Question: 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $a=1, b=2, C=60^{\circ}$, 则 $c$ 等于 $(\quad)$

解析几何


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $a=2$, 则 $b \cos C+c \cos B$ 等于( )

解析几何


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $b^{2}=a c$ 且 $c=2 a$, 则 $\cos B$ 等于 $(\quad)$

解析几何


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, $\sin ^{2} \frac{A}{2}=\frac{c-b}{2 c}$ ( $a, b, c$ 分别为角 $A, B, C$ 的对应边), 则 $\triangle A B C$ 的形状为( )

A. 正三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形

解析几何

解析 $\because \sin ^{2} \frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{2}=\frac{c-b}{2 c}$,

$\therefore \cos A=\frac{b}{c}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} \Rightarrow a^{2}+b^{2}=c^{2}$, 符合勾股定理.

故 $\triangle A B C$ 为直角三角形.


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, 已知面积 $S=\frac{1}{4}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)$, 则角 $C$ 的度数为 ( )

解析几何

$\because S=\frac{1}{4}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)=\frac{1}{2} a b \sin C$,

$\therefore a^{2}+b^{2}-c^{2}=2 a b \sin C, \quad \therefore c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \sin C$.

由余弦定理得: $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C$,

$\therefore \sin C=\cos C$,

$\therefore C=45^{\circ}$.


Question: 已知 $a 、 b 、 c$ 为 $\triangle A B C$ 的三边长, 若满足 $(a+b-c)(a+b+c)=a b$, 则 $\angle C$ 的大小为

解析几何


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, 若 $2 \cos B \sin A=\sin C$, 则 $\triangle A B C$ 的形状一定是

A. 等腰直角三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形
D. 等边三角形

解析几何

解析 $\because 2 \cos B \sin A=\sin C=\sin (A+B)$,

$\therefore \sin A \cos B-\cos A \sin B=0$,

即 $\sin (A-B)=0, \therefore A=B$.


Question: $\triangle A B C$ 的三边分别为 $a, b, c$ 且满足 $b^{2}=a c, 2 b=a+c$, 则此三角形是 ( )

A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等边三角形

解析几何

解析 $\because 2 b=a+c, \therefore 4 b^{2}=(a+c)^{2}$, 即 $(a-c)^{2}=0$,

$\therefore a=c . \therefore 2 b=a+c=2 a . \therefore b=a$, 即 $a=b=c$.


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边长分别为 $a, b, c$, 若 $C=120^{\circ}$, $c=\sqrt{2} a$, 则 ( )

A. $a>b$
B. $a<b$
C. $a=b$
D. $a$ 与 $b$ 的大小关系不能确定

解析几何

解析 在 $\triangle A B C$ 中, 由余弦定理得,

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos 120^{\circ}$

$=a^{2}+b^{2}+a b$.

$\because c=\sqrt{2} a, \quad \therefore 2 a^{2}=a^{2}+b^{2}+a b$.

$\therefore a^{2}-b^{2}=a b>0, \quad \therefore a^{2}>b^{2}, \quad \therefore a>b$.


Question: $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 若 $\cos C=\frac{2 \sqrt{2}}{3}, b \cos A+a \cos B=2$,则 $\triangle A B C$ 的外接圆的面积为 ( )

解析几何

解析: $: \mathrm{b} \cos \mathrm{A}+\mathrm{a} \cos \mathrm{B}=2$,

$\therefore$ 由余弦定理可得: $\mathrm{b} \times \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}+\mathrm{a} \times \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=2$, 整理解得: $\mathrm{c}=2$,

又 $\because \cos C=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$, 可得: $\sin C=\sqrt{1-\cos ^{2} C}=\frac{1}{3}, \therefore$ 设三角形的外接圆的半径为 $\mathrm{R}$, 则 $2 \mathrm{R}=$ $\frac{c}{\sin C}=\frac{2}{\frac{1}{3}}=6$, 可得: $\mathrm{R}=3, \therefore \triangle \mathrm{ABC}$ 的外接圆的面积 $\mathrm{S}=\pi \mathrm{R}^{2}=9 \pi$.

$2 . B$

解析: $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\mathrm{A}=60^{\circ}, \mathrm{b}=1, S_{\triangle A B C}=\sqrt{3}, \therefore \frac{1}{2} \mathrm{bcsinA}=\frac{1}{2} \times 1 \times \mathrm{c} \times \sin 60^{\circ}=\sqrt{3}$, 解得 $\mathrm{c}=4$;

$\therefore \mathrm{a}^{2}=\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-2 \mathrm{bc} \cos \mathrm{A}=1^{2}+4^{2}-2 \times 1 \times 4 \times \cos 60^{\circ}=13, \therefore \mathrm{a}=\sqrt{13} ; \therefore \frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}=\frac{\sqrt{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2 \sqrt{39}}{3}$.


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, $A=60^{\circ}, b=1, S_{\triangle A B C}=\sqrt{3}$, 则 $\frac{c}{\sin C}=(\quad)$

解析几何

$\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\mathrm{A}=60^{\circ}, \mathrm{b}=1, S_{\triangle A B C}=\sqrt{3}, \therefore \frac{1}{2} \mathrm{bcsinA}=\frac{1}{2} \times 1 \times \mathrm{c} \times \sin 60^{\circ}=\sqrt{3}$, 解得 $\mathrm{c}=4$;$\therefore \mathrm{a}^{2}=\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-2 \mathrm{bc} \cos \mathrm{A}=1^{2}+4^{2}-2 \times 1 \times 4 \times \cos 60^{\circ}=13, \therefore \mathrm{a}=\sqrt{13} ; \therefore \frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}=\frac{\sqrt{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2 \sqrt{39}}{3}$.


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 若 $2\left(a^{2}+c^{2}\right)-a c=2 b^{2}$,则 $\sin B=(\quad)$

解析几何

C 解析: 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, 由余弦定理得: $\mathrm{a}^{2}+\mathrm{c}^{2}-\mathrm{b}^{2}=2 \mathrm{accos} \mathrm{B}$, 代入已知等式得: $2 \mathrm{accos} \mathrm{B}=\frac{1}{2} \mathrm{ac}$, 即 $\cos \mathrm{B}=\frac{1}{4}, \therefore \sin \mathrm{B}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$,


Question: $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$, 已知 $b=c, a^{2}=2 b^{2}(1-\sin A)$,则 $A=(\quad)$

解析几何

:$\because b=c, \therefore a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b \cos A=2 b^{2}-2 b^{2} \cos A=2 b^{2}(1-\cos A), \because a^{2}=2 b^{2}(1-\sin A)$, $\therefore 1-\cos \mathrm{A}=1-\sin \mathrm{A}$, 则 $\sin \mathrm{A}=\cos \mathrm{A}$, 即 $\tan \mathrm{A}=1$, 即 $\mathrm{A}=\frac{\pi}{4}$,


Question: 已知 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 若 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-b c$,则 $\angle A=(\quad)$

解析几何

$\because \mathrm{a}^{2}=\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-\mathrm{bc}$, 可得: $\mathrm{bc}=\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-\mathrm{a}^{2}, \therefore \cos \mathrm{A}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{b c}{2 b c}=\frac{1}{2} ， \because \mathrm{A} \in\left(0,180^{\circ}\right)$, $\therefore \mathrm{A}=60^{\circ}$.


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$, 若 $3 a=2 b$, 则 $\frac{2 \sin ^{2} B-\sin ^{2} A}{\sin ^{2} A}$ 的值为 ( )

解析几何


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$, 若 $c^{2}=(a-b)$ ${ }^{2}+6, C=\frac{\pi}{3}$, 则 $\triangle A B C$ 的面积是 $(\quad)$

解析几何


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $b=2, a=3, \cos A=-\frac{5}{13}$, 则 $\sin B$ 等于（）

解析几何

$\because \cos \mathrm{A}=-\frac{5}{13}, \therefore \sin \mathrm{A}=\sqrt{1-\cos ^{2} A}=\frac{12}{13}, \because \mathrm{b}=2, \mathrm{a}=3$, 由正弦定理可得 $\sin \mathrm{B}=\frac{b \sin A}{a}=$ $\frac{2}{3} \times \frac{12}{13}=\frac{8}{13}$,


Question: 已知 $\sin \alpha>\sin \beta$, 那么下列命题成立的是

A. 若 $\alpha, \beta$ 是第一象限角, 则 $\cos \alpha>\cos \beta$

B. 若 $\alpha, \beta$ 是第二象限角, 则 $\tan \alpha>\tan \beta$

C. 若 $\alpha, \beta$ 是第三象限角, 则 $\cos \alpha>\cos \beta$

D. 若 $\alpha, \beta$ 是第四象限角, 则 $\tan \alpha>\tan \beta$

解析几何

解析: 逐个象限判断, 只有第四象限适合.

答案: D


Question: 使 $\sin x \leqslant \cos x$ 成立的 $x$ 的一个变化区间是

解析几何


Question: 如果 $M P, O M$ 分别是角 $\frac{3 \pi}{16}$ 的正弦线和余弦线, 那么下列结论正确的是 ( )

解析几何


Question: 已知 $\alpha$ 是第四象限角, $\tan \alpha=-\frac{5}{12}$, 则 $\sin \alpha=$

解析几何

解析: 因为 $\tan \alpha=-\frac{5}{12}$ ，所以 $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=-\frac{5}{12}$ ，

所以 $\cos \alpha=-\frac{12}{5} \sin \alpha$,

代入 $\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1$ ，解得 $\sin \alpha= \pm \frac{5}{13}$ ，

又 $\alpha$ 是第四象限角，所以 $\sin \alpha=-\frac{5}{13}$.

答案: D


Question: 已知 $3 \cos ^{2} \theta=\tan \theta+3$, 且 $\theta \neq k \pi(k \in \mathbf{Z})$, 则 $\sin \theta \cos \theta=$

解析几何

解析：由题意可得 $3 \cos ^{2} \theta-3=\tan \theta$ ，即 $-3 \sin ^{2} \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ ，由于 $\theta \neq k \pi(k \in \mathbf{Z})$ ，所以 $\sin \theta \cos$ $\theta=-\frac{1}{3}$.

答案: A


Question: 已知 $\sin \alpha-\cos \alpha=\frac{4}{3}$, 则 $\sin \alpha \cos \alpha=$

解析几何

解析: $\because \sin \alpha-\cos \alpha=\frac{4}{3} ， \therefore(\sin \alpha-\cos \alpha)^{2}=\frac{16}{9}$ ，

即 $1-2 \sin \alpha \cos \alpha=\frac{16}{9} ， \therefore \sin \alpha \cos \alpha=-\frac{7}{18}$.

答案: A


Question: 若 $\sin \theta, \cos \theta$ 是方程 $4 x^{2}+2 m x+m=0$ 的两根, 则 $m$ 的值为

解析几何

解析: 由题意知 $\sin \theta+\cos \theta=-\frac{m}{2} ， \sin \theta \cdot \cos \theta=\frac{m}{4}$.

又 $(\sin \theta+\cos \theta)^{2}=1+2 \sin \theta \cos \theta$ ，

$\therefore \frac{m^{2}}{4}=1+\frac{m}{2}$ ，解得 $m=1 \pm \sqrt{5}$.

又 $\Delta=4 m^{2}-16 m \geqslant 0 ， \therefore m \leqslant 0$ 或 $m \geqslant 4 ，$

$\therefore m=1-\sqrt{5}$.

答案: B


Question: 若 $\sin (\pi-\alpha)-\cos (-\alpha)=\frac{1}{2}$, 则 $\sin ^{3}(\pi+\alpha)+\cos ^{3}(2 \pi+\alpha)$ 的值是

解析几何

解析 : 由已知, $\sin (\pi-\alpha)-\cos (-\alpha)=\sin \alpha-\cos \alpha=\frac{1}{2}$,所以 $(\sin \alpha-\cos \alpha)^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$, 解得 $\cos \alpha \sin \alpha=\frac{3}{8}$.

故 $\sin ^{3}(\pi+\alpha)+\cos ^{3}(2 \pi+\alpha)=\cos ^{3} \alpha-\sin ^{3} \alpha=(\cos \alpha-\sin \alpha)\left(\cos ^{2} \alpha+\cos \alpha \sin \alpha+\sin ^{2} \alpha\right)=-\frac{1}{2}$ $\times\left(1+\frac{3}{8}\right)=-\frac{11}{16}$, 故选 C.
答案: C


Question: 已知函数 $f(x)=a \sin (\pi x+\alpha)+b \cos (\pi x+\beta)$, 且 $f(2015)=3$, 则 $f(2016)$ 的值是

解析几何

解析: $\because f(2015)=a \sin (2015 \pi+\alpha)+b \cos (2015 \pi+\beta)=a \sin (\pi+\alpha)+b \cos (\pi+\beta)=-a \sin \alpha-$ $b \cos \beta=3$,

$\therefore a \sin \alpha+b \cos \beta=-3$.

$\therefore f(2016)=a \sin (2016 \pi+\alpha)+b \cos (2016 \pi+\beta)$

$=a \sin \alpha+b \cos \beta=-3$.

答案: C


Question: 已知 $\cos \alpha=k, k \in \mathbf{R}, \alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$, 则 $\sin (\pi+\alpha)=$

解析几何

解析: 因为 $\alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$, 所以 $\sin \alpha>0$, 则 $\sin (\pi+\alpha)=-\sin \alpha=-\sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}=-\sqrt{1-k^{2}}$,故选 A.

答案: A


Question: 已知 $\cos (\pi-\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\right)$, 则 $\tan (\pi+\alpha)=$

解析几何

解析: 法一: $\cos (\pi-\alpha)=-\cos \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$,

$\therefore \cos \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\because \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi, \quad \therefore \sin \alpha>0, \quad \therefore \sin \alpha=\sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}=\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}$,

$\therefore \tan (\pi+\alpha)=\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

法二: 由 $\cos \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$, 得 $\alpha=\frac{5}{6} \pi$,

$\therefore \tan \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3}, \therefore \tan (\pi+\alpha)=\tan \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

答案: D


Question: 若 $\alpha, \beta$ 的终边关于 $y$ 轴对称, 则下列等式成立的是

A. $\sin \alpha=\sin \beta$
B. $\cos \alpha=\cos \beta$
C. $\tan \alpha=\tan \beta$
D. $\sin \alpha=-\sin \beta$

解析几何

解析: 法一: $\because \alpha, \beta$ 的终边关于 $y$ 轴对称,
$\therefore \alpha+\beta=\pi+2 k \pi$ 或 $\alpha+\beta=-\pi+2 k \pi, k \in \mathbf{Z}$,

$\therefore \alpha=2 k \pi+\pi-\beta$ 或 $\alpha=2 k \pi-\pi-\beta, k \in \mathbf{Z}$,

$\therefore \sin \alpha=\sin \beta$.

法二: 设角 $\alpha$ 终边上一点 $P(x, y)$, 则点 $P$ 关于 $y$ 轴对称的点为 $P^{\prime}(-x, y)$, 且点 $P$ 与点 $P^{\prime}$到原点的距离相等, 设为 $r$, 则 $\sin \alpha=\sin \beta=\frac{y}{r}$.

答案: A


Question: 已知 $\sin (\pi+\theta)=-\sqrt{3} \cos (2 \pi-\theta),|\theta|<\frac{\pi}{2}$, 则 $\theta$ 等于

解析几何

解析: $\because \sin (\pi+\theta)=-\sqrt{3} \cos (2 \pi-\theta)$,

$\therefore-\sin \theta=-\sqrt{3} \cos \theta$,

$\therefore \tan \theta=\sqrt{3}, \because|\theta|<\frac{\pi}{2}, \quad \therefore \theta=\frac{\pi}{3}$.

答案: D


Question: 若角 $\alpha$ 的终边过点 $A(2,1)$, 则 $\sin \left(\frac{3}{2} \pi-\alpha\right)=$

解析几何

解析: 根据三角函数的定义可知 $\cos \alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$,

则 $\sin \left(\frac{3}{2} \pi-\alpha\right)=-\cos \alpha=-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$, 故选 A.

答案: A


Question: 已知 $\alpha$ 为锐角, 且 $2 \tan (\pi-\alpha)-3 \cos \left(\frac{\pi}{2}+\beta\right)+5=0, \tan (\pi+\alpha)+6 \sin (\pi+\beta)-1=0$, 则 $\sin \alpha$的值是\n\n$

解析几何

解析：由已知可得 $-2 \tan \alpha+3 \sin \beta+5=0$,\n\n$\tan \alpha-6 \sin \beta-1=0$, 可解得 $\tan \alpha=3$,\n\n又 $\alpha$ 为锐角, 故 $\sin \alpha=\frac{3 \sqrt{10}}{10}$.


Question: 函数 $y=\cos (\sin x)$ 的最小正周期是

解析几何

解析 : $\cos [\sin (x+\pi)]=\cos (-\sin x)=\cos (\sin x)$,

$\therefore T=\pi$, 故选 B.

答案: B


Question: 已知函数 $f(x)=f(\pi-x)$, 且当 $x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 时, $f(x)=x+\sin x$, 设 $a=f(1), b=f(2), c=f(3)$,则

解析几何


Question: 函数 $y=2 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)$ 的一个单调递减区间是

解析几何

解析: 令 $z=2 x-\frac{\pi}{4}$, 函数 $y=\sin z$ 的单调递减区间是 $\left[\frac{\pi}{2}+2 k \pi, \frac{3 \pi}{2}+2 k \pi\right](k \in \mathbf{Z})$. 由 $\frac{\pi}{2}+$ $2 k \pi \leqslant 2 x-\frac{\pi}{4} \leqslant \frac{3 \pi}{2}+2 k \pi, k \in \mathbf{Z}$, 得 $\frac{3 \pi}{8}+k \pi \leqslant x \leqslant \frac{7 \pi}{8}+k \pi, k \in \mathbf{Z}$. 令 $k=0$, 得 $\frac{3 \pi}{8} \leqslant x \leqslant \frac{7 \pi}{8}$.

答案: A


Question: 已知函数 $f(x)=\sin (2 x+\varphi)$ 的图象关于直线 $x=\frac{\pi}{8}$ 对称, 则 $\varphi$ 的值可能是 $(\quad)$

解析几何

解析: 由题意, 当 $x=\frac{\pi}{8}$ 时, $f(x)=\sin \left(2 \times \frac{\pi}{8}+\varphi\right)= \pm 1$, 故 $\frac{\pi}{4}+\varphi=k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$, 解得 $\varphi=k \pi$ $+\frac{\pi}{4}(k \in \mathbf{Z})$. 当 $k=0$ 时, $\varphi=\frac{\pi}{4}$, 故 $\varphi$ 的值可能是 $\frac{\pi}{4}$.

答案: D


Question: 与函数 $y=\tan \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$ 的图象不相交的一条直线是

解析几何

解析: 当 $x=\frac{\pi}{2}$ 时， $y=\tan \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)=\tan \frac{5 \pi}{4}=1$ ；

当 $x=-\frac{\pi}{2}$ 时， $y=\tan \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)=\tan \left(-\frac{3 \pi}{4}\right)=1$ ；

当 $x=\frac{\pi}{4}$ 时， $y=\tan \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)=\tan \frac{3 \pi}{4}=-1$ ；

当 $x=\frac{\pi}{8}$ 时， $y=\tan \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)=\tan \frac{\pi}{2}$ ，不存在.

答案: D


Question: 设函数 $f(x)=\cos \omega x(\omega>0)$, 将 $y=f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度后, 所得的图象与原图象重合，则 $\omega$ 的最小值等于 （）

解析几何

解析: 将 $y=f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度后得到 $y=\cos \left[\omega\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right]$, 所得图象与原图象重合，所以 $\cos \left(\omega x-\frac{\pi}{3} \omega\right)=\cos \omega x$ ，则 $-\frac{\pi}{3} \omega=2 k \pi(k \in \mathbf{Z})$ ，得 $\omega=-6 k(k \in \mathbf{Z})$. 又因为 $\omega>0$ ，所以 $\omega$ 的最小值为 6 ，故选 C.

答案: C


Question: 函数 $y=2 \sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{5}\right)$ 的周期, 振幅依次是

解析几何

解析：周期 $T=\frac{2 \pi}{\frac{1}{2}}=4 \pi$ ，振幅为 2 ，故选 B.

答案: B


Question: 设函数 $f(x)=2 \sin \left(\frac{\pi}{2} x+\frac{\pi}{5}\right)$. 若对任意 $x \in \mathbf{R}$, 都有 $f\left(x_{1}\right) \leqslant f(x) \leqslant f\left(x_{2}\right)$ 成立, 则 $\left|x_{1}-x_{2}\right|$ 的最小值为

解析几何

解析 : 函数 $f(x)$ 的周期 $T=4$. 因为对任意 $x \in \mathbf{R}$ ，都有 $f\left(x_{1}\right) \leqslant f(x) \leqslant f\left(x_{2}\right)$ 成立，所以 $\left|x_{1}-x_{2}\right| \min$ $=\frac{T}{2}=2$.

答案: B


Question: 动点 $A(x, y)$ 在圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转, 12 秒旋转一周. 已知当时间 $t=0$ 时, 点 $A$ 的坐标是 $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, 则当 $0 \leqslant t \leqslant 12$ 时, 动点 $A$ 的纵坐标 $y$ 关于 $t$ (单位:秒)的函数的单调递增区间是( )

解析几何

解析:由已知可得该函数的周期 $T=12 ， \therefore \omega=\frac{2 \pi}{T}=\frac{\pi}{6}$. 又 $\because$ 当 $t=0$ 时， $A\left(\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2}\right) ， \therefore y=$ $\sin \left(\frac{\pi}{6} t+\frac{\pi}{3}\right) ， t \in[0 ， 12]$. 可解得函数的单调递增区间是 $[0 ， 1]$ 和[7，12].

答案: D


Question:
设 $y=f(t)$ 是某港口水的深度 $y$ (米)关于时间 $t$ (时)的函数, 其中 $0 \leqslant t \leqslant 24$. 下表是该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 $t$ 与水深 $y$ 的关系:

经长期观察, 函数 $y=f(t)$ 的图象可以近似地看成函数 $y=k+A \sin (\omega t+\varphi)$ 的图象. 下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是

解析几何

解析: 在给定的四个选项中，我们不妨代入 $t=0$ 及 $t=3$ ，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是选项 A，故选 A.

答案: A


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, $\sin A=\sin B$, 则 $\triangle A B C$ 是( )

A. 直角三角形
C. 针角三角形
B. 锐角三角形
D. 等腰三角形

解析几何


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, 若 $\frac{a}{\cos A}=\frac{b}{\cos B}=\frac{c}{\cos C}$, 则 $\triangle A B C$ 是( )

A. 直角三角形
B. 等边三角形
C. 针角三角形
D. 等腰直角三角形

解析几何

解析 由正弦定理知: $\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{\sin B}{\cos B}=\frac{\sin C}{\cos C}$,

$\therefore \tan A=\tan B=\tan C, \therefore A=B=C$.


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, $\sin A=\frac{3}{4}, a=10$, 则边长 $c$ 的取值范围是( )

解析几何

解析 $\because \frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}=\frac{40}{3}, \therefore c=\frac{40}{3} \sin C$.

$\therefore 0<_{C} \leqslant \frac{40}{3}$.


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, $a=2 b \cos C$, 则这个三角形一定是 ( )

A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰或直角三角形

解析几何

解析 由 $a=2 b \cos C$ 得, $\sin A=2 \sin B \cos C$, $\therefore \sin (B+C)=2 \sin B \cos C$,

$\therefore \sin B \cos C+\cos B \sin C=2 \sin B \cos C$,

$\therefore \sin (B-C)=0, \quad \therefore B=C$.


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $(b+c):(c+a):(a+b)=4: 5: 6$, 则 $\sin A: \sin B: \sin C$ 等于 $(\quad)$

解析几何

解析 $\because(b+c):(c+a):(a+b)=4: 5: 6$,

$\therefore \frac{b+c}{4}=\frac{c+a}{5}=\frac{a+b}{6}$.

令 $\frac{b+c}{4}=\frac{c+a}{5}=\frac{a+b}{6}=k(k>0)$,

则 $\left\{\begin{array}{l}b+c=4 k \\ c+a=5 k \\ a+b=6 k\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{7}{2} k \\ b=\frac{5}{2} k \\ c=\frac{3}{2} k\end{array}\right.$

$\therefore \sin A: \sin B: \sin C=a: b: c=7: 5: 3$.


Question: 一段圆弧的长度等于其所在圆内接正方形的边长, 则其圆心角的弧度数为

解析几何

解析:设圆内接正方形的边长为 $a$, 则该圆的直径为 $\sqrt{2} a$,

$\therefore$ 弧长等于 $a$ 的圆弧所对的圆心角 $\alpha=\frac{l}{r}=\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2} a}=\sqrt{2}$故选 $\mathrm{D}$.

答案: D


Question: 已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2 , 则这个圆心角所对的弧长为 (

解析几何

解析: 扇形的半径 $r=\frac{1}{\sin 1}$, 因此弧长 $l=|\alpha| \cdot r=\frac{2}{\sin 1}$

答案:B


Question: 已知角 $\alpha$ 的终边与单位圆交于点 $\left(-\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right)$, 则 $\tan \alpha$ 等于

解析几何


Question: 若角 $\alpha$ 的终边过点 $P(2, \sqrt{5})$, 点 $Q(-4 \sqrt{5}, 10)$ 在角 $\beta$ 的终边上, 则有 $(\quad)$

A. $\sin \alpha<\sin \beta$
B. $\sin \alpha=\sin \beta$
C. $\sin \alpha>\sin \beta$
D. 不能确定

解析几何

解析: $\because$ 角 $\alpha$ 终边上的点 $P$ 到原点的距离 $r_{1}=\sqrt{2^{2}+(\sqrt{5})^{2}}=3, \therefore \sin \alpha=\frac{\sqrt{5}}{3}$.

$\because$ 角 $\beta$ 终边上的点 $Q$ 到原点的距离 $r_{2}=\sqrt{(-4 \sqrt{5})^{2}+10^{2}}=6 \sqrt{5}, \therefore \sin \beta=\frac{10}{6 \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{3} . \therefore \sin$ $\alpha=\sin \beta$.

答案: B


Question: 若 $\alpha$ 是第三象限角, 则下列各式中不成立的是

A. $\sin \alpha+\cos \alpha<0$
B. $\tan \alpha-\sin \alpha<0$
C. $\cos \alpha-\tan \alpha<0$
D. $\tan \alpha \sin \alpha<0$

解析几何

解析: 在第三象限, $\sin \alpha<0, \cos \alpha<0, \tan \alpha>0$, 由此可知选 B.

答案: B


Question: 化简 $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}-\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{C D}=$

A. $\overrightarrow{A D}$
B. $\overrightarrow{D A}$
C. $\overrightarrow{B C}$
D. 0

解析几何

解析: $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}-\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{C D}=(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D})-(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C D})=\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A D}=0$.

答案: D


Question: 平面内有四边形 $A B C D$ 和点 $O$, 若 $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O D}$, 则四边形 $A B C D$ 的形状是

A. 梯形
    B. 平行四边形
    C. 矩形
    D. 菱形

解析几何


Question: 若 $|\overrightarrow{B B}|=5,|\overrightarrow{A C}|=8$, 则 $|\overrightarrow{B C}|$ 的取值范围是

解析几何


Question:
如图, 在四边形 $A B C D$ 中, 设 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{A D}=\boldsymbol{b}, \overrightarrow{B C}=\boldsymbol{c}$, 则 $\overrightarrow{D C}$ 等于

<ImageHere>

A. $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$
B. $\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c})$
C. $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$
D. $\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}$

解析几何

解析: $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C} ， \therefore \overrightarrow{D C}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A D}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}$.

答案: A


Question: $\overrightarrow{O P}-\overrightarrow{Q P}+\overrightarrow{P S}+\overrightarrow{S P}$ 等于

A. $\overrightarrow{Q P}$ B. $\overrightarrow{O Q}$
C. $\overrightarrow{S P}$
D. $\overrightarrow{S Q}$

解析几何

解析: $\overrightarrow{O P}-\overrightarrow{Q P}+\overrightarrow{P S}+\overrightarrow{S P}=\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{P Q}=\overrightarrow{O Q}$.

答案: B


Question: 若 $\overrightarrow{O P_{1}}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{O P_{2}}=\boldsymbol{b}, \overrightarrow{P_{1} P}=\lambda \overrightarrow{P P}_{2}(\lambda \neq-1)$, 则 $\overrightarrow{O P}=$

A. $\boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b}$
    B. $\lambda \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$
    C. $\lambda \boldsymbol{a}+(1+\lambda) b$
    D. $\frac{\boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b}}{1+\lambda}$

解析几何

解析: $\because \overrightarrow{P_{1} P}=\lambda \overrightarrow{P P}{ }_{2} ， \therefore \overrightarrow{O P}-\overrightarrow{O P}_{1}=\lambda\left(\overrightarrow{O P}_{2}-\overrightarrow{O P}\right),(1+\lambda) \overrightarrow{O P}=\lambda \overrightarrow{O P}_{2}+\overrightarrow{O P}_{1}, \quad \therefore \overrightarrow{O P}=\frac{\boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b}}{1+\lambda}$.

答案: D


Question:
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $D, E$ 分别为 $A B, A C$ 的中点, $C D$ 与 $B E$ 交于点 $F$, 设 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{A C}=\boldsymbol{b}$, $\overrightarrow{A F}=m \boldsymbol{a}+n \boldsymbol{b}$, 则 $m+n=(\quad)$

<ImageHere>

解析几何

解析: $\overrightarrow{A F}=m \overrightarrow{A B}+n \overrightarrow{A C}=m \overrightarrow{A B}+2 n \overrightarrow{A E}$ ，

由 $B ， F ， E$ 三点共线，得 $m+2 n=1$ ，(1)

$\overrightarrow{A F}=m \overrightarrow{A B}+n \overrightarrow{A C}=2 m \overrightarrow{A D}+n \overrightarrow{A C}$

由 $C, F, D$ 三点共线，得 $2 m+n=1$ ，

(1) +(2)得 $3(m+n)=2, m+n=\frac{2}{3}$.

答案: C


Question:
如果 $\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}$ 是平面 $\alpha$ 内两个不共线的向量, 那么在下列各命题中不正确的有

(1) $\lambda e_{1}+\mu e_{2}(\lambda, \mu \in \mathbf{R})$ 可以表示平面 $\alpha$ 内的所有向量; (2)对于平面 $\alpha$ 内的任一向量 $\boldsymbol{a}$, 使 $\boldsymbol{a}$ $=\lambda e_{1}+\mu e_{2}$ 的实数 $\lambda, \mu$ 有无数多对; (3)若向量 $\lambda_{1} e_{1}+\mu_{1} e_{2}$ 与 $\lambda_{2} e_{1}+\mu_{2} e_{2}$ 共线, 则有且只有一个实数 $\lambda$, 使 $\lambda_{1} e_{1}+\mu_{1} e_{2}=\lambda\left(\lambda_{2} e_{1}+\mu_{2} e_{2}\right)$; (4)若实数 $\lambda, \mu$ 使 $\lambda e_{1}+\mu e_{2}=0$, 则 $\lambda=\mu=0$.

解析几何

解析: 由平面向量基本定理可知，(1)(4)是正确的；对于(2)，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于(3)，当两向量的系数均为零，即 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=\mu_{1}=\mu_{2}=0$ 时，这样的 $\lambda$ 有无数个. 故选 B.

答案: B


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, 点 $D$ 在 $B C$ 边上, 且 $\overrightarrow{B D}=2 \overrightarrow{D C}$, 设 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{A C}=\boldsymbol{b}$, 则 $\overrightarrow{A D}$ 可用基底 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 表示为

A. $\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$ B. $\frac{2}{3} a+\frac{1}{3} b$
C. $\cdot \frac{1}{3} a+\frac{2}{3} b$
D. $\frac{1}{3}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$

解析几何

解析: $\because \overrightarrow{B D}=2 \overrightarrow{D C}, \therefore \overrightarrow{B D}=\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}$.

$\therefore \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A B}+\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A B}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}=\frac{1}{3} \boldsymbol{a}+\frac{2}{3} \boldsymbol{b}$.

答案: C


Question: 已知四边形 $A B C D$ 为平行四边形, 其中 $A(5,-1), B(-1,7), C(1,2)$, 则顶点 $D$ 的坐标为

解析几何

解析: 设 $D(x, y)$ ，由 $\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B C}$ ，得 $(x-5, y+1)=(2 ，-5) ， \therefore x=7 ， y=-6 ， \therefore D(7 ，-$ 6).

答案: D


Question: 已知向量 $\boldsymbol{a}=(x, 1)$, 向量 $\boldsymbol{b}=\left(-x, x^{2}\right)$, 则向量 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$

A. 平行于 $x$ 轴

B. 平行于第一、三象限的角平分线

C. 平行于 $y$ 轴

D. 平行于第二、四象限的角平分线

解析几何

解析 : $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\left(0 ， 1+x^{2}\right)$ 对应的点在 $y$ 轴上，所以此向量必平行于 $y$ 轴. 故选 C.

答案: C


Question: 在平行四边形 $A B C D$ 中, $A C$ 为一条对角线. 若 $\overrightarrow{A B}=(2,4), \overrightarrow{A C}=(1,3)$, 则 $\overrightarrow{B D}=$

解析几何

解析: $\because \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}, \therefore \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}=(-1,-1), \therefore \overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B}=(-3 ，-5)$, 故选 B.

答案: B


Question: 设向量 $\boldsymbol{a}=(1,-3), \boldsymbol{b}=(-2,4), \boldsymbol{c}=(-1,-2)$. 若表示向量 $4 \boldsymbol{a}, 4 \boldsymbol{b}-2 \boldsymbol{c}, 2(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}), \boldsymbol{d}$的有向线段首尾相接能构成四边形, 则向量 $\boldsymbol{d}$ 为

解析几何

解析: $\because \boldsymbol{a}=(1,-3), \boldsymbol{b}=(-2,4), \boldsymbol{c}=(-1,-2), \therefore 4 \boldsymbol{a}=(4,-12), 4 \boldsymbol{b}-2 \boldsymbol{c}=(-6$, 20)，2(a-c)=(4，-2). 又 $\because$ 表示 $4 \boldsymbol{a} ， 4 \boldsymbol{b}-2 \boldsymbol{c} ， 2(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}) ， \boldsymbol{d}$ 的有向线段首尾相接能构成四边形， $\therefore 4 \boldsymbol{a}+(4 \boldsymbol{b}-2 \boldsymbol{c})+2(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})+\boldsymbol{d}=0$. 解得 $\boldsymbol{d}=(-2,-6)$. 故选 D.

答案: D


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, 点 $P$ 在 $B C$ 上, 且 $\overrightarrow{B P}=2 \overrightarrow{P C}$, 点 $Q$ 是 $A C$ 的中点. 若 $\overrightarrow{P A}=(4,3), \overrightarrow{P Q}=(1$, 5), 则 $\overrightarrow{B C}=$

解析几何

解析: 如图， $\because \overrightarrow{Q C}=\overrightarrow{A Q}=\overrightarrow{P Q}-\overrightarrow{P A}=(1,5)-(4,3)=(-3,2), \therefore \overrightarrow{P C}=\overrightarrow{P Q}+\overrightarrow{Q C}=(1,5)$ $+(-3,2)=(-2,7), \therefore \overrightarrow{B C}=3 \overrightarrow{P C}=(-6,21)$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_f934fd3200dbf4af6dd7g-154，.jpg?height=280&width=343&top_left_y=525&top_left_x=891)

答案: $\mathrm{B}$


Question: 已知向量 $\boldsymbol{a}=(-1,2), \boldsymbol{b}=(1,-2 y)$. 若 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$, 则 $y$ 的值是

解析几何

解析:因为 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$ ，所以 $(-1) \times(-2 y)=2 \times 1$ ，解得 $y=1$.

答案: D


Question: 已知向量 $\boldsymbol{a}=(1,2), \boldsymbol{b}=(1,0), \boldsymbol{c}=(3,4)$. 若 $\lambda$ 为实数, $(\boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b}) / / \boldsymbol{c}$, 则 $\lambda=$

解析几何

解析: 由题意可得 $\boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b}=(1+\lambda ， 2)$. 由 $(\boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b}) / / \boldsymbol{c}$ ，得 $(1+\lambda) \times 4-3 \times 2=0$ ，解得 $\lambda=\frac{1}{2}$.

答案: B


Question: 已知向量 $\boldsymbol{a}=(1,-2),|\boldsymbol{b}|=4|\boldsymbol{a}|, \boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$, 则 $\boldsymbol{b}$ 可能是

解析几何

解析: $\because \boldsymbol{a}=(1,-2)=-\frac{1}{4}(-4,8),|\boldsymbol{b}|=4|\boldsymbol{a}|$,

$\therefore \boldsymbol{b}$ 可能是 $(-4,8)$.

答案: D


Question: 若向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}|=1,(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{a},(2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{b}$, 则 $|\boldsymbol{b}|=$

解析几何

解析: $\because(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{a},(2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{b},|\boldsymbol{a}|=1$ ，

$\therefore\left\{\begin{array}{l}(a+b) \cdot a=0, \\ (2 a+b) \cdot b=0,\end{array} \therefore\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=-\boldsymbol{a}^{2}=-1, \\ 2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=0, \text { (2) }\end{array}\right.\right.$

把(1)代入(2)，得 $-2+\boldsymbol{b}^{2}=0 . \therefore \boldsymbol{b}^{2}=2 ， \therefore|\boldsymbol{b}|=\sqrt{2}$. 故选 B.

答案: B


Question: 向量 $\boldsymbol{a}$ 的模为 10, 它与 $x$ 轴正方向的夹角为 $150^{\circ}$, 则它在 $x$ 轴正方向上的投影为

解析几何

解析: $\boldsymbol{a}$ 在 $x$ 轴正方向上的投影为 $|\boldsymbol{a}| \cdot \cos 150^{\circ}=-5 \sqrt{3}$.

答案: A


Question:
如图所示, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle A=90^{\circ}, A B=1$, 则 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}$ 的值为 ( )

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_f934fd3200dbf4af6dd7g-163，.jpg?height=291&width=257&top_left_y=1468&top_left_x=937)

解析几何

解析: $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A B} \cdot(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})=\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B^{2}}=-|\overrightarrow{A B}|^{2}=-1$.

答案: B


Question: 已知 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 均为单位向量, $(2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot(\boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b})=-\frac{3 \sqrt{3}}{2}$, 则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $(\quad)$

解析几何

解析: $\because(2 a+b) \cdot(\boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b})=2 \boldsymbol{a}^{2}-4 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}-2 \boldsymbol{b}^{2}=-3 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=-\frac{3 \sqrt{3}}{2} ， \therefore \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. 设 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\theta$ ，则 $\cos \theta=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}| \cdot|\boldsymbol{b}|}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. 又 $\because \theta \in\left[0^{\circ} ， 180^{\circ}\right] ， \therefore \theta=30^{\circ}$.

答案: A


Question: 设向量 $\boldsymbol{a}=(1,0), \boldsymbol{b}=\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$, 则下列结论中正确的是( )

A. $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|$
B. $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{b}$
D. $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$

解析几何

解析: $\because|\boldsymbol{a}|=1 ，|\boldsymbol{b}|=\frac{\sqrt{2}}{2} ， \therefore|\boldsymbol{a}| \neq|\boldsymbol{b}|$ ，故 A 错误; $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=(1 ， 0) \cdot\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} \neq \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，故 B 错误; $\because \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\left(\frac{1}{2} ，-\frac{1}{2}\right), \therefore(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{b}=\left(\frac{1}{2} ，-\frac{1}{2}\right) \cdot\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0 ， \therefore(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{b}$, 故 C 正确; $\because 1 \times \frac{1}{2}-0 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \neq 0, \therefore \boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不平行，故 D 错误.

答案: C


Question: 设向量 $\boldsymbol{a}=(\cos \alpha, \sin \alpha), \boldsymbol{b}=(\cos \beta, \sin \beta)$, 其中 $0<\alpha<\beta<\pi$, 若 $|2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}|$, 则 $\beta-\alpha$等于 $(\quad)$

解析几何

解析 : 由向量 $\boldsymbol{a}=(\cos \alpha ， \sin \alpha) ， \boldsymbol{b}=(\cos \beta ， \sin \beta)$ ，且 $|2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}|$ ，两边平方可得 4 $+1+4 \cos (\alpha-\beta)=1+4-4 \cos (\alpha-\beta)$ ，解得 $\cos (\alpha-\beta)=0$ ，又 $0<\alpha<\beta<\pi$ ，所以 $0<\beta-\alpha<\pi$ ，则 $\beta-\alpha=\frac{\pi}{2}$ ，故选 A.

答案: A


Question: 设 $A(a, 1), B(2, b), C(4,5)$ 为坐标平面上的三点, $O$ 为坐标原点. 若 $\overrightarrow{O A}$ 与 $\overrightarrow{O B}$ 在 $\overrightarrow{O C}$ 方向上的投影相同, 则 $a$ 与 $b$ 满足的关系式为 $($ )

解析几何

解析 : 由图知，要使 $\overrightarrow{O A}$ 与 $\overrightarrow{O B}$ 在 $\overrightarrow{O C}$ 方向上的投影相同，只需使 $\overrightarrow{A B} \perp \overrightarrow{O C}$ ，即 $(2-a, b-1) \cdot(4$ ， $5)=0$ ，得 $4 a-5 b-3=0$ ，即 $4 a-5 b=3$.

<ImageHere>

答案: A


Question: 若向量 $\overrightarrow{A B}=(3,-1), \boldsymbol{n}=(2,1)$, 且 $\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A C}=7$, 则 $\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{B C}=$

解析几何

解析: $\because \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}, \therefore \boldsymbol{n} \cdot(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C})=\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A C}$, 即 $\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A B}+\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{B C}=\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A C} \cdot \therefore \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{B C}=\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A C}-\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A B}$ $=7-5=2$.

答案: B


Question: 设 $x, y \in \mathbf{R}$, 向量 $\boldsymbol{a}=(x, 1), \boldsymbol{b}=(1, y), \boldsymbol{c}=(2,-4)$, 且 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{c}, \boldsymbol{b} / / \boldsymbol{c}$, 则 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=(\quad)$

解析几何

解析: 由 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{c}$ ，得 $2 x-4=0$ ，则 $x=2$. 由 $\boldsymbol{b} / / \boldsymbol{c}$ ，得 $-4=2 y$ ，则 $y=-2$ ，故 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=$ $\sqrt{(2+1)^{2}+(1-2)^{2}}=\sqrt{10}$.

答案: B


Question: 若向量 $\boldsymbol{a}=(1,2), \boldsymbol{b}=(1,-1)$, 则 $2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ 的夹角等于

解析几何

解析: $\because \boldsymbol{a}=(1,2), \boldsymbol{b}=(1,-1), \therefore 2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(3,3), \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(0 ， 3)$ ，则 $\cos \langle 2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\rangle$
$=\frac{3 \times 0+9}{3 \sqrt{2} \times 3}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \therefore\langle 2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\pi}{4}$.

答案: C


Question: 若 $\boldsymbol{a}=(2,3), \boldsymbol{b}=(-4,7)$, 则 $\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 方向上的投影为

解析几何

解析: 设 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\theta$ ，则 $\cos \theta=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}| \boldsymbol{b} \mid}=\frac{2 \times(-4)+3 \times 7}{\sqrt{4+9} \times \sqrt{16+49}}=\frac{\sqrt{5}}{5} ， \therefore \boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 方向上的投影为 $|\boldsymbol{a}| \cos \theta=\sqrt{13} \times \frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{\sqrt{65}}{5}$.

答案: A


Question: 在四边形 $A B C D$ 中, 若 $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=0, \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D}=0$, 则四边形为

A. 平行四边形
B. 矩形
C. 等腰梯形
D. 菱形

解析几何

解析: $\because \overrightarrow{A B} / / \overrightarrow{C D},|\overrightarrow{A B}|=|\overrightarrow{C D}|$ ，且 $\overrightarrow{A C} \perp \overrightarrow{B D} ， \therefore$ 四边形 $A B C D$ 为菱形.

答案: D


Question: 已知点 $A(7,1), B(1,4)$, 直线 $y=\frac{1}{2} a x$ 与线段 $A B$ 交于点 $C$, 且 $\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{C B}$, 则 $a$ 等于

解析几何

解析: 设 $C(x, y)$ ，则 $(x-7, y-1)=(2-2 x ， 8-2 y)$ ，

<ImageHere>

$\because$ 点 $C$ 在直线 $y=\frac{1}{2} a x$ 上， $\therefore 3=\frac{1}{2} a \times 3 ， \therefore a=2$.

答案: A


Question: 在直角三角形 $A B C$ 中, 点 $D$ 是斜边 $A B$ 的中点, 点 $P$ 为线段 $C D$ 的中点, 则 $\frac{|P A|^{2}+|P B|^{2}}{|P C|^{2}}=$

解析几何

解析: 将 $\triangle A B C$ 各边及 $P A, P B, P C$ 均用向量表示，

则 $\frac{|P A|^{2}+|P B|^{2}}{|P C|^{2}}=\frac{\overrightarrow{P A}^{2}+\overrightarrow{P B^{2}}}{\overrightarrow{P C}^{2}}=\frac{(\overrightarrow{P C}+\overrightarrow{C A})^{2}+(\overrightarrow{P C}+\overrightarrow{C B})^{2}}{\overrightarrow{P C}^{2}}$
$=\frac{2|\overrightarrow{P C}|^{2}+2 \overrightarrow{P C} \cdot(\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C B})+\overrightarrow{A B}{ }^{2}}{|\overrightarrow{P C}|^{2}}=\frac{|\overrightarrow{A B}|^{2}}{|\overrightarrow{P C}|^{2}}-6=4^{2}-6=10$.

答案: D


Question: 若物体在共点力 $\boldsymbol{F}_{1}=(\lg 2, \lg 2), \boldsymbol{F}_{2}=(\lg 5, \lg 2)$ 的作用下产生位移 $\boldsymbol{s}=(2 \lg 5,1)$, 则共点力对物体所做的功 $W$ 为

解析几何

解析: $W=\left(\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{F}_{2}\right) \cdot s=(\lg 2+\lg 5 ， 2 \lg 2) \cdot(2 \lg 5 ， 1)=(1,2 \lg 2) \cdot(2 \lg 5 ， 1)=2 \lg 5+2 \lg 2$ $=2$ ，故选 D.

答案: D


Question: 已知 $A, B, C$ 是坐标平面上的三点, 其坐标分别为 $A(1,2), B(4,1), C(0,-1)$, 则 $\triangle A B C$的形状为

A. 直角(非等腰)三角形

B. 等腰(非等边)三角形

C. 等腰直角三角形

D. 以上均不正确

解析几何

解析: $\because \overrightarrow{A B}=(3,-1), \overrightarrow{A C}=(-1,-3), \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=3 \times(-1)+(-1) \times(-3)=0$ ，且 $|\overrightarrow{A B}|=$
$|\overrightarrow{A C}|=\sqrt{10}, \therefore \triangle A B C$ 为等腰直角三角形.

答案: C


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, 若 $\overrightarrow{B A} \cdot(2 \overrightarrow{B C}-\overrightarrow{B A})=0$, 则 $\triangle A B C$ 一定是

A. 直角三角形
B. 等腰直角三角形
C. 正三角形
D. 等腰三角形

解析几何

解析 : $\overrightarrow{B A} \cdot(2 \overrightarrow{B C}-\overrightarrow{B A})=\overrightarrow{B A} \cdot(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{B A})=\overrightarrow{B A} \cdot(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{A B})=\overrightarrow{B A} \cdot(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{A C})=-\overrightarrow{B A} \cdot(\overrightarrow{C B}$ $+\overrightarrow{C A})=0$. 由向量加法的平行四边形法则，知以 $C A ， C B$ 为邻边的平行四边形的对角线互相垂直，所以 $\triangle A B C$ 一定是等腰三角形.

答案: D


Question: 设 $\boldsymbol{a}$ 是非零向量, $\lambda$ 是非零实数, 则下列结论中正确的是

A. $\boldsymbol{a}$ 与 $\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向相同
B. $\boldsymbol{a}$ 与 $-\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向相反
C. $\boldsymbol{a}$ 与 $\lambda^{2} \boldsymbol{a}$ 的方向相同
D. $|\lambda \boldsymbol{a}|=\lambda|\boldsymbol{a}|$

解析几何

解析: 只有当 $\lambda>0$ 时, 才有 $\boldsymbol{a}$ 与 $\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向相同, $\boldsymbol{a}$ 与 $-\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向相反，且 $|\lambda \boldsymbol{a}|=\lambda|\boldsymbol{a}|$ : 因为 $\lambda^{2}>0$ ，所以 $\boldsymbol{a}$ 与 $\lambda^{2} \boldsymbol{a}$ 的方向相同.

答案: C


Question: 已知四边形 $A B C D$ 是菱形, 点 $P$ 在对角线 $A C$ 上(不包括端点 $A, C$ ), 则 $\overrightarrow{A P}=$

A. $\lambda(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}), \lambda \in(0,1)$
    B. $\lambda(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}), \quad \lambda \in\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
    C. $\lambda(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}), \lambda \in(0,1)$
    D. $\lambda(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{B C}), \lambda \in\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

解析几何

解析: 由向量加法运算法则可知， $\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}$ ，又点 $P$ 在线段 $A C$ 上，故 $\overrightarrow{A P}$ 与 $\overrightarrow{A C}$ 同向，且 $|\overrightarrow{A P}|<|\overrightarrow{A C}| \cdot$ 故 $\overrightarrow{A P}=\lambda(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}), \lambda \in(0,1)$.

答案: A


Question: 点 $C$ 在线段 $A B$ 上, 且 $\overrightarrow{A C}=\frac{3}{5} \overrightarrow{A B}$, 则 $\overrightarrow{A C}=$

A. $\frac{3}{2} \overrightarrow{B C}$
B. $\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}$
C. $-\frac{3}{2} \overrightarrow{B C}$
D. $-\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}$

解析几何

解析 : 依题意，可得 $A C=\frac{3}{2} B C ， 又 \overrightarrow{A C}$ 和 $\overrightarrow{B C}$ 方向相反，所以 $\overrightarrow{A C}=-\frac{3}{2} \overrightarrow{B C}$.

答案: C


Question:
已知 $\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}$ 是不共线向量, 则下列各组向量中, 是共线向量的有

(1) $a=5 \boldsymbol{e}_{1}, \quad \boldsymbol{b}=7 \boldsymbol{e}_{1} ; \quad$ (2) $a=\frac{1}{2} \boldsymbol{e}_{1}-\frac{1}{3} \boldsymbol{e}_{2}, \quad \boldsymbol{b}=3 \boldsymbol{e}_{1}-2 \boldsymbol{e}_{2}$;

(3) $a=e_{1}+e_{2}, b=3 e_{1}-3 e_{2}$.

解析几何

解析: (1)中， $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 显然共线; (2)，因为 $\boldsymbol{b}=3 \boldsymbol{e}_{1}-2 \boldsymbol{e}_{2}=6\left(\frac{1}{2} \boldsymbol{e}_{1}-\frac{1}{3} e_{2}\right)=6 a$, 故 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 共线;

(3)中，设 $\boldsymbol{b}=3 \boldsymbol{e}_{1}-3 \boldsymbol{e}_{2}=k\left(\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}\right)$ ，无解，故 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线，故选 A.

答案: A


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, 若 $b, a, c$ 成等差数列, 且 $\sin ^{2} A=\sin B \sin C$, 则 $\triangle A B C$ 的形状为 ( )

A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形

解析几何

$\because \triangle \mathrm{ABC}$ 的三边 $\mathrm{b}, \mathrm{a}, \mathrm{c}$ 成等差数列, $\therefore \mathrm{b}+\mathrm{c}=2 \mathrm{a}(1)$, 又 $\sin ^{2} \mathrm{~A}=\sin B \sin \mathrm{C}$,

根据正弦定理化简得: $\mathrm{a}^{2}=\mathrm{bc}(2)$, 由(1)得: $\mathrm{a}=\frac{b+c}{2}$, 代入(2)得：

$\frac{(b+c)^{2}}{4}=\mathrm{bc}$, 即 $(\mathrm{b}-\mathrm{c})^{2}=0, \therefore \mathrm{b}=\mathrm{c}$, 故 $\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}$, 则三角形为等边三角形. 故选: $\mathrm{C}$.


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$, 如果 $a 、 b 、 c$ 成等差数列, $B=30^{\circ}$, $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积为 $\frac{3}{2}$, 则 $\mathrm{b}$ 等于 $(\quad)$

解析几何

由余弦定理得 $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B=(a+c)^{2}-2 a c-2 a c \cos B(1)$,

又 $\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ABC}}=\frac{1}{2} \mathrm{acsin} \mathrm{B}=\frac{1}{4} \mathrm{ac}=\frac{3}{2}, \therefore \mathrm{ac}=6,(2) \because \mathrm{a} 、 \mathrm{~b} 、 \mathrm{c}$ 成等差数列, $\therefore \mathrm{a}+\mathrm{c}=2 \mathrm{~b}$, (3), 将(2)(3)代入

(1)得 $b^{2}=4 b^{2}-12-6 \sqrt{3}$, 化简整理得 $b^{2}=4+2 \sqrt{3}$, 解得 $b=1+\sqrt{3}$. 故选 A.


Question: $\cos 27^{\circ} \cos 57^{\circ}-\sin 27^{\circ} \cos 147^{\circ}$ 等于

解析几何


Question: 若 $\sin \alpha-\sin \beta=\frac{\sqrt{3}}{2}, \cos \alpha-\cos \beta=\frac{1}{2}$, 则 $\cos (\alpha-\beta)$ 的值为( )

解析几何

解析: 由 $\sin \alpha-\sin \beta=\frac{\sqrt{3}}{2}, \cos \alpha-\cos \beta=\frac{1}{2}$ ，

得 $\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta-2 \sin \alpha \sin \beta=\frac{3}{4}$ ，

$\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta-2 \cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{4}$

(1) + (2) 得 $2-2(\sin \alpha \sin \beta+\cos \alpha \cos \beta)=1$.

$\therefore \sin \alpha \sin \beta+\cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}$.

$\therefore \cos (\alpha-\beta)=\frac{1}{2}$.

答案: A


Question: 若 $\cos (\alpha-\beta)=\frac{\sqrt{5}}{5}, \cos 2 \alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}$, 并且 $\alpha, \beta$ 均为锐角, 且 $a<\beta$, 则 $\alpha+\beta$ 的值为

解析几何

解析: $\because 0<\alpha<\beta<\frac{\pi}{2} ， \therefore-\frac{\pi}{2}<\alpha-\beta<0 ， 0<2 \alpha<\pi$.

由 $\cos (\alpha-\beta)=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，得 $\sin (\alpha-\beta)=-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$.

由 $\cos 2 \alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，得 $\sin 2 \alpha=\frac{3 \sqrt{10}}{10}$.

$\therefore \cos (\alpha+\beta)=\cos [2 \alpha-(\alpha-\beta)]=\cos 2 \alpha \cos (\alpha-\beta)+\sin 2 \alpha \sin (\alpha-\beta)$

$=\frac{\sqrt{10}}{10} \times \frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{3 \sqrt{10}}{10} \times\left(-\frac{2 \sqrt{5}}{5}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

又 $\because \alpha+\beta \in(0, \pi) ， \therefore \alpha+\beta=\frac{3 \pi}{4}$.

答案: C


Question: 若 $\cos \alpha=\frac{1}{17}, \cos (\alpha+\beta)=-\frac{47}{51}$, 且 $\alpha, \beta$ 都是锐角, 则 $\cos \beta$ 的值为 ( )

解析几何

解析: $\because \beta=(\alpha+\beta)-\alpha$ ，
又 $\because \cos \alpha=\frac{1}{17} ， \cos (\alpha+\beta)=-\frac{47}{51} ， \alpha ， \beta$ 都是锐角，

$\therefore \alpha+\beta$ 是钝角， $\therefore \sin \alpha=\frac{12 \sqrt{2}}{17}, \sin (\alpha+\beta)=\frac{14 \sqrt{2}}{51}$.

$\because \cos \beta=\cos [(\alpha+\beta)-\alpha]=\cos (\alpha+\beta) \cos \alpha+\sin (\alpha+\beta) \sin \alpha$,

$\therefore \cos \beta=-\frac{47}{51} \times \frac{1}{17}+\frac{14 \sqrt{2}}{51} \times \frac{12 \sqrt{2}}{17}=\frac{-47+336}{51 \times 17}=\frac{289}{51 \times 17}=\frac{1}{3}$.

答案: B


Question: 已知 $\sin \left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)=\frac{3}{5}, \frac{\pi}{3}<\alpha<\frac{5 \pi}{6}$, 则 $\cos \alpha$ 的值是

解析几何

解析: $\because \frac{\pi}{3}<\alpha<\frac{5 \pi}{6} ， \therefore \frac{\pi}{2}<\frac{\pi}{6}+\alpha<\pi$.

$\therefore \cos \left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)=-\sqrt{1-\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)}=-\frac{4}{5}$.

$\therefore \cos \alpha=\cos \left[\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)-\frac{\pi}{6}\right]=\cos \left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right) \cos \frac{\pi}{6}+\sin \left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right) \cdot \sin \frac{\pi}{6}=-\frac{4}{5} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{5} \times \frac{1}{2}=\frac{3-4 \sqrt{3}}{10}$.

答案: A


Question: $\sin 165^{\circ}$ 等于

解析几何


Question: 已知 $\sin (\alpha+\beta)=\frac{1}{2}, \sin (\alpha-\beta)=\frac{1}{3}$, 则 $\log \sqrt{5}\left(\frac{\tan \alpha}{\tan \beta}\right)^{2}=$

解析几何

解析: $\because \sin (\alpha+\beta)=\frac{1}{2}, \sin (\alpha-\beta)=\frac{1}{3}$ ，

$\therefore \sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}, \quad \sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{3}$,

$\therefore \sin \alpha \cos \beta=\frac{5}{12}, \quad \cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{12}$,

$\therefore \frac{\tan \alpha}{\tan \beta}=5$,

$\therefore \log \sqrt{5}\left(\frac{\tan \alpha}{\tan \beta}\right)^{2}=\log \sqrt{5} 5^{2}=4$. 故选 B.

答案: B


Question: 求值: $\frac{1-\tan 15^{\circ}}{1+\tan 15^{\circ}}=$

解析几何


Question: 已知 $\alpha+\beta=\frac{\pi}{6}$, 且 $\alpha, \beta$ 满足 $\sqrt{3}(\tan \alpha \tan \beta+2)+2 \tan \alpha+3 \tan \beta=0$, 则 $\tan \alpha$ 等于

解析几何

解析: $\because \sqrt{3}(\tan \alpha \tan \beta+2)+2 \tan \alpha+3 \tan \beta=0$ ，

$\therefore \sqrt{3} \tan \alpha \tan \beta+3(\tan \alpha+\tan \beta)=\tan \alpha-2 \sqrt{3}$. (1)

$\because \tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,

$\therefore 3(\tan \alpha+\tan \beta)=\sqrt{3}(1-\tan \alpha \tan \beta)$.

将(2)代入(1)，得 $\sqrt{3}=\tan \alpha-2 \sqrt{3} ， \therefore \tan \alpha=\sqrt{3}+2 \sqrt{3}=3 \sqrt{3}$.

答案: D


Question: 已知 $\tan \alpha, \tan \beta$ 是方程 $x^{2}+3 \sqrt{3} x+4=0$ 的两根, 且 $-\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{2}<\beta<\frac{\pi}{2}$, 则 $\alpha+\beta$ 的值为

解析几何

解析 : 由一元二次方程根与系数的关系得 $\tan \alpha+\tan \beta=-3 \sqrt{3}, \tan \alpha \cdot \tan \beta=4 ， \therefore \tan \alpha<0$ ， $\tan \beta<0$.

$\therefore \tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}=\frac{-3 \sqrt{3}}{1-4}=\sqrt{3}$.

又 $\because-\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}, \quad-\frac{\pi}{2}<\beta<\frac{\pi}{2}$,

且 $\tan \alpha<0 ， \tan \beta<0 ，$

$\therefore-\pi<\alpha+\beta<0, \quad \therefore \alpha+\beta=-\frac{2 \pi}{3}$.

答案: B


Question: $\frac{1-\tan 27^{\circ} \tan 33^{\circ}}{\tan 27^{\circ}+\tan 33^{\circ}}$ 等于

解析几何

解析: $\because \frac{\tan 27^{\circ}+\tan 33^{\circ}}{1-\tan 27^{\circ} \tan 33^{\circ}}=\tan \left(27^{\circ}+33^{\circ}\right)=\tan 60^{\circ} ， \therefore$ 原式 $=\frac{1}{\tan 60^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

答案: A


Question: 若 $\alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$, 则 $\frac{1-\tan \beta}{1+\tan \beta}=$

A. $\tan \alpha$
B. $\tan \beta$
C. $\tan \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)$
D. $\tan \left(\frac{\pi}{4}-\beta\right)$

解析几何

解析 : $\tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}$ ，即 $\tan \alpha+\tan \beta=1-\tan \alpha \tan \beta$.

$\therefore \tan \alpha(1+\tan \beta)=1-\tan \beta$

$\therefore \frac{1-\tan \beta}{1+\tan \beta}=\tan \alpha$.

答案: A


Question: $\frac{1}{2}-\sin ^{2} 15^{\circ}=$

解析几何


Question: 已知 $\cos \left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac{3}{5}$, 则 $\sin 2 x=$

解析几何

解析: 因为 $\sin 2 x=\cos \left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)=\cos \left[2\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right]=2 \cos ^{2}\left(\frac{\pi}{4}-x\right)-1$ ，所以 $\sin 2 x=2 \times\left(\frac{3}{5}\right)^{2}-1$ $=\frac{18}{25}-1=-\frac{7}{25}$.

答案: C


Question: $\frac{1-\tan ^{2} 15^{\circ}}{2 \tan 15^{\circ}}=$

解析几何


Question: 已知 $\sin 2 \alpha=\frac{2}{3}$, 则 $\sin ^{2}\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=$

解析几何

解析: $\sin ^{2}\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1-\cos \left[2\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)\right]}{2}=\frac{1+\sin 2 \alpha}{2}=\frac{5}{6}$.

答案: D


Question: $\sqrt{1+\cos 100^{\circ}}-\sqrt{1-\cos 100^{\circ}}=(\quad)$

解析几何


Question: 设常数 $a \in R$, 集合 $A=\{x \mid(x-1) \quad(x-a) \geq 0\}, B=\{x \mid x \geq a-1\}$, 若 $A \cup B=R$,则 $a$ 的取值范围为

解析几何

当 $a>1$ 时, $A=(-\infty, 1] \cup[a,+\infty), B=[a-1,+\infty)$, 若 $A \cup B=R$, 则 $a-1 \leq 1, \therefore 1<a \leq 2$;当 $a=1$ 时, 易得 $A=R, A \cup B=R$; 当 $a<1$ 时, $A=(-\infty, a] \cup[1,+\infty), B=[a-1,+\infty)$,若 $A \cup B=R$, 则 $a-1 \leq a$, 显然成立, $. a<1$; 综上, $a$ 的取值范围是 $(-\infty, 2]$. 故选 B.


Question: 当 $x \in R$ 时, 不等式 $k x^{2}-k x+1>0$ 恒成立, 则 $k$ 的取值范围是 ( )

解析几何

当 $\mathrm{k}=0$ 时, 不等式 $k x^{2}-k x+1>0$ 可化为 $1>0$, 显然恒成立;

当 $\mathrm{k} \neq 0$ 时, 若不等式 $k x^{2}-k x+1>0$ 恒成立, 则对应函数的图象开口朝上且与 $\mathrm{x}$ 轴无交点,

则 $\left\{\begin{array}{l}k>0 \\ \Delta=k^{2}-4 k<0\end{array}\right.$, 解得: $0<\mathrm{k}<4$, 综上 $\mathrm{k}$ 的取值范围是 $[0,4)$. 故选 C.


Question: 已知关于 $x$ 的不等式 $x^{2}-a x-b<0$ 的解集是 $(2,3)$, 则 $a+b$ 的值是 ( )

解析几何


Question: 设集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-3 x+2<0\right\}, B=\{x \mid 1<x<3\}$, 则 ( )

A. $A=B$
B. $A \supseteq B$
C. $A \subseteq B$
D. $A \cap B=\varnothing$

解析几何

集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-3 x+2<0\right\}=(1,2), B=\{x \mid 1<x<3\} ， \therefore A \subseteq B$. 故选 C.


Question: 已知 $180^{\circ}<\alpha<360^{\circ}$, 则 $\cos \frac{\alpha}{2}=(\quad)$

A. $\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}$
B. $\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}$
C. $-\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}$
D. $-\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}$

解析几何

解析: $\because 90^{\circ}<\frac{\alpha}{2}<180^{\circ} ， \therefore \cos \frac{\alpha}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}$.

答案: C


Question: 已知 $\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{5}{13}$, 则 $\sin 2 x=$

解析几何


Question: 若 $\cos \alpha=-\frac{4}{5}, \alpha$ 是第三象限角, 则 $\frac{1+\tan \frac{\alpha}{2}}{1-\tan \frac{\alpha}{2}}=$

解析几何

解析: $\because \alpha$ 是第三象限角， $\cos \alpha=-\frac{4}{5} ， \therefore \sin \alpha=-\frac{3}{5}$.

$\therefore \frac{1+\tan \frac{\alpha}{2}}{1-\tan \frac{\alpha}{2}}=\frac{1+\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}{1-\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}=\frac{\cos \frac{\alpha}{2}+\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}-\sin \frac{\alpha}{2}}=\frac{\cos \frac{\alpha}{2}+\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}-\sin \frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\cos \frac{\alpha}{2}+\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}+\sin \frac{\alpha}{2}}=\frac{1+\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{1-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{1}{2}$. 故选 A.

答案: A


Question: 已知 $\cos \alpha=\frac{4}{5}, \alpha \in\left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right)$, 则 $\sin \frac{\alpha^{2}}{2}$ 等于

解析几何

解析: $\because \alpha \in\left(\frac{3 \pi}{2} ， 2 \pi\right) ， \therefore \frac{\alpha}{2} \in\left(\frac{3 \pi}{4} ， \pi\right)$ ，

$\therefore \sin \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$.

答案: B


Question: 已知 $\sin \alpha+\cos \alpha=\frac{1}{3}$, 则 $2 \cos ^{2}\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)-1=$

解析几何

解析: $\because \sin \alpha+\cos \alpha=\frac{1}{3} ， \therefore 1+\sin 2 \alpha=\frac{1}{9} ， \therefore \sin 2 \alpha=-\frac{8}{9} ， \therefore 2 \cos ^{2}\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)-1=\cos \left(\frac{\pi}{2}-2 \alpha\right)$

$=\sin 2 \alpha=-\frac{8}{9}$.

答案: C


Question: 若 $\alpha$ 是第三象限角, 且 $\sin (\alpha+\beta) \cos \beta-\sin \beta \cos (\alpha+\beta)=-\frac{5}{13}$, 则 $\tan \frac{\alpha}{2}=(\quad)$

解析几何

解析: $\because \sin (\alpha+\beta) \cos \beta-\sin \beta \cos (\alpha+\beta)=\sin [(\alpha+\beta)-\beta]=\sin \alpha=-\frac{5}{13}$ ，

又 $\alpha$ 是第三象限角， $\therefore \cos \alpha=-\frac{12}{13}$ ，

$\therefore \tan \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{1-\left(-\frac{12}{13}\right)}{-\frac{5}{13}}=-5$.

答案: A


Question: 某厂生产甲产品每千克需用原料 $A$ 和原料 $B$ 分别为 $a_{1} 、 b_{1}$ 千克, 生产乙产品每千克需用原料 $A$ 和原料 $B$ 分别为 $a_{2} 、 b_{2}$ 千克, 甲、乙产品每千克可获利润分别为 $d_{1} 、 d_{2}$ 元. 月初一次性购进本月用的原料 $A 、 B$ 各 $c_{1} 、 c_{2}$ 千克, 要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大. 在这个问题中, 设全月生产甲、乙两种产品分别为 $x$ 千克、 $y$ 千克, 月利润总额为 $z$ 元, 那么, 用于求使总利润 $z=d_{1} x+d_{2} y$ 最大的数学模型中, 约束条件为(

A. $\left\{\begin{array}{l}a_{1} x+a_{2} y \geqslant c_{1}, \\ b_{1} x+b_{2} y \geqslant c_{2}, \\ x \geqslant 0, \\ y \geqslant 0\end{array}\right.$
B. $\left\{\begin{array}{l}a_{1} x+b_{1} y \leqslant c_{1}, \\ a_{2} x+b_{2} y \leqslant c_{2}, \\ x \geqslant 0, \\ y \geqslant 0\end{array}\right.$
C. $\left\{\begin{array}{l}a_{1} x+a_{2} y \leqslant c_{1}, \\ b_{1} x+b_{2} y \leqslant c_{2}, \\ x \geqslant 0, \\ y \geqslant 0\end{array}\right.$
D. $\left\{\begin{array}{l}a_{1} x+a_{2} y=c_{1}, \\ b_{1} x+b_{2} y=c_{2}, \\ x \geqslant 0, \\ y \geqslant 0\end{array}\right.$

解析几何

解析 比较选项可知 C 正确.


Question: 在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界), 目标函数 $z=x+a y$ 取得最小值的最优解有无数个, 则 $a$ 的一个可能值为 ( )<ImageHere>

解析几何

当 $a=0$ 时, $z=x$. 仅在直线 $x=z$ 过点 $A(1,1)$ 时,

$z$ 有最小值 1 , 与题意不符.

当 $a>0$ 时, $y=-\frac{1}{a} x+\frac{z}{a}$.

斜率 $k=-\frac{1}{a}<0$,

仅在直线 $z=x+a y$ 过点 $A(1,1)$ 时,

直线在 $y$ 轴的截距最小, 此时 $z$ 也最小,

与目标函数取得最小值的最优解有无数个矛盾.

当 $a<0$ 时, $y=-\frac{1}{a} x+\frac{Z}{a}$, 斜率 $k=-\frac{1}{a}>0$,

为使目标函数 $\mathrm{z}$ 取得最小值的最优解有无数个, 当且仅当斜率 $-\frac{1}{a}=k_{A C}$. 即 $-\frac{1}{a}=\frac{1}{3}, \therefore a$ $=-3$.


Question:
如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界), 若使目标函数 $\mathrm{z}=a x+y(a>0)$取得最大值的最优解有无穷多个, 则 $a$ 的值为 ( )

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_3540a5c85e1968e614e9g-095\.jpg?height=237&width=320&top_left_y=1886&top_left_x=911)

解析几何

解析 由 $y=-a x+z$ 知当 $-a=k_{A C}$ 时, 最优解有无穷多个. $\because k_{A C}=-\frac{3}{5}, \therefore a=\frac{3}{5}$.


Question: 若实数 $x, \quad y$ 满足不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x+3 y-3 \geqslant 0, \\ 2 x-y-3 \leqslant 0, \\ x-y+1 \geqslant 0,\end{array} \quad\right.$ 则 $x+y$ 的最大值为 $(\quad)$

解析几何

解析 画出可行域如图:

 <ImageHere>

当直线 $y=-x+z$ 过点 $A$ 时, $z$ 最大.

由 $\left\{\begin{array}{l}2 x-y-3=0, \\ x-y+1=0\end{array}\right.$ 得 $A(4,5), \therefore z_{\max }=4+5=9$.


Question: 已知点 $P(x, y)$ 的坐标满足条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y \leqslant 4, \\ y \geqslant x, \\ x \geqslant 1,\end{array}\right.$ 则 $x^{2}+y^{2}$ 的最大值为 $($ )

解析几何


Question: 设变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y+2 \geqslant 0, \\ x-5 y+10 \leqslant 0, \\ x+y-8 \leqslant 0,\end{array}\right.$ 则目标函数 $z=3 x-4 y$ 的最大值和最小值分别为 $(\quad)$

解析几何

解析 作出可行域如图阴影部分所示, 由图可知 $z=3 x-4 y$ 经过点 $A$ 时 $z$ 有最小值, 经过点 $B$ 时 $z$ 有最大值. 易求 $A(3,5), B(5,3) . \therefore z$ 最大 $=3 \times 5-4 \times 3=3, \quad Z$ 最小 $=3 \times 3-4 \times 5=$ -11 .

<ImageHere>


Question: 设不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x \geqslant 1, \\ x-2 y+3 \geqslant 0 \\ y \geqslant x\end{array}\right.$, 所表示的平面区域是 $\Omega_{1}$, 平面区域 $\Omega_{2}$ 与 $\Omega_{1}$ 关于直线 $3 x-4 y-9=0$ 对称. 对于 $\Omega_{1}$ 中的任意点 $A$ 与 $\Omega_{2}$ 中的任意点 $B$, 则 $|A B|$ 的最小值为 $(\quad)$

解析几何

如图所示。由约束条件作出可行域, 得 $D(1,1), E(1,2), C(3,3)$.

要求 $|A B|_{\min }$, 可通过求 $D 、 E 、 C$ 三点到直线 $3 x-4 y-9=0$ 距离最小值的 2 倍来求.

经分析, $D(1,1)$ 到直线 $3 x-4 y-9=0$ 的距离 $d=\frac{|3 \times 1-4 \times 1-9|}{5}=2$ 最小, $\therefore|A B|_{\min }=$


Question: 设 $a, b \in R_{+}, A=\sqrt{a}+\sqrt{b}, B=\sqrt{a+b}$, 则 $A, B$ 的大小关系是( )

A. $A \geq B$
B. $A \leq B$
C. $A>B$
D. $A<B$

解析几何


Question: 已知 $m=x^{2}+2 x, n=3 x+2$, 则 ( )

A. $m>n$
B. $\mathrm{m}<\mathrm{n}$
C. $m=n$
D. $\mathrm{m}$ 与 $\mathrm{n}$ 的大小不能确定

解析几何

$m-n=x^{2}+2 x-(3 x+2)=x^{2}-x-2=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{9}{4} \geq-\frac{9}{4}, \because m-n$ 无法判断与 0 的大小,

$\therefore m$ 与 $n$ 的大小不能确定. 故答案为:D


Question: 若 $x \neq-2$ 且 $y \neq 1$, 则 $M=x^{2}+y^{2}+4 x-2 y$ 的值与 -5 的大小关系是 ( )

A. $M>-5$
B. $M-5$
C. $M \geqslant-5$
D. $M \leqslant-5$

解析几何


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, $a=7, b=4 \sqrt{3}, c=\sqrt{13}$, 则 $\triangle A B C$ 的最小角为 $(\quad)$

度量几何学


Question: 已知 $\triangle A B C$ 中, $A B=1, B C=2$, 则角 $C$ 的取值范围是 $(\quad)$

度量几何学

方法一 (应用正弦定理)

$\because \frac{A B}{\sin C}=\frac{B C}{\sin A}, \quad \therefore \frac{1}{\sin C}=\frac{2}{\sin A}$

$\therefore \sin C=\frac{1}{2} \sin A, \quad \because 0<\sin A \leqslant 1$,

$\therefore 0<\sin C \leqslant \frac{1}{2}$.

$\because A B<B C, \therefore C<A, \therefore C$ 为锐角,

$\therefore 0<C \leqslant \frac{\pi}{6}$.

<ImageHere>

方法二 (应用数形结合)

如图所示, 以 $B$ 为圆心，以 1 为半径画圆，

则圆上除了直线 $B C$ 上的点外, 都可作为 $A$ 点. 从点 $C$ 向圆 $B$ 作切线, 设切点为 $A_{1}$ 和 $A_{2}$, 当 $A$ 与 $A_{1} 、 A_{2}$ 重合时, 角 $C$ 最大, 易知此时: $B C=2, A B=1, A C \perp A B, \therefore C=\frac{\pi}{6}$,

$\therefore 0<C \leqslant \frac{\pi}{6}$.


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $\sin A: \sin B: \sin C=3: 5: 7$, 则这个三角形的最小外角为

度量几何学


Question: 如果将直角三角形的三边增加同样的长度, 则新三角形的形状是 ( )

A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 针角三角形
D. 由增加的长度确定

度量几何学


Question: 下列说法不正确的是

A. 当角 $\alpha$ 的终边在 $x$ 轴上时, 角 $\alpha$ 的正切线是一个点\n\nB. 当角 $\alpha$ 的终边在 $y$ 轴上时, 角 $\alpha$ 的正切线不存在\n\nC. 正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化\n\nD. 余弦线和正切线的始点都是原点\n\n

度量几何学


Question: 若 $0<\alpha<2 \pi$, 且 $\sin \alpha<\frac{\sqrt{3}}{2}, \cos \alpha>\frac{1}{2}$, 则角 $\alpha$ 的取值范围是

A. $\left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right)$
    B. $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$
    C. $\left(\frac{5 \pi}{3}, 2 \pi\right)$
    D. $\left(0, \frac{\pi}{3}\right) \cup\left(\frac{5 \pi}{3}, 2 \pi\right)$

度量几何学


Question: 函数 $f(x)=\tan \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)$ 的定义域为

A. $\left\{x \left\lvert\, x \neq \frac{3 \pi}{8}+\frac{1}{2} k \pi\right., \quad k \in \mathbf{Z}\right\}$
B. $\left\{x \left\lvert\, x \neq \frac{3 \pi}{8}+k \pi\right., \quad k \in \mathbf{Z}\right\}$
C. $\left\{x \left\lvert\, x \neq \frac{3 \pi}{8}+2 k \pi\right., \quad k \in \mathbf{Z}\right\}$
D. $\left\{x \left\lvert\, x \neq \frac{5 \pi}{8}+\frac{1}{2} k \pi\right., \quad k \in \mathbf{Z}\right\}$

度量几何学


Question: 若 $\tan \alpha=2$, 则 $\frac{\sin \alpha+\cos \alpha}{\sin \alpha-\cos \alpha}+\cos ^{2} \alpha=$

度量几何学

解析: $\frac{\sin \alpha+\cos \alpha}{\sin \alpha-\cos \alpha}+\cos ^{2} \alpha=\frac{\sin \alpha+\cos \alpha}{\sin \alpha-\cos \alpha}+\frac{\cos ^{2} \alpha}{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}=\frac{\tan \alpha+1}{\tan \alpha-1}+\frac{1}{\tan ^{2} \alpha+1}=\frac{16}{5}$. 故选 A.

答案: A


Question: 已知 $\sin x=2 \cos x$, 则 $\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}=$

度量几何学

解析: $\because \sin x=2 \cos x ， \therefore \tan x=2$ ，

$\therefore$ 原式 $=\frac{\tan x-1}{\tan x+1}=\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3}$.

答案: B


Question: 若 $\alpha$ 是三角形的内角, 且 $\sin \alpha+\cos \alpha=\frac{2}{3}$, 则三角形是

A. 针角三角形
B. 锐角三角形
C. 直角三角形
D. 等腰三角形

度量几何学

解析: 将 $\sin \alpha+\cos \alpha=\frac{2}{3}$ 两边平方，得 $1+2 \sin \alpha \cos \alpha=\frac{4}{9}$ ，即 $2 \sin \alpha \cos \alpha=-\frac{5}{9}$. 又 $\alpha$ 是三角形的内角，

$\therefore \sin \alpha>0 ， \cos \alpha<0 ， \therefore \alpha$ 为钝角. 故三角形为钝角三角形.

答案: A


Question: 已知 $\cos 31^{\circ}=m$, 则 $\sin 239^{\circ} \tan 149^{\circ}$ 的值是

度量几何学


Question: 已知 $\alpha \in(0, \pi)$, 且 $\cos \alpha=-\frac{5}{13}$, 则 $\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) \cdot \tan \alpha=$

度量几何学

解析: $\because \alpha \in(0, \pi)$, 且 $\cos \alpha=-\frac{5}{13}, \therefore \sin \alpha=\frac{12}{13}$, 由诱导公式及同角三角函数的商数关系知 $\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) \cdot \tan \alpha=\cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\sin \alpha=\frac{12}{13}$.故选 C.

答案: C


Question: 函数 $y=\sin \left(2 x+\frac{5}{2} \pi\right)$ 的图象的一个对称中心是

度量几何学

解析: 正弦曲线的对称中心为曲线与 $x$ 轴的交点, 将四个点代入验证, 只有 $\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$ 符合要求, 故选 B.

答案: B


Question: 若函数 $y=2 \cos x(0 \leqslant x \leqslant 2 \pi)$ 的图象和直线 $y=2$ 围成一个封闭的平面图形, 则这个封闭图形的面积是

度量几何学

解析: 由图可知, 图形 $S_{1}$ 与 $S_{2}, S_{3}$ 与 $S_{4}$ 都是对称图形, 有 $S_{1}=S_{2}, S_{3}=S_{4}$, 因此函数 $y=$ $2 \cos x$ 的图象与直线 $y=2$ 所围成的图形面积等于矩形 $O A B C$ 的面积.

<ImageHere>

$\because|O A|=2,|O C|=2 \pi, \quad \therefore S_{\text {䂑形 }}=2 \times 2 \pi=4 \pi$.

答案: D


Question: 函数 $y=\tan \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ 的定义域是 ( )

A. $\left\{x \left\lvert\, x \neq-\frac{\pi}{4}\right.\right\}$
B. $\left\{x \left\lvert\, x \neq \frac{\pi}{4}\right.\right\}$
C. $\left\{\left.x\right|_{x \neq k \pi-\frac{\pi}{4},}, \quad k \in \mathbf{Z}\right\}$
D. $\left\{\left.x\right|_{x \neq k \pi+\frac{\pi}{4},} \quad k \in \mathbf{Z}\right\}$

度量几何学

解析: $x+\frac{\pi}{4} \neq k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathbf{Z}, \quad \therefore x \neq k \pi+\frac{\pi}{4}, \quad k \in \mathbf{Z}$.

答案: D


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, $B=60^{\circ}$, 最大边与最小边之比为 $(\sqrt{3}+1): 2$, 则最大角为 $($ )

度量几何学

设 $C$ 为最大角, 则 $A$ 为最小角, 则 $A+C=120^{\circ}$,

$\therefore \frac{\sin C}{\sin A}=\frac{\sin \left(120^{\circ}-A\right)}{\sin A}$

$=\frac{\sin 120^{\circ} \cos A-\cos 120^{\circ} \sin A}{\sin A}$

$=\frac{\sqrt{3}}{2 \tan A}+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}$,

$\therefore \tan A=1, A=45^{\circ}, C=75^{\circ}$.


Question: $1920^{\circ}$ 的角化为弧度制为

度量几何学


Question: 已知 $\alpha=\frac{6}{7} \pi$, 则角 $\alpha$ 的终边在 （）

A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

度量几何学

解析: $\frac{\pi}{2}<\frac{6}{7} \pi<\pi$, 所以角 $\alpha$ 的终边在第二象限, 选 B.

## 答案: B


Question: 把 $-\frac{11}{4} \pi$ 表示成 $\theta+2 k \pi(k \in \mathbf{Z})$ 的形式, 使 $|\theta|$ 最小的 $\theta$ 的值是

度量几何学


Question: 已知角 $\alpha$ 的终边经过点 $(-4,3)$, 则 $\cos \alpha$ 等于

度量几何学


Question: 若角 $\alpha$ 的终边与直线 $y=3 x$ 重合且 $\sin \alpha<0$, 又 $P(m, n)$ 是 $\alpha$ 终边上一点, 且 $|O P|=\sqrt{10}$,则 $m-n$ 等于

度量几何学

解析: 分析题意知 $\alpha$ 的终边位于第三象限, 故 $m<0, n<0, n=3 m$ 且 $\sqrt{m^{2}+n^{2}}=\sqrt{10}, \therefore m$ $=-1, n=-3, m-n=2$.

答案: A


Question: 若角 $\alpha$ 的终边过点 $P\left(2 \sin 30^{\circ},-2 \cos 30^{\circ}\right)$, 则 $\sin \alpha$ 的值等于( )

度量几何学

解析 : $\because 2 \sin 30^{\circ}=2 \times \frac{1}{2}=1,-2 \cos 30^{\circ}=-2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}, \therefore P(1,-\sqrt{3})$,

$\therefore$ 点 $P$ 到原点的距离为 $\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=2$,

$\therefore \sin \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

答案: C


Question: 已知在边长为 2 的菱形 $A B C D$ 中, $\angle A B C=60^{\circ}$, 则 $|\overrightarrow{B D}|=(\quad)$

度量几何学

解析: 易知 $A C \perp B D$, 且 $\angle A B D=30^{\circ}$, 设 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$, 则 $A O=\frac{1}{2} A B=1$. 在 Rt $\triangle A B O$中, 易得 $|\overrightarrow{B O}|=\sqrt{3}$, 则 $|\overrightarrow{B D}|=2|\overrightarrow{B O}|=2 \sqrt{3}$. 故选 D.

答案: D


Question: 汽车以 $120 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的速度向西走了 $2 \mathrm{~h}$, 摩托车以 $45 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的速度向东北方向走了 $2 \mathrm{~h}$, 则下列命题中正确的是

A. 汽车的速度大于摩托车的速度

B. 汽车的位移大于摩托车的位移

C. 汽车走的路程大于摩托车走的路程

D. 以上都不对

度量几何学

解析：由向量不能比较大小，可知选 C.

答案: C


Question: 设 $O$ 为坐标原点, 且 $|\vec{O} M|=1$, 则动点 $M$ 的集合是

A. 一条线段
B. 一个圆面
C. 一个圆
D. 一段圆弧

度量几何学

解析: 动点 $M$ 到原点 $O$ 的距离等于定长 1 , 故动点 $M$ 的轨迹是以 $O$ 为圆心, 1 为半径的圆.

答案: C


Question: $\cos \left(45^{\circ}-\alpha\right) \cos \left(\alpha+15^{\circ}\right)-\sin \left(45^{\circ}-\alpha\right) \sin \left(\alpha+15^{\circ}\right)$ 等于

度量几何学

解析: 原式 $=\cos \left(\alpha-45^{\circ}\right) \cos \left(\alpha+15^{\circ}\right)+\sin \left(\alpha-45^{\circ}\right) \sin \left(\alpha+15^{\circ}\right)=\cos \left[\left(\alpha-45^{\circ}\right)-\left(\alpha+15^{\circ}\right)\right]=$ $\cos \left(-60^{\circ}\right)=\frac{1}{2}$.

答案: A


Question: 计算 $\sin 44^{\circ} \cos 14^{\circ}-\cos 44^{\circ} \cos 76^{\circ}$ 的值为

度量几何学


Question: 设 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \beta \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$, 若 $\cos \beta=-\frac{1}{3}, \sin (\alpha+\beta)=\frac{7}{9}$, 则 $\sin \alpha$ 的值为( )

度量几何学

解析: 由 $\cos \beta=-\frac{1}{3} ， \sin (\alpha+\beta)=\frac{7}{9} ＼mathrm{~ ， 得 ~} \sin \beta=\frac{2 \sqrt{2}}{3} ， \cos (\alpha+\beta)=-\frac{4 \sqrt{2}}{9}$ ，所以 $\sin \alpha=\sin [(\alpha$ $+\beta)-\beta]=\frac{7}{9} \times\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4 \sqrt{2}}{9}\right) \times \frac{2 \sqrt{2}}{3}=\frac{1}{3}$.

答案: C


Question: 已知 $\alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right), \sin \alpha=\frac{4}{5}$, 则 $\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=$

度量几何学

解析: $\alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right), \sin \alpha=\frac{4}{5} ， \therefore \cos \alpha=-\frac{3}{5} ， \tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=-\frac{4}{3}$

$\therefore \tan \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tan \alpha+1}{1-\tan \alpha}=\frac{-\frac{4}{3}+1}{1+\frac{4}{3}}=-\frac{1}{7}$.

答案: C


Question: 已知 $\tan \alpha=\frac{1}{4}, \tan (\alpha-\beta)=\frac{1}{3}$, 则 $\tan \beta$ 等于

度量几何学

解析 : $\tan \beta=\tan [\alpha-(\alpha-\beta)]=\frac{\tan \alpha-\tan (\alpha-\beta)}{1+\tan \alpha \cdot \tan (\alpha-\beta)}=-\frac{1}{13}$.

答案: C


Question: 若 $\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=4$, 则 $\sin 2 \theta=$

度量几何学

解析: 法一: $\because \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=\frac{1+\tan ^{2} \theta}{\tan \theta}=4 ， \therefore 4 \tan \theta=1+\tan ^{2} \theta, \therefore \sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta=$ $\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}=\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}=\frac{2 \tan \theta}{4 \tan \theta}=\frac{1}{2}$.

法二: $\because \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}=\frac{1}{\cos \theta \sin \theta}=\frac{2}{\sin 2 \theta}, \therefore 4=\frac{2}{\sin 2 \theta}, \quad \therefore \sin 2 \theta=\frac{1}{2}$.

答案: D


Question: 已知 $a 、 b$ 分别对应数轴上的 $A 、 B$ 两点, 且 $A$ 在原点右侧, $B$ 在原点左侧，则下列不等式成立的是 ( )

度量几何学


Question: 若 $-1<\alpha<\beta<1$, 则下面各式中恒成立的是（）.

度量几何学

$\because-1<\alpha<\beta<1, \therefore-1<\alpha<1,-1<-\beta<1, \alpha-\beta<0, \therefore-2<\alpha-\beta<0$. 选: A.


Question: 在锐角 $\triangle A B C$ 中, $a, b, c$ 分别是角 $A, B, C$ 所对的边, $\triangle A B C$ 的面积 $S=2$, 且满足 $a \cos B=b(1+\cos A)$, 则 $(c+a-b)(c+b-a)$ 的取值范围是（）

度量几何学

由题意, 在锐角 $\triangle A B C$ 中, 满足 $a \cos B=b(1+\cos A)$, 由正弦定理可得

$\sin A \cos B=\sin B+\sin B \cos A$ ， 即 $\sin A \cos B-\sin B \cos A=\sin B ，$

可得 $\sin (A-B)=\sin B$, 所以 $A-B=B$, 即 $A=2 B<\frac{\pi}{2}$,

所以 $B \in\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$, 所以 $A+B=3 B \in\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}\right)$, 则 $C=\pi-3 B \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$,

所以 $\tan C=\frac{2 \tan \frac{C}{2}}{1-\tan ^{2} \frac{C}{2}}>1$, 可得 $1>\tan \frac{C}{2}>-1+\sqrt{2}$,

又由 $\triangle A B C$ 的面积 $S=\frac{1}{2} a b \sin C=2$, 所以 $a b=\frac{4}{\sin C}$,

则 $(c+a-b)(c+b-a)=c^{2}-a^{2}-b^{2}+2 a b=-2 a b \cos C+2 a b=2 a b(1-\cos C)$

$=\frac{8}{\sin C}(1-\cos C)=8 \times \frac{1-\left(1-2 \sin ^{2} \frac{C}{2}\right)}{2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}}=8 \tan \frac{C}{2} \in(8 \sqrt{2}-8,8)$


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, “ $A>60^{\circ}$ ” 是 “ $\sin A>\frac{\sqrt{3}}{2}$ ” 的（ )

A. 充分不必要条件
B.必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件

度量几何学


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$. 若 $\triangle A B C$ 为锐角三角形,且满足 $\sin B(1+2 \cos C)=2 \sin A \cos C+\cos A \sin C$ ，则下列等式成立的是（）

度量几何学

由 $\sin B(1+2 \cos C)=2 \sin A \cos C+\cos A \sin C$,
得 $\sin B+2 \sin B \cos C=\sin A \cos C+\sin B$,

即 $2 \sin B \cos C=\sin A \cos C$ ，所以 $2 \sin B=\sin A$ ，即 $2 b=a$ ，选 A.


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 的对边, $\angle A C B=\frac{\pi}{3} . D 、 E$ 分别是边 $B C$ 和 $A B$ 的中点, $A D$ 与 $C E$ 交于 $G$ 点, $C G=2$, 则 $\triangle A B C$ 面积的最大值是 ( )

度量几何学

依题意, $G$ 为 $\triangle A B C$ 的重心, 因为 $C G=2$, 所以 $G E=1, C E=3$. 设 $\angle A E C=\alpha$, 则 $\angle B E C=\pi-\alpha$. 在 $\triangle A E C$ 中, 有 $b^{2}=3^{2}+\left(\frac{c}{2}\right)^{2}-2 \times 3 \times \frac{c}{2} \cos \angle A E C$, 在 $\triangle B E C$ 中, 有 $a^{2}=3^{2}+\left(\frac{c}{2}\right)^{2}-2 \times 3 \times \frac{c}{2} \cos \angle B E C$, 两式相加, 则 $a^{2}+b^{2}=18+\frac{c^{2}}{2}$.

又 $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos \frac{\pi}{3}=a^{2}+b^{2}-a b$, 消去 $c^{2}$, 得 $a^{2}+b^{2}=36-a b$, 因为 $a^{2}+b^{2} \geq 2 a b$, 所以所以 $a b \leq 12$, 所以 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a b \sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{4} a b \leq \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12=3 \sqrt{3}$.

当且仅当 $a=b=2 \sqrt{3}$ 时, $\triangle A B C$ 的面积取得最大值, 最大值为 $3 \sqrt{3}$. 故选 A.


Question: 设 $a=\sin 46^{\circ}, b=\cos 46^{\circ}, c=\tan 46^{\circ}$, 则

算术

解析: 如图<ImageHere>, 结合三角函数线知 $A T>M P>O M$, 所以有 $\tan 46^{\circ}>\sin 46^{\circ}>\cos 46^{\circ}$, 即 $c>a>b$,故选 A.

答案: A


Question: $\sin 240^{\circ}$ 的值为

算术

解析：由诱导公式二得 $\sin 240^{\circ}=\sin \left(180^{\circ}+60^{\circ}\right)=-\sin 60^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, 故选 D.

答案: D


Question: 若 $\sin \alpha=\frac{1}{3}$, 则 $\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=$

算术

解析: $\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin \alpha=-\frac{1}{3}$.

答案: B


Question: 下列函数中, 周期为 $\frac{\pi}{2}$ 的是

算术

解析: 对于 A, $\because \cos 4\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos (2 \pi+4 x)=\cos 4 x, \therefore T=\frac{\pi}{2}$; 对于 B, $\because \sin 2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\sin (\pi$ $+2 x)=-\sin 2 x, \therefore T \neq \frac{\pi}{2}$. 同理可知 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$ 的周期均不是 $\frac{\pi}{2}$.

答案: A


Question: 函数 $f(x)=2|\sin x|$ 的最小正周期为

算术

解析: $\because \sin (x+\pi)=-\sin x,|\sin x|=|-\sin x|$,

$\therefore f(x+\pi)=f(x), \therefore$ 函数 $f(x)=2|\sin x|$ 的最小正周期为 $\pi$. 故选 C.

答案: C


Question: 若 $f(x)=\tan \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$, 则

算术

解析: $f(0)=\tan \frac{\pi}{4}, f(-1)=\tan \left(\frac{\pi}{4}-1\right), f(1)=\tan \left(\frac{\pi}{4}+1\right)=\tan \left(\frac{\pi}{4}+1-\pi\right)=\tan \left(1-\frac{3}{4} \pi\right)$.

$\because-\frac{\pi}{2}<1-\frac{3}{4} \pi<\frac{\pi}{4}-1<\frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{2}$

又 $y=\tan t$ 在 $t \in\left(-\frac{\pi}{2} ， \frac{\pi}{2}\right)$ 上是增函数，

$\therefore \tan \frac{\pi}{4}>\tan \left(\frac{\pi}{4}-1\right)>\tan \left(1-\frac{3}{4} \pi\right)$

$\therefore f(0)>f(-1)>f(1)$.

答案: C


Question: $\sin \frac{13 \pi}{6}$ 的值是

算术


Question: 已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+a_{3}=10, a_{2}+a_{4}=5$, 则 $a_{5}=(\quad)$

算术


Question: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列, 若 $a_{3}=-3, a_{4}=6$, 则 $a_{6}=(\quad)$

算术

设等比数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的公比为 $\mathrm{q}, \because\ \mathrm{a}_{3}=-3, \mathrm{a}_{4}=6, \therefore \mathrm{q}=\frac{a_{4}}{a_{3}}=-2$,则 $\mathrm{a}_{6}=a_{4} \times q^{2}=6 \times(-2)^{2}=24$. 故选: D.


Question: 等比数列中 $\left\{a_{n}\right\}, a_{1}, a_{5}$ 为方程 $x^{2}-10 x+16=0$ 的两根, 则 $a_{3}=c$

算术


Question: 正项等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{3}=2, a_{4} \cdot a_{6}=64$, 则 $a_{5}+a_{1}+a_{2}$ 的值是

算术


Question: 已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为递增数列, $S_{n}$ 是其前 $n$ 项和. 若 $a_{1}+a_{5}=\frac{17}{2}, a_{2} a_{4}=4$, 则 $S_{6}=$

算术

设递增的等比数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的公比为 $\mathrm{q}$,$\because \mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{5}=\frac{17}{2}, \mathrm{a}_{2} \mathrm{a}_{4}=4=\mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{5}, \therefore$ 解得 $\mathrm{a}_{1}=\frac{1}{2}, \mathrm{a}_{5}=8, \therefore \frac{a_{5}}{a_{1}}=q^{4}=16$, $\because$ 等比数列 $\{\mathrm{an}\}$ 为递增数列， $\therefore$ 解得 $\mathrm{q}=2, \therefore \mathrm{S}_{6}=\frac{\frac{1}{2}\left(2^{6}-1\right)}{2-1}=\frac{63}{2}$. 故选 D.


Question: 等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数, 且 $a_{5} a_{6}+a_{4} a_{7}=18$, 则 $\log _{3} a_{1}+\log _{3} a_{2}+\cdots \log _{3} a_{10}=(\quad)$

算术


Question: 如果 -1, , , b, c, -9 成等比数列, 那么 ( )

A. $\mathrm{b}=3, \mathrm{ac}=9$
  B. $\mathrm{b}=-3, \mathrm{ac}=9$
  C. $\mathrm{b}=3, \mathrm{ac}=-9$
  D. $\mathrm{b}=-3, \mathrm{ac}=-9$

算术

由等比数列的性质可得 $\mathrm{ac}=(-1) \times(-9)=9$,$\mathrm{b} \times \mathrm{b}=9$ 且 $\mathrm{b}$ 与奇数项的符号相同, $\therefore \mathrm{b}=-3$, 故选 $: \mathrm{B}$


Question: 人骑自行车的速度是 $v_{1}$, 风速为 $v_{2}$, 则逆风行驶的速度为

算术

解析 : 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为 $v_{1}+v_{2}$. 注意速度是有方向和大小的，是一个向量.

答案: B


Question: 已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列, 若 $a_{1}+a_{5}+a_{9}=4 \pi$, 则 $\cos a_{5}$ 的值为 ( )

算术


Question: 已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{7}+a_{9}=16, a_{4}=1$, 则 $a_{12}$ 的值是 ( )

算术


Question: 已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$, 且 $a_{10}=\frac{1}{2} a_{12}+6, a_{2}=4$, 则 $a_{5}=(\quad)$

算术


Question: 在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{3}, a_{15}$ 是方程 $x^{2}-6 x+8=0$ 的两个根, 则 $a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}+a_{11}$为 $(\quad)$

算术

等差数列 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 中, $\mathrm{a}_{3}, \mathrm{a}_{15}$ 是方程 $\mathrm{x}^{2}-6 \mathrm{x}+8=0$ 的两个根,

$\therefore \mathrm{a}_{3}+\mathrm{a}_{15}=2 \mathrm{a}_{9}=6, \quad \therefore \mathrm{a}_{9}=3 ; \quad \therefore \mathrm{a}_{7}+\mathrm{a}_{8}+\mathrm{a}_{9}+\mathrm{a}_{10}+\mathrm{a}_{11}=\left(\mathrm{a}_{7}+\mathrm{a}_{11}\right)+\left(\mathrm{a}_{8}+\mathrm{a}_{10}\right)$

$+a_{9}=5 a_{9}=5 \times 3=15$.


Question: 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{2}=12, a_{n}=-20$, 公差 $d=-2$, 则项数 $n=(\quad)$

算术

等差数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 中, $\mathrm{a}_{2}=12, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=-20$, 公差 $\mathrm{d}=-2$,

$\therefore \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{2}+(\mathrm{n}-2) \mathrm{d}, \therefore-20=12-2(\mathrm{n}-2)$, 解得 $\mathrm{n}=18$, 故选: $\mathrm{C}$.


Question: 设 $x>0, y>0$, 若 $x \lg 2, \lg \sqrt{2}, y \lg 2$ 成等差数列, 则 $\frac{1}{x}+\frac{9}{y}$ 的最小值为

算术

$\mathrm{x}>0, \mathrm{y}>0$, 若 $x l g 2, l g \sqrt{2}, y l g 2$ 成等差数列,

可得 $2 \lg \sqrt{2}=x \lg 2+y \lg 2$, 即为 $x+y=1$,

则 $\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=(\mathrm{x}+\mathrm{y})\left(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}\right)=10+\frac{y}{x}+\frac{9 x}{y} \geq 10+2 \sqrt{\frac{y}{x} \cdot \frac{9 x}{y}}=16$, 当且仅当 $\mathrm{y}=3 \mathrm{x}=\frac{3}{4}$ 时,上式取得等号, 则 $\frac{1}{x}+\frac{9}{y}$ 的最小值为 16 , 故选:D.


Question: 已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{101}=0$, 则有 $(\quad)$

算术


Question: 《九章算术》卷第六《均输》中, 提到如下问题: “今有竹九节, 下三节容量四升上四节容量三升. 问中间二节欲均容, 各多少? ”其中 “欲均容” 的意思是: 使容量变化均匀, 即每节的容量成等差数列. 在这个问题中的中间两节容量分别是（）

算术


Question: 记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $a_{4}+a_{5}=24, S_{6}=48$, 则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为

算术

$\because \mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 为等差数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 $\mathrm{n}$ 项和, $\mathrm{a}_{4}+\mathrm{a}_{5}=24, \mathrm{~S}_{6}=48$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}a_{1}+3 d+a_{1}+4 d=24 \\ 6 a_{1}+\frac{6 \times 5}{2} d=48\end{array}\right.$, 解得 $\mathrm{a}_{1}=-2, \mathrm{~d}=4, \therefore\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的公差为


Question: 在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=2, a_{3}+a_{5}=10$, 则 $a_{7}=(\quad)$

算术


Question: 已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{5}+a_{7}=14$, 则 $S_{11}=(\quad)$

算术


Question: 在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, 若 $a_{5}, a_{7}$ 是方程 $x^{2}-2 x-6=0$ 的两根, 则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 11 项的和为

算术


Question: 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\},\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 与 $T_{n}$, 对一切自然数 $n$, 都有 $\frac{\mathrm{S}_{n}}{T_{n}}=$ $\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}+1}$ ，则 $\mathrm{a}_{5} \mathrm{a}_{5}$ 等于 $(\quad)$

算术


Question: 在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=2,2 a_{n+1}-2 a_{n}=1$, 则 $a_{101}$ 的值为

算术


Question: 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{7}+a_{9}=16, a_{4}=2$, 则 $a_{12}=(\quad)$

算术


Question: 一已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, 其前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $a_{3}+a_{4}+a_{5}=42$, 则 $S_{7}=(\quad)$

算术


Question: 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $a_{1}=\frac{1}{2}, S_{4}=20$, 则 $S_{6}=(\quad)$

算术

$\because a_{1}=\frac{1}{2}, \mathrm{~S}_{4}=20, \therefore \mathrm{S}_{4}=2+6 \mathrm{~d}=20, \quad \therefore \mathrm{d}=3, \therefore \mathrm{S}_{6}=3+15 \mathrm{~d}=48$. 故选: $\mathrm{D}$.


Question: 如果等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{3}+a_{4}+a_{5}=12$, 那么 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{7}=(\quad)$

算术


Question: 已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots a_{100}=0$, 则 ( )

算术


Question: 在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=-2015$, 其前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $\frac{S_{12}}{12}-\frac{S_{10}}{10}=2$, 则 $S_{2018}$ 的值等于 ( )

算术


Question: 若一个等差数列前 3 项的和为 34 , 最后 3 项的和为 146 , 且所有项的和为 390 , 则这个数列有

算术


Question: 对任意等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$, 下列说法一定正确的是（）

算术

A 项中 $\mathrm{a}_{3}=\mathrm{a}_{1} \cdot \mathrm{q}^{2}, \mathrm{a}_{1} \cdot \mathrm{a}_{9}=a_{1}^{2} \cdot \mathrm{q}^{8},\left(\mathrm{a}_{3}\right)^{2} \neq \mathrm{a}_{1} \cdot \mathrm{a}_{9}$, 故 A 项说法错误,

B 项中 $\left(\mathrm{a}_{3}\right)^{2}=\left(\mathrm{a}_{1} \cdot \mathrm{q}^{2}\right)^{2} \neq \mathrm{a}_{2} \cdot \mathrm{a}_{6}=a_{1}^{2} \cdot \mathrm{q}^{6}$, 故 B 项说法错误,

C 项中 $\left(\mathrm{a}_{4}\right)^{2}=\left(\mathrm{a}_{1} \cdot \mathrm{q}^{3}\right)^{2} \neq \mathrm{a}_{2} \cdot \mathrm{a}_{8}=a_{1}^{2} \cdot \mathrm{q}^{8}$, 故 C 项说法错误,

D 项中 $\left(\mathrm{a}_{6}\right)^{2}=\left(\mathrm{a}_{1} \cdot \mathrm{q}^{5}\right)^{2}=\mathrm{a}_{3} \cdot \mathrm{a}_{9}=a_{1}^{2} \cdot \mathrm{q}^{10}$, 故 D 项说法正确, 故选: D.


Question: 如果-1, $a, b, c,-9$ 成等比数列, 那么（）

算术

由等比数列的性质可得 $a c=(-1) \times(-9)=9, b \times b=9$ 且 $b$ 与奇数项的符号相同, $\therefore \mathrm{b}=-3$, 故选: B.


Question: 等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=\frac{1}{8}, q=2$, 则 $a_{4}$ 与 $a_{8}$ 的等比中项是 ()

算术


Question: 等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数, 且 $a_{5} a_{6}+a_{4} a_{7}=18$, 则 $\log _{3} a_{1}+\log _{3} a_{2}+\cdots \log _{3} a_{10}=(\quad)$

算术

$\because \mathrm{a}_{5} \mathrm{a}_{6}=\mathrm{a}_{4} \mathrm{a}_{7}, \quad \therefore \mathrm{a}_{5} \mathrm{a}_{6}+\mathrm{a}_{4} \mathrm{a}_{7}=2 \mathrm{a}_{5} \mathrm{a}_{6}=18 \quad \therefore \mathrm{a}_{5} \mathrm{a}_{6}=9$

$\therefore \log _{3} \mathrm{a}_{1}+\log _{3} \mathrm{a}_{2}+\ldots \log _{3} \mathrm{a}_{10}=\log _{3}\left(\mathrm{a}_{5} \mathrm{a}_{6}\right)^{5}=5 \log _{3} 9=10 \quad$ 故选 B.


Question: 已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为递增数列, $S_{n}$ 是其前 $n$ 项和. 若 $a_{1}+a_{5}=\frac{17}{2}, a_{2} a_{4}=4$,则 $S_{6}=(\quad)$

算术

设递增的等比数列 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 的公比为 $\mathrm{q}, \because \mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{5}=\frac{17}{2}, \mathrm{a}_{2} \mathrm{a}_{4}=4=\mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{5}$,

$\therefore$ 解得 $\mathrm{a}_{1}=\frac{1}{2}, \mathrm{a}_{5}=8, \quad \therefore \frac{a_{5}}{a_{1}}=q^{4}=16, \therefore$ 等比数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 为递增数列, $\therefore$ 解得 $\mathrm{q}=2$, $\therefore \mathrm{S}_{6}=\frac{\frac{1}{2}\left(2^{6}-1\right)}{2-1}=\frac{63}{2}$. 故选 D.


Question: 已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}+a_{2}=3, a_{3}+a_{4}=12$, 则 $a_{5}+a_{6}=(\quad)$

算术


Question: 正项等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{3}=2, a_{4} \cdot a_{6}=64$, 则 $\frac{a_{5}+a_{6}}{a_{1}+a_{2}}$ 的值是 ( )

算术


Question: 设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 且满足 $a_{6}=8 a_{3}$, 则 $\frac{S_{6}}{S_{3}}=(\quad)$

算术

等比数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 $\mathrm{n}$ 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$, 且满足 $\mathrm{a}_{6}=8 \mathrm{a}_{3}, \quad \therefore \frac{a_{6}}{a_{3}}=\mathrm{q}^{3}=8$, 解得 $\mathrm{q}=2, \quad \therefore \frac{S_{6}}{S_{3}}$ $=\frac{1-q^{6}}{1-q^{3}}=1+\mathrm{q}^{3}=9$. 故选: D.


Question: $\cos 555^{\circ}$ 的值是

算术


Question: 已知 $\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{3}$, 则 $\cos x+\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=$

算术

解析: $\cos x+\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos \left[\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+\frac{\pi}{6}\right]+$ $\cos \left[\left(x-\frac{\pi}{6}\right)-\frac{\pi}{6}\right]=2 \cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right) \cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，故选 D.

答案: D


Question: 下列各式中, 不正确的是

算术

解析: $\because \sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} ， \therefore \mathrm{A}$ 正确; $\because \cos \frac{5 \pi}{12}=-\cos \frac{7 \pi}{12}=-\cos \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right), \therefore$ B 正确; $\because \cos \left(-\frac{\pi}{12}\right)=$ $\cos \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}\right) ， \therefore$ C 正确; $\because \cos \frac{\pi}{12}=\cos \left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right) \neq \cos \frac{\pi}{3}-\cos \frac{\pi}{4} ， \therefore$ D 不正确.

答案: D


Question: 若 $\sqrt{3} \sin x+\cos x=4-m$, 则实数 $m$ 的取值范围是

算术

解析: $\because \sqrt{3} \sin x+\cos x=4-m$,

$\therefore \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x+\frac{1}{2} \cos x=\frac{4-m}{2}$,

$\therefore \sin \frac{\pi}{3} \sin x+\cos \frac{\pi}{3} \cos x=\frac{4-m}{2}$,

$\therefore \cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{4-m}{2}$.

$\because\left|\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right| \leqslant 1, \quad \therefore\left|\frac{4-m}{2}\right| \leqslant 1, \quad \therefore 2 \leqslant m \leqslant 6$.

答案: A


Question: $\cos ^{2} 75^{\circ}+\cos ^{2} 15^{\circ}+\cos 75^{\circ} \cos 15^{\circ}=$

算术


Question: 函数 $f(x)=2 \sin \frac{x}{2} \sin \left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)$ 的最小值是

算术

解析: $\because f(x)=2 \sin \frac{x}{2} \cdot \sin \left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)=$

$-\left[\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)-\cos \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}+\frac{x}{2}\right)\right]=$

$\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)-\frac{1}{2}, \therefore y_{\min }=-1-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$.

答案: D


Question: 如果 $a, b, c$ 满足 $c<b<a$, 且 $a c<0$, 那么下列不等式不一定成立的是 ( )

A. $\mathrm{ab}>\mathrm{ac}$
B. $b c>a c$
C. $\mathrm{cb}^{2}<\mathrm{ab}^{2}$
D. $\mathrm{ac}(\mathrm{a}-\mathrm{c})<0$

算术

$ \because c<b<a$, 且 $a c<0, \therefore a>0, c<0, \quad \therefore a b-a c=a(b-c)>0, \quad b c-a c=(b-a) c>0, \quad a c(a-c)<0$,

$\therefore \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{D}$ 中的不等式均恒成立, $\because \mathrm{b}$ 可能等于 0 , 也可能不等于 $0, \therefore \mathrm{cb}^{2}<\mathrm{ab}^{2}$ 不一定成立, 故选 $\mathrm{C}$.


Question: 若 $a<b<0$, 则下列不等式不能成立的是 ( )

算术

对于A, 由 $a<b<0$ 知 $a b>0$, 因此 $a \cdot \frac{1}{a b}<b \cdot \frac{1}{a b} \stackrel{1}{-1}>\frac{1}{b}$, 即 $a$ 成立, 故 $A^{\text {正确; }}$

对于C, 由 $a<b<0$ 得 $-a>-b>0$, 因此 $|a|>|b|>0$ 成立, 故C正确;

对于D, 因为 $\left.\mathrm{a}<\mathrm{b}, \mathrm{y}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{x}}$ 是减函数, 所以 $\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{a}}>\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{b}}$ 成立, 故D正确,

对于 $\mathrm{B}$, 因为 $\mathrm{a}<\mathrm{b}, \mathrm{y}=2^{\mathrm{x}}$ 是增函数, 所以 $\mathrm{2}^{\mathrm{a}}<2^{\mathrm{b}}$, 选项 B不成立, 故选 B.


Question: 设 $a, b, c \in R$, 且 $a>b$, 则下列不等式成立的是

算术


Question: 对于实数 $a, b, c$, 下列结论中正确的是 ( )

算术


Question: 若 $a>b, c>d$, 则不等式一定成立的是 ( )

算术

由同向不等式的可加性可知 $a>b, c>d \Rightarrow a+c>b+d$ 成立. 故选 B.

考点: 不等式的基本性质.


Question: 设 $a=2^{0.1}, b=\lg \frac{3}{2}, c=\ln \frac{9}{10}$, 则 $a, b, c$ 的大小关系是 ( )

算术


Question: 已知 $a, b, c, d \in R$, 则下列说法中一定正确的是 ( )

算术

B  解析 对于 $A$, 若 $a=4, b=2, c=5$, 显然 $a>c$ 不成立; 对于B, 若 $a>-b$, 则 $-a<b$, 则 $c-a<c+b$, 一

<ImageHere>
不成立, 故选 B.


Question: 已知 $-1 \leq a \leq 3,2 \leq b \leq 4$, 则 $2 a-b$ 的取值范围是 ( )

算术

$\because-1 \leq a \leq 3, \therefore-2 \leq 2 a \leq 6$, 又 $\because 2 \leq b \leq 4, \therefore-4 \leq-b \leq-2, \therefore-6=-2-4 \leq 2 a-b \leq 6-2=4$,

即 $-6 \leq 2 \mathrm{a}-\mathrm{b} \leq 4, \therefore 2 \mathrm{a}-\mathrm{b}$ 的取值范围是 $[-6,4]$; 故选 A.


Question: 已知集合 $A=\left\{x \mid-x^{2}+4 x \geq 0\right\}, B=\left\{x \left\lvert\, \frac{1}{81}<3^{x}<27\right.\right\}, C=\{x \mid x=2 n, n \in N\}$, 则 $(A \cup B)$ $\cap C=(\quad)$

算术


Question: 在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}+3 a_{8}+a_{15}=120$, 则 $2 a_{9}-a_{10}$ 的值为 $(\quad)$

算术


Question: 在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{10}<0, a_{11}>0$, 且 $\left|a_{10}\right|<a_{11}, S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项的和, 则下列结论正确的是( )

算术


Question: 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $a_{3}+a_{7}+a_{11}=6$, 则 $S_{13}$ 等于 $(\quad)$

算术


Question: 设数列 $\left\{a_{n}\right\} 、\left\{b_{n}\right\}$ 都是等差数列, 且 $a_{1}=25, b_{1}=75, a_{2}+b_{2}=100$, 则 $a_{37}+b_{37}$ 等于

算术


Question: 设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为正数的等差数列, 若 $a_{1}+a_{2}+a_{3}=15, a_{1} a_{2} a_{3}=80$, 则 $a_{11}+a_{12}+a_{13}$

算术


Question: 若 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列, $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和, 若 $a_{1}>0, d<0, S_{4}=S_{8}$, 则 $S_{n}>0$ 成立的最大自然数 $n$ 为 ()

算术


Question: 在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=-2008$, 其前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $\frac{S_{2} 008}{2008}-\frac{S_{2} 006}{2006}=2$, 则 $S_{2} 012$等于( )

算术


Question: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $a_{n}=\frac{1}{n(n+1)}$, 则 $S_{5}$ 等于 $(\quad)$

算术


Question: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式 $a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$, 若前 $n$ 项的和为 10 , 则项数为 ()

算术

解析 $\because a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$,

$\therefore S_{n}=\sqrt{n+1}-1=10, \quad \therefore n=120$.


Question: 数列 $1 \frac{1}{2}, 2 \frac{1}{4}, 3 \frac{1}{8}, 4 \frac{1}{16}, \cdots$ 的前 $n$ 项和为 $(\quad)$

算术


Question: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项 $a_{n}=2 n+1$, 由 $b_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}}{n}$ 所确定的数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$项之和是( )

算术


Question: 已知 $S_{n}=1-2+3-4+\cdots+(-1)^{n-1} n$, 则 $S_{17}+S_{33}+S_{50}$ 等于 ( )

算术


Question: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}, a_{2}-a_{1}, a_{3}-a_{2}, \cdots, a_{n}-a_{n-1}$ 是首项为 1 , 公比为 2 的等比数列,那么 $a_{n}$ 等于 ( )

算术


Question: 已知 $x>0, y>0, x+2 y+2 x y=8$, 则 $x+2 y$ 的最小值是

算术


Question: 已知 $x>1$, 则 $x+\frac{4}{x-1}$ 的最小值为

算术


Question: 下列函数中, 最小值为 2 的是 ( )

算术

$\mathrm{A}$ 项中, 因为自变量 $x$ 可以为负数, 所以函数值可以小于零, 故错误; B 项中, $3^{x}>0,3^{-x}>0$, 由基本不等式可知 $3^{x}+3^{-x} \geq 2 \sqrt{3^{x} \cdot 3^{-x}}=2$, 当且仅当 $x=0$ 时取等号, 故正确; $C$项中, $0<x<1 \Rightarrow \lg x<0$, 即函数值恒为负数, 故错误; $\mathrm{D}$ 项中, 由基本不等式可知当且仅当 $\sin x=1$时取到最小值 2 , 但是当 $0<x<\frac{\pi}{2}$ 时, $0<\sin x<1$, 故错误.故选 B.


Question: 已知 $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{12}{13}$, 则 $\cos \left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)=$

代数

解析: 因为 $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{12}{13}$, 所以 $\cos \left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)=\sin \left[\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)\right]=\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{12}{13}$.

答案: B


Question: 化简 $\frac{\cos (\alpha+\pi) \cdot \sin ^{2}(\alpha+3 \pi)}{\tan (\alpha+4 \pi) \cdot \tan (\alpha-\pi) \sin ^{3}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}$ 的结果为

A. 1
B. -1
C. $\sin \alpha$
D. $\tan \alpha$

代数

解析 : 原式 $=\frac{-\cos \alpha \cdot \sin ^{2} \alpha}{\tan \alpha \cdot \tan \alpha \cdot \cos ^{3} \alpha}=\frac{-\sin ^{2} \alpha}{\tan ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha}=-\frac{\tan ^{2} \alpha}{\tan ^{2} \alpha}=-1$.

答案: B


Question: 函数 $f(x)=x+\sin x, x \in \mathbf{R}$

A. 是奇函数, 但不是偶函数

B. 是偶函数, 但不是奇函数

C. 既是奇函数, 又是偶函数

D. 既不是奇函数, 又不是偶函数

代数


Question: 已知函数 $f(x)=|\sin x|, x \in[-2 \pi, 2 \pi]$, 则方程 $f(x)=\frac{1}{2}$ 的所有根的和等于 $(\quad)$

代数

解析 : 若 $f(x)=\frac{1}{2}$,

<ImageHere>

则 $|\sin x|=\frac{1}{2}$,

$\therefore \sin x=\frac{1}{2}$ 或 $\sin x=-\frac{1}{2}$,

$\because x \in[-2 \pi, 2 \pi]$,

$\therefore$ 方程 $\sin x=\frac{1}{2}$ 的 4 个根关于 $x=-\frac{\pi}{2}$ 对称,

则对称的 2 个根之和为 $-\pi$,

则 4 个根之和为 $-2 \pi$,

同理, 由对称性可得 $\sin x=-\frac{1}{2}$ 的四个根之和为 $2 \pi$, 故选 A.

答案:


Question: 函数(1) $y=x^{2} \sin x$; (2) $y=\sin x, x \in[0,2 \pi]$; (3) $y=\sin x, x \in[-\pi, \pi]$; (4) $y=x \cos x$ 中, 奇函数的个数为

代数


Question: 函数 $y=\cos x\left(\frac{\pi}{6} \leqslant x \leqslant \frac{7 \pi}{6}\right)$ 的最小值, 最大值分别为

代数

解析: 由 $y=\cos x\left(\frac{\pi}{6} \leqslant x \leqslant \frac{7 \pi}{6}\right)$ 的图象(如图)可知, 当 $x=\frac{\pi}{6}$ 时, $y=\cos x$ 有最大值 $\frac{\sqrt{3}}{2}$; 当 $x$ $=\pi$ 时, $y=\cos x$ 有最小值 -1 . 故选 D.

<ImageHere>

答案: D


Question:
函数 $y=-x \cos x$ 的部分图象是 ( )

<ImageHere>

A.

<ImageHere>

B

<ImageHere>

C

<ImageHere>

D

代数

解析: $\because y=-x \cos x$ 是奇函数, 它的图象关于原点对称, $\therefore$ 排除 A, C 项; 当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时, $y=-x \cos x<0, \therefore$ 排除 B 项, 故选 D.

答案: D


Question: 关于正切函数 $y=\tan x$, 下列判断不正确的是

A. 是奇函数

B. 在整个定义域上是增函数

C. 在定义域内无最大值和最小值

D. 平行于 $x$ 轴的直线被正切曲线各支所截线段相等

代数

解析: 正切函数在整个定义域上不具有单调性，正切函数在每个单调区间内是增函数.

答案: B


Question: 已知 $a, b$ 是不等于 1 的正数, $\theta \in\left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right)$, 若 $a^{\tan \theta}>b^{\tan \theta}>1$, 则下列关系式成立的是

代数


Question:
函数 $y=|\tan x| \cos x$ 的部分图象是

<ImageHere>

A.

<ImageHere>

C

<ImageHere>

B

<ImageHere>

D

代数

解析: 当 $x \in\left[0 ， \frac{\pi}{2}\right) \cup\left[\pi ， \frac{3 \pi}{2}\right)$ 时， $\tan x \geqslant 0$; 当 $x \in\left(\frac{\pi}{2} ， \pi\right)$ 时， $\tan x<0$.当 $x=\frac{\pi}{2}$ 或 $\frac{3 \pi}{2}$ 时， $\tan x$无意义.从而当 $x \in\left[0 ， \frac{\pi}{2}\right) \cup\left[\pi ， \frac{3 \pi}{2}\right)$ 时, $y=|\tan x| \cos x$ 与 $y=\sin x$ 的图象相同; 当 $x \in\left(\frac{\pi}{2} ， \pi\right)$时, $y=|\tan x| \cos x$ 与 $y=\sin x$ 的图象关于 $x$ 轴对称，故选 C.

答案: C


Question:
已知函数 $f(x)=A \cos (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0)$ 的部分图象如图所示, $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{2}{3}$, 则 $f(0)=$

<ImageHere>

代数

解析 : 由图象可知所求函数的周期为 $T=2\left(\frac{11 \pi}{12}-\frac{7 \pi}{12}\right)=\frac{2 \pi}{3}$ ，故 $\omega=\frac{2 \pi}{\frac{2 \pi}{3}}=3$. 将 $\left(\frac{11 \pi}{12} ， 0\right)$ 代入解析式，得 $A \cos \left(3 \times \frac{11 \pi}{12}+\varphi\right)=0$ ，即 $\cos \left(\frac{11 \pi}{4}+\varphi\right)=0$ ，

$\therefore \frac{11 \pi}{4}+\varphi=\frac{\pi}{2}+2 k \pi ， k \in \mathbf{Z} ， \therefore \varphi=-\frac{9 \pi}{4}+2 k \pi ， k \in \mathbf{Z}$. 令 $\varphi=-\frac{\pi}{4}$, 代入解析式得 $f(x)=$ $\operatorname{Acos}\left(3 x-\frac{\pi}{4}\right)$.

又 $\because\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{2}{3}, \therefore\left(\frac{\pi}{2}\right)=-A \sin \frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2} A=-\frac{2}{3}, \therefore A=\frac{2}{3} \sqrt{2}$.

$\therefore f(0)=\frac{2}{3} \sqrt{2} \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{2}{3} \sqrt{2} \cos \frac{\pi}{4}=\frac{2}{3}$.

答案: B


Question:
如图, 单摆从某点开始来回摆动, 离开平衡位置 $O$ 的距离 $s(\mathrm{~cm})$ 和时间 $t(s)$ 的函数关系式为 $s$ $=6 \sin \left(2 \pi t+\frac{\pi}{6}\right)$, 那么单摆来回摆动一次所需的时间为

<ImageHere>

A. $2 \pi \mathrm{s}$
B. $\pi \mathrm{s}$
C. $0.5 \mathrm{~s}$
D. $1 \mathrm{~s}$

代数

解析: 单摆来回摆动一次所需的时间为函数 $s=6 \sin \left(2 \pi t+\frac{\pi}{6}\right)$ 的周期. 又因为 $T=\frac{2 \pi}{2 \pi}=1$ ，所以单摆来回摆动一次所需的时间为 $1 \mathrm{~s}$ ，故选 D.

答案: D


Question: 商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数, “五一” 期间某一天商场的人流量满足函数 $F(t)=50+4 \sin \frac{t}{2}(t \geqslant 0)$, 则人流量增加的时间段是

代数

解析: 由 $2 k \pi-\frac{\pi}{2} \leqslant \frac{t}{2} \leqslant 2 k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathbf{Z}$ ，知函数 $F(t)$ 的单调递增区间为 $[4 k \pi-\pi, 4 k \pi+\pi], k \in \mathbf{Z}$.当 $k=1$ 时， $t \in[3 \pi ， 5 \pi]$. 因为 $[10 ， 15] \subseteq[3 \pi ， 5 \pi]$ ，故选 C.

答案: C


Question:
如图所示, 一个单摆以 $O A$ 为始边, $O B$ 为终边的角 $\theta(-\pi<\theta<\pi)$ 与时间 $t(\mathrm{~s})$ 满足函数关系式 $\theta$ $=\frac{1}{2} \sin \left(2 t+\frac{\pi}{2}\right), t \in[0,+\infty)$, 则当 $t=0$ 时, 角 $\theta$ 的大小及单摆频率是

<ImageHere>

代数

解析: 当 $t=0$ 时， $\theta=\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2}=\frac{1}{2}$ ，由函数解析式易知单摆周期为 $\frac{2 \pi}{2}=\pi$ ，故单摆频率为 $\frac{1}{\pi}$.答案: B


Question: 设集合 $M=\left\{\alpha \left\lvert\, \alpha=\frac{k \pi}{2}\right., k \in \mathbf{Z}\right\} \cup\left\{\alpha \left\lvert\, \alpha=k \pi+\frac{\pi}{4}\right., k \in \mathbf{Z}\right\}, N=\left\{\beta \left\lvert\, \beta=\frac{k \pi}{4}\right., k \in \mathbf{Z}\right\}$, 则集合 $M$与 $N$ 的关系是

A. $M N$
    B. $M N$
    C. $M=N$
    D. $M \cap N=\varnothing$

代数

解析: 集合 $M$ 中, $\alpha=\frac{k \pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$ 是 $\frac{\pi}{2}$ 的整数倍的角, 其终边在坐标轴上, $\alpha=k \pi+\frac{\pi}{4}(k \in \mathbf{Z})$ 的终边在直线 $y=x$ 上; 集合 $N$ 中, $\beta=\frac{k \pi}{4}(k \in \mathbf{Z})$ 是 $\frac{\pi}{4}$ 的整数倍角, 其终边在直线 $y=x$ 上, 或 $y$ 轴上, 或直线 $y=-x$ 上, 或 $x$ 轴上, 故 $M N$.

答案: B


Question:
下列等式中, 正确的个数为 (
(1) $0-\boldsymbol{a}=-\boldsymbol{a}$;
(2) $-(-a)=a$;
(3) $\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{a})=0$; (4) $\boldsymbol{a}+0=\boldsymbol{a}$; (5) $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{b})$; (6) $\boldsymbol{a}-(-$ a) $=0$.

代数


Question: 若 $k_{1} \boldsymbol{a}+k_{2} \boldsymbol{b}=0$, 则 $k_{1}=k_{2}=0$, 那么下面关于向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的判断正确的是 ( )

A. $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 一定共线
B. $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 一定不共线
C. $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 垂直
D. $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 中至少有一个为 0

代数

解析:由平面向量基本定理可知，当 $\boldsymbol{a} ， \boldsymbol{b}$ 不共线时， $k_{1}=k_{2}=0$

答案: B


Question: 设向量 $\boldsymbol{a}=(m, n), \boldsymbol{b}=(s, t)$, 定义两个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 之间的运算 “ $\otimes$ ” 为 $\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b}=(m s, n t)$. 若向量 $\boldsymbol{p}=(1,2), \boldsymbol{p}^{\otimes} \boldsymbol{q}=(-3,-4)$, 则向量 $\boldsymbol{q}=$

代数

解析: 设向量 $\boldsymbol{q}=(x, y)$ ，根据题意可得 $x=-3 ， 2 y=-4$ ，解得 $x=-3 ， y=-2$ ，即向量 $\boldsymbol{q}=(-3 ，-2) ，$ 故选 D.

答案: D


Question: <ImageHere>

代数

解析: $m \boldsymbol{a}+n \boldsymbol{b}=(2 m-n, 3 m+2 n), \boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}=(4,-1)$.

$\because(m \boldsymbol{a}+n \boldsymbol{b}) / /(\boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}), \therefore(2 m-n) \times(-1)-(3 m+2 n) \times 4=0$,

$\therefore 2 m=-n$ ，即 $\frac{m}{n}=-\frac{1}{2}$.

答案: A


Question:
下面给出的关系式中正确的个数是 ( )

(1) $0 \cdot \boldsymbol{a}=0$; (2) $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a} ;$ (3) $\boldsymbol{a}^{2}=|\boldsymbol{a}|^{2}$; (4) $|\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}| \leqslant \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} ;$ (5) $(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^{2}=\boldsymbol{a}^{2} \cdot \boldsymbol{b}^{2}$.

代数

解析: (1)(2)(3)正确，(4)(5)错误， $(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^{2}=(|\boldsymbol{a}| \cdot|\boldsymbol{b}| \cos \theta)^{2}=\boldsymbol{a}^{2} \cdot \boldsymbol{b}^{2} \cos ^{2} \theta \neq \boldsymbol{a}^{2} \cdot \boldsymbol{b}^{2}$.

答案: C


Question: 下列量不是向量的是

A. 力
B. 速度
C. 质量
D. 加速度

代数

解析: 质量只有大小, 没有方向, 不是向量.

答案: C


Question: 下列说法正确的是

A. 数量可以比较大小, 向量也可以比较大小

B. 方向不同的向量不能比较大小, 但同向的可以比较大小

C. 向量的大小与方向有关

D. 向量的模可以比较大小

代数

解析: 向量不能比较大小, 但是向量的模是实数, 可以比较大小.

答案: D


Question: 下列说法正确的是

A. 若 $|a|>|b|$, 则 $a>b$

B. 若 $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|$, 则 $a=b$

C. 若 $a=b$, 则 $a / / b$

D. 若 $a \neq b$, 则 $a, b$ 不是共线向量

代数

解析: 向量不能比较大小, 所以 $\mathrm{A}$ 不正确; $a=b$ 需满足两个条件: $a, b$ 同向且 $|a|=|b|$,所以 $\mathrm{B}$ 不正确; $\mathrm{C}$ 正确; 若 $a, b$ 是共线向量, 则 $a, b$ 方向相同或相反, $\mathrm{D}$ 不正确.

答案: $C$


Question:
给出下列结论:

(1)若用图象表示数列, 从图象上看都是一系列孤立的点;

(2)数列的项数都是无限的;

(3)数列可以看成是以正整数集或其有限子集 $\{1,2,3, \cdots, n\}$ 为定义域的函数.

其中正确的结论是（ ）

代数

解析 对于(1), 因为数列可以看成是以正整数集或其有限子集 $\{1,2,3 ， \ldots$, $\mathrm{n}\}$ 为定义域的函数，所以数列的图象都是一群孤立的点，正确;对于(2), 无穷数列的项数是无限的, 但有穷数列的项数是有限的, 故错误.对于(3), 数列可以看成是以正整数集或其有限子集 $\{1,2 ， 3 ， \ldots$,$\} 为定义域$的函数, 故正确; 故选 B.


Question:
<ImageHere>
(4) $a_{n}=\left|\sin \frac{n \pi}{2}\right|$, 其中能作为数列: $0,1,0,1,0,1,0,1, \cdots$ 的通项公式的是 ( )

代数

<ImageHere>(2) $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\frac{1+(-1)^{n}}{2}$, 满足条件; (3) $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\frac{1+\cos n \pi}{2}$, 满足条件;(4) $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\left|\sin \frac{n \pi}{2}\right|, \mathrm{n}=1$ 时, $\mathrm{a}_{1}=1 ; \mathrm{n}=2$ 时, $\mathrm{a}_{2}=0$, 以此类推, 不满足条件; 故选:A.


Question:
已知向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 是两个非零向量, 在下列四个条件中, 一定能使 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 共线的是

(1) $2 \boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b}=4 \boldsymbol{e}$ 且 $\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}=-2 \boldsymbol{e}$;

(2)存在相异实数 $\lambda, \mu$, 使 $\lambda \boldsymbol{a}-\mu \boldsymbol{b}=0$;

(3) $x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}=0$ (其中实数 $x, y$ 满足 $x+y=0$ );

(4)已知梯形 $A B C D$, 其中 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{C D}=\boldsymbol{b}$.

代数

解析: 由 $2 \boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b}=-2(\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b})$ 得 $\boldsymbol{b}=-4 \boldsymbol{a}$ ，故(1)正确; 由 $\lambda \boldsymbol{a}-\mu \boldsymbol{b}=0$ ，得 $\lambda \boldsymbol{a}=\mu \boldsymbol{b}$ ，故(2)正确; 若 $x=y=0 ， x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}=0$ ，但 $\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 不一定共线，故(3)错误; 梯形 $A B C D$ 中，没有说明哪组对边平行，故(4)错误.

答案: A


Question: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足递推关系: $a_{n+1}=\frac{a_{n}}{a_{n}+1}, a_{1}=\frac{1}{2}$, 则 $a_{2017}=(\quad)$

代数


Question: 实数集 $R$, 设集合 $P=\left\{x \mid x^{2}-4 x+3 \leq 0\right\}, Q=\left\{x \mid x^{2}-4<0\right\}$, 则 $P \cup\left(C_{R} Q\right)=(\quad)$

代数

实数集 $R$, 集合 $P=\left\{x \mid x^{2}-4 x+3 \leq 0\right\}=\{x \mid 1 \leq x \leq 3\} ， Q=\left\{x \mid x^{2}-4<0\right\}=\{x \mid-2<x<2\}$, $\therefore \mathrm{C}_{\mathrm{R}} \mathrm{Q}=\{\mathrm{x} \mid \mathrm{x} \leq-2$ 或 $\mathrm{x} \geq 2\}, \therefore \mathrm{P} \cup\left(\mathrm{C}_{\mathrm{R}} \mathrm{Q}\right)=\{\mathrm{x} \mid \mathrm{x} \leq-2$ 或 $\mathrm{x} \geq 1\}=(-\infty,-2] \cup[1,+\infty)$. 故选 $\mathrm{D}$.


Question: 已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-2 x-3<0\right\}$, 集合 $B=\left\{x \mid 2^{x+1}>1\right\}$, 则 $C_{B} A=（ ）$

代数


Question: 函数 $f(x)=\log _{2}\left(x^{2}+2 x-3\right)$ 的定义域是 ( () $)$

代数


Question: 不等式 $x^{2}-4 x+3<0$ 的解集为 ( )

代数


Question: 不等式 $\left(\frac{1}{2}-x\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)>0$ 的解集为 ( )

A. $\left\{x \left\lvert\, \frac{1}{3}<x<\frac{1}{2}\right.\right\}$
B. $\left\{x \left\lvert\, x>\frac{1}{2}\right.\right\}$
C. $\left\{x \left\lvert\, x<\frac{1}{3}\right.\right\}$
D. $\left\{x \left\lvert\, x<\frac{1}{3}\right.\right.$ 或 $\left.x>\frac{1}{2}\right\}$

代数

不等式 $\left(\frac{1}{2}-x\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)>0$ 可化为 $\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)<0$; 解得 $\frac{1}{3}<x<\frac{1}{2}$;

$\therefore$ 原不等式的解集为 $\left\{\mathrm{x} \left\lvert\, \frac{1}{3}<\mathrm{x}<\frac{1}{2}\right.\right\}$. 故选: A.


Question: 已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-x-2<0\right\}, B=\{y \mid y=3 x, x \leq 0\}$, 则 $A \cap B=$ ( )

代数

集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-x-2<0\right\}=\{x \mid-1<x<2\}=(-1,2)$,

$\mathrm{B}=\left\{\mathrm{y} \mid \mathrm{y}=3^{\mathrm{x}}, \mathrm{x} \leq 0\right\}=\{\mathrm{y} \mid 0<\mathrm{y} \leq 1\}=(0,1] ; \therefore \mathrm{A} \cap \mathrm{B}=(0,1]$. 故选 D.

10 . B 解析: 当 $a>1$ 时, $A=(-\infty, 1] \cup[a,+\infty), B=[a-1,+\infty)$, 若 $A \cup B=R$, 则 $a-1 \leq 1, \therefore 1<a \leq 2$;

当 $a=1$ 时, 易得 $A=R, A \cup B=R$; 当 $a<1$ 时, $A=(-\infty, a] \cup[1,+\infty), B=[a-1,+\infty)$,

若 $A \cup B=R$, 则 $a-1 \leq a$, 显然成立, $. a<1$; 综上, $a$ 的取值范围是 $(-\infty, 2]$. 故选 B.


Question: 某公司有 60 万元资金, 计划投资甲、乙两个项目, 按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 $\frac{2}{3}$ 倍, 且对每个项目的投资不能低于 5 万元, 对项目甲每投资 1 万元可获得 0\.4 万元的利润，对项目乙每投资 1 万元可获得 0\.6 万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )

代数

解析 设投资甲项目 $x$ 万元，投资乙项目 $y$ 万元，

<ImageHere>

可获得利润为 $z$ 万元, 则 $\left\{\begin{array}{l}x+y \leqslant 60, \\ x \geqslant \frac{2}{3} y, \\ x \geqslant 5, \\ y \geqslant 5,\end{array}\right.$

$z=0\.4 x+0\.6 y$.

由图象知,

目标函数 $z=0\.4 x+0\.6 y$ 在 $A$ 点取得最大值.

$\therefore y_{\max }=0\.4 \times 24+0\.6 \times 36=31\.2$ (万元).


Question: 某加工厂用某原料由甲车间加工出 $A$ 产品, 由乙车间加工出 $B$ 产品, 甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时, 可加工出 7 千克 $A$ 产品, 每千克 $A$ 产品获利 40 元, 乙车间加工一箱原料耗费工时 6 小时, 可加工出 4 千克 $B$ 产品, 每千克 $B$ 产品获利 50 元. 甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工, 每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时, 甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )

A. 甲车间加工原料 10 箱, 乙车间加工原料 60 箱

B. 甲车间加工原料 15 箱, 乙车间加工原料 55 箱

C. 甲车间加工原料 18 箱, 乙车间加工原料 50 箱

D. 甲车间加工原料 40 箱, 乙车间加工原料 30 箱

<ImageHere>

代数

解析 设甲车间加工原料 $x$ 箱, 乙车间加工原料 $y$ 箱, 由题意可知

<ImageHere>

甲、乙两车间每天总获利为 $z=280 x+200 y$.

画出可行域如图所示.

点 $M(15,55)$ 为直线 $x+y=70$ 和直线 $10 x+6 y=480$ 的交点, 由图象知在点 $M(15,55)$ 处 $z$取得最大值.


Question: 如图所示, 目标函数 $z=k x-y$ 的可行域为四边形 $O A B C$, 点 $B(3,2)$ 是目标函数的最优解, 则 $k$ 的取值范围为 ( )

代数

解析 $y=k x-z$. 若 $k>0$, 则目标函数的最优解是点 $A(4,0)$ 或点 $C(0,4)$, 不符合题意.

$\therefore k<0, \because$ 点 $(3,2)$ 是目标函数的最优解.

$\therefore k_{A B} \leqslant k \leqslant k_{B C}$, 即 $-2 \leqslant k \leqslant-\frac{2}{3}$.


Question: 设 $a, b \in R$, 若 $a-|b|>0$, 则下列不等式正确的是 ( )

代数

由a- $|b|>0$ 得 $a>|b| \therefore a>|b|>0 \therefore a> \pm b \therefore a+b>0$


Question: 设 $\frac{1}{3}<\left(\frac{1}{3}\right)^{\mathrm{b}}<\left(\frac{1}{3}\right)^{\mathrm{a}}<1$, 则 ( )

代数

$\because \frac{1}{3}<\left(\frac{1}{3}\right)^{\mathrm{b}}<\left(\frac{1}{3}\right)^{\mathrm{a}}<1, \quad \therefore 0<\mathrm{a}<\mathrm{b}<1 . \therefore \mathrm{b}^{\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{b}}}{}}=\mathrm{a}^{\mathrm{a}-\mathrm{b}}>1 . \therefore \mathrm{a}^{\mathrm{b}}<\mathrm{a}^{\mathrm{a}}$.

$\because \mathrm{a}^{\mathrm{a}}=\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right)^{\mathrm{a}}, \quad, \quad \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}<1, \mathrm{a}>0, \quad \therefore\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right)^{\mathrm{a}}<1 . \therefore \mathrm{a}^{\mathrm{a}}<\mathrm{b}^{\mathrm{a}} . \therefore \mathrm{a}^{\mathrm{b}}<\mathrm{a}^{\mathrm{a}}<\mathrm{b}^{\mathrm{a}}$. 故答案为: $\quad \mathrm{C}$


Question: 已知 $\mathrm{x} \in \mathrm{R}$, 设 $\mathrm{M}=\mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}, \mathrm{N}=\mathrm{x}-2$, 则 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 的大小关系为 ( )

A. $\mathrm{M}>\mathrm{N}$
B. $\mathrm{M}<\mathrm{N}$
C. $\mathrm{M}=\mathrm{N}$
D. 无法确定

代数


Question:
对于任意实数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}$, 给出下列叙述:

(1)若 $a>b, c \neq 0$, 则 $a c>b c$;(2)若 $a>b$, 则 $a c^{2}>b c^{2}$;(3)若 $a c^{2}>b c^{2}$, 则 $a>b$.
其中, 正确叙述的个数是 ( )

代数


Question: 设 $x=\sqrt{2}, y=\sqrt{7}-\sqrt{3}, z=\sqrt{6}-\sqrt{2}$, 则 $x, y, z$ 的大小关系是 ( )

A. $x>y>z$
B. $\mathrm{z}>\mathrm{x}>\mathrm{y}$
C. $y>z>x$
D. $\mathrm{x}>\mathrm{z}>\mathrm{y}$

代数

$\mathrm{y}=\sqrt{7}-\sqrt{3}=\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}, \quad \mathrm{z}=\sqrt{6}-\sqrt{2}=\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}, \quad \because \sqrt{7}+\sqrt{3}>\sqrt{6}+\sqrt{2}>0, \quad \therefore \mathrm{z}>\mathrm{y}$.

$\because x-z=\sqrt{2}-\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{2 \sqrt{3}+2-4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{2 \sqrt{3}-2}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}>0, \quad \therefore x>z . \therefore x>z>y$. 故答案为: $D$


Question: 若 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}<0$, 则下列结论不正确的是 ( )

代数

因为 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}<0$, 所以 $\left\{\begin{array}{l}a<0, \\ b<0, \text { 则 } a^{2}<a b<b^{2}, \text { 且 } a+b<0, \\ a>b,\end{array}\right.$ 故选项 A、B、C 正确, 而 $|a|+|b|=|a+b|$, 故 D 错误.


Question: 不等式 $\frac{3 x-1}{2-x} \geq 1$ 的解集是 ( )

A. $\left\{\left.x\right|_{4} ^{3} \leq x \leq 2\right\}$
B. $\left\{\left.x\right|_{4} ^{3} \leq x<2\right\}$
C. $\left\{x \mid x>2\right.$ 或 $\left.x \leq \frac{3}{4}\right\}$
D. $\left\{x \left\lvert\, x \geq \frac{3}{4}\right.\right\}$

代数

不等式 $\frac{3 x-1}{2-x} \geq 1$, 移项得: $\frac{3 x-1}{2-x}-1 \geq 0$, 即 $\frac{x-\frac{3}{4}}{x-2} \leq 0$,

可化为 $\left\{\begin{array}{l}\left(x-\frac{3}{4}\right)(x-2) \leq 0 \\ x \neq 2\end{array}\right.$ 解得: $\frac{3}{4} \leq \mathrm{x}<2$, 则原不等式的解集为 $\left\{x \left\lvert\, \frac{3}{4} \leq x<2\right.\right\}$,


Question: 不等式 $\frac{x+2}{3-x}>2$ 的解集是 ( )

A. $\left\{\left.x\right|_{3} ^{4}<x<3\right\}$
B. $\left\{x \left\lvert\, x<\frac{4}{3}\right.\right.$ 或 $\left.x>3\right\}$
C. $\left\{x \left\lvert\, x>\frac{4}{3}\right.\right\}$
D. $\left\{x \left\lvert\, x<\frac{4}{3}\right.\right\}$

代数


Question: 不等式 $x^{2}-a x-a \leq-3$ 的解集不是空集, 则实数 $a$ 的取值范围是 ( )

代数

由关于 $\mathrm{x}$ 的不等式 $\mathrm{x}^{2}-\mathrm{ax}-\mathrm{a} \leq-3$ 的解集不是空集,

得对应方程 $x^{2}-a x-a+3=0$ 有实数根, 即 $\Delta=a^{2}+4(a-3) \geq 0$,

解得 $a \geq 2$ 或 $a \leq-6$; 所以 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,-6] \cup[2,+\infty)$. 故选 D.


Question: 不等式 $\frac{1}{x}>1$ 的解集是 ( )

代数

不等式 $\frac{1}{x}>1$ 可知 $\mathrm{x}>0$,

不等式化为 $x<1$, 所以不等式的解集为: $\{x \mid 0<x<1\}$. 故选:C.


Question: 若集合 $A=\left\{x \left\lvert\, \frac{1}{3}<3^{x+1} \leq 9\right.\right\}, B=\left\{x \mid \log _{2} x \leq 1\right\}$, 则 $A \cup B$ 等于 ( )

代数


Question: 在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=2, a_{n+1}=a_{n}+\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$, 则 $a_{n}$ 等于 $(\quad)$

代数


Question: 设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x \geq 0, \\ y \geq x, \\ 4 x+3 y \leq 12,\end{array}\right.$ 且 $z=\frac{x+2 y+3}{x+1}$, 则 $z$ 的取值范围是 ( )

代数

作出不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x \geq 0, \\ y \geq x, \\ 4 x+3 y \leq 12\end{array}\right.$ 表示的平面区域, 如图阴影部分所示, 目标函数 $z=\frac{x+2 y+3}{x+1}=\frac{(x+1)+2(y+1)}{x+1}=1+2 \times \frac{y+1}{x+1}$, 表示可行域内的点与 $(-1,-1)$ 的连线的斜率的 2 倍与 1 的和, 其斜率的最小值为 $k_{\text {min }}=1$, 最大值为 $k_{\text {max }}=\frac{4-(-1)}{0-(-1)}=5$, 所以 $z$ 的取值范围是 $[3,11]$,故选 D.

<ImageHere>


Question: 设变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y \geq 0, \\ x+2 y-2 \geq 0, \\ x \leq 0, \\ y \leq 3,\end{array}\right.$ 则目标函数 $z=x+y$ 的最大值为 $(\quad)$

代数

<ImageHere>

目标函数为四边形 $\mathrm{ABCD}$ 及其内部, 其中 $A(0,1), B(0,3), C\left(-\frac{3}{2}, 3\right), D\left(-\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)$, 所以直线 $z=x+y$ 过点 $\mathrm{B}$ 时取最大值 3 , 选 D.


Question: 设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y \geq a \\ x-y \leq-1\end{array}\right.$, 且 $z=x+a y$ 的最小值为 7 , 则 $a=(\quad)$

代数

<ImageHere>

根据题中约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x+y \geq a \\ x-y \leq-1\end{array}\right.$ 可画出可行域如图所示,

两直线交点坐标为: $A\left(\frac{a-1}{2}, \frac{a+1}{2}\right)$,

当 $a=0$ 时, $z=x+a y$ 无最小值;

当 $a<0$ 时, $z=x+a y$ 在 $A\left(\frac{a-1}{2}, \frac{a+1}{2}\right)$ 处取最大值, 无最小值.

当 $a>0$ 时, $z=x+a y$ 在 $A\left(\frac{a-1}{2}, \frac{a+1}{2}\right)$ 处有最小值:

$z=\frac{a-1}{2}+a \times \frac{a+1}{2}=\frac{a^{2}+2 a-1}{2}$, 则 $\frac{a^{2}+2 a-1}{2}=7$, 解得 $a=3$, 故选 B.


Question: 已知 $x>0, y>0$, 且 $x+y=2 x y$, 则 $x+4 y$ 的最小值为

代数


Question: 设正实数 $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ 满足 $\mathrm{x}^{2}-3 \mathrm{xy}+4 \mathrm{y}^{2}-\mathrm{z}=0$, 则当 $\frac{z}{x y}$ 取得最小值时, $\mathrm{x}+2 \mathrm{y}-\mathrm{z}$ 的最大值为 ( )

代数


Question: 若 $x>0, y>0$, 且 $\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1, x+2 y>m^{2}+7 m$ 恒成立, 则实数 $m$ 的取值范围是 ( )

代数