{3}{4} x-3$ 交 $x$ 轴于点 $A$, 交 $p$ 轴于点 $B$,

$\therefore$ 令 $x=0$, 得 $y=-3$, 令 $y=0$, 得 $x=-4$,

$\therefore A(-4,0), B(0 .-3)$,

$\therefore O A=4, O B=3$,
$\therefore A B=5$,

设 $\odot P$ 与直线 $A B$ 相切于 $D$, 连接 $P D$,

<ImageHere>

则 $P D \perp A B, P D=1$,

$\because \angle A D P=\angle A O B=90^{\circ}, \angle P A D=\angle B A O$,

$\therefore \triangle A P D \sim \triangle A B O$,

$\therefore \frac{P D}{O B}=\frac{A P}{A B}$,

$\therefore \frac{1}{3}=\frac{A P}{5}$,

$\therefore A P=\frac{5}{3}$,

$\therefore O P=\frac{7}{3}$ 或 $O P=\frac{17}{3} ，$

$\therefore P\left(-\frac{7}{3}, 0\right)$ 或 $P\left(-\frac{17}{3}, 0\right)$,

故答案为 $\left(-\frac{7}{3}, 0\right)$ 或 $P\left(-\frac{17}{3}, 0\right)$.


Answer: $\sqrt{3}$

Question:
如图, 菱形 $A B C D, \angle B=60^{\circ}, A B=4, \odot O$ 内切于菱形 $A B C D$, 则 $\odot O$ 的半径为

<ImageHere>

解析几何

设 $A B$ 和 $B C$ 上的切点分别为 $E 、 F$, 连接 $O A 、 O E 、 O B 、 O F$, 则 $O E \perp A B, O F \perp B C$,

<ImageHere>

$\because \odot O$ 内切于菱形 $A B C D$,

$\therefore O E=O F$,

$\therefore O B$ 平分 $\angle A B C$,

$\because \angle A B C=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A B O=30^{\circ}$,

同理得 $\angle B A O=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A O B=90^{\circ}$,

$\therefore A O=\frac{1}{2} A B=2, O B=2 \sqrt{3}$,

$\therefore S_{\triangle A O B}=\frac{1}{2} A B \cdot O E=\frac{1}{2} A O \cdot O B$,

$4 O E=2 \times 2 \sqrt{3}$,

$O E=\sqrt{3}$,

故答案为: $\sqrt{3}$.


Answer: $\pi$

Question:
如图, 在 $R t \triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, A B=4 \sqrt{2}$, 以 $A B$ 的中点 $O$ 为圆心作圆, 圆 $O$ 分别与 $A C$ 、 $B C$ 相切于点 $D 、 E$ 两点, 则弧 $D E$ 的长为 \$ \qquad \$ .

<ImageHere>

解析几何

连接 $O E, O D$,

$\because$ 圆 $O$ 分别与 $A C 、 B C$ 相切于点 $D 、 E$ 两点,

$\therefore O E \perp B C, O D \perp A C$,

<ImageHere>
$\because \angle C=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $O E C D$ 是矩形,

$\because O E=O D$,

$\therefore$ 矩形 $O E C D$ 是正方形,

$\therefore C E=C D, \angle E O D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B+\angle B O E=\angle B O E+\angle A O D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B=\angle A O D$,

$\because \angle B E O=\angle A D O=90^{\circ}, O B=O A$,

$\therefore \triangle B O E \cong \triangle O A D(A A S)$,

$\therefore B E=O D, O E=A D$,

$\therefore B E=O E=O D=A D$,

$\therefore \angle B=\angle A=45^{\circ}$,

$\because A B=4 \sqrt{2}$,

$\therefore O E=O D=2$,

$\therefore$. 弧 $D E$ 的长 $=\frac{90 \cdot \pi \times 2}{180}=\pi$,

故答案为: $\pi$.


Answer: 55

Question:
如图, $\mathrm{PA} 、 \mathrm{~PB}$ 分别切 $\odot \mathrm{O}$ 于点 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$, 若 $\angle \mathrm{P}=70^{\circ}$, 则 $\angle \mathrm{C}$ 的大小为 \$ \qquad \$ (度) 。

<ImageHere>

解析几何

连接 $\mathrm{OA}, \mathrm{OB}$,

<ImageHere>

$\because \mathrm{PA} 、 \mathrm{~PB}$ 分别切 $\odot \mathrm{O}$ 于点 A、B, $\therefore \mathrm{OA} \perp \mathrm{PA}, \mathrm{OB} \perp \mathrm{PB}$, 即 $\angle \mathrm{PAO}=\angle \mathrm{PBO}=90^{\circ}$.

$\therefore \angle \mathrm{AOB}=360^{\circ}-\angle \mathrm{PAO}-\angle \mathrm{P}-\angle \mathrm{PBO}=360^{\circ}-90^{\circ}-70^{\circ}-90^{\circ}=110^{\circ}$.

$\therefore \angle \mathrm{C}$ 和 $\angle \mathrm{AOB}$ 是同弧所对的圆周角和圆心角, $\therefore \angle \mathrm{C}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{AOB}=55^{\circ}$.


Answer: $115^{\circ}$

Question:
如图, 四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O, A B$ 是 $\odot O$ 的直径, 过点 $C$ 作 $\odot O$ 的切线交 $A B$ 的延长线于点 $P$,若 $\angle P=40^{\circ}$, 则 $\angle A D C=$ ${ }^{\circ}$.

<ImageHere>

解析几何

<ImageHere>

由题意可得, $\angle O C P=90^{\circ}, \angle P=40^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{COB}=50^{\circ}, \because \mathrm{OC}=\mathrm{OB}$,

$\therefore \angle \mathrm{OCB}=\angle \mathrm{OBC}=65^{\circ}, \because$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是圆内接四边形,

$\therefore \angle \mathrm{D}+\angle \mathrm{ABC}=180^{\circ}, \therefore \angle \mathrm{D}=115^{\circ}$, 故答案为: $115^{\circ}$.


Answer: $(\sqrt{6}, 2)$ 或 $(-\sqrt{6}, 2)$

Question:
如图, 已知 $\odot P$ 的半径为 2 , 圆心 $P$ 在抛物线 $y=\frac{1}{2} x^{2}-1$ 上运动, 当 $\odot P$ 与 $x$ 轴相切时, 圆心 $P$的坐标为 \$ \qquad \$ .

<ImageHere>

解析几何


Answer: $60^{\circ}$

Question: 已知 $\alpha$ 为锐角, 且 $2 \cos ^{2} \alpha-5 \cos \alpha+2=0$, 则 $\alpha=$

解析几何

设 $\cos \alpha=\mathrm{A}$,

则原式 $=2 A^{2}-5 A+2=0$,

解得, $A=2$ (因为 $\cos \alpha \neq 2$, 舍) 或 $\frac{1}{2}$,

$\therefore \cos \alpha=\frac{1}{2}, \therefore \alpha=60^{\circ}$. 故答案为: $60^{\circ}$.


Answer: (2)

Question: 在 Rt $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\angle \mathrm{C}=90^{\circ}, \mathrm{a} 、 \mathrm{~b} 、 \mathrm{c}$ 分别是 $\angle \mathrm{A} 、 \angle \mathrm{B} 、 \angle \mathrm{C}$ 的对边, 下列式子: (1) $\mathrm{a}=\mathrm{c} \cdot \sin \mathrm{B}$, (2) $\mathrm{a}=\mathrm{c} \cdot \cos \mathrm{B}$, (3) $\mathrm{a}=\mathrm{c} \cdot \tan \mathrm{B}$, (4) $\mathrm{a}=\frac{c}{\tan \mathrm{B}}$, 必定成立的是

解析几何

在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, a 、 b 、 c$ 分别是 $\angle A 、 \angle B 、 \angle C$ 的对边,则: $\sin B=\frac{b}{c}, \cos B=\frac{a}{c}, \tan B=\frac{b}{a}$.

即: $b=a \cdot \sin B, a=c \cdot \cos B, a=\frac{b}{\tan B}$. 必定成立的是(2).故答案为: (2).


Answer: $45^{\circ}$ 35

Question: 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, a=35, c=35 \sqrt{2}$, 则 $\angle A=$ \$ \qquad \$ ,$b=$ \$ \qquad \$ .

解析几何

(1) $\because$ 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\angle \mathrm{C}=90^{\circ}, a=35, c=35 \sqrt{2}$,

$\therefore \sin \mathrm{A}=\frac{a}{c}=\frac{35}{35 \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \therefore \angle \mathrm{A}=45^{\circ} ;$

(2) $\because$ 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\angle \mathrm{C}=90^{\circ}, \angle \mathrm{A}=45^{\circ}$,

$\therefore \triangle \mathrm{ABC}$ 是等腰直角三角形, $\quad \therefore b=a=35$.


Answer: $mgeq-1$

Question: (本题3分)（2018$cdot$浙江邵外九年级阶段练习）已知抛物线$y=-2(x+m)^{2}-3$,当$xgeq1$时,$y$随$x$的增大而减小,那么$m$的取值范围是

解析几何

【分析】可先求得抛物线的对称轴,再由条件可求得关于${m}$的不等式,可求得答案.【详解】解:$becausey=-2(x+m)^{2}-3$,$therefore$对称轴为${x}=-{m}$,$because{a}=-2<0$$therefore$抛物线开口向下,$therefore$在对称轴右侧${y}$随${x}$的增大而增大,$because$当$xgeq1$时,$y$随$x$的增大而减小,$therefore-mleq1$,解得$mgeq-1$,故答案为$mgeq-1$.【点睛】本题主要考查二次函数的性质,由函数的增减性得到关于${m}$的不等式是解题的关键.


Answer: ${y}_{1}={y}_{2}>{y}_{3}$

Question: (本题3分)(2020浙江$cdot$台州市双语学校九年级期中)点${P}_{1}left(-1,{y}_{1}right),{P}_{2}left(3,{y}_{2}right)$,${P}_{3}left(5,{y}_{3}right)$均在二次函数${y}=-{x}^{2}+2{x}+{c}$的图象上,则${y}_{1},{y}_{2},{y}_{3}$的大小关系是

解析几何

【分析】根据函数解析式的特点,其对称轴为${x}=1$,图象开口向下,在对称轴的右侧,${y}$随${x}$的增大而减小,据二次函数图象的对称性可知,${P}_{1}left(-1,{y}_{1}right)$与$left(3,{y}_{1}right)$关于对称轴对称,可判断${y}_{1}={y}_{2}>{y}_{3}$.【详解】解:$becausey=-x^{2}+2x+c$,$therefore$对称轴为${x}=1$,$P_{2}left(3,y_{2}right),quadP_{3}left(5,y_{3}right)$在对称轴的右侧,$y$随$x$的增大而减小,$because3<5$$therefore{y}_{2}>{y}_{3}$,根据二次函数图象的对称性可知,${P}_{1}left(-1,{y}_{1}right)$与$left(3,{y}_{1}right)$关于对称轴对称,故${y}_{1}={y}_{2}>{y}_{3}$,故答案为$y_{1}=y_{2}>y_{3}$.【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性.


Answer: 4

Question: (本题3分)(2020:浙江$cdot$湖州市吴兴区城南实验学校九年级阶段练习)小明在某次投篮中,球的运动路线是抛物线$y=-frac{1}{5}x^{2}+3.5$的一部分(如图所示),若命中篮圈中心，则他与篮底的距离1是${m}$.<ImageHere>

解析几何


Answer: 9

Question: (本题3分)（2020浙江$cdot$九年级期中）若抛物线$y=x^{2}$过点$A(a,b),B(a+6,b)$,则$b=$

解析几何

【分析】由题意易得点$A、B$关于二次函数的对称轴对称,进而可得$frac{2a+6}{2}=0$,然后求解$a$的值,最后代入二次函数解析式求解$b$的值即可.【详解】解：由抛物线$y=x^{2}$过点$A(a,b),B(a+6,b)$,可得：该二次函数的对称轴为直线$x=0$,点$A、B$关于二次函数的对称轴对称,$thereforefrac{2a+6}{2}=0$,解得:$a=-3$,把$a=-3$代入抛物线解析式得:$y=(-3)^{2}=9$,$thereforeb=9$故答案为9.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.


Answer: 3

解析几何

【分析】解方程$x^{2}+mx=0$得$A(-m,0)$,再利用对称的性质得到点$A$的坐标为$(-1,0)$,所以抛物线解析式为$y=x^{2}+x$,再计算自变量为1的函数值得到$A^{prime}(1,2)$,接着利用$C$点的纵坐标为2求出$C$点的横坐标,然后计算$A^{prime}C$的长.【详解】解：当$y=0$时,$x^{2}+mx=0$,解得$x_{1}=0,x_{2}=-m$,则$A(-m,0)$,$because$点$A$关于点$B$的对称点为$A^{prime}$,点$A^{prime}$的横坐标为1,$therefore$点$A$的坐标为$(-1,0)$,$therefore$抛物线解析式为$y=x^{2}+x$,当$x=1$时,$y=x^{2}+x=2$,则$A^{prime}(1,2)$,当$y=2$时,$x^{2}+x=2$,解得$x_{1}=-2,x_{2}=1$,则$C(-2,1)$,$thereforeA^{prime}C$的长为$1-(-2)=3$,故答案为3。【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、坐标平面内关于某点对称的两点间坐标的关系以及抛物线与$x$轴的交点,解题的关键是把求二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a,b,c$是常数,$aneq0)$与$x$轴的交点坐标问题转化为解关于$x$的一元二次方程.


Answer: $(3,1)$

Question: (本题3分)(2022$cdot$浙江疅州$cdot$九年级期末)二次函数$y=2(x-3)^{2}+1$图象的顶点坐标是$qquad$

解析几何

【分析】根据顶点式直接解答即可.【详解】解：二次函数$y=2(x-3)^{2}+1$的图象的顶点坐标是$(3,1)$.故答案为:$(3,1)$【点睛】本题考查了二次函数的性质,要熟悉顶点式的意义，并明确：$y=a(x-h)^{2}+k$$(aneq0)$的顶点坐标为$(h,k)$.


Answer: $(5,0)$

Question: (本题3分)(2021$cdot$浙江绍兴$cdot$年级期末)已知抛物线$y=ax^{2}+bx+c(aneq0)$的对称轴为直线$x=2$,且与$x$轴有两个交点,其中一个交点坐标为$-1,0$,则另一个交点坐标为$qquad$.

解析几何

【分析】根据二次函数的基本性质及对称轴求交点的对称点即可得.【详解】解：设另一个交点为$(a,0)$,根据对称轴及与$x$轴的交点可得:$frac{a+(-1)}{2}=2，$解得:$a=5$故答案为:$(5,0)$.【点睛】题目主要考查利用二次函数的基本性质求交点的对称点，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键.


Answer: $-frac{3}{4}-0.75$

Question: (本题3分)(2022$cdot$浙江嘉兴$cdot$九年级期末)甲、乙两人研究二次函数$y=ax^{2}-4ax+3(aneq0)$与反比例函数$y=frac{k}{x}(kneq0)$,甲说:“二次函数图象一定过第一象限的一个定点."乙说:“二次函数图象的顶点及这个定点都在该反比例函数图象上."若甲、乙两人的描述正确,则$a$的值为

解析几何

【分析】根据二次函数过定点,则与$a$的取值无关,得出定点和顶点再进行解答.【详解】解:$becausey=ax^{2}-4ax+3=ax(x-4)+3$,$therefore$当$x=4$时,$y=3$,$therefore$二次函数图象一定过第一象限的一个定点$(4,3)$,$becausey=ax^{2}-4ax+3=a(x-2)^{2}+3-4a$,$therefore$顶点为$(2,3-4a)$,$because$二次函数的顶点及这个定点都在反比例函数图象上,$therefore2times(3-4a)=4times3$,$thereforea=-frac{3}{4}$.故答案为:$-frac{3}{4}$.【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象和性质，确定出二次函数过定点$(4,3)$是解答本题的关键.


Answer: $-frac{4}{5}-0.8$

Question: (本题3分)（2022$cdot$浙江温州$cdot$九年级期末）已知二次函数$y=ax^{2}+2ax-3a$（其中$x$是自变量）图象与$x$轴交于$A,B$两点,当$xgeq0$时,$y$随$x$的增大而减小,$P$为抛物线上一点,且横坐标为$m$,当$-2leqmleq2$时,$triangleABP$面积的最大值为8,则$a$的值为

解析几何


Answer: (1)(3)(4)

解析几何


Answer: 8

Question: (本题3分)（2020$cdot$浙江$cdot$余姚市兰江中学九年级阶段练习）如图,在半径为$3sqrt{2}$的$odotO$中,$AB$是直径,$AC$是弦,$D$是$AC$的中点,$AC$与$BD$交于点$E$.若$E$是$BD$的中点,则$AC$的长是<ImageHere>

解析几何


Answer: 9

Question: (本题3分)(2022-浙江$cdot$九年级专题练习)如图,$A$为双曲线$y=-frac{9}{x}$在第二象限分支上的一个动点,连接$AO$并延长交双曲线的另一分支于点$B$,以$AB$为边作等边三角形$ABC$,若点$C$的坐标为$(3,n)$,则$n=$<ImageHere>

解析几何


Answer: 1

解析几何


Answer: $25-2-2+25$

Question: (本题3分)（2022$cdot$浙江嘉兴$cdot$九年级期末）已知点$P$是线段$AB$的黄金分割点（$AP$$>BP),AB=4$,那么$AP=$$qquad$

解析几何

【分析】根据黄金分割点的定义,知$AP$是较长线段;则$AP=frac{sqrt{5}-1}{2}AB$,代入数据即可得出$AP$的长.【详解】解：由于$P$为线段$AB$的黄金分割点，且$AP$是较长线段,$AB=4$,则$AP=frac{sqrt{5}-1}{2}AB=frac{sqrt{5}-1}{2}times4=2sqrt{5}-2$.故答案为$2sqrt{5}-2$.【点睛】本题考查了黄金分割的概念.解题关键是熟记黄金分割的公式:较短的线段$=$原线段的$frac{3-sqrt{5}}{2}$,较长的线段$=$原线段的$frac{sqrt{5}-1}{2}$.


Answer: $frac{sqrt{2}}{2}$

解析几何


Answer: $frac{1}{2}quadleft(frac{3sqrt{3}}{2},0right)$

Question: (本题3分)(2022-浙江宁波$cdot$年级专题练习)如图,四边形$OABC$为矩形,点$A$在第二象限,点$A$关于$OB$的对称点为点$D$,点$B,D$都在函数$y=frac{6sqrt{2}}{x}(x>0)$的图象上,$BEperpx$轴于点$E$.若$DC$的延长线交$x$轴于点$F$,当矩形$OABC$的面积为$9sqrt{2}$时,,点$F$的坐标为<ImageHere>

解析几何


Answer: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Question: 在Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, A B=3, B C=2$, 则 $\cos A$ 的值是

解析几何

$\because \angle C=90^{\circ}, A B=3, B C=2$,

$\therefore A C=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}$,

$\therefore \cos A=\frac{A C}{A B}=\frac{\sqrt{5}}{3}$.


Answer: 192

Question:
如图, 在矩形 $A B C D$ 中, $E, F, G, H$ 分别为 $A B, B C, C D, D A$ 的中点, 若 $A H: A E=4: 3$,四边形 $E F G H$ 的周长是 $40 \mathrm{~cm}$, 则矩形 $A B C D$ 的面积是 $\mathrm{cm}^{2}$.

<ImageHere>

解析几何

解: 在 $\triangle A H E$ 和 $\triangle D H G$ 中,

$\because A H=D H=\frac{1}{2} A D, \angle A=\angle D=90^{\circ}, A E=D G=\frac{1}{2} A B$,

$\therefore \triangle A H E \cong \triangle D H G$,

$\therefore E H=G H$,

同理 $E H=G H=G F=E F$,

即四边形 $E F G H$ 为菱形.

又 $\because$ 四边形 $E F G H$ 的周长是 $40 \mathrm{~cm}$,

$\therefore E H=10$.

$\because A H: A E=4: 3$,
设 $A H=4 x$ ，则 $A E=3 x$.

由勾股定理得, $E H^{2}=A E^{2}+A H^{2}$,

$\therefore x=2, A H=8, A E=6$,

$\therefore$ 矩形 $A B C D$ 的面积 $=16 \times 12=192\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$.

由题意知, $\triangle A E H, \triangle D H G, \triangle C G F, \triangle E F B$ 是全等三角形, 所以 $E H=H G=F G=E F$, 即四边形 $E F G H$ 为菱形, 四边形 $E F G H$ 的周长是 $40 \mathrm{~cm}$, 可知边长为 10 , 根据勾股定理可求得 $A H$ 和 $A E$, 即 $A D$ 和 $A B$ 的值就可求出, 从而求矩形面积.

本题考查了矩形、菱形的性质及勾股定理, 有一定难度.


Answer: 2秒或6秒或10秒

Question:
如图, 在平面直角坐标系中, 直线 $y=x-4$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $B 、 C$, 半径为 2 的 $\odot P$的圆心 $P$ 从点 $A(8, m)$ (点 $A$ 在直线 $y=x-4$ 上) 出发以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度的速度沿射线 $A C$ 运动,设点 $P$ 运动的时间为 $t$ 秒，则当 $t=$ \$ \qquad \$时, $\odot P$ 与坐标轴相切.

<ImageHere>

解析几何

【分析】

本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键.

设 $\odot P$ 与坐标轴的切点为 $D$, 根据已知条件得到 $A(8,4), B(4,0), C(0,-4)$, 求得 $A B=4 \sqrt{2}, A C=$ $8 \sqrt{2}, O B=O C=4$, 推出 $\triangle O B C$ 是等腰直角三角形, $\angle O B C=45^{\circ}$, (1)当 $\odot P$ 与 $x$ 轴相切时, (2)如图, $\odot P$ 与 $x$ 轴和 $y$ 轴都相切时, (3)当点 $P$ 只与 $y$ 轴相切时, 根据等腰直角三角形的性质得到结论.

【解答】

解: 设 $\odot P$ 与坐标轴的切点为 $D$,

$\because$ 直线 $y=x-4$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $B 、 C$, 点 $A(8, m)$,

$\therefore x=0$ 时, $y=-4, y=0$ 时, $x=4, x=8$ 时, $y=4$,

$\therefore A(8,4), B(4,0), C(0,-4)$,

$\therefore A B=4 \sqrt{2}, A C=8 \sqrt{2}, O B=O C=4$,

$\therefore \triangle O B C$ 是等腰直角三角形, $\angle O B C=45^{\circ}$,

(1) 当 $\odot P$ 与 $x$ 轴相切时,

<ImageHere>
$\because$ 点 $D$ 是切点, $\odot P$ 的半径是 2 ,

$\therefore P D \perp x$ 轴, $P D=2$,

$\therefore \triangle B D P$ 是等腰直角三角形,

$\therefore B D=P D=2, P B=2 \sqrt{2}$,

$\therefore A P=A B-P B=2 \sqrt{2}$,

$\because$ 点 $P$ 的速度为每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度,

$\therefore t=2$

(2)如图, $\odot P$ 与 $x$ 轴和 $y$ 轴都相切时,

<ImageHere>

$\because P B=2 \sqrt{2}$,

$\therefore A P=A B+P B=6 \sqrt{2}$,

$\because$ 点 $P$ 的速度为每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度,

$\therefore t=6$

(3)当点 $P$ 只与 $y$ 轴相切时,

<ImageHere>

$\because P B=2 \sqrt{2}$,

$\therefore A P=A C+P B=10 \sqrt{2}$,

$\because$ 点 $P$ 的速度为每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度,

$\therefore t=10$.
综上所述, 则当 $t=2$ 或6或 10 秒时, $\odot P$ 与坐标轴相切,

故答案为: 2 秒或6秒或 10 秒.


Answer: 4

Question:
如图, 已知 $\angle A O B=30^{\circ}, M$ 为 $O B$ 边上一点, 以 $M$ 为圆心, $2 \mathrm{~cm}$ 为半径作 $\odot M$. 若点 $M$ 在 $O B$边上运动, 则当 $O M=$ $c m$ 时, $\odot M$ 与 $O A$ 相切.

<ImageHere>

解析几何

【分析】

本题考查了切线的性质和判定，直角三角形的性质．根据直角三角形中， $30^{\circ}$ 的角所对的直角边是斜边的一半解答. 连接 $M N, N$ 为切点, 根据 $M N \perp O B$ 可知 $\angle A O B=30^{\circ}, 2 \mathrm{~cm}$ 为半径, 利用直角
三角形中 $30^{\circ}$ 的角所对的直角边是斜边的一半解答.

【解答】

解：设 $\odot M$ 与 $O A$ 相切时切点为 $N$, 连接 $M N$,

<ImageHere>

$\therefore M N \perp O A, \angle A O B=30^{\circ}$,

$\because \odot M$ 的半径为 $2 \mathrm{~cm}$,

$\therefore O M=2 M N=2 \times 2=4 \mathrm{~cm}$.

$\therefore$ 当 $O M=4 \mathrm{~cm}$ 时, $\odot M$ 与 $O A$ 相切.

故答案为 4 .


Answer: $y=\frac{5}{6} x^{2}+9 ; \frac{81 \sqrt{3}}{20}$

Question:
以 $E F$ 所在直线为 $x$ 轴, $A B$ 所在直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系, 求抛物线的解析式_; 将高脚杯绕点 $F$ 缓缓倾斜倒出部分液体, 当 $\angle E F H=30^{\circ}$ 时停止,此时液面为 $G D$, 此时杯体内液体的最大深度为
<ImageHere>

解析几何

【分析】

本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法、二次函数及解直角三角形等知识点是解题的关键.

以 $A$ 为原点, 直线 $E F$ 为 $x$ 轴, 直线 $A B$ 为 $y$ 轴, 建立平面直角坐标系, 由待定系数法求得抛物线的解析式; 将高脚杯绕点 $F$ 倾斜后, 仍以 $A$ 为原点, 直线 $E F$ 为 $x$ 轴, 直线 $A B$ 为 $y$ 轴, 建立平面直角坐标系, 分别用待定系数法求得直线 $l$ 的解析式和直线 $G D$ 的解析式, 过点 $M$ 作 $M P \perp l$ 于点 $P$, 用三角函数求得液面 $G D$ 到平面 $l$ 的距离; 过抛物线最低点 $Q$ 作 $Q L / / l$, 再将 $Q L$ 的解析式与抛物线的解析式联立, 得出关于 $x$ 的一元二次方程, 由判别式求得 $q$, 最后用三角函数求得答案.

【解答】

解: 以 $A$ 为原点, 直线 $E F$ 为 $x$ 轴, 直线 $A B$ 为 $y$ 轴, 建立平面直角坐标系, 如图:

<ImageHere>

由题意得:

$A(0,0), B(0,9), C(-2 \sqrt{3}, 19), D(2 \sqrt{3}, 19)$,

设抛物线的解析式为: $y=a x^{2}+9$,

将 $D(2 \sqrt{3}, 19)$ 代入得:

$19=a \times(2 \sqrt{3})^{2}+9$,

解得: $a=\frac{5}{6}$,

$\therefore y=\frac{5}{6} x^{2}+9$;

将高脚杯绕点 $F$ 倾斜后, 仍以 $A$ 为原点, 直线 $E F$ 为 $x$ 轴, 直线 $A B$ 为 $y$ 轴, 建立平面直角坐标系, 如图:

<ImageHere>

由题意得: $A(0,0), F(\sqrt{3}, 0), E(-\sqrt{3}, 0), B(0,9), C(-2 \sqrt{3}, 19), D(2 \sqrt{3}, 19)$,

由题可知, 直线 $l$ 与 $x$ 轴的夹角为 $30^{\circ}, G D / / l$,

$\because l$ 经过点 $F(\sqrt{3}, 0)$, 且 $\angle E F H=30^{\circ}$,

$\therefore$ 设直线 $l$ 的解析式为: $y=\frac{\sqrt{3}}{3} x+b$,

将 $F(\sqrt{3}, 0)$ 代入, 解得 $b=-1$,
$\therefore y=\frac{\sqrt{3}}{3} x-1$,

又 $\because G D / / l$,

$\therefore k_{G D}=k_{l}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,

$\therefore$ 设直线 $G D$ 的解析式为 $y=\frac{\sqrt{3}}{3} x+p$,

将 $D(2 \sqrt{3}, 19)$ 代入，解得 $p=17$ ，

$\therefore y=\frac{\sqrt{3}}{3} x+17$,

$\therefore M(0,17), N(0,-1)$,

过点 $M$ 作 $M P \perp l$ 于点 $P$,

$\because \angle E F H=30^{\circ}, \angle F A N=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A N F=60^{\circ}$,

$\therefore M P=M N \cdot \sin 60^{\circ}=[17-(-1)] \times \frac{\sqrt{3}}{2}=9 \sqrt{3}$,

过抛物线最低点 $Q$ 作 $Q L / / l, L$ 为 $Q L$ 于 $M P$ 的交点,

设直线 $Q L$ 的解析式为,

联立 $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{5}{6} x^{2}+9 \\ y=\frac{\sqrt{3}}{3} x+q\end{array}\right.$ ，

得: $\frac{5}{6} x^{2}-\frac{\sqrt{3}}{3} x+9-q=0$,

$\because$ 只有一个交点 $Q$,

$\therefore \Delta=0$,

$\therefore \frac{1}{3}-4 \times \frac{5}{6}(9-q)=0$,

$\therefore q=\frac{89}{10}$,

$\therefore M L=\left(17-\frac{89}{10}\right) \times \sin 60^{\circ}=\frac{81 \sqrt{3}}{20}$.


Answer: $\left(-\frac{7}{3}, 0\right)$ 或 $\left(-\frac{17}{3}, 0\right)$

Question:
如图, 直线 $y=-\frac{3}{4} x-3$ 交 $x$ 轴于点 $A$, 交 $y$ 轴于点 $B$, 点 $P$ 是 $x$ 轴上一动点, 以点 $P$ 为圆心,以 1 个单位长度为半径作 $\odot P$, 当 $\odot P$ 与直线 $A B$ 相切时, 点 $P$ 的坐标是

<ImageHere>

解析几何

【分析】

本题考查了一次函数的图象与性质, 切线的性质, 三角形的面积, 先求出 $A 、 B$ 的坐标, 得到 $O A$ 、 $O B$ 的值, 进而得到 $A B=5$, 分两种情况讨论 (1)当点 $P$ 在点 $A$ 右侧时, (2)当点 $P$ 在点 $A$ 左侧时, 每种
情况设 $O P=x$, 表示出 $A P$, 利用面积法即可求出 $x$ 的值, 进而得到答案.

【解答】

解: $\because$ 直线 $y=-\frac{3}{4} x-3$ 交 $x$ 轴于点 $A$, 交 $y$ 轴于点 $B$,

$\therefore$ 令 $x=0$, 得 $y=-3$, 令 $y=0$, 得 $x=-4$,

$\therefore A(-4,0), B(0,-3)$,

$\therefore O A=4, O B=3$

$\therefore A B=5$,

(1) 如图, 当点 $P$ 在点 $A$ 右侧时,

<ImageHere>

设 $\odot P$ 与直线 $A B$ 相切于 $C$, 连接 $P C, P B$,

则 $P C \perp A B, P C=1$,

设 $O P=x$, 则 $A P=O A-O P=4-x$,

$\therefore S_{\triangle A P B}=\frac{1}{2} A P \cdot O B=\frac{1}{2} A B \cdot P C$

即 $\frac{1}{2} \times 3(4-x)=\frac{1}{2} \times 5 \times 1$ ，

解得: $x=\frac{7}{3}, \therefore P\left(-\frac{7}{3}, 0\right)$;

(2)如图, 当点 $P$ 在点 $A$ 左侧时,

<ImageHere>

设 $\odot P$ 与直线 $A B$ 相切于 $D$, 连接 $P D, P B$,

则 $P D \perp A B, P D=1$,

设 $O P=x$, 则 $A P=O P-A O=x-4$,

$\therefore S_{\triangle A P B}=\frac{1}{2} A P \cdot O B=\frac{1}{2} A B \cdot P D$,

即 $\frac{1}{2} \times 3(x-4)=\frac{1}{2} \times 5 \times 1$,

解得: $x=\frac{17}{3}, \therefore P\left(-\frac{17}{3}, 0\right)$;

综上所述, 点 $P$ 的坐标为 $\left(-\frac{7}{3}, 0\right)$ 或 $\left(-\frac{17}{3}, 0\right)$,

故答案为 $\left(-\frac{7}{3}, 0\right)$ 或 $\left(-\frac{17}{3}, 0\right)$.


Answer:
 ( $0,-3$ )
【详解】抛物线 $\mathrm{y}=-\frac{1}{3} \mathrm{x}^{2}-3$ 的顶点坐标是 $(0,-3)$, 故答案为 $(0,-3)$.

Question: 拋物线 $\mathrm{y}=-\frac{1}{3} \mathrm{x}^{2}-3$ 的顶点坐标是 $\qquad$ .

解析几何


Answer: 2 (答案不唯一).

Question: 如果拋物线 $y=(m-1) x^{2}$ 的开口向上, 那么 $m$ 的值可以是 $\qquad$ (写出一个满足条件的数即可).

解析几何

由二次函数图像的开口向上, 得到 $m-1>0$, 求出 $m$ 的取值范围, 即可得到答案.

【详解】解: $\because$ 抛物线 $y=(m-1) x^{2}$ 的开口向上,

$\therefore m-1>0$,

$\therefore m>1$,

$\therefore m$ 的值可以是 2 .

故答案为: 2 (答案不唯一)。

【点睛】本题考查了二次函数的图形和性质, 解题的关键是掌握抛物线开口向上, 则二次项系数大于 0 .


Answer: -2

Question: 拋物线 $y=x^{2}+b x+2$ 与 $y$ 轴交于点 $\mathrm{A}$, 如果点 $B(2,2)$ 和点 $\mathrm{A}$ 关于该抛物线的对称轴对称，那么 $b$ 的值是 . $\qquad$

解析几何

由点 $B(2,2)$ 和点 $\mathrm{A}$ 关于该拋物线的对称轴对称，可知：抛物线的对称轴是：直线 $x=1$, 进而可得 $b$ 的值.

【详解】 $\because$ 拋物线 $y=x^{2}+b x+2$ 与 $y$ 轴交于点 $\mathrm{A}$,

$\therefore$ 点 $\mathrm{A}$ 的坐标是: $(0,2)$,

$\because$ 点 $B(2,2)$ 和点 $\mathrm{A}$ 关于该抛物线的对称轴对称,

$\therefore$ 拋物线的对称轴是: 直线 $\mathrm{x}=1$, 即: $-\frac{b}{2 a}=1$,

$\therefore-\frac{b}{2 \times 1}=1$, 解得: $\mathrm{b}=-2$.

故答案是: -2 .

【点睛】本题主要考查二次函数的对称轴公式, 理解二次函数图象的轴对称性, 是解题的关键.


Answer: $\pm 4$

Question: 抛物线 $y=x^{2}+b x+4$ 与 $\mathrm{x}$ 轴有且只有 1 个公共点, 则 $\mathrm{b}=$ $\qquad$ .

解析几何

根据抛物线与 $\mathrm{x}$ 轴有且只有 1 个公共点可知, 当 $y=0$ 时, 此方程有且有两个相等
的实数根, 根据 $\Delta=b^{2}-4 a c=0$ 算出 $\mathrm{b}$ 的值即可.

【详解】 $\because$ 抛物线 $y=x^{2}+b x+4$ 与 $\mathrm{x}$ 轴有且只有 1 个公共点,

$\therefore$ 令 $y=x^{2}+b x+4=0$,

$\therefore \triangle=b^{2}-4 \times 1 \times 4=0$,

$\therefore b= \pm 4$,

故答案为: $\pm 4$.

【点睛】本题主要考查了抛物线与 $\mathrm{x}$ 轴交点的知识, 正确把握抛物线与 $\mathrm{x}$ 轴交点个数确定方法是解题的关键.


Answer: $\sqrt{2}$

Question:
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A=90^{\circ}, A B=A C=2 \mathrm{~cm}, \odot A$ 与 $B C$ 相切,则 $\odot A$ 的半径为 \$ \qquad \$ cm.

<ImageHere>

组合几何学

连接 $A D$;

<ImageHere>

$\because \angle A=90^{\circ}, A B=A C=2 \mathrm{~cm}$,

$\therefore \triangle A B C$ 是等腰直角三角形,

$\therefore B C=\sqrt{2} A B=2 \sqrt{2}$;

$\because$ 点 $D$ 是斜边的中点,

$\therefore A D=\frac{1}{2} B C=\sqrt{2} \mathrm{~cm}$,

故答案为 $\sqrt{2}$.


Answer: $125^{\circ}$

Question:
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B O C=140^{\circ}, I$ 是内心, $O$ 是外心, 则 $\angle B I C=$

<ImageHere>

组合几何学

$\because \angle B O C=140^{\circ}, O$ 为外心，

$\therefore \angle A=\frac{1}{2} \angle B O C=70^{\circ}$,

$\because I$ 为内心，

$\therefore \angle I B C=\frac{1}{2} \angle A B C, \angle I C B=\frac{1}{2} \angle A C B$,

$$
\begin{aligned}
& \therefore \angle I B C+\angle I C B \\
= & \frac{1}{2}(\angle A B C+\angle A C B) \\
= & \frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle A\right) \\
= & \frac{1}{2} \times\left(180^{\circ}-70^{\circ}\right)
\end{aligned}
$$

$=55^{\circ}$,

$\therefore \angle B I C=180^{\circ}-(\angle I B C+\angle I C B)=180^{\circ}-55^{\circ}=125^{\circ}$,

故答案为: $125^{\circ}$.


Answer: $48+12 \sqrt{3}$

Question:
已知某几何体的三视图如图所示, 其中俯视图为正六边形, 则该几何体的表面积为 \$ \qquad \$ .

<ImageHere>

主视图 $\quad$ 左视图

<ImageHere>

俯视图

组合几何学

观察该几何体的三视图发现该几何体为正六棱柱, 其底面边长为 2, 高为 4 ,故其边心距为 $\sqrt{3}$,

所以其表面积为 $2 \times 4 \times 6+2 \times \frac{1}{2} \times 6 \times 2 \times \sqrt{3}=48+12 \sqrt{3}$,

故答案为: $48+12 \sqrt{3}$.


Answer: 6

Question:
将正方体骰子 (相对面上的点数分别为 1 和 $6 、 2$ 和 $5 、 3$ 和 4 )放置于水平桌面上, 如图 1 .在图 2 中,将骰子向右翻滚 $90^{\circ}$, 然后在桌面上按逆时针方向旋转 $90^{\circ}$, 则完成一次变换. 若骰子的初始位置

<ImageHere>

图 1

图 2

为图 1 所示的状态, 那么按上述规则连续完成 14 次变换后, 骰子朝上一面的点数是

组合几何学

根据题意可知连续 3 次变换是一循环. 所以 $14 \div 3=4 \ldots 2$. 所以是第 2 次变换后的图形, 即按上述规则连续完成 14 次变换后, 骰子朝上一面的点数是 6.

故答案为: 6 .


Answer: $20 \quad 145 \quad 72.5$

Question:
如图, $\mathrm{PA} 、 \mathrm{~PB} 、 \mathrm{EF}$ 分别切 $\odot \mathrm{O}$ 于 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B} 、 \mathrm{D}$, 若 $\mathrm{PA}=10 \mathrm{~cm}$, 则 $\triangle \mathrm{PEF}$ 的周长是 \$ \qquad \$ $\mathrm{cm}$,若 $\angle \mathrm{P}=35^{\circ}$, 则 $\angle \mathrm{AOB}=$ \$ \qquad \$ (度),$\angle \mathrm{EOF}=$ \$ \qquad \$ (度) 。

<ImageHere>

组合几何学

$\because \quad P A 、 P B 、 E F$ 分别切 $\odot O$ 于 $A 、 B 、 D$,

$\therefore \quad P A=P B=10 \mathrm{~cm}, E D=E A, F D=D B$,

$\therefore \quad P E+E F+P F=P E+E D+P F+F D$

$=P A+P B=20(\mathrm{~cm})$

$\because P A 、 P B$ 为 $\odot O$ 的切线,

$\therefore \quad \angle P A O=\angle P B O=90^{\circ}$, 而 $\angle P=35^{\circ}$,

<ImageHere>

$\therefore \quad \angle A O B=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-35^{\circ}=145^{\circ}$;

连 $O D$, 如图, $\therefore \quad \angle O D E=\angle O D F=90^{\circ}$,

易证得 $R t \triangle O A E \cong R t \triangle O D E, R t \triangle O F D \cong R t \triangle O F B, \therefore \angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$,

$\therefore \quad \angle 2+\angle 3=\frac{1}{2} \angle A O B=72.5^{\circ}$,

$\angle E O F=72.5^{\circ}$. 故答案为 $20 ； 145 ; 72.5$


Answer: $10 \pi$

Question: 如图所示, 把一个圆锥沿母线 $O A$ 剪开, 展开后得到扇形 $A O C$, 已知圆锥的高 $h$ 为 $12 \mathrm{~cm}, O A=13 \mathrm{~cm}$, 则扇形 $A O C$ 中 $\overline{A C}$ 的长是 \$ \qquad \$ cm. $($ 计算结果保留 $\pi$ )

立体几何学

:圆锥的高 $h$ 为 $12 \mathrm{~cm}, O A=13 \mathrm{~cm}$,

$\therefore$ 圆锥的底面半径为 $\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5 \mathrm{~cm}$,

$\therefore$ 圆锥的底面周长为 $10 \pi c m$,

$\therefore$ 扇形 $A O C$ 中 $\widehat{A} C$ 的长是 $10 \pi c m$,

故答案为 $10 \pi$.


Answer: $(180 \sqrt{3}+120)$

Question:
如图, 礼盒的上下底面为全等的正六边形, 其主视图与左视图均由矩形构成, 主视图中大矩形边长如图所示, 左视图中包含两全等的矩形, 如果用彩色胶带如图包扎礼盒, 所需胶带长度至少为 \$ \qquad \$厘米.

<ImageHere>

实物图

<ImageHere>

主视图

<ImageHere>

左视图

立体几何学

根据题意, 作出实际图形的上底,

如图: $A C, C D$ 是上底面的两边.

则 $A C=60 \div 2=30(\mathrm{~cm}), \angle A C D=120^{\circ}$,

作 $C B \perp A D$ 于点 $B$,

<ImageHere>

那么 $A B=A C \times \sin 60^{\circ}=15 \sqrt{3}(\mathrm{~cm}) ，$

所以 $A D=2 A B=30 \sqrt{3}(\mathrm{~cm})$,

胶带的长至少 $=30 \sqrt{3} \times 6+20 \times 6=(180 \sqrt{3}+120)(\mathrm{cm})$.

故答案为: $(180 \sqrt{3}+120)$.


Answer: 27

Question:
墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形, 如果你打算搬走其中部分小正方体(不考虑操作技术的限制), 但希望搬完后从正面、从上面、从左面用平行光线照射时, 在墙面及地面上的影子不变, 那么你最多可以搬走个小正方体.

<ImageHere>

立体几何学

第 1 列最多可以搬走 9 个小正方体;

第 2 列最多可以搬走 8 个小正方体;

第 3 列最多可以搬走 3 个小正方体;

第 4 列最多可以搬走 5 个小正方体;

第 5 列最多可以搬走 2 个小正方体.

$9+8+3+5+2=27$ 个.

故最多可以搬走 27 个小正方体.

故答案为: 27 .


Answer: -2

Question:
一个小立方块的六个面分别标有字母 $A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F$, 从三个不同方向看到的情形如图所示,其中 $A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F$ 分别代表数字 $-2 、-1 、 0 、 1 、 2 、 3$ ，则三个小立方块的下底面所标字母代表的数字的和为
<ImageHere>

立体几何学

由图形可知： $A$ 与 $B 、 D 、 E 、 F$ 是邻面，故 $A$ 和 $C$ 为对面;

则 $B$ 与 $A 、 C 、 E 、 F$ 是邻面，故 $B$ 和 $D$ 为对面;

故 $E$ 和 $F$ 为对面;

则三个小立方块的下底面所标字母代表的数字的和为 $-1-2+1=-2$.
故答案为: -2 .

依据图形可知 $A$ 的邻面有 $B 、 D 、 E 、 F$, 故此点 $A$ 和 $C$ 为对面, 进一步得到 $B$ 和 $D$ 为对面; $E$ 和 $F$为对面; 从而可求得三个小立方块的下底面所标字母代表的数字的和.

本题主要考查的是正方体相对两个面上的文字, 找出 $A$ 和 $C$ 为对面; $B$ 和 $D$ 为对面; $E$ 和 $F$ 为对面是解题的关键.


Answer: 76

Question:
如图, 一个 $5 \times 5 \times 5$ 的正方体, 先在它的前后方向正中央开丵一个 “十字形”的孔(打通), 再在它的上下方向正中央也开凿一个 “十字形” 的孔(打通), 最后在它的左右方向正中央开凿一个 “十字形” 的孔(打通), 这样得到一个被丵空了的几何体, 则所得几何体的体积为 \$ \qquad \$

<ImageHere>

立体几何学

如图所示：该正方体可按如图方式分割，

则体积为 $(1 \times 1 \times 1) \times(8 \times 8+12)$

$$
\begin{gathered}
=1 \times 76 \\
=76
\end{gathered}
$$

故所得几何体的体积为 76.

故答案为: 76 .


Answer: (1)(5)

Question: 用一个平面截下列几何体: (1)长方体, (2)六棱柱, (3)球, (4)圆柱, (5)圆雉, 截面能得到三角形的是 \$ \qquad \$ (填写序号即可)

立体几何学

1 长方体能截出三角形;

(2)六棱柱沿对角线截几何体可以截出三角形;

(3)球不能截出三角形;

(4)圆柱不能截出三角形;

(5)圆锥能截出三角形;

故截面可能是三角形的有(1)(2)(5)共 3 个.

故答案为: (1) (2).


Answer: 5126

Question:
有同样大小的三个立方体股子, 每个股子的展开图如图 1 所示, 如果把每个骰子点数是 4 的一面放在桌子上, 那么其它五个可以看到的面上的数字的和是 17 , 现在把三个骰子放在桌子上(如图2), 凡是能看

<ImageHere>

图1

<ImageHere>

图2 得到的点数之和最大是 \$ \qquad \$ , 最小是

立体几何学


Answer: 6

Question:
一个长方体的主视图和左视图如图所示（单位: cm）, 则其俯视图的面积是 $\mathrm{cm}^{2}$.

<ImageHere>

立体几何学

一个长方体的主视图和左视图如图所示, 这个长方体的高是 4, 底面长是 3 , 底面宽是 2; 长方体的俯视图就是其底面的图形, 是长是 3 , 宽是 2 的长方形, 它的面积 $=3 \times 2=6$


Answer: $3 \sqrt{3}$

Question: 以Rt $\triangle A B C$ 的锐角顶点 $A$ 为圆心, 适当长为半径作弧, 与边 $A B, A C$ 各相交于一点, 再分别以这两个交点为圆心, 适当长为半径作弧, 过两弧的交点与点 $A$ 作直线, 与边 $B C$ 交于点 $D$. 若 $\angle A D B=$ $60^{\circ}$, 点 $D$ 到 $A C$ 的距离为 3 , 则 $A B$ 的长为 \$ \qquad \$ .

画法几何学

如图, 作 $D E \perp A C$ 于 $E$.

<ImageHere>

由题意 $A D$ 平分 $\angle B A C$,

$\because D B \perp A B, D E \perp A C$,

$\therefore D B=D E=3$,

在Rt $\triangle A D B$ 中, $\because \angle B=90^{\circ}, \angle B D A=60^{\circ}, B D=3$,
$\therefore A B=B D \cdot \tan 60^{\circ}=3 \sqrt{3}$,

故答案为 $3 \sqrt{3}$.


Answer: 300

Question:
如图, 是一个液压升降机, 图中两个菱形的边长及等腰三角形的腰长都是定值且相等.如图 1, 载物台到水平导轨 $A B$ 的距离 $h_{1}$ 为 $468 \mathrm{~cm}$, 此时 $\tan \angle O A B=\frac{3}{4}$; 如图 2 , 当 $\tan \angle O A B=\frac{5}{12}$ 时, 载物台到水平导轨 $A B$ 的距离 $h_{2}$ 为 cm.

<ImageHere>

<ImageHere>

图 1

<ImageHere>

图 2

画法几何学

如图所示, 在图 1 中做 $O M \perp A B$, 在图 2 中做 $O N \perp A B$,

<ImageHere>

图 1

<ImageHere>

图 2

在Rt $\triangle O A M$ 中,

$\because \tan \angle O A B=\frac{3}{4}$, 故可设 $O M=3 x, A M=4 x$,

$\therefore O A=5 x$,

$\because h_{1}=468 \mathrm{~cm}$, 两个菱形的边长及等腰三角形的腰长都是定值且相等,

$\therefore 60 M=468$, 即 $6 \times 3 x=468$, 解得: $x=\frac{234}{9}$,

$\therefore O A=5 x=5 \times \frac{234}{9}=\frac{1170}{9}$,

在Rt $\triangle O A N$ 中,

$\because \tan \angle O A B=\frac{5}{12}$, 故可设 $O N=5 y, A N=12 y$,

$\because O A=\frac{1170}{9}$,

$\therefore O A^{2}=A N^{2}+O N^{2}$, 解得: $y=10$,

$\therefore O N=5 y=50$,
$\therefore h_{2}=6 \times O N=300 \mathrm{~cm}$,

故答案为 300 .


Answer: $219^{\circ}$

Question:
如图, $P A 、 P B$ 是 $\odot O$ 的切线, $A 、 B$ 为切点, 点 $C 、 D$ 在 $\odot O$ 上. 若 $\angle P=102^{\circ}$, 则 $\angle A+\angle C=$

<ImageHere>

画法几何学

连接 $A B$,

<ImageHere>

$\because P A 、 P B$ 是 $\odot O$ 的切线,

$\therefore P A=P B$,

$\because \angle P=102^{\circ}$,

$\therefore \angle P A B=\angle P B A=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-102^{\circ}\right)=39^{\circ}$,

$\because \angle D A B+\angle C=180^{\circ}$,

$\therefore \angle P A D+\angle C=\angle P A B+\angle D A B+\angle C=180^{\circ}+39^{\circ}=219^{\circ}$,

故答案为: $219^{\circ}$.


Answer: 2.5

Question:
如图是一正方体的表面展开图, 若 $A B=5$, 则该正方体上 $A 、 B$ 两点间的距离为 \$ \qquad \$

<ImageHere>

画法几何学

由题意可得出：正方体上 $A 、 B$ 两点间的距离为正方形对角线长,
则 $A 、 B$ 两点间的距离为 2.5 .

故答案为 2.5 .


Answer: 24

Question:
为解决楼房之间的挡光问题, 某地区规定: 两幢楼房间的距离至少为 40 米, 中午 12 时不能挡光. 如图, 某旧楼的一楼窗台高 1 米, 要在此楼正南方 40 米处再建一幢新楼. 已知该地区冬天中午 12 时阳光从正南方照射, 并且光线与水平线的夹角最小为 $30^{\circ}$, 在不违反规定的情况下, 请问新建楼房最高米. （结果精确到 1 米. $\sqrt{3} \approx 1.732, \sqrt{2} \approx 1.414$ ）

<ImageHere>

画法几何学

如图, 过点 $C$ 作 $C E \perp B D$ 与点 $E$.

在 Rt $\triangle C D E$ 中, $\angle D C E=30^{\circ}, C E=A B=40$, 则 $D E=\tan 30^{\circ} \cdot C E=\frac{\sqrt{3}}{3} \times 40 \approx 23$, 而 $E B=A C=1$,

$\therefore B D=D E+E B=23+1=24$ (米).

<ImageHere>


Answer: $\frac{2}{3}$

Question:
如图, $\mathrm{PA}, \mathrm{PB}$ 切 $\odot \mathrm{O}$ 于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点, $\mathrm{CD}$ 切 $\odot \mathrm{O}$ 于点 $\mathrm{E}$, 交 $\mathrm{PA}, \mathrm{PB}$ 于 $C, \mathrm{D}$, 若 $\odot \mathrm{O}$ 的半径为 $\mathrm{r}, \triangle \mathrm{PCD}$ 的周长等于 $3 \mathrm{r}$, 则 $\tan \frac{1}{2} \angle \mathrm{APB}$ 的值是 . \$ \qquad \$

<ImageHere>

画法几何学

连接 $P O, A O$,
$\because \quad P A, P B$ 切 $\odot O$ 于 $A, B$ 两点, $C D$ 切 $\odot O$ 于点 $E$, 交 $P A, P B$ 于 $C, D$,

$\therefore \quad \angle A P O=\angle B P O, A C=E C, D E=B D, P A=P B$,

$\therefore \quad P A+P B=\triangle P C D$ 的周长 $=3 r, \therefore \quad P A=P B=1.5 r$,

$\therefore \tan \frac{1}{2} \angle A P B=\frac{A O}{P A}=\frac{r}{1.5 r}=\frac{2}{3}$, 故答案为: $\frac{2}{3}$.

<ImageHere>


Answer: $\frac{1}{2}$

Question:
如图是一个正方体的平面展开图, 若正方体每个面与它的对面所标注的代数式的值相等, 且 $x, y$ 满足 $4 x-3 y=8$, 则 $m=$ \$ \qquad \$ .

<ImageHere>

算术


Answer: 4

Question: (本题3分)(2022浙江绍兴.九年级期末)已知$frac{a}{b}=frac{3}{5}$,则$frac{b+a}{b-a}=$$qquad$.

算术


Answer: - 2

Question:
如图是一个正方体纸盒的展开图, 正方体的各面标有数字 $1,2,3,-3, \mathrm{~A}, \mathrm{~B}$, 相对面上是两个数互为相反数, 则 $\mathrm{A}=$ \$ \qquad \$ .

<ImageHere>

图论


Answer: 5,3

Question:
若要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后, 相对面上两个数之和为 $6, x=$ \$ \qquad \$ , $y=$ \$ \qquad \$ .

<ImageHere>

组合数学

这是一个正方体的平面展开图, 共有六个面, 其中面“"”面“x”相对, 面“ 3 ”与面“ $y$ ”相对,则 $1+x=6,3+y=6$, 解得: $x=5, y=3$. 故答案是: 5,3 .


Answer: 3

Question: (本题3分)（2019$cdot$浙江$cdot$龙泉市顺风实验学校九年级期中）一个密码箱的密码,每个位数上的数都是从0到9的自然数,若要使不知道密码的一次就拨对密码的概率小于$frac{1}{999}$,则密码的位数至少需要$qquad$位.

组合数学

【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数时一次就拨对密码的概率,再根据一次就拨对密码的概率小于$frac{1}{999}$解答即可.【详解】解:因为取一位数时一次就拨对密码的概率为$frac{1}{10}$,取两位数时一次就拨对密码的概率为$frac{1}{100}$,取三位数时一次就拨对密码的概率为$frac{1}{1000}$,故密码的位数至少需要3位.故答案为3.【点睛】本题考查概率的求法与运用,一般方法为:如果一个事件有${n}$种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件${A}$出现${m}$种结果,那么事件${A}$的概率${P}$(${A})=frac{m}{n}$.


Answer: $frac{5}{14}$

Question: (本题3分)(2021浙江$cdot$义乌市春晗学校九年级期中)如图,在$3times3$正方形网格中,$A、B$在格点上,在网格的其它格点上任取一点$C$,能使$triangleABC$为等腰三角形的概率是$qquad$.<ImageHere>

组合数学

【分析】分三种情况:(1)点$A$为顶点;(2)点$B$为顶点;(3)点$C$为顶点;得到能使$triangleABC$为等腰三角形的点$C$的个数,再根据概率公式计算即可求解.【详解】如图,$becauseAB=sqrt{1^{2}+2^{2}}=sqrt{5}$,$therefore$(1)若$AB=AC$,符合要求的有3个点;(2)若$AB=BC$,符合要求的有2个点;(3)若$AC=BC$,不存在这样格点.$therefore$这样的$C$点有5个.$therefore$能使$triangleABC$为等腰三角形的概率是$frac{5}{14}$.故答案为:$frac{5}{14}$.<ImageHere>【点睛】此题考查等腰三角形的判定和概率的求法:如果一个事件有$n$种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件$A$出现$m$种结果,那么事件${A}$的概率$P(A)=frac{m}{n}$.


Answer: 4

Question: (本题3分)（2022$cdot$浙江金华$cdot$九年级期末）若二次函数$y=x^{2}-4x+n$的图象与$x$轴只有一个公共点,则实数$n=$

代数


Answer: 3.75

Question: (本题3分)(2020-浙江$cdot$九年级期末)加工爆米花时,爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”,在特定条件下,可食用率$y$与加工时间$x$（单位:$min$）满足函数表达式$y=-0.2x^{2}+1.5x-2$,则最佳加工时间为$qquad$$min$.

代数

【分析】根据二次函数的对称轴公式$x=-frac{b}{2a}$直接计算即可.【详解】解:$becausey=-0.2x^{2}+1.5x-2$的对称轴为$x=-frac{b}{2a}=-frac{1.5}{2times(-0.2)}=3.75({~min})$,故：最佳加工时间为$3.75{~min}，$故答案为:3.75.【点睛】此题主要考查了二次函数性质的应用,涉及求顶点坐标、对称轴方程等,记住抛物线顶点公式是解题关键.


Answer: 4

Question: (本题3分)(2022:浙江杭州$cdot$九年级期末)当$xgeqm$时，两个函数$y_{l}=-(x-4)^{2}$+2和$y_{2}=-(x-3)^{2}+1$的函数值都随着$x$的增大而减小,则$m$的最小值为$qquad$.

代数

【分析】先确定两个函数的开口方向和对称轴,再得出符合条件的$x$的取值范围,从而得到$m$的最小值.【详解】解:函数$y_{l}=-(x-4)^{2}+2$开口向下,对称轴为直线$x=4$,函数$y_{2}=-(x-3)^{2}+1$开口向下,对称轴为直线$x=3$,当函数值都随着$x$的增大而减小,则$xgeq4$,即$m$的最小值为4,故答案为:4.【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的基本性质，


Answer: $y=(x-2)^{2}+1$

Question: 将二次函数 $y=x^{2}-4 x+5$ 化成 $y=a(x-h)^{2}+k$ 的形式为 $\qquad$

代数


Answer:
 $x_{1}=-1, x_{2}=3$.

【详解】试题解析: 根据题意, 得抛物线的对称轴为 $\mathrm{x}=-\frac{2 a}{2 \times(-a)}=1$,

又 $\mathrm{x}=3$ 是方程 $-a x^{2}+2 a x+m=0$ 的一个根,

一元二次方程 $-\mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{x} 3=0$ 的解为: $\mathrm{x}_{1}=-1, \mathrm{x}_{2}=3$.

考点: 抛物线与 $\mathrm{x}$ 轴的交点.

Question:
已知二次函数 $y=-a x^{2}+2 a x+m$ 的图像与 $\mathrm{x}$ 轴的一个交点是 $(3,0)$, 则关于 $\mathrm{x}$ 的
一元二次方程 $-a x^{2}+2 a x+m=0$ 的解为 $\qquad$

代数

_{1}=-1, x_{2}=3$.

【详解】试题解析: 根据题意, 得抛物线的对称轴为 $\mathrm{x}=-\frac{2 a}{2 \times(-a)}=1$,

又 $\mathrm{x}=3$ 是方程 $-a x^{2}+2 a x+m=0$ 的一个根,

一元二次方程 $-\mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{x} 3=0$ 的解为: $\mathrm{x}_{1}=-1, \mathrm{x}_{2}=3$.

考点: 抛物线与 $\mathrm{x}$ 轴的交点.


Answer: -3

Question:
已知二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a, b, c$ 是常数, $a \neq 0)$ 的 $y$ 与 $x$ 的部分对应值如表

| $x$ | -1 | 1 | 4 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $y$ | 3 | -3 | 3 |

当 $x=2$ 时, 函数值为 $\qquad$
.

代数

根据表格中的数据可以求得二次函数的解析式, 再将 $x=2$ 代入求 $y$ 的值即可;

【详解】解: 由题意, 把 $(-1,3) 、(1,-3) 、(4,3)$ 、代入 $y=a^{2}+b x+c$ 得, $\left\{\begin{array}{l}a-b+c=3 \\ a+b+c=-3 \\ 16 a+4 b+c=3\end{array}\right.$,
解得: $\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=-3, \\ c=-1\end{array}\right.$

$\therefore$ 此二次函数关系式为: $y=x^{2}-3 x-1$,

当 $x=2$ 时, $y=2^{2}-3 \times 2-1=-3$,

故答案为: -3 .

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及给出自变量的值求函数值, 求出二次函数的解析式是解决问题的关键.


Answer: $-4 \leqslant y \leqslant 357$

Question: 已知二次函数 $y=x^{2}+2 x-3$, 当 $-4 \leq x \leq 18$ 时, $y$ 的取值范围为 $\qquad$

代数

先求出二次函数的对称轴和顶点坐标, 再利用二次函数的增减性即可得出结论.

【详解】解: $\because y=x^{2}+2 x-3=(x+1)^{2}-4$,

$\therefore$ 该拋物线的对称轴为直线 $x=-1$,

当 $x=-4$ 时, $y=16-8-3=5$,

当 $x=-1$ 时, 最小值为 $y=1-2-3=-4$,

当 $x=18$ 时, $y=324+36-3=357$,
$\therefore-4 \leqslant y \leqslant 357$,

故答案为: $-4 \leqslant y \leqslant 357$.

【点睛】本题主要考查二次函数的增减性和最值, 关键是要牢记抛物线的对称轴的公式, 理解抛物线的增减性.


Answer: $frac{1}{2}$

Question: (本题3分)（2019$cdot$浙江杭州$cdot$九年级期末）已经连续抛一枚质量均匀的硬币5次都是正面朝上，现再抛一次，正面朝上的概率是

计数

【分析】根据抛掷一枚硬币，正面朝上和反面朝上的可能性一样即可.【详解】解：连续抛一枚质量均匀的硬币5次都是正面朝上,现再抛一次,有可能正面朝上,也可能反面朝上，且可能性一样，$therefore$现再抛一次,正面朝上的概率是$frac{1}{2}$,故答案为:$frac{1}{2}$.【点睛】本题考查了事件可能性的大小，解题的关键是熟知抛郑一枚硬币，正面朝上和反面朝上的可能性一样.


Answer: $frac{1}{10}$

Question: (本题3分)（2022$cdot$浙江金华$cdot$九年级期末）20瓶饮料中有2瓶已过了保质期,从20瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率是

计数

【分析】由有20瓶饮料,其中有2瓶已过保质期,直接利用概率公式求解即可求得答案.【详解】解：$because$有20瓶饮料，其中有2瓶已过保质期,$therefore$从20瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率为:$frac{2}{20}=frac{1}{10}$.故答案为$frac{1}{10}$.【点睛】此题考查了概率公式的应用,用到的知识点为:概率$=$所求情况数与总情况数之比,熟知概率的求法是解题的关键.


Answer: 0.95

计数

【分析】概率是大量重复实验的情况下,频率的稳定值可以作为概率的估计值,即次数越多的频率越接近于概率.【详解】解:$because$成活的频率的稳定值约为0.95,$therefore$这种幼苗可成活的概率可估计为0.95,故答案为:0.95.【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为:频率=所求情况数与总情况数之比.


Answer: 0.68

计数

【分析】根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案.【详解】解：这名篮球运动员投篮一次，投中的概率约为0.68,故答案为:0.68.【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的,不能单纯的依靠几次决定.


Answer: $\frac{1}{3}$

Question:
现有三张正面印有 2023 年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片, 卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片, 则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 $\qquad$ .

<ImageHere>

琮琮

<ImageHere>

宸宸

<ImageHere>

莲莲

（第 12 题）

计数

根据概率公式即可求解.

【详解】解: 将三张卡片正面向下洗匀, 从中随机抽取一张卡片, 则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 $\frac{1}{3}$

故答案为: $\frac{1}{3}$.
【点睛】本题考查了概率公式求概率, 熟练掌握概率公式是解题的关键.


Answer: 6

Question:
将正方体骰子 (相对面上的点数分别为 1 和 $6 、 2$ 和 $5 、 3$ 和 4 )放置于水平桌面上, 如图 1 .在图2中, 将骰子向右翻滚 $90^{\circ}$, 然后在桌面上按逆时针方向旋转 $90^{\circ}$, 则完成一次变换. 若股子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成14次变换后，骰子朝上一面的点数是 \$ \qquad \$ .

<ImageHere>

图 1

图2

变换几何

解: 根据题意可知连续 3 次变换是一循环. 所以 $14 \div 3=4 \ldots 2$. 所以是第 2 次变换后的图形, 即按上述规则连续完成 14 次变换后, 骰子朝上一面的点数是 6.

故答案为: 6 .

先向右翻滚, 然后再逆时针旋转叫做一次变换, 那么连续 3 次变换是一个循环. 本题先要找出 3 次变换是一个循环, 然后再求 14 被 3 整除后余数是 2 , 从而确定出连续完成 14 次变换后, 股子朝上一面的点数.

本题考查了正方体相对两个面上的文字, 是一道找规律的题目, 这类题型在中考中经常出现. 对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.


Answer: 2

Question:
如图, 在直角 $\triangle D E F$ 中, $\angle F=30^{\circ}$, 将 $\triangle D E F$ 绕点 $D$ 逆时针旋转一定的角度至

$\triangle D E^{\prime} F^{\prime}$ 处, 此时点 $E, D, F^{\prime}$ 恰好在同一条直线上, 连接 $E E^{\prime}$, 若 $E E^{\prime}=\sqrt{3}$,
则 $D F=$ $\qquad$ .

<ImageHere>

（第 17 题）

变换几何

根据旋转的性质得出 $\angle E^{\prime} D F=60^{\circ}$, 设 $E E^{\prime}$ 与 $D F$ 交于点 $O$, 证明 $\triangle E D O \cong \triangle E^{\prime} D O(\mathrm{SAS})$, 得到 $E O$ 和 $E F$ 的长度, 再利用勾股定理求解即可.

【详解】解: $\because$ Rt $\triangle D E F$ 中, $\angle F=30^{\circ}$,

$\therefore \angle E D F=60^{\circ}$

由旋转的性质可得 $\angle E^{\prime} D F^{\prime}=\angle E D F=60^{\circ}$,

$\therefore \angle E^{\prime} D F=60^{\circ}$,

如图, 设 $E E^{\prime}$ 与 $D F$ 交于点 $O$,

<ImageHere>

$\because D E=D E^{\prime}, \angle E D O=\angle E^{\prime} D O, \quad D O=D O$,

$\therefore \triangle E D O \cong \triangle E^{\prime} D O(\mathrm{SAS})$,

$\therefore \angle D O E=\angle D O E^{\prime}=90^{\circ}, E O=E O^{\prime}=\frac{1}{2} E E^{\prime}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,

$\because \angle F=30^{\circ}$

$\therefore E F=2 E O=\sqrt{3}, \quad D F=2 D E$,

由勾股定理可得 $D F^{2}=D E^{2}+E F^{2}$,

即 $4 D E^{2}=D E^{2}+3$,

$\therefore D E=1, \quad D F=2$,
故答案为: 2 .

【点睛】本题考查了旋转图形的性质, 勾股定理, 含 30 度角直角三角形的性质等, 求出 $E F$的长是解题的关键.


Answer: $8 \pi \quad \frac{4 \sqrt{3}}{3} \pi$

Question:
如图, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, \angle A=30^{\circ}, A B=8$, 将 Rt $\triangle A B C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转得到 Rt $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C$, 点 $B$ 恰好在斜边 $A^{\prime} B^{\prime}$ 上, 则线段 $C A$ 扫过的面积为 $\qquad$ .

    <ImageHere>

    (第 15 题)

变换几何

解直角三角形求出 $B C 、 A C 、 \angle A B C$ 的度数, 根据旋转的性质求出 $C B^{\prime}=C B$,

$\angle B^{\prime}=\angle A B C=60^{\circ}, \angle A^{\prime} C B^{\prime}=\angle A C B=90^{\circ}$, 求出 $\angle A C A^{\prime}$, 再根据扇形的面积公式和弧长公式求出答案即可.

【详解】解: $\because \angle A C B=90^{\circ}, \angle A=30^{\circ}, A B=8$,

$\therefore B C=\frac{1}{2} A B=4, \quad \angle A B C=90^{\circ}-\angle A=60^{\circ}$,

$\therefore A C=\sqrt{A B^{2}-B C^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=4 \sqrt{3}$,

$\because$ 将 Rt $\triangle A B C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转, 使斜边 $A^{\prime} B^{\prime}$ 过 $B$ 点,

$\therefore C B^{\prime}=C B, \angle B^{\prime}=\angle A B C=60^{\circ}, \angle A^{\prime} C B^{\prime}=\angle A C B=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle B C B^{\prime}$ 是等边三角形,

$\therefore \angle B C B^{\prime}=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A^{\prime} C B=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$,

$\therefore \angle A C A^{\prime}=\angle A C B-\angle A^{\prime} C B=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$,

$\therefore$ 线段 $C A$ 扫过的面积为 $\frac{60 \pi \times(4 \sqrt{3})^{2}}{360}=8 \pi$,

点 $A$ 经过的路径的长为 $\frac{60 \pi \times 4 \sqrt{3}}{180}=\frac{4 \sqrt{3}}{3} \pi$,

故答案为: $8 \pi ; \frac{4 \sqrt{3}}{3} \pi$.

【点睛】本题考查了旋转的性质, 等腰直角三角形, 解直角三角形和扇形的面积以及弧长计算等知识点, 能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键.


Answer: 随机事件

Question: “八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是 $\qquad$ （填写“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”).

逻辑题

根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可, 必然事件和不可能事件统称确定性事件; 必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件; 不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件; 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件.

【详解】“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，说的是随机事件.故答案为: 随机事件.

【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义, 熟悉定义是解题的关键.


Answer: $\frac{1}{2}$

Question: 某人随意投郑一枚均匀的骰子, 六个面分别写有 $1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6$ 六个数字, 投掷了 $n$ 次, 其中有 $m$ 次掷出的点数是偶数, 即掷出的点数是偶数的频率为 $\frac{m}{n}$. 若投掷的次数足够多, 则 $\frac{m}{n}$ 的值会稳定在 . $\qquad$

统计数学

根据在相同的条件下, 大量重复试验时, 随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近解题即可.

【详解】解: 某人随意投掷一枚均匀的股子, 投郑了 $n$ 次, 其中有 $m$ 次郑出的点数是偶数,即掷出的点数是偶数的频率为 $\frac{m}{n}$, 若投掷的次数足够多, 则 $\frac{m}{n}$ 的值会稳定在 $\frac{1}{2}$.

故答案为: $\frac{1}{2}$.

【点睛】本题考查频率估计概率, 掌握频率与概率间的关系是解题的关键.


Answer: 答案: $-7 \quad+5$

Question: 某宾馆大厅有 8 根一样大小的圆柱形大理石柱, 每根柱子的半径是 5 分米,高6 米, 如果要清洗这些柱子, 清洗的面积是( )平方米。

立体几何学


Answer: 答案: $X$

Question: 圆柱的侧面积一定, 它的高和底面半径成反比例。

立体几何学


Answer: 答案:错误

Question: 两个圆柱的侧面积相等，则它们的体积也一定相等.

立体几何学


Answer: 2

Question: 一个圆柱的高不变, 底面积扩大 2 倍, 圆柱的体积扩大 \$ \qquad \$ .

立体几何学


Answer: 答案: 40

Question: 把 20 分米长的圆柱形木棒锯成三段，分成三个小圆柱，表面积增加了 8 平方分米，原来木棒的体积是 \$ \qquad \$立方分米.

立体几何学


Answer: 4

Question: 数学老师的教具里有一个圆柱和一个圆锥, 老师告诉陈明, 圆柱和圆锥的体积相等, 底面积也相等, 圆雉的高是 $12 \mathrm{~cm}$, 这个圆柱的高是 \$ \qquad \$ $\mathrm{cm}$ 。

立体几何学


Answer: $28.26 ; 18.84$

Question: 一个近似圆锥的煤堆, 底面半径是 $3 \mathrm{~m}$, 高 $2 \mathrm{~m}$, 它的占地面积是 $\mathrm{m}^{2} \quad$, 体积是 $m^{3}$ 。

立体几何学


Answer: 答案:错误

Question: 圆柱的高度不变, 底面半径扩大 2 倍, 圆柱的体积也扩大 2 倍. （ ）

立体几何学


Answer: 答案:错误

Question: 如果圆柱的侧面展开后是正方形，那么圆柱的底面直径和高相等.

立体几何学


Answer: B

Question: 圆雉的体积一定等于圆柱体积的三分之一。

立体几何学


Answer: 答案:120

Question: 把一个 360 立方厘米的圆柱加工成与它底面相等的最大圆锥, 圆锥的体积是（）立方厘米。

立体几何学


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 底面积和高都相等的长方体、正方体、圆柱体, 它们的体积也一定相等。

立体几何学


Answer: 0.3

Question: 一个圆雉和一个圆柱等底等高, 圆锥的体积比圆柱小 0.6 立方分米, 圆雉的体积是 $\qquad$立方分米。

立体几何学


Answer: 6

Question: 一个棱长是 2 分米的正方体容器装满水, 将水倒入一个底面积是 4 平方分米的圆锥形容器中正好装满, 这个圆雉的高是 $\qquad$分米。

立体几何学


Answer: $1 ; 28.26$

Question: 一个圆雉的体积是 9.42 立方分米, 底面半径是 3 分米, 它的高是 $\qquad$分米，和它等底等高的圆柱的体积是 $\qquad$立方分米。

立体几何学


Answer: 20

Question: 一个圆柱体和一个圆雉体等底等高, 体积相差 40 立方厘米, 圆锥体的体积是 $\qquad$立方厘米。

立体几何学


Answer: 28. 26; 75.36; 113.04

Question: 一个圆柱的底面半径是 3 厘米, 高是 4 厘米, 它的底面积是 $\qquad$平方厘米，侧面积是 $\qquad$平方厘米，体积是 $\qquad$立方厘米。

立体几何学


Answer: 14.4

Question: 一个圆柱和一个圆雉的体积相等, 它们底面积的比是 $3: 5$, 圆柱的高是 8 厘米, 圆雉的高是 $\qquad$厘米。

立体几何学


Answer: 略

Question: 把一个圆柱削成一个最大的圆雉，体积减少了 1.8 立方分米，这个圆柱的体积是 $\qquad$立方厘米。

立体几何学


Answer: 45

Question: 把一个圆柱形木料加工成一个最大的圆雉体, 需要削去 30 立方分米的木料, 则原来这根木料的体积是 $\qquad$立方分米。

立体几何学


Answer: $30 ; 2$

Question: 将一块体积是 $90 \mathrm{~m}^{3}$ 的圆柱形铁块, 削成一个最大的圆雉, 削成的圆雉的体积是 $\qquad$ $\mathrm{m}^{3}$ 。削下的铁屑还可熔铸成 $\qquad$个这样的圆锥。

立体几何学


Answer: 9. $42 ; 226.08$

Question:
 如图, 把底面周长 $18.84 \mathrm{~cm}$ 、高 $8 \mathrm{~cm}$ 的圆柱切成若干等份, 拼成一个近似的长方体。这个长方体的长是 $\qquad$ $\mathrm{cm}$, 体积是 $\qquad$ $\mathrm{cm}^{3}$ 。
<ImageHere>

立体几何学


Answer: 37. 68; 56.52

Question: 一个圆柱形鼓, 底面直径是 6 分米, 高是 2 分米, 它的侧面由铝皮围成,上、下底面蒙的是羊皮。做一个这样的鼓, 需要铝皮 $\qquad$平方分米，羊皮 $\qquad$平方分米。

立体几何学


Answer: 1.5; 0.5

Question: 一个圆柱和一个圆雉容器等底等高, 张老师把 $2 \mathrm{~L}$ 药水倒入这两个容器中, 正好倒满, 圆柱形容器的容积是 $\qquad$ $\mathrm{L}$, 圆雉形容器的容积是 $\qquad$ L。

立体几何学


Answer: 600

Question: 将一根长 4 米的圆柱形木料锯成 3 段, 表面积增加了 60 平方分米。这根木料的体积是 $\qquad$立方分米。

立体几何学


Answer: <ImageHere>

Question:
 下图所示长方形、半圆形、梯形、三角形快速旋转一周, 能形成什么图形？请你连一连。
<ImageHere>

立体几何学


Answer:
（1） $12 \times(4 \div 2)^{2} \times 3.14$

$=12 \times 4 \times 3.14$

$=48 \times 3.14$

$=150.72$ （立方厘来）

(2)  $\frac{1}{3} \times 12 \times(8 \div 2)^{2} \times 3.14$

$=4 \times 50.24$

$=200.96$ （立方厘米）

(3)  $12 \times 2 \times 5+\frac{1}{3} \times 2^{2} \times 3.14 \times 9$

$=120+4 \times 3.14 \times 3$

$=157.68$ （立方厘米）

Question:
 计算下面图形的体积。（单位：厘米）

<ImageHere>

(1)

(2)

<ImageHere>

(3)

<ImageHere>

立体几何学


Answer: $\times$

Question: 两个圆柱的底面周长相等，它们的侧面积也相等。

立体几何学


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 等底等高的正方体体积比圆雉的体积大。

立体几何学


Answer: $\times$

Question: 圆雉的体积是圆柱体积的 $\frac{1}{3}$, 那么圆雉和圆柱一定等底等高。

立体几何学


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 正方体的表面积和它的一个面的面积成正比例关系。

立体几何学


Answer: $\times$

Question: 两个圆柱的体积相等，那么它们的表面积也相等。（）

立体几何学


Answer: 3.6a; 2.4a

Question: 有一圆柱形材料, 体积约是 3.6 立方米, 每立方米材料约重 0.8 千克, 这个圆柱形材料约重千克。把这个圆柱形材料削成最大的圆雉，重量减少了 $\qquad$千克。

立体几何学


Answer: $32 ; 25.12$

Question:
 两位同学对同一圆柱的截面进行研究。如图, 两种不同的截法（平均分成两部分）, 甲同学切分后表面积比原来增加 $\qquad$ $\mathrm{cm}^{2} ;$ 乙同学切分后, 表面积比原来增加 $\qquad$ $\mathrm{cm}^{2}$ 。

<ImageHere>

立体几何学


Answer: $rac{1}{10} 0.2$

Question: 把 2 支红色铅笔和 8 支粉色铅笔放进一个布袋里, 每次从布袋里摸出一支,摸出 ( ) 色铅笔的可能性大。

组合数学


Answer: 5: 4$

Question: $\mathrm{O} O$ 改记的 $\mathrm{O} O$ 记於的……左起第 21 个图形是 ( ) , 前 50 个图形中 $O$ 有 ( ) 个, 改有 ( )个。

组合数学


Answer: 答案:3

Question: 只涻子飞回了 3 个鸽舍, 总有 1 个鸽舍至少飞进只鸽子。

组合数学


Answer: 答案:3

Question: 本书放进 3 个抽屉中. 无论怎么放总有一个抽屉至少放进本。

组合数学


Answer: 答案:8

Question: 位同学练习投篮, 投进 30 个球, 那么总有 1 人至少投进了个球。

组合数学


Answer: 答案: $\times$

Question: 只小鸡装入 4 个笼子，至少有一个笼子放小鸡 3 只。

组合数学


Answer: 答案:$\sqrt{ }$

Question: 六年级共有学生 370 人, 其中至少有 2 人是同一天出生的。

组合数学


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 把 7 本书放进 3 个抽屉, 不管怎么放, 总有一个抽屉里至少放进 3 本书。

组合数学


Answer: $4 ; 11$

Question:
 有红、黄、蓝三种颜色的小球各 5 个, 放入一个布袋里。至少

取 $\qquad$个球，可以保证取到两个颜色相同的球; 至少取出 $\qquad$个球, 可以保证取出的球中一定有黄色的球。

组合数学


Answer: 2

Question: 从扑克牌中取出两张王牌,在剩下的 52 张中任意抽出 5 张, 至少有 $\qquad$张是同花色的。

组合数学


Answer: $\frac{2}{5} ; 12$

Question: 袋中有 4 个红球、 5 个黄球和 6 个黑球，那么，任意摸出 1 个球，摸到黑球的可能性是 $\qquad$ ，至少摸出 $\qquad$个球, 才能保证有一个是红球。

组合数学


Answer: 2

Question: 生日在 3 月份的任意 32 名同学中, 至少有 $\qquad$人的生日是同一天。

组合数学


Answer: 2

Question: 要给一个正方体木块的 6 个面涂上三种不同的颜色, 至少 $\qquad$个有面颜色相同。

组合数学


Answer: 答案: 24,20

Question: 用 50 粒大豆做发芽试验, 有 2 粒没发芽, 大豆的发芽率是 ( )。

计数


Answer: 答案: 正确

Question: 某班有学生 50 人, 今天有 2 人请假, 该班今天的出勤率是 $96 \%$. ( )

计数


Answer: 答案:\times$

Question: 兴趣小组做发芽实验, 浸泡了 20 粒种子, 结果 16 课发芽了, 发芽率是 $16 \%$ 。 $\quad(\quad)$

计数


Answer:
答案: $\times$22.答案: $\times$

<ImageHere>

Question: 联合国在调查 200 个国家中，发现缺水的国家有 100 个，严重缺水的国家有 40 个, 严重缺水的国家占调查国家的 $40 \%$ 。（）

计数

答案: $\times$22.答案: $\times$

<ImageHere>


Answer: 5

Question:
 将 18 枚棋子放入下图的 4 个小方格中, 那么一定有一个小方格内至少放 $\qquad$枚棋子。

<ImageHere>

计数


Answer: 30

Question: 育才小学六年级共有学生 356 人, 至少有 $\qquad$名学生是同月出生的。

计数


Answer:
<ImageHere>

石家庄

$-6^{\circ} \mathrm{C}$

<ImageHere>

武汉

$0^{\circ} \mathrm{C}$

<ImageHere>

厦门

$11^{\circ} \mathrm{C}$

<ImageHere>

北京

$-4^{\circ} \mathrm{C}$

Question:
 (4 分) 下面是我国几个城市某年一月份的日均最低气温, 你能在温度计上涂一涂表示出这些气温吗?

<ImageHere>
石家庄
$-6^{\circ} \mathrm{C}$

<ImageHere>
武汉

<ImageHere>
厦门

<ImageHere>
北京
$-4^{\circ} \mathrm{C}$
$11^{\circ} \mathrm{C}$

计数

<ImageHere>

石家庄

$-6^{\circ} \mathrm{C}$

<ImageHere>

武汉

$0^{\circ} \mathrm{C}$

<ImageHere>

厦门

$11^{\circ} \mathrm{C}$

<ImageHere>

北京

$-4^{\circ} \mathrm{C}$


Answer: $1 ; 3 ; 4$

Question:
 盒子中装有 8 个红球、 8 个黑球和 8 个白球, 任意摸出 1 个球, 是红球的可能性是 $\qquad$ ;

至少摸出 $\qquad$个球, 就可以保证其中至少有 2 个球的颜色相同。

计数


Answer: 红； 6

Question:
 盒子里有同样大小的 5 个红球, 4 个白球。任意摸一个球, 摸出 $\qquad$球的可能性大。
如果保证至少要摸出一个白球, 至少要摸 $\qquad$个球。

计数


Answer: 2

Question: 6 个小朋友乘 5 只小船游玩, 至少要有 $\qquad$个小朋友坐在同一只小船里。

计数


Answer: $2 ; 2$

Question: 某小区 2019 年共新增加了 13 辆电动清洁能源小客车, 一定有 $\qquad$辆或 $\qquad$辆以上的小客车是在同一个月内购买的。

计数


Answer: 1

Question: 六(1)班学生少于 50 人, 在一次考试中, $\frac{1}{7}$ 学生得优, $\frac{1}{3}$ 学生得良, $\frac{1}{2}$ 学生及格,剩下的学生不及格, 那么有( )人不及格。

计数


Answer: $\quad 96 \%$

Question: 六(1)班今天出勤 48 人，有 2 人请假，六(1)班这一天的出勤率是（）。

计数


Answer: 近视人数 总人数

Question: 某校六年级学生的近视率为 $18 \%$, 就是说() 占 ()的 $\frac{18}{100}$ 。

计数


Answer: 条形 折线扇形

Question: （）统计图能很容易地看出各种数量的多少；统计图能清楚地表示出数量的增减变化。如果要更清楚地了解各部分数量同总数之间的关系，则用（）统计图表示。

计数


Answer: 98 %

Question: 一批零件, 不合格产品数是合格产品数的 $\frac{1}{49}$, 这批零件的合格率是（）。

计数


Answer: 总数 每个扇形

Question: 扇形统计图用整个圆表示( ), 用( 的大小表示各部分占总数的百分数。

计数


Answer:
(1)6
(2) 36
(3) 48
(4)30

Question:
六年级有 120 人参加了学校的 4 个课外小组。(每人只参加一个小组)

(1)参加美术小组的有（）人;

(2)参加歌咏小组的有( )人;

(3)参加书法小组的有( )人;

(4)参加科技小组的有( )人;

计数


Answer:
(1)60 45

(2) 1365

Question:
有 $300 \mathrm{~m}^{2}$ 的菜地, 4 种蔬菜的种植面积分布情况如右图。

(1)油菜的种植面积是 ( ) m², 芹菜的种植面积是 $(\quad) \mathrm{m}^{2}$ 。

(2)如果黄瓜和西红柿平均每平方米的产量都是 $7 \mathrm{~kg}$, 黄瓜和西红柿一共能产 ( ) kg。

计数


Answer: 答案: $\times$

Question: 一件商品打八折出售, 就是便宜 $80 \%$ 。( )

算术


Answer: 答案: $3 ; 20 ; 75 ;

Question: 七五折 $=$ \$ \qquad \$ $: 4=15 \div$ \$ \qquad \$ $=\square=$ \$ \qquad \$ (填小数)

算术


Answer: 答案: 16

Question: 一件儿童毛衣原价 80 元, 现在打八折出售, 现价比原价便宜 \$ \qquad \$元。

算术


Answer: 答案: 10420

Question:
李伯伯把 10000 元钱存入银行, 存 2 年, 到期后, 李伯伯可以拿回 \$ \qquad \$钱。

| 存期 | 一年 | 二年 | 三年 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 年利率 $(\%)$ |

算术


Answer: 答案:二

Question: 春节期间, 原价 100 元 / 件的某商品按以下两种方式促销: 第一种方式: 减价 20 元后再打八折;第二种方式: 打八折后再减价 20 元. 那么, 能使消费者少花钱的方式是第 \$ \qquad \$种。

算术


Answer: $rac{4.5}{10} ; 45 \%$

Question: 四成五就是 \$ \qquad \$ , 改写成百分数就是 \$ \qquad \$一.

算术


Answer: 答案:错误

Question: 丹丹把 500 元存入银行, 定期一年, 年利率是 $

算术


Answer: 答案:错误

Question: 一件商品先提高 $20 \%$ 的价格后打八折出售, 这件商品的价格不变。（）

算术


Answer: 答案:错误

Question: 整数可以分成正整数和负整数。( )

算术


Answer: 答案:减

Question:
写出与下面量具有相反意义的量.

在环保知识竟赛中, 甲队加 10 分.

10 分

算术


Answer: 向西 $80 \mathrm{~m} ; 20$

Question: 如果把小明向东走 $100 \mathrm{~m}$ 记作 $+100 \mathrm{~m}$, 那么他又走- $80 \mathrm{~m}$, 表示小明 \$ \qquad \$ ，这时他距离出发点有 $\mathrm{m}$ 远。

算术


Answer: 答案: -1700

Question: 张大伯玩股票, 上月赚了 3800 元, 表示为+3800 元, 本月亏了 1700 元, 表示为 \$ \qquad \$元。

算术


Answer: 答案:向西走 60 米

Question: 如果 60 米表示向东走 60 米, 那么 -60 米表示

算术


Answer: 答案:下车 8 位乘客

Question: 如果上车的 10 位乘客用 +10 表示, 那么-8 表示

算术


Answer: 答案: 不成

Question: 圆的周长一定, 圆周率和直径成 \$ \qquad \$比例。

算术


Answer: 答案: 24

Question: 一个比例的两个内项分别是 3 和 8 . 那么这个比例的两个外项的积是 \$ \qquad \$ -

算术


Answer: $20, rac{1}{3}$

Question: 爷爷养了 20 只公鸡, 30 只母鸡, 公鸡只数是母鸡的 $\frac{(\quad)}{(\quad)}$, 母鸡只数比公鸡多（）％。

算术


Answer: 280

Question: 学校有图书 630 本。按 $2: 3: 4$ 的比例分给三四五年级, 五年级分到（）本。

算术


Answer: 答案: 970200000 九亿七千零荎拾万 10

Question: 9 个亿. 7 个千万. 2 个十万组成的数写作（），读作 ），四舍五入到亿位约是（）亿。

算术


Answer: 答案: $16+\mathrm{a}+\mathrm{b}$

Question: 小林今年 16 岁，父亲的年龄比他大 a 岁，再过 $\mathrm{b}$ 年，父亲的年龄是 $(\quad)$ 岁。

算术


Answer: $\times$

Question: 北京某天的气温是 $-3^{\circ} \mathrm{C}$ 到 $8^{\circ} \mathrm{C}$, 这天的温差是 $8^{\circ} \mathrm{C}$ 。

算术


Answer: $+36 、 59 ;-4 、-18 、-290$

Question: 在 $-4 、+36 、-18 、 59 、 0 、-290$ 中, 正数有 $\qquad$ , 负数有 $\qquad$ -

算术


Answer: -16

Question: 12 月某城市的最高气温是零上 $5^{\circ} \mathrm{C}$, 记作 $+5^{\circ} \mathrm{C}$, 最低气温是零下 $16^{\circ} \mathrm{C}$,记作 $\qquad$ ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ 。

算术


Answer: $-2 \mathrm{~F}$

Question: 某商场地上 5 层表示为 $+5 \mathrm{~F}$, 那么地下 2 层表示为 $\qquad$。

算术


Answer: 西; 6

Question: 东西为两个相反方向, 如果 $+5 m$ 表示向东走 $5 \mathrm{~m}$, 则 $-6 \mathrm{~m}$ 表示向 $\qquad$走 $\qquad$ $\mathrm{m}$ 。

算术


Answer: 西; $55 ;-5$

Question:
 红红向东走 102 米, 记作 +102 米, 那么-55 米表示红红向 $\qquad$走

了 $\qquad$米。如果电梯上升 10 层记作 +10 层, 那么下降 5 层应记作 $\qquad$层。

算术


Answer: 逆时针转动 6 圈

Question: 转动转盘, 如果把顺时针转动 5 圈记作 +5 圈, 那么 -6 圈表示 $\qquad$。

算术


Answer: $-1200 ;-60$

Question: 如果妈妈领取工资 7500 元记作 +7500 元，那么给 “希望工程” 捐款 1200 元，可记作 $\qquad$元,一艘潜艇所处高度是海拔-100 米,一条鲨鱼在潜艇上方 40 米处，鲨鱼所处位置是海拔 $\qquad$米。

算术


Answer: $+5000 ;-2400$

Question: 妈妈 10 月 28 日存入 5000 元，在存折上应记作 $\qquad$元，11 月 2 日取出 2400 元，在存折上应记作 $\qquad$元。

算术


Answer: $-5 ; 154.6$

Question: 实验小学六 (1) 班学生的平均身高是 153 厘米, 记为 “ 0 ”，那么小红身高 148 厘米，记作 $\qquad$厘米; 小强身高记作 +1.6 厘米, 小强身高是 $\qquad$厘米。

算术


Answer: $+1.5 ; 1.5 ;-2$

Question:
 如果河水的警戒水位记为 $0 \mathrm{~m}$, 汛期水位高于警戒水位 $1.5 \mathrm{~m}$, 记为 $\qquad$ $\mathrm{m}$, 或是 $\qquad$ $\mathrm{m}$, 旱季水位低于警戒水位 $2 \mathrm{~m}$, 记

为 $\qquad$ m。

算术


Answer: 17

Question:
 唐山市区某日的气温显示为 $-5^{\circ} \mathrm{C}^{\sim} 12^{\circ} \mathrm{C}$, 那么这一天内昼夜温差最大
是 $\qquad$ ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ 。

算术


Answer: $+7 \mathrm{~m} ;-2 \mathrm{~kg}$

Question: 如果下降 $5 \mathrm{~m}$ 记作 $-5 \mathrm{~m}$, 那么上升 $7 \mathrm{~m}$ 记作 $\qquad$ ; 如果体重增加 $2 \mathrm{~kg}$ ，记作+2kg，那么体重减少 $2 \mathrm{~kg}$ 记作 $\qquad$。

算术


Answer: $\times$

Question: 所有的数不是正数、就是负数。

算术


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 某水库的警戒水位是 $18 \mathrm{~m}$, 如果把水位 $18.5 \mathrm{~m}$ 记作 $+0.5 \mathrm{~m}$, 则水位 $17.5 \mathrm{~m}$记作 $-0.5 \mathrm{~m}$ 。

算术


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 没有最大的正数, 也没有最大的负数。

算术


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 一种商品八折出售正好保本, 如果不打折, 那么会获得 $25 \%$ 的利润。( )

算术


Answer: 原价； 40

Question:
 一本书六折出售, 是把 $\qquad$看作单位 “1”，现价比原价降低
了 $\qquad$ $\%$ 。

12 . $\qquad$ $=$ $\qquad$ $\div 8=0.75=$ $\qquad$ $\%=$ $\qquad$折。

算术


Answer: 100

Question: 一个毛线玩具按八折出售, 便宜了 20 元, 这个玩具原价是 $\qquad$元。

算术


Answer: 24

Question: 一件衣服原价 120 元，按八折出售，便宜了 $\qquad$元。

算术


Answer: 120

Question: “六一”期间, 某商场举行促销活动, 所有商品九折出售, 小丽买一件上衣花去了 108 元, 这件大衣原价是 $\qquad$元。

算术


Answer: 21764

Question: 张阿姨将 2 万元存入温州银行, 年利率为 $2.94 \%$, 存期为 3 年, 到期时张阿姨一共能取回 $\qquad$元钱。

算术


Answer: 八

Question: 腾达超市某品牌酸牛奶举行 “买四送一” 促销活动。妈妈一次购买了 5 瓶这种品牌的酸牛奶, 那么, 每瓶相当于 $\qquad$折优惠。

算术


Answer: 七五; 买四赠一

Question: 开学时, 小华学校附近文具店实行买三赠一促销, 实际上是打 $\qquad$折出售, 如果实行 $\qquad$促销, 就是打八折出售。

算术


Answer: $160 ; 80$

Question: 一件衣服原价 200 元, 打八折出售, 现价 $\qquad$元，妈妈买 2 件这样的衣服, 比原来便宜 $\qquad$元。

算术


Answer: 90

Question: 王阿姨月工资 8000 元，扣除 5000 元个税免征额后的部分需按 $3 \%$ 的税率缴纳个人所得税，她应缴纳个人所得税 $\qquad$元。

算术


Answer: 去年收成; 116

Question: 今年的收成比去年增加了一成六, 是把 $\qquad$看作单位 “ 1 ” ,今年的收成是去年的 $\qquad$ $\%$ 。

算术


Answer: 54

Question: 小李每月的收入减去五险一金和个税专项附加扣除后是 6800 元, 这些收入再减去个人所得税的起征点 5000 元, 然后按照 $3 \%$ 的税率计算。他这个月要缴纳个人所得税 $\qquad$元。

算术


Answer:
| 小数 | 0.28 | 0.75 | 0.24 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 分数 | $\frac{7}{25}$ | $\frac{3}{4}$ | $\frac{6}{25}$ |
| 百分数 | $28 \%$ | $75 \%$ | $24 \%$ |
| 成数 | 二成八 | 七成五 | 二成四 |
| 折扣 | 二八折 | 七五折 | 二四折 |

Question:
 把表格填写完整。

| 小数 |  |  | 0.24 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 分数 |  | $\frac{3}{4}$ |  |
| 百分数 | $28 \%$ |  |  |
| 成数 |  |  |  |
| 折扣 |  |  |  |

算术


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 一种商品打七五折出售, 就是现价比原价降低了 $25 \%$ 。

算术


Answer: $\times$

Question: 购买一辆 12 万元的汽车, 按规定缴纳 $10 \%$ 的车辆购置税, 应缴纳 1200 元。

算术


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 一本书原价 42 元, 如果按九折出售, 现价比原价便宜了 4.2 元。( )

算术


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 一种商品先打六五折, 再提价 $\frac{1}{2}$, 则现价比原价相低。

算术


Answer: $\frac{5}{2}$

Question: 在一个比例里, 两个外项的积是 $\frac{5}{8}$, 其中一个内项是 $\frac{1}{4}$, 另一个内项是 $\qquad$。

算术


Answer: $12 ： 2=6 ： 1$

Question: 用 12 的因数组成一个比值最大的比例式是 $\qquad$。

算术


Answer: 1、2、3、4、6、8、12、24; 2: $3=4: 6$ (最后一空答案不唯一)

Question: 24 的因数有 $\qquad$ , 从中选择 4 个数, 其中 2 个是质数, 组成一个比例是 $\qquad$。

算术


Answer: 正; 8；$\frac{8}{5}$

Question: 已知 $4 a=5 b （ a 、 b$ 不为 $0 ）, a$ 和 $b$ 成 $\qquad$比例。如果 $a=2$, 则 $b=$ $\qquad$。

算术


Answer: 正; 4; 5

Question:
 <ImageHere>, x:

$\mathrm{y}=$ $\qquad$ $:$ $\qquad$。

算术


Answer:
(1) $x=\frac{1}{4}$

(2) $x=1$

(3) $\quad \mathrm{x}=90$

(4) $\mathrm{x}=\frac{1}{2}$

Question:
 解比例。
(1)
$\frac{5}{7}: x=\frac{2}{3}: \frac{7}{30}$
(2)
$\frac{4}{15}: 16=x: 60$

(3)

$\frac{x}{7}: 15=\frac{2}{3}: \frac{7}{9}$
(4)

$\frac{5}{7}: x=\frac{2}{3}: \frac{7}{15}$

算术


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 出盐率一定, 盐的质量和海水质量成正比例。

算术


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 一个比例的两个外项互为倒数, 那么两个内项也一定互为倒数。

算术


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 大于 0 的数是正数, 小于 0 的数是负数。

算术


Question:
 在横线上填上“ $>$ "“<”或“=”。
$-10$ $\qquad$ $-1$
$11.11 \div 0.3$ $\qquad$ $111.1 \div 3$

算术


Answer: 67

Question:
 在学校运动会的跳绳测试中, 如果每分钟 70 个为合格, 小红每分钟跳 80 个, 记作 +10 个。
小亮的成绩记作-3 个，他跳了 $\qquad$个。

算术


Answer: 13

Question: 某日北京气温是 $-5^{\circ} \mathrm{C} \sim 8^{\circ} \mathrm{C}$, 这天的最大温差是 $\qquad$ ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ 。

算术


Answer: 144

Question: 以小明身高 145 厘米为标准, 把小强身高记为 +3 , 小丽身高记为 -6 , 则三个小朋友的平均身高是 $\qquad$厘米。

算术


Answer: $-2^{\circ} \mathrm{C} ; 4^{\circ} \mathrm{C}$

Question: 某市 1 月份的平均气温是零下 $2^{\circ} \mathrm{C}$, 写作 $\qquad$。 2 月份的平均气温比 1 月份升高了 $6^{\circ} \mathrm{C}$,该市 2 月份的平均气温是 $\qquad$。

算术

$-2^{\circ} \mathrm{C} ; 4^{\circ} \mathrm{C}$


Answer: $3^{\circ} \mathrm{C} ;-3^{\circ} \mathrm{C}$

Question: 某市 2022 年 2 月 5 日最高气温为 $3^{\circ} \mathrm{C}$, 记作 $\qquad$ , 最低气温为零下 $3^{\circ} \mathrm{C}$, 记作 $\qquad$。

算术

$3^{\circ} \mathrm{C} ;-3^{\circ} \mathrm{C}$


Answer: -8 ; 不合适; 因为北京和巴黎相差 $12-5=7$ （小时），10-7=3（时）是晚上 3 点, 时间太晚。

Question:
 如下图所示, 与北京时间比, 东京时间早 1 时, 记作 +1 时, 伦敦时间晚 8 时, 记作 $\qquad$时。北京时间上午 10: 00, 张红想和巴黎的爸爸视频通话, 你认为合适吗? $\qquad$ , 理由是 $\qquad$

<ImageHere>
伦軲

<ImageHere>
巴然

<ImageHere>
北京

算术

-8 ; 不合适; 因为北京和巴黎相差 $12-5=7$ （小时），10-7=3（时）是晚上 3 点, 时间太晚。


Answer: $+1.2 ;-0.5$

Question: 如果某地防汛的警戒水位记作 0m, 正数表示高于警戒水位的水面高度, 那么高于警戒水位 $1.2 \mathrm{~m}$, 记为 $\qquad$ $\mathrm{m}$, 低于警戒水位 $0.5 \mathrm{~m}$, 记为 $\qquad$ $\mathrm{m}$ 。

算术


Answer: $5 ;-3$

Question: 某地一天的最高气温是五摄氏度, 记作 $\qquad$ ${ }^{\circ} \mathrm{C}$; 最低气温是零下三摄氏度, 记作 $\qquad$ ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ 。

算术


Answer: $\times$

Question: 在-1 与 1 之间, 没有整数。

算术


Answer: $\times$

Question: 在 $6,-5,0.2,0,-9.6,30 \%$ 中, 正数有 4 个。( )

算术


Answer: $\times$

Question: 气温升高 $3^{\circ} \mathrm{C}$, 记作 $+3^{\circ} \mathrm{C}$ : 降低 $2^{\circ} \mathrm{C}$, 则记作 $2^{\circ} \mathrm{C}$ 。( )

算术


Answer: $\sqrt{ }$

Question: “买三赠一”实际上是打七五折。（）

算术


Answer: $\times$

Question: 本金与利息的比率叫做利率。（）

算术


Answer: $\times$

Question: 李晓芳在 2012 年 7 月 6 日把 1500 元钱存入银行，存期二年,年利率是 3.75\%。到期她一共可以取出 112.5 元。

算术


Answer: $85 ; 75$

Question: 一种商品打八五折销售, “八五折”表示现价是原价的 $\qquad$ $\%$ 。如果这种商品的原价是 500 元，现在便宜了 $\qquad$元。

算术


Answer: 5412.5

Question:
 小雪爸爸在 2022 年 4 月 10 日把 5000 元钱存入银行, 定期三年, 年利率为 $2.75 \%$, 到期时
爸爸可以取回本息共 $\qquad$元。

算术


Answer: $18 ; 25 ; 10 ; 4$

Question: $\qquad$ $\div 24=$ 七成五 $=1-$ $\qquad$ $\%=$ $\frac{12-3}{2+()}=3$ :

算术


Answer: 九; 10

Question: 周末，妈妈带安安去看电影, 电影票原价 40 元，支付宝购买只需支付 36 元，从支付宝购票相当于打 $\qquad$折, 比原价便宜 $\qquad$ $\%$ 。

算术


Answer: 七; 30

Question: 一件商品原价是 100 元, 打折后卖 70 元, 这是打 $\qquad$折, 比原价便宜了 $\qquad$ $\%$ 。

算术


Answer: 90

Question: 妈妈将 2000 元存入中国银行, 存期二年, 年利率为 $2.25 \%$, 那么到期时可得到利息 $\qquad$元。

算术


Answer: 八

Question: 一本书现价 6.4 元比原价便宜 1.6 元, 这本书是打 $\qquad$折出售。

算术


Answer: 4200

Question: 李阿姨得到一笔 5000 元的劳务费，按国家税法规定，其中 1000 元是免税的，其余部分要按 $20 \%$ 的税率缴税。这笔劳务费交税后, 李阿姨最终能得到 $\qquad$元。

算术


Answer: 5038.75

Question: 大宝的奶奶将 5000 元存入银行, 存期是 6 个月, 年利率是 $1.55 \%$, 到期后奶奶一共能取回 $\qquad$元。

算术


Answer: $8000 ; 8400$

Question: 爸爸想买一台标价是 10000 元的电脑, 他对经理说: “八折可以吗?”爸爸希望这台电脑的售价是 $\qquad$元。经理说: “你说的价再加 5\%吧！”这样爸爸买这台电脑实际花了 $\qquad$元。

算术


Answer: $80 ; 20$

Question: 一件毛衣打八折销售, 现价是原价的 $\qquad$ $\%$, 现价比原价降低了 $\qquad$ $\%$ 。

算术


Answer: 3600

Question: 一家饭店三月份营业额中应纳税部分是 12 万元，如果按应纳税部分的 $3 \%$ 缴纳增值税, 这家饭店三月份应缴纳 $\qquad$元。

算术


Answer: 90

Question: 小东将 2000 元压岁钱存入银行, 存期两年, 年利率为 $2.25 \%$ 。到期时可得利息 $\qquad$元。

算术


Answer: $\times$

Question: 某种商品先提价 $10 \%$, 又打九折销售, 现价与原价相等。（）

算术


Answer: $\times$

Question: 某商品先打七折再提价 $30 \%$, 结果与原价相同。（）

算术


Answer: $\times$

Question: 比例 5: 3=15: 9 的内项 3 增加 6, 要使比例成立, 外项 9 应该增加 6。

算术


Answer: $9 ; 10$

Question: 有两堆煤, 甲堆煤的质量的 $\frac{2}{3}$ 正好等于乙堆煤质量的 $\frac{3}{5}$, 甲乙两堆煤的质量比是 $\qquad$ $:$ $\qquad$ )

算术


Answer: 正

Question: 如果 $4 n=5 m$, 那么 $n$ 和 $m$ 成 $\qquad$比例。

算术


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 小麦每公顷产量一定, 小麦的总产量与公顷数成正比例关系。（）

算术


Answer: $\sqrt{ }$

Question: $15 ： 5$ 和 $1.2: 0.4$ 能组成比例。（）

算术


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 张叔叔参加飞镖比赛, 投了 4 镖, 总成绩是 33 环, 且每一镖的成绩都是整数环。张叔叔至少有一镖不低于 9 环。

算术


Answer: $\begin{array}{lllll}\frac{3}{8} & 4 & \frac{3}{2}\end{array} $

Question: $\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}=(\quad) \times(\quad)=(\quad)$

算术

$\begin{array}{lllll}\frac{3}{8} & 4 & \frac{3}{2}\end{array} $


Answer: v

Question: $1 \mathrm{t}$ 的 $\frac{4}{5}$ 和 $4 \mathrm{t}$ 的 $\frac{1}{5}$ 一样重。

算术


Answer: x

Question: 一件商品先降价 $\frac{1}{5}$, 再涨价 $\frac{1}{5}$, 现价和原价相等。

算术


Answer: v

Question: 求 $\frac{1}{2}$ 公顷的 $\frac{3}{5}$ 是多少,就是把 $\frac{1}{2}$ 公顷平均分成 5 份, 取其中的 3 份。也就是把 1 公顷平均分成 (2x5) 份, 取其中的 $(1 \times 3)$ 份。

算术


Answer: x

Question: 男生比女生多 $\frac{1}{5}$, 那么女生就比男生少 $\frac{4}{5}$ 。（）

算术


Answer: $10  $ 16

Question: 12 个 $\frac{5}{6}$ 是 ( ) ; 24 的 $\frac{2}{3}$ 是 ( )。

算术


Question:
 在 $\bigcirc$ 里填上 “ $>$ ” “ $<$ ”或 “ $=$ ”。

$\frac{5}{6} \times 4 \bigcirc \frac{5}{6} \quad 9 \times \frac{2}{3} \bigcirc \frac{2}{3} \times 9 \quad \frac{3}{8} \times \frac{1}{2} \bigcirc \frac{3}{8}$

算术


Answer: $2 $$  \quad \frac{1}{4}$

Question: 边长为 $\frac{1}{2} \mathrm{dm}$ 的正方形周长是 ( ) dm, 面积是 ( ) $\mathrm{dm}^{2}$ 。

算术


Answer: $35 \quad 9$

Question: 比 $30 \mathrm{~m}$ 多 $\frac{1}{6}$ 是 $(\quad) \mathrm{m}$; 比 $36 \mathrm{~m}$ 少 $\frac{3}{4}(\quad) \mathrm{m}$ 。

算术


Answer: $3 \quad 3 \frac{3}{4}$

Question: 一条绳子长 $4 \mathrm{~m}$, 用去 $\frac{1}{4}$, 还剩 ( ) m; 一条绳子长 $4 \mathrm{~m}$, 用去 $\frac{1}{4} \mathrm{~m}$, 还剩 ( )m.

算术


Answer: $\frac{1}{5} \quad 10 \frac{2}{3}$

Question: 10 的 $\frac{2}{5}$ 相当与 20 的 ( ); 比 $15 \mathrm{~kg}$ 的的 $\frac{2}{3}$ 多 $\frac{2}{3} \mathrm{~kg}$ 是（） kg。

算术


Answer: x

Question: 一个数乘分数, 积一定小于这个数。

算术


Answer: $18 \quad 32$

Question: 24 的 $\frac{3}{4}$ 是 $\left(\right.$, ( ) 的 $\frac{3}{4}$ 是 24 。

算术


Answer: $81 \quad \frac{1}{4}$

Question: 45 是 ( ) 的 $\frac{5}{9},\left(\quad \mathrm{~m}\right.$ 是 $\frac{3}{4} \mathrm{~m}^{2}$ 的 $\frac{1}{3}$ 。

算术


Answer: $\frac{1}{4} \quad \frac{2}{9}$

Question: 把 $\frac{8}{9} m$ 长的铁丝平均分成 4 段, 每段是全长的（），每段长（）m。

算术


Answer: $\frac{7}{12} \quad \frac{1}{2} \quad \frac{3}{4} \quad \frac{2}{5}$

Question:
用分数表示。
35 分 $=(\quad)$ 时
50 公顷 $=(\quad) k^{2}$
$75 \mathrm{dm}^{2}=(\quad) \mathrm{m}^{2}$
$400 \mathrm{~mL}=(\quad) \mathrm{L}$

算术


Answer: $\frac{1}{2} 4$

Question: 最小质数的倒数是( ), ( ) 和 $\frac{1}{4}$ 互为倒数。

算术


Answer: 足球 $\frac{5}{4}$

Question: 篮球的数量比足球多 $\frac{1}{4}$, 是把（）的数量看作单位 “ 1 ”，篮球的数量是足球的 ( )

算术


Answer: 8

Question: 一桶油倒出的 $20 \mathrm{~kg}$ 恰好占全桶油的 $\frac{5}{7}$, 这桶油还剩下( )kg。

算术


Answer: $\frac{2}{3}$

Question: 一个数的 $\frac{3}{4}$ 是 $\frac{7}{8}$ 。，这个数的 $\frac{4}{7}$ 是（）。

算术


Answer: 除以 $\frac{1}{5}$

Question: 比的前项除以 $\frac{1}{5}$, 要使比值不变, 比的后项应该 ( )

算术


Answer: 答案:0 .44 & 440000 &

Question: 44 公顷 $=(\quad)$ 平方千米 $=(\quad)$ 平方米 4080 米 $=(\quad)$ 千米 3 立方分米 40 立方厘米 $=(\quad)$ 立方分米 $\quad 3_{-}^{4}$ 吨 $=(\quad)$ 吨 ( ) 千克

度量几何学


Answer: 88$ 12

Question: 大圆的直径是 4 厘米, 小圆的直径是 2 厘米, 大圆和小圆面积最简单的整数比是

度量几何学


Answer: 答案: 90

Question: 在比例尺是 1：600000 的地图上，量的甲、乙两地之间的距离是 15 厘米，甲乙两地的实际距离是 \$ \qquad \$千米。

度量几何学


Answer: 向西走 50 米

Question: 如果 $50 \mathrm{~m}$ 表示向东走 50m，那么一50m 表示（）。

度量几何学


Answer: 答案:50.24

Question: 一个圆形杯垫的直径是 $8 \mathrm{~cm}$ ，这个杯垫的面积是 ) $\mathrm{cm}^{2}$ 。

度量几何学


Answer: 答案: $\times$

Question: 圆心角是 $60^{\circ}$ 的扇形比圆心角是 $50^{\circ}$ 的扇形面积大。

度量几何学


Answer: 答案:$\times$

Question: 圆的直径与正方形边长相等，圆的周长大于正方形周长。 $\left(\_\_\right)$

度量几何学


Answer: 答案:$x$

Question: 大圆的周长是小圆周长的 2 倍，大圆的面积与小圆面积的比是 $2: 1$ 。 $\left(\_\_\right)$ _) )

度量几何学


Answer: 48

Question: 把一个底面积为 24 平方厘米的圆柱锯成两段小圆柱,表面积增加了 $\qquad$平方厘米。

度量几何学


Answer: $50.24 ; 37680$

Question: 一个圆柱形水池, 量得底面周长是 25.12 米, 深 0.75 米。这个水池的占地面积是 $\qquad$平方米，最多能蓄水 $\qquad$升。

度量几何学


Answer: 60

Question: 在比例尺是 1: 500000 的地图上, 量得甲、乙两地的距离约为 12 厘米, 两地之间的实际距离大约是 $\qquad$千米。

度量几何学


Answer: 东; $45 ; 120$

Question:
 观察下图, 学校在小冬家北偏 $\qquad$ $\qquad$ )ㅇ的方向上, 距离小冬家约 $\qquad$米。 （比例尺 1: 8000）

<ImageHere>

度量几何学


Answer: $1: 600 ; 180$

Question: 在一张校园平面图上, 量得长方形操场长 9 厘米, 宽 6 厘米, 而操场的实际宽为 36 米, 这张平面图的比例尺是 $\qquad$ , 沿操场走一周, 要走 $\qquad$米。

度量几何学


Answer: 336

Question: 在比例尺是 1: 30000000 地图上, 量得甲地到乙地的距离是 5.6 厘米, 一辆汽车按 $3: 2$ 的比分两天行完全程, 两天行的路程差是 $\qquad$千米。

度量几何学


Answer: 比例; 正

Question: 用数学的眼光来看成语“立竿见影”, 是应用了本学期所学的 $\qquad$知识。即同一时间,同一地点, 竿高和影长成 $\qquad$比例。

度量几何学


Answer: 1: 25000000; 3550

Question:
 一幅地图的线段比例尺是 $0 \quad 250 \quad 500 \mathrm{~km}$, 改写成数值比例尺是 $\qquad$ ,

在这幅地图上量得 $\mathrm{A}$ 地到 B 地的距离是 $14.2 \mathrm{~cm}, \mathrm{~A}$ 地到 B 地的实际距离是 $\qquad$ $\mathrm{km}$ 。

度量几何学


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 圆的周长和它的直径成正比例。

度量几何学


Answer: $-1.5 ; 2.25$

Question:
 如下图, 直线上 $\mathrm{A}$ 表示的数是 $\qquad$。如果 A 向东走 $\qquad$米, 到达 B 的位置。

<ImageHere>

度量几何学


Answer:
(1)

<ImageHere>

(2)

<ImageHere>

(3) 12 ; 8

Question:
 （8 分）下面每格代表 $4 \mathrm{~m}$, 小兔的起始位置在 0 点处。

<ImageHere>

（1）小兔先向东跳 3 格到 $\mathrm{A}$ 点, 在图上标出 $\mathrm{A}$ 点。

（2）小兔再从 $\mathrm{A}$ 点向西跳了 $20 \mathrm{~m}$ 到了 $\mathrm{B}$ 点, 在图上标出 B 点。

(3) $\mathrm{A}$ 点和 $\mathrm{B}$ 点离 0 点的距离分别是 $\qquad$米和 $\qquad$米。

度量几何学

(1)

<ImageHere>

(2)

<ImageHere>

(3) 12 ; 8


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 所有的正数都比负数大, 在数轴上, 左边的数比右边的数小。( )

度量几何学


Answer: $55 ; 12 ; 100.48$

Question:
 下面是一个直角三角形, 已知 $\angle 1$ 是 $35^{\circ}$, 那么 $\angle 2$ 是 $\qquad$ ㅇ 这个三角形的面积是 $\mathrm{cm}^{2}$ 。绕三角形中 $6 \mathrm{~cm}$ 长的边旋转 1 周, 形成的立体图形的体积是 $\qquad$ $\mathrm{cm}^{3}$ 。

<ImageHere>

度量几何学


Answer: 122.46

Question: 用铁皮制作一个底面半径是 3 分米, 高是 5 分米的圆柱形水桶 (无盖), 至少要用铁皮 $\mathrm{cm}$ 。

度量几何学


Answer: 5.652

Question: 将一个底面周长是 $9.42 \mathrm{dm}$ 的圆柱形木料, 沿着底面直径垂直切一刀, 切成两个半圆柱, 表面积增加 $4.8 \mathrm{dm}^{2}$, 原来这个圆柱形木料的体积是 $\qquad$立方分米。

度量几何学


Answer: 正; $\mathrm{x}$ 和 $\mathrm{y}$ 的商一定

Question: $\mathrm{AB}$ 两城间的铁路长 170 千米, 在一幅比例尺是 1：5000000 的地图上，这条铁路的图上距离是 $\qquad$厘米。一列动车沿此铁路从 $\mathrm{A}$ 城开往 $\mathrm{B}$ 城, 所用的时间与行驶的平均速度成比例关系。

度量几何学


Answer: 3.2; 反

Question:
 在比例尺是 1：3000000 的地图上，量得 A、B 两地之间的距离是 5 厘米, A、B 两地实际相距 $\qquad$千米。一辆轿车和一辆客车同时从 A 地出发开往 B 地, 轿车每小时行驶 60 千米,客车每小时行驶 45 千米, 当轿车到达 $\mathrm{B}$ 地时, 客车距离 $\mathrm{B}$ 地还有 $\qquad$千米。

A. 在比例尺是 1：3000000 的地图上，量得

度量几何学


Answer: 1: $4000000 ; 80$

Question: 一幅地图上, 1.5 厘米长的线段表示 60 千米的实际距离, 这幅地图的比例尺是 $\qquad$ ，在这幅地图上，甲、乙两地之间的图上距离是 2 厘米，那么甲、乙两地的实际距离是 $\qquad$千米。

度量几何学


Answer: $810 ; 3$

Question: 郑万高铁(郑州-万州)预计今年全线通车, 人们出行越来越方便。在一幅比例尺是 1:10000000 的地图上, 量得郑万高铁的长度约是 8.1 厘米, 郑万高铁的实际长度是 $\qquad$千米。若一列动车以 270 千米/时的速度从万州出发, $\qquad$小时后可到达郑州。

度量几何学


Answer: 135

Question: 把一个长 $5 \mathrm{~cm}$ 、宽 $3 \mathrm{~cm}$ 的长方形按 3: 1 放大，得到的图形的面积是 $\qquad$ $\mathrm{cm}^{2}$ 。

度量几何学


Answer: 反

Question: 面积一定, 平行四边形的底和高成 $\qquad$比例。

度量几何学


Answer: $\times$

Question: 圆的半径与面积成正比例关系。( )

度量几何学


Answer: $\times$

Question: 在比例尺中, 图上距离都比实际距离小。（）

度量几何学


Answer:
12.56
    12.56

Question: 圆规画圆时, 两脚间距离是 $2 \mathrm{~cm}$, 画出的圆的周长是 ( ) cm, 面积是 $1 \quad \mathrm{~cm}^{2}$ 。

度量几何学


Answer:
半径
    圆心

Question: ( ) 决定圆的大小, （决定圆的位置。

度量几何学


Answer: 无数

Question: 圆有（）条对称轴。

度量几何学


Answer: 32

Question: 一管净含量为 100 立方厘米的牙膏, 它的圆形出口的直径是 1 厘米。如果早晚各刷牙一次, 每次挤出的牙膏长约 2 厘米。照这样计算, 这管牙膏估计能用 \$ \qquad \$天。

组合几何学


Answer: 答案:正确

Question:
判断对错.

今天最低气温是 $-2^{\circ} \mathrm{C}$, 明天最低气温是 $-4^{\circ} \mathrm{C}$, 所以明天比今天冷.

逻辑题


Answer: 错误

Question: 一个数如果不是正数, 那么它就一定是负数。

逻辑题


Answer: 答案:$\frac{1}{1000} ; 10$

Question: 比例尺 1：1000，表示图上距离是实际距离的 \$ \qquad \$ , 根据比例尺,可以知道图上距离 1 厘米表示实际距离 \$ \qquad \$米。

画法几何学


Answer: 答案: $4: 1$

Question: 有一个机器零件长 $5 \mathrm{~mm}$, 画在设计图纸上长 $2 \mathrm{~cm}$ 。这幅图的比例尺是 \$ \qquad \$ $\circ$

画法几何学


Answer: 答案:3

Question: 要画一个直径是 6 厘米的圆，圆规两脚之间的距离是 ) 厘米.

画法几何学


Answer:
(1)

(2)

<ImageHere>

Question:
 画出下面各圆雉的高。

(1)

<ImageHere>

(2)

<ImageHere>

画法几何学


Answer: 6

Question: 一种精密零件的长是 5 毫米, 把它画在比例尺是 12: 1 的零件图上, 长应画 $\qquad$厘米。

画法几何学


Answer: 答案: $2 ; 5$

Question: 若 $5 x=2 y$, 则 $x: y=$ \$ \qquad \$ \$ \qquad \$。

代数


Answer: 答案:$\times$

Question: 若 $7 a=5 b$, 则 $a b$ 成反比例。

代数


Answer: 正; 反

Question: 4: $a=3: b, a$ 和 $b$ 成 $\qquad$比例。 $\frac{3}{x}=4 y, x$ 和 $\mathrm{y}$ 成 $\qquad$比例。

代数


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 如果 $\mathrm{a}-\mathrm{b}=0$, 那么 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{b}$ 成正比例。

代数


Answer: 答案:、

Question: 一个图形放大或缩小后，大小改变，形状不变。

变换几何


Answer: <ImageHere>

Question:
 按 2:1的比画出三角形放大后的图形, 按 2: 3 的比画出正方形缩小后的图形。

<ImageHere>

变换几何


Answer: 4

Question: 把一个直径是 4 厘米的圆分成若干等份，然后把它剪开，照下图的样子拼起来，拼成的图形的周长比原来圆的周长增加厘米.

解析几何


Answer: $\sqrt{ }$

Question: 在直线上 -1 在 +1 的左边。

解析几何


Answer: $\times$

Question: 把一个圆雉的侧面展开就能得到一个圆形。

解析几何


Answer: (4,3)

Question: 音乐课上, 聪聪坐在音乐教室的第 4 列第 2 行, 用数对 $(4,2)$ 表示。明明坐在聪聪正后方的第一个位置上, 明明的位置用数对表示是( )。

解析几何


Answer: 答案:正确

Question: 想要准确描述路线，既要确定方向，又要确定距离和途经的地方。

解析几何


Answer: 答案: $\times$

Question: 以不同学生的家为观测点，所描述的学校的位置是相同的.

解析几何


Answer: $X$

Question:
 商店在中心广场的南偏西方向上, 距离中心广场 1000m。

<ImageHere>

解析几何


Answer: 可能

Question: “明天降雨的可能性是 $90 \%$ " 的意思是明天 $\qquad$ ）降雨。（填 “可能” 或 “不可能”）。

统计数学


Answer: 18

Question:
初 2018 级某班文娱委员, 对该班“肆月”学习小组同学购买不同单价的毕业照 (单位: 元) 情况进行了统计，绘制了如图所示的条形统计图，则所购毕业照平均每张的单价是 \$ \qquad \$元.

<ImageHere>

计数


Answer: 6

Question: 一组数据: $3,8,6,7,6,5$ 的中位数是 \$ \qquad \$

计数

把给出的此组数据中的数按从小到大的顺序排列为：3、5、6、6、7、8,

最中间的两个数的平均数是: $(6+6) \div 2=12 \div 2=6$;

故答案为: 6 .


Answer: 23

Question: 武汉市某气象观测点记录了 5 天的平均气温（单位: ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ ), 分别是 $25 、 20 、 18 、 23 、 27$, 这组数据的中位数是 \$ \qquad \$

计数

排序为 $18 ， 20 ， 23 ， 25,27$

最中间的是 23

$\therefore$ 这组数据的中位数是 23

故答案为: 23


Answer:
(1) $\mathrm{B}$

(2) 4

Question:
有 $A 、 B$ 两个班级,每个班级各有 45 名学生参加一次测验. 每名参加者可获 $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 这几种不同的分值中的一种.测试结果 A 班的成绩如下表所示,B 班的成绩如右图所示.

<ImageHere>

A 班

<ImageHere>

(1) 由观察所得, \$ \qquad \$班的方差大；

(2) 若两班合计共有 60 人及格, 问参加者最少获 \$ \qquad \$分才可以及格.

计数

(1)观察图象可知, B 班成绩分布集中,故可得 A 班的方差较大;

(2)据统计表可知: 两个班的成绩从高到低排到 60 名时, 为 4 分;若两班合计共有 60 人及格, 参加者最少获 4 分才可以及格. 故答案为 B; 4 .


Answer: 4.8 或 5 或 5.2

Question: 某学校九 (1) 班 40 名同学的期中测试成绩分别为 $a_{1}, a_{2} ， a_{3} ， \ldots \ldots, a_{40}$. 已知 $a_{1}+$ $a_{2}+a_{3}+\ldots \ldots+a_{40}=4800, \mathrm{y}=\left(a-a_{1}\right)^{2}+\left(a-a_{2}\right)^{2}+\left(a-a_{2}\right)^{2}+\ldots \ldots+\left(a-a_{40}\right)^{2}$ ，当 $\mathrm{y}$ 取最小值时, $\quad a$ 的值为

计数


Answer: 1.6

Question: 已知一组数据 $4, \mathrm{x}, 5, \mathrm{y}, 7,9$ 的平均数为 6 , 众数为 5 , 则这组数据的中位数为 \$ \qquad \$ .

计数


Answer: 1.35

Question:
小明的爸爸是个“健步走”运动爱好者, 他用手机软件记录了某个月 (30 天) 每天健步走的步数,并将记录结果绘制成了如下统计表:

| 步数 (万步) | 1.1 | 1.2 | 1.3 | 1.4 | 1.5 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 天数 | 3 | 7 | 5 | 12 | 3 |

在每天所走的步数这组数据中, 中位数是 (万步)

计数

要求一组数据的中位数,

把这组数据按照从小到大的顺序排列,第 $15 、 16$ 个两个数的平均数是 $(1.3+1.4) \div 2=1.35$,所以中位数是 1.35 ,

故答案为: 1.35 .


Answer: 乙

Question:
某校欲招聘一名教师, 计划将面试成绩与笔试成绩按 6: 4 计算总分并择优录取. 下面是两名候选人的测试成绩，则该校应录取的是 \$ \qquad \$ . (填“甲”或“乙”)

| 侯选人 |  | 甲 | 乙 |
| :--- | :--- | :---: | :---: |
| 测论成绩 <br> (百分䏀) | 面试 | 86 | 92 |
|  | 笔试 | 90 | 83 |

算术


Answer: 16

Question: 已知: 一组自然数 $1,2,3 \ldots \mathrm{k}$, 去掉其中一个数后剩下的数的平均数为 16 , 则去掉的数是 \$ \qquad \$ .

算术

设去掉的数为 $\mathrm{x}$,

$\because$ 一组自然数 $1,2,3 \ldots \mathrm{k}$, 去掉其中一个数后剩下的数的平均数为 16 ,

<ImageHere>

$\therefore \mathrm{x}={ }^{\frac{k(k+1)}{2}}-16(\mathrm{k}-1)=^{\frac{1}{2}}\left(\mathrm{k}^{2}-31 \mathrm{k}+32\right) \leq \mathrm{k}$,

即: $\mathrm{k}^{2}-33 \mathrm{k}+32 \leq 0$,

解得: $1 \leq k \leq 32$,

$\therefore \mathrm{k}=31, \mathrm{x}=16$,

$\therefore$ 去掉的数是 16,

故答案为: 16 .


Answer: $2 \sqrt{2}$

Question: 计算 $\sqrt{40} \div \sqrt{5}$ 的结果是

算术


Answer: $x \geq-1$

Question: 若式子 $\sqrt{x+1}$ 在实数范围内有意义, 则 $\mathrm{x}$ 的取值范围是

算术

根据题意得: $x+1 \geq 0$,

解得 $x \geq-1$,

故答案为: $x \geq-1$.


Answer: $\frac{\sqrt{101}-1}{2}$

Question:
观察下列等式:

(1) $\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$

(3) $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$

参照上面等式计算方法计算:

$\frac{1}{1+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+\cdots+\frac{1}{3 \sqrt{11}+\sqrt{101}}=$ \$ \qquad \$ .

算术


Answer: 根据二次根式的被开方数与算术平方根的关系即可直接求解.【解析】解：0.00236是由23.6小数点向左移动4位得到,则$sqrt{0.00236}=0.04858$;0.4858是由4.858向左移动一位得到,则$x=0.236$.故答案是:$0.04858,0.236$.【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简,理解被开方数与算术平方根的关系：被开方数向一个方向移动2位,对应的算术平方根的小数点向相同的方向移动1位.

Question: 已知$sqrt{2.36}=1.536,sqrt{23.6}=4.858$.则$sqrt{0.00236}=0.04858$.若$sqrt{{x}}=0.4858$,则$x=$0.236.

算术

根据二次根式的被开方数与算术平方根的关系即可直接求解.【解析】解：0.00236是由23.6小数点向左移动4位得到,则$sqrt{0.00236}=0.04858$;0.4858是由4.858向左移动一位得到,则$x=0.236$.故答案是:$0.04858,0.236$.【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简,理解被开方数与算术平方根的关系：被开方数向一个方向移动2位,对应的算术平方根的小数点向相同的方向移动1位.


Answer: 根据加权平均数定义可得.【解析】解：这个人的面试成绩是$85times20%+80times30%+88times50%=85$（分）.故答案为:85.【点睛】本题主要考查加权平均数的计算,掌握加权平均数的定义是解题的关键.

Question: 面试时,某人的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是85分,80分,88分,若依次按$20%,30%,50%$的比例确定成绩,则这个人的面试成绩是85分.

算术

根据加权平均数定义可得.【解析】解：这个人的面试成绩是$85times20%+80times30%+88times50%=85$（分）.故答案为:85.【点睛】本题主要考查加权平均数的计算,掌握加权平均数的定义是解题的关键.


Answer:
$$
\frac{4}{3}
$$

(2) $-2 \leq x \leq 4$

Question:
某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号, 他们将其中某些材料摘录如下:

对于三个实数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$, 用 $\mathrm{M}\{\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}\}$ 表示这三个数的平均数, 用 $\min \{\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}\}$ 表示这三个数中最小的数.例如: $\mathrm{M}\{1,2,9\}=\frac{1+2+9}{3}=4, \min \{1,2,-3\}=-3, \min \{3,1,1\}=1$.请结合上述材料，解决下列问题:

(1) $\mathrm{M}\left\{(-2)^{2}, 2^{2},-2^{2}\right\}=$ \$ \qquad \$ ;

(2) 若 $\min \{3-2 x, 1+3 x,-5\}=-5$, 则 $x$ 的取值范围为 \$ \qquad \$ .

代数


Answer: $4 ;-3 ;-7$

Question: 方程 $4 x^{2}=3 x+7$ 的二次项系数是 \$ \qquad \$ , 一次项系数是 \$ \qquad \$ , 常数项是 \$ \qquad \$

代数


Answer: $m>-\frac{49}{4}$

Question: 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-7 x-m=0$ 有两个不相等的实数根, 则实数 $m$ 的取值范围是

代数

$\because$ 关于 $\mathrm{x}$ 的一元二次方程 $\mathrm{x}^{2}-7 \mathrm{x}-\mathrm{m}=0$ 有两个不相等的实数根

$\therefore \Delta=b^{2}-4 a c=(-7)^{2}-4 \times(-m)>0$

解得: $m>-\frac{45}{4}$

故答案为: $m>-\frac{4 s}{4}$.


Answer: $\mathrm{m}<-1$

Question: 若一元二次方程 $x^{2}-2 x-m=0$ 无实根, 则 $m$ 的取值范围是 \$ \qquad \$ .

代数

$\because$ 一元二次方程 $\mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}-\mathrm{m}=0$ 无实根,

$\therefore \triangle=4+4 \mathrm{~m}<0$, 解得: $\mathrm{m}<-1$.


Answer: $0 \leq m \leq 2$ 且 $m \neq 1$

Question: 已知关于的 $x$ 方程 $(m-1) x^{2}-\sqrt{2-m} x-\frac{1}{2}=0$ 有两个实数根, 则 $m$ 的取值范围是

代数

$\because$ 关于 $\mathrm{x}$ 的一元二次方程 $(m-1) x^{2}-\sqrt{2-m} x-\frac{1}{2}=0$ 有两个实数根,

<ImageHere>

解得: $0 \leq m \leq 2$ 且 $m \neq 1$,

故答案为: $0 \leq m \leq 2$ 且 $m \neq 1$.


Answer: 2019

Question: 设 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 分别为一元二次方程 $x^{2}+x-2020=0$ 的两个实数根, 则 $m^{2}+2 m+n=$

代数


Answer: $x=0$ 或 $x=1$

Question: 方程 $\mathrm{x}(\mathrm{x}-1)=0$ 的根是 \$ \qquad \$

代数

依题意得：

$\mathrm{x}=0$ 或 $\mathrm{x}-1=0$

$\therefore \mathrm{x}=0$ 或 $\mathrm{x}=1$


Answer: 10

Question: 若 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 是方程 $\mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}-3=0$ 的两个实数根, 则 $\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}=$ \$ \qquad \$ .

代数

$\because a, b$ 是方程 $x^{2}-2 x-3=0$ 的两个实数根,

$\therefore \mathrm{a}+\mathrm{b}=2, \mathrm{ab}=-3$,

$\therefore \mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}=(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}-2 \mathrm{ab}=\mathrm{2}^{2}-2 \times(-3)=10$.

故答案为: 10 .


Answer: $3 ;-4$

Question: 已知方程 $x^{2}+m x+3=0$ 的一个根是 1 , 则它的另一个根是 \$ \qquad \$ , $\mathrm{m}$ 的值是 \$ \qquad \$ .

代数


Answer: 10

Question: 设 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}$ 是一元二次方程 $\mathrm{x}^{2}+5 \mathrm{x}-3=0$ 的两根, 且 $2 x_{1}\left(x_{2}{ }^{2}+6 x_{2}-3\right)+a=4$, 则 $a=$

代数

$\because \mathrm{x}_{2}$ 是一元二次方程 $\mathrm{x}^{2}+5 \mathrm{x}-3=0$ 的根,

$\therefore \mathrm{x}_{2}{ }^{2}+5 \mathrm{x}_{2}-3=0$,

$\therefore \mathrm{x}_{2}{ }^{2}+5 \mathrm{x}_{2}=3$,

$\because 2 \mathrm{x}_{1}\left(\mathrm{x}_{2}^{2}+6 \mathrm{x}_{2}-3\right)+\mathrm{a}=4$,

$\therefore 2 \mathrm{x}_{1} \cdot \mathrm{x}_{2}+\mathrm{a}=4$,

$\because \mathrm{x}_{1}, \quad \mathrm{x}_{2}$ 是一元二次方程 $\mathrm{x}^{2}+5 \mathrm{x}-3=0$ 的两根,

$\therefore \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}=-3$,

$\therefore 2 \times(-3)+a=4$,

$\therefore \mathrm{a}=10$.

故答案为: 10 .


Answer: 39

Question: 已知 $(x-2016)^{2}+(x-2018)^{2}=80$, 则 $(x-2017)^{2}=$ \$ \qquad \$ .

代数


Answer: 2

Question: 已知最简二次根式 $\sqrt{4 a+3 b}$ 与 $\sqrt[b+1]{2 a-b+6}$ 可以合并, 则 $a+b$ 的值为

代数


Answer: $\frac{3}{7}$

Question: 化简: $\sqrt{\frac{9}{49}}=$ \$ \qquad \$ .

代数


Answer: $-\sqrt{-m}$

Question: 化简 $\sqrt[m]{-\frac{1}{m}}$ 的结果为

代数

依题意可知 $m<0$,

$\therefore \sqrt[m]{-\frac{1}{m}}=-\sqrt{-m}$


Answer: 3

Question: 若 $\sqrt{(m+2)^{2}}+|5-n|=0$, 则 $m+n=$ \$ \qquad \$ .

代数


Answer: 3

Question: 若实数 $a=\frac{1}{2-\sqrt{3}}$, 则代数式 $a^{2}-4 a+4$ 的值为

代数


Answer: $x_{1}=0, x_{2}=2020$

Question: 方程 $x^{2}=2020 x$ 的解是 \$ \qquad \$ .

代数


Answer: -2

Question: 如果 $a$ 是一元二次方程 $x^{2}-3 x-3=0$ 的一个解, 那么代数式 $2 a^{2}-6 a-8$ 的值为

代数


Answer: $168(1-x)^{2}=128$

Question: 某药品经过两次降价, 每瓶零售价由 168 元降为 128 元, 已知两次降价的百分率相同, 每次降价的百分率为 $x$, 根据题意列方程得 \$ \qquad \$

代数


Answer:
 1

解. 原式 $=2 \times \sqrt{1-2 \sqrt{2}+2}+\sqrt{9-12 \sqrt{2}+8}$

$=2 \times \sqrt{(\sqrt{2}-1)^{2}}+\sqrt{(3-2 \sqrt{2})^{2}}$,

$=1$

故答案为: 1

Question: $2 \sqrt{3-2 \sqrt{2}}+\sqrt{17-12 \sqrt{2}}=$ \$ \qquad \$ .

代数


Question: 若代数式$frac{sqrt{2-3x}}{2x+1}$有意义,则$x$的取值范围是$xleqslantfrac{2}{3}$且$xneq-frac{1}{2}$一

代数

根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式,解不等式得到答案.【解析】解:由题意得:$2-3xgeqslant0$且$2x+1neq0$,解得:$xleqslantfrac{2}{3}$且$xneq-frac{1}{2}$,故答案为:$xleqslantfrac{2}{3}$且$xneq-frac{1}{2}$.【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件,掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键.