Answer:
(1) 解: $\because$ 函数 $f(x)=x^{2}-2 x$ 的图象开口向上, 对称轴为直线 $x=1$,

所以函数 $y=f(x)$ 的减区间为 $(-\infty, 1]$ ，增区间为 $(1,+\infty)$,

则函数 $y=g(x)$ 的增区间为 $\lfloor 2,4\rfloor$;

（2）解: 由 (1) 知, 函数 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 处取得最小值 -1 ,

由于函数 $y=g(x)_{\text {在定义域 }}[2,4\rfloor$ 上单调递增,

则函数 $y=g(x)$ 在 $x=2$ 处取得最小值 0 .

Question:
已知函数 $f(x)=x^{2}-2 x, g(x)=x^{2}-2 x(x \in\lfloor 2,4\rfloor)$.

(1) 求 $f(x) 、 g(x)$ 的单调区间;

(2) 求 $f(x) 、 g(x)$ 的最小值.

代数

(1) 分析二次函数 $f(x)=x^{2}-2 x$ 图象的开口方向和对称轴, 可得出函数 $y=f(x)$ 的减区间和增区间, 以及函数 $y=g(x)$ 的增区间; (2) 由函数 $y=f(x)$ 和函数 $y=g(x)$ 的单调性可得出这两个函数的最小值.


Answer:
(1) 解: 函数 $f(x)$ 在 $\lfloor 3,5\rfloor$ 上为增函数, 证明如下:

设 $x_{1}, x_{2}$ 是 $\lfloor 3,5\rfloor$ 上的任意两个实数, 且 $x_{1}<x_{2}$, 则

$f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\frac{2 x_{1}-1}{x_{1}+1}-\frac{2 x_{2}-1}{x_{2}+1}=\frac{3\left(x_{1}-x_{2}\right)}{\left(x_{1}+1\right)\left(x_{2}+1\right)}$.

$\because 3 \leq x_{1}<x_{2} \leq 5$,

$\therefore x_{1}-x_{2}<0, x_{1}+1>0, x_{2}+1>0$,

$\therefore f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)<0$, 即 $f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)$,

$\therefore$ 函数 $f(x)$ 在 $\lfloor 3,5\rfloor$ 上为增函数.

（2）解: 由（1）知函数 $f(x)$ 在 $\lfloor 3,5\rfloor$ 单调递增, 所以

<ImageHere>

<ImageHere>

故得解.

Question:
已知函数 $f(x)=\frac{2 x-1}{x+1}, x \in[3,5]$.

(1) 判断 $f(x)$ 在区间 $\lfloor 3,5\rfloor$ 上的单调性并证明;

(2) 求 $f(x)$ 的最大值和最小值.

代数

(1) 利用函数的单调性的定义, 设 $x_{1}, x_{2}$, 判断 $f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)$ 的正负, 证明出函数 $f(x)$ 在 $\lfloor 3,5\rfloor$ 上的单调性为增函数; (2) 由（1）得出的函数的单调性为单调递增, 从而得出函数 $f(x)$ 在区间 $\lfloor 3,5\rfloor$ 上的最大值为 $f(5)$ 与最小值为 $f(3)$, 求出其函数值得最值.


Answer:
(I) 证明: 任取 $x_{1}, x_{2} \in R$,

设 $x_{1}\left(x_{2}, \therefore x_{2}-x_{1}\right), \therefore f\left(x_{2}-x_{1}\right)>1$,

则 $f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)=f\left[\left(x_{2}-x_{1}\right)+x_{1}\right]-f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}-x_{1}\right)+f\left(x_{1}\right)-1-f\left(x_{1}\right)$

$=f\left(x_{2}-x_{1}\right)-1>0, \quad \therefore f\left(x_{2}\right)>f\left(x_{1}\right)$

$\therefore f(x)$ 为 $R$ 上的增函数.

（II）解：不等式 $f(x)+f\left(2 x-x^{2}\right)>2$,

可化为: $f(x)+f\left(2 x-x^{2}\right)-1>1$,

即 $f\left(x+2 x-x^{2}\right)>1$,

$f(0+0)=2 f(0)-1, \therefore f(0)=1$,

故不等式化为 $f\left(3 x-x^{2}\right)>f(0)$,

$\because f(x)$ 为 $R$ 上的增函数, $3 x-x^{2}>0$, 解得 $0<x<3$,

$\therefore$ 不等式的解集为 $(0,3)$.

Question:
定义在 $\mathrm{R}$ 上的函数 $y=f(x)$, 当 $x>0$ 时, $f(x)>1$, 且对任意的 $x, y \in R$, 都有 $f(x+y)=f(x)+f(y)-1$.

(I) 求证: $f(x)$ 是 $\mathrm{R}$ 上的增函数;

(II) 求不等式 $f(x)+f\left(2 x-x^{2}\right)>2$ 的解集.

代数

(I) 任取 $x_{1}, x_{2} \in R$, 且设 $x_{1}<x_{2}$, 结合当 $x>0$ 时, $f(x)>1$, 以及 $x, y \in R$, 都有 $f(x+y)=f(x)+f(y)-1$, 可以证明 $f\left(x_{2}\right)>f\left(x_{1}\right)$, 即可证明 $f(x)$ 是 $\mathrm{R}$ 上的增函数; （II）利用抽象函数的性质及 $f(x)$ 的单调性, 可以得到 $3 x-x^{2}>0$, 求解即可.


Answer:
(1) 解: 函数 $f(x)$ 定义域为 $R$, 关于原点对称,

又 $f(-x)=2(-x)^{4}+3(-x)^{2}=2 x^{4}+3 x^{2}=f(x)$,

所以函数 $f(x)$ 为偶函数.

(2) 解: 函数 $f(x)$ 定义域为 $\{x \mid x \neq 0\}$, 关于原点对称,

又 $f(-x)=\frac{1}{-x}+(-x)=-\left(\frac{1}{x}+x\right)=-f(x)$,

所以函数 $f(x)$ 为奇函数.

Question:
判断下列函数的奇偶性

(1) $f(x)=2 x^{4}+3 x^{2}$

(2) $f(x)=\frac{1}{x}+x$

代数

(1) 先求定义域为 $R$, 再判断 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系, 即可得到答案; (2) 先求定义域为 $\{x \mid x \neq 0\}$, 再判断 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系, 即可得到答案.


Answer:
由题意得 $\left\{\begin{array}{l}-1 \leq 1-a^{2} \leq 1 \\ -1 \leq 1-a \leq 1,\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{l}0 \leq a^{2} \leq 2 \\ 0 \leq a \leq 2\end{array}\right.$, 即 $0 \leq a \leq \sqrt{2}$

由 $f\left(1-a^{2}\right)+f(1-a)<0$, 得 $f(1-a)<-f\left(1-a^{2}\right)$,

$\because$ 函数 $y=f(x)$ 是奇函数,

$\therefore-f\left(1-a^{2}\right)=f\left(a^{2}-1\right), \therefore f(1-a)<f\left(a^{2}-1\right)$,

<ImageHere>

$\therefore 1-a>a^{2}-1$, 即 $a^{2}+a-2<0$,

解得 $-2<a<1$,

由 $\left\{\begin{array}{l}0 \leq a \leq \sqrt{2} \\ -2<a<1 \text { 得, } 0 \leq a<1\end{array}\right.$

Question: 已知函数 $y=f(x)$ 在定义域 $\lfloor 1,1\rfloor$ 上是奇函数, 又是减函数, 若 $f\left(1-a^{2}\right)+f(1-a)<0$, 求实数 $a$ 的范围.

代数

先求得 $f\left(1-a^{2}\right)+f(1-a)$ 的定义域, 再由 $y=f(x)$ 是奇函数可得 $f(1-a)<f\left(a^{2}-1\right)$,
由单调性即可得到 $a$ 的范围.


Answer:
(1) 解: 由于函数 $f(x)$ 过点 $(1-3)$,

故 $f(1)=1+a=-3, a=-4$, 所以 $f(x)=x-\frac{4}{x}$.

函数的定义域为 $\{x \mid x \neq 0\}$, 且 $f(-x)=-\left(x-\frac{4}{x}\right)=-f(x)$, 所以函数为奇函数.

（2）解: 函数 $f(x)$ 在 $\lfloor 1,4\rfloor_{\text {上递增, }}$

证明如下: 任取 $1 \leq x_{1}<x_{2} \leq 4$,

则 $f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=x_{1}-\frac{4}{x_{1}}-x_{2}+\frac{4}{x_{2}}=\frac{\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1} x_{2}+4\right)}{x_{1} x_{2}}$,

由于 $x_{1}-x_{2}<0, x_{1} x_{2}>0, x_{1} x_{2}+4>0$,

所以 $f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)<0, f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)$,

所以函数在 $\lfloor 1,4\rfloor_{\text {上递增, 且最大值为 }} f(4)=4-\frac{4}{4}=3$.

Question:
已知函数 $f(x)=x+\frac{a}{x}$ 的图像经过点 $(1,-3)$

（1）求 $a$ 的值并判断 $f(x)$ 的奇偶性;

（2）判断并证明函数 $f(x)$ 在 $\lfloor 1,4\rfloor$ 的单调性, 并求出最大值.

代数

(1) 利用点 $(1,-3)$ 列方程, 解方程求得 $a$ 的值. 根据函数奇偶性的定义, 判断出函数的奇

<ImageHere>
调性求得函数的最大值.


Answer:
(1) 解: 设 $x<0,-x>0$

$f(-x)=2(-x)^{2}-4(-x)=2 x^{2}+4 x$,

$\because f(x)$ 是奇函数,

$\therefore f(x)=-f(-x)=-2 x^{2}-4 x$

$\therefore f(x)= \begin{cases}2 x^{2}-4 x & x \geq 0 \\ -2 x^{2}-4 x & x<0,\end{cases}$

图象如图所示:

<ImageHere>
$\left\{\begin{array}{l}x \geq 0 \\ 2 x^{2}-4 x>0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x<0 \\ -2 x^{2}-4 x<0\end{array}\right.$

解得: $x>2$ 或 $x<-2$,

$\therefore$ 不等式的解集 $(-\infty,-2) \cup(2,+\infty)$

(2) 解: 由题意可知, $\lfloor-1 a-2\rfloor$ 是函数单调递减区间的子集,

根据图象可知 $-1<a-2 \leq 1$, 解得 $1<a \leq 3$.

Question:
若函数 $f(x)$ 为奇函数, 当 $x \geq 0$ 时, $f(x)=2 x^{2}-4 x$

<ImageHere>

（1）求函数 $f(x)$ 的表达式，画出函数 $f(x)$ 的图像, 并求不等式 $x f(x)>0$ 的解集;

(2) 若函数 $f(x)$ 在区间 $[-1, a-2]$ 上单调递减, 求实数 $a$ 的取值范围.

代数

（1）根据函数的奇偶性, 确定函数的表达式, 作出图像, 数形结合即可求出不等式的解集;

(2) 根据函数的单调性, 解不等式即可求出实数 $\mathrm{a}$ 的取值范围.


Answer:
(1) 解: $f(x)$ 是奇函数, 证明如下: $\because f(x)$ 是定义域为 $R$,

且 $f(-x)=(-x)^{3}+(-x)=-x^{3}-x=-f(x), \therefore f(x)$ 是奇函数

(2) 解: $f(m+1)+f(2 m-3)<0$ 化为 $f(m+1)<-f(2 m-3)$,

因为 $f(x)$ 是奇函数, $\therefore-f(2 m-3)=f(-2 m+3)$,

所以不等式化为 $f(m+1)<f(-2 m+3)$.

又 $\because f(x)$ 是 $R$ 上的增函数,

$\therefore m+1<-2 m+3, \quad \therefore m<\frac{2}{3}$,

$\therefore$ 不等式的解集为 $\left\{m \left\lvert\, m<\frac{2}{3}\right.\right\}$.

Question:
已知函数 $f(x)=x^{3}+x$.

（1）判断函数 $f(x)$ 的奇偶性, 并证明你的结论;

(2) 若 $f(x)$ 是 $R$ 上的增函数, 解关于 $m$ 的不等式 $f(m+1)+f(2 m-3)<0$.

代数

（1）根据奇偶性定义判断即可;（2）利用奇偶性与单调性把抽象不等式转化为具体不等式,解之即可.


Answer:
(1) 解: $f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) \cdot f(y), f(0) \neq 0$.

取 $x=y=0$, 则 $2 f(0)=2 f^{2}(0), \therefore f(0)=1$

(2) 解: $f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) \cdot f(y)$,

取 $x=0$ 得到 $f(y)+f(-y)=2 f(0) \cdot f(y)$,

即 $f(y)=f(-y)$, 函数 $f(x)$ 为偶函数.

Question:
$f(x)$ 是定义在 $R$ 上的函数, 对一切 $x, y \in R$, 都有 $f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) \cdot f(y)$, 且 $f(0) \neq 0$.

(1) 求 $f(0)$;

(2) 判断函数 $f(x)$ 的奇偶性

代数

（1）采用赋值法，代入即可求出函数 $\mathrm{f}(0)$ 的值;

（2）采用赋值法, 结合奇偶性的定义, 即可确定函数为偶函数.


Answer:
(1) 解: $1.8^{2.2}, 1.8^{3}$ 可看作函数 $\mathrm{y}=1.8^{\mathrm{x}}$ 的两个函数值,

$\because 1.8>1, \quad \therefore \mathrm{y}=1.8^{\mathrm{x}}$ 在 $\mathrm{R}$ 上为增函数, $\therefore 1.8^{2.2}<1.8^{3}$

(2) 解: $\because y=0.7^{x}$ 在 $\mathrm{R}$ 上为减函数,

又 $\because-0.3>-0.4, \quad \therefore 0.7^{-0.3}<0.7^{-0.4}$

（3）解： $\because 1.9^{0.4}>1.9^{0}=1 ; 0.9^{2.4}<0.9^{0}=1, \therefore 1.9^{0.4}>0.9^{2.4}$

Question:
比较下列各题中两个值的大小.

(1) $1.8^{2.2}, \quad 1.8^{3}$;

(2) $0.7^{-0.3}, \quad 0.7^{-0.4}$;

(3) $1.9^{0.4}, \quad 0.9^{2.4}$.

代数

(1)由于两式底数相同为 $1.8>1$, 由指数函数的单调递增比较大小;

(2)由于两式底数相同为 $0.7<1$, 由指数函数的单调递减比较大小;

(3)由于两式底数相同为 $0.9<1$,由指数函数的单调递减比较大小.


Answer:
（1）解: 将点 $(2,4)$ 代入函数表达式得 $f(2)=a^{2}=4$, 解得 $a=2$.

(2) 解: 由 (1) 知 $f(x)=2^{x}$,

故函数 $f(x)_{\text {在 }}[0,1\rfloor$ 上是单调递增函数,

故最大值为 $f(1)=2^{1}=2$, 最小值为 $f(0)=2^{0}=1$.

Question:
已知函数 $f(x)=a^{x}(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 经过点 (2,4).

(1) 求 $a$ 的值;

(2) 求 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值与最小值.

代数

（1）将点 $(2,4)$ 代入函数表达式，由此求得 $a$ 的值.（2）根据指数函数单调性, 求得函数 $f(x)$ 的最大值和最小值.


Answer:
解: 设 $t=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}>0$,

所以原不等式转化为 $t^{2}-2 t-8<0$,

解得 $-2<t<4$, 所以得到 $0<t<4$,

即 $0<\left(\frac{1}{2}\right)^{x}<4$,

而 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 单调递减,

所以得到 $x>-2$,

故不等式的解集为: $(-2,+\infty)$.

Question: 解关于 $x$ 的不等式: $\left(\frac{1}{4}\right)^{x}-2^{-x+1}-8<0$.

代数

设 $t=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}>0$, 将所求不等式转化为关于 $t$ 的二次不等式, 求出 $t$ 的范围, 即 $\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 的范围, 再根据 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 单调性, 求出 $x$ 的取值范围.


Answer:
解: 令 $t=a^{x}(a>0, a \neq 1)$,

则原函数化为 $f(t)=t^{2}+2 t-1=(t+1)^{2}-2(t>0)$,

(1)当 $0<a<1$ 时, $x \in[-1,1] t=a^{x} \in\left[a, \frac{1}{a}\right]$,

此时 $f(t)_{\text {在区间 }}\left[a, \frac{1}{a}\right]_{\text {上为增函数, }}$
所以 $f(t)_{\text {max }}=f\left(\frac{1}{a}\right)=\left(\frac{1}{a}+1\right)^{2}-2=14$,

所以 $a=-\frac{1}{5}$ (舍) 或 $a=\frac{1}{3}$,

(2)当 $a>1$ 时, $x \in[-1,1] t=a^{x} \in\left[\frac{1}{a}, a\right]$

此时 $f(t)$ 在区间 $\left[\frac{1}{a}, a\right]_{\text {上为增函数, }}$

所以 $f(t)_{\text {max }}=f(a)=(a+1)^{2}-2=14$,

所以 $a=-5$ (舍) 或 $a=3$,

综上所述, $a=\frac{1}{3}$ 或 $a=3$.

Question:
设 $a>0$ 且 $a \neq 1$, 函数 $y=a^{2 x}+2 a^{x}-1$ 在区间 $\lfloor-1,1\rfloor$ 上的最大值是 14 , 求实数 $a$ 的值.24.已知函数 $f(x)=a^{x}, g(x)=\left(\frac{1}{a}\right)^{x}(a>0$ 且 $a \neq 1), \quad f(-1)=\frac{1}{2}$.

<ImageHere>

(1) 求函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的解析式;

(2) 在同一坐标系中画出函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的图象;

（3）如果 $f(x)<g(x)$, 请直接写出 $x$ 的取值范围.

代数


Answer:
解：原方程可化为 $2(\lg x)^{2}-4 \lg x+1=0$,

设 $t=\lg x, \quad$ 则方程化为 $2 t^{2}-4 t+1=0$,

所以 $t_{1}+t_{2}=2, t_{1} \cdot t_{2}=\frac{1}{2}$.

又因为 $a 、 b$ 是方程 $2(\lg x)^{2}-\lg x^{4}+1=0$ 的两个实根,

所以 $t_{1}=\lg a, t_{2}=\lg b$,

即 $\lg a+\lg b=2, \lg a \cdot \lg b=\frac{1}{2}$.
所以 $\lg (a b) \cdot\left(\log _{a} b+\log _{b} a\right)=(\lg a+\lg b) \cdot\left(\frac{\lg b}{\lg a}+\frac{\lg a}{\lg b}\right)$

$=(\lg a+\lg b) \cdot \frac{\lg ^{2} b+\lg ^{2} a}{\lg a \lg b}=(\lg a+\lg b) \cdot \frac{(\lg a+\lg b)^{2}-2 \lg a \lg b}{\lg a \lg b}$

$=2 \times \frac{2^{2}-2 \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=12$,

即 $\lg (a b) \cdot\left(\log _{a} b+\log _{b} a\right)=12$.

Question: 若 $a 、 b$ 是方程 $2(\lg x)^{2}-\lg x^{4}+1=0$ 的两个实根, 求 $\lg (a b) \cdot\left(\log _{a} b+\log _{b} a\right)$ 的值.

代数

利用对数的运算法则, 结合韦达定理, 即可得出结论。


Answer:
（1）解: 原式

$$
=\left[\left(\frac{8}{7}\right)^{2}\right]^{-\frac{1}{2}}+2^{\log _{2} 3^{2}}+\lg \frac{\frac{1}{4}}{25}=\frac{7}{8}+2^{\log _{2} 3}-\lg 100=\frac{7}{8}+3-2=\frac{15}{8}
$$

(2) 解: 由换底公式得 $\log _{5} 2=\frac{1}{\log _{2} 5}=\frac{1}{a}$, 又 $b=\log _{5} 7$,

$\log _{14} 56=\frac{\log _{5} 56}{\log _{5} 14}=\frac{\log _{5}\left(7 \times 2^{3}\right)}{\log _{5}(7 \times 2)}=\frac{\log _{5} 7+3 \log _{5} 2}{\log _{5} 7+\log _{5} 2}=\frac{b+\frac{3}{a}}{b+\frac{1}{a}}=\frac{a b+3}{a b+1}$.

Question:
(1) 求值 $\left(\frac{64}{49}\right)^{-\frac{1}{2}}+\lg \frac{1}{4}+2^{\log _{4} 9}-2 \lg 5$;

（2）已知 $\log _{2} 5=a, \log _{5} 7=b$, 试用 $a 、 b$ 表示 $\log _{14} 56$.

代数

（1）利用指数的运算律、对数的运算律、换底公式以及对数恒等式可得出结果;（2）由换底公式可得出 $\log _{5} 2=\frac{1}{a}$, 然后利用换底公式可得出 $\log _{14} 56=\frac{\log _{5} 56}{\log _{5} 14}$, 并利用对数 $\log _{5} 2$ 和 $\log _{5} 7$表示分子和分母，代入化简计算即可.


Answer:
(1) 解: 因为 $f(x)-f\left(\frac{1}{x}\right)=3$,

所以 $\log _{2} x-\log _{2} \frac{1}{x}=3$, 则 $2 \log _{2} x=3$,

$\therefore \log _{2} x=\frac{3}{2}, \therefore x=2^{\frac{3}{2}}=2 \sqrt{2}$

(2) 解: 由 $f\left(a x_{0}{ }^{2}-4 x_{0}\right)=2, \therefore a x_{0} 2-4 x_{0}=4$,

$\therefore a=\frac{4+4 x_{0}}{x_{0}{ }^{2}}=\frac{4}{x_{0}^{2}}+\frac{4}{x_{0}}$,

因为 $x_{0} \in\lfloor 1,2\rfloor, \therefore a \in\lfloor 3,8\rfloor$

Question:
已知函数 $f(x)=\log _{2} x$;

(1) 若 $f(x)-f\left(\frac{1}{x}\right)=3$, 求 $x$ 的值;

（2）若区间 $\lfloor 1,2\rfloor$ 上存在 $x_{0}$, 使得方程 $f\left(a x_{0^{2}}-4 x_{0}\right)=2$ 成立, 求实数 $a$ 的取值范围。

代数

(1) 将 $\mathrm{x}$ 和 $\frac{1}{\bar{x}}$ 代入, 结合对数式的运算法则, 解对数方程, 即可求出相应的 $\mathrm{x}$;

(2) 分离参数, 构造新的函数, 采用换元法, 结合二次函数的性质, 即可求出实数 $\mathrm{a}$ 的取值范围.


Answer:
(1) 解: 由 $1-x>0,1+x>0$ 得函数的定义域为 $(-1,1)$.

(2) 解: $f(x)=\lg (1+x)$, 即 $\lg (1-x)-\lg (1+x)=\lg (1+x)$,

$\therefore \lg \frac{1-x}{1+x}=\lg (1+x), \therefore \frac{1-x}{1+x}=1+x$ 且 $-1<x<1, \therefore x=0$.

(3) 解: $\because f(x)=\lg (1-x)-\lg (1+x)=\lg \frac{1-x}{1+x}, x \in(-1,1)$,

$\therefore a, b \in(-1,1)_{\text {时, }} f(a)+f(b)=\lg \frac{1-a}{1+a}+\lg \frac{1-b}{1+b}=\lg \frac{(1-a)(1-b)}{(1+a)(1+b)}$,

又 $\because f\left(\frac{a+b}{1+a b}\right)=\lg \frac{1-\frac{a+b}{1+a b}}{1+\frac{a+b}{1+a b}}=\lg \frac{1+a b-a-b}{1+a b+a+b}=\lg \frac{(1-a)(1-b)}{(1+a)(1+b)}$,

$\therefore f(a)+f(b)=f\left(\frac{a+b}{1+a b}\right)$.

Question:
已知函数 $f(x)=\lg (1-x)-\lg (1+x)$.

（1）求函数的定义域;

(2) 若 $f(x)=\lg (1+x)$, 求 $x$ 的值;

(3) 求证: 当 $a, b \in(-1,1)$ 时, $f(a)+f(b)=f\left(\frac{a+b}{1+a b}\right)$.19.已知 $f(x)=\left|\log _{3} x\right|$

(1) 画出这个函数的图像

<ImageHere>

(2) 当 $0<a<2$ 时 $f(a)>f(2)$, 利用函数图像求出 $a$ 的取值范围

代数

（1）利用真数大于零列出不等式组, 其解为 $(-1,1)$, 它是函数的定义域（2）把方程 $f(x)=\lg (1+x)$ 化为 $\lg \frac{1-x}{1+x}=\lg (1+x)$ 后得到 $\left\{\begin{array}{l}\frac{1-x}{1+x}=1+x \\ -1<x<1\end{array}\right.$, 故 $x=0$. (3) 分别计算 $f(a)+f(b), f\left(\frac{a+b}{1-a b}\right)$ 就能得到 $f(a)+f(b)=f\left(\frac{a+b}{1-a b}\right)$.


Answer:
(1) 解: $t$ 的取值范围为区间 $\left[\log _{2} \frac{1}{4}, \log _{2} 4\right]=[-2,2]$

(2) 解: 记 $y=f(x)=\left(\log _{2} x+2\right)\left(\log _{2} x+1\right)=(t+2)(t+1)=g(t)(-2 \leq t \leq 2)$.

$\because y=g(t)=\left(t+\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}$ 在区间 $\left[-2,-\frac{3}{2}\right]_{\text {是减函数, 在区间 }}\left[-\frac{3}{2}, 2\right]_{\text {是增函数 }}$

$\therefore$ 当 $t=\log _{2} x=-\frac{3}{2}$ 即 $x=2^{-\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$ 时, $y=f(x)_{\text {有最小值 }} f\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)=g\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{1}{4}$;

当 $t=\log _{2} x=2$ 即 $x=2^{2}=4$ 时, $y=f(x)$ 有最大值 $f(4)=g(2)=12$.

Question:
设函数 $f(x)=\log _{2}(4 x) \cdot \log _{2}(2 x)$ 的定义域为 $\left[\frac{1}{4}, 4\right]$.

(1) 若 $t=\log _{2} x$, 求 $t$ 的取值范围;

(2) 求 $y=f(x)$ 的最大值与最小值, 并求出最值时对应的 $x$ 的值.

代数

（1）由已知函数的 定义域为 $\left[\frac{1}{4}, 4\right]$, 即可求出 $t$ 的取值范围.

（2）先构造函数 $\mathrm{g}(\mathrm{t})$, 再利用二次函数的单调性, 即可求出对数函数的最值及对应的 $x$ 的值.


Answer:
(1) 解: $f^{-1}(x)=\log _{2}(x+1),(x>-1)$

不等式为 $\log _{2}(x+1) \leq \log _{4}(3 x+1)$ ，

$\therefore\left\{\begin{array}{c}x+1>0 \\ 3 x+1>0 \\ (x+1)^{2} \leq 3 x+1,\end{array}\right.$

解得 $0 \leq x \leq 1, \therefore D=\lfloor 0,1\rfloor$;

(2) 解: $H(x)=\log _{4}(3 x+1)-\frac{1}{2} \log _{2}(x+1)=\frac{1}{2} \log _{2} \frac{3 x+1}{x+1}(0 \leq x \leq 1)$.

$\therefore H(x)=\frac{1}{2} \log _{2}\left(3-\frac{2}{x+1}\right)$.

当 $x \in[0,1]_{\text {时, }} 3-\frac{2}{x+1}$ 单调递增, $\therefore H(x)$ 单调递增,

$\therefore H(x) \in\left[0, \frac{1}{2}\right]$, 因此当 $a \in\left[0, \frac{1}{2}\right]_{\text {时满足条件. }}$

Question:
设函数 $f(x)=2^{x}-1$ 的反函数为 $f^{-1}(x), g(x)=\log _{4}(3 x+1)$.

（1）若 $f^{-1}(x) \leq g(x)$ ，求 $x$ 的取值范围 $D$;

（2）在（1）的条件下, 设 $H(x)=g(x)-\frac{1}{2} f^{-1}(x)$, 当 $x \in D$ 时, 函数 $H(x)$ 的图像与直线 $y=a$有公共点, 求实数 $a$ 的取值范围.22.已知函数 $f(x)=\log _{a} \frac{x-5}{x+5}(a>0$ 且 $a \neq 1)$.

<ImageHere>

（2）设 $g(x)=\log _{a}(x-3)$, 若方程 $f(x)-1=g(x)$ 有实根, 求 $a$ 的取值范围.

代数

(1) 根据题意结合已知条件得出 $\log _{2}(x+1) \leq \log _{4}(3 x+1)$, 再利用对数函数的定义域和单调性得出不等式组, 求解得出 $\mathrm{x}$ 的取值;

<ImageHere>
根据函数的值域得出当 $H(x) \in\left[0, \frac{1}{2}\right]_{\text {时满足, 即 }} a \in\left[0, \frac{1}{2}\right]$ 。


Answer:
(1) 解: $\because y=x^{\frac{3}{4}}$ 为 $\mathrm{R}$ 上的增函数,

又 $2.3<2.4, \therefore 2.3^{\frac{3}{4}}<2.4^{\frac{3}{4}}$;

(2) 解: $\because y=x^{-\frac{3}{2}}$ 为 $(0,+\infty)$ 上的减函数, 又 $\sqrt{2}<\sqrt{3}$,

$\therefore(\sqrt{2})^{-\frac{3}{2}}>(\sqrt{3})^{-\frac{3}{2}}$;

(3) 解: $\because y=x^{\frac{6}{5}}$ 为 $\mathrm{R}$ 上的偶函数,

$\therefore(-0.31)^{\frac{6}{5}}=0.31^{\frac{6}{5}}$.

又函数 $y=x^{\frac{6}{5}}$ 为 $[0,+\infty)$ 上的增函数, 且 $0.31<0.35$,

$\therefore 0.31^{\frac{6}{5}}<0.35^{\frac{6}{5}}$, 即 $(-0.31)^{\frac{6}{5}}<0.35^{\frac{6}{5}}$.

Question:
比较下列各题中两个幂的值的大小:

(1) $2.3^{\frac{3}{4}}, 2.4^{\frac{3}{4}}$;

(2) $(\sqrt{2})^{-\frac{3}{2}},(\sqrt{3})^{-\frac{3}{2}}$;

(3) $(-0.31)^{\frac{6}{5}}, 0.35^{\frac{6}{5}}$.

代数

(1)结合幂函数的单调性的定义即可得出结论。(2)根据幂函数的单调性的的定义即可得出结论。(3)利用幂函数的单调性以及偶函数的性质即可得出结论。


Answer:
(1) 解: 由题得 $2^{m i^{2}+m+1}=8 \Rightarrow m=1$ 或 $m=-2$ (舍);

（2）解: 由题得 $f(x)=x^{3}, f(x)$ 在 $\mathrm{R}$ 上单调递增,

由 $\mathrm{f}(2-\mathrm{a})>\mathrm{f}(\mathrm{a}-1)$ 可得 $2-a>a-1 \Rightarrow a<\frac{3}{2}$.

Question:
已知幂函数 $f(x)=x^{m^{2}+m+1}\left(m \in N^{*}\right)$ 的图象经过点 $(2,8)$.

(1) 试确定 $m$ 的值;

(2) 求满足条件 $\mathrm{f}(2-\mathrm{a})>\mathrm{f}(\mathrm{a}-1)$ 的实数 $a$ 的取值范围.

代数

（1）由已知利用幂函数的解析式列式，即可求出 $\mathrm{m}$ 的值;

（2）由已知利用幂函数的单调性列式，即可求出 $\mathrm{a}$ 的取值范围.


Answer:
(1) 解: 因为幂函数 $y=f(x)=x^{\alpha}$ 的图象过点 $(4,2)$,

所以 $4^{\alpha}=2$, 解得 $\alpha=\frac{1}{2}$,

所以 $f(x)=x^{\frac{1}{2}}$,
又点 $(5, m)$ 也在幂函数上 $f(x)=x^{\frac{1}{2}}$,

所以 $m=\sqrt{5}$;

(2) 解: 由 (1) 知, $y=g(x)=\log _{a} \sqrt{x}=\frac{1}{2} \log _{a} x(a>0, a \neq 1)$,

(1)当 $a>1$ 时, 函数 $g(x)=\frac{1}{2} \log _{a} x$ 在区间 $[3,9\rfloor$ 上单调递增,

由题意可得: $g(x)_{\text {max }}-g(x)_{\text {min }}=\frac{1}{2} \log _{a} 9-\frac{1}{2} \log _{a} 3=\frac{1}{2} \log _{a} 3=1$,

解得 $a=\sqrt{3}$;

<ImageHere>

$\therefore g(x)_{\max }-g(x)_{\min }=\frac{1}{2} \log _{a} 3-\frac{1}{2} \log _{a} 9=\frac{1}{2} \log _{a} \frac{1}{3}=1$,

解得 $a=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

综上所述, $a=\sqrt{3}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Question:
已知幂函数 $y=f(x)=x^{\alpha}$ 的图象过点 $(5, m)$ 和 $(4,2)$.

(1) 求 $m$ 的值;

(2) 若函数 $y=g(x)=\log _{a} f(x)(a>0, a \neq 1)$ 在区间 $[3,9]$ 上的最大值比最小值大 1 , 求实数 $a$ 的值.

代数

(1) 先由幂函数 $y=f(x)=x^{\alpha}$ 的图象过点 $(4,2)$, 求出解析式, 再由图像过点 $(5, m)$, 即可求出结果; (2) 先由题意得到 $g(x)=\frac{1}{2} \log _{a} x$, 分别讨论 $a>1,0<a<1$ 两种情况, 根据对数函数单调性, 即可求出结果.


Answer:
(1) 解: 因为 $f(x)$ 是幂函数,

所以 $m^{2}-m-1=1$, 解得 $m=-1$ 或 $m=2$,

又因为 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增,

所以 $-2 m-1>0$, 即 $m<-\frac{1}{2}$,

所以 $m=-1$.

（2）解: 由于 $y=x^{-1}$ 在区间 $(-\infty, 0),(0,+\infty)$ 都是减函数, 且 $(k+1)^{-1}<(3-2 k)^{-1}$分三种情况讨论:

(1)当 $k+1<0<3-2 k$, 即 $k<-1$ 时, 原不等式成立;

(2)当 $k+1<0$ 且 $3-2 k<0$ 时, 有 $k+1>3-2 k$, 即 $\left\{\begin{array}{l}k<-1 \\ k>\frac{3}{2} \\ k>\frac{2}{3}\end{array}\right.$, 解集为空集;

(3)当 $k+1>0$ 且 $3-2 k>0$ 时, 有 $k+1>3-2 k$, 即 $\left\{\begin{array}{l}k>-1 \\ k<\frac{3}{2} \\ k>\frac{2}{3}\end{array}\right.$,

$\therefore \frac{2}{3}<k<\frac{3}{2}$

综上所述: $k$ 的取值范围是 $(-\infty,-1) \cup\left(\frac{2}{3}, \frac{3}{2}\right)$.

Question:
已知幂函数 $f(x)=\left(m^{2}-m-1\right) x^{-2 m-1}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增.

(1) 求实数 $m$ 的值;

(2) 若 $(k+1)^{m}<(3-2 k)^{m}$, 求实数 $k$ 的取值范围.

代数


Answer:
解：输入语句用 “INPUT”

当型循环语句用 WHILE、WEND

故答案为: INPUT、WHILE、WEND

Question:
（2016 秋・晋江市校级月考）把求 $n$ !的程序补充完整.

<ImageHere>

代数

解：输入语句用 “INPUT”

当型循环语句用 WHILE、WEND

故答案为: INPUT、WHILE、WEND


Answer:
解: 模拟执行程序, 可得程序的功能是计算并输出 $y=\left\{\begin{array}{ll}x^{2} & x \leq 2 \\ 2 x-3 & x>2\end{array}\right.$ 的值,

(1) 输入 $X$ 的值为 0 , 由 $x<2$, 故 $y=x^{2}=0$,

故输出 $Y$ 的值为 0 .

(2) 若输出 $Y$ 的值为 $3, y=\left\{\begin{array}{ll}3=x^{2} & x \leq 2 \\ 3=2 x-3 & x>2\end{array}\right.$,

可解得: $x= \pm \sqrt{3}$, 或 3 .

Question:
（2015 春・椰州校级期中）已知一个程序语句如图:

(1) 若输入 $X$ 的值为 0 , 求输出 $Y$ 的值?

(2) 若输出 $Y$ 的值为 3 , 求输入 $X$ 的值?

<ImageHere>

代数

解: 模拟执行程序, 可得程序的功能是计算并输出 $y=\left\{\begin{array}{ll}x^{2} & x \leq 2 \\ 2 x-3 & x>2\end{array}\right.$ 的值,

(1) 输入 $X$ 的值为 0 , 由 $x<2$, 故 $y=x^{2}=0$,

故输出 $Y$ 的值为 0 .

(2) 若输出 $Y$ 的值为 $3, y=\left\{\begin{array}{ll}3=x^{2} & x \leq 2 \\ 3=2 x-3 & x>2\end{array}\right.$,

可解得: $x= \pm \sqrt{3}$, 或 3 .


Answer:
解: 1202 (3) 对应的十进制数

那么: $a=1 \times 3^{3}+2 \times 3^{2}+0 \times 3^{1}+2 \times 3^{0}=47$.

$b$ 是 8251 与 6105 的最大公约数

即 $8251=6105 \times 1+2146$

$6105=2146 \times 2+1813$

$2146=1813 \times 1+333$

$1813=333 \times 5+148$

$333=148 \times 2+37$

$148=37 \times 4+0$

则 37 为 8251 与 6105 的最大公约数.

即 $b=37$.

那么 $\left.f(x)=x^{5}+47 x^{4}-37 x^{2}+1=((((x+47) x)+0) x-37) x+0\right) x+1$

$\therefore v_{0}=1$,

$v_{1}=-1+47=46$.

$v_{2}=-1 \times 46=-46$,

$v_{3}=-46 \times-1-37=9$.

Question: 函数 $f(x)=x^{5}+a x^{4}-b x^{2}+1$. 其中 $a$ 是 1202 (3) 对应的十进制数, $b$ 是 8251 与 6105 的最大公约数, 试应用秦九韶算法求当 $x=-1$ 时 $v_{3}$ 的值.

代数


Answer:
解: $\left.f(x)=3 x^{5}-2 x^{4}+5 x^{3}-2.5 x^{2}+1.5 x-0.7=(((3 x-2) x+5) x-2.5) x+1.5\right) x$ -0.7 ,

$v_{0}=3, v_{1}=3 \times 4-2=10, v_{2}=10 \times 4+5=45, v_{3}=45 \times 4-2.5=177.5, \quad v_{4}=177.5 \times 4+1.5=711.5$, $v_{5}=711.5 \times 4-0.7=2845.3$.

Question: 017 春・和平区期末）已知一个 5 次多项式为 $f(x)=3 x^{5}-2 x^{4}+5 x^{3}-2.5 x^{2}+1.5 x-0.7$, 用秦九韶算法求出这个多项式当 $x=4$ 时的值.

代数


Answer:
解: 此程序表示的函数为 $y= \begin{cases}x^{2}, & x<0 \\ -1, & x=0, \\ 2 x, & x>0\end{cases}$

当 $x<0$ 时, $x^{2}=4$ 得 $x=-2$.

当 $x>0$ 时, $2 x=4$ 得 $x=2$.

故当输出的 $y=4$ 时, 输入的 $x= \pm 2$.

Question:
（2017 秋 -上期末）读下列程序, 写出此程序表示的函数, 并求当输出的 $y=4$ 时, 输入的 $x$ 的值.

<ImageHere>

代数


Answer:
解：模拟程序语言的运行过程, 如下:

$a=5$,

$b=8$,

$a=7$,
$b=15$,

输出 $a$ 的值为 $7, b$ 的值为 15 .

Question:
阅读如图的伪代码: 若输入的值是 5 , 则最后输出 $a, b$ 的值分别是多少?

<ImageHere>

代数


Answer:
解：该伪代码的功能是比较输入的三个数并输出最小的数;

当输入的三个数是 $-2,-13,7$ 时,

输出的结果是 -13.

Question:
阅读如图的伪代码: 如果输入的三个数是 $-2,-13,7$, 那么输出的结果是什么? 说明该算法的功能.

<ImageHere>

代数

解：该伪代码的功能是比较输入的三个数并输出最小的数;

当输入的三个数是 $-2,-13,7$ 时,

输出的结果是 -13.


Answer:
解: (I) 根据题意, 写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系为:

$$
y=\left\{\begin{array}{l}
13 x, x \leq 50 \\
50+15(x-50), 50<x \leq 100 ; \quad \cdots 8 \text { 分 } \\
150+25(x-100), \quad x>100
\end{array}\right.
$$

(II) 因为 $x=150>100$,

所以 $y=150+25 \times(150-100)=1400$,

故该厂应缴纳污水处理费 1400 元. …12 分.

Question:
017 秋・湛江月考）某市对排污水进行综合治理，征收污水处理费，系统对各厂一个月内排出的污水量 $x$ 吨收取的污水处理费 $y$ 元，运行程序如图所示:

(I) 写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系;

(II) 求排放污水 150 吨的污水处理费用.

<ImageHere>

代数


Answer:
(1) $\mathrm{A} \cup(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\{1,2\} \cup\{3,4,5\}=\{1,2,3,4,5\}$

(2)$\left(\complement_{\cup} B\right) \cup\left(\complement_{U} C\right)=\{6,7,8\} \cup\{1,2\}=\{1,2,6,7,8\}$

Question:
已知全集 $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}, A=\left\{x \mid x^{2}-3 x+2=0\right\}, B=\{x \mid 1 \leq x \leq 5, x \in Z\}, C=\{x \mid 2<x<9, x \in Z\}$. 求

(1) $\mathrm{A} \cup(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})$;

(2) $\left(\complement_{U B}\right) \cup\left(\complement_{U C}\right)$.

组合数学

(1) 解: 依题意有: $A=\{1,2\}, B=\{1,2,3,4,5\}, C=\{3,4,5,6,7,8\}, \therefore B \cap C=\{3,4,5\}$,

故有 $\mathrm{A} \cup(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\{1,2\} \cup\{3,4,5\}=\{1,2,3,4,5\}$

(2) 解: 由 $\mathrm{CuB}=\{6,7,8\}, \complement_{\mathrm{uC}}=\{1,2\}$;

故有 $\left(\complement_{\cup} B\right) \cup\left(\complement_{U} C\right)=\{6,7,8\} \cup\{1,2\}=\{1,2,6,7,8\}$.

【分析】(1) 先求集合 $A, B, C$; 再求 $\mathrm{B} \cap \mathrm{C}$, 最后求 $\mathrm{A} \cup(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})$ (2) 先求 $C_{\mathrm{U}} \mathrm{B}, \Gamma_{\mathrm{U}} \mathrm{C}$; 再求 $\left(C_{\mathrm{U}} \mathrm{B}\right) \cup\left(\mathrm{C}_{\mathrm{U} C \mathrm{C}}\right)$.


Answer:
方法一 (抽签法)

第一步，对 20 名报名者进行编号，从 1 到 20.

第二步, 将 20 名报名者的编号写在形状、大小相同的号签上.

第三步, 将号签放到一个不透明的盒子中傥拌均匀, 然后从盒子中逐个不放回抽取 10 个号签.

第四步，与号签上的编号对应的报名者就是要找的试用人员.

方法二 (随机数表法)

第一步，对 20 名报名者进行编号，号码为 $01,02,03,20$.

第二步, 在随机数表中随机选取一个数作为开始.

第三步, 从已选的这个数开始, 向右读, 每次读取两位数, 不在 01-20 中的数或已经读过的数跳过，依次可得 10 个号码.
第四步，找出与以上号码对应的报名者, 就是要找的试用人员.

Question: 为了解决教育资源的分配不均匀问题, 北京市决定对优质教师资源进行选调，从 20 名报名者中首先选取 10 人作为试用人员, 请分别用抽签法和随机数表法设计抽样方案.

组合数学

方法一 (抽签法)

第一步，对 20 名报名者进行编号，从 1 到 20.

第二步, 将 20 名报名者的编号写在形状、大小相同的号签上.

第三步, 将号签放到一个不透明的盒子中傥拌均匀, 然后从盒子中逐个不放回抽取 10 个号签.

第四步，与号签上的编号对应的报名者就是要找的试用人员.

方法二 (随机数表法)

第一步，对 20 名报名者进行编号，号码为 $01,02,03,20$.

第二步, 在随机数表中随机选取一个数作为开始.

第三步, 从已选的这个数开始, 向右读, 每次读取两位数, 不在 01-20 中的数或已经读过的数跳过，依次可得 10 个号码.
第四步，找出与以上号码对应的报名者, 就是要找的试用人员.


Answer:
方法一第一步, 将节能灯的号调为 $0,1, .0,10,, \ldots 00$, 第二步, 在随机数表中任选一个数作为开始, 任选一个方向作为读数方向, 比如, 选第 6 行第 7 列的数 9 开始向右读.

第三步, 从数 9 开始向右读, 每次读取三位, 凡不在 $010^{\sim} 600$ 中的数跳过去不读, 前面已经读过的数也跳过去不读，依次可得到 $544 ， 354 ，$

378, 520, 384, 263.

第四步，以上这 6 个号码所对应的 6 个产品就是要抽取的对象.

方法二 第一步，将每个产品的编号加 100, 重新编号为 110,

111，19，120，，000 第二步, 在随机数表中任选一个数作为开始, 任选一个方向作为读数方向, 比如, 选第 8 行第 1 列数 6 开始向右读.

第三步, 从数 6 开始向右读, 每次读取三位, 凡不在 $110^{\sim} 700$ 中的数跳过去不读, 前面已经读过的数也跳过去不读, 依次可得到 630,163 ,

567, 199, 507, 175 .

第四步, 这 6 个号码分别对应原来的 $530,63,467,99,407,75$, 这些号码对应的6个产品就是要抽取的对象.

Question: 现有一批编号为 $10,11, ., 9,100,,, 000$ 节能灯, 准备从中抽取一个容量为 6 的样本进行质量检验, 如何用随机数表法设计抽样方案?

组合数学

方法一第一步, 将节能灯的号调为 $0,1, .0,10,, \ldots 00$, 第二步, 在随机数表中任选一个数作为开始, 任选一个方向作为读数方向, 比如, 选第 6 行第 7 列的数 9 开始向右读.

第三步, 从数 9 开始向右读, 每次读取三位, 凡不在 $010^{\sim} 600$ 中的数跳过去不读, 前面已经读过的数也跳过去不读，依次可得到 $544 ， 354 ，$

378, 520, 384, 263.

第四步，以上这 6 个号码所对应的 6 个产品就是要抽取的对象.

方法二 第一步，将每个产品的编号加 100, 重新编号为 110,

111，19，120，，000 第二步, 在随机数表中任选一个数作为开始, 任选一个方向作为读数方向, 比如, 选第 8 行第 1 列数 6 开始向右读.

第三步, 从数 6 开始向右读, 每次读取三位, 凡不在 $110^{\sim} 700$ 中的数跳过去不读, 前面已经读过的数也跳过去不读, 依次可得到 630,163 ,

567, 199, 507, 175 .

第四步, 这 6 个号码分别对应原来的 $530,63,467,99,407,75$, 这些号码对应的6个产品就是要抽取的对象.


Answer: 上面的三种抽取方式中, 第一种采用了简单随机抽样法; 第二种采用了系统抽样法和简单随机抽样法; 第三种采用了分层抽样法和简单随机抽样法.

Question:
为了考察某校的教学水平, 将抽查这个学校高三年级的部分学生本学年的考试成绩.为了全面地反映实际情况, 采取以下三种方式进行抽查 (已知该校高三年级共有 20 个班,并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号, 假定该校每班学生人数都相等) :

I. 从全年级 20 个班中任意抽取一个班, 再从该班中任意抽取 20 人, 考察他们的学习成绩;

II . 每个班都抽取 1 人，共计 20 人，考察这 20 名学生的成绩;

III. 把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别, 从其中共抽取 100 名学生进行考察 (已知若按成绩分, 该校高三学生中优秀生共 150 人, 良好生共 600 人, 普通生共 250 人).根据上面的叙述，试回答上面的三种抽取方式中，各自采用何种抽样方法？

组合数学

上面的三种抽取方式中, 第一种采用了简单随机抽样法; 第二种采用了系统抽样法和简单随机抽样法; 第三种采用了分层抽样法和简单随机抽样法.


Answer:
解：程序如下：

$$
\begin{aligned}
& \text { INPUT “ } a=” ; a \\
& \text { INPUT “ } b=” ; b \\
& \text { INPUT “ } c=” ; c \\
& \text { INPUT “ } d=” ; d \\
& \quad p=5 * a+8 * b+10 * c+12 * d \\
& \text { PRINT “结账金额为” ; } p \\
& \text { END }
\end{aligned}
$$

Question: 王妈妈开了一家小型餐馆, 为了节约服务生收费时间, 她购进红、黄、蓝、绿四种颜色的盘子,用这几种颜色的盘子分别盛 5 元、 8 元、 10 元和 12 元的食品, 这样结账的时候, 只要数一下盘子就可以，请利用赋值语句描述用餐记费的算法.

组合数学

解：程序如下：

$$
\begin{aligned}
& \text { INPUT “ } a=” ; a \\
& \text { INPUT “ } b=” ; b \\
& \text { INPUT “ } c=” ; c \\
& \text { INPUT “ } d=” ; d \\
& \quad p=5 * a+8 * b+10 * c+12 * d \\
& \text { PRINT “结账金额为” ; } p \\
& \text { END }
\end{aligned}
$$


Answer:
解：（1）由题意可得从四个小球中有放回地抽取两个小球的基本事件有 16 种:
$(1,1)$
$(1,2)$
$(1,3),(1,4)$,
$(2,1)$,
$(2,2),(2,3)$
$(2,4)$,
$(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)$.

取出的两个小球的数字之和为 6 的基本事件有（2，4），（3，3），（4，2），共 3 种则某顾客抽奖一次, 中二等奖的概率 $P=\frac{3}{16}$.

（2）设 “某顾客抽奖一次，不中奖” 为事件 $A$.

则事件 $A$ 包含的基本事件有:
$(1,1)$
$(1,2)$
$(1,3)$
$(2,1)$
$(2,2)$
$(3,1)$ ，共 6 个

从而 $P(A)=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$,

故某顾客抽奖一次, 中奖的概率 $P=1-P(A)=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$.

Question:
（2020 秋 -沧州期中）某超市举办购物抽奖的促销活动，规定每位顾客购物满 100 元，可参与一次抽奖. 抽奖规则满足抽奖要求的顾客从有编号为 $1 、 2 、 3 、 4$ 的四个小球 (除数字不同外, 其他完全相同）的抽奖箱中取球, 每次取出一个小球记下球上的数字后放回, 连续取两次. 若取出的两个小球的数字之和为 8 , 则中特等奖; 取出的两个小球的数字之和为 7 , 则中一等奖; 取出的两个球的数字之和为 6 , 则中二等奖; 取出的两个小球的数字之和为 5 , 则中三等奖, 其他情况不中奖.

（1）求某顾客抽奖一次，中二等奖的概率;

（2）求某顾客抽奖一次，中奖的概率.

组合数学


Answer:
在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $E$ 是 $A B$ 的中点, $F$ 是 $A_{1} A$ 的中点, 求证:

<ImageHere>

(1)E, $C, D_{1}, F$ 四点共面;

(2)直线 $C E, D_{1} F, D A$ 三线共点.

证明 (1)如图，连接 $E F, D_{1} C, A_{1} B$.

<ImageHere>

$\because E$ 为 $A B$ 的中点， $F$ 为 $A A_{1}$ 的中点，

$\therefore E F / / A_{1} B$, 且 $E F=\frac{1}{2} A_{1} B$,

又 $\because A_{1} B / / D_{1} C$ ，且 $A_{1} B=D_{1} C$ ，

$\therefore E F / / D_{1} C$ ，且 $E F=\frac{1}{2} D_{1} C$ ，

$\therefore E, F, D_{1}, C$ 四点共面.

(2) $\because E F / / C D_{1}, E F<C D_{1}$,

$\therefore C E$ 与 $D_{1} F$ 必相交，设交点为 $P$ ，

则由 $P \in$ 直线 $C E, C E \subset$ 平面 $A B C D$ ，

得 $P \in$ 平面 $A B C D$.

同理， $P \in$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$.

又平面 $A B C D \cap$ 平面 $A D D_{1} A_{1}=D A$ ，

$\therefore P \in$ 直线 $D A$.

$\therefore C E, D_{1} F, D A$ 三线共点.

Question:
如图在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $E$ 是 $A B$ 的中点, $F$ 是 $A_{1} A$ 的中点, 求证:

<ImageHere>

(1)E, $C, D_{1}, F$ 四点共面;

(2)直线 $C E, D_{1} F, D A$ 三线共点.

证明 (1)如图，连接 $E F, D_{1} C, A_{1} B$.

<ImageHere>

$\because E$ 为 $A B$ 的中点， $F$ 为 $A A_{1}$ 的中点，

$\therefore E F / / A_{1} B$, 且 $E F=\frac{1}{2} A_{1} B$,

又 $\because A_{1} B / / D_{1} C$ ，且 $A_{1} B=D_{1} C$ ，

$\therefore E F / / D_{1} C$ ，且 $E F=\frac{1}{2} D_{1} C$ ，

$\therefore E, F, D_{1}, C$ 四点共面.

(2) $\because E F / / C D_{1}, E F<C D_{1}$,

$\therefore C E$ 与 $D_{1} F$ 必相交，设交点为 $P$ ，

则由 $P \in$ 直线 $C E, C E \subset$ 平面 $A B C D$ ，

得 $P \in$ 平面 $A B C D$.

同理， $P \in$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$.

又平面 $A B C D \cap$ 平面 $A D D_{1} A_{1}=D A$ ，

$\therefore P \in$ 直线 $D A$.

$\therefore C E, D_{1} F, D A$ 三线共点.

#

立体几何学


Answer:
设 $Q$ 是 $D D_{1}$ 的中点，连接 $E Q ， Q C_{1}$.

<ImageHere>

$\because E$ 是 $A A_{1}$ 的中点，

$\therefore E Q / / A_{1} D_{1}$ 且 $E Q=A_{1} D_{1}$.

又在矩形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，

$A_{1} D_{1} / / B_{1} C_{1}$ 且 $A_{1} D_{1}=B_{1} C_{1}$,

$\therefore E Q / / B_{1} C_{1}$ 且 $E Q=B_{1} C_{1}$.

$\therefore$ 四边形 $E Q C_{1} B_{1}$ 为平行四边形，

$\therefore B_{1} E / / C_{1} Q$ 且 $B_{1} E=C_{1} Q$.

又 $\because Q, F$ 是 $D D_{1}, C_{1} C$ 两边的中点，

$\therefore Q D / / C_{1} F$ 且 $Q D=C_{1} F$ ，

$\therefore$ 四边形 $Q D F C_{1}$ 为平行四边形.

$\therefore C_{1} Q / / D F$ 且 $C_{1} Q=D F$ ，

$\therefore B_{1} E / / D F$ 且 $B_{1} E=D F$ ，

$\therefore$ 四边形 $B_{1} E D F$ 为平行四边形.

Question:
如图所示, $E, F$ 分别是长方体 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}-A B C D$ 的棱 $A_{1} A, C_{1} C$ 的中点. 求证: 四边形 $B_{1} E D F$ 是平行四边形.

<ImageHere>

立体几何学

设 $Q$ 是 $D D_{1}$ 的中点，连接 $E Q ， Q C_{1}$.

<ImageHere>

$\because E$ 是 $A A_{1}$ 的中点，

$\therefore E Q / / A_{1} D_{1}$ 且 $E Q=A_{1} D_{1}$.

又在矩形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，

$A_{1} D_{1} / / B_{1} C_{1}$ 且 $A_{1} D_{1}=B_{1} C_{1}$,

$\therefore E Q / / B_{1} C_{1}$ 且 $E Q=B_{1} C_{1}$.

$\therefore$ 四边形 $E Q C_{1} B_{1}$ 为平行四边形，

$\therefore B_{1} E / / C_{1} Q$ 且 $B_{1} E=C_{1} Q$.

又 $\because Q, F$ 是 $D D_{1}, C_{1} C$ 两边的中点，

$\therefore Q D / / C_{1} F$ 且 $Q D=C_{1} F$ ，

$\therefore$ 四边形 $Q D F C_{1}$ 为平行四边形.

$\therefore C_{1} Q / / D F$ 且 $C_{1} Q=D F$ ，

$\therefore B_{1} E / / D F$ 且 $B_{1} E=D F$ ，

$\therefore$ 四边形 $B_{1} E D F$ 为平行四边形.


Answer:
)由题意知 $S O \perp$ 底面 $A B N$ ，

<ImageHere>

在 Rt $\triangle S O B$ 中， $O B=\frac{1}{2} A B=2 ， S O=6$ ，

所以 $S B=\sqrt{2^{2}+6^{2}}=2 \sqrt{10}$.

所以该圆锥的侧面积 $S=\pi \cdot O B \cdot S B=4 \sqrt{10} \pi$.

(2)取 $O B$ 的中点 $C$ ，连接 $M C ， N C$ ，

因为 $M$ 为 $S B$ 的中点，

所以 $M C$ 为 $\triangle S O B$ 的中位线，

所以 $M C / / S O$ ，

$M C=\frac{1}{2} S O=3$.

又因为 $S O \perp$ 底面 $A B N$ ，

所以 $M C \perp$ 底面 $A B N ，$

因为 $N C \subset$ 底面 $A B N$ ，所以 $M C \perp N C$ 。

因为直线 $S O$ 与 $M N$ 所成的角为 $30^{\circ}$ ，
所以 $\angle N M C=30^{\circ}$ ，

在 Rt $\triangle M C N$ 中， $\frac{M C}{M N}=\cos 30^{\circ}$ ，

所以 $M N=\frac{M C}{\cos 30^{\circ}}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2 \sqrt{3}$.

Question:
如图, 平面 $S A B$ 为圆雉的轴截面, $O$ 为底面圆的圆心, $M$ 为母线 $S B$ 的中点, $N$ 为底面圆周上的一点, $A B=4, S O=6$.

<ImageHere>

(1)求该圆雉的侧面积;

(2)若直线 $S O$ 与 $M N$ 所成的角为 $30^{\circ}$, 求 $M N$ 的长.

立体几何学

)由题意知 $S O \perp$ 底面 $A B N$ ，

<ImageHere>

在 Rt $\triangle S O B$ 中， $O B=\frac{1}{2} A B=2 ， S O=6$ ，

所以 $S B=\sqrt{2^{2}+6^{2}}=2 \sqrt{10}$.

所以该圆锥的侧面积 $S=\pi \cdot O B \cdot S B=4 \sqrt{10} \pi$.

(2)取 $O B$ 的中点 $C$ ，连接 $M C ， N C$ ，

因为 $M$ 为 $S B$ 的中点，

所以 $M C$ 为 $\triangle S O B$ 的中位线，

所以 $M C / / S O$ ，

$M C=\frac{1}{2} S O=3$.

又因为 $S O \perp$ 底面 $A B N$ ，

所以 $M C \perp$ 底面 $A B N ，$

因为 $N C \subset$ 底面 $A B N$ ，所以 $M C \perp N C$ 。

因为直线 $S O$ 与 $M N$ 所成的角为 $30^{\circ}$ ，
所以 $\angle N M C=30^{\circ}$ ，

在 Rt $\triangle M C N$ 中， $\frac{M C}{M N}=\cos 30^{\circ}$ ，

所以 $M N=\frac{M C}{\cos 30^{\circ}}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2 \sqrt{3}$.


Answer:
(1)证明 设 $B C \cap O D=E$ ，

$\because D$ 是弧 $B C$ 的中点，

$\therefore E$ 是 $B C$ 的中点，

又 $\because O$ 是 $A B$ 的中点，

$\therefore A C / / O E$,

又 $\because A C$ 平面 $P O D ， O E \subset$ 平面 $P O D ，$

$\therefore A C / /$ 平面 $P O D$.

解 (2) 设圆雉底面半径为 $r$ ，高为 $h$ ，母线长为 $l$ ，

$\because$ 圆锥的轴截面 $P A B$ 为等腰直角三角形，

$\therefore h=r, l=\sqrt{2} r$,

$\because S_{\triangle P A B}=\frac{1}{2} \times 2 r \times h=r^{2}=9$,

$\therefore r=3$

$\therefore S_{\text {表 }}=\pi r l+\pi r^{2}=\pi r \times \sqrt{2} r+\pi r^{2}=9(1+\sqrt{2}) \pi$.

Question:
如图, $O$ 是圆雉底面圆的圆心, 圆雉的轴截面 $P A B$ 为等腰直角三角形, $C$ 为底面圆周
上一点.

(1)若弧 $B C$ 的中点为 $D$. 求证: $A C / /$ 平面 $P O D$;

(2)如果 $\triangle P A B$ 的面积是 9 , 求此圆雉的表面积.

<ImageHere>

立体几何学

(1)证明 设 $B C \cap O D=E$ ，

$\because D$ 是弧 $B C$ 的中点，

$\therefore E$ 是 $B C$ 的中点，

又 $\because O$ 是 $A B$ 的中点，

$\therefore A C / / O E$,

又 $\because A C$ 平面 $P O D ， O E \subset$ 平面 $P O D ，$

$\therefore A C / /$ 平面 $P O D$.

解 (2) 设圆雉底面半径为 $r$ ，高为 $h$ ，母线长为 $l$ ，

$\because$ 圆锥的轴截面 $P A B$ 为等腰直角三角形，

$\therefore h=r, l=\sqrt{2} r$,

$\because S_{\triangle P A B}=\frac{1}{2} \times 2 r \times h=r^{2}=9$,

$\therefore r=3$

$\therefore S_{\text {表 }}=\pi r l+\pi r^{2}=\pi r \times \sqrt{2} r+\pi r^{2}=9(1+\sqrt{2}) \pi$.


Answer:
如图，连接 $D G ， C D$ ，设 $C D \cap G F=O$ ，连接 $O H$.

<ImageHere>

在三棱台 $D E F-A B C$ 中， $A B=2 D E ， G$ 为 $A C$ 的中点，可得 $D F / / G C$ 且 $D F=G C$ ，

所以四边形 $D F C G$ 为平行四边形，则 $O$ 为 $C D$ 的中点，

又 $H$ 为 $B C$ 的中点，所以 $O H / / B D$.

又 $\mathrm{OH} \subset$ 平面 $F G H, B D$ 平面 $F G H$ ，

所以 $B D / /$ 平面 $F G H$.

Question:
如图, 在三棱台 $D E F-A B C$ 中, $A B=2 D E, G, H$ 分别为 $A C, B C$ 的中点.

<ImageHere>

求证: $B D / /$ 平面 $F G H$.

立体几何学

如图，连接 $D G ， C D$ ，设 $C D \cap G F=O$ ，连接 $O H$.

<ImageHere>

在三棱台 $D E F-A B C$ 中， $A B=2 D E ， G$ 为 $A C$ 的中点，可得 $D F / / G C$ 且 $D F=G C$ ，

所以四边形 $D F C G$ 为平行四边形，则 $O$ 为 $C D$ 的中点，

又 $H$ 为 $B C$ 的中点，所以 $O H / / B D$.

又 $\mathrm{OH} \subset$ 平面 $F G H, B D$ 平面 $F G H$ ，

所以 $B D / /$ 平面 $F G H$.


Answer:
$\because P M: M A=B N: N D=P Q: Q D$ ，

$\therefore M Q / / A D, N Q / / B P$ ，

而 $B P \subset$ 平面 $P B C ， N Q \Phi$ 平面 $P B C ，$
$\therefore N Q / /$ 平面 $P B C$.

又 $\because$ 四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $\therefore B C / / A D ，$

$\therefore M Q / / B C$ ，而 $B C \subset$ 平面 $P B C ， M Q q$ 平面 $P B C ， \therefore M Q / /$ 平面 $P B C$.

又 $M Q \cap N Q=Q, M Q, N Q \subset$ 平面 $M N Q$ ，

$\therefore$ 平面 $M N Q / /$ 平面 $P B C$.

Question:
如图, 已知在四棱雉 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 为平行四边形, 点 $M, N, Q$ 分别在 $P A$, $B D, P D$ 上, 且 $P M: M A=B N: N D=P Q: Q D$.求证: 平面 $M N Q / /$ 平面 $P B C$.

<ImageHere>

立体几何学

$\because P M: M A=B N: N D=P Q: Q D$ ，

$\therefore M Q / / A D, N Q / / B P$ ，

而 $B P \subset$ 平面 $P B C ， N Q \Phi$ 平面 $P B C ，$
$\therefore N Q / /$ 平面 $P B C$.

又 $\because$ 四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $\therefore B C / / A D ，$

$\therefore M Q / / B C$ ，而 $B C \subset$ 平面 $P B C ， M Q q$ 平面 $P B C ， \therefore M Q / /$ 平面 $P B C$.

又 $M Q \cap N Q=Q, M Q, N Q \subset$ 平面 $M N Q$ ，

$\therefore$ 平面 $M N Q / /$ 平面 $P B C$.


Answer:
(1) 证明 如图，连接 $A E$ ，由 $F$ 是线段 $B D$ 的中点，四边形 $A B E D$ 为正方形得 $F$ 为 $A E$ 的中点，

<ImageHere>

$\therefore G F$ 为 $\triangle A E C$ 的中位线，

$\therefore G F / / A C$.

又 $\because A C \subset$ 平面 $A B C ， G F \subset$ 平面 $A B C$ ，

$\therefore G F / /$ 平面 $A B C$.

(2)解 平面 $G F P / /$ 平面 $A B C$ ，

证明如下：

连接 $F P, G P$.

$\because$ 点 $F, P$ 分别为 $B D, C D$ 的中点，

$\therefore F P$ 为 $\triangle B C D$ 的中位线， $\therefore F P / / B C$.

又 $\because B C \subset$ 平面 $A B C ， F P \nmid$ 平面 $A B C ， \therefore F P / /$ 平面 $A B C$ ，
又 $G F / /$ 平面 $A B C ， F P \cap G F=F, F P \subset$ 平面 $G F P$ ，

$G F \subset$ 平面 $G F P ，$

$\therefore$ 平面 $G F P / /$ 平面 $A B C$.

Question:
如图, 在四棱雉 $C-A B E D$ 中, 四边形 $A B E D$ 是正方形, 点 $G, F$ 分别是线段 $E C, B D$的中点.

<ImageHere>

(1)求证: $G F / /$ 平面 $A B C$;

(2)若点 $P$ 为线段 $C D$ 的中点, 平面 $G F P$ 与平面 $A B C$ 有怎样的位置关系? 并证明.

立体几何学

(1) 证明 如图，连接 $A E$ ，由 $F$ 是线段 $B D$ 的中点，四边形 $A B E D$ 为正方形得 $F$ 为 $A E$ 的中点，

<ImageHere>

$\therefore G F$ 为 $\triangle A E C$ 的中位线，

$\therefore G F / / A C$.

又 $\because A C \subset$ 平面 $A B C ， G F \subset$ 平面 $A B C$ ，

$\therefore G F / /$ 平面 $A B C$.

(2)解 平面 $G F P / /$ 平面 $A B C$ ，

证明如下：

连接 $F P, G P$.

$\because$ 点 $F, P$ 分别为 $B D, C D$ 的中点，

$\therefore F P$ 为 $\triangle B C D$ 的中位线， $\therefore F P / / B C$.

又 $\because B C \subset$ 平面 $A B C ， F P \nmid$ 平面 $A B C ， \therefore F P / /$ 平面 $A B C$ ，
又 $G F / /$ 平面 $A B C ， F P \cap G F=F, F P \subset$ 平面 $G F P$ ，

$G F \subset$ 平面 $G F P ，$

$\therefore$ 平面 $G F P / /$ 平面 $A B C$.


Answer:
$\because$ 四边形 $A B C D$ 为矩形，

$\therefore B C / / A D$.

$\because A D \subset$ 平面 $P A D ， B C \subset$ 平面 $P A D$ ，

$\therefore B C / /$ 平面 $P A D$.

$\because$ 平面 $B C F E \cap$ 平面 $P A D=E F$ ，

$\therefore B C / / E F$.

$\because A D=B C, A D \neq E F$
$\therefore B C \neq E F$,

$\therefore$ 四边形 $B C E F$ 是梯形.

13.如图, 已知 $E, F$ 分别是菱形 $A B C D$ 中边 $B C, C D$ 的中点, $E F$ 与 $A C$ 交于点 $O$, 点 $P$ 在平面 $A B C D$ 之外, $M$ 是线段 $P A$ 上一动点, 若 $P C / /$ 平面 $M E F$, 试求 $P M: M A$ 的值.

<ImageHere>

解 如图，连接 $B D$ 交 $A C$ 于点 $O_{1}$ ，连接 $O M$.

<ImageHere>

因为 $P C / /$ 平面 $M E F$ ，平面 $P A C \cap$ 平面 $M E F=O M ， P C \subset$ 平面 $P A C$ ，

所以 $P C / / O M$ ，所以 $\frac{P M}{P A}=\frac{O C}{A C}$.

在菱形 $A B C D$ 中，

因为 $E, F$ 分别是边 $B C, C D$ 的中点，所以 $\frac{O C}{O_{1} C}=\frac{1}{2}$.

又 $A O_{1}=C O_{1}$, 所以 $\frac{P M}{P A}=\frac{O C}{A C}=\frac{1}{4}$,

故 $P M: M A=1: 3$.

Question:
如图, 四边形 $A B C D$ 是矩形, $P \notin$ 平面 $A B C D$, 过 $B C$ 作平面 $B C F E$ 交 $A P$ 于点 $E$, 交 $D P$于点 $F$, 求证: 四边形 $B C F E$ 是梯形.

<ImageHere>

立体几何学

$\because$ 四边形 $A B C D$ 为矩形，

$\therefore B C / / A D$.

$\because A D \subset$ 平面 $P A D ， B C \subset$ 平面 $P A D$ ，

$\therefore B C / /$ 平面 $P A D$.

$\because$ 平面 $B C F E \cap$ 平面 $P A D=E F$ ，

$\therefore B C / / E F$.

$\because A D=B C, A D \neq E F$
$\therefore B C \neq E F$,

$\therefore$ 四边形 $B C E F$ 是梯形.

13.如图, 已知 $E, F$ 分别是菱形 $A B C D$ 中边 $B C, C D$ 的中点, $E F$ 与 $A C$ 交于点 $O$, 点 $P$ 在平面 $A B C D$ 之外, $M$ 是线段 $P A$ 上一动点, 若 $P C / /$ 平面 $M E F$, 试求 $P M: M A$ 的值.

<ImageHere>

解 如图，连接 $B D$ 交 $A C$ 于点 $O_{1}$ ，连接 $O M$.

<ImageHere>

因为 $P C / /$ 平面 $M E F$ ，平面 $P A C \cap$ 平面 $M E F=O M ， P C \subset$ 平面 $P A C$ ，

所以 $P C / / O M$ ，所以 $\frac{P M}{P A}=\frac{O C}{A C}$.

在菱形 $A B C D$ 中，

因为 $E, F$ 分别是边 $B C, C D$ 的中点，所以 $\frac{O C}{O_{1} C}=\frac{1}{2}$.

又 $A O_{1}=C O_{1}$, 所以 $\frac{P M}{P A}=\frac{O C}{A C}=\frac{1}{4}$,

故 $P M: M A=1: 3$.


Answer:
因为 $B E / / A A_{1}$ ，

$A A_{1} \subset$ 平面 $A A_{1} D ， B E$ 平面 $A A_{1} D ，$

所以 $B E / /$ 平面 $A A_{1} D$.

因为 $B C / / A D, A D \subset$ 平面 $A A_{1} D$ ，

$B C 4$ 平面 $A A_{1} D$ ，所以 $B C / /$ 平面 $A A_{1} D$.

又 $B E \cap B C=B, B E \subset$ 平面 $B C E, B C \subset$ 平面 $B C E$ ，
所以平面 $B C E / /$ 平面 $A A_{1} D$.

又平面 $A_{1} D C E \cap$ 平面 $B C E=E C$ ，

平面 $A_{1} D C E \cap$ 平面 $A A_{1} D=A_{1} D$ ，

所以 $E C / / A_{1} D$.

Question:
如图, 在四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 底面 $A B C D$ 为梯形, $A D / / B C$, 平面 $A_{1} D C E$ 与 $B_{1} B$ 交于点 $E$.求证: $E C / / A_{1} D$.

<ImageHere>

立体几何学

因为 $B E / / A A_{1}$ ，

$A A_{1} \subset$ 平面 $A A_{1} D ， B E$ 平面 $A A_{1} D ，$

所以 $B E / /$ 平面 $A A_{1} D$.

因为 $B C / / A D, A D \subset$ 平面 $A A_{1} D$ ，

$B C 4$ 平面 $A A_{1} D$ ，所以 $B C / /$ 平面 $A A_{1} D$.

又 $B E \cap B C=B, B E \subset$ 平面 $B C E, B C \subset$ 平面 $B C E$ ，
所以平面 $B C E / /$ 平面 $A A_{1} D$.

又平面 $A_{1} D C E \cap$ 平面 $B C E=E C$ ，

平面 $A_{1} D C E \cap$ 平面 $A A_{1} D=A_{1} D$ ，

所以 $E C / / A_{1} D$.


Answer:
在 $\triangle P A D$ 中，由 $P A=2, A D=2, P D=2 \sqrt{2}$ ，

可得 $P A^{2}+A D^{2}=P D^{2}$ ，即 $A D \perp P A$.

又 $A D \perp A B, P A \cap A B=A, P A, A B \subset$ 平面 $P A B$ ，

所以 $A D \perp$ 平面 $P A B$.

Question:
如图所示, 在四棱雉 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 是矩形. 已知 $A D=2, P A=2, P D=2 \sqrt{2}$,求证: $A D \perp$ 平面 $P A B$.

<ImageHere>

立体几何学

在 $\triangle P A D$ 中，由 $P A=2, A D=2, P D=2 \sqrt{2}$ ，

可得 $P A^{2}+A D^{2}=P D^{2}$ ，即 $A D \perp P A$.

又 $A D \perp A B, P A \cap A B=A, P A, A B \subset$ 平面 $P A B$ ，

所以 $A D \perp$ 平面 $P A B$.


Answer:
)证明 $\because A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 为正方体，

$\therefore B B_{1} \perp$ 平面 $A B C D$.

$\because$ 又 $A C \subset$ 平面 $A B C D ， \therefore B B_{1} \perp A C$.

又 $\because$ 底面 $A B C D$ 为正方形，

$\therefore A C \perp B D$.

$\because B B_{1} \cap B D=B, B B_{1}, B D \subset$ 平面 $B B_{1} D ，$

$\therefore A C \perp$ 平面 $B B_{1} D$.

$\because B_{1} D \subset$ 平面 $B D B_{1} ， \therefore A C \perp B_{1} D$.

(2)解 $V_{C-B D B_{1}}=V_{B_{1}-B D C}$.

$\because B_{1} B \perp$ 平面 $A B C D ，$

$\therefore B_{1} B$ 是三棱雉 $B_{1}-B D C$ 的高.

$\because V_{B_{1}-B D C}=\frac{1}{3} S_{\triangle B D C} \cdot B B_{1}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times 2=\frac{4}{3} ，$

$\therefore$ 三棱雉 $C-B D B_{1}$ 的体积为 $\frac{4}{3}$.

Question:
如图, 正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 2 .

<ImageHere>

(1)求证: $A C \perp B_{1} D$;

(2)求三棱雉 $C-B D B_{1}$ 的体积.

立体几何学

)证明 $\because A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 为正方体，

$\therefore B B_{1} \perp$ 平面 $A B C D$.

$\because$ 又 $A C \subset$ 平面 $A B C D ， \therefore B B_{1} \perp A C$.

又 $\because$ 底面 $A B C D$ 为正方形，

$\therefore A C \perp B D$.

$\because B B_{1} \cap B D=B, B B_{1}, B D \subset$ 平面 $B B_{1} D ，$

$\therefore A C \perp$ 平面 $B B_{1} D$.

$\because B_{1} D \subset$ 平面 $B D B_{1} ， \therefore A C \perp B_{1} D$.

(2)解 $V_{C-B D B_{1}}=V_{B_{1}-B D C}$.

$\because B_{1} B \perp$ 平面 $A B C D ，$

$\therefore B_{1} B$ 是三棱雉 $B_{1}-B D C$ 的高.

$\because V_{B_{1}-B D C}=\frac{1}{3} S_{\triangle B D C} \cdot B B_{1}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times 2=\frac{4}{3} ，$

$\therefore$ 三棱雉 $C-B D B_{1}$ 的体积为 $\frac{4}{3}$.


Answer:
(1)由直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ ， 得 $A_{1} B_{1} / / A B$.

因为 $A_{1} B_{1} 4$ 平面 $A B D ， A B \subset$ 平面 $A B D$ ，

所以直线 $A_{1} B_{1} / /$ 平面 $A B D$.

(2)因为三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 为直三棱柱，所以 $A B \perp B B_{1}$.

又因为 $A B \perp B C ， B B_{1} \subset$ 平面 $B C C_{1} B_{1}, B C \subset$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ，且 $B B_{1} \cap B C=B$ ，所以 $A B \perp$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$.

又因为 $A B \subset$ 平面 $A B D$ ，所以平面 $A B D \perp$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$.

Question:
在直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, $A B \perp B C, D$ 为棱 $C C_{1}$ 上任一点.

(1)求证：直线 $A_{1} B_{1} / /$ 平面 $A B D$;

(2)求证: 平面 $A B D \perp$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$.

<ImageHere>

立体几何学

(1)由直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ ， 得 $A_{1} B_{1} / / A B$.

因为 $A_{1} B_{1} 4$ 平面 $A B D ， A B \subset$ 平面 $A B D$ ，

所以直线 $A_{1} B_{1} / /$ 平面 $A B D$.

(2)因为三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 为直三棱柱，所以 $A B \perp B B_{1}$.

又因为 $A B \perp B C ， B B_{1} \subset$ 平面 $B C C_{1} B_{1}, B C \subset$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ，且 $B B_{1} \cap B C=B$ ，所以 $A B \perp$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$.

又因为 $A B \subset$ 平面 $A B D$ ，所以平面 $A B D \perp$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$.


Answer:
(1) $\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形，

$\therefore E$ 是 $B D$ 的中点.

又 $F$ 是 $P B$ 的中点，

$\therefore E F / / P D$.

又 $\because E F \Phi$ 平面 $P C D ， P D \subset$ 平面 $P C D ，$

$\therefore E F / /$ 平面 $P C D$.

(2) $\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形， $\therefore B D \perp A C$.

$\because P A \perp$ 平面 $A B C ， B D \subset$ 平面 $A B C ，$

$\therefore P A \perp B D$.

又 $P A \cap A C=A, P A, A C \subset$ 平面 $P A C$ ，

$\therefore B D \perp$ 平面 $P A C$.

又 $B D \subset$ 平面 $P B D ，$

$\therefore$ 平面 $P B D \perp$ 平面 $P A C$.

Question:
如图, 四棱雉 $P-A B C D$ 的底面 $A B C D$ 为正方形, $P A \perp$ 底面 $A B C D, A C, B D$ 交于点 $E$, $F$ 是 $P B$ 的中点. 求证:

<ImageHere>

(1)EF// 平面 $P C D$;

(2)平面 $P B D \perp$ 平面 $P A C$.

立体几何学

(1) $\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形，

$\therefore E$ 是 $B D$ 的中点.

又 $F$ 是 $P B$ 的中点，

$\therefore E F / / P D$.

又 $\because E F \Phi$ 平面 $P C D ， P D \subset$ 平面 $P C D ，$

$\therefore E F / /$ 平面 $P C D$.

(2) $\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形， $\therefore B D \perp A C$.

$\because P A \perp$ 平面 $A B C ， B D \subset$ 平面 $A B C ，$

$\therefore P A \perp B D$.

又 $P A \cap A C=A, P A, A C \subset$ 平面 $P A C$ ，

$\therefore B D \perp$ 平面 $P A C$.

又 $B D \subset$ 平面 $P B D ，$

$\therefore$ 平面 $P B D \perp$ 平面 $P A C$.


Answer:
$\because$ 平面 $P A C \perp$ 平面 $A B C$ ，平面 $P A C \cap$ 平面 $A B C=A C ， P A \perp A C ， P A C$ 平面 $P A C$ ，

$\therefore P A \perp$ 平面 $A B C$.

又 $B C \subset$ 平面 $A B C$ ，

$\therefore P A \perp B C$.

又 $\because A B \perp B C ， A B \cap P A=A, A B \subset$ 平面 $P A B$ ，

$P A \subset$ 平面 $P A B$,

$\therefore B C \perp$ 平面 $P A B$.
又 $B C \subset$ 平面 $P B C$ ，

$\therefore$ 平面 $P A B \perp$ 平面 $P B C$.

Question:
如图, 三棱雉 $P-A B C$ 中, 已知 $\triangle A B C$ 是等腰直角三角形, $\angle A B C=90^{\circ}, \triangle P A C$ 是直角三角形, $\angle P A C=90^{\circ}, \angle A C P=30^{\circ}$, 平面 $P A C \perp$ 平面 $A B C$,

<ImageHere>

求证: 平面 $P A B \perp$ 平面 $P B C$.

立体几何学

$\because$ 平面 $P A C \perp$ 平面 $A B C$ ，平面 $P A C \cap$ 平面 $A B C=A C ， P A \perp A C ， P A C$ 平面 $P A C$ ，

$\therefore P A \perp$ 平面 $A B C$.

又 $B C \subset$ 平面 $A B C$ ，

$\therefore P A \perp B C$.

又 $\because A B \perp B C ， A B \cap P A=A, A B \subset$ 平面 $P A B$ ，

$P A \subset$ 平面 $P A B$,

$\therefore B C \perp$ 平面 $P A B$.
又 $B C \subset$ 平面 $P B C$ ，

$\therefore$ 平面 $P A B \perp$ 平面 $P B C$.


Answer:
(1) $\because$ 平面 $P A D \perp$ 底面 $A B C D ，$ 平面 $P A D \cap$ 底面 $A B C D=A D ， P A \subset$ 平面 $P A D ， P A \perp A D ，$

$\therefore P A \perp$ 底面 $A B C D$.

(2) $\because A B / / C D, C D=2 A B, E$ 是 $C D$ 的中点，

$\therefore A B / / D E$ ，且 $A B=D E$ ，

$\therefore$ 四边形 $A B E D$ 为平行四边形. $\therefore B E / / A D$.

又 $\because B E$ 平面 $P A D, A D \subset$ 平面 $P A D, \therefore B E / /$ 平面 $P A D$.

(3) $\because A B \perp A D$ ，四边形 $A B E D$ 为矩形，

$\therefore B E \perp C D, A D \perp C D$.

由(1)知 $P A \perp$ 底面 $A B C D ， \therefore P A \perp C D$.

$\because P A \cap A D=A, P A, A D \subset$ 平面 $P A D ，$

$\therefore C D \perp$ 平面 $P A D ， \therefore C D \perp P D$.

$\because E$ 和 $F$ 分别是 $C D$ 和 $P C$ 的中点，

$\therefore P D / / E F, \therefore C D \perp E F$.

$\because C D \perp B E, E F \cap B E=E, E F, B E \subset$ 平面 $B E F, \therefore C D \perp$ 平面 $B E F$.

$\because C D \subset$ 平面 $P C D ， \therefore$ 平面 $B E F \perp$ 平面 $P C D$.

Question:
如图, 在四棱雉 $P-A B C D$ 中, $A B / / C D, A B \perp A D, C D=2 A B$, 平面 $P A D \perp$ 底面 $A B C D$, $P A \perp A D, E$ 和 $F$ 分别是 $C D$ 和 $P C$ 的中点.

<ImageHere>

求证:

(1)PA $\perp$ 底面 $A B C D$;

(2) $B E / /$ 平面 $P A D$;

(3)平面 $B E F \perp$ 平面 $P C D$.

立体几何学

(1) $\because$ 平面 $P A D \perp$ 底面 $A B C D ，$ 平面 $P A D \cap$ 底面 $A B C D=A D ， P A \subset$ 平面 $P A D ， P A \perp A D ，$

$\therefore P A \perp$ 底面 $A B C D$.

(2) $\because A B / / C D, C D=2 A B, E$ 是 $C D$ 的中点，

$\therefore A B / / D E$ ，且 $A B=D E$ ，

$\therefore$ 四边形 $A B E D$ 为平行四边形. $\therefore B E / / A D$.

又 $\because B E$ 平面 $P A D, A D \subset$ 平面 $P A D, \therefore B E / /$ 平面 $P A D$.

(3) $\because A B \perp A D$ ，四边形 $A B E D$ 为矩形，

$\therefore B E \perp C D, A D \perp C D$.

由(1)知 $P A \perp$ 底面 $A B C D ， \therefore P A \perp C D$.

$\because P A \cap A D=A, P A, A D \subset$ 平面 $P A D ，$

$\therefore C D \perp$ 平面 $P A D ， \therefore C D \perp P D$.

$\because E$ 和 $F$ 分别是 $C D$ 和 $P C$ 的中点，

$\therefore P D / / E F, \therefore C D \perp E F$.

$\because C D \perp B E, E F \cap B E=E, E F, B E \subset$ 平面 $B E F, \therefore C D \perp$ 平面 $B E F$.

$\because C D \subset$ 平面 $P C D ， \therefore$ 平面 $B E F \perp$ 平面 $P C D$.


Answer:
解: (I) 从这 6 个点中随机选取 4 个点的所有可能结果

与从这 6 个点中随机选取 2 个点的所有可能结果相同,

即 $A B_{1}, A D_{1}, A E, A F, A G, B_{1} D_{1} B_{1} E, B_{1} F, B_{1} G, D_{1} E, D_{1} F, D_{1} G$,

$E F, E G, F G$ ，共 15 种,

根据题意可知, 四点共面的情况只有 $A E G D_{1}, B_{1} F G D, A E F B_{1}$, 共 3 种,

故四点共面的概率为 $\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$;

(II) 根据题意可知, 点 $P$ 为正方形 $A B C D$ 内的任意以点,

故点 $P$ 的轨迹面积为 4 ,

$\because$ 满足条件的点 $P$ 在以 $A_{1}$ 为球心, $\sqrt{6}$ 为半径的球内,

故 $A_{1} P \leq \sqrt{6}$, 即 $\sqrt{A A_{1}{ }^{2}+A P^{2}} \leq \sqrt{6}$, 故 $A P \leq \sqrt{2}$,

故满足条件的点 $P$ 的轨迹面积为 $\frac{1}{4} \pi \times(\sqrt{2})^{2}=\frac{\pi}{2}$,

故所求的概率为 $\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}$.

Question:
(2020 秋 - 河南期中）已知在边长为 2 的正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 、中, 点 $E, F, G$ 分别为 $A A_{1}$, $A_{1} B_{1}, A_{1} D_{1}$ 的中点.

( I ) 从 $A, B_{1}, D_{1}, E, F, G$ 这六个点中任取四点, 求这四点共面的概率;

(II ) 点 $P$ 为正方形 $A B C D$ 内的任意一点, 求点 $P$ 在以 $A_{1}$ 为球心, $\sqrt{6}$ 为半径的球内的概率.

立体几何学

解: (I) 从这 6 个点中随机选取 4 个点的所有可能结果

与从这 6 个点中随机选取 2 个点的所有可能结果相同,

即 $A B_{1}, A D_{1}, A E, A F, A G, B_{1} D_{1} B_{1} E, B_{1} F, B_{1} G, D_{1} E, D_{1} F, D_{1} G$,

$E F, E G, F G$ ，共 15 种,

根据题意可知, 四点共面的情况只有 $A E G D_{1}, B_{1} F G D, A E F B_{1}$, 共 3 种,

故四点共面的概率为 $\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$;

(II) 根据题意可知, 点 $P$ 为正方形 $A B C D$ 内的任意以点,

故点 $P$ 的轨迹面积为 4 ,

$\because$ 满足条件的点 $P$ 在以 $A_{1}$ 为球心, $\sqrt{6}$ 为半径的球内,

故 $A_{1} P \leq \sqrt{6}$, 即 $\sqrt{A A_{1}{ }^{2}+A P^{2}} \leq \sqrt{6}$, 故 $A P \leq \sqrt{2}$,

故满足条件的点 $P$ 的轨迹面积为 $\frac{1}{4} \pi \times(\sqrt{2})^{2}=\frac{\pi}{2}$,

故所求的概率为 $\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}$.


Answer:
PUT "a, $\mathrm{h}=$ " $; \mathrm{a}, \mathrm{h}$
$\mathrm{V}=\mathrm{SQR}(3) * \mathrm{a}^{\wedge} 2 * \mathrm{~h} / 4$
$\mathrm{~S}=\mathrm{SQR}(3) * \mathrm{a}^{\wedge} 2 / 2+3 * \mathrm{a} * \mathrm{~h}$
PRINT V, S
END

Question: 已知正三棱柱 (底面为正三角形的直三棱柱) 的高为 $\mathrm{h}$, 底面边长为 $\mathrm{a}$, 编写程序求正三棱柱的体积和表面积。

立体几何学

PUT "a, $\mathrm{h}=$ " $; \mathrm{a}, \mathrm{h}$
$\mathrm{V}=\mathrm{SQR}(3) * \mathrm{a}^{\wedge} 2 * \mathrm{~h} / 4$
$\mathrm{~S}=\mathrm{SQR}(3) * \mathrm{a}^{\wedge} 2 / 2+3 * \mathrm{a} * \mathrm{~h}$
PRINT V, S
END


Answer:
第一步, $S=0$.

第二步, $i=2$.

第三步, $S=S+i$

第四步, $i=i+2$.
第五步, 如果 $i>100$ 成立, 则输出 $S$; 否则, 返回第三步。

相应的程序框图如图所示

<ImageHere>

Question: 已知一个圆柱的底面半径为 $\mathrm{R}$, 高为 $\mathrm{h}$, 求圆柱的体积. 设计一个解决该问题的算法,并画出相应的程序框图.

立体几何学

第一步, $S=0$.

第二步, $i=2$.

第三步, $S=S+i$

第四步, $i=i+2$.
第五步, 如果 $i>100$ 成立, 则输出 $S$; 否则, 返回第三步。

相应的程序框图如图所示

<ImageHere>


Answer:
) $\because V_{\text {三蓺椎 } A B C-A_{1} B_{1} C_{1}}=\frac{1}{2} a^{2} \cdot a=\frac{1}{2} a^{3}$, 所求概率 $P_{1}=\frac{\frac{1}{2} a^{3}}{a^{3}}=\frac{1}{2}$

(2) $\because V_{\text {三棱柱 } B-A_{1} B_{1} C_{1}}=\frac{1}{3} \cdot S_{\triangle A_{1} B_{1} C_{1}} \cdot B B_{1}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} a^{2} \cdot a=\frac{1}{6} a^{3}$, 所求概率 $P_{2}=\frac{1}{6}$

(3) 所求概率 $P_{3}=\frac{a-\frac{a}{3}}{a}=\frac{2}{3}$

(4) 所求概率 $P_{4}=\frac{a-\frac{a}{3}-\frac{a}{3}}{a}=\frac{1}{3}$

Question:
已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $\mathrm{a}$, 在正方体内随机取一点 $\mathrm{M}$.

(1) 求点 $M$ 落在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 内的概率 $P_{1}$;

(2) 求点 $M$ 落在三棱雉 $B-A_{1} B_{1} C_{1}$ 内的概率 $P_{2}$;

(3) 求点 $\mathrm{M}$ 到面 $\mathrm{ABCD}$ 的距离大于号的概率 $P_{3}$;

(4) 求点 $M$ 到面 $\mathrm{ABCD}$ 及面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的距离都大于 $\frac{a}{3}$ 的概率 $P_{4}$

立体几何学


Answer: 体不是棱柱;截去的部分是一个四棱雉;作图见解析

Question:
如图所示的几何体中, 四边形 $A A_{1} B_{1} B$ 是边长为 3 的正方形, $C C_{1}=2, C C_{1} / / A A_{1}$, 这个几何体是棱柱吗? 若是, 指出是几棱柱; 若不是, 请你试用一个平面截去一部分, 使剩余部分是一个侧棱长为 2 的三棱柱, 并指出截去的几何体的特征, 在立体图形中画出截面.

<ImageHere>

立体几何学

【分析】

判断一个几何体是不是棱柱, 要从棱柱的结构特征出发进行推理和判断.

## 【详解】

这个几何体不是棱柱.因为没有平行的两个平面.

<ImageHere>

在四边形 $A A_{1} B_{1} B$ 中, 在 $A A_{1}$ 上取点 $E$, 使 $A E=2$, 在 $B B_{1}$ 上取点 $F$, 使 $B F=2$, 连接 $C_{1} E, E F, F C_{1}$,
则过点 $C_{1}, E, F$ 的截面将几何体分成两部分, 其中一部分是三棱柱 $A B C-E F C_{1}$, 其侧棱长为 2.截去的部分是一个四棱雉 $C_{1}-E A_{1} B_{1} F$, 如图所示.

## 【点睛】

本题主要考查棱柱的结构特征, 棱柱是有两个面平行, 其余相邻面的交线平行这两个典型特征, 侧重考查概念辨析能力.


Answer: ) $\frac{3}{4} \pi$; (2) 2

Question:
已知 $O A$ 为球 $O$ 的半径, 过 $O A$ 的中点 $M$ 且垂直于 $O A$ 的平面截球面得到圆 $M$.

(1) 若 $O A=1$, 求圆 $M$ 的面积;

(2) 若圆 $M$ 的面积为 $3 \pi$, 求 $O A$.

立体几何学

【分析】

（1）根据球的性质, 截面的圆心为中点 $M$, 由已知, 赇出圆 $M$ 半径, 即可求解;

（2）由 $M$ 的面积, 求出圆 $M$ 半径, 利用勾股定理, 即可求出结论.

## 【详解】

(1) 若 $O A=1$, 则 $O M=\frac{1}{2}$

故圆 $M$ 的半径 $r=\sqrt{O A^{2}-O M^{2}}=\sqrt{1^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

所以圆 $M$ 的面积 $S=\pi r^{2}=\frac{3}{4} \pi$

(2) 因为圆 $M$ 的面积为 $3 \pi$,

所以圆 $M$ 的半径 $r=\sqrt{3}$,

则 $O A^{2}=\left(\frac{O A}{2}\right)^{2}+3$

所以 $\frac{3}{4} O A^{2}=3$, 所以 $O A^{2}=4$,

所以 $O A=2$

## 【点睛】

本题考查球的性质, 注意截面圆半径、球心与截面圆圆心连线以及球半径关系, 属于基础题.


Answer: frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{~cm}$.

Question: 圆雉底面半径为 $1 \mathrm{~cm}$, 高为 $\sqrt{2} \mathrm{~cm}$, 其中有一个内接正方体, 求这个内接正方体的棱长.

立体几何学

试题分析：画出图形，设出棱长，根据三角形相似，列出比例关系, 求出棱长即可.

试题解析：过圆雉的顶点 $S$ 和正方体底面的一条对角线 $C D$ 作圆雉的截面, 得圆锥的轴截面 $S E F$,正方体对角面 $C D D_{1} C_{1}$, 如图所示.

设正方体棱长为 $x$, 恻 $C C_{1}=x, C_{1} D_{1}=\sqrt{2} x$,

作 $S O \perp E F$ 于 $O$, 则 $S O=\sqrt{2}, O E=1$,

$\because \Delta E C C_{1} \sim \Delta E O S, \therefore \frac{C C_{1}}{S O}=\frac{E C_{1}}{E O}$, 即 $\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2} x}{1}$,

$\therefore x=\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{~cm}$, 即内接正方体棱长为 $\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{~cm}$.

<ImageHere>

考点: 简单组合体的结构特征.


Answer: ) $h=\sqrt{800-20 \sqrt{2} x}, x \in(0,20 \sqrt{2})$; (2) $h_{\text {max }}=20, \frac{4000}{3}$.

Question:
小明设计了一款正四棱雉形状的包装盒, 如图所示, $A B C D$ 是边长为 $40 \mathrm{~cm}$ 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形, 再沿虚线折起, 使得 $A B C D$ 四个点重合于图中的点 $P$,正好形成一个正四棱雉形状的包装盒, 设正四棱雉底面正方形的边长为 $x \mathrm{~cm}$.
<ImageHere>

（1）试用 $X$ 表示该四棱雉的高度 $h$, 并指出 $X$ 的取值范围;

（2）若要求侧面积不小于 $600 \mathrm{~cm}^{2}$, 求该四棱雉的高度的最大值, 并指出此时该包装盒的容积.

立体几何学

【分析】

(1) 设正四棱雉侧面等腰三角形高为 $h^{\prime}$, 由正方形 $A B C D$, 可得 $x+2 h^{\prime}=40 \sqrt{2}$, 再由 $\frac{x}{2}, h, h^{\prime}$ 组成直角三角形, 即可得到 $X, h$ 关系, 进而求出 $X$ 的范围;

(2) 利用 (1) 中 $x, h^{\prime}$ 关系, 求出侧面积关于 $x$ 的函数, 进一步求出满足条件的 $X$ 范围, 可求出 $h$ 的最大值，即可求出结论.

## 【详解】

(1) 设正四棱雉侧面等腰三角形高为 $h^{\prime}$, 在正方形 $A B C D$ 中, $x+2 h^{\prime}=40 \sqrt{2}, \therefore h^{\prime}=20 \sqrt{2}-\frac{x}{2}$,在四棱雉中, $h^{\prime 2}=\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+h^{2}, \therefore\left(20 \sqrt{2}-\frac{x}{2}\right)^{2}=\frac{x^{2}}{4}+h^{2}$,

$$
\begin{gathered}
h^{2}=800-20 \sqrt{2} x, \therefore h=\sqrt{800-20 \sqrt{2} x} \\
\because h^{2}=800-20 \sqrt{2} x>0, \therefore 0<x<20 \sqrt{2} \\
\therefore h=\sqrt{800-20 \sqrt{2} x}, x \in(0,20 \sqrt{2})
\end{gathered}
$$

(2) 四棱雉的侧面积 $S=4 \times \frac{1}{2} x h^{\prime}=2 x\left(20 \sqrt{2}-\frac{x}{2}\right)=-x^{2}+40 \sqrt{2} x \geq 600$,
$x^{2}-40 \sqrt{2} x+600 \leq 0$, 解得 $10 \sqrt{2} \leq x \leq 30 \sqrt{2}, \because 0<x<20 \sqrt{2}$,

$\therefore 10 \sqrt{2} \leq x<20 \sqrt{2}$, 当 $x=10 \sqrt{2}$ 时,

$h_{\max }=\sqrt{800-20 \sqrt{2} \times 10 \sqrt{2}}=20$,

此时包装盒的容积为 $V=\frac{1}{3} x^{2} h=\frac{1}{3} \times(10 \sqrt{2})^{2} \times 20=\frac{4000}{3}$,

所以满足条件的四棱雉的高度的最大值为 20 ,

此时该包装盒的容积为 $\frac{4000}{3}$.

## 【点睛】

本题考查函数的应用问题、正方形和正四棱雉的性质、一元二次不等式、一次函数最值, 意在考查直观想象、数学建模、数学计算能力, 属于中档题,


Answer: \sqrt{15}$

Question:
三棱台 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, 已知 $A B=10$, 棱台一个侧面梯形的面积为 $\frac{20 \sqrt{3}}{3}, O_{1}, O$ 分别为上、下底面正三角形的中心, 连接 $A_{1} O_{1}, A O$ 并延长, 分别交 $B_{1} C_{1}, B C$ 于点 $D_{1}, D$, $\angle D_{1} D A=60^{\circ}$, 求上底面的边长.

<ImageHere>

立体几何学

【分析】

由题意, 可设上底面边长为 $x$, 利用题中所给侧面梯形面积列方程, 求 $x$ 值即可.

## 【详解】

$\because A B=10, \therefore A D=\frac{\sqrt{3}}{2} A B=5 \sqrt{3}, O D=\frac{1}{3} A D=\frac{5 \sqrt{3}}{3}$.

: 设上底面的边长为 $x(x>0)$, 则 $O_{1} D_{1}=\frac{\sqrt{3}}{6} x$.

如图所示, 连接 $O_{1} O$, 过 $D_{1}$ 作 $D_{1} H \perp A D$ 于点 $H$, 则四边形 $O H D_{1} O_{1}$ 为矩形, 且 $O H=O_{1} D_{1}=\frac{\sqrt{3}}{6} x$.

<ImageHere>

$\therefore D H=O D-O H=\frac{5 \sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{6} x$,

在 Rt $\triangle D_{1} D H$ 中, $D_{1} D=\frac{D H}{\cos 60^{\circ}}=2\left(\frac{5 \sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{6} x\right)$.

四边形 $B_{1} C_{1} C B$ 的面积为 $\frac{1}{2}\left(B_{1} C_{1}+B C\right) \cdot D_{1} D$ ，

$\therefore \frac{20 \sqrt{3}}{3}=\frac{1}{2}(x+10) \times 2\left(\frac{5 \sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{6} x\right)$,

即 $40=(x+10)(10-x)$,

$\therefore x=2 \sqrt{15}$, 故上底面的边长为 $2 \sqrt{15}$.

## 【点睛】

本题考查正棱台几何性质, 空间想象能力, 计算能力, 属于中等题型.


Answer: ) 由圆雉和圆台组合而成的简单组合体. (2) 由四棱柱和四棱雉组合而成的简单组合体.

Question:
如图, 说出图中两个几何体的结构特征.

(1)

<ImageHere>

(2)

<ImageHere>

立体几何学

【分析】

逐一分析组合体是由哪些柱体、雉体或台体构成的.

## 【详解】

(1) 由圆雉和圆台组合而成的简单组合体

(2) 由四棱柱和四棱雉组合.而成的简单组合体:

【点睛】

本题考查组合体的构成情况, 考查组合体结构特征, 属于基础题.


Answer: ) 几何体由 6 个顶点、 12 条棱和 8 个面组成 (2) 几何体由 6 个顶点、 10 条棱和 6 个面组成

Question:
试指出图中组成各几何体的基本元素.

<ImageHere>

(1)

<ImageHere>

(2)

立体几何学

【分析】

由组成空间几何体的基本元素为点、线、面可作答.

## 【详解】

(1) 是由两个四棱雉组成的，有 6 个顶点、 12 条棱和 8 个面组成.

(2)是由两个锥体组合而成, 有 6 个顶点、 10 条棱和 6 个面组成.

## 【点睛】

本题考查对空间几何体的基本元素的认识，属于基础题.


Answer: 析

Question:
如图, 四边形 $A B C D$ 为直角梯形, 试作出绕其各条边所在的直线旋转所得到的几何体.

<ImageHere>

立体几何学

【分析】

确定旋转直线, 根据其余各边与旋转直线的关系, 结合圆柱、圆雉、圆台定义, 即可求出结论.

## 【详解】

以边 $A D$ 所在直线为轴旋转, 形成的几何体是一个圆台,

如图 (1) 所示.

以边 $A B$ 所在直线为轴旋转, 形成的几何体可以看作是由一个圆雉和一个圆柱拼接而成的组合体, 如图 (2) 所示.以边 $C D$ 所在直线为轴旋转, 形成的几何体可以看作是由一个圆柱挖去一个同底圆雉而成的组合体，如图（3）所示.以边 $B C$ 所在直线为轴旋转, 形成的几何体可以看作是由一个圆台挖去一个同底（上底面）圆锥后再和一个同底（下底面）圆雉拼接而成的组合体，如图（4）所示.

<ImageHere>

(1)

<ImageHere>

(2)

<ImageHere>

(3)

<ImageHere>

(4)

## 【点睛】

本题考查旋转组合体, 要掌握常见简单旋转体的结构特征, 并能与组合体的结构特征进行恰当联系,实现“化未知为已知”


Answer: 析.

Question:
一个三棱柱可以分制成几个以三棱柱的顶点为顶点的三棱雉? 试在如图所示的三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中设计出分割方案. (请用尽可能多的方法)

<ImageHere>

立体几何学

【分析】

根据三棱柱的结构特征, 一个三棱柱可以分割成 3 个三棱雉, 即可求解, 得到答案.

## 【详解】

一个三棱柱可以分割成 3 个三棱雉, 可以有以下六种方案供选择.
<ImageHere>

## 【点睛】

本题主要考查了三棱柱和三棱雉的结构特征, 其中解答中正确把握三棱柱和三棱雉的结构特征是解答的关键, 着重考查了空间想象能力, 属于基础题.


Answer:
(1) 不是简单随机抽样, 因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.

（2）不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求逐个不放回地抽取.

（3）不是简单随机抽样, 因为这 10 名跳水队员是挑选出来的（最优秀的）, 每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中 “等可能性” 的要求。

（4）是简单随机抽样, 因为总体中的个体数是有限的, 并且是从总体中逐个进行抽取的,是不放回、等可能的抽样。

Question:
下面的抽样方法是简单随机抽样吗? 为什么?

(1) 从无数个个体中抽取 50 个个体作为样本;

(2) 质量监督部门从 180 种儿童玩具中选出 18 种玩具进行质量检验, 在抽样过程中,从中任取一种玩具检验后再放回;

（3）国家跳水队挑出最优秀的 10 名跳水队员，备战 2016 年里约热内卢奥运会;

（4）一彩民选号，从装有 36 个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地逐个抽出 7 个号签.

计数

(1) 不是简单随机抽样, 因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.

（2）不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求逐个不放回地抽取.

（3）不是简单随机抽样, 因为这 10 名跳水队员是挑选出来的（最优秀的）, 每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中 “等可能性” 的要求。

（4）是简单随机抽样, 因为总体中的个体数是有限的, 并且是从总体中逐个进行抽取的,是不放回、等可能的抽样。


Answer:
解析第一步, 将原来的编号调整为 $001,002, .,, 112$.

第二步, 在随机数表（见教材第 103 页）中任选一个数字作为开始数字, 任选一个方向作为读数方向. 比如, 选第 9 行第 7 列的数 3 作为开始

第三步, 从 3 开始, 向右读, 每次读取三位数字, 凡不在 001-112 中的数跳过去不读,前面已经读过的数也跳过去不读，依次可得到 074，100，094，052，080，003，105， 10, 083, 092 .

第四步, 抽取对应原来编号为 $74,100,94,52,80,3,105,107,83,92$ 的机器.

Question: 有一批机器, 编号为 $1,2,3, ., 112$. 用随机数表法抽取 10 台人样, 写出抽取过程.

计数

解析第一步, 将原来的编号调整为 $001,002, .,, 112$.

第二步, 在随机数表（见教材第 103 页）中任选一个数字作为开始数字, 任选一个方向作为读数方向. 比如, 选第 9 行第 7 列的数 3 作为开始

第三步, 从 3 开始, 向右读, 每次读取三位数字, 凡不在 001-112 中的数跳过去不读,前面已经读过的数也跳过去不读，依次可得到 074，100，094，052，080，003，105， 10, 083, 092 .

第四步, 抽取对应原来编号为 $74,100,94,52,80,3,105,107,83,92$ 的机器.


Answer:
用随机数表法, 步骤如下:

第一步, 先对职工编号, 老年职工的编号为 $001,002,, 0303$; 中年职工的编号为 031 , $032, \ldots, 080$; 青年职工的编号为 $081, \ldots, 120$.

第二步, 在随机数表中任选一个数作为开始, 任选一个方向作为读数方向, 例如选第 15 行第 6 列的数 4 开始向右读.

第三步, 从选定的数 4 开始向右读, 每次读取三位, 凡不在 001-120 中的数跳过去不读,前面已经读过的也跳过去不读, 从 $001 \sim 030$ 中选 3 个号码, 从 031 080 中选 5 个号码,从 081-120 中选 4 个号码, 依得到 038, 119, 033, 099, 004，047,094, 116, 044, 068, 013, 030 .

第四步, 对应 004, 013,030 找出老年职工代表; 对应 033,038,044,047,068 找出中年职工代表；对应 094，099，116，119 找出青年职工代表.

Question: 某单位有老年职工 30 人，中年职工 50 人，青年职工 40 人，若分别从老年职工、中年职工、青年职工中随机抽取 3 人、 5 人、 4 人举行会议, 请选用合适的方法进行抽样,并写出抽样过程.

计数

用随机数表法, 步骤如下:

第一步, 先对职工编号, 老年职工的编号为 $001,002,, 0303$; 中年职工的编号为 031 , $032, \ldots, 080$; 青年职工的编号为 $081, \ldots, 120$.

第二步, 在随机数表中任选一个数作为开始, 任选一个方向作为读数方向, 例如选第 15 行第 6 列的数 4 开始向右读.

第三步, 从选定的数 4 开始向右读, 每次读取三位, 凡不在 001-120 中的数跳过去不读,前面已经读过的也跳过去不读, 从 $001 \sim 030$ 中选 3 个号码, 从 031 080 中选 5 个号码,从 081-120 中选 4 个号码, 依得到 038, 119, 033, 099, 004，047,094, 116, 044, 068, 013, 030 .

第四步, 对应 004, 013,030 找出老年职工代表; 对应 033,038,044,047,068 找出中年职工代表；对应 094，099，116，119 找出青年职工代表.


Answer:
我们可采用系统抽样, 方案如下:

第一步, 由于 $1000=33 \times 30+10$, 所以先用简单随机抽样的方法从总体中抽取 10 台电视机, 不进行检验。

第二步, 将剩下的电视机进行编号, 编号分别为 $0,1,2 . \cdots, 989$, 并将其按编号的先后顺序分为 30 组, 每组 33 台电视机.

第三步, 从第 1 组（编号为 $0,1,2,3 \cdots, 32$ ）的电视机中按照简单随机抽样的方法抽取 1 台电视机, 记其编号为 $\mathrm{k}$ 第四步, 按顺序抽取编号分别为 $\mathrm{k}+33, \mathrm{k}+66, \mathrm{k}+99 . \cdots \mathrm{k}+29$ $\times 33$ 的电视机, 这样总共抽取了 30 台电视机, 对这 30 台电视机进行检验.

Question: 某电视机厂每天生产 1000 台电视机, 要求质检员每天抽取 30 台, 检查其质量状况,请你设计一个调查方案

计数

我们可采用系统抽样, 方案如下:

第一步, 由于 $1000=33 \times 30+10$, 所以先用简单随机抽样的方法从总体中抽取 10 台电视机, 不进行检验。

第二步, 将剩下的电视机进行编号, 编号分别为 $0,1,2 . \cdots, 989$, 并将其按编号的先后顺序分为 30 组, 每组 33 台电视机.

第三步, 从第 1 组（编号为 $0,1,2,3 \cdots, 32$ ）的电视机中按照简单随机抽样的方法抽取 1 台电视机, 记其编号为 $\mathrm{k}$ 第四步, 按顺序抽取编号分别为 $\mathrm{k}+33, \mathrm{k}+66, \mathrm{k}+99 . \cdots \mathrm{k}+29$ $\times 33$ 的电视机, 这样总共抽取了 30 台电视机, 对这 30 台电视机进行检验.


Answer: 先将 2003 名学生按 0001 到 2003 编号, 利用随机数表法从中剔除 3 名学生,再对剩余的 2000 名学生重新从 0001 到 2000 编号, 按编号顺序分成 40 组, 每组 50 人,先在第一组中用抽签法抽出某一号, 如 0006, 依次在其他组抽取 0056, 0106 “, 1956,这样就得到了一个容量为 40 的样本。

Question: 从 2003 名学生中抽取一个容量为 40 的样本, 应如何抽取?

计数

先将 2003 名学生按 0001 到 2003 编号, 利用随机数表法从中剔除 3 名学生,再对剩余的 2000 名学生重新从 0001 到 2000 编号, 按编号顺序分成 40 组, 每组 50 人,先在第一组中用抽签法抽出某一号, 如 0006, 依次在其他组抽取 0056, 0106 “, 1956,这样就得到了一个容量为 40 的样本。


Answer:
适宜选用系统抽样，抽样过程如下:

(1) 随机地将这 1003 个个体编号为 1，2，3\%， 1003.

（2）利用简单随机抽样，先从总体中随机剔除 3 个个体，剩下的个体数 1000 能被样本容量 50 整除, 然后将 1000 个个体重新编号为 $1,2,3 \cdots, 1000$.

（3）将总体按编号顺序均分成 50 部分，每部分包含 20 个个体,

(4) 在编号为 $1,2,3 \cdots, 20$ 的第一部分个体中, 利用简单随机抽样抽取一个号码, 比如抽取的号码是 18.

(5) 以 18 为起始号码, 这样得到一个容量为 50 的样本: 18,38 , 58. $\cdots, 978,998$.

Question: 为了了解参加某种知识竞赛的 1003 名学生的成绩, 抽取一个容量为 50 的样本, 选用什么抽样方法比较恰当？简述抽样过程.

计数

适宜选用系统抽样，抽样过程如下:

(1) 随机地将这 1003 个个体编号为 1，2，3\%， 1003.

（2）利用简单随机抽样，先从总体中随机剔除 3 个个体，剩下的个体数 1000 能被样本容量 50 整除, 然后将 1000 个个体重新编号为 $1,2,3 \cdots, 1000$.

（3）将总体按编号顺序均分成 50 部分，每部分包含 20 个个体,

(4) 在编号为 $1,2,3 \cdots, 20$ 的第一部分个体中, 利用简单随机抽样抽取一个号码, 比如抽取的号码是 18.

(5) 以 18 为起始号码, 这样得到一个容量为 50 的样本: 18,38 , 58. $\cdots, 978,998$.


Answer:
假设这个班的学生是这样编号（这个编号也代表他们的身高）的:
第一组 $a_{1}<a_{2}<a_{3}<a_{4}<a_{5}<a_{6}<a_{7}<a_{8}$;

第二组 $b_{1}<b_{2}<b_{3}<b_{4}<b_{5}<b_{6}<b_{7}<b_{8}$;

第三组 $c_{1}<c_{2}<c_{3}<c_{4}<c_{5}<c_{6}<c_{7}<c_{8}$;

第四组 $d_{1}<d_{2}<d_{3}<d_{4}<d_{5}<d_{6}<d_{7}<d_{8}$;

第五组 $e_{1}<e_{2}<e_{3}<e_{4}<e_{5}<e_{6}<e_{7}<e_{8}$.

如果按照李立的抽样方法, 比如在第一组抽取了 8 号, 也就是 ag, 那么所抽取的样本为 $a_{8}, b_{8}, c_{8}, d_{8}, e_{8}$ 所对应的学生的身高.

显然, 这样的样本不具有代表性, 他们代表的身高偏高.

Question: 某班共分 5 个组, 每个组都有 8 名学生, 学生的座次是按照个子高矮进行排列的. 为调查此班学生的身高情况, 李立是这样做的: 分段间隔是 8 , 按照每个小组的座次顺序进行编号. 你觉得这样抽取的样本具有代表性吗?

计数


Answer:
一: 采用随机数表法, 步骤如下:

(1) 先将 500 份答卷编号, 可以编号为 $000,001,002 \cdots, 499$.

（2）在随机数表中随机选取一个起始位置.

(3) 规定向右连续读取数字, 以 3 个数为一组, 如果读取的三位数大于 499 , 则跳过去不读, 如果遇到前面已经读过的, 也跳过去不读, 这样一直到取满 10 个号码为止.方法二: 系统抽样法, 步骤如下:

(1) 将 500 份答卷编号: $1,2,3 \cdots, 500$.

(2) 按 $1^{\sim} 50,51^{\sim} 100,101^{\sim} 150, \cdots, 451^{\sim} 500$ 分成 10 组, 每组 50 个编号.

（3）在第一组中运用抽签法随机选择一个编号（步骤略）, 比如所选号码为 17 , 则其他各组应取出的号码分别为 $67,117,167,217,267,317,367,417,467$. (4) 将上述 10 个号码代表的答卷取出作为样本即可

Question: 某中学举行了为期 3 天的新世纪教职工体育运动会, 同时进行全校精神文明擂台赛.为了解这次活动在全校教职工中产生的影响, 对全校 500 名教职工进行了问卷调查. 如果要在所有答卷中抽出 10 份用于评估, 应该如何抽样？请详细叙述抽样过程.

计数

一: 采用随机数表法, 步骤如下:

(1) 先将 500 份答卷编号, 可以编号为 $000,001,002 \cdots, 499$.

（2）在随机数表中随机选取一个起始位置.

(3) 规定向右连续读取数字, 以 3 个数为一组, 如果读取的三位数大于 499 , 则跳过去不读, 如果遇到前面已经读过的, 也跳过去不读, 这样一直到取满 10 个号码为止.方法二: 系统抽样法, 步骤如下:

(1) 将 500 份答卷编号: $1,2,3 \cdots, 500$.

(2) 按 $1^{\sim} 50,51^{\sim} 100,101^{\sim} 150, \cdots, 451^{\sim} 500$ 分成 10 组, 每组 50 个编号.

（3）在第一组中运用抽签法随机选择一个编号（步骤略）, 比如所选号码为 17 , 则其他各组应取出的号码分别为 $67,117,167,217,267,317,367,417,467$. (4) 将上述 10 个号码代表的答卷取出作为样本即可


Answer:
采用分层抽样的方法, 抽样比为 $\frac{60}{12000}=\frac{1}{200}$

“很喜爱” 的有 2435 人, 应抽取 $2435 \times \frac{1}{200} \approx 12$ (人)；

“喜爱” 的有 4567 人，应抽取 $4567 \times \frac{1}{200} \approx 23$ (人)；

Question:
某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查, 参加调查的总人数为 12000 人，其中持各种态度的人数如下表所示:

| 很喜爱 | 喜爱 | 一般 | 不喜爱 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 2435 | 4567 | 3926 | 1072 |

电视台为了进一步了解观众的具体想法和意见, 打算从中再抽取 60 人进行更为详细的调查, 应怎样进行抽样?

计数

采用分层抽样的方法, 抽样比为 $\frac{60}{12000}=\frac{1}{200}$

“很喜爱” 的有 2435 人, 应抽取 $2435 \times \frac{1}{200} \approx 12$ (人)；

“喜爱” 的有 4567 人，应抽取 $4567 \times \frac{1}{200} \approx 23$ (人)；


Answer:
（1）总体上分三个层次进行抽样：婴儿奶粉、普通奶粉、老年奶粉按 4: 5 : 1 的比例抽取，其中婴几奶粉抽取 200 袋，普通奶粉抽取 250 袋，老年奶粉抽取 50 袋。

(2) 对 4000 袋婴儿奶粉采用系统抽样法抽样:

第一步，将 4000 袋婴儿奶粉编号为 $0001,0002,003, \cdots, 4000$;

第二步, 按编号平均分成 200 段: 0001, 0002, “, 0020; 0021,0022 $\cdots, 0040 \cdots ; 3981 \cdots$, 4000 ;

第三步, 在第一段 001,0002 , 0020 这 20 个编号中用简单随机抽样法抽出一个（如 0013) 作为起始号码;

第四步, 将编号为 $0013,0033,0053 \cdots, 3993$ 的个体抽出, 完成对 4000 袋婴儿奶粉的抽样。

对 1000 袋老年奶粉采用随机数表法抽样;

第一步，将 1000 袋老年奶粉编号为 $000 ， 001 ， 002 \cdots ， 999$;

第二步, 在随机数表中任选一数作为开始, 任选一方向作为读数方向。比如, 选第 3 行第 1 列数 1 ，向右读（见教材第 103 页随机数表）;

第三步, 从数 1 开始, 向右读, 每次读取三位, 凡不在 $000^{\sim} 999$ 中的数跳过去不读, 前面已经读过的也跳过去不读, 依次得到 50 个号码：167，662，276，656，502，671\%;第四步, 以上号码对应的 50 袋老年奶粉就是要抽取的样本。

Question:
某地质量监督部门对本地某奶粉厂的所有种类的库存奶粉进行抽样检测, 已查明该厂库存奶粉 10000 袋, 其中婴儿奶粉 4000 袋、普通奶粉 5000 袋、老年奶粉 1000 袋.

（1）如果质量监督部门打算抽取 500 袋奶粉作为样本进行检测, 那么应该如何抽样?

（2）试分别选择不同的方法对 4000 袋婴儿奶粉和 1000 袋老年奶粉完成第（1）问中的抽取计划, 写出抽样过程.

计数

（1）总体上分三个层次进行抽样：婴儿奶粉、普通奶粉、老年奶粉按 4: 5 : 1 的比例抽取，其中婴几奶粉抽取 200 袋，普通奶粉抽取 250 袋，老年奶粉抽取 50 袋。

(2) 对 4000 袋婴儿奶粉采用系统抽样法抽样:

第一步，将 4000 袋婴儿奶粉编号为 $0001,0002,003, \cdots, 4000$;

第二步, 按编号平均分成 200 段: 0001, 0002, “, 0020; 0021,0022 $\cdots, 0040 \cdots ; 3981 \cdots$, 4000 ;

第三步, 在第一段 001,0002 , 0020 这 20 个编号中用简单随机抽样法抽出一个（如 0013) 作为起始号码;

第四步, 将编号为 $0013,0033,0053 \cdots, 3993$ 的个体抽出, 完成对 4000 袋婴儿奶粉的抽样。

对 1000 袋老年奶粉采用随机数表法抽样;

第一步，将 1000 袋老年奶粉编号为 $000 ， 001 ， 002 \cdots ， 999$;

第二步, 在随机数表中任选一数作为开始, 任选一方向作为读数方向。比如, 选第 3 行第 1 列数 1 ，向右读（见教材第 103 页随机数表）;

第三步, 从数 1 开始, 向右读, 每次读取三位, 凡不在 $000^{\sim} 999$ 中的数跳过去不读, 前面已经读过的也跳过去不读, 依次得到 50 个号码：167，662，276，656，502，671\%;第四步, 以上号码对应的 50 袋老年奶粉就是要抽取的样本。


Answer:
(1) 简单随机抽样法: 可采取抽签法, 将 160 个零件按 $1^{2} 160$ 编号, 相应地制作 $1^{\sim} 160$ 号的 160 个签, 从中随机抽取 20 个, 显然每个个体被抽到的概率为 $\frac{20}{160}=\frac{1}{8}$ 。

(2) 系统抽样法: 将 160 个零件从 1 至 160 随机编号, 按编号顺序分成 20 组, 每组 8 个. 先在第 1 组用抽签法抽得 $k$ 号 $(1 \leqslant k \leqslant 8)$, 则在其余组中分别抽取 $k+8 n （ n=1,2$, $3 \cdots, 19 ）$ 号, 此时每个个体被抽到的概率为 $\frac{1}{8}$

（3）分层抽样法：按比例 $\frac{20}{160}=\frac{1}{8}$, 分别在一级品、二级品、三级品、等外品中抽取 $48 \times \frac{1}{8}=6\left(\right.$ 个), $64 \times \frac{1}{8}=8\left(\right.$ 个), $32 \times \frac{1}{8}=4$ (个)， $16 \times \frac{1}{8}=2 （$ 个），每个个体被抽到的概率分别为 $\frac{6}{48}, \frac{8}{64}, \frac{4}{32}, \frac{2}{16}$ 都是 $\frac{1}{8}$

总之, 无论采取哪种抽样, 总体中的每个个体被抽到的概率都是 $\frac{1}{8}$

Question: 某批零件共 160 个, 其中, 一级品 48 个, 二级品 64 个, 三级品 32 个, 等外品 16 个,从中抽取一个容量为 20 的样本, 请说明分别用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样抽取时总体中的每个个体被抽到的概率均相等。

计数

(1) 简单随机抽样法: 可采取抽签法, 将 160 个零件按 $1^{2} 160$ 编号, 相应地制作 $1^{\sim} 160$ 号的 160 个签, 从中随机抽取 20 个, 显然每个个体被抽到的概率为 $\frac{20}{160}=\frac{1}{8}$ 。

(2) 系统抽样法: 将 160 个零件从 1 至 160 随机编号, 按编号顺序分成 20 组, 每组 8 个. 先在第 1 组用抽签法抽得 $k$ 号 $(1 \leqslant k \leqslant 8)$, 则在其余组中分别抽取 $k+8 n （ n=1,2$, $3 \cdots, 19 ）$ 号, 此时每个个体被抽到的概率为 $\frac{1}{8}$

（3）分层抽样法：按比例 $\frac{20}{160}=\frac{1}{8}$, 分别在一级品、二级品、三级品、等外品中抽取 $48 \times \frac{1}{8}=6\left(\right.$ 个), $64 \times \frac{1}{8}=8\left(\right.$ 个), $32 \times \frac{1}{8}=4$ (个)， $16 \times \frac{1}{8}=2 （$ 个），每个个体被抽到的概率分别为 $\frac{6}{48}, \frac{8}{64}, \frac{4}{32}, \frac{2}{16}$ 都是 $\frac{1}{8}$

总之, 无论采取哪种抽样, 总体中的每个个体被抽到的概率都是 $\frac{1}{8}$


Answer:
（1）案例一用简单随机抽样, 案例二用分层抽样, 案例三用系统抽样.

(2) 分层抽样的具体步骤如下:

(1)分层，将总体分为高级职称、中级职称、初级职称及其余人员四层;

(2)确定抽样比例 $q=\frac{40}{800}=\frac{1}{20}$;

(3)按上述比例确定各层样本数分别为 8 人、 16 人、 10 人、 6 人;

(4)按简单随机抽样的方法在各层确定相应的样本;

(5)汇总构成一个容量为 40 的样本。

(3) $\mathrm{K}=3$ 时, $\mathrm{L}+31 \mathrm{~K}=18+31 \times 3=111$, 故第 3 组所抽取的样本编号为 311 $K=8$ 时, $L+31 K=18+31 \times 8=266$, 故第 8 组所抽取的样本编号为 866 .

Question:
有以下三个案例: 案例一：从同一批次同类型号的 10 袋牛奶中抽取 3 袋检测其三聚氰胺含量; 案例二: 某公司有员工 800 人, 其中有高级职称的共 160 人, 有中级职称的共 320 人, 有初级职称的共 200 人, 其余人员 120 人. 从中抽取容量为 40 的样本。了解该公司职工的收入情况; 案例三: 从某校 1000 名学生中抽取 10 人参加主题为 “学雷锋,树新风” 的志愿者活动。

(1) 你认为这些案例应采用怎样的抽样方式较为合适?

(2) 在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程;

(3) 在你使用的系统抽样案例中按以下规定取得样本编号, 如果在起始组中随机抽取的号码为 L（编号从 0 开始）。

那么第 $K$ 组（组号 $K$ 从 0 开始 $K=0,1,2 \cdots, 9$ ) 抽取的号码百位数为组号. 后两位数为 $\mathrm{L}+31 \mathrm{~K}$ 的后两位数. 若 $\mathrm{L}=18$, 试求出 $\mathrm{K}=3$ 及 $\mathrm{K}=8$ 时所抽取的样本编号。

计数

（1）案例一用简单随机抽样, 案例二用分层抽样, 案例三用系统抽样.

(2) 分层抽样的具体步骤如下:

(1)分层，将总体分为高级职称、中级职称、初级职称及其余人员四层;

(2)确定抽样比例 $q=\frac{40}{800}=\frac{1}{20}$;

(3)按上述比例确定各层样本数分别为 8 人、 16 人、 10 人、 6 人;

(4)按简单随机抽样的方法在各层确定相应的样本;

(5)汇总构成一个容量为 40 的样本。

(3) $\mathrm{K}=3$ 时, $\mathrm{L}+31 \mathrm{~K}=18+31 \times 3=111$, 故第 3 组所抽取的样本编号为 311 $K=8$ 时, $L+31 K=18+31 \times 8=266$, 故第 8 组所抽取的样本编号为 866 .


Answer:
$\bar{x}_{\text {甲 }}=\frac{1}{8} \times(78+79+81+82+84+88+93+95)=85$

$\bar{x}_{\text {乙 }}=\frac{1}{8} \times(75+80+80+83+85+90+92+95)=85$

$s_{\text {甲 }}^{2}=\frac{1}{8} \times\left[(78-85)^{2}+(79-85)^{2}+(81-85)^{2}+(82-85)^{2}+\right.$

$\left.(84-85)^{2}+(88-85)^{2}+(93-85)^{2}+(95-85)^{2}\right]=35.5$

$s_{z}^{2}=\frac{1}{8} \times\left[(75-85)^{2}+(80-85)^{2}+(80-85)^{2}+(83-85)^{2}+\right.$

$\left.(85-85)^{2}+(90-85)^{2}+(92-85)^{2}+(95-85)^{2}\right]=41 \quad \because \bar{x}_{\text {甲 }}=\bar{x}_{\text {乙 }}, s_{\text {甲 }}^{2}<\mathrm{s}_{\text {乙 }}^{2}$

所以甲的成绩较稳定。

综上可知, 甲的成绩较好.

Question:
某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训, 他们在培训期间参加的 8 次测试成绩记录如下:

甲9582888193798478

乙83 92809590808575

试比较哪个工人的成绩较好.

计数


Answer:
18.（1）由题中茎叶图知, 将 50 位市民对甲部门的评分由小到大排序, 排在第 25,26 位的是 75,75 , 故样本的中位数为 75 , 所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是 75.50 位市民对乙部门的评分由小到大排序, 排在第 25,26 位的是 66 , 68 , 故样本中位数为 $\frac{66+68}{2}=67$, 所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是 67 .

（2）由题中茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数, 而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差, 说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致, 对乙部门的评价较低、评价差异较大。

Question:
某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了 50 位市民，根据这 50 位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如图:

|  |  | 乙部门 |
| ---: | ---: | :--- |
| 甲部门 | 3 | 59 |
| 9 | 4 | 0448 |
| 97 | 5 | 122456677789 |
| 97665332110 | 6 | 011234688 |
| 98877766555554443332100 | 7 | 00113449 |
| 6655200 | 8 | 123345 |
| 632220 | 9 | 011456 |
|  | 10 | 000 |

计数

18.（1）由题中茎叶图知, 将 50 位市民对甲部门的评分由小到大排序, 排在第 25,26 位的是 75,75 , 故样本的中位数为 75 , 所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是 75.50 位市民对乙部门的评分由小到大排序, 排在第 25,26 位的是 66 , 68 , 故样本中位数为 $\frac{66+68}{2}=67$, 所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是 67 .

（2）由题中茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数, 而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差, 说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致, 对乙部门的评价较低、评价差异较大。


Answer:
（1）施用 A 种肥料的橘子树的产量用图（1）所示茎叶图表示, 施用 B 种肥料的橘子树的产量用图 (2) 所示茎叶图表示.

<ImageHere>

(1)

| $B$ |  |  |  |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 2 | 5 |  |  |
| 3 | 1 | 3 |  |
| 4 | 0 | 4 | 5 |
| 5 | 6 | 7 | 9 |
| 6 | 4 |  |  |
| 7 | 3 |  |  |
| 8 | 6 |  |  |

(2)

从图中可以看出第一组数据的平均数要小于第二组数据的平均数.

(2) 从图中观察到第一组数据比第二组数据更分散, 因此估计第二组数据的标准差更小.

（3）计算得出第一组数据的平均数约是 $33.3 \mathrm{~kg}$, 标准差约是 $27.9 \mathrm{~kg}$; 第二组数据的平
均数约是 $51.1 \mathrm{~kg}$, 标准差约是 $17.3 \mathrm{~kg}$. 故第二组数据的标准差更小, 与 (2) 的结果一致.

（4）由两组样本数据的平均数可以判断 B 种肥料对橘子树的产量影响更大.

Question:
在一项农业试验中, A, B 两种肥料分别被施用于同类橘子树. 为了了解这两种肥料的效果, 试验人员分别从施用这两种肥料的橘子树中随机抽取了 12 棵, 下表给出了每一棵橘子树的产量（单位: 千克）:

肥料 A63, $54,19,20,72,92,8,10,22,11,24,5$; 肥料 B57, $86,33,40,59$, $56,73,25,44,31,64,45$.

(1) 用茎叶图表示分别施用 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两种肥料的橘子树的产量, 并从图中比较各自平均数的大小。

（2）从图中你认为哪一组数据的标准差更小?

（3）分别计算施用 A, B 两种肥料的橘子树产量的平均数和标准差, 看看与（2）的结果是否一致?

（4）你认为哪种肥料对橘子树的产量的影响更大? 依据是什么?

计数

（1）施用 A 种肥料的橘子树的产量用图（1）所示茎叶图表示, 施用 B 种肥料的橘子树的产量用图 (2) 所示茎叶图表示.

<ImageHere>

(1)

| $B$ |  |  |  |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 2 | 5 |  |  |
| 3 | 1 | 3 |  |
| 4 | 0 | 4 | 5 |
| 5 | 6 | 7 | 9 |
| 6 | 4 |  |  |
| 7 | 3 |  |  |
| 8 | 6 |  |  |

(2)

从图中可以看出第一组数据的平均数要小于第二组数据的平均数.

(2) 从图中观察到第一组数据比第二组数据更分散, 因此估计第二组数据的标准差更小.

（3）计算得出第一组数据的平均数约是 $33.3 \mathrm{~kg}$, 标准差约是 $27.9 \mathrm{~kg}$; 第二组数据的平
均数约是 $51.1 \mathrm{~kg}$, 标准差约是 $17.3 \mathrm{~kg}$. 故第二组数据的标准差更小, 与 (2) 的结果一致.

（4）由两组样本数据的平均数可以判断 B 种肥料对橘子树的产量影响更大.


Answer:
(1) 用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本, 根据题意, 所抽取工人编号为 $2,6,10,14,18,22,26,30,34$, 则相应工人的年龄数据为 $44,40,36$, $43,36,37,44,43,37$.

(2) 样本均值 $\bar{x}=\frac{1}{9} \times(44+40+36+43+36+37+44+43+37)=40$样本方差 $s^{2}=\frac{1}{9} \times\left[(44-40)^{2}+(40-40)^{2}+(36-40)^{2}+(43-\right.$ $40)^{2}+(36-40)^{2}+(37-40)^{2}+(44-40)^{2}+(43-40)^{2}+$ $\left.(37-40)^{2}\right]=\frac{1}{9} \times\left[4^{2}+0^{2}+(-4)^{2}+3^{2}+(-4)^{2}+(-3)^{2}+4^{2}+3^{2}+(-3)^{2}\right]=\frac{100}{9}$

（3）由于 $\bar{x}=40, s=\sqrt{s^{2}}=\frac{10}{3} \approx 3.33,36$ 名工人中年龄在 $\bar{x}=s \approx 36.67$ 与 $\bar{x}+s \approx 43.33$ 之间有 23 人, 所占比例为 $\frac{23}{36} \approx 63.89 \%$.

Question:
某工厂 36 名工人的年龄数据如下表.

| 工人编号 | 年龄 | 工人编号 | 年龄 | 工人编号 | 年龄 | 工人编号 | 年龄 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 1 | 40 | 10 | 36 | 19 | 27 | 28 | 34 |
| 2 | 44 | 11 | 31 | 20 | 43 | 29 | 39 |
| 3 | 40 | 12 | 38 | 21 | 41 | 30 | 43 |
| 4 | 41 | 13 | 39 | 22 | 37 | 31 | 38 |
| 5 | 33 | 14 | 43 | 23 | 34 | 32 | 42 |
| 6 | 40 | 15 | 45 | 24 | 42 | 33 | 53 |
| 7 | 45 | 16 | 39 | 25 | 37 | 34 | 37 |
| 8 | 42 | 17 | 38 | 26 | 44 | 35 | 49 |
| 9 | 43 | 18 | 36 | 27 | 42 | 36 | 39 |

(1) 用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本, 且在第一分段里用随机抽样法
抽到的年龄数据为 44 , 列出样本的年龄数据;

（2）计算（1）中样本的均值和方差 $S^{2}$;

（3） 36 名工人中年龄在 $-\mathrm{s}$ 与 $+\mathrm{s}$ 之间有多少人? 所占的百分比是多少 (精确到 $0.01 \%$ ？

计数


Answer:
）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间 $[0.5,1]$, $(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]$ 内的频率依次为 $0.1,0.15,0.2,0.25$, 0. 15. 所以该月用水量不超过 3 立方米的居民占 $85 \%$, 用水量不超过 2 立方米的居民占 $45 \%$.依题意, w 至少定为 3 .

(2) 由用水量的频率分布直方图及题意, 得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表:

| 组号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 分组 | $[2,4]$ | $(4,6]$ | $(6,8]$ | $(8,10]$ | $(10,12]$ | $(12,17]$ | $(17,22]$ | $(22,27]$ |
| 频率 | 0.1 | 0.15 | 0.2 | 0.25 | 0.15 | 0.05 | 0.05 | 0.05 |

根据题意，该市居民该月的人均水费估计为: $4 \times 0.1+6 \times 0.15+8 \times 0.2+10 \times 0.25+12 \times 0.15+17 \times 0.05+22 \times 0.05+27 \times 0.05=10.5$ (元)

Question:
某市居民用水拟实行阶梯水价。每人月用水量中不超过 $\mathrm{w}$ 立方米的部分按 4 元/立方米收费，超出 $\mathrm{w}$ 立方米的部分按 10 元/立方米收费. 从该市随机调查了 10000 位居民，获得了他们某月的用水量数据, 整理得到如图频率分布直方图:

<ImageHere>

（1）如果 $\mathrm{w}$ 为整数，那么根据此次调查，为使 $80 \%$ 以上居民在该月的用水价格为 4 元/立方米, $\mathrm{w}$ 至少定为多少?

（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替. 当 $\mathrm{w}=3$ 时，估计该市居民该月的人均水费。

计数


Answer:
解：算法如下:

第一步: $i=0, n=0, S=0$

第二步: 输入一个成绩 $a$

第三步：若 $a>90$, 则 $S=S+a, n=n+1$

否则，执行第四步

第四步: $i=i+1$

第五步: 若 $i>54$, 则 $s=s / n$, 输出 $S, n$. 否则, 执行第二步.

Question: 高一（2）班共有 54 名学生参加数学竞赛, 现已有他们的竞赛分数, 请设计一个将竞赛成绩优秀学生的平均分输出的算法（规定 90 分以上为优秀）.

计数

解：算法如下:

第一步: $i=0, n=0, S=0$

第二步: 输入一个成绩 $a$

第三步：若 $a>90$, 则 $S=S+a, n=n+1$

否则，执行第四步

第四步: $i=i+1$

第五步: 若 $i>54$, 则 $s=s / n$, 输出 $S, n$. 否则, 执行第二步.


Answer:
解:

INPUTa1, a2, $\cdots, a 12$

PRINT “第 1 季度 aver $=” ; \quad(a 1+a 2+a 3) / 3$

PRINT “第 2 季度 $a v e r=” ; \quad(a 4+a 5+a 6 ） / 3$

PRINT “第 3 季度 $a v e r=” ; \quad(a 7+a 8+a 9) / 3$

PRINT “第 4 季度 aver $=”$; $\quad(a 10+a 11+a 12) / 3$

PRINT “全年 aver $=” ; \quad(a 1+a 2+\cdots+a 12) / 3$

END

Question: 某市 2006 年 $1 \sim 12$ 月的产值（单位: 亿元）分别为 $3.8,4.2,5.3,6.1,5.6,4.8,7.3,4.5,6.4$, 5.8, 4.7, 6.5, 该市要统计每季度的月平均产值及 2006 年的月平均产值, 试分别用输入、输出语句和赋值语句表示计算上述各个平均值的一个算法.

计数

解:

INPUTa1, a2, $\cdots, a 12$

PRINT “第 1 季度 aver $=” ; \quad(a 1+a 2+a 3) / 3$

PRINT “第 2 季度 $a v e r=” ; \quad(a 4+a 5+a 6 ） / 3$

PRINT “第 3 季度 $a v e r=” ; \quad(a 7+a 8+a 9) / 3$

PRINT “第 4 季度 aver $=”$; $\quad(a 10+a 11+a 12) / 3$

PRINT “全年 aver $=” ; \quad(a 1+a 2+\cdots+a 12) / 3$

END


Answer:
解：（1）甲班样本的平均值为:

$$
\bar{x}_{\text {甲 }}=\frac{1}{6}(9+11+13+20+24+31)=18 \text {. }
$$

乙班样本的平均成绩为:

$\bar{x}_{Z}=\frac{1}{6}(11+12+18+20+22+25)=18$.

（2）甲班符合 “过度謷夜” 的样本数据有 2 个, 乙班符合 “过度謷夜” 的样本数据有 2 个,
从甲、乙两班符合 “过度鳌夜” 的样本数据中, 抽取 2 个数据,

基本事件总数 $n=C_{4}^{2}=6$,

抽到的数据来自于同一个班级包含的基本事件个数 $m=C_{2}^{2}+C_{2}^{2}=2$,

$\therefore$ 抽到的数据来自于同一个班级的概率 $p=\frac{m}{n}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

（3）甲班的 6 个样本数据中, 为 “过度鳌夜” 的数据有 2 个,从甲班的样本数据中有放回地抽取 2 个数据,

基本事件总数 $n=6 \times 6=36$,

恰有 1 个数据为 “过度謷夜” 包含的基本事件总数 $m=C_{4}^{1} C_{2}^{1}+C_{2}^{1} C_{4}^{1}=16$,

$\therefore$ 恰有 1 个数据为 “过度謷夜” 的概率 $P=\frac{m}{n}=\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$.

Question:
（2020 秋$\cdot$沈阳期末）中学阶段是学生身体发育重要的阶段, 长时间謷夜学习严重影响学生的身体健康. 某校为了解甲、乙两个班的学生每周謷夜学习的总时长 (单位: 小时), 从这两个班中各随机抽取 6 名同学进行调查, 将他们最近一周謷夜学习的总时长作为样本数据, 如表所示. 如果学生一周謷夜学习的总时长超过 21 小时, 则称为 “过度謷夜”.

| 甲班 |  9   |  11  |  13  |  20  |  24  |  31  |
| :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| 乙班 |  11  |  12  |  18  |  20  |  22  |  25  |

（1）分别计算出甲、乙两班样本的平均值;

(2) 为了解学生过度热夜的原因, 从甲、乙两班符合 “过度鳌夜” 的样本数据中, 抽取 2 个数据,求抽到的数据来自于同一个班级的概率;

（3）从甲班的样本数据中有放回地抽取 2 个数据, 求恰有 1 个数据为 “过度鳌夜” 的概率.

计数

解：（1）甲班样本的平均值为:

$$
\bar{x}_{\text {甲 }}=\frac{1}{6}(9+11+13+20+24+31)=18 \text {. }
$$

乙班样本的平均成绩为:

$\bar{x}_{Z}=\frac{1}{6}(11+12+18+20+22+25)=18$.

（2）甲班符合 “过度謷夜” 的样本数据有 2 个, 乙班符合 “过度謷夜” 的样本数据有 2 个,
从甲、乙两班符合 “过度鳌夜” 的样本数据中, 抽取 2 个数据,

基本事件总数 $n=C_{4}^{2}=6$,

抽到的数据来自于同一个班级包含的基本事件个数 $m=C_{2}^{2}+C_{2}^{2}=2$,

$\therefore$ 抽到的数据来自于同一个班级的概率 $p=\frac{m}{n}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

（3）甲班的 6 个样本数据中, 为 “过度鳌夜” 的数据有 2 个,从甲班的样本数据中有放回地抽取 2 个数据,

基本事件总数 $n=6 \times 6=36$,

恰有 1 个数据为 “过度謷夜” 包含的基本事件总数 $m=C_{4}^{1} C_{2}^{1}+C_{2}^{1} C_{4}^{1}=16$,

$\therefore$ 恰有 1 个数据为 “过度謷夜” 的概率 $P=\frac{m}{n}=\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$.


Answer:
解: (1) 由频数分布表估计这 100 名学生对该节目打分的平均值为:

$55 \times \frac{1}{100}+65 \times \frac{9}{100}+75 \times \frac{18}{100}+85 \times \frac{32}{100}+95 \times \frac{40}{100}=85.1$,

$\therefore$ 这 100 名学生对该节目打分的平均值为 85.1.

（2）由题意知, 从打分为 $[60 ， 70 ）$ 的学生中抽取了 2 人, 分别记为 $a, b$,从打分在 $[70,80 ）$ 的学生中抽取了 4 人, 分别记为 $A, B, C, D$,

从这 6 人中随机抽取 2 名学生进行详细调查的基本事件有:

$a b, a A, a B, a C, a D, b A, b B, b C, b D, A B, A C, A D, B C, B D, C D$, 共 15 个,记 “这 2 名学生的打分在同一分数段” 为事件 $M$,

事件 $M$ 包含的基本事件有:

$a b, A B, A C, A D, B C, B D, C D$ 共 7 个,

$\therefore$ 事件 $M$ 发生的概率 $P(M)=\frac{7}{15}$.

Question:
（2021$\cdot$二十模拟）2019 年 9 月 1 日央视《开学第一课》播出后, 社会各界反响强烈. 某兴趣小组为了了解某校学生对 《开学第一课》的满意程度, 从该校随机抽取了 100 名学生对该节目进行打分（满分 100 分，并把相关的统计结果记录如表:

| 分数段 | $[50,60)$ | $[60,70)$ | $[70,80)$ | $[80,90)$ | $[90,100]$ |
| :----: | :-------: | :-------: | :-------: | :-------: | :--------: |
|  频数  |     1     |     9     |    18     |    32     |     40     |

(1) 试估计这 100 名学生对该节目打分的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);

（2）将频率视为概率，该兴趣小组用分层抽样的方法从打分为 $[60,70)$ 和 $[70,80 ）$ 的学生中抽取 6 人, 再从这 6 人中随机抽取 2 名学生进行详细调查, 记 “这 2 名学生的打分在同一分数段”为事件 $M$ ，求事件 $M$ 发生的概率.

计数

解: (1) 由频数分布表估计这 100 名学生对该节目打分的平均值为:

$55 \times \frac{1}{100}+65 \times \frac{9}{100}+75 \times \frac{18}{100}+85 \times \frac{32}{100}+95 \times \frac{40}{100}=85.1$,

$\therefore$ 这 100 名学生对该节目打分的平均值为 85.1.

（2）由题意知, 从打分为 $[60 ， 70 ）$ 的学生中抽取了 2 人, 分别记为 $a, b$,从打分在 $[70,80 ）$ 的学生中抽取了 4 人, 分别记为 $A, B, C, D$,

从这 6 人中随机抽取 2 名学生进行详细调查的基本事件有:

$a b, a A, a B, a C, a D, b A, b B, b C, b D, A B, A C, A D, B C, B D, C D$, 共 15 个,记 “这 2 名学生的打分在同一分数段” 为事件 $M$,

事件 $M$ 包含的基本事件有:

$a b, A B, A C, A D, B C, B D, C D$ 共 7 个,

$\therefore$ 事件 $M$ 发生的概率 $P(M)=\frac{7}{15}$.


Answer:
解: (1) (i) 把该校环境保护兴趣协会的 20 名成员进行编号, 号码分别为: $01,02,03,04,05,06,07,08,09,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20$, (ii) 20 个号码傥拌均匀, 从中依次取出 6 个号码, 从而取出参赛队伍成员.

(2) 选出的人员中有 2 名女生 4 名男生, 在这 6 名学生中任选两人担任正副队长,基本事件总数 $n=C_{6}^{2}=15$,所选两人恰好有 1 名女生包含的基本事件个数 $m=C_{2}^{1} C_{4}^{1}=8$,

$\therefore$ 所选两人恰好有 1 名女生的概率 $P=\frac{m}{n}=\frac{8}{15}$.

Question:
（2020 秋・忻府区校级月考）某校要从该校环境保护兴趣协会的 20 名成员中, 选取 6 人组队参加市电视台组织的环保知识竞赛.

（1）若采用抽签法选取参赛队伍成员，请写出步骤;

(2) 若选出的人员中有 2 名女生 4 名男生, 在这 6 名学生中任选两人担任正副队长, 求所选两人恰好有 1 名女生的概率.

计数


Answer:
解：（I ）由题知被调查者一共 200 人,

$\therefore 35+60+n+20+10+10=200$, 解得 $n=65$.

则被调查人员各组学习时间的频率分别为 $0.1,0.175,0.325,0.3,0.05,0.05$,

$\therefore$ 调查的 200 名学生学习时间的人数频率分布表如表:

| 学习时间 | $[0,40)$ | $[40,80)$ | $[80,120)$ | $[120,160)$ | $[160,200)$ | $[200,240]$ |
| :------: | :------: | :-------: | :--------: | :---------: | :---------: | :---------: |
|   频数   |    20    |    35     |     65     |     60      |     10      |     10      |
|   频率   |   0.1    |   0.175   |   0.325    |     0.3     |    0.05     |    0.05     |

平均值为:

$20 \times 0.1+60 \times 0.175+100 \times 0.325+140 \times 0.3+180 \times 0.05+220 \times 0.05=107$.

(II) 由题意 $A$ 类学生抽取人数为 $5 \times \frac{120}{200}=3$ (人),

将 $A$ 类学生分别记为 $x, y, z, B$ 类学生分别记为 $a, b$,

设 “选中的 2 人都是 $A$ 类学生” 为事件 $A$,

则从 5 名学生中任选 2 人, 所有可能情况有 10 种, 分别为:

$(x, y),(x, z),(x, a),(x, b),(y, z),(y, a),(y, b),(z, a),(z, b)$, $(a, b)$,

其中事件 $A$ 包含的基本事件有 3 种，分别为: $(x, y),(x, z),(y, z)$,

$\therefore$ 从这五人中抽取的两人都是 $A$ 类学生的概率为:

$P(A)=\frac{3}{10}=0.3$.

Question:
（2021・八模拟）2020 年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗击疫情. 某市要求全体市民在家隔离, 同时决定全市所有学校推迟开学. 某区教育局为了让学生 “停课不停学” , 要求学校各科老师每天在网上授课, 每天共 240 分钟, 请学生自主学习. 区教育局为了了解学生网上学习情况, 上课几天后在全区学生中采取随机抽样的方法抽取了 200 名学生进行问卷调查, 为了方便表述把学习时间在 $[0,120)$ 分钟的学生称为 $A$ 类, 把学习时间在 $[120,240]$ 分钟的学生称为 $B$类, 调查的 200 名学生学习时间的人数频率分布表如表:

| 学习时间 | $[0,40)$ | $[40,80)$ | $[80,120)$ | $[120,160)$ | $[160,200)$ | $[200,240]$ |
| :------: | :------: | :-------: | :--------: | :---------: | :---------: | :---------: |
|   频数   |    20    |    35     |    $n$     |     60      |     10      |     10      |
|   频率   |          |           |            |             |             |             |

以频率估计概率回答下列问题:

(I) 求表中 $n$ 的值并完成上表, 并估算这 200 名学生学习时间的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替，结果保留整数）；

(II) 在 $A, B$ 两类学生中, 按分层抽样的方法从上述 200 名学生中抽取 5 人, 求从这五人中抽取的两人都是 $A$ 类学生的概率.

计数


Answer:
解：（1）中位数在 $[35,40 ）$ 中, 设为 $x$,

则 $0.01 \times 5+0.04 \times 5+0.07 \times(x-35)=0.5$, 解得 $x \approx 38.6$.
平均数为 $(27.5 \times 0.01+32.5 \times 0.04+37.5 \times 0.07+42.5 \times 0.06+47.5 \times 0.02) \times 5=38.5$.

所以样本的中位数为 38.6 , 平均数为 38.5 .

（2）根据分层抽样法, 其中位于 $[30 ， 35 ）$ 中的有 4 人，记为 $A, B ， C ， D$,位于 $[45,50]$ 中的有 2 人, 记为 $a, b$.

从 6 人中抽取 2 人, 有 15 种情况, 分别为:
$(A, B)$
$(A, C)$
$(A, D)$
$(A, a),(A, b)$,
$(B, C)$,
$(B, D)$,
$(B, a)$,
$(B, b)$,
$(C, D)$,
$(C, a)$,
$(c, b)$,
$(D, a)$,
$(D, b),(a, b)$,

恰有 1 人在 $[45,50]$ 内的有:
$(A, a)$,
$(A, b)$,
$(B, a)$,
$(B, b)$,
$(C, a)$,
$(C, b)$,
(D, a) ,
（D，b），共

8 种情况,

所以恰有 1 人在 $[45,50]$ 内的概率为 $P=\frac{8}{15}$.

Question:
（2020 秋 - 海东市月考）某电脑公司为调查旗下 $A$ 品牌电脑的使用情况, 随机抽取 200 名用户,根据不同年龄段（单位: 岁）统计，如表:

|   分组    | 频率/组距 |
| :-------: | :-------: |
| $[25,30)$ |   0.01    |
| $[30,35)$ |   0.04    |
| $[35,40)$ |   0.07    |
| $[40,45)$ |   0.06    |
| $[45,50]$ |   0.02    |

（1）根据如表, 试估计样本的中位数, 平均数（同一组数据以该组区间的中点值为代表, 结果精确到 $0.1 ）$;

（2）按照年龄段从 $[30,35 ）,[45,50]$ 内的用户中进行分层抽样, 抽取 6 人, 在从中随机选取 2 人赠送小礼品, 求恰有 1 人在 $[45,50]$ 内的概率.

计数


Answer:
解：（1）两次记录的数为 $(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2$,
3), ( 2,4$)$,
$(3,4)$
$(2,1)$
$(3,1),(4,1),(3,2)$,
$(3,3)$
$(4,2)$,

$(4,3),(4,4)$, 共 16 个,

满足 $x y \leqslant 3$, 有 $(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)$, 共 5 个,

$\therefore$ 小亮获得玩具的概率为 $\frac{5}{16}$;

(2) 满足 $x y \geqslant 8,(2,4),(3,4),(4,2),(4,3),(3,3),(4,4)$ 共 6 个, $\therefore$小亮获得水杯的概率为 $\frac{6}{16}$;

小亮获得饮料的概率为 $1-\frac{5}{16}-\frac{6}{16}=\frac{5}{16}$,

$\therefore$ 小亮获得水杯大于获得饮料的概率.

Question:
（2019 秋-东湖区校级月考）某儿童乐园在 “六一” 儿童节推出了一项趣味活动, 参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次, 每次转动后, 待转盘停止转动时, 记录指针所指区域中的数. 设两次记录的数分别为 $x 、 y$, 奖励规则如下:

(1)若 $x y \leqslant 3$, 则奖励玩具一个; (2)若 $x y \geqslant 8$, 则奖励水杯一个;

(3)其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀, 四个区域划分均匀. 小亮准备参加此项活动.

(1) 求小亮获得玩具的概率;

（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小, 并说明理由.

<ImageHere>

计数


Answer:
解: (1) 因为 $x^{2}-6 x-16 \leqslant 0 \Rightarrow-2 \leqslant x \leqslant 8$;

$\because 1 \leqslant x \leqslant 10$

$\therefore 1 \leqslant x \leqslant 8 ;$

$\therefore \frac{8-1}{10-1}=\frac{7}{9}$;

(2) $\because \ln (x-2)<2 \Rightarrow 2<x<e^{2}+2$;

则在区间 $[1,12]$ 内满足 $\ln (x-2)<2$ 的整数为 $3,4,5,6,7,8,9$, 共有 7 个,故由古典概型可知, 所求概率为 $\frac{7}{12}$.

Question: （2019 秋・保定月考）（1）从区间 $[1,10]$ 内任意选取一个实数 $x$ ，求 $x^{2}-6 x-16 \leqslant 0$ 的概率; （2）从区间 $[1,12]$ 内任意选取一个整数 $x$, 求 $\ln (x-2)<2$ 的概率.

计数

解: (1) 因为 $x^{2}-6 x-16 \leqslant 0 \Rightarrow-2 \leqslant x \leqslant 8$;

$\because 1 \leqslant x \leqslant 10$

$\therefore 1 \leqslant x \leqslant 8 ;$

$\therefore \frac{8-1}{10-1}=\frac{7}{9}$;

(2) $\because \ln (x-2)<2 \Rightarrow 2<x<e^{2}+2$;

则在区间 $[1,12]$ 内满足 $\ln (x-2)<2$ 的整数为 $3,4,5,6,7,8,9$, 共有 7 个,故由古典概型可知, 所求概率为 $\frac{7}{12}$.


Answer:
解: (1) 因为 $9^{x}>27$, 所以 $x>\log _{9} 27$, 即 $x>\frac{3}{2}$,

故由几何概型可知, 所求概率为 $\frac{5-\frac{3}{2}}{5-0}=\frac{7}{10}$.

(2) 因为 $\log _{\frac{1}{2}} x>-2$, 所以 $0<x<4$,
则在区间 $(0,8)$ 内满足 $\log _{\frac{1}{2}} x>-2$ 的整数为 $1,2,3$, 共 3 个,

故由古典概型可知, 所求概率为 $\frac{3}{7}$.

Question:
（2017 秋・上期末）（1）从区间（0，5）内任意选取一个实数 $x$, 求事件 “ $9^{x}>27$ ” 发生的概率;

（2）从区间（0,8）内任意选取一个整数 $x$, 求事件 “ $\log _{\frac{1}{2}} x>-2$ ” 发生的概率.

计数


Answer:
解: 由题意, 含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉就是在 40 秒以前按错了键, 在 40 秒后按错了键也不会被擦掉,

所以概率为 $P=\frac{30+10}{30 \times 60}=\frac{1}{45}$;

故所求概率为: $\frac{1}{45}$.

Question: 在研究历史声音档案时, 发现 $30 \mathrm{~min}$ 长的磁带上, 从开始 $30 \mathrm{~s}$ 处起, 有 $10 \mathrm{~s}$ 长的一段内容包含两位名人的信息. 后来发现, 这段谈话的一部分被某位工作人员擦掉了, 该工作人员声称她完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了. 问：由于按错了键而使含有两位名人谈话内容被部分或全部擦掉的概率有多大?

计数

解: 由题意, 含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉就是在 40 秒以前按错了键, 在 40 秒后按错了键也不会被擦掉,

所以概率为 $P=\frac{30+10}{30 \times 60}=\frac{1}{45}$;

故所求概率为: $\frac{1}{45}$.


Answer:
(1) 解: $\because \mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0$,

$\therefore \sqrt{a^{6} b^{5}}=a^{3} b^{2} \sqrt{b}=a^{3} b^{\frac{5}{2}}$

(2) 解: $\because \mathrm{m}>0, \therefore \sqrt[3]{m^{2}}=m^{\frac{2}{3}}$

(3) 解: $\because \mathrm{m}>\mathrm{n}>0, \therefore \sqrt{(m-n)^{3}}=(m-n)^{\frac{3}{2}}$

(4) 解: $\because \mathrm{a}>0, \therefore \sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{3}{6}}$

（5）解： $\because \mathrm{a}>0, \therefore \sqrt{a \sqrt{a \sqrt{a}}}=\sqrt{a \cdot \sqrt{a \cdot \sqrt{a^{\frac{1}{2}}}}}=\sqrt{a \cdot a^{\frac{3}{4}}}=a^{\frac{1}{8}}$

Question:
用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）;

(1) $\sqrt{a^{6} b^{5}}$;

(2) $\sqrt[3]{m^{2}}$;

(3) $\sqrt{(m-n)^{3}} \quad(\mathrm{~m}>\mathrm{n})$;

(4) $\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a}$

(5) $\sqrt{a \sqrt{a \sqrt{a}}}$.

算术

结合公式 $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$, 利用分数指数幂的性质和运算法则求解.


Answer:
(1) 解: $\left(2 \frac{3}{5}\right)^{0}+2^{-2} \times\left(2 \frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}-(0.01)^{0.5}$

$=1+\frac{1}{4} \times\left[\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\right]^{-\frac{1}{2}}-\left(\frac{1}{100}\right)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{4} \times \frac{2}{3}-\frac{1}{10}=\frac{16}{15}$.

(2) 解:

$$
\sqrt[3]{a^{5}} \cdot \sqrt[3]{a^{7}} \div a^{6}=a^{\frac{5}{3}} \cdot a^{\frac{7}{3}} \div a^{6}=a^{\frac{5}{3}+\frac{7}{3}-6}=a^{-2}=\frac{1}{a^{2}} .
$$

Question:
化简求值:

(1) $\left(2 \frac{3}{5}\right)^{0}+2^{-2} \times\left(2 \frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}-(0.01)^{0.5}$;

(2) $\sqrt[3]{a^{5}} \cdot \sqrt[3]{a^{7}} \div a^{6}$.

算术

（1）根据指数幂的运算法则求解即可; (2) 把根式化成分数指数幂后根据指数幂的运算法则求解即可.


Answer:
(1) 解: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}+\left(\frac{64}{27}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}+\left(\frac{81}{16}\right)^{-\frac{1}{4}}=16+\frac{4}{3}+4+\frac{2}{3}=22$

(2) 解: $\frac{\sqrt[3]{a b^{2}} \cdot a^{3} b^{2}}{\sqrt[3]{b}\left(a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{2}}\right)^{4}}=\frac{\left(\left(a b^{2}\right)^{\frac{1}{3}} a^{3} b^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{3}}\left(a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{2}}\right)^{4}}=\frac{a^{\frac{5}{3}} b^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{7}{3}}}=\frac{a}{b}$

Question:
(1) 计算: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}+\left(\frac{64}{27}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}+\left(\frac{81}{16}\right)^{-\frac{1}{4}}$;

(2) 化简: $\frac{\sqrt[3]{\sqrt[3]{a b^{2}} \cdot a^{3} b^{2}}}{\sqrt[3]{b}\left(a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{2}}\right)^{4}}(a>0, b>0)$.

算术

（1）利用有理数指数幂的运算性质化简求值.

（2）利用根式与指数幂的关系式结合有理数指数幂的运算性质化简得出结果.


Answer:
（1）解: 原式 $=\left(0 \cdot 4^{3}\right)^{-\frac{1}{3}}-1+\left(2^{4}\right)^{\frac{3}{4}}+\left(0 \cdot 5^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$

$=0 \cdot 4^{-1}-1+8+\frac{1}{2}$

$=\frac{5}{2}+7+\frac{1}{2}$

$=10$

(2) 解: $\because x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$

$\therefore\left(x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}\right)^{2}=5$

$\therefore x+x^{-1}=3$

Question:
计算求值:

(1) $0.064^{-\frac{1}{3}}-\left(-\frac{7}{8}\right)^{0}+16^{\frac{3}{4}}+0.25^{\frac{1}{2}}$

(2) 若 $x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$, 求 $x+x^{-1}$ 的值

算术

根据指数式的运算化简即可.


Answer:
(1) 解: $\log _{3} 1-\log _{3} \frac{1}{27}+\log _{\sqrt{3}} 3=0+3+2=5$

（2）解: $0.064^{-\frac{1}{3}}-\left(-\frac{1}{2}\right)^{0}+4^{\frac{3}{2}}+0.25^{\frac{1}{2}}=\sqrt[3]{\frac{1000}{64}}-1+(\sqrt{4})^{3}+\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{10}{4}-1+8+\frac{1}{2}=10$

Question:
计算下列式子的值:

(1) $\log _{3} 1-\log _{3} \frac{1}{27}+\log _{\sqrt{3}} 3$;

(2) $0.064^{-\frac{1}{3}}-\left(-\frac{1}{2}\right)^{0}+4^{\frac{3}{2}}+0.25^{\frac{1}{2}}$.

算术

（1）利用对数的运算性质进行计算即可; （2）利用幂指数性质来进行计算即可.


Answer:
(1) 解: 原式 $=\lg 100+2+\frac{\lg 3}{\lg 2} \cdot \frac{\lg 4}{\lg 3}=2+2+2=6$.

(2) 解: $\left(m^{\frac{1}{2}}+m \frac{1}{2}\right)^{2}=3^{2} \therefore m+m^{-1}=7$,

$\left(m+m^{-1}\right)^{2}=7^{2} \therefore m^{2}+m^{-2}=47$,

$(m-m-1)^{2}=m^{2}+m^{2}-2=45$,

$\because m>1 \therefore m-m-1=3 \sqrt{5}$

$\therefore m^{2}-m^{-2}=\left(m+m^{-1}\right)\left(m-m^{-1}\right)=21 \sqrt{5}$

Question:
(1) 计算: $\lg 25+\lg 4+7^{\log _{3} 2}+\log _{2} 3 \cdot \log _{3} 4$;

（2）已知 $m^{\frac{1}{2}}+m^{-\frac{1}{2}}=3(m>1)$, 求 $m^{2}-m^{-2}$ 的值.

算术

（1）结合对数的运算性质化简即可; （2）结合两次平方关系即可求得 $m^{2}-m^{2}$.


Answer:
解: 输出 $1 \sim 100$ 之间的所有偶数,

使用 DoLoop 循环语句, 如下;

$i=1$

DO

$$
\begin{aligned}
& m=i \quad M O D 2 \\
& \text { IF } \quad m=0 \quad \text { THEN } \\
& \text { PRINT } i
\end{aligned}
$$

END IF

$i=i+1$

LOOP UNTIL $i>100$

END.

Question: 若要输出 $1 \sim 100$ 之间的所有偶数, 应使用 For 循环还是 DoLoop 循环? 请写出具体过程.

算术

解: 输出 $1 \sim 100$ 之间的所有偶数,

使用 DoLoop 循环语句, 如下;

$i=1$

DO

$$
\begin{aligned}
& m=i \quad M O D 2 \\
& \text { IF } \quad m=0 \quad \text { THEN } \\
& \text { PRINT } i
\end{aligned}
$$

END IF

$i=i+1$

LOOP UNTIL $i>100$

END.


Answer:
解: 根据如图给出的程序框图, 写出对应的程序如下:

$$
\begin{aligned}
& s=0 \\
& n=2 \\
& i=1 \\
& D O \\
& \quad s=s+\frac{1}{n} \\
& n=n+2 \\
& \quad i=i+1
\end{aligned}
$$

LOOP UNTIL
$i>10$

PRINTS

END.

Question:
如图给出的是计算 $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6} \cdots+\frac{1}{20}$ 的值的一个程序框图, 写出对应的程序.

<ImageHere>

算术

解: 根据如图给出的程序框图, 写出对应的程序如下:

$$
\begin{aligned}
& s=0 \\
& n=2 \\
& i=1 \\
& D O \\
& \quad s=s+\frac{1}{n} \\
& n=n+2 \\
& \quad i=i+1
\end{aligned}
$$

LOOP UNTIL
$i>10$

PRINTS

END.


Answer:
解: (1) $f(x)=((((5 x+4) x+3) x+2) x+1) x-3$,

$\therefore v_{0}=5$;

$v_{1}=5 \times 2+4=14 ;$

$v_{2}=14 \times 2+3=31$;

$v_{3}=31 \times 2+2=64$,

$v_{4}=64 \times 2+1=129 ;$

$v_{5}=129 \times 2-3=255$,

所以, 当 $x=2$ 时, 多项式的值为 255 .

(2) $135=81 \times 1+54$,

$81=54 \times 1+27$,

$54=27 \times 2+0$,
则 81 与 135 的最大公约数为 27 .

Question:
（2017 秋・孝感期末）（1）用秦九韶算法求多项式 $f(x)=5 x^{5}+4 x^{4}+3 x^{3}+2 x^{2}+x-3$ 当 $x=2$ 时的值;

(2) 用辗转相除法或更相减损术求 81 和 135 的最大公约数.

算术


Answer:
(本小题满分 10 分)

解: $412{ }_{(5)}=2 \times 5^{0}+1 \times 5^{1}+4 \times 5^{2}=2+5+4 \times 25=107, \cdots \cdots \cdots \cdots$ ( 5 分),

$\because 107=2 \times 7^{0}+1 \times 7^{1}+2 \times 7^{2}$

$\therefore$ 把 5 进制的数 412 (5) 化为 7 进制是 212 (7). ………… (10 分).

Question: （2019 春・洮北区校级月考）先将 $412(5)$ 化成十进制的数, 然后用 “除 $k$ 取余法” 再化成七进制的数.

算术


Answer:
解: (1) 用辗转相除法求 119 和 153 的最大公约数: $153=119 \times 1+34,119=34 \times 3+17$, $34=17 \times 2$

$\therefore 119$ 和 153 的最大公约数为 17 ;

利用更相减损术求 119 和 153 的最大公约数: $153-119=34,119-34=85,85-34=51,51-34$

$=17,34-17=17$,

$\therefore 119$ 和 153 的最大公约数就是 17 ;

（2）用秦九韶算法: $f(x)=6 x^{5}+7 x^{4}+5 x^{3}+4 x^{2}+3 x-5=((((6 x+7) x+5) x+4) x+3) x-5$,当 $x=3$ 时, $v_{0}=6, v_{1}=6 \times 3+7=25, v_{2}=25 \times 3+5=80, v_{3}=80 \times 3+4=244, v_{4}=244 \times 3+3=735$, $v_{5}=735 \times 3-5=2200$.
$\therefore f(3)=2200$.

Question:
（2018 秋・杏花岭区校级月考）（1）用辗转相除法或者更相减损术求 119 和 153 的最大公约数;

（2）用秦九韶算法计算多项式 $f(x)=6 x^{5}+7 x^{4}+5 x^{3}+4 x^{2}+3 x-5$, 当 $x=3$ 时的值.

算术


Answer:
解: $f(x)=3 x^{5}+8 x^{4}-3 x^{3}+5 x^{2}+12 x-6=((((3 x+8) x-3) x+5) x+12) x-6$

当 $x=2$ 时, $f(2)=((((3 \times 2+8) \times 2-3) \times 2+5) \times 2+12) \times 2-6=238$.

Question: （2019 秋・阳泉期末）用秦九韶算法求 $f(x)=3 x^{5}+8 x^{4}-3 x^{3}+5 x^{2}+12 x-6$ 当 $x=2$ 时的值.

算术


Answer:
解：（1）分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据图所示的顺序, 可知该程序的作

用是计算分段函数 $y=f(x)=y=\left\{\begin{array}{ll}(x+1)^{2}, & x<0 \\ (x-1)^{2}, & x \geq 0\end{array}\right.$ 的函数值,

$\therefore$ 此程序的功能是求函数 $y=\left\{\begin{array}{ll}(x+1)^{2}, & x<0 \\ (x-1)^{2}, & x \geq 0\end{array}\right.$ 的函数值.

故答案为: $y=\left\{\begin{array}{ll}(x+1)^{2}, & x<0 \\ (x-1)^{2}, & x \geq 0\end{array}\right.$.

(2) (1)当 $x<0$ 时, $y=(x+1)^{2}=25$, 解得: $x=-6$, 或 4 (舍去);

(2)当 $x \geqslant 0$ 时,

$y=(x-1)^{2}=25$, 解得: $x=6$, 或 -4 (舍去),

故综上可知输入的 $x$ 的值为 6 , 或 -6 .

Question:
（2018 春-延吉市校级月考）阅读下列程序. 回答问题:

(1) 此程序的功能是求函数的函数值.

(2) 若输出 $y$ 的值是 25 , 则输入的 $x$ 应该是多少?

<ImageHere>

算术

解：（1）分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据图所示的顺序, 可知该程序的作

用是计算分段函数 $y=f(x)=y=\left\{\begin{array}{ll}(x+1)^{2}, & x<0 \\ (x-1)^{2}, & x \geq 0\end{array}\right.$ 的函数值,

$\therefore$ 此程序的功能是求函数 $y=\left\{\begin{array}{ll}(x+1)^{2}, & x<0 \\ (x-1)^{2}, & x \geq 0\end{array}\right.$ 的函数值.

故答案为: $y=\left\{\begin{array}{ll}(x+1)^{2}, & x<0 \\ (x-1)^{2}, & x \geq 0\end{array}\right.$.

(2) (1)当 $x<0$ 时, $y=(x+1)^{2}=25$, 解得: $x=-6$, 或 4 (舍去);

(2)当 $x \geqslant 0$ 时,

$y=(x-1)^{2}=25$, 解得: $x=6$, 或 -4 (舍去),

故综上可知输入的 $x$ 的值为 6 , 或 -6 .


Answer:
解: (1) 该程序框图的功能是求下面分段函数的函数值 $y=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+1, & \text { 当 } x<-2 \text { 时 } \\ x^{2}-1, & \text { 当 } x \geq-2 \text { 时 }\end{array}\right.$.

(2) 解: 程序如下:

INPUT $x$

IF $x<-2$

THEN

$y=x^{2}+1$

ELSE

$y=x^{2}-1$

END IF.

Question:
013 秋 -三元区校级月考）根据如图程序框图解答下列问题:

（1）指出其功能;

（2）编写对应的计算机程序.

<ImageHere>

图论

解: (1) 该程序框图的功能是求下面分段函数的函数值 $y=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+1, & \text { 当 } x<-2 \text { 时 } \\ x^{2}-1, & \text { 当 } x \geq-2 \text { 时 }\end{array}\right.$.

(2) 解: 程序如下:

INPUT $x$

IF $x<-2$

THEN

$y=x^{2}+1$

ELSE

$y=x^{2}-1$

END IF.


Answer:
解: (1) 设两人到达约会地点的时刻分别为 $x, y$, 依题意, 必须满足 $|x-y| \leq \frac{1}{2}$ 才能相遇. 我们把他们到达的时刻分别作为横坐标和纵坐标, 于是两人到达的时刻均匀地分布在一个边长为 1 的正方形 I 内, 如图所示, 而相遇现象则发生在阴影区域 $G$ 内, 即甲、乙两人的到达时刻 $(x, y)$ 满足 $|x-y| \leq \frac{1}{2}$, 所以两人相遇的概率为区域 $G$ 与区域 I 的面积之比: $P=\frac{S_{G}}{S_{I}}=\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}{1}=\frac{3}{4}$.也就是说, 两个人能在约定的时间内在超市门口相见的概率为 $\frac{3}{4}$.

（2）设第一枚随机地投掷得到向上一面的点数为 $a$, 第二枚投掷得到向上一面的点数为 $b$, 则 $a$与 $b$ 的和共有 36 种情况.

| $a$  |    1    |    2    |    3    |    4    |    5    |    6    |
| :--: | :-----: | :-----: | :-----: | :-----: | :-----: | :-----: |
| $b$  |         |         |         |         |         |         |
|  1   | $(1,1)$ | $(1,2)$ | $(1,3)$ | $(1,4)$ | $(1,5)$ | $(1,6)$ |
|  2   | $(2,1)$ | $(2,2)$ | $(2,3)$ | $(2,4)$ | $(2,5)$ | $(2,6)$ |
|  3   | $(3,1)$ | $(3,2)$ | $(3,3)$ | $(3,4)$ | $(3,5)$ | $(3,6)$ |
|  4   | $(4,1)$ | $(4,2)$ | $(4,3)$ | $(4,4)$ | $(4,5)$ | $(4,6)$ |
|  5   | $(5,1)$ | $(5,2)$ | $(5,3)$ | $(5,4)$ | $(5,5)$ | $(5,6)$ |
|  6   | $(6,1)$ | $(6,2)$ | $(6,3)$ | $(6,4)$ | $(6,5)$ | $(6,6)$ |

所以两次取出的数字之和 $a+b$ 是 5 的倍数的情况有 $(1,4),(4,1) ，(2,3) ，(3,2)$, $(4,6),(6,4),(5,5)$, 共 7 种, 其概率为 $P=\frac{7}{36}$.

<ImageHere>

Question:
020 秋 - 迎江区校级期中）小红和小明相约去参加超市的半夜不打烊活动, 两人约定凌晨 0 点到 1 点之间在超市门口相见, 并且先到的必须等后到的人 30 分钟才可以进超市先逛. 如果两个人出发是各自独立的，在 0 点到 1 点的各个时候到达的可能性是相等的.

（1）求两个人能在约定的时间内在超市门口相见的概率;

（2）超市内举行抽奖活动, 郑一枚骰子, 郑 2 次, 如果出现的点数之和是 5 的倍数, 则获奖. 小红参与活动，她获奖的概率是多少呢？

22.（2019 春・楚雄州期中）已知 $-3 \leqslant x \leqslant 3,-2 \leqslant y \leqslant 2$, 点 $M$ 的坐标为（ $x, y$ ）.

(1) 求当 $x, y \in \mathbf{R}$ 时, 点 $M$ 满足 $x^{2}+(y-2)^{2} \leqslant 4$ 的概率;

(2) 求当 $x, y \in \mathbf{Z}$ 时，点 $M$ 满足 $x^{2}+(y-2)^{2} \leqslant 4$ 的概率.

23.（2019 秋・张家口月考）已知函数 $f(x)=a x^{2}-b x+1$.

(1) 若 $a, b$ 都是从集合 $\{0,1 ， 2 ， 3\}$ 中任取的一个数, 求函数 $f(x)$ 没有零点的概率;

(2) 分别从集合 $P$ 和 $Q$ 中随机取一个数 $a$ 和 $b$ 得到数对 $(a, b)$, 若 $P=\{x \mid 1 \leqslant x \leqslant 3\}, Q=\{x \mid 0$ $\leqslant x \leqslant 4\}$, 求函数 $y=f(x)$ 在区间 $[1,+\infty)$ 上是增函数的概率.

统计数学


Answer:
(1) $S=3030-\left(\frac{15000}{x}+6 x\right)$, 其定义域是 $(6,500)$.

(2) 设计 $x=50 \mathrm{~m}, y=60 \mathrm{~m}$ 时, 运动场地面积最大, 最大值为 2430 平方米.

Question:
某市近郊有一块大约 $500 \mathrm{~m} \times 500 \mathrm{~m}$ 的接近正方形的荒地, 地方政府准备在此建一个综合性休闲广场,首先要建设如图所示的一个矩形场地, 其中总面积为 3000 平方米, 其中阴影部分为通道, 通道宽度为 2 米, 中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同）, 塑胶运动场地占地面积为 $S$ 平方米.

（1）分别用 $X$ 表示 $y$ 和 $S$ 的函数关系式，并给出定义域;

（2）怎样设计能使 $S$ 取得最大值, 并求出最大值.

<ImageHere>

度量几何学


Answer:
记事件 $\mathrm{A}=\{$ 下午 3: 00 后张三、李四可以交谈 $\}$. 设 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 分别表示张三、李四与基地的距离, 则 $\mathrm{x}=[0,30], \mathrm{y}=[0,40]$, 则他们的所有距离的数据构成有序实数对 $(x, y)$, 则所有这样的有序实数对构成的集合为试验的全部结果. 以基地为原点, 正东、正北方向分别为 $\mathrm{x}$ 轴、 $\mathrm{y}$ 轴正方向建立坐标系 (图略), 则长和宽分别为 $40 \mathrm{~km}$ 和 $30 \mathrm{~km}$
的矩形区域表示该试验的所有结果构成的区域, 它的总面积为 $1200 \mathrm{~km} 2$, 可以交谈的区域为 $x^{2}+y^{2} \leq 25^{2}$ 的圆及其内部满足 $x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 的部分, 由几何概型的概率计算公式得 $P(A)=\frac{\frac{1}{4} \times \pi \times 25^{2}}{1200}=\frac{25 \pi}{192} \approx 0.41$

Question: 两对讲机持有者张三、李四在某货运公司工作，他们的对讲机的接收范围是 $25 \mathrm{~km}$,下午 3: 00 张三在基地正东 30km 处向基地行驶, 李四在基地正北 $40 \mathrm{~km}$ 处也向基地行驶,试求下午 3: 00 后他们可以交谈的概率。

度量几何学

记事件 $\mathrm{A}=\{$ 下午 3: 00 后张三、李四可以交谈 $\}$. 设 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 分别表示张三、李四与基地的距离, 则 $\mathrm{x}=[0,30], \mathrm{y}=[0,40]$, 则他们的所有距离的数据构成有序实数对 $(x, y)$, 则所有这样的有序实数对构成的集合为试验的全部结果. 以基地为原点, 正东、正北方向分别为 $\mathrm{x}$ 轴、 $\mathrm{y}$ 轴正方向建立坐标系 (图略), 则长和宽分别为 $40 \mathrm{~km}$ 和 $30 \mathrm{~km}$
的矩形区域表示该试验的所有结果构成的区域, 它的总面积为 $1200 \mathrm{~km} 2$, 可以交谈的区域为 $x^{2}+y^{2} \leq 25^{2}$ 的圆及其内部满足 $x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 的部分, 由几何概型的概率计算公式得 $P(A)=\frac{\frac{1}{4} \times \pi \times 25^{2}}{1200}=\frac{25 \pi}{192} \approx 0.41$


Answer:
| INPUT $x$ |
| :--- |
| IF $x<0$ THEN |
| $\quad$ PRINT $x$ |
| END IF |
| END |

Question:
根据图所示的程序框图, 设计一个程序

<ImageHere>

逻辑题

| INPUT $x$ |
| :--- |
| IF $x<0$ THEN |
| $\quad$ PRINT $x$ |
| END IF |
| END |


Answer: <ImageHere>

Question:
根据下面的程序画出相应的程序框图.

| $\mathrm{x}=-1$ |  |
| :--- | ---: | :--- |
| WHILE | $\quad \mathrm{x}<=1$ |
|  | $\mathrm{y}=\mathrm{x} * \mathrm{x} * \mathrm{x}$ |
|  | $\mathrm{x}=\mathrm{x}+0.2$ |
| PRINT | $\mathrm{y}$ |
| WEND |  |
| END |  |

逻辑题


Answer:
如图所示, 设正方形 $\mathrm{ABCD}$ 的边长为 $4 \mathrm{a}$, 硬币的半径 $\mathrm{r}=\mathrm{a}$, 则正方形 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2} \mathrm{O}_{3} \mathrm{O}_{4}$的面积为 $4 \mathrm{a} 2$, 曲边多边形 $\mathrm{EFGHI}$ JKL 的面积为 $16 a^{2}+4 \times(4 a \times r)+4 \times \frac{1}{4} \pi r^{2}=32 a^{2}+\pi a^{2}$.记 “硬币完全落入正方形内” 为事件 A, 则硬币完全落入正方形内的概率应等于正方形 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2} \mathrm{O}_{3} \mathrm{O}_{4}$ 的面积与曲边多边形 EFGHIUKL 的面 $4 \mathrm{a} 24$ 积比, 即 $P(A)=\frac{4 a^{2}}{32 a^{2}+\pi a^{2}}=\frac{4}{32+\pi}$

<ImageHere>

Question:
如图所示, 在地上画一个正方形方框, 其边长等于一枚硬币直径的 2 倍, 向方框中投硬币，硬币完全落在正方形外的情况不计，求硬币完全落在正方形内的概率

<ImageHere>

组合几何学

如图所示, 设正方形 $\mathrm{ABCD}$ 的边长为 $4 \mathrm{a}$, 硬币的半径 $\mathrm{r}=\mathrm{a}$, 则正方形 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2} \mathrm{O}_{3} \mathrm{O}_{4}$的面积为 $4 \mathrm{a} 2$, 曲边多边形 $\mathrm{EFGHI}$ JKL 的面积为 $16 a^{2}+4 \times(4 a \times r)+4 \times \frac{1}{4} \pi r^{2}=32 a^{2}+\pi a^{2}$.记 “硬币完全落入正方形内” 为事件 A, 则硬币完全落入正方形内的概率应等于正方形 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2} \mathrm{O}_{3} \mathrm{O}_{4}$ 的面积与曲边多边形 EFGHIUKL 的面 $4 \mathrm{a} 24$ 积比, 即 $P(A)=\frac{4 a^{2}}{32 a^{2}+\pi a^{2}}=\frac{4}{32+\pi}$

<ImageHere>


Answer: 图正确, 俯视图错误, 图见解析

Question:
如图所示, 图 (2) 是图 (1) 中实物的主视图和俯视图, 你认为正确吗? 如果不正确, 请找出错误并改正, 然后画出它的左视图.

<ImageHere>

画法几何学

【分析】

主视图正确,俯视图不正确,要用虚线画出被遮住的轮廓.根据左视方向可作出左视图.

## 【详解】

图 (1) 是由两个长方体组合而成的, 主视图正确, 俯视图错误. 俯视图应该画出不可见轮廓 (用虚线表示), 左视图轮廓是一个矩形, 有一条可见的交线 (用实线表示), 正确画法如下图所示.

<ImageHere>

俯视图

<ImageHere>

左视图

## 【点睛】

本题考查了几何体的左视图的作法,即画从左看几何体的轮廓,属于基础题.


Answer: 析

Question:
如图所示, 四棱锥的所有棱长都为 $a$, 试画出其三视图.

<ImageHere>

画法几何学

【分析】

正视图与侧视图均为等腰三角形、俯视图为对角线连接完整的正方形, 按三视图的画法逐个画出即可。

## 【详解】

四棱雉的三视图如图所示.

<ImageHere>

正视图

<ImageHere>

俯视图

<ImageHere>

儉祝图

## 【点睛】

(1)一个物体的三视图的排列规则是: 俯视图放在正视图的下面, 长度与正视图一样; 侧视图放在正视图的右面, 高度与正视图一样, 宽度与俯视图的宽度一样, 即“长对正、高平齐、宽相等”。

（2）三视图应满足: (1)棱用实线表示; (2)被挡的轮廓线用虚线表示; (3)不同的投影面三视图也不一样, 一般所取的投影面是较规则图形。

（3）本例中, 正视图与侧视图均非正三角形。


Answer: 析

Question:
所示, $O A, O B, O C$ 为不共面的三条线段, 点 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ 分别是 $O A, O B$, $O C$ 上的点, 且 $\frac{O A_{1}}{O A}=\frac{O B_{1}}{O B}=\frac{O C_{1}}{O C}$ 成立.求证: $\triangle A_{1} B_{1} C_{1} \sim \triangle A B C$.

<ImageHere>

变换几何

【分析】

根据 $\frac{O A_{1}}{O A}=\frac{O B_{1}}{O B}=\frac{O C_{1}}{O C}$, 可得 $A_{1} B_{1} / / A B, A C_{1} / / A C, B_{1} C_{1} / / B C$ 进而通过平行线得两个角 $\angle C_{1} A_{1} B_{1}=\angle C A B$ 和 $\angle A_{1} B_{1} C_{1}=\angle A B C$ 对应相等,即可证明 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1} \sim \triangle A B C$.

## 【详解】

证明; 在 $\triangle O A B$ 中,因为 $\frac{O A_{1}}{O A}=\frac{O B_{1}}{O B_{1}}$,

所以 $A_{1} B_{1} / / A B$.

同理可证 $A_{1} C_{1} / / A C, B_{1} C_{1} / / B C$.

所以 $\angle C_{1} A_{1} B_{1}=\angle C A B, \angle A_{1} B_{1} C_{1}=\angle A B C$.

所以 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1} \sim \triangle A B C$.

## 【点睛】

本题考查了通过线段成比例, 证明线线平行,根据空间中角的两边分别平行判断两个角的关系,属于基础题.


Answer:
1) 长方; 2

(2) $3 ; 1 ; 2$

(3) 正方体；长方体

Question:
一认，填一填。

<ImageHere>

（1）从左边起，第 4 个是 \$ \qquad \$体，第 \$ \qquad \$个是正方体。

(2) 图中有 \$ \qquad \$个圆柱, \$ \qquad \$个长方体,个球。

(3) \$ \qquad \$ ，右面是 \$ \qquad \$

立体几何学


Answer: 8

Question: 至少要用 \$ \qquad \$个小正方体可以拼成一个大正方体。

立体几何学


Answer: <ImageHere>

Question:
能站稳的那一组圈起来。
<ImageHere>

立体几何学


Answer: <ImageHere>

Question:
（4 分）在正方体下面画 “ $\sqrt{ }$ ”，圆柱下面画 “ $\bigcirc$ ”。

<ImageHere>

立体几何学


Answer: =; \quad>\quad>$

Question:
横线上填上 “<”“>” 或 $"=”$. $1+4$ 5 3 $5-3$

$4-1$ $1+1$

算术


Answer: 、2、3; 4、5; 3、4、5; 1、2、3、4

Question:
（）里填上合适的数。

$4>(\quad) \quad 3<(\quad) \quad 2<(\quad) \quad 5>(\quad)$

算术


Answer: ,1

Question:
一算, 结果是多少?

<ImageHere>

算术


Answer:
2+3=5$

$2-2=0$

$4-0=4$

$1+1=2$

$5+0=5$

$0+1=1$

$5-4=1$

$1+4=5$

$4-4=0 \quad 2-0=2 \quad 4-3=1 \quad 0+3=3$

$4-1=3 \quad 1+3=4 \quad 2+0=2 \quad 3-1=2$

Question:
谁算得又对又快。

| $2+3=$ | $2-2=$ | $4-0=$ | $1+1=$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $5+0=$ | $0+1=$ | $5-4=$ | $1+4=$ |
| $4-4=$ | $2-0=$ | $4-3=$ | $0+3=$ |
| $4-1=$ | $1+3=$ | $2+0=$ | $3-1=$ |

算术


Answer:
图:
$$
6,7,8 、 9
$$

Question:
图照样子圈数.
<ImageHere>

$7 、 6 、 4 、(5)$

<ImageHere>

$6 、 7 、 8 、 9$

算术


Answer: 3+2=5 \quad 5-2=3 \quad 4+1=5 \quad 4-4=0$

Question:
图列式计算。
<ImageHere>

算术


Answer: 1+4=5$ (个) $; 4+1=5$ (个) $; 2+3=5$ (个) $; 3+2=5$ (个)

Question:
图是一家超市里卖的袋装橙子. 如果要买两袋共 5 个橙子, 可以怎样买? 请你用算式的形式表示出来.

<ImageHere>

算术