算术

（1）直接化简二次根式，进而合并得出答案；(2)直接利用乘法公式化简,进而计算得出答案;（3）直接化简二次根式,再合并,进而结合二次根式的除法运算法则计算得出答案;（4）直接利用二次根式的除法运算法则、完全平方公式、零指数幂的性质分别化简,进而得出答案.【解析】解：（1）原式$=2sqrt{5}-4timesfrac{sqrt{5}}{5}+sqrt{5}$$=2sqrt{5}-frac{4sqrt{5}}{5}+sqrt{5}$$=frac{11sqrt{5}}{5}$(2)原式$=2+6+4sqrt{3}-(5-3)$$=2+6+4sqrt{3}-2$$=6+4sqrt{3}$(3)原式$=3left(3sqrt{2}+frac{1}{5}times5sqrt{2}-4timesfrac{sqrt{2}}{2}right)div4sqrt{2}$$=3(3sqrt{2}+sqrt{2}-2sqrt{2})div4sqrt{2}$$=6sqrt{2}div4sqrt{2}$$=frac{3}{2}$(4)原式$=sqrt{48}-(6+2+4sqrt{3})+1$$=4sqrt{3}-8-4sqrt{3}+1$$=-7$【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算,正确掌握相关运算法则化简二次根式是解题关键.


Answer:
 (1) $x=3 \pm \sqrt{5}$

(2) $x<3$

$x \geq-1$

$\therefore-1 \leq x<3$

【解析】 (1) 解： $\because \mathrm{b}^{2}-4 \mathrm{ac}=36-16=20$

$\therefore \mathrm{x}=\frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

$x=3 \pm \sqrt{5}$

故答案为: $x=3 \pm \sqrt{5}$

Question:
( 10 分 $)$ 解答题

(1) 解方程: $x^{2}-6 x+4=0$;

(2) 解不等式组

$$
\left\{\begin{array}{c}
3 x+1<2(x+2) \\
-\frac{x}{3} \leq \frac{5 x}{3}+2
\end{array}\right.
$$

代数


Answer:
解: $\because x=1$ 是关于 $\mathrm{x}$ 的方程 $x^{2}-m x-2 m^{2}=0$ 的一个根,

$\therefore 1-m-2 m^{2}=0$

$\therefore 2 m^{2}+m=1$.

$\therefore m(2 m+1)=2 m^{2}+m=1$

Question: (5 分) 已知 $x=1$ 是关于 $\mathrm{x}$ 的方程 $x^{2}-m x-2 m^{2}=0$ 的一个根, 求 $m(2 m+1)$ 的值.

代数


Answer:
解答: $\because$ 原方程有两个不相等的实数根,

$\therefore \Delta=(2 \mathrm{k}+1)^{2}-4\left(\mathrm{k}^{2}+1\right)=4 \mathrm{k}^{2}+4 \mathrm{k}+1-4 \mathrm{k}^{2}-4=4 \mathrm{k}-3>0$,

解得: $k>\frac{3}{4}$

Question:
(5 分 ) 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+(2 k+1) x+k^{2}+1=0$ 有两个不等实根 $x_{1}, x_{2}$. 求实数 $k$ 的
取值范围.

代数

解答: $\because$ 原方程有两个不相等的实数根,

$\therefore \Delta=(2 \mathrm{k}+1)^{2}-4\left(\mathrm{k}^{2}+1\right)=4 \mathrm{k}^{2}+4 \mathrm{k}+1-4 \mathrm{k}^{2}-4=4 \mathrm{k}-3>0$,

解得: $k>\frac{3}{4}$


Answer:
 (1) 解: $\Delta=(k-1)^{2}-4(\mathrm{k}-2)$

$=k^{2}-6 k+9$

$=(k-3)^{2} \geq 0$

$\because \pm 0$,

$\therefore$ 方程总有两个实数根.

(2) 解: 当 $k=2$

$\therefore x^{2}+x=0$

解得 $x_{1}=0, x_{2}=-1$

Question:
(10 分) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+(k-1) x+k-2=0$.

(1) 求证: 方程总有两个实数根;

（2）任意写出一个 $k$ 值代入方程, 并求出此时方程的解.

代数


Answer:
解: $-3^{2}+6 \cos 45^{\circ}-\sqrt{2}(2-\sqrt{2})+|\sqrt{2}-3|=-9+6 \times \frac{\sqrt{2}}{2}-2 \sqrt{2}-2+3-\sqrt{2}$ $=-9+3 \sqrt{2}-2 \sqrt{2}+1-\sqrt{2}$

$=-8$

Question: (5 分) 计算: $-3^{2}+6 \cos 45^{\circ}-\sqrt{2}(2-\sqrt{2})+|\sqrt{2}-3|$.

代数


Answer:
解: 当 $m=\sqrt{3}-\sqrt{2}, n=\sqrt{3}+\sqrt{2}$ 时,

$$
\begin{aligned}
& m^{2}+m n+n^{2} \\
& =(m+n)^{2}-m n \\
& =(\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{3}-\sqrt{2}) \times(\sqrt{3}+\sqrt{2}) \\
& =(2 \sqrt{3})^{2}-\left[(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}\right] \\
& =12-(3-2) \\
& =12-1 \\
& =11
\end{aligned}
$$

Question: (5 分) 已知 $m=\sqrt{3}-\sqrt{2}, n=\sqrt{3}+\sqrt{2}$, 求代数式 $m^{2}+m n+n^{2}$ 的值.

代数


Answer:
解: $\because x^{2}-2 y+\sqrt{5} y=8+4 \sqrt{5}$

$\therefore\left(x^{2}-2 y-8\right)+(y-4) \sqrt{5}=0$

$\therefore x^{2}-2 y-8=0, y-4=0$

$\therefore x= \pm 4, y=4$

当 $x=4, y=4$ 时, $x+y=8$

当 $x=-4, y=4, x=-4, y=4$

即 $x+y$ 的值是 8 或 0 .

Question:
( 5 分 ) 先阅读下面材料, 然后再根据要求解答提出的问题:

设 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b}$ 是有理数, 且满足 $a+\sqrt{2} b=3-2 \sqrt{2}$, 求 $b^{a}$ 的值?

解: 由题意得: $(a-3)+(b+2) \sqrt{2}=0$ ，

因为 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b}$ 都是有理数,

所以 $a-3 、 b+2$ 也是有理数,

由于 $\sqrt{2}$ 是无理数,

所以 $\mathrm{a}-3=0 、 \mathrm{~b}+2=0$,

所以 $a=3 、 b=-2$,

所以 $b^{a}=(-2)^{3}=-8$,

问题: 设 $\mathrm{x} 、 \mathrm{y}$ 都是有理数, 且满足 $x^{2}-2 y+\sqrt{5} y=8+4 \sqrt{5}$, 求 $\mathrm{x}+\mathrm{y}$ 的值,

代数


Answer:
 (1) 解: $x^{2}+3 x-2=0$

$\because a=1, b=3, c=-2$,

$\therefore \Delta=3^{2}-4 \times 1 \times(-2)=17>0$

$\therefore x=\frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$

即: $x_{1}=\frac{-3+\sqrt{17}}{2} ， x_{2}=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$

(2) 解: $C(0,16)$

$(x-3)^{2}-(2 x-6)=0$

$(x-3)^{2}-2(x-3)=0$

$(x-3-2)(x-3)=0$
$(x-5)(x-3)=0$

$\therefore$ 解得: $x_{1}=3 ， x_{2}=5$

解: (1) 利用公式法求解可得;

(2) 移项后, 提取公因式 $x-3$, 再进一步求解可得;

Question:
(10 分) 用适当的方法解下列方程:

(1) $x^{2}+3 x-2=0$

(2) $(x-3)^{2}=2 x-6$

代数


Answer:
解: $\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{1}{2017^{2}}+\frac{1}{208^{2}}}$

$$
\begin{aligned}
& =\frac{3}{2}+\frac{7}{6}+\frac{13}{12}+\cdots+1+\frac{1}{2017 \times 2018} \\
& =1+\frac{1}{2}+1+\frac{1}{6}+1+\frac{1}{12}+\cdots+1+\frac{1}{2017 \times 2018} \\
& =2017+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2017 \times 2018} \\
& =2017+1-\frac{1}{2018} \\
& =2017 \frac{2017}{2018}
\end{aligned}
$$

Question:
( 5 分 ) 计算:

$$
\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{1}{207^{2}}+\frac{1}{2018^{2}}}
$$

代数


Question: 已知$x=sqrt{3}+1,y=sqrt{3}-1$,求下列各式的值:(1)$x^{2}+y^{2}$;(2)$2x^{2}+5xy+2y^{2}$.

代数


Question: (1)在Rt$triangleABC$中,$angleC=Rtangle,AC=2sqrt{2},AB=3sqrt{2}$.求Rt$triangleABC$的周长和面积.(2)已知$a=sqrt{3}+sqrt{2},b=sqrt{3}-sqrt{2}$,求$a^{2}-ab+b^{2}$的值.

代数


Answer: 根据二次根式有意义的条件求出$x$,进而求出$y$,根据绝对值的性质、二次根式的性质计算,得到答案.【解析】解：由题意得,$x-3geqslant0,3-xgeqslant0$,解得:$x=3$,$thereforey<5$,则原式$=|y-5|-sqrt{(y-6)^{2}}=5-y-(6-y)=5-y-6+y=-1$.【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、绝对值的性质以及二次根式的性质,掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.

Question: 已知$x,y$满足$y<sqrt{x-3}-sqrt{3-x}+5$,试化简$|y-5|-sqrt{y^{2}-12y+36}$.

代数

根据二次根式有意义的条件求出$x$,进而求出$y$,根据绝对值的性质、二次根式的性质计算,得到答案.【解析】解：由题意得,$x-3geqslant0,3-xgeqslant0$,解得:$x=3$,$thereforey<5$,则原式$=|y-5|-sqrt{(y-6)^{2}}=5-y-(6-y)=5-y-6+y=-1$.【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、绝对值的性质以及二次根式的性质,掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.


代数


Question: 己知:${x}=frac{1}{sqrt{3}+sqrt{2}},{y}=frac{1}{sqrt{3}-sqrt{2}}$,求下列代数式的值.(1)$x^{2}+y^{2}$;(2)$frac{y}{x}+frac{x}{y}$.

代数


Answer:
 (1) 10

(2) 解: $\because$ 在菱形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\therefore \mathrm{AB} / / \mathrm{CD}, \angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{CDB}$,又 $\because \mathrm{PF} / / \mathrm{AD}$,

$\therefore$ 四边形 APFD 为平行四边形,

$\therefore \mathrm{DF}=\mathrm{AP}=\mathrm{t}$,

又 $\because \mathrm{EF} \perp \mathrm{BD}$ 于 $\mathrm{Q}$, 且 $\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{CDB}$,

$\therefore \angle \mathrm{DEF}=\angle \mathrm{DFE}$,

$\therefore \mathrm{DE}=\mathrm{DF}=\mathrm{t}$,

$\therefore \mathrm{AE}=10-\mathrm{t}$,

当 $P E / / B D$ 时, $\triangle A P E \sim \triangle A B D$,

$\therefore \frac{A P}{A B}=\frac{A E}{A D}$,

$\therefore{ }^{\frac{t}{10}=\frac{10-t}{10}}$,

$\therefore \mathrm{t}=5$,

$\therefore$ 当 $\mathrm{t}=5$ 时, $\mathrm{PE} / / \mathrm{BD}$

(3) 蛸: (1) $\because \angle \mathrm{FDQ}=\angle \mathrm{CDO}, \angle \mathrm{FQD}=\angle \mathrm{COD}=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle \mathrm{DFQ} \backsim \triangle \mathrm{DCO}$.

$\therefore \frac{Q F}{O C}=\frac{D F}{D C}$,
即 $\frac{Q F}{6}=\frac{t}{10}$ ，

$\therefore Q F=\frac{3 t}{5}$

$\therefore E F=2 Q F=\frac{6 t}{5}$,

同理, $Q D=\frac{4 t}{5}$

如图, 过点 $\mathrm{C}$ 作 $\mathrm{CG} \perp \mathrm{AB}$ 于点 $\mathrm{G}$,

<ImageHere>

$\because \mathrm{S}_{\text {粪形 }} \mathrm{ABCD}=\mathrm{AB} \cdot \mathrm{CG}={ }^{\frac{1}{2}} \mathrm{AC} \cdot \mathrm{BD}$,

即 $10 \cdot \mathrm{CG}==^{\frac{1}{2}} \times 12 \times 16$,

$\therefore \mathrm{CG}={ }^{\frac{1}{2}}$.

<ImageHere>

<ImageHere>

$\therefore y=\frac{4 \pi}{5}-\frac{12 t^{2}}{25}$,

(2)当 $S_{\text {四边形 } A P F E}={ }^{\frac{8}{25}} S_{\text {菱形 } A B C D}$

则 $\frac{48 t}{5}-\frac{12 t^{2}}{25}=\frac{8}{25} \times\left(\frac{1}{2} \times 12 \times 16\right)$,
即 $t^{2}-20 t+64=0$,

解这个方程, 得 $t_{1}=4, t_{2}=16>10$ (不合, 舍去)

$\therefore$ 存在 $\mathrm{t}=4 \mathrm{~s}$, 使得 $\mathrm{S}_{\text {四边形 } \mathrm{APFE}}={ }^{\frac{8}{25}} \mathrm{~S}_{\text {菱形 } \mathrm{ABCD}} \cdot$

解： (1) $\because$ 在菱形 $\mathrm{ABCD}$ 中, 对角线 $\mathrm{AC}, \mathrm{BD}$ 相交于点 $\mathrm{O}$, 且 $\mathrm{AC}=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{BD}=16 \mathrm{~cm}$,

$\therefore \mathrm{BO}=\mathrm{DO}=8 \mathrm{~cm}, \quad \mathrm{AO}=\mathrm{CO}=6 \mathrm{~cm}$,

$\therefore \mathrm{AB}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10(\mathrm{~cm})$,

故答案为: 10 ;

Question:
(11 分 ) 已知: 如图, 在菱形 $A B C D$ 中, 对角线 $A C, B D$ 相交于点 $O$, 且 $A C=12 \mathrm{~cm}, B D=16 \mathrm{~cm}$. 点 $\mathrm{P}$ 从点 A 出发, 沿 $\mathrm{AB}$ 方向匀速运动, 速度为 $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$; 过点 $\mathrm{P}$ 作直线 $\mathrm{PF} / / \mathrm{AD}, \mathrm{PF}$ 交 $\mathrm{CD}$ 于点 $\mathrm{F}$, 过点 $F$ 作 $E F \perp B D$, 且与 $A D 、 B D$ 分别交于点 $E 、 Q$; 连接 $P E$, 设点 $P$ 的运动时间为 $t(s)(0<t<10)$.

<ImageHere>

解答下列问题:

(1) 填空: $A B=$ $\mathrm{cm} ;$

(2) 当 $\mathrm{t}$ 为何值时, $\mathrm{PE} / / \mathrm{BD}$;

(3) 设四边形 APFE 的面积为 $\mathrm{y}\left(\mathrm{cm}^{2}\right)$

(1)求 $\mathrm{y}$ 与 $\mathrm{t}$ 之间的函数关系式;

(2)若用 $\mathrm{S}$ 表示图形的面积, 则是否存在某一时刻 $\mathrm{t}$, 使得 $\mathrm{S}_{\text {四边抳 } A P \mathrm{APF}^{2}=}{ }^{\frac{8}{25}} \mathrm{~S}$ 㭛 $\mathrm{ABCD}$ ？若存在, 求出 $\mathrm{t}$ 的值; 若不存在, 请说明理由.

组合几何学

 (1) 10

(2) 解: $\because$ 在菱形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\therefore \mathrm{AB} / / \mathrm{CD}, \angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{CDB}$,又 $\because \mathrm{PF} / / \mathrm{AD}$,

$\therefore$ 四边形 APFD 为平行四边形,

$\therefore \mathrm{DF}=\mathrm{AP}=\mathrm{t}$,

又 $\because \mathrm{EF} \perp \mathrm{BD}$ 于 $\mathrm{Q}$, 且 $\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{CDB}$,

$\therefore \angle \mathrm{DEF}=\angle \mathrm{DFE}$,

$\therefore \mathrm{DE}=\mathrm{DF}=\mathrm{t}$,

$\therefore \mathrm{AE}=10-\mathrm{t}$,

当 $P E / / B D$ 时, $\triangle A P E \sim \triangle A B D$,

$\therefore \frac{A P}{A B}=\frac{A E}{A D}$,

$\therefore{ }^{\frac{t}{10}=\frac{10-t}{10}}$,

$\therefore \mathrm{t}=5$,

$\therefore$ 当 $\mathrm{t}=5$ 时, $\mathrm{PE} / / \mathrm{BD}$

(3) 蛸: (1) $\because \angle \mathrm{FDQ}=\angle \mathrm{CDO}, \angle \mathrm{FQD}=\angle \mathrm{COD}=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle \mathrm{DFQ} \backsim \triangle \mathrm{DCO}$.

$\therefore \frac{Q F}{O C}=\frac{D F}{D C}$,
即 $\frac{Q F}{6}=\frac{t}{10}$ ，

$\therefore Q F=\frac{3 t}{5}$

$\therefore E F=2 Q F=\frac{6 t}{5}$,

同理, $Q D=\frac{4 t}{5}$

如图, 过点 $\mathrm{C}$ 作 $\mathrm{CG} \perp \mathrm{AB}$ 于点 $\mathrm{G}$,

<ImageHere>

$\because \mathrm{S}_{\text {粪形 }} \mathrm{ABCD}=\mathrm{AB} \cdot \mathrm{CG}={ }^{\frac{1}{2}} \mathrm{AC} \cdot \mathrm{BD}$,

即 $10 \cdot \mathrm{CG}==^{\frac{1}{2}} \times 12 \times 16$,

$\therefore \mathrm{CG}={ }^{\frac{1}{2}}$.

<ImageHere>

<ImageHere>

$\therefore y=\frac{4 \pi}{5}-\frac{12 t^{2}}{25}$,

(2)当 $S_{\text {四边形 } A P F E}={ }^{\frac{8}{25}} S_{\text {菱形 } A B C D}$

则 $\frac{48 t}{5}-\frac{12 t^{2}}{25}=\frac{8}{25} \times\left(\frac{1}{2} \times 12 \times 16\right)$,
即 $t^{2}-20 t+64=0$,

解这个方程, 得 $t_{1}=4, t_{2}=16>10$ (不合, 舍去)

$\therefore$ 存在 $\mathrm{t}=4 \mathrm{~s}$, 使得 $\mathrm{S}_{\text {四边形 } \mathrm{APFE}}={ }^{\frac{8}{25}} \mathrm{~S}_{\text {菱形 } \mathrm{ABCD}} \cdot$

解： (1) $\because$ 在菱形 $\mathrm{ABCD}$ 中, 对角线 $\mathrm{AC}, \mathrm{BD}$ 相交于点 $\mathrm{O}$, 且 $\mathrm{AC}=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{BD}=16 \mathrm{~cm}$,

$\therefore \mathrm{BO}=\mathrm{DO}=8 \mathrm{~cm}, \quad \mathrm{AO}=\mathrm{CO}=6 \mathrm{~cm}$,

$\therefore \mathrm{AB}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10(\mathrm{~cm})$,

故答案为: 10 ;


Answer:
 (1) 解: $\because \mathrm{DF} / / \mathrm{BE}$,

$\therefore \angle \mathrm{DFE}=\angle \mathrm{BEF}$.

$\because \angle \mathrm{AFD}+\angle \mathrm{DFE}=180^{\circ}, \angle \mathrm{CEB}+\angle \mathrm{BEF}=180^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{AFD}=\angle \mathrm{CEB}$.

又 $\because \mathrm{AF}=\mathrm{CE}, \mathrm{DF}=\mathrm{BE}$,
$\therefore \triangle \mathrm{AFD} \cong \triangle \mathrm{CEB}(\mathrm{SAS})$

(2) 解: 由 (1) 知 $\triangle \mathrm{AFD} \cong \triangle \mathrm{CEB}$,

$\therefore \angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BCA}, \mathrm{AD}=\mathrm{BC}$

$\therefore \mathrm{AD} / / \mathrm{BC}$.

$\therefore$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)

Question:
( 10 分 ) 如图, $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ 是四边形 $\mathrm{ABCD}$ 的对角线 $\mathrm{AC}$ 上两点, $\mathrm{AF}=\mathrm{CE}, \mathrm{DF}=\mathrm{BE}, \mathrm{DF} / / \mathrm{BE}$.求证:

<ImageHere>

(1) $\triangle \mathrm{AFD} \cong \triangle \mathrm{CEB}$;

(2) 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形.

组合几何学

 (1) 解: $\because \mathrm{DF} / / \mathrm{BE}$,

$\therefore \angle \mathrm{DFE}=\angle \mathrm{BEF}$.

$\because \angle \mathrm{AFD}+\angle \mathrm{DFE}=180^{\circ}, \angle \mathrm{CEB}+\angle \mathrm{BEF}=180^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{AFD}=\angle \mathrm{CEB}$.

又 $\because \mathrm{AF}=\mathrm{CE}, \mathrm{DF}=\mathrm{BE}$,
$\therefore \triangle \mathrm{AFD} \cong \triangle \mathrm{CEB}(\mathrm{SAS})$

(2) 解: 由 (1) 知 $\triangle \mathrm{AFD} \cong \triangle \mathrm{CEB}$,

$\therefore \angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BCA}, \mathrm{AD}=\mathrm{BC}$

$\therefore \mathrm{AD} / / \mathrm{BC}$.

$\therefore$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)


Answer:
解: 连接 $\mathrm{AC}$ 交 $\mathrm{BD}$ 于点 $\mathrm{O}$, 连接 $\mathrm{AF} 、 \mathrm{CE}$

<ImageHere>
$\because$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形

$\therefore \mathrm{OA}=\mathrm{OC}, \mathrm{OB}=\mathrm{OD}$

$\because \mathrm{OF}=\mathrm{BF}-\mathrm{OB}, \quad \mathrm{OE}=\mathrm{DE}-\mathrm{OD}, \quad \mathrm{BF}=\mathrm{DE}$

$\therefore \mathrm{OE}=\mathrm{OF}$

$\because \mathrm{OA}=\mathrm{OC}, \quad \mathrm{OE}=\mathrm{OF}$

$\therefore$ 四边形 $\mathrm{AECF}$ 是平行四边形

$\therefore \mathrm{AE}=\mathrm{CF}$

Question:
( 5 分 ) 已知, 如图, 在 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{E} 、 \mathrm{~F}$ 是对角线 $\mathrm{BD}$ 上的两点, 且 $\mathrm{BF}=\mathrm{DE}$. 求证: $\mathrm{AE}=\mathrm{CF}$.

<ImageHere>

组合几何学

解: 连接 $\mathrm{AC}$ 交 $\mathrm{BD}$ 于点 $\mathrm{O}$, 连接 $\mathrm{AF} 、 \mathrm{CE}$

<ImageHere>
$\because$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形

$\therefore \mathrm{OA}=\mathrm{OC}, \mathrm{OB}=\mathrm{OD}$

$\because \mathrm{OF}=\mathrm{BF}-\mathrm{OB}, \quad \mathrm{OE}=\mathrm{DE}-\mathrm{OD}, \quad \mathrm{BF}=\mathrm{DE}$

$\therefore \mathrm{OE}=\mathrm{OF}$

$\because \mathrm{OA}=\mathrm{OC}, \quad \mathrm{OE}=\mathrm{OF}$

$\therefore$ 四边形 $\mathrm{AECF}$ 是平行四边形

$\therefore \mathrm{AE}=\mathrm{CF}$


Question: 如图,正方形$ABCD$的面积为8,正方形$ECFG$的面积为32.(1)求正方形$ABCD$和正方形$ECFG$的边长;(2)求阴影部分的面积.<ImageHere>

组合几何学


Question: 如图,已知平行四边形$ABDC$中,$E、F$是对角线$BC$上两点,且满足$BF=DE$.求证:$AF//CE$.<ImageHere>

组合几何学


Question: 以下提供了将凸多边形分割成若干个三角形的一种方法:(1)试根据所给的方法,将图(4)中的七边形分割成6个三角形;（2）按这种方法,凸$n$边形可以分割成$(n-1)_$个三角形;（3）请根据上述方法,以三角形的内角和定理为依据,推导凸$n$边形的内角和公式:凸$n$边形的内角和$=(n-2)times180^{circ};$(4)利用（3）中的公式解答下面的问题:凸$n$边形的内角和再加上某个外角等于$1350^{circ}$,求这个多边形的边数以及这个外角的度数.<ImageHere>(1)<ImageHere>(2)<ImageHere>(3)<ImageHere>(4)

组合几何学

(1)根据图(1)(2)(3)进行推导.(2)根据特殊到一般的数学思想解决本题.（3）由$(n-1)$个三角形的内角的和为$180^{circ}(n-1)$,得凸$n$边形的内角和为$180^{circ}(n-1)$$-180^{circ}=(n-2)times180^{circ}$.（4）设加上的某个外角的度数为$xleft(0<x<180^{circ}right)$,由题意得$(n-2)times180^{circ}+x=1350^{circ}$,从而解决此题.【解析】解:(1)图(1)是四边形,分割成3个三角形;图(2)是五边形，分割成4个三角形;图(3)是六边形,分割成5个三角形;图(4)是七边形，分割成6个三角形;...以此类推,凸$n$边形可以分割成$(n-1)$个三角形.故答案为:6.(2)由(1)可得:凸$n$边形可以分割成$(n-1)$个三角形.故答案为:$(n-1)$.(3)由(2)得:凸$n$边形可以分割成$(n-1)$个三角形.$therefore(n-1)$个三角形的内角的和为$180^{circ}(n-1)$.$therefore$凸$n$边形的内角和为$180^{circ}(n-1)-180^{circ}=(n-2)times180^{circ}$.（4）设加上的某个外角的度数为$xleft(0<x<180^{circ}right)$.由题意得:$(n-2)times180^{circ}+x=1350^{circ}$.$thereforex=1350^{circ}-(n-2)times180^{circ}$.$because0<x<180^{circ}$,$therefore6.5<n-2<7.5$.$thereforen=9$.$thereforex=90^{circ}$.$therefore$这个多边形的边数为9,这个外角的度数为$90^{circ}$.【点睛】本题主要考查多边形的内角和、三角形内角和定理、多边形的对角线,熟练掌握特殊到一般的数学思想是解决本题的关键.


Question: 如图,矩形$AEBO$的对角线$AB,OE$交于点$F$,延长$AO$到点$C$,使$OC=OA$,延长$BO$到点$D$,使$OD=OB$,连接$AD,DC,BC$.(1)求证:四边形$ABCD$是菱形;(2)若$OE=10,angleBCD=60^{circ}$,求菱形$ABCD$的面积.<ImageHere>

组合几何学


Answer:
证明: $\because B E=C F$,

$\therefore B E+E C=C F+E C$ 即 $B C=E F$,

在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle D E F$ 中

$\left\{\begin{array}{l}A B=D E \\ B C=E F \\ A C=D F\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B C \xlongequal{\cong} \triangle D E F$

$\therefore \angle A=\angle D$

Question:
如图, 已知点 $E 、 C$ 在线段 $B F$ 上, $B E=C F, A B=D E, A C=D F$.

求证: $\angle A=\angle D$

<ImageHere>

组合几何学

证明: $\because B E=C F$,

$\therefore B E+E C=C F+E C$ 即 $B C=E F$,

在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle D E F$ 中

$\left\{\begin{array}{l}A B=D E \\ B C=E F \\ A C=D F\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B C \xlongequal{\cong} \triangle D E F$

$\therefore \angle A=\angle D$


Answer:
解: $\because D E$ 垂直平分 $A C$,

$\therefore E A=E C$,

$\therefore \angle C=\angle E A C$,

设 $\angle C=x^{\circ}$, 则 $\angle E A C=X^{\circ}, \angle F A C=(x+18)^{\circ}$,

$\because A F$ 平分 $\angle B A C$,

$\therefore \angle B A C=2 \angle F A C=(2 x+36)^{\circ}$,

$\therefore 72+2 x+36+x=180$,

解得: $x=24$,

$\therefore \angle C=24^{\circ}$.

Question:
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A F$ 平分 $\angle B A C, A C$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点 $E, \angle B=72^{\circ}, \angle F A E=18^{\circ}$,求 $\angle C$ 的度数.

<ImageHere>

组合几何学

解: $\because D E$ 垂直平分 $A C$,

$\therefore E A=E C$,

$\therefore \angle C=\angle E A C$,

设 $\angle C=x^{\circ}$, 则 $\angle E A C=X^{\circ}, \angle F A C=(x+18)^{\circ}$,

$\because A F$ 平分 $\angle B A C$,

$\therefore \angle B A C=2 \angle F A C=(2 x+36)^{\circ}$,

$\therefore 72+2 x+36+x=180$,

解得: $x=24$,

$\therefore \angle C=24^{\circ}$.


Answer:
证明：连接 $C D$,

<ImageHere>

在 $\triangle A D C$ 和 $\triangle B C D$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A D=B C \\ D C=C D, \\ A C=B D\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A D C \xlongequal{\triangle} \triangle B C D(\mathrm{SSS})$,

$\therefore \angle A=\angle B, \angle A C D=\angle B D C$

$\therefore O D=O C$.

Question:
已知: 如图, $A D=B C, A C=B D, A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$, 求证: $\angle A=\angle B, O D=O$.

<ImageHere>

组合几何学

证明：连接 $C D$,

<ImageHere>

在 $\triangle A D C$ 和 $\triangle B C D$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A D=B C \\ D C=C D, \\ A C=B D\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A D C \xlongequal{\triangle} \triangle B C D(\mathrm{SSS})$,

$\therefore \angle A=\angle B, \angle A C D=\angle B D C$

$\therefore O D=O C$.


Answer:
(1) 解: $\because \angle B A C=80^{\circ}, \angle A C B=40^{\circ}, A E, C D$ 分别是 $\angle B A C, \angle A C B$ 的平分线,

$\therefore \angle F A C=40^{\circ}, \angle F C A=20^{\circ}$,

$\therefore \angle A F C=180^{\circ}-\angle F A C^{-} \angle F C A=120^{\circ}$.

（2）解: $\because \angle B=80^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C^{+} \angle B C A=100^{\circ}$,

$\because A E, C D$ 分别是 $\angle B A C, \angle A C B$ 的平分线,

$\therefore \angle F A C+\angle F C A=50^{\circ}$,

$\therefore \angle A F C=130^{\circ}$.

（3）解： $\because \angle B=x^{\circ}$ ，

$\therefore \angle B A C+\angle B C A=180^{\circ}-x^{\circ}$,

$\because A E, C D$ 分别是 $\angle B A C, \angle A C B$ 的平分线,

$\therefore \angle F A C+\angle F C A=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-x^{\circ}\right)$,
$\therefore \angle A F C=180^{\circ}-(\angle F A C+\angle F C A)=180^{\circ}-\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-x^{\circ}\right)=90^{\circ}+\frac{1}{2} x^{\circ}$.

Question:
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A E, C D$ 分别是 $\angle B A C, \angle A C B$ 的平分线, 且 $A E, C D$ 相交于点 $F$.

<ImageHere>

(1) 若 $\angle B A C=80^{\circ}, \angle A C B=40^{\circ}$, 求 $\angle A F C$ 的度数;

(2) 若 $\angle B=80^{\circ}$, 求 $\angle A F C$ 的度数;

(3) 若 $\angle B=x^{\circ}$ ，用含 $x$ 的代数式表示 $\angle A F C$ 的度数.

组合几何学

(1) 解: $\because \angle B A C=80^{\circ}, \angle A C B=40^{\circ}, A E, C D$ 分别是 $\angle B A C, \angle A C B$ 的平分线,

$\therefore \angle F A C=40^{\circ}, \angle F C A=20^{\circ}$,

$\therefore \angle A F C=180^{\circ}-\angle F A C^{-} \angle F C A=120^{\circ}$.

（2）解: $\because \angle B=80^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C^{+} \angle B C A=100^{\circ}$,

$\because A E, C D$ 分别是 $\angle B A C, \angle A C B$ 的平分线,

$\therefore \angle F A C+\angle F C A=50^{\circ}$,

$\therefore \angle A F C=130^{\circ}$.

（3）解： $\because \angle B=x^{\circ}$ ，

$\therefore \angle B A C+\angle B C A=180^{\circ}-x^{\circ}$,

$\because A E, C D$ 分别是 $\angle B A C, \angle A C B$ 的平分线,

$\therefore \angle F A C+\angle F C A=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-x^{\circ}\right)$,
$\therefore \angle A F C=180^{\circ}-(\angle F A C+\angle F C A)=180^{\circ}-\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-x^{\circ}\right)=90^{\circ}+\frac{1}{2} x^{\circ}$.


Answer:
证明: $\because C=B F$

$\therefore C E+E F=B F+E F$

$\therefore C F=B E$

在 $\triangle A B E$ 和 $\triangle C D F$ 中 $\left\{\begin{array}{l}C F=B E \\ \angle B=\angle C \\ A B=D C\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B E \cong \triangle C D F$

$\therefore A E=D F$

Question:
如图, 点 $C, E, F, B$ 在同一条直线上, $C E=B F, A B=D C, \angle B=\angle C$, 证明: $A E=D F$.

<ImageHere>

组合几何学

证明: $\because C=B F$

$\therefore C E+E F=B F+E F$

$\therefore C F=B E$

在 $\triangle A B E$ 和 $\triangle C D F$ 中 $\left\{\begin{array}{l}C F=B E \\ \angle B=\angle C \\ A B=D C\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B E \cong \triangle C D F$

$\therefore A E=D F$


Answer:
证明: (1) $\because A C \perp B C, B D \perp A D$,

$\therefore \triangle A B C$ 与 $\triangle B A D$ 是直角三角形,

在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle B A D$ 中, $\because A C=B D, A B=B A, \angle A C B=\angle B D A=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle B A D(H L)$

$\therefore B C=A D$.

(2) $\because \triangle A B C \cong \triangle B A D$
$\therefore \angle C A B=\angle D B A$

$\therefore O A=O B$.

$\therefore \triangle O A B$ 是等腰三角形.

Question:
如图, 已知 $A C \perp B C, B D \perp A D, A C$ 与 $B D$ 交于 $O, A C=B D$.

求证: (1) $B C=A D$;

(2) $\triangle O A B$ 是等腰三角形.

<ImageHere>

组合几何学

证明: (1) $\because A C \perp B C, B D \perp A D$,

$\therefore \triangle A B C$ 与 $\triangle B A D$ 是直角三角形,

在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle B A D$ 中, $\because A C=B D, A B=B A, \angle A C B=\angle B D A=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle B A D(H L)$

$\therefore B C=A D$.

(2) $\because \triangle A B C \cong \triangle B A D$
$\therefore \angle C A B=\angle D B A$

$\therefore O A=O B$.

$\therefore \triangle O A B$ 是等腰三角形.


Answer:
解: (1) $\because A E$ 和 $B D$ 相交于点 $O$,

$\therefore \angle A O D=\angle B O E$.

在 $\triangle A O D$ 和 $\triangle B O E$ 中,

$\because \angle A=\angle B$,

$\therefore \angle B E O=\angle 2$.

又 $\because \angle 1=\angle 2$,

$\therefore \angle 1=\angle B E O$,

$\therefore \angle A E C=\angle B E D$.

在 $\triangle A E C$ 和 $\triangle B E D$ 中,

$\because\left\{\begin{array}{l}\angle A=\angle B \\ A E=B E \\ \angle A E C=\angle B E D\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A E C \xlongequal{\cong} \triangle B E D(A S A)$.

(2) $\because \triangle A E C \cong \triangle B E D$,

(3) $\therefore E C=E D, \angle C=\angle B D E$.

在 $\triangle E D C$ 中, $\because E C=E D, \angle 1=42^{\circ}$ ，

$\therefore \angle C=\angle E D C=\left(180^{\circ}-42^{\circ}\right) \div 2=69^{\circ}$,

$\therefore \angle B D E=\angle C=69^{\circ}$.

Question:
如图, $\angle A=\angle B, A E=B E$, 点 $D$ 在 $A C$ 边上, $\angle 1=\angle 2, A E$ 和 $B D$ 相交于点 $O$.

<ImageHere>

(1) 求证: $\triangle A E C \cong \triangle B E D$;

(2) 若 $\angle 1=42^{\circ}$, 求 $\angle B D E$ 的度数.

组合几何学

解: (1) $\because A E$ 和 $B D$ 相交于点 $O$,

$\therefore \angle A O D=\angle B O E$.

在 $\triangle A O D$ 和 $\triangle B O E$ 中,

$\because \angle A=\angle B$,

$\therefore \angle B E O=\angle 2$.

又 $\because \angle 1=\angle 2$,

$\therefore \angle 1=\angle B E O$,

$\therefore \angle A E C=\angle B E D$.

在 $\triangle A E C$ 和 $\triangle B E D$ 中,

$\because\left\{\begin{array}{l}\angle A=\angle B \\ A E=B E \\ \angle A E C=\angle B E D\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A E C \xlongequal{\cong} \triangle B E D(A S A)$.

(2) $\because \triangle A E C \cong \triangle B E D$,

(3) $\therefore E C=E D, \angle C=\angle B D E$.

在 $\triangle E D C$ 中, $\because E C=E D, \angle 1=42^{\circ}$ ，

$\therefore \angle C=\angle E D C=\left(180^{\circ}-42^{\circ}\right) \div 2=69^{\circ}$,

$\therefore \angle B D E=\angle C=69^{\circ}$.


Answer:
解: 如图, 等边三角形 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的边长为 $4 \sqrt{3}, \mathrm{AD}$ 为高, $\because \triangle \mathrm{ABC}$ 为等边三角形,

$\therefore \angle \mathrm{B}=60^{\circ}$,

在 Rt $\triangle \mathrm{ABD}$ 中, $\mathrm{AB}=4 \sqrt{3}$,

$\because \sin \mathrm{B}=\frac{A D}{A B}$

<ImageHere>

即它的一条边上的高为 6 .

<ImageHere>

Question: (5 分) 已知正三角形的边长为 $4 \sqrt{3}$, 求它的一条边上的高.

度量几何学

解: 如图, 等边三角形 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的边长为 $4 \sqrt{3}, \mathrm{AD}$ 为高, $\because \triangle \mathrm{ABC}$ 为等边三角形,

$\therefore \angle \mathrm{B}=60^{\circ}$,

在 Rt $\triangle \mathrm{ABD}$ 中, $\mathrm{AB}=4 \sqrt{3}$,

$\because \sin \mathrm{B}=\frac{A D}{A B}$

<ImageHere>

即它的一条边上的高为 6 .

<ImageHere>


Answer:
解: $\sqrt{(a-b)^{2}}-|b+c|-\sqrt{(b-c)^{2}}$

$=|a-b|-|b+c|-|b-c|$

$=b-a+b+c-b+c$

$=b-a+2 c$

Question:
( 5 分 ) 有理数 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b} 、 \mathrm{c}$ 在数轴上的位置如图所示, 化简 $\sqrt{(a-b)^{2}}-|b+c|-\sqrt{(b-c)^{2}}$

<ImageHere>

度量几何学


Answer: 因为长方形面积为 $\sqrt{140 \pi} \times \sqrt{35 \pi}=\sqrt{2^{2} \times 35^{2} \times \pi^{2}}=70 \pi$, 圆的面积等于长方形面积, 不妨设圆的半径为 $\mathrm{r}$, 于是 $\pi^{2}=70 \pi$, 所以 $r=\sqrt{70}_{\mathrm{cm}}$.

Question: (5 分) 方老师想设计一个长方形纸片, 已知长方形的长是 $\sqrt{140 \pi} \mathrm{cm}$, 宽是 $\sqrt{35 \pi} \mathrm{cm}$, 他又想设计一个面积与其相等的圆, 请你帮助方老师求出圆的半径.

度量几何学

因为长方形面积为 $\sqrt{140 \pi} \times \sqrt{35 \pi}=\sqrt{2^{2} \times 35^{2} \times \pi^{2}}=70 \pi$, 圆的面积等于长方形面积, 不妨设圆的半径为 $\mathrm{r}$, 于是 $\pi^{2}=70 \pi$, 所以 $r=\sqrt{70}_{\mathrm{cm}}$.


Answer:
解：在平行四边新 $\mathrm{ABCD}$ 中,
$\because$ 对角线 $\mathrm{AC}, \mathrm{BD}$ 相交于点 $\mathrm{O}, \mathrm{MN}$ 是过 $\mathrm{O}$ 点的直线,

$\therefore \mathrm{AN}=\mathrm{MC} \mathrm{DN}=\mathrm{BM}$

$\because \mathrm{BC}=\mathrm{BM}+\mathrm{MC}$

$\therefore \mathrm{BC}=\mathrm{BM}+\mathrm{AN}=2+2.8=4.8$

$\because \mathrm{AD}=\mathrm{BC}$

$\therefore \mathrm{AD}=4.8$

Question:
( 8 分 ) 如图, 在平行四边形 $A B C D$ 中, 对角线 $A C, B D$ 相交于点 $O, M N$ 是过 $O$ 点的直线, 交 $B C$ 于 $M$, 交 $A D$ 于 $N, B M=2, A N=2.8$, 求 $B C$ 和 $A D$ 的长.

<ImageHere>

度量几何学

解：在平行四边新 $\mathrm{ABCD}$ 中,
$\because$ 对角线 $\mathrm{AC}, \mathrm{BD}$ 相交于点 $\mathrm{O}, \mathrm{MN}$ 是过 $\mathrm{O}$ 点的直线,

$\therefore \mathrm{AN}=\mathrm{MC} \mathrm{DN}=\mathrm{BM}$

$\because \mathrm{BC}=\mathrm{BM}+\mathrm{MC}$

$\therefore \mathrm{BC}=\mathrm{BM}+\mathrm{AN}=2+2.8=4.8$

$\because \mathrm{AD}=\mathrm{BC}$

$\therefore \mathrm{AD}=4.8$


Answer:
证明: $\because$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形

$\therefore \mathrm{AD}=\mathrm{BC}, \quad \mathrm{AD} / / \mathrm{BC}$

$\because E 、 F$ 分别是 $A D 、 B C$ 的中点

$\therefore \mathrm{DE}={ }^{\frac{1}{2}} \mathrm{AD}, \mathrm{BF}={ }^{\frac{1}{2}} \mathrm{BC}$

$\therefore \mathrm{DE}=\mathrm{BF}$

$\therefore$ 四边形 $\mathrm{BFDE}$ 是平行四边形

$\therefore \mathrm{BE}=\mathrm{DF}$

Question:
( 5 分 ) 已知:如图, 在平行四边形 $A B C D$ 中, $E 、 F$ 分别是 $A D 、 B C$ 的中点, 求证: $B E=D F$.

<ImageHere>

度量几何学

证明: $\because$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形

$\therefore \mathrm{AD}=\mathrm{BC}, \quad \mathrm{AD} / / \mathrm{BC}$

$\because E 、 F$ 分别是 $A D 、 B C$ 的中点

$\therefore \mathrm{DE}={ }^{\frac{1}{2}} \mathrm{AD}, \mathrm{BF}={ }^{\frac{1}{2}} \mathrm{BC}$

$\therefore \mathrm{DE}=\mathrm{BF}$

$\therefore$ 四边形 $\mathrm{BFDE}$ 是平行四边形

$\therefore \mathrm{BE}=\mathrm{DF}$


Answer:
 (1) 解：设多边形的边数为 $n$,

由题意得, $(n-2) \cdot 180^{\circ}=5 \times 360^{\circ}$,

解得 $n=12$,

所以, 这个多边形是十二边形;

(2) 解: 根据题意, 得:

$(n-2) \cdot 180=1440^{\circ}$,

解得 $\mathrm{n}=10$.

所以它的边长是 $100 \div 10=10$.

故答案为: 10 。

Question:
(10 分 $)$ 按要求完成下列各小题.

(1) 若一个多边形的内角和是外角和的 5 倍, 求这个多边形的边数;

(2) 若一个正多边形的周长是 100 , 且内角和为 $1440^{\circ}$, 求该正多边形的边长.

度量几何学


Question: 如图在四边形$ABCD$中$AB=BC=sqrt{2},CD=sqrt{3},AD=1$且$ABperpCB$,试求四边形$ABCD$的面积(提示:连接$AC$).<ImageHere>

度量几何学


度量几何学


Question: 在Rt$triangleABC$中,$angleBAC=90^{circ},E、F$分别是$BC、AC$的中点,延长$BA$到点$D$,使$AB=2AD$,连接$DE、DF、AE、EF,AF$与$DE$交于点$O$.$(1)$试说明$AF$与$DE$互相平分;(2)若$AB=8,BC=12$,求$DO$的长.<ImageHere>

度量几何学


Question: 如图,在四边形$ABCD$中,$AD//BC,AC$与$BD$交于点$E$,点$E$是$BD$的中点,延长$CD$到点$F$,使$DF=CD$,连接$AF$.(1)求证:$AE=CE$;(2)求证:四边形$ABDF$是平行四边形;(3)若$AB=4,AF=8,angleF=30^{circ}$，则四边形$ABCF$的面积为24.<ImageHere>

度量几何学


Question: 如图,在平行四边形$ABCD$中,$angleBAD$的平分线与$BC$的延长线交于点$E$,与$DC$交于点$F$.(1)求证$CD=BE$;(2)若点$F$为$DC$的中点,$DGperpAE$于$G$,且$DG=3,AB=10$,求$AE$的长.<ImageHere>

度量几何学


Question: 如图,四边形$ABCD$中,对角线$AC、BD$相交于点$O,AO=OC,BO=OD$,且$angleAOB=2angleOAD$.(1)求证:四边形$ABCD$是矩形;(2)若$angleAOB:angleODC=4:3$,求$angleADO$的度数.<ImageHere>

度量几何学


Question: 如图,$squareABCD$的对角线$AC、BD$相交于点$O$,且$angleOBC=angleOCB$.(1)求证:四边形$ABCD$为矩形;(2)过$B$作$BEperpAO$于$E,angleCBE=3angleABE,BE=2$,求$AE$的长.<ImageHere>

度量几何学


Answer:
解: (1) $\because \angle \mathrm{B}=70^{\circ}, \angle \mathrm{C}=30^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{B}-\angle \mathrm{C}=80^{\circ}$

又 $\because \mathrm{AE}$ 平分 $\angle \mathrm{BAC}$,
$\therefore \angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{EAC}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}=40^{\circ}$;

(2) $\because \mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$

$\therefore \angle A D C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{DAC}=90^{\circ}-\angle \mathrm{C}=60^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{DAC}-\angle \mathrm{EAC}=20^{\circ}$

Question:
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A D \perp B C, A E$ 平分 $\angle B A C, \angle B=70^{\circ}, \angle C=30^{\circ}$.

(1) 则 $\angle \mathrm{BAE}=$

(2) 求 $\angle \mathrm{DAE}$ 的度数.

<ImageHere>

度量几何学

解: (1) $\because \angle \mathrm{B}=70^{\circ}, \angle \mathrm{C}=30^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{B}-\angle \mathrm{C}=80^{\circ}$

又 $\because \mathrm{AE}$ 平分 $\angle \mathrm{BAC}$,
$\therefore \angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{EAC}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}=40^{\circ}$;

(2) $\because \mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$

$\therefore \angle A D C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{DAC}=90^{\circ}-\angle \mathrm{C}=60^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{DAC}-\angle \mathrm{EAC}=20^{\circ}$


Answer:
解: 设 $A B=x$

依题意可知: 在 Rt $\triangle A C E$ 中, $\angle A E C=90^{\circ}, A C=x+1, A E=x-1, C E=6$,

根据勾股定理得: $A C^{2}=A E^{2}+C E^{2}$, 即: $(x+1)^{2}=(x-1)^{2}+6^{2}$,

解得： $x=9$ 答：旗杆 $A B$ 的高度是 9 米.

Question:
学过 《勾股定理》后, 某班兴趣小组来到操场上测量旗杆 $A B$ 的高度, 得到如下信息:

<ImageHere>

图1

<ImageHere>

图2

(1)测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长 1 米（如图 1）;

(2)当将绳子拉直时, 测得此时拉绳子的手到地面的距离 $C D$ 为 1 米,

到旗杆的距离 $C E$ 为 6 米（如图 2）。根据以上信息, 求旗杆 $A B$ 的高度.

度量几何学


Answer:
(1) 证明: $\because A B / / D E$,

$\therefore \angle A B C=\angle D E F$,

在 $\triangle A B C$ 与 $\triangle D E F$ 中 $\left\{\begin{array}{c}\angle A B C=\angle D E F \\ A B=D E \\ \angle A=\angle D\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle D E F(\mathrm{ASA}) ;$

(2) 解: $\because \triangle A B C \cong \triangle D E F$,

$\therefore B C=E F$,

$\therefore B F+F C=E C+F C$,

$\therefore B F=E C$

$\because B E=10 \mathrm{~cm}, B F=3 \mathrm{~cm}$
$\therefore F C=10-3-3=4 \mathrm{~cm}$

## 25.（1）【旧题重现】

如图(1), $A D 、 A^{\prime} D^{\prime}$ 分别是 $\triangle A B C$ 和 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的 $B C 、 B^{\prime} C^{\prime}$ 边上的中线,

$A D=A^{\prime} D^{\prime}, A B=A^{\prime} B^{\prime}, B C=B^{\prime} C^{\prime}$. 求证: $\triangle A B C \cong \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$.
<ImageHere>

图(1)

证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．．

<ImageHere>

(2)【深入研究】

如图(2), $A D 、 A^{\prime} D^{\prime}$ 分别是 $\triangle A B C$ 和 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的 $B C 、 B^{\prime} C^{\prime}$ 边上的中线, $A D=A^{\prime} D^{\prime}, A B=A^{\prime} B^{\prime}, A C=A^{\prime} C^{\prime}$. 判断 $\triangle A B C$ 与 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 是否仍然全等.
<ImageHere>

图(2)

 【解】(1) 证明: $\because A D$ 是 $\triangle A B C$ 的中线,
$\therefore B D=\frac{1}{2} B C$,

$\because A^{\prime} D^{\prime}$ 分别是 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的中线,

$\therefore B^{\prime} D^{\prime}=\frac{1}{2} B^{\prime} C^{\prime}$,

$\because B C=B^{\prime} C^{\prime}$,

$\therefore B D=B^{\prime} D^{\prime}$,

在 $\triangle A B D$ 和 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} D^{\prime}$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}B D=B^{\prime} D^{\prime} \\ A D=A^{\prime} D^{\prime}, \\ A B=A^{\prime} B^{\prime}\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B D \cong \triangle A^{\prime} B^{\prime} D^{\prime}(\mathrm{SSS})$

$\therefore \angle B=\angle B^{\prime}$,

在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A B=A^{\prime} B^{\prime} \\ \angle B=\angle B^{\prime}, \\ B C=B^{\prime} C^{\prime}\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B C \cong A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}(\mathrm{SAS})$

故答案为: (1) $B D=\frac{1}{2} B C$; (2) $B^{\prime} D^{\prime}=\frac{1}{2} B^{\prime} C^{\prime}$; (3) $A D=A^{\prime} D^{\prime}$; (4) $\angle B=\angle B^{\prime}$;

(2) 解： $\triangle A B C$ 与 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 仍然全等, 理由如下:

延长 $A D$ 至 $E$, 使 $D E=A D$, 连接 $B E$, 延长 $A^{\prime} D^{\prime}$ 至 $E^{\prime}$, 使 $D^{\prime} E^{\prime}=A^{\prime} D^{\prime}$, 连接 $B^{\prime} E^{\prime}$.
<ImageHere>

$\because A D$ 和 $A^{\prime} D^{\prime}$ 分别是 $\triangle A B C$ 和 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的 $B C$ 和 $B^{\prime} C^{\prime}$ 边上的中线,
$\therefore B D=C D, \quad B^{\prime} D^{\prime}=C^{\prime} D^{\prime}$.

在 $\triangle A D C$ 和 $\triangle E D B$ 中, $\left\{\begin{array}{l}A D=D E \\ \angle A D C=\angle B D E, \\ B D=C D\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A D C \cong \triangle E D B(\mathrm{SAS})$.

$\therefore A C=E B, \quad \angle D A C=\angle E$,

同理 $A^{\prime} C^{\prime}=E^{\prime} B^{\prime}, \angle D^{\prime} A^{\prime} C^{\prime}=\angle E^{\prime}$.

$\because A C=A^{\prime} C^{\prime}$,

$\therefore E B=E^{\prime} B^{\prime}$.

$\because A D=A^{\prime} D^{\prime}, \quad A D=D E, \quad A^{\prime} D^{\prime}=D^{\prime} E^{\prime}$,

$\therefore A E=A^{\prime} E^{\prime}$.

$\because A B=A^{\prime} B^{\prime}$,

$\therefore \triangle A B E \cong A^{\prime} B^{\prime} E^{\prime}(\mathrm{SSS})$.

$\therefore \angle B A E=\angle B^{\prime} A^{\prime} E^{\prime}, \quad \angle E=\angle E^{\prime}$.

$\therefore \angle D A C=\angle D^{\prime} A^{\prime} C^{\prime}$.

$\therefore \angle B A C=\angle B^{\prime} A^{\prime} C^{\prime}$,

又 $A B=A^{\prime} B^{\prime}, A C=A^{\prime} C^{\prime}$,

$\therefore \triangle A B C \cong A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}(\mathrm{SAS})$

Question:
如图, $A B / / D E, \angle A=\angle D$, 测得 $A B=D E$.

<ImageHere>

(1) 求证: $\triangle A B C \cong \triangle D E F$;

(2) 若 $B E=10 \mathrm{~m}, \quad B F=3 \mathrm{~m}$, 求 $F C$ 的长.

度量几何学

(1) 证明: $\because A B / / D E$,

$\therefore \angle A B C=\angle D E F$,

在 $\triangle A B C$ 与 $\triangle D E F$ 中 $\left\{\begin{array}{c}\angle A B C=\angle D E F \\ A B=D E \\ \angle A=\angle D\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle D E F(\mathrm{ASA}) ;$

(2) 解: $\because \triangle A B C \cong \triangle D E F$,

$\therefore B C=E F$,

$\therefore B F+F C=E C+F C$,

$\therefore B F=E C$

$\because B E=10 \mathrm{~cm}, B F=3 \mathrm{~cm}$
$\therefore F C=10-3-3=4 \mathrm{~cm}$

## 25.（1）【旧题重现】

如图(1), $A D 、 A^{\prime} D^{\prime}$ 分别是 $\triangle A B C$ 和 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的 $B C 、 B^{\prime} C^{\prime}$ 边上的中线,

$A D=A^{\prime} D^{\prime}, A B=A^{\prime} B^{\prime}, B C=B^{\prime} C^{\prime}$. 求证: $\triangle A B C \cong \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$.
<ImageHere>

图(1)

证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．．

<ImageHere>

(2)【深入研究】

如图(2), $A D 、 A^{\prime} D^{\prime}$ 分别是 $\triangle A B C$ 和 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的 $B C 、 B^{\prime} C^{\prime}$ 边上的中线, $A D=A^{\prime} D^{\prime}, A B=A^{\prime} B^{\prime}, A C=A^{\prime} C^{\prime}$. 判断 $\triangle A B C$ 与 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 是否仍然全等.
<ImageHere>

图(2)

 【解】(1) 证明: $\because A D$ 是 $\triangle A B C$ 的中线,
$\therefore B D=\frac{1}{2} B C$,

$\because A^{\prime} D^{\prime}$ 分别是 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的中线,

$\therefore B^{\prime} D^{\prime}=\frac{1}{2} B^{\prime} C^{\prime}$,

$\because B C=B^{\prime} C^{\prime}$,

$\therefore B D=B^{\prime} D^{\prime}$,

在 $\triangle A B D$ 和 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} D^{\prime}$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}B D=B^{\prime} D^{\prime} \\ A D=A^{\prime} D^{\prime}, \\ A B=A^{\prime} B^{\prime}\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B D \cong \triangle A^{\prime} B^{\prime} D^{\prime}(\mathrm{SSS})$

$\therefore \angle B=\angle B^{\prime}$,

在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A B=A^{\prime} B^{\prime} \\ \angle B=\angle B^{\prime}, \\ B C=B^{\prime} C^{\prime}\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B C \cong A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}(\mathrm{SAS})$

故答案为: (1) $B D=\frac{1}{2} B C$; (2) $B^{\prime} D^{\prime}=\frac{1}{2} B^{\prime} C^{\prime}$; (3) $A D=A^{\prime} D^{\prime}$; (4) $\angle B=\angle B^{\prime}$;

(2) 解： $\triangle A B C$ 与 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 仍然全等, 理由如下:

延长 $A D$ 至 $E$, 使 $D E=A D$, 连接 $B E$, 延长 $A^{\prime} D^{\prime}$ 至 $E^{\prime}$, 使 $D^{\prime} E^{\prime}=A^{\prime} D^{\prime}$, 连接 $B^{\prime} E^{\prime}$.
<ImageHere>

$\because A D$ 和 $A^{\prime} D^{\prime}$ 分别是 $\triangle A B C$ 和 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的 $B C$ 和 $B^{\prime} C^{\prime}$ 边上的中线,
$\therefore B D=C D, \quad B^{\prime} D^{\prime}=C^{\prime} D^{\prime}$.

在 $\triangle A D C$ 和 $\triangle E D B$ 中, $\left\{\begin{array}{l}A D=D E \\ \angle A D C=\angle B D E, \\ B D=C D\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A D C \cong \triangle E D B(\mathrm{SAS})$.

$\therefore A C=E B, \quad \angle D A C=\angle E$,

同理 $A^{\prime} C^{\prime}=E^{\prime} B^{\prime}, \angle D^{\prime} A^{\prime} C^{\prime}=\angle E^{\prime}$.

$\because A C=A^{\prime} C^{\prime}$,

$\therefore E B=E^{\prime} B^{\prime}$.

$\because A D=A^{\prime} D^{\prime}, \quad A D=D E, \quad A^{\prime} D^{\prime}=D^{\prime} E^{\prime}$,

$\therefore A E=A^{\prime} E^{\prime}$.

$\because A B=A^{\prime} B^{\prime}$,

$\therefore \triangle A B E \cong A^{\prime} B^{\prime} E^{\prime}(\mathrm{SSS})$.

$\therefore \angle B A E=\angle B^{\prime} A^{\prime} E^{\prime}, \quad \angle E=\angle E^{\prime}$.

$\therefore \angle D A C=\angle D^{\prime} A^{\prime} C^{\prime}$.

$\therefore \angle B A C=\angle B^{\prime} A^{\prime} C^{\prime}$,

又 $A B=A^{\prime} B^{\prime}, A C=A^{\prime} C^{\prime}$,

$\therefore \triangle A B C \cong A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}(\mathrm{SAS})$


Answer:
证明: $\because \mathrm{AF}=\mathrm{CD}$,

$\therefore \mathrm{AC}=\mathrm{DF}$,

$\because \mathrm{BC} / / \mathrm{EF}$,

$\therefore \angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{DFE}$,

在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 和 $\triangle \mathrm{DEF}$ 中,

$\angle A=\angle D$

$\{A C=D F$

$\angle A C B=\angle D F E$

$\therefore \triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{DEF}(\mathrm{ASA})$,

$\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{DE}$.

Question:
如图, 点 $A 、 F 、 C 、 D$ 在同一条直线上, 已知 $A F=D C, \angle A=\angle D, B C / / E F$, 求证: $A B=D E$.

<ImageHere>

度量几何学

证明: $\because \mathrm{AF}=\mathrm{CD}$,

$\therefore \mathrm{AC}=\mathrm{DF}$,

$\because \mathrm{BC} / / \mathrm{EF}$,

$\therefore \angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{DFE}$,

在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 和 $\triangle \mathrm{DEF}$ 中,

$\angle A=\angle D$

$\{A C=D F$

$\angle A C B=\angle D F E$

$\therefore \triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{DEF}(\mathrm{ASA})$,

$\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{DE}$.


Answer:
解: (1) $\because \angle \mathrm{B}=70^{\circ}, \angle \mathrm{C}=30^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{B}-\angle \mathrm{C}=80^{\circ}$,

又 $\because \mathrm{AE}$ 平分 $\angle \mathrm{BAC}$,

$\therefore \angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{EAC}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}=40^{\circ} ;$

(2) $\because \mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$,

$\therefore \angle A D C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{DAC}=90^{\circ}-\angle \mathrm{C}=60^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{DAC}-\angle \mathrm{EAC}=20^{\circ}$.

Question:
如图, 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}, \mathrm{AE}$ 平分 $\angle \mathrm{BAC}, \angle \mathrm{B}=70^{\circ}, \angle C=30^{\circ}$.

<ImageHere>

(1) 则 $\angle \mathrm{BAE}=$ \$ \qquad \$ ;

(2) 求 $\angle \mathrm{DAE}$ 的度数.

度量几何学

解: (1) $\because \angle \mathrm{B}=70^{\circ}, \angle \mathrm{C}=30^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{B}-\angle \mathrm{C}=80^{\circ}$,

又 $\because \mathrm{AE}$ 平分 $\angle \mathrm{BAC}$,

$\therefore \angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{EAC}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}=40^{\circ} ;$

(2) $\because \mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$,

$\therefore \angle A D C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{DAC}=90^{\circ}-\angle \mathrm{C}=60^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{DAC}-\angle \mathrm{EAC}=20^{\circ}$.


Answer:
解: (1) $\because \angle B=40^{\circ}, \angle A D B=115^{\circ}, A B=A C$,

$\therefore \angle B A D=180^{\circ}-40^{\circ}-115^{\circ}=25^{\circ}, \angle C=\angle B=40^{\circ}$;

$\because \angle A D E=40^{\circ}, \angle A D B=115^{\circ}$

$\therefore \angle E D C=180^{\circ}-\angle A D B-\angle A D E=180^{\circ}-115^{\circ}-40^{\circ}=25^{\circ}$.

$\therefore \angle D E C=180^{\circ}-40^{\circ}-25^{\circ}=115^{\circ}$,

当点 $D$ 从 $B$ 向 $C$ 运动时, $\angle B D A$ 逐渐变小,

故答案为: 25,115 , 小;

(2) 当 $D C=2$ 时, $\triangle A B D \cong \triangle D C E$, 理由如下:

理由: $\because \angle C=40^{\circ}$,

$\therefore \angle D E C+\angle E D C=140^{\circ}$,

又 $\because \angle A D E=40^{\circ} ，$
$\therefore \angle A D B+\angle E D C=140^{\circ}$,

$\therefore \angle A D B=\angle D E C$,

又 $\because A B=D C=2$,

$\therefore$ 在 $\triangle A B D$ 和 $\triangle D C E$ 中, $\left\{\begin{array}{l}\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{DEC} \\ \angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C} \\ \mathrm{AB}=\mathrm{DC}\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A B D \xlongequal{\triangle} \triangle D C E(\mathrm{AAS}) ;$

(3) 当 $\angle B D A$ 的度数为 $110^{\circ}$ 或 $80^{\circ}$ 时, $\triangle A D E$ 的形状是等腰三角形, 理由如下:

$\because$ 当 $\angle B D A=110^{\circ}$ 时,

$\therefore \angle A D C=70^{\circ}$,

$\because \angle C=40^{\circ}$

$\therefore \angle D A C=70^{\circ}$,

$\therefore \angle A E D=180^{\circ}-70^{\circ}-40^{\circ}=70^{\circ}$

$\therefore \angle A E D=\angle D A C$

$\therefore A D=D E$,

$\therefore \triangle A D E$ 是等腰三角形;

$\because$ 当 $\angle B D A$ 的度数为 $80^{\circ}$ 时,

$\therefore \angle A D C=100^{\circ}$,

$\because \angle C=40^{\circ}$,

$\therefore \angle D A C=40^{\circ}$,

$\therefore \angle D A C=\angle A D E$

$\therefore A E=D E$,

$\therefore \triangle A D E$ 是等腰三角形.

综上所述, 当 $\angle B D A$ 的度数为 $110^{\circ}$ 或 $80^{\circ}$ 时, $\triangle A D E$ 是等腰三角形.

Question:
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C=2, \angle B=40^{\circ}$, 点 $D$ 在线段 $B C$ 上运动

（ $D$ 不与 $B 、 C$ 重合）, 连接 $A D$, 作 $\angle A D E=40^{\circ}, D E$ 与 $A C$ 交于 $E$.

(1) 当 $\angle B D A=115^{\circ}$ 时, $\angle B A D=$ \$ \qquad \$ $\circ, \angle D E C=$ \$ \qquad \$ ;

当点 $D$ 从 $B$ 向 $C$ 运动时, $\angle B D A$ 逐渐变 \$ \qquad \$ (填”大”或”小”)；

（2）当 $D C=A B=2$ 时, $\triangle A B D$ 与 $\triangle D C E$ 是否全等？请说明理由:

(3) 在点 $D$ 的运动过程中, $\triangle A D E$ 的形状可以是等腰三角形吗?

若可以, 请直接写出 $\angle B D A$ 的度数; 若不可以, 请说明理由.

<ImageHere>

度量几何学

解: (1) $\because \angle B=40^{\circ}, \angle A D B=115^{\circ}, A B=A C$,

$\therefore \angle B A D=180^{\circ}-40^{\circ}-115^{\circ}=25^{\circ}, \angle C=\angle B=40^{\circ}$;

$\because \angle A D E=40^{\circ}, \angle A D B=115^{\circ}$

$\therefore \angle E D C=180^{\circ}-\angle A D B-\angle A D E=180^{\circ}-115^{\circ}-40^{\circ}=25^{\circ}$.

$\therefore \angle D E C=180^{\circ}-40^{\circ}-25^{\circ}=115^{\circ}$,

当点 $D$ 从 $B$ 向 $C$ 运动时, $\angle B D A$ 逐渐变小,

故答案为: 25,115 , 小;

(2) 当 $D C=2$ 时, $\triangle A B D \cong \triangle D C E$, 理由如下:

理由: $\because \angle C=40^{\circ}$,

$\therefore \angle D E C+\angle E D C=140^{\circ}$,

又 $\because \angle A D E=40^{\circ} ，$
$\therefore \angle A D B+\angle E D C=140^{\circ}$,

$\therefore \angle A D B=\angle D E C$,

又 $\because A B=D C=2$,

$\therefore$ 在 $\triangle A B D$ 和 $\triangle D C E$ 中, $\left\{\begin{array}{l}\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{DEC} \\ \angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C} \\ \mathrm{AB}=\mathrm{DC}\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A B D \xlongequal{\triangle} \triangle D C E(\mathrm{AAS}) ;$

(3) 当 $\angle B D A$ 的度数为 $110^{\circ}$ 或 $80^{\circ}$ 时, $\triangle A D E$ 的形状是等腰三角形, 理由如下:

$\because$ 当 $\angle B D A=110^{\circ}$ 时,

$\therefore \angle A D C=70^{\circ}$,

$\because \angle C=40^{\circ}$

$\therefore \angle D A C=70^{\circ}$,

$\therefore \angle A E D=180^{\circ}-70^{\circ}-40^{\circ}=70^{\circ}$

$\therefore \angle A E D=\angle D A C$

$\therefore A D=D E$,

$\therefore \triangle A D E$ 是等腰三角形;

$\because$ 当 $\angle B D A$ 的度数为 $80^{\circ}$ 时,

$\therefore \angle A D C=100^{\circ}$,

$\because \angle C=40^{\circ}$,

$\therefore \angle D A C=40^{\circ}$,

$\therefore \angle D A C=\angle A D E$

$\therefore A E=D E$,

$\therefore \triangle A D E$ 是等腰三角形.

综上所述, 当 $\angle B D A$ 的度数为 $110^{\circ}$ 或 $80^{\circ}$ 时, $\triangle A D E$ 是等腰三角形.


Answer:
 (1) 解: $\because \sqrt{m-4}+(n+4)^{2}=0, \sqrt{m-4} \geq 0,(n+4)^{2} \geq 0$,

$\therefore m-4=0, n+4=0$,

$\therefore m=4, n=-4$,

$\therefore A(0,4), B(-4,0) ;$

(2) 解: $\because A C / / O B$,

$\therefore \angle C=\angle C B O, \angle C A F=\angle B O F$

$\because A C=O B$,

$\therefore \triangle A C F \AA O B F$

$\therefore A F=O F=2$,

$\because O A=O B, \angle O A D=\angle O B F, \angle B O F=\angle A O D$,

$\therefore \triangle B O F \cong A O D$,

$\therefore O F=O D=2$,

$\therefore B D=6$,

(1)当 $0 \leq t<3$ 时, $S=\frac{1}{2} P D \cdot O F=\frac{1}{2}(6-2 t) \times 2=6-2 t$ ，

(2) 当 $t>3$ 时, $\quad S=\frac{1}{2} P D \cdot O F=\frac{1}{2}(2 t-6) \times 2=2 t-6$,

（3）解: (1)当 $0 \leq t<3$,

$\because A O=4, O D=2$,

$\therefore A D=\sqrt{O A^{2}+O D^{2}}=2 \sqrt{5}$,

$\because B D \times O A=A D \times B E$,

$\therefore{ }^{B E=\frac{12 \sqrt{5}}{5}}, \therefore D E=\frac{6 \sqrt{5}}{5}$,

$\because$ 四边形 $P D E G$ 为菱形,

$\therefore D P=D E=E G=\frac{6 \sqrt{5}}{5}$,

$\because D(20)$

$\therefore P\left(2-\frac{6 \sqrt{5}}{5}, 0\right)$

作 $E H \perp B D$ 于 $H$, 如图 2,

<ImageHere>

图2

$\because B E \times D E=B D \times E H$,

$\therefore E H=\frac{12}{5}$,

<ImageHere>
$\therefore E\left(\frac{4}{5}, \frac{12}{5}\right)$

$\because E G / / O B$

$\therefore G^{G}$ 与 $E_{\text {的纵坐标相同, }}$,

$\therefore{ }^{G\left(\frac{4}{5}-\frac{6 \sqrt{5}}{5}, \frac{12}{5}\right)}$

(2)当 $t>3$ 时, 如图 3, 同理可求得 $P\left(2+\frac{6 \sqrt{5}}{5}, 0\right), G\left(\frac{4}{5}+\frac{6 \sqrt{5}}{5}, \frac{12}{5}\right)$

<ImageHere>

Question:
(15 分) 如图 1, 在平面直角坐标系中, 点 $O$ 是坐标原点, $A(0, m), B(n, 0), A C / / O B$, 且 $A C=O B$, 连接 $B C$ 交 $x$ 轴于点 $F$, 其中 $m 、 n$ 满足方程 $\sqrt{m-4}+n^{2}+8 n+16=0$.

<ImageHere>

图 1

<ImageHere>

图 2

<ImageHere>

备用图

(1) 求 $A 、 B$ 两点坐标;

(2) 如图 2, 过 $A$ 作 $A E \perp B \mathrm{C}$ 于 $E$, 延长 $A E$ 交 ${ }^{x}$ 轴于点 $D$, 动点 $P$ 从点 ${ }^{B}$ 出发以每秒 2

<ImageHere>
写出 $t$ 的取值范围;

(3) 在 (2) 的条件下, 连接 $P E$, 将 $\triangle P E D$ 沿 $P E$ 翻折到 $\triangle P E G$ 的位置 (点 $D$ 与点 $G$ 对应),当四边形 $P D E G$ 为菱形时, 求点 $P$ 和点 $G$ 的坐标.

解析几何

 (1) 解: $\because \sqrt{m-4}+(n+4)^{2}=0, \sqrt{m-4} \geq 0,(n+4)^{2} \geq 0$,

$\therefore m-4=0, n+4=0$,

$\therefore m=4, n=-4$,

$\therefore A(0,4), B(-4,0) ;$

(2) 解: $\because A C / / O B$,

$\therefore \angle C=\angle C B O, \angle C A F=\angle B O F$

$\because A C=O B$,

$\therefore \triangle A C F \AA O B F$

$\therefore A F=O F=2$,

$\because O A=O B, \angle O A D=\angle O B F, \angle B O F=\angle A O D$,

$\therefore \triangle B O F \cong A O D$,

$\therefore O F=O D=2$,

$\therefore B D=6$,

(1)当 $0 \leq t<3$ 时, $S=\frac{1}{2} P D \cdot O F=\frac{1}{2}(6-2 t) \times 2=6-2 t$ ，

(2) 当 $t>3$ 时, $\quad S=\frac{1}{2} P D \cdot O F=\frac{1}{2}(2 t-6) \times 2=2 t-6$,

（3）解: (1)当 $0 \leq t<3$,

$\because A O=4, O D=2$,

$\therefore A D=\sqrt{O A^{2}+O D^{2}}=2 \sqrt{5}$,

$\because B D \times O A=A D \times B E$,

$\therefore{ }^{B E=\frac{12 \sqrt{5}}{5}}, \therefore D E=\frac{6 \sqrt{5}}{5}$,

$\because$ 四边形 $P D E G$ 为菱形,

$\therefore D P=D E=E G=\frac{6 \sqrt{5}}{5}$,

$\because D(20)$

$\therefore P\left(2-\frac{6 \sqrt{5}}{5}, 0\right)$

作 $E H \perp B D$ 于 $H$, 如图 2,

<ImageHere>

图2

$\because B E \times D E=B D \times E H$,

$\therefore E H=\frac{12}{5}$,

<ImageHere>
$\therefore E\left(\frac{4}{5}, \frac{12}{5}\right)$

$\because E G / / O B$

$\therefore G^{G}$ 与 $E_{\text {的纵坐标相同, }}$,

$\therefore{ }^{G\left(\frac{4}{5}-\frac{6 \sqrt{5}}{5}, \frac{12}{5}\right)}$

(2)当 $t>3$ 时, 如图 3, 同理可求得 $P\left(2+\frac{6 \sqrt{5}}{5}, 0\right), G\left(\frac{4}{5}+\frac{6 \sqrt{5}}{5}, \frac{12}{5}\right)$

<ImageHere>


Answer: 解：假设直线 $a 、 b$ 不止有一个公共点, 则至少有两个公共点, 不妨设为 $A 、 B$, 即直线 $a$ 、 $b$ 同时过点 A、B, 也就是说过 A、B 两点可以作两条直线 $a$ 、 $b$, 这和公理“过两点能且只能作一条直线”相矛盾, 所以假设不成立, 两条直线相交只有一个交点。

Question: ( 5 分 ) 若两条直线 $a 、 b$ 相交则只有一个交点。

解析几何

解：假设直线 $a 、 b$ 不止有一个公共点, 则至少有两个公共点, 不妨设为 $A 、 B$, 即直线 $a$ 、 $b$ 同时过点 A、B, 也就是说过 A、B 两点可以作两条直线 $a$ 、 $b$, 这和公理“过两点能且只能作一条直线”相矛盾, 所以假设不成立, 两条直线相交只有一个交点。


Answer:
 (1) 证明: 如图, $\because$ 在四边形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{C}, \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ADC}$,

$\therefore$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形.

由“四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形”得到: $\mathrm{AD} / / \mathrm{BC}, \mathrm{AB} / / \mathrm{CD}$

（2）证明：由“四边形 $A B C D$ 是平行四边形”得到： $A D=B C, A B=C D$

Question:
( 10 分 ) 如图, 在四边形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{C}, \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ADC}$, 求证:

<ImageHere>

(1) $\mathrm{AD} / / \mathrm{BC}, \mathrm{AB} / / \mathrm{CD}$;

(2) $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}, \mathrm{AB}=\mathrm{CD}$.

解析几何

 (1) 证明: 如图, $\because$ 在四边形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{C}, \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ADC}$,

$\therefore$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形.

由“四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形”得到: $\mathrm{AD} / / \mathrm{BC}, \mathrm{AB} / / \mathrm{CD}$

（2）证明：由“四边形 $A B C D$ 是平行四边形”得到： $A D=B C, A B=C D$


Answer:
 (1) 如图, $\triangle \mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 即为所求;

<ImageHere>

(2) 解: $(1,1) ; 2<\mathrm{h}<3.5$

解: $(2) \because \mathrm{B}(-1,1), \therefore \mathrm{B}_{2}(1,1) ; \because \mathrm{B}_{2}(1,-1), \mathrm{H}(-1,-2.5), \therefore 2<\mathrm{h}<3.5$. 故答案为: $(1,1), 2<\mathrm{h}<3.5$.

Question:
( 7 分 ) $\triangle \mathrm{ABC}$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示.

<ImageHere>

(1) 作 $\triangle A B C$ 关于原点 $O$ 成中心对称的 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$.

(2) 请写出点 $B$ 关于 $y$ 轴对称的点 $B_{2}$ 的坐标 . 若将点 $\mathrm{B}_{2}$ 向下平移 $\mathrm{h}$ 单位, 使其落在 $\triangle \mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$内部 (不包括边界) , 直接写出 $\mathrm{h}$ 的值 (写出满足的一个即可).

解析几何


Answer:
 (1) 解: 过作 $\mathrm{CD} \perp \mathrm{x}$ 轴于点 $\mathrm{D}$,

<ImageHere>

$\because \mathrm{CB} \perp \mathrm{AB}$

$\therefore \angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}, \quad \therefore \angle \mathrm{CBD}+\angle \mathrm{ABO}=90^{\circ}$,

又 $\because \angle \mathrm{BAC}=45^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}-\angle \mathrm{BAC}=45^{\circ}=\angle \mathrm{BAC}$,

$\therefore \mathrm{BC}=\mathrm{BA}$,
$\because \angle \mathrm{AOB}=90^{\circ}, \quad \therefore \angle \mathrm{ABO}+\angle \mathrm{BAO}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{CBD}=\angle \mathrm{BAO}$,

又 $\because \angle \mathrm{BDC}=\angle \mathrm{AOB}=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle \mathrm{BDC} \cong \triangle \mathrm{AOB}$

$\therefore \mathrm{BD}=\mathrm{OA}, \mathrm{CD}=\mathrm{OB}$,

$\because$ 直线 $\mathrm{l}_{1}: \mathrm{y}=2 \mathrm{x}+4$,

$\therefore \mathrm{A}(0,4), \mathrm{B}(-2,0)$,

$\therefore \mathrm{BD}=\mathrm{OA}=4, \mathrm{CD}=\mathrm{OB}=2$,

$\therefore \mathrm{OD}=4+2=6$,

$\therefore \mathrm{C}(-6,2)$

(2) 解：设 $\mathrm{l}_{2}$ 的解析式为 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+\mathrm{b}(\mathrm{k} \neq 0)$

$\because$ A $(0,4), C(-6,2)$,

$\therefore \begin{gathered}b=4 \\ -6 k+b=3\end{gathered}$

$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{3} \\ b=4\end{array}\right.$

$\therefore y=\frac{1}{3} x+4$

（3）解：如图, $\mathrm{OA}$ 为平行四边形的边时,

<ImageHere>

当四边形 $A O M_{1} N_{1}$ 为平行四边形时, 有 $M_{1} N_{1}=A O=4$,

即 $\left(3^{\frac{1}{3} x+4}\right)-(2 x+4)=4$, 解得: $x==^{-\frac{12}{5}}$,
当 $x={ }^{-\frac{12}{5}}$ 时, $\quad y=\frac{1}{3} x+4=\frac{16}{5}$,

所以 $\mathrm{N}_{1}\left(-\frac{12}{5}, \frac{16}{5}\right)$;

当四边形 $\mathrm{AOM}_{2} \mathrm{~N}_{2}$ 为平行四边形时, 有 $\mathrm{M}_{2} \mathrm{~N}_{2}=\mathrm{AO}=4$,

即 $(2 x+4)-\left({ }^{\frac{1}{3} x+4}\right)=4$, 解得: $x={ }^{\frac{12}{5}}$,

当 $x={ }^{\frac{12}{5}}$ 时, $\quad y=\frac{1}{3} x+4={ }^{\frac{24}{5}}$,

所以 $\mathrm{N}_{2}\left(-\frac{12}{5}, \frac{16}{5}\right) ;$

$\mathrm{OA}$ 为平行四边形的对角线时, 由上可知 $\mathrm{AM}_{1} \mathrm{ON}_{2}$ 为平行四边形, 此时 $\mathrm{N}_{2}\left(-\frac{12}{5}, \frac{16}{5}\right)$;

综上可知 $\mathrm{N}$ 点坐标为 $\left(-\frac{12}{5}, \frac{16}{5}\right) \quad$ 或 $\left(\frac{12}{5}, \frac{24}{5}\right)$

故答案为: $\left(-\frac{12}{5}, \frac{16}{5}\right)$ 或 $\left(\frac{12}{5}, \frac{24}{5}\right)$ 。

Question:
(15 分) 如图, 已知直线 $l_{1}: y=2 x+4$ 与 $y$ 轴交于 $A$ 点, 与 $x$ 轴交于点 $B$, 经过 $A$ 点的直线 $l_{2}$ 与直线 $\mathrm{l}_{1}$ 所夹的锐角为 $45^{\circ}$.

<ImageHere>

(1) 过点 $B$ 作 $C B \perp A B$, 交 $l_{2}$ 于 $C$, 求点 $C$ 的坐标.

(2) 求 $l_{2}$ 的函数解析式.

(3) 在直线 $l_{1}$ 上存在点 $M$, 直线 $l_{2}$ 上存在点 $N$, 使得点 $A 、 O 、 M 、 N$ 四点组成的四边形是平行四边形, 请直接写出点 $\mathrm{N}$ 的坐标.

解析几何

 (1) 解: 过作 $\mathrm{CD} \perp \mathrm{x}$ 轴于点 $\mathrm{D}$,

<ImageHere>

$\because \mathrm{CB} \perp \mathrm{AB}$

$\therefore \angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}, \quad \therefore \angle \mathrm{CBD}+\angle \mathrm{ABO}=90^{\circ}$,

又 $\because \angle \mathrm{BAC}=45^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}-\angle \mathrm{BAC}=45^{\circ}=\angle \mathrm{BAC}$,

$\therefore \mathrm{BC}=\mathrm{BA}$,
$\because \angle \mathrm{AOB}=90^{\circ}, \quad \therefore \angle \mathrm{ABO}+\angle \mathrm{BAO}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{CBD}=\angle \mathrm{BAO}$,

又 $\because \angle \mathrm{BDC}=\angle \mathrm{AOB}=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle \mathrm{BDC} \cong \triangle \mathrm{AOB}$

$\therefore \mathrm{BD}=\mathrm{OA}, \mathrm{CD}=\mathrm{OB}$,

$\because$ 直线 $\mathrm{l}_{1}: \mathrm{y}=2 \mathrm{x}+4$,

$\therefore \mathrm{A}(0,4), \mathrm{B}(-2,0)$,

$\therefore \mathrm{BD}=\mathrm{OA}=4, \mathrm{CD}=\mathrm{OB}=2$,

$\therefore \mathrm{OD}=4+2=6$,

$\therefore \mathrm{C}(-6,2)$

(2) 解：设 $\mathrm{l}_{2}$ 的解析式为 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+\mathrm{b}(\mathrm{k} \neq 0)$

$\because$ A $(0,4), C(-6,2)$,

$\therefore \begin{gathered}b=4 \\ -6 k+b=3\end{gathered}$

$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{3} \\ b=4\end{array}\right.$

$\therefore y=\frac{1}{3} x+4$

（3）解：如图, $\mathrm{OA}$ 为平行四边形的边时,

<ImageHere>

当四边形 $A O M_{1} N_{1}$ 为平行四边形时, 有 $M_{1} N_{1}=A O=4$,

即 $\left(3^{\frac{1}{3} x+4}\right)-(2 x+4)=4$, 解得: $x==^{-\frac{12}{5}}$,
当 $x={ }^{-\frac{12}{5}}$ 时, $\quad y=\frac{1}{3} x+4=\frac{16}{5}$,

所以 $\mathrm{N}_{1}\left(-\frac{12}{5}, \frac{16}{5}\right)$;

当四边形 $\mathrm{AOM}_{2} \mathrm{~N}_{2}$ 为平行四边形时, 有 $\mathrm{M}_{2} \mathrm{~N}_{2}=\mathrm{AO}=4$,

即 $(2 x+4)-\left({ }^{\frac{1}{3} x+4}\right)=4$, 解得: $x={ }^{\frac{12}{5}}$,

当 $x={ }^{\frac{12}{5}}$ 时, $\quad y=\frac{1}{3} x+4={ }^{\frac{24}{5}}$,

所以 $\mathrm{N}_{2}\left(-\frac{12}{5}, \frac{16}{5}\right) ;$

$\mathrm{OA}$ 为平行四边形的对角线时, 由上可知 $\mathrm{AM}_{1} \mathrm{ON}_{2}$ 为平行四边形, 此时 $\mathrm{N}_{2}\left(-\frac{12}{5}, \frac{16}{5}\right)$;

综上可知 $\mathrm{N}$ 点坐标为 $\left(-\frac{12}{5}, \frac{16}{5}\right) \quad$ 或 $\left(\frac{12}{5}, \frac{24}{5}\right)$

故答案为: $\left(-\frac{12}{5}, \frac{16}{5}\right)$ 或 $\left(\frac{12}{5}, \frac{24}{5}\right)$ 。


Answer:
 (1) 解：如图 2 所示:

<ImageHere>

(2) 证明：在图 1 中, 过点 $\mathrm{B}$ 作 $\mathrm{BD} \perp \mathrm{x}$ 轴, 交 $\mathrm{x}$ 轴于点 $\mathrm{D}$.根据题意可证 $\triangle \mathrm{AOC} \sim \triangle \mathrm{CDB}$.

$\therefore \frac{A O}{C D}=\frac{O C}{B D}$

$\therefore \frac{1}{5-m}=\frac{m}{2}$

$\therefore \mathrm{m}(5-\mathrm{m})=2$.

$\therefore \mathrm{m}^{2}-5 \mathrm{~m}+2=0$.

$\therefore \mathrm{m}$ 是方程 $\mathrm{x}^{2}-5 \mathrm{x}+2=0$ 的实数根.

（3）解：方程 $a x^{2}+b x+c=0 （ a \neq 0 ）$ 可化为

$$
x^{2}+\frac{b}{a} x^{\frac{c}{a}}+{ }^{\frac{c}{a}}=0
$$

模仿研究小组作法可得: A $(0,1), \mathrm{B}\left(-^{\frac{b}{a}},{ }^{\frac{c}{a}}\right)$ 或 $\mathrm{A}\left(0,{ }^{\frac{1}{a}}\right), \mathrm{B}\left(-^{\frac{b}{a}}\right.$, c) 等.

（4）解：以图 3 为例: $P\left(m_{1}, \mathrm{n}_{1}\right) Q\left(m_{2}, \mathrm{n}_{2}\right)$,

设方程的根为 $\mathrm{x}$, 根据三角形相似可得. $\frac{m_{1}}{x-m_{1}}=\frac{m_{2}-x}{n_{2}}$.

上式可化为 $x^{2}-\left(m_{1}+m_{2}\right) x+m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}=0$.

又 $a x^{2}+b x+c=0$,
即 $\mathrm{x}^{2}+{ }^{\frac{b}{a}} \mathrm{x}^{\frac{c}{a}} \stackrel{\frac{c}{a}}{=}=0$.

比较系数可得: $\mathrm{m}_{1}+\mathrm{m}_{2}=-\frac{}{\frac{b}{a}}$.

$\mathrm{m}_{1} \mathrm{~m}_{2}+\mathrm{n}_{1} \mathrm{n}_{2}=\frac{\frac{c}{a}}{}$

<ImageHere>

五、作图题

Question:
( 20 分 ) 在平面直角坐标系中, 借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根, 比如对于方程 $x^{2}-5 x+2=0$, 操作步骤是:

第一步：根据方程系数特征，确定一对固定点 A $(0,1) ， \mathrm{~B}(5,2)$;

第二步： 在坐标平面中移动一个直角三角板, 使一条直角边恒过点 $\mathrm{A}$, 另一条直角边恒过点 $\mathrm{B}$;

第三步: 在移动过程中, 当三角板的直角顶点落在 $\mathrm{x}$ 轴上点 $\mathrm{C}$ 处时, 点 $\mathrm{C}$ 的横坐标 $\mathrm{m}$ 即为该方程的一个实数根（如图 1）

第四步：调整三角板直角顶点的位置, 当它落在 $\mathrm{x}$ 轴上另一点 $\mathrm{D}$ 处时, 点 $\mathrm{D}$ 的横坐标为 $\mathrm{n}$ 即为该方程的另一个实数根。

<ImageHere>

图 1

<ImageHere>

图2

（1）在图 2 中，按照“第四步“的操作方法作出点 $\mathrm{D}$ （请保留作出点 $\mathrm{D}$ 时直角三角板两条直角边的痕迹)

（2）结合图 1, 请证明“第三步”操作得到的 $\mathrm{m}$ 就是方程 $x^{2}-5 x+2=0$ 的一个实数根;

（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置, 若要以此方法找到一元二次方程 $a x^{2}+b x+c=0\left(a \neq 0, b^{2}-4 a c \geq 0\right)$ 的实数根, 请你直接写出一对固定点的坐标;

（4）实际上, （3）中的固定点有无数对, 一般地,当 $m_{1}, n_{1}, m_{2}, n_{2}$ 与 a, b, c 之间满足怎样的关系时, 点 $\mathrm{P}\left(m_{1}, n_{1}\right), \mathrm{Q}\left(m_{2}, n_{2}\right)$ 就是符合要求的一对固定点?

解析几何

 (1) 解：如图 2 所示:

<ImageHere>

(2) 证明：在图 1 中, 过点 $\mathrm{B}$ 作 $\mathrm{BD} \perp \mathrm{x}$ 轴, 交 $\mathrm{x}$ 轴于点 $\mathrm{D}$.根据题意可证 $\triangle \mathrm{AOC} \sim \triangle \mathrm{CDB}$.

$\therefore \frac{A O}{C D}=\frac{O C}{B D}$

$\therefore \frac{1}{5-m}=\frac{m}{2}$

$\therefore \mathrm{m}(5-\mathrm{m})=2$.

$\therefore \mathrm{m}^{2}-5 \mathrm{~m}+2=0$.

$\therefore \mathrm{m}$ 是方程 $\mathrm{x}^{2}-5 \mathrm{x}+2=0$ 的实数根.

（3）解：方程 $a x^{2}+b x+c=0 （ a \neq 0 ）$ 可化为

$$
x^{2}+\frac{b}{a} x^{\frac{c}{a}}+{ }^{\frac{c}{a}}=0
$$

模仿研究小组作法可得: A $(0,1), \mathrm{B}\left(-^{\frac{b}{a}},{ }^{\frac{c}{a}}\right)$ 或 $\mathrm{A}\left(0,{ }^{\frac{1}{a}}\right), \mathrm{B}\left(-^{\frac{b}{a}}\right.$, c) 等.

（4）解：以图 3 为例: $P\left(m_{1}, \mathrm{n}_{1}\right) Q\left(m_{2}, \mathrm{n}_{2}\right)$,

设方程的根为 $\mathrm{x}$, 根据三角形相似可得. $\frac{m_{1}}{x-m_{1}}=\frac{m_{2}-x}{n_{2}}$.

上式可化为 $x^{2}-\left(m_{1}+m_{2}\right) x+m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}=0$.

又 $a x^{2}+b x+c=0$,
即 $\mathrm{x}^{2}+{ }^{\frac{b}{a}} \mathrm{x}^{\frac{c}{a}} \stackrel{\frac{c}{a}}{=}=0$.

比较系数可得: $\mathrm{m}_{1}+\mathrm{m}_{2}=-\frac{}{\frac{b}{a}}$.

$\mathrm{m}_{1} \mathrm{~m}_{2}+\mathrm{n}_{1} \mathrm{n}_{2}=\frac{\frac{c}{a}}{}$

<ImageHere>

五、作图题


Answer:
 (1) 解: $\because$ 二次函数 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}-4 \sqrt{3} \mathrm{x}+\mathrm{m}$ 的图象与 $\mathrm{x}$ 轴相交于不同的两点,

$\therefore \triangle=(-4 \sqrt{3})^{2}-4 \times 1 \times m>0$,

解得： $\mathrm{m}<12$

(2) 解: $\because \mathrm{OC}=6$,

$\therefore \mathrm{m}=6$,

$\therefore$ 二次函数解析式为 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}-4 \sqrt{3} \mathrm{x}+6$,

$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为 $\left(-\frac{-4 \sqrt{3}}{2 \times 1}, \frac{4 \times 1 \times 6-(-4 \sqrt{3})^{2}}{4 \times 1}\right)$, 即 $(2 \sqrt{3},-6)$.

(3) 解: $\because$ 二次函数 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}-4 \sqrt{3} \mathrm{x}+\mathrm{m}$ 的图象与 $\mathrm{x}$ 轴相交于点 $\mathrm{A}\left(\mathrm{x}_{1}, 0\right), \mathrm{B}\left(\mathrm{x}_{2}, 0\right)$,

$\therefore \mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}=4 \sqrt{3}, \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}=\mathrm{m}$

$\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{X}_{2}-\mathrm{x}_{1}=\sqrt{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}}=2 \sqrt{12-m}$.

设对称轴与 $\mathrm{x}$ 轴的交点为 $\mathrm{H}$, 如图所示.

<ImageHere>

$\because$ 二次函数解析式为 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}-4 \sqrt{3} \mathrm{x}+\mathrm{m}$,

$\therefore$ 点 D 的坐标为 $\left(-{ }^{\frac{-4 \sqrt{3}}{2 \times 1}}, \frac{4 \times 1 \times m-(-4 \sqrt{3})^{2}}{4 \times 1}-\right)$, 即 $(2 \sqrt{3}, \mathrm{~m}-12)$,

$\therefore \mathrm{DH}=12-\mathrm{m}$.

$\because \triangle \mathrm{ABD}$ 为等边三角形,

$\therefore \mathrm{DH}={ }^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \mathrm{AB}=\sqrt{36-3 m}$

$\therefore 12-\mathrm{m}=\sqrt{36-3 m}$

解得: $m_{1}=12$ (不合题意, 舍去) , $m_{2}=9$.

$\therefore$ 当 $\triangle A B D$ 为等边三角形时, $m$ 的值为 9 .

Question:
(15 分 ) 如图, 已知二次函数 $y=x^{2}-4 \sqrt{3} x+m$ 的图象与 $x$ 轴相交于不同的两点 $A\left(x_{1}, 0\right)$ 、 B $\left(x_{2}, 0\right)$ 且 $x_{1}<x_{2}$, 与 $y$ 轴交于点 $C$.

<ImageHere>

(1) 求 $m$ 的取值范围.

(2) 当 $\mathrm{OC}=6$ 时, 求抛物线的顶点坐标.

（3）设抛物线的顶点为 $D$, 当 $\triangle A B D$ 为等边三角形时, 求 $m$ 的值.

解析几何

 (1) 解: $\because$ 二次函数 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}-4 \sqrt{3} \mathrm{x}+\mathrm{m}$ 的图象与 $\mathrm{x}$ 轴相交于不同的两点,

$\therefore \triangle=(-4 \sqrt{3})^{2}-4 \times 1 \times m>0$,

解得： $\mathrm{m}<12$

(2) 解: $\because \mathrm{OC}=6$,

$\therefore \mathrm{m}=6$,

$\therefore$ 二次函数解析式为 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}-4 \sqrt{3} \mathrm{x}+6$,

$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为 $\left(-\frac{-4 \sqrt{3}}{2 \times 1}, \frac{4 \times 1 \times 6-(-4 \sqrt{3})^{2}}{4 \times 1}\right)$, 即 $(2 \sqrt{3},-6)$.

(3) 解: $\because$ 二次函数 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}-4 \sqrt{3} \mathrm{x}+\mathrm{m}$ 的图象与 $\mathrm{x}$ 轴相交于点 $\mathrm{A}\left(\mathrm{x}_{1}, 0\right), \mathrm{B}\left(\mathrm{x}_{2}, 0\right)$,

$\therefore \mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}=4 \sqrt{3}, \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}=\mathrm{m}$

$\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{X}_{2}-\mathrm{x}_{1}=\sqrt{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}}=2 \sqrt{12-m}$.

设对称轴与 $\mathrm{x}$ 轴的交点为 $\mathrm{H}$, 如图所示.

<ImageHere>

$\because$ 二次函数解析式为 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}-4 \sqrt{3} \mathrm{x}+\mathrm{m}$,

$\therefore$ 点 D 的坐标为 $\left(-{ }^{\frac{-4 \sqrt{3}}{2 \times 1}}, \frac{4 \times 1 \times m-(-4 \sqrt{3})^{2}}{4 \times 1}-\right)$, 即 $(2 \sqrt{3}, \mathrm{~m}-12)$,

$\therefore \mathrm{DH}=12-\mathrm{m}$.

$\because \triangle \mathrm{ABD}$ 为等边三角形,

$\therefore \mathrm{DH}={ }^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \mathrm{AB}=\sqrt{36-3 m}$

$\therefore 12-\mathrm{m}=\sqrt{36-3 m}$

解得: $m_{1}=12$ (不合题意, 舍去) , $m_{2}=9$.

$\therefore$ 当 $\triangle A B D$ 为等边三角形时, $m$ 的值为 9 .


Question: 某社区在开展“美化社区,幸福家园”活动中,计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分,两边足够长),用40米长的篦笆围成一个矩形花园$ABCD$(篦笆只围$AB,AD$两边),设$AB=x$米.(1)若花园的面积为300米${}^{2}$,求$x$的值;(2)若在直角墙角内点$P$处有一棵桂花树,且与墙$BC,CD$的距离分别是10米,24米,要将这棵树围在矩形花园内（含边界,不考虑树的粗细）,则花园的面积能否为400米${}^{2}$?若能,求出$x$的值;若不能,请说明理由.<ImageHere>

解析几何

（1）由矩形面积公式得出方程，解方程即可;（2）根据题意可得方程$x(40-x)=400$,求出$x$的值,然后再根据$P$处这棵树是否被围在花园内进行分析即可.【解析】解:(1)$becauseAB=x$米,$thereforeBC=(40-x)$米,由题意得:$x(40-x)=300$,解得:$x_{1}=10,x_{2}=30$,即$x$的值为10或30;(2)花园的面积不能为400米$^{2}$,理由如下:由题意得:$x(40-x)=400$,解得:$x_{1}=x_{2}=20$,当$x=20$时,$26-x=26-6=20$,即当$AB=20$米,$BC=20$米$<24$米,这棵树没有被围在花园内,$therefore$将这棵树围在矩形花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园的面积不能为400米${}^{2}$.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.


Answer: （1）一个多边形的内角和等于外角和的3倍多$180^{circ}$,而任何多边形的外角和是$360^{circ}$,因而多边形的内角和等于$1260^{circ}cdotn$边形的内角和可以表示成$(n-2)cdot180^{circ}$,设这个正多边形的边数是$n$,就得到方程,从而求出边数,即可求出答案.(2)从$n$边形的一个顶点引出对角线,可以引$(n-3)$条.【解析】解:（1）设这个多边形的边数为$n$,则内角和为$180^{circ}(n-2)$,依题意得:$180^{circ}(n-2)=360^{circ}times3+180^{circ}$,解得$n=9$,答:这个多边形是九边形;(2)从$n$边形的一个顶点引出对角线,可以引$(n-3)$条,则从十边形的一个顶点引出对角线,可以引7条.正十边形的一个内角为$(10-2)times180^{circ}div10=144^{circ}$【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点,此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系,构建方程求解即可.从$n$边形一个顶点可以引$(n-3)$条对角线.

Question: 若一个$n$边形的内角和比它的外角和的3倍多$180^{circ}$,(1)求$n$的值;(2)在(1)条件下,求正$(n+1)$边形的一个内角度数及对角线条数.

解析几何

（1）一个多边形的内角和等于外角和的3倍多$180^{circ}$,而任何多边形的外角和是$360^{circ}$,因而多边形的内角和等于$1260^{circ}cdotn$边形的内角和可以表示成$(n-2)cdot180^{circ}$,设这个正多边形的边数是$n$,就得到方程,从而求出边数,即可求出答案.(2)从$n$边形的一个顶点引出对角线,可以引$(n-3)$条.【解析】解:（1）设这个多边形的边数为$n$,则内角和为$180^{circ}(n-2)$,依题意得:$180^{circ}(n-2)=360^{circ}times3+180^{circ}$,解得$n=9$,答:这个多边形是九边形;(2)从$n$边形的一个顶点引出对角线,可以引$(n-3)$条,则从十边形的一个顶点引出对角线,可以引7条.正十边形的一个内角为$(10-2)times180^{circ}div10=144^{circ}$【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点,此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系,构建方程求解即可.从$n$边形一个顶点可以引$(n-3)$条对角线.


Question: 己知:如图,在$triangleABC$中,$D、E、F$分别是各边的中点,$AH$是高.求证:(1)四边形$ADEF$是平行四边形;(2)$angleDHF=angleDEF$.<ImageHere>

解析几何


Question: 如图,已知边长为3的正方形$ABCD$和边长为2的正方形$DEFG$公共点$D$,连接$AE、CG$相交于点$H,AE$与$CD$相交于点$O$.(1)求证:$triangleADEcongtriangleCDG$;(2)猜想:线段$AE$与$CG$的关系,并说明理由;(3)当$angleCDE=30^{circ}$时,求$AO$的长度.<ImageHere>

解析几何


解析几何


Answer:
解: (1) 如图所示, 线段 $A D$ 即为所求;

(2) 如图所示, 线段 BE 即为所求;

(3) $\mathrm{S}_{\triangle \boldsymbol{A c c}}=\frac{1}{2} \mathrm{BC} \cdot \mathrm{AD}=\frac{1}{2} \times 4 \times 4=8$.

$\therefore \triangle A B E$ 的面积 $=\frac{1}{2} S_{\triangle A B C}=4$,

故答案为: 4 .

<ImageHere>

Question:
方格纸中每个小正方形的边长均为 1 , 点 $A, B, C$ 在小正方形的顶点上.

(1) 画出 $\triangle A B C$ 中边 $B C$ 上的高 $A D$;

(2) 画出 $\triangle A B C$ 中边 $A C$ 上的中线 $B E$;

(3) 求出 $\triangle A B E$ 的面积.

<ImageHere>

解析几何

解: (1) 如图所示, 线段 $A D$ 即为所求;

(2) 如图所示, 线段 BE 即为所求;

(3) $\mathrm{S}_{\triangle \boldsymbol{A c c}}=\frac{1}{2} \mathrm{BC} \cdot \mathrm{AD}=\frac{1}{2} \times 4 \times 4=8$.

$\therefore \triangle A B E$ 的面积 $=\frac{1}{2} S_{\triangle A B C}=4$,

故答案为: 4 .

<ImageHere>


解析几何

(1)由正比例函数的解析式求得点$P$的坐标,代入数${y}_{1}=frac{{k}}{{x}}$($k$为常数,$kneq0$)即可求得$k$的值;(2)求得$P^{prime}$的坐标为$(-2,-3)$,由$-2times(-3)=6neqk$,即可判断点$P^{prime}$不在函数$y_{1}$的图象上;(3)利用图象即可求解.【解析】解:(1)$because$正比例函数$y_{2}=x$的图象过交点为$P(3,m)$,$thereforem=3$,$thereforeP(3,3)$,$because$点$P$在反比例函数${y}_{1}=frac{{k}}{{x}}(k$为常数,$kneq0)$的图象上,$thereforek=3times3=9;$(2)将点$P$向下平移6个单位,再向左平移5个单位后,得点$P^{prime}(-2,-3)$,$because-2times(-3)=6neq9$,$therefore$点$P^{prime}$不在函数$y_{1}$的图象上;(3)由图象可知,当$y_{1}>y_{2}$时,自变量$x$的取值范围是$x<-3$或$0<x<3$.<ImageHere>【点睛】本题是反比例函数于一次函数的交点问题,考查了一次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求反比例函数的解析式,函数与不等式的关系,数形结合是解题的关键.


解析几何

(1)把点$(2,3)$代入$y=frac{k}{x}(kneq0)$可得$k$的值,进而可得函数的解析式;(2)把点$B(-1,6)$代入函数解析式,能满足解析式的点就在此函数图象上;(3)根据反比例函数图象位于第一、三象限,分两种情况:当$C$和$D$都在同一象限时,根据$x_{1}$$<x_{2}$,判断出$y_{1}>y_{2}$;当$C$和$D$不在同一象限$x_{1}<x_{2}$,判断出$y_{1}<y_{2}$.【解析】解：(1)$because$反比例函数$y=frac{{k}}{{x}}(kneq0)$的图象经过点$A(2,3)$,$thereforek=2times3=6$,$therefore$这个函数的解析式为$y=frac{6}{{x}}$;(2)把$B(-1,6)$代入$y=frac{6}{x}$,则$6neqfrac{6}{-1}$,故点$B$不在这个函数图象上;(3)$becausek=6>0$,$therefore$反比例函数$y=frac{{k}}{{x}}(kneq0)$的图象在一、三象限,且在每个象限$y$随$x$的增大而减小,$therefore$当两点在同一象限时,$y_{1}>y_{2}$;当两点在不同象限时,$y_{1}<y_{2}$.【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质,以及函数图象上点的坐标特点,待定系数法求反比例函数解析式,关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式.


解析几何

(1)根据题意,由待定系数法确定函数关系式直接代入点列方程及方程组求解即可得到答案;(2)根据图象即可求解;(3)根据函数图象平移,设直线$AB$向下平移$n$个单位长度,此时直线$AB$对应的表达式为$y=-$$x+5-n$,联立方程组,消去$y$整理得$x^{2}-(5-n)x+4=0$,结合图象只有一个交点,确定$x^{2}-(5$$-n)x+4=0$只有一个解,即$Delta=[-(5-n)]^{2}-4times1times4=0$,解一元二次方程即可得到答案.【解析】解:(1)把$C(1,4)$代入${y}_{2}=frac{{k}}{{x}}({a},{b},k$是常数,$aneq0,kneq0)$,得$k=4$,$therefore$反比例函数的解析式为$y=frac{4}{{x}}$,把$(4,m)$代入$y=frac{4}{{x}}$,得$m=1$,$thereforeD(4,1)$,把$C(1,4),D(4,1)$坐标分别代入$y=ax+b$得$left{begin{array}{l}{k}+{b}=44{k}+{b}=1end{array}right.$,解得$left{begin{array}{l}k=-1b=5end{array}right.$,$therefore$一次函数的解析式为$y=-x+5$;(2)由图可知,当$y_{2}>y_{1}$时$x$的取值范围为:$0<x<1$或$x>4$;(3)设直线$AB$向下平移$n$个单位长度,此时直线$AB$对应的表达式为$y=-x+5-n$,联立方程组得$left{begin{array}{l}y=-x+5-ny=frac{4}{x}end{array}right.$,消去$y$得$-x+5=frac{4}{{x}}$,整理得$x^{2}-(5-n)x+4=0$,$because$由于直线与反比例函数图象只有一个交点,$thereforeDelta=0$,即$[-(5-n)]^{2}-4times1times4=0$,整理得$n^{2}-10n+9=0$,解得$n_{1}=1,n_{2}=9$,$therefore$将直线$AB$向下平移1或9个单位长度,直线与反比例图象只有一个交点.【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题,涉及待定系数法确定函数关系式、利用函数图象解不等式、函数图象平移及图象交点与一元二次方程解得情况等知识点是解决问题的关键.


Question: 己知点$Aleft(x_{1},y_{1}right),Bleft(x_{2},y_{2}right)$是反比例函数$y=frac{k}{x}(kneq0)$图象上的两点.(1)若点$A,B$关于原点中心对称,求$5x_{1}y_{2}-7x_{2}y_{1}$的值;(用含$k$的代数式表示)(2)设$x_{1}=a-1,x_{2}=a+1$,若$y_{1}<y_{2}$,求$a$的取值范围.

解析几何


解析几何

（1）把$x=0$代入函数解析式即可得$m$的值,根据图中的点画出图象即可;(2)根据图象和解析式即可进行判断;(3)先写出$y_{1}+y_{2}=frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{left({x}_{1}+1right)left({x}_{2}+1right)}$,然后根据$x_{1}+x_{2}=-2$,即可得出结果.【解析】解:(1)把$x=0$代入到$y=frac{1}{x+1}$中可得:$y=1$,即$m=1$,图象如下所示:<ImageHere>故答案为:1,图象如上所示;(2)A当$x<-1$或$x>-1$时,函数值$y$随$x$的增大而减小，故选项$A$不正确;B.根据图象可得,函数图象不经过第四象限,故选项$B$正确;C.根据函数表示可得:$xneq-1$,所以函数图象与直线$x=-1$没有交点,故选项$C$正确;D.根据图象可知,函数图象对称中心$(-1,0)$,故选项$D$正确;故选:A;(3)$becausex_{1}+x_{2}=-2$,$thereforey_{1}+y_{2}=frac{1}{x_{1}+1}+frac{1}{x_{2}+1}$$=frac{x_{2}+1+x_{1}+1}{left(x_{1}+1right)left(x_{2}+1right)}=frac{x_{1}+x_{2}+2}{left(x_{1}+1right)left(x_{2}+1right)}=0$;故答案为:0.【点睛】本题主要考查的是反比例函数的图象与性质,解题关键是熟练掌握反比例函数的基本性质。


Answer:
解: $\because$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形, $\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{CD}, \mathrm{AB} / / \mathrm{CD}$,

$\therefore \angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{CDB} . \therefore 180^{\circ}-\angle \mathrm{ABD}=180^{\circ}-\angle \mathrm{CDB}$, 即 $\angle \mathrm{ABE}=\angle \mathrm{CDF}$.

```
$A B=C D$
                $\{\angle A B E=\angle C D F$
在 $\triangle \mathrm{ABE}$ 和 $\triangle \mathrm{CDF}$ 中, $\because \quad B E=D F$
$\therefore \triangle \mathrm{ABE} \cong \triangle \mathrm{CDF}(\mathrm{SAS})$.
$\therefore \mathrm{AE}=\mathrm{CF}$.
```

Question:
(5 分 ) 如图, 已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形, 点 $E 、 B 、 D 、 F$ 在同一直线上, 且 $B E=D F$. 求证: $\mathrm{AE}=\mathrm{CF}$.

<ImageHere>

立体几何学

解: $\because$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形, $\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{CD}, \mathrm{AB} / / \mathrm{CD}$,

$\therefore \angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{CDB} . \therefore 180^{\circ}-\angle \mathrm{ABD}=180^{\circ}-\angle \mathrm{CDB}$, 即 $\angle \mathrm{ABE}=\angle \mathrm{CDF}$.

```
$A B=C D$
                $\{\angle A B E=\angle C D F$
在 $\triangle \mathrm{ABE}$ 和 $\triangle \mathrm{CDF}$ 中, $\because \quad B E=D F$
$\therefore \triangle \mathrm{ABE} \cong \triangle \mathrm{CDF}(\mathrm{SAS})$.
$\therefore \mathrm{AE}=\mathrm{CF}$.
```


Answer:
证明: $"$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形,

$\therefore A B=D C, A B \| D C$.

$\therefore \angle F A E=\angle D, \angle F=\angle E C D$.

又 $\because E A=E D$,

$\therefore \triangle A F E \cong \triangle D C E$

$\therefore A F=D C$

$\therefore A F=A B$

Question:
(5 分) 如图, 在 ${ }^{-} A B C D$ 中, 点 $\mathrm{E}$ 是 $A D$ 的中点, 连接 $C E$ 并延长, 交 $B A$ 的延长线于点 $\mathrm{F}$.

<ImageHere>

求证: $F A=A B$.

立体几何学

证明: $"$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形,

$\therefore A B=D C, A B \| D C$.

$\therefore \angle F A E=\angle D, \angle F=\angle E C D$.

又 $\because E A=E D$,

$\therefore \triangle A F E \cong \triangle D C E$

$\therefore A F=D C$

$\therefore A F=A B$


Answer:
解：如图所示, $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 即为所求作的 $\triangle A B C$ 关于点 $O$ 的对称三角形.

<ImageHere>

解: 分别连接 $A O, B O$ 和 $C O$, 延长 $A O, B O$ 和 $C O$ 使得 $A O=O A^{\prime} 、 B O=O B^{\prime} 、 C O=O C^{\prime}$, 将点连线,则 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 即为所要做的点。

Question:
(5 分 ) 如图, 作出 $\triangle \mathrm{ABC}$ 关于点 $\mathrm{O}$ 成中心对称的三角形. （保留作图痕迹）

<ImageHere>

画法几何学

解：如图所示, $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 即为所求作的 $\triangle A B C$ 关于点 $O$ 的对称三角形.

<ImageHere>

解: 分别连接 $A O, B O$ 和 $C O$, 延长 $A O, B O$ 和 $C O$ 使得 $A O=O A^{\prime} 、 B O=O B^{\prime} 、 C O=O C^{\prime}$, 将点连线,则 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 即为所要做的点。


Question: 在(1)$AE=CF;$(2)$BE//DF$;(3)$BE=DF$这三个条件中任选一个合适的补充条件在下面横线上,并完成证明过程.已知,如图,四边形$ABCD$是平行四边形,对角线$AC,BD$交于点$O$,点$E、F$在$AC$上,(1)或(2)(填写序号)求证:$BE=DF$.<ImageHere>

画法几何学


Answer: (1)平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形;(2)等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形;(3)正方形既是轴对称图形又是中心对称图形.【解析】解：(1)甲图:平行四边形,(2)乙图:等腰梯形,(3)丙图:正方形.<ImageHere>(甲图)<ImageHere>(乙图)<ImageHere>(丙图)【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形,熟练掌握几个常见的四边形是哪类图形是关键:(1)平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形;(2)等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形;(3)矩形、菱形、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形.

Question: 如图,方格纸中有三个点$A,B,C$,要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点)上,且四边形的顶点在方格的顶点上.<ImageHere>(甲图)<ImageHere>(乙图)<ImageHere>(丙图)(1)在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形;(2)在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形;(3)在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形.

画法几何学

(1)平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形;(2)等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形;(3)正方形既是轴对称图形又是中心对称图形.【解析】解：(1)甲图:平行四边形,(2)乙图:等腰梯形,(3)丙图:正方形.<ImageHere>(甲图)<ImageHere>(乙图)<ImageHere>(丙图)【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形,熟练掌握几个常见的四边形是哪类图形是关键:(1)平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形;(2)等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形;(3)矩形、菱形、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形.


画法几何学

（1）由路程$=$速度$times$时间,可求解;（2）分四种情况讨论,由平行四边形的性质,列出等式可求解.【解析】解:(1)$because$点$P$在$AD$上以$1{~cm}/{s}$的速度从点$A$向点$D$运动,$thereforeAP=$tcm,$thereforePD=(15-t){cm}$,当点$P$运动2秒时,$CQ=2times4=8{~cm}$,$thereforeBQ=15-8=7{~cm}$,当点$P$运动5秒时,$CQ=4times5=20{~cm}$,$thereforeBQ=20-15=5{~cm}$,故答案为:$(15-t);7;5$;(2)$becauseP$在$AD$上运动,$thereforetleqslant15div1=15$,即$0<tleqslant15$,$because$以点$P、D、Q、B$为顶点的平行四边形,已有$PD//BQ$,还需满足$DP=BQ$,(1)当点$Q$的运动路线是$C-B$时,$BQ=15-4t$,由题意得:$15-t=15-4t,t=0$不合题意,(2)当点$Q$的运动路线是$C-B-C$时,$BQ=4t-15$,由题意得:$15-t=4t-15$,解得:$t=6$;(3)当点$Q$的运动路线是$C-B-C-B$时,$BQ=45-4t$,由题意得:$15-t=45-4t$,解得:$t=10$;(4)当点$Q$的运动路线是$C-B-C-B-C$时,$BQ=4t-45$,由题意得:$15-t=4t-45$,解得:$t=$$12;$综上所述,$t$的值为6或10或12.【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键.


Question: 如图,$squareABCD$的对角线$AC,BD$相交于点$O,E,F$分别是$OB,OD$的中点,连接$AE,AF$,$CE,CF$.(1)求证:四边形$AECF$是平行四边形;(2)若$ABperpAC,AB=3,BC=5$,求$AE$的长.<ImageHere>

画法几何学


Answer: （1）根据轴对称图形的性质,先找出对称轴,再思考如何画图;（2）如一，也是先找一个中心,再根据中心对称的性质,思考如何画图;(3)根据中心对称和轴对称的性质画一个图形.注意此题有多种画法,答案不唯一.【解析】解：如图所示.(1)如图(1),图(2),图(3)所示;(2)如图(4)所示;(3)如图(5),图(6)所示.<ImageHere>(1)<ImageHere>(4)<ImageHere>(2)<ImageHere>(5)<ImageHere>(3)<ImageHere>(6)【点睛】本题综合考查了中心对称图形及轴对称图形的性质,及其作图的方法,学生做这些题时找对称轴及对称点是关键.

Question: 如图,由4个全等的正方形组成的$L$形图案,请按下列要求画图:(1)在图案(1)中添加1个正方形，使它成轴对称图形（不能是中心对称图形）;（2）在图案(2)中添加1个正方形，使它成中心对称图形（不能是轴对称图形）;(3)在图案(3)中改变1个正方形的位置,从而得到一个新图形,使它既成中心对称图形,又成轴对称图形.<ImageHere>(1)<ImageHere>(2)<ImageHere>(3)

画法几何学

（1）根据轴对称图形的性质,先找出对称轴,再思考如何画图;（2）如一，也是先找一个中心,再根据中心对称的性质,思考如何画图;(3)根据中心对称和轴对称的性质画一个图形.注意此题有多种画法,答案不唯一.【解析】解：如图所示.(1)如图(1),图(2),图(3)所示;(2)如图(4)所示;(3)如图(5),图(6)所示.<ImageHere>(1)<ImageHere>(4)<ImageHere>(2)<ImageHere>(5)<ImageHere>(3)<ImageHere>(6)【点睛】本题综合考查了中心对称图形及轴对称图形的性质,及其作图的方法,学生做这些题时找对称轴及对称点是关键.


Answer:
解: (1)由折叠可知, $B C=D C^{\prime}=4 \mathrm{~cm}, N C=N C^{\prime}$,

设 $D N=x c m$, 则 $N C=N C^{\prime}=(10-x) c m$,

在 $R t \triangle D N C^{\prime}$ 中, $D N^{2}=D C^{\prime 2}+N C^{\prime 2}$,

即 $x^{2}=4^{2}+(10-x)^{2}$,

解得: $x=\frac{29}{5}$, 即 $D N=\frac{29}{5} \mathrm{~cm}$;

(2)当 $\triangle A M N$ 是等腰三角形时, 易知不存在 $N A=N M$,

如图, 当 $M A=M N$ 时，

<ImageHere>

设 $B M=a c m$ ，则 $(10-a)^{2}=4^{2}+(a-2)^{2}$ ，

解得: $a=5$,

则四边形 $B C N M$ 的面积 $S=\frac{(2+5) \times 4}{2}=14\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$;

当 $A M=A N$ 时, 如图,

<ImageHere>

设 $B M=b c m$, 则 $A M=A N=(10-b) c m$ ，

则 $(10-b)^{2}=4^{2}+(10-2)^{2}$, 解得 $b=10-4 \sqrt{5}$,

则四边形 $B C N M$ 的面积 $S=(24-8 \sqrt{5}) \mathrm{cm}^{2}$.
综上所述, 四边形 $B C N M$ 的面积为 $(24-8 \sqrt{5}) \mathrm{cm}^{2}$ 或 $14 \mathrm{~cm}^{2}$;

(3)解：如图, 当点 $M$ 与 $A$ 重合时, 易知 $A E=E N$, 设 $A E=E N=x \mathrm{~cm}$,

在Rt $\triangle A D E$ 中, 则有 $x^{2}=4^{2}+(10-x-3)^{2}$, 解得 $x=\frac{65}{14}$,

$\therefore D E=10-3-\frac{65}{14}=\frac{33}{14}(\mathrm{~cm})$

<ImageHere>

如图, 当点 $M$ 运动到 $M B^{\prime} \perp A B$ 时, $D E^{\prime}$ 的值最大, $D E^{\prime}=10-3-4=3(\mathrm{~cm})$,

<ImageHere>

如图 3 中, 当点 $M$ 运动到点 $B^{\prime}$ 落在 $C D$ 时,

$N B^{\prime}=\sqrt{C N^{2}+C B^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5(\mathrm{~cm})$,

$D B^{\prime}\left(\right.$ 即 $\left.D E^{\prime \prime}\right)=10-3-5=2(\mathrm{~cm})$;

<ImageHere>

$\therefore$ 点 $E$ 的运动轨迹 $E \rightarrow E^{\prime} \rightarrow E^{\prime \prime}$, 运动路径 $=E E^{\prime}+E^{\prime} B^{\prime}=3-\frac{33}{14}+3-2=\frac{23}{14}(\mathrm{~cm})$.

故答案为: $\frac{23}{14}$.

Question:
如图, 有一张长方形纸条 $A B C D, A B=10 \mathrm{~cm}, B C=4 \mathrm{~cm}$, 点 $M, N$ 分别在边 $A B, C D$ 上, 现将四边形 $B C N M$ 沿 $M N$ 折叠, 使点 $B, C$ 分别落在点 $B^{\prime}, C^{\prime}$ 上, 边 $M B^{\prime}$ 与边 $C D$ 交于点 $E$.

<ImageHere>

图 1

<ImageHere>

图 2

<ImageHere>

3

(1)如图(1), 若折叠后, 点 $B$ 与点 $D$ 重合, 求此时 $D N$ 的长度;

(2)如图(2), 若 $C N=2 c m$, 当 $\triangle A M N$ 是等腰三角形时, 求此时四边形 $B C N M$ 的面积;

(3)如图(3), 若 $C N=3 \mathrm{~cm}$, 在点 $M$ 从点 $A$ 向点 $B$ 运动的过程中, 则点 $E$ 相应运动的路径长为 cm.

变换几何

解: (1)由折叠可知, $B C=D C^{\prime}=4 \mathrm{~cm}, N C=N C^{\prime}$,

设 $D N=x c m$, 则 $N C=N C^{\prime}=(10-x) c m$,

在 $R t \triangle D N C^{\prime}$ 中, $D N^{2}=D C^{\prime 2}+N C^{\prime 2}$,

即 $x^{2}=4^{2}+(10-x)^{2}$,

解得: $x=\frac{29}{5}$, 即 $D N=\frac{29}{5} \mathrm{~cm}$;

(2)当 $\triangle A M N$ 是等腰三角形时, 易知不存在 $N A=N M$,

如图, 当 $M A=M N$ 时，

<ImageHere>

设 $B M=a c m$ ，则 $(10-a)^{2}=4^{2}+(a-2)^{2}$ ，

解得: $a=5$,

则四边形 $B C N M$ 的面积 $S=\frac{(2+5) \times 4}{2}=14\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$;

当 $A M=A N$ 时, 如图,

<ImageHere>

设 $B M=b c m$, 则 $A M=A N=(10-b) c m$ ，

则 $(10-b)^{2}=4^{2}+(10-2)^{2}$, 解得 $b=10-4 \sqrt{5}$,

则四边形 $B C N M$ 的面积 $S=(24-8 \sqrt{5}) \mathrm{cm}^{2}$.
综上所述, 四边形 $B C N M$ 的面积为 $(24-8 \sqrt{5}) \mathrm{cm}^{2}$ 或 $14 \mathrm{~cm}^{2}$;

(3)解：如图, 当点 $M$ 与 $A$ 重合时, 易知 $A E=E N$, 设 $A E=E N=x \mathrm{~cm}$,

在Rt $\triangle A D E$ 中, 则有 $x^{2}=4^{2}+(10-x-3)^{2}$, 解得 $x=\frac{65}{14}$,

$\therefore D E=10-3-\frac{65}{14}=\frac{33}{14}(\mathrm{~cm})$

<ImageHere>

如图, 当点 $M$ 运动到 $M B^{\prime} \perp A B$ 时, $D E^{\prime}$ 的值最大, $D E^{\prime}=10-3-4=3(\mathrm{~cm})$,

<ImageHere>

如图 3 中, 当点 $M$ 运动到点 $B^{\prime}$ 落在 $C D$ 时,

$N B^{\prime}=\sqrt{C N^{2}+C B^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5(\mathrm{~cm})$,

$D B^{\prime}\left(\right.$ 即 $\left.D E^{\prime \prime}\right)=10-3-5=2(\mathrm{~cm})$;

<ImageHere>

$\therefore$ 点 $E$ 的运动轨迹 $E \rightarrow E^{\prime} \rightarrow E^{\prime \prime}$, 运动路径 $=E E^{\prime}+E^{\prime} B^{\prime}=3-\frac{33}{14}+3-2=\frac{23}{14}(\mathrm{~cm})$.

故答案为: $\frac{23}{14}$.


Answer:
解: (1) 由平移可知 $\triangle A B C \cong \triangle D E F$,
$\therefore \angle A C B=\angle F=45^{\circ}$,

$\therefore \angle A=180^{\circ}-\angle B-\angle A C B=105^{\circ}$.

（2）由平移可知 $\triangle A B C \cong \triangle D E F$,

$\therefore B C=E F$,

$\therefore B C-E C=E F-E C$

$\therefore B E=C F=(B F-E C) \div 2=3$,

$\therefore$ 平移的距离 $B E$ 为 3 .

Question:
如图, $\triangle A B C$ 沿 $B C$ 方向平移到 $\triangle D E F$ 的位置.

<ImageHere>

(1) 若 $\angle B=30^{\circ}, \angle F=45^{\circ}$, 求 $\angle A$ 的度数;

(2) 若 $B F=10, E C=4$, 求平移的距离.

变换几何

解: (1) 由平移可知 $\triangle A B C \cong \triangle D E F$,
$\therefore \angle A C B=\angle F=45^{\circ}$,

$\therefore \angle A=180^{\circ}-\angle B-\angle A C B=105^{\circ}$.

（2）由平移可知 $\triangle A B C \cong \triangle D E F$,

$\therefore B C=E F$,

$\therefore B C-E C=E F-E C$

$\therefore B E=C F=(B F-E C) \div 2=3$,

$\therefore$ 平移的距离 $B E$ 为 3 .


Answer:
解:

(1) “ 1 ” 表示开, “0” 表示关，则所有不同的“开” “关” 的状态可表示为: 1111(全开), 1110, 1101，1011，0111(三开一关)，1010，0101，0110(两开两关)，共有 8 种;

(2) 由 $a_{1}=2, a 2=3, a_{3}=5, a_{4}=8$, 归纳出 $a_{k+2}=a_{k}+a_{k+1}$;

(3)由(2)得的关系式可得出: $a_{5}=a_{4}+a_{3}=8+5=13, a_{6}=a_{4}+a_{5}=8+13=21, a_{7}=a_{5}+a_{6}=$ $13+21=34, a_{8}=a_{6}+a_{7}=21+34=55, a_{9}=a_{7}+a_{8}=34+55=89, a_{10}=a_{8}+a_{9}=55+$ $89=144$.

Question:
你觉得手机很神奇吗? 它能在瞬间清晰地传递声音、文字、图像等信号, 据说以后还能发送味道、触觉信息呢! 这里都有手机中电脑芯片的功劳. 其实, 这些信号在电脑芯片中都是以二进制数的形式给出的. 每个二进制数都由 0 和 1 构成, 电脑芯片上电子元件的 “开”、“关” 分别代表 “ 1 ”和 “0” 一一组电子元件的 “开” “关” 状态就表示相应的二进制数, 例如 “开” “开” “关” 表示 “110”, 如图, 电脑芯片的某段电路上分布着一组电子元件(假设它们首尾不相连), 且相邻的两个元件不能同时是关的. (以下各小题要求写出解答过程)

<ImageHere>

（1)若此电路上有 4 个元件，则这 4 个元件所有不同的 “开” “关” 状态共有多少种？ (请一一列出)

(2)若用 $a_{k}$ 表示电路上 $k(k \geq 1)$ 只电子元件所有不同的 “开” “关” 状态数, 试探索 $a_{k}, a_{k+1}$, $a_{k+2}$ 之间的关系式(不要求论证);

(3)试用(2)中探索出的递推关系式, 计算 $a_{10}$ 的值.

组合数学


Answer: 答案: 210

Question:
直接写出得数。 (每题 1 分, 共 8 分)

\begin{tabular}{llll}
$

算术


Answer: $9.8 ; 12.5 ; 2 ; 18 ; 0.0206 ; 3.09 ; 81 ; 0.865$

Question:
直接写出得数。(每小题 1 分, 共 8 分)
(1) $

算术


Answer:
解$\times$

【分析】12668 先算除法, 再算乘法; $126+6 \times 8$ 先算乘法, 再算加法, 由此进行判断。

【详解】 $126 \div 6 \times 8$ 和 $126+6 \times 8$ 的运算顺序是不一样的。

故答案为: $\times$

【点睛】四则混合运算的顺序: (1)一个算式里，如果只有加减法或者只有乘除法，按照从左到右的顺序依次计算; (2)如果既有加减法、又有乘除法, 先算乘除法、再算加减法; (3)如果有括号, 先算括号里面的。

Question: $126 \div 6 \times 8$ 和 $126+6 \times 8$ 的运算顺序是一样的。（）

算术

解$\times$

【分析】12668 先算除法, 再算乘法; $126+6 \times 8$ 先算乘法, 再算加法, 由此进行判断。

【详解】 $126 \div 6 \times 8$ 和 $126+6 \times 8$ 的运算顺序是不一样的。

故答案为: $\times$

【点睛】四则混合运算的顺序: (1)一个算式里，如果只有加减法或者只有乘除法，按照从左到右的顺序依次计算; (2)如果既有加减法、又有乘除法, 先算乘除法、再算加减法; (3)如果有括号, 先算括号里面的。


Answer:
解$\sqrt{ }$

【分析】根据题意可知, 此题是先算加法和乘法, 最后算除法, 根据混合运算的计算顺序进行判断即可。

【详解】 $80 \times 9 \div(65+25)$

$=720 \div 90$

$=8$

即把算式 $65+25=90,80 \times 9=720,720 \div 90=8$ 写成一个综合算式是 $80 \times 9 \div(65+25)$ 。

故答案为: $\sqrt{ }$
【点睛】熟练掌握混合运算的计算顺序是解答此题的关键。

Question: 把算式 $65+25=90,80 \times 9=720,720 \div 90=8$ 写成一个综合算式是 $80 \times 9 \div(65+25)$ 。( )。

算术

解$\sqrt{ }$

【分析】根据题意可知, 此题是先算加法和乘法, 最后算除法, 根据混合运算的计算顺序进行判断即可。

【详解】 $80 \times 9 \div(65+25)$

$=720 \div 90$

$=8$

即把算式 $65+25=90,80 \times 9=720,720 \div 90=8$ 写成一个综合算式是 $80 \times 9 \div(65+25)$ 。

故答案为: $\sqrt{ }$
【点睛】熟练掌握混合运算的计算顺序是解答此题的关键。


Answer:
解$\sqrt{ }$

【分析】被除数＝商×除数, 依此将数据代入公式计算出结果即可。

【详解】 $20 \times 40=800$, 即已知两个数的商是 20 , 除数是 40 , 那么被除数是 800 。

故答案为: $\sqrt{ }$

【点睛】熟练掌握乘、除法的意义和各部分之间的关系是解答此题的关键。

Question:
已知两个数的商是 20 , 除数是 40 , 那么被除数是 800 。（）

<ImageHere>

算术

解$\sqrt{ }$

【分析】被除数＝商×除数, 依此将数据代入公式计算出结果即可。

【详解】 $20 \times 40=800$, 即已知两个数的商是 20 , 除数是 40 , 那么被除数是 800 。

故答案为: $\sqrt{ }$

【点睛】熟练掌握乘、除法的意义和各部分之间的关系是解答此题的关键。


Answer:
解买 1 张 240 元的游泳卡

【分析】方案一：爸爸、妈妈、贝贝都买单次票, 需要的钱＝爸爸和妈妈全年游泳的总次数 $\times 20+$ 贝贝全年游泳的次数 $\times 15$ 。

方案二: $4+6+4=14$ (次), 14 次 $<15$ 次, 即全家可买一张 240 元的游泳卡。依此计算并比较即可。

【详解】 $(4+4) \times 20+6 \times 15$

$=8 \times 20+90$

$=160+90$

$=250$ （元）

$4+6+4=14$ (次), 14 次 $<15$ 次, 即方案二需要 240 元。

250 元 $>240$ 元, 即方案二合算。

答: 全家买 1 张 240 元的游泳卡合算。

【点睛】此题考查的是经济问题的计算, 应分别计算出每种购票方案需要的钱数再比较。

Question:
游泳馆有两种购票方案:

方案一：成人每人每次 20 元，儿童每人每次 15 元。

方案二: 购买 240 元游泳卡可用 15 次（任何人都可以用，1 年内有效）。

若 1 年内爸爸、妈妈各游泳 4 次, 贝贝游泳 6 次, 怎样购票合算 $?$

算术

解买 1 张 240 元的游泳卡

【分析】方案一：爸爸、妈妈、贝贝都买单次票, 需要的钱＝爸爸和妈妈全年游泳的总次数 $\times 20+$ 贝贝全年游泳的次数 $\times 15$ 。

方案二: $4+6+4=14$ (次), 14 次 $<15$ 次, 即全家可买一张 240 元的游泳卡。依此计算并比较即可。

【详解】 $(4+4) \times 20+6 \times 15$

$=8 \times 20+90$

$=160+90$

$=250$ （元）

$4+6+4=14$ (次), 14 次 $<15$ 次, 即方案二需要 240 元。

250 元 $>240$ 元, 即方案二合算。

答: 全家买 1 张 240 元的游泳卡合算。

【点睛】此题考查的是经济问题的计算, 应分别计算出每种购票方案需要的钱数再比较。


Answer:
解1440 套
【分析】用房子的栋数乘每栋的层数，再乘每层住房的套数，即可求出这个小区一共有多少套住房。

【详解】 $24 \times 15 \times 4$

$=24 \times(15 \times 4)$

$=24 \times 60$

$=1440$ （套）

答：这个小区一共有 1440 套住房。

【点睛】本题考查连乘的计算及应用。理解题意, 找出数量关系, 列式计算即可。

Question: 某小区一共有 15 栋房子，每栋 24 层，每层有 4 套住房，这个小区一共有多少套住房?

算术

解1440 套
【分析】用房子的栋数乘每栋的层数，再乘每层住房的套数，即可求出这个小区一共有多少套住房。

【详解】 $24 \times 15 \times 4$

$=24 \times(15 \times 4)$

$=24 \times 60$

$=1440$ （套）

答：这个小区一共有 1440 套住房。

【点睛】本题考查连乘的计算及应用。理解题意, 找出数量关系, 列式计算即可。


Answer:
解240 元

【分析】用 295 元乘 12 个月, 计算出分期付款部分的钱数, 再加上首付的 3500 元, 计算出这台电脑分期付款需要的钱数, 再减去 6800 元, 即可解题。

【详解】 $(3500+295 \times 12)-6800$

$=(3500+3540)-6800$

$=7040-6800$

$=240$ （元）

答：分期付款比一次性付款多花 240 元钱。

【点睛】计算出分期付款部分的钱数，是解答此题的关键。

Question: 王老师买一台 6800 元的笔记本电脑，如果采用分期付款的方式，需要首付 3500 元，以后每个月付 295 元，一共再付 12 个月。分期付款比一次性付款多花多少钱？

算术

解240 元

【分析】用 295 元乘 12 个月, 计算出分期付款部分的钱数, 再加上首付的 3500 元, 计算出这台电脑分期付款需要的钱数, 再减去 6800 元, 即可解题。

【详解】 $(3500+295 \times 12)-6800$

$=(3500+3540)-6800$

$=7040-6800$

$=240$ （元）

答：分期付款比一次性付款多花 240 元钱。

【点睛】计算出分期付款部分的钱数，是解答此题的关键。


Answer:
答案:186 $1164 \quad 2100 \quad 800 \quad 15 \quad 25$

$134 \quad 4$

Question:
直接写出得数。(每小题 1 分, 共 8 分)

| $87+99=$ | $38+64+62=$ | $21 \times 4 \times 25=$ | $25 \times 32=$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $540 \div 36=$ | $123-23-75=$ | $152+34-52=$ | $74 \div 37 \times 2=$ |17.明明借助点子图计算 $15 \times 12$ 的过程如下, 这道题还可以怎么算呢? 请

<ImageHere>

你在右侧的点子

图

上画一画,并写出算过程。

$15 \times 12$

$=15 \times 4 \times 3$

$=60 \times 3$

$=180$19.下面是某地区近几年校舍改造经费的投入情况统计图。
某地区近几年校舍改造经费的投入情况统计图

<ImageHere>

三年共投入多少万元？(4 分)

算术


Answer:
答案:(76+34) \times 12=1320$ (元)

答：这天该商店卖出的纪念品共收入 1320 元。

$

Question:
端午节吃粽子是中国的传统习俗。端午节前夕一家食品厂一共做了 8100 个粽子, 每 4 个装一袋, 每 25 袋装一箱。现已准备了 90 个箱子，够不够用？(5 分)23.龙龙和爸爸都喜欢集邮。(请用两种方法解答)(6 分)

<ImageHere>

算术

答案:(76+34) \times 12=1320$ (元)

答：这天该商店卖出的纪念品共收入 1320 元。

$


Answer: 6 .05 \quad 0.4 \quad 3.36$

Question: 在 $\square$ 里填上合适的数, 在 里填上“+”或“一”。$(1)(13.8+7.12)+10.88=13.8+(\square+\square)$$(2) 40-6.23-3.77=40-(\square igcirc \square)$$(3) 2.3+5.4+8.7+3.6=(\square+\square)+(\square+\square)$

算术


Answer: (1)7.12 $\quad 10.88$$(2) 6.23+3.77$(3)2.3 $\quad 8.7 \quad 5.4 \quad 3.6$

Question:
在 0 里填上“ $>" “<$ 或“ $=$ ”。

$

算术


Answer: 答案:=<<>$

Question: 甲、乙、丙三人共有 270 元钱，如果甲借给乙 15.6 元，又借给丙 25.5 元以后, 三人的钱一样多, 那么乙原来有 $(\quad)$ 元, 甲原来有 $(\quad)$ 元。

算术


Answer: 0.34

Question: 一个小数加上它的计数单位, 和是

算术


Answer: (1)3.8 $\quad 4.1$(2)3.14 $\quad 3.09$ $egin{array}{llll}

Question: 按规律填数。(1)2.9、3.2、3.5、( $\quad) 、(\quad) 。$(2)3.29、3.24、3.19、( ) 、( $\quad$ )

算术


Answer: 84 .2 & 2.48 & 86.68 & 81.72\end{array}$

Question: 由 $2 、 4 、 8$ 和小数点组成的最大的一位小数是 $\quad$ ), 组成的最小的两位小数是 $(\quad)$, 这两个数的和是 $(\quad)$, 差是 $(\quad)$ 。

算术


Answer:
答案: $(6 \times 10-48) \div(6-4)=6$ (个)

$10-6=4($ 个 $)$

答：笑笑编的大中国结有 4 个，小中国结有 6 个。18.答案:(1)

<ImageHere>

(2)4 画图如上图所示。

(3)35 良好

Question: 笑笑说: “我是小达人, 我会剪纸、编织。我用 48 米的红绳编了 10 个中国结, 编一个大中国结要用 6 米红绳, 编一个小中国结要用 4 米红绳”。笑笑编的大中国结和小中国结各有多少个？(8 分)

算术


Answer:
答案:(240 \times 5-950) \div(5+20)=10$ (个)

答：快递公司损坏了 10 个玻璃仪器。

Question: 某快递公司为客户运送 240 个玻璃仪器, 双方商定每个玻璃仪器的运费是 5 元, 若损坏 1 个玻璃仪器不但得不到运费还要赔偿 20 元,运送完后快递公司得到运费 950 元, 快递公司损坏了多少个玻璃仪器？(10 分)

算术


Answer:
答案:方法一:

$(80+94) \times 15=2610$ (人)

$2610>2380$

方法二:

$80 \times 15+94 \times 15=2610$ (八)

$2610>2380$

答: 它超载了。

Question:
实验二小组建了 25 个小红帽志愿者小组, 每个志愿者小组有 4 名队员，每个周末志愿者去收集旧电池。这个周末一共收集了 1200 节旧
电池。

$25 \times 4$

平均每名队员收集多少节旧电池?

$1200 \div 25$

一共有多少名队员？

$1200 \div 25 \div 4$ 平均每个小组收集多少节旧电池?

算术


Answer:
答案:(1)典典比华华多跑了多少秒?

(2)(答案不唯一)同同跑了多少秒?

$

Question:
下表是一列火车的载客信息, 算一算, 如果这列火车限乘客 2380 人, 它是否超载了? (用两种方法解答)(8 分)

| 双层车 | 每节车厢人数/人 | 车厢数/节 |
| :---: | :---: | :---: |
| 上层 | 80 | 15 |
| 下层 | 94 | 15 |

算术

答案:(1)典典比华华多跑了多少秒?

(2)(答案不唯一)同同跑了多少秒?

$


Answer: 答案:56 $\quad 0 \quad 81 \quad 300 \quad 108 \quad 14$

Question:
列坚式计算, 带※的要验算。(每小题 3 分, 共 9 分)

$※ 900-367=$

$4005 \div 89=$

$※

算术

答案:56 $\quad 0 \quad 81 \quad 300 \quad 108 \quad 14$1


Answer:
答案: $※ 900-367=533$

900 验算: 533

<ImageHere>

$4005 \div 89=45$

$8 9 \longdiv { 4 0 0 5 }$

$\frac{356}{445}$

$\begin{array}{r}445 \\ \hline 0\end{array}$

$※12.5-8.83=3.67$

i 2.5 验算: 3.67

<ImageHere>

19.答案:

$28 \times(72-18) \div 63$

$=28 \times 54 \div 63$

$=1512 \div 63$
$=24$

$$
50-(

Question:
计算下面各题, 能简算的要简算。(每小题 3 分, 共 18 分) $28 \times(72-18) \div 63 \quad 50-(19.<ImageHere>

综合算式:

<ImageHere>

综合算式:21.蓝蓝想在某网店买 1 个书包和 1 个行李箱。

(1)促销期间购买可以节省多少钱？(4 分)
<ImageHere>

(2)该网店满 188 元包邮, 她至少还要再买多少钱的商品才能包邮? (促销期间购买)(4 分)23.四年级全体师生共 156 人乘车要到永川野生动物园去游玩, 怎样租车最省钱？(6 分)

<ImageHere>

大客车

<ImageHere>

限乘客 30 人 600 元/辆 限乘客 48 人 800 元/辆

算术


Answer: 答案:7.35

Question:
直接写出得数。(每小题 1 分, 共 8 分)

| $65 \times 2=$ | $390 \div 30=$ | $

算术


Answer: 130  & 13 & 8.2 & 1.2 & 280 & 0.096 & 0.67 & 0.43\end{array}$

Question:
计算下面各题, 怎样简便就怎样算。(每小题 3 分, 共 18 分)

$510 \div 3 \div 17$

$640 \div[8 \times(

算术


Answer: 0.005 $43.02 \quad 0.01 \quad 0.35$$egin{array}{llll}1.05 & 3.07 & 150 & 64\end{array}$

Question:
直接写出得数。(每小题 1 分, 共 8 分)

$$
\begin{array}{llll}

算术


Answer:
答案:200 $20 \quad 127 \quad 36 \quad 900 \quad 4$16.答案:

$$
\begin{aligned}
& 720 \div(80-18 \times 4) \\
= & 720 \div 8 \\
= & 90 \\
& (56+250) \div[(42-36) \times 3] \\
= & 306 \div 18 \\
= & 17 \\
& 686-(286+134) \\
= & 686-286-134 \\
= & 266 \\
& 208 \times 45-45 \times 8
\end{aligned}
$$

$=45 \times(208-8)$

$=9000$

$$
900 \div 12+900 \div 18
$$

$=75+50$

$=125$

<ImageHere>

Question:
计算下面各题, 怎样简便就怎样算。(每小题 3 分, 共 15 分)

$720 \div(80-18 \times 4) \quad(56+250) \div[(42-36) \times 3]$

$686-(286+134)$

$208 \times 45-45 \times 8$

$900 \div 12+900 \div 18$17.黄霏霏要去商店买三种学习用品。去哪家商店买比较便宜? 为什么? (7 分)

| $\mathrm{A}$ 商店 |  |  | $\mathrm{B}$ 商店 |  |  |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\infty-\infty$ | (4) | <ImageHere> | $\infty$ | (iv) | <ImageHere> |
|

算术


Answer: 6 .26 \div 100=0.0626$ (升)$0.0626 	imes 1000=62.6$ (升)答: 照此计算, 平均行驶每千米耗油 0.0626 升, 行驶 1000 千米耗油 62.6 升。

Question:
某学校校庆正逢中秋节, 学校为到场来宾制作了纪念版月饼。小马负责为 A 区来宾发 550 块月饼。

(1)他已经发了五仁月饼 165 块, 莲蓉月饼 235 块, 还剩下豆沙月饼
没有发。豆沙月饼一共有多少块？(5 分)

(2)B 区和 C 区各有 86 名来宾, 共分发了 860 块月饼, 平均每人分得多少块月饼? (5 分)

算术


Answer:
【解答】解: 乘法可以用除法验算。

故答案为: $\sqrt{ }$ 。

Question: （2022 春・平坝区期末）乘法可以用除法验算。

算术

【解答】解: 乘法可以用除法验算。

故答案为: $\sqrt{ }$ 。


Answer:
【解答】解：125 乘 8 与 14 的和, 积是多少? 正确列式为: $125 \times(8+14)$,所以原题说法错误。

故答案为: $\times$ 。

Question: （2022 春・沽源县期中） 125 乘 8 与 14 的和，积是多少？正确列式为： $125 \times 8+14$ 。

算术

【解答】解：125 乘 8 与 14 的和, 积是多少? 正确列式为: $125 \times(8+14)$,所以原题说法错误。

故答案为: $\times$ 。


Answer:
【解答】解: $24 \div 4+2$

$=6+2$

$=8$

$24 \div(4+2)$

$=24 \div 6$

$=4$

两个算式的计算结果不同。

原题说法错误。

故答案为: $\times$ 。

Question: （2022 春・佛山期末） $24 \div 4+2$ 和 $24 \div$ (4+2）的计算结果是一样的。

算术


Answer:
解【解答】解: $25+25=50$

所以原题干说法正确。

故答案为: $\sqrt{ }$ 。

Question: （2022 秋・邓州市期中）差和减数都是 25, 则被减数是 50 。

算术

解【解答】解: $25+25=50$

所以原题干说法正确。

故答案为: $\sqrt{ }$ 。


Answer:
解【解答】解：如果 $A \times 25=B$, 那么 $B$ 是 $A$ 的 25 倍。
所以题干说法是错误的。

故答案为: $\times$ 。

Question: （2021 秋・溷州市期末）如果 $A \times 25=B$, 那么 $A$ 一定是 $B$ 的 25 倍。

算术

解【解答】解：如果 $A \times 25=B$, 那么 $B$ 是 $A$ 的 25 倍。
所以题干说法是错误的。

故答案为: $\times$ 。


Answer:
解【解答】解： $12 \times 24+25$

$$
\begin{aligned}
& =288+25 \\
& =313 \text { (棵) }
\end{aligned}
$$

答: 一共要种 313 棵树。

Question:
（2022 春・铜梁区期末）习近平爷爷曾说过 “绿水青山就是金山银山” , 在第 44 个植树节到来之际, 希望小学开展了 “植树造林” 实践活动。已经种了 12 排, 每排种树 24 棵, 还有 25 棵没种,
一共要种多少棵树?

算术

解【解答】解： $12 \times 24+25$

$$
\begin{aligned}
& =288+25 \\
& =313 \text { (棵) }
\end{aligned}
$$

答: 一共要种 313 棵树。


Answer:
解【解答】解: $15 \times 3 \times 4=180$ (毫升)

$180>120$

答： 3 瓶这样的止咳糖浆够一个四年级学生服用 4 天。

Question:
（2022 秋・汝阳县期中）一瓶儿童止咳糖浆的规格及用法用量如下。3 瓶这样的止咳糖浆够一个四年级学生服用 4 天吗?

【规格】每瓶 120 毫升

【用法用量】口服, 每日 3 次

7 岁以上儿童: 每次 $15 ～ 30$ 毫升

3〜7 岁儿童: 每次 5〜10 毫升

算术

解【解答】解: $15 \times 3 \times 4=180$ (毫升)

$180>120$

答： 3 瓶这样的止咳糖浆够一个四年级学生服用 4 天。


Answer:
【解答】解： $1900-125 \times 14$

$=1900-1750$

$=150$ （元）

答: 还剩 150 元。

Question: （2022 秋・应城市期中）篮球每个 125 元，刘老师带 1900 元买 14 个篮球，还剩多少元?

算术


Answer:
解【解答】解： $187 \times 37=6919$ （元）

$$
\begin{aligned}
& (76-37) \times 187 \\
= & 39 \times 187 \\
= & 7293 （ \text { 元 })
\end{aligned}
$$

答：已经卖出的 “山东号” 航母模型共收入 6919 元, 剩下的模型还能卖 7293 元钱。

Question: （2022 秋・峄城区期中）玩具店一共运进 76 个 “山东号” 航母模型, 定价 187 元/个。第一周按定价卖出了 37 个。已经卖出的 “山东号” 航母模型共收入多少元？剩下的模型还能卖多少钱？

算术

解【解答】解： $187 \times 37=6919$ （元）

$$
\begin{aligned}
& (76-37) \times 187 \\
= & 39 \times 187 \\
= & 7293 （ \text { 元 })
\end{aligned}
$$

答：已经卖出的 “山东号” 航母模型共收入 6919 元, 剩下的模型还能卖 7293 元钱。


Answer:
【解答】解: (1) $712 \div 2=356$ (桶)

答：这些酒精能装 356 桶。

(2) $356 \times 8=2848$ (元)

答: 这些酒精一共能卖 2848 元钱。

Question:
（2022 秋・峄城区期中）某药店为了疫情防控消毒进来一百分之七十五的酒精 712 千克, 每 2 千克装一小桶, 每桶卖 8 元。

（1）这些酒精能装几桶?

（2）这些酒精一共能卖多少钱?

算术


Answer:
解【解答】解: $128 \div(3+1)$

$$
\begin{aligned}
= & 128 \div 4 \\
= & 32 \text { (瓶) } \\
& (128-32) \times 2 \\
= & 96 \times 2 \\
= & 192 \text { (元) }
\end{aligned}
$$

答: 至少需要 192 元钱。

Question: （2022 秋・峄城区期中）某超市的矿泉水每瓶 2 元, 并且 “买三赠一”，给三年级 128 名学生每人准备 1 瓶, 至少需要多少钱?

算术


Answer:
解$\sqrt{ }$

【分析】由于 0 表示没有, 根据除法的意义, 0 除以任何不是 0 的数都得 0 , 即可解题。

【详解】由于 0 表示没有, 0 除以任何不是 0 的数都得 0 , 原题说法正确。

故答案为: $\sqrt{ }$

【点睛】本题考查了学生对于 0 所表示意义的理解与应用。

Question: 0 除以任何不是 0 的数都得 0 。(）

算术

解$\sqrt{ }$

【分析】由于 0 表示没有, 根据除法的意义, 0 除以任何不是 0 的数都得 0 , 即可解题。

【详解】由于 0 表示没有, 0 除以任何不是 0 的数都得 0 , 原题说法正确。

故答案为: $\sqrt{ }$

【点睛】本题考查了学生对于 0 所表示意义的理解与应用。


Answer:
解$\times$

【分析】被除数 $\div$ 除数＝商, 商 $\times$ 除数＝被除数。根据除法的意义和各部分间的关系, 即可解答此题。

【详解】由■ $\div \triangle=\bullet$ 可知, ■为被除数, $\triangle$ 为除数, $\bullet$ 为商, 由除法各部分间关系可知, $\bullet \times \Delta=■$, 题

目说法错误。

故答案为: $\times$

【点睛】本题主要考查除法的意义和各部分间的关系, 属于基础知识, 要熟练掌握。

Question: 已知 $\div \Delta=\bullet$, 所以 $\times \bullet=\Delta$ 。( )

算术

解$\times$

【分析】被除数 $\div$ 除数＝商, 商 $\times$ 除数＝被除数。根据除法的意义和各部分间的关系, 即可解答此题。

【详解】由■ $\div \triangle=\bullet$ 可知, ■为被除数, $\triangle$ 为除数, $\bullet$ 为商, 由除法各部分间关系可知, $\bullet \times \Delta=■$, 题

目说法错误。

故答案为: $\times$

【点睛】本题主要考查除法的意义和各部分间的关系, 属于基础知识, 要熟练掌握。


Answer:
解$\times$

【分析】一个算式里，如果只有加减法或者只有乘除法，按照从左到右的顺序依次计算，据此解答。

【详解】算式中只有乘、除运算的，要按照从左到右的顺序依次计算。

故答案为: $\times$

【点睛】四则混合运算的顺序：1、一个算式里, 如果只有加减法或者只有乘除法, 按照从左到右的顺序依次计算; 2、如果既有加减法、又有乘除法, 先算乘除法、再算加减法; 3、如果有括号, 先算括号里面的。

Question: 算式中只有乘、除运算的, 要先算乘法，后算除法。（）

算术

解$\times$

【分析】一个算式里，如果只有加减法或者只有乘除法，按照从左到右的顺序依次计算，据此解答。

【详解】算式中只有乘、除运算的，要按照从左到右的顺序依次计算。

故答案为: $\times$

【点睛】四则混合运算的顺序：1、一个算式里, 如果只有加减法或者只有乘除法, 按照从左到右的顺序依次计算; 2、如果既有加减法、又有乘除法, 先算乘除法、再算加减法; 3、如果有括号, 先算括号里面的。


Answer:
解$\sqrt{ }$

【分析】没有余数的除法中，被除数 $=$ 除数 $\times$ 商，则被除数 $\div （$ 除数 $\times$ 商 $)=1$ 。据此判断即可。

【详解】被除数 $\div$ （除数 $\times$ 商）

$=$ 被除数 $\div$ 被除数

$=1$

则所得的新商是 1 , 题干说法正确。

故答案为: $\sqrt{ }$

【点睛】本题考查除法各部分之间的关系，常利用这个关系进行除法的验算。

Question: 在没有余数的除法中, 被除数除以除数与商的积, 所得的新商是 1。(）

算术

解$\sqrt{ }$

【分析】没有余数的除法中，被除数 $=$ 除数 $\times$ 商，则被除数 $\div （$ 除数 $\times$ 商 $)=1$ 。据此判断即可。

【详解】被除数 $\div$ （除数 $\times$ 商）

$=$ 被除数 $\div$ 被除数

$=1$

则所得的新商是 1 , 题干说法正确。

故答案为: $\sqrt{ }$

【点睛】本题考查除法各部分之间的关系，常利用这个关系进行除法的验算。


Answer:
解$\sqrt{ }$

【分析】加数 + 加数 $=$ 和, 加数 $=$ 和 - 另一个加数, 依此判断。
【详解】 $545+296=841$, 则 $841-296=545 ; 841-545=296$ 。

因此根据 $545+296=841$, 可以写出两道减法算式。

故答案为: $\sqrt{ }$

【点睛】熟练掌握加、减法的意义和各部分之间的关系是解答此题的关键。

Question: 根据 $545+296=841$, 可以写出两道减法算式。( )

算术

解$\sqrt{ }$

【分析】加数 + 加数 $=$ 和, 加数 $=$ 和 - 另一个加数, 依此判断。
【详解】 $545+296=841$, 则 $841-296=545 ; 841-545=296$ 。

因此根据 $545+296=841$, 可以写出两道减法算式。

故答案为: $\sqrt{ }$

【点睛】熟练掌握加、减法的意义和各部分之间的关系是解答此题的关键。


Answer:
解6 元

【分析】用 270 元减去 20 支钢笔的钱数, 就是 15 个文具盒的钱数, 再根据单价 $=$ 总价 $\div$ 数量, 即可求出每个文具盒的钱数。

【详解】 $(270-20 \times 9) \div 15$

$=(270-180) \div 15$

$=90 \div 15$

$=6$ （元）

答: 每个文具盒 6 元。

【点睛】本题考查了用整数的四则混合运算解决问题, 需准确分析题目中的数量关系。

Question: 为庆祝“六一”儿童节，学校买来 20 支钢笔和 15 个文具盒奖励红花少年，一共花去 270 元。已知每支钢笔 9 元，每个文具盒多少元?

算术

解6 元

【分析】用 270 元减去 20 支钢笔的钱数, 就是 15 个文具盒的钱数, 再根据单价 $=$ 总价 $\div$ 数量, 即可求出每个文具盒的钱数。

【详解】 $(270-20 \times 9) \div 15$

$=(270-180) \div 15$

$=90 \div 15$

$=6$ （元）

答: 每个文具盒 6 元。

【点睛】本题考查了用整数的四则混合运算解决问题, 需准确分析题目中的数量关系。


Answer:
解1185 箱

【分析】每辆车能装 37 箱桃子和 42 箱李子, 先把 37 和 42 相加求出每车能装多少箱水果, 再乘水果的车数, 即可求出一共订购了多少箱水果。据此解答。

【详解】 $(37+42) \times 15$

$=79 \times 15$

$=1185$ （箱）

答：一共订购了 1185 箱水果。

【点睛】本题考查学生对乘法意义的掌握。求几个相同加数的和, 可以用乘法计算。此题也可以先分别求出一共订购了多少箱桃子和多少箱李子, 再相加, 即: $37 \times 15+42 \times 15$ 。

Question: 扶贫助农在行动。桃李村的水果丰收了, 受疫情影响销售困难, 各地纷纷伸出援手。爱华水果店订购了 15 车水果, 每辆车能装 37 箱桃子和 42 箱李子, 一共订购了多少箱水果?

算术

解1185 箱

【分析】每辆车能装 37 箱桃子和 42 箱李子, 先把 37 和 42 相加求出每车能装多少箱水果, 再乘水果的车数, 即可求出一共订购了多少箱水果。据此解答。

【详解】 $(37+42) \times 15$

$=79 \times 15$

$=1185$ （箱）

答：一共订购了 1185 箱水果。

【点睛】本题考查学生对乘法意义的掌握。求几个相同加数的和, 可以用乘法计算。此题也可以先分别求出一共订购了多少箱桃子和多少箱李子, 再相加, 即: $37 \times 15+42 \times 15$ 。


Answer:
解19 天

【分析】用小华 3 天看书的页数除以 3 , 可以计算出小华平均每天看书的页数, 再用这本书的总页数,除以小华平均每天看书的页数, 就可以计算出小华要看完这本 308 页的《红楼梦》需要的天数, 最后用看书的总天数减去已经看的天数, 可以计算看完这本书还需要多少天。

【详解】 $308 \div(42 \div 3)-3$

$=308 \div 14-3$
$=22-3$

$=19$ （天）

答: 小华要看完这本 308 页的《红楼梦》还需要 19 天。

【点睛】本题考查归一问题的解题方法, 解题关键是先求出平均每天看了多少页, 再根据每天看的页数不变, 利用每天看的页数、看的天数、全书总页数之间的关系列式计算。

Question: 小华利用暑假看一本经典名著《红楼梦》，3 天看了 42 页, 照这样的速度, 小华要看完这本 308 页的《红楼梦》还需要多少天?

算术

解19 天

【分析】用小华 3 天看书的页数除以 3 , 可以计算出小华平均每天看书的页数, 再用这本书的总页数,除以小华平均每天看书的页数, 就可以计算出小华要看完这本 308 页的《红楼梦》需要的天数, 最后用看书的总天数减去已经看的天数, 可以计算看完这本书还需要多少天。

【详解】 $308 \div(42 \div 3)-3$

$=308 \div 14-3$
$=22-3$

$=19$ （天）

答: 小华要看完这本 308 页的《红楼梦》还需要 19 天。

【点睛】本题考查归一问题的解题方法, 解题关键是先求出平均每天看了多少页, 再根据每天看的页数不变, 利用每天看的页数、看的天数、全书总页数之间的关系列式计算。


Answer:
解240 套

【分析】从 8 月 1 日开始工作, 到 8 月 10 日完成任务, 共 10 天; 先用 230 乘 4 , 求出已生产的套数,再用 2360 减去已生产的套数, 求出剩下的套数, 然后再除以（10-4）天即可。

【详解】 $(2360-230 \times 4) \div(10-4)$

$=(2360-920) \div(10-4)$

$=1440 \div 6$

$=240$ （套）

答: 剩下的任务平均每天应生产 240 套。

【点睛】本题考查了运用整数减法和乘除法的意义解决实际问题的能力。

Question: 家具公司要加工 2360 套课桌椅, 从 8 月 1 日开始工作, 每天生产 230 套, 生产了 4 天后, 接到通知, 要求 8 月 10 日完成任务, 剩下的任务平均每天应生产多少套?

算术

解240 套

【分析】从 8 月 1 日开始工作, 到 8 月 10 日完成任务, 共 10 天; 先用 230 乘 4 , 求出已生产的套数,再用 2360 减去已生产的套数, 求出剩下的套数, 然后再除以（10-4）天即可。

【详解】 $(2360-230 \times 4) \div(10-4)$

$=(2360-920) \div(10-4)$

$=1440 \div 6$

$=240$ （套）

答: 剩下的任务平均每天应生产 240 套。

【点睛】本题考查了运用整数减法和乘除法的意义解决实际问题的能力。


Answer:
解$\times$

【分析】整数四则混合运算的运算顺序是同级运算时，从左到右依次计算; 两级运算时，先算乘除，后算加减。有括号时, 先算括号里面的; 有多层括号时, 先算小括号里的, 再算中括号里面的。据此判断。

【详解】在有括号的四则运算中, 应是要先算小括号里, 再算中括号里的, 而不是先算中括号里, 再算小括号里。

故答案为: $\times$

【点睛】熟练掌握整数四则混合运算的运算顺序是解决本题的关键。

Question: 在有括号的四则运算中, 要先算中括号里, 再算小括号里。( )

算术

解$\times$

【分析】整数四则混合运算的运算顺序是同级运算时，从左到右依次计算; 两级运算时，先算乘除，后算加减。有括号时, 先算括号里面的; 有多层括号时, 先算小括号里的, 再算中括号里面的。据此判断。

【详解】在有括号的四则运算中, 应是要先算小括号里, 再算中括号里的, 而不是先算中括号里, 再算小括号里。

故答案为: $\times$

【点睛】熟练掌握整数四则混合运算的运算顺序是解决本题的关键。


Answer:
解$\times$

【分析】直接计算出 $3889-(108+31) \times 5$ 的结果，看与原结果是否相等即可解答。

【详解】 $3889-(108+31) \times 5$

$=3889-139 \times 5$

$=3889-695$

$=3194$

因为 $3194 \neq 3144$, 所以原题计算错误。

故答案为: $\times$

【点睛】本题主要考查学生对整数混合运算计算知识的掌握。

Question: $3889-(108+31) \times 5=3889-149 \times 5=3889-745=3144$ 。 $(\quad)$

算术

解$\times$

【分析】直接计算出 $3889-(108+31) \times 5$ 的结果，看与原结果是否相等即可解答。

【详解】 $3889-(108+31) \times 5$

$=3889-139 \times 5$

$=3889-695$

$=3194$

因为 $3194 \neq 3144$, 所以原题计算错误。

故答案为: $\times$

【点睛】本题主要考查学生对整数混合运算计算知识的掌握。


Answer:
解$\times$

【分析】此题可以利用赋值法, 举例子解答。

【详解】如果这两个数中有一个数是 1 , 因为 1 乘任何数都得原数, 则两个数的积就是另一个数, 而这两个数的和一定比另一个数大 1 。

所以原题说法错误。

故答案为: $\times$

【点睛】灵活应用 1 与任何数相乘都得原数的性质即可解答。

Question: 两个数的积一定比这两个数的和大。(）

算术

解$\times$

【分析】此题可以利用赋值法, 举例子解答。

【详解】如果这两个数中有一个数是 1 , 因为 1 乘任何数都得原数, 则两个数的积就是另一个数, 而这两个数的和一定比另一个数大 1 。

所以原题说法错误。

故答案为: $\times$

【点睛】灵活应用 1 与任何数相乘都得原数的性质即可解答。


Answer:
解$\times$

【分析】根据整数的四则运算的方法, 先算乘除, 后算加减, 有括号先算括号内的, 同级运算, 从左到右依次运算，据此计算判断即可。

【详解】 $315 \times(48-48 \div 4)$

$=315 \times(48-12)$

$=315 \times 36$
$=5040$

故答案为: $\times$

【点睛】解决本题的关键是熟练掌握整数四则混合运算的方法。

Question: $315 \times(48-48 \div 4)=0$ 。 $(\quad)$

算术

解$\times$

【分析】根据整数的四则运算的方法, 先算乘除, 后算加减, 有括号先算括号内的, 同级运算, 从左到右依次运算，据此计算判断即可。

【详解】 $315 \times(48-48 \div 4)$

$=315 \times(48-12)$

$=315 \times 36$
$=5040$

故答案为: $\times$

【点睛】解决本题的关键是熟练掌握整数四则混合运算的方法。


Answer:
解$\sqrt{ }$

【分析】被除数 $\div$ 除数 $=$ 商, 根据题意可知, 这个除法算式的除数是 9 , 商是 24 , 根据被除数 $=$ 商 $\times$除数计算并判断即可

【详解】 $24 \times 9=216$

因此在一道除法算式中, 被除数是除数的 24 倍, 是商的 9 倍, 则被除数是 216 。

故答案为: $\sqrt{ }$

【点睛】熟练掌握乘、除法的意义和各部分之间的关系是解答此题的关键。

Question: 在一道除法算式中，被除数是除数的 24 倍，是商的 9 倍，则被除数是 216 。

算术

解$\sqrt{ }$

【分析】被除数 $\div$ 除数 $=$ 商, 根据题意可知, 这个除法算式的除数是 9 , 商是 24 , 根据被除数 $=$ 商 $\times$除数计算并判断即可

【详解】 $24 \times 9=216$

因此在一道除法算式中, 被除数是除数的 24 倍, 是商的 9 倍, 则被除数是 216 。

故答案为: $\sqrt{ }$

【点睛】熟练掌握乘、除法的意义和各部分之间的关系是解答此题的关键。


Answer:
解方案二

【分析】把这两种方案的所需的钱数分别计算出来, 然后再进行比较大小即可解答。

【详解】方案一:

$100 \times 20+(100 \div 2) \times 8$

$=2000+50 \times 8$

$=2000+400$

$=2400$ （元）

方案二:

$80 \times(20+8)$

$=80 \times 28$

$=2240 （$ 元）

$2400>2240$

答：按方案二买票便宜。

【点睛】解答此题的关键是计算出每种方案所需的钱数。

Question:
某风景区的门票有两种价格方案。

方案一: 成人每人 100 元，儿童每人半价。

方案二：团体 10 人以上（包括 10 人），每人 80 元。

有成人 20 人, 儿童 8 人, 按哪个方案买票便宜?

算术

解方案二

【分析】把这两种方案的所需的钱数分别计算出来, 然后再进行比较大小即可解答。

【详解】方案一:

$100 \times 20+(100 \div 2) \times 8$

$=2000+50 \times 8$

$=2000+400$

$=2400$ （元）

方案二:

$80 \times(20+8)$

$=80 \times 28$

$=2240 （$ 元）

$2400>2240$

答：按方案二买票便宜。

【点睛】解答此题的关键是计算出每种方案所需的钱数。


Answer:
解2 米

【分析】成人服装的套数 $\times$ 每套用布的长度＝做成人服装用布的总长度，布的总长度一做成人服装用布的总长度 $=$ 剩下的布的长度，剩下的布的长度做儿童服装的套数=每套儿童服装用布的长度，依此列出综合算式并计算。

【详解】 $(84-18 \times 3) \div 15$

$=(84-54) \div 15$

$=30 \div 15$

$=2$ (米)

答：每套儿童服装用布 2 米。

【点睛】本题的重点是求出剩下布的米数, 再用除法进行列式解答。

Question: 某服装厂的设计师改进了设计工艺, 经计算,用 84 米布可以做 18 套成人服装,每套用布 3 米,剩下的布则正好做 15 套儿童服装，每套儿童服装用布多少米?

算术

解2 米

【分析】成人服装的套数 $\times$ 每套用布的长度＝做成人服装用布的总长度，布的总长度一做成人服装用布的总长度 $=$ 剩下的布的长度，剩下的布的长度做儿童服装的套数=每套儿童服装用布的长度，依此列出综合算式并计算。

【详解】 $(84-18 \times 3) \div 15$

$=(84-54) \div 15$

$=30 \div 15$

$=2$ (米)

答：每套儿童服装用布 2 米。

【点睛】本题的重点是求出剩下布的米数, 再用除法进行列式解答。


Answer:
解8400 元

【分析】用每件上衣的价钱加上每条裤子的价钱，求出每套运动服的价钱，再乘套数，求出花费总钱数。

【详解】 $(75+45) \times 70$

$=120 \times 70$

$=8400$ （元）

答：一共花了 8400 元钱。

【点睛】本题考查经济问题, 也可以先分别求出购买上衣和裤子的价钱, 再相加求和, 列式为 $75 \times 70$ $+45 \times 70$ 。

Question: 运动服的上衣每件 75 元, 裤子每条 45 元, 学校购进 70 套这样的运动服,一共花了多少钱？

算术

解8400 元

【分析】用每件上衣的价钱加上每条裤子的价钱，求出每套运动服的价钱，再乘套数，求出花费总钱数。

【详解】 $(75+45) \times 70$

$=120 \times 70$

$=8400$ （元）

答：一共花了 8400 元钱。

【点睛】本题考查经济问题, 也可以先分别求出购买上衣和裤子的价钱, 再相加求和, 列式为 $75 \times 70$ $+45 \times 70$ 。


Answer:
解乙微店; 1568 元

【分析】分别计算出在两个微店买 260 支同样规格的自动铅笔所花的费用, 再进行比较即可。

【详解】在甲微店购买:

$260 \div 12=21$ （把） $\qquad$ 8 (支)

那么在甲店购头 21 把不够, 要买: $21+1=22$ （把）

总共价格为： $22 \times 72=1584$ （元）

在乙微店购买:

$260 \div(4+1)$

$=260 \div 5$

$=52$ （把）

$52 \times 30+8$

$=1560+8$
$=1568$ （元）

因为 $1584>1568$, 所以建议李老师在乙微店购买。

答: 建议刘老师在乙微店购买。最少要花 1568 元。

【点睛】本题主要考查学生对经济优化问题的掌握, 通过具体的计算比较, 找出问题的答案即可。

Question:
刘老师要购买 260 支同样规格的自动铅笔作为礼物发给学生, 他在购物网上看到了这样两个微店的信息（如下图）：你建议刘老师在哪个微店购买？最少要花多少元？
甲微店

<ImageHere>

需要整把买, 免运费每把12支, 共72元。乙微店

<ImageHere>

买4支送 1 支, 合计 30 元

另外支付8元运費。

算术

解乙微店; 1568 元

【分析】分别计算出在两个微店买 260 支同样规格的自动铅笔所花的费用, 再进行比较即可。

【详解】在甲微店购买:

$260 \div 12=21$ （把） $\qquad$ 8 (支)

那么在甲店购头 21 把不够, 要买: $21+1=22$ （把）

总共价格为： $22 \times 72=1584$ （元）

在乙微店购买:

$260 \div(4+1)$

$=260 \div 5$

$=52$ （把）

$52 \times 30+8$

$=1560+8$
$=1568$ （元）

因为 $1584>1568$, 所以建议李老师在乙微店购买。

答: 建议刘老师在乙微店购买。最少要花 1568 元。

【点睛】本题主要考查学生对经济优化问题的掌握, 通过具体的计算比较, 找出问题的答案即可。