Question: 某人进行射击, 共有 10 发子弹, 若击中目标或子弹打完就停止射击, 射击次数为 $\xi$ 则 $\xi=10$,表示的试验结果是( )

A.第 10 次击中目标
B.第 10 次未击中目标
C. 前 9 次未击中目标
D. 第 9 次击中目标

计数

答案:C

【解析】击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数 $\xi=10$, 则说明前 9 次均未击中目标, 第 10 次击中目标或未击中目标,故选 C.


Question:
随机变量 $\xi^{\xi}$ 的分布列如表所示, 则 $E(\xi)$ 的最大值是( )

| $\xi$ | -1 | 0 | $a$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}+a$ | $\frac{1}{4}-b$ |

计数

答案:B

【解析】根据随机变量分布列的性质, 所有的概率之和为 1 , 且每个概率都介于 0 和 1 之间,

得到 $b-a=0,-\frac{1}{2}<b<\frac{1}{4}$. 根据随机变量数学期望公式得

$E(\xi)=(-1) \times \frac{1}{4}+a\left(\frac{1}{4}-b\right)=-b^{2}+\frac{1}{4} b-\frac{1}{4}=-\left(b-\frac{1}{8}\right)^{2}-\frac{15}{64}$, 当 $b=\frac{1}{8}$ 时, $E(5)_{\text {取得最大值 }}$

$-\frac{15}{64}$, 经检验符合题意.故选 B.


Question:
若随机变量 $X$ 的分布列为

| $X$ | 0 | 1 |
| :---: | :---: | :---: |
| $P$ | 0.2 | $m$ |

已知随机变量 ${ }^{Y=a X+b(a, b \in \mathbf{R}, a>0)}$, 且 $E(Y)=10, D(Y)=4$, 则 $a$ 与 $b$ 的值为 ( )

计数

答案:C

【解析】由随机变量 $X$ 的分布列可知, $m=1-


Question: 已知 $X$ 为随机变量, 则下列说法错误的是( )

计数


Question:
已知随机变量 $X, Y$ 满足 $Y=2 X+1$, 且随机变量 ${ }^{X}$ 的分布列如下:

| $X$ | 0 | 1 | 2 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{3}$ | $a$ |

则随机变量 ${ }^{Y}$ 的方差 $D(Y)=(\quad)$

计数


Question: 已知随机变量 $\xi-B(n, p), E \xi=15, D \xi=\frac{45}{4}$, 则 $n$ 及 $p$ 的值分别为 ( )

计数

答案:C

【解析】$\because \xi-B(n, p)$ 且 $\xi=15, D \xi=\frac{45}{4} \therefore\left\{\begin{array}{c}n p=15 \\ n p(1-p)=\frac{45}{4}\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{c}n=60 \\ p=\frac{1}{4}\end{array}\right.$


Question:
随机变量 $X$ 的分布列为:

| $X$ | 1 | 2 | 4 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |

| $P$ | 0.4 | 0.3 | 0.3 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |

那么 $E(5 X+4)$ 等于( )

计数


Question: 甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次, 命中率分别为 0.6 和 0.7 , 在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为( )

计数

答案: A

【解析】根据题意, 记“甲击中目标”为事件 $A$, “乙击中目标”为事件 B, “目标被击中”为事件 $C$, 则 $P(C)=1-F(\bar{A}) P(\bar{B})=1-(1-


Question: 小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口, 根据经验, 在第一个路口遇到红灯的概率为 0.4 , 在第二个路口遇到红灯的概率为 0.5 , 在两个路口连续遇到红灯的概率是 0.2 .某天早上小明在第一个路口遇到了红灯, 则他在第二个路口也遇到红灯的概率是( )

计数

记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件 $A$, “小明在第二个路口遇到红灯”为事件 $B$,则 $P(A)=0.4, P(B)=0.5, P(A \cap B)=0.2$, 所以 $P(B \mid A)=rac{P(A \cap B)}{P(A)}=rac{0.2}{0.4}=0.5$, 故选 D.


Question: 已知 $P(B \mid A)=\frac{1}{3}, P(A)=\frac{2}{5}$, 则 $P(A \cap B)$ 等于( )

计数

由乘法公式得 $P(A \cap B)=P(B \mid A) P(A)=rac{1}{3} 	imes rac{2}{5}=rac{2}{15}$, 故选 C.


Question: 某种疾病的患病率为 $0.5 \%$, 已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为 $99 \%$, 则患该种疾病且血检呈阳性的概率为( )

计数

答案: A

【解析】 设事件 $A=$ 血检呈阳性”, $B=$ “患该种疾病”, 依题意知 $P(B)=


Question: 高一新生健康检查的统计结果: 体重超重者占 $40 \%$, 血压异常者占 $15 \%$, 两者都有的占 $8 \%$今任选一人进行健康检查, 已知此人体重超重, 他血压异常的概率为( )

计数

记事件 $A$ 表示体重超重, 事件 $B$ 表示血压异常.则 $P(B \mid A)=rac{P(A \cap B)}{P(A)}=rac{0.08}{0.4}=rac{1}{5}$ 故选A.


Question: 一个家庭有两个小孩,假设生男生女是等可能的,已知这个家庭有一个是女孩的条件下, 这时另一个也是女孩的概率是( )

计数

一个家庭中有两个小孩只有 4 种可能:(男,男),(男,女),(女,男),(女,女).记事件 A 为“其中一个是女孩”, 事件 B 为“另一个是女孩”, 则 $\mathrm{A}=\{$ (男,女),(女,男),(女,女) $\}, \mathrm{B}=\{$ (男,女),(女,男),(女,女) $\}, \mathrm{AB}=\{($ 女,女) $\}$.于是可知 $P(A)=rac{3}{4}, P(A B)=rac{1}{4}$ 问题是求在事件 A 发生的情况下, 事件 B 发生的概率, 即求$\mathrm{P}(\mathrm{B} \mid \mathrm{A})$,由条件概率公式, 得 $$ P(B \mid A)=rac{rac{1}{4}}{rac{3}{4}}=rac{1}{3}$$


Question: 甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛, 甲、乙两人能荣获一等奖的概率分別为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{3}{4}$ ,甲、乙两人是否获得一等奖相互独立, 则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )

计数

答案: D

解析: 根据题意, 恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没获得或甲没获得乙获得, 则所求概率

是 $\frac{2}{3} \times\left(1-\frac{3}{4}\right)+\frac{3}{4} \times\left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{5}{12}$, 故选 D


Question: 某高三学生进行考试心理素质测试, 场景相同的条件下每次通过测试的概率为 $\frac{4}{5}$, 则连续测试 4 次, 至少有 3 次通过的概率为 ( )

计数

答案: A

解析: 某高三学生进行考试心理素质测试,场景相同的条件下每次通过测试的概率为 $\frac{4}{5}$,则连续测试 4 次, 至少有 3 次通过的概率为:

$P=C_{4}^{3}\left(\frac{4}{5}\right)^{3}\left(\frac{1}{5}\right)+C_{4}^{4}\left(\frac{4}{5}\right)^{4}=\frac{512}{625}$.

故选: A.


Question: 投篮测试中,每人投 3 次, 至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6 ,且各次投篮是否投中相互独立, 则该同学通过测试的概率为( )

计数


Question: 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 $p$, 各成员的支付方式相互独立, 设 $X$ 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数, $D X=2.4, P(X=4)<P(X=6)$, 则 $p=(\quad)$

计数


Question: 设随机变量 $\zeta^{\sim} \sim B(2, p)$, 若 $P(\xi \geq 1)=\frac{5}{9}$, 则 ${ }^{p}$ 的值为( )

计数


Question: 设随机变量 $\mathrm{X}$ 服从二项分布 $B\left(6, \frac{1}{2}\right)$, 则 $P(X=3)$ 等于( )

计数

答案: A

【解析】根据条件中所给的变量符合二项分布, 写出变量取值不同时对应的概率公式, 本题 $X=3$, 代入公式得到要求的概率: $P(X=3)=\mathrm{C}_{6}^{3} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{3} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{5}{16}$.


Question: 设随机变量 $\xi-B(2, P), \eta-B(4, p)$, 若 ${ }^{P(\xi \geq 1)=\frac{5}{9}}$, 则 $P(\eta \geq 2)$ 的值为 ( )

计数


Question: 某班有 14 名学生数学成绩优秀, 如果从该班随机找出 5 名学生, 那么其中数学成绩优秀的学生数 $X \sim B\left(5, \frac{1}{4}\right)$, 则 $E(2 X+1)=(\quad)$

计数


Question:
已知某离散型随机变量 $X$ 的分布列为

| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $P$ | $\frac{8}{27}$ | $\frac{4}{9}$ | $m$ | $\frac{1}{27}$ |

则 $X$ 的数学期望 $E(X)=(\quad)$

计数


Question:
交强险是车主必须为机动车购买的险种, 若普通 6 座以下私家车投保交强险的基准保费为 $a$ 元, 在下一年续保时, 实行费率浮动机制, 保费与车辆发生道路交通事故出险的情况相联系, 最终保费 $==$ 基准保费 $\times(1+$ 与道路交通事故相联系的浮动比率), 具体情况如表:

| 交强险浮动因素和浮动费率比率表 |  | 浮动比率 |
| :--- | :--- | :--- |
| 类别 | 浮动因素 | 下浮 $10 \%$ |
| $A_{1}$ | 上一个年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮 $20 \%$ |
| $A_{2}$ | 上两个年度未发生有责任道路交通事故 |  |
| $A_{3}$ | 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮 $30 \%$ |
| $A_{4}$ | 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 | $0 \%$ |

| $A_{3}$ | 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 | 上浮 $10 \%$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $A_{8}$ | 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 | 上浮 $30 \%$ |

为了解某一品牌普通 6 座以下私家车的投保情况, 随机抽取了 100 辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如表:

| 类型 | $A_{1}$ | $A_{2}$ | $A_{3}$ | $A_{4}$ | $A_{3}$ | $A_{4}$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 数量 | 20 | 10 | 10 | 38 | 20 | 2 |

若以这 100 辆该品牌的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率, 则随机抽取一辆该品牌车在第四年续保时的费用的期望为 ( )

计数

答案: D

【解析】设一辆该品牌车在第四年续保时的费用为 $X$,

由题意可知: $X$ 的可能取值为 $


Question:
已知随机变量 $X, Y$ 的分布列如下:

| $X$ | 1 | 2 | 3 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $m^{2}$ | $1-2 m^{2}$ | $m^{2}$ |
| $Y$ | 1 | 2 | 3 |
| $P$ | $m$ | $1-3 m^{3}$ | $3 m^{3}-m$ |

则 $3 D(X), 2 E(Y)$ 的大小关系为( )

计数


Question: 有甲、乙两种水稻, 测得每种水稻各 10 株的分穕数据, 计算出样本均值相等, 方差分别为 $D\left(X_{\text {甲 }}\right)=11, D\left(X_{Z}\right)=3.4$. 由此可以估计（）

A.甲种水稻比乙种水稻分菜整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分菜整齐
C.甲、乙两种水稻分省整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分穕整齐程度不能比较

计数

答案: $\mathrm{B}$

【解析】 $\mathrm{Q} D\left(X_{\text {m }}\right)>D\left(X_{Z}\right), \therefore$ 乙种水稻比甲种水稻分葉整齐.


Question:
若随机变量 $X$ 的分布列如表所示, 且 ${ }^{E(X)=6.3}$, 则 $D(X)=(\quad)$

| $X$ | 4 | $a$ | 9 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | 0.5 | 0.1 | $b$ |

计数

答案: C

【解析】由题可得 $


Question: 一个箱子中装有形状完全相同的 5 个白球和 $n\left(n \in \mathbb{N}^{*}\right)$ 个黑球. 现从中有放回地摸取 4 次,每次都是随机摸取 1 球, 设摸得白球的个数为 $X$, 若 $D(X)=1$, 则 $E(X)=(\quad)$

计数

设每次随机摸取 1 球, 摸得白球的概率为 $P$, 由题意, 知 $X \sim B(4, P) . ecause$$D(X)=4 P(1-P)=1, 	herefore P=rac{1}{2}, 	herefore E(X)=4 P=4 	imes rac{1}{2}=2$. 故选 $\mathrm{B}$


Question: 某公司 10 位员工的月工资(单位:元)为 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{10}$, 其均值和方差分别为 $\bar{x}$ 和 $s^{2}$, 若从下月起每位员工的月工资增加 100 元,则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为( )

计数


Question: 已知 $X$ 为随机变量, 则下列说法错误的是 ( )

计数


Question:
已知随机变量 $X, Y$ 满足 $Y=2 X+1$, 且随机变量 ${ }^{X}$ 的分布列如下:

| $X$ | 0 | 1 | 2 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{3}$ | $a$ |

则随机变量 ${ }^{Y}$ 的方差 ${ }^{D(Y)=}(\quad)$

计数


Question: 已知某射击运动员每次击中目标的概率是 0.8 , 则该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率大约为( )

计数

答案: B

【解析】 设运动员射击 4 次, 击中目标的次数为 $X$, 则 $P(X \geq 3)=\mathrm{C}_{4}^{4}


Question:
已知随机变量 $X \sim N(2,1)$, 其正态分布密度曲线如图所示, 则图中阴影部分的面积为( ) ( 附: 若随机变量 $\xi \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$, 则 $P(\mu-\sigma<\xi \leq \mu+\sigma)=0.6827, P(2 \mu-2 \sigma<\xi \leq 2 \mu+2 \sigma)=0.9545)$

<ImageHere>

计数

根据题意，随机变量 $X$ 满足正态分布 $N(2,1)$,得 $\mu=2, \sigma^{2}=1$, 则对称轴为 $x=2$, 且 $\sigma=1$,根据正态分布密度曲线的性质，可得阴影部分的面积 $S=P 0<$<ImageHere>$\left.\mu+2 \sigma)-P\left(\mu-\sigma<X_{,}, \mu+\sigma
ight)
ight]=rac{1}{2} 	imes(0.9545-0.6827)=0.1359$.


Question: 某工厂生产的零件外直径(单位: $\mathrm{cm}$ )服从正态分布 $N\left(10,0.2^{2}\right)$, 今从该厂上午、下午生产的零件中各随机取出一个, 测得其外直径分别为 ${ }^{9.45} \mathrm{~cm}$ 和 $9.35 \mathrm{~cm}$, 则可认为 ( )

A.上午生产情况异常, 下午生产情况正常
B. 上午生产情况正常, 下午生产情况异常
C.上午、下午生产情况均正常
D.上午、下午生产情况均异常

计数

由题意, 某工厂生产的零件外直径服从正态分布 $N\left(10,0.2^{2}
ight)$,根据 $3 \sigma$ 原则可得 $\mu-3 \sigma<X<\mu+3 \sigma$, 即 $10-3 	imes 0.2<X<10+3 	imes 0.2$, 即生产的零件外直径在 ${ }^{(9,4,10.6)}$ 内是正常的.又由从该厂上午、下午生产的零件中各随机取出一个, 测得其外直径分别为 $9.45 \mathrm{~cm}$ 和 $9.35 \mathrm{~cm}$,所以可认为上午生产情况正常, 下午生产情况异常, 故选 B.


Question: 某校有 1000 人参加某次模拟考试, 其中数学考试成绩近似服从正态分布 $N\left(105, \sigma^{2}\right)(a>0)$,试卷满分 150 分, 统计结果显示数学成绩优秀 (高于 120 分) 的人数占总人数的 $\frac{1}{5}$, 则此次数学考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为( )

计数


Question: 已知随机变量 $X \sim N(7,4)$, 且 $P(5<X<9)=a, P(3<X<11)=b$, 则 $P(3<X<9)=$ ( )

计数


Question: 随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N\left(1,2^{2}\right), R(\xi \ldots 2)=0.3$, 则 $P(0<\xi<1)=(\quad)$

计数

答案: C

【解析】由题意，随机变量 $\xi^{\xi}$ 服从正态分布 $N\left(1,2^{2}\right)$,

$\therefore$ 正态曲线的对称轴是直线 $x=1$.

又 $\mathrm{Q} P\left(5 \mathrm{~S}^{2} 2\right)=


Question:
中国古代有计算多项式值的秦九韶算法, 下图是实现该算法的程序框图. 执行该程序框图, 若输入的 $x=2, n=2$, 依次输入的 $\mathrm{a}$ 为 $2,2,5$, 则输出的 $s=(\quad)$

<ImageHere>

计数


Question:
相传,黄帝在制定乐律时,用 “三分损益”的方法得到不同的竹管,吹出不同的音调“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”,用现代数学的方法解释如下,“三分损一”是在原来的长度上减去三分之一,即变为原来的三分之二: “三分益一”是在原来的长度上增加分之一,即变为原来的三分之四,如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程,若输入的 $x$ 的值为 1 ,则输出的 $x$ 的值为 ( )

<ImageHere>

计数

$x=1 \Rightarrow x=rac{2}{3}, i=2 \Rightarrow x=rac{8}{9}, i=3 \Rightarrow x=rac{32}{27}, i=4$, 结束循环,输出的结果为 $x=rac{32}{27}$, 故选 B.


Question:
4 x+2.3$
B. $\hat{y}=2 x-2.4$
C. $\hat{y}=-2 x+9.5$
D. $\hat{y}=-0.3 x+4.4$
3. 某单位为了践行“绿水青山就是金山银山”的理念,打算制定节能减排的目标. 他们调查了用电量 $y$ (单位:千瓦-时)与气温 $x$ (单位 $\left.{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)$ 之间的关系,随机选取了 4 天的用电量与当天气温, 并制作了以下对照表:

| $x$ (单位: ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ ) | 17 | 14 | 10 | -1 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y$ (单位:千瓦$\cdot$时) | 24 | 34 | 38 | 64 |

由表中数据得线性回归方程, $\hat{y}=-2 x+\hat{a}$ 则由此估计,当某天气温为 $2^{\circ} \mathrm{C}$ 时, 当天用电量约为（）

A. 56 千瓦$\cdot$时
B. 62 千瓦$\cdot$时
C. 64 千瓦$\cdot$时
D. 68 千瓦$\cdot$时

计数

x-85.71$ 知, $k=0.85>0$, 所以 $y$ 与 $x$ 具有正的线性相关关系的, 故选项 A 正确;

由回归直线方程恒过样本点的中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ 知, 选项 B 正确;

若该大学某女生身高增加 $1 \mathrm{~cm}$, 则由 $\$=0.85 x-85.71$ 知其体重约增加 $0.85 \mathrm{~kg}$, 因此 C 选项正确;

若该大学某女生身高为 $170 \mathrm{~cm}$, 则可预测或估计其体重为 $58.79 \mathrm{~kg}$, 并不一定为 $58.79 \mathrm{~kg}$, 因此选项 D 不正确.故答案为 D.

2.答案: A

解析: 变量 ${ }^{x}$ 与 ${ }^{y}$ 正相关,可以排除 C,D;样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程.

$\because$ 变量 $^{x}$ 与 $^{y}$ 正相关,

$\therefore$ 可以排除 C,D;

样本平均数 $\bar{x}=3, \bar{y}=3.5$, 代入 $\mathrm{A}$ 符合, $\mathrm{B}$ 不符合.


Question: 为研究变量 $x$ 和 $y$ 的线性相关性,甲、乙二人分别作了研究,利用线性回归方法得到回归直线方程 $l_{1}$ 和 $l_{2}$,两人计算知 $\bar{x}$ 相同, $\bar{y}$ 也相同,下列正确的是 ( )

计数

命题人考査线性回归方程恒过样本中心点 $(ar{x}, ar{y})$. 因为两人计算得 $ar{x}$ 与 $ar{y}_{	ext {均相同, }}$故知选 $C$.


Question:
登山族为了了解某山高 $y(\mathrm{~km})$ 与气温 $x^{\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)}$ 之间的关系, 随机统计了 4 次山高与相应的气温, 并制作了对照表如下:

| 气温 $\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)$ | 18 | 13 | 10 | -1 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 山高 $(\mathrm{km})$ | 24 | 34 | 38 | 64 |

由表中数据得到线性回归方程 $\hat{y}=-2 x+\hat{a}(\hat{a} \in \mathrm{R})$, 由此估计山高为 $72 \mathrm{~km}$ 处气温的度数是( )

计数


Question: 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 $p$, 各成员的支付方式相互 ${ }^{p=}$ 独立. 设 $X$ 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数, $D(X)=2.4, P(X=4)<P(X=6)$, 则 ( )

统计数学

答案: B

【解析】根据题意可知, $X$ 服从二项分布, 即 $X \sim B(10, p)$, 因为 $D(X)=n p(1-p)$, 所以

$10 p(1-p)=


Question: 设某项试验的成功率是失败率的 2 倍, 用随机变量 $X$ 去描述一次试验的成功次数, 则 $P(X=0)$ 等于 $(\quad)$

统计数学


Question:
已知某种产品的合格率是 $\frac{7}{9}$, 合格品中的一级品率是 $\frac{4}{5}$. 则这种产品的一级品率为 ( )

$\begin{array}{llll}\text {

统计数学

答案:A

【解析】设事件 $A$ 为合格品, 事件 $B$ 为一级品, 则 $P(A)=\frac{7}{9}, P(B \mid A)=\frac{4}{5}$,

则 $P(B)=P(A) P(B \mid A)=\frac{4}{5} \times \frac{7}{9}=\frac{28}{45}$, 故选 A.


Question: 两条相交直线的平行射影是 ( )

A.两条相交直线
B.一条直线

C.一条折线

D.两条相交直线或一条直线

画法几何学

解析：解答：两条相交直线确定一个平面,若这个平面与投影方向不平行,则两条相交直线的平行射影为两条相交直线. 若这个平面与投影方向平行, 则两条相交直线的平行射影为一条直线.

分析: 本题主要考查了平行射影, 解决问题的关键是根据平行射影的性质结合直线相交的关系分析即可


Question:
下列结论中正确的是 ( )

(1)圆的平行射影可以是椭圆,但椭圆的平行射影不可能是圆;(2)平行四边形的平行射影仍然是平行四边形;(3)两条平行线段之比等于它们的平行射影（不是点）之比;(4)圆柱与平面的截面可以看作是底面的平行射影,反之亦然.

画法几何学

解析：解答：由于平面图形的平行射影具有可逆性,即当一平面图形所在平面与投影平面不垂直时,该图形与其平行射影可以相互看作为对方的平行射影, 只是投影方向相反罢了, 因而 (1)是错误的, (4)是正确的.当平行四边形所在平面平行于投影方向时,平行四边形的平行射影是一条线段,故(2)错误.很明显(3)正确.

分析: 本题主要考查了平行射影, 解决问题的关键是根据平行射影的性质结合所给几何图形分析即可


Question:
下面框图属于（ ）

<ImageHere>

A. 流程图
B. 结构图
C. 程序框图
D. 工序流程图

图论

解析：解答: 本框图显然属于顺序结构的流程图.

分析: 本题主要考查了流程图的概念, 解决问题的关键是根据流程图的定义进行分析即可.

2 要描述一个工厂某种产品的生产步骤, 应用（ ）
A.程序框图
B.工序流程图
C.知识结构图
D.组织结构图

答案: B

解析: 解答: $\because$ 工序流程图又称统筹图, 常见的一种画法是将一个工作或工程从头到尾依先后顺序分为若干道工序, 每一道工序用矩形框表示, 并在该矩形框内注明此工序的名称与代号. 两个相邻工序之间用流程线相连. 两相邻工序之间用流程线相连. 有时为合理安排工作进度,

还在每道工序框上注明完成该工序所需时间. $\therefore$ 要描述一个工厂某种产品的生产步骤, 应用工序流程图, 故选 B.

分析: 本题主要考查了工序流程图 (即统筹图), 解决问题的关键是工序流程图是将一个工作或工程从头到尾依先后顺序分为若干道工序, 每一道工序用矩形框表示, 并在该矩形框内注明此工序的名称与代号. 两个相邻工序之间用流程线相连. 两相邻工序之间用流程线相连.


Question:
某医院医疗就诊流程如图所示, 则病人到医院就诊至少需要的步骤是 ( )

<ImageHere>

图论

解析: 解答: 根据该医院的就诊流程图知, 病人到医院就诊至少需要的步骤是: 凭医疗卡挂号 $\rightarrow$ 相应珍区候诊 $\rightarrow$ 门诊医师诊治 $\rightarrow$ 划价、交费 $\rightarrow$ 功能科室 (化验室、放射科、药房等） $\rightarrow$离院;

所以，就诊至少有 6 个步骤. 故选: A.

分析: 本题主要考查了绘制简单实际问题的流程图, 解决问题的关键是根据该医院的就诊流程图, 得出病人到医院就诊至少需要的步骤是什么.


Question:
某成品的组装工序流程图如图所示, 箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间 (小时),不同车间可同时工作, 同一车间不能同时做两种或两种以上的工作, 则组装该产品所需要的最短时间是 ( )

<ImageHere>

图论

解析: 解答: A 到 E 的时间, 为 $2+4=6$ 小时, 或 5 小时, A 经 C 到 D 的时间为 $3+4=7$ 小时,故 $A$ 到 $F$ 的最短时间就为 9 小时, 则 $A$ 经 $F$ 到 $G$ 的时间为 $9+2=11$ 小时, 即组装该产品所需要的最短时间是 11 小时, 故选: A.

分析: 本题主要考查了设计程序框图解决实际问题, 解决问题的关键是由已知中的工序流程图, 我们可以计算出每条组装劳工序从开始到结束的时间, 进而根据从工程设计到结束试生产需要的最短时间为并联事件中的最大值, 串联事件的和, 进而得到答案.


Question: 下列各组对象不能构成集合的是（）

A. 拥有手机的人
B. 2019 年高考数学难题
C. 所有有理数
D. 小于 $\pi$ 的正整数

逻辑题

对 A,拥有手机的人属于确定的概念,故能构成集合.

对 B, 2019 年高考数学难题界定不明确,不能构成集合

对 C,任意给一个数都能判断是否为有理数,故能构成集合

对 D,小于 $\pi$ 的正整数分别为 $1,2,3$, 能够组成集合

故答案为: B

【分析】根据集合的确定性逐个判断即可.


Question: 已知集合 $M, N, P$ 为全集 $U$ 的子集, 且满足 $M \subseteq P \subseteq N$, 则下列结论不正确的是( )

A. $\complement_{\mathrm{UN} \subseteq \mathrm{C}_{\mathrm{U}} \mathrm{P}}$
B. $\complement_{N} \mathrm{P} \subseteq \mathrm{C}_{\mathrm{N}} \mathrm{M}$
C. ( $\left.\complement_{U} P\right) \cap M=\varnothing$
D. $\left(\complement_{U M}\right) \cap N=\varnothing$

逻辑题

因为 $\mathrm{P} \subseteq \mathrm{N}$ ，所以 $\mathrm{C}_{\mathrm{U}} \mathrm{N} \subseteq \mathrm{C}_{\mathrm{U}} \mathrm{P}, \mathrm{A}$ 符合题意;

因为 $\mathrm{M} \subseteq \mathrm{P}$, 所以 $\complement_{N} \mathrm{P} \subseteq \mathrm{C}_{N} \mathrm{M}, \mathrm{B}$ 符合题意;

因为 $M \subseteq P$, 所以 $\left(C_{U} P\right) \cap M=\varnothing, C$ 符合题意;

因为 $M \subseteq N$, 所以 $\left(\complement_{U} M\right) \cap N \neq \varnothing$. $\mathrm{D}$ 不正确.

故答案为: D.
【分析】利用集合的包含关系进行判断, 即可得结果.


Question: 若 $P=\{x \mid x<1\}, Q=\{x \mid x>1\}$, 则( )

A. $P \subseteq Q$
B. $Q \subseteq P$
C. $C_{R} P \subseteq Q$
D. $Q \subseteq C_{R} P$

逻辑题

$\because P=\{x \mid x<1\}, \therefore \mathrm{C}_{R} P=\{x \mid x \geqslant 1\}$,

$\because Q=\{x \mid x>1\}, \quad \therefore Q \subseteq \mathrm{C}_{R} P$,

故选: $D$.

【分析】利用集合的补集的定义求出 $P$ 的补集; 利用子集的定义判断出 $Q \subseteq \mathrm{C}_{R} P$.


Question:
如图所示, $I$ 是全集, $A, B, C$ 是它的子集,则阴影部分所表示的集合是（）

<ImageHere>

A. $(A \cap B) \cap C$
B. $\left(A \cap C_{I} B\right) \cap C$
C. $(A \cap B) \cap C_{I} C$
D. $C_{I}(A \cap B) \cap C$

逻辑题

解: 由图中阴影部分可知: 该部分表示的是集合 $A$ 与集合 $B$ 在全集 $I$ 中的补集的交集再与集合 $C$ 的交集运算,即用数学式子表示为: $\left(A \cap C_{I} B\right) \cap C$.

故答案为: B

【分析】根据图中阴影部分表示的是集合 $A$ 与集合 $B$ 在全集 $I$ 中的补集的交集再与集合 $C$ 的交集运算,用数学符号表示即可.


Question:
（2020 春・宣城期末）如图给出的是计算 $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{20}$ 的值的一个流程图, 其中判断框内应填入的条件是 ( )

<ImageHere>

A. $i \leqslant 21$
B. $i \leqslant 11$
C. $i \geqslant 21$
D. $i \geqslant 11$

逻辑题

解: $\because S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{20}$

并由流程图中 $S=S+\frac{1}{2 i}$

故循环的初值为 1

终值为 10、步长为 1

故经过 10 次循环才能算出 $S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{20}$ 的值,

故 $i \leqslant 10$, 应不满足条件, 继续循环

$\therefore$ 当 $i \geqslant 11$, 应满足条件, 退出循环

填入 “ $i \geqslant 11 ”$.

故选: D.


Question:
(2018 秋-芜湖期末) 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 若输出的 $S$ 为 $\frac{11}{12}$, 则判断框中填写的内容可以是（）

<ImageHere>

逻辑题


Question: 若集合 $A=\left\{x \mid m x^{2}+2 x+m=0, m \in R\right\}$ 中有且只有一个元素, 则 $m$ 的取值集合是 ( )

代数

集合 A 中只含有一个元素，

所以方程 $m x^{2}+2 x+m=0$ 为一次方程或二次方程有两个相等的实数根,

因此 $m=0$ 或 $\left\{\begin{array}{l}m \neq 0 \\ \Delta=0\end{array}, \therefore m=0,1,-1\right.$,

故 $\mathrm{m}$ 的取值集合是 $\{-1,0,1\}$.

故答案为:D.

【分析】集合 $\mathrm{A}$ 中只含有一个元素, 所以方程 $m x^{2}+2 x+m=0$ 为一次方程或二次方程有两个相等的实数根, 得到 $\mathrm{m}$ 的值.


Question:
有下列说法:

(1) 0 与 $\{0\}_{\text {表示同一个集合; }}$

（2）由 1, 2，3 组成的集合可表示为 $\{1,2,3\}$ 或 $\{3,2,1\}$;

(3) 方程 $(x+1)(x-2)^{2}=0$ 的所有解的集合可表示为 $\{-1,2,2\}$;

（4）集合 $\{x \mid-3<x<4\}$ 是有限集.其中正确的说法是（）

A. 只有 (1) 和 (4)
B. 只有 (2) 和 (3)
C. 只有 $(2)$
D. 以上四种说法都不对

代数

<ImageHere>

（2）中, 根据集合的表示方法, 可得由 $1,2,3$ 组成的集合可表示为 $\{1,2,3\}$ 或 $\{3,2,1\}$ ，所以（2）是正确的; (3) 中, 根据集合的表示方法, 得方程 $(x+1)(x-2)^{2}=0$ 的所有解的集合可表示为 $\{-1,2\}$, 所以（3）不正确;（4）中，集合 $\{x \mid-3<x<4\}$ 是无限集, 所以（4）不正确.故答案为: C.

【分析】根据集合的的表示方法，逐项判定，即可求解，得到答案.


Question: 设集合 $A=\left\{x \mid x^{2}+2 x-8=0\right\}$ 则下列关系正确的是( ).

A. $-2 \in A$
B. $2 \in A$
C. $2 \notin A$
D. $-4 \notin A$

代数


Question: 已知集合 $A=\left\{12, a^{2}+4 a, a-2\right\}$, 且 $-3 \in A$, 则 $a=（ ）$

代数


Question: 已知 $x, y$ 为非零实数, 则集合 $M=\left\{m \left\lvert\, m=\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{x y}{|x y|}\right.\right\}_{\text {为 ( ) }}$

代数

解: $\mathrm{x}>0, \mathrm{y}>0, \mathrm{~m}=3$,

$\mathrm{x}>0, \mathrm{y}<0, \mathrm{~m}=-1$,

$\mathrm{x}<0, \mathrm{y}>0, \mathrm{~m}=-1$,
$\mathrm{x}<0, \mathrm{y}<0, \mathrm{~m}=-1$,

$\therefore \mathrm{M}=\{-1,3\}$.

故答案为: C.

【分析】先分四种情况讨论 $\mathrm{x}$ 与 $\mathrm{y}$, 得到 $\mathrm{m}$ 的值, 再利用集合的互异性, 即可求出集合 $\mathrm{M}$.


Question: 已知集合 $M=\left\{2, a^{2}-3 a+5,5\right\}$, 集合 $N=\left\{1, a^{2}-6 a+10,3\right\}$, 且 $M \cap N=\{2,3\}$, 则 $a$ 的值是（ )

代数

因为 $M \cap N=\{2,3\}$, 所以有 $2 \in N, 3 \in M$, 所以 $\left\{\begin{array}{l}a^{2}-3 a+5=3 \\ a^{2}-6 a+10=2,\end{array}\right.$ 解得 $a=2$, 故答案为: $\mathrm{C}$

【分析】利用交集的运算法则结合已知条件，再利用解一元二次方程解集的公式和元素的确定性、互异性和无序性, 从而求出 $\mathrm{a}$ 的值。


Question: 已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-3 x-10 \leq 0\right\}, B=\{x \mid m+1 \leq x \leq 2 m-1\}$, 若 $B \subseteq A$, 则实数 $m$ 的取值范围是 ( )

A. $-2 \leq m \leq 3$
B. $-3 \leq m \leq 2$
C. $m \geq 2$
D. $m \leq 3$

代数

$A=\left\{x \mid x^{2}-3 x-10 \leq 0\right\}=\{x \mid-2 \leq x \leq 5\}$

$B=\{x \mid m+1 \leq x \leq 2 m-1\}$ 且 $B \subseteq A ，$

当 $B=\varnothing$ 时: $m+1>2 m-1, m<2$

当 $B \neq \varnothing$ 时: $m+1 \leq 2 m-1, m \geq 2$ 且 $\left\{\begin{array}{l}2 m-1 \leq 5 \\ m+1 \geq-2\end{array}-3 \leq m \leq 3\right.$ 即 $2 \leq m \leq 3$

综上所述: $m \leq 3$

故答案为: D

【分析】通过解不等式求出集合 A, 对 B 的情况分类讨论, 结合集合间的关系, 解不等式组, 即可求出实数 $\mathrm{m}$ 的取值范围.


Question: 设集合 $A=\{x|x-a|=1\}, B=\{1,0, b\}(b>0)$, 若 $A \subseteq B$, 则对应的实数 $(a, b)$ 有 $\quad$

代数

因为 $A=\{x|x-a|=1\}=\{a-1 a+1\}$, 若 $A \subseteq B$, 而 $B=\{1,0, b\}(b>0)$,

$(a+1)-(a-1)=2$, 所以, 只能 $\left\{\begin{array}{l}a-1=0 \\ a+1=b\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}a-1=1 \\ a+1=b\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=2 \text { 或 }\end{array}\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=3\end{array}\right.\right.$.

故答案为: B.

【分析】先解出集合 $A$, 再根据集合的包含关系, 即可确定.


Question: 已知集合 $A=\{-12\}, B=\{x \mid a x=1\}$, 若 $B \subseteq A$, 则由实数 $a$ 的所有可能的取值组成的集合为

代数

因为集合 $A=\{-12\}, B=\{x \mid a x=1\}, B \subseteq A$,
若 $B$ 为空集，则方程 $a x=1$ 无解，解得 $a=0$;

若 $B$ 不为空集，则 $a \neq 0$; 由 $a x=1$ 解得 $x=\frac{1}{a}$,

所以 $\frac{1}{a}=-1$ 或 $\frac{1}{a}=2$, 解得 $a=-1$ 或 $a=\frac{1}{2}$,

综上, 由实数 $a$ 的所有可能的取值组成的集合为 $\left\{-1,0, \frac{1}{2}\right\}$.

故答案为: D

【分析】分 $B$ 为空集和 $B$ 不为空集两种情况讨论, 分别求出 $a$ 的范围, 即可得出结果.


Question: 设 $a, b \in R$, 集合 $A=\{1 a+b, a\}, B=\left\{0, \frac{b}{a}, b\right\}$, 若 $A=B$, 则 $b-a=$ ( )

代数

由已知, $a \neq 0$, 故 $a+b=0$, 则 $\frac{b}{a}=-1$, 所以 $a=-1, b=1$.

故答案为: A

【分析】由已知集合相等 $A=B$ 列式, 得到 $a=-1, b=1$, 即可求出 $\mathrm{b}-\mathrm{a}$ 的值.


Question: 若集合 $A=\left\{x \mid(k+2) x^{2}+2 k x+1=0\right\}$ 有且仅有 1 个元素, 则实数 $k$ 的值是（）

代数


Question:
中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题:

今有物, 不知其数, 三三数之, 剩二; 五五数之, 剩三; 七七数之, 剩二.问: 物几何? 现有如下表

示: 已知 $A=\left\{x \mid x=3 n+2, n \in N^{*}\right\}, B=\left\{x \mid x=5 n+3, n \in N^{*}\right\}, C=\left\{x \mid x=7 n+2, n \in N^{*}\right\}$, 若 $x \in A \cap B \cap C$, 则整数 $x$ 的最小值为 ( )

代数

解: 因为求整数 $x$ 的最小值, 所以从最小的数开始带入检验即可:

当 $x=23$ 时, $23=3 \times 7+2$, 故 $x \in A ; 23=5 \times 4+3$, 故 $x \in B ; 23=7 \times 3+2$, 故 $x \in C$,

$\therefore 23 \in A \cap B \cap C$,

故答案为: D.

【分析】将选项中的数字带入集合 $A, B, C$ 检验是否为 $A, B, C$ 的元素, 找出最小的一个即可.


Question: 设集合 $A=\{x \mid 1 \leq x \leq 3\} ， B=\{x \mid 2<x<4\}$ ，则 $A \cup B=（ ）$

代数

解: $A \cup B=[1,3] \cup(2,4)=[1,4)$

故答案为: C

【分析】根据集合并集概念求解.


Question: 4. 已知集合 $A=\{-1,0,1,2,3,4\}$, 集合 $B=\{x \mid x=2 n+1, n \in A\}$, 则 $A \cap B=$

代数


Question: 已知集合 $M=\{x|x+1|<3\}, N=\left\{x \mid x^{2}-x-6<0\right\}$, 则 $M \cup N=（ ）$

代数


Question: 集合 $A=\{-1,0\}, B=\{0,1\}, C=\{1,2\}$, 则 $(A \cap B) \cup C=(\quad)$

代数


Question: 对于集合 $M 、 N$, 定义 $M-N=\{x \mid x \in M$ 且 $x \notin N\}, \quad M^{*} N=(M-N) \cup(N-M)$, 设 $M=\left\{y \mid y=x^{2}-3 x\right\}, \quad N=\left\{y \left\lvert\, y=\frac{1}{x}\right., x<0\right\}$, 则 $M^{*} N=(\quad)$

代数

解: 因为 $y=x^{2}-3 x=\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{9}{4} \geq-\frac{9}{4}$, 所以 $M=\left\{y \left\lvert\, y \geq-\frac{9}{4}\right.\right\}$,

又因为当 $x<0$ 时, $y=\frac{1}{x}<0$, 所以 $N=\{y \mid y<0\}, \quad \therefore M-N=\{y \mid y \geq 0\}$, $N-M=\left\{y \left\lvert\, y<-\frac{9}{4}\right.\right\}$,

所以 $M^{*} N=(M-N) \cup(N-M)=\{y \mid y \geq 0\} \cup\left\{y \left\lvert\, y<-\frac{9}{4}\right.\right\}=\left(-\infty,-\frac{9}{4}\right) \cup[0,+\infty)$

故答案为: A.

【分析】先由已知条件求得集合 $\mathrm{M} 、 \mathrm{~N}$, 再根据定义求出集合 $M-N$ 和集合 $N-M$, 再求这两个集合的并集可得 $M^{*} N$, 得解.


Question: 若 $f(x-1)$ 的定义域为 $[1,2]$, 则 $f(x+2)$ 的定义域为 $(\quad)$

代数


Question: 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $R$, 满足 $2 f(x+1)=f(x)$, 且当 $x \in(0,1]_{\text {时, }} f(x)=-x(x-1)$.若对任意 $x \in[m,+\infty)$, 都有 $f(x) \leq \frac{8}{9}$, 则 $m$ 的取值范围是 $(\quad)$

A. $\left[-\frac{7}{6},+\infty\right)$
B. $\left[-\frac{5}{3},+\infty\right)$
C. $\left[-\frac{5}{4},+\infty\right)$
D. $\left[-\frac{4}{3},+\infty\right)$

代数


Question: 已知函数 $f(x)$ 对任意 $x, y \in R$ 都有 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ 成立, 且 $f(2)=4$, 则 $f(-1)=$

代数


Question: 下列四组函数中表示同一函数的是（）

代数

由于函数 $f(x)=x$ 的定义域为 $R$, 而函数 $g(x)=(\sqrt{x})^{2}$ 的定义域为 $\{x \mid x \geq 0\}$ ，这 2 个函数的定义域不同, 故不是同一个函数, 故排除 $\mathrm{A}$.

由于函数 $f(x)=x^{2}, g(x)=(x+1)^{2}$ 的定义域均为 $R$, 但这 2 个函数的对应关系不同,故不是同一个函数, 故排除 B.

由于函数 $f(x)=\sqrt{x^{2}}$ 的定义域与函数 $g(x)=|x|$ 的定义域, 对应关系, 值域完全相同,

故这 2 个函数是同一个函数.

由于函数 $f(x)=0$ 的定义域为 $R$, 函数 $g(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}$ 的定义域为 $\{x \mid x=1\}$ ，

定义域不同, 故不是同一个函数. 故排除 D

故答案为: C.

【分析】根据函数的定义, 确定两函数的定义域和对应关系是否相同即可确定两函数是否为同一个.


Question: 已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}3^{-x}+1(x \leq 0) \\ x^{a}+2(x>0),\end{array}\right.$ 若 $f(f(-1))=18$, 那么实数 $a$ 的值是 ( )

代数


Question: 若 $f(x)_{\text {满足关系式 }} f(x)+2 f\left(\frac{1}{x}\right)=3 x$, 则 $f(2)$ 的值为 ( )

代数

$\because \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 满足关系式 $\mathrm{f}(\mathrm{x})+2 \mathrm{f}\left(\frac{1}{x}\right)=3 \mathrm{x}$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}f(2)+2 f\left(\frac{1}{2}\right)=6,(1) \\ f\left(\frac{1}{2}\right)+2 f(2)=\frac{3}{2},(2),\end{array}\right.$

(1) - (2) $\times 2$ 得 $-3 f(2)=3$,

$\therefore \mathrm{f}(2)=-1$,

故答案为: B.

【分析】由已知条件得 $\left\{\begin{array}{l}f(2)+2 f\left(\frac{1}{2}\right)=6 \text {, (1) } \\ f\left(\frac{1}{2}\right)+2 f(2)=\frac{3}{2} \text {, (2), 由此能求出 } \mathrm{f} \text { (2) 的值. }\end{array}\right.$


Question: 函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x-x^{2}(0 \leq x \leq 3) \\ x^{2}+6 x(-2 \leq x<0) \text { 的值域是 ( ) }\end{array}\right.$

代数

$\because$ 函数 $y=2 x-x^{2}, 0 \leq x \leq 3$ 的对称轴为 $x=1, f(x)$ 最大值为 $f(1)=1$, 最小值为 $f(3)=-3$,值 域 $B=\lfloor-3,1\rfloor$, 函数 $y=x^{2}+6 x,-2 \leq x \leq 0$ 的值域 $C=\lfloor-8,0\rfloor$, 故函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x-x^{2}(0 \leq x \leq 3) \\ x^{2}+6 x(-2 \leq \leq 0) \text { 的值域是 } B \cup C=\lfloor-8,1\rfloor 。\end{array}\right.$

故答案为: C.

【分析】利用分段函数的解析式画出分段函数图象，再利用分段函数图象的对称性结合二次函数求最值的方法, 求出分段函数的值域。


Question:
下列四个图象中, 是函数图象的是（）

<ImageHere>

(1)

<ImageHere>

(2)

<ImageHere>

(3)

<ImageHere>

(4)

代数

由函数的定义知, 对于定义域中的每一个自变量 $x$, 只能有唯一的 $\mathrm{y}$ 与之对应, 故(2)不是函数,

(1)(3)(4)是函数.

故答案为:
B.

【分析】函数定义中要求: 1.两个函数都是非空集合; $2 . \mathrm{A}$ 中的每个元素在 B 中都有与之对应的元素; 3.对应形式为“一对一”或“多对一”，但不能是“一对多”（一个 $x$ 对应多个 $y$; 只有满足了这几个特点的对应关系才是函数关系. 本题解题的关键是观察: 图象对应的是否是函数; 定义域与值域是否正确.


Question: 已知函数 $f(x)$ 满足 $2 f(x)+f(-x)=3 x+2$, 则 $f(2)=(\quad)$

代数


Question: 已知 $f(x)$ 是一次函数, 且 $f(x-1)=3 x-5$, 则 $f(x)$ 的解析式为 $(\quad)$

代数

设 $f(x)=k x+b, \quad(k \neq 0)$

$$
\therefore f(x-1)=k(x-1)+b=3 x-5 \text {, }
$$

即 $k x-k+b=3 x-5$,

所以 $\left\{\begin{array}{l}k=3 \\ b-k=-5,\end{array}\right.$ 解得 $k=3, b=-2$,

$\therefore f(x)=3 x-2$,

故答案为: B.

【分析】设 $f(x)=k x+b, \quad(k \neq 0)$, 利用 $f(x-1)=3 x-5$ 两边恒等求出 $k$ 即可得结果.


Question: 已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x}+2)=\mathrm{x}^{2}$, 则 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 等于 ( )

代数

令 $x+2=t \therefore x=t-2 \therefore f(t)=(t-2)^{2} \therefore f(x)=(x-2)^{2}=x^{2}-4 x+4$,

故答案为: $\mathrm{B}$
B.
【分析】利用换元法求函数解析式.


Question:
给出函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x}), \mathrm{g}(\mathrm{x})$ 如表, 则 $f[g(2)]=(\quad)$

| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $f(x)$ | 4 | 3 | 2 | 1 |

| $\mathrm{X}$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ | 1 | 1 | 3 | 3 |

代数

查表可知, $g(2)=1$

$\therefore f[g(2)]=f(1)=4$

故答案为: D。

【分析】根据题意, 查表格得出 $g(2)$ 的值, 再将结果代入 $f(x)$ 中, 再次查表格即可得出 $f[g(2)]$ 的值。


Question: 已知函数 $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+3$, 则 $f(3)=（ ）$

代数

由题意得 $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+3=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}+1$,

$\therefore f(x)=x^{2}+1(x \leq-2$ 或 $x \geq 2)$,

$\therefore f(3)=3^{2}+1=10$.

故答案为: C.

【分析】先用换元法求得 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的解析式, 在代入求得 $\mathrm{f}(3)$ 的值。


Question: 下列四个函数中, 在 $(0,+\infty)$ 上是增函数的是 $(\quad)$

代数

对于 $\mathrm{A}$ 选项, 函数 $f(x)=\frac{x}{x+1}=\frac{x+1-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$, 其在 $(0,+\infty)$ 上递增, 符合题意.

对于 $\mathrm{B}$ 选项, 函数 $f(x)=x^{2}-3 x$ 的对称轴为 $x=\frac{3}{2}$, 其在 $\left(0, \frac{3}{2}\right)$ 上递减, 不符合题意.

对于 C 选项，函数 $f(x)=3-x_{\text {在 }}(0,+\infty)$ 上递减, 不符合题意.

对于 $\mathrm{D}$ 选项, 函数 $f(x)=-|x|$ 在 $(0,+\infty)$ 上递减, 不符合题意.

故答案为: A

【分析】对选项逐一分析函数的单调性, 由此判断出正确选项.


Question: 已知函数 $f(x)=\frac{2 x+1}{x-1}$, 其定义域是 $\lfloor-8,-4)$, 则下列说法正确的是（）

代数

因为函数 $f(x)=\frac{2 x+1}{x-1}=\frac{2(x-1)+3}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$,

所以 $f(x)$ 在 $\lfloor-8,-4)$ 上单调递减,

则 $f(x)$ 在 $x=-8$ 处取得最大值, 最大值为 $\frac{5}{3}$,

在 $x=-4$ 取不到函数值, 即最小值取不到.

故答案为: A.

【分析】先化简函数 $f(x)$, 再根据反比例函数单调性确定函数最值取法


Question: 已知 $f(4-x)=f(2+x), f(x)$ 在 $(-\infty, 3]$ 上单调递减, $f(0)=0$, 则 $f(2-3 x)>0$ 的解集是 ( )

A. $\left(-\infty, \frac{2}{3}\right) \cup(2,+\infty)$
B. $\left(\frac{2}{3}, 2\right)$
C. $\left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$
D. $\left(-\infty,-\frac{4}{3}\right) \cup\left(\frac{2}{3},+\infty\right)$

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}(3 a-1) x+4 a,(x<1) \\ -a x,(x \geq 1) \quad \text { 是定义在 }(-\infty,+\infty) \text { 上的减函数, 则 } a \text { 的范围是 }()\end{array}\right.$
A. $\left[0, \frac{1}{3}\right]$
B. $\left[\frac{1}{8}, \frac{1}{3}\right)$
C. $\left(0, \frac{1}{3}\right)$
.D. $\left(-\infty, \frac{1}{3}\right]$

代数


Question: 函数 $f(x)=1+\frac{1}{x-1}(\quad)$

A. 在 $(-1,+\infty)$ 上单调递增
B. 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增
C. 在 $(-1,+\infty)$ 上单调递减
D. 在 $(1,+\infty)$ 上单调递减

<ImageHere>
A. 1
B. $\frac{7}{2}$
C. $-\frac{7}{2}$
D. -1

代数

函数 $f(x)=1+\frac{1}{x-1}$ 的图象是由 $y=\frac{1}{x}$ 的图象向右平移一个单位, 再向上一个单位而得到,

所以函数 $f(x)=1+\frac{1}{x-1}$ 在 $(-\infty, 1),(1,+\infty)$ 上单调递减,

故答案为: D

【分析】根据分式函数的性质即可得到结论.


Question: 已知 $f(x)$ 是定义在 $\lfloor-1,1\rfloor$ 上的增函数, 且 $f(x-1)<f(1-3 x)$, 则 $x$ 的取值范围 ( )

代数

根据函数的定义域和单调性, 有 $\left\{\begin{array}{l}-1 \leq x-1 \leq 1 \\ -1 \leq 1-3 x \leq 1 \\ x-1<1-3 x\end{array}\right.$, 解得 $0 \leq x<\frac{1}{2}$.

【分析】由已知利用函数的定义域和单调性列式, 即可求出 $x$ 的取值范围 .


Question: 函数 $f(x)$ 的递增区间是 $(-2,3)$, 则函数 $y=f(x+5)$ 的递增区间是 $(\quad)$

代数

函数 $y=f(x+5)$ 是函数 $f(x)$ 向左平移 5 个单位得到的,

$\because$ 函数 $f(x)$ 在区间 $(-2,3)$ 上是增函数,

$\therefore y=f(x+5)_{\text {增区间为 }}(-2,3)_{\text {向左平移 } 5 \text { 个单位, }}$

即增区间为 $(-7,-2)$,

故选 B.

【分析】函数 $y=f(x+5)$ 是函数 $f(x)$ 向左平移 5 个单位得到的, 利用函数 $f(x)$ 在区间 $(-2,3)$ 是增函，即可得到结论.


Question: 已知函数 $f(x)=a x^{2}-\frac{1}{2} x-2$ 在区间 $\lfloor 1,+\infty)$ 上不单调, 则实数 $a$ 的取值范围是 ( )

A. $\left(-\infty, \frac{1}{4}\right]$
B. $\left(\frac{1}{4},+\infty\right)$
C. $\left(0, \frac{1}{4}\right)$
D. $\left[\frac{1}{4},+\infty\right)$

代数

根据题意, 函数 $f(x)=a x^{2}-2 x-2$,

当 $a=0$ 时, $f(x)=-\frac{1}{2} x-2$,

在区间 $[1,+\infty)$ 上是减函数, 不符合题意;

当 $a \neq 0$ 时, $f(x)=a x^{2}-\frac{1}{2} x-2$,

若 $f(x)$ 在区间 $[1,+\infty)$ 上不单调,

必有对称轴 $\left\{\begin{array}{l}a>0 \\ \frac{1}{4 a}>1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}a<0 \\ \frac{1}{4 a}>1\end{array}\right.$, 解得: $0<a<\frac{1}{4}$,

即 $a$ 的取值范围为 $\left(0, \frac{1}{4}\right)$.

故答案为: C.

【分析】根据题意, 分两种情况讨论: 当 $a=0$ 时, $f(x)=-\frac{1}{2} x-2$, 易得此时不符合题意; 当 $a \neq 0$

时, $f(x)=a x^{2}-\frac{1}{2} x-2$, 结合二次函数的性质分析求出 $a$ 的取值范围, 综合即可得答案.


Question: 已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+\frac{2}{x}+2, x<0 \\ -x^{2}-1, x \geq 0,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 的最大值是 ( )

代数


Question: 函数 $f(x)=\sqrt{x^{2}+4 x-5}$ 的单调递增区间是（）

代数

由题可知, 函数可看作 $f(t)=\sqrt{t}, t=x^{2}+4 x-5$, 外层函数为增函数,

根据同增异减的性质, 则内层函数需先满足 $x^{2}+4 x-5 \geq 0$, 即 $x \geq 1$ 或 $x \leq-5$,

当 $x \geq 1$ 时, 内层函数为增函数, 则复合函数在 $x \geq 1$ 时为增函数;

故答案为: D

【分析】根据复合函数同增异减的性质即可求解.


Question: 下列函数为偶函数的是 ( )

代数


Question: 奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递减, 且 $f(2)=0$, 则不等式 $f(x)>0$ 的解集是 $(\quad)$

代数

因为函数式奇函数, 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递减,

根据奇函数的性质得到在 $(0,+\infty)$ 上函数仍是减函数,

再根据 $f(2)=0$ 可画出函数在 $(0,+\infty)$ 上的图像,

根据对称性画出在 $(-\infty, 0)$ 上的图像.

<ImageHere>

根据图像得到 $f(x)>0$ 的解集是: $(-\infty,-2) \cup(0,2)$.

故选 A.

【分析】由已知利用奇函数的性质, 得到函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上函数是减函数, 画出函数图象, 利用图象即可求出 $f(x)>0$ 的解集.


Question: 已知定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,-2)$ 上是减函数, 若 $g(x)=f(x-2)$ 是奇函数, 且 $g(2)=0$ ，则不等式 $x f(x) \leq 0$ 的解集是 $(\quad)$

代数

由 $g(x)=f(x-2)$ 是把函数 $f(x)$ 向右平移 2 个单位得到的,

且 $g(2)=g(0)=0, f(-4)=g(-2)=-g(2)=0, f(-2)=g(0)=0$,

画出 $f(x)$ 的大致形状

<ImageHere>

结合函数的图像可知, 当 $x \leq-4$ 或 $x \geq-2$ 时, $x f(x) \leq 0$, 故选 C.

【分析】由 $g(x)=f(x-2)$ 是奇函数, 可得 $f(x)$ 的图像关于 $(-2,0)$ 中心对称, 再由已知可得函数 $f(x)$ 的三个零点为 $-4,-2,0$, 画出 $f(x)$ 的大致形状, 数形结合得出答案.


Question:
已知定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=f(-x)$, 且在 $(0,+\infty)$ 上是增函数, 不等式

<ImageHere>

代数

$\because f(x)=f(-x) \quad \therefore f(x)$ 为定义在 $R$ 上的偶函数, 图象关于 $y_{\text {轴对称 }}$

又 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是增函数 $\therefore f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上是减函数

$\because f(a x+2) \leq f(-1) \quad \therefore|a x+2| \leq 1$, 即 $-1 \leq a x+2 \leq 1$

<ImageHere>

$\therefore-\frac{3}{2} \leq a \leq-1$, 即 $a$ 的取值范围为: $\left[-\frac{3}{2},-1\right]$

故答案为: $A$

【分析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在 $(-\infty, 0)$ 上是减函数, 由此可将不等式化为 $-1 \leq a x+2 \leq 1$; 利用分离变量法可得 $-\frac{3}{x} \leq a \leq-\frac{1}{x}$, 求得 $-\frac{3}{x}$ 的最大值和 $-\frac{1}{x}$ 的最小值即可得到结果.

二、填空题


Question: 已知 $f(x)$ 是 $R$ 上的偶函数, 当 $x \leq 0$ 时, $f(x)=x+1$, 则 $f\left(x^{2}\right)$ 的表达式为 $(\quad)$.

代数

设 $\mathrm{x}>0$, 所以 $-x<0$, 所以 $f(-x)=-x+1$,

所以 $f(x)=-x+1$, 所以 $f\left(x^{2}\right)=-x^{2}+1$.

故答案为:

【分析】先求出 $\mathrm{x}>0$ 的解析式, 再求 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}^{2}\right)$ 的表达式.


Question: 下列函数是奇函数的是 ( )

代数

$\mathrm{A}$ 中, $\mathrm{y}=\mathrm{x}$ 是奇函数, $\mathrm{B}$ 中, $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}^{2}-3$ 是偶函数,

$\mathrm{C}$ 中, $\mathrm{y}=\sqrt{x}$ 是非奇非偶函数, $\mathrm{D}$ 中, $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}, \mathrm{x} \in[0,1]$ 是非奇非偶函数.

故答案为: A

【分析】利用函数奇偶性的定义分别判断各选项, 即可得结果.


Question: 已知函数 $y=f(x)+x^{2}$ 是奇函数, 且 $f(1)=1$, 则 $f(-1)=$

代数


Question: 已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathrm{R}$ 上的偶函数, 并满足 $f(x+2)=-\frac{1}{f(x)}$, 当 $1 \leq x \leq 2$ 时, $f(x)=x-2$,则 $f(6.5)=(\quad)$

代数


Question: 已知函数 $f(x)=x \sqrt{9-x^{2}}$, 则 $(\quad)$

A. $f(1)>f(2)$
B. $f(x)$ 的定义域为 $\lfloor-3,3\rfloor$
C. $f(x)_{\text {为偶函数 }}$
D. $f(x)_{\text {在 }}\lfloor 0,3\rfloor$ 上为增函数

代数

因为 $f(1)=2 \sqrt{2}<2 \sqrt{5}=f(2)$, 所以 $\mathrm{A}$ 不符合题意;

由 $9-x^{2} \geq 0$, 得 $-3 \leq x \leq 3$,

所以 $f(x)$ 的定义域为 $\lfloor-3,3\rfloor$, 所以 $\mathrm{B}$ 符合题意;

$f(x)$ 为奇函数, 所以 $\mathrm{C}$ 不符合题意;

因为 $f(0)=f(3)=0$, 所以 $\mathrm{D}$ 不符合题意.

故答案为: B

【分析】逐项判断各选项中的结论正确与否后可得正确的选项.


Question: 函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 单调递减, 且为奇函数. 若 $f(1)=-1$, 则满足 $-1 \leq f(x-2) \leq 1$ 的 $x$取值范围是（ ）

代数

$\because f(x)$ 为奇函数, $\therefore f(-x)=-f(x)$.

$\because f(1)=-1, \quad \therefore f(-1)=-f(1)=1$.

故由 $-1 \leq f(x-2) \leq 1$, 得 $f(1) \leq f(x-2) \leq f(-1)$.

又 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 单调递减, $\therefore-1 \leq x-2 \leq 1$,

$\therefore 1 \leq x \leq 3$.

故选: D

【分析】根据奇函数的性质由 $f(1)=-1$, 可以求出 $f(-1)$ 的值, 再利用函数的单调性结合已知 $-1 \leq f(x-2) \leq 1$, 可以求出 $x$ 取值范围.


Question: 若定义在 $\mathrm{R}$ 的奇函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $(-\infty, 0)$ 单调递减, 且 $\mathrm{f}(2)=0$, 则满足 $x f(x-1) \geq 0$ 的 $\mathrm{x}$ 的取值范围是 ( )

代数

因为定义在 $\mathrm{R}$ 上的奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递减, 且 $f(2)=0$,

所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上也是单调递减, 且 $f(-2)=0, f(0)=0$,

所以当 $x \in(-\infty,-2) \cup(0,2)$ 时, $f(x)>0$, 当 $x \in(-2,0) \cup(2,+\infty)$ 时, $f(x)<0$,
所以由 $x f(x-1) \geq 0$ 可得:

<ImageHere>

解得 $-1 \leq x \leq 0$ 或 $1 \leq x \leq 3$,

所以满足 $x f(x-1) \geq 0$ 的 $x$ 的取值范围是 $[-1,0] \cup[1,3]$,

故答案为: D.

【分析】首先根据函数奇偶性与单调性, 得到函数 $f(x)$ 在相应区间上的符号, 再根据两个数的乘积大于等于零, 分类转化为对应自变量不等式, 最后求并集得结果.


Question: 化简 $\left(\sqrt[3]{(-5)^{2}}\right)^{\frac{3}{4}}$ 的结果为 ( )

代数


Question: 当 $\sqrt{2-x}$ 有意义时, 化简 $\sqrt{x^{2}-4 x+4}-\sqrt{x^{2}-6 x+9}$ 的结果是（）

代数


Question: 化简: $\sqrt{(3-\pi)^{2}}+\pi=(\quad)$

代数


Question: 已知 $x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$, 则 $x+\frac{1}{x}$ 的值为 ( )

代数


Question: 已知 $a>0$, 则 $\sqrt{a^{\frac{1}{3}} \sqrt{a^{\frac{1}{2}} \sqrt{a}}}$ 化为（）

代数


Question: 若 $2^{x}=7,2^{y}=6$, 则 $4^{x-y}$ 等于 ( )

代数


Question: 若函数 $f(x)=\left(\frac{1}{2} a-3\right) \cdot a^{x}$ 是指数函数, 则 $f\left(\frac{1}{2}\right)$ 的值为 $(\quad)$

代数

$\because$ 函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left(\frac{1}{2} \mathrm{a}-3\right) \cdot \mathrm{a}^{\mathrm{x}}$ 是指数函数,

$\therefore \frac{1}{2} a-3=1, a>0, a \neq 1$, 解得 $a=8$,

$\therefore \mathrm{f}(\mathrm{x})=8^{\mathrm{x}}$,

$\therefore f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{8}={ }_{2} \sqrt{2}$,

故答案为: D.

【分析】根据指数函数的定义可得 $\frac{1}{2} \mathrm{a}-3=1, \mathrm{a}>0, \mathrm{a} \neq 1$, 先求出函数解析式, 将 $\mathrm{x}=\frac{1}{2}$ 代入可得答案.


Question: 函数 $y=\sqrt{4-2^{x}}$ 的值域是 ( )

代数

$\because 2^{x}>0$, 故 $0 \leq 4-2^{x}<4$,

$\therefore$ 函数值域为 $[0,2)$.

故答案为: C

【分析】利用指数函数的值域结合构造法求出函数 $y=\sqrt{4-2^{x}}$ 的值域。


Question: 若指数函数 $y=(2 a-3)^{x}$ 在 $R$ 上是增函数, 则实数 $a$ 的取值范围是 ( )

代数

由指数函数单调性可知 $2 a-3>1 \therefore a>2$, 实数 $a$ 的取值范围是 $(2,+\infty)$

故答案为: C

【分析】利用指数函数的单调性求出实数 $a$ 的取值范围。


Question: 函数 $y=\left(a^{2}-4 a+4\right) a^{x}$ 是指数函数, 则 $a$ 的值是 ( )

代数

由题意 $\left\{\begin{array}{l}a^{2}-4 a+4=1 \\ a>0 \text { 且 } a \neq 1\end{array}\right.$, 解得 $a=3$.

故答案为: C.
C.

【分析】由已知利用指数函数的概念列式, 即可求出 $\mathrm{a}$ 的值.


Question: 设 $a \log _{3} 4=2$, 则 $4^{-a}=(\quad)$

代数


Question: 已知 $\log _{4} 3=\mathrm{p}, \log _{3} 25=\mathrm{q}$, 则 $\lg 5=$

代数

答案: D
解: 解: (换底公式) $p q=\log _{4} 3 \cdot \log _{3} 25=\frac{\lg 3}{\lg 4} \cdot \frac{\lg 25}{\lg 3}=\frac{2 \lg 5}{2 \lg 2}=\frac{\lg 5}{1-\lg 5}$,

$\therefore \lg 5=\frac{p q}{1+p q}$,

故答案为: D.

【分析】计算 $p q$, 利用对数换底公式、对数运算性质变形, 化为 $\lg 5$ 的式子后可得 $\lg 5$.


Question: 设 $P=\frac{1}{\log _{2} 11}+\frac{1}{\log _{3} 11}+\frac{1}{\log _{4} 11}+\frac{1}{\log _{5} 11}$, 则 $(\quad)$

A. $0<\mathrm{P}<1$
B. $1<\mathrm{P}<2$
C. $2<\mathrm{P}<3$
D. $3<\mathrm{P}<4$

<ImageHere>
$\lfloor 2 \cdot 1]=2$; 则 $\left[\log _{3} 1\right]+\left[\log _{3} 2\right]+\left[\log _{3} 3\right]+\cdots \cdot+\left[\log _{3} 27\right]$ 的值为 $(\quad)$
A. 42
B. 43
C. 44
D. 45

代数


Question: 若 $7^{x}=8$, 则 $x=(\quad)$

代数

$7^{x}=8$ 则 $x=\log _{7} 8$

故答案为: C

【分析】利用指对互化求解即可.


Question: 已知 $\ln \left(\log _{4}\left(\log _{2} x\right)\right)=0$, 那么 $x^{-\frac{1}{2}}=(\quad)$

代数


Question: 下列等式成立的是( )

代数

根据对数的运算性质逐个进行判断可得, A,B,D 都不符合对数的运算性质, C 符合. 所以 C 符合题意.

故答案为: C.
【分析】根据对数的运算性质进行分析、判断即可得到答案.


Question: 若实数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 满足 $3^{a}=4^{b}=12$, 则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=$ （）

代数


Question: 已知 $x, y, z$ 都是大于 1 的正数, $m>0$, 且 $\log _{x} m=24, \log _{y} m=40, \log _{x y z} m=12$, 则 $\log _{z} m$ 的值为 $(\quad)$

代数

由已知得 $\log _{\mathrm{m}}(\mathrm{xyz})=\log _{\mathrm{m}} \mathrm{x}+\log _{\mathrm{m}} \mathrm{y}+\log _{\mathrm{m}} \mathrm{z}=\frac{1}{12}$,

而 $\log _{\mathrm{m}} \mathrm{x}=\frac{1}{24}, \log _{\mathrm{m}} \mathrm{y}=\frac{1}{40}$,

故 $\log _{\mathrm{m}} \mathrm{z}=\frac{1}{12}-\log _{\mathrm{m}} \mathrm{x}-\log _{\mathrm{m}} \mathrm{y}=\frac{1}{12}-\frac{1}{24}-\frac{1}{40}=\frac{1}{60}$, 即 $\log _{\mathrm{z}} \mathrm{m}=60$.

故答案为: B

【分析】先求出 $\log _{m}(x y z)=\log _{m} x+\log _{m} y+\log _{m} z=\frac{1}{12}$, 再计算出 $\log _{m} z$, 即得 $\log _{z} m$ 的值.


Question: 函数 $f(x)=x \cdot \ln |x|$ 的图象可能是( )

A.

<ImageHere>

C.

<ImageHere>

B.

<ImageHere>

D.

<ImageHere>

代数

<ImageHere>
当 $x=\frac{1}{e}$ 时, $y=-\frac{1}{e}$, 对应点在 $\mathrm{x}$ 轴下方, 排除 $\mathrm{B}$;

故答案为: D.

【分析】根据奇偶性的定义, 判断函数为奇函数, 结合图象的对称性及函数的取值逐一排除即可.


Question: 若 $\log _{a}\left(a^{2}+1\right)<0<\log _{a}(2 a)$, 那么实数 $a$ 的取值范围是 $(\quad)$

代数

当 $a>1$ 时, $\log _{a}\left(a^{2}+1\right)>0$, 显然不适合题意;

<ImageHere>

即 $0<a<\frac{1}{2}$,

故答案为: B

【分析】讨论 $a>1,0<a<1$, 结合对数函数的图象与性质得到结果.


Question: 已知函数 $f(x)=|\ln (x-1)|$, 满足 $f(a)>f(4-a)$, 则实数 $a$ 的取值范围是 ( )

代数


Question: 已知 $a=\frac{3}{5}, b=\log _{0.2} 0.1, c=\log _{3} 2$, 则 $a 、 b 、 c$ 的大小关系是 ( )

代数

$\because$ 函数 $y=\log _{0.2} x$ 为减函数, 则 $a=\log _{0.2} 0.1>\log _{0.2} 0.2=1$.

函数 $y=\log _{3} x$ 为增函数, 则 $c=\log _{3} 2<\log _{3} 3=1$.

下面来比较 $a$ 与 $c$ 的大小关系,

<ImageHere>

$\because 5 \log _{3} 2=\log _{3} 2^{3}=\log _{3} 32>\log _{3} 3^{3}=3, \quad \therefore c>a$,

因此, $a<c<b$.

故答案为: C.

【分析】比较 $b 、 c$ 与 1 的大小, 可得出 $b>1, c<1$, 再比较 $a$ 与 $c$ 的大小关系, 可得出 $a 、 b$ 、 $c$ 三个数的大小关系.


Question: 若 $a=\log _{6} 7, \quad b=\log _{5} 4, \quad c=\log _{\frac{1}{3}} 4$, 则 ( )

代数


Question: 函数 $f(x)=\log _{a}(x+2)(a>1)$ 的图象必不过 $(\quad)$.

A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

代数

因为 $a>1$, 所以对数函数 $y=\log _{a} x$ 经过点 $(1,0)$, 经过第一、四象限,

函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\log _{\mathrm{a}}(\mathrm{x}+2)(\mathrm{a}>1)$ 的图象就是把函数 $y=\log _{a} x$ 的图象向左平移 2 个单位,

所以函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\log _{\mathrm{a}}(\mathrm{x}+2)(\mathrm{a}>1)$ 的图象必不经过第四象限.

故答案为:

<ImageHere>


Question: 已知 $0<a<b<1$ ，则下列结论正确的是 ( )

代数

对于 A: 因为 $0<a<b<1$, 所以 $\log _{2} a<\log _{2} b<0$,

所以得到 $\frac{1}{\log _{2} b}<\frac{1}{\log _{2} a}$, 再换底公式可得 $\log _{b} 2<\log _{a} 2$, 所以错误;

对于 B： $0<a<b<1, \log _{a} a>\log _{a} b, \log _{b} a>\log _{b} b$,

从而得到 $\log _{a} b<1<\log _{b} a$, 所以错误;

对于 C: $\because 0<a<1, \therefore y=a^{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减,

由 $a<b$ 得, $a^{b}<a^{a}$;

$\because a>0, \therefore y=x^{a}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增,

由 $a<b$ 得, $a^{a}<b^{a}, \therefore a^{b}<b^{a}$, 正确;

对于 D: 设函数 $f(x)=x \ln x$ ，求导得 $f^{\prime}(x)=1+\ln x$,

所以 $x \in\left(0, \frac{1}{e}\right)$ 时 $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减; $x \in\left(\frac{1}{e},+\infty\right)$ 时 $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增;

因为 $0<a<b<1$, 所以存在 $0<a<\frac{1}{e}<b<1_{\text {时, }} f(a)=f(b)$,
即 $a \ln a=b \ln b$, 此时 $a^{a}=b^{b}$, 所以错误,

故答案为: C.

【分析】利用对数的换底公式, 指数函数和幂函数的单调性, 以及函数 $f(x)=x \ln x$ 的单调性, 分别对四个选项进行研究, 从而得到答案.


Question: 已知 $a=\log _{8} 7, b=\log _{3} 2, c=\pi^{0.1}$, 则 ( )

代数


Question: 下列函数为幂函数的是 ( )

代数

由幂函数的定义 $f(x)=x^{a}$ 可知,

故答案为: A

【分析】由已知利用幂函数的定义分别判断各选项, 即可得结果.


Question: 函数 $f(x)=x^{-\frac{1}{2}}$ 的大致图象是 ( )

A.

<ImageHere>

C.

<ImageHere>

B.

<ImageHere>

D.

<ImageHere>

代数

由题意得, $f(x)=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$, 所以函数的定义域为 $\{x \mid x>0\}$,

因为 $-\frac{1}{2}<0$, 根据幂函数的性质, 可知函数 $f(x)=x-\frac{1}{2}$ 在第一象限为单调递减函数,

故答案为: A.

【分析】由已知幂函数, 得到函数的定义域为 $\{x \mid x>0\}$, 利用幂函数的图象在第一象限单调递减,即可判断函数的大致图象.


Question: 函数 $f(x)=\left(m^{2}-m-1\right) x^{4} m^{2}-m^{s}-1$ 是幂函数, 对任意的 $x_{1}, x_{2} \in(0,+\infty)$, 且 $x_{1} \neq x_{2}$, 满足 $\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}>0$, 若 $a, b \in R$, 且 $a+b>0$, 则 $f(a)+f(b)$ 的值 ( )

A. 恒大于 0
B. 恒小于 0
C. 等于 0
D. 无法判断

代数

因为对任意的 $x_{1}, x_{2} \in(0,+\infty)$, 且 $x_{1} \neq x_{2}$, 满足 $\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}>0$,

所以幂函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是增函数,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}m^{2}-m-1=1 \\ 4 m^{9}-m^{5}-1>0,\end{array}\right.$ 解得 $m=2$, 则 $f(x)=x^{2015}$,

$\therefore$ 函数 $f(x)=x^{2015}$ 在 $R$ 上是奇函数, 且为增函数.

由 $a+b>0$, 得 $a>-b$,

$\therefore f(a)>f(-b)=-f(b)$

$$
\therefore f(a)+f(b)>0,
$$

故答案为: A.

【分析】根据题意及幂函数的基本性质求得 $\mathrm{m}$, 得到幂函数 $f(x)=x^{2015}$, 该函数为奇函数且单调递增,代入数据计算, 即可得出答案。

二、填空题


Question: 已知函数 $f(x)=(m-1)^{2} x^{m^{2}-4 m+2}$ 是在 $(0,+\infty)$ 上单调递增的幂函数, 则 $m=(\quad)$

代数

$\because f(x)$ 是幂函数,

$\therefore(m-1)^{2}=1$, 得 $m=0$, 或 $m=2$,

$\because f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增,

$\therefore m^{2}-4 m+2>0$,

则当 $m=0$ 时, $2>0$ 成立,

当 $m=2$ 时, $4-8+2=-2$, 不成立,

故选 C.

【分析】根据幂函数的定义求出 $m$ 的值, 结合幂函数的单调性进行求解即可.


Question: 若函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是幂函数, 且满足 $\frac{f(4)}{f(2)}=3$, 则 $f\left(\frac{1}{2}\right)$ 的值为 ( )

代数


Question: 已知幂函数 $y=f(x)$ 的图象过 $\left(2 \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, 则下列求解正确的是 ( )

代数

$\because$ 幂函数 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{\alpha}$ 的图象过点 $(2, \sqrt{2})$,

$\therefore \sqrt{2}={ }_{2}^{\alpha}$, 解得 $\alpha=\frac{1}{2}$,

故 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{x}$, 即 $f(x)=x^{\frac{1}{2}}$,

故答案为: A

【分析】利用幂函数过的点求出幂函数的解析式即可逐项判断正误.


Question:
如图所示的曲线是幂函数 $y=x^{n}$ 在第一象限内的图象. 已知 $n$ 分别取 $-1,1, \frac{1}{2}, 2$ 四个值, 则与

<ImageHere>

<ImageHere>

代数

幕函数在区间 $(0,1)$ 上, 图象“指大图低”, 所以从上至下依次为 $-1 \frac{1}{2}, 1,2$,

对应曲线有

$$
C_{1}: n=2, C_{2}: n=1 C_{3}: n=\frac{1}{2}, C_{4}: n=-1 .
$$

故选: A

【分析】由幂函数的图象性质，在区间 $(0,1)$ 上，图象“指大图低”, 观察得答案.


Question: 若函数 $f(x)=(m+2) x^{a}$ 是幂函数, 且其图象过点 $(2,4)$, 则函数 $g(x)=\log _{a}(x+m)$ 的单调增区间为 ( )

代数


Question: 已知函数 $f(x)=(2 n-1) x^{-m}{ }^{2}+2 m+3$, 其中 $m \in N$, 若函数 $f(x)$ 为幂函数且其在 $(0,+\infty)$ 上是单调递增的, 并且在其定义域上是偶函数, 则 $m+n=（ ）$

代数

因为函数 $f(x)$ 为幂函数, 所以 $2 n-1=1$, 所以 $n=1$,

又因为函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是单调递增函数, 所以 $-m^{2}+2 m+3>0$,

所以 $-1<m<3$,

因为 $m \in N$,所以 $m=0,12$.

当 $m=0,2$ 时,函数 $f(x)$ 为奇函数,不合题意, 舍去.

当 $m=1$ 时. $f(x)=x^{4}$ 为偶函数, 符合题意.

所以 $m+n=1+1=2$.

故答案为: $A$.

【分析】根据幂函数的概念和性质列式可解得.


Question: 若 $x \in A$, 则 $\frac{1}{x} \in A$, 就称 $A$ 是伙伴关系集合, 集合 $M=\left\{-1,0, \frac{1}{2}, 2,3\right\}$ 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )

组合数学

因为 $x \in A$, 则 $\frac{1}{x} \in A$, 就称 $A$ 是伙伴关系集合, 集合 $M=\left\{-1,0, \frac{1}{2}, 2,3\right\}$,
所以集合 $M$ 中具有伙伴关系的元素组是 $-1 ; \frac{1}{2}, 2$,

所以具有伙伴关系的集合有 3 个: $\{-1\},\left\{\frac{1}{2}, 2\right\},\left\{-1, \frac{1}{2}, 2\right\}$,

故答案为:

【分析】根据题意分析, 得知集合 $\mathrm{M}$ 中具有伙伴关系的元素为 ${ }^{1} ; \frac{1}{2} ; 2$, 写出符合条件的全部集合,即可得出答案。


Question: 对于任意两个正整数 $m, n$, 定义某种运算“ $※$ ”如下：当 $m, n$ 都为正偶数或正奇数时, $m ※ n=m$ $+n$; 当 $m, n$ 中一个为正偶数, 另一个为正奇数时, $m * n=m n$, 则在此定义下, 集合 $M=\{(a, b) \mid a * b$ $=16\}$ 中的元素个数是( )

组合数学

(1) a, b 都是正偶数时: a 从 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 任取一个有 8 种取法, 而对应的 b 有一种取法; $\therefore$ (a, b) 有 7 种取法, 即这种情况下集合 $M$ 有 7 个元素;

(2) a, b 都为正奇数时: a 从 $1,3,5,7,9,11,13,15$ 任取一个有 8 种取法, 而对应的 b 有一种取法; $\therefore(a, b)$ 有 8 种取法, 即这种情况下集合 M 有 8 个元素;

（3）当 $m=16, n=1$, 和 $m=1, n=16$, 即这种情况下集合 $M$ 有两个元素;

$\therefore$ 集合 $M$ 的元素个数是 $7+8+2=17$.

故答案为: B

【分析】根据新定义的含义，对 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{b}$ 的取值情况分类讨论，结合分类加法计数原理, 即可切断相应的元素个数.


Question: 设 $A=\{4,5,6\}, B=\{1,2,3\}$, 则集合 $C=\{x \mid x=m-n, m \in A, n \in B\}$ 中的所有元素之和为

组合数学

解: $\because C=\{x \mid x=m-n, m \in A, n \in B\}$,\n$\mathrm{A}=\{4,5,6\}, \mathrm{B}=\{1,2,3\}$,\n$\therefore C=\{1,2,3,4,5\}$,\n$\therefore$ 集合 C 中的所有元素之和 $=1+2+3+4+5=15$.\n故答案为: A.\n【分析】由 $\mathrm{C}=\{\mathrm{x} \mid \mathrm{x}=\mathrm{m}-\mathrm{n}, \mathrm{m} \in \mathrm{A}, \mathrm{n} \in \mathrm{B}\}, \mathrm{A}=\{4,5,6\}, \mathrm{B}=\{1,2,3\}$, 先求出 $\mathrm{C}$, 然后再求集合 C 中的所有元素之和.


Question: 已知集合 $A=\left\{x \in N^{*} \mid 0 \leq x<2\right\}$, 则集合 $A$ 的子集的个数为（）

组合数学

$A=\left\{x \in N^{*} \mid 0 \leq x<2\right\}=\{1\}$, 则集合 $A$ 的子集的个数为 2 .

故选：A.

【分析】根据已知条件, 求出 $A=\{1\}$, 再根据子集的含义得出答案.


Question:
已知全集 $I=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, 集合 $A=\{3,4,5,6\}$, 集合 $B=\{5,6,7,8\}$, 则图中阴影部分所表示的集合为 ( )

<ImageHere>

组合数学


Question: 若全集 $U=\{x \in N \mid-2<x<5\}, C_{U} A=\{2\}$ ，则集合 $A$ 的非空真子集共有 （）

组合数学


Question: 若全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}, M=\{1,3,4\}, N=\{2,3,4\}$, 则集合 $\left(C_{U} M\right) \cup\left(C_{U} N\right)$ 等于（）

组合数学


Question: 根据有关资料显示，围棋状态空间复杂度的上限 $\mathrm{M}$ 约为 $3^{361}$ ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 $\mathrm{N}$ 约为 $10^{82}$, 则下列各数中与 $\frac{M}{N}$ 最接近的是 $($ )(参考数据: $\lg 3 \approx 0.48)$

组合数学


Question: (2020 $\cdot$湖南模拟) 已知二进制数 $1010_{(2)}$ 化为十进制数为 $n$, 若 $(x+a)^{n}$ 的展开式中, $x^{7}$ 的系数为 15 , 则实数 $a$ 的值为 ( )

组合数学


Question: （2020 秋・湖北月考）如果 3 个正整数按照自身顺序或者经过调整顺序可以组成一个等比数列,则称这 3 个数为一组 “等比数” (如: $(1,2,4)$ 与 $(4,2,1)$ 视为一组 “等比数” ). 从 1 , $2,3,4,5,6,7,8,9$ 中任取 3 个不同的数, 则这 3 个数构成一组 “等比数” 的概率为 ( )

组合数学


Question: (2020 秋・大连期末 $)$ 从含有两件正品 $a_{1}, a_{2}$ 和一件次品 $b$ 的 3 件产品中, 按先后顺序任意取出两件产品, 每次取出后不放回, 则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是 ( )

组合数学

解：从含有两件正品 $a_{1}, a_{2}$ 和一件次品 $b$ 的 3 件产品中,按先后顺序任意取出两件产品, 每次取出后不放回,

基本事件总数 $n=3 \times 2=6$,

取出的两件产品中恰有一件次品包含的基本事件个数 $m=2 \times 1+1 \times 2=4$,

则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是 $P=\frac{m}{n}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

故选: $B$.


Question: （2020 秋 -二道区校级期末） 4 名同学参加 4 项不同的课外活动, 若每名同学可自由选择参加其中一项, 则每项活动至少一名同学参加的概率为

组合数学

解: 4 名同学参加 4 项不同的课外活动, 每名同学可自由选择参加其中一项,基本事件总数 $n=4^{4}=256$,

每项活动至少一名同学参加包含的基本事件个数 $m=A_{4}^{4}=24$,

则每项活动至少一名同学参加的概率为 $P=\frac{m}{n}=\frac{24}{256}=\frac{3}{32}$.

故选: D.


Question: （2020 秋-公主岭市期末）从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务, 则选出的 2 名同学中恰有 1 名男同学和 1 名女同学的概率为 ( )

组合数学

解: 从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务,基本事件总数 $n=C_{5}^{2}=10$,

选出的 2 名同学中恰有 1 名男同学和 1 名女同学包含的基本事件个数 $m=C_{3}^{1} C_{2}^{1}=6$,

则选出的 2 名同学中恰有 1 名男同学和 1 名女同学的概率 $P=\frac{m}{n}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.

故选: $C$.


Question: （2021・四模拟）某省在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照 3 （语文、数学、英语）+2（物理、历史）选 $1+4$ （化学、生物、地理、政治）选 2 的模式设置的, 则某考生选择全理科的概率是 ( $\quad$

组合数学

解：在 2 (物理, 历史) 选 $1+4$ (化学、生物、地理、政治) 选 2 中,选物理的有 6 种, 分别为:

物化生、物化地、物化政、物生地、物生政、物地政,

同时, 选历史的也有 6 种, 共计 12 种,

其中选择全理科的有 1 种,

$\therefore$ 某考生选择全理科的概率是 $P=\frac{1}{12}$.

故选: D.


Question: 下列四个区间能表示数集 $A=\{x \mid 0 \leq x<5$ 或 $x>10\}$ 的是（）

算术

根据区间的定义可知数集 $A=\{x \mid 0 \leq x<5$ 或 $x>10\}$ 可以用区间 $[0,5) \cup(10,+\infty)$ 表示.

故答案为: $\mathrm{B}$.
B.

【分析】根据区间的定义，将集合 $A$ 表示为区间的形式，由此确定正确选项.

4.答案: A

解: $\because C=\{x \mid x=m-n, m \in A, n \in B\}$,

$\mathrm{A}=\{4,5,6\}, \mathrm{B}=\{1,2,3\}$,

$\therefore C=\{1,2,3,4,5\}$,

$\therefore$ 集合 C 中的所有元素之和 $=1+2+3+4+5=15$.

故答案为: A.

【分析】由 $\mathrm{C}=\{\mathrm{x} \mid \mathrm{x}=\mathrm{m}-\mathrm{n}, \mathrm{m} \in \mathrm{A}, \mathrm{n} \in \mathrm{B}\}, \mathrm{A}=\{4,5,6\}, \mathrm{B}=\{1,2,3\}$, 先求出 $\mathrm{C}$, 然后再求集合 C 中的所有元素之和.


Question: 1.已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-3 x-4<0\right\}, B=\{-4,1,3,5\}$ ，则 $A \cap B=（ ）$

算术

解: 由 $x^{2}-3 x-4<0$ 解得 $-1<x<4$,\n\n所以 $A=\{x \mid-1<x<4\}$,\n\n又因为 $B=\{-4,1,3,5\}$, 所以 $A \cap B=\{1,3\}$,\n\n故答案为: D.\n\n【分析】首先解一元二次不等式求得集合 $\mathrm{A}$, 之后利用交集中元素的特征求得 $A \cap B$, 得到结果.


Question: 已知集合 $\mathrm{U}=\{-2,-1,0,1,2,3\}, \mathrm{A}=\{-1,0,1\}, \mathrm{B}=\{1,2\}$, 则 $\mathrm{C}_{U}(A \cup B)=(\quad)$

算术


Question: 函数 $f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-1}$ 的定义域是（）

算术

因为 $f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-1}$,

所以 $\left\{\begin{array}{l}x-1 \neq 0 \\ x+1 \geq 0,\end{array}\right.$

解得 $x \geq-1$ 且 $x \neq 1$,

所以函数定义域为 $[-1,1) \cup(1,+\infty)$,

故答案为: D

【分析】要使函数有意义, 只需满足分母不为零, 被开方数不为负数即可.


Question: 下列函数中, 值域为 $(0,+\infty)$ 的是（）

算术

A. 函数 $y=\sqrt{x-1}$ 的值域为 $[0,+\infty)$, 所以该选项与已知不符;

B. 函数 $y=\frac{1}{x-1}$ 的值域为 $(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)$, 所以该选项与已知不符;

C. 函数 $y=\sqrt{x^{2}+1}$ 的值域为 $[1,+\infty)$, 所以该选项与已知不符;

D. 函数 $y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}$ 的值域为 $(0,+\infty)$, 所以该选项与已知相符.

故答案为: $\mathrm{D}$
【分析】求出每一个选项的函数的值域判断得解.


Question: 已知 $a=0.3^{-2}, b=\left(\frac{1}{2}\right)^{0.3}, c=\left(\frac{1}{2}\right)^{0.2}$, 则 $a, b, c$ 的大小关系是 ( )

算术

$\because b=\left(\frac{1}{2}\right)^{0.3}<c=\left(\frac{1}{2}\right)^{0.2}<1, \mathrm{a}=0.3^{-2}>1$,

$\therefore \mathrm{a}>\mathrm{c}>\mathrm{b}$,

故答案为: B.

【分析】首先根据指数函数判断出 $\mathrm{b}, \mathrm{c}$ 的大小，再和 1 进行比较得出。


Question: 计算 $\frac{a^{2}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a^{2}}}$ 的结果为 ( )

算术

$\frac{a^{2}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a^{2}}}=a^{2} \cdot a^{-\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{2}{3}}=a^{\frac{5}{6}}$

故答案为:

C

【分析】直接利用指数幂运算法则得到答案.


Question: 对任意的正实数 $\mathrm{a}$ 及 $m, n \in Q$, 下列运算正确的是 ( )

算术

根据指数的运算性质 $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m n}$ 排除 $\mathrm{ABC}$.

故答案为: D

【分析】直接根据指数的运算性质即可得出答案.


Question: $\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{-27}+\sqrt{2 \frac{1}{4}}=$

算术


Question: 已知 $\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=27 \times \sqrt{3^{4 x}}$, 则 $\mathrm{x}=(\quad)$

算术

方程 $\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=27 \times \sqrt{3^{4 x}} \Leftrightarrow 3^{-x}=3^{3} \cdot 3^{2 x}=3^{2 x+3} \Rightarrow-x=2 x+3 \Rightarrow x=-1$

故答案选: B

【分析】将等式两侧同时化简成关于底数为 3 的指数型表达式, 求解对应的 $\mathrm{x}$ 即可.


Question: 设 $a=e^{-\frac{1}{2}}, b=4 e^{-2}, c=2 e^{-1}, d=3 e^{-\frac{3}{2}}$, 则 $a, b, c, d$ 的大小关系为 $(\quad)$

算术


Question: 复利是一种计算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱 1000 元, 存入银行, 年利率为 $2.25 \%$; 若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝, 年利率可达 $4.01 \%$. 如果将这 1000 元选择合适方式存满 5 年, 可以多获利息()元. (参考数据 $1.0225^{4}=1.093,1.0225^{3}=1.117,1.0401^{4}=1.170,1.0401^{3}=1.217$ )

算术

由题意, 某同学有压岁钱 1000 元, 存入银行, 年利率为 $2.25 \%$,

若在银行存放 5 年, 可得金额为 $S_{1}=1000(1+2.25 \%)^{3}=1117$ 元，即利息为 117 元，

若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝时, 利率可达 $4.01 \%$,

若存放 5 年, 可得金额为 $S_{1}=1000(1+4.01 \%)^{3}=1217$ 元，即利息为 217 元，

所以将这 1000 元选择合适方式存满 5 年, 可以多获利息 $217-117=100$ 元,

故答案为: B。

【分析】由题意, 某同学有压岁钱 1000 元, 分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得利息, 即可得到答案。

二、多选题


Question: 不等式 $2^{2 x-7}<2^{4 x-1}$ 的解集是 ( )

算术

因为 $y=2^{x}$ 在 $\mathrm{R}$ 上是增函数, $2^{2 x-1}<2^{4 x-1}$,

所以 $2 x-7<4 x-1$ ，即 $x>-3$

所以不等式的解集是 $\{x \mid x>-3\}$,

故选 D.

【分析】利用指数函数 $y=2^{x}$ 在 $\mathrm{R}$ 上的单调性, 得出关于 $x$ 的不等式 $2 x-7<4 x-1$, 解此不等式, 从而得出不等式的解集;


Question: 设 $y_{1}=4^{0.9}, y_{2}=8^{0.44}, y_{3}=\left(\frac{1}{2}\right)^{-1.2}$,

算术


Question: ${ }^{10^{\lg 2}+\lg 5+\lg 2=(\quad)}$

算术

$10^{\lg 2}+\lg 5+\lg 2=2+\lg 10=2+1=3$

故答案为: A

【分析】根据对数运算性质化简求值即可.


Question: 表达式 $\lg 25+\lg 2 \lg 50+(\lg 2)^{2}$ 的运算结果为 ( )

算术


Question: 若 $\lg (2 x-4) \leq 1$, 则 $x$ 的取值范围是( )

算术

$\lg (2 x-4) \leq 1$, 则满足: $\left\{\begin{array}{l}2 x-4 \leq 10 \\ 2 x-4>0 \text { 解得 } 2<x \leq 7\end{array}\right.$

故答案为: $B$

【分析】根据题目条件得到不等式 $\left\{\begin{array}{l}2 x-4 \leq 10 \\ 2 x-4>0\end{array}\right.$ 计算得到答案.


Question: 已知 $t>1, x=\log _{2} t, y=\log _{3} t, z=\log _{5} t$, 则

算术


Question: 已知 $a=\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{3}}, b=\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{3}}, c=\log _{3} \frac{1}{2}$, 则（）

算术


Question:
（2017・東阳市校级一模）如果输入 $n=2$, 那么执行如图中算法的结果是

## 第一歩: 输入 $n$

第二步: $n=n+1$

第三步: $n=n+2$

第四步: 输出 $n$

A. 输出 3

B. 输出 4

C. 输出 5

D. 程序出错, 输不出任何结果

算术


Question: (2020 秋・哈尔滨期末) 把 77 化成四进制数的末位数字为 ( )

算术


Question: （2020 秋・尖山区校级月考）秦九韶算法的先进性主要体现在减少运算次数, 下列说法正确的是

A. 可以减少加法运算次数

B. 可以减少乘法运算次数

C. 同时减少加法和乘法的运算次数

D. 加法次数和乘法次数都有可能减少

算术

解：由秦九韶算法中, 把一个 $n$ 次多项式的值转化为求 $n$ 个一次多项的值,

即可以把至多 $\frac{n(n+1)}{2}$ 次的乘法运算次数减少至多 $n$ 次计算, 而加法运算数不变.

故选: $B$.


Question: （2020 秋・让胡路区校级月考）下列各数转化成十进制后最大的数是（）

算术


Question: （2018 秋・潞州区校级期末）用秦九韶算法计算多项式 $f(x)=4 x^{5}+5 x^{4}+6 x^{3}+7 x^{2}+8 x+1$ 当 $x=0.4$的值时, 需要做乘法和加法的次数分别是 ( )

算术

根据题意最高次数为 5 次, 因此需做 5 次加法, 5 次乘法;

故选: A.


Question:
方程组 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y=5 \\ x-y=1 \text { 的解集不可以表示为 }(\text { ) }\end{array}\right.$
$\left\{(x, y) \left\lvert\, \begin{array}{c}2 x+y=5 \\ x-y=1\end{array}\right.\right\}$
B. $\left\{(x, y) \left\lvert\, \begin{array}{c}x=2 \\ y=1\end{array}\right.\right\}$
C. $\{2,1\}$
D. $\{(2,1)\}$

6.已知 $A=\{x \mid x \leq 2 \sqrt{3}, x \in R\}, a=\sqrt{14}, b=2 \sqrt{2}$, 则 ( )

A. $a \in A$, 且 $b \notin A$
B. $a \notin A$, 且 $b \in A$
C. $a \in A$, 且 $b \in A$
D. $a \notin A$, 且 $b \notin A$

解析几何

解: 由题意, 方程组 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y=5 \\ x-y=1\end{array}\right.$ 的解集所表示的集合应为点集, 根据集合的表示方法, 可得方程组的解集可表示为 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B} 、 \mathrm{D}$ 的形式，

而集合 $\{2,1\}$ 为两个元素的数集, 所以不正确,

故答案为: C.

【分析】由方程组 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y=5 \\ x-y=1\end{array}\right.$ 的解集所表示的集合应为点集, 根据集合的表示方法, 即作出判定,得到答案.

6.答案: B

解: $\because A=\{x \mid x \leq 2 \sqrt{3}, x \in R\}, a=\sqrt{14}, b=2 \sqrt{2}$,

由 $\sqrt{14}>2 \sqrt{3}$, 可得 $a \notin A, 2 \sqrt{2}<2 \sqrt{3}$, 可得 $b \in A$,

故答案为: B.

【分析】比较 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 与 $^{2} \sqrt{3}$ 的大小, 即可判断 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 与集合 $\mathrm{A}$ 的关系.


Question: 函数 $f(x)=2 x+\sqrt{x-1}(1 \leq x \leq 5)$ 的值域是 $(\quad)$

解析几何


Question: 当 $x \in[1 ， 4]$ 时, 函数 $f(x)=x^{2}-3 x+2$ 的值域为 $(）$

A. $\lfloor 1,6\rfloor$
B. $\lfloor 0,6\rfloor$
C. $\left[-\frac{1}{4}, 6\right]$
D. $\left[-\frac{5}{4}, 6\right]$

解析几何


Question: 函数 $y=-\frac{x^{2}}{|x|}$ 的图象的大致形状是（）

A.

<ImageHere>

B.

<ImageHere>

C.

<ImageHere>

D.

<ImageHere>

解析几何

方法一: $y=-\frac{x^{2}}{|x|}=\left\{\begin{array}{l}-x, x>0 \\ x, x<0\end{array}\right.$,

观察选项, C 符合;

方法二: $y=-\frac{x^{2}}{|x|}<0$, 故图像全部在 $x$ 轴下方, 只有 C 符合,

故答案为: C.

【分析】通过分类讨论去绝对值, 得到函数的解析式的分段形式, 再观察图像即可得结果.


Question: 将函数 $y=2(x+1)^{2}-3$ 的图像向右平移 1 个单位长度, 再向上平移 3 个单位长度, 所得的图像所对应的函数解析式为 ( )

解析几何

设 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=2(\mathrm{x}+1)^{2}-3$, 得函数 $\mathrm{y}=2(\mathrm{x}+1)^{2}-3$ 的图象向右平移 1 个单位长度,

得到的图象对应函数解析式为: $y=f(x-1)=2[(x+1)-1]^{2}-3=2 x^{2}-3$,

再将所得图象向上平移 3 个单位长度,

得到的图象对应函数表达式为: $y=f(x-1)+3=2 x^{2}-3+3=2 x^{2}$,

即最终得到的图象对应函数解析式为: $y=2 x^{2}$

故答案为: A

【分析】函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 图象向右平移 1 个单位长度, 得到图象对应的解析式为: $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x}-1)$, 然后再将所得图象向上平移 3 个单位长度, 得到的图象对应函数表达式为: $y=f(x-1)+3$. 依此规律代入题
中函数解析式。


Question:
具有性质 $f\left(\frac{1}{x}\right)=-f(x)$ 的函数, 我们称为满足 “倒负” 变换的函数, 给出下列函数:

$f(x)=x-\frac{1}{x}$

(2) $f(x)=x+\frac{1}{x}$

$f(x)=\left\{\begin{array}{c}x, 0<x<1 \\ 0, x=1 \\ -\frac{1}{x}, x>1\end{array}\right.$

解析几何

对于(1): $f\left(\frac{1}{x}\right)+f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{\frac{1}{x}}+x-\frac{1}{x}=\frac{1}{x}-x+x-\frac{1}{x}=0$, 满足题意;

对于(2): $f\left(\frac{1}{x}\right)+f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{1}{x}}+x+\frac{1}{x}=\frac{1}{x}+x+x+\frac{1}{x}=2 x+\frac{2}{x}$, 不满足题意;

$f\left(\frac{1}{x}\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{x}, 0<\frac{1}{x}<1 \\ 0, \frac{1}{x}=1 \\ -x, \frac{1}{x}>1\end{array}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{x}, & x>1 \\ 0, & x=1 \\ -x, & 0<x<1\end{array}\right.\right.$

故 $f\left(\frac{1}{x}\right)=-f(x)$, 满足题意.

综上可知, 满足“倒负”变换的函数是(1)(3).

故答案为: A.

【分析】对三个函数逐一判断, 对于函数(1)(2)就是判断 $f\left(\frac{1}{x}\right)+f(x)=0$ 是否成立即可, 对于函数(3),

求出. $f\left(\frac{1}{x}\right)$ 的表达式, 进行比较即可判断出来.


Question: 函数 $y=\frac{4 x}{x^{2}+1}$ 的图象大致为 ( )

A.

<ImageHere>

C.

<ImageHere>

B.

<ImageHere>

D.

<ImageHere>

解析几何

由函数的解析式可得: $f(-x)=\frac{-4 x}{x^{2}+1}=-f(x)$,

则函数 $f(x)$ 为奇函数, 其图象关于坐标原点对称, $\mathrm{CD}$ 不符合题意;

当 $x=1$ 时, $y=\frac{4}{1+1}=2>0, \mathrm{~B}$ 不符合题意.
故答案为: A.

【分析】由题意首先确定函数的奇偶性, 然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.


Question: 三条两两相交的直线最多可确定的平面的个数为( )

解析几何

在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定 3 个平面，如图所示:

<ImageHere>

$P A ， P B ， P C$ 相交于一点 $P$ ，则 $P A ， P B ， P C$ 不共面，则 $P A ， P B$ 确定一个平面 $P A B ， P B$ ， $P C$ 确定一个平面 $P B C ， P A ， P C$ 确定一个平面 $P A C$.故选 C.


Question: 若 $0<\mathrm{a}<1, \mathrm{~b}>0$ 则函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}^{\mathrm{x}}+\mathrm{b}$ 的图象一定经过 ( )

A. 第一、二象限
.B. 第二、四象限
c. 第一、二、四象限
。D. 第二、三、四象限

解析几何

因为 $0<\mathrm{a}<1$, 则函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}^{\mathrm{x}}$ 单调递减, 过一、二象限,

又因为 $\mathrm{b}>0$, 把图像向上平移, 即函数图象一定过第二象限,

故选 A.

【分析】利用指数函数的图象与性质, 得到当 $0<\mathrm{a}<1$, 函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}^{\mathrm{x}}$ 单调递减且过一、二象限, 再把图象向上平移即可得结果.


Question: 函数 $y=a^{x-2}+4(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象必经过点（）

解析几何

当 $x=2$ 时, $y=5$, 故函数图像必经过点 $(2,5)$.

故答案为: $\mathrm{D}$.

【分析】根据指数 $a^{0}=1$ 直接计算得到定点.


Question: 函数 $f(x)=a^{x}$ 与 $g(x)=-x+2$ 在同一坐标系中的图象可能是 $(\quad)$

A.

<ImageHere>

C.

<ImageHere>
B.

<ImageHere>

D.

<ImageHere>

解析几何

由函数 $g(x)=-x+2$ 易知 C、D 选项不正确,

对于 A、B 选项可知函数 $f(x)=a^{x}$ 为 $a>1$ 时的图象,

但函数 $f(x)=a^{x}$ 的图象过 $(0,1)$ 点,

而函数 $g(x)=-x+2$ 的图象过 $(0,2)$ 点,
所以 $\mathrm{B}$ 选项不正确, $\mathrm{A}$ 选项正确.

故答案为: A.

【分析】先根据 $g(x)=-x+2$ 的图象排除选项, 再利用函数 $f(x)=a^{x}$ 的图象排除剩余选项即可.


Question: 函数 $f(x)=\frac{\sqrt{-x^{2}-3 x+4}}{\lg (x+1)}$ 的定义域为 $(\quad)$

解析几何

要使函数有意义, 则 $\left\{\begin{array}{l}-x^{2}-3 x+4 \geq 0 \\ x+1>0 \\ x+1 \neq 1\end{array}\right.$,

解得 $-1<x \leq 1$ 且 $x \neq 0$,

所以函数定义域为 $(-1,0) \cup(0,1]$.

故答案为: A

【分析】根据函数解析式, 写出自变量满足的条件, 即可求解.


Question: 函数 $y=\log _{a}(x+2)+1_{\text {的图象过定点 }(\text { ) }}$

解析几何


Question: 若幂函数 $f(x)$ 的图象过点 $(16,8)$, 则 $f(x)<f\left(x^{2}\right)$ 的解集为 $(\quad)$

解析几何

设幂函数的解析式是 $f(x)=x^{\alpha}$,

将点 (16, 8) 代入解析式得 $16^{\alpha}=8$, 解得 $\alpha=\frac{3}{4}>0$,

又函数 $f(x)$ 在定义域是 $[0,+\infty)$,

且 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 递增, 故 $0 \leq x<x^{2}$, 解得 $x>1$.

故答案为: $\mathrm{D}$.

【分析】先根据幂函数 $f(x)$ 的图象过点 $(16,8)$ 求出 $\alpha=\frac{3}{4}>0$, 再根据幂函数的单调性得到 $0<x<x^{2}$,解不等式即得不等式的解集.


Question:
下列命题中:

(1)幂函数的图象都经过点 $(1,1)$ 和点 $(0,0)$; (2)幂函数的图象不可能在第四象限; (3)当 $\mathrm{n}=0$ 时,幂函数 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{\mathrm{n}}$ 的图象是一条直线; (4)当 $\mathrm{n}>0$ 时, 幂函数 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{\mathrm{n}}$ 是增函数; (5)当 $\mathrm{n}<0$ 时, 幂函数在第一象限内的函数值随 $\mathrm{x}$ 的值增大而减小。其中正确的是（）

解析几何

当 $y=x^{-1}$ 时, 不过 $(0,0)$ 点, (1)错误;

当 $x>0$ 时, $y>0$, 故幂函数的图象不可能在第四象限内, 故(2)对;

当 $n=0$ 时, $y=x^{n}$ 中 $x \neq 0$, 故其图象是去掉 $(0,0)$ 点的一条直线, (3)错;

$y=x^{2}$ 在 $(-\infty, 0)$ 上是减函数, $(0,+\infty)$ 上是增函数, (4)错;

幂函数 $y=x^{n}$, 当 $\mathrm{n}<0$ 时, 在第一象限内函数值随 $x$ 值的增大而减小, (5)对.

故答案为: D

【分析】利用幕函数的图象特征结合幕函数的单调性, 从而找出正确命题的序号。


Question: 已知幂函数 $f(x)=\left(m^{2}-2 m+1\right) x^{m 2}+m-2$ 的图象不过原点, 则 $m$ 的值为 ( )

解析几何

$\because$ 函数是幂函数,
$\therefore m^{2}-2 m+1=1$, 解得: $m=2$ 或 $m=0$,

当 $m=2$ 时, $f(x)=x^{4}$, 过原点, 不满足条件;

当 $m=0$ 时, $f(x)=x^{-2}$, 不过原点, 满足条件,

$\therefore m=0$.

故答案为: A.

【分析】根据函数是幂函数可知 $m^{2}-2 m+1=1$, 得出: $m=2$ 或 $m=0$, 然后验证, 得到 $m$ 的值.


Question: 已知幂函数 $f(x)=x^{n}$ 的图象过点 $\left(8, \frac{1}{4}\right)$, 且 $f(a+1)<f(3)$, 则 $\mathrm{a}$ 的取值范围是

解析几何


Question: 已知幂函数 $y=f(x)$ 的图象过点 $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, 则 $\log _{4} f(2)$ 的值为 ( )

解析几何


Question: （2020 秋・齐齐哈尔期末）在区间 $[-1,2]$ 上任取一个实数 $k$, 则直线 $y=k(x-\sqrt{5})$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=1$相交的概率为（）

解析几何


Question:
（2018 春-福州期中）定义：如果一条直线同时与 $n$ 个圆相切, 则称这条直线为这 $n$ 个圆的公切线. 已知有 2018 个圆 $\mathrm{C}_{\mathrm{n}}$ : $\left(x-a_{n}\right)^{2}+\left(y-b_{n}\right)^{2}=r_{n}^{2}(n=1,2,3, \cdots, 2018)$, 其中 $a_{n}, b_{n}$, $r_{n}$ 的值由以下程序给出, 则这 2018 个圆的公切线条数

<ImageHere>

A. 没有公切线
B. 只有一条
C. 恰好有两条
D. 有超过两条

解析几何

解: 由程序语言知, 圆心坐标 $(m n, 2 m n)$ 在直线 $y=2 x$ 上, 圆的半径为 $|m| n$,
$\therefore$ 相邻两圆半径之差为 $|m|$, 相邻两圆圆心距均为

$d=\sqrt{[m(n+1)-m n]^{2}+[2 m(n+1)-2 m n]^{2}}=\sqrt{5}|m|$,

$\therefore$ 这 2018 个圆的公切线恰好有两条，是外公切线;

故选: $C$.


Question: 函数 $y=2^{x}-x^{2}$ 的图象大致是 ()

A.

<ImageHere>
B.

<ImageHere>
C.

<ImageHere>
D.

<ImageHere>

解析几何

因为 2、 4 是函数的零点, 所以排除 B、C;

因为 $x=-1$ 时 $y<0$, 所以排除 $\mathrm{D}$, 故选 $\mathrm{A}$


Question: 函数 $y=x^{-2}$ 在区间 $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ 上的最小值是 ( )

解析几何

【详解】

$\because$ 函数 $y=x^{-2}$ 在区间 $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ 上是减函数,

$\therefore y_{\text {min }}=2^{-2}=\frac{1}{4}$,

故选: A.

【点睛】

此题考查由函数的单调性求最值, 属于基础题


Question: 已知点 $\left(2, \frac{1}{4}\right)$ 在幂函数 $y=f(x)$ 的图象上, 设 $a=f\left(\log _{0.5} 0.3\right), b=f\left(0.5^{0.3}\right), c=f\left(0.3^{0.5}\right)$, 则 $a, b, c$ 的大小关系是 ( )

解析几何


Question: 已知函数 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数, 且 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=2$ 对称, 当 $0<x<2$ 时, $f(x)=2^{x+2}-x$, 则 $f(5)=(\quad)$

解析几何


Question: 二次函数 $y=x^{2}-4 x+3$ 在区间 $(1,4]$ 上的值域是（）

解析几何

【详解】

由于 $y=(x-2)^{2}-1$, 函数的对称轴为 $x=2$, 开口向上, 所以当 $x=2$ 时函数有最小值为 -1 , 当 $x=4$
时, 函数有最大值为 3 , 所以函数在区间 $(1,4]$ 上的值域为 $[-1,3]$.

故选: C

【点睛】

本小题主要考查二次函数在给定区间上的值域的求法, 属于基础题.


Question: 设 $f(x)=3^{x}+3 x-8$, 用二分法求方程 $3^{x}+3 x-8=0$ 在 $x \in(1,2)$ 内近似解的过程中得 $f(1)<0$, $f(1.5)>0, f(1.25)<0$, 则方程的根落在区间 ( )

解析几何


Question: 若函数 $f(x)=\ln x-\frac{1}{x}+a$ 在区间 $(1, e)$ 上存在零点, 则常数 $a$ 的取值范围为 $(\quad)$

解析几何

函数 $f(x)=\ln x-\frac{1}{x}+a$ 在区间 $(1, e)$ 上为增函数,

$\because f(1)=\ln 1-1+a<0, \quad f(e)=\ln e-\frac{1}{e}+a>0$,

可得 $\frac{1}{e}-1<a<1$

故选: C.
【分析】函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在定义域内单调递增, 由零点存在性定理可知 $f(1)<0, f(e)>0$, 解不等式即可求得 $\mathrm{a}$ 的取值范围.


Question:
已知定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 的图像是连续的, 且有如下对应值表, 那么 $f(x)$ 一定存在零点的区间是 ( )

| $x$ | 1 | 2 | 3 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $f(x)$ | 5.1 | 4.2 | -3.3 |

解析几何

因为 $f(1)=5.1>0, f(2)=4.2>0, f(3)=-3.3<0$,

所以 $f(2) \cdot f(3)<0$,

又函数 $f(x)$ 在 $R$ 上连续, 由函数零点存在定理, 可得: $f(x)$ 在区间 $(2,3)$ 上必有零点.

故答案为: C

【分析】根据函数零点存在定理, 结合题中数据, 即可得出结果.


Question: 已知集合 $M=\{(x, y) \mid x+y \leq 1, x \in \boldsymbol{Z}, y \in \mathbf{Z}\}, N=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 2\right\}$, 则集合 $M \cap N$ 中元素的个数是 ( )

解析几何

【分析】

先由 $N$ 中的不等式求得 $x, y$ 的取值范围, 再列举出其中的整点, 然后检验是否满足 $M$ 中的不等式, 即得到交集中的元素个数.

## 【详解】

由 $x^{2}+y^{2} \leq 2$ 可得, $x^{2} \leq 2, y^{2} \leq 2$, 即 $|x| \leq \sqrt{2},|y| \leq \sqrt{2}$,

$N$ 中的满足 $x \in Z, y \in Z$ 的整点有:

$(0,0),(0,1),(0,-1),(-1,0),(1,0),(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)$, 共 9 个点,

其中只有 $(1,1)$ 这一个点不满足 $x+y \leq 1$,

故 $M \cap N$ 中的元素个数为 8 个,

故选: C.

## 【点睛】

本题考查集合的交集，关键是寻找 $M$ 中同时符合 $N$ 中的条件的元素.


Question: 若函数 $f(x)=\ln x-\frac{1}{x}+a$ 在区间 $(1, e)$ 上存在零点, 则常数 $a$ 的取值范围为 $(\quad)$

解析几何

函数 $f(x)=\ln x-\frac{1}{x}+a$ 在区间 $(1, e)$ 上为增函数,

$\because f(1)=\ln 1-1+a<0, \quad f(e)=\ln e-\frac{1}{e}+a>0$,

可得 $\frac{1}{e}-1<a<1$

故选: C.
【分析】函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在定义域内单调递增, 由零点存在性定理可知 $f(1)<0, f(e)>0$, 解不等式即可求得 $\mathrm{a}$ 的取值范围.


Question: 已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\log _{2}(1-x), & x \leq 0 \\ -x^{2}+4 x, & x>0,\end{array}\right.$ 则函数 $g(x)=f\lfloor f(x)\rfloor-1$ 的零点个数为 $(\quad)$

解析几何


Question: 已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $R$, 图象恒过 $(0,1)$ 点, 对任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ 当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时, 都有 $\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}>1$,则不等式 $f\left[\ln \left(e^{x}-1\right)\right]<1+\ln \left(e^{x}-1\right)$ 的解集为 ( )

解析几何


Question:
给出下列程序:

INPUT “实数” ; $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$
$\mathrm{a}=x_{1}-x_{2}$
$\mathrm{~m}=a^{2}$
$\mathrm{~b}=y_{1}-y_{2}$
$\mathrm{n}=\mathrm{b}^{2}$
$\mathrm{~s}=\mathrm{m}+\mathrm{n}$
$\mathrm{d}=\mathrm{SQR}(\mathrm{s})$

PRINT d END

此程序的功能为

A. 求点到直线的距离

B. 求两点之间的距离

C. 求一个多项式的值

D. 求输入的值的平方和

解析几何

输入的四个实数可作为两个点的坐标, 程序中的 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 分别表示两个点的横、纵坐标之差, 而 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 分别表示两个点的横、纵坐标之差的平方, $\mathrm{s}$ 是横、纵坐标之差的平方和, $\mathrm{d}$ 是平方和的算术平方根, 即两点之间的距离, 最后输出此距离。

答案: B


Question:
给出下列程序:

INPUT “实数” ; $\mathrm{x} 1, \mathrm{y} 1, \mathrm{x} 2, \mathrm{y} 2$
$\mathrm{a}=\mathrm{x} 1-\mathrm{x} 2$
$\mathrm{~m}=\mathrm{a}^{\wedge} 2$
$\mathrm{~b}=\mathrm{y} 1-\mathrm{y} 2$
$\mathrm{n}=\mathrm{b}^{\wedge} 2$
$\mathrm{~s}=\mathrm{m}+\mathrm{n} \mathrm{d}=\mathrm{SQR}(\mathrm{s})$
PRINT d
END

此程序的功能为

A. 求点到直线的距离

B. 求两点之间的距离

C. 求一个多项式的值

D. 求输入的值的平方和

解析几何

输入的四个实数可作为两个点的坐标, 程序中的 a, 6 分别表示两个点的横、纵坐标之差, 而 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 分别表示两个点的横、纵坐标之差的平方, $\mathrm{s}$ 是横、纵坐标之差的平方和, $\mathrm{d}$ 是平方和的算术平方根, 即两点之间的距离, 最后输出此距离.

答案: B


Question: 若集合 $M=\{a, b, c\}$ 中的元素是 $\triangle A B C$ 的三边长, 则 $\triangle A B C$ 一定不是 ( )

A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 针角三角形
D. 等腰三角形

组合几何学

根据集合元素的互异性，

在集合 $\mathrm{M}=\{\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}\}$ 中，必有 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b} 、 \mathrm{c}$ 互不相等,

故 $\triangle \mathrm{ABC}$ 一定不是等腰三角形;

选 D.

【分析】根据集合元素的互异性, 在集合 $\mathrm{M}=\{\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}\}$ 中, 必有 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b} 、 \mathrm{c}$ 互不相等, 则 $\triangle \mathrm{ABC}$ 不会是等腰三角形. .


Question:
图中阴影表示的集合是（ ）.

<ImageHere>

A. $(P \cup Q) \cap C_{U} S$
B. $(P \cap Q) \cup C_{U} S$
C. $(P \cap Q) \cap C_{U} S$
D. $(P \cup Q) \cup C_{U} S$

组合几何学

图中阴影是集合 $P, Q$ 的公共部分，但不包含集合 $S$ 中的元素,

$\therefore$ 阴影部分表示为 $(P \cap Q) \cap C_{U} S$.

故答案为:

【分析】根据图中阴影部分直接求集合的运算.


Question: 用 $\mathrm{d}(\mathrm{A})$ 表示集合 $\mathrm{A}$ 中的元素个数, 若集合 $\mathrm{A}=\{0,1\}, B=\left\{x \mid\left(x^{2}-a x\right) \quad\left(x^{2}-a x+1\right)=0\right\}$, 且 $\mid d(A)$ $-d （ B ） \mid=1$. 设实数 $\mathrm{a}$ 的所有可能取值构成集合 $\mathrm{M}$ ，则 $\mathrm{d}(\mathrm{M})=(\mathrm{)}$

度量几何学

由题意, $|\mathrm{d}(\mathrm{A})-\mathrm{d}(\mathrm{B})|=1, \mathrm{~d}(\mathrm{~A})=2$, 可得 $\mathrm{d}(\mathrm{B})$ 的值为 1 或 3

若 $d(B)=1$, 则 $x^{2}-a x=0$ 仅有一根, 必为 0 , 此时 $a=0$, 则 $x^{2}-a x+1=x^{2}+1=0$ 无根, 符合题意

若 $d(B)=3$, 则 $x^{2}-a x=0$ 有一根, 必为 0 , 此时 $a=0$, 则 $x^{2}-a x+1=x^{2}+1=0$ 无根, 不合题意

故 $\mathrm{x}^{2}-\mathrm{ax}=0$ 有二根, 一根是 0 , 另一根是 $\mathrm{a}$, 所以 $\mathrm{x}^{2}-\mathrm{ax}+1=0$ 必仅有一根,

所以 $\triangle=a^{2}-4=0$, 解得 $\mathrm{a}= \pm 2$, 此时 $\mathrm{x}^{2}-\mathrm{ax}+1=0$ 为 1 或 -1 , 符合题意,

综上实数 $\mathrm{a}$ 的所有可能取值构成集合 $\mathrm{M}=\{0,-2,2\}, \mathrm{D}(\mathrm{M})=3$.

故答案为: A.

【分析】先由已知可得元素个数 $\mathrm{d}$ (B) 的值为 1 或 3 , 再分别判断是否符合题意, 即可求出集合 M 得结果.


Question: 设 $x \in R$, 定义符号函数 $\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{l}1, x>0 \\ 0, x=0 \\ -1, x<0\end{array}\right.$, 则函数 $f(x)=|x| \operatorname{sgn} x$ 的图象大致是 ( )

A.

<ImageHere>

C.

<ImageHere>

.B.

<ImageHere>

D.

<ImageHere>

度量几何学

函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}| \operatorname{sgn} \mathrm{x}=\left\{\begin{array}{l}x, x>0 \\ 0, x=0 \\ x, x<0=\mathrm{x},\end{array}\right.$

故函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}| \operatorname{sgn} \mathrm{x}$ 的图象为 $\mathrm{y}=\mathrm{x}$ 所在的直线。

故答案为: C。

【分析】利用符号函数的定义结合分段函数图象的画法找出函数 $f(x)=|x| \operatorname{sgn} x$ 的大致图象。


Question: 已知在空间四边形 $A B C D$ 中, $M, N$ 分别是 $A B, C D$ 的中点, 且 $A C=4, B D=6$, 则 ( )

度量几何学

取 $A D$ 的中点 $H$ ，连接 $M H, N H$ ，则 $M H / / B D$ ，且 $M H=\frac{1}{2} B D ， N H / / A C$ ，且 $N H=\frac{1}{2}$ $A C$ ，且 $M, N ， H$ 三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得 $M H-N H<M N<M H+N H$ ，即 $1<M N<5$.

<ImageHere>


Question: 下列四个说法中正确的是( )

平面 $\alpha$ 内有无数个点到平面 $\beta$ 的距离相等, 则 $\alpha / / \beta$

B. $\alpha \cap \gamma=a, \alpha \cap \beta=b$, 且 $a / / b(\alpha, \beta, \gamma$ 分别表示平面, $a, b$ 表示直线), 则 $\gamma / / \beta$

C. 平面 $\alpha$ 内一个三角形三边分别平行于平面 $\beta$ 内的一个三角形的三条边, 则 $\alpha / / \beta$

D. 平面 $\alpha$ 内的一个平行四边形的两边与平面 $\beta$ 内的一个平行四边形的两边对应平行, 则 $\alpha / / \beta$

度量几何学

由面面平行的判定定理知 C 正确.


Question: 下列不能确定两个平面垂直的是( )

A. 两个平面相交, 所成二面角是直二面角

B. 一个平面垂直于另一个平面内的一条直线

C. 一个平面经过另一个平面的一条垂线

D. 平面 $\alpha$ 内的直线 $a$ 垂直于平面 $\beta$ 内的直线 $b$

度量几何学

如图所示，在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，平面 $A_{1} B_{1} C D$ 内的直线 $A_{1} B_{1}$ 垂直于平面 $A B C D$ 内的一条直线 $B C$ ，但平面 $A_{1} B_{1} C D$ 与平面 $A B C D$ 显然不垂直.

<ImageHere>


Question:
（2020 春・荔湾区期末）七巧板是中国古代劳动人民的发明，在 18 世纪，七巧板流传到了国外，被誉为 “东方魔板” , 至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》. 完整图案为一正方形（如图）五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形, 如果向此正方形内部随机撒 800 个点, 则估计落在阴影部分的点的个数约为（）

<ImageHere>

度量几何学

解: 根据题意, 设大正方形的边长为 4 , 则面积 $S=4 \times 4=16$,

阴影部分的面积 $S^{\prime}=\frac{1}{2} S-\left(\frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}\right)=7$,则在此正方形中随机取一点, 那么此点取自阴影部分的概率 $P=\frac{7}{16}$,如果向此正方形内部随机撒 800 个点, 则估计落在阴影部分的点的个数约 $800 \times \frac{7}{16}=350$,故选: C.


Question: (2021$\cdot$二模拟) 某人向直角边长分别为 6 和 8 的一个直角三角形中投郑一个点, 求此点落在此直角三角形内切圆的内部的概率是（ ）

度量几何学

解：由勾股定理可得斜边长为 $\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$,

设其内切圆的半径为 $r$,

则由等面积法, 可得 $\frac{1}{2}(8+6+10) r=\frac{1}{2} \times 8 \times 6$, 则 $r=2$.

$\because S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} \times 8 \times 6=24, S_{\text {圆 }}=\pi \times 2^{2}=4 \pi$.

$\therefore$ 往该直角三角形中随机投郑一个点, 则该点落在此三角形内切圆内的概率为 $\frac{4 \pi}{24}=\frac{\pi}{6}$.故选: $C$.


Question:
(2021$\cdot$十一模拟) 某游乐场制作了如图所示的游戏盘, 其中 $\triangle A B C$ 为等腰三角形, $A=\frac{2 \pi}{3}, O$ 为 $B C$ 的中点, 分别以 $A, O$ 为圆心, $A B, B O$ 为半径画弧, 交于另一点 $C$. 向游戏盘内投飞镖（不考虑投不中的情况），则飞镖落入阴影部分的概率为

<ImageHere>

度量几何学


Question: (2020 秋・二道区校级期末) 已知边长为 2 的正方形 $A B C D$, 在正方形 $A B C D$ 内随机取一点, 则取到的点到正方形四个顶点 $A, B, C, D$ 的距离都大于 1 的概率为 ( )

度量几何学

解: 在正方形 $A B C D$ 内随机取一点 $P$, 点 $P$ 到点 $A$ 的距离大于 1 的部分是以 $A$ 为圆心, 1 为半径的 $\frac{1}{4}$ 圆的外部,

同理: 到其余 3 个顶点的距离大于 1 的部分为以 1 为半径的 $\frac{1}{4}$ 圆的外部,

符合条件的面积之和为 $2^{2}-\pi \times 1^{2}=4-\pi$,

$\because$ 正方形的面积为 $2 \times 2=4$,

$\therefore$ 点 $P$ 到正方形各顶点的距离大于 1 的概率为 $\frac{4-\pi}{4}=1-\frac{\pi}{4}$.

故选: D.


Question:
汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程, 下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）

<ImageHere>

A. 消耗 1 升汽油, 乙车最多可行驶 5 千米

B. 以相同速度行驶相同路程, 三辆车中, 甲车消耗汽油最多

C. 甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时, 消耗 10 升汽油

D. 某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下, 在该市用丙车比用乙车更省油

计数

对于 A, 由图象可知当速度大于 $40 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 时, 乙车的燃油效率大于 $5 \mathrm{~km} / \mathrm{L}$,

$\therefore$ 当速度大于 $40 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 时, 消耗 1 升汽油, 乙车的行驶距离大于 $5 \mathrm{~km}, \mathrm{~A}$ 不符合题意;

对于 B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，

即当速度相同时, 消耗 1 升汽油, 甲车的行驶路程最远，

$\therefore$ 以相同速度行驶相同路程, 三辆车中, 甲车消耗汽油最少, $\mathrm{B}$ 不符合题意;

对于 C, 由图象可知当速度为 $80 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 时, 甲车的燃油效率为 $10 \mathrm{~km} / \mathrm{L}$,

即甲车行驶 $10 \mathrm{~km}$ 时, 耗油 1 升, 故行驶 1 小时, 路程为 $80 \mathrm{~km}$, 燃油为 8 升, C 不符合题意;

对于 D, 由图象可知当速度小于 $80 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 时, 丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,

$\therefore$ 用丙车比用乙车更省油, $\mathrm{D}$ 符合题意

故答案为: D.

【分析】根据函数图像的几何意义对每个选项逐一分析即可得出正确答案即可.

二、填空题


Question: 从 50 份高三学生期中考试试卷中随机抽出 15 份进行教研分析, 则下列说法正确的是

A. 15 名样本
B. 50 名学生是总体
C. 样本容量是 15
D. 样本容量是 50

计数

样本是抽取的 15 份试卷, 总体是 50 份试卷, 总体容量是 50 , 样本容量是 15 .答案: C


Question: 抽签法中确保样本代表性的关键是（）

A. 制签

B. 拌均匀

C. 逐一抽取

D. 抽取不放回

计数

逐一抽取、抽取不放回是简单随机抽样的特点, 但不是确保代表性的关键,要使样本具有代表性, 则应保证总体中每个个体被抽到的机会均等，而 “搅拌均匀” 是每个个体被抽到的机会均等的关键.

答案: B


Question: 下列抽样方法是简单随机抽样的是 ()

A. 从 100 个学生家长中一次性随机抽取 10 人做家访

B. 从 38 本教辅参考资料中有放回地随机抽取 3 本作为教学参考

C. 从偶数集中一次性抽取 20 个进行奇偶性分析

D. 某参会人员从最后一排 20 个座位中随机选择一个坐下

计数

A 选项错在 “一次性” 抽取; B 选项错在 “有放回” 抽取; C 选项错在 “一次性” “总体容量无限”. 故正确选项为 D.

答案: D


Question: 下列抽样中，适合用抽签法的是（）

A. 从某厂生产的 3000 件产品中抽取 600 件进行质量检验

B. 从某厂生产的两箱 (每箱 15 件) 产品中抽取 6 件进行质量检验

C. 从甲、乙两厂生产的两箱（每箱 15 件）产品中抽取 6 件进行质量检验

D. 从某厂生产的 3000 件产品中抽取 10 件进行质量检验

计数

A、D 中个体的总数较大, 不适合用抽签法; C 中甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大, 不适合用抽签法; B 中个体的总数和样本容量均较小, 且是同厂生产的两箱产品, 质量差别不大，适合用抽签法.答案:B


Question: 下列调查方式中, 不合适的是 ( )

A. 浙江卫视 “奔跑吧兄弟” 综艺节目的收视率，采用抽查的方式

B. 了解某渔场中青鱼的平均质量, 采用抽查的方式

C. 了解 iPhone6s 手机的使用寿命, 采用普查的方式

D. 了解一批汽车的刹车性能, 采用普查的方式

计数

对于 A, 收视率采用抽查方式. 例如央视-索福瑞媒介研究有限公司 (CSM）目前采用的收视率数据采集方法有两种, 即日记法和人员测量仪法. 日记法是指通过由样本户中所有 4 岁及以上家庭成员填空日记卡来收集收视信息的方法. 人员测量仪法是指利用 “人员测量仪” 来收集电视收视信息的方法. 以北京为例，2000 多万人口中抽取 500 个样本家庭用户, 调查约 1600 个观众的收视行为. 按照国际惯例, 央视-索福瑞的测量仪网样本户每年更换比例不低于 $25 \%$, 最多四年即更换一轮; 日记卡网则一年更换一轮.对于 B, 没有必要采用普查的方式, 因此采用抽查合适对于 C, 了解手机的寿命的过程会有破坏性，因此没有必要对所有 iphone6s 手机进行调查，因此采用普查的方式不合适.对于 D, 了解汽车刹车性能, 因为涉及人身安全, 且对汽车没有破坏性, 因此, 应采用普查的方式.

答案: C


Question:
利用随机数表法对一个容量为 500 编号为 0001,002, , 999 品进行抽样检验, 抽取一个容量为 10 的样本, 若选定从第 12 行第 4 列的数开始向右读数（下面摘取了随机数表中的第 11 行至第 15 行 $)$, 则根据下面的随机数表，读出的第 3 个数是（）
$\begin{array}{lllllllllllllllllllllll}18 & 18 & 07 & 92 & 45 & 44 & 17 & 16 & 58 & 09 & 79 & 83 & 86 & 19 & 62 & 06 & 76 & 5003 & 10 & 55 & 23 & 64 & 05\end{array}$

<ImageHere>

<ImageHere>
$\begin{array}{llllllllllllllllllllll}52 & 36 & 28 & 19 & 95 & 50 & 92 & 26 & 11 & 97 & 00 & 56 & 76 & 31 & 38 & 80 & 22 & 0253 & 53 & 86 & 60 & 42 \\ 04 & 53\end{array}$

<ImageHere>

计数


Question: 某报告厅有 50 排座位, 每排有 60 个座号, 一次报告会坐满了听众, 会后留下座位号为 $18,78,138,198 \cdots$ 的 50 位听众进行座谈, 这种抽取样本的方法是 ( )

A. 抽签法
B. 随机数表法
C. 系统抽样
D. 有放回抽样

计数

总体容量 (3000) 较大, 抽取间隔相等, 符合系统抽样的特点, 是系统抽样。答案: C


Question: 采用系统抽样的方法从 2005 个个体中抽取一个容量为 50 的样本, 则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为 ( )

计数

因为 $2005 \div 50=40$ 余 5 , 所以用系统抽样的方法从 2005 个个体中抽取一个容量为 50 的样本, 抽样间隔是 40 , 且应随机剔除的个体数为 5 .

答案: A


Question: 某校高二年级共有 600 名学生, 编号为 $001^{\sim} 600$. 为了分析该年级学生上学期期末的数学考试情况, 用系统抽样的方法抽取了一个样本容量为 60 的样本. 如果编号 006, 016, 026 在样本中，那么下列编号在样本中的是 (

计数


Question: 从 72 名志愿者中抽取 10 名志愿者进行专业兴趣调查, 若采用系统抽样, 则每名志愿者被抽到的可能性是 ( )

计数

由于 72 不能被 10 整除, 则需先剔除 2 名志愿者, 确定分段间隔 $k=10$, 但是每名志愿者被剔除的可能性一样, 所以虽然剔除了 2 名志愿者, 但这 72 名志愿者中每名志愿者被抽到的可能性是一样的, 都是 $\frac{10}{72}=\frac{5}{36}$, 故选 D.

答案: D


Question:
下列有关系统抽样的说法正确的是 ( )

(1)从某厂生产的 2000 个电子元件中随机抽取 50 个入样，适宜用系统抽样法;

(2)人们打桥牌时, 从洗好的扑克牌（52 张）中随机确定一张作为起始牌, 这时, 开始按次序发牌, 对任何一家来说, 都是从 52 张总体中抽取一个容量为 13 的样本, 这里运用的抽样方法是系统抽样;

(3)有 1252 名学生的成绩, 采用系统抽样的方法抽取一个容量为 50 的样本, 则总体中随机剔除的个体数目是 2 , 但对于被剔除的 2 名学生来说, 这样做是不公平的.

计数

(1)正确, 因为总体容量较大, 适宜用系统抽样法; (2)正确, 简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本, 而这里只是随机确定了起始张, 这时其他各张显然是逐张地被抽取, 其实各张在谁手里已确定, 所以, 根据其等距起牌的特点, 应将其定位为系统抽样; (3)错误, 整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性仍然相等, 因为每个个体被抽到的机会相等, 所以每个个体被剔除的机会也相等. 故选 A.

答案: A


Question: 将参加夏令营的 600 名学生编号为: $001,002, \cdots, 600$. 采用系统抽样方法抽取一个容量为 50 的样本, 且随机抽得的号码为 003. 这 600 名学生分住在三个营区, 从 001 到 300 在第 I 营区, 从 301 到 495 在第 II 营区, 从 496 到 600 在第III营区, 三个营区被抽中的人数依次为

计数

依题意及系统抽样的意义可知, 将这 600 名学生按编号依次分成 50 组, 每一组有 12 名学生, 第 $k\left(k \in \mathbf{N}_{+}\right)$组抽中的号码是 $3+12(k-1)$. 令 $3+12(k-1) \leqslant 300$, 得 $k \leqslant \frac{103}{4}$,因此第 I 营区被抽中的人数是 25 ; 令 $300<3+12(k-1) \leqslant 495$, 得 $\frac{103}{4}<k \leqslant 42$, 因此第 II 营区被抽中的人数是 $42-25=17$.

第III营区被抽中的人数是 $50-25-17=8$.

答案: B


Question: 为了解某地区的中小学生的视力情况, 拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查, 事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异, 且男女生视力情况差异不大。在下面的抽样方法中, 最合理的抽样方法是 ( )

A. 简单随机抽样

B. 按性别分层抽样

C. 按学段分层抽样

D. 系统抽样

计数

依据题意, 了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异, 且男女生视力情况差异不大, 故要了解该地区学生的视力情况, 应按学段分层抽样。

答案: C


Question: 对一个容量为 $\mathrm{N}$ 的总体抽取容量为 $\mathrm{n}$ 的样本, 当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时, 总体中每个个体被抽中的概率分别为 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$, 则 ( )

计数

不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样, 它们都是等可能抽样, 每个个体被抽中的概率均为 $\frac{n}{N}$

答案: D


Question: 在 120 个零件中, 有一级品 24 个, 二级品 36 个, 三级品 60 个, 用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 20 的样本，则每个个体被抽取的可能性是（）

计数

在分层抽样中, 每个个体被抽取的可能性都相等, 且为 $\frac{\text { 样本容量, 所容量, }}{}$, 所每个个体被取的概率为 $\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$

答案: D


Question:
某校老年、中年和青年教师的人数见下表, 采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本中的老年教师人（）

| 类别 | 人数 |
| :---: | :---: |
| 老年教师 | 900 |
| 中年教师 | 1800 |
| 青年教师 | 1600 |
| 合计 | 4300 |

计数

设样本中的老年教师人数为 $\mathrm{x}$, 则 $\frac{320}{1600}=\frac{x}{900}$, 解得 $\mathrm{x}=180$.

答案: C


Question:
某学校有职工 140 人, 其中教师 91 人, 教辅行政人员 28 人, 总务后勤人员 21 人. 为了了解职工的某种情况, 要从中抽取一个容量为 20 的样本, 以下抽样方法中按简单随机抽样、系统抽样、分层抽样顺序排列的是（）
方法 1: 将 140 人按 $1^{\sim} 140$ 编号, 制作出有编号 $1^{\sim} 140$ 的形状、大小相同的号签, 将号签放入同一个不透明的箱子里进行均匀搅拌, 然后从中抽取 20 个号签, 编号与号签相同的 20 个人被选出.

方法 2: 将 140 人分成 20 组, 每组 7 人, 并将每组 7 人按 $1 \sim 7$ 编号, 在第一组采用抽签法抽出 $\mathrm{k}(1 \leqslant \mathrm{k} \leqslant 7)$ 号, 其余各组 $\mathrm{k}$ 号也被抽到, 20 个人被选出.

方法 3: 按 20: 140=1: 7 的比例, 从教师中抽出 13 人, 从教辅行政人员中抽出 4 人,从总务后勤人员中抽出 3 人, 从各类人员中抽取所需人员时, 均采用随机数表法, 可抽到 20 人.

A. 方法 2、方法 1、方法 3
B. 方法 2、方法 3、方法 1
C. 方法 1、方法 2、方法 3
D. 方法 3、方法 1、方法 2

计数

方法 1 是简单随机抽样中的抽签法, 方法 2 是系统抽样, 方法 3 是分层抽样.答案: C


Question:
下列说法中正确的个数为 ( )

(1)数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定;

(2)数据的平均数越小, 样本数据分布越集中、稳定; (3)数据的标准差越小, 样本数据分布越集中、稳定;

(4)数据的方差越小, 样本数据分布越集中、稳定.

计数

由数据的极差、标准差、方差的定义可知, 它们都可以影响样本数据的分布和稳定性, 而数据的平均数则与之无关, 故(2)不正确, (1)(3)(4)正确。

答案: C


Question:
将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分, 去掉 1 个最低分, 7 个剩余分数的平均分为 91 .现场作的 9 个分数的茎叶图后来有 1 个数据模糊, 无法辨认, 在图中以 $\mathrm{x}$ 表示:

<ImageHere>
则 7 个剩余分数的方差为

计数


Question: 某班级有 50 名学生, 其中有 30 名男生和 20 名女生. 随机询问了该班 5 名男生和 5 名女生在某次数学测验中的成绩, 5 名男生的成绩分别为 $86,94,88,92,90,5$ 名女生的成绩分别为 $88,93,93,88,93$. 下列说法一定正确的是 ( )

A. 这种抽样方法是分层抽样

B. 这种抽样方法是系统抽样

C. 这 5 名男生成绩的方差大于这 5 名女生成绩的方差

D. 该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

计数

若抽样方法是分层抽样, 男生、女生应分别捆取 6 人、 4 人, 所以 $\mathrm{A}$ 错; 由题目看不出是系统抽样, 所以 $\mathrm{B}$ 错; 这 5 名男生成绩的平均数

$\bar{x}_{1}=\frac{86+94+88+92+90}{5}=90$, 这 5 名女生成绩的平均数 $\bar{x}_{2}=\frac{88+93+93+88+93}{5}=91$,

故这 5 名男生成绩的方差为

$\frac{1}{5} \times\left[(86-90)^{2}+(94-90)^{2}+(88-90)^{2}+(92-90)^{2}+(90-90)^{2}\right]=8 \div x$, 这 5 名女生成绩的方差为号 $\frac{1}{5} \times\left[(88-91)^{2} \times 2+(93-91)^{2} \times 3\right]=6$, 所以这 5 名男生成绩的方差大于这 5 名女生成绩的方差, 但该班男生成绩的平均数不一定小于女生成绩的平均数, 所以 C 正确, D 错.

答案: C


Question:
图是我市甲、乙两地五月上旬日平均气温的统计图, 则甲、乙两地这十天的日平均气温 $\bar{x}_{\text {甲 }}, \bar{x}_{\text {乙 }}$ 和日平均气温的标准差 $s_{\text {甲 }}, s_{\text {乙 }}$ 的大小关系应为 ( )

<ImageHere>

计数


Question:
为比较甲、乙两地某月 14 时的气温状况，随机选取该月中的 5 天，将这 5 天中 14 时的气温数据（单位: ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ ) 制成如图所示的茎叶图. 考虑以下结论:

(1)甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温;

(2)甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温;

(3)甲地该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差;

(4)甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差。其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为

<ImageHere>

计数


Question: （2020 秋 -秦安县校级期末）若用秦九韶算法求多项式 $f(x)=4 x^{5}-x^{2}+2$ 当 $x=3$ 时的值, 则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为 ( )

计数

解: $\because f(x)=(((4 x) x) x-1) x) x+2$,

$\therefore$ 乘法要运算 5 次, 加减法要运算 2 次.

故选: $C$.


Question: (2021$\cdot$十八模拟)连续抛郑一枚硬币 4 次, 落地后第 2 次和第 4 次恰好都是正面向上的概率是 ( )

计数

抛郑一枚硬币，落地后可能出现正面和反面两种情况，

连续抛郑一枚硬币 4 次的所有结果为:

(正, 正, 正, 正）（正, 正, 正, 反）

(正, 正, 反, 正) (正, 正, 反, 反)

(正, 反, 正, 正) (正, 反, 正, 反)

(正, 反, 反, 正) (正, 反, 反, 反)

(反, 正, 正, 正) (反, 正, 正, 反)

(反, 正, 反, 正) (反, 正, 反, 反)

(反, 反, 正, 正) (反, 反, 正, 反)

(反, 反, 反, 正) (反, 反, 反, 反)

共 16 种情况，

落地后第 2 次和第 4 次恰好都是正面向上的结果为:

(正, 正, 正, 正) (正, 正, 反, 正)

(反, 正, 正, 正) (反, 正, 反, 正)

共 4 种情况，

故所求事件的概率 $P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$,

故选: A.


Question: （2020 秋 - 永昌县校级期末）在区间 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上随机取一个数 $x$, 则 $\cos x$ 的值介于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 到 1 的概率为 ( )

计数


Question: （2020 春・南阳期中）下列叙述正确的是

互斥事件定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件

B. 若事件 $A$ 发生的概率为 $P(A)$ ，则 $0 \leqslant P(A) \leqslant 1$

C. 频率是稳定的, 概率是随机的
D. 5 张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小

计数

互斥事件可能是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故 $A$ 错误;若随机事件 $A$ 发生的概率为 $P(A)$, 则 $0 \leqslant P(A) \leqslant 1$, 故 $B$ 正确;频率是随机的, 概率是稳定的, 故 $C$ 错误;

5 张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，两个人抽到有奖奖券的可能性相等，故 $D$ 错误;故选: $B$.


Question: (2020 秋・长安区校级期末) 电影《我和我的家乡》于 2020 年 10 月 11 日在中国内地上映, 到 2020 年 10 月 14 日已累计票房 22.33 亿，创造了多个票房记录，某新闻机构想了解全国人民对《我和我的家乡》的评价, 决定从某市 3 个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本. 若 3 个区人口数之比为 2: 3: 5, 且人口最多的一个区抽出 100 人, 则这个样本的容量等于

计数

解：由题意得 3 个区人口数之比为 $2: 3: 5$,

所以第三个区所抽取的人数最多, 即所占比例为 $\frac{1}{2}$.

又因为此区抽取的人数为 100 ,

所以三个区所抽总人数为 200 .

所以这个样本的容量等于 200。

故选: $C$.


Question:
（2020 秋・辽阳期末）如表为随机数表的一部分:

| 08015 | 17727 | 45318 | 22374 | 21115 | 78253 |
| :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |
| 77214 | 77402 | 43236 | 00210 | 45521 | 64237 |

已知甲班有 60 位同学, 编号为 $00 \sim 59$ 号, 规定: 利用上面的随机数表, 从第 1 行第 4 列的数开始, 从左向右依次读取 2 个数, 则抽到的第 8 位同学的编号是 ( )

计数

解：选取方法是从随机数表从第 1 行第 4 列的数开始,

从左向右依次读取 2 个数中小于 60 的编号依次为 $15,17,53,18,22,37,42,11$,则抽到的第 8 位同学的编号是 11。

故选: A.


Question: (2020 秋・沈阳期末）某单位共有 500 名职工, 其中不到 35 岁的有 125 人, $35-49$ 岁的有 $a$ 人, 50 岁及以上的有 $b$ 人, 现用分层抽样的方法, 从中抽出 100 名职工了解他们的健康情况. 如果已知 $35-49$ 岁的职工抽取了 56 人, 则 50 岁及以上的职工抽取的人数为 ( )

计数


Question: (2021$\cdot$十六模拟) 某工厂具有初级、中级、高级职称的工人分别有 550 人、 150 人、 50 人. 为了解工人的职称与年龄之间的关系, 用分层抽样的方法从这个工厂具有职称的工人中抽取 30 人进行调查，则应从初级职称的工人中抽取的人数为 ( )

计数

解: 根据分层抽样的知识可知, 应从初级职称的工人中抽取的人数为 $\frac{550}{550+150+50} \times 30$ $=22$,

故选: $B$.


Question: (2020 秋 -重庆期末) 将参加数学竞赛决赛的 500 名同学编号为: 001, 002, , , 500, 采用系统抽样的方法抽取一个容量为 50 的样本, 且随机抽的号码为 003 , 这 500 名学生分别在三个考点考试, 从 001 到 200 在第一考点, 从 201 到 352 在第二考点, 从 353 到 500 在第三考点, 则第二考点被抽中的人数为 ( )

计数

解：系统抽样的分段间隔为 $\frac{500}{50}=10$,

在随机抽样中，首次抽到 003 号, 以后每隔 10 个号抽到一个人,则被抽中的人数构成以 3 为首项, 10 为公差的等差数列,故可分别求出在 001 到 200 中有 20 人，在 201 至 352 号中共有 15 人.故选: B.


Question:
（2021$\cdot$二十模拟）某饮料厂商搞促销活动, 在十万瓶饮料（编号为 $0 \sim 99999$ ）中, 采用系统抽
   样的方法抽出 5\%的饮料, 并在抽出的饮料瓶盖内侧写上 “中奖” 字样, 若抽出的饮料的最大编号是 99996，则抽出的饮料的最小编号是

计数

解: 在十万瓶饮料（编号为 $0 \sim 99999$ ）中, 采用系统抽样的方法抽出 $5 \%$ 的饮料,并在抽出的饮料瓶盖内侧写上 “中奖” 字样, 若抽出的饮料的最大编号是 99996,则抽出的饮料瓶数为 $100000 \times 5 \%=5000$, 抽样的间隔为 $100000 \div 5000=20$,则抽出的饮料编号从大到小排列构成以 99996 为首项, 以 -20 为公差的等差数列,的最小编号为 $99996+(5000-1) \times(-20)=16$,
故选: D.


Question: 下列四个选项中的图形表示两个相交平面, 其中画法正确的是( )

A.

<ImageHere>

B.

<ImageHere>

C.

<ImageHere>

D.

<ImageHere>

画法几何学

画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示.


Question:
用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形, 则原来的图形是

<ImageHere>

<ImageHere>
B.

<ImageHere>
C.

<ImageHere>
D. $\xrightarrow[O]{\underbrace{y_{\uparrow}}_{\uparrow}}$

画法几何学

试题分析：由斜二测画法的规则知与 $x^{\prime}$ 轴平行或重合的线段与与 $x^{\prime}$ 轴平行或重合, 其长度不变, 与 $y$轴平行或重合的线段与 $x^{\prime}$ 轴平行或重合, 其长度变成原来的一半, 正方形的对角线在 $y^{\prime}$ 轴上, 可求得其长度为 $\sqrt{2}$, 故在平面图中其在 $\mathrm{y}$ 轴上, 且其长度变为原来的 2 倍, 长度为 $2 \sqrt{2}$, 观察四个选项, A 选项符合题意. 故应选 A.

考点: 斜二测画法.

点评: 注意斜二测画法中线段长度的变化.


Question:
如图, 正方形 $O^{\prime} A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的边长为 $1 \mathrm{~cm}$, 它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图, 则原图形的周长是 ( )

<ImageHere>

画法几何学

【分析】

将直观图还原为平面图形是平行四边形，然后计算.

## 【详解】

解: 将直观图还原为平面图形，如图所示.

$$
O B=2 O^{\prime} B^{\prime}=2 \sqrt{2}, O A=O^{\prime} A^{\prime}=1 \text {, 所以 } A B=\sqrt{1^{2}+(2 \sqrt{2})^{2}}=3 \text {, }
$$

<ImageHere>

所以原图形的周长为 $8 \mathrm{~cm}$,

故选: A.

【点睛】

本题考查斜二测画法, 掌握斜二测画法的定义是解题关键. 根据斜二测画法的定义才能根据直观图中直线的位置关系确定原图形中直线的位置关系, 从而解决原图形中的问题.


Question: 下列说法中正确的是( )

A. 三点确定一个平面

B. 四边形一定是平面图形

C. 梯形一定是平面图形

D. 两个不同平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 有不在同一条直线上的三个公共点

立体几何学

不共线的三点确定一个平面，故 A 不正确; 四边形有时指空间四边形，故 B 不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故 C 正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故 D 不正确. 故选 C.


Question: 如果空间四点 $A, B, C, D$ 不共面, 那么下列判断中正确的是( )

A. $A, B, C, D$ 四点中必有三点共线

B. $A, B, C, D$ 四点中不存在三点共线

C. 直线 $A B$ 与 $C D$ 相交

D. 直线 $A B$ 与 $C D$ 平行

立体几何学

两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.


Question: 如果直线 $a \subset$ 平面 $\alpha$, 直线 $b \subset$ 平面 $\alpha, M \in a, N \in b, M \in l, N \in l$, 则 ()

A. $l \subset \alpha$
B. $14 \alpha$
C. $l \cap \alpha=M$
D. $l \cap \alpha=N$

立体几何学

$\because M \in a ， a \subset \alpha$ ，
$\therefore M \in \alpha$ ，同理， $N \in \alpha ，$

又 $M \in l, N \in l$ ，故 $l \subset \alpha$.


Question: 已知 $\alpha, \beta$ 为平面, $A, B, M, N$ 为点, $a$ 为直线, 下列推理错误的是 ( )

A. $A \in a, A \in \beta, B \in a, B \in \beta \Rightarrow a \subset \beta$

B. $M \in \alpha, M \in \beta, N \in \alpha, N \in \beta \Rightarrow \alpha \cap \beta=M N$

C. $A \in \alpha, A \in \beta \Rightarrow \alpha \cap \beta=A$

D. $A, B, M \in \alpha, A, B, M \in \beta$, 且 $A, B, M$ 不共线 $\Rightarrow \alpha, \beta$ 重合

立体几何学

$\because A \in \alpha ， A \in \beta ， \therefore A \in(\alpha \cap \beta)$.

由公理可知 $\alpha \cap \beta$ 为经过 $A$ 的一条直线而不是点 $A$.

故 $\alpha \cap \beta=A$ 的写法错误.


Question: 一条直线和直线外的三点所确定的平面有( )

A. 1 个或 3 个

B. 1 个或 4 个

C. 1 个, 3 个或 4 个

D. 1 个, 2 个或 4 个

立体几何学

若三点在同一直线上，且与已知直线平行或相交，或该直线在由该三点确定的平面内，则均确定 1 个平面；若三点有两点连线和已知直线平行时可确定 3 个平面；若三点不共线，且该直线在由该三点确定的平面外，则可确定 4 个平面.


Question: 空间中有五个点, 其中有四个点在同一平面内, 但没有任何三点共线, 这样的五个点确定平面的个数最多可以是( )

立体几何学

想象四棱锥的 5 个顶点，它们总共确定 7 个平面.


Question: 若空间三条直线 $a, b, c$ 满足 $a \perp b, b / / c$, 则直线 $a$ 与 $c(\quad)$

A. 一定平行
B. 一定垂直
C. 一定是异面直线
D. 一定相交

立体几何学

$\because a \perp b, b / / c ， \therefore a \perp c$.


Question: 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )

A. 一定平行
B. 一定相交
C. 一定异面
D. 相交或异面

立体几何学

可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).


Question: 两等角的一组对应边平行, 则( )

另一组对应边平行

B. 另一组对应边不平行

C. 另一组对应边不可能垂直

D. 以上都不对

立体几何学

另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直. 注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别.


Question: 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $E, F$ 分别是侧面 $A A_{1} D_{1} D$, 侧面 $C C_{1} D_{1} D$ 的中心, $G, H$分别是线段 $A B, B C$ 的中点, 则直线 $E F$ 与直线 $G H$ 的位置关系是 ( )

A. 相交
B. 异面
C. 平行
D. 垂直

立体几何学

如图，连接 $A D_{1} ， C D_{1} ， A C$ ，则 $E ， F$ 分别为 $A D_{1} ， C D_{1}$ 的中点. 由三角形的中位线定理，知 $E F / / A C ， G H / / A C$ ，所以 $E F / / G H$ ，故选 C.

<ImageHere>


Question: 长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 ( )

立体几何学

如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线 $A C_{1}$ 异面的棱所在的直线，只要去掉与 $A C_{1}$ 相交的六条棱，其余的都与体对角线异面， $\therefore$ 与 $A C_{1}$ 异面的棱有 $B B_{1} ， A_{1} D_{1} ， A_{1} B_{1} ， B C ， C D ， D D_{1} ， \therefore$ 长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 6 对，故选 C.

<ImageHere>


Question:
已知直线 $a, b, c$, 下列三个命题:

(1)若 $a$ 与 $b$ 异面, $b$ 与 $c$ 异面, 则 $a$ 与 $c$ 异面;

(2)若 $a / / b, a$ 和 $c$ 相交, 则 $b$ 和 $c$ 也相交;

(3)若 $a \perp b, a \perp c$, 则 $b / / c$.

其中, 正确命题的个数是 ( )

立体几何学

(1)不正确，如图; (2)不正确，有可能相交，也有可能异面；(3)不正确，可能平行，可能相交，也可能异面.

<ImageHere>


Question: 如图, 点 $P, Q$ 分别是正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的面对角线 $A D_{1}, B D$ 的中点, 则异面直线 $P Q$ 和 $B C_{1}$ 所成的角为 $(\quad)$

立体几何学

$A C, D_{1} C$.

<ImageHere>

由 $P, Q$ 分别为 $A D_{1}, B D$ 的中点，

得 $P Q / / C D_{1}$.

又 $B C_{1} / / A D_{1}$,

$\therefore \angle A D_{1} C$ 为异面直线 $P Q$ 和 $B C_{1}$ 所成的角.

$\because \triangle A C D_{1}$ 为等边三角形，

$\therefore \angle A D_{1} C=60^{\circ}$.

即异面直线 $P Q$ 和 $B C_{1}$ 所成的角为 $60^{\circ}$.


Question: 直线在平面外是指( )

A. 直线与平面没有公共点
B. 直线与平面相交
C. 直线与平面平行
D. 直线与平面最多只有一个公共点

立体几何学

直线与平面的位置关系为：平行、相交、在平面内，其中平行和相交通称为直线在平面外，所以直线与平面最多只有一个公共点.


Question: 三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是( )

A. 相交
B. 平行
C. 直线在平面内
D. 平行或直线在平面内

立体几何学

延长各侧棱可恢复成棱锥的形状，所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.


Question: 下列说法正确的是( )

A. 如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行, 则这条直线与这个平面平行

B. 两个平面相交于唯一的公共点

C. 如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点, 则它们必有无数个公共点

D. 平面外的一条直线必与该平面内无数条直线平行

立体几何学

在 A 中，如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行或这条直线在这个平面内，故 A 错误; 在 B 中，两个平面相交于一条直线，故 B 错误；在 C
中，如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点，则这条直线在平面内，它们必有无数个公共点，故 C 正确；在 D中，当平面外的一条直线与平面相交时，则平面外的这条直线必与该平面内的直线不平行，故 D 错误. 故选 C.


Question: 若平面 $\alpha / /$ 平面 $\beta, l \subset \alpha$, 则 $l$ 与 $\beta$ 的位置关系是( )

A. $l$ 与 $\beta$ 相交
B. $l$ 与 $\beta$ 平行
C. $l$ 在 $\beta$ 内
D. 无法判定

立体几何学

$\because \alpha / / \beta, \therefore \alpha$ 与 $\beta$ 无公共点.

$\because l \subset \alpha, \therefore l$ 与 $\beta$ 无公共点, $\therefore l / / \beta$.


Question: 若平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 的公共点多于两个, 则( )

$\alpha, \beta$ 可能只有三个公共点

B. $\alpha, \beta$ 可能有无数个公共点, 但这无数个公共点不在一条直线上

C. $\alpha, \beta$ 一定有无数个公共点

D. 以上均不正确

立体几何学

若平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 的公共点多于两个，则平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交或重合，故选 C.


Question: 若直线 $a \perp b$, 且直线 $a / /$ 平面 $\alpha$, 则直线 $b$ 与平面 $\alpha$ 的位置关系是 ( )

A. $b \subset \alpha$

B. $b / / \alpha$

C. $b \subset \alpha$ 或 $b / / \alpha$

D. $b$ 与 $\alpha$ 相交或 $b \subset \alpha$ 或 $b / / \alpha$

立体几何学

通过观察正方体，可知 $b$ 与 $\alpha$ 相交或 $b \subset \alpha$ 或 $b / / \alpha$.故选 D.


Question:
下列命题中, 正确的有 ( )

(1)平行于同一直线的两条直线平行;

(2)平行于同一个平面的两条直线平行;

(3)平行于同一条直线的两个平面平行;

(4)平行于同一个平面的两个平面平行.

立体几何学

(2)中，也有可能是相交或异面，故(2)错误；(3)中，存在平行于两个相交平面的交线，
且不在两个平面内的直线，故(3)错误.


Question:
下列说法中正确的个数是 ( )

(1)平面 $\alpha$ 与平面 $\beta, \gamma$ 都相交, 则这三个平面有 2 条或 3 条交线;

(2)两个平面平行, 各任取两平面的一条直线, 它们不相交;

(3)直线 $a$ 不平行于平面 $\alpha$ ，则 $a$ 不平行于 $\alpha$ 内任何一条直线;

(4)如果 $\alpha / / \beta, a / / \alpha$, 那么 $a / / \beta$.

立体几何学

)错误，平面 $\alpha$ 与平面 $\beta ， \gamma$ 都相交，则这三个平面有可能有 2 条或 3 条交线，还有可能只有 1 条交线.

(2)正确，两平行平面无公共点，任取的直线也无公共点，即不相交.

(3)错误，直线 $a$ 不平行于平面 $\alpha$ ，则 $a$ 有可能在平面 $\alpha$ 内，此时可以与平面内无数条直线平行.

(4)错误，如果 $\alpha / / \beta ， a / / \alpha$ ，那么 $a / / \beta$ 或 $a \subset \beta$.


Question: 下列条件中能得出直线 $m$ 与平面 $\alpha$ 平行的是 ( )

直线 $m$ 与平面 $\alpha$ 内所有直线平行

B. 直线 $m$ 与平面 $\alpha$ 内无数条直线平行

C. 直线 $m$ 与平面 $\alpha$ 没有公共点

D. 直线 $m$ 与平面 $\alpha$ 内的一条直线平行

立体几何学

A，本身说法错误；B，当直线 $m$ 在平面 $\alpha$ 内时， $m$ 与 $\alpha$ 不平行；C，能推出 $m$ 与 $\alpha$平行；D，当直线 $m$ 在平面 $\alpha$ 内时， $m$ 与 $\alpha$ 不平行. 故选 C.


Question: 若直线 $l$ 不平行于平面 $\alpha$, 且 $l 4 \alpha$, 则 ( )

A. $\alpha$ 内的所有直线与 $l$ 异面

B. $\alpha$ 内不存在与 $l$ 平行的直线

C. $\alpha$ 内存在唯一的直线与 $l$ 平行

D. $\alpha$ 内的直线与 $l$ 都相交

立体几何学

若在平面 $\alpha$ 内存在与直线 $l$ 平行的直线，因 $l \Varangle \alpha$ ，故 $l / / \alpha$ ，这与题意矛盾.


Question: 过直线 $l$ 外两点, 作与 $l$ 平行的平面, 则这样的平面 ( )

不可能作出
B. 只能作出一个
C. 能作出无数个
D. 上述三种情况都存在

立体几何学

设直线外两点为 $A ， B$ ，若直线 $A B / / l$ ，则过 $A ， B$ 可作无数个平面与 $l$ 平行; 若直线 $A B$ 与 $l$ 异面，则只能作一个平面与 $l$ 平行; 若直线 $A B$ 与 $l$ 相交，则过 $A ， B$ 没有平面与 $l$ 平行.


Question:
如图所示, $P$ 为矩形 $A B C D$ 所在平面外一点, 矩形对角线交点为 $O, M$ 为 $P B$ 的中点, 给出五个结论:

<ImageHere>

(1) $O M / / P D$;

(2) $O M / /$ 平面 $P C D$;

(3) $O M / /$ 平面 $P D A$;

(4) $O M / /$ 平面 $P B A$;

(5) $O M / /$ 平面 $P B C$.

其中正确的个数为 ( )

立体几何学

由题意知， $O M$ 是 $\triangle B P D$ 的中位线， $\therefore O M / / P D$ ，故(1)正确; $P D \subset$ 平面 $P C D ， O M \nsubseteq$平面 $P C D ， \therefore O M / /$ 平面 $P C D$ ，故(2)正确；同理可得： $O M / /$ 平面 $P D A ，$ 故(3)正确； $O M$ 与平面 $P B A$ 和平面 $P B C$ 都相交，故(4)，(5)不正确. 故共有 3 个结论正确.


Question: 直线 $a, b$ 为异面直线, 过直线 $a$ 与直线 $b$ 平行的平面 ( )

A. 有且只有一个

B. 有无数多个

C. 有且只有一个或不存在

D. 不存在

立体几何学

在 $a$ 上任取一点 $A$ ，则过 $A$ 与 $b$ 平行的直线有且只有一条，设为 $b^{\prime} ， 又 ~ \because a \cap b^{\prime}=$ $A ， \therefore a$ 与 $b^{\prime}$ 确定一个平面 $\alpha$ ，即为过 $a$ 与 $b$ 平行的平面，可知它是唯一的.


Question:
下列四个正方体图形中, $A, B$ 为正方体的两个顶点, $M, N, P$ 分别为其所在棱的中点,能得出 $A B / /$ 平面 $M N P$ 的图形的是( )

<ImageHere>

(1)

<ImageHere>

(2)

<ImageHere>

(3)

<ImageHere>

(4)

立体几何学

对于 (1)，如图，连接 $B C$ 交 $P N$ 于点 $D$ ，连接 $M D$.

<ImageHere>

由 $M D / / A B, A B 千$ 平面 $M N P ， M D \subset$ 平面 $M N P$ ，得 $A B / /$ 平面 $M N P$.

对于(4)，由 $A B / / N P ， A B \varangle$ 平面 $M N P ， N P \subset$ 平面 $M N P$ ，可得 $A B / /$ 平面 $M N P$.


Question:
如图所示, 四边形 $E F G H$ 为四面体 $A B C D$ 的一个截面, 若 $\frac{A E}{C E}=\frac{B F}{F C}=\frac{B G}{G D}$, 则与平面 $E F G H$平行的直线有 $(\quad)$

<ImageHere>

立体几何学

$\because \frac{A E}{C E}=\frac{B F}{F C} ， \therefore E F / / A B$.

又 $E F \subset$ 平面 $E F G H ， A B \nmid$ 平面 $E F G H$ ，

$\therefore A B / /$ 平面 $E F G H$.

同理，由 $\frac{B F}{F C}=\frac{B G}{G D}$ ，

可证 $C D / /$ 平面 $E F G H$.

$\therefore$ 与平面 $E F G H$ 平行的直线有 2 条.


Question:
如图, 已知三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, $E$ 是 $B C$ 的中点, $D$ 是 $A A_{1}$ 上的动点, 且 $\frac{A D}{D A_{1}}=m$,若 $A E / /$ 平面 $D B_{1} C$, 则 $m$ 的值为 $($ )

<ImageHere>

立体几何学

，取 $C B_{1}$ 的中点 $G$ ，连接 $G E ， D G$ ，当 $m=1$ 时， $A D=G E=\frac{1}{2} B B_{1}$ 且 $A D / / G E$ ，

$\therefore$ 四边形 $A D G E$ 为平行四边形, 则 $A E / / D G$ ，又 $A E \subset$ 平面 $D B_{1} C, D G \subset$ 平面 $D B_{1} C$ ，可得 $A E / /$平面 $D B_{1} C$.

<ImageHere>


Question:
如图所示, 设 $E, F, E_{1}, F_{1}$ 分别是长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $A B, C D, A_{1} B_{1}, C_{1} D_{1}$的中点, 则平面 $E F D_{1} A_{1}$ 与平面 $B C F_{1} E_{1}$ 的位置关系是( )

<ImageHere>

A. 平行
B. 相交
C. 异面
D. 不确定

立体几何学


Question: 六棱柱 $A B C D E F-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ 的底面是正六边形, 则此六棱柱的面中互相平行的有 ( )

立体几何学


Question: 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $M$ 为棱 $A_{1} D_{1}$ 的动点, $O$ 为底面 $A B C D$ 的中心, 点 $E, F$分别是 $A_{1} B_{1}, C_{1} D_{1}$ 的中点, 下列平面中与 $O M$ 扫过的平面平行的是 $(\quad)$

立体几何学


Question: 经过平面 $\alpha$ 外两点, 作与 $\alpha$ 平行的平面, 则这样的平面可以作 $($ )

立体几何学

(1)当经过两点的直线与平面 $\alpha$ 平行时，可作出一个平面 $\beta$ 使 $\beta / / \alpha$.

(2)当经过两点的直线与平面 $\alpha$ 相交时，由于作出的平面与平面 $\alpha$ 至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面 $\alpha$ 相交，不能作出与平面 $\alpha$ 平行的平面. 故满足条件的平面有 0 个或 1 个.


Question:
已知立方体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$, 点 $E, F, G, H$ 分别是棱 $A D, B B^{\prime}, B^{\prime} C^{\prime}, D D^{\prime}$的中点, 从中任取两点确定的直线中, 与平面 $A B^{\prime} D^{\prime}$ 平行的条数是 ( )

<ImageHere>

立体几何学

连接 $E G, E H, E F, F G, G H$ ，

$\because E H / / F G$ 且 $E H=F G ，$

$\therefore$ 四边形 $E F G H$ 为平行四边形，

$\therefore E, F, G, H$ 四点共面.

由 $E G / / A B^{\prime}, E H / / A D^{\prime}, E G \cap E H=E, A B^{\prime} \cap A D^{\prime}=A, E G, E H \subset$ 平面 $E F G H, A B^{\prime}$ ， $A D^{\prime} \subset$ 平面 $A B^{\prime} D^{\prime} ，$

可得平面 $E F G H / /$ 平面 $A B^{\prime} D^{\prime}$.

故平面 $E F G H$ 内的每条直线都符合条件.

故选 D.


Question:
在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 点 $E, F, G$ 分别是棱 $A_{1} B_{1}, B_{1} C_{1}, B B_{1}$ 的中点, 给出下列四个推断:

<ImageHere>

(1) $F G / /$ 平面 $A A_{1} D_{1} D$; (2) $E F / /$ 平面 $B C_{1} D_{1}$; (3) $F G / /$ 平面 $B C_{1} D_{1}$; (4) 平面 $E F G / /$ 平面 $B C_{1} D_{1}$.其中推断正确的序号是( )

立体几何学

$\because$ 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E ， F ， G$ 分别是棱 $A_{1} B_{1} ， B_{1} C_{1} ， B B_{1}$ 的中点，

$\therefore F G / / B C_{1}$.

$\because B C_{1} / / A D_{1}, \therefore F G / / A D_{1}$,

又 $\because F G \Phi$ 平面 $A A_{1} D_{1} D, A D_{1} \subset$ 平面 $A A_{1} D_{1} D$ ，

$\therefore F G / /$ 平面 $A A_{1} D_{1} D$ ，故(1)正确;

$\because E F / / A_{1} C_{1}, A_{1} C_{1}$ 与平面 $B C_{1} D_{1}$ 相交，

$\therefore E F$ 与平面 $B C_{1} D_{1}$ 相交，故(2)错误；

$\because F G / / B C_{1}, F G$ 平面 $B C_{1} D_{1}, B C_{1} \subset$ 平面 $B C_{1} D_{1}$ ，
$\therefore F G / /$ 平面 $B C_{1} D_{1}$ ，故(3)正确；

$\because E F$ 与平面 $B C_{1} D_{1}$ 相交， $\therefore$ 平面 $E F G$ 与平面 $B C_{1} D_{1}$ 相交，故(4)错误. 故选 A.


Question:
如图是四棱雉的平面展开图, 其中四边形 $A B C D$ 为正方形, 点 $E, F, G, H$ 分别为 $P A$, $P D, P C, P B$ 的中点, 在此几何体中, 给出下面四个结论:

<ImageHere>

(1)平面 $E F G H / /$ 平面 $A B C D$;

(2) $B C / /$ 平面 $P A D$;

(3) $A B / /$ 平面 $P C D$;

(4)平面 $P A D / /$ 平面 $P A B$.

其中正确的有( )

立体几何学

面展开图还原为四棱雉如图所示，则 $E H / / A B$ ，又 $E H \Phi$ 平面 $A B C D ， A B \subset$ 平面 $A B C D$ ，所以 $E H / /$ 平面 $A B C D$. 同理可证 $E F / /$ 平面 $A B C D$ ，又 $E F \cap E H=E ， E F ， E H \subset$ 平面 $E F G H$ ，所以平面 $E F G H / /$ 平面 $A B C D$ ； 平面 $P A D ＼mathrm{~ 平 面 ~} P B C$ ，平面 $P A B ＼mathrm{~ 平 面 ~} P D C$ 均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交.

<ImageHere>

$\because A B / / C D ， A B \varangle$ 平面 $P C D, C D \subset$ 平面 $P C D ，$

$\therefore A B / /$ 平面 $P C D$.

同理 $B C / /$ 平面 $P A D$.


Question:
如图, 已知 $S$ 为四边形 $A B C D$ 外一点, 点 $G, H$ 分别为 $S B, B D$ 上的点, 若 $G H / /$ 平面 $S C D$, 则 ( )

<ImageHere>

$G H / / S A$

B. $G H / / S D$

C. $G H / / S C$

D. 以上均有可能

立体几何学

因为 $G H / /$ 平面 $S C D ， G H \subset$ 平面 $S B D$ ，平面 $S B D \cap$ 平面 $S C D=S D$ ，所以 $G H / / S D ＼mathrm{~ ， ~}$显然 $G H$ 与 $S A, S C$ 均不平行，故选 B.


Question: 直线 $a / /$ 平面 $\alpha, P \in \alpha$, 过点 $P$ 平行于 $a$ 的直线( )

只有一条, 不在平面 $\alpha$ 内

B. 有无数条, 不一定在 $\alpha$ 内

C. 只有一条, 且在平面 $\alpha$ 内

D. 有无数条, 一定在 $\alpha$ 内

立体几何学

由线面平行性质定理知过点 $P$ 平行于 $a$ 的直线只有一条，且在平面 $\alpha$ 内，故选 C.


Question: 对于直线 $m, n$ 和平面 $\alpha$, 下列命题中正确的是 ( )

A. 如果 $m \subset \alpha, n \nmid \alpha, m, n$ 是异面直线, 那么 $n / / \alpha$

B. 如果 $m \subset \alpha, n \Varangle \alpha, m, n$ 是异面直线, 那么 $n$ 与 $\alpha$ 相交

C. 如果 $m \subset \alpha, n / / \alpha, m, n$ 共面, 那么 $m / / n$

D. 如果 $m / / \alpha, n / / \alpha, m, n$ 共面, 那么 $m / / n$

立体几何学

由线面平行的性质定理知 C 正确.


Question:
如图, 在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 点 $E, F$ 分别是棱 $A A_{1}$ 和 $B B_{1}$ 的中点, 过 $E F$ 的平面 $E F G H$ 分别交 $B C$ 和 $A D$ 于点 $G, H$, 则 $G H$ 与 $A B$ 的位置关系是( )

<ImageHere>

A. 平行
B. 相交
C. 异面
D. 平行或异面

立体几何学

由长方体性质知： $E F / /$ 平面 $A B C D ， \because E F \subset$ 平面 $E F G H$ ，平面 $E F G H \cap$ 平面 $A B C D$ $=G H, \therefore E F / / G H$.

又 $\because E F / / A B, \therefore G H / / A B$.


Question: 在空间四边形 $A B C D$ 中, $E, F, G, H$ 分别是 $A B, B C, C D, D A$ 上的点, 当 $B D / /$ 平面 $E F G H$ 时, 下面结论正确的是( )

$E, F, G, H$ 一定是各边的中点

B. $G, H$ 一定是 $C D, D A$ 的中点

C. $B E: E A=B F: F C$, 且 $D H: H A=D G: G C$

D. $A E: E B=A H: H D$, 且 $B F: F C=D G: G C$

立体几何学

由于 $B D / /$ 平面 $E F G H$, 所以有 $B D / / E H, B D / / F G$, 则 $A E: E B=A H: H D$, 且 $B F: F C$ $=D G: G C$.


Question:
已知正方体 $A C_{1}$ 的棱长为 1 , 点 $P$ 是面 $A A_{1} D_{1} D$ 的中心, 点 $Q$ 是面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的对角线 $B_{1} D_{1}$ 上一点, 且 $P Q / /$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$, 则线段 $P Q$ 的长为 $(\quad)$

<ImageHere>

立体几何学


Question:
如图, 四棱雉 $S-A B C D$ 的所有的棱长都等于 2 , 点 $E$ 是 $S A$ 的中点, 过 $C, D, E$ 三点的平面与 $S B$ 交于点 $F$, 则四边形 $D E F C$ 的周长为 $(\quad)$

<ImageHere>

立体几何学

because C D / / A B, C D \Phi$ 平面 $S A B, A B \subset$ 平面 $S A B$ ，

$\therefore C D / /$ 平面 $S A B$.

又平面 $C D E F \cap$ 平面 $S A B=E F ， \therefore C D / / E F$ ，
又 $C D / / A B, \therefore A B / / E F$.

$\because S E=E A, \therefore E F$ 为 $\triangle A B S$ 的中位线，

$\therefore E F=\frac{1}{2} A B=1$, 又 $D E=C F=\sqrt{3}$,

$\therefore$ 四边形 $D E F C$ 的周长为 $3+2 \sqrt{3}$.


Question: 两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是 ( )

两两相互平行

B. 两两相交于同一点

C. 两两相交但不一定交于同一点

D. 两两相互平行或交于同一点

立体几何学

可以想象四棱柱. 由面面平行的性质定理可得.


Question:
下列命题:

(1)一条直线与两个平行平面中的一个平面相交, 必与另外一个平面相交;

(2)如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面, 必平行于另一个平面;

(3)夹在两个平行平面间的平行线段相等.

其中正确的命题的个数为 ( )

立体几何学

根据面面平行的性质知(1)(2)(3)正确，故选 C.


Question: 平面 $\alpha / /$ 平面 $\beta$, 点 $A, C \in \alpha, B, D \in \beta$, 则直线 $A C / /$ 直线 $B D$ 的充要条件是 $(\quad)$

$A B / / C D$
B. $A D / / C B$
C. $A B$ 与 $C D$ 相交
D. $A, B, C, D$ 四点共面

立体几何学

充分性: $A, B, C, D$ 四点共面，由平面与平面平行的性质知 $A C / / B D$. 必要性显然成立.


Question:
如图所示, $P$ 是三角形 $A B C$ 所在平面外一点, 平面 $\alpha / /$ 平面 $A B C, \alpha$ 分别交线段 $P A, P B$, $P C$ 于 $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$, 若 $P A^{\prime}: A A^{\prime}=2: 3$, 则 $S_{\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}: S_{\triangle A B C}$ 等于( )

<ImageHere>

立体几何学

$\because$ 平面 $\alpha / /$ 平面 $A B C$ ，平面 $P A B$ 与它们的交线分别为 $A^{\prime} B^{\prime} ， A B ， \therefore A B / / A^{\prime} B^{\prime}$ ，同理 $B^{\prime} C^{\prime} / / B C$ ，易得 $\triangle A B C \sim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ ，

$S_{\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}: S_{\triangle A B C}=\left(\frac{A^{\prime} B^{\prime}}{A B}\right)^{2}=\left(\frac{P A^{\prime}}{P A}\right)^{2}=\frac{4}{25}$.


Question:
$\alpha, \beta, \gamma$ 为三个不重合的平面, $a, b, c$ 为三条不同的直线, 则下列命题中不正确的是 ( )

(1) $\left.\begin{array}{c}a / / c \\ b / / c\end{array}\right\} \Rightarrow a / / b$;

(2) $\left.\begin{array}{c}a / / \gamma \\ b / / \gamma\end{array}\right\} \Rightarrow a / / b$;

(3) $\left.\begin{array}{l}\alpha / / c \\ \beta / / c\end{array}\right\} \Rightarrow \alpha / / \beta$;

(4) $\left.\begin{array}{l}\alpha / / \gamma \\ \beta / / \gamma\end{array}\right\} \Rightarrow \alpha / / \beta$;

(5) $\left.\begin{array}{c}\alpha / / c \\ a / / c\end{array}\right\} \Rightarrow \alpha / / a$;

(6) $\left.\begin{array}{c}\alpha / / \gamma \\ a / / \gamma\end{array}\right\} \Rightarrow a / / \alpha$.

立体几何学

由公理 4 及平行平面的传递性知(1)(4)正确. 举反例知(2)(3)(5)(6)不正确. (2)中 $a, b$ 可以相交，还可以异面；(3)中 $\alpha, \beta$ 可以相交；(5)中 $a$ 可以在 $\alpha$ 内；(6)中 $a$ 可以在 $\alpha$ 内.


Question: 在棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $M$ 是棱 $A_{1} D_{1}$ 的中点, 过 $C_{1}, B, M$ 作正方体的截面, 则这个截面的面积为( )

立体几何学

取 $A A_{1}$ 的中点 $N$ ，连接 $M N ， N B ， M C_{1} ， B C_{1}$ ，

<ImageHere>

由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，

且 $M N=\frac{1}{2} B C_{1}=\sqrt{2}, M C_{1}=B N=\sqrt{5}$,
$\therefore$ 梯形的高为 $\frac{3}{\sqrt{2}}$ ，

$\therefore$ 梯形的面积为 $\frac{1}{2}(\sqrt{2}+2 \sqrt{2}) \times \frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{9}{2}$.


Question: 设 $\alpha / / \beta, A \in \alpha, B \in \beta, C$ 是 $A B$ 的中点, 当 $A, B$ 分别在平面 $\alpha, \beta$ 内运动时, 得到无数个 $A B$ 的中点 $C$, 那么所有的动点 $C(\quad)$

A. 不共面

B. 当且仅当 $A, B$ 分别在两条直线上移动时才共面

C. 当且仅当 $A, B$ 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面

D. 不论 $A, B$ 如何移动, 都共面

立体几何学

如图所示， $A^{\prime} ， B^{\prime}$ 分别是 $A, B$ 两点在 $\alpha, \beta$ 上运动后的两点，此时 $A B$ 的中点 $C$变成 $A^{\prime} B^{\prime}$ 的中点 $C^{\prime}$ ，连接 $A^{\prime} B$ ，取 $A^{\prime} B$ 的中点 $E$. 连接 $C E ， C^{\prime} E ， A A^{\prime} ， B B^{\prime}$ ， $C C^{\prime}$ ，则 $C E / / A A^{\prime}$ ，

<ImageHere>

又 $C E \Varangle \alpha, A A^{\prime} \subset \alpha, \therefore C E / / \alpha$.

又 $C^{\prime} E / / B B^{\prime} ， C^{\prime} E \not \beta, B B^{\prime} \subset \beta, \therefore C^{\prime} E / / \beta$.

又 $\because \alpha / / \beta, C^{\prime} E \Varangle \alpha, \therefore C^{\prime} E / / \alpha$.

$\because C^{\prime} E \cap C E=E, C^{\prime} E, C E \subset$ 平面 $C C^{\prime} E$ ，

$\therefore$ 平面 $C C^{\prime} E / /$ 平面 $\alpha$,

$\therefore C C^{\prime} / /$ 平面 $\alpha$.

$\therefore$ 不论 $A ， B$ 如何移动，所有的动点 $C$ 都在过 $C$ 点且与 $\alpha, \beta$ 平行的平面上.


Question:
如图, 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $E, F$ 分别为棱 $A B, C C_{1}$ 的中点, 在平面 $A D D_{1} A_{1}$内且与平面 $D_{1} E F$ 平行的直线( )

<ImageHere>

A. 不存在
B. 有 1 条
C. 有 2 条
D. 有无数条

立体几何学

平面 $D_{1} E F$ 与平面 $A D D_{1} A_{1}$ 相交，则在平面 $A D D_{1} A_{1}$ 内与这两个平面的交线平行且不重合的直线有无数条，这些直线都与平面 $D_{1} E F$ 平行.


Question:
如图, 在正方形 $A B C D$ 中, $E, F$ 分别是 $B C, C D$ 的中点, $G$ 是 $E F$ 的中点, 现在沿 $A E$, $A F$ 及 $E F$ 把这个正方形折成一个空间图形, 使 $B, C, D$ 三点重合, 重合后的点记为 $H$, 那么, 在这个空间图形中必有( )
<ImageHere>

$A G \perp \triangle E F H$ 所在平面

B. $A H \perp \triangle E F H$ 所在平面

C. $H F \perp \triangle A E F$ 所在平面

D. $H G \perp \triangle A E F$ 所在平面

立体几何学

根据折叠前、后 $A H \perp H E ， A H \perp H F$ 不变，

$\therefore A H \perp$ 平面 $E F H$ ， B 正确;


Question: 正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中与 $A D_{1}$ 垂直的平面是( )

立体几何学


Question:
如图所示, 如果 $M C \perp$ 菱形 $A B C D$ 所在平面, 那么 $M A$ 与 $B D$ 的位置关系是 (

<ImageHere>

平行
B. 垂直相交
C. 垂直但不相交
D. 相交但不垂直

立体几何学

连接 $A C$. 因为 $A B C D$ 是菱形，所以 $B D \perp A C$. 又 $M C \perp$ 平面 $A B C D$ ，则 $B D \perp M C$. 因为 $A C \cap M C=C$ ，所以 $B D \perp$ 平面 $A M C$. 又 $M A \subset$ 平面 $A M C ，$ 所以 $M A \perp B D$. 显然直线 $M A$ 与直线 $B D$ 不共面，因此直线 $M A$ 与 $B D$ 的位置关系是垂直但不相交.


Question: 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 下面结论错误的是( )

立体几何学

由正方体的性质得 $B D / / B_{1} D_{1}$ ，且 $B D q$ 平面 $C B_{1} D_{1}$ ，所以 $B D / /$ 平面 $C B_{1} D_{1}$ ，故 $A$ 正确；因为 $B D \perp$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ，所以 $A C_{1} \perp B D$ ，故 $\mathrm{B}$ 正确；异面直线 $A D$ 与 $C B_{1}$ 所成的角即为 $A D$ 与 $D A_{1}$ 所成的角，故为 $45^{\circ}$ ，所以 $\mathrm{D}$ 正确.


Question:
下列说法中, 正确的有 ( )

(1)如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直;

(2)过直线 $l$ 外一点 $P$, 有且仅有一个平面与 $l$ 垂直;

(3)如果三条共点直线两两垂直, 那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面;

(4)垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面;

(5)过点 $A$ 垂直于直线 $a$ 的所有直线都在过点 $A$ 垂直于 $a$ 的平面内.

立体几何学

(1)(4)不正确，其他三项均正确.


Question:
如图, 在三棱雉 $P-A B C$ 中, $P A \perp$ 平面 $A B C, A B \perp B C, P A=A B, D$ 为 $P B$ 的中点, 则下列结论正确的有( )

<ImageHere>

(1) $B C \perp$ 平面 $P A B$;

(2) $A D \perp P C$;

(3) $A D \perp$ 平面 $P B C$;

(4) $P B \perp$ 平面 $A D C$.

立体几何学

$\because P A \perp$ 平面 $A B C$ ，

$\therefore P A \perp B C$,

又 $B C \perp A B ， P A \cap A B=A$ ，

$\therefore B C \perp$ 平面 $P A B$ ，

故(1)确;

由 $B C \perp$ 平面 $P A B$ ，

得 $B C \perp A D$ ，

又 $P A=A B, D$ 是 $P B$ 的中点，

$\therefore A D \perp P B$ ，又 $P B \cap B C=B ， P B ， B C \subset$ 平面 $P B C$ ，

$\therefore A D \perp$ 平面 $P B C$ ，

$\therefore A D \perp P C$ ，故(2)正确;

由 $A D \perp$ 平面 $P B C$ ，

$\therefore$ (3)正确. 故选 D.


Question: 把正方形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折起, 当以 $A, B, C, D$ 四点为顶点棱雉体积最大时, 直线 $B D$ 和平面 $A B C$ 所成的角的大小为 $(\quad)$

立体几何学

，当 $D O \perp$ 平面 $A B C$ 时，三棱锥 $D-A B C$ 的体积最大.

<ImageHere>

$\therefore \angle D B O$ 为直线 $B D$ 和平面 $A B C$ 所成的角，

$\because$ 在 Rt $\triangle D O B$ 中， $O D=O B ，$
$\therefore$ 直线 $B D$ 和平面 $A B C$ 所成的角大小为 $45^{\circ}$.