Answer: 对

Question: 林、百、人、日、目、亩这些都是轴对称图形。

组合几何学


Answer: 错

Question: 两个一样的三角形可以拼成一个长方形。

组合几何学


Answer: 对

Question: 正方形的四条边都一样长。

度量几何学


Answer: 错

Question: 哥哥今年 15 岁, 比弟弟多 7 岁, 弟弟今年 7 岁。

算术


Answer: 对

Question: 15 比 7 大 8 , 也可以说 7 比 15 少 8 。

算术


Answer: 对

Question: $1 、 3 、 5$ 这三个数的和与 18 减去 9 的差相等。

算术


Answer: 对

Question: 被减数是 14 , 减数是 9 , 差是 5

算术


Answer: 对

Question: 66 是由 6 个十和 6 个一组成的。

算术


Answer: 错

Question: 88 减去 5 个十等于 83 。

算术


Answer: 错

Question: $27+4=$ 改, 得数改的个位上的数是 7 。

算术


Answer: 错

Question: 买一个书包需要 58 元，小明付了 50 元还找回 8 元。

算术


Answer: 错

Question: 有 18 个红球, 黄球比红球多 6 个, 白球比黄球少 3 个。白球比红球多 9 个。

算术


Answer: 错

Question: 8 个十减去 5 个十是 3 个十, 这个数是 3 。

算术


Answer: 详解(2)

Question:
按 “ $\uparrow \rightarrow \downarrow ”$ 的顺序排列, 接下来的第 10 个应该是 ( )。

(1) $\uparrow$

(2) $\rightarrow$

(3) $\downarrow$

组合数学


Answer: 详解<ImageHere>

Question:
把同一类的两个事物用线连起来。

<ImageHere>

图论


Answer: 解<ImageHere>

Question:
把下列事物中是动物的用 $\bigcirc$ 圈起来, 是植物的用 $\square$ 圈起来, 是食物的用 $\triangle$ 圈起来。

<ImageHere>

逻辑题


Answer:
$94000 \quad 5$

$\begin{array}{lll}6 & 1400 \quad 8\end{array}$

Question:
看谁算得快。（每空 2 分, 共 12 分）

| 4 千克 +5000 克 $=(\quad)$ 千克 | 6 千克 -2000 克 $=(\quad)$ 克 |
| :--- | :--- |
| 1500 克 +3500 克 $=(\quad)$ 千克 | 3000 克 +3 千克 $=(\quad)$ 千克 |
| 6 千克 -4600 克 $=(\quad)$ 克 | $7500+500$ 克 $=(\quad)$ 千克 |

算术

$94000 \quad 5$

$\begin{array}{lll}6 & 1400 \quad 8\end{array}$


Answer: $>\quad><$

Question: 在 $\bigcirc$ 里填上 “>”、“<”或 “=”。（每空 1 分, 共 6 分) 5900 克 $\bigcirc 6$ 千克 $\quad 2000$ 克 $\bigcirc 2$ 千克 $\quad 900$ 克 +900 克 $\bigcirc 2$ 千克 50 千克 $\bigcirc 5000$ 克 $\quad 7$ 千克 $\bigcirc 777$ 克 $\quad 8$ 千克 $\bigcirc 6$ 千克 +3000 克

算术


Answer:
2 千克 $=2000$ 克 $\quad 2300-2000=300$ (克)

答: 这个饼干盒子重 300 克。

Question:
一盒饼干连盒重 2300 克, 这个饼干盒子重多少克?

<ImageHere>

答：这个饼干盒子重（）克。

算术


Answer:
$50-15=35$ (元) $\quad 35 \div 7=5$ (元)

答: 每千克桃子 5 元。

Question: 小明用 50 元买了 7 千克桃子，找回 15 元，每千克桃子多少元?

算术


Answer:
(1) $1500+500=2000$ (克)

2000 克 $=2$ 千克

答: 雪梨和葡萄一共 2000 克, 合 2 千克。

(2) 2 千克 $=2000$ 克 $\quad 2000-300=1700$ (克)

答: 西瓜比草莓多买 1700 克。

Question:
妈妈在水果商店买了一些水果。

<ImageHere>

（1）雪梨和葡萄一共多少克？合多少千克?

(2) 西瓜比草莓多买多少克?

算术


Answer:
答案】(1) 解: $4 \times 2 \times 2$

$=8 \times 2$

$=16$ (元)

$9 \times 2=18$ (元)

$16+18=34($ 元 $)$

答: 一共要花 34 元。

(2) 解: 答案不唯一, 如: 买 1 千克果冻和 500 克饼干需要花多少钱?

$5 \times 2+8$

$=10+8$

$=18$ (元)

答: 买 1 千克果冻和 500 克饼干需要花 18 元。

【知识点】千克与克之间的换算与比较

Question:
下面是宏达超市部分商品的价格表。

| 名称 | 果冻 | 软面包 | 饼干 | 蛋卷 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 价格 | 5 元 $/ 500$ 克 | 4 元 $/ 500$ 克 | 8 元 $/ 500$ 克 | 9 元 $/ 500$ 克 |

（1）李阿姨买了 2 千克软面包和 1 千克蛋卷, 一共要花多少元?

(2) 你还能提出什么数学问题?解答出来。

算术

答案】(1) 解: $4 \times 2 \times 2$

$=8 \times 2$

$=16$ (元)

$9 \times 2=18$ (元)

$16+18=34($ 元 $)$

答: 一共要花 34 元。

(2) 解: 答案不唯一, 如: 买 1 千克果冻和 500 克饼干需要花多少钱?

$5 \times 2+8$

$=10+8$

$=18$ (元)

答: 买 1 千克果冻和 500 克饼干需要花 18 元。

【知识点】千克与克之间的换算与比较


Answer:
答案】(1) 解: $16 \div 4=4$

$500+500=1000$ (克)

$1000+500=1500$ (克)

$1500+500=2000$ (克)

2000 克 $=2$ 千克

答: 买 500 克山竹的价钱可以买 2 千克苹果。

(2) 解: $7+7=14($ 元)

$14+16=30$ (元)

答: 一共要花 30 元。

(3) 解：榴莲的价格是龙眼的几倍?

$21 \div 7=3$

答: 榴莲的价格是龙眼的 3 倍。

【知识点】千克与克之间的换算与比较

Question:
下图是“三果演义”水果店的水果标价牌。

苹果: 4 元 500 克

橘子: 2 元 500 克

龙眼: 7 元 500 克

山竹: 16 元 500 克

榴莲: 21 元 500 克

(1) 买 500 克山竹的价钱可以买多少千克苹果?

(2) 妈妈买了 1 千克龙眼和 500 克山竹, 一共要花多少钱?

(3) 你还能提出哪些数学问题? 解答出来。

算术


Answer:
答案】解: $5000-2000=3000$ (克)

3000 克 $=3$ 千克

答: 苹果重 3 千克。

【知识点】千克与克之间的换算与比较

Question:
梨和苹果共重 5000 克, 其中梨重 2000 克, 苹果重多少千克?

【知识点】千克与克之间的换算与比较

算术

答案】解: $5000-2000=3000$ (克)

3000 克 $=3$ 千克

答: 苹果重 3 千克。

【知识点】千克与克之间的换算与比较


Answer: $64 ; 57 ; 67$

Question:
（ 6 分 ）算一算。

$24 \mathrm{~cm}+40 \mathrm{~cm}=(\quad) \mathrm{cm}$

$27 \mathrm{~cm}+30 \mathrm{~cm}=(\quad) \mathrm{cm}$

$37 \mathrm{~cm}+30 \mathrm{~cm}=(\quad) \mathrm{cm}$

算术


Answer: $27 ; 43 ; 44$

Question:
（6 分 ）算一算。

$47 \mathrm{~cm}-20 \mathrm{~cm}=(\quad) \mathrm{cm}$

$83 \mathrm{~cm}-40 \mathrm{~cm}=(\quad) \mathrm{cm}$

$74 \mathrm{~cm}-30 \mathrm{~cm}=(\quad) \mathrm{cm}$
100 厘米（）1米 10 厘米

4 米（ ） 400 厘米

算术


Answer:
$\quad 5338 \quad 38 \quad 90 \quad 50 \quad 92$

$\begin{array}{lllll}90 & 55 & 24 & 80 & 80\end{array}$

Question:
（ 5 分 ）口算。

| $65-12=$ | $27+11=$ | $61+29=$ | $92-42=$ | $12+80=$ |
| :--- | ---: | ---: | ---: | :--- |
| $33+57=$ | $75-20=$ | $35-11=$ | $28+52=$ | $96-16=$ |

算术

$\quad 5338 \quad 38 \quad 90 \quad 50 \quad 92$

$\begin{array}{lllll}90 & 55 & 24 & 80 & 80\end{array}$


Answer:
(1) $86-59=27$

(2) $17+28=45$

(3) $6+57=63$

(4) $53+28-35=46$

(5) $76-8+19=87$

(6) $50+27-9=68$

Question:
（ 18 分）列坚式计算。
(1) $86-59=$
(2) $17+28=$
(3) $6+57=$
(4) $53+28-35=$
(5) $76-8+19=$
(6) $50+27-9=$

算术


Answer: [](本地图片-2661.jpg)

Question:
８分）填一填。

<ImageHere>

算术


Answer:
(1) $2 \times 4=8$

(2) $3 \times 3=9$

<ImageHere>

Question:
（ 6 分）看图列式。

(1)

<ImageHere>

$\square \times \square=\square$

(2) 要要要

$\square \times \square=\square$

算术


Answer: (10) (20) (25) (15)(5)

Question: <ImageHere>（ 10 分 )

算术


Answer:
解:

<ImageHere>

Question:
（ 4 分 ）小兔回家。（连一连）
<ImageHere>

算术


Answer:
$2 \times 9=18$

$2 \times 7=14$

$6 \times 8=48$

$8 \times 4=32$

$5 \times 6=30$

$6 \times 7=42$

$4 \times 9=36$

$3 \times 5=15$

$39-9=30$

$82-50=32$

$27+30=57$

$45-5=40$

$13-9=4$

$22+32=54$

$12+24=36$

$25-4=21$

Question:
８分）看谁算的又对又快。

| $39-9=$ | $82-50=$ | $27+30=$ | $45-5=$ |
| :--- | ---: | :--- | :--- |
| $13-9=$ | $22+32=$ | $12+24=$ | $25-4=$ |

算术


Answer:
(1) $7 \times 7=49$

(2) $9 \times 4=36$

(3) $55+26=81$

Question:
（ 9 分 ）列式计算。

（1）两个因数都是 7 ，积是多少？

（2） 4 个 9 相加的和是多少？

(3) 比 55 多 26 的数是多少?

算术


Answer:
(1)

<ImageHere>

(2)

<ImageHere>

(3)

<ImageHere>

(4)

<ImageHere>

(5)

<ImageHere>

Question:
（ 10 分 ）用坚式计算。
(1) $\begin{array}{r}9 \\ \times \quad 4 \\ \hline\end{array}$
(2) $\begin{array}{r}5 \\ \times \quad 8 \\ \hline\end{array}$
(3) $\begin{array}{r}7 \\ \times \quad 6 \\ \hline\end{array}$
(4) $\begin{array}{r}4 \\ \times \quad 4 \\ \hline\end{array}$
(5) $\begin{array}{r}3 \\ \times \quad 9 \\ \hline\end{array}$

算术

(1)

<ImageHere>

(2)

<ImageHere>

(3)

<ImageHere>

(4)

<ImageHere>

(5)

<ImageHere>


Answer: <ImageHere>

Question:
(5 分) 写出下面各个钟面上所指的时刻, 并算一算从上一时刻到下一时刻所经过的时间。

<ImageHere>

算术


Answer: 乓球便宜。每个便宜 l 元钱。

Question: 个乒乓球 2 元钱, 4 个羽毛球 12 元钱, 哪种球比较便宜?便宜多少钱?

算术

乓球便宜。每个便宜 l 元钱。


Answer:
2 元

提示: 方法一: 先求单价, 再求总量。 $6 \div 3 \times 6=12$ (元)

方法二: 6 瓶中包含着几个 3 瓶, 就包含着几个 6 元。

6 瓶 $\div 3$ 瓶 $\times 6$ 元 $=12($ 元 $)$

Question: 市饮料降价, 买 3 瓶鲜橙汁 6 元钱, 买 6 瓶多少钱?

算术

2 元

提示: 方法一: 先求单价, 再求总量。 $6 \div 3 \times 6=12$ (元)

方法二: 6 瓶中包含着几个 3 瓶, 就包含着几个 6 元。

6 瓶 $\div 3$ 瓶 $\times 6$ 元 $=12($ 元 $)$


Answer: 36 \div 6=6$ (天), $36 \div 4=9$ (页)

Question: 本书有 36 页, 小明每天看 6 页, 几天可以看完?如果 4 天看完, 平均每天看多少页?

算术


Answer:
$4 ; 6 ; 9 ; 28$

$6 ; 40 ; 40 ; 38$

$40 ; 100 ; 9 ; 62$

Question:
直接写出得数。

$$
\begin{aligned}
& 12 \div 3=\quad 30 \div 5=\quad 81 \div 9=7 \times 4= \\
& 48 \div 8=\quad 13+27=5 \times 8=18+20= \\
& 62-22=72+8+20=58-9-40=64+6-8=
\end{aligned}
$$

算术


Answer:
$3 \times 9=27 ; 9 \times 3=27$

$27 \div 3=9 ; 27 \div 9=3$

【分析】根据图意, 共有 9 组, 每组 3 个, 求一共的个数用乘法计算, 由此列出两个乘法算式; 再根据乘除法的互逆关系, 列出两个除法算式。

【详解】 $3 \times 9=27 ; 9 \times 3=27$

$27 \div 3=9 ; \quad 27 \div 9=3$

Question:
列算式。

<ImageHere>

算术

$3 \times 9=27 ; 9 \times 3=27$

$27 \div 3=9 ; 27 \div 9=3$

【分析】根据图意, 共有 9 组, 每组 3 个, 求一共的个数用乘法计算, 由此列出两个乘法算式; 再根据乘除法的互逆关系, 列出两个除法算式。

【详解】 $3 \times 9=27 ; 9 \times 3=27$

$27 \div 3=9 ; \quad 27 \div 9=3$


Answer:
$16 ; 8 ; 54 ; 9 ; 16$

4; 36; 48; 9; 36

Question:
直接写得数。

| $2 \times 8=$ | $56 \div 7=$ | $6 \times 9=$ | $81 \div 9=$ | $9 \times 2-2=$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $12 \div 3=$ | $9 \times 4=$ | $8 \times 6=$ | $63 \div 7=$ | $4 \times 8+4=$ |

算术


Answer:
答案】解：店主的主意不好。

因为带骨的肉是 8 元 1 千克, 那就是说肉和骨头都是 8 元 1 千克, 如果骨头 2 元 1 千克, 肉 6 元 1 千克, 店主就亏了。

【知识点】千克的认识与使用

Question:
你觉得店主的主意好吗?

<ImageHere>

逻辑题

答案】解：店主的主意不好。

因为带骨的肉是 8 元 1 千克, 那就是说肉和骨头都是 8 元 1 千克, 如果骨头 2 元 1 千克, 肉 6 元 1 千克, 店主就亏了。

【知识点】千克的认识与使用


Answer:
解: 4 厘米 +2 厘米 $=6$ 厘米

如图所示:

<ImageHere>

Question: 6 分）画一条比 4 厘米多 2 厘米的线段。

度量几何学

解: 4 厘米 +2 厘米 $=6$ 厘米

如图所示:

<ImageHere>


Answer:
解：如图：

<ImageHere>

Question: （ 6 分 ）在 $ֹ$ 左边 5 厘米处画一个 $\triangle, 4$ 厘米处画一个 $\square, 8$ 厘米处画一个ค。

画法几何学


Answer: <ImageHere>

Question:
(6 分) 在下面的方格中, 分别画出一个锐角、一个直角和一个针角。
<ImageHere>

画法几何学


Answer:
$(\mathrm{V})$
$(\mathrm{V})$

( )

$( \mathrm{V} )$

$(\mathrm{V})$

Question:
（5 分 ）下列物体表面有直角的在（）里画“ $\checkmark$ ”。
    <ImageHere>

$(\quad)$

$(\quad)$

$(\quad)$

$(\quad)$

立体几何学


Answer: 错

Question: 长方形、正方形、圆和平行四边形都是轴对称图形。( )

变换几何


Answer: <ImageHere>

Question:
下面的图案分别是从哪张对折后的纸上剪下来的？连一连。
<ImageHere>

组合几何学


Answer: <ImageHere>

Question:
规律填空。(共 6 分)
<ImageHere>

组合数学


Answer:
解

| $10-7$ |
| :---: |
| $13-3$ |
| $6+10$ |
| $19-10$ |

Question:
线。

| $10-7$ |
| :---: |
| $13-3$ |
| $6+10$ |
| $19-10$ |

| 16 |
| :---: |
| 9 |
| 3 |
| 10 |

| $20-10$ |
| :--- |
| $10-1$ |
| $13-10$ |
| $18-2$ |

算术


Answer: 详解$11,15,16,3, \quad 19,10,19,12, \quad 13,19,10,19, \quad 11,13,17,4, \quad 17,18,13,6$

Question:
算。

| $14-3=$ | $5+10=$ | $10+6=$ | $9-6=$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $7+12=$ | $18-8=$ | $13+6=$ | $10+2=$ |
| $15-2=$ | $12+7=$ | $17-7=$ | $14+5=$ |
| $18-7=$ | $19-6=$ | $12+5=$ | $14-10=$ |
| $13+4=$ | $16+2=$ |  |  |
|  |  | $17-4=$ | $16-10=$ |

算术


Answer: 解$13,12,9,19,18,9,10,12,19,11,12,11$

Question:
接写出得数。

| $18-7+2=$ | $15+4-7=$ | $6+1+2=$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $12-2+9=$ | $15-4+7=$ | $6-5+8=$ |
| $18+1-9=$ | $11+4-3=$ |  |
|  |  | $16+3+0=$ |
| $0+16-5=$ | $17+2-7=$ | $19+0-8=$ |

算术


Answer: $7+3=10,3+7=10$,

Question:
8 分）看图列式并计算。

<ImageHere>

$\square \mathrm{O} \square=\square$

$\square \bigcirc \square=\square$

$\square \bigcirc \square=\square$

$\square \bigcirc \square=\square$

计数


Answer:
解

<ImageHere>

Question:
（6 分)
正方形
三角形
长方形
圆

组合几何学


Answer:
详解

<ImageHere>

Question:
(4 分) 用上面的哪个物体可以画出下面的图形, 请你连一连。
<ImageHere>

画法几何学


Answer:
详解

<ImageHere>

24 ._详解

<ImageHere>

Question:
（5 分）信鸽送信。
<ImageHere>

组合数学


Answer: <ImageHere>

Question:
(4 分) 连一连。
<ImageHere>

(G)

<ImageHere>
$\theta$

立体几何学


Answer:
【答案】解: 此题答案不唯一, 只要答案正确即可得分.

(1)如: $D E / / C B, D F / / C B, F E / / C B$.

(2)如: $E D \perp A C, F D \perp A C, F D \perp A D$.

(3)如: 钝角: $\angle G F D=135^{\circ}, \angle C G B=\angle F G E=105^{\circ}$.

直角有: $\angle A D E=90^{\circ}$.

如: 锐角 $\angle G C B=30^{\circ}, \angle A F D=45^{\circ}, \angle C G F=75^{\circ}$.

【解析】(1)直线 $D E / / B C$, 故直线 $D E$ 上的线段都与 $B C$ 平行.

(2)根据 $\angle C D E$ 和 $\angle A C B$ 都是直角, 即可找出互相垂直的线段.

(3)根据角的概念进行解答.

本题考查平行线, 垂线以及角的概念, 难度不大.

Question:
一副透明的直角三角尺, 按如图所示的位置摆放. 如果把三角尺的每条边看成线段,请根据图形解答下列问题:

(1)找出图中一对互相平行的线段, 并用符号表示出来;

(2)找出图中一对互相垂直的线段, 并用符号表示出来;

(3)找出图中的一个钝角、一个直角和一个锐角, 用符号把它们表示出来, 并求出它们的度数. (不包括直角尺自身所成的角)

<ImageHere>

画法几何学

【答案】解: 此题答案不唯一, 只要答案正确即可得分.

(1)如: $D E / / C B, D F / / C B, F E / / C B$.

(2)如: $E D \perp A C, F D \perp A C, F D \perp A D$.

(3)如: 钝角: $\angle G F D=135^{\circ}, \angle C G B=\angle F G E=105^{\circ}$.

直角有: $\angle A D E=90^{\circ}$.

如: 锐角 $\angle G C B=30^{\circ}, \angle A F D=45^{\circ}, \angle C G F=75^{\circ}$.

【解析】(1)直线 $D E / / B C$, 故直线 $D E$ 上的线段都与 $B C$ 平行.

(2)根据 $\angle C D E$ 和 $\angle A C B$ 都是直角, 即可找出互相垂直的线段.

(3)根据角的概念进行解答.

本题考查平行线, 垂线以及角的概念, 难度不大.


Answer:
【答案】解: $\because \angle 1=\angle B A C$,

$\therefore A B / / E F$.

$\therefore \angle B+(\angle 2+\angle 3)=180^{\circ}$.

$\because \angle 2=45^{\circ}, \angle 3=20^{\circ}$,

<ImageHere>

$\therefore \angle B=115^{\circ}$.

$\because E F / / A B$,

$\therefore \angle F A B=\angle 3=20^{\circ}$,

$\because \angle C A B=\angle C A F+\angle F A B$, 且 $\angle C A F=15^{\circ}$,

$\therefore \angle C A B=20^{\circ}+15^{\circ}=35^{\circ}$.

$\because A B / / C D$,

$\therefore \angle A C D=\angle C A B=35^{\circ}$.

【解析】由 $\angle 1=\angle B A C$ 说明 $A B$ 与 $E F$ 的关系, 再由平行线的性质求出 $\angle B$; 先由 $A B$ 与 $E F$ 的关系及角的和差关系求出 $\angle C A B$, 再利用平行线的判定和性质求出 $\angle A C D$.

本题考查了平行线的性质与判定、角的和差计算, 掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键.

Question:
如图, $A B / / C D$, 点 $E 、 F$ 分别在线段 $A D 、 B C$ 上, 连结 $A C$ 交 $E F$ 于 $G, \angle 1=\angle B A C$. 若 $\angle C A F=15^{\circ}, \angle 2=45^{\circ}, \angle 3=20^{\circ}$, 求 $\angle B$ 和 $\angle A C D$ 的度数.

<ImageHere>

画法几何学

【答案】解: $\because \angle 1=\angle B A C$,

$\therefore A B / / E F$.

$\therefore \angle B+(\angle 2+\angle 3)=180^{\circ}$.

$\because \angle 2=45^{\circ}, \angle 3=20^{\circ}$,

<ImageHere>

$\therefore \angle B=115^{\circ}$.

$\because E F / / A B$,

$\therefore \angle F A B=\angle 3=20^{\circ}$,

$\because \angle C A B=\angle C A F+\angle F A B$, 且 $\angle C A F=15^{\circ}$,

$\therefore \angle C A B=20^{\circ}+15^{\circ}=35^{\circ}$.

$\because A B / / C D$,

$\therefore \angle A C D=\angle C A B=35^{\circ}$.

【解析】由 $\angle 1=\angle B A C$ 说明 $A B$ 与 $E F$ 的关系, 再由平行线的性质求出 $\angle B$; 先由 $A B$ 与 $E F$ 的关系及角的和差关系求出 $\angle C A B$, 再利用平行线的判定和性质求出 $\angle A C D$.

本题考查了平行线的性质与判定、角的和差计算, 掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键.


Answer:
【答案】解: $\angle B C D=\angle B-\angle D$.

理由如下:

如图, 过点 $C$ 作 $C F / / A B$,

<ImageHere>

$\therefore \angle B=\angle B C F$.

$\because A B / / D E, C F / / A B$,

$\therefore C F / / D E$.

$\therefore \angle D C F=\angle D$.

$\therefore \angle B-\angle D=\angle B C F-\angle D C F$.

$\because \angle B C D=\angle B C F-\angle D C F$,

$\therefore \angle B C D=\angle B-\angle D$.
【解析】本题考查了平行线的判定与性质, 解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质, 并熟练运用. 先添加辅助线, 然后根据 $C F / / A B$ 可得内错角相等, 再根据平行可得 $C F / / D E$, 根据平行线的性质可得内错角相等, 然后根据角的关系可得结论.

Question:
如图, $A B / / D E$, 则 $\angle B C D, \angle B, \angle D$ 有何关系? 为什么?

<ImageHere>

组合几何学

【答案】解: $\angle B C D=\angle B-\angle D$.

理由如下:

如图, 过点 $C$ 作 $C F / / A B$,

<ImageHere>

$\therefore \angle B=\angle B C F$.

$\because A B / / D E, C F / / A B$,

$\therefore C F / / D E$.

$\therefore \angle D C F=\angle D$.

$\therefore \angle B-\angle D=\angle B C F-\angle D C F$.

$\because \angle B C D=\angle B C F-\angle D C F$,

$\therefore \angle B C D=\angle B-\angle D$.
【解析】本题考查了平行线的判定与性质, 解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质, 并熟练运用. 先添加辅助线, 然后根据 $C F / / A B$ 可得内错角相等, 再根据平行可得 $C F / / D E$, 根据平行线的性质可得内错角相等, 然后根据角的关系可得结论.


Answer:
【答案】解: $\angle A E D=\angle C$; 理由如下:

证明: $\because \angle 1+\angle 4=180^{\circ}$ (邻补角定义)

$\angle 1+\angle 2=180^{\circ}$ (已知)

$\therefore \angle 2=\angle 4$ (同角的补角相等)

$\therefore E F / / A B$ (内错角相等, 两直线平行)

$\therefore \angle 3=\angle A D E$ (两直线平行, 内错角相等)

又 $\because \angle B=\angle 3$ (已知),

$\therefore \angle A D E=\angle B$ (等量代换),

$\therefore D E / / B C$ (同位角相等, 两直线平行)

$\therefore \angle A E D=\angle C$ (两直线平行, 同位角相等).

【解析】本题考查了平行线的判定和性质; 由图中题意可先猜测 $\angle A E D=\angle C$, 那么需证明 $D E / / B C$. 题中说 $\angle 1+\angle 2=180^{\circ}$, 而 $\angle 1+\angle 4=180^{\circ}$ 所以 $\angle 2=\angle 4$, 那么可得到 $A B / / E F$, 题中有 $\angle 3=\angle B$, 所以应根据平行得到 $\angle 3$ 与 $\angle A D E$ 之间的关系为相等. 就得到了 $\angle B$ 与 $\angle A D E$ 之间的关系为相等, 那么 $D E / / B C$ 。

Question:
如图, 已知 $\angle 1+\angle 2=180, \angle 3=\angle B$, 试判断 $\angle A E D$ 与 $\angle C$ 的大小关系, 并对结论

进行说理。

<ImageHere>

度量几何学

【答案】解: $\angle A E D=\angle C$; 理由如下:

证明: $\because \angle 1+\angle 4=180^{\circ}$ (邻补角定义)

$\angle 1+\angle 2=180^{\circ}$ (已知)

$\therefore \angle 2=\angle 4$ (同角的补角相等)

$\therefore E F / / A B$ (内错角相等, 两直线平行)

$\therefore \angle 3=\angle A D E$ (两直线平行, 内错角相等)

又 $\because \angle B=\angle 3$ (已知),

$\therefore \angle A D E=\angle B$ (等量代换),

$\therefore D E / / B C$ (同位角相等, 两直线平行)

$\therefore \angle A E D=\angle C$ (两直线平行, 同位角相等).

【解析】本题考查了平行线的判定和性质; 由图中题意可先猜测 $\angle A E D=\angle C$, 那么需证明 $D E / / B C$. 题中说 $\angle 1+\angle 2=180^{\circ}$, 而 $\angle 1+\angle 4=180^{\circ}$ 所以 $\angle 2=\angle 4$, 那么可得到 $A B / / E F$, 题中有 $\angle 3=\angle B$, 所以应根据平行得到 $\angle 3$ 与 $\angle A D E$ 之间的关系为相等. 就得到了 $\angle B$ 与 $\angle A D E$ 之间的关系为相等, 那么 $D E / / B C$ 。


Answer:
解【答案】解: (1) $\because \alpha=30^{\circ}, A C / / B D$,

$\therefore \angle C B D=30^{\circ}$,

$\because B C$ 平分 $\angle A B D$,
$\therefore \angle A B E=\angle C B D=30^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C=180^{\circ}-\angle A B E-\alpha=180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}$,

又 $\because \angle B A E=\angle C A E$,

$\therefore \angle C A E=\frac{1}{2} \angle B A C=\frac{1}{2} \times 120^{\circ}=60^{\circ}$;

（2)根据题意画图，如图1所示，

$\because \angle B A E=100^{\circ}, \angle B A E: \angle C A E=5: 1$,

$\therefore \angle C A E=20^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C=\angle B A E-\angle C A E=100^{\circ}-20^{\circ}=80^{\circ}$,

$\because A C / / B D$,

$\therefore \angle A B D=180^{\circ}-\angle B A C=100^{\circ}$,

又 $\because B C$ 平分 $\angle A B D$,

$\therefore \angle C B D=\frac{1}{2} \angle A B D=\frac{1}{2} \times 100^{\circ}=50^{\circ}$,

$\therefore \alpha=\angle C B D=50^{\circ}$;

(3)11如图2所示，

$\because A C / / B D$

$\therefore \angle C B D=\angle A C B=\alpha$,

$\because B C$ 平分 $\angle A B D$,

<ImageHere>

图 2

$\therefore \angle A B D=2 \angle C B D=2 \alpha$,

$\therefore \angle B A C=180^{\circ}-\angle A B D=180^{\circ}-2 \alpha$,

又 $\because \angle B A E: \angle C A E=n$,

$\therefore(\angle B A C+\angle C A E): \angle C A E=n$,

$\left(180^{\circ}-2 \alpha+\angle C A E\right): \angle C A E=n$,

解得 $\angle C A E=\frac{180^{\circ}-2 \alpha}{n-1}$;

(2)如图3所示,

$\because A C / / B D$,

$\therefore \angle C B D=\angle A C B=\alpha$,

$\because B C$ 平分 $\angle A B D$,

<ImageHere>

图 3

$\therefore \angle A B D=2 \angle C B D=2 \alpha$,

$\therefore \angle B A C=180^{\circ}-\angle A B D=180^{\circ}-2 \alpha$,

又 $\because \angle B A E: \angle C A E=n$,
$\therefore(\angle B A C-\angle C A E): \angle C A E=n$,

$\left(180^{\circ}-2 \alpha-\angle C A E\right): \angle C A E=n$,

解得 $\angle C A E=\frac{180^{\circ}-2 \alpha}{n+1}$.

综上 $\angle C A E$ 的度数为 $\frac{180^{\circ}-2 \alpha}{n-1}$ 或 $\frac{180^{\circ}-2 \alpha}{n+1}$.

【解析】(1)根据平行线的性质可得 $\angle C B D$ 的度数, 再根据角平分线的性质可得 $A B E$ 的度数, 应用三角形内角和计算 $\angle B A C$ 的度数, 由已知条件 $\angle B A E=\angle C A E$, 可计算出 $\angle C A E$ 的度数;

(2)根据题意画出图形, 先根据 $\angle B A E: \angle C A E=5: 1$ 可计算出 $\angle C A E$ 的度数, 由 $\angle B A E=$ $100^{\circ}$ 可计算出 $\angle B A C$ 的度数, 再根据平行线的性质和角平分线的性质, 计算出 $\angle C B D$ 的度数，即可得出结论;

(3)根据题意可分两种情况，

(1)若点 $E$ 运动到 $l_{1}$ 上方, 根据平行线的性质由 $\alpha$ 可计算出 $\angle C B D$ 的度数, 再根据角平分线的性质和平行线的性质, 计算出 $\angle B A C$ 的度数, 再 $\angle B A E: \angle C A E=n, \angle B A E=\angle B A C+$ $\angle C A E$, 列出等量关系求解即可等处结论;

(2)若点 $E$ 运动到 $l_{1}$ 下方, 根据平行线的性质由 $\alpha$ 可计算出 $\angle C B D$ 的度数, 再根据角平分线的性质和平行线的性质, 计算出 $\angle B A C$ 的度数, 再 $\angle B A E: \angle C A E=n, \angle B A E=\angle B A C-$ $\angle C A E$ 列出等量关系求解即可等处结论.

本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质, 两直线平行, 同位角相等.两直线平行,同旁内角互补. 两直线平行，内错角相等. 合理应用平行线的性质是解决本题的关键.

Question:
如图, $A C / / B D, B C$ 平分 $\angle A B D$, 设 $\angle A C B$ 为 $\alpha$, 点 $E$ 是射线 $B C$ 上的一个动点.

(1)若 $\alpha=30^{\circ}$ 时, 且 $\angle B A E=\angle C A E$, 求 $\angle C A E$ 的度数;

(2)若点 $E$ 运动到 $l_{1}$ 上方, 且满足 $\angle B A E=100^{\circ}, \angle B A E: \angle C A E=5: 1$, 求 $a$ 的值;

(3)若 $\angle B A E: \angle C A E=n(n>1)$, 求 $\angle C A E$ 的度数(用含 $n$ 和 $\alpha$ 的代数式表示).

<ImageHere>

度量几何学

解【答案】解: (1) $\because \alpha=30^{\circ}, A C / / B D$,

$\therefore \angle C B D=30^{\circ}$,

$\because B C$ 平分 $\angle A B D$,
$\therefore \angle A B E=\angle C B D=30^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C=180^{\circ}-\angle A B E-\alpha=180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}$,

又 $\because \angle B A E=\angle C A E$,

$\therefore \angle C A E=\frac{1}{2} \angle B A C=\frac{1}{2} \times 120^{\circ}=60^{\circ}$;

（2)根据题意画图，如图1所示，

$\because \angle B A E=100^{\circ}, \angle B A E: \angle C A E=5: 1$,

$\therefore \angle C A E=20^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C=\angle B A E-\angle C A E=100^{\circ}-20^{\circ}=80^{\circ}$,

$\because A C / / B D$,

$\therefore \angle A B D=180^{\circ}-\angle B A C=100^{\circ}$,

又 $\because B C$ 平分 $\angle A B D$,

$\therefore \angle C B D=\frac{1}{2} \angle A B D=\frac{1}{2} \times 100^{\circ}=50^{\circ}$,

$\therefore \alpha=\angle C B D=50^{\circ}$;

(3)11如图2所示，

$\because A C / / B D$

$\therefore \angle C B D=\angle A C B=\alpha$,

$\because B C$ 平分 $\angle A B D$,

<ImageHere>

图 2

$\therefore \angle A B D=2 \angle C B D=2 \alpha$,

$\therefore \angle B A C=180^{\circ}-\angle A B D=180^{\circ}-2 \alpha$,

又 $\because \angle B A E: \angle C A E=n$,

$\therefore(\angle B A C+\angle C A E): \angle C A E=n$,

$\left(180^{\circ}-2 \alpha+\angle C A E\right): \angle C A E=n$,

解得 $\angle C A E=\frac{180^{\circ}-2 \alpha}{n-1}$;

(2)如图3所示,

$\because A C / / B D$,

$\therefore \angle C B D=\angle A C B=\alpha$,

$\because B C$ 平分 $\angle A B D$,

<ImageHere>

图 3

$\therefore \angle A B D=2 \angle C B D=2 \alpha$,

$\therefore \angle B A C=180^{\circ}-\angle A B D=180^{\circ}-2 \alpha$,

又 $\because \angle B A E: \angle C A E=n$,
$\therefore(\angle B A C-\angle C A E): \angle C A E=n$,

$\left(180^{\circ}-2 \alpha-\angle C A E\right): \angle C A E=n$,

解得 $\angle C A E=\frac{180^{\circ}-2 \alpha}{n+1}$.

综上 $\angle C A E$ 的度数为 $\frac{180^{\circ}-2 \alpha}{n-1}$ 或 $\frac{180^{\circ}-2 \alpha}{n+1}$.

【解析】(1)根据平行线的性质可得 $\angle C B D$ 的度数, 再根据角平分线的性质可得 $A B E$ 的度数, 应用三角形内角和计算 $\angle B A C$ 的度数, 由已知条件 $\angle B A E=\angle C A E$, 可计算出 $\angle C A E$ 的度数;

(2)根据题意画出图形, 先根据 $\angle B A E: \angle C A E=5: 1$ 可计算出 $\angle C A E$ 的度数, 由 $\angle B A E=$ $100^{\circ}$ 可计算出 $\angle B A C$ 的度数, 再根据平行线的性质和角平分线的性质, 计算出 $\angle C B D$ 的度数，即可得出结论;

(3)根据题意可分两种情况，

(1)若点 $E$ 运动到 $l_{1}$ 上方, 根据平行线的性质由 $\alpha$ 可计算出 $\angle C B D$ 的度数, 再根据角平分线的性质和平行线的性质, 计算出 $\angle B A C$ 的度数, 再 $\angle B A E: \angle C A E=n, \angle B A E=\angle B A C+$ $\angle C A E$, 列出等量关系求解即可等处结论;

(2)若点 $E$ 运动到 $l_{1}$ 下方, 根据平行线的性质由 $\alpha$ 可计算出 $\angle C B D$ 的度数, 再根据角平分线的性质和平行线的性质, 计算出 $\angle B A C$ 的度数, 再 $\angle B A E: \angle C A E=n, \angle B A E=\angle B A C-$ $\angle C A E$ 列出等量关系求解即可等处结论.

本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质, 两直线平行, 同位角相等.两直线平行,同旁内角互补. 两直线平行，内错角相等. 合理应用平行线的性质是解决本题的关键.


Answer:
【答案】证明: $\because \angle 1=\angle C G D, \angle 1$ 与 $\angle 2$ 互补,

$\therefore \angle C G D+\angle 2=180^{\circ}$,

$\therefore A F / / E D$,

$\therefore \angle A+\angle A E D=180^{\circ}$,

$\because \angle A=\angle D$,
$\therefore \angle D+\angle A E D=180^{\circ}$,

$\therefore A B / / C D$.

【解析】由对顶角相等得到一对角相等，根据已知一对角互补，得到同旁内角互补，利用同旁内角互补两直线平行得到 $A F$ 与 $E D$ 平行, 由两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，等量代换得到 $\angle D$ 与 $\angle A E D$ 互补，利用同旁内角互补两直线平行即可得证.

此题考查了平行线的判定, 熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键.

Question:
如图, 已知: $\angle 1$ 与 $\angle 2$ 互补, $\angle A=\angle D$, 求证: $A B / / C D$.

<ImageHere>

度量几何学

【答案】证明: $\because \angle 1=\angle C G D, \angle 1$ 与 $\angle 2$ 互补,

$\therefore \angle C G D+\angle 2=180^{\circ}$,

$\therefore A F / / E D$,

$\therefore \angle A+\angle A E D=180^{\circ}$,

$\because \angle A=\angle D$,
$\therefore \angle D+\angle A E D=180^{\circ}$,

$\therefore A B / / C D$.

【解析】由对顶角相等得到一对角相等，根据已知一对角互补，得到同旁内角互补，利用同旁内角互补两直线平行得到 $A F$ 与 $E D$ 平行, 由两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，等量代换得到 $\angle D$ 与 $\angle A E D$ 互补，利用同旁内角互补两直线平行即可得证.

此题考查了平行线的判定, 熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键.


Answer:
【答案】解: 设 $A E=x$, 根据题意列出方程: $10(6-x)=20$,

解得 $x=4$,

$\because A$ 的对应点为 $E, \therefore$ 平移距离为 $A E$ 的长,

故向下平移 $4 \mathrm{~cm}$.

【解析】设线段 $A E=x$, 则 $E D=A D-A E=6-x$, 因为 $B C=6$, 所以矩形 $E F C D$ 的面积为 $E D \cdot A B=20 \mathrm{~cm}^{2}$, 就可以列出方程, 解方程即可.

本题综合考查了平移的性质和一元一次方程的应用, 关键是扣住矩形 $E F C D$ 的面积为 $20 \mathrm{~cm}^{2}$, 运用方程思想求解

Question:
如图, 已知: 长方形 $A B C D$ 中, $A B=10 \mathrm{~cm}, B C=6 \mathrm{~cm}$, 试问将长方形 $A B C D$ 沿着 $B C$ 方向平移多少才能够使平移后的长方形与原来的长方形 $A B C D$ 重叠部分的面积为 $20 \mathrm{~cm}^{2}$ ?

<ImageHere>

变换几何

【答案】解: 设 $A E=x$, 根据题意列出方程: $10(6-x)=20$,

解得 $x=4$,

$\because A$ 的对应点为 $E, \therefore$ 平移距离为 $A E$ 的长,

故向下平移 $4 \mathrm{~cm}$.

【解析】设线段 $A E=x$, 则 $E D=A D-A E=6-x$, 因为 $B C=6$, 所以矩形 $E F C D$ 的面积为 $E D \cdot A B=20 \mathrm{~cm}^{2}$, 就可以列出方程, 解方程即可.

本题综合考查了平移的性质和一元一次方程的应用, 关键是扣住矩形 $E F C D$ 的面积为 $20 \mathrm{~cm}^{2}$, 运用方程思想求解


Answer:
【答案】解: $\because$ 阴影部分的面积等于梯形 $A B C D$ 的面积减去梯形 $E F M D$ 的面积,等于梯形 $E F G H$ 的面积减去梯形 $E F D M$ 的面积,

$\therefore$ 阴影部分的面积等于梯形 $D H G M$ 的面积,

$\because H G=10, M C=2, M G=4$,

$\therefore S_{\text {阴 }}=S_{D H G M}=\frac{1}{2} \times(8+10) \times 4=36$.
【解析】根据图形可知图中阴影部分的面积等于梯形 $A B C D$ 的面积减去梯形 $E F M D$ 的面积, 恰好等于梯形 $E F G H$ 的面积减去梯形 $E F D M$ 的面积.

主要考查了梯形的性质和平移的性质. 要注意: 平移前后图形的形状和大小不变. 本题的关键是能得到: 图中阴影部分的面积等于梯形 $A B C D$ 的面积减去梯形 $E F M D$ 的面积,恰好等于梯形 $E F G H$ 的面积减去梯形 EFDM的面积.

Question:
将直角梯形 $A B C D$ 平移得梯形 $E F G H$, 若 $H G=10, M C=2, M G=4$, 则图中阴影部分的面积为 . $\qquad$

<ImageHere>

解析几何

【答案】解: $\because$ 阴影部分的面积等于梯形 $A B C D$ 的面积减去梯形 $E F M D$ 的面积,等于梯形 $E F G H$ 的面积减去梯形 $E F D M$ 的面积,

$\therefore$ 阴影部分的面积等于梯形 $D H G M$ 的面积,

$\because H G=10, M C=2, M G=4$,

$\therefore S_{\text {阴 }}=S_{D H G M}=\frac{1}{2} \times(8+10) \times 4=36$.
【解析】根据图形可知图中阴影部分的面积等于梯形 $A B C D$ 的面积减去梯形 $E F M D$ 的面积, 恰好等于梯形 $E F G H$ 的面积减去梯形 $E F D M$ 的面积.

主要考查了梯形的性质和平移的性质. 要注意: 平移前后图形的形状和大小不变. 本题的关键是能得到: 图中阴影部分的面积等于梯形 $A B C D$ 的面积减去梯形 $E F M D$ 的面积,恰好等于梯形 $E F G H$ 的面积减去梯形 EFDM的面积.


Answer:
【答案】解: (1)过点 $E$ 作 $E F / / A B$,

$\because \angle A B E=30^{\circ}$,

$\therefore \angle B E F=\angle A B E=30^{\circ}$.

<ImageHere>

图 1

$\because E F / / A B 、 A B / / C D$,

$\therefore E F / / C D$.

$\because \angle C D E=35^{\circ}$,

$\therefore \angle D E F=\angle C D E=35^{\circ}$.

$\therefore \angle B E D=\angle B E F+\angle D E F$
$=65^{\circ}$.

(2)过点 $F$ 作 $E F / / A B$

$\because \angle A B F=150^{\circ}$,

$\therefore \angle E F B=180^{\circ}-\angle A B F$

$=180^{\circ}-150^{\circ}$

<ImageHere>

图 2

$=30^{\circ}$.

$\because E F / / A B 、 A B / / C D$,

$\therefore E F / / C D$.

$\because \angle C D F=130^{\circ}$.

$\therefore \angle E F D=180^{\circ}-\angle C D F$

$=180^{\circ}-130^{\circ}$

$=50^{\circ}$.

$\therefore \angle B F D=\angle E F D-\angle E F B$

$=50^{\circ}-30^{\circ}$

$=20^{\circ}$.

(3) $\angle B G D=\alpha-\beta$.

延长 $A B$ 交 $G D$ 于点 $E$.

$\because A B / / C D$,

$\therefore \angle G E B=\angle D=\beta$.

<ImageHere>

图 3

在 $\triangle B G E$ 中,

$\angle B G D=\angle A B G-\angle G E B$

$=\alpha-\beta$.

【解析】(1)过点 $E$ 作 $E F / / A B$, 通过平行线的判定和性质, 把 $\angle B 、 \angle D$ 搬至 $\angle B E D$, 求出 $\angle B E D$ 的度数;

(2)过点 $F$ 作 $E F / / A B$, 通过平行线的判定和性质, 把 $\angle B 、 \angle D$ 与 $\angle E F D 、 \angle E F B$ 联系起来,利用角的和差关系求出 $\angle B E D$ 的度数;

(3)延长 $A B$ 交 $G D$ 于点 $E$, 利用三角形的外角和内角的关系, 易得结论.

本题考查了平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定，添加适当辅助线把分散的角集中起来是解决本题的关键.

Question:
小华同学探究平行线的性质:

(1)如图(1)在平面上画出两条平行线 $A B / / C D$, 在平行线之间取一点 $E$, 连接 $B E$ 和 $D E$, 已知 $\angle A B E=30^{\circ}, \angle C D E=35^{\circ}$, 求: $\angle B E D$ 的度数.

(2)如图(2)在平面上画出两条平行线 $A B / / C D$, 在平行线右上方取一点 $F$, 连接 $B F$ 和 $D F$, 已知 $\angle A B F=150^{\circ}, \angle C D F=130^{\circ}$, 求: $\angle B F D$ 的度数.

(3)如图(3)在平面上画出两条平行线 $A B / / C D$, 在平行线正上方取一点 $G$, 连接 $B G$ 和 $D G$, 已知 $\angle A B G=\alpha, \angle C D G=\beta(\alpha>\beta)$, 直接写出 $\angle B G D$ 的度数(用含有 $\alpha 、 \beta$ 的式子表示).

<ImageHere>

图 1

<ImageHere>

图 2

<ImageHere>

图 3

解析几何

【答案】解: (1)过点 $E$ 作 $E F / / A B$,

$\because \angle A B E=30^{\circ}$,

$\therefore \angle B E F=\angle A B E=30^{\circ}$.

<ImageHere>

图 1

$\because E F / / A B 、 A B / / C D$,

$\therefore E F / / C D$.

$\because \angle C D E=35^{\circ}$,

$\therefore \angle D E F=\angle C D E=35^{\circ}$.

$\therefore \angle B E D=\angle B E F+\angle D E F$
$=65^{\circ}$.

(2)过点 $F$ 作 $E F / / A B$

$\because \angle A B F=150^{\circ}$,

$\therefore \angle E F B=180^{\circ}-\angle A B F$

$=180^{\circ}-150^{\circ}$

<ImageHere>

图 2

$=30^{\circ}$.

$\because E F / / A B 、 A B / / C D$,

$\therefore E F / / C D$.

$\because \angle C D F=130^{\circ}$.

$\therefore \angle E F D=180^{\circ}-\angle C D F$

$=180^{\circ}-130^{\circ}$

$=50^{\circ}$.

$\therefore \angle B F D=\angle E F D-\angle E F B$

$=50^{\circ}-30^{\circ}$

$=20^{\circ}$.

(3) $\angle B G D=\alpha-\beta$.

延长 $A B$ 交 $G D$ 于点 $E$.

$\because A B / / C D$,

$\therefore \angle G E B=\angle D=\beta$.

<ImageHere>

图 3

在 $\triangle B G E$ 中,

$\angle B G D=\angle A B G-\angle G E B$

$=\alpha-\beta$.

【解析】(1)过点 $E$ 作 $E F / / A B$, 通过平行线的判定和性质, 把 $\angle B 、 \angle D$ 搬至 $\angle B E D$, 求出 $\angle B E D$ 的度数;

(2)过点 $F$ 作 $E F / / A B$, 通过平行线的判定和性质, 把 $\angle B 、 \angle D$ 与 $\angle E F D 、 \angle E F B$ 联系起来,利用角的和差关系求出 $\angle B E D$ 的度数;

(3)延长 $A B$ 交 $G D$ 于点 $E$, 利用三角形的外角和内角的关系, 易得结论.

本题考查了平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定，添加适当辅助线把分散的角集中起来是解决本题的关键.


Answer:
【答案】解: 把方程 $x+2 y=2,2 x+y=7$ 组成二元一次方程组, 可得
$$
\left\{\begin{array}{l}
x+2 y=2(1) \\
2 x+y=7(2)
\end{array}\right.
$$

(2) $\times 2-(1)$, 可得 $3 x=12$,

解得 $x=4$,

把 $x=4$ 代入(1), 可得 $4+2 y=2$,

解得 $y=-1$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}x+2 y=2(1) \\ 2 x+y=7(2)\end{array}\right.$ 的解是 $\left\{\begin{array}{l}x=4 \\ y=-1\end{array}\right.$,

$\therefore 4-(-1)=2 k-1$,

解得 $k=3$.

【解析】首先把方程 $x+2 y=2,2 x+y=7$ 组成二元一次方程组, 应用加减消元法,求出 $x, y$ 的值, 然后把 $x, y$ 的值代入 $x-y=2 k-1$ 即可.

此题主要考查了二元一次方程组的解, 要熟练掌握, 采用加减消元法即可.

Question: 已知关于 $x, y$ 的方程 $x+2 y=2,2 x+y=7, x-y=2 k-1$ 有公共解, 求 $k$ 的值.

代数

【答案】解: 把方程 $x+2 y=2,2 x+y=7$ 组成二元一次方程组, 可得
$$
\left\{\begin{array}{l}
x+2 y=2(1) \\
2 x+y=7(2)
\end{array}\right.
$$

(2) $\times 2-(1)$, 可得 $3 x=12$,

解得 $x=4$,

把 $x=4$ 代入(1), 可得 $4+2 y=2$,

解得 $y=-1$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}x+2 y=2(1) \\ 2 x+y=7(2)\end{array}\right.$ 的解是 $\left\{\begin{array}{l}x=4 \\ y=-1\end{array}\right.$,

$\therefore 4-(-1)=2 k-1$,

解得 $k=3$.

【解析】首先把方程 $x+2 y=2,2 x+y=7$ 组成二元一次方程组, 应用加减消元法,求出 $x, y$ 的值, 然后把 $x, y$ 的值代入 $x-y=2 k-1$ 即可.

此题主要考查了二元一次方程组的解, 要熟练掌握, 采用加减消元法即可.


Answer:
【答案】解: 由题意可将 $x+y=5$ 与 $2 x-y=1$ 组成方程组 $\left\{\begin{array}{l}x+y=5 \\ 2 x-y=1\end{array}\right.$,解得: $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=3\end{array}\right.$,

把 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=3\end{array}\right.$ 代入 $4 a x+5 b y=-22$, 得 $8 a+15 b=-22$ (1),

把 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=3\end{array}\right.$ 代入 $a x-b y-8=0$, 得 $2 a-3 b-8=0$ (2),

(1)与(2)组成方程组, 得 $\left\{\begin{array}{l}8 a+15 b=-22 \\ 2 a-3 b-8=0\end{array}\right.$,
解得: $\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=-2\end{array}\right.$.

【解析】联立不含 $a$ 与 $b$ 的方程求出 $x$ 与 $y$ 的值, 代入剩下的方程求出 $a$ 与 $b$ 的值即可.此题考查了二元一次方程组的解, 方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值.

Question: 已知关于 $x, y$ 的方程组 $\left\{\begin{array}{l}x+y=5 \\ 4 a x+5 b y=-22\end{array}\right.$ 与 $\left\{\begin{array}{l}2 x-y=1 \\ a x-b y-8=0\end{array}\right.$ 有相同的解, 求 $a, b$的值.

代数

【答案】解: 由题意可将 $x+y=5$ 与 $2 x-y=1$ 组成方程组 $\left\{\begin{array}{l}x+y=5 \\ 2 x-y=1\end{array}\right.$,解得: $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=3\end{array}\right.$,

把 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=3\end{array}\right.$ 代入 $4 a x+5 b y=-22$, 得 $8 a+15 b=-22$ (1),

把 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=3\end{array}\right.$ 代入 $a x-b y-8=0$, 得 $2 a-3 b-8=0$ (2),

(1)与(2)组成方程组, 得 $\left\{\begin{array}{l}8 a+15 b=-22 \\ 2 a-3 b-8=0\end{array}\right.$,
解得: $\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=-2\end{array}\right.$.

【解析】联立不含 $a$ 与 $b$ 的方程求出 $x$ 与 $y$ 的值, 代入剩下的方程求出 $a$ 与 $b$ 的值即可.此题考查了二元一次方程组的解, 方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值.


Answer:
【答案】解: 将 $x=-2, y=1$ 代入方程组得: $\left\{\begin{array}{l}4 a+3 b=4(1) \\ 2 a+b=-5(2)\end{array}\right.$,

(2) $\times 3$ - (1) 得: $2 a=-19$,

解得: $a=-\frac{19}{2}$,

将 $a=-\frac{19}{2}$ 代入(2)得: $-19+b=-5$,

解得: $b=14$,

则 $4 a^{2}-4 a b-3 b^{2}=(2 a+b)(2 a-3 b)=(-19+14) \times(-19-42)=305$.

【解析】将 $x=-2, y=1$ 代入已知方程组中, 得到关于 $a$ 与 $b$ 的二元一次方程组, 求出方程组的解即可得到 $a$ 与 $b$ 的值.

此题考查了二元一次方程组的解, 方程组的解即为能使方程组中两方程左右两边相等的未知数的值.

Question: 如果关于 $x 、 y$ 的方程组 $\left\{\begin{array}{l}2 a x-3 b y=-4 \\ a x-b y=5\end{array}\right.$ 的解是 $\left\{\begin{array}{l}x=-2 \\ y=1\end{array}\right.$, 求 $4 a^{2}-4 a b-3 b^{2}$ 的值.

代数


Answer:
【答案】解: 由 (1), 得 $2 x-3 y=2$. (3)

把 (3)代入 (2), 得 $\frac{2+5}{7}+2 y=9$.

解得 $y=4$.

把 $y=4$ 代入 (3), 得 $2 x-3 \times 4=2$.

解得 $x=7$.

$\therefore$ 原方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}x=7, \\ y=4 .\end{array}\right.$

【解析】见答案

Question:
 【注重阅读理解】

先阅读材料, 然后解方程组.

材料: 解方程组: $\left\{\begin{array}{l}x-y-1=0, \text { (1) } \\ 4(x-y)-y=5 . \text { (2) }\end{array}\right.$

由 (1), 得 $x-y=1$. (3)

把 (3)代入 (2), 得 $4 \times 1-y=5$, 解得 $y=-1$.

把 $y=-1$ 代入 (3), 得 $x=0$.

$\therefore$ 原方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}x=0, \\ y=-1 .\end{array}\right.$

这种方法称为 “整体代入法” . 你若留心观察, 有很多方程组可采用此方法解答,

请用这种方法解方程组: $\left\{\begin{array}{l}2 x-3 y-2=0 \text {, (1) } \\ \frac{2 x-3 y+5}{7}+2 y=9 \text {. (2) }\end{array}\right.$

代数


Answer:
【答案】解: (1) $\left\{\begin{array}{l}x-y=1 \text { (1) } \\ 2 x+y=5 \text { (2) }\end{array}\right.$

(1) + (2)得: $3 x=6$,
$x=2$,

代入(1)得: $y=1$.

故原方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=1\end{array}\right.$;

(2)原方程组可化为 $\left\{\begin{array}{l}2 x-5 y+17=0 \\ 3 x+4 y=32 \text { (2) }\end{array}\right.$,

(1) $\times 3-(2 \times 2$ 得: $-23 y=-115$,

$y=5$,

代入(1)得 $2 x=8$,

$x=4$.

故原方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}x=4 \\ y=5\end{array}\right.$.

【解析】根据各方程组的特点选用相应的方法: (1)用加减消元法(2)先去分母, 再用加减消元法.

这类题目的解题关键是掌握方程组解法中的加减消元法.

根据未知数系数的特点, 选择合适的方法.

Question:
解方程组:
(1) $\left\{\begin{array}{l}x-y=1 \\ 2 x+y=5\end{array}\right.$
(2) $\left\{\begin{array}{l}\frac{x+1}{5}=\frac{y-3}{2} \\ 3 x+4 y=32\end{array}\right.$.

代数

【答案】解: (1) $\left\{\begin{array}{l}x-y=1 \text { (1) } \\ 2 x+y=5 \text { (2) }\end{array}\right.$

(1) + (2)得: $3 x=6$,
$x=2$,

代入(1)得: $y=1$.

故原方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=1\end{array}\right.$;

(2)原方程组可化为 $\left\{\begin{array}{l}2 x-5 y+17=0 \\ 3 x+4 y=32 \text { (2) }\end{array}\right.$,

(1) $\times 3-(2 \times 2$ 得: $-23 y=-115$,

$y=5$,

代入(1)得 $2 x=8$,

$x=4$.

故原方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}x=4 \\ y=5\end{array}\right.$.

【解析】根据各方程组的特点选用相应的方法: (1)用加减消元法(2)先去分母, 再用加减消元法.

这类题目的解题关键是掌握方程组解法中的加减消元法.

根据未知数系数的特点, 选择合适的方法.


Answer:
【答案】解：(1)去分母得： $3(2 x+1)-12=12 x-(10 x+1)$

去括号得: $6 x+3-12=12 x-10 x-1$,

移项得， $6 x-12 x+10 x=-1-3+12$

合并同类项得: $4 x=8$,

解得: $x=2$;

(2): 方程组整理得 $\left\{\begin{array}{l}x-2 y=-1 \\ 2 x-y=6\end{array}\right.$ (2)

(1) $\times 2$ 得: $2 x-4 y=-2(3)$,

(2) - (3) 得: $3 y=8$, 即 $y=\frac{8}{3}$,

将 $y=\frac{8}{3}$ 代入(1)得: $x=\frac{13}{3}$,

则原方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{13}{3} \\ y=\frac{8}{3}\end{array}\right.$.
【解析】本题主要考查了解一元一次方程和解二元一次方程组, 解一元一次方程的一般步骤为: 去分母, 去括号, 移项, 合并同类项, 化系数为 1 ; 解二元一次方程组的关键是消元.

（1)去分母, 去括号, 移项, 合并同类项, 最后化系数为1即可求出方程的解;

(2)先整理方程组, 然后再用加减消元法解之即可.

Question:
解方程:

(1) $\frac{2 x+1}{4}-1=x-\frac{10 x+1}{12}$

(2) $\left\{\begin{array}{c}x+1=2 y \\ 2(x+1)-y=8\end{array}\right.$.

代数

【答案】解：(1)去分母得： $3(2 x+1)-12=12 x-(10 x+1)$

去括号得: $6 x+3-12=12 x-10 x-1$,

移项得， $6 x-12 x+10 x=-1-3+12$

合并同类项得: $4 x=8$,

解得: $x=2$;

(2): 方程组整理得 $\left\{\begin{array}{l}x-2 y=-1 \\ 2 x-y=6\end{array}\right.$ (2)

(1) $\times 2$ 得: $2 x-4 y=-2(3)$,

(2) - (3) 得: $3 y=8$, 即 $y=\frac{8}{3}$,

将 $y=\frac{8}{3}$ 代入(1)得: $x=\frac{13}{3}$,

则原方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{13}{3} \\ y=\frac{8}{3}\end{array}\right.$.
【解析】本题主要考查了解一元一次方程和解二元一次方程组, 解一元一次方程的一般步骤为: 去分母, 去括号, 移项, 合并同类项, 化系数为 1 ; 解二元一次方程组的关键是消元.

（1)去分母, 去括号, 移项, 合并同类项, 最后化系数为1即可求出方程的解;

(2)先整理方程组, 然后再用加减消元法解之即可.


Answer:
【答案】解:根据题意可联立 $\left\{\begin{array}{l}3 x-y=5(1) \\ 2 x+3 y=-4(2)\end{array}\right.$,

(1) $\times 3+$ (2), 得 $11 x=11$,

解得 $x=1$.

把 $x=1$ 代入(1), 得 $y=-2$.

$\therefore$ 方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=-2\end{array}\right.$;

根据题意, 得 $\left\{\begin{array}{l}4 a-10 b=-22 \\ a+2 b=8\end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}2 a-5 b=-11(1) \\ a+2 b=8(2)\end{array}\right.$,

(2) $\times 2$ - (1), 得 $9 b=27$,

解得 $b=3$.

把 $b=3$ 代入(2), 得 $a=2$.

则 $a+b=3+2=5$.

【解析】根据题意可联立已知方程组, 求出 $x$ 和 $y$ 的值, 再将 $x$ 和 $y$ 的值代入含 $a$ 和 $b$ 的方程中组成关于 $a$ 和 $b$ 的方程组, 求出 $a$ 和 $b$ 的值, 进而得解.

本题考查了二元一次方程组的解, 解决本题的关键是掌握二元一次方程组的解法.

Question: 关于 $x, y$ 的方程组 $\left\{\begin{array}{l}3 x-y=5 \\ 4 a x+5 b y=-22\end{array}\right.$ 与 $\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y=-4 \\ a x-b y=8\end{array}\right.$ 有相同的解, 求 $a+b$ 的值.

代数

【答案】解:根据题意可联立 $\left\{\begin{array}{l}3 x-y=5(1) \\ 2 x+3 y=-4(2)\end{array}\right.$,

(1) $\times 3+$ (2), 得 $11 x=11$,

解得 $x=1$.

把 $x=1$ 代入(1), 得 $y=-2$.

$\therefore$ 方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=-2\end{array}\right.$;

根据题意, 得 $\left\{\begin{array}{l}4 a-10 b=-22 \\ a+2 b=8\end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}2 a-5 b=-11(1) \\ a+2 b=8(2)\end{array}\right.$,

(2) $\times 2$ - (1), 得 $9 b=27$,

解得 $b=3$.

把 $b=3$ 代入(2), 得 $a=2$.

则 $a+b=3+2=5$.

【解析】根据题意可联立已知方程组, 求出 $x$ 和 $y$ 的值, 再将 $x$ 和 $y$ 的值代入含 $a$ 和 $b$ 的方程中组成关于 $a$ 和 $b$ 的方程组, 求出 $a$ 和 $b$ 的值, 进而得解.

本题考查了二元一次方程组的解, 解决本题的关键是掌握二元一次方程组的解法.


Answer:
【答案】 $1-2 y \frac{1-m}{4} \frac{m+1}{2}\left\{\begin{array}{l}x=\frac{m+1}{2} \\ y=\frac{1-m}{4}\end{array}\right.$

【解析】解: (1)若用代入法求解, 可由(1)得: $x=1-2 y$ (3),

把(3)代入(2)解得: $y=\frac{1-m}{4}$,

将其代入(3)解得: $x=\frac{m+1}{2}$,

$\therefore$ 原方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{m+1}{2} \\ y=\frac{1-m}{4}\end{array}\right.$,
故答案为: $1-2 y ; \frac{1-m}{4} ; \frac{m+1}{2} ;\left\{\begin{array}{l}x=\frac{m+1}{2} \\ y=\frac{1-m}{4} ;\end{array}\right.$

(2) $\because$ 方程组的解 $x 、 y$ 互为相反数,

$\therefore x=-y 3$,

(3)代入(1)得, $-y+2 y=1$,

$\therefore y=1$,

$x=-1$,

$m=-1-2=-3$,

$\therefore$ 方程组的解是 $\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ y=1\end{array}\right.$,

$m=-3$.

(1)根据代入消元法的求解方法解答即可;

(2)根据方程组的解互为相反数可得 $x=-y$, 代入方程(1)求出 $y$, 再代入方程(2)求出 $m$ 即可.

本题考查了代入消元法解二元一次方程组, 熟练掌握代入法的操作方法是解题的关键.

Question:
已知关于 $x 、 y$ 的方程组 $\left\{\begin{array}{l}x+2 y=1(1) \\ x-2 y=m(2)\end{array}\right.$,

（1）若用代入法求解，可由(1)得： $x=$ $\qquad$ (3)

把(3)代入(2)解得: $y=$ $\qquad$
将其代入(3)解得: $x=$ $\qquad$
$\therefore$ 原方程组的解为 $\qquad$
(2)若此方程组的解 $x 、 y$ 互为相反数, 求这个方程组的解及 $m$ 的值.

代数

【答案】 $1-2 y \frac{1-m}{4} \frac{m+1}{2}\left\{\begin{array}{l}x=\frac{m+1}{2} \\ y=\frac{1-m}{4}\end{array}\right.$

【解析】解: (1)若用代入法求解, 可由(1)得: $x=1-2 y$ (3),

把(3)代入(2)解得: $y=\frac{1-m}{4}$,

将其代入(3)解得: $x=\frac{m+1}{2}$,

$\therefore$ 原方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{m+1}{2} \\ y=\frac{1-m}{4}\end{array}\right.$,
故答案为: $1-2 y ; \frac{1-m}{4} ; \frac{m+1}{2} ;\left\{\begin{array}{l}x=\frac{m+1}{2} \\ y=\frac{1-m}{4} ;\end{array}\right.$

(2) $\because$ 方程组的解 $x 、 y$ 互为相反数,

$\therefore x=-y 3$,

(3)代入(1)得, $-y+2 y=1$,

$\therefore y=1$,

$x=-1$,

$m=-1-2=-3$,

$\therefore$ 方程组的解是 $\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ y=1\end{array}\right.$,

$m=-3$.

(1)根据代入消元法的求解方法解答即可;

(2)根据方程组的解互为相反数可得 $x=-y$, 代入方程(1)求出 $y$, 再代入方程(2)求出 $m$ 即可.

本题考查了代入消元法解二元一次方程组, 熟练掌握代入法的操作方法是解题的关键.


Answer:
【答案】解：设甲种货车每辆运 $x$ 吨, 乙种货车每辆运 $y$ 吨,

$\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y=15.5 \\ 5 x+6 y=35\end{array}\right.$, 得 $\left\{\begin{array}{l}x=4 \\ y=2.5\end{array}\right.$,

$\therefore 3 x+5 y=3 \times 4+5 \times 2.5=24.5$,

$30 \times 24.5=735($ 元 $)$,

答: 如果每吨货物的运费为 30 元, 这批货物应该付运费 735 元.

【解析】根据题意和表格可以得到相应的方程组, 从而可以求得甲乙货车每辆可以运输多少吨货物, 从而可以解答本题.

本题考查二元一次方程组的应用, 解答本题的关键是明确题意, 列出相应的方程组.

Question:
某公司要把一批货物运往 $A$ 地, 准备租用汽车运输公司的甲乙两种货车.过去曾两次租用这两种货车的情况如表:

|  | 第一次 | 第二次 |
| :---: | :---: | :---: |
| 租用甲种货车(辆) | 2 | 5 |
| 租用乙种货车(辆) | 3 | 6 |
| 合计运货吨数(吨) | 15.5 | 35 |

现租用该公司甲种货车3辆, 乙种货车5辆, 正好运完这批货, 如果每吨货物的运费为 30 元，这批货物应该付运费多少元？

代数

【答案】解：设甲种货车每辆运 $x$ 吨, 乙种货车每辆运 $y$ 吨,

$\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y=15.5 \\ 5 x+6 y=35\end{array}\right.$, 得 $\left\{\begin{array}{l}x=4 \\ y=2.5\end{array}\right.$,

$\therefore 3 x+5 y=3 \times 4+5 \times 2.5=24.5$,

$30 \times 24.5=735($ 元 $)$,

答: 如果每吨货物的运费为 30 元, 这批货物应该付运费 735 元.

【解析】根据题意和表格可以得到相应的方程组, 从而可以求得甲乙货车每辆可以运输多少吨货物, 从而可以解答本题.

本题考查二元一次方程组的应用, 解答本题的关键是明确题意, 列出相应的方程组.


Answer:
【答案】解：(1)设 1 辆 $A$ 型车和 1 辆 $B$ 型车都载满货物一次分别可以运货 $x$ 吨, $y$ 吨,根据题意得: $\left\{\begin{array}{l}3 x+2 y=19 \\ 2 x+3 y=21\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=5\end{array}\right.$.
答: 1 辆 $A$ 型车一次可以运货 3 吨, 1 辆 $B$ 型车一次可以运货 5 吨.

(2)(1)由(1)和题意得: $3 m+5 n=49$,

$\therefore m=\frac{49-5 n}{3}$,

$\because m 、 n$ 都是正整数,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}m=13 \\ n=2\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}m=8 \\ n=5\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}m=3 \\ n=8\end{array}\right.$.

(2) $\because A$ 型车每辆需租金 150 元 $/$ 次, $B$ 型车每辆需租金 200 元 $/$ 次, $\therefore$ 当 $m=13, n=2$ 时, 需租金: $130 \times 13+200 \times 2=2090$ (元),

当 $m=8, n=5$ 时, 需租金: $130 \times 8+200 \times 5=2040$ (元),

当 $m=3, n=8$ 时, 需租金: $130 \times 3+200 \times 8=1990$ (元),

$\because 2090>2040>1990$,

所以租车费用最少的是 1990 元.

【解析】(1)根据3辆 $A$ 型车和 2 辆 $B$ 型车载满货物一次可运货 $=10$ 吨; 2 辆 $A$ 型车和 3 辆 $B$ 型车载满货物一次可运货 $=11$ 吨, 列出方程组即可解决问题.

(2)(1)由题意得到 $3 m+5 n=49$, 根据 $m 、 n$ 均为正整数, 即可求出 $m 、 n$ 的值.

(2)求出每种方案下的租金数, 经比较、分析, 即可解决问题.

主要考查了列二元一次方程组或二元一次方程来解决现实生活中的实际应用问题; 解题的关键是深入把握题意, 准确找出命题中隐含的数量关系, 正确列出方程或方程组来分析、推理、解答.

Question:
已知: 用 3 辆 $A$ 型车和 2 辆 $B$ 型车载满货物一次可运货共 19 吨; 用 2 辆 $A$ 型车和 3 辆 $B$ 型车载满货物一次可运货共 21 吨.

(1)1辆 $A$ 型车和 1 辆 $B$ 型车都载满货物一次分别可以运货多少吨?

(2)某物流公司现有49吨货物, 计划同时租用 $A$ 型车 $m$ 辆, $B$ 型车 $n$ 辆, 一次运完,且恰好每辆车都载满货物.

(1)求 $m 、 n$ 的值;

(2)若 $A$ 型车每辆需租金 130 元/次, $B$ 型车每辆需租金 200 元/次. 请求出租车费用最少是多少元?

代数

【答案】解：(1)设 1 辆 $A$ 型车和 1 辆 $B$ 型车都载满货物一次分别可以运货 $x$ 吨, $y$ 吨,根据题意得: $\left\{\begin{array}{l}3 x+2 y=19 \\ 2 x+3 y=21\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=5\end{array}\right.$.
答: 1 辆 $A$ 型车一次可以运货 3 吨, 1 辆 $B$ 型车一次可以运货 5 吨.

(2)(1)由(1)和题意得: $3 m+5 n=49$,

$\therefore m=\frac{49-5 n}{3}$,

$\because m 、 n$ 都是正整数,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}m=13 \\ n=2\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}m=8 \\ n=5\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}m=3 \\ n=8\end{array}\right.$.

(2) $\because A$ 型车每辆需租金 150 元 $/$ 次, $B$ 型车每辆需租金 200 元 $/$ 次, $\therefore$ 当 $m=13, n=2$ 时, 需租金: $130 \times 13+200 \times 2=2090$ (元),

当 $m=8, n=5$ 时, 需租金: $130 \times 8+200 \times 5=2040$ (元),

当 $m=3, n=8$ 时, 需租金: $130 \times 3+200 \times 8=1990$ (元),

$\because 2090>2040>1990$,

所以租车费用最少的是 1990 元.

【解析】(1)根据3辆 $A$ 型车和 2 辆 $B$ 型车载满货物一次可运货 $=10$ 吨; 2 辆 $A$ 型车和 3 辆 $B$ 型车载满货物一次可运货 $=11$ 吨, 列出方程组即可解决问题.

(2)(1)由题意得到 $3 m+5 n=49$, 根据 $m 、 n$ 均为正整数, 即可求出 $m 、 n$ 的值.

(2)求出每种方案下的租金数, 经比较、分析, 即可解决问题.

主要考查了列二元一次方程组或二元一次方程来解决现实生活中的实际应用问题; 解题的关键是深入把握题意, 准确找出命题中隐含的数量关系, 正确列出方程或方程组来分析、推理、解答.


Answer:
【答案】解: 由题意可将 $x+y=5$ 与 $2 x-y=1$ 组成方程组 $\left\{\begin{array}{l}x+y=5 \\ 2 x-y=1\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=3\end{array}\right.$,

把 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=3\end{array}\right.$ 代入 $4 a x+5 b y=-22$, 得 $8 a+15 b=-22(1$,

把 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=3\end{array}\right.$ 代入 $a x-b y-8=0$, 得 $2 a-3 b-8=0$ (2),

(1)与(2)组成方程组, 得 $\left\{\begin{array}{l}8 a+15 b=-22 \\ 2 a-3 b-8=0\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=-2\end{array}\right.$.
【解析】联立不含 $a$ 与 $b$ 的方程求出 $x$ 与 $y$ 的值, 代入剩下的方程求出 $a$ 与 $b$ 的值即可.

此题考查了二元一次方程组的解, 方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值.

Question: 已知关于 $x, y$ 的方程组 $\left\{\begin{array}{l}x+y=5 \\ 4 a x+5 b y=-22\end{array}\right.$ 与 $\left\{\begin{array}{l}2 x-y=1 \\ a x-b y-8=0\end{array}\right.$ 有相同的解, 求 $a, b$的值.

代数

【答案】解: 由题意可将 $x+y=5$ 与 $2 x-y=1$ 组成方程组 $\left\{\begin{array}{l}x+y=5 \\ 2 x-y=1\end{array}\right.$,解得: $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=3\end{array}\right.$,

把 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=3\end{array}\right.$ 代入 $4 a x+5 b y=-22$, 得 $8 a+15 b=-22$ (1),

把 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=3\end{array}\right.$ 代入 $a x-b y-8=0$, 得 $2 a-3 b-8=0$ (2),

(1)与(2)组成方程组, 得 $\left\{\begin{array}{l}8 a+15 b=-22 \\ 2 a-3 b-8=0\end{array}\right.$,
解得: $\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=-2\end{array}\right.$.

【解析】联立不含 $a$ 与 $b$ 的方程求出 $x$ 与 $y$ 的值, 代入剩下的方程求出 $a$ 与 $b$ 的值即可.此题考查了二元一次方程组的解, 方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值.


Answer:
【答案】解: 整理得: $\begin{cases}x+4 y=14 & 1 \\ 3 x-4 y=-2 & \text { (2) }\end{cases}$

(1) + (2)得: $4 x=12$,

$\therefore x=3$,

把 $x=3$ 代入(1)得: $3+4 y=14$,

$\therefore y=\frac{11}{4}$.

$\therefore$ 此方程组的解是 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=\frac{11}{4}\end{array}\right.$.

【解析】本题考查了二元一次方程组的解法, 二元一次方程组解法有代入消元法和加减消元法两种. 利用消元的思想 “化二元为一元” 是解题关键. 解题时, 根据方程组的特征本题选择加减消元法, 先把原方程组整理后, (1)+ (2)可以求出 $x$ 的值, 再把 $x$ 的值代入(1)求出 $y$ 的值, 即可求出方程组的解.

Question: 解方程组: $\left\{\begin{array}{l}x+4 y=14 \\ \frac{x-3}{4}-\frac{y-3}{3}=\frac{1}{12}\end{array}\right.$.

代数

【答案】解: 整理得: $\begin{cases}x+4 y=14 & 1 \\ 3 x-4 y=-2 & \text { (2) }\end{cases}$

(1) + (2)得: $4 x=12$,

$\therefore x=3$,

把 $x=3$ 代入(1)得: $3+4 y=14$,

$\therefore y=\frac{11}{4}$.

$\therefore$ 此方程组的解是 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=\frac{11}{4}\end{array}\right.$.

【解析】本题考查了二元一次方程组的解法, 二元一次方程组解法有代入消元法和加减消元法两种. 利用消元的思想 “化二元为一元” 是解题关键. 解题时, 根据方程组的特征本题选择加减消元法, 先把原方程组整理后, (1)+ (2)可以求出 $x$ 的值, 再把 $x$ 的值代入(1)求出 $y$ 的值, 即可求出方程组的解.


Answer:
【答案】解: (1) $A=\frac{1}{2} x-2 x+\frac{4}{3} y-\frac{1}{2} x+\frac{2}{3} y$

$=-2 x+2 y$,

当 $x=-2, y=1$ 时,

原式 $=-2 \times(-2)+2 \times 1$

$=4+2$

$=6$,

即 $A$ 的值为 6 ;

（2）由题意可得 $-2 x+2 y=6$,

则当 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=4\end{array}\right.$ 时, $-2 x+2 y=6$ 也成立,

$\therefore$ 若使求得的 $A$ 的值与 (1)中的结果相同, 则给出的 $x, y$ 的值还能够是 $x=1, y=4$ (答案不唯一).
【解析】(1)原式去括号, 合并同类项进行化简, 然后代入求值;

(2)根据二元一次方程的解的概念分析求值.

本题考查整式的加减一化简求值, 二元一次方程的解, 理解方程的解的概念, 掌握合并同类项(系数相加，字母及其指数不变)和去括号的运算法则(括号前面是 “ + ” 号, 去掉 “+” 号和括号, 括号里的各项不变号; 括号前面是 “-” 号, 去掉 “一” 号和括号,括号里的各项都变号)是解题关键.

Question:
设 $A=\frac{1}{2} x-2\left(x-\frac{2}{3} y\right)+\left(-\frac{1}{2} x+\frac{2}{3} y\right)$.

(1)当 $x=-2, y=1$ 时, 求 $A$ 的值;

(2)若使求得的 $A$ 的值与(1)中的结果相同，则给出的 $x, y$ 的值还能够是什么?

代数

【答案】解: (1) $A=\frac{1}{2} x-2 x+\frac{4}{3} y-\frac{1}{2} x+\frac{2}{3} y$

$=-2 x+2 y$,

当 $x=-2, y=1$ 时,

原式 $=-2 \times(-2)+2 \times 1$

$=4+2$

$=6$,

即 $A$ 的值为 6 ;

（2）由题意可得 $-2 x+2 y=6$,

则当 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=4\end{array}\right.$ 时, $-2 x+2 y=6$ 也成立,

$\therefore$ 若使求得的 $A$ 的值与 (1)中的结果相同, 则给出的 $x, y$ 的值还能够是 $x=1, y=4$ (答案不唯一).
【解析】(1)原式去括号, 合并同类项进行化简, 然后代入求值;

(2)根据二元一次方程的解的概念分析求值.

本题考查整式的加减一化简求值, 二元一次方程的解, 理解方程的解的概念, 掌握合并同类项(系数相加，字母及其指数不变)和去括号的运算法则(括号前面是 “ + ” 号, 去掉 “+” 号和括号, 括号里的各项不变号; 括号前面是 “-” 号, 去掉 “一” 号和括号,括号里的各项都变号)是解题关键.


Answer:
【答案】解: 联立得: $\left\{\begin{array}{l}3 x+4 y=2(1) \\ 2 x-y=5(2)\end{array}\right.$,

(1) + (2) $\times$ 4得: $11 x=22$, 即 $x=2$,

将 $x=2$ 代入(2)得: $4-y=5$, 即 $y=-1$,

$\therefore$ 方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=-1\end{array}\right.$,

代入得: $\left\{\begin{array}{l}2 a-\frac{b}{2}=5 \\ \frac{2 a}{3}-b=4\end{array}\right.$,

解得: $a=\frac{9}{5}, b=-\frac{14}{5}$.

【解析】第一个方程组的第一个方程与第二个方程的第二个方程联立组成方程组, 求出方程组的解得到 $x$ 与 $y$ 的值, 代入剩下的方程即可求出 $a$ 与 $b$ 的值.

此题考查了二元一次方程组的解, 方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值.

Question: 若方程组 $\left\{\begin{array}{l}3 x+4 y=2 \\ a x+\frac{b}{2} y=5\end{array}\right.$ 与 $\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{3} x+b y=4 \\ 2 x-y=5\end{array}\right.$ 有相同的解, 则 $a 、 b$ 的值为多少?

代数

【答案】解: 联立得: $\left\{\begin{array}{l}3 x+4 y=2(1) \\ 2 x-y=5(2)\end{array}\right.$,

(1) + (2) $\times$ 4得: $11 x=22$, 即 $x=2$,

将 $x=2$ 代入(2)得: $4-y=5$, 即 $y=-1$,

$\therefore$ 方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=-1\end{array}\right.$,

代入得: $\left\{\begin{array}{l}2 a-\frac{b}{2}=5 \\ \frac{2 a}{3}-b=4\end{array}\right.$,

解得: $a=\frac{9}{5}, b=-\frac{14}{5}$.

【解析】第一个方程组的第一个方程与第二个方程的第二个方程联立组成方程组, 求出方程组的解得到 $x$ 与 $y$ 的值, 代入剩下的方程即可求出 $a$ 与 $b$ 的值.

此题考查了二元一次方程组的解, 方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值.


Answer:
【答案】解：(1)把 $x=3, y=3$ 与 $x=-1, y=1$ 代入 $y=k x+b$ 得: $\left\{\begin{array}{l}3 k+b=3 \\ -k+b=1\end{array}\right.$,

解得 $\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{2} \\ b=\frac{3}{2}\end{array}\right.$,

$\therefore k=\frac{1}{2}, \quad b=\frac{3}{2}$.

(2)由(1)得 $y=\frac{1}{2} x+\frac{3}{2}$,

$\therefore$ 当 $x=-2$ 时, $y=-1+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$.
【解析】(1)把 $x$ 与 $y$ 的值代入 $y=k x+b$ 中, 求出 $k$ 与 $b$ 的值;

(2)将 $x$ 的值代入(1)所求的关系式计算即可求出 $y$ 的值

此题考查了解二元一次方程组, 利用了消元的思想, 消元的方法有: 代入消元法与加减消元法.

Question:
在等式 $y=k x+b$ 中, 当 $x=3$ 时, $y=3$; 当 $x=-1$ 时, $y=1$.

(1)求 $k 、 b$ 的值;

(2)求当 $x=-2$ 时 $y$ 的值.

代数

【答案】解：(1)把 $x=3, y=3$ 与 $x=-1, y=1$ 代入 $y=k x+b$ 得: $\left\{\begin{array}{l}3 k+b=3 \\ -k+b=1\end{array}\right.$,

解得 $\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{2} \\ b=\frac{3}{2}\end{array}\right.$,

$\therefore k=\frac{1}{2}, \quad b=\frac{3}{2}$.

(2)由(1)得 $y=\frac{1}{2} x+\frac{3}{2}$,

$\therefore$ 当 $x=-2$ 时, $y=-1+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$.
【解析】(1)把 $x$ 与 $y$ 的值代入 $y=k x+b$ 中, 求出 $k$ 与 $b$ 的值;

(2)将 $x$ 的值代入(1)所求的关系式计算即可求出 $y$ 的值

此题考查了解二元一次方程组, 利用了消元的思想, 消元的方法有: 代入消元法与加减消元法.


Answer:
【答案】解: 设原来预定 $x$ 天完成, 共定做 $y$ 个零件, 则 $\{40 x=y$

$\{(1+20 \%) \times 40 \times(x-16)=y+32 ，$

解之得 $\left\{\begin{array}{l}x=100 \\ y=4000\end{array}\right.$

答：原来预定100天完成，共定做 4000 个零件.

【解析】效率提高后, 每天加工 $(1+20 \%) \times 40$, 用了 $(x-16)$ 天完成任务. 本题的等量关系为: $40 \times$ 原来的定额零件个数=原来共定做零件个数； $(1+20 \%) \times 40 \times(x-$ 16) $=$ 原来共定做零件个数 +32 , 根据这两个等量关系可列出方程组.

此题考查二元一次方程组的问题, 属工作量问题, 注意用公式: 工作量 $=$ 工作效率 $\times$ 工作时间.

Question: 某人承做一批零件, 原计划每天做 40 个, 可按期完成任务, 由于改进工艺, 工作效率提高了 $20 \%$, 结果不但提前了 16 天完成, 而且超额完成了 32 件, 求原来预定几天完成? 原计划共做多少零件?

算术

【答案】解: 设原来预定 $x$ 天完成, 共定做 $y$ 个零件, 则 $\{40 x=y$

$\{(1+20 \%) \times 40 \times(x-16)=y+32 ，$

解之得 $\left\{\begin{array}{l}x=100 \\ y=4000\end{array}\right.$

答：原来预定100天完成，共定做 4000 个零件.

【解析】效率提高后, 每天加工 $(1+20 \%) \times 40$, 用了 $(x-16)$ 天完成任务. 本题的等量关系为: $40 \times$ 原来的定额零件个数=原来共定做零件个数； $(1+20 \%) \times 40 \times(x-$ 16) $=$ 原来共定做零件个数 +32 , 根据这两个等量关系可列出方程组.

此题考查二元一次方程组的问题, 属工作量问题, 注意用公式: 工作量 $=$ 工作效率 $\times$ 工作时间.


Answer:
【答案】解: (1)设 1 辆 $A$ 型车和 1 辆 $B$ 型车都装满货物一次可分别运货 $\lambda$ 吨、 $\mu$ 吨,由题意得: $\left\{\begin{array}{l}2 \lambda+\mu=10 \\ \lambda+2 \mu=11\end{array}\right.$,
解得: $\lambda=3, \mu=4$.

故1辆 $A$ 型车和1辆 $B$ 型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨.

(2)由题意和(1)得: $3 a+4 b=26$,

$\because a 、 b$ 均为非负整数,

<ImageHere>

$\therefore$ 共有 2 种租车方案:

(1) 租 $A$ 型车 6 辆, $B$ 型车 2 辆,

(2) 租 $A$ 型车 2 辆, $B$ 型车 5 辆.

(3)方案(1)的租金为: $6 \times 100+2 \times 120=840$ (元),

方案(2)的租金为: $2 \times 100+5 \times 120=800$ (元),

$\because 840>800$,

$\therefore$ 最省钱的租车方案为方案(2), 租车费用为 800 元.

【解析】(1)根据 2 辆 $A$ 型车和 1 辆 $B$ 型车装满货物 $=10$ 吨; 1 辆 $A$ 型车和 2 辆 $B$ 型车装满货物 $=11$ 吨, 列出方程组即可解决问题.

(2)由题意得到 $3 a+4 b=26$, 根据 $a 、 b$ 均为正整数, 即可求出 $a 、 b$ 的值.

(3)求出每种方案下的租金数, 经比较、分析, 即可解决问题.

该题主要考查了列二元一次方程组或二元一次方程来解决现实生活中的实际应用问题;解题的关键是深入把握题意, 准确找出命题中隐含的数量关系, 正确列出方程或方程组来分析、推理、解答.

Question:
已知: 用 2 辆 $A$ 型车和 1 辆 $B$ 型车载满货物一次可运货 10 吨; 用 1 辆 $A$ 型车和 2 辆 $B$ 型车载满货物一次可运货11吨, 某物流公司现有26吨货物, 计划 $A$ 型车 $a$ 辆, $B$ 型车 $b$ 辆,一次运完, 且恰好每辆车都载满货物.

根据以上信息，解答下列问题:

(1) $l$ 辆 $A$ 型车和 $l$ 辆车 $B$ 型车都载满货物一次可分别运货多少吨?

(2)请你帮该物流公司设计租车方案:

(3)若 $A$ 型车每辆需租金 100 元/次, $B$ 型车每辆需租金 120 元/次. 请选出最省钱车方案, 并求出最少租车费.

算术

【答案】解: (1)设 1 辆 $A$ 型车和 1 辆 $B$ 型车都装满货物一次可分别运货 $\lambda$ 吨、 $\mu$ 吨,由题意得: $\left\{\begin{array}{l}2 \lambda+\mu=10 \\ \lambda+2 \mu=11\end{array}\right.$,
解得: $\lambda=3, \mu=4$.

故1辆 $A$ 型车和1辆 $B$ 型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨.

(2)由题意和(1)得: $3 a+4 b=26$,

$\because a 、 b$ 均为非负整数,

<ImageHere>

$\therefore$ 共有 2 种租车方案:

(1) 租 $A$ 型车 6 辆, $B$ 型车 2 辆,

(2) 租 $A$ 型车 2 辆, $B$ 型车 5 辆.

(3)方案(1)的租金为: $6 \times 100+2 \times 120=840$ (元),

方案(2)的租金为: $2 \times 100+5 \times 120=800$ (元),

$\because 840>800$,

$\therefore$ 最省钱的租车方案为方案(2), 租车费用为 800 元.

【解析】(1)根据 2 辆 $A$ 型车和 1 辆 $B$ 型车装满货物 $=10$ 吨; 1 辆 $A$ 型车和 2 辆 $B$ 型车装满货物 $=11$ 吨, 列出方程组即可解决问题.

(2)由题意得到 $3 a+4 b=26$, 根据 $a 、 b$ 均为正整数, 即可求出 $a 、 b$ 的值.

(3)求出每种方案下的租金数, 经比较、分析, 即可解决问题.

该题主要考查了列二元一次方程组或二元一次方程来解决现实生活中的实际应用问题;解题的关键是深入把握题意, 准确找出命题中隐含的数量关系, 正确列出方程或方程组来分析、推理、解答.


Answer:
【答案】 $\frac{3}{10}$
【解析】解: (1)设第一组有 $x$ 人, 第二组有 $y$ 人, 第三组有 $z$ 人, 根据题意得, $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{7}(y+z) \\ y=\frac{1}{3}(x+z)\end{array}\right.$,

整理, 得

$\left\{\begin{array}{l}7 x-3 y-3 z=01 \\ 3 y-x-z=0\end{array}\right.$

(1) + (2)得,

$x=\frac{2}{3} z(3$,

把(3)代入(2)得,

$y=\frac{5}{9} z$

$\therefore x+y+z=\frac{2}{3} z+\frac{5}{9} z+z=\frac{20}{9} z$,

$\therefore \frac{2 z}{3} \div \frac{20 z}{9}=\frac{3}{10}$.

$\therefore$ 第一小组人数占三个小组总人数的 $\frac{3}{10}$;

故答案为: $\frac{3}{10}$;

(2)设第一组有 $x$ 人，第二组有 $y$ 人，

依题意, 得: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{7}(y+18) \\ y=\frac{1}{3}(x+18)\end{array}\right.$

解得: $\left\{\begin{array}{l}x=12 \\ y=10\end{array}\right.$,

答: 第一小组和第二小组分别有 12 人和 10 人.

(1)设第一组有 $x$ 人, 第二组有 $y$ 人，第三组有 $z$ 人，根据题意用含 $z$ 的式子表示出 $x$ 和 $y$,进而可得第一小组人数占三个小组总人数的几分之几;

(2)设第一组有 $x$ 人, 第二组有 $y$ 人, 根据题意即可得出关于 $x, y$ 的二元一次方程组, 解之即可得出 $x, y$ 的值.

本题考查了二元一次方程组的应用, 找准等量关系, 正确列出二元一次方程组是解题的关键.

Question:
三个小组, 第一小组人数是第二、第三小组人数和的 $\frac{3}{7}$, 第二小组人数是第一、第三小组人数和的 $\frac{1}{3}$.

(1)第一小组人数占三个小组总人数的 $\qquad$ (填几分之几).

(2)如果第三小组有18人, 那么第一小组和第二小组分别有多少人?

算术

【答案】 $\frac{3}{10}$
【解析】解: (1)设第一组有 $x$ 人, 第二组有 $y$ 人, 第三组有 $z$ 人, 根据题意得, $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{7}(y+z) \\ y=\frac{1}{3}(x+z)\end{array}\right.$,

整理, 得

$\left\{\begin{array}{l}7 x-3 y-3 z=01 \\ 3 y-x-z=0\end{array}\right.$

(1) + (2)得,

$x=\frac{2}{3} z(3$,

把(3)代入(2)得,

$y=\frac{5}{9} z$

$\therefore x+y+z=\frac{2}{3} z+\frac{5}{9} z+z=\frac{20}{9} z$,

$\therefore \frac{2 z}{3} \div \frac{20 z}{9}=\frac{3}{10}$.

$\therefore$ 第一小组人数占三个小组总人数的 $\frac{3}{10}$;

故答案为: $\frac{3}{10}$;

(2)设第一组有 $x$ 人，第二组有 $y$ 人，

依题意, 得: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{7}(y+18) \\ y=\frac{1}{3}(x+18)\end{array}\right.$

解得: $\left\{\begin{array}{l}x=12 \\ y=10\end{array}\right.$,

答: 第一小组和第二小组分别有 12 人和 10 人.

(1)设第一组有 $x$ 人, 第二组有 $y$ 人，第三组有 $z$ 人，根据题意用含 $z$ 的式子表示出 $x$ 和 $y$,进而可得第一小组人数占三个小组总人数的几分之几;

(2)设第一组有 $x$ 人, 第二组有 $y$ 人, 根据题意即可得出关于 $x, y$ 的二元一次方程组, 解之即可得出 $x, y$ 的值.

本题考查了二元一次方程组的应用, 找准等量关系, 正确列出二元一次方程组是解题的关键.


Answer:
【答案】解: (1)设每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是 $a$ 元、 $b$ 元, $\left\{\begin{array}{l}30 a+60 b=930 \\ 40 a+90 b=1320\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{l}a=15 \\ b=8\end{array}\right.$,

即每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是 15 元、8元;

(2)方案一的花费为: $(15 \times 100+8 \times 60) \times 0.8=1584$ (元),

方案二的花费为: $15 \times 100+8 \times(60-100 \div 10 \times 5)=1580$ (元),

$1584-1580=4$ (元), $1584>1580$,

答: 学校选用方案二更节约钱, 节约 4 元.

【解析】(1)根据购买 30 瓶免洗手消毒液和60瓶84消毒液, 共需花费 930 元, 如果购买 40 瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液, 共需花费1320元, 可以列出相应的二元一次方程组,从而可以求出每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元;

(2)根据题意, 可以求出方案一和方案二的花费情况, 然后比较大小并作差即可解答本题.

本题考查二元一次方程组的应用, 解答本题的关键是明确题意, 利用方程组的知识解答.

Question:
在疫情防控期间, 某中学为保障广大师生生命健康安全, 欲从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液. 如果购买30瓶免洗手消毒液和60瓶84消毒液, 共需花费930元,如果购买 40 瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液, 共需花费1320元.

(1)每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元?

(2)若商场有两种促销方案: 方案一, 所有购买商品均打八折; 方案二, 购买 10 瓶免洗手消毒液送5瓶84消毒液, 学校打算购进免洗手消毒液100瓶, 84消毒液60瓶,请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？

算术

【答案】解: (1)设每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是 $a$ 元、 $b$ 元, $\left\{\begin{array}{l}30 a+60 b=930 \\ 40 a+90 b=1320\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{l}a=15 \\ b=8\end{array}\right.$,

即每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是 15 元、8元;

(2)方案一的花费为: $(15 \times 100+8 \times 60) \times 0.8=1584$ (元),

方案二的花费为: $15 \times 100+8 \times(60-100 \div 10 \times 5)=1580$ (元),

$1584-1580=4$ (元), $1584>1580$,

答: 学校选用方案二更节约钱, 节约 4 元.

【解析】(1)根据购买 30 瓶免洗手消毒液和60瓶84消毒液, 共需花费 930 元, 如果购买 40 瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液, 共需花费1320元, 可以列出相应的二元一次方程组,从而可以求出每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元;

(2)根据题意, 可以求出方案一和方案二的花费情况, 然后比较大小并作差即可解答本题.

本题考查二元一次方程组的应用, 解答本题的关键是明确题意, 利用方程组的知识解答.


Answer:
【答案】解: 原式 $=-8 x^{6}+3 x^{6}-x^{6}$

$=-6 x^{6}$.

【解析】根据同底数幂乘法, 积的乘方, 幂的乘方，同底数幂除法法则进行计算即可.本题考查同底数幂乘法, 积的乘方, 幂的乘方, 同底数幂除法, 解题关键是熟知同底数幂乘法, 积的乘方, 幂的乘方, 同底数幂除法法则.

Question: $\left(-2 x^{2}\right)^{3}+3 x^{2} \cdot x^{4}-x^{8} \div x^{2}$.

算术

【答案】解: 原式 $=-8 x^{6}+3 x^{6}-x^{6}$

$=-6 x^{6}$.

【解析】根据同底数幂乘法, 积的乘方, 幂的乘方，同底数幂除法法则进行计算即可.本题考查同底数幂乘法, 积的乘方, 幂的乘方, 同底数幂除法, 解题关键是熟知同底数幂乘法, 积的乘方, 幂的乘方, 同底数幂除法法则.


Answer:
【答案】解: 原式 $=-1-2+1-(-5)=3$.

【解析】本题主要考查实数的运算, 负整数指数幂和零指数幂, 掌握负整数指数幂和零指数幂是解答本题的关键.

先分别算出立方根, 负整数指数幂和零指数幂, 然后相加减解答即可.

Question: 计算: $(-1)^{2021}-\sqrt[3]{8}+(\pi-3.14)^{0}-\left(-\frac{1}{5}\right)^{-1}$

算术

【答案】解: 原式 $=-1-2+1-(-5)=3$.

【解析】本题主要考查实数的运算, 负整数指数幂和零指数幂, 掌握负整数指数幂和零指数幂是解答本题的关键.

先分别算出立方根, 负整数指数幂和零指数幂, 然后相加减解答即可.


Answer:
【答案】解: $\because 1+2+3+\cdots+n=m$,

$\therefore\left(a b^{n}\right) \cdot\left(a^{2} b^{n-1}\right) \ldots\left(a^{n-1} b^{2}\right) \cdot\left(a^{n} b\right)$,

$=a^{1+2+\cdots n} b^{n+n-1+\cdots+1}$,

$=a^{m} b^{m}$.

【解析】根据单项式的乘法法则, 同底数幂相乘, 底数不变, 指数相加的性质, $\left(a b^{n}\right)$. $\left(a^{2} b^{n-1}\right) \ldots\left(a^{n-1} b^{2}\right) \cdot\left(a^{n} b\right)=a^{1+2+\cdots n} b^{n+n-1+\cdots+1}=a^{m} b^{m}$.

本题考查单项式的乘法法则和同底数幂的乘法的性质.

Question: 若 $1+2+3+\cdots+n=m$, 求 $\left(a b^{n}\right) \cdot\left(a^{2} b^{n-1}\right) \ldots\left(a^{n-1} b^{2}\right) \cdot\left(a^{n} b\right)$ 的值.

算术

【答案】解: $\because 1+2+3+\cdots+n=m$,

$\therefore\left(a b^{n}\right) \cdot\left(a^{2} b^{n-1}\right) \ldots\left(a^{n-1} b^{2}\right) \cdot\left(a^{n} b\right)$,

$=a^{1+2+\cdots n} b^{n+n-1+\cdots+1}$,

$=a^{m} b^{m}$.

【解析】根据单项式的乘法法则, 同底数幂相乘, 底数不变, 指数相加的性质, $\left(a b^{n}\right)$. $\left(a^{2} b^{n-1}\right) \ldots\left(a^{n-1} b^{2}\right) \cdot\left(a^{n} b\right)=a^{1+2+\cdots n} b^{n+n-1+\cdots+1}=a^{m} b^{m}$.

本题考查单项式的乘法法则和同底数幂的乘法的性质.


Answer:
【答案】解: (1)第二天的账目有误, 理由如下:

设甲、乙商品的单价分别为 $x, y$ 元, 可得:

第一天: $39 x+21 y=321$ (1);

第二天: $26 x+14 y=204$ (2);

第三天: $39 x+25 y=345$ (3),

由(1) $\div 3$, 得: $13 x+7 y=107$,

由(2) $\div 2$, 得: $13 x+7 y=102$,
$\because$ 第一天的账目正确,

$\therefore$ 第二天的账目错误;

(2)由(1)得: 第二天的账目错误,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}39 x+21 y=321 \text { (1) } \\ 39 x+25 y=345 \text { (3) }\end{array}\right.$,

(3) - (1)得: $y=6$,

把 $y=6$ 代入(1)得: $x=5$,

所以方程组的解为: $\left\{\begin{array}{l}x=5 \\ y=6\end{array}\right.$,

答: 甲、乙商品的单价分别为 5 元, 6 元.

【解析】(1)设甲、乙商品的单价分别为 $x, y$ 元, 根据题意列出方程组进行解答即可;

(2)根据题意列出方程组进行解答即可.

此题考查二元一次方程组的应用, 关键是根据题意列出方程组解答.

Question:
某商店甲、乙两种商品三天销售情况的账目记录如下表:

| 日期 | 买出甲商品的数量(
 个) |  | 卖出乙商品的数量 (
 个) |
| :--- | :---: | :---: | :--- |
| 第一天 | 收入(元) |  |  |
| 第二天 | 26 | 21 | 321 |
| 第三天 | 39 | 14 | 204 |

(1)财务主管在核查时发现: 第一天的账目正确，但其它两天的账目有一天有误，请你判断第几天的账目有误, 并说明理由;

(2)求甲、乙商品的单价.

计数

【答案】解: (1)第二天的账目有误, 理由如下:

设甲、乙商品的单价分别为 $x, y$ 元, 可得:

第一天: $39 x+21 y=321$ (1);

第二天: $26 x+14 y=204$ (2);

第三天: $39 x+25 y=345$ (3),

由(1) $\div 3$, 得: $13 x+7 y=107$,

由(2) $\div 2$, 得: $13 x+7 y=102$,
$\because$ 第一天的账目正确,

$\therefore$ 第二天的账目错误;

(2)由(1)得: 第二天的账目错误,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}39 x+21 y=321 \text { (1) } \\ 39 x+25 y=345 \text { (3) }\end{array}\right.$,

(3) - (1)得: $y=6$,

把 $y=6$ 代入(1)得: $x=5$,

所以方程组的解为: $\left\{\begin{array}{l}x=5 \\ y=6\end{array}\right.$,

答: 甲、乙商品的单价分别为 5 元, 6 元.

【解析】(1)设甲、乙商品的单价分别为 $x, y$ 元, 根据题意列出方程组进行解答即可;

(2)根据题意列出方程组进行解答即可.

此题考查二元一次方程组的应用, 关键是根据题意列出方程组解答.


Answer:
【答案】调查

【解析】略

Question:
下表是某地区1000名居民 “获取信息的主要途径” 的统计数据, 这里的数据是通过什么方法收集得到的.

| 途径 | 电脑 | 手机 | 电视 | 广播 | 其他 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 人数 | 260 | 400 | 150 | 100 | 90 |

计数

【答案】调查

【解析】略


Answer:
【答案】解：(1)总体：该种家用空调工作1小时的用电量;

个体：每一台该种家用空调工作1小时的用电量;

样本：抽取的10台该种家用空调每台工作1小时的用电量;

样本容量: 10 ;

(2)总体: 初二年级270名学生的视力情况;

个体：每一名学生的视力情况;

样本: 抽取的50名学生的视力情况;

样本容量: 50 .

【解析】考查了总体、个体、样本、样本容量.

(1)根据总体、个体、样本、样本容量的定义判断即可;

(2)根据总体、个体、样本、样本容量的定义判断即可.

Question:
请指出下列抽样调查的总体、个体、样本、样本容量分别是什么.

(1)为了了解某种家用空调工作 1 小时的用电量, 调查 10 台该种空调每台工作 1 小时的用电量.

(2)为了了解初二年级270名学生的视力情况, 从中抽取 50 名学生进行视力检查.

计数

【答案】解：(1)总体：该种家用空调工作1小时的用电量;

个体：每一台该种家用空调工作1小时的用电量;

样本：抽取的10台该种家用空调每台工作1小时的用电量;

样本容量: 10 ;

(2)总体: 初二年级270名学生的视力情况;

个体：每一名学生的视力情况;

样本: 抽取的50名学生的视力情况;

样本容量: 50 .

【解析】考查了总体、个体、样本、样本容量.

(1)根据总体、个体、样本、样本容量的定义判断即可;

(2)根据总体、个体、样本、样本容量的定义判断即可.


Answer:
【答案】解：(1) $40 ； 30$;

(2)补全条形统计图为:

莱中学 "珛是喜受的职业" 拥量的统计固

<ImageHere>

【解析】

【分析】

本题考查了条形统计图, 通过条形统计图获取需要的数据, 然后求得教师和医生的人数之和, 再利用已知比例得出各自的人数, 最后补全条形统计图.本题难度不大, 是基础题.

(1)由统计图可知: 喜欢的职业是公务员的有 40 人，军人 20 人，其他 70 人，这样教师和医生的和还有 $200-40-20-70=70$ 人, 根据 $4: 3$ 得出各自的人数, 然后将图形补充完整即可.

(2)由(1)中得到的数据补全条形统计图即可.

【解答】

解: (1) $\because$ 选择 “教师” 的人数与选择 “医生” 的人数比为 $4: 3$, $\therefore$ 设选择 “教师” 的有 $4 x$ 人，选择 “医生” 的有 $3 x$ 人，

由题意知： “教师” 和选择 “医生” 的共有：

$200-40-20-70=70$ (人),

$\therefore 4 x+3 x=70$,

解得 $x=10$,

$\therefore 4 x=40,3 x=30$,

即选择 “教师” 的有 40 人，选择“医生” 的有 30 人.

故答案为: $40 ; 30$;

(2)见答案.

Question:
某中学开展以 “我最喜爱的职业” 为主题的调查活动. 通过对 200 名学生的随机调查得到一组数据，并绘制成条形统计图(不完整).根据统计图回答:

<ImageHere>

(1)若选择 “教师” 的人数与选择 “医生” 的人数比为 $4: 3$, 则选择 “教师” 的有 $\qquad$人，选择 “医生” 的有 $\qquad$人.

(2)根据第(1)题的结论补全条形统计图.

计数

【答案】解：(1) $40 ； 30$;

(2)补全条形统计图为:

莱中学 "珛是喜受的职业" 拥量的统计固

<ImageHere>

【解析】

【分析】

本题考查了条形统计图, 通过条形统计图获取需要的数据, 然后求得教师和医生的人数之和, 再利用已知比例得出各自的人数, 最后补全条形统计图.本题难度不大, 是基础题.

(1)由统计图可知: 喜欢的职业是公务员的有 40 人，军人 20 人，其他 70 人，这样教师和医生的和还有 $200-40-20-70=70$ 人, 根据 $4: 3$ 得出各自的人数, 然后将图形补充完整即可.

(2)由(1)中得到的数据补全条形统计图即可.

【解答】

解: (1) $\because$ 选择 “教师” 的人数与选择 “医生” 的人数比为 $4: 3$, $\therefore$ 设选择 “教师” 的有 $4 x$ 人，选择 “医生” 的有 $3 x$ 人，

由题意知： “教师” 和选择 “医生” 的共有：

$200-40-20-70=70$ (人),

$\therefore 4 x+3 x=70$,

解得 $x=10$,

$\therefore 4 x=40,3 x=30$,

即选择 “教师” 的有 40 人，选择“医生” 的有 30 人.

故答案为: $40 ; 30$;

(2)见答案.


Answer:
【答案】 50

【解析】解: (1) $\because B 、 E$ 两组发言人数的比为 $5: 2, E$ 组发言人数占 $8 \%$,

$\therefore B$ 组发言的人数占 $20 \%$,

由直方图可知 $B$ 组人数为 10 人，

所以, 被抽查的学生人数为: $10 \div 20 \%=50$ 人,

故答案为: 50 人;

(2) $F$ 组人数为: $50 \times(1-6 \%-20 \%-30 \%-26 \%-8 \%)$

$=50 \times(1-90 \%)$

$=50 \times 10 \%$,

$=5$ (人),

$C$ 组人数为: $50 \times 30 \%=15$ (人),
$E$ 组人数为: $50 \times 8 \%=4$ (人),

补全的直方图如图;

<ImageHere>

(3) $F$ 组发言的人数所占的百分比为: $10 \%$,

所以, 估计全年级在这天里发言次数不少于 12 次的人数为: $500 \times(8 \%+10 \%)=90$ (人 );

(4) $\because A$ 组发言的学生为: $50 \times 6 \%=3$ 人, 有 1 位女生,

$\therefore A$ 组发言的有2位男生,

$\because E$ 组发言的学生: 4 人,

$\therefore$ 有2位女生, 2位男生.

$\therefore$ 由题意可画树状图为:

<ImageHere>

$\therefore$ 共有12种情况, 所抽的两位学生恰好是一男一女的情况有6种,

$\therefore$ 所抽的两位学生恰好是一男一女的概率为 $\frac{1}{2}$.

(1)求得 $B$ 组所占的百分比, 然后根据 $B$ 组有 10 人即可求得总人数;

(2)求得 $C$ 组的人数, 从而补全直方图;

(3)利用总人数乘以对应的百分比即可求解;

(4)分别求出 $A 、 E$ 两组的人数, 确定出各组的男女生人数, 然后列表或画树状图, 再根据概率公式计算即可得解.

本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力; 利用统计图获取信息时, 必须认真观察、分析、研究统计图, 才能作出正确的判断和解决问题, 本题根据B组
的人数与所占的百分比求解是解题的关键, 也是本题的突破口.

Question:
为了解某校九年级学生课堂发言情况, 随机抽取该年级部分学生, 对他们某天在课堂上发言的次数进行统计, 结果如下表, 并绘制了如下尚不完整的统计图, 已知 $B$, $E$ 两组发言的人数比为 $5: 2$, 请结合图表中相关数据回答下列问题:
<ImageHere>

发言人数扇形统计图

| 组别 | 课堂发言次数 $n$ |
| :---: | :---: |
| $A$ | $0 \leq n<3$ |
| $B$ | $3 \leq n<6$ |
| $C$ | $6 \leq n<9$ |
| $D$ | $9 \leq n<12$ |
| $E$ | $12 \leq n<15$ |
| $F$ | $15 \leq n<18$ |

(1)本次抽样的学生人数为 $\qquad$ ;

(2)补全条形统计图;

(3)该年级共有学生 500 人, 请估计这天全年级发言次数不少于 12 的人数;

(4)已知 $A$ 组发言的学生中有1位女生, $E$ 组发言的学生中有 2 位男生, 现从 $A$ 组与 $E$ 组中分别抽一位学生写报告, 请用树状图或列表法, 求所抽到的两位学生恰好是一男

一女的概率.

计数

【答案】 50

【解析】解: (1) $\because B 、 E$ 两组发言人数的比为 $5: 2, E$ 组发言人数占 $8 \%$,

$\therefore B$ 组发言的人数占 $20 \%$,

由直方图可知 $B$ 组人数为 10 人，

所以, 被抽查的学生人数为: $10 \div 20 \%=50$ 人,

故答案为: 50 人;

(2) $F$ 组人数为: $50 \times(1-6 \%-20 \%-30 \%-26 \%-8 \%)$

$=50 \times(1-90 \%)$

$=50 \times 10 \%$,

$=5$ (人),

$C$ 组人数为: $50 \times 30 \%=15$ (人),
$E$ 组人数为: $50 \times 8 \%=4$ (人),

补全的直方图如图;

<ImageHere>

(3) $F$ 组发言的人数所占的百分比为: $10 \%$,

所以, 估计全年级在这天里发言次数不少于 12 次的人数为: $500 \times(8 \%+10 \%)=90$ (人 );

(4) $\because A$ 组发言的学生为: $50 \times 6 \%=3$ 人, 有 1 位女生,

$\therefore A$ 组发言的有2位男生,

$\because E$ 组发言的学生: 4 人,

$\therefore$ 有2位女生, 2位男生.

$\therefore$ 由题意可画树状图为:

<ImageHere>

$\therefore$ 共有12种情况, 所抽的两位学生恰好是一男一女的情况有6种,

$\therefore$ 所抽的两位学生恰好是一男一女的概率为 $\frac{1}{2}$.

(1)求得 $B$ 组所占的百分比, 然后根据 $B$ 组有 10 人即可求得总人数;

(2)求得 $C$ 组的人数, 从而补全直方图;

(3)利用总人数乘以对应的百分比即可求解;

(4)分别求出 $A 、 E$ 两组的人数, 确定出各组的男女生人数, 然后列表或画树状图, 再根据概率公式计算即可得解.

本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力; 利用统计图获取信息时, 必须认真观察、分析、研究统计图, 才能作出正确的判断和解决问题, 本题根据B组
的人数与所占的百分比求解是解题的关键, 也是本题的突破口.


Answer:
【答案】解: (1) $550 \div 55 \%=1000$ (只) $1000-400-550-30=20$ (只)

即: $m=20$,

$360^{\circ} \times \frac{400}{1000}=144^{\circ}$,

答: 表中 $m$ 的值为 20 , 图中 $B$ 组扇形的圆心角的度数为 $144^{\circ}$;

(2) $\frac{400}{1000}+\frac{550}{1000}=\frac{950}{1000}=95 \%$,

$12 \times 10 \times(1-95 \%)=120 \times 5 \%=6$ (只),

答: 这次抽样检验的合格率是 $95 \%$, 所购得的羽毛球中, 非合格品的羽毛球有 6 只.

【解析】(1)图表中 “ $C$ 组” 的频数为 550 只, 占抽查总数的 $55 \%$, 可求出抽查总数, 进而求出 “ $A$ 组” 的频数, 即 $m$ 的值; 求出 “ $B$ 组” 所占总数的百分比, 即可求出相应的圆心角的度数;

(2)计算 “ $B$ 组” “ $C$ 组” 的频率的和即为合格率, 求出 “不合格” 所占的百分比, 即可求出不合格的数量.

本题考查了统计表、扇形统计图的意义和制作方法, 理解图表中的数量和数量之间的关系, 是正确计算的前提.

Question:
一只羽毛球的重量合格标准是5.0克 $\sim 5.2$ 克(含5.0克, 不含5.2克), 某厂对4月份生产的羽毛球重量进行抽样检验. 并将所得数据绘制成如图统计图表.

4月份生产的羽毛球重量统计表

| 组别 | 重量 $x$ (克) | 数量(只) |
| :---: | :---: | :---: |
| $A$ | $x<5.0$ | $m$ |
| $B$ | $5.0 \leq x<5.1$ | 400 |
| $C$ | $5.1 \leq x<5.2$ | 550 |
| $D$ | $x \geq 5.2$ | 30 |

(1)求表中 $m$ 的值及图中 $B$ 组扇形的圆心角的度数.

(2)问这些抽样检验的羽毛球中, 合格率是多少？如果购得4月份生产的羽毛球10筒 (每筒12只), 估计所购得的羽毛球中, 非合格品的羽毛球有多少只?

4月份生产的羽毛球重量统计图

<ImageHere>

计数

【答案】解: (1) $550 \div 55 \%=1000$ (只) $1000-400-550-30=20$ (只)

即: $m=20$,

$360^{\circ} \times \frac{400}{1000}=144^{\circ}$,

答: 表中 $m$ 的值为 20 , 图中 $B$ 组扇形的圆心角的度数为 $144^{\circ}$;

(2) $\frac{400}{1000}+\frac{550}{1000}=\frac{950}{1000}=95 \%$,

$12 \times 10 \times(1-95 \%)=120 \times 5 \%=6$ (只),

答: 这次抽样检验的合格率是 $95 \%$, 所购得的羽毛球中, 非合格品的羽毛球有 6 只.

【解析】(1)图表中 “ $C$ 组” 的频数为 550 只, 占抽查总数的 $55 \%$, 可求出抽查总数, 进而求出 “ $A$ 组” 的频数, 即 $m$ 的值; 求出 “ $B$ 组” 所占总数的百分比, 即可求出相应的圆心角的度数;

(2)计算 “ $B$ 组” “ $C$ 组” 的频率的和即为合格率, 求出 “不合格” 所占的百分比, 即可求出不合格的数量.

本题考查了统计表、扇形统计图的意义和制作方法, 理解图表中的数量和数量之间的关系, 是正确计算的前提.


Answer:
【答案】解: $(1) 2+4+21+13+8+4=52$ (人);

(2)组距: $80-60=20$,

组数是 6 ;

(3)跳绳次数 $x$ 在 $120 \leq x<160$ 范围的学生有: $13+8=21$ (人).

【解析】此题主要考查了频数分布表, 在统计数据时, 经常把数据按照不同的范围分成几个组, 分成的组的个数称为组数, 每一组两个端点的差称为组距, 称这样画出的统计图表为频数分布表.

(1)根据频数分布表可得把每个小组的频数加起来就是全班的学生数;

(2)组距就是每个小组的最大值和最小值之差; 根据表格可直接得到组数为 6 ;

(3)跳绳次数 $x$ 在 $120 \leq x<160$ 就是求 $120 \leq x<140,140 \leq x<160$ 两组的频数和.

Question:
体育委员统计了全班同学 $60 s$ 跳绳的次数, 并列出频数表如下:

| 次数 | $60 \leq x$
 $<80$ | $80 \leq x$
 $<100$ | $100 \leq x$
 $<120$ | $120 \leq x$
 $<140$ | $140 \leq x$
 $<160$ | $160 \leq x$
 $<180$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 频数 | 2 | 4 | 21 | 13 | 8 | 4 |

(1)全班共有多少名学生?

(2)组距是多少? 组数是多少?

（3)跳绳次数在 $120 \leq x<160$ 范围内的学生有多少?

计数

【答案】解: $(1) 2+4+21+13+8+4=52$ (人);

(2)组距: $80-60=20$,

组数是 6 ;

(3)跳绳次数 $x$ 在 $120 \leq x<160$ 范围的学生有: $13+8=21$ (人).

【解析】此题主要考查了频数分布表, 在统计数据时, 经常把数据按照不同的范围分成几个组, 分成的组的个数称为组数, 每一组两个端点的差称为组距, 称这样画出的统计图表为频数分布表.

(1)根据频数分布表可得把每个小组的频数加起来就是全班的学生数;

(2)组距就是每个小组的最大值和最小值之差; 根据表格可直接得到组数为 6 ;

(3)跳绳次数 $x$ 在 $120 \leq x<160$ 就是求 $120 \leq x<140,140 \leq x<160$ 两组的频数和.


Answer:
【答案】解: $\pi\left[\left(\frac{1}{2} D\right)^{2}-\left(\frac{1}{2} d\right)^{2}\right] h$
$$
\begin{aligned}
& =\frac{1}{4} \pi(D+d)(D-d) h \\
& =\frac{1}{4} \pi \times(88+68)(88-68) \times 200
\end{aligned}
$$

$=156000 \pi\left(\mathrm{cm}^{3}\right)$,

$156000 \pi \mathrm{cm}^{3}=0.156 \pi \mathrm{m}^{3}$.

答: 浇制一节这样的排水管需要 $0.156 \pi m^{3}$ 的混凝土.

【解析】利用圆柱的体积公式, 浇制一节这样的排水管需要的混凝土为 $\pi\left[\left(\frac{1}{2} D\right)^{2}-\right.$ $\left.\left(\frac{1}{2} d\right)^{2}\right] h$, 然后把 $d=68 \mathrm{~cm}$, 外径 $D=88 \mathrm{~cm}$, 长 $h=200 \mathrm{~cm}$ 代入计算, 最后结果保留 $\pi$.本题考查了因式分解的应用, 利用因式分解简化计算问题.

Question:
一种混凝土排水管, 其形状为空心的圆柱体, 它的内径 $d=68 \mathrm{~cm}$, 外径 $D=88 \mathrm{~cm}$,长 $h=200 \mathrm{~cm}$.浇制一节这样的排水管需要多少立方米的混凝土 $($ 结果保留 $\pi)$ ？怎样计算较简便?

<ImageHere>

立体几何学

【答案】解: $\pi\left[\left(\frac{1}{2} D\right)^{2}-\left(\frac{1}{2} d\right)^{2}\right] h$
$$
\begin{aligned}
& =\frac{1}{4} \pi(D+d)(D-d) h \\
& =\frac{1}{4} \pi \times(88+68)(88-68) \times 200
\end{aligned}
$$

$=156000 \pi\left(\mathrm{cm}^{3}\right)$,

$156000 \pi \mathrm{cm}^{3}=0.156 \pi \mathrm{m}^{3}$.

答: 浇制一节这样的排水管需要 $0.156 \pi m^{3}$ 的混凝土.

【解析】利用圆柱的体积公式, 浇制一节这样的排水管需要的混凝土为 $\pi\left[\left(\frac{1}{2} D\right)^{2}-\right.$ $\left.\left(\frac{1}{2} d\right)^{2}\right] h$, 然后把 $d=68 \mathrm{~cm}$, 外径 $D=88 \mathrm{~cm}$, 长 $h=200 \mathrm{~cm}$ 代入计算, 最后结果保留 $\pi$.本题考查了因式分解的应用, 利用因式分解简化计算问题.


Answer:
【答案】答案test

【解析】解析test

Question:
某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个, 生产一个卫兵需 $5 \mathrm{~min}$, 生产一个骑兵需 $7 \mathrm{~min}$, 生产一个伞兵需 $4 \mathrm{~min}$, 已知总生产时间不超过 $10 h$. 若生产一个卫兵可获利5元, 生产一个骑兵可获利6元, 生产一个冞兵可获利3元.

(1)试用每天生产的卫兵个数 $x$ 与骑兵个数 $y$ 表示每天的利润 $w$.

(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大？最大利润是多少?

组合数学

【答案】答案test

【解析】解析test


Answer:
解$\times$

用米作单位表示物体的长度时，整数部分表示几米，小数点后面第一位表示几分米，第二位表示几厘米；据此解答即可。

7.3 米就是 7 米 3 分米，所以原题的说法错误。

故答案为: $x$

此题主要是考查长度单位的换算, 记住: 单位是米时, 小数部分十分位上的数表示分米数,百分位上的数表示厘米数......。

Question: 7.3 米就是 7 米 3 厘米。( $\quad)$

度量几何学

解$\times$

用米作单位表示物体的长度时，整数部分表示几米，小数点后面第一位表示几分米，第二位表示几厘米；据此解答即可。

7.3 米就是 7 米 3 分米，所以原题的说法错误。

故答案为: $x$

此题主要是考查长度单位的换算, 记住: 单位是米时, 小数部分十分位上的数表示分米数,百分位上的数表示厘米数......。


Answer:
解周长 $92 \mathrm{~cm}$; 面积 $368 \mathrm{~cm}^{2}$

【分析】根据图示, 图形的周长等于大长方形的周长加 2 个 $4 \mathrm{~cm}$, 根据长方形周长 $=($ 长 + 宽 $) \times 2$,代入数据计算即可解答;

根据图示, 图形的面积等于大长方形的面积减去长 $12 \mathrm{~cm}$, 宽 $4 \mathrm{~cm}$ 的小长方形的面积, 根据长方形面积 $=$ 长 $\times$ 宽, 代入数据计算即可解答。

【详解】周长: $(16+26) \times 2+4 \times 2$

$=42 \times 2+4 \times 2$

$=84+8$

$=92(\mathrm{~cm})$

面积： $16 \times 26-12 \times 4$

$=416-48$

$=368\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$

Question:
计算下图所示图形的周长及面积。（单位: $\mathrm{cm}$ )

<ImageHere>

度量几何学

解周长 $92 \mathrm{~cm}$; 面积 $368 \mathrm{~cm}^{2}$

【分析】根据图示, 图形的周长等于大长方形的周长加 2 个 $4 \mathrm{~cm}$, 根据长方形周长 $=($ 长 + 宽 $) \times 2$,代入数据计算即可解答;

根据图示, 图形的面积等于大长方形的面积减去长 $12 \mathrm{~cm}$, 宽 $4 \mathrm{~cm}$ 的小长方形的面积, 根据长方形面积 $=$ 长 $\times$ 宽, 代入数据计算即可解答。

【详解】周长: $(16+26) \times 2+4 \times 2$

$=42 \times 2+4 \times 2$

$=84+8$

$=92(\mathrm{~cm})$

面积： $16 \times 26-12 \times 4$

$=416-48$

$=368\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$


Answer:
解121 平方厘米

【分析】 此图为正方形, 正方形的面积 $=$ 边长 $\times$ 边长, 依此计算即可。

【详解】 $11 \times 11=121$ (平方厘米)

Question:
求下面正方形的面积。

<ImageHere>

度量几何学

解121 平方厘米

【分析】 此图为正方形, 正方形的面积 $=$ 边长 $\times$ 边长, 依此计算即可。

【详解】 $11 \times 11=121$ (平方厘米)


Answer:
解72 平方分米

【分析】根据图形的特点, 可以利用“填衴”法, 也就是用大长方形的面积减去一个长是 4 分米, 宽是 3 分米的小长方形的面积。根据长方形的面积 $=$ 长 $\times$ 宽, 把数据代入公式解答。

【详解】 $12 \times 7-4 \times 3$

$=84-12$

$=72($ 平方分米 $)$

图形面积是 72 平方分米。

Question:
计算下图图形的面积。

<ImageHere>

度量几何学

解72 平方分米

【分析】根据图形的特点, 可以利用“填衴”法, 也就是用大长方形的面积减去一个长是 4 分米, 宽是 3 分米的小长方形的面积。根据长方形的面积 $=$ 长 $\times$ 宽, 把数据代入公式解答。

【详解】 $12 \times 7-4 \times 3$

$=84-12$

$=72($ 平方分米 $)$

图形面积是 72 平方分米。


Answer:
解$\times$

比 15 大比 18 小的小数有一位小数, 还有两位小数、三位小数、四位小数......, 所以比 15 大而比 18 小的小数有无数个; 据此进行判断即可。

比 15 大比 18 小的小数有无数个;

故答案为: $x$

做此类型的判断题一定要注意“数”的取值范围。

Question: 比 15 大比 18 小的小数只有 2 个。 $(\quad)$

算术

解$\times$

比 15 大比 18 小的小数有一位小数, 还有两位小数、三位小数、四位小数......, 所以比 15 大而比 18 小的小数有无数个; 据此进行判断即可。

比 15 大比 18 小的小数有无数个;

故答案为: $x$

做此类型的判断题一定要注意“数”的取值范围。


Answer: 对

Question:
红红带 20 元钱足够买一本《安徒生通话》和一本《我们爱科学》. ( )

<ImageHere>

<ImageHere>

7.5 元 $/$ 本 4.5 元 $/$ 本

算术


Answer: 对

Question:
用坚式计算小数加减法时, 小数点要对齐。( $)$

<ImageHere>

算术

解对rt{ }$

依据小数坚式计算方法: 把小数点对齐, 相同的数位也就对齐了, 然后按照整数加减法计算方法计算解答。

根据分析, 用坚式计算小数加减法时, 小数点要对齐。

故答案为: 对rt{ }$

本题主要考查学生对于小数坚式计算方法的掌握情况。


Answer:
$120 ; 780 ; 57 ; 90 ; 950$;

$960 ; 690 ; 780 ; 720 ; 80$;

Question:
计算。

| $20 \times 6=$ | $130 \times 6=$ | $19 \times 3=$ | $45 \times 2=$ | $190 \times 5=$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | ---: |
| $240 \times 4=$ | $230 \times 3=$ | $390 \times 2=$ | $180 \times 4=$ | $16 \times 5=$ |

算术


Answer:
$418 ; 759 ; 882 ; 504$

【分析】笔算两位数乘两位数的进位乘法时, 用第二个乘数每一位上的数分别去乘第一个乘数, 用哪一位上的数去乘, 积的末尾就和那一位对齐, 哪一位乘得的积满几十, 就要向前一位进几, 再把两次乘得的积相加，据此解题即可。
【详解】 $38 \times 11=418$
$33 \times 23=759$
$42 \times 21=882$
$21 \times 24=504$

<ImageHere>

Question:
列坚式计算。

$38 \times 11=\quad 33 \times 23=\quad 42 \times 21=\quad 21 \times 24=$

算术

$418 ; 759 ; 882 ; 504$

【分析】笔算两位数乘两位数的进位乘法时, 用第二个乘数每一位上的数分别去乘第一个乘数, 用哪一位上的数去乘, 积的末尾就和那一位对齐, 哪一位乘得的积满几十, 就要向前一位进几, 再把两次乘得的积相加，据此解题即可。
【详解】 $38 \times 11=418$
$33 \times 23=759$
$42 \times 21=882$
$21 \times 24=504$

<ImageHere>


Answer:
$90 ; 96 ; 56 ; 36 ;$

$900 ; 960 ; 560 ; 360 ;$

Question:
比一比，算一算。

| $18 \times 5=$ | $24 \times 4=$ | $28 \times 2=$ | $12 \times 3=$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $180 \times 5=$ | $240 \times 4=$ | $280 \times 2=$ | $120 \times 3=$ |

算术


Answer:
$2888 ; 92 \ldots . .6$

$759 ; 83$

【分析】两位数乘两位数的坚式计算方法: 先用下面因数个位的数去乘上面因数, 得数的末位和下面因数的个位对齐, 再用下面因数十位上的数去乘上面的因数, 得数的末位和下面因数的十位对齐, 然后把两次乘得的数加起来;

三位数除以一位数的坚式计算方法: 从百位数开始除, 如果百位上的数不够除, 就用被除数前两位数除, 当除不尽有余数的时候, 把余数和被除数下一位上的数合在一起除以除数, 每次除得的余数必须比除数小;

除法验算方法: 商 $\times$ 除数 $=$ 被除数, 或者被除数 $\div$ 商 $=$ 除数;

有余数除法的验算方法: 商 $\times$ 除数+余数＝被除数。
【详解】 $76 \times 38=2888$
$* 650 \div 7=92 \ldots . .6$

$\begin{array}{r}76 \\ \times \quad 38 \\ \hline 608\end{array}$

<ImageHere>

$23 \times 33=759$

23 <br> $\begin{array}{r}\times 3 \\ \hline 69\end{array}$

$\frac{69}{759}$

<ImageHere>

$* 415 \div 5=83$

$5 \longdiv { \begin{array} { r r } { 8 } & { 3 } \\ { 4 } & { 1 5 } \\ { 4 } & { 0 } \\ { \hline 1 5 } \end{array} }$

$\frac{15}{0}$ 验算: $\frac{\times 15}{415}$

Question:
列坚式计算, 带*的需要验算。

$76 \times 38=$

$* 650 \div 7=$

$23 \times 33=$

* $415 \div 5=$

算术

$2888 ; 92 \ldots . .6$

$759 ; 83$

【分析】两位数乘两位数的坚式计算方法: 先用下面因数个位的数去乘上面因数, 得数的末位和下面因数的个位对齐, 再用下面因数十位上的数去乘上面的因数, 得数的末位和下面因数的十位对齐, 然后把两次乘得的数加起来;

三位数除以一位数的坚式计算方法: 从百位数开始除, 如果百位上的数不够除, 就用被除数前两位数除, 当除不尽有余数的时候, 把余数和被除数下一位上的数合在一起除以除数, 每次除得的余数必须比除数小;

除法验算方法: 商 $\times$ 除数 $=$ 被除数, 或者被除数 $\div$ 商 $=$ 除数;

有余数除法的验算方法: 商 $\times$ 除数+余数＝被除数。
【详解】 $76 \times 38=2888$
$* 650 \div 7=92 \ldots . .6$

$\begin{array}{r}76 \\ \times \quad 38 \\ \hline 608\end{array}$

<ImageHere>

$23 \times 33=759$

23 <br> $\begin{array}{r}\times 3 \\ \hline 69\end{array}$

$\frac{69}{759}$

<ImageHere>

$* 415 \div 5=83$

$5 \longdiv { \begin{array} { r r } { 8 } & { 3 } \\ { 4 } & { 1 5 } \\ { 4 } & { 0 } \\ { \hline 1 5 } \end{array} }$

$\frac{15}{0}$ 验算: $\frac{\times 15}{415}$


Answer:
$315 ; 304$;

$383 ; 2990$

【分析】 $910-17 \times 35$ 此题先算乘法, 再算减法。

$16 \times(57 \div 3)$ 此题先算除法, 再算乘法。

$48 \div 6+375$ 此题先算除法, 再算加法。
$5 \times 13 \times 46$ 此题应依次计算。

【详解】 $910-17 \times 35$

$=910-595$

$=315$

$16 \times(57 \div 3)$

$=16 \times 19$

$=304$

$48 \div 6+375$

$=8+375$

$=383$

$5 \times 13 \times 46$

$=65 \times 46$

$=2990$

Question:
脱式计算。

$910-17 \times 35$

$16 \times(57 \div 3)$

$48 \div 6+375$

$5 \times 13 \times 46$

算术


Answer:
$240 ; 2000 ; 24 ; 32 ;$

42；70；500；46

Question:
直接写得数。

| $480 \div 2=$ | $20 \times 100=$ | $12 \times 2=$ | $96 \div 3=$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $14 \times 3=$ | $7 \times 10=$ | $3000 \div 6=$ | $23 \times 2=$ |

21．_列坚式计算。（带 $\boldsymbol{k}$ 要验算）。

$43 \times 21=32 \times 30=\star 37 \times 52=$

算术


Answer:
240; 4332; 2700;

【分析】 $14 \times 37-278$ 此题先算乘法, 再算减法;

57× (304;4) 此题先算除法, 再算乘法;

$(25+35) \times 45$ 此题先算加法, 再算乘法。

【详解】 $14 \times 37-278$

$=518-278$

$=240$

$57 \times(304 \div 4)$

$=57 \times 76$

$=4332$

$(25+35) \times 45$

$=60 \times 45$

$=2700$

Question:
脱式计算。

$14 \times 37-278$

$57 \times(304 \div 4)$

$(25+35) \times 45$

算术


Answer:
$200 ; 0 ; 360$

$800 ; 260 ; 21$

【详解】略

Question:
直接写出得数。

| $800 \div 4=$ | $0 \div 2=$ | $120 \times 3=$ |
| :--- | :--- | ---: |
| $4800 \div 6=$ | $13 \times 20=$ | $84 \div 4=$ |

算术


Answer:
$416 ; 1600 ; 1222$

$61 ; 156 ; 210 \ldots . .1$

【分析】两位数乘两位数时, 先用第二个因数的个位上的数分别与第一个因数的每一位数相乘, 乘得结果要与个位对齐, 再用第二个因数的十位上的数分别与第一个因数的每一位数相乘, 乘得结果要与十位对齐, 然后两个结果相加就得到两位数乘两位数的结果。

乘法验算时, 交换两个因数的位置, 看积是不是相等。

除数是一位数的除法计算时, 从被除数的最高位除起, 每次先用除数试除被除数的前一位数, 如果它比除数小, 再试除前两位数。除到被除数的哪一位, 就把商写在那一位上面。每求出一位商, 余下的数必须比除数小。
除法验算时用商乘除数看是不是等于被除数; 有余数时, 用商乘除数加上余数看是不是等于被除数。

【详解】 $32 \times 13=416$ $64 \times 25=1600$

$\begin{array}{r}32 \\ \times \quad 13 \\ \hline 96\end{array}$

$\begin{array}{r}64 \\ \times \quad 25 \\ \hline 320\end{array}$

| 32 |
| :--- | :--- |
| 416 |

<ImageHere>

$\star 26 \times 47=1222$

<ImageHere>

<ImageHere>

$305 \div 5=61$

$624 \div 4=156$

$5 \longdiv { 3 6 1 }$

$4 \longdiv { 1 5 6 }$

| 4 |
| :--- | :--- |
| 22 |

| 20 |
| :--- | :--- |
| 24 |

$\begin{array}{r}24 \\ \hline 0\end{array}$

$\star 631 \div 3=210$.

.1

$3 \begin{array}{r}21 \\ 3 \longdiv { 6 3 1 }\end{array}$

6

3 验算: 630

$\frac{3}{1}$

<ImageHere>

Question:
笔算下面各题（带 $\star$ 的要验算）。

$32 \times 13=\quad 64 \times 25=\quad \star 26 \times 47=$

$305 \div 5=\quad 624 \div 4=\quad \star 631 \div 3=$

算术

$416 ; 1600 ; 1222$

$61 ; 156 ; 210 \ldots . .1$

【分析】两位数乘两位数时, 先用第二个因数的个位上的数分别与第一个因数的每一位数相乘, 乘得结果要与个位对齐, 再用第二个因数的十位上的数分别与第一个因数的每一位数相乘, 乘得结果要与十位对齐, 然后两个结果相加就得到两位数乘两位数的结果。

乘法验算时, 交换两个因数的位置, 看积是不是相等。

除数是一位数的除法计算时, 从被除数的最高位除起, 每次先用除数试除被除数的前一位数, 如果它比除数小, 再试除前两位数。除到被除数的哪一位, 就把商写在那一位上面。每求出一位商, 余下的数必须比除数小。
除法验算时用商乘除数看是不是等于被除数; 有余数时, 用商乘除数加上余数看是不是等于被除数。

【详解】 $32 \times 13=416$ $64 \times 25=1600$

$\begin{array}{r}32 \\ \times \quad 13 \\ \hline 96\end{array}$

$\begin{array}{r}64 \\ \times \quad 25 \\ \hline 320\end{array}$

| 32 |
| :--- | :--- |
| 416 |

<ImageHere>

$\star 26 \times 47=1222$

<ImageHere>

<ImageHere>

$305 \div 5=61$

$624 \div 4=156$

$5 \longdiv { 3 6 1 }$

$4 \longdiv { 1 5 6 }$

| 4 |
| :--- | :--- |
| 22 |

| 20 |
| :--- | :--- |
| 24 |

$\begin{array}{r}24 \\ \hline 0\end{array}$

$\star 631 \div 3=210$.

.1

$3 \begin{array}{r}21 \\ 3 \longdiv { 6 3 1 }\end{array}$

6

3 验算: 630

$\frac{3}{1}$

<ImageHere>


Answer:
$955 ; 107 ; 90$;

【分析】 $78 \times 21-683$ 此题先算乘法, 再算减法;

（855-106) $\div 7$ 此题先算减法, 再算除法;

$25 \times 18 \div 5$ 此题先算乘法, 再算除法。

【详解】 $78 \times 21-683$

$=1638-683$

$=955$
$(855-106) \div 7$

$=749 \div 7$

$=107$

$25 \times 18 \div 5$

$=450 \div 5$

$=90$

Question:
脱式计算。
$78 \times 21-683$
$(855-106) \div 7$
$25 \times 18 \div 5$

算术


Answer:
$20 ; 0 ; 100 ; 360 ; 1200$;

$101 ; 320 ; 120 ; 2000 ; 90 ;$

Question:
口算。

| $120 \div 6=$ | $0 \div 55=$ | $300 \div 3=$ | $12 \times 30=$ | $29 \times 39 \approx$ |
| :--- | :--- | ---: | :--- | :--- |
| $505 \div 5=$ | $960 \div 3=$ | $24 \times 5=$ | $25 \times 80=$ | $816 \div 9 \approx$ |

算术


Answer:
$782 ; 702 ; 1053 ; 476$

【分析】两位数乘两位数的笔算方法: 先用第二个因数个位上的数依次去乘第一个因数, 积的末尾与个位对齐; 再用第二个因数十位上的数依次去乘第一个因数, 积的末尾与十位对齐; 最后把两次乘得的积加起来, 据此解答即可。
【详解】 $23 \times 34=782$
$54 \times 13=702$
$39 \times 27=1053$
$17 \times 28=476$

<ImageHere>

$\frac{69}{782}$
54
<ImageHere>

$\frac{78}{1053}$
17

| $\times \quad 28$ |
| ---: | ---: |
| 136 |

$\frac{34}{476}$

Question:
列坚式计算。

$23 \times 34=$

$54 \times 13=$

$39 \times 27=$

$17 \times 28=$

算术

$782 ; 702 ; 1053 ; 476$

【分析】两位数乘两位数的笔算方法: 先用第二个因数个位上的数依次去乘第一个因数, 积的末尾与个位对齐; 再用第二个因数十位上的数依次去乘第一个因数, 积的末尾与十位对齐; 最后把两次乘得的积加起来, 据此解答即可。
【详解】 $23 \times 34=782$
$54 \times 13=702$
$39 \times 27=1053$
$17 \times 28=476$

<ImageHere>

$\frac{69}{782}$
54
<ImageHere>

$\frac{78}{1053}$
17

| $\times \quad 28$ |
| ---: | ---: |
| 136 |

$\frac{34}{476}$


Answer:
$80 ; 500 ; 0 ; 90 ; 300$

$2800 ; 840 ; 60 ; 90 ; 80$

Question:
直接写出得数。

| $560 \div 7=$ | $3000 \div 6=$ | $0 \div 39=$ | $810 \div 9=$ | $15 \times 20=$ |
| :--- | ---: | :--- | :--- | :--- |
| $40 \times 70=$ | $20 \times 42=$ | $300 \div 5=$ | $181 \div 2 \approx$ | $323 \div 4 \approx$ |

算术


Answer:
$650 ; 102 ;$

2491；66

【分析】两位数乘两位数, 先用第二个乘数的个位上的数去乘第一个乘数, 得数的末尾和个位对齐,再用第二个乘数的十位去乘第一个乘数, 得数的末尾和十位对齐, 然后将两次的积相加即可; 三位数除以一位数, 先用被除数的百位上的数去除, 如果百位上的数大于除数, 商就在百位, 如果小于, 商就在十位, 每次所得的余数一定要比除数小; 据此解答。

【详解】 $26 \times 25=650$

$$
408 \div 4=102
$$

| 26 |  |
| ---: | ---: |
| $\times \quad 25$ |  |
| 130 |  |
| 5 | 2 |
| 650 |  |

$47 \times 53=2491$

|  | 47 |  |
| ---: | ---: | ---: |
| $\times \quad 5$ | 3 |  |
|  | 14 | 4 |
| 2 | 3 | 5 |
| 2 | 4 | 91 |

<ImageHere>

$528 \div 8=66$

<ImageHere>

Question:
用坚式计算。

$26 \times 25=408 \div 4=$

$47 \times 53=\quad 528 \div 8=$

算术

$650 ; 102 ;$

2491；66

【分析】两位数乘两位数, 先用第二个乘数的个位上的数去乘第一个乘数, 得数的末尾和个位对齐,再用第二个乘数的十位去乘第一个乘数, 得数的末尾和十位对齐, 然后将两次的积相加即可; 三位数除以一位数, 先用被除数的百位上的数去除, 如果百位上的数大于除数, 商就在百位, 如果小于, 商就在十位, 每次所得的余数一定要比除数小; 据此解答。

【详解】 $26 \times 25=650$

$$
408 \div 4=102
$$

| 26 |  |
| ---: | ---: |
| $\times \quad 25$ |  |
| 130 |  |
| 5 | 2 |
| 650 |  |

$47 \times 53=2491$

|  | 47 |  |
| ---: | ---: | ---: |
| $\times \quad 5$ | 3 |  |
|  | 14 | 4 |
| 2 | 3 | 5 |
| 2 | 4 | 91 |

<ImageHere>

$528 \div 8=66$

<ImageHere>


Answer:
$315 ; 62$

【分析】（1）先算乘法, 再算减法; （2）先算加法, 再算除法。
【详解】 $910-17 \times 35$

$=910-595$

$=315$

$(263+109) \div 6$

$=372 \div 6$

$=62$

Question:
脱式计算。

$910-17 \times 35$

$$
(263+109) \div 6
$$

算术


Answer: $4000 ; 80 ; 40 ; 50$

Question:
直接写出得数。
$80 \times 50=$
$560 \div 7=$
$356 \div 9 \approx$
$203 \div 4 \approx$

算术


Answer:
$416 ; 1600 ; 1222$

$61 ; 156 ; 210 \ldots . .1$

【分析】两位数乘两位数时, 先用第二个因数的个位上的数分别与第一个因数的每一位数相乘, 乘得结果要与个位对齐, 再用第二个因数的十位上的数分别与第一个因数的每一位数相乘, 乘得结果要与十位对齐, 然后两个结果相加就得到两位数乘两位数的结果。

乘法验算时, 交换两个因数的位置, 看积是不是相等。

除数是一位数的除法计算时, 从被除数的最高位除起, 每次先用除数试除被除数的前一位数, 如果它比除数小, 再试除前两位数。除到被除数的哪一位, 就把商写在那一位上面。每求出一位商, 余下的数必须比除数小。

除法验算时用商乘除数看是不是等于被除数; 有余数时, 用商乘除数加上余数看是不是等于被除数。

【详解】 $32 \times 13=416$ $64 \times 25=1600$
$\begin{array}{r}32 \\ \times \quad 13 \\ \hline 96\end{array}$

| 3 | 2 |
| :--- | :--- |
| 4 | 16 |

$\begin{array}{r}64 \\ \times \quad 25 \\ \hline 320\end{array}$

| 1 | 2 | 8 |  |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 1 | 6 | 0 | 0 |

$\star 26 \times 47=1222$

<ImageHere>

\$\begin{array}{lll}1 \& 0 \& 4

1222 \& 22\end{array} \quad\$| 94 |
| :--- |
| 1222 |

$305 \div 5=61$

$624 \div 4=156$

$5 \longdiv { 3 \quad 6 \quad }$

$4 \begin{array}{r}156 \\ 624\end{array}$

4

$3 \quad 0$

5
5

0 $\quad$\begin{tabular}{rr}
20

\hline

$\quad$

2 \& 2

24

\hline \& 0
\end{tabular}

$\star 631 \div 3=210$.

1

$3 \begin{array}{rrr}2 & 1 & 0 \\ 6 & 3 & \end{array}$

$\frac{6}{3}$ 验算: $\frac{\times 3}{630}$

$\frac{3}{1} \quad \frac{+\quad 1}{631}$

Question:
笔算下面各题（带 $\boldsymbol{n}$ 的要验算）。

$32 \times 13=$

$64 \times 25=$

$\star 26 \times 47=$
$305 \div 5=\quad 624 \div 4=\quad \star 631 \div 3=$

算术

$416 ; 1600 ; 1222$

$61 ; 156 ; 210 \ldots . .1$

【分析】两位数乘两位数时, 先用第二个因数的个位上的数分别与第一个因数的每一位数相乘, 乘得结果要与个位对齐, 再用第二个因数的十位上的数分别与第一个因数的每一位数相乘, 乘得结果要与十位对齐, 然后两个结果相加就得到两位数乘两位数的结果。

乘法验算时, 交换两个因数的位置, 看积是不是相等。

除数是一位数的除法计算时, 从被除数的最高位除起, 每次先用除数试除被除数的前一位数, 如果它比除数小, 再试除前两位数。除到被除数的哪一位, 就把商写在那一位上面。每求出一位商, 余下的数必须比除数小。

除法验算时用商乘除数看是不是等于被除数; 有余数时, 用商乘除数加上余数看是不是等于被除数。

【详解】 $32 \times 13=416$ $64 \times 25=1600$
$\begin{array}{r}32 \\ \times \quad 13 \\ \hline 96\end{array}$

| 3 | 2 |
| :--- | :--- |
| 4 | 16 |

$\begin{array}{r}64 \\ \times \quad 25 \\ \hline 320\end{array}$

| 1 | 2 | 8 |  |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 1 | 6 | 0 | 0 |

$\star 26 \times 47=1222$

<ImageHere>

\$\begin{array}{lll}1 \& 0 \& 4

1222 \& 22\end{array} \quad\$| 94 |
| :--- |
| 1222 |

$305 \div 5=61$

$624 \div 4=156$

$5 \longdiv { 3 \quad 6 \quad }$

$4 \begin{array}{r}156 \\ 624\end{array}$

4

$3 \quad 0$

5
5

0 $\quad$\begin{tabular}{rr}
20

\hline

$\quad$

2 \& 2

24

\hline \& 0
\end{tabular}

$\star 631 \div 3=210$.

1

$3 \begin{array}{rrr}2 & 1 & 0 \\ 6 & 3 & \end{array}$

$\frac{6}{3}$ 验算: $\frac{\times 3}{630}$

$\frac{3}{1} \quad \frac{+\quad 1}{631}$


Answer:
$5 ; 40 ; 140 ; 53$

$69 ; 64 ; 23 ; 0$

Question:
口算。

| $25 \div 5=$ | $240 \div 6=$ | $28 \times 5=$ | $98-45=$ |
| :--- | :--- | :---: | :---: |
| $23 \times 3=$ | $46+18=$ | $92 \div 4=$ | $0 \div 7=$ |

算术


Answer:
$231 ; 137 ; 118$

【分析】笔算除数是一位数的除法, 先用除数去除被除数的首位, 如果不够除, 再去除被除数的前两位数, 除到哪位商就写在那位上, 除的过程中要注意, 余数总比除数小。没有余数的除法可以用商 $\times$除数＝被除数来验算。

【详解】 $693 \div 3=231$

$274 \div 2=137$

ॐ $472 \div 4=118$
$3 \begin{gathered}231 \\ 693\end{gathered}$
6 9
$2 \longdiv { 1 3 7 }$
$\frac{9}{3}$
2
7
$4 \begin{array}{r}118 \\ 4 \quad 72\end{array}$
$\frac{6}{14}$
4

<ImageHere>
$\begin{array}{lll}1 & 1 & 8\end{array}$
验算:

| 3 |
| :--- |
| 0 |

| $1 \quad 4$ |  |
| ---: | ---: |
|  | 0 |

<ImageHere>

Question:
用坚式计算, 带的的要验算。

$693 \div 3$

$274 \div 2$

ऊ $472 \div 4$

算术

$231 ; 137 ; 118$

【分析】笔算除数是一位数的除法, 先用除数去除被除数的首位, 如果不够除, 再去除被除数的前两位数, 除到哪位商就写在那位上, 除的过程中要注意, 余数总比除数小。没有余数的除法可以用商 $\times$除数＝被除数来验算。

【详解】 $693 \div 3=231$

$274 \div 2=137$

ॐ $472 \div 4=118$
$3 \begin{gathered}231 \\ 693\end{gathered}$
6 9
$2 \longdiv { 1 3 7 }$
$\frac{9}{3}$
2
7
$4 \begin{array}{r}118 \\ 4 \quad 72\end{array}$
$\frac{6}{14}$
4

<ImageHere>
$\begin{array}{lll}1 & 1 & 8\end{array}$
验算:

| 3 |
| :--- |
| 0 |

| $1 \quad 4$ |  |
| ---: | ---: |
|  | 0 |

<ImageHere>


Answer:
$81 ; 251 ; 70$

【分析】 $114-99 \div 3$ 此题先算除法, 再算减法;

$136+23 \times 5$ 此题先算乘法, 再算加法;

$630 \div(75-66)$ 此题先算减法, 再算除法。

【详解】 $114-99 \div 3$

$=114-33$

$=81$
$136+23 \times 5$

$=136+115$

$=251$

$630 \div(75-66)$

$=630 \div 9$

$=70$

Question:
脱式计算。

$114-99 \div 3 \quad 136+23 \times 5 \quad 630 \div(75-66)$

算术


Answer:
$90 ; 400 ; 450 ; 90$

$91 ; 320 ; 0 ; 80$

【详解】1略

Question:
口算。

| $270 \div 3=$ | $3200 \div 8=$ | $30 \times 15=$ | $809 \div 9 \approx$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $637 \div 7=$ | $160 \times 2=$ | $0 \div 8=$ | $329 \div 4 \approx$ |

算术


Answer:
2610, 1472;

5850,1541 。

【分析】笔算两位数乘两位数的进位乘法时, 用第二个乘数每一位上的数分别去乘第一个乘数, 用哪一位上的数去乘, 积的末尾就和那一位对齐, 哪一位乘得的积满几十, 就要向前一位进几, 再把两次乘得的积相加。

乘法算式的验算方法有: 方法一, 交换式中因数的位置进行验算; 方法二, 根据积 $=$ 其中一个因数 $=$另一个因数进行验算。

【详解】 $45 \times 58=2610 \quad \times 32 \times 46=1472$

<ImageHere>

| 22 | 5 |  | 2 | 8 |  |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
|  | 10 |  |  |  |  |

$90 \times 65=5850 \quad ※ 67 \times 23=1541$

|  |  | 0 |  |  |  | 7 |  |  | 2 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
|  | $k 6$ | 5 |  | $x$ |  | 3 |  | $x$ | 6 |
|  | 45 | 0 |  | 2 | D | 1验算: |  | 1 | 6 |
| 5 | 4 |  | 1 | 3 |  |  | 1 | 3 | 8 |
|  | 8 | $\overline{0}$ | 1 | 5 | 4 | 1 |  | 5 | 4 |

Question:
用坚式计算, 带 $※$ 的要验算。

$45 \times 58=\quad ※ 32 \times 46=\quad 90 \times 65=\quad ※ 67 \times 23=$

算术


Answer:
$714 ; 566 ; 208$

【分析】按照四则混合运算的顺序, 先算乘除法, 再算加减法, 有括号的要先算括号里的。

【详解】 $68 \div 2 \times 21$

$=34 \times 21$

$=714$

$16+22 \times 25$

$=16+550$

$=566$

$16 \times(65 \div 5)$

$=16 \times 13$

$=208$

Question:
脱式计算。

$68 \div 2 \times 21$

$16+22 \times 25$

$16 \times(65 \div 5)$

算术


Answer:
解

<ImageHere>

略

Question:
稌一涂。
<ImageHere>

0.23

<ImageHere>

组合数学


Answer:
解6 个, $\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{3}{5}, \frac{3}{7}, \frac{5}{7}$

【解析】

【分析】

分子要小于分母, 按一定顺序排列, 做到不重复、不遗漏。当 1 作为分子时, 分母可以是 3 、 5 和 7, 三种情况。当 3 作为分子时, 分母可以是 5 和 7 , 两种情况。当 5 作为分子时, 分母可以是 7, 一种情况。一共有 6 种情况。

【详解】

根据分析可知, 从 $1 、 3 、 5 、 7$ 中选出两个数组成一个分数 (分子要小于分母), 一共能组成 6 个, 分别是 $\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{3}{5}, \frac{3}{7}, \frac{5}{7}$ 。

答: 一共能组成 6 个, 分别是 $\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{3}{5}, \frac{3}{7}, \frac{5}{7}$ 。

【点睛】

写出的的分数一定要分子小于分母, 这是解答本题的关键。

Question: 从 $1 、 3 、 5 、 7$ 中选出两个数组成一个分数（分子要小于分母），一共能组成多少个?请把这些分数都写出来。

组合数学

解6 个, $\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{3}{5}, \frac{3}{7}, \frac{5}{7}$

【解析】

【分析】

分子要小于分母, 按一定顺序排列, 做到不重复、不遗漏。当 1 作为分子时, 分母可以是 3 、 5 和 7, 三种情况。当 3 作为分子时, 分母可以是 5 和 7 , 两种情况。当 5 作为分子时, 分母可以是 7, 一种情况。一共有 6 种情况。

【详解】

根据分析可知, 从 $1 、 3 、 5 、 7$ 中选出两个数组成一个分数 (分子要小于分母), 一共能组成 6 个, 分别是 $\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{3}{5}, \frac{3}{7}, \frac{5}{7}$ 。

答: 一共能组成 6 个, 分别是 $\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{3}{5}, \frac{3}{7}, \frac{5}{7}$ 。

【点睛】

写出的的分数一定要分子小于分母, 这是解答本题的关键。


Answer:
解132 封信; 66 次电话

【解析】

【分析】

12 位朋友互通一封信, 相当于是双循环比赛, 互通一次电话相当于是单循环比赛。

【详解】

$12 \times(12-1)$

$=12 \times 11$

$=132$

$12 \times(12-1) \div 2$

$=12 \times 11 \div 2$

$=66$

答: 互通一封信需写 132 封信; 互通一次电话需打 66 次电话。

【点睛】

$\mathrm{n}$ 的选手进行比赛, 单循环比赛场次 $n \times(n-1) \div 2$, 双循环比赛场次 $n \times(n-1)$ 。

Question: 12 位朋友互通一封信需写多少封信？他们互通一次电话需打多少次电话？

计数

解132 封信; 66 次电话

【解析】

【分析】

12 位朋友互通一封信, 相当于是双循环比赛, 互通一次电话相当于是单循环比赛。

【详解】

$12 \times(12-1)$

$=12 \times 11$

$=132$

$12 \times(12-1) \div 2$

$=12 \times 11 \div 2$

$=66$

答: 互通一封信需写 132 封信; 互通一次电话需打 66 次电话。

【点睛】

$\mathrm{n}$ 的选手进行比赛, 单循环比赛场次 $n \times(n-1) \div 2$, 双循环比赛场次 $n \times(n-1)$ 。


Answer:
解(1) $783 ; 107$;

（2）一年级一共有多少人？230 人；（答案不唯一）

【分析】(1) 直接将每个年级的男生人数加起来即可。通过统计表即可知道三年级的女生有多少人,依此解答。

（2）根据统计表中的信息提出问题并解答, 符合题意即可。例如: 一年级一共有多少人? 计算时用一年级的男生人数加女生人数即可。

【详解】 (1) $120+125+118+130+140+150$

$=245+118+130+140+150$

$=363+130+140+150$

$=493+140+150$

$=633+150$
$=783$ (人)

即全校男生有 783 人; 通过统计表可知, 三年级女生有 107 人。

(2) 一年级一共有多少人?

$120+110=230$ (人)

答: 一年级一共有 230 人。

【点睛】熟练掌握复式统计表的特点是解答此题的关键。

Question:
实验小学各年级学生人数统计如下:

| 人 | 年 <br> 性 | 一年级 | 二年级 | 三年级 | 四年级 | 五年级 | 六年级 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 性 | 别 | 120 | 125 | 118 | 130 | 140 | 150 |
| 女 | 生 | 110 | 105 | 107 | 108 | 113 | 110 |

（1）全校男生有（）人，三年级女生有（）人。

(2) 提出其它数学问题并解答。

计数

解(1) $783 ; 107$;

（2）一年级一共有多少人？230 人；（答案不唯一）

【分析】(1) 直接将每个年级的男生人数加起来即可。通过统计表即可知道三年级的女生有多少人,依此解答。

（2）根据统计表中的信息提出问题并解答, 符合题意即可。例如: 一年级一共有多少人? 计算时用一年级的男生人数加女生人数即可。

【详解】 (1) $120+125+118+130+140+150$

$=245+118+130+140+150$

$=363+130+140+150$

$=493+140+150$

$=633+150$
$=783$ (人)

即全校男生有 783 人; 通过统计表可知, 三年级女生有 107 人。

(2) 一年级一共有多少人?

$120+110=230$ (人)

答: 一年级一共有 230 人。

【点睛】熟练掌握复式统计表的特点是解答此题的关键。


Answer:
解见详解。

【分析】依据地图上的方向别别方法, 即“上北下南, 左西右东”，以及题目所给的各种信息, 即可进行解答。

【详解】

<ImageHere>

【点睛】本题考查方向与位置的实际应用能力。

Question:
这次客人们到学校里来参观科技成果展, 请你把科教楼的展厅平面图补充完整。展厅的入口在东南角; 出口在西南角; 声光科技厅在花坛的东北角; 动手操作室在花坛的西北角; 学生成果展示厅在动手操作室的南面, 休息室在花坛的南面。

<ImageHere>

画法几何学

解见详解。

【分析】依据地图上的方向别别方法, 即“上北下南, 左西右东”，以及题目所给的各种信息, 即可进行解答。

【详解】

<ImageHere>

【点睛】本题考查方向与位置的实际应用能力。


Answer:
解33 平方米

【分析】组合图形的面积是由一个长为 4 米, 宽为 3 米的长方形面积和一个长为 7 米, 宽为 $(6-3)$米的长方形面积组合而成, 利用长方形的面积公式分别求出这两个图形的面积, 再相加即可求出组合图形的面积。

【详解】根据分析, 如图所示:

<ImageHere>

$4 \times 3+7 \times(6-3)$
$=12+7 \times 3$

$=12+21$

$=33$ (平方米)

即组合图形的面积是 33 平方米。

Question:
求组合图形的面积。 (在求解过程中, 要求画出对应的分割线)

<ImageHere>

组合几何学

解33 平方米

【分析】组合图形的面积是由一个长为 4 米, 宽为 3 米的长方形面积和一个长为 7 米, 宽为 $(6-3)$米的长方形面积组合而成, 利用长方形的面积公式分别求出这两个图形的面积, 再相加即可求出组合图形的面积。

【详解】根据分析, 如图所示:

<ImageHere>

$4 \times 3+7 \times(6-3)$
$=12+7 \times 3$

$=12+21$

$=33$ (平方米)

即组合图形的面积是 33 平方米。


Answer: 错

Question: 四边形的周长一定大于三角形的周长。

立体几何学


Answer:
解$6300 ; 8 ; 12 ; 0$;

$50 ; 88 ; 1000 ; 29$

【详解】略

Question:
直接写出得数。

| $90 \times 70=$ | $400 \div 50=$ | $28 \div 7 \times 3=$ | $300 \times 24 \times 0=$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $700 \div 14=$ | $174-86=$ | $350+650=$ | $36-36 \div 4=$ |

算术


Answer:
解$550 ; 149$

【分析】（1）先算小括号里面的减法, 再从左向右进行计算;

（2）先算乘法, 再从左向右进行计算。

【详解】 $350 \div 14 \times(276-254)$

$=350 \div 14 \times 22$

$=25 \times 22$

$=550$

$810-54 \times 13+41$

$=810-702+41$

$=108+41$

$=149$

Question:
脱式计算。

$350 \div 14 \times(276-254) \quad 810-54 \times 13+41$

算术


Answer:
解7

【分析】根据题目意思, 先计算差, 再除以 7 即可。

【详解】 (118-69) $\div 7$
$=49 \div 7$

$=7$

Question: 118 与 69 的差是 7 的多少倍?

算术

解7

【分析】根据题目意思, 先计算差, 再除以 7 即可。

【详解】 (118-69) $\div 7$
$=49 \div 7$

$=7$


Answer:
解【解答】解:
$82+258=340$
$860-403=457$
$24 \times 60=1440$
$75-6 \times(1+4)=45$
$58 \times 0=0$
$320 \div 20=16$
$125-25 \times 0=125$
$12 \times 4 \div 12 \times 4=16$

Question:
（2015 春・衡阳月考）口算
$82+258=$
$860-403=$
$24 \times 60=$
$75-6 \times(1+4)=$
$58 \times 0=$
$320 \div 20=$
$125-25 \times 0=$
$12 \times 4 \div 12 \times 4=$

算术


Answer:
解【解答】解: (1) $480 \div(2 \times \square)=16$

$$
2 \times \square=30
$$

$\square=15$

(2) $(3079+\square) \div 76=89$

$$
3079+\square=6764
$$

$\square=3685$

故答案为: 15,3685 .

Question:
（2013 秋 $\cdot$ 海安县期中）在方框内填上合适的数.

$$
\begin{array}{r}
480 \div(2 \times \square)=16 \\
(3079+\square) \div 76=89
\end{array}
$$

算术


Answer:
解【解答】解: （1） $540 \div 6+3 \times 2$

$$
\begin{aligned}
& 90+6 \\
& =96 \\
& (2) \quad(540 \div 6+3) \times 2 \\
& =(90+3) \times 2 \\
& =93 \times 2 \\
& =186
\end{aligned}
$$

(3) $540 \div[(6+3) \times 2]$

$=540 \div[9 \times 2]$

$=540 \div 18$

$=30$

Question:
算一算, 比一比。
$540 \div 6+3 \times 2$
$(540 \div 6+3) \times 2$
$540 \div[(6+3) \times 2]$

算术


Answer:
解$150 ; 30 ; 492 ; 68$;

20；960；225；5

【详解】略

Question:
直接写得数。

| $15 \times 10=$ | $600 \div 20=$ | $430+62=$ | $8+2 \times 30=$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $800 \div 40=$ | $32 \times 30=$ | $350-125=$ | $16 \times 5 \div 16=$ |

算术


Answer:
解$536 ; 5$

【分析】整数四则混合运算，先乘除后加减; 同级运算，从左往右算; 有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。

【详解】 $36+64 \div 16 \times 125$

$=36+500$

$=536$

$3000 \div[(50-26) \times 25]$

$=3000 \div[24 \times 25]$

$=3000 \div 600$

$=5$

Question:
计算下面各题。

$36+64 \div 16 \times 125 \quad 3000 \div[(50-26) \times 25]$

算术


Answer:
解23

【分析】根据题意要求, 计算顺序是先求出和与差, 最后求商, 列式 $(85+260) \div(50-35)$ 据此解答。

【详解】 $(85+260) \div(50-35)$

$=345 \div 15$

$=23$

Question: 85 与 260 的和除以 50 减去 35 的差, 商是多少?

算术


Answer:
解$150 ; 1500 ; 1955$;

$3 ; 126 ; 840$

【分析】第一小题,先算乘法,再算加法, 最后计算减法;

第二小题，先算小括号里面的减法，再算中括号里面的加法，最后计算中括号外面的乘法;第三小题, 先算括号里面的除法, 再算括号里面的加法, 最后计算括号外面的乘法;

第四小题, 先算小括号里面的减法, 再算中括号里面的乘法, 最后计算中括号外面的除法;第五小题, 先算括号里面的加法, 再算括号外面的除法, 最后计算括号外面的加法;第六小题, 先算乘法, 再算减法。

【详解】 $560+40-30 \times 15$

$=560+40-450$

$=600-450$

$=150$

$[228+(84-12)] \times 5$

$=[228+72] \times 5$

$=300 \times 5$

$=1500$

$17 \times(35+480 \div 6)$

$=17 \times(35+80)$

$=17 \times 115$

$=1955$

$270 \div[18 \times(51-46)]$

$$
\begin{aligned}
&= 270 \div[18 \times 5] \\
&= 270 \div 90 \\
&= 3 \\
&(135+415) \div 5+16 \\
&= 550 \div 5+16 \\
&= 110+16 \\
&= 126 \\
& 1200-20 \times 18 \\
&= 1200-360 \\
&=840
\end{aligned}
$$

Question:
用你喜欢的方法计算。

$560+40-30 \times 15 \quad[228+(84-12)] \times 5 \quad 17 \times(35+480 \div 6)$
$270 \div[18 \times(51-46)] \quad(135+415) \div 5+16 \quad 1200-20 \times 18$

算术


Answer:
解5

【分析】根据题意可知, 此题是先算加法和减法, 再算除法, 根据混合运算的计算顺序列出综合算式并计算即可, 混合运算的计算顺序是：先算乘、除法, 再算加、减法, 有括号时应先算括号里面的,再算括号外面的, 依此解答。

【详解】 $(91+9) \div(375-355)$

$=100 \div 20$

$=5$

Question: 用 91 与 9 的和除以 375 与 355 的差，商是多少?

算术

解5

【分析】根据题意可知, 此题是先算加法和减法, 再算除法, 根据混合运算的计算顺序列出综合算式并计算即可, 混合运算的计算顺序是：先算乘、除法, 再算加、减法, 有括号时应先算括号里面的,再算括号外面的, 依此解答。

【详解】 $(91+9) \div(375-355)$

$=100 \div 20$

$=5$


Answer:
解 $25 \times 8=200$

$125 \div 100=1.25$

$28 \div 4 \times 7=49$

46- $(29+17)=0$

$57+43+27=127$

$36-0 \times 7=36$

$25 \times 9 \times 4=900$

$75-25 \div 5=70$

$(24-8) \div 4=4$

Question:
直接写出得数
$25 \times 8=$
$125 \div 100=$
$28 \div 4 \times 7=$
46- $(29+17)=$
$57+43+27=$
$36-0 \times 7=$
$25 \times 9 \times 4=$
$75-25 \div 5=$
$(24-8) \div 4=$

算术


Answer:
解 (1) 解: $(120-85) \times 12 \div 7$

$=(120-85) \times 12 \div 7$

$=35 \times 12 \div 7$

$=420 \div 7$

$=60$

（2）解: ( $900-16 \times 35) \div 34$

$=(900-560) \div 34$
$=340 \div 34$

$=10$

（3）解: $22+[(72+28) \div 4]$

$=22+[100 \div 4]$

$=22+25$

$=47$

Question:
脱式计算
(1) $(120-85) \times 12 \div 7$
(2) $(900-16 \times 35) \div 34$
(3) $22+[(72+28) \div 4]$

算术


Answer:
解$150 ; 30 ; 492 ; 68$;

$20 ; 960 ; 225 ; 5$

Question:
直接写得数。

| $15 \times 10=$ | $600 \div 20=$ | $430+62=$ | $8+2 \times 30=$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $800 \div 40=$ | $32 \times 30=$ | $350-125=$ | $16 \times 5 \div 16=$ |

算术


Answer:
解$414 ; 35$

【分析】（1）从左到右依次计算;

（2）先算括号里面的加法，再算括号外的除法。

【详解】 $774 \div 43 \times 23$

$=18 \times 23$

$=414$

$(589+146) \div 21$

$=735 \div 21$

$=35$

Question:
脱式计算。

$774 \div 43 \times 23 \quad(589+146) \div 21$

算术


Answer:
解420

【分析】先用 38 乘 5 求出积, 再用 230 加上求出的积即可;

【详解】 $230+38 \times 5$

$=230+190$
$=420$

所以所得的和是 420 。

【点睛】列式计算, 关键是弄清运算顺序，然后再列式解答。

Question:
列式计算。

230 加上 38 的 5 倍, 所得的和是多少?

算术

解420

【分析】先用 38 乘 5 求出积, 再用 230 加上求出的积即可;

【详解】 $230+38 \times 5$

$=230+190$
$=420$

所以所得的和是 420 。

【点睛】列式计算, 关键是弄清运算顺序，然后再列式解答。


Answer:
解760; 360; 60; 3600

200; 1000; 250; 200

【解析】略

Question:
直接写出得数。

$\begin{array}{llll}60+700= & 72 \times 5= & 420 \div 7= & 36 \times 100= \\ 800-600= & 125 \times 8= & 25 \times 5 \times 2= & 360-134-26=\end{array}$

算术


Answer:
解12 个

【分析】可以组成的小数有: $2.34 、 2.43 、 24.3 、 23.4 、 3.24 、 3.42 、 32.4 、 34.2 、 4.23 、 4.32 、 42.3 、$ 43.2, 共有 12 个小数, 据此解答。

【详解】用数字卡片 $、 3$, $、 4$ 和小数点 $\square$, 能够组成多少个不同的小数（每张卡片都要用上）?

答: 能够组成 12 个不同的小数。

【点睛】本题考查小数组成的实际应用, 熟知小数是由整数部分、小数部分、小数点组成是解答本题的关键。

Question: 用数字卡片 $、 2$, $、 4$ 和小数点 $\square$, 能够组成多少个不同的小数（每张卡片都要用上）?

组合数学

解12 个

【分析】可以组成的小数有: $2.34 、 2.43 、 24.3 、 23.4 、 3.24 、 3.42 、 32.4 、 34.2 、 4.23 、 4.32 、 42.3 、$ 43.2, 共有 12 个小数, 据此解答。

【详解】用数字卡片 $、 3$, $、 4$ 和小数点 $\square$, 能够组成多少个不同的小数（每张卡片都要用上）?

答: 能够组成 12 个不同的小数。

【点睛】本题考查小数组成的实际应用, 熟知小数是由整数部分、小数部分、小数点组成是解答本题的关键。


Answer:
解(1) $55^{\circ}$

(2) $120^{\circ}$

【分析】(1) 如图一个直角三角形, 那么一个角是 90 度, 另两个角的和是 90 度, 用 90 度减去给出的一个角的度数就是所求的角的度数;

（2）根据三角形内角和度数是 180 度, 减去所给的两个角的度数, 就是所求角的度数, 据此解答。

【详解】(1) $90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}$

(2) $180^{\circ}-36^{\circ}-24$

$=144^{\circ}-24^{\circ}$

$=120^{\circ}$

Question:
求出图中未知角的度数。
(1)

<ImageHere>
(2)

<ImageHere>

度量几何学

解(1) $55^{\circ}$

(2) $120^{\circ}$

【分析】(1) 如图一个直角三角形, 那么一个角是 90 度, 另两个角的和是 90 度, 用 90 度减去给出的一个角的度数就是所求的角的度数;

（2）根据三角形内角和度数是 180 度, 减去所给的两个角的度数, 就是所求角的度数, 据此解答。

【详解】(1) $90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}$

(2) $180^{\circ}-36^{\circ}-24$

$=144^{\circ}-24^{\circ}$

$=120^{\circ}$


Answer:
解$\angle 1=30^{\circ} ; \angle 1=56^{\circ}$;

【分析】三角形的内角和为 $180^{\circ}$, 直角 $=90^{\circ}$, 平角 $=180^{\circ}$, 即用 $180^{\circ}$ 减去 $120^{\circ}$ 即可得到图 1 中与 $120^{\circ}$相邻的角的度数, 然后用 $180^{\circ}$ 减去三角形用另外两个角的度数之和即可;

等腰三角形的两个底角相等, 因此用 $180^{\circ}$ 减去 $68^{\circ}$ 后, 再除以 2 即可得到 $\angle 1$ 的度数, 依此计算。

【详解】 $180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$

$60^{\circ}+90^{\circ}=150^{\circ}$

$180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$

即图 1 中, $\angle 1=30^{\circ}$

$180^{\circ}-68^{\circ}=112^{\circ}$

$112^{\circ} \div 2=56^{\circ}$

即图 2 中, $\angle 1=56^{\circ}$ 。

Question:
下列图形中 $\angle 1$ 的度数。
<ImageHere>

度量几何学


Answer:
解(1) $2018 ; 2021$;
(2) 2021 ;

（3）男生和女生的近视人数都在逐年减少。（答案不唯一）

【分析】（1）男生对应的灰色条状中，哪一年对应的条状最高，则男生这一年近视人数最多；男生对应的灰色条状中，哪一年对应的条状最矮，则男生这一年近视人数最少。

（2）哪一年中，男生和女生对应的条状相差最多，则这一年男女近视人数相差数量最大。

（3）根据统计图中的信息进行解答，言之合理即可。

【详解】（1）根据统计图可知，男生 2018 年近视人数最多，2021 年最少。

（2）根据统计图可知，2021 年男女近视人数相差数量最大。

（3）根据统计图可知，男生和女生的近视人数都在逐年减少。

【点睛】此题是考查如何从复式条形统计图中获取信息，并根据所获取的信息解决实际问题。

Question:
上海路小学近四年男、女生近视人数如下图。

<ImageHere>

（1）男生（）年近视人数最多，（）年最少。

（2）（）年男女近视人数相差数量最大。

(3) 你还能得到哪些信息?

计数

解(1) $2018 ; 2021$;
(2) 2021 ;

（3）男生和女生的近视人数都在逐年减少。（答案不唯一）

【分析】（1）男生对应的灰色条状中，哪一年对应的条状最高，则男生这一年近视人数最多；男生对应的灰色条状中，哪一年对应的条状最矮，则男生这一年近视人数最少。

（2）哪一年中，男生和女生对应的条状相差最多，则这一年男女近视人数相差数量最大。

（3）根据统计图中的信息进行解答，言之合理即可。

【详解】（1）根据统计图可知，男生 2018 年近视人数最多，2021 年最少。

（2）根据统计图可知，2021 年男女近视人数相差数量最大。

（3）根据统计图可知，男生和女生的近视人数都在逐年减少。

【点睛】此题是考查如何从复式条形统计图中获取信息，并根据所获取的信息解决实际问题。


Answer:
解 $144 \div 4 \div 3$

$$
=36 \div 3
$$

$=12$ (厘米)

$12-3=9$ (厘米)

$12 \times 12 \times 9$

$=144 \times 9$

$=1296$ （立方厘米）

答: 原来长方体的体积是 1296 立方厘米。

Question: （2022 春・峄城区期末）一个长方体，高增加 $3 \mathrm{~cm}$ ，就变成了一个正方体，这时表面积比原来增加 $144 \mathrm{~cm}^{2}$ 。原来长方体的体积是多少立方厘米?

立体几何学


Answer:
解 $4 \times 4 \times 4-6 \times 5 \times(4-3.2)$

$=16 \times 4-3 \times 0.8$

$=64-24$

$=40$ （立方分米）

40 立方分米 $=40$ 升

答: 缸里的水溢出 40 升。

Question:
（2022 春・兴平市期末）一个长方体的玻璃缸, 从里面量长是 $6 \mathrm{dm}$, 宽是 $5 \mathrm{dm}$, 高是 $4 \mathrm{dm}$, 水深是 $3.2 d m$ 。如果投入一块棱长是 $4 d m$ 的正方体铁块（如图）, 缸里的水溢出多少升?
    <ImageHere>

立体几何学


Answer:
解 $10 \times 10 \times 10=1000$ (立方厘米) $=1$ (立方分米)

$1 \div(2.5 \times 2)$

$=1 \div 5$

$=0.2$ (分米)

答: 这块钢板有 0.2 分米厚。

Question: （2022・天津模拟）把一块棱长为 10 厘米的正方体钢坏, 锻造成一个长 2.5 分米, 宽 2 分米的长方体钢板，这块钢板有多厚？（损耗不计）

立体几何学


Answer:
解96 平方厘米, 64 立方厘米; 136 平方厘米, 96 立方厘米

【分析】根据长方体的表面积公式: $\mathrm{S}=(\mathrm{ab}+\mathrm{ah}+\mathrm{bh}) \times 2$, 长方体的体积公式: $\mathrm{V}=\mathrm{abh}$; 正方体的表面积公式: $S=6 a^{2}$, 正方体的体积公式: $V=a^{3}$; 据此代入数值进行计算即可。

【详解】 $4 \times 4 \times 6$

$=16 \times 6$

$=96$ (平方厘米)

$4 \times 4 \times 4$

$=16 \times 4$

$=64$ （立方厘米）

$(8 \times 4+8 \times 3+4 \times 3) \times 2$

$=(32+24+12) \times 2$

$=68 \times 2$

$=136$ (平方厘米)

$8 \times 4 \times 3$
$=32 \times 3$

$=96$ （立方厘米）

Question:
求下面长方体和正方体的表面积和体积。（单位：厘米。)
<ImageHere>

立体几何学

解96 平方厘米, 64 立方厘米; 136 平方厘米, 96 立方厘米

【分析】根据长方体的表面积公式: $\mathrm{S}=(\mathrm{ab}+\mathrm{ah}+\mathrm{bh}) \times 2$, 长方体的体积公式: $\mathrm{V}=\mathrm{abh}$; 正方体的表面积公式: $S=6 a^{2}$, 正方体的体积公式: $V=a^{3}$; 据此代入数值进行计算即可。

【详解】 $4 \times 4 \times 6$

$=16 \times 6$

$=96$ (平方厘米)

$4 \times 4 \times 4$

$=16 \times 4$

$=64$ （立方厘米）

$(8 \times 4+8 \times 3+4 \times 3) \times 2$

$=(32+24+12) \times 2$

$=68 \times 2$

$=136$ (平方厘米)

$8 \times 4 \times 3$
$=32 \times 3$

$=96$ （立方厘米）


Answer:
解216 平方厘米; 204 立方厘米

【分析】组合体的表面积 $=$ 大正方体表面积, 正方体表面积 $=$ 棱长 $\times$ 棱长 $\times 6$; 组合体体积 $=$ 大正方体体积一小长方体体积, 正方体体积 $=$ 棱长 $\times$ 棱长 $\times$ 棱长, 长方体体积 $=$ 棱长 $\times$ 棱长 $\times$ 棱长, 据此列式计

算。

【详解】 $6 \times 6 \times 6=216$ (平方厘米)

$6 \times 6 \times 6-2 \times 2 \times 3$

$=216-12$

$=204$ （立方厘米）

Question:
求下面图形的表面积和体积。(单位: 厘米)

<ImageHere>

立体几何学

解216 平方厘米; 204 立方厘米

【分析】组合体的表面积 $=$ 大正方体表面积, 正方体表面积 $=$ 棱长 $\times$ 棱长 $\times 6$; 组合体体积 $=$ 大正方体体积一小长方体体积, 正方体体积 $=$ 棱长 $\times$ 棱长 $\times$ 棱长, 长方体体积 $=$ 棱长 $\times$ 棱长 $\times$ 棱长, 据此列式计

算。

【详解】 $6 \times 6 \times 6=216$ (平方厘米)

$6 \times 6 \times 6-2 \times 2 \times 3$

$=216-12$

$=204$ （立方厘米）