Question: 2018 年第 23 届冬季奥林匹克运动会短道速滑男子 500 米决赛中, 我国运动健儿武大靖夺得金牌,并刷新世界纪录和奥运会纪录，下列选项中的时间分别是他和其他两名选手的成绩，武大靖所花时间是（）。

计数

解C

【分析】要考虑 5.0 是一个两位小数的近似数, 有两种情况:

“四舍”得到的 5.0 , 有 $5.00 、 5.01 、 5.02 、 5.03 、 5.04$, 其中最大是 5.04; “五入”得到的 5.0, 有 4.95、4.96、4.97、4.98、4.99, 其中最小是 4.95。

【详解】一个两位小数精确到十分位约是 5.0 , 这个数最小是 4.95 。

故答案为: $\mathrm{C}$

【点睛】已知小数的近似数, 利用“四舍”法得到最大的原数, “五入”法得到最小的原数。


Question: 在小数 1.356 中，数字“ 6 ”的计数单位是（）。

计数

解D

【分析】根据小数的组成, 首先搞清这个数字在什么数位上和这个数位的计数单位, 这个数位上是几它就表示有几个这样的计数单位。据此解答。

【详解】在小数 1.356 中, 数字“ 6 ”在千分位上, 千分位的计数单位是千分之一, 写成小数是 0.001 。选项 D 符合题意。

故答案为: D
【点睛】本题考查了小数的组成及数位和计数单位知识, 结合题意分析解答即可。


Question: 要使大、小两个圆组成的图形有无数条对称轴, 应采取图( )的画法。

A.

<ImageHere>
B.

<ImageHere>
C.

<ImageHere>
D.

<ImageHere>

图论


Question: （2022 春・安新县期末）已知 $O+\triangle=\square$, 下面算式正确的是 ( )

A. $\triangle+\square=O$
B. $O-\square=\triangle$
C. $\square-\triangle=O$

代数

解【解答】解: 已知 $O+\triangle=\square$, 下面算式正确的是 $\square-\triangle=O$ 。

故选: $C$ 。


Question: <ImageHere>

A. $\tilde{\Psi}+\square=0$
   B. $0-\square=\underset{\aleph}{ }$

<ImageHere>

代数


Question: 已知 $\bigcirc+\square=※, \triangle \times \odot=\otimes$, 下面算式中错误的是（）。

A. $\square+※=0$
B. $※-\bigcirc=\square$
C. $\otimes \div \odot=\triangle$
D. $\odot \times \triangle=\otimes$

逻辑题


Question: 平行四边形的内角和是 ( $\quad)^{\circ}$ 。

解析几何


Question: 一个三角形中最大的角是 $88^{\circ}$, 这是一个 ( ) 三角形。

A. 锐角
B. 直角
C. 钝角
D. 等边

解析几何

解A

【分析】因为最大的角小于 90 度, 即最大的角是锐角, 则三角形的三个内角都是锐角, 根据锐角三角形的含义: 三个角都是锐角的三角形, 叫做锐角三角形。

【详解】最大的角小于 $90^{\circ}$ 的三角形, 一定是锐角三角形。

故答案为: A

【点睛】此题主要是根据三角形内角和定理来判断另两个角分别是什么角, 从而根据三角形的分类方法来判定。


Question: 5 个苹果约重 ( $\quad$ )。

算术


Question: 每只小猫重 2 千克, （）只小猫重 8000 克。

算术


Question: 1 只鹅的质量等于 2 只鸭的质量, 已知 1 只鹅重 8 千克, 1 只鸭重（）千克。

算术


Question:
买 1 千克苹果需要 5 元钱, 现有 32 元钱, 最多可买 (

) 千克的苹果。

算术


Question: 亮亮今年上二年级，他的身高大约是（）。

算术


Question: 计算算式 96-32+28, 得数是 ( $\quad$ )。

算术


Question: 一本 50 页纸的本子，上星期用去 21 页，这个星期用去（）页，还剩 6 页。

算术


Question: 车上原来有 43 人, 下来了 24 人, 又上去了 19 人, 现在车上有 ( ) 人。

算术


Question: 一根长 80 米的绳子, 第一次剪去 36 米, 第二次剪去 25 米, 这根绳子比原来短了多少米？正确的列式是（

算术


Question: 妈妈买鱼花了 15 元，付了一张 50 元，应找回（）元。

算术


Question: 下面不能用 “三五十五” 来计算的算式是（）。

算术


Question: 3 个 4 加上 5 , 和是多少？正确列式是（）。

算术


Question: 平均每只信鹋送 6 封信 4 只信鹋可以送多少封信? 列式为

算术


Question: 6+6+6+5, 不可以改写成算式 $(\quad) 。$

算术


Question: 芳芳看一本书, 从第一页看起, 每天看 9 页, 到了第 6 天她应该从第几页看起? （）

算术


Question: 计算算式 96-32+28, 得数是 ( )。

算术


Question: $6+6+6+5$, 不可以改写成算式 ( ) 。

算术


Question: $7 \times 8=56$, 算式中的 “ 56 ” 是（ ）。

算术


Question: 比较大小： $36+28 \mathrm{O} 6 \times 9$, $\mathrm{O}$ 里应填 ( )。

算术


Question: 下列口诀中只能用来计算一个乘法算式的是（）。

A. 二三得六
B. 七七四十九
C. 三五十五

算术


Question: 6 个 8 连加得多少?算式是 ( $\quad$ ）。

算术


Question: 买一个西瓜 9 元钱，买 3 个西瓜需要多少元钱?列式计算为（）。

算术


Question: 一场电影的播放时间是 80 分钟, 再加上（）分钟是 2 小时。

算术


Question: 时针刚走过数字 4 , 分针从 12 开始走（）个大格, 就是 4 时 25 分。

算术


Question: $30 \div 6=5$, 读作 ( )。

算术


Question: 下列算式中, 商最大的算式是 ()。

算术


Question: 二年(2)班参加舞蹈队的同学站了 5 排, 每排站 6 人, 其中男生有 9 人, 求女生有多少人。用算式表示是( $\quad$ 。

算术


Question: 下面四种袜子的质量是一样的, 买哪一种最便宜？（）

A.

<ImageHere>
B.

<ImageHere>
C.

<ImageHere>
D.

<ImageHere>

算术

$\mathrm{B}$

【分析】分别求出每种袜子的单价再作比较, 单价最低的就是最便宜的。

【详解】A. $12 \div 2=6 （$ 元 $)$

B. $15 \div 3=5$ （元）

C. $30 \div 5=6 （$ 元 $)$

D. $7 \div 1=7 （$ 元 $)$

$5<6=6<7$

所以 15 元 3 双的最便宜。

故答案为: B

【点睛】算出每种袜子的单价是解题关键。


Question: 下面的算式中, 得数最大的是（ ）。

算术

$\mathrm{C}$

【分析】根据表内乘法依次计算出各个算式的得数, 然后进行比较即可。

【详解】A. $48 \div 6=8$

B. $54 \div 6=9$

C. $2 \times 5=10$

D. $30 \div 6=5$

故答案为: C

【点睛】熟练掌握内乘法口诀, 利用口诀正确计算出结果是解答此题的关键, 要注意平时计算能力的培养。


Question: 下面计算中，不能利用乘法口诀“六八四十八”来计算的是（ ）。

算术

$\mathrm{C}$

【分析】思考每个选项中的算式所应用的乘法口诀, 逐项分析后选择正确的答案。

【详解】A. 计算 $6 \times 8$ 所应用的乘法口诀是：六八四十八;

B. 计算 $48 \div 6$ 所应用的乘法口诀是：六八四十八;

C. 计算 $32 \div 8$ 所应用的乘法口诀是：四八三十二;

D. 计算 $48 \div 8$ 所应用的乘法口诀是：六八四十八;

所以，不能利用乘法口诀“六八四十八”来计算的是 $32 \div 8$ 。

故答案为: C

【点睛】本题考查乘法口诀的应用, 要熟记每句口诀和对应算式的关系。


Question: 21 根平均分给 3 只小白兔, 每只小白兔分到几根? 列式为:

算术

$\mathrm{B}$

【分析】分析题意是平均分给 3 只小白兔, 每只小白兔分到的根数相同, 用除法计算, 运用 7 的乘法
口诀求出商。

【详解】根据分析列式为: $21 \div 3=7$ (根) , 所以每只小白兔分到 7 根。

故答案为: B

【点睛】 掌挃除法的意义, 能运用 7 的乘法口诀求商。


Question: $8 \times$ 口 $<64$, 最大可以填（）。

算术

$\mathrm{B}$

【分析】利用 8 的乘法口诀求商解答。

【详解】 $64 \div 8=8$

$8-1=7$

因此最大填 7 。

故答案为: B

【点睛】本题考查了用 8 的乘法口诀求商的应用。


Question: 求 42 里面有几个 7 ? 正确的解答是（）。

算术


Question: 根据“七八五十六”可以写出（）道除法算式。

算术

$\mathrm{B}$

【分析】根据“七八五十六”可以写出的算式有： $7 \times 8=56 、 8 \times 7=56 、 56 \div 7=8 、 56 \div 8=7$ 。

【详解】则经分析得知根据“七八五十六”可以写出 2 道除法算式。

故答案为: B。

【点睛】要牢记并灵活运用乘法口诀。


Question: 一袋饼干有 40 块, 每次从袋中拿出 5 块, ( ) 次可以拿完。

算术


Question: 27 里面有几个 9？列式是（）。

算术


Question: 下面哪个问题不可以用 $42 \div 7$ 来解决?

A. 42 个苹果, 平均分给小明和他的 6 名同学, 每人分几个?

B. 42 个苹果, 每 7 个装一袋, 可以装几袋?

C. 42 个苹果, 已经吃了 7 个, 还剩几个?

算术


Question: 一道除法题, 除数是 9 , 乐乐把被除数的十位数字和个位数字看颠倒了, 结果除得的商是 4 , 这道题正确的商应该是 ( $\quad$ )。

算术


Question: 计算下列算式时, 不用“七九六十三”这句口块的是（）。

算术


Question: 一根 35 米长的木头, 如果锯成若干段, 每段长 7 米, 要锯 ( ) 次。

算术


Question: 王老师每周工作 40 小时, 一周有 5 个工作日, 平均每天工作（ ）小时。

算术


Question: 一支 5 元钱，小明有 40 元钱，能买 $(\quad)$ 支支

算术


Question: $48 \div 8=(\quad)$ 。

算术

$\mathrm{C}$

【分析】此题可根据乘法口诀和表内除法来解答。

【详解】除数是 8 , 根据 8 的乘法口诀“六八四十八”, 可得出结果是 6 。

故答案为: C

【点睛】本题考查的要点是熟练掌握乘法口诀和表内除法。


Question: 下面不是用口诀三七二十一计算的式子是（）。

算术

A

【分析】口诀三七二十一可以写成 3 与 7 相乘, 也可以用来计算 21 除以 3 或 7。

【详解】A. $7 \times 7$ 用的口诀是七七四十九;

B. $3 \times 7$ 用的口诀是三七二十一;

C. $21 \div 3$ 用的口诀是三七二十一。

故答案为: A

【点睛】灵活运用表内乘法口诀是解题关键。


Question: 有 30 棵柳树, 平均栽成 5 行。当提出的问题是（ ）时, 算式才能列为 $30 \div 5=6$ 。

A. 平均裁成几行?
B. 有多少棵柳树?
C. 每行有几棵?

算术

$\mathrm{C}$

【分析】由题干可知, 共有 30 棵柳树, 平均栽成 5 行, 根据平均分的意义, 则（30:5）表示每行裁了多少棵, 即可进行选择。

【详解】有 30 棵柳树, 平均栽成 5 行。当提出的问题是：每行有几棵时, 算式才能列为 $30 \div 5=6$ 。故答案为: C

【点睛】本题考查的是有关除法的相关应用题, 关键是能够理清关系, 理解平法平均分的意义。


Question: 计算 72 里有几个 9 , 正确的算式是（）。

算术

$\mathrm{B}$

【分析】计算 72 里有几个 9, 根据除法的意义, 即用 72 除以 9 即可。

【详解】计算 72 里有几个 9 , 正确的算式应该是 $72 \div 9$ 。

故答案为: $\mathrm{B}$

【点睛】除法算式中, 总数作被除数, 平均每组的个数作除数。


Question: 一道除法题, 除数是 3 , 小明把被除数的十位数字和个位数字看颠倒了, 结果除得的商是 7 。这道题被除数应该是 $(\quad)$ 。

算术

$\mathrm{B}$

【分析】根据被除数=除数 $\times$ 商求出颠倒后的被除数, 再将个位和十位对调即可。

【详解】 $3 \times 7=21$ 所以正确的被除数是 12 。

故答案为: B

【点睛】本题考查了被除数、除数和商之间的关系, 需熟练掌握, 灵活使用。


Question: $\circ+\circ+\circ+\circ=36$, $\circ$ 代表的数是（）。

算术

$\mathrm{B}$
【分析】一共有 4 个○相加得 36 , 也就是把 36 平均分成 4 份, 每份是多少, 用除法计算即 36 除以 4 ;据此解答。

【详解】 $36 \div 4=9$, 所以 0 代表的数是 9 。

故答案为: B

【点睛】本题考查表内除法的计算。


Question: 1 件上衣需要钉 6 个纽扣, 42 个纽扣能钉 ( ) 件这样的上衣。

算术

$\mathrm{B}$

【分析】要计算 42 个纽扣能钉几件这样的上衣, 就是求 42 里面有几个 6 , 列式为: $42 \div 6$ 。

【详解】 $42 \div 6=7$ (件)

故答案为: $\mathrm{B}$


Question: 与 $6 \times 8$ 使用同一句口诀的算式是 ( )。

算术

A

【分析】 $6 \times 8$ 使用的乘法口诀是：六八四十八，由此对各个选项进行判断即可求解。

【详解】A. $48 \div 8=6$, 使用的乘法口诀是“六八四十八”;

B. $6 \times 7=42$, 使用的乘法口诀是“六七四十二”;

C. $24 \div 6=4$, 使用的乘法口诀是“四六二十四”;

所以与 $6 \times 8$ 使用同一句口诀的算式是: $48 \div 8$ 。

故答案为: A

【点睛】解答本题的关键是熟练掌握乘法口诀。


Question: 45 里面有几个 9? 列式正确的是 ( ）。

算术

$\mathrm{B}$

【分析】要求 45 里面有几个 9 , 用 $45 \div 9$ 即可得出答案。

【详解】要求 45 里面有几个 9 , 列式为: $45 \div 9=5$ 。

故答案为: B

【点睛】本题考查学生对表内乘法的掌握和运用。


Question: 下列算式中, 得数不是 9 的是 ( )。

算术


Question: $48 \div 6=8$, 当被除数和除数都增加 1 时, 商是 ( )。

算术


Question: 从 27 里面连续减去 $9,(）$ 次减完。

算术

A

【分析】问几次能减完, 就是求 27 里面有几个 9, 用除法计算, 根据 9 的表内乘法口诀求商。

【详解】 $27 \div 9=3$

故答案为: A

【点睛】理解包含除法的意义及应用。


Question: 把 72 平均分成 8 份, 求每份是多少? 列算式是 ( )。

算术

A

【分析】每份分得同样多, 叫平均分, 除法就是用来解决平均分问题的。结合题意可列算式: 72 $\div$ 。

【详解】 $72 \div 8=9$

故答案为: A


Question: 把 27 根棒棒糖平均分给 9 个小朋友, 每人得 ( ) 根。

算术

$\mathrm{B}$

【详解】要计算每人分得几根棒棒糖, 就是看 27 里面有几个 9 , 列式为: $27 \div 9=3$ (根)。故答案为: B


Question: 下面的口诀中, 只能写一道除法算式的是（ ）。

A. 一六得六
B. 二四得八
C. 七七四十九

算术

$\mathrm{C}$

【分析】可逐项分析每个口诀并写出相应的算式, 根据算式的具体情况做选择。

【详解】A. $6 \div 6=1,6 \div 1=6$;

B. $8 \div 4=2,8 \div 2=4$;

C. $49 \div 7=7$ 。

故答案为: C


Question: 除数和商都是 8 , 被除数是 $(\quad)$ 。

算术


Question: 妈妈用 54 元买了 9 只盘子, 一只盘子 ( ） 元。

算术


Question: 只能写一道乘法算式和一道除法算式的口诀是 ( )。

A. 四八三十二
B. 二四得八
C. 七七四十九

算术


Question: 有 28 个苹果, $(\quad)$, 平均每箱装多少个?

A. 每箱装 7 个
B. 装在 7 个箱子里
C. 又买来了 7 个

算术


Question: 54 里有几个 9 ? 可以列式为（ ）。

算术


Question: 下列算式中，商最小的算式是 $(\quad ）$ 。

算术


Question: 40 个苹果每盘放 8 个, 可以放多少盘? 列式为 ( $\quad$ 。

算术

B

【分析】用苹果的总数除以每盘放的苹果数量即可解答。

【详解】由分析可得：正确列式为： $40 \div 8=5$ (盘)

故答案为: B

【点睛】熟练掌握表内乘法是解题的关键。


Question: $63 \div 7 \bigcirc 63 \div 9$,里应填 ( )。

算术


Question: 估计一下，一个成年人每天吃进的食物大约有（）。

计数


Question: 20 里面有 4 个 ( )。

计数


Question:
淘气调查了学校五个同学的年龄, 数据如下表。

| 姓名 | 李刚 | 赵四 | 张三 | 陈梅 | 王芳 |
| :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| 年龄 |  7   |  9   |  8   |  10  |  8   |

下列说法不正确的是 $(\quad)$ 。

A.李刚年龄最小
B.陈梅年龄最大
C.张三和王芳一定同班

计数


Question:
橡皮擦长 ( ) 厘米。

<ImageHere>

度量几何学


Question: 下面的物体中, ( ) 的高度最接近 1 米。

A. 台灯
B. 讲台
C. 教室的门

度量几何学


Question: 二（1）班小亮的一拃大约有（）厘米。

度量几何学


Question: 下面可以用来计量物体长度的单位是（）。

度量几何学


Question:
如图, (1)号角和(2)号角相比，（）。

<ImageHere>

(1)

<ImageHere>

(2)

度量几何学


Question: 三角尺上的直角与黑板上的直角大小（）。

A. 不相等
B. 相等
C. 不能比较

度量几何学


Question: 一个三角板上, 有 ( ) 个锐角。

度量几何学


Question: 下列图形中, 有一个直角的是 (

A.

<ImageHere>
B.

<ImageHere>
C.

<ImageHere>
D.

<ImageHere>

画法几何学


Question:
下面图形

<ImageHere>

A.

<ImageHere>
B.

<ImageHere>
C.

<ImageHere>

画法几何学

$\mathrm{B}$

【分析】把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离, 图形的这种移动, 叫做平移; 在平面内, 将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度, 这样的运动叫做图形的旋转; 据此解答即可。

【详解】A.

<ImageHere>

B.

<ImageHere>

C.

<ImageHere>

故答案为: B

【点睛】本题主要考查平移和旋转的意义, 在实际当中的运用。


Question: 下列图形中, 有一个直角的是（）。

A.

<ImageHere>
B.

<ImageHere>
C.

<ImageHere>

<ImageHere>

解析几何


Question: 用 $3 、 5 、 0$ 三个数字组成的两位数有 $(\quad)$ 个。

组合数学


Question: 有一件上衣, 四条不同的裤子, 共有 ( ) 种不同的穿法。

组合数学


Question:
64 根火柴棒可以拼成 ( )

<ImageHere>

组合数学


Question:
图中一共有（）个长方形。

<ImageHere>

组合几何学


Question: 小朋友玩滑梯属于( $\quad$ 现象。

变换几何


Question: 下列物品中, ( )不是轴对称的。

A.
   <ImageHere>
   C.

<ImageHere>

<ImageHere>

变换几何


Question: 红领巾有 ( ) 条对称轴。

立体几何学


Question: 小龙、小东和小强三人分别在一、二、三班。小龙是二班的, 小强下课后去三班找小东玩。小强是 $(\quad)$ 班的。

逻辑题


Question:
盘子里有桃子、苹果、雪梨三种水果各一个, 小林、小丽、小南每人只能选择一个。小南说:

“我不吃苹果。” ; 小林说: “我既不吃苹果, 也不吃雪梨。”; 那么小丽吃的是 ( )。

A.桃子
B.苹果
C.雪梨

逻辑题


Question:
已知命题 $p:$ 若 $x>y$, 则 $-x<-y$; 命题 $q$ : 若 $x>y$, 则 $x^{2}>y^{2}$, 在命题 (1)p^q;

<ImageHere>

逻辑题

答案：C 解析:根据不等式的性质可知, 若 $x>y$, 则 $-x<-y$ 成立, 即 $p$ 为真命题,当 $\mathrm{x}=1, \mathrm{y}=-1$ 时, 满足 $\mathrm{x}>\mathrm{y}$, 但 $\mathrm{x}^{2}>\mathrm{y}^{2}$ 不成立, 即命题 $\mathrm{q}$ 为假命题,则 (1) $p \wedge q$ 为假命题; (2) $p v q$ 为真命题; (3) $p \wedge(\neg q)$ 为真命题; (4) ( $\neg \mathrm{p}) \mathrm{vq}$为假命题, 故选 C.

2.答案:C 解析: 若 $\neg(p \wedge q)$ 为假命题, 则 $p \wedge q$ 为真命题, 则 $p$ 为真命题, $q$ 为真命题


Question: 若ᄀ $(\mathrm{p} \wedge \mathrm{q})$ 为假命题, 则 ( )

A. $p$ 为真命题, $q$ 为假命题
B. $p$ 为假命题, $q$ 为假命题
C. $p$ 为真命题, $q$ 为真命题
D. $p$ 为假命题, $q$ 为真命题

逻辑题

解析: 若 $
eg(p \wedge q)$ 为假命题, 则 $p \wedge q$ 为真命题, 则 $p$ 为真命题, $q$ 为真命题


Question: 已知命题 “ (pvq) ” 为真, “ $\neg \mathrm{p}$ ” 为真, 则 (

A. $\mathrm{p}$ 假 $\mathrm{q}$ 假
B. $\mathrm{p}$ 假 $\mathrm{q}$ 真
C. $\mathrm{p}$ 真 $\mathrm{q}$ 假
D. $\mathrm{p}$ 真 $\mathrm{q}$ 真

逻辑题

答案：B.

4.答案：A 解析: : “pvq 为真命题, 则 $p 、 q$ 中只要有一个命题为真命题即可, $p \wedge q$为真命题, 则需两个命题都为真命题, $\therefore \mathrm{p} \vee \mathrm{q}$ 为真命题不能推出 $\mathrm{p} \wedge \mathrm{q}$ 为真命题, 而 $p \wedge q$ 为真命题能推出 $p \vee q$ 为真命题: “ $p \wedge q$ 是真命题” 是 “ $p \vee q$ 是真命题” 的充分不必要条件,

5.答案：C 解析: 命题 p: 若 $x>y$, 则 $-x<-y$, 为真命题; 命题 $q$ : 若 $x<y$, 则 $x^{2}>$ $\mathrm{y}^{2}$, 为假命题, $\therefore(1) \mathrm{p} \wedge \mathrm{q}$ 为假命题; (2) pvq 为真命题; (3) $\wedge \wedge(\neg \mathrm{q})$ 为真命题;

(4) ( $\neg \mathrm{p}) \mathrm{vq}$ 为假命题故选: C.

6.答案：C 解析: 对于命题 $p: 4+2=5$, 是假命题; 对于 $q: 3 \geq 2$, 是真命题. $\therefore \mathrm{p} q \mathrm{q}$ 为真命题, $\mathrm{p} \wedge \mathrm{q}$ 是假命题, $\rightarrow \mathrm{p}$ 为真命题, $\neg \mathrm{q}$ 为假命题. $\therefore \mathrm{C}$ 是假命题 7.B 解析: 命题 p: $\because \sqrt{3}<2<\mathrm{e}, \therefore \sqrt{3}>\mathrm{e}$, 是假命题; 命题 q: $\because \Delta=1-4=-3<0$, $\therefore$ 方程 $\mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}+1=0$ 无实根，是真命题。 $\therefore \mathrm{p}$ 假 $\mathrm{q}$ 真，故选：B.

8.答案：B 解析: 命题 $p: 1 \in Q$ 为真命题; 函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}$ 的定义域是 $x-1>0$, 即 $x>1$, $\therefore$ 命题 $\mathrm{q}$ 为假命题, $\therefore$ 仅有 $\mathrm{B}$ 选项 $\mathrm{pvq}$ 为真命题, 故选 $\mathrm{B}$.

9.答案:C 解析: 命题 “ $(\neg \mathrm{p}) \vee(\neg \mathrm{q})$ ” 是假命题, $\therefore$ 命题 $(\neg \mathrm{p})$ 与 $(\neg \mathrm{q})$ 都是假命题, $\therefore$ 命题 $\mathrm{p}, \mathrm{q}$ 都为真命题. 给出下列四个结论：可得命题 “ $\mathrm{p} \wedge \mathrm{q}$ ”
是真命题; 命题 “ $\mathrm{pvq}$ ” 是真命题. 其中正确的结论为(1)(4). 故选: C.

10.答案： \quad 1,2$.

解析: 由命题 $p:|x-1| \geqslant 2$, 得到命题 $P: x-1 \geqslant 2$ 或 $x-1 \leqslant-2$, 即命题 $P: x \geqslant 3$ 或 $x \leqslant-1$; $\because \neg q$ 为假命题, $\therefore$ 命题 $q: x \in Z$ 为真命题, 再由 “ $p$ 且 $q$ ” 为假命题, 知命题 $P: x \geqslant 3$或 $x \leqslant-1$ 是假命题, 故 $-1<x<3, x \in Z ， \therefore$ 满足条件的 $x$ 的值为: $0,1,2$, 故答案为 $0,1,2$.

11. 答案：$\left(\frac{1}{2}, 2\right)$

解析: 因为当命题 $p: a^{2}-a-2<0$ 为真时, $-1<a<2$;

当命题 $q$ : 函数 $y=1 g\left(a x^{2}-x+a\right)$ 的定义域为 $R$ 为真时, $\left\{\begin{array}{l}a>0 \\ 1-4 a^{2}<0\end{array}\right.$, 解析得 $a>\frac{1}{2}$. 要 “ $p$ 且 $q$ ” 为真命题, 则 $p$ 与 $q$ 都是真命题, 所以 $a$ 的取值范围是 $\frac{1}{2}<$ $a<2$. 故答案为 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$.

12. 答案： 解析: (1) 若 $\mathrm{p}$ 为真命题, 则应有 $\Delta=8-4 \mathrm{~m}>0$, 解析得 $\mathrm{m}<2$.

(2) 若 $q$ 为真命题, 则有 $m+1<2$, 即 $m<1$, 因为 $p \vee q$ 为真命题, $p \wedge q$ 为假命题, 则 $\mathrm{p}, \mathrm{q}$ 应一真一假.

(1)当 $\mathrm{p}$ 真 $\mathrm{q}$ 假时, 有 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}<2 \\ \mathrm{~m} \geq 1\end{array}\right.$, 得 $1 \leq \mathrm{m}<2$;

(2) 当 $\mathrm{p}$ 假 $\mathrm{q}$ 真时, 有 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m} \geq 2 \\ \mathrm{~m}<1\end{array}\right.$, 无解析. 综上, $\mathrm{m}$ 的取值范围是 $[1,2)$.


Question: “ $\mathrm{p} \Wedge \mathrm{q}$ 是真命题” 是 “ $\mathrm{p} \vee \mathrm{q}$ 是真命题” 的 ( )

A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

逻辑题

“pvq 为真命题, 则 $p 、 q$ 中只要有一个命题为真命题即可, $p \wedge q$为真命题, 则需两个命题都为真命题, $	herefore \mathrm{p} \vee \mathrm{q}$ 为真命题不能推出 $\mathrm{p} \Wedge \mathrm{q}$ 为真命题, 而 $p \Wedge q$ 为真命题能推出 $p \vee q$ 为真命题: “ $p \Wedge q$ 是真命题” 是 “ $p \vee q$ 是真命题” 的充分不必要条件,


Question: 已知命题 $p$ : 若 $x>y$, 则 $-x<-y$; 命题 $q$ : 若 $x<y$, 则 $x^{2}>y^{2}$, 在命题 (1) $p \wedge q$; (2) pvq; (3) p $\wedge(\neg \mathrm{q})$; (4) ( $\neg \mathrm{p}) \vee \mathrm{qq}$ 中, 真命题是 ( )

逻辑题

命题 p: 若 $x>y$, 则 $-x<-y$, 为真命题; 命题 $q$ : 若 $x<y$, 则 $x^{2}>$ $\mathrm{y}^{2}$, 为假命题, $	herefore(1) \mathrm{p} \wedge \mathrm{q}$ 为假命题; (2) pvq 为真命题; (3) $\wedge \wedge(
eg \mathrm{q})$ 为真命题;


Question: 已知 $\mathrm{p}: 4+2=5, \mathrm{q}: 3 \geq 2$, 则下列判断中, 错误的是 ( )

A. $\mathrm{p}$ 或 $\mathrm{q}$ 为真,非 $\mathrm{q}$ 为假
B. $p$ 或 $q$ 为真,非 $p$ 为真
C. $\mathrm{p}$ 且 $\mathrm{q}$ 为假,非 $\mathrm{p}$ 为假
D. $p$ 且 $q$ 为假, $p$ 或 $q$ 为真

逻辑题

对于命题 $p: 4+2=5$, 是假命题; 对于 $q: 3 \geq 2$, 是真命题. $	herefore \mathrm{p} q \mathrm{q}$ 为真命题, $\mathrm{p} \wedge \mathrm{q}$ 是假命题, $
ightarrow \mathrm{p}$ 为真命题, $
eg \mathrm{q}$ 为假命题. $	herefore \mathrm{C}$ 是假命题 7.B 解析: 命题 p: $ecause \sqrt{3}<2<\mathrm{e}, 	herefore \sqrt{3}>\mathrm{e}$, 是假命题; 命题 q: $ecause \Delta=1-4=-3<0$, $	herefore$ 方程 $\mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}+1=0$ 无实根，是真命题。 $	herefore \mathrm{p}$ 假 $\mathrm{q}$ 真，故选：B.


Question: 已知命题 $\mathrm{p}: 1 \in \mathrm{Q}$, 命题 $\mathrm{q}$ : 函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}-1}}$ 的定义域是 $[1,+\infty)$, 则以下为真命题的是 ( )

A. $\mathrm{p} \wedge \mathrm{q}$
B. $\mathrm{p} \vee \mathrm{q}$
C. $\neg \mathrm{p} \wedge \mathrm{q}$
D. $\neg \mathrm{p} \vee \mathrm{q}$

逻辑题

命题 $p: 1 \in Q$ 为真命题; 函数 $f(x)=rac{1}{\sqrt{x-1}}$ 的定义域是 $x-1>0$, 即 $x>1$, $	herefore$ 命题 $\mathrm{q}$ 为假命题, $	herefore$ 仅有 $\mathrm{B}$ 选项 $\mathrm{pvq}$ 为真命题, 故选 $\mathrm{B}$.


Question:
已知命题 “ ( $\neg \mathrm{p}) \vee(\neg \mathrm{q})$ ” 是假命题, 给出下列四个结论:
(1)命题 “ $\mathrm{p} \wedge \mathrm{q}$ ” 是真命题;
(2)命题 “ $\mathrm{p} \wedge \mathrm{q}$ ” 是假命题;

(3)命题 “ pvq” 是假命题;

(4)命题 “ $\mathrm{pVq}$ ” 是真命题.其中正确的结论为（）

逻辑题

命题 “ $(
eg \mathrm{p}) \vee(
eg \mathrm{q})$ ” 是假命题, $	herefore$ 命题 $(
eg \mathrm{p})$ 与 $(
eg \mathrm{q})$ 都是假命题, $	herefore$ 命题 $\mathrm{p}, \mathrm{q}$ 都为真命题. 给出下列四个结论：可得命题 “ $\mathrm{p} \wedge \mathrm{q}$ ”是真命题; 命题 “ $\mathrm{pvq}$ ” 是真命题. 其中正确的结论为(1)(4). 故选: C.


Question: 命题 p: $\forall \mathrm{x}>0, \mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}+1>0$; 命题 $\mathrm{q}: \exists \mathrm{x}_{0}>0, \mathrm{x}_{0}{ }^{2}-2 \mathrm{x}_{0}+1 \leq 0$, 下列选项真命题的是 ( )

A. $\neg \mathrm{p} \wedge \mathrm{q}$
B. $p \wedge q$
C. $p \vee \neg q$
D. $\neg p \wedge \neg q$

逻辑题

因为 $\mathrm{x}=1$ 时不成立, 故命题 $\mathrm{p}: orall \mathrm{x}>0, \mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}+1>0$ 是假命题;命题 q: $\exists x_{0}>0, x_{0}{ }^{2}-2 x_{0}+1 \leq 0$, 当 $x_{0}=1$ 时, 命题成立, 所以是真命题.所以 $
eg \mathrm{p} \wedge \mathrm{q}$ 是真命题; $\mathrm{p} \wedge \mathrm{q}$ 是假命题; $\mathrm{p} \vee
eg \mathrm{q}$ 是假命题; $
eg \mathrm{p} \wedge
eg \mathrm{q}$ 是假命题;故选 A.


Question: 已知命题 p: $\exists m \in R$, 使 $f(x)=x^{2}+m x$ 是偶函数; $q:$ 若 $a<b$, 则 $\frac{1}{\mathrm{a}}>\frac{1}{b}$,下列为真命题 的是 ( )

A. $\mathrm{p} \wedge \neg \mathrm{q}$
B. $\neg \mathrm{p} \wedge \mathrm{q}$
C. $\mathrm{p} \wedge \mathrm{q}$
D. $\neg \mathrm{p} \wedge \neg \mathrm{q}$

逻辑题

命题 p: $\exists m=0 \in R$, 使 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}+\mathrm{mx}$ 是偶函数, 因此为真命题;$\mathrm{q}$ : 若 $\mathrm{a}<\mathrm{b}$, 则 $rac{1}{\mathrm{a}}>rac{1}{\mathrm{~b}}$, 为假命题, 例如取 $\mathrm{a}=-1, \mathrm{~b}=2$. 下列为真命题 的是 $\mathrm{p} \wedge$ ( $
eg \mathrm{q})$ ，其余为假命题. 故选：A.


Question: 下列命题中错误的是 ( )

A. 若命题 $\mathrm{p}$ 为真命题,命题 $\mathrm{q}$ 为假命题, 则命题 “ $\mathrm{p} v(\neg \mathrm{q})$ ” 为真命题

B. 命题 “若 $a+b \neq 7$, 则 $a \neq 2$ 或 $b \neq 5$ ” 为真命题

C. 命题 “若 $x^{2}-x=0$, 则 $x=0$ 或 $x=1$ ” 的否命题为 “若 $x^{2}-x=0$, 则 $x \neq 0$ 且 $x \neq 1$ "

D. 命题 $p: ~ \exists x>0, \sin x>2^{x}-1$, 则 $\neg p$ 为 $\forall x>0, \sin x \leq 2^{x}-1$

逻辑题

A、若 $\mathrm{q}$ 为假, 则 $
eg \mathrm{q}$ 为真, 故 $\mathrm{pV}(
eg \mathrm{q})$ 为真, 故 A 正确;$B$ 、命题的逆否命题为: 若 $a=2$ 且 $b=5$, 则 $a+b=7$, 显然正确, 故原命题正确, 故 B 正确;C、命题 “若 $x^{2}-x=0$, 则 $x=0$ 或 $x=1$ ” 的否命题应为 “若 $x^{2}-x
eq 0$ 则 $x
eq 0$ 且 $x
eq 1$ ”,故 C 错误;D、根据含有一个量词的命题的否定易得 D 正确.综上可得：错误的为 C. 故选: C.


Question: 已知命题 $p: \forall x>0$, 总有 $(x+1) e^{x}>1$, 则 $7 p$ 为

A. $\exists x_{0} \leq 0$, 使得 $\left(x_{0}+1\right) \mathrm{e}^{x_{0}} \leq 1$
B. $\exists x_{0}>0$, 使得 $\left(x_{0}+1\right) \mathrm{e}^{x_{0}} \leq 1$
C. $\forall x>0$,总有 $(x+1) \mathrm{e}^{\mathrm{x}} \leq 1$
D. $\forall \mathrm{x} \leq 0$,总有 $(\mathrm{x}+1) \mathrm{e}^{\mathrm{x}} \leq 1$

逻辑题

根据全称命题的否定为特称命题可知, $
ightarrow \mathrm{p}$ 为 $\exists \mathrm{x}_{0}>0$, 使得 $\left(\mathrm{x}_{0}+1
ight)$ $\mathrm{e}^{\mathrm{x}_{0}} \leq 1$, 故选： $\mathrm{B}$.


Question: 已知下列四个命题: (1) “若 $x^{2}-2=0$, 则 $x=0$ 或 $x=1$ ” 的逆否命题为 “若 $x \neq 0$且 $x \neq 1$, 则 $x^{2}-x \neq 0$ ” ; (2) “ $x<1$ ” 是 “ $x^{2}-3 x+2>0$ ” 的充分不必要条件; (3)命题 $\mathrm{p}: \exists \mathrm{x}_{0} \in \mathrm{R}$, 使得 $\mathrm{x}_{0}{ }^{2}+\mathrm{x}_{0}+1<0$, 则 $\neg \mathrm{p}: \forall \mathrm{x} \in \mathrm{R}$, 都有 $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}+1 \geq 0$; (4)若 $\mathrm{p} \wedge \mathrm{q}$ 为假命题, 则 $\mathrm{p}, \mathrm{q}$ 均为假命题. 其中真命题个数为 $(\quad)$

逻辑题


Question: 已知命题 $\mathrm{p}: \exists x \in R$, 使得 $\mathrm{x}^{2}-x+2<0$; 命题 $\mathrm{q}: \forall \mathrm{x} \in[1,2]$, 使得 $\mathrm{x}^{2} \geq 1$. 以下命题为真命题的是 ( )

A. $\neg \mathrm{p} \wedge \neg \mathrm{q}$
B. $p \vee \neg q$
C. $\neg \mathrm{p} \wedge \mathrm{q}$
D. $\mathrm{p} \wedge \mathrm{q}$

逻辑题

$ecause$ 判别式 $	riangle=1-4 	imes 2=1-7=-6<0, 	herefore orall x \in R$, 使得 $x^{2}-x+2>0$; 即命题 $p$ : $\exists x \in R$, 使得 $x^{2}-x+2<0$ 为假命题, 当 $x \in[1,2]$ 时, $x^{2} \geq 1$ 恒成立, 即命题 $q$是真命题, 则 $
eg \mathrm{p} \wedge \mathrm{q}$ 是真命题, 其余为假命题, 故选 C.


Question:
下列有三种说法:

(1)命题 “ $\exists x \in R, x^{2}+1>3 x$ ” 的否定是 “ $\forall x \in R, x^{2}+1<3 x$ ” ;

(2) 已知 $\mathrm{p} 、 \mathrm{q}$ 为两个命题, 若 $\mathrm{p} v \mathrm{q}$ 为假命题, 则 $(\neg \mathrm{p}) \wedge(\neg \mathrm{q})$ 为真命题;

(3)命题 “若 $x y=0$, 则 $x=0$ 且 $y=0$ ” 为真命题. 其中正确的个数为 ( )

逻辑题


Question: 下列结论错误的是 ( )

A. 命题 “若 $p$, 则 $q$ ” 与命题 “若 $\neg q$, 则 $\neg p$ ” 互为逆否命题

B. 命题 p: $\forall x \in[0,1], e^{x} \geq 1$, 命题 $q: \exists x \in \mathbf{R}, x^{2}+x+1<0$, 则 “ $p \vee q$ ”为真

C. “若 $a m^{2}<\mathrm{bm}^{2}$, 则 $\mathrm{a}<\mathrm{b}$ ” 的逆命题为真命题

D. 命题 $P$ : “ $\exists x_{0} \in \mathbf{R}$, 使得 $x_{0}{ }^{2}-2 \geq 0$ ” 的否定为 $\neg P$ : “ $\forall x \in \mathbf{R}, x^{2}-$ $2<0$

逻辑题

命题 “若 $\mathrm{p}$ 则 $\mathrm{q}$ ” 与命题 “若 $
eg \mathrm{q}$ 则 $\mathrm{p}$ ” 互为逆否命题, 故 A 正确;命题 $p: orall x \in[0,1], \mathrm{e}^{\mathrm{x}} \geqslant 1$, 由 $\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \in[1, \mathrm{e}]$, 可得 $\mathrm{p}$ 真; 命题 $q: \exists x \in R, \mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}+1<$ 0 , 由于 $x^{2}+x+1=\left(x+rac{1}{2}
ight)^{2}+rac{3}{4} \geqslant rac{3}{4}$, 则 $q$ 假, 则 “ $p \vee q$ ” 为真, 故 B 正确; “若 $\mathrm{am}^{2}<\mathrm{bm}^{2}$, 则 $\mathrm{a}<\mathrm{b}$ ” 的逆命题为 “若 $\mathrm{a}<\mathrm{b}$, 则 $\mathrm{am}^{2}<\mathrm{bm}^{2}$ ” 错误,如果 $\mathrm{m}=0$, 不成立, 故 C 不正确;命题 P: “ $\exists x_{0} \in R$, 使得 $x_{0}{ }^{2}-2 \geq 0$ ” 的否定为 $P \mathrm{P}:$ “ $orall x \in R, x^{2}-2<0$ ”,故 D 正确. 故选 C.


Question: 已知命题 p: “ $\forall \mathrm{a}>\mathrm{b},|\mathrm{a}|>|\mathrm{b}|$ ” , 命题 $\mathrm{q}$ : “ $\exists \mathrm{x}_{0}<0,2^{\mathrm{x}_{0}}>0$ ”, 则下列为真命题的是

A. $\mathrm{p} \wedge \mathrm{q}$
B. $\neg \mathrm{p} \wedge \neg \mathrm{q}$
C. $\mathrm{p} \vee \mathrm{q}$
D. $\mathrm{p} \vee \neg \mathrm{q}$

逻辑题

命题 $\mathrm{p}$ : “ $orall \mathrm{a}>\mathrm{b},|\mathrm{a}|>|\mathrm{b}|$ ” 是假命题,


Question: 当 $m \in N^{*}$, 命题 “若 $m>0$, 则方程 $x^{2}+x-m=0$ 有实根” 的逆否命题是 ( )

逻辑题

由逆否命题的定义可知：当 $m \in N^{*}$, 命题 “若 $m>0$,则方程 $x^{2}+x-m=0$ 有实根” 的逆否命题是: 若方程 $x^{2}+x-m=0$ 没有实根, 则 $m \leq 0$,故选 D.


Question: 一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中, 真命题的个数 ( )

A. 一定是奇数
B. 一定是偶数
C. 可能是奇数也可能是偶数
D. 上述判断都不正确

逻辑题

根据四种命题及其关系理论：原命题 $\Leftrightarrow$ 逆否命题, 逆命题 $\Leftrightarrow$ 否命题如果原命题是真命题, 逆命题是假命题, 则真命题共有两个;如果原命题是真命题, 逆命题也是真命题, 则真命题共有四个;如果原命题是假命题, 逆命题也是假命题, 则真命题共有 0 个;故一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中, 真命题的个数一定是偶数, 故选: B


Question: 命题 “若 $x^{2} \neq 4$, 则 $x \neq 2$ 且 $x \neq-2$ ” 的否命题为 ( )

逻辑题

否命题, 条件和结论不等号变等号, 且变成或, “若 $x^{2}
eq 4$, 则 $x
eq 2$且 $x
eq-2$ ” 的否命题是: “若 $x^{2}=4$, 则 $x=2$ 或 $x=-2$ ” , 故选 D.


Question:
下列命题:

(1) “若 $\mathrm{a} \leq \mathrm{b}$, 则 $\mathrm{a}<\mathrm{b}$ ” 的否命题;

(2) “若 $a=1$, 则 $a x^{2}-x+3 \geq 0$ 的解集为 $R$ ” 的逆否命题;

(3) “周长相同的圆面积相等” 的逆命题;

(4) “若 $\sqrt{2} x$ 为有理数, 则 $x$ 为无理数” 的逆否命题.

其中真命题序号为 ( )

逻辑题

对于(1), 逆命题为真, 故否命题为真; 对于(2), “若 $\mathrm{a}=1$, 则 $a x^{2}-\mathrm{x}+3 \geq 0$的解集为 $\mathrm{R}$ ” 原命题为真, 故逆否命题为真; 对于(3), “周长相同的圆面积相等” 的逆命题 “面积相等的圆周长相同” 为真; 对于(4), “若 $\sqrt{2} \mathrm{x}$ 为有理数, 则 $\mathrm{x}$ 为 0 或无理数”, 故原命题为假, 逆否命题为假. 故选 B.


Question: 原命题: “设 $a, b, c \in R$, 若 $a>b$, 则 $a c^{2}>b c^{2}$ ”, 在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中, 真命题的个数为 ( )

逻辑题

逆命题: 设 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} \in \mathrm{R}$, 若 $\mathrm{ac}^{2}>\mathrm{bc}^{2}$, 则 $\mathrm{a}>\mathrm{b}$;$ecause$ 由 $\mathrm{ac}^{2}>\mathrm{bc}^{2}$ 可得 $\mathrm{c}^{2}>0, 	herefore$ 能得到 $\mathrm{a}>\mathrm{b}$, 所以该命题为真命题;否命题: 设 $a, b, c \in R$, 若 $a \leq b$, 则 $a c^{2} \leq b c^{2} ; ecause c^{2} \geq 0, 	herefore$ 由 $a \leq b$ 可以得到 $a c^{2} \leq b c^{2}$,所以该命题为真命题; 因为原命题和它的逆否命题具有相同的真假性, 所以只需判断原命题的真假即可; $ecause c^{2}=0$ 时, $a c^{2}=b c^{2}$, 所以由 $\mathrm{a}>b$ 得到 $a c^{2} \geq b c^{2}$,所以原命题为假命题, 即它的逆否命题为假命题; $	herefore$ 为真命题的有 2 个. 故选 C.


Question:
给出下列命题:

(1)命题 “若 $b^{2}-4 a c<0$, 则方程 $a x^{2}+b x+c=0 \quad(a \neq 0)$ 无实根” 的否命题;

(2)命题 “在 $\triangle A B C$ 中, $A B=B C=C A$, 那么 $\triangle A B C$ 为等边三角形” 的逆命题;

(3)命题 “若 $a>b>0$, 则 $\sqrt[3]{a}>\sqrt[3]{b}>0$ ” 的逆否命题;

(4) “若 $m \geq 1$, 则 $m x^{2}-2(m+1) x+(m+3)>0$ 的解集为 $R$ ” 的逆命题.其中真命题的序号为 ( )

逻辑题

1)命题 “若 $b^{2}-4 a c<0$, 则方程 $a x^{2}+b x+c=0 \quad(a
eq 0)$ 无实根” 的否命题是 “若 $b^{2}-4 a c \geq 0$ ，则方程 $a x^{2}+b x+c=0 \quad(a
eq 0)$ 有实根” ，是正确的,(2)命题 “ $	riangle A B C$ 中, $A B=B C=C A$, 那么 $	riangle A B C$ 为等边三角形” 的逆命题是 “ $	riangle A B C$ 是等边三角形, 则 $A B=B C=C A$ ” , 是正确的,(3)命题 “若 $a>b>0$, 则 $\sqrt[3]{a}>\sqrt[3]{b}>0$ ” 是正确的, 所以原命题的逆否命题也是正确的,(4) 命题 “若 $m \geq 1$, 则 $m x^{2}-2(m+1) x+(m+3)>0$ 的解集为 $R$ ” 的逆命题是 “若 $m x^{2}-2(m+1) x+(m+3)>0$ 的解集为 $R$, 则 $m \geq 1$ ”,若不等式的解集为 $R$, 所以 $\left\{egin{array}{l}m>0 \ 4(m+1)^{2}-4 m(m+3)<0\end{array}
ight.$, 解得 $m>1$, 所以逆命题是错误的,所以真命题的序号为(1)(2)(3). 故选 A.


Question: 命题 “若 $a^{2}+b^{2}=0$, 则 $a, b$ 都为零” 的否命题是 ( )

逻辑题


Question: 已知命题: “若 $x^{2}>y^{2}$, 则 $x>y$ ” 则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中, 真命题的个数是 ( )

逻辑题

由题意, 原命题为: 若 $x^{2}>y^{2}$, 则 $x>y$ ” , 当 $x=-2, y=1$, 不满足, 故为假命题; 逆命题为: 若 $x>y$, 则 $x^{2}>y^{2}$, 当 $x=1, y=-2$ 是不满足, 故为假命题; 因为原命题与逆否命题等价, 故逆否命题为假; 逆命题与否命题等价,故否命题为假. 综上, 真命题的个数为 0 . 故选 A.


Question: 下列说法正确的是 ( )

A. 若一个命题的逆命题是真命题, 则它的否命题一定是真命题

B. 若一个命题的逆命题是真命题, 则它的逆否命题一定是真命题

C. 若一个命题的逆命题是真命题,则它的否命题一定是假命题

D. 若一个命题的逆命题是真命题, 则它的逆否命题一定是真命题

逻辑题

一个命题的逆命题和它的否命题是互为逆否命题, 它们的真假性相同,所以若一个命题的逆命题是真命题, 则它的否命题一定是真命题. 故选: A.


Question: 命题 “若 $a>-3$, 则 $a>-6$ ” 以及它的逆命题、否命题、逆否命题中, 假命题的个数为 ( )

逻辑题

在命题的四种形式中原命题和逆否命题互为逆否命题, 同真同假, 否命题和逆命题互为逆否命题同真同假.$ecause$ 命题 “若 $\mathrm{a}>-3$, 则 $\mathrm{a}>-6$ ” 为真命题; 逆命题是假命题, $	herefore$ 命题的逆否命题为真命题，否命题是假命题，故选：B


Question: 命题 “若 $x=3$, 则 $x^{2}-9 x+18=0$ ” 的逆命题、否命题和逆否命题中, 假命题的个数为 ( )

逻辑题

由题意, 原命题为: 若 $x=3$, 则 $x^{2}-9 x+18=0$, 显然 3 是方程的解, 为真命题;逆命题为: 若 $x^{2}-9 x+18=0$, 则 $x=3$, 因为方程还有另一根为 6 , 故为假命题;因为原命题与逆否命题等价, 故逆否命题为真; 逆命题与否命题等价, 故否命题为假. 故选 C.


Question: 命题 “若 $x^{2} \leq 1$, 则 $-1 \leq x \leq 1$ ” 的逆否命题是 ( )

逻辑题


Question:
下列命题:

(1) “若 $\mathrm{a} \leq \mathrm{b}$, 则 $\mathrm{a}<\mathrm{b}$ ” 的否命题;

(2) “若 $a=1$, 则 $a x^{2}-x+3 \geq 0$ 的解集为 $R$ ” 的逆否命题;

(3) “周长相同的圆面积相等” 的逆命题;

(4) “若 $\sqrt{2} x$ 为有理数, 则 $x$ 为无理数” 的逆否命题.

其中真命题序号为 ( )

逻辑题

对于(1), 逆命题为真, 故否命题为真;对于 (2) “若 $a=1$, 则 $a x^{2}-x+3 \geq 0$ 的解集为 $R$ ” 原命题为真, 故逆否命题为真;对于 (3) “面积相等的圆周长相同” 为真;对于 (4) “若 $\sqrt{2} x$ 为有理数, 则 $x$ 为 0 或无理数” , 故原命题为假, 逆否命题为假.


Question: 已知条件 $\mathrm{p}: \mathrm{k}=\sqrt{3}$; 条件 $\mathrm{q}:$ 直线 $y=k x_{+} 2$ 与圆 $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=1$ 相切, 则 $\neg \mathrm{p}$ 是 $\neg \mathrm{q}$的( )

A. 充分必要条件
B. 必要不充分条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件

解析几何

条件 $\mathrm{q}$ : 直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+2$ 与圆 $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=1$ 相切, 可得: $rac{2}{\sqrt{1+\mathrm{k}^{2}}}=1$, 解得 $\mathrm{k}= \pm \sqrt{3}$. $	herefore \mathrm{p}$ 是 $\mathrm{q}$ 的充分不必要条件. 则 $7 \mathrm{p}$ 是 $7 \mathrm{q}$ 的必要不充分条件. 故选 B.


Question:
故选 C.

分析: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用, 解决问题的关键是根据基本不等式分析计算即可

10. 设 $a>0, b>0, A(1,-2), B(a,-1), C(-b, 0)$, 若

解析几何

解析: 解答: 由题设知: $\overrightarrow{A B}=(a-1,1), \overrightarrow{A C}=(-b-1,2)$

因为 $A . B . C$ 三点共线，所以向量与向量共线，

所以 $2(a-1)+b+1=0 \Rightarrow 2 a+b=1$

又因为 $a>0, b>0$,
所以 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=(2 a+b) \cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=2+\frac{2 a}{b}+\frac{b}{a}+1 \geq 3+2 \sqrt{\frac{2 a}{b} \times \frac{b}{a}}=3+2 \sqrt{2}$

当且仅当 $a=\frac{1}{4}, b=\frac{1}{2}$ 时等号成立; 所以 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 的最小值是 $3+2 \sqrt{2}$, 故选 $\mathrm{A}$

分析: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用, 解决问题的关键是根据不等式性质分析计算即可


Question: 设 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$, 则曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 处的切线

A. 不存在
B. 与 $X$ 轴平行或重合
C. 与 $x$ 轴垂直
D. 与 $x$ 轴相交但不垂直

解析几何

解析：曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 处的切线斜率为 0 , 切线与 $x$ 轴平行或重合. 故选 B.


Question: 若曲线 $y=h(x)$ 在点 $P(a, h(a))$ 处的切线方程为 $2 x+y+1=0$, 则

解析几何


Question:
已知 $y=f(x)$ 的图象如图所示, 则 $f^{\prime}\left(x_{A}\right)$ 与 $f^{\prime}\left(x_{B}\right)$ 的大小关系是

<ImageHere>

A. $f^{\prime}\left(x_{A}\right)>f^{\prime}\left(x_{B}\right)$
B. $f^{\prime}\left(x_{A}\right)=f^{\prime}\left(x_{B}\right)$
C. $f^{\prime}\left(x_{A}\right)<f^{\prime}\left(x_{B}\right)$
D. $f^{\prime}\left(x_{A}\right)$ 与 $f^{\prime}\left(x_{B}\right)$ 大小不能确定

解析几何

解析：由 $y=f(x)$ 的图象可知, $k_{A}>k_{B}$, 根据导数的几何意义有 $f^{\prime}\left(x_{A}\right)>f^{\prime}\left(x_{B}\right)$. 故选 A.


Question: 已知函数 $f(x)=2 x^{2}-4$ 的图象上一点 $(1,-2)$ 及附近一点 $(1+\Delta x,-2+\Delta y)$, 则 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=(\quad)$

解析几何


Question: 曲线 $y=-\frac{1}{x}$ 在点 $\left(\frac{1}{2},-2\right)$ 处的切线方程为

解析几何

解析：由题可得 $\Delta y=-\frac{1}{x+\Delta x}+\frac{1}{x}=\frac{\Delta x}{x(x+\Delta x)}$, 所以 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{x(x+\Delta x)}$, 所以 $y^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{x^{2}}$, 所以切线的斜率 $k=\left.y^{\prime}\right|_{x=\frac{1}{2}}=4$, 故所求切线方程为 $y+2=4\left(x-\frac{1}{2}\right)$, 即 $y=4 x-4$. 故选 B.


Question: 已知曲线 $y=\frac{4}{x}$ 在点 $P(1,4)$ 处的切线与直线 $l$ 平行且距离为 $\sqrt{17}$, 则直线 $l$ 的方程为

解析几何


Question: 梯形的中位线长为 $15 \mathrm{~cm}$,一条对角线把中位线分成 $3: 2$ 两段,那么梯形的两底长分别为 ( )

A. $12 \mathrm{~cm}$ 和 $18 \mathrm{~cm}$
B. $20 \mathrm{~cm}$ 和 $10 \mathrm{~cm}$
C. $14 \mathrm{~cm}$ 和 $16 \mathrm{~cm}$
D. $6 \mathrm{~cm}$ 和 $9 \mathrm{~cm}$

解析几何

解析: 解答: 如图, 不妨设 $M P: P N=2: 3$, 则 $M P=6 \mathrm{~cm}, P N=9 \mathrm{~cm} . \because M$ 为梯形 $A B C D$ 的中位线, $\therefore \mathrm{MN} / / \mathrm{AD} . \therefore$ 在 $\triangle \mathrm{BAD}$ 中, $\mathrm{MP}$ 为其中位线, $\therefore \mathrm{AD}=2 \mathrm{MP}=12 \mathrm{~cm}$. 同理可得 $\mathrm{BC}=2 \mathrm{PN}=18 \mathrm{~cm}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_81303e2fc6b69da0f33fg-


Question: 在 $\triangle A B C$ 中, $D, E$ 分别是 $A B, A C$ 边的中点, 且 $B C=8$, 则 $D E$ 等于( )

解析几何

解析: 解答: $\because \mathrm{DE}$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的中位线, $\therefore \mathrm{DE}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}=4$.

分析: 本题主要考查了平行线等分线段定理, 解决问题的关键是根据平行线等分线段定理计算即可.


Question: 已知等腰 $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, A(-1,0), B(3,2)$, 则点 $C$ 的坐标为 $(\quad)$

解析几何


Question: 圆 $\rho=\sqrt{2}(\cos \theta+\sin \theta)$ 的圆心坐标是 $(\quad)$

解析几何

解析: 解答: 法一: $\because$ 圆 $\rho=\sqrt{2}(\cos \theta+\sin \theta)=2 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)$, 可以看作由圆 $\rho=2 \sin \theta$顺时针旋转 $\frac{\pi}{4}$ 得到.而 $\rho=2 \sin \theta$ 的圆心为 $\left(1, \frac{\pi}{2}\right)$, 顺时针旋转 $\frac{\pi}{4}$ 得到 $\left(1, \frac{\pi}{4}\right), \therefore$ $\rho=\sqrt{2}(\cos \theta+\sin \theta)$ 的圆心坐标为 $\left(1, \frac{\pi}{4}\right)$.

法二: 圆 $\rho=\sqrt{2}(\cos \theta+\sin \theta)$ 直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}-\sqrt{2} x-\sqrt{2} y=0 ， \therefore$ $\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=1$, 圆心的直角坐标为 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, 化为极坐标为 $\left(1, \frac{\pi}{4}\right)$.分析: 本题主要考查了极坐标系, 解决问题的关键是根据极坐标与直角坐标系关系互化化简计算即可


Question: 极坐标系中, 集合 $\{(\rho, \theta) \mid \rho=2014,0 \leq \theta<2 \pi\}$ 表示的图形是( )

解析几何

解析: 解答: 由于 $\rho=2014$ 表示到极点距离等于 2014 的点的集合, 又 $0 \leq \theta<2 \pi$, 即以极点为圆心, 半径为 2014 的圆.

分析: 本题主要考查了极坐标系, 解决问题的关键是根据极坐标的意义分析即可


Question: 极坐标系中, 与点 $\left(5, \frac{5 \pi}{3}\right)$ 的距离为 1 且与极点距离最近的点的直角坐标为 ( )

解析几何

解析: 解答: 依题意, 所求的点与极点.点 $\left(5, \frac{5 \pi}{3}\right)$ 三点共线, 且该点的极径为 4 , 故该点的极坐标可以表示为 $\left(4, \frac{5 \pi}{3}\right)$, 化为直角坐标为 $(2,-2 \sqrt{3})$.

分析: 本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化, 解决问题的关键是根据极坐标系与直角坐标系的关系分析即可


Question: 已知点 $P$ 的坐标为 $(1, \pi)$, 则过点 $P$ 且垂直极轴的直线方程是 $(\quad)$

A. $\rho=1$ B. $\rho=\cos \theta$ C. $\rho=-\frac{1}{\cos \theta}$ D. $\rho=\frac{1}{\cos \theta}$

解析几何

解析: 解答: 由点 $\mathrm{P}$ 的坐标可知, 过点 $\mathrm{P}$ 且垂直极轴的直线方程在直角坐标中为 $\mathrm{x}=-1$, 即 $\rho \cos \theta=-1$.

分析: 本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化, 解决问题的关键是根据极坐标的意义互化即可


Question: 关于 $\mathrm{x}$ 的不等式 $|\mathrm{x}-3|+|\mathrm{x}-4|<a$ 的解集不是空集, $a$ 的取值范围是 ( )

解析几何

解析: 解答: 因为对任意 $x \in R$, 都有 $|x-3|+|x-4| \geq|(x-3)+(x-4)|=1$ 恒成立, 所以要使不等式 $|x-3|+|x-4|<a$ 的解集表示空集, 需使 $a>1$. 故选 B 分析: 本题主要考查了绝对值不等式的解法, 解决问题的关键是根据绝对值不等式的性质及转化思想,分析解决问题即可.


Question: 如果 $x, y \in R$, 那么" $x y>0 "$ 是" $|x+y|=|x|+|y| "$ 成立的

A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

解析几何

解析: 解答: 由已知中 $x, y \in R$, 根据绝对值的性质, 分别讨论“ $x y>0$ ” $\Rightarrow|x+y||| x|+| y \mid ”$, 与 $“|x+y|=|x|+|y| " \Rightarrow$ “ $x y>0$ ”, 的真假, 然后根据充要条件的定义, 即可得到答案.

解答: 解: 若“ $x y>0$ ”, 则 $x, y$ 同号, 则“ $|x+y|=|x|+|y|$ ”成立

即“ $x y>0$ ”是“ $|x+y|=|x|+|y|$ ”成立的充分条件

但“|x+y|=|x|+|y|”成立时, $x, y$ 不异号, “ $x y \geq 0$ ”, “ $x y>0$ ”不一定成立,

即“ $x y>0$ ”是“ $|x+y|=|x|+|y| ”$ ”成立的不必要条件

即“ $x y>0$ ”是“ $|x+y|=|x|+|y|$ ”成立的充分不必要条件

故选 A

分析: 本题主要考查了不等式的基本性质, 解决问题的关键是根据绝对值的性质, 判断“ $x y$ $>0$ ” $\Rightarrow$ “| $x+y|=| x|+| y|”, ~ 与 “| x+y|=| x|+| y \mid ” \Rightarrow$ “ $x y>0$ ”的真假, 是解答本题的关键.


Question: 若 $a>0$, 使不等式 $|x-4|+|x-3|<a$ 在 $R$ 上的解集不是空集, 则 $a$ 的取值范围（）

解析几何

解析: 解答: $|\mathrm{x}-3|+|\mathrm{x}-4|$ 的几何意义是数轴上的点 $\mathrm{x}$ 到 3 和 4 的距离之和,

当 $\mathrm{x}$ 在


Question:
分析: 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程, 解决问题的关键是根据极坐标方程化为普通方程, 然后根据几何关系计算即可

9. 极坐标方程 $\rho^{2} \cos 2 \theta=1$ 所表示的曲线是（）

A.两条相交直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线

解析几何

解析: 解答: 原极坐标方程化为 $\rho^{2}\left(\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta\right)=1$, 即 $x^{2}-y^{2}=1$ 表示双曲线

分析: 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程, 解决问题的关键是将极坐标方程转化为普通方程即可


Question: 在极坐标系中, 与曲线 $\rho=\cos \theta+1$ 关于直线 $\theta=\frac{\pi}{6}(\rho \in \mathbf{R})$ 对称的曲线的极坐标方程是( )

A. $\rho=\sin \left(\frac{\pi}{3}+\theta\right)+1$
B. $\rho=\sin \left(\frac{\pi}{3}-\theta\right)+1$
C. $\rho=\sin \left(\frac{\pi}{6}+\theta\right)+1$
D. $\rho=\sin \left(\frac{\pi}{6}-\theta\right)+1$

解析几何

解析: 解答: 本题考查极坐标方程中对称的问题. 设点 $(\rho, \theta)$, 它关于直线 $\theta=\frac{\pi}{6}(\rho \in \mathbf{R})$ 对
称的的点为 $\left(\rho, \frac{\pi}{3}-\theta\right)$, 所以方程为 $\rho=\cos \left(\frac{\pi}{3}-\theta\right)+1=\sin \left(\frac{\pi}{6}+\theta\right)+1$, 所以应选 C.分析: 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程, 解决问题的关键是根据对称的性质结合所给曲线求解即可


Question: 极坐标方程 $\rho^{2}+1=2 \sqrt{2} \rho \sin \left(\theta+\frac{3 \pi}{4}\right)$ 表示的曲线的中心在( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限

解析几何

解析: 解答: 由曲线的极坐标方程 $\rho^{2}+1=2 \sqrt{2} \rho \sin \left(\theta+\frac{3 \pi}{4}\right)$

得 $\rho^{2}+1=2 \sqrt{2} \rho\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \theta+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \theta\right)$, 所以 $\rho^{2}+1=2 \rho \cos \theta+2 \rho \sin \theta$.

由公式 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta, \rho^{2}=x^{2}+y^{2}$ 得 $x^{2}+y^{2}-2 x+2 y+1=0$, 配方, 得 $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=1$, 这是圆的标准方程, 圆心坐标为 $(1,-1)$, 在第四象限.

分析: 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程, 解决问题的关键是根据极坐标方程化为普通方程，分析计算即可


Question: 圆 $\rho=5 \cos \theta-5 \sqrt{3} \sin \theta$ 的圆心坐标是 ( )

解析几何

解析: 解答: 圆的方程变为 $\rho^{2}=5 \rho \cos \theta-5 \sqrt{3} \rho \sin \theta$, 所以 $x^{2}+y^{2}=5 x-5 \sqrt{3} y$, 即 $x^{2}+y^{2}-5 x+5 \sqrt{3} y=0$. 圆心的直角坐标为 $\left(\frac{5}{2},-\frac{5 \sqrt{3}}{2}\right), \tan \theta=-\sqrt{3}$, 又点 $\left(\frac{5}{2},-\frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)$ 位于第四象限, 故 $\theta=\frac{5 \pi}{3}$, 又 $\rho=\sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^{2}+\left(-\frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=5$, 故圆心的极坐标为 $\left(5, \frac{5 \pi}{3}\right)$.

分析: 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程, 解决问题的关键是根据极坐标方程分析即可


Question: 极坐标方程 $\rho^{2} \cos \theta-\rho=0$ 的直角坐标方程为 ( )

解析几何

解析: 解答: 极坐标方程 $\rho^{2} \cos \theta-\rho=0$ 化为 $\rho(\cos \theta-1)=0$ 即 $\sqrt{x^{2}+y^{2}}(x-1)=0$,则 $x^{2}+y^{2}=0$ 或 $x=1$.

分析: 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程, 解决问题的关键是根据极坐标方程转化为普通方程即可


Question: . 已知曲线的极坐标方程为 $\rho=4 \cos ^{2} \frac{\theta}{2}-2$, 则其直角坐标系下的方程是( )

解析几何

解析: 解答: 曲线的极坐标变为 $\rho=2 \cos \theta, \rho^{2}=2 \rho \cos \theta$ 即 $x^{2}+y^{2}-2 x=0$, 化为 $(x-1)^{2}+y^{2}=1$.

分析: 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程, 解决问题的关键是根据极坐标方程化简即可


Question: 在极坐标系中, 圆 $\rho=2$ 与直线 $\rho \cos \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}$ 的公共点个数是( )

解析几何

解析：解答：直线 $\rho \cos \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}$ 与圆 $\rho=2$ 的普通方程分别为 $x+y=2$ 与 $x^{2}+y^{2}=4$, 圆心到直线的距离为 $d=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}<r=2$, 所以直线与圆相交, 即直线与圆的公共点个数是


Question: 已知直线和圆的极坐标方程分别为 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 和 $\rho=4 \sin \theta$, 则直线与圆的位置关系是

A. 相切
B. 相交且直线过圆心
C. 相交但直线不过圆心
D. 相离

解析几何

解析: 解答: 直角坐标系中, 直线和圆的方程分别为 $y=x$ 和 $x^{2}+y^{2}=4 y$, 即 $x^{2}+(y-2)^{2}=4$, 从而圆心 $(0,2)$ 到直线 $y=x$ 的距离 $d=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}<2$, 所以直线与圆相交。因为圆心 $(0,2)$ 不在直线 $y=x$ 上, 所以选 C 分析: 本题主要考查了圆的极坐标方程, 解决问题的关键是根据所给极坐标方程化为普通方程, 利用几何关系分析计算即可.


Question:
已知圆的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数 $)$, 以坐标原点为极点, $x$ 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系, 直线的极坐标方程为 $3 \rho \cos \alpha-4 \rho \sin \alpha-9=0$, 则直线与圆的位置关系是

A. 相切 B.
B. 相离
C. 直线过圆心
D. 相交但直线不过圆心

解析几何

解析: 解答: 圆的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2 \cos \theta \\ \mathrm{y}=2 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数),

$\therefore$ 圆的普通方程为 $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=4$

直线的极坐标方程为 $3 \rho \cos \alpha-4 \rho \sin \alpha-9=0$,

$\therefore$ 直线的普通方程为 $3 \mathrm{x}-4 \mathrm{y}-9=0$

而 $\mathrm{d}=\frac{9}{5}<2, \therefore$ 直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心,故选 D.

分析: 本题主要考查了极坐标方程, 解决问题的关键是先利用 $\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1$ 将圆的参数方程化成圆的普通方程, 然后利用利用 $\rho \cos \theta=\mathrm{x}, \rho \sin \theta=\mathrm{y}$, 将直线的极坐标方程化成普通方程,最后计算圆心到直线的距离与半径进行比较即可判定位置关系.


Question: 下列极坐标方程表示圆的是 ( )

A. $\rho=1$
B. $\theta=\frac{\pi}{2}$
C. $\rho \sin \theta=1$
D. $\rho(\sin \theta+\cos \theta)=1$

解析几何

解析: 解答: $\rho=1$ 化为直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}=1$, 表示圆心在原点半径为 1 的圆, 故 A 正确; $\theta=\frac{\pi}{2}$ 化为直角坐标方程为化 $x=0(y \geq 0)$, 表示射线, 故 $\mathrm{B}$ 不正确; $\rho \sin \theta=1$ 为直角坐标方程为 $y=1$, 表示直线, 故 C 不正确; $\rho(\sin \theta+\cos \theta)=1$ 化为直角坐标方程为 $x+y=1$, 表示直线, 故 $\mathrm{D}$ 不正确.

分析: 本题主要考查了圆的极坐标方程, 解决问题的关键是根据所给极坐标方程化为普通方程分析判断即可


Question: 极坐标方程 $\rho=1$ 表示的曲线是 ( )

解析几何

解析: 解答: 根据极坐标方程中 $\rho^{2}=\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2} \therefore \rho=1 \therefore \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=1$ 表示的为圆心在原点的单位圆, 故答案为 C.

分析: 本题主要考查了圆的极坐标方程, 解决问题的关键是化为普通方程分析即可


Question: . 在极坐标系中, 圆 $\rho=2 \cos \theta$ 与方程 $\theta=\frac{\pi}{4}(\rho>0)$ 所表示的图形的交点的极坐标是

解析几何

解析：解答：圆 $\rho=2 \cos \theta$ 的直角坐标方程为: $x^{2}+y^{2}-2 x=0$,

方程 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 的直角坐标方程为: $\mathrm{y}=\mathrm{x}$

解方程组:

$\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}-2 \mathrm{x}=0$

$y=x(x>0)$, 得交点的坐标是 (1, 1),

$\therefore$ 交点的极坐标是 $\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)$, 故选 C

分析: 本题主要考查了圆的极坐标方程, 解决问题的关键是根据所给方程化为普通方程分析即可


Question: 在极坐标系下, 已知圆 $\mathrm{C}$ 的方程为 $\rho=2 \cos \theta$, 则下列各点中, 在圆 $\mathrm{C}$ 上的是 ( )

解析几何

解析: 解答: 将四个选项极坐标分别代入及坐标方程验证可知只有 A 项成立, 所以点 $\left(1,-\frac{\pi}{3}\right)$

在圆 C 上

分析: 本题主要考查了圆的极坐标方程, 解决问题的关键是点是否在曲线上只需将点的坐标带入验证


Question: 极坐标系中, 以 $\left(9, \frac{\pi}{3}\right)$ 为圆心, 9 为半径的圆的极坐标方程为( )

A. $\rho=18 \cos \left(\frac{\pi}{3}-\theta\right)$
B. $\rho=-18 \cos \left(\frac{\pi}{3}-\theta\right)$
C. $\rho=18 \sin \left(\frac{\pi}{3}-\theta\right)$
D. $\rho=9 \cos \left(\frac{\pi}{3}-\theta\right)$

解析几何

解析: 解答: 结合图形分析, 借助于直角三角形中的边角关系, 极坐标系中, 以 ( $9, \frac{\pi}{3}$ )为圆心, 9 为半径的圆的极坐标方程为 $\rho=18 \cos \left(\frac{\pi}{3}-\theta\right)$, 选 A。

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_b4d16be27c2fb355fe7ag-


Question: 已知圆的直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}-2 y=0$. 在以原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 该圆的方程为 ( )

A. $\rho=2 \cos \theta$
B. $\rho=2 \sin \theta$
C. $\rho=-2 \cos \theta$
D. $\rho=-2 \sin \theta$

解析几何

解析: 解答: 法一: 利用直角坐标与极坐标间的关系, 即利用 $\rho \cos \theta=x, \rho \sin \theta=y, \rho^{2}=x^{2}+y^{2}$, 进行代换,

圆的直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}-2 y=0$, 所以 $\rho^{2}-2 \rho \sin \theta=0$, 即 $\rho=2 \sin \theta$.

法二: 圆的直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}-2 y=0$, 即 $x^{2}+(y-1)^{2}=1$,

<ImageHere>设 $M(
ho, 	heta)$ 是圆 $C$ 上任一点, $\angle M O x=	heta$, 若 $	heta$ 为针角, 则 $\sin (\pi-	heta)=\sin 	heta 10$所以 $2 \sin 	heta=
ho$.故选 B. 分析: 本题主要考查了圆的极坐标方程, 解决问题的关键是根据所给极坐标方程转化为普通方程计算即可


Question: 极坐标方程 $\rho=\cos \theta$ 和参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=-1-t \\ y=2+3 t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数) 所表示的图形分别是 ( )

A. 圆.直线
B.直线.圆
C.圆.圆
D.直线.直线

解析几何

解析：解答： $\because$ 极坐标 $\mathrm{p}=\cos \theta, \mathrm{x}=\mathrm{p} \cos \theta, \mathrm{y}=\mathrm{p} \sin \theta$, 消去 $\theta$ 和 $\mathrm{p}, \therefore \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=\mathrm{x}, \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=\mathrm{x}$ 为圆的方程; 参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=-1-t \\ y=2+3 t\end{array}\right.$ ( $\mathrm{t}$ 为参数) 消去 $\mathrm{t}$ 得, $3 \mathrm{x}+\mathrm{y}+1=0$, 为直线的方程, 故选 $\mathrm{A}$.分析: 本题主要考查了圆的极坐标方程, 解决问题的关键是参数方程.极坐标方程与普通方程的区别和联系, 两者要会互相转化, 根据实际情况选择不同的方程进行求解, 这也是每年高考必考的热点问题


Question: 极坐标方程 $\rho \cos \theta=2 \sin 2 \theta$ 表示的曲线为（）

A. 一条射线和一个圆
B. 两条直线
C. 一条直线和一个圆
D. 一个圆

解析几何

解析：解答：因为极坐标方程

$\rho \cos \theta=2 \sin 2 \theta \Leftrightarrow \rho \cos \theta=4 \sin \theta \cos \theta \Leftrightarrow \rho=4 \sin \theta, \cos \theta=0$,

因此表示一个圆和一条直线。选 C

分析: 本题主要考查了圆的极坐标方程, 解决问题的关键是根据所给极坐标方程化简分析即可


Question: 极坐标方程 $(\rho-1)(\theta-\pi)=0(\rho \geq 0)$ 表示的图形是 ( )

A. 两个圆
B. 两条直线
C. 一个圆和一条射线
D. 一条直线和一条射线

解析几何

解析：解答：方程 $(\rho-1)(\theta-\pi)=0 \Rightarrow \rho=1$ 或 $\theta=\pi$,
$\rho=1$ 是半径为 1 的圆,

$\theta=\pi$ 是一条射线.

故选 C.

分析: 本题主要考查了圆的极坐标方程, 解决问题的关键是化简分析即可


Question: 极坐标方程 $\rho \cos ^{2} \theta+\rho \sin ^{2} \theta=4 \sin \theta$ 所表示的曲线是 ( )

A. 一条直线
B. 一个圆
C. 一条抛物线
D. 一条双曲线

解析几何

解析: 解答: 由已知得 $\rho^{2} \cos ^{2} \theta+\rho^{2} \sin ^{2} \theta=4 \rho \sin \theta$, 故 $x^{2}+y^{2}=4 y$, 故表示一个圆分析: 本题主要考查了圆的极坐标方程, 解决问题的关键是化为普通方程分析即可


Question: 在极坐标系中, 圆 C 过极点, 且圆心的极坐标是 $\left(a, \frac{\pi}{2}\right)(a>0)$, 则圆 C 的极坐标方程是

A. $\rho=-2 a \sin \theta$.
B. $\rho=2 a \sin \theta$.
C. $\rho=-2 a \cos \theta$.
D. $\rho=2 a \cos \theta$.

解析几何

解析：解答：由题意得圆心的直角坐标是 $(0, a)$, 半径为 $a$, 直角坐标方程为 $x^{2}+(y-a)^{2}=a^{2}, x^{2}+y^{2}-2 a y=0$, 极坐标方程是 $\rho^{2}-2 a \rho \sin \theta=0, \rho=2 a \sin \theta$.分析: 本题主要考查了圆的极坐标方程, 解决问题的关键是根据普通方程转化为极坐标方程即可


Question: 已知在极坐标系下两圆的极坐标方程分别为 $\rho=\cos \theta, \rho=\sqrt{3} \sin \theta$, 则此两圆的圆心距为 $(\quad)$

解析几何

解析: 解答: $\rho=\cos \theta \Longrightarrow \rho^{2}=\rho \cos \theta$, 化为直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}=x$, 即 $\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+y=\frac{1}{4}$, 圆心为 $\left(\frac{1}{2}, 0\right) ; \rho=\sqrt{3} \sin \theta \Rightarrow \rho^{2}=\sqrt{3} \rho \sin \theta$ 化为直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}=\sqrt{3} y$, 即 $x^{2}+\left(y-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{3}{4}$, 圆心为 $\left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$; 则此两圆的圆心距为 $\sqrt{\left(\frac{1}{2}-0\right)^{2}+\left(0-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=1$. 故选 D

分析: 本题主要考查了圆的极坐标方程, 解决问题的关键是化为普通方程分析计算即可


Question: 线段 $M N$ 在直线 $l$ 上的射影不可能是（ ）

解析几何

解析：解答：当 $M N \perp 1$ 时,射影是一个点;当 $M N$ 与 1 不垂直时,射影是一条线段;特别地,当 $\mathrm{MN} / / 1$ 或 $\mathrm{MN}$ 在 1 上时,射影与 $\mathrm{MN}$ 等长,线段 $\mathrm{MN}$ 的射影不可能是直线.

分析: 本题主要考查了直角三角形的射影定理, 解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理的原理分析即可


Question: 柱坐标 $\left(2, \frac{\pi}{3}, 1\right)$ 对应的点的直角坐标是 ( )

解析几何

解析: 解答: 由直角坐标与柱坐标之间的变换公式 $\left\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta, \\ y=\rho \sin \theta \text {, 可得 } \\ z=z, \\ y=\sqrt{3}, \\ z=1,\end{array}\right.$

分析: 本题主要考查了柱坐标刻画点的位置, 解决问题的关键是根据柱坐标刻画点的位置转化分析即可


Question: 椭圆 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 上一点 $P$ 到一个焦点的距离为 5 , 则 $P$ 到另一个的焦点距离为 ( )

解析几何

$: rac{\mathrm{x}^{2}}{25}+rac{\mathrm{y}^{2}}{9}=1, 	herefore \mathrm{a}=5$, 由于点 $\mathrm{P}$ 到一个焦点的距离为 5 , 由椭圆的定义知, $\mathrm{P}$ 到另一个焦点的距离为 $2 \mathrm{a}-5=5$. 故选 B.


Question: 已知椭圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{10}+y^{2}=1$, 则粗圆的焦点坐标为 ( )

解析几何


Question: 椭圆的焦距为 8 , 且椭圆上的点到两个焦点距离之和为 10 , 则该粗圆的标准方程是

解析几何


Question: 已知椭圆: $\frac{x^{2}}{\mathrm{k}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{2}=1$, 若粗圆的焦距为 2 , 则 $\mathrm{k}$ 为 ( )

解析几何


Question: 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1(m>0)$ 的左焦点为 $F_{1}(-4,0)$, 则 $m=(\quad)$

解析几何

$ecause$ 椭圆 $rac{\mathrm{x}^{2}}{25}+rac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~m}^{2}}=1(\mathrm{~m}>0)$ 的左焦点为 $\mathrm{F}_{1}(-4,0), 	herefore 25-\mathrm{m}^{2}=16, ecause \mathrm{m}>0, 	herefore \mathrm{m}=3$, 故选 B.


Question: 过点 $(3,2)$ 且与椭圆 $3 x^{2}+8 y^{2}=24$ 有相同焦点的粗圆方程为 $(\quad)$

解析几何


Question: 已知椭圆的焦点为 $(-1,0)$ 和 $(1,0)$, 点 $P(2,0)$ 在粗圆上, 则陏圆的标准方程为 ( )

解析几何


Question: 已知椭圆过点 $P\left(1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 和 $Q(2,0)$, 则粗圆的方程为 ( )

解析几何


Question: “a>0, b>0” 是 “方程 $a x^{2}+b y^{2}=1$ 表示粗圆” 的（）

A. 充要条件
B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件
D. 既不充分也不必要条件

解析几何

$a>0, b>0$, 方程 $a x^{2}+b y^{2}=1$ 不一定表示椭圆, 如 $a=b=1$; 反之, 若方程 $a x^{2}+b y^{2}=1$表示椭圆, 则 $\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0, 	herefore$, $\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0$ ”是“方程 $\mathrm{ax}^{2}+b \mathrm{y}^{2}=1$ 表示椭圆”的必要非充分条件. 故选: C.


Question: 椭圆 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{9}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{4}=1$ 的离心率是 ( ).

解析几何


Question:
下列三个图中的多边形均为正多边形, A (B) 是正多边形的顶点, 椭圆过 A (B) 且均以图中的 $\mathrm{F}_{1}, \mathrm{~F}_{2}$ 为焦点, 设图(1), (2), (3)中的椭圆的离心率分别为 $\mathrm{e}_{1}, \mathrm{e}_{2}, \mathrm{e}_{3}$, 则

<ImageHere>

(1)

<ImageHere>

(2)

<ImageHere>

(3)

解析几何


Question: 若焦点在 $\mathrm{x}$ 轴上的椭圆 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{5}=1(\mathrm{a}>0)$ 的离心率为 $\frac{2}{3}$, 则 $\mathrm{a}$ 的值为 $(\quad)$

解析几何


Question: 焦点在 $x$ 轴上, 长短半轴长之和为 10 , 焦距为 $4 \sqrt{5}$, 则粗圆的标准方程为

解析几何


Question: 若椭圆 C: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的短轴长等于焦距, 则粗圆的离心率为 ( )

解析几何

依题意可知 $2 \mathrm{c}=2 \mathrm{~b}$, 即 $\mathrm{b}=\mathrm{c}$, 所以 $\mathrm{a}=\sqrt{\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}}=\sqrt{2} \mathrm{c}, 	herefore$ 粗圆的离心率 $\mathrm{e}=rac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=rac{\sqrt{2}}{2}$.


Question: 焦点在 $\mathrm{x}$ 轴上的椭圆 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{3 \mathrm{n}}+\mathrm{y}^{2}=1(\mathrm{n}>0)$ 的焦距为 $4 \sqrt{2}$, 则长轴长是 $(\quad)$

解析几何

椭圆 $rac{x^{2}}{3 n}+y^{2}=1(n>0)$ 的 $a=\sqrt{3 n}, b=1, c=\sqrt{3 n-1}$,由题意可知 $\left\{egin{array}{l}3 n>1 \ 2 \sqrt{3 n-1}=4 \sqrt{2}\end{array} \Rightarrow n=3
ight.$, 所以长轴长为 $2 a=6$, 故选 $B$.


Question: 粗圆 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$ 上一点 $P$ 到焦点距离的最大值为 ( )

解析几何

由椭圆 $rac{\mathrm{x}^{2}}{16}+rac{\mathrm{y}^{2}}{12}=1$ 可知: 焦点在 $\mathrm{x}$ 轴上, $\mathrm{a}=4, \mathrm{~b}=2 \sqrt{3}, \mathrm{c}=\sqrt{\mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2}}=2$, 由粗圆的性质可知: $P$ 到焦点距离的最大值 $a+c=4+2=6$, 则 $P$ 到焦点距离的最大值为 6 ,


Question: 已知 $F$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点, $A$ 为右顶点, $P$ 是椭圆上的一点, $P F \perp x$轴, 若 $|\mathrm{PF}|=\frac{3}{4}|\mathrm{AF}|$, 则该陏圆的离心率是 ( )

解析几何


Question: 已知椭圆过点 $\left(-4, \frac{3}{5}\right)$ 和 $\left(3,-\frac{4}{5}\right)$, 则椭圆离心率 $e=(\quad)$

解析几何


Question: 已知椭圆的焦点为 $(-1,0)$ 和 $(1,0)$, 点 $P(2,0)$ 在粗圆上, 则陏圆的标准方程为

解析几何


Question: 如图, 已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆的左、右焦点, 点 $P$ 在粗圆上, 线段 $P F_{2}$ 与圆相切于点 $Q$, 且点 $Q$ 为线段 $P F_{2}$ 的中点, 则椭圆的离心率为 ( )

解析几何

如图: 连接 $O Q, P F_{1}, ecause$ 点 $Q$ 为线段 $P F_{2}$ 的中点, $	herefore O Q \| P F_{1}$, $|O Q|=rac{1}{2}\left|P F_{1}
ight|, 	herefore\left|P F_{1}
ight|=2|O Q|=2 b$, 由椭圆定义, $\left|P F_{1}
ight|+\left|P F_{2}
ight|=2 a$, $	herefore\left|P F_{2}
ight|=2 a-2 b, ecause$ 线段 $P F_{2}$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=b^{2}$ 相切于点 $Q, 	herefore O Q \perp P F_{2}$,<ImageHere>$	herefore P F_{1} \perp P F_{2}$, 且 $\left|F_{1} F_{2}
ight|=2 c, 	herefore(2 b)^{2}+(2 a-2 b)^{2}=(2 c)^{2}$, 即 $3 b=2 a, 5 a^{2}=9 c^{2}, 	herefore e=rac{c}{a}=rac{\sqrt{5}}{3}$.故选 $A$.


Question: 若粗圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的短轴长等于焦距, 则椭圆的离心率为 ( )

解析几何

依题意可知 $2 c=2 b$, 即 $b=c$, 所以 $a=\sqrt{b^{2}+c^{2}}=\sqrt{2} c, 	herefore$ 粗圆的离心率 $e=rac{c}{a}=rac{\sqrt{2}}{2}$.


Question: 已知三个数 $1, a, 9$ 成等比数列, 则圆雉曲线 $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 的离心率为

解析几何


Question: 设 $F_{1} 、 F_{2}$ 为粗圆的两个焦点, $M$ 为椭圆上一点, $M F_{1} \perp M F_{2}$, 且 $\left|M F_{2}\right|=|M O|$ (其中点 $O$ 为椭圆的中心），则该椭圆的离心率为

解析几何

由题意可知: $M F_{1} \perp M F_{2}$, 则 $	riangle F_{1} M F_{2}$ 为直角三角形, 由 $\left|M F_{2}
ight|=|M O|$, $O$ 为 $F_{1} F_{2}$ 中点, 则 $|O M|=\left|O F_{2}
ight|, 	herefore 	riangle O M F_{2}$ 为等边三角形, $\angle O F_{2} M=60^{\circ}:\left|M F_{2}
ight|=c, \quad 	herefore\left|M F_{1}
ight|=\sqrt{3} c$, 由粗圆的定义可知: $\mid M F_{1}$<ImageHere>$|+| M F_{2} \mid=2 a=\sqrt{3} c+c=(\sqrt{3}+1) c, a=rac{(\sqrt{3}+1)}{2}$, 则该椭圆的离心率 $e=rac{c}{a}=rac{c}{rac{\sqrt{3}+1}{2} c}=\sqrt{3}-1$,


Question: 直线 $l$ 经过粗圆的一个顶点和一个焦点, 若椭圆中心到 $l$ 的距离为其短轴长的 $\frac{1}{4}$, 则该椭圆的离心率为 ( )

解析几何


Question: 已知陏圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$, 且以线段 $A_{1} A_{2}$ 为直径的圆与直线 $\mathrm{bx}-\mathrm{ay}+2 \mathrm{ab}=0$ 相切, 则 $C$ 的离心率为 $(\quad)$

解析几何


Question: 已知 $F_{1}, F_{2}$ 是粗圆 $C: \frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的两个焦点, 在 $C$ 上满足 $\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0$ 的点 $P$ 的个数为

解析几何

由 $C: rac{x^{2}}{8}+rac{y^{2}}{4}=1$, 得 $a=2 \sqrt{2}, b=2, c=2, ecause b=c=2, 	herefore$ 以原点为圆心, $c$ 为半径的圆与椭圆有 2 个交点, $	herefore P F_{1} \perp P F_{2}$ 的点 $P$ 的个数为 2 , 即满足 $\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0$ 的点 $P$ 的个数为 2 ,故选: $B$.


Question: 已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点, $P$ 是 $C$ 上的一点, 若 $P F_{1} \perp P F_{2}$, 且 $\angle P F_{2} F_{1}=60^{\circ}$,则 $C$ 的离心率为 $(\quad)$

解析几何

不妨设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点, $ecause P F_{1} \perp P F_{2}, 	herefore \Delta P F_{1} F_{2}$ 是直角三角形, 在 $R t \Delta$ $P F_{1} F_{2}$ 中, $\angle P F_{2} F_{1}=60^{\circ},\left|F_{1} F_{2}
ight|=2 c, 	herefore\left|P F_{1}
ight|=\sqrt{3} c,\left|P F_{2}
ight|=c$. 由椭圆的定义可知 $\left|P F_{1}
ight|+\left|P F_{2}
ight|=2 a$, 即 $\sqrt{3} c+c=2 a$, 则 $rac{c}{a}=rac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$, 则 $C$ 的离心率为 $\sqrt{3}-1$. 故选 $D$.


Question: 若 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 为实数, 且 $a<b<0$, 则下列命题正确的是

代数

解析: 解答: 因为 $a<b<0$, 所以 $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}, \frac{b}{a}<1, \frac{a}{b}>1$, 即 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}, \frac{b}{a}>\frac{a}{b}$ 均不成立; 当 $c^{2}=0$时, $a c^{2}<b c^{2}$ 不成立; 故选 $D$

分析: 本题主要考查了不等式与不等关系, 解决问题的关键是根据不等式的性质分析判断即可


Question: 设 $a>0, b>0$, 若 $\sqrt{3}$ 是 $3^{a}$ 与 $3^{b}$ 的等比中项, 则 $\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$ 的最小值为

代数

解析: 解答: 由 $\sqrt{3}$ 是 $3^{a}$ 与 $3^{b}$ 的等比中项, 所以 $3^{a} \cdot 3^{b}=3$, 即 $3^{a+b}=3$, 所以 $\mathrm{a}+\mathrm{b}=1$.

又 $\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0$, 则 $\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{4}{b}\right)=1+4+\frac{b}{a}+\frac{4 a}{b} \geq 5+2 \sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{4 a}{b}}=9$. 故选 D.

分析: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用, 解决问题的关键是根据基本不等式分析计算即可


Question: 设 $0<a<b<1$, 则下列不等式成立的是 ( )

代数

解析: 解答: $\because 0<a<b<1, \therefore 0<b-a<1 \therefore \lg (b-a)<0$, 故选 $D$

分析: 本题主要考查了, 解决问题的关键是


Question: 若 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 为实数, 且 $a<b<0$, 则下列命题正确的是 ( )

代数

解析: 解答: 因为 $a<b<0$, 所以 $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}, \frac{b}{a}<1, \frac{a}{b}>1$, 即 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}, \frac{b}{a}>\frac{a}{b}$ 均不成立; 当 $c^{2}=0$时, $a c^{2}<b c^{2}$ 不成立; 故选 $D$.

分析: 本题主要考查了不等关系与不等式, 解决问题的关键是根据不等式性质分析计算即可


Question: 若 $a<b<0$, 则下列结论中不恒成立的是 ( )

代数

解析: 解答: 由不等式的基本性质可知 $\mathrm{A} . \mathrm{~B}$ 是正确的; 选项 C 是重要不等式 $a^{2}+b^{2} \geq 2 a b$,由于 $a<b$, 所以等号不成立, 因此 C 正确; $\mathrm{D}$ 选项中 $a+b<-2 \sqrt{a b}$ 恒成立, 答案选 $\mathrm{D}$.分析: 本题主要考查了基本不等式, 解决问题的关键是根据基本不等式分析即可


Question: 若 $m+n=1(m n>0)$, 则 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$ 的最小值为 ( )

代数

解析: 解答: 由 $m+n=1(m n>0)$, 则 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m+n}{m n}=\frac{1}{m n} \geq \frac{1}{\left(\frac{m+n}{2}\right)^{2}}=4$.故选 D.

分析: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用, 解决问题的关键是根据基本不等式分析计算即可


Question: 若 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处存在导数, 则 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(\mathrm{x}_{0}\right)}{h}$ ())

A. 与 $x_{0}, h$ 都有关

B. 仅与 $x_{0}$ 有关, 而与 $h$ 无关

C. 仅与 $h$ 有关, 而与 $x_{0}$ 无关

D. 以上答案都不对

代数


Question: 设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 附近有定义, 且有 $f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)=a \Delta x+b(\Delta x)^{2}(a, b$ 为常数),则( )

A. $f^{\prime}(x)=a$
B. $f^{\prime}(x)=b$
C. $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=a$
D. $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=b$

代数


Question: 下列命题是真命题的为 ( )

代数

A, 显然成立, 故是真命题; B, $x=-1$ 或 $x=1$, 故是假命题; C, 当 $x<0, y<0$时, 不成立, 故是假命题; $\mathrm{D}$, 如果 $\mathrm{x}=-3, \mathrm{y}=1$ 时, 不成立, 故是假命题.故选 A.


Question: 不等式 $|x-5|+|x+3| \geq 10$ 的解集为 ( ）

代数

解析: 解答: 由不等式的几何意义, 不等式 $|x-5|+|x+3|$ 表示数轴上的点 $x$ 与点 5 的距离和数轴上的点 $x$ 与点 -3 的距离之和, 其距离之和的最小值为 8 , 结合数轴, 选项 $\mathrm{D}$ 正确。分析: 本题主要考查了绝对值不等, 解决问题的关键是根据不等式的几何意义进行分析计算即可


Question: 下列关于实数 $\mathrm{x}$ 的不等式关系中, 恒成立的是 ( )

代数

解析: 解答: 当 $x=-1$ 时, $x+\frac{1}{x}=-2<2$, 故 $\mathrm{A}$ 错;

当 $x=1$ 时, $x^{2}+1=2$, 故 B 错;

当 $x=\frac{1}{2}$ 时, $\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}>1$, 故 C 错;

由绝对值的几何意义知, $|x-1|-|x+2|$ 表示数轴上的点到 $A(1)$ 和 $B(-2)$ 的距离之差, 其最小值为 3 , 故 D 正确

分析: 本题主要考查了绝对值不等, 解决问题的关键是根据绝对值的几何意义分析判断即可


Question: 不等式 $\left|\frac{x-2}{x}\right|>\frac{x-2}{x}$ 的解集是 ( )

代数

解析: 解答: 本题考查绝对值的含义,不等式的解法, 等价转化思想.

因为 $a \geq 0$ 时, $|a|=a ; a<0$ 时, $|a|=-a$, 则 $|a|>a \Leftrightarrow a<0$; 所以不等式 $\left|\frac{x-2}{x}\right|>\frac{x-2}{x}$ 可化为 $\frac{x-2}{x}<0$, 即 $x(x-2)<0$, 解得 $0<x<2$. 故选 A

分析: 本题主要考查了绝对值不等式的解法, 解决问题的关键是根据绝对值不等式的性质分析计算即可


Question: 设 $a, b$ 是满足 $a b<0$ 的实数,那么 ( )

代数


Question: 若实数 $a, b, c$ 满足 $|a-c|<|b|$, 则下列不等式中成立的是( )

代数

解析:

解答: 因为实数 $a, b, c$ 满足 $|a-c|<|b|$, 利用绝对值不等式的性质放缩可知 $|a|<|b|+|c|$ 成立,选 B

分析: 本题主要考查了绝对值不等式, 解决问题的关键是根据绝对值的性质分析判断即可


Question: 不等式 $\left|x^{2}-2\right|<2$ 的解集是( ).

代数

解析: 解答: 由 $\left|x^{2}-2\right|<2 \Leftrightarrow-2<x^{2}-2<2, \therefore 0<x^{2}<4$, 则 $-2<x<2$ 且 $x \neq 0$.

分析: 本题主要考查了绝对值不等式的解法, 解决问题的关键是根据绝对值性质分析计算即可


Question: 对于实数 $X$, 若 $n \in Z, n \leq x<n+1$ 规定 $[x]=n$, 则不等式 $4[x]^{2}-60[x]+125<0$ 的解集是( )

代数

解析: 解答: 正确理解“对于实数 $x$, 若 $n \in Z, n \leq x<n+1$, 规定 $[x]=n$ ”, 是本题的关键所在. 先解得 $\frac{5}{2}<[x]<\frac{25}{2}$, 因为 $n \in Z, n \leq x<n+1$ 时, $[x]=n$, 所以 $3 \leq x<13$, 即不等式 $4[x]^{2}-60[x]+125$ $<0$ 的解集是 $\{x \mid 3 \leq x<13\}$. 所以答案为 C.

分析: 本题主要考查了其他不等式的解法, 解决问题的关键是首先正确理解“对于实数 $\mathrm{x}$,若 $n \in Z, n \leq x<n+1$, 规定 $[x]=n$ ”, 是本题的关键所在. 即 $[x]$ 为取整函数. 然后由后边的不等式解除 $[x]$ 的取值范围, 然后把不等式的两边取整. 即得到答案.


Question: $\left(x^{2}+\frac{2}{x}\right)^{3}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为( )

代数


Question: $\left(x^{2}-\frac{2}{x^{3}}\right)^{3}$ 展开式中的常数项为( )

代数


Question: 对任意实数 $x, y$, 定义运算 $x * y=a x+b y+c x y$, 其中 $a, b, c$ 是常数, 等式右边的运算是通常的加法和乘法运算; 已知 $1 * 2=3,2 * 3=4$, 并且有一个非零常数 $m$, 使得对任意实数 $x$, 都有 $x * m=x$, 则 $m$ 的值是 ( )

代数

解析: 解答: $\because x^{*} y=a x+b y+c x y$, 由 $1 * 2=3,2 * 3=4$, 得 $a+2 b+2 c=3,2 a+3 b+6 c=4 \therefore b=2+2 c$, $\mathrm{a}=-1-6 c$. 又由 $\mathrm{x}^{*} \mathrm{~m}=\mathrm{ax}+\mathrm{bm}+\mathrm{cmx}=\mathrm{x}$ 对于任意实数 $\mathrm{x}$ 恒成立, $\therefore \mathrm{a}+\mathrm{cm}=1, \quad \mathrm{bm}=0, \because \mathrm{m}$ 为非零实数, $\therefore \mathrm{b}=0=2+2 \mathrm{c}, \quad \therefore \mathrm{c}=-1 . \quad \therefore(-1-6 \mathrm{c})+\mathrm{cm}=1 . \quad \therefore-1+6-\mathrm{m}=1 . \quad \therefore \mathrm{m}=4$. 故选 B
分析: 本题主要考查了进行简单的合情推理, 解决问题的关键是根据所给新定义结合进行简单的合情推理的方法进行计分析计算即可.


Question: 当 $n=1,2,3,4,5,6$ 时, 比较 $2^{n}$ 和 $n^{2}$ 的大小并猜想, 则下列猜想中一定正确的是 ( )

代数


Question: 设 $a, b>0, A=\sqrt{a}+\sqrt{b}, B=\sqrt{a+b}$, 则 $A, B$ 的大小关系是( )

代数

解析:【解答】用综合法:

$$
(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}=a+2 \sqrt{a b}+b
$$

所以 $A^{2}-B^{2}>0$. 所以 $A^{2}>B^{2}$.

又 $A>0, B>0$,

所以 $A>B$.

【分析】本题主要考查了分析法与综合法, 解决问题的关键是对所给关系式 $A, B$ 两边平方作差比较即可.


Question: 要证明 $\sqrt{a}+\sqrt{a+7}<\sqrt{a+3}+\sqrt{a+4}(a \geq 0)$ 可选择的方法有多种, 其中最合理的是

A. 综合法
B. 类比法
C.分析法
D.归纳法

代数

解析:【解答】要证 $\sqrt{a}+\sqrt{a+7}<\sqrt{a+3}+\sqrt{a+4}$,

只需证

$2 a+7+2 \sqrt{a(a+7)}<2 a+7+2 \sqrt{(a+3)(a+4)}$

$2 a+7+2 \sqrt{a(a+7)}<2 a+7+2 \sqrt{(a+3)(a+4)}$, 只需证 $\sqrt{a(a+7)}<\sqrt{(a+3)(a+4)}$,

只需证 $a(a+7)<(a+3)(a+4)$,

只需证 $0<12$,

故选用分析法最合理.

【分析】本题主要考查了分析法与综合法, 解决问题的关键是根据分析法证明不等式的步骤分析计算即可.


Question:
分析法又叫执果索因法, 若使用分析法证明: 设 $a>b>c$, 且 $a+b+c=0$, 求证:

$\sqrt{b^{2}-a c}<\sqrt{3} a$ 索的因应是 $(\quad)$

代数

解析:【解答】要证 $\sqrt{b^{2}-a c}<\sqrt{3} a$,

只需证 $b^{2}-a c<3 a^{2} b^{2}-a c<3 a^{2}$, 只需证 $b^{2}-a(-b-a)<3 a^{2}$,

只需证 $2 a^{2}-a b-b^{2}>0$, 只需证 $(2 a+b)(a-b)>0$, 只需证

$(a-c)(a-b)>0(a-c)(a-b)>0$, 故索的因应为 C.

【分析】本题主要考查了分析法与综合法, 解决问题的关键是根据分析法由结论解析逆推即可


Question: 若 $a, b, c$ 是常数, 则 “ $a>0$, 且 $b^{2}-4 a c<0$ ”是“对任意 $x \in \mathbf{R}$, 有 $a x^{2}+b x+c>0$ ”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

代数

解析: 【解答】因为 $a>0$, 且 $b^{2}-4 a<0 \Rightarrow a x^{2}+b x+c>0$ 对任意 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立.反之, $a x^{2}$ $+b x+c>0$ 对任意 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立不能推出 $a>0$, 且 $b^{2}-4 a c<0$, 反例为: 当 $a=b=0$, 且 $c$ $>0$ 时也有 $a x^{2}+b x+c>0$ 对任意 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立, 所以“ $a>0$, 且 $b^{2}-4 a c<0$ ”是“对任意 $x \in \mathbf{R}$,有 $a x^{2}+b x+c>0$ ”的充分不必要条件

【分析】本题主要考查了分析法与综合法, 解决问题的关键是根据所给不等式结合充分条件与必要条件成立的关系解析分析验证即可.


Question: 函数 $f(x)=(x-3) e^{x}$ 的单调递增区间是 $(\quad)$

代数

解析: 【解答 $f^{\prime}(x)=(x-3)^{\prime} \mathrm{e}^{x}+(x-3) \cdot\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{\prime}=(x-2) \mathrm{e}^{x}$, 令 $f^{\prime}(x)>0$, 解得 $x>2$,故选 D.

【分析】本题主要考查了分析法与综合法, 解决问题的关键是根据所给函数求导, 利用导数
的性质分析求解即可得到函数的得到区间.


Question:
(1)已知 $p^{3}+q^{3}=2$, 求证: $p+q \leq 2$. 用反证法证明时, 可假设 $p+q \geq 2$;

(2) 若 $a 、 b \in R,|a|+|b|<1$, 求证: 方程 $x^{2}+a x+b=0$ 的两根的绝对值都小于 1 . 用反证法证明时可假设方程有一根 $x_{1}$ 的绝对值大于或等于 1 , 即假设 $\left|x_{1}\right| \geq 1$;

以下结论正确的是 ( )

A. (1)与(2)的假设都错误
B. (1)的假设正确; (2)的假设错误
C. (1)与(2)的假设都正确
D. (1)的假设错误; (2)的假设正确

代数

解析：解答：(1)的结论的否定应该是 $p+q>2$, 故错; (2)的否定是方程的两根至少有一个大于等于 1 , 故(2)正确.

分析: 本题主要考查了反证法, 解决问题的关键是根据反证法的步骤特征进行具体分析即可.


Question: 不相等的三个正数 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b} 、 \mathrm{c}$ 成等差数列, 并且 $x$ 是 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b}$ 的等比中项, $\mathrm{y}$ 是 $\mathrm{b} 、 \mathrm{c}$ 的等比中项, 则 $x^{2} 、 \mathrm{~b}^{2} 、 \mathrm{y}^{2}$ 三数( )

A. 成等比数列而非等差数列

B. 成等差数列而非等比数列

C. 既成等差数列又成等比数列

D. 既非等差数列又非等比数列

代数

解析：解答：由已知条件, 可得

$\left\{\begin{array}{l}a+c=2 b(1) \\ x^{2}=a b(2) \\ y^{2}=b c(3)\end{array}\right.$

由(2)(3)得 $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{x^{2}}{b} \\ c=\frac{y^{2}}{b}\end{array}\right.$

代入(1), 得 $\frac{x^{2}}{b}+\frac{y^{2}}{b}=2 \mathrm{~b}$,

即 $x^{2}+\mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{~b}^{2}$.

故 $x^{2} 、 \mathrm{~b}^{2} 、 \mathrm{y}^{2}$ 成等差数列,

故选 B.

分析: 本题主要考查了综合法的思考过程、特点及应用, 解决问题的关键是根据所给条件进
行综合分析得到对应的结论即可得到正确选项.


Question:
设 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 是两个实数, 给出下列条件:

(1) $a+b>1$; (2) $a+b=2$; (3) $a+b>2$; (4) $a^{2}+b^{2}>2$; (5) $a b>1$.

其中能推出: “a, b 中至少有一个大于 1 ”的条件是( )

代数

解析: 解答: (1)中若 $\mathrm{a}=\frac{3}{4}, \mathrm{~b}=\frac{1}{2}$, 则 $\mathrm{a}+\mathrm{b}>1$, 故(1)不能; (2)中若 $\mathrm{a}=\mathrm{b}=1$, 则 $\mathrm{a}+\mathrm{b}=2$,故(2)不能; (3)能, (4)中若 $a=b=-2$, 则 $a^{2}+b^{2}>2$, 故(4)不能; (5)中若 $a=b=-2$, 则 $a b>1$,故(5)不能. $\therefore$ 只有(3)能, 选 C.

分析: 本题主要考查了分析法, 解决问题的关键是根据所给条件与结论运用分析法进行具体分析即可.


Question: 分析法又称执果索因法, 若用分析法证明: “设 $a>b>c$, 且 $a+b+c=0$, 求证 $\sqrt{b^{2}-a c}<\sqrt{3}$ a” 索的因应是( )

代数

解析: 解答: $\sqrt{b^{2}-a c}<\sqrt{3}$ a

$\Leftrightarrow \mathrm{b}^{2}-\mathrm{ac}<3 \mathrm{a}^{2}$

$\Leftrightarrow(\mathrm{a}+\mathrm{c})^{2}-\mathrm{ac}<3 \mathrm{a}^{2}$

$\Leftrightarrow \mathrm{a}^{2}+2 \mathrm{ac}+\mathrm{c}^{2}-\mathrm{ac}-3 \mathrm{a}^{2}<0$

$\Leftrightarrow-2 \mathrm{a}^{2}+\mathrm{ac}+\mathrm{c}^{2}<0$

$\Leftrightarrow 2 \mathrm{a}^{2}-\mathrm{ac}-\mathrm{c}^{2}>0$

$\Leftrightarrow(a-c)(2 a+c)>0$

$\Leftrightarrow(\mathrm{a}-\mathrm{c})(\mathrm{a}-\mathrm{b})>0$.

分析: 本题主要考查了分析法的思考过程、特点及应用, 解决问题的关键是根据所给条件与所求结论运用分析法进行分析推理即可.


Question: 要证明 $\sqrt{3}+\sqrt{7}<2 \sqrt{5}$ 可选择的方法有以下几种, 其中最合理的是 ( )

A. 综合法
B. 分析法
C. 反证法
D. 归纳法

代数

解析: 解答: 综合法由已知条件入手开始证明, 分析法从所求的结论入手寻找使其成立的条件, 反证法适合证明含有存在, 唯一等字眼的题目, 归纳法证明与正整数有关的题目; 结合以上特点, 本题的证明适合采用分析法

分析: 本题主要考查了分析法的思考过程、特点及应用; 综合法的思考过程、特点及应用,
解决问题的关键是根据所给选项结合对应的方法进行具体分析即可.


Question: 若 $a>0, b>0$, 那么必有 ( )

代数

解析: 解答: 因为 $a^{3}+b^{3}-\left(a^{2} b+a b^{2}\right)=a^{3}-a^{2} b+b^{3}-a b^{2}=a^{2}(a-b)+b^{2}(b-a)$

$=(a-b)^{2}(a+b) \geq 0$, 所以选 A.

分析: 本题主要考查了综合法, 解决问题的关键是根据所给等式运用综合法进行计算证明即可.


Question: 已知 $a^{2}+b^{2}=1, b^{2}+c^{2}=2, c^{2}+a^{2}=2$, 则 $a b+b c+c a$ 的最小值为 ( )

代数


Question: 若 $0<a<1,0<b<1$ 且 $a \neq b$, 则在 $a+b, 2 \sqrt{a b}, a^{2}+b^{2}$ 和 $2 a b$ 中最大的是 ( )

代数

解析: 解答: 因为 $0<a<1,0<b<1$ 且 $a \neq b$ 所以 $\mathrm{a}>a^{2}, \mathrm{~b}>b^{2}, \mathrm{a}+\mathrm{b}>a^{2}+b^{2}>2 a b$由均值定理 $\mathrm{a}+\mathrm{b}>2 \sqrt{a b}$, 即 $\mathrm{a}+\mathrm{b}$ 最大, 故选 A 分析: 本题主要考查了分析法和综合法, 解决问题的关键是根据分析法和综合法进行分析比较即可.


Question: (1)已知 $p^{3}+q^{3}=2$, 求证 $p+q \leq 2$. 用反证法证明时, 可假设 $p+q \geq 2$. (2)已知 $a, b \in \mathbf{R},|a|$ $+|b|<1$, 求证方程 $x^{2}+a x+b=0$ 的两根的绝对值都小于 1 . 用反证法证明时可假设方程有一根 $x_{1}$ 的绝对值大于或等于 1 , 即假设 $\left|x_{1}\right| \geq 1$. 以下结论正确的是 ( )

A.(1)与(2)的假设都错误
B.(1)与(2)的假设都正确
C.(1)的假设正确; (2)的假设错误
D.(1)的假设错误; (2)的假设正确

代数

解析：【解答】(1)的假设应为 $p+q>2$; (2)的假设正确

【分析】本题主要考查了反证法与放缩法, 解决问题的关键是根据反证法证明的步骤分析即可.


Question: 已知 $\odot \mathrm{O}$ 的弦 $\mathrm{AB}$ 过弦 $\mathrm{CD}$ 的三等分点 $\mathrm{M}, \mathrm{AM}$ 和 $\mathrm{BM}$ 是方程 $3 \mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{mx}+18=0$ 的两个根,则 $\mathrm{CD}$ 的长为 ( )

代数

解析: 解答: $\because \mathrm{AM}$ 和 $\mathrm{BM}$ 是 $3 \mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{mx}+18=0$ 的两根, $\therefore \mathrm{AM} \cdot \mathrm{BM}=\frac{18}{3}=6$.

又 $\mathrm{AB}$ 和 $\mathrm{CD}$ 相交于点 $\mathrm{M}, \therefore \mathrm{CM} \cdot \mathrm{MD}=\mathrm{AM} \cdot \mathrm{BM}=6$.

$\therefore \frac{1}{3} \mathrm{CD} \cdot \frac{2}{3} \mathrm{CD}=6, \therefore \mathrm{CD}=3 \sqrt{3}$.

分析: 本题主要考查了与圆有关的比例线段, 解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段分析满足的性质计算即可


Question: 已知 $z_{1}=m^{2}-3 m+m^{2} \mathrm{i}, z_{2}=4+(5 m+6) \mathrm{i}$, 其中 $\mathrm{m}$ 为实数, $\mathrm{i}$ 为虚数单位, 若 $z_{1}-z_{2}=0$, 则 $\mathrm{m}$ 的值为 $(\quad)$

代数

答案: B

解析：由题意可得 $\left\{\begin{array}{l}m^{2}-3 m=4, \\ m^{2}=5 m+6, \therefore m=-1 .\end{array}\right.$


Question: 已知对于 $x$ 的方程 $x^{2}+x+3 m-(2 x+1) i=0$ 有实根, 则实数 $m$ 满足 ( )

代数


Question: 设复数 $z=\frac{2 \mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$, 则复数 $z$ 的共轭复数 $z$ 在复平面内对应的点在( )

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

代数

答案: D

解析: 因为 ${ }^{z=\frac{2 \mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}}=1+\mathrm{i}$, 所以 $\bar{z}=1-\mathrm{i}, \bar{z}$ 在复平面内对应的点为 ${ }^{(1,-1)}$, 在第四象限.故选 D.


Question: 已知复数 $z$ 满足 ${ }^{(1-i) z=-2-2 i}$, 则 $|z|=(\quad)$

代数

答案: A

解析：由题意得 $z=-2 \times \frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=-(1+\mathrm{i})^{2}=-2 \mathrm{i}$, 所以 $|z|=2$, 故选 A.


Question: 已知复数 $z=\frac{2}{1-i}$, 则 $|z|$ 等于（）

代数


Question: 若复数 $z$ 满足 $z(1-2 i)=3-i$ ( $i$ 为虚数单位), 则复数 $z$ 的共轭复数为 $(\quad)$

代数

答案: A

解析: 因为 $z(1-2 \mathrm{i})=3-\mathrm{i}$, 所以 $z=\frac{3-\mathrm{i}}{1-2 \mathrm{i}}=\frac{(3-\mathrm{i})(1+2 \mathrm{i})}{(1-2 \mathrm{i})(1+2 \mathrm{i})}=1+\mathrm{i}$, 所以复数 $z$ 的共轭复数为 $1-\mathrm{i}$. 故选

A.


Question:
执行下面的程序框图,如果输入的 $a=4, b=6$, 那么输出的 $n=(\quad)$

<ImageHere>

代数


Question:
如图所示是数列一章的知识结构图,下列说法正确的是( )

<ImageHere>

A.“概念”与“分类”是从属关系

B. “等差数列”与“等比数列”是从属关系

C.“数列”与 “等差数列”是从属关系

D.“数列”与与“等差数列”是从属关系,但“数列”与“分类”不是从属关系

代数

画某一章节的知识结构图时, 首先应对本章节的知识有全面的把握, 然后明确各知识点之间在逻辑上的先后顺序、概念上的从属关系.按从上到下、从左到右的顺序画图, 在 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B} 、 \mathrm{C} 、 \mathrm{D}$ 四个选项中只有 C 正确.


Question:
在下面的知识结构图中:

<ImageHere>

“求简单函数的导数”的“上位”要素有( )

代数

由结构图可知, “求简单函数的导数”的 “上位”要素有“基本导数公式”“函数四则运算求导法则”“复合函数求导法则”这 3 个.


Question: 设复数 $z=\frac{2 i}{1+i}$, 则复数 $z$ 的共轭复数 $z$ 在复平面内对应的点在 $(\quad)$

A. 第一象限
B. 第二象限
C.第三象限
D.第四象限

代数


Question: 已知复数 ${ }^{z}$ 满足 ${ }^{z=\frac{2+\mathrm{i}}{\mathrm{i}}}$, 其中 ${ }^{\mathrm{i}}$ 是虚数单位, 则 ${ }^{z}$ 在复平面内对应的点位于 ( )

A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

代数

答案: D

解析: $z=\frac{2+\mathrm{i}}{\mathrm{i}}=\frac{(2+\mathrm{i}) \mathrm{i}}{\mathrm{i}^{2}}=1-2 \mathrm{i}$, 所以 ${ }^{z}$ 在复平面对应的点 $(1,-2)$ 位于第四象限, 故选 D


Question: 已知复数 $z$ 满足 $(1+i) z=2 i$, 则 $z$ 在复平面内对应的点位于 $(\quad)$

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

代数

答案: A

解析: 由题, $z=\frac{2 \mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{2 \mathrm{i}(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}=\frac{2+2 \mathrm{i}}{2}=1+\mathrm{i}$, 所以 $z$ 在复平面内对应的点为 $(1,1)$,

故选:A


Question: 设复数 $z$ 满足 $z(1+i)=2$, 则 $z$ 在复平面内所对应的点位于 $(\quad)$

A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

代数

答案: D

解析: 由 ${ }^{z(1+i)=2}$, 得 ${ }^{z=\frac{2}{1+\mathrm{i}}=1-\mathrm{i}}, \therefore^{z}$ 在复平面内所对应的点坐标为 $(1,-1)$, 位于第四象限


Question: 下列各式中正确的是 ( )

A. $\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x}$
B. $\left(\log _{2} x\right)^{\prime}=\frac{\ln 10}{x}$

C. D.

代数

由 $\left(\log _{a} x
ight)^{\prime}=rac{1}{x \ln a}$, 可知 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 均错由, 可知 $\mathrm{D}$ 正确,故选 D.


Question:
已知函数 $f(x)=\ln x-\frac{1}{2} a x^{2}+(a-1) x+a(a>0)$ 的值域与函数

$y=f(f(x))$ 的值域相同, 则实数 $a$ 的取值范围为（）

代数


Question:
已知函数 $f(x)=x+\ln x, g(x)=x \ln x$, 若 $f\left(x_{1}\right)=\ln t, g\left(x_{2}\right)=t$,则 $x_{1} x_{2} \ln t$ 的最小值为 ( )

$\begin{array}{llll}\text {

代数


Question:
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}|\ln x|, & 0<x \leq e \\ f(2 e-x), & e<x<2 e\end{array}\right.$, 若方程 $F(x)=f(x)-a x$ 有 4 个

零点, 则 $a$ 的可能的值为 ( )

代数

根据函数 $f(x)$ 的解析式可知, 函数的图象如下:<ImageHere> 要使方程 $F(x)=f(x)-a x$ 有 4 个零点, 则 $f(x)$ 的图象与直线 $y=a x$ 有 4 个不同的交点,所以只需 $a$ 小于 $y=\ln x$ 在区间 $[1, e]$ 上的过坐标原点的切线的斜率即可.由 $y=\ln x$, 得 $y^{t}=rac{1}{x}$, 设切点坐标为 $\left(x_{0}, y_{0}
ight)$, 则切线方程为 $y-\ln x_{0}=rac{1}{x_{0}}\left(x-x_{0}
ight)$,又切线过 $(0,0)$, 所以 $-\ln x_{0}=rac{1}{x_{0}}\left(-x_{0}
ight)$, 解得 $x_{0}=e$, 故此时切线的斜率为 $rac{1}{x_{0}}=rac{1}{e}$, 故 $a \in\left(0, rac{1}{e}
ight)$, 结合选项知, 选 A.


Question:
已知函数 $f(x)$ 的导函数为 $f^{\prime}(x)$, 函数 $g(x)=(x-1) f^{\prime}(x)$ 的图象如图所示,则下列结论正确的是 (

<ImageHere>

代数


Question:
若函数 $f(x)=a x^{3}+3 x^{2}+x+b(a>0, b \in \mathbf{R})$ 恰好有三个不同的单调区间,

则实数 $a$ 的取值范围是 ( )

代数

由题意得 $f^{\prime}(x)=3 a x^{2}+6 x+1(a>0)$,$ecause$ 函数 $f(x)$ 恰好有三个不同的单调区间, $	herefore f^{\prime}(x)$ 有两个不同的零点,所以, $\left\{egin{array}{l}\Delta=36-12 a>0 \ a>0\end{array}
ight.$, 解得 $0<a<3$,因此, 实数 $a$ 的取值范围是 $(0,3)$, 故选 D.


Question: 用数学归纳法证明 $1+2+3+\cdots+(2 n+1)=(n+1)(2 n+1)$ 时, 从 “ $n=k$, 到 $《 n=k+1$, 左边需增添的代数式是 ( )

代数


Question: 已知函数 $y=f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上可导且 $f(0)=2$, 其导函数 $f^{\prime}(x)$ 满足, $\frac{f^{\prime}(x)-f(x)}{x-2}>0$, 若函数 $g(x)$ 满足 $e^{x} g(x)=f(x)$, 下列结论错误的是 ( )

A. 函数 $g(x)$ 在 $(2,+\infty)$ 上为增函数
B. $x=2$ 是函数 $\mathrm{g}(x)$ 的极小值点

C. $x \leq 0$ 时, 不等式 $f(x) \leq 2 e^{x}$ 恒成立 D. 函数 $g(x)$ 至多有两个零点

代数


Question: 设 $a>0, b>0, e$ 是自然对数的底数 ( )

代数


Question: 若 $a, b, c$ 为实数, 则下列命题正确的是 ( )

算术

解析: 解答: 对于 $\mathrm{A}$, 当 $c=0$ 时, 不等式不成立, 故 $\mathrm{A}$ 错; 对于 $\mathrm{C}$, 因为 $a<b<0$, 两边同时除以 $a b>0$, 所以 $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$, 故 C 错; 对于 D, 因为 $-a>-b>0,-\frac{1}{b}>-\frac{1}{a}>0$, 所以 $\frac{a}{b}>\frac{b}{a}$, 故 $\mathrm{D}$ 错, 所以选 $\mathrm{B}$.

分析: 本题主要考查了不等关系与不等式, 解决问题的关键是根据不等式性质分析计算即可


Question: 若 $a<b<0$, 则下列不等式中, 一定成立的是（）

算术

解析: 解答: 因为 $a<b<0$, 所以 $a^{2}>a b>b^{2}$, 故选 B.

分析: 本题主要考查了不等关系与不等式, 解决问题的关键是根据不等关系与不等式分析即可


Question: 若 $a>b>0, c<d<0$, 则一定有 ( )

算术

解析: 解答: 因为 $\mathrm{c}<\mathrm{d}<0$, 所以 $\frac{1}{d}<\frac{1}{c}<0$, 即 $-\frac{1}{d}>-\frac{1}{c}>0$,

与 $\mathrm{a}>\mathrm{b}>0$ 对应相乘得, $-\frac{a}{d}>-\frac{b}{c}>0$, 所以 $\frac{a}{d}<\frac{b}{c}$. 故选 C.

分析: 本题主要考查了不等式与不等关系, 解决问题的关键是根据不等式的性质分析即可


Question: 若 $a, b, c \in \mathbf{R}, a>b$, 则下列不等式成立的是 ( )

算术

解析: 解答: 根所题意及选项特征宜用特殊值法进行求解.不妨设 $a=1, b=-1$, 则可排除 $\mathrm{A} . \mathrm{~B}$ 选项，当 $c=0$ 时 $\mathrm{D}$ 选项显然不成立，故正确答案为选项 C.

分析: 本题主要考查了不等式与不等关系, 解决问题的关键是根据题意及选项特征宜用特殊值法进行求解


Question: 若 $a, b, c$ 为实数, 则下列命题正确的是 ( )

算术

解析：解答：选项 A: 当 $c=0$ 时, $a c^{2}=b c^{2}=0$ (舍); 选项 B: $\because a<b<0$, $\therefore a^{2}>a b, a b>b^{2}$, 即 B 正确; 选项 C: $\because y=\frac{1}{x}$ 在 $(-\infty, 0)$ 上为减函数, 且 $a<b<0$, $\therefore \frac{1}{a}>\frac{1}{b}$ (舍)；选项 D: $\because a<b<0$, $\therefore a^{2}>b^{2}$, 所以 $\frac{b}{a}-\frac{a}{b}=\frac{b^{2}-a^{2}}{a b}<0$, 即 $\frac{b}{a}<\frac{a}{b}$ (舍); 故选 B 分析: 本题主要考查了不等式与不等关系, 解决问题的关键是根据不等式的性质分析即可


Question: 下列选项一定正确的是 ( )

算术

解析: 解答: 若 $c<0$, 选项 A 错误; 若 $\sqrt{a}>\sqrt{b}$, 两边平方, 则 $a>b$, 故 B 正确; 若 $a^{2}>b^{2}$,则 $|a|>|b|$, 故 C 错误; 若 $\mathrm{a}<0, \mathrm{~b}>0$, 则选项 D 错误; 故选 D.

分析: 本题主要考查了不等式与不等关系, 解决问题的关键是根据不等式的性质分析判断即可


Question: 函数 $f(x)=x^{2}-1$ 在区间 $[1, m]$ 上的平均变化率为 3 , 则实数 $m$ 的值为

算术


Question: 设函数 $f(x)$ 可导, 则 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{3 \Delta x}$ 等于 $(\quad)$

算术


Question: 下列命题中, 正确的是 ( )

A. 若 $a>b, c>d$, 则 $a c>b d$
B. 若 $a c>b c$, 则 $a>b$
C. 若 $\frac{a}{\mathrm{c}^{2}}<\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}^{2}}$, 则 $\mathrm{a}<\mathrm{b}$
D. 若 $a>b, c>d$, 则 $a-c>b-d$

算术

A. 举出反例: 虽然 $5>2,-1>-2$, 但是 $5 	imes(-1)<2 	imes(-2)$, 故 A 不正确; B. 举出反例: 虽然 $2 	imes(-1)>3 	imes(-1)$, 但是 $\mathrm{a}<\mathrm{b}$, 故 B 不正确;C. $ecause rac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}^{2}}<rac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}^{2}}, 	herefore rac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}^{2}} 	imes \mathrm{c}^{2}<rac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}^{2}} 	imes \mathrm{c}^{2}, 	herefore \mathrm{a}<\mathrm{b}$, 故 C 正确; D. 举出反例: 虽然 5 $>4,3>1$, 但是 $5-3<4-1$, 故 D 不正确. 综上可知: C 正确.


Question: . 不等式 $|4-3 x|-5 \leq 0$ 的解集是（）

A. $\left\{x \left\lvert\,-\frac{1}{3}<x<3\right.\right\}$
B. $\left\{x \left\lvert\, x \leq-\frac{1}{3}\right.\right.$ 或 $\left.x \geq 3\right\}$
C. $\left\{x \left\lvert\, \frac{1}{3} \leq x \leq-3\right.\right\}$
D. $\left\{x \left\lvert\,-\frac{1}{3} \leq \mathrm{x} \leq 3\right.\right\}$

算术

解析: 解答: : 由 $-5 \leq 3 x-4 \leq 5$ 得 $-\frac{1}{3} \leq x \leq 3$ 故解集为 $\left\{x \left\lvert\,-\frac{1}{3} \leq x \leq 3\right.\right\}$

分析: 本题主要考查了绝对值不等式的解法, 解决问题的关键是根据绝对值的性质分析计算即可


Question: 设 $(2 x+\sqrt{3})^{4}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+a_{4} x^{4}$, 则 $\left(a_{0}+a_{2}+a_{4}\right)^{2}-\left(a_{1}+a_{3}\right)^{2}$ 的值为 ( )

算术


Question: 用三段论推理: “任何实数的平方大于 0 , 因为 $a$ 是实数, 所以 $a^{2}>0$ ”, 你认为这个推理 ( )

A. 大前提错误
B. 小前提错误
C. 推理形式错误
D. 是正确的

算术

解析: 解答: 要分析一个演绎推理是否正确, 主要观察所给的大前提, 小前提和结论是否正确, 根据三个方面都正确, 才能得到结论. 在本题中, 因为任何实数的平方大于 0 , 因为 $a$是实数, 所以 $a^{2}>0$, 大前提为: 任何实数的平方大于 0 是不正确的, 0 的平方就不大于 0 . 故选 A.

分析: 本题主要考查了演绎推理的基本方法, 解决问题的关键是根据演绎推理的基本方法结合三段论进行分析即可.


Question:
根据给出的数塔猜测 $123456 \times 9+7=（ \quad)$

$1 \times 9+2=11$

$12 \times 9+3=111$

$123 \times 9+4=1111$

$1234 \times 9+5=11111$

$12345 \times 9+6=111111$

......

算术

解析：解答：由数塔等号右侧数字规律易得 $123456 \times 9+7=1111111$.

分析: 本题主要考查了归纳推理, 解决问题的关键是根据所给数列的规律进行归纳即可.


Question: 高二年级的三个班去甲, 乙, 丙, 丁四个工厂参加社会实践, 但去何工厂可自由选择, 甲工厂必须有班级要去, 则不同的分配方案有( )

组合数学

答案: C

【解析】 方法一: 满足题意的不同的分配方案有以下三类:

(1)三个班中只有一个班去甲工厂有 $\mathrm{C}_{3}^{1} \times 3^{2}=27$ 种方案; (2)三个班中只有两个班去甲工厂有 $\mathrm{C}_{3}^{2} \times 3=9$ 种方案; (3)三个班都去甲工厂, 有 1 种方案. 综上可知, 共有 $27+9+1=37$ 种不同方案, 故选 C.

方法二：高二年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，有 $4^{3}$ 种不同的分配方案, 若三个班都不去甲工厂, 则有 $3^{3}$ 种不同的分配方案, 则满足条件的不同的分配方案有 $4^{3}-3^{3}=37$ 种, 故选 C.


Question: 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动, 则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 (

组合数学

答案: D

【解析】 方法一: 4 为同学各自在周六、日任选一天参加公益活动共有 $2^{4}=16$ (种)结果,而周六、日都有同学参加公益活动有两种情况:(1)一天一人,另一天三人, $\mathrm{C}_{4}^{1} \mathrm{C}_{2}^{2}=8$ (种);(2)每天二人, 有 $\mathrm{C}_{4}^{2}=6$ (种), 所以 $P=\frac{8+6}{16}=\frac{7}{8}$.

方法二(间接法): 4 位同学各自在周六、日任选一天参加公益活动,共有 $2^{4}=16$ (种)结果,而 4 人都选周六或周日有 2 种结果, 所以 $P=1-\frac{2}{16}=\frac{7}{8}$.


Question: 体育场南侧有 4 个大门, 北侧有 3 个大门,某学生到该体育场练跑步, 则他进出门的方案有

组合数学

答案: D

【解析】 第一步, 他进门, 有 7 种选择; 第二步, 他出门, 有 7 种选择. 根据分步乘法计数原理可得他进出门的方案有 $7 \times 7=49$ (种).


Question: 王刚同学衣服上左、右各有一个口袋,左边口袋里装有 30 个英语单词卡片,右边口袋里装有 20 个英语单词卡片, 这些英语单词卡片都互不相同,则从两个口袋里任取一张英语单词卡片,不同取法的种数为()

组合数学

答案: C
【解析】从口袋里任取一张英语单词卡片的方案分两类:

第一类:从左边口袋里取一张英语单词卡片, 有 30 种不同的取法;

第二类: 从右边口袋里取一张英语单词卡片, 有 ${ }^{20}$ 种不同的取法. 由分类加法计数原理知, 从两个口袋里任取一张英语单词卡片的取法种数为 $30+20=50$.


Question: 从 6 人中选出 4 人分别参加 2018 年北京大学举办的数学、物理、化学、生物暑期夏令营,每人只能参加其中一项, 其中甲、乙两人都不能参加化学比赛, 则不同的参赛方案的种数为

组合数学

答案: C

【解析】 第一步, 因为甲、乙两人都不能参加化学比赛. 所以从剩下的 4 人中选 1 人参加化学比赛.共有 4 种选法;

第二步,在剩下的 5 人中任选 3 人参加数学、物理、生物比赛,共有 $5 \times 4 \times 3=60$ 种选法.

由分步乘法计数原理,得不同的参赛方案的种数为 $4 \times 60=240$,故选 C.


Question: 甲与其四位同事各有一辆私家车, 车牌尾数分别是 $0 、 0 、 2 、 1 、 5$, 为遵守当地某月 5 日至 9 日 5 天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行, 偶数日车牌尾数为偶数的车通行), 五人商议拼车出行, 每天任选一辆符合规定的车, 但甲的车最多只能用一天, 则不同的用车方案种数为( )

组合数学

答案: D

【解析】 5 日至 9 日,分别为 $5,6,7,8,9$, 有 3 天奇数日, 2 天偶数日,第一步安排奇数日出行,每天都有 2 种选择, 共有 $2^{3}=8$ 种, 第一步安排偶数日出行分两类, 第一类, 先选 1 天安排甲的车, 另外一天安排其他车, 有 $2 \times 2=4$ 种, 第二类, 不安排甲的车, 每天都有 2 种选择, 共有 $2^{2}=4$ 种, 共计 4 ? 4 ? $=8$, 根据分布计数原理, 不同的用车方案种数共有 $8 \times 8=64$. 故选 D.


Question: 六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲, 则不同的排法共有 ( )

组合数学

答案: B

【解析】 若最左端排甲, 其他位置共有 $A_{5}^{5}=120$ (种) 排法; 若最左端排乙, 最右端共有 4 种排法,其余 4 个位置有 $A_{4}^{4}=24$ (种)排法,所以共有 $120+4 \times 24=216$ (种)排法。


Question: 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天安排 1 人,每人值班 1 天。若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不同的安排方案共有( )

组合数学

答案: C

<ImageHere>
甲乙排中间,丙排 7 号或不排 7 号,共有 $4 A_{2}^{2}\left(A_{+}^{+}+A_{3}^{2} A_{3}^{1} A_{3}^{3}\right)$ 种方法,故共有 1008 种不同的排法.故选 C.

3.答案: A

【解析】 安排人员去甲地可分为两步: 第一步安排教师, 有 ${ }^{1}$ 种方案; 第二步安排学生, 有 ${ }^{2}$ 种方案.其余的教师和学生去乙地,所以不同的安排方案共有 $C_{2}^{1} C_{4}^{R}=12$ 种,选 A.


Question: 将 2 名教师, 4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动, 每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( )

组合数学

安排人员去甲地可分为两步: 第一步安排教师, 有 ${ }^{1}$ 种方案; 第二步安排学生, 有 ${ }^{2}$ 种方案.其余的教师和学生去乙地,所以不同的安排方案共有 $C_{2}^{1} C_{4}^{R}=12$ 种,选 A.


Question: 从 $1,2,3, \ldots, 9$ 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数, 其和为偶数, 则不同的取法共有 ( )

组合数学

答案: D

【解析】 共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的基数,要使和为偶数, 则 4 个数全为奇数,或全为偶数,或 2 个奇数、 2 个偶数,故不同的取法有 $C_{5}^{4}+C_{4}^{4}+C_{5}^{2} C_{4}^{2}=66$ (种)。


Question: 从 1,3,5,7,9 这五个数中, 每次取出两个不同的数作为 $a, b$, 共可得到 $\lg a-1 \mathrm{l} b$ 的不同值的个数是( )

组合数学

答案: C

【解析】 从 1,3,5,7,9 中,每次取出两个不同的数作为 $a, b$, 可以得到不同的差式 $\lg a-\lg b$ 共计 $A_{5}^{2}=20$ 个, 但其中 $\lg 9-\lg 3=\lg 3-\lg 1, \lg 3-\lg 9=\lg 1-\lg 3$, 故不同的值只有 18 个.


Question:
如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图.公司在年初分配给 $A, B, C, D$ 四个维修点某种配件各 50 件.在使用前发现需将 $A, B, C, D$ 四个维修点的这批配件分别调整为 $40,45,54,61$ 件,但调整只能在相邻维修点之间进行,那么要完成上述调整,最少的调动件次 $(n$ 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为 $n$ )为 ( )

<ImageHere>

组合数学

答案: C
【解析】只需 $A$ 处给 $D$ 处 10 件, $B$ 处给 $C$ 处 5 件, $C$ 处给 $D$ 处 1 件, 共 16 件次,故选 C.


Question: 某班级需要把 6 名同学安排到周一、周二、周三这三天值日, 每天安排 2 名同学,已知甲不能安排到周一,乙和丙不能安排到同一天,则安排方案的种数为( )

组合数学

答案: C

【解析】 根据题意, 分 2 种情况讨论:

(1)甲、乙、丙三人分在不同的三天值班，

甲可以分在周二、周三, 有 2 种安排方法, 将乙、丙全排列,分在其他 2 天, 有 $A_{2}^{2}=3$ 种安排方法,

剩余的 3 人,全排列,安排在周一、周二、周三这三天,有 $A_{3}^{3}=6$ 种安排方法,

则此时有 $2 \times 2 \times 6=24$ 种安排方法;

(2), 甲和乙、丙中的 1 人, 安排在同一天值班,

在乙、丙中选出 1 人，和甲一起分在周二、周三值班，有 $2 \times 2=4$ 种情况，

剩余 4 人,平均分成 2 组,有 $\frac{1}{2} C_{4}^{2}=3$ 种分组方法,

再将 2 组全排列,对应剩下的 2 天值班, 有 $A_{2}^{2}=2$ 种安排方法,

则此时有 $4 \times 3 \times 2=24$ 种安排方法;

则有 $24+24=48$ 种不同的安排方案,

故选: C.


Question: 将 2 名教师, 4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动, 每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( )

组合数学

安排人员去甲地可分为两步: 第一步安排教师, 有 ${ }^{1}$ 种方案; 第二步安排学生, 有 ${ }^{2}$ 种方案.其余的教师和学生去乙地,所以不同的安排方案共有 $C_{2}^{1} C_{4}^{R}=12$ 种,选 A.


Question: 从 $1,2,3, \ldots, 9$ 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数, 其和为偶数, 则不同的取法共有 ( )

组合数学

答案: D

【解析】 共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的基数,要使和为偶数, 则 4 个数全为奇数,或全为偶数,或 2 个奇数、 2 个偶数,故不同的取法有 $C_{5}^{4}+C_{4}^{4}+C_{5}^{2} C_{4}^{2}=66$ (种)。


Question: 某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言, 要求甲、乙两名同学至少有一人参加,且若甲、乙同时参加,则他们发言时不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为( )

组合数学


Question: 将 3 本相同的语文书和 2 本相同的数学书分给四名同学, 每人至少 1 本, 不同的分配方法数为( )

组合数学

答案: B

【解析】 第一类, 先选 1 人得到两本语文书, 剩下的 3 人各得本, 有 $\mathrm{C}_{4}^{1} \mathrm{C}_{3}^{1}=12$ 种; 第二类,

先选 1 人得到一本语文书和一本数学书, 剩下的 3 人各得一本, 有 ${ }^{C_{4}^{1} C_{3}^{1}}=12$ 种; 第三类,先选 1 人得到两本数学书, 剩下的 3 人各得一本, 有 ${ }^{1}=4$ 种, 根据分类加法计数原理可得共有 $12+12+4=28$ 种方法, 故选 B.


Question: 在航天员进行的一项太空实验中, 要先后实施 6 个程序, 其中程序 $A$ 只能出现在第一步或最后一步, 程序 $B$ 和 $C$ 实施时必须相邻, 请问实验顺序的编排方法共有 ( )

组合数学

答案: C

【解析】 由题意知程序 $A$ 只能出现在第一步或最后一步, $\therefore$ 从第一个位置和最后一个位置选一个位置把 $A$ 排列, 有 $A_{2}^{1}=2$ 种方法, $\mathrm{Q}$ 程序 $B$ 和 $C$ 实施时必须相邻, $\therefore$ 把 $B$ 和 $C$ 看作一个元素, 同除 $A$ 外的 3 个元素排列, 注意 $B$ 和 $C$ 之间还有一个排列, 共有 $A_{4}^{4} A_{2}^{2}=48$ 种方法,根据分步乘法计数原理知共有 $2 \times 48=96$ 种编排方法, 故选 C.


Question: $\left(x-\frac{1}{x}\right)^{16}$ 的二项展开式中, 第 4 项是 ( )

组合数学


Question: 若二项式 $\left(2 x-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{n}\left(n \in \mathrm{N}^{*}\right)$ 的展开式中第 2 项与第 3 项的二项式系数比是 $2: 5$, 则 $x^{3}$ 的系数为( )

组合数学


Question:
我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表, 即杨辉三角, 这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角” 中, 第 $n$ 行的所有数字之和为 $2^{2^{n-1}}$, 若去除所有为 1 的项, 依次构成数列 $2,3,3,4,6,5,10,10,5, \cdots$, 则此数列的前 55 项和为 ( )

<ImageHere>

组合数学

答案:A

【解析】记数列 $2,3,3,4,6,5,10,10,5, \cdots$ 为 $\left\{a_{n}\right\}, n \in N^{*}$, 则在杨辉三角中, 第3行出现 $\left\{a_{n}\right\}$ 中的1 项, 第4行出现 $\left\{a_{n}\right\}$ 中的2项, 第5行出现 $\left\{a_{n}\right\}$ 中的3项, $\cdots$,第n行出现 $\left\{a_{n}\right\}$ 中的 ${ }^{(n-2)}$ 项, 设第55项出现在第 $n+1$ 行 $(n>2)$, 则 $1+2+3+\cdots+(n-1) .55$, 解得 $n \ldots 11, \therefore$ 第55项出现在第12 行从右向左数第 2 个. 又在“杨辉三角” 中, 第 $n$ 行的数字之和为 $2^{n-1}$, 从第二行起每一行再减去 2 个 $1, \therefore$ 前 55 项的和为 $2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots+2^{11}-1-2 \times 11=4072$, 故选A.


Question:
我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由数字构成的三角形数表,我们通常称之为杨辉三角. 以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.

<ImageHere>

从第二行起, 每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和, 表中最后一行仅有一个数 $\mathrm{a}$, 则 $\mathrm{a}$的值为( )

组合数学


Question:
以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”.

$\begin{array}{llllllllllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \cdots \cdots & 2013 & 2014 & 2015 & 2016\end{array}$

$\begin{array}{llllllllll}3 & 5 & 7 & 9 & \cdots \cdots & 4027 & 4029 & 4031\end{array}$

$\begin{array}{llllll}8 & 12 & 16 & \cdots \cdots & 8056 \quad 8060\end{array}$

$\begin{array}{llll}20 & 28 & \cdots \cdots & 16116\end{array}$

该表由若干行数字组成, 从第二行起, 每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和, 表中最后一行仅有一个数, 则这个数为 ( )

组合数学

答案:B

【解析】由题意得, 数表的第一行有 2016 个数, 第二行有 2015 个数, ..., 所以最后一行有 1 个数, 最后一行为第 2016 行. 数表的每一行都是等差数列, 且第一行公差为 1 , 第二行公差为

2 , 第三行公差为 $4, \cdots$, 第 2015 行公差为 $2^{2014}$. 第一行的第一个数为 $2 \times 2^{-1}$, 第二行的第一个数为 $3 \times 2^{0}$, 第三行的第一个数为 $4 \times 2^{1}, \ldots$, 第 $\mathrm{n}$ 行的第一个数为 $(n+1) \times 2^{n-2}$, 第 2016 行只有数 $M=(1+2016) \times 2^{2014}=2017 \times 2^{2014}$, 故选 B.


Question: 设 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 是两条不同的直线, $\alpha, \beta$ 是两个不同的平面, 则下列命题正确的是 ( )

A. 若 $\mathrm{m}\|\alpha, \mathrm{n}\| \alpha$, 则 $\mathrm{m} \| \mathrm{n}$
B. 若 $\alpha \| \beta, \mathrm{m} \subset \alpha, \mathrm{n} \subset \beta$,则 $\mathrm{m} \| \mathrm{n}$
C. 若 $\alpha \cap \beta=\mathrm{m}, \mathrm{n} \subset \alpha, n \perp \mathrm{m}$, 则 $\mathrm{n} \perp \beta$
D. 若 $m \perp \alpha, m \| n, n \subset \beta$ 则 $\alpha \perp \beta$

立体几何学

答案：D

解析: A. 错误, 同时和一个平面平行的两直线不一定平行, 可能相交, 可能异面;

B. 错误, 两平面平行, 两平面内的直线不一定平行, 可能异面;

C. 错误, 一个平面内垂直于两平面交线的直线, 不一定和另一平面垂直,可能斜交;

D. 正确, 由 $\mathrm{m} \perp \alpha, \mathrm{m} \| \mathrm{n}$ 便得 $n \perp \alpha$, 又 $\mathrm{n} \subset \beta ， \therefore \beta \perp \alpha$ ，即 $\alpha \perp \beta$.

2.答案；C

解析: 由题意, 原命题为: 若 $x=3$, 则 $x^{2}-9 x+18=0$, 显然 3 是方程的解, 为真命题;

逆命题为: 若 $x^{2}-9 x+18=0$, 则 $x=3$, 因为方程还有另一根为 6 , 故为假命题;因为原命题与逆否命题等价, 故逆否命题为真; 逆命题与否命题等价, 故否命题为假. 故选 C.

3.答案：D 解析: 命题 “若 $x^{2} \leq 1$, 则 $-1 \leq x \leq 1$ ” 的逆否命题是 “若 $x<-1$ 或 $x>1$, 则 $x^{2}$ $>1$ ”. 故选: D.

4.答案：B

解析：对于(1), 逆命题为真, 故否命题为真;

对于 (2) “若 $a=1$, 则 $a x^{2}-x+3 \geq 0$ 的解集为 $R$ ” 原命题为真, 故逆否命题为真;

对于 (3) “面积相等的圆周长相同” 为真;

对于 (4) “若 $\sqrt{2} x$ 为有理数, 则 $x$ 为 0 或无理数” , 故原命题为假, 逆否命题为假.

5.答案：C

解析：对于原命题 “若 $x=3$, 则 $x^{2}=9$ ” 当 $x=3$ 时, 显然必有 $x^{2}=9$, 所以原命题成立是真命题.

又因为逆命题为 “若 $x^{2}=9$, 则 $x=3$. ” 可知 $x^{2}=9$ 即 $x=3$ 或 $x=-3$, 从而推不出 $\mathrm{x}$ 一定等于 3 , 故逆命题错误是假命题;

6.答案：D 解析: 能够判断真假的陈述句叫命题, 则只有 $\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$, 能够判断真假,故只有 $\mathrm{D}$ 是命题,

7.答案：B

【解答】

解析: (1)若 $a \perp b, b \perp c$, 则 $a \perp c$, 垂直于同一直线的两条直线相交、平行、异面皆有可能, 故命题不正确;

(2)若 $a 、 b$ 是异面直线, $b 、 c$ 是异面直线，则 $a 、 c$ 也是异面直线，与同一直线异面的两直线可能是平行的, 即异面关系不具有传递性, 故命题不正确;

(3)若 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{b}$ 相交, $\mathrm{b}$ 和 $\mathrm{c}$ 相交, 则 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{c}$ 也相交, 相交关系不具有传递性,故命题不正确;

(4)若 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{b}$ 共面, $\mathrm{b}$ 和 $\mathrm{c}$ 共面, 则 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{c}$ 也共面, 线线间共面关系不具有传递性, $a \| b, b$ 与 $c$ 相交, 则 $a, c$ 可以是异面关系, 故命题不正确;

(5)若 $a\|b ， b\| c$ ，则 $a \| c ，$ 此是空间两直线平行公理，是正确命题;
综上，仅有(5)正确.故选 B.

8.答案：D

解析: 实数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 不全为 0 等价于为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 中至少有一个不为 0 , 故选: D
9.答案:A

解析: A, 显然成立, 故是真命题; B, $x=-1$ 或 $x=1$, 故是假命题; C, 当 $x<0, y<0$时, 不成立, 故是假命题; $\mathrm{D}$, 如果 $\mathrm{x}=-3, \mathrm{y}=1$ 时, 不成立, 故是假命题.故选 A.

10.答案：C

解析: A. 举出反例: 虽然 $5>2,-1>-2$, 但是 $5 \times(-1)<2 \times(-2)$, 故 A 不正确; B. 举出反例: 虽然 $2 \times(-1)>3 \times(-1)$, 但是 $\mathrm{a}<\mathrm{b}$, 故 B 不正确;

C. $\because \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}^{2}}<\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}^{2}}, \therefore \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}^{2}} \times \mathrm{c}^{2}<\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}^{2}} \times \mathrm{c}^{2}, \therefore \mathrm{a}<\mathrm{b}$, 故 C 正确; D. 举出反例: 虽然 5 $>4,3>1$, 但是 $5-3<4-1$, 故 D 不正确. 综上可知: C 正确.

11.答案：(1)(4)

解析: (1)由面面垂直的判定定理可知, 如果 $\mathrm{m} \perp \alpha, \mathrm{m} \subset \beta$, 那么 $\alpha \perp \beta$; 故(1)正确.

(2)如果 $\mathrm{m} \perp \mathrm{n}, \mathrm{m} \perp \alpha$ ，那么 $\mathrm{n} / / \alpha$ 或 $\mathrm{n} \subset \alpha$; 故(2)错误;

(3)如果 $\alpha \perp \beta, \mathrm{m} / / \alpha$ ，那么 $\mathrm{m}, \beta$ 位置关系不确定; 故(3)错误;

(4)如果 $\alpha / / \beta, \alpha \cap \gamma=m, \beta \cap \gamma=n$, 那么 $m / / n$. 正确.

故答案为(1)(4).

12.答案：1

解析: 因为在命题的四种形式中原命题和逆否命题互为逆否命题, 同真同假,否命题和逆命题互为逆否命题同真同假.

$\because$ 原命题 “若 $a>-3$, 则 $a>-6$ ” 为真命题; 逆命题 “若 $a>-6$, 则 $a>-$ 3 ” 是假命题, $\therefore$ 命题的逆否命题为真命题, 否命题为假命题. 故答案为 1 .

13.答案： 解析: 原命题: 若 $m>0$, 则方程 $x^{2}+x-m=0$ 有实数根, 它是真命题;

逆命题: 若方程 $x^{2}+x-m=0$ 有实数根, 则 $m>0$, 它是假命题;

否命题: 若 $\mathrm{m} \leq 0$, 则方程 $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}-\mathrm{m}=0$ 没有实数根, 它是假命题;

逆否命题: 若方程 $x^{2}+x-m=0$ 没有实数根, 则 $m \leq 0$, 它是真命题.


Question:
设是空间的三条直线, 给出以下五个命题:

(1)若 $\mathrm{A} \perp \mathrm{b}, \mathrm{b} \perp \mathrm{c}$, 则 $\mathrm{a} \perp \mathrm{c}$;

(2)若 $a 、 b$ 是异面直线, $b 、 c$ 是异面直线, 则 $a 、 c$ 也是异面直线;

(3)若 $\mathrm{a}$ 和 b 相交, b 和 $\mathrm{c}$ 相交, 则 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{c}$ 也相交;

(4)若 $\mathrm{a}$ 和 b 共面, b 和 $c$ 共面, 则 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{c}$ 也共面;

(5)若 $\mathrm{a} / / \mathrm{b}, \mathrm{b} / / \mathrm{c}$, 则 $\mathrm{a} / / \mathrm{c}$;

其中正确的命题的个数是 ( )

立体几何学

(1)若 $a \perp b, b \perp c$, 则 $a \perp c$, 垂直于同一直线的两条直线相交、平行、异面皆有可能, 故命题不正确;(2)若 $a 、 b$ 是异面直线, $b 、 c$ 是异面直线，则 $a 、 c$ 也是异面直线，与同一直线异面的两直线可能是平行的, 即异面关系不具有传递性, 故命题不正确;(3)若 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{b}$ 相交, $\mathrm{b}$ 和 $\mathrm{c}$ 相交, 则 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{c}$ 也相交, 相交关系不具有传递性,故命题不正确;(4)若 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{b}$ 共面, $\mathrm{b}$ 和 $\mathrm{c}$ 共面, 则 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{c}$ 也共面, 线线间共面关系不具有传递性, $a \| b, b$ 与 $c$ 相交, 则 $a, c$ 可以是异面关系, 故命题不正确;(5)若 $a\|b ， b\| c$ ，则 $a \| c ，$ 此是空间两直线平行公理，是正确命题;综上，仅有(5)正确.故选 B.


Question:
设点 $M$ 的柱坐标为 $\left(\sqrt{2}, \frac{5 \pi}{4}, \sqrt{2}\right)$, 则它的球坐标为 ( )

$$
\text {

立体几何学

解析: 解答: 设点 $M$ 的直角坐标为 $(x, y, z)$, 则 $\left\{\begin{array}{c}x=\sqrt{2} \cos \frac{5 \pi}{4}, \\ y=\sqrt{2} \sin \frac{5 \pi}{4} \\ z=\sqrt{2},\end{array}\right.$ 故 $\left\{\begin{array}{c}x=-1, \\ y=-1, \\ z=\sqrt{2}\end{array}\right.$.点 $M$ 的球坐标为 $(\rho, \varphi, \theta)$,

则 $\rho=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=2$, 由 $\sqrt{2}=2 \cos \varphi$ 知 $\varphi=\frac{\pi}{4}$,

又 $\tan \theta=\frac{-1}{-1}=1$, 故 $\theta=\frac{5 \pi}{4}$,

故点 $M$ 的球坐标为 $\left(2, \frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)$.

分析: 本题主要考查了柱坐标系与球坐标系, 解决问题的关键是根据柱坐标系与球坐标系的关系转化计算即可


Question: 若点 $P$ 的柱坐标为 $\left(2, \frac{\pi}{6}, \sqrt{3}\right)$, 则 $P$ 到直线 $O y$ 的距离为 $(\quad)$

立体几何学

解析: 解答: 由于点 $P$ 的柱坐标为 $(\rho, \theta, z)=\left(2, \frac{\pi}{6}, \sqrt{3}\right)$, 故点 $P$ 在平面 $x O y$ 内的射影 $Q$ 到直线 $O y$ 的距离为 $\rho \cos \frac{\pi}{6}=\sqrt{3}$, 结合图形, 得 $P$ 到直线 $O y$ 的距离为 $\sqrt{6}$.

分析: 本题主要考查了柱坐标刻画点的位置, 解决问题的关键是根据柱坐标刻画点的位置转化为极坐标方程分析即可


Question: 已知点 $P_{1}$ 的球坐标为 $\left(4, \frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{3}\right), P_{2}$ 的柱坐标为 $\left(2, \frac{\pi}{6}, 1\right)$, 则 $\left|P_{1} P_{2}\right|=(\quad)$

立体几何学


Question:
如图, 一个底面半径为 2 的圆柱被与其底面所成角是 $30^{\circ}$ 的平面所截,截面是一个粗圆，则该粗圆的离心率等于（）

<ImageHere>

立体几何学

$ecause$ 底面半径为 2 的圆柱被与底面成 $30^{\circ}$ 的平面所截, 其截口是一个椭圆, $	herefore$ 这个粗圆的短半轴长为 2 , 长半轴长为 $rac{2}{\cos 30^{\circ}}=rac{4 \sqrt{3}}{3}, ecause a^{2}=b^{2}+c^{2}, \quad 	herefore c=\sqrt{\left(rac{4}{3} \sqrt{3}
ight)^{2}-2^{2}}=rac{2 \sqrt{3}}{3}$, $	herefore$ 椭圆的离心率为: $e=rac{c}{a}=rac{1}{2}$. 故选 $C$.


Question:
六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体。如, 在平行四边形 $A B C D$ 中, 有 $A C^{2}+B D^{2}=2\left(A B^{2}+A D^{2}\right)$, 那么在图 (2) 的平行六面体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中有 $A C_{1}^{2}+B D_{1}^{2}+C A_{1}{ }^{2}+D B_{1}{ }^{2}$ 等于 $(\quad)$
<ImageHere>

立体几何学

解析: 解答: 平行四边形 $A B C D$ 中, 有 $A C^{2}+B D^{2}=2\left(A B^{2}+A D^{2}\right)$, 两对角线的平方和等于两邻边平方和的两倍, 其中的 2 倍代表的是两条对角线, 类比平面图形, 在空间图形中, 对角线的平方和等于三条邻边的平方和的 4 倍。 4 倍代表是的 4 条对角线。分析: 本题主要考查了类比推理, 解决问题的关键是根据所给平面图形的性质通过类比推理得到空间几何体的有关性质.


Question: 由“在平面内三角形的内切圆的圆心到三边的距离相等”联想到“在空间中内切于三棱锥的球的球心到三棱雉四个面的距离相等”这一推理过程是 ( )

A.归纳推理
B.类比推理
C. 演绎推理
D. 联想推理

立体几何学

解析：解答：圆的圆心 $\Rightarrow$ 三棱雉的球的球心，相同类型，用类比方法

分析: 本题主要考查了类比推理, 解决问题的关键是根据所给定义运用类比推理方法解决即可.


Question:
已知 $\alpha, \beta$ 是两个平面, 直线 $l$ 不在平面 $\alpha$ 内, $l$ 也不在平面 $\beta$ 内, 设(1) $l \perp \alpha$; (2) $l / / \beta$;

(3) $\alpha \perp \beta$. 若以其中两个作为条件, 另一个作为结论, 则正确命题的个数为（）

立体几何学

解析: 解答: 以(1) $l \perp \alpha$; (2) $l / / \beta$; (3) $\alpha \perp \beta$ 中两个作为条件, 另一个作为结论, 可得命题有(1)若 $l \perp \alpha, \quad l / / \beta$, 则 $\alpha \perp \beta$, 真命题;

若 $l \perp \alpha, \alpha \perp \beta$, 则 $l / / \beta$ 真命题; (3) $l / / \beta, \alpha \perp \beta$, 则 $l \perp \alpha$, 假命题, 故选 C.

分析: 本题主要考查了综合法的思考过程、特点及应用, 解决问题的关键是根据所给命题之间的关系运用综合法进行分析即可.


Question: 用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为针角”, 下列假设中正确的是( )

A. 有两个内角是针角
B. 有三个内角是针角
C. 至少有两个内角是钝角
D. 没有一个内角是针角

立体几何学

解析:【解答】“最多有一个”的反设是“至少有两个”.

【分析】本题主要考查了反证法与放缩法, 解决问题的关键是根据三角形内角性质解析反设即可.


Question:
在空间中直线与平面的位置关系依次填入下图的 $M, N, E, F$ 中,顺序较为恰当的是( )

<ImageHere>

(1)直线在平面内;(2)直线与平面平行;(3)直线在平面外;(4)直线与平面相交.

立体几何学

直线与平面的位置关系可分为直线在平面内和直线在平面外, 而直线在平面外又可分为直线与平面平行和直线与平面相交,所以 $M$ 为(1), $N$ 为(3), $E, F$ 分别为(2)、(4)或(4)、(2). 故选 C.


Question: 以 $B C$ 为斜边的 Rt $\triangle A B C$ 中, $B C^{2}=A B^{2}+A C^{2}$, 由类比推理, 在三棱雉 $P-A B C$ 中, 若 $P A 、 P B 、 P C$ 两两垂直, $P A=a, P B=b, P C=c$, $S_{\triangle B P^{P} C}=s_{1}, S_{\triangle C P A}=s_{2}, S_{\triangle A P B}=s_{3}$, 则 $S_{\triangle A B C}=(\quad)$

立体几何学

根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体的各个面进行类比, 将三角形各边边长与四面体各面面积进行类比,在以 $B C$ 为斜边的 Rt $	riangle A B C$ 中, $B C^{2}=A B^{2}+A C^{2}$,对应地, 在三棱雉 $P-A B C$ 中, 若 $P A 、 P B 、 P C$ 两两垂直, $P A=a, P B=b, P C=c, S_{	riangle B^{P} C}=s_{1}$, $S_{	riangle C P A}=s_{2}, S_{	riangle A P B}=s_{3}$,所以, $S_{	riangle A B C}^{2}=s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2}$, 即 $S_{	riangle A B C}=\sqrt{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2}}$, 故选 D.


Question: 已知 $\triangle A B C$ 的边长分别为 $a 、 b 、 c, \triangle A B C$ 的面积为 $S$, 内切圆半径为 $r$,则 $r=\frac{2 S}{a+b+c}$, 类比这一结论可知: 若三棱雉 $A-B C D$ 的四个面的面积分别为 $S_{1} 、 S_{2} 、 S_{3} 、 S_{4}$, 内切球半径为 $R$, 三棱雉 $A-B C D$ 的体积为 $V$, 则 $R=(\quad)$

立体几何学

$	riangle A B C$ 的边长分别为 $a 、 b 、 c, 	riangle A B C$ 的面积为 $S$, 内切圆半径为 $r$由等面积法可得 $S=rac{1}{2} r(a+b+c), 	herefore r=rac{2 S}{a+b+c}$.类比这个结论:三棱雉 $A-B C D$ 的四个面的面积分别为 $S_{1} 、 S_{2} 、 S_{3} 、 S_{4}$, 内切球半径为 $R$, 三棱雉 $A-B C D$ 的体积为 $V$,由等体积法可得 $V=rac{1}{3} R\left(S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}
ight), 	herefore R=rac{3 V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}$, 故选 C.


Question: 三角形的面积为 $S=\frac{1}{2}(a+b+c) \cdot r$, 其中 $a, b, c$ 为三角形的边长, $r$ 为三角形内切圆的半径, 则利用类比推理, 可得出四面体的体积为 ( )

立体几何学

设四面体的内切球的球心为 $O$, 则球心 $O$ 到四个面的距离都是 $r$, 将 $O$ 与四顶点连起来,可得四面体的体积等于以 $O$ 为顶点, 分别以四个面为底面的 4 个三棱雉体积的和,$	herefore V=rac{1}{3}\left(S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}
ight) r$,故选 D.


Question: $\triangle \mathrm{ABC}$ 在平面 $\alpha$ 上的正射影是 ( )

A.三角形
B. 直线
C.线段
D.三角形或线段

立体几何学

解析：解答：当 $\triangle \mathrm{ABC}$ 所在平面垂直于 $\alpha$ 时, $\triangle \mathrm{ABC}$ 在 $\alpha$ 上的正射影是一条线段,否则是三角形.

分析: 本题主要考查了平行射影, 解决问题的关键是根据平行射影的性质分析即可


Question: 在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 四边形 $A_{1} A B B_{1}$ 在平面 $A B C D$ 上的正射影是 ( )

A. 四边形 $\mathrm{ABCD}$
B. 线段 $A B$
C. $\triangle \mathrm{ABC}$
D. 线段 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1}$

立体几何学

解析：解答：由于平面 $A_{1} A B B_{1} \perp$ 平面 $A B C D$, 则四边形 $A_{1} A B B_{1}$ 在平面 $A B C D$ 上的正射影是线段 $A B$

分析: 本题主要考查了平行射影, 解决问题的关键是根据平行射影的性质结合所给长方体的
性质分析即可


Question: 两条异面直线 $\mathrm{m}$ 和 $\mathrm{n}$ 在平面 $\alpha$ 上的平行射影是 ( )

A. 一条直线和直线外一个点
B. 两条相交直线
C. 两条平行直线
D.以上都有可能

立体几何学

解析: 解答: 当 $\mathrm{m}$ 和 $\mathrm{n}$ 中有一条直线与投影方向平行时, 它们的平行射影是一个点和一条直线;否则是两条平行直线或相交直线.

分析: 本题主要考查了平行射影, 解决问题的关键是根据平行射影的性质分析即可


Question: 在空间四边形 $O A B C$ 中, $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{CB}}$ 等于（）

A. $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$
B. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$
C. $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$
D. $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

立体几何学


Question:
如图,,$l_{1} / / l_{2} / / l_{3}$, 直线 $a$ 分别与 $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ 相交于点 $A, B, C$, 且 $A B=B C$, 直线 $b$ 分别与 $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ 相交于点 $\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~B}_{1}, \mathrm{C}_{1}$, 则有 $(\quad)$

<ImageHere>

变换几何

解析: 解答: $\because \mathrm{l}_{1} / / \mathrm{l}_{2} / / \mathrm{l}_{3}, \mathrm{AB}=\mathrm{BC}$,根据平行线等分线段定理, $\therefore \mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1}=\mathrm{B}_{1} \mathrm{C}_{1}$. 故选 $\mathrm{A}$.

分析: 本题主要考查了平行线等分线段定理, 解决问题的关键是根据平行线等分线段定理方向即可.


Question: 直线 $2 x+3 y=0$ 经伸缩变换后变为 $x^{f}+y^{\prime}=0$, 则该伸缩变换为 $(\quad)$

A. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=\frac{1}{2} x \\ y^{\prime}=3 y\end{array}\right.$
B. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=2 x \\ y^{\prime}=3 y\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=2 x \\ y^{\prime}=\frac{1}{3} y\end{array}\right.$
D. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=\frac{1}{2} x \\ y^{\prime}=\frac{1}{3} y\end{array}\right.$

变换几何

<ImageHere>$2 x+3 y=0, 	herefore \lambda=2, \mu=3$. 即 $\left\{egin{array}{l}x^{\prime}=2 x, \ y^{\prime}=3 y,\end{array}
ight.$


Question: 将曲线 $y^{2}=4 x$ 按 $\varphi:\left\{\begin{array}{c}x^{s}=2 x, \\ 2 y^{\prime}=y\end{array}\right.$ 变换后得到曲线的焦点坐标为( )

变换几何

解析: 解答: 将曲线 $y^{2}=4 x$ 按 $\varphi:\left\{\begin{array}{l}x^{x}=2 x, \\ 2 y^{\prime}=y,\end{array}\right.$ 变换后得到曲线方程为 $y^{\prime 2}=\frac{1}{2} x^{x}$, 所以焦点坐标为 $\left(\frac{1}{a}, 0\right)$.

分析: 本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换, 解决问题的关键是根据伸缩变换计算即可


Question:
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $D, E$ 三等分 $A B, D F / / B C, E G / / B C$, 分别交 $A C$ 于 $F, G$, 若 $A C=15 \mathrm{~cm}$, 则 $\mathrm{FC}=(\mathrm{r})$

<ImageHere>

组合几何学

解析: 解答: $\because \mathrm{DF} / / \mathrm{BC}, \mathrm{EG} / / \mathrm{BC}, \therefore \mathrm{DF} / / \mathrm{EG} / / \mathrm{BC}$. 由已知,得 $\mathrm{AD}=\mathrm{DE}=\mathrm{EB}, \therefore \mathrm{AF}=\mathrm{FG}=\mathrm{GC}$.

又 $\because \mathrm{AC}=15 \mathrm{~cm}, \therefore \mathrm{FG}=\mathrm{GC}=\frac{1}{3} \mathrm{AC}=5 \mathrm{~cm} . \therefore \mathrm{FC}=\mathrm{FG}+\mathrm{GC}=10 \mathrm{~cm}$.

分析: 本题主要考查了平行线等分线段定理, 解决问题的关键是根据平行线等分线段定理计算即可.


Question:
如图, 在梯形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{AD} / / \mathrm{BC}, \mathrm{AD}=2, \mathrm{BC}=6, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ 分别为对角线 $\mathrm{BD}, \mathrm{AC}$ 的中点, 则 $\mathrm{EF}=(\quad)$

<ImageHere>

$\begin{array}{llll}\text {

组合几何学

解析: 解答: 如图, 过点 $E$ 作 $\mathrm{GE} / / \mathrm{BC}$ 交 BA 于点 $\mathrm{G} . \because \mathrm{E}$ 是 $\mathrm{DB}$ 的中点, $\therefore \mathrm{G}$ 是 $\mathrm{AB}$ 的中点.

又 $\because \mathrm{F}$ 是 $\mathrm{AC}$ 的中点, $\therefore \mathrm{GF} / / \mathrm{BC}, \therefore \mathrm{G}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ 三点共线, $\therefore \mathrm{GE}=\frac{1}{2} \mathrm{AD}=1, \mathrm{GF}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}=3 . \therefore$

$\mathrm{EF}=\mathrm{GF}-\mathrm{GE}=3-1=2$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_81303e2fc6b69da0f33fg-


Question:
如图, $, \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ 把 $\mathrm{OE}$ 五等分, 且 $\mathrm{AA}^{\prime} / / / \mathrm{BB}^{\prime} / / \mathrm{CC}^{\prime} / / \mathrm{DD}^{\prime} / / \mathrm{EE}^{\prime}$,如果 $\mathrm{OE}^{\prime}=20 \mathrm{~cm}$,那么 $\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}$ 等于

<ImageHere>

A. $12 \mathrm{~cm}$
B. $10 \mathrm{~cm}$
C. $6 \mathrm{~cm}$
D. $8 \mathrm{~cm}$

度量几何学

解析: 解答: $\because \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ 把 OE 五等分, $\mathrm{AA}^{\prime} / / \mathrm{BB}^{\prime} / / / \mathrm{CC}^{\prime} / / \mathrm{DD}^{\prime}, \therefore \mathrm{OA}^{\prime}=\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}=\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}=\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}=\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{E}^{\prime}$.
又 $\because \mathrm{OE}^{\prime}=20 \mathrm{~cm}, \therefore \mathrm{OA}^{\prime}=\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}=\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}=\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}=\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{E}^{\prime}=4 \mathrm{~cm} . \therefore \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}=\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}+\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}=8 \mathrm{~cm}$.

分析: 本题主要考查了平行线等分线段定理, 解决问题的关键是根据平行线等分线段定理计算即可.


Question: 有相距 $1400 \mathrm{~m}$ 的 A, B 两个观察站, 在 A 站听到爆炸声的时间比在 B 站听到爆炸声的时间早 $4 \mathrm{~s}$. 已知当时声音速度为 $340 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$, 则爆炸点所在的曲线为 ( )

A.又曲线
B.直线
C.制圆
D.抛物线

度量几何学

解析：解答：由题意知, 爆炸点与点的距离差为定值 $340 \times 4=1360<1400$,

故爆炸点位于以为焦点的且离点 B 较远的双曲线的一支上.

分析: 本题主要考查了平面直角坐标系与曲线方程, 解决问题的关键是根据所给曲线满足的条件分析计算即可


Question:
如图, $\mathrm{AB} / / \mathrm{CD}, \mathrm{AC}, \mathrm{BD}$ 相交于 $\mathrm{O}$ 点, $\mathrm{BO}=7, \mathrm{DO}=3, \mathrm{AC}=25$, 则 $\mathrm{AO}$ 的长为 $(\quad)$

<ImageHere>

度量几何学


Question:
如图,在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\mathrm{DE} / / \mathrm{AB}, \frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{DA}}=\frac{3}{2}$, 则 $\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AB}}$ 等于( )

<ImageHere>

度量几何学

解析: 解答: $\because \frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{DA}}=\frac{3}{2}, \therefore \frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{CA}}=\frac{3}{5}$. 又 $\because \mathrm{DE} / / \mathrm{AB}, \therefore \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{CA}}=\frac{3}{5}$.

分析: 本题主要考查了平行线分线段成比例定理, 解决问题的关键是根据平行线分线段成比例定理分析计算即可


Question:
如图,已知 $\mathrm{AD} / / \mathrm{BE} / / \mathrm{CF}, \mathrm{EG} / / \mathrm{FH}$,则下列等式成立的是( )

<ImageHere>

A. $\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BE}}=\frac{\mathrm{EG}}{\mathrm{HF}}$
B. $\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{CF}}=\frac{\mathrm{EG}}{\mathrm{HF}}$
C. $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{EG}}{\mathrm{HF}}$
D. $\frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$

度量几何学

解析: 解答: $\because \mathrm{AD} / / \mathrm{BE} / / \mathrm{CF}, \therefore \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{DF}}$. 又 $\because \mathrm{EG} / / \mathrm{FH}, \therefore \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{CF}}=\frac{\mathrm{EG}}{\mathrm{HF}}$.

$\therefore \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{EG}}{\mathrm{HF}}, \therefore$ 选项 C 成立; $\because \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BE}} \neq \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{DF}}, \therefore \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BE}} \neq \frac{\mathrm{EG}}{\mathrm{HF}}$.

$\therefore$ 选项 A 不成立;同理选项 B 不成立;

很明显 $\frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}} \neq \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}, \therefore$ 选项 $\mathrm{D}$ 不成立,故选 C.

分析: 本题主要考查了平行线分线段成比例定理, 解决问题的关键是根据平行线分线段成比例定理分析计算即可


Question:
如图, $\mathrm{AB} / / \mathrm{EF} / / \mathrm{CD}$,已知 $\mathrm{AB}=20, \mathrm{DC}=80$,那么 $\mathrm{EF}$ 的长是 ( )

<ImageHere>

度量几何学

解析: 解答: $\because \mathrm{AB} / / \mathrm{EF} / / \mathrm{CD}, \therefore \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DC}}=\frac{20}{80}=\frac{1}{4} . \therefore \frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{AC}}=\frac{4}{5}$.

$\therefore \mathrm{EF}=\frac{4}{5} \mathrm{AB}=\frac{4}{5} \times 20=16$.

分析: 本题主要考查了平行线分线段成比例定理, 解决问题的关键是根据平行线分线段成比例定理分析计算即可


Question:
如图, 在平行四边形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{N}$ 是 $\mathrm{AB}$ 延长线上一点, 则 $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BM}}-\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BN}}$ 的值为( )

<ImageHere>

度量几何学

解析: 解答: $\because \mathrm{DC} / / \mathrm{BN}, \therefore \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BM}}=\frac{\mathrm{ND}}{\mathrm{MN}}$. 又 $\because \mathrm{BM} / / \mathrm{AD}, \therefore \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BN}}=\frac{\mathrm{DM}}{\mathrm{MN}}$.
$\therefore \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BM}}-\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BN}}=\frac{\mathrm{ND}}{\mathrm{MN}}-\frac{\mathrm{DM}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{ND}-\mathrm{DM}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{MN}}=1$.

分析: 本题主要考查了平行线分线段成比例定理, 解决问题的关键是根据平行线分线段成比例定理分析计算即可


Question: $\mathrm{O}$ 为极点, $A\left(2, \frac{\pi}{3}\right), B\left(5,-\frac{7 \pi}{6}\right)$, 则 $S_{\triangle A O B}=(\quad)$

度量几何学

解析: 解答: 因为 $A\left(2, \frac{\pi}{3}\right), B\left(5,-\frac{7 \pi}{6}\right)$, 所以 $\angle A O B=\frac{\pi}{2}$, 则三角形为直角三角形,则面积为 $\frac{1}{2} \times 2 \times 5=5$.

分析: 本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化, 解决问题的关键是根据极坐标的点对应的直角坐标系中的点解析分析其几何关系计算即可.


Question: 在极坐标系中, 由三条直线 $\theta=0, \theta=\frac{\pi}{3}, \rho \cos \theta+\rho \sin \theta=1$ 围成图形的面积是

度量几何学

解析: 解答: 因为三条直线 $\theta=0, \theta=\frac{\pi}{3}, \rho \cos \theta+\rho \sin \theta=1$ 的直角坐标方程分别为 $y=0, y=\sqrt{3} x, x+y=1$, 将 $x=\frac{1}{\sqrt{3}} y$ 代入 $x+y=1$, 解得 $y=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$. 那么结合图形可知, 这三条直线 $\theta=0, \theta=\frac{\pi}{3}, \rho \cos \theta+\rho \sin \theta=1$ 围成的三角形的面积是 $S=\frac{1}{2} \times 1 \times \frac{3-\sqrt{3}}{2}=\frac{3-\sqrt{3}}{4}$.

分析: 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程, 解决问题的关键是根据简单曲线的极坐标方程化简计算即可


Question:
如图, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $A C \perp C B, C D \perp A B$ 于点 $D$, 且 $C D=4$,则 $A D \cdot D B$ 等于（）

<ImageHere>

度量几何学

解析: 解答: $\because \mathrm{AC} \perp \mathrm{CB}, \mathrm{CD} \perp \mathrm{AB}, \therefore \mathrm{AD} \cdot \mathrm{DB}=\mathrm{CD}^{2}$. 又 $\because \mathrm{CD}=4, \therefore \mathrm{AD} \cdot \mathrm{DB}=4^{2}=16$.

分析: 本题主要考查了直角三角形的射影定理, 解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理分析计算即可


Question:
在 Rt $\triangle \mathrm{MNP}$ 中, $\mathrm{MN} \perp \mathrm{MP}, \mathrm{MQ} \perp \mathrm{PN}$ 于点 $\mathrm{Q}$, 如图, 若 $\mathrm{NQ}=3$, 则 $\mathrm{MN}$ 等于（）

<ImageHere>

A.3PN
B. $\frac{1}{3} \mathrm{PN}$
C. $\sqrt{3 \mathrm{PN}}$
D.9PN

度量几何学

解析: 解答: $\because \mathrm{MN} \perp \mathrm{MP}, \mathrm{MQ} \perp \mathrm{PN}, \therefore \mathrm{MN}^{2}=\mathrm{NQ} \cdot \mathrm{PN}$. 又 $\because \mathrm{NQ}=3, \therefore \mathrm{MN}=\sqrt{\mathrm{NQ} \cdot \mathrm{PN}}=\sqrt{3 \mathrm{PN}}$分析: 本题主要考查了直角三角形的射影定理, 解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理分析计算即可


Question:
在 Rt $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\angle \mathrm{BAC}=90^{\circ}, \mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$ 于点 $\mathrm{D}$, 若 $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{3}{4}$, 则 $\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}$ 等于（）

<ImageHere>

度量几何学

解析: 解答: 如图, 由射影定理,得 $\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{CD} \cdot \mathrm{BC}, \mathrm{AB}^{2}=\mathrm{BD} \cdot \mathrm{BC}, \therefore \frac{\mathrm{AC}^{2}}{\mathrm{AB}^{2}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{BD}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$

即 $\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{BD}}=\frac{9}{16}, \therefore \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{16}{9}$

分析: 本题主要考查了直角三角形的射影定理, 解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理分析计算即可


Question: 在矩形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{AB}=4, \mathrm{BC}=6$, 则线段 $\mathrm{AC}$ 在 $\mathrm{AB}$ 上的射影长等于（）

度量几何学

解析: 解答: $\because \mathrm{BC} \perp \mathrm{AB}, \therefore \mathrm{AC}$ 在 $\mathrm{AB}$ 上的射影是 $\mathrm{AB}$.

分析: 本题主要考查了直角三角形的射影定理, 解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理分析计算即可, 难度不大


Question:
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B \perp A C, A D \perp B C$ 于点 $D$, 若 $B D \cdot D C=16$, 则 $A D$ 等于 ( )

<ImageHere>

度量几何学

解析：解答：由题意知, $\mathrm{AD}^{2}=\mathrm{BD} \cdot \mathrm{DC}=16$,故 $\mathrm{AD}=4$.

分析: 本题主要考查了直角三角形的射影定理, 解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理分析计算即可解决问题


Question:
如图, 在 Rt $\triangle \mathrm{MNP}$ 中, $\mathrm{MN} \perp \mathrm{MP}, \mathrm{MQ} \perp \mathrm{PN}$ 于点 $\mathrm{Q}, \mathrm{MN}=3, \mathrm{PN}=9$, 则 $N Q$ 等于（）

<ImageHere>

度量几何学

解析: 解答: $\because \mathrm{MN}^{2}=\mathrm{NQ} \cdot \mathrm{NP}, \therefore 3^{2}=9 \mathrm{NQ} . \therefore \mathrm{NQ}=1$.

分析: 本题主要考查了直角三角形的射影定理, 解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理计算即可, 属于普通题目


Question:
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, C D \perp A B$ 于点 $D, A D=3, B D=2$, 则 $A C: B C$ 的值是（）

<ImageHere>

度量几何学

解析: 解答: 在 Rt $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}, \mathrm{CD} \perp \mathrm{AB}$, 由射影定理知, $\mathrm{AC}=\mathrm{AD} \cdot \mathrm{AB}, \mathrm{BC}^{2}=\mathrm{BD} \cdot \mathrm{AB}$.又 $\because A D=3, B D=2, \quad \therefore A B=A D+B D=5$,

$\therefore \mathrm{AC}^{2}=3 \times 5=15, \mathrm{BC}^{2}=2 \times 5=10 . \therefore \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$, 即 $\mathrm{AC}: \mathrm{BC}=\sqrt{3}: \sqrt{2}$

分析: 本题主要考查了直角三角形的射影定理, 解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理结合所给条件复数计算即可解决问题, 有一定难度


Question: 如图, 已知粗圆 $C$ 的中心为原点 $0, F(-2 \sqrt{5}, 0)$ 为 $C$ 的左焦点, $P$为 $\mathrm{C}$ 上一点, 满足 $|\mathrm{OP}|=|\mathrm{OF}|$, 且 $|\mathrm{PF}|=4$, 则粗圆 $\mathrm{C}$ 的方程为 ( )

度量几何学

设椭圆标准方程为 $rac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+rac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$, 焦距为 $2 \mathrm{c}$, 右焦点为 $\mathrm{F}^{\prime}$, 连接 $\mathrm{PF}^{\prime}$, 如图所示. 因为 $\mathrm{F}(-2 \sqrt{5}, 0)$ 为 $\mathrm{C}$ 的左焦点, 所以 $\mathrm{c}=2 \sqrt{5}$. 由 $|\mathrm{OP}|=|\mathrm{OF}|=\left|\mathrm{OF}^{\prime}
ight|$ 知, $\angle \mathrm{PFF}^{\prime}=\angle \mathrm{FPO}$, $\angle \mathrm{OF}^{\prime} \mathrm{P}=\angle \mathrm{OPF}^{\prime}$, 所 $\angle \mathrm{PFF}^{\prime}+\angle \mathrm{OF}^{\prime} \mathrm{P}=\angle \mathrm{FPO}+\angle \mathrm{OPF}^{\prime}$, 由 $\angle \mathrm{PFF}^{\prime}+\angle \mathrm{OF}^{\prime} \mathrm{P}+\angle \mathrm{FPO}+\angle \mathrm{OPF}^{\prime}=180^{\circ}$ 知, $\angle \mathrm{FPO}+\angle \mathrm{OPF}=90^{\circ}$, 即 $\mathrm{PF} \perp \mathrm{PF}^{\prime}$. 在 Rt $	riangle \mathrm{PFF}^{\prime}$ 中, 由勾股定理, 得 $\left|\mathrm{PF}^{\prime}
ight|=\sqrt{\left|\mathrm{FF}^{\prime}
ight|^{2}-|\mathrm{PF}|^{2}}=$ $\sqrt{(4 \sqrt{5})^{2}-4^{2}}=8$, 由椭圆定义, 得 $|P F|+\left|P F^{\prime}
ight|=2 a=4+8=12$, 从而 $a=6$, 得 $a^{2}=36$, 于是 $b^{2}=$ $a^{2}-c^{2}=36-(2 \sqrt{5})^{2}=16$, 所以粗圆的方程为 $rac{x^{2}}{36}+rac{y^{2}}{16}=1$. 故选 B.


Question: 以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆长轴的两个三等分点, 则粗圆离心率是 ( )

度量几何学

根据题意, 以粗圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点, 则有 $2 \mathrm{~b}=rac{2 \mathrm{a}}{3}$,即 $a=3 b$, 则 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=2 \sqrt{2} b$, 则椭圆的离心率 $e=rac{c}{a}=rac{2 \sqrt{2}}{3}$; 故选: D.


Question:
如图,在 $\odot \mathrm{O}$ 中, $\angle \mathrm{BAC}=25^{\circ}$, 则 $\angle \mathrm{BOC}$ 等于 ( )

<ImageHere>

度量几何学


Question:
如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $C$ 是 $A B$ 上的一点, 且 $A C=4, B C=3$, 则 $\odot O$ 的半径 $r$ 等于 ( )

<ImageHere>

度量几何学

解析: 解答: $\because \mathrm{AB}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的直径,

$\therefore \angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}$.

$\therefore \mathrm{AB}=\sqrt{\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$.

$\therefore 2 \mathrm{r}=\mathrm{AB}=5 . \therefore \mathrm{r}=\frac{5}{2}$.
分析: 本题主要考查了圆周角定理, 解决问题的关键是根据圆周角定理结合所给条件计算即可


Question: 10 件产品中有 3 件次品, 从中任取 2 件, 可作为随机变量的是( )

A. 取到产品的件数
B. 取到正品的概率
C.取到次品的件数
D. 取到次品的概率

计数

答案:C

【解析】逐一考查所给的选项, A 中取到产品的件数是一个常量而不是变量, B,D 中的量也是一个定值, 而 C 中取到次品的件数可能是 $0,1,2$, 是随机变量.


Question:
已知下列随机变量:

(1) 10 件产品中有 2 件次品, 从中任选 3 件, 取到次品的件数 $X$;

(2) 一位射击手对目标进行射击,击中目标得 1 分,未击中目标得 0 分, 该射击手在一次射击中的得分 $X$;

(3) 一天内的温度 $X$;

(4) 在体育彩票的抽奖中,一次摇号产生的号码数 $X$.

其中 $X$ 是离散型随机变量的是( )

计数

答案:B

【解析】易知(1)(2)(4)中的 $X$ 是离散型随机变量.对于(3),一天内的温度不能一一列出,它可以取一天内的最低与最高温度之间的所有值,故不是离散型随机变量.


Question: 在下列叙述中,是离散型随机变量的为( )

A. 某人早晨在车站等出租车的时间

B. 将一颗均匀硬币郑十次, 出现正面或反面的次数

C.连续不断的射击,首次命中目标所需要的次数

D. 袋中有 2 个黑球、6 个红球,任取 2 个,取得一个红球的可能性

计数

答案:C

【解析】A 项是随机变量,但不能一一列出,不是离散型. B 项掷硬币不是正面就是反面,次数之和为十,是常量. $D$ 项事件发生的可能性不是随机变量,所以选 C.