Answer:
(1) $\frac{1}{2}$

(2) (2) (3)

(3) $\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-2} ; 7^{3}$

(4) $\left(\frac{1}{a}\right)^{n-2}$

(5) $-\frac{31}{4}$

Question:
概念学习

规定: 求若干个相同的有理数（均不等于 0 ）的除法运算叫做除方, 如 $2 \div 2 \div 2,(-3) \div(-3) \div$ $(-3) \div(-3)$ 等, 类比有理数的乘方, 我们把 $2 \div 2 \div 2$ 记作 $2_{3}$, 读作“ 2 的 3 次商”, $(-3) \div(-$ $3) \div(-3) \div(-3)$ 记作 $(-3) 4$, 读作“ -3 的 4 次商”,一般地, 我们把 $\mathrm{n}$ 个 a ( $\mathrm{a} \neq 0$ ) 相除记作 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}$, 读作“ $\mathrm{a}$ 的 $\mathrm{n}$ 次商".

(1) 初步探究直接写出结果: $2_{3}=$ \$ \qquad \$ $;$

(2) 关于除方，下列说法错误的是 \$ \qquad \$ ;

(1)任何非零数的 2 次商都等于 1 ; (2)对于任何正整数 $\mathrm{n},(-1){ }_{\mathrm{n}}=-1$; (3) $3_{4}=4_{3}$; (4) 负数的奇数次商结果是负数, 负数的偶数次商结果是正数.

$(3)$ 深入思考
我们知道, 有理数的减法运算可以转化为加法运算, 除法运算能够转化为乘法运算, 那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢? 例: $2_{4}=2 \div 2 \div 2 \div 2=2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$.试一试: 仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式 $(-3)_{4}=$ \$ \qquad \$ $;$ $\left(\frac{1}{7}\right)_{5}=$ \$ \qquad \$
(4) 想一想: 将一个非零有理数 $\mathrm{a}$ 的 $\mathrm{n}$ 次商写成幂的形式等于 \$ \qquad \$ ;

(5) 算一算: $5_{2} \div\left(-\frac{1}{2}\right)_{4} \times\left(-\frac{1}{3}\right)_{5}+\left(-\frac{1}{4}\right)_{3} \times \frac{1}{4}=$ \$ \qquad \$ .

算术

(1) $2_{3}=2 \div 2 \div 2=\frac{1}{2}$;

故答案为: $\frac{1}{2}$;

(2) $\because$ 任何非零数的 2 次商等于这个数与它本身相除, 结果为 1 ,

$\therefore$ 任何非零数的 2 次商都等于 1,

故(1)正确;

$\because$ 对于任何正整数 $n$, 当 $n$ 为奇数时, $(-1)_{n}=-1$, 当 $n$ 为偶数时, $(-1)_{n}=1$,

$\therefore$ (2)错误;

$\because 3_{4}=3 \div 3 \div 3 \div 3=\frac{1}{9}, 4_{3}=4 \div 4 \div 4=\frac{1}{4}$,

$\therefore 3_{4} \neq 4_{3}$.

$\therefore$ (3)错误;

$\because$ 负数的奇数次商结果是负数, 负数的偶数次商结果是正数,

$\therefore$ (4) 正确;

综上, 说法错误的是: (2) (3),

故答案为: (2) (3);

$$
\text { (3) }(-3)_{4}=(-3) \div(-3) \div(-3) \div(-3)=(-3) \times\left(-\frac{1}{3}\right) \times\left(-\frac{1}{3}\right) \times\left(-\frac{1}{3}\right)=
$$

$\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$,

$\left(\frac{1}{7}\right)_{5}=\frac{1}{7} \div \frac{1}{7} \div \frac{1}{7} \div \frac{1}{7} \div \frac{1}{7}=\frac{1}{7} \times 7 \times 7 \times 7 \times 7=7^{3}$,

故答案为: $\left(-\frac{1}{3}\right)^{2} ; 7^{3}$;

(4) $\because \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\underset{n \uparrow a}{a \div a \underset{\sim}{\div} \div \div a}=\mathrm{a} \times \frac{1}{a} \times \underset{(n-2) \uparrow \frac{1}{a}}{\frac{1}{a} \times \frac{1}{a} \times \cdots \times \frac{1}{a}}=\left(\frac{1}{a}\right)^{n-2}$,

$\therefore$ 将一个非零有理数 $\mathrm{a}$ 的 $\mathrm{n}$ 次商写成幂的形式等于 $\left(\frac{1}{a}\right)^{n-2}$.

故答案为: $\left(\frac{1}{a}\right)^{n-2}$.

(5) 原式 $=1 \div(-2)^{2} \times(-3)^{3}+(-4)^{1} \times \frac{1}{4}=1 \times \frac{1}{4} \times(-27)+(-1)=-\frac{31}{4}$.


Answer:
) 解: $\mathrm{M}(1)=-2, \mathrm{M}(2)=-1, \mathrm{M}(3)=0, \mathrm{M}(4)=1 \ldots$则 $M$ 对整数 $n$ 运算规律是 $n-3$,

$M\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}, M\left(\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{9}, M\left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{16}, \ldots$

则 $\mathrm{M}$ 对分数 $\frac{1}{m}$ 的运算规律是 $-\frac{1}{m^{2}}$ ，

$\therefore \mathrm{M}(28) \times \mathrm{M}\left(\frac{1}{5}\right)=(28-3) \times\left(-\frac{1}{5^{2}}\right)=-25 \times \frac{1}{25}=-1$

(2) 解: $-1 \div \mathrm{M}(39) \div\left[-\mathrm{M}\left(\frac{1}{6}\right)\right]$.

$=-1 \div(39-3) \div\left[-\left(-\frac{1}{6^{2}}\right)\right]$,

$=-1 \div 36 \div\left(\frac{1}{36}\right)$,

$=-\frac{1}{36} \times 36$,

$=-1$.

Question:
用符号 $M$ 表示一种运算, 它对整数和分数的运算结果分别如下:

$\mathrm{M}(1)=-2, \mathrm{M}(2)=-1, \mathrm{M}(3)=0, \mathrm{M}(4)=1 \ldots$

$\mathrm{M}\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}, \mathrm{M}\left(\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{9}, \mathrm{M}\left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{16}, \ldots$

利用以上规律计算:

(1) $\mathrm{M}(28) \times \mathrm{M}\left(\frac{1}{5}\right)$;

(2) $-1 \div \mathrm{M}(39) \div\left[-\mathrm{M}\left(\frac{1}{6}\right)\right]$.

算术


Answer: (3) (4) (8); (1) (6) (7)

Question:
下列 8 个实数:

(1) $-3 ;$ (2) $0 ;$ (3) $\sqrt{3}$

(4) $\sqrt[3]{10} ; \quad(5) \frac{1}{3}$

(6) $-2.4 ;$ ( $7-\frac{10}{7}$;

(8) $2 \pi$

属于无理数的有: \$ \qquad \$ . (填序号)

属于负数的有: \$ \qquad \$ . (填序号)

算术


Answer:
(1) 解: $\pm 4$

(2) 解: $\pm \frac{7}{9}$

(3) 解: $\pm 9$

Question:
求下列各数的平方根.

(1) $\sqrt{256}$;

(2) $\frac{49}{81}$;

(3) $(-\sqrt{81})^{2}$.

算术


Answer:
(1) 解: $4-3.3+(-1.7)$

$=4-3.3-1.7$

$=4-5$

$=-1$;

(2) 解: $\frac{1}{18} \div\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{4}{9}\right)=\frac{1}{18} \div \frac{5}{18}=\frac{1}{5}$;

(3) 解: $\left(-\frac{1}{2}\right) \div 8 \times(-2)^{3}=-\frac{1}{2} \times \frac{1}{8} \times(-8)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{8} \times 8=\frac{1}{2}$;

(4) 解: $\sqrt[3]{-27}+|\sqrt{3}-6|-(-\sqrt{3})=-3+6-\sqrt{3}+\sqrt{3}=3$.

Question:
计算:

(1) $4-3.3+(-1.7)$

(2) $\frac{1}{18} \div\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{4}{9}\right)$

(3) $\left(-\frac{1}{2}\right) \div 8 \times(-2)^{3}$

(4) $\sqrt[3]{-27}+|\sqrt{3}-6|-(-\sqrt{3})$

算术


Answer:
(1) 两

(2) 9

(3) $3 ; 39$

(4) -48

Question:
我国数学家华罗庚在一次出国访问途中, 看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题, 求 59319 的立方根, 华罗庚脱口而出, 你知道怎样迅速准确地计算出结果的吗? 请按照下面的问题试一试:

(1) 由 $10^{3}=1000,100^{3}=1000000$, 确定 59319 的立方根是 \$ \qquad \$位数;

(2) 由 59319 的个位数是 9 , 确定 59319 的立方根的个位数是 \$ \qquad \$
（3）如果划去 59319 后面的三位 319 得到数 59 , 而 $3^{3}=27,4^{3}=64$, 由此能确定 59319 的立方根的十位数是 \$ \qquad \$ ; 所以 59319 的立方根是 \$ \qquad \$ $;$

(4) 用类似的方法, 请说出 -110592 的立方根是 \$ \qquad \$

算术


Answer:
(1) 解: $4<5<9 . .2<\sqrt{5}<3$, $\sqrt{5}$ 的小数部分 $\mathrm{a}=\sqrt{5}-2$.

$9<13<16$,

$3<\sqrt{13}<4$,

$\sqrt{13}$ 的整数部分 $b=3$.

$\therefore \mathrm{a}+6-\sqrt{5}=\sqrt{5}-2+3-\sqrt{5}=1$

(2) 解: $\because 1<3<4$. $\therefore 1<\sqrt{3}<2$,

$\because$ 的整数部分是 1 , 小数部分是 $\sqrt{3}-1$,

$\therefore \mathrm{x}+\mathrm{y}=10+\sqrt{3}=10+1+(\sqrt{3}-1)=11+(\sqrt{3}-1)$.

又 $\because \mathrm{x}$ 是整数, 且 $0<\mathrm{y}<1, \therefore \mathrm{x}=11, \mathrm{y}=\sqrt{3}-1$.

$\therefore x-y=11-(\sqrt{3}-1)=12-\sqrt{3}$,

$\therefore \mathrm{x}-\mathrm{y}$ 的相反数为 $\sqrt{3}-12$.

Question:
先阅读下面的文字, 再回答问题:
大家知道 $\sqrt{2}$ 是无理数, 而无理数是无限不循环小数, 因此 $\sqrt{2}$ 的小数部分我们不可能全部写出来,于是小明用 $\sqrt{2}-1$ 来表示、 $\sqrt{2}$ 的小数部分, 你同意小明的表示方法吗?

事实上, 小明的表示方法是有道理的. 因为 $\sqrt{2}$ 的整数部分是 1 , 所以将 $\sqrt{2}$ 减去其整数部分, 所得的差就是 $\sqrt{2}$ 的小数部分.

例如: $\sqrt{4}<\sqrt{7}<\sqrt{9}$, 即 $2<\sqrt{7}<3$.

$\sqrt{7}$ 的整数部分为 2 , 小数部分为 $\sqrt{7}-2$.

(1) 如果 $\sqrt{5}$ 的小数部分为 $\mathrm{a}, \sqrt{13}$ 的整数部分为 $\mathrm{b}$, 求 $\mathrm{a}+\mathrm{b}-\sqrt{5}$ 的值;

(2) 已知 $10+\sqrt{3}=x+y$, 其中 $x$ 是整数, 且 $0<y<1$, 求 $x-y$ 的相反数.

算术


Answer:
(1) 解：原式 $=-15+5-8-34$

$=-10-42$

$=-52$

(2) 解: 原式 $=-\frac{5}{9} \times 36-\frac{7}{12} \times 36+\frac{5}{6} \times 36$

$=-20-21+30$

$=-41+30$

$=-11$;

(3) 解：原式 $=-4-5 \times(-3) \times(-3)+9 \times\left(-\frac{3}{2}\right)$

$=-4-45-\frac{27}{2}$

$=-62 \frac{1}{2}$

(4) 解: 原式 $=\left[-\frac{35}{144}+\frac{49}{16} \times\left(-\frac{5}{9}\right)+\frac{5}{9} \times\left(-\frac{27}{8}\right)\right] \times\left(-\frac{2}{11}\right)$

$=\left(-\frac{35}{144}-\frac{245}{144}-\frac{15}{8}\right) \times\left(-\frac{2}{11}\right)$

$=-\frac{550}{144} \times\left(-\frac{2}{11}\right)$

$=\frac{25}{36}$.

Question:
计算:

(1) $-15-(-5)-(+8)+(-34)$;

(2) $\left(-\frac{5}{9}-\frac{7}{12}+\frac{5}{6}\right) \times 36$

(3) $-2^{2}-5 \div\left(-\frac{1}{3}\right) \times(-3)+(-3)^{2} \div\left(-\frac{2}{3}\right)$;

(4) $\left[-\frac{7}{18} \times \frac{5}{8}+\left(-1 \frac{3}{4}\right)^{2} \times\left(-\frac{5}{9}\right)+\frac{5}{9} \times\left(-\frac{3}{2}\right)^{3}\right] \div\left(\frac{11}{2}\right)$.

算术


Answer:
(1) 解：因为这个数的平方根是 $2 \mathrm{a}+22$ 和 $3 a-7$,所以 $2 \mathrm{a}+22+3 \mathrm{a}-7=0$.

所以 $a=-3$.
所以这个数 $m=(3 a-7)^{2}=[3 \times(-3)-7]^{2}=256$

（2）解：当 $\mathrm{a}=-3$ 时， $\sqrt{19+a}=\sqrt{19-3}=4$,

又因为 4 的平方根是 $\pm 2$,

所以 $\sqrt{19+a}$ 的平方根是 $\pm 2$.

Question:
若一个数 $m$ 的两个不同的平方根是 $2 a+22$ 和 $3 a-7$.

(1) 求这个数 $m$;

(2) 求 $\sqrt{19+a}$ 的平方根.

算术


Answer:
分) 计算:

(1) $4 \sin ^{2} 60^{\circ}-2 \tan 45^{\circ}+4 \cos ^{2} 30^{\circ}$

(2) $\frac{\sqrt{2} \cos 45^{\circ}}{\tan 60^{\circ}-\sin 60^{\circ}}$.

考点: 特殊角的三角函数值.

分析: 将特殊角的三角函数值代入运算即可.

<ImageHere>

(2) 原式 $=\frac{\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$.

Question:
(6 分) 计算:

(1) $4 \sin ^{2} 60^{\circ}-2 \tan 45^{\circ}+4 \cos ^{2} 30^{\circ}$

(2) $\frac{\sqrt{2} \cos 45^{\circ}}{\tan 60^{\circ}-\sin 60^{\circ}}$.

算术


Answer:
(1) 解: $\sqrt{25}+\sqrt[3]{-8}-\sqrt{6^{2}}$

$$
\begin{gathered}
=5+(-2)-6 \\
=-3
\end{gathered}
$$

(2) 解: $\sqrt{(-3)^{2}}+\sqrt{6}+|\sqrt{6}-3|$

$$
\begin{gathered}
=3+\sqrt{6}+3-\sqrt{6} \\
=6
\end{gathered}
$$

Question:
计算:

(1) $\sqrt{25}+\sqrt[3]{-8}-\sqrt{6^{2}}$

(2) $\sqrt{(-3)^{2}}+\sqrt{6}+|\sqrt{6}-3|$

算术


Answer:
解: $\because x+1$ 的平方根是 $\pm 2$,

$\therefore \mathrm{x}+1=4$,

$\therefore \mathrm{x}=3$,
$\because 2 x+y-2$ 的立方根是 2 ,

$\therefore 2 \mathrm{x}+\mathrm{y}-2=8$,

把 $x$ 的值代入解得:

$\mathrm{y}=4$,

$\therefore \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=25$,

$\therefore \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}$ 的算术平方根为 5 .

Question: 已知 $x+1$ 的平方根是 $\pm 2,2 x+y-2$ 的立方根是 2 , 求 $x^{2}+y^{2}$ 的算术平方根.

算术

解: $\because x+1$ 的平方根是 $\pm 2$,

$\therefore \mathrm{x}+1=4$,

$\therefore \mathrm{x}=3$,
$\because 2 x+y-2$ 的立方根是 2 ,

$\therefore 2 \mathrm{x}+\mathrm{y}-2=8$,

把 $x$ 的值代入解得:

$\mathrm{y}=4$,

$\therefore \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=25$,

$\therefore \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}$ 的算术平方根为 5 .


Answer:
(1) 解: 原式 $=5-4+1$

$=2 ;$

(2) 解: 原式 $=2-\sqrt{3}-3-(-3)$

$=2-\sqrt{3}$.

Question:
计算:

(1) $\sqrt{25}-\sqrt[3]{64}-(-1)^{2021}$

(2) $|\sqrt{3}-2|-\sqrt{(-3)^{2}}-\sqrt[3]{-27}$.

算术


Answer:
解：正分数集合： $\{|-3.5|, 10 \%$

负有理数集合：\{ - ( +4$),+(-5) \quad \ldots\}$;

非负整数集合: $\{0,2018$

无理数集合: $\left\{\frac{\pi}{3},-2.030030003 \ldots\right.$

Question:
请把下列各数填入相应的集合中:

$-(+4),|-3.5|, 0, \frac{\pi}{3}, 10 \%, 2018,+(-5),-2.030030003 \ldots$ (每两个 3 之间逐次加一个 $0)$.

正分数集合：\{ $\ldots\}$

负有理数集合：\{ $\cdots\}$

非负整数集合: \{

无理数集合: \{

算术


Answer:
(1) $1+2+3+4+5$ (或 15 )；225

(2) $\frac{n(n+1)}{2}$

(3) 解: 由 (2) 得,

$11^{3}+12^{3}+13^{3}+\ldots+19^{3}+20^{3}$

$=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+19^{3}+20^{3}-\left(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+9^{3}+10^{3}\right)$

$=\left(\frac{20 \times 21}{2}\right)^{2}-\left(\frac{10 \times 11}{2}\right)^{2}$

$=44100-3025$

$=41075$

Question:
观察下列一组算式的特征, 并探索规律:

(1) $\sqrt{1^{3}}=1=1$;

(2) $\sqrt{1^{3}+2^{3}}=1+2=3$;

(3) $\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}}=1+2+3=6$;

(4) $\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}}=1+2+3+4=10$.
根据以上算式的规律, 解答下列问题:

(1) $1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=($ \$ \qquad \$ )$^{2}=$ \$ \qquad \$ ;

(2) $\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+(n-1)^{3}+n^{3}}=$ \$ \qquad \$ ; (用含 $\mathrm{n}$ 的代数式表示)

（3）简便计算: $11^{3}+12^{3}+13^{3}+\ldots+19^{3}+20^{3}$.

算术


Answer:
(1) $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}=\sqrt{5}-\sqrt{4}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \quad(n \geq 1$ 的整数)

(3) 解: 原式 $=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{2021}-\sqrt{2020}$ $=\sqrt{2021}-1$.

Question:
观察下列各式: $\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1 ; \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2} ; \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$.

（1）请根据以上规律，写出第 4 个式子: \$ \qquad \$
（2）请根据以上规律，写出第 $\mathrm{n}$ 个式子:

(3) 根据以上规律计算: $\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2021}+\sqrt{2020}}$ 的值.

算术


Answer:
(1) $1.8 \mathrm{x} ;(1.6 \mathrm{x}+8)$

(2) 解: 当 $x=25$ 时,

在甲文具店需要花费 $1.8 \times 25=45($ 元 $)$,

在乙文具店需要花费 $1.6 \times 25+8=48($ 元 $)$,

$\because 45<48$,

$\therefore$ 选择在甲文具店购买更优惠.

Question:
某某种圆珠笔的售价是每支 2 元, 甲、乙两家文具店均有促销活动: 甲文具店全部九折; 乙文具店 20 支及以内不打折, 比 20 支多的部分打八折. 设小明需要购买的圆珠笔的数量为 $\mathrm{x}$, 根据题意回答下列问题:

(1) 若购买多于 20 支的圆珠笔, 则在甲文具店需要花费元, 在乙文具店需要花费元; (用含 $\mathrm{x}$ 的式子表示)

(2) 当 $x=25$ 时, 选择哪家文具店更优惠?

算术


Answer:
(1) $(3600+60 x) ;(2250+75 x)$

(2) 当 $x=40$ 时，

方案(1)购买, 需付款: $3600+60 x=3600+60 \times 40=6000$ (元);

方案(2)购买. 需付款: $2250+75 x=2250+75 \times 40=5250$ (元);

按照方案 (2)购买较为合算.

（3）先按方案(2)购买 30 只极品母蟹, 再按方案(1)购买 10 只至尊公蟹, 需付款: $30 \times 150+75 \times 10 \times 80 \%=5100($ 元 $)$,

$\because 5100<5250<6000$

$\therefore$ 先按方案 (2)购买 30 只极品母蟹, 再按方案 (1)购买 10 只至尊公蟹较为合算.

Question:
秋风起, 桂花飘香, 也就进入了吃螃蟹的最好季节清代文人李渔把秋天称作“蟹秋”, 意为错过了螃蟹，便是错过了整个秋季，小贤去水产市场采购大闸蟹，极品母蟹每只 150 元，至尊公蟹每只 75 元. 商家在开展促销活动期间, 向客户提供以下两种优惠方案. 方案 (1)：极品母蟹和至尊公蟹都按定价的 $80 \%$ 付款; 方案(2): 买一只极品母蟹送一只至尊公蟹. 现小贤要购买极品母蟹 30 只, 至尊公蟹 $x(x>30)$ 只.

（1）按方案(1)购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款 \$ \qquad \$ (用含 $\mathrm{x}$ 的式子表示) 元;按方案(2)购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款 \$ \qquad \$ （用含 $\mathrm{x}$ 的式子表示）元.

（2）当 $x=40$ 时, 通过计算说明此时按哪种方案购买较合算.

（3）若两种优惠方案可同时使用, 当 $x=40$ 时, 你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案, 并说明理由.

算术


Answer:
(1) 解: $3\left(x-\frac{1}{3}\right)=2 x+7$,

去括号得: $3 x-1=2 x+7$,

移项合并得: $x=8$,

把 $x=8$ 代入 $3 a-8=2(x+a)-a$ 中得: $3 a-8=2(8+a)-a$,

$\mathrm{a}=12$;

(2) 解: 由题意得: $b=-12, c= \pm 1$,

$\therefore(a+b-c)^{2022}=(0 \pm 1)^{2022}=1$.

Question:
已知方程 $3\left(x-\frac{1}{3}\right)=2 x+7$ 与关于 $\mathrm{x}$ 的方程 $3 \mathrm{a}-8=2$ ( $\left.\mathrm{x}+\mathrm{a}\right)-\mathrm{a}$ 的解相同.

(1) 求 $\mathrm{a}$ 的值;

(2) 若 $a 、 b$ 在数轴上对应的点在原点的两侧, 且到原点的距离相等, $c$ 是倒数等于本身的数,求 $(a+b-c)^{2022}$ 的值.

算术


Answer:
(1) 不是

(2) 解: $\because a=3$,

$\therefore \mathrm{x}=\mathrm{b}-3$,

$\therefore \mathrm{b}-3=\frac{b}{3}$,

$\therefore \mathrm{b}=\frac{9}{2}$,

即 $\mathrm{b}=\frac{9}{2}$ 时有符合要求的“定值方程”;

(3) 解: 由题可知, $m n+m=4(1)$,

设 $-2 x=c$, 则 $x=-\frac{c}{2}=c+2$, 解得: $c=-\frac{4}{3}$,

$\therefore m n+n=-\frac{4}{3}(2)$,

(1)-(2)得: $m-n=\frac{16}{3}$,

$\therefore 5-3 \mathrm{~m}+3 \mathrm{n}=5-3(m-n)=5-3 \times \frac{16}{3}=-11$.

Question:
我们规定, 若关于 $x$ 的一元一次方程 $\mathrm{ax}=\mathrm{b}$ 的解为 $\mathrm{x}=\mathrm{b}-\mathrm{a}$, 则称该方程为 “定值方程”,例如: $2 \mathrm{x}=4$的解为 $x=2=4-2$, 则该方程 $2 x=4$ 是“定值方程”. 请根据上述规定解答下列问题:

(1) 判断方程 $4 x=6$ (回答“是”或“不是”) “定值方程”;

（2）若 $\mathrm{a}=3$, 有符合要求的“定值方程”吗? 若有, 求 $\mathrm{b}$ 的值; 若没有, 请说明理由.

(3) 若关于 $x$ 的一元一次方程 $2 x=m n+m$ 和 $-2 x=m n+n$ 都是“定值方程”, 求代数式 $5-3 m+3 n$ 的值.

算术

(1) $\because 4 \mathrm{x}=6$,

$\therefore x=\frac{3}{2}$,

$\because 6-4=2, \quad 2 \neq \frac{3}{2}$,

$\therefore 4 \mathrm{x}=6$ 不是定值方程;

故答案为: 不是;


Answer:
(1) $(100 x+3000) ;(80 x+4800)$

(2) 当 $x=40$ 时, 按方案 (1)购买所需费用: $100 x+3000=7000$ (元);

当 $x=40$ 时, 按方案 (2)购买所需费用: $80 x+4800=8000$ (元),

因为 $7000<8000$,

所以按方案 (1) 购买较为合算;

（3）先按方案(1)购买夹克 30 件, 再按方案(2)购买 $\mathrm{T}$ 恤 10 件更为省钱. 理由如下:先按方案①购买夹克 30 件所需费用 $=6000$ (元),

按方案(2)购买 T 恤 10 件的费用 $=100 \times 80 \% \times 10=800$ (元),

所以总费用为 $6000+800=6800$ (元), 小于 7000 元,

所以此种购买方案更为省钱.

Question:
前进服装厂生产一种夹克和 $T$ 恤，夹克每件定价 200 元， $T$ 恤每件定价 100 元. 厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案:

(1) 买一件夹克送一件 $T$ 恤;

(2)夹克和 $T$ 恤都按定价的 $80 \%$ 付款.

现某客户要到该服装厂购买夹克 30 件, $T$ 恤 $x$ 件 $(x>30)$.

(1) 若该客户按方案(1)购买, 夹克和 $T$ 恤共需付款元（用含 $x$ 的式子表示); 若该客户按方案(2)购买, 夹克和 $T$ 恤共需付款

(2) 若 $x=40$, 按方案(1)购买夹克和 $T$ 恤共需付款多少元? 按方案 (2)购买夹克和 $T$ 恤共需付款多少元, 哪一种方案合算?

（3）若两种优惠方案可同时使用, 当 $x=40$ 时, 你能给出一种更为省钱的购买方案吗? 试写出你的购买方案, 并说明理由.

算术


Answer:
(1) $6 ; 4$

(2) $5 t-10 ; 3 t-4$

(3) 解: 根据题意得: $5 t-10=3 t-4$,

解得: $t=3$;

答: 当 $t=3$ 时, 点 $\mathrm{A}$ 与点 $\mathrm{B}$ 恰好重合.

(4) 解: 存在.

当 $\mathrm{A}$ 没追上 $\mathrm{B}$ 时, 可得由题意:

$(3 t-4)-(5 t-10)=5$

解得: $t=\frac{1}{2}$;

当 $A, B$ 错开后, 可得 $(5 t-10)-(3 t-4)=5$,

解得: $t=\frac{11}{2}$,

$\therefore \mathrm{t}$ 的值为 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{11}{2}$ 秒时, 线段 $\mathrm{AB}$ 的长为 5 .

Question:
已知如图, 在数轴上有 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点, 所表示的数分别为 $-10,-4$, 点 $\mathrm{A}$ 以每秒 5 个单位长度的速度向右运动, 同时点 $\mathrm{B}$ 以每秒 3 个单位长度的速度也向右运动, 如果设运动时间为 $\mathrm{t}$ 秒, 解答下列问题:

<ImageHere>

(1) 运动前线段 $\mathrm{AB}$ 的长为 \$ \qquad \$ ；运动 1 秒后线段 $\mathrm{AB}$ 的长为 \$ \qquad \$ ;

(2) 运动 $\mathrm{t}$ 秒后, 点 $\mathrm{A}$, 点 $\mathrm{B}$ 在数轴上表示的数分别为 \$ \qquad \$和 \$ \qquad \$ ; (用含 $\mathrm{t}$ 的代数式表示)

(3) 求 $t$ 为何值时, 点 $\mathrm{A}$ 与点 $\mathrm{B}$ 恰好重合;

(4) 在上述运动的过程中, 是否存在某一时刻 $t$, 使得线段 $A B$ 的长为 5 , 若存在, 求 $t$ 的值; 若不存在, 请说明理由.

度量几何学


Answer:
(1) $-6 ; 1 ; 4$

(2) $7 ; 10$

(3) 解: $\because A C=10$,

$\therefore$ 点 $B$ 到点 $\mathrm{A}$ 和点 $C$ 的距离都是 5,

此时将点 $B$ 向左移动 2 个单位即可.

Question:
如图, 在数轴上有 $A 、 B 、 C$ 这三个点.

<ImageHere>

回答:
(1) $A$ 、
$B$ 、
$C$ 这三个点表示的数各是多少?

$A:$ \$ \qquad \$ ; $B$ : \$ \qquad \$ ; $\quad C$ : \$ \qquad \$ ;

(2) $A 、 B$ 两点间的距离是 \$ \qquad \$ , $A 、 C$ 两点间的距离是 \$ \qquad \$ ;

(3) 应怎样移动点 $B$ 的位置, 使点 $B$ 到点 $A$ 和点 $C$ 的距离相等?

度量几何学


Answer:
) $-1 ; 3$

$\because \mathrm{AB}=4$, 且 $\mathrm{OB}=3 \mathrm{OA}, \mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 对应的数分别是 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b}, \quad \therefore a=-1, b=3$故答案为: $-1,3$

<ImageHere>

(2) 解: (1) 当 $P$ 点在 $A$ 点左侧时, $P A$

(2)当 $P$ 点位于 $A 、 B$ 两点之间

$$
\begin{gathered}
\because P A=2 P B \\
\therefore x+1=2(3-x)
\end{gathered}
$$

解得 $x=\frac{5}{3}$

(3) 当 $P$ 点在 $B$ 点右侧时

$$
\begin{gathered}
\because P A=2 P B \\
\therefore x+1=2(x-3)
\end{gathered}
$$

解得 $x=7$

故 $\mathrm{x}$ 的值为解得 $\frac{5}{3}$ 或 7 .

(3) 解: $\mathrm{t}$ 秒后, $\mathrm{A}$ 点的值为 $(-1-t), \mathrm{P}$ 点的值为 $2 \mathrm{t}, \mathrm{B}$ 点的值为 $(3+3 t)$

$$
\begin{gathered}
\therefore 3(3+3 t-2 t)-[2 t-(-1-t)] \\
=9-3 t-(2 t+1+t) \\
=9+3 t-3 t-1 \\
=8
\end{gathered}
$$

所以 3PB-PA 的值为定值, 不随着时间 $\mathrm{t}$ 的变化而改变.

Question:
数轴上两点 $A 、 B, A$ 在 $B$ 左边, 原点 $O$ 是线段 $A B$ 上的一点, 已知 $A B=4$, 且 $O B=3 O A$. $A$ 、 $B$ 对应的数分别是 $a 、 b$, 点 $P$ 为数轴上的一动点, 其对应的数为 $x$.

<ImageHere>

(1) $\mathrm{a}=$ \$ \qquad \$ , $b=$ \$ \qquad \$ , 并在数轴上面标出 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 两点;

(2) 若 $\mathrm{PA}=2 \mathrm{~PB}$, 求 $\mathrm{x}$ 的值;

(3) 若点 $\mathrm{P}$ 以每秒 2 个单位长度的速度从原点 $\mathrm{O}$ 向右运动, 同时点 $\mathrm{A}$ 以每秒 1 个单位长度的速度向左运动, 点 $\mathrm{B}$ 以每秒 3 个单位长度的速度向右运动, 设运动时间为 $\mathrm{t}$ 秒, 请问在运动过程中, 3PB-PA 的值是否随着时间 $\mathrm{t}$ 的变化而改变? 若变化, 请说明理由若不变, 请求其值.

度量几何学

) $-1 ; 3$

$\because \mathrm{AB}=4$, 且 $\mathrm{OB}=3 \mathrm{OA}, \mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 对应的数分别是 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b}, \quad \therefore a=-1, b=3$故答案为: $-1,3$

<ImageHere>

(2) 解: (1) 当 $P$ 点在 $A$ 点左侧时, $P A$

(2)当 $P$ 点位于 $A 、 B$ 两点之间

$$
\begin{gathered}
\because P A=2 P B \\
\therefore x+1=2(3-x)
\end{gathered}
$$

解得 $x=\frac{5}{3}$

(3) 当 $P$ 点在 $B$ 点右侧时

$$
\begin{gathered}
\because P A=2 P B \\
\therefore x+1=2(x-3)
\end{gathered}
$$

解得 $x=7$

故 $\mathrm{x}$ 的值为解得 $\frac{5}{3}$ 或 7 .

(3) 解: $\mathrm{t}$ 秒后, $\mathrm{A}$ 点的值为 $(-1-t), \mathrm{P}$ 点的值为 $2 \mathrm{t}, \mathrm{B}$ 点的值为 $(3+3 t)$

$$
\begin{gathered}
\therefore 3(3+3 t-2 t)-[2 t-(-1-t)] \\
=9-3 t-(2 t+1+t) \\
=9+3 t-3 t-1 \\
=8
\end{gathered}
$$

所以 3PB-PA 的值为定值, 不随着时间 $\mathrm{t}$ 的变化而改变.


Answer: 略

Question:
(本题 6 分) 如图, $\triangle A B C$ 中, $\angle B C A=90^{\circ}, \angle A=30^{\circ}$, 以 $A B$ 为直径画 $\odot O$,延长 $A B$ 到 $D$, 使 $B D$ 等于 $\odot O$ 的半径. 求证: $C D$ 是 $\odot O$ 的切线.

<ImageHere>

度量几何学


Answer: (1) 2(2) ~ s=\frac{1}{2} \mathrm{~L} \cdot \mathrm{r}(3) \mathrm{s}=\frac{1}{2} \mathrm{~L} \cdot \mathrm{r} \quad

Question:
(本题 8 分) 阅读材料: 如图 (1), $\triangle A B C$ 的周长为 $L$, 内切圆 $O$ 的半径为 $r$, 连结 $O A$, $O B, \triangle A B C$ 被划分为三个小三角形, 用 $\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ABC}}$ 表示 $\triangle A B C$ 的面积.

$\because S_{\triangle A B C}=S_{\triangle O A B}+S_{\triangle O B C}+S_{\triangle O C A}$

$$
\text { 又 } \because S_{\triangle O A B}=\frac{1}{2} A B \cdot r, S_{\triangle O B C}=\frac{1}{2} B C \cdot r, S_{\triangle O C A}
$$

$=\frac{1}{2} A C \cdot \mathrm{r}$

$\therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} A B \cdot r+\frac{1}{2} B C \cdot r+\frac{1}{2} C A \cdot r=\frac{1}{2} L \cdot r($ 可作为三角形内切圆半径公式 $)$

(1) 理解与应用: 利用公式计算边长分为 $5,12,13$ 的三角形内切圆半径;

（2）类比与推理：若四边形 $A B C D$ 存在内切圆（与各边都相切的圆，如图 (2) 且面积为 $S$, 各边长分别为 $a, b, c, d$, 试推导四边形的内切圆半径公式;

(3) 拓展与延伸: 若一个 $n$ 边形 $(n$ 为不小于 3 的整数) 存在内切圆, 且面积为 $S$,各边长分别为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots a_{n}$, 合理猜想其内切圆半径公式 (不需说明理由).

<ImageHere>

(1)

<ImageHere>

$(2)$

度量几何学

(1) 2(2) ~ s=\frac{1}{2} \mathrm{~L} \cdot \mathrm{r}(3) \mathrm{s}=\frac{1}{2} \mathrm{~L} \cdot \mathrm{r} \quad


Answer:
(1) $C_{1}, C_{4}$

(2) (1) 设点 $P$ 表示的数为 $x$,

<ImageHere>

如图, 当点 $P_{1}$ 在点 $\mathrm{A}$ 左侧时, $P_{1} B=2 P_{1} A$,

则 $30-x=2(-10-x)$,

解得 $x=-50$.

所以点 $P_{1}$ 表示的数为 -50 ;

如图, 当点 $P_{2}$ 在线段 $\mathrm{AB}$ 上且 $P_{2} B=2 P_{2} A$ 时,

<ImageHere>

则 $30-x=2(x+10)$,

解得 $x=\frac{10}{3}$.

所以点 $P_{2}$ 表示的数为 $\frac{10}{3} ;$

如图, 当点 $P_{3}$ 在线段 $\mathrm{AB}$ 上且 $P_{3} A=2 P_{3} B$ 时,

<ImageHere>

则 $\mathrm{x}+10=2(30-\mathrm{x})$,
解得 $x=\frac{50}{3}$.

所以点 $P_{3}$ 表示的数为 $\frac{50}{3}$.

综上所述, 当点 $\mathrm{P}$ 在点 $\mathrm{B}$ 的左侧时, 点 $\mathrm{P}$ 表示的数为 -50 或 $\frac{10}{3}$ 或 $\frac{50}{3}$.

(2)若点 $P$ 在点 $B$ 的右侧, 点 $P, A, B$ 中, 有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”, 写出此时点 $P$ 表示的数 \$ \qquad \$
50 或 70 或 110

Question:
对于数轴上的 $A, B, C$ 三点, 给出如下定义: 若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足 2 倍的数量关系, 则称该点是其它两个点的“联盟点”。

例如数轴上点 A,B,C 所表示的数分别为 $1,3,4$, 此时点 B 是点 $A, C$ 的“联盟点”.

<ImageHere>

(1) 若点 $\mathrm{A}$ 表示数 -2 ,点 $\mathrm{B}$ 表示的数 2 , 下列各数 $-\frac{2}{3}, 0,4,6$ 所对应的点分别 $\mathrm{C}_{1}, \mathrm{C}_{2}, \mathrm{C}_{3}, \mathrm{C}_{4}$,其中是点 $A, B$ 的“联盟点”的是

(2) 点 $A$ 表示数 -10, 点 $B$ 表示的数 $30, P$ 在为数轴上一个动点:

(1) 若点 $P$ 在点 $B$ 的左侧, 且点 $P$ 是点 $A, B$ 的“联盟点”, 求此时点 $P$ 表示的数;

度量几何学


Answer:
) 解: $\because$ 点 $\mathrm{C}$ 表示的数是 $6, B C=4$

$\therefore$ 点 $\mathrm{B}$ 表示的数为 $6-4=2 \because A B=12 \therefore$ 点 $\mathrm{A}$ 表示的数为 $2-12=-10$

$\therefore \mathrm{A}$ 表示的数是-10, B 表示的数是 2 .

(2) 解: $\because A B=12, M$ 是 $A B$ 的中点.
$\because \mathrm{CN}=3$

当点 $N$ 在点 $C$ 的左侧时, $B N=B C-C N=1$, 此时 $M N=B M+B N=6+1=7$

当点 $N$ 在点 $C$ 的右侧时, $B N=B C+C N=7$, 此时 $M N=B M+B N=6+9=13$

综上所述, MN 的值为 7 或 13

(3) 解: $\because \mathrm{A}$ 表示的数是 -10 , 即 $\mathrm{OA}=10$

$\mathrm{C}$ 表示的数是 6, 即 $\mathrm{OC}=6$

又 $\because$ 点 $P 、$ 点 $Q$ 同时出发, 且运动的时间为 $t$

$\therefore \mathrm{AP}=6 \mathrm{t}, \mathrm{CQ}=3 \mathrm{t}$,

$\therefore \mathrm{OP}=\mathrm{OA}-\mathrm{AP}=10-6 \mathrm{t}, \mathrm{OQ}=\mathrm{OC}-\mathrm{CQ}=6-3 \mathrm{t}$

当原点 $O$ 为 $P Q$ 的中点时, $O P=O Q$

$\therefore 10-6 \mathrm{t}=6-3 \mathrm{t}$.

解得 $\mathrm{t}=\frac{4}{3}$

$\therefore$ 当 $\mathrm{t}=\frac{4}{3}$ 时, 原点 $\mathrm{O}$ 为 $\mathrm{PQ}$ 的中点.

Question:
如图, 已知 $A, B, C$ 是数轴上的三点, 点 $\mathrm{C}$ 表示的数是 $6, \quad B C=4, A B=12$.

<ImageHere>

(1) 写出数轴上点 $A$, 点 $B$ 表示的数;

(2) 点 $\mathrm{M}$ 为线段 $A B$ 的中点, $C N=3$, 求 $M N$ 的长;

(3) 动点 $P, Q$ 分别从 $A, C$ 同时出发, 点 $\mathrm{P}$ 以每秒 6 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动, 点 $\mathrm{Q}$以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动, 求 $\mathrm{t}$ 为何值时, 原点 $\mathrm{O}$ 恰好为线段 $P Q$ 的中点.

度量几何学

) 解: $\because$ 点 $\mathrm{C}$ 表示的数是 $6, B C=4$

$\therefore$ 点 $\mathrm{B}$ 表示的数为 $6-4=2 \because A B=12 \therefore$ 点 $\mathrm{A}$ 表示的数为 $2-12=-10$

$\therefore \mathrm{A}$ 表示的数是-10, B 表示的数是 2 .

(2) 解: $\because A B=12, M$ 是 $A B$ 的中点.
$\because \mathrm{CN}=3$

当点 $N$ 在点 $C$ 的左侧时, $B N=B C-C N=1$, 此时 $M N=B M+B N=6+1=7$

当点 $N$ 在点 $C$ 的右侧时, $B N=B C+C N=7$, 此时 $M N=B M+B N=6+9=13$

综上所述, MN 的值为 7 或 13

(3) 解: $\because \mathrm{A}$ 表示的数是 -10 , 即 $\mathrm{OA}=10$

$\mathrm{C}$ 表示的数是 6, 即 $\mathrm{OC}=6$

又 $\because$ 点 $P 、$ 点 $Q$ 同时出发, 且运动的时间为 $t$

$\therefore \mathrm{AP}=6 \mathrm{t}, \mathrm{CQ}=3 \mathrm{t}$,

$\therefore \mathrm{OP}=\mathrm{OA}-\mathrm{AP}=10-6 \mathrm{t}, \mathrm{OQ}=\mathrm{OC}-\mathrm{CQ}=6-3 \mathrm{t}$

当原点 $O$ 为 $P Q$ 的中点时, $O P=O Q$

$\therefore 10-6 \mathrm{t}=6-3 \mathrm{t}$.

解得 $\mathrm{t}=\frac{4}{3}$

$\therefore$ 当 $\mathrm{t}=\frac{4}{3}$ 时, 原点 $\mathrm{O}$ 为 $\mathrm{PQ}$ 的中点.


Answer:
(1) 无理； $\pi$

(2) $4 \pi$ 或 $-4 \pi$

(3) $4 ; 3 ; 26 \pi ;-6 \pi$

Question:
如图, 半径为 1 个单位的圆片上有一点 $A$ 与数轴上的原点重合, $A B$ 是圆片的直径. (注: 结果保留 $\pi)$

<ImageHere>

(1) 把圆片沿数轴向右滚动半周, 点 $B$ 到达数轴上点 $C$ 的位置, 点 $C$ 表示的数是数 (填“无理”或“有理”), 这个数是

（2）把圆片沿数轴滚动 2 周, 点 $A$ 到达数轴上点 $D$ 的位置, 点 $D$ 表示的数是

(3) 圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数, 圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数, 依次运动情况记录如下: $+2,-1,+3,-4,-3$.

(1) 第 \$ \qquad \$次滚动后, $A$ 点距离原点最近, 第 \$ \qquad \$次滚动后, $A$ 点距离原点最远.

(2) 当圆片结束运动时, $A$ 点运动的路程共有 \$ \qquad \$ , 此时点 $A$ 所表示的数是 . \$ \qquad \$

度量几何学

(1) 把圆片沿数轴向左滚动半周, 点 $\mathrm{B}$ 到达数轴上点 $\mathrm{C}$ 的位置, 点 $\mathrm{C}$ 表示的数是无理数, 这个数是 $\pi$;

故答案为: 无理, $\pi$; (2) 把圆片沿数轴滚动 2 周, 点 A 到达数轴上点 D 的位置, 点 D 表示的数是 $4 \pi$ 或 $-4 \pi$

故答案为: $4 \pi$ 或 $-4 \pi$; (3) (1) $\because$ 圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数, 圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数, 依次运动情况记录如下: $+2,-1,+3,-4,-3$,

$\therefore$ 第 4 次滚动后, $\mathrm{A}$ 点距离原点最近, 第 3 次滚动后, $\mathrm{A}$ 点距离原点最远,故答案为: 4,3 ;

(2) $\because|+2|+|-1|+|+3|+|-4|+|-3|=13$,

$\therefore 13 \times 2 \pi \times 1=26 \pi$,

$\therefore \mathrm{A}$ 点运动的路程共有 $26 \pi ;$

$\because(+2)+(-1)+(+3)+(-4)+(-3)=-3$,

$(-3) \times 2 \pi=-6 \pi$,

$\therefore$ 此时点 A 所表示的数是: $-6 \pi$,

故答案为: $26 \pi,-6 \pi$.


Answer:
(1) $9 ; \sqrt{83}-9$

(2) 解: 正确;

理由: $\because \sqrt{83}$ 的整数部分为 $\mathrm{x}, \sqrt{97}$ 的小数部分记为 $\mathrm{y}$,

$\therefore \mathrm{x}=9, \mathrm{y}=\sqrt{97}-9$,

则 $\mathrm{x}+\mathrm{y}=\sqrt{97}$

(3) 解: $\because \sqrt{35}$ 的整数部分为 $\mathrm{a}, \sqrt{35}$ 的小数部分为 $\mathrm{b}$,

$\therefore \mathrm{a}=5, \mathrm{~b}=\sqrt{35}-5$

$\therefore \mathrm{a}-2 \mathrm{~b}+2 \sqrt{35}=5-2(\sqrt{35}-5)+2 \sqrt{35}=15$.

Question:
阅读下面的文字, 解答问题

大家知道, $\sqrt{2}$ 是无理数, 而无理数是无限不循环小数, 因此 $\sqrt{2}$ 的小数部分我们不可能全部地写出来, 于是小明用 $\sqrt{2}-1$ 来表示 $\sqrt{2}$ 的小数部分, 你同意小明的表示方法吗?

事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 $\sqrt{2}$ 的整数部分是 1 , 将这个数减去其整数部分, 差就是小数部分.

又例如因为 $\sqrt{4}<\sqrt{7}<\sqrt{9}$, 即 $2<\sqrt{7}<3$, 所以行的整数部分为 2 , 小数部分为 $\sqrt{7}-2$.

请解答

(1) $\sqrt{83}$ 的整数部分为 \$ \qquad \$ ; 小数部分为 \$ \qquad \$ ;

(2) 有人说, 如果 $\sqrt{83}$ 的整数部分为 $x, \sqrt{97}$ 的小数部分记为 $\mathrm{y}$, 则 $\mathrm{x}+\mathrm{y}=\sqrt{97}$, 你认为对吗?为什么?

(3) 如果 $\sqrt{35}$ 的整数部分为 $a, \sqrt{35}$ 的小数部分为 $\mathrm{b}$, 求 $\mathrm{a}-2 \mathrm{~b}+2 \sqrt{35}$ 的值.

度量几何学


Answer:
(1) 解：由题意可知 $\mathrm{a}^{2}=69(a>0)$,解得 $a=\sqrt{69}$

(2) $\because \mathrm{a}^{2}=69$

$64<69<91$

$\sqrt{64}<\sqrt{69}<\sqrt{81}$
即 $8<\sqrt{69}<9$

$\mathrm{m}=8, \mathrm{n}=9$

(3)

$\sqrt[3]{-8}+\sqrt{9}$

$=-2-3$

$=-5$

Question:
如果一个正方形 $\mathrm{ABCD}$ 的面积为 69 .

(1) 求正方形 $\mathrm{ABCD}$ 的边长 $\mathrm{a}$.

(2) 正方形 $\mathrm{ABCD}$ 的边长满足 $\mathrm{m}<\mathrm{a}<\mathrm{n}, \mathrm{m}, \mathrm{n}$ 表示两个连续正整数, 求 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 的值.

(3) $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 在满足(2)的条件下, 求 $\sqrt{3} \sqrt{-m}-\sqrt{n}$ 的值.

度量几何学


Answer:
(1) $2 ; \sqrt{7}-2$

(2) $-3 ; 3-\sqrt{7}$

(3) 解: $\because 5<3+\sqrt{7}<6$,

$\therefore \mathrm{m}=5, \mathrm{n}=3+\sqrt{7}-5=\sqrt{7}-2$,

$\therefore|m-n|$

$=|5-(\sqrt{7}-2)|$

$=|7-\sqrt{7}|$

$=7-\sqrt{7}$.

Question:
阅读下面文字，然后回答问题.

给出定义: 一个实数的整数部分是不大于这个数的最大数, 这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值. 例如: 2.4 的整数部分为 2 , 小数部分为 $2.4-2=0.4 ; \sqrt{2}$ 的整数部分为 1 , 小数部分可用 $\sqrt{2}-1$ 表示; 再如, -2.6 的整数部分为 -3 , 小数部分为 $|-2.6-(-3)|=0.4$. 由此我们得到一个真命题: 如果 $\sqrt{2}=x+y$, 其中 $x$ 是整数, 且 $0<y<1$, 那么 $x=1, y=\sqrt{2}-1$.

（1）如果 $\sqrt{7}=a+b$, 其中 $a$ 是整数, 且 $0<b<1$, 那么 $a=$ \$ \qquad \$ , $b=$ \$ \qquad \$ $;$

（2）如果 $-\sqrt{7}=c+d$ ，其中 $c$ 是整数，且 $0<d<1$ ，那么 $c=$ \$ \qquad \$ , $d=$

（3）已知 $3+\sqrt{7}=m+n$, 其中 $m$ 是整数, 且 $0<n<1$, 求 $|m-n|$ 的值;

度量几何学


Answer:
解: (1) $\because$ 修建的斜坡 $\mathrm{BE}$ 的坡角（即 $\angle \mathrm{BEF})$ 不大于 $45^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BEF}$ 最大为 $45^{\circ}$,

当 $\angle \mathrm{BEF}=45^{\circ}$ 时, $\mathrm{EF}$ 最短, 此时 $\mathrm{ED}$ 最长,

$\because \angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BDF}=30^{\circ}, \mathrm{AD}=\mathrm{BD}=30$,

$\therefore \mathrm{BF}=\mathrm{EF}=\frac{1}{2} \mathrm{BD}=15$

$\mathrm{DF}=15 \sqrt{3}$,

故: $\mathrm{DE}=\mathrm{DF}-\mathrm{EF}=15(\sqrt{3}-1) \approx 11.0$;

(2) 过点 $\mathrm{D}$ 作 $\mathrm{DP} \perp \mathrm{AC}$, 垂足为 $\mathrm{P}$.

在 Rt $\triangle \mathrm{DPA}$ 中, $\mathrm{DP}=\frac{1}{2} \mathrm{AD}=\frac{1}{2} \times 30=15$,

$\mathrm{PA}=\mathrm{AD} \cdot \cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} \times 30=15 \sqrt{3}$.

在矩形 DPGM 中, $\mathrm{MG}=\mathrm{DP}=15, \mathrm{DM}=\mathrm{PG}=15 \sqrt{3}+27$,在 Rt $\triangle \mathrm{DMH}$ 中, $\mathrm{HM}=\mathrm{DM} \cdot \tan 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3} \times(15 \sqrt{3}+27)=15+9 \sqrt{3}$.

$\mathrm{GH}=\mathrm{HM}+\mathrm{MG}=15+15+9 \sqrt{3} \approx 45.6$.

答: 建筑物 $\mathrm{GH}$ 高约为 45.6 米.

<ImageHere>

Question:
(8 分) 如图, 已知斜坡 $\mathrm{AB}$ 长 60 米, 坡角 (即 $\angle \mathrm{BAC}$ ) 为 $30^{\circ}, \mathrm{BC} \perp \mathrm{AC}$, 现计划在斜坡中点 D 处挖去部分坡体 (用阴影表示) 修建一个平行于水平线 CA 的平台 DE 和一条新的斜坡 BE. (请将下面 2 小题的结果都精确到 0.1 米, 参考数据: $\sqrt{3} \approx 1.732$ ).

(1) 若修建的斜坡 $\mathrm{BE}$ 的坡角（即 $\angle \mathrm{BEF}$ ) 不大于 $45^{\circ}$, 则平台 $\mathrm{DE}$ 的长最多为 11.0 米;

(2) 一座建筑物 $\mathrm{GH}$ 距离坡角 $\mathrm{A}$ 点 27 米远（即 $\mathrm{AG}=27$ 米), 小明在 $\mathrm{D}$ 点测得建筑物顶部 $\mathrm{H}$ 的仰角 (即 $\angle H D M$ ) 为 $30^{\circ}$. 点 B、C、A、G、H 在同一个平面内, 点 C、A、G 在同一条直线上，且 $\mathrm{HG} \perp \mathrm{CG}$, 问建筑物 $\mathrm{GH}$ 高为多少米?

<ImageHere>

度量几何学

解: (1) $\because$ 修建的斜坡 $\mathrm{BE}$ 的坡角（即 $\angle \mathrm{BEF})$ 不大于 $45^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BEF}$ 最大为 $45^{\circ}$,

当 $\angle \mathrm{BEF}=45^{\circ}$ 时, $\mathrm{EF}$ 最短, 此时 $\mathrm{ED}$ 最长,

$\because \angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BDF}=30^{\circ}, \mathrm{AD}=\mathrm{BD}=30$,

$\therefore \mathrm{BF}=\mathrm{EF}=\frac{1}{2} \mathrm{BD}=15$

$\mathrm{DF}=15 \sqrt{3}$,

故: $\mathrm{DE}=\mathrm{DF}-\mathrm{EF}=15(\sqrt{3}-1) \approx 11.0$;

(2) 过点 $\mathrm{D}$ 作 $\mathrm{DP} \perp \mathrm{AC}$, 垂足为 $\mathrm{P}$.

在 Rt $\triangle \mathrm{DPA}$ 中, $\mathrm{DP}=\frac{1}{2} \mathrm{AD}=\frac{1}{2} \times 30=15$,

$\mathrm{PA}=\mathrm{AD} \cdot \cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} \times 30=15 \sqrt{3}$.

在矩形 DPGM 中, $\mathrm{MG}=\mathrm{DP}=15, \mathrm{DM}=\mathrm{PG}=15 \sqrt{3}+27$,在 Rt $\triangle \mathrm{DMH}$ 中, $\mathrm{HM}=\mathrm{DM} \cdot \tan 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3} \times(15 \sqrt{3}+27)=15+9 \sqrt{3}$.

$\mathrm{GH}=\mathrm{HM}+\mathrm{MG}=15+15+9 \sqrt{3} \approx 45.6$.

答: 建筑物 $\mathrm{GH}$ 高约为 45.6 米.

<ImageHere>


Answer:
解: (1) 过点 $\mathrm{B}$ 作 $\mathrm{BF} \perp \mathrm{AD}$, 交 $\mathrm{DA}$ 的延长线于点 $\mathrm{F}$.

由题意得: $\angle \mathrm{BAF}=\angle \mathrm{ABD}+\angle \mathrm{ADB}=15^{\circ}+45^{\circ}=60^{\circ}$,在 Rt $\triangle \mathrm{BFA}$ 中, $\mathrm{BF}=\mathrm{AB} \sin 60^{\circ}=4 \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=6$ (千米),

$\mathrm{AF}=\mathrm{AB} \cos 60^{\circ}=4 \sqrt{3} \times \frac{1}{2}=2 \sqrt{3}$ (千米).

$\because \mathrm{CD} \perp \mathrm{AD}, \angle \mathrm{BDC}=45^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BDF}=45^{\circ}$,

在 Rt $\triangle \mathrm{BFD}$ 中, $\because \angle \mathrm{BDF}=45^{\circ}$,

$\therefore \mathrm{DF}=\mathrm{BF}=6$ 千米.

$\therefore \mathrm{AD}=\mathrm{DF}-\mathrm{AF}=6-2 \sqrt{3}$ (千米).
即河宽 $\mathrm{AD}$ 为 $(6-2 \sqrt{3})$ 千米;

(2) 过点 $B$ 作 $B G \perp C D$ 于 $G$, 易证四边形 $B F D G$ 是正方形,

$\therefore \mathrm{BG}=\mathrm{BF}=6$ 千米.

在 Rt $\triangle \mathrm{BGC}$ 中, $\mathrm{CG}=\sqrt{\mathrm{BC}^{2}-\mathrm{BG}^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$ (千米),

$\therefore \mathrm{CD}=\mathrm{CG}+\mathrm{GD}=14$ 千米.

即公路 CD 的长为 14 千米;

(3) 方案一的铺设电缆费用低.

由 (2) 得 $\mathrm{DE}=\mathrm{CD}-\mathrm{CE}=8$ 千米.

$\therefore$ 方案一的铺设费用为: $2(\mathrm{DE}+\mathrm{AB})+4 \mathrm{AD}=40$ 万元,

方案二的铺设费用为: $2(\mathrm{CE}+\mathrm{BC}+\mathrm{AB})=(32+8 \sqrt{3})$ 万元.

$\because 40<32+8 \sqrt{3}$

$\therefore$ 方案一的铺设电缆费用低.

<ImageHere>

Question:
(12 分) 如图所示, $A 、 B$ 为两个村庄, $A B 、 B C 、 C D$ 为公路, $B D$ 为田地, $A D$ 为河宽,且 $C D$ 与 $A D$ 互相垂直. 现在要从 $\mathrm{E}$ 处开始铺设通往村庄 $\mathrm{A}$ 、村庄 B 的一条电缆, 共有如下两种铺设方案:

方案一: $E \Rightarrow D \Rightarrow A \Rightarrow B ;$

方案二: $E \Rightarrow C \Rightarrow B \Rightarrow A$.

经测量得 $\mathrm{AB}=4 \sqrt{3}$ 千米, $\mathrm{BC}=10$ 千米, $\mathrm{CE}=6$ 千米, $\angle \mathrm{BDC}=45^{\circ}, \angle \mathrm{ABD}=15$ 度. 已知: 地下电缆的修建费为 2 万元/千米, 水下电缆的修建费为 4 万元/千米.

(1) 求出河宽 AD (结果保留根号);

(2) 求出公路 $\mathrm{CD}$ 的长;

（3）哪种方案铺设电缆的费用低? 请说明你的理由.

<ImageHere>

度量几何学

解: (1) 过点 $\mathrm{B}$ 作 $\mathrm{BF} \perp \mathrm{AD}$, 交 $\mathrm{DA}$ 的延长线于点 $\mathrm{F}$.

由题意得: $\angle \mathrm{BAF}=\angle \mathrm{ABD}+\angle \mathrm{ADB}=15^{\circ}+45^{\circ}=60^{\circ}$,在 Rt $\triangle \mathrm{BFA}$ 中, $\mathrm{BF}=\mathrm{AB} \sin 60^{\circ}=4 \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=6$ (千米),

$\mathrm{AF}=\mathrm{AB} \cos 60^{\circ}=4 \sqrt{3} \times \frac{1}{2}=2 \sqrt{3}$ (千米).

$\because \mathrm{CD} \perp \mathrm{AD}, \angle \mathrm{BDC}=45^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BDF}=45^{\circ}$,

在 Rt $\triangle \mathrm{BFD}$ 中, $\because \angle \mathrm{BDF}=45^{\circ}$,

$\therefore \mathrm{DF}=\mathrm{BF}=6$ 千米.

$\therefore \mathrm{AD}=\mathrm{DF}-\mathrm{AF}=6-2 \sqrt{3}$ (千米).
即河宽 $\mathrm{AD}$ 为 $(6-2 \sqrt{3})$ 千米;

(2) 过点 $B$ 作 $B G \perp C D$ 于 $G$, 易证四边形 $B F D G$ 是正方形,

$\therefore \mathrm{BG}=\mathrm{BF}=6$ 千米.

在 Rt $\triangle \mathrm{BGC}$ 中, $\mathrm{CG}=\sqrt{\mathrm{BC}^{2}-\mathrm{BG}^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$ (千米),

$\therefore \mathrm{CD}=\mathrm{CG}+\mathrm{GD}=14$ 千米.

即公路 CD 的长为 14 千米;

(3) 方案一的铺设电缆费用低.

由 (2) 得 $\mathrm{DE}=\mathrm{CD}-\mathrm{CE}=8$ 千米.

$\therefore$ 方案一的铺设费用为: $2(\mathrm{DE}+\mathrm{AB})+4 \mathrm{AD}=40$ 万元,

方案二的铺设费用为: $2(\mathrm{CE}+\mathrm{BC}+\mathrm{AB})=(32+8 \sqrt{3})$ 万元.

$\because 40<32+8 \sqrt{3}$

$\therefore$ 方案一的铺设电缆费用低.

<ImageHere>


Answer:
(1) $2 ; \sqrt{7}-2$

(2) $-3 ; 3-\sqrt{7}$

(3) 解: $\because 5<3+\sqrt{7}<6$,

$\therefore \mathrm{m}=5, \mathrm{n}=3+\sqrt{7}-5=\sqrt{7}-2$,

$\therefore|m-n|$

$=|5-(\sqrt{7}-2)|$

$=|7-\sqrt{7}|$

$=7-\sqrt{7}$.

Question:
阅读下面文字, 然后回答问题.

给出定义: 一个实数的整数部分是不大于这个数的最大数, 这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值. 例如: 2.4 的整数部分为 2 , 小数部分为 $2.4-2=0.4 ; \sqrt{2}$ 的整数部分为 1 , 小数部分可用 $\sqrt{2}-1$ 表示; 再如, -2.6 的整数部分为 -3 , 小数部分为 $|-2.6-(-3)|=$ 0.4 . 由此我们得到一个真命题: 如果 $\sqrt{2}=x+y$, 其中 $x$ 是整数, 且 $0<y<1$, 那么 $x=$

1, $y=\sqrt{2}-1$.

（1）如果 $\sqrt{7}=a+b$, 其中 $a$ 是整数, 且 $0<b<1$, 那么 $a=$ $b=$ \$ \qquad \$ \$ \qquad \$ ; ,

（2）如果 $-\sqrt{7}=c+d$, 其中 $c$ 是整数, 且 $0<d<1$, 那么 $c=$ $d=$ \$ \qquad \$ ;

（3）已知 $3+\sqrt{7}=m+n$, 其中 $m$ 是整数, 且 $0<n<1$, 求 $|m-n|$ 的值;

度量几何学


Answer:
(1) 解: 小正方形的边长 $=\sqrt{6}$.
$\because 4<6<9, \quad \therefore 2<\sqrt{6}<3, \quad \therefore$ 小正方形的边长在 2 和 3 之间.

(2) 解: 大正方形的边长 $=\sqrt{9}=3$, 小正方形的边长 $=\sqrt{6}$,

所以阴影部分的面积 $=(3-\sqrt{6}) \times \sqrt{6}=3 \sqrt{6}-6$.

Question:
如图, 长方形内两个相邻正方形的面积分别为 6 和 9 .

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(1) 小正方形的边长在哪两个连续的整数之间? 并说明理由;

(2) 求阴影部分的面积.

度量几何学

(1) 解: 小正方形的边长 $=\sqrt{6}$.
$\because 4<6<9, \quad \therefore 2<\sqrt{6}<3, \quad \therefore$ 小正方形的边长在 2 和 3 之间.

(2) 解: 大正方形的边长 $=\sqrt{9}=3$, 小正方形的边长 $=\sqrt{6}$,

所以阴影部分的面积 $=(3-\sqrt{6}) \times \sqrt{6}=3 \sqrt{6}-6$.


Answer:
(1) $-7 ;-\mathrm{m}$

(2) $2 ; 27 ;(2-m)$

(3) A: $\frac{m+n}{2} ;(\mathrm{m}+\mathrm{n}) ;$ B: $\frac{m+n}{2} ;(\mathrm{m}+\mathrm{n}-\mathrm{p})$

Question:
综合与实践一一探究数轴中的问题

问题情境: 活动课上，同学们将如图所示的数轴进行对折，探究其中的数学问题.

<ImageHere>

(1) 操作思考:

勤学小组的对折方案是: 使表示 -5 的点与表示 5 的点重合.

(1)对折后数轴上表示 7 的点与表示 \$ \qquad \$的点重合;

(2)对折后数轴上表示有理数 $m$ 的点与表示 \$ \qquad \$的点重合 (用含 $m$ 的式子表示);

（2）善思小组的对折方案是: 使表示- 5 的点与表示 7 的点重合.

(1)对折后数轴上表示 \$ \qquad \$的点与原点重合; 对折后表示- 25 的点与表示 \$ \qquad \$的点重合;

(2)对折后数轴上表示有理数 $m$ 的点与表示 \$ \qquad \$的点重合 (用含 $m$ 的式子表示);

(3) 拓展探究:
好问小组的对折方案是: 使表示有理数 $m$ 的点与表示有理数 $n$ 的点重合 (其中 $m<n$ ).请从下面 A, B 两题中任选一题作答. 我选择 \$ \qquad \$题

A.(1)对折后数轴上表示有理数 $m$ 的点到对折点的距离为 \$ \qquad \$ (用含 $m, n$ 的式子表示);

(2)对折后数轴上原点与表示 \$ \qquad \$的点重合 (用含 $m, n$ 的式子表示).

B.(1) 该数轴对折点表示的有理数为 \$ \qquad \$ (用含 $m, n$ 的式子表示);

(2)对折后数轴上表示有理数 $p$ 的点与表示 \$ \qquad \$的点重合 (用含 $m, n, p$ 的式子表示).

度量几何学

(1) (1) $\because$ 对折后, 表示 -5 的点与表示 5 的点重合,

$\therefore$ 对折点所表示的数为 $\frac{-5+5}{2}=0$,

$\therefore$ 对折后数轴上表示 7 的点与表示 -7 的点重合,

故答案为: -7; (2) 由 (1) (1)可知, 对折点所表示的数为 0 ,

则对折后数轴上表示有理数 $m$ 的点与表示 $-m$ 的点重合,

故答案为: $-m$; (2) (1) $\because$ 对折后, 表示 -5 的点与表示 7 的点重合,

$\therefore$ 对折点所表示的数为 $\frac{-5+7}{2}=1$,

设对折后数轴上表示 $a$ 的点与原点重合,

则 $\frac{a+0}{2}=1$,

解得 $a=2$,

设对折后表示- 25 的点与表示 $b$ 的点重合,

则 $\frac{-25+b}{2}=1$,

解得 $b=27$,

故答案为: 2, 27; (2) 设对折后数轴上表示有理数 $m$ 的点与表示 $x$ 的点重合,

则 $\frac{m+x}{2}=1$,

解得 $x=2-m$,

故答案为: $(2-m)$; (3) 解: A. (1) $\because$ 表示有理数 $m$ 的点与表示有理数 $n$ 的点重合,
$\therefore$ 对折点所表示的数为 $\frac{m+n}{2}$,

$\therefore$ 对折后数轴上表示有理数 $m$ 的点到对折点的距离为 $\frac{m+n}{2}-m=\frac{n-m}{2}$,

故答案为: $\frac{n-m}{2} ;$

(2)设对折后数轴上原点与表示 $y$ 的点重合,

则 $\frac{0+y}{2}=\frac{m+n}{2}$,

解得 $y=m+n$,

故答案为: $(m+n)$;

B. (1) $\because$ 表示有理数 $m$ 的点与表示有理数 $n$ 的点重合,

$\therefore$ 对折点所表示的数为 $\frac{m+n}{2}$,

故答案为: $\frac{m+n}{2} ;$

(2)设对折后数轴上表示有理数 $p$ 的点与表示 $z$ 的点重合,

则 $\frac{p+z}{2}=\frac{m+n}{2}$,

解得 $z=m+n-p$,

故答案为: $(m+n-p)$.

##


Answer:
(1) $\mathrm{t} ; 36-\mathrm{t}$

(2) 解: (1) $\mathrm{BC}$ 的长度: $10-(-10)=20$,

点 $\mathrm{P}$ 运动到点 $\mathrm{C}$ 的时间: $20 \div 1=20$,

$\mathrm{AC}$ 的长度: $10-(-26)=36$,

$\therefore \mathrm{P} 、 \mathrm{Q}$ 两点的距离: $3 \times 20-36=24$;

(2) $\mathrm{Q}$ 返回前相遇: $3(\mathrm{t}-16)=\mathrm{t}$,

解得: $\mathrm{t}=24$;

$\mathrm{Q}$ 返回后相遇: $3(\mathrm{t}-16)+\mathrm{t}=36 \times 2$,

解得: $\mathrm{t}=30$.

综上所述, $\mathrm{t}$ 的值是 24 或 30 .

Question:
已知数轴上有 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B} 、 \mathrm{C}$ 三点, 分别表示有理数 $-26,-10,10$, 动点 $\mathrm{P}$ 从 $\mathrm{A}$ 出发, 以每秒 1 个单位的速度向终点 $\mathrm{C}$ 移动, 设点 $\mathrm{P}$ 移动时间为 $\mathrm{t}$ 秒.

<ImageHere>

(1) 用含 $\mathrm{t}$ 的代数式表示 $\mathrm{P}$ 到点 $\mathrm{A}$ 和点 $\mathrm{C}$ 的距离: $\mathrm{PA}=$ \$ \qquad \$ , $\mathrm{PC}=$ \$ \qquad \$ —.

(2) 当点 $P$ 运动到 $B$ 点时, 点 $Q$ 从 $A$ 点出发, 以每秒 3 个单位的速度向 $C$ 点运动, $Q$ 点到达 $C$点后, 再立即以同样的速度返回, 当点 $\mathrm{P}$ 运动到点 $\mathrm{C}$ 时, $\mathrm{P} 、 \mathrm{Q}$ 两点运动停止,

(1) 当 $P 、 Q$ 两点运动停止时, 求点 $P$ 和点 $Q$ 的距离;

(2)求当 $t$ 为何值时 $P 、 Q$ 两点恰好在途中相遇.

度量几何学

) $\mathrm{PA}=\mathrm{t}, \mathrm{PC}=36-\mathrm{t}$;
故答案是: $t ; 36-t ;$

21 世纪教育网 (www.21cnjy.com)


Answer:
(1) 解：到点 $A 、$ 、点 $B$ 的距离相等的点位于 $A 、 B$ 的中点, 即 $x=1$ 的点

(2) 解: 若 $\mathrm{P}$ 向数轴负方向运动,

使 $\mathrm{PB}=3 \mathrm{AB}, \mathrm{AB}=4$

则 $\mathrm{PB}=12$

所以 $\mathrm{P}$ 点对应的数是 $3-12=-9$,
从原点到- 9 对应点的距离是 $9, \mathrm{P}$ 移动的速度是 3 个单位 $/ \mathrm{s}$

所以到达- 9 处需要时间 $=9 \div 3=3 s$;

若 $\mathrm{P}$ 向数轴正方向运动,

使 $\mathrm{PB}=3 \mathrm{AB}, \mathrm{AB}=4$

则 $\mathrm{PB}=12$

所以 $\mathrm{P}$ 点对应的数是 $3+12=15$

从原点到 15 对应点的距离是 $15, \mathrm{P}$ 移动的速度是 3 个单位 $/ \mathrm{s}$

所以到达 15 处需要时间 $=15 \div 3=5 s$.

综上, 当以数轴负向运动时, 3 秒后可使 $\mathrm{PB}=3 \mathrm{AB}$; 当以数轴正向运动时, 5 秒后可使 $\mathrm{PB}=3 \mathrm{AB}$

(3) 解: 由题可得, 要找出与 $A 、 B$ 两点距离之和为 6 的点, 因为 $A B=4$, 所以必定在线段 $A B$ 两侧

在线段 $\mathrm{AB}$ 右侧的点为 $\mathrm{x}=4$ 的点, 与 $\mathrm{B}$ 距离为 1 , 与 $\mathrm{A}$ 距离为 5 ;

在线段 $A B$ 左侧的点为 $x=-2$ 的点, 与 $A$ 距离为 1 , 与 $B$ 距离为 5

Question:
已知数轴上两点 $A 、 B$ 对应的数分别为 $-1 、 3$, 点 $\mathrm{P}$ 为数轴上一动点, 其对应的数为 $\mathrm{x}$.

<ImageHere>

(1) 如果点 $\mathrm{P}$ 到点 A、点 $\mathrm{B}$ 的距离相等, 直接写出 $\mathrm{x}$ 的值;

(2) 当点 $\mathrm{P}$ 以每秒 3 个单位长的速度从数轴的原点出发, 几秒后可使 $\mathrm{PB}=3 \mathrm{AB}$ ?

(3) 利用数轴, 根据绝对值的几何意义, 找出满足 $|x+1|+|x-3|=6$ 的所有 $x$ 的值.

解析几何

(1) 解：到点 $A 、$ 、点 $B$ 的距离相等的点位于 $A 、 B$ 的中点, 即 $x=1$ 的点

(2) 解: 若 $\mathrm{P}$ 向数轴负方向运动,

使 $\mathrm{PB}=3 \mathrm{AB}, \mathrm{AB}=4$

则 $\mathrm{PB}=12$

所以 $\mathrm{P}$ 点对应的数是 $3-12=-9$,
从原点到- 9 对应点的距离是 $9, \mathrm{P}$ 移动的速度是 3 个单位 $/ \mathrm{s}$

所以到达- 9 处需要时间 $=9 \div 3=3 s$;

若 $\mathrm{P}$ 向数轴正方向运动,

使 $\mathrm{PB}=3 \mathrm{AB}, \mathrm{AB}=4$

则 $\mathrm{PB}=12$

所以 $\mathrm{P}$ 点对应的数是 $3+12=15$

从原点到 15 对应点的距离是 $15, \mathrm{P}$ 移动的速度是 3 个单位 $/ \mathrm{s}$

所以到达 15 处需要时间 $=15 \div 3=5 s$.

综上, 当以数轴负向运动时, 3 秒后可使 $\mathrm{PB}=3 \mathrm{AB}$; 当以数轴正向运动时, 5 秒后可使 $\mathrm{PB}=3 \mathrm{AB}$

(3) 解: 由题可得, 要找出与 $A 、 B$ 两点距离之和为 6 的点, 因为 $A B=4$, 所以必定在线段 $A B$ 两侧

在线段 $\mathrm{AB}$ 右侧的点为 $\mathrm{x}=4$ 的点, 与 $\mathrm{B}$ 距离为 1 , 与 $\mathrm{A}$ 距离为 5 ;

在线段 $A B$ 左侧的点为 $x=-2$ 的点, 与 $A$ 距离为 1 , 与 $B$ 距离为 5


Answer: (1) $\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ} \quad \angle \mathrm{DAB}=\angle \mathrm{COB} \quad$ (2) $\mathrm{AD}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

Question:
(本题 6 分) 如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $B C$ 是 $\odot O$ 的切线, $D$ 是 $\odot O$ 上一点, 且 $A D / /$ $O C$

(1) 求证: $\triangle A D B \backsim \triangle O B C \quad$ (2) 若 $A B=2, B C=\sqrt{5}$, 求 $A D$ 的长 (结果保留根号)

<ImageHere>

解析几何

(1) $\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ} \quad \angle \mathrm{DAB}=\angle \mathrm{COB} \quad$ (2) $\mathrm{AD}=\frac{\sqrt{6}}{3}$


Answer: (1) $A(4,0)\left[(6,3)=(2) \frac{35}{6} s\right.$ 或 $\frac{85}{6} s$ (3) $\frac{20}{3} s$

Question:
(本题 10 分) 如图, 已知直线 $l$ 的解析式为 $\mathrm{y}=\frac{3}{4} \mathrm{x}-3$, 且与 $\mathrm{x}$ 轴、 $\mathrm{y}$ 轴分别交于点 $A, B$.

(1)求 $A, B$ 两点的坐标;

(2)一个圆心在坐标原点、半径为 1 的圆, 以 $\frac{2}{5}$ 个单位/秒的速度向 $x$ 轴正方向运动,问在什么时刻圆与直线 $l$ 相切?

(3)在题 (2) 中, 若在圆开始运动的同时, 一动点 $P$ 从 $B$ 点出发, 沿 $B A$ 方向以 $\frac{1}{2}$ 个单位/秒的速度运动, 问: 在整个运动过程中, 点 $P$ 在动圆的圆面上 (包括圆上和圆内部) 一共运动了多长时间?

解析几何


Answer:
(1) 解: 大正方形的边长是 $\sqrt{2 \times(15 \sqrt{2})^{2}}=30(\mathrm{~cm})$

(2) 解: 设长方形纸片的长为 $4 \mathrm{xcm}$, 宽为 $3 \mathrm{xcm}$, 则 $4 \mathrm{x} \cdot 3 \mathrm{x}=720$, 解得: $\mathrm{x}=\sqrt{60}, 4 \mathrm{x}=$ $\sqrt{4 \times 4 \times 60}=\sqrt{960}>30$, 所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形, 不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为 $4: 3$, 且面积为 $720 \mathrm{~cm}^{2}$

Question:
如图, 用两个边长为 $15 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$ 的小正方形拼成一个大的正方形.

<ImageHere>

(1) 求大正方形的边长?

(2) 若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形, 能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为 4: 3 且面积
为 $720 \mathrm{~cm}^{2}$.若能, 试求出剪出的长方形纸片的长与宽; 若不能, 试说明理由?

解析几何

(1) 解: 大正方形的边长是 $\sqrt{2 \times(15 \sqrt{2})^{2}}=30(\mathrm{~cm})$

(2) 解: 设长方形纸片的长为 $4 \mathrm{xcm}$, 宽为 $3 \mathrm{xcm}$, 则 $4 \mathrm{x} \cdot 3 \mathrm{x}=720$, 解得: $\mathrm{x}=\sqrt{60}, 4 \mathrm{x}=$ $\sqrt{4 \times 4 \times 60}=\sqrt{960}>30$, 所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形, 不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为 $4: 3$, 且面积为 $720 \mathrm{~cm}^{2}$


Answer:
(1) 解：若设图中最大正方形 $\mathrm{B}$ 的边长是 $\mathrm{x}$ 米, 最小的正方形的边长是 1 米.

$\therefore \mathrm{F}$ 的边长为: $(\mathrm{x}-1)$ 米,

$\therefore \mathrm{C}$ 的边长为: $\frac{x+1}{2}$ 米,

$\therefore \mathrm{E}$ 的边长为: $\mathrm{x}-1-1=(\mathrm{x}-2)$ 米;

(2) 解: $\because \mathrm{MQ}=\mathrm{PN}$,

$\therefore \mathrm{x}-1+\mathrm{x}-2=\mathrm{x}+\frac{x+1}{2}$,

解得: $x=7$,

$\therefore \mathrm{x}$ 的值为 7 ;

(3) 解: 设余下的工程由乙队单独施工, 还要 $\mathrm{x}$ 天完成.

$\therefore\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}\right) \times 2+\frac{1}{15} \mathrm{x}=1$,
解得: $x=10$.

答: 余下的工程由乙队单独施工, 还要 10 天完成.

Question:
如图是某市民健身广场的平面示意图, 它是由 6 个正方形拼成的长方形, 已知中间最小的正方形 $A$ 的边长是 1 米;

<ImageHere>

（1）若设图中最大正方形 $B$ 的边长是 $x$ 米, 请用含 $x$ 的代数式分别表示出正方形 $F 、 E 、 C$的边长

(2) 观察图形的特点可知, 长方形相对的两边是相等的(即 $M N=P Q, \quad M Q=P N$ ) 请根据以上结论, 求出 $x$ 的值

（3）现沿着长方形广场的四条边铺设下水管道，由甲、乙工程队单独铺设分别需要 10 天、 15 天完成, 如果两队从同一位置开始, 沿相反的方向同时施工 2 天后, 因甲队另有任务, 余下的工程由乙队单独施工，还要多少天完成?

解析几何

(1) 若设图中最大正方形 $\mathrm{B}$ 的边长是 $\mathrm{x}$ 米, 最小的正方形的边长是 1 米, 从图中可看出 $\mathrm{F}$的边长为 ( $\mathrm{x}-1$ ) 米, $\mathrm{C}$ 的边长为 $\frac{x+1}{2}, \mathrm{E}$ 的边长为 ( $\mathrm{x}-1-1$ ), 即可得到答案; (2) 根据长方形相对的两边是相等的 (如图中的 $\mathrm{MN}$ 和 PQ). 请根据这个等量关系, 求出 $\mathrm{x}$ 的值; (3) 根据工作效率 $\times$ 工作时间 $=$ 工作量这个等量关系且完成工作, 工作量就为 1, 可列方程求解.


Answer:
解：(1) $\pm 2$ 是 4 的平方根, 3 是 27 的立方根,

$\therefore a=4, b=3$

(2) $\because A B / / O N$,

$\therefore \angle B A O+\angle A O N=180^{\circ}$,

$\because$ 点 $Q$ 是 $\angle B A N$ 的平分线与 $\angle P O N$ 的平分线的交点,
$\therefore \angle B A Q=\frac{1}{2} \angle B A N, \quad \angle Q O N=\frac{1}{2} \angle P O N$,

$\therefore \angle B A Q+\angle Q O N=\frac{1}{2}(\angle B A N+\angle P O N)=40^{\circ}$,

$\therefore \angle Q A O+\angle Q O A=140^{\circ}$,

$\therefore \angle A Q O=180^{\circ}-140^{\circ}=40^{\circ}$;

(3)设线段 $B C$ 运动时间为 $t$ ，

$\because A B / / M N$,

$\therefore$ 当 $A C^{\prime}=O N^{\prime}$ 时, 四边形 $A O N^{\prime} C^{\prime}$ 是平行四边形,

$\therefore N^{\prime} C^{\prime} / / y$ 轴,

当点 $C$ 在点 $B$ 的右边时, $A C^{\prime}=2+1+t, O N^{\prime}=6-2 t$,

由题意得, $2+1+t=6-2 t$,

解得, $t=1$,

点 $B^{\prime}$ 的坐标为 $(3,0) 、 M^{\prime}$ 的坐标为 $(-1,0)$,

当点 $C$ 在点 $B$ 的左边时, $A C^{\prime}=t-1, O N^{\prime}=2 t-6$,

由题意得, $t-1=2 t-6$,

解得, $t=5$,

点 $B^{\prime}$ 的坐标为 $(-3,0) 、 M^{\prime}$ 的坐标为 $(-9,0)$,

则点 $B^{\prime} 、 M^{\prime}$ 的坐标为 $(-3,4) 、(-9,0)$ 或 $(3,4) 、(-1,0) .$.

Question:
(本小题8.0分)

在平面直角坐标系中有四个点 $A(0, a) 、 B(b-1, a) 、 M(b-2,0) 、 N(a+b-1,0)$ 且 $\pm 2$ 是 $a$ 的平方根, $b$ 是 27 的立方根.

(1)求 $a, b$ 的值;

(2) 设点 $P$ 是线段 $A N$ 上任意一点, 点 $Q$ 是 $\angle B A N$ 的平分线与 $\angle P O N$ 的平分线的交点, 若 $\angle B A N+$ $\angle P O N=80^{\circ}$, 求 $\angle A Q O$ 的度数;

(3) 已知点 $C$ 在直线 $A B$ 上, 且 $B C=1$.线段 $B C$ 以每秒 1 个单位长度的速度在直线 $A B$ 上沿射线 $B C$方向运动, 同时线段 $M N$ 以每秒 2 个单位长度的速度沿 $x$ 轴向左运动. 在运动过程中, 点 $B^{\prime} 、 C^{\prime} 、$ $M^{\prime} 、 N^{\prime}$ 分别是点 $B 、 C 、 M 、 N$ 的对应点, 连接 $N^{\prime} C^{\prime}$, 当 $N^{\prime} C^{\prime}$ 平行于 $y$ 轴时, 求点 $B^{\prime} 、 M^{\prime}$ 的坐标.
<ImageHere>

备用图

解析几何

(1)根据平方根的定义、立方根的定义分别求出 $a 、 b$;

(2)根据平行线的性质得到 $\angle B A O+\angle A O N=180^{\circ}$, 根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可;

(3)根据平行四边形的判定和性质得到当 $A C^{\prime}=O N^{\prime}$ 时, 四边形 $A O N^{\prime} C^{\prime}$ 是平行四边形, $N^{\prime} C^{\prime} / / y$ 轴,分点 $C$ 在点 $B$ 的右边、点 $C$ 在点 $B$ 的左边两种情况列式计算即可.

本题考查的是平方根、立方根的定义、角平分线的定义、三角形内角和定理, 掌握相关的判定定理和性质定理、定义是解题的关键.


Answer:
(1) $\frac{1}{3} ; \frac{1}{25}$

（2）解：因为 $x>0$,

所以 $x<2 x$,

$\because 2^{x} \div 2^{2 x}=\frac{1}{2^{x}}$

$\because \frac{1}{8}=\frac{1}{2^{3}}$,

所以 $x=3$,

(3) $5 、 3 、 1$

Question:
本学期我们学习了 “有理数乘方” 运算, 知道乘方的结果叫做“幂”, 下面介绍一种有关“幂”的新运算.

定义: $a^{m}$ 与 $a^{n}(a \neq 0, m, n$ 都是正整数 $)$ 叫做同底数幂, 同底数幂除法记作 $a^{m} \div$ $a^{n}$.运算法则如下: $a^{m} \div a^{n}=\left\{\begin{array}{c}\text { 当 } m>n \text { 时, } a^{m} \div a^{n}=a^{m-n} \\ \text { 当 } m=n \text { 时, } a^{m} \div a^{n}=1 \\ \text { 当 } m<n \text { 时, } a^{m} \div a^{n}=\frac{1}{a^{n-m}}\end{array}\right.$根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题:

(1) 填空: $\left(\frac{1}{3}\right)^{3} \div\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=$ \$ \qquad \$ $5^{2} \div 5^{4}=$ \$ \qquad \$ ;

(2) 如果 $x>0$, 且 $2^{x} \div 2^{2 x}=\frac{1}{8}$, 求出 $x$ 的值;

(3) 如果 $(x-2)^{2 x+2} \div(x-2)^{12}=1$, 则 $x=$ \$ \qquad \$ .

代数


Answer:
解:（1）把 $a=-2$ 代入不等式得

$-2 x+3>0$

解得 $x<\frac{3}{2}$.

<ImageHere>

(2) $\because a x+3>0(a \neq 0)$ 的解集为 $x<-\frac{3}{a}$,

若要使不等式没有正整数解, 则 $-\frac{3}{a} \leq 1$, 即 $a \leq-3$,

$\therefore$ 在这 10 个数中，能使不等式没有正整数解的 a 的值有 $-10,-9,-8,-7,-6$, $-5,-4,-3$ 共 8 个

$\therefore$ 该不等式没有正整数解的概率为 $\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$.

Question:
(8 分) 已知关于 $x$ 的不等式 $a x+3>0$ （其中 $a \neq 0$ ).

（1）当 $a=-2$ 时, 求此不等式的解, 并在数轴上表示此不等式的解集;

（2）小明准备了十张形状、大小完全相同的不透明卡片, 上面分别写有整数: $-10,-9$, $-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1$, 将这 10 张卡片写有整数的一面向下放在桌面上. 从中任意抽取一张, 以卡片上的数作为不等式中的系数 a, 求使该不等式没有正整数解的概率.

代数

解:（1）把 $a=-2$ 代入不等式得

$-2 x+3>0$

解得 $x<\frac{3}{2}$.

<ImageHere>

(2) $\because a x+3>0(a \neq 0)$ 的解集为 $x<-\frac{3}{a}$,

若要使不等式没有正整数解, 则 $-\frac{3}{a} \leq 1$, 即 $a \leq-3$,

$\therefore$ 在这 10 个数中，能使不等式没有正整数解的 a 的值有 $-10,-9,-8,-7,-6$, $-5,-4,-3$ 共 8 个

$\therefore$ 该不等式没有正整数解的概率为 $\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$.


Answer:
解: $\sqrt{4}=2, \sqrt[3]{27}=3$,

正整数 $\{(3) \sqrt{4},(9) \sqrt[3]{27} \ldots \ldots\} ;$

负分数 $\left\{\right.$ (2) $-\frac{17}{15}$, (8) $\left.-3.1 \ldots ..\right\}$;

无理数 $\{1) \sqrt[3]{2}$, (5) $-\sqrt{0.9}$, ( 7 ) $\left.-\frac{\pi}{4} \cdots \cdots\right\}$.

Question:
用序号将下列各数填入相应的大括号内.
$(1) \sqrt[3]{2}$,
(2) $-\frac{17}{15}$,
(3) $\sqrt{4}$,
(4) 0 ,
(5) $-\sqrt{0.9}$,
(6) 3.14, (7) $-\frac{\pi}{4}$,
(8) -3.1, (9) $\sqrt[3]{27}$

正整数 \{

负分数 \{

\$.

无理数\{

代数


Answer:
解: $\because 4<5<9,36<37<49$,

$\therefore 2<\sqrt{5}<3,6<\sqrt{37}<7$,

$\therefore \mathrm{a}=\sqrt{5}-2, \mathrm{~b}=6$,

$\therefore \mathrm{a}+\mathrm{b}-\sqrt{5}=\sqrt{5}-2+6-\sqrt{5}=4$.

Question: 数学老师在课堂上提出一个问题: “通过探究知道: $\sqrt{2}=1.414 \ldots$, 它是个无限不循环小数, 也叫无理数, 它的整数部分是 1 , 那么有谁能说出它的小数部分是多少? ”小明举手回答: “它的小数部分我们无法全部写出来, 但可以用 $\sqrt{2}-1$ 来表示它的小数部分.”张老师肯定了他的说法.现请你根据小明的说法解答: 若 $\sqrt{5}$ 的小数部分是 $\mathrm{a}, \sqrt{37}$ 的整数部分是 $\mathrm{b}$, 求 $\mathrm{a}+\mathrm{b}-\sqrt{5}$ 的值.

代数


Answer:
(1) 解: $\therefore \sqrt{16}<\sqrt{17}<\sqrt{25}$ ，

$\therefore 4<\sqrt{17}<5$,

$\therefore 1<\sqrt{17}-3<2$,

$\therefore \mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=\sqrt{17}-4$

(2) 解: $(-a)^{3}+(b+4)^{2}=(-1)^{3}+(\sqrt{17}-4+4)^{2}=-1+17=16$,

$\therefore(-a)^{3}+(b+4)^{2}$ 的平方根是 $\pm \sqrt{16}= \pm 4$.

Question:
阅读理解.

$\because \sqrt{4}<\sqrt{5}<\sqrt{9}$ 即 $2<\sqrt{5}<3$

$$
\therefore 1<\sqrt{5}-1<2
$$

$\therefore \sqrt{5}-1$ 的整数部分为 1,

$\therefore \sqrt{5}-1$ 的小数部分为 $\sqrt{5}-2$

解决问题: 已知 $a$ 是 $\sqrt{17}-3$ 的整数部分, $b$ 是 $\sqrt{17}-3$ 的小数部分.

(1) 求 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 的值;

(2) 求 $(-a)^{3}+(b+4)^{2}$ 的平方根, 提示: $(\sqrt{17})^{2}=17$.

代数


Answer:
1)<;<$

(2) $\sqrt{2}-1 ; \sqrt{3}-\sqrt{2}$

(3) 解: 原式 $=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\ldots+\sqrt{2021}-\sqrt{2020}=\sqrt{2020}-1$

Question:
(1) 用“<”“"或“=”填空: 1 \$ \qquad \$ $\sqrt{2}, \sqrt{2}$ $\sqrt{3} ;$

(2) 由以上可知:

(1) $|1-\sqrt{2}|=$ \$ \qquad \$ (2) $|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=$ \$ \qquad \$
(3) 计算: $|1-\sqrt{2}+| \sqrt{2}-\sqrt{3}|+| \sqrt{3}-\sqrt{4}|+\ldots+| \sqrt{2020}-\sqrt{2021} \mid$ (结果保留根号).

代数


Answer:
解: $|1-n|=2, n=-1$ 或 3 ,

$\because \mathrm{m}^{2}=25, \quad \therefore \mathrm{m}= \pm 5$,

$\because \mathrm{m}<\mathrm{n}, \quad \therefore \mathrm{m}=-5$,

$\therefore \mathrm{m}-\mathrm{n}=-4$ 或 -8 .

Question: 已知 $m^{2}=25,|1-n|=2$, 且 $m<n$, 求 $m-n$ 的值. $<n$, 求 $m-n$ 的值.

代数

解: $|1-n|=2, n=-1$ 或 3 ,

$\because \mathrm{m}^{2}=25, \quad \therefore \mathrm{m}= \pm 5$,

$\because \mathrm{m}<\mathrm{n}, \quad \therefore \mathrm{m}=-5$,

$\therefore \mathrm{m}-\mathrm{n}=-4$ 或 -8 .


Answer:
(1) 解: 当 $\mathrm{t}=16$ 时, $\mathrm{d}=7 \sqrt{t-12}=7 \times 2=14(\mathrm{~cm})$.

所以冰川消失 16 年后苔藓的直径约为 $14 \mathrm{~cm}$.

(2) 解: 当 $\mathrm{d}=35$ 时, $\sqrt{t-12}=5$, 即 $\mathrm{t}-12=25$, 解得 $\mathrm{t}=37$.所以冰川约是在 37 年前消失的.

Question:
全球气候变暖导致一些冰川融化并消失. 在冰川消失 12 年后, 一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长. 每一个苔藓都会长成近似圆形的形状, 苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式: $\mathrm{d}=7 \sqrt{t-12} （ t \geq 12)$, 其中 $\mathrm{d}$ 代表苔藓的直径, 单位是厘米; $\mathrm{t}$ 代表冰川消失的时间, 单位是年.

(1) 冰川消失 16 年后苔藓的直径约是多少?

（2）如果测得一些苔藓的直径是 35 厘米, 那么冰川约是在多少年前消失的?

代数

(1) 解: 当 $\mathrm{t}=16$ 时, $\mathrm{d}=7 \sqrt{t-12}=7 \times 2=14(\mathrm{~cm})$.

所以冰川消失 16 年后苔藓的直径约为 $14 \mathrm{~cm}$.

(2) 解: 当 $\mathrm{d}=35$ 时, $\sqrt{t-12}=5$, 即 $\mathrm{t}-12=25$, 解得 $\mathrm{t}=37$.所以冰川约是在 37 年前消失的.


Answer:
(1) 原式 $=-2 x^{2}-4 x y+2-x^{2}-4 x y=-3 x^{2}-8 x y+2$;

(2) 原式 $=3 a^{2}+3 a b^{2}-a b-3 a b^{2}=3 a^{2}-a b$,当 $a=2, b=-\frac{1}{2}$ 时,原式 $=3 \times 2^{2}-2 \times\left(-\frac{1}{2}\right)=13$.

Question:
(1) 化简: $-2\left(x^{2}+2 x y-1\right)-\left(x^{2}+4 x y\right)$

（2）先化简，再求值: $3\left(a^{2}+a b^{2}\right)-\left(a b+3 a b^{2}\right)$ ，其中 $a=2, b=-\frac{1}{2}$

代数


Answer:
(1) 解: $\because A=2 x^{2}+3 x y-2 x-1, B=x^{2}-x y-1$,

$\therefore 4 \mathrm{~A}-(2 \mathrm{~B}+3 \mathrm{~A})=\mathrm{A}-2 \mathrm{~B}=2 \mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{xy}-2 \mathrm{x}-1-2\left(\mathrm{x}^{2}-\mathrm{xy}-1\right)=5 \mathrm{xy}-2 \mathrm{x}+1$

(2) 解: 根据 (1) 得 $4 A-(2 B+3 A)=5 x y-2 x+1$;

$\because 4 \mathrm{~A}-(2 \mathrm{~B}+3 \mathrm{~A})$ 的值与字母 $\mathrm{x}$ 的取值无关,

$\therefore 4 A-(2 B+3 A)=5 x y-2 x+1=(5 y-2) x+1$,

$5 \mathrm{y}-2=0$, 则 $\mathrm{y}=\frac{2}{5}$.

则 $\mathrm{y}^{3}+\frac{7}{125}$ A- $\frac{14}{125} \quad B=y^{3}+\frac{7}{125} \quad(A-2 B)=y^{3}+\frac{7}{125} \times 1=\frac{8}{125}+\frac{7}{125}=\frac{15}{125}=\frac{3}{25}$.

Question:
已知 $\mathrm{A}=2 \mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{xy}-2 \mathrm{x}-1, \mathrm{~B}=\mathrm{x}^{2}-\mathrm{xy}-1$.

（1）化简: $4 \mathrm{~A}-（ 2 \mathrm{~B}+3 \mathrm{~A})$ ，将结果用含有 $\mathrm{x} 、 \mathrm{y}$ 的式子表示;

(2) 若式子 $4 \mathrm{~A}-(2 \mathrm{~B}+3 \mathrm{~A})$ 的值与字母 $\mathrm{x}$ 的取值无关, 求 $\mathrm{y}^{3}+\frac{7}{125} \mathrm{~A}-\frac{14}{125} \mathrm{~B}$ 的值.

代数


Answer:
(1) 解: 将 $\mathrm{A}=\mathrm{a}^{2}-2 \mathrm{ab}+\mathrm{b}^{2}, \mathrm{~B}=\mathrm{a}^{2}+2 \mathrm{ab}+\mathrm{b}^{2}$ 代入 $\frac{1}{4}(B-A)$ 中原式 $=\frac{1}{4}\left[a^{2}+2 a b+b^{2}-\left(a^{2}-2 a b+b^{2}\right)\right]=a b$

(2) 解: $\because 2 \mathrm{~A}+\mathrm{C}$ 与 $-3 \mathrm{~B}$ 互为相反数

$$
\begin{gathered}
\therefore 2 A+C=3 B \\
2 \times\left(a^{2}-2 a b+b^{2}\right)+C=3 \times\left(a^{2}+2 a b+b^{2}\right) \\
2 a^{2}-4 a b+2 b^{2}+C=3 a^{2}+6 a b+3 b^{2} \\
C=a^{2}+10 a b+b^{2}
\end{gathered}
$$

将 $\mathrm{a}=\frac{1}{2}, \mathrm{~b}=-1$ 代入 $C=a^{2}+10 a b+b^{2}$ 中

$$
C=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+10 \times \frac{1}{2} \times(-1)+(-1)^{2}=\frac{1}{4}-5+1=-\frac{15}{4}
$$

Question:
已知 $\mathrm{A}=\mathrm{a}^{2}-2 \mathrm{ab}+\mathrm{b}^{2}, \mathrm{~B}=\mathrm{a}^{2}+2 \mathrm{ab}+\mathrm{b}^{2}$.

(1) 求 $\frac{1}{4}(B-A)$;

(2) 若 $2 \mathrm{~A}+\mathrm{C}$ 与 $-3 \mathrm{~B}$ 互为相反数, $\mathrm{a}=\frac{1}{2}, \mathrm{~b}=-1$, 求 $\mathrm{C}$ 的值.

代数


Answer:
(1) $12 ;-6$

（2）根据“和幻方”每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等, 得: $2 \mathrm{x}^{2}-\mathrm{y}+3+7=8+3+(-2)$

$\therefore 2 x^{2}-y=-1$,

$\therefore 6 \mathrm{x}^{2}-3 \mathrm{y}+1=3\left(2 \mathrm{x}^{2}-\mathrm{y}\right)+1=3 \times(-1)+1=-2$

(3) $\frac{16}{9}$

Question:
材料阅读: 传说夏禹治水时, 在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟, 背上有一个很奇怪的图案, 这个图案被后人称为“洛书”, 即现在的三阶幻方。三阶幻方又叫九宫格, 它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵。三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”. 图 1 所示的是"和幻方”, 其每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等.

<ImageHere>

图1

(1) $\mathrm{a}=$ \$ \qquad \$ $\mathrm{b}=$ \$ \qquad \$ ;

(2) 计算: $6 x^{2}-3 y+1$ 的值;

（3）图 2 所示是“积幻方”，其每行、每列、每条对角线上的三个数字之积均相等，则 $\mathrm{m}^{\mathrm{n}}=$ \$ \qquad \$

代数

（1）根据“和幻方”每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等，得：

$\left\{\begin{array}{l}8+b+7=8+3+(-2) \\ a+3+b=8+3+(-2)\end{array}\right.$

$a+3+b=8+3+(-2)$

$\therefore\left\{\begin{array}{l}a=12 \\ b=-6\end{array}\right.$,

故答案为: $12 ;-6$;

（3）根据“积幻方”每行、每列、每条对角线上的三个数字之积均相等，得：

$\left\{\begin{array}{l}2 \times 2 n=(-3) \times\left(-\frac{4}{3}\right) \times 2 \\ -3 m n=(-3) \times\left(-\frac{4}{3}\right) \times 2\end{array}\right.$,

$\therefore\left\{\begin{array}{c}m=-\frac{4}{3}, \\ n=2\end{array}\right.$

$\therefore \mathrm{m}^{\mathrm{n}}=\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$,

故答案为: $\frac{16}{9}$.


Answer:
解: 原式 $=\frac{1}{2} x-2 x+\frac{2}{3} y^{2}-\frac{3}{2} x+\frac{1}{3} y^{2}$

$=-3 x+y^{2}$,

由 $(x-2)^{2}+|y-3|=0$ 得,

$x=2, y=3$,

当 $y=3, x=2$ 时,

原式 $=-3 x+y^{2}$

$$
=-3 \times 2+3^{2}
$$

$=3$.

Question: 先化简, 再求值: $\frac{1}{2} x-2\left(x-\frac{1}{3} y^{2}\right)+\left(-\frac{3}{2} x+\frac{1}{3} y^{2}\right)$, 其中 $x 、 y$ 满足 $(x-2)^{2}+|y-3|=0$.

代数


Answer:
(1) 解: $[3 @(-2)]-[(-2) \oplus(-1)]$

$$
\begin{gathered}
=\frac{3-2}{2}-\frac{-2+1}{2} \\
=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \\
=1
\end{gathered}
$$

(2) 解: $A=[3 b @(-a)]+[a \oplus(2-3 b)]$

$$
\begin{gathered}
=\frac{3 b-a}{2}+\frac{a-(2-3 b)}{2} \\
=3 b-1 \\
B=[a @(-3 b)]+[(-a) \oplus(-2-9 b)] \\
=\frac{a-3 b}{2}+\frac{-a-(-2-9 b)}{2} \\
=3 b+1
\end{gathered}
$$

则 $A+B=3 b-1+3 b+1=6 b$

Question:
定义新运算“ @ ”与“ $\oplus ": \quad a @ b=\frac{a+b}{2}, a \oplus b=\frac{a-b}{2}$

(1) 计算的值 $[3 @(-2)]-[(-2) \oplus(-1)]$;

(2) 若 $A=[3 b @(-a)]+[a \oplus(2-3 b)], \quad B=[a @(-3 b)]+[(-a) \oplus(-2-9 b)]$, 求 $A+$ $B$ 的值.

代数


Answer:
(1) 解: $A=\frac{1}{2} x-2 x+\frac{4}{3} y-\frac{1}{2} x+\frac{2}{3} y$

$=-2 x+2 y$,

当 $x=-2, y=1$ 时,

原式 $=-2 \times(-2)+2 \times 1$

$$
=4+2
$$

$=6$,

即 $A$ 的值为 6 ;

(2) 解: 由题意可得 $-2 x+2 y=6$,

则当 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=4\end{array}\right.$ 时, $-2 x+2 y=6$ 也成立,

$\therefore$ :若使求得的 $A$ 的值与 (1) 中的结果相同, 则给出的 $x, y$ 的值还能够是 $x=1, y=4$ (答案不唯一).

Question:
设 $\mathrm{A}=\frac{1}{2} x-2\left(x-\frac{2}{3} y\right)+\left(-\frac{1}{2} x+\frac{2}{3} y\right)$.

(1) 当 $\mathrm{x}=-2, \mathrm{y}=1$ 时, 求 $\mathrm{A}$ 的值;

(2) 若使求得的 $\mathrm{A}$ 的值与 (1) 中的结果相同, 则给出的 $x, y$ 的值还能够是什么?

代数


Answer:
(1) 解: $\because \mathrm{A}-\mathrm{B}=\mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}-4$,

$\therefore A=B+x^{2}+x-4=3 x^{2}-2 x+1+x^{2}+x-4$,

解得: $A=4 x^{2}-x-3$ ，

$\therefore \mathrm{A}$ 所表示的代数式为 $4 x^{2}-x-3$;

(2) 解: $\because \mathrm{A}=4 \mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}-3, \mathrm{~B}=3 \mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}+1$

$\therefore 2 A-B=2\left(4 \mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}-3\right)-\left(3 \mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}+1\right)$

$=5 \mathrm{x}^{2}-7$

当 $x=-1$ 时, 原式 $=5 \times(-1)^{2}-7=5 \times 1-7=5-7=-2$.

Question:
小刚同学由于粗心, 把“ $2 A-B$ ”看成了“ $A-B$ ”, 算出 $A-B$ 的结果为 $x^{2}+x-4$, 其中 $B=3 x^{2}-$ $2 \mathrm{x}+1$.

(1) 求 A 所表示的代数式;

(2) 若 $x=-1$, 求代数式 $2 \mathrm{~A}-\mathrm{B}$ 的值.

代数


Answer:
) 解: $(2 x-3) m+2 m^{2}-3 x=2 m x-3 m+2 m^{2}-3 x$ $=(2 m-3) x-3 m+2 m^{2}$,

$\because$ 关于 $x$ 的多项式 $(2 x-3) m+2 m^{2}-3 x$ 的值与 $x$ 的取值无关,

$\therefore 2 m-3=0$,

解得 $m=\frac{3}{2}$.

(2) 解: $\because ~ A=2 x^{2}+3 x y-2 x-1, B=-x^{2}+x y-1$,

$$
\begin{gathered}
\therefore 3 A+6 B=3\left(2 x^{2}+3 x y-2 x-1\right)+6\left(-x^{2}+x y-1\right) \\
=6 x^{2}+9 x y-6 x-3-6 x^{2}+6 x y-6 \\
=15 x y-6 x-9
\end{gathered}
$$

$=(15 y-6) x-9$,

$\because 3 A+6 B$ 的值与 $x$ 无关,

$\therefore 15 y-6=0$,

解得 $y=\frac{2}{5}$.

(3) 解: 设 $A B=x$,

由图可知, $S_{1}=a(x-3 b)=a x-3 a b, S_{2}=2 b(x-2 a)=2 b x-4 a b$,

则 $S_{1}-S_{2}=a x-3 a b-(2 b x-4 a b)$

$$
=a x-3 a b-2 b x+4 a b
$$

$=(a-2 b) x+a b$,
$\because$ 当 $A B$ 的长变化时, $S_{1}-S_{2}$ 的值始终保持不变,

$\therefore S_{1}-S_{2}$ 的值与 $x$ 的值无关,

$\therefore a-2 b=0$,

$\therefore a=2 b$.

Question:
七年级学习代数式求值时, 遇到这样一类题“代数式 $a x-y+6+3 x-5 y-1$ 的值与 $x$ 的取值无
关, 求 $a$ 的值”, 通常的解题方法是: 把 $\mathrm{x} 、 \mathrm{y}$ 看作字母, $\mathrm{a}$ 看作系数合并同类项, 因为代数式的值与 $\mathrm{x}$ 的取值无关, 所以含 $x$ 项的系数为 0 ,

即原式 $=(a+3) x-6 y+5$, 所以 $a+3=0$, 则 $a=-3$.

<ImageHere>

图1

<ImageHere>

(1) 若关于 $x$ 的多项式 $(2 x-3) m+2 m^{2}-3 x$ 的值与 $x$ 的取值无关, 求 $m$ 值;

(2) 已知 $\mathrm{A}=2 x^{2}+3 x y-2 x-1, \mathrm{~B}=-x^{2}+x y-1$; 且 $3 \mathrm{~A}+6 \mathrm{~B}$ 的值与 $x$ 无关, 求 $y$ 的值;

(3) 7 张如图 1 的小长方形, 长为 $\mathrm{a}$, 宽为 $\mathrm{b}$, 按照图 2 方式不重叠地放在大长方形 $\mathrm{ABCD}$ 内,大长方形中未被覆盖的两个部分 (图中阴影部分), 设右上角的面积为 $S_{1}$, 左下角的面积为 $S_{2}$, 当 $\mathrm{AB}$ 的长变化时, $S_{1}-S_{2}$ 的值始终保持不变, 求 $a$ 与 $b$ 的等量关系.

代数


Answer:
(1) 解: $\because A=3 b^{2}-2 a^{2}+5 a b, B=4 a b+2 b^{2}-a^{2}$, $\therefore 2 A-3 B=2\left(3 b^{2}-2 a^{2}+5 a b\right)-3\left(4 a b+2 b^{2}-a^{2}\right)=-a^{2}-2 a b ;$

(2) 解：当 $\mathrm{a}=-1, \mathrm{~b}=2$ 时, $2 \mathrm{~A}-3 \mathrm{~B}=-(-1)^{2}-2 \times(-1) \times 2=3$.

Question:
已知 $\mathrm{A}=3 b^{2}-2 a^{2}+5 a b, \mathrm{~B}=4 a b+2 b^{2}-a^{2}$

(1) 化简: $2 \mathrm{~A}-3 \mathrm{~B}$;

（2）当 $a=-1, b=2$ 时，求 $2 A-3 B$ 的值.

代数


Answer:
(1) 解：填表如下：

|  | 一等奖奖品 | 二等奖奖品 | 三等奖奖品 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 单价/元 | 20 | 15 | 10 |

| 数量 $/$ 件 | $\mathrm{x}$ | $2 x+10$ | $50-3 x$ |
| :--- | :--- | :---: | :---: |

(2) 解: $20 x+15(2 x+10)+10(50-3 x)$,

$=20 x+30 x+150+500-30 x$,

$=20 x+650 （$ 元）.

所以购买这 60 件奖品所需的总费用为 $(20 x+650)$ 元.

Question:
电影 《长津湖》真实生动地诠释了中国人民伟大的抗美援朝精神, 某校为了对学生进行爱国主义教育，开展了“爱我中华”经典诵读活动，并设立了一、二、三等奖，根据需要一共购买了 60 件奖品, 其中二等奖的奖品的件数比一等奖的奖品件数的 2 倍多 10 件, 各种奖品的单价如下表所示:

|  | 一等奖奖品 | 二等奖奖品 | 三等奖奖品 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 单价/元 | 20 | 15 | 10 |
| 数量/件 | $\mathrm{x}$ | $\underline{(1)}$ | $\underline{(2)}$ |

（1）用含 $\mathrm{x}$ 的代数式补全表格;

（2）用含 $\mathrm{x}$ 的代数式表示购买这 60 件奖品所需的总费用.

代数


Answer:
(1）当 $x=1, y=2$ 时, $(x+y)(x-y)=(1+2) \times(1-2)=-3, x^{2}-y^{2}=1^{2}-2^{2}=-3$; 当 $x=1, y=3$时, $(x+y)(x-y)=(1+3) \times(1-3)=-8, x^{2}-y^{2}=1^{2}-3^{2}=-8$; 当 $x=0, y=3$ 时, $(x+y)(x-y)=$ $(0+3) \times(0-3)=-9, x^{2}-y^{2}=0^{2}-3^{2}=-9$; 当 $x=2, y=1$ 时, $(x+y)(x-y)=(2+1) \times(2-1)=3, x^{2}-$ $y^{2}=2^{2}-1^{2}=3$; 填写表格如下:

| $x$ | 1 | 1 | 0 | 2 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $y$ | 2 | 3 | 3 | 1 |
| $(x+y)(x-y)$ | -3 | -8 | -9 | 3 |
| $x^{2}-y^{2}$ | -3 | -8 | -9 | 3 |

观察可发现: $(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}$ 。故答案为: $(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}$.

(2) 解: 由 (1) 得: $x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$,

$\therefore 2022^{2}-2021^{2}=(2022+2021) \times(2022-2021)=4043$.

Question:
填表并回答问题:

| $x$ | 1 | 1 | 0 | 2 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $y$ | 2 | 3 | 3 | 1 |
| $(x+y)(x-y)$ |  |  |  |  |
| $x^{2}-y^{2}$ |  |  |  |  |

（1）观察并填出表, 你有何发现, 将你的发现写在横线

上:

(2) 利用你发现的结果计算: $2022^{2}-2021^{2}$.

代数


Answer:
(1) (1) (2) (3)

(2) 解: $\because$ 只含有字母 $x, y$, 单项式是对称式, 且次数为 6 ,

$\therefore$ 单项式可以是: $\mathrm{x}^{3} \mathrm{y}^{3}$ (答案不唯一);

(3) 解: $\because A=a^{2} b-3 b^{2} a+\frac{4}{3} c^{2} a, B=a^{2} b-5 b^{2} a+2 c^{2} a$,

$\therefore 3 A-2 B=3\left(a^{2} b-3 b^{2} a+\frac{4}{3} c^{2} a\right)-2\left(a^{2} b-5 b^{2} a+2 c^{2} a\right)$

$=3 a^{2} b-9 b^{2} a+4 c^{2} a-2 a^{2} b+10 b^{2} a-4 c^{2} a$

$=a^{2} b+b^{2} c$,

根据对称式的定义可知, $\mathrm{a}^{2} \mathrm{~b}+\mathrm{b}^{2} \mathrm{c}$ 不是对称式,

$\therefore 3 \mathrm{~A}-2 \mathrm{~B}$ 不是对称式.

Question:
阅读下列材料, 完成相应的任务:

对称式

一个含有多个字母的代数式中, 如果任意交换两个字母的位置, 代数式的值都不变, 这样的代数式就叫做对称式.

例如: 代数式 $a b c$ 中任意两个字母交换位置, 可得到代数式 $b a c, a c b, c b a$, 因为 $a b c=$ $b a c=a c b=c b a$, 所以 $a b c$ 是对称式; 而代数式 $a-b$ 中字母 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 交换位置, 得到代数式 $b-a$, 因为 $a-b \neq b-a$, 所以 $a-b$ 不是对称式.

任务:

(1) 下列四个代数式中，是对称式的是 (填序号);
(1) $a+b+c$
(2) $a+b$;
(3) $a b$
(4) $\frac{a}{b}$.

(2) 写出一个只含有字母 $x, y$ 的单项式, 使该单项式是对称式, 且次数为 6 ;

(3) 已知 $A=a^{2} b-3 b^{2} a+\frac{4}{3} c^{2} a, B=a^{2} b-5 b^{2} a+2 c^{2} a$, 求 $3 A-2 B$, 并直接判断所得结果是否为对称式.

代数

(1) 解：根据对称式的定义可知: $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c} 、 \mathrm{a}+\mathrm{b} 、 \mathrm{ab}$ 是对称式, $\frac{a}{b}$ 不是对称式,
故答案为: (1) (2);


Answer:
(1) 是

(2) 解: 根据题中的新定义得: $\frac{1}{2}+\frac{b}{3}=\frac{1+b}{2+3}$,

去分母得： $15+10 b=6+6 b$,

解得: $b=-\frac{9}{4}$;

(3) 解: 将 $\mathrm{a}=\mathrm{m}, \mathrm{b}=\mathrm{n}$, 代入 $\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=\frac{a+b}{2+3}$ 有, $\frac{m}{2}+\frac{n}{3}=\frac{m+n}{2+3}$,

$\therefore 9 \mathrm{~m}+4 \mathrm{n}=0$,

$\therefore 4 \mathrm{n}=-9 \mathrm{~m}$,

把 $\mathrm{a}=\mathrm{m}+1, \mathrm{~b}=\mathrm{n}-\frac{9}{4}$ 代入 $\frac{a}{2}+\frac{b}{3}$ 和 $\frac{a+b}{2+3}$,

$\therefore \frac{a}{2}+\frac{b}{3}=\frac{m+1}{2}+\frac{n-\frac{9}{4}}{3}=-\frac{m+1}{4}$,

$\frac{a+b}{2+3}=\frac{m+1+n-\frac{9}{4}}{2+3}=-\frac{m+1}{4}$,

$\therefore \frac{m+1}{2}+\frac{n-\frac{9}{4}}{3}=\frac{m+1+n-\frac{9}{4}}{2+3}$,

$\therefore\left(\mathrm{m}+1, \mathrm{n}-\frac{9}{4}\right)$ 也是“双语数对”.

Question:
一般情况下 $\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=\frac{a+b}{2+3}$ 不成立, 但有些数可以使得它成立, 例如: $\mathrm{a}=\mathrm{b}=0$, 我们称使得 $\frac{a}{2}+$ $\frac{b}{3}=\frac{a+b}{2+3}$ 成立的一对数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 为“双语数对”, 记为 $(\mathrm{a}, \mathrm{b})$.

(1) 填空: $(-4,9)$ \$ \qquad \$ “双语数对” (填“是”或“否”);

(2) 若 $(1, b)$ 是“双语数对”, 求 $b$ 的值;

(3) 已知 $(m, n)$ 是“双语数对”, 试说明 $\left(m+1, n-\frac{9}{4}\right)$ 也是“双语数对”.

代数


Answer:
(1) 2027

(2) $3(a-b)-7 a+11 b+5$

$$
\begin{gathered}
=3 a-3 b-7 a+11 b+5 \\
=-4 a+8 b+5 \\
=-4(a-2 b)+5 \\
=-4 \times(-3)+5 \\
=17
\end{gathered}
$$

(3) $2 a^{2}+\frac{5}{2} a b+3 b^{2}$

$=2\left(a^{2}+2 a b\right)-\frac{3}{2}\left(a b-2 b^{2}\right)=2 \times(-5)-\frac{3}{2} \times(-3)=-10+4.5=-5.5$

Question:
有这样一道题“如果代数式 $5 a+3 b$ 的值为-4, 那么代数式 $2(a+b)+4(2 a+b)$ 的值是多少? "爱动脑筋的汤同学解题过程如下:

$$
\text { 原式 }=2 a+2 b+8 a+4 b=10 a+6 b=2(5 a+3 b)=2 \times(-4)=-8 \text {. }
$$

汤同学把 $5 a+3 b$ 作为一个整体求解整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法, 请仿照上面的解题方法，完成下面问题:

(简单应用)

(1) 已知 $a^{2}+a=3$ ，则 $2 a^{2}+2 a+2021=$

(2) 已知 $a-2 b=-3$, 求 $3(a-b)-7 a+11 b+5$ 的值;

(3)）(拓展提高）

已知 $a^{2}+2 a b=-5, a b-2 b^{2}=-3$, 求代数式 $2 a^{2}+\frac{5}{2} a b+3 b^{2}$ 的值.

代数


Answer:
(1) 解: $3 a+2 b-5 a-b$

$$
=(3-5) a+(2-1) b
$$

$=-2 a+b$,

当 $a=-2, b=1$ 时, 原式 $=-2 \times(-2)+1=5$

(2) 解: $\frac{1}{3} x-3\left(x-\frac{1}{5} y^{2}\right)+\left(-\frac{4}{3} x+\frac{2}{5} y^{2}\right)$

$$
=\frac{1}{3} x-3 x+\frac{3}{5} y^{2}-\frac{4}{3} x+\frac{2}{5} y^{2}
$$

$=-4 x+y^{2}$,

当 $x=-3, y=\frac{3}{5}$ 时,

原式 $=-4 \times(-3)+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=12+\frac{9}{25}=12 \frac{9}{25}$

Question:
先化简, 再求值.

(1) $3 a+2 b-5 a-b$ ，其中 $a=-2, b=1$ ；

(2) $\frac{1}{3} x-3\left(x-\frac{1}{5} y^{2}\right)+\left(-\frac{4}{3} x+\frac{2}{5} y^{2}\right)$, 其中 $x=-3, y=\frac{3}{5}$.

代数


Answer:
(1) 解: 由题意可知: $A=6 x^{2} y+12 x y-2 x-9+\left(3 x^{2} y-5 x y+x+7\right)$

$=6 x^{2} y+12 x y-2 x-9+3 x^{2} y-5 x y+x+7$

$=9 x^{2} y+7 x y-x-2$.

$\therefore \mathrm{A}+\mathrm{B}=9 \mathrm{x}^{2} \mathrm{y}+7 \mathrm{xy}-\mathrm{x}-2+\left(3 \mathrm{x}^{2} \mathrm{y}-5 \mathrm{xy}+\mathrm{x}+7\right)$

$=9 x^{2} y+7 x y-x-2+3 x^{2} y-5 x y+x+7$

$=12 x^{2} y+2 x y+5$

(2) 解: $A-3 B=9 x^{2} y+7 x y-x-2-3\left(3 x^{2} y-5 x y+x+7\right)$

$=9 x^{2} y+7 x y-x-2-9 x^{2} y+15 x y-3 x-21$

$=22 x y-4 x-23$

$=(22 y-4) x-23$.

$\because$ 当 $\mathrm{x}$ 取任意数值, $\mathrm{A}-3 \mathrm{~B}$ 的值是一个定值,

$\therefore 22 \mathrm{y}-4=0$.

解得: $y=\frac{2}{11}$.

故答案为 $(1) 12 x^{2} y+2 x y+5 ;(2) \frac{2}{11}$

Question:
某同学做一道数学题, 已知两个多项式 A、B, B $3 x 2 y-5 x y+x+7$, 试求 $A+B$, 这位同学把 $\mathrm{A}+\mathrm{B}$ 看成 $\mathrm{A}-\mathrm{B}$, 结果求出的答案为 $6 x 2 y+12 x y-2 x-9$.

（1）请你替这位同学求出的符合题意答案;

(2) 当 $x$ 取任意数值, $A-3 B$ 的值是一个定值, 求 $y$ 的值.

代数


Answer:
(1) 解: $\because$ 一班植树 $\mathrm{a}$ 棵,

$\therefore$ 二班植树的棵数为 $(3 a-20)$ 棵, 三班植树的棵数为 $\left[\frac{1}{2}(3 a-20)+15\right]$ 棵,

则三个班共植树的棵数为:

$a+3 a-20+\frac{1}{2}(3 a-20)+15$

$=4 a-20+\frac{3}{2} a-10+15$

$=(5.5 \mathrm{a}-15)$ 棵,

答: 三个班共植树为 $(5.5 \mathrm{a}-15)$ 棵.

(2) 解: 二班比三班多植的棵数为:

$3 a-20-\left[\frac{1}{2}(3 a-20)+15\right]$
$=(1.5 a-25)$ 棵

当 $\mathrm{a}=50$ 时

$1.5 \mathrm{a}-25=1.5 \times 50-25=50$ (棵)

答: 二班比三班多植 50 棵.

Question:
某校七年级三个班级的学生在植树节当天义务植树,一班植树 a 棵, 二班植树的棵数比一班的 3 倍少 20 棵, 三班植树的棵数比二班的一半多 15 棵.

(1) 求三个班共植树多少棵 (用含 $\alpha$ 的式子表示);

(2) 当 $a=50$ 时, 求二班比三班多植多少棵?

代数


Answer:
(1) 3

(2) 解: $\frac{a}{2}-3 b+\left(-\frac{1}{2} a+2 b\right)$

$=\frac{a}{2}-3 \mathrm{~b}-\frac{1}{2} \mathrm{a}+2 \mathrm{~b}$

$=\frac{a}{2}-\frac{1}{2} a-3 b+2 b$

$=-b$.

Question:
已知下面 5 个式子: 观察下列五个式子, 解答问题: $\frac{1}{3} a b^{2}, \frac{1}{a}+b, \frac{a}{2}-3 b,-a+b,-\frac{1}{2} a+$ $2 b$.

(1) 这五个式子中, 多项式有 \$ \qquad \$个;

(2) 选择两个多项式进行加法运算, 要求计算结果为单项式.

代数

(1) 解: 式子 $\frac{1}{3} \mathrm{ab}^{2}$ 是单项式, 由于 $\frac{1}{a}$ 不是单项式, 所以式子 $\frac{1}{a}+\mathrm{b}$ 不是多项式,式子 $\frac{a}{2}-3 b,-a+b,-\frac{1}{2} a+2 b$ 是多项式, 共 3 个;故答案为: 3 ;


Answer:
(1) 解: $(2 x-3) m+2 m^{2}-3 x=2 m x-3 m+2 m^{2}-3 x$

$=(2 m-3) x-3 m+2 m^{2}$,

$\because$ 关于 $x$ 的多项式 $(2 x-3) m+2 m^{2}-3 x$ 的值与 $x$ 的取值无关,

$\therefore 2 m-3=0$,

解得 $m=\frac{3}{2}$.

(2) 解: $\because A=2 x^{2}+3 x y-2 x-1, B=-x^{2}+x y-1$,

$$
\begin{gathered}
\therefore 3 A+6 B=3\left(2 x^{2}+3 x y-2 x-1\right)+6\left(-x^{2}+x y-1\right) \\
=6 x^{2}+9 x y-6 x-3-6 x^{2}+6 x y-6 \\
=15 x y-6 x-9
\end{gathered}
$$

$=(15 y-6) x-9$,

$\because 3 A+6 B$ 的值与 $x$ 无关,

$\therefore 15 y-6=0$,

解得 $y=\frac{2}{5}$.

(3) 解: 设 $A B=x$,
由图可知, $S_{1}=a(x-3 b)=a x-3 a b, S_{2}=2 b(x-2 a)=2 b x-4 a b$,

则 $S_{1}-S_{2}=a x-3 a b-(2 b x-4 a b)$

$$
=a x-3 a b-2 b x+4 a b
$$

$=(a-2 b) x+a b$,

$\because$ 当 $A B$ 的长变化时, $S_{1}-S_{2}$ 的值始终保持不变,

$\therefore S_{1}-S_{2}$ 的值与 $x$ 的值无关,

$\therefore a-2 b=0$,

$\therefore a=2 b$.

Question:
七年级学习代数式求值时, 遇到这样一类题“代数式 $a x-y+6+3 x-5 y-1$ 的值与 $x$ 的取值无关, 求 $a$ 的值”, 通常的解题方法是: 把 $\mathrm{x} 、 \mathrm{y}$ 看作字母, $\mathrm{a}$ 看作系数合并同类项, 因为代数式的值与 $\mathrm{x}$ 的取值无关, 所以含 $x$ 项的系数为 0 ,

即原式 $=(a+3) x-6 y+5$, 所以 $a+3=0$, 则 $a=-3$.

<ImageHere>

图1

<ImageHere>

(1) 若关于 $x$ 的多项式 $(2 x-3) m+2 m^{2}-3 x$ 的值与 $x$ 的取值无关, 求 $m$ 值;

(2) 已知 $\mathrm{A}=2 x^{2}+3 x y-2 x-1, \mathrm{~B}=-x^{2}+x y-1$; 且 $3 \mathrm{~A}+6 \mathrm{~B}$ 的值与 $x$ 无关, 求 $y$ 的值;

(3) 7 张如图 1 的小长方形, 长为 $\mathrm{a}$, 宽为 $\mathrm{b}$, 按照图 2 方式不重叠地放在大长方形 $\mathrm{ABCD}$ 内,大长方形中未被覆盖的两个部分 (图中阴影部分), 设右上角的面积为 $S_{1}$, 左下角的面积为 $S_{2}$, 当 $\mathrm{AB}$ 的长变化时, $S_{1}-S_{2}$ 的值始终保持不变, 求 $a$ 与 $b$ 的等量关系.

代数


Answer:
(1) (1) 21 ; (2)-3;

(3) $x \otimes \frac{3}{2}=-3$,

当 $x \geq \frac{3}{2}$ 时,

$x \otimes \frac{3}{2}=3 x-2 \times \frac{3}{2}=-3$

解得: $x=0<\frac{3}{2}$, 不符合题意, 舍去;

当 $x<\frac{3}{2}$ 时,

$x \otimes \frac{3}{2}=x-\frac{2}{3} \times \frac{3}{2}=-3$,

解得: $x=-2$, 符合题意;

综上可得: $x=-2$;

(2) 解: $A=-2 x^{3}+\frac{2}{3} x^{2}-x+1, B=-2 x^{3}+x^{2}-x+\frac{3}{2}$,
$B-A=\frac{1}{3} x^{2}+\frac{1}{2}>0$, 即 $A<B$,

$\therefore A \otimes B=A-\frac{2}{3} B=-\frac{2}{3} x^{3}-\frac{1}{3} x=-4$,

$\therefore 2 x^{3}+x=12$,

$3 x^{3}+\frac{3}{2} x+2=\frac{3}{2}\left(2 x^{3}+x\right)+2=20$,

$\therefore 3 x^{3}+\frac{3}{2} x+2=20$;

(3) 解: $\left(\frac{k}{3} x+k\right) \otimes\left(\frac{x}{3}+1\right)=\frac{4}{3} x+12$,

$\frac{k}{3} x+k=k\left(\frac{x}{3}+1\right)$,

$\because \mathrm{x}$ 和 $\mathrm{k}$ 均为正整数,

$\therefore \frac{k}{3} x+k>\frac{x}{3}+1$,

$\therefore\left(\frac{k}{3} x+k\right) \otimes\left(\frac{x}{3}+1\right)=\frac{4}{3} x+12$,

即 $3\left(\frac{k}{3} x+k\right)-2\left(\frac{x}{3}+1\right)=\frac{4}{3} x+12$,

去括号得: $k x+3 k-\frac{2}{3} x-2=\frac{4}{3} x+12$,

移项合并同类项可得: $(x+3) k=2 x+14$,

$\therefore k=\frac{2 x+14}{x+3}=\frac{2(x+3)+8}{x+3}=2+\frac{8}{x+3}$,

当 $x=1$ 时, $k=2+\frac{8}{1+3}=4$,

当 $x=5$ 时, $k=2+\frac{8}{5+3}=3$,

$\therefore k=4$ 或 $k=3$.

Question:
对于有理数 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b}$ 定义一种新运算 $\mathrm{a} \otimes \mathrm{b}=\left\{\begin{array}{l}3 a-2 b(a \geq b) \\ a-\frac{2}{3} b(a<b)\end{array}\right.$, 如 $5 \otimes 3=3 \times 5-2 \times 3=9, \quad 1 \otimes 3=1-\frac{2}{3} \times 3$ $=-1 ;$ 请按照这个定义完成下列计算:

(1) 计算

(1) $5 \otimes(-3)=$

(2) $(-5) \otimes(-3)=$

(3) 若 $x^{\otimes} \frac{3}{2}=-3$, 求 $x^{\prime}$ 的值;

(2) 若 $A=-2 x^{3}+\frac{2}{3} x^{2}-x+1, B=-2 x^{3}+x^{2}-x+\frac{3}{2}$, 且 $A \otimes B=-4$, 求 $3 x^{3}+\frac{3}{2} x+2$ 的值;

(3) 若 $\mathrm{x}$ 和 $\mathrm{k}$ 均为正整数, 且满足 $\left(\frac{k}{3} x+k\right) \otimes\left(\frac{1}{3} x+1\right)=\frac{4}{3} \mathrm{x}+12$, 求 $\mathrm{k}$ 的值.

代数


Answer:
(1) 解: $-x+3=2 x-3$, 移项, 可得: $3 x=6$, 系数化为 1 , 可得 $x=2$.

答: 当 $x$ 取 2 时, $y_{1}=y_{2}$

(2) 解: $(-x+3)-2(2 x-3)=8$ 去括号, 可得: $-5 x+9=8$, 移项, 可得: $5 x=1$, 系数化为 1 ,可得 $x=0.2$.

答: 当 $x$ 取 0.2 时, $y_{1}$ 的值比 $y_{2}$ 的值的 2 倍大 8 .

Question:
已知 $y_{1}=-x+3, y_{2}=2 x-3$.

(1) 当 $x$ 取何值时, $y_{1}=y_{2}$;

（2）当 $x$ 取何值时, $y_{1}$ 的值比 $y_{2}$ 的值的 2 倍大 8 .

代数


Answer:
(1) 解: $\because$ 方程 $\left(1-m^{2}\right) x^{2}-(m+1) x+8=0$ 是关于 $x$ 的一元一次方程,

$\therefore 1-m^{2}=0$ 且 $-(m+1) \neq 0$,

$\therefore m=1$,

原一元一次方程化为: $-2 x+8=0$, 解得 $x=4$

(2) 解: 原式 $=5 x^{2}-2\left(x m+2 x^{2}\right)-3\left(\frac{1}{3} x m+2\right)=5 x^{2}-2 x m-4 x^{2}-x m-6$

$=x^{2}-3 x m-6$,

当 $x=4, m=1$ 时, 原式 $=4^{2}-4 \times 3-6=-2$

Question:
已知方程 $\left(1-m^{2}\right) x^{2}-(m+1) x+8=0$ 是关于 $x$ 的一元一次方程.

(1) 求 $m$ 的值及方程的解.

(2) 求代数式 $5 x^{2}-2\left(x m+2 x^{2}\right)-3\left(\frac{1}{3} x m+2\right)$ 的值.

代数


Answer:
(1) 解: 没有符合要求的“奇异方程”, 理由如下:

把 $a=-2$ 代入原方程解得: $\mathrm{x}=\frac{b}{2}$ ，

若为“中点方程”, 则 $\mathrm{x}=\frac{-2+b}{2} \quad$,

$\because \frac{b}{2} \neq \frac{-2+b}{2}$

$\therefore$ 不符合“中点方程”定义, 故不存在

(2) 解: $\because 2 a x+b=b x$,

$\therefore(2 \mathrm{a}-\mathrm{b}) \mathrm{x}+\mathrm{b}=0$.

$\because$ 关于 $\mathrm{x}$ 的方程 $2 a x+b=b x$ 是“中点方程”,

$\therefore \mathrm{x}=\frac{2 a-b+b}{2}=\mathrm{a}$.
把 $\mathrm{x}=\mathrm{a}$ 代入原方程得: $2 a^{2}-a b+b=0, \quad ，$

$\therefore 6 a^{2}-3 a b+3 b-2019=3\left(2 a^{2}-a b+b\right)-2019$

Question:
定义: 若一个关于 $\mathrm{x}$ 的方程 $a x+b=0(a \neq 0)$ 的解为 $x=\frac{a+b}{2}$, 则称此方程为“中点方程”. 如: $x-\frac{1}{3}=0$ 的解为 $x=\frac{1}{3}$, 而 $\frac{1}{3}=\frac{1}{2} \times\left(1-\frac{1}{3}\right) ; 2 x-1=0$ 的解为 $x=\frac{1}{2}$, 而 $\frac{1}{2}=$ $\frac{1}{2} \times(2-1)$.

（1）若 $a=-2$, 有符合要求的“中点方程”吗？若有, 请求出该方程的解; 若没有请说明理由;

(2) 若关于 $\mathrm{x}$ 的方程 $2 a x+b=b x$ 是“中点方程”, 求代数式 $6 a^{2}-3 a b+3 b-2019$ 的值.

代数

(1) 解: 没有符合要求的“奇异方程”, 理由如下:

把 $a=-2$ 代入原方程解得: $\mathrm{x}=\frac{b}{2}$ ，

若为“中点方程”, 则 $\mathrm{x}=\frac{-2+b}{2} \quad$,

$\because \frac{b}{2} \neq \frac{-2+b}{2}$

$\therefore$ 不符合“中点方程”定义, 故不存在

(2) 解: $\because 2 a x+b=b x$,

$\therefore(2 \mathrm{a}-\mathrm{b}) \mathrm{x}+\mathrm{b}=0$.

$\because$ 关于 $\mathrm{x}$ 的方程 $2 a x+b=b x$ 是“中点方程”,

$\therefore \mathrm{x}=\frac{2 a-b+b}{2}=\mathrm{a}$.
把 $\mathrm{x}=\mathrm{a}$ 代入原方程得: $2 a^{2}-a b+b=0, \quad ，$

$\therefore 6 a^{2}-3 a b+3 b-2019=3\left(2 a^{2}-a b+b\right)-2019$


Answer: $\frac{9}{4} \sqrt{3}$

Question:
(本题 6 分) 如图, 三个半径都为 $3 \mathrm{~cm}$ 的 $\odot \mathrm{A} 、 \odot \mathrm{B} 、 \odot \mathrm{C}$ 两两外切,切点分别为 $D 、 E 、 F$, 求 $\triangle D E F$ 的面积.

<ImageHere>

组合几何学


Answer: (1) $\frac{2}{3}$ $y=-\frac{1}{8} x^{2}+x \quad

Question:
(本题 8 分) 如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, A C+B C=8$, 点 $O$ 是斜边 $A B$ 上一点,以 $O$ 为圆心的 $\odot O$ 分别与 $A C 、 B C$ 相切于点 $D 、 E$.

(1) 当 $A C=2$ 时, 求 $\odot O$ 的半径; (2) 设 $A C=x, \odot O$ 的半径为 $y$, 求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式.

<ImageHere>

组合几何学


Answer:
解: $\because \sqrt[3]{8}=2,|-3|=3$, 可得:

正整数: ( (6), (7), )

负分数: ( (3), (5), )

无理数: ( (2), (4), (8), )

Question:
把下列各数对应的序号填在相应的括号里.

(1) 0 , (2) $\sqrt{5}$, (3) -2.5 , (4) $\pi$, (5) $-\frac{12}{7}$, (6) $\sqrt[3]{8}$, (7) $-3 \mid$, (8) $1.202002 \cdots$ (每两个“ “ ”之间依次多一个“ 0 ").

正整数:

负分数:

无理数:

组合几何学


Answer:
(1) $5 ; \sqrt{5}$

(2) 解：如图所示 :

<ImageHere>

图3

(3) 解: 如图所示:

<ImageHere>

图4

其边长为 $\sqrt{10}$.

Question:
如图, 纸上有五个边长为 1 的小正方形组成的图形纸 (图 1), 我们可以把它剪开拼成一个正方形 (图 2).

<ImageHere>

图1

<ImageHere>

图2

<ImageHere>

图3

<ImageHere>

图4

(1) 图 2 中拼成的正方形的面积是 \$ \qquad \$ ；边长是 \$ \qquad \$ ; (填实数)

（2）请你在图 3 中画一个面积为 5 的正方形, 要求所画正方形的顶点都在格点上.请用虚线画出.

（3）你能把十个小正方形组成的图形纸（图 4), 剪开并拼成正方形吗? 若能, 请仿照图 2 的形式把它重新拼成一个正方形.并求出它的边长.

组合几何学

(1) $\because$ 剪拼前后, 图形的面积不变,

$\therefore$ 正方形面积仍然为 5

$\therefore$ 边长为 $\sqrt{5}$

故答案为: $5, \sqrt{5}$;


Answer:
(1) 解: 根据图形, 1 个I型窗框用料 $(3 x+2 y)$ 米;

1 个II型窗框用料 $(2 x+3 y)$ 米;

2 个I型窗框和 3 个II型窗框共需这种材料 (单位: 米)

$$
\begin{gathered}
2(3 x+2 y)+3(2 x+3 y) \\
=6 x+4 y+6 x+9 y
\end{gathered}
$$

$=12 x+13 y$

(2) 解: 1 个II型窗框和 1 个I型窗框多用这种材料 (单位: 米)

$$
\begin{aligned}
& (2 x+3 y)-(3 x+2 y) \\
& =2 x+3 y-3 x-2 y
\end{aligned}
$$

$=y-x$.

Question:
现在有一种既隔热又耐老化的新型窗框材料—“断桥铝”, 下图是这种材料做成的两种长方形窗框, 已知窗框的长都是 $y$ 米, 宽都是 $x$ 米.

<ImageHere>

I型

<ImageHere>

II型

（1）若一用户需I型的窗框 2 个, II型的窗框 3 个, 求共需这种材料多少米（接㖓忽略不计）?

(2) 已知 $y>x$, 求一个I型的窗框比一个II型的窗框节约这种材料多少米?

组合几何学

(1) 解: 根据图形, 1 个I型窗框用料 $(3 x+2 y)$ 米;

1 个II型窗框用料 $(2 x+3 y)$ 米;

2 个I型窗框和 3 个II型窗框共需这种材料 (单位: 米)

$$
\begin{gathered}
2(3 x+2 y)+3(2 x+3 y) \\
=6 x+4 y+6 x+9 y
\end{gathered}
$$

$=12 x+13 y$

(2) 解: 1 个II型窗框和 1 个I型窗框多用这种材料 (单位: 米)

$$
\begin{aligned}
& (2 x+3 y)-(3 x+2 y) \\
& =2 x+3 y-3 x-2 y
\end{aligned}
$$

$=y-x$.


Answer: (1) 由三角形相似得到 $\frac{E H}{B F}=\frac{A E}{A F}=\frac{C E}{D F}$, 又 $\because \mathrm{E}$ 是 $\mathrm{CH}$ 的中点, $\therefore \mathrm{F}$ 是 $\mathrm{BD}$ 的中点 (2) 连接 $\mathrm{OC} 、 \mathrm{OF}$,在直角三角形 $\mathrm{BCD}$ 中, $\mathrm{F}$ 是 $\mathrm{BD}$ 的中点, $\therefore \mathrm{BF}=\mathrm{CF}$ 再证得 $\triangle \mathrm{OCF}=\triangle \mathrm{OBF} \therefore \angle \mathrm{OCF}=$ $\angle \mathrm{OBF}=90^{\circ} \therefore \mathrm{FC}$ 是圆 $\mathrm{O}$ 的切线

Question:
(本题 8 分) 如图, 已知点 $\mathrm{C}$ 是以 $\mathrm{AB}$ 为直径的 $\odot \mathrm{O}$ 上一点, $\mathrm{CH} \perp \mathrm{AB}$ 于点 $\mathrm{H}$,过点 $\mathrm{B}$ 作 $\odot O$ 的切线交直线 $\mathrm{AC}$ 于点 $\mathrm{D}$, 点 $\mathrm{E}$ 为 $\mathrm{CH}$ 的中点, 连接 $\mathrm{AE}$ 并延长交 $B D$ 于点 $F$, 直线 $C F$ 交 $A B$ 的延长线于 $G$.

(1) 求证: $\mathrm{F}$ 是 $\mathrm{BD}$ 的中点

(2) 求证: FC 是圆 $O$ 的切线

<ImageHere>

画法几何学

(1) 由三角形相似得到 $\frac{E H}{B F}=\frac{A E}{A F}=\frac{C E}{D F}$, 又 $\because \mathrm{E}$ 是 $\mathrm{CH}$ 的中点, $\therefore \mathrm{F}$ 是 $\mathrm{BD}$ 的中点 (2) 连接 $\mathrm{OC} 、 \mathrm{OF}$,在直角三角形 $\mathrm{BCD}$ 中, $\mathrm{F}$ 是 $\mathrm{BD}$ 的中点, $\therefore \mathrm{BF}=\mathrm{CF}$ 再证得 $\triangle \mathrm{OCF}=\triangle \mathrm{OBF} \therefore \angle \mathrm{OCF}=$ $\angle \mathrm{OBF}=90^{\circ} \therefore \mathrm{FC}$ 是圆 $\mathrm{O}$ 的切线


Answer:
解: $(1) 30$;

(2) 由题意得: $\angle \mathrm{PBH}=60^{\circ}$,

$\because \angle \mathrm{ABC}=30^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{ABP}=90^{\circ}$, 又 $\angle \mathrm{APB}=45^{\circ}$,

$\therefore \triangle \mathrm{PAB}$ 为等腰直角三角形,

在直角 $\triangle \mathrm{PHB}$ 中, $\mathrm{PB}=\frac{\mathrm{PH}}{\sin \angle \mathrm{PBH}}=\frac{30}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=20 \sqrt{3}$.

在直角 $\triangle \mathrm{PBA}$ 中, $\mathrm{AB}=\mathrm{PB}=20 \sqrt{3} \approx 34.6$ 米.

答: $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点间的距离是 34.6 米.

Question:
(6 分) 如图, 小明在大楼 30 米高 (即 $\mathrm{PH}=30$ 米) 的窗口 $\mathrm{P}$ 处进行观测, 测得山坡上 $\mathrm{A}$处的俯角为 $15^{\circ}$, 山脚 $\mathrm{B}$ 处的俯角为 $60^{\circ}$, 巳知该山坡的坡度 $\mathrm{i}$ (即 $\tan \angle \mathrm{ABC}$ ) 为 $1: \sqrt{3}$,点 $\mathrm{P}, \mathrm{H}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{A}$ 在同一个平面上, 点 $\mathrm{H} 、 \mathrm{~B} 、 \mathrm{C}$ 在同一条直线上, 且 $\mathrm{PH} \perp \mathrm{HC}$.

（1）山坡坡角（即 $\angle \mathrm{ABC}$ ）的度数等于 30 度；

（2）求 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 两点间的距离（结果精确到 0.1 米，参考数据: $\sqrt{3} \approx 1.732$ ).

<ImageHere>

画法几何学

解: $(1) 30$;

(2) 由题意得: $\angle \mathrm{PBH}=60^{\circ}$,

$\because \angle \mathrm{ABC}=30^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{ABP}=90^{\circ}$, 又 $\angle \mathrm{APB}=45^{\circ}$,

$\therefore \triangle \mathrm{PAB}$ 为等腰直角三角形,

在直角 $\triangle \mathrm{PHB}$ 中, $\mathrm{PB}=\frac{\mathrm{PH}}{\sin \angle \mathrm{PBH}}=\frac{30}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=20 \sqrt{3}$.

在直角 $\triangle \mathrm{PBA}$ 中, $\mathrm{AB}=\mathrm{PB}=20 \sqrt{3} \approx 34.6$ 米.

答: $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点间的距离是 34.6 米.


Answer:
解: (1) 线段 $\mathrm{BQ}$ 与 $\mathrm{PQ}$ 相等.

证明: $\because \angle \mathrm{PQB}=90^{\circ}-41^{\circ}=49^{\circ}$, $\angle \mathrm{BPQ}=90^{\circ}-24.5^{\circ}=65.5^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{PBQ}=180^{\circ}-49^{\circ}-65.5^{\circ}=65.5^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BPQ}=\angle \mathrm{PBQ}$,

$\therefore \mathrm{BQ}=\mathrm{PQ}$

(2) $\angle \mathrm{AQB}=180^{\circ}-49^{\circ}-41^{\circ}=90^{\circ}$, $\angle \mathrm{PQA}=90^{\circ}-49^{\circ}=41^{\circ}$,

$\therefore \mathrm{AQ}=\frac{\mathrm{PQ}}{\cos 41^{\circ}}=\frac{1200}{0.75}=1600$,

$\mathrm{BQ}=\mathrm{PQ}=1200$,

$\therefore \mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AQ}^{2}+\mathrm{BQ}^{2}=1600^{2}+1200^{2}$,

$\therefore A B=2000$,

答: A、B 的距离为 $2000 \mathrm{~m}$.

Question:
(8 分) 如图, 自来水厂 A 和村庄 $\mathrm{B}$ 在小河 $\mathrm{l}$ 的两侧, 现要在 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 间铺设一条输水管道. 为了搞好工程预算, 需测算出 $A, B$ 间的距离. 一小船在点 $\mathrm{P}$ 处测得 $\mathrm{A}$ 在正北方向, $\mathrm{B}$位于南偏东 $24.5^{\circ}$ 方向, 前行 $1200 \mathrm{~m}$, 到达点 $\mathrm{Q}$ 处, 测得 $\mathrm{A}$ 位于北偏西 $49^{\circ}$ 方向, $\mathrm{B}$ 位于南偏西 $41^{\circ}$ 方向.

(1) 线段 $\mathrm{BQ}$ 与 $\mathrm{PQ}$ 是否相等 $?$ 请说明理由;

(2) 求 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 间的距离. (参考数据 $\cos 41^{\circ} \approx 0.75$ )

<ImageHere>

画法几何学

解: (1) 线段 $\mathrm{BQ}$ 与 $\mathrm{PQ}$ 相等.

证明: $\because \angle \mathrm{PQB}=90^{\circ}-41^{\circ}=49^{\circ}$, $\angle \mathrm{BPQ}=90^{\circ}-24.5^{\circ}=65.5^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{PBQ}=180^{\circ}-49^{\circ}-65.5^{\circ}=65.5^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BPQ}=\angle \mathrm{PBQ}$,

$\therefore \mathrm{BQ}=\mathrm{PQ}$

(2) $\angle \mathrm{AQB}=180^{\circ}-49^{\circ}-41^{\circ}=90^{\circ}$, $\angle \mathrm{PQA}=90^{\circ}-49^{\circ}=41^{\circ}$,

$\therefore \mathrm{AQ}=\frac{\mathrm{PQ}}{\cos 41^{\circ}}=\frac{1200}{0.75}=1600$,

$\mathrm{BQ}=\mathrm{PQ}=1200$,

$\therefore \mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AQ}^{2}+\mathrm{BQ}^{2}=1600^{2}+1200^{2}$,

$\therefore A B=2000$,

答: A、B 的距离为 $2000 \mathrm{~m}$.


Answer:
解: (1) 测量图案 (示意图) 如图示.

(2) 测量步骤:

第一步: 在地面上选择点 C 安装测角仪, 测得此时树尖 A 的仰角 $\angle A H E=\alpha$,

第二步: 沿 $\mathrm{CB}$ 前进到点 $\mathrm{D}$, 用皮尺量出 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$ 之间的距离 $\mathrm{CD}=\mathrm{m}$,

第三步: 在点 $\mathrm{D}$ 安装测角仪, 测得此时树尖 $\mathrm{A}$ 的仰角 $\angle A F E=\beta$,

第四步: 用皮尺测出测角仪的高 $h$.

(3) 计算: 令 $A E=x$, 则 $\tan \alpha=\frac{x}{H E}$, 得 $H E=\frac{x}{\tan \alpha}$, 又 $\tan \beta=\frac{x}{E F}$, 得 $E F=\frac{x}{\tan \beta}$,

$\because \mathrm{HE}-\mathrm{FE}=\mathrm{HF}=\mathrm{CD}=\mathrm{m}$

$\therefore \frac{x}{\tan \alpha}-\frac{x}{\tan \beta}=\pi$

解得 $x=\frac{m \tan \alpha \cdot \tan \beta}{\tan \beta-\tan \alpha}$,

$\therefore A B=\frac{m \tan \alpha \cdot \tan \beta}{\tan \beta-\tan \alpha}+h$.

<ImageHere>

Question:
(10 分) 如图, 小山上有一棵树. 现有测角仪和皮尺两种测量工具, 请你设计一种测量方案, 在山脚水平地面上测出小树顶端 $\mathrm{A}$ 到水平地面的距离 $\mathrm{AB}$.

要求:

(1) 画出测量示意图;

(2) 写出测量步骤 (测量数据用字母表示);

(3) 根据（2）中的数据计算 $\mathrm{AB}$.

<ImageHere>

画法几何学

解: (1) 测量图案 (示意图) 如图示.

(2) 测量步骤:

第一步: 在地面上选择点 C 安装测角仪, 测得此时树尖 A 的仰角 $\angle A H E=\alpha$,

第二步: 沿 $\mathrm{CB}$ 前进到点 $\mathrm{D}$, 用皮尺量出 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$ 之间的距离 $\mathrm{CD}=\mathrm{m}$,

第三步: 在点 $\mathrm{D}$ 安装测角仪, 测得此时树尖 $\mathrm{A}$ 的仰角 $\angle A F E=\beta$,

第四步: 用皮尺测出测角仪的高 $h$.

(3) 计算: 令 $A E=x$, 则 $\tan \alpha=\frac{x}{H E}$, 得 $H E=\frac{x}{\tan \alpha}$, 又 $\tan \beta=\frac{x}{E F}$, 得 $E F=\frac{x}{\tan \beta}$,

$\because \mathrm{HE}-\mathrm{FE}=\mathrm{HF}=\mathrm{CD}=\mathrm{m}$

$\therefore \frac{x}{\tan \alpha}-\frac{x}{\tan \beta}=\pi$

解得 $x=\frac{m \tan \alpha \cdot \tan \beta}{\tan \beta-\tan \alpha}$,

$\therefore A B=\frac{m \tan \alpha \cdot \tan \beta}{\tan \beta-\tan \alpha}+h$.

<ImageHere>


Answer:
(1) 解: $\because\left(-\frac{5}{8}\right)^{3}=-\frac{125}{512}$, $\therefore-\frac{125}{512}$ 的立方根是: $-\frac{5}{8}$;

(2) 解: $\because 3^{3}=27$,

$\therefore 27$ 的立方根是: 3 ;

(3) 解: $\quad(-0.09)^{3}=-0.000729$,

$\therefore-0.000729$ 的立方根是: -0.09 .

Question:
求下列各数的立方根:

(1) $-\frac{125}{512}$

(2) 27

(3) -0.000729

立体几何学


Answer:
解: 设这个长方体容器的长 $x \mathrm{~cm}$,

则 $5 x^{2}=350$,

所以 $x=\sqrt{70}$ (长方体的长不能为负),

因为

Question:
(本小题 8.0 分)

一个容积为 $350 \mathrm{~cm}^{3}$ 的正方体容器中装满水, 现要将其中的水全部倒入到另一个长方体容器中, 若长方体容器的长与宽相等且高是 $5 \mathrm{~cm}$, 则这个长方体容器的长与宽至少是多少? (结果精确到 $0.1 \mathrm{~cm})$

<ImageHere>

立体几何学


Answer:
解: (1)因为 $m+p=0$, 所以 $m$ 与 $p$ 互为相反数,所以原点的大致位置如图,

<ImageHere>
所以绝对值最小的数是 $q$,

故答案为: $q$;

(2)由(1)数轴可知, $q<0,-n<0$,

故答案为: $<,<$;

(3)因为 $m+p=0, M P=10$, 则 $m=-5, p=5$.

因为 $M Q=4$, 则 $q=-1$.

因为 $Q N=8$, 则 $n=7$.

Question:
(本小题8.0分)

如图, 已知四个有理数 $m, n, p, q$ 在一条缺失了原点和刻度的数轴上对应的点分别为 $M, N$, $P, Q$, 且 $m+p=0$, 则

<ImageHere>

(1) 在 $m, n, p, q$ 这四个有理数中, 绝对值最小的一个数是

(2) 比较大小: $q$ $0,-n$

图论


Answer:
解: 根据题意得, $a+1=0, b-2=0$,

解得 $a=-1, b=2$,

$\therefore(-a-b)^{2020}+(a+b)^{2019}=(1-2)^{2020}+(-1+2)^{2019}=1+1=2$.

Question:
(本小题8.0分)

已知 $|a+1|+(b-2)^{2}=0$, 求 $(-a-b)^{2020}+(a+b)^{2019}$ 的值.

逻辑题

根据非负数的性质列式求出 $a 、 b$ 的值, 然后代入代数式进行计算即可求解.本题考查了非负数的性质: 几个非负数的和为 0 时, 这几个非负数都为 0 .


Answer:
解：（1）如图, $\triangle D E F$ 即为所求. (2) 平行四边形 $A B E D$ 的面积 $=$ 平行四边形 $A B M N$ 的面积 $=7 \times 4=28$. 故答案为: 28 .

(3) 如图, 点 $P$ 即为所求 (答案不唯一).

<ImageHere>

Question:
（2021 春・连云港期末）在正方形的网格中, 每个小正方形的边长为 1 个单位长度, $\triangle A B C$ 的三个顶点 $A, B, C$ 都在格点 (正方形网格的交点称为格点). 现将 $\triangle A B C$ 平移. 使点 $A$ 平移到点 $D$,点 $E 、 F$ 分别是 $B 、 C$ 的对应点. (1) 在图中请画出平移后的 $\triangle D E F ;$ (2) 四边形 $A B E D$ 的面积为

(3) 在网格中画出一个格点 $P$, 使得 $S_{\triangle B C P}=\frac{1}{2} S_{\triangle D E F}$. (画出一个即可)

<ImageHere>

【思路点拨】（1）利用平移变换的性质分别作出 $B, C$ 的对应点 $E, F$ 即可.

(2) 平行四边形 $A B E D$ 的面积 $=$ 平行四边形 $A B M N$ 的面积, 利用轴的思想解决问题.

(3) 取 $A B$ 的中点 $P$ 即可（答案不唯一）.

【答案】解：（1）如图, $\triangle D E F$ 即为所求. (2) 平行四边形 $A B E D$ 的面积 $=$ 平行四边形 $A B M N$ 的面积 $=7 \times 4=28$. 故答案为: 28 .

(3) 如图, 点 $P$ 即为所求 (答案不唯一).

<ImageHere>

【点睛】本题考查作图 - 平移变换, 平行四边形的面积, 三角形的面积等知识, 解题的关键是正确作出图形，学会利用转化的思想解决问题

变换几何

春・连云港期末）在正方形的网格中, 每个小正方形的边长为 1 个单位长度, $\triangle A B C$ 的三个顶点 $A, B, C$ 都在格点 (正方形网格的交点称为格点). 现将 $\triangle A B C$ 平移. 使点 $A$ 平移到点 $D$,点 $E 、 F$ 分别是 $B 、 C$ 的对应点. (1) 在图中请画出平移后的 $\triangle D E F ;$ (2) 四边形 $A B E D$ 的面积为

(3) 在网格中画出一个格点 $P$, 使得 $S_{\triangle B C P}=\frac{1}{2} S_{\triangle D E F}$. (画出一个即可)

<ImageHere>

【思路点拨】（1）利用平移变换的性质分别作出 $B, C$ 的对应点 $E, F$ 即可.

(2) 平行四边形 $A B E D$ 的面积 $=$ 平行四边形 $A B M N$ 的面积, 利用轴的思想解决问题.

(3) 取 $A B$ 的中点 $P$ 即可（答案不唯一）.

【答案】解：（1）如图, $\triangle D E F$ 即为所求. (2) 平行四边形 $A B E D$ 的面积 $=$ 平行四边形 $A B M N$ 的面积 $=7 \times 4=28$. 故答案为: 28 .

(3) 如图, 点 $P$ 即为所求 (答案不唯一).

<ImageHere>

【点睛】本题考查作图 - 平移变换, 平行四边形的面积, 三角形的面积等知识, 解题的关键是正确作出图形，学会利用转化的思想解决问题.


Answer:
解: (1)原式 $=-1+3 \times\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{-1}+1-(3 \sqrt{2}-4)$

$=-1+3 \sqrt{2}+1-3 \sqrt{2}+4$

$=4$;

(2) 原式 $=\frac{x y+2 x+2 y}{x+y} \times(x+y)$

$=x y+2 x+2 y$,

$\because x=8 \cos 60^{\circ}-\tan 45^{\circ}=8 \times \frac{1}{2}-1=3, y=-1$,

$\therefore$ 原式 $=3 \times(-1)+2 \times 3+2 \times(-1)=1$

20、【答案】(1)如图所示:

<ImageHere>

主视图

<ImageHere>

左视图

<ImageHere>

俯视图

(2) 21 ;

(3)

Question:
(10 分) (1)计算: $(-1)^{2017}+3(\cos 45 \text { ٪ })^{-1}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{0}-|4-\sqrt{18}|$

(2)求式子 $\left(\frac{x y}{x+y}+2\right) \div \frac{1}{x+y}$ 的值, 其中 $x=8 \cos 60^{\circ}-\tan 45^{\circ}, y=-1$.

算术


Answer:
解: $(1)|2-\sqrt{3}|+2 \sin 60^{\circ}+\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}-(\sqrt{2019}-1)^{0}$

$$
\begin{aligned}
= & 2-\sqrt{3}+2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\frac{1}{3}}-1 \\
= & 2-\sqrt{3}+\sqrt{3}+3-1
\end{aligned}
$$

$=4$;

$$
\begin{gathered}
\text { (2) } \frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}-1} \div\left(\frac{x-1}{x+1}-x+1\right) \\
=\frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}-1} \div \frac{x-1-(x-1)(x+1)}{x+1} \\
=\frac{(x-1)^{2}}{(x-1)(x+1)} \div \frac{-x(x-1)}{x+1} \\
=\frac{(x-1)^{2}}{(x-1)(x+1)} \times \frac{x+1}{-x(x-1)}
\end{gathered}
$$

$=-\frac{1}{x}$,

$\because x^{2}-3 x+2=0$,

$\therefore(x-2)(x-1)=0$,

$\therefore x=2$ 或 $x=1$,

当 $x=1$ 时, 分式无意义，则 $x=1$ 舍去;

当 $x=2$ 时, 原式 $=-\frac{1}{2}$.

Question:
(每小题 3 分, 合计 6 分) $(1)|2-\sqrt{3}|+2 \sin 60 \cdots+\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}-(\sqrt{2019}-1)^{0}$

(2)化简求值 $\frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}-1} \div\left(\frac{x-1}{x+1}-x+1\right)$, 其中 $x$ 是方程 $x^{2}-3 x+2=0$ 的根.

算术


Answer:
(1)证明：连接 $O A$,

<ImageHere>

$\because A D$ 是 $\odot O$ 的切线,
$\therefore O A \perp A D$,

$\therefore \angle O A D=\angle C A D+\angle O A C=90^{\circ}$,

$\because \angle C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle O A C+\angle A O C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle C A D=\angle A O C$,

$\because O A=O B$,

$\therefore \angle B=\angle O A B$,

$\therefore \angle C A D=\angle A O C=\angle B+\angle O A B=2 \angle B ;$

(2)解：设 $O A=r$, 由 $O B=r$,

Rt $\triangle C A B$ 中, $\sin B=\frac{3}{5}=\frac{A C}{A B}$,

$\because A C=6$,

$\therefore A B=10$,

$\therefore B C=8$,

Rt $\triangle A C O$ 中, 由勾股定理得: $A C^{2}+C O^{2}=A O^{2}$,

$\therefore 6^{2}+(8-r)^{2}=r^{2}$,

解得: $r=\frac{25}{4}$,

答: $\odot O$ 的半径是 $\frac{25}{4}$.

Question:
(10 分) 如图, 以 $\odot O$ 的弦 $A B$ 为斜边作 $R t \triangle A B C, \angle C=90^{\circ}, C$ 点在圆内, 边 $B C$ 经过圆心 $O$,过 $A$ 点作 $\odot O$ 的切线 $A D$.

<ImageHere>

(1)求证: $\angle D A C=2 \angle B$;

(2)若 $\sin B=\frac{3}{5}, A C=6$, 求 $\odot O$ 的半径.

画法几何学

(1)证明：连接 $O A$,

<ImageHere>

$\because A D$ 是 $\odot O$ 的切线,
$\therefore O A \perp A D$,

$\therefore \angle O A D=\angle C A D+\angle O A C=90^{\circ}$,

$\because \angle C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle O A C+\angle A O C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle C A D=\angle A O C$,

$\because O A=O B$,

$\therefore \angle B=\angle O A B$,

$\therefore \angle C A D=\angle A O C=\angle B+\angle O A B=2 \angle B ;$

(2)解：设 $O A=r$, 由 $O B=r$,

Rt $\triangle C A B$ 中, $\sin B=\frac{3}{5}=\frac{A C}{A B}$,

$\because A C=6$,

$\therefore A B=10$,

$\therefore B C=8$,

Rt $\triangle A C O$ 中, 由勾股定理得: $A C^{2}+C O^{2}=A O^{2}$,

$\therefore 6^{2}+(8-r)^{2}=r^{2}$,

解得: $r=\frac{25}{4}$,

答: $\odot O$ 的半径是 $\frac{25}{4}$.


Answer:
答案 解: 过点 $D$ 作 $D M \perp C E$, 交 $C E$ 于点 $M$, 作 $D N \perp A B$,

交 $A B$ 于点 $N$, 如图所示.

在Rt $\triangle C M D$ 中, $C D=20 m, \angle D C M=40^{\circ}, \angle C M D=90^{\circ}$,

<ImageHere>
$\therefore C M=C D \cdot \cos 40^{\circ} \approx 15.4 m, D M=C D \cdot \sin 40^{\circ} \approx 12.8 m$,

$\therefore D N=M F=C M+C G+G F=60 m$.

在Rt $\triangle B D N$ 中, $\angle B D N=10^{\circ}, \angle B N D=90^{\circ}, D N=60 \mathrm{~m}$,

$\therefore B N=D N \cdot \tan 10^{\circ} \approx 10.8 \mathrm{~m}$.

在Rt $\triangle A D N$ 中, $\angle A D N=30^{\circ}, \angle A N D=90^{\circ}, D N=60 \mathrm{~m}$,

$\therefore A N=D N \cdot \tan 30^{\circ} \approx 34.6 \mathrm{~m}$.

$\therefore A B=A N+B N=45.4 m$.

答: 瀑布 $A B$ 的高度约为 45.4 米.

Question:
(6 分) 随着人们生活水平的不断提高, 旅游已成为人们的一种生活时尚. 为开发新的旅游项目,我市对某山区进行调查, 发现一瀑布. 为测量它的高度, 测量人员在瀑布的对面山上 $D$ 点处测
得瀑布顶端 $A$ 点的仰角是 $30^{\circ}$, 测得瀑布底端 $B$ 点的俯角是 $10^{\circ}, A B$ 与水平面垂直. 又在瀑布下的水平面测得 $C G=27 m, G F=17.6 m$ (注: $C 、 G 、 F$ 三点在同一直线上, $C F \perp A B$ 于点 $F$ ).斜坡 $C D=20 \mathrm{~m}$, 坡角 $\angle E C D=40^{\circ}$. 求瀑布 $A B$ 的高度.

(参考数据: $\sqrt{3} \approx 1.73, \sin 40^{\circ} \approx 0.64, \cos 40^{\circ} \approx 0.77, \tan 40^{\circ} \approx 0.84, \sin 10^{\circ} \approx 0.17, \cos 10^{\circ} \approx$

<ImageHere>

$\left.0.98, \tan 10^{\circ} \approx 0.18\right)$

画法几何学

答案 解: 过点 $D$ 作 $D M \perp C E$, 交 $C E$ 于点 $M$, 作 $D N \perp A B$,

交 $A B$ 于点 $N$, 如图所示.

在Rt $\triangle C M D$ 中, $C D=20 m, \angle D C M=40^{\circ}, \angle C M D=90^{\circ}$,

<ImageHere>
$\therefore C M=C D \cdot \cos 40^{\circ} \approx 15.4 m, D M=C D \cdot \sin 40^{\circ} \approx 12.8 m$,

$\therefore D N=M F=C M+C G+G F=60 m$.

在Rt $\triangle B D N$ 中, $\angle B D N=10^{\circ}, \angle B N D=90^{\circ}, D N=60 \mathrm{~m}$,

$\therefore B N=D N \cdot \tan 10^{\circ} \approx 10.8 \mathrm{~m}$.

在Rt $\triangle A D N$ 中, $\angle A D N=30^{\circ}, \angle A N D=90^{\circ}, D N=60 \mathrm{~m}$,

$\therefore A N=D N \cdot \tan 30^{\circ} \approx 34.6 \mathrm{~m}$.

$\therefore A B=A N+B N=45.4 m$.

答: 瀑布 $A B$ 的高度约为 45.4 米.


Answer:
(1)证明：由题意可得： $\angle A=\angle A D M=30^{\circ}$,

$\therefore M A=M D$,

又 $\because M G \perp A D$ 于点 $G$,

$\therefore A G=D G$,

$\because \angle B D C=180^{\circ}-\angle A D E-\angle E D F=180^{\circ}-30^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ}=\angle B$,

$\therefore C B=C D$,
$\therefore C$ 与 $N$ 重叠,

又 $\because N H \perp D B$ 于点 $H$,

$\therefore D H=B H$,

$\because A D=D B$,

$\therefore A G=D H$

(2)解：当 $0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}$ 时，(1)中的结论成立.

如图(3), 在Rt $\triangle A M G$ 中, $\angle A=30^{\circ}$,

$\therefore \angle A M G=60^{\circ}=\angle B$,

又 $\because \angle A G M=\angle N H B=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle A G M \sim \triangle N H B$,

$\therefore \frac{A G}{N H}=\frac{M G}{B H}$

$\because \angle M D G=\alpha$,

$\therefore \angle D M G=90^{\circ}-\alpha=\angle N D H$

又 $\because \angle M G D=\angle D H N=90^{\circ}$,

$\therefore$ Rt $\triangle M G D \sim R t \triangle D H N$,

$\therefore \frac{D H}{M G}=\frac{N H}{D G}$,

(1) $\times$ (2), 得 $\frac{D G}{A G}=\frac{B H}{D H}$,

由比例的性质, 得 $\frac{D G+A G}{A G}=\frac{B H+D H}{D H}$,

即 $\frac{A D}{A G}=\frac{B D}{D H}$,

$\because A D=D B$,

$\therefore A G=D H$

(3)在 $R t \triangle D E F$ 绕点 $D$ 顺时针方向旋转过程中, $\frac{D M}{D N}$ 值没有改变,

$\because$ Rt $\triangle M G D \sim R t \triangle D H N$,

$\therefore \frac{D M}{D N}=\frac{M G}{D H}$,

$\because A G=D H$,
$\therefore \frac{D M}{D N}=\frac{M G}{A G}=\tan \angle A=\tan 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,

$\therefore \frac{D M}{D N}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Question:
(10 分) 已知: 将一副三角板 (Rt $\triangle A B C$ 和 $R t \triangle D E F$ ) 如图 (1)摆放, 点 $E 、 A 、 D 、 B$ 在一条直线上, 且 $D$ 是 $A B$ 的中点. 将 $R t \triangle D E F$ 绕点 $D$ 顺时针方向旋转角 $\alpha\left(0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}\right)$, 在旋转过程中,直线 $D E 、 A C$ 相交于点 $M$, 直线 $D F 、 B C$ 相交于点 $N$, 分别过点 $M 、 N$ 作直线 $A B$ 的垂线, 垂足
为 $G 、 H$.

<ImageHere>

图(1)

<ImageHere>

图(2)

<ImageHere>

图(3)

(1)当 $\alpha=30^{\circ}$ 时(如图(2)), 求证: $A G=D H$;

(2)当 $0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}$ 时, (1)中的结论是否成立？请根据图 (3)说明理由.

(3)在 $R t \triangle D E F$ 绕点 $D$ 顺时针方向旋转过程中, $D M$ 与 $D N$ 的比值是否发生改变? 如果不改变,请求出比值; 如果改变, 请说明理由.

画法几何学

(1)证明：由题意可得： $\angle A=\angle A D M=30^{\circ}$,

$\therefore M A=M D$,

又 $\because M G \perp A D$ 于点 $G$,

$\therefore A G=D G$,

$\because \angle B D C=180^{\circ}-\angle A D E-\angle E D F=180^{\circ}-30^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ}=\angle B$,

$\therefore C B=C D$,
$\therefore C$ 与 $N$ 重叠,

又 $\because N H \perp D B$ 于点 $H$,

$\therefore D H=B H$,

$\because A D=D B$,

$\therefore A G=D H$

(2)解：当 $0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}$ 时，(1)中的结论成立.

如图(3), 在Rt $\triangle A M G$ 中, $\angle A=30^{\circ}$,

$\therefore \angle A M G=60^{\circ}=\angle B$,

又 $\because \angle A G M=\angle N H B=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle A G M \sim \triangle N H B$,

$\therefore \frac{A G}{N H}=\frac{M G}{B H}$

$\because \angle M D G=\alpha$,

$\therefore \angle D M G=90^{\circ}-\alpha=\angle N D H$

又 $\because \angle M G D=\angle D H N=90^{\circ}$,

$\therefore$ Rt $\triangle M G D \sim R t \triangle D H N$,

$\therefore \frac{D H}{M G}=\frac{N H}{D G}$,

(1) $\times$ (2), 得 $\frac{D G}{A G}=\frac{B H}{D H}$,

由比例的性质, 得 $\frac{D G+A G}{A G}=\frac{B H+D H}{D H}$,

即 $\frac{A D}{A G}=\frac{B D}{D H}$,

$\because A D=D B$,

$\therefore A G=D H$

(3)在 $R t \triangle D E F$ 绕点 $D$ 顺时针方向旋转过程中, $\frac{D M}{D N}$ 值没有改变,

$\because$ Rt $\triangle M G D \sim R t \triangle D H N$,

$\therefore \frac{D M}{D N}=\frac{M G}{D H}$,

$\because A G=D H$,
$\therefore \frac{D M}{D N}=\frac{M G}{A G}=\tan \angle A=\tan 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,

$\therefore \frac{D M}{D N}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.


Answer:
(1)证明：如图 1 中, 连接 $O C$.

<ImageHere>

图1

$\because O A=O C$,

$\therefore \angle O A C=\angle O C A$,

$\because A C$ 平分 $\angle D A B$,

$\therefore \angle D A C=\angle C A B=\angle A C O$,

$\therefore A D / / O C$,

$\because A D \perp C D$,

$\therefore O C \perp D C$

$\therefore C D$ 是 $\odot O$ 的切线.

(2)解: 如图 2 中, 连接 $B E 、 B C 、 O C, B E$ 交 $A C$ 于 $F$ 交 $O C$ 于 $H$.

<ImageHere>

图2

$\because A B$ 是直径,

$\therefore \angle A E B=\angle D E H=\angle D=\angle D C H=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $D E H C$ 是矩形,

$\therefore \angle E H C=90^{\circ}$ 即 $O C \perp E B$,

$\therefore D C=E H=H B, D E=H C$,

$\because \angle D C E=\angle D A C, \angle D=\angle A E F=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle C D E \sim \triangle A E F$,

$\therefore \frac{D E}{E F}=\frac{D C}{A E}=\frac{E C}{A F}=2$, 设 $A E=a, E F=b$, 则 $C D=2 a, D E=C H=2 b, F H=2 a-b$,

$\because A E / / C H$

$\therefore \frac{A E}{C H}=\frac{E F}{F H}$,

$\therefore \frac{a}{2 b}=\frac{b}{2 a-b}$,

$\therefore 2 a^{2}-a b-2 b^{2}=0$,

$\therefore a=\frac{1+\sqrt{17}}{4} b$ 或 $\frac{1-\sqrt{17}}{4} b($ 舍弃)，

在Rt $\triangle A E F$ 中, $A F=\sqrt{A E^{2}+E F^{2}}=\frac{\sqrt{34+2 \sqrt{34}}}{4} b$,

$\therefore \cos \angle C A D=\frac{A E}{A F}=\frac{\frac{1+\sqrt{17}}{4} b}{\frac{\sqrt{34+2 \sqrt{34}}}{4} b}=\frac{1+\sqrt{17}}{\sqrt{34+2 \sqrt{34}}}$.

Question:
如图, 点 $C$ 在以 $A B$ 为直径的 $\odot O$ 上, $A C$ 平分 $\angle D A B, A D$ 与过点 $C$ 的直线垂直, 垂足为点 $D, A D$ 交 $\odot O$ 于点 $E$.

(1)求证: $C D$ 与 $\odot O$ 相切;

(2)连接 $B E$ 交 $A C$ 于点 $F$, 若 $\frac{A F}{C E}=\frac{1}{2}$, 求 $\cos \angle C A D$ 的值.

<ImageHere>

画法几何学

(1)证明：如图 1 中, 连接 $O C$.

<ImageHere>

图1

$\because O A=O C$,

$\therefore \angle O A C=\angle O C A$,

$\because A C$ 平分 $\angle D A B$,

$\therefore \angle D A C=\angle C A B=\angle A C O$,

$\therefore A D / / O C$,

$\because A D \perp C D$,

$\therefore O C \perp D C$

$\therefore C D$ 是 $\odot O$ 的切线.

(2)解: 如图 2 中, 连接 $B E 、 B C 、 O C, B E$ 交 $A C$ 于 $F$ 交 $O C$ 于 $H$.

<ImageHere>

图2

$\because A B$ 是直径,

$\therefore \angle A E B=\angle D E H=\angle D=\angle D C H=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $D E H C$ 是矩形,

$\therefore \angle E H C=90^{\circ}$ 即 $O C \perp E B$,

$\therefore D C=E H=H B, D E=H C$,

$\because \angle D C E=\angle D A C, \angle D=\angle A E F=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle C D E \sim \triangle A E F$,

$\therefore \frac{D E}{E F}=\frac{D C}{A E}=\frac{E C}{A F}=2$, 设 $A E=a, E F=b$, 则 $C D=2 a, D E=C H=2 b, F H=2 a-b$,

$\because A E / / C H$

$\therefore \frac{A E}{C H}=\frac{E F}{F H}$,

$\therefore \frac{a}{2 b}=\frac{b}{2 a-b}$,

$\therefore 2 a^{2}-a b-2 b^{2}=0$,

$\therefore a=\frac{1+\sqrt{17}}{4} b$ 或 $\frac{1-\sqrt{17}}{4} b($ 舍弃)，

在Rt $\triangle A E F$ 中, $A F=\sqrt{A E^{2}+E F^{2}}=\frac{\sqrt{34+2 \sqrt{34}}}{4} b$,

$\therefore \cos \angle C A D=\frac{A E}{A F}=\frac{\frac{1+\sqrt{17}}{4} b}{\frac{\sqrt{34+2 \sqrt{34}}}{4} b}=\frac{1+\sqrt{17}}{\sqrt{34+2 \sqrt{34}}}$.


Answer:
 $65 x y 2(x y+65 y+65 x)$

解: (1) 由题意, 知该长方体的长为 $y$ 毫米, 宽为 $x$ 毫米, 高为 65 毫米,

则长方体包装盒的体积为: $65 x y$ 立方毫米.

故答案为 $65 x y$;

(2)长方体的表面积(不含内部粘贴角料)为: $2(x y+65 y+65 x)$ 立方毫米;

故答案为: $2(x y+65 y+65 x)$;

(3) $\because$ 长方体的长为 $y$ 毫米, 宽为 $x$ 毫米, 高为 65 毫米,

$\therefore$ 长方体的表面积 $=2(x y+65 y+65 x)$ 平方毫米,

又 $\because$ 内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的 $\frac{1}{5}$,

$\therefore$ 制作这样一个长方体共需要纸板的面积 $=\left(1+\frac{1}{5}\right) \times 2(x y+65 y+65 x)=\frac{12}{5}(x y+65 y+65 x)=$ $\frac{12}{5} x y+156 y+156 x$ (平方毫米)

$\because x=40, y=70$

$\therefore$ :制作这样一个长方体共需要纸板 $\frac{12}{5} \times 40 \times 70+156 \times 70+156 \times 40=23880$ 平方毫米.

Question:
某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒, 其平面展开图和相关尺寸如图所示, 其中阴影部分为内部粘贴角料. (单位: 毫米)

(1)此长方体包装盒的体积为 \$ \qquad \$立方毫米； (用含 $x 、 y$ 的式子表示)

(2)此长方体的表面积(不含内部粘贴角料)为 \$ \qquad \$平方毫米； (用含 $x 、 y$ 的式子表示)

(3)若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的 $\frac{1}{5}$, 求当 $x=40$ 毫米, $y=70$ 毫米时, 制作这

<ImageHere>

样一个长方体共需要纸板多少平方毫米.

画法几何学

 $65 x y 2(x y+65 y+65 x)$

解: (1) 由题意, 知该长方体的长为 $y$ 毫米, 宽为 $x$ 毫米, 高为 65 毫米,

则长方体包装盒的体积为: $65 x y$ 立方毫米.

故答案为 $65 x y$;

(2)长方体的表面积(不含内部粘贴角料)为: $2(x y+65 y+65 x)$ 立方毫米;

故答案为: $2(x y+65 y+65 x)$;

(3) $\because$ 长方体的长为 $y$ 毫米, 宽为 $x$ 毫米, 高为 65 毫米,

$\therefore$ 长方体的表面积 $=2(x y+65 y+65 x)$ 平方毫米,

又 $\because$ 内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的 $\frac{1}{5}$,

$\therefore$ 制作这样一个长方体共需要纸板的面积 $=\left(1+\frac{1}{5}\right) \times 2(x y+65 y+65 x)=\frac{12}{5}(x y+65 y+65 x)=$ $\frac{12}{5} x y+156 y+156 x$ (平方毫米)

$\because x=40, y=70$

$\therefore$ :制作这样一个长方体共需要纸板 $\frac{12}{5} \times 40 \times 70+156 \times 70+156 \times 40=23880$ 平方毫米.


Answer:
 4

【解析】解: (1)这个几何体三个视图如图所示:
<ImageHere>

主视图

<ImageHere>

左视图

<ImageHere>

俯视图

$(2)(6+6+6) \times 2+2=38$,

(3)这个几何体的左视图和俯视图不变, 在俯视图上, 标上该位置放小立方体的个数, $(+$ 后面的数是可以增加的数 $)$

<ImageHere>

俯视图

因此最多可以增加 4 个,

故答案为: 4 .

Question:
把边长为 1 的 10 个相同正方体摆成如图的形式.

(1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图;

(2)试求出其表面积(包括向下的面);

(3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体, 并保持这个几何体的左视图和俯视图不变,

<ImageHere>

那么最多可以再添加 \$ \qquad \$个小正方体.

<ImageHere>

左视图

<ImageHere>

<ImageHere>

俯视图

<ImageHere>

<ImageHere>

主视图

画法几何学

 4

【解析】解: (1)这个几何体三个视图如图所示:
<ImageHere>

主视图

<ImageHere>

左视图

<ImageHere>

俯视图

$(2)(6+6+6) \times 2+2=38$,

(3)这个几何体的左视图和俯视图不变, 在俯视图上, 标上该位置放小立方体的个数, $(+$ 后面的数是可以增加的数 $)$

<ImageHere>

俯视图

因此最多可以增加 4 个,

故答案为: 4 .


Answer:
解: 作 $D E \perp A B$ 于 $E$,

<ImageHere>

$\because D C \perp B C$ 于 $C, A B \perp B C$ 于 $B$,

$\therefore$ 四边形 $B C D E$ 为矩形,

$\therefore D E=B C=20 m, B E=D C=4 m$,

$\because$ 同一时刻物高与影长所组成的三角形相似,

$\therefore \frac{1}{0.8}=\frac{A E}{20}$,

解得 $A E=25 m$,

$\therefore A B=25+4=29 \mathrm{~m}$.

答: 旗杆的高度为 $29 \mathrm{~m}$.

Question:
如图, 在阳光下, 某一时刻, 旗杆 $A B$ 的影子一部分在地面上, 另一部分在建筑物的墙面上. 小明测得旗杆 $A B$ 在地面上的影长 $B C$ 为 $20 m$ ，在墙面上的影长 $C D$ 为 $4 m$ ，同一时刻，小明又测得坚立于地面长 $1 m$ 的标杆的影长为 $0.8 m$, 求旗杆 $A B$ 的高度

<ImageHere>

画法几何学

解: 作 $D E \perp A B$ 于 $E$,

<ImageHere>

$\because D C \perp B C$ 于 $C, A B \perp B C$ 于 $B$,

$\therefore$ 四边形 $B C D E$ 为矩形,

$\therefore D E=B C=20 m, B E=D C=4 m$,

$\because$ 同一时刻物高与影长所组成的三角形相似,

$\therefore \frac{1}{0.8}=\frac{A E}{20}$,

解得 $A E=25 m$,

$\therefore A B=25+4=29 \mathrm{~m}$.

答: 旗杆的高度为 $29 \mathrm{~m}$.


Answer:
解: 设灯泡的位置为点 $P$, 横向影子 $A^{\prime} B, D^{\prime} C$ 的长度和为 $x c m$,

$\because A D / / A^{\prime} D^{\prime}$,

$\therefore \angle P A D=\angle P A^{\prime} D^{\prime}, \angle P D A=\angle P D^{\prime} A^{\prime}$.
$\therefore \triangle P A D \sim \triangle P A^{\prime} D^{\prime}$

$\therefore \frac{60}{60+x}=\frac{150}{180}$,

解得 $x=12 \mathrm{~cm}$ ，即横向影子 $A^{\prime} B, D^{\prime} C$ 的长度和为 $12 \mathrm{~cm}$;

(2)记灯泡为点 $P$, 如图:

$\because A D / / A^{\prime} D^{\prime}$,

$\therefore \angle P A D=\angle P A^{\prime} D^{\prime}, \angle P D A=\angle P D^{\prime} A^{\prime}$.

$\therefore \triangle P A D \sim \triangle P A^{\prime} D^{\prime}$.

<ImageHere>

根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质, 可得 $\frac{A D}{A^{\prime} D^{\prime}}=\frac{P N}{P M}$,

设灯泡离地面距离为 $x$, 由题意, 得 $P M=x, P N=x-a, A D=n a, A^{\prime} D^{\prime}=n a+b$,

$\therefore \frac{n a}{n a+b}=\frac{x-a}{x}=1-\frac{a}{x}$,

$\therefore \frac{a}{x}=1-\frac{n a}{n a+b}$.

$\therefore x=\frac{n a^{2}+a b}{b}$.

Question:
张红武和几位同学做手的影子游戏时, 发现对于同一物体, 影子的大小与光源到物体的距离有关. 因此, 他们认为: 可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置. 于是, 他们做了以下尝试, 如图 1, 垂直于地面放置的正方形框架 $A B C D$, 在其正上方有一灯泡, 在灯泡的照射下, 当边长 $A B$ 为 $30 \mathrm{~cm}$, 正方形框架的横向影子 $A^{\prime} B, D^{\prime} C$ 的长度和为 $6 \mathrm{~cm}$. 根据以上信息, 他们计算出灯泡离地面的高度为 $180 \mathrm{~cm}$.

<ImageHere>

图 1

<ImageHere>

图 2

<ImageHere>

图 3

(1)不改变图 1 中灯泡的高度, 将两个边长为 $30 \mathrm{~cm}$ 的正方形框架按图 2 摆放, 请求出此时横向影子 $A^{\prime} B, D^{\prime} C$ 的长度和为多少?

(2)有 $n$ 个边长为 $a$ 的正方形按图 3 摆放, 测得横向影子 $A^{\prime} B, D^{\prime} C$ 的长度和为 $b$, 求灯泡离地面的高度. (结果用含 $a, b, n$ 的代数式表示)

画法几何学

解: 设灯泡的位置为点 $P$, 横向影子 $A^{\prime} B, D^{\prime} C$ 的长度和为 $x c m$,

$\because A D / / A^{\prime} D^{\prime}$,

$\therefore \angle P A D=\angle P A^{\prime} D^{\prime}, \angle P D A=\angle P D^{\prime} A^{\prime}$.
$\therefore \triangle P A D \sim \triangle P A^{\prime} D^{\prime}$

$\therefore \frac{60}{60+x}=\frac{150}{180}$,

解得 $x=12 \mathrm{~cm}$ ，即横向影子 $A^{\prime} B, D^{\prime} C$ 的长度和为 $12 \mathrm{~cm}$;

(2)记灯泡为点 $P$, 如图:

$\because A D / / A^{\prime} D^{\prime}$,

$\therefore \angle P A D=\angle P A^{\prime} D^{\prime}, \angle P D A=\angle P D^{\prime} A^{\prime}$.

$\therefore \triangle P A D \sim \triangle P A^{\prime} D^{\prime}$.

<ImageHere>

根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质, 可得 $\frac{A D}{A^{\prime} D^{\prime}}=\frac{P N}{P M}$,

设灯泡离地面距离为 $x$, 由题意, 得 $P M=x, P N=x-a, A D=n a, A^{\prime} D^{\prime}=n a+b$,

$\therefore \frac{n a}{n a+b}=\frac{x-a}{x}=1-\frac{a}{x}$,

$\therefore \frac{a}{x}=1-\frac{n a}{n a+b}$.

$\therefore x=\frac{n a^{2}+a b}{b}$.


Answer:
（1）作图见解析；（2）作图见解析.

【解析】解: (1) 如图所示:

<ImageHere>

左视图

<ImageHere>

俯视图

(2) 添加后可得如图所示的几何体:
<ImageHere>

左视图分别是:

<ImageHere>

Question:
如图, 是由 8 个大小相同的小正方体组合成的简单几何体.

（1）该几何体的主视图如图所示, 请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图;

<ImageHere>

（2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的俯视图和主视图不变,
那么请画出添加小正方体后所得几何体可能的左视图.

画法几何学

（1）作图见解析；（2）作图见解析.

【解析】解: (1) 如图所示:

<ImageHere>

左视图

<ImageHere>

俯视图

(2) 添加后可得如图所示的几何体:
<ImageHere>

左视图分别是:

<ImageHere>