0. La pregunta es encontrar un...\nsión de Kn(t) que conduce a algún límite no trivial. Es evidente que esta normalización\nnes, pero es muy posible que haya un efecto de fase\nSituación similar a la descubierta por Lifshits y Shi [16]: Si una son pequeñas\nsuficiente, entonces el gas tiene una temperatura baja y la normalización es la\nigual que en el gas frío. Si una son lo suficientemente grandes, como en el caso básico de un 1,\nentonces la normalización y el comportamiento del gas difieren completamente de la\nel caso del gas frío.\nEl autor cree que la propiedad de localización, que se describe en\nLa sección 3 podría ser útil en un estudio de estas cuestiones.\nTambién es interesante comparar el comportamiento de Kn(1) en el\nlos gases fríos; en el gas caliente, el momento t= 1 juega el mismo “crítico”\npapel como en el gas frío, ver Lifshits y Shi [16]. La variable Kn(1) fue\nestudiados por Suidan [24], que consideró el gas caliente con un\nposiciones iniciales minísticas de partículas (sus posiciones iniciales fueron 1\n,. .., n\nPara este caso, Suidan encontró la distribución de Kn(1) y mostró que\nEKn(1)® logn. Recordemos que en el caso presentado, EKn(1)® c3\nINCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 33\n4. El número de cúmulos en sistemas balísticos de partículas pegajosas.\nUn modelo de partículas pegajosas se llama balístico si evoluciona de acuerdo con el\nleyes introducidas en el artículo 1, pero en ausencia de gravitación. Tales modelos\nson, en cierto sentido, más naturales que gravitacionales porque el ba-\nsuposición de que la gravitación no depende de la distancia es a veces\nConfundiendo. Sin embargo, un artículo inédito de Lifshits y Kuoza muestra que\nciertos modelos gravitacionales y balísticos están estrechamente conectados.\nParece interesante estudiar el número de clusters en el modelo balístico.\nEl autor no conoce ningún resultado en este campo.\nAgradecimientos. Estoy agradecido a mi asesor Mikhail A. Lifshits por\nllamar mi atención sobre el tema y por su guía. También doy las gracias a la\nárbitros anónimos para leer cuidadosamente este artículo y comentarios útiles.\nREFERENCIAS\n[1] Baum, L. E. y Katz, M. (1965). Tasas de convergencia en la ley de grandes números.\nTrans. Amer. Matemáticas. Soc. 120 108–123. MR0198524\n[2] Bertoin, J. (2002). Las nubes autoatractivas de Poisson en un universo en expansión. Comm.\nMatemáticas. Phys. 232 59–81. MR1942857\n[3] Billingsley, P. (1968). Convergencia de las medidas de probabilidad. Wiley, Nueva York.\nMR0233396\n[4] Brenier, Y. y Grenier, E. (1998). Partículas pegajosas y leyes de conservación escalar.\nSIAM J. Numer. Anal. 35 2317–2328. MR1655848\n[5] Chertock, A., Kurganov, A. y Rykov, Yu. (2007). Una nueva partícula pegajosa\nmétodo para la dinámica de gas sin presión. SIAM J. Numer. Anal. 45 2408–2441.\nMR2361896\n[6] E, W., Rykov, Yu. G. y Sinai, Ya. G. (1996). Principios de variación generalizados,\nsoluciones débiles globales y el comportamiento con datos iniciales aleatorios para los sistemas de\nleyes de conservación que surgen en la dinámica de las partículas de adhesión. Comm. Matemáticas. Phys.\n177 349–380. MR1384139\n[7] Esary, J. D., Proschan, F. y Walkup, D. W. (1967). Asociación de aleatorios\nvariables, con aplicaciones. Ann. Matemáticas. Stat. 38 1466–1474. MR0217826\n[8] Giraud, C. (2001). Agrupamiento en un gas unidimensional auto-gravitante a cero tem-\nPeratura. J. Statist. Phys. 105 585-604. MR1871658\n[9] Giraud, C. (2005). Agrupación gravitacional y coalescencia aditiva. Estocástico Pro-\ncesto. Appl. 115 1302–1322. MR2152376\n[10] Gurbatov, S. N., Malakhov, A. N. y Saichev, A. I. (1991). Ran no lineal...\ndom Olas y Turbulencia en Medios No Dispersivos: Olas, Rayos, Partículas.\nManchester Univ. Presiona. MR1255826\n[11] Gurbatov, S. N., Saichev, A. I. y Shandarin, S. F. (1989). La gran escala\nestructura del universo en el marco de la ecuación modelo de difu-\nsión. Mon. No, no. R. Astr. Soc. 236 385–402.\n[12] Isozaki, Y. y Watanabe, S. (1994). Una fórmula asintótica para el Kolmogorov\ndifusión y un refinamiento de las estimaciones del Sinaí para la\ntion. Proc. Japón Acad. Ser. A Math. Sci. 70 271–276. MR1313176\n[13] Karlin, S. (1968). Un primer curso en procesos estocásticos. Prensa académica, nueva\nYork. MR0208657\nhttp://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0198524\nhttp://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1942857\nhttp://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0233396\nhttp://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1655848\nhttp://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2361896\nhttp://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1384139\nhttp://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0217826\nhttp://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1871658\nhttp://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2152376\nhttp://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1255826\nhttp://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1313176\nhttp://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0208657\n34 V. V. VYSOTSKY\n[14] Kuoza, L. V. y Lifshits, M. A. (2006). Agregación en el modelo de gas unidimensional\ncon datos iniciales estables. J. Matemáticas. Sci. 133 1298-1307. MR2092206\n[15] Lifshits, M. A. (1995). Funciones aleatorias gaussianas. Kluwer, Dordrecht.\nMR1472736\n[16] Lifshits, M. y Shi, Z. (2005). Tasas de agregación en estocástico unidimensional\nsistemas con adhesión y gravitación. Ann. Probando. 33 53–81. MR2118859\n[17] Lin, Z. y Lu, C. (1996). Teoría límite para mezclar variables aleatorias dependientes.\nKluwer, Dordrecht. MR1486580\n[18] Louhichi, S. (2000). Convergencia débil para los procesos empíricos\nQuences. Ann. Inst. H. Poincare Probab. Statist. 36 547–567. MR1792655\n[19] McKean, H. P. (1963). Un problema de bobinado para un resonador impulsado por un ruido blanco.\nJ. Matemáticas. Kyoto Univ. 2 227–235. MR0156389\n[20] Martin, Ph. A. y Piasecki, J. (1996). Dinámica de la agregación en una auto-gravitación\ngas unidimensional. J. Statist. Phys. 84 837–857. MR1400187\n[21] Newman, C. M. (1980). Las fluctuaciones normales y las desigualdades FKG. Comm.\nMatemáticas. Phys. 74 119–128. MR0576267\n[22] Sinaí, Ya. G. (1992). Distribución de algunas funciones de la integral de un azar\nCamina. Teor. Matemáticas. Phys. 90 219–241. MR1182301\n[23] Shandarin, S. F. y Zeldovich, Ya. B. (1989). La estructura a gran escala de la\nuniverso: Turbulencia, intermitencia, estructuras en un medio auto-gravitante.\nRev. Phys modernos. 61 185–220. MR0989562\n[24] Suidan, T. M. (2001). Un gas unidimensional gravitacionalmente interactuante y la\nex menor de edad de la moción Brownian. Russ. Matemáticas. Surv. 56 687–708. MR1861441\n[25] Vysotsky, V. V. (2006). Sobre energía y racimos en sistemas estocásticos de pegajoso\npartículas gravitantes. Teory Probab. Appl. 50 265–283. MR2221711\n[26] Vysotsky, V. V. (2007). El área de caminata aleatoria exponencial y sumas parciales de\nestadísticas de orden uniforme. J. Matemáticas. Sci. 147 6873–6883.\nDepartamento de Teoría de la Probabilidad\ny Estadística Matemática\nFacultad de Matemáticas y Mecánica\nUniversidad Estatal de San Petersburgo\nBibliotechnaya pl. 2\nStary Peterhof 198504\nRusia\nCorreo electrónico: vlad.vysotsky@gmail.com\nhttp://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2092206\nhttp://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1472736\nhttp://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2118859\nhttp://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1486580\nhttp://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1792655\nhttp://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0156389\nhttp://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1400187\nhttp://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0576267\nhttp://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1182301\nhttp://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0989562\nhttp://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1861441\nhttp://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2221711\nmailto:vlad.vysotsky@gmail.com\n\tIntroducción\n\tDescripción del modelo\n\tDeclaración del problema y de los resultados\n\tOrganización del documento\n\tMétodo de los baricentros\n\tEstudio de la identificación. modelo. La propiedad de localización\n\tEl estudio inicial\n\tPropiedad de localización del proceso de agregación\n\tLa función de distribución de T0 en el modelo Poisson\n\tAlgunas propiedades de las variables Ti\n\tLa última colisión\n\tPruebas del hecho 1 y el teorema 1 para el i.d. modelo\n\tPrueba de Teorema 1 para el modelo uniforme\n\tEl número de grupos temáticos en el momento crítico\n\tAbrir preguntas\n\tAgradecimientos\n\tBibliografía\n\tDirección del autor\n"}}},{"rowIdx":80,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0087,"string":"704.0087"},"title":{"kind":"string","value":"Approximate solutions to the Dirichlet problem for harmonic maps between\n hyperbolic spaces"},"full_text":{"kind":"string","value":"SOLUCIONES APROXIMADAS AL PROBLEMA DEL DIRICHLET\nPARA MAPAS ARMONICAS ENTRE ESPACIOS HIPERBÓLICOS\nDUONG MINH DUC Y TRUONG TRUNG TUYEN\nResumen. Nuestro principal resultado en este trabajo es el siguiente: Dado Hm, Hn\nespacios hiperbólicos de m dimensional ≥ 2 y n correspondientes, y\nFunción del titular f = (f1,..., fn−1) :..................................................................................................................................\naries de Hm y Hn. Entonces para cada â € > 0 existe un mapa armónico\nu : Hm → Hn que es continuo hasta el límite (en el sentido de Eu-\nclidiano) y uHm = (f\n1,..., fn−1,........................................................................................................................................................................................................................................................... \n1. Introducción\nQue Hm y Hn sean espacios hiperbólicos con dimensiones m ≥ 2 y n corresponden-\nIngly. Para mayor comodidad, utilizamos los modelos de espacio de la mitad superior para Hm y Hn. Así que\nHm = {(x1,..., xm) • IRm : xm > 0}, Hn = {(y1,..., yn) • IRn : yn > 0} con\nmétricas\nd2Hm =\n(xm)2\n(dx1)2 +...+ (dxm)2),\nd2Hn =\n(yn)2\n((dy1)2 +...+ (dyn)2).\nAsí que los campos de tensión de u = (y1,..., yn) es\n• = (xm)2\n< 0y\nα,0y\nn >),\npara 1 ≤ α ≤ n− 1 y\nN(u) = (xm)2\n2 − 0y\nn2)),\ndonde 0 es el gradiente euclidiano y 0 es el Laplaciano euclidiano.\nUn mapa de C2 u : Hm → Hn se llama un mapa armónico si (u)s = 0 para todos s =\n1, 2,..., n. La literatura sobre mapas armónicos entre los colectores Riemannianos son\nabundante, nos referimos a los lectores a la obra clásica [4].\nUno de los problemas interesantes para los mapas armónicos es el de la prob Dirichlet\nlem en el infinito: dados los límites geométricos de Hm y Hn y\ndado un mapa continuo f : M → N (aquí la continuidad se entiende en el sentido\nFecha: 22 de octubre de 2018.\n2000 Clasificación de Materias Matemáticas. 53A35.\nPalabras y frases clave. Problemas de Dirichlet; Funciones armónicas; Espacios hiperbólicos.\nEste trabajo se ha iniciado cuando el segundo autor estaba en el Departamento de matemáticas,\nUniversidad de Ciencias Naturales, ciudad de Hochiminh, Vietnam. Le gustaría dar las gracias al profesor Dang.\nDuc Trong por sus muchas ayudas invaluables. También desea expresar su agradecimiento a\nEl profesor F. Helein, el profesor R. Schoen y el Sr. Le Quang Nam por su generosa ayuda.\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0087v2\n2 DUONG MINH DUC Y TRUONG TRUNG TUYEN\nde Euclidiano), hay un mapa armónico u : Hm → Hn tal que en el sentido euclidiano\nu es continuo hasta el límite ♥Hm y toma valor límite f?\nPara este problema con algunos más requisitos para la suavidad de f, hay\nmuchos resultados. En tres documentos [8], [9] y [7], Li y Tam establecieron la existencia\ny la unicidad de una función armónica u que es C1 hasta el límite y tiene\nvalor límite f, siempre que f sea C1. Pero para los tipos más generales de f, de acuerdo con\nnuestro conocimiento, no hay respuesta a la existencia de una solución u.\nEn este trabajo establecemos la existencia de soluciones aproximadas al Dirichlet\nproblema para mapas armónicos entre dos espacios hiperbólicos con límites prescritos-\nary value. Más explícitamente, demostramos el siguiente resultado:\nTeorema 1. Let f : Hm → Hn ser un límite uniformemente continuo. Permitir funciones\ng) ser como en la sección 2. Asumir que\nt−1g(t)dt < فارسى, en particular, este\nla condición se cumple si f es Holder continuo. Para cada > 0, existe un\nmapa armónico o : H\nm → Hn que es continuo hasta el límite ♥Hm y\nuHm = (f\n1,..., fn−1,........................................................................................................................................................................................................................................................... \nNuestra estrategia para probar este resultado es la siguiente: Primero, construimos una inicial\nmapa, es decir, un mapa C2 v = (v1,..., vn−1, vn) : Hm → Hn que tiene valor límite\nf para cualquier mapa continuo f : Hm → Hn. Para este paso seguimos las ideas en\n[9], con algunos cambios: Puesto que la función f no necesita diferenciable, podemos\nno tomar vn como en [9], y la función vn de la nuestra es una función de una variable xm.\nEntonces, utilizamos esta función para producir mapas armónicos uâ € : H\nm → Hn que toma\nvalor límite (f1,..., fn−1, vn + ) por cada ≤ > 0.\n2. Mapas iniciales\nEn esta parte, utilizamos las técnicas en [9] para construir buenos mapas iniciales v tener\nel mapa f : ♥Hm → ♥Hn como el valor límite.\nLet f : IRm−1 → IRn−1 ser una función limitada uniformemente continua. Vamos.\ng : Hm → (0.•) ser C2, limitada y\ng(x′, xm) = 0,\nuniformemente en x′.\nDenotamos por v = {f, g} : Hm → Hn la extensión de f definida como sigue\nvα(x′, xm) =\nxmfα(y′)\n(x′ − y2 + (xm)2)m/2\npara 1 ≤ α ≤ n− 1 y\nvn(x′, xm) = g(x′, xm).\nPor resultados en [9] (pp. 628-630) tenemos\n(i) v es C2 y hasta el límite dado por xm = 0 es continuo.\nii) Si 1 ≤ α ≤ n− 1 entonces\nxm0v\n= 0,\nuniformemente en x′.\nAdemás, según las estimaciones de las ECP elípticas (véase el Teorema 2.10 en [5]),\nvα está limitado, existen constantes C > 0 tales que\n(2.1) max{(xm)3D3v, (xm)2D2v, (xm)0v\n≤ C.\nSOLUCIONES APROXIMADAS AL PROBLEMA DIRICLETA PARA LOS MAPAS ARMONICOS ENTRE ESPACIOS HIPERÓLICOS3\nPusimos\ng(r) = sup\nx′,yIRm−1, xyr\nf(y′)− f(x′),\n(r) =\ns2 + r2\ng(s)ds.\nDado que g es monotona, se deduce que g es Lebesgue medible. Por otra parte, puesto que g es\nLimitado, vemos que.... está bien definido.\nUsando coordenadas polares con el centro en x′ vemos que existe una constante\nC > 0 de tal manera que \nIRm−1\nxmf(y′)− f(x′)\n(x′ − y2 + (xm)2)m/2\n≤ C(xm),\npara todos los x′ • IRm−1.\nComo f es uniformemente continua vemos que\ng(r) = 0.\nAhora lo mostramos.\n(xm) = 0.\nDe hecho, para cualquier â € > 0, encontramos â € > 0 tales que\ng(s) ≤ ≤,\nsi es 0 < s ≤ . Por lo tanto, si K = sup\nsÍR g(s) tenemos\n(r) =\ns2 + r2\ng(s)ds+\ns2 + r2\ng(s)ds\ns2 + r2\ns2 + r2\n= arctan(l/r) +K(l/2− arctan(l/r)).\nDejando r → 0 vemos que\nlim sup\n(r) ≤ /2.\nPuesto que â > 0 es arbitrario, vemos que\n(r) = 0.\nPor lo tanto, si ponemos v = {f, {xm)} vemos que v es una extensión de f.\ntener el siguiente resultado:\nLemma 1. Let f :?Hm →?Hn ser no constante, uniformemente continuo y\nDelimitado. Ponga v = {f, Ł(xm)} como arriba. Entonces v es suave, hasta el límite\nes continuo, vIRm−1 = f y existe C > 0 tal que para x\nm cerca de 0 we\n(v)2 ≤ C.\n4 DUONG MINH DUC Y TRUONG TRUNG TUYEN\nPrueba. Por la sección 6 en [9] tenemos\n(xm)0v\n≤ C3(x\ndonde 1 ≤ α ≤ n− 1 y C3 es una constante positiva.\nEl cálculo directo da\n(r) =\ns2 − r2\n(s2 + r2)2\ng(s)ds,\nفارسى”(r) =\n(s2 + r2)2\ng(s)ds+\n−4r(s2 − r2)\n(s2 + r2)3\ng(s)ds.\nmaxr(r), r2\ndonde C4 es una constante.\nDado que g está aumentando, g′ existe casi en todas partes y g′ ≥ 0. Utilización de la integración\npor partes, teniendo en cuenta que d\ns2+r2\n) = s\n(s2+r2)2\n, tenemos\n(r) =\ns2 − r2\n(s2 + r2)2\ng(s)ds\ns2 + r2\ng(s)0 +\ns2 + r2\ng′(s)ds\ns2 + r2\ng′(s)ds.\nDiferenciando el último término por encima de la igualdad obtenemos\n(r) = −\n(s2 + r2)2\ng′(s)ds.\nDado que f no es constante vemos fácilmente que g′ 6o 0 (de hecho, no necesitamos esto\nrestricción ya que podemos añadir g con una función positiva no constante, por ejemplo\nxm)1/2 ). Por lo tanto, desde g′ ≥ 0, se deduce de las igualdades por encima de que\n(r) > 0,\nrl»(r) ≤ C5\n′(r),\ndonde C5 es una constante positiva. A continuación, utilice la fórmula para el campo de tensión que somos\nHecho. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n3. Prueba de Teorema 1\nPrueba. Fijo ≤ > 0. Definimos vÃ3r : H\nm → Hn como sigue:\nvâr(x) = (v)\n1(x), v2(x),..., vn−1(x), \nPara cada una de las indicaciones siguientes: a) o b) o c) : c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c o c o c o c o c o c o c) o c o c o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o\nm k = {x\nm > → En el mapa armónico\nTomando el valor vâr en.\nPor la desigualdad (2.1) en [2] y las propiedades de v y vâ € (véase Lemma 1) tenemos\n•HmdHn(uá,uá,uá, vá) ≥ (vá) ≥ −C\n(xm)\n* (xm) + (+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + \n(xm),\npara todos x , y aquí C es una constante de Lemma 1.\nSOLUCIONES APROXIMADAS AL PROBLEMA DIRICLETA PARA LOS MAPAS ARMONICOS ENTRE ESPACIOS HIPERÓLICOS5\nAlegamos que la función\n•(r) =\nu−2o(u) du ds\nestá bien definido para r ≥ 0. De hecho, el uso de la fórmula para\n•(r) =\n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =\nu−1(u2 + t2)−1g(t)dt du ds.\nPuesto que el integrand no es negativo, usando el teorema de Fubini tenemos\nu−1(u2 + t2)−1g(t)dt du ds =\nu−1(u2 + t2)−1g(t)du dt ds\nlog(1 +\n)g(t)dt ds\nlog(1 +\n)g(t)ds dt\n2 arctan( t\n)t2 + r log(1 + t\ng(t)dt.\nAhora, puesto que g(t) está limitado tenemos\n2 arctan( t\ng(t)dt\nes convergente. Fijo r ≥ 0, cerca de t = 0 tenemos\nr log(1 + t\ng(t) فارسى t−1g(t),\ny cuando t→\nr log(1 + t\ng(t) فارسى t−3g(t),\npor lo tanto, puesto que g(t) está limitado y la suposición de que\nt−1g(t) converge, nuestra reclamación\nestá verificado.\nUtilizamos el mismo.... para denotar la función......................................................................................................................................................................................................................................................\npara x = (x1,..., xm−1, xm) Ahora tenemos (r) =\nu -2° du > 0 y\n(r) = −r−2(r), ya que m ≥ 2 tenemos\n•Hm((x)) = −(x)\nm)2[”(xm)−\n(m–2)\n(xm)] ≥ −(xm)2\nPor lo tanto\n• Hm (dHn(u»,......................................................................................................................................................................................................................................................... \n(+) ≥ 0,\npara x . Por lo tanto, por principio máximo tenemos\n≤ C\n(xm).\nEsto se refiere a dHn(u®,ü, v®) es independiente de , por lo tanto, mediante argumentos estándar (véase el apartado 2 del artículo 85 del Tratado CE).\nla prueba de Teorema 6.4 en [9]) tenemos un mapa armónico u. : H\nm → Hn que es\nel posterior límite de uooo,oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo. Por otra parte, para todos x H\nM tenemos\ndHn(u, v) ≤ C\n(xm).\n6 DUONG MINH DUC Y TRUONG TRUNG TUYEN\nPor lo tanto\ndHn(uÃ3r, vár) = 0,\nque muestra que u® es continuo hasta el límite y toma valor de límite\n1,..., xm−1, 0) = (f1, f2,..., fn−1, ). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nBibliografía\n[1] Shiu-Yuen Cheng, Teorema de Liouville para mapas armónicos, Proc. Symp. Matemáticas puras. 36, 1980,\n147–151.\n[2] Wei-Yue Ding y Youde Wang, mapas armónicos del hombre Riemanniano no compacto\nIfolds, Internat. J. Matemáticas. 2, 1991, 617–633.\n[3] Duong Minh Duc y Alberto Verjovsky, Mapas armónicos adecuados con límite Lipschitz\nvalores, preimpresión.\n[4] James Eells, Jr. y J. H. Sampson, Cartografías armónicas de colectores Riemannianos, Ams. J.\nMatemáticas. 86 (1), 1964, pp. 109–160.\n[5] David Gilbarg y Neil S. Trudinger, Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden,\nSpringer - Verlag, Berlín - Heidelberg-Nueva York - Tokio, 1983.\n[6] Frederic Helein, Regularite des applications faiblement armonías entre une surface et une\nvariete riemannienne, C. R. Acad. Sci. París 312 (1), 1991, 591–596.\n[7] Peter Li y Luen-Fai Tam, La ecuación de calor y mapas armónicos de colectores completos,\nInventar. Matemáticas. 105, 1991, 1–46.\n[8] Peter Li y Luen-Fai Tam, Unicidad y regularidad de los mapas armónicos apropiados, Anales de\nMatemáticas 137, 1993, pp. 167-201.\n[9] Peter Li y Luen-Fai Tam, Unicidad y regularidad de los mapas armónicos adecuados II, Indiana\nUniversity Mathematics Journal 42 (2), 1993, pp. 591-635.\n[10] Richard Schoen y Shing Tung Yau, acciones de grupo compacto y la topología de los colectores\ncon curvatura no positiva, Topología 18, 1979, 361-380.\nDepartamento de Matemáticas, Universidad de Ciencias Naturales, ciudad de Hochiminh, Viet Nam\nDirección de correo electrónico: dmduc@hcmuns.edu.vn\nDepartamento de Matemáticas, Universidad de Indiana, Rawles Hall, Bloomington, IN 47405\nDirección de correo electrónico: truongt@indiana.edu\n\t1. Introducción\n\t2. Mapas iniciales\n\t3. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪\n\tBibliografía\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" Nuestro principal resultado en este documento es el siguiente: Dado $H^m, H^n$ hiperbólico\nespacios dimensionales de $m$ y $n$ correspondientes, y dada una función Holder\n$f=(s^1,...,fn-1}):\\parcial H^m\\to \\parcial H^n$ entre límites geométricos\nde $H^m$ y $H^n$. Entonces por cada $\\epsilon >0$ existe un mapa armónico\n$u:H^m\\to H^n$ que es continuo hasta el límite (en el sentido de\nEuclidiana) y $u_{parcial H^m}=(f^1,...,fÃ3n-1},\\epsilon)$.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción\nQue Hm y Hn sean espacios hiperbólicos con dimensiones m ≥ 2 y n corresponden-\nIngly. Para mayor comodidad, utilizamos los modelos de espacio de la mitad superior para Hm y Hn. Así que\nHm = {(x1,..., xm) • IRm : xm > 0}, Hn = {(y1,..., yn) • IRn : yn > 0} con\nmétricas\nd2Hm =\n(xm)2\n(dx1)2 +...+ (dxm)2),\nd2Hn =\n(yn)2\n((dy1)2 +...+ (dyn)2).\nAsí que los campos de tensión de u = (y1,..., yn) es\n• = (xm)2\n< 0y\nα,0y\nn >),\npara 1 ≤ α ≤ n− 1 y\nN(u) = (xm)2\n2 − 0y\nn2)),\ndonde 0 es el gradiente euclidiano y 0 es el Laplaciano euclidiano.\nUn mapa de C2 u : Hm → Hn se llama un mapa armónico si (u)s = 0 para todos s =\n1, 2,..., n. La literatura sobre mapas armónicos entre los colectores Riemannianos son\nabundante, nos referimos a los lectores a la obra clásica [4].\nUno de los problemas interesantes para los mapas armónicos es el de la prob Dirichlet\nlem en el infinito: dados los límites geométricos de Hm y Hn y\ndado un mapa continuo f : M → N (aquí la continuidad se entiende en el sentido\nFecha: 22 de octubre de 2018.\n2000 Clasificación de Materias Matemáticas. 53A35.\nPalabras y frases clave. Problemas de Dirichlet; Funciones armónicas; Espacios hiperbólicos.\nEste trabajo se ha iniciado cuando el segundo autor estaba en el Departamento de matemáticas,\nUniversidad de Ciencias Naturales, ciudad de Hochiminh, Vietnam. Le gustaría dar las gracias al profesor Dang.\nDuc Trong por sus muchas ayudas invaluables. También desea expresar su agradecimiento a\nEl profesor F. Helein, el profesor R. Schoen y el Sr. Le Quang Nam por su generosa ayuda.\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0087v2\n2 DUONG MINH DUC Y TRUONG TRUNG TUYEN\nde Euclidiano), hay un mapa armónico u : Hm → Hn tal que en el sentido euclidiano\nu es continuo hasta el límite ♥Hm y toma valor límite f?\nPara este problema con algunos más requisitos para la suavidad de f, hay\nmuchos resultados. En tres documentos [8], [9] y [7], Li y Tam establecieron la existencia\ny la unicidad de una función armónica u que es C1 hasta el límite y tiene\nvalor límite f, siempre que f sea C1. Pero para los tipos más generales de f, de acuerdo con\nnuestro conocimiento, no hay respuesta a la existencia de una solución u.\nEn este trabajo establecemos la existencia de soluciones aproximadas al Dirichlet\nproblema para mapas armónicos entre dos espacios hiperbólicos con límites prescritos-\nary value. Más explícitamente, demostramos el siguiente resultado:\nTeorema 1. Let f : Hm → Hn ser un límite uniformemente continuo. Permitir funciones\ng) ser como en la sección 2. Asumir que\nt−1g(t)dt < فارسى, en particular, este\nla condición se cumple si f es Holder continuo. Para cada > 0, existe un\nmapa armónico o : H\nm → Hn que es continuo hasta el límite ♥Hm y\nuHm = (f\n1,..., fn−1,........................................................................................................................................................................................................................................................... \nNuestra estrategia para probar este resultado es la siguiente: Primero, construimos una inicial\nmapa, es decir, un mapa C2 v = (v1,..., vn−1, vn) : Hm → Hn que tiene valor límite\nf para cualquier mapa continuo f : Hm → Hn. Para este paso seguimos las ideas en\n[9], con algunos cambios: Puesto que la función f no necesita diferenciable, podemos\nno tomar vn como en [9], y la función vn de la nuestra es una función de una variable xm.\nEntonces, utilizamos esta función para producir mapas armónicos uâ € : H\nm → Hn que toma\nvalor límite (f1,..., fn−1, vn + ) por cada ≤ > 0.\n2. Mapas iniciales\nEn esta parte, utilizamos las técnicas en [9] para construir buenos mapas iniciales v tener\nel mapa f : ♥Hm → ♥Hn como el valor límite.\nLet f : IRm−1 → IRn−1 ser una función limitada uniformemente continua. Vamos.\ng : Hm → (0.•) ser C2, limitada y\ng(x′, xm) = 0,\nuniformemente en x′.\nDenotamos por v = {f, g} : Hm → Hn la extensión de f definida como sigue\nvα(x′, xm) =\nxmfα(y′)\n(x′ − y2 + (xm)2)m/2\npara 1 ≤ α ≤ n− 1 y\nvn(x′, xm) = g(x′, xm).\nPor resultados en [9] (pp. 628-630) tenemos\n(i) v es C2 y hasta el límite dado por xm = 0 es continuo.\nii) Si 1 ≤ α ≤ n− 1 entonces\nxm0v\n= 0,\nuniformemente en x′.\nAdemás, según las estimaciones de las ECP elípticas (véase el Teorema 2.10 en [5]),\nvα está limitado, existen constantes C > 0 tales que\n(2.1) max{(xm)3D3v, (xm)2D2v, (xm)0v\n≤ C.\nSOLUCIONES APROXIMADAS AL PROBLEMA DIRICLETA PARA LOS MAPAS ARMONICOS ENTRE ESPACIOS HIPERÓLICOS3\nPusimos\ng(r) = sup\nx′,yIRm−1, xyr\nf(y′)− f(x′),\n(r) =\ns2 + r2\ng(s)ds.\nDado que g es monotona, se deduce que g es Lebesgue medible. Por otra parte, puesto que g es\nLimitado, vemos que.... está bien definido.\nUsando coordenadas polares con el centro en x′ vemos que existe una constante\nC > 0 de tal manera que \nIRm−1\nxmf(y′)− f(x′)\n(x′ − y2 + (xm)2)m/2\n≤ C(xm),\npara todos los x′ • IRm−1.\nComo f es uniformemente continua vemos que\ng(r) = 0.\nAhora lo mostramos.\n(xm) = 0.\nDe hecho, para cualquier â € > 0, encontramos â € > 0 tales que\ng(s) ≤ ≤,\nsi es 0 < s ≤ . Por lo tanto, si K = sup\nsÍR g(s) tenemos\n(r) =\ns2 + r2\ng(s)ds+\ns2 + r2\ng(s)ds\ns2 + r2\ns2 + r2\n= arctan(l/r) +K(l/2− arctan(l/r)).\nDejando r → 0 vemos que\nlim sup\n(r) ≤ /2.\nPuesto que â > 0 es arbitrario, vemos que\n(r) = 0.\nPor lo tanto, si ponemos v = {f, {xm)} vemos que v es una extensión de f.\ntener el siguiente resultado:\nLemma 1. Let f :?Hm →?Hn ser no constante, uniformemente continuo y\nDelimitado. Ponga v = {f, Ł(xm)} como arriba. Entonces v es suave, hasta el límite\nes continuo, vIRm−1 = f y existe C > 0 tal que para x\nm cerca de 0 we\n(v)2 ≤ C.\n4 DUONG MINH DUC Y TRUONG TRUNG TUYEN\nPrueba. Por la sección 6 en [9] tenemos\n(xm)0v\n≤ C3(x\ndonde 1 ≤ α ≤ n− 1 y C3 es una constante positiva.\nEl cálculo directo da\n(r) =\ns2 − r2\n(s2 + r2)2\ng(s)ds,\nفارسى”(r) =\n(s2 + r2)2\ng(s)ds+\n−4r(s2 − r2)\n(s2 + r2)3\ng(s)ds.\nmaxr(r), r2\ndonde C4 es una constante.\nDado que g está aumentando, g′ existe casi en todas partes y g′ ≥ 0. Utilización de la integración\npor partes, teniendo en cuenta que d\ns2+r2\n) = s\n(s2+r2)2\n, tenemos\n(r) =\ns2 − r2\n(s2 + r2)2\ng(s)ds\ns2 + r2\ng(s)0 +\ns2 + r2\ng′(s)ds\ns2 + r2\ng′(s)ds.\nDiferenciando el último término por encima de la igualdad obtenemos\n(r) = −\n(s2 + r2)2\ng′(s)ds.\nDado que f no es constante vemos fácilmente que g′ 6o 0 (de hecho, no necesitamos esto\nrestricción ya que podemos añadir g con una función positiva no constante, por ejemplo\nxm)1/2 ). Por lo tanto, desde g′ ≥ 0, se deduce de las igualdades por encima de que\n(r) > 0,\nrl»(r) ≤ C5\n′(r),\ndonde C5 es una constante positiva. A continuación, utilice la fórmula para el campo de tensión que somos\nHecho. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n3. Prueba de Teorema 1\nPrueba. Fijo ≤ > 0. Definimos vÃ3r : H\nm → Hn como sigue:\nvâr(x) = (v)\n1(x), v2(x),..., vn−1(x), \nPara cada una de las indicaciones siguientes: a) o b) o c) : c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c o c o c o c o c o c o c) o c o c o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o\nm k = {x\nm > → En el mapa armónico\nTomando el valor vâr en.\nPor la desigualdad (2.1) en [2] y las propiedades de v y vâ € (véase Lemma 1) tenemos\n•HmdHn(uá,uá,uá, vá) ≥ (vá) ≥ −C\n(xm)\n* (xm) + (+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + \n(xm),\npara todos x , y aquí C es una constante de Lemma 1.\nSOLUCIONES APROXIMADAS AL PROBLEMA DIRICLETA PARA LOS MAPAS ARMONICOS ENTRE ESPACIOS HIPERÓLICOS5\nAlegamos que la función\n•(r) =\nu−2o(u) du ds\nestá bien definido para r ≥ 0. De hecho, el uso de la fórmula para\n•(r) =\n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =\nu−1(u2 + t2)−1g(t)dt du ds.\nPuesto que el integrand no es negativo, usando el teorema de Fubini tenemos\nu−1(u2 + t2)−1g(t)dt du ds =\nu−1(u2 + t2)−1g(t)du dt ds\nlog(1 +\n)g(t)dt ds\nlog(1 +\n)g(t)ds dt\n2 arctan( t\n)t2 + r log(1 + t\ng(t)dt.\nAhora, puesto que g(t) está limitado tenemos\n2 arctan( t\ng(t)dt\nes convergente. Fijo r ≥ 0, cerca de t = 0 tenemos\nr log(1 + t\ng(t) فارسى t−1g(t),\ny cuando t→\nr log(1 + t\ng(t) فارسى t−3g(t),\npor lo tanto, puesto que g(t) está limitado y la suposición de que\nt−1g(t) converge, nuestra reclamación\nestá verificado.\nUtilizamos el mismo.... para denotar la función......................................................................................................................................................................................................................................................\npara x = (x1,..., xm−1, xm) Ahora tenemos (r) =\nu -2° du > 0 y\n(r) = −r−2(r), ya que m ≥ 2 tenemos\n•Hm((x)) = −(x)\nm)2[”(xm)−\n(m–2)\n(xm)] ≥ −(xm)2\nPor lo tanto\n• Hm (dHn(u»,......................................................................................................................................................................................................................................................... \n(+) ≥ 0,\npara x . Por lo tanto, por principio máximo tenemos\n≤ C\n(xm).\nEsto se refiere a dHn(u®,ü, v®) es independiente de , por lo tanto, mediante argumentos estándar (véase el apartado 2 del artículo 85 del Tratado CE).\nla prueba de Teorema 6.4 en [9]) tenemos un mapa armónico u. : H\nm → Hn que es\nel posterior límite de uooo,oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo. Por otra parte, para todos x H\nM tenemos\ndHn(u, v) ≤ C\n(xm).\n6 DUONG MINH DUC Y TRUONG TRUNG TUYEN\nPor lo tanto\ndHn(uÃ3r, vár) = 0,\nque muestra que u® es continuo hasta el límite y toma valor de límite\n1,..., xm−1, 0) = (f1, f2,..., fn−1, ). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nBibliografía\n[1] Shiu-Yuen Cheng, Teorema de Liouville para mapas armónicos, Proc. Symp. Matemáticas puras. 36, 1980,\n147–151.\n[2] Wei-Yue Ding y Youde Wang, mapas armónicos del hombre Riemanniano no compacto\nIfolds, Internat. J. Matemáticas. 2, 1991, 617–633.\n[3] Duong Minh Duc y Alberto Verjovsky, Mapas armónicos adecuados con límite Lipschitz\nvalores, preimpresión.\n[4] James Eells, Jr. y J. H. Sampson, Cartografías armónicas de colectores Riemannianos, Ams. J.\nMatemáticas. 86 (1), 1964, pp. 109–160.\n[5] David Gilbarg y Neil S. Trudinger, Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden,\nSpringer - Verlag, Berlín - Heidelberg-Nueva York - Tokio, 1983.\n[6] Frederic Helein, Regularite des applications faiblement armonías entre une surface et une\nvariete riemannienne, C. R. Acad. Sci. París 312 (1), 1991, 591–596.\n[7] Peter Li y Luen-Fai Tam, La ecuación de calor y mapas armónicos de colectores completos,\nInventar. Matemáticas. 105, 1991, 1–46.\n[8] Peter Li y Luen-Fai Tam, Unicidad y regularidad de los mapas armónicos apropiados, Anales de\nMatemáticas 137, 1993, pp. 167-201.\n[9] Peter Li y Luen-Fai Tam, Unicidad y regularidad de los mapas armónicos adecuados II, Indiana\nUniversity Mathematics Journal 42 (2), 1993, pp. 591-635.\n[10] Richard Schoen y Shing Tung Yau, acciones de grupo compacto y la topología de los colectores\ncon curvatura no positiva, Topología 18, 1979, 361-380.\nDepartamento de Matemáticas, Universidad de Ciencias Naturales, ciudad de Hochiminh, Viet Nam\nDirección de correo electrónico: dmduc@hcmuns.edu.vn\nDepartamento de Matemáticas, Universidad de Indiana, Rawles Hall, Bloomington, IN 47405\nDirección de correo electrónico: truongt@indiana.edu\n\t1. Introducción\n\t2. Mapas iniciales\n\t3. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪\n\tBibliografía\n"}}},{"rowIdx":81,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0088,"string":"704.0088"},"title":{"kind":"string","value":"Some new experimental photonic flame effect features"},"full_text":{"kind":"string","value":"EFECTO FOTÓNICO DEL FLAME\nALGUNOS NUEVOS EFECTOS FOTONICOS EXPERIMENTALES \nCARACTERÍSTICAS \nN.V.Tcherniega \nP.N.Lebedev Physical Institute, RAS \nLeninskii pr., 53, 119991, Moscú, Rusia \ntchera@sci.lebedev.ru\nResumen \n Los resultados de las características espectrales, energéticas y temporales de la radiación en el \nse presenta la presencia del efecto fotónico de la llama. Opalo artificial posado en la placa de Cu en el \ntemperatura del punto de ebullición de nitrógeno líquido (77 K) irradiado por láser de rubí de nanosegundo \npulso produce luminiscencia a largo plazo con una duración de hasta diez segundos con una fina estructura \nespectro en la parte antistocks del espectro. Manifestación analógica de luminiscencia visible \nEl tiempo de retraso apareció en otras muestras de los ópalos artificiales colocados en la misma placa. En el caso \ndel ópalo infiltrado con diferentes líquidos no lineales el umbral de la luminiscencia es \nreducción y la dispersión espacial del área de emisión brillante en la superficie del ópalo está siendo \ncambiado. En el caso de la colocación de los líquidos no lineales congelados en la placa Cu azul a largo plazo \nluminiscencia brillante tuvo lugar en las especies congeladas de los líquidos. Características temporales de \nEsta luminiscencia es casi la misma que en las matrices de ópalos. \nPalabras clave: efecto de llama fotónica, luminiscencia óptica, excitación, ópalo artificial, espectro \n1. Introducción \n En [1-3] se encontró un nuevo efecto llamado efecto fotónico de la llama y algunas de sus propiedades fueron: \nestudiados. Este efecto está determinado por las propiedades de los cristales fotónicos. \n Los cristales fotónicos han atraído gran atención desde los primeros documentos relativos a \nestructuras [4-6]. Uno de los cristales fotónicos más importantes son los ópalos artificiales – uno mismo –\nestructuras ensambladas compuestas por esferas SiO2 organizando celosía cúbica centrada en la cara. El tamaño \nde tales esferas que varían entre 200 nm y 400 nm y define los parámetros de la cara-\nretícula cúbica centrada y el bandgap fotónico. La posibilidad de infiltración de ópalos con diferentes \nmedio da lugar a un procesamiento eficaz de las propiedades de la luz que propoga a través de la \ncristal. Los huecos en las estructuras de ópalos pueden ser llenados con semiconductores, superconductores, \nmateriales ferromagnéticos, medio fluorescente [7] y este hecho da una gran posibilidad de \nlas aplicaciones de dichas estructuras a la optoelectrónica. El estudio de las propiedades ópticas lineales de \nla brecha de banda fotónica ha sido la tarea de muchos trabajos teóricos y experimentales y todavía \nsigue siendo la tarea que debe investigarse [7,8]. La descripción teórica del campo electromagnético \ndentro de las estructuras de cristal fotónico (obtenido por método de matriz de transferencia [9] o modo acoplado) \nla teoría [10]) da una imagen clara del espectro transmitido y reflejado, electromagnético \ndistribución del campo dentro del cristal y su dependencia de los parámetros del fotónico \nestructura cristalina (valores del período, número de períodos, contraste del índice de refracción). Grandes valores de \nla localización del campo electromagnético en algunas regiones conducen a la expectativa de los fuertes \nmejora de la interacción de la materia de onda no lineal en comparación con los cristales a granel. Segundo \nEn [11,12] se investigó la generación armónica en diferentes tipos de cristales fotónicos. Apropiadamente. \nEl cristal fotónico elegido presenta refracción negativa en algunas condiciones [13]. Algunas características de \nla dispersión de Raman estimulada en la estructura fotónica unidimensional se consideraron en [14]. \nTratamiento mecánico completamente cuántico de la generación de fotones enredados en fotónico no lineal \nlos cristales en el proceso de conversión descendente se realizaron en [15]. Propiedades de la brecha de banda fotónica \nque son demostrados por cristales fotónicos están siendo utilizados activamente para la investigación de \nInteracción foton-excitón [16]. Modos acústicos excitados en bolas SiO2 que componen ópalo \ncristal fotónico muestran el efecto de la cuantificación de los modos de fonón [17] y son la razón de \ndispersión globular estimulada [3]. Características específicas de la propagación de ondas acústicas en el \nestructuras fotónicas conducen a la posibilidad de que el rayo ultrasónico divergente se enfoque en un \nmailto:tchera@mail1.lebedev.ru\npunto focal estrecho con una gran profundidad focal [18]. Oscilaciones paramétricas ópticas a través de cuatro ondas \nmezcla en cristales fotónicos isotrópicos muestra la posibilidad de un procesamiento eficaz de la frecuencia \n[19]. \n El objetivo de este trabajo es dar una breve revisión de los resultados [1-3] y estudiar el comportamiento colectivo \nde varios cristales fotónicos. Los cristales se posan en la placa Cu a la temperatura del líquido \nnitrógeno. Uno de los cristales fotónicos está iluminado por el pulso láser y la luz láser está enfocada \nen este único cristal. El fenómeno que observamos es la aparición de luminiscencia de \notros cristales fotónicos. La duración de la luminiscencia de otros cristales que son espacialmente \nseparado con el cristal iluminado por el pulso láser es del orden de los segundos. La aparición de \nla luminiscencia tiene lugar con algún tiempo de retraso, respectivamente, en el pulso láser. La forma de \nestos puntos de luz en los otros cristales y sus movimientos lentos a lo largo del cristal recuerda a un pequeño \nPunto de llama. Esto nos inspiró a dar el nombre de “llama fotónica” al efecto observado. En el caso \nde cubrir la superficie de la placa de Cu con líquido (acetona, etanol, agua) después de la PFE \nexcitación en el ópalo situado en esta placa luminiscencia azul se ve en el líquido congelado. \nLas características temporales de esta luminiscencia son el sme como para el cristal de un solo ópalo. Los \nel papel se organiza de la siguiente manera. En Sec.2 la configuración experimental, láser, los cristales fotónicos \n(opalos artificiales) utilizados en el experimento se describen. En el artículo 3, el “efecto de llama fotónica” \nse discute en el experimento. En la sección 4 las perspectivas y posibles explicaciones son: \nPresentado. \n2. Cristales fotónicos y láser utilizados en experimentos. \n Uno de los cristales fotónicos tridimensionales más prometedores es el ópalo artificial. El ópalo es un \ncristal con retícula cúbica centrada en la cara que consiste en las esferas de SiO2 empaquetadas de cerca monodisperso \ncon diámetro de unos cientos de nanómetros. Debido al contraste del índice de refracción (ratio \nnSiO2/nair) es alrededor de 1,45 el espacio completo de la banda fotónica no existe, pero el fotónico \nSe produce pseudo-gap. Las cavidades vacías entre estos glóbulos tienen octaedros y tetraedros \nforma. Es posible investigar tanto los ópalos iniciales (Matrices de ópalo) como los nanocompuestos, en los que \nlas cavidades están llenas de materiales orgánicos o inorgánicos, por ejemplo, semiconductores, \nsuperconductores, sustancias ferromagnéticas, dieléctricos, con diferentes tipos de \nFig.1. Aparición común de un cristal fotónico globular, construido con partículas esféricas (glóbulos) \nno linealidades y así sucesivamente. Vacíos de llenado del cristal fotónico con materiales diferentes \níndice de refracción se puede procesar eficazmente los parámetros del pseudogap fotónico. \n Pulso gigante láser rubí (de 694,3 nm, de 20 ns, Emax = 0,3 J, ancho espectral de la luz inicial - \n0,015 cm-1.) se ha utilizado como fuente de excitación. Emocionante luz se ha centrado en el \nmaterial por lentes con diferentes longitudes focales (50, 90 y 150 mm). Las muestras de ópalo \nlos cristales utilizados tenían el tamaño de 3x5x5mm y se cortaban en paralelo al plano (111) (véase la Fig.2). \nEl ángulo de incidencia del rayo láser en el plano (111) varió de 0 a 600. Muestra \ndistancia del sistema de enfoque y la energía de luz emocionante fueron diferentes en diferentes carreras de la \nexperimento. Esto dio la posibilidad de hacer mediciones para diferentes densidad de potencia en el \nentrada de la muestra y para una distribución de campo diferente dentro de la muestra. Cristales de ópalo \ncompuesta de las esferas de amorfosa envasadas de cerca con un diámetro de 200 nm, 230 nm, 250 nm y \nSe investigaron los nanocompuestos (cristales de ópalo con huecos llenos de acetona o etanol). \n z\n * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n [111] x\nFig.2. El esquema de iluminar la muestra. Plano XY corresponde a la superficie de la placa CU. \n3.Características de la “llama fotónica” \n Se colocaron cristales de ópalo en la placa de Cu, que se colocó en la célula con nitrógeno líquido (ver \nFig.3). El número de cristales varió de 1 a 5. La distancia (d) entre los cristales era de la \norden de varios centímetros (valor máximo de d fue de 5 centímetros y fue determinado por el \nCu tamaño de la placa). Uno de los cristales fue iluminado por el pulso láser enfocado. En el caso de la \nAlcanzó la luminiscencia visible (azul). La duración de la luminiscencia fue \nde 1 a 12 segundos y parecía una mancha inhomogénea que cambiaba su distribución espacial y \nposición en la superficie del cristal durante este tiempo. \n N2 líquido\n Ópalo\n luz emocionante\n d\n opal Cu\nFig.3. Puesta en marcha experimental. \n Los parámetros de la luminiscencia (duración, umbral) fueron determinados por la geometría \ncaracterísticas de la iluminación y el contraste del índice de refracción de la muestra. Para optimizar \ngeometría de la excitación el umbral de densidad de potencia para el cristal de ópalo fue 0,12 Gw/cm2, para \nCristales de ópalo rellenos de etanol – 0,05 Gw/cm2, para cristal de ópalo rellenos de acetona - 0,03 \nGw/cm2. Distribución temporal típica de la luminiscencia medida para la parte del cristal \nEn la Fig.4 se muestra el brillo más intenso. El mismo comportamiento es típico para todos \ncasos de luminiscencia en estas condiciones de excitación, pero el valor de la luminiscencia \nla duración fluctuó de un disparo a otro. \n a) b) \nFig.4. Distribución temporal de la luminiscencia visible. \n La duración de la luminiscencia fluctuó de 1 a 12 segundos y se demostró \nestructura oscilante. En algunos casos, la distribución temporal tuvo un máximo al principio de \nla luminiscencia en algunos casos – mínimo. Fig.4 a) y b) muestran la luminiscencia de la pureza \nmatriz opal de la casi la misma duración en las mismas condiciones geométricas y energéticas de \nexcitación cerca del umbral de excitación (0.12 Gw/cm2). El comienzo de las medidas \ncorresponde a un retraso de 0,3 s después del lanzamiento del láser (la duración del pulso del láser es de 20 ns). \n Espectro de emisión secundario observado en el efecto fotónico de la llama se ha investigado con \nla ayuda de la configuración que se muestra en la Fig.5. \n \n 12\n 11 10\n 9\n 8\n 1\n 3 4 2\n 6 7\n Fig. 5.La configuración experimental para el estudio del espectro de EPI. 1- láser rubí; 2 lentes; 3, 4, 5 – fotónico \ncristales; 7 – célula con nitrógeno líquido 6 – placa de Cu; 8 – guía de ondas de fibra; 9 – minicromador; \n10 – ordenador; 11 – cámara; 12 – ordenador. \nEspectro de la luz emitida por cristal fotónico para diferentes densidad de potencia de la luz de bombeo son \nse muestra en la Fig. 6 a) y b) \n \n200 300 400 500 600 700 800 900 1000\n643I, \n, nm\n200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100\n, nm\n a b \n Fig. 6. Espectro de emisión secundario de un cristal fotónico para diferentes densidad de potencia de luz láser: \na - I = 0,12 GW/cm2, b - I = 0,14 GW/cm2. \nEl espectro consistía en las líneas afiladas con longitudes de onda: 429,0, 453,0, 489.0, 555,0, 643,0 nm, \nque corresponde al rango espectral antistokes para la línea emocionante 694.3 nm. Intensidad de las líneas en \nel espectro dependía fuertemente de la intensidad de bombeo láser, que era evidencia de \ntipo estimulado de la emisión de radiación. \n En el caso de varios cristales colocados en la placa de Cu, sólo uno de ellos fue irradiado por el \nPulso láser. La luminiscencia tuvo lugar en este cristal en el caso del umbral que alcanzaba. Brillante \nbrillante de los otros cristales comenzó con algún retraso de tiempo después del lanzamiento del láser. El valor de este retraso \n(y la intensidad de la luminiscencia) fue determinada por la posición espacial de los cristales en \nel plato. El robo de la abeja de la pantalla puesta entre los cristales (con el fin de evitar la irradiación de la \ncristales por la luz dispersada por el cristal excitado por el láser) no detuvo la aparición de la \nluminiscencia si la distancia entre la placa Cu y la pantalla era superior a 0,5 mm. Los \nduración de la luminiscencia fue del orden de varios segundos y el comportamiento temporal fue como \nse muestra en la Fig.4. Las características típicas de tal distribución eran la existencia de máximo y grande \nPlato con valor casi constante de la intensidad. \n Con el fin de mostrar el papel del material de la placa utilizada repetimos estas medidas \ncon placas del mismo tamaño pero hechas de acero y quarz sobre las que se colocaron cristales de ópalo \ncomo en los experimentos anteriores. Luminiscencia del mismo tipo en el cristal irradiado tomado \nlugar, pero no se observó la luminiscencia de las otras muestras situadas en estas placas. \n El efecto también fue determinado por el ángulo de incidencia (fig.2). Para las muestras utilizadas: \nvalor del ángulo fue elegido experimentalmente para lograr el valor máximo de la \nluminiscencia (Vale la pena mencionar que este valor difería de 0 y era alrededor de 400). Más fácil la \nEl efecto se emocionó en las muestras no procesadas. En la Fig.5 se puede ver la luminiscencia del \ncristales situados a la distancia de aproximadamente 1 centímetro del cristal que fue irradiado. \n \nFig.7 Luminiscencia visible de los cristales de ópalo en el caso de la irradiación de uno de ellos (la \ncristal irradiado se puede ver por la luz roja brillante; en la imagen izquierda era el cristal en el \ncentro, en la imagen de la derecha era el cristal a la izquierda). Imagen de la izquierda corresponde a la caja \ndonde los cristales son infiltrados por la acetona. Imagen derecha corresponde al caso del ópalo \ncristales sin infiltración. \n En el caso de la gran energía láser (varias veces más el umbral) o si el cristal era \nirradiado por varios pulsos láser el ópalo puede ser destruido y las partes del cristal producen \nla luminiscencia con las propiedades espectrales y temporales descritas anteriormente (Fig.8). \nFig.8 Cristal de ópalo es destruido y 3 piezas grandes y varias piezas pequeñas están pasando a \nproducir la luminiscencia. \n Con el fin de aclarar el papel de la superficie de la placa Cu en el transporte de energía entre el \ncristales se realizó el siguiente experimento: la matriz de ópalo puro colocado en la placa de Cu fue \nirradiado por el pulso láser de rubí y demostró una fuerte luminiscencia que duraba unos segundos \ncon las propiedades descritas anteriormente (Fig.9) \nFig.9 Luminiscencia de la matriz de un único ópalo \n El siguiente paso fue cubrir la superficie de la placa de Cu con el líquido (se hicieron experimentos \ncon agua, acetón o etanol). El espesor del líquido congelado en la superficie de la placa era de aproximadamente \n1 mm. El tamaño transversal del líquido congelado era de aproximadamente 1 cm. Después de iluminar el cristal \npor el pulso láser rubí la luminiscencia del cristal aparece la luminiscencia azul brillante de \nAparecen las especies congeladas del líquido utilizado. Las características temporales de la luminiscencia en \ncristal y en el líquido congelado son aproximadamente iguales (la duración de la luminiscencia es de \nvarios segundos). La luminiscencia del líquido congelado continúa a pesar de poner la pantalla \nentre el cristal y el líquido. Muestra que la luminiscencia del líquido no es un reflejo \nde la luz que es emmitida por el cristal. Fig.10 muestra la luminiscencia del cristal y el \nlíquido congelado (en este caso era agua). Las imágenes fueron hechas con el intervalo de 1 segundo \nel uno entre el otro. El acetón y el etanol demuestran un comportamiento análogo. Los \nluminiscencia de la zona cubierta de líquido congelado se produce incluso si esta zona está a la distancia \nla explicación de la luminiscencia azul del cristal irradiado. \nlíquido congelado se puede hacer de varias maneras y para aclarar las razones de esta luminiscencia \nla apariencia es necesario producir experimentos adicionales. La intensidad del láser en el \nexperimentos es de aproximadamente 0,12 Gw/cm2, y la gran mejora de este campo debido a Mie – \nresonancia [20] simultánea con el efecto de interferencia causado por la estructura del ópalo \nmatricial puede conducir a la mejora de campo extremadamente grande que puede desempeñar un papel importante en este \nefecto. \n \n \nFig.10 Luminiscencia de la matriz de ópalos (punto redondo brillante) y líquido congelado (punto azul grande) \nen la superficie de la placa Cu. \n 4. Conclusiones. \n En este artículo informamos sobre algunas nuevas características del efecto fotónico de la llama. El principal \nlas características de la FEP son: \n- En la excitación del cristal de ópalo artificial que se coloca en la placa de Cu en el \ntemperatura del nitrógeno líquido por el pulso láser rubí del nanosegundo de largo alcance\nla luminiscencia óptica continua se produce en el caso de que el umbral del proceso sea \nAlcanzado; \n- En el caso de varios cristales de ópalo que se ponen en la placa de Cu mientras uno de ellos está siendo \nla luminiscencia visible brillante irradiada se produce en todas las muestras; \n- Se ha determinado el comportamiento temporal y los umbrales de la luminiscencia. Fotónico \ncristales infiltrados con diferentes líquidos no lineales y sin infiltración han sido \ninvestigada. Transporte investigado de la excitación entre las muestras separadas espacialmente \npor la longitud de varios centímetros da la posibilidad de las aplicaciones prácticas de \nPFE; \n- La luminiscencia azul del líquido congelado en la superficie de la placa Cu tiene lugar en la \nprecense del efecto fotónico de la llama; \n El efecto fotónico de la llama puede tener una explicación diferente. Probablemente se juega un papel esencial. \npor propiedades plasmáticas. El lento transporte de las excitaciones del cristal irradiado a otros \nLos cristales fotónicos se pueden asociar con ondas sonoras creadas debido a la interacción del pulso láser con \nla muestra. El mecanismo de excitón y las guías de ondas superficiales en la superficie de la placa Cu también pueden \ndesempeñar un papel importante. Se comprobó que el cambio de las propiedades de la superficie de la placa era \nconduce al cambio del efecto fotónico de la llama. Retirar la capa oxidada de la placa cambiada \nel umbral PFE. La luminiscencia de los líquidos congelados en la superficie de la placa de Cu muestra \nel importante papel de la mejora del campo electromagnético debido a la resonancia Mie y Bragg \nDifracción en la celosía de cristal fotónico. La mejora del campo electromagnético puede conducir a \nproducción de plasma láser, aceleración de electrones y producción de rayos X. \nBibliografía \n1. N.V.Tcherniega, A.D.Kudryavtseva, ArXiv Physics/ 0608150 (2006). \n2. N.V.Tcherniega, A.D.Kudryavtseva, Journal of Russian Laser Research, V.27, N 5, 400-\n409 (2006). \n3.A.A.Esakov, V.S.Gorelik, A.D.Kudryavtseva, M.V.Tareeva y N.V.Tcherniega, SPIE \nActas, V 6369, 6369 OE1 - 6369 OE12, Cristales fotónicos y Fibras de Cristal fotónico para \nSensing Applications II; Henry H. Du, Ryan Bise; Eds, (octubre de 2006). \n4.P. Bykov, J. Eksp. Teor. Fiz., 35, 269, (1972). \n5.E.Yablonovich, Phys. Rev. Lett.,58, 2059 (1987). \n6.S.John, Phys. Rev. Lett., 58, 2486, (1987). \n7.V. N. Astratov, V. N. Bogomolov, A. A. Kaplyanskii, A. V. Prokofiev, L. A. Samoilovich, S. \nSr. Samoilovich, Yu. A. Vlasov, Nuovo Cimento, D 17,1349 (1995). \n8.A. V. Baryshev, A. A. Kaplyanskii, V. A. Kosobukin, M. F. Limonov, K. B. Samsuev, \nFiz.Tverd.Tela, 45, 434 (2003), en ruso. \n9.M. Nacido en E. Wolf, Principles of Optics, Macmillan, Nueva York (1964) \n10.A. Yariv, Quantum Electronics, John Wiley and Sons, Inc., Nueva York, Londres, Sudneu \n(1967). \n11.M. G. Martemyanov, D. G. Gusev, I. V. Soboleva, T. V. Dolgova, A. A. Fedyanin, O. A. \nAkstipetrov, y G. Marovsky, Laser Physics, 14, 677 (2004). \n12.A. A. Fedyanin, O. A. Aktsipetrov, D. A. Kurdyukov, V. G. Golubev, M. Inoue, \nAppl.Phys.Letters, 87, 151111 (2005). \n13.Foteinopoulou, E.N.Economou, C.M. Soukoulis, Phys.Rev.Let., 90, 107402, (2003). \n14.R. G. Zaporozhchenko, S. Ya. Kilin, A. G. Smirnov, Quantum Electronics, 30, 997 (2000), in \nRuso. \n15.W. T. M. Irvine, M. J. A. de Dood, D. Bouwmeester, Phys Rev.A 72, 043815 (2005). \n16.N. A. Gippius, S. G. Tihodeev, A. Christ, J. Kuhl, H. Giessen, Fiz. Tverd. Tela, 47, 139 \n(2005). \n17.M.H.Kuok, H.S.Lim, S.C.NG, N.N.Liu, Z.K.Wang, Phys.Rev.Let., 90, 255502, (2003). \n18. Suxia Yang, J.H.Page, Zhengiou Liu, M.L.Cowan, C.T.Chan, Ping Sheng, Phys.Rev.Let., 93 \n, 024301, (2004). \n19.Claudio Conti, Andrea Di Falco, Gaetano Assantom, Optics Express, 12, 823 (2004). \n20.G.Mie, Ann. Phys., (Berlín), 25, 377, (1908)\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" Los resultados de las características espectrales, energéticas y temporales de\nse presenta radiación en presencia del efecto fotónico de la llama.\nOpalo artificial colocado en la placa de Cu a la temperatura de ebullición de nitrógeno líquido\nEl punto (77 K) irradiado por el pulso láser de rubí de nanosegundo produce\ntérmino luminiscencia con una duración de hasta diez segundos con una estructura fina\nespectro en la parte antistocks del espectro. Análogo visible\nluminiscencia manifestando el tiempo de retraso apareció en otras muestras de la\nOpalos colocados en el mismo plato. En el caso del ópalo infiltrado con\ndiferentes líquidos no lineales se reduce el umbral de la luminiscencia y\nla dispersión espacial del área de emisión brillante en la superficie del ópalo es\ncambiándose. En el caso de la colocación de los líquidos no lineales congelados en el\nLa luminiscencia azul brillante a largo plazo de la placa Cu tuvo lugar en las especies congeladas de\nlos líquidos. Las características temporales de esta luminiscencia son casi las mismas\ncomo en las matrices de ópalos.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción \n En [1-3] se encontró un nuevo efecto llamado efecto fotónico de la llama y algunas de sus propiedades fueron: \nestudiados. Este efecto está determinado por las propiedades de los cristales fotónicos. \n Los cristales fotónicos han atraído gran atención desde los primeros documentos relativos a \nestructuras [4-6]. Uno de los cristales fotónicos más importantes son los ópalos artificiales – uno mismo –\nestructuras ensambladas compuestas por esferas SiO2 organizando celosía cúbica centrada en la cara. El tamaño \nde tales esferas que varían entre 200 nm y 400 nm y define los parámetros de la cara-\nretícula cúbica centrada y el bandgap fotónico. La posibilidad de infiltración de ópalos con diferentes \nmedio da lugar a un procesamiento eficaz de las propiedades de la luz que propoga a través de la \ncristal. Los huecos en las estructuras de ópalos pueden ser llenados con semiconductores, superconductores, \nmateriales ferromagnéticos, medio fluorescente [7] y este hecho da una gran posibilidad de \nlas aplicaciones de dichas estructuras a la optoelectrónica. El estudio de las propiedades ópticas lineales de \nla brecha de banda fotónica ha sido la tarea de muchos trabajos teóricos y experimentales y todavía \nsigue siendo la tarea que debe investigarse [7,8]. La descripción teórica del campo electromagnético \ndentro de las estructuras de cristal fotónico (obtenido por método de matriz de transferencia [9] o modo acoplado) \nla teoría [10]) da una imagen clara del espectro transmitido y reflejado, electromagnético \ndistribución del campo dentro del cristal y su dependencia de los parámetros del fotónico \nestructura cristalina (valores del período, número de períodos, contraste del índice de refracción). Grandes valores de \nla localización del campo electromagnético en algunas regiones conducen a la expectativa de los fuertes \nmejora de la interacción de la materia de onda no lineal en comparación con los cristales a granel. Segundo \nEn [11,12] se investigó la generación armónica en diferentes tipos de cristales fotónicos. Apropiadamente. \nEl cristal fotónico elegido presenta refracción negativa en algunas condiciones [13]. Algunas características de \nla dispersión de Raman estimulada en la estructura fotónica unidimensional se consideraron en [14]. \nTratamiento mecánico completamente cuántico de la generación de fotones enredados en fotónico no lineal \nlos cristales en el proceso de conversión descendente se realizaron en [15]. Propiedades de la brecha de banda fotónica \nque son demostrados por cristales fotónicos están siendo utilizados activamente para la investigación de \nInteracción foton-excitón [16]. Modos acústicos excitados en bolas SiO2 que componen ópalo \ncristal fotónico muestran el efecto de la cuantificación de los modos de fonón [17] y son la razón de \ndispersión globular estimulada [3]. Características específicas de la propagación de ondas acústicas en el \nestructuras fotónicas conducen a la posibilidad de que el rayo ultrasónico divergente se enfoque en un \nmailto:tchera@mail1.lebedev.ru\npunto focal estrecho con una gran profundidad focal [18]. Oscilaciones paramétricas ópticas a través de cuatro ondas \nmezcla en cristales fotónicos isotrópicos muestra la posibilidad de un procesamiento eficaz de la frecuencia \n[19]. \n El objetivo de este trabajo es dar una breve revisión de los resultados [1-3] y estudiar el comportamiento colectivo \nde varios cristales fotónicos. Los cristales se posan en la placa Cu a la temperatura del líquido \nnitrógeno. Uno de los cristales fotónicos está iluminado por el pulso láser y la luz láser está enfocada \nen este único cristal. El fenómeno que observamos es la aparición de luminiscencia de \notros cristales fotónicos. La duración de la luminiscencia de otros cristales que son espacialmente \nseparado con el cristal iluminado por el pulso láser es del orden de los segundos. La aparición de \nla luminiscencia tiene lugar con algún tiempo de retraso, respectivamente, en el pulso láser. La forma de \nestos puntos de luz en los otros cristales y sus movimientos lentos a lo largo del cristal recuerda a un pequeño \nPunto de llama. Esto nos inspiró a dar el nombre de “llama fotónica” al efecto observado. En el caso \nde cubrir la superficie de la placa de Cu con líquido (acetona, etanol, agua) después de la PFE \nexcitación en el ópalo situado en esta placa luminiscencia azul se ve en el líquido congelado. \nLas características temporales de esta luminiscencia son el sme como para el cristal de un solo ópalo. Los \nel papel se organiza de la siguiente manera. En Sec.2 la configuración experimental, láser, los cristales fotónicos \n(opalos artificiales) utilizados en el experimento se describen. En el artículo 3, el “efecto de llama fotónica” \nse discute en el experimento. En la sección 4 las perspectivas y posibles explicaciones son: \nPresentado. \n2. Cristales fotónicos y láser utilizados en experimentos. \n Uno de los cristales fotónicos tridimensionales más prometedores es el ópalo artificial. El ópalo es un \ncristal con retícula cúbica centrada en la cara que consiste en las esferas de SiO2 empaquetadas de cerca monodisperso \ncon diámetro de unos cientos de nanómetros. Debido al contraste del índice de refracción (ratio \nnSiO2/nair) es alrededor de 1,45 el espacio completo de la banda fotónica no existe, pero el fotónico \nSe produce pseudo-gap. Las cavidades vacías entre estos glóbulos tienen octaedros y tetraedros \nforma. Es posible investigar tanto los ópalos iniciales (Matrices de ópalo) como los nanocompuestos, en los que \nlas cavidades están llenas de materiales orgánicos o inorgánicos, por ejemplo, semiconductores, \nsuperconductores, sustancias ferromagnéticas, dieléctricos, con diferentes tipos de \nFig.1. Aparición común de un cristal fotónico globular, construido con partículas esféricas (glóbulos) \nno linealidades y así sucesivamente. Vacíos de llenado del cristal fotónico con materiales diferentes \níndice de refracción se puede procesar eficazmente los parámetros del pseudogap fotónico. \n Pulso gigante láser rubí (de 694,3 nm, de 20 ns, Emax = 0,3 J, ancho espectral de la luz inicial - \n0,015 cm-1.) se ha utilizado como fuente de excitación. Emocionante luz se ha centrado en el \nmaterial por lentes con diferentes longitudes focales (50, 90 y 150 mm). Las muestras de ópalo \nlos cristales utilizados tenían el tamaño de 3x5x5mm y se cortaban en paralelo al plano (111) (véase la Fig.2). \nEl ángulo de incidencia del rayo láser en el plano (111) varió de 0 a 600. Muestra \ndistancia del sistema de enfoque y la energía de luz emocionante fueron diferentes en diferentes carreras de la \nexperimento. Esto dio la posibilidad de hacer mediciones para diferentes densidad de potencia en el \nentrada de la muestra y para una distribución de campo diferente dentro de la muestra. Cristales de ópalo \ncompuesta de las esferas de amorfosa envasadas de cerca con un diámetro de 200 nm, 230 nm, 250 nm y \nSe investigaron los nanocompuestos (cristales de ópalo con huecos llenos de acetona o etanol). \n z\n * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n [111] x\nFig.2. El esquema de iluminar la muestra. Plano XY corresponde a la superficie de la placa CU. \n3.Características de la “llama fotónica” \n Se colocaron cristales de ópalo en la placa de Cu, que se colocó en la célula con nitrógeno líquido (ver \nFig.3). El número de cristales varió de 1 a 5. La distancia (d) entre los cristales era de la \norden de varios centímetros (valor máximo de d fue de 5 centímetros y fue determinado por el \nCu tamaño de la placa). Uno de los cristales fue iluminado por el pulso láser enfocado. En el caso de la \nAlcanzó la luminiscencia visible (azul). La duración de la luminiscencia fue \nde 1 a 12 segundos y parecía una mancha inhomogénea que cambiaba su distribución espacial y \nposición en la superficie del cristal durante este tiempo. \n N2 líquido\n Ópalo\n luz emocionante\n d\n opal Cu\nFig.3. Puesta en marcha experimental. \n Los parámetros de la luminiscencia (duración, umbral) fueron determinados por la geometría \ncaracterísticas de la iluminación y el contraste del índice de refracción de la muestra. Para optimizar \ngeometría de la excitación el umbral de densidad de potencia para el cristal de ópalo fue 0,12 Gw/cm2, para \nCristales de ópalo rellenos de etanol – 0,05 Gw/cm2, para cristal de ópalo rellenos de acetona - 0,03 \nGw/cm2. Distribución temporal típica de la luminiscencia medida para la parte del cristal \nEn la Fig.4 se muestra el brillo más intenso. El mismo comportamiento es típico para todos \ncasos de luminiscencia en estas condiciones de excitación, pero el valor de la luminiscencia \nla duración fluctuó de un disparo a otro. \n a) b) \nFig.4. Distribución temporal de la luminiscencia visible. \n La duración de la luminiscencia fluctuó de 1 a 12 segundos y se demostró \nestructura oscilante. En algunos casos, la distribución temporal tuvo un máximo al principio de \nla luminiscencia en algunos casos – mínimo. Fig.4 a) y b) muestran la luminiscencia de la pureza \nmatriz opal de la casi la misma duración en las mismas condiciones geométricas y energéticas de \nexcitación cerca del umbral de excitación (0.12 Gw/cm2). El comienzo de las medidas \ncorresponde a un retraso de 0,3 s después del lanzamiento del láser (la duración del pulso del láser es de 20 ns). \n Espectro de emisión secundario observado en el efecto fotónico de la llama se ha investigado con \nla ayuda de la configuración que se muestra en la Fig.5. \n \n 12\n 11 10\n 9\n 8\n 1\n 3 4 2\n 6 7\n Fig. 5.La configuración experimental para el estudio del espectro de EPI. 1- láser rubí; 2 lentes; 3, 4, 5 – fotónico \ncristales; 7 – célula con nitrógeno líquido 6 – placa de Cu; 8 – guía de ondas de fibra; 9 – minicromador; \n10 – ordenador; 11 – cámara; 12 – ordenador. \nEspectro de la luz emitida por cristal fotónico para diferentes densidad de potencia de la luz de bombeo son \nse muestra en la Fig. 6 a) y b) \n \n200 300 400 500 600 700 800 900 1000\n643I, \n, nm\n200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100\n, nm\n a b \n Fig. 6. Espectro de emisión secundario de un cristal fotónico para diferentes densidad de potencia de luz láser: \na - I = 0,12 GW/cm2, b - I = 0,14 GW/cm2. \nEl espectro consistía en las líneas afiladas con longitudes de onda: 429,0, 453,0, 489.0, 555,0, 643,0 nm, \nque corresponde al rango espectral antistokes para la línea emocionante 694.3 nm. Intensidad de las líneas en \nel espectro dependía fuertemente de la intensidad de bombeo láser, que era evidencia de \ntipo estimulado de la emisión de radiación. \n En el caso de varios cristales colocados en la placa de Cu, sólo uno de ellos fue irradiado por el \nPulso láser. La luminiscencia tuvo lugar en este cristal en el caso del umbral que alcanzaba. Brillante \nbrillante de los otros cristales comenzó con algún retraso de tiempo después del lanzamiento del láser. El valor de este retraso \n(y la intensidad de la luminiscencia) fue determinada por la posición espacial de los cristales en \nel plato. El robo de la abeja de la pantalla puesta entre los cristales (con el fin de evitar la irradiación de la \ncristales por la luz dispersada por el cristal excitado por el láser) no detuvo la aparición de la \nluminiscencia si la distancia entre la placa Cu y la pantalla era superior a 0,5 mm. Los \nduración de la luminiscencia fue del orden de varios segundos y el comportamiento temporal fue como \nse muestra en la Fig.4. Las características típicas de tal distribución eran la existencia de máximo y grande \nPlato con valor casi constante de la intensidad. \n Con el fin de mostrar el papel del material de la placa utilizada repetimos estas medidas \ncon placas del mismo tamaño pero hechas de acero y quarz sobre las que se colocaron cristales de ópalo \ncomo en los experimentos anteriores. Luminiscencia del mismo tipo en el cristal irradiado tomado \nlugar, pero no se observó la luminiscencia de las otras muestras situadas en estas placas. \n El efecto también fue determinado por el ángulo de incidencia (fig.2). Para las muestras utilizadas: \nvalor del ángulo fue elegido experimentalmente para lograr el valor máximo de la \nluminiscencia (Vale la pena mencionar que este valor difería de 0 y era alrededor de 400). Más fácil la \nEl efecto se emocionó en las muestras no procesadas. En la Fig.5 se puede ver la luminiscencia del \ncristales situados a la distancia de aproximadamente 1 centímetro del cristal que fue irradiado. \n \nFig.7 Luminiscencia visible de los cristales de ópalo en el caso de la irradiación de uno de ellos (la \ncristal irradiado se puede ver por la luz roja brillante; en la imagen izquierda era el cristal en el \ncentro, en la imagen de la derecha era el cristal a la izquierda). Imagen de la izquierda corresponde a la caja \ndonde los cristales son infiltrados por la acetona. Imagen derecha corresponde al caso del ópalo \ncristales sin infiltración. \n En el caso de la gran energía láser (varias veces más el umbral) o si el cristal era \nirradiado por varios pulsos láser el ópalo puede ser destruido y las partes del cristal producen \nla luminiscencia con las propiedades espectrales y temporales descritas anteriormente (Fig.8). \nFig.8 Cristal de ópalo es destruido y 3 piezas grandes y varias piezas pequeñas están pasando a \nproducir la luminiscencia. \n Con el fin de aclarar el papel de la superficie de la placa Cu en el transporte de energía entre el \ncristales se realizó el siguiente experimento: la matriz de ópalo puro colocado en la placa de Cu fue \nirradiado por el pulso láser de rubí y demostró una fuerte luminiscencia que duraba unos segundos \ncon las propiedades descritas anteriormente (Fig.9) \nFig.9 Luminiscencia de la matriz de un único ópalo \n El siguiente paso fue cubrir la superficie de la placa de Cu con el líquido (se hicieron experimentos \ncon agua, acetón o etanol). El espesor del líquido congelado en la superficie de la placa era de aproximadamente \n1 mm. El tamaño transversal del líquido congelado era de aproximadamente 1 cm. Después de iluminar el cristal \npor el pulso láser rubí la luminiscencia del cristal aparece la luminiscencia azul brillante de \nAparecen las especies congeladas del líquido utilizado. Las características temporales de la luminiscencia en \ncristal y en el líquido congelado son aproximadamente iguales (la duración de la luminiscencia es de \nvarios segundos). La luminiscencia del líquido congelado continúa a pesar de poner la pantalla \nentre el cristal y el líquido. Muestra que la luminiscencia del líquido no es un reflejo \nde la luz que es emmitida por el cristal. Fig.10 muestra la luminiscencia del cristal y el \nlíquido congelado (en este caso era agua). Las imágenes fueron hechas con el intervalo de 1 segundo \nel uno entre el otro. El acetón y el etanol demuestran un comportamiento análogo. Los \nluminiscencia de la zona cubierta de líquido congelado se produce incluso si esta zona está a la distancia \nla explicación de la luminiscencia azul del cristal irradiado. \nlíquido congelado se puede hacer de varias maneras y para aclarar las razones de esta luminiscencia \nla apariencia es necesario producir experimentos adicionales. La intensidad del láser en el \nexperimentos es de aproximadamente 0,12 Gw/cm2, y la gran mejora de este campo debido a Mie – \nresonancia [20] simultánea con el efecto de interferencia causado por la estructura del ópalo \nmatricial puede conducir a la mejora de campo extremadamente grande que puede desempeñar un papel importante en este \nefecto. \n \n \nFig.10 Luminiscencia de la matriz de ópalos (punto redondo brillante) y líquido congelado (punto azul grande) \nen la superficie de la placa Cu. \n 4. Conclusiones. \n En este artículo informamos sobre algunas nuevas características del efecto fotónico de la llama. El principal \nlas características de la FEP son: \n- En la excitación del cristal de ópalo artificial que se coloca en la placa de Cu en el \ntemperatura del nitrógeno líquido por el pulso láser rubí del nanosegundo de largo alcance\nla luminiscencia óptica continua se produce en el caso de que el umbral del proceso sea \nAlcanzado; \n- En el caso de varios cristales de ópalo que se ponen en la placa de Cu mientras uno de ellos está siendo \nla luminiscencia visible brillante irradiada se produce en todas las muestras; \n- Se ha determinado el comportamiento temporal y los umbrales de la luminiscencia. Fotónico \ncristales infiltrados con diferentes líquidos no lineales y sin infiltración han sido \ninvestigada. Transporte investigado de la excitación entre las muestras separadas espacialmente \npor la longitud de varios centímetros da la posibilidad de las aplicaciones prácticas de \nPFE; \n- La luminiscencia azul del líquido congelado en la superficie de la placa Cu tiene lugar en la \nprecense del efecto fotónico de la llama; \n El efecto fotónico de la llama puede tener una explicación diferente. Probablemente se juega un papel esencial. \npor propiedades plasmáticas. El lento transporte de las excitaciones del cristal irradiado a otros \nLos cristales fotónicos se pueden asociar con ondas sonoras creadas debido a la interacción del pulso láser con \nla muestra. El mecanismo de excitón y las guías de ondas superficiales en la superficie de la placa Cu también pueden \ndesempeñar un papel importante. Se comprobó que el cambio de las propiedades de la superficie de la placa era \nconduce al cambio del efecto fotónico de la llama. Retirar la capa oxidada de la placa cambiada \nel umbral PFE. La luminiscencia de los líquidos congelados en la superficie de la placa de Cu muestra \nel importante papel de la mejora del campo electromagnético debido a la resonancia Mie y Bragg \nDifracción en la celosía de cristal fotónico. La mejora del campo electromagnético puede conducir a \nproducción de plasma láser, aceleración de electrones y producción de rayos X. \nBibliografía \n1. N.V.Tcherniega, A.D.Kudryavtseva, ArXiv Physics/ 0608150 (2006). \n2. N.V.Tcherniega, A.D.Kudryavtseva, Journal of Russian Laser Research, V.27, N 5, 400-\n409 (2006). \n3.A.A.Esakov, V.S.Gorelik, A.D.Kudryavtseva, M.V.Tareeva y N.V.Tcherniega, SPIE \nActas, V 6369, 6369 OE1 - 6369 OE12, Cristales fotónicos y Fibras de Cristal fotónico para \nSensing Applications II; Henry H. Du, Ryan Bise; Eds, (octubre de 2006). \n4.P. Bykov, J. Eksp. Teor. Fiz., 35, 269, (1972). \n5.E.Yablonovich, Phys. Rev. Lett.,58, 2059 (1987). \n6.S.John, Phys. Rev. Lett., 58, 2486, (1987). \n7.V. N. Astratov, V. N. Bogomolov, A. A. Kaplyanskii, A. V. Prokofiev, L. A. Samoilovich, S. \nSr. Samoilovich, Yu. A. Vlasov, Nuovo Cimento, D 17,1349 (1995). \n8.A. V. Baryshev, A. A. Kaplyanskii, V. A. Kosobukin, M. F. Limonov, K. B. Samsuev, \nFiz.Tverd.Tela, 45, 434 (2003), en ruso. \n9.M. Nacido en E. Wolf, Principles of Optics, Macmillan, Nueva York (1964) \n10.A. Yariv, Quantum Electronics, John Wiley and Sons, Inc., Nueva York, Londres, Sudneu \n(1967). \n11.M. G. Martemyanov, D. G. Gusev, I. V. Soboleva, T. V. Dolgova, A. A. Fedyanin, O. A. \nAkstipetrov, y G. Marovsky, Laser Physics, 14, 677 (2004). \n12.A. A. Fedyanin, O. A. Aktsipetrov, D. A. Kurdyukov, V. G. Golubev, M. Inoue, \nAppl.Phys.Letters, 87, 151111 (2005). \n13.Foteinopoulou, E.N.Economou, C.M. Soukoulis, Phys.Rev.Let., 90, 107402, (2003). \n14.R. G. Zaporozhchenko, S. Ya. Kilin, A. G. Smirnov, Quantum Electronics, 30, 997 (2000), in \nRuso. \n15.W. T. M. Irvine, M. J. A. de Dood, D. Bouwmeester, Phys Rev.A 72, 043815 (2005). \n16.N. A. Gippius, S. G. Tihodeev, A. Christ, J. Kuhl, H. Giessen, Fiz. Tverd. Tela, 47, 139 \n(2005). \n17.M.H.Kuok, H.S.Lim, S.C.NG, N.N.Liu, Z.K.Wang, Phys.Rev.Let., 90, 255502, (2003). \n18. Suxia Yang, J.H.Page, Zhengiou Liu, M.L.Cowan, C.T.Chan, Ping Sheng, Phys.Rev.Let., 93 \n, 024301, (2004). \n19.Claudio Conti, Andrea Di Falco, Gaetano Assantom, Optics Express, 12, 823 (2004). \n20.G.Mie, Ann. Phys., (Berlín), 25, 377, (1908)\n"}}},{"rowIdx":82,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0089,"string":"704.0089"},"title":{"kind":"string","value":"A general approach to statistical modeling of physical laws:\n nonparametric regression"},"full_text":{"kind":"string","value":"Un enfoque general de la modelización estadística de las leyes físicas:\nregresión no paramétrica\nIgor Grabec*\nFacultad de Ingeniería Mecánica, Universidad de Liubliana,\nAškerčeva 6, PP 394, 1001 Liubliana, Eslovenia†\n(Fecha: 26 de octubre de 2018)\nResumen\nEl modelado estadístico de leyes físicas experimentales se basa en la función de densidad de probabilidad\nde las variables medidas. Se expresa mediante datos experimentales a través de un estimador del núcleo. El núcleo\nse determina objetivamente mediante la dispersión de datos durante la calibración de la configuración experimental. A\nla ley física, que relaciona las variables medidas, se extrae óptimamente de los datos experimentales por\nel estimador medio condicional. Se deriva directamente del estimador del núcleo y corresponde\na una regresión general no paramétrica. El método propuesto queda demostrado por la modelización de un\nvolver mapa de datos caóticos ruidosos. En este ejemplo, la regresión no paramétrica se utiliza para predecir\nun valor futuro de las series cronológicas caóticas del presente. El error predictor medio se utiliza en\nla definición de calidad predictora, mientras que la redundancia se expresa por la distancia cuadrada media\nentre puntos de datos. Ambas estadísticas se utilizan en una nueva definición de función de costo predictor. Desde\nel mínimo de la función de coste del predictor, se estima un número adecuado de datos en el modelo.\nNúmeros PACS: 02.50.-r,07.05.-t,05.45.-a,89.90.+n,84.35.+i,06.20.DK\n* También en Amanova, Kantetova 75, 1001, Liubliana, Eslovenia.\n†Dirección electrónica: igor.grabec@fs.uni-lj.si; URL: http://www.fs.uni-lj.si/lasin/\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0089v1\nmailto:igor.grabec@fs.uni-lj.si\nhttp://www.fs.uni-lj.si/lasin/\nI. INTRODUCCIÓN\nUna tarea básica de la descripción física de los fenómenos naturales es expresar las relaciones entre\ndatos experimentales sobre variables medidas en términos de leyes físicas [1]. Desde el corre...\nel modelado analítico sponding depende esencialmente de la intuición del explorador que realiza\n, una ambigüedad rodea esta tarea básica y, por lo tanto, se plantea la cuestión de cómo podría ser\nEvitado. Este problema adquiere una importancia práctica fundamental a la hora de desarrollar\nsistemas electrónicos flexibles para el modelado automático de leyes físicas [2]. La ambigüedad podría\nevitar que se encuentre un método objetivo único de modelización que tenga en cuenta\npropiedades comunes de las observaciones experimentales y de las transiciones a partir de datos experimentales\na modelos. El objetivo de este artículo es mostrar cómo un método de este tipo podría ser desarrollado a partir de\nprincipios básicos de probabilidad y estadísticas, así como para demostrar un ejemplo de su\naplicabilidad.\nUna propiedad común de todas las exploraciones experimentales es que cada experimento corresponde a\na un proceso que va de la preparación a la ejecución. Si queremos un experimento seleccionado\npara dar cualquier información sobre el fenómeno en observación, a continuación, el resultado de la\nel experimento no podrá determinarse de antemano, es decir, varios resultados del experimento deben\nEs posible. La siguiente propiedad común es la repetibilidad de los experimentos. En consecuencia, a\nla correcta presentación de las observaciones experimentales requiere el uso de una distribución de ex-\nlos resultados perimentales y esto debe estar relacionado con el concepto de probabilidad. La probabilidad\nla distribución es, por lo tanto, una base común para la descripción de las propiedades naturales en términos\nde datos experimentales [3], mientras que la transición de los datos experimentales a un análisis ex-\nla presión de la función de distribución de probabilidad correspondiente es el problema crucial de\nmodelar. Una solución objetiva de este problema representa el modelado estadístico de la prob-\nfunción de distribución de capacidad por un estimador de núcleo no paramétrico si el núcleo está determinado\nmediante una calibración de la configuración experimental [4, 5, 6]. Con este fin, el teorema central de\nla teoría de la probabilidad y el principio de la entropía máxima proporcionan una ruta bastante general a la\nespecificación de la función del núcleo del estimador. En este caso, un examen físico experimental\nley, que representa una relación entre variables observadas, también se puede expresar generalmente\naplicando la teoría de los estimadores estadísticos óptimos. El resultado no paramétrico de la re-\nla regresión es la media condicional (CA), que se puede extraer automáticamente de la\nfunción de densidad de probabilidad (PDF) de los datos experimentales en un sistema de medición. Los\nenfoque completo para modelar así parece objetivo, independiente de la intuición de la\nobservador y, en consecuencia, aplicable en general a la ejecución automática. Debido a estos...\npropiedades venientes, CA es ampliamente aplicable en diversos campos de las ciencias naturales y técnicas\nYa se ha propuesto una expresión no paramétrica del PDF por el estimador del núcleo\npor Parzen [7, 8], pero las debilidades de su propuesta son que la función del núcleo es arbitrariamente\nintroducido, y que hay una suposición de que su anchura debe disminuir a cero cuando el\nnúmero de datos se aumenta a infinito. Para evitar esta debilidad, especificamos el núcleo\nfunción objetivamente mediante la dispersión de la salida del sistema de medición durante la calibración\n[7, 8]. La única ambigüedad en la expresión del PDF se relaciona entonces con el número de\ndatos experimentales, que según la hipótesis de Parzen no deberían ser limitados. Desde un\nnúmero infinito de experimentos no se puede realizar, surge una pregunta fundamental:\n“Cuántos experimentos es razonable realizar para explorar el fenómeno\n¿por una configuración experimental dada?\" Intuitivamente, podemos concluir que es razonable\nrepetir experimentos durante el tiempo que aporten nueva información. Sin embargo, con un aumento\nnúmero de experimentos, los puntos de datos adquiridos se concentran cada vez más en el\nespacio de muestra y, en consecuencia, la repetición de los experimentos se vuelve redundante. Esto\nse observa cuando las distancias entre los puntos de datos se vuelven comparables a la anchura del núcleo\nfunción. Este razonamiento llevó recientemente a una especificación de una función de coste de la información C\n[4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13]. Para ello, la indeterminación de las mediciones fue la primera\nse expresa en términos de entropía de la información, que condujo a la definición de la\ninformación I y la redundancia R de los experimentos. Utilizando estas estadísticas, la información\nla función de coste se expresó por la diferencia C = R - I. Desde la posición de su mínimo,\nun número adecuado de experimentos puede entonces determinarse objetivamente [4, 5, 6].\nLa estimación de la función de coste de la información está relacionada con el cálculo de integrales, que\nes inconveniente en un caso multivariado. Por lo tanto, otra estadística, con propiedades similares\npero se busca un cálculo más simple. Puesto que se ha demostrado anteriormente que la pre-\ndictor calidad exhibe propiedades similares a la información experimental, lo utilizamos aquí\nen la definición de la función de coste predictor. Desde su mínimo, un número adecuado de\nTambién se pueden estimar los experimentos. Si esto se utiliza como un número adecuado para la adaptación de\nla regresión no paramétrica a los datos proporcionados por los experimentos, el modelado de la corre-\nsponding la ley física se puede realizar automáticamente en un sistema de adquisición de datos de la\nUna configuración experimental. Para demostrar esta posibilidad, primero describimos brevemente el nonpara-\nregresión métrica y luego recurrir a la definición de la calidad del predictor, redundancia y\nfunción de coste. Las propiedades de todas las estadísticas se demuestran posteriormente en la modelización de\nun mapa de retorno correspondiente a un proceso caótico ruidoso.\nII. FUNDAMENTALES DEL MODELO NO PARAMÉTRICO\nA. Descripción de la función del núcleo\nConsideremos un fenómeno que puede ser descrito por sólo dos variables conjuntas, ya que el\nLa generalización a un caso multivariado es directa. Un único resultado de la medición conjunta\nes representado por la pareja z = (x, y). A continuación suponemos que el fenómeno puede ser\ncaracterizado estadísticamente por la repetición de mediciones que producen puntos de muestra zn = (xn, yn)\nen el intervalo de unión de un instrumento de dos canales S\n= Sx Sy.\nDado que los instrumentos están generalmente sujetos a perturbaciones estocásticas, los resultados de\nlas mediciones están dispersas incluso durante la repetición de la calibración [9]. La dispersión puede ser\ndescrito por los datos proporcionados por una serie de calibraciones simultáneas repetidas de ambos\ncanales de instrumentos. Para este fin, tenemos que realizar una medición conjunta en un\nobjeto que representa dos unidades físicas ux y uy que denotamos juntos por la unidad conjunta\nu = (ux, uy). La dispersión de las salidas del instrumento durante la calibración se caracteriza por\nconjunto PDF (zu), que llamamos la función de dispersión (SF) [2, 4, 9]. Cuando la interacción\nentre ambos canales es insignificante, el SF es dado por el producto (zu) = (xux)(yuy).\nSin pérdida de generalidad, consideramos más adelante un caso con canales iguales que están sujetos\na perturbaciones aleatorias mutuamente independientes que no dependen de u. En tales casos,\nel teorema del límite central de la teoría de la probabilidad, así como el principio de la entropía máxima,\nSugiere que expresemos el SF de un canal particular por la función gaussiana:\ng(x− ux, ) =\n− (x− ux)\nLos parámetros ux, representan el valor medio y la desviación estándar de la señal x en la cal-\nibración y puede estimarse estadísticamente a partir de datos dados. La junta SF se determina entonces\npor el producto (z− u) = g(x− ux, \nCuando se reportan resultados experimentales, los experimentalistas más a menudo sólo especifican\nus y desviaciones estándar de las variables durante la calibración. El principio de la entropía máxima\nnos dice que, en tales casos, la función gaussiana es la mejor opción para SF [2, 9].\nB. Estimación no paramétrica del PDF correspondiente a los datos experimentales\nCuando realizamos una sola medición, obtenemos una muestra z1 = (x1, y1) que representa\nel valor medio de z durante la medición y, por lo tanto, expresamos el PDF como (z−z1) =\n* (x − x1) * (y − y1). Cuando repetimos las mediciones N veces, obtenemos un conjunto de muestras\n{zi, 1 ≤ i ≤ N}, por el cual modelamos el PDF conjunto por la media estadística:\nf(z) =\n(z- zi) (2)\nque representa el estimador del núcleo.\nPropiedades de los componentes particulares x, y se describen por los PDF marginales\nf(x), f(y). Se obtienen a partir del PDF conjunto por integración con respecto a un com-\npont, por ejemplo:\nf(x) =\nf(z)dy =\n• (x− xi). 3)\nPara modelar leyes naturales, lo más importante es el PDF condicional de la variable y en\nun valor dado de x, definido como:\nf(yx) =\n(z− zi)\n(x− xj)\nC. Estimación de una ley física\nDistribuciones de datos experimentales conjuntos, por ejemplo los que se muestran en la Fig. 1, a menudo se parecen\nuna cresta a lo largo de alguna línea hipotética yo(x), que queremos extraer de los datos dados\nde una manera óptima. Para este fin, seleccionamos de un conjunto de datos conjuntos sólo aquellos que\npertenecen a algunas x seleccionadas. Estos datos conjuntos generalmente muestran varios valores de y que nosotros\ntratar de representar por un solo valor llamado el predictor de la variable y de un valor x dado.\nConsideramos como un predictor óptimo del yo hipotético el valor yp en el que la media\nEl error de predicción cuadrada es mínimo:\nE[(yp − y)2x] = min(yp). 5)\n0 0.1\n0,2 0,3\n0,4 0,5\n0,6 0,7\n0,8 0,9\nFIG. 1: El PDF f(z) conjunto utilizado para demostrar las propiedades de la media condicional\nEstimador.\nAquí E[. . x] denota la operación del promedio estadístico en la condición dada x. El mini-\nmamá satisface la ecuación: dE[(yp − y)2x]/dyp = 0 que produce como el yp predictor óptimo\nla media condicional:\nyp(x) = E[yx] =\ny f(yx) dy (6)\nUsando Eq. (4), obtenemos para el promedio condicional la expansión:\nyp(x) =\n(x− xi, )\n*(x− xj, *)\nyiBi(x). 7)..................................................................................................................................................\nLos coeficientes de esta expansión son valores de muestra yi, mientras que las funciones de base son\nBi(x) =\n(x− xi, )\n*(x− xj, *)\n, (8)\ny cumplan las siguientes condiciones:\nBi(x) = 1, 0 ≤ Bi(x) ≤ 1. (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nLas funciones de base Bi(x) pueden interpretarse como una medida normalizada de similitud entre\nel valor dado de x y su valor de muestra xi. En una x dada, el valor de la muestra ym contribuye\nmás al valor estimado yp(x) cuyo valor de muestra complementario xm es más similar a\nEl cálculo de yp(x) corresponde a un recuerdo asociativo de elementos memorizados, que\nes propiedad de una inteligencia. Por lo tanto, el estimador yp(x) podría tratarse como una base\npara el desarrollo de una inteligencia de máquina basada en el modelado de leyes naturales. Los\nmedia condicional dada en Eq. 7 de hecho corresponde a una función de base radial normalizada\nred neuronal que es equivalente a un perceptrón multicapa - el paradigma básico utilizado en\nla teoría de las redes neuronales artificiales [2, 21].\nIII. CARACTERÍSTICAS DEL MODELO\nA. Calidad de los predictores\nUn predictor mapea la variable estocástica x a una nueva variable estocástica yp que genera-\nally difiere de la variable y. Cuando las variables x, y están relacionadas por alguna hipotética\nla ley física yo(x) y el ruido de medición es pequeño, la primera y la segunda estadística mo-\nE[y − yp], E[(y − yp)2] del error de predicción también son pequeños. El segundo momento\nes: E[(y − yp)2] = Var(y) + Var(yp) − 2Cov(y, yp) + [m(y) − m(yp)]2, donde E,m,Var,Cov\nindicar la media estadística, el valor medio, la varianza y la covarianza, respectivamente. En el caso de:\nvariables estadísticamente independientes y yp con valores medios iguales, los dos últimos términos son\ncero y obtenemos: E[(y − yp)2] = Var(y) + Var(yp). Con respecto a esta relación, definimos\nla calidad del predictor relativamente por la fórmula\nQ = 1− E[(y − yp)\nVar(y) + Var(yp)\n2Cov(y, yp)\nVar(y) + Var(yp)\n− [m(y)−m(yp)]\nVar(y) + Var(yp)\nLa calidad es 1 si la predicción es exacta: yp = y, mientras que es 0 si y yp son estadísticamente\nindependiente y tienen los mismos valores medios. La calidad Q puede ser negativa si m(y) 6= m(yp).\nPara el predictor definido por el promedio condicional yp(x) =\ny f(yx) dy, nosotros analíticamente\nobtener las equivalencias: m(y) = m(yp) y Cov(y, yp) = Var(yp), que producen\n2Var(yp)\nVar(y) + Var(yp)\n. (11)\nA partir de la definición de la media condicional, sigue 0 ≤ Var(yp) ≤ Var(y) y, por lo tanto,\n0 ≤ Q ≤ 1. Esta desigualdad no necesita ser cumplida exactamente si la CA se estima estadísticamente a partir de\nun número finito de muestras.\nCon un N en aumento, generalmente esperamos que la CA estimada estadísticamente por Eq. 7)..................................................................................................................................................\nrepresenta cada vez mejor la ley física gobernante y, en consecuencia, que el corre-\nsponding predictor calidad Q en promedio aumenta a un determinado valor límite. Como se ha mencionado\nantes, un aumento ilimitado en el número de experimentos es experimentalmente imposible\ny, en consecuencia, se plantea la cuestión de cómo determinar un número adecuado de datos\nque dará una estimación juiciosa de la ley gobernante.\nB. Función de redundancia y costo predictor\nPara responder a la última pregunta, hemos analizado varios casos experimentales que han\nnos mostró que, con un número creciente de muestras experimentales, el valor del predictor\ncalidad generalmente se estabiliza cuando la distancia entre los puntos de datos se hace similar a la\nanchura de la función de dispersión. Por lo tanto, no es razonable superar significativamente\nel número correspondiente de datos. Esto se puede lograr si una proporción de\nse considera la medida de la distancia entre los puntos de datos vecinos. Con este fin, nosotros\nintroducir el valor medio de la distancia cuadrada mínima entre los puntos de datos................................................................................................................................................\nE[min{(xi−xj)2+(yi−yj)2)}; i = 1.... N, j = 1... N, ], y definir una medida de redundancia\nde datos por la variable relativa:\nR = 2N\nDado que el 2 se compone de dos términos que denotan las contribuciones de los componentes x e y, a\nel factor 2 se utiliza en el nominador. La fracción 2o2/o2 representa un aumento medio de\nredundancia que se asigna a la adquisición de un nuevo punto de datos. Con el fin de tener en cuenta\nadquisición de cuentas de puntos de datos N, factor N se utiliza más. Con respecto a esto, nosotros\nintroducir la función de coste predictor por la suma:\nC = R−Q+ 1\nE[(y − yp)2]\nVar(y) + Var(yp)\n. (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nLa constante 1 se inserta en la primera fila para obtener una expresión más simple\nen la segunda fila de Eq. 13. Del mismo modo que la definición del coste de la información\nfunción dada en [5, 6], la función de coste se expresa aquí en una forma relativa compuesta\nde dos términos: el primero corresponde a la redundancia de experimentos por inexactitud\nmediciones mientras que la segunda representa la influencia de la adquisición de información sobre\nel fenómeno por medio de experimentos. Con un número creciente de muestras N, la redundancia\nen promedio aumenta mientras que el segundo plazo disminuye con el error decreciente. Por lo tanto,\nla función de coste C muestra un mínimo en algún No que representa un número adecuado de datos\nnecesaria para la modelización de la ley física que rige el fenómeno explorado. Sin embargo,\nla influencia del primer término se convierte en predominante cuando la distancia entre los puntos de datos\nse vuelve esencialmente más pequeño que el ancho de la función de dispersión.\nIV. EJEMPLO\nPara demostrar las propiedades del estimador de CA, utilizamos los datos generados por un\nmapa de retorno caótico corrupcionado por ruido con el espolón Sx = (0, 1). Este ejemplo se usa porque\ncasos similares aparecen a menudo en el análisis de series temporales caóticas [2, 14]. El problema básico\nen tal análisis es extraer el mapa de retorno de un registro dado de series temporales que\nestá influenciado por el ruido aditivo de origen instrumental. En nuestro caso, aplicamos analíticamente\ndatos determinados para establecer una comparación entre el material físico original y el extraído\ny hacer posible una reproducción objetiva del método completo. Lo básico\nla ley que rige se da aquí por el mapa logístico:\nχn+1 = 3,8xn(1- χn), (14)\nmientras que el valor inicial χ1 es arbitrario seleccionado a partir del intervalo (0, 1) utilizando un\nator. Para los valores de las series caóticas generadas, el ruido gaussiano / de valor medio cero y\nSe añade la desviación estándar = 0,1 para simular un ruido aditivo de medición. El iter-\nsolución ativa de Eq. 14 entonces produce una serie de valores caóticos dañados ruido: xn = χn + νn.\nLa figura 2 muestra dos registros de una serie de este tipo que se utilizaron en el modelado y ensayo de la\nmétodo propuesto.\nDe la serie {xn ;n = 1...}, se obtienen las muestras conjuntas de las variables básicas x, y\ntratando el valor sucesivo de xn como la variable dependiente: yn = xn+1. El generador\nDe este modo, la norma describe analíticamente los datos:\nxn = χn + νn\nyn = xn+1, (15)\nmientras que la ley que rige es dada por yo = 3.8 x(1−x). Los puntos de muestra {xn, yn ; n = 1...N}\nse distribuyen a lo largo de la parábola correspondiente en el espacio de muestra. De acuerdo con nuestro\ntratamiento previo, la desviación estándar corresponde a la anchura del instrumento\nfunción scattering. El PDF de la articulación se muestra en la Fig. 1 es determinado por el estimador del núcleo\n0 5 10 15 20 25 30\nFIG. 2: Registros de lo básico – (X), y la prueba – (Xt) el ruido corrompió las series caóticas.\n0 0,2 0,4 0,6 0,8 1\nENSAYO DE CA PREDICTOR\nFIG. 3: Pruebas del predictor de CA. Los gráficos representan la ley que rige yo y los datos básicos y –\n(últimos dos: · · · ; ∗ ∗ )*), prueba y datos predichos yp – (segundos medios: + + + ;\nerror Er = yp − yt – (abajo: ). Las dos parábolas superiores se desplazan sucesivamente por 0,35\nen la dirección vertical para una mejor visualización.\nEq. (2) utilizando 200 datos, mientras que un conjunto reducido de 30 datos se utiliza también para demostrar\nlas propiedades del estimador medio condicional. Los datos obtenidos del caos puro\nel generador son mostrados por yo · â € en la parábola superior de la Fig. 3, mientras que el ruido básico corrugado\nlos datos y* se muestran por puntos dispersos alrededor de puntos de datos puros.\nEl estimador medio condicional se obtiene insertando datos de los datos básicos\n0 5 10 15 20 25 30\nERROR DE PREDICTOR SQUARE\nFIG. 4: Error medio de predicción cuadrada E[(y − yp)2] en función del número de datos N.\nen Eq. (7). Para demostrar su rendimiento, además generamos con diferentes\nsemillas de generadores aleatorios un conjunto de Nt = 60 datos de ensayo {xt,i,yt,i}. Basado en datos xt,i de\neste conjunto, los valores correspondientes de yp,i son predichos por el estimador de CA. El ensayo y\nLos datos predichos se muestran en la Fig. 3 por el medio dos conjuntos de puntos (+ + + y â â € € €.\nEl error de predicción Er = yp − yt, calculado a partir de ambos conjuntos de datos, se presenta por\nen la parte inferior de la Fig. 3. Diferencias relativamente pequeñas entre los puntos predichos y los puntos de ensayo\nindican que las propiedades de la ley que rige yo(x) son adecuadamente modeladas por la CA\nEstimador. Para confirmar esta conclusión cualitativa, a continuación analizamos las propiedades de las estadísticas\nE[(ye − yt)2], Q, Ł2, R, C dependiendo del número de datos N utilizados en el modelado. Los\nnúmero de datos de ensayo se mantiene constante Nt = 60 durante el cálculo de estas estadísticas. Propiedades\ndel modelo estadístico de la ley rectora depende de conjuntos de muestras utilizadas en el modelado\ny pruebas. Para demostrar esta dependencia, repetimos el modelado y pruebas tres\ntiempos utilizando varios conjuntos de muestras estadísticas.\nEl error medio del predictor cuadrado E[(y − yp)2] se presenta en la Fig. 4 frente al número de\nmuestras N. Su valor varía estadísticamente pero, en promedio, disminuye con el aumento\nnúmero N. Las fluctuaciones estadísticas son mayores a pequeña N y dependen significativamente de las muestras\nutilizado en el modelado. Sin embargo, con el aumento de N, las fluctuaciones estadísticas son cada vez menores\npronunciado. Si el número de muestras de ensayo Nt es mucho mayor que el número de muestras N,\ncambiar el conjunto de muestras de ensayo no influye significativamente en las propiedades de\nestadísticas, que es el caso en nuestra demostración. Esta es la razón por la que usamos el valor\n0 5 10 15 20 25 30\nCALIDAD DEL PREDICTOR\nFIG. 5: Calidad predictor Q en función del número de datos N.\nNt = 60.\nLa calidad del predictor Q, determinada a partir del error de predicción, se presenta en la Fig. 5\nen comparación con el número de muestras N. Para cada conjunto de datos las fluctuaciones estadísticas disminuyen con\naumentar N para que las cualidades calculadas a partir de diferentes conjuntos de datos converjan al mismo límite\nvalor. Con el aumento de N, las curvas determinadas a partir de diferentes conjuntos de datos\nmately en N+11. La calidad está allí â ¬ 0,97 y sube a â ¬ 0,98 en N = 30. En N+11,\nla diferencia entre las curvas obtenidas de diferentes conjuntos de datos es de aproximadamente dos órdenes\nde magnitud menor que la calidad correspondiente. Con respecto a estas propiedades, nosotros\npodría conjeturar que en el presente caso unos 11 valores de datos ya proporcionan un juicio\nmodelización de la ley de gobierno yo(x) por el predictor de CA.\nPara confirmar nuestra última conjetura, nos dirigimos a la determinación de la función de costo predictor.\nPara este propósito, primero analicemos las propiedades de la distancia cuadrada media entre los datos\npuntos 2 y siguientes. El gráfico correspondiente, mostrado en la Fig. 6, indica que el 2 es bastante monótonamente\nDisminución con el número de muestras con la dependencia aproximada de â € 1/N.\nEn consecuencia, la redundancia correspondiente R está aumentando con N similarmente como N2.\nEsta conclusión está confirmada por el gráfico de la Fig. 7.\nSiguiendo la definición dada por Eq. 13, obtenemos del error estimado y el\nredundancia de la función de coste predictor C mostrada en la Fig. 8. Su mínimo no es muy favorable.\nAnunciado. De varios conjuntos de datos estadísticos, obtenemos las estimaciones del valor mínimo\nCo = 0,033±0,006. El número correspondiente no = 10±2 confirma nuestra conjetura anterior\n0 5 10 15 20 25 30\nMSD ENTRE PUNTOS DE DATOS\nFIG. 6: Media de la distancia cuadrada entre los puntos de datos فارسى2 en función del número de datos N.\n0 5 10 15 20 25 30\nRESPONSABILIDAD\nFIG. 7: Redundancia R en función del número de datos N.\na partir del análisis de la calidad del predictor.\nCon un número creciente de muestras N, la calidad Q(N) del predictor de CA muestra\nuna convergencia a algún valor límite Q.o que caracteriza la calidad máxima hipotética de\npropuesta de modelización estadística no paramétrica. Este valor límite aumenta generalmente con el\nDisminución de la anchura de dispersión . En relación con esto, el valor mínimo de la función de coste es dimin-\nished y se lleva a cabo en un No más grande ; por ejemplo en = 0,005 obtenemos Co = 0,018 ± 0,003\ny no = 14± 3. No obstante, el valor límite de la calidad de Q° es inferior a 1 si se trata de\nfinito. Esto significa que no es posible determinar exactamente el derecho físico que rige\n0 5 10 15 20 25 30\nFUNCIÓN DE LOS GASTOS DEL PREDICTOR\nFIG. 8: Función de coste predictor C en función del número de datos N.\ny = yo(x) de los datos articulares obtenidos por un instrumento influenciado por alteraciones estocásticas.\nV. DEBATE\nNuestro método de estimación de leyes naturales a partir de datos dados puede ser simplemente generalizado a\ncasos multivariables sustituyendo los vectores correspondientes para las variables x, y. Semejante modelización\nya se ha aplicado en una variedad de ejemplos derivados de la física [15], técnica\n[2, 16], económico [2, 16] y ambientes médicos [2, 17, 18]. Particularmente en el ámbito económico\nambientes médicos, fenómenos se caracterizan a menudo por muchas variables que podrían\nser informativo o perturbador. Debido a la complejidad de estos casos, por lo general hay\nexiste poca o ninguna información sobre una posible función que podría describir el gobierno\nley. En relación con esto, los investigadores se enfrentan al problema de cómo definir la complejidad\ny reducirlo mediante la extracción de variables informativas de un conjunto dado [19]. Junto a la mutua\ninformación, la calidad del predictor también podría aplicarse para este fin. Por ejemplo, tiene\nrecientemente demostrado en el campo de la medicina cómo un análisis de la calidad predictor puede proporcionar\npara un ordenamiento de variables y la extracción de un conjunto que produce un predictor óptimo de\nel proceso de curación de la enfermedad [17, 18]. Este análisis hace posible seguir avanzando hacia la consecución de los objetivos de desarrollo del Milenio.\nlos orígenes de la enfermedad tratada.\nEl valor del número adecuado No, tal como se define por el mínimo de función de coste predictor,\npodría interpretarse como una medida de la complejidad de un modelo predictor adecuado. Lo es.\nimportante que esta medida depende sólo de la exactitud de la observación y las propiedades de\nel fenómeno representado por datos experimentales dados.\nEn relación con el ejemplo demostrado aquí, surge una conclusión importante\nsobre la descripción de los fenómenos naturales por las leyes físicas en la forma y = yo(x). As\nmientras se considere que una ley de este tipo es la única base para la descripción del fenómeno,\nno es suficiente para una descripción completa, ya que no se proporciona información sobre la\npropiedades del espacio de muestreo de los datos conjuntos. Consideremos un ejemplo bien conocido: la ley\nm = V que relaciona la masa m, el volumen V y la densidad de un objeto. Esto\nla ley no incluye la restricción m ≥ 0, y en este aspecto no está completa. Similar,\npero mucho más complejo, se encuentran ejemplos al tratar fenómenos caóticos y su\nAtractores extraños [14]. Por ejemplo, la ley que se aplica aquí es un caso especial de la ley\nχn+1 = aχn(1 − χn), con un ser constante. Dependiendo del valor de a y el\nvalor inicial χ1, la serie n ;n = 1...} muestra valores grandes del parámetro n →\n• un espacio de muestra discreto o continuo. Por otra parte, en el caso continuo, el\nespacio de muestra puede estar compuesto de intervalos desconectados que difícilmente podrían predecirse\nanalíticamente. Similar, pero aún más engorrosa, es la situación si consideramos caótica\nprocesos con parámetros continuos. En consecuencia, aparece una ley gobernante y = yo(x)\nincompleta para la descripción del fenómeno. La deficiencia más sobresaliente es que\nno incluye información sobre la estructura del espacio de muestra correspondiente al\nfenómeno observado. Esta deficiencia no aparece si consideramos como base para modelar\nla función de densidad de probabilidad y estimarla no paramétricamente, directamente a partir de medidas\ndatos conjuntos. La extracción de una ley que describe una relación entre variables puede entonces ser\ngeneralmente se realiza utilizando el estimador medio condicional. Sin embargo, las aplicaciones de\nleyes paramétricas simples, como m = V, son de enorme importancia para las ciencias analíticas\ny no esperamos que los modelos no paramétricos propuestos puedan sustituirlos,\naunque son convenientes para aplicaciones directas. En consecuencia, se plantea la cuestión de:\ncómo encontrar un vínculo unívoco entre ambos paradigmas de modelado.\nVI. CONCLUSIONES\nNuestro enfoque indica que el estimador de núcleo introducido objetivamente proporciona un\nmodelización estadística no paramétrica de un fenómeno explorado cuantitativamente. Desde que no\nse requiere información previa sobre la forma de la ley física que rige, el modelo\npuede ser realizado automáticamente por un ordenador en un sistema de medición. La propuesta\nfunción de coste predictor C permite estimar el número adecuado No de datos necesarios para\nel modelado. Propiedades de la función de costo predictor se asemejan a las del costo de la información\nfunción [5, 6], pero su estimación es mucho más simple. Las propiedades de la extracción\nmodelo de la ley rectora puede ser descrito cuantitativamente por la calidad predictor Q y\nredundancia R de los datos de los que se extrae la ley aplicable. Esta ley representa\nla distribución de la variable y a un valor x dado por un único valor predicho yp(x).\nTal representación comprimida corresponde generalmente a la creación de información sobre\nel fenómeno explorado [5, 6]. Esto contrasta con la pérdida de información causada por\nAlteraciones estocásticas en los canales de transmisión de señal [20]. Si la extracción de información\nde las observaciones se considera como una base de la inteligencia natural [21, 22], a continuación, un sistema\nque puedan estimar una ley física a partir de datos medidos de forma autónoma deben ser tratados como\nuna unidad inteligente. Esta interpretación proporciona una base común para un tratamiento unificado\nde las ciencias experimentales y de la inteligencia natural o artificial [2, 21, 22].\nAgradecimientos\nEste trabajo contó con el apoyo del Ministerio de Educación Superior, Ciencia y Tecnología\nde la República de Eslovenia y de la UE – COST.\n[1] R. Feynman, El carácter del derecho físico (The MIT Press,Cambridge, MA, 1994).\n[2] I. Grabec y W. Sachse, Synergetics of Measurement, Prediction and Control (Springer-\nVerlag, Berlín, 1997).\n[3] R. E. Collins, Found. Física 35, 734 (2005).\n[4] I. Grabec, Eur. Phys. J. B 22, 129 (2001).\n[5] I. Grabec, Eur. Phys. J. B 48, 279 (2005), (DOI: 10.1140/epjb/e2005-00391-0).\n[6] I. Grabec, arXiv:cs.IT/0612027 v1 5, (2006).\n[7] E. Parzen, Ann. Matemáticas. Stat. 35, 1065 (1962).\n[8] R. O. Duda y P. E. Hart, Clasificación de Patrones y Análisis de Escenas (J. Wiley e Hijos,\nNueva York, 1973), Ch. 4.\n[9] J. C. G. Lesurf, Information and Measurement (Institute of Physics Publishing, Bristol, 2002).\n[10] J. Risanen, Complejidad, Entropía y Física de la Información (Addison-Wesley, 1990), ed.\nW. H. Zurek, 117-125.\n[11] J. Rissanen, IEEE Trans. Inf. Teoría 42, 40 (1996).\n[12] T. M. Cover y J. A. Thomas, Elementos de la Teoría de la Información (John Wiley & Sons, Nuevo\nYork, 1991).\n[13] A. N. Kolmogorov, IRE Trans. Inf. Teoría IT-2, 102 (1956).\n[14] F. C. Moon, Chaotic and Fractal Dynamics (John Wiley & Sons, INC. Nueva York, 1992).\n[15] S. Mandelj, I. Grabec y E. Govekar, Int. J. Bifurcación y Caos 11, 2731 (2001).\n[16] M. Thaler, I. Grabec y A. Poredoš, Physica A 35, 46 (2005).\n[17] I. Grabec y D. Grošelj, Comput. Métodos en Biomech. Biomed. Engin. 6, 319 (2003)\n[18] I. Grabec, I. Ferkolj y D. Grošelj, Proc. de la 2a Conferencia Internacional sobre\nInteligencia en Medicina y Salud, Lisboa, (CIMED-2005 Proceedings, ISBN: 0-86341-\n520-2,IEE, 2005), ed. J. M. Fonseca, 311-316\n[19] C. H. Bennett, Complejidad, Entropía y Física de la Información (Addison-Wesley, 1990),\ned. W. H. Zurek, 137-148.\n[20] C. E. Shannon y W. Weaver, La Teoría Matemática de la Comunicación (Univ. de Illinois\nPress, Urbana, 1949).\n[21] S. Haykin, Neural Networks, Una Fundación Integral (Mcmillan College Publishing)\nCompany, Nueva York, 1994)\n[22] D. J. C. MacKay Teoría de la Información, Inferencia y Algoritmos de Aprendizaje (Cambridge Uni-\nversity Press, Cambridge, Reino Unido, 2003)\nhttp://arxiv.org/abs/cs/0612027\n\tIntroducción\n\t Fundamentos del modelado no paramétrico\n\tDescripción de la función del núcleo\n\t Estimación no paramétrica de PDF correspondiente a datos experimentales\n\tEstimación de una ley física\n\t Características del modelo\n\t Calidad del predictor\n\t Función de redundancia y costo predictor\n\t Ejemplo\n\t Discusión\n\t Conclusiones\n\tAgradecimientos\n\tBibliografía\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" El modelo estadístico de las leyes físicas experimentales se basa en el\nfunción de densidad de probabilidad de las variables medidas. Se expresa por:\ndatos experimentales a través de un estimador del núcleo. El núcleo se determina objetivamente\nmediante la dispersión de datos durante la calibración de la configuración experimental. Un físico\nla ley, que relaciona las variables medidas, se extrae óptimamente de los experimentos\ndatos por el estimador medio condicional. Se deriva directamente de la\nkernel estimator y corresponde a una regresión general no paramétrica. Los\nmétodo propuesto se demuestra mediante el modelado de un mapa de retorno de ruido\ndatos caóticos. En este ejemplo, la regresión no paramétrica se utiliza para predecir\nun valor futuro de las series cronológicas caóticas del presente. El predictor medio\nerror se utiliza en la definición de la calidad predictor, mientras que la redundancia es\nexpresado por la distancia cuadrada media entre los puntos de datos. Ambas estadísticas son:\nutilizado en una nueva definición de función de coste predictor. Desde el mínimo de la\nfunción de coste predictor, se estima un número adecuado de datos en el modelo.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción\n\t Fundamentos del modelado no paramétrico\n\tDescripción de la función del núcleo\n\t Estimación no paramétrica de PDF correspondiente a datos experimentales\n\tEstimación de una ley física\n\t Características del modelo\n\t Calidad del predictor\n\t Función de redundancia y costo predictor\n\t Ejemplo\n\t Discusión\n\t Conclusiones\n\tAgradecimientos\n\tBibliografía\n"}}},{"rowIdx":83,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.009,"string":"704.009"},"title":{"kind":"string","value":"Real Options for Project Schedules (ROPS)"},"full_text":{"kind":"string","value":"ASA_0.1.ps\nOpciones reales para los planes de proyectos (ROPS)\nLester Ingber\nInvestigación Lester Ingber\nAshland Oregon\ningber@ingber.com, ingber@alumni.caltech.edu\nhttp://www.ingber.com/\nResumen\nLas opciones reales para los planes de proyectos (ROPS) tienen tres conchas recursivas de muestreo/optimización. Un exterior\nOptimiza los parámetros de los Planes Estratégicos de Optimización de Analización Simulada Adaptativa (ASA)\nque contiene varios proyectos que contienen tareas ordenadas. Distribución de probabilidad de las muestras de capa intermedia\nde las duraciones de las tareas. Un caparazón interior muestra distribuciones de probabilidad de costos de tareas. PATHTREE es\nutilizado para desarrollar opciones en los horarios. Los algoritmos utilizados para operar en dimensiones de riesgo (TRD) son:\naplicada para desarrollar un análisis de riesgo relativo entre los proyectos.\nPALABRAS CLAVE: opciones; recocido simulado; gestión de riesgos; cópula; no lineal; estadística\n† L. Ingber, “Real Options for Project Schedules (ROPS)”, Report 2007:ROPS, Lester Ingber Research,\nAshland, OR, 2007. URL http://www.ingber.com/markets07_rops.pdf.\n$Id: markets07_rops,v 1.22 2007/04/01 14:32:24 ingber Exp ingber $\nLester Ingber - 2 - Opciones reales para los planes de proyectos (ROPS)\n1. Introducción\nEste documento es una breve descripción de una metodología de opciones de desarrollo (en el sentido de opciones financieras,\npor ejemplo, con todos los griegos), que se aplicará en colaboración con Michael Bowman, como primer ejemplo para\nprogramando un proyecto masivo del Ejército de EE.UU., Future Combat Systems (FCS) [1].\nEl objetivo principal es desarrollar opciones reales para proyectos no financieros, como se ha señalado en otros anteriores.\ndocumentos [3,4,12]. Los datos y algunas orientaciones sobre su uso han sido comunicados en un estudio previo de FCS [2,5].\nSe ha hecho hincapié en la necesidad de contar con instrumentos para programar y fijar los precios de un proyecto tan complejo como éste.\nRecomendaciones para la adopción de medidas ejecutivas en un informe de la Oficina General de Contabilidad de los Estados Unidos (GAO) sobre\nFCS [14], y también hacen hincapié en la necesidad de gestión de los planes de negocio de FCS [13].\n2. Objetivos\nA giv en Plan resultados en S(t), el dinero asignado por el cliente/gobierno se define en términos de Proyectos\nSi(t),\nS(t) =\nSi(t)\ndonde ai(t) puede ser algunas restricciones programadas. PATHTREE procesa un árbol de probabilidad desarrollado sobre\nla vida del plan T, dividido en N nodos a veces {tn}, cada uno con la longitud media de la época dt [11]. Opciones\nincluyendo a todos los griegos, familiarizados con los mercados financieros, se calculan para medios no lineales bastante arbitrarios y\nvarianzas del ruido multiplicativo [6,9]. Esta capacidad de procesar funciones no lineales en probabilidad\nlas distribuciones son esenciales para las aplicaciones del mundo real.\nCada tarea tiene una gama de duraciones, con Ai no cero, con un desembolso de fondos utilizados, definiendo Si(tn).\nCualquier tarea dependiente de una tarea completa es esclavizada a sus precursores.\nDesarrollamos la densidad de probabilidad condicional del Plan (CPD) en términos de costos diferenciados, dS,\nP(S ± dS; tn + dt S; tn)\nP es modelado/casado/adaptado a la forma funcional\nP(S ± dS; tn + dt S; tn) = (2η g\n2 exp(−Ldt)\n(dS − fdt)2\n(2g2dt2)\ndonde f y g son función no lineal de costo S y tiempo t. La función de varianza g2 absorbe el múltiple\nCoste de la tarea y programación de los spreads estadísticos, para determinar P(dS, t), dando lugar a la naturaleza estocástica de\ndólares gastados en el Plan.\nUn giv en Project i con Task k tiene una duración media iik, con un coste medio Sik. La difusión en dS tiene dos\ncomponentes que surgen de: (1) una duración estocástica alrededor de la duración media, y (2) una propagación estocástica\nde dólares medios alrededor de un desembolso determinista en un momento dado. Diferentes asimétricas de ancho finito\nlas distribuciones se utilizan para duraciones y costes. Por ejemplo, la distribución creada para Adaptive\nSimulated Annealing (ASA) [8], originalmente llamado Very Fast Simulated Re-annealing [7], es un anaranjado finito\ndistribución con forma determinada por un parámetro “temperatura” q. Para cada estado (ya sea duración o\ncoste): (a) Una elección binaria aleatoria puede ser mayor o menor que la media, utilizando cualquier relación de\nprobabilidades seleccionadas por el cliente. (b) A continuación, se utiliza una distribución ASA en el lado elegido. Cada lado\ntiene un q diferente, cada uno cayendo de la media. Esto se ilustra y se describe más adelante en la Fig. 1.\nAl final del árbol en un momento T (T también puede ser un parámetro), hay un costo total en cada nodo S(T ),\nllamó a una “huelga” final en el lenguaje financiero. (Una huelga final también puede aparecer en cualquier nodo antes de T debido a\ncancelación del proyecto utilizando un tipo particular de alternativa de horario.) Trabajando hacia atrás, opciones\nse calculan en el momento t0. Los griegos (derivados funcionales de la opción) evalúan la sensibilidad a las diversas\nvariables, por ejemplo, como las discutidas en documentos anteriores [12], pero aquí entregamos números precisos basados en\nla mayor cantidad de información del mundo real disponible.\nLester Ingber - 3 - Opciones reales para los planes de proyectos (ROPS)\n-1 -0,5 0 0,5 1\nAAS (q = 0,1)\n1/(2 * (abs(y) + q) * log(1 + 1/q))\nFig. 1. La distribución ASA se puede utilizar para desarrollar distribuciones asimétricas de rango finito\na partir de la cual se puede elegir un valor para un determinado estado de duración o coste. a) Un binario aleatorio\nla distribución se selecciona para una media inferior o superior a la media, utilizando cualquier relación de probabilidades\nseleccionado por el cliente. Cada lado de la media tiene su propia temperatura q. Aquí un ASA distri-\nbutión se da para q = 0,1. El rango se puede escalar a cualquier intervalo finito y la media\ncolocado dentro de este rango. b) Una distribución aleatoria uniforme selecciona un valor de [-1,1], y\nun valor ASA normalizado se lee para el estado dado.\n3. Datos\nLos siguientes datos se utilizan para elaborar el Plan CPD. Cada tarea que tengo\na) un costo asignado previsto, Ci\nb) un calendario previsto, Ti\nc) un documento del programa del país con una anchura estadística de los fondos gastados, SWSi\nd) una distribución con una anchura estadística de duración, SWTi\ne) una gama de duraciones, RTi\nf) una serie de costes, RSI\nEs necesario prever las suposiciones de los expertos para las letras c) a f) del prototipo de estudio.\nA giv en Plan debe ser construido entre todas las tareas, especificando el orden de las tareas, por ejemplo, obedeciendo a cualquier\nLimitaciones secuenciales entre las tareas.\n4. Tres conchas recursivas\n4.1. Concha exterior\nPuede haber varios parámetros en el Proyecto, por ejemplo, como coeficientes de variables en medios y varianzas de\notro departamento de policía. Estos están optimizados en una carcasa exterior utilizando ASA [8]. Este producto final, incluido\nLos estados MULTI_MIN devueltos por ASA, dan al cliente flexibilidad para aplicar durante un proyecto completo [12]. Nosotros\npuede desear minimizar el costo / T, o (CostOverrun - CostInitial) / T, etc.\nLester Ingber - 4 - Opciones reales para los planes de proyectos (ROPS)\n4.2. Concha intermedia\nPara obtener el Plan CPD, un caparazón medio de los estados de Monte Carlo (MC) se generan a partir de recursivo\ncálculos. Una Weibull o alguna otra distribución finita asimétrica puede ser utilizada para duraciones de tareas.\nPara un estado de giv en el medio externo, un estado de MC tiene duraciones y desembolsos medios de costes definidos para\ncada una de las tareas.\n4.3. Concha interior\nEn cada momento, para cada tarea, el costo diferenciado ((Sik(t + dt) − Sik(t)) se somete a una cáscara interna\nvariación estocástica, por ejemplo, alguna distribución finita asimétrica. Los costes netos dSik(t) de cada proyecto i y\nLa tarea k se añade para definir dS(t) para el Plan. El costo interno de la cáscara CPD se vuelve a aplicar muchas veces para obtener un\nconjunto de {dS} en cada momento.\n5. Opciones reales\n5.1. Opciones del plan\nUna vez completado el muestreo MC externo, se generan histogramas de dS(t) del Plan y\ndS(t)/S(t − dt) en cada momento t. Los histogramas se normalizan en cada momento para dar P(dS, t). En cada momento\nt, los datos que representan P son “curve-fit” a la forma de Eq. (0), donde f y g son funciones necesarias para obtener\nbuen ajuste, por ejemplo, coeficientes de ajuste de los parámetros {x}\nf = x f 0 + x f 1S + x f 2S\n2 +..................................................................................................\ng = xg0 + xg1S + xg2S\n2 +..................................................................................................\nEn cada momento t, las funciones f y g se ajustan a la función ln((P(dS, t)), que incluye el prefactor\nque contiene g y la función L que puede ser visto como un padé aproximado de estos polinomios.\nLimitaciones complejas como funciones de Sik(t) pueden incorporarse fácilmente en este enfoque, por ejemplo, debido a la regularidad\nexámenes realizados por agencias de financiación o ejecutivos. Estos P son entrada en PATHTREE para calcular las opciones para un\nuna estrategia o un plan dados.\n5.2. Gestión de riesgos de las opciones de proyectos\nSi se desea una cierta medida de riesgo entre los proyectos, entonces durante los cálculos de MC desarrollados para el top-\nplan de nivel, conjuntos de costos diferenciados para cada proyecto, dSi(t) y dSi(t)/Si(t − dt), almacenados de cada uno de los\nTareas del proyecto. A continuación, se desarrollan histogramas y proyectos CPD, similares al desarrollo de la\nPlan CPD. Se aplica un análisis de cópulas, codificado en TRD para la gestión de riesgos de los mercados financieros.\ndesarrollar un análisis de riesgo relativo entre estos proyectos [10]. En ese análisis, los CPD marginales del proyecto\ntodos se transforman en espacios gaussianos, donde tiene sentido calcular covarianzas y correlaciones.\nUn rastro de auditoría de los espacios originales del Proyecto permite analizar el riesgo dependiente de las colas del Proyecto\nDepartamentos de policía.\n6. Aplicaciones genéricas\nROPS se puede aplicar a cualquier programación compleja de tareas similares al proyecto FCS. La necesidad de\nLos organismos gubernamentales encargados de planificar y supervisar esos proyectos de gran envergadura son cada vez más difíciles y\nnecesario [15]. Muchas grandes empresas tienen proyectos similares y requisitos similares para gestionar su\nproyectos complejos.\nLester Ingber - 5 - Opciones reales para los planes de proyectos (ROPS)\nBibliografía\n[1] M. Bowman y L. Ingber, “Opciones reales para los futuros sistemas de combate del ejército estadounidense”, informe\n2007:ROFCS, Lester Ingber Research, Ashland, OR, 2007.\n[2] G.G. Brown, R.T. Grose y R.A. Koyak, ‘Estimando el costo total del programa a largo plazo,\ntecnología, proyecto de alto riesgo con duraciones de tareas y costes que pueden aumentar con el tiempo,’ Militar\nInvestigación de Operaciones 11, 41-62 (2006). [URL\nhttp://www.nps.navy.mil/orfacpag/resumePages/papers/Brownpa/Estimating_total_\nprograma_cost.pdf]\n[3] T.E. Copeland y P.T. Keenan, ‘Hacer reales las opciones’, McKinsey Quarterly 128-141 (1998).\n[URL http://faculty.fuqua.duke.edu/ ̃charvey/Teaching/BA456_2006/McK98_3.pdf]\n[4] G. Glaros, “Real options for defense”, Tr ansformation Trends June, 1-11 (2003). [URL\nhttp://www.oft.osd.mil/library/library_files/trends_205_transforma-\ntion_trends_9_june%202003_issue.pdf]\n[5] R. Grose, ««Programación de proyectos con limitaciones de costes con duración de las tareas y costes que pueden aumentar\ncon el tiempo: Demostrado con los futuros sistemas de combate del Ejército de los Estados Unidos’, Tesis, Posgrado Naval\nEscuela, Monterey, CA, 2004. [URL http://www.stormingmedia.us/75/7594/A759424.html]\n[6] J.C. Hull, Opciones, Futuros y Otros Derivados, 4a Edición (Prentice Hall, Upper Saddle River,\nNJ, 2000).\n[7] L. Ingber, «Renanalización simulada muy rápida», Mathl. Comput. Modelado 12, 967-973 (1989).\n[URL http://www.ingber.com/asa89_vfsr.pdf]\n[8] L. Ingber, «Adaptive Simulated Annealing (ASA),» Código C de optimización global, Alumnos de Caltech\nAsociación, Pasadena, CA, 1993. [URL http://www.ingber.com/#ASA-CODE]\n[9] L. Ingber, «Mecánica estadística de las carteras de opciones», Informe 2002:SMPO, Lester Ingber\nInvestigación, Chicago, IL, 2002. [URL http://www.ingber.com/markets02_portfolio.pdf]\n[10] L. Ingber, «Trading in Risk Dimensions (TRD),» Report 2005:TRD, Lester Ingber Research,\nAshland, OR, 2005.\n[11] L. Ingber, C. Chen, R.P. Mondescu, D. Muzzall, y M. Renedo, ‘‘algoritmo de árbol de probabilidad para\nprocesos de difusión general,’ Phys. Rev. E 64, 056702-056707 (2001). [URL\nhttp://www.ingber.com/path01_pathtree.pdf]\n[12] K.J. Leslie y M.P. Michaels, ‘El verdadero poder de las opciones reales’, McKinsey Quarterly 4-22 (1997).\n[http://faculty.fuqua.duke.edu/ ̃charvey/Teaching/BA456_2006/McK97_3.pdf]\n[13] Oficina General de Contabilidad, ‘“Los riesgos futuros del sistema de combate subrayan la importancia de\nInforme GAO-07-672T, GAO, Washington DC, 2007. [URL http://www.gao.gov/cgi-\nbin/getrpt?GAO-07-672T]\n[14] Oficina General de Contabilidad, ‘Decisiones clave que deben tomarse sobre el futuro sistema de combate’, informe\nGAO-07-376, GAO, Washington DC, 2007. [URL http://www.gao.gov/cgi-\nbin/getrpt?GAO-07-376]\n[15] B. Wysocki, Jr, ‘¿Es el gobierno estadounidense ‘Externalizar su cerebro’?’, Wall Street Journal 30 de marzo, 1\n(2007).\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" Opciones reales para los planes de proyectos (ROPS) tiene tres recursivo\nConchas de muestreo/optimización. Un revestimiento exterior adaptativo simulado (ASA)\nshell optimiza los parámetros de los planes estratégicos que contienen múltiples\nProyectos que contienen tareas ordenadas. Una probabilidad de las muestras intermedias de la cáscara\ndistribuciones de duraciones de tareas. Una probabilidad de las muestras interiores de la cáscara\ndistribución de los costes de las tareas. PATHTREE se utiliza para desarrollar opciones sobre\nlos algoritmos utilizados para el trading en las dimensiones de riesgo (TRD) se aplican a\ndesarrollar un análisis de riesgo relativo entre los proyectos.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción\nEste documento es una breve descripción de una metodología de opciones de desarrollo (en el sentido de opciones financieras,\npor ejemplo, con todos los griegos), que se aplicará en colaboración con Michael Bowman, como primer ejemplo para\nprogramando un proyecto masivo del Ejército de EE.UU., Future Combat Systems (FCS) [1].\nEl objetivo principal es desarrollar opciones reales para proyectos no financieros, como se ha señalado en otros anteriores.\ndocumentos [3,4,12]. Los datos y algunas orientaciones sobre su uso han sido comunicados en un estudio previo de FCS [2,5].\nSe ha hecho hincapié en la necesidad de contar con instrumentos para programar y fijar los precios de un proyecto tan complejo como éste.\nRecomendaciones para la adopción de medidas ejecutivas en un informe de la Oficina General de Contabilidad de los Estados Unidos (GAO) sobre\nFCS [14], y también hacen hincapié en la necesidad de gestión de los planes de negocio de FCS [13].\n2. Objetivos\nA giv en Plan resultados en S(t), el dinero asignado por el cliente/gobierno se define en términos de Proyectos\nSi(t),\nS(t) =\nSi(t)\ndonde ai(t) puede ser algunas restricciones programadas. PATHTREE procesa un árbol de probabilidad desarrollado sobre\nla vida del plan T, dividido en N nodos a veces {tn}, cada uno con la longitud media de la época dt [11]. Opciones\nincluyendo a todos los griegos, familiarizados con los mercados financieros, se calculan para medios no lineales bastante arbitrarios y\nvarianzas del ruido multiplicativo [6,9]. Esta capacidad de procesar funciones no lineales en probabilidad\nlas distribuciones son esenciales para las aplicaciones del mundo real.\nCada tarea tiene una gama de duraciones, con Ai no cero, con un desembolso de fondos utilizados, definiendo Si(tn).\nCualquier tarea dependiente de una tarea completa es esclavizada a sus precursores.\nDesarrollamos la densidad de probabilidad condicional del Plan (CPD) en términos de costos diferenciados, dS,\nP(S ± dS; tn + dt S; tn)\nP es modelado/casado/adaptado a la forma funcional\nP(S ± dS; tn + dt S; tn) = (2η g\n2 exp(−Ldt)\n(dS − fdt)2\n(2g2dt2)\ndonde f y g son función no lineal de costo S y tiempo t. La función de varianza g2 absorbe el múltiple\nCoste de la tarea y programación de los spreads estadísticos, para determinar P(dS, t), dando lugar a la naturaleza estocástica de\ndólares gastados en el Plan.\nUn giv en Project i con Task k tiene una duración media iik, con un coste medio Sik. La difusión en dS tiene dos\ncomponentes que surgen de: (1) una duración estocástica alrededor de la duración media, y (2) una propagación estocástica\nde dólares medios alrededor de un desembolso determinista en un momento dado. Diferentes asimétricas de ancho finito\nlas distribuciones se utilizan para duraciones y costes. Por ejemplo, la distribución creada para Adaptive\nSimulated Annealing (ASA) [8], originalmente llamado Very Fast Simulated Re-annealing [7], es un anaranjado finito\ndistribución con forma determinada por un parámetro “temperatura” q. Para cada estado (ya sea duración o\ncoste): (a) Una elección binaria aleatoria puede ser mayor o menor que la media, utilizando cualquier relación de\nprobabilidades seleccionadas por el cliente. (b) A continuación, se utiliza una distribución ASA en el lado elegido. Cada lado\ntiene un q diferente, cada uno cayendo de la media. Esto se ilustra y se describe más adelante en la Fig. 1.\nAl final del árbol en un momento T (T también puede ser un parámetro), hay un costo total en cada nodo S(T ),\nllamó a una “huelga” final en el lenguaje financiero. (Una huelga final también puede aparecer en cualquier nodo antes de T debido a\ncancelación del proyecto utilizando un tipo particular de alternativa de horario.) Trabajando hacia atrás, opciones\nse calculan en el momento t0. Los griegos (derivados funcionales de la opción) evalúan la sensibilidad a las diversas\nvariables, por ejemplo, como las discutidas en documentos anteriores [12], pero aquí entregamos números precisos basados en\nla mayor cantidad de información del mundo real disponible.\nLester Ingber - 3 - Opciones reales para los planes de proyectos (ROPS)\n-1 -0,5 0 0,5 1\nAAS (q = 0,1)\n1/(2 * (abs(y) + q) * log(1 + 1/q))\nFig. 1. La distribución ASA se puede utilizar para desarrollar distribuciones asimétricas de rango finito\na partir de la cual se puede elegir un valor para un determinado estado de duración o coste. a) Un binario aleatorio\nla distribución se selecciona para una media inferior o superior a la media, utilizando cualquier relación de probabilidades\nseleccionado por el cliente. Cada lado de la media tiene su propia temperatura q. Aquí un ASA distri-\nbutión se da para q = 0,1. El rango se puede escalar a cualquier intervalo finito y la media\ncolocado dentro de este rango. b) Una distribución aleatoria uniforme selecciona un valor de [-1,1], y\nun valor ASA normalizado se lee para el estado dado.\n3. Datos\nLos siguientes datos se utilizan para elaborar el Plan CPD. Cada tarea que tengo\na) un costo asignado previsto, Ci\nb) un calendario previsto, Ti\nc) un documento del programa del país con una anchura estadística de los fondos gastados, SWSi\nd) una distribución con una anchura estadística de duración, SWTi\ne) una gama de duraciones, RTi\nf) una serie de costes, RSI\nEs necesario prever las suposiciones de los expertos para las letras c) a f) del prototipo de estudio.\nA giv en Plan debe ser construido entre todas las tareas, especificando el orden de las tareas, por ejemplo, obedeciendo a cualquier\nLimitaciones secuenciales entre las tareas.\n4. Tres conchas recursivas\n4.1. Concha exterior\nPuede haber varios parámetros en el Proyecto, por ejemplo, como coeficientes de variables en medios y varianzas de\notro departamento de policía. Estos están optimizados en una carcasa exterior utilizando ASA [8]. Este producto final, incluido\nLos estados MULTI_MIN devueltos por ASA, dan al cliente flexibilidad para aplicar durante un proyecto completo [12]. Nosotros\npuede desear minimizar el costo / T, o (CostOverrun - CostInitial) / T, etc.\nLester Ingber - 4 - Opciones reales para los planes de proyectos (ROPS)\n4.2. Concha intermedia\nPara obtener el Plan CPD, un caparazón medio de los estados de Monte Carlo (MC) se generan a partir de recursivo\ncálculos. Una Weibull o alguna otra distribución finita asimétrica puede ser utilizada para duraciones de tareas.\nPara un estado de giv en el medio externo, un estado de MC tiene duraciones y desembolsos medios de costes definidos para\ncada una de las tareas.\n4.3. Concha interior\nEn cada momento, para cada tarea, el costo diferenciado ((Sik(t + dt) − Sik(t)) se somete a una cáscara interna\nvariación estocástica, por ejemplo, alguna distribución finita asimétrica. Los costes netos dSik(t) de cada proyecto i y\nLa tarea k se añade para definir dS(t) para el Plan. El costo interno de la cáscara CPD se vuelve a aplicar muchas veces para obtener un\nconjunto de {dS} en cada momento.\n5. Opciones reales\n5.1. Opciones del plan\nUna vez completado el muestreo MC externo, se generan histogramas de dS(t) del Plan y\ndS(t)/S(t − dt) en cada momento t. Los histogramas se normalizan en cada momento para dar P(dS, t). En cada momento\nt, los datos que representan P son “curve-fit” a la forma de Eq. (0), donde f y g son funciones necesarias para obtener\nbuen ajuste, por ejemplo, coeficientes de ajuste de los parámetros {x}\nf = x f 0 + x f 1S + x f 2S\n2 +..................................................................................................\ng = xg0 + xg1S + xg2S\n2 +..................................................................................................\nEn cada momento t, las funciones f y g se ajustan a la función ln((P(dS, t)), que incluye el prefactor\nque contiene g y la función L que puede ser visto como un padé aproximado de estos polinomios.\nLimitaciones complejas como funciones de Sik(t) pueden incorporarse fácilmente en este enfoque, por ejemplo, debido a la regularidad\nexámenes realizados por agencias de financiación o ejecutivos. Estos P son entrada en PATHTREE para calcular las opciones para un\nuna estrategia o un plan dados.\n5.2. Gestión de riesgos de las opciones de proyectos\nSi se desea una cierta medida de riesgo entre los proyectos, entonces durante los cálculos de MC desarrollados para el top-\nplan de nivel, conjuntos de costos diferenciados para cada proyecto, dSi(t) y dSi(t)/Si(t − dt), almacenados de cada uno de los\nTareas del proyecto. A continuación, se desarrollan histogramas y proyectos CPD, similares al desarrollo de la\nPlan CPD. Se aplica un análisis de cópulas, codificado en TRD para la gestión de riesgos de los mercados financieros.\ndesarrollar un análisis de riesgo relativo entre estos proyectos [10]. En ese análisis, los CPD marginales del proyecto\ntodos se transforman en espacios gaussianos, donde tiene sentido calcular covarianzas y correlaciones.\nUn rastro de auditoría de los espacios originales del Proyecto permite analizar el riesgo dependiente de las colas del Proyecto\nDepartamentos de policía.\n6. Aplicaciones genéricas\nROPS se puede aplicar a cualquier programación compleja de tareas similares al proyecto FCS. La necesidad de\nLos organismos gubernamentales encargados de planificar y supervisar esos proyectos de gran envergadura son cada vez más difíciles y\nnecesario [15]. Muchas grandes empresas tienen proyectos similares y requisitos similares para gestionar su\nproyectos complejos.\nLester Ingber - 5 - Opciones reales para los planes de proyectos (ROPS)\nBibliografía\n[1] M. Bowman y L. Ingber, “Opciones reales para los futuros sistemas de combate del ejército estadounidense”, informe\n2007:ROFCS, Lester Ingber Research, Ashland, OR, 2007.\n[2] G.G. Brown, R.T. Grose y R.A. Koyak, ‘Estimando el costo total del programa a largo plazo,\ntecnología, proyecto de alto riesgo con duraciones de tareas y costes que pueden aumentar con el tiempo,’ Militar\nInvestigación de Operaciones 11, 41-62 (2006). [URL\nhttp://www.nps.navy.mil/orfacpag/resumePages/papers/Brownpa/Estimating_total_\nprograma_cost.pdf]\n[3] T.E. Copeland y P.T. Keenan, ‘Hacer reales las opciones’, McKinsey Quarterly 128-141 (1998).\n[URL http://faculty.fuqua.duke.edu/ ̃charvey/Teaching/BA456_2006/McK98_3.pdf]\n[4] G. Glaros, “Real options for defense”, Tr ansformation Trends June, 1-11 (2003). [URL\nhttp://www.oft.osd.mil/library/library_files/trends_205_transforma-\ntion_trends_9_june%202003_issue.pdf]\n[5] R. Grose, ««Programación de proyectos con limitaciones de costes con duración de las tareas y costes que pueden aumentar\ncon el tiempo: Demostrado con los futuros sistemas de combate del Ejército de los Estados Unidos’, Tesis, Posgrado Naval\nEscuela, Monterey, CA, 2004. [URL http://www.stormingmedia.us/75/7594/A759424.html]\n[6] J.C. Hull, Opciones, Futuros y Otros Derivados, 4a Edición (Prentice Hall, Upper Saddle River,\nNJ, 2000).\n[7] L. Ingber, «Renanalización simulada muy rápida», Mathl. Comput. Modelado 12, 967-973 (1989).\n[URL http://www.ingber.com/asa89_vfsr.pdf]\n[8] L. Ingber, «Adaptive Simulated Annealing (ASA),» Código C de optimización global, Alumnos de Caltech\nAsociación, Pasadena, CA, 1993. [URL http://www.ingber.com/#ASA-CODE]\n[9] L. Ingber, «Mecánica estadística de las carteras de opciones», Informe 2002:SMPO, Lester Ingber\nInvestigación, Chicago, IL, 2002. [URL http://www.ingber.com/markets02_portfolio.pdf]\n[10] L. Ingber, «Trading in Risk Dimensions (TRD),» Report 2005:TRD, Lester Ingber Research,\nAshland, OR, 2005.\n[11] L. Ingber, C. Chen, R.P. Mondescu, D. Muzzall, y M. Renedo, ‘‘algoritmo de árbol de probabilidad para\nprocesos de difusión general,’ Phys. Rev. E 64, 056702-056707 (2001). [URL\nhttp://www.ingber.com/path01_pathtree.pdf]\n[12] K.J. Leslie y M.P. Michaels, ‘El verdadero poder de las opciones reales’, McKinsey Quarterly 4-22 (1997).\n[http://faculty.fuqua.duke.edu/ ̃charvey/Teaching/BA456_2006/McK97_3.pdf]\n[13] Oficina General de Contabilidad, ‘“Los riesgos futuros del sistema de combate subrayan la importancia de\nInforme GAO-07-672T, GAO, Washington DC, 2007. [URL http://www.gao.gov/cgi-\nbin/getrpt?GAO-07-672T]\n[14] Oficina General de Contabilidad, ‘Decisiones clave que deben tomarse sobre el futuro sistema de combate’, informe\nGAO-07-376, GAO, Washington DC, 2007. [URL http://www.gao.gov/cgi-\nbin/getrpt?GAO-07-376]\n[15] B. Wysocki, Jr, ‘¿Es el gobierno estadounidense ‘Externalizar su cerebro’?’, Wall Street Journal 30 de marzo, 1\n(2007).\n"}}},{"rowIdx":84,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0091,"string":"704.0091"},"title":{"kind":"string","value":"Groups with finitely many conjugacy classes and their automorphisms"},"full_text":{"kind":"string","value":"GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN Y\nSUS AUTOMÓRFICOS\nASHOT MINASYAN\nResumen. Combinamos métodos clásicos de teoría de grupos combinatoria con\nla teoría de la pequeña cancelación sobre grupos relativamente hiperbólicos para construir\ngrupos sin torsión finitamente generados que tienen sólo finitamente muchas clases de\nconjugar elementos. Por otra parte, presentamos varios resultados relativos a la integración\nnes en estos grupos.\nComo otra aplicación de estas técnicas, demostramos que cada cuenta\ngrupo C se puede realizar como un grupo de automorfismos externos de un grupo N,\ndonde N es un grupo finitamente generado que tiene la propiedad de Kazhdan (T) y\nque contiene exactamente dos clases de conjugación.\n1. Introducción\nEmpezaremos con\nDefinición. Supongamos que n ≥ 2 es un entero. Diremos que un grupo M tiene el\npropiedad (nCC) si hay exactamente n clases de conjugación de elementos en M.\nTenga en cuenta que un grupo M tiene (2CC) si y sólo si hay dos elementos no triviales\nconjugado en M. Para dos elementos x, y de algún grupo G, escribiremos x\n• y si x\ny y son conjugados en G, y x\nY si no lo son.\nPara un grupo G, denote por η(G) el conjunto de todos los órdenes finitos de elementos de G. A\nEl teorema clásico de G. Higman, B. Neumann y H. Neumann ([8]) afirma que\ncada grupo contable G puede ser incrustado en un contable (pero infinitamente gen-\ngrupo M, en el que se conjugan dos elementos del mismo orden y\nη(M) = η(G).\nPara cualquier entero n ≥ 2, tome G = Z/2n−2Z e incruste G en un grupo contable\nM según el teorema de arriba. A continuación, tarjeta(l(M)) = tarjeta(l(G)) = n − 1.\nPuesto que, además, M siempre contendrá un elemento de orden infinito, el teorema\nde Higman-Neumann-Neumann implica que G ha (nCC).\nOtra forma de construir grupos infinitos con muchas clases de conjugación finitamente\nfue sugerido por S. Ivanov [15, Thm. 41,2], que mostró para cada lo suficientemente grande\nprime p hay un infinito 2-generado groupMp de exponente p poseyendo exactamente p\nclases de conjugación. El groupMp se construye como un límite directo de la palabra hiperbólica\ngrupos, y, como se indica en [21], es imposible obtener un grupo infinito con (2CC)\nde la misma manera.\nEn el reciente artículo [21] D. Osin desarrolló una teoría de la pequeña cancelación sobre\ngrupos relativamente hiperbólicos y lo utilizaron para obtener el siguiente resultado notable:\n2000 Clasificación de Materias Matemáticas. 20F65, 20E45, 20F28.\nPalabras y frases clave. Clases de Conjugación, Grupos Relativamente Hiperbólicos, Auto-\nGrupos de phism.\nEste trabajo contó con el apoyo de la Fundación Nacional Suiza para la Ciencia, Subvención #PP002-68627.\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0091v2\n2 ASHOT MINASYAN\nTeorema 1.1 ([21], Thm. 1.1). Cualquier grupo contable G puede ser incrustado en un\nGrupo M 2-generado de tal manera que cualesquiera dos elementos del mismo orden son conjugados\nEn M y en M η(M) = η(G).\nAplicando este teorema al grupo G = Z/2n−2Z uno puede mostrar que para cada uno\nnúmero entero n ≥ 2 existe un grupo de 2 generaciones con (nCC). Y cuando n = 2 nos\nObtener un grupo libre de torsión 2 generados que tiene exactamente dos clases de conjugación.\nLa presencia de elementos de orden finito en las construcciones anteriores fue impor-\ntant, porque si dos elementos tienen órdenes diferentes, nunca pueden ser conjugados.\nPor lo tanto, naturalmente, uno puede preguntar lo siguiente\nPregunta 1. ¿Existen grupos libres de torsión (generados finalmente) con (nCC),\npara cualquier entero n ≥ 3?\nTenga en cuenta que si G es el grupo generado finitamente con (2CC) construido por Osin,\nentonces la potencia directa m-th Gm de G es también un grupo sin torsión finitamente generado\nque satisface (2mCC). Pero ¿qué pasa si queremos lograr un grupo libre de torsión con\n(3CC)? Con este propósito se podría llegar a\nPregunta 2. Supongamos que G es un grupo libre de torsión contable y x, y G son\nno conjugar. ¿Es posible incrustar G en un groupM, que tiene (3CC), de modo que\nx e y permanecer sin conjugar en M?\nDesafortunadamente, la respuesta a la pregunta 2 es negativa como el siguiente ejemplo:\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEjemplo 1. Considere el grupo\n(1.1) G1 = a, t tat\n−1 = a−1\nque es isomórfico al producto semidirecto no trivial Z Z. Tenga en cuenta que G1 es\nsin torsión, y t no se conjuga a t−1 en G1 porque t t\n−1 en el infinito\ngrupo cíclico â € € TM que es canónicamente isomórfico al cociente de G1 por el normal\ncierre de una. Sin embargo, si G1 está integrado en un grupo M (3CC), es fácil de ver\nque cada elemento de M se conjugará a su inversa (de hecho, si y M \\ {1}\ny y\ny−1 entonces y\n# A-1, para algunos # # # 1, # 1 #, por lo tanto y #\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\ncontradicción). En particular, t\n• t−1.\nSe puede dar un análogo del ejemplo anterior para cada n ≥ 3 – ver Sección 3. Esto\nejemplo muestra que, para obtener un resultado positivo, uno tendría que fortalecer\nlas suposiciones de la pregunta 2.\nDeja que G sea un grupo. Se dice que dos elementos x, y G son commensurables si hay\nexisten k, l • Z \\ {0} de tal manera que xk es conjugado a yl. Usaremos la notación x\nsi x e y son commensurables en G. En el caso de que x no es commensurable con\nY escribiremos x\n6o y. Observar que la conmensurabilidad, así como la conjugación, define\nuna relación de equivalencia sobre el conjunto de elementos de G. Es algo sorprendente que\nsi se sustituyen las palabras “no-conjugar” por las palabras “no-commensurable” en\nPregunta 2, la respuesta se vuelve positiva:\nCorollary 1.2. Suponga que G es un grupo libre de torsión contable, n + N, n ≥ 2,\ny x1,. .................................................................. Entonces existe un\nel grupo M y un homomorfismo inyector : G→M tal que\n1. M es libre de torsión y se genera por dos elementos;\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 3\n2. M ha (nCC);\n3. M es 2-boundedly simple;\n4. los elementos فارسى(x1),. ....(xn−1) son no commensurables por pares en M.\nRecordemos que se dice que un grupo G es k-boundedly simple si para cualquier x, y G \\ {1}\nexisten l ≤ k y g1,. ..., gl • G de tal manera que x = g1yg\n1 · · · glyg\nl en G. Un grupo\nse llama limitedly simple si es k-boundedly simple para algunos k N. Evidentemente\ncada grupo limitadamente simple es simple; lo contrario no es cierto en general. Por\nejemplo, el grupo de alternancia infinita A...........................................................................................................................................................................................................................................................\nporque la conjugación preserva el tipo de descomposición de una permutación en\nun producto de ciclos. Los primeros ejemplos de sin torsión finitamente generada delimitadamente\ngrupos simples fueron construidos por A. Muranov (véase [12, Thm. 2], [13, Thm. 1]).\nEl corolario 1.2 es una consecuencia inmediata de un teorema más general 3.5 que\nse demostrará en la sección 3.\nAplicando el corolario 1.2 al grupo G = F (x1,. .., xn−1), que es libre en el\nset {x1,. .., xn−1}, y sus elementos no comparables x1,. .., xn−1, obtenemos un\nRespuesta positiva a la pregunta 1:\nCorollary 1.3. Para cada entero n ≥ 3 existe un 2-boundedly libre de torsión\ngrupo simple satisfactorio (nCC) y generado por dos elementos.\n(En el caso de que n = 2 la declaración anterior fue obtenida por Osin en [21,\nCor. 1.3].) De hecho, para cualquier grupo H (generado finalmente) libre de torsión podemos establecer\nG = H ∗ F (x1,. .., xn−1), y luego utilizar el corolario 1.2 para incrustar G en un grupo M\ndisfrutar de las propiedades 1 - 4 de su reclamación. Puesto que hay un continuum de par\nGrupos libres de torsión no isomórficos ([4]), y un grupo generado finitamente\npuede contener como máximo muchos de los diferentes subgrupos de 2 generaciones, esto muestra\nque debe haber continuamente muchos grupos no isomórficos por pares satisfactorios\npropiedades 1− 3 del corolario 1.2.\nRecuerde que el rango de rango (G) de un grupo G es el número mínimo de elementos re-\ndemanda para generar G. En la Sección 4 mostramos cómo la teoría clásica de las extensiones HNN\npermite construir diferentes incrustaciones en grupos (infinitamente generados) que tienen\nfinitamente muchas clases de elementos conjugados, y en la Sección 5 utilizamos los resultados de Osin\n(de [21]) con respecto a los cocientes de grupos relativamente hiperbólicos para demostrar\nTeorema 1.4. Que H sea un grupo contable libre de torsión y que M H sea un no-\nsubgrupo normal trivial. Entonces H puede ser incrustado isomórficamente en un sin torsión\ngrupo Q, que posee un subgrupo normal N Q, tal que\n• Q = H ·N y H •N =M (de ahí Q/N = H/M);\n• N tiene (2CC);\n• x, y Q \\ {1}, x\nSi y sólo si (x)\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nes el homomorfismo natural;\n• rango(N) = 2 y rango(Q) ≤ rango(H/M) + 2.\nEste teorema implica que si Q/N = H/M tiene exactamente (n− 1) clases de conjugación\n(por ejemplo, si es finito), entonces el grupo Q tendrá (nCC) y no será simple\n(si n ≥ 3). Por lo tanto, se puede utilizar para construir grupos (nCC) de una manera recursiva.\nTambién permite obtener incrustaciones de grupos libres de torsión contables en (nCC)-\ngrupos, que no pudimos conseguir usando el corolario 1.2. Por ejemplo, como vimos en\nEjemplo 1, el grupo fundamental de la botella Klein G1, dado por (1.1), no puede\nestar incrustado en un grupo M (3CC) de modo que t\nt−1. Sin embargo, con 4 conjugaciones\n4 ASHOT MINASYAN\nclases esto ya es posible: ver corolario 5.5 en la sección 5. La idea es como\na continuación: el grupo G1 puede ser mapeado en Z/3Z de tal manera que las imágenes de\nlos elementos t y t−1 son distintos. Que M sea el núcleo de este homomorfismo.\nUno puede aplicar el Teorema 1.4 al par (G1,M) para obtener la incrustación requerida\nde G1 en un grupo Q. Y como Z/3Z tiene exactamente 3 clases de conjugación, el grupo\nQ tendrá (4CC).\nUna aplicación de Teorema 1.4 al caso cuando H = Z y M = 2ZH también\nproporciona una respuesta afirmativa a una pregunta de A. Izosov de [9, Q. 11,42], preguntando\nsi existe un grupo Q libre de torsión (3CC) que contenga un subgrupo normal\nN del índice 2.\nEl objetivo de la segunda parte de este artículo es mostrar que cada grupo contable\npuede ser realizado como un grupo de automorfismos externos de algunos finitamente generados (2CC)-\ngrupo. Este problema tiene algunos antecedentes históricos: en [11] T. Matumoto demostró\nque cada grupo es un grupo de automorfismos externos de algún grupo (en contraste,\nhay grupos, por ejemplo, Z, que no son grupos de automorfismo completo de ningún grupo); M.\nDroste, M. Giraudet, R. Göbel ([7]) demostraron que para cada grupo C existe\nun grupo simple S tal que Out(S) = C; I. Bumagina y D. Sabio en [3] probó\nque cada grupo contable C es isomórfico a Out(N) donde N es un 2-generado\nsubgrupo de un grupo contable C′(1/6), y si, además, C se presenta finitamente\nentonces uno puede elegir N para ser residualmente finito.\nEn la Sección 6 establecemos algunas declaraciones útiles sobre los caminos en el Cayley\ngráfico de un grupo relativamente hiperbólico G, y aplicarlos en la sección 7 para obtener\npequeños cocientes de cancelación de G que cumplen ciertas condiciones. Por último, en la sección\n8 probamos lo siguiente:\nTeorema 1.5. Que C sea un grupo contable arbitrario. Entonces por cada no-elemen-\nSin torsión tardía palabra hiperbólica grupo F1 existe un grupo libre de torsión N sat-\nisfiting las siguientes propiedades:\n• N es un cociente de F1 de 2 generaciones;\n• N tiene (2CC);\n• Fuera (N) = C.\nLa principal diferencia entre este teorema y el resultado de [3] es que\nEl grupo N está libre de torsión y es simple. Por otra parte, si se aplica Teorema 1.5 a la\ncaso cuando F1 es un grupo hiperbólico libre de torsión con la propiedad de Kazhdan (T) (y\nrecuerda que cada cociente de un grupo con la propiedad (T) también tiene (T)), uno conseguirá\nCorollary 1.6. Para cualquier grupo contable C hay un grupo N de 2 generaciones tales\nque N tiene (2CC) y la propiedad de Kazhdan (T), y Out(N) C.\nLa razón por la propiedad de Kazhdan (T) es interesante en este contexto es el\npregunta de [6, p. 134] que preguntó si existen grupos que satisfagan\npropiedad (T) y tienen infinitos grupos de automorfismo externo (puede ser motivado\npor un teorema de F. Paulin [22] que afirma que el grupo de automorfismo exterior es\nfinito para cualquier grupo hiperbólico palabra con la propiedad (T)). Respuestas positivas a esto\nla pregunta fue obtenida (utilizando diferentes métodos) por Y. Ollivier y D. Wise [14],\nY. de Cornulier [5], e I. Belegradek y D. Osin [2]. Corollary 1.6 no sólo\nmuestra que el grupo de automorfismos externos de un grupo N con la propiedad (T)\npuede ser infinito, pero también demuestra que no hay ninguna restricción en\nFuera (N).\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 5\nAgradecimientos. El autor desea agradecer a D. Osin su fructífera labor.\nGolpes y estímulos.\n2. Grupos relativamente hiperbólicos\nSupongamos que G es un grupo, {H es una colección fija de subgrupos de G (llamado\nsubgrupos periféricos), y X es un subconjunto de G. El subconjunto X se llama\ngenerar el conjunto de G con respecto a {H si G es generado por X \nH/23370/. In\neste caso G un cociente del producto libre\nF = (H/23370/) ∗ F (X ),\ndonde F (X ) es el grupo libre con base X. Dejar R ser un subconjunto de F tal que el\nnúcleo del epimorfismo natural F → G es el cierre normal de R en el grupo\nF ; entonces diremos que G tiene una presentación relativa\n(2.1) X, H R = 1, R + R®.\nSi los conjuntos X y R son finitos, se dice que la presentación relativa (2.1) es finita.\nConjunto H =\n(H/23370/ \\ {1}). Se dice que una presentación relativa finita (2.1) satisface un\ndesigualdad isoperimétrica relativa lineal si existe C > 0 tal que, por cada palabra\nw en el alfabeto X â € ¢ H (por conveniencia, vamos a asumir aún más que X−1 = X )\nrepresenta la identidad en el grupo G, uno tiene\nf−1i R\ni fi,\ncon igualdad en el grupo F, donde Ri-R, fi-F, para i = 1,................................................................................................................................................................................................................................................... \ndonde la palabra \"w\" es la longitud de la palabra \"w\".\nLa siguiente definición se debe a Osin (véase [20]:\nDefinición. el grupo G se llama hiperbólico relativo a (la\nsubgrupos) {H, si G admite una presentación relativa finita (2.1) satisfaciendo un\ndesigualdad isoperimétrica relativa lineal.\nEsta definición es independiente de la elección del conjunto de generación finita X y\nel conjunto finito R en (2.1) (véase [20]). También quisiéramos señalar que, en general,\nno requiere que el grupo G se genere finitamente, lo que será importante en\nEste periódico. La definición implica inmediatamente los siguientes hechos básicos:\nObservación 2.1 ([20]). a) Que {H sea una familia arbitraria de grupos. Entonces el\nproducto libre G = H♥ será hiperbólico relativo a {H.\n(b) Cualquier palabra grupo hiperbólico (en el sentido de Gromov) es relativo hiperbólico\na la familia 1o, donde {1} denota el subgrupo trivial.\nRecuerde que un grupo H se llama elemental si tiene un subgrupo cíclico de finito\níndice. Más adelante en esta sección asumiremos que G es un grupo no elemental\nhiperbólico relativo a una familia de subgrupos apropiados {H.\nUn elemento g G se dice que es parabólico si se conjuga a un elemento de H\npara un poco de \"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\" De lo contrario g se dice que es hiperbólico. Dado un subgrupo S ≤ G,\ndenotar por S0 el conjunto de todos los elementos hiperbólicos de S de orden infinito.\nLemma 2.2 ([17], Thm. 4.3, Cor. 1.7). Por cada g de G0 las siguientes condiciones:\nEspera.\n6 ASHOT MINASYAN\n1) El elemento g está contenido en un subgrupo elemental máximo único EG(g)\nde G, donde\n2.2) EG(g) = {f) G : fg\nnf−1 = g±n para algunos n+N}.\n2) El grupo G es hiperbólico en relación con la colección {H {EG(g)}.\nRecordemos que un subgrupo no trivial H ≤ G se llama no normal si por cada g\nG \\H, H • gHg−1 = {1}. El siguiente lema es un caso especial de Teorema 1.4 de\n[20]:\nLemma 2.3. Para cualquiera de los siguientes tipos de productos, la intersección de los productos de la sección H y de los productos de la sección H, la intersección de los productos de la sección H y de la sección G de la sección H, la intersección de los productos de la sección H y la sección G de la sección G de la sección H y la sección G de la sección G de la sección G de la sección G de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección\n−1 es\nfinito. En caso de que se produzca un cambio de dirección en la dirección de la dirección del vehículo, la dirección del vehículo deberá indicarse en la dirección de la dirección de la dirección de la homologación de tipo de vehículo y en la dirección de la dirección de la dirección de la dirección de la homologación de tipo de vehículo.\n−1 es finito. In\nEn particular, si G está libre de torsión, entonces He es anormal (siempre que He 6 = {1}).\nLemma 2.4 ([20], Thm. 2.40). Supongamos que un grupo G es relativo hiperbólico\na una colección de subgrupos {H {S1,. .., Sm}, donde S1,. .., Sm son palabra\nhiperbólico (en el sentido ordinario no-relativo). Entonces G es hiperbólico relativo a\n{H.\nLemma 2.5 ([19], Cor. 1.4). Let G ser un grupo que es hiperbólico relativo a un\nrecogida de subgrupos {H {K}. Supongamos que K se genera finitamente y\nHay un monomorfismo α : K → H v para algunos ν. Luego la extensión HNN\nG, t txt−1 = α(x), x â € € € TM es hiperbólico con respecto a {H.\nEn [21] Osin introdujo la siguiente noción: un subgrupo S ≤ G es adecuado si\nexisten dos elementos g1, g2 + S\n0 tales que g1\n6-g2 y EG(g1)-EG(g2) = {1}.\nPara cualquier S ≤ G con S0 6 = \n2.3 EG(S) =\nEG(g)\nque es obviamente un subgrupo de G normalizado por S. Tenga en cuenta que EG(S) = {1} si la\nEl subgrupo S es adecuado en G. Como se muestra en [1, Lemma 3.3], si S no es elemental\ny S0 6= فارسى entonces EG(S) es el subgrupo finito máximo único de G normalizado por\nLemma 2.6. Dejar {H ser una familia de grupos y dejar que F sea una torsión libre de no-\npalabra elemental grupo hiperbólico. Entonces el producto libre G = (H♥) * F es\nhiperbólico relativo a {H y F es un subgrupo adecuado de G.\nPrueba. De hecho, G es hiperbólico relativo a {H por Observación 2.1 y Lemma\n2.4. Dado que F no es elemental, hay elementos de orden infinito x, y F tales\nque x\n(véase, por ejemplo, [16, Lemma 3.2]). Evidentemente, x e y son hiperbólicos\nelementos de G que no son comparables entre sí, y los subgrupos\nEG(x) = FE (x) ≤ F, EG(y) = FE (y) ≤ F son cíclicos (como subgrupos elementales de una\ngrupo libre de torsión). Por lo tanto EG(x) • EG(y) = {1}, y por lo tanto F es adecuado en G.\nLemma 2.7 ([21], Lemma 2.3). Supongamos que G es un grupo hiperbólico relativo a un\nfamilia de subgrupos {H y S ≤ G es un subgrupo adecuado. Entonces uno puede encontrar\ninfinitamente muchos elementos no commensurables (en G) g1, g2, · · · S\n0 de los cuales:\nque EG(gi) • EG(gj) = {1} para todos los i 6= j.\nEl siguiente teorema fue probado por Osin en [21] utilizando la teoría de la pequeña\ncancelación sobre grupos relativamente hiperbólicos, y representa nuestra herramienta principal para\nla obtención de nuevos cocientes de estos grupos con una serie de propiedades prescritas:\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 7\nTeorema 2.8 ([21], Thm. 2.4). Dejar G ser un grupo sin torsión hiperbólico relativo a\nuna colección de subgrupos {H, dejar que S sea un subgrupo adecuado de G, y dejar que T, U\nser subconjuntos finitos arbitrarios de G. Entonces existe un grupo G1 y un epimorfismo\nη : G→ G1 tales que:\ni) La restricción de η a\nU es inyector, y el grupo G1 es hy-\nperbólica relativa a la colección (H♥);\n(ii) por cada T, tenemos η(t) η(S);\niii) η(S) es un subgrupo adecuado de G1;\niv) El G1 está exento de torsión;\n(v) el núcleo ker(η) de η es generado (como subgrupo normal de G) por un finito\ncolección de elementos pertenecientes a T · S.\nHemos cambiado ligeramente la formulación original del teorema anterior de\n[21], exigiendo la inyectividad en V =\nU (en lugar de justo\nH/23370/)\ny añadiendo el último punto relativo a los generadores del núcleo. Esta última\nse desprende de la forma explícita de las relaciones, impuestas a G (véase la prueba de\nThm. 2.4 en [21]), y el primero – de la parte 2 de Lemma 5.1 en [21] y el hecho\nque cualquier elemento de V tiene longitud (en el alfabeto X + H) como máximo N, donde\nN = máx.\n3. Grupos con muchas clases de conjugación finitamente\nLemma 3.1. Dejar que G sea un grupo y dejar que x1, x2, x3, x4 G sean elementos de orden infinito\ntal que x1\nxi, i = 2, 3, 4. Let H = G, t tx3t\n−1 = x4® ser la extensión HNN\nde G con subgrupos cíclicos asociados generados por x3 y x4. Entonces x1\n6° x2.\nPrueba. Argumentando por contradicción, asumir que hxl1h\n−1xm2 = 1 para algunas h • H,\nl,m Z \\ {0}. El elemento h tiene una presentación reducida del formulario\nh = g0t\n1g1t\n2 libras esterlinas. .....................................................................................................................\ndonde g0,. ............................................................... ...............................................................................................................................................................................................................................................................\ngj/ x3° si 1 ≤ j ≤ k − 1 y j > 0, j+1 < 0\ngj/ x4° si 1 ≤ j ≤ k − 1 y j < 0, j+1 > 0\nPor los supuestos, x1\n6o x2 por lo tanto k ≥ 1, y en el grupo H tenemos\n(3.1) hxl1h\n−1xm2 = g0t\n1g1t\n2 libras esterlinas. .......................................................................................................................................................................................\nk. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\n1 gœ0 = 1,\ndonde g0 = g\n2 G. Por Britton’s Lemma (véase [10, IV.2]), el lado izquierdo\nen (3.1) no se puede reducir, y esto sólo puede suceder si gkx\nk pertenece a cualquiera de los dos\n* x 3 o x 4 en G, lo que contradice las suposiciones. Por lo tanto, el lema es\nprobado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nDefinición. Supongamos que G es un grupo y Xi G, i I, es una familia de subconjuntos.\nDiremos que Xi, yo, soy independiente si ningún elemento de Xi es commensurable.\ncon un elemento de Xj siempre que i 6= j, i, j+ I.\nLemma 3.2. Suponga que G es un grupo libre de torsión contable, n+ N, n ≥ 2, y\nLos subconjuntos no vacíos Xi G \\ {1}, i = 1,...., n− 1, son independientes en G. Entonces G\npuede ser (isomórficamente) incrustado en un grupo libre de torsión M\nforma en que M tiene (nCC) y los subconjuntos Xi, i = 1,...., n− 1, permanecen independientes en\n8 ASHOT MINASYAN\nPrueba. Para cada i = 1,...., n− 1, fijar un elemento xi â € Xi. Primero incrustamos G en un\ngrupo G1 libre de torsión contable de tal manera que para cada elemento no trivial g G allí\nexist i {1,............................................................................................................................................................................................................................................................\n−1 = xj en G1, y los subconjuntos Xi,\ni = 1,...., n− 1, permanecer independiente en G1.\nLet g1, g2,. .. ser una enumeración de todos los elementos no triviales de G. Conjunto G(0) = G\ny supongamos que ya hemos construido el grupo G(k), que contiene G, así que\nque para cada l {1,........................................................................................................................................................................................................................................................... \nconjugado en G(k) a xj, y Xi, i = 1,...., n− 1, son independientes en G(k).\nSupongamos, al principio, que gk+1 es commensurable en G(k) con un elemento de Xj\npara un poco de j. Entonces gk+1\n6° h por cada h °\ni=1,i6=j\nXi. Definir G(k + 1) como la\nExtensión de HNN â ¬ G(k), tk+1 â ¬ tk+1gk+1t\nk+1 = xjÃ3. Por Lemma 3.1 los subconjuntos Xi,\ni = 1,...., n− 1, permanecerá independiente en G(k + 1).\nAsí podemos asumir que gk+1 no es commensurable con ningún elemento de\ni=1 Xi en G(k). Según las hipótesis de inducción se puede aplicar Lemma 3.1\na la extensión HNN\nG(k + 1) = + G(k), tk+1 + tk+1gk+1t\nk+1 = x1\npara ver que los subconjuntos Xi-G ≤ G(k + 1), i = 1,...., n − 1, son independientes en\nG(k + 1).\nAhora, setG1 =\nk=0G(k). Evidentemente G1 tiene las propiedades requeridas. En el mismo\nde manera, se puede incrustar G1 en un grupo sin torsión contable G2 para que cada no-\nelemento trivial de G1 se conjugará a xi en G2, para algunos i • {1,....., n − 1},\ny los subconjuntos Xi, i = 1,..., n− 1, continúan siendo independientes en G2.\nProcediendo así obtenemos el grupo deseadoM =\ns=1Gs. Por la construcción...\ntion, M es un grupo contable libre de torsión que tiene exactamente n clases de conjugación:\n[1], [x1],. ., [xn−1]. Los subconjuntos Xi, i = 1,..., n− 1, son independientes en M porque\nson independientes en Gs para cada s â € N.\nCorolario 3.3. En Lemma 3.2 se puede añadir que el groupM es 2-boundedly simple.\nPrueba. Dejar un grupo contable sin torsión G y sus subconjuntos independientes no vacíos\nXi, i = 1,..., n− 1, sea como en Lemma 3.2. Let F = F (a1,. .., an−1, b1,. .., bn−1) ser\nel grupo libre con el conjunto de generación libre {a1,. .., an−1, b1,. .., bn−1}, y considerar\nPara cada i = 1,..................................................................................................................................\nX̄i = Xi {ai, a\nj = 1,.............................................................................................................................................................................................................................................................\ndonde [aj, bi] = ajbia\ni. Uso de las propiedades universales de los grupos libres y libres\nproductos uno puede ver fácilmente que los subconjuntos X̄i, i = 1,...., n− 1, son independientes\nen â € € TM.\nAhora aplicamos Lemma 3.2 para encontrar un grupo libre de torsión (nCC) M, con-\n...............................................................................................................................................................................................................................................................\nimplica que para cualquier i dado = 1,...., n− 1, cualesquiera dos elementos de X̄i se conjugan en\nM. Para x arbitrario, y M \\ {1} existen i, j {1,....., n − 1} de tal manera que x\ny y\n# AJ. # Si i = j entonces x\n- Sí. De lo contrario, y\n• a−1j y x\n[aj, bi] que\nes un producto de dos conjugados de aj, y, por lo tanto, de y. Por lo tanto, el grupo M es\n2-boundedly simple, y desde G ≤ ≤ ≤ M, el corolario se demuestra. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIA 9\nA continuación se muestra un caso particular (libre de torsión) de un teorema demostrado por Osin en [21, Thm.\n2.6]:\nLemma 3.4. Cualquier grupo libre de torsión S puede ser integrado en un 2-generado\ngrupo M de modo que S es anormal en M y cada elemento de M se conjuga a un\nelemento de S en M.\nPrueba. Después de la prueba de Osin de Teorema 2.6 de [21], vemos que el requerido\ngrupo M se puede construir como un límite inductivo de grupos relativamente hiperbólicos\nG(i), i+N. Más precisamente, un conjunto G(0) = S* F2, donde F2 es un grupo libre de\nrango 2, +0 = idG(0) : G(0) → G(0), y para cada i +N se construye un grupo\nG(i) y un epimorfismo : G(0) → G(i) de modo que i es inyector en S, G(i) es\nlibre de torsión e hiperbólico en relación con i(S)}, y i factores a través de i−1. Los\nEl grupo M se define como el límite directo de (G(i), i) como i →, es decir, Q = G(0)/N\ndonde N =\nN ker(i). Por Lemma 2.3, i(S) es anormal en G(i), por lo tanto la\nla imagen de S también será anormal en M.\nTeorema 3.5. Que G sea un grupo contable libre de torsión, n + N, n ≥ 2, y no-\nLos subconjuntos vacíos Xi G \\ {1}, i = 1,...., n − 1, ser independiente en G. Entonces G puede\nestar incrustado en un grupo libre de torsión M de 2 generaciones que tiene (nCC), de modo que el\nsubconjuntos Xi, i = 1,...., n− 1, permanecer independiente en M. Además, se puede elegir M\nser 2-boundedly simple.\nPrueba. En primer lugar, de acuerdo con el corolario 3.3, podemos incrustar el grupo G en un contable\ngrupo S libre de torsión tal que S tiene (nCC) y es 2-boundedly simple, y Xi,\ni = 1,...., n − 1, son independientes en S. En segundo lugar, aplicamos Lemma 3.4 para encontrar la\nGrupo M de su reclamación. Elegir cualquier i, j • {1,....., n − 1}, i 6= j, y\nx Xi, y Xj. Si x e y fueran commensurables en M, la malnormalidad de S sería\nimplica que x e y deben ser commensurables en S, contradiciendo la construcción.\nPor lo tanto Xi, i = 1,..., n − 1, son independientes en M. Puesto que cada elemento de M es\nconjugado a un elemento de S, es evidente que M tiene (nCC), es libre de torsión y\n2-boundedly simple. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 3.6. Una prueba más directa de Teorema 3.5, no utilizando Lemma 3.4, puede ser\nextraída de la prueba del Teorema 5.1 (véase la sección 5), aplicada al caso cuando\nH = M.\nEs fácil ver que el teorema 3.5 implica inmediatamente corolario 1.2 que fue\nformulado en la Introducción. Como se prometió, ahora damos un contraejemplo a\nPregunta 2 (formulada en la introducción) para cualquier n ≥ 3.\nEjemplo 2. Dejar G2 = a, t tat\n−1 = a2® ser el grupo Baumslag-Solitar BS(1, 2).\nEntoncesG2 es libre de torsión, y los elementos t\n2, t4,. .., t2\nson pares no conjugados\nen G2 (ya que esto se mantiene en el cociente de G2 por el cierre normal de a). Supón\nque G2 está integrado en un grupo M que tiene (nCC) de modo que t\n2, t4,. .., t2\npar no conjugar en M. Luego t2,. .., t2\nes la lista de representantes de todos\nclases de conjugación no trivial de M. Por lo tanto existen k, l • {1,....., n− 1} tales\nque t\ny a\n. En consecuencia\ny t2\npor lo tanto k = l = n− 1 según los supuestos. Pero esto da resultados.\nn−1 M\n* t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2\n10 ASHOT MINASYAN\nlo que implica que t2\nT4, lo que contradice nuestras suposiciones.\nPor lo tanto, G2 no puede integrarse en un grupo M (nCC) de tal manera que\nt2,. .., t2\npermanecer por pares no conjugados en M.\n4. Subgrupos normales con (nCC)\nSi M es un subgrupo normal de un grupo H, H actúa naturalmente sobre M por\nJugación. Diremos que esta acción preserva las clases de conjugación de M si\ncualquier h H y a M existe b M de tal manera que hah−1 = bab−1.\nLemma 4.1. Que G sea un grupo libre de torsión, N G y x1,. ..............................................................\nser elementos no commensurables (en G) por pares. Entonces existe una partición\nN \\ {1} =\nk=1Xk de N \\ {1} en una unión (disjunta) de subconjuntos G-independientes\nX1,. ................................................. Además, cada subconjunto Xk\nserá invariante bajo conjugación por elementos de G.\nPrueba. Desde\nSe trata de una relación de equivalencia en Gâ 1}, se puede encontrar la correspondiente\ndescomposición: G \\ {1} =\nJJ Yj, donde Yj es una clase de equivalencia para cada JJ.\nPara cada k = 1,..., l, existe j(k) • J de tal manera que xk • Yj(k). Tenga en cuenta que\nj(k) 6= j(m) si k 6= m desde xk\n6° xm.\nNota J ′ = J \\ {j(1). ...............................................................\nX1 = Yj(1) N,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\nYj N.\nEvidentemente N+1} =\nk=1Xk, X1,. .., Xl son subconjuntos independientes de G y xk Xk\npara cada k = 1,...., l. La propiedad final sigue de la construcción ya que para cualquier\na G y j J tenemos aYja\n−1 = Yj y aNa\n−1 = N.\nLemma 4.2. Para cada grupo contable C y cada n+N, n ≥ 2, existe un\ngrupo H libre de torsión contable que tiene un subgrupo normal M H tal que\ni) M satisface (nCC);\nii) El M es 2 veces simple;\niii) la acción natural de H sobre M preserva las clases de conjugación de M;\niv) H/M = C.\nPrueba. Que H ′0 sea el grupo libre de rango contable infinito. Elegir N\n0 para que\nH ′0/N\n• C. Let F = F (x1,. .., xn−1) denotan el grupo libre libremente generado por\nx1,. .., xn−1. Definir H0 = H\n0 ∗ F y dejar que N0 sea el cierre normal de N\n0 â € F en\nH0. Evidentemente, H0/N0 = H\n= C y los elementos x1,. ..................................................................................................\npar de no-commensurable en H0.\nPor Lemma 4.1, se puede elegir una partición de N0 \\ {1} en la unión de H0-\nsubconjuntos independientes:\nN0 \\ {1} =\nde modo que xk X0k para cada k = 1,...., n− 1.\nPor corolario 3.3 existe un grupo sencillo sin torsión de dos límites\nM1 con la propiedad (nCC) que contiene una copia de N0, tal que los subconjuntos X0k,\nk = 1, 2,...., n − 1, son independientes en M1. Nota por H1 = H0 ∗N0 M1\nproducto amalgamado de H0 y M1 a lo largo de N0, y dejar que N1 sea el cierre normal\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 11\nde M1 en H1. Tenga en cuenta que H1 es libre de torsión como un producto amalgamado de dos\ngrupos libres de torsión ([10, IV.2.7]).\nTenemos que verificar que los elementos x1,. .., xn−1 son pares no-commen-\nasegurable en H1. De hecho, si un â ¬ X0k y b â ¬ X0l, k 6= l, se conjugan en H1 entonces\ndebe existir y1,. ............................................................................................................... ...................................................................................\nz0y1 · · zt−1ytztaz\nt−1 · · · y\nSupongamos que t es mínimo posible con esta propiedad. Como conjugación por elementos\nde H0 conserva X0k y X0l, podemos asumir que z0, zt = 1. Por lo tanto\ny1z1 · · · zt−1ytay\nt−1 · · · z\n−1 H1= 1.\nPor las propiedades de los productos amalgamados (véase [10, Ch. IV]), el lado izquierdo\nen esta igualdad no se puede reducir, en consecuencia\nt N0 \\ {1} =\nk=1 X0k.\nPero entonces ittay\nt X0k por las propiedades de M1, contradiciendo la minimalidad de t.\nPor lo tanto, hemos demostrado que xk\n6° xl cuando k 6= l.\nSupongamos que el grupoHi = Hi−1*Ni−1Mi, i ≥ 1, ya ha sido construido,\npara que\n0) Hi es contable y libre de torsión;\n1) Ni−1 Hi−1;\n2) Hi−1 = H0 ·Ni−1 y H0 •Ni−1 = N0;\n3) Mi satisface (nCC);\n4) x1,. .., xn−1 no son comparables en pareja en Hi.\nDeja que Ni sea el cierre normal de Mi in Hi. Debido a la condición 4) y\nLemma 4.1, se puede encontrar una partición de Ni \\ {1} en una unión de Hi-independiente\nsubconjuntos:\nNi \\ {1} =\nde modo que xk Xik para cada k = 1,...., n − 1. Por Lemma 3.2 hay una cuenta\ngrupo un Mi+1, con (nCC), que contiene una copia de Ni, en el que los subconjuntos Xik,\ni = 1,...., n− 1, permanecen independientes. Set Hi+1 = Hi ∗Ni Mi+1. Ahora, es fácil de\nverificar que los análogos de las condiciones 0)-3) mantienen para Hi+1 y\n(4.1) Ni−1 ≤Mi ≤Ni ≤Mi+1.\nEl análogo de la condición 4) es cierto en Hi+1 por las mismas consideraciones que antes\n(en el caso de H1).\nDefinir el grupo H =\ni=1Hi y su subgrupo M =\ni=1Ni. Observar que\nla condición 0) implica que H está libre de torsión, condición 1) implica que M es\nnormal en H, y 2) implica que H = H0 ·M y H0 â € M = N0. Por lo tanto H/M =\nH0/(H0-M) = C. Aplicando (4.1) obtenemosM =\ni=1Mi, y por lo tanto, por las condiciones\n3), 4) disfruta de la propiedad (nCC): cada elemento de M será un conjugado de xk\npara algunos k {1,...., n− 1}. Desde x1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\nsimple, entonces así será M. Finalmente, 4) implica que xk\nxl cuando k 6= l,\ny, en consecuencia, la acción natural de H sobre M preserva sus clases de conjugación.\nQ.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nLemma 4.3. Suponga que G es un grupo, N G, A, B ≤ G y : A → B es\nun isomorfismo de tal manera que a) a n (es decir, las imágenes canónicas de a y a) en\n12 ASHOT MINASYAN\nG/N coinciden) para cada una de las A. Let L = â € ¢ G, t â € € TM tat−1 = â € (a), â € a â € Aâ € ser el\nHNN-extensión de G con subgrupos asociados A y B, y dejar que K sea el normal\nel cierre de N.N., t. en L. A continuación G.K. = N.\nPrueba. Esta afirmación se deriva fácilmente de la propiedad universal de las extensiones HNN\ny se deja como un ejercicio para el lector. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEl próximo lema nos permitirá construir grupos (nCC) que no sean simples:\nLemma 4.4. Supongamos que H es un grupo contable libre de torsión y MH es un no-\nsubgrupo normal trivial. Entonces H puede ser incrustado isomórficamente en un contable\ngrupo G libre de torsión que posee un subgrupo normal K G tal que\n1) G = HK y H + K = M ;\n2) x, y G \\ {1}, x) = y) si y sólo si h K tal que x = hyh−1,\ndonde : G → G/K es el homomorfismo natural; en particular, K\ntener (2CC);\n3) x, y G \\ {1}, x\nSi y sólo si (x)\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nPrueba. Elija un conjunto de representantes Z • H de cosets de H módulo M, en tal\nforma en que cada coset está representado por un elemento único de Z y 1 /».\nDefinirG(0)=H yK(0)=M. Enumerar los elementos de G(0)+1}: g1, g2,. ...\nPrimero incrustamos el grupo G(0) en un grupo sin torsión contable G1, que tiene un\nsubgrupo normal K1 G1, de tal manera que G1 = HK1, H K1 =M y para cada i ≥ 0\nhay ti K1 y zi Z satisfactoria tigit\ni = zi.\nSupongamos que el grupo G(j), j ≥ 0, y K(j) G(j),\nya se han construido de modo que H ≤ G(j), G(j) = HK(j), H ≤ K(j) = M\ny, si j ≥ 1, tjgjt\nj = zj para algunos tj â € K(j) y zj â € Z. El grupo G(j+1),\nque contenga G(j), se define como la siguiente extensión de HNN:\nG(j + 1) = G(j), tj+1 tj+1gj+1t\nj+1 = zj+1\ndonde zj+1 â € ¢ Z â € H es el representante único que satisface gj+1 â € zj+1K(j) en\nG(j). Denota por K(j+1)G(j+1) el cierre normal de K(j), tj+1® en G(j+1).\nEvidentemente, el grupo G(j + 1) es contable y libre de torsión, H ≤ G(j) ≤ G(j + 1),\nG(j + 1) = HK(j + 1) y H (j + 1) = H (j) K(j) = M por Lemma 4.3.\nAhora, es fácil verificar que el grupo G1 =\nj=0G(j) y su subgrupo normal\nj=0K(j) disfrutar de las propiedades requeridas.\nDe la misma manera podemos incrustar G1 en un grupo sin torsión contable G2, que\ntiene un subgrupo normal K2G2, de modo que G2 = HK2, HK2 =M y cada elemento\nde G1 \\ {1} se conjuga en G2 a un elemento correspondiente de Z. Desempeñar este tipo de actividades\nun procedimiento infinitamente muchas veces logramos el grupo G =\ni=1Gi y normal\nsubgrupo K =\ni=1Ki G que satisfacen las afirmaciones 1) y 2) del lema. Lo es.\nfácil de ver que la reclamación 2) implica 3), por lo que la prueba está terminada. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n5. Añadiendo generación finita\nTeorema 5.1. Supongamos que H es un grupo libre de torsión contable y M es un no-\nsubgrupo normal trivial de H. Dejar F ser un arbitrario no elemental sin torsión\nGrupo hiperbólico de palabras. Entonces existe un grupo Q sin torsión contable, que contiene\nH, y un subgrupo normal N Q con las siguientes propiedades:\n1. H es anormal en Q;\n2. Q = H ·N y N •H =M ;\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIA 13\n3. N es un cociente de F ;\n4. el centralizador CQ(N) de N en Q es trivial;\n5. por cada q â € TM a Q hay z â € TM a H tal que q\nPrueba. El grupo Q se construirá como un límite directo de relativamente hiperbólico\ngrupos.\nPaso 0. Set G(0) = H*F y F (0) = F ; entonces G(0) es hiperbólico relativo a su\nEl subgrupo H y F (0) es un subgrupo adecuado de G(0) por Lemma 2.6. LetN(0)G(0)\nser el cierre normal del subgrupo M,F en G(0). Evidentemente G(0) = H ·N(0)\ny H N(0) = M. Enumerar todos los elementos de N(0): {g0, g1, g2,. ...................................................................................................\nG(0): {q0, q1, q2,. .. }, de tal manera que g0 = q0 = 1.\nPasos 0-i. Suponga que los grupos G(j), j = 0,...., i, i ≥ 0, ya han sido\nconstruido, de modo que\n1o. para cada 1 ≤ j ≤ i hay un epimorfismo j−1 : G(j−1) → G(j) que es\ninyective on (la imagen de) H en G(j − 1). Nota F (j) = j−1(F (j − 1)),\nN(j) = j−1(N(j − 1));\n2o.............................................................................................................................................. G(j) está libre de torsión e hiperbólico en relación con (la imagen de) H, y F (j) ≤\nG(j) es un subgrupo adecuado, j = 0,..., i;\n3o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 3o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° G(j) = H ·N(j), N(j)G(j) y H •N(j) =M, j = 0,.... i;\n4o. la imagen natural j de gj en G(j) pertenece a F (j), j = 0,..., i;\n5o. existe zj H tal que q̄j\n* zj, j = 0,.... i, donde q̄j es la imagen\nde qj en G(j).\nPaso i+1. Que qâ € € € G(i), € i+1 € N(i) sean las imágenes de qi+1 y gi+1 en G(i).\nPrimero construimos el grupo G(i+1/2), su subgrupo normal Ki+1 y su elemento\nti+1 como se indica a continuación.\nSi para algunos f • G(i), f q • i+ 1f\n−1 = z + H, luego set G(i + 1/2) = G(i), Ki+1 =\nN(i)G(i + 1/2) y ti+1 = 1.\nDe lo contrario, qÍñi+1 es un elemento hiperbólico de orden infinito en G(i). Dado que G(i) es\nlibre de torsión, el subgrupo elemental EG(i)(qÍ+1) es cíclico, por lo que EG(i)(qÍ+1) = hx\npara algunos h â € TM H y x â € N(i) (por 3â €), y qâ € i+1 = (hx)\nm para algunos m â € ¢ Z. Ahora, por\nLemma 2.2, G(i) es hiperbólico relativo a {H, hx. Elija y â € M para que hy 6= 1\ny dejar que G(i + 1/2) sea la siguiente extensión HNN de G(i):\nG(i + 1/2) = «G(i), ti+1 » ti+1(hx)t\ni+1 = hyâ.\nEl grupo G(i+ 1/2) es libre de torsión e hiperbólico en relación con H por Lemma 2.5.\nVerifiquemos ahora que el subgrupo F (i) es adecuado en G (i + 1/2). De hecho,\nde acuerdo con Lemma 2.7, hay dos elementos hiperbólicos f1, f2 o F (i) de infinito\norden en G(i) tal que fl\n6° hx, fl\n6o hi, l = 1, 2, y f1\n6o f2. Entonces\nG(i+1/2)\n6o f2 de Lemma 3.1. Queda por comprobar que fl es un elemento hiperbólico\nde G(i + 1/2) para cada l = 1, 2. Elija un elemento arbitrario w â € ¢ H y observar\nque fl\n6o w (ya que H es anormal en G(i) por Lemma 2.3, un poder no trivial de\nfl se conjuga a un elemento de H si y sólo si fl se conjuga a un elemento de\nH en G(i), pero este último es imposible porque fl es hiperbólico en G(i)). Aplicar\nLemma 3.1 de nuevo, tenemos que fl\nG(i+1/2)\nPor lo tanto f1, f2 o f (i) son\nelementos hiperbólicos de orden infinito en G(i+1/2). La intersección EG(i+1/2)(f1)\n14 ASHOT MINASYAN\nEG(i+1/2)(f2) debe ser finito, ya que estos grupos son prácticamente cíclicos (por Lemma 2.2),\ny f1 no se puede comparar con f2 en G(i+1/2). Pero G(i+ 1/2) está libre de torsión,\nPor lo tanto, EG(i+1/2)(f1) (EG(i+1/2)(f2) = {1}. Por lo tanto, F (i) es un subgrupo adecuado de\nG(i+ 1/2).\nLemma 4.3 asegura que H-Ki+1 =M donde Ki+1 G(i + 1/2) es el normal\nel cierre de «N(i), ti+1», en G(i + 1/2). Por último, tenga en cuenta que\nti+1qçói+1t\ni+1 = ti+1(hx)\nmt−1i+1 = (hi)\nm = z + H en G(i + 1/2).\nAhora, que el grupo G(i+ 1/2) se ha construido, set Ti+1 = i+1, ti+1}\nKi+1 y definir G(i+1) como sigue. Desde Ti+1 ·F (i) • Ki+1 G(i+1/2), podemos\naplicar el teorema 2.8 para encontrar un grupo G(i+1) y un epimorfismo : G(i+1/2) →\nG(i + 1) de tal manera que Łi es inyector en H, G(i + 1) es libre de torsión e hiperbólico\nen relación con (la imagen de) H, i(i+1), Łi(ti+1)}\nsubgrupo de G(i + 1), y ker(eli) ≤ Ki+1. Denotan la restricción de los derechos de\nG(i). A continuación, el valor de G(i) = G(i) = G(i) = G(i) + 1) porque G(i + 1/2) fue generado por\nG (i) y ti+1, y según la construcción, ti+1 (i) (F (i)) ≤ (i) (G (i)). Ahora,\ndespués de definir F (i+1) = «i(F (i)», N(i+1) = «i(N(i)»), i+1 = «i(i+1)» (i+1)\ny zi+1 = i(z) • H, vemos que las condiciones 1\nEn el caso que nos ocupa, cabe señalar que el Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso que nos ocupa, el Tribunal de Primera Instancia ha incumplido las obligaciones que le incumben en virtud del artículo 2, apartado 1, del Reglamento (CEE) n° 1408/71.\ncuando j = i+1. Las propiedades G(i+1) = H ·N(i+1) y N(i+1)G(i+1) son\nconsecuencias inmediatas de sus análogos para G(i) y N(i). Por último, observar que\n1i (H-N(i+1)) = H · ker(\nH N (i) · ker (l)\n· ker(i)\nH-Ki+1\n· ker(i) =M · ker(i).\nPor lo tanto H N (i+ 1) = M y la condición 3 ° se mantiene para G (i + 1).\nDejar que Q = G() sea el límite directo de la secuencia (G(i), i) como i → , y dejar que\nF () y N = N() serán los límites de los subgrupos correspondientes. Entonces Q es\nlibre de torsión por 2°, N Q, Q = H · N y H °N = M por 3°. N ≤ F () por 4 °,\ny 5o implica la condición 5 de la reclamación.\nDesde F (0) ≤ N(0) obtenemos F () ≤ N. Así N = F () es un homomórfico\nimagen de F (0) = F.\nPara cualquier i, j â € N â € €, i < j, tenemos un epimorfismo natural â € € : G(i) → G(j)\nDe tal manera que si i < j < k entonces فارسىjk â â € € € € = â € € € € € €. Tome cualquier g de G(0). Desde F = F (0)\nse genera finitamente, utilizando las propiedades de los límites directos uno puede mostrar que si\nw = + 0 + g + CQ(F) en Q, luego + 0j(g) + + CG(j) (F (j)) para algunos j + N. Pero\nCG(j)(F (j)) ≤ EG(j)(F (j)) = {1} (por fórmulas (2.2) y (2.3)) porque F (j) es\nun subgrupo adecuado de G(j), por lo tanto w =\n0j(g)\n= 1, es decir, CQ(F) =\nCQ(N) = {1}. Esto concluye la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nLa siguiente declaración es bien conocida:\nLemma 5.2. Asumir G es un grupo y N G es un subgrupo normal tal que\nCG(N) N, donde CG(N) es el centralizador de N en G. Entonces el cociente-grupo\nG/N se incrusta en el grupo de automorfismo externo Out(N).\nPrueba. La acción de G sobre N por conjugación induce un homomorfismo natural\nDesde G hasta el grupo de automorfismo Aut(N) de N. Puesto que Ł(N) es exactamente el\ngrupo de automorfismos internos Inn(N) de N, se puede definir un nuevo homomorfismo\n: G/N → Out(N) = Aut(N)/Inn(N) de la manera natural: (gN) = (g)Inn(N)\npor cada gN + G/N. Queda por comprobar que es inyector, es decir, si g G \\N entonces\n(gN) 6=1 in Out(N); o, equivalentemente, (g) / Inn(N). De hecho, de lo contrario no hay\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 15\nexistiría un N tal que ghg−1 = aha−1 por cada h N, por lo tanto N 6 a−1g\nCG(N), contradiciendo los supuestos. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nTenga en cuenta que para un grupo arbitrario N, cualquier subgrupo C ≤ Out(N) actúa naturalmente\nsobre el conjunto de clases de conjugación C(N) del grupo N.\nTeorema 5.3. Para cualquier n° N, n ≥ 2, y un grupo contable arbitrario C, C puede\nser incrustado isomórficamente en el grupo de automorfismo externo Out(N) de un grupo\nN que cumplan las condiciones siguientes:\n• N está libre de torsión;\n• N se genera por dos elementos;\n• N tiene (nCC) y la acción natural de C sobre C(N) es trivial;\n• N es 2-boundedly simple.\nPrueba. Por Lemma 4.2 podemos encontrar un grupo libre de torsión H y su normal\nSubgrupo M que disfruta de las propiedades i) a iv) de su reclamación. Ahora, si F denota\nel grupo libre de rango 2, podemos obtener un grupo libre de torsión contable Q juntos\ncon su subgrupo normal N que cumplen las condiciones 1-5 de la declaración de\nTeorema 5.1.\nEntonces N es libre de torsión y generado por dos elementos (como cociente de F ).\nLa condición 2 implica que Q/N = H/M = C y, por 4 y Lemma 5.2, C incrusta\ndentro del grupo Out(N).\nUsando la propiedad 5, por cada g â € N podemos encontrar u â € Q y z â € H tales que\nugu−1 = z â € N â € H = M. Desde Q = HN, hay h â € H y x â € N\ntal que u = hx. Desde z, h−1zh M y la acción de H sobre M conserva\nlas clases de conjugación de M, hay r â € M tal que rh−1zhr−1 = z, por lo tanto\nz = rh−1ugu−1(rh−1)−1 = rxgx−1r−1, donde v = rx â N. Así para cada g â N\nhay v â € N tal que vgv−1 â € M. Evidentemente, esto implica que N es también 2 -\nDelimitadamente simple. Como M ha (nCC), el número de clases de conjugación en N\nser a lo sumo n.\nSupongamos que x1, x2 M y x1\nx2. Entonces x1\nx2 (por la propiedad (iii) de\nla reclamación de Lemma 4.2), y como H es anormal en Q obtenemos x1\nx2. Por lo tanto\nx2, es decir, N también disfruta (nCC).\nEl hecho de que la acción natural de C sobre C(N) es trivial se deriva de la misma\npropiedad para la acción de H en C(M) y la malnormalidad de H en Q. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nAhora, procedamos con el\nPrueba de Teorema 1.4. Primero aplicamos Lemma 4.4 para construir un grupo G y un\nSubgrupo normal K G según su reclamación. Ahora, por Teorema 5.1, hay un\ngrupoQ, teniendo un subgrupo normal NQ tal que G es anormal en Q, Q = GN,\nG N = K, rango (N) ≤ 2 (si se toma el grupo libre de rango 2 como F ) y cada\nel elemento q • Q se conjuga (en Q) a un elemento de G. Por la reclamación 2) de Lemma 4.4,\nK tiene (2CC), y un argumento, similar al utilizado en la prueba de Teorema\n5.3, muestra que N también tendrá (2CC). En consecuencia, rango(N) > 1 porque N es\nlibre de torsión, por lo tanto rango (N) = 2.\nDesde G = HK y H â € TM K = M tenemos Q = HKN = HN y H â € N =\nH •K =M. Puesto que Q/N = H/M y N pueden ser generados por dos elementos, podemos\nconcluir que rango(Q) ≤ rango(H/M) + 2.\n16 ASHOT MINASYAN\nConsiderar arbitraria x, y Q \\ {1} y suponer que فارسى(x)\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Por el teorema\n5.1, hay w, z G \\ {1} de tal manera que x\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n* z. Por lo tanto (w)\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #\npor lo tanto las imágenes de w y z en G/K también se conjugan. En la reclamación 3) de Lemma\n4.4, w\nz, lo que implica x\n- Sí. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nTeorema 1.4 proporciona una forma alternativa de obtener grupos libres de torsión que\ntienen finitamente muchas clases de conjugación: para cualquier grupo contable C podemos elegir\nun grupo libre H de rango contable y un subgrupo normal {1} 6= M H de modo que\nH/M = C, y luego aplicar el teorema 1.4 al par (H,M) para obtener\nCorollary 5.4. Asumir que n+N, n ≥ 2, y C es un grupo contable que\ncontiene exactamente (n− 1) clases distintas de conjugación. Entonces existe una libertad de torsión.\ngrupo Q y N Q tales que\n• Q/N = C;\n• N tiene (2CC) y Q tiene (nCC);\n• rango(N) = 2 y rango(Q) ≤ rango(C) + 2.\nCorollary 5.5. El grupo G1, dado por presentación (1.1), puede ser isomórficamente\nincrustado en un grupo Q sin torsión de 2 generaciones que satisface (4CC) de tal manera\nque t\nt−1.\nPrueba. Denotar por K el núcleo del homomorfismo : G1 → Z3, para el cual\n*(a) = 0 y *(t) = 1, donde Z3 es el grupo de enteros módulo 3. Ahora, aplíquese.\nTeorema 1.4 al par (G1,K) para encontrar el grupo Q, que contiene G1, y el normal\nSubgrupo N Q de su reclamación. Puesto que Q/N = G1/K = Z3 tiene (3CC), el grupo\nQ tendrá (4CC). También tenemos t\nt−1 porque las imágenes de t y t−1 no son\nconjugado en Q/N.\nElija un elemento q1 • Q \\ N. A continuación, q2 = q\n1 N \\ {1} y puesto que N es 2\ngenera y tiene (2CC), hay q3 â € N tal que N = â € € TM q2, q3â € en Q. Como Q/N\nes generado por la imagen de q1, el grupo Q será generado por {q1, q2, q3}, y,\nEn consecuencia, por {q1, q3}. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n6. Combinación de caminos en grupos hiperbólicos relativamente\nQue G sea un grupo hiperbólico relativo a una familia de subgrupos apropiados {H,\ny dejar que X sea un conjunto de generación relativo simetrizado finito de G. Denote H =\n(H/23370/ \\ {1}).\nPara una ruta combinatoria p en el gráfico de Cayley (G,X,H) (de G con respeto\np−, p+, L(p) y lab(p) denotarán el punto inicial, el punto final,\nla longitud (es decir, el número de bordes) y la etiqueta de p respectivamente. p−1 will\nser el camino obtenido de p siguiéndolo en la dirección contraria. Además, si\nes un subconjunto de G y g ≤ G, entonces g se utilizará para denotar la longitud de una\npalabra más corta en 1 que representa g.\nUtilizaremos la siguiente terminología de [20]. Supongamos que q es una ruta en\n(G,X,H). Un subpath p de q se llama un componente H\nsimplemente un componente) de q, si la etiqueta de p es una palabra en el alfabeto H/23370/ \\ {1} y\np no está contenido en un subpath más grande de q con esta propiedad.\nDos componentes p1, p2 de una ruta q en •(G,X • H) se llaman conectados si\nson los componentes de la misma de la misma y existe una ruta c en la de la misma (G,X,H)\nconectar un vértice de p1 a un vértice de p2 de manera que el laboratorio(c) se componga enteramente de letras\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 17\nde H/23370/. En términos algebraicos esto significa que todos los vértices de p1 y p2 pertenecen a la\nel mismo coset gH♥ para un determinado g â € ¬ G. Siempre podemos suponer c para tener longitud en\nLa mayoría de 1, ya que cada elemento no trivial de H.O. está incluido en el conjunto de generadores. Un\nEl componente p de una ruta q se llama aislado si ningún otro componente de la ruta de q es\nconectado a p.\nLa siguiente declaración es un caso particular de Lemma 2.27 de [20];\nmuéstralo de una forma ligeramente más general, como aparece en [18, Lemma 2.7]:\nLemma 6.1. Supongamos que un grupo G es hiperbólico relativo a una familia de subgrupos\n{H. Entonces existe un subconjunto finito de G y una constante de K N tal\nque lo siguiente se mantiene. Let q ser un ciclo en G, X H, p1,. ..............................................................\nde componentes aislados de q y g1,. ...............................................................\nLab(p1),. ..,Lab(pk) respectivamente. Entonces g1,. ..., gk pertenecen al subgrupo ≤ G\ny las longitudes de la palabra de gi con respecto a \ngi ≤ KL(q).\nDefinición. Supóngase que m (N y N) es un subconjunto finito de G. Define W(l,m) a\nser el conjunto de todas las palabras W sobre el alfabeto X â € ¢ H que tienen la siguiente forma:\nW فارسى x0h0x1h1. .. xlhlxl+1,\ndonde l • Z, l ≥ −2 (si l = −2 entonces W es la palabra vacía; si l = −1 entonces W • x0),\nhi y xi se consideran letras únicas y\n1) xi • X • 1}, i = 0,..., l + 1, y para cada i = 0,..., l, existe • i) •\nDe los cuales: hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos.\n2) en caso de que la letra i) de la letra i) = la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i).\n3) i = 0,...., l.......................................................................................................................................................................................................................................................\nElija el subconjunto finito G y la constante K > 0 de acuerdo con la reclamación\nde Lemma 6.1.\nRecordemos que se dice que un camino q en •(G,X • H) es sin retroceso si todo de\nsus componentes están aislados.\nLemma 6.2. Dejar q ser un camino en el gráfico de Cayley (G,X,H) con Lab(q)\nW(,m) y m ≥ 5K. Entonces q es sin retroceso.\nPrueba. Asumir lo contrario a la reclamación. Entonces uno puede elegir un camino q proveyendo\nun contraejemplo de la longitud más pequeña posible. Así si p1,. ...............................................................\nutive) lista de todos los componentes de q entonces l ≥ 2, p1 y pl debe estar conectado H -\ncomponentes, para algunos , los componentes p2,. ..., pl−1 debe ser aislado, y q\ncomienza con p1 y termina con pl. Desde Lab(q) â € € € TM € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM\nSi l = 2 entonces la (X {1})-letra entre p1 y p2 pertenecería a H\ncontradiciendo la propiedad 2) de la definición de W(l,m).\nPor lo tanto l ≥ 3. Dado que p1 y pl están conectados, existe una ruta v en \nH) entre (pl)− y (p1)+ con Lab(v) H (así podemos asumir que L(v) ≤ 1).\nDenotar por qâ € el subpath de q comenzando con (p1)+ y terminando con (pl)−. Tenga en cuenta que\nL(q+) = L(q)−2 ≤ 2l−3, y p2,. ..., pl−1 es la lista de componentes de q®, todos los cuales\nestán aislados. Si uno de ellos estuviera conectado a v implicaría que está conectado\na p1 contradiciendo con la minimalidad de q. Por lo tanto, el ciclo o = qv posee\n18 ASHOT MINASYAN\nk = l − 2 ≥ 1 componentes aislados, que representan los elementos h1,. .......................................................................................\nConsecuentemente, aplicando Lemma 6.1 se obtiene que hi , i = 1,..., k, y\nhi ≤ KL(o) ≤ K(L(q) + 1) ≤ K(2l− 2).\nPor la condición 3) de la definición de W(l,m) uno tiene hi > m ≥ 5K para\ncada i = 1,..., k. Por lo tanto\nk · 5K ≤\nhi ≤ K(2l− 2), o 5 ≤\n2l − 2\nque contradice la desigualdad k ≥ l − 2. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nDefinición. Considerar un ciclo arbitrario o = rqr′q′ en Ł(G,X H), donde Lab(q)\ny Lab(q′) pertenecen a W(,m). Dejar p ser un componente de q (o q′). Diremos\nque p es regular si no es un componente aislado de o. Si m ≥ 5K y, por tanto, q y\nq′ son sin retroceso por Lemma 6.2, esto significa que p está conectado\na algún componente de q′ (respectivamente q), o a un componente de r o r′.\nLemma 6.3. En las anotaciones anteriores, suponga que m ≥ 7K y denote C =\nmax{L(r),L(r′)}. Entonces\na) si C ≤ 1 cada componente de q o q′ es regular;\n(b) si C ≥ 2 entonces cada uno de q y q′ puede tener como máximo 4C componentes que son\nNo es normal.\nc) si l es el número de componentes de q, entonces al menos (l− 6C) de componentes\nde q están conectados a componentes de q′; y dos componentes distintos de q\nno se puede conectar al mismo componente de q′. Similarmente para q′.\nPrueba. Asumir lo contrario a (a). Entonces uno puede elegir un ciclo o = rqr′q′ con\nL(r),L(r′) ≤ 1, con al menos un componente aislado en q o q′, y de manera que\nL(q) + L(q′) es mínimo. Es evidente que esta última condición implica que cada componente\nde q o q′ es un componente aislado de o. Por lo tanto q y q′ juntos contienen k\ndistintos componentes aislados de o, que representan elementos h1,. ......................................................\nk ≥ 1 y k ≥ (L(q) − 1)/2 + (L(q′) − 1)/2. Aplicando Lemma 6.1 obtenemos\nhola , i = 1,...., k, y\nhi ≤ KL(o) ≤ K(L(q) + L(q)\n′) + 2).\nRecordemos que hi > m ≥ 7K por la propiedad 3) de la definición de W(l,m).\nPor lo tanto\ni=1 hi ≥ k · 7K, lo que implica\nL(q′)\nL(q)− 1\nL(q′)− 1\nque da lugar a una contradicción.\nDemostremos (b). Supongamos que C ≥ 2 y q contiene más de 4C aislados\ncomponentes de o. Examinaremos dos casos:\nCaso 1. No hay ningún componente de q conectado a un componente de q′. Entonces un com-\nel ponente de q o q′ sólo puede ser regular si está conectado a un componente de r o r′.\nPuesto que, por Lemma 6.2, q y q′ son sin retroceso, dos componentes distintos\nde q o q′ no se puede conectar al mismo componente de r (o r′). Por lo tanto q y\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 19\nq′ juntos pueden contener como máximo 2C componentes regulares. Así el ciclo o tiene k\ncomponentes aislados, que representan los elementos h1,. .......................................................................................\nk ≥ (L(q)−1)/2+(L(q′)−1)/2−2C. Por Lemma 6.1, hola para cada i = 1,..., k,\ni=1 hi ≤ K(L(q) + L(q)\n′) + 2C). Una vez más podemos utilizar la propiedad 3)\nde la definición de W(l,m) para lograr\nL(q′)\nL(q)− 1\nL(q′)− 1\n− 2C + 1 + 3C\nL(q)− 1\nL(q′)− 1\n≤ 2 +\ndando lugar a una contradicción.\nCaso 2. La ruta q tiene al menos un componente que está conectado a un com-\nponiente de q′. Let p1,. .., pl denota la secuencia de todos los componentes de q. Por parte\na), si ps y pt, 1 ≤ s ≤ t ≤ l, están conectados a componentes de q\n′, entonces para cualquier\nj, s ≤ j ≤ t, pj está conectado a algún componente de q\n′ (porque q es sin espalda-\nseguimiento por Lemma 6.2). Podemos tomar s (respectivamente t) para ser mínimos (respectivamente\nmáximo) posible. En consecuencia p1,. .., ps−1, pt+1,. .., pl contendrá el conjunto de\ntodos los componentes aislados de o que pertenecen a q, y ninguno de estos componentes\nestar conectado a un componente de q′.\nSin pérdida de generalidad podemos suponer que s− 1 ≥ 4C/2 = 2C. Puesto que ps es\nconectado a algún componente p′ de q′, existe una ruta v en \nv− = (ps)−, v+ = p\n+, Lab(v) â € H â € {1}, L(v) ≤ 1. Deje q̄ (respectivamente q̄\n′) denotar\nel subpath de q (respectivamente q′) de q− a (ps)− (respectivamente de p\n+ a q\nConsidere un nuevo ciclo ō = rq̄vq. Razonando como antes, uno puede demostrar que ō tiene k\ncomponentes aislados, donde k ≥ 2C ≥ 4 y k ≥ (L(q̄)−1)/2+(L(q)−1)/2−C−1.\nAhora, una aplicación de Lemma 6.1 al ciclo ō junto con la propiedad 3) de\nla definición de W(l,m) conducirá a una contradicción como antes.\nPor simetría, la declaración (b) del lema también es válida para q′.\nLa reclamación c) se deriva de b) y de la estimación L(r) + L(r′) ≤ 2C porque si\ndos componentes diferentes p y p̄ de q fueron conectados al mismo componente de\nalgún camino en #(G,X #H), entonces p y p̄ también estarían conectados el uno con el otro,\nque contradiría a Lemma 6.2. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nLemma 6.4. En las anotaciones anteriores, m ≥ 7K, C = max{L(r), L(r′)}, y\nlet p1,. .., pl, p\n1,.., p\nl′ ser las listas consecutivas de los componentes de q y q\nSi l ≥ 12max{C, 1} + 2, entonces hay índices s, t, s′ N tales que\n1 ≤ s ≤ 6C + 1, l − 6max{C, 1} ≤ t ≤ l y para cada i {0, 1,...., t − s}, la\ncomponente ps+i de q está conectado al componente p\nsi de q\nPrueba. Por parte (c) de Lemma 6.3, existen ≤ 6C +1 tales que el componente\nps está conectado a un componente p\ns′ para algunos s\n{1,.................................................................................................................. Por lo tanto hay un camino\nr1 entre (p\ns′)+ y (ps)+ con L(r1) ≤ 1. Considerar un nuevo ciclo o1 = r1q1r\ndonde q1 es el segmento de q de (ps)+ a q+ = r\n− y q\n1 es el segmento de q\nde q = r\n+ a (p\ns′)+.\nObserve que ps+1,. .., pl es la lista de todos los componentes de q1 y l−s ≥ l−6C−1 ≥\n6max{1, C 1, por lo tanto, de acuerdo con la parte (c) de Lemma 6.3 aplicado a o1, hay\nt ≥ l − 6max{1, C} > s de tal manera que pt esté conectado a p\nt′ por medio de una trayectoria r\ndonde s′ + 1 ≤ t′ ≤ l′, (r′1)− = (pt)+, (r\n1)+ = (p\nt′)+ y L(r\n1) ≤ 1. Considerar\n20 ASHOT MINASYAN\nsi′ p\nGráfico 1\nel ciclo o2 = r1q2r\n2 en los que q2 y q\n2 son los segmentos de q1 y q\n1 de\n(ps)+ = (r1)+ a (pt)+ y a partir de (p)\nt′)+ a (p\ns′)+ = (r1)− respectivamente (fig. 1).\nTenga en cuenta que ps+1,. .., pt es la lista de todos los componentes de q2 y p\ns1,. .., p\nt′ es la\nlista de todos los componentes de q′2\n. El ciclo o2 cumple los supuestos de la parte a) de\nLemma 6.3, por lo tanto para cada i {1,........................................................................................................................................................................................................................................................ \nde tal manera que ps+i está conectado a p\nsi′ (ps+i no se puede conectar a r1 [r\n1] porque en\neste caso estaría conectado a ps [pt], pero q es sin retroceso por Lemma\n6.2).\nQueda por demostrar que i′ = i para cada i. De hecho, si i′ < i para algunos\ni {1,....., t − s} entonces se puede considerar el ciclo o3 = r1q3r\n3, donde q3 y\nq′3 son segmentos de q2 y q\n2 de (q2)− = (r1)+ a (ps+i)+ y de (p)\nsi′ )+ a\n(q′2)+ = (r1)−, respectivamente, y (r\n3)− = (q3)+, (r\n3)+ = (q\n3)−, L(r\n3) ≤ 1. De acuerdo\na la parte a) de Lemma 6.3, cada uno de los componentes ps+1,. ..., ps+i de q3 debe ser\nconectado a uno de p′s1,. .., p\nsi′. Por lo tanto, ya que i\n′ < i, dos componentes distintos\nde q3 se conectará al mismo componente de q\n, que es imposible por parte\nc) de Lemma 6.3.\nLa desigualdad i′ > i llevaría a una contradicción después de una aplicación de un\nargumento simétrico a q′3. Por lo tanto i\n′ = i y se demuestra el lema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nLemma 6.5. En las anotaciones anteriores, deje m ≥ 7K y C = max{L(r),L(r′)}. Por\ncualquier número entero positivo d existe una constante L = L(C, d) N tal que si L(q) ≥ L\nentonces hay d componentes consecutivos ps,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\ns′,. .., p\nsd−1 de\nq1, de modo que ps+i está conectado a p\nsi para cada i = 0,...., d− 1.\nPrueba. Elija la constante L de modo que (L − 1)/2 ≥ 12max{C, 1} + 2 + d.\np1,. .., pl ser la lista consecutiva de todos los componentes de q. Desde Lab(q)\ntienen l ≥ (L − 1)/2 (debido a la forma de cualquier palabra de W(,m)). Así podemos\naplicar Lemma 6.4 para encontrar índices s, t de su reclamación. Por la elección de s y t, y\nla estimación en l, tenemos t− s ≥ d+ 1, dando la declaración del lema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nCorollary 6.6. Dejar G ser un grupo hiperbólico relativo a una familia de subgrupos adecuados\n{H. Suponga que un â € TM â € TM, para algunos â € â € TM, es un elemento de orden infinito,\ny x1, x2 â € ¬ G \\ H0. Entonces existe k â € N tal que g = a\nk1x1a\nk2x2 es un\nelemento hiperbólico de orden infinito en G cuando k1, k2 ≥ k.\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 21\nPrueba. Sin la pérdida de la generalidad podemos asumir que x1, x2 x, desde relativa\nhiperbólica no depende de la elección del conjunto de generación relativo finito\n([20, Thm. 2.34]). Elija el subconjunto finito \nde acuerdo con la reclamación de Lemma 6.1, y set m = 7K. Como el orden de una es infinito,\nNo hay k â € N tal que ak\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n≥ k. Asumir\nque k1, k2 ≥ k.\nSupongamos, en primer lugar, que gl = 1 para algunos l N. Considere el ciclo o = rqr′q′ en\n(G,X,H) donde q− = q+ = 1, Lab(q) • (a)\nk1x1a\nk2x2)\nl • W(,m) (aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\nse consideran como letras únicas del alfabeto X H) y r, r′, q′ son vías triviales\n(consiste en un solo punto). Luego, por parte (a) de Lemma 6.3, cada componente de\nq debe ser regular en o, lo que es imposible ya que q es sin retroceso según\na Lemma 6.2. Por lo tanto g tiene orden infinito en G.\nSupongamos, ahora, que existe â â € â € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM\n−1 = u.\nNota C = yXH. Puesto que el elemento u â € ¢ G tiene un orden infinito, existe l â € TM N tales\nque 2l ≥ 6C+2 y ul / {h : h ≤ m}. La igualdad yg\nly−1u−l = 1 da\nla altura del ciclo o = rqr′q′ en فارسى(G,X»,H), donde r y r′ son carriles de longitud C cuya\nlas etiquetas representan y en G, r− = 1, q− = r+ = y, Lab(q)\nk1x1a\nk2x2)\nl.o W.o.m.,\nr = q+, q\n− = r\n+ = y(a)\nk1x1a\nk2x2)\nly−1 y Lab(q′) u−l (l) W(,m), L(q′) = 1.\nPor parte c) de Lemma 6.3, al menos 2l − 6C ≥ 2 componentes distintos de q\nestar conectado a componentes distintos de q′, lo que es imposible ya que q′ tiene sólo uno\ncomponente. La contradicción muestra que g debe ser un elemento hiperbólico de G.\nLemma 6.7. Que G sea un grupo hiperbólico libre de torsión relativo a una familia de\nSubgrupos {H, a {H°0 \\ {1}, para algunos {0 â °, y t, u â € G \\Hœ0. Supón\nque existe kÃ3r â n de tal manera que para cada k ≥ kÃ3r el elemento g1 = a\nktakt−1\nes conmensurable con g2 = a\nkuaku−1 en G. Luego hay β, γ \nTal que u = γt, βa1 = a, 1aγ = a.\nPrueba. Cambiando el conjunto de generación relativo finito X de G, si es necesario, podemos\nAsumir que t, u, t−1, u−1 X. Deja que el subconjunto finito de G y G y la constante\nK N se elegirá de acuerdo con Lemma 6.1. Definir m = 7K y suponer que k es\nlo suficientemente grande como para satisfacer ak/ {h : h ≤ m}.\nDado que g1 y g2 son commensurables, existen l, l\nEn el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo.\nygl2y\n−1 = gl\n1. Let C = yXÃ3H, d = 8 y L = L(C, d) ser la constante de Lemma\n6.5. Sin pérdida de generalidad, asumir que 4l ≥ L. Considere el ciclo o = rqr′q′\n(G,X,H) de manera que r y r′ sean vías de longitud C cuyas etiquetas representen y\nen G, r− = 1, q− = r+ = y, Lab(q) \nkuaku−1)l â € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €. € €.................................................................................................................................................................................................................................. \nq = r\n+ = yg\n−1, Lab(q′) فارسى (aktakt−1)l\n• W(,m), L(q′) = 4l′.\nAhora, por Lemma 6.5, hay subtrayectorias q? = p1s1p2s2p3s3p4 de q y q?\n4 de q\n1 tal que el Lab(pi)\nk, Lab(p′i)\nk, i = 1, 2, 3, 4, para\nalgunos de ellos (que depende del signo de l′), laboratorio(s1), laboratorio(s3), u,\nLaboratorio(s2)\n−1, Lab(s′1) • Lab(s)\n3) t\n*, Lab(s′2) * t\n, para algunos 1, 1}, y\npi está conectado a p\ni para cada i = 1, 2, 3, 4. Por lo tanto existen caminos\np1, p2, p3, p4 cuyas etiquetas representan, respectivamente, los elementos α, β, γ,\nque (p01) = (p1)+, (p1)+ = (p\n1)+, (p̃2)− = (p\n2)+, (p2)+ = (p2)+, (p3)− = (p3)−,\n(p̃3)+ = (p\n3) -, (p04) - = (p\n4)−, (p̃4)+ = (p4)− (ver Fig. 2).\nLos ciclos s−11 pœ1s\n2p‡2p\n2, s2pс3s\np‡2 y s\n3 pœ3p\nEl 3p4 da lugar a la creación de una sociedad de la información en la que la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información y la sociedad de la información.\nla bajada de las equivalencias en el grupo G:\nu = αtaakβa−k, u = γt y u = a−kγakt.\n22 ASHOT MINASYAN\np1 s1 p2 s2 p3 s3 p4\np′1 s\np. 1 p. 2 p. 3 p. 4\nak u ak u−1 ak u\na-ka-ka-ka-ka-k\n# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nGráfico 2\nConsecuentemente, recordando que Hl0 es anormal (Lemma 2.3) y que t\n# Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # # Nos # # # # Nos # # # Nos # # # # Nos # # # # # Nos # # # # # Nos # # # # # Nos # # # # # # # Nos # # # # Nos # # # # # Nos # # # Nos # # # # # Nos # # # # # # # # Nos # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \nβak1ak = t1αtà â â € â € â € â € â € â € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM\nH/23370/0t\n• = {1}, y\nak1akγ = t1t â € â € â € â € TM t\n- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!\n= {1}.\n(6.1) βak1 = ak y 1akγ = ak\npara algunos β = β(k), γ = γ(k) Tenga en cuenta que\nla prueba funciona para cualquier k suficientemente grande, por lo tanto podemos encontrar dos mutuamente\nNúmeros enteros positivos primos k, k′ con las propiedades anteriores de tal manera que â € (k) = â € (k′) = â € €\nDenota = β(k′) y γ(k′), luego γt = u = t,\nlo que implica\n1 = t\n# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!\n= {1}.\nPor lo tanto = β, = γ,\n(6.2) βak\n1 = ak\ny 1ak\nγ = ak\nQueda por observar que, puesto que k y k′ son mutuamente primos, las fórmulas (6.1)\ny (6.2) juntos rinden\nβa1 = a y 1aγ = a,\nq.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n7. Pequeña cancelación en grupos relativamente hiperbólicos\nDejar G ser un grupo generado por un subconjunto A G y dejar O ser el conjunto de todos\npalabras en el alfabeto A±1, que son triviales en G. Entonces G tiene una presentación de la\nel siguiente formulario:\n(7.1) G = â € A â € Oâ € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM\nDado un conjunto simetrizado de palabras R sobre el alfabeto A, considere el grupo G1\ndefinido por\n(7.2) G1 = â € A â € O â € Râ € = â € G â € Râ €\nDurante la prueba del resultado principal de esta sección utilizamos presentaciones (7.2) (o,\nEquivalentemente, los conjuntos de retablos adicionales R) que satisfacen el\nla condición de cancelación C1(, μ, , c, ). En el caso de los grupos hiperbólicos de la palabra esto\ncondición fue sugerido por Ol'shanskii en [16], y se generalizó después a\ngrupos hiperbólicos relativamente por Osin en [21]. Para la definición y la teoría detallada\nremitimos al lector al artículo [21], ya que sólo utilizaremos las propiedades, que fueron\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 23\nya establecido allí. La siguiente observación es una consecuencia inmediata\nde la definición:\nObservación 7.1. Dejar que las constantes (j, μj, , c, /23370/j, j = 1, 2, satisfagan 0 < ≤ 1, 0 ≤ فارسى1 ≤\nEn el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. Si la presentación (7.2) disfruta de la condición\nA continuación, también goza de la condición C1(2, μ2, 2, c, 2), y de la condición C1(1, 1, 1, c, 1).\nTambién asumiremos que el lector está familiarizado con la noción de un van Kampen\ndiagrama sobre la presentación del grupo (7.2) (véase [10, cap. V] o [15, Ch. 4]). Dejad en paz.\nTal diagrama. Una célula Π de • se llama una célula-R si la etiqueta de su contorno de contorno\n(es decir, la palabra escrita en él comenzando con algún vértice en el sentido contrario a las agujas del reloj\ndirección) pertenece a R.\nConsiderar una ruta cerrada simple o = rqr′q′ en un diagrama\n(7.2), de tal manera que q es un subcamino del ciclo límite de una célula R Π y q′ es un\nsubpath de. Dejado denotar el subdiagrama de la o. Asumiendo que\nNo tiene agujeros, ni células-R y L(r), L(r′) ≤ \nsubdiagrama de Π a. La razón L(q)/L() se denominará grado de contigüidad\nde Π a y denotado (Π,, ).\nUn diagrama se dice que se reduce si tiene un número mínimo de células-R entre todos\nlos diagramas con la misma etiqueta de contorno.\nSi G es un grupo hiperbólico relativo a una familia de subgrupos apropiados\nun conjunto de generación relativo finito X, entonces G es generado por el conjunto A = X •\n(Hola)\n{1}), y el gráfico de Cayley (G,A) es un espacio métrico hiperbólico [20, Cor. 2.54].\nEn cuanto a cada condición de cancelación pequeña, la declaración principal de la teoría es\nel siguiente análogo de Lemma de Greendlinger, alegando la existencia de una célula,\ngran parte de cuyo contorno se encuentra en el límite del diagrama de van Kampen.\nLemma 7.2 ([21], Cor. 4.4. Supongamos que el grupo G es generado por un subconjunto A\ntal que el gráfico de Cayley (G,A) es hiperbólico. Entonces para cualquier 0 < ≤ 1 hay\nμ0 > 0 de tal manera que para cualquier μ â € (0, μ0] y c ≥ 0 haya â € 0 ≥ 0 y â € 0 > 0 con la\ndespués de la propiedad.\nQue la presentación simetrizada (7.2) satisfaga la condición C1(0, μ, , c, 0).\nAdemás, vamos a ser un diagrama reducido de van Kampen sobre G1 cuyo contorno de contorno\nes (l, c)-cuasigeodésico en G. Entonces, a condición de que tiene una célula-R, existe una célula-R\nΠ en los Estados miembros y en un subdiagrama de contiguidad de los Estados miembros de la Comunidad, de Π a, de modo que:\n(Π,l, ) > 1− 23μ.\nLa aplicación principal de esta pequeña condición particular de cancelación es\nLemma 7,3 ([21], Lemmas 5.1 y 6.3). Para cualquier 0 < ≤ 1, c ≥ 0 y N > 0\nexisten μ1 > 0,1, 1 ≥ 0 y 1 > 0 de tal manera que para cualquier conjunto de palabras simetrizadas\nR que cumplan las condiciones siguientes: C1(1, μ1, 1, c, 1)-condición:\n1. El grupo G1 definido por (7.2) es hiperbólico en relación con la colección de\nimágenes (Hola)}iI bajo el homomorfismo natural η : G→ G1.\n2. La restricción de η al subconjunto de elementos que tienen longitud como máximo N con\nel respeto a A es inyector.\n3. Cualquier elemento que tiene un orden finito en G1 es una imagen de un elemento de\norden finito en G.\nA continuación se muestra el lema principal de esta sección que más tarde se utilizará para probar\nTeorema 1.5.\n24 ASHOT MINASYAN\nLemma 7.4. Supongamos que G es un grupo hiperbólico libre de torsión en relación con una familia\nde los subgrupos adecuados {Hi}iI, X es un conjunto de generación relativa finita de G, S es un adecuado\nEl subgrupo de G y U-G es un subconjunto finito. Supón que yo, un Hi0 \\ {1}\ny v1, v2+G son elementos hiperbólicos que no son comparables entre sí.\nEntonces existe una palabra W (x, y) sobre el alfabeto {x, y} de tal manera que lo siguiente es\nCierto.\nDenotar w1 = W (a, v1) G, w2 = W (a, v2) G, y dejar que w2 sea el normal\ncierre de w2 en G, G1 = G/w2 y η : G → G1 ser el epimorfismo natural.\n• η es inyector en {H • U y G1 es hiperbólico en relación con la familia\n(H/23370/);\n• η(S) es un subgrupo adecuado de G1;\n• G1 está libre de torsión;\n• η(w1) 6= 1.\nPrueba. Por Lemma 2.7 hay elementos hiperbólicos v3, v4 S tal que vi\n6o vj si\n1 ≤ i < j ≤ 4. Entonces por Lemma 2.2, el grupo G es hiperbólico relativo a lo finito\nRecolección de subgrupos\nj=1{EG(vj)}, y generado por el conjunto\nA = X\nEG(vj)\n\\ {1}.\nLet G y K N denotar el subconjunto finito y la constante lograda después de un\naplicación de Lemma 6.1 a esta nueva colección de subgrupos periféricos.\nDefinir m = 7K, = 1/3, c = 2 y N = maxuA : u U} + 1. Elegir\nμj > 0, Łj ≥ 0 y /23370/j > 0, j = 0, 1, según las alegaciones de Lemmas 7,2\ny 7.3. Dejemos que L = L(C, d) > 0 sea la constante dada por\nLemma 6.5 donde C = 0 y d = 2. Es evidente que existe n o N tal que, para\nμ = (3 11)/n, uno tiene\n0 < μ ≤ min0, μ1}, 2n(1− 23μ) > L, y 2n > max0, \nF() =\nh : h ≤ max{K(32 70),m}\nPuesto que el subconjunto F () es finito, podemos encontrar k • N de tal manera que ak\n1, v\n2 / F(♥)\ncuando k′ ≥ k. Considere la palabra\nW (x, y) فارسى xkykxk+1yk+1. .. xk+n−1yk+n−1.\nQue wj G sea el elemento representado por la palabraW (a, vj) en G, j = 1, 2, y que\nR es el conjunto de todos los cambios cíclicos de W (a, v2) y sus inversas. Por Lemma 2.3, Hi0\nEG(v2) = {1} porque G está libre de torsión, por lo tanto por [21, Thm. 7.5] la presentación\n(7.2) cumple la condición C1( siguientes, μ, 1/3, 2, 2n), y por lo tanto, mediante la Observación 7.1,\ncumple las condiciones C1(0, μ, 1/3, 2,0) y C1(1, μ1, 1/3, 2,1).\nObserve que w1 6= 1 en G porque, de lo contrario, habría existido un cerrado\nruta q en Ł(G,A) etiquetada con la palabra W (a, v1), y, por parte (a) de Lemma 6.3,\ntodos los componentes de q habrían sido regulares en el ciclo o = rqr′q′ (donde r, r′, q′\nson caminos triviales), lo que es obviamente imposible.\nDenotar G1 = G/w2 y dejar η : G → G1 ser el epimorfismo natural. Entonces,\nde acuerdo con Lemma 7.3, el grupo G1 es libre de torsión, hiperbólico relativo a\n# Hola # # I # I # # I # # I # # I # # I # # I # # I # # I # # I # # I #\nj=1(EG(vj))} y η es inyector en el conjunto\n¡Hola!\nj=1 EG(vj)\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 25\nU (porque la longitud en A de cualquier elemento de este conjunto es como máximo N). Desde cualquier\ngrupo elemental es palabra hiperbólica, G1 es también hiperbólica relativa a (Hola)}iI\n(por Lemma 2.4) y η(v3), η(v4) η(S) se convierten en elementos hiperbólicos de infinito o-\nder en G1, que no son comparables entre sí (por Lemma 2.3). Por lo tanto\nEG1(η(v3)) • EG2(η(v4)) = {1} (recordemos que estos subgrupos son cíclicos por Lemma\n2.2 y porque G1 está libre de torsión), y, por consiguiente, η(S) es un subgrupo adecuado\nde G1.\nSupongamos que η(w1) = 1. Por Lemma de van Kampen existe una reducción\ndiagrama plano sobre la presentación (7.2) con la palabra W (a, v1) escrita en su\nlímite. SinceW (a, v1)\n6 = 1, posee al menos una célula-R. Fue probado en [21,\nLemma 7.1] que cualquier camino en •(G,A) etiquetado por W (a, v1) es (1/3, 2)-cuasigeodésico,\npor lo tanto, podemos aplicar Lemma 7.2 para encontrar una R-célula Π de.................................................................................................................................................................................................................................................... \n(que no contienen R-células) entre Π y de tal manera que (Π,,) >\n1− 23μ. Por lo tanto, existe un ciclo o = rqr′q′ en Ł(G,A) de tal manera que q está etiquetado por un\nsubpalabra de (un cambio cíclico de) W (a, v2), q\n′ está etiquetada con una subpalabra de (un cambio cíclico\nde) W (a, v1)\n±1, L(r), L(r′) ≤ 0 = C y\nL(q) > (1− 23μ) · L() = (1− 23μ) · 2n > L.\nEn particular, Lab(q), Lab(q′) Por lo tanto, podemos aplicar Lemma 6.5 a\nencontrar dos componentes consecutivos de q que están conectados a algunos componentes de\nq′. Debido a la forma de la palabra W (a, v2), uno de los\nEG(v2)-componente, pero q\n′ puede tener sólo EG(v1)- o Hi0 -componentes. Esto da resultados\nuna contradicción porque EG(v2) 6= EG(v1) y EG(v2) 6= Hi0. Por lo tanto η(w1) 6= 1 en\nG1, y la prueba está completa. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n8. Cada grupo es un grupo de automorfismos externos de un grupo (2CC)\nLemma 8.1. Existe una palabra R(x, y) sobre el alfabeto de dos letras {x, y} tales\nque cada palabra libre de torsión no elemental del grupo hiperbólico F1 tiene un no-elemen-\ntary torsion-free palabra cociente hiperbólico F que se genera por dos elementos a, b\nF satisfactoria\n(8.1) R(a, b)\n6= 1, R(a−1, b−1)\n= 1, R(b, a)\n= 1, R(b−1, a−1)\nPrueba. Considere la palabra\nR(x, y) فارسى xy101x2y102. x100y200.\nDenotar por F (a, b) el grupo libre con los generadores libres a, b. Vamos.\nR1 = {R(a, b), R(a)\n−1, b−1), R(b, a), R(b−1, a−1)},\ny R2 ser el conjunto de todas las permutaciones cíclicas de palabras de R\n1. Es fácil de ver.\nque el conjunto R2 satisface la condición clásica de cancelación pequeña C\n′(1/8) (véase [10,\nCh. V]). Denotar por Ñ el cierre normal del juego\nR3 = {R(a)\n−1, b−1), R(b, a), R(b−1, a−1)}\nen F (a, b). Dado que la simetría de R3 también satisface C\n′(1/8), el grupo F\nF (a, b)/Ñ está libre de torsión ([10, Thm. V.10.1]) grupo de palabras hiperbólicas (porque\ntiene una presentación finita para la cual la función Dehn es lineal por [10, Thm. V.4.4])\nde tal manera que\nR(a, b)\n6= 1 pero R(a−1, b−1)\n= R(b, a)\n= R(b−1, a−1)\n26 ASHOT MINASYAN\nDe hecho, si la palabra R(a, b) eran triviales en Fû entonces, por Lemma de Greendlinger [10,\nThm. V.4.4], que contendría más de la mitad de un\nR3 como subpalabra, lo que contradice el hecho de que R2 disfruta de C\n′(1/8).\nEl grupo F‡ no es elemental porque cada grupo elemental libre de torsión es\ncíclico, por lo tanto, abeliano, pero en cualquier grupo abeliano la relación R(a−1, b−1) = 1 implica\nR(a, b) = 1.\nAhora, el producto libre Gś = Fś ∗F1 es un grupo hiperbólico libre de torsión. Sus subgrupos\nFū y F1 no son elementales, por lo tanto, según un teorema de Ol'shanskii [16,\nThm. 2], existe una palabra no elemental sin torsión hiperbólica grupo F y\na homomorfismo \nF. Por lo tanto F es un cociente de F1, los elementos a, b generar F\ny disfrutar de las relaciones requeridas. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nAhora estamos listos para probar el Teorema 1.5.\nPrueba de Teorema 1.5. El argumento será similar al que se usó para probar el...\norem 5.1.\nEn primer lugar, establecer n = 2 y aplicar Lemma 4.2 para encontrar un grupo libre de torsión H\ny un subgrupo normal M H, donde H/M = C y M tiene (2CC) (alternativamente,\nuno podría comenzar con un grupo libre H ′ y M ′ H ′ de tal manera que H ′/M ′ C, y luego\naplicar Lemma 4.4 al par (H ′,M ′) para obtener H y M con estas propiedades).\nConsidere la palabra R(x, y) y el grupo hiperbólico libre de torsión F, generado por\nlos elementos a, b • F que satisfacen (8.1), dados por Lemma 8.1. Nota G(−2) =\nH* F y dejar que N(−2) sea el cierre normal de M, F en G(−2), F (−2) = F,\nR(−2) = {R(a, b)} – un subconjunto finito de F (−2). Por Lemma 2.6, G(−2) será\nhiperbólico en relación con el subgrupo H, G(−2) = H ·N(−2), H •N(−2) =M y\nF (−2) será un subgrupo adecuado de G(−2).\nEl elemento a F (−2) será hiperbólico en G(−2) y desde el grupo G(−2)\nes libre de torsión, el subgrupo elemental máximo EG(−2)(a) será cíclico generado\npor algún elemento h−2x−2, donde h−2 â € H, x−2 â € N(−2).\nElija y -2 â € M de modo que h -2y -2 6= 1. Por Lemmas 2.2 y 2.5, la HNN-\nextensión\nG(−3/2) = •G(−2), t−1 • t−1h−2x−2t\n−1 = h−2y−2\nes hiperbólico en relación con H. Como en la prueba de Teorema 5.1, se puede verificar que F (−3)\nes un subgrupo adecuado de G(−3/2), y aplicar Teorema 2.8 para encontrar un epimorfismo\n2 : G(−3/2) → G(−1) de tal manera que G(−1) es un grupo sin torsión hiperbólico relativo\na 2(H), 2 es inyector en H (−2) y 2(t−1) F (−1) donde F (−1) =\n2(F (−2)) es un subgrupo adecuado de G(−1). Por lo tanto 2(G(−2)) = G(−1) como\nG(−3/2) fue generado por G(−2) y t−1.\nNota N(−1) = 2(N(−2)), R(−1) = 2(R(−2)) y 2 = 2G(−2):\nG(−2) G(−1). Uno puede mostrar queG(−1) = H ·N(−1) yH •N(−1) =M usando\nlos mismos argumentos que en la prueba de Teorema 5.1. Según la construcción,\nTenemos\n2(t−1)2(a)2(t)\n−1) = η(t−1at\n-1) - N(−1) - H = M\nen G(−1), por lo tanto, puesto que la conjugación por 2(t−1) es un automorfismo interno\nde F (−1), podemos suponer que F (−1) es generada por a−1 y b−1, donde a−1 â € M\ny R(a−1, b−1) 6= 1 en F (−1) (porque 2(R(a, b)) 6= 1 en F (−1)).\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 27\nAhora, si b−1 no es un elemento hiperbólico de G(−1), es decir, si b−1\nG(−1)\nC para algunos\nc H, luego c N(−1)H = M, y puesto que M tiene (2CC) podemos encontrar s−1 G(−1)\ntal que b−1 = s−1a−1s\n−1. En este caso definimos G(0) = G(−1), N(0) = N(−1),\nF (0) = F (−1), R(0) = R(−1), a0 = a−1, s0 = s−1 y 1 = idG(−1).\nDe lo contrario, si b−1 es hiperbólico en G(−1), entonces construimos el grupo G(0),\ny un epimorfismo 1 : G(−1) → G(0) de una manera análoga, para asegurarse de que\n1 es inyector en H R(−1), G(0) sin torsión e hiperbólico relativo a (la\nimagen de) H, F (0) = 1(F (−1)) es un subgrupo adecuado de G(0), G(0) = H ·N(0)\ny H N(0) = M donde N(0) = 1(N(−1)), y b0 = s0a0s\n0 en G(0) donde\nb0 = 1(b−1), a0 = 1(a−1) para algunos s0 • G(0)\nEnumerar todos los elementos de N(0): {g0, g1, g2,. . }, y de G(0): {q0, q1, q2,. .. },\nasí que g0 = q0 = 1.\nLos grupos G(j) junto con N(j)G(j), F (j) ≤ G(j), subconjuntos finitos R(j)\nG(j), y los elementos aj, sj • G(j), j = 1, 2,...., que construiremos satisfarán\nlas siguientes propiedades:\n1o. para cada j • N hay un epimorfismo •j−1 : G(j − 1) → G(j) que es\ninyectora de H+R(j− 1). F (j) = j−1(F (j − 1)), N(j) = j−1(N(j − 1)),\naj = •j−1(aj−1) •M, sj = •j−1(sj−1) • G(j);\n2o.............................................................................................................................................. G(j) está libre de torsión e hiperbólico en relación con (la imagen de) H, y F (j) ≤\nG(j) es un subgrupo adecuado generado por aj y sjajs\n3o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 3o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° G(j) = H ·N(j), N(j)G(j) y H •N(j) =M ;\n4o. la imagen natural j de gj en G(j) pertenece a F (j);\n5o. existe zj H tal que q̄j\n* zj, donde q̄j es la imagen de qj en G(j);\n6o. si j ≥ 1, q̄j−1 â ¬ G(j − 1) \\H y para cada kâ ¬ N hay k ≥ kâ € de tal manera que\nakj−1sj−1a\nG(j−1)\n6o akj−1q̄j−1a\nj−1q̄\nj−1, entonces hay una palabra Rj−1(x, y)\nsobre el alfabeto de dos letras {x, y} que satisface\nR(j) j−1\nRj−1(aj−1, sj−1aj−1s\n6= 1 y\nRj−1(aj−1, q̄j−1aj−1q̄\n=1 en G(j).\nSupongamos que los grupos G(0),. .., G(i) ya se han definido. El grupo\nG(i+1) se construirá en tres pasos.\nEn primer lugar, supóngase que q̄i • G(i) \\ H y para cada kâ · N hay k ≥ kâ ° tal que\naki sia\n6o aki q̄ia\ni. Obsérvese que si / H porque, de lo contrario, uno podría\ntener F (i) H, lo que es imposible, ya que F (i) es adecuado en G (i). Por lo tanto, por\nCorollary 6.6, podemos suponer que k es tan grande que los elementos v1 = a\ni sia\ny v2 = a\ni q̄ia\ni son hiperbólicos en G(i). Aplicando Lemma 7.4 podemos encontrar un\npalabra W (x, y) sobre {x, y} tal que el grupo G(i+1/3) = G(i)/W (ai, v2) y\nel epimorfismo natural η : G(i) → G(i + 1/3) satisfacen lo siguiente: η es inyector\nen H • R(i), G(i + 1/3) es libre de torsión e hiperbólico en relación con (la imagen de)\nH, η(F (i)) ≤ G(i + 1/3) es un subgrupo adecuado, y η(W (ai, v1)) 6= 1. Definir la\npalabra Ri(x, y) • W (x, x\nkyk). Entonces Ri(ai, siais\ni ) = W (ai, v1), Ri(ai, q̄iaiq̄\ni ) =\nW (ai, v2) en G(i), por lo tanto\nRi(ai, siais\n6= 1 y η\nRi(ai, q̄iaiq̄\n= 1 en G(i + 1/3).\n28 ASHOT MINASYAN\nSi, por otro lado, q̄i H o hay kâr â € N tal que por cada k ≥ kâ € uno tiene\naki sia\nفارسى aki q̄ia\ni, entonces definimos G(i+1/3) = G(i), η : G(i) → G(i+1/3)\nser el homomorfismo idéntico y Ri(x, y) ser la palabra vacía.\nDenotar las imágenes de gi+1 y qi+1 en G(i + 1/3) y Qí+1 en G(i + 1/3)\nη(N(i)), FÃ3r (i) = η(F (i)) y RÃ3r(i) = η\nR(i) {Ri(ai, siais)\n. Entonces, usando 3o,\nObtenemos G(i + 1/3) = H · N+(i) y H+N+(i) = M porque ker(η) ≤ N(i) (como\nai, q̄iaiq̄\ni) N(i)).\nAhora construimos el grupo G(i + 2/3) exactamente de la misma manera que el grupo\nG(i+ 1/2) fue construido durante la prueba de Teorema 5.1.\nSi para algunos f • G(i + 1/3), f q • i + 1f\n−1 = z • H, luego set G(i + 2/3) = G(i),\nKi+1 = No(i)G(i + 2/3) y ti+1 = 1.\nDe lo contrario, qáši+1 es un elemento hiperbólico de orden infinito en G(i + 1/3). Desde\nG(i + 1/3) es libre de torsión, uno tiene EG(i+1/3)(qáñi+1) = áhxÃ3n para algunos h à H y\nx â € € TM Nâ € (i), y hay m â € € TM Z tal que qâ € i + 1 = (hx)\nm. Ahora, por Lemma 2.2,\nG(i + 1/3) es hiperbólico relativo a {H, hx. Elija y â € M para que hy 6= 1 y\nque G(i+ 2/3) sea la siguiente extensión HNN de G(i + 1/3):\nG(i + 2/3) = G(i + 1/3), ti+1 ti+1(hx)t\ni+1 = hyâ.\nEl grupo G(i + 2/3) es libre de torsión e hiperbólico en relación con H por Lemma 2.5.\nSe puede demostrar que F® (i) es un subgrupo adecuado de G(i + 2/3) de la misma manera que\ndurante la prueba de Teorema 5.1. Lemma 4.3 asegura que H-Ki+1 = M donde\nKi+1 G(i+2/3) es el cierre normal de â € € TM nâ € (i), ti+1â € en G(i+2/3). Por último, nota\nti+1qçói+1t\ni+1 = ti+1(hx)\nmt−1i+1 = (hi)\nm = z + H en G(i + 2/3).\nDefinir Ti+1 = i+1, ti+1} Ki+1. El grupo G(i + 1) se construye a partir de\nG(i+2/3) de la siguiente manera. Desde Ti+1 · Fâ € (i) · Ki+1G(i+2/3), podemos aplicar el teorema\n2.8 para encontrar un grupo G(i + 1) y un epimorfismo : G(i + 2/3) → G(i + 1) tales\nque el i es inyector en el H-R-i, G-i-+1 está libre de torsión e hiperbólico en relación con el\n(la imagen de) H, i(i+1), Łi(ti+1)}\nde G(i + 1), y ker(Łi) ≤ Ki+1. Denota por : G(i) → G(i + 1) la composición\nNo. No. No. No. No. No. No. No. No. No. No. A continuación, se genera G(i) = G(i) = G(i) = G(i) + 1 porque G(i + 2/3)\npor G(i) y ti+1, y según la construcción, ti+1 \nAhora, después de definir F (i+1) = i(F (i)), N(i+1) = i(N(i)), R(i+1) = i(R®(i)),\ni+1 = i(i+1) F (i+1) y zi+1 = i(z) H, vemos que las condiciones 1\n5o período de sesiones\nmantener en el caso cuando j = i + 1, como en la prueba de Teorema 5.1. La última propiedad\n6o sigue de la forma en que construimos el grupo G(i + 1/3).\nDejar que Q = G() sea el límite directo de la secuencia (G(i), i) como i → , y dejar que\nF () y N = N() serán los límites de los subgrupos correspondientes. Vamos a, b,\ny ser las imágenes de a0, b0 y s0 en Q respectivamente. A continuación, b. = s............................................................................................................\n*, Q\nestá libre de torsión por 2°, N Q, Q = H ·N y H °N =M por 3°, N ≤ F () por 4°.\nPor lo tanto, Q/N = H/M = C.\nDesde F (0) ≤ N(0) obtenemos F () ≤ N. Así N = F () es un homomórfico\nimagen de F (0) = F, y, en consecuencia, es un cociente de F1. Por 5\n# Para cualquier q # N\nhay z • H y p • Q de tal manera que pqp−1 = z. En consecuencia z • H • N = M.\nElija x â € N y h â € H para que p = hx. Puesto que M tiene (2CC) y h−1zh M,\nhay y M tal que yh−1zhy−1 = z, por lo tanto (yx)q(yx)−1 = z M y\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 29\nPor lo tanto, cada elemento q de N se conjugará (en N) a un\nelemento de M, y como M tiene (2CC), por lo tanto el grupo N también tendrá (2CC).\nLa propiedad que CQ(N) = {1} se puede establecer de la misma manera que en\nTeorema 5.1. Por lo tanto, el homomorfismo natural Q → Aut(N) es inyector. Lo siento.\nsigue siendo para demostrar que es sujetivo, es decir, para cada Aut (N) hay g Q\ntal que فارسى(x) = gxg−1 por cada x • N. Puesto que todos los elementos no triviales de N son\nconjugado, después de componer Ł con un automorfismo interno de N, podemos asumir\neso es, a) = a). Por otra parte, existen qÃ3n à n y i à n de tal manera que\nEn el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo.\nLa imagen de Q es la imagen de Q en Q. Tenga en cuenta que sâ € / € H porque\nsi G(i) \\ H para cada i(i) N. Esto implica que H es un subgrupo adecuado de N,\nPor lo tanto, se trata de una medida que no se aplica a las importaciones procedentes de la República Popular China.\n• ≤ Q, y • a • H. Por lo tanto\nq̄i G(i) \\H.\nAhora tenemos que considerar dos posibilidades.\nCaso 1: para cada kÃ3r à r N hay k ≥ kà r tal que\naki sia\n6o aki q̄ia\nEntonces hay una palabra Ri(x, y) tal que la propiedad 6\nSe mantiene para j = i + 1. Y,\nya que cada j es inyector en {1} Rj (por 2\n•), llegamos a la conclusión de que\nRi(a), s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a)\n6 = 1 y Ri(a),q\n(+ ) = 1 en Q,\nlo que contradice la inyectividad de............................................................................................................... Por lo tanto, el Caso 1 es imposible.\nCaso 2: las suposiciones del Caso 1 fallan. Entonces podemos usar Lemma 6.7 para encontrar\nβ, γ H y, 1, 1} de tal manera que q̄i = γs\niβ, βaiβ\n−1 = ai y γ\n−1aiγ = a\nen G(i). Denotar por la imagen γ en Q, y para cualquier y Q dejar que Cy sea el\nautomorfismo de N definido por Cy(x) = yxy\n−1 para todas las x + N.\nSi # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Si # # # # # # # # # # # # # # # Si # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Si # # # # # # # # # # # # # # # # Si # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n* y * b ) = q ) a q ) q ) a q ) b ).................................................................................................................................................................................................................................................. \n= s\npor lo tanto\nAut(N) Cs1°\na- 7→ s-a\n• = b\nÍndice de las emisiones de gases de efecto invernadero de los Estados miembros de la Unión Europea a partir del 1 de enero de 2018\n7→ a\nPero N no tiene tales automorfismos porque R (a), b), 6 = 1 y R (b)\n(+) = 1 in\nN (ya que N es un cociente de F y 1 6= R(a0, b0) R(0) en G(0)).\nPor lo tanto = 1. Del mismo modo, = 1, ya que de lo contrario obtendríamos una contradicción\ncon el hecho de que R(a−1•, b\n* ) = 1 en N. Por lo tanto.\nAut(N) C1°\na- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- a- 7→ a- 7→ a- a- 7→ a- 7→ a- 7→ a-\nÍndice de las emisiones de gases de efecto invernadero de los Estados miembros de la Unión Europea a partir del 1 de enero de 2018\n• 7→ sznaoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo\n* = b. = b...........................................................................................................................................\nY ya que a• y b• generan N concluimos que para todos x • N, • (x) = gxg\ndonde g = Q. Por lo tanto, el homomorfismo natural de Q a Aut (N) es bijetivo,\nlo que implica que Out(N) = Aut(N)/Inn(N) + Q/N = C. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nBibliografía\n[1] G. Arzhantseva, A. Minasyan, D. Osin, La universalidad del SQ y las propiedades residuales de rela-\ngrupos hiperbólicos, J. Algebra 315 (2007), no. 1, 165-177.\n[2] I. Belegradek, D. Osin, Rips construction and Kazhdan property (T), preprint (2006). arXiv:\nmatemáticas.GR/0605553\n[3] I. Bumagin, D.T. Sabio, Cada grupo es un grupo de automorfismo externo de un finito generado\ngrupo, J. Pura Appl. Álgebra 200 (2005), no. 1-2, 137-147.\n[4] R. Camm, Simple Free Products, J. London Math. Soc. 28 (1953), 66 a 76.\nhttp://arxiv.org/abs/math/0605553\n30 ASHOT MINASYAN\n[5] Y. de Cornulier, finitamente presentable, grupos no-hopfianos con la propiedad de Kazhdan e infi-\nnite grupo de automorfismo externo, Proc. Amer. Matemáticas. Soc. 135 (2007), no. 4, 951-959.\n[6] P. de la Harpe, A. Valette, La propriété (T) de Kazhdan pour les groupes localement compacts,\n(avec un apendice de Marc Burger). Astérisque 175, 1989.\n[7] M. Droste, M. Giraudet, R. Göbel, Todos los grupos son grupos de automorfismo externo de simple\ngrupos, J. London Math. Soc. (2) 64 (2001), no 3, 565-575.\n[8] G. Higman, B.H. Neumann, H. Neumann, Teoremas empotrados para grupos, J. London Math.\nSoc. 24 (1949), 247-254.\n[9] El cuaderno de Kourovka. Problemas sin resolver en la teoría de grupos, 16a edición aumentada, V. D.\nMazurov y E. I. Khukhro eds., Rossskaya Akademiya Nauk, Sibirskoe Otdelenie, Insti-\ntut Matematiki (rama siberiana de la Academia Rusa de Ciencias, Instituto Matemático),\nNovosibirsk, 2006.\n[10] R. Lyndon y P. Schupp, Teoría del Grupo Combinatorio, Springer-Verlag, 1977.\n[11] T. Matumoto, Cualquier grupo está representado por un grupo de automorfismo externo, Hiroshima Math.\nJ. 19 (1989), No. 1, 209-219.\n[12] A. Muranov, Diagramas con selección y método de construcción\nGrupos limitedly simples, Comm. Álgebra 33 (2005), no. 4, 1217-1258.\n[13] A. Muranov, Finitely generó infinitos grupos simples de anchura infinita del conmutador, Int. J.\nAlgebra Comput. 17 (2007), No. 3, 607-659.\n[14] Y. Ollivier, D.T. Sabio, Kazhdan grupos con infinito grupo de automorfismo externo, Trans. Amer.\nMatemáticas. Soc. 359 (2007), no. 5, 1959-1976.\n[15] A.Yu. Ol'shanskii, Geometría de las relaciones de definición en grupos, Moscú, Nauka, 1989 (en Rus-\nSian); traducción al inglés en Matemáticas y sus Aplicaciones (Serie Soviética), 70. Kluwer\nGrupo de Editores Académicos, Dordrecht, 1991.\n[16] A.Yu. Ol'shanskii, Sobre homomorfismos residuales y subgrupos G de grupos hiperbólicos,\nInternat. J. Algebra Comput. 3, no. 4 (1993), 365-409.\n[17] D.V. Osin, subgrupos elementales de grupos relativamente hiperbólicos y generación limitada,\nInternat. J. Algebra Comput. 16 (2006), no. 1, 99-118.\n[18] D.V. Osin, rellenos periféricos de grupos relativamente hiperbólicos, Invent. Matemáticas. 167 (2007), no. 2,\n295-326.\n[19] D.V. Osin, funciones relativas de Dehn de extensiones HNN y productos amalgamados, Topo-\naspectos lógicos y asintóticos de la teoría de grupo, Contemp. Matemáticas. 394, 209-220, Amer. Matemáticas.\nSoc., Providence, RI, 2006.\n[20] D.V. Osin, Grupos relativamente hiperbólicos: geometría intrínseca, propiedades algebraicas, y algo-\nProblemas rítmicos, Mem. Amer. Matemáticas. Soc. 179 (2006), No. 843, vi+100 pp.\n[21] D.V. Osin, pequeñas cancelaciones sobre grupos relativamente hiperbólicos e incrustar teoremas,\nAnales de Matemáticas, para aparecer. arXiv: matemáticas.GR/0411039\n[22] F. Paulin, Automorfismos exteriores de grupos hiperbólicos y pequeñas acciones sobre árboles-R, Arboreal\nTeoría del Grupo (MSRI, Berkeley, 1988), R.C. Alperin ed., Math. Sci. Res. Inst. Publ. 19,\nSpringer, Nueva York, 1991.\nFacultad de Matemáticas, Universidad de Southampton, Highfield, Southampton, SO17\n1BJ, Reino Unido.\nDirección de correo electrónico: aminasyan@gmail.com\nhttp://arxiv.org/abs/math/0411039\n\t1. Introducción\n\t2. Grupos relativamente hiperbólicos\n\t3. Grupos con muchas clases de conjugación finitamente\n\t4. Subgrupos normales con (nCC)\n\t5. Añadiendo generación finita\n\t6. Combinación de caminos en grupos hiperbólicos relativamente\n\t7. Pequeña cancelación en grupos relativamente hiperbólicos\n\t8. Cada grupo es un grupo de automorfismos externos de un grupo (2CC)\n\tBibliografía\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" Combinamos métodos clásicos de teoría de grupos combinatoria con la teoría de\npequeñas cancelaciones sobre grupos relativamente hiperbólicos para construir finitamente\ngrupos libres de torsión generados que sólo tienen finitamente muchas clases de conjugado\nelementos. Por otra parte, presentamos varios resultados relativos a las incorporaciones en\ngrupos.\n Como otra aplicación de estas técnicas, demostramos que cada cuenta\ngrupo $C$ se puede realizar como un grupo de automorfismos externos de un grupo $N$,\ndonde $N$ es un grupo finitamente generado que tiene la propiedad de Kazhdan (T) y\nque contiene exactamente dos clases de conjugación.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción\nEmpezaremos con\nDefinición. Supongamos que n ≥ 2 es un entero. Diremos que un grupo M tiene el\npropiedad (nCC) si hay exactamente n clases de conjugación de elementos en M.\nTenga en cuenta que un grupo M tiene (2CC) si y sólo si hay dos elementos no triviales\nconjugado en M. Para dos elementos x, y de algún grupo G, escribiremos x\n• y si x\ny y son conjugados en G, y x\nY si no lo son.\nPara un grupo G, denote por η(G) el conjunto de todos los órdenes finitos de elementos de G. A\nEl teorema clásico de G. Higman, B. Neumann y H. Neumann ([8]) afirma que\ncada grupo contable G puede ser incrustado en un contable (pero infinitamente gen-\ngrupo M, en el que se conjugan dos elementos del mismo orden y\nη(M) = η(G).\nPara cualquier entero n ≥ 2, tome G = Z/2n−2Z e incruste G en un grupo contable\nM según el teorema de arriba. A continuación, tarjeta(l(M)) = tarjeta(l(G)) = n − 1.\nPuesto que, además, M siempre contendrá un elemento de orden infinito, el teorema\nde Higman-Neumann-Neumann implica que G ha (nCC).\nOtra forma de construir grupos infinitos con muchas clases de conjugación finitamente\nfue sugerido por S. Ivanov [15, Thm. 41,2], que mostró para cada lo suficientemente grande\nprime p hay un infinito 2-generado groupMp de exponente p poseyendo exactamente p\nclases de conjugación. El groupMp se construye como un límite directo de la palabra hiperbólica\ngrupos, y, como se indica en [21], es imposible obtener un grupo infinito con (2CC)\nde la misma manera.\nEn el reciente artículo [21] D. Osin desarrolló una teoría de la pequeña cancelación sobre\ngrupos relativamente hiperbólicos y lo utilizaron para obtener el siguiente resultado notable:\n2000 Clasificación de Materias Matemáticas. 20F65, 20E45, 20F28.\nPalabras y frases clave. Clases de Conjugación, Grupos Relativamente Hiperbólicos, Auto-\nGrupos de phism.\nEste trabajo contó con el apoyo de la Fundación Nacional Suiza para la Ciencia, Subvención #PP002-68627.\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0091v2\n2 ASHOT MINASYAN\nTeorema 1.1 ([21], Thm. 1.1). Cualquier grupo contable G puede ser incrustado en un\nGrupo M 2-generado de tal manera que cualesquiera dos elementos del mismo orden son conjugados\nEn M y en M η(M) = η(G).\nAplicando este teorema al grupo G = Z/2n−2Z uno puede mostrar que para cada uno\nnúmero entero n ≥ 2 existe un grupo de 2 generaciones con (nCC). Y cuando n = 2 nos\nObtener un grupo libre de torsión 2 generados que tiene exactamente dos clases de conjugación.\nLa presencia de elementos de orden finito en las construcciones anteriores fue impor-\ntant, porque si dos elementos tienen órdenes diferentes, nunca pueden ser conjugados.\nPor lo tanto, naturalmente, uno puede preguntar lo siguiente\nPregunta 1. ¿Existen grupos libres de torsión (generados finalmente) con (nCC),\npara cualquier entero n ≥ 3?\nTenga en cuenta que si G es el grupo generado finitamente con (2CC) construido por Osin,\nentonces la potencia directa m-th Gm de G es también un grupo sin torsión finitamente generado\nque satisface (2mCC). Pero ¿qué pasa si queremos lograr un grupo libre de torsión con\n(3CC)? Con este propósito se podría llegar a\nPregunta 2. Supongamos que G es un grupo libre de torsión contable y x, y G son\nno conjugar. ¿Es posible incrustar G en un groupM, que tiene (3CC), de modo que\nx e y permanecer sin conjugar en M?\nDesafortunadamente, la respuesta a la pregunta 2 es negativa como el siguiente ejemplo:\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEjemplo 1. Considere el grupo\n(1.1) G1 = a, t tat\n−1 = a−1\nque es isomórfico al producto semidirecto no trivial Z Z. Tenga en cuenta que G1 es\nsin torsión, y t no se conjuga a t−1 en G1 porque t t\n−1 en el infinito\ngrupo cíclico â € € TM que es canónicamente isomórfico al cociente de G1 por el normal\ncierre de una. Sin embargo, si G1 está integrado en un grupo M (3CC), es fácil de ver\nque cada elemento de M se conjugará a su inversa (de hecho, si y M \\ {1}\ny y\ny−1 entonces y\n# A-1, para algunos # # # 1, # 1 #, por lo tanto y #\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\ncontradicción). En particular, t\n• t−1.\nSe puede dar un análogo del ejemplo anterior para cada n ≥ 3 – ver Sección 3. Esto\nejemplo muestra que, para obtener un resultado positivo, uno tendría que fortalecer\nlas suposiciones de la pregunta 2.\nDeja que G sea un grupo. Se dice que dos elementos x, y G son commensurables si hay\nexisten k, l • Z \\ {0} de tal manera que xk es conjugado a yl. Usaremos la notación x\nsi x e y son commensurables en G. En el caso de que x no es commensurable con\nY escribiremos x\n6o y. Observar que la conmensurabilidad, así como la conjugación, define\nuna relación de equivalencia sobre el conjunto de elementos de G. Es algo sorprendente que\nsi se sustituyen las palabras “no-conjugar” por las palabras “no-commensurable” en\nPregunta 2, la respuesta se vuelve positiva:\nCorollary 1.2. Suponga que G es un grupo libre de torsión contable, n + N, n ≥ 2,\ny x1,. .................................................................. Entonces existe un\nel grupo M y un homomorfismo inyector : G→M tal que\n1. M es libre de torsión y se genera por dos elementos;\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 3\n2. M ha (nCC);\n3. M es 2-boundedly simple;\n4. los elementos فارسى(x1),. ....(xn−1) son no commensurables por pares en M.\nRecordemos que se dice que un grupo G es k-boundedly simple si para cualquier x, y G \\ {1}\nexisten l ≤ k y g1,. ..., gl • G de tal manera que x = g1yg\n1 · · · glyg\nl en G. Un grupo\nse llama limitedly simple si es k-boundedly simple para algunos k N. Evidentemente\ncada grupo limitadamente simple es simple; lo contrario no es cierto en general. Por\nejemplo, el grupo de alternancia infinita A...........................................................................................................................................................................................................................................................\nporque la conjugación preserva el tipo de descomposición de una permutación en\nun producto de ciclos. Los primeros ejemplos de sin torsión finitamente generada delimitadamente\ngrupos simples fueron construidos por A. Muranov (véase [12, Thm. 2], [13, Thm. 1]).\nEl corolario 1.2 es una consecuencia inmediata de un teorema más general 3.5 que\nse demostrará en la sección 3.\nAplicando el corolario 1.2 al grupo G = F (x1,. .., xn−1), que es libre en el\nset {x1,. .., xn−1}, y sus elementos no comparables x1,. .., xn−1, obtenemos un\nRespuesta positiva a la pregunta 1:\nCorollary 1.3. Para cada entero n ≥ 3 existe un 2-boundedly libre de torsión\ngrupo simple satisfactorio (nCC) y generado por dos elementos.\n(En el caso de que n = 2 la declaración anterior fue obtenida por Osin en [21,\nCor. 1.3].) De hecho, para cualquier grupo H (generado finalmente) libre de torsión podemos establecer\nG = H ∗ F (x1,. .., xn−1), y luego utilizar el corolario 1.2 para incrustar G en un grupo M\ndisfrutar de las propiedades 1 - 4 de su reclamación. Puesto que hay un continuum de par\nGrupos libres de torsión no isomórficos ([4]), y un grupo generado finitamente\npuede contener como máximo muchos de los diferentes subgrupos de 2 generaciones, esto muestra\nque debe haber continuamente muchos grupos no isomórficos por pares satisfactorios\npropiedades 1− 3 del corolario 1.2.\nRecuerde que el rango de rango (G) de un grupo G es el número mínimo de elementos re-\ndemanda para generar G. En la Sección 4 mostramos cómo la teoría clásica de las extensiones HNN\npermite construir diferentes incrustaciones en grupos (infinitamente generados) que tienen\nfinitamente muchas clases de elementos conjugados, y en la Sección 5 utilizamos los resultados de Osin\n(de [21]) con respecto a los cocientes de grupos relativamente hiperbólicos para demostrar\nTeorema 1.4. Que H sea un grupo contable libre de torsión y que M H sea un no-\nsubgrupo normal trivial. Entonces H puede ser incrustado isomórficamente en un sin torsión\ngrupo Q, que posee un subgrupo normal N Q, tal que\n• Q = H ·N y H •N =M (de ahí Q/N = H/M);\n• N tiene (2CC);\n• x, y Q \\ {1}, x\nSi y sólo si (x)\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nes el homomorfismo natural;\n• rango(N) = 2 y rango(Q) ≤ rango(H/M) + 2.\nEste teorema implica que si Q/N = H/M tiene exactamente (n− 1) clases de conjugación\n(por ejemplo, si es finito), entonces el grupo Q tendrá (nCC) y no será simple\n(si n ≥ 3). Por lo tanto, se puede utilizar para construir grupos (nCC) de una manera recursiva.\nTambién permite obtener incrustaciones de grupos libres de torsión contables en (nCC)-\ngrupos, que no pudimos conseguir usando el corolario 1.2. Por ejemplo, como vimos en\nEjemplo 1, el grupo fundamental de la botella Klein G1, dado por (1.1), no puede\nestar incrustado en un grupo M (3CC) de modo que t\nt−1. Sin embargo, con 4 conjugaciones\n4 ASHOT MINASYAN\nclases esto ya es posible: ver corolario 5.5 en la sección 5. La idea es como\na continuación: el grupo G1 puede ser mapeado en Z/3Z de tal manera que las imágenes de\nlos elementos t y t−1 son distintos. Que M sea el núcleo de este homomorfismo.\nUno puede aplicar el Teorema 1.4 al par (G1,M) para obtener la incrustación requerida\nde G1 en un grupo Q. Y como Z/3Z tiene exactamente 3 clases de conjugación, el grupo\nQ tendrá (4CC).\nUna aplicación de Teorema 1.4 al caso cuando H = Z y M = 2ZH también\nproporciona una respuesta afirmativa a una pregunta de A. Izosov de [9, Q. 11,42], preguntando\nsi existe un grupo Q libre de torsión (3CC) que contenga un subgrupo normal\nN del índice 2.\nEl objetivo de la segunda parte de este artículo es mostrar que cada grupo contable\npuede ser realizado como un grupo de automorfismos externos de algunos finitamente generados (2CC)-\ngrupo. Este problema tiene algunos antecedentes históricos: en [11] T. Matumoto demostró\nque cada grupo es un grupo de automorfismos externos de algún grupo (en contraste,\nhay grupos, por ejemplo, Z, que no son grupos de automorfismo completo de ningún grupo); M.\nDroste, M. Giraudet, R. Göbel ([7]) demostraron que para cada grupo C existe\nun grupo simple S tal que Out(S) = C; I. Bumagina y D. Sabio en [3] probó\nque cada grupo contable C es isomórfico a Out(N) donde N es un 2-generado\nsubgrupo de un grupo contable C′(1/6), y si, además, C se presenta finitamente\nentonces uno puede elegir N para ser residualmente finito.\nEn la Sección 6 establecemos algunas declaraciones útiles sobre los caminos en el Cayley\ngráfico de un grupo relativamente hiperbólico G, y aplicarlos en la sección 7 para obtener\npequeños cocientes de cancelación de G que cumplen ciertas condiciones. Por último, en la sección\n8 probamos lo siguiente:\nTeorema 1.5. Que C sea un grupo contable arbitrario. Entonces por cada no-elemen-\nSin torsión tardía palabra hiperbólica grupo F1 existe un grupo libre de torsión N sat-\nisfiting las siguientes propiedades:\n• N es un cociente de F1 de 2 generaciones;\n• N tiene (2CC);\n• Fuera (N) = C.\nLa principal diferencia entre este teorema y el resultado de [3] es que\nEl grupo N está libre de torsión y es simple. Por otra parte, si se aplica Teorema 1.5 a la\ncaso cuando F1 es un grupo hiperbólico libre de torsión con la propiedad de Kazhdan (T) (y\nrecuerda que cada cociente de un grupo con la propiedad (T) también tiene (T)), uno conseguirá\nCorollary 1.6. Para cualquier grupo contable C hay un grupo N de 2 generaciones tales\nque N tiene (2CC) y la propiedad de Kazhdan (T), y Out(N) C.\nLa razón por la propiedad de Kazhdan (T) es interesante en este contexto es el\npregunta de [6, p. 134] que preguntó si existen grupos que satisfagan\npropiedad (T) y tienen infinitos grupos de automorfismo externo (puede ser motivado\npor un teorema de F. Paulin [22] que afirma que el grupo de automorfismo exterior es\nfinito para cualquier grupo hiperbólico palabra con la propiedad (T)). Respuestas positivas a esto\nla pregunta fue obtenida (utilizando diferentes métodos) por Y. Ollivier y D. Wise [14],\nY. de Cornulier [5], e I. Belegradek y D. Osin [2]. Corollary 1.6 no sólo\nmuestra que el grupo de automorfismos externos de un grupo N con la propiedad (T)\npuede ser infinito, pero también demuestra que no hay ninguna restricción en\nFuera (N).\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 5\nAgradecimientos. El autor desea agradecer a D. Osin su fructífera labor.\nGolpes y estímulos.\n2. Grupos relativamente hiperbólicos\nSupongamos que G es un grupo, {H es una colección fija de subgrupos de G (llamado\nsubgrupos periféricos), y X es un subconjunto de G. El subconjunto X se llama\ngenerar el conjunto de G con respecto a {H si G es generado por X \nH/23370/. In\neste caso G un cociente del producto libre\nF = (H/23370/) ∗ F (X ),\ndonde F (X ) es el grupo libre con base X. Dejar R ser un subconjunto de F tal que el\nnúcleo del epimorfismo natural F → G es el cierre normal de R en el grupo\nF ; entonces diremos que G tiene una presentación relativa\n(2.1) X, H R = 1, R + R®.\nSi los conjuntos X y R son finitos, se dice que la presentación relativa (2.1) es finita.\nConjunto H =\n(H/23370/ \\ {1}). Se dice que una presentación relativa finita (2.1) satisface un\ndesigualdad isoperimétrica relativa lineal si existe C > 0 tal que, por cada palabra\nw en el alfabeto X â € ¢ H (por conveniencia, vamos a asumir aún más que X−1 = X )\nrepresenta la identidad en el grupo G, uno tiene\nf−1i R\ni fi,\ncon igualdad en el grupo F, donde Ri-R, fi-F, para i = 1,................................................................................................................................................................................................................................................... \ndonde la palabra \"w\" es la longitud de la palabra \"w\".\nLa siguiente definición se debe a Osin (véase [20]:\nDefinición. el grupo G se llama hiperbólico relativo a (la\nsubgrupos) {H, si G admite una presentación relativa finita (2.1) satisfaciendo un\ndesigualdad isoperimétrica relativa lineal.\nEsta definición es independiente de la elección del conjunto de generación finita X y\nel conjunto finito R en (2.1) (véase [20]). También quisiéramos señalar que, en general,\nno requiere que el grupo G se genere finitamente, lo que será importante en\nEste periódico. La definición implica inmediatamente los siguientes hechos básicos:\nObservación 2.1 ([20]). a) Que {H sea una familia arbitraria de grupos. Entonces el\nproducto libre G = H♥ será hiperbólico relativo a {H.\n(b) Cualquier palabra grupo hiperbólico (en el sentido de Gromov) es relativo hiperbólico\na la familia 1o, donde {1} denota el subgrupo trivial.\nRecuerde que un grupo H se llama elemental si tiene un subgrupo cíclico de finito\níndice. Más adelante en esta sección asumiremos que G es un grupo no elemental\nhiperbólico relativo a una familia de subgrupos apropiados {H.\nUn elemento g G se dice que es parabólico si se conjuga a un elemento de H\npara un poco de \"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\" De lo contrario g se dice que es hiperbólico. Dado un subgrupo S ≤ G,\ndenotar por S0 el conjunto de todos los elementos hiperbólicos de S de orden infinito.\nLemma 2.2 ([17], Thm. 4.3, Cor. 1.7). Por cada g de G0 las siguientes condiciones:\nEspera.\n6 ASHOT MINASYAN\n1) El elemento g está contenido en un subgrupo elemental máximo único EG(g)\nde G, donde\n2.2) EG(g) = {f) G : fg\nnf−1 = g±n para algunos n+N}.\n2) El grupo G es hiperbólico en relación con la colección {H {EG(g)}.\nRecordemos que un subgrupo no trivial H ≤ G se llama no normal si por cada g\nG \\H, H • gHg−1 = {1}. El siguiente lema es un caso especial de Teorema 1.4 de\n[20]:\nLemma 2.3. Para cualquiera de los siguientes tipos de productos, la intersección de los productos de la sección H y de los productos de la sección H, la intersección de los productos de la sección H y de la sección G de la sección H, la intersección de los productos de la sección H y la sección G de la sección G de la sección H y la sección G de la sección G de la sección G de la sección G de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección\n−1 es\nfinito. En caso de que se produzca un cambio de dirección en la dirección de la dirección del vehículo, la dirección del vehículo deberá indicarse en la dirección de la dirección de la dirección de la homologación de tipo de vehículo y en la dirección de la dirección de la dirección de la dirección de la homologación de tipo de vehículo.\n−1 es finito. In\nEn particular, si G está libre de torsión, entonces He es anormal (siempre que He 6 = {1}).\nLemma 2.4 ([20], Thm. 2.40). Supongamos que un grupo G es relativo hiperbólico\na una colección de subgrupos {H {S1,. .., Sm}, donde S1,. .., Sm son palabra\nhiperbólico (en el sentido ordinario no-relativo). Entonces G es hiperbólico relativo a\n{H.\nLemma 2.5 ([19], Cor. 1.4). Let G ser un grupo que es hiperbólico relativo a un\nrecogida de subgrupos {H {K}. Supongamos que K se genera finitamente y\nHay un monomorfismo α : K → H v para algunos ν. Luego la extensión HNN\nG, t txt−1 = α(x), x â € € € TM es hiperbólico con respecto a {H.\nEn [21] Osin introdujo la siguiente noción: un subgrupo S ≤ G es adecuado si\nexisten dos elementos g1, g2 + S\n0 tales que g1\n6-g2 y EG(g1)-EG(g2) = {1}.\nPara cualquier S ≤ G con S0 6 = \n2.3 EG(S) =\nEG(g)\nque es obviamente un subgrupo de G normalizado por S. Tenga en cuenta que EG(S) = {1} si la\nEl subgrupo S es adecuado en G. Como se muestra en [1, Lemma 3.3], si S no es elemental\ny S0 6= فارسى entonces EG(S) es el subgrupo finito máximo único de G normalizado por\nLemma 2.6. Dejar {H ser una familia de grupos y dejar que F sea una torsión libre de no-\npalabra elemental grupo hiperbólico. Entonces el producto libre G = (H♥) * F es\nhiperbólico relativo a {H y F es un subgrupo adecuado de G.\nPrueba. De hecho, G es hiperbólico relativo a {H por Observación 2.1 y Lemma\n2.4. Dado que F no es elemental, hay elementos de orden infinito x, y F tales\nque x\n(véase, por ejemplo, [16, Lemma 3.2]). Evidentemente, x e y son hiperbólicos\nelementos de G que no son comparables entre sí, y los subgrupos\nEG(x) = FE (x) ≤ F, EG(y) = FE (y) ≤ F son cíclicos (como subgrupos elementales de una\ngrupo libre de torsión). Por lo tanto EG(x) • EG(y) = {1}, y por lo tanto F es adecuado en G.\nLemma 2.7 ([21], Lemma 2.3). Supongamos que G es un grupo hiperbólico relativo a un\nfamilia de subgrupos {H y S ≤ G es un subgrupo adecuado. Entonces uno puede encontrar\ninfinitamente muchos elementos no commensurables (en G) g1, g2, · · · S\n0 de los cuales:\nque EG(gi) • EG(gj) = {1} para todos los i 6= j.\nEl siguiente teorema fue probado por Osin en [21] utilizando la teoría de la pequeña\ncancelación sobre grupos relativamente hiperbólicos, y representa nuestra herramienta principal para\nla obtención de nuevos cocientes de estos grupos con una serie de propiedades prescritas:\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 7\nTeorema 2.8 ([21], Thm. 2.4). Dejar G ser un grupo sin torsión hiperbólico relativo a\nuna colección de subgrupos {H, dejar que S sea un subgrupo adecuado de G, y dejar que T, U\nser subconjuntos finitos arbitrarios de G. Entonces existe un grupo G1 y un epimorfismo\nη : G→ G1 tales que:\ni) La restricción de η a\nU es inyector, y el grupo G1 es hy-\nperbólica relativa a la colección (H♥);\n(ii) por cada T, tenemos η(t) η(S);\niii) η(S) es un subgrupo adecuado de G1;\niv) El G1 está exento de torsión;\n(v) el núcleo ker(η) de η es generado (como subgrupo normal de G) por un finito\ncolección de elementos pertenecientes a T · S.\nHemos cambiado ligeramente la formulación original del teorema anterior de\n[21], exigiendo la inyectividad en V =\nU (en lugar de justo\nH/23370/)\ny añadiendo el último punto relativo a los generadores del núcleo. Esta última\nse desprende de la forma explícita de las relaciones, impuestas a G (véase la prueba de\nThm. 2.4 en [21]), y el primero – de la parte 2 de Lemma 5.1 en [21] y el hecho\nque cualquier elemento de V tiene longitud (en el alfabeto X + H) como máximo N, donde\nN = máx.\n3. Grupos con muchas clases de conjugación finitamente\nLemma 3.1. Dejar que G sea un grupo y dejar que x1, x2, x3, x4 G sean elementos de orden infinito\ntal que x1\nxi, i = 2, 3, 4. Let H = G, t tx3t\n−1 = x4® ser la extensión HNN\nde G con subgrupos cíclicos asociados generados por x3 y x4. Entonces x1\n6° x2.\nPrueba. Argumentando por contradicción, asumir que hxl1h\n−1xm2 = 1 para algunas h • H,\nl,m Z \\ {0}. El elemento h tiene una presentación reducida del formulario\nh = g0t\n1g1t\n2 libras esterlinas. .....................................................................................................................\ndonde g0,. ............................................................... ...............................................................................................................................................................................................................................................................\ngj/ x3° si 1 ≤ j ≤ k − 1 y j > 0, j+1 < 0\ngj/ x4° si 1 ≤ j ≤ k − 1 y j < 0, j+1 > 0\nPor los supuestos, x1\n6o x2 por lo tanto k ≥ 1, y en el grupo H tenemos\n(3.1) hxl1h\n−1xm2 = g0t\n1g1t\n2 libras esterlinas. .......................................................................................................................................................................................\nk. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\n1 gœ0 = 1,\ndonde g0 = g\n2 G. Por Britton’s Lemma (véase [10, IV.2]), el lado izquierdo\nen (3.1) no se puede reducir, y esto sólo puede suceder si gkx\nk pertenece a cualquiera de los dos\n* x 3 o x 4 en G, lo que contradice las suposiciones. Por lo tanto, el lema es\nprobado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nDefinición. Supongamos que G es un grupo y Xi G, i I, es una familia de subconjuntos.\nDiremos que Xi, yo, soy independiente si ningún elemento de Xi es commensurable.\ncon un elemento de Xj siempre que i 6= j, i, j+ I.\nLemma 3.2. Suponga que G es un grupo libre de torsión contable, n+ N, n ≥ 2, y\nLos subconjuntos no vacíos Xi G \\ {1}, i = 1,...., n− 1, son independientes en G. Entonces G\npuede ser (isomórficamente) incrustado en un grupo libre de torsión M\nforma en que M tiene (nCC) y los subconjuntos Xi, i = 1,...., n− 1, permanecen independientes en\n8 ASHOT MINASYAN\nPrueba. Para cada i = 1,...., n− 1, fijar un elemento xi â € Xi. Primero incrustamos G en un\ngrupo G1 libre de torsión contable de tal manera que para cada elemento no trivial g G allí\nexist i {1,............................................................................................................................................................................................................................................................\n−1 = xj en G1, y los subconjuntos Xi,\ni = 1,...., n− 1, permanecer independiente en G1.\nLet g1, g2,. .. ser una enumeración de todos los elementos no triviales de G. Conjunto G(0) = G\ny supongamos que ya hemos construido el grupo G(k), que contiene G, así que\nque para cada l {1,........................................................................................................................................................................................................................................................... \nconjugado en G(k) a xj, y Xi, i = 1,...., n− 1, son independientes en G(k).\nSupongamos, al principio, que gk+1 es commensurable en G(k) con un elemento de Xj\npara un poco de j. Entonces gk+1\n6° h por cada h °\ni=1,i6=j\nXi. Definir G(k + 1) como la\nExtensión de HNN â ¬ G(k), tk+1 â ¬ tk+1gk+1t\nk+1 = xjÃ3. Por Lemma 3.1 los subconjuntos Xi,\ni = 1,...., n− 1, permanecerá independiente en G(k + 1).\nAsí podemos asumir que gk+1 no es commensurable con ningún elemento de\ni=1 Xi en G(k). Según las hipótesis de inducción se puede aplicar Lemma 3.1\na la extensión HNN\nG(k + 1) = + G(k), tk+1 + tk+1gk+1t\nk+1 = x1\npara ver que los subconjuntos Xi-G ≤ G(k + 1), i = 1,...., n − 1, son independientes en\nG(k + 1).\nAhora, setG1 =\nk=0G(k). Evidentemente G1 tiene las propiedades requeridas. En el mismo\nde manera, se puede incrustar G1 en un grupo sin torsión contable G2 para que cada no-\nelemento trivial de G1 se conjugará a xi en G2, para algunos i • {1,....., n − 1},\ny los subconjuntos Xi, i = 1,..., n− 1, continúan siendo independientes en G2.\nProcediendo así obtenemos el grupo deseadoM =\ns=1Gs. Por la construcción...\ntion, M es un grupo contable libre de torsión que tiene exactamente n clases de conjugación:\n[1], [x1],. ., [xn−1]. Los subconjuntos Xi, i = 1,..., n− 1, son independientes en M porque\nson independientes en Gs para cada s â € N.\nCorolario 3.3. En Lemma 3.2 se puede añadir que el groupM es 2-boundedly simple.\nPrueba. Dejar un grupo contable sin torsión G y sus subconjuntos independientes no vacíos\nXi, i = 1,..., n− 1, sea como en Lemma 3.2. Let F = F (a1,. .., an−1, b1,. .., bn−1) ser\nel grupo libre con el conjunto de generación libre {a1,. .., an−1, b1,. .., bn−1}, y considerar\nPara cada i = 1,..................................................................................................................................\nX̄i = Xi {ai, a\nj = 1,.............................................................................................................................................................................................................................................................\ndonde [aj, bi] = ajbia\ni. Uso de las propiedades universales de los grupos libres y libres\nproductos uno puede ver fácilmente que los subconjuntos X̄i, i = 1,...., n− 1, son independientes\nen â € € TM.\nAhora aplicamos Lemma 3.2 para encontrar un grupo libre de torsión (nCC) M, con-\n...............................................................................................................................................................................................................................................................\nimplica que para cualquier i dado = 1,...., n− 1, cualesquiera dos elementos de X̄i se conjugan en\nM. Para x arbitrario, y M \\ {1} existen i, j {1,....., n − 1} de tal manera que x\ny y\n# AJ. # Si i = j entonces x\n- Sí. De lo contrario, y\n• a−1j y x\n[aj, bi] que\nes un producto de dos conjugados de aj, y, por lo tanto, de y. Por lo tanto, el grupo M es\n2-boundedly simple, y desde G ≤ ≤ ≤ M, el corolario se demuestra. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIA 9\nA continuación se muestra un caso particular (libre de torsión) de un teorema demostrado por Osin en [21, Thm.\n2.6]:\nLemma 3.4. Cualquier grupo libre de torsión S puede ser integrado en un 2-generado\ngrupo M de modo que S es anormal en M y cada elemento de M se conjuga a un\nelemento de S en M.\nPrueba. Después de la prueba de Osin de Teorema 2.6 de [21], vemos que el requerido\ngrupo M se puede construir como un límite inductivo de grupos relativamente hiperbólicos\nG(i), i+N. Más precisamente, un conjunto G(0) = S* F2, donde F2 es un grupo libre de\nrango 2, +0 = idG(0) : G(0) → G(0), y para cada i +N se construye un grupo\nG(i) y un epimorfismo : G(0) → G(i) de modo que i es inyector en S, G(i) es\nlibre de torsión e hiperbólico en relación con i(S)}, y i factores a través de i−1. Los\nEl grupo M se define como el límite directo de (G(i), i) como i →, es decir, Q = G(0)/N\ndonde N =\nN ker(i). Por Lemma 2.3, i(S) es anormal en G(i), por lo tanto la\nla imagen de S también será anormal en M.\nTeorema 3.5. Que G sea un grupo contable libre de torsión, n + N, n ≥ 2, y no-\nLos subconjuntos vacíos Xi G \\ {1}, i = 1,...., n − 1, ser independiente en G. Entonces G puede\nestar incrustado en un grupo libre de torsión M de 2 generaciones que tiene (nCC), de modo que el\nsubconjuntos Xi, i = 1,...., n− 1, permanecer independiente en M. Además, se puede elegir M\nser 2-boundedly simple.\nPrueba. En primer lugar, de acuerdo con el corolario 3.3, podemos incrustar el grupo G en un contable\ngrupo S libre de torsión tal que S tiene (nCC) y es 2-boundedly simple, y Xi,\ni = 1,...., n − 1, son independientes en S. En segundo lugar, aplicamos Lemma 3.4 para encontrar la\nGrupo M de su reclamación. Elegir cualquier i, j • {1,....., n − 1}, i 6= j, y\nx Xi, y Xj. Si x e y fueran commensurables en M, la malnormalidad de S sería\nimplica que x e y deben ser commensurables en S, contradiciendo la construcción.\nPor lo tanto Xi, i = 1,..., n − 1, son independientes en M. Puesto que cada elemento de M es\nconjugado a un elemento de S, es evidente que M tiene (nCC), es libre de torsión y\n2-boundedly simple. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 3.6. Una prueba más directa de Teorema 3.5, no utilizando Lemma 3.4, puede ser\nextraída de la prueba del Teorema 5.1 (véase la sección 5), aplicada al caso cuando\nH = M.\nEs fácil ver que el teorema 3.5 implica inmediatamente corolario 1.2 que fue\nformulado en la Introducción. Como se prometió, ahora damos un contraejemplo a\nPregunta 2 (formulada en la introducción) para cualquier n ≥ 3.\nEjemplo 2. Dejar G2 = a, t tat\n−1 = a2® ser el grupo Baumslag-Solitar BS(1, 2).\nEntoncesG2 es libre de torsión, y los elementos t\n2, t4,. .., t2\nson pares no conjugados\nen G2 (ya que esto se mantiene en el cociente de G2 por el cierre normal de a). Supón\nque G2 está integrado en un grupo M que tiene (nCC) de modo que t\n2, t4,. .., t2\npar no conjugar en M. Luego t2,. .., t2\nes la lista de representantes de todos\nclases de conjugación no trivial de M. Por lo tanto existen k, l • {1,....., n− 1} tales\nque t\ny a\n. En consecuencia\ny t2\npor lo tanto k = l = n− 1 según los supuestos. Pero esto da resultados.\nn−1 M\n* t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2\n10 ASHOT MINASYAN\nlo que implica que t2\nT4, lo que contradice nuestras suposiciones.\nPor lo tanto, G2 no puede integrarse en un grupo M (nCC) de tal manera que\nt2,. .., t2\npermanecer por pares no conjugados en M.\n4. Subgrupos normales con (nCC)\nSi M es un subgrupo normal de un grupo H, H actúa naturalmente sobre M por\nJugación. Diremos que esta acción preserva las clases de conjugación de M si\ncualquier h H y a M existe b M de tal manera que hah−1 = bab−1.\nLemma 4.1. Que G sea un grupo libre de torsión, N G y x1,. ..............................................................\nser elementos no commensurables (en G) por pares. Entonces existe una partición\nN \\ {1} =\nk=1Xk de N \\ {1} en una unión (disjunta) de subconjuntos G-independientes\nX1,. ................................................. Además, cada subconjunto Xk\nserá invariante bajo conjugación por elementos de G.\nPrueba. Desde\nSe trata de una relación de equivalencia en Gâ 1}, se puede encontrar la correspondiente\ndescomposición: G \\ {1} =\nJJ Yj, donde Yj es una clase de equivalencia para cada JJ.\nPara cada k = 1,..., l, existe j(k) • J de tal manera que xk • Yj(k). Tenga en cuenta que\nj(k) 6= j(m) si k 6= m desde xk\n6° xm.\nNota J ′ = J \\ {j(1). ...............................................................\nX1 = Yj(1) N,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\nYj N.\nEvidentemente N+1} =\nk=1Xk, X1,. .., Xl son subconjuntos independientes de G y xk Xk\npara cada k = 1,...., l. La propiedad final sigue de la construcción ya que para cualquier\na G y j J tenemos aYja\n−1 = Yj y aNa\n−1 = N.\nLemma 4.2. Para cada grupo contable C y cada n+N, n ≥ 2, existe un\ngrupo H libre de torsión contable que tiene un subgrupo normal M H tal que\ni) M satisface (nCC);\nii) El M es 2 veces simple;\niii) la acción natural de H sobre M preserva las clases de conjugación de M;\niv) H/M = C.\nPrueba. Que H ′0 sea el grupo libre de rango contable infinito. Elegir N\n0 para que\nH ′0/N\n• C. Let F = F (x1,. .., xn−1) denotan el grupo libre libremente generado por\nx1,. .., xn−1. Definir H0 = H\n0 ∗ F y dejar que N0 sea el cierre normal de N\n0 â € F en\nH0. Evidentemente, H0/N0 = H\n= C y los elementos x1,. ..................................................................................................\npar de no-commensurable en H0.\nPor Lemma 4.1, se puede elegir una partición de N0 \\ {1} en la unión de H0-\nsubconjuntos independientes:\nN0 \\ {1} =\nde modo que xk X0k para cada k = 1,...., n− 1.\nPor corolario 3.3 existe un grupo sencillo sin torsión de dos límites\nM1 con la propiedad (nCC) que contiene una copia de N0, tal que los subconjuntos X0k,\nk = 1, 2,...., n − 1, son independientes en M1. Nota por H1 = H0 ∗N0 M1\nproducto amalgamado de H0 y M1 a lo largo de N0, y dejar que N1 sea el cierre normal\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 11\nde M1 en H1. Tenga en cuenta que H1 es libre de torsión como un producto amalgamado de dos\ngrupos libres de torsión ([10, IV.2.7]).\nTenemos que verificar que los elementos x1,. .., xn−1 son pares no-commen-\nasegurable en H1. De hecho, si un â ¬ X0k y b â ¬ X0l, k 6= l, se conjugan en H1 entonces\ndebe existir y1,. ............................................................................................................... ...................................................................................\nz0y1 · · zt−1ytztaz\nt−1 · · · y\nSupongamos que t es mínimo posible con esta propiedad. Como conjugación por elementos\nde H0 conserva X0k y X0l, podemos asumir que z0, zt = 1. Por lo tanto\ny1z1 · · · zt−1ytay\nt−1 · · · z\n−1 H1= 1.\nPor las propiedades de los productos amalgamados (véase [10, Ch. IV]), el lado izquierdo\nen esta igualdad no se puede reducir, en consecuencia\nt N0 \\ {1} =\nk=1 X0k.\nPero entonces ittay\nt X0k por las propiedades de M1, contradiciendo la minimalidad de t.\nPor lo tanto, hemos demostrado que xk\n6° xl cuando k 6= l.\nSupongamos que el grupoHi = Hi−1*Ni−1Mi, i ≥ 1, ya ha sido construido,\npara que\n0) Hi es contable y libre de torsión;\n1) Ni−1 Hi−1;\n2) Hi−1 = H0 ·Ni−1 y H0 •Ni−1 = N0;\n3) Mi satisface (nCC);\n4) x1,. .., xn−1 no son comparables en pareja en Hi.\nDeja que Ni sea el cierre normal de Mi in Hi. Debido a la condición 4) y\nLemma 4.1, se puede encontrar una partición de Ni \\ {1} en una unión de Hi-independiente\nsubconjuntos:\nNi \\ {1} =\nde modo que xk Xik para cada k = 1,...., n − 1. Por Lemma 3.2 hay una cuenta\ngrupo un Mi+1, con (nCC), que contiene una copia de Ni, en el que los subconjuntos Xik,\ni = 1,...., n− 1, permanecen independientes. Set Hi+1 = Hi ∗Ni Mi+1. Ahora, es fácil de\nverificar que los análogos de las condiciones 0)-3) mantienen para Hi+1 y\n(4.1) Ni−1 ≤Mi ≤Ni ≤Mi+1.\nEl análogo de la condición 4) es cierto en Hi+1 por las mismas consideraciones que antes\n(en el caso de H1).\nDefinir el grupo H =\ni=1Hi y su subgrupo M =\ni=1Ni. Observar que\nla condición 0) implica que H está libre de torsión, condición 1) implica que M es\nnormal en H, y 2) implica que H = H0 ·M y H0 â € M = N0. Por lo tanto H/M =\nH0/(H0-M) = C. Aplicando (4.1) obtenemosM =\ni=1Mi, y por lo tanto, por las condiciones\n3), 4) disfruta de la propiedad (nCC): cada elemento de M será un conjugado de xk\npara algunos k {1,...., n− 1}. Desde x1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\nsimple, entonces así será M. Finalmente, 4) implica que xk\nxl cuando k 6= l,\ny, en consecuencia, la acción natural de H sobre M preserva sus clases de conjugación.\nQ.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nLemma 4.3. Suponga que G es un grupo, N G, A, B ≤ G y : A → B es\nun isomorfismo de tal manera que a) a n (es decir, las imágenes canónicas de a y a) en\n12 ASHOT MINASYAN\nG/N coinciden) para cada una de las A. Let L = â € ¢ G, t â € € TM tat−1 = â € (a), â € a â € Aâ € ser el\nHNN-extensión de G con subgrupos asociados A y B, y dejar que K sea el normal\nel cierre de N.N., t. en L. A continuación G.K. = N.\nPrueba. Esta afirmación se deriva fácilmente de la propiedad universal de las extensiones HNN\ny se deja como un ejercicio para el lector. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEl próximo lema nos permitirá construir grupos (nCC) que no sean simples:\nLemma 4.4. Supongamos que H es un grupo contable libre de torsión y MH es un no-\nsubgrupo normal trivial. Entonces H puede ser incrustado isomórficamente en un contable\ngrupo G libre de torsión que posee un subgrupo normal K G tal que\n1) G = HK y H + K = M ;\n2) x, y G \\ {1}, x) = y) si y sólo si h K tal que x = hyh−1,\ndonde : G → G/K es el homomorfismo natural; en particular, K\ntener (2CC);\n3) x, y G \\ {1}, x\nSi y sólo si (x)\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nPrueba. Elija un conjunto de representantes Z • H de cosets de H módulo M, en tal\nforma en que cada coset está representado por un elemento único de Z y 1 /».\nDefinirG(0)=H yK(0)=M. Enumerar los elementos de G(0)+1}: g1, g2,. ...\nPrimero incrustamos el grupo G(0) en un grupo sin torsión contable G1, que tiene un\nsubgrupo normal K1 G1, de tal manera que G1 = HK1, H K1 =M y para cada i ≥ 0\nhay ti K1 y zi Z satisfactoria tigit\ni = zi.\nSupongamos que el grupo G(j), j ≥ 0, y K(j) G(j),\nya se han construido de modo que H ≤ G(j), G(j) = HK(j), H ≤ K(j) = M\ny, si j ≥ 1, tjgjt\nj = zj para algunos tj â € K(j) y zj â € Z. El grupo G(j+1),\nque contenga G(j), se define como la siguiente extensión de HNN:\nG(j + 1) = G(j), tj+1 tj+1gj+1t\nj+1 = zj+1\ndonde zj+1 â € ¢ Z â € H es el representante único que satisface gj+1 â € zj+1K(j) en\nG(j). Denota por K(j+1)G(j+1) el cierre normal de K(j), tj+1® en G(j+1).\nEvidentemente, el grupo G(j + 1) es contable y libre de torsión, H ≤ G(j) ≤ G(j + 1),\nG(j + 1) = HK(j + 1) y H (j + 1) = H (j) K(j) = M por Lemma 4.3.\nAhora, es fácil verificar que el grupo G1 =\nj=0G(j) y su subgrupo normal\nj=0K(j) disfrutar de las propiedades requeridas.\nDe la misma manera podemos incrustar G1 en un grupo sin torsión contable G2, que\ntiene un subgrupo normal K2G2, de modo que G2 = HK2, HK2 =M y cada elemento\nde G1 \\ {1} se conjuga en G2 a un elemento correspondiente de Z. Desempeñar este tipo de actividades\nun procedimiento infinitamente muchas veces logramos el grupo G =\ni=1Gi y normal\nsubgrupo K =\ni=1Ki G que satisfacen las afirmaciones 1) y 2) del lema. Lo es.\nfácil de ver que la reclamación 2) implica 3), por lo que la prueba está terminada. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n5. Añadiendo generación finita\nTeorema 5.1. Supongamos que H es un grupo libre de torsión contable y M es un no-\nsubgrupo normal trivial de H. Dejar F ser un arbitrario no elemental sin torsión\nGrupo hiperbólico de palabras. Entonces existe un grupo Q sin torsión contable, que contiene\nH, y un subgrupo normal N Q con las siguientes propiedades:\n1. H es anormal en Q;\n2. Q = H ·N y N •H =M ;\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIA 13\n3. N es un cociente de F ;\n4. el centralizador CQ(N) de N en Q es trivial;\n5. por cada q â € TM a Q hay z â € TM a H tal que q\nPrueba. El grupo Q se construirá como un límite directo de relativamente hiperbólico\ngrupos.\nPaso 0. Set G(0) = H*F y F (0) = F ; entonces G(0) es hiperbólico relativo a su\nEl subgrupo H y F (0) es un subgrupo adecuado de G(0) por Lemma 2.6. LetN(0)G(0)\nser el cierre normal del subgrupo M,F en G(0). Evidentemente G(0) = H ·N(0)\ny H N(0) = M. Enumerar todos los elementos de N(0): {g0, g1, g2,. ...................................................................................................\nG(0): {q0, q1, q2,. .. }, de tal manera que g0 = q0 = 1.\nPasos 0-i. Suponga que los grupos G(j), j = 0,...., i, i ≥ 0, ya han sido\nconstruido, de modo que\n1o. para cada 1 ≤ j ≤ i hay un epimorfismo j−1 : G(j−1) → G(j) que es\ninyective on (la imagen de) H en G(j − 1). Nota F (j) = j−1(F (j − 1)),\nN(j) = j−1(N(j − 1));\n2o.............................................................................................................................................. G(j) está libre de torsión e hiperbólico en relación con (la imagen de) H, y F (j) ≤\nG(j) es un subgrupo adecuado, j = 0,..., i;\n3o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 3o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° G(j) = H ·N(j), N(j)G(j) y H •N(j) =M, j = 0,.... i;\n4o. la imagen natural j de gj en G(j) pertenece a F (j), j = 0,..., i;\n5o. existe zj H tal que q̄j\n* zj, j = 0,.... i, donde q̄j es la imagen\nde qj en G(j).\nPaso i+1. Que qâ € € € G(i), € i+1 € N(i) sean las imágenes de qi+1 y gi+1 en G(i).\nPrimero construimos el grupo G(i+1/2), su subgrupo normal Ki+1 y su elemento\nti+1 como se indica a continuación.\nSi para algunos f • G(i), f q • i+ 1f\n−1 = z + H, luego set G(i + 1/2) = G(i), Ki+1 =\nN(i)G(i + 1/2) y ti+1 = 1.\nDe lo contrario, qÍñi+1 es un elemento hiperbólico de orden infinito en G(i). Dado que G(i) es\nlibre de torsión, el subgrupo elemental EG(i)(qÍ+1) es cíclico, por lo que EG(i)(qÍ+1) = hx\npara algunos h â € TM H y x â € N(i) (por 3â €), y qâ € i+1 = (hx)\nm para algunos m â € ¢ Z. Ahora, por\nLemma 2.2, G(i) es hiperbólico relativo a {H, hx. Elija y â € M para que hy 6= 1\ny dejar que G(i + 1/2) sea la siguiente extensión HNN de G(i):\nG(i + 1/2) = «G(i), ti+1 » ti+1(hx)t\ni+1 = hyâ.\nEl grupo G(i+ 1/2) es libre de torsión e hiperbólico en relación con H por Lemma 2.5.\nVerifiquemos ahora que el subgrupo F (i) es adecuado en G (i + 1/2). De hecho,\nde acuerdo con Lemma 2.7, hay dos elementos hiperbólicos f1, f2 o F (i) de infinito\norden en G(i) tal que fl\n6° hx, fl\n6o hi, l = 1, 2, y f1\n6o f2. Entonces\nG(i+1/2)\n6o f2 de Lemma 3.1. Queda por comprobar que fl es un elemento hiperbólico\nde G(i + 1/2) para cada l = 1, 2. Elija un elemento arbitrario w â € ¢ H y observar\nque fl\n6o w (ya que H es anormal en G(i) por Lemma 2.3, un poder no trivial de\nfl se conjuga a un elemento de H si y sólo si fl se conjuga a un elemento de\nH en G(i), pero este último es imposible porque fl es hiperbólico en G(i)). Aplicar\nLemma 3.1 de nuevo, tenemos que fl\nG(i+1/2)\nPor lo tanto f1, f2 o f (i) son\nelementos hiperbólicos de orden infinito en G(i+1/2). La intersección EG(i+1/2)(f1)\n14 ASHOT MINASYAN\nEG(i+1/2)(f2) debe ser finito, ya que estos grupos son prácticamente cíclicos (por Lemma 2.2),\ny f1 no se puede comparar con f2 en G(i+1/2). Pero G(i+ 1/2) está libre de torsión,\nPor lo tanto, EG(i+1/2)(f1) (EG(i+1/2)(f2) = {1}. Por lo tanto, F (i) es un subgrupo adecuado de\nG(i+ 1/2).\nLemma 4.3 asegura que H-Ki+1 =M donde Ki+1 G(i + 1/2) es el normal\nel cierre de «N(i), ti+1», en G(i + 1/2). Por último, tenga en cuenta que\nti+1qçói+1t\ni+1 = ti+1(hx)\nmt−1i+1 = (hi)\nm = z + H en G(i + 1/2).\nAhora, que el grupo G(i+ 1/2) se ha construido, set Ti+1 = i+1, ti+1}\nKi+1 y definir G(i+1) como sigue. Desde Ti+1 ·F (i) • Ki+1 G(i+1/2), podemos\naplicar el teorema 2.8 para encontrar un grupo G(i+1) y un epimorfismo : G(i+1/2) →\nG(i + 1) de tal manera que Łi es inyector en H, G(i + 1) es libre de torsión e hiperbólico\nen relación con (la imagen de) H, i(i+1), Łi(ti+1)}\nsubgrupo de G(i + 1), y ker(eli) ≤ Ki+1. Denotan la restricción de los derechos de\nG(i). A continuación, el valor de G(i) = G(i) = G(i) = G(i) + 1) porque G(i + 1/2) fue generado por\nG (i) y ti+1, y según la construcción, ti+1 (i) (F (i)) ≤ (i) (G (i)). Ahora,\ndespués de definir F (i+1) = «i(F (i)», N(i+1) = «i(N(i)»), i+1 = «i(i+1)» (i+1)\ny zi+1 = i(z) • H, vemos que las condiciones 1\nEn el caso que nos ocupa, cabe señalar que el Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso que nos ocupa, el Tribunal de Primera Instancia ha incumplido las obligaciones que le incumben en virtud del artículo 2, apartado 1, del Reglamento (CEE) n° 1408/71.\ncuando j = i+1. Las propiedades G(i+1) = H ·N(i+1) y N(i+1)G(i+1) son\nconsecuencias inmediatas de sus análogos para G(i) y N(i). Por último, observar que\n1i (H-N(i+1)) = H · ker(\nH N (i) · ker (l)\n· ker(i)\nH-Ki+1\n· ker(i) =M · ker(i).\nPor lo tanto H N (i+ 1) = M y la condición 3 ° se mantiene para G (i + 1).\nDejar que Q = G() sea el límite directo de la secuencia (G(i), i) como i → , y dejar que\nF () y N = N() serán los límites de los subgrupos correspondientes. Entonces Q es\nlibre de torsión por 2°, N Q, Q = H · N y H °N = M por 3°. N ≤ F () por 4 °,\ny 5o implica la condición 5 de la reclamación.\nDesde F (0) ≤ N(0) obtenemos F () ≤ N. Así N = F () es un homomórfico\nimagen de F (0) = F.\nPara cualquier i, j â € N â € €, i < j, tenemos un epimorfismo natural â € € : G(i) → G(j)\nDe tal manera que si i < j < k entonces فارسىjk â â € € € € = â € € € € € €. Tome cualquier g de G(0). Desde F = F (0)\nse genera finitamente, utilizando las propiedades de los límites directos uno puede mostrar que si\nw = + 0 + g + CQ(F) en Q, luego + 0j(g) + + CG(j) (F (j)) para algunos j + N. Pero\nCG(j)(F (j)) ≤ EG(j)(F (j)) = {1} (por fórmulas (2.2) y (2.3)) porque F (j) es\nun subgrupo adecuado de G(j), por lo tanto w =\n0j(g)\n= 1, es decir, CQ(F) =\nCQ(N) = {1}. Esto concluye la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nLa siguiente declaración es bien conocida:\nLemma 5.2. Asumir G es un grupo y N G es un subgrupo normal tal que\nCG(N) N, donde CG(N) es el centralizador de N en G. Entonces el cociente-grupo\nG/N se incrusta en el grupo de automorfismo externo Out(N).\nPrueba. La acción de G sobre N por conjugación induce un homomorfismo natural\nDesde G hasta el grupo de automorfismo Aut(N) de N. Puesto que Ł(N) es exactamente el\ngrupo de automorfismos internos Inn(N) de N, se puede definir un nuevo homomorfismo\n: G/N → Out(N) = Aut(N)/Inn(N) de la manera natural: (gN) = (g)Inn(N)\npor cada gN + G/N. Queda por comprobar que es inyector, es decir, si g G \\N entonces\n(gN) 6=1 in Out(N); o, equivalentemente, (g) / Inn(N). De hecho, de lo contrario no hay\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 15\nexistiría un N tal que ghg−1 = aha−1 por cada h N, por lo tanto N 6 a−1g\nCG(N), contradiciendo los supuestos. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nTenga en cuenta que para un grupo arbitrario N, cualquier subgrupo C ≤ Out(N) actúa naturalmente\nsobre el conjunto de clases de conjugación C(N) del grupo N.\nTeorema 5.3. Para cualquier n° N, n ≥ 2, y un grupo contable arbitrario C, C puede\nser incrustado isomórficamente en el grupo de automorfismo externo Out(N) de un grupo\nN que cumplan las condiciones siguientes:\n• N está libre de torsión;\n• N se genera por dos elementos;\n• N tiene (nCC) y la acción natural de C sobre C(N) es trivial;\n• N es 2-boundedly simple.\nPrueba. Por Lemma 4.2 podemos encontrar un grupo libre de torsión H y su normal\nSubgrupo M que disfruta de las propiedades i) a iv) de su reclamación. Ahora, si F denota\nel grupo libre de rango 2, podemos obtener un grupo libre de torsión contable Q juntos\ncon su subgrupo normal N que cumplen las condiciones 1-5 de la declaración de\nTeorema 5.1.\nEntonces N es libre de torsión y generado por dos elementos (como cociente de F ).\nLa condición 2 implica que Q/N = H/M = C y, por 4 y Lemma 5.2, C incrusta\ndentro del grupo Out(N).\nUsando la propiedad 5, por cada g â € N podemos encontrar u â € Q y z â € H tales que\nugu−1 = z â € N â € H = M. Desde Q = HN, hay h â € H y x â € N\ntal que u = hx. Desde z, h−1zh M y la acción de H sobre M conserva\nlas clases de conjugación de M, hay r â € M tal que rh−1zhr−1 = z, por lo tanto\nz = rh−1ugu−1(rh−1)−1 = rxgx−1r−1, donde v = rx â N. Así para cada g â N\nhay v â € N tal que vgv−1 â € M. Evidentemente, esto implica que N es también 2 -\nDelimitadamente simple. Como M ha (nCC), el número de clases de conjugación en N\nser a lo sumo n.\nSupongamos que x1, x2 M y x1\nx2. Entonces x1\nx2 (por la propiedad (iii) de\nla reclamación de Lemma 4.2), y como H es anormal en Q obtenemos x1\nx2. Por lo tanto\nx2, es decir, N también disfruta (nCC).\nEl hecho de que la acción natural de C sobre C(N) es trivial se deriva de la misma\npropiedad para la acción de H en C(M) y la malnormalidad de H en Q. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nAhora, procedamos con el\nPrueba de Teorema 1.4. Primero aplicamos Lemma 4.4 para construir un grupo G y un\nSubgrupo normal K G según su reclamación. Ahora, por Teorema 5.1, hay un\ngrupoQ, teniendo un subgrupo normal NQ tal que G es anormal en Q, Q = GN,\nG N = K, rango (N) ≤ 2 (si se toma el grupo libre de rango 2 como F ) y cada\nel elemento q • Q se conjuga (en Q) a un elemento de G. Por la reclamación 2) de Lemma 4.4,\nK tiene (2CC), y un argumento, similar al utilizado en la prueba de Teorema\n5.3, muestra que N también tendrá (2CC). En consecuencia, rango(N) > 1 porque N es\nlibre de torsión, por lo tanto rango (N) = 2.\nDesde G = HK y H â € TM K = M tenemos Q = HKN = HN y H â € N =\nH •K =M. Puesto que Q/N = H/M y N pueden ser generados por dos elementos, podemos\nconcluir que rango(Q) ≤ rango(H/M) + 2.\n16 ASHOT MINASYAN\nConsiderar arbitraria x, y Q \\ {1} y suponer que فارسى(x)\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Por el teorema\n5.1, hay w, z G \\ {1} de tal manera que x\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n* z. Por lo tanto (w)\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #\npor lo tanto las imágenes de w y z en G/K también se conjugan. En la reclamación 3) de Lemma\n4.4, w\nz, lo que implica x\n- Sí. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nTeorema 1.4 proporciona una forma alternativa de obtener grupos libres de torsión que\ntienen finitamente muchas clases de conjugación: para cualquier grupo contable C podemos elegir\nun grupo libre H de rango contable y un subgrupo normal {1} 6= M H de modo que\nH/M = C, y luego aplicar el teorema 1.4 al par (H,M) para obtener\nCorollary 5.4. Asumir que n+N, n ≥ 2, y C es un grupo contable que\ncontiene exactamente (n− 1) clases distintas de conjugación. Entonces existe una libertad de torsión.\ngrupo Q y N Q tales que\n• Q/N = C;\n• N tiene (2CC) y Q tiene (nCC);\n• rango(N) = 2 y rango(Q) ≤ rango(C) + 2.\nCorollary 5.5. El grupo G1, dado por presentación (1.1), puede ser isomórficamente\nincrustado en un grupo Q sin torsión de 2 generaciones que satisface (4CC) de tal manera\nque t\nt−1.\nPrueba. Denotar por K el núcleo del homomorfismo : G1 → Z3, para el cual\n*(a) = 0 y *(t) = 1, donde Z3 es el grupo de enteros módulo 3. Ahora, aplíquese.\nTeorema 1.4 al par (G1,K) para encontrar el grupo Q, que contiene G1, y el normal\nSubgrupo N Q de su reclamación. Puesto que Q/N = G1/K = Z3 tiene (3CC), el grupo\nQ tendrá (4CC). También tenemos t\nt−1 porque las imágenes de t y t−1 no son\nconjugado en Q/N.\nElija un elemento q1 • Q \\ N. A continuación, q2 = q\n1 N \\ {1} y puesto que N es 2\ngenera y tiene (2CC), hay q3 â € N tal que N = â € € TM q2, q3â € en Q. Como Q/N\nes generado por la imagen de q1, el grupo Q será generado por {q1, q2, q3}, y,\nEn consecuencia, por {q1, q3}. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n6. Combinación de caminos en grupos hiperbólicos relativamente\nQue G sea un grupo hiperbólico relativo a una familia de subgrupos apropiados {H,\ny dejar que X sea un conjunto de generación relativo simetrizado finito de G. Denote H =\n(H/23370/ \\ {1}).\nPara una ruta combinatoria p en el gráfico de Cayley (G,X,H) (de G con respeto\np−, p+, L(p) y lab(p) denotarán el punto inicial, el punto final,\nla longitud (es decir, el número de bordes) y la etiqueta de p respectivamente. p−1 will\nser el camino obtenido de p siguiéndolo en la dirección contraria. Además, si\nes un subconjunto de G y g ≤ G, entonces g se utilizará para denotar la longitud de una\npalabra más corta en 1 que representa g.\nUtilizaremos la siguiente terminología de [20]. Supongamos que q es una ruta en\n(G,X,H). Un subpath p de q se llama un componente H\nsimplemente un componente) de q, si la etiqueta de p es una palabra en el alfabeto H/23370/ \\ {1} y\np no está contenido en un subpath más grande de q con esta propiedad.\nDos componentes p1, p2 de una ruta q en •(G,X • H) se llaman conectados si\nson los componentes de la misma de la misma y existe una ruta c en la de la misma (G,X,H)\nconectar un vértice de p1 a un vértice de p2 de manera que el laboratorio(c) se componga enteramente de letras\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 17\nde H/23370/. En términos algebraicos esto significa que todos los vértices de p1 y p2 pertenecen a la\nel mismo coset gH♥ para un determinado g â € ¬ G. Siempre podemos suponer c para tener longitud en\nLa mayoría de 1, ya que cada elemento no trivial de H.O. está incluido en el conjunto de generadores. Un\nEl componente p de una ruta q se llama aislado si ningún otro componente de la ruta de q es\nconectado a p.\nLa siguiente declaración es un caso particular de Lemma 2.27 de [20];\nmuéstralo de una forma ligeramente más general, como aparece en [18, Lemma 2.7]:\nLemma 6.1. Supongamos que un grupo G es hiperbólico relativo a una familia de subgrupos\n{H. Entonces existe un subconjunto finito de G y una constante de K N tal\nque lo siguiente se mantiene. Let q ser un ciclo en G, X H, p1,. ..............................................................\nde componentes aislados de q y g1,. ...............................................................\nLab(p1),. ..,Lab(pk) respectivamente. Entonces g1,. ..., gk pertenecen al subgrupo ≤ G\ny las longitudes de la palabra de gi con respecto a \ngi ≤ KL(q).\nDefinición. Supóngase que m (N y N) es un subconjunto finito de G. Define W(l,m) a\nser el conjunto de todas las palabras W sobre el alfabeto X â € ¢ H que tienen la siguiente forma:\nW فارسى x0h0x1h1. .. xlhlxl+1,\ndonde l • Z, l ≥ −2 (si l = −2 entonces W es la palabra vacía; si l = −1 entonces W • x0),\nhi y xi se consideran letras únicas y\n1) xi • X • 1}, i = 0,..., l + 1, y para cada i = 0,..., l, existe • i) •\nDe los cuales: hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos.\n2) en caso de que la letra i) de la letra i) = la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i).\n3) i = 0,...., l.......................................................................................................................................................................................................................................................\nElija el subconjunto finito G y la constante K > 0 de acuerdo con la reclamación\nde Lemma 6.1.\nRecordemos que se dice que un camino q en •(G,X • H) es sin retroceso si todo de\nsus componentes están aislados.\nLemma 6.2. Dejar q ser un camino en el gráfico de Cayley (G,X,H) con Lab(q)\nW(,m) y m ≥ 5K. Entonces q es sin retroceso.\nPrueba. Asumir lo contrario a la reclamación. Entonces uno puede elegir un camino q proveyendo\nun contraejemplo de la longitud más pequeña posible. Así si p1,. ...............................................................\nutive) lista de todos los componentes de q entonces l ≥ 2, p1 y pl debe estar conectado H -\ncomponentes, para algunos , los componentes p2,. ..., pl−1 debe ser aislado, y q\ncomienza con p1 y termina con pl. Desde Lab(q) â € € € TM € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM\nSi l = 2 entonces la (X {1})-letra entre p1 y p2 pertenecería a H\ncontradiciendo la propiedad 2) de la definición de W(l,m).\nPor lo tanto l ≥ 3. Dado que p1 y pl están conectados, existe una ruta v en \nH) entre (pl)− y (p1)+ con Lab(v) H (así podemos asumir que L(v) ≤ 1).\nDenotar por qâ € el subpath de q comenzando con (p1)+ y terminando con (pl)−. Tenga en cuenta que\nL(q+) = L(q)−2 ≤ 2l−3, y p2,. ..., pl−1 es la lista de componentes de q®, todos los cuales\nestán aislados. Si uno de ellos estuviera conectado a v implicaría que está conectado\na p1 contradiciendo con la minimalidad de q. Por lo tanto, el ciclo o = qv posee\n18 ASHOT MINASYAN\nk = l − 2 ≥ 1 componentes aislados, que representan los elementos h1,. .......................................................................................\nConsecuentemente, aplicando Lemma 6.1 se obtiene que hi , i = 1,..., k, y\nhi ≤ KL(o) ≤ K(L(q) + 1) ≤ K(2l− 2).\nPor la condición 3) de la definición de W(l,m) uno tiene hi > m ≥ 5K para\ncada i = 1,..., k. Por lo tanto\nk · 5K ≤\nhi ≤ K(2l− 2), o 5 ≤\n2l − 2\nque contradice la desigualdad k ≥ l − 2. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nDefinición. Considerar un ciclo arbitrario o = rqr′q′ en Ł(G,X H), donde Lab(q)\ny Lab(q′) pertenecen a W(,m). Dejar p ser un componente de q (o q′). Diremos\nque p es regular si no es un componente aislado de o. Si m ≥ 5K y, por tanto, q y\nq′ son sin retroceso por Lemma 6.2, esto significa que p está conectado\na algún componente de q′ (respectivamente q), o a un componente de r o r′.\nLemma 6.3. En las anotaciones anteriores, suponga que m ≥ 7K y denote C =\nmax{L(r),L(r′)}. Entonces\na) si C ≤ 1 cada componente de q o q′ es regular;\n(b) si C ≥ 2 entonces cada uno de q y q′ puede tener como máximo 4C componentes que son\nNo es normal.\nc) si l es el número de componentes de q, entonces al menos (l− 6C) de componentes\nde q están conectados a componentes de q′; y dos componentes distintos de q\nno se puede conectar al mismo componente de q′. Similarmente para q′.\nPrueba. Asumir lo contrario a (a). Entonces uno puede elegir un ciclo o = rqr′q′ con\nL(r),L(r′) ≤ 1, con al menos un componente aislado en q o q′, y de manera que\nL(q) + L(q′) es mínimo. Es evidente que esta última condición implica que cada componente\nde q o q′ es un componente aislado de o. Por lo tanto q y q′ juntos contienen k\ndistintos componentes aislados de o, que representan elementos h1,. ......................................................\nk ≥ 1 y k ≥ (L(q) − 1)/2 + (L(q′) − 1)/2. Aplicando Lemma 6.1 obtenemos\nhola , i = 1,...., k, y\nhi ≤ KL(o) ≤ K(L(q) + L(q)\n′) + 2).\nRecordemos que hi > m ≥ 7K por la propiedad 3) de la definición de W(l,m).\nPor lo tanto\ni=1 hi ≥ k · 7K, lo que implica\nL(q′)\nL(q)− 1\nL(q′)− 1\nque da lugar a una contradicción.\nDemostremos (b). Supongamos que C ≥ 2 y q contiene más de 4C aislados\ncomponentes de o. Examinaremos dos casos:\nCaso 1. No hay ningún componente de q conectado a un componente de q′. Entonces un com-\nel ponente de q o q′ sólo puede ser regular si está conectado a un componente de r o r′.\nPuesto que, por Lemma 6.2, q y q′ son sin retroceso, dos componentes distintos\nde q o q′ no se puede conectar al mismo componente de r (o r′). Por lo tanto q y\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 19\nq′ juntos pueden contener como máximo 2C componentes regulares. Así el ciclo o tiene k\ncomponentes aislados, que representan los elementos h1,. .......................................................................................\nk ≥ (L(q)−1)/2+(L(q′)−1)/2−2C. Por Lemma 6.1, hola para cada i = 1,..., k,\ni=1 hi ≤ K(L(q) + L(q)\n′) + 2C). Una vez más podemos utilizar la propiedad 3)\nde la definición de W(l,m) para lograr\nL(q′)\nL(q)− 1\nL(q′)− 1\n− 2C + 1 + 3C\nL(q)− 1\nL(q′)− 1\n≤ 2 +\ndando lugar a una contradicción.\nCaso 2. La ruta q tiene al menos un componente que está conectado a un com-\nponiente de q′. Let p1,. .., pl denota la secuencia de todos los componentes de q. Por parte\na), si ps y pt, 1 ≤ s ≤ t ≤ l, están conectados a componentes de q\n′, entonces para cualquier\nj, s ≤ j ≤ t, pj está conectado a algún componente de q\n′ (porque q es sin espalda-\nseguimiento por Lemma 6.2). Podemos tomar s (respectivamente t) para ser mínimos (respectivamente\nmáximo) posible. En consecuencia p1,. .., ps−1, pt+1,. .., pl contendrá el conjunto de\ntodos los componentes aislados de o que pertenecen a q, y ninguno de estos componentes\nestar conectado a un componente de q′.\nSin pérdida de generalidad podemos suponer que s− 1 ≥ 4C/2 = 2C. Puesto que ps es\nconectado a algún componente p′ de q′, existe una ruta v en \nv− = (ps)−, v+ = p\n+, Lab(v) â € H â € {1}, L(v) ≤ 1. Deje q̄ (respectivamente q̄\n′) denotar\nel subpath de q (respectivamente q′) de q− a (ps)− (respectivamente de p\n+ a q\nConsidere un nuevo ciclo ō = rq̄vq. Razonando como antes, uno puede demostrar que ō tiene k\ncomponentes aislados, donde k ≥ 2C ≥ 4 y k ≥ (L(q̄)−1)/2+(L(q)−1)/2−C−1.\nAhora, una aplicación de Lemma 6.1 al ciclo ō junto con la propiedad 3) de\nla definición de W(l,m) conducirá a una contradicción como antes.\nPor simetría, la declaración (b) del lema también es válida para q′.\nLa reclamación c) se deriva de b) y de la estimación L(r) + L(r′) ≤ 2C porque si\ndos componentes diferentes p y p̄ de q fueron conectados al mismo componente de\nalgún camino en #(G,X #H), entonces p y p̄ también estarían conectados el uno con el otro,\nque contradiría a Lemma 6.2. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nLemma 6.4. En las anotaciones anteriores, m ≥ 7K, C = max{L(r), L(r′)}, y\nlet p1,. .., pl, p\n1,.., p\nl′ ser las listas consecutivas de los componentes de q y q\nSi l ≥ 12max{C, 1} + 2, entonces hay índices s, t, s′ N tales que\n1 ≤ s ≤ 6C + 1, l − 6max{C, 1} ≤ t ≤ l y para cada i {0, 1,...., t − s}, la\ncomponente ps+i de q está conectado al componente p\nsi de q\nPrueba. Por parte (c) de Lemma 6.3, existen ≤ 6C +1 tales que el componente\nps está conectado a un componente p\ns′ para algunos s\n{1,.................................................................................................................. Por lo tanto hay un camino\nr1 entre (p\ns′)+ y (ps)+ con L(r1) ≤ 1. Considerar un nuevo ciclo o1 = r1q1r\ndonde q1 es el segmento de q de (ps)+ a q+ = r\n− y q\n1 es el segmento de q\nde q = r\n+ a (p\ns′)+.\nObserve que ps+1,. .., pl es la lista de todos los componentes de q1 y l−s ≥ l−6C−1 ≥\n6max{1, C 1, por lo tanto, de acuerdo con la parte (c) de Lemma 6.3 aplicado a o1, hay\nt ≥ l − 6max{1, C} > s de tal manera que pt esté conectado a p\nt′ por medio de una trayectoria r\ndonde s′ + 1 ≤ t′ ≤ l′, (r′1)− = (pt)+, (r\n1)+ = (p\nt′)+ y L(r\n1) ≤ 1. Considerar\n20 ASHOT MINASYAN\nsi′ p\nGráfico 1\nel ciclo o2 = r1q2r\n2 en los que q2 y q\n2 son los segmentos de q1 y q\n1 de\n(ps)+ = (r1)+ a (pt)+ y a partir de (p)\nt′)+ a (p\ns′)+ = (r1)− respectivamente (fig. 1).\nTenga en cuenta que ps+1,. .., pt es la lista de todos los componentes de q2 y p\ns1,. .., p\nt′ es la\nlista de todos los componentes de q′2\n. El ciclo o2 cumple los supuestos de la parte a) de\nLemma 6.3, por lo tanto para cada i {1,........................................................................................................................................................................................................................................................ \nde tal manera que ps+i está conectado a p\nsi′ (ps+i no se puede conectar a r1 [r\n1] porque en\neste caso estaría conectado a ps [pt], pero q es sin retroceso por Lemma\n6.2).\nQueda por demostrar que i′ = i para cada i. De hecho, si i′ < i para algunos\ni {1,....., t − s} entonces se puede considerar el ciclo o3 = r1q3r\n3, donde q3 y\nq′3 son segmentos de q2 y q\n2 de (q2)− = (r1)+ a (ps+i)+ y de (p)\nsi′ )+ a\n(q′2)+ = (r1)−, respectivamente, y (r\n3)− = (q3)+, (r\n3)+ = (q\n3)−, L(r\n3) ≤ 1. De acuerdo\na la parte a) de Lemma 6.3, cada uno de los componentes ps+1,. ..., ps+i de q3 debe ser\nconectado a uno de p′s1,. .., p\nsi′. Por lo tanto, ya que i\n′ < i, dos componentes distintos\nde q3 se conectará al mismo componente de q\n, que es imposible por parte\nc) de Lemma 6.3.\nLa desigualdad i′ > i llevaría a una contradicción después de una aplicación de un\nargumento simétrico a q′3. Por lo tanto i\n′ = i y se demuestra el lema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nLemma 6.5. En las anotaciones anteriores, deje m ≥ 7K y C = max{L(r),L(r′)}. Por\ncualquier número entero positivo d existe una constante L = L(C, d) N tal que si L(q) ≥ L\nentonces hay d componentes consecutivos ps,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\ns′,. .., p\nsd−1 de\nq1, de modo que ps+i está conectado a p\nsi para cada i = 0,...., d− 1.\nPrueba. Elija la constante L de modo que (L − 1)/2 ≥ 12max{C, 1} + 2 + d.\np1,. .., pl ser la lista consecutiva de todos los componentes de q. Desde Lab(q)\ntienen l ≥ (L − 1)/2 (debido a la forma de cualquier palabra de W(,m)). Así podemos\naplicar Lemma 6.4 para encontrar índices s, t de su reclamación. Por la elección de s y t, y\nla estimación en l, tenemos t− s ≥ d+ 1, dando la declaración del lema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nCorollary 6.6. Dejar G ser un grupo hiperbólico relativo a una familia de subgrupos adecuados\n{H. Suponga que un â € TM â € TM, para algunos â € â € TM, es un elemento de orden infinito,\ny x1, x2 â € ¬ G \\ H0. Entonces existe k â € N tal que g = a\nk1x1a\nk2x2 es un\nelemento hiperbólico de orden infinito en G cuando k1, k2 ≥ k.\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 21\nPrueba. Sin la pérdida de la generalidad podemos asumir que x1, x2 x, desde relativa\nhiperbólica no depende de la elección del conjunto de generación relativo finito\n([20, Thm. 2.34]). Elija el subconjunto finito \nde acuerdo con la reclamación de Lemma 6.1, y set m = 7K. Como el orden de una es infinito,\nNo hay k â € N tal que ak\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n≥ k. Asumir\nque k1, k2 ≥ k.\nSupongamos, en primer lugar, que gl = 1 para algunos l N. Considere el ciclo o = rqr′q′ en\n(G,X,H) donde q− = q+ = 1, Lab(q) • (a)\nk1x1a\nk2x2)\nl • W(,m) (aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\nse consideran como letras únicas del alfabeto X H) y r, r′, q′ son vías triviales\n(consiste en un solo punto). Luego, por parte (a) de Lemma 6.3, cada componente de\nq debe ser regular en o, lo que es imposible ya que q es sin retroceso según\na Lemma 6.2. Por lo tanto g tiene orden infinito en G.\nSupongamos, ahora, que existe â â € â € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM\n−1 = u.\nNota C = yXH. Puesto que el elemento u â € ¢ G tiene un orden infinito, existe l â € TM N tales\nque 2l ≥ 6C+2 y ul / {h : h ≤ m}. La igualdad yg\nly−1u−l = 1 da\nla altura del ciclo o = rqr′q′ en فارسى(G,X»,H), donde r y r′ son carriles de longitud C cuya\nlas etiquetas representan y en G, r− = 1, q− = r+ = y, Lab(q)\nk1x1a\nk2x2)\nl.o W.o.m.,\nr = q+, q\n− = r\n+ = y(a)\nk1x1a\nk2x2)\nly−1 y Lab(q′) u−l (l) W(,m), L(q′) = 1.\nPor parte c) de Lemma 6.3, al menos 2l − 6C ≥ 2 componentes distintos de q\nestar conectado a componentes distintos de q′, lo que es imposible ya que q′ tiene sólo uno\ncomponente. La contradicción muestra que g debe ser un elemento hiperbólico de G.\nLemma 6.7. Que G sea un grupo hiperbólico libre de torsión relativo a una familia de\nSubgrupos {H, a {H°0 \\ {1}, para algunos {0 â °, y t, u â € G \\Hœ0. Supón\nque existe kÃ3r â n de tal manera que para cada k ≥ kÃ3r el elemento g1 = a\nktakt−1\nes conmensurable con g2 = a\nkuaku−1 en G. Luego hay β, γ \nTal que u = γt, βa1 = a, 1aγ = a.\nPrueba. Cambiando el conjunto de generación relativo finito X de G, si es necesario, podemos\nAsumir que t, u, t−1, u−1 X. Deja que el subconjunto finito de G y G y la constante\nK N se elegirá de acuerdo con Lemma 6.1. Definir m = 7K y suponer que k es\nlo suficientemente grande como para satisfacer ak/ {h : h ≤ m}.\nDado que g1 y g2 son commensurables, existen l, l\nEn el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo.\nygl2y\n−1 = gl\n1. Let C = yXÃ3H, d = 8 y L = L(C, d) ser la constante de Lemma\n6.5. Sin pérdida de generalidad, asumir que 4l ≥ L. Considere el ciclo o = rqr′q′\n(G,X,H) de manera que r y r′ sean vías de longitud C cuyas etiquetas representen y\nen G, r− = 1, q− = r+ = y, Lab(q) \nkuaku−1)l â € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €. € €.................................................................................................................................................................................................................................. \nq = r\n+ = yg\n−1, Lab(q′) فارسى (aktakt−1)l\n• W(,m), L(q′) = 4l′.\nAhora, por Lemma 6.5, hay subtrayectorias q? = p1s1p2s2p3s3p4 de q y q?\n4 de q\n1 tal que el Lab(pi)\nk, Lab(p′i)\nk, i = 1, 2, 3, 4, para\nalgunos de ellos (que depende del signo de l′), laboratorio(s1), laboratorio(s3), u,\nLaboratorio(s2)\n−1, Lab(s′1) • Lab(s)\n3) t\n*, Lab(s′2) * t\n, para algunos 1, 1}, y\npi está conectado a p\ni para cada i = 1, 2, 3, 4. Por lo tanto existen caminos\np1, p2, p3, p4 cuyas etiquetas representan, respectivamente, los elementos α, β, γ,\nque (p01) = (p1)+, (p1)+ = (p\n1)+, (p̃2)− = (p\n2)+, (p2)+ = (p2)+, (p3)− = (p3)−,\n(p̃3)+ = (p\n3) -, (p04) - = (p\n4)−, (p̃4)+ = (p4)− (ver Fig. 2).\nLos ciclos s−11 pœ1s\n2p‡2p\n2, s2pс3s\np‡2 y s\n3 pœ3p\nEl 3p4 da lugar a la creación de una sociedad de la información en la que la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información y la sociedad de la información.\nla bajada de las equivalencias en el grupo G:\nu = αtaakβa−k, u = γt y u = a−kγakt.\n22 ASHOT MINASYAN\np1 s1 p2 s2 p3 s3 p4\np′1 s\np. 1 p. 2 p. 3 p. 4\nak u ak u−1 ak u\na-ka-ka-ka-ka-k\n# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nGráfico 2\nConsecuentemente, recordando que Hl0 es anormal (Lemma 2.3) y que t\n# Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # # Nos # # # # Nos # # # Nos # # # # Nos # # # # # Nos # # # # # Nos # # # # # Nos # # # # # # # Nos # # # # Nos # # # # # Nos # # # Nos # # # # # Nos # # # # # # # # Nos # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \nβak1ak = t1αtà â â € â € â € â € â € â € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM\nH/23370/0t\n• = {1}, y\nak1akγ = t1t â € â € â € â € TM t\n- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!\n= {1}.\n(6.1) βak1 = ak y 1akγ = ak\npara algunos β = β(k), γ = γ(k) Tenga en cuenta que\nla prueba funciona para cualquier k suficientemente grande, por lo tanto podemos encontrar dos mutuamente\nNúmeros enteros positivos primos k, k′ con las propiedades anteriores de tal manera que â € (k) = â € (k′) = â € €\nDenota = β(k′) y γ(k′), luego γt = u = t,\nlo que implica\n1 = t\n# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!\n= {1}.\nPor lo tanto = β, = γ,\n(6.2) βak\n1 = ak\ny 1ak\nγ = ak\nQueda por observar que, puesto que k y k′ son mutuamente primos, las fórmulas (6.1)\ny (6.2) juntos rinden\nβa1 = a y 1aγ = a,\nq.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n7. Pequeña cancelación en grupos relativamente hiperbólicos\nDejar G ser un grupo generado por un subconjunto A G y dejar O ser el conjunto de todos\npalabras en el alfabeto A±1, que son triviales en G. Entonces G tiene una presentación de la\nel siguiente formulario:\n(7.1) G = â € A â € Oâ € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM\nDado un conjunto simetrizado de palabras R sobre el alfabeto A, considere el grupo G1\ndefinido por\n(7.2) G1 = â € A â € O â € Râ € = â € G â € Râ €\nDurante la prueba del resultado principal de esta sección utilizamos presentaciones (7.2) (o,\nEquivalentemente, los conjuntos de retablos adicionales R) que satisfacen el\nla condición de cancelación C1(, μ, , c, ). En el caso de los grupos hiperbólicos de la palabra esto\ncondición fue sugerido por Ol'shanskii en [16], y se generalizó después a\ngrupos hiperbólicos relativamente por Osin en [21]. Para la definición y la teoría detallada\nremitimos al lector al artículo [21], ya que sólo utilizaremos las propiedades, que fueron\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 23\nya establecido allí. La siguiente observación es una consecuencia inmediata\nde la definición:\nObservación 7.1. Dejar que las constantes (j, μj, , c, /23370/j, j = 1, 2, satisfagan 0 < ≤ 1, 0 ≤ فارسى1 ≤\nEn el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. Si la presentación (7.2) disfruta de la condición\nA continuación, también goza de la condición C1(2, μ2, 2, c, 2), y de la condición C1(1, 1, 1, c, 1).\nTambién asumiremos que el lector está familiarizado con la noción de un van Kampen\ndiagrama sobre la presentación del grupo (7.2) (véase [10, cap. V] o [15, Ch. 4]). Dejad en paz.\nTal diagrama. Una célula Π de • se llama una célula-R si la etiqueta de su contorno de contorno\n(es decir, la palabra escrita en él comenzando con algún vértice en el sentido contrario a las agujas del reloj\ndirección) pertenece a R.\nConsiderar una ruta cerrada simple o = rqr′q′ en un diagrama\n(7.2), de tal manera que q es un subcamino del ciclo límite de una célula R Π y q′ es un\nsubpath de. Dejado denotar el subdiagrama de la o. Asumiendo que\nNo tiene agujeros, ni células-R y L(r), L(r′) ≤ \nsubdiagrama de Π a. La razón L(q)/L() se denominará grado de contigüidad\nde Π a y denotado (Π,, ).\nUn diagrama se dice que se reduce si tiene un número mínimo de células-R entre todos\nlos diagramas con la misma etiqueta de contorno.\nSi G es un grupo hiperbólico relativo a una familia de subgrupos apropiados\nun conjunto de generación relativo finito X, entonces G es generado por el conjunto A = X •\n(Hola)\n{1}), y el gráfico de Cayley (G,A) es un espacio métrico hiperbólico [20, Cor. 2.54].\nEn cuanto a cada condición de cancelación pequeña, la declaración principal de la teoría es\nel siguiente análogo de Lemma de Greendlinger, alegando la existencia de una célula,\ngran parte de cuyo contorno se encuentra en el límite del diagrama de van Kampen.\nLemma 7.2 ([21], Cor. 4.4. Supongamos que el grupo G es generado por un subconjunto A\ntal que el gráfico de Cayley (G,A) es hiperbólico. Entonces para cualquier 0 < ≤ 1 hay\nμ0 > 0 de tal manera que para cualquier μ â € (0, μ0] y c ≥ 0 haya â € 0 ≥ 0 y â € 0 > 0 con la\ndespués de la propiedad.\nQue la presentación simetrizada (7.2) satisfaga la condición C1(0, μ, , c, 0).\nAdemás, vamos a ser un diagrama reducido de van Kampen sobre G1 cuyo contorno de contorno\nes (l, c)-cuasigeodésico en G. Entonces, a condición de que tiene una célula-R, existe una célula-R\nΠ en los Estados miembros y en un subdiagrama de contiguidad de los Estados miembros de la Comunidad, de Π a, de modo que:\n(Π,l, ) > 1− 23μ.\nLa aplicación principal de esta pequeña condición particular de cancelación es\nLemma 7,3 ([21], Lemmas 5.1 y 6.3). Para cualquier 0 < ≤ 1, c ≥ 0 y N > 0\nexisten μ1 > 0,1, 1 ≥ 0 y 1 > 0 de tal manera que para cualquier conjunto de palabras simetrizadas\nR que cumplan las condiciones siguientes: C1(1, μ1, 1, c, 1)-condición:\n1. El grupo G1 definido por (7.2) es hiperbólico en relación con la colección de\nimágenes (Hola)}iI bajo el homomorfismo natural η : G→ G1.\n2. La restricción de η al subconjunto de elementos que tienen longitud como máximo N con\nel respeto a A es inyector.\n3. Cualquier elemento que tiene un orden finito en G1 es una imagen de un elemento de\norden finito en G.\nA continuación se muestra el lema principal de esta sección que más tarde se utilizará para probar\nTeorema 1.5.\n24 ASHOT MINASYAN\nLemma 7.4. Supongamos que G es un grupo hiperbólico libre de torsión en relación con una familia\nde los subgrupos adecuados {Hi}iI, X es un conjunto de generación relativa finita de G, S es un adecuado\nEl subgrupo de G y U-G es un subconjunto finito. Supón que yo, un Hi0 \\ {1}\ny v1, v2+G son elementos hiperbólicos que no son comparables entre sí.\nEntonces existe una palabra W (x, y) sobre el alfabeto {x, y} de tal manera que lo siguiente es\nCierto.\nDenotar w1 = W (a, v1) G, w2 = W (a, v2) G, y dejar que w2 sea el normal\ncierre de w2 en G, G1 = G/w2 y η : G → G1 ser el epimorfismo natural.\n• η es inyector en {H • U y G1 es hiperbólico en relación con la familia\n(H/23370/);\n• η(S) es un subgrupo adecuado de G1;\n• G1 está libre de torsión;\n• η(w1) 6= 1.\nPrueba. Por Lemma 2.7 hay elementos hiperbólicos v3, v4 S tal que vi\n6o vj si\n1 ≤ i < j ≤ 4. Entonces por Lemma 2.2, el grupo G es hiperbólico relativo a lo finito\nRecolección de subgrupos\nj=1{EG(vj)}, y generado por el conjunto\nA = X\nEG(vj)\n\\ {1}.\nLet G y K N denotar el subconjunto finito y la constante lograda después de un\naplicación de Lemma 6.1 a esta nueva colección de subgrupos periféricos.\nDefinir m = 7K, = 1/3, c = 2 y N = maxuA : u U} + 1. Elegir\nμj > 0, Łj ≥ 0 y /23370/j > 0, j = 0, 1, según las alegaciones de Lemmas 7,2\ny 7.3. Dejemos que L = L(C, d) > 0 sea la constante dada por\nLemma 6.5 donde C = 0 y d = 2. Es evidente que existe n o N tal que, para\nμ = (3 11)/n, uno tiene\n0 < μ ≤ min0, μ1}, 2n(1− 23μ) > L, y 2n > max0, \nF() =\nh : h ≤ max{K(32 70),m}\nPuesto que el subconjunto F () es finito, podemos encontrar k • N de tal manera que ak\n1, v\n2 / F(♥)\ncuando k′ ≥ k. Considere la palabra\nW (x, y) فارسى xkykxk+1yk+1. .. xk+n−1yk+n−1.\nQue wj G sea el elemento representado por la palabraW (a, vj) en G, j = 1, 2, y que\nR es el conjunto de todos los cambios cíclicos de W (a, v2) y sus inversas. Por Lemma 2.3, Hi0\nEG(v2) = {1} porque G está libre de torsión, por lo tanto por [21, Thm. 7.5] la presentación\n(7.2) cumple la condición C1( siguientes, μ, 1/3, 2, 2n), y por lo tanto, mediante la Observación 7.1,\ncumple las condiciones C1(0, μ, 1/3, 2,0) y C1(1, μ1, 1/3, 2,1).\nObserve que w1 6= 1 en G porque, de lo contrario, habría existido un cerrado\nruta q en Ł(G,A) etiquetada con la palabra W (a, v1), y, por parte (a) de Lemma 6.3,\ntodos los componentes de q habrían sido regulares en el ciclo o = rqr′q′ (donde r, r′, q′\nson caminos triviales), lo que es obviamente imposible.\nDenotar G1 = G/w2 y dejar η : G → G1 ser el epimorfismo natural. Entonces,\nde acuerdo con Lemma 7.3, el grupo G1 es libre de torsión, hiperbólico relativo a\n# Hola # # I # I # # I # # I # # I # # I # # I # # I # # I # # I # # I #\nj=1(EG(vj))} y η es inyector en el conjunto\n¡Hola!\nj=1 EG(vj)\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 25\nU (porque la longitud en A de cualquier elemento de este conjunto es como máximo N). Desde cualquier\ngrupo elemental es palabra hiperbólica, G1 es también hiperbólica relativa a (Hola)}iI\n(por Lemma 2.4) y η(v3), η(v4) η(S) se convierten en elementos hiperbólicos de infinito o-\nder en G1, que no son comparables entre sí (por Lemma 2.3). Por lo tanto\nEG1(η(v3)) • EG2(η(v4)) = {1} (recordemos que estos subgrupos son cíclicos por Lemma\n2.2 y porque G1 está libre de torsión), y, por consiguiente, η(S) es un subgrupo adecuado\nde G1.\nSupongamos que η(w1) = 1. Por Lemma de van Kampen existe una reducción\ndiagrama plano sobre la presentación (7.2) con la palabra W (a, v1) escrita en su\nlímite. SinceW (a, v1)\n6 = 1, posee al menos una célula-R. Fue probado en [21,\nLemma 7.1] que cualquier camino en •(G,A) etiquetado por W (a, v1) es (1/3, 2)-cuasigeodésico,\npor lo tanto, podemos aplicar Lemma 7.2 para encontrar una R-célula Π de.................................................................................................................................................................................................................................................... \n(que no contienen R-células) entre Π y de tal manera que (Π,,) >\n1− 23μ. Por lo tanto, existe un ciclo o = rqr′q′ en Ł(G,A) de tal manera que q está etiquetado por un\nsubpalabra de (un cambio cíclico de) W (a, v2), q\n′ está etiquetada con una subpalabra de (un cambio cíclico\nde) W (a, v1)\n±1, L(r), L(r′) ≤ 0 = C y\nL(q) > (1− 23μ) · L() = (1− 23μ) · 2n > L.\nEn particular, Lab(q), Lab(q′) Por lo tanto, podemos aplicar Lemma 6.5 a\nencontrar dos componentes consecutivos de q que están conectados a algunos componentes de\nq′. Debido a la forma de la palabra W (a, v2), uno de los\nEG(v2)-componente, pero q\n′ puede tener sólo EG(v1)- o Hi0 -componentes. Esto da resultados\nuna contradicción porque EG(v2) 6= EG(v1) y EG(v2) 6= Hi0. Por lo tanto η(w1) 6= 1 en\nG1, y la prueba está completa. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n8. Cada grupo es un grupo de automorfismos externos de un grupo (2CC)\nLemma 8.1. Existe una palabra R(x, y) sobre el alfabeto de dos letras {x, y} tales\nque cada palabra libre de torsión no elemental del grupo hiperbólico F1 tiene un no-elemen-\ntary torsion-free palabra cociente hiperbólico F que se genera por dos elementos a, b\nF satisfactoria\n(8.1) R(a, b)\n6= 1, R(a−1, b−1)\n= 1, R(b, a)\n= 1, R(b−1, a−1)\nPrueba. Considere la palabra\nR(x, y) فارسى xy101x2y102. x100y200.\nDenotar por F (a, b) el grupo libre con los generadores libres a, b. Vamos.\nR1 = {R(a, b), R(a)\n−1, b−1), R(b, a), R(b−1, a−1)},\ny R2 ser el conjunto de todas las permutaciones cíclicas de palabras de R\n1. Es fácil de ver.\nque el conjunto R2 satisface la condición clásica de cancelación pequeña C\n′(1/8) (véase [10,\nCh. V]). Denotar por Ñ el cierre normal del juego\nR3 = {R(a)\n−1, b−1), R(b, a), R(b−1, a−1)}\nen F (a, b). Dado que la simetría de R3 también satisface C\n′(1/8), el grupo F\nF (a, b)/Ñ está libre de torsión ([10, Thm. V.10.1]) grupo de palabras hiperbólicas (porque\ntiene una presentación finita para la cual la función Dehn es lineal por [10, Thm. V.4.4])\nde tal manera que\nR(a, b)\n6= 1 pero R(a−1, b−1)\n= R(b, a)\n= R(b−1, a−1)\n26 ASHOT MINASYAN\nDe hecho, si la palabra R(a, b) eran triviales en Fû entonces, por Lemma de Greendlinger [10,\nThm. V.4.4], que contendría más de la mitad de un\nR3 como subpalabra, lo que contradice el hecho de que R2 disfruta de C\n′(1/8).\nEl grupo F‡ no es elemental porque cada grupo elemental libre de torsión es\ncíclico, por lo tanto, abeliano, pero en cualquier grupo abeliano la relación R(a−1, b−1) = 1 implica\nR(a, b) = 1.\nAhora, el producto libre Gś = Fś ∗F1 es un grupo hiperbólico libre de torsión. Sus subgrupos\nFū y F1 no son elementales, por lo tanto, según un teorema de Ol'shanskii [16,\nThm. 2], existe una palabra no elemental sin torsión hiperbólica grupo F y\na homomorfismo \nF. Por lo tanto F es un cociente de F1, los elementos a, b generar F\ny disfrutar de las relaciones requeridas. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nAhora estamos listos para probar el Teorema 1.5.\nPrueba de Teorema 1.5. El argumento será similar al que se usó para probar el...\norem 5.1.\nEn primer lugar, establecer n = 2 y aplicar Lemma 4.2 para encontrar un grupo libre de torsión H\ny un subgrupo normal M H, donde H/M = C y M tiene (2CC) (alternativamente,\nuno podría comenzar con un grupo libre H ′ y M ′ H ′ de tal manera que H ′/M ′ C, y luego\naplicar Lemma 4.4 al par (H ′,M ′) para obtener H y M con estas propiedades).\nConsidere la palabra R(x, y) y el grupo hiperbólico libre de torsión F, generado por\nlos elementos a, b • F que satisfacen (8.1), dados por Lemma 8.1. Nota G(−2) =\nH* F y dejar que N(−2) sea el cierre normal de M, F en G(−2), F (−2) = F,\nR(−2) = {R(a, b)} – un subconjunto finito de F (−2). Por Lemma 2.6, G(−2) será\nhiperbólico en relación con el subgrupo H, G(−2) = H ·N(−2), H •N(−2) =M y\nF (−2) será un subgrupo adecuado de G(−2).\nEl elemento a F (−2) será hiperbólico en G(−2) y desde el grupo G(−2)\nes libre de torsión, el subgrupo elemental máximo EG(−2)(a) será cíclico generado\npor algún elemento h−2x−2, donde h−2 â € H, x−2 â € N(−2).\nElija y -2 â € M de modo que h -2y -2 6= 1. Por Lemmas 2.2 y 2.5, la HNN-\nextensión\nG(−3/2) = •G(−2), t−1 • t−1h−2x−2t\n−1 = h−2y−2\nes hiperbólico en relación con H. Como en la prueba de Teorema 5.1, se puede verificar que F (−3)\nes un subgrupo adecuado de G(−3/2), y aplicar Teorema 2.8 para encontrar un epimorfismo\n2 : G(−3/2) → G(−1) de tal manera que G(−1) es un grupo sin torsión hiperbólico relativo\na 2(H), 2 es inyector en H (−2) y 2(t−1) F (−1) donde F (−1) =\n2(F (−2)) es un subgrupo adecuado de G(−1). Por lo tanto 2(G(−2)) = G(−1) como\nG(−3/2) fue generado por G(−2) y t−1.\nNota N(−1) = 2(N(−2)), R(−1) = 2(R(−2)) y 2 = 2G(−2):\nG(−2) G(−1). Uno puede mostrar queG(−1) = H ·N(−1) yH •N(−1) =M usando\nlos mismos argumentos que en la prueba de Teorema 5.1. Según la construcción,\nTenemos\n2(t−1)2(a)2(t)\n−1) = η(t−1at\n-1) - N(−1) - H = M\nen G(−1), por lo tanto, puesto que la conjugación por 2(t−1) es un automorfismo interno\nde F (−1), podemos suponer que F (−1) es generada por a−1 y b−1, donde a−1 â € M\ny R(a−1, b−1) 6= 1 en F (−1) (porque 2(R(a, b)) 6= 1 en F (−1)).\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 27\nAhora, si b−1 no es un elemento hiperbólico de G(−1), es decir, si b−1\nG(−1)\nC para algunos\nc H, luego c N(−1)H = M, y puesto que M tiene (2CC) podemos encontrar s−1 G(−1)\ntal que b−1 = s−1a−1s\n−1. En este caso definimos G(0) = G(−1), N(0) = N(−1),\nF (0) = F (−1), R(0) = R(−1), a0 = a−1, s0 = s−1 y 1 = idG(−1).\nDe lo contrario, si b−1 es hiperbólico en G(−1), entonces construimos el grupo G(0),\ny un epimorfismo 1 : G(−1) → G(0) de una manera análoga, para asegurarse de que\n1 es inyector en H R(−1), G(0) sin torsión e hiperbólico relativo a (la\nimagen de) H, F (0) = 1(F (−1)) es un subgrupo adecuado de G(0), G(0) = H ·N(0)\ny H N(0) = M donde N(0) = 1(N(−1)), y b0 = s0a0s\n0 en G(0) donde\nb0 = 1(b−1), a0 = 1(a−1) para algunos s0 • G(0)\nEnumerar todos los elementos de N(0): {g0, g1, g2,. . }, y de G(0): {q0, q1, q2,. .. },\nasí que g0 = q0 = 1.\nLos grupos G(j) junto con N(j)G(j), F (j) ≤ G(j), subconjuntos finitos R(j)\nG(j), y los elementos aj, sj • G(j), j = 1, 2,...., que construiremos satisfarán\nlas siguientes propiedades:\n1o. para cada j • N hay un epimorfismo •j−1 : G(j − 1) → G(j) que es\ninyectora de H+R(j− 1). F (j) = j−1(F (j − 1)), N(j) = j−1(N(j − 1)),\naj = •j−1(aj−1) •M, sj = •j−1(sj−1) • G(j);\n2o.............................................................................................................................................. G(j) está libre de torsión e hiperbólico en relación con (la imagen de) H, y F (j) ≤\nG(j) es un subgrupo adecuado generado por aj y sjajs\n3o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 3o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° G(j) = H ·N(j), N(j)G(j) y H •N(j) =M ;\n4o. la imagen natural j de gj en G(j) pertenece a F (j);\n5o. existe zj H tal que q̄j\n* zj, donde q̄j es la imagen de qj en G(j);\n6o. si j ≥ 1, q̄j−1 â ¬ G(j − 1) \\H y para cada kâ ¬ N hay k ≥ kâ € de tal manera que\nakj−1sj−1a\nG(j−1)\n6o akj−1q̄j−1a\nj−1q̄\nj−1, entonces hay una palabra Rj−1(x, y)\nsobre el alfabeto de dos letras {x, y} que satisface\nR(j) j−1\nRj−1(aj−1, sj−1aj−1s\n6= 1 y\nRj−1(aj−1, q̄j−1aj−1q̄\n=1 en G(j).\nSupongamos que los grupos G(0),. .., G(i) ya se han definido. El grupo\nG(i+1) se construirá en tres pasos.\nEn primer lugar, supóngase que q̄i • G(i) \\ H y para cada kâ · N hay k ≥ kâ ° tal que\naki sia\n6o aki q̄ia\ni. Obsérvese que si / H porque, de lo contrario, uno podría\ntener F (i) H, lo que es imposible, ya que F (i) es adecuado en G (i). Por lo tanto, por\nCorollary 6.6, podemos suponer que k es tan grande que los elementos v1 = a\ni sia\ny v2 = a\ni q̄ia\ni son hiperbólicos en G(i). Aplicando Lemma 7.4 podemos encontrar un\npalabra W (x, y) sobre {x, y} tal que el grupo G(i+1/3) = G(i)/W (ai, v2) y\nel epimorfismo natural η : G(i) → G(i + 1/3) satisfacen lo siguiente: η es inyector\nen H • R(i), G(i + 1/3) es libre de torsión e hiperbólico en relación con (la imagen de)\nH, η(F (i)) ≤ G(i + 1/3) es un subgrupo adecuado, y η(W (ai, v1)) 6= 1. Definir la\npalabra Ri(x, y) • W (x, x\nkyk). Entonces Ri(ai, siais\ni ) = W (ai, v1), Ri(ai, q̄iaiq̄\ni ) =\nW (ai, v2) en G(i), por lo tanto\nRi(ai, siais\n6= 1 y η\nRi(ai, q̄iaiq̄\n= 1 en G(i + 1/3).\n28 ASHOT MINASYAN\nSi, por otro lado, q̄i H o hay kâr â € N tal que por cada k ≥ kâ € uno tiene\naki sia\nفارسى aki q̄ia\ni, entonces definimos G(i+1/3) = G(i), η : G(i) → G(i+1/3)\nser el homomorfismo idéntico y Ri(x, y) ser la palabra vacía.\nDenotar las imágenes de gi+1 y qi+1 en G(i + 1/3) y Qí+1 en G(i + 1/3)\nη(N(i)), FÃ3r (i) = η(F (i)) y RÃ3r(i) = η\nR(i) {Ri(ai, siais)\n. Entonces, usando 3o,\nObtenemos G(i + 1/3) = H · N+(i) y H+N+(i) = M porque ker(η) ≤ N(i) (como\nai, q̄iaiq̄\ni) N(i)).\nAhora construimos el grupo G(i + 2/3) exactamente de la misma manera que el grupo\nG(i+ 1/2) fue construido durante la prueba de Teorema 5.1.\nSi para algunos f • G(i + 1/3), f q • i + 1f\n−1 = z • H, luego set G(i + 2/3) = G(i),\nKi+1 = No(i)G(i + 2/3) y ti+1 = 1.\nDe lo contrario, qáši+1 es un elemento hiperbólico de orden infinito en G(i + 1/3). Desde\nG(i + 1/3) es libre de torsión, uno tiene EG(i+1/3)(qáñi+1) = áhxÃ3n para algunos h à H y\nx â € € TM Nâ € (i), y hay m â € € TM Z tal que qâ € i + 1 = (hx)\nm. Ahora, por Lemma 2.2,\nG(i + 1/3) es hiperbólico relativo a {H, hx. Elija y â € M para que hy 6= 1 y\nque G(i+ 2/3) sea la siguiente extensión HNN de G(i + 1/3):\nG(i + 2/3) = G(i + 1/3), ti+1 ti+1(hx)t\ni+1 = hyâ.\nEl grupo G(i + 2/3) es libre de torsión e hiperbólico en relación con H por Lemma 2.5.\nSe puede demostrar que F® (i) es un subgrupo adecuado de G(i + 2/3) de la misma manera que\ndurante la prueba de Teorema 5.1. Lemma 4.3 asegura que H-Ki+1 = M donde\nKi+1 G(i+2/3) es el cierre normal de â € € TM nâ € (i), ti+1â € en G(i+2/3). Por último, nota\nti+1qçói+1t\ni+1 = ti+1(hx)\nmt−1i+1 = (hi)\nm = z + H en G(i + 2/3).\nDefinir Ti+1 = i+1, ti+1} Ki+1. El grupo G(i + 1) se construye a partir de\nG(i+2/3) de la siguiente manera. Desde Ti+1 · Fâ € (i) · Ki+1G(i+2/3), podemos aplicar el teorema\n2.8 para encontrar un grupo G(i + 1) y un epimorfismo : G(i + 2/3) → G(i + 1) tales\nque el i es inyector en el H-R-i, G-i-+1 está libre de torsión e hiperbólico en relación con el\n(la imagen de) H, i(i+1), Łi(ti+1)}\nde G(i + 1), y ker(Łi) ≤ Ki+1. Denota por : G(i) → G(i + 1) la composición\nNo. No. No. No. No. No. No. No. No. No. No. A continuación, se genera G(i) = G(i) = G(i) = G(i) + 1 porque G(i + 2/3)\npor G(i) y ti+1, y según la construcción, ti+1 \nAhora, después de definir F (i+1) = i(F (i)), N(i+1) = i(N(i)), R(i+1) = i(R®(i)),\ni+1 = i(i+1) F (i+1) y zi+1 = i(z) H, vemos que las condiciones 1\n5o período de sesiones\nmantener en el caso cuando j = i + 1, como en la prueba de Teorema 5.1. La última propiedad\n6o sigue de la forma en que construimos el grupo G(i + 1/3).\nDejar que Q = G() sea el límite directo de la secuencia (G(i), i) como i → , y dejar que\nF () y N = N() serán los límites de los subgrupos correspondientes. Vamos a, b,\ny ser las imágenes de a0, b0 y s0 en Q respectivamente. A continuación, b. = s............................................................................................................\n*, Q\nestá libre de torsión por 2°, N Q, Q = H ·N y H °N =M por 3°, N ≤ F () por 4°.\nPor lo tanto, Q/N = H/M = C.\nDesde F (0) ≤ N(0) obtenemos F () ≤ N. Así N = F () es un homomórfico\nimagen de F (0) = F, y, en consecuencia, es un cociente de F1. Por 5\n# Para cualquier q # N\nhay z • H y p • Q de tal manera que pqp−1 = z. En consecuencia z • H • N = M.\nElija x â € N y h â € H para que p = hx. Puesto que M tiene (2CC) y h−1zh M,\nhay y M tal que yh−1zhy−1 = z, por lo tanto (yx)q(yx)−1 = z M y\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 29\nPor lo tanto, cada elemento q de N se conjugará (en N) a un\nelemento de M, y como M tiene (2CC), por lo tanto el grupo N también tendrá (2CC).\nLa propiedad que CQ(N) = {1} se puede establecer de la misma manera que en\nTeorema 5.1. Por lo tanto, el homomorfismo natural Q → Aut(N) es inyector. Lo siento.\nsigue siendo para demostrar que es sujetivo, es decir, para cada Aut (N) hay g Q\ntal que فارسى(x) = gxg−1 por cada x • N. Puesto que todos los elementos no triviales de N son\nconjugado, después de componer Ł con un automorfismo interno de N, podemos asumir\neso es, a) = a). Por otra parte, existen qÃ3n à n y i à n de tal manera que\nEn el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo.\nLa imagen de Q es la imagen de Q en Q. Tenga en cuenta que sâ € / € H porque\nsi G(i) \\ H para cada i(i) N. Esto implica que H es un subgrupo adecuado de N,\nPor lo tanto, se trata de una medida que no se aplica a las importaciones procedentes de la República Popular China.\n• ≤ Q, y • a • H. Por lo tanto\nq̄i G(i) \\H.\nAhora tenemos que considerar dos posibilidades.\nCaso 1: para cada kÃ3r à r N hay k ≥ kà r tal que\naki sia\n6o aki q̄ia\nEntonces hay una palabra Ri(x, y) tal que la propiedad 6\nSe mantiene para j = i + 1. Y,\nya que cada j es inyector en {1} Rj (por 2\n•), llegamos a la conclusión de que\nRi(a), s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a)\n6 = 1 y Ri(a),q\n(+ ) = 1 en Q,\nlo que contradice la inyectividad de............................................................................................................... Por lo tanto, el Caso 1 es imposible.\nCaso 2: las suposiciones del Caso 1 fallan. Entonces podemos usar Lemma 6.7 para encontrar\nβ, γ H y, 1, 1} de tal manera que q̄i = γs\niβ, βaiβ\n−1 = ai y γ\n−1aiγ = a\nen G(i). Denotar por la imagen γ en Q, y para cualquier y Q dejar que Cy sea el\nautomorfismo de N definido por Cy(x) = yxy\n−1 para todas las x + N.\nSi # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Si # # # # # # # # # # # # # # # Si # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Si # # # # # # # # # # # # # # # # Si # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n* y * b ) = q ) a q ) q ) a q ) b ).................................................................................................................................................................................................................................................. \n= s\npor lo tanto\nAut(N) Cs1°\na- 7→ s-a\n• = b\nÍndice de las emisiones de gases de efecto invernadero de los Estados miembros de la Unión Europea a partir del 1 de enero de 2018\n7→ a\nPero N no tiene tales automorfismos porque R (a), b), 6 = 1 y R (b)\n(+) = 1 in\nN (ya que N es un cociente de F y 1 6= R(a0, b0) R(0) en G(0)).\nPor lo tanto = 1. Del mismo modo, = 1, ya que de lo contrario obtendríamos una contradicción\ncon el hecho de que R(a−1•, b\n* ) = 1 en N. Por lo tanto.\nAut(N) C1°\na- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- a- 7→ a- 7→ a- a- 7→ a- 7→ a- 7→ a-\nÍndice de las emisiones de gases de efecto invernadero de los Estados miembros de la Unión Europea a partir del 1 de enero de 2018\n• 7→ sznaoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo\n* = b. = b...........................................................................................................................................\nY ya que a• y b• generan N concluimos que para todos x • N, • (x) = gxg\ndonde g = Q. Por lo tanto, el homomorfismo natural de Q a Aut (N) es bijetivo,\nlo que implica que Out(N) = Aut(N)/Inn(N) + Q/N = C. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nBibliografía\n[1] G. Arzhantseva, A. Minasyan, D. Osin, La universalidad del SQ y las propiedades residuales de rela-\ngrupos hiperbólicos, J. Algebra 315 (2007), no. 1, 165-177.\n[2] I. Belegradek, D. Osin, Rips construction and Kazhdan property (T), preprint (2006). arXiv:\nmatemáticas.GR/0605553\n[3] I. Bumagin, D.T. Sabio, Cada grupo es un grupo de automorfismo externo de un finito generado\ngrupo, J. Pura Appl. Álgebra 200 (2005), no. 1-2, 137-147.\n[4] R. Camm, Simple Free Products, J. London Math. Soc. 28 (1953), 66 a 76.\nhttp://arxiv.org/abs/math/0605553\n30 ASHOT MINASYAN\n[5] Y. de Cornulier, finitamente presentable, grupos no-hopfianos con la propiedad de Kazhdan e infi-\nnite grupo de automorfismo externo, Proc. Amer. Matemáticas. Soc. 135 (2007), no. 4, 951-959.\n[6] P. de la Harpe, A. Valette, La propriété (T) de Kazhdan pour les groupes localement compacts,\n(avec un apendice de Marc Burger). Astérisque 175, 1989.\n[7] M. Droste, M. Giraudet, R. Göbel, Todos los grupos son grupos de automorfismo externo de simple\ngrupos, J. London Math. Soc. (2) 64 (2001), no 3, 565-575.\n[8] G. Higman, B.H. Neumann, H. Neumann, Teoremas empotrados para grupos, J. London Math.\nSoc. 24 (1949), 247-254.\n[9] El cuaderno de Kourovka. Problemas sin resolver en la teoría de grupos, 16a edición aumentada, V. D.\nMazurov y E. I. Khukhro eds., Rossskaya Akademiya Nauk, Sibirskoe Otdelenie, Insti-\ntut Matematiki (rama siberiana de la Academia Rusa de Ciencias, Instituto Matemático),\nNovosibirsk, 2006.\n[10] R. Lyndon y P. Schupp, Teoría del Grupo Combinatorio, Springer-Verlag, 1977.\n[11] T. Matumoto, Cualquier grupo está representado por un grupo de automorfismo externo, Hiroshima Math.\nJ. 19 (1989), No. 1, 209-219.\n[12] A. Muranov, Diagramas con selección y método de construcción\nGrupos limitedly simples, Comm. Álgebra 33 (2005), no. 4, 1217-1258.\n[13] A. Muranov, Finitely generó infinitos grupos simples de anchura infinita del conmutador, Int. J.\nAlgebra Comput. 17 (2007), No. 3, 607-659.\n[14] Y. Ollivier, D.T. Sabio, Kazhdan grupos con infinito grupo de automorfismo externo, Trans. Amer.\nMatemáticas. Soc. 359 (2007), no. 5, 1959-1976.\n[15] A.Yu. Ol'shanskii, Geometría de las relaciones de definición en grupos, Moscú, Nauka, 1989 (en Rus-\nSian); traducción al inglés en Matemáticas y sus Aplicaciones (Serie Soviética), 70. Kluwer\nGrupo de Editores Académicos, Dordrecht, 1991.\n[16] A.Yu. Ol'shanskii, Sobre homomorfismos residuales y subgrupos G de grupos hiperbólicos,\nInternat. J. Algebra Comput. 3, no. 4 (1993), 365-409.\n[17] D.V. Osin, subgrupos elementales de grupos relativamente hiperbólicos y generación limitada,\nInternat. J. Algebra Comput. 16 (2006), no. 1, 99-118.\n[18] D.V. Osin, rellenos periféricos de grupos relativamente hiperbólicos, Invent. Matemáticas. 167 (2007), no. 2,\n295-326.\n[19] D.V. Osin, funciones relativas de Dehn de extensiones HNN y productos amalgamados, Topo-\naspectos lógicos y asintóticos de la teoría de grupo, Contemp. Matemáticas. 394, 209-220, Amer. Matemáticas.\nSoc., Providence, RI, 2006.\n[20] D.V. Osin, Grupos relativamente hiperbólicos: geometría intrínseca, propiedades algebraicas, y algo-\nProblemas rítmicos, Mem. Amer. Matemáticas. Soc. 179 (2006), No. 843, vi+100 pp.\n[21] D.V. Osin, pequeñas cancelaciones sobre grupos relativamente hiperbólicos e incrustar teoremas,\nAnales de Matemáticas, para aparecer. arXiv: matemáticas.GR/0411039\n[22] F. Paulin, Automorfismos exteriores de grupos hiperbólicos y pequeñas acciones sobre árboles-R, Arboreal\nTeoría del Grupo (MSRI, Berkeley, 1988), R.C. Alperin ed., Math. Sci. Res. Inst. Publ. 19,\nSpringer, Nueva York, 1991.\nFacultad de Matemáticas, Universidad de Southampton, Highfield, Southampton, SO17\n1BJ, Reino Unido.\nDirección de correo electrónico: aminasyan@gmail.com\nhttp://arxiv.org/abs/math/0411039\n\t1. Introducción\n\t2. Grupos relativamente hiperbólicos\n\t3. Grupos con muchas clases de conjugación finitamente\n\t4. Subgrupos normales con (nCC)\n\t5. Añadiendo generación finita\n\t6. Combinación de caminos en grupos hiperbólicos relativamente\n\t7. Pequeña cancelación en grupos relativamente hiperbólicos\n\t8. Cada grupo es un grupo de automorfismos externos de un grupo (2CC)\n\tBibliografía\n"}}},{"rowIdx":85,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0092,"string":"704.0092"},"title":{"kind":"string","value":"Energy density for chiral lattice fermions with chemical potential"},"full_text":{"kind":"string","value":"Densidad de energía para fermiones de celosía quiral con potencial químico\nChristof Gattringera y Ludovit Liptakb\nInstitut für Physik, FB Theoretische Physik, Universität Graz,\nUniversitätsplatz 5, 8010 Graz, Austria\nInstituto de Física, Academia Eslovaca de Ciencias,\nDúbravská cesta 9, 845 11 Bratislava 45, República Eslovaca\nEstudiamos una formulación recientemente propuesta de fermiones de superposición a densidad finita. En particular, nosotros\ncalcular la densidad de energía en función del potencial químico y la temperatura. Se muestra\nque superponen los fermiones con el potencial químico se aproximan al comportamiento continuo correcto.\nNúmeros PACS: 11.15.Ha, 12.38.Gc\nI. INTRODUCCIÓN\nDurante las dos últimas décadas la teoría del medidor de celosía fue\nconvertido en una poderosa herramienta cualitativa para el análisis\nQCD. Este progreso se debe, en parte, a los avances en la\nlos algoritmos y la tecnología informática, pero también en la\nSe hicieron importantes avances en el lado conceptual. La mayoría\nentre ellos se destaca la correcta aplicación de\nsimetría quiral en la celosía basada en el Ginsparg-\nEcuación Wilson para el operador de Dirac [1].\nUna aplicación de las técnicas de celosía que ha visto un\nmucha atención en los últimos años, es el estudio de QCD en\ntemperatura finita. La puesta en práctica de la\npotencial químico μ, necesario para tal análisis, es\nSin embargo, no es sencillo. Es bien sabido [2], que\nuna introducción ingenua conduce a μ2/a2 contribuciones que\ndivergen en el límite continuo cuando el espaciado de celosía\na se envía a cero. Para las formulaciones más tradicionales, tales\ncomo los Wilson o escalonados operadores Dirac, el problema\nse ha resuelto mediante la introducción del potencial químico en\ndel mismo modo que el 4-componente del campo de gálibo.\nUna aplicación satisfactoria del potencial químico\ntial debe ser compatible con la simetría quiral en el\ncelosía basada en la ecuación de Ginsparg-Wilson. Cuándo\nintento de introducir el potencial químico en el\nsólo la solución de la ecuación de Ginsparg-Wilson saber en\nforma cerrada, el operador de solapamiento [3], un potencial prob-\nlem superficies rápidamente: definir la función de signo de un no-\nmatriz hermitana. En [4] Bloch y Wettig propusieron un\nsolución basada en una continuación analítica del signo\nfunción en el plano complejo. Se demostró, que el\neigenvalue espectros de esta construcción coinciden con la expec-\ntas de la teoría de matriz aleatoria.\nEn esta carta analizamos la propuesta [4] más adelante\ny estudiar la densidad de energía de la superposición libre y sin masa\nfermiones con potencial químico. La dependencia de la\ndensidad de energía en μ y la temperatura T permite un\nanálisis detallado de la formulación de celosía en la guarida finita\nsity. De particular interés será la cuestión de si\nla continuación analítica de la función de signo produce\ntérminos μ2/a2 divergentes. Nuestro estudio indica la ausencia\nde tales contribuciones y nos encontramos con que el μ y T de-\nla pendencia de la densidad de energía se aborda correctamente.\nII. ESTABLECIMIENTO DE LA CÁLCULO\nLa superposición de Dirac operador D(μ) para los fermiones con un\npotencial químico μ se administra como\nD(μ) =\n[1− γ5 signH(μ)],\nH(μ) = γ5 [1− aDW (μ)]. 1)..........................................................................................................................................................\nLa función de signo puede definirse a través del espectral\nteorema para matrices. DW (μ) denota el Wilson habitual\nOperador de Dirac,\nDW(μ)x,y = 1\n* x, y − (2)\nUj(x)Łx,y +\nUj(x− )x,y\nU4(x)e\nμa4ox+4o,y −\nU4(x−4Ã3)†ea4Ã3x−4Ã3,y.\nPara uso posterior distinguimos entre el espaciado de celosía\na en dirección espacial y la constante temporal de celosía\na4. Las condiciones periódicas de los límites se utilizan en el espacio\ninstrucciones, mientras que en la dirección del tiempo aplicamos antiperiódico\ncondiciones de frontera. El potencial químico μ es cou-\npled en la forma exponencial habitual [2].\nPara la desaparición μ el operador Wilson Dirac es γ5-\nhermitano, es decir, γ5DW (0)γ5 = DW (0)\n†. Esto implica que\nH(0) es una matriz hermitana. Tan pronto como el químico po-\nμ tential se enciende, la γ5-hermicidad ya no se mantiene, y\nH(μ) es una matriz general no hermitana. Este hecho tiene\ndos consecuencias importantes: En primer lugar, los valores propios de\nH(μ) ya no son reales y la función de signo para\nnúmero plex tiene que ser definido en la representación espectral\nión del signoH(μ). En segundo lugar, la representación espectral\ntiene que ser formulado usando autovectores de izquierda y derecha.\nEste último problema se tratará más adelante cuando se des-\nla evaluación de la señalH(μ). Para la función de signo\nde un número complejo utilizamos la continuación analítica\npropuesta en [4] y definir la función de signo a través del\nsigno de la parte real\nsigno (x+ iy) = signo (x). 3)\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0092v2\nLo observable que estudiamos aquí es la densidad de energía.\ndefinido como\n•(μ) =\n• H = 1\nH e (HN)\n= (4)\nE(HN)\n= − 1\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nAquí H es el Hamiltoniano del sistema, N denota el\nnúmero operador y β = 1/T es la temperatura inversa\n(en nuestras unidades la constante de Boltzmann k se establece en k = 1).\nLos derivados de la segunda línea se toman de tal manera que\n= c = const.\nEl resultado continuo para la densidad de energía restada\nde fermiones libres sin masa (véase, por ejemplo, [5])\n•(μ)− •(0) = μ\nμ2T 2. 5)\nCuando se trabaja en la celosía, el inverso tempera-\nβ es dada por la extensión de la celosía en 4 direcciones, es decir,\nβ = N4a4. Por lo tanto la derivada en (4) se convierte en\nN−14 Ł/Ła4. La función de partición Z es dada por la\nfermión determinante detD que escribimos como el prod-\nuct sobre todos los valores propios. Por lo tanto, encontramos\n• (μ) = − 1\nEn detD\na4μ=c\n= − 1\na4μ=c\n= − 1\na4μ=c\n. 6)\nIII. EVALUACIÓN DE LOS EGENVALUES\nDe acuerdo con (6), para la evaluación de\nlos valores del operador de Dirac D tienen que ser computados.\nEsto se hace en tres pasos: Primero traemos el Dirac oper-\nator para fermiones libres a forma diagonal de 4 × 4 bloques, utilizando\nLa transformación de Fourier. Posteriormente, la representación espectral\nla centrifugación se aplica a los 4 x 4 bloques de H para evaluar\nsigno H. Finalmente los valores propios de los bloques de D son\ncomputado y sumando sobre el momento discretoa\ntodos los valores propios se obtienen.\nSiguiendo esta estrategia, se encuentra para el Trans-Fourier\nforma de H,\n= γ5h5 + iγ5\nh/, (7)\nh5 = 1−\n[1− cos(apj)]−\n[1− cos(a4(p4 − iμ))],\nhj = − sin(apj) para j = 1, 2, 3,\nh4 = −\nsin(a4(p4 − iμ)). (8)\nLos momentos espaciales se dan por pj = 2ηkj/aN,\ndonde N es el número de puntos de celosía en el espacio\ndirecciones y kj = 0, 1... N − 1. El momento en el tiempo...\ndirección p4 = η(2k4 + 1)/a4N4, k4 = 0, 1... N4 − 1.\nLa diagonalización restante de es similar a la\nconstrucción de las funciones de eigen izquierda y derecha para el\nOperador libre de Dirac. Uno encuentra que tiene dos diferentes,\nvalores propios doblemente degenerados\nα1 = α2 = + s, α3 = α4 = − s, s =\nh2 + h25, (9)\ndonde h2 =\n/. Las correspondientes izquierdas y derechas.\neigenvectores, lj y rj son administrados por\nl1 = l\n1 [ + s1], l2 = l\n2 [ + s1],\nl3 = l\n3 [ − s1], l4 = l\n4 [ − s1],\nr1 = [ + s1]r\n1, r2 = [ + s1]r\nr3 = [ − s1]r(0)3, r4 = [ − s1]r\n4. (10)\nLos espintores constantes l\nj, r\nj are (T es transposición)\n1 = r\n(0) T\n1 = c (1, 0, 0, 0), l\n2 = r\n(0) T\n2 = c (0, 1, 0, 0),\n3 = r\n(0) T\n3 = c (0, 0, 1, 0), l\n4 = r\n(0) T\n4 = c (0, 0, 0, 1).\nLa constante c = (2s + h5)\n−1/2 asegura el correcto\nnormalización, de tal manera que los autovectores obedecen lirj = Łij.\nUsando estos autovectores y el teorema espectral nosotros\nencontrar para el signo el resultado simple\nsigno =\nsign (lj) rj lj =\nsigno(s)\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (12)\nConectando esto de nuevo a la fórmula de superposición (1) y di-\nagonalizando el problema restante 4 × 4 uno encuentra dos\ndiferentes valores propios para el operador de solapamiento en un determinado\nimpulso,\n1− signo (\nh2 + h25 )h5 ± i\nh2 + h25\n, (13)\ndonde cada uno de los dos valores propios es doblemente degenerado.\nLa dependencia de impulso entra a través de la compo-\nnents h/, h5 definidos en (8). En la suma espectral (6) la la-\nbel n se ejecuta sobre todos los momentosa y los valores propios en fijo\nimpulso tal como se da en (13). El derivado necesario\ncon respecto a a4 es fácil de calcular en cerrado\nforma, y la suma espectral (6) se puede resumir\nMericalmente. El argumento de la función de signo no puede ser-\nvienen puramente imaginarios en una celosía finita, y no-como\nlos términos ocurren. Observamos, que después de tomar la derivada\ncon respecto a a4, establecemos a = a4 = 1, es decir, todos los resultados\nEstamos presentes en las unidades de celosía.\n0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10\n0,000\n0,001\n0,002\n0,003\n0,004\n / 4η\nFIG. 1: Densidad de energía (μ)(0) en función de μ4 (todos\nen unidades de celosía). Los símbolos (conectados para guiar el ojo)\nson para varios tamaños de celosía, la línea discontinua es el continuum\nresultado.\nIV. RESULTADOS\nComenzamos la discusión de nuestros resultados con la Fig. 1,\ndonde se muestra la densidad de energía restada (μ)− (0)\nen función de μ4 para tres volúmenes de celosía diferentes. Por\nesas retículas todos los 4 lados tienen igual longitud, es decir, en el\nlímite termodinámico corresponden a cero tempera-\ntura. Por lo tanto, según (5), esperamos los datos (sim-\nBols in Fig. 1) aproximarse a la forma continua μ4/4η2\n(línea bañada) como el volumen 4-d se envía al infinito.\nLa figura muestra claramente que los datos de celosía son pre-\ndominantemente lineal cuando se traza frente a μ4 y que para\npequeños μ se acercan a la curva de continuum cuando el\nel volumen se incrementa. Sin embargo, es obvio que también en\nnuestra celosía más grande todavía queda una discrepancia para más grande\nμ. En particular se encuentra una ligera curvatura hacia arriba, un\nefecto de discretización que aquí, desde el espaciado de celosía\nes sólo la extensión de celosía inversa, es también un tamaño finito\nefecto. Además, para el pequeño μ se espera ver finito\nlas correcciones de temperatura de acuerdo con (5).\nPara estudiar estas correcciones de temperatura finitas\nsistemáticamente, analizamos celosías con tempo corto...\nla extensión ral, es decir, las celosías con temperatura no disuelta.\nFig. 2 muestra los resultados correspondientes, donde de nuevo\ntrazar la densidad de energía restada en función de μ4.\nLa celosía con la extensión temporal más corta, 1283×8,\nque corresponde a la temperatura más grande, muestra un\ncurvatura clara. Esta curvatura se debe a la T 2μ2/2\ntérmino en (5), que aparece como una raíz cuadrada cuando se trazó\ncomo función de μ4. El efecto es visible también para el otro\nretículas, pero se vuelve menos pronunciado como el temporal\nse aumenta la extensión, es decir, se baja la temperatura T.\nCon el fin de estudiar este efecto cuantitativamente, encajamos\nresultados finitos de la temperatura a la forma continua (5) más\ndos términos incluso en μ que parametrizan los efectos de corte\n0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10\n0,000\n0,001\n0,002\n0,003\n0,004\n x 12\n x 16\n x 24\nFIG. 2: Densidad de energía (μ) − (0) en función de μ4,\nahora para retículas de temperatura finitas (todas en unidades de retícula).\nse observa en la Fig. 1. La función de ajuste es dada por\n2 + c4 μ\n4 + c6 μ\n6 + c8 μ\n8. (14)\nDebido a (5) el coeficiente del término cuadrático debe\nescala con la temperatura tal que uno espera\nc2 T 2/2 = N−24 /2. (15)\nEl coeficiente para el término cuartico debe ser constante,\nc4 â € € = 0,02533. 16)\nLos resultados de la adecuación a los datos utilizados en la Fig. 2, y para\nla celosía más grande de la Fig. 1 se presentan en el cuadro 1.\nLa tabla muestra que con el aumento de N4 los dos phys-\nlos parámetros c2 y c4 se aproximan a la val-\nse espera de la fórmula de continuum (5): c2 obtiene\nmás cerca de N−24 /2, como se indica en la segunda columna, y c4\naproximaciones 1/4η2 = 0,02533. Para el tem finito más grande...\nretícula de peratura 1283×24 la discrepancia se reduce al 9 %\n/2 c2 c4 c6 c8\n8 0,007812 0,010125 0,01519 0,010 -0,021\n12 0,003472 0,004125 0,03178 0,023 -0,013\n16 0,001953 0,002192 0,02803 0,029 -0,015\n24 0,000868 0,000947 0,02587 0,025 -0,030\n128 0.000030 0,000032 0,02543 0,015 0,016\nCUADRO I: Resultados de los ajustes al formulario (14). El espacio\nvolumen es siempre 1283. Se da la extensión temporal N4\nen la primera columna. En la segunda columna enumeramos el corre-\nvalor sponding de N−2\n/2 que es lo que se espera para el\ncoeficiente de ajuste c2 en la tercera columna. El coeficiente c4 en\nse espera que la cuarta columna se aproxime al valor constante\n1/4η2 = 0,02533.\n0,0 0,5 1,0 1,5 2,0\n-0,05\nOverlap, 128\nWilson, 128\nFIG. 3: La relación entre el valor de μ (μ) y el valor de μ (0)/μ4 en función del valor de μ (en\nunidades de celosía). Comparamos los resultados de la superposición con los de\nde los fermiones Wilson.\npara c2, y 2 % para c4. La discrepancia más grande para los pequeños\nN4 se puede entender como un efecto de discretización, ya que el\nespaciamiento temporal de la celosía a4 está relacionado con la ex- temporal\ntensión a través de a4 = 1/N4 y por lo tanto mayor N4 implica un\nmenor a4. Para la comparación también mostramos los resultados de ajuste\npara la celosía 1284, que corresponde a cero temple-\nature. Allí encontramos un excelente acuerdo (menos del 1%)\n(discreción) para el parámetro c4, que rige la\ntérmino en T = 0. La imagen general obtenida del ajuste\nresultados es que se superponen los fermiones con el potencial químico\nse reproducen muy bien tanto, el término μ4, así como la fi-\ncontribución de temperatura de nite T 2μ2/2. Concluimos que\nla continuación analítica de la función de signo no en-\nartefactos de celosía troduce, como el término μ2/a2 conocido\nestar presente en una aplicación ingenua del producto químico\npotencial.\nEn el paso final de nuestro análisis estudiamos la discretiza-\nión para valores mayores de μ y comparar la re-\nlos datos del operador Wilson estándar. In\nFig. 3 graficamos la relación ((μ)− (0))/μ4 en función de\nμ. En el continuum en T = 0 esta relación tiene el valor\n1/4η2 = 0,02533 indicado por la línea horizontal. Por\npequeños μ, hasta aproximadamente μ + 0,7, los datos de Wilson y la superposición\ncaen uno encima del otro. Por muy pequeño μ tanto opera-\ntors muestran un aumento prominente que es un finito sobrante\nefecto de la temperatura, que para la relación ((μ) − (0))/μ4\naparece como un término 1/μ2. En el intervalo entre μ = 0,1\ny 0.5 los datos están cerca del valor continuo. Sé...\nhace 0.5 los efectos de discretización inician y el solapamiento\ny los resultados de Wilson comienzan a diferir. Una comparación con\nla parcela equivalente en [6], donde los resultados de\notros operadores de celosía Dirac fueron presentados, muestra que\nlos efectos de discontinuidad del operador de solapamiento en general\nμ son comparables a otras formulaciones.\nV. RESUMEN\nEn este artículo hemos analizado la densidad de energía de\nel operador de superposición en el potencial químico finito. Sígueme.\ning [4], se implementó la función de signo en el solapamiento\na través del teorema espectral utilizando el análisis continuo\nsión de la señal en el plano complejo. Los restados\nse analizó la densidad de energía (μ) − (0) para determinar si\nretículas de cero temperaturas. Adecuados de los datos muestran que el\nse aproxima el comportamiento continuo esperado. No hay rastro\nde términos no físicos μ2/a2. Concluimos que\nlos fermiones de superposición con potencial químico [4] proporcionan ambos elementos,\nsimetría quiral y la descripción correcta de los fermiones\na densidad finita.\nAgradecimientos: Agradecemos a Leonard Fister,\nGabriele Jaritz, Christian Lang, Stefan Olejnik, Tilo\nWettig, y Florian Wodlei para discutir y comprobar...\nAlgunos de nuestros cálculos. Este trabajo cuenta con el apoyo de\nel Organismo Eslovaco de Asistencia en Ciencia y Tecnología\nen virtud del contrato No. APVT–51–005704, y el austriaco\nServicio de cambio ÖAD.\n[1] P. H. Ginsparg y K. G. Wilson, Phys. Rev. D 25, 2649\n(1982).\n[2] P. Hasenfratz y F. Karsch, Phys. Lett. B 125, 308\n(1983).\n[3] R. Narayanan y H. Neuberger, Nucl. Phys. B 443, 305\n(1995); H. Neuberger, Phys. Lett. B 417, 141 (1998).\n[4] J. Bloch y T. Wettig, Phys. Rev. Lett. 97, 012003\n(2006); J. Bloch y T. Wettig, contribución a Lattice\n2006 (hep-lat/0609020).\n[5] J. Kapusta, Teoría del campo de temperatura fina, Cambridge\nUniversity Press, Cambridge (1989).\n[6] W. Bietenholz y U. J. Wiese, Phys. Lett. B 426, 114\n(1998).\nhttp://arxiv.org/abs/hep-lat/0609020\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" Estudiamos una formulación recientemente propuesta de fermiones de superposición en finitos\ndensidad. En particular, calculamos la densidad de energía en función de la\npotencial químico y la temperatura. Se muestra que se superponen los fermiones con\npotencial químico reproduce el comportamiento continuo correcto.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Densidad de energía para fermiones de celosía quiral con potencial químico\nChristof Gattringera y Ludovit Liptakb\nInstitut für Physik, FB Theoretische Physik, Universität Graz,\nUniversitätsplatz 5, 8010 Graz, Austria\nInstituto de Física, Academia Eslovaca de Ciencias,\nDúbravská cesta 9, 845 11 Bratislava 45, República Eslovaca\nEstudiamos una formulación recientemente propuesta de fermiones de superposición a densidad finita. En particular, nosotros\ncalcular la densidad de energía en función del potencial químico y la temperatura. Se muestra\nque superponen los fermiones con el potencial químico se aproximan al comportamiento continuo correcto.\nNúmeros PACS: 11.15.Ha, 12.38.Gc\nI. INTRODUCCIÓN\nDurante las dos últimas décadas la teoría del medidor de celosía fue\nconvertido en una poderosa herramienta cualitativa para el análisis\nQCD. Este progreso se debe, en parte, a los avances en la\nlos algoritmos y la tecnología informática, pero también en la\nSe hicieron importantes avances en el lado conceptual. La mayoría\nentre ellos se destaca la correcta aplicación de\nsimetría quiral en la celosía basada en el Ginsparg-\nEcuación Wilson para el operador de Dirac [1].\nUna aplicación de las técnicas de celosía que ha visto un\nmucha atención en los últimos años, es el estudio de QCD en\ntemperatura finita. La puesta en práctica de la\npotencial químico μ, necesario para tal análisis, es\nSin embargo, no es sencillo. Es bien sabido [2], que\nuna introducción ingenua conduce a μ2/a2 contribuciones que\ndivergen en el límite continuo cuando el espaciado de celosía\na se envía a cero. Para las formulaciones más tradicionales, tales\ncomo los Wilson o escalonados operadores Dirac, el problema\nse ha resuelto mediante la introducción del potencial químico en\ndel mismo modo que el 4-componente del campo de gálibo.\nUna aplicación satisfactoria del potencial químico\ntial debe ser compatible con la simetría quiral en el\ncelosía basada en la ecuación de Ginsparg-Wilson. Cuándo\nintento de introducir el potencial químico en el\nsólo la solución de la ecuación de Ginsparg-Wilson saber en\nforma cerrada, el operador de solapamiento [3], un potencial prob-\nlem superficies rápidamente: definir la función de signo de un no-\nmatriz hermitana. En [4] Bloch y Wettig propusieron un\nsolución basada en una continuación analítica del signo\nfunción en el plano complejo. Se demostró, que el\neigenvalue espectros de esta construcción coinciden con la expec-\ntas de la teoría de matriz aleatoria.\nEn esta carta analizamos la propuesta [4] más adelante\ny estudiar la densidad de energía de la superposición libre y sin masa\nfermiones con potencial químico. La dependencia de la\ndensidad de energía en μ y la temperatura T permite un\nanálisis detallado de la formulación de celosía en la guarida finita\nsity. De particular interés será la cuestión de si\nla continuación analítica de la función de signo produce\ntérminos μ2/a2 divergentes. Nuestro estudio indica la ausencia\nde tales contribuciones y nos encontramos con que el μ y T de-\nla pendencia de la densidad de energía se aborda correctamente.\nII. ESTABLECIMIENTO DE LA CÁLCULO\nLa superposición de Dirac operador D(μ) para los fermiones con un\npotencial químico μ se administra como\nD(μ) =\n[1− γ5 signH(μ)],\nH(μ) = γ5 [1− aDW (μ)]. 1)..........................................................................................................................................................\nLa función de signo puede definirse a través del espectral\nteorema para matrices. DW (μ) denota el Wilson habitual\nOperador de Dirac,\nDW(μ)x,y = 1\n* x, y − (2)\nUj(x)Łx,y +\nUj(x− )x,y\nU4(x)e\nμa4ox+4o,y −\nU4(x−4Ã3)†ea4Ã3x−4Ã3,y.\nPara uso posterior distinguimos entre el espaciado de celosía\na en dirección espacial y la constante temporal de celosía\na4. Las condiciones periódicas de los límites se utilizan en el espacio\ninstrucciones, mientras que en la dirección del tiempo aplicamos antiperiódico\ncondiciones de frontera. El potencial químico μ es cou-\npled en la forma exponencial habitual [2].\nPara la desaparición μ el operador Wilson Dirac es γ5-\nhermitano, es decir, γ5DW (0)γ5 = DW (0)\n†. Esto implica que\nH(0) es una matriz hermitana. Tan pronto como el químico po-\nμ tential se enciende, la γ5-hermicidad ya no se mantiene, y\nH(μ) es una matriz general no hermitana. Este hecho tiene\ndos consecuencias importantes: En primer lugar, los valores propios de\nH(μ) ya no son reales y la función de signo para\nnúmero plex tiene que ser definido en la representación espectral\nión del signoH(μ). En segundo lugar, la representación espectral\ntiene que ser formulado usando autovectores de izquierda y derecha.\nEste último problema se tratará más adelante cuando se des-\nla evaluación de la señalH(μ). Para la función de signo\nde un número complejo utilizamos la continuación analítica\npropuesta en [4] y definir la función de signo a través del\nsigno de la parte real\nsigno (x+ iy) = signo (x). 3)\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0092v2\nLo observable que estudiamos aquí es la densidad de energía.\ndefinido como\n•(μ) =\n• H = 1\nH e (HN)\n= (4)\nE(HN)\n= − 1\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nAquí H es el Hamiltoniano del sistema, N denota el\nnúmero operador y β = 1/T es la temperatura inversa\n(en nuestras unidades la constante de Boltzmann k se establece en k = 1).\nLos derivados de la segunda línea se toman de tal manera que\n= c = const.\nEl resultado continuo para la densidad de energía restada\nde fermiones libres sin masa (véase, por ejemplo, [5])\n•(μ)− •(0) = μ\nμ2T 2. 5)\nCuando se trabaja en la celosía, el inverso tempera-\nβ es dada por la extensión de la celosía en 4 direcciones, es decir,\nβ = N4a4. Por lo tanto la derivada en (4) se convierte en\nN−14 Ł/Ła4. La función de partición Z es dada por la\nfermión determinante detD que escribimos como el prod-\nuct sobre todos los valores propios. Por lo tanto, encontramos\n• (μ) = − 1\nEn detD\na4μ=c\n= − 1\na4μ=c\n= − 1\na4μ=c\n. 6)\nIII. EVALUACIÓN DE LOS EGENVALUES\nDe acuerdo con (6), para la evaluación de\nlos valores del operador de Dirac D tienen que ser computados.\nEsto se hace en tres pasos: Primero traemos el Dirac oper-\nator para fermiones libres a forma diagonal de 4 × 4 bloques, utilizando\nLa transformación de Fourier. Posteriormente, la representación espectral\nla centrifugación se aplica a los 4 x 4 bloques de H para evaluar\nsigno H. Finalmente los valores propios de los bloques de D son\ncomputado y sumando sobre el momento discretoa\ntodos los valores propios se obtienen.\nSiguiendo esta estrategia, se encuentra para el Trans-Fourier\nforma de H,\n= γ5h5 + iγ5\nh/, (7)\nh5 = 1−\n[1− cos(apj)]−\n[1− cos(a4(p4 − iμ))],\nhj = − sin(apj) para j = 1, 2, 3,\nh4 = −\nsin(a4(p4 − iμ)). (8)\nLos momentos espaciales se dan por pj = 2ηkj/aN,\ndonde N es el número de puntos de celosía en el espacio\ndirecciones y kj = 0, 1... N − 1. El momento en el tiempo...\ndirección p4 = η(2k4 + 1)/a4N4, k4 = 0, 1... N4 − 1.\nLa diagonalización restante de es similar a la\nconstrucción de las funciones de eigen izquierda y derecha para el\nOperador libre de Dirac. Uno encuentra que tiene dos diferentes,\nvalores propios doblemente degenerados\nα1 = α2 = + s, α3 = α4 = − s, s =\nh2 + h25, (9)\ndonde h2 =\n/. Las correspondientes izquierdas y derechas.\neigenvectores, lj y rj son administrados por\nl1 = l\n1 [ + s1], l2 = l\n2 [ + s1],\nl3 = l\n3 [ − s1], l4 = l\n4 [ − s1],\nr1 = [ + s1]r\n1, r2 = [ + s1]r\nr3 = [ − s1]r(0)3, r4 = [ − s1]r\n4. (10)\nLos espintores constantes l\nj, r\nj are (T es transposición)\n1 = r\n(0) T\n1 = c (1, 0, 0, 0), l\n2 = r\n(0) T\n2 = c (0, 1, 0, 0),\n3 = r\n(0) T\n3 = c (0, 0, 1, 0), l\n4 = r\n(0) T\n4 = c (0, 0, 0, 1).\nLa constante c = (2s + h5)\n−1/2 asegura el correcto\nnormalización, de tal manera que los autovectores obedecen lirj = Łij.\nUsando estos autovectores y el teorema espectral nosotros\nencontrar para el signo el resultado simple\nsigno =\nsign (lj) rj lj =\nsigno(s)\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (12)\nConectando esto de nuevo a la fórmula de superposición (1) y di-\nagonalizando el problema restante 4 × 4 uno encuentra dos\ndiferentes valores propios para el operador de solapamiento en un determinado\nimpulso,\n1− signo (\nh2 + h25 )h5 ± i\nh2 + h25\n, (13)\ndonde cada uno de los dos valores propios es doblemente degenerado.\nLa dependencia de impulso entra a través de la compo-\nnents h/, h5 definidos en (8). En la suma espectral (6) la la-\nbel n se ejecuta sobre todos los momentosa y los valores propios en fijo\nimpulso tal como se da en (13). El derivado necesario\ncon respecto a a4 es fácil de calcular en cerrado\nforma, y la suma espectral (6) se puede resumir\nMericalmente. El argumento de la función de signo no puede ser-\nvienen puramente imaginarios en una celosía finita, y no-como\nlos términos ocurren. Observamos, que después de tomar la derivada\ncon respecto a a4, establecemos a = a4 = 1, es decir, todos los resultados\nEstamos presentes en las unidades de celosía.\n0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10\n0,000\n0,001\n0,002\n0,003\n0,004\n / 4η\nFIG. 1: Densidad de energía (μ)(0) en función de μ4 (todos\nen unidades de celosía). Los símbolos (conectados para guiar el ojo)\nson para varios tamaños de celosía, la línea discontinua es el continuum\nresultado.\nIV. RESULTADOS\nComenzamos la discusión de nuestros resultados con la Fig. 1,\ndonde se muestra la densidad de energía restada (μ)− (0)\nen función de μ4 para tres volúmenes de celosía diferentes. Por\nesas retículas todos los 4 lados tienen igual longitud, es decir, en el\nlímite termodinámico corresponden a cero tempera-\ntura. Por lo tanto, según (5), esperamos los datos (sim-\nBols in Fig. 1) aproximarse a la forma continua μ4/4η2\n(línea bañada) como el volumen 4-d se envía al infinito.\nLa figura muestra claramente que los datos de celosía son pre-\ndominantemente lineal cuando se traza frente a μ4 y que para\npequeños μ se acercan a la curva de continuum cuando el\nel volumen se incrementa. Sin embargo, es obvio que también en\nnuestra celosía más grande todavía queda una discrepancia para más grande\nμ. En particular se encuentra una ligera curvatura hacia arriba, un\nefecto de discretización que aquí, desde el espaciado de celosía\nes sólo la extensión de celosía inversa, es también un tamaño finito\nefecto. Además, para el pequeño μ se espera ver finito\nlas correcciones de temperatura de acuerdo con (5).\nPara estudiar estas correcciones de temperatura finitas\nsistemáticamente, analizamos celosías con tempo corto...\nla extensión ral, es decir, las celosías con temperatura no disuelta.\nFig. 2 muestra los resultados correspondientes, donde de nuevo\ntrazar la densidad de energía restada en función de μ4.\nLa celosía con la extensión temporal más corta, 1283×8,\nque corresponde a la temperatura más grande, muestra un\ncurvatura clara. Esta curvatura se debe a la T 2μ2/2\ntérmino en (5), que aparece como una raíz cuadrada cuando se trazó\ncomo función de μ4. El efecto es visible también para el otro\nretículas, pero se vuelve menos pronunciado como el temporal\nse aumenta la extensión, es decir, se baja la temperatura T.\nCon el fin de estudiar este efecto cuantitativamente, encajamos\nresultados finitos de la temperatura a la forma continua (5) más\ndos términos incluso en μ que parametrizan los efectos de corte\n0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10\n0,000\n0,001\n0,002\n0,003\n0,004\n x 12\n x 16\n x 24\nFIG. 2: Densidad de energía (μ) − (0) en función de μ4,\nahora para retículas de temperatura finitas (todas en unidades de retícula).\nse observa en la Fig. 1. La función de ajuste es dada por\n2 + c4 μ\n4 + c6 μ\n6 + c8 μ\n8. (14)\nDebido a (5) el coeficiente del término cuadrático debe\nescala con la temperatura tal que uno espera\nc2 T 2/2 = N−24 /2. (15)\nEl coeficiente para el término cuartico debe ser constante,\nc4 â € € = 0,02533. 16)\nLos resultados de la adecuación a los datos utilizados en la Fig. 2, y para\nla celosía más grande de la Fig. 1 se presentan en el cuadro 1.\nLa tabla muestra que con el aumento de N4 los dos phys-\nlos parámetros c2 y c4 se aproximan a la val-\nse espera de la fórmula de continuum (5): c2 obtiene\nmás cerca de N−24 /2, como se indica en la segunda columna, y c4\naproximaciones 1/4η2 = 0,02533. Para el tem finito más grande...\nretícula de peratura 1283×24 la discrepancia se reduce al 9 %\n/2 c2 c4 c6 c8\n8 0,007812 0,010125 0,01519 0,010 -0,021\n12 0,003472 0,004125 0,03178 0,023 -0,013\n16 0,001953 0,002192 0,02803 0,029 -0,015\n24 0,000868 0,000947 0,02587 0,025 -0,030\n128 0.000030 0,000032 0,02543 0,015 0,016\nCUADRO I: Resultados de los ajustes al formulario (14). El espacio\nvolumen es siempre 1283. Se da la extensión temporal N4\nen la primera columna. En la segunda columna enumeramos el corre-\nvalor sponding de N−2\n/2 que es lo que se espera para el\ncoeficiente de ajuste c2 en la tercera columna. El coeficiente c4 en\nse espera que la cuarta columna se aproxime al valor constante\n1/4η2 = 0,02533.\n0,0 0,5 1,0 1,5 2,0\n-0,05\nOverlap, 128\nWilson, 128\nFIG. 3: La relación entre el valor de μ (μ) y el valor de μ (0)/μ4 en función del valor de μ (en\nunidades de celosía). Comparamos los resultados de la superposición con los de\nde los fermiones Wilson.\npara c2, y 2 % para c4. La discrepancia más grande para los pequeños\nN4 se puede entender como un efecto de discretización, ya que el\nespaciamiento temporal de la celosía a4 está relacionado con la ex- temporal\ntensión a través de a4 = 1/N4 y por lo tanto mayor N4 implica un\nmenor a4. Para la comparación también mostramos los resultados de ajuste\npara la celosía 1284, que corresponde a cero temple-\nature. Allí encontramos un excelente acuerdo (menos del 1%)\n(discreción) para el parámetro c4, que rige la\ntérmino en T = 0. La imagen general obtenida del ajuste\nresultados es que se superponen los fermiones con el potencial químico\nse reproducen muy bien tanto, el término μ4, así como la fi-\ncontribución de temperatura de nite T 2μ2/2. Concluimos que\nla continuación analítica de la función de signo no en-\nartefactos de celosía troduce, como el término μ2/a2 conocido\nestar presente en una aplicación ingenua del producto químico\npotencial.\nEn el paso final de nuestro análisis estudiamos la discretiza-\nión para valores mayores de μ y comparar la re-\nlos datos del operador Wilson estándar. In\nFig. 3 graficamos la relación ((μ)− (0))/μ4 en función de\nμ. En el continuum en T = 0 esta relación tiene el valor\n1/4η2 = 0,02533 indicado por la línea horizontal. Por\npequeños μ, hasta aproximadamente μ + 0,7, los datos de Wilson y la superposición\ncaen uno encima del otro. Por muy pequeño μ tanto opera-\ntors muestran un aumento prominente que es un finito sobrante\nefecto de la temperatura, que para la relación ((μ) − (0))/μ4\naparece como un término 1/μ2. En el intervalo entre μ = 0,1\ny 0.5 los datos están cerca del valor continuo. Sé...\nhace 0.5 los efectos de discretización inician y el solapamiento\ny los resultados de Wilson comienzan a diferir. Una comparación con\nla parcela equivalente en [6], donde los resultados de\notros operadores de celosía Dirac fueron presentados, muestra que\nlos efectos de discontinuidad del operador de solapamiento en general\nμ son comparables a otras formulaciones.\nV. RESUMEN\nEn este artículo hemos analizado la densidad de energía de\nel operador de superposición en el potencial químico finito. Sígueme.\ning [4], se implementó la función de signo en el solapamiento\na través del teorema espectral utilizando el análisis continuo\nsión de la señal en el plano complejo. Los restados\nse analizó la densidad de energía (μ) − (0) para determinar si\nretículas de cero temperaturas. Adecuados de los datos muestran que el\nse aproxima el comportamiento continuo esperado. No hay rastro\nde términos no físicos μ2/a2. Concluimos que\nlos fermiones de superposición con potencial químico [4] proporcionan ambos elementos,\nsimetría quiral y la descripción correcta de los fermiones\na densidad finita.\nAgradecimientos: Agradecemos a Leonard Fister,\nGabriele Jaritz, Christian Lang, Stefan Olejnik, Tilo\nWettig, y Florian Wodlei para discutir y comprobar...\nAlgunos de nuestros cálculos. Este trabajo cuenta con el apoyo de\nel Organismo Eslovaco de Asistencia en Ciencia y Tecnología\nen virtud del contrato No. APVT–51–005704, y el austriaco\nServicio de cambio ÖAD.\n[1] P. H. Ginsparg y K. G. Wilson, Phys. Rev. D 25, 2649\n(1982).\n[2] P. Hasenfratz y F. Karsch, Phys. Lett. B 125, 308\n(1983).\n[3] R. Narayanan y H. Neuberger, Nucl. Phys. B 443, 305\n(1995); H. Neuberger, Phys. Lett. B 417, 141 (1998).\n[4] J. Bloch y T. Wettig, Phys. Rev. Lett. 97, 012003\n(2006); J. Bloch y T. Wettig, contribución a Lattice\n2006 (hep-lat/0609020).\n[5] J. Kapusta, Teoría del campo de temperatura fina, Cambridge\nUniversity Press, Cambridge (1989).\n[6] W. Bietenholz y U. J. Wiese, Phys. Lett. B 426, 114\n(1998).\nhttp://arxiv.org/abs/hep-lat/0609020\n"}}},{"rowIdx":86,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0093,"string":"704.0093"},"title":{"kind":"string","value":"Aspects of Electron-Phonon Self-Energy Revealed from Angle-Resolved\n Photoemission Spectroscopy"},"full_text":{"kind":"string","value":"Aspectos de la autoenergía electron-phonón revelados desde ángulos resueltos\nEspectroscopia de fotoemisión\nW.S. Lee,1 S. Johnston,2 T.P. Devereaux,2 y Z.-X. Shen1\nDepartamento de Física, Física Aplicada y Stanford Synchrotron\nLaboratorio de radiación, Universidad de Stanford, Stanford, CA 94305\nDepartamento de Física, Universidad de Waterloo, Waterloo, Ontario, Canadá N2L 3G1\n(Fecha: 4 de noviembre de 2018)\nLa contribución de celosía a la auto-energía electrónica en óxidos correlacionados complejos es una fascinante\ntema que últimamente ha estimulado discusiones animadas. Expectativas de la autoenergía electrón-fonón\nefectos para materiales más simples, como Pd y Al, han dado lugar a\nóxidos correlacionados. Aquí analizamos una serie de argumentos que afirman que los fonones no pueden ser la\norigen de ciertos efectos de auto-energía vistos en superconductores de alta Tc cuprate a través del ángulo resuelto pho-\nlos experimentos de emisión (ARPES), incluida la dependencia de la temperatura, la dependencia de dopaje de la\nefectos de renormalización, dispersión entre bandas en los sistemas bicapa, y sustitución de impurezas.\nDemostramos que a la luz de pruebas experimentales y simulaciones detalladas, estos argumentos no son\nBien fundado.\nNúmeros PACS: Los PACS válidos aparecen aquí\nI. INTRODUCCIÓN\nEl mecanismo de emparejamiento microscópico de la alta Tc\nla superconductividad sigue siendo una cuestión sin resolver\ndespués de veinte años de su descubrimiento. Observaciones de la Comisión\nuna torcedura alrededor de 40-70 meV en la dispersión de la banda\na lo largo de la diagonal de la zona de Brillouin (nodal diec-\ny una estructura de pico-dip-hump (PDH) en la zona\nlímite por espectroscopia de fotoemisión con resolución angular\n(ARPES)1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13 han dibujado mucho\nde atención reciente, ya que pueden arrojar algo de luz sobre esto\nproblema. Aunque se ha establecido un acuerdo\nque la estructura de torcedura y PDH son firmas de la\nelectrones acoplados a un modo bosónico agudo, todavía es\nfuertemente debatido sobre el origen de este modo bosónico.\nInfluenciado por el hecho de que el cuprato de alta Tc es un dopado\nantiferromagnético aislante, una creencia común es que este\nEl modo bosónico tiene un origen magnético2,3,4,5,6,7,8,9. ¿Cómo...?\nuna visión alternativa es que el electrón-fonón cou-\nplong en tal doped-aislador puede ser muy fuerte y\nanómalos debido a una serie de efectos inusuales, tales\ncomo la mala selección, la estructura compleja, así como el\nterplay con correlaciones. De hecho, el oxígeno relacionado op-\nSe han invocado los fonones ticales para explicar el tem-\nperatura y dependencia dopante de la renormalización\nefectos10,11,12,13,14. Esta idea de que los fonones son principalmente\nresponsable de esta renormalización de la banda de baja energía\nEl efecto observado por ARPES ha estimulado un intenso debate.\nActualmente no hay consenso sobre si un fonón, un conjunto\nde los fonones, o un modo magnético es la causa principal de\nla renormalización de la banda.\nComo se ha mencionado, algunas razones importantes para invocar\nla interpretación fonónica de los datos de ARPES son:\npresencia de una escala de energía universal en todos los materiales\ndopaje10,15, especialmente en el estado normal de\nMateriales Tc muy bajos\n16; el fuerte inferido momen-\ndependencia de tum11,14; la existencia de múltiples bosónicos\nlos acoplamientos de modo12 y la disminución de la cou-\nresistencia a los flecos con aumento del dopaje, interpretado como un\nefecto de cribado, especialmente para los fonones con autovectores\na lo largo del eje c13. Sin embargo, todavía existe una creencia generalizada\nque los fonones no son responsables de las características de torcedura. In\nlas siguientes secciones, con una mirada completa en todos\ndatos experimentales, así como algunas simulaciones recientes,\nabordar algunas de las críticas que han sido comúnmente\nutilizado para argumentar en contra de la interpretación fonónica. Estos\nincluyen la dependencia de la temperatura y el dopaje de la\nefectos de renormalización, dispersión entre bandas para bicapa\nel sistema, y los experimentos ARPES sobre la impureza substi-\nCristal Bi2212, Bi2Sr2Ca(Cu2−xMx)O8+ con M\n= Zn o Ni. Nuestro objetivo es aclarar estos conceptos erróneos.\ncomo se debe a la simplificación excesiva de los efectos de electrón-\nacoplamiento de fonón en cupratos, así como otros fuertemente\nóxidos metálicos de transición correlacionados.\nII. ASPECTOS DEL ELECTRÓN-PHONON\nAUTOENERGIA\nA. Depende de la temperatura\nEn el tratamiento estándar del acoplamiento electrón-fonón\nefectos, la temperatura de Debye establece una característica tem-\nescala de peratura, que está muy por encima de Tc en\nmateriales superconductores. Sin embargo en los cuprates y\notros sistemas de energía baja Fermi, estas dos escalas de energía\npuede ser comparable. Como resultado, la temperatura de depen-\ndence de las autoenergias inducidas por el fonón puede ser muy diferente-\na partir de la de los superconductores convencionales. Accord-\na las mediciones de ARPES en el sistema Bi2212, el\nrenormalización de la banda en la región antinodal (peak-dip-\nestructura jorobada) muestra una superconductividad dramática-\nmejora inducida cuando el sistema pasa por un\ntransición de fase del estado normal al supercon-\nestado de conductos. Se ha argumentado que sólo un modo que\nemerge en el estado superconductor y desaparece en\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0093v1\nel estado normal puede explicar esta temperatura-dependiente\nefecto de renormalización2,3,4,5. Phonons son por lo tanto ex-\nSuprimida.\nLa nitidez de los efectos de la renormalización debido a\nEl acoplamiento electrón-fonón es fuerte temperatura de depen-\nabolladura, dada por el hecho de que Tc de bi2212 óptimamente dopado\nestá cerca de 100K. Para demostrar esta temperatura de-\nPendencia, consideramos el estado normal (120 K) y su-\nestado perconductor (10 K) de un superconductor de onda d\nacoplado a 36 meV B1g, 55meV oxígeno A1g, y 70\nMeV respirando fonones14,17. El electrón-fonón cou-\npling para el B1g y los fonones respiratorios son los utilizados\nen Ref. 14. Los modos A1g implican movimientos del eje c de\nambos oxígenos planos y apicales, y tienen dos ramas\nalrededor de 55 y 80 meV. El electrón-fonón apical cou-\npling, derivado en Ref. 17, implica un cargo-transferencia desde\nel ápice de oxígeno en el plano CuO2 a través de los Cu 4s o-\nBital, el mismo camino que da lugar a la división de dos capas-\nting. Sin embargo, para la simplicidad, el electrón-fonón apical\nel acoplamiento se trata como una constante en los cálculos pre-\nenviado en este periódico. La razón para incluir tres modos\nen el cálculo se inspiró en el éxito anterior de\nel cálculo de dos modos11, así como el reciente discov-\nery del acoplamiento de modo múltiple12,13. Para este cálculo,\nla estructura de banda de unión apretada descrita en Ref. 19\nha sido utilizado. La parte real y la parte imaginaria de la\nautoenergía (k, ) y las funciones espectrales A(k, ) at\nk = (0, η) se obtienen entonces dentro del acoplamiento débil Eliash-\nberg formalismo14 y conspirado en la Fig. 1. Detalles de la\nlos cálculos se presentan en el apéndice.\nA alta temperatura, tanto Re. (k,...) como Im. (k,.........................................................................................................................................\nno exhibe una característica de renormalización nítida como se muestra\npor las curvas discontinuas en la Fig. 1 a) y fig. 1 b), respec-\nTily. Esto demuestra que la ampliación térmica\nefecto mancha las características nítidas de la renormalización; en\nadicional, ampliando los efectos debido a muchos cuerpos adicionales\nefectos mancharían las características de la renormalización piel-\nther. Por lo tanto, uno no debe esperar a observar cualquier agudo\ncaracterísticas de renormalización a k = (0, η) en el estado normal\n(+ 100K) del acoplamiento electrón-fonón. En el su-\nperconducting state, las características de renormalización de la\nla auto-energía se vuelve mucho más aguda, debido a la menor\nefecto de ampliación mal, así como la apertura de un su-\nPerconducting gap. Consistente con el dopado óptimo\nBi2212 y Bi2223 mediciones2,4,11,18, la estructura PDH\nión de la función espectral a k = (0, η) surge a baja\nla temperatura y desaparece a alta temperatura (ni-\nmal estado), como se ilustra en la Fig. 1 c) y fig. 1 d),\nrespectivamente. Mientras que este comportamiento es generalmente esperado\npara cualquier fonón, notamos que, además, la auto-energía\nde acoplamientos electrón-fonón que involucran a momen-\ntransferencias dentro de y entre regiones antinodales de\nla superficie de Fermi, como el ápice A1g y los fonones B1g,\nse mejoran en gran medida para todos los puntos k debido a la gran\ndensidad de las mejoras del estado en estas regiones a través de la\napertura de una brecha de onda D. Un detallado impulso depen-\ndence de los efectos de renormalización en el estado normal\ny estado superconductor debido al acoplamiento a la B1g\nFIG. 1: La (a) parte real calculada, Re., (b) imaginaria\nparte de la auto-energía, Im., y el espectral correspondiente\nfunciones, A(k) en c) estado normal y d) superconductores\nEstado. Un extra de 5 meV se añade a la parte imaginaria de la\nautoenergía en simulación de 120K para dar cuenta de la térmica\nampliación de la vida de las cuasi-partículas. La ubicación de\neste cálculo se indica en la entrada de (a) por un punto rojo con\nuna curva roja que representa el FS. Los conjuntos de las letras c) y d) son los siguientes:\ndatos del sistema Bi2223 con dopaje óptimo (Tc=110K) tomados en\nel estado normal (120K) y el estado superconductor(25K)18,\nrespectivamente.\nfonón ha sido discutido en Ref. 11 y Ref. 14. Piel...\ntermorre, tanto el torbellino de dispersión como la estructura PDH-\nen la región nodal se han observado claramente en\nel estado normal cuando se mide a baja temperatura\nen muestras con una Tc inferior\n16. Esto brinda más apoyo\na la renormalización fuertemente dependiente de la temperatura\ncaracterísticas debidas al acoplamiento electrón-fonón.\nB. Dependencia de Dopaje\nOtra declaración problemática contra el fonón\nEl escenario se deriva de la aparente fuerte dependencia de dopaje.\ndence de la posición de torcedura y la fuerza. Basado en el\nsabiduría para los metales buenos convencionales, los fonones deben\nno tienen una fuerte dependencia del dopaje, ya sea en la frecuencia\ndel modo o de la fuerza del acoplamiento. Esto es\nno es necesario válido para aisladores en capas, dopados con\nfuertes efectos de correlación, tales como cupratos donde dop-\ning cambia dramáticamente la metalicidad y el abil-\nity de electrones a las fluctuaciones de carga de la pantalla. Nosotros primero.\nnote que muchos experimentos en varios cuprates han re-\nAnomalías dependientes del dopaje fuertemente portadas para varias\nfonones, lo que implica una fuerte dependencia dopante e-p\nacoplamiento para estos fonones. Por ejemplo, de inelástico\nmediciones de dispersión de neutrones, el modo de respiración,\nmodo de semi-respiración, y los modos de enlace-estiramiento ex-\n• prohibir la dependencia prominente del dopaje de la dispersión y\nrenormalizaciones ergy20,21. En Raman y especificaciones infrarrojas...\nFIG. 2: Las tramas de intensidad de las (a) funciones espectrales con-\na la convolución de la resolución y b) a las especificaciones complicadas de la resolución\nfunciones tral en el estado superconductor (10K) a lo largo de la\ndirección nodal, como se indica en la entrada de (b) por el azul\nlínea. Las curvas negras son la dispersión de banda extraída de\nlas posiciones máximas de las curvas de distribución del momento,\nque cortan las funciones espectrales a una energía fija. El MDC-\ndispersiones derivadas en (a) muestra tres “subkinks” afilados debido\nal acoplamiento a los tres modos de fonón utilizados en el modelo;\nmientras que en (b) los subkinks son lavados por el instru-\nefecto de resolución que deja una simple torcedura aparente en el\ndispersión de la banda. La línea blanca despejada ilustra el desnudo\nbanda para la extracción de Reel se muestra en la Fig. 3 a).\ntroscopía, las formas de línea Fano de los modos de fonón en B1g\ny la simetría B1u muestran fuertes dependencias de dopaje\nAdemás, la fuerza del cambio de energía fonónica y\nlinewidth variación a través de Tc también cambia fuertemente con\ndopaje23.\nEn segundo lugar, la dependencia dopante de la renormalización\nefectos en la auto-energía electrónica es sofisticado como en\nferred por dos estudios recientes de ARPES. Una es la observación...\nión de múltiples acoplamientos de modo bosónico a lo largo del nodal\ndirección12. El otro es la dependencia dopaje de la\nEfecto de cribado c-eje en el acoplamiento entre el elec-\ntron y c-axis fonones. Según lo propuesto por Meevasana et\n13,24 y Devereaux et al.17, para cou-\nploling a longitudes de onda largas, el cribado se vuelve más\neficaz para reducir la resistencia al acoplamiento cuando la c-\nla conductividad del eje se vuelve más metálica. Teniendo en cuenta estos\ndos resultados más la variación de la brecha de superconductores\nmagnitud con dopaje, la dependencia dopaje de la\nLa energía de torcedura es muy complicada en Bi2212 cuya super-\nla realización de la brecha tiene una energía comparable a algunos de los\n¡Fonones!\nIn Fig. 2, presentamos la parcela de intensidad de calculado\nFunciones espectrales que demuestran una dependencia del dopaje\nde la distorsión de la dispersión en el estado superconductor. Los\nEl tamaño de la brecha superconductora se fijó en 40, 20 y 10\nmeV para los sistemas óptimamente dopados y más superdotados-\nTems. Además, la fuerza de acoplamiento de la respiración\nmodo, cuyo acoplamiento apreciable es sólo para la onda corta-\nlas longitudes y las grandes transferencias de impulso20,21,\nFIG. 3: (a) El Re. extraido de la Fig. 2 a) (líneas puntiagudas)\ny Fig. 2 b) (líneas sólidas) restando una banda lineal desnuda\n(línea bañada en la Fig. 2 a)) de la dispersión de la banda. El ar-\nlas filas indican las posiciones máximas de la\n\"único\" aparente torcedura en la dispersión de la banda es generalmente de-\nmultado. b) Resumen de la dependencia del dopaje\nenergía de torcedura y la energía de modo aparente extraída por como-\nsumando un único escenario de modo.\ncambiado para nuestra simulación de dependencia de dopaje; mientras que, un\nfunción de filtro, •2/(•22sc) con diferente valor del eje c\nla frecuencia de cribado se aplica a los fonones del eje c\n(B1g y A1g), para simular la cou-\nresistencia al apriete debido al cambio del cribado del eje c\nefecto13,24. Tomamos nota de que, aunque se trata de una simplificación\nsión, representa el comportamiento general de la detección de\nsideraciones para los fonones que involucran pequeñas momen-\nTransferencias tumorales. Se ha estudiado a fondo la posibilidad de realizar exámenes de detección.\ndada en Ref. 17 y Ref. 24. Además, un componente\n0.005+ Se añade eV 2 en la parte imaginaria de la auto-\nenergía para imitar el tiempo de vida cuasipartícula que se amplía\ndebido a la interacción electrón-electrón.\nComo se muestra en la Fig. 2 a), el acoplamiento a un fonón múltiple\nlos modos inducen varias “subkinks” en la dispersión. Los\nlas posiciones de estos subkinks corresponden en su mayor parte a la en-\nergies de fonones más la brecha máxima de onda d SC,\nIncluso a través de ella no hay ninguna brecha a lo largo de la di-\nRección. Esto es porque al calcular la auto-energía,\nuna necesidad de integrar las contribuciones de la totalidad\nzona, que hace que los electrones en la región nodal “sienten”\nla presencia de la brecha. Además, revelado por el ex-\nTrazado real-parte de la auto-energía, Re. (curvas clavadas\nen Fig. 3 (a)), la característica dominante en el\nel caso es inducido por el modo B1g de 36 meV, mientras que para el OD1\ny OD2, las características del modo A1g de 55 meV y\nEl modo de respiración de 70 meV supera gradualmente el peso del con-\nAtribución del modo B1g. Esto demuestra que\nel cambio de la magnitud de la brecha SC y el aumento\nefecto de cribado a estos fonones debido a un aumento\ndopaje altera la fuerza relativa de las subkinks causadas\npor diferentes modos.\nPara simular los datos experimentales, envolvimos la\nfunciones espectrales mostradas en la Fig. 2 a) con un\nResolución instrumental de ARPES: 12,5 meV en energía res-\nolución y 0,012 η/a en la resolución del impulso. Como illus...\ntrated in Fig. 2 b) y las curvas sólidas\nen Fig. 3(a)), las subcocinas son menos obvias y se vuelven\nuna curva “single” ampliada en la dispersión que es\nde la energía de la fea dominante del fonon...\ntura determinada por la posición máxima de la\n(las flechas en la Fig. 3 a)). La dependencia del dopaje de\nla posición de torcedura se resume como los símbolos sólidos en\nFig. 3 b). Asumiendo un escenario de modo único, uno puede\nobtener la “dependencia dopante” de la energía de modo por\nrestando el tamaño de la brecha SC. Sin embargo, observamos que\nesta energía extraída del modo “aparente” no coincide con\ncualquiera de los modos utilizados en el modelo; en su lugar, es un av-\neliminación entre las características dominantes (símbolos abiertos en\nFig. 3 b). Claramente, ya que la energía de torcedura es una suma de la\nbrecha superconductora y un espectro de modos bosónicos,\nno debe tomarse como una medida precisa de la\nenergía de cualquier modo bosónico en particular. Esto arroja dudas.\nal análisis de las propiedades dependientes del dopaje de la\ntorcedura en la dispersión de la banda nodal basada en el sencillo\nEscenario de acoplamiento de modo bosónico7,8. Lo que es más importante,\nesto ilustra la naturaleza compleja de los efectos de celosía en\nEstos óxidos.\nC. Dispersión entre bandas\nBorisenko et al.8,9 observaron que la tasa de dispersión\nde las bandas de unión y antibono a lo largo del nodal\nla dirección se cruzan cerca de la energía de la Van\nLa singularidad de Hove, sugiriendo una fuerte dispersión entre bandas...\nentre las bandas de unión y antibonos. Ellos\narguyó que sólo un modo con simetría “odd”, como\nmodo de resonancia de spin, puede mediar tal scat inter-banda-\ntering. La cuestión de si los fonones pueden inducir tales\nLa dispersión interbanda también ha sido elevada por estos au-\nThors.\nEn primer lugar, tomamos nota de que, recientemente, la alta energía y el impulso\nExperimentos de resolución ARPES en Bi2212 utilizando\nlos fotones ergy( <10 eV) han resuelto mejor el bicapa\ndividirse en el punto nodal25. Sin embargo, como se muestra en la Fig.\n2 de Ref. 25, la tasa de dispersión de la unión y anti-\nbanda de enlace no exhibe un comportamiento cruzado como\nreportado por Borisenko en al.. La inconsistencia de la\nLos datos entre los dos grupos implican que más experiencia\nSe requiere un mejor análisis para verificar si\neste efecto de dispersión entre bandas es genuino.\nEn segundo lugar, empíricamente, se ha conocido desde hace más de 15 años\nque el acoplamiento electrón-fonón entre bandas en las copas\nes muy grande. La evidencia viene de la fuerte resolución...\nperfiles nance de muchos fonones activos Raman, que dis-\njugar grandes variaciones de intensidad26. Por lo general, esto no es suficiente.\nse mantuvo como resultado de un fuerte acoplamiento entre bandas, por lo que\nLos fonones pueden ser traídos y sacados de resonancias vía tun-\nla energía fotónica incidente27. Puesto que, en general,\nLos fonones también pueden proporcionar impulso para dispersar electrones\na lo largo del eje c, la dispersión inter bicapa directa puede ocurrir\nque implica la mezcla de diferentes simetrías de los fonones.\nEsto se puede ver de una manera simplificada, incluso si nosotros primero\ndescuidar la dispersión directa de la banda y considerar una bicapa\nsistema acoplado a c-eje fonones. Para qz = 0, un simple\nLa clasificación de los modos de eje c es posible:\nk,,α=1,2\n(k)c\nk,α,\nck,α, +\nt(k)\nk,1,eck,2,e + h.c.\nK,q,l,α=1,2, v.\ng/,α(k, q)\nk+q,α,\na(−q) + a\n+ h.c.\n, (1)\ndonde α es el índice para los estados electrónicos de diferentes\nlas capas, en la letra k) del punto 1 = en la letra k) del punto 2, en la letra k) del punto 1, se describe el salto de los elec-\ntrons entre dos capas, y el índice / puede ser o bien\nmodos de eje c activo gerade o ungerade, con simetría\nclasificación con respecto al desplazamiento eigenvec-\nhasta el centro de inversión de la celda, representado en la Fig.\n4. Después de diagonalizar los dos primeros términos por canónico\ntransformación, el acoplamiento electrón-fonón puede ser re-\nfundida como\n(g, u)\nk,q,\ng(g,u)(k, q)\na(g,u)(q) + a\n(g, u)\nk+q,+,ck,(+,−),\nk+q,−,ck,(−,+),\n+ h.c.\n..(2)\nHemos utilizado el c+ y c− para el par y impar\ncombinación lineal de c1 y c2, y subíndice g y u\npara el modo gerade y ungerade, respectivamente. Por lo tanto\npara qz = 0, donde esta clasificación es posible, ger-\nLos fonones de ade inducen la dispersión intrabanda (incluso chan-\nnel), mientras que los fonones de ungerade median el inter-\nproceso de dispersión de banda (odd canal) incluso sin di-\nacoplamiento de electrones y fonones rectos a través de las capas. Sin embargo, para\nqz = η/c, la clasificación invierte, donde los modos gerade\nse convierten en ungerade y viceversa, como se ilustra en la figura 4.\nPor lo tanto, incluso en este caso simple, modos a diferentes qz con-\ntributo tanto a la dispersión intra y interbanda, y el\npeso neto del acoplamiento que aparece en la energía de sí mismo es\nPor lo tanto, la Comisión considera que, en la medida en que se trata de una cuestión de interés común, la Comisión no puede adoptar una decisión en el sentido de la letra b) del apartado 1 del artículo 92 del Tratado.\ng(k, q). Puesto que la auto-energía generalmente implica sumas\nsobre qz, y acoplamiento directo de electrones en la posición adyacente-\nEs evidente que los fonones no son insignificantes, la interbanda\nfenómenos de dispersión no se puede utilizar para argumentar en contra\nFIG. 4: La ilustración de la gerade y ungerade c−axis\n¡Fonones! El eigenmodo del gerade (úñerade) phonones\nes uniforme (odd) con respecto al plano de espejo entre dos\nCuO2 capas a qz = 0, mientras que su definición se intercambió a qz =\nη/c. Los círculos negro, gris y blanco representan el Cu, Ca,\ny O átomos, respectivamente.\nlos fonones son importantes para los estados electrónicos.\nTambién agregamos una observación sobre el electrón-\nEnganche de fonón derivado de mediciones Raman28\nen YBa2Cu3O7 y Bi-2212 en comparación con los obtenidos\nde ARPES. Mientras que uno ingenuamente podría esperar el cou-\nPara que sean comparables entre Raman y ARPES, re-\ndad de que esta situación es extraordinariamente diferente si la cou-\nPLING es fuertemente dependiente del momento y siempre que corre-\nlas laciones son apreciables. Desde Raman mide los fonones\ncon transferencia neta de impulso cero y ARPES implica una\nsuma sobre todas las transferencias, una diferencia considerable de acoplamiento puede\nser discernible. Este es específicamente el caso para el B1g\nfonón, donde la dispersión implica transferencias de impulso\na través de los cuellos de la superficie de Fermi cerca (η, 0)14, más\npotenciado a través de correlaciones29, aporta una fuerte contribución\nal electrón auto-energía que está ausente en el fonón auto-\nenergías. Por otra parte, un análisis de la regla de suma presentado en Ref.\n30 destaca en general cómo electrón y fonón auto-\nlas energías pueden ser cualitativamente diferentes en\nSistemas lateados.\nD. Experimentos ARPES en Zn y Ni sustituidos\nBi2212\nEn esta sección, comentamos sobre experimentos recientes\nsobre los efectos de la renormalización en Zn y Ni substi-\nTuted Bi2212 cristal31,32. La fuerza del renor agudo...\nmalizaciones en estos cristales sustituidos se encuentra para ser\nDebilitado en comparación con los cristales prístinos. Desde el\npropiedades magnéticas se modifican previsiblemente debido a la\nCu sustitución por estas impurezas, los autores con-\nocluyó que los efectos agudos de la renormalización son inducidos\npor modos magnéticos, no por fonones.\nDe hecho, un examen detenido de los datos publicados por V.\nB. Zabolotnyy y otros 31 y K. Terashima y otros 32\nque la propiedad magnética no es la única modificación\ndebido a la sustitución por Zn y Ni. En primer lugar, aunque\nambos conjuntos de datos son consistentes en la región antinodal\ndonde la fuerza de la renormalización de la banda es re-\n, son inconsistentes entre sí en la torcedura\nfuerza a lo largo de la dirección nodal. En el conjunto de datos de V.\nB. Zabolotnyy et al., la fuerza de torcedura es más débil en el\nMuestras de dopaje Zn o Ni, mientras que no hay detectables\ncambio en el conjunto de datos comunicados por K. Terashima y otros.\nEn segundo lugar, los datos de K. Terashima et al. (Fig. 1 d)-\nf) en Ref. 32) sugieren que la estructura bicapa-dividir-\ntura es mucho más clara en los cristales prístinos que en el\nCristales de Zn y Ni dopados. Puesto que los autores han dictaminado\nla posibilidad de una diferencia significativa en el nivel de dopaje\nentre los cristales prístinos y los dopados por impurezas,\nvariación de la visibilidad tinte de la estructura bicapa implica\nun cambio relacionado con la impureza en la estructura electrónica.\nA partir de estas dos observaciones sobre sus datos, implica\nque no sólo las propiedades magnéticas podrían cambiar, el\nestructura de banda y comportamiento de dispersión también podría ser\nafectados debido a estas impurezas. Es posible que\nestos cambios de las estructuras electrónicas podrían “debilitar”\nlas características de renormalización observadas en el ARPES\nespectro. Además, observamos que la fuerza de\nel acoplamiento electrón-fonón también podría ser modificado por el\nimpurezas sustituidas: esto puede inferirse del\ncambio de la forma de línea del espectro Fano del B1g 340\ncm−1 fonón en Raman espectral para Zn dopado YBCO33\nYBCO34 y Th-doped como resultado de un aumento de la\nAncho de línea de fonón debido a la dispersión de impurezas. Por lo tanto,\nLos experimentos con Ni y Zn sustituyeron a los gritos de Bi2212.\nLos tals son experimentos inconclusivos para distinguir el fonón\ny los modos magnéticos como el origen de la renormalización\nefectos.\nIII. CONCLUSIÓN\nHemos demostrado que la temperatura y el dopaje de-\npendencia de los efectos de renormalización, banda interbanda\ndispersión, y los resultados de Zn y Ni dopado materiales\npuede ser entendido en el marco del electrón-fonón\nacoplamiento. Por otro lado, las cuestiones que lo hacen\nno es plausible para el afilado ser de origen spin, es-\npecialmente el modo de resonancia de giro, permanecen: i) el casi\nescala de energía constante en función del dopaje en pequeñas\ngap system12; ii) los múltiples modos12; iii) la presencia\nde torcedura clara en el estado normal4,13,16 iv) el detalle\nacuerdo entre B1g phonon explicación basada en el\nmodo de acoplamiento en función del impulso11,14, mientras que\nla resonancia de giro con peso espectral minúsculo (2%) es un-\nEs probable que dé una explicación tanto para el nódulo como para la antin-\nrenormalización odal; v) la evidencia acumulada para\nefecto polaron de celosía en undopado y profundamente bajo-\nsistemas dopados35,36. Con estas debilidades del giro\ninterpretación de resonancia, efecto de celosía es más plausible\nexplicación de los efectos de la renormalización. Sigue siendo un\nla posibilidad de que la spin-fluctuación y otros fuertes cor-\nefectos de relación también son muy importantes para determinar la\nestructura electrónica de los cuprates; probablemente contribuyen a\nuna suave renormalización de la banda y puede ser más\nrelevante para la energía de unión superior. Sin embargo, opti-\nLos fonones cal son el origen más probable para el renor-\nefectos de malización debidos a modos agudos cercanos a 40-70 meV,\nque también se apoya en la reciente conclusión de STM\nexperimentos 37,38.\nAgradecimientos\nW.S. Lee reconoce el apoyo de SSRL que\nes operado por la Oficina de Ciencias Básicas de la Energía de la DOE,\nDivisión de Ciencia Química y Ciencia de los Materiales\ncontrato DE-AC02-76SF00515. T. P. Devereaux\nagradecen el apoyo de NSERC, subvención ONR\nN00014-05-1-0127 y la Fundación A. von Humboldt.\nAPÉNDICE A: BASE MIGDAL-ELIASHBERG\nENFOQUE\nEn los cálculos presentados aquí, evaluamos elec-\nautoenergias tronicas y funciones espectrales vía Migdal-\nTratamiento de Eliashberg, como se explica en Ref. 39. Los\nla función de Green vestido en el estado superconductor es\ndada en la notación de Nambu por\n• (k, •) =\nC(k, ) 0 + [(k) + χ(k, )]3 + (k, )1\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n, (A1)\na partir de la cual la función espectral sigue A(k, •) = − 1\nG′′1,1(k, فارسى) como se muestra en las Figs. 1c,1d, y 2. El impulso...\ncomponentes dependientes de la energía propia Nambu se dan como generalizaciones de los que se encuentran en Ref. 39:\n•Z2(k, •) =\ng/(k,p− k)\n[nb() + nf(Ep)][\n+[nb() + nf (−Ep)][\nχ2(k, ) = −\ng/(k,p− k)\n[nb() + nf (Ep)][\n+[nb() + nf (−Ep)][\n*2(k, *) =\ng/(k,p− k)\n[nb() + nf (Ep)][\n+[nb() + nf(−Ep)][\ndonde / denota el índice de modo fonón, y nf y nb\nson los factores de ocupación de Fermi y Bose. g(k,q) son\nlos correspondientes acoplamientos electrón-fonón para modo\nü, en la referencia14 para los modos de respiración y B1g.\nElegimos modelar el acoplamiento A1g a través de un impulso\nacoplamiento independiente. Más detalles se pueden encontrar en\nRef. 17.\n1 P. V. Bogdanov, A. Lanzara, S. A. Kellar, X. J. Zhou, E.\nD. Lu, W. J. Zheng, G. Gu, J.-I. Shimoyama, K. Kishio,\nH. Ikeda, R. Yoshizaki, Z. Hussain y Z. X. Shen, Phys.\nRev. Lett. 85, 2581 (2000).\n2 A. Kaminski, M. Randeria, J. C. Campuzano, M. R. Nor-\nhombre, H. Fretwell, J. Mesot, T. Sato, T. Takahashi, y K.\nKadowaki, Phys. Rev. Lett. 86, 1070 (2001).\n3 T. K. Kim, A. A. Kordyuk, S. V. Borisenko, A. Koitzsch,\nM. Knupfer, H. Berger, y J. Fink, Phys. Rev. Lett. 91,\n167002 (2003).\n4 T. Sato, H. Matsui, T. Takahashi, H. Ding, H.-B. Yang,\nS.-C. Wang, T. Fujii, T. Watanabe, A. Matsuda, T.\nTerashima, y K. Kadowaki, Phys. Rev. Lett. 91, 157003\n(2003).\n5 M. R. Norman, H. Ding, J. C. Campuzano, T. Takeuchi,\nM. Randeria, T. Yokoya, T. Takahashi, T. Mochiku, y\nK. Kadowaki, Phys. Rev. Lett. 79, 3506 (1997).\n6 A. D. Gromko, A. V. Fedorov, Y.-D. Chuang, J. D. Ko-\nRalek, Y. Aiura, Y. Yamaguchi, K. Oka, Yoichi Ando, y\nD. S. Dessau Phys. Rev. B 68, 174520 (2003)\n7 A. A. Kordyuk, S. V. Borisenko, V. B. Zabolotnyy, J. Geck,\nM. Knupfer, J. Fink, B. Büchner, C. T. Lin, B. Keimer, H.\nBerger, A.V. Pan, Seiki Komiya, y Yoichi Ando, Phys.\nRev. Lett. 97, 017002(2006).\n8 S. V. Borisenko, A. A. Kordyuk, V. Zabolotnyy, J. Geck,\nD. Inosov, A. Koitzsch, J. Fink, M. Knupfer, B. Büchner,\nV. Hinkov, C. T. Lin, B. Keimer, T. Wolf, S. G. Chi-\nuzbăian, L. Patthey, y R. Follath, Phys. Rev. Lett. 96,\n117004 (2006).\n9 S. V. Borisenko, A. A. Kordyuk, A. Koitzsch, J. Fink, J.\nGeck, V. Zabolotnyy, M. Knupfer, B. Büchner, H. Berger,\nM. Falub, M. Shi, J. Krempasky, y L. Patthey, Phys.\nRev. Lett. 96, 067001 (2006).\n10 A. Lanzara, P. V. Bogdanov, X. J. Zhou, S. A. Kellar, D.\nL. Feng, E. D. Lu, T. Yoshida, H. Eisaki, A. Fujimori, K.\nKishio, J.-I. Shimoyama, T. Noda, S. Uchida, Z. Hussain,\nZ.-X. Shen, Nature (Londres) 412, 510 (2001).\n11 T. Cuk, F. Baumberger, D. H. Lu, N. Ingle, X. J. Zhou,\nH. Eisaki, N. Kaneko, Z. Hussain, T. P. Devereaux, N. Na-\nGaosa, y Z.-X. Shen, Phys. Rev. Lett. 93, 117003 (2004).\n12 X. J. Zhou, Junren Shi, T. Yoshida, T. Cuk, W. L. Yang,\nV. Brouet, J. Nakamura, N. Mannella, Seiki Komiya,\nYoichi Ando, F. Zhou, W. X. Ti, J. W. Xiong, Z. X. Zhao,\nT. Sasagawa, T. Kakeshita, H. Eisaki, S. Uchida, A. Fu-\njimori, Zhenyu Zhang, E. W. Plummer, R. B. Laughlin,\nZ. Hussain, y Z.-X. Shen, Phys. Rev. Lett. 95, 117001\n(2005).\n13 W. Meevasana, N. J. C. Ingle, D. H. Lu, J. R. Shi, F.\nBaumberger, K. M. Shen, W. S. Lee, T. Cuk, H. Eisaki,\nT. P. Devereaux, N. Nagaosa, J. Zaanen y Z.-X. Shen,\nPhys. Rev. Lett. 96, 157003 (2006).\n14 T. P. Devereaux, T. Cuk, Z.-X. Shen, y N. Nagaosa,\nPhys. Rev. Lett. 93, 117004 (2004).\n15 X.J. Zhou, T. Yoshida, A. Lanzara, P.V. Bogdanov, S.A.\nKellar, K.M. Shen, W.L. Yang, F. Ronning, T. Sasagawa,\nT. Kakeshita, T. Noda, H. Eisaki, S. Uchida, C.T. Lin, F.\nZhou, J.W. Xiong, W.X. Ti, Z.X. Zhao, A. Fujimori, Z.\nHussain, y Z.-X. Shen, Nature 423, 398 (2003).\n16 A. Lanzara, P. V. Bogdanov, X. J. Zhou, N. Kaneko,\nH. Eisaki, M. Greven, Z. Hussain y Z. - X. Shen,\ncond-mat/0412178.\n17 T. P. Devereaux, Z.-X. Shen, N. Nagaosa, y J. Zaanen,\npreimpresión.\n18 W.S. Lee et al., inédito.\n19 M. Eschrig y M. R. Norman, Phys. Rev. B 67, 144503\n(2003).\n20 L. Pintschovius, Phys. stat. Sol. b) 242, 30 (2005), y\nlas referencias aquí.\n21 D. Reznik, L. Pintschovius, M. Ito, S. Likubo, M. Sato,\nH. Goka, M. Fujita, K. Yamada, G. D. Gu y J. M.\nTranquada, Nature 440, 1170 (2006).\n22 M. Opel, R. Hackl, T. P. Devereaux, A. Virosztek y\nA. Zawadowski, A. Erb y E. Walker, H. Berger y L.\nForró, Phys. Rev. B 60, 9836 (1999); C. Bernhard, D.\nMunzar, A. Golnik, C. T. Lin, A. Wittlin, J. Humliček,\ny M. Cardona, ibíd. 61, 618-626 (2000).\n23 E. Altendorf, X. K. Chen, J. C. Irwin, R. Liang y W.\nN. Hardy, Phys. Rev. B 47, 8140(1993); K. C. Hewitt,\nX. K. Chen, C. Roch, J. Chrzanowski, J. C. Irwin, E. H.\nAltendorf, R. Liang, D. Bonn y W. N. Hardy, ibíd. 69\n064514(2004).\n24 W. Meevasana, T. P. Devereaux, N. Nagaosa, Z.-X. Shen,\ny J. Zaanen, Phys. Rev. B 74, 174524 (2006).\n25 T. Yamasaki, K. Yamazaki, A. Ino, M. Arita, H. Na-\nMatame, M. Taniguchi, A. Fujimori, Z.-X. Shen, M.\nIshikado, y S. Uchida, cond-mat/0603006.\n26 E. T. Heyen, S. N. Rashkeev, I. I. Mazin, O. K. Andersen,\nR. Liu, M. Cardona, y O. Jepsen, Phys. Rev. Lett. 65,\n3048-3051 (1990); B. Friedl, C. Thomsen, H.-U. Haber...\nMeier, y M. Cardona, Comunidad de Estado Sólido. 78, 291\n(1991); D. Reznik, S.L. Cooper, M.V. Klein, W.C. Lee,\nD.M. Ginsberg, A.A. Maksimov, A.V. Puchkov, I.I. Tar-\nTakovskii, y S-W. Cheong, Phys. Rev. B 48, 7624 (1993);\nM. Kang, G. Blumberg, M. V. Klein y N. N. Kolesnikov\nPhys. Rev. Lett. 77, 4434 (1996); X. Zhou, M. Cardona,\nD. Colson, y V. Viallet, Phys. Rev. B 55, 12 770 (1997);\nV.G. Hadjiev, X. Zhou, T. Strohm, M. Cardona, Q.M. Lin,\ny C.W. Chu, ibíd. 58, 1043 (1998).\n27 Véase, por ejemplo, E. Ya. Sherman y C. Ambrosch-Draxl, Phys.\nRev. B 62, 9713 (2000), y sus referencias.\n28 Considerando Y-123 y Bi-2212, la anterior medida Raman-\nCuando se ajusta a un perfil de Fano, se indica que B1g cou-\nplong en Y-123 es más apreciable que en Bi-2212, que\nse cree que se debe a los diferentes ambientes electrostáticos\nalrededor de los aviones CuO2. [T.P. Devereaux, A.\nVirosztek, A. Zawadowski, M. Opel, P.F. Müller, C. Hoff...\nmann, R. Philipp, R. Nemetschek, R. Hackl, H. Berger, L.\nForro, A. Erb, y E. Walker, Solid State Commun. 108,\n407 (1998)]. Esto en ese momento fue apoyado por electrostática\ncálculos del campo de cristal orientado al eje c en Y-123\n[J. Li y J. Ladik, Solid State Commun. 95, 35 (1995)],\npero no se habían realizado cálculos para Bi2212. Una re-\nexamen de los datos de Raman indican que la extracción\nel acoplamiento para Bi-2212 puede verse afectado por inhomo-\ngeneidad de las líneas fonónicas en Bi-2212 en comparación con Y-123, como\nbien a las diferencias en el fondo electrónico B1g. Mientras\nSe estimó que el valor de la sustancia problema era de 0,0013, con inhomogeneidad de la sustancia problema.\nlínea fonónica se tiene en cuenta junto con una opción diferente\nde antecedentes, puede obtenerse un valor de 0,02, comparable\na Y-123. Esto está respaldado por cálculos recientes de Ewald\npara Bi-2212, que da un valor de campo de cristal local 1.25\neV/cm, comparable a la obtenida para Y-123.\n29 Carsten Honerkamp, Henry C. Fu y Dung-Hai Lee,\ncond-mat/0605161.\n30 O. Rösch, y O. Gunnarsson, Phys. Rev. Lett. 93,\n237001(2004); O. Rösch, G. Sangiovanni, y O. Gunnars-\nhijo, cond-mat/0607612.\n31 V. B. Zabolotnyy, S.V. Borisenko, A. A. Kordyuk, J. Fink,\nJ. Geck, A. Koitzsch, M. Knupfer, B. Büchner, H. Berger,\nA. Erb, C. T. Lin, B. Keimer y R. Follath, Phys. Rev.\nLett. 96, 037003 (2006).\n32 K. Terashima, H. Matsui, D. Hashimoto, T. Sato, T. Taka-\nhashi, H. Ding, T. Yamamoto y K. Kadowaki, Naturaleza\nFísica 2, 27 (2006).\n33 M. Limonov, D. Shantsev, S. Tajima y A. Yamanaka,\nPhys. Rev. B 65, 024515 (2001).\n34 E. Altendorf, J. C. Irwin, W. N. Hardy y R. Liang,\nPhysica C 185-189, 1375 (1991).\n35 K.M. Shen, F. Ronning, D.H. Lu, W.S. Lee, N.J.C. Ingle,\nW. Meevasana, F. Baumberger, A. Damascelli, N.P. Ar-\nMitage, L.L. Miller, Y. Kohsaka, M. Azuma, M. Takano, H.\nTakagi, y Z.-X. Shen, Phys, Rev. Lett. 93, 267002(2004)\n36 O. Rösch, O. Gunnarsson, X. J. Zhou, T. Yoshida, T.\nSasagawa, A. Fujimori, Z. Hussain, Z.-X. Shen, y S.\nUchida, Phys. Rev. Lett. 95, 227002 (2005).\n37 Jinho Lee, K. Fujita, K. McElroy, J. A. Slezak, M. Wang,\nY. Aiura, H. Bando, M. Ishikado, T. Masui, J.-X. Zhu, A.\nV. Balatsky, H. Eisaki, S. Uchida y J. C. Davis, Nature\nhttp://arxiv.org/abs/cond-mat/0412178\nhttp://arxiv.org/abs/cond-mat/0603006\nhttp://arxiv.org/abs/cond-mat/0605161\nhttp://arxiv.org/abs/cond-mat/0607612\n442, 546(2006).\n38 Jian-Xin Zhu, A. V. Balatsky, T. P. Devereaux, Qimiao\nSi, J. Lee, K. McElroy, y J. C. Davis, Phys. Rev. B 73,\n014511(2006); cond-mat/5507621.\n39 D. J. Scalapino, en Superconductividad, Vol. 1, editado por R.\nParks, Dekker, 1969.\nhttp://arxiv.org/abs/cond-mat/5507621\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" Contribución de celosía a la auto-energía electrónica en complejo correlacionado\nóxidos es un tema fascinante que últimamente ha estimulado discusiones animadas.\nExpectativas de efectos de autoenergía electrón-fonón para materiales más simples, tales como:\ncomo Pd y Al, han resultado en varios conceptos erróneos en fuertemente correlacionados\nóxidos. Aquí analizamos una serie de argumentos que afirman que los fonones no pueden ser\nel origen de ciertos efectos de auto-energía vistos en alto-$T_c$ cuprate\nsuperconductores mediante experimentos de fotoemisión resuelta por ángulo (ARPES), incluidos:\ndependencia de la temperatura, dependencia de dopaje de los efectos de renormalización,\nla dispersión entre bandas en los sistemas bicapa, y la sustitución de impurezas. Nosotros\nmuestra que a la luz de pruebas experimentales y simulaciones detalladas, estos\nlos argumentos no están bien fundados.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Aspectos de la autoenergía electron-phonón revelados desde ángulos resueltos\nEspectroscopia de fotoemisión\nW.S. Lee,1 S. Johnston,2 T.P. Devereaux,2 y Z.-X. Shen1\nDepartamento de Física, Física Aplicada y Stanford Synchrotron\nLaboratorio de radiación, Universidad de Stanford, Stanford, CA 94305\nDepartamento de Física, Universidad de Waterloo, Waterloo, Ontario, Canadá N2L 3G1\n(Fecha: 4 de noviembre de 2018)\nLa contribución de celosía a la auto-energía electrónica en óxidos correlacionados complejos es una fascinante\ntema que últimamente ha estimulado discusiones animadas. Expectativas de la autoenergía electrón-fonón\nefectos para materiales más simples, como Pd y Al, han dado lugar a\nóxidos correlacionados. Aquí analizamos una serie de argumentos que afirman que los fonones no pueden ser la\norigen de ciertos efectos de auto-energía vistos en superconductores de alta Tc cuprate a través del ángulo resuelto pho-\nlos experimentos de emisión (ARPES), incluida la dependencia de la temperatura, la dependencia de dopaje de la\nefectos de renormalización, dispersión entre bandas en los sistemas bicapa, y sustitución de impurezas.\nDemostramos que a la luz de pruebas experimentales y simulaciones detalladas, estos argumentos no son\nBien fundado.\nNúmeros PACS: Los PACS válidos aparecen aquí\nI. INTRODUCCIÓN\nEl mecanismo de emparejamiento microscópico de la alta Tc\nla superconductividad sigue siendo una cuestión sin resolver\ndespués de veinte años de su descubrimiento. Observaciones de la Comisión\nuna torcedura alrededor de 40-70 meV en la dispersión de la banda\na lo largo de la diagonal de la zona de Brillouin (nodal diec-\ny una estructura de pico-dip-hump (PDH) en la zona\nlímite por espectroscopia de fotoemisión con resolución angular\n(ARPES)1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13 han dibujado mucho\nde atención reciente, ya que pueden arrojar algo de luz sobre esto\nproblema. Aunque se ha establecido un acuerdo\nque la estructura de torcedura y PDH son firmas de la\nelectrones acoplados a un modo bosónico agudo, todavía es\nfuertemente debatido sobre el origen de este modo bosónico.\nInfluenciado por el hecho de que el cuprato de alta Tc es un dopado\nantiferromagnético aislante, una creencia común es que este\nEl modo bosónico tiene un origen magnético2,3,4,5,6,7,8,9. ¿Cómo...?\nuna visión alternativa es que el electrón-fonón cou-\nplong en tal doped-aislador puede ser muy fuerte y\nanómalos debido a una serie de efectos inusuales, tales\ncomo la mala selección, la estructura compleja, así como el\nterplay con correlaciones. De hecho, el oxígeno relacionado op-\nSe han invocado los fonones ticales para explicar el tem-\nperatura y dependencia dopante de la renormalización\nefectos10,11,12,13,14. Esta idea de que los fonones son principalmente\nresponsable de esta renormalización de la banda de baja energía\nEl efecto observado por ARPES ha estimulado un intenso debate.\nActualmente no hay consenso sobre si un fonón, un conjunto\nde los fonones, o un modo magnético es la causa principal de\nla renormalización de la banda.\nComo se ha mencionado, algunas razones importantes para invocar\nla interpretación fonónica de los datos de ARPES son:\npresencia de una escala de energía universal en todos los materiales\ndopaje10,15, especialmente en el estado normal de\nMateriales Tc muy bajos\n16; el fuerte inferido momen-\ndependencia de tum11,14; la existencia de múltiples bosónicos\nlos acoplamientos de modo12 y la disminución de la cou-\nresistencia a los flecos con aumento del dopaje, interpretado como un\nefecto de cribado, especialmente para los fonones con autovectores\na lo largo del eje c13. Sin embargo, todavía existe una creencia generalizada\nque los fonones no son responsables de las características de torcedura. In\nlas siguientes secciones, con una mirada completa en todos\ndatos experimentales, así como algunas simulaciones recientes,\nabordar algunas de las críticas que han sido comúnmente\nutilizado para argumentar en contra de la interpretación fonónica. Estos\nincluyen la dependencia de la temperatura y el dopaje de la\nefectos de renormalización, dispersión entre bandas para bicapa\nel sistema, y los experimentos ARPES sobre la impureza substi-\nCristal Bi2212, Bi2Sr2Ca(Cu2−xMx)O8+ con M\n= Zn o Ni. Nuestro objetivo es aclarar estos conceptos erróneos.\ncomo se debe a la simplificación excesiva de los efectos de electrón-\nacoplamiento de fonón en cupratos, así como otros fuertemente\nóxidos metálicos de transición correlacionados.\nII. ASPECTOS DEL ELECTRÓN-PHONON\nAUTOENERGIA\nA. Depende de la temperatura\nEn el tratamiento estándar del acoplamiento electrón-fonón\nefectos, la temperatura de Debye establece una característica tem-\nescala de peratura, que está muy por encima de Tc en\nmateriales superconductores. Sin embargo en los cuprates y\notros sistemas de energía baja Fermi, estas dos escalas de energía\npuede ser comparable. Como resultado, la temperatura de depen-\ndence de las autoenergias inducidas por el fonón puede ser muy diferente-\na partir de la de los superconductores convencionales. Accord-\na las mediciones de ARPES en el sistema Bi2212, el\nrenormalización de la banda en la región antinodal (peak-dip-\nestructura jorobada) muestra una superconductividad dramática-\nmejora inducida cuando el sistema pasa por un\ntransición de fase del estado normal al supercon-\nestado de conductos. Se ha argumentado que sólo un modo que\nemerge en el estado superconductor y desaparece en\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0093v1\nel estado normal puede explicar esta temperatura-dependiente\nefecto de renormalización2,3,4,5. Phonons son por lo tanto ex-\nSuprimida.\nLa nitidez de los efectos de la renormalización debido a\nEl acoplamiento electrón-fonón es fuerte temperatura de depen-\nabolladura, dada por el hecho de que Tc de bi2212 óptimamente dopado\nestá cerca de 100K. Para demostrar esta temperatura de-\nPendencia, consideramos el estado normal (120 K) y su-\nestado perconductor (10 K) de un superconductor de onda d\nacoplado a 36 meV B1g, 55meV oxígeno A1g, y 70\nMeV respirando fonones14,17. El electrón-fonón cou-\npling para el B1g y los fonones respiratorios son los utilizados\nen Ref. 14. Los modos A1g implican movimientos del eje c de\nambos oxígenos planos y apicales, y tienen dos ramas\nalrededor de 55 y 80 meV. El electrón-fonón apical cou-\npling, derivado en Ref. 17, implica un cargo-transferencia desde\nel ápice de oxígeno en el plano CuO2 a través de los Cu 4s o-\nBital, el mismo camino que da lugar a la división de dos capas-\nting. Sin embargo, para la simplicidad, el electrón-fonón apical\nel acoplamiento se trata como una constante en los cálculos pre-\nenviado en este periódico. La razón para incluir tres modos\nen el cálculo se inspiró en el éxito anterior de\nel cálculo de dos modos11, así como el reciente discov-\nery del acoplamiento de modo múltiple12,13. Para este cálculo,\nla estructura de banda de unión apretada descrita en Ref. 19\nha sido utilizado. La parte real y la parte imaginaria de la\nautoenergía (k, ) y las funciones espectrales A(k, ) at\nk = (0, η) se obtienen entonces dentro del acoplamiento débil Eliash-\nberg formalismo14 y conspirado en la Fig. 1. Detalles de la\nlos cálculos se presentan en el apéndice.\nA alta temperatura, tanto Re. (k,...) como Im. (k,.........................................................................................................................................\nno exhibe una característica de renormalización nítida como se muestra\npor las curvas discontinuas en la Fig. 1 a) y fig. 1 b), respec-\nTily. Esto demuestra que la ampliación térmica\nefecto mancha las características nítidas de la renormalización; en\nadicional, ampliando los efectos debido a muchos cuerpos adicionales\nefectos mancharían las características de la renormalización piel-\nther. Por lo tanto, uno no debe esperar a observar cualquier agudo\ncaracterísticas de renormalización a k = (0, η) en el estado normal\n(+ 100K) del acoplamiento electrón-fonón. En el su-\nperconducting state, las características de renormalización de la\nla auto-energía se vuelve mucho más aguda, debido a la menor\nefecto de ampliación mal, así como la apertura de un su-\nPerconducting gap. Consistente con el dopado óptimo\nBi2212 y Bi2223 mediciones2,4,11,18, la estructura PDH\nión de la función espectral a k = (0, η) surge a baja\nla temperatura y desaparece a alta temperatura (ni-\nmal estado), como se ilustra en la Fig. 1 c) y fig. 1 d),\nrespectivamente. Mientras que este comportamiento es generalmente esperado\npara cualquier fonón, notamos que, además, la auto-energía\nde acoplamientos electrón-fonón que involucran a momen-\ntransferencias dentro de y entre regiones antinodales de\nla superficie de Fermi, como el ápice A1g y los fonones B1g,\nse mejoran en gran medida para todos los puntos k debido a la gran\ndensidad de las mejoras del estado en estas regiones a través de la\napertura de una brecha de onda D. Un detallado impulso depen-\ndence de los efectos de renormalización en el estado normal\ny estado superconductor debido al acoplamiento a la B1g\nFIG. 1: La (a) parte real calculada, Re., (b) imaginaria\nparte de la auto-energía, Im., y el espectral correspondiente\nfunciones, A(k) en c) estado normal y d) superconductores\nEstado. Un extra de 5 meV se añade a la parte imaginaria de la\nautoenergía en simulación de 120K para dar cuenta de la térmica\nampliación de la vida de las cuasi-partículas. La ubicación de\neste cálculo se indica en la entrada de (a) por un punto rojo con\nuna curva roja que representa el FS. Los conjuntos de las letras c) y d) son los siguientes:\ndatos del sistema Bi2223 con dopaje óptimo (Tc=110K) tomados en\nel estado normal (120K) y el estado superconductor(25K)18,\nrespectivamente.\nfonón ha sido discutido en Ref. 11 y Ref. 14. Piel...\ntermorre, tanto el torbellino de dispersión como la estructura PDH-\nen la región nodal se han observado claramente en\nel estado normal cuando se mide a baja temperatura\nen muestras con una Tc inferior\n16. Esto brinda más apoyo\na la renormalización fuertemente dependiente de la temperatura\ncaracterísticas debidas al acoplamiento electrón-fonón.\nB. Dependencia de Dopaje\nOtra declaración problemática contra el fonón\nEl escenario se deriva de la aparente fuerte dependencia de dopaje.\ndence de la posición de torcedura y la fuerza. Basado en el\nsabiduría para los metales buenos convencionales, los fonones deben\nno tienen una fuerte dependencia del dopaje, ya sea en la frecuencia\ndel modo o de la fuerza del acoplamiento. Esto es\nno es necesario válido para aisladores en capas, dopados con\nfuertes efectos de correlación, tales como cupratos donde dop-\ning cambia dramáticamente la metalicidad y el abil-\nity de electrones a las fluctuaciones de carga de la pantalla. Nosotros primero.\nnote que muchos experimentos en varios cuprates han re-\nAnomalías dependientes del dopaje fuertemente portadas para varias\nfonones, lo que implica una fuerte dependencia dopante e-p\nacoplamiento para estos fonones. Por ejemplo, de inelástico\nmediciones de dispersión de neutrones, el modo de respiración,\nmodo de semi-respiración, y los modos de enlace-estiramiento ex-\n• prohibir la dependencia prominente del dopaje de la dispersión y\nrenormalizaciones ergy20,21. En Raman y especificaciones infrarrojas...\nFIG. 2: Las tramas de intensidad de las (a) funciones espectrales con-\na la convolución de la resolución y b) a las especificaciones complicadas de la resolución\nfunciones tral en el estado superconductor (10K) a lo largo de la\ndirección nodal, como se indica en la entrada de (b) por el azul\nlínea. Las curvas negras son la dispersión de banda extraída de\nlas posiciones máximas de las curvas de distribución del momento,\nque cortan las funciones espectrales a una energía fija. El MDC-\ndispersiones derivadas en (a) muestra tres “subkinks” afilados debido\nal acoplamiento a los tres modos de fonón utilizados en el modelo;\nmientras que en (b) los subkinks son lavados por el instru-\nefecto de resolución que deja una simple torcedura aparente en el\ndispersión de la banda. La línea blanca despejada ilustra el desnudo\nbanda para la extracción de Reel se muestra en la Fig. 3 a).\ntroscopía, las formas de línea Fano de los modos de fonón en B1g\ny la simetría B1u muestran fuertes dependencias de dopaje\nAdemás, la fuerza del cambio de energía fonónica y\nlinewidth variación a través de Tc también cambia fuertemente con\ndopaje23.\nEn segundo lugar, la dependencia dopante de la renormalización\nefectos en la auto-energía electrónica es sofisticado como en\nferred por dos estudios recientes de ARPES. Una es la observación...\nión de múltiples acoplamientos de modo bosónico a lo largo del nodal\ndirección12. El otro es la dependencia dopaje de la\nEfecto de cribado c-eje en el acoplamiento entre el elec-\ntron y c-axis fonones. Según lo propuesto por Meevasana et\n13,24 y Devereaux et al.17, para cou-\nploling a longitudes de onda largas, el cribado se vuelve más\neficaz para reducir la resistencia al acoplamiento cuando la c-\nla conductividad del eje se vuelve más metálica. Teniendo en cuenta estos\ndos resultados más la variación de la brecha de superconductores\nmagnitud con dopaje, la dependencia dopaje de la\nLa energía de torcedura es muy complicada en Bi2212 cuya super-\nla realización de la brecha tiene una energía comparable a algunos de los\n¡Fonones!\nIn Fig. 2, presentamos la parcela de intensidad de calculado\nFunciones espectrales que demuestran una dependencia del dopaje\nde la distorsión de la dispersión en el estado superconductor. Los\nEl tamaño de la brecha superconductora se fijó en 40, 20 y 10\nmeV para los sistemas óptimamente dopados y más superdotados-\nTems. Además, la fuerza de acoplamiento de la respiración\nmodo, cuyo acoplamiento apreciable es sólo para la onda corta-\nlas longitudes y las grandes transferencias de impulso20,21,\nFIG. 3: (a) El Re. extraido de la Fig. 2 a) (líneas puntiagudas)\ny Fig. 2 b) (líneas sólidas) restando una banda lineal desnuda\n(línea bañada en la Fig. 2 a)) de la dispersión de la banda. El ar-\nlas filas indican las posiciones máximas de la\n\"único\" aparente torcedura en la dispersión de la banda es generalmente de-\nmultado. b) Resumen de la dependencia del dopaje\nenergía de torcedura y la energía de modo aparente extraída por como-\nsumando un único escenario de modo.\ncambiado para nuestra simulación de dependencia de dopaje; mientras que, un\nfunción de filtro, •2/(•22sc) con diferente valor del eje c\nla frecuencia de cribado se aplica a los fonones del eje c\n(B1g y A1g), para simular la cou-\nresistencia al apriete debido al cambio del cribado del eje c\nefecto13,24. Tomamos nota de que, aunque se trata de una simplificación\nsión, representa el comportamiento general de la detección de\nsideraciones para los fonones que involucran pequeñas momen-\nTransferencias tumorales. Se ha estudiado a fondo la posibilidad de realizar exámenes de detección.\ndada en Ref. 17 y Ref. 24. Además, un componente\n0.005+ Se añade eV 2 en la parte imaginaria de la auto-\nenergía para imitar el tiempo de vida cuasipartícula que se amplía\ndebido a la interacción electrón-electrón.\nComo se muestra en la Fig. 2 a), el acoplamiento a un fonón múltiple\nlos modos inducen varias “subkinks” en la dispersión. Los\nlas posiciones de estos subkinks corresponden en su mayor parte a la en-\nergies de fonones más la brecha máxima de onda d SC,\nIncluso a través de ella no hay ninguna brecha a lo largo de la di-\nRección. Esto es porque al calcular la auto-energía,\nuna necesidad de integrar las contribuciones de la totalidad\nzona, que hace que los electrones en la región nodal “sienten”\nla presencia de la brecha. Además, revelado por el ex-\nTrazado real-parte de la auto-energía, Re. (curvas clavadas\nen Fig. 3 (a)), la característica dominante en el\nel caso es inducido por el modo B1g de 36 meV, mientras que para el OD1\ny OD2, las características del modo A1g de 55 meV y\nEl modo de respiración de 70 meV supera gradualmente el peso del con-\nAtribución del modo B1g. Esto demuestra que\nel cambio de la magnitud de la brecha SC y el aumento\nefecto de cribado a estos fonones debido a un aumento\ndopaje altera la fuerza relativa de las subkinks causadas\npor diferentes modos.\nPara simular los datos experimentales, envolvimos la\nfunciones espectrales mostradas en la Fig. 2 a) con un\nResolución instrumental de ARPES: 12,5 meV en energía res-\nolución y 0,012 η/a en la resolución del impulso. Como illus...\ntrated in Fig. 2 b) y las curvas sólidas\nen Fig. 3(a)), las subcocinas son menos obvias y se vuelven\nuna curva “single” ampliada en la dispersión que es\nde la energía de la fea dominante del fonon...\ntura determinada por la posición máxima de la\n(las flechas en la Fig. 3 a)). La dependencia del dopaje de\nla posición de torcedura se resume como los símbolos sólidos en\nFig. 3 b). Asumiendo un escenario de modo único, uno puede\nobtener la “dependencia dopante” de la energía de modo por\nrestando el tamaño de la brecha SC. Sin embargo, observamos que\nesta energía extraída del modo “aparente” no coincide con\ncualquiera de los modos utilizados en el modelo; en su lugar, es un av-\neliminación entre las características dominantes (símbolos abiertos en\nFig. 3 b). Claramente, ya que la energía de torcedura es una suma de la\nbrecha superconductora y un espectro de modos bosónicos,\nno debe tomarse como una medida precisa de la\nenergía de cualquier modo bosónico en particular. Esto arroja dudas.\nal análisis de las propiedades dependientes del dopaje de la\ntorcedura en la dispersión de la banda nodal basada en el sencillo\nEscenario de acoplamiento de modo bosónico7,8. Lo que es más importante,\nesto ilustra la naturaleza compleja de los efectos de celosía en\nEstos óxidos.\nC. Dispersión entre bandas\nBorisenko et al.8,9 observaron que la tasa de dispersión\nde las bandas de unión y antibono a lo largo del nodal\nla dirección se cruzan cerca de la energía de la Van\nLa singularidad de Hove, sugiriendo una fuerte dispersión entre bandas...\nentre las bandas de unión y antibonos. Ellos\narguyó que sólo un modo con simetría “odd”, como\nmodo de resonancia de spin, puede mediar tal scat inter-banda-\ntering. La cuestión de si los fonones pueden inducir tales\nLa dispersión interbanda también ha sido elevada por estos au-\nThors.\nEn primer lugar, tomamos nota de que, recientemente, la alta energía y el impulso\nExperimentos de resolución ARPES en Bi2212 utilizando\nlos fotones ergy( <10 eV) han resuelto mejor el bicapa\ndividirse en el punto nodal25. Sin embargo, como se muestra en la Fig.\n2 de Ref. 25, la tasa de dispersión de la unión y anti-\nbanda de enlace no exhibe un comportamiento cruzado como\nreportado por Borisenko en al.. La inconsistencia de la\nLos datos entre los dos grupos implican que más experiencia\nSe requiere un mejor análisis para verificar si\neste efecto de dispersión entre bandas es genuino.\nEn segundo lugar, empíricamente, se ha conocido desde hace más de 15 años\nque el acoplamiento electrón-fonón entre bandas en las copas\nes muy grande. La evidencia viene de la fuerte resolución...\nperfiles nance de muchos fonones activos Raman, que dis-\njugar grandes variaciones de intensidad26. Por lo general, esto no es suficiente.\nse mantuvo como resultado de un fuerte acoplamiento entre bandas, por lo que\nLos fonones pueden ser traídos y sacados de resonancias vía tun-\nla energía fotónica incidente27. Puesto que, en general,\nLos fonones también pueden proporcionar impulso para dispersar electrones\na lo largo del eje c, la dispersión inter bicapa directa puede ocurrir\nque implica la mezcla de diferentes simetrías de los fonones.\nEsto se puede ver de una manera simplificada, incluso si nosotros primero\ndescuidar la dispersión directa de la banda y considerar una bicapa\nsistema acoplado a c-eje fonones. Para qz = 0, un simple\nLa clasificación de los modos de eje c es posible:\nk,,α=1,2\n(k)c\nk,α,\nck,α, +\nt(k)\nk,1,eck,2,e + h.c.\nK,q,l,α=1,2, v.\ng/,α(k, q)\nk+q,α,\na(−q) + a\n+ h.c.\n, (1)\ndonde α es el índice para los estados electrónicos de diferentes\nlas capas, en la letra k) del punto 1 = en la letra k) del punto 2, en la letra k) del punto 1, se describe el salto de los elec-\ntrons entre dos capas, y el índice / puede ser o bien\nmodos de eje c activo gerade o ungerade, con simetría\nclasificación con respecto al desplazamiento eigenvec-\nhasta el centro de inversión de la celda, representado en la Fig.\n4. Después de diagonalizar los dos primeros términos por canónico\ntransformación, el acoplamiento electrón-fonón puede ser re-\nfundida como\n(g, u)\nk,q,\ng(g,u)(k, q)\na(g,u)(q) + a\n(g, u)\nk+q,+,ck,(+,−),\nk+q,−,ck,(−,+),\n+ h.c.\n..(2)\nHemos utilizado el c+ y c− para el par y impar\ncombinación lineal de c1 y c2, y subíndice g y u\npara el modo gerade y ungerade, respectivamente. Por lo tanto\npara qz = 0, donde esta clasificación es posible, ger-\nLos fonones de ade inducen la dispersión intrabanda (incluso chan-\nnel), mientras que los fonones de ungerade median el inter-\nproceso de dispersión de banda (odd canal) incluso sin di-\nacoplamiento de electrones y fonones rectos a través de las capas. Sin embargo, para\nqz = η/c, la clasificación invierte, donde los modos gerade\nse convierten en ungerade y viceversa, como se ilustra en la figura 4.\nPor lo tanto, incluso en este caso simple, modos a diferentes qz con-\ntributo tanto a la dispersión intra y interbanda, y el\npeso neto del acoplamiento que aparece en la energía de sí mismo es\nPor lo tanto, la Comisión considera que, en la medida en que se trata de una cuestión de interés común, la Comisión no puede adoptar una decisión en el sentido de la letra b) del apartado 1 del artículo 92 del Tratado.\ng(k, q). Puesto que la auto-energía generalmente implica sumas\nsobre qz, y acoplamiento directo de electrones en la posición adyacente-\nEs evidente que los fonones no son insignificantes, la interbanda\nfenómenos de dispersión no se puede utilizar para argumentar en contra\nFIG. 4: La ilustración de la gerade y ungerade c−axis\n¡Fonones! El eigenmodo del gerade (úñerade) phonones\nes uniforme (odd) con respecto al plano de espejo entre dos\nCuO2 capas a qz = 0, mientras que su definición se intercambió a qz =\nη/c. Los círculos negro, gris y blanco representan el Cu, Ca,\ny O átomos, respectivamente.\nlos fonones son importantes para los estados electrónicos.\nTambién agregamos una observación sobre el electrón-\nEnganche de fonón derivado de mediciones Raman28\nen YBa2Cu3O7 y Bi-2212 en comparación con los obtenidos\nde ARPES. Mientras que uno ingenuamente podría esperar el cou-\nPara que sean comparables entre Raman y ARPES, re-\ndad de que esta situación es extraordinariamente diferente si la cou-\nPLING es fuertemente dependiente del momento y siempre que corre-\nlas laciones son apreciables. Desde Raman mide los fonones\ncon transferencia neta de impulso cero y ARPES implica una\nsuma sobre todas las transferencias, una diferencia considerable de acoplamiento puede\nser discernible. Este es específicamente el caso para el B1g\nfonón, donde la dispersión implica transferencias de impulso\na través de los cuellos de la superficie de Fermi cerca (η, 0)14, más\npotenciado a través de correlaciones29, aporta una fuerte contribución\nal electrón auto-energía que está ausente en el fonón auto-\nenergías. Por otra parte, un análisis de la regla de suma presentado en Ref.\n30 destaca en general cómo electrón y fonón auto-\nlas energías pueden ser cualitativamente diferentes en\nSistemas lateados.\nD. Experimentos ARPES en Zn y Ni sustituidos\nBi2212\nEn esta sección, comentamos sobre experimentos recientes\nsobre los efectos de la renormalización en Zn y Ni substi-\nTuted Bi2212 cristal31,32. La fuerza del renor agudo...\nmalizaciones en estos cristales sustituidos se encuentra para ser\nDebilitado en comparación con los cristales prístinos. Desde el\npropiedades magnéticas se modifican previsiblemente debido a la\nCu sustitución por estas impurezas, los autores con-\nocluyó que los efectos agudos de la renormalización son inducidos\npor modos magnéticos, no por fonones.\nDe hecho, un examen detenido de los datos publicados por V.\nB. Zabolotnyy y otros 31 y K. Terashima y otros 32\nque la propiedad magnética no es la única modificación\ndebido a la sustitución por Zn y Ni. En primer lugar, aunque\nambos conjuntos de datos son consistentes en la región antinodal\ndonde la fuerza de la renormalización de la banda es re-\n, son inconsistentes entre sí en la torcedura\nfuerza a lo largo de la dirección nodal. En el conjunto de datos de V.\nB. Zabolotnyy et al., la fuerza de torcedura es más débil en el\nMuestras de dopaje Zn o Ni, mientras que no hay detectables\ncambio en el conjunto de datos comunicados por K. Terashima y otros.\nEn segundo lugar, los datos de K. Terashima et al. (Fig. 1 d)-\nf) en Ref. 32) sugieren que la estructura bicapa-dividir-\ntura es mucho más clara en los cristales prístinos que en el\nCristales de Zn y Ni dopados. Puesto que los autores han dictaminado\nla posibilidad de una diferencia significativa en el nivel de dopaje\nentre los cristales prístinos y los dopados por impurezas,\nvariación de la visibilidad tinte de la estructura bicapa implica\nun cambio relacionado con la impureza en la estructura electrónica.\nA partir de estas dos observaciones sobre sus datos, implica\nque no sólo las propiedades magnéticas podrían cambiar, el\nestructura de banda y comportamiento de dispersión también podría ser\nafectados debido a estas impurezas. Es posible que\nestos cambios de las estructuras electrónicas podrían “debilitar”\nlas características de renormalización observadas en el ARPES\nespectro. Además, observamos que la fuerza de\nel acoplamiento electrón-fonón también podría ser modificado por el\nimpurezas sustituidas: esto puede inferirse del\ncambio de la forma de línea del espectro Fano del B1g 340\ncm−1 fonón en Raman espectral para Zn dopado YBCO33\nYBCO34 y Th-doped como resultado de un aumento de la\nAncho de línea de fonón debido a la dispersión de impurezas. Por lo tanto,\nLos experimentos con Ni y Zn sustituyeron a los gritos de Bi2212.\nLos tals son experimentos inconclusivos para distinguir el fonón\ny los modos magnéticos como el origen de la renormalización\nefectos.\nIII. CONCLUSIÓN\nHemos demostrado que la temperatura y el dopaje de-\npendencia de los efectos de renormalización, banda interbanda\ndispersión, y los resultados de Zn y Ni dopado materiales\npuede ser entendido en el marco del electrón-fonón\nacoplamiento. Por otro lado, las cuestiones que lo hacen\nno es plausible para el afilado ser de origen spin, es-\npecialmente el modo de resonancia de giro, permanecen: i) el casi\nescala de energía constante en función del dopaje en pequeñas\ngap system12; ii) los múltiples modos12; iii) la presencia\nde torcedura clara en el estado normal4,13,16 iv) el detalle\nacuerdo entre B1g phonon explicación basada en el\nmodo de acoplamiento en función del impulso11,14, mientras que\nla resonancia de giro con peso espectral minúsculo (2%) es un-\nEs probable que dé una explicación tanto para el nódulo como para la antin-\nrenormalización odal; v) la evidencia acumulada para\nefecto polaron de celosía en undopado y profundamente bajo-\nsistemas dopados35,36. Con estas debilidades del giro\ninterpretación de resonancia, efecto de celosía es más plausible\nexplicación de los efectos de la renormalización. Sigue siendo un\nla posibilidad de que la spin-fluctuación y otros fuertes cor-\nefectos de relación también son muy importantes para determinar la\nestructura electrónica de los cuprates; probablemente contribuyen a\nuna suave renormalización de la banda y puede ser más\nrelevante para la energía de unión superior. Sin embargo, opti-\nLos fonones cal son el origen más probable para el renor-\nefectos de malización debidos a modos agudos cercanos a 40-70 meV,\nque también se apoya en la reciente conclusión de STM\nexperimentos 37,38.\nAgradecimientos\nW.S. Lee reconoce el apoyo de SSRL que\nes operado por la Oficina de Ciencias Básicas de la Energía de la DOE,\nDivisión de Ciencia Química y Ciencia de los Materiales\ncontrato DE-AC02-76SF00515. T. P. Devereaux\nagradecen el apoyo de NSERC, subvención ONR\nN00014-05-1-0127 y la Fundación A. von Humboldt.\nAPÉNDICE A: BASE MIGDAL-ELIASHBERG\nENFOQUE\nEn los cálculos presentados aquí, evaluamos elec-\nautoenergias tronicas y funciones espectrales vía Migdal-\nTratamiento de Eliashberg, como se explica en Ref. 39. Los\nla función de Green vestido en el estado superconductor es\ndada en la notación de Nambu por\n• (k, •) =\nC(k, ) 0 + [(k) + χ(k, )]3 + (k, )1\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n, (A1)\na partir de la cual la función espectral sigue A(k, •) = − 1\nG′′1,1(k, فارسى) como se muestra en las Figs. 1c,1d, y 2. El impulso...\ncomponentes dependientes de la energía propia Nambu se dan como generalizaciones de los que se encuentran en Ref. 39:\n•Z2(k, •) =\ng/(k,p− k)\n[nb() + nf(Ep)][\n+[nb() + nf (−Ep)][\nχ2(k, ) = −\ng/(k,p− k)\n[nb() + nf (Ep)][\n+[nb() + nf (−Ep)][\n*2(k, *) =\ng/(k,p− k)\n[nb() + nf (Ep)][\n+[nb() + nf(−Ep)][\ndonde / denota el índice de modo fonón, y nf y nb\nson los factores de ocupación de Fermi y Bose. g(k,q) son\nlos correspondientes acoplamientos electrón-fonón para modo\nü, en la referencia14 para los modos de respiración y B1g.\nElegimos modelar el acoplamiento A1g a través de un impulso\nacoplamiento independiente. Más detalles se pueden encontrar en\nRef. 17.\n1 P. V. Bogdanov, A. Lanzara, S. A. Kellar, X. J. Zhou, E.\nD. Lu, W. J. Zheng, G. Gu, J.-I. Shimoyama, K. Kishio,\nH. Ikeda, R. Yoshizaki, Z. Hussain y Z. X. Shen, Phys.\nRev. Lett. 85, 2581 (2000).\n2 A. Kaminski, M. Randeria, J. C. Campuzano, M. R. Nor-\nhombre, H. Fretwell, J. Mesot, T. Sato, T. Takahashi, y K.\nKadowaki, Phys. Rev. Lett. 86, 1070 (2001).\n3 T. K. Kim, A. A. Kordyuk, S. V. Borisenko, A. Koitzsch,\nM. Knupfer, H. Berger, y J. Fink, Phys. Rev. Lett. 91,\n167002 (2003).\n4 T. Sato, H. Matsui, T. Takahashi, H. Ding, H.-B. Yang,\nS.-C. Wang, T. Fujii, T. Watanabe, A. Matsuda, T.\nTerashima, y K. Kadowaki, Phys. Rev. Lett. 91, 157003\n(2003).\n5 M. R. Norman, H. Ding, J. C. Campuzano, T. Takeuchi,\nM. Randeria, T. Yokoya, T. Takahashi, T. Mochiku, y\nK. Kadowaki, Phys. Rev. Lett. 79, 3506 (1997).\n6 A. D. Gromko, A. V. Fedorov, Y.-D. Chuang, J. D. Ko-\nRalek, Y. Aiura, Y. Yamaguchi, K. Oka, Yoichi Ando, y\nD. S. Dessau Phys. Rev. B 68, 174520 (2003)\n7 A. A. Kordyuk, S. V. Borisenko, V. B. Zabolotnyy, J. Geck,\nM. Knupfer, J. Fink, B. Büchner, C. T. Lin, B. Keimer, H.\nBerger, A.V. Pan, Seiki Komiya, y Yoichi Ando, Phys.\nRev. Lett. 97, 017002(2006).\n8 S. V. Borisenko, A. A. Kordyuk, V. Zabolotnyy, J. Geck,\nD. Inosov, A. Koitzsch, J. Fink, M. Knupfer, B. Büchner,\nV. Hinkov, C. T. Lin, B. Keimer, T. Wolf, S. G. Chi-\nuzbăian, L. Patthey, y R. Follath, Phys. Rev. Lett. 96,\n117004 (2006).\n9 S. V. Borisenko, A. A. Kordyuk, A. Koitzsch, J. Fink, J.\nGeck, V. Zabolotnyy, M. Knupfer, B. Büchner, H. Berger,\nM. Falub, M. Shi, J. Krempasky, y L. Patthey, Phys.\nRev. Lett. 96, 067001 (2006).\n10 A. Lanzara, P. V. Bogdanov, X. J. Zhou, S. A. Kellar, D.\nL. Feng, E. D. Lu, T. Yoshida, H. Eisaki, A. Fujimori, K.\nKishio, J.-I. Shimoyama, T. Noda, S. Uchida, Z. Hussain,\nZ.-X. Shen, Nature (Londres) 412, 510 (2001).\n11 T. Cuk, F. Baumberger, D. H. Lu, N. Ingle, X. J. Zhou,\nH. Eisaki, N. Kaneko, Z. Hussain, T. P. Devereaux, N. Na-\nGaosa, y Z.-X. Shen, Phys. Rev. Lett. 93, 117003 (2004).\n12 X. J. Zhou, Junren Shi, T. Yoshida, T. Cuk, W. L. Yang,\nV. Brouet, J. Nakamura, N. Mannella, Seiki Komiya,\nYoichi Ando, F. Zhou, W. X. Ti, J. W. Xiong, Z. X. Zhao,\nT. Sasagawa, T. Kakeshita, H. Eisaki, S. Uchida, A. Fu-\njimori, Zhenyu Zhang, E. W. Plummer, R. B. Laughlin,\nZ. Hussain, y Z.-X. Shen, Phys. Rev. Lett. 95, 117001\n(2005).\n13 W. Meevasana, N. J. C. Ingle, D. H. Lu, J. R. Shi, F.\nBaumberger, K. M. Shen, W. S. Lee, T. Cuk, H. Eisaki,\nT. P. Devereaux, N. Nagaosa, J. Zaanen y Z.-X. Shen,\nPhys. Rev. Lett. 96, 157003 (2006).\n14 T. P. Devereaux, T. Cuk, Z.-X. Shen, y N. Nagaosa,\nPhys. Rev. Lett. 93, 117004 (2004).\n15 X.J. Zhou, T. Yoshida, A. Lanzara, P.V. Bogdanov, S.A.\nKellar, K.M. Shen, W.L. Yang, F. Ronning, T. Sasagawa,\nT. Kakeshita, T. Noda, H. Eisaki, S. Uchida, C.T. Lin, F.\nZhou, J.W. Xiong, W.X. Ti, Z.X. Zhao, A. Fujimori, Z.\nHussain, y Z.-X. Shen, Nature 423, 398 (2003).\n16 A. Lanzara, P. V. Bogdanov, X. J. Zhou, N. Kaneko,\nH. Eisaki, M. Greven, Z. Hussain y Z. - X. Shen,\ncond-mat/0412178.\n17 T. P. Devereaux, Z.-X. Shen, N. Nagaosa, y J. Zaanen,\npreimpresión.\n18 W.S. Lee et al., inédito.\n19 M. Eschrig y M. R. Norman, Phys. Rev. B 67, 144503\n(2003).\n20 L. Pintschovius, Phys. stat. Sol. b) 242, 30 (2005), y\nlas referencias aquí.\n21 D. Reznik, L. Pintschovius, M. Ito, S. Likubo, M. Sato,\nH. Goka, M. Fujita, K. Yamada, G. D. Gu y J. M.\nTranquada, Nature 440, 1170 (2006).\n22 M. Opel, R. Hackl, T. P. Devereaux, A. Virosztek y\nA. Zawadowski, A. Erb y E. Walker, H. Berger y L.\nForró, Phys. Rev. B 60, 9836 (1999); C. Bernhard, D.\nMunzar, A. Golnik, C. T. Lin, A. Wittlin, J. Humliček,\ny M. Cardona, ibíd. 61, 618-626 (2000).\n23 E. Altendorf, X. K. Chen, J. C. Irwin, R. Liang y W.\nN. Hardy, Phys. Rev. B 47, 8140(1993); K. C. Hewitt,\nX. K. Chen, C. Roch, J. Chrzanowski, J. C. Irwin, E. H.\nAltendorf, R. Liang, D. Bonn y W. N. Hardy, ibíd. 69\n064514(2004).\n24 W. Meevasana, T. P. Devereaux, N. Nagaosa, Z.-X. Shen,\ny J. Zaanen, Phys. Rev. B 74, 174524 (2006).\n25 T. Yamasaki, K. Yamazaki, A. Ino, M. Arita, H. Na-\nMatame, M. Taniguchi, A. Fujimori, Z.-X. Shen, M.\nIshikado, y S. Uchida, cond-mat/0603006.\n26 E. T. Heyen, S. N. Rashkeev, I. I. Mazin, O. K. Andersen,\nR. Liu, M. Cardona, y O. Jepsen, Phys. Rev. Lett. 65,\n3048-3051 (1990); B. Friedl, C. Thomsen, H.-U. Haber...\nMeier, y M. Cardona, Comunidad de Estado Sólido. 78, 291\n(1991); D. Reznik, S.L. Cooper, M.V. Klein, W.C. Lee,\nD.M. Ginsberg, A.A. Maksimov, A.V. Puchkov, I.I. Tar-\nTakovskii, y S-W. Cheong, Phys. Rev. B 48, 7624 (1993);\nM. Kang, G. Blumberg, M. V. Klein y N. N. Kolesnikov\nPhys. Rev. Lett. 77, 4434 (1996); X. Zhou, M. Cardona,\nD. Colson, y V. Viallet, Phys. Rev. B 55, 12 770 (1997);\nV.G. Hadjiev, X. Zhou, T. Strohm, M. Cardona, Q.M. Lin,\ny C.W. Chu, ibíd. 58, 1043 (1998).\n27 Véase, por ejemplo, E. Ya. Sherman y C. Ambrosch-Draxl, Phys.\nRev. B 62, 9713 (2000), y sus referencias.\n28 Considerando Y-123 y Bi-2212, la anterior medida Raman-\nCuando se ajusta a un perfil de Fano, se indica que B1g cou-\nplong en Y-123 es más apreciable que en Bi-2212, que\nse cree que se debe a los diferentes ambientes electrostáticos\nalrededor de los aviones CuO2. [T.P. Devereaux, A.\nVirosztek, A. Zawadowski, M. Opel, P.F. Müller, C. Hoff...\nmann, R. Philipp, R. Nemetschek, R. Hackl, H. Berger, L.\nForro, A. Erb, y E. Walker, Solid State Commun. 108,\n407 (1998)]. Esto en ese momento fue apoyado por electrostática\ncálculos del campo de cristal orientado al eje c en Y-123\n[J. Li y J. Ladik, Solid State Commun. 95, 35 (1995)],\npero no se habían realizado cálculos para Bi2212. Una re-\nexamen de los datos de Raman indican que la extracción\nel acoplamiento para Bi-2212 puede verse afectado por inhomo-\ngeneidad de las líneas fonónicas en Bi-2212 en comparación con Y-123, como\nbien a las diferencias en el fondo electrónico B1g. Mientras\nSe estimó que el valor de la sustancia problema era de 0,0013, con inhomogeneidad de la sustancia problema.\nlínea fonónica se tiene en cuenta junto con una opción diferente\nde antecedentes, puede obtenerse un valor de 0,02, comparable\na Y-123. Esto está respaldado por cálculos recientes de Ewald\npara Bi-2212, que da un valor de campo de cristal local 1.25\neV/cm, comparable a la obtenida para Y-123.\n29 Carsten Honerkamp, Henry C. Fu y Dung-Hai Lee,\ncond-mat/0605161.\n30 O. Rösch, y O. Gunnarsson, Phys. Rev. Lett. 93,\n237001(2004); O. Rösch, G. Sangiovanni, y O. Gunnars-\nhijo, cond-mat/0607612.\n31 V. B. Zabolotnyy, S.V. Borisenko, A. A. Kordyuk, J. Fink,\nJ. Geck, A. Koitzsch, M. Knupfer, B. Büchner, H. Berger,\nA. Erb, C. T. Lin, B. Keimer y R. Follath, Phys. Rev.\nLett. 96, 037003 (2006).\n32 K. Terashima, H. Matsui, D. Hashimoto, T. Sato, T. Taka-\nhashi, H. Ding, T. Yamamoto y K. Kadowaki, Naturaleza\nFísica 2, 27 (2006).\n33 M. Limonov, D. Shantsev, S. Tajima y A. Yamanaka,\nPhys. Rev. B 65, 024515 (2001).\n34 E. Altendorf, J. C. Irwin, W. N. Hardy y R. Liang,\nPhysica C 185-189, 1375 (1991).\n35 K.M. Shen, F. Ronning, D.H. Lu, W.S. Lee, N.J.C. Ingle,\nW. Meevasana, F. Baumberger, A. Damascelli, N.P. Ar-\nMitage, L.L. Miller, Y. Kohsaka, M. Azuma, M. Takano, H.\nTakagi, y Z.-X. Shen, Phys, Rev. Lett. 93, 267002(2004)\n36 O. Rösch, O. Gunnarsson, X. J. Zhou, T. Yoshida, T.\nSasagawa, A. Fujimori, Z. Hussain, Z.-X. Shen, y S.\nUchida, Phys. Rev. Lett. 95, 227002 (2005).\n37 Jinho Lee, K. Fujita, K. McElroy, J. A. Slezak, M. Wang,\nY. Aiura, H. Bando, M. Ishikado, T. Masui, J.-X. Zhu, A.\nV. Balatsky, H. Eisaki, S. Uchida y J. C. Davis, Nature\nhttp://arxiv.org/abs/cond-mat/0412178\nhttp://arxiv.org/abs/cond-mat/0603006\nhttp://arxiv.org/abs/cond-mat/0605161\nhttp://arxiv.org/abs/cond-mat/0607612\n442, 546(2006).\n38 Jian-Xin Zhu, A. V. Balatsky, T. P. Devereaux, Qimiao\nSi, J. Lee, K. McElroy, y J. C. Davis, Phys. Rev. B 73,\n014511(2006); cond-mat/5507621.\n39 D. J. Scalapino, en Superconductividad, Vol. 1, editado por R.\nParks, Dekker, 1969.\nhttp://arxiv.org/abs/cond-mat/5507621\n"}}},{"rowIdx":87,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0094,"string":"704.0094"},"title":{"kind":"string","value":"Timing and Lensing of the Colliding Bullet Clusters: barely enough time\n and gravity to accelerate the bullet"},"full_text":{"kind":"string","value":"arXiv:0704.0094v1 [astro-ph] 2 Abr 2007\nCalendario y lente de los cúmulos de balas de colisión: apenas el tiempo y la gravedad suficientes\npara acelerar la bala\nHongSheng Zhao\nUniversidad de St Andrews, Scottish University Physics Alliances, KY16 9SS, Reino Unido\nPresentamos restricciones semianalíticas sobre la cantidad de materia oscura en la galaxia de bala fusionada\nclúster usando los clásicos argumentos de tiempo del Grupo Local. Consideramos que las órbitas de partículas en potencial\nmodelos que se ajusten a los datos de lente. Modelos de CDM marginalmente consistentes en la gravedad newtoniana son\nencontrado con una masa total MCDM = 1 × 10\nMás de DM Frío: la bala subhalo se puede mover con\nVDM = 3000 kms\n−1, y el gas de rayos X “bullet” puede moverse con Vgas = 4200 kms\n−1. Estos son\ncasi las velocidades máximas que se aceleran por la gravedad de dos halos de CDM truncados en una\nTiempo Hubble incluso sin la presión del carnero. La coherencia se rompe si uno adopta el extremo superior de\nlas barras de error para la velocidad del gas de bala (5000− 5400 kms−1), y el gas de bala no estaría atado\npor el halo del sub-cluster para el tiempo del Hubble. Modelos con VDM 4500 kms\nVgas invocaría\ngran cantidad poco realista MCDM = 7× 10\nMâs de CDM para un clúster que contenga solamente â € 10\nMás de\nGas. Nuestros resultados son generalizables más allá de la Relatividad General, por ejemplo, una velocidad de 4500 kms-1 es fácil\nobtenido en el modelo de lente relativista MONDian de Angus et al. (2007). Sin embargo, MONDian\nmodelo con materia oscura caliente MHDM ≤ 0,6×10\nModelo Mó y CDM con una masa de halo ≤ 1×10\nson apenas consistentes con los datos de lente y velocidad.\nNúmeros PACS: 98.10.+z, 98.62.Dm, 95.35.+d; sometidos a la revisión física D, publicaciones rápidas\nI. POTENCIAL DE TIMING\nEl tiempo es una técnica única para establecer el caso para\nhalos de materia oscura, primero y más a través explorado en\nel contexto del grupo local (Kahn & Woljter 1959,\nFich & Tremaine 1991, Peebles 1989, Inga & Saha 1998).\nEn su versión más simple, el Grupo Local consiste en:\nVía Láctea y M31 como dos masas puntuales aisladas, que\nse formaron cerca el uno del otro, se separaron debido al Hub-\nble expansión, y se desaceleró y se movió hacia cada uno\notros hasta su velocidad actual: 120 km s−1 y sepa-\nración (unos 700 kpc) debido a su gravedad mutua. Los\nla edad del universo fija el límite superior en el período de\neste par de galaxias, de ahí la masa total del par a través de\nLa tercera ley de Kepler asume la gravedad newtoniana.\nEl tiempo también encuentra una aplicación oportuna en el par de\nla fusión de cúmulos de galaxias 1E0657-56 en corrimiento al rojo z = 0,3,\nque es en gran parte una gran analogía extra-galáctica de la\nSistema M31-MW. El sub-cluster, llamado la “bulleta”,\nActualmente penetra 400-700 kpc a través de la masa principal.\nter con una velocidad aparente de 4750+710\n−550 kms\n−1 (Marke-\nvitch 2006). El gas de rayos X de la bala (cantidad\n2×1013M®) colisiona con el gas de rayos X del clus principal.\nter (con el gas total de hasta 1014M®) y forma un Mach-3\ncono en frente de la “bulleta”. Los dos grupos tienen en\nmínimo cuatro centros diferentes, que se compensan por 400 kpc\nentre el par de centros de gas de rayos X y por 700 kpc\nentre el par de centros estrella-luz, que coincide\ncon los centros de lente gravitacional y (materia oscura)\ncentros potenciales (Clowe et al. 2006). La penetración\nvelocidad es inusualmente alta, difícil para la cosmología estándar a\nexplicar estadísticamente (Hayashi & White 2006), y modi-\n* Dirección electrónica: hz4@st-andrews.ac.uk\nse ha sugerido la ley de fuerza fied (Farrar & Rosen 2006,\nAngus et al. 2007).\nEl método de tiempo se aplica en la gravedad MONDian\nasí como Newtonian. Al igual que la lente, el tiempo es simplemente un\nmétodo sobre la limitación de la distribución potencial, y es\nsólo indirectamente relacionado con la distribución de la materia. En este\nLetra que modelamos los cúmulos de bala como un par de timadores de masa.\ncentraciones formadas en alto corrimiento al rojo, y establecer restricciones en\nsu fuerza mutua utilizando el simple hecho de que su radial\nperíodo de oscilación debe estar cerca de la edad del universo\na z = 0,3. Comprobamos la consistencia con el lente\nseñal del clúster y dar interpretaciones en términos de\nCDM estándar y MOND.\nPrimero podemos entender la velocidad de la bala.\nmás analíticamente en escenarios simplificados. Aproximación de la\ndos grupos como puntos de masas fijas M1 y M2 en una\nórbita frontal, podemos aplicar el tiempo MW-M31 habitual\nargumentación. La masa total M0 = M1 + M2 es constante.\nEl período orbital radial se calcula a partir de\nT = 2\n∫ rmax\nV r)\n, (1)\nr3max\n, Newtonian p = 2 (2)\n2γrmax\n, profundo-MONDiano, p = 1 (3)\nK−n/2r\nmáx., para una K/r\np gravedad, (4)\ndonde rmax es el apocentro y está relacionado con el presente\nVelocidad relativa V (r) a la separación r = 700 kpc por energía\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0094v1\nconservación\nV r)2\n= −GM0\nNewtonian (5)\n= V 2M (ln rmax − ln r) profundo−MONDian (6)\nr1−p − r1−pmax\nK/(1− p) para una gravedad K/rp,(7)\ndonde VM =\n(GM0a0)\n1/4 es el cir-\nvelocidad angular de dos puntos de masa, a0 es igual a uno\nAngstrom por segundo cuadrado y es el MOND\nescala de aceleración, y el adimensional\n3M1M2\n• 0,81 • 1 (cf. Mil...\ngrom 1994, Zhao 2007, en preparación) para una masa típica\nrelación.\nLas predicciones para la simple grav de newtoniano Keplerian-\nity se dan en la Fig. 1; el caso más sutil para un MON-\nDian cluster se discute en la sección final. Configurando el\nperíodo orbital T = 10Gyrs, la edad del universo en\nel corrimiento al rojo del racimo, los rendimientos actuales V â € 3200 km s−1 en\nNewtoniano para una masa combinada normal de M1 + M2 =\n(0.7− 1)× 1015M® para los clusters, que es aproximadamente 7-10\nveces su contenido de gas bariónico (+ 1014M+) para Newto-\nuniverso nian de = 0,3 materia oscura fría. De acuerdo\ncon Farrar & Rosen y Hayashi & White, el sim-\nel argumento de cronometración sugiere que las velocidades de halo oscuro\nde 4750 km s−1, tan alto como el gas de rayos X\nrequieren halos con masas de oscuridad irrealmente más grandes\nmateria, 1016M, un orden de magnitud más que\nlo que implica una relación baryon-oscuro universal. Como una cordura\ncomprobar, suponiendo un grupo local convencional 3× 1012M®\nmasa de materia oscura Fig.1 predice la velocidad relativa de\n100 km/s para el sistema M31-MW en la separación 700\nkpc después de 14 Gyrs, consistente con la observación (Binney\n& Tremaine 1987).\nEstos argumentos analíticos, aunque sencillos, son\nno es preciso habida cuenta de sus suposiciones de simplificación. Por una vez,\nlos clusters no se forman inmediatamente en el infinito del shift rojo, y\nla masa de racimo y el tamaño podrían crecer con el tiempo gradual-\nlly. Más importante es ese punto masa halo newtoniano\nmodelos están lejos de encajar los datos de lente débil de la\n1E0657-56. Un potencial Newtoniano poco profundo lo hace\naún más difícil acelerar la bala. Por otro lado\nmano, Angus, Shan, Zhao, Famaey (2007) muestran que allí\nson potenciales inspirados en MOND que se adaptan a la lente. Como com-\nEn su conclusión, el mismo potencial es profundo\nlo suficiente como para que un V = 4750 km s−1 “bulleta” esté\nórbita de apocenter rmax de unos pocos Mpc, por lo que los dos clus-\nters podría acelerarse por gravedad mutua a partir de un cero\nvelocidad apocentro a 4750 km/s dentro de la vida de los cúmulos-\nTiempo. Esta línea de pensamiento fue explorada más a fondo por el\nestudio numérico más sistemático de Angus & McGaugh\n(2007).\nNuestro papel es un spin-off de estas obras y las obras\nde Hayashi & White y Farrar & Rosen. Enfatizamos\nla unificación de la perspectiva de tiempo semianalítica\ny la perspectiva de lente, y el objetivo de obtener robusto\nlimitaciones al potencial, sin limitarse a\nVelocidad de las balas de rayos X\nBaryon\n12,5 13 13,5 14 14,5 15\nRegistro (masa combinada)\nFIG. 1: Masa dinámica predicha analíticamente cronológicamente vs.\nvelocidad relativa de dos objetos separados por 700 kpc después de 10±\n4 Giros (tres líneas en orden creciente para aumentar el tiempo)\nAsumiendo el potencial kepleriano de las masas puntuales. Tres verticales\nlas líneas indican la típica masa Halo del Grupo Local, la masa Baryónica\nen cúmulos de galaxias, y las masas de halo más masivas del MDL. Tres\nlíneas horizontales indican la barra de error de la velocidad de la radiografía\nGas “bullet”.\nteoría de la gravedad específica o candidata a materia oscura.\nHacia la finalización de este trabajo, estamos hechos\npor la preimpresión de Springel & Farrar (2007) que el\nbala no observada DM halo podría estar moviéndose más lento que\nse observó gas de rayos X despojado. Estos autores, también\ncomo preimpresión de Milosovic et al. (2007), destacó el\nefecto de la presión hidrodinámica, que no vamos a ser\ncapaz de modelar aquí de forma realista. Pero para abordar la velocidad\ndiferencias, en lugar de tratar el gas de rayos X como un ”bullestic\npartícula”. Argumentamos que nuestra hipotética parte balística...\ndebe moverse lo suficientemente lento como para estar atado a las proximidades de la\nsubhalo antes de la colisión, pero se mueve un poco más rápido\nmás de 4700\n−550 kms\nahora, ya que no experimenta\nla presión del gas. Este modelo sigue el espíritu\nde los modelos clásicos de tiempo de la separación de la Gran\ny pequeñas nubes de Magallanes y la corriente de Magallanes\n(Lin & Lynden-Bell 1982).\nII. 3D POTENCIAL DE LA PRESTACIÓN\nEl mapa de cizallamiento de lente débil de Clowe et al. (2006)\nha sido equipado por Angus et al. (2007) utilizando un cuatro-\npotencial analítico componente cada uno es esférico, pero\nen diferentes centros. Para nuestro propósito redistribuimos la\ncomponentes menores y simplificar el potencial en dos\ncomponentes centrados en el centroide móvil de la galaxia\nluz del clúster principal con la actual coordi espacial\nnates r1(t) = (−564,−176, 0) galaxia kpc y subcluster\ncentroide r2(t) = (145, 0, 0) kpc; el origen de las coordenadas es\nestablecido en el punto más brillante actual de la “boleta” de rayos X\ngas; actualmente el cúmulo está en z = 0,3 o tiempo cósmico\nt = 10Gyrs. También aplicamos un truncamiento Keplerian a la\npotencial más allá del radio de truncación rt. Así que el siguiente...\nSe adopta el potencial 3D para el grupo 1E0657-56 en\ntiempo t,\nΦ(X,Y, Z, t) = (1800 km s−1)2 (r− r1) (8)\n+ (1270 km s−1)2 (r− r2),\n* (r − ri(t)) = ln\nr − ri(t)\n180 kpc\n+ cst, r < rt(9)\n= − r\nr− ri(t)\n, r ≥ rt(t) = C × t,(10)\ndonde r?t? r\n+1802\nes garantizar un continuo y suave\ntransición del potencial a través del radio de truncación rt.\nEl rt de truncamiento evoluciona con el tiempo, ya que un pre-cluster\nregión se derrumba gradualmente después del big bang, y su\nlímite y masa total crece con el tiempo hasta que alcanza\nel tamaño de un clúster. En interés de la simplicidad más bien\nque rigor, utilizamos un modelo lineal rt = C × t, donde C\nes una constante de la unidad kpc/Gyr.\nPara comprobar que el potencial simplificado sigue siendo consis-\ntienda con datos de lente débil, recomputamos el débil 3D\nconvergencia de lente (Taylor et al. 2004) para las fuentes en\ndistancia D(0, zs) en el shift rojo zs,\n(X,Y, zs) =\ni=X,Y\n∫ D(0,zs)\n2D(z, zs)\n(ΦiΦ)dZ\ndonde las integraciones en backets cuadrados son la deflec-\nángulos de tion para una fuente en zs, y el lente usrual\ndistancia efectiva está relacionada con las distancias de movimiento\npor D(z, zs) = (1 + z)\n−1Dś(z)\n1 - Dś(z)\nD(zs)\n= 587 Mpc es\npara el grupo de balas z = 0,3 fuentes de lente en zs = 1;\nla distancia aumenta en un factor 1.3 a 1.6 para la fuente\nRedshifts de 3 a infinito. En la figura 2 se muestra la predicción\na lo largo de la línea que une los dos centros oscuros; el resultado\nes insensible al radio de truncación del racimo siempre y cuando\nrt ≥ 1000kpc actualmente. El modelo de lente predice un\nseñal entre la de los datos de lente débil de Clowe\net al., y datos de lente fuerte de Bradac et al. Lo es.\nse sabe que estos dos conjuntos de datos son algo discrepantes\nel uno al otro. Así que el ajuste aquí es razonable. El método\nes la deproyección es esencialmente similar a la decomposi-\nmétodo de tion de Bradac et al. cuya suposición explícita\nde la gravedad Einsteiniana es, sin embargo, innecesario.\nLo importante aquí es que en cuanto a deproject-\nEn cuanto a las posibilidades mencionadas anteriormente, ninguna suposición es la siguiente:\nnecesaria en la teoría de la gravedad, siempre y cuando los rayos de luz fol-\ngeodésicos bajos, una característica construida en la mayoría de la grav-\nity teoría. Del mismo modo, las órbitas de las partículas masivas son también\n(diferente) geodésicos en estas teorías. El significado de\npotencial en tales teorías es que el potencial (escalado por\na factor 2/c2) representa perturbaciones métricas en el plano\nespacio-tiempo, especialmente al g00(cdt)\n2 = −(1+ 2Φ\n)cdt)2\ntérmino, por lo que el Christoffel i00 XiΦ, se puede mostrar\n–1200 –1000 –800 –600 –400 –200 0 200 400\nX/kpc\nFIG. 2: Convergencia prevista de los racimos de balas (reescalada para\nfuentes en el infinito) a lo largo de la línea Y = 0.3X + cst connect-\nnuestros dos potenciales centroides. El modelo predice una lente\nseñal entre la de los datos observados de lente débil de\nfuentes en zs = 1 (Clowe et al, extremo inferior de las barras de error) y\nla lente débil unida y la lente fuerte (zs = 3) datos\n(Bradc et al. parte superior de las barras de error); el desajuste de estos\nEn la actualidad no se han resuelto dos conjuntos de datos.\nque las ecuaciones geodésicas tienen la misma forma que Ein-\nsteiniano en el límite del campo débil: d\nR فارسى −(1 + v\n)RΦ,\ndonde R es el par de coordenadas espaciales perpendiculares\na la velocidad instantánea v; las trayectorias de los rayos de luz\nse desvían dos veces más por la perturbación métrica\n2Φ/c2 como los de partículas de baja velocidad.\nIII. ORBITACIONES DE LOS CULTIVOS DE COLLIDACIÓN\nAhora usamos este potencial para predecir la velocidad relativa\nde los dos grupos. Esto es posible usando el clásico\nargumento de tiempo, en el estilo de Kahn & Wolter (159),\nFich & Tremaine (1991) y Voltonen et al. (1998);\nposponemos los modelos de acción menos rigurosos (Pee-\nbles 1989, Schmoldt & Saha 1998) para más tarde investiga-\nciones, ya que éstas requieren modelar una relación cosmológica\nconcentraciones constantes y otras concentraciones de masa a lo largo del orbital\nla trayectoria de los cúmulos de balas, que tienen problemas técnicos en\ngravedad no newtoniana. Rastreamos las órbitas de los dos\ncentroides de los potenciales de acuerdo con la ecuación de\nmovimiento d\n= (ri). Asignamos diferentes relativas ve-\nvelocidad actual (a z = 0,3), e integrar hacia atrás\nen el tiempo y requieren los dos centroides del potencial ser\njuntos a la vez hace 10 Gyrs. Las mociones son:\nprincipalmente en el plano del cielo, pero permitimos para 600 km/s\ncomponente de velocidad relativa en la línea de visión. Claramente.\nen tiempos más tempranos cuando t es pequeño, los dos centroides son\nbien separados en comparación con sus tamaños, por lo que se mueven en\nel creciente potencial de Keplerian entre sí. En Lat-\nter veces los centroides se acercaron y se mueven en el núcleo\nPotencial isotérmico.\nVamos a considerar modelos con un truncado normal\nrt = C × t = 1000 kpc en el momento t = 10 Gyrs. Nosotros también.\nconsiderar modelos con un truncamiento muy grande C × t =\n10000 kpc. En el lenguaje del MDL, el truncado\nsignifica el radio virial del halo. El presente in-\nvelocidad de escape constante del modelo puede ser com-\npuesto por Vesc =\n−2Φ(X,Y,Z, t). Nos encontramos con Vesc\n4200− 4500 km s−1 en la región central de la zona más profunda\nmodelo potencial con una truncación actual 1000 kpc. Los\nvelocidad de escape aumenta a Vesc 5700 km s−1 para los modelos\ncon una truncación presente de 10000 kpc.\nFig. 3 muestra las órbitas predichas para diferentes presentes\nvelocidades relativas VDM = dr2dt −\nOh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Entre los modelos\ncon un truncado normal, encontramos VDM + 2950 km s−1; a\nmodelo con velocidad relativa VDM < 2800 kms\n− 1\npredecir un cruce orbital no físico en alto corrimiento al rojo,\nmientras que los modelos con VDM > 3000 kms\n−1 predeciría\nque los dos centroides potenciales nunca estuvieron cerca en alto\nDesplazamiento al rojo.\nLas velocidades de halo más grandes sólo son posibles en modelos\ncon un truncado muy grande. Si la velocidad relativa es\n4200 km s−1 < VDM < 4750 km s\n−1 entre dos clus-\nter centroides de gravedad, entonces la truncación debe ser tan grande\ncomo 10Mpc en z = 0,3.\nTambién rastreamos la órbita de la bala de gas de rayos X...\ntraide como partícula trazadora en el poten bicéntrico anterior.\nTial. Buscamos órbitas donde la bala de rayos X gas\nestar siempre ligado a un miembro del sistema binario\nya que la presión del ariete en una colisión hidrodinámica es\nes poco probable que sea tan eficiente para expulsar el gas de rayos X fuera de\nPozos potenciales tanto de los grupos principales como de los subgrupos. Esto\nsignifica que la velocidad de la bala no debe exceder en gran medida el\npresente velocidad de escape instantánea del modelo, que es\n4200 - 4500 km s-1 en la región central de la profundidad\npotencial de un modelo con una truncación presente 1000 kpc.\nLa velocidad de escape aumenta a 5700 km s−1 para los modelos\ncon una truncación presente de 10000 kpc. El modelo con\nel truncado normal es marginalmente consistente con el\nVgas a la velocidad del gas servido: 4750+710−550 kms\n−1. El problema\nsería más grave si el potencial se hiciera\nmás superficial por un truncado aún más pequeño. La velocidad del gas\nes menos un problema en los modelos con truncamiento más grande.\nEn resumen, la velocidad actual y los datos de lente son eas-\nier explicado con modelos potenciales de trun muy grandes\ncatión. Los modelos con truncamiento normal tienen más pequeños\npoder gravitacional, sólo puede acelerar el subhalo a\n3000 km s−1 en 10 Gyrs. Modelos con trun CDM normal\ncation sólo puede acelerar la nube de gas de rayos X de la bala a\n4200-4400 km s-1, la velocidad de escape, marginalmente con-\ninsistente con las observaciones.\nLos resultados de simulación anteriores son sensibles al presente\nla separación de los grupos temáticos, pero no es sensible a la actual direc-\nión del vector de velocidad. Efectos no modelados, tales como:\nfricción dinámica asociada a un halo vivo reducirá\nVDM predicho para el mismo potencial, pero el efecto\nes leve ya que la colisión real es breve • 0,1− 0,3Gyrs\ny el factor exp(−M2/2) en las fórmulas de Chandrasekhar\nCurva 1\nCurva 2\nCurva 3\nCurva 4\nCurva 9\nCurva 10\nCurva 11\nV_DM=2850 \nC=100\nC=100\nV_DM=2950 \nC=1000\nV_DM=4200 \nC=1000kpc/Gyr\nV_DM=4750 km/s\n–2000\n–4000 –2000 0 2000 4000\nX kpc\nFIG. 3: La órbita del subcluster de balas de gases de rayos X (rojo,\ncon Vgas actual = 5400 kms\n−1 para los 10 Gyrs en el pasado,\ny rosa: para el futuro 4 Gyrs), y las órbitas de la\nhalo de racimo principal tapado (daños azules) y subahalo (negro)\ndashes) en el potencial (eqs. 8-10) determinado por lente\ndatos; los guiones indican la longitud recorrida en 0,5 Gyrs pasos. No\nPara estos cálculos se necesita una asunción explícita de la gravedad.\nciones. Órbitas con diferente velocidad relativa actual de halo VDM\ny la tasa de crecimiento del halo C se muestran después de un cambio vertical para\nclaridad. El tiempo requiere la velocidad relativa actual del clúster\nentre 2800 kms-1 < VDM < 3000 kms\n−1 para poten-\ntiales de truncación normal (paneles más bajos donde el clúster\nel truncado crece de cero a C × 10Gyr = 1000 kpc), y\n4200 kms−1 < VDM < 4750 kms\n−1 para potenciales con\ntruncado (dos paneles superiores donde el truncado de racimo\ncrece de cero a C × 10 Gyr = 10000 kpc).\nreduce bruscamente la fricción dinámica para un cuerpo supersónico,\ndonde M + 2− 3 es el número Mach de la bala.\nIV. NEWTONIAN Y MONDIAN SIGNIFICACIONES\nDEL MODELO POTENCIAL\nAsumiendo la gravedad newtoniana los modelos con normal\ntruncamiento rt = 1Mpc en t = 10Gyrs corresponden a clus-\nMasas ter (oscuras) de M1 = 0,745 × 1015M® y M2 =\n0,345×1015M®; el truncado más grande rt = 10Mpc corre-\nsponds a M1 = 7,45×1015M® y M2 = 3,45×1015M®\nen Newtonian. Todos estos modelos encajan en la lente.\nInterpretado en la gravedad MONDiana, la truncación\nes debido al efecto de campo externo y el fondo cósmico\nasí que para hacer el potencial de MOND finito por lo tanto escapable\n(Famaey, Bruneton, Zhao 2007). Más allá de la trun...\nradio catiónico, el potencial de MOND se vuelve casi Kep-\nLerian. Los modelos MONDian, insensibles a la\nión, tendría masas solamente M1 = 0,66 × 1015M • y\nM2 = 0,16 × 1015M®. Estas masas son aún más altas.\nque su contenido bariónico 1014M, lo que implica la\nnecesidad, por ejemplo, de neutrinos masivos; densidad de neutrinos\nes demasiado bajo en galaxias para afectar a los ajustes normales de MONDian a\ncurvas de rotación de la galaxia, pero es lo suficientemente alto para doblar la luz\ny orbita significativamente en escala 1Mpc. El neutrino-a-\nración de barión, aproximadamente 7:1 en el grupo de balas,\nSería una suposición razonable para un uni-\nVersículo con materia oscura caliente de 0,04 más 2eV neutrinos\n(Sanders 2003, Pointecoute &\nSilk 2005, Skordis et al. 2006, Angus et al. 2007). Los\ncantidad de materia oscura caliente inferida aquí es la misma que\nAngus et al. (2007) ya que sus posibles parámetros son:\nfijado por los mismos datos de lente.\nV. CONCLUSIÓN\nEn resumen, un conjunto consistente de lentes simples y dinam-\nSe encuentra el modelo ical del cúmulo de balas. El presente\nvelocidades relativas entre las galaxias de los dos cúmulos es pre-\ndictado para ser VDM + 2900 km s−1 en CDM y VDM + 2900 km s−1 en CDM y VDM +\n4500 km s−1 en μHDM (MOND + Materia Oscura Caliente) si\nlos dos racimos nacieron cerca unos de otros 10 Gyrs\nhace; ambos modelos asumen cerca de la relación gas-DM universal\nen racimos, es decir, aproximadamente (0,6 − 1) × 1015M® Caliente o frío\nDM. Modelando el gas de rayos X de la bala como partícula balística,\nencontramos la partícula de gas con velocidad de Vgas = 4200km/s\n(en el extremo inferior de la velocidad observada)\npotencial del subcluster para la mayor parte del Hubble\ntiempo para ambos modelos anteriores, insensibles a la preferencia\nde la ley de la gravedad. Pero si el futuro relativo propio mo-\nLas mediciones de la velocidad de la galaxia del subcluster son como\nalta como VDM = 4500 km/s, o la velocidad del gas es tan alta como\nVgas 5400 km s−1, entonces los modelos newtonianos necesitarían\npara invocar los halos DM de 7×1015M® inverosímiles alrededor de 1014M®\n[20] Angus, G.W. & McGaugh S.D. 2007, astrof/0703xxx\n[20] Angus G.W., Shan H, Zhao H., Famaey B., 2007, ApJ,\n654, L13\n[3] Bekenstein J., 2004, Phys. Rev. D., 70, 3509\n[4] Binney, J., & Tremaine, S. 1987, Dinámica Galáctica,\nPrensa de la Universidad de Princeton, Princeton, Nueva Jersey, Ch.7\n[5] Bradac M., Clowe D., Gonzalez A.H., et al., 2006,astro-\nph/0608408 (B06)\n[6] Clowe D., Bradac M., González A.H., et al., 2006,astro-\nph/0608407 (C06)\n[20] Farrar G., & Rosen R.A., astro-ph/0610298\n[20] Famaey B., Bruneton J.P., Zhao H.S. 2007, MNRAS, en\nprensa (astro-ph/072275)\n[20] Inga M.S. & Saha P. 1998, ApJ, 115, 2231\n[20] Lin D.N.C. & Lynden-Bell D, 1982, MNRAS, 198, 707\n[20] Markevitch M. 2006, en ESA SP-604: El universo de rayos X\n2005, ed. A.Wlison 723\n[20] Milgrom M. 1994, ApJ, 429, 540\n[20] Kahn, F.D. & Woltjer L. 1959, ApJ, 130, 705\n[20] Peebles P.J.E. 1989, ApJ, 344, L53\n[20] Pointecoute E. & Silk J. 2005, MNRAS, 364, 654\n[20] Skordis, C. et al. 2006, Phys. Rev. Lett, 96, 1301\n[20] Sanders R. 2003, MNRAS, 343, 901\n[20] Taylor A.,N., Bacon D.J., et al. 2004, MNRAS, 353, 1176\n[20] Fich M. & Tremaine S. 1991,ARAA, 29, 409\n[20] Voltonen M.J., Byrd G.G., McCall M., Innanen K.A.\n1993, AJ 105, 886\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" Presentamos restricciones semi-analíticas sobre la cantidad de materia oscura en el\nfusionando el cúmulo de galaxias de bala usando los clásicos argumentos de tiempo del Grupo Local.\nConsideramos órbitas de partículas en modelos potenciales que se ajustan a los datos de lente.\nModelos CDM marginalmente consistentes en la gravedad newtoniana se encuentran con un\nmasa total M_{CDM} = 1 x 10~15}Sol de DM frío: el subhalo de bala se puede mover\ncon V_{DM}=3000km/s, y el gas de rayos X \"bullet\" se puede mover con\nV_{gas}=4200km/s. Estas son casi las velocidades máximas que son\nacelerable por la gravedad de dos halos truncados del MDL en un tiempo Hubble incluso\nsin la presión del ariete. La coherencia se rompe si uno adopta el extremo superior de\nlas barras de error para la velocidad del gas de bala (5000-5400km/s), y el gas de bala\nno estaría atado por el halo del sub-cluster por el tiempo del Hubble. Modelos con\nV_{DM 4500km/s ~ V_{gas} invocaría una gran cantidad poco realista M_{CDM}=7x\n10~15}El Sol del MDL para un clúster que contiene sólo ~ 10~14}El Sol del gas. Nuestro\nlos resultados son generalizables más allá de la Relatividad General, por ejemplo, una velocidad de\n$4500\\kms$ se obtiene fácilmente en el modelo relativista de lente MONDian de\nAngus et al. (2007). Sin embargo, modelo MONDian con poca materia oscura caliente\n$M_{HDM} \\le 0.6\\times 10â € 15â € msun$ y modelo CDM con una pequeña masa de halo $\\le\n1\\tiempos 10°15°msun$ son apenas consistentes con los datos de lente y velocidad.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"arXiv:0704.0094v1 [astro-ph] 2 Abr 2007\nCalendario y lente de los cúmulos de balas de colisión: apenas el tiempo y la gravedad suficientes\npara acelerar la bala\nHongSheng Zhao\nUniversidad de St Andrews, Scottish University Physics Alliances, KY16 9SS, Reino Unido\nPresentamos restricciones semianalíticas sobre la cantidad de materia oscura en la galaxia de bala fusionada\nclúster usando los clásicos argumentos de tiempo del Grupo Local. Consideramos que las órbitas de partículas en potencial\nmodelos que se ajusten a los datos de lente. Modelos de CDM marginalmente consistentes en la gravedad newtoniana son\nencontrado con una masa total MCDM = 1 × 10\nMás de DM Frío: la bala subhalo se puede mover con\nVDM = 3000 kms\n−1, y el gas de rayos X “bullet” puede moverse con Vgas = 4200 kms\n−1. Estos son\ncasi las velocidades máximas que se aceleran por la gravedad de dos halos de CDM truncados en una\nTiempo Hubble incluso sin la presión del carnero. La coherencia se rompe si uno adopta el extremo superior de\nlas barras de error para la velocidad del gas de bala (5000− 5400 kms−1), y el gas de bala no estaría atado\npor el halo del sub-cluster para el tiempo del Hubble. Modelos con VDM 4500 kms\nVgas invocaría\ngran cantidad poco realista MCDM = 7× 10\nMâs de CDM para un clúster que contenga solamente â € 10\nMás de\nGas. Nuestros resultados son generalizables más allá de la Relatividad General, por ejemplo, una velocidad de 4500 kms-1 es fácil\nobtenido en el modelo de lente relativista MONDian de Angus et al. (2007). Sin embargo, MONDian\nmodelo con materia oscura caliente MHDM ≤ 0,6×10\nModelo Mó y CDM con una masa de halo ≤ 1×10\nson apenas consistentes con los datos de lente y velocidad.\nNúmeros PACS: 98.10.+z, 98.62.Dm, 95.35.+d; sometidos a la revisión física D, publicaciones rápidas\nI. POTENCIAL DE TIMING\nEl tiempo es una técnica única para establecer el caso para\nhalos de materia oscura, primero y más a través explorado en\nel contexto del grupo local (Kahn & Woljter 1959,\nFich & Tremaine 1991, Peebles 1989, Inga & Saha 1998).\nEn su versión más simple, el Grupo Local consiste en:\nVía Láctea y M31 como dos masas puntuales aisladas, que\nse formaron cerca el uno del otro, se separaron debido al Hub-\nble expansión, y se desaceleró y se movió hacia cada uno\notros hasta su velocidad actual: 120 km s−1 y sepa-\nración (unos 700 kpc) debido a su gravedad mutua. Los\nla edad del universo fija el límite superior en el período de\neste par de galaxias, de ahí la masa total del par a través de\nLa tercera ley de Kepler asume la gravedad newtoniana.\nEl tiempo también encuentra una aplicación oportuna en el par de\nla fusión de cúmulos de galaxias 1E0657-56 en corrimiento al rojo z = 0,3,\nque es en gran parte una gran analogía extra-galáctica de la\nSistema M31-MW. El sub-cluster, llamado la “bulleta”,\nActualmente penetra 400-700 kpc a través de la masa principal.\nter con una velocidad aparente de 4750+710\n−550 kms\n−1 (Marke-\nvitch 2006). El gas de rayos X de la bala (cantidad\n2×1013M®) colisiona con el gas de rayos X del clus principal.\nter (con el gas total de hasta 1014M®) y forma un Mach-3\ncono en frente de la “bulleta”. Los dos grupos tienen en\nmínimo cuatro centros diferentes, que se compensan por 400 kpc\nentre el par de centros de gas de rayos X y por 700 kpc\nentre el par de centros estrella-luz, que coincide\ncon los centros de lente gravitacional y (materia oscura)\ncentros potenciales (Clowe et al. 2006). La penetración\nvelocidad es inusualmente alta, difícil para la cosmología estándar a\nexplicar estadísticamente (Hayashi & White 2006), y modi-\n* Dirección electrónica: hz4@st-andrews.ac.uk\nse ha sugerido la ley de fuerza fied (Farrar & Rosen 2006,\nAngus et al. 2007).\nEl método de tiempo se aplica en la gravedad MONDian\nasí como Newtonian. Al igual que la lente, el tiempo es simplemente un\nmétodo sobre la limitación de la distribución potencial, y es\nsólo indirectamente relacionado con la distribución de la materia. En este\nLetra que modelamos los cúmulos de bala como un par de timadores de masa.\ncentraciones formadas en alto corrimiento al rojo, y establecer restricciones en\nsu fuerza mutua utilizando el simple hecho de que su radial\nperíodo de oscilación debe estar cerca de la edad del universo\na z = 0,3. Comprobamos la consistencia con el lente\nseñal del clúster y dar interpretaciones en términos de\nCDM estándar y MOND.\nPrimero podemos entender la velocidad de la bala.\nmás analíticamente en escenarios simplificados. Aproximación de la\ndos grupos como puntos de masas fijas M1 y M2 en una\nórbita frontal, podemos aplicar el tiempo MW-M31 habitual\nargumentación. La masa total M0 = M1 + M2 es constante.\nEl período orbital radial se calcula a partir de\nT = 2\n∫ rmax\nV r)\n, (1)\nr3max\n, Newtonian p = 2 (2)\n2γrmax\n, profundo-MONDiano, p = 1 (3)\nK−n/2r\nmáx., para una K/r\np gravedad, (4)\ndonde rmax es el apocentro y está relacionado con el presente\nVelocidad relativa V (r) a la separación r = 700 kpc por energía\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0094v1\nconservación\nV r)2\n= −GM0\nNewtonian (5)\n= V 2M (ln rmax − ln r) profundo−MONDian (6)\nr1−p − r1−pmax\nK/(1− p) para una gravedad K/rp,(7)\ndonde VM =\n(GM0a0)\n1/4 es el cir-\nvelocidad angular de dos puntos de masa, a0 es igual a uno\nAngstrom por segundo cuadrado y es el MOND\nescala de aceleración, y el adimensional\n3M1M2\n• 0,81 • 1 (cf. Mil...\ngrom 1994, Zhao 2007, en preparación) para una masa típica\nrelación.\nLas predicciones para la simple grav de newtoniano Keplerian-\nity se dan en la Fig. 1; el caso más sutil para un MON-\nDian cluster se discute en la sección final. Configurando el\nperíodo orbital T = 10Gyrs, la edad del universo en\nel corrimiento al rojo del racimo, los rendimientos actuales V â € 3200 km s−1 en\nNewtoniano para una masa combinada normal de M1 + M2 =\n(0.7− 1)× 1015M® para los clusters, que es aproximadamente 7-10\nveces su contenido de gas bariónico (+ 1014M+) para Newto-\nuniverso nian de = 0,3 materia oscura fría. De acuerdo\ncon Farrar & Rosen y Hayashi & White, el sim-\nel argumento de cronometración sugiere que las velocidades de halo oscuro\nde 4750 km s−1, tan alto como el gas de rayos X\nrequieren halos con masas de oscuridad irrealmente más grandes\nmateria, 1016M, un orden de magnitud más que\nlo que implica una relación baryon-oscuro universal. Como una cordura\ncomprobar, suponiendo un grupo local convencional 3× 1012M®\nmasa de materia oscura Fig.1 predice la velocidad relativa de\n100 km/s para el sistema M31-MW en la separación 700\nkpc después de 14 Gyrs, consistente con la observación (Binney\n& Tremaine 1987).\nEstos argumentos analíticos, aunque sencillos, son\nno es preciso habida cuenta de sus suposiciones de simplificación. Por una vez,\nlos clusters no se forman inmediatamente en el infinito del shift rojo, y\nla masa de racimo y el tamaño podrían crecer con el tiempo gradual-\nlly. Más importante es ese punto masa halo newtoniano\nmodelos están lejos de encajar los datos de lente débil de la\n1E0657-56. Un potencial Newtoniano poco profundo lo hace\naún más difícil acelerar la bala. Por otro lado\nmano, Angus, Shan, Zhao, Famaey (2007) muestran que allí\nson potenciales inspirados en MOND que se adaptan a la lente. Como com-\nEn su conclusión, el mismo potencial es profundo\nlo suficiente como para que un V = 4750 km s−1 “bulleta” esté\nórbita de apocenter rmax de unos pocos Mpc, por lo que los dos clus-\nters podría acelerarse por gravedad mutua a partir de un cero\nvelocidad apocentro a 4750 km/s dentro de la vida de los cúmulos-\nTiempo. Esta línea de pensamiento fue explorada más a fondo por el\nestudio numérico más sistemático de Angus & McGaugh\n(2007).\nNuestro papel es un spin-off de estas obras y las obras\nde Hayashi & White y Farrar & Rosen. Enfatizamos\nla unificación de la perspectiva de tiempo semianalítica\ny la perspectiva de lente, y el objetivo de obtener robusto\nlimitaciones al potencial, sin limitarse a\nVelocidad de las balas de rayos X\nBaryon\n12,5 13 13,5 14 14,5 15\nRegistro (masa combinada)\nFIG. 1: Masa dinámica predicha analíticamente cronológicamente vs.\nvelocidad relativa de dos objetos separados por 700 kpc después de 10±\n4 Giros (tres líneas en orden creciente para aumentar el tiempo)\nAsumiendo el potencial kepleriano de las masas puntuales. Tres verticales\nlas líneas indican la típica masa Halo del Grupo Local, la masa Baryónica\nen cúmulos de galaxias, y las masas de halo más masivas del MDL. Tres\nlíneas horizontales indican la barra de error de la velocidad de la radiografía\nGas “bullet”.\nteoría de la gravedad específica o candidata a materia oscura.\nHacia la finalización de este trabajo, estamos hechos\npor la preimpresión de Springel & Farrar (2007) que el\nbala no observada DM halo podría estar moviéndose más lento que\nse observó gas de rayos X despojado. Estos autores, también\ncomo preimpresión de Milosovic et al. (2007), destacó el\nefecto de la presión hidrodinámica, que no vamos a ser\ncapaz de modelar aquí de forma realista. Pero para abordar la velocidad\ndiferencias, en lugar de tratar el gas de rayos X como un ”bullestic\npartícula”. Argumentamos que nuestra hipotética parte balística...\ndebe moverse lo suficientemente lento como para estar atado a las proximidades de la\nsubhalo antes de la colisión, pero se mueve un poco más rápido\nmás de 4700\n−550 kms\nahora, ya que no experimenta\nla presión del gas. Este modelo sigue el espíritu\nde los modelos clásicos de tiempo de la separación de la Gran\ny pequeñas nubes de Magallanes y la corriente de Magallanes\n(Lin & Lynden-Bell 1982).\nII. 3D POTENCIAL DE LA PRESTACIÓN\nEl mapa de cizallamiento de lente débil de Clowe et al. (2006)\nha sido equipado por Angus et al. (2007) utilizando un cuatro-\npotencial analítico componente cada uno es esférico, pero\nen diferentes centros. Para nuestro propósito redistribuimos la\ncomponentes menores y simplificar el potencial en dos\ncomponentes centrados en el centroide móvil de la galaxia\nluz del clúster principal con la actual coordi espacial\nnates r1(t) = (−564,−176, 0) galaxia kpc y subcluster\ncentroide r2(t) = (145, 0, 0) kpc; el origen de las coordenadas es\nestablecido en el punto más brillante actual de la “boleta” de rayos X\ngas; actualmente el cúmulo está en z = 0,3 o tiempo cósmico\nt = 10Gyrs. También aplicamos un truncamiento Keplerian a la\npotencial más allá del radio de truncación rt. Así que el siguiente...\nSe adopta el potencial 3D para el grupo 1E0657-56 en\ntiempo t,\nΦ(X,Y, Z, t) = (1800 km s−1)2 (r− r1) (8)\n+ (1270 km s−1)2 (r− r2),\n* (r − ri(t)) = ln\nr − ri(t)\n180 kpc\n+ cst, r < rt(9)\n= − r\nr− ri(t)\n, r ≥ rt(t) = C × t,(10)\ndonde r?t? r\n+1802\nes garantizar un continuo y suave\ntransición del potencial a través del radio de truncación rt.\nEl rt de truncamiento evoluciona con el tiempo, ya que un pre-cluster\nregión se derrumba gradualmente después del big bang, y su\nlímite y masa total crece con el tiempo hasta que alcanza\nel tamaño de un clúster. En interés de la simplicidad más bien\nque rigor, utilizamos un modelo lineal rt = C × t, donde C\nes una constante de la unidad kpc/Gyr.\nPara comprobar que el potencial simplificado sigue siendo consis-\ntienda con datos de lente débil, recomputamos el débil 3D\nconvergencia de lente (Taylor et al. 2004) para las fuentes en\ndistancia D(0, zs) en el shift rojo zs,\n(X,Y, zs) =\ni=X,Y\n∫ D(0,zs)\n2D(z, zs)\n(ΦiΦ)dZ\ndonde las integraciones en backets cuadrados son la deflec-\nángulos de tion para una fuente en zs, y el lente usrual\ndistancia efectiva está relacionada con las distancias de movimiento\npor D(z, zs) = (1 + z)\n−1Dś(z)\n1 - Dś(z)\nD(zs)\n= 587 Mpc es\npara el grupo de balas z = 0,3 fuentes de lente en zs = 1;\nla distancia aumenta en un factor 1.3 a 1.6 para la fuente\nRedshifts de 3 a infinito. En la figura 2 se muestra la predicción\na lo largo de la línea que une los dos centros oscuros; el resultado\nes insensible al radio de truncación del racimo siempre y cuando\nrt ≥ 1000kpc actualmente. El modelo de lente predice un\nseñal entre la de los datos de lente débil de Clowe\net al., y datos de lente fuerte de Bradac et al. Lo es.\nse sabe que estos dos conjuntos de datos son algo discrepantes\nel uno al otro. Así que el ajuste aquí es razonable. El método\nes la deproyección es esencialmente similar a la decomposi-\nmétodo de tion de Bradac et al. cuya suposición explícita\nde la gravedad Einsteiniana es, sin embargo, innecesario.\nLo importante aquí es que en cuanto a deproject-\nEn cuanto a las posibilidades mencionadas anteriormente, ninguna suposición es la siguiente:\nnecesaria en la teoría de la gravedad, siempre y cuando los rayos de luz fol-\ngeodésicos bajos, una característica construida en la mayoría de la grav-\nity teoría. Del mismo modo, las órbitas de las partículas masivas son también\n(diferente) geodésicos en estas teorías. El significado de\npotencial en tales teorías es que el potencial (escalado por\na factor 2/c2) representa perturbaciones métricas en el plano\nespacio-tiempo, especialmente al g00(cdt)\n2 = −(1+ 2Φ\n)cdt)2\ntérmino, por lo que el Christoffel i00 XiΦ, se puede mostrar\n–1200 –1000 –800 –600 –400 –200 0 200 400\nX/kpc\nFIG. 2: Convergencia prevista de los racimos de balas (reescalada para\nfuentes en el infinito) a lo largo de la línea Y = 0.3X + cst connect-\nnuestros dos potenciales centroides. El modelo predice una lente\nseñal entre la de los datos observados de lente débil de\nfuentes en zs = 1 (Clowe et al, extremo inferior de las barras de error) y\nla lente débil unida y la lente fuerte (zs = 3) datos\n(Bradc et al. parte superior de las barras de error); el desajuste de estos\nEn la actualidad no se han resuelto dos conjuntos de datos.\nque las ecuaciones geodésicas tienen la misma forma que Ein-\nsteiniano en el límite del campo débil: d\nR فارسى −(1 + v\n)RΦ,\ndonde R es el par de coordenadas espaciales perpendiculares\na la velocidad instantánea v; las trayectorias de los rayos de luz\nse desvían dos veces más por la perturbación métrica\n2Φ/c2 como los de partículas de baja velocidad.\nIII. ORBITACIONES DE LOS CULTIVOS DE COLLIDACIÓN\nAhora usamos este potencial para predecir la velocidad relativa\nde los dos grupos. Esto es posible usando el clásico\nargumento de tiempo, en el estilo de Kahn & Wolter (159),\nFich & Tremaine (1991) y Voltonen et al. (1998);\nposponemos los modelos de acción menos rigurosos (Pee-\nbles 1989, Schmoldt & Saha 1998) para más tarde investiga-\nciones, ya que éstas requieren modelar una relación cosmológica\nconcentraciones constantes y otras concentraciones de masa a lo largo del orbital\nla trayectoria de los cúmulos de balas, que tienen problemas técnicos en\ngravedad no newtoniana. Rastreamos las órbitas de los dos\ncentroides de los potenciales de acuerdo con la ecuación de\nmovimiento d\n= (ri). Asignamos diferentes relativas ve-\nvelocidad actual (a z = 0,3), e integrar hacia atrás\nen el tiempo y requieren los dos centroides del potencial ser\njuntos a la vez hace 10 Gyrs. Las mociones son:\nprincipalmente en el plano del cielo, pero permitimos para 600 km/s\ncomponente de velocidad relativa en la línea de visión. Claramente.\nen tiempos más tempranos cuando t es pequeño, los dos centroides son\nbien separados en comparación con sus tamaños, por lo que se mueven en\nel creciente potencial de Keplerian entre sí. En Lat-\nter veces los centroides se acercaron y se mueven en el núcleo\nPotencial isotérmico.\nVamos a considerar modelos con un truncado normal\nrt = C × t = 1000 kpc en el momento t = 10 Gyrs. Nosotros también.\nconsiderar modelos con un truncamiento muy grande C × t =\n10000 kpc. En el lenguaje del MDL, el truncado\nsignifica el radio virial del halo. El presente in-\nvelocidad de escape constante del modelo puede ser com-\npuesto por Vesc =\n−2Φ(X,Y,Z, t). Nos encontramos con Vesc\n4200− 4500 km s−1 en la región central de la zona más profunda\nmodelo potencial con una truncación actual 1000 kpc. Los\nvelocidad de escape aumenta a Vesc 5700 km s−1 para los modelos\ncon una truncación presente de 10000 kpc.\nFig. 3 muestra las órbitas predichas para diferentes presentes\nvelocidades relativas VDM = dr2dt −\nOh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Entre los modelos\ncon un truncado normal, encontramos VDM + 2950 km s−1; a\nmodelo con velocidad relativa VDM < 2800 kms\n− 1\npredecir un cruce orbital no físico en alto corrimiento al rojo,\nmientras que los modelos con VDM > 3000 kms\n−1 predeciría\nque los dos centroides potenciales nunca estuvieron cerca en alto\nDesplazamiento al rojo.\nLas velocidades de halo más grandes sólo son posibles en modelos\ncon un truncado muy grande. Si la velocidad relativa es\n4200 km s−1 < VDM < 4750 km s\n−1 entre dos clus-\nter centroides de gravedad, entonces la truncación debe ser tan grande\ncomo 10Mpc en z = 0,3.\nTambién rastreamos la órbita de la bala de gas de rayos X...\ntraide como partícula trazadora en el poten bicéntrico anterior.\nTial. Buscamos órbitas donde la bala de rayos X gas\nestar siempre ligado a un miembro del sistema binario\nya que la presión del ariete en una colisión hidrodinámica es\nes poco probable que sea tan eficiente para expulsar el gas de rayos X fuera de\nPozos potenciales tanto de los grupos principales como de los subgrupos. Esto\nsignifica que la velocidad de la bala no debe exceder en gran medida el\npresente velocidad de escape instantánea del modelo, que es\n4200 - 4500 km s-1 en la región central de la profundidad\npotencial de un modelo con una truncación presente 1000 kpc.\nLa velocidad de escape aumenta a 5700 km s−1 para los modelos\ncon una truncación presente de 10000 kpc. El modelo con\nel truncado normal es marginalmente consistente con el\nVgas a la velocidad del gas servido: 4750+710−550 kms\n−1. El problema\nsería más grave si el potencial se hiciera\nmás superficial por un truncado aún más pequeño. La velocidad del gas\nes menos un problema en los modelos con truncamiento más grande.\nEn resumen, la velocidad actual y los datos de lente son eas-\nier explicado con modelos potenciales de trun muy grandes\ncatión. Los modelos con truncamiento normal tienen más pequeños\npoder gravitacional, sólo puede acelerar el subhalo a\n3000 km s−1 en 10 Gyrs. Modelos con trun CDM normal\ncation sólo puede acelerar la nube de gas de rayos X de la bala a\n4200-4400 km s-1, la velocidad de escape, marginalmente con-\ninsistente con las observaciones.\nLos resultados de simulación anteriores son sensibles al presente\nla separación de los grupos temáticos, pero no es sensible a la actual direc-\nión del vector de velocidad. Efectos no modelados, tales como:\nfricción dinámica asociada a un halo vivo reducirá\nVDM predicho para el mismo potencial, pero el efecto\nes leve ya que la colisión real es breve • 0,1− 0,3Gyrs\ny el factor exp(−M2/2) en las fórmulas de Chandrasekhar\nCurva 1\nCurva 2\nCurva 3\nCurva 4\nCurva 9\nCurva 10\nCurva 11\nV_DM=2850 \nC=100\nC=100\nV_DM=2950 \nC=1000\nV_DM=4200 \nC=1000kpc/Gyr\nV_DM=4750 km/s\n–2000\n–4000 –2000 0 2000 4000\nX kpc\nFIG. 3: La órbita del subcluster de balas de gases de rayos X (rojo,\ncon Vgas actual = 5400 kms\n−1 para los 10 Gyrs en el pasado,\ny rosa: para el futuro 4 Gyrs), y las órbitas de la\nhalo de racimo principal tapado (daños azules) y subahalo (negro)\ndashes) en el potencial (eqs. 8-10) determinado por lente\ndatos; los guiones indican la longitud recorrida en 0,5 Gyrs pasos. No\nPara estos cálculos se necesita una asunción explícita de la gravedad.\nciones. Órbitas con diferente velocidad relativa actual de halo VDM\ny la tasa de crecimiento del halo C se muestran después de un cambio vertical para\nclaridad. El tiempo requiere la velocidad relativa actual del clúster\nentre 2800 kms-1 < VDM < 3000 kms\n−1 para poten-\ntiales de truncación normal (paneles más bajos donde el clúster\nel truncado crece de cero a C × 10Gyr = 1000 kpc), y\n4200 kms−1 < VDM < 4750 kms\n−1 para potenciales con\ntruncado (dos paneles superiores donde el truncado de racimo\ncrece de cero a C × 10 Gyr = 10000 kpc).\nreduce bruscamente la fricción dinámica para un cuerpo supersónico,\ndonde M + 2− 3 es el número Mach de la bala.\nIV. NEWTONIAN Y MONDIAN SIGNIFICACIONES\nDEL MODELO POTENCIAL\nAsumiendo la gravedad newtoniana los modelos con normal\ntruncamiento rt = 1Mpc en t = 10Gyrs corresponden a clus-\nMasas ter (oscuras) de M1 = 0,745 × 1015M® y M2 =\n0,345×1015M®; el truncado más grande rt = 10Mpc corre-\nsponds a M1 = 7,45×1015M® y M2 = 3,45×1015M®\nen Newtonian. Todos estos modelos encajan en la lente.\nInterpretado en la gravedad MONDiana, la truncación\nes debido al efecto de campo externo y el fondo cósmico\nasí que para hacer el potencial de MOND finito por lo tanto escapable\n(Famaey, Bruneton, Zhao 2007). Más allá de la trun...\nradio catiónico, el potencial de MOND se vuelve casi Kep-\nLerian. Los modelos MONDian, insensibles a la\nión, tendría masas solamente M1 = 0,66 × 1015M • y\nM2 = 0,16 × 1015M®. Estas masas son aún más altas.\nque su contenido bariónico 1014M, lo que implica la\nnecesidad, por ejemplo, de neutrinos masivos; densidad de neutrinos\nes demasiado bajo en galaxias para afectar a los ajustes normales de MONDian a\ncurvas de rotación de la galaxia, pero es lo suficientemente alto para doblar la luz\ny orbita significativamente en escala 1Mpc. El neutrino-a-\nración de barión, aproximadamente 7:1 en el grupo de balas,\nSería una suposición razonable para un uni-\nVersículo con materia oscura caliente de 0,04 más 2eV neutrinos\n(Sanders 2003, Pointecoute &\nSilk 2005, Skordis et al. 2006, Angus et al. 2007). Los\ncantidad de materia oscura caliente inferida aquí es la misma que\nAngus et al. (2007) ya que sus posibles parámetros son:\nfijado por los mismos datos de lente.\nV. CONCLUSIÓN\nEn resumen, un conjunto consistente de lentes simples y dinam-\nSe encuentra el modelo ical del cúmulo de balas. El presente\nvelocidades relativas entre las galaxias de los dos cúmulos es pre-\ndictado para ser VDM + 2900 km s−1 en CDM y VDM + 2900 km s−1 en CDM y VDM +\n4500 km s−1 en μHDM (MOND + Materia Oscura Caliente) si\nlos dos racimos nacieron cerca unos de otros 10 Gyrs\nhace; ambos modelos asumen cerca de la relación gas-DM universal\nen racimos, es decir, aproximadamente (0,6 − 1) × 1015M® Caliente o frío\nDM. Modelando el gas de rayos X de la bala como partícula balística,\nencontramos la partícula de gas con velocidad de Vgas = 4200km/s\n(en el extremo inferior de la velocidad observada)\npotencial del subcluster para la mayor parte del Hubble\ntiempo para ambos modelos anteriores, insensibles a la preferencia\nde la ley de la gravedad. Pero si el futuro relativo propio mo-\nLas mediciones de la velocidad de la galaxia del subcluster son como\nalta como VDM = 4500 km/s, o la velocidad del gas es tan alta como\nVgas 5400 km s−1, entonces los modelos newtonianos necesitarían\npara invocar los halos DM de 7×1015M® inverosímiles alrededor de 1014M®\n[20] Angus, G.W. & McGaugh S.D. 2007, astrof/0703xxx\n[20] Angus G.W., Shan H, Zhao H., Famaey B., 2007, ApJ,\n654, L13\n[3] Bekenstein J., 2004, Phys. Rev. D., 70, 3509\n[4] Binney, J., & Tremaine, S. 1987, Dinámica Galáctica,\nPrensa de la Universidad de Princeton, Princeton, Nueva Jersey, Ch.7\n[5] Bradac M., Clowe D., Gonzalez A.H., et al., 2006,astro-\nph/0608408 (B06)\n[6] Clowe D., Bradac M., González A.H., et al., 2006,astro-\nph/0608407 (C06)\n[20] Farrar G., & Rosen R.A., astro-ph/0610298\n[20] Famaey B., Bruneton J.P., Zhao H.S. 2007, MNRAS, en\nprensa (astro-ph/072275)\n[20] Inga M.S. & Saha P. 1998, ApJ, 115, 2231\n[20] Lin D.N.C. & Lynden-Bell D, 1982, MNRAS, 198, 707\n[20] Markevitch M. 2006, en ESA SP-604: El universo de rayos X\n2005, ed. A.Wlison 723\n[20] Milgrom M. 1994, ApJ, 429, 540\n[20] Kahn, F.D. & Woltjer L. 1959, ApJ, 130, 705\n[20] Peebles P.J.E. 1989, ApJ, 344, L53\n[20] Pointecoute E. & Silk J. 2005, MNRAS, 364, 654\n[20] Skordis, C. et al. 2006, Phys. Rev. Lett, 96, 1301\n[20] Sanders R. 2003, MNRAS, 343, 901\n[20] Taylor A.,N., Bacon D.J., et al. 2004, MNRAS, 353, 1176\n[20] Fich M. & Tremaine S. 1991,ARAA, 29, 409\n[20] Voltonen M.J., Byrd G.G., McCall M., Innanen K.A.\n1993, AJ 105, 886\n"}}},{"rowIdx":88,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0095,"string":"704.0095"},"title":{"kind":"string","value":"Geometry of Locally Compact Groups of Polynomial Growth and Shape of\n Large Balls"},"full_text":{"kind":"string","value":"GEOMETRÍA DE LOS GRUPOS DE\nCRECIMIENTO POLINOMIAL Y FORMA DE BALLAS GRANDES.\nEMMANUEL BREUILLARD\nResumen. Demostramos que cualquier grupo G localmente compacto con crecimiento polinomio\nes débilmente commensurable a algunos simplemente conectado grupo de Lie solvable S, el\nLa sombra de la mentira de G. Luego estudiamos la forma de las bolas grandes y mostrar, generaliz-\ntrabajo de P. Pansu, que después de una adecuada renormalización, convergen a\nun conjunto compacto limitador, que es isométrico a la bola de la unidad para un invariante izquierdo\nmétrica subFinsler en la llamada nilshadow graduada de S. Como subproductos, nosotros\nobtener asintóticos para el volumen de bolas grandes, demostramos que las bolas son Folner\ny por lo tanto que el teorema ergódico tiene para todos los promedios de la bola. A lo largo del camino\nTambién respondemos negativamente a una pregunta de Burago y Margulis [7] sobre la asintótica\nmétricas de palabras y recuperar algunos resultados de Stoll [33] de la racionalidad del crecimiento\nserie de grupos de Heisenberg.\nSumario\n1. INTRODUCCIÓN 1\n2. Quasi-norms y la geometría de los grupos nilpotent Lie 12\n3. El nilshadow 19\n4. métricas periódicas 23\n5. Reducción al caso de nilpotente 27\n6. El caso de los nilpotentes 31\n7. G localmente compacto y pruebas de los principales resultados 39\n8. Distancias geodésicas extremas y velocidad de convergencia 47\n9. Apéndice: los grupos Heisenberg 52\nReferencias 55\n1. Introducción\n1.1. Grupos con crecimiento polinomio. Dejar G ser un grupo localmente compacto con\nizquierda Haar medida volG. Asumiremos que G es generada por un sim-\nmétrica subconjunto. Clásicamente, G se dice que tiene crecimiento polinomio si existe\nC > 0 y k > 0 de tal manera que para cualquier entero n ≥ 1\nvolG(\nn) ≤ C · nk,\nFecha: abril de 2012.\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0095v2\n2 EMMANUEL BREUILLARD\ndonde n = . · Es el conjunto de productos n-fold. Otra opción sólo sería\ncambiar la constante C, pero no la naturaleza polinómica del atado. Uno de los\nlas consecuencias del análisis realizado en este trabajo es el siguiente teorema:\nTeorema 1.1 (Volumen asintótico). Let G ser un grupo localmente compacto con poli-\ncrecimiento nominal y un subconjunto de generación simétrica compacta de G. Luego hay\nexiste c() > 0 y un entero d(G) ≥ 0 dependiendo de G solamente de tal manera que la\nen espera de lo siguiente:\nvolG(\nnd(G)\n= c(l)\nEsto extiende el resultado principal de Pansu [27]. El entero d(G) coincide con\nel exponente de crecimiento de un grupo de Lie nilpotente calificado naturalmente asociado, el\ncono asintótico de G, y se da por la fórmula Bass-Guivarc'h (4) a continuación.\nLa constante c(l) se interpretará como el volumen de la bola de unidad de un sub-\nmétrica de Riemannian Finsler en este grupo de mentiras nilpotentes. Teorema 1.1 es un by-\nproducto de nuestro estudio del comportamiento asintótico de pseudodistancias periódicas en G,\nque son pseudodistancias que son invariantes bajo un subgrupo cocompacto de G y\nsatisfacer un tipo débil de la existencia de axioma geodésico (véase la definición 4.1).\nNuestra primera tarea es obtener una mejor comprensión de la estructura de local compacto\ngrupos de crecimiento polinomio. Guivarc’h [21] demostró que los grupos compactos locales\nde crecimiento polinomio son amenizables y unimodular y que cada compactamente\nGenerado1 subgrupo cerrado también tiene crecimiento polinomio.\nGuivarc’h [21] y Jenkins [15] también caracterizaron grupos de Lie conectados con\ncrecimiento polinomio: un grupo de Lie conectado tiene crecimiento polinomio si y sólo si\nes de tipo (R), es decir, si para todos x • Lie(S), ad(x) sólo tiene puramente imaginario\nvalores propios. Estos grupos son solvable-por-compacto y cualquier nilpotente conectado\nEl grupo de mentiras es de tipo (R).\nEs mucho más difícil caracterizar grupos discretos con crecimiento polinomio,\ny esto se hizo en un célebre periódico de Gromov [17], demostrando que son\nPrácticamente nilpotente. Losert [24] generalizó el método de prueba de Gromov y mostró\nque se aplicó con poca modificación a los grupos arbitrarios localmente compactos con\ncrecimiento polinomio. En particular, mostró que contienen un compacto normal\nsubgrupo módulo que el cociente es un (no necesariamente conectado) grupo de mentira.\nDemostraremos el siguiente refinamiento.\nTeorema 1.2 (Sombra de mentira). Dejar G ser un grupo localmente compacto de polinomio\ncrecimiento. Entonces existe un grupo de Lie solvable conectado y simplemente conectado S\nde tipo (R), que es débilmente commensurable a G. Llamamos a tal grupo de la Mentira una Mentira\nsombra de G.\nSe dice que dos grupos compactos locales son débilmente comparables si, hasta\nmodificando por un núcleo compacto, tienen un subgrupo de cocompacto cerrado común.\nMás precisamente, demostraremos que, para algunos subgrupos compactos normalesK, G/K tiene\n1De hecho, de la teoría de la estructura Gromov-Losert se deduce que cada subgrupo cerrado es\ngenerado de forma compacta.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 3\nun subgrupo de cocompacto H/K que puede ser integrado como un cerrado y cocompacto\nsubgrupo de un grupo de Lie solvable S conectado y simplemente conectado de tipo (R).\nDebemos ser conscientes de que ser débilmente commensurable no es una equivalencia\nrelación entre grupos localmente compactos (a diferencia de los grupos finitos).\nAdemás, la sombra de Lie S no es única hasta el isomorfismo (e.g. Z3 es un\nco-compacto celosía en tanto R3 y la cubierta universal del grupo de movimientos de\nel avión).\nNo podemos sustituir la palabra solvable por la palabra nilpotente en el teo-\nrem. Referimos al lector al Ejemplo 7.9 para un ejemplo de un solvable conectado\nGrupo de mentiras de tipo (R) sin subgrupos normales compactos, que no admite co-\nsubgrupo compacto de nilpotente. De hecho, esto es típico de los grupos de Lie de tipo (R). Así que\nen el caso general localmente compacto (o sólo el caso de Lie) grupos de polinomio\ncrecimiento puede ser genuinamente no nilpotent, a diferencia de lo que sucede en el caso discreto.\nHay diferencias importantes entre el caso discreto y el caso general.\nPor ejemplo, demostraremos que no se puede esperar una tasa de convergencia en Teorema.\n1.1 cuando G es solvable no nilpotente, mientras que alguna tasa de polinomio siempre se mantiene en\nel caso discreto nilpotente [9].\nTeorema 1.2 nos permitirá reducir la mayoría de las preguntas geométricas sobre localmente\ngrupos compactos de crecimiento polinomio, y en particular la prueba de Teorema\n1.1, al caso de grupo Lie conectado. Observe también que Teorema 1.2 subsume\nTeorema de Gromov sobre el crecimiento polinomio, porque no es difícil ver que un\nretícula cocompacta en un grupo de Lie solvable de crecimiento polinomio debe ser virtualmente\nnilpotente (véase la Observación 7.8). Por supuesto, en la prueba que hacemos uso de Gromov’s\nteorema, en su forma generalizada para grupos localmente compactos debido a Losert. El resto\nde la prueba combina las ideas de Y. Guivarc’h, D. Mostow y una integración crucial\nTeorema de H.C. Wang. Se da en el párrafo 7.1 y es en gran medida independiente de\nel resto del periódico.\n1.2. Formas asintóticas. La parte principal del documento está dedicada al asymp-\ncomportamiento tótico de pseudodistancias periódicas en G. Referimos al lector a la definición\n4.1 para la definición precisa de este término, basta con decir ahora que es una clase de\npseudodistancias que contiene tanto métricas de palabra invariantes a la izquierda en G y geodésica\nmétricas en G que son invariantes a la izquierda en el subgrupo de cocompacto de G.\nTeorema 1.2 nos permite asumir que G es un subgrupo cocompacto de un simple\nel grupo S de Solvable Lie conectado, y en lugar de ver pseudodistancias en G,\nvamos a ver pseudodistancias en S que son invariantes de izquierda bajo un co-compacto\nSubgrupo H. Una consecuencia directa más precisa del Teorema 1.2 es la siguiente:\nProposición 1.3. Dejar G ser un grupo localmente compacto con crecimiento polinomio y \nuna métrica periódica sobre G. Entonces (G,?) es (1, C)-cuasi-isométrico a (S,?S) para algunos\nfinito C > 0, donde S es un grupo de Lie solvable conectado y simplemente conectado de\ntipo (R) y ♥S alguna métrica periódica en S.\nRecuerde que dos espacios métricos (X, dX ) y (Y, dY ) se llaman (1, C)-cuasi-isométrico\nsi existe un mapa : X → Y de tal manera que cualquier y Y está a la distancia a lo sumo C\nde algún elemento en la imagen de ♥ y si dY (\n′)) − dX(x, x\n′) ≤ C para\ntodos x, x′ â € ¢ X.\n4 EMMANUEL BREUILLARD\nEn el caso cuando S es Rd y H es Zd, es un ejercicio simple para demostrar que cualquier\npseudodistancia periódica es asintótica a una norma en Rd, es decir. (e, x)/ (x) → 1\nx → #, donde # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n(e, nx) es una norma bien definida en Rd. Burago en [6]\nmostró un resultado mucho más fino, a saber, que si \nestá limitado cuando x rangos sobre Rd.Cuando S es un grupo de mentira nilpotente y H una celosía\nen S, entonces Pansu demostró en su tesis [27], que un resultado similar sostiene, a saber:\n(e, x)/ x → 1 para algunos (único sólo después de la elección de un grupo de un parámetro de\ndilaciones) homogéneo cuasi-norma x en el grupo de la mentira nilpotente. Sin embargo, nosotros\nmostrar en la sección 8, que no es cierto en general que?(e, x) − x permanece limitada,\nincluso para grupos nilpotentes finitamente generados, respondiendo así a una pregunta de Burago\n(véase también Gromov [20]). Nuestro propósito principal aquí será extender el resultado de Pansu\na grupos de Lie solvables de crecimiento polinomio.\nComo fue notado por primera vez por Guivarc’h en su tesis [21], cuando se trata de geométrico\npropiedades de grupos de Lie solvable, es útil considerar la llamada nilshadow de\nel grupo, una construcción introducida por primera vez por Auslander y Green en [2]. Accord-\na esta construcción, es posible modificar el producto Lie sobre S en un\nmanera, por así decirlo quitando la parte semisimple de la acción en el nilradical,\ncon el fin de convertir S en un grupo nilpotent Lie, su nilshadow SN. Las dos mentiras\nlos grupos tienen el mismo colector subyacente, que es diffeomorphic a Rn, sólo un\ndiferente producto de mentira. También comparten la misma medida de Haar. Este “semisimple\nparte” es un subgrupo relativamente compacto conmutativo T (S) de automorfismos de S,\nimagen de S bajo un homomorfismo T : S → Aut(S). El nuevo producto g * h es\ndefinido de la siguiente manera retorciendo el antiguo g · h por medio de T (S),\n(1) g ∗ h := g · T (g−1)h\nLos dos grupos S y SN son fácilmente vistos como cuasi-isométricos, y es por eso que cualquier\ngrupo localmente compacto de crecimiento polinomio G es cuasi-isométrico a algunos nilpotente\nGrupo de mentiras. En particular, sus conos asintóticos son bi-Lipschitz. La asintótica\ncono de un grupo de mentira nilpotente es un cierto grupo de mentira nilpotente calificado asociado\ndotado de una distancia geodésica invariante izquierda (o grupo Carnot). Los clasificados\ngrupo asociado a SN se llamará el nilshadow grado de S. Sección 3 será\ndedicada a la construcción y las propiedades básicas de la nilshadow y su clasificación\ngrupo.\nEn este artículo, estamos tratando con una relación más fina que la cuasi-isometría. Lo haremos.\nestar interesado en cuando dos distancias invariantes izquierdas (o periódicas) son asintóticas2\n(en el sentido de que\nd1(e,g)\nd2(e,g)\n→ 1 cuando g → فارسى). En particular, por cada localidad\ngrupo compacto G con crecimiento polinomio, identificaremos su cono asintótico\nhasta isometría y no sólo hasta cuasi-isometría o equivalencia bi-Lipschitz (véase\nCorollary 1.9 infra). Uno de nuestros principales resultados es el siguiente:\n2Sin embargo, una relación de equivalencia más fina es (1, C)-cuasi-isometría, es decir. estar a una distancia limitada en\nmétrica Gromov-Hausdorff; clasificar métricas periódicas hasta este tipo de equivalencia es mucho\nMás fuerte.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 5\nTeorema 1.4 (Teorema principal). Deja que S sea un grupo de Lie solvable simplemente conectado\ncon crecimiento polinomio. Que se haga una pseudodistancia periódica en S, que está en...\nvariante bajo un subgrupo de cocompacto H de S (véase Def. 4.1). En el múltiple S,\nuno puede poner una nueva estructura de grupo de Lie, que convierte S en una mentira nilpotente estratificada\ngrupo, el nilshadow graduado de S, y un subFinsler métrica d(x, y) en S que es\nizquierda-invariante para esta nueva estructura de grupo tal que\n(e, g)\nd-(e, g)\ncomo g → en S. Por otra parte, cada automorfismo en T (H) es una isometría de d.\nEl lector que desee ver una simple ilustración de este teorema puede ir directamente\na la subsección 8.1, donde hemos tratado en detalle un ejemplo específico de\nmétrica sobre la cobertura universal de los grupos de movimientos del plano.\nLa nueva estructura estratificada de grupo de nilpotent Lie en S dada por el grado\nnilshadow viene con una familia de un parámetro de las llamadas dilaciones homogéneas\nt}t>0. También viene con un grupo adicional de automorfismos, a saber, la imagen\nde H bajo el homomorfismo T. Esto produce automorfismos de S para ambos el\nestructura de grupo original en S y la nueva estructura de grupo nilshadow graduada.\nPor otra parte las dilaciones t}t>0 son automorfismos de la nilshadow grado y\nse desplazan con T (H).\nUna métrica subFinsler es una distancia geodésica que se define exactamente como subRie-\nse definen las métricas de manian (o Carnot-Carateodory) en los grupos Carnot (véase, por ejemplo,\n[25]), excepto que la norma utilizada para calcular la longitud de las trayectorias horizontales no es\nnecesariamente una norma euclidiana. Remitimos al lector a la sección 2.1 para obtener información precisa.\ndefinición.\nEn Teorema 1.4, la métrica subFinsler de d.o.o. se deja invariante para la nueva Lie struc-\nen S y también es invariante bajo todos los automorfismos en T (H) (estos\nun grupo conmutativo relativamente compacto de automorfismos). Por otra parte satisface\nla siguiente ley de escala agradable:\nd-() () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ( > () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()\nLa prueba de Teorema 1.4 se divide en dos pasos importantes. La primera es una reducción.\nal caso de nilpotente y se realiza en la sección 5. Usando un doble promedio\nde la pseudodistancia sobre K := T (H) y S/H, construimos un asso-\nciated pseudodistancia, que es periódica para la estructura de nilshadow en S (es decir.\nizquierda-invariante por un subgrupo de cocompacto para esta estructura), y demostramos que\nes asintótico al original. Esto reduce el problema a grupos de mentiras nilpotentes.\nLa clave de esta reducción es la siguiente observación crucial:\ntomorfismos de S inducen sólo una distorsión sublineal, obligando a la métrica a ser\nasintóticamente invariante bajo T (H). El segundo paso de la prueba supone que\nS es nilpotente. Esta parte se trata en la sección 6 y es esencialmente una reforma.\nsión de los argumentos utilizados por Pansu en [27].\n6 EMMANUEL BREUILLARD\nIncidentemente, destacamos el hecho de que la generalidad en la que se trata la Sección 6\n(es decir, Para general geodésico groseramente, e incluso asintóticamente geodésico periódico met-\nrics) es necesario para demostrar incluso el caso más básico (es decir, métricas de palabras) de Teorema\n1.4 para grupos solvables no nilopotentes. Así que incluso si sólo estábamos interesados en el\nasintóticos de métricas de palabras invariantes izquierdas en un grupo de Lie solvable de polinomios\ncrecimiento S, todavía necesitaríamos entender las asintóticas de arbitraria groseramente\ngeodésico izquierda invariantes distancias (y no sólo métricas de la palabra!) sobre la mentira nilpotente\ngrupos. Esto se debe a que la nueva pseudodistancia obtenida por promedio, véase (30),\nya no es una palabra métrica.\nLa métrica subFinsler (e, x) en el teorema anterior es inducida por un cierto\nT (H)-invariante norma en el primer estrato m1 de la nilshadow grado (que\nes T (H)-invariante subespacio complementario del subalgebra conmutador de la\nnilshadow). Esta norma puede describirse de manera más bien explícita de la siguiente manera.\nRecordemos que tenemos3 un mapa canónico η1 : S → m1, que es un grupo homomor-\nphism para las estructuras nilshadow y nilshadow graduadas. Entonces:\n{v) m1, {v} ≤ 1} =\nCvxHull\nη1(h)\n(e, h)\n, h • H\\F\ndonde el lado derecho es la intersección sobre todos los subconjuntos compactos F de S de\nel casco convexo cerrado de los puntos \nLa Figura 1 da una ilustración de la forma límite correspondiente a la palabra\nmétrica en el grupo discreto de 3 dimensiones de Heisenberg con generadores estándar.\nExplicamos en el Apéndice cómo se puede calcular explícitamente la geodesia de la\nmétrica límite y la forma límite en este ejemplo.\nCuando S en sí mismo es nilpotente para empezar y es (en restricción a H) la\nmétrica de palabra asociada a un conjunto de generación compacta simétrica de H (es decir,\n(e, h) := inf{n(n) N;h(n)\nn}), la norma anterior adopta la siguiente forma sencilla:\n(2) {v · m1, ·v ≤ 1} = CvxHull ·1(), · · · · \nPor ejemplo, en el caso especial cuando H es un sin torsión finitamente generado nilpo-\ngrupo de tiendas con set de generación y S es su cierre Malcev, la bola de unidad\nEl poliedro de m1 es un poliedro de m1. Esta fue la descripción de Pansu en\n[27].\nSin embargo cuando S no es nilpotente, y está equipado con una palabra métrica sobre\nun subgrupo de cocompacto, a continuación, la determinación de la forma límite, es decir, el de-\nterminación de la norma límite · en el nilshadow abelianizado, es mucho más\nDifícil. Claramente · es K-invariante y es una simple observación de que la unidad\nla bola para · está siempre contenida en el casco convexo de la K-órbita de \n3El subespacio m1 se puede identificar con el nilshadow abelianizado (o abelianizado graduado\nnilshadow) identificando primero el nilshadow con su álgebra de Lie a través del mapa exponencial y\nentonces proyectando módulo el subalgebra conmutador. El mapa no depende de la elección\nimplicado en la construcción de la nilshadow. Véase también la Observación 3.7.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 7\nSin embargo, la bola de la unidad es típicamente más pequeña que eso (a menos que K-invariante\npara empezar).\nEn general, sería interesante determinar si existe una\ndescripción de la forma límite de una métrica de palabra arbitraria en un grupo de Lie solvable\ncon crecimiento polinomio. Remitimos al lector a la Sección 8 y al párrafo 8.2 para una\nejemplo de una clase de métricas de palabras en la cubierta universal del grupo de movimientos\ndel plano, para el cual fuimos capaces de calcular la forma límite.\nOtro subproducto del Teorema 1.4 es el siguiente resultado.\nCorollario 1.5 (forma asintótica). Deja que S sea una mentira solvable simplemente conectada\ngrupo con crecimiento polinomio y H un subgrupo cocompacto. Vamos a ser un H-\npseudodistancia periódica en S. Luego en la métrica de Hausdorff,\n(Bl(t)) = C,\ndonde C es un T (H)-invariante barrio compacto de la identidad en S, B\nla bola de radio t en S y t}t>0 es un grupo de un parámetro de dilaciones en S\n(equipado con la estructura de nilshadow graduada). Por otra parte, C = {g â € ¬ S, dâ € (e, g) ≤ 1}\nes la bola unitaria de la métrica límite subFinsler de Teorema 1.4.\nPrueba. Por el teorema 1.4, por cada > 0 tenemos Bd(tt) B\nsi t es lo suficientemente grande. Desde el 1 de enero de 1999\n(Bd.(t)) = C, para todos t > 0, hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nCombinando esto con Teorema 1.2, también obtenemos el siguiente corolario, de los cuales\nTeorema 1.1 es sólo un caso especial con la palabra métrica asociada a la gen-\nJuego de borraduras.\nCorolario 1.6 (Volumen asintótico). Supongamos que G es un grupo localmente compacto\ncon crecimiento polinomio y es una pseudodistancia periódica en G. Let Bl(t) be\nla bola de radio t en G, es decir, (t) = {x â € G, ¬(e, x) ≤ t}, entonces existe un\nconstante c(l) > 0 tal que exista el siguiente límite:\n3) lim\nvolG(Bl(t))\ntd(G)\n= c(l)\nAquí d(G) es el entero d(SN), la llamada dimensión homogénea de la\nNilshadow SN de una sombra de mentira S de G (obtenido por Teorema 1.2), y es dada por\nla fórmula Bass-Guivarc’h:\n(4) d(SN ) =\ndim(Ck(SN ))\ndonde {Ck(SN)}k es la serie central descendente de SN.\nEl límite c(l) es igual al volumen volS(C) de la forma límite C de Corollary\n1.5 una vez que hacemos la elección correcta de la medida de Haar en una sombra de mentira S de G.\nexplicamos esta elección. Recordemos que según Teorema 1.2, G/K admite una co-\nsubgrupo compacto H/K que incorpora cocompactamente en S. A partir de un Haar\nmedida volG en G, obtenemos una medida Haar en G/K después de fijar la medida Haar\nde K para ser de la masa total 1, y entonces podemos elegir una medida de Haar en H / K así\nque el cociente compacto G/H tiene volumen 1. Finalmente elegimos la medida Haar\n8 EMMANUEL BREUILLARD\nGráfico 1 La forma asintótica de las bolas grandes en el gráfico de Cayley\ndel grupo Heisenberg H(Z) = x, y[x, [x, y]] = [y, [x, y]] = 1\nvisto en coordenadas exponenciales.\nen S para que el otro cociente compacto S/(H/K) tenga volumen 1. Esto da la\nmedidas deseadas Haar volS tales que c(l) = volS(C).\nTenga en cuenta que la medida de Haar en S también es invariante en el grupo de automor-\nphisms T (S) y por lo tanto se deja invariante para la estructura de nilshadow en S. Es también\nizquierda invariante para la estructura de nilshadow graduada. En ambas coordenadas exponenciales\ndel primer tipo (en SN ) y del segundo tipo (como en Lemma 3.10), medida Haar\nes sólo la medida de Lebesgue.\nEn el caso del grupo discreto Heisenberg de dimensión 3 equipado con el\nmétrica de palabra dada por los generadores estándar, es posible computar el con-\nstant c(l) y el volumen de la forma límite como se muestra en la Figura 1. En este caso, el\nvolumen es 31\n(véase el apéndice). El grupo 5-dimensional de Heisenberg también puede ser\ntrabajado y el volumen de su forma límite (asociado a la palabra métrica dada\npor generadores estándar) es igual a 2009\n21870\nlog 2\n32805\n. El hecho de que este número es\ntrascendental implica que la serie de crecimiento de este grupo, es decir. el poder formal\nSerie\nn≥0 Bl(n)z\nn no es algebraico en el sentido de que no es una solución de un\necuación polinómica con funciones racionales en C(z) como coeficientes (véase [33, Prop.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 9\n3.3.]). Esto fue observado por Stoll en [33] por medios combinatorios más directos.\nStoll también muestra allí el hecho interesante de que la serie de crecimiento puede ser racional\npara algunas otras opciones de generar conjuntos en el grupo 5-dimensional Heisenberg.\nAsí que la racionalidad de la serie de crecimiento depende del conjunto generador.\nOtra característica interesante es la invarianza asintótica:\nCorollario 1.7 (invarianza asintótica). Deja que S sea un solvable simplemente conectado\nMentira de grupo con crecimiento polinomio y una pseudodistancia periódica en S. Let * ser\nel nuevo producto Lie en S dado por la estructura del grupo nilshadow (o el grado\nestructura del grupo de nilshadow). A continuación,?(e, g ∗ x)/?(e, x) → 1 como x → • por cada\ng) S.\nEsto sigue inmediatamente del Teorema 1.4, cuando ∗ es el nilshadow calificado\nel producto, y del teorema 6.2 infra en el caso ∗ es el grupo nilshadow struc-\ntura.\nVale la pena observar que en general no podemos reemplazar ∗ por el ordinario\nproducto en S. De hecho, por ejemplo S = R R2 ser la cubierta universal de la\ngrupo de movimientos del plano euclidiano, entonces S, como su nilshadow R3, admite\nuna celosía Z3. El cociente S/e es diffeomórfico al 3-torus R3/Z3 y\nes fácil encontrar métricas Riemannianas en este toro para que su elevación a R3 no es\ninvariante en rotación alrededor del eje z. De ahí esta métrica, vista en la Mentira\ngrupo S no será asintóticamente invariante bajo la traducción izquierda por elementos de\nS. Sin embargo, si la métrica es izquierda-invariante y no sólo periódica, entonces tenemos\nel siguiente corolario de la prueba del Teorema 1.4.\nCorollario 1.8 (las pseudodistancias izquierdistas son asintóticas a subFinsler met-\nrics). Dejar S ser un grupo simplemente conectado de Lie Solvable de crecimiento polinomio y \nser una pseudodistancia periódica en S que es invariante bajo todas las traducciones a la izquierda por\nelementos de S (por ejemplo: una métrica geodésica gruesamente invariante a la izquierda en S). Entonces, ahí está.\nes una métrica subFinsler izquierda-invariante d en S que es asintótica a \n(e,g)\nd(e,g)\n→ 1 como g → • •.\nYa hemos mencionado anteriormente que la determinación de la forma límite exacta de una palabra\nmétrica en S es una tarea difícil. En consecuencia, también lo es la tarea de decir cuándo dos\ndistintas métricas de palabras son asintóticas. La declaración anterior dice que en cualquier caso\nCada métrica de palabra en S es asintótica a alguna métrica subFinsler invariante izquierda. Así que\nel conjunto de posibles formas límite no es más rico para las métricas de palabras que para la variable izquierda\nmétricas subFinsler.\nObservamos que en el caso de grupos de mentiras nilpotentes (donde K es trivial), Teorema\n1.4 muestra que cada métrica periódica es asintótica a una métrica invariante izquierda. Lo es.\ntodavía un problema abierto para determinar si cada métrica periódica groseramente geodésica\nestá a una distancia limitada de una métrica invariante izquierda (este es el teorema de Burago en\nn, más sobre ello a continuación).\nLos teoremas 1.2 y 1.4 nos permiten describir el cono asintótico de (G, \npseudodistancia periódica en cualquier grupo localmente compacto con crecimiento polinomio.\n10 EMMANUEL BREUILLARD\nCorolario 1.9 (cono asintótico). Dejar G ser un grupo localmente compacto con polino-\ncrecimiento mial y una pseudodistancia periódica en G. A continuación, la secuencia de\nespacios métricos {(G, 1\nEn la topología de Gromov-Hausdorff converge n ≥ 1. Los\nlímite es el espacio métrico (N, d», e), donde N es un grado simplemente conectado nilpo-\ntienda Mentira de grupo y de una métrica invariante izquierda subFinsler en N. Por otra parte la Mentira\nEl grupo N es (hasta isomorfismo) independiente de El espacio (N, d.o.p.) es isométrico.\na “el cono asintótico” asociado a (G, Este cono asintótico es independiente\nde la elección del ultrafiltro utilizado para definirlo.\nEste corolario es una generalización del teorema de Pansu (10) en [27]. Nos referimos a\nel lector del libro [18] para las definiciones del cono asintótico y el\nConvergencia Gromov-Hausdorff. Debatimos en la sección 8 la velocidad de convergencia\n(en la métrica Gromov-Hausdorff) en este teorema y sus corolarios sobre volumen\ncrecimiento. En particular, hay una diferencia importante entre el caso discreto nilpotente\ny el caso Solvable no nilpotente. En el primero, se puede encontrar una tasa de polinomio\nde convergencia [9], mientras que en este último no existe tal tipo en general (véase Teorema\n8.1).\n1.3. Folner sets y teoría ergódica. Una consecuencia del corolario 1.6 es que\nsecuencias de bolas con el radio que va al infinito son secuencias Folner, a saber:\nCorolario 1.10. Dejar G ser un grupo localmente compacto con crecimiento polinomio y\nSeudodistancia periódica en G. Dejemos que Bl(t) sea la bola de radio t en G. Entonces\n{B/23370/(t)}t>0 forman una familia Folner de subconjuntos de G a saber, para cualquier conjunto compacto F\nen G, tenemos ( denota la diferencia simétrica)\n5) lim\nvolG(FB(t)B(t)\nvolG(Bl(t))\nPrueba. En efecto, para algunos c > dependiendo de F.\nPor lo tanto (5) sigue de (3). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEsto resuelve el llamado “problema de localización” de Greenleaf para el local compacto\ngrupos de crecimiento polinomio (véase [16]), es decir, por la que se determina si las facultades de\nun conjunto generador compacto n}n forma una secuencia Folner. Al mismo tiempo,\nimplica que el teorema ergódico para G-acciones se mantiene a lo largo de cualquier secuencia de bolas\ncon el radio que va al infinito.\nTeorema 1.11. (Teorema Ergódico) Let se le da un grupo G localmente compacto con\ncrecimiento polinomio junto con un G-espacio X mensurable dotado de un G-\nmiden la probabilidad ergódica invariante m. Dejemos ser una pseudodistancia periódica en\nA continuación, para cualquier p, 1 ≤ p < \nfunción f • Lp(X,m) tenemos\nvolG(Bl(t))\nBl(t)\nf(gx)dg =\npara m-casi cada x X y también en Lp (X,m).\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 11\nDe hecho, el corolario 1.10 arriba, era el “bloque perdido” en la prueba de la ergódica\nteorema en grupos de crecimiento polinomio. Hasta ahora y que yo sepa, Corollary\n1.10 y Teorema 1.11 sólo se conocían a lo largo de alguna secuencia de bolas {B(tn)}n\nelegido de modo que (5) se mantenga (véase, por ejemplo, [10] o [34]). Esta cuestión se planteó a continuación:\nmi atención por A. Nevo y fue mi motivación inicial para el presente trabajo. Nosotros\nremítase al lector al documento de la encuesta de A. Nevo [26] Sección 5.\nMás tarde resultó que el mero hecho de que las bolas son Folner en un polinomio dado\ncrecimiento local grupo compacto también se puede derivar del hecho de que estos grupos son\nduplicación de espacios métricos (que es un resultado más fácil que la asintótica precisa\nvol(ln) cn\nd(G) probado en este documento y sólo requiere límites inferiores y superiores\ndel formulario c1n\nd(G) ≤ vol(ln) ≤ c2n\nd(G)). Esto fue observado por R. Tessera\n[35] que redescubrió un lindo argumento de Colding y Minicozzi [11, Lemma 3.3.]\nmostrando que el volumen de las esferas ♥n+1 \\ ♥n es a lo sumo algunos O(n) veces el\nel volumen de la bola ln, donde ln > 0 es una constante positiva dependiendo solamente de la\ndoblando constante la métrica de la palabra inducida por en G.\nEn [9], damos un mejor límite superior (que depende sólo de la clase de nilpotencia\ny no en la constante de duplicación) para el volumen de esferas en el caso de finitamente\ngrupos de nilpotentes generados. Esto se hace mostrando el siguiente término de error en\nla asintótica del volumen de las bolas: tenemos vol(ln) = cln\nd(G)+O(nd(G)ár ),\ndonde αr > 0 depende sólo de la clase de nilpotency r de G. Referimos al lector a\nSección 8 y preimpresión [9] para más información al respecto. Sólo notamos aquí.\nque aunque el anterior enfriamiento-Minicozzi-Tessera límite superior en el volumen de\nesferas se sostiene generalmente para todos los grupos localmente compactos G con crecimiento polinomio,\na menos que G es nilpotente, no hay término de error en general en la asintótica de la\nvolumen de bolas. Un ejemplo con velocidad arbitrariamente pequeña se da en §8.1.\n1.4. Una conjetura de Burago y Margulis. En [7] D. Burago y G. Margulis\nconjeturado que cualquier métrica de dos palabras en un grupo finitamente generado que son\nasintótico (en el sentido de que\n1(e,γ)\n2(e,γ)\ntiende a 1 en el infinito) debe estar en un límite\ndistancia unos de otros (en el sentido de que 1(e, γ) − γ2(e, γ) = O(1)). Esto\nse mantiene para los grupos abelianos. Un resultado análogo fue probado por Abels y Margulis\npara métricas de palabras en grupos reductivos [1]. S. Krat [23] estableció esta propiedad\npara métricas de palabras en el grupo Heisenberg H3(Z). Sin embargo, utilizando el Teorema 1.4\n(que en este caso particular de grupos nilpotentes finitamente generados es sólo de Pansu\nteorema [27]) mostraremos en la sección 8.3 que hay contraejemplos y\nmuestra dos métricas de palabras en H3(Z) × Z que son asintóticas y sin embargo no están en\nuna distancia limitada. Para más información sobre este contraejemplo, y cómo\nmodificar la conjetura de Burago y Margulis, nos referimos al lector interesado a\n1.5. Organización del documento. Las secciones 2 a 4 están dedicadas a los preliminares. In\nSección 2 presentamos la teoría básica nilpotente como se puede encontrar en Guivarc’h\ntesis [21]. En particular, una prueba completa de la fórmula Bass-Guivarc’h se da. In\nSección 3, recordamos la construcción de la nilshadow de un grupo Solvable Lie.\n12 EMMANUEL BREUILLARD\nEn la Sección 4 establecemos los axiomas y las propiedades básicas de la distancia (pseudo)\nfunciones que se estudian en este artículo.\nLas secciones 5-7 contienen el núcleo de la prueba de los principales teoremas. En la sección 5,\nasumir que G es un grupo simplemente conectado Solvable Lie y reducir el problema a\nel caso de los nilpotentes. En la Sección 6, suponemos que G es un simple nilpotente conectado.\nMentir grupo y probar Teorema 1.4 en este caso siguiendo la estrategia utilizada por Pansu\nen [27]. En la Sección 7, probamos el Teorema 1.2 para grupos generales localmente compactos\ny reducir la prueba de los resultados de la introducción al caso de la Mentira.\nEn la última sección hacemos más comentarios sobre la velocidad de convergencia.\nEn particular, damos ejemplos que responden negativamente a la pregunta antes mencionada\nde Burago y Margulis.\nEl Apéndice está dedicado a los grupos discretos de la dimensión 3 de Heisenberg y\n5. Calculamos sus bolas límite, explicamos la Figura 1, y recuperamos el resultado principal de\nStoll [33].\nEl lector que está principalmente interesado en el caso de grupo nilpotent puede leer directamente\nSección 6 mientras se mantiene un ojo en las secciones 2 y 4 para las anotaciones de antecedentes y\nhechos elementales.\nPor último, vamos a mencionar que los resultados y métodos de este documento fueron en gran medida\ninspirado en las obras de Y. Guivarc’h [21] y P. Pansu [27].\n1.6. Nota Bene. Una versión de este artículo distribuida desde 2007. El actual ver-\nsión contiene esencialmente el mismo material, sólo la exposición se ha mejorado\ny varios argumentos un tanto vagos han sido sustituidos por pruebas completas\n(en particular en las secciones 3 y 7). Este retraso se debe al hecho de que yo estaba planeando...\nning durante mucho tiempo para mejorar la sección 6 y mostrar un término de error en el volumen\nasintótica de las bolas en grupos nilpotentes. E. Le Donne y yo nos las arreglamos recientemente para\nlograr esto y ahora se ha convertido en un documento conjunto independiente [9].\n2. Quasi-norms y la geometría de los grupos nilpotent Lie\nEn esta sección, revisamos el material de antecedentes necesario sobre la mentira nilpotente\ngrupos. En el párrafo 2.4, damos algunas propiedades cruciales de la homogeneidad\nnormas y reproducir algunos lemas originalmente debido a Y. Guivarc’h que será\nutilizado en la secuela. Mientras tanto, probamos la fórmula Bass-Guivarc'h para el de-\ngrado de crecimiento polinomio de grupos de mentira nilpotente, siguiendo el original de Guivarc’h\nargumentación.\n2.1. métricas del Carno-Carateosorio. Deja que G sea un grupo de Lie conectado con Lie\nálgebra g y dejar m1 ser un subespacio vectorial de g. Denotamos por una norma en m1.\nAhora recordamos la definición de una métrica Carnot-Carathéodory invariante a la izquierda también\nllamada métrica subFinsler en G. Let x, y G. Consideramos todas las posibles piezas\nsenderos lisos : [0, 1] → G que va de â € (0) = x a â € (1) = y. Que (u) sea el\nvector tangente que es arrastrado de vuelta a la identidad por una traducción izquierda, es decir.\n= (u) · (u)\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 13\ndonde (u) g y la notación (u) · (u) significa la imagen de (u) bajo\nel diferencial en la identidad de la traducción izquierda por el elemento de grupo (u).\nDecimos que el camino es horizontal si el vector (u) pertenece a m1 para todos\nu â € [0, 1]. Denotamos por H el conjunto de caminos horizontales lisos por pieza. Los\nLa métrica Carnot-Carathéodory asociada a la norma se define por:\nd(x, y) = inf{\n(u)\ndu, â € H, â € (0) = x, â € (1) = y}\ndonde el infimum se toma sobre todos los senderos lisos a partes : [0, 1] → N con\n*(0) = x, *(1) = y que son horizontales en el sentido de que *(u) * m1 para todas las u. Si\nEs una norma euclidiana, la d(x, y) métrica también se llama subRiemanniano. En este\npapel, sin embargo, la norma normalmente no será euclidiana (puede ser poliedro\ncomo en el caso de las métricas de palabras en grupos nilpotentes finitamente generados) y d(x, y)\nsólo será SubFinsler. Si m1 = g, y es un euclidiano (resp. Arbitraria) norma\nen g, entonces d es simplemente el habitual invariante de izquierda Riemannian (resp. métrica de Finsler)\nasociado a .\nTeorema de Chow (por ejemplo: [19] o [25]) nos dice que d(x, y) es finito para todos x y\ny en G si y sólo si el vector subespacio m1, junto con todos los paréntesis de elementos\nde m1, genera el álgebra completa de Lie g. Si esta condición se cumple, entonces d es un\ndistancia en G que induce la topología original de G.\nEn este artículo, sólo nos preocuparemos por las métricas Carnot-Caratheodory sobre\nuna simple conexión nilpotent Lie grupo N. En la secuela, cada vez que hablamos de un\nmétrica Carnot-Carathéodory en N, nos referimos a uno que está asociado a una norma \nen un subespacio m1 de tal manera que n = m1.» [n, n] donde n = Lie(N). Es fácil de comprobar\nque cualquiera de tales m1 genera el álgebra de Lie n.\nObservación 2.1. Vamos a observar aquí que para tal d métrica en N, tenemos el\ndespués de la descripción de la bola de unidad para \n{v) m1 {v} ≤ 1} =\nη1(x)\nd(e, x)\n, x â â € ¢ Nâ € e}\ndonde η1 es la proyección lineal de n (identificada con N via exp) a m1 con\nkernel [n, n]. De hecho, η1 da lugar a un homomorfismo de N al espacio vectorial\nm1. Y si es un camino horizontal de e a x, a continuación, la aplicación de η1 a (6) que\nget d\nη1((u)) = \n′(u), por lo tanto η1(x) =\n(u)du. Por lo tanto 1(x) ≤ d(e, x) con\nigualdad si x â € m1.\n2.2. Dilaciones en un grupo de mentira nilpotente y el grupo calificado asociado.\nAhora nos centramos en el caso de grupos de mentiras nilpotentes simplemente conectados. Dejad en paz a N.\ntal grupo con Lie álgebra n y clase de nilpotency r.\nanálisis de estos grupos, nos referimos al lector al libro [12]. El exponencial\nmapa es un difeomorfismo entre n y N. La mayoría de las veces, si x n, vamos a\nanotación de abuso y denotar el elemento de grupo exp(x) simplemente por x. Denotamos\npor {Cp(n)}p la serie descendente central para n, es decir, C\np+1(n) = [n, Cp(n)] con\nC0(n) = n y Cr(n) = {0}.\n14 EMMANUEL BREUILLARD\nDejar (mp)p≥1 ser una colección de subespacios vectoriales de n tal que para cada p ≥ 1,\n7) Cp−1(n) = Cp(n)®mp.\nEntonces n = p ≥ 1mp y en esta descomposición, cualquier elemento x en n (o N por abuso\nde notación) se escribirá en la forma\nηp(x)\ndonde γp(x) es la proyección lineal sobre mp.\nA tal descomposición se asocia un grupo de dilaciones de un parámetro (t)t>0.\nEstos son los endomorfismos lineales de n definidos por\nt(x) = t\npara cualquier mp x y para cada p. Por el contrario, el grupo de un parámetro (t)t≥0\ndetermina los (mp)p≥1’s ya que aparecen como espacios propios de cada uno, t 6= 1. Los\nlas dilaciones no conservan a priori el soporte de la mentira en n. Este es el caso si y\nsólo si\n(8) [mp,mq] mp+q\npara cada p y q (donde [mp,mq] es el subespacio extendido por todos los conmutadores de\nelementos de mp con elementos de mq). Si (8) se mantiene, decimos que el (mp)p≥1 forma un\nestratificación del álgebra de Lie n, y que n es una mentira estratificada (o homogénea)\nálgebra. Es un ejercicio para comprobar que (8) es equivalente a requerir [m1,mp] = mp+1\npara todos los p.\nSi (8) no se sostiene, sin embargo, podemos considerar una nueva estructura de álgebra de Lie en\nel espacio vectorial real n definiendo el nuevo soporte de Lie como [x, y]\nsi x â € TM y y â € mq. Este nuevo álgebra de Lie no es estratificado y tiene el mismo\nel espacio vectorial subyacente como n. Denotamos por N.O. el asociado simplemente conectado\nGrupo de mentiras. Por otra parte el (t)t>0 forman un grupo de un parámetro de los automorfismos de\nNo, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. De hecho el soporte original de la Mentira [x, y] en n se puede deformar continuamente a\n[x, y]• a través de una familia continua de estructuras de álgebra de Lie mediante el ajuste\n(9) [x, y]t = 1\n([.tx,.tty])\ny dejando t → â € €. Tenga en cuenta que, a la inversa, si los Łt son automorfismos de n,\nentonces [x, y] = \nEl álgebra de Lie graduada asociada a n es por definición\ngr(n) =\nCp(n)/Cp+1(n)\ndotado con el soporte de Lie inducido a partir de la de n. El mapa de cociente mp →\nCp(n)/Cp+1(n) da lugar a un isomorfismo lineal entre n y gr(n), que es\na Isomorfismo de álgebra de mentira entre la nueva estructura de álgebra de Lie n.a. y gr.a.\nPor lo tanto estratificado Lie estructuras de álgebra inducidas por una elección de sub-\nlos espacios (mp)p≥1 como en (7) son todos isomórficos a gr(n).\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 15\nEn N.O. las métricas sub-invariantes izquierdas de Finsler d.O. asociadas a una elección de norma\nen m1 son de especial interés. El grupo de un parámetro de dilaciones t}t es un\nautomorfismo de N.o y que\n(10) d..............................................................................................................................................................................................................................................................\npara cualquier x, y â € Nâ € TM. El espacio métrico (N, d) se llama grupo Carnot.\nSi, por otro lado, el simple nilpotent Lie groupN no está estratificado,\na continuación, el grupo de dilaciones asociado a una elección de vector suplementario\nsubespacios mi como en (7) no consistirá en automorfismos de N y la relación\n(10) no aguantará.\nTenga en cuenta también que si se nos dan dos opciones diferentes de subespacios suplementarios\nmi’s y m\ni es como en (7), a continuación, la izquierda-invariante Carnot-Carateosorio métricas en\nlos grupos de Lie estratificados correspondientes son isométricos si y sólo si (m1, ) y\n(m′1, \n) son isométricos (un isomorfismo lineal de m1 a m\n1 que envía a\nse extiende a una isometría de los dos grupos Carnot).\n2.3. La fórmula Campbell-Hausdorff. El mapa exponencial exp : n → N\nes un difeomorfismo. En la secuela, a menudo abusaremos de la notación e identificaremos a N\ny n sin previo aviso. En particular, para dos elementos x e y de n (o\nN equivalente) xy denotará su producto en N, mientras que x + y denota la suma\nen n. Dejar que sea un grupo de un parámetro de dilaciones asociadas a una elección de\nsubespacios suplementarios mi como en (7). Denotamos la estratificación correspondiente\nLie álgebra por n.o como arriba y el grupo de Lie por N.o. El producto en N.O. es:\ndenotado por x* y. Las dilaciones son automorfismos.\nLa fórmula Campbell-Hausdorff (véase [12]) permite dar una forma más precisa de\nel producto en N. Dejar que (ei)1≤i≤d sea una base de n adaptada a la descomposición en\nmi's, es decir, mi = span{ej, ej mi}. Dejar x = x1e1 +...+ xded el correspondiente\ndescomposición de un elemento x n. A continuación, definir el grado di = deg(ei) a ser el\nmás grande j tal que ei C\nj−1(n). Si α = (α1,..., αd) N\nd es un multi-índice, a continuación, dejar\ndα = deg(e1)α1 +...+ deg(ed)αd.\nLa fórmula Campbell-Hausdorff rinde\n(11) (xy)i = xi + yi +\nCα,βx\ndonde Cα,β son constantes reales y la suma es sobre todos los multi-índices α y β tales\nque dα + dβ ≤ deg(ei), dα ≥ 1 y dβ ≥ 1.\nA partir de (9), es fácil dar la forma de la ley de grupo de Lie estratificada asociada:\n(12) (x* y)i = xi + yi +\nCα,βx\ndonde la suma se limita a los α y β tales que dα + dβ = deg(ei),\ndα ≥ 1 y dβ ≥ 1.\n2.4. Casi-normas homogéneas y el teorema de Guivarc’h en polinomio\ncrecimiento. Dejar n ser un finito dimensión real nilpotente Lie álgebra y considerar un\ndescomposición\nn = m1\n16 EMMANUEL BREUILLARD\npor subespacios vectoriales suplementarios como en (7). Dejemos que el parámetro (t)t>0 sea el único parámetro\ngrupo de dilaciones asociadas a esta descomposición, es decir, t(x) = t\nix si x mi.\nAhora introducimos la siguiente definición.\nDefinición 2.2 (Homogénea cuasinorma). Una función continua · : n → R+\nse llama una cuasinorma homogénea asociada a las dilaciones (t)t, si satisface\nlas siguientes propiedades:\ni) x = 0 x = 0.\nii) t(x) = tx para todos los t > 0.\nEjemplo 2.3. (1) Quasi-norms del tipo supremamum, es decir: x = maxp p(x)\ndonde p son normas ordinarias en el espacio vectorial mp y πp es la proyección en\nmp como arriba.\n(2) x = d(e, x), donde d es una métrica Carnot-Carathéodory en una estratificación\ngrupo de mentira nilpotente (como muestra la relación (10).\nClaramente, una cuasi-norma está determinada por su esfera de radio 1 y dos cuasi-\nnormas (que son homogéneas con respecto al mismo grupo de dilaciones)\nsiempre equivalente en el sentido de que\n1 ≤ 2 ≤ c 1\npara alguna constante c > 0 (de hecho, por continuidad, · 2 admite un máximo en el\n“esfera” x1 = 1}). Si las dos cuasinormas son homogéneas con respecto a\ndos semi-grupos distintos de dilaciones, a continuación, las desigualdades (13) siguen manteniendo\nfuera de un barrio de 0, pero puede fallar cerca de 0.\nLas cuasinormas homogéneas satisfacen las siguientes propiedades:\nProposición 2.4. Que · sea una cuasi-norma homogénea en n, entonces hay\nconstantes C,C1, C2 > 0 tales que\na) xi ≤ C · x\ndeg(ei) si x = x1e1 +...+ xnen en una base adaptada (ei)i.\nb) x−1 ≤ C · x.\n(c) x+ y ≤ C · (x y)\n(d) xy ≤ C1(x y) + C2.\nLas propiedades (a), (b) y (c) son directas por el hecho de que x = maxp p(x)\nes una cuasinorma homogénea y de (13). d) Justifica el término “cuasi-\nnorma” y sigue de Lemma 2.5 abajo. Puede ser un problema que la constante\nC1 en (d) no puede ser igual a 1. De hecho, esta es la razón por la que usamos la palabra cuasi-norma\nen lugar de simplemente norma, porque no se requiere el triángulo desigualdad axioma a\nEspera. Sin embargo, el siguiente lema de Guivarc’h es a menudo un buen remedio\na esta situación. Que p sea una norma arbitraria en el espacio vectorial mp.\nLemma 2.5. (Guivarc’h, [21] lemme II.1) Let فارسى > 0. Hasta escalar cada p\nen una norma proporcional p p (p > 0) si es necesario, la cuasinorma x =\nmaxp p(x)\nSatisface\n(14) xy ≤ x \nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 17\nPara todas las x, y N. Si N es estratificado con respecto a (?t)t podemos tomar? = 0.\nEste lema es crucial también para la computación de la asintótica gruesa del volumen\ncrecimiento. Para la comodidad del lector, reproducimos aquí el argumento de Guivarc’h,\nque se basa en la fórmula Campbell-Hausdorff (11).\nPrueba. Arreglamos Ł1 = 1 y vamos a dar una condición en el Łi de modo que (14)\nEspera. Los Łi’s serán tomados para ser más y más pequeños a medida que yo aumente. Nos pusimos\nx = maxp p(x)\ny dejar que x = maxp p\npara cualquier r-tupla de Łi.\nQueremos que para cualquier índice p ≤ r,\n(15) p p p(xy)p ≤ (x + y + )\nPara (11) tenemos γp(xy) = γp(x) + γp(y) + Pp(x, y) donde Pp es un mapa polinomio\nen mp dependiendo únicamente de los ηi(x) y ηi(y) con i ≤ p− 1 de tal manera que\nPp(x, y) ≤ Cp\nl,m≥1,l+m≤p\nMp−1(x)\nlMp−1(y)\ndonde Mk(x) := maxi≤k i(x)\ni y Cp > 0 es una constante dependiendo de Pp y\nsobre las normas i. Desde 0, cuando se expande el lado derecho de (15) todos\ntérminos de la forma xly\n con l +m ≤ p aparecen con algún coeficiente positivo,\nDi: \"L,m\". Los términos x\ny y\naparecen con coeficiente 1 y no causan problemas\nya que siempre tenemos p p(x)p ≤ x\nEn el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo.\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por lo tanto, para\n(15) para sostener, es suficiente que\npCpMp−1(x)\nlMp−1(y)\nEl valor de todas las materias utilizadas no exceda del 50 % del precio franco fábrica del producto\nPara todos los l y m restantes. Sin embargo, claramente Mk(x) ≤?k · x donde?k :=\nmaxi≤k{1/\ni } ≥ 1. Por lo tanto, una condición suficiente para (15) mantener es\nen la que = min l,m. Dado que el valor de p−1 depende únicamente de los primeros valores de p−1 de los\nes obvio que tal conjunto de condiciones puede ser cumplido por un r-tuple adecuado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 2.6. La constante C2 en Propiedad (d) anterior se puede tomar como 0 cuando N\nes estratificado con respecto a los mi (es decir. los automorfismos de los ts son), como es fácil\nvisto después de cambiar x e y en su imagen debajo de Y a la inversa, si C2 = 0\npara alguna casi-norma Homogénea en N, entonces N admite una estratificación. De hecho,\na partir de (11) y (12), vemos que si no son automorfismos, entonces uno puede\nencontrar x, y N tal que, cuando t es lo suficientemente pequeño, t(xy) −\n(r−1)/r\npara algunos c > 0. Sin embargo, combinando Propiedades (c) y Propiedad (d) con C2 = 0\narriba debemos tener t(xy)− Łt(x)/23370/t(y) = O(t) cerca de t = 0. Una contradicción.\nEl lema de Guivarc’h nos permite mostrar:\nTeorema 2.7. (Guivarc’h ibíd.) Vamos a ser un barrio compacto de la identidad\nen un grupo N y (x, y) = inf{n ≥ 1, x\n−1y ~ ~ ~ ~ n}.\n18 EMMANUEL BREUILLARD\nEntonces para cualquier cuasi-norma homogénea · en N, hay una constante C > 0 tal\nx ≤ (e, x) ≤ Cx C\nPrueba. Desde cualquier dos cuasi-normas homogéneas (w.r.t el mismo un-parámetro\ngrupo de dilaciones) son equivalentes, es suficiente para hacer la prueba de uno de ellos,\npor lo que consideramos la cuasi-norma obtenida en Lemma 2.5 con la propiedad adicional\n(14). El límite inferior en (16) es una consecuencia directa de (14) y se puede tomar\nallí C a ser maxx, x + فارسى. Para el límite superior, basta con mostrar\nque hay C # N tal que para todos n # N, si #x ≤ n entonces x #Cn. A\nlograr esto, procedemos por inducción de la longitud de nilpotencia de N. El resultado\nestá claro cuando N es abeliana. De lo contrario, por inducción obtenemos C0 N tal que\nx = 1 ·... · · C0n · z en los que • i • • y z • C\nr−1(N) siempre que x ≤ n. Por lo tanto\nz ≤ xC0n ·max \ni C0 · n ≤ C1n para alguna otra constante C1 · N. Así que\nhan reducido el problema a x = z mr = C\nr−1(N) que es central en N. Nosotros\ntener z = zn\n1 donde z1 = z/n ≤ C1. Puesto que ♥ es un barrio de la identidad\nen N, el conjunto U de todos los productos de al menos dim(mr) conmutadores simples de longitud\nr de elementos en ♥ es un barrio de la identidad en Cr−1(N) (e.g. Véase [19],\np113). De ello se deduce que hay una constante C2 N tal que z1 está en U\nC2, de ahí la\nproducto de como máximo C2 dim(mr) simples conmutadores. Entonces hemos terminado porque z\nserá igual al mismo producto de los conmutadores donde cada letra xi...................................................................................................................\nse sustituye por xni. Este último hecho se deriva del siguiente lema:\nLemma 2.8. Que G sea un grupo nilpotente de clase nilpotency r y n1,..., nr ser\nenteros positivos. A continuación, para cualquier x1,..., xr G\n1, [x\n2, [..., x\nr ]...] = [x1, [x2, [..., xr]...]\nn1·...·nr\nPara probar el lema basta con utilizar la inducción y el siguiente hecho obvio:\nsi [x, y] se desplaza a x e y entonces [xn, y] = [x, y]n.\nFinalmente, obtenemos:\nCorollary 2.9. Dejemos que ♥ sea un barrio compacto de la identidad en N. Entonces allí\nson constantes positivas C1 y C2 de tal manera que para todos los n+N,\nd ≤ volN ()\nn) ≤ C2n\ndonde d es dada por la fórmula Bass-Guivarc’h:\n(17) d =\ni · dimmi\nPrueba. Por Teorema 2.7, es suficiente estimar el volumen de la cuasi-norma\npelotas. Por homogeneidad de la cuasi-norma, tenemos volN{x, x ≤ t} = t\ndvolN{x, x ≤\n1}. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 2.10. El uso del teorema de Malcev permite, como Guivarc'h ob-\nservido, para deducir inmediatamente que el resultado análogo tiene para prácticamente nilpotente\ngrupos finitos generados. Este hecho que también fue probado independientemente por H. Bass\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 19\n[3] por un argumento combinatorio directo. Véase también el apéndice de Tetas de Gromov\npor [17]. De hecho, el Teorema 2.7 de Guivarc’h parece haber sido redescubierto varios\nen los últimos 40 años, incluyendo por Pansu en su tesis [27], el último ejemplo\nde ese ser [22].\n3. El nilshadow\nEl objetivo de esta sección es introducir el nilshadow de un simplemente conectado\nSolvable Lie grupo G. Asumimos que G tiene crecimiento polinomio, aunque\nEsta última suposición no es necesaria para casi todo lo que hacemos en esta sección.\nLa única declaración que se utilizará después en el papel (en la sección 5) es:\nLemma 3.12 infra. El lector familiarizado con el nilshadow puede saltar directamente a\nla declaración de este lema y omitir la próxima discusión.\n3.1. Construcción del nilshadow. El nilshadow de G es un simple conectado\nnilpotent Lie grupo GN, que se asocia a G de una manera natural. Esta noción\nfue introducido por primera vez por Auslander y Green en [2] en su estudio de los flujos en\nSolvmanifolds. Lo definieron como el radical unipotente de una división semi-simple\nG. Sin embargo, vamos a seguir un enfoque diferente para su construcción por\ntrabajando primero en el nivel de álgebra de Lie. Referimos al lector al libro [13] donde\nEste enfoque ha sido adoptado.\nDejar g ser un álgebra de Lie real solucionable y n el nilradical de g.Tenemos [g, g] n.\nSi x g, escribimos ad(x) = ads(x) + adn(x) la descomposición jordana de ad(x) en\nGL(g). Desde ad(x) • Der(g), el espacio de derivaciones de g, y Der(g) es la Mentira\nálgebra del grupo algebraico Aut(g), los componentes jordanos ads(x) y adn(x)\ntambién pertenecen a Der(g). Por otra parte, para cada x g, ads(x) envía g en n (porque\nasí lo hace ad(x) y ads(x) es un polinomio en ad(x)). Que h sea una subalgebra de Cartan\nde g, a saber, un subalgebra autonormalizante nilpotente. Recordemos que la imagen de\na Cartan subalgebra por un sujetivo Lie homomorfismo álgebra es de nuevo un coche-\nTan subalgebra. Ahora como g/n es abeliano, se sigue que h mapas en g/n, es decir.\nh+ n = g. Por otra parte ads(x)h = 0 si x h, porque h es nilpotente.\nAhora elegir cualquier vector real subespacio v de h en suma directa con n. A continuación, el\nse mantienen dos condiciones:\ni) vâr n = g.\nii) ads(x)(y) = 0 para todas las x, y â € v.\nDe los incisos i) y ii), se desprende fácilmente que los anuncios (x) se desplazan con ad(y), ad(y) y\nadn(y), para todas las x, y en v. Tenemos:\nLemma 3.1. El mapa v → Der(g) definido por x 7→ ads(x) es un álgebra de Lie\nhomomorfismo.\nPrueba. Primero vamos a comprobar que este mapa es lineal. Vamos a x, y v. v. Por el anterior\nads(y) y ads(x) viajan entre sí (de ahí que su suma sea semi-simple) y\nviajar con adn(x)+adn(y). De la singularidad de la descomposición de Jordania\n20 EMMANUEL BREUILLARD\nQueda por comprobar que adn(x)+adn(y) es nilpotente si x, y en v. Para ver esto, aplicar\nla siguiente observación obvia dos veces a a = adn(x) y V = ad(n) primero y luego a\na = adn(y) y V = span{adn(x), ad(ad(y))\nnx), n ≥ 1} : Que V sea un nilpotente\nsubespacio de GL(g) y una GL(g) nilpotente, es decir, V n = 0 y am = 0 para algunos\nn,m N y asumir [a, V] V. Entonces (a+V )nm = 0.\nEl hecho de que este mapa es un homomorfismo Lie álgebra sigue fácilmente de la\nhecho de que todos los anuncios (x), x v v conmutarse entre sí y con [g, g] n.\nDefinimos un nuevo soporte de Lie en g estableciendo:\n(18) [x, y]N = [x, y]− ads(xv)(y) + ads(yv)(x)\ndonde xv es la proyección lineal de x en v de acuerdo con la suma directa vÃ3n = g.\nLa identidad de Jacobi es verificada por un cálculo directo donde lo siguiente:\nhecho es necesario: anuncios (ads(x)(y)) = 0 para todos x, y g. Esto se sostiene porque, como nosotros sólo\nvis, ads(x)(g) (n) para todos los x â € g, y ads(a) = 0 si un â € n.\nDefinición 3.2. Que gN sea el espacio vectorial g dotado con el nuevo álgebra de Lie\nestructura [·, ·]N dada por (18). El Nilshadow GN de G se define como el simple\ngrupo de mentira conectado con Lie álgebra gN.\nEs fácil comprobar que gN es un álgebra nilpotent Lie. Para ver esto, tenga en cuenta primero que\n[gN, gN ]N â n, y si x â gN e y â n, entonces [x, y]N = (adn(xv) + ad(xn)(y).\nSin embargo, adn(xv) + ad(xn) es un endomorfismo nilpotente de n como sigue de la\nla misma observación utilizada en la prueba de Lemma 3.1. Por lo tanto, gN es un nilpotente.\nEl producto nilshadow Lie en GN será denotado por * con el fin de distinguir\nlo del producto Lie original en G. En la secuela, identificaremos a menudo G (resp.\nGN ) con su Lie álgebra g (resp. gN) a través de su respectivo mapa exponencial. Desde\nel espacio subyacente de gN era g en sí mismo, esto da una identificación (aunque no\nun isomorfismo de grupo) entre G y GN. Entonces el producto Nilshadow Lie puede\nse expresarán en términos del producto original de la manera siguiente:\ng* h = g · (T (g−1)h)\nAquí T es el grupo Lie homomorfismo G → Aut(G) inducido por lo anterior\nelección del subespacio suplementario v como se indica a continuación.\n(19) T (ea)(eb) = exp(eads(av)b) \nEn otras palabras, T es el único homomorfismo grupo Lie cuyo diferencial\nen la identidad está el homomorfismo Lie álgebra deT : g → Der(g) dado por\ndeT (a)(b) = ads(av)b, es decir, la composición del mapa v → Der(g) de\nLemma 3.1 con la proyección lineal g → g/n v.\nEs fácil comprobar que esta definición del nuevo producto es compatible con\nla definición del nuevo soporte Lie.\nTambién se puede comprobar que dos opciones de espacios suplementarios v como por encima de rendimiento\nEstructuras isomórficas de la Mentira (véase [13, cap. III]). Por lo tanto, por el abuso del lenguaje, nosotros\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 21\nhablar de la nilshadow de g, cuando nos referimos a la estructura de la mentira en G inducido por un\nelección de v como anteriormente.\nEl siguiente ejemplo muestra varias de las características de una Lie solvable típica\ngrupo de crecimiento polinomio.\nEjemplo 3.3 (Nilshadow de un producto semidirecto). Let G = R R\nn donde\nGLn(R) es un subgrupo de un parámetro dado por GLn(R)\nA es alguna matriz en Mn(R) y A = Como +Au es su descomposición de Jordania, dando\nsubir a kt = exp(tAs) y ut = exp(tAu). El grupo G es diffeomórfico a R\npor lo tanto simplemente conectado. Si todos los valores propios de As son puramente imaginarios, entonces G tiene\ncrecimiento polinomio. Sin embargo G no es nilpotente a menos que As = 0. Así que vamos a asumir\nque ni As ni Au es cero. Entonces el Nilshadow GN es el producto semi-directo\nRu R\nn donde ut es la parte unipotente de Łt.\nEs fácil calcular la dimensión homogénea de G (o GN) en términos de\ndimensión de los bloques jordanos de Au. Si nk es el número de bloques de Jordania de Au\ndel tamaño k, entonces\nd(G) = 1 +\nk(k + 1)\n3.2. Propiedades básicas de la nilshadow. Ahora enumeramos en forma de unos pocos\nlemas algunas propiedades básicas de la nilshadow.\nLemma 3.4. La imagen de T : G → Aut(G) es abeliana y relativamente compacta.\nPor otra parte, T (g)h) = T (h) para cualquier g.\nPrueba. Dado que G tiene crecimiento polinomio es de tipo (R) por el teorema de Guivarc’h.\nPor lo tanto, todos los anuncios (x) tienen valores propios puramente imaginarios. De ello se deduce que K es compacto.\nPuesto que los factores T a través del nilradical, su imagen es abeliana. La última igualdad\nsigue a partir de (19) y el hecho de que \"x\", \"y\" g, ads(ads(x)(y)) = 0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nLemma 3.5. T (G) también pertenece a Aut (GN ) y T es un homomorfismo de grupo\nGN → Aut (GN ).\nPrueba. La primera afirmación se deriva de (19) y el hecho de que deT es una derivación\nde gN como se puede comprobar a partir de (18) y el hecho de que x, y g, ads(ads(x)(y)) = 0.\nLa segunda afirmación se deriva entonces de Lemma 3.4. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nDenotamos por K el cierre de T (G) en Aut (G) = Aut (g).\nLemma 3.6 (K-action on gN ). K conserva v y actúa trivialmente en ella. También\nconserva los ideales n y la serie descendente central {Ci(gN)}i de gN.\nPrueba. Basta comprobar que los anuncios (v) preservan n y C\ni(gN ). Conserva n\nporque ad(x) conserva n para todos los x â € g. Conserva Ci(gN ) porque actúa como un\nderivación de gN como ya hemos comprobado en la prueba de Lemma 3.5. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 3.7 (Bien definido de η1). También es fácil comprobar desde la definición\ndel soporte de nilshadow que el subálgebra conmutador [gN, gN] y, de hecho, cada uno\ntérmino de la serie descendente central Ci(gN ) es un ideal en g y no depende\nsobre la elección del subespacio suplementario v utilizado para definir el soporte de nilshadow.\n22 EMMANUEL BREUILLARD\nEn particular, el mapa de proyección η1 : gN → gN/[gN, gN ] es un lineal bien definido\nmapa en g = gN (es decir, independientemente de la elección implicada en la construcción de\nel soporte de la mentira de nilshadow).\nLemma 3.8 (Mapa Exponencial). Los respectivos mapas exponenciales exp : g → G\ny expN : gN → GN coinciden en n y en v.\nPrueba. Puesto que los dos productos de Lie coinciden en N = exp(n), también lo hacen sus exponenciales\nmapa. Para la segunda afirmación, tenga en cuenta que T (e-tv)v = v para cada v v porque\nads(x)(y) = 0 para todas las x, y. De ello se deduce que {e)\ntv}t es un subgrupo de un parámetro\npara ambas estructuras de Lie, por lo tanto es igual a {expN (tv)}t.\nObservación 3.9 (Surjetividad del mapa exponencial). El mapa exponencial no es\nsiempre un difeomorfismo, como el ejemplo de la cubierta universal del grupo E\nde movimientos del plano muestra (de hecho, cualquier subgrupo de 1 parámetro de E es\nsubgrupo de traducción o un subgrupo de rotación, pero el subgrupo de rotación es compacto\npor lo tanto un toro, por lo que su elevación contendrá el centro (discreto) de E, por lo tanto se perderá\ncada elevación de una traducción no trivial). De hecho, es fácil ver que si g es la mentira\nálgebra de un grupo solvable (no-nilpotente) Lie de crecimiento polinomio, luego g mapas\nSuryctively en el álgebra de la mentira de E. Por lo tanto, para un solvable simplemente conectado y\ngrupo de mentira no-nilpotente del crecimiento polinomio, el mapa exponencial nunca está en.\nSin embargo, su imagen es fácilmente vista como densa.\nSin embargo, las coordenadas exponenciales del segundo tipo se comportan bien. Tenga en cuenta que\n[gN, gN] N.\nLemma 3.10 (Coordenadas exponenciales del segundo tipo). Dejar {Ci(gN)}i≥0\nser la serie descendente central de gN (con C\n1 gN ) = [gN, gN ]) y pick lineal\nsubespacios mi en gN tal que C\ni(gN ) = mi (+ C)\ni−1(gN ) para i ≥ 2. Deja que yo sea un\nsubespacio suplementario de C1(gN) en n. Definir coordenadas exponenciales de la\nsegundo tipo mediante el ajuste\nSr....m2 v → G\n(r,..., 1, v) 7→ expN (r) ∗. * expN (1) * expN (v)\nEste mapa es un difeomorfismo. Por otra parte, expN (r) ∗. * expN (1) * expN (v) =\nPara todas las opciones de v. v. y de mi.\nPrueba. Por Lemma 3.8 los mapas exponenciales de G y GN coinciden en n y en v.\nAdemás g* h = g · h cuando g pertenece a la exp(n) nilradical de G. Por lo tanto\nexpN (r)*...........................................................................................................................................................................................................................................................\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nLa restricción del mapa a n es un difeomorfismo en exp(n), porque este mapa\ny sus inversos son mapas polinomios explícitos (las coordenadas de los\ntipo, ver el libro [12]). Ahora el mapa n â € v → G enviar (n, v) a en · ev es un\ndifeomorfismo, porque G está simplemente conectado y por lo tanto el grupo cociente\nG/ exp(n) isomórfico a un espacio vectorial y por lo tanto a exp(v). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nLemma 3.11 (“Bi-invariante” métrica Riemanniana). Existe un Riemanniano\nmétrica en G que se deja invariante bajo ambas estructuras de Lie.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 23\nPrueba. De hecho, basta con recoger un producto escalar en g que es invariante bajo el\nsubgrupo compacto K = T (G) • Aut(g). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nIdentificamos K = {T (g), g {G} con su imagen en Aut(g) bajo el canónico\nisomorfismo entre Aut(G) y Aut(g). Recordemos que, según Lemma 3.6,\nla serie descendente central de gN es invariante en ads(x) para todos x â € v y\nconsiste en ideales de g. Lo mismo se sostiene para n. Se deduce que estos subespacios lineales\ntambién invariante bajo K. Sin embargo, como K es compacto, su acción en g es completamente\nReducible. Por lo tanto, hemos demostrado:\nLemma 3.12 (estratificación K-invariante de la nilshadow). Let g ser el álgebra de Lie\nde un simplemente conectado Lie grupo G con el crecimiento polinomio. Deja que gN sea el nilshadow\nálgebra de mentira obtenida a partir de una división g = nov como se indica anteriormente (es decir, n es el nilradical y\nv satisface ads(x)(y) = 0 para cada x, y â € v). Let K := {T (g), g â € € G} â € € TM Aut (G),\ndonde T se define por (19). Luego hay una elección de subespacios lineales mi y l\nde tal manera que\n(20) gN = Sr. .. m2............................................................................................................................................................................................................................................................\ndonde cada término es K-invariante, m1 := l+V y la serie descendente central de\ngN satisface C\ni(gN ) = mi (+ C)\ni−1 (gN ). Por otra parte, la acción en K se puede leer\nsobre las coordenadas exponenciales de segundo tipo en esta descomposición, a saber:\n#... # # E # # # E # # # E # # E # # E # # E # # E # # E # # E # # E # # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E #\n= k(eñr) ·... · k(eñ0) = ek(ñr) ·... · ek(ñ0)\n= expN (k(r)) ∗... ∗ expN (k(0))\n4. métricas periódicas\nEn esta sección, a menos que se indique lo contrario, G denotará una\nGrupo pactado.\n4.1. Definiciones. Por una pseudodistancia (o métrica) en un espacio topológico X, nosotros\nmedia de una función : X × X → R+ que satisface las siguientes condiciones :.(x, y) =.(y, x) y.(x, z) ≤\nPara cualquier trillizo de puntos de X. Sin embargo, el valor de x, y puede ser igual a 0\nincluso si x 6= y.\nRequeriremos que nuestras pseudodistancias se limiten localmente, lo que significa que la\nimagen debajo de ♥ de cualquier subconjunto compacto de G × G es un subconjunto limitado de R+. A\nevitar los casos irrelevantes (por ejemplo, en el caso de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los de los de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos ( de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos ( de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos\nel mapa y 7→ ♥(e, y) es un mapa adecuado, es decir, la preimagen de un conjunto limitado es\nlimitado (no pedimos que el mapa sea continuo). Cuando se delimita el límite local\nentonces es apropiado si y sólo si y 7→ ♥(x, y) es apropiado para cualquier x G.\nSe dice que una pseudodistancia en G es asintóticamente geodésica si por cada فارسى > 0\nexiste s > 0 de tal manera que para cualquier x, y G se puede encontrar una secuencia de puntos\nx1 = x, x2,..., xn = y en G de tal manera que\n(xi, xi+1) ≤ (1 + \ny ♥(xi, xi+1) ≤ s para todos los i = 1,..., n − 1.\n24 EMMANUEL BREUILLARD\nVamos a considerar exclusivamente pseudodistancias en un grupo G que son invariantes\ndebajo de las traducciones de la izquierda por todos los elementos de un subgrupo cerrado fijo y cocompacto\nH de G, lo que significa que para todas las x, y G y todas las h H, H (hx, hy) = x, y.\nCombinando todos los axiomas anteriores, establecemos la siguiente definición.\nDefinición 4.1. Deja que G sea un grupo localmente compacto. Una pseudodistancia en G\nse dice que es una métrica periódica (o métrica periódica H) si satisface lo siguiente\npropiedades:\n(i) es invariante en las traducciones a la izquierda por un subgrupo cerrado de cocompactos H.\nii) sea localmente limitada y adecuada.\niii) Es geodésica asintóticamente.\nObservación 4.2. La suposición de que es simétrico, es decir. * (x, y) = * (y, x) está aquí.\nsólo por el bien de la simplicidad, y la mayoría de lo que se demuestra en este documento puede ser\nhecho sin esta hipótesis.\n4.2. Propiedades básicas. Vamos a ser una métrica periódica en G y H algunos co-compacto\nsubgrupo de G. Las siguientes propiedades son straighforward.\n1) Se encuentra a una distancia limitada de su restricción a H. Esto significa que si F\nes un dominio fundamental limitado para H en G y para una x arbitraria + G, si hx\ndenota el elemento de H tal que x hxF, entonces (x, y)− ♥(hx, hi) ≤ C para\nalguna constante C > 0.\n(2) Łt > 0 existe un subconjunto compacto Kt de G de tal manera que, \nx−1y Kt. Y a la inversa, si K es un subconjunto compacto de G, t(K) > 0 s.t.\nx−1y • K (x, y) ≤ t(K).\n(3) Si el valor de x, y) ≥ s, el valor de xi en (21) puede elegirse de tal manera que s ≤\n(xi, xi+1) ≤ 2s (se puede tomar un subconjunto adecuado del xi original).\n(4) La restricción de la letra H × H es una pseudodistancia periódica en la letra H.\nsignifica que el xi en (21) puede ser elegido en H.\n(5) Por el contrario, dada la pseudodistancia periódica H sobre H, es posible extender\na una pseudodistancia periódica en G mediante el ajuste de.(x, y) =.(hx, hi) donde x =\nhxF para algunos dominios fundamentales limitados F para H en G.\n4.3. Ejemplos. Demos algunos ejemplos de pseudodistancias periódicas.\n(1) Let ser un grupo de nilpotente sin torsión finitamente generado que está incrustado\ncomo subgrupo discreto cocompacto de un grupo N de mentira nilpotente simplemente conectado.\nTeniendo en cuenta un conjunto de generación simétrica finita S de........................................................................................................................................................................................................................................................\nmétrica de la palabra dS en فارسى que da lugar a una métrica periódica en N dada por ♥(x, y) =\ndS(γx, γy) donde x γxF y y γyF si F es algún dominio fundamental fijo para\nEn el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva.\n(2) Otro ejemplo, dado en [27], es el siguiente. Deja que N/ sea un nilmanifold con\nla cobertura universal N y el grupo fundamental N. Dejar g ser una métrica Riemanniana en\nN.O.B. Puede ser elevado a la cubierta universal y por lo tanto da lugar a un Riemannian\nmétrica g? en N. Esta métrica es invariante, apropiada y delimitada localmente. Ya que..................................................................................................................\ncocompacto en N, es fácil comprobar que también es geodésico asintóticamente por lo tanto\nperiódica.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 25\n(3) Cualquier métrica de la palabra en G. Es decir, si es una generación simétrica compacta\nsubconjunto de G, let (x) = inf{n ≥ 1, x\nn}. A continuación, define ♥(x, y) = (x\n−1y).\nClaramente es una pseudodistancia (aunque no una distancia) y es G-invariante en el\nizquierda, también es apropiada, localmente limitada y asintóticamente geodésica, por lo tanto periódica.\n(4) Si G es un grupo de Lie conectado, cualquier métrica de Riemanniana invariante izquierda en G.\nAquí de nuevo H = G y obtenemos una distancia periódica. Del mismo modo, cualquier invariante izquierda\nLa métrica Carnot-Carathéodory en G servirá.\nObservación 4.3 (el teorema de Berestovski). Según un resultado de Berestovski [5]\ncada distancia geodésica izquierda-invariante en un grupo de Lie conectado es un subFinsler\nmétrica tal como se define en el punto 2.1.\n4.4. Equivalencia absoluta entre pseudodistancias invariantes. Lo siguiente:\nla proposición es básica:\nProposición 4.4. Dejemos que el 1 y el 2 sean dos pseudodistancias periódicas en G.\nes una constante C > 0 de tal manera que para todos x, y G\nC ≤ 1(x, y) ≤ C2(x, y) ≤ C2(x, y) + C\nPrueba. Claramente es suficiente probar el límite superior. Let s > 0 ser el número cor-\nresponder a la elección = 1 en (21) para 2. A partir de 4.2 (2), existe un pacto\nsubconjunto Ks en G de tal manera que.a2(x, y) ≤ 2s.a x\n-1a - K2s, y hay una constante\nt = t(K2s) > 0 tales que x\n-1a -2 K2s -1(x, y) ≤ t. Let C = max{2t/s, t}, y\nque x, y â € € TM G. Si?2(x, y) ≤ s entonces?1(x, y) ≤ t por lo que el lado derecho de (22) sostiene.\nSi el valor de 2(x, y) ≥ s entonces, a partir de (21) y 4.2 (3), obtenemos una secuencia de xis en G de x\na y tales que s ≤ ♥2(xi, xi+1) ≤ 2s y\n2 (xi, xi+1) ≤ 2(x, y). De ello se desprende:\nque?1(xi, xi+1) ≤ t para todos los i. Por lo tanto, el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, x, y)\n1(xi, xi+1) ≤ Nt ≤\ntÿ2(x, y)\ny el lado derecho de (22) sostiene. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEn el caso particular cuando G = N es un grupo de mentira nilpotente simplemente conectado,\nla distancia al origen x 7→ (e, x) es también groseramente equivalente a cualquier homogeneidad\nneous cuasi-norm en N. Tenemos,\nProposición 4.5. Supongamos que N es un grupo de mentira nilpotente simplemente conectado. Dejad en paz a la gente.\nuna pseudodistancia periódica sobre N y · ser una cuasi-norma homogénea, entonces allí\nexiste C > 0 de tal manera que para todos x â € N\nx−1y − C ≤ 1(x, y) ≤ Cx\n−1y C\nPor otra parte, si se trata de una pseudodistancia periódica en el grupo nilpotente estratificado N\nasociado a N, entonces de nuevo, hay una constante C > 0 tal que\nC ≤ 1(e, x)− C ≤ 1(e, x) ≤ 2(e, x) + C\nLa propuesta se deriva inmediatamente del teorema de Guivarc’h (véase el corolario 2.7.\narriba), la equivalencia de cuasinormas homogéneas, y el hecho de que invariante de izquierda\nLas métricas de Carnot-Carateodory en N.O. son normas cuasi homogéneas. Sin embargo,\nDado que las estructuras de grupo de N y N9 difieren, (24) en general no pueden ser sustituidas.\npor la relación más fuerte (22) como los ejemplos simples muestran.\n26 EMMANUEL BREUILLARD\nLa siguiente propuesta es de importancia fundamental para el estudio de las métricas sobre\nGrupos de mentiras de crecimiento polinomio:\nProposición 4.6. Deja que G sea un grupo simplemente conectado de Lie Solvable de polinomio\ncrecimiento y GN su nilshadow. Seamos seudodistancias periódicas arbitrarias.\nsobre G y GN, respectivamente. Entonces hay una constante C > 0 tal que para todos\nx, y â € TM G\nN (x, y)− C ≤ (x, y) ≤ C/23370/N (x, y) + C\nPrueba. De acuerdo con la Proposición 4.4, es suficiente mostrar (25) para alguna elección de\nmétricas periódicas en G y GN. Pero en Lemma 3.11 construimos un Riemanniano\nmétrica en G que se deja invariante para G y GN. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n4.5. Invarianza derecha bajo un subgrupo compacto. Aquí verificamos que, dado\nun subgrupo compacto de G, cualquier métrica periódica se encuentra a una distancia limitada de otro\nmétrica periódica que es invariante a la derecha por este subgrupo compacto. Deja K\nser un subgrupo compacto de G y una pseudodistancia periódica en G.\ncon la ayuda de la medida Haar normalizada en K para obtener:\n(26) K(x, y) =\n(xk1, yk2)dk1dk2\nA continuación, se mantiene lo siguiente:\nLemma 4.7. Hay una constante C0 > 0 dependiendo sólo de ♥ y K de tal manera que\npara todos los k1, k2 K y todos los x, y G\n(27) (xk1, yk2)− ♥(x, y) ≤ C0\nPrueba. A partir de 4.2 (2), t = t(K) > 0 s.t. (x, xk) ≤ t. Aplicando la\nTriángulo de desigualdad, hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nPor lo tanto obtenemos:\nProposición 4.8. La pseudodistancia K es periódica y se encuentra en un\nDesde el 1 de enero de 1985. En particular, como x tiende a infinito en G el siguiente límite se mantiene\n(28) lim\nK(e, x)\n(e, x)\nPrueba. A partir de Lemma 4.7 y 4.2 (3), es fácil comprobar que\ntoticalmente geodésico, y periódico. La integración (27) nos da que K está en un límite\nLa distancia entre los países de la Comunidad y los países de la Europa central y oriental es evidente. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nSi K es normal en G, obtenemos así una métrica periódica de K en G/K de tal manera que\nK(p(x), p(y)) se encuentra a una distancia limitada de x, y, donde p es el mapa de cocientes\nG→ G/K.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 27\n5. Reducción al caso de nilpotente\nEn esta sección, G denota un grupo de polinomios Solvable Lie simplemente conectado\ncrecimiento. Vamos a reducir la prueba de los teoremas de la introducción\nal caso de un G nilpotent. Esto se realiza mostrando que cualquier\npseudodistancia en G es asintótica a alguna pseudodistancia periódica asociada\nN en el Nilshadow GN. Lo declaramos en la Proposición 5.1 a continuación.\nEl paso clave en la prueba es la Proposición 5.2 a continuación, que muestra la asintótica\nla invarianza de.. bajo la \"parte semisimple\" de G. El hecho crucial allí es que el\ndesplazamiento de un punto distante bajo un automorfismo unipotente fijo es insignificante\nen comparación con la distancia de la identidad (véase Lemmas 5.4, 5.5), de modo que la\nacción de la parte semisimple de los elementos grandes puede ser simplemente aproximado por\nsu acción por la traducción izquierda.\n5.1. Invarianza asintótica bajo un grupo compacto de automorfismos\nde G. El resultado principal de esta sección es el siguiente. Deja que G sea un conectado y\nsimplemente conectado grupo Solvable Lie con crecimiento polinomio y GN su nilshadow\n(véase la sección 3).\nProposición 5.1. Que H sea un subgrupo cerrado de cocompacto de G y un H-\npseudodistancia periódica (véase la definición 4.1) en G. Existe un subconjunto cerrado HK\nque contiene H, que es un subgrupo de cocompacto para G y GN, y un HK-\nperiódica (para ambas estructuras de mentira) pseudodistancia\n(29) lim\nK(e, x)\n(e, x)\nEl subgrupo cerrado HK se considerará el cierre del grupo generado\npor todos los elementos de la forma k(h), donde h pertenece a H y k pertenece a la\ncierre K en el grupo Aut(G) de la imagen de H bajo el homomorfismo\nT : G → Aut(G) introducido en la sección 3. Es fácil comprobar desde la definición\ndel producto nilshadow (1) que se trata de un subgrupo tanto en G como en su\nNilshadow GN.\nLa nueva pseudodistancia K se define de la siguiente manera, utilizando un doble promedio\nprocedimiento:\n(30) K(x, y) :=\n(gk(x), gk(y))dkdμ(g)\nAquí la medida μ es la medida Haar normalizada en el espacio de coset H\\HK\ny dk es la medida Haar normalizada en el grupo compacto K. Recordemos que\ntodos los subgrupos cerrados de S son unimodulares (ya que tienen crecimiento polinomio por\n[21][Lemme I.3.]). De ahí la existencia de medidas invariantes en los espacios coset.\nUna parte esencial de la prueba de la Proposición 5.1 está incluida en la siguiente\ndeclaración:\n28 EMMANUEL BREUILLARD\nProposición 5.2. Vamos a ser una pseudodistancia periódica en G que es invariante\nbajo un subgrupo de cocompacto H. Entonces ♥ es asintóticamente invariante bajo el\nacción de K = {T (h), h {H} Aut(G). Es decir, (uniforme) para todos los k ° K,\n(31) lim\n(e, k(x))\n(e, x)\nLa prueba de la Proposición 5.2 se divide en dos pasos. Primero mostramos que lo es.\nlo suficiente para demostrar (31) para un denso subconjunto de k’s. Esto es una consecuencia de lo siguiente:\ndeclaración de continuidad:\nLemma 5.3. Deja فارسى > 0, entonces hay un barrio U de la identidad en K tales\nque, para todos los k â € ¢ U,\nlimx\n(x, k(x))\n(e, x)\nEntonces mostramos que la acción de T (g) se puede aproximar por la conjugación\npor g, esencialmente porque la parte unipotente de esta conjugación no se mueve x\nmucho cuando x está lejos. Este es el contenido del siguiente lema:\nLemma 5.4. Que sea una pseudodistancia periódica en G que es invariante bajo\nun subgrupo de cocompacto H. A continuación, para cualquier فارسى > 0, y cualquier subconjunto compacto F en H\nhay s0 > 0 tal que\n(e, T (h)x) − (e, hx) ≤ (e, x)\npara cualquier h • F y tan pronto como •(e, x) > s0.\nPrueba de la Proposición 5.2 módulo Lemmas (5.3) y (5.4):\nser H-invariante, por cada h â € H, tenemos (e, h−1x)/?(e, x) → 1. La prueba de\nla proposición sigue inmediatamente de la combinación de los dos últimos\nLemas. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n5.2. Prueba de Lemmas (5.3) y (5.4). Elegimos los subespacios K-invariantes mi’s\ny l del nilshadow gN de g como en Lemma 3.12 de la sección 3. En particular\ngN = Sr. ...............................................................................................................................................\ndonde cada término es K-invariante, n = [gN, gN ] l y C\ni(gN ) = mi (+ C)\ni−1 (gN ).\nPor otra parte, t(x) = t\nix si x â € mi (aquí m1 = lâ € v).\nTambién establecemos v(x) = maxi i\ni if x = expN (r) ∗. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\ni > 0 y d0 = 1. Y dejamos que x := maxi-xi\n1/di si x = xr +. ...........................................................................................................\npor encima de la descomposición directa de la suma.\nNótese que · es una cuasi-norma de los t-homógenos. Además, es sencillo\nverificar (utilizando la fórmula Campbell-Hausdorff (12) y la Proposición 2.4) que\nv(x) ≤ CxC para alguna constante C > 0. En particular:\nde los restos delimitados\ncomo x se vuelve grande.\nPrueba de Lemma 5.3. Combinando las Proposiciones 4.5 y 4.6, hay una constante\nC > 0 De tal manera que para todos x, y â € € TM G,?(x, y) ≤ Cx1 * y + C. Por lo tanto tenemos\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 29\nreducido a probar la declaración para · en lugar de ♥, a saber, es suficiente para mostrar\nque x1 ∗ k(x) se vuelve insignificante comparado con x como x va al infinito y k\ntiende a 1.\nDe la fórmula Campbell-Baker-Hausdorff (11) y (12) se desprende que, si\nx, y GN y x, y son O(t), entonces 1\nx ∗ y) − 1\nx) * 1\n(y) = O(t−1/r), y\nSimilarmente 1\n(x1 *. * xm) − 1\nx1) ∗. ...............................................................................................\n(xm) = Om(t\n−1/r), para m elementos\nxi con xi = O(t). Por lo tanto, al escribir x = expN (r) ∗... ∗ expN (0), y el ajuste\nt = x, obtenemos así que la cantidad siguiente\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n(x1* k(x)−\n0≤i≤r\nexpN (−t\n−di®i)*\n0≤i≤r\nexpN (t\n−dr−ik(r−i))\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nes un O(t−1/r). De hecho, recuerden de Lemma 3.12 que k(x) = expN (k(r))*...*\nexpN (k(+0)). A medida que x se hace más grande, cada t\n−diñái permanece en un subconjunto compacto de mi.\nPor lo tanto, como k tiende a la identidad en K, cada t-dik(i) se vuelve uniformemente cerca\na t-diÃ3ri independientemente de la elecciÃ3n de x Ã3 GN siempre y cuando t = xà es grande. Los\nEl resultado es el siguiente. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nPrueba de Lemma 5.4. Recordemos que hx = h* T (h)x para todas las x, h • G (véase (1).\nPor la desigualdad del triángulo es suficiente con atar Ł(y, h* y), donde y = T (h)x.\nDe las Proposiciones 4.5 y 4.6,...........................................................................................................................................................................................................................................................\nconstantes a la cuasi-norma homogénea ·. Por lo tanto, el Lemma sigue de la\nA continuación:\nLemma 5.5. Que N sea un grupo de mentira nilpotente simplemente conectado y que · sea una\nnorma homogénea sobre N asociada a un grupo de dilaciones de 1 parámetro\nPara cualquiera de los dos subconjuntos compactos F de N, hay una constante s2 > 0\nde tal manera que\nx−1gx ≤ x\npara todos los g de F y tan pronto como x > s2.\nPrueba. Recordemos, como en la prueba del último lema, que para cualquier c1 > 0 hay\na c2 > 0 Tal que si t > 1 y x, y N son tales que x, y ≤ c1t, entonces\nxy)− 1\nx) * 1\n(y) ≤ c2t\n−1/r. En particular, si establecemos t = x, entonces\n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1\n(x−1gx)− 1\nx)–1 ∗ 1\ng) ∗ 1\n≤ c2t−1/r\nPor otro lado, como g permanece en el conjunto compacto F, 1\n(g) tiende uniformemente a\nla identidad cuando t = x va a la infinidad, y 1\n(x) permanece en un conjunto compacto.\nPor continuidad, vemos que 1\nx)–1 ∗ 1\ng) ∗ 1\n(x) se vuelve arbitrariamente pequeño como t\nincrementos. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n30 EMMANUEL BREUILLARD\n5.3. Prueba de la Proposición 5.1. Primero probamos el siguiente estado de continuidad:\nmento:\nLemma 5.6. Seamos una pseudodistancia periódica en G y فارسى > 0. Entonces, ahí está.\nexiste un barrio de la identidad U en G y s3 > 0 tal que\n1--(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(--)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(--(-)-(-)-(--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\n(e, gx)\n(e, x)\n≤ 1 + \ntan pronto como g (U) y (e, x) > s3.\nPrueba. Deja que N sea una métrica de Riemanniano invariante a la izquierda en el GN de nilshadow.\n• (e, x)− • (e, gx) ≤ • (x, gx) ≤ • (x, g* x) + • (g* x, gx)\nSin embargo, en algunos casos C > 0, por la Proposición 4.6. Por otra parte, por\n(1) tenemos gx = g* T (g)x. Por lo tanto\n(e, x) − (e, gx) ≤ C/23370/N (x, g* x) + C/23370/N (x, T (g)x) + 2C\nPara completar la prueba, aplicamos Lemmas 5.5 y 5.3 en el lado derecho de arriba.\nProcedemos con la prueba de la Proposición 5.1. Let L ser el conjunto de todos g G\nDe tal manera que el punto (e, gx)/el punto (e, x) tiende a 1 como x tiende a infinito en G. Claramente L es un\nEl subgrupo de G. Lemma 5.6 muestra que L está cerrada. La invarianza H de las garantías\nque L contiene H. Además, la Proposición 5.2 implica que L es invariante bajo K.\nEn consecuencia, L contiene HK, el subgrupo cerrado generado por todos los k(h), k+K,\nh. H. Esto, junto con la Proposición 5.2, concede una convergencia\nintegrand en (29). Convergencia de la integral sigue mediante la aplicación de Lebesgue\nTeorema de convergencia dominado.\nEl hecho de que K es invariante bajo la multiplicación izquierda por H e invariante bajo\nLa precomposición por automorfismos de K asegura que K es invariante bajo *-\nmultiplicación izquierda por cualquier elemento h H, donde * es la multiplicación en el\nNilshadow GN. Por otra parte, comprobamos que T (g) • K si g • HK, por lo tanto HK es un\nsubgrupo de GN. Es claramente cocompacto en GN también (si F es compacto y HF = G\nentonces H * FK = G donde FK es la unión de todos los k(F ), k • K).\nClaramente K es apropiado y localmente limitado, así que para terminar la prueba, nosotros\nSólo hay que comprobar que K es geodésico asintóticamente. Por la invarianza H de la letra K) y de la letra b) del apartado 1 del artículo 3 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establecen las normas de desarrollo del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, relativo a la aplicación de los regímenes de seguridad social a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia,\nya que H es cocompacto en G, es suficiente para exhibir un pseudogeodésico entre e\ny un punto x â € H. Dejar x = z1 ·... ·zn con zi â € H y\n(e, zi) ≤ (1) (e, x).\nFijar un dominio fundamental compacto F para H en HK para que la integración en (29)\nsobre H\\HK se sustituye por la integración sobre F. Luego para algunos constante CF > 0\ntienen (g, gz) − ♥(e, gz) ≤ CF para g F y z H. Por otra parte, se deduce de\nProposición 5.2, Lemma 5.6 y el hecho de que HK\n(32) l(e, gk(z)) ≤ (1 + ♥) · l(e, z)\npara todos los g de F, k de K y tan pronto como z de G es lo suficientemente grande. Fijar s lo suficientemente grande\nde modo que CF ≤ فارسىs y que (32) se mantenga cuando (e, z) ≥ s. Como ya se ha observado en\nla discusión siguiente a la definición 4.1 (propiedad 4.2 (3)) podemos tomar la\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 31\nque s\n≤ (e, zi) ≤ s. A continuación, nCF ≤ nsl ≤ 3(e, x). Finalmente conseguimos para...................................................................................................................\nx lo suficientemente grande\nK(e, zi) ≤ CFn+ (1 + )\n2o(e, x)\n≤ CFn+ (1 + )\n3K(e, x)\n≤ 1 + 10 °) · K(e, x)\ndonde hemos utilizado la convergencia?K/ 1 que acabamos de probar. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n6. El caso de los nilpotentes\nEn esta sección, probamos el Teorema 1.4 y sus corolarios expresados en el Intro-\nla inducción para un grupo de mentira nilpotente simplemente conectado. Básicamente seguimos a Pansu’s\nargumento de [27], aunque nuestro enfoque difiere algo en su presentación.\nA lo largo de la sección, el grupo Nilpotent Lie será denotado por N, y su Mentira\nálgebra por n.\nQue m1 sea cualquier subespacio vectorial de n de tal manera que n = m1 â € [n, n]. Dejemos que η1 el\nproyección lineal asociada de n a m1. Dejar que H sea un subgrupo de cocompacto cerrado\nde N. A cada pseudodistancia H-periódica en N asociamos una norma 0 en\nm1 que es la norma cuya bola unidad se define como el casco convexo cerrado de todos\nlos elementos η1(h)/l(e, h) para todos los elementos h(h)}. En otras palabras,\n(33) E := {x â € m1, â € € > 0 ≤ 1} = CvxHull\nη1(h)\n(e, h)\n, h â â € TM â TM â TM â TM â TM â TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM\nEl conjunto E es claramente un subconjunto convexo de m1 que es simétrico alrededor de 0 (desde \nes simétrico). Para comprobar que E es de hecho la bola unitaria de la norma sobre m1 permanece\npara ver que E está limitada y que 0 se encuentra en su interior. El primer hecho es el siguiente:\ninmediatamente desde (23) y Ejemplo 2.3. Si 0 no se encuentra en el interior de E,\nentonces E debe estar contenido en un subespacio adecuado de m1, contradiciendo el hecho de que\nH es cocompacto en N.\nTomando grandes poderes hn, vemos que podemos reemplazar el conjunto H e} en el anterior\ndefinición por cualquier barrio de infinito en H. Del mismo modo, es fácil ver que\nse mantiene lo siguiente:\nProposición 6.1. Para s > 0 dejar Es ser el casco convexo cerrado de todos η1(x)/l(e, x)\ncon x N y x > s. A continuación E =\ns>0Es.\nPrueba. Debido a que es H-periódico, tenemos ♥(e, hn) ≤ n/23370/(e, h) para todos los n+N y h+H.\nEsto muestra E â € TM\ns>0Es. La inclusión opuesta se deriva fácilmente del hecho de que\nSe encuentra a una distancia limitada de su restricción a H, es decir. a partir del punto 4.2 (1). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nAhora elegimos un conjunto de subespacios suplementarios (mi) comenzando con m1 como en\nPárrafo 2.2. Esto define un nuevo producto de la Mentira * en N de modo que N = (N, *) es\nestratificado. Entonces podemos considerar la métrica de Carnot-Carathéodory invariante *-izquierda\nasociado a la norma 0 tal como se define en el párrafo 2.1 sobre el nilpotente estratificado\nGrupo de mentiras N. En esta sección, probaremos el teorema 1.4 para grupos nilpotentes en\nel siguiente formulario:\n32 EMMANUEL BREUILLARD\nTeorema 6.2. Vamos a ser una pseudodistancia periódica en N y d- el Carnot-\nmétrica de caratheodory definida arriba, entonces como x tiende a infinito en N\n(34) lim\n(e, x)\nd-(e, x)\nNótese que la variable de la izquierda es para el producto de la Mentira, pero no para la Mentira original.\nproducto en N.\nAntes de ir más lejos, vamos a sacar algunas consecuencias simples.\n(1) En el Teorema 6.2 podemos reemplazar a d(e, x) por d(e, x), donde d es la izquierda\nmétrica invariante del Carno-Carateosorio en N (en lugar de N\nnorma 0 (en contraposición a la norma d, que es ∗-invariante de izquierda). Por lo tanto, d y d son\nasintótico. Esto se desprende de la combinación de Teorema 6.2 y Observación 2.1.\n2) Observar que la elección de m1 fue arbitraria. Por lo tanto, dos Carnot-Carathéodory\nmétricas correspondientes a dos opciones diferentes de un subespacio suplementario m1\ncon la misma norma inducida en n/[n, n], son equivalentes asintóticamente (es decir, su\nla relación tiende a 1), y de hecho isométrica (véase la Observación 2.1). Por el contrario, si dos\nLas métricas Carnot-Carathéodory están asociadas al mismo subespacio suplementario\nm1 y son equivalentes asintóticamente, deben ser iguales. Esto muestra que el\nconjunto de todas las normas posibles sobre el espacio vectorial cociente n/[n, n] está en\nel conjunto de todas las clases de equivalencia asintótica de las métricas Carnot-Carathéodory en\n(3) Como otra consecuencia vemos que si un local limitado propio y asymp-\nseudodistancia izquierda invariante toticalmente geodésica en N también es homogénea con\npor lo que respecta al grupo de 1 parámetro (t)t (es decir, Entonces tiene que ser\nde la forma \"(x, y)\" = \"(e), \"(x)\"\n−1y) donde d.o. es una métrica Carnot-Carathéodory en\n6.1. Volumen asintótico. Teorema 6.2 también produce una fórmula para el asintótico\nvolumen de bolas de gran radio. Vamos a fijar una medida de Haar en N (por ejemplo\nLa medida Lebesgue sobre n da lugar a una medida Haar sobre N en virtud de la exp). Desde el día de la reunión.\nes homogéneo, es sencillo calcular el volumen de un d-ball:\nvol({x N, d(e, x) ≤ t}) = t\nd(N)vol({x â € N, dâ € (e, x) ≤ 1})\ndonde d(N) =\ni≥1 dim(C)\ni(n)) es la dimensión homogénea de N. Para un pseu-\ndodistancia como en la declaración de Teorema 6.2, podemos definir el vol asintótico\nel volumen de la bola de unidad para el Carnot-Carathéodory asociado\nmétricas d...................................................................................................................................................................\nAsV ol() = vol({x N, d(e, x) ≤ 1})\nEntonces obtenemos como corolario inmediato del Teorema 6.2:\nCorolario 6.3. Dejemos que sea pseudodistancia periódica en N. Entonces\ntd(N)\nvol({x N, (e, x) ≤ t}) = AsV ol() > 0\nPor último, si se trata de un grupo arbitrario nilpotente finitamente generado, tenemos que tomar\ncuidado de los elementos de torsión. Forman un subgrupo finito normal T y aplican\nTeorema 6.2 a /T, obtenemos:\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 33\nCorolario 6.4. Let S ser un conjunto de generación simétrica finita de la bola y Sn\nde radio n es la palabra métrica de S asociada a S, entonces\nnd(N)\n#Sn = #T ·\nAsV ol(lS)\nvol(N/)\ndonde N es el cierre de Malcev de • = •/T, el cociente libre de torsión de •, y dS\nes la palabra pseudodistancia asociada a S, la proyección de S en.\nPor otra parte, es posible ser un poco más preciso sobre AsV ol(lS). De hecho,\nla norma 0 sobre m1 utilizado para definir el límite Carnot-Carathéodory distance d\nasociado a S es una norma poliédrica simple definida por\nx ≤ 1} = CvxHull (γ1(s), s S)\nDe manera más general, las siguientes reservas. Dejar que H sea cualquier subgrupo cerrado, cocompacto\nde N. Elija una medida Haar en H para que volN (N/H) = 1. Rendimientos del teorema 6.2:\nCorolario 6.5. Vamos a ser un compacto simétrico (es decir. Barrio de\nla identidad, que genera H. Dejar 0 ser la norma en m1 cuya bola unidad es\nCvxHull1()} y dejar que dŁ sea la correspondiente métrica Carnot-Carathéodory en\nNo, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Entonces tenemos el siguiente límite en la topología de Hausdorff\n(ln) = {g + N, d{e, g) ≤ 1}\nvolH(\nnd(N)\n= volN ({g N, d(e, g) ≤ 1})\n6.2. Esquema de la prueba. Primero diseñamos algunos lemas estándar sobre la pieza...\naproximaciones prudentes de las vías horizontales (Lemmas 6.6, 6.7, 6.10). Entonces se muestra\n(Lemma 6.11) que el producto original en N y el producto en el\ngrupo de la mentira calificada son asintóticos entre sí, es decir, si (?t)t es un 1-parámetro\ngrupo de dilaciones de N, luego después de la renormalización por 1\n, el producto de O(t)\nelementos que se encuentran en algún subconjunto limitado de N, está muy cerca de la renormalización\nproducto de los mismos elementos en el grupo de la Mentira graduada N. Esta es la razón por la que todos los com-\nlas aplicaciones debido al hecho de que N no puede ser calificado a priori y los\nno ser automorfismos desaparecen cuando se mira la geometría a gran escala de la\ngrupo. Por último, observamos (Lemma 6.13), como se desprende de la propia definición de\nla unidad de bola E para la norma límite 0, que cualquier vector en el límite de E,\nse puede aproximar, después de volver a normalizar por 1\npor algún elemento x â € TM N acostado en\nun anillo fijo s(1 − ) ≤ (e, x) ≤ s(1 + ). Esto nos permite afirmar que cualquier\nLa geodésica-cuasi da lugar, después de la renormalización, a una di-geodésica (esto da la\nlímite inferior en el teorema 6.2). Y viceversa, que cualquier d-geodésico puede ser ap-\nproximalmente uniformemente por algunos geodésicos renormalizados \nencuadernado en Teorema 6.2).\n34 EMMANUEL BREUILLARD\n6.3. Lemas preliminares.\nLemma 6.6. Que G sea un grupo de Mentira y que e sea una norma euclidiana sobre la Mentira\nálgebra de G y de(·, ·) la métrica izquierda invariante Riemanniana asociada en G.\nQue K sea un subconjunto compacto de G. Luego hay una constante C0 = C0(de,K) > 0\nDe modo que cuando de(e, u) ≤ 1 y x, y\nde(xu, yu)− de(x, y) ≤ C0de(x, y)de(e, u)\nPrueba. La prueba se reduce al caso cuando u y x-1y están en un barrio pequeño\nde e. Entonces la desigualdad se reduce a lo siguiente:\nalgunos c > 0 y cada X,Y en Lie(G). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nLemma 6.7. Dejar G ser un grupo de la mentira, dejar ser alguna norma en el álgebra de la mentira de\nG y dejar de(·, ·) ser una métrica riemanniana invariante izquierda en G. Entonces para cada\nL > 0 hay una constante C = C(de, , L) > 0 con la siguiente propiedad.\nSupóngase: [0, 1] → G son dos caminos lisos en el grupo de la Mentira G\ncon â € 1(0) = â € 2(0) = e. Let â €\ni • Lie(G) ser el vector tangente tirado hacia atrás en el\nidentidad por una traducción a la izquierda de G. Asumir que supta[0,1] \n1 t) ≤ L, y que\n1(t)−\n2 t) ° dt ≤ °. Entonces\n≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 > ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 > > > > > > > > > > > > > > > > 1 > 1 > 1 > > > > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > > > > > > > > 1 > 1 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > > > > 1 > > > > > \nPrueba. La función f(t) = de(1(t), 2(t)) es lisa a trozos. Para el pequeño dt nosotros\npuede escribir, utilizando Lemma 6.6\nf(t+ dt)− f(t) ≤ de(1(t)\n1 t)dt, 1 t)\n2(t)dt) + de(1(t)\n2 t)dt, 2 t)\n2(t)dt)− f(t) + o(dt)\n1(t)− 2(t)\nDT+ C0f(t)\n2(t)dt\n+ o(dt)\n≤ (t)dt +C0Lf(t)dt+ o(dt)\nen los que Ł(t) = 1(t)−\n2 t)oe. En otras palabras,\nf ′(t) ≤ (t) + C0Lf(t)\nDado que f(0) = 0, el lema de Gronwall implica que f(1) ≤ eC0L\n(s)e−C0Lsds ≤ C.\nA partir de ahora, tomaremos a G como el estratificado grupo de Nilpotent Lie, y\nde(·, ·) denotará una métrica de Riemanniana invariante izquierda en N, mientras que d(·, ·) es una izquierda\nmétrica de Carnot-Carateodory Finsler invariante en N.o asociado a alguna norma \nen m1.\nObservación 6.8. Hay c0 > 0 tal que c\n0 de(e, x) ≤ d(e, x) ≤ c0de(e, x)\nr en a\nbarrio de e. Por lo tanto, en la situación del lema se obtiene dâ € (â € 1, â € 2(1)) ≤\nr para alguna otra constante C1 = C1(L, d.o., de).\nLemma 6.9. Let N â € N y dN (x, y) ser la función en Nâ € definido en el\nde la siguiente manera:\ndN (x, y) = inf{\n(u)\nHPL(N), (0) = x, ((1) = y}\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 35\ndonde HPL(N) es el conjunto de trayectorias horizontales que son lineales a trozos con en\nla mayoría de los N posibles valores para. A continuación, tenemos dN → de forma uniforme en compacto\nsubconjuntos de N.O.\nPrueba. Tenga en cuenta que se desprende del teorema de Chow (p. ej. Véase [25] o [19]) que allí\nexiste K0 â € N tal que A := supdâ(e,x)=1 dK0(e,x) <. Por otra parte, ya que pieza-\nlos caminos lineales sabios son densos en L1, sigue por ejemplo de Lemma 6.7 que para\ncada x fijo, dn(e, x) → d•(e, x). Tenemos que demostrar que dN (e, x) → d(e, x) uni-\nFormalmente en x satisfaciendo d.(e, x) = 1. Por contradicción, supongamos que hay una secuencia\n(xn)n de tal manera que, en algunos casos, se destinen a la categoría D(e, xn) = 1 y a la categoría dn(e, xn) ≥ 1 + 0. Podemos\nasumir que (xn)n converge para decir x. Dejar que yn = x\n−1 *xn y tn = d(e, yn). Entonces\ndK0(e, yn) = tndK0(e, 1\n(yn)) ≤ Atn. Así dn(e, xn) ≤ dn(e, x) + dn(e, yn) ≤\ndn(e, x) + Atn tan pronto como n ≥ K0. Como n tiende a........................................................................... - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEste lema indica la siguiente notación. En el caso de los países de la Europa central y oriental, el número de países de la Europa central y oriental será el más elevado de los países de la Europa central y oriental.\nprimer número entero de tal manera que 1 ≤ dN(e, x) ≤ 1 + para todas las x con d(e, x) = 1. Entonces nosotros\ntener:\nLemma 6.10. Por cada x â € Nâ € con dâ € (e, x) = 1, y todos â € > 0 existe un\nruta : [0, 1] → N.O. en HPL(N.O.) con velocidad unitaria (es decir, * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n= 1) tales que (0) = e\n≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >\n′ tiene como máximo una discontinuidad en cualquier subintervalo de\n[0, 1] de longitud.\nPrueba. Sabemos que hay una ruta en HPL(NŁ) que conecta e a x con la longitud\nl ≤ 1 + فارسى. Reparar el camino para que tenga velocidad de unidad, obtenemos un camino\n•0 : [0, l] → N.O. en HPL(N.O.) con d.O.(x, +0(1)) = d.O.(+0(l), +0(1)) ≤. La deriva...\ntivo 0 es constante en a lo sumo N♥ diferentes intervalos dicen [ui, ui+1). Quitemos\ntodos estos intervalos de longitud ≤ r/N, fundiéndolos en un intervalo adyacente\ny vamos a cambiar el valor de 0 en estos intervalos al valor en el adja-\nIntervalo de céntimos (no importa si elegimos el intervalo a la izquierda o en el\na la derecha). Obtenemos una nueva ruta : [0, 1] → N\nTal que tiene a lo sumo una discontinuidad en cualquier subintervalo de [0, 1] de longitud\n........................................................................................................................................................................................... Además\n(t)− 0(t)\nr. Por Lemma 6.7 y Observación 6.3, nosotros\nque tengan, por lo tanto, ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >\n≤ (C1 + 1), ≤ (C1 + 1), ≤ (C1 + 1), ≤ (C1 + 1)\nLemma 6.11 (Aproximación horizontal de senderos). Que x*y denote la\nproducto dentro del grupo estratificado Lie N y x · y el producto ordinario en N.\nDejar n • N y t ≥ n. A continuación, para cualquier subconjunto compacto K de N, y cualquier x1,..., xn\nelementos de K, tenemos\nde(l) 1\n(x1 ·... · xn),\n(x1 ∗... ∗ xn)) ≤ c1\nde(l) 1\n(x1 ∗... ∗ xn),\n(η1(x1) ∗...* η1(xn))) ≤ c2\n36 EMMANUEL BREUILLARD\ndonde c1, c2 dependen de K y de solamente.\nPrueba. Dejar ser una norma en el álgebra de la mentira de N. Para k = 1,..., n dejar zk =\nx1 ·... ·xk−1 y yk = xk+1 *...*xn. Puesto que todos los xis pertenecen a K, se deriva de (24)\nque tan pronto como t ≥ n, todos los\nzk) y 1\n(yk) para k = 1,..., n permanecer en un conjunto limitado\ndependiendo sólo de K. Comparando (12) y (11), vemos que cuando y = O(1)\ny 1\n(x) = O(1), tenemos\n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1\nxy)− 1\nx ∗ y)\n= O(\nPor otra parte, a partir de (12) es fácil verificar ese derecho *-multiplicación por un\nelemento limitado es Lipschitz para y la constante Lipschitz se limita localmente.\nSe deduce que hay una constante C1 > 0 (dependiendo sólo de K y ) tales\nque para todos los k ≤ n\n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1\n(zk · xk) ∗ yk)− 1\n(zk * xk * yk)\n≤ C1\n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1\n(zk · xk)− 1\n(zk ∗ xk)\nAplicando n veces la relación (35) con x = x1 ·... · xk−1 e y = xk, finalmente\nobtener 1\n(x1 ·... · xn)− 1\n(x1 ∗... ∗ xn)\n= O(\n) = O(\ndonde O() depende sólo de K. Por otro lado, utilizando (11), es otro simple\nverificación para comprobar que si x, y se encuentran en un conjunto limitado, entonces 1\nde(x, y) ≤ â € ~ x− yâ €\n≤ c2de(x, y) para algunas constantes c2 > 0. La primera desigualdad sigue.\nPara la segunda desigualdad, aplicamos Lemma 6.7 a las rutas de salida\nen e y con derivado igual a [ k\n, k+1\n) a no 1\nxk) en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n».\nη1(xk)\npara 2 libras esterlinas.\nLo conseguimos.\nde(l) 1\n(x1 ∗... ∗ xn),\n(η1(x1)*...* η1(xn)) = O(\nObservación 6.12. De la Observación 6.3 vemos que si reemplazamos de por d\nLemma, obtenemos el mismo resultado con 1\nsustituida por t−\nLemma 6.13 (Aproximación en el grupo abelianizado). Recuerde que 0 es el\nnorma sobre m1 definida en (33). Para cualquier فارسى > 0, existe s0 > 0 tal que para cada\ns > s0 y cada v â € m1 de tal manera que â € € TM = 1, existe h â € H tal que\n(-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -)\ny \nη1(h)\n(e, h)\nPrueba. Deja que se arregle فارسى > 0. Considerando una red finita en E, vemos que existe\nun subconjunto simétrico finito {g1,..., gp} de Häe} de tal manera que, si consideramos el cerrado\nconvex casco de F = {fi = η1(gi)/l(e, gi)i = 1,..., p} y la norma asociada\nen m1, entonces 0 ≤ ≤ (1 + 2) 0. Hasta la reducción de F si es necesario, podemos\nasumir que fi = 1 para todos i’s. También podemos suponer que el fi de generar m1 como\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 37\nun espacio vectorial. La esfera {x, x = 1} es un poliedro simétrico en m1 y a\ncada una de sus facetas corresponde d = vértices dim(m1) yace en F y forma un vector\nbase de m1. Let f1,..., fd, digamos, ser tales vértices para una faceta dada. Si x m1 es de la\nforma x =\ni=1 ♥ifi con ♥i ≥ 0 para 1 ≤ i ≤ d entonces vemos que x =\ni=1 ♥i,\nporque el casco convexo de f1,..., fd es precisamente esa faceta, por lo tanto se encuentra en la esfera\n{x, x = 1}.\nAhora vamos a v m1, v0 = 1, y vamos a > 0. La televisión de media línea, t > 0, llega a la\nesfera {x, x = 1} en un punto. Este punto pertenece a alguna faceta y allí\nson d elementos linealmente independientes de F, digamos f1,..., fd, los vértices de esa faceta,\ntal que este punto pertenece al casco convexo de f1,..., fd. El punto sv entonces miente\nen el cono convexo generado por η1(g1),..., η1(gd). Por otra parte, hay una constante\nÍndices de las emisiones de gases de efecto invernadero y de los gases de efecto invernadero y de los gases de efecto invernadero, según se indica en el anexo I del Reglamento (UE) n.o 575/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo [2]\nmax1≤i≤p l(e, gi)) de forma que\nsv −\nNinnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\npara algunos enteros no negativos n1,..., nd dependiendo de s > 0. Por lo tanto\nn(e, gi) =\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nNinnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n(sv + CŁ)\n≤ 1 + 2\n≤ 1 + 3\ndonde la última desigualdad se mantiene tan pronto como s > C\nAhora vamos a h = g\n1 ·... · g\nd H. Tenemos η1(h) =\ni=1 niη1(gi)\n(e, h) ≥ 1(h)0 ≥ s−\nAdemás\n(e, h) ≤\nn(e, gi) ≤ s(1 + 3\nCambiando a \"decir\" a \"decir\"\ny, por ejemplo, el número de personas menores de 1 año\n, obtenemos el resultado deseado con s0() =\nmax1≤i≤p l(e, gi). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n6.4. Prueba de Teorema 6.2. Tenemos que mostrar que como x→ • en N\n1 ≤ lim\n(e, x)\nd-(e, x)\n≤ lim\n(e, x)\nd-(e, x)\nPrimera nota que es suficiente para probar los límites para x â € ¢ H. Esto sigue de\n(4.2) (1).\nComencemos con el límite inferior. Nos fijamos en la definición de 0 y s = s()\nde una métrica geodésica asintótica (véase el punto 21). Sabemos por 4.2 (3) y (4) que\ntan pronto como se encuentre x1,..., xn en H con s ≤ ♥(e, xi) ≤ 2s tales que\nxi y\n(e, xi) ≤ (1 + Let t = dŁ(e, x), entonces n ≤\n(e, x),\npor lo tanto n ≤ C\nt donde C es una constante que depende únicamente de C (véase el punto 23). Podemos\n38 EMMANUEL BREUILLARD\na continuación, aplicar Lemma 6.11 (y la observación siguiente) para obtener, como t ≥ n tan pronto como\ns() ≥ C,\nd-(l)-(l)-(l)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)\n(x), 1\n(η1(x1) ∗...* η1(xn))) ≤ c\nPero para cada i tenemos 1(xi)+0 ≤ ♥(e, xi) por definición de la norma, por lo tanto\nt = d(e, x) ≤\n1(xi)+0(x, π1(x1) ∗... 1(xn)) ≤ (1+ \nPuesto que Ł fue arbitrario, dejando t→ ♥ obtenemos\n(e, x)\nd-(e, x)\nPasamos ahora al límite superior. Let t = dŁ(e, x) y فارسى > 0. De acuerdo con\nLemma 6.10, hay un camino lineal horizontal por partes (u)}u[0,1] con unidad\nvelocidad de tal modo que d() 1\n(x), • 1)) ≤ C2 y sin intervalo de longitud ≥\ncontiene\nmás de un cambio de dirección. Dejad que Lemma 6.13 dé s0() y asumid\nt > s0(\nr)N.O.\nr. Dividimos [0, 1] en n subintervalos de longitud u1,..., de tal manera que\nes constante igual a yi en la subintervalo i-th y s0(\nr) ≤ tui ≤ 2s0\nr). Nosotros\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Lemma 6.13 produce puntos xi â € H tales que\nyi −\nη1(xi)\n≤ ♥\ny (e, xi) [(1 − \nr)tui, (1 + \nr)tui] (obsérvese que tui > s0(\nr)). Vamos a ser el\ntrazo lineal a partir de piezas [0, 1] → No con las mismas discontinuidades\nvalor yi se sustituye por\nη1(xi)\n. Luego, según Lemma 6.7, d...... (.................................................................................................................................................................................................................................................... \nDesde el punto de vista de la letra e) del punto xi) ≤ 4s0\nr) para cada i, podemos aplicar Lemma 6.11 (y la observación\ny ver que si y = x1 ·... · xn,\nd()(1), 1\n(y)) ≤ c′1()t\nPor lo tanto, d() 1\n(x), 1\n(y)) ≤ (C2+C)c\n1(l)t\nr y ♥(e, y) ≤\n(e, xi) ≤ 1\nSin embargo, el valor de todas las materias utilizadas no exceda del 50 % del precio franco fábrica del producto\n(x−1y)) + C ′ ≤ t(Cd\n(x), 1\n(y)) + o............................................................................................................................................................................................................................................................ Por lo tanto\n(e, x) ≤ t+ o(t)\nObservación 6.14. En el último argumento usamos el hecho de que\n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1\n(xu)− 1\n(x ∗ u)\n= 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 \n) si 1\nx) y 1\n(u) están limitados, con el fin de obtener para y = xu,\nd-(e, 1-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)\n(u)) ≤ d\n(x), 1\n(xu)) + d\n(xu), 1\n(x ∗ u))\n≤ d.o.p.\n(x), 1\n(y)) + o(1).\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 39\n7. G localmente compacto y pruebas de los principales resultados\nEn esta sección, probamos el Teorema 1.2 y completamos la prueba del Teorema 1.4\ny sus corolarios. Comenzamos con lo último.\nPrueba de Teorema 1.4. Es la combinación de la Proposición 5.1, que reduce la\nproblema a los grupos nilpotent Lie, y Teorema 6.2, que trata el caso nilpotent.\nSólo queda por justificar la última afirmación de que el d- es invariante en virtud de la T (H).\nYa queK = T (H) estabilizam1 (véase Lemma 3.12 para la definición dem1) y actúa\npor automorfismos de la estructura nilpotente (nilshadow) (Lemma 3.5), dada la\nk K, la métrica dŁ(k(x), k(y)) no es otra cosa que el invariante izquierdo subFinsler\nmétrica en el nilshadow asociado a la norma â € € TM k(v)â € para v â € m1 (si â € € ~ € ~ € ~ ~ denota\nla norma asociada a d.o.p.).\nSin embargo, d.o. es asintóticamente invariante bajo K, debido a la Proposición 5.1.\nEs decir, dÃ3(e, k(x))/dÃ3(e, x) tiende a 1 como x tiende a infinito. Por último, d(e, v) =\nEn el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. Dos normas asintóticas en un vector\nEl espacio siempre es igual. De ello se deduce que las normas sobre m1 coinciden entre sí.\nPor lo tanto, de la letra e), k (x) = d(e, k (x)) para todas las x â € S, como se afirma. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nPrueba del corolario 1.8. En primer lugar, algunas observaciones iniciales (véase también la Observación 2.1). Si d es\nuna métrica subFinlser invariante izquierda en un grupo N de mentira nilpotente simplemente conectado\ninducido por una norma sobre un subespacio suplementario m1 del conmutador\nsubálgebra, entonces se deriva de la definición misma de las métricas subFinsler (ver\nPárrafo 2.1) que el 1 de enero es 1-Lipschitz entre el grupo Lie y la abelianización\nde ella dotada de la norma, es decir, 1(x) ≤ d(e, x), con la igualdad si x m1.\nA partir de esto y considerando la definición de la norma límite en (33), concluimos\nque coincide con la norma límite de d. En particular el teorema 6.2 implica\nque d es asintótico a la métrica invariante ∗-izquierda subFinsler d\nla misma norma en el grupo de Lie calificado (No,*).\nAhora podemos probar el corolario 1.8. Por la observación anterior, el límite métrica d\nen la nilshadow graduada de S es asintótica a la métrica subFinsler d inducida\npor la misma norma, en el mismo (K-invariante) subespacio suplementario m1\ndel subalgebra conmutador de la nilshadow, y que se deja invariante para\nla estructura de nilshadow en S. Sin embargo, se deduce de Teorema 1.4 que d\ny la norma son K-invariantes. Esto implica que d también es invariante a la izquierda\ncon respecto a la estructura de grupo de Lie original de S. De hecho, por (1), podemos\nescribir d(gx, gy) = d(g* (T (g)x), g* (T (g)y)) = d(T (g)x, T (g)y) = d(x, y), donde *\ndenota esta vez la estructura del producto nilshadow. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nPrueba del corolario 1.7. Esto sigue inmediatamente del Teorema 1.4, cuando ∗ de-\nseñala el producto nilshadow clasificado. Si ∗ denota la estructura del grupo de nilshadow,\nentonces se desprende de Teorema 6.2 y la observación que acabamos de hacer en la prueba de\nCorollary 1.8 (véase también la Observación 2.1). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n7.1. Prueba de Teorema 1.2. Dejar G ser un grupo localmente compacto de polinomio\ncrecimiento. Demostraremos que G tiene un subgrupo K normal compacto de tal manera que G/K\n40 EMMANUEL BREUILLARD\ncontiene un subgrupo de cocompacto cerrado, que se puede realizar como una co-\nsubgrupo compacto de un grupo de tipo Solvable Lie conectado y simplemente conectado\n(R) (es decir, de crecimiento polinomio). La prueba seguirá en varios pasos.\n(a) Primero mostramos que hasta la modificación por un subgrupo compacto normal, podemos\nasumir que G es un grupo de mentiras cuyo componente conectado de la identidad no tiene\nsubgrupo normal compacto. De hecho, se deriva del refinamiento de Gromov por parte de Losert\nteorema ([24] Teorema 2) que existe un subgrupo compacto normal K de G\ntal que G/K es un grupo de mentiras. Así que ahora podemos asumir que G es un grupo de mentiras (no\nnecesariamente conectados) de crecimiento polinomio. El componente conectado G0 de G\nes un grupo de Lie conectado de crecimiento polinomio. Recordemos el siguiente hecho clásico:\nLemma 7.1. Cada grupo de Lie conectado tiene un compacto compacto único normal\nsubgrupo. Por singularidad debe ser un subgrupo de Lie característico.\nPrueba. Claramente si K1 y K2 son subgrupos normales compactos, entonces K1K2 es de nuevo\nun subgrupo compacto normal. Considerando G/K, donde K es una normal compacta\nsubgrupo de la dimensión máxima, podemos suponer que G no tiene compacta normal\nsubgrupo de dimensión positiva. Pero cada subgrupo normal finito de un\nEl grupo es central. Por lo tanto, el grupo cerrado generado por todos los subgrupos normales finitos es\ncontenido en el centro de G. El centro es un subgrupo abeliano de Lie, es decir. isomórfico\na un producto de un espacio vectorial Rn, un toro Rm/Zm, un grupo abeliano libre Zk y un\ngrupo abeliano finito. En tal grupo, claramente hay un compacto máximo único\nsubgrupo (a saber, el producto del grupo finito y el toro). También es normal,\ny máximo en G.\nEl subgrupo normal compacto máximo de G0 es un subgrupo de Lie característico\nde G0. Por lo tanto, es normal en G y podemos modificar por ella. Por lo tanto, tenemos\nmuestra que todos los grupos compactos locales (generados compactamente) con polinomios\ncrecimiento admite un cociente por un subgrupo normal compacto, que es un grupo de mentira G\ncuyo componente conectado de la identidad G0 tiene crecimiento polinomio y con-\nno contiene ningún subgrupo normal compacto. Ahora vamos a demostrar que un cierto co-compacto\nsubgrupo de G tiene la propiedad de inserción de Teorema 1.2.\nb) En segundo lugar, mostramos que, hasta pasar a un subgrupo de cocompacto, podemos\nasumir que el componente G0 conectado es solvable. Para este propósito, que Q sea\nel radical solvable de G0, es decir, el subgrupo máximo conectado normal de Lie\nde G0. Tenga en cuenta que es un subgrupo característico de G0 y, por lo tanto, normal en G.\nAdemás, G0/Q es un grupo de mentiras semisimple. Dado que G0 tiene crecimiento polinomio,\nDe ello se desprende que G0/Q debe ser compacto. Considerar la acción de G por conjugación en\nG0/Q, es decir, el mapa : G→ Aut(G0/Q). Puesto que G0/Q es compacto semisimple,\nsu grupo de automorfismos es también un grupo compacto de Lie. En particular, el núcleo\nes un subgrupo cocompacto de G.\nEl componente conectado de la identidad de Aut(G0/Q) es en sí mismo semisimple y\npor lo tanto tiene centro finito. Sin embargo, la imagen del componente conectado (ker فارسى)0\nde que en G0/Q módulo Q es central. Por lo tanto, debe ser trivial. Tenemos\nse muestra que (ker)0 está contenido en Q y por lo tanto es solvable. Por otra parte (ker )0\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 41\nno tiene un subgrupo normal compacto, porque de lo contrario su compacto normal máximo\nEl subgrupo, que es característico en (ker)0, sería normal en G (note que (ker)0\nes normal en G).\nCambio de G en el subgrupo de cocompacto kers, por lo tanto, podemos asumir que\nG0 es solvable, de crecimiento polinomio, y no tiene una sub-\ngrupo. El grupo G/G0 es discreto, generado finitamente, y tiene crecimiento polinomio.\nPor el teorema de Gromov, debe ser prácticamente nilpotente, en particular virtualmente poli-\ncíclico.\n(c) Finalmente demostramos la siguiente proposición.\nProposición 7.2. Dejar G ser un grupo de mentira tal que su componente conectado de la\nidentidad G0 es solvable, no admite subgrupo normal compacto, y con G/G0 virtu-\nAlly policíclico. Entonces G tiene un subgrupo de cocompacto cerrado, que puede ser incrustado\ncomo un subgrupo de cocompacto cerrado de una mentira solvable conectada y simplemente conectada\ngrupo.\nLa prueba de esta proposición es principalmente una aplicación de un teorema de H.C.\nWang, que es una amplia generalización del teorema integrador de Malcev para la torsión\ngrupos nilpotentes generados finitamente libres. El teorema de Wang [36] declara que cualquier S-\ngrupo puede ser incrustado como un subgrupo de cocompacto cerrado de un real simplemente conectado\nGrupo de Lie Solvable lineal con sólo finitamente muchos componentes conectados. Wang\ndefine un grupo S como cualquier verdadero grupo de Lie G, que admite un subgrupo normal\nUn tal que G/A se genera finitamente abelian y A es un nilpotente libre de torsión\nGrupo de mentiras cuyo grupo de componentes conectados se genera finitamente. En particular\ncualquier grupo S tiene un índice finito (de ahí cocompacto) subgrupo que se incrusta como un\nsubgrupo de cocompacto en un grupo de Lie solvable conectado y simplemente conectado.\nPara probar la Proposición 7.2, basta, por lo tanto, establecer que G tiene un\ncocompacto S-group.\nRecordamos en primer lugar el siguiente simple hecho:\nLemma 7.3. Cada subgrupo cerrado F de un grupo de Lie solvable conectado S es\ntopológicamente generado finitamente.\nPrueba. Argumentamos por inducción sobre la dimensión de S. Claramente hay una epi-\nmorfismo η : S → R. Por hipótesis de inducción F ker η es topológicamente finita\ngenerado. La imagen de F es un subgrupo de R. Sin embargo, cada subgrupo de R\ncontiene uno o dos elementos, cuyo subgrupo que generan tiene el mismo\ncierre como subgrupo original. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nA continuación mostramos la existencia de un nilradical.\nLemma 7.4. Que G sea como en la Proposición 7.2. Entonces G tiene un máximo único\nsubgrupo normal de nilpotente GN.\nPrueba. El subgrupo generado por cualquiera de los dos subgrupos normales de\ngrupo dado es en sí mismo nilpotente (lema de Fitting, ver, por ejemplo. [30][5.2.8]). Dejad en paz a GN.\nel cierre del subgrupo generado por todos los subgrupos nilpotent de G. Necesitamos\npara demostrar que la GN es nilpotente. Para esto es claramente suficiente para demostrar que es\n42 EMMANUEL BREUILLARD\ntopológicamente generado finitamente (porque cualquier subgrupo de GN generado finitamente es\nnilpotente por la observación que acabamos de hacer). Puesto que G/G0 es virtualmente policíclico, cada\nEl subgrupo se genera finitamente ([29][4.2]). Por lo tanto, es suficiente para demostrar que\nGN â € ¢ G0 se genera topológicamente finitamente. Esto sigue de Lemma 7.3. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nIncidentemente, observamos que el componente conectado de la identidad (GN )0\ncoincide con el nilradicalN de G0 (es el máximo normal nilpotente conectado\nsubgrupo de G0.\nAhora afirmamos lo siguiente:\nLemma 7.5. El grupo cociente G/GN es prácticamente abeliano.\nLa prueba de este lema se inspira en la prueba del hecho, debido a Malcev,\nque los grupos policíclicos tienen un subgrupo de índice finito con conmutador nilpotente\nsubgrupo (por ejemplo, Véase [30] [15,1.6]).\nPrueba. Demostraremos que G tiene un índice finito subgrupo normal cuyo conmutador\nEl subgrupo es nilpotente. Esto implica claramente el lema, para este subgrupo nilpotente\nserá normal, por lo tanto, contenido en GN.\nPrimero observamos que el grupo G admite una serie normal finita Gm ≤ Gm−1 ≤\n. .. ≤ G1 = G, donde cada Gi es un subgrupo normal cerrado de G tal que Gi/Gi+1\nes finito, o isomórfico a Zn, Rn o Rn/Zn. Esto lo ve elegir uno de los\nGi es el componente G0 conectado y luego tratar G/G0 y G0 por separado.\nEl primero sigue de la definición de un grupo policíclico (G/G0 tiene una\nsubgrupo policíclico de índice finito). Mientras que para G0, observe que su N nilradical es\nun grupo de nilpotent Lie conectado y simplemente conectado y admite tal serie\nde los subgrupos característicos (escoger la serie descendente central), y G0/N es un\nabeliano conectado grupo Lie, por lo tanto isomórfico al producto directo de un toro\nn/Zn y un grupo vectorial Rn. La parte del toro es característica en G0/N, de ahí su\nla preimagen en G0 es normal en G.\nEl grupo G actúa por conjugación en cada cociente parcial Qi := Gi/Gi+1. Esto\nda un mapa G → Aut(Qi). Ahora tenga en cuenta que para probar nuestro lema, es\nsuficiente para demostrar que para cada i, hay un subgrupo índice finito de G\nEl subgrupo de mutantes mapea a un subgrupo de nilpotente de Aut(Qi). De hecho, la toma de la\nintersección de esos subgrupos índice finito, obtenemos un índice finito subgrupos normales\ncuyo subgrupo conmutador actúa nilpotently en cada Qi, por lo tanto es en sí mismo nilpotent\n(suficientes conmutadores desaparecerán).\nAhora Aut(Qi) es finito (si Qi es finito), o isomórfico a GLn(Z) (en caso de que\nQi es o bien Z\nn o Rn/Zn) o a GLn(R) (cuando Qi R\nn). La imagen de G en\nAut(Qi) es un subgrupo solvable. Sin embargo, cada subgrupo solvable de GLn(R)\ncontiene un subgrupo índice finito, cuyo subgrupo conmutador es unipotenciante (de ahí que\nnilpotente). Esto sigue del teorema de Kolchin, por ejemplo, que un conectado\nsubgrupo algebraico solvable de GLn(C) es triangularizable. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEn la secuela asumimos que G/G0 es policíclico libre de torsión. Es legítimo.\npara hacerlo en la prueba de la Proposición 7.2, porque cada grupo virtualmente policíclico\ntiene un subgrupo policíclico libre de torsión de índice finito (véase, por ejemplo, [29][Lemma 4.6]).\nAhora afirmamos lo siguiente:\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 43\nLemma 7.6. GN está libre de torsión.\nPrueba. Dado que G/G0 está libre de torsión, es suficiente para probar que GN-G0 es torsión-\nlibre. Sin embargo, el conjunto de elementos de torsión en GN forma un subgrupo de GN (si x, y son\ntorsión, entonces xy es demasiado porque â € TM x, yâ € es nilpotente). Claramente es una característica\nsubgrupo de GN. Por lo tanto, su intersección con G0 es normal en G0. Tomando el\ncierre, obtenemos un nilpotente cerrado subgrupo normal T de G0 que contiene un\nDenso conjunto de elementos de torsión. Recordemos que G0 no tiene un subgrupo compacto normal.\nDe esto se deduce rápidamente que T es trivial, porque primero debe ser discreto (la\ncomponente conectado T0 es compacto y normal en G0), por lo tanto finitamente generado\n(por Lemma 7.3), por lo tanto hecho de elementos de torsión. Pero una torsión finitamente generada\nEl grupo nilpotente es finito. Una vez más, puesto que G0 no tiene un subgrupo normal compacto, T debe\nser trivial, y GN es libre de torsión. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nAhora observe que el grupo de componentes conectados de GN, a saber GN/(GN )0\nse genera finitamente. De hecho, puesto que G/G0 se genera finitamente (como cualquier policíclico\ngrupo), es suficiente para demostrar que (G0 GN )/(GN )0 se genera finitamente, pero esto\nse desprende del hecho de que G0-GN se genera topológicamente finitamente (Lemma 7.3).\nYa casi hemos terminado. Tenga en cuenta que G se genera topológicamente finitamente (Lemma\n7.3), por lo tanto, también lo es G/GN. Por Lemma 7.5 G/GN es prácticamente abeliano, por lo que ha\nun índice finito subgrupo normal isomórfico a Zn × Rm. De ello se deduce que G/GN\ntiene un subgrupo de cocompacto isomórfico a un grupo abeliano libre Zn+m. Por lo tanto, después\ncambiar G por un subgrupo de cocompacto, obtenemos que G es una extensión de GN (a\ngrupo de mentira sin torsión nilpotente con grupo finitamente generado de com-\nponents) por un grupo abeliano libre finitamente generado. Por lo tanto, es un grupo S en el\nterminología de Wang [36]. Aplicamos el teorema de Wang y esto termina la prueba de\nProposición 7.2.\n(d) Ahora podemos concluir la prueba del Teorema 1.2. Por a) y b)\nun cociente por un grupo compacto que admite un subgrupo de cocompacto satisfactorio\nlas suposiciones de la Proposición 7.2. Por lo tanto, para concluir la prueba sólo queda\npara verificar que el grupo simplemente conectado Solvable Lie en el que un co-compacto\nEl subgrupo de incrustaciones G/K tiene crecimiento polinomio (es decir, es de tipo (R)). Pero esto\nsigue del siguiente lema (véase [21][Thm. I.2]).\nLemma 7,7. Deja que G sea un grupo localmente compacto. Entonces G tiene crecimiento polinomio si\ny sólo si algunos (resp. an) subgrupo cocompacto de la misma tiene crecimiento polinomio.\nPrueba. Primero se comprueba que G se genera compactamente si y sólo si algunos (resp.\nan) subgrupo de cocompacto es. Esto es por el mismo argumento que muestra que\nsubgrupos índice finitos de un grupo finito generado se generan finitamente. In\nen particular, si es un conjunto de generación simétrica compacta de G y H es un co-compacto\nsubgrupo, entonces no hay n0 â € N tal que â €\nn0H = G. Entonces H â ¬ 3n0 genera\nSi G tiene crecimiento polinomio y H es cualquier subgrupo cerrado de generación compacta,\nentonces H tiene crecimiento polinomio. En efecto (véase [21][Tm I.2]), si \npact generating set para H, y K un barrio compacto de la identidad en G,\n44 EMMANUEL BREUILLARD\nvolG(K)volH(\nH) ≤ volH(KK\n−1 H)volG(\nEsta desigualdad sigue integrando sobre una medida Haar izquierda de G la función\n(x) :=\n−1x)dh, donde dh es una medida Haar izquierda en H. Esta integral\nes igual al lado izquierdo de la ecuación mostrada arriba, mientras que es puntual\nlimitado por volH(xK\n−1 H) dentro de HK y por cero fuera de HK.\nEn la otra dirección, si H tiene crecimiento polinomio, entonces G también tiene, porque\nse puede escribir lán lán lán HK para un conjunto de generación compacta lán H de H y algunos\nbarrio compacto K de la identidad en G (ver Proposición 4.4). Entonces el\nresultado de la siguiente desigualdad:\nvolH(lH)volG(l\nHK) ≤ volH(\nH )volG(\nH K),\nque es una consecuencia directa del hecho de que la función\n(x) :=\n(h−1x)dh,\ndonde dh es una medida izquierda Haar onH, satisface\n(x)dx = volH(\nH )volG(\npor una parte y está limitada abajo por volH(\nHK en el\notra mano. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nTenga en cuenta que la prueba anterior sería un poco más fácil si ya sabíamos que ambos\nG y H eran unimodulares, en cuyo caso G/H tiene una medida invariante. Pero\nsabemos esto sólo a posteriori, porque la condición de crecimiento polinomio implica\nunimodularidad ([21]).\nConsideraciones similares muestran que G tiene crecimiento polinomio si y sólo si G/K\ntiene crecimiento polinomio, dado cualquier subgrupo K compacto normal (p. ej. Véase [21].\nTerminamos este párrafo con una observación y un ejemplo, que mencionamos en\nla Introducción.\nObservación 7.8 (Los subgrupos discretos son prácticamente nilpotentes). Supongamos que..........................................................................................................................\nsubgrupo de un grupo de Lie solvable conectado de tipo (R) (es decir, de crecimiento polinomio).\nA continuación, es prácticamente nilpotente. De hecho, un argumento similar al de Lemma 7.3 muestra\nque cada subgrupo de... se genera finitamente. De ello se deduce que es policíclico. ¿Cómo...?\nnunca Wolf [37] demostró que los grupos policíclicos con crecimiento polinomio son virtualmente\nNilpotente.\nEjemplo 7.9 (Un grupo sin subgrupo de cocompacto nilpotente). Deja que G sea el\nGrupo de Lie Solvable conectado G = R (R2 × R2), donde R actúa como uno denso-\nsubgrupo de parámetros de SO(2,R) × SO(2,R). Entonces G es de tipo (R). No tiene\nsubgrupo compacto. Y no tiene ningún subgrupo de cocompacto nilpotente. De hecho, supongamos que H\nes un subgrupo cerrado de cocompacto nilpotente. Entonces tiene un centro no trivial. Por lo tanto\nhay un elemento de no identidad cuyo centralizador es co-compacto en G. Sin embargo un\nsimple examen de los posibles centralizadores de elementos de G muestra que ninguno\nde ellos es cocompacto.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 45\n7.2. Prueba del corolario 1.6 y el teorema 1.1. Deja que G sea una arbitraria a nivel local\ngrupo compacto de crecimiento polinomio y una pseudodistancia periódica en G.\nReclamación 1: El corolario 1.6 se refiere a un subgrupo cocompacto H de G, si y únicamente\nsi se mantiene para G. Por Lemma 7.7, los grupos G y H son unimodulares, y por lo tanto\nG/H lleva un radón G-invariante medida volG/H, que es finito ya que H es co-\ncompacto. Ahora deja que F sea un dominio Borel fundamental limitado para H dentro de G. Y\nque se haga la pseudodistancia periódica en G inducida por la restricción de H, que\nes.(x, y) :=.(hx, hi) donde hx es el elemento único de H de tal manera que x • hxF. Por\n4.2 Los apartados 1 y 4, los apartados 1 y 4 y los apartados 1 y 2 se encuentran a una distancia limitada entre sí. En particular,\nBl(r-C) Bl(r) Bl(r) Bl(r+C). Por lo tanto, si el límite (3) se mantiene para......................................................................................................................................................................................................................................................... \n- Con el mismo límite. No obstante, en los casos en que se trate de Bl(r) = {x) G, {e, hx) ≤ r} = Bl(r) F\nPor lo tanto, volG(Bl(r)) = volH(Bl(r)) · volG/H(F).\nPor 4.2 (4), H es una pseudodistancia periódica en H. Así que el resultado se mantiene para (H, H)\nsi y sólo si se mantiene para (G, l). Por el contrario, si.................................................................................................................................................\nen H, entonces?0(x, y) :=?0(hx, hi) es una pseudodistancia periódica en G, por lo tanto de nuevo\nvolG(Bl0(r)) = volH(Bl0(r)) · volG(F) y el resultado se mantendrá para (H, °0) si y\nsólo si se mantiene para (G, 0).\nReclamación 2: Si el corolario 1.6 se mantiene para G/K, donde K es algo compacto normal\nsubgrupo, entonces se mantiene para G también. De hecho, si se trata de una pseudodistancia periódica en\nG, entonces el K-promedio K, tal como se define en (26), está a una distancia limitada de G\nsegún Lemma 4.7. Ahora K induce una pseudodistancia periódica K en G/K\nPor consiguiente, volG(BlK (r)) = volG/K(BlK (r)) · volK(K). Y\nsi el límite (3) se mantiene para KK, también se mantiene para KK, por lo tanto también para KK.\nAsí, la discusión anterior combinada con el Teorema 1.2 reduce el corolario 1.6 a\nel caso en el que G está simplemente conectada y solvable, que se trató en la sección 5;\ny 6. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n7.3. Prueba de la Proposición 1.3 y del corolario 1.9.\nPrueba de la Proposición 1.3. Decimos que dos espacios métricos (X, dX ) y (Y, dY ) son\na una distancia limitada si son (1, C)-cuasi-isométrico para algunos finitos C. Esto es\nuna relación de equivalencia. Ahora si es H-periódico con H co-compacto, entonces (G, \nestá a una distancia limitada de (H, H). Por lo tanto, podemos asumir que H = G, es decir.\nque se deja invariante en G.\nAhora Teorema 1.2 da la existencia de un subgrupo compacto normal K, un co-\nsubgrupo compacto H que contiene K y un grupo de Lie solvable simplemente conectado S\nde tal manera que el H/K sea isomórfico a un subgrupo cocompacto de S.\nLemma 4.7 muestra que (G, \nse define como en (26). Ahora K induce una métrica periódica invariante izquierda en G/K,\ny (G/K, K) está claramente a una distancia limitada de (G, K). Ahora por 4.2, su\nla restricción a H/K está a una distancia limitada y se deja invariante. Ahora nos ponemos\nS(s1, s2) =\nK(h1, h2), donde (dado un dominio fundamental limitado F para el\n46 EMMANUEL BREUILLARD\nacción izquierda de H/K en S) hola es el elemento único de H/K de tal manera que si hiF.\nEs evidente que entonces (S, S) está a una distancia limitada de (H/K,\nK). Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nTomamos nota de que nuestra construcción de S aquí depende del estabilizador de la G.\nCiertamente no todas las opciones de Lie sombra se puede utilizar para todas las métricas periódicas (pensar\nque R3 es una sombra de mentira de la cobertura universal del grupo de movimientos del plano).\nTal vez se pueda elegir uno solo para todos, pero no lo hemos comprobado.\nPrueba del corolario 1.9. La Proposición 1.3 reduce la prueba a una métrica periódica\nen un grupo simplemente conectado de Lie Solvable S. Dejad la métrica subFinsler en S\n(invariante izquierda para la estructura de grupo de nilshadow graduada SN ) según lo indicado por Teorema\n1.4. Let t}t es el grupo de dilaciones en el nilshadow grado SN de S según se define\nen la sección 3. Por definición de la topología de Gromov-Hausdorff apuntada (véase [18]),\nes suficiente para probar el\nReclamación. La cantidad siguiente\n*(s1, s2)− *(l)\ns1), 1\n(s2))\nconverge a cero ya que n tiende a ser uniforme para todos los s1, s2 en una bola de radio O(n)\npara la métrica.\nAhora esto sigue en tres pasos. En primer lugar, se encuentra a una distancia limitada de su\nrestricción al estabilizador (cocompacto) H de 4.2 (1), 4.2 (4)). Entonces\npara h1, h2 â € ¢ H, podemos escribir ¬(h1, h2) = ¬(e, h\n1 h2). Sin embargo, la Proposición 5.1\nimplica la existencia de otra distancia periódica en S, que es invariante\ndebajo de las traducciones a la izquierda por elementos de H para la estructura original de Lie y\nla estructura de nilshadow Lie en S, de tal manera que\n(e,x)\nK(e,x)\ntiende a 1 como x tiende a\n- ¡No! - ¡No, no, no, no, no, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por lo tanto, K(e, h\n1 h2) = K(h1, h2) = K(e, h\n1 h2), donde * es el nilshadow\nproducto en S. Por lo tanto 1\n(h1, h2)−\nK(e, h\n1 h2) tiende a cero uniformemente como h1\ny h2 varían en una bola de radio O(n) para \nFinalmente el teorema 6.2 implica que 1\nK(e, h\n1 h2) −\n(e, h)\n1 h2) tiende a\ncero y la reclamación sigue, como se comprueba de la fórmula Campbell Hausdorff\ncomparando (11) y (12) como lo hicimos en (35), que\n(l) (l)\n(h1), 1\nh2)) − de(e, 1\n(h11 h2)\nConverge a cero.\nEl hecho de que el grupo nilpotent Lie calificado no depende (hasta isomor-\nphismo) en la métrica periódica, pero sólo en el grupo localmente compacto G fol-\nlos mínimos del teorema de Pansu [28] que si dos grupos de Carnot (es decir, una calificación simplemente\ngrupo nilpotente Lie conectado dotado de métrica subRiemanniana izquierda-invariante\ninducido por una norma en un subespacio suplementario al subalgebra conmutador)\nson bi-Lipschitz, los grupos subyacentes de la Mentira deben ser isomórficos. Este hecho profundo\nse basa en el teorema generalizado de Rademacher de Pansu, véase [28]. De hecho, dos diferen-\nLas métricas periódicas de G1 y G2 son cuasi-isométricas (véase la Proposición 4.4),\ny por lo tanto sus conos asintóticos son bi-Lipschitz (y bi-Lipschitz a cualquier Carnot\nmétrica de grupo en el mismo grupo clasificado, por (13)). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 47\n8. Distancias geodésicas extremas y velocidad de convergencia\nBajo ninguna otra suposición sobre la pseudodistancia periódica, la velocidad de\nLa convergencia en el volumen asintótico puede hacerse arbitrariamente pequeña. Esto es\nfácilmente visto si consideramos ejemplos del siguiente tipo: definimos ♥(x, y) = x−y\nx− y en R donde α (0, 1). Es periódico y vol(Bl(t)) = t− t\nα + o(tα).\nSin embargo, muchos ejemplos naturales de métricas periódicas, tales como métricas de palabras o\nLas métricas riemannianas, son de hecho groseramente geodésicas. Se dice una pseudodistancia en G.\npara ser groseramente geodésico, si hay una constante C > 0 de tal manera que cualquier dos puntos puede\nestar conectado por un C-coarse geodésico, es decir, para cualquier x, y G hay un mapa\ng : [0, t] → G con t = x, y), g(0) = x y g(t) = y, de tal manera que\n(g(u), g(v)) − u− v ≤ C\npara todos u, v â € [0, t].\nEste es un requisito más fuerte que decir que es geodésico asintóticamente\n(véase 21). Esta noción es invariante bajo isometría gruesa. En el caso de G\nes abeliano, D. Burago [6] demostró el hermoso hecho de que cualquier groseramente geodésico\nmétrica periódica en G está a una distancia limitada de su norma asintótica. In\nvolG(Bl(t)) = c · t\nd+O(td−1) en este caso. En el notable artículo [32],\nM. Stoll demostró que tal término de error en O(td−1) se mantiene para cualquier finitamente generado\nGrupo nilpotente de 2 pasos. Si O(td−1) es el término de error correcto para cualquier finitamente\ngrupo nilpotente generado sigue siendo una pregunta abierta.\nEl ejemplo a continuación muestra por el contrario que en un grupo arbitrario de mentiras de\ncrecimiento polinomio no se puede esperar un término de error universal.\nTeorema 8.1. Que Łn > 0 sea una secuencia arbitraria de números positivos que tienden\na 0. Entonces existe un grupo G de crecimiento polinomio de grado 3 y un compacto\nSet de generación de energía en G y c > 0 de tal manera que\nvolG(\nc · n3\n≤ 1−\nse mantiene para infinitamente muchos n, aunque 1\nvolG(\nn) → 1 como n→.\nEl ejemplo que damos a continuación es un producto semi-directo de Z por R2 y la métrica\nes una palabra métrica. Sin embargo, muchos ejemplos similares se pueden construir tan pronto como\nel mapa T : G → K definido en el punto 5.1 en el que no está. Por ejemplo, uno puede\nconsiderar métricas riemannianas invariantes izquierdas en G = R · (R2 × R2) donde R actúa\npor medio de un subgrupo denso de un parámetro del S1 × S1 de 2torros. Incidentemente, esto\ngrupo G es conocido como el grupo Mautner y es un ejemplo de un grupo salvaje en\nteoría de la representación.\n8.1. Un ejemplo con velocidad arbitrariamente pequeña. En este párrafo describimos\nel ejemplo de Teorema 8.1. Dejar Gα = Z · R\n2 donde la acción de Z es dada por\nla rotación Rα del ángulo â € ¬, α â € [0, 1). El grupo Gα es cuasi-isométrico a R\ny por lo tanto de crecimiento polinomio de orden 3 y es cocompacto en el análogo\ngrupo de mentiras definido G = R R\n2. Su nilshadow es isomórfico a R3. El punto es\n48 EMMANUEL BREUILLARD\nGráfico 2 La unión de los dos conos, con base en el disco de radio\n2, representa el límite de la forma de las bolas en el grupo Z R2,\ndonde Z actúa por una rotación irracional, con el conjunto de generación =\n{(±1, 0, 0)} {(0, x1, x2),\nx21 + x\n2 ≤ 1}.\nque si α es un número Liouville convenientemente elegido, entonces las bolas en Gα no será\nbien aproximado por las bolas de la norma límite.\nLos elementos de Gα se escriben (k, x) donde k â € Z y x â € R\n2. Dejemos que \"xá\"\nx21+x\nser una norma euclidiana en R2, y dejar que sea el conjunto de generación compacta simétrica\nIndicado por {(±1, 0)(0, x), â € x ≤ 1}. Induce una palabra métrica en G. Se sigue\nde Teorema 1.4 y la definición de la norma asintótica que (e, (k, x)) es\nasintótico a la norma en R3 dada por?0(e, (k, x)) := k + â € € ~ xâ € ~ 0 donde â € ~ xâ € es\nla norma invariante de rotación en R2 definida por â € € TM xâ €\n(x21 + x\n2). La bola de la unidad de\n0 es el casco convexo de la unión de todas las imágenes de la bola de unidad de bajo todo\nrotaciones Rkα, k â € Z.\nVamos a elegir α como un número de Liouville adecuado para que (36) se mantiene. Vamos.\nN = 4 ° n)\n1/3 y elegir α de modo que lo siguiente se mantiene para infinitamente muchos n’s:\n(37) d(kα,Z +\n) ≥ 2\npara todos k Z, k ≤ n. Esto se ve fácilmente ser posible si elegimos α de la forma\n1/3ni para algunas secuencias de aumento de vacío adecuadas de (ni)i.\nTenga en cuenta que, ya que â € € > x, tenemos â € € >. Que Sn sea la pieza de R\n2 definido\npor Sn = ≤ Łn} donde فارسى es el ángulo entre el punto x y el eje vertical\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 49\nRe2. Alegamos que si x â € ¬ Sn, ¬0(e, (k, x)) ≤ n y n satisface (37), entonces\n(e, (k, x)) ≥ k (1 +\n) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nDe la reclamación se desprende fácilmente que volG(l)\nn) ≤ (1− n) · volG(B0(n)). Además\nvolG(Bl0(n)) = c · n\n3 + O(n2), donde c = 4\nsi el volG es administrado por la Lebesgue\nmedida.\nPrueba de reclamación. Aquí está la idea de probar la reclamación. Para encontrar un camino corto entre\nla identidad y un punto en el eje vertical, tenemos que girar por un Rkα tal que\nkα está cerca de 1\n, por lo tanto subir de (0, 0) a (k, 0) en primer lugar, por lo que la vertical\ndirección más corta. Sin embargo, si (37) se mantiene, la dirección vertical no se puede hacer como\ncorto como podría después de la rotación por cualquiera de los Rkα con k ≤ n.\nNótese que si el valor de la letra (e), (k, x)) ≤ n, k ≤ n y (e, (k, x)) ≥ kinf\n# Rkiαxi #\ndonde el infimum se toma en todas las rutas x1,..., xN tal que x =\nxi y todos\nrotaciones Rkiα con ki ≤ n. Tenga en cuenta que si ♥n es lo suficientemente pequeño y (37) sostiene\nentonces por cada x â € ¢ Sn tenemos â € € ¢ Rkαxâ € ≥ (1 + € €.\nn) x0. Por otra parte\n* x = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =\nâ € € TM € € € TM € € € € TM € € € TM € € TM € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM Por lo tanto\nRkiαxi® ≥\nin\nRkiαxi\nin\n# Rkiαxi #\n≥ (1 + 2n)\nin\n+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\ncos(ln)\nin\n0 cos(i)\n≥ (1 +)\n) · • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n8.2. Forma límite para métricas de palabras más generales en grupos Solvable Lie\nde crecimiento polinomio. La determinación de la forma límite de la palabra métrica\nen el párrafo 8.1 es posible debido a la naturaleza bastante simple de la\nListo. En general, utilizando la identidad (véase 1))\n38) 1 ·............................................................................................................................................................................................................................................................ . · m = • 1 * (T (1) • 2) ∗.................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... .......................................................................................\nes fácil comprobar que la bola de la unidad de la norma límite · induciendo el límite\nmétrica de subFinsler d.o.p. en el nilshadow asociado a una métrica de palabra dada con\nel conjunto de generación se contiene en el K-órbita del casco convexo de la proyección\na la nilshadow abelianizada, a saber, el casco convexo de K · \nEn el ejemplo del párrafo 8.1, incluso teníamos igualdad entre los dos. ¿Cómo...?\nEn general, esto no es así. Por ejemplo, la forma límite es siempre K-\ninvariante, pero claramente la forma límite asociada a un conjunto generador \ncon el asociado con un conjugado g-g-1 de él, mientras que el casco convexo de la\nLas órbitas K respectivas pueden no ser las mismas.\nPor supuesto, si el conjunto de generación es K-invariante para empezar, entonces ♥n = n\ny estamos de vuelta en el caso nilpotent, donde sabemos que la bola de unidad de la\nlímite norma es sólo el casco convexo de la proyección del conjunto generador a la\nabelianización. En general, sin embargo, es un problema difícil para determinar el\n50 EMMANUEL BREUILLARD\nforma asintótica precisa de una métrica de la palabra en un grupo de Lie solvable general con\ncrecimiento polinomio, y no parece haber una descripción simple análoga a lo que\nTenemos en el caso Nilpotent.\nIncluso en el ejemplo anterior Gα = ZR\n2, o en la cobertura universal del grupo\nde los movimientos del plano (en el que Gα incrusta co-compactamente), no es tan simple.\nEn general, la forma se determina resolviendo un problema de optimización en el que\nuno tiene que encontrar la ruta que maximiza las coordenadas del punto final. In\npara ilustrar esto, tratamos sin pruebas el siguiente ejemplo simple.\nSuponga que ♥ es un barrio compacto simétrico de la identidad en Gα = ZR\ndel formulario = (0,0,0,0) â € € (1,0,0) â € € (1,0,0) â € € € (1,0,0) â € € € €\n−1, en los que siguientes puntos:\n2. Entonces el\nlímite de la forma de la palabra métrica asociado a ♥ es el cuerpo sólido (rotacionalmente\nsimétrica alrededor del eje vertical como en la Figura 2) hecha de dos copias (superior y\ninferior) de un cono truncado con base de disco (0,R2) de radio max{r0, r1} y\nsuperior (resp. inferior) un disco en el plano (1,R2) (resp. (−1,R2)) de radio r2, donde\nlos radios son dados por\nr0 = máx. x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, },, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x,, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x,\ndiam(1),\ndonde el diámetro de diam (1 y r2 es dado por la integral\n(39) r2 =\nmáx.\ndonde (el 1) es la proyección ortogonal en el eje x de la imagen de \n2 por a\nrotación del ángulo alrededor del origen. De hecho, es convexo (nota que r2 ≤ r1).\nPor ejemplo, si se hace de un solo punto, entonces la forma límite es la misma\ncomo en el párrafo anterior y como en la figura 2, a saber, dos copias de un cono.\nSin embargo, si se compone de dos puntos {a, b}, entonces la parte superior de la forma límite\nserá un cono truncado con un disco superior de radio r2 =\nA-b-a-b-a-b-a-b-a-b-a-b-a-b-b-a-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-.\n(que es el\nresultado del cálculo de la integral anterior).\nExpliquemos brevemente la fórmula (39). Un camino de longitud n alcanzar el más alto\nz-coordenada en Gα es una palabra de la forma (1, 1) ·. . · (1, n), con Í ·i â € € · 1. Por\n(38) esta palabra es igual a\nRi−1α Łi).\nAquí se puede tomar cualquier valor en el valor 1. Con el fin de maximizar la norma de la segunda\ncoordenada, o equivalente (por invarianza de rotación) su coordenada x, uno tiene que\nelegir en cada etapa de tal manera que la coordenada x de R\nα • i es\nmaximizado. Fórmula (39) se deriva ahora del hecho de que {Ri−1α }1≤i≤n se convierte en\nequidistribuido en SO(2,R) como n tiende a infinito.\nPara mostrar que max{r0, r1} es el radio del disco base y más\ngeneralmente que la forma límite no es más grande que este doble cono truncado, uno\nnecesita discutir más a fondo considerando todos los caminos posibles de la forma (-1, -1) ·. .....................................................\nEn los casos en que se trate de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A,\nSe prescribe.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 51\n8.3. Distancia limitada versus métricas asintóticas. En este párrafo nosotros y...\nRESPUESTA A UNA CUESTIÓN DE D. Burago y G. Margulis (véase [7]). Basado en el caso Abelian\ny el caso reductivo (Abels-Margulis [1]), Burago y Margulis habían conjeturado\nque cada dos métricas de palabras asintóticas deben estar a una distancia limitada. Damos\ndebajo de un contraejemplo a esto. Primero damos un ejemplo (A) de una mentira nilpotente\ngrupo dotado de dos métricas de subFinsler invariantes izquierdas\n# Que son... #\nasintótico el uno al otro, es decir. d-(e, x)/d\n• (e, x) → 1 como x → • pero de tal manera que\n(e, x)− d\n*(e, x) no está limitada uniformemente. Luego exhibimos (B) una palabra conocida...\nric que no está a una distancia limitada de cualquier cuasinorma homogénea. Finalmente\nestos ejemplos también producen (C) dos métricas de palabras........................................................................................................................................................................................................................................................ \ngrupo nilpotente generado que son asintóticos pero no a una distancia limitada.\nNótese que el grupo Gα con 0 y del último párrafo también proporciona\nun ejemplo de métricas asintóticas que no están a una distancia limitada (pero esto\ngrupo no fue discreto).\n(A) Dejar que N = R × H3(R) donde H3 es el grupo clásico de Heisenberg y\nZ ×H3(Z) una celosía en N. En el Lie álgebra n = RV h3 elegimos dos diferentes\nsubespacios suplementarios de [n, n] = RZ, es decir, m1 = span{V,X,Y} y m\nspan{V + Z,X,Y }, donde h3 es el álgebra de Lie de H3(R) a través de X,Y y\nZ = [X,Y ].Consideramos la L1-norm en m1 (resp. m\n1) correspondiente a la base\n(V,X,Y) (resp. (V + Z,X, Y )). Ambas normas inducen la misma norma en n/[n, n].\nDan lugar a la izquierda invariante Carnot-Carateodory Finsler métricas en N, decir\n(resp. d\n(+)). Utilizamos las coordenadas (v, x, y, z) = exp(vV + xX + yY + zZ).\nDe acuerdo con la Observación (2) después del Teorema 6.2, d.a. y d.a.\nSon asintóticos. Vamos.\nnos muestran que no están a una distancia limitada. En primer lugar observar que, desde V\n(v; (x, y, z))) = v + dH3(e, (x, y, z)) donde dH3 es el Carnot-\nmétrica de Carateodory Finsler en H3(R) definida por la norma L\n1-norm en la\nspan{X,Y}. Del mismo modo d(e, (v; (x, y, z))) = v + dH3(e, (x, y, z − v))). En caso de que se produzca un cambio en la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión, se considerará que la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión es la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión y, en su caso, la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión.\nd estaban a una distancia limitada, tendríamos un C > 0 tal que para todos t > 0\n(t; (0, 0, t)) − t ≤ C\nPor lo tanto dH3(e, (0, 0, t)) ≤ C, que es una contradicción.\n(B) Ahora deje ♥ = {(1; (0, 0, 1))±1, (1; (0, 0,−1))±1, (0; (1, 0, 0))±1, (0; (0, 1, 0)±1}\nser un conjunto generativo para la palabra métrica asociada a ella. Dejemos que \nuna cuasinorma homogénea sobre N que está a una distancia limitada de, es decir,\n(e, g) − g está limitado. Entonces · es asintótico a, por lo tanto es igual a la\nCarnot-Carateodory Finsler métrica d asintótica a y homogénea con\nrespeto al mismo grupo de parámetros de dilaciones t}t>0. Dejar m1 = {v • n,\n* t(v) = tv}. Entonces d es inducido por alguna norma 0 en m1, cuya bola unidad es\nsegún el teorema 1.4 por el casco convexo de las proyecciones a m1 de la\nGrupos electrógenos en A. Hay un vector único en m1 de la forma V +z0Z. Su 0-norm\nes 1 y d(e, (1; (0, 0, z0))) = 1. Sin embargo d(e, (v; (x, y, z))) = v dH3(e, (x, y, z −\nvz0)). Desde (e, (n; (0, 0, n)) = n, obtenemos\nd(e, (n; (0, 0, n)) − (e, (n; (0, 0, n)) = dH3(e, (0, 0, n(1 − z0)))\n52 EMMANUEL BREUILLARD\nSi esto está limitado, esto fuerza z0 = 1. Pero podemos repetir el mismo argumento con\n(n; (0, 0,-n)) que forzaría z0 = −1. Una contradicción.\n(C) Let ahora:= {(1; (0, 0, 0))\n±1, (0; (1, 0, 0))±1, (0; (0, 1, 0))±1} y 2\nmétrica de la palabra asociada en la palabra. Entonces otra vez y 2 son asintóticos por Teorema\n6.2 porque el casco convexo de su módulo de proyección coincide con la coordenada z.\nSin embargo 2 es una métrica de producto, a saber, tenemos 2(e, (v; (x, y, z))) = v +\n(e, (x, y, z)), en el que ♥ es la métrica de la palabra en el grupo discreto de Heisenberg H3(Z)\ncon generadores estándar {(1, 0, 0)±1, (0, 1, 0)±1}. En particular\n(e, (n; (0, 0, n))) − 2(e, (n; (0, 0, n)) = ♥(e, (0, 0, n))\nque no tiene límite.\nObservación 8.2 (Una geodésica anormal). Referimos al lector a [9] para más información sobre\nEstos ejemplos. En particular, mostramos allí que el 1 y el 2 supra no son (1, C)-\ncuasi-isométrico para cualquier C > 0. El fenómeno clave detrás de este ejemplo es\nla presencia de una geodésica anormal (véase [25]), es decir, el grupo de un parámetro;\n{t; (0, 0, 0))}t.\nObservación 8.3 (Velocidad de convergencia en el caso de los nilpotentes). La velocidad lenta phe-\nNomenon en Teorema 8.1 se basó fundamentalmente en la presencia de un semisim no trivial\nple parte en Gα ; esto no ocurre en grupos nilpotentes. En [9], mostramos que para\nmétricas de palabras en grupos nilpotentes finitamente generados, la convergencia en Teorema\n6.2 tiene una velocidad de polinomio con un término de error al menos tan bueno como O(dŁ(e, x)\n3r ),\ndonde r es la clase de nilpotencia. Conjeturamos allí que el exponente óptimo es 1\nEsto implica afinar cuantitativamente las estimaciones de la prueba de Teorema antes mencionada\n9. Apéndice: los grupos Heisenberg\nAquí mostramos cómo calcular la forma asintótica de las bolas en el Heisenberg\nLos grupos H3(Z) y H5(Z) y su volumen, dando así otro enfoque a la\nel resultado principal de Stoll [33]. El término principal para el crecimiento de H3(Z) es racional\npara todos los grupos electrógenos (Prop. 9.1 infra), mientras que en H5(Z) con su norma\ngenerar conjunto, es trascendental. Esto explica cómo se hizo nuestra Figura 1\n(compare con el impar [22] Fig. 1).\n9.1. Grupo 3-dim Heisenberg. Consideremos en primer lugar el grupo Heisenberg\nH3(Z) = a, b[a, [a, b]] = [b, [a, b]] = 1.\nLo vemos como la celosía generada por a = exp(X) y b = exp(Y) en el real\nGrupo Heisenberg H3(R) con Lie álgebra h3 generada por X,Y y abarcada por\nX, Y, Z = [X, Y ]. Dejar ser la métrica de la palabra estándar en H3(Z) asociado a\nel conjunto generador = {a±1, b±1}. Según Teorema 1.4, la forma límite de\nla n-bola n en H3(Z) coincide con la unidad de bola C3 = {g H3(R), d(e, g) ≤\n1} para la métrica de Carnot-Carateodoría do inducida en H3(R) por la l\n1-norm\n* x X + yY 0 = x en m1 = span{X,Y } h3.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 53\nComputar esta bola de unidad es una tarea bastante simple. Cambiar los roles de X\ne Y, vemos que C3 es invariante bajo la reflexión z 7→ −z. Entonces claramente C3 es\nde la forma {xX + yY + zZ, con x y ≤ 1 y z ≤ z(x, y)}. Cambiar X a\n−X e Y a −Y, obtenemos las simetrías z(x, y) = z(−x, y) = z(x,−y) = z(y, x).\nPor lo tanto, al determinar z(x, y), podemos asumir 0 ≤ y ≤ x ≤ 1, x+ y ≤ 1.\nLa siguiente observación bien conocida es crucial para calcular z(x, y). Si el valor de\nruta horizontal en H3(R) a partir de id, a continuación, (t) = exp(x(t)X+y(t)Y +z(t)Z),\ndonde (t) = x(t)X + y(t)Y y z(t) es el área de “balayage” del\nruta {x(s)X + y(s)Y }0≤s≤t y el acorde que une 0 a x(t)X + y(t)Y.\nPor lo tanto, z(x, y) es dada por la solución al “problema isoperimétrico dido”\n(véase [25]: encontrar una ruta en el plano X,Y entre 0 y xX + yY de 0-longitud 1\nque maximiza el “área de albañilería”. Puesto que 0 es la l\n1-norm en el plano X, Y,\ncomo es bien conocido (véase [8]), tales curvas extremas son dadas por arcos de cuadrado con\nlados paralelos a los ejes X, Y. Por lo tanto, hay una dicotomía: el arco del cuadrado\ntiene 3 o 4 lados (puede tener 1 o 2 lados, pero estos están incluidos están limitando\ncasos de los anteriores).\nSi hay 3 lados, tienen longitud l, x e y + l con y + l ≤ x. Por lo tanto\n1 = l+ x+ y + l y z(x, y) = lx+ 1\nxy. Por lo tanto, esto ocurre cuando y ≤ 3x − 1\ny entonces tenemos z(x, y) =\nx(1−x)\nSi hay 4 lados, tienen longitud l, x+ u, y + l y u, con l+ y = x+ u.\nPor lo tanto 1 = 2l + 2u + x + y y z(x, y) = (l + y) (x + u) −\n. Esto ocurre cuando\ny ≥ 3x− 1 y luego tenemos z(x, y) =\n(1+x+y)2\nPor lo tanto, si 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 y x+ y ≤ 1\n(40) z(x, y) = 1y≤3x−1\nx(1− x)\n+ 1y>3x−1\n(1 + x + y)2\nLa unidad de bola C3 dibujada en la Figura 1 es el cuerpo sólido C3 = {xX + yY + zZ, con\nx y ≤ 1 y z ≤ z(x, y)}.\nUn cálculo simple muestra que vol(C3) =\nen el Lebesgue medida dxdydz.\nPuesto que H3(Z) se ve fácilmente tener co-volumen 1 para esta medida de Haar en H3(R)\n(en realidad, {xX+yY +zZ, x â € [0, 1), y â € [0, 1), z â € [0, 1)} es un dominio fundamental),\nDe ello se deduce que\n#(ln)\n= vol(C3) =\nAsí recuperamos un resultado bien conocido (véase [4], [31] donde incluso la serie de crecimiento completa\nse calcula y se demuestra que es racional).\nTambién se puede determinar exactamente qué puntos de la esfera de C3 se unen a id\npor un camino geodésico horizontal único. El lector comprobará fácilmente esa singularidad\nfalla exactamente en los puntos (x, y,±z(x, y)) con x < 1\ny y = 0, o y < 1\nx = 0, o bien en los puntos (x, y, z) con x y = 1 y z < z(x, y).\nEl método anterior también da el siguiente resultado.\n54 EMMANUEL BREUILLARD\nProposición 9.1. Let ser cualquier conjunto de generación simétrica para H3(Z). Entonces el\ncoeficiente principal en #(ln) es racional, es decir.\n#(ln)\nes un número racional.\nPrueba. Sólo esbozamos la prueba aquí. Podemos aplicar el método anterior y com-\npute r como el volumen de la unidad CC-ball C(l) del límite CC-metric d-\nmultado en Teorema 1.4. Puesto que sabemos lo que es la norma en el (x, y)-plano\nm1 = espano X, Y â € que genera dâ € (es la norma poligonal dada por el con-\nvex casco de los puntos de ♥), podemos calcular C() explícitamente. Necesitamos saber.\nla solución al problema isoperimétrico de Dido para en m1, y como es bien conocido\n(véase [8]) se da por líneas poligonales del polígono dual rotado por 90o. Desde\nel polígono que define está hecho de líneas racionales (puntos en tienen entero coordi-\nnates), cualquier vector con coordenadas racionales tiene racional -longitud, y el dual\nEl polígono también es racional. Las ecuaciones que definen z(x, y) tendrán por lo tanto sólo\ncoeficientes racionales, y z(x, y) se dará por separado por una cuadrática racional\nforma en x e y, donde las piezas son triángulos racionales en el plano (x, y). Los\nPor lo tanto, el volumen total de C() será racional. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n9.2. Grupo de 5-dim Heisenberg. El grupo HeisenbergH5(Z) es el\natendido por a1, b1, a2, b2, c con relaciones c = [a1, b1] = [a2, b2], a1 y b1\na2 y b2 y c es central. Let = {a\ni, b\ni, i = 1, 2}. Describamos el límite.\nla forma de Łn. Una vez más, vemos H5(Z) como una celosía de co-volumen 1 en el grupo H5(R)\ncon Lie álgebra h5 extendida por X1, Y1X2, Y2 y Z = [Xi, Yi]. Por Teorema 1.4,\nla forma límite es la unidad de bola C5 para la métrica Carnot-Caratheodory en H5(R)\ninducidos por la l1-norm x1X1 + y1Y1 + x2X2 + y2Y2+0 = x1 y1 x2 y2.\nDesde X1, Y1 conmutar con X2, Y2, en cualquier camino horizontal lineal en\nH5(R), podemos intercambiar las piezas tangentes a X1 o Y1 con las tangentes a X2 o\nY2 sin cambiar el punto final de la ruta. Por lo tanto, en caso de que la expresión «(t)» = exp(x1(t)X1 +\ny1(t)Y1 + x2(t)X2 + y2(t)Y2 + z(t)Z) es una ruta horizontal, luego z(t) = z1(t) +\nz2(t), donde zi(t), i = 1, 2, es el “área de balayage” de la curva plana {xi(s)Xi +\nyi(s)Yi}0≤s≤t.\nPuesto que, al igual que para H3(Z), conocemos la curva maximizando esta área, podemos\ncalcular la bola de unidad C5 explícitamente. En coordenadas exponenciales tomará la\nforma C5 = {exp(x1X1 + y1Y1 + x2X2 + y2Y2 + zZ), x1 y1 x2 y2 ≤ 1 y\nz ≤ z(x1, y1, x2, y2)}. Luego z(x1, y1, x2, y2) = sup0≤t≤1{zt(x1, y1)+ z1−t(x2, y2)},\ndonde zt(x, y) es el “área de balayage” máximo de una trayectoria de longitud t entre 0\ny xX+yY. Es fácil ver que zt(x, y) = t\n2z(x/t, y/t) donde z es dada por (40).\nPor lo tanto zt es una función cuadrática a partes de t. De nuevo z(x1, y1, x2, y2) es invariante\nbajo cambiar los signos del xi,yi, y el intercambio de x e y, o bien el intercambio\n1 y 2. Así pues, podemos suponer que la mentira del xi,yi en D = {0 ≤ yi ≤ xi ≤ 1 y\nx1+y1+x2+y2 ≤ 1, y x2−y2 ≥ x1−y1}. Por lo tanto, podemos determinar explícitamente\nel supremamum z(x1, y1, x2, y2), que después de algunos cálculos sencillos toma\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 55\nEn D el siguiente formulario:\nz(x1, y1, x2, y2) = 1Amax{d1, d2 1B max{d1, c1 1C max{c1, c2}\ndonde d1 =\n(1−x1− y1−x2), c1 =\n(1+x1+ y1−x2− y2)\nx2y2−x1y1\ny d2 y c2 se obtienen de d1 y c1 mediante el intercambio de los índices 1 y 2. Los\nlos conjuntos A, B y C forman la siguiente partición de D: A = D • {m ≤ x1 − y1},\nB = D • {x1 − y1 < m < x2 − y2} y C = D • {x2 − y2 ≤ m}, donde m =\n(1 − x1 − x2 − y1 − y2)/2.\nPuesto que C5 tiene una forma tan explícita, es posible calcular su volumen. El hecho\nque z(x1, y1, x2, y2) es dada por el máximo de dos formas cuadráticas\nhace que el cálculo de la integral sea algo engorroso pero tratable. Nuestro\nLas ecuaciones coinciden (¡por desgracia!) con los de Stoll (apéndice de [33]), donde\nCalculó el término principal de la asintótica de #(ln) por un método diferente. Stoll\ncalculó que integral y obtenido\n#(ln)\n= vol(C5) =\n21870\nlog(2)\n32805\nque es trascendental. También es fácil ver por este método que si cambiamos\nel conjunto de generación a 0 = {a\n2 }, entonces obtenemos un volumen racional. Por lo tanto\nla racionalidad de la serie de crecimiento de H5(Z) depende de la elección de\nset, que es el teorema de Stoll.\nUna ventaja de nuestro método es que también puede aplicarse a la generación de\nSets. El caso de los grupos de Heisenberg de mayor dimensión con la gen-\nconjunto de borrado es análogo: la función z({xi}, {yi}) se define de nuevo por partes como\nel máximo de muchas formas cuadráticas explícitas finitas en una partición lineal de la\nBola de 1 unidad\nxi yi ≤ 1.\nAgradecimientos. Me gustaría agradecer a Amos Nevo por su hospitalidad en el\nTechnion de Haifa en diciembre de 2005, donde se llevó a cabo parte de este trabajo, y\npara desencadenar mi interés en este problema mostrándome las posibles implicaciones\nde Teorema 1.1 a Teoría Ergódica. Mi agradecimiento también se debe a V. Losert por\nseñalando una inexactitud en mi primera prueba de Teorema 1.2 y para su otro\ncomentarios sobre el manuscrito. Finalmente doy las gracias a Y. de Cornulier, M. Duchin, E. Le\nDonne, Y. Guivarc’h, A. Mohammadi, P. Pansu y R. Tessera para varios útiles\nconversaciones.\nBibliografía\n[1] H. Abels y G. Margulis. métricas muy geodésicas en grupos reductores. En la moderna dy-\nsistemas y aplicaciones namical, páginas 163–183. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2004.\n[2] L. Auslander y L. W. Green, flujos inducidos por G, Amer. J. Matemáticas. 88 (1966), 43–60.\n[3] H. Bass, El grado de crecimiento polinomio de grupos nilpotentes finitamente generados, Proc. Londres\nMatemáticas. Soc. (3) 25 (1972), 603–614.\n[4] M. Benson, Sobre el crecimiento racional de grupos prácticamente nilpotentes, In: S.M. Gersten, Stallings\n(eds), Teoría y Topología del Grupo Combinatorio, Ann. Matemáticas. Estudios, vol. 111, PUP (1987).\n[5] V. N. Berestovsk. Múltiples homogéneos con una métrica intrínseca I, Sibirsk. Mat. Zh.,\n29(6):17–29, 1988.\n56 EMMANUEL BREUILLARD\n[6] D. Yu. Burago, métricas periódicas, en teoría de la representación y sistemas dinámicos, 205–\n210, Adv. Matemáticas soviéticas. 9 Amer. Matemáticas. Soc. (1992).\n[7] D. Yu. Burago, G.A. Margulis, Sesión de Problemas, en Informe Oberwolfach, Grupo Geométrico\nTeoría, Dinámica Hiperbólica y Geometría Simpléctica, 2006.\n[8] H. Busemann, El problema isoperimétrico en el plano Minkowski, AJM 69 (1947), 863–871.\n[9] E. Breuillard y E. Le Donne, Sobre la tasa de convergencia al cono asintótico para\ngrupos nilpotent y geometría subFinsler, preprint 2012.\n[10] A. Calderón, Teorema ergódico general, Anales de Matemáticas. 57 (1953), pp. 182-191.\n[11] T. H. Colding y W. P. Minicozzi, II. Teoremas de Liouville para secciones armónicas y aplicaciones\ncationes. Comm. Pura Appl. Math., 51(2):113-138, 1998.\n[12] L. Corwin y F. P. Greenleaf, Representaciones de grupos de mentiras nilpotentes y sus aplicaciones,\nParte I, Teoría básica y ejemplos, Cambridge Univ. Press, (1990) 269pp.\n[13] N. Dungey, A. F. M ter Elst, y D. W. Robinson, Análisis de grupos de mentiras con polinomios\ncrecimiento, progreso en matemáticas. 214, Birkhauser, (2003) 312pp.\n[14] W. R. Emerson, el teorema ergódico puntual para grupos sensibles, Amer. J. Matemáticas 96\n(1974), 472–487.\n[15] J. W. Jenkins, Caracterización del crecimiento en grupos compactos locales, Bull. Amer. Matemáticas.\nSoc. 79 (1973), 103–106.\n[16] F. P. Greenleaf, Invariante significa sobre los grupos topológicos y sus aplicaciones, Van Nostrand\nEstudios matemáticos, no 16 (1969) 113pp.\n[17] M. Gromov, Grupos de crecimiento polinomio y mapas en expansión, Publicaciones Mathématiques\nde l’IHES, no 53 (1981), 53-73.\n[18] M. Gromov. Estructuras métricas para espacios Riemannianos y no Riemannianos, volumen 152 de\nProgresos en Matemáticas. Birkhäuser Boston Inc., Boston, MA, 1999. Basado en el informe de 1981\nOriginal en francés, con apéndices de M. Katz, P. Pansu y S. Semmes.\n[19] M. Gromov, Espacios Carnot-Carathéodory vistos desde dentro, en Geometría Sub-Riemanniana,\neditado por A. Bellaiche y J-J. Risler, 79-323, Birkauser (1996).\n[20] M. Gromov, Invariantes asintóticas de grupos infinitos, en teoría de grupos geométricos, Vol. 2\n(Sussex, 1991), 1–295, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 182, CUP (1993).\n[21] Y. Guivarc’h, Croissance polynômiale et périodes des fonctions armónicos, Bull. Sc. Matemáticas.\nFrancia 101, (1973), págs. 353 a 379.\n[22] R. Karidi, Geometría de bolas en grupos de mentiras nilpotentes, Duke Math. J. 74 (1994), no. 2, 301-317.\n[23] S. A. Krat. Propiedades asintóticas del grupo Heisenberg. Zap. Nauchn. Sem. S.-Peterburg.\nOtdel. Mat. Inst. Steklov. (POMI), 261(Geom. i Topol. 4):125–154, 268, 1999.\n[24] V. Losert, Sobre la estructura de los grupos con crecimiento polinomio, Math. Z. 195 (1987), no 1,\n109–117.\n[25] R. Montgomery, Un recorrido por la geometría subriemanniana, AMS book 2002.\n[26] A. Nevo, Teoremas ergódicos puntuales para las acciones de grupos de mentira conectados, Manual de Dy-\nSistemas Námicos, Eds. B. Hasselblatt y A. Katok, para aparecer.\n[27] P. Pansu, Croissance des boules et des géodésiques fermées dans les nilvariétés, Ergodic\nTeoría Dynam. Systems 3 (1983), No. 3, 415–445.\n[28] P. Pansu, Mtriques de Carnot-Carathodory et cuasiisomtries de espaces simtriques de rang\nUn, Ann. de Matemáticas. 2) 129 (1989), No. 1, 160.\n[29] M. S. Raghunathan, subgrupos discretos de grupos de Lie, Springer Verlag (1972).\n[30] D. Robinson, Un curso en la teoría de los grupos, Springer-Verlag.\n[31] M. Shapiro, Una aproximación geométrica a la casi convexidad y crecimiento de algunos grupos nilpotentes,\nMatemáticas. Ann, 285, 601-624 (1989).\n[32] M. Stoll, Sobre la asintótica del crecimiento de grupos nilpotentes de 2 pasos, J. London Math. Soc\n(2) 58 (1998), no 1, 38–48.\n[33] M. Stoll, serie de crecimiento racional y trascendental para grupos superiores de Heisenberg, Invent.\nmatemáticas. 126, 85-109 (1996).\n[34] A. Tempelman, Teoremas ergódicos para acciones colectivas, Matemáticas y sus aplicaciones, 78,\nKluwer Editores académicos (1992).\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 57\n[35] R. Tessera, Volúmenes de esferas en espacios métricos de medidas duplicadas y grupos de polinomios\ncrecimiento, Bull. Soc. Matemáticas. Francia, 135(1):47–64, 2007.\n[36] H.C. Wang, subgrupos discretos de grupos Solvable Lie, Annals of Math, (1956), 64, 1-19.\n[37] J. Wolf, Crecimiento de grupos de solución finitamente generados y curvatura de Riemanniann mani-\nse pliega, J. Geometría diferencial, 2 (1968), p. 421–446.\nDirección de correo electrónico: emmanuel.breuillard@math.u-psud.fr\nUniversité Paris-Sud 11, Laboratoire de Mathématiques, 91405 Orsay, Francia\n\t1. Introducción\n\t2. Quasi-norms y la geometría de los grupos nilpotent Lie\n\t3. El nilshadow\n\t4. métricas periódicas\n\t5. Reducción al caso de nilpotente\n\t6. El caso de los nilpotentes\n\t7. G localmente compacto y pruebas de los principales resultados\n\t8. Distancias geodésicas extremas y velocidad de convergencia\n\t9. Apéndice: los grupos Heisenberg\n\tBibliografía\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" Obtenemos asintóticos para el volumen de grandes bolas en una arbitraria localmente\nGrupo compacto G con crecimiento polinomio. Esto se hace a través de un estudio de la\ngeometría de G y una generalización de la tesis de P. Pansu. En particular, mostramos\nque cualquier tal G es débilmente commensurable a algunos simplemente conectado Solvable Mentira\ngrupo S, la sombra de la mentira de G. También mostramos que las bolas grandes en G tienen un\nforma asintótica, es decir, después de una adecuada renormalización, convergen a una\nlimitar el conjunto compacto que puede ser interpretado geométricamente. Luego debatimos\nla velocidad de convergencia, tratar algunos ejemplos y dar una aplicación a\nTeoría ergódica. También respondemos a una pregunta de Burago sobre la izquierda invariante\nmétricas y recuperar algunos resultados de Stoll sobre la irracionalidad de las series de crecimiento\nde grupos nilpotentes.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción\n1.1. Grupos con crecimiento polinomio. Dejar G ser un grupo localmente compacto con\nizquierda Haar medida volG. Asumiremos que G es generada por un sim-\nmétrica subconjunto. Clásicamente, G se dice que tiene crecimiento polinomio si existe\nC > 0 y k > 0 de tal manera que para cualquier entero n ≥ 1\nvolG(\nn) ≤ C · nk,\nFecha: abril de 2012.\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0095v2\n2 EMMANUEL BREUILLARD\ndonde n = . · Es el conjunto de productos n-fold. Otra opción sólo sería\ncambiar la constante C, pero no la naturaleza polinómica del atado. Uno de los\nlas consecuencias del análisis realizado en este trabajo es el siguiente teorema:\nTeorema 1.1 (Volumen asintótico). Let G ser un grupo localmente compacto con poli-\ncrecimiento nominal y un subconjunto de generación simétrica compacta de G. Luego hay\nexiste c() > 0 y un entero d(G) ≥ 0 dependiendo de G solamente de tal manera que la\nen espera de lo siguiente:\nvolG(\nnd(G)\n= c(l)\nEsto extiende el resultado principal de Pansu [27]. El entero d(G) coincide con\nel exponente de crecimiento de un grupo de Lie nilpotente calificado naturalmente asociado, el\ncono asintótico de G, y se da por la fórmula Bass-Guivarc'h (4) a continuación.\nLa constante c(l) se interpretará como el volumen de la bola de unidad de un sub-\nmétrica de Riemannian Finsler en este grupo de mentiras nilpotentes. Teorema 1.1 es un by-\nproducto de nuestro estudio del comportamiento asintótico de pseudodistancias periódicas en G,\nque son pseudodistancias que son invariantes bajo un subgrupo cocompacto de G y\nsatisfacer un tipo débil de la existencia de axioma geodésico (véase la definición 4.1).\nNuestra primera tarea es obtener una mejor comprensión de la estructura de local compacto\ngrupos de crecimiento polinomio. Guivarc’h [21] demostró que los grupos compactos locales\nde crecimiento polinomio son amenizables y unimodular y que cada compactamente\nGenerado1 subgrupo cerrado también tiene crecimiento polinomio.\nGuivarc’h [21] y Jenkins [15] también caracterizaron grupos de Lie conectados con\ncrecimiento polinomio: un grupo de Lie conectado tiene crecimiento polinomio si y sólo si\nes de tipo (R), es decir, si para todos x • Lie(S), ad(x) sólo tiene puramente imaginario\nvalores propios. Estos grupos son solvable-por-compacto y cualquier nilpotente conectado\nEl grupo de mentiras es de tipo (R).\nEs mucho más difícil caracterizar grupos discretos con crecimiento polinomio,\ny esto se hizo en un célebre periódico de Gromov [17], demostrando que son\nPrácticamente nilpotente. Losert [24] generalizó el método de prueba de Gromov y mostró\nque se aplicó con poca modificación a los grupos arbitrarios localmente compactos con\ncrecimiento polinomio. En particular, mostró que contienen un compacto normal\nsubgrupo módulo que el cociente es un (no necesariamente conectado) grupo de mentira.\nDemostraremos el siguiente refinamiento.\nTeorema 1.2 (Sombra de mentira). Dejar G ser un grupo localmente compacto de polinomio\ncrecimiento. Entonces existe un grupo de Lie solvable conectado y simplemente conectado S\nde tipo (R), que es débilmente commensurable a G. Llamamos a tal grupo de la Mentira una Mentira\nsombra de G.\nSe dice que dos grupos compactos locales son débilmente comparables si, hasta\nmodificando por un núcleo compacto, tienen un subgrupo de cocompacto cerrado común.\nMás precisamente, demostraremos que, para algunos subgrupos compactos normalesK, G/K tiene\n1De hecho, de la teoría de la estructura Gromov-Losert se deduce que cada subgrupo cerrado es\ngenerado de forma compacta.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 3\nun subgrupo de cocompacto H/K que puede ser integrado como un cerrado y cocompacto\nsubgrupo de un grupo de Lie solvable S conectado y simplemente conectado de tipo (R).\nDebemos ser conscientes de que ser débilmente commensurable no es una equivalencia\nrelación entre grupos localmente compactos (a diferencia de los grupos finitos).\nAdemás, la sombra de Lie S no es única hasta el isomorfismo (e.g. Z3 es un\nco-compacto celosía en tanto R3 y la cubierta universal del grupo de movimientos de\nel avión).\nNo podemos sustituir la palabra solvable por la palabra nilpotente en el teo-\nrem. Referimos al lector al Ejemplo 7.9 para un ejemplo de un solvable conectado\nGrupo de mentiras de tipo (R) sin subgrupos normales compactos, que no admite co-\nsubgrupo compacto de nilpotente. De hecho, esto es típico de los grupos de Lie de tipo (R). Así que\nen el caso general localmente compacto (o sólo el caso de Lie) grupos de polinomio\ncrecimiento puede ser genuinamente no nilpotent, a diferencia de lo que sucede en el caso discreto.\nHay diferencias importantes entre el caso discreto y el caso general.\nPor ejemplo, demostraremos que no se puede esperar una tasa de convergencia en Teorema.\n1.1 cuando G es solvable no nilpotente, mientras que alguna tasa de polinomio siempre se mantiene en\nel caso discreto nilpotente [9].\nTeorema 1.2 nos permitirá reducir la mayoría de las preguntas geométricas sobre localmente\ngrupos compactos de crecimiento polinomio, y en particular la prueba de Teorema\n1.1, al caso de grupo Lie conectado. Observe también que Teorema 1.2 subsume\nTeorema de Gromov sobre el crecimiento polinomio, porque no es difícil ver que un\nretícula cocompacta en un grupo de Lie solvable de crecimiento polinomio debe ser virtualmente\nnilpotente (véase la Observación 7.8). Por supuesto, en la prueba que hacemos uso de Gromov’s\nteorema, en su forma generalizada para grupos localmente compactos debido a Losert. El resto\nde la prueba combina las ideas de Y. Guivarc’h, D. Mostow y una integración crucial\nTeorema de H.C. Wang. Se da en el párrafo 7.1 y es en gran medida independiente de\nel resto del periódico.\n1.2. Formas asintóticas. La parte principal del documento está dedicada al asymp-\ncomportamiento tótico de pseudodistancias periódicas en G. Referimos al lector a la definición\n4.1 para la definición precisa de este término, basta con decir ahora que es una clase de\npseudodistancias que contiene tanto métricas de palabra invariantes a la izquierda en G y geodésica\nmétricas en G que son invariantes a la izquierda en el subgrupo de cocompacto de G.\nTeorema 1.2 nos permite asumir que G es un subgrupo cocompacto de un simple\nel grupo S de Solvable Lie conectado, y en lugar de ver pseudodistancias en G,\nvamos a ver pseudodistancias en S que son invariantes de izquierda bajo un co-compacto\nSubgrupo H. Una consecuencia directa más precisa del Teorema 1.2 es la siguiente:\nProposición 1.3. Dejar G ser un grupo localmente compacto con crecimiento polinomio y \nuna métrica periódica sobre G. Entonces (G,?) es (1, C)-cuasi-isométrico a (S,?S) para algunos\nfinito C > 0, donde S es un grupo de Lie solvable conectado y simplemente conectado de\ntipo (R) y ♥S alguna métrica periódica en S.\nRecuerde que dos espacios métricos (X, dX ) y (Y, dY ) se llaman (1, C)-cuasi-isométrico\nsi existe un mapa : X → Y de tal manera que cualquier y Y está a la distancia a lo sumo C\nde algún elemento en la imagen de ♥ y si dY (\n′)) − dX(x, x\n′) ≤ C para\ntodos x, x′ â € ¢ X.\n4 EMMANUEL BREUILLARD\nEn el caso cuando S es Rd y H es Zd, es un ejercicio simple para demostrar que cualquier\npseudodistancia periódica es asintótica a una norma en Rd, es decir. (e, x)/ (x) → 1\nx → #, donde # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n(e, nx) es una norma bien definida en Rd. Burago en [6]\nmostró un resultado mucho más fino, a saber, que si \nestá limitado cuando x rangos sobre Rd.Cuando S es un grupo de mentira nilpotente y H una celosía\nen S, entonces Pansu demostró en su tesis [27], que un resultado similar sostiene, a saber:\n(e, x)/ x → 1 para algunos (único sólo después de la elección de un grupo de un parámetro de\ndilaciones) homogéneo cuasi-norma x en el grupo de la mentira nilpotente. Sin embargo, nosotros\nmostrar en la sección 8, que no es cierto en general que?(e, x) − x permanece limitada,\nincluso para grupos nilpotentes finitamente generados, respondiendo así a una pregunta de Burago\n(véase también Gromov [20]). Nuestro propósito principal aquí será extender el resultado de Pansu\na grupos de Lie solvables de crecimiento polinomio.\nComo fue notado por primera vez por Guivarc’h en su tesis [21], cuando se trata de geométrico\npropiedades de grupos de Lie solvable, es útil considerar la llamada nilshadow de\nel grupo, una construcción introducida por primera vez por Auslander y Green en [2]. Accord-\na esta construcción, es posible modificar el producto Lie sobre S en un\nmanera, por así decirlo quitando la parte semisimple de la acción en el nilradical,\ncon el fin de convertir S en un grupo nilpotent Lie, su nilshadow SN. Las dos mentiras\nlos grupos tienen el mismo colector subyacente, que es diffeomorphic a Rn, sólo un\ndiferente producto de mentira. También comparten la misma medida de Haar. Este “semisimple\nparte” es un subgrupo relativamente compacto conmutativo T (S) de automorfismos de S,\nimagen de S bajo un homomorfismo T : S → Aut(S). El nuevo producto g * h es\ndefinido de la siguiente manera retorciendo el antiguo g · h por medio de T (S),\n(1) g ∗ h := g · T (g−1)h\nLos dos grupos S y SN son fácilmente vistos como cuasi-isométricos, y es por eso que cualquier\ngrupo localmente compacto de crecimiento polinomio G es cuasi-isométrico a algunos nilpotente\nGrupo de mentiras. En particular, sus conos asintóticos son bi-Lipschitz. La asintótica\ncono de un grupo de mentira nilpotente es un cierto grupo de mentira nilpotente calificado asociado\ndotado de una distancia geodésica invariante izquierda (o grupo Carnot). Los clasificados\ngrupo asociado a SN se llamará el nilshadow grado de S. Sección 3 será\ndedicada a la construcción y las propiedades básicas de la nilshadow y su clasificación\ngrupo.\nEn este artículo, estamos tratando con una relación más fina que la cuasi-isometría. Lo haremos.\nestar interesado en cuando dos distancias invariantes izquierdas (o periódicas) son asintóticas2\n(en el sentido de que\nd1(e,g)\nd2(e,g)\n→ 1 cuando g → فارسى). En particular, por cada localidad\ngrupo compacto G con crecimiento polinomio, identificaremos su cono asintótico\nhasta isometría y no sólo hasta cuasi-isometría o equivalencia bi-Lipschitz (véase\nCorollary 1.9 infra). Uno de nuestros principales resultados es el siguiente:\n2Sin embargo, una relación de equivalencia más fina es (1, C)-cuasi-isometría, es decir. estar a una distancia limitada en\nmétrica Gromov-Hausdorff; clasificar métricas periódicas hasta este tipo de equivalencia es mucho\nMás fuerte.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 5\nTeorema 1.4 (Teorema principal). Deja que S sea un grupo de Lie solvable simplemente conectado\ncon crecimiento polinomio. Que se haga una pseudodistancia periódica en S, que está en...\nvariante bajo un subgrupo de cocompacto H de S (véase Def. 4.1). En el múltiple S,\nuno puede poner una nueva estructura de grupo de Lie, que convierte S en una mentira nilpotente estratificada\ngrupo, el nilshadow graduado de S, y un subFinsler métrica d(x, y) en S que es\nizquierda-invariante para esta nueva estructura de grupo tal que\n(e, g)\nd-(e, g)\ncomo g → en S. Por otra parte, cada automorfismo en T (H) es una isometría de d.\nEl lector que desee ver una simple ilustración de este teorema puede ir directamente\na la subsección 8.1, donde hemos tratado en detalle un ejemplo específico de\nmétrica sobre la cobertura universal de los grupos de movimientos del plano.\nLa nueva estructura estratificada de grupo de nilpotent Lie en S dada por el grado\nnilshadow viene con una familia de un parámetro de las llamadas dilaciones homogéneas\nt}t>0. También viene con un grupo adicional de automorfismos, a saber, la imagen\nde H bajo el homomorfismo T. Esto produce automorfismos de S para ambos el\nestructura de grupo original en S y la nueva estructura de grupo nilshadow graduada.\nPor otra parte las dilaciones t}t>0 son automorfismos de la nilshadow grado y\nse desplazan con T (H).\nUna métrica subFinsler es una distancia geodésica que se define exactamente como subRie-\nse definen las métricas de manian (o Carnot-Carateodory) en los grupos Carnot (véase, por ejemplo,\n[25]), excepto que la norma utilizada para calcular la longitud de las trayectorias horizontales no es\nnecesariamente una norma euclidiana. Remitimos al lector a la sección 2.1 para obtener información precisa.\ndefinición.\nEn Teorema 1.4, la métrica subFinsler de d.o.o. se deja invariante para la nueva Lie struc-\nen S y también es invariante bajo todos los automorfismos en T (H) (estos\nun grupo conmutativo relativamente compacto de automorfismos). Por otra parte satisface\nla siguiente ley de escala agradable:\nd-() () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ( > () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()\nLa prueba de Teorema 1.4 se divide en dos pasos importantes. La primera es una reducción.\nal caso de nilpotente y se realiza en la sección 5. Usando un doble promedio\nde la pseudodistancia sobre K := T (H) y S/H, construimos un asso-\nciated pseudodistancia, que es periódica para la estructura de nilshadow en S (es decir.\nizquierda-invariante por un subgrupo de cocompacto para esta estructura), y demostramos que\nes asintótico al original. Esto reduce el problema a grupos de mentiras nilpotentes.\nLa clave de esta reducción es la siguiente observación crucial:\ntomorfismos de S inducen sólo una distorsión sublineal, obligando a la métrica a ser\nasintóticamente invariante bajo T (H). El segundo paso de la prueba supone que\nS es nilpotente. Esta parte se trata en la sección 6 y es esencialmente una reforma.\nsión de los argumentos utilizados por Pansu en [27].\n6 EMMANUEL BREUILLARD\nIncidentemente, destacamos el hecho de que la generalidad en la que se trata la Sección 6\n(es decir, Para general geodésico groseramente, e incluso asintóticamente geodésico periódico met-\nrics) es necesario para demostrar incluso el caso más básico (es decir, métricas de palabras) de Teorema\n1.4 para grupos solvables no nilopotentes. Así que incluso si sólo estábamos interesados en el\nasintóticos de métricas de palabras invariantes izquierdas en un grupo de Lie solvable de polinomios\ncrecimiento S, todavía necesitaríamos entender las asintóticas de arbitraria groseramente\ngeodésico izquierda invariantes distancias (y no sólo métricas de la palabra!) sobre la mentira nilpotente\ngrupos. Esto se debe a que la nueva pseudodistancia obtenida por promedio, véase (30),\nya no es una palabra métrica.\nLa métrica subFinsler (e, x) en el teorema anterior es inducida por un cierto\nT (H)-invariante norma en el primer estrato m1 de la nilshadow grado (que\nes T (H)-invariante subespacio complementario del subalgebra conmutador de la\nnilshadow). Esta norma puede describirse de manera más bien explícita de la siguiente manera.\nRecordemos que tenemos3 un mapa canónico η1 : S → m1, que es un grupo homomor-\nphism para las estructuras nilshadow y nilshadow graduadas. Entonces:\n{v) m1, {v} ≤ 1} =\nCvxHull\nη1(h)\n(e, h)\n, h • H\\F\ndonde el lado derecho es la intersección sobre todos los subconjuntos compactos F de S de\nel casco convexo cerrado de los puntos \nLa Figura 1 da una ilustración de la forma límite correspondiente a la palabra\nmétrica en el grupo discreto de 3 dimensiones de Heisenberg con generadores estándar.\nExplicamos en el Apéndice cómo se puede calcular explícitamente la geodesia de la\nmétrica límite y la forma límite en este ejemplo.\nCuando S en sí mismo es nilpotente para empezar y es (en restricción a H) la\nmétrica de palabra asociada a un conjunto de generación compacta simétrica de H (es decir,\n(e, h) := inf{n(n) N;h(n)\nn}), la norma anterior adopta la siguiente forma sencilla:\n(2) {v · m1, ·v ≤ 1} = CvxHull ·1(), · · · · \nPor ejemplo, en el caso especial cuando H es un sin torsión finitamente generado nilpo-\ngrupo de tiendas con set de generación y S es su cierre Malcev, la bola de unidad\nEl poliedro de m1 es un poliedro de m1. Esta fue la descripción de Pansu en\n[27].\nSin embargo cuando S no es nilpotente, y está equipado con una palabra métrica sobre\nun subgrupo de cocompacto, a continuación, la determinación de la forma límite, es decir, el de-\nterminación de la norma límite · en el nilshadow abelianizado, es mucho más\nDifícil. Claramente · es K-invariante y es una simple observación de que la unidad\nla bola para · está siempre contenida en el casco convexo de la K-órbita de \n3El subespacio m1 se puede identificar con el nilshadow abelianizado (o abelianizado graduado\nnilshadow) identificando primero el nilshadow con su álgebra de Lie a través del mapa exponencial y\nentonces proyectando módulo el subalgebra conmutador. El mapa no depende de la elección\nimplicado en la construcción de la nilshadow. Véase también la Observación 3.7.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 7\nSin embargo, la bola de la unidad es típicamente más pequeña que eso (a menos que K-invariante\npara empezar).\nEn general, sería interesante determinar si existe una\ndescripción de la forma límite de una métrica de palabra arbitraria en un grupo de Lie solvable\ncon crecimiento polinomio. Remitimos al lector a la Sección 8 y al párrafo 8.2 para una\nejemplo de una clase de métricas de palabras en la cubierta universal del grupo de movimientos\ndel plano, para el cual fuimos capaces de calcular la forma límite.\nOtro subproducto del Teorema 1.4 es el siguiente resultado.\nCorollario 1.5 (forma asintótica). Deja que S sea una mentira solvable simplemente conectada\ngrupo con crecimiento polinomio y H un subgrupo cocompacto. Vamos a ser un H-\npseudodistancia periódica en S. Luego en la métrica de Hausdorff,\n(Bl(t)) = C,\ndonde C es un T (H)-invariante barrio compacto de la identidad en S, B\nla bola de radio t en S y t}t>0 es un grupo de un parámetro de dilaciones en S\n(equipado con la estructura de nilshadow graduada). Por otra parte, C = {g â € ¬ S, dâ € (e, g) ≤ 1}\nes la bola unitaria de la métrica límite subFinsler de Teorema 1.4.\nPrueba. Por el teorema 1.4, por cada > 0 tenemos Bd(tt) B\nsi t es lo suficientemente grande. Desde el 1 de enero de 1999\n(Bd.(t)) = C, para todos t > 0, hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nCombinando esto con Teorema 1.2, también obtenemos el siguiente corolario, de los cuales\nTeorema 1.1 es sólo un caso especial con la palabra métrica asociada a la gen-\nJuego de borraduras.\nCorolario 1.6 (Volumen asintótico). Supongamos que G es un grupo localmente compacto\ncon crecimiento polinomio y es una pseudodistancia periódica en G. Let Bl(t) be\nla bola de radio t en G, es decir, (t) = {x â € G, ¬(e, x) ≤ t}, entonces existe un\nconstante c(l) > 0 tal que exista el siguiente límite:\n3) lim\nvolG(Bl(t))\ntd(G)\n= c(l)\nAquí d(G) es el entero d(SN), la llamada dimensión homogénea de la\nNilshadow SN de una sombra de mentira S de G (obtenido por Teorema 1.2), y es dada por\nla fórmula Bass-Guivarc’h:\n(4) d(SN ) =\ndim(Ck(SN ))\ndonde {Ck(SN)}k es la serie central descendente de SN.\nEl límite c(l) es igual al volumen volS(C) de la forma límite C de Corollary\n1.5 una vez que hacemos la elección correcta de la medida de Haar en una sombra de mentira S de G.\nexplicamos esta elección. Recordemos que según Teorema 1.2, G/K admite una co-\nsubgrupo compacto H/K que incorpora cocompactamente en S. A partir de un Haar\nmedida volG en G, obtenemos una medida Haar en G/K después de fijar la medida Haar\nde K para ser de la masa total 1, y entonces podemos elegir una medida de Haar en H / K así\nque el cociente compacto G/H tiene volumen 1. Finalmente elegimos la medida Haar\n8 EMMANUEL BREUILLARD\nGráfico 1 La forma asintótica de las bolas grandes en el gráfico de Cayley\ndel grupo Heisenberg H(Z) = x, y[x, [x, y]] = [y, [x, y]] = 1\nvisto en coordenadas exponenciales.\nen S para que el otro cociente compacto S/(H/K) tenga volumen 1. Esto da la\nmedidas deseadas Haar volS tales que c(l) = volS(C).\nTenga en cuenta que la medida de Haar en S también es invariante en el grupo de automor-\nphisms T (S) y por lo tanto se deja invariante para la estructura de nilshadow en S. Es también\nizquierda invariante para la estructura de nilshadow graduada. En ambas coordenadas exponenciales\ndel primer tipo (en SN ) y del segundo tipo (como en Lemma 3.10), medida Haar\nes sólo la medida de Lebesgue.\nEn el caso del grupo discreto Heisenberg de dimensión 3 equipado con el\nmétrica de palabra dada por los generadores estándar, es posible computar el con-\nstant c(l) y el volumen de la forma límite como se muestra en la Figura 1. En este caso, el\nvolumen es 31\n(véase el apéndice). El grupo 5-dimensional de Heisenberg también puede ser\ntrabajado y el volumen de su forma límite (asociado a la palabra métrica dada\npor generadores estándar) es igual a 2009\n21870\nlog 2\n32805\n. El hecho de que este número es\ntrascendental implica que la serie de crecimiento de este grupo, es decir. el poder formal\nSerie\nn≥0 Bl(n)z\nn no es algebraico en el sentido de que no es una solución de un\necuación polinómica con funciones racionales en C(z) como coeficientes (véase [33, Prop.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 9\n3.3.]). Esto fue observado por Stoll en [33] por medios combinatorios más directos.\nStoll también muestra allí el hecho interesante de que la serie de crecimiento puede ser racional\npara algunas otras opciones de generar conjuntos en el grupo 5-dimensional Heisenberg.\nAsí que la racionalidad de la serie de crecimiento depende del conjunto generador.\nOtra característica interesante es la invarianza asintótica:\nCorollario 1.7 (invarianza asintótica). Deja que S sea un solvable simplemente conectado\nMentira de grupo con crecimiento polinomio y una pseudodistancia periódica en S. Let * ser\nel nuevo producto Lie en S dado por la estructura del grupo nilshadow (o el grado\nestructura del grupo de nilshadow). A continuación,?(e, g ∗ x)/?(e, x) → 1 como x → • por cada\ng) S.\nEsto sigue inmediatamente del Teorema 1.4, cuando ∗ es el nilshadow calificado\nel producto, y del teorema 6.2 infra en el caso ∗ es el grupo nilshadow struc-\ntura.\nVale la pena observar que en general no podemos reemplazar ∗ por el ordinario\nproducto en S. De hecho, por ejemplo S = R R2 ser la cubierta universal de la\ngrupo de movimientos del plano euclidiano, entonces S, como su nilshadow R3, admite\nuna celosía Z3. El cociente S/e es diffeomórfico al 3-torus R3/Z3 y\nes fácil encontrar métricas Riemannianas en este toro para que su elevación a R3 no es\ninvariante en rotación alrededor del eje z. De ahí esta métrica, vista en la Mentira\ngrupo S no será asintóticamente invariante bajo la traducción izquierda por elementos de\nS. Sin embargo, si la métrica es izquierda-invariante y no sólo periódica, entonces tenemos\nel siguiente corolario de la prueba del Teorema 1.4.\nCorollario 1.8 (las pseudodistancias izquierdistas son asintóticas a subFinsler met-\nrics). Dejar S ser un grupo simplemente conectado de Lie Solvable de crecimiento polinomio y \nser una pseudodistancia periódica en S que es invariante bajo todas las traducciones a la izquierda por\nelementos de S (por ejemplo: una métrica geodésica gruesamente invariante a la izquierda en S). Entonces, ahí está.\nes una métrica subFinsler izquierda-invariante d en S que es asintótica a \n(e,g)\nd(e,g)\n→ 1 como g → • •.\nYa hemos mencionado anteriormente que la determinación de la forma límite exacta de una palabra\nmétrica en S es una tarea difícil. En consecuencia, también lo es la tarea de decir cuándo dos\ndistintas métricas de palabras son asintóticas. La declaración anterior dice que en cualquier caso\nCada métrica de palabra en S es asintótica a alguna métrica subFinsler invariante izquierda. Así que\nel conjunto de posibles formas límite no es más rico para las métricas de palabras que para la variable izquierda\nmétricas subFinsler.\nObservamos que en el caso de grupos de mentiras nilpotentes (donde K es trivial), Teorema\n1.4 muestra que cada métrica periódica es asintótica a una métrica invariante izquierda. Lo es.\ntodavía un problema abierto para determinar si cada métrica periódica groseramente geodésica\nestá a una distancia limitada de una métrica invariante izquierda (este es el teorema de Burago en\nn, más sobre ello a continuación).\nLos teoremas 1.2 y 1.4 nos permiten describir el cono asintótico de (G, \npseudodistancia periódica en cualquier grupo localmente compacto con crecimiento polinomio.\n10 EMMANUEL BREUILLARD\nCorolario 1.9 (cono asintótico). Dejar G ser un grupo localmente compacto con polino-\ncrecimiento mial y una pseudodistancia periódica en G. A continuación, la secuencia de\nespacios métricos {(G, 1\nEn la topología de Gromov-Hausdorff converge n ≥ 1. Los\nlímite es el espacio métrico (N, d», e), donde N es un grado simplemente conectado nilpo-\ntienda Mentira de grupo y de una métrica invariante izquierda subFinsler en N. Por otra parte la Mentira\nEl grupo N es (hasta isomorfismo) independiente de El espacio (N, d.o.p.) es isométrico.\na “el cono asintótico” asociado a (G, Este cono asintótico es independiente\nde la elección del ultrafiltro utilizado para definirlo.\nEste corolario es una generalización del teorema de Pansu (10) en [27]. Nos referimos a\nel lector del libro [18] para las definiciones del cono asintótico y el\nConvergencia Gromov-Hausdorff. Debatimos en la sección 8 la velocidad de convergencia\n(en la métrica Gromov-Hausdorff) en este teorema y sus corolarios sobre volumen\ncrecimiento. En particular, hay una diferencia importante entre el caso discreto nilpotente\ny el caso Solvable no nilpotente. En el primero, se puede encontrar una tasa de polinomio\nde convergencia [9], mientras que en este último no existe tal tipo en general (véase Teorema\n8.1).\n1.3. Folner sets y teoría ergódica. Una consecuencia del corolario 1.6 es que\nsecuencias de bolas con el radio que va al infinito son secuencias Folner, a saber:\nCorolario 1.10. Dejar G ser un grupo localmente compacto con crecimiento polinomio y\nSeudodistancia periódica en G. Dejemos que Bl(t) sea la bola de radio t en G. Entonces\n{B/23370/(t)}t>0 forman una familia Folner de subconjuntos de G a saber, para cualquier conjunto compacto F\nen G, tenemos ( denota la diferencia simétrica)\n5) lim\nvolG(FB(t)B(t)\nvolG(Bl(t))\nPrueba. En efecto, para algunos c > dependiendo de F.\nPor lo tanto (5) sigue de (3). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEsto resuelve el llamado “problema de localización” de Greenleaf para el local compacto\ngrupos de crecimiento polinomio (véase [16]), es decir, por la que se determina si las facultades de\nun conjunto generador compacto n}n forma una secuencia Folner. Al mismo tiempo,\nimplica que el teorema ergódico para G-acciones se mantiene a lo largo de cualquier secuencia de bolas\ncon el radio que va al infinito.\nTeorema 1.11. (Teorema Ergódico) Let se le da un grupo G localmente compacto con\ncrecimiento polinomio junto con un G-espacio X mensurable dotado de un G-\nmiden la probabilidad ergódica invariante m. Dejemos ser una pseudodistancia periódica en\nA continuación, para cualquier p, 1 ≤ p < \nfunción f • Lp(X,m) tenemos\nvolG(Bl(t))\nBl(t)\nf(gx)dg =\npara m-casi cada x X y también en Lp (X,m).\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 11\nDe hecho, el corolario 1.10 arriba, era el “bloque perdido” en la prueba de la ergódica\nteorema en grupos de crecimiento polinomio. Hasta ahora y que yo sepa, Corollary\n1.10 y Teorema 1.11 sólo se conocían a lo largo de alguna secuencia de bolas {B(tn)}n\nelegido de modo que (5) se mantenga (véase, por ejemplo, [10] o [34]). Esta cuestión se planteó a continuación:\nmi atención por A. Nevo y fue mi motivación inicial para el presente trabajo. Nosotros\nremítase al lector al documento de la encuesta de A. Nevo [26] Sección 5.\nMás tarde resultó que el mero hecho de que las bolas son Folner en un polinomio dado\ncrecimiento local grupo compacto también se puede derivar del hecho de que estos grupos son\nduplicación de espacios métricos (que es un resultado más fácil que la asintótica precisa\nvol(ln) cn\nd(G) probado en este documento y sólo requiere límites inferiores y superiores\ndel formulario c1n\nd(G) ≤ vol(ln) ≤ c2n\nd(G)). Esto fue observado por R. Tessera\n[35] que redescubrió un lindo argumento de Colding y Minicozzi [11, Lemma 3.3.]\nmostrando que el volumen de las esferas ♥n+1 \\ ♥n es a lo sumo algunos O(n) veces el\nel volumen de la bola ln, donde ln > 0 es una constante positiva dependiendo solamente de la\ndoblando constante la métrica de la palabra inducida por en G.\nEn [9], damos un mejor límite superior (que depende sólo de la clase de nilpotencia\ny no en la constante de duplicación) para el volumen de esferas en el caso de finitamente\ngrupos de nilpotentes generados. Esto se hace mostrando el siguiente término de error en\nla asintótica del volumen de las bolas: tenemos vol(ln) = cln\nd(G)+O(nd(G)ár ),\ndonde αr > 0 depende sólo de la clase de nilpotency r de G. Referimos al lector a\nSección 8 y preimpresión [9] para más información al respecto. Sólo notamos aquí.\nque aunque el anterior enfriamiento-Minicozzi-Tessera límite superior en el volumen de\nesferas se sostiene generalmente para todos los grupos localmente compactos G con crecimiento polinomio,\na menos que G es nilpotente, no hay término de error en general en la asintótica de la\nvolumen de bolas. Un ejemplo con velocidad arbitrariamente pequeña se da en §8.1.\n1.4. Una conjetura de Burago y Margulis. En [7] D. Burago y G. Margulis\nconjeturado que cualquier métrica de dos palabras en un grupo finitamente generado que son\nasintótico (en el sentido de que\n1(e,γ)\n2(e,γ)\ntiende a 1 en el infinito) debe estar en un límite\ndistancia unos de otros (en el sentido de que 1(e, γ) − γ2(e, γ) = O(1)). Esto\nse mantiene para los grupos abelianos. Un resultado análogo fue probado por Abels y Margulis\npara métricas de palabras en grupos reductivos [1]. S. Krat [23] estableció esta propiedad\npara métricas de palabras en el grupo Heisenberg H3(Z). Sin embargo, utilizando el Teorema 1.4\n(que en este caso particular de grupos nilpotentes finitamente generados es sólo de Pansu\nteorema [27]) mostraremos en la sección 8.3 que hay contraejemplos y\nmuestra dos métricas de palabras en H3(Z) × Z que son asintóticas y sin embargo no están en\nuna distancia limitada. Para más información sobre este contraejemplo, y cómo\nmodificar la conjetura de Burago y Margulis, nos referimos al lector interesado a\n1.5. Organización del documento. Las secciones 2 a 4 están dedicadas a los preliminares. In\nSección 2 presentamos la teoría básica nilpotente como se puede encontrar en Guivarc’h\ntesis [21]. En particular, una prueba completa de la fórmula Bass-Guivarc’h se da. In\nSección 3, recordamos la construcción de la nilshadow de un grupo Solvable Lie.\n12 EMMANUEL BREUILLARD\nEn la Sección 4 establecemos los axiomas y las propiedades básicas de la distancia (pseudo)\nfunciones que se estudian en este artículo.\nLas secciones 5-7 contienen el núcleo de la prueba de los principales teoremas. En la sección 5,\nasumir que G es un grupo simplemente conectado Solvable Lie y reducir el problema a\nel caso de los nilpotentes. En la Sección 6, suponemos que G es un simple nilpotente conectado.\nMentir grupo y probar Teorema 1.4 en este caso siguiendo la estrategia utilizada por Pansu\nen [27]. En la Sección 7, probamos el Teorema 1.2 para grupos generales localmente compactos\ny reducir la prueba de los resultados de la introducción al caso de la Mentira.\nEn la última sección hacemos más comentarios sobre la velocidad de convergencia.\nEn particular, damos ejemplos que responden negativamente a la pregunta antes mencionada\nde Burago y Margulis.\nEl Apéndice está dedicado a los grupos discretos de la dimensión 3 de Heisenberg y\n5. Calculamos sus bolas límite, explicamos la Figura 1, y recuperamos el resultado principal de\nStoll [33].\nEl lector que está principalmente interesado en el caso de grupo nilpotent puede leer directamente\nSección 6 mientras se mantiene un ojo en las secciones 2 y 4 para las anotaciones de antecedentes y\nhechos elementales.\nPor último, vamos a mencionar que los resultados y métodos de este documento fueron en gran medida\ninspirado en las obras de Y. Guivarc’h [21] y P. Pansu [27].\n1.6. Nota Bene. Una versión de este artículo distribuida desde 2007. El actual ver-\nsión contiene esencialmente el mismo material, sólo la exposición se ha mejorado\ny varios argumentos un tanto vagos han sido sustituidos por pruebas completas\n(en particular en las secciones 3 y 7). Este retraso se debe al hecho de que yo estaba planeando...\nning durante mucho tiempo para mejorar la sección 6 y mostrar un término de error en el volumen\nasintótica de las bolas en grupos nilpotentes. E. Le Donne y yo nos las arreglamos recientemente para\nlograr esto y ahora se ha convertido en un documento conjunto independiente [9].\n2. Quasi-norms y la geometría de los grupos nilpotent Lie\nEn esta sección, revisamos el material de antecedentes necesario sobre la mentira nilpotente\ngrupos. En el párrafo 2.4, damos algunas propiedades cruciales de la homogeneidad\nnormas y reproducir algunos lemas originalmente debido a Y. Guivarc’h que será\nutilizado en la secuela. Mientras tanto, probamos la fórmula Bass-Guivarc'h para el de-\ngrado de crecimiento polinomio de grupos de mentira nilpotente, siguiendo el original de Guivarc’h\nargumentación.\n2.1. métricas del Carno-Carateosorio. Deja que G sea un grupo de Lie conectado con Lie\nálgebra g y dejar m1 ser un subespacio vectorial de g. Denotamos por una norma en m1.\nAhora recordamos la definición de una métrica Carnot-Carathéodory invariante a la izquierda también\nllamada métrica subFinsler en G. Let x, y G. Consideramos todas las posibles piezas\nsenderos lisos : [0, 1] → G que va de â € (0) = x a â € (1) = y. Que (u) sea el\nvector tangente que es arrastrado de vuelta a la identidad por una traducción izquierda, es decir.\n= (u) · (u)\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 13\ndonde (u) g y la notación (u) · (u) significa la imagen de (u) bajo\nel diferencial en la identidad de la traducción izquierda por el elemento de grupo (u).\nDecimos que el camino es horizontal si el vector (u) pertenece a m1 para todos\nu â € [0, 1]. Denotamos por H el conjunto de caminos horizontales lisos por pieza. Los\nLa métrica Carnot-Carathéodory asociada a la norma se define por:\nd(x, y) = inf{\n(u)\ndu, â € H, â € (0) = x, â € (1) = y}\ndonde el infimum se toma sobre todos los senderos lisos a partes : [0, 1] → N con\n*(0) = x, *(1) = y que son horizontales en el sentido de que *(u) * m1 para todas las u. Si\nEs una norma euclidiana, la d(x, y) métrica también se llama subRiemanniano. En este\npapel, sin embargo, la norma normalmente no será euclidiana (puede ser poliedro\ncomo en el caso de las métricas de palabras en grupos nilpotentes finitamente generados) y d(x, y)\nsólo será SubFinsler. Si m1 = g, y es un euclidiano (resp. Arbitraria) norma\nen g, entonces d es simplemente el habitual invariante de izquierda Riemannian (resp. métrica de Finsler)\nasociado a .\nTeorema de Chow (por ejemplo: [19] o [25]) nos dice que d(x, y) es finito para todos x y\ny en G si y sólo si el vector subespacio m1, junto con todos los paréntesis de elementos\nde m1, genera el álgebra completa de Lie g. Si esta condición se cumple, entonces d es un\ndistancia en G que induce la topología original de G.\nEn este artículo, sólo nos preocuparemos por las métricas Carnot-Caratheodory sobre\nuna simple conexión nilpotent Lie grupo N. En la secuela, cada vez que hablamos de un\nmétrica Carnot-Carathéodory en N, nos referimos a uno que está asociado a una norma \nen un subespacio m1 de tal manera que n = m1.» [n, n] donde n = Lie(N). Es fácil de comprobar\nque cualquiera de tales m1 genera el álgebra de Lie n.\nObservación 2.1. Vamos a observar aquí que para tal d métrica en N, tenemos el\ndespués de la descripción de la bola de unidad para \n{v) m1 {v} ≤ 1} =\nη1(x)\nd(e, x)\n, x â â € ¢ Nâ € e}\ndonde η1 es la proyección lineal de n (identificada con N via exp) a m1 con\nkernel [n, n]. De hecho, η1 da lugar a un homomorfismo de N al espacio vectorial\nm1. Y si es un camino horizontal de e a x, a continuación, la aplicación de η1 a (6) que\nget d\nη1((u)) = \n′(u), por lo tanto η1(x) =\n(u)du. Por lo tanto 1(x) ≤ d(e, x) con\nigualdad si x â € m1.\n2.2. Dilaciones en un grupo de mentira nilpotente y el grupo calificado asociado.\nAhora nos centramos en el caso de grupos de mentiras nilpotentes simplemente conectados. Dejad en paz a N.\ntal grupo con Lie álgebra n y clase de nilpotency r.\nanálisis de estos grupos, nos referimos al lector al libro [12]. El exponencial\nmapa es un difeomorfismo entre n y N. La mayoría de las veces, si x n, vamos a\nanotación de abuso y denotar el elemento de grupo exp(x) simplemente por x. Denotamos\npor {Cp(n)}p la serie descendente central para n, es decir, C\np+1(n) = [n, Cp(n)] con\nC0(n) = n y Cr(n) = {0}.\n14 EMMANUEL BREUILLARD\nDejar (mp)p≥1 ser una colección de subespacios vectoriales de n tal que para cada p ≥ 1,\n7) Cp−1(n) = Cp(n)®mp.\nEntonces n = p ≥ 1mp y en esta descomposición, cualquier elemento x en n (o N por abuso\nde notación) se escribirá en la forma\nηp(x)\ndonde γp(x) es la proyección lineal sobre mp.\nA tal descomposición se asocia un grupo de dilaciones de un parámetro (t)t>0.\nEstos son los endomorfismos lineales de n definidos por\nt(x) = t\npara cualquier mp x y para cada p. Por el contrario, el grupo de un parámetro (t)t≥0\ndetermina los (mp)p≥1’s ya que aparecen como espacios propios de cada uno, t 6= 1. Los\nlas dilaciones no conservan a priori el soporte de la mentira en n. Este es el caso si y\nsólo si\n(8) [mp,mq] mp+q\npara cada p y q (donde [mp,mq] es el subespacio extendido por todos los conmutadores de\nelementos de mp con elementos de mq). Si (8) se mantiene, decimos que el (mp)p≥1 forma un\nestratificación del álgebra de Lie n, y que n es una mentira estratificada (o homogénea)\nálgebra. Es un ejercicio para comprobar que (8) es equivalente a requerir [m1,mp] = mp+1\npara todos los p.\nSi (8) no se sostiene, sin embargo, podemos considerar una nueva estructura de álgebra de Lie en\nel espacio vectorial real n definiendo el nuevo soporte de Lie como [x, y]\nsi x â € TM y y â € mq. Este nuevo álgebra de Lie no es estratificado y tiene el mismo\nel espacio vectorial subyacente como n. Denotamos por N.O. el asociado simplemente conectado\nGrupo de mentiras. Por otra parte el (t)t>0 forman un grupo de un parámetro de los automorfismos de\nNo, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. De hecho el soporte original de la Mentira [x, y] en n se puede deformar continuamente a\n[x, y]• a través de una familia continua de estructuras de álgebra de Lie mediante el ajuste\n(9) [x, y]t = 1\n([.tx,.tty])\ny dejando t → â € €. Tenga en cuenta que, a la inversa, si los Łt son automorfismos de n,\nentonces [x, y] = \nEl álgebra de Lie graduada asociada a n es por definición\ngr(n) =\nCp(n)/Cp+1(n)\ndotado con el soporte de Lie inducido a partir de la de n. El mapa de cociente mp →\nCp(n)/Cp+1(n) da lugar a un isomorfismo lineal entre n y gr(n), que es\na Isomorfismo de álgebra de mentira entre la nueva estructura de álgebra de Lie n.a. y gr.a.\nPor lo tanto estratificado Lie estructuras de álgebra inducidas por una elección de sub-\nlos espacios (mp)p≥1 como en (7) son todos isomórficos a gr(n).\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 15\nEn N.O. las métricas sub-invariantes izquierdas de Finsler d.O. asociadas a una elección de norma\nen m1 son de especial interés. El grupo de un parámetro de dilaciones t}t es un\nautomorfismo de N.o y que\n(10) d..............................................................................................................................................................................................................................................................\npara cualquier x, y â € Nâ € TM. El espacio métrico (N, d) se llama grupo Carnot.\nSi, por otro lado, el simple nilpotent Lie groupN no está estratificado,\na continuación, el grupo de dilaciones asociado a una elección de vector suplementario\nsubespacios mi como en (7) no consistirá en automorfismos de N y la relación\n(10) no aguantará.\nTenga en cuenta también que si se nos dan dos opciones diferentes de subespacios suplementarios\nmi’s y m\ni es como en (7), a continuación, la izquierda-invariante Carnot-Carateosorio métricas en\nlos grupos de Lie estratificados correspondientes son isométricos si y sólo si (m1, ) y\n(m′1, \n) son isométricos (un isomorfismo lineal de m1 a m\n1 que envía a\nse extiende a una isometría de los dos grupos Carnot).\n2.3. La fórmula Campbell-Hausdorff. El mapa exponencial exp : n → N\nes un difeomorfismo. En la secuela, a menudo abusaremos de la notación e identificaremos a N\ny n sin previo aviso. En particular, para dos elementos x e y de n (o\nN equivalente) xy denotará su producto en N, mientras que x + y denota la suma\nen n. Dejar que sea un grupo de un parámetro de dilaciones asociadas a una elección de\nsubespacios suplementarios mi como en (7). Denotamos la estratificación correspondiente\nLie álgebra por n.o como arriba y el grupo de Lie por N.o. El producto en N.O. es:\ndenotado por x* y. Las dilaciones son automorfismos.\nLa fórmula Campbell-Hausdorff (véase [12]) permite dar una forma más precisa de\nel producto en N. Dejar que (ei)1≤i≤d sea una base de n adaptada a la descomposición en\nmi's, es decir, mi = span{ej, ej mi}. Dejar x = x1e1 +...+ xded el correspondiente\ndescomposición de un elemento x n. A continuación, definir el grado di = deg(ei) a ser el\nmás grande j tal que ei C\nj−1(n). Si α = (α1,..., αd) N\nd es un multi-índice, a continuación, dejar\ndα = deg(e1)α1 +...+ deg(ed)αd.\nLa fórmula Campbell-Hausdorff rinde\n(11) (xy)i = xi + yi +\nCα,βx\ndonde Cα,β son constantes reales y la suma es sobre todos los multi-índices α y β tales\nque dα + dβ ≤ deg(ei), dα ≥ 1 y dβ ≥ 1.\nA partir de (9), es fácil dar la forma de la ley de grupo de Lie estratificada asociada:\n(12) (x* y)i = xi + yi +\nCα,βx\ndonde la suma se limita a los α y β tales que dα + dβ = deg(ei),\ndα ≥ 1 y dβ ≥ 1.\n2.4. Casi-normas homogéneas y el teorema de Guivarc’h en polinomio\ncrecimiento. Dejar n ser un finito dimensión real nilpotente Lie álgebra y considerar un\ndescomposición\nn = m1\n16 EMMANUEL BREUILLARD\npor subespacios vectoriales suplementarios como en (7). Dejemos que el parámetro (t)t>0 sea el único parámetro\ngrupo de dilaciones asociadas a esta descomposición, es decir, t(x) = t\nix si x mi.\nAhora introducimos la siguiente definición.\nDefinición 2.2 (Homogénea cuasinorma). Una función continua · : n → R+\nse llama una cuasinorma homogénea asociada a las dilaciones (t)t, si satisface\nlas siguientes propiedades:\ni) x = 0 x = 0.\nii) t(x) = tx para todos los t > 0.\nEjemplo 2.3. (1) Quasi-norms del tipo supremamum, es decir: x = maxp p(x)\ndonde p son normas ordinarias en el espacio vectorial mp y πp es la proyección en\nmp como arriba.\n(2) x = d(e, x), donde d es una métrica Carnot-Carathéodory en una estratificación\ngrupo de mentira nilpotente (como muestra la relación (10).\nClaramente, una cuasi-norma está determinada por su esfera de radio 1 y dos cuasi-\nnormas (que son homogéneas con respecto al mismo grupo de dilaciones)\nsiempre equivalente en el sentido de que\n1 ≤ 2 ≤ c 1\npara alguna constante c > 0 (de hecho, por continuidad, · 2 admite un máximo en el\n“esfera” x1 = 1}). Si las dos cuasinormas son homogéneas con respecto a\ndos semi-grupos distintos de dilaciones, a continuación, las desigualdades (13) siguen manteniendo\nfuera de un barrio de 0, pero puede fallar cerca de 0.\nLas cuasinormas homogéneas satisfacen las siguientes propiedades:\nProposición 2.4. Que · sea una cuasi-norma homogénea en n, entonces hay\nconstantes C,C1, C2 > 0 tales que\na) xi ≤ C · x\ndeg(ei) si x = x1e1 +...+ xnen en una base adaptada (ei)i.\nb) x−1 ≤ C · x.\n(c) x+ y ≤ C · (x y)\n(d) xy ≤ C1(x y) + C2.\nLas propiedades (a), (b) y (c) son directas por el hecho de que x = maxp p(x)\nes una cuasinorma homogénea y de (13). d) Justifica el término “cuasi-\nnorma” y sigue de Lemma 2.5 abajo. Puede ser un problema que la constante\nC1 en (d) no puede ser igual a 1. De hecho, esta es la razón por la que usamos la palabra cuasi-norma\nen lugar de simplemente norma, porque no se requiere el triángulo desigualdad axioma a\nEspera. Sin embargo, el siguiente lema de Guivarc’h es a menudo un buen remedio\na esta situación. Que p sea una norma arbitraria en el espacio vectorial mp.\nLemma 2.5. (Guivarc’h, [21] lemme II.1) Let فارسى > 0. Hasta escalar cada p\nen una norma proporcional p p (p > 0) si es necesario, la cuasinorma x =\nmaxp p(x)\nSatisface\n(14) xy ≤ x \nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 17\nPara todas las x, y N. Si N es estratificado con respecto a (?t)t podemos tomar? = 0.\nEste lema es crucial también para la computación de la asintótica gruesa del volumen\ncrecimiento. Para la comodidad del lector, reproducimos aquí el argumento de Guivarc’h,\nque se basa en la fórmula Campbell-Hausdorff (11).\nPrueba. Arreglamos Ł1 = 1 y vamos a dar una condición en el Łi de modo que (14)\nEspera. Los Łi’s serán tomados para ser más y más pequeños a medida que yo aumente. Nos pusimos\nx = maxp p(x)\ny dejar que x = maxp p\npara cualquier r-tupla de Łi.\nQueremos que para cualquier índice p ≤ r,\n(15) p p p(xy)p ≤ (x + y + )\nPara (11) tenemos γp(xy) = γp(x) + γp(y) + Pp(x, y) donde Pp es un mapa polinomio\nen mp dependiendo únicamente de los ηi(x) y ηi(y) con i ≤ p− 1 de tal manera que\nPp(x, y) ≤ Cp\nl,m≥1,l+m≤p\nMp−1(x)\nlMp−1(y)\ndonde Mk(x) := maxi≤k i(x)\ni y Cp > 0 es una constante dependiendo de Pp y\nsobre las normas i. Desde 0, cuando se expande el lado derecho de (15) todos\ntérminos de la forma xly\n con l +m ≤ p aparecen con algún coeficiente positivo,\nDi: \"L,m\". Los términos x\ny y\naparecen con coeficiente 1 y no causan problemas\nya que siempre tenemos p p(x)p ≤ x\nEn el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo.\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por lo tanto, para\n(15) para sostener, es suficiente que\npCpMp−1(x)\nlMp−1(y)\nEl valor de todas las materias utilizadas no exceda del 50 % del precio franco fábrica del producto\nPara todos los l y m restantes. Sin embargo, claramente Mk(x) ≤?k · x donde?k :=\nmaxi≤k{1/\ni } ≥ 1. Por lo tanto, una condición suficiente para (15) mantener es\nen la que = min l,m. Dado que el valor de p−1 depende únicamente de los primeros valores de p−1 de los\nes obvio que tal conjunto de condiciones puede ser cumplido por un r-tuple adecuado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 2.6. La constante C2 en Propiedad (d) anterior se puede tomar como 0 cuando N\nes estratificado con respecto a los mi (es decir. los automorfismos de los ts son), como es fácil\nvisto después de cambiar x e y en su imagen debajo de Y a la inversa, si C2 = 0\npara alguna casi-norma Homogénea en N, entonces N admite una estratificación. De hecho,\na partir de (11) y (12), vemos que si no son automorfismos, entonces uno puede\nencontrar x, y N tal que, cuando t es lo suficientemente pequeño, t(xy) −\n(r−1)/r\npara algunos c > 0. Sin embargo, combinando Propiedades (c) y Propiedad (d) con C2 = 0\narriba debemos tener t(xy)− Łt(x)/23370/t(y) = O(t) cerca de t = 0. Una contradicción.\nEl lema de Guivarc’h nos permite mostrar:\nTeorema 2.7. (Guivarc’h ibíd.) Vamos a ser un barrio compacto de la identidad\nen un grupo N y (x, y) = inf{n ≥ 1, x\n−1y ~ ~ ~ ~ n}.\n18 EMMANUEL BREUILLARD\nEntonces para cualquier cuasi-norma homogénea · en N, hay una constante C > 0 tal\nx ≤ (e, x) ≤ Cx C\nPrueba. Desde cualquier dos cuasi-normas homogéneas (w.r.t el mismo un-parámetro\ngrupo de dilaciones) son equivalentes, es suficiente para hacer la prueba de uno de ellos,\npor lo que consideramos la cuasi-norma obtenida en Lemma 2.5 con la propiedad adicional\n(14). El límite inferior en (16) es una consecuencia directa de (14) y se puede tomar\nallí C a ser maxx, x + فارسى. Para el límite superior, basta con mostrar\nque hay C # N tal que para todos n # N, si #x ≤ n entonces x #Cn. A\nlograr esto, procedemos por inducción de la longitud de nilpotencia de N. El resultado\nestá claro cuando N es abeliana. De lo contrario, por inducción obtenemos C0 N tal que\nx = 1 ·... · · C0n · z en los que • i • • y z • C\nr−1(N) siempre que x ≤ n. Por lo tanto\nz ≤ xC0n ·max \ni C0 · n ≤ C1n para alguna otra constante C1 · N. Así que\nhan reducido el problema a x = z mr = C\nr−1(N) que es central en N. Nosotros\ntener z = zn\n1 donde z1 = z/n ≤ C1. Puesto que ♥ es un barrio de la identidad\nen N, el conjunto U de todos los productos de al menos dim(mr) conmutadores simples de longitud\nr de elementos en ♥ es un barrio de la identidad en Cr−1(N) (e.g. Véase [19],\np113). De ello se deduce que hay una constante C2 N tal que z1 está en U\nC2, de ahí la\nproducto de como máximo C2 dim(mr) simples conmutadores. Entonces hemos terminado porque z\nserá igual al mismo producto de los conmutadores donde cada letra xi...................................................................................................................\nse sustituye por xni. Este último hecho se deriva del siguiente lema:\nLemma 2.8. Que G sea un grupo nilpotente de clase nilpotency r y n1,..., nr ser\nenteros positivos. A continuación, para cualquier x1,..., xr G\n1, [x\n2, [..., x\nr ]...] = [x1, [x2, [..., xr]...]\nn1·...·nr\nPara probar el lema basta con utilizar la inducción y el siguiente hecho obvio:\nsi [x, y] se desplaza a x e y entonces [xn, y] = [x, y]n.\nFinalmente, obtenemos:\nCorollary 2.9. Dejemos que ♥ sea un barrio compacto de la identidad en N. Entonces allí\nson constantes positivas C1 y C2 de tal manera que para todos los n+N,\nd ≤ volN ()\nn) ≤ C2n\ndonde d es dada por la fórmula Bass-Guivarc’h:\n(17) d =\ni · dimmi\nPrueba. Por Teorema 2.7, es suficiente estimar el volumen de la cuasi-norma\npelotas. Por homogeneidad de la cuasi-norma, tenemos volN{x, x ≤ t} = t\ndvolN{x, x ≤\n1}. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 2.10. El uso del teorema de Malcev permite, como Guivarc'h ob-\nservido, para deducir inmediatamente que el resultado análogo tiene para prácticamente nilpotente\ngrupos finitos generados. Este hecho que también fue probado independientemente por H. Bass\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 19\n[3] por un argumento combinatorio directo. Véase también el apéndice de Tetas de Gromov\npor [17]. De hecho, el Teorema 2.7 de Guivarc’h parece haber sido redescubierto varios\nen los últimos 40 años, incluyendo por Pansu en su tesis [27], el último ejemplo\nde ese ser [22].\n3. El nilshadow\nEl objetivo de esta sección es introducir el nilshadow de un simplemente conectado\nSolvable Lie grupo G. Asumimos que G tiene crecimiento polinomio, aunque\nEsta última suposición no es necesaria para casi todo lo que hacemos en esta sección.\nLa única declaración que se utilizará después en el papel (en la sección 5) es:\nLemma 3.12 infra. El lector familiarizado con el nilshadow puede saltar directamente a\nla declaración de este lema y omitir la próxima discusión.\n3.1. Construcción del nilshadow. El nilshadow de G es un simple conectado\nnilpotent Lie grupo GN, que se asocia a G de una manera natural. Esta noción\nfue introducido por primera vez por Auslander y Green en [2] en su estudio de los flujos en\nSolvmanifolds. Lo definieron como el radical unipotente de una división semi-simple\nG. Sin embargo, vamos a seguir un enfoque diferente para su construcción por\ntrabajando primero en el nivel de álgebra de Lie. Referimos al lector al libro [13] donde\nEste enfoque ha sido adoptado.\nDejar g ser un álgebra de Lie real solucionable y n el nilradical de g.Tenemos [g, g] n.\nSi x g, escribimos ad(x) = ads(x) + adn(x) la descomposición jordana de ad(x) en\nGL(g). Desde ad(x) • Der(g), el espacio de derivaciones de g, y Der(g) es la Mentira\nálgebra del grupo algebraico Aut(g), los componentes jordanos ads(x) y adn(x)\ntambién pertenecen a Der(g). Por otra parte, para cada x g, ads(x) envía g en n (porque\nasí lo hace ad(x) y ads(x) es un polinomio en ad(x)). Que h sea una subalgebra de Cartan\nde g, a saber, un subalgebra autonormalizante nilpotente. Recordemos que la imagen de\na Cartan subalgebra por un sujetivo Lie homomorfismo álgebra es de nuevo un coche-\nTan subalgebra. Ahora como g/n es abeliano, se sigue que h mapas en g/n, es decir.\nh+ n = g. Por otra parte ads(x)h = 0 si x h, porque h es nilpotente.\nAhora elegir cualquier vector real subespacio v de h en suma directa con n. A continuación, el\nse mantienen dos condiciones:\ni) vâr n = g.\nii) ads(x)(y) = 0 para todas las x, y â € v.\nDe los incisos i) y ii), se desprende fácilmente que los anuncios (x) se desplazan con ad(y), ad(y) y\nadn(y), para todas las x, y en v. Tenemos:\nLemma 3.1. El mapa v → Der(g) definido por x 7→ ads(x) es un álgebra de Lie\nhomomorfismo.\nPrueba. Primero vamos a comprobar que este mapa es lineal. Vamos a x, y v. v. Por el anterior\nads(y) y ads(x) viajan entre sí (de ahí que su suma sea semi-simple) y\nviajar con adn(x)+adn(y). De la singularidad de la descomposición de Jordania\n20 EMMANUEL BREUILLARD\nQueda por comprobar que adn(x)+adn(y) es nilpotente si x, y en v. Para ver esto, aplicar\nla siguiente observación obvia dos veces a a = adn(x) y V = ad(n) primero y luego a\na = adn(y) y V = span{adn(x), ad(ad(y))\nnx), n ≥ 1} : Que V sea un nilpotente\nsubespacio de GL(g) y una GL(g) nilpotente, es decir, V n = 0 y am = 0 para algunos\nn,m N y asumir [a, V] V. Entonces (a+V )nm = 0.\nEl hecho de que este mapa es un homomorfismo Lie álgebra sigue fácilmente de la\nhecho de que todos los anuncios (x), x v v conmutarse entre sí y con [g, g] n.\nDefinimos un nuevo soporte de Lie en g estableciendo:\n(18) [x, y]N = [x, y]− ads(xv)(y) + ads(yv)(x)\ndonde xv es la proyección lineal de x en v de acuerdo con la suma directa vÃ3n = g.\nLa identidad de Jacobi es verificada por un cálculo directo donde lo siguiente:\nhecho es necesario: anuncios (ads(x)(y)) = 0 para todos x, y g. Esto se sostiene porque, como nosotros sólo\nvis, ads(x)(g) (n) para todos los x â € g, y ads(a) = 0 si un â € n.\nDefinición 3.2. Que gN sea el espacio vectorial g dotado con el nuevo álgebra de Lie\nestructura [·, ·]N dada por (18). El Nilshadow GN de G se define como el simple\ngrupo de mentira conectado con Lie álgebra gN.\nEs fácil comprobar que gN es un álgebra nilpotent Lie. Para ver esto, tenga en cuenta primero que\n[gN, gN ]N â n, y si x â gN e y â n, entonces [x, y]N = (adn(xv) + ad(xn)(y).\nSin embargo, adn(xv) + ad(xn) es un endomorfismo nilpotente de n como sigue de la\nla misma observación utilizada en la prueba de Lemma 3.1. Por lo tanto, gN es un nilpotente.\nEl producto nilshadow Lie en GN será denotado por * con el fin de distinguir\nlo del producto Lie original en G. En la secuela, identificaremos a menudo G (resp.\nGN ) con su Lie álgebra g (resp. gN) a través de su respectivo mapa exponencial. Desde\nel espacio subyacente de gN era g en sí mismo, esto da una identificación (aunque no\nun isomorfismo de grupo) entre G y GN. Entonces el producto Nilshadow Lie puede\nse expresarán en términos del producto original de la manera siguiente:\ng* h = g · (T (g−1)h)\nAquí T es el grupo Lie homomorfismo G → Aut(G) inducido por lo anterior\nelección del subespacio suplementario v como se indica a continuación.\n(19) T (ea)(eb) = exp(eads(av)b) \nEn otras palabras, T es el único homomorfismo grupo Lie cuyo diferencial\nen la identidad está el homomorfismo Lie álgebra deT : g → Der(g) dado por\ndeT (a)(b) = ads(av)b, es decir, la composición del mapa v → Der(g) de\nLemma 3.1 con la proyección lineal g → g/n v.\nEs fácil comprobar que esta definición del nuevo producto es compatible con\nla definición del nuevo soporte Lie.\nTambién se puede comprobar que dos opciones de espacios suplementarios v como por encima de rendimiento\nEstructuras isomórficas de la Mentira (véase [13, cap. III]). Por lo tanto, por el abuso del lenguaje, nosotros\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 21\nhablar de la nilshadow de g, cuando nos referimos a la estructura de la mentira en G inducido por un\nelección de v como anteriormente.\nEl siguiente ejemplo muestra varias de las características de una Lie solvable típica\ngrupo de crecimiento polinomio.\nEjemplo 3.3 (Nilshadow de un producto semidirecto). Let G = R R\nn donde\nGLn(R) es un subgrupo de un parámetro dado por GLn(R)\nA es alguna matriz en Mn(R) y A = Como +Au es su descomposición de Jordania, dando\nsubir a kt = exp(tAs) y ut = exp(tAu). El grupo G es diffeomórfico a R\npor lo tanto simplemente conectado. Si todos los valores propios de As son puramente imaginarios, entonces G tiene\ncrecimiento polinomio. Sin embargo G no es nilpotente a menos que As = 0. Así que vamos a asumir\nque ni As ni Au es cero. Entonces el Nilshadow GN es el producto semi-directo\nRu R\nn donde ut es la parte unipotente de Łt.\nEs fácil calcular la dimensión homogénea de G (o GN) en términos de\ndimensión de los bloques jordanos de Au. Si nk es el número de bloques de Jordania de Au\ndel tamaño k, entonces\nd(G) = 1 +\nk(k + 1)\n3.2. Propiedades básicas de la nilshadow. Ahora enumeramos en forma de unos pocos\nlemas algunas propiedades básicas de la nilshadow.\nLemma 3.4. La imagen de T : G → Aut(G) es abeliana y relativamente compacta.\nPor otra parte, T (g)h) = T (h) para cualquier g.\nPrueba. Dado que G tiene crecimiento polinomio es de tipo (R) por el teorema de Guivarc’h.\nPor lo tanto, todos los anuncios (x) tienen valores propios puramente imaginarios. De ello se deduce que K es compacto.\nPuesto que los factores T a través del nilradical, su imagen es abeliana. La última igualdad\nsigue a partir de (19) y el hecho de que \"x\", \"y\" g, ads(ads(x)(y)) = 0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nLemma 3.5. T (G) también pertenece a Aut (GN ) y T es un homomorfismo de grupo\nGN → Aut (GN ).\nPrueba. La primera afirmación se deriva de (19) y el hecho de que deT es una derivación\nde gN como se puede comprobar a partir de (18) y el hecho de que x, y g, ads(ads(x)(y)) = 0.\nLa segunda afirmación se deriva entonces de Lemma 3.4. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nDenotamos por K el cierre de T (G) en Aut (G) = Aut (g).\nLemma 3.6 (K-action on gN ). K conserva v y actúa trivialmente en ella. También\nconserva los ideales n y la serie descendente central {Ci(gN)}i de gN.\nPrueba. Basta comprobar que los anuncios (v) preservan n y C\ni(gN ). Conserva n\nporque ad(x) conserva n para todos los x â € g. Conserva Ci(gN ) porque actúa como un\nderivación de gN como ya hemos comprobado en la prueba de Lemma 3.5. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 3.7 (Bien definido de η1). También es fácil comprobar desde la definición\ndel soporte de nilshadow que el subálgebra conmutador [gN, gN] y, de hecho, cada uno\ntérmino de la serie descendente central Ci(gN ) es un ideal en g y no depende\nsobre la elección del subespacio suplementario v utilizado para definir el soporte de nilshadow.\n22 EMMANUEL BREUILLARD\nEn particular, el mapa de proyección η1 : gN → gN/[gN, gN ] es un lineal bien definido\nmapa en g = gN (es decir, independientemente de la elección implicada en la construcción de\nel soporte de la mentira de nilshadow).\nLemma 3.8 (Mapa Exponencial). Los respectivos mapas exponenciales exp : g → G\ny expN : gN → GN coinciden en n y en v.\nPrueba. Puesto que los dos productos de Lie coinciden en N = exp(n), también lo hacen sus exponenciales\nmapa. Para la segunda afirmación, tenga en cuenta que T (e-tv)v = v para cada v v porque\nads(x)(y) = 0 para todas las x, y. De ello se deduce que {e)\ntv}t es un subgrupo de un parámetro\npara ambas estructuras de Lie, por lo tanto es igual a {expN (tv)}t.\nObservación 3.9 (Surjetividad del mapa exponencial). El mapa exponencial no es\nsiempre un difeomorfismo, como el ejemplo de la cubierta universal del grupo E\nde movimientos del plano muestra (de hecho, cualquier subgrupo de 1 parámetro de E es\nsubgrupo de traducción o un subgrupo de rotación, pero el subgrupo de rotación es compacto\npor lo tanto un toro, por lo que su elevación contendrá el centro (discreto) de E, por lo tanto se perderá\ncada elevación de una traducción no trivial). De hecho, es fácil ver que si g es la mentira\nálgebra de un grupo solvable (no-nilpotente) Lie de crecimiento polinomio, luego g mapas\nSuryctively en el álgebra de la mentira de E. Por lo tanto, para un solvable simplemente conectado y\ngrupo de mentira no-nilpotente del crecimiento polinomio, el mapa exponencial nunca está en.\nSin embargo, su imagen es fácilmente vista como densa.\nSin embargo, las coordenadas exponenciales del segundo tipo se comportan bien. Tenga en cuenta que\n[gN, gN] N.\nLemma 3.10 (Coordenadas exponenciales del segundo tipo). Dejar {Ci(gN)}i≥0\nser la serie descendente central de gN (con C\n1 gN ) = [gN, gN ]) y pick lineal\nsubespacios mi en gN tal que C\ni(gN ) = mi (+ C)\ni−1(gN ) para i ≥ 2. Deja que yo sea un\nsubespacio suplementario de C1(gN) en n. Definir coordenadas exponenciales de la\nsegundo tipo mediante el ajuste\nSr....m2 v → G\n(r,..., 1, v) 7→ expN (r) ∗. * expN (1) * expN (v)\nEste mapa es un difeomorfismo. Por otra parte, expN (r) ∗. * expN (1) * expN (v) =\nPara todas las opciones de v. v. y de mi.\nPrueba. Por Lemma 3.8 los mapas exponenciales de G y GN coinciden en n y en v.\nAdemás g* h = g · h cuando g pertenece a la exp(n) nilradical de G. Por lo tanto\nexpN (r)*...........................................................................................................................................................................................................................................................\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nLa restricción del mapa a n es un difeomorfismo en exp(n), porque este mapa\ny sus inversos son mapas polinomios explícitos (las coordenadas de los\ntipo, ver el libro [12]). Ahora el mapa n â € v → G enviar (n, v) a en · ev es un\ndifeomorfismo, porque G está simplemente conectado y por lo tanto el grupo cociente\nG/ exp(n) isomórfico a un espacio vectorial y por lo tanto a exp(v). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nLemma 3.11 (“Bi-invariante” métrica Riemanniana). Existe un Riemanniano\nmétrica en G que se deja invariante bajo ambas estructuras de Lie.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 23\nPrueba. De hecho, basta con recoger un producto escalar en g que es invariante bajo el\nsubgrupo compacto K = T (G) • Aut(g). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nIdentificamos K = {T (g), g {G} con su imagen en Aut(g) bajo el canónico\nisomorfismo entre Aut(G) y Aut(g). Recordemos que, según Lemma 3.6,\nla serie descendente central de gN es invariante en ads(x) para todos x â € v y\nconsiste en ideales de g. Lo mismo se sostiene para n. Se deduce que estos subespacios lineales\ntambién invariante bajo K. Sin embargo, como K es compacto, su acción en g es completamente\nReducible. Por lo tanto, hemos demostrado:\nLemma 3.12 (estratificación K-invariante de la nilshadow). Let g ser el álgebra de Lie\nde un simplemente conectado Lie grupo G con el crecimiento polinomio. Deja que gN sea el nilshadow\nálgebra de mentira obtenida a partir de una división g = nov como se indica anteriormente (es decir, n es el nilradical y\nv satisface ads(x)(y) = 0 para cada x, y â € v). Let K := {T (g), g â € € G} â € € TM Aut (G),\ndonde T se define por (19). Luego hay una elección de subespacios lineales mi y l\nde tal manera que\n(20) gN = Sr. .. m2............................................................................................................................................................................................................................................................\ndonde cada término es K-invariante, m1 := l+V y la serie descendente central de\ngN satisface C\ni(gN ) = mi (+ C)\ni−1 (gN ). Por otra parte, la acción en K se puede leer\nsobre las coordenadas exponenciales de segundo tipo en esta descomposición, a saber:\n#... # # E # # # E # # # E # # E # # E # # E # # E # # E # # E # # E # # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E #\n= k(eñr) ·... · k(eñ0) = ek(ñr) ·... · ek(ñ0)\n= expN (k(r)) ∗... ∗ expN (k(0))\n4. métricas periódicas\nEn esta sección, a menos que se indique lo contrario, G denotará una\nGrupo pactado.\n4.1. Definiciones. Por una pseudodistancia (o métrica) en un espacio topológico X, nosotros\nmedia de una función : X × X → R+ que satisface las siguientes condiciones :.(x, y) =.(y, x) y.(x, z) ≤\nPara cualquier trillizo de puntos de X. Sin embargo, el valor de x, y puede ser igual a 0\nincluso si x 6= y.\nRequeriremos que nuestras pseudodistancias se limiten localmente, lo que significa que la\nimagen debajo de ♥ de cualquier subconjunto compacto de G × G es un subconjunto limitado de R+. A\nevitar los casos irrelevantes (por ejemplo, en el caso de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los de los de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos ( de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos ( de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos\nel mapa y 7→ ♥(e, y) es un mapa adecuado, es decir, la preimagen de un conjunto limitado es\nlimitado (no pedimos que el mapa sea continuo). Cuando se delimita el límite local\nentonces es apropiado si y sólo si y 7→ ♥(x, y) es apropiado para cualquier x G.\nSe dice que una pseudodistancia en G es asintóticamente geodésica si por cada فارسى > 0\nexiste s > 0 de tal manera que para cualquier x, y G se puede encontrar una secuencia de puntos\nx1 = x, x2,..., xn = y en G de tal manera que\n(xi, xi+1) ≤ (1 + \ny ♥(xi, xi+1) ≤ s para todos los i = 1,..., n − 1.\n24 EMMANUEL BREUILLARD\nVamos a considerar exclusivamente pseudodistancias en un grupo G que son invariantes\ndebajo de las traducciones de la izquierda por todos los elementos de un subgrupo cerrado fijo y cocompacto\nH de G, lo que significa que para todas las x, y G y todas las h H, H (hx, hy) = x, y.\nCombinando todos los axiomas anteriores, establecemos la siguiente definición.\nDefinición 4.1. Deja que G sea un grupo localmente compacto. Una pseudodistancia en G\nse dice que es una métrica periódica (o métrica periódica H) si satisface lo siguiente\npropiedades:\n(i) es invariante en las traducciones a la izquierda por un subgrupo cerrado de cocompactos H.\nii) sea localmente limitada y adecuada.\niii) Es geodésica asintóticamente.\nObservación 4.2. La suposición de que es simétrico, es decir. * (x, y) = * (y, x) está aquí.\nsólo por el bien de la simplicidad, y la mayoría de lo que se demuestra en este documento puede ser\nhecho sin esta hipótesis.\n4.2. Propiedades básicas. Vamos a ser una métrica periódica en G y H algunos co-compacto\nsubgrupo de G. Las siguientes propiedades son straighforward.\n1) Se encuentra a una distancia limitada de su restricción a H. Esto significa que si F\nes un dominio fundamental limitado para H en G y para una x arbitraria + G, si hx\ndenota el elemento de H tal que x hxF, entonces (x, y)− ♥(hx, hi) ≤ C para\nalguna constante C > 0.\n(2) Łt > 0 existe un subconjunto compacto Kt de G de tal manera que, \nx−1y Kt. Y a la inversa, si K es un subconjunto compacto de G, t(K) > 0 s.t.\nx−1y • K (x, y) ≤ t(K).\n(3) Si el valor de x, y) ≥ s, el valor de xi en (21) puede elegirse de tal manera que s ≤\n(xi, xi+1) ≤ 2s (se puede tomar un subconjunto adecuado del xi original).\n(4) La restricción de la letra H × H es una pseudodistancia periódica en la letra H.\nsignifica que el xi en (21) puede ser elegido en H.\n(5) Por el contrario, dada la pseudodistancia periódica H sobre H, es posible extender\na una pseudodistancia periódica en G mediante el ajuste de.(x, y) =.(hx, hi) donde x =\nhxF para algunos dominios fundamentales limitados F para H en G.\n4.3. Ejemplos. Demos algunos ejemplos de pseudodistancias periódicas.\n(1) Let ser un grupo de nilpotente sin torsión finitamente generado que está incrustado\ncomo subgrupo discreto cocompacto de un grupo N de mentira nilpotente simplemente conectado.\nTeniendo en cuenta un conjunto de generación simétrica finita S de........................................................................................................................................................................................................................................................\nmétrica de la palabra dS en فارسى que da lugar a una métrica periódica en N dada por ♥(x, y) =\ndS(γx, γy) donde x γxF y y γyF si F es algún dominio fundamental fijo para\nEn el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva.\n(2) Otro ejemplo, dado en [27], es el siguiente. Deja que N/ sea un nilmanifold con\nla cobertura universal N y el grupo fundamental N. Dejar g ser una métrica Riemanniana en\nN.O.B. Puede ser elevado a la cubierta universal y por lo tanto da lugar a un Riemannian\nmétrica g? en N. Esta métrica es invariante, apropiada y delimitada localmente. Ya que..................................................................................................................\ncocompacto en N, es fácil comprobar que también es geodésico asintóticamente por lo tanto\nperiódica.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 25\n(3) Cualquier métrica de la palabra en G. Es decir, si es una generación simétrica compacta\nsubconjunto de G, let (x) = inf{n ≥ 1, x\nn}. A continuación, define ♥(x, y) = (x\n−1y).\nClaramente es una pseudodistancia (aunque no una distancia) y es G-invariante en el\nizquierda, también es apropiada, localmente limitada y asintóticamente geodésica, por lo tanto periódica.\n(4) Si G es un grupo de Lie conectado, cualquier métrica de Riemanniana invariante izquierda en G.\nAquí de nuevo H = G y obtenemos una distancia periódica. Del mismo modo, cualquier invariante izquierda\nLa métrica Carnot-Carathéodory en G servirá.\nObservación 4.3 (el teorema de Berestovski). Según un resultado de Berestovski [5]\ncada distancia geodésica izquierda-invariante en un grupo de Lie conectado es un subFinsler\nmétrica tal como se define en el punto 2.1.\n4.4. Equivalencia absoluta entre pseudodistancias invariantes. Lo siguiente:\nla proposición es básica:\nProposición 4.4. Dejemos que el 1 y el 2 sean dos pseudodistancias periódicas en G.\nes una constante C > 0 de tal manera que para todos x, y G\nC ≤ 1(x, y) ≤ C2(x, y) ≤ C2(x, y) + C\nPrueba. Claramente es suficiente probar el límite superior. Let s > 0 ser el número cor-\nresponder a la elección = 1 en (21) para 2. A partir de 4.2 (2), existe un pacto\nsubconjunto Ks en G de tal manera que.a2(x, y) ≤ 2s.a x\n-1a - K2s, y hay una constante\nt = t(K2s) > 0 tales que x\n-1a -2 K2s -1(x, y) ≤ t. Let C = max{2t/s, t}, y\nque x, y â € € TM G. Si?2(x, y) ≤ s entonces?1(x, y) ≤ t por lo que el lado derecho de (22) sostiene.\nSi el valor de 2(x, y) ≥ s entonces, a partir de (21) y 4.2 (3), obtenemos una secuencia de xis en G de x\na y tales que s ≤ ♥2(xi, xi+1) ≤ 2s y\n2 (xi, xi+1) ≤ 2(x, y). De ello se desprende:\nque?1(xi, xi+1) ≤ t para todos los i. Por lo tanto, el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, x, y)\n1(xi, xi+1) ≤ Nt ≤\ntÿ2(x, y)\ny el lado derecho de (22) sostiene. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEn el caso particular cuando G = N es un grupo de mentira nilpotente simplemente conectado,\nla distancia al origen x 7→ (e, x) es también groseramente equivalente a cualquier homogeneidad\nneous cuasi-norm en N. Tenemos,\nProposición 4.5. Supongamos que N es un grupo de mentira nilpotente simplemente conectado. Dejad en paz a la gente.\nuna pseudodistancia periódica sobre N y · ser una cuasi-norma homogénea, entonces allí\nexiste C > 0 de tal manera que para todos x â € N\nx−1y − C ≤ 1(x, y) ≤ Cx\n−1y C\nPor otra parte, si se trata de una pseudodistancia periódica en el grupo nilpotente estratificado N\nasociado a N, entonces de nuevo, hay una constante C > 0 tal que\nC ≤ 1(e, x)− C ≤ 1(e, x) ≤ 2(e, x) + C\nLa propuesta se deriva inmediatamente del teorema de Guivarc’h (véase el corolario 2.7.\narriba), la equivalencia de cuasinormas homogéneas, y el hecho de que invariante de izquierda\nLas métricas de Carnot-Carateodory en N.O. son normas cuasi homogéneas. Sin embargo,\nDado que las estructuras de grupo de N y N9 difieren, (24) en general no pueden ser sustituidas.\npor la relación más fuerte (22) como los ejemplos simples muestran.\n26 EMMANUEL BREUILLARD\nLa siguiente propuesta es de importancia fundamental para el estudio de las métricas sobre\nGrupos de mentiras de crecimiento polinomio:\nProposición 4.6. Deja que G sea un grupo simplemente conectado de Lie Solvable de polinomio\ncrecimiento y GN su nilshadow. Seamos seudodistancias periódicas arbitrarias.\nsobre G y GN, respectivamente. Entonces hay una constante C > 0 tal que para todos\nx, y â € TM G\nN (x, y)− C ≤ (x, y) ≤ C/23370/N (x, y) + C\nPrueba. De acuerdo con la Proposición 4.4, es suficiente mostrar (25) para alguna elección de\nmétricas periódicas en G y GN. Pero en Lemma 3.11 construimos un Riemanniano\nmétrica en G que se deja invariante para G y GN. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n4.5. Invarianza derecha bajo un subgrupo compacto. Aquí verificamos que, dado\nun subgrupo compacto de G, cualquier métrica periódica se encuentra a una distancia limitada de otro\nmétrica periódica que es invariante a la derecha por este subgrupo compacto. Deja K\nser un subgrupo compacto de G y una pseudodistancia periódica en G.\ncon la ayuda de la medida Haar normalizada en K para obtener:\n(26) K(x, y) =\n(xk1, yk2)dk1dk2\nA continuación, se mantiene lo siguiente:\nLemma 4.7. Hay una constante C0 > 0 dependiendo sólo de ♥ y K de tal manera que\npara todos los k1, k2 K y todos los x, y G\n(27) (xk1, yk2)− ♥(x, y) ≤ C0\nPrueba. A partir de 4.2 (2), t = t(K) > 0 s.t. (x, xk) ≤ t. Aplicando la\nTriángulo de desigualdad, hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nPor lo tanto obtenemos:\nProposición 4.8. La pseudodistancia K es periódica y se encuentra en un\nDesde el 1 de enero de 1985. En particular, como x tiende a infinito en G el siguiente límite se mantiene\n(28) lim\nK(e, x)\n(e, x)\nPrueba. A partir de Lemma 4.7 y 4.2 (3), es fácil comprobar que\ntoticalmente geodésico, y periódico. La integración (27) nos da que K está en un límite\nLa distancia entre los países de la Comunidad y los países de la Europa central y oriental es evidente. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nSi K es normal en G, obtenemos así una métrica periódica de K en G/K de tal manera que\nK(p(x), p(y)) se encuentra a una distancia limitada de x, y, donde p es el mapa de cocientes\nG→ G/K.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 27\n5. Reducción al caso de nilpotente\nEn esta sección, G denota un grupo de polinomios Solvable Lie simplemente conectado\ncrecimiento. Vamos a reducir la prueba de los teoremas de la introducción\nal caso de un G nilpotent. Esto se realiza mostrando que cualquier\npseudodistancia en G es asintótica a alguna pseudodistancia periódica asociada\nN en el Nilshadow GN. Lo declaramos en la Proposición 5.1 a continuación.\nEl paso clave en la prueba es la Proposición 5.2 a continuación, que muestra la asintótica\nla invarianza de.. bajo la \"parte semisimple\" de G. El hecho crucial allí es que el\ndesplazamiento de un punto distante bajo un automorfismo unipotente fijo es insignificante\nen comparación con la distancia de la identidad (véase Lemmas 5.4, 5.5), de modo que la\nacción de la parte semisimple de los elementos grandes puede ser simplemente aproximado por\nsu acción por la traducción izquierda.\n5.1. Invarianza asintótica bajo un grupo compacto de automorfismos\nde G. El resultado principal de esta sección es el siguiente. Deja que G sea un conectado y\nsimplemente conectado grupo Solvable Lie con crecimiento polinomio y GN su nilshadow\n(véase la sección 3).\nProposición 5.1. Que H sea un subgrupo cerrado de cocompacto de G y un H-\npseudodistancia periódica (véase la definición 4.1) en G. Existe un subconjunto cerrado HK\nque contiene H, que es un subgrupo de cocompacto para G y GN, y un HK-\nperiódica (para ambas estructuras de mentira) pseudodistancia\n(29) lim\nK(e, x)\n(e, x)\nEl subgrupo cerrado HK se considerará el cierre del grupo generado\npor todos los elementos de la forma k(h), donde h pertenece a H y k pertenece a la\ncierre K en el grupo Aut(G) de la imagen de H bajo el homomorfismo\nT : G → Aut(G) introducido en la sección 3. Es fácil comprobar desde la definición\ndel producto nilshadow (1) que se trata de un subgrupo tanto en G como en su\nNilshadow GN.\nLa nueva pseudodistancia K se define de la siguiente manera, utilizando un doble promedio\nprocedimiento:\n(30) K(x, y) :=\n(gk(x), gk(y))dkdμ(g)\nAquí la medida μ es la medida Haar normalizada en el espacio de coset H\\HK\ny dk es la medida Haar normalizada en el grupo compacto K. Recordemos que\ntodos los subgrupos cerrados de S son unimodulares (ya que tienen crecimiento polinomio por\n[21][Lemme I.3.]). De ahí la existencia de medidas invariantes en los espacios coset.\nUna parte esencial de la prueba de la Proposición 5.1 está incluida en la siguiente\ndeclaración:\n28 EMMANUEL BREUILLARD\nProposición 5.2. Vamos a ser una pseudodistancia periódica en G que es invariante\nbajo un subgrupo de cocompacto H. Entonces ♥ es asintóticamente invariante bajo el\nacción de K = {T (h), h {H} Aut(G). Es decir, (uniforme) para todos los k ° K,\n(31) lim\n(e, k(x))\n(e, x)\nLa prueba de la Proposición 5.2 se divide en dos pasos. Primero mostramos que lo es.\nlo suficiente para demostrar (31) para un denso subconjunto de k’s. Esto es una consecuencia de lo siguiente:\ndeclaración de continuidad:\nLemma 5.3. Deja فارسى > 0, entonces hay un barrio U de la identidad en K tales\nque, para todos los k â € ¢ U,\nlimx\n(x, k(x))\n(e, x)\nEntonces mostramos que la acción de T (g) se puede aproximar por la conjugación\npor g, esencialmente porque la parte unipotente de esta conjugación no se mueve x\nmucho cuando x está lejos. Este es el contenido del siguiente lema:\nLemma 5.4. Que sea una pseudodistancia periódica en G que es invariante bajo\nun subgrupo de cocompacto H. A continuación, para cualquier فارسى > 0, y cualquier subconjunto compacto F en H\nhay s0 > 0 tal que\n(e, T (h)x) − (e, hx) ≤ (e, x)\npara cualquier h • F y tan pronto como •(e, x) > s0.\nPrueba de la Proposición 5.2 módulo Lemmas (5.3) y (5.4):\nser H-invariante, por cada h â € H, tenemos (e, h−1x)/?(e, x) → 1. La prueba de\nla proposición sigue inmediatamente de la combinación de los dos últimos\nLemas. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n5.2. Prueba de Lemmas (5.3) y (5.4). Elegimos los subespacios K-invariantes mi’s\ny l del nilshadow gN de g como en Lemma 3.12 de la sección 3. En particular\ngN = Sr. ...............................................................................................................................................\ndonde cada término es K-invariante, n = [gN, gN ] l y C\ni(gN ) = mi (+ C)\ni−1 (gN ).\nPor otra parte, t(x) = t\nix si x â € mi (aquí m1 = lâ € v).\nTambién establecemos v(x) = maxi i\ni if x = expN (r) ∗. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\ni > 0 y d0 = 1. Y dejamos que x := maxi-xi\n1/di si x = xr +. ...........................................................................................................\npor encima de la descomposición directa de la suma.\nNótese que · es una cuasi-norma de los t-homógenos. Además, es sencillo\nverificar (utilizando la fórmula Campbell-Hausdorff (12) y la Proposición 2.4) que\nv(x) ≤ CxC para alguna constante C > 0. En particular:\nde los restos delimitados\ncomo x se vuelve grande.\nPrueba de Lemma 5.3. Combinando las Proposiciones 4.5 y 4.6, hay una constante\nC > 0 De tal manera que para todos x, y â € € TM G,?(x, y) ≤ Cx1 * y + C. Por lo tanto tenemos\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 29\nreducido a probar la declaración para · en lugar de ♥, a saber, es suficiente para mostrar\nque x1 ∗ k(x) se vuelve insignificante comparado con x como x va al infinito y k\ntiende a 1.\nDe la fórmula Campbell-Baker-Hausdorff (11) y (12) se desprende que, si\nx, y GN y x, y son O(t), entonces 1\nx ∗ y) − 1\nx) * 1\n(y) = O(t−1/r), y\nSimilarmente 1\n(x1 *. * xm) − 1\nx1) ∗. ...............................................................................................\n(xm) = Om(t\n−1/r), para m elementos\nxi con xi = O(t). Por lo tanto, al escribir x = expN (r) ∗... ∗ expN (0), y el ajuste\nt = x, obtenemos así que la cantidad siguiente\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n(x1* k(x)−\n0≤i≤r\nexpN (−t\n−di®i)*\n0≤i≤r\nexpN (t\n−dr−ik(r−i))\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nes un O(t−1/r). De hecho, recuerden de Lemma 3.12 que k(x) = expN (k(r))*...*\nexpN (k(+0)). A medida que x se hace más grande, cada t\n−diñái permanece en un subconjunto compacto de mi.\nPor lo tanto, como k tiende a la identidad en K, cada t-dik(i) se vuelve uniformemente cerca\na t-diÃ3ri independientemente de la elecciÃ3n de x Ã3 GN siempre y cuando t = xà es grande. Los\nEl resultado es el siguiente. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nPrueba de Lemma 5.4. Recordemos que hx = h* T (h)x para todas las x, h • G (véase (1).\nPor la desigualdad del triángulo es suficiente con atar Ł(y, h* y), donde y = T (h)x.\nDe las Proposiciones 4.5 y 4.6,...........................................................................................................................................................................................................................................................\nconstantes a la cuasi-norma homogénea ·. Por lo tanto, el Lemma sigue de la\nA continuación:\nLemma 5.5. Que N sea un grupo de mentira nilpotente simplemente conectado y que · sea una\nnorma homogénea sobre N asociada a un grupo de dilaciones de 1 parámetro\nPara cualquiera de los dos subconjuntos compactos F de N, hay una constante s2 > 0\nde tal manera que\nx−1gx ≤ x\npara todos los g de F y tan pronto como x > s2.\nPrueba. Recordemos, como en la prueba del último lema, que para cualquier c1 > 0 hay\na c2 > 0 Tal que si t > 1 y x, y N son tales que x, y ≤ c1t, entonces\nxy)− 1\nx) * 1\n(y) ≤ c2t\n−1/r. En particular, si establecemos t = x, entonces\n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1\n(x−1gx)− 1\nx)–1 ∗ 1\ng) ∗ 1\n≤ c2t−1/r\nPor otro lado, como g permanece en el conjunto compacto F, 1\n(g) tiende uniformemente a\nla identidad cuando t = x va a la infinidad, y 1\n(x) permanece en un conjunto compacto.\nPor continuidad, vemos que 1\nx)–1 ∗ 1\ng) ∗ 1\n(x) se vuelve arbitrariamente pequeño como t\nincrementos. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n30 EMMANUEL BREUILLARD\n5.3. Prueba de la Proposición 5.1. Primero probamos el siguiente estado de continuidad:\nmento:\nLemma 5.6. Seamos una pseudodistancia periódica en G y فارسى > 0. Entonces, ahí está.\nexiste un barrio de la identidad U en G y s3 > 0 tal que\n1--(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(--)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(--(-)-(-)-(--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\n(e, gx)\n(e, x)\n≤ 1 + \ntan pronto como g (U) y (e, x) > s3.\nPrueba. Deja que N sea una métrica de Riemanniano invariante a la izquierda en el GN de nilshadow.\n• (e, x)− • (e, gx) ≤ • (x, gx) ≤ • (x, g* x) + • (g* x, gx)\nSin embargo, en algunos casos C > 0, por la Proposición 4.6. Por otra parte, por\n(1) tenemos gx = g* T (g)x. Por lo tanto\n(e, x) − (e, gx) ≤ C/23370/N (x, g* x) + C/23370/N (x, T (g)x) + 2C\nPara completar la prueba, aplicamos Lemmas 5.5 y 5.3 en el lado derecho de arriba.\nProcedemos con la prueba de la Proposición 5.1. Let L ser el conjunto de todos g G\nDe tal manera que el punto (e, gx)/el punto (e, x) tiende a 1 como x tiende a infinito en G. Claramente L es un\nEl subgrupo de G. Lemma 5.6 muestra que L está cerrada. La invarianza H de las garantías\nque L contiene H. Además, la Proposición 5.2 implica que L es invariante bajo K.\nEn consecuencia, L contiene HK, el subgrupo cerrado generado por todos los k(h), k+K,\nh. H. Esto, junto con la Proposición 5.2, concede una convergencia\nintegrand en (29). Convergencia de la integral sigue mediante la aplicación de Lebesgue\nTeorema de convergencia dominado.\nEl hecho de que K es invariante bajo la multiplicación izquierda por H e invariante bajo\nLa precomposición por automorfismos de K asegura que K es invariante bajo *-\nmultiplicación izquierda por cualquier elemento h H, donde * es la multiplicación en el\nNilshadow GN. Por otra parte, comprobamos que T (g) • K si g • HK, por lo tanto HK es un\nsubgrupo de GN. Es claramente cocompacto en GN también (si F es compacto y HF = G\nentonces H * FK = G donde FK es la unión de todos los k(F ), k • K).\nClaramente K es apropiado y localmente limitado, así que para terminar la prueba, nosotros\nSólo hay que comprobar que K es geodésico asintóticamente. Por la invarianza H de la letra K) y de la letra b) del apartado 1 del artículo 3 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establecen las normas de desarrollo del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, relativo a la aplicación de los regímenes de seguridad social a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia,\nya que H es cocompacto en G, es suficiente para exhibir un pseudogeodésico entre e\ny un punto x â € H. Dejar x = z1 ·... ·zn con zi â € H y\n(e, zi) ≤ (1) (e, x).\nFijar un dominio fundamental compacto F para H en HK para que la integración en (29)\nsobre H\\HK se sustituye por la integración sobre F. Luego para algunos constante CF > 0\ntienen (g, gz) − ♥(e, gz) ≤ CF para g F y z H. Por otra parte, se deduce de\nProposición 5.2, Lemma 5.6 y el hecho de que HK\n(32) l(e, gk(z)) ≤ (1 + ♥) · l(e, z)\npara todos los g de F, k de K y tan pronto como z de G es lo suficientemente grande. Fijar s lo suficientemente grande\nde modo que CF ≤ فارسىs y que (32) se mantenga cuando (e, z) ≥ s. Como ya se ha observado en\nla discusión siguiente a la definición 4.1 (propiedad 4.2 (3)) podemos tomar la\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 31\nque s\n≤ (e, zi) ≤ s. A continuación, nCF ≤ nsl ≤ 3(e, x). Finalmente conseguimos para...................................................................................................................\nx lo suficientemente grande\nK(e, zi) ≤ CFn+ (1 + )\n2o(e, x)\n≤ CFn+ (1 + )\n3K(e, x)\n≤ 1 + 10 °) · K(e, x)\ndonde hemos utilizado la convergencia?K/ 1 que acabamos de probar. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n6. El caso de los nilpotentes\nEn esta sección, probamos el Teorema 1.4 y sus corolarios expresados en el Intro-\nla inducción para un grupo de mentira nilpotente simplemente conectado. Básicamente seguimos a Pansu’s\nargumento de [27], aunque nuestro enfoque difiere algo en su presentación.\nA lo largo de la sección, el grupo Nilpotent Lie será denotado por N, y su Mentira\nálgebra por n.\nQue m1 sea cualquier subespacio vectorial de n de tal manera que n = m1 â € [n, n]. Dejemos que η1 el\nproyección lineal asociada de n a m1. Dejar que H sea un subgrupo de cocompacto cerrado\nde N. A cada pseudodistancia H-periódica en N asociamos una norma 0 en\nm1 que es la norma cuya bola unidad se define como el casco convexo cerrado de todos\nlos elementos η1(h)/l(e, h) para todos los elementos h(h)}. En otras palabras,\n(33) E := {x â € m1, â € € > 0 ≤ 1} = CvxHull\nη1(h)\n(e, h)\n, h â â € TM â TM â TM â TM â TM â TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM\nEl conjunto E es claramente un subconjunto convexo de m1 que es simétrico alrededor de 0 (desde \nes simétrico). Para comprobar que E es de hecho la bola unitaria de la norma sobre m1 permanece\npara ver que E está limitada y que 0 se encuentra en su interior. El primer hecho es el siguiente:\ninmediatamente desde (23) y Ejemplo 2.3. Si 0 no se encuentra en el interior de E,\nentonces E debe estar contenido en un subespacio adecuado de m1, contradiciendo el hecho de que\nH es cocompacto en N.\nTomando grandes poderes hn, vemos que podemos reemplazar el conjunto H e} en el anterior\ndefinición por cualquier barrio de infinito en H. Del mismo modo, es fácil ver que\nse mantiene lo siguiente:\nProposición 6.1. Para s > 0 dejar Es ser el casco convexo cerrado de todos η1(x)/l(e, x)\ncon x N y x > s. A continuación E =\ns>0Es.\nPrueba. Debido a que es H-periódico, tenemos ♥(e, hn) ≤ n/23370/(e, h) para todos los n+N y h+H.\nEsto muestra E â € TM\ns>0Es. La inclusión opuesta se deriva fácilmente del hecho de que\nSe encuentra a una distancia limitada de su restricción a H, es decir. a partir del punto 4.2 (1). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nAhora elegimos un conjunto de subespacios suplementarios (mi) comenzando con m1 como en\nPárrafo 2.2. Esto define un nuevo producto de la Mentira * en N de modo que N = (N, *) es\nestratificado. Entonces podemos considerar la métrica de Carnot-Carathéodory invariante *-izquierda\nasociado a la norma 0 tal como se define en el párrafo 2.1 sobre el nilpotente estratificado\nGrupo de mentiras N. En esta sección, probaremos el teorema 1.4 para grupos nilpotentes en\nel siguiente formulario:\n32 EMMANUEL BREUILLARD\nTeorema 6.2. Vamos a ser una pseudodistancia periódica en N y d- el Carnot-\nmétrica de caratheodory definida arriba, entonces como x tiende a infinito en N\n(34) lim\n(e, x)\nd-(e, x)\nNótese que la variable de la izquierda es para el producto de la Mentira, pero no para la Mentira original.\nproducto en N.\nAntes de ir más lejos, vamos a sacar algunas consecuencias simples.\n(1) En el Teorema 6.2 podemos reemplazar a d(e, x) por d(e, x), donde d es la izquierda\nmétrica invariante del Carno-Carateosorio en N (en lugar de N\nnorma 0 (en contraposición a la norma d, que es ∗-invariante de izquierda). Por lo tanto, d y d son\nasintótico. Esto se desprende de la combinación de Teorema 6.2 y Observación 2.1.\n2) Observar que la elección de m1 fue arbitraria. Por lo tanto, dos Carnot-Carathéodory\nmétricas correspondientes a dos opciones diferentes de un subespacio suplementario m1\ncon la misma norma inducida en n/[n, n], son equivalentes asintóticamente (es decir, su\nla relación tiende a 1), y de hecho isométrica (véase la Observación 2.1). Por el contrario, si dos\nLas métricas Carnot-Carathéodory están asociadas al mismo subespacio suplementario\nm1 y son equivalentes asintóticamente, deben ser iguales. Esto muestra que el\nconjunto de todas las normas posibles sobre el espacio vectorial cociente n/[n, n] está en\nel conjunto de todas las clases de equivalencia asintótica de las métricas Carnot-Carathéodory en\n(3) Como otra consecuencia vemos que si un local limitado propio y asymp-\nseudodistancia izquierda invariante toticalmente geodésica en N también es homogénea con\npor lo que respecta al grupo de 1 parámetro (t)t (es decir, Entonces tiene que ser\nde la forma \"(x, y)\" = \"(e), \"(x)\"\n−1y) donde d.o. es una métrica Carnot-Carathéodory en\n6.1. Volumen asintótico. Teorema 6.2 también produce una fórmula para el asintótico\nvolumen de bolas de gran radio. Vamos a fijar una medida de Haar en N (por ejemplo\nLa medida Lebesgue sobre n da lugar a una medida Haar sobre N en virtud de la exp). Desde el día de la reunión.\nes homogéneo, es sencillo calcular el volumen de un d-ball:\nvol({x N, d(e, x) ≤ t}) = t\nd(N)vol({x â € N, dâ € (e, x) ≤ 1})\ndonde d(N) =\ni≥1 dim(C)\ni(n)) es la dimensión homogénea de N. Para un pseu-\ndodistancia como en la declaración de Teorema 6.2, podemos definir el vol asintótico\nel volumen de la bola de unidad para el Carnot-Carathéodory asociado\nmétricas d...................................................................................................................................................................\nAsV ol() = vol({x N, d(e, x) ≤ 1})\nEntonces obtenemos como corolario inmediato del Teorema 6.2:\nCorolario 6.3. Dejemos que sea pseudodistancia periódica en N. Entonces\ntd(N)\nvol({x N, (e, x) ≤ t}) = AsV ol() > 0\nPor último, si se trata de un grupo arbitrario nilpotente finitamente generado, tenemos que tomar\ncuidado de los elementos de torsión. Forman un subgrupo finito normal T y aplican\nTeorema 6.2 a /T, obtenemos:\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 33\nCorolario 6.4. Let S ser un conjunto de generación simétrica finita de la bola y Sn\nde radio n es la palabra métrica de S asociada a S, entonces\nnd(N)\n#Sn = #T ·\nAsV ol(lS)\nvol(N/)\ndonde N es el cierre de Malcev de • = •/T, el cociente libre de torsión de •, y dS\nes la palabra pseudodistancia asociada a S, la proyección de S en.\nPor otra parte, es posible ser un poco más preciso sobre AsV ol(lS). De hecho,\nla norma 0 sobre m1 utilizado para definir el límite Carnot-Carathéodory distance d\nasociado a S es una norma poliédrica simple definida por\nx ≤ 1} = CvxHull (γ1(s), s S)\nDe manera más general, las siguientes reservas. Dejar que H sea cualquier subgrupo cerrado, cocompacto\nde N. Elija una medida Haar en H para que volN (N/H) = 1. Rendimientos del teorema 6.2:\nCorolario 6.5. Vamos a ser un compacto simétrico (es decir. Barrio de\nla identidad, que genera H. Dejar 0 ser la norma en m1 cuya bola unidad es\nCvxHull1()} y dejar que dŁ sea la correspondiente métrica Carnot-Carathéodory en\nNo, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Entonces tenemos el siguiente límite en la topología de Hausdorff\n(ln) = {g + N, d{e, g) ≤ 1}\nvolH(\nnd(N)\n= volN ({g N, d(e, g) ≤ 1})\n6.2. Esquema de la prueba. Primero diseñamos algunos lemas estándar sobre la pieza...\naproximaciones prudentes de las vías horizontales (Lemmas 6.6, 6.7, 6.10). Entonces se muestra\n(Lemma 6.11) que el producto original en N y el producto en el\ngrupo de la mentira calificada son asintóticos entre sí, es decir, si (?t)t es un 1-parámetro\ngrupo de dilaciones de N, luego después de la renormalización por 1\n, el producto de O(t)\nelementos que se encuentran en algún subconjunto limitado de N, está muy cerca de la renormalización\nproducto de los mismos elementos en el grupo de la Mentira graduada N. Esta es la razón por la que todos los com-\nlas aplicaciones debido al hecho de que N no puede ser calificado a priori y los\nno ser automorfismos desaparecen cuando se mira la geometría a gran escala de la\ngrupo. Por último, observamos (Lemma 6.13), como se desprende de la propia definición de\nla unidad de bola E para la norma límite 0, que cualquier vector en el límite de E,\nse puede aproximar, después de volver a normalizar por 1\npor algún elemento x â € TM N acostado en\nun anillo fijo s(1 − ) ≤ (e, x) ≤ s(1 + ). Esto nos permite afirmar que cualquier\nLa geodésica-cuasi da lugar, después de la renormalización, a una di-geodésica (esto da la\nlímite inferior en el teorema 6.2). Y viceversa, que cualquier d-geodésico puede ser ap-\nproximalmente uniformemente por algunos geodésicos renormalizados \nencuadernado en Teorema 6.2).\n34 EMMANUEL BREUILLARD\n6.3. Lemas preliminares.\nLemma 6.6. Que G sea un grupo de Mentira y que e sea una norma euclidiana sobre la Mentira\nálgebra de G y de(·, ·) la métrica izquierda invariante Riemanniana asociada en G.\nQue K sea un subconjunto compacto de G. Luego hay una constante C0 = C0(de,K) > 0\nDe modo que cuando de(e, u) ≤ 1 y x, y\nde(xu, yu)− de(x, y) ≤ C0de(x, y)de(e, u)\nPrueba. La prueba se reduce al caso cuando u y x-1y están en un barrio pequeño\nde e. Entonces la desigualdad se reduce a lo siguiente:\nalgunos c > 0 y cada X,Y en Lie(G). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nLemma 6.7. Dejar G ser un grupo de la mentira, dejar ser alguna norma en el álgebra de la mentira de\nG y dejar de(·, ·) ser una métrica riemanniana invariante izquierda en G. Entonces para cada\nL > 0 hay una constante C = C(de, , L) > 0 con la siguiente propiedad.\nSupóngase: [0, 1] → G son dos caminos lisos en el grupo de la Mentira G\ncon â € 1(0) = â € 2(0) = e. Let â €\ni • Lie(G) ser el vector tangente tirado hacia atrás en el\nidentidad por una traducción a la izquierda de G. Asumir que supta[0,1] \n1 t) ≤ L, y que\n1(t)−\n2 t) ° dt ≤ °. Entonces\n≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 > ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 > > > > > > > > > > > > > > > > 1 > 1 > 1 > > > > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > > > > > > > > 1 > 1 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > > > > 1 > > > > > \nPrueba. La función f(t) = de(1(t), 2(t)) es lisa a trozos. Para el pequeño dt nosotros\npuede escribir, utilizando Lemma 6.6\nf(t+ dt)− f(t) ≤ de(1(t)\n1 t)dt, 1 t)\n2(t)dt) + de(1(t)\n2 t)dt, 2 t)\n2(t)dt)− f(t) + o(dt)\n1(t)− 2(t)\nDT+ C0f(t)\n2(t)dt\n+ o(dt)\n≤ (t)dt +C0Lf(t)dt+ o(dt)\nen los que Ł(t) = 1(t)−\n2 t)oe. En otras palabras,\nf ′(t) ≤ (t) + C0Lf(t)\nDado que f(0) = 0, el lema de Gronwall implica que f(1) ≤ eC0L\n(s)e−C0Lsds ≤ C.\nA partir de ahora, tomaremos a G como el estratificado grupo de Nilpotent Lie, y\nde(·, ·) denotará una métrica de Riemanniana invariante izquierda en N, mientras que d(·, ·) es una izquierda\nmétrica de Carnot-Carateodory Finsler invariante en N.o asociado a alguna norma \nen m1.\nObservación 6.8. Hay c0 > 0 tal que c\n0 de(e, x) ≤ d(e, x) ≤ c0de(e, x)\nr en a\nbarrio de e. Por lo tanto, en la situación del lema se obtiene dâ € (â € 1, â € 2(1)) ≤\nr para alguna otra constante C1 = C1(L, d.o., de).\nLemma 6.9. Let N â € N y dN (x, y) ser la función en Nâ € definido en el\nde la siguiente manera:\ndN (x, y) = inf{\n(u)\nHPL(N), (0) = x, ((1) = y}\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 35\ndonde HPL(N) es el conjunto de trayectorias horizontales que son lineales a trozos con en\nla mayoría de los N posibles valores para. A continuación, tenemos dN → de forma uniforme en compacto\nsubconjuntos de N.O.\nPrueba. Tenga en cuenta que se desprende del teorema de Chow (p. ej. Véase [25] o [19]) que allí\nexiste K0 â € N tal que A := supdâ(e,x)=1 dK0(e,x) <. Por otra parte, ya que pieza-\nlos caminos lineales sabios son densos en L1, sigue por ejemplo de Lemma 6.7 que para\ncada x fijo, dn(e, x) → d•(e, x). Tenemos que demostrar que dN (e, x) → d(e, x) uni-\nFormalmente en x satisfaciendo d.(e, x) = 1. Por contradicción, supongamos que hay una secuencia\n(xn)n de tal manera que, en algunos casos, se destinen a la categoría D(e, xn) = 1 y a la categoría dn(e, xn) ≥ 1 + 0. Podemos\nasumir que (xn)n converge para decir x. Dejar que yn = x\n−1 *xn y tn = d(e, yn). Entonces\ndK0(e, yn) = tndK0(e, 1\n(yn)) ≤ Atn. Así dn(e, xn) ≤ dn(e, x) + dn(e, yn) ≤\ndn(e, x) + Atn tan pronto como n ≥ K0. Como n tiende a........................................................................... - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEste lema indica la siguiente notación. En el caso de los países de la Europa central y oriental, el número de países de la Europa central y oriental será el más elevado de los países de la Europa central y oriental.\nprimer número entero de tal manera que 1 ≤ dN(e, x) ≤ 1 + para todas las x con d(e, x) = 1. Entonces nosotros\ntener:\nLemma 6.10. Por cada x â € Nâ € con dâ € (e, x) = 1, y todos â € > 0 existe un\nruta : [0, 1] → N.O. en HPL(N.O.) con velocidad unitaria (es decir, * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n= 1) tales que (0) = e\n≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >\n′ tiene como máximo una discontinuidad en cualquier subintervalo de\n[0, 1] de longitud.\nPrueba. Sabemos que hay una ruta en HPL(NŁ) que conecta e a x con la longitud\nl ≤ 1 + فارسى. Reparar el camino para que tenga velocidad de unidad, obtenemos un camino\n•0 : [0, l] → N.O. en HPL(N.O.) con d.O.(x, +0(1)) = d.O.(+0(l), +0(1)) ≤. La deriva...\ntivo 0 es constante en a lo sumo N♥ diferentes intervalos dicen [ui, ui+1). Quitemos\ntodos estos intervalos de longitud ≤ r/N, fundiéndolos en un intervalo adyacente\ny vamos a cambiar el valor de 0 en estos intervalos al valor en el adja-\nIntervalo de céntimos (no importa si elegimos el intervalo a la izquierda o en el\na la derecha). Obtenemos una nueva ruta : [0, 1] → N\nTal que tiene a lo sumo una discontinuidad en cualquier subintervalo de [0, 1] de longitud\n........................................................................................................................................................................................... Además\n(t)− 0(t)\nr. Por Lemma 6.7 y Observación 6.3, nosotros\nque tengan, por lo tanto, ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >\n≤ (C1 + 1), ≤ (C1 + 1), ≤ (C1 + 1), ≤ (C1 + 1)\nLemma 6.11 (Aproximación horizontal de senderos). Que x*y denote la\nproducto dentro del grupo estratificado Lie N y x · y el producto ordinario en N.\nDejar n • N y t ≥ n. A continuación, para cualquier subconjunto compacto K de N, y cualquier x1,..., xn\nelementos de K, tenemos\nde(l) 1\n(x1 ·... · xn),\n(x1 ∗... ∗ xn)) ≤ c1\nde(l) 1\n(x1 ∗... ∗ xn),\n(η1(x1) ∗...* η1(xn))) ≤ c2\n36 EMMANUEL BREUILLARD\ndonde c1, c2 dependen de K y de solamente.\nPrueba. Dejar ser una norma en el álgebra de la mentira de N. Para k = 1,..., n dejar zk =\nx1 ·... ·xk−1 y yk = xk+1 *...*xn. Puesto que todos los xis pertenecen a K, se deriva de (24)\nque tan pronto como t ≥ n, todos los\nzk) y 1\n(yk) para k = 1,..., n permanecer en un conjunto limitado\ndependiendo sólo de K. Comparando (12) y (11), vemos que cuando y = O(1)\ny 1\n(x) = O(1), tenemos\n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1\nxy)− 1\nx ∗ y)\n= O(\nPor otra parte, a partir de (12) es fácil verificar ese derecho *-multiplicación por un\nelemento limitado es Lipschitz para y la constante Lipschitz se limita localmente.\nSe deduce que hay una constante C1 > 0 (dependiendo sólo de K y ) tales\nque para todos los k ≤ n\n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1\n(zk · xk) ∗ yk)− 1\n(zk * xk * yk)\n≤ C1\n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1\n(zk · xk)− 1\n(zk ∗ xk)\nAplicando n veces la relación (35) con x = x1 ·... · xk−1 e y = xk, finalmente\nobtener 1\n(x1 ·... · xn)− 1\n(x1 ∗... ∗ xn)\n= O(\n) = O(\ndonde O() depende sólo de K. Por otro lado, utilizando (11), es otro simple\nverificación para comprobar que si x, y se encuentran en un conjunto limitado, entonces 1\nde(x, y) ≤ â € ~ x− yâ €\n≤ c2de(x, y) para algunas constantes c2 > 0. La primera desigualdad sigue.\nPara la segunda desigualdad, aplicamos Lemma 6.7 a las rutas de salida\nen e y con derivado igual a [ k\n, k+1\n) a no 1\nxk) en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n».\nη1(xk)\npara 2 libras esterlinas.\nLo conseguimos.\nde(l) 1\n(x1 ∗... ∗ xn),\n(η1(x1)*...* η1(xn)) = O(\nObservación 6.12. De la Observación 6.3 vemos que si reemplazamos de por d\nLemma, obtenemos el mismo resultado con 1\nsustituida por t−\nLemma 6.13 (Aproximación en el grupo abelianizado). Recuerde que 0 es el\nnorma sobre m1 definida en (33). Para cualquier فارسى > 0, existe s0 > 0 tal que para cada\ns > s0 y cada v â € m1 de tal manera que â € € TM = 1, existe h â € H tal que\n(-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -)\ny \nη1(h)\n(e, h)\nPrueba. Deja que se arregle فارسى > 0. Considerando una red finita en E, vemos que existe\nun subconjunto simétrico finito {g1,..., gp} de Häe} de tal manera que, si consideramos el cerrado\nconvex casco de F = {fi = η1(gi)/l(e, gi)i = 1,..., p} y la norma asociada\nen m1, entonces 0 ≤ ≤ (1 + 2) 0. Hasta la reducción de F si es necesario, podemos\nasumir que fi = 1 para todos i’s. También podemos suponer que el fi de generar m1 como\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 37\nun espacio vectorial. La esfera {x, x = 1} es un poliedro simétrico en m1 y a\ncada una de sus facetas corresponde d = vértices dim(m1) yace en F y forma un vector\nbase de m1. Let f1,..., fd, digamos, ser tales vértices para una faceta dada. Si x m1 es de la\nforma x =\ni=1 ♥ifi con ♥i ≥ 0 para 1 ≤ i ≤ d entonces vemos que x =\ni=1 ♥i,\nporque el casco convexo de f1,..., fd es precisamente esa faceta, por lo tanto se encuentra en la esfera\n{x, x = 1}.\nAhora vamos a v m1, v0 = 1, y vamos a > 0. La televisión de media línea, t > 0, llega a la\nesfera {x, x = 1} en un punto. Este punto pertenece a alguna faceta y allí\nson d elementos linealmente independientes de F, digamos f1,..., fd, los vértices de esa faceta,\ntal que este punto pertenece al casco convexo de f1,..., fd. El punto sv entonces miente\nen el cono convexo generado por η1(g1),..., η1(gd). Por otra parte, hay una constante\nÍndices de las emisiones de gases de efecto invernadero y de los gases de efecto invernadero y de los gases de efecto invernadero, según se indica en el anexo I del Reglamento (UE) n.o 575/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo [2]\nmax1≤i≤p l(e, gi)) de forma que\nsv −\nNinnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\npara algunos enteros no negativos n1,..., nd dependiendo de s > 0. Por lo tanto\nn(e, gi) =\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nNinnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n(sv + CŁ)\n≤ 1 + 2\n≤ 1 + 3\ndonde la última desigualdad se mantiene tan pronto como s > C\nAhora vamos a h = g\n1 ·... · g\nd H. Tenemos η1(h) =\ni=1 niη1(gi)\n(e, h) ≥ 1(h)0 ≥ s−\nAdemás\n(e, h) ≤\nn(e, gi) ≤ s(1 + 3\nCambiando a \"decir\" a \"decir\"\ny, por ejemplo, el número de personas menores de 1 año\n, obtenemos el resultado deseado con s0() =\nmax1≤i≤p l(e, gi). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n6.4. Prueba de Teorema 6.2. Tenemos que mostrar que como x→ • en N\n1 ≤ lim\n(e, x)\nd-(e, x)\n≤ lim\n(e, x)\nd-(e, x)\nPrimera nota que es suficiente para probar los límites para x â € ¢ H. Esto sigue de\n(4.2) (1).\nComencemos con el límite inferior. Nos fijamos en la definición de 0 y s = s()\nde una métrica geodésica asintótica (véase el punto 21). Sabemos por 4.2 (3) y (4) que\ntan pronto como se encuentre x1,..., xn en H con s ≤ ♥(e, xi) ≤ 2s tales que\nxi y\n(e, xi) ≤ (1 + Let t = dŁ(e, x), entonces n ≤\n(e, x),\npor lo tanto n ≤ C\nt donde C es una constante que depende únicamente de C (véase el punto 23). Podemos\n38 EMMANUEL BREUILLARD\na continuación, aplicar Lemma 6.11 (y la observación siguiente) para obtener, como t ≥ n tan pronto como\ns() ≥ C,\nd-(l)-(l)-(l)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)\n(x), 1\n(η1(x1) ∗...* η1(xn))) ≤ c\nPero para cada i tenemos 1(xi)+0 ≤ ♥(e, xi) por definición de la norma, por lo tanto\nt = d(e, x) ≤\n1(xi)+0(x, π1(x1) ∗... 1(xn)) ≤ (1+ \nPuesto que Ł fue arbitrario, dejando t→ ♥ obtenemos\n(e, x)\nd-(e, x)\nPasamos ahora al límite superior. Let t = dŁ(e, x) y فارسى > 0. De acuerdo con\nLemma 6.10, hay un camino lineal horizontal por partes (u)}u[0,1] con unidad\nvelocidad de tal modo que d() 1\n(x), • 1)) ≤ C2 y sin intervalo de longitud ≥\ncontiene\nmás de un cambio de dirección. Dejad que Lemma 6.13 dé s0() y asumid\nt > s0(\nr)N.O.\nr. Dividimos [0, 1] en n subintervalos de longitud u1,..., de tal manera que\nes constante igual a yi en la subintervalo i-th y s0(\nr) ≤ tui ≤ 2s0\nr). Nosotros\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Lemma 6.13 produce puntos xi â € H tales que\nyi −\nη1(xi)\n≤ ♥\ny (e, xi) [(1 − \nr)tui, (1 + \nr)tui] (obsérvese que tui > s0(\nr)). Vamos a ser el\ntrazo lineal a partir de piezas [0, 1] → No con las mismas discontinuidades\nvalor yi se sustituye por\nη1(xi)\n. Luego, según Lemma 6.7, d...... (.................................................................................................................................................................................................................................................... \nDesde el punto de vista de la letra e) del punto xi) ≤ 4s0\nr) para cada i, podemos aplicar Lemma 6.11 (y la observación\ny ver que si y = x1 ·... · xn,\nd()(1), 1\n(y)) ≤ c′1()t\nPor lo tanto, d() 1\n(x), 1\n(y)) ≤ (C2+C)c\n1(l)t\nr y ♥(e, y) ≤\n(e, xi) ≤ 1\nSin embargo, el valor de todas las materias utilizadas no exceda del 50 % del precio franco fábrica del producto\n(x−1y)) + C ′ ≤ t(Cd\n(x), 1\n(y)) + o............................................................................................................................................................................................................................................................ Por lo tanto\n(e, x) ≤ t+ o(t)\nObservación 6.14. En el último argumento usamos el hecho de que\n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1\n(xu)− 1\n(x ∗ u)\n= 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 \n) si 1\nx) y 1\n(u) están limitados, con el fin de obtener para y = xu,\nd-(e, 1-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)\n(u)) ≤ d\n(x), 1\n(xu)) + d\n(xu), 1\n(x ∗ u))\n≤ d.o.p.\n(x), 1\n(y)) + o(1).\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 39\n7. G localmente compacto y pruebas de los principales resultados\nEn esta sección, probamos el Teorema 1.2 y completamos la prueba del Teorema 1.4\ny sus corolarios. Comenzamos con lo último.\nPrueba de Teorema 1.4. Es la combinación de la Proposición 5.1, que reduce la\nproblema a los grupos nilpotent Lie, y Teorema 6.2, que trata el caso nilpotent.\nSólo queda por justificar la última afirmación de que el d- es invariante en virtud de la T (H).\nYa queK = T (H) estabilizam1 (véase Lemma 3.12 para la definición dem1) y actúa\npor automorfismos de la estructura nilpotente (nilshadow) (Lemma 3.5), dada la\nk K, la métrica dŁ(k(x), k(y)) no es otra cosa que el invariante izquierdo subFinsler\nmétrica en el nilshadow asociado a la norma â € € TM k(v)â € para v â € m1 (si â € € ~ € ~ € ~ ~ denota\nla norma asociada a d.o.p.).\nSin embargo, d.o. es asintóticamente invariante bajo K, debido a la Proposición 5.1.\nEs decir, dÃ3(e, k(x))/dÃ3(e, x) tiende a 1 como x tiende a infinito. Por último, d(e, v) =\nEn el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. Dos normas asintóticas en un vector\nEl espacio siempre es igual. De ello se deduce que las normas sobre m1 coinciden entre sí.\nPor lo tanto, de la letra e), k (x) = d(e, k (x)) para todas las x â € S, como se afirma. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nPrueba del corolario 1.8. En primer lugar, algunas observaciones iniciales (véase también la Observación 2.1). Si d es\nuna métrica subFinlser invariante izquierda en un grupo N de mentira nilpotente simplemente conectado\ninducido por una norma sobre un subespacio suplementario m1 del conmutador\nsubálgebra, entonces se deriva de la definición misma de las métricas subFinsler (ver\nPárrafo 2.1) que el 1 de enero es 1-Lipschitz entre el grupo Lie y la abelianización\nde ella dotada de la norma, es decir, 1(x) ≤ d(e, x), con la igualdad si x m1.\nA partir de esto y considerando la definición de la norma límite en (33), concluimos\nque coincide con la norma límite de d. En particular el teorema 6.2 implica\nque d es asintótico a la métrica invariante ∗-izquierda subFinsler d\nla misma norma en el grupo de Lie calificado (No,*).\nAhora podemos probar el corolario 1.8. Por la observación anterior, el límite métrica d\nen la nilshadow graduada de S es asintótica a la métrica subFinsler d inducida\npor la misma norma, en el mismo (K-invariante) subespacio suplementario m1\ndel subalgebra conmutador de la nilshadow, y que se deja invariante para\nla estructura de nilshadow en S. Sin embargo, se deduce de Teorema 1.4 que d\ny la norma son K-invariantes. Esto implica que d también es invariante a la izquierda\ncon respecto a la estructura de grupo de Lie original de S. De hecho, por (1), podemos\nescribir d(gx, gy) = d(g* (T (g)x), g* (T (g)y)) = d(T (g)x, T (g)y) = d(x, y), donde *\ndenota esta vez la estructura del producto nilshadow. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nPrueba del corolario 1.7. Esto sigue inmediatamente del Teorema 1.4, cuando ∗ de-\nseñala el producto nilshadow clasificado. Si ∗ denota la estructura del grupo de nilshadow,\nentonces se desprende de Teorema 6.2 y la observación que acabamos de hacer en la prueba de\nCorollary 1.8 (véase también la Observación 2.1). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n7.1. Prueba de Teorema 1.2. Dejar G ser un grupo localmente compacto de polinomio\ncrecimiento. Demostraremos que G tiene un subgrupo K normal compacto de tal manera que G/K\n40 EMMANUEL BREUILLARD\ncontiene un subgrupo de cocompacto cerrado, que se puede realizar como una co-\nsubgrupo compacto de un grupo de tipo Solvable Lie conectado y simplemente conectado\n(R) (es decir, de crecimiento polinomio). La prueba seguirá en varios pasos.\n(a) Primero mostramos que hasta la modificación por un subgrupo compacto normal, podemos\nasumir que G es un grupo de mentiras cuyo componente conectado de la identidad no tiene\nsubgrupo normal compacto. De hecho, se deriva del refinamiento de Gromov por parte de Losert\nteorema ([24] Teorema 2) que existe un subgrupo compacto normal K de G\ntal que G/K es un grupo de mentiras. Así que ahora podemos asumir que G es un grupo de mentiras (no\nnecesariamente conectados) de crecimiento polinomio. El componente conectado G0 de G\nes un grupo de Lie conectado de crecimiento polinomio. Recordemos el siguiente hecho clásico:\nLemma 7.1. Cada grupo de Lie conectado tiene un compacto compacto único normal\nsubgrupo. Por singularidad debe ser un subgrupo de Lie característico.\nPrueba. Claramente si K1 y K2 son subgrupos normales compactos, entonces K1K2 es de nuevo\nun subgrupo compacto normal. Considerando G/K, donde K es una normal compacta\nsubgrupo de la dimensión máxima, podemos suponer que G no tiene compacta normal\nsubgrupo de dimensión positiva. Pero cada subgrupo normal finito de un\nEl grupo es central. Por lo tanto, el grupo cerrado generado por todos los subgrupos normales finitos es\ncontenido en el centro de G. El centro es un subgrupo abeliano de Lie, es decir. isomórfico\na un producto de un espacio vectorial Rn, un toro Rm/Zm, un grupo abeliano libre Zk y un\ngrupo abeliano finito. En tal grupo, claramente hay un compacto máximo único\nsubgrupo (a saber, el producto del grupo finito y el toro). También es normal,\ny máximo en G.\nEl subgrupo normal compacto máximo de G0 es un subgrupo de Lie característico\nde G0. Por lo tanto, es normal en G y podemos modificar por ella. Por lo tanto, tenemos\nmuestra que todos los grupos compactos locales (generados compactamente) con polinomios\ncrecimiento admite un cociente por un subgrupo normal compacto, que es un grupo de mentira G\ncuyo componente conectado de la identidad G0 tiene crecimiento polinomio y con-\nno contiene ningún subgrupo normal compacto. Ahora vamos a demostrar que un cierto co-compacto\nsubgrupo de G tiene la propiedad de inserción de Teorema 1.2.\nb) En segundo lugar, mostramos que, hasta pasar a un subgrupo de cocompacto, podemos\nasumir que el componente G0 conectado es solvable. Para este propósito, que Q sea\nel radical solvable de G0, es decir, el subgrupo máximo conectado normal de Lie\nde G0. Tenga en cuenta que es un subgrupo característico de G0 y, por lo tanto, normal en G.\nAdemás, G0/Q es un grupo de mentiras semisimple. Dado que G0 tiene crecimiento polinomio,\nDe ello se desprende que G0/Q debe ser compacto. Considerar la acción de G por conjugación en\nG0/Q, es decir, el mapa : G→ Aut(G0/Q). Puesto que G0/Q es compacto semisimple,\nsu grupo de automorfismos es también un grupo compacto de Lie. En particular, el núcleo\nes un subgrupo cocompacto de G.\nEl componente conectado de la identidad de Aut(G0/Q) es en sí mismo semisimple y\npor lo tanto tiene centro finito. Sin embargo, la imagen del componente conectado (ker فارسى)0\nde que en G0/Q módulo Q es central. Por lo tanto, debe ser trivial. Tenemos\nse muestra que (ker)0 está contenido en Q y por lo tanto es solvable. Por otra parte (ker )0\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 41\nno tiene un subgrupo normal compacto, porque de lo contrario su compacto normal máximo\nEl subgrupo, que es característico en (ker)0, sería normal en G (note que (ker)0\nes normal en G).\nCambio de G en el subgrupo de cocompacto kers, por lo tanto, podemos asumir que\nG0 es solvable, de crecimiento polinomio, y no tiene una sub-\ngrupo. El grupo G/G0 es discreto, generado finitamente, y tiene crecimiento polinomio.\nPor el teorema de Gromov, debe ser prácticamente nilpotente, en particular virtualmente poli-\ncíclico.\n(c) Finalmente demostramos la siguiente proposición.\nProposición 7.2. Dejar G ser un grupo de mentira tal que su componente conectado de la\nidentidad G0 es solvable, no admite subgrupo normal compacto, y con G/G0 virtu-\nAlly policíclico. Entonces G tiene un subgrupo de cocompacto cerrado, que puede ser incrustado\ncomo un subgrupo de cocompacto cerrado de una mentira solvable conectada y simplemente conectada\ngrupo.\nLa prueba de esta proposición es principalmente una aplicación de un teorema de H.C.\nWang, que es una amplia generalización del teorema integrador de Malcev para la torsión\ngrupos nilpotentes generados finitamente libres. El teorema de Wang [36] declara que cualquier S-\ngrupo puede ser incrustado como un subgrupo de cocompacto cerrado de un real simplemente conectado\nGrupo de Lie Solvable lineal con sólo finitamente muchos componentes conectados. Wang\ndefine un grupo S como cualquier verdadero grupo de Lie G, que admite un subgrupo normal\nUn tal que G/A se genera finitamente abelian y A es un nilpotente libre de torsión\nGrupo de mentiras cuyo grupo de componentes conectados se genera finitamente. En particular\ncualquier grupo S tiene un índice finito (de ahí cocompacto) subgrupo que se incrusta como un\nsubgrupo de cocompacto en un grupo de Lie solvable conectado y simplemente conectado.\nPara probar la Proposición 7.2, basta, por lo tanto, establecer que G tiene un\ncocompacto S-group.\nRecordamos en primer lugar el siguiente simple hecho:\nLemma 7.3. Cada subgrupo cerrado F de un grupo de Lie solvable conectado S es\ntopológicamente generado finitamente.\nPrueba. Argumentamos por inducción sobre la dimensión de S. Claramente hay una epi-\nmorfismo η : S → R. Por hipótesis de inducción F ker η es topológicamente finita\ngenerado. La imagen de F es un subgrupo de R. Sin embargo, cada subgrupo de R\ncontiene uno o dos elementos, cuyo subgrupo que generan tiene el mismo\ncierre como subgrupo original. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nA continuación mostramos la existencia de un nilradical.\nLemma 7.4. Que G sea como en la Proposición 7.2. Entonces G tiene un máximo único\nsubgrupo normal de nilpotente GN.\nPrueba. El subgrupo generado por cualquiera de los dos subgrupos normales de\ngrupo dado es en sí mismo nilpotente (lema de Fitting, ver, por ejemplo. [30][5.2.8]). Dejad en paz a GN.\nel cierre del subgrupo generado por todos los subgrupos nilpotent de G. Necesitamos\npara demostrar que la GN es nilpotente. Para esto es claramente suficiente para demostrar que es\n42 EMMANUEL BREUILLARD\ntopológicamente generado finitamente (porque cualquier subgrupo de GN generado finitamente es\nnilpotente por la observación que acabamos de hacer). Puesto que G/G0 es virtualmente policíclico, cada\nEl subgrupo se genera finitamente ([29][4.2]). Por lo tanto, es suficiente para demostrar que\nGN â € ¢ G0 se genera topológicamente finitamente. Esto sigue de Lemma 7.3. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nIncidentemente, observamos que el componente conectado de la identidad (GN )0\ncoincide con el nilradicalN de G0 (es el máximo normal nilpotente conectado\nsubgrupo de G0.\nAhora afirmamos lo siguiente:\nLemma 7.5. El grupo cociente G/GN es prácticamente abeliano.\nLa prueba de este lema se inspira en la prueba del hecho, debido a Malcev,\nque los grupos policíclicos tienen un subgrupo de índice finito con conmutador nilpotente\nsubgrupo (por ejemplo, Véase [30] [15,1.6]).\nPrueba. Demostraremos que G tiene un índice finito subgrupo normal cuyo conmutador\nEl subgrupo es nilpotente. Esto implica claramente el lema, para este subgrupo nilpotente\nserá normal, por lo tanto, contenido en GN.\nPrimero observamos que el grupo G admite una serie normal finita Gm ≤ Gm−1 ≤\n. .. ≤ G1 = G, donde cada Gi es un subgrupo normal cerrado de G tal que Gi/Gi+1\nes finito, o isomórfico a Zn, Rn o Rn/Zn. Esto lo ve elegir uno de los\nGi es el componente G0 conectado y luego tratar G/G0 y G0 por separado.\nEl primero sigue de la definición de un grupo policíclico (G/G0 tiene una\nsubgrupo policíclico de índice finito). Mientras que para G0, observe que su N nilradical es\nun grupo de nilpotent Lie conectado y simplemente conectado y admite tal serie\nde los subgrupos característicos (escoger la serie descendente central), y G0/N es un\nabeliano conectado grupo Lie, por lo tanto isomórfico al producto directo de un toro\nn/Zn y un grupo vectorial Rn. La parte del toro es característica en G0/N, de ahí su\nla preimagen en G0 es normal en G.\nEl grupo G actúa por conjugación en cada cociente parcial Qi := Gi/Gi+1. Esto\nda un mapa G → Aut(Qi). Ahora tenga en cuenta que para probar nuestro lema, es\nsuficiente para demostrar que para cada i, hay un subgrupo índice finito de G\nEl subgrupo de mutantes mapea a un subgrupo de nilpotente de Aut(Qi). De hecho, la toma de la\nintersección de esos subgrupos índice finito, obtenemos un índice finito subgrupos normales\ncuyo subgrupo conmutador actúa nilpotently en cada Qi, por lo tanto es en sí mismo nilpotent\n(suficientes conmutadores desaparecerán).\nAhora Aut(Qi) es finito (si Qi es finito), o isomórfico a GLn(Z) (en caso de que\nQi es o bien Z\nn o Rn/Zn) o a GLn(R) (cuando Qi R\nn). La imagen de G en\nAut(Qi) es un subgrupo solvable. Sin embargo, cada subgrupo solvable de GLn(R)\ncontiene un subgrupo índice finito, cuyo subgrupo conmutador es unipotenciante (de ahí que\nnilpotente). Esto sigue del teorema de Kolchin, por ejemplo, que un conectado\nsubgrupo algebraico solvable de GLn(C) es triangularizable. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEn la secuela asumimos que G/G0 es policíclico libre de torsión. Es legítimo.\npara hacerlo en la prueba de la Proposición 7.2, porque cada grupo virtualmente policíclico\ntiene un subgrupo policíclico libre de torsión de índice finito (véase, por ejemplo, [29][Lemma 4.6]).\nAhora afirmamos lo siguiente:\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 43\nLemma 7.6. GN está libre de torsión.\nPrueba. Dado que G/G0 está libre de torsión, es suficiente para probar que GN-G0 es torsión-\nlibre. Sin embargo, el conjunto de elementos de torsión en GN forma un subgrupo de GN (si x, y son\ntorsión, entonces xy es demasiado porque â € TM x, yâ € es nilpotente). Claramente es una característica\nsubgrupo de GN. Por lo tanto, su intersección con G0 es normal en G0. Tomando el\ncierre, obtenemos un nilpotente cerrado subgrupo normal T de G0 que contiene un\nDenso conjunto de elementos de torsión. Recordemos que G0 no tiene un subgrupo compacto normal.\nDe esto se deduce rápidamente que T es trivial, porque primero debe ser discreto (la\ncomponente conectado T0 es compacto y normal en G0), por lo tanto finitamente generado\n(por Lemma 7.3), por lo tanto hecho de elementos de torsión. Pero una torsión finitamente generada\nEl grupo nilpotente es finito. Una vez más, puesto que G0 no tiene un subgrupo normal compacto, T debe\nser trivial, y GN es libre de torsión. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nAhora observe que el grupo de componentes conectados de GN, a saber GN/(GN )0\nse genera finitamente. De hecho, puesto que G/G0 se genera finitamente (como cualquier policíclico\ngrupo), es suficiente para demostrar que (G0 GN )/(GN )0 se genera finitamente, pero esto\nse desprende del hecho de que G0-GN se genera topológicamente finitamente (Lemma 7.3).\nYa casi hemos terminado. Tenga en cuenta que G se genera topológicamente finitamente (Lemma\n7.3), por lo tanto, también lo es G/GN. Por Lemma 7.5 G/GN es prácticamente abeliano, por lo que ha\nun índice finito subgrupo normal isomórfico a Zn × Rm. De ello se deduce que G/GN\ntiene un subgrupo de cocompacto isomórfico a un grupo abeliano libre Zn+m. Por lo tanto, después\ncambiar G por un subgrupo de cocompacto, obtenemos que G es una extensión de GN (a\ngrupo de mentira sin torsión nilpotente con grupo finitamente generado de com-\nponents) por un grupo abeliano libre finitamente generado. Por lo tanto, es un grupo S en el\nterminología de Wang [36]. Aplicamos el teorema de Wang y esto termina la prueba de\nProposición 7.2.\n(d) Ahora podemos concluir la prueba del Teorema 1.2. Por a) y b)\nun cociente por un grupo compacto que admite un subgrupo de cocompacto satisfactorio\nlas suposiciones de la Proposición 7.2. Por lo tanto, para concluir la prueba sólo queda\npara verificar que el grupo simplemente conectado Solvable Lie en el que un co-compacto\nEl subgrupo de incrustaciones G/K tiene crecimiento polinomio (es decir, es de tipo (R)). Pero esto\nsigue del siguiente lema (véase [21][Thm. I.2]).\nLemma 7,7. Deja que G sea un grupo localmente compacto. Entonces G tiene crecimiento polinomio si\ny sólo si algunos (resp. an) subgrupo cocompacto de la misma tiene crecimiento polinomio.\nPrueba. Primero se comprueba que G se genera compactamente si y sólo si algunos (resp.\nan) subgrupo de cocompacto es. Esto es por el mismo argumento que muestra que\nsubgrupos índice finitos de un grupo finito generado se generan finitamente. In\nen particular, si es un conjunto de generación simétrica compacta de G y H es un co-compacto\nsubgrupo, entonces no hay n0 â € N tal que â €\nn0H = G. Entonces H â ¬ 3n0 genera\nSi G tiene crecimiento polinomio y H es cualquier subgrupo cerrado de generación compacta,\nentonces H tiene crecimiento polinomio. En efecto (véase [21][Tm I.2]), si \npact generating set para H, y K un barrio compacto de la identidad en G,\n44 EMMANUEL BREUILLARD\nvolG(K)volH(\nH) ≤ volH(KK\n−1 H)volG(\nEsta desigualdad sigue integrando sobre una medida Haar izquierda de G la función\n(x) :=\n−1x)dh, donde dh es una medida Haar izquierda en H. Esta integral\nes igual al lado izquierdo de la ecuación mostrada arriba, mientras que es puntual\nlimitado por volH(xK\n−1 H) dentro de HK y por cero fuera de HK.\nEn la otra dirección, si H tiene crecimiento polinomio, entonces G también tiene, porque\nse puede escribir lán lán lán HK para un conjunto de generación compacta lán H de H y algunos\nbarrio compacto K de la identidad en G (ver Proposición 4.4). Entonces el\nresultado de la siguiente desigualdad:\nvolH(lH)volG(l\nHK) ≤ volH(\nH )volG(\nH K),\nque es una consecuencia directa del hecho de que la función\n(x) :=\n(h−1x)dh,\ndonde dh es una medida izquierda Haar onH, satisface\n(x)dx = volH(\nH )volG(\npor una parte y está limitada abajo por volH(\nHK en el\notra mano. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nTenga en cuenta que la prueba anterior sería un poco más fácil si ya sabíamos que ambos\nG y H eran unimodulares, en cuyo caso G/H tiene una medida invariante. Pero\nsabemos esto sólo a posteriori, porque la condición de crecimiento polinomio implica\nunimodularidad ([21]).\nConsideraciones similares muestran que G tiene crecimiento polinomio si y sólo si G/K\ntiene crecimiento polinomio, dado cualquier subgrupo K compacto normal (p. ej. Véase [21].\nTerminamos este párrafo con una observación y un ejemplo, que mencionamos en\nla Introducción.\nObservación 7.8 (Los subgrupos discretos son prácticamente nilpotentes). Supongamos que..........................................................................................................................\nsubgrupo de un grupo de Lie solvable conectado de tipo (R) (es decir, de crecimiento polinomio).\nA continuación, es prácticamente nilpotente. De hecho, un argumento similar al de Lemma 7.3 muestra\nque cada subgrupo de... se genera finitamente. De ello se deduce que es policíclico. ¿Cómo...?\nnunca Wolf [37] demostró que los grupos policíclicos con crecimiento polinomio son virtualmente\nNilpotente.\nEjemplo 7.9 (Un grupo sin subgrupo de cocompacto nilpotente). Deja que G sea el\nGrupo de Lie Solvable conectado G = R (R2 × R2), donde R actúa como uno denso-\nsubgrupo de parámetros de SO(2,R) × SO(2,R). Entonces G es de tipo (R). No tiene\nsubgrupo compacto. Y no tiene ningún subgrupo de cocompacto nilpotente. De hecho, supongamos que H\nes un subgrupo cerrado de cocompacto nilpotente. Entonces tiene un centro no trivial. Por lo tanto\nhay un elemento de no identidad cuyo centralizador es co-compacto en G. Sin embargo un\nsimple examen de los posibles centralizadores de elementos de G muestra que ninguno\nde ellos es cocompacto.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 45\n7.2. Prueba del corolario 1.6 y el teorema 1.1. Deja que G sea una arbitraria a nivel local\ngrupo compacto de crecimiento polinomio y una pseudodistancia periódica en G.\nReclamación 1: El corolario 1.6 se refiere a un subgrupo cocompacto H de G, si y únicamente\nsi se mantiene para G. Por Lemma 7.7, los grupos G y H son unimodulares, y por lo tanto\nG/H lleva un radón G-invariante medida volG/H, que es finito ya que H es co-\ncompacto. Ahora deja que F sea un dominio Borel fundamental limitado para H dentro de G. Y\nque se haga la pseudodistancia periódica en G inducida por la restricción de H, que\nes.(x, y) :=.(hx, hi) donde hx es el elemento único de H de tal manera que x • hxF. Por\n4.2 Los apartados 1 y 4, los apartados 1 y 4 y los apartados 1 y 2 se encuentran a una distancia limitada entre sí. En particular,\nBl(r-C) Bl(r) Bl(r) Bl(r+C). Por lo tanto, si el límite (3) se mantiene para......................................................................................................................................................................................................................................................... \n- Con el mismo límite. No obstante, en los casos en que se trate de Bl(r) = {x) G, {e, hx) ≤ r} = Bl(r) F\nPor lo tanto, volG(Bl(r)) = volH(Bl(r)) · volG/H(F).\nPor 4.2 (4), H es una pseudodistancia periódica en H. Así que el resultado se mantiene para (H, H)\nsi y sólo si se mantiene para (G, l). Por el contrario, si.................................................................................................................................................\nen H, entonces?0(x, y) :=?0(hx, hi) es una pseudodistancia periódica en G, por lo tanto de nuevo\nvolG(Bl0(r)) = volH(Bl0(r)) · volG(F) y el resultado se mantendrá para (H, °0) si y\nsólo si se mantiene para (G, 0).\nReclamación 2: Si el corolario 1.6 se mantiene para G/K, donde K es algo compacto normal\nsubgrupo, entonces se mantiene para G también. De hecho, si se trata de una pseudodistancia periódica en\nG, entonces el K-promedio K, tal como se define en (26), está a una distancia limitada de G\nsegún Lemma 4.7. Ahora K induce una pseudodistancia periódica K en G/K\nPor consiguiente, volG(BlK (r)) = volG/K(BlK (r)) · volK(K). Y\nsi el límite (3) se mantiene para KK, también se mantiene para KK, por lo tanto también para KK.\nAsí, la discusión anterior combinada con el Teorema 1.2 reduce el corolario 1.6 a\nel caso en el que G está simplemente conectada y solvable, que se trató en la sección 5;\ny 6. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n7.3. Prueba de la Proposición 1.3 y del corolario 1.9.\nPrueba de la Proposición 1.3. Decimos que dos espacios métricos (X, dX ) y (Y, dY ) son\na una distancia limitada si son (1, C)-cuasi-isométrico para algunos finitos C. Esto es\nuna relación de equivalencia. Ahora si es H-periódico con H co-compacto, entonces (G, \nestá a una distancia limitada de (H, H). Por lo tanto, podemos asumir que H = G, es decir.\nque se deja invariante en G.\nAhora Teorema 1.2 da la existencia de un subgrupo compacto normal K, un co-\nsubgrupo compacto H que contiene K y un grupo de Lie solvable simplemente conectado S\nde tal manera que el H/K sea isomórfico a un subgrupo cocompacto de S.\nLemma 4.7 muestra que (G, \nse define como en (26). Ahora K induce una métrica periódica invariante izquierda en G/K,\ny (G/K, K) está claramente a una distancia limitada de (G, K). Ahora por 4.2, su\nla restricción a H/K está a una distancia limitada y se deja invariante. Ahora nos ponemos\nS(s1, s2) =\nK(h1, h2), donde (dado un dominio fundamental limitado F para el\n46 EMMANUEL BREUILLARD\nacción izquierda de H/K en S) hola es el elemento único de H/K de tal manera que si hiF.\nEs evidente que entonces (S, S) está a una distancia limitada de (H/K,\nK). Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nTomamos nota de que nuestra construcción de S aquí depende del estabilizador de la G.\nCiertamente no todas las opciones de Lie sombra se puede utilizar para todas las métricas periódicas (pensar\nque R3 es una sombra de mentira de la cobertura universal del grupo de movimientos del plano).\nTal vez se pueda elegir uno solo para todos, pero no lo hemos comprobado.\nPrueba del corolario 1.9. La Proposición 1.3 reduce la prueba a una métrica periódica\nen un grupo simplemente conectado de Lie Solvable S. Dejad la métrica subFinsler en S\n(invariante izquierda para la estructura de grupo de nilshadow graduada SN ) según lo indicado por Teorema\n1.4. Let t}t es el grupo de dilaciones en el nilshadow grado SN de S según se define\nen la sección 3. Por definición de la topología de Gromov-Hausdorff apuntada (véase [18]),\nes suficiente para probar el\nReclamación. La cantidad siguiente\n*(s1, s2)− *(l)\ns1), 1\n(s2))\nconverge a cero ya que n tiende a ser uniforme para todos los s1, s2 en una bola de radio O(n)\npara la métrica.\nAhora esto sigue en tres pasos. En primer lugar, se encuentra a una distancia limitada de su\nrestricción al estabilizador (cocompacto) H de 4.2 (1), 4.2 (4)). Entonces\npara h1, h2 â € ¢ H, podemos escribir ¬(h1, h2) = ¬(e, h\n1 h2). Sin embargo, la Proposición 5.1\nimplica la existencia de otra distancia periódica en S, que es invariante\ndebajo de las traducciones a la izquierda por elementos de H para la estructura original de Lie y\nla estructura de nilshadow Lie en S, de tal manera que\n(e,x)\nK(e,x)\ntiende a 1 como x tiende a\n- ¡No! - ¡No, no, no, no, no, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por lo tanto, K(e, h\n1 h2) = K(h1, h2) = K(e, h\n1 h2), donde * es el nilshadow\nproducto en S. Por lo tanto 1\n(h1, h2)−\nK(e, h\n1 h2) tiende a cero uniformemente como h1\ny h2 varían en una bola de radio O(n) para \nFinalmente el teorema 6.2 implica que 1\nK(e, h\n1 h2) −\n(e, h)\n1 h2) tiende a\ncero y la reclamación sigue, como se comprueba de la fórmula Campbell Hausdorff\ncomparando (11) y (12) como lo hicimos en (35), que\n(l) (l)\n(h1), 1\nh2)) − de(e, 1\n(h11 h2)\nConverge a cero.\nEl hecho de que el grupo nilpotent Lie calificado no depende (hasta isomor-\nphismo) en la métrica periódica, pero sólo en el grupo localmente compacto G fol-\nlos mínimos del teorema de Pansu [28] que si dos grupos de Carnot (es decir, una calificación simplemente\ngrupo nilpotente Lie conectado dotado de métrica subRiemanniana izquierda-invariante\ninducido por una norma en un subespacio suplementario al subalgebra conmutador)\nson bi-Lipschitz, los grupos subyacentes de la Mentira deben ser isomórficos. Este hecho profundo\nse basa en el teorema generalizado de Rademacher de Pansu, véase [28]. De hecho, dos diferen-\nLas métricas periódicas de G1 y G2 son cuasi-isométricas (véase la Proposición 4.4),\ny por lo tanto sus conos asintóticos son bi-Lipschitz (y bi-Lipschitz a cualquier Carnot\nmétrica de grupo en el mismo grupo clasificado, por (13)). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 47\n8. Distancias geodésicas extremas y velocidad de convergencia\nBajo ninguna otra suposición sobre la pseudodistancia periódica, la velocidad de\nLa convergencia en el volumen asintótico puede hacerse arbitrariamente pequeña. Esto es\nfácilmente visto si consideramos ejemplos del siguiente tipo: definimos ♥(x, y) = x−y\nx− y en R donde α (0, 1). Es periódico y vol(Bl(t)) = t− t\nα + o(tα).\nSin embargo, muchos ejemplos naturales de métricas periódicas, tales como métricas de palabras o\nLas métricas riemannianas, son de hecho groseramente geodésicas. Se dice una pseudodistancia en G.\npara ser groseramente geodésico, si hay una constante C > 0 de tal manera que cualquier dos puntos puede\nestar conectado por un C-coarse geodésico, es decir, para cualquier x, y G hay un mapa\ng : [0, t] → G con t = x, y), g(0) = x y g(t) = y, de tal manera que\n(g(u), g(v)) − u− v ≤ C\npara todos u, v â € [0, t].\nEste es un requisito más fuerte que decir que es geodésico asintóticamente\n(véase 21). Esta noción es invariante bajo isometría gruesa. En el caso de G\nes abeliano, D. Burago [6] demostró el hermoso hecho de que cualquier groseramente geodésico\nmétrica periódica en G está a una distancia limitada de su norma asintótica. In\nvolG(Bl(t)) = c · t\nd+O(td−1) en este caso. En el notable artículo [32],\nM. Stoll demostró que tal término de error en O(td−1) se mantiene para cualquier finitamente generado\nGrupo nilpotente de 2 pasos. Si O(td−1) es el término de error correcto para cualquier finitamente\ngrupo nilpotente generado sigue siendo una pregunta abierta.\nEl ejemplo a continuación muestra por el contrario que en un grupo arbitrario de mentiras de\ncrecimiento polinomio no se puede esperar un término de error universal.\nTeorema 8.1. Que Łn > 0 sea una secuencia arbitraria de números positivos que tienden\na 0. Entonces existe un grupo G de crecimiento polinomio de grado 3 y un compacto\nSet de generación de energía en G y c > 0 de tal manera que\nvolG(\nc · n3\n≤ 1−\nse mantiene para infinitamente muchos n, aunque 1\nvolG(\nn) → 1 como n→.\nEl ejemplo que damos a continuación es un producto semi-directo de Z por R2 y la métrica\nes una palabra métrica. Sin embargo, muchos ejemplos similares se pueden construir tan pronto como\nel mapa T : G → K definido en el punto 5.1 en el que no está. Por ejemplo, uno puede\nconsiderar métricas riemannianas invariantes izquierdas en G = R · (R2 × R2) donde R actúa\npor medio de un subgrupo denso de un parámetro del S1 × S1 de 2torros. Incidentemente, esto\ngrupo G es conocido como el grupo Mautner y es un ejemplo de un grupo salvaje en\nteoría de la representación.\n8.1. Un ejemplo con velocidad arbitrariamente pequeña. En este párrafo describimos\nel ejemplo de Teorema 8.1. Dejar Gα = Z · R\n2 donde la acción de Z es dada por\nla rotación Rα del ángulo â € ¬, α â € [0, 1). El grupo Gα es cuasi-isométrico a R\ny por lo tanto de crecimiento polinomio de orden 3 y es cocompacto en el análogo\ngrupo de mentiras definido G = R R\n2. Su nilshadow es isomórfico a R3. El punto es\n48 EMMANUEL BREUILLARD\nGráfico 2 La unión de los dos conos, con base en el disco de radio\n2, representa el límite de la forma de las bolas en el grupo Z R2,\ndonde Z actúa por una rotación irracional, con el conjunto de generación =\n{(±1, 0, 0)} {(0, x1, x2),\nx21 + x\n2 ≤ 1}.\nque si α es un número Liouville convenientemente elegido, entonces las bolas en Gα no será\nbien aproximado por las bolas de la norma límite.\nLos elementos de Gα se escriben (k, x) donde k â € Z y x â € R\n2. Dejemos que \"xá\"\nx21+x\nser una norma euclidiana en R2, y dejar que sea el conjunto de generación compacta simétrica\nIndicado por {(±1, 0)(0, x), â € x ≤ 1}. Induce una palabra métrica en G. Se sigue\nde Teorema 1.4 y la definición de la norma asintótica que (e, (k, x)) es\nasintótico a la norma en R3 dada por?0(e, (k, x)) := k + â € € ~ xâ € ~ 0 donde â € ~ xâ € es\nla norma invariante de rotación en R2 definida por â € € TM xâ €\n(x21 + x\n2). La bola de la unidad de\n0 es el casco convexo de la unión de todas las imágenes de la bola de unidad de bajo todo\nrotaciones Rkα, k â € Z.\nVamos a elegir α como un número de Liouville adecuado para que (36) se mantiene. Vamos.\nN = 4 ° n)\n1/3 y elegir α de modo que lo siguiente se mantiene para infinitamente muchos n’s:\n(37) d(kα,Z +\n) ≥ 2\npara todos k Z, k ≤ n. Esto se ve fácilmente ser posible si elegimos α de la forma\n1/3ni para algunas secuencias de aumento de vacío adecuadas de (ni)i.\nTenga en cuenta que, ya que â € € > x, tenemos â € € >. Que Sn sea la pieza de R\n2 definido\npor Sn = ≤ Łn} donde فارسى es el ángulo entre el punto x y el eje vertical\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 49\nRe2. Alegamos que si x â € ¬ Sn, ¬0(e, (k, x)) ≤ n y n satisface (37), entonces\n(e, (k, x)) ≥ k (1 +\n) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nDe la reclamación se desprende fácilmente que volG(l)\nn) ≤ (1− n) · volG(B0(n)). Además\nvolG(Bl0(n)) = c · n\n3 + O(n2), donde c = 4\nsi el volG es administrado por la Lebesgue\nmedida.\nPrueba de reclamación. Aquí está la idea de probar la reclamación. Para encontrar un camino corto entre\nla identidad y un punto en el eje vertical, tenemos que girar por un Rkα tal que\nkα está cerca de 1\n, por lo tanto subir de (0, 0) a (k, 0) en primer lugar, por lo que la vertical\ndirección más corta. Sin embargo, si (37) se mantiene, la dirección vertical no se puede hacer como\ncorto como podría después de la rotación por cualquiera de los Rkα con k ≤ n.\nNótese que si el valor de la letra (e), (k, x)) ≤ n, k ≤ n y (e, (k, x)) ≥ kinf\n# Rkiαxi #\ndonde el infimum se toma en todas las rutas x1,..., xN tal que x =\nxi y todos\nrotaciones Rkiα con ki ≤ n. Tenga en cuenta que si ♥n es lo suficientemente pequeño y (37) sostiene\nentonces por cada x â € ¢ Sn tenemos â € € ¢ Rkαxâ € ≥ (1 + € €.\nn) x0. Por otra parte\n* x = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =\nâ € € TM € € € TM € € € € TM € € € TM € € TM € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM Por lo tanto\nRkiαxi® ≥\nin\nRkiαxi\nin\n# Rkiαxi #\n≥ (1 + 2n)\nin\n+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\ncos(ln)\nin\n0 cos(i)\n≥ (1 +)\n) · • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n8.2. Forma límite para métricas de palabras más generales en grupos Solvable Lie\nde crecimiento polinomio. La determinación de la forma límite de la palabra métrica\nen el párrafo 8.1 es posible debido a la naturaleza bastante simple de la\nListo. En general, utilizando la identidad (véase 1))\n38) 1 ·............................................................................................................................................................................................................................................................ . · m = • 1 * (T (1) • 2) ∗.................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... .......................................................................................\nes fácil comprobar que la bola de la unidad de la norma límite · induciendo el límite\nmétrica de subFinsler d.o.p. en el nilshadow asociado a una métrica de palabra dada con\nel conjunto de generación se contiene en el K-órbita del casco convexo de la proyección\na la nilshadow abelianizada, a saber, el casco convexo de K · \nEn el ejemplo del párrafo 8.1, incluso teníamos igualdad entre los dos. ¿Cómo...?\nEn general, esto no es así. Por ejemplo, la forma límite es siempre K-\ninvariante, pero claramente la forma límite asociada a un conjunto generador \ncon el asociado con un conjugado g-g-1 de él, mientras que el casco convexo de la\nLas órbitas K respectivas pueden no ser las mismas.\nPor supuesto, si el conjunto de generación es K-invariante para empezar, entonces ♥n = n\ny estamos de vuelta en el caso nilpotent, donde sabemos que la bola de unidad de la\nlímite norma es sólo el casco convexo de la proyección del conjunto generador a la\nabelianización. En general, sin embargo, es un problema difícil para determinar el\n50 EMMANUEL BREUILLARD\nforma asintótica precisa de una métrica de la palabra en un grupo de Lie solvable general con\ncrecimiento polinomio, y no parece haber una descripción simple análoga a lo que\nTenemos en el caso Nilpotent.\nIncluso en el ejemplo anterior Gα = ZR\n2, o en la cobertura universal del grupo\nde los movimientos del plano (en el que Gα incrusta co-compactamente), no es tan simple.\nEn general, la forma se determina resolviendo un problema de optimización en el que\nuno tiene que encontrar la ruta que maximiza las coordenadas del punto final. In\npara ilustrar esto, tratamos sin pruebas el siguiente ejemplo simple.\nSuponga que ♥ es un barrio compacto simétrico de la identidad en Gα = ZR\ndel formulario = (0,0,0,0) â € € (1,0,0) â € € (1,0,0) â € € € (1,0,0) â € € € €\n−1, en los que siguientes puntos:\n2. Entonces el\nlímite de la forma de la palabra métrica asociado a ♥ es el cuerpo sólido (rotacionalmente\nsimétrica alrededor del eje vertical como en la Figura 2) hecha de dos copias (superior y\ninferior) de un cono truncado con base de disco (0,R2) de radio max{r0, r1} y\nsuperior (resp. inferior) un disco en el plano (1,R2) (resp. (−1,R2)) de radio r2, donde\nlos radios son dados por\nr0 = máx. x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, },, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x,, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x,\ndiam(1),\ndonde el diámetro de diam (1 y r2 es dado por la integral\n(39) r2 =\nmáx.\ndonde (el 1) es la proyección ortogonal en el eje x de la imagen de \n2 por a\nrotación del ángulo alrededor del origen. De hecho, es convexo (nota que r2 ≤ r1).\nPor ejemplo, si se hace de un solo punto, entonces la forma límite es la misma\ncomo en el párrafo anterior y como en la figura 2, a saber, dos copias de un cono.\nSin embargo, si se compone de dos puntos {a, b}, entonces la parte superior de la forma límite\nserá un cono truncado con un disco superior de radio r2 =\nA-b-a-b-a-b-a-b-a-b-a-b-a-b-b-a-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-.\n(que es el\nresultado del cálculo de la integral anterior).\nExpliquemos brevemente la fórmula (39). Un camino de longitud n alcanzar el más alto\nz-coordenada en Gα es una palabra de la forma (1, 1) ·. . · (1, n), con Í ·i â € € · 1. Por\n(38) esta palabra es igual a\nRi−1α Łi).\nAquí se puede tomar cualquier valor en el valor 1. Con el fin de maximizar la norma de la segunda\ncoordenada, o equivalente (por invarianza de rotación) su coordenada x, uno tiene que\nelegir en cada etapa de tal manera que la coordenada x de R\nα • i es\nmaximizado. Fórmula (39) se deriva ahora del hecho de que {Ri−1α }1≤i≤n se convierte en\nequidistribuido en SO(2,R) como n tiende a infinito.\nPara mostrar que max{r0, r1} es el radio del disco base y más\ngeneralmente que la forma límite no es más grande que este doble cono truncado, uno\nnecesita discutir más a fondo considerando todos los caminos posibles de la forma (-1, -1) ·. .....................................................\nEn los casos en que se trate de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A,\nSe prescribe.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 51\n8.3. Distancia limitada versus métricas asintóticas. En este párrafo nosotros y...\nRESPUESTA A UNA CUESTIÓN DE D. Burago y G. Margulis (véase [7]). Basado en el caso Abelian\ny el caso reductivo (Abels-Margulis [1]), Burago y Margulis habían conjeturado\nque cada dos métricas de palabras asintóticas deben estar a una distancia limitada. Damos\ndebajo de un contraejemplo a esto. Primero damos un ejemplo (A) de una mentira nilpotente\ngrupo dotado de dos métricas de subFinsler invariantes izquierdas\n# Que son... #\nasintótico el uno al otro, es decir. d-(e, x)/d\n• (e, x) → 1 como x → • pero de tal manera que\n(e, x)− d\n*(e, x) no está limitada uniformemente. Luego exhibimos (B) una palabra conocida...\nric que no está a una distancia limitada de cualquier cuasinorma homogénea. Finalmente\nestos ejemplos también producen (C) dos métricas de palabras........................................................................................................................................................................................................................................................ \ngrupo nilpotente generado que son asintóticos pero no a una distancia limitada.\nNótese que el grupo Gα con 0 y del último párrafo también proporciona\nun ejemplo de métricas asintóticas que no están a una distancia limitada (pero esto\ngrupo no fue discreto).\n(A) Dejar que N = R × H3(R) donde H3 es el grupo clásico de Heisenberg y\nZ ×H3(Z) una celosía en N. En el Lie álgebra n = RV h3 elegimos dos diferentes\nsubespacios suplementarios de [n, n] = RZ, es decir, m1 = span{V,X,Y} y m\nspan{V + Z,X,Y }, donde h3 es el álgebra de Lie de H3(R) a través de X,Y y\nZ = [X,Y ].Consideramos la L1-norm en m1 (resp. m\n1) correspondiente a la base\n(V,X,Y) (resp. (V + Z,X, Y )). Ambas normas inducen la misma norma en n/[n, n].\nDan lugar a la izquierda invariante Carnot-Carateodory Finsler métricas en N, decir\n(resp. d\n(+)). Utilizamos las coordenadas (v, x, y, z) = exp(vV + xX + yY + zZ).\nDe acuerdo con la Observación (2) después del Teorema 6.2, d.a. y d.a.\nSon asintóticos. Vamos.\nnos muestran que no están a una distancia limitada. En primer lugar observar que, desde V\n(v; (x, y, z))) = v + dH3(e, (x, y, z)) donde dH3 es el Carnot-\nmétrica de Carateodory Finsler en H3(R) definida por la norma L\n1-norm en la\nspan{X,Y}. Del mismo modo d(e, (v; (x, y, z))) = v + dH3(e, (x, y, z − v))). En caso de que se produzca un cambio en la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión, se considerará que la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión es la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión y, en su caso, la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión.\nd estaban a una distancia limitada, tendríamos un C > 0 tal que para todos t > 0\n(t; (0, 0, t)) − t ≤ C\nPor lo tanto dH3(e, (0, 0, t)) ≤ C, que es una contradicción.\n(B) Ahora deje ♥ = {(1; (0, 0, 1))±1, (1; (0, 0,−1))±1, (0; (1, 0, 0))±1, (0; (0, 1, 0)±1}\nser un conjunto generativo para la palabra métrica asociada a ella. Dejemos que \nuna cuasinorma homogénea sobre N que está a una distancia limitada de, es decir,\n(e, g) − g está limitado. Entonces · es asintótico a, por lo tanto es igual a la\nCarnot-Carateodory Finsler métrica d asintótica a y homogénea con\nrespeto al mismo grupo de parámetros de dilaciones t}t>0. Dejar m1 = {v • n,\n* t(v) = tv}. Entonces d es inducido por alguna norma 0 en m1, cuya bola unidad es\nsegún el teorema 1.4 por el casco convexo de las proyecciones a m1 de la\nGrupos electrógenos en A. Hay un vector único en m1 de la forma V +z0Z. Su 0-norm\nes 1 y d(e, (1; (0, 0, z0))) = 1. Sin embargo d(e, (v; (x, y, z))) = v dH3(e, (x, y, z −\nvz0)). Desde (e, (n; (0, 0, n)) = n, obtenemos\nd(e, (n; (0, 0, n)) − (e, (n; (0, 0, n)) = dH3(e, (0, 0, n(1 − z0)))\n52 EMMANUEL BREUILLARD\nSi esto está limitado, esto fuerza z0 = 1. Pero podemos repetir el mismo argumento con\n(n; (0, 0,-n)) que forzaría z0 = −1. Una contradicción.\n(C) Let ahora:= {(1; (0, 0, 0))\n±1, (0; (1, 0, 0))±1, (0; (0, 1, 0))±1} y 2\nmétrica de la palabra asociada en la palabra. Entonces otra vez y 2 son asintóticos por Teorema\n6.2 porque el casco convexo de su módulo de proyección coincide con la coordenada z.\nSin embargo 2 es una métrica de producto, a saber, tenemos 2(e, (v; (x, y, z))) = v +\n(e, (x, y, z)), en el que ♥ es la métrica de la palabra en el grupo discreto de Heisenberg H3(Z)\ncon generadores estándar {(1, 0, 0)±1, (0, 1, 0)±1}. En particular\n(e, (n; (0, 0, n))) − 2(e, (n; (0, 0, n)) = ♥(e, (0, 0, n))\nque no tiene límite.\nObservación 8.2 (Una geodésica anormal). Referimos al lector a [9] para más información sobre\nEstos ejemplos. En particular, mostramos allí que el 1 y el 2 supra no son (1, C)-\ncuasi-isométrico para cualquier C > 0. El fenómeno clave detrás de este ejemplo es\nla presencia de una geodésica anormal (véase [25]), es decir, el grupo de un parámetro;\n{t; (0, 0, 0))}t.\nObservación 8.3 (Velocidad de convergencia en el caso de los nilpotentes). La velocidad lenta phe-\nNomenon en Teorema 8.1 se basó fundamentalmente en la presencia de un semisim no trivial\nple parte en Gα ; esto no ocurre en grupos nilpotentes. En [9], mostramos que para\nmétricas de palabras en grupos nilpotentes finitamente generados, la convergencia en Teorema\n6.2 tiene una velocidad de polinomio con un término de error al menos tan bueno como O(dŁ(e, x)\n3r ),\ndonde r es la clase de nilpotencia. Conjeturamos allí que el exponente óptimo es 1\nEsto implica afinar cuantitativamente las estimaciones de la prueba de Teorema antes mencionada\n9. Apéndice: los grupos Heisenberg\nAquí mostramos cómo calcular la forma asintótica de las bolas en el Heisenberg\nLos grupos H3(Z) y H5(Z) y su volumen, dando así otro enfoque a la\nel resultado principal de Stoll [33]. El término principal para el crecimiento de H3(Z) es racional\npara todos los grupos electrógenos (Prop. 9.1 infra), mientras que en H5(Z) con su norma\ngenerar conjunto, es trascendental. Esto explica cómo se hizo nuestra Figura 1\n(compare con el impar [22] Fig. 1).\n9.1. Grupo 3-dim Heisenberg. Consideremos en primer lugar el grupo Heisenberg\nH3(Z) = a, b[a, [a, b]] = [b, [a, b]] = 1.\nLo vemos como la celosía generada por a = exp(X) y b = exp(Y) en el real\nGrupo Heisenberg H3(R) con Lie álgebra h3 generada por X,Y y abarcada por\nX, Y, Z = [X, Y ]. Dejar ser la métrica de la palabra estándar en H3(Z) asociado a\nel conjunto generador = {a±1, b±1}. Según Teorema 1.4, la forma límite de\nla n-bola n en H3(Z) coincide con la unidad de bola C3 = {g H3(R), d(e, g) ≤\n1} para la métrica de Carnot-Carateodoría do inducida en H3(R) por la l\n1-norm\n* x X + yY 0 = x en m1 = span{X,Y } h3.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 53\nComputar esta bola de unidad es una tarea bastante simple. Cambiar los roles de X\ne Y, vemos que C3 es invariante bajo la reflexión z 7→ −z. Entonces claramente C3 es\nde la forma {xX + yY + zZ, con x y ≤ 1 y z ≤ z(x, y)}. Cambiar X a\n−X e Y a −Y, obtenemos las simetrías z(x, y) = z(−x, y) = z(x,−y) = z(y, x).\nPor lo tanto, al determinar z(x, y), podemos asumir 0 ≤ y ≤ x ≤ 1, x+ y ≤ 1.\nLa siguiente observación bien conocida es crucial para calcular z(x, y). Si el valor de\nruta horizontal en H3(R) a partir de id, a continuación, (t) = exp(x(t)X+y(t)Y +z(t)Z),\ndonde (t) = x(t)X + y(t)Y y z(t) es el área de “balayage” del\nruta {x(s)X + y(s)Y }0≤s≤t y el acorde que une 0 a x(t)X + y(t)Y.\nPor lo tanto, z(x, y) es dada por la solución al “problema isoperimétrico dido”\n(véase [25]: encontrar una ruta en el plano X,Y entre 0 y xX + yY de 0-longitud 1\nque maximiza el “área de albañilería”. Puesto que 0 es la l\n1-norm en el plano X, Y,\ncomo es bien conocido (véase [8]), tales curvas extremas son dadas por arcos de cuadrado con\nlados paralelos a los ejes X, Y. Por lo tanto, hay una dicotomía: el arco del cuadrado\ntiene 3 o 4 lados (puede tener 1 o 2 lados, pero estos están incluidos están limitando\ncasos de los anteriores).\nSi hay 3 lados, tienen longitud l, x e y + l con y + l ≤ x. Por lo tanto\n1 = l+ x+ y + l y z(x, y) = lx+ 1\nxy. Por lo tanto, esto ocurre cuando y ≤ 3x − 1\ny entonces tenemos z(x, y) =\nx(1−x)\nSi hay 4 lados, tienen longitud l, x+ u, y + l y u, con l+ y = x+ u.\nPor lo tanto 1 = 2l + 2u + x + y y z(x, y) = (l + y) (x + u) −\n. Esto ocurre cuando\ny ≥ 3x− 1 y luego tenemos z(x, y) =\n(1+x+y)2\nPor lo tanto, si 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 y x+ y ≤ 1\n(40) z(x, y) = 1y≤3x−1\nx(1− x)\n+ 1y>3x−1\n(1 + x + y)2\nLa unidad de bola C3 dibujada en la Figura 1 es el cuerpo sólido C3 = {xX + yY + zZ, con\nx y ≤ 1 y z ≤ z(x, y)}.\nUn cálculo simple muestra que vol(C3) =\nen el Lebesgue medida dxdydz.\nPuesto que H3(Z) se ve fácilmente tener co-volumen 1 para esta medida de Haar en H3(R)\n(en realidad, {xX+yY +zZ, x â € [0, 1), y â € [0, 1), z â € [0, 1)} es un dominio fundamental),\nDe ello se deduce que\n#(ln)\n= vol(C3) =\nAsí recuperamos un resultado bien conocido (véase [4], [31] donde incluso la serie de crecimiento completa\nse calcula y se demuestra que es racional).\nTambién se puede determinar exactamente qué puntos de la esfera de C3 se unen a id\npor un camino geodésico horizontal único. El lector comprobará fácilmente esa singularidad\nfalla exactamente en los puntos (x, y,±z(x, y)) con x < 1\ny y = 0, o y < 1\nx = 0, o bien en los puntos (x, y, z) con x y = 1 y z < z(x, y).\nEl método anterior también da el siguiente resultado.\n54 EMMANUEL BREUILLARD\nProposición 9.1. Let ser cualquier conjunto de generación simétrica para H3(Z). Entonces el\ncoeficiente principal en #(ln) es racional, es decir.\n#(ln)\nes un número racional.\nPrueba. Sólo esbozamos la prueba aquí. Podemos aplicar el método anterior y com-\npute r como el volumen de la unidad CC-ball C(l) del límite CC-metric d-\nmultado en Teorema 1.4. Puesto que sabemos lo que es la norma en el (x, y)-plano\nm1 = espano X, Y â € que genera dâ € (es la norma poligonal dada por el con-\nvex casco de los puntos de ♥), podemos calcular C() explícitamente. Necesitamos saber.\nla solución al problema isoperimétrico de Dido para en m1, y como es bien conocido\n(véase [8]) se da por líneas poligonales del polígono dual rotado por 90o. Desde\nel polígono que define está hecho de líneas racionales (puntos en tienen entero coordi-\nnates), cualquier vector con coordenadas racionales tiene racional -longitud, y el dual\nEl polígono también es racional. Las ecuaciones que definen z(x, y) tendrán por lo tanto sólo\ncoeficientes racionales, y z(x, y) se dará por separado por una cuadrática racional\nforma en x e y, donde las piezas son triángulos racionales en el plano (x, y). Los\nPor lo tanto, el volumen total de C() será racional. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n9.2. Grupo de 5-dim Heisenberg. El grupo HeisenbergH5(Z) es el\natendido por a1, b1, a2, b2, c con relaciones c = [a1, b1] = [a2, b2], a1 y b1\na2 y b2 y c es central. Let = {a\ni, b\ni, i = 1, 2}. Describamos el límite.\nla forma de Łn. Una vez más, vemos H5(Z) como una celosía de co-volumen 1 en el grupo H5(R)\ncon Lie álgebra h5 extendida por X1, Y1X2, Y2 y Z = [Xi, Yi]. Por Teorema 1.4,\nla forma límite es la unidad de bola C5 para la métrica Carnot-Caratheodory en H5(R)\ninducidos por la l1-norm x1X1 + y1Y1 + x2X2 + y2Y2+0 = x1 y1 x2 y2.\nDesde X1, Y1 conmutar con X2, Y2, en cualquier camino horizontal lineal en\nH5(R), podemos intercambiar las piezas tangentes a X1 o Y1 con las tangentes a X2 o\nY2 sin cambiar el punto final de la ruta. Por lo tanto, en caso de que la expresión «(t)» = exp(x1(t)X1 +\ny1(t)Y1 + x2(t)X2 + y2(t)Y2 + z(t)Z) es una ruta horizontal, luego z(t) = z1(t) +\nz2(t), donde zi(t), i = 1, 2, es el “área de balayage” de la curva plana {xi(s)Xi +\nyi(s)Yi}0≤s≤t.\nPuesto que, al igual que para H3(Z), conocemos la curva maximizando esta área, podemos\ncalcular la bola de unidad C5 explícitamente. En coordenadas exponenciales tomará la\nforma C5 = {exp(x1X1 + y1Y1 + x2X2 + y2Y2 + zZ), x1 y1 x2 y2 ≤ 1 y\nz ≤ z(x1, y1, x2, y2)}. Luego z(x1, y1, x2, y2) = sup0≤t≤1{zt(x1, y1)+ z1−t(x2, y2)},\ndonde zt(x, y) es el “área de balayage” máximo de una trayectoria de longitud t entre 0\ny xX+yY. Es fácil ver que zt(x, y) = t\n2z(x/t, y/t) donde z es dada por (40).\nPor lo tanto zt es una función cuadrática a partes de t. De nuevo z(x1, y1, x2, y2) es invariante\nbajo cambiar los signos del xi,yi, y el intercambio de x e y, o bien el intercambio\n1 y 2. Así pues, podemos suponer que la mentira del xi,yi en D = {0 ≤ yi ≤ xi ≤ 1 y\nx1+y1+x2+y2 ≤ 1, y x2−y2 ≥ x1−y1}. Por lo tanto, podemos determinar explícitamente\nel supremamum z(x1, y1, x2, y2), que después de algunos cálculos sencillos toma\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 55\nEn D el siguiente formulario:\nz(x1, y1, x2, y2) = 1Amax{d1, d2 1B max{d1, c1 1C max{c1, c2}\ndonde d1 =\n(1−x1− y1−x2), c1 =\n(1+x1+ y1−x2− y2)\nx2y2−x1y1\ny d2 y c2 se obtienen de d1 y c1 mediante el intercambio de los índices 1 y 2. Los\nlos conjuntos A, B y C forman la siguiente partición de D: A = D • {m ≤ x1 − y1},\nB = D • {x1 − y1 < m < x2 − y2} y C = D • {x2 − y2 ≤ m}, donde m =\n(1 − x1 − x2 − y1 − y2)/2.\nPuesto que C5 tiene una forma tan explícita, es posible calcular su volumen. El hecho\nque z(x1, y1, x2, y2) es dada por el máximo de dos formas cuadráticas\nhace que el cálculo de la integral sea algo engorroso pero tratable. Nuestro\nLas ecuaciones coinciden (¡por desgracia!) con los de Stoll (apéndice de [33]), donde\nCalculó el término principal de la asintótica de #(ln) por un método diferente. Stoll\ncalculó que integral y obtenido\n#(ln)\n= vol(C5) =\n21870\nlog(2)\n32805\nque es trascendental. También es fácil ver por este método que si cambiamos\nel conjunto de generación a 0 = {a\n2 }, entonces obtenemos un volumen racional. Por lo tanto\nla racionalidad de la serie de crecimiento de H5(Z) depende de la elección de\nset, que es el teorema de Stoll.\nUna ventaja de nuestro método es que también puede aplicarse a la generación de\nSets. El caso de los grupos de Heisenberg de mayor dimensión con la gen-\nconjunto de borrado es análogo: la función z({xi}, {yi}) se define de nuevo por partes como\nel máximo de muchas formas cuadráticas explícitas finitas en una partición lineal de la\nBola de 1 unidad\nxi yi ≤ 1.\nAgradecimientos. Me gustaría agradecer a Amos Nevo por su hospitalidad en el\nTechnion de Haifa en diciembre de 2005, donde se llevó a cabo parte de este trabajo, y\npara desencadenar mi interés en este problema mostrándome las posibles implicaciones\nde Teorema 1.1 a Teoría Ergódica. Mi agradecimiento también se debe a V. Losert por\nseñalando una inexactitud en mi primera prueba de Teorema 1.2 y para su otro\ncomentarios sobre el manuscrito. Finalmente doy las gracias a Y. de Cornulier, M. Duchin, E. Le\nDonne, Y. Guivarc’h, A. Mohammadi, P. Pansu y R. Tessera para varios útiles\nconversaciones.\nBibliografía\n[1] H. Abels y G. Margulis. métricas muy geodésicas en grupos reductores. En la moderna dy-\nsistemas y aplicaciones namical, páginas 163–183. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2004.\n[2] L. Auslander y L. W. Green, flujos inducidos por G, Amer. J. Matemáticas. 88 (1966), 43–60.\n[3] H. Bass, El grado de crecimiento polinomio de grupos nilpotentes finitamente generados, Proc. Londres\nMatemáticas. Soc. (3) 25 (1972), 603–614.\n[4] M. Benson, Sobre el crecimiento racional de grupos prácticamente nilpotentes, In: S.M. Gersten, Stallings\n(eds), Teoría y Topología del Grupo Combinatorio, Ann. Matemáticas. Estudios, vol. 111, PUP (1987).\n[5] V. N. Berestovsk. Múltiples homogéneos con una métrica intrínseca I, Sibirsk. Mat. Zh.,\n29(6):17–29, 1988.\n56 EMMANUEL BREUILLARD\n[6] D. Yu. Burago, métricas periódicas, en teoría de la representación y sistemas dinámicos, 205–\n210, Adv. Matemáticas soviéticas. 9 Amer. Matemáticas. Soc. (1992).\n[7] D. Yu. Burago, G.A. Margulis, Sesión de Problemas, en Informe Oberwolfach, Grupo Geométrico\nTeoría, Dinámica Hiperbólica y Geometría Simpléctica, 2006.\n[8] H. Busemann, El problema isoperimétrico en el plano Minkowski, AJM 69 (1947), 863–871.\n[9] E. Breuillard y E. Le Donne, Sobre la tasa de convergencia al cono asintótico para\ngrupos nilpotent y geometría subFinsler, preprint 2012.\n[10] A. Calderón, Teorema ergódico general, Anales de Matemáticas. 57 (1953), pp. 182-191.\n[11] T. H. Colding y W. P. Minicozzi, II. Teoremas de Liouville para secciones armónicas y aplicaciones\ncationes. Comm. Pura Appl. Math., 51(2):113-138, 1998.\n[12] L. Corwin y F. P. Greenleaf, Representaciones de grupos de mentiras nilpotentes y sus aplicaciones,\nParte I, Teoría básica y ejemplos, Cambridge Univ. Press, (1990) 269pp.\n[13] N. Dungey, A. F. M ter Elst, y D. W. Robinson, Análisis de grupos de mentiras con polinomios\ncrecimiento, progreso en matemáticas. 214, Birkhauser, (2003) 312pp.\n[14] W. R. Emerson, el teorema ergódico puntual para grupos sensibles, Amer. J. Matemáticas 96\n(1974), 472–487.\n[15] J. W. Jenkins, Caracterización del crecimiento en grupos compactos locales, Bull. Amer. Matemáticas.\nSoc. 79 (1973), 103–106.\n[16] F. P. Greenleaf, Invariante significa sobre los grupos topológicos y sus aplicaciones, Van Nostrand\nEstudios matemáticos, no 16 (1969) 113pp.\n[17] M. Gromov, Grupos de crecimiento polinomio y mapas en expansión, Publicaciones Mathématiques\nde l’IHES, no 53 (1981), 53-73.\n[18] M. Gromov. Estructuras métricas para espacios Riemannianos y no Riemannianos, volumen 152 de\nProgresos en Matemáticas. Birkhäuser Boston Inc., Boston, MA, 1999. Basado en el informe de 1981\nOriginal en francés, con apéndices de M. Katz, P. Pansu y S. Semmes.\n[19] M. Gromov, Espacios Carnot-Carathéodory vistos desde dentro, en Geometría Sub-Riemanniana,\neditado por A. Bellaiche y J-J. Risler, 79-323, Birkauser (1996).\n[20] M. Gromov, Invariantes asintóticas de grupos infinitos, en teoría de grupos geométricos, Vol. 2\n(Sussex, 1991), 1–295, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 182, CUP (1993).\n[21] Y. Guivarc’h, Croissance polynômiale et périodes des fonctions armónicos, Bull. Sc. Matemáticas.\nFrancia 101, (1973), págs. 353 a 379.\n[22] R. Karidi, Geometría de bolas en grupos de mentiras nilpotentes, Duke Math. J. 74 (1994), no. 2, 301-317.\n[23] S. A. Krat. Propiedades asintóticas del grupo Heisenberg. Zap. Nauchn. Sem. S.-Peterburg.\nOtdel. Mat. Inst. Steklov. (POMI), 261(Geom. i Topol. 4):125–154, 268, 1999.\n[24] V. Losert, Sobre la estructura de los grupos con crecimiento polinomio, Math. Z. 195 (1987), no 1,\n109–117.\n[25] R. Montgomery, Un recorrido por la geometría subriemanniana, AMS book 2002.\n[26] A. Nevo, Teoremas ergódicos puntuales para las acciones de grupos de mentira conectados, Manual de Dy-\nSistemas Námicos, Eds. B. Hasselblatt y A. Katok, para aparecer.\n[27] P. Pansu, Croissance des boules et des géodésiques fermées dans les nilvariétés, Ergodic\nTeoría Dynam. Systems 3 (1983), No. 3, 415–445.\n[28] P. Pansu, Mtriques de Carnot-Carathodory et cuasiisomtries de espaces simtriques de rang\nUn, Ann. de Matemáticas. 2) 129 (1989), No. 1, 160.\n[29] M. S. Raghunathan, subgrupos discretos de grupos de Lie, Springer Verlag (1972).\n[30] D. Robinson, Un curso en la teoría de los grupos, Springer-Verlag.\n[31] M. Shapiro, Una aproximación geométrica a la casi convexidad y crecimiento de algunos grupos nilpotentes,\nMatemáticas. Ann, 285, 601-624 (1989).\n[32] M. Stoll, Sobre la asintótica del crecimiento de grupos nilpotentes de 2 pasos, J. London Math. Soc\n(2) 58 (1998), no 1, 38–48.\n[33] M. Stoll, serie de crecimiento racional y trascendental para grupos superiores de Heisenberg, Invent.\nmatemáticas. 126, 85-109 (1996).\n[34] A. Tempelman, Teoremas ergódicos para acciones colectivas, Matemáticas y sus aplicaciones, 78,\nKluwer Editores académicos (1992).\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 57\n[35] R. Tessera, Volúmenes de esferas en espacios métricos de medidas duplicadas y grupos de polinomios\ncrecimiento, Bull. Soc. Matemáticas. Francia, 135(1):47–64, 2007.\n[36] H.C. Wang, subgrupos discretos de grupos Solvable Lie, Annals of Math, (1956), 64, 1-19.\n[37] J. Wolf, Crecimiento de grupos de solución finitamente generados y curvatura de Riemanniann mani-\nse pliega, J. Geometría diferencial, 2 (1968), p. 421–446.\nDirección de correo electrónico: emmanuel.breuillard@math.u-psud.fr\nUniversité Paris-Sud 11, Laboratoire de Mathématiques, 91405 Orsay, Francia\n\t1. Introducción\n\t2. Quasi-norms y la geometría de los grupos nilpotent Lie\n\t3. El nilshadow\n\t4. métricas periódicas\n\t5. Reducción al caso de nilpotente\n\t6. El caso de los nilpotentes\n\t7. G localmente compacto y pruebas de los principales resultados\n\t8. Distancias geodésicas extremas y velocidad de convergencia\n\t9. Apéndice: los grupos Heisenberg\n\tBibliografía\n"}}},{"rowIdx":89,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0096,"string":"704.0096"},"title":{"kind":"string","value":"Much ado about 248"},"full_text":{"kind":"string","value":"Mucho ado sobre 248\nM.C. Nucci y P.G.L. Leach*\nDipartimento di Matematica e Informatica, Università di Perugia,\n06123 Perugia, Italia\nResumen\nEn esta nota presentamos tres representaciones de una mentira de 248 dimensiones\nálgebra, a saber, el álgebra de las simetrías Lie punto admitido por un sistema\nde cinco ecuaciones diferenciales ordinarias triviales cada uno de orden cuarenta y cuatro, que\nadmitido por un sistema de siete ecuaciones diferenciales triviales ordinarias cada uno\nde la orden veintiocho y la admitida por una diferencia trivial ordinaria\necuación de orden doscientos cuarenta y cuatro.\n1 Introducción\nUn sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias cada uno de orden M > 1,\nk = fk(u\nj, t), j, k = 1, n, s = 0,M − 1, (1)\ntiene un número variable de simetrías de puntos de Lie dependiendo de la estructura de\nlas funciones fk. La dimensión máxima D del álgebra del punto de mentira admitido\nlas simetrías pueden ser obtenidas por el formulæ [9]\nD = n2 + 4n + 3 (2)\nD = n2 + Mn + 3. 3)\nAlgunos números explícitos se dan en la Tabla 1.\nRecientemente la elaboración de los elementos de la Lie álgebra, E8, de orden 248 ha\nse anunció de diversas maneras [3, 7, 13, 17, 16] en los serios medios de comunicación populares. El au-\nfuente toriativa es el Atlas de Grupos y Representaciones de Mentira [2] que se financia\npor la Fundación Nacional de Ciencia a través del Instituto Americano de Matemáticas\n[1]. Los resultados del cálculo E8 fueron anunciados en una charla en el MIT por David\nVogan el lunes 19 de marzo de 2007, y los detalles se pueden encontrar en [15]. El Atlas\nde Grupos de Mentira y Representaciones es un proyecto para poner a disposición\nrepresentaciones de grupos semisimples de Mentira sobre campos reales y p-ádicos. Particular\nimportancia es el problema de la dualidad unitaria, es decir, la clasificación de todos los\nrepresentaciones unitarias reducibles de un determinado grupo de Lie. El objetivo del Atlas de la Mentira\n* Discurso permanente: Facultad de Ciencias Matemáticas, Campus Westville, Universidad de\nKwaZulu-Natal, Durban 4000, República de Sudáfrica\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0096v1\nTabla 1: : La dimensión máxima del álgebra de las simetrías de puntos de Lie admitidas\npara sistemas de ecuaciones de orden variable (horizontal) y número (vertical).\nM 2 3 4 5 6 7 8 9 10\n1 8 7 8 9 10 11 12 13 14\n2 15 13 15 17 19 21 23 25 27\n3 24 21 24 27 30 33 36 39 42\n4 35 31 35 39 43 47 51 55 59\n5 48 43 48 53 58 63 68 73 78\n6 63 57 63 69 75 81 87 93 99\n7 80 73 80 87 94 101 108 115 122\n8 99 91 99 107 115 123 131 139 147\n9 120 111 120 129 138 147 156 165 174\n10 143 133 143 153 163 173 183 193 203\nGrupos y Representaciones es clasificar el dual unitario de un verdadero grupo de Lie, G,\npor ordenador. Un paso en esta dirección es calcular las representaciones admisibles\nde G, incluidos sus polinomios Kazhdan-Lusztig-Vogan. El cálculo para E8\nfue una prueba importante de la tecnología. Mientras que el cálculo es un impresionante\nel logro, es sólo un pequeño paso hacia el dual unitario y no debe ser\nclasificado como tan importante como la obra original de Kazhdan, Lusztig, Vogan, Beilinson,\nBernstein et al. (Vea, por ejemplo, [4, 5, 6, 11, 12, 14, 18, 8].) Sin embargo, el resultado\nse consideró adecuado para una campaña concertada de publicidad para aumentar\nconciencia de las matemáticas en la comunidad en general:\n“Symmetrie ist möglicherweise das erfolgreichste Prinzip der Physik überhaupt” [7].\n“Un grupo de chercheurs américains et européens, parmi lesquels on trouve deux\nFrançais, est parvenu à décoder une des structures les plus vastes de l’histoire des\nmathématiques” [13].\n“Puede ser que algún día este cálculo pueda ayudar a los físicos a entender el\nuniverso” [17].\n“Dieciocho matemáticos pasaron cuatro años y 77 horas de supercomputadora compu-\nciones para describir esta estructura” [16].\nEn esta nota demostramos tres representaciones de un Lie álgebra de dimensión\n248. Los dos pasamos cuatro horas y 77 segundos de cálculo de bolsillo\npara describir estas tres estructuras.\n2 Tres sistemas simples\nPara D = 248 fórmula (2) no tiene soluciones integrales y por lo tanto no hay sistema\nde las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden de simetría máxima que poseen un\nálgebra dimensional de sus simetrías de punto de mentira1. Sobre la fórmula (3) los factores\nde 248-3=245 son 1, 5 y 7 (49 está fuera de duda porque 492 > 245). En consecuencia\n1¿Es éste otro ejemplo de la singularidad intrínseca de la Mecánica Clásica?\nlos posibles valores de n son 1, 5 y 7. Los valores correspondientes de M son 244, 44 y 28,\nrespectivamente. Los sistemas de simetría máxima se obtienen fácilmente como uno simplemente\nAsí, los sistemas que construimos son las representaciones más simples de\nla clase de equivalencia bajo la transformación puntual de sistemas de ecuaciones de máxima\nSimetría.\nEn primer lugar, consideramos el siguiente sistema:\nk = 0, k = 1, 5. 4)\nEs fácil demostrar que este sistema sencillo admite un álgebra de 248 dimensiones de su\nSimetrías de puntos de mentira desde 52 + 5 · 44 + 3 = 248. El álgebra es generada por el\noperadores\n•1 = t\n2t + 43t\ni=1 uiŁui,\n2 ° = t ° t,\n3 °C = 1 °C,\n•i,k = kukui,k = 1, 5, i = 1, 5\n•i+5,s = t\ns/23370/ui, s = 0, 43, i = 1, 5.\nEn segundo lugar, consideramos el sistema\nu(28)r = 0, r = 1, 7. 6)\nEste sistema igualmente simple admite un álgebra de 248 dimensiones (72+7 · 28+ 3 = 248)\nde sus simetrías de puntos de Lie generadas por\n•1 = t\n2t + 27t\nj=1 uj?uj,\n2 ° = t ° t,\n3 °C = 1 °C,\n• j,r = urlj, r = 1, 7, j = 1, 7\n*j+7,n = t\nnŁuj, n = 0, 27, j = 1, 7.\nEn tercer lugar y finalmente la ecuación escalar,\nu(244) = 0, (8)\nadmite un álgebra Lie de 248 dimensiones (12+1 ·244+3 = 248) de sus simetrías puntuales\ngenerado por los operadores\n•1 = t\n2T + 243tuu,\n2 ° = t ° t,\n3 °C = 1 °C,\n4 °C = uüu,\nN+5 = t\nNo, n = 0, 243.\n3 Conclusión\nHemos demostrado tres representaciones de Lie álgebras de la dimensión 248 que\nes la dimensión de E8. Aunque los álgebras que presentamos no son simples, su\nmétodo de construcción es. La razón de esta simplicidad es que usamos represen-\ntas para sistemas de ecuaciones de simetría máxima. No negamos que sea más grande.\nsistemas, ya sea en orden o número, de menos de simetría máxima podría posiblemente\ntienen un álgebra de dimensión 248, pero incluso en el supuesto de que tales sistemas\nser lineal la complejidad del cálculo se vuelve inmensa [10] y derrota al\npropósito de la presente nota.\nTenga en cuenta que hemos utilizado las formas más simples para los generadores de los álgebras de\nlos tres sistemas, (4), (6) y (8), para nuestro interés principal es la demostración de\nla existencia de los álgebras. Normalmente uno usaría combinaciones que reflejan\nestructuras subalgebraicas. Por ejemplo en el caso de (8) para el cual el álgebra es\nobviamente sl(250, IR) se sustituiría 2 por 2 = 2tte +243uu para subrayar el\nestructura subalgebraica {sl(2, IR)} {A1} {sl(2, IR)} {s 244A1} {sl(2, IR)} {sl(2, IR) {s2A} {s1} {s244A1}, en la que {sl(2, IR) {s1} {s1} {s1} {s1} {s1} {s1 {s1} {s1} {s1(2, IR) {s1}\nla representación de sl(2, IR), •4 refleja la homogeneidad de la ecuación en el depen-\nvariable de abolladura y el subalgebra abeliana de 244 elementos se compone de la solución\nsimetrías, llamadas así porque las funciones del coeficiente son soluciones de (8).\nAgradecimientos\nPGLL agradece a la Universidad de Kwazulu-Natal su continuo apoyo.\nBibliografía\n[1] Instituto Americano de Matemáticas.\nhttp://aimath.org/E8/\n[2] Atlas de Grupos y Representaciones de Mentiras.\nhttp://www.liegroups.org/\n[3] BBC Lunes 19 de marzo de 2007, 12:28 GMT.\nhttp://news.bbc.co.uk/2/hi/science/nature/6466129.stm\n[4] Beilinson A (1983) Localización de representaciones de álgebras de Lie reductivas\nActas del Congreso Internacional de Matemáticos, Varsovia 699-710\n[5] Beilinson A & Bernstein J (1981) Localización de g-módulos Comptes Rendus\nde la Academia de Ciencias de París Séries I Mathématiques 292 15-18\n[6] Bernstein J (1986) Sobre las conjeturas de Kazhdan-Lusztig AMS Summer Research\nConferencia (Universidad de California, Santa Cruz, julio de 1986)\n[7] Der Spiegel, 19 März 2007.\nhttp://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/0,1518,472569,00.html\nhttp://aimath.org/E8/\nhttp://www.liegroups.org/\nhttp://news.bbc.co.uk/2/hi/science/nature/6466129.stm\nhttp://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/0\n[8] Gelfand S & MacPherson R (1982) Módulos Verma y células Schubert:\nen el Seminaire d’algebre Paul Dubriel y MP Malliavin (Notas de la\nMatemáticas 925, Springer Verlag, Berlín-Nueva York) 150\n[9] González-Gascón F & González-López A (1983)\nIV Revista de Física Matemática 24 2006-2021\n[10] Gorringe VM & Leach PGL (1988) Simetrías de puntos de mentira para sistemas de segundo\norden ecuaciones diferenciales ordinarias lineales Quæstiones Mathematicæ 11 95-117\n[11] Kazhdan D & Lusztig G (1979) Representaciones de los grupos Coxeter y Hecke\nálgebras Invenciones Mathematicæ 53 165184\n[12] Kazhdan D & Lusztig G (1980) variedades Schubert y dualidad Poincaré en\nGeometría del Operador de Laplace, (Procedimientos del Simposio sobre Matemática Pura)\nematics 36, American Mathematical Society) 185203\n[13] LEMONDE.FR avec AFP 19.03.07\nhttp://www.lemonde.fr/web/article/0,1-0@2-3244,36-884723@51-\n884724,0.html\n[14] Lusztig G & Vogan D (1983)\ndoble Invenciones Mathematicæ 71 365370\n[15] http://www.liegroups.org/AIME8/technicaldetails.html\n[16] NUEVA YORK TIMES 2007/03/20.\nhttp://select.nytimes.com/gst/abstract.html?res=F40613FE3C540C738EDDAA0894DF404482\n[17] The Times 19 de marzo de 2007.\nhttp://www.timesonline.co.uk/tol/news/uk/science/article1533648.ece\n[18] Vogan D (1983) Caracteres irreducibles de grupos semisimples de Mentira III: Prueba de\nla conjetura Kazhdan-Lusztig en el caso integral Inventions Mathematicæ\n71 381417\nhttp://www.lemonde.fr/web/article/0\nhttp://www.liegroups.org/AIM$_$E8/technicaldetails.html\nhttp://select.nytimes.com/gst/abstract.html?res=F40613FE3C540C738EDDAA0894DF404482\nhttp://www.timesonline.co.uk/tol/news/uk/science/article1533648.ece\n\tIntroducción\n\tTres sistemas simples\n\tConclusión\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" En esta nota presentamos tres representaciones de una mentira de 248 dimensiones\nálgebra, a saber, el álgebra de las simetrías Lie punto admitido por un sistema de\ncinco ecuaciones diferenciales ordinarias triviales cada uno de orden cuarenta y cuatro, que\nadmitido por un sistema de siete ecuaciones diferenciales triviales ordinarias cada uno de\norden veintiocho y que admitido por una diferencia trivial ordinaria\necuación de orden doscientos cuarenta y cuatro.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción\nUn sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias cada uno de orden M > 1,\nk = fk(u\nj, t), j, k = 1, n, s = 0,M − 1, (1)\ntiene un número variable de simetrías de puntos de Lie dependiendo de la estructura de\nlas funciones fk. La dimensión máxima D del álgebra del punto de mentira admitido\nlas simetrías pueden ser obtenidas por el formulæ [9]\nD = n2 + 4n + 3 (2)\nD = n2 + Mn + 3. 3)\nAlgunos números explícitos se dan en la Tabla 1.\nRecientemente la elaboración de los elementos de la Lie álgebra, E8, de orden 248 ha\nse anunció de diversas maneras [3, 7, 13, 17, 16] en los serios medios de comunicación populares. El au-\nfuente toriativa es el Atlas de Grupos y Representaciones de Mentira [2] que se financia\npor la Fundación Nacional de Ciencia a través del Instituto Americano de Matemáticas\n[1]. Los resultados del cálculo E8 fueron anunciados en una charla en el MIT por David\nVogan el lunes 19 de marzo de 2007, y los detalles se pueden encontrar en [15]. El Atlas\nde Grupos de Mentira y Representaciones es un proyecto para poner a disposición\nrepresentaciones de grupos semisimples de Mentira sobre campos reales y p-ádicos. Particular\nimportancia es el problema de la dualidad unitaria, es decir, la clasificación de todos los\nrepresentaciones unitarias reducibles de un determinado grupo de Lie. El objetivo del Atlas de la Mentira\n* Discurso permanente: Facultad de Ciencias Matemáticas, Campus Westville, Universidad de\nKwaZulu-Natal, Durban 4000, República de Sudáfrica\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0096v1\nTabla 1: : La dimensión máxima del álgebra de las simetrías de puntos de Lie admitidas\npara sistemas de ecuaciones de orden variable (horizontal) y número (vertical).\nM 2 3 4 5 6 7 8 9 10\n1 8 7 8 9 10 11 12 13 14\n2 15 13 15 17 19 21 23 25 27\n3 24 21 24 27 30 33 36 39 42\n4 35 31 35 39 43 47 51 55 59\n5 48 43 48 53 58 63 68 73 78\n6 63 57 63 69 75 81 87 93 99\n7 80 73 80 87 94 101 108 115 122\n8 99 91 99 107 115 123 131 139 147\n9 120 111 120 129 138 147 156 165 174\n10 143 133 143 153 163 173 183 193 203\nGrupos y Representaciones es clasificar el dual unitario de un verdadero grupo de Lie, G,\npor ordenador. Un paso en esta dirección es calcular las representaciones admisibles\nde G, incluidos sus polinomios Kazhdan-Lusztig-Vogan. El cálculo para E8\nfue una prueba importante de la tecnología. Mientras que el cálculo es un impresionante\nel logro, es sólo un pequeño paso hacia el dual unitario y no debe ser\nclasificado como tan importante como la obra original de Kazhdan, Lusztig, Vogan, Beilinson,\nBernstein et al. (Vea, por ejemplo, [4, 5, 6, 11, 12, 14, 18, 8].) Sin embargo, el resultado\nse consideró adecuado para una campaña concertada de publicidad para aumentar\nconciencia de las matemáticas en la comunidad en general:\n“Symmetrie ist möglicherweise das erfolgreichste Prinzip der Physik überhaupt” [7].\n“Un grupo de chercheurs américains et européens, parmi lesquels on trouve deux\nFrançais, est parvenu à décoder une des structures les plus vastes de l’histoire des\nmathématiques” [13].\n“Puede ser que algún día este cálculo pueda ayudar a los físicos a entender el\nuniverso” [17].\n“Dieciocho matemáticos pasaron cuatro años y 77 horas de supercomputadora compu-\nciones para describir esta estructura” [16].\nEn esta nota demostramos tres representaciones de un Lie álgebra de dimensión\n248. Los dos pasamos cuatro horas y 77 segundos de cálculo de bolsillo\npara describir estas tres estructuras.\n2 Tres sistemas simples\nPara D = 248 fórmula (2) no tiene soluciones integrales y por lo tanto no hay sistema\nde las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden de simetría máxima que poseen un\nálgebra dimensional de sus simetrías de punto de mentira1. Sobre la fórmula (3) los factores\nde 248-3=245 son 1, 5 y 7 (49 está fuera de duda porque 492 > 245). En consecuencia\n1¿Es éste otro ejemplo de la singularidad intrínseca de la Mecánica Clásica?\nlos posibles valores de n son 1, 5 y 7. Los valores correspondientes de M son 244, 44 y 28,\nrespectivamente. Los sistemas de simetría máxima se obtienen fácilmente como uno simplemente\nAsí, los sistemas que construimos son las representaciones más simples de\nla clase de equivalencia bajo la transformación puntual de sistemas de ecuaciones de máxima\nSimetría.\nEn primer lugar, consideramos el siguiente sistema:\nk = 0, k = 1, 5. 4)\nEs fácil demostrar que este sistema sencillo admite un álgebra de 248 dimensiones de su\nSimetrías de puntos de mentira desde 52 + 5 · 44 + 3 = 248. El álgebra es generada por el\noperadores\n•1 = t\n2t + 43t\ni=1 uiŁui,\n2 ° = t ° t,\n3 °C = 1 °C,\n•i,k = kukui,k = 1, 5, i = 1, 5\n•i+5,s = t\ns/23370/ui, s = 0, 43, i = 1, 5.\nEn segundo lugar, consideramos el sistema\nu(28)r = 0, r = 1, 7. 6)\nEste sistema igualmente simple admite un álgebra de 248 dimensiones (72+7 · 28+ 3 = 248)\nde sus simetrías de puntos de Lie generadas por\n•1 = t\n2t + 27t\nj=1 uj?uj,\n2 ° = t ° t,\n3 °C = 1 °C,\n• j,r = urlj, r = 1, 7, j = 1, 7\n*j+7,n = t\nnŁuj, n = 0, 27, j = 1, 7.\nEn tercer lugar y finalmente la ecuación escalar,\nu(244) = 0, (8)\nadmite un álgebra Lie de 248 dimensiones (12+1 ·244+3 = 248) de sus simetrías puntuales\ngenerado por los operadores\n•1 = t\n2T + 243tuu,\n2 ° = t ° t,\n3 °C = 1 °C,\n4 °C = uüu,\nN+5 = t\nNo, n = 0, 243.\n3 Conclusión\nHemos demostrado tres representaciones de Lie álgebras de la dimensión 248 que\nes la dimensión de E8. Aunque los álgebras que presentamos no son simples, su\nmétodo de construcción es. La razón de esta simplicidad es que usamos represen-\ntas para sistemas de ecuaciones de simetría máxima. No negamos que sea más grande.\nsistemas, ya sea en orden o número, de menos de simetría máxima podría posiblemente\ntienen un álgebra de dimensión 248, pero incluso en el supuesto de que tales sistemas\nser lineal la complejidad del cálculo se vuelve inmensa [10] y derrota al\npropósito de la presente nota.\nTenga en cuenta que hemos utilizado las formas más simples para los generadores de los álgebras de\nlos tres sistemas, (4), (6) y (8), para nuestro interés principal es la demostración de\nla existencia de los álgebras. Normalmente uno usaría combinaciones que reflejan\nestructuras subalgebraicas. Por ejemplo en el caso de (8) para el cual el álgebra es\nobviamente sl(250, IR) se sustituiría 2 por 2 = 2tte +243uu para subrayar el\nestructura subalgebraica {sl(2, IR)} {A1} {sl(2, IR)} {s 244A1} {sl(2, IR)} {sl(2, IR) {s2A} {s1} {s244A1}, en la que {sl(2, IR) {s1} {s1} {s1} {s1} {s1} {s1 {s1} {s1} {s1(2, IR) {s1}\nla representación de sl(2, IR), •4 refleja la homogeneidad de la ecuación en el depen-\nvariable de abolladura y el subalgebra abeliana de 244 elementos se compone de la solución\nsimetrías, llamadas así porque las funciones del coeficiente son soluciones de (8).\nAgradecimientos\nPGLL agradece a la Universidad de Kwazulu-Natal su continuo apoyo.\nBibliografía\n[1] Instituto Americano de Matemáticas.\nhttp://aimath.org/E8/\n[2] Atlas de Grupos y Representaciones de Mentiras.\nhttp://www.liegroups.org/\n[3] BBC Lunes 19 de marzo de 2007, 12:28 GMT.\nhttp://news.bbc.co.uk/2/hi/science/nature/6466129.stm\n[4] Beilinson A (1983) Localización de representaciones de álgebras de Lie reductivas\nActas del Congreso Internacional de Matemáticos, Varsovia 699-710\n[5] Beilinson A & Bernstein J (1981) Localización de g-módulos Comptes Rendus\nde la Academia de Ciencias de París Séries I Mathématiques 292 15-18\n[6] Bernstein J (1986) Sobre las conjeturas de Kazhdan-Lusztig AMS Summer Research\nConferencia (Universidad de California, Santa Cruz, julio de 1986)\n[7] Der Spiegel, 19 März 2007.\nhttp://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/0,1518,472569,00.html\nhttp://aimath.org/E8/\nhttp://www.liegroups.org/\nhttp://news.bbc.co.uk/2/hi/science/nature/6466129.stm\nhttp://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/0\n[8] Gelfand S & MacPherson R (1982) Módulos Verma y células Schubert:\nen el Seminaire d’algebre Paul Dubriel y MP Malliavin (Notas de la\nMatemáticas 925, Springer Verlag, Berlín-Nueva York) 150\n[9] González-Gascón F & González-López A (1983)\nIV Revista de Física Matemática 24 2006-2021\n[10] Gorringe VM & Leach PGL (1988) Simetrías de puntos de mentira para sistemas de segundo\norden ecuaciones diferenciales ordinarias lineales Quæstiones Mathematicæ 11 95-117\n[11] Kazhdan D & Lusztig G (1979) Representaciones de los grupos Coxeter y Hecke\nálgebras Invenciones Mathematicæ 53 165184\n[12] Kazhdan D & Lusztig G (1980) variedades Schubert y dualidad Poincaré en\nGeometría del Operador de Laplace, (Procedimientos del Simposio sobre Matemática Pura)\nematics 36, American Mathematical Society) 185203\n[13] LEMONDE.FR avec AFP 19.03.07\nhttp://www.lemonde.fr/web/article/0,1-0@2-3244,36-884723@51-\n884724,0.html\n[14] Lusztig G & Vogan D (1983)\ndoble Invenciones Mathematicæ 71 365370\n[15] http://www.liegroups.org/AIME8/technicaldetails.html\n[16] NUEVA YORK TIMES 2007/03/20.\nhttp://select.nytimes.com/gst/abstract.html?res=F40613FE3C540C738EDDAA0894DF404482\n[17] The Times 19 de marzo de 2007.\nhttp://www.timesonline.co.uk/tol/news/uk/science/article1533648.ece\n[18] Vogan D (1983) Caracteres irreducibles de grupos semisimples de Mentira III: Prueba de\nla conjetura Kazhdan-Lusztig en el caso integral Inventions Mathematicæ\n71 381417\nhttp://www.lemonde.fr/web/article/0\nhttp://www.liegroups.org/AIM$_$E8/technicaldetails.html\nhttp://select.nytimes.com/gst/abstract.html?res=F40613FE3C540C738EDDAA0894DF404482\nhttp://www.timesonline.co.uk/tol/news/uk/science/article1533648.ece\n\tIntroducción\n\tTres sistemas simples\n\tConclusión\n"}}},{"rowIdx":90,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0097,"string":"704.0097"},"title":{"kind":"string","value":"Conformal Field Theory and Operator Algebras"},"full_text":{"kind":"string","value":"Teoría de campo formal\ny álgebras operadoras\nYasuyuki Kawahigashi\nDepartamento de Ciencias Matemáticas\nUniversidad de Tokio, Komaba, Tokio, 153-8914, Japón\nCorreo electrónico: yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp\nResumen\nExaminamos los recientes avances en el enfoque algebraico de los operadores\nteoría cuántica formal del campo. Nuestro énfasis está en el uso de la representación\nteoría en teoría de clasificación. Esto se basa en una serie de trabajos conjuntos\ncon R. Longo.\n1 Introducción\nUna aproximación matemáticamente rigurosa a la teoría cuántica del campo basada en\nálgebras erator se llama una teoría de campo cuántico algebraico. Tiene un largo\nhistoria desde obras pioneras de Araki, Haag, Kastker. (Véase [22]\ntratamiento eral de la teoría del campo cuántico algebraico.) Esta teoría funciona en\nEspacios Minkowski en cualquier dimensión espacio-tiempo, y ha habido algunos\nresultados recientes en tiempos de espacio curvos o incluso tiempos de espacio no conmutativos. In\nel caso del espacio Minkowski de 1+1-dimensional con simetría espacial superior-\nintentar, simetría conformal, tenemos teoría de campo conformal y allí tenemos\nhemos visto muchos nuevos acontecimientos en los últimos años, por lo que examinamos tales resultados\nAquí. Nuestro énfasis está en los aspectos teóricos de la representación de la teoría y\nhacemos varias comparaciones con otro matemáticamente riguroso y más\nenfoque reciente a la teoría de campo conformal, es decir, la teoría del operador de vértice\nálgebras.\n* Con el apoyo en parte de la JSPS.\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0097v1\nEn términos aproximados, un estudio matemático de la teoría cuántica del campo es un\nestudio de los campos de Wightman, que son cierto tipo de operador valorado distri-\nbutiones en un espacio-tiempo con covarianza con respecto a un espacio-tiempo dado\ngrupo de simetría. Tenemos axiomas matemáticamente rigurosos para tal Wight-\ncampos humanos, pero involucran distribuciones y operadores sin límites, por lo que estos\ncausar varios tipos de dificultad técnica. En contraste, en el quan algebraico-\nteoría del campo de tum, nuestro objeto fundamental es una red de álgebras de von Neumann\nde operadores lineales limitados en un espacio de Hilbert. (Véase [46] para\nory de von Neumann álgebras.) Problemas técnicos en los ámbitos de definición\nLos operadores no vinculados no surgen en este enfoque.\nUna idea básica es la siguiente. Supongamos que tenemos un campo Wightman Φ en un\nespacio tiempo. Fijar una región limitada O en el tiempo espacial y considerar una prueba\nfunción con soporte contenido en O. Entonces el emparejamiento, produce\nun operador (sin límite). Tenemos muchos Φ y ♥ para una O fija y obtener\nmuchos operadores sin límite de tal emparejamiento. Entonces consideramos un von Neu-\nálgebra mann de operadores lineales limitados en este espacio Hilbert generado\npor parte de estos operadores sin límites. (Por ejemplo, si tenemos un auto-adjunto un-\noperadores limitados, consideramos sus proyecciones espectrales que son, obviamente,\ntodo delimitado. De esta manera, sólo tratamos con operadores limitados.) Esto es...\nconsiderado como un álgebra de von Neumann generada por observables en el espaciotiempo\nregión O. Un álgebra de von Neumann es un álgebra de operadores lineales delimitados\nque está cerrado bajo la operación contigua y el operador fuerte topol-\nOgy. De esta manera, tenemos una familia {A(O)} de von Neumann álgebras en el\nel mismo espacio de Hilbert parametrizado por las regiones del espacio-tiempo. Desde el espacio-tiempo\nlas regiones hacen una red con respecto a la orden de inclusión, llamamos a tal familia un\nred de álgebras de von Neumann. Ahora olvidamos los campos de Wightman y consideramos\nsólo una red de álgebras de von Neumann. Tenemos algunas propiedades esperadas para\ntales redes de von Neumann álgebras de una consideración física, y ahora\nusamos estas propiedades como axiomas. Así que nuestro objeto matemático es una red de\nvon Neumann álgebras sujetas a ciertos conjuntos de axiomas. Nuestra matemática\nobjetivo es estudiar tales redes de von Neumann álgebras.\n2 Teoría de Campo Cuántico Conformal\nPrimero explicamos la formulación de la teoría de campo cuántico conformal completa en el\n1 + 1-dimensional Minkowski espacio en teoría de campo cuántico algebraico. As a\nregión del espacio tiempo O arriba, es suficiente considerar sólo los rectángulos abiertos O\ncon bordes paralelos a t = ± x en el espacio de Minkowski (1 + 1)-dim. De esta manera,\nObtenemos una familia {A(O)} de álgebras de operador parametrizadas por espaciotiempo\nregiones O (rectángulos). Con el fin de realizar la simetría conformal, tenemos que\nhacer una compactación parcial del espacio Minkowski de 1+1-dimensional. Si\ndos rectángulos son espacios como separados, entonces no tenemos interacciones entre\nincluso a la velocidad de la luz, por lo que nuestro axioma requiere que el correspondiente\ndos álgebras de von Neumann se viajan entre sí. Esta es la localidad\naxioma. Dado que este no es nuestro objeto principal en este documento, omitimos los detalles de la\notros axiomas. Véase [29] para más detalles.\nA continuación explicamos brevemente que la teoría de campo conformal de la frontera puede ser han-\nse desplomó dentro del mismo marco. Ahora consideramos el medio-espacio {(x, t) \nx > 0} en el espacio 1+1-dimensional Minkowski y sólo rectángulos O con-\nen este medio-espacio. De esta manera, tenemos una red similar de von Neumann\nálgebras {A(O)} parametrizadas con rectángulos en el medio espacio. Véase [38]\npara los detalles completos de los axiomas.\nSi tenemos una red de álgebras de von Neumann sobre el 1 + 1-dimensional\nMinkowski espacio, podemos restringir la red de von Neumann álgebras a dos\nteorías de campo conformal quiral sobre los conos de luz {x = ±t}. De esta manera, nosotros\ntienen dos redes de von Neumann álgebras en el compactado S1 como descripción\nde dos teorías de campo conformal quiral. Puesto que esta red es nuestra principal matemática\nobjeto en este artículo, damos un conjunto completo de axiomas. (Véase [29] para más detalles sobre esto\nprocedimiento de “restricción”.)\nAhora nuestro “tiempo espacial” es S1 y una “región espacio-tiempo” es un intervalo I,\nlo que significa un subconjunto abierto no vacío y no denso de S1. Tenemos\nuna familia {A(I)} de von Neumann álgebras en un espacio fijo Hilbert H.\nvon Neumann álgebras son simples y tales álgebras de von Neumann se llaman\nfactores, por lo que la familia {A(I)} satisfacer los axiomas de abajo se llama una red de\nfactores (o una red conformal local irreductible de factores, estrictamente hablando).\nEn realidad, el conjunto de intervalos en S1 no está dirigido con respecto a inclusiones,\nPor lo tanto, la terminología neta no es matemáticamente apropiada, pero se utiliza ampliamente.\n1. (isotonía) Para los intervalos I1+I2, tenemos A(I1)+A(I2).\n2. (localidad) Para intervalos I1, I2 con I1+I2 = فارسى, tenemos [A(I1),A(I2)] = 0\n3. (Möbius covarianza) Existe un repre-\nSe envía U de PSL(2,R) sobre H que satisfaga U(g)A(I)U(g)* = A(gI) para\ncualquier g • PSL(2,R) y cualquier intervalo I.\n4. (positividad de la energía) El generador de la rotación de un parámetro sub-\ngrupo de U, llamado el conformal Hamiltoniano, es positivo.\n5. (existencia del vacío) Existe una unidad U -invariante vector\nH, llamado el vector de vacío, y el álgebra de von Neumann\nI+S1 A(I)\ngenerado por todos los A(I) es B(H).\n6. (covarianza formal) Existe una representación unitaria proyectiva\nU de Diff(S1) en H ampliando la representación unitaria de PSL(2,R)\nde tal manera que para todos los intervalos yo, tenemos\nU(g)A(I)U(g)* = A(gI), g • Diff(S1),\nU(g)AU(g)* = A, A (I), g (Diff(I ′),\ndonde Diff(S1) es el grupo de difeomorfismos que preservan la orientación\nde S1 y Diff(I ′) es el grupo de difeomorfismos g de S1 con g(t) = t\npara todos los t â € I.\nEl axioma de isotonía es natural porque tenemos más funciones de prueba (o más\nobservables) para un intervalo mayor. El axioma de la localidad toma esta forma simple en\nS1. La elección de la simetría espacio-tiempo no es única, y podemos utilizar la\nSimetría de Poincaré en el espacio de Minkowski o la covarianza de Möbius en S1,\npor ejemplo, pero en la teoría de campo conformal, utilizamos la simetría conformal,\nlo que significa covarianza de difeomorfismo como arriba. Este conjunto de axiomas implican\nvarias condiciones agradables como la propiedad Reeh-Schlieder, el Bisognano-\nPropiedad Wichmann y la dualidad Haag. Véase [28] y las referencias correspondientes a\ndetalles.\nEn la situación habitual, todos los álgebras de von Neumann A(I) son isomórficos\nal denominado factor Araki-Woods tipo III1 para todas las redes A y todos los intervalos\nI. Así que cada álgebra de von Neumann no contiene ninguna información sobre\nla teoría de campo conformal, pero es la posición relativa del von Neumann\nálgebras en la familia que codifica la información física de la teoría.\n(Es similar a la teoría de los subfactores de Jones donde estudiamos una posición relativa\nde un factor en otro.)\nAl final de esta sección, comparamos nuestra formulación de conformal\nteoría cuántica de campo con otro enfoque matemáticamente riguroso, el-\nORY de álgebras de operador de vértice. Un álgebra operador de vértice es un algebraico\naxiomatización de los campos de Wightman en S1, llamados operadores de vértice. Si nosotros\ntener una distribución de operador valorada en S1, su expansión de Fourier debe dar\nContablemente muchos (posiblemente sin límite) operadores como los coeficientes de Fourier.\nBajo la llamada correspondencia estado-campo, cualquier vector en el espacio de\n“estados” debe dar una distribución valorada por el operador, un “campo” cuántico, y\nsu expansión de Fourier da cuenta de muchos operadores. De esta manera, un vector\ndebe dar considerablemente muchos operadores en el espacio de estos vectores. En los demás\npalabras, para dos vectores v, w tenemos considerablemente muchas operaciones binarias v(n)w,\nn-Z, la acción del n-ésimo operador dada por v en w. Una axiomatización\nde esta idea da una noción de álgebra operadora de vértice. (Véase [16] para más información\ndefinición. Hay una noción ligeramente más débil de un álgebra vértice. Véase [27]\npara su definición precisa y resultados conexos.) En teoría del operador de vértice\nálgebra, se considera un espacio vectorial de estados sin un producto interior y\nIncluso cuando tenemos un producto interno definido positivo, se considera que este vec-\nespacio sin completar. Aquí en comparación con las redes de factores, estamos\ninteresado en el caso en el que tenemos productos internos definitivos positivos en el\nespacios de estados. Decimos que tal álgebra operadora de vértice es unitaria.\nTanto de un álgebra (unitaria) operador de vértice y una red de factores\ndebe describir una teoría de campo conformal quiral. Así que operador vértice unitario\nálgebras y redes de factores deben estar en una correspondencia bijectiva, al menos\nbajo algunas “buenas” condiciones adicionales, pero ningún teorema general ha sido\nconocido por tal correspondencia, aunque hay un progreso reciente debido a S.\nCarpi y M. Weiner. Sin embargo, si tenemos una construcción o una idea en uno\nA menudo podemos “traducir” al otro lado, aunque puede ser altamente no-\ntrivial desde un punto de vista técnico. Fuentes fundamentales de las construcciones para\nálgebras operador de vértice son álgebras afín Kac-Moody y celosías integrales.\nLas construcciones correspondientes para redes de factores han sido realizadas por A.\nWassermann [47] y sus estudiantes, y Dong-Xu [12], respectivamente, después de la\nconstrucción inicial de Buchholz-Mack-Todorov [5]. Si tenemos ejemplos con\nalgunas propiedades agradables, a menudo podemos construir nuevos ejemplos de ellos, y\ncomo tales métodos de construcciones de álgebras operador de vértice, tenemos simples\nextensiones actuales, la construcción de coset, y la construcción de orbifold. Los\nsimples extensiones de corriente para redes de factores son simplemente productos cruzados por\nDHR-automorfismos y fácil de realizar. (Ver la siguiente sección para una noción\nde DHR-endomorfismos.) Las construcciones de coset y orbifold para redes de\nlos factores han sido estudiados en detalle por F. Xu [50, 51, 52].\nPara redes de factores, hemos introducido una nueva construcción de ejemplos\nen [28] basado en la noción de sistemas Q de Longo [36]. Otros ejemplos han sido:\nha sido construido por Xu [55] con este método. Esto se puede traducir a la\najuste de álgebras operador de vértice, como veremos en este artículo más adelante.\n3 Teoría de la representación\nUna herramienta importante para estudiar las redes de factores es una teoría de la representación. Por una\nneto de factores {A(I)}, todos los álgebras A(I) actúan en el espacio Hilbert inicial\nH desde el principio, pero también consideramos sus representaciones en otro\nHilbert espacio, es decir, una familia I} de representaciones γI : A(I) → B(K),\ndonde K es otro espacio de Hilbert, común para todos. Por lo que se refiere a I1 o I2, debemos\ntener que la restricción de ηI2 en A(I1) es igual a ηI1. La representación en\nel espacio inicial Hilbert se llama la representación de vacío y juega un papel de\nuna representación trivial. También tenemos que ocuparnos de la simetría espacial.\ngrupo cuando consideramos una representación, pero esta parte es a menudo automática\n(véase [20]), por lo que ahora lo ignoramos por simplicidad. Véase [20] para más detalles\ntratamiento. Nótese que una representación de una red de factores es una contraparte de\nun módulo sobre un álgebra de operador de vértice.\nLas nociones de irreductibilidad y una suma directa para tales representaciones son:\nfácil de formular. Las nociones no triviales son dimensiones y productos tensores.\nCada representación I} está en una correspondencia bijectiva a un cierto endo-\nmorfismo de un álgebra de operador dimensional infinito, llamado un Doblicher-\nEndomorfismo de Haag-Roberts (DHR) [13, 15], y podemos restringirlo a un solo\nfactor A(I) para un intervalo I arbitrariamente pero fijo. Entonces, A(I) (A(I)) A(I) es\nun subfactor y tenemos su índice Jones [26]. (Véanse [14, 41, 43] para información general\nteoría de los subfactores.) La raíz cuadrada de este índice Jones juega el papel de\nla dimensión de la representación [35]. En teoría cuántica algebraica del campo,\ntal dimensión fue llamada una dimensión estadística, y es análoga a\nuna dimensión cuántica en la teoría de los grupos cuánticos. Es un real positivo\nnúmeros en el intervalo [1,]. También podemos componer endomorfismos y\nesta composición da la noción correcta de productos tensores. Entonces conseguiremos un\ncategoría de tensor trenzado como en [15].\nEn teoría de representación de un operador de vértice álgebra (y también un cuántico\ngrupo), a veces sucede que tenemos sólo finitamente muchos irreductible rep-\nresentimientos. Tal finitud a menudo se llama racionalidad, posiblemente con algunos\nsuposiciones adicionales sobre alguna dimensión finita. Esto también juega un impor-\npapel en la teoría de los invariantes cuánticos en la topología de baja dimensión. En [32],\nhemos introducido una condición algebraica del operador para tal racionalidad para\nredes de factores como sigue y lo llamamos racionalidad completa. Dividimos el\ncírculo en cuatro intervalos I1, I2, I3, I4 en este orden, digamos, en sentido contrario a las agujas del reloj. Entonces\nla racionalidad completa es dada por la finitud del índice Jones para un subfac-\nA(I1)A(I3)A(I3)A(I2)A(I4))\n′ donde ′ significa el conmutante, juntos\ncon la propiedad dividida. Se sabe que la propiedad split se mantiene si el vacío\ncarácter,\nn=0(dimHn)q\nn, es convergente para q < 1 por [9], por lo que generalmente\nsostiene y es fácil de verificar. (Aquí H =\nn=0Hn es el eigenspace decompo-\nposición del espacio original de Hilbert para el generador positivo de la rotación\ngrupo. Así que esta propiedad de convergencia se puede verificar simplemente mirando\nel espacio Hilbert, no los álgebras de von Neumann.) En la definición original\nde completa racionalidad en [32], requerimos otra condición llamada fuerte\nAditividad, pero se demostró que era redundante por Longo-Xu [39]. Tenemos\nen [32] se demostró que esta completa racionalidad implica que tenemos un\ncategoría de tensor como categoría de representación de {A(I)}. Un tensor modular\ncategoría produce una teoría de campo cuántico topológico tridimensional. (Véase [45]\npara la teoría general de la teoría del campo cuántico topológico.) El SU(N)k-net de\nWassermann ha demostrado ser completamente racional por [49].\nAhora introducimos una noción importante de α-inducción. Para una inclusión\nde redes de factores, A(I) B(I), tenemos un procedimiento de inducción análogo\na la representación del grupo. Así que de una representación de la red más pequeña A,\nnos gustaría construir una representación de la red B más grande, pero lo que\nque realmente obtenemos no es una representación genuina de la red más grande B en\ngeneral, y es algo más débil llamado solitónico. Este procedimiento de inducción\nse llama la α-inducción y depende de una elección de trenzado, por lo que escribimos\ny. Esto fue definido por primera vez en Longo-Rehren [37] y estudiado en detalle\nen Xu [48]. Entonces Böckenhauer-Evans [1] hizo un nuevo estudio, y [2, 3]\nEste estudio se unificó con el método gráfico de Ocneanu [42]. La intersección\nde los endomorfismos irreductibles que aparecen en las imágenes de la inducción\ny -inducción da la categoría de representación verdadera de {B(I)} si A es\ncompletamente racional por [2, 32].\nEsta α-inducción abre una conexión importante y nueva con la teoría\nde invariantes modulares. Una categoría de tensores modulares produce una\nresensación de SL(2,Z) a través de su trenzado como en [44], y su dimensión\nes el número de objetos irreducibles. Así que una red completamente racional de fac-\nTors produce tal representación unitaria. (Obsérvese que nuestra representación\nde SL(2,Z) viene de la estructura de trenzado, no de la acción de este\ngrupo sobre los caracteres a través del cambio de variables 7→\na.a.a. + b.a.a.a.a. + b.a.a.a.a.a. + b.a.a.a.\nc-c-e-d-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-d-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-\n, aunque en\ntodos los “buen” ejemplos conocidos, estas dos representaciones coinciden. Véase [30]\npara un debate sobre este asunto.)\nSe ha demostrado en [2] que la matriz (Zel,μ) definida por\nZ/23370/,μ = dimHom(α\n, α\nestá en el conmutante de la representación η, utilizando la gráfica de Ocneanu cal-\nculus [42]. Tal matriz Z se llama un invariante modular, y sólo tenemos\nfinitamente muchos tales Z para un dado η. Para cualquier red completamente racional {A(I)},\ncualquier extensión {B(I) {A(I)} produce tal Z. Matrices Z son ciertamente\nmucho más fácil de clasificar que las extensiones y esto es una fuente de clasificación\nteoría en la siguiente sección.\n4 Teoría de la Clasificación\nPara una red de factores, naturalmente podemos definir una carga central y está bien-\nse sabe que toman los valores discretos 1− 6/m(m+1), m = 3, 4, 5,...., por debajo de 1 y\ntodos los valores indicados en [1,]. por [17, 18]. Tenemos la red Virasoro {Virc(I)} para cada uno\ntal c y es la contraparte algebraica del operador del vértice Virasoro\nálgebra del operador con la misma c. Cualquier red de factores {A(I)} con central\nc es una extensión de la red Virasoro con la misma carga central y\nes automáticamente completamente racional si c < 1, como se muestra en [28]. Así que podemos\naplicar la teoría anterior y obtenemos la siguiente lista completa de clasificación\npara el caso c < 1 como en [28].\n1. Las redes Virasoro {Virc(I)} con c < 1.\n2. Las simples extensiones de corriente de las redes Virasoro con índice 2.\n3. Cuatro excepcionales en c = 21/22, 25/26, 144/145, 154/155.\nLas representaciones unitarias de SL(2,Z) para las redes de Virasoro son el pozo-\nconocidos, y todos los invariantes modulares para estos han sido clasificados por\n[6]. Nuestro resultado muestra que cada uno de los llamados invariantes modulares tipo I en\nla lista de clasificación de [6] corresponde a una red de factores única. Ellos\nestán etiquetados con pares de diagramas de Dynkin A-D2n-E6,8 con números de Coxeter\ndiferenciándose por 1. Tres en (3) de la lista anterior se han identificado con coset\nmodelos, pero el resto no parece estar relacionado con ningún otro\nconstrucciones conocidas. Esto se construye con “extensión por sistema Q”.\nXu [55] aplicó recientemente esta construcción a muchos otros modelos de coset y\nobtener infinitamente muchos ejemplos nuevos basados en [54], llamado\nSions. La clasificación para el caso c = 1 también se ha hecho en algunos casos adicionales.\nsuposición [7, 53].\nEste teorema de clasificación también implica una clasificación de ciertos tipos de\nálgebras del operador de vértice como sigue.\nDejar V ser un (racional) álgebra operador de vértice y Wi ser su irreductible\nmódulos. Nos gustaría clasificar todos los álgebras de operador de vértice que surgen de\nponer una estructura de álgebra de operador de vértice en\ni niWi y usando el mismo\nVirasoro elemento como V, donde ni es multiplicidad y W0 = V, n0 = 1. Desde\nun punto de vista de la categoría tensor, este problema de clasificación de las ampliaciones de\nun operador de vértice álgebras es el “mismo” como el problema de clasificación de\nextensiones de una red de factores completamente racional, como se muestra en [24].\nAsí que el teorema de clasificación anterior de las redes conformales locales implica un clas-\nteorema de sificación de extensiones de los álgebras de operador de vértice Virasoro con\nc < 1 como el anterior, y obtenemos la misma lista de clasificación. Es decir, además\nel vértice Virasoro operario álgebras sí mismos, tenemos su simple cur-\nprórrogas de alquiler, y cuatro excepcionales en c = 21/22, 25/26, 144/145, 154/155.\nCon la notación habitual de L(c, h) para un módulo con carga central c y\npeso conformal h de los álgebras del operador de vértice Virasoro con c < 1, el\nA continuación se enumeran cuatro casos excepcionales.\n1. L(21/22, 0)L(21/22, 8). Tiene 15 representaciones irreductibles y tiene\ndos realizaciones de coset, a partir de SU(9)2 (E8)2 y (E8)3 (E8)2 (E8)1.\n2. L(25/26, 0) L(25/26, 10). Tiene 18 representaciones irreductibles y\ntiene una realización de coset de SU(2)11 SO(5)1 SU(2)1.\n3. L(144/145, 0)L(144/145, 24)L(144/145, 78)L(144/145, 189). Lo siento.\ntiene 28 representaciones irreductibles y ninguna realización coset ha sido\nLo sé.\n4. L(154/155, 0)L(154/155, 26)L(154/155, 84)L(154/155, 203). Lo siento.\ntiene 30 representaciones irreductibles y tiene una realización coset de\nSU(2)29 (G2)1 SU(2)1.\nTenga en cuenta que no es obvio que la categoría de representación de la Virasoro\nnet Virc y la categoría de representación del operador Virasoro vértice\nálgebra L(c, 0) son isomórficos, pero siempre y cuando los dos son tensor trenzado\ncategoría y tienen las mismas matrices S y T, los argumentos en [28] trabajo,\npor lo que obtenemos el resultado de clasificación anterior para álgebras operador de vértice.\nUtilizando los resultados anteriores y más técnicas, también podemos completamente\nclasificar las teorías de campo conformal completo dentro del marco cuántico algebraico\nteoría de campo para el caso c < 1. Teorías de campo conformales completas se dan como\nciertas redes de factores en el espacio 1 + 1-dimensional Minkowski. Bajo natu...\nsimetría ral y condiciones de maximidad, aquellas con c < 1 son completamente\netiquetado con los pares de diagramas A-D-E Dynkin con la diferencia de\nsu número de Coxeter es igual a 1, como se muestra en [29]. Ahora, naturalmente, tenemos\nD2n+1, E7 como etiquetas, a diferencia del caso quiral. La principal dificultad en este sentido\ntrabajo consiste en demostrar la singularidad de la estructura para cada invariante modular\nen la lista Cappelli-Itzykson-Zuber [6]. Esto se hace a través de 2-cohomología\ndesapareciendo para ciertas categorías de tensores. en el espíritu de [25].\nAdemás, utilizando los resultados anteriores y más técnicas también podemos\nclasificar completamente las teorías de campo conformal límite para el caso c < 1.\nLas teorías de campo de la conformación de la frontera se dan como ciertas redes de factores en un 1+\n1-dimensional Minkowski semi-espacio. Bajo una condición de máxima natural,\nestos con c < 1 ahora están completamente etiquetados con los pares de A-D-E Dynkin\ndiagramas con vértices distinguidos que tienen la diferencia de su Coxeter\nnúmeros iguales a 1, como se muestra en [33] basado en una teoría general en [38]. Los\n“campos quiral” en la teoría de campo conformal de la frontera debe producir una red\nde factores en el límite (que se compacta a S1) como en el operador\nenfoque algebraico. Entonces una teoría de campo conformal de frontera general restringe\na este límite para producir una extensión no local de esta conformación quiral\nteoría de campo en la frontera.\n5 Conjetura de la luz de la luna\nLa conjetura Moonshine, formulada por Conway-Norton [8], se trata de mi-\nrelaciones entre grupos finitos simples y funciones modulares, ya que\nuna observación debida a McKay.\nHoy en día la clasificación de todos los grupos finitos simples es completa y el\nlista de clasificación contiene 26 grupos esporádicos, además de varios infinitos\nserie. El grupo más grande entre los 26 grupos esporádicos se llama el Monstruo\ngrupo y su orden es de aproximadamente 8× 1053\nPor una parte, la representación irreductible no trivial del Mon-\nster que tiene la dimensión más pequeña es 196883 dimensional. Por otro lado\nmano, la función siguiente, llamada j-función, ha sido clásicamente estudiado\nen álgebra.\nj() = q−1 + 744 + 196884q +\n21493760q2 + 864299970q3 + · · ·\nPara q = exp(2lürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürülürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürü\na.a.a. + b.a.a.a.a. + b.a.a.a.a.a. + b.a.a.a.\nc-c-e-d-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-d-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-\nSL(2,Z), y esta es la única función, hasta\nel término constante, satisfaciendo esta propiedad y comenzando con q−1,\nMcKay notó 196884 = 196883 + 1, y relaciones simples similares para\notros coeficientes de la función j y dimensiones de represen irreductible\nlas taciones del grupo Monster resultaron ser ciertas. Luego Conway-Norton\n[8] formuló la conjetura Moonshine aproximadamente como sigue, que ha sido\nahora probado por Borcherds [4] en 1992.\n1. Tenemos un \"natural\" infinito dimensional grado vector espacio V =\nVn con alguna estructura algebraica que tiene una acción de Monster pre-\nservir a la clasificación y cada Vn es dimensional finita.\n2. Para cualquier elemento g en el monstruo, la serie de potencia\nn=0(Tr gVn)q\nes una función especial llamada Hauptmodul para algún subgrupo discreto\nde SL(2,R). Cuando g es el elemento de identidad, la serie es la función j\nmenos el término constante 744.\nPor la parte (1) de esta conjetura, Frenkel-Lepowsky-Meurman [16] dio\nuna definición precisa de “alguna estructura algebraica” como un álgebra operador vértice\ny construyó un ejemplo particular V, que ahora se llama la luz de la luna\nálgebras del operador del vértice y denotado por V ».\nLa construcción es aproximadamente la siguiente. En la dimensión 24, tenemos un\ncelosía excepcional llamada la celosía de sanguijuela. Entonces hay una estafa general...\nestructuración de un álgebra operador de vértice de una cierta celosía, y el uno para\nla celosía de sanguijuela da algo muy cerca de nuestro objeto final V. Entonces nosotros\ntomar un punto fijo álgebra bajo una acción natural de Z/2Z que surge de la\nsimetría de celosía, y luego hacer una simple extensión de corriente de orden 2. Los\nálgebra de operador de vértice resultante es el álgebra de operador de vértice Moonshine\nV â € TM. (El paso final se llama construcción retorcida o bifold). La serie\nn=0(dimV\nn−1 es de hecho la función j menos el término constante 744.\nMiyamoto [40] tiene una nueva realización de V ® como una extensión de un tensor\npotencia del álgebra del operador de vértice de Virasoro con c = 1/2, L(1/2, 0)48\n(basado en Dong-Mason-Zhu [11]. Este tipo de extensión de un tensor Virasoro\nla energía se llama álgebra de operador de vértice enmarcada como en [10].\nHemos dado un operador homólogo algebraico de tal construcción\nen [31].\nRealizamos una red de celosía de sanguijuela de factores en S1 como una extensión de Vir1/2\nusando cierto código Z4. Entonces podemos realizar la construcción retorcida o bifold\nen el sentido algebraico del operador para obtener una red de factores, la red Moonshine\n¡Aaaaaaaaaa! La teoría de la α-inducción se utiliza para obtener varias descomposicións. Nosotros\nluego obtener una descripción tipo Miyamoto de esta construcción, como un operador\nhomólogo algebraico del operador de vértice enmarcado álgebras. Entonces tenemos\nlas siguientes propiedades.\n1. c = 24.\n2. La teoría de la representación es trivial.\n3. El grupo del automorfismo es el Monstruo.\n4. La propiedad Hauptmodul (como anteriormente).\nEl esquema de la prueba de estas cuatro propiedades es el siguiente.\nEs inmediato obtener c = 24. Podemos mostrar pases de completa racionalidad.\na una extensión (y un orbifold) en general con control sobre el tamaño de la\ncategoría de representación, utilizando el índice Jones. Con esto, obtenemos (2) muy\nCon facilidad. Tal red se llama holomórfica. La propiedad (3) es la más difícil\nparte. Para el Virasoro VOA L(1/2, 0), el operador de vértice es de hecho un bien-\nEl campo Wightman y los campos manchados producen la red Virasoro Vir1/2.\nUsando esta propiedad y el hecho de que\ng g(L(1/2, 0)\n48) para todos los g de Aut(V)\ngenerar toda la luz de luna VOA V, podemos probar que el automorfismo\ngrupo como un álgebra operador de vértice y el grupo de automorfismo como una red\nDe hecho, los factores son los mismos. Entonces (4) es ahora un corolario trivial de la\nBorcherds teorema [4].\nObservamos que el monstruo bebé, el segundo más grande entre los 26 esporádicos\ngrupos finitos simples, se puede tratar de manera similar con la construcción de Höhn de la\nálgebra de operador de super vértice Moonshine más corta.\nSin embargo, estos ejemplos se tratan con varios trucos caso por caso. Nosotros\nespera una correspondencia bijetiva entre álgebras operadoras de vértice y redes\nde factores en S1 en algunas buenas condiciones. En el lado del operador de vértice\nálgebras, el candidato más natural para tal condición “agradable” es el C2-\ncondición de finitud de Zhu [56] (con unidad). En el operador algebraico\nlado, nuestra completa racionalidad en [32] parece ser una condición “buena”, pero\nlas relaciones reales entre las dos nociones no están claras en este momento.\nLa condición esencial para la racionalidad completa es la finitud de los Jones\níndice que surge de cuatro intervalos en el círculo, y esta finitud de alguna manera\ntiene similitud formal con la finitud que aparece en la definición de la C2-\nfinitud.\nAl final, enumeramos algunos problemas abiertos. El enfoque algebraico del operador\ntiene una ventaja en el control de la teoría de la representación, pero está detrás de la teoría\nde álgebras operador de vértice en la teoría de los caracteres.\nPara una red de factores, podemos naturalmente definir una noción de un carácter para\ncada representación. Pero incluso la convergencia de estos personajes no ha sido\nen general, y la propiedad de la invarianza modular, la contrapartida de\nEl resultado de Zhu [56], es desconocido, aunque ciertamente esperamos que sea cierto. Nosotros\ntambién se espera que la identidad Verlinde se mantiene, lo que se ha demostrado en el contexto\nde álgebras de operador de vértice recientemente por Huang [23]. Necesitaríamos un S-\nmatriz del teorema spin-statistics [21] para redes de factores.\nBibliografía\n[1] J. Böckenhauer, D. E. Evans, invariantes modulares, gráficos y α-\ninducción para redes de subfactores I, Commun. Matemáticas. Phys. 197 (1998)\n361–386. II 200 (1999) 57-103. III 205 (1999) 183–228.\n[2] J. Böckenhauer, D. E. Evans, Y. Kawahigashi, Sobre la inducción alfa, quiral\nproyectores e invariantes modulares para subfactores, Commun. Matemáticas. Phys.\n208 (1999) 429–487.\n[3] J. Böckenhauer, D. E. Evans, Y. Kawahigashi, estructura chiral del modus operandi\nLar invariantes para subfactores, Commun. Matemáticas. Phys. 210 (2000) 733–784.\n[4] R. E. Borcherds, Monstrous moonshine y monstruosos superálgebras de la Mentira,\nInventar. Matemáticas. 109 (1992) 405–444.\n[5] D. Buchholz, G. Mack, I. Todorov, El álgebra actual en el círculo como\nun germen de las teorías locales de campo, Nucl. Phys. B, Proc. Suppl. 5B (1988)\n20–56.\n[6] A. Cappelli, C. Itzykson, J.-B. y Zuber, la clasificación A-D-E de\nmínimo y A\n1 teorías invariantes conformes, Commun. Matemáticas. Phys.\n113 (1987) 1–26.\n[7] S. Carpi, Sobre la teoría de la representación de las redes Virasoro, Commun. Matemáticas.\nPhys. 244 (2004) 261–284. matemáticas.OA-0306425.\n[8] J. H. Conway, S. P. Norton, Monstrous moonshine, Bull. Matemática de Londres.\nSoc. 11 (1979) 308–339.\n[9] C. D’Antoni, R. Longo, F. Radulescu, Redes Conformales,\nperatura y modelos de probabilidad libre, J. Teoría del operador 45 (2001)\n195–208.\n[10] C. Dong, R. L. Griess Jr., G. Höhn, álgebras de operador de vértice enmarcado,\ncódigos y el módulo Moonshine, Commun. Matemáticas. Phys. 193 (1998)\n407–448.\n[11] C. Dong, G. Mason, Y. Zhu, Serie discreta del álgebra de Virasoro y\nEl módulo de luz de luna, Proc. Symp. Puro. Math., Amer. Matemáticas. Soc. 56\nII (1994) 295–316.\n[12] C. Dong, F. Xu, Redes formales asociadas a las celosías y sus orbes\nifolds, Adv. Matemáticas. 206 (2006) 279–306. matemáticas.OA/0411499.\n[13] S. Doblicher, R. Haag, J. E. Roberts, Observables locales y partículas\nestadísticas, I. Commun. Matemáticas. Phys. 23, 199-230 (1971); II. 35, 49-85\n(1974).\n[14] D. E. Evans, Y. Kawahigashi, “Simetrías cuantitativas del operador alge-\nbras”, Oxford University Press, 1998.\n[15] K. Fredenhagen, K.-H. Rehren, B. Schroer, Sectores de Superselección con\nálgebras de intercambio, I Commun. Matemáticas. Phys.\n125, 201 a 226 (1989), II Rev. Matemáticas. Phys. Número especial (1992) 113–\n[16] I. Frenkel, J. Lepowsky, A. Meurman, “álgebras y álgebras de operador de Vértex\nel monstruo”, Academic Press, 1988.\nhttp://arxiv.org/abs/math/0306425\nhttp://arxiv.org/abs/math/0411499\n[17] D. Friedan, Z. Qiu, S. Shenker, Detalles de la prueba de no unidad para\nrepresentaciones de peso más alto del álgebra de Virasoro, Commun. Matemáticas.\nPhys. 107 (1986) 535–542.\n[18] P. Goddard, A. Kent, D. Olive, Representaciones unitarias de los Virasoro\ny álgebras super-Virasoro, Commun. Matemáticas. Phys. 103 (1986) 105–\n[19] R. L. Griess Jr., el gigante amigo, Invent. Matemáticas. 69 (1982) 1-102.\n[20] D. Guido & R. Longo, Invarianza relativista y conjugación de la carga en\nTeoría cuántica del campo, Commun. Matemáticas. Phys. 148 (1992) 521-551.\n[21] D. Guido, R. Longo, The conformal spin and statistics teorem, Com-\nmun. Matemáticas. Phys. 181 (1996) 11–35.\n[22] R. Haag, “Local Quantum Physics”, 2nd ed., Springer, Berlín, Heidel-\nberg, Nueva York, 1996\n[23] Y.-Z. Huang, álgebras del operador de Vertex, la conjetura de Verlinde, y mod-\ncategorías de tensores, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 102 (2005) 5352–\n5356.\n[24] Y.-Z. Huang, A. Kirillov Jr., J. Lepowsky, categorías de tensores trenzados y\nextensiones de álgebras de operador de vértice, en preparación.\n[25] M. Izumi, H. Kosaki, En un análogo de subfactor de la segunda cohomología,\nRev. Matemáticas. Phys. 14 (2002) 733–757.\n[26] V. F. R. Jones, Índice de subfactores, Invent. Matemáticas. 72 (1983) 1–25.\n[27] V. Kac, “Álgebras Vértex para Principiantes”, Lect. Notas Serie 10, Amer.\nMatemáticas. Soc. Providence, RI, 1988.\n[28] Y. Kawahigashi, R. Longo, Clasificación de las redes conformales locales. Caso\nc < 1, Ann. de Matemáticas. 160 (2004), 493–522. matemáticas-ph/0201015.\n[29] Y. Kawahigashi, R. Longo, Clasificación de dos dimensiones locales\nredes formales con desaparición c < 1 y 2-cohomología para las categorías de tensores,\nComun. Matemáticas. Phys. 244 (2004) 63–97. matemáticas-ph/0304022.\nhttp://arxiv.org/abs/math-ph/0201015\nhttp://arxiv.org/abs/math-ph/0304022\n[30] Y. Kawahigashi, R. Longo, Invariantes espectrales no conmutativas y\nEntropía del agujero negro, Commun. Matemáticas. Phys. 257 (2005) 193-225.\nmatemáticas-ph/0405037.\n[31] Y. Kawahigashi, R. Longo, Redes de conformación locales\nálgebras de operador de vértice enmarcadas, Adv. Matemáticas. 206 (2006) 729–751.\nmatemáticas.OA/0407263.\n[32] Y. Kawahigashi, R. Longo, M. Müger, subfactores multiintervalos y\nmodularidad de las representaciones en la teoría de campo conformal, Commun. Matemáticas.\nPhys. 219 (2001) 631–669.\n[33] Y. Kawahigashi, R. Longo, U. Pennig, K.-H. Rehren, La clasificación\nde CFT chiral no local con c < 1, Commun. Matemáticas. Phys. 271 (2007)\n375–385. matemáticas.OA/0505130.\n[34] A. Kirillov Jr., V. Ostrik, En q-analog de la correspondencia McKay y\nClasificación ADE de las teorías de campo conformal sl(2), Adv. Matemáticas. 171\n(2002) 183–227.\n[35] R. Longo, Índice de subfactores y estadísticas de los campos cuánticos I-II, Com-\nmun. Matemáticas. Phys. 126 (1989) 217–247 y 130 (1990) 285–309.\n[36] R. Longo, Una dualidad para álgebras Hopf y para subfactores, Commun.\nMatemáticas. Phys. 159 (1994) 133–150.\n[37] R. Longo, K.-H. Rehren, Nets of subfactors, Rev. Matemáticas. Phys. 7 (1995)\n567-597.\n[38] R. Longo, K.-H. Rehren, Campos locales en la frontera CFT, Rev. Matemáticas. Phys.\n16 (2004) 909–960.\n[39] R. Longo, F. Xu, Sectores topológicos y una dicotomía en el campo conformal\nteoría, Commun. Matemáticas. Phys. 251 (2004) 321-364. matemáticas.OA-0309366.\n[40] M. Miyamoto, Una nueva construcción del operador de vértice de luz de luna\nálgebra sobre el campo de números reales, Ann. de Matemáticas. 159 (2004) 535–596.\n[41] A. Ocneanu, grupo cuántico, álgebras de cuerdas y teoría de Galois para alge-\nsujetadores, en álgebras de operador y aplicaciones, Vol. 2 (Warwick, 1987), (ed.\nD. E. Evans y M. Takesaki), Conferencia de la Sociedad Matemática de Londres\nNote Series 36, Cambridge University Press, Cambridge, 1988, 119–172.\nhttp://arxiv.org/abs/math-ph/0405037\nhttp://arxiv.org/abs/math/0407263\nhttp://arxiv.org/abs/math/0505130\nhttp://arxiv.org/abs/math/0309366\n[42] A. Ocneanu, Caminos en diagramas de Coxeter: de sólidos platónicos y singu-\nLaridades a modelos mínimos y subfactores, (Notas grabadas por S. Goto),\nen Lectures on operator teory, (ed. B. V. Rajarama Bhat y otros), el\nFields Institute Monographs, AMS Publications, 2000, 243-323.\n[43] S. Popa, “Clasificación de los subfactores y de sus endomorfismos”,\nCBMS Regional Conference Series, Amer. Matemáticas. Soc. 86 (1995).\n[44] K.-H. Rehren, las estadísticas del grupo Braid y sus reglas de superselección, en\n“La Teoría Algebraica de los Sectores de Superselección”, D. Kastler ed., World\nCientífico 1990, 333-355.\n[45] V. G. Turaev, “Quantum invariants of nuds and 3-manifolds”, Walter\nde Gruyter, Berlín-Nueva York, 1994.\n[46] M. Takesaki, “Theory of Operator Algebras”, vol. I, II, III, Springer\nEnciclopedia de Ciencias Matemáticas 124 (2002), 125, 127 (2003).\n[47] A. Wassermann, álgebras de operador y teoría de campo conformal III: Fusión\nde las representaciones energéticas positivas de SU(N) utilizando operadores limitados,\nInventar. Matemáticas. 133 (1998) 467–538.\n[48] F. Xu, Nuevos endomorfismos trenzados de inclusiones conformales, Com-\nmun. Matemáticas. Phys. 192 (1998) 347–403.\n[49] F. Xu, Jones-Wassermann subfactores para intervalos desconectados, Com-\nmun. Contemporaneo. Matemáticas. 2 (2000) 307–347.\n[50] F. Xu, Teorías de campo conformal del coseno algebraico I, Commun. Matemáticas. Phys.\n211 (2000) 1–44.\n[51] F. Xu, Algebraic coset conformal field teorys II, Publ. RIMS, Kyoto\nUniv. 35 (1999) 795–824.\n[52] F. Xu, Teorías de campo conformal obifold algebraica, Proc. Nat. Acad. Sci.\nU.S.A. 97 (2000) 14069–14073.\n[53] F. Xu, Fuerte aditividad y redes conformales, Pac. J. Matemáticas. 221 (2005)\n167–199. matemáticas.QA-0303266.\n[54] F. Xu, 3-manifolds invariants from cossets, J. Teoría del nudo Ramif. 14\n(2005) 21–90.\nhttp://arxiv.org/abs/math/0303266\n[55] F. Xu, Extensiones de espejo de redes locales, Commun. Matemáticas. Phys. 270 (2007)\n835-847. matemáticas.QA/0505367.\n[56] Y. Zhu, Invarianza modular de caracteres de álgebras operadoras de vértices, J.\nAmer. Matemáticas. Soc. 9 (1996) 237–302.\nhttp://arxiv.org/abs/math/0505367\n\tIntroducción\n\tTeoría Cuántica Conformal de Campo\n\tTeoría de la representación\n\tTeoría de la Clasificación\n\tConjetura de la luz de la luna\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" Revisamos los avances recientes en el enfoque algebraico del operador a la conformación cuántica\nteoría de campo. Nuestro énfasis está en el uso de la teoría de la representación en la clasificación\nteoría. Esto se basa en una serie de trabajos conjuntos con R. Longo.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción\nUna aproximación matemáticamente rigurosa a la teoría cuántica del campo basada en\nálgebras erator se llama una teoría de campo cuántico algebraico. Tiene un largo\nhistoria desde obras pioneras de Araki, Haag, Kastker. (Véase [22]\ntratamiento eral de la teoría del campo cuántico algebraico.) Esta teoría funciona en\nEspacios Minkowski en cualquier dimensión espacio-tiempo, y ha habido algunos\nresultados recientes en tiempos de espacio curvos o incluso tiempos de espacio no conmutativos. In\nel caso del espacio Minkowski de 1+1-dimensional con simetría espacial superior-\nintentar, simetría conformal, tenemos teoría de campo conformal y allí tenemos\nhemos visto muchos nuevos acontecimientos en los últimos años, por lo que examinamos tales resultados\nAquí. Nuestro énfasis está en los aspectos teóricos de la representación de la teoría y\nhacemos varias comparaciones con otro matemáticamente riguroso y más\nenfoque reciente a la teoría de campo conformal, es decir, la teoría del operador de vértice\nálgebras.\n* Con el apoyo en parte de la JSPS.\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0097v1\nEn términos aproximados, un estudio matemático de la teoría cuántica del campo es un\nestudio de los campos de Wightman, que son cierto tipo de operador valorado distri-\nbutiones en un espacio-tiempo con covarianza con respecto a un espacio-tiempo dado\ngrupo de simetría. Tenemos axiomas matemáticamente rigurosos para tal Wight-\ncampos humanos, pero involucran distribuciones y operadores sin límites, por lo que estos\ncausar varios tipos de dificultad técnica. En contraste, en el quan algebraico-\nteoría del campo de tum, nuestro objeto fundamental es una red de álgebras de von Neumann\nde operadores lineales limitados en un espacio de Hilbert. (Véase [46] para\nory de von Neumann álgebras.) Problemas técnicos en los ámbitos de definición\nLos operadores no vinculados no surgen en este enfoque.\nUna idea básica es la siguiente. Supongamos que tenemos un campo Wightman Φ en un\nespacio tiempo. Fijar una región limitada O en el tiempo espacial y considerar una prueba\nfunción con soporte contenido en O. Entonces el emparejamiento, produce\nun operador (sin límite). Tenemos muchos Φ y ♥ para una O fija y obtener\nmuchos operadores sin límite de tal emparejamiento. Entonces consideramos un von Neu-\nálgebra mann de operadores lineales limitados en este espacio Hilbert generado\npor parte de estos operadores sin límites. (Por ejemplo, si tenemos un auto-adjunto un-\noperadores limitados, consideramos sus proyecciones espectrales que son, obviamente,\ntodo delimitado. De esta manera, sólo tratamos con operadores limitados.) Esto es...\nconsiderado como un álgebra de von Neumann generada por observables en el espaciotiempo\nregión O. Un álgebra de von Neumann es un álgebra de operadores lineales delimitados\nque está cerrado bajo la operación contigua y el operador fuerte topol-\nOgy. De esta manera, tenemos una familia {A(O)} de von Neumann álgebras en el\nel mismo espacio de Hilbert parametrizado por las regiones del espacio-tiempo. Desde el espacio-tiempo\nlas regiones hacen una red con respecto a la orden de inclusión, llamamos a tal familia un\nred de álgebras de von Neumann. Ahora olvidamos los campos de Wightman y consideramos\nsólo una red de álgebras de von Neumann. Tenemos algunas propiedades esperadas para\ntales redes de von Neumann álgebras de una consideración física, y ahora\nusamos estas propiedades como axiomas. Así que nuestro objeto matemático es una red de\nvon Neumann álgebras sujetas a ciertos conjuntos de axiomas. Nuestra matemática\nobjetivo es estudiar tales redes de von Neumann álgebras.\n2 Teoría de Campo Cuántico Conformal\nPrimero explicamos la formulación de la teoría de campo cuántico conformal completa en el\n1 + 1-dimensional Minkowski espacio en teoría de campo cuántico algebraico. As a\nregión del espacio tiempo O arriba, es suficiente considerar sólo los rectángulos abiertos O\ncon bordes paralelos a t = ± x en el espacio de Minkowski (1 + 1)-dim. De esta manera,\nObtenemos una familia {A(O)} de álgebras de operador parametrizadas por espaciotiempo\nregiones O (rectángulos). Con el fin de realizar la simetría conformal, tenemos que\nhacer una compactación parcial del espacio Minkowski de 1+1-dimensional. Si\ndos rectángulos son espacios como separados, entonces no tenemos interacciones entre\nincluso a la velocidad de la luz, por lo que nuestro axioma requiere que el correspondiente\ndos álgebras de von Neumann se viajan entre sí. Esta es la localidad\naxioma. Dado que este no es nuestro objeto principal en este documento, omitimos los detalles de la\notros axiomas. Véase [29] para más detalles.\nA continuación explicamos brevemente que la teoría de campo conformal de la frontera puede ser han-\nse desplomó dentro del mismo marco. Ahora consideramos el medio-espacio {(x, t) \nx > 0} en el espacio 1+1-dimensional Minkowski y sólo rectángulos O con-\nen este medio-espacio. De esta manera, tenemos una red similar de von Neumann\nálgebras {A(O)} parametrizadas con rectángulos en el medio espacio. Véase [38]\npara los detalles completos de los axiomas.\nSi tenemos una red de álgebras de von Neumann sobre el 1 + 1-dimensional\nMinkowski espacio, podemos restringir la red de von Neumann álgebras a dos\nteorías de campo conformal quiral sobre los conos de luz {x = ±t}. De esta manera, nosotros\ntienen dos redes de von Neumann álgebras en el compactado S1 como descripción\nde dos teorías de campo conformal quiral. Puesto que esta red es nuestra principal matemática\nobjeto en este artículo, damos un conjunto completo de axiomas. (Véase [29] para más detalles sobre esto\nprocedimiento de “restricción”.)\nAhora nuestro “tiempo espacial” es S1 y una “región espacio-tiempo” es un intervalo I,\nlo que significa un subconjunto abierto no vacío y no denso de S1. Tenemos\nuna familia {A(I)} de von Neumann álgebras en un espacio fijo Hilbert H.\nvon Neumann álgebras son simples y tales álgebras de von Neumann se llaman\nfactores, por lo que la familia {A(I)} satisfacer los axiomas de abajo se llama una red de\nfactores (o una red conformal local irreductible de factores, estrictamente hablando).\nEn realidad, el conjunto de intervalos en S1 no está dirigido con respecto a inclusiones,\nPor lo tanto, la terminología neta no es matemáticamente apropiada, pero se utiliza ampliamente.\n1. (isotonía) Para los intervalos I1+I2, tenemos A(I1)+A(I2).\n2. (localidad) Para intervalos I1, I2 con I1+I2 = فارسى, tenemos [A(I1),A(I2)] = 0\n3. (Möbius covarianza) Existe un repre-\nSe envía U de PSL(2,R) sobre H que satisfaga U(g)A(I)U(g)* = A(gI) para\ncualquier g • PSL(2,R) y cualquier intervalo I.\n4. (positividad de la energía) El generador de la rotación de un parámetro sub-\ngrupo de U, llamado el conformal Hamiltoniano, es positivo.\n5. (existencia del vacío) Existe una unidad U -invariante vector\nH, llamado el vector de vacío, y el álgebra de von Neumann\nI+S1 A(I)\ngenerado por todos los A(I) es B(H).\n6. (covarianza formal) Existe una representación unitaria proyectiva\nU de Diff(S1) en H ampliando la representación unitaria de PSL(2,R)\nde tal manera que para todos los intervalos yo, tenemos\nU(g)A(I)U(g)* = A(gI), g • Diff(S1),\nU(g)AU(g)* = A, A (I), g (Diff(I ′),\ndonde Diff(S1) es el grupo de difeomorfismos que preservan la orientación\nde S1 y Diff(I ′) es el grupo de difeomorfismos g de S1 con g(t) = t\npara todos los t â € I.\nEl axioma de isotonía es natural porque tenemos más funciones de prueba (o más\nobservables) para un intervalo mayor. El axioma de la localidad toma esta forma simple en\nS1. La elección de la simetría espacio-tiempo no es única, y podemos utilizar la\nSimetría de Poincaré en el espacio de Minkowski o la covarianza de Möbius en S1,\npor ejemplo, pero en la teoría de campo conformal, utilizamos la simetría conformal,\nlo que significa covarianza de difeomorfismo como arriba. Este conjunto de axiomas implican\nvarias condiciones agradables como la propiedad Reeh-Schlieder, el Bisognano-\nPropiedad Wichmann y la dualidad Haag. Véase [28] y las referencias correspondientes a\ndetalles.\nEn la situación habitual, todos los álgebras de von Neumann A(I) son isomórficos\nal denominado factor Araki-Woods tipo III1 para todas las redes A y todos los intervalos\nI. Así que cada álgebra de von Neumann no contiene ninguna información sobre\nla teoría de campo conformal, pero es la posición relativa del von Neumann\nálgebras en la familia que codifica la información física de la teoría.\n(Es similar a la teoría de los subfactores de Jones donde estudiamos una posición relativa\nde un factor en otro.)\nAl final de esta sección, comparamos nuestra formulación de conformal\nteoría cuántica de campo con otro enfoque matemáticamente riguroso, el-\nORY de álgebras de operador de vértice. Un álgebra operador de vértice es un algebraico\naxiomatización de los campos de Wightman en S1, llamados operadores de vértice. Si nosotros\ntener una distribución de operador valorada en S1, su expansión de Fourier debe dar\nContablemente muchos (posiblemente sin límite) operadores como los coeficientes de Fourier.\nBajo la llamada correspondencia estado-campo, cualquier vector en el espacio de\n“estados” debe dar una distribución valorada por el operador, un “campo” cuántico, y\nsu expansión de Fourier da cuenta de muchos operadores. De esta manera, un vector\ndebe dar considerablemente muchos operadores en el espacio de estos vectores. En los demás\npalabras, para dos vectores v, w tenemos considerablemente muchas operaciones binarias v(n)w,\nn-Z, la acción del n-ésimo operador dada por v en w. Una axiomatización\nde esta idea da una noción de álgebra operadora de vértice. (Véase [16] para más información\ndefinición. Hay una noción ligeramente más débil de un álgebra vértice. Véase [27]\npara su definición precisa y resultados conexos.) En teoría del operador de vértice\nálgebra, se considera un espacio vectorial de estados sin un producto interior y\nIncluso cuando tenemos un producto interno definido positivo, se considera que este vec-\nespacio sin completar. Aquí en comparación con las redes de factores, estamos\ninteresado en el caso en el que tenemos productos internos definitivos positivos en el\nespacios de estados. Decimos que tal álgebra operadora de vértice es unitaria.\nTanto de un álgebra (unitaria) operador de vértice y una red de factores\ndebe describir una teoría de campo conformal quiral. Así que operador vértice unitario\nálgebras y redes de factores deben estar en una correspondencia bijectiva, al menos\nbajo algunas “buenas” condiciones adicionales, pero ningún teorema general ha sido\nconocido por tal correspondencia, aunque hay un progreso reciente debido a S.\nCarpi y M. Weiner. Sin embargo, si tenemos una construcción o una idea en uno\nA menudo podemos “traducir” al otro lado, aunque puede ser altamente no-\ntrivial desde un punto de vista técnico. Fuentes fundamentales de las construcciones para\nálgebras operador de vértice son álgebras afín Kac-Moody y celosías integrales.\nLas construcciones correspondientes para redes de factores han sido realizadas por A.\nWassermann [47] y sus estudiantes, y Dong-Xu [12], respectivamente, después de la\nconstrucción inicial de Buchholz-Mack-Todorov [5]. Si tenemos ejemplos con\nalgunas propiedades agradables, a menudo podemos construir nuevos ejemplos de ellos, y\ncomo tales métodos de construcciones de álgebras operador de vértice, tenemos simples\nextensiones actuales, la construcción de coset, y la construcción de orbifold. Los\nsimples extensiones de corriente para redes de factores son simplemente productos cruzados por\nDHR-automorfismos y fácil de realizar. (Ver la siguiente sección para una noción\nde DHR-endomorfismos.) Las construcciones de coset y orbifold para redes de\nlos factores han sido estudiados en detalle por F. Xu [50, 51, 52].\nPara redes de factores, hemos introducido una nueva construcción de ejemplos\nen [28] basado en la noción de sistemas Q de Longo [36]. Otros ejemplos han sido:\nha sido construido por Xu [55] con este método. Esto se puede traducir a la\najuste de álgebras operador de vértice, como veremos en este artículo más adelante.\n3 Teoría de la representación\nUna herramienta importante para estudiar las redes de factores es una teoría de la representación. Por una\nneto de factores {A(I)}, todos los álgebras A(I) actúan en el espacio Hilbert inicial\nH desde el principio, pero también consideramos sus representaciones en otro\nHilbert espacio, es decir, una familia I} de representaciones γI : A(I) → B(K),\ndonde K es otro espacio de Hilbert, común para todos. Por lo que se refiere a I1 o I2, debemos\ntener que la restricción de ηI2 en A(I1) es igual a ηI1. La representación en\nel espacio inicial Hilbert se llama la representación de vacío y juega un papel de\nuna representación trivial. También tenemos que ocuparnos de la simetría espacial.\ngrupo cuando consideramos una representación, pero esta parte es a menudo automática\n(véase [20]), por lo que ahora lo ignoramos por simplicidad. Véase [20] para más detalles\ntratamiento. Nótese que una representación de una red de factores es una contraparte de\nun módulo sobre un álgebra de operador de vértice.\nLas nociones de irreductibilidad y una suma directa para tales representaciones son:\nfácil de formular. Las nociones no triviales son dimensiones y productos tensores.\nCada representación I} está en una correspondencia bijectiva a un cierto endo-\nmorfismo de un álgebra de operador dimensional infinito, llamado un Doblicher-\nEndomorfismo de Haag-Roberts (DHR) [13, 15], y podemos restringirlo a un solo\nfactor A(I) para un intervalo I arbitrariamente pero fijo. Entonces, A(I) (A(I)) A(I) es\nun subfactor y tenemos su índice Jones [26]. (Véanse [14, 41, 43] para información general\nteoría de los subfactores.) La raíz cuadrada de este índice Jones juega el papel de\nla dimensión de la representación [35]. En teoría cuántica algebraica del campo,\ntal dimensión fue llamada una dimensión estadística, y es análoga a\nuna dimensión cuántica en la teoría de los grupos cuánticos. Es un real positivo\nnúmeros en el intervalo [1,]. También podemos componer endomorfismos y\nesta composición da la noción correcta de productos tensores. Entonces conseguiremos un\ncategoría de tensor trenzado como en [15].\nEn teoría de representación de un operador de vértice álgebra (y también un cuántico\ngrupo), a veces sucede que tenemos sólo finitamente muchos irreductible rep-\nresentimientos. Tal finitud a menudo se llama racionalidad, posiblemente con algunos\nsuposiciones adicionales sobre alguna dimensión finita. Esto también juega un impor-\npapel en la teoría de los invariantes cuánticos en la topología de baja dimensión. En [32],\nhemos introducido una condición algebraica del operador para tal racionalidad para\nredes de factores como sigue y lo llamamos racionalidad completa. Dividimos el\ncírculo en cuatro intervalos I1, I2, I3, I4 en este orden, digamos, en sentido contrario a las agujas del reloj. Entonces\nla racionalidad completa es dada por la finitud del índice Jones para un subfac-\nA(I1)A(I3)A(I3)A(I2)A(I4))\n′ donde ′ significa el conmutante, juntos\ncon la propiedad dividida. Se sabe que la propiedad split se mantiene si el vacío\ncarácter,\nn=0(dimHn)q\nn, es convergente para q < 1 por [9], por lo que generalmente\nsostiene y es fácil de verificar. (Aquí H =\nn=0Hn es el eigenspace decompo-\nposición del espacio original de Hilbert para el generador positivo de la rotación\ngrupo. Así que esta propiedad de convergencia se puede verificar simplemente mirando\nel espacio Hilbert, no los álgebras de von Neumann.) En la definición original\nde completa racionalidad en [32], requerimos otra condición llamada fuerte\nAditividad, pero se demostró que era redundante por Longo-Xu [39]. Tenemos\nen [32] se demostró que esta completa racionalidad implica que tenemos un\ncategoría de tensor como categoría de representación de {A(I)}. Un tensor modular\ncategoría produce una teoría de campo cuántico topológico tridimensional. (Véase [45]\npara la teoría general de la teoría del campo cuántico topológico.) El SU(N)k-net de\nWassermann ha demostrado ser completamente racional por [49].\nAhora introducimos una noción importante de α-inducción. Para una inclusión\nde redes de factores, A(I) B(I), tenemos un procedimiento de inducción análogo\na la representación del grupo. Así que de una representación de la red más pequeña A,\nnos gustaría construir una representación de la red B más grande, pero lo que\nque realmente obtenemos no es una representación genuina de la red más grande B en\ngeneral, y es algo más débil llamado solitónico. Este procedimiento de inducción\nse llama la α-inducción y depende de una elección de trenzado, por lo que escribimos\ny. Esto fue definido por primera vez en Longo-Rehren [37] y estudiado en detalle\nen Xu [48]. Entonces Böckenhauer-Evans [1] hizo un nuevo estudio, y [2, 3]\nEste estudio se unificó con el método gráfico de Ocneanu [42]. La intersección\nde los endomorfismos irreductibles que aparecen en las imágenes de la inducción\ny -inducción da la categoría de representación verdadera de {B(I)} si A es\ncompletamente racional por [2, 32].\nEsta α-inducción abre una conexión importante y nueva con la teoría\nde invariantes modulares. Una categoría de tensores modulares produce una\nresensación de SL(2,Z) a través de su trenzado como en [44], y su dimensión\nes el número de objetos irreducibles. Así que una red completamente racional de fac-\nTors produce tal representación unitaria. (Obsérvese que nuestra representación\nde SL(2,Z) viene de la estructura de trenzado, no de la acción de este\ngrupo sobre los caracteres a través del cambio de variables 7→\na.a.a. + b.a.a.a.a. + b.a.a.a.a.a. + b.a.a.a.\nc-c-e-d-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-d-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-\n, aunque en\ntodos los “buen” ejemplos conocidos, estas dos representaciones coinciden. Véase [30]\npara un debate sobre este asunto.)\nSe ha demostrado en [2] que la matriz (Zel,μ) definida por\nZ/23370/,μ = dimHom(α\n, α\nestá en el conmutante de la representación η, utilizando la gráfica de Ocneanu cal-\nculus [42]. Tal matriz Z se llama un invariante modular, y sólo tenemos\nfinitamente muchos tales Z para un dado η. Para cualquier red completamente racional {A(I)},\ncualquier extensión {B(I) {A(I)} produce tal Z. Matrices Z son ciertamente\nmucho más fácil de clasificar que las extensiones y esto es una fuente de clasificación\nteoría en la siguiente sección.\n4 Teoría de la Clasificación\nPara una red de factores, naturalmente podemos definir una carga central y está bien-\nse sabe que toman los valores discretos 1− 6/m(m+1), m = 3, 4, 5,...., por debajo de 1 y\ntodos los valores indicados en [1,]. por [17, 18]. Tenemos la red Virasoro {Virc(I)} para cada uno\ntal c y es la contraparte algebraica del operador del vértice Virasoro\nálgebra del operador con la misma c. Cualquier red de factores {A(I)} con central\nc es una extensión de la red Virasoro con la misma carga central y\nes automáticamente completamente racional si c < 1, como se muestra en [28]. Así que podemos\naplicar la teoría anterior y obtenemos la siguiente lista completa de clasificación\npara el caso c < 1 como en [28].\n1. Las redes Virasoro {Virc(I)} con c < 1.\n2. Las simples extensiones de corriente de las redes Virasoro con índice 2.\n3. Cuatro excepcionales en c = 21/22, 25/26, 144/145, 154/155.\nLas representaciones unitarias de SL(2,Z) para las redes de Virasoro son el pozo-\nconocidos, y todos los invariantes modulares para estos han sido clasificados por\n[6]. Nuestro resultado muestra que cada uno de los llamados invariantes modulares tipo I en\nla lista de clasificación de [6] corresponde a una red de factores única. Ellos\nestán etiquetados con pares de diagramas de Dynkin A-D2n-E6,8 con números de Coxeter\ndiferenciándose por 1. Tres en (3) de la lista anterior se han identificado con coset\nmodelos, pero el resto no parece estar relacionado con ningún otro\nconstrucciones conocidas. Esto se construye con “extensión por sistema Q”.\nXu [55] aplicó recientemente esta construcción a muchos otros modelos de coset y\nobtener infinitamente muchos ejemplos nuevos basados en [54], llamado\nSions. La clasificación para el caso c = 1 también se ha hecho en algunos casos adicionales.\nsuposición [7, 53].\nEste teorema de clasificación también implica una clasificación de ciertos tipos de\nálgebras del operador de vértice como sigue.\nDejar V ser un (racional) álgebra operador de vértice y Wi ser su irreductible\nmódulos. Nos gustaría clasificar todos los álgebras de operador de vértice que surgen de\nponer una estructura de álgebra de operador de vértice en\ni niWi y usando el mismo\nVirasoro elemento como V, donde ni es multiplicidad y W0 = V, n0 = 1. Desde\nun punto de vista de la categoría tensor, este problema de clasificación de las ampliaciones de\nun operador de vértice álgebras es el “mismo” como el problema de clasificación de\nextensiones de una red de factores completamente racional, como se muestra en [24].\nAsí que el teorema de clasificación anterior de las redes conformales locales implica un clas-\nteorema de sificación de extensiones de los álgebras de operador de vértice Virasoro con\nc < 1 como el anterior, y obtenemos la misma lista de clasificación. Es decir, además\nel vértice Virasoro operario álgebras sí mismos, tenemos su simple cur-\nprórrogas de alquiler, y cuatro excepcionales en c = 21/22, 25/26, 144/145, 154/155.\nCon la notación habitual de L(c, h) para un módulo con carga central c y\npeso conformal h de los álgebras del operador de vértice Virasoro con c < 1, el\nA continuación se enumeran cuatro casos excepcionales.\n1. L(21/22, 0)L(21/22, 8). Tiene 15 representaciones irreductibles y tiene\ndos realizaciones de coset, a partir de SU(9)2 (E8)2 y (E8)3 (E8)2 (E8)1.\n2. L(25/26, 0) L(25/26, 10). Tiene 18 representaciones irreductibles y\ntiene una realización de coset de SU(2)11 SO(5)1 SU(2)1.\n3. L(144/145, 0)L(144/145, 24)L(144/145, 78)L(144/145, 189). Lo siento.\ntiene 28 representaciones irreductibles y ninguna realización coset ha sido\nLo sé.\n4. L(154/155, 0)L(154/155, 26)L(154/155, 84)L(154/155, 203). Lo siento.\ntiene 30 representaciones irreductibles y tiene una realización coset de\nSU(2)29 (G2)1 SU(2)1.\nTenga en cuenta que no es obvio que la categoría de representación de la Virasoro\nnet Virc y la categoría de representación del operador Virasoro vértice\nálgebra L(c, 0) son isomórficos, pero siempre y cuando los dos son tensor trenzado\ncategoría y tienen las mismas matrices S y T, los argumentos en [28] trabajo,\npor lo que obtenemos el resultado de clasificación anterior para álgebras operador de vértice.\nUtilizando los resultados anteriores y más técnicas, también podemos completamente\nclasificar las teorías de campo conformal completo dentro del marco cuántico algebraico\nteoría de campo para el caso c < 1. Teorías de campo conformales completas se dan como\nciertas redes de factores en el espacio 1 + 1-dimensional Minkowski. Bajo natu...\nsimetría ral y condiciones de maximidad, aquellas con c < 1 son completamente\netiquetado con los pares de diagramas A-D-E Dynkin con la diferencia de\nsu número de Coxeter es igual a 1, como se muestra en [29]. Ahora, naturalmente, tenemos\nD2n+1, E7 como etiquetas, a diferencia del caso quiral. La principal dificultad en este sentido\ntrabajo consiste en demostrar la singularidad de la estructura para cada invariante modular\nen la lista Cappelli-Itzykson-Zuber [6]. Esto se hace a través de 2-cohomología\ndesapareciendo para ciertas categorías de tensores. en el espíritu de [25].\nAdemás, utilizando los resultados anteriores y más técnicas también podemos\nclasificar completamente las teorías de campo conformal límite para el caso c < 1.\nLas teorías de campo de la conformación de la frontera se dan como ciertas redes de factores en un 1+\n1-dimensional Minkowski semi-espacio. Bajo una condición de máxima natural,\nestos con c < 1 ahora están completamente etiquetados con los pares de A-D-E Dynkin\ndiagramas con vértices distinguidos que tienen la diferencia de su Coxeter\nnúmeros iguales a 1, como se muestra en [33] basado en una teoría general en [38]. Los\n“campos quiral” en la teoría de campo conformal de la frontera debe producir una red\nde factores en el límite (que se compacta a S1) como en el operador\nenfoque algebraico. Entonces una teoría de campo conformal de frontera general restringe\na este límite para producir una extensión no local de esta conformación quiral\nteoría de campo en la frontera.\n5 Conjetura de la luz de la luna\nLa conjetura Moonshine, formulada por Conway-Norton [8], se trata de mi-\nrelaciones entre grupos finitos simples y funciones modulares, ya que\nuna observación debida a McKay.\nHoy en día la clasificación de todos los grupos finitos simples es completa y el\nlista de clasificación contiene 26 grupos esporádicos, además de varios infinitos\nserie. El grupo más grande entre los 26 grupos esporádicos se llama el Monstruo\ngrupo y su orden es de aproximadamente 8× 1053\nPor una parte, la representación irreductible no trivial del Mon-\nster que tiene la dimensión más pequeña es 196883 dimensional. Por otro lado\nmano, la función siguiente, llamada j-función, ha sido clásicamente estudiado\nen álgebra.\nj() = q−1 + 744 + 196884q +\n21493760q2 + 864299970q3 + · · ·\nPara q = exp(2lürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürülürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürü\na.a.a. + b.a.a.a.a. + b.a.a.a.a.a. + b.a.a.a.\nc-c-e-d-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-d-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-\nSL(2,Z), y esta es la única función, hasta\nel término constante, satisfaciendo esta propiedad y comenzando con q−1,\nMcKay notó 196884 = 196883 + 1, y relaciones simples similares para\notros coeficientes de la función j y dimensiones de represen irreductible\nlas taciones del grupo Monster resultaron ser ciertas. Luego Conway-Norton\n[8] formuló la conjetura Moonshine aproximadamente como sigue, que ha sido\nahora probado por Borcherds [4] en 1992.\n1. Tenemos un \"natural\" infinito dimensional grado vector espacio V =\nVn con alguna estructura algebraica que tiene una acción de Monster pre-\nservir a la clasificación y cada Vn es dimensional finita.\n2. Para cualquier elemento g en el monstruo, la serie de potencia\nn=0(Tr gVn)q\nes una función especial llamada Hauptmodul para algún subgrupo discreto\nde SL(2,R). Cuando g es el elemento de identidad, la serie es la función j\nmenos el término constante 744.\nPor la parte (1) de esta conjetura, Frenkel-Lepowsky-Meurman [16] dio\nuna definición precisa de “alguna estructura algebraica” como un álgebra operador vértice\ny construyó un ejemplo particular V, que ahora se llama la luz de la luna\nálgebras del operador del vértice y denotado por V ».\nLa construcción es aproximadamente la siguiente. En la dimensión 24, tenemos un\ncelosía excepcional llamada la celosía de sanguijuela. Entonces hay una estafa general...\nestructuración de un álgebra operador de vértice de una cierta celosía, y el uno para\nla celosía de sanguijuela da algo muy cerca de nuestro objeto final V. Entonces nosotros\ntomar un punto fijo álgebra bajo una acción natural de Z/2Z que surge de la\nsimetría de celosía, y luego hacer una simple extensión de corriente de orden 2. Los\nálgebra de operador de vértice resultante es el álgebra de operador de vértice Moonshine\nV â € TM. (El paso final se llama construcción retorcida o bifold). La serie\nn=0(dimV\nn−1 es de hecho la función j menos el término constante 744.\nMiyamoto [40] tiene una nueva realización de V ® como una extensión de un tensor\npotencia del álgebra del operador de vértice de Virasoro con c = 1/2, L(1/2, 0)48\n(basado en Dong-Mason-Zhu [11]. Este tipo de extensión de un tensor Virasoro\nla energía se llama álgebra de operador de vértice enmarcada como en [10].\nHemos dado un operador homólogo algebraico de tal construcción\nen [31].\nRealizamos una red de celosía de sanguijuela de factores en S1 como una extensión de Vir1/2\nusando cierto código Z4. Entonces podemos realizar la construcción retorcida o bifold\nen el sentido algebraico del operador para obtener una red de factores, la red Moonshine\n¡Aaaaaaaaaa! La teoría de la α-inducción se utiliza para obtener varias descomposicións. Nosotros\nluego obtener una descripción tipo Miyamoto de esta construcción, como un operador\nhomólogo algebraico del operador de vértice enmarcado álgebras. Entonces tenemos\nlas siguientes propiedades.\n1. c = 24.\n2. La teoría de la representación es trivial.\n3. El grupo del automorfismo es el Monstruo.\n4. La propiedad Hauptmodul (como anteriormente).\nEl esquema de la prueba de estas cuatro propiedades es el siguiente.\nEs inmediato obtener c = 24. Podemos mostrar pases de completa racionalidad.\na una extensión (y un orbifold) en general con control sobre el tamaño de la\ncategoría de representación, utilizando el índice Jones. Con esto, obtenemos (2) muy\nCon facilidad. Tal red se llama holomórfica. La propiedad (3) es la más difícil\nparte. Para el Virasoro VOA L(1/2, 0), el operador de vértice es de hecho un bien-\nEl campo Wightman y los campos manchados producen la red Virasoro Vir1/2.\nUsando esta propiedad y el hecho de que\ng g(L(1/2, 0)\n48) para todos los g de Aut(V)\ngenerar toda la luz de luna VOA V, podemos probar que el automorfismo\ngrupo como un álgebra operador de vértice y el grupo de automorfismo como una red\nDe hecho, los factores son los mismos. Entonces (4) es ahora un corolario trivial de la\nBorcherds teorema [4].\nObservamos que el monstruo bebé, el segundo más grande entre los 26 esporádicos\ngrupos finitos simples, se puede tratar de manera similar con la construcción de Höhn de la\nálgebra de operador de super vértice Moonshine más corta.\nSin embargo, estos ejemplos se tratan con varios trucos caso por caso. Nosotros\nespera una correspondencia bijetiva entre álgebras operadoras de vértice y redes\nde factores en S1 en algunas buenas condiciones. En el lado del operador de vértice\nálgebras, el candidato más natural para tal condición “agradable” es el C2-\ncondición de finitud de Zhu [56] (con unidad). En el operador algebraico\nlado, nuestra completa racionalidad en [32] parece ser una condición “buena”, pero\nlas relaciones reales entre las dos nociones no están claras en este momento.\nLa condición esencial para la racionalidad completa es la finitud de los Jones\níndice que surge de cuatro intervalos en el círculo, y esta finitud de alguna manera\ntiene similitud formal con la finitud que aparece en la definición de la C2-\nfinitud.\nAl final, enumeramos algunos problemas abiertos. El enfoque algebraico del operador\ntiene una ventaja en el control de la teoría de la representación, pero está detrás de la teoría\nde álgebras operador de vértice en la teoría de los caracteres.\nPara una red de factores, podemos naturalmente definir una noción de un carácter para\ncada representación. Pero incluso la convergencia de estos personajes no ha sido\nen general, y la propiedad de la invarianza modular, la contrapartida de\nEl resultado de Zhu [56], es desconocido, aunque ciertamente esperamos que sea cierto. Nosotros\ntambién se espera que la identidad Verlinde se mantiene, lo que se ha demostrado en el contexto\nde álgebras de operador de vértice recientemente por Huang [23]. Necesitaríamos un S-\nmatriz del teorema spin-statistics [21] para redes de factores.\nBibliografía\n[1] J. Böckenhauer, D. E. Evans, invariantes modulares, gráficos y α-\ninducción para redes de subfactores I, Commun. Matemáticas. Phys. 197 (1998)\n361–386. II 200 (1999) 57-103. III 205 (1999) 183–228.\n[2] J. Böckenhauer, D. E. Evans, Y. Kawahigashi, Sobre la inducción alfa, quiral\nproyectores e invariantes modulares para subfactores, Commun. Matemáticas. Phys.\n208 (1999) 429–487.\n[3] J. Böckenhauer, D. E. Evans, Y. Kawahigashi, estructura chiral del modus operandi\nLar invariantes para subfactores, Commun. Matemáticas. Phys. 210 (2000) 733–784.\n[4] R. E. Borcherds, Monstrous moonshine y monstruosos superálgebras de la Mentira,\nInventar. Matemáticas. 109 (1992) 405–444.\n[5] D. Buchholz, G. Mack, I. Todorov, El álgebra actual en el círculo como\nun germen de las teorías locales de campo, Nucl. Phys. B, Proc. Suppl. 5B (1988)\n20–56.\n[6] A. Cappelli, C. Itzykson, J.-B. y Zuber, la clasificación A-D-E de\nmínimo y A\n1 teorías invariantes conformes, Commun. Matemáticas. Phys.\n113 (1987) 1–26.\n[7] S. Carpi, Sobre la teoría de la representación de las redes Virasoro, Commun. Matemáticas.\nPhys. 244 (2004) 261–284. matemáticas.OA-0306425.\n[8] J. H. Conway, S. P. Norton, Monstrous moonshine, Bull. Matemática de Londres.\nSoc. 11 (1979) 308–339.\n[9] C. D’Antoni, R. Longo, F. Radulescu, Redes Conformales,\nperatura y modelos de probabilidad libre, J. Teoría del operador 45 (2001)\n195–208.\n[10] C. Dong, R. L. Griess Jr., G. Höhn, álgebras de operador de vértice enmarcado,\ncódigos y el módulo Moonshine, Commun. Matemáticas. Phys. 193 (1998)\n407–448.\n[11] C. Dong, G. Mason, Y. Zhu, Serie discreta del álgebra de Virasoro y\nEl módulo de luz de luna, Proc. Symp. Puro. Math., Amer. Matemáticas. Soc. 56\nII (1994) 295–316.\n[12] C. Dong, F. Xu, Redes formales asociadas a las celosías y sus orbes\nifolds, Adv. Matemáticas. 206 (2006) 279–306. matemáticas.OA/0411499.\n[13] S. Doblicher, R. Haag, J. E. Roberts, Observables locales y partículas\nestadísticas, I. Commun. Matemáticas. Phys. 23, 199-230 (1971); II. 35, 49-85\n(1974).\n[14] D. E. Evans, Y. Kawahigashi, “Simetrías cuantitativas del operador alge-\nbras”, Oxford University Press, 1998.\n[15] K. Fredenhagen, K.-H. Rehren, B. Schroer, Sectores de Superselección con\nálgebras de intercambio, I Commun. Matemáticas. Phys.\n125, 201 a 226 (1989), II Rev. Matemáticas. Phys. Número especial (1992) 113–\n[16] I. Frenkel, J. Lepowsky, A. Meurman, “álgebras y álgebras de operador de Vértex\nel monstruo”, Academic Press, 1988.\nhttp://arxiv.org/abs/math/0306425\nhttp://arxiv.org/abs/math/0411499\n[17] D. Friedan, Z. Qiu, S. Shenker, Detalles de la prueba de no unidad para\nrepresentaciones de peso más alto del álgebra de Virasoro, Commun. Matemáticas.\nPhys. 107 (1986) 535–542.\n[18] P. Goddard, A. Kent, D. Olive, Representaciones unitarias de los Virasoro\ny álgebras super-Virasoro, Commun. Matemáticas. Phys. 103 (1986) 105–\n[19] R. L. Griess Jr., el gigante amigo, Invent. Matemáticas. 69 (1982) 1-102.\n[20] D. Guido & R. Longo, Invarianza relativista y conjugación de la carga en\nTeoría cuántica del campo, Commun. Matemáticas. Phys. 148 (1992) 521-551.\n[21] D. Guido, R. Longo, The conformal spin and statistics teorem, Com-\nmun. Matemáticas. Phys. 181 (1996) 11–35.\n[22] R. Haag, “Local Quantum Physics”, 2nd ed., Springer, Berlín, Heidel-\nberg, Nueva York, 1996\n[23] Y.-Z. Huang, álgebras del operador de Vertex, la conjetura de Verlinde, y mod-\ncategorías de tensores, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 102 (2005) 5352–\n5356.\n[24] Y.-Z. Huang, A. Kirillov Jr., J. Lepowsky, categorías de tensores trenzados y\nextensiones de álgebras de operador de vértice, en preparación.\n[25] M. Izumi, H. Kosaki, En un análogo de subfactor de la segunda cohomología,\nRev. Matemáticas. Phys. 14 (2002) 733–757.\n[26] V. F. R. Jones, Índice de subfactores, Invent. Matemáticas. 72 (1983) 1–25.\n[27] V. Kac, “Álgebras Vértex para Principiantes”, Lect. Notas Serie 10, Amer.\nMatemáticas. Soc. Providence, RI, 1988.\n[28] Y. Kawahigashi, R. Longo, Clasificación de las redes conformales locales. Caso\nc < 1, Ann. de Matemáticas. 160 (2004), 493–522. matemáticas-ph/0201015.\n[29] Y. Kawahigashi, R. Longo, Clasificación de dos dimensiones locales\nredes formales con desaparición c < 1 y 2-cohomología para las categorías de tensores,\nComun. Matemáticas. Phys. 244 (2004) 63–97. matemáticas-ph/0304022.\nhttp://arxiv.org/abs/math-ph/0201015\nhttp://arxiv.org/abs/math-ph/0304022\n[30] Y. Kawahigashi, R. Longo, Invariantes espectrales no conmutativas y\nEntropía del agujero negro, Commun. Matemáticas. Phys. 257 (2005) 193-225.\nmatemáticas-ph/0405037.\n[31] Y. Kawahigashi, R. Longo, Redes de conformación locales\nálgebras de operador de vértice enmarcadas, Adv. Matemáticas. 206 (2006) 729–751.\nmatemáticas.OA/0407263.\n[32] Y. Kawahigashi, R. Longo, M. Müger, subfactores multiintervalos y\nmodularidad de las representaciones en la teoría de campo conformal, Commun. Matemáticas.\nPhys. 219 (2001) 631–669.\n[33] Y. Kawahigashi, R. Longo, U. Pennig, K.-H. Rehren, La clasificación\nde CFT chiral no local con c < 1, Commun. Matemáticas. Phys. 271 (2007)\n375–385. matemáticas.OA/0505130.\n[34] A. Kirillov Jr., V. Ostrik, En q-analog de la correspondencia McKay y\nClasificación ADE de las teorías de campo conformal sl(2), Adv. Matemáticas. 171\n(2002) 183–227.\n[35] R. Longo, Índice de subfactores y estadísticas de los campos cuánticos I-II, Com-\nmun. Matemáticas. Phys. 126 (1989) 217–247 y 130 (1990) 285–309.\n[36] R. Longo, Una dualidad para álgebras Hopf y para subfactores, Commun.\nMatemáticas. Phys. 159 (1994) 133–150.\n[37] R. Longo, K.-H. Rehren, Nets of subfactors, Rev. Matemáticas. Phys. 7 (1995)\n567-597.\n[38] R. Longo, K.-H. Rehren, Campos locales en la frontera CFT, Rev. Matemáticas. Phys.\n16 (2004) 909–960.\n[39] R. Longo, F. Xu, Sectores topológicos y una dicotomía en el campo conformal\nteoría, Commun. Matemáticas. Phys. 251 (2004) 321-364. matemáticas.OA-0309366.\n[40] M. Miyamoto, Una nueva construcción del operador de vértice de luz de luna\nálgebra sobre el campo de números reales, Ann. de Matemáticas. 159 (2004) 535–596.\n[41] A. Ocneanu, grupo cuántico, álgebras de cuerdas y teoría de Galois para alge-\nsujetadores, en álgebras de operador y aplicaciones, Vol. 2 (Warwick, 1987), (ed.\nD. E. Evans y M. Takesaki), Conferencia de la Sociedad Matemática de Londres\nNote Series 36, Cambridge University Press, Cambridge, 1988, 119–172.\nhttp://arxiv.org/abs/math-ph/0405037\nhttp://arxiv.org/abs/math/0407263\nhttp://arxiv.org/abs/math/0505130\nhttp://arxiv.org/abs/math/0309366\n[42] A. Ocneanu, Caminos en diagramas de Coxeter: de sólidos platónicos y singu-\nLaridades a modelos mínimos y subfactores, (Notas grabadas por S. Goto),\nen Lectures on operator teory, (ed. B. V. Rajarama Bhat y otros), el\nFields Institute Monographs, AMS Publications, 2000, 243-323.\n[43] S. Popa, “Clasificación de los subfactores y de sus endomorfismos”,\nCBMS Regional Conference Series, Amer. Matemáticas. Soc. 86 (1995).\n[44] K.-H. Rehren, las estadísticas del grupo Braid y sus reglas de superselección, en\n“La Teoría Algebraica de los Sectores de Superselección”, D. Kastler ed., World\nCientífico 1990, 333-355.\n[45] V. G. Turaev, “Quantum invariants of nuds and 3-manifolds”, Walter\nde Gruyter, Berlín-Nueva York, 1994.\n[46] M. Takesaki, “Theory of Operator Algebras”, vol. I, II, III, Springer\nEnciclopedia de Ciencias Matemáticas 124 (2002), 125, 127 (2003).\n[47] A. Wassermann, álgebras de operador y teoría de campo conformal III: Fusión\nde las representaciones energéticas positivas de SU(N) utilizando operadores limitados,\nInventar. Matemáticas. 133 (1998) 467–538.\n[48] F. Xu, Nuevos endomorfismos trenzados de inclusiones conformales, Com-\nmun. Matemáticas. Phys. 192 (1998) 347–403.\n[49] F. Xu, Jones-Wassermann subfactores para intervalos desconectados, Com-\nmun. Contemporaneo. Matemáticas. 2 (2000) 307–347.\n[50] F. Xu, Teorías de campo conformal del coseno algebraico I, Commun. Matemáticas. Phys.\n211 (2000) 1–44.\n[51] F. Xu, Algebraic coset conformal field teorys II, Publ. RIMS, Kyoto\nUniv. 35 (1999) 795–824.\n[52] F. Xu, Teorías de campo conformal obifold algebraica, Proc. Nat. Acad. Sci.\nU.S.A. 97 (2000) 14069–14073.\n[53] F. Xu, Fuerte aditividad y redes conformales, Pac. J. Matemáticas. 221 (2005)\n167–199. matemáticas.QA-0303266.\n[54] F. Xu, 3-manifolds invariants from cossets, J. Teoría del nudo Ramif. 14\n(2005) 21–90.\nhttp://arxiv.org/abs/math/0303266\n[55] F. Xu, Extensiones de espejo de redes locales, Commun. Matemáticas. Phys. 270 (2007)\n835-847. matemáticas.QA/0505367.\n[56] Y. Zhu, Invarianza modular de caracteres de álgebras operadoras de vértices, J.\nAmer. Matemáticas. Soc. 9 (1996) 237–302.\nhttp://arxiv.org/abs/math/0505367\n\tIntroducción\n\tTeoría Cuántica Conformal de Campo\n\tTeoría de la representación\n\tTeoría de la Clasificación\n\tConjetura de la luz de la luna\n"}}},{"rowIdx":91,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0098,"string":"704.0098"},"title":{"kind":"string","value":"Sparsely-spread CDMA - a statistical mechanics based analysis"},"full_text":{"kind":"string","value":"CDMA escasamente difundida - una mecánica estadística\nAnálisis basado\nJack Raymond y David Saad\nGrupo de Investigación de Computación Neural, Universidad de Aston, Triángulo de Aston, Birmingham,\nB4 7EJ\nCorreo electrónico: jack.raymond@physics.org\nResumen.\nAcceso Múltiple a la División de Códigos Sparse (CDMA), una variación de la CDMA estándar\nmétodo en el que la matriz de propagación (firma) contiene sólo un número relativamente pequeño\nde elementos distintos de cero, se presenta y analiza utilizando métodos de física estadística. Los\nanálisis proporciona resultados sobre el rendimiento de la decodificación de máxima probabilidad para la escasa\nla difusión de códigos en el gran límite del sistema. Presentamos resultados para ambos casos de\ny matrices de propagación irregular para el aditivo binario blanco canal de ruido gaussiano\n(BIAWGN) con una comparación con el código canónico (denso) de propagación aleatoria.\nNúmeros PACS: 64.60.Cn, 75.10.Nr, 84.40.Ua, 89.70.+c\nNúmeros del esquema de clasificación AMS: 68P30,82B44,94A12,94A14\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0098v5\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 2\n1. Antecedentes\nEl área de las comunicaciones multiusuario es de gran interés tanto teórico como\nperspectivas de ingeniería [1]. El acceso múltiple de la división de código (CDMA) es un particular\nmétodo para permitir que múltiples usuarios accedan a los recursos de canal en un entorno eficiente y robusto\ny desempeña un papel importante en las actuales normas preferidas para la asignación de\nrecursos de canales en comunicaciones inalámbricas. CDMA utiliza recursos de canal altamente\npermitiendo a muchos usuarios transmitir en gran parte del ancho de banda simultáneamente,\ncada transmisión está codificada con un código de firma específico del usuario. Desentrañando el\ninformación en el canal es posible mediante el uso de las propiedades de estos códigos y gran parte de\nla investigación de CDMA se centra en el desarrollo de códigos y métodos de decodificación eficientes.\nEn este trabajo se estudia una variante del método original, CDMA escasa, donde la\nmatriz de propagación contiene sólo un número relativamente pequeño de elementos distintos de cero como fue\noriginalmente estudiado y motivado en [2]. Mientras que la aplicación directa de la escasa\nLas técnicas CDMA para enlazar la comunicación de acceso múltiple son bastante limitadas, como lo es\ndifícil de sincronizar las escasas transmisiones de los distintos usuarios, el método puede ser\nmuy útil para la frecuencia y el salto del tiempo. En la división de código de frecuencia de salto múltiple\nacceso (FH-CDMA), uno cambia repetidamente frecuencias durante la transmisión de radio, a menudo\nreducir al mínimo la eficacia de la interceptación o interferencia de las telecomunicaciones. En\ncualquier paso dado del tiempo, cada usuario ocupa un pequeño (finito) número de la (infinito) M-ary\n(con la ganancia G, el número total de chip-\nlos pares de frecuencia es MG.) Los lúpulos entre las frecuencias disponibles pueden ser aleatorios o\npreplanificado y se produce después de la transmisión de datos en una banda de frecuencias estrechas. In\ntiempo (TH-)CDMA, una secuencia pseudo-ruido define el momento de transmisión para\nlos diversos usuarios, que pueden ser vistos como CDMA escaso cuando se utiliza en una banda ultraancha\nsistema de comunicación por impulso. En este caso las escasas secuencias de salto de tiempo reducen\ncolisiones entre transmisiones.\nEste estudio sigue el trabajo seminal de Tanaka [3], y otras extensiones recientes [4],\nen la utilización del análisis de réplicas para CDMA de distribución aleatoria con entradas discretas, que\nestableció muchas de las propiedades de CDMA aleatorias densamente difundidas con respecto a\nvarios detectores diferentes incluyendo Máximo A Posterori (MAP), Postero Marginal\nMaximizador (MPM) y mínimo promedio de error cuadrado (MMSE). CMDA escasamente difundida\nse diferencia de la CDMA convencional, basada en secuencias de propagación densa, en que cualquier\nusuario sólo transmite a un pequeño número de chips (en comparación con la transmisión en todos los chips\nen el caso de la CDMA densa). La escasa naturaleza de este modelo facilita el uso de métodos\nde la física estadística de los sistemas desordenados diluidos [5, 6] para el estudio de las propiedades de\ncasos típicos.\nLa viabilidad de la escasa CDMA para la transmisión de información fue recientemente\nse demuestra [2] para el caso de los símbolos de entrada reales (distribuidos por Gaussian) mediante el empleo de un\nAproximación media efectiva de Gaussian; varios resultados han sido reportados para el caso de\npatrones de transmisión aleatoria. En un estudio reciente separado, basado en la propagación de creencias\ninferencia algoritmo y una entrada binaria de distribución previa, escasa CDMA también ha sido\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 3\nconsiderada como una vía para demostrar los resultados de la CDMA densamente difundida [7]. Además, este\nestudio demostró la existencia de un fenómeno de cascada comparable al código denso\npara un subconjunto de conjuntos. El fenómeno de cascada se observa en técnicas de decodificación,\ndonde hay una transición dinámica entre dos soluciones estadísticamente distintas como la\nEl parámetro ruido es variado. Por último, tomamos nota de una serie de estudios pertinentes relativos a la\nla eficacia de la propagación de creencias como método de decodificación del MPM [8, 9, 10, 11], y en\ncombinar métodos de codificación escasa (LDPC) con CDMA [12]. Muchos de estos documentos\nSin embargo, considerar el régimen de dilución extrema - en el que el número de contribuciones de chips\nes grande pero no O(N).\nLa labor teórica relativa a la escasa difusión de la CDMA seguía careciendo de\nrespetos. Como se señaló en [2], la difusión de códigos con Poisson distribuido número de no-\nelementos cero, por chip y entre los usuarios, están fallando sistemáticamente en que cada usuario\ntiene alguna probabilidad de no contribuir a ningún chip (no transmitir información).\nIncluso en el código “parcialmente regular” [7] conjunto (donde cada usuario transmite en el mismo\nnúmero de chips) algunos chips no tienen contribuyentes debido a la distribución de Poisson en\nconectividad de chip, por lo tanto, el ancho de banda no se utiliza eficazmente. Eludimos.\nEste problema se debe a la introducción de limitaciones para impedirlo, a saber, la firma regular\ncódigos restringidos de tal manera que tanto el número de usuarios por chip y chips por usuario toman\nvalores enteros fijos. Además presentamos análisis analíticos y numéricos sin\nrecurrir a aproximaciones gaussianas de cualquier cantidad. Uso de nuevas herramientas de estadística\nmecánica somos capaces de arrojar mayor luz sobre la naturaleza de la transmisión binaria previa\nproceso. En particular, la naturaleza del espacio de decodificación del estado y el rendimiento relativo de la escasa\nensambles versus densos a través de una gama de niveles de ruido; y lo que es más importante, la pregunta\nde cómo la coexistencia de las soluciones encontradas por Tanaka [3] se extiende a los conjuntos escasos,\nespecialmente cerca de los puntos de transición determinados para el conjunto denso.\nEn este artículo demostramos la superioridad del código CDMA regular escasamente difundido\nsobre códigos densamente extendidos en ciertos aspectos, por ejemplo, la tasa de error de bits prevista\nla decodificación mejora en el régimen de ruido elevado y la coexistencia de la solución\nEl comportamiento es menos generalizado. Además, para utilizar la propagación de creencias para tal conjunto\nes seguro que será significativamente más rápido y menos computacionalmente exigente [13], esto también ha\nimplicaciones de consumo de energía que pueden ser importantes en algunas aplicaciones. Otros\ncuestiones prácticas de aplicación, siendo la más básica la no sincronización y el poder\ncontrol, requiere un estudio detallado y puede hacer que aprovechar plenamente estas ventajas más\ncomplejo y dependiente de la aplicación.\nEl documento está organizado de la siguiente manera: En la sección 2 introduciremos el marco general\ny notación utilizada, mientras que la metodología utilizada para los diversos códigos se presentará en\nsección 3. Los principales resultados de los diversos códigos se presentarán en la sección 4 siguiente\npor las observaciones finales que figuran en la sección 5.\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 4\ni b • j d\n1o de enero de 2002\n...........................................................................................................................................................\nyb yc yd yN\nGráfico 1 Un gráfico bipartito es útil para realizar visualmente un problema. Un nodo de usuario i en\nla parte inferior interactúa con otras variables a través de su conjunto de nodos de factor vecinos (\na la que se conecta. Los nodos de factor se determinan a través de un vecindario similar.\nLa interacción en cada factor (μ) está condicionada a factores de ganancia vecinos (la\ncomponentes no cero de s), y yμ (que es una función implícita del ruido, y\nbits de entrada vecinos bμ y factores de ganancia ), asumiendo un uniforme anterior en los bits.\nEl problema de reconstrucción de la mecánica estadística asocia variables dinámicas\nnodos de usuario que interactúan a través de los factores. El estado de equilibrio termodinámico de\nEste sistema describe el rendimiento teórico de los detectores óptimos.\n2. El modelo\nConsideramos un modelo estándar de CDMA consistente en usuarios K transmitiendo en un bit\nintervalo de chips N. Asumimos un modelo con perfecto control de potencia y sincronización,\ny considerar sólo el intervalo de un bit. En nuestro caso la señal recibida y es descrita por\n[skbk] + فارسى, (1)\ndonde los componentes del vector describen los valores para chips distintos: sk es la propagación\ncódigo para el usuario k, bk = ±1 es el bit enviado por el usuario k (símbolos de entrada binarios) y el ruido\nvector. La normalización adecuada de la potencia es a través de la definición de la firma\nmatriz (s). Es posible incluir una variación de amplitud específica del usuario o del chip, que puede\nser debido a la desaparición o el control imperfecto del poder. Consideramos un modelo sin estos efectos.\nLos códigos de propagación son escasos de modo que en la expectativa sólo C de los elementos en vector sk\nno son cero. Si, con el conocimiento de la matriz de firma en uso, asumimos que la señal tiene\nha sido objeto de ruido de canal gaussiano blanco aditivo de varianza \n0 es la\nvarianza del verdadero ruido del canal 2, podemos escribir el posterior para los bits transmitidos\n(desconocidos dada la instancia particular) usando el teorema de Bayes\nP ( y) =\n[sμk(bk − k)] + \nP ( ), (2)\ny a partir de esto definir tasa de error de bits, información mutua, y otras cantidades. Los\nMecánica estadística enfoque de aquí es definir un Hamiltoniano y la partición\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 5\nfunción a partir de la cual las diversas estadísticas relativas a esta distribución de probabilidad pueden\ndeterminar - y por lo tanto todas las medidas habituales de la teoría de la información. Una opción adecuada\npara el Hamiltoniano es\nH( ) =\n[sμk(bk − k)] + \nhklok. 3)\nAquí podemos identificar a las variables dinámicas en el problema de la inferencia (dependencia).\nse muestra explícitamente). Las otras variables apagadas (parámetros), describiendo la instancia de\nel trastorno, son la matriz de la firma (s), el ruido () y las entradas (b). Las variables\nhk describir nuestras creencias previas sobre las entradas (el sesgo específico del usuario), y podemos asumir\nalguna distribución simple para esto, como todos los usuarios que tienen el mismo sesgo hk = H. Máximo\ntransmisión de velocidad corresponde a bits no sesgados H = 0, y esto se considera a lo largo de\nel periódico. Las propiedades de tal sistema pueden reflejarse en un gráfico de factor (Tanner),\nun gráfico bipartito en el que los usuarios y los chips están representados por nodos (véase la figura 1).\nEl cálculo que realizamos es específico para el caso del límite termodinámico en\nque se fija el número de chips N → • mientras que la carga α = K/N. Tenga en cuenta que α es\nllamado β en muchos documentos CDMA, aquí reservamos β para significar la \"temperatura inversa\"\nen un sentido de mecánica estadística (que define nuestra creencia previa para el nivel de ruido y dar\nsubir al correspondiente detector MAP.)\nEn todos los conjuntos podemos identificar el parámetro L como el número medio de contribuciones\na cada chip, y C como el número medio de contribuciones por usuario. Como tal, lo siguiente:\ntambién mantiene\n. 4)\nEl caso en el que α es mayor que 1 se llamará sobresaturado, ya que más de uno\nbit se transmite por chip.\nLos cálculos presentados a partir de ahora son específicos para el caso del ruido sin memoria,\nextraídos de una distribución única de la media cero y la media cuadrada 20\n* () = P ( ). 5)\nDefinir códigos normalizados de propagación de forma que:\nsk.sk = N, podemos identificar el “poder\nDensidad espectral” (PSD) a lo largo de un intervalo de virutas como medida del ruido del sistema 1/(2\nel factor dos está relacionado con consideraciones físicas en la implementación del modelo.\n2.1. Conjuntos de código\nConsideramos varios conjuntos de código que llamamos irregulares, en parte regulares y regulares, que\ndifieren en las limitaciones impuestas al factor y al grado variable de las restricciones de la firma\nmatriz s. La distribución de probabilidad\nP (s) = N\n(sμk 6= 0)− L\nP (L)\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 6\n(sμk 6= 0)− C\nP (C)\nP (sμk), (6)\ndonde N es una constante de normalización, P (L) es la distribución de probabilidad de grado factorial de\npromedio L, P (C) es la distribución de probabilidad de grado variable de la media C, y P (sμk) es la\ndistribución de probabilidad marginal que es común a todos los conjuntos\nP (sμk) =\n(sμk) +\n*(sμk − •). 7)..................................................................................................................................................\nLa forma de (6) es entonces suficiente para las distribuciones escasas que consideramos en el sistema grande\nlimitar, y hace explícitas las propiedades de conectividad del chip y del usuario de los conjuntos. Los\nfactor de ganancia, se extrae al azar de una sola distribución con la medida cero en = 0,\ny momentos finitos, en cualquier caso de un código\n(+) = P (sμk = sμk 6= 0). (8)\nA diferencia del caso denso, los detalles de esta distribución producirán resultados, pero sólo en un pequeño\nforma de tomar decisiones razonables [2]. Aquí investigamos el caso de la tecla de cambio de fase binaria\n(BPSK) que corresponde a una distribución uniforme en\n}, aunque el análisis\nlos resultados presentados son aplicables a cualquier distribución del cuadrado medio = 1/L. Tenga en cuenta que\ntrastorno en los factores de ganancia no es una necesidad, el caso • = 1/\nL también permite la decodificación en\nConjuntos escasos.\nEl caso en el que P (Lu) y P (Cu) se distribuyen Poissonian identifica la irregularidad\nconjunto - donde las conexiones entre chips y usuarios se distribuyen de forma independiente.\nLa segunda distribución llamada en parte regular tiene P (C\nconectividad es de nuevo Poisson distribuido con media L, pero cada usuario contribuye a exactamente\nPatatas C. Esto evita el fracaso sistemático inherente al conjunto irregular ya que\nallí un gran número de usuarios no transmiten en ningún chip. Si además de\nla restricción antes mencionada todos los chips reciben exactamente L contribuciones, P (L\nel conjunto se llama regular. La conectividad regular del chip entre otras cosas impide\nla ineficiencia sistemática debido a la falta de acceso de algunos chips por parte de cualquiera de los usuarios.\nEl caso de las distribuciones poissonianas es aquel en el que no hay control global. In\nmuchas aplicaciones de ingeniería que limitan a los usuarios individualmente (no Poissonian P (C\npráctica, mientras que la coordinación entre los usuarios (no Poissonian P (Lū)) es difícil. Los\nlos aspectos prácticos de la aplicación de los diferentes conjuntos que consideramos específicos de la aplicación:\nlas ventajas inherentes a la distribución más equitativa de los recursos de los canales entre los usuarios pueden\nse pierdan a causa de problemas prácticos de implentación.\n3. Metodología\n3.1. Eficiencia espectral Acoplamiento inferior\nLa inferioridad de los códigos con conectividad de usuario Poissonian se ha señalado previamente\n(por ejemplo, en [2]), sobre la base del entendimiento de que los códigos que dejan a una parte de los usuarios\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 7\ndesconectado no puede ser óptimo. Analógicamente argumentamos que los códigos con chip irregular\nconectividad también debe ser inferior en que dejan una fracción de los chips (ancho de banda)\nno se utiliza, lo que constituye una motivación para considerar códigos plenamente regulares.\nEn esta sección mostramos un caso particular en el que se esperan los códigos regulares\npara superar cualquier otro conjunto mediante el análisis de la cantidad de información que puede ser\nextraído en los bits enviados por consideración de sólo un chip en aislamiento de los otros chips.\nEsto corresponde a un detector que reconstruye bits basados sólo en el valor de un solo chip,\ny es independiente de la conectividad del usuario.\nLa eficiencia espectral se define como la información mutua entre el\nseñal y piezas reconstruidas por chip. Al considerar sólo un chip (μ) tenemos\nI( ; yμ) =\nP ( yμ)\nP ( )\nP0(,yμ)\n, (9)\ndonde el subíndice cero indica que el verdadero (generativo), en lugar del modelo (2),\ndistribución de probabilidad. Para la brevedad consideramos el caso más simple que el generativo\ny las distribuciones de probabilidad del modelo son las mismas con bits imparciales y un ruido gaussiano\ndistribución, en cuyo caso, después de algún reordenamiento\nI( ; yμ) = L\nexp(−Hμ( μ))\n μ exp(−Hμ( μ))\nP0( μ,yμ)\n, (10)\ndonde los bits conectados a los chips μ y el chip Hamiltonian es\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n, (11)\netiquetado de cada componente interactuante (no cero) en el chip por i, siendo L贸 el chip\nconectividad.\nTrabajando a partir de esta descripción queremos comparar el rendimiento de los conjuntos\ncon diferentes conexiones de chip. Para hacer esto consideramos el conjunto medio mutuo\ninformación promediando la información mutua sobre las connectividades (L), los factores de carga,\ny los bits transmitidos. Este promedio es complicado, sin embargo es posible calcular el\nlos términos dominantes en los límites bajos y altos de la PSD.\nEn el caso de bajo ruido (PSD → فارسى) encontramos los términos asintóticamente dominantes\nvienen primero del numerador\n•log2 exp−H(• μ) •\n/ log(2) =\n2 log(2)\n, (12)\nque es un promedio sobre la energía del estado del suelo, y también el logaritmo del denominador\nque es\nexp−H( μ)\n(bi) (bi) (i)\n, (13)\ndonde yμ se ha descompuesto en sus partes de bit ({bi}) y ruido (), y los promedios son:\nahora sobre los conjuntos, así como yμ. La primera parte de (13) aporta una contribución energética\ncancelación (12). Llamamos a la parte restante el promedio sobre la entropía del chip, por\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 8\ncomparación con (10) esto determina la cantidad de información perdida en la decodificación. Los\ntérmino de la entropía del chip contiene una función indicadora contando los estados del suelo - el promedio\nla entropía de los chips es cero cuando la única solución es μ = bμ. Sin embargo, para el caso de BPSK\npuede haber alguna degeneración en los estados de base con dos términos en la suma que no es cero\npero cancelándose el uno al otro. Esta degeneración depende de la distribución P (L\npara L dado. Average sobre los factores de carga y los bits transmitidos encontramos que en el cero\nlímite de ruido\nI(, yμ)\n(bi) (bi) (i)\nP (L)\n, (14)\nmin(p,Lp)\nL p\nP (L)\n. (15)\nPor evaluación numérica de esta función (ver resultados sección 4.2) encontramos que el óptimo\nconjunto es de hecho el conjunto regular. Esto se debe a la entropía de chip, cuando se promedia sobre\nfactores de carga y bits es una función cóncava en L\ncuando P (L\n. Esta dependencia de Lū puede ser una peculiaridad del detector considerado,\npero muchos otros aspectos del cálculo pueden generalizarse para dar un resultado similar.\nEs posible considerar el límite opuesto Encontramos que\nlos cuatro órdenes principales en 1/0 eran idénticos para todos los conjuntos de código del mismo chip medio\nconectividad. Anticiparíamos el comportamiento de la PSD no extrema para caer en alguna parte\nentre estos dos regímenes y, por lo tanto, para que el conjunto regular chip sea al menos tan bueno como\nlos conjuntos irregulares de chip.\nObservamos aquí que otra razón para considerar el código regular óptimo entre\npocos códigos aleatorios es considerar el término de campo cuando el Hamiltoniano (11) está escrito\nen forma canónica con un conjunto de acoplamientos ({Jójij) y campos externos específicos del usuario ({hi}).\nEn esta representación el conjunto de campos externos están en la expectativa alineados con el enviado\nsecuencia de bits, pero sujeto a fluctuaciones para cada instancia de código. La diferencia de estos factores\npuede demostrarse que las fluctuaciones son proporcionales al exceso de conectividad del chip sobre el\nconectividad verdadera del chip [14], que entre todos los conjuntos es minimizada por el chip regular\nEnsamblaje. La interferencia multiusuario es mayor en códigos irregulares y, por lo tanto, en información\nla recuperación es más débil como se predice en esta sección.†\n3.2. Esquema del método de réplica\nDeterminamos las propiedades estáticas de nuestro modelo definidas en la sección 2, incluyendo correlaciones\nDebido a la estructura de interacción completa, utilizamos el método de réplica. De la expresión de\nel Hamiltoniano (3) podemos identificar una función de energía libre y partición como:\nf = − 1\nlnZ Z = exp (H( ).\n† Este argumento se añade desde la versión publicada.\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 9\nPara progresar hacemos uso de las propiedades de auto-aprovechamiento previstas del sistema.\nLa suposición es que en el sistema grande limitar cualquier dos instancias seleccionadas al azar\ntendrá, con alta probabilidad, propiedades estadísticas indistinguibles. Esta suposición\ntiene una base firme en varios problemas relacionados [15], y además es intuitivo después de\nUn poco de reflexión. Si esta suposición es verdadera, entonces los estatistas de cualquier instancia en particular pueden\nser descrito completamente por la energía libre promediada en todos los casos del trastorno. Nosotros\npor lo tanto, están interesados en la cantidad\nF = F = − lim\nlnZI, (16)\ndonde los corchetes en ángulo representan las medias ponderadas sobre I (las instancias). Los\nla densidad de entropía puede calcularse a partir de la densidad de energía libre mediante el uso de la relación\ns = β(e− f), (17)\ndonde e es la densidad de energía.\nPara determinar la energía libre debemos promedio sobre el desorden en (16), que es un difícil\nproblema, excepto en casos especiales. Esta es la razón por la que hacemos uso de la identidad de réplica\nlnZI = lim\n\"Zn'I\". (18)\nPodemos modelar el sistema ahora como uno de réplicas que interactúan, donde Zn está descompuesto como un\nproducto de un número entero de funciones de partición con condicionalmente independiente (dado\nla instancia del trastorno) variables dinámicas. La discreción de las réplicas es esencial\nen la primera parte del cálculo, pero se requiere una continuación de los números reales\nen la toma de n → 0+ – esta es una suposición notoria, que las matemáticas rigurosas no pueden\nSin embargo, justificar el caso general, a pesar de los progresos realizados en los últimos años [16, 17, 18].\nSin embargo, asumiremos la validez y ya que la metodología para las estructuras escasas es\nbien establecidos [19, 20, 15] omitimos nuestros detalles particulares. La forma funcional final para\nla energía libre se determina de\n# Zn # # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # # Zn # # # # Zn # # # Zn # # # # # Zn # # # # # # Z n # # # # # Zn # # # # Zn # # # # Z n # # # # # Z n # # # # # # # # Z n # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \ndP (b)dP(b)\nexp{lnN +N(G1(n) +G2(n) +G3(n))} ; (19a)\nG1(n) = ln\n2α/2\nP (b)\n(b− )\nP (L)\n; (19b)\nG2(n) =\nP (b)(b)(f)(f)(c)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(c)(f)(f)()(f)(f)(f)(f)(f)(f)()(f)(f)(f)(f)()(f)()(f)()(f)(c)()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()())()()()()()())()))))()()()()()()()()())()()()()()()()()()())()()()())()()()()))()()())))()()()()()))()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()\nG3(n) = α ln\n(−L)C\n(b, )\nP (C)\nP0(b)\n; (19d)\ndonde N es una constante debido a la normalización de los conjuntos (6). Esta expresión puede ser\nevaluado en el punto de silla de montar para dar una expresión para la energía libre. En el término (19d)\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 10\nse contabilizan los casos en que la distribución de probabilidad marginalizada P0(b) y\nLa distribución de probabilidad marginal supuesta (descrita por H) es asimétrica. En el caso\nde la tasa máxima que vamos a considerar, el promedio b es trivial y H = 0. Suministrado\nque además la distribución del factor de ganancia es simétrica entonces es posible eliminar\nla dependencia b en los parámetros de orden, ya que la simetría P (b,) = P (−b,) y\nLa energía libre deja invariante a la energía libre.\n3.3. Ecuaciones simétricas réplica\nLa forma concisa para nuestras ecuaciones se logra usando la suposición de réplica de simetría\n(RS). Esto equivale a la suposición de que las correlaciones entre réplicas son todas\nidéntico, y determinado por una distribución compartida única. La validez de esta suposición\npuede ser autoensayado consistentemente (sección 3.5). Esta hipótesis difiere de la utilizada\npor Yoshida y Tanaka [2] donde las correlaciones son descritas por sólo un puñado de\nparámetros en lugar de una distribución una vez que se asume RS - este enfoque puede, por lo tanto\nfalta algo de la estructura detallada, aunque es más fácil de manejar numéricamente. La orden\nparámetro en nuestro caso es dado por\nP (b, ) =\ndη(x)\n(1 + bx)\n; (20a)\n(b, ) = qâ °\nd(x)\n(1 + bx) ; (20b)\ndonde q es una constante de normalización variacional y γ, son distribuciones normalizadas en\nel intervalo [−1, 1]. A partir de aquí podemos considerar el caso en el que las variables de bits\nLos factores de ganancia y ganancia se miden a b ( > b → • • • • • b → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • \nUtilizando el método de Laplace, esto da la siguiente expresión para la (RS) energía libre\nen el punto de silla de montar\nFRS = −\nExtrη,bη\nG1,RS(L)(n) + G2,RS(n) + G3,RS(C)(n)\ndonde\nG1,RS(n)\n= − Ln 2\n[dl(xl)]\nln Trl=±1L\n* (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) () (l) () (l) () (l) () () (l) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()\nP (L)\n; (22a)\nχL(*;,, {x}) = exp\n(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)-)(-)-)(-)\n(1 + Łlxl) ; (22b)\nG2,RS(n) = − L\ndη(xc)d(xÃ3c) ln(1 + xxÃ3c) ; (22c)\nG3,RS(n) = α\n[d(xÃ3c)] ln\n(1 + x+c) +\n(1 a x + c)\nP (C)\n. (22d)\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 11\ny se ha introducido el valor del punto de sillín para (= L). Los promedios son superiores a los de L° y C°\nencapsular las diferencias entre los conjuntos.\nEcuación (22b) describe la interacción en un solo chip en el gráfico de factores (figura 1)\nde conectividad L. Los factores de ganancia y reconstruidos son el parámetro â € € TM y la variable â € € TM\nbits respectivamente, ambos medidos en el bit transmitido, mientras que • es la instancia del chip\nruido.\nLas distribuciones variacionales del orden, son elegidas para extremizar (21). El yo\nLas ecuaciones consistentes alcanzadas por el método del punto de sillín son:\n(x) =\n[dl(xl)]\nTrl=±1}\nTrl=±1} L\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \nP (L)\n(23a)\n{L} = exp = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =\n(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)-)(-)-)(-)\n(1 + Łlxl) (23b)\nη(x) =\n[d(xc)]\nc=1(1 + x+c)−\nc=1(1− x+c)\nc=1(1 + x+c) +\nc=1(1− x+c)\nP (C)\n. (23 c)\nLas variables P (Lū) y P (Cū) son aquí las distribuciones excesivas de los grados de la\nconjunto (6). Para conjuntos con restricciones regulares el chip y los excesos del usuario son L − 1\ny C − 1 respectivamente. Para las distribuciones de Poissonian la distribución de exceso de grado es la\ndistribución completa de los títulos.\nAparte de la entropía, las demás cantidades de interés podrán determinarse a partir del\ndistribución de probabilidad para el solapamiento de variables reconstruidas y enviadas mk = k,\nP (m) = lim\n*Mk,m*\n, (24)\n[d(xc)]\nc=1(1 + x+c)−\nc=1(1− x+c)\nc=1(1 + x+c)+\nc=1(1− x+c)\nP (C)\n. (25)\nFinalmente observamos que expresiones equivalentes a estas encontradas con la suposición de RS\npuede obtenerse utilizando el método de cavidad [6] con la asunción de un único estado puro.\nEste enfoque es probabilístico y por lo tanto más intuitivo en algunos niveles.\n3.4. Dinámica de la población\nEl análisis de estas ecuaciones está limitado principalmente por la naturaleza de las ecuaciones (23a-\n23c). No hay soluciones exactas aparentes, y los regímenes perturbadores sobre el ferromagnético\nsolución (que es sólo una solución para el ruido cero) son difíciles de manejar. En consecuencia\nUtilizamos dinámica de población [21] – representando las distribuciones (x), (x)} por finito\npoblaciones (histogramas) e iterar esta distribución hasta la convergencia. Se espera,\ny observó, que cada histograma captura suficiente detalle para describir el continuo\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 12\nfunción y la dinámica (descrita a continuación) permiten la convergencia hacia una verdadera solución\ndistribución con sólo pequeñas correcciones debido a los efectos de tamaño finito.\nResolver las ecuaciones (23a,23c) con histogramas finitos de dinámica poblacional\nse utilizan magnetizaciones de cavidades no dirigidas M. Histogramas aproximándose\ncada función se forma\nη(x) → W = {x1,. .., xi,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\nη(xá) → = {xá1,. ................................................................. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\ncon M lo suficientemente grande como para proporcionar una buena resolución en las medidas de rendimiento deseadas.\nLa dinámica de minimización discreta de los histogramas se deriva de (23a-23c).\nLas actualizaciones del histograma se realizan alternativamente, con toda la magnetización en el histograma\nque se actualicen secuencialmente. En la actualización del campo xa los parámetros apagados {L.,..................................................................................................................\nse muestrean, siendo Ls el grado de exceso de chip, y las magnetizaciones de Ls se eligen al azar\ndesde W, definiendo hasta (23a) la actualización\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nTrl = ± 1 {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L}\nTrl=±1} L\n. (28)\nLa actualización del otro histograma sigue la dinámica en la que se muestra C\nel exceso de grado del usuario, junto con las magnetizaciones seleccionadas al azar de C\na través de (23c) la actualización\nc=1(1 + x+c)−\nc=1(1− x+c)\nc=1(1 + x+c) +\nc=1(1− x+c)\n. 29)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nExiste una fuerte analogía entre el algoritmo de dinámica poblacional y el de\nmensaje pasando en una instancia particular del gráfico. La iteración de los histogramas\nimplícito en (28-29) es análogo a la propagación de una población de magnetizaciones de cavidades\nentre los nodos del factor (a) y del usuario (i), que pueden escribirse como ecuaciones autosistentes:\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nTrl=±1i exp\nlari\n(-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-)\nlari\n(1 + Łlxl→a) ; (30a)\nxi→a =\nCira\n(1 + x+c→i)−\nCira\n(1 - x-c→i)\n; (30b)\ndonde Nx,x® son las normalizaciones relevantes, y la abreviatura ♥y indica el conjunto\nde nodos conectados a y. En la dinámica de la población, la noción de un gráfico en particular\ncon bordes etiquetados está ausente sin embargo, y la única distribución de los dos tipos\nde magnetizaciones son relevantes.\n3.5. Análisis de estabilidad\nPara probar la estabilidad de las soluciones obtenidas consideramos tanto la aparición de\nEntropía no negativa, y un parámetro de estabilidad definido a través de una consideración de la\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 13\nfluctuación disipación teorema. El primer criterio para que la entropía no sea negativa es\n, basado en el hecho de que las soluciones físicamente viables en sistemas discretos deben tener no-\nEntropía negativa para que cualquier solución encontrada que no cumpla estos criterios se base en\nmalas premisas; réplica de simetría es una fuente probable.\nEl parámetro de estabilidad se define en relación con el método de la cavidad para el giro\ngafas [22] y prueba la estabilidad local de las soluciones. Es equivalente a la prueba de la local\nestabilidad de las ecuaciones de propagación de creencias como se propone en [23]. Una condición necesaria para\nla estabilidad de la solución de RS es que la sensibilidad correspondiente no diverge.\nEsta condición asegura que los campos no estén fuertemente correlacionados. La susceptibilidad del vidrio giratorio\ncuando se puede definir un promedio sobre las instancias\nOooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo\n, (31)\ndonde d es la distancia entre dos nodos en el gráfico factorial, el promedio interno denota\nla función de correlación conectada entre estos nodos, Xd describe el número típico\nde variables a distancia d, y el promedio externo es sobre las instancias del trastorno (auto-\npromedio de la parte). Esta cantidad no es divergente a condición de que:\n* = ln. = ln................................................................................................................................\nOooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo\nes negativo, ya que esto indica una disminución exponencial asympopticamente en los términos de (31)\ny, por lo tanto, la convergencia de la suma. En el límite termodinámico la correlación conectada\nfunción está dominada por un único camino directo que puede ser descompuesto como una cadena de local\nsusceptibilidades lineales\n# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\ni, j)\n♥xi→a\n* x • b → i\n* x • b → i\nxj→b\n, (33)\ndonde (i,j) indica el conjunto de variables en la ruta más corta entre los nodos 0 y d en una\nejemplo particular del gráfico (30a).\nEsta representación nos permite construir una estimación para basada numéricamente\nsobre principios similares a la dinámica de la población [24] – la dirección y la estructura fija\nimplícita en un problema particular se elimina con la suposición de auto-ahorrar dejando un\ndescripción funcional similar a (23a-23c), que puede ser iterada. Para aproximar\nel parámetro de estabilidad se introduce números positivos adicionales en la población\nhistogramas dinámicos (27b,27a), xi → {xi, vi} y xáa → {xáa, váa} respectivamente. Estos nuevos\nlos valores representan los tamaños relativos de las perturbaciones en cada magnetización, y se actualizan\nen paralelo a (28,29) como\n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ; = = = = = = = = = = = = = = = =\n, (34)\ny con asignaciones similares para la actualización de campo de W\n. (35)\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 14\nLos derivados parciales se calculan a partir de (28-29) y se evalúan en el\nvalores en la población muestreada. Si el punto fijo final es estable contra pequeño\nlas perturbaciones en el campo inicial entonces estos valores {v, v deben decaer exponencialmente en\npromedio. Renormalización de {vi} y {va} de tal manera que la media es 1 después de cada actualización es\nnecesario. La constante de renormalización numérica para cada rendimiento de población (dependiente)\nlas estimaciones de , que se pueden muestrear en un tiempo de convergencia adecuado (final de la {W, \nproceso de minimización).\nAl igual que la dinámica de la población, esperamos que el comportamiento sea sensible a la inicialización\ncondiciones y efectos de tamaño finito en algunas circunstancias. Además, la estimación requiere\nbuena resolución en los histogramas W y .\n4. Resultados\nLos resultados se presentan aquí para el caso canónico del teclado de cambio de fase binario (BPSK)\ndonde {1,−1} {1,} con la misma probabilidad. Además, asumimos un modelo del GTEN para\nel verdadero ruido فارسى (de varianza 20). Para fines de evaluación asumimos el ruido del canal\nnivel se conoce con precisión, de modo que β = 1, empleando la temperatura de Nishimori [5]. Esto\ngarantiza que la solución RS es termodinámicamente dominante. Además, la energía\ntoma un valor constante a la temperatura de Nishimori y por lo tanto la entropía es afín a\nla energía libre. Donde de interés trazamos las estadísticas comparables para el Usuario Único\nCanal gaussiano (SUG), y el conjunto densamente extendido, cada uno con detectores MPM –\nequivalente a la máxima probabilidad para los bits individuales.\nPara la dinámica de la población se inicializan dos poblaciones paralelas (27a,27b)\nuniformemente al azar, o en estado ferromagnético. Estas dos poblaciones son conocidas\npara converger hacia la solución única, donde existe, desde direcciones opuestas, y\npor lo que podemos utilizar su convergencia como un criterio para detener el algoritmo y pruebas para el\naparición de múltiples soluciones. En el caso de que converjan en diferentes soluciones\nGeneralmente podemos identificar la solución convergente desde el estado inicial ferromagnético como\nuna buena solución - en el sentido de que reconstruye bien, y que llegó de azar\nestado inicial como una mala solución. En el algoritmo de propagación de creencias equivalente uno no puede\nelegir condiciones iniciales equivalentes a ferromagnética – sabiendo la solución exacta\nPor supuesto, hace que la decodificación sea redundante. Por lo tanto, esperamos las propiedades de los malos\nsolución para ser los realizables por la propagación de la creencia (aunque los algoritmos inteligentes pueden ser\ncapaz de escapar a la buena solución en algunas circunstancias). Las variables de estabilidad\n{v, v fueron inicializados independientemente cada uno como el cuadrado de un valor extraído de un gaussian\ndistribución – y las pruebas indicaron que otras distribuciones razonables produjeron resultados similares.\nLos recursos informáticos limitan los casos estudiados en detalle a una División del Sector Privado intermedia\nrégimen, y pequeño L. En particular, el problema en PSD bajo, es el ruido gaussiano\npromedio, que es poco estimado, mientras que en alta PSD la mayoría del histograma es\nconcentrados en magnetizaciones x, x+ 1 que no permitan una resolución suficiente en el resto de\nel histograma.\nVarias medidas diferentes se calculan a partir del parámetro orden convergente,\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 15\nque indique el rendimiento de la CDMA escasamente difundida. Usando los histogramas convergentes\npara los campos somos capaces de determinar las siguientes cantidades: energía libre, energía y\nhistograma para la distribución de probabilidad, a partir de discreciones de los previamente presentados\necuaciones (23a-23c). Usando la distribución de probabilidad también somos capaces de aproximar\nla tasa de error de bit de decodificación\ndP (m)\n1− signo(m)\n; (36)\nEficiencia de los usuarios múltiples\nMuE =\nerfc−1(Pb)\n; (37)\ne información mutua entre los bits enviados y reconstruidos por chip, I(b; )/N (tomando\nuna forma factorizada dada la hipótesis de RS)\nIM = α\ndP (m)\n1 + m\n1 + m\n. 38)\nLa eficiencia espectral es la capacidad I( ;y) por chip, que es afín a la entropía (y\nla energía libre a la temperatura de Nishimori)\n............................................................................... (39)\nSe puede identificar la entropía negativa cuando la eficiencia espectral medida supera la carga,\ny los puntos de transición termodinámica corresponden a puntos de eficiencia espectral coincidente.\nFigura 2‡ muestra algunas propiedades generales del conjunto regular en el que el\nLas conexiones de grado variable y factor son C : L = 3 : 3, respectivamente. Ecuaciones (23a-\n23c) fueron iterados utilizando la dinámica de la población y se calcularon las propiedades relevantes\nutilizando las soluciones obtenidas; los datos presentados se promedian en más de 100 ejecuciones y barras de error,\nque son típicamente pequeños, se omiten para la brevedad. La figura 2 a) muestra la tasa de error de bits\nen los códigos regular y Poissonian, el conjunto se centra en la gama donde la escasa-regular\ny casos densos cruzados. Los escasos códigos muestran tendencias similares al caso denso\nsalvo el código irregular, que presenta un rendimiento más débil en general y, en particular, en\nPSD alto. Las tendencias detalladas pueden verse en la figura 2(b) que muestra la eficiencia multiusuario.\nCódigos con conectividad de usuario regular muestran un rendimiento superior con respecto a la densa\ncaso en PSD bajo. En el gráfico 2 c) se observan tendencias similares en la eficiencia espectral y en la\ninformación (mostrada en el conjunto); el efecto del componente desconectado (usuario) es claro\nen el hecho de que el código irregular no alcanza la capacidad a niveles de ruido elevados. En general\nparece que la distribución de la conectividad del chip no es crítica para cambiar las tendencias presentes,\na diferencia de la distribución de conectividad del usuario. Se encontró en estos casos (y todos los casos con\nsoluciones únicas para el PSD dado), que el algoritmo convergía a la entropía no negativa\nvalores y a una medida de estabilidad fluctuando alrededor de un valor inferior a 0, como se muestra en\nFigura 2 d). Estos puntos indicarían la idoneidad de la hipótesis de la RS.\n‡ Esta cifra ha sido modificada de la versión publicada, la diferencia es que el chip Poissonian\nLos códigos de conectividad tienen en todas partes un rendimiento más débil que el conjunto de código regular denso y escaso.\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 16\nEl rendimiento de códigos densos por conjuntos escasos con conectividad de usuario regular\nen el régimen PSD bajo es nuevo a nuestro conocimiento, aunque la conectividad de chip Poissonian\nes en todas partes inferior tanto a los códigos densos y regulares dispersos. La diferencia entre\nlos códigos desaparecen rápidamente con el aumento de la densidad (conexión) a α fijo (figura 3). Esto\nestá en línea con nuestra predicción de que el código regular es un conjunto de alto rendimiento en\nPreceding sections.\nLa figura 3 indica el efecto del aumento de la densidad a α fijo en el caso de la\nCódigo regular. A medida que aumenta la densidad las estadísticas de los códigos escasos enfoque que\ndel canal denso en todos los conjuntos probados. Para el funcionamiento irregular del conjunto\naumenta monótonamente con densidad en todos los PSD. La rápida convergencia a la densa\nEl rendimiento de los casos se observó en otros lugares para conjuntos parcialmente regulares, y conjuntos\nbasado en un insumo previo gaussiano [2, 7]. En todas las densidades para las que las soluciones únicas eran\nencontró que la suposición de RS apareció validada en el parámetro de estabilidad y entropía.\nLa Figura 4 indica el efecto de la carga de canal α sobre el rendimiento. Primero explicamos los resultados\npara los códigos en los que sólo se encontró una solución única (no hay coexistencia de soluciones). Para pequeños\nvalores de la carga un aumento monotónico en la tasa de error de bits, y la capacidad se observan como α\nse incrementa con la constante C, como se muestra en las figuras 4(a) y 4(b), respectivamente. Esto coincide.\nla tendencia en el caso denso, el código denso se vuelve superior en el rendimiento a la escasa\ncódigos a medida que aumenta la PSD. Encontramos que para todos los conjuntos escasos existían regímenes con\nα > 1,49 para los que sólo existía una solución estable única, aunque el equivalente denso\nSe sabe que los sistemas tienen dos soluciones estables en algún rango de PSD [3]. En todos los solteros\nse observó una entropía positiva y un parámetro de estabilidad negativo. Sin embargo,\nen casos de grandes α muchas características se hicieron más pronunciadas cerca de la solución de caso denso\n• Régimen de coexistencia: en particular, la cúspide en el parámetro de estabilidad, la distancia entre el IMF y el\ny el gradiente en Pb.\n4.1. Regímenes de Coexistencia de Solución\nComo en el caso de la densa CDMA [3], también aquí observamos un régimen donde dos soluciones, de\nmuy diferente actuación, coexisten. Con el fin de investigar el régimen en el que dos soluciones\ncoexistimos investigamos los estados llegados desde el inicio aleatorio y ferromagnético\ncondiciones (dar soluciones malas y buenas, respectivamente). Convergencia heurística separada\ncriterios fueron encontrados para los histogramas, y estos parecían funcionar bien para el bien\nsolución. Para la mala solución simplemente presentamos resultados después de un número fijo de histograma\nactualizaciones (500) ya que todos los criterios de convergencia probados parecían demasiado estrictos, para exigir\nescalas temporales experimentalmente inaccesibles, o no capturaron los valores asintóticos para\ncantidades importantes como la entropía. Creemos que 500 actualizaciones son lo suficientemente conservadoras\npara captar las propiedades de estas soluciones, sin embargo.\nLa Figura 4(a) muestra la dependencia de la tasa de error de bits en la carga, que también es\nequivalente a L/C. Hay un aumento monotónico en la tasa de error de bits con la carga y el\nla aparición y coexistencia de dos soluciones separadas por encima de un determinado punto; en el caso\nde los 6 : 3 código el punto por encima del cual coexisten las dos soluciones es PSD = 10.23dB como\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 17\n−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10\nDensidad de potencia espectral [dB]\nIrreg.\nP. Reg.\nDense0 1 2 3 4 5 6 7 8\n−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10\nDensidad de potencia espectral [dB]\nIrreg.\nP. Reg.\nDenso(b)\n−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10\nDensidad de potencia espectral [dB]\nIrreg.\nP. Reg.\nDenso\n2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6\n−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10\nDensidad de potencia espectral [dB]\nIrreg.\nP. Reg.\nReg. Tipo 1\nReg. Tipo 2\nGráfico 2 Desempeño de la escasa configuración CDMA de grado variable y factorial\nconnectividades C : L = 3 : 3, respectivamente; todos los datos presentados sobre la base de 100 ejecuciones, error\nlas barras se omiten y son típicamente pequeñas en las subfiguras (a)-(c) la suavidad de las curvas\nser característico de este nivel (precisión numérica fue excelente sólo en\nPSDs). (a) La tasa de error de bits está limitada por el componente desconectado en el caso de\ncódigos irregulares, de lo contrario las tendencias coinciden con el caso denso, más bajo limitado por el SUG. Inset\n- el rango donde los casos poco regulares y densos se cruzan.b) Eficiencia de los usuarios múltiples\nindica que los códigos de conectividad de usuario regulares superan el caso denso por debajo de algunos PSD.\nc) La eficiencia espectral [——] muestra tendencias similares, siendo positiva la entropía.\nLa brecha entre la información mutua [· · · · · ·] y la eficiencia espectral (mostrada en el\ninset) es en todas partes pequeño y especialmente en PSD pequeño y grande, lo que indica poco\npérdida de información en el proceso de decodificación. d) Los dos indicadores muestran los resultados medios\npara las dos estimaciones de estabilidad diferentes en el algoritmo para el código regular. Hay\nerrores sistemáticos en la PSD pequeña, y la convergencia es buena sólo en la PSD intermedia.\nLas líneas representan la media de estas cantidades para cada conjunto – todos los conjuntos muestran\nuna cúspide en algunos PSD, para 3 : 3 códigos los diversos conjuntos muestran tendencias muy similares,\nindicando la estabilidad local en todas partes.\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 18\n−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10\nDensidad de potencia espectral [dB]\nDenso\n0 1 2 3 4 5 6 7 8\nDensidad de potencia espectral [dB]\nDenso\nGráfico 3 El efecto de aumentar la densidad para el conjunto regular: (a) Multiusuario\neficiencia, b) eficiencia espectral [——] e información mutua [– – –]. Datos presentados sobre\nla base de 10 carreras, las barras de error se omiten pero de un tamaño comparable con la suavidad\nde las curvas. El rendimiento de códigos escasos se aproxima rápidamente al del código denso\nEn todas partes. El umbral PSD más allá del cual el denso código supera al escaso\nEl código es bastante estable.\nindicado por la línea punteada vertical.\nUtilizamos el código regular 6 : 3 para demostrar la coexistencia de la solución que se encuentra arriba\nalgunos PSD en varios códigos. El inicio de la distribución bimodal puede ser identificado por\nla divergencia en el tiempo de convergencia en el régimen de solución única (el tiempo para\nhistogramas ferromagnéticos y aleatorios para converger a una distribución común). La hora\npara que esto ocurra, en una estadística y precisión elegida heurísticamente, se representa en la figura 4(b).\nPor una regresión lineal ingenua a lo largo de 3 décadas encontramos un exponente de la ley de poder de 0,59 y\nun punto de transición de PSD = 10.23dB, pero no puede proporcionar una medida de la bondad de ajuste a\nestos datos. Esto representaría el punto en el que coexisten al menos dos soluciones estables.\nMás allá de PSD 12dB sólo una solución estable se encuentra de ambos al azar y\ncondiciones iniciales ferromagnéticas, correspondientes estadísticamente a la continuación del\nsolución. Una solución que se asemeja estadísticamente a una continuación de la mala solución es\na veces llegados de ambas condiciones iniciales, esta solución tuvo una estabilidad positiva\nparámetro y entropía negativa – así que no es una solución viable. Así predecimos un segundo\ntransición dinámica en la región de 12dB, como podría adivinarse en comparación con el\ncaso denso y observación de la tendencia en el parámetro de estabilidad [véase la figura 4, letra c)].\nLos resultados de estabilidad se presentan en la figura 4 c). Sólo se encontraron dos soluciones estables\nen la región más allá de este punto crítico y hasta 12dB, que inferimos que es viable RS\nsoluciones (donde la entropía es positiva). La mala solución hasta 12dB tiene un bien resuelto\nvalor negativo. La buena solución tiene un valor negativo en su media, pero como otros cerca\nsoluciones ferromagnéticas investigados resultados son muy ruidosos debido a cuestiones numéricas relacionadas\na resolución de histogramas.\nTanto la capacidad como la eficiencia espectral aumentan monótonamente con la carga como se muestra en\nFigura 4 d). Para el código 6 : 3 vemos una separación de las dos soluciones en PSD = 10.23dB\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 19\n−4 −2 0 2 4 6 8 10 12\nDensidad de potencia espectral [dB]\n6:3 (Bad)\n6:3 (Bien)\n - División del Sector Privado\nMedia de datos\nAjuste lineal\nLímites\n−4 −2 0 2 4 6 8 10 12\nDensidad de potencia espectral [dB]\n6:3 (Bad)\n6:3 (Bien)\n−4 −2 0 2 4 6 8 10 12\nDensidad de potencia espectral [dB]\n6:3 (Bad)\n6:3 (Bien)\n8 10 12 \nGráfico 4 El efecto de la carga de canal α sobre el rendimiento para el conjunto regular. Datos\npresentado sobre la base de 10 tiradas, las barras de error omiten pero se caracterizan por la suavidad\nde curvas. Las líneas rotas indican los códigos analógicos densos. La línea punteada vertical\nindica el punto más allá del cual 6 : 3 condiciones iniciales aleatorias y ferromagnéticas fallaron\npara converger a la misma solución, ambas soluciones dinámicamente estables se muestran más allá de\nEste punto. (a) Hay un aumento monotónico en la tasa de error de bits con el aumento de la carga.\n(b) La investigación del código 6 : 3 (α = 2) indica una divergencia en el tiempo de convergencia como\nPSD → 10,23dB con exponente 0,59 basado en una regresión lineal simple de 15 puntos (cada uno\npunto es la media de 10 carreras independientes). Más allá de este punto diferentes condiciones iniciales\ndar lugar a una de dos soluciones. c) Se determinó que el parámetro de estabilidad era negativo\npara todas las soluciones convergentes, indicando la idoneidad de la RS. Donde la solución está cerca\nferromagnético la medida de estabilidad se vuelve rápidamente muy ruidoso (como se muestra para el 5 : 3\ny 6 : 3 códigos). d) A medida que aumenta la carga α hay un aumento monotónico de la capacidad.\nLa eficiencia espectral de la solución ’malo’ supera 2 en un pequeño intervalo (equivalente a\nEntropía negativa), similar al comportamiento notificado para el caso denso.\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 20\n(línea vertical punteada.) Las líneas discontinuas corresponden a un comportamiento similar observado en el\ncaso denso (el rango de interés se magnifica en el conjunto.) Una cruz en la entropía de la\ndos soluciones distintas, cerca de PSD 11dB, es indicativo de una transición de fase de segundo orden.\nComo en el caso denso, sólo la solución de menor eficiencia espectral es termodinámicamente\nrelevante en un determinado PSD, aunque es probable que el otro sea importante en la decodificación de la dinámica.\nLas tendencias en el caso escaso siguen el caso denso cualitativamente, con la buena solución\ntener un rendimiento ligeramente peor que la solución correspondiente en el caso denso\n(y viceversa para la mala solución).\nLa entropía de la mala solución se vuelve negativa en un pequeño intervalo (espectral\nla eficiencia supera el 2), aunque no se observa inestabilidad local. La estática y dinámica\nLas propiedades de los histogramas parecen estar bien resueltas en esta región. Sin embargo, el\nEntropía negativa indica inestabilidad hacia un tipo de solución no capturada\ndentro del supuesto RS, o hacia alguna configuración metaestable. No lo haremos.\nespecular aún más, la mala solución es en cualquier caso termodinámicamente subdominante en\nsu forma baja y negativa de entropía.\nNuestra hipótesis es, por lo tanto, que las tendencias en los conjuntos escasos coinciden con los de\nlos conjuntos densos dentro de la región de convivencia y RS siguen siendo válidos para cada\nde dos soluciones distintas de entropía positiva. La región de convivencia para los códigos escasos es\nSin embargo más pequeño que en los correspondientes conjuntos densos. Desde la actualización de nuestro histograma\nreflejar las propiedades de un algoritmo de propagación de creencias en un gráfico aleatorio que podemos sospechar\nque la mala solución puede tener implicaciones para la realización de la propagación de creencias\nla decodificación en la región de coexistencia, y que los problemas de convergencia aparecerán cerca de\nregión. En los códigos regulares del usuario se investigó la mala solución del conjunto escaso\nsupera la mala solución del conjunto denso, y viceversa para la buena solución.\nPor lo tanto, independientemente de si el bajo rendimiento de decodificación es bueno o malo, el dinámico\npunto de transición para el conjunto denso correspondería a un PSD más allá del cual denso\nCDMA supera a CDMA en una carga en particular.\n4.2. Eficiencia espectral Resultados numéricos más bajos\nFinalmente presentamos la figura 5, que muestra la información mutua entre una sola\nchip y bits transmitidos para conjuntos escasos de conectividad de chips diferentes en el infinito\nPSD (límite cero de ruido) (15). Esto muestra que en la expectativa de un chip extraído de la\nconjunto regular contiene más información sobre los bits transmitidos que un chip dibujado\nde cualquier otro conjunto (incluido el conjunto Poissonian). La diferencia entre la\nlos conjuntos regulares y poissonianos se vuelven relativamente más pequeños a medida que L aumenta. Esto parece\nconsistente con los resultados del método de réplica encontrado en alta PSD, aunque chip regular\nconectividad subrealizada en comparación con la conectividad de chip distribuida de Poisson\nen el régimen de baja PSD, que no estaba previsto por la aproximación de un solo chip.\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 21\n0 5 10 15 20 25\nConectividad media del chip, L\nPoissonian\nGráfico 5 Un PSD → • límite a la información mutua esperada entre un solo chip,\ny los bits transmitidos. La información mutua es más alta para las conexiones regulares de chip,\ncon el resultado de conectividad de chip Poissonian también se muestra, la discrepancia se convierte en\nrelativamente pequeño a medida que L aumenta. El conjunto muestra la información mutua/bit decodificada\nEn el caso de las empresas de servicios de inversión, el importe de la ayuda se calcula sobre la base del importe total de la ayuda concedida en virtud del artículo 107, apartado 1, letra b), del Tratado, de conformidad con el artículo 107, apartado 1, del TFUE.\nmostrar más detalles en los casos de pequeño L.\n5. Observaciones finales\nNuestros resultados demuestran la viabilidad de códigos regulares escasos para su uso en CDMA. En\nPSD moderado parece que el rendimiento de códigos regulares escasos puede ser muy bueno. Con\nla suposición simétrica réplica aparentemente válida en PSD práctica es probable que rápido\nalgoritmos basados en la propagación de creencias pueden ser muy exitosos en el logro de la teoría\nresultados. Por otra parte, para los códigos de menor densidad escasa el problema del régimen de coexistencia,\nque limita el rendimiento de los métodos prácticos de decodificación, parece ser menos omnipresente\nque para conjuntos densos en el régimen sobre saturado.\nUna evaluación directa de las propiedades de la propagación de creencias puede demostrar resultados similares\na los que se muestran aquí. En ausencia de réplica de estados de rotura de la simetría es normalmente\nverdad que la propagación de la creencia funciona muy bien. Sin embargo, para hacer el mejor uso del canal\nlos recursos pueden ser preferibles para aplicar regímenes de alta carga en los casos de alta PSD, y\nsuperar los problemas algorítmicos que surgen de la convivencia de la solución es un reto\nde importancia práctica en este caso.\nSin duda, otras cuestiones prácticas en la aplicación son importantes. Similar al caso\ndenso CDMA hay problemas considerables relacionados con el multipath, el desvanecimiento y el poder\ncontrol, de hecho se sabe que estos efectos son más perturbadores para los códigos escasos,\nespecialmente códigos regulares. Sin embargo, ciertas situaciones como la radiodifusión (una a muchas)\ncanales y enlace descendente CDMA, donde se puede suponer la sincronización, puede ser práctico\npuntos para su futura aplicación. Hay ventajas prácticas del caso escaso sobre\ncódigos densos y ortogonales en algunos regímenes. Es probable que el escaso método CDMA sea\nespecialmente útil en el acceso múltiple a la división de código de frecuencia y tiempo de salto\nAplicaciones (FH y TH -CDMA) donde el efecto de estas limitaciones prácticas es menor\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 22\nEn este sentido, se ha hecho hincapié en la necesidad de mejorar la calidad de vida de los trabajadores.\nExtensiones basadas en nuestro método a casos sin control de potencia o sincronización\nhan sido intentados y son bastante difíciles. Examen de los antecedentes de las aportaciones, en\nparticular los efectos cuando la CDMA escasa se combina con algún método de codificación puede\nTambién ser interesante.\nAgradecimientos\nSoporte de EVERGROW, IP No. 1935 en el VIPM de la UE es agradecido.\nDS quisiera agradecer a Ido Kanter por sus útiles discusiones.\nBibliografía\n[1] S. Verdu. Detección multiusuario. Cambridge University Press, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 1998.\n[2] M. Yoshida y T. Tanaka. Análisis de cdma escasamente difundido a través de la mecánica estadística. En las deliberaciones\n- Simposio internacional de la IEEE sobre teoría de la información, 2006, págs. 2378 a 2382, 2006.\n[3] T. Tanaka. Un enfoque estadístico-mecánico para el análisis de grandes sistemas de detectores multiusuario de cdma.\nTeoría de la Información, IEEE Transactions on, 48(11):2888–2910, Nov 2002.\n[4] D. Guo y S. Verdu. Comunicaciones, Información y Seguridad de Redes, capítulo Multiusuario\nDetection and Statistical Mechanics, págs. 229 a 277. Kluwer Academic Publishers, 2002.\n[5] H. Nishimori. Física Estadística de Gafas Giratorias y Procesamiento de la Información. Oxford Science\nPublicaciones, Oxford, Reino Unido, 2001.\n[6] M. Mezard, G. Parisi, y M.A Virasoro. Spin Glass Theory and Beyond. Científicos Mundiales,\nSingapur, 1987.\n[7] A. Montanari y D. Tse. Análisis de la propagación de creencias para problemas no lineales: El ejemplo\nde cdma (o: Cómo probar la fórmula de tanaka). Taller sobre información de la IEEE en el marco de los procedimientos\nTeoría, 2006.\n[8] Y. Kabashima. Un enfoque estadístico-mecánico para la detección de cdma multiusuario: creencias de propagación\nen un gráfico densamente conectado. cond-mat/0210535, 2002.\n[9] J.P Neirotti y D. Saad. Mejor paso de mensajes para inferencia en sistemas densamente conectados.\nEurophys. Lett., 71(5):866-872, 2005.\n[10] A. Montanari, B. Prabhakar y D. Tse. Detección multiusuario basada en la propagación de creencias. In\nActas de la Conferencia de Alerton sobre Comunicación, Control e Informática, Monticello,\nUSA, 2006.\n[11] D. Guo y C. Wang. Detección multiusuario de cdma disperso. (no publicado), 2007.\n[12] T. Tanaka y D. Saad. Un análisis estadístico-mecánico de cdma codificado con códigos ldpc regulares.\nEn Actas - Simposio Internacional del IEEE sobre Teoría de la Información, 2003., pág. 444 y 2003.\n[13] D.J. MacKay. Teoría de la Información, Inferencia y Algoritmos de Aprendizaje. Cambridge University Press,\n2004.\n[14] J. Raymond y D. Saad. Aleatoriedad y metaestabilidad en paradigmas de cdma. arXiv:0711.4380,\n2007.\n[15] R. Vicente, D. Saad e Y. Kabashima. Avances en Física de Imágenes y Electrones, volumen 125,\nCapítulo Códigos de Control de Paridad de Baja Densidad - Perspectiva de Física Estadística, páginas 231–353.\nAcademic Press, 2002.\n[16] M Talabrand. La fórmula parisi generalizada. Comptes Rendus Mathematique, 337(2):111-114, 2003.\n[17] S. Franz, M. Leone, y F.L. Toninelli. Replica límites para sistemas de giro diluidos no poissonianos.\nRevista de Física A: Matemática y General, 36(43):10967–10985, 2003.\n[18] F. Guerra. La réplica rota de los enlaces de simetría en el campo medio Spin Glass Modelo. Comunicaciones\nen Física Matemática, 233:1-12, 2003.\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 23\n[19] R. Monasson. Problemas de optimización y réplica de la simetría rompiendo en finito giro de conectividad\ngafas. J. Phys. A, 31(2):513-529, 1998.\n[20] K.Y.M. Wong y D. Sherrington. Gráfica bipartición y gafas de centrifugación en una red aleatoria de\nvalencia finita fija. J. Phys. A, 20:L793–99, 1987.\n[21] M. Mezard y G. Parisi. Revisó el vidrio de la retícula de la retícula. Euro. Phys. Jour. B, 20(2):217-233,\n2001.\n[22] O. Rivoire, G. Biroli, O.C. Martin, y M. Mzard. Modelos de vidrio en las celosías. Euro. Phys. J.\nB, 37:55–78, 2004.\n[23] Y. Kapashima. Propagando creencias en modelos de vidrio giratorio. J. Phys. Soc. Jpn., 72:1645–1649, 2003.\n[24] J. Raymond, A. Sportiello, y L. Zdeborov. El diagrama de fase de la satisfacción aleatoria 1-en-3\nproblema. Phys. Rev. E., 76(1):011101, 2007.\n\tAntecedentes\n\tEl modelo\n\tConjuntos de código\n\tMetodología\n\tEficiencia espectral Acoplamiento inferior\n\tEsquema del método de réplica\n\tEcuaciones simétricas réplica\n\tDinámica de la población\n\tAnálisis de estabilidad\n\tResultados\n\tRegímenes de Coexistencia de Solución\n\tEficiencia espectral Resultados numéricos más bajos\n\tObservaciones finales\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" Acceso Múltiple a la División de Códigos Sparse (CDMA), una variación de la CDMA estándar\nmétodo en el que la matriz de propagación (firma) contiene sólo una relativamente\nel pequeño número de elementos distintos de cero, se presenta y analiza utilizando métodos de\nfísica estadística. El análisis proporciona resultados sobre el desempeño de\ndecodificación de máxima probabilidad para códigos de propagación escasos en el sistema grande\nlímite. Presentamos resultados para ambos casos de propagación regular e irregular\nmatrices para el aditivo binario blanco Gaussian canal de ruido (BIAWGN) con un\ncomparación con el código canónico (denso) de propagación aleatoria.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"CDMA escasamente difundida - una mecánica estadística\nAnálisis basado\nJack Raymond y David Saad\nGrupo de Investigación de Computación Neural, Universidad de Aston, Triángulo de Aston, Birmingham,\nB4 7EJ\nCorreo electrónico: jack.raymond@physics.org\nResumen.\nAcceso Múltiple a la División de Códigos Sparse (CDMA), una variación de la CDMA estándar\nmétodo en el que la matriz de propagación (firma) contiene sólo un número relativamente pequeño\nde elementos distintos de cero, se presenta y analiza utilizando métodos de física estadística. Los\nanálisis proporciona resultados sobre el rendimiento de la decodificación de máxima probabilidad para la escasa\nla difusión de códigos en el gran límite del sistema. Presentamos resultados para ambos casos de\ny matrices de propagación irregular para el aditivo binario blanco canal de ruido gaussiano\n(BIAWGN) con una comparación con el código canónico (denso) de propagación aleatoria.\nNúmeros PACS: 64.60.Cn, 75.10.Nr, 84.40.Ua, 89.70.+c\nNúmeros del esquema de clasificación AMS: 68P30,82B44,94A12,94A14\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0098v5\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 2\n1. Antecedentes\nEl área de las comunicaciones multiusuario es de gran interés tanto teórico como\nperspectivas de ingeniería [1]. El acceso múltiple de la división de código (CDMA) es un particular\nmétodo para permitir que múltiples usuarios accedan a los recursos de canal en un entorno eficiente y robusto\ny desempeña un papel importante en las actuales normas preferidas para la asignación de\nrecursos de canales en comunicaciones inalámbricas. CDMA utiliza recursos de canal altamente\npermitiendo a muchos usuarios transmitir en gran parte del ancho de banda simultáneamente,\ncada transmisión está codificada con un código de firma específico del usuario. Desentrañando el\ninformación en el canal es posible mediante el uso de las propiedades de estos códigos y gran parte de\nla investigación de CDMA se centra en el desarrollo de códigos y métodos de decodificación eficientes.\nEn este trabajo se estudia una variante del método original, CDMA escasa, donde la\nmatriz de propagación contiene sólo un número relativamente pequeño de elementos distintos de cero como fue\noriginalmente estudiado y motivado en [2]. Mientras que la aplicación directa de la escasa\nLas técnicas CDMA para enlazar la comunicación de acceso múltiple son bastante limitadas, como lo es\ndifícil de sincronizar las escasas transmisiones de los distintos usuarios, el método puede ser\nmuy útil para la frecuencia y el salto del tiempo. En la división de código de frecuencia de salto múltiple\nacceso (FH-CDMA), uno cambia repetidamente frecuencias durante la transmisión de radio, a menudo\nreducir al mínimo la eficacia de la interceptación o interferencia de las telecomunicaciones. En\ncualquier paso dado del tiempo, cada usuario ocupa un pequeño (finito) número de la (infinito) M-ary\n(con la ganancia G, el número total de chip-\nlos pares de frecuencia es MG.) Los lúpulos entre las frecuencias disponibles pueden ser aleatorios o\npreplanificado y se produce después de la transmisión de datos en una banda de frecuencias estrechas. In\ntiempo (TH-)CDMA, una secuencia pseudo-ruido define el momento de transmisión para\nlos diversos usuarios, que pueden ser vistos como CDMA escaso cuando se utiliza en una banda ultraancha\nsistema de comunicación por impulso. En este caso las escasas secuencias de salto de tiempo reducen\ncolisiones entre transmisiones.\nEste estudio sigue el trabajo seminal de Tanaka [3], y otras extensiones recientes [4],\nen la utilización del análisis de réplicas para CDMA de distribución aleatoria con entradas discretas, que\nestableció muchas de las propiedades de CDMA aleatorias densamente difundidas con respecto a\nvarios detectores diferentes incluyendo Máximo A Posterori (MAP), Postero Marginal\nMaximizador (MPM) y mínimo promedio de error cuadrado (MMSE). CMDA escasamente difundida\nse diferencia de la CDMA convencional, basada en secuencias de propagación densa, en que cualquier\nusuario sólo transmite a un pequeño número de chips (en comparación con la transmisión en todos los chips\nen el caso de la CDMA densa). La escasa naturaleza de este modelo facilita el uso de métodos\nde la física estadística de los sistemas desordenados diluidos [5, 6] para el estudio de las propiedades de\ncasos típicos.\nLa viabilidad de la escasa CDMA para la transmisión de información fue recientemente\nse demuestra [2] para el caso de los símbolos de entrada reales (distribuidos por Gaussian) mediante el empleo de un\nAproximación media efectiva de Gaussian; varios resultados han sido reportados para el caso de\npatrones de transmisión aleatoria. En un estudio reciente separado, basado en la propagación de creencias\ninferencia algoritmo y una entrada binaria de distribución previa, escasa CDMA también ha sido\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 3\nconsiderada como una vía para demostrar los resultados de la CDMA densamente difundida [7]. Además, este\nestudio demostró la existencia de un fenómeno de cascada comparable al código denso\npara un subconjunto de conjuntos. El fenómeno de cascada se observa en técnicas de decodificación,\ndonde hay una transición dinámica entre dos soluciones estadísticamente distintas como la\nEl parámetro ruido es variado. Por último, tomamos nota de una serie de estudios pertinentes relativos a la\nla eficacia de la propagación de creencias como método de decodificación del MPM [8, 9, 10, 11], y en\ncombinar métodos de codificación escasa (LDPC) con CDMA [12]. Muchos de estos documentos\nSin embargo, considerar el régimen de dilución extrema - en el que el número de contribuciones de chips\nes grande pero no O(N).\nLa labor teórica relativa a la escasa difusión de la CDMA seguía careciendo de\nrespetos. Como se señaló en [2], la difusión de códigos con Poisson distribuido número de no-\nelementos cero, por chip y entre los usuarios, están fallando sistemáticamente en que cada usuario\ntiene alguna probabilidad de no contribuir a ningún chip (no transmitir información).\nIncluso en el código “parcialmente regular” [7] conjunto (donde cada usuario transmite en el mismo\nnúmero de chips) algunos chips no tienen contribuyentes debido a la distribución de Poisson en\nconectividad de chip, por lo tanto, el ancho de banda no se utiliza eficazmente. Eludimos.\nEste problema se debe a la introducción de limitaciones para impedirlo, a saber, la firma regular\ncódigos restringidos de tal manera que tanto el número de usuarios por chip y chips por usuario toman\nvalores enteros fijos. Además presentamos análisis analíticos y numéricos sin\nrecurrir a aproximaciones gaussianas de cualquier cantidad. Uso de nuevas herramientas de estadística\nmecánica somos capaces de arrojar mayor luz sobre la naturaleza de la transmisión binaria previa\nproceso. En particular, la naturaleza del espacio de decodificación del estado y el rendimiento relativo de la escasa\nensambles versus densos a través de una gama de niveles de ruido; y lo que es más importante, la pregunta\nde cómo la coexistencia de las soluciones encontradas por Tanaka [3] se extiende a los conjuntos escasos,\nespecialmente cerca de los puntos de transición determinados para el conjunto denso.\nEn este artículo demostramos la superioridad del código CDMA regular escasamente difundido\nsobre códigos densamente extendidos en ciertos aspectos, por ejemplo, la tasa de error de bits prevista\nla decodificación mejora en el régimen de ruido elevado y la coexistencia de la solución\nEl comportamiento es menos generalizado. Además, para utilizar la propagación de creencias para tal conjunto\nes seguro que será significativamente más rápido y menos computacionalmente exigente [13], esto también ha\nimplicaciones de consumo de energía que pueden ser importantes en algunas aplicaciones. Otros\ncuestiones prácticas de aplicación, siendo la más básica la no sincronización y el poder\ncontrol, requiere un estudio detallado y puede hacer que aprovechar plenamente estas ventajas más\ncomplejo y dependiente de la aplicación.\nEl documento está organizado de la siguiente manera: En la sección 2 introduciremos el marco general\ny notación utilizada, mientras que la metodología utilizada para los diversos códigos se presentará en\nsección 3. Los principales resultados de los diversos códigos se presentarán en la sección 4 siguiente\npor las observaciones finales que figuran en la sección 5.\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 4\ni b • j d\n1o de enero de 2002\n...........................................................................................................................................................\nyb yc yd yN\nGráfico 1 Un gráfico bipartito es útil para realizar visualmente un problema. Un nodo de usuario i en\nla parte inferior interactúa con otras variables a través de su conjunto de nodos de factor vecinos (\na la que se conecta. Los nodos de factor se determinan a través de un vecindario similar.\nLa interacción en cada factor (μ) está condicionada a factores de ganancia vecinos (la\ncomponentes no cero de s), y yμ (que es una función implícita del ruido, y\nbits de entrada vecinos bμ y factores de ganancia ), asumiendo un uniforme anterior en los bits.\nEl problema de reconstrucción de la mecánica estadística asocia variables dinámicas\nnodos de usuario que interactúan a través de los factores. El estado de equilibrio termodinámico de\nEste sistema describe el rendimiento teórico de los detectores óptimos.\n2. El modelo\nConsideramos un modelo estándar de CDMA consistente en usuarios K transmitiendo en un bit\nintervalo de chips N. Asumimos un modelo con perfecto control de potencia y sincronización,\ny considerar sólo el intervalo de un bit. En nuestro caso la señal recibida y es descrita por\n[skbk] + فارسى, (1)\ndonde los componentes del vector describen los valores para chips distintos: sk es la propagación\ncódigo para el usuario k, bk = ±1 es el bit enviado por el usuario k (símbolos de entrada binarios) y el ruido\nvector. La normalización adecuada de la potencia es a través de la definición de la firma\nmatriz (s). Es posible incluir una variación de amplitud específica del usuario o del chip, que puede\nser debido a la desaparición o el control imperfecto del poder. Consideramos un modelo sin estos efectos.\nLos códigos de propagación son escasos de modo que en la expectativa sólo C de los elementos en vector sk\nno son cero. Si, con el conocimiento de la matriz de firma en uso, asumimos que la señal tiene\nha sido objeto de ruido de canal gaussiano blanco aditivo de varianza \n0 es la\nvarianza del verdadero ruido del canal 2, podemos escribir el posterior para los bits transmitidos\n(desconocidos dada la instancia particular) usando el teorema de Bayes\nP ( y) =\n[sμk(bk − k)] + \nP ( ), (2)\ny a partir de esto definir tasa de error de bits, información mutua, y otras cantidades. Los\nMecánica estadística enfoque de aquí es definir un Hamiltoniano y la partición\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 5\nfunción a partir de la cual las diversas estadísticas relativas a esta distribución de probabilidad pueden\ndeterminar - y por lo tanto todas las medidas habituales de la teoría de la información. Una opción adecuada\npara el Hamiltoniano es\nH( ) =\n[sμk(bk − k)] + \nhklok. 3)\nAquí podemos identificar a las variables dinámicas en el problema de la inferencia (dependencia).\nse muestra explícitamente). Las otras variables apagadas (parámetros), describiendo la instancia de\nel trastorno, son la matriz de la firma (s), el ruido () y las entradas (b). Las variables\nhk describir nuestras creencias previas sobre las entradas (el sesgo específico del usuario), y podemos asumir\nalguna distribución simple para esto, como todos los usuarios que tienen el mismo sesgo hk = H. Máximo\ntransmisión de velocidad corresponde a bits no sesgados H = 0, y esto se considera a lo largo de\nel periódico. Las propiedades de tal sistema pueden reflejarse en un gráfico de factor (Tanner),\nun gráfico bipartito en el que los usuarios y los chips están representados por nodos (véase la figura 1).\nEl cálculo que realizamos es específico para el caso del límite termodinámico en\nque se fija el número de chips N → • mientras que la carga α = K/N. Tenga en cuenta que α es\nllamado β en muchos documentos CDMA, aquí reservamos β para significar la \"temperatura inversa\"\nen un sentido de mecánica estadística (que define nuestra creencia previa para el nivel de ruido y dar\nsubir al correspondiente detector MAP.)\nEn todos los conjuntos podemos identificar el parámetro L como el número medio de contribuciones\na cada chip, y C como el número medio de contribuciones por usuario. Como tal, lo siguiente:\ntambién mantiene\n. 4)\nEl caso en el que α es mayor que 1 se llamará sobresaturado, ya que más de uno\nbit se transmite por chip.\nLos cálculos presentados a partir de ahora son específicos para el caso del ruido sin memoria,\nextraídos de una distribución única de la media cero y la media cuadrada 20\n* () = P ( ). 5)\nDefinir códigos normalizados de propagación de forma que:\nsk.sk = N, podemos identificar el “poder\nDensidad espectral” (PSD) a lo largo de un intervalo de virutas como medida del ruido del sistema 1/(2\nel factor dos está relacionado con consideraciones físicas en la implementación del modelo.\n2.1. Conjuntos de código\nConsideramos varios conjuntos de código que llamamos irregulares, en parte regulares y regulares, que\ndifieren en las limitaciones impuestas al factor y al grado variable de las restricciones de la firma\nmatriz s. La distribución de probabilidad\nP (s) = N\n(sμk 6= 0)− L\nP (L)\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 6\n(sμk 6= 0)− C\nP (C)\nP (sμk), (6)\ndonde N es una constante de normalización, P (L) es la distribución de probabilidad de grado factorial de\npromedio L, P (C) es la distribución de probabilidad de grado variable de la media C, y P (sμk) es la\ndistribución de probabilidad marginal que es común a todos los conjuntos\nP (sμk) =\n(sμk) +\n*(sμk − •). 7)..................................................................................................................................................\nLa forma de (6) es entonces suficiente para las distribuciones escasas que consideramos en el sistema grande\nlimitar, y hace explícitas las propiedades de conectividad del chip y del usuario de los conjuntos. Los\nfactor de ganancia, se extrae al azar de una sola distribución con la medida cero en = 0,\ny momentos finitos, en cualquier caso de un código\n(+) = P (sμk = sμk 6= 0). (8)\nA diferencia del caso denso, los detalles de esta distribución producirán resultados, pero sólo en un pequeño\nforma de tomar decisiones razonables [2]. Aquí investigamos el caso de la tecla de cambio de fase binaria\n(BPSK) que corresponde a una distribución uniforme en\n}, aunque el análisis\nlos resultados presentados son aplicables a cualquier distribución del cuadrado medio = 1/L. Tenga en cuenta que\ntrastorno en los factores de ganancia no es una necesidad, el caso • = 1/\nL también permite la decodificación en\nConjuntos escasos.\nEl caso en el que P (Lu) y P (Cu) se distribuyen Poissonian identifica la irregularidad\nconjunto - donde las conexiones entre chips y usuarios se distribuyen de forma independiente.\nLa segunda distribución llamada en parte regular tiene P (C\nconectividad es de nuevo Poisson distribuido con media L, pero cada usuario contribuye a exactamente\nPatatas C. Esto evita el fracaso sistemático inherente al conjunto irregular ya que\nallí un gran número de usuarios no transmiten en ningún chip. Si además de\nla restricción antes mencionada todos los chips reciben exactamente L contribuciones, P (L\nel conjunto se llama regular. La conectividad regular del chip entre otras cosas impide\nla ineficiencia sistemática debido a la falta de acceso de algunos chips por parte de cualquiera de los usuarios.\nEl caso de las distribuciones poissonianas es aquel en el que no hay control global. In\nmuchas aplicaciones de ingeniería que limitan a los usuarios individualmente (no Poissonian P (C\npráctica, mientras que la coordinación entre los usuarios (no Poissonian P (Lū)) es difícil. Los\nlos aspectos prácticos de la aplicación de los diferentes conjuntos que consideramos específicos de la aplicación:\nlas ventajas inherentes a la distribución más equitativa de los recursos de los canales entre los usuarios pueden\nse pierdan a causa de problemas prácticos de implentación.\n3. Metodología\n3.1. Eficiencia espectral Acoplamiento inferior\nLa inferioridad de los códigos con conectividad de usuario Poissonian se ha señalado previamente\n(por ejemplo, en [2]), sobre la base del entendimiento de que los códigos que dejan a una parte de los usuarios\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 7\ndesconectado no puede ser óptimo. Analógicamente argumentamos que los códigos con chip irregular\nconectividad también debe ser inferior en que dejan una fracción de los chips (ancho de banda)\nno se utiliza, lo que constituye una motivación para considerar códigos plenamente regulares.\nEn esta sección mostramos un caso particular en el que se esperan los códigos regulares\npara superar cualquier otro conjunto mediante el análisis de la cantidad de información que puede ser\nextraído en los bits enviados por consideración de sólo un chip en aislamiento de los otros chips.\nEsto corresponde a un detector que reconstruye bits basados sólo en el valor de un solo chip,\ny es independiente de la conectividad del usuario.\nLa eficiencia espectral se define como la información mutua entre el\nseñal y piezas reconstruidas por chip. Al considerar sólo un chip (μ) tenemos\nI( ; yμ) =\nP ( yμ)\nP ( )\nP0(,yμ)\n, (9)\ndonde el subíndice cero indica que el verdadero (generativo), en lugar del modelo (2),\ndistribución de probabilidad. Para la brevedad consideramos el caso más simple que el generativo\ny las distribuciones de probabilidad del modelo son las mismas con bits imparciales y un ruido gaussiano\ndistribución, en cuyo caso, después de algún reordenamiento\nI( ; yμ) = L\nexp(−Hμ( μ))\n μ exp(−Hμ( μ))\nP0( μ,yμ)\n, (10)\ndonde los bits conectados a los chips μ y el chip Hamiltonian es\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n, (11)\netiquetado de cada componente interactuante (no cero) en el chip por i, siendo L贸 el chip\nconectividad.\nTrabajando a partir de esta descripción queremos comparar el rendimiento de los conjuntos\ncon diferentes conexiones de chip. Para hacer esto consideramos el conjunto medio mutuo\ninformación promediando la información mutua sobre las connectividades (L), los factores de carga,\ny los bits transmitidos. Este promedio es complicado, sin embargo es posible calcular el\nlos términos dominantes en los límites bajos y altos de la PSD.\nEn el caso de bajo ruido (PSD → فارسى) encontramos los términos asintóticamente dominantes\nvienen primero del numerador\n•log2 exp−H(• μ) •\n/ log(2) =\n2 log(2)\n, (12)\nque es un promedio sobre la energía del estado del suelo, y también el logaritmo del denominador\nque es\nexp−H( μ)\n(bi) (bi) (i)\n, (13)\ndonde yμ se ha descompuesto en sus partes de bit ({bi}) y ruido (), y los promedios son:\nahora sobre los conjuntos, así como yμ. La primera parte de (13) aporta una contribución energética\ncancelación (12). Llamamos a la parte restante el promedio sobre la entropía del chip, por\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 8\ncomparación con (10) esto determina la cantidad de información perdida en la decodificación. Los\ntérmino de la entropía del chip contiene una función indicadora contando los estados del suelo - el promedio\nla entropía de los chips es cero cuando la única solución es μ = bμ. Sin embargo, para el caso de BPSK\npuede haber alguna degeneración en los estados de base con dos términos en la suma que no es cero\npero cancelándose el uno al otro. Esta degeneración depende de la distribución P (L\npara L dado. Average sobre los factores de carga y los bits transmitidos encontramos que en el cero\nlímite de ruido\nI(, yμ)\n(bi) (bi) (i)\nP (L)\n, (14)\nmin(p,Lp)\nL p\nP (L)\n. (15)\nPor evaluación numérica de esta función (ver resultados sección 4.2) encontramos que el óptimo\nconjunto es de hecho el conjunto regular. Esto se debe a la entropía de chip, cuando se promedia sobre\nfactores de carga y bits es una función cóncava en L\ncuando P (L\n. Esta dependencia de Lū puede ser una peculiaridad del detector considerado,\npero muchos otros aspectos del cálculo pueden generalizarse para dar un resultado similar.\nEs posible considerar el límite opuesto Encontramos que\nlos cuatro órdenes principales en 1/0 eran idénticos para todos los conjuntos de código del mismo chip medio\nconectividad. Anticiparíamos el comportamiento de la PSD no extrema para caer en alguna parte\nentre estos dos regímenes y, por lo tanto, para que el conjunto regular chip sea al menos tan bueno como\nlos conjuntos irregulares de chip.\nObservamos aquí que otra razón para considerar el código regular óptimo entre\npocos códigos aleatorios es considerar el término de campo cuando el Hamiltoniano (11) está escrito\nen forma canónica con un conjunto de acoplamientos ({Jójij) y campos externos específicos del usuario ({hi}).\nEn esta representación el conjunto de campos externos están en la expectativa alineados con el enviado\nsecuencia de bits, pero sujeto a fluctuaciones para cada instancia de código. La diferencia de estos factores\npuede demostrarse que las fluctuaciones son proporcionales al exceso de conectividad del chip sobre el\nconectividad verdadera del chip [14], que entre todos los conjuntos es minimizada por el chip regular\nEnsamblaje. La interferencia multiusuario es mayor en códigos irregulares y, por lo tanto, en información\nla recuperación es más débil como se predice en esta sección.†\n3.2. Esquema del método de réplica\nDeterminamos las propiedades estáticas de nuestro modelo definidas en la sección 2, incluyendo correlaciones\nDebido a la estructura de interacción completa, utilizamos el método de réplica. De la expresión de\nel Hamiltoniano (3) podemos identificar una función de energía libre y partición como:\nf = − 1\nlnZ Z = exp (H( ).\n† Este argumento se añade desde la versión publicada.\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 9\nPara progresar hacemos uso de las propiedades de auto-aprovechamiento previstas del sistema.\nLa suposición es que en el sistema grande limitar cualquier dos instancias seleccionadas al azar\ntendrá, con alta probabilidad, propiedades estadísticas indistinguibles. Esta suposición\ntiene una base firme en varios problemas relacionados [15], y además es intuitivo después de\nUn poco de reflexión. Si esta suposición es verdadera, entonces los estatistas de cualquier instancia en particular pueden\nser descrito completamente por la energía libre promediada en todos los casos del trastorno. Nosotros\npor lo tanto, están interesados en la cantidad\nF = F = − lim\nlnZI, (16)\ndonde los corchetes en ángulo representan las medias ponderadas sobre I (las instancias). Los\nla densidad de entropía puede calcularse a partir de la densidad de energía libre mediante el uso de la relación\ns = β(e− f), (17)\ndonde e es la densidad de energía.\nPara determinar la energía libre debemos promedio sobre el desorden en (16), que es un difícil\nproblema, excepto en casos especiales. Esta es la razón por la que hacemos uso de la identidad de réplica\nlnZI = lim\n\"Zn'I\". (18)\nPodemos modelar el sistema ahora como uno de réplicas que interactúan, donde Zn está descompuesto como un\nproducto de un número entero de funciones de partición con condicionalmente independiente (dado\nla instancia del trastorno) variables dinámicas. La discreción de las réplicas es esencial\nen la primera parte del cálculo, pero se requiere una continuación de los números reales\nen la toma de n → 0+ – esta es una suposición notoria, que las matemáticas rigurosas no pueden\nSin embargo, justificar el caso general, a pesar de los progresos realizados en los últimos años [16, 17, 18].\nSin embargo, asumiremos la validez y ya que la metodología para las estructuras escasas es\nbien establecidos [19, 20, 15] omitimos nuestros detalles particulares. La forma funcional final para\nla energía libre se determina de\n# Zn # # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # # Zn # # # # Zn # # # Zn # # # # # Zn # # # # # # Z n # # # # # Zn # # # # Zn # # # # Z n # # # # # Z n # # # # # # # # Z n # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \ndP (b)dP(b)\nexp{lnN +N(G1(n) +G2(n) +G3(n))} ; (19a)\nG1(n) = ln\n2α/2\nP (b)\n(b− )\nP (L)\n; (19b)\nG2(n) =\nP (b)(b)(f)(f)(c)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(c)(f)(f)()(f)(f)(f)(f)(f)(f)()(f)(f)(f)(f)()(f)()(f)()(f)(c)()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()())()()()()()())()))))()()()()()()()()())()()()()()()()()()())()()()())()()()()))()()())))()()()()()))()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()\nG3(n) = α ln\n(−L)C\n(b, )\nP (C)\nP0(b)\n; (19d)\ndonde N es una constante debido a la normalización de los conjuntos (6). Esta expresión puede ser\nevaluado en el punto de silla de montar para dar una expresión para la energía libre. En el término (19d)\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 10\nse contabilizan los casos en que la distribución de probabilidad marginalizada P0(b) y\nLa distribución de probabilidad marginal supuesta (descrita por H) es asimétrica. En el caso\nde la tasa máxima que vamos a considerar, el promedio b es trivial y H = 0. Suministrado\nque además la distribución del factor de ganancia es simétrica entonces es posible eliminar\nla dependencia b en los parámetros de orden, ya que la simetría P (b,) = P (−b,) y\nLa energía libre deja invariante a la energía libre.\n3.3. Ecuaciones simétricas réplica\nLa forma concisa para nuestras ecuaciones se logra usando la suposición de réplica de simetría\n(RS). Esto equivale a la suposición de que las correlaciones entre réplicas son todas\nidéntico, y determinado por una distribución compartida única. La validez de esta suposición\npuede ser autoensayado consistentemente (sección 3.5). Esta hipótesis difiere de la utilizada\npor Yoshida y Tanaka [2] donde las correlaciones son descritas por sólo un puñado de\nparámetros en lugar de una distribución una vez que se asume RS - este enfoque puede, por lo tanto\nfalta algo de la estructura detallada, aunque es más fácil de manejar numéricamente. La orden\nparámetro en nuestro caso es dado por\nP (b, ) =\ndη(x)\n(1 + bx)\n; (20a)\n(b, ) = qâ °\nd(x)\n(1 + bx) ; (20b)\ndonde q es una constante de normalización variacional y γ, son distribuciones normalizadas en\nel intervalo [−1, 1]. A partir de aquí podemos considerar el caso en el que las variables de bits\nLos factores de ganancia y ganancia se miden a b ( > b → • • • • • b → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • \nUtilizando el método de Laplace, esto da la siguiente expresión para la (RS) energía libre\nen el punto de silla de montar\nFRS = −\nExtrη,bη\nG1,RS(L)(n) + G2,RS(n) + G3,RS(C)(n)\ndonde\nG1,RS(n)\n= − Ln 2\n[dl(xl)]\nln Trl=±1L\n* (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) () (l) () (l) () (l) () () (l) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()\nP (L)\n; (22a)\nχL(*;,, {x}) = exp\n(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)-)(-)-)(-)\n(1 + Łlxl) ; (22b)\nG2,RS(n) = − L\ndη(xc)d(xÃ3c) ln(1 + xxÃ3c) ; (22c)\nG3,RS(n) = α\n[d(xÃ3c)] ln\n(1 + x+c) +\n(1 a x + c)\nP (C)\n. (22d)\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 11\ny se ha introducido el valor del punto de sillín para (= L). Los promedios son superiores a los de L° y C°\nencapsular las diferencias entre los conjuntos.\nEcuación (22b) describe la interacción en un solo chip en el gráfico de factores (figura 1)\nde conectividad L. Los factores de ganancia y reconstruidos son el parámetro â € € TM y la variable â € € TM\nbits respectivamente, ambos medidos en el bit transmitido, mientras que • es la instancia del chip\nruido.\nLas distribuciones variacionales del orden, son elegidas para extremizar (21). El yo\nLas ecuaciones consistentes alcanzadas por el método del punto de sillín son:\n(x) =\n[dl(xl)]\nTrl=±1}\nTrl=±1} L\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \nP (L)\n(23a)\n{L} = exp = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =\n(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)-)(-)-)(-)\n(1 + Łlxl) (23b)\nη(x) =\n[d(xc)]\nc=1(1 + x+c)−\nc=1(1− x+c)\nc=1(1 + x+c) +\nc=1(1− x+c)\nP (C)\n. (23 c)\nLas variables P (Lū) y P (Cū) son aquí las distribuciones excesivas de los grados de la\nconjunto (6). Para conjuntos con restricciones regulares el chip y los excesos del usuario son L − 1\ny C − 1 respectivamente. Para las distribuciones de Poissonian la distribución de exceso de grado es la\ndistribución completa de los títulos.\nAparte de la entropía, las demás cantidades de interés podrán determinarse a partir del\ndistribución de probabilidad para el solapamiento de variables reconstruidas y enviadas mk = k,\nP (m) = lim\n*Mk,m*\n, (24)\n[d(xc)]\nc=1(1 + x+c)−\nc=1(1− x+c)\nc=1(1 + x+c)+\nc=1(1− x+c)\nP (C)\n. (25)\nFinalmente observamos que expresiones equivalentes a estas encontradas con la suposición de RS\npuede obtenerse utilizando el método de cavidad [6] con la asunción de un único estado puro.\nEste enfoque es probabilístico y por lo tanto más intuitivo en algunos niveles.\n3.4. Dinámica de la población\nEl análisis de estas ecuaciones está limitado principalmente por la naturaleza de las ecuaciones (23a-\n23c). No hay soluciones exactas aparentes, y los regímenes perturbadores sobre el ferromagnético\nsolución (que es sólo una solución para el ruido cero) son difíciles de manejar. En consecuencia\nUtilizamos dinámica de población [21] – representando las distribuciones (x), (x)} por finito\npoblaciones (histogramas) e iterar esta distribución hasta la convergencia. Se espera,\ny observó, que cada histograma captura suficiente detalle para describir el continuo\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 12\nfunción y la dinámica (descrita a continuación) permiten la convergencia hacia una verdadera solución\ndistribución con sólo pequeñas correcciones debido a los efectos de tamaño finito.\nResolver las ecuaciones (23a,23c) con histogramas finitos de dinámica poblacional\nse utilizan magnetizaciones de cavidades no dirigidas M. Histogramas aproximándose\ncada función se forma\nη(x) → W = {x1,. .., xi,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\nη(xá) → = {xá1,. ................................................................. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\ncon M lo suficientemente grande como para proporcionar una buena resolución en las medidas de rendimiento deseadas.\nLa dinámica de minimización discreta de los histogramas se deriva de (23a-23c).\nLas actualizaciones del histograma se realizan alternativamente, con toda la magnetización en el histograma\nque se actualicen secuencialmente. En la actualización del campo xa los parámetros apagados {L.,..................................................................................................................\nse muestrean, siendo Ls el grado de exceso de chip, y las magnetizaciones de Ls se eligen al azar\ndesde W, definiendo hasta (23a) la actualización\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nTrl = ± 1 {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L}\nTrl=±1} L\n. (28)\nLa actualización del otro histograma sigue la dinámica en la que se muestra C\nel exceso de grado del usuario, junto con las magnetizaciones seleccionadas al azar de C\na través de (23c) la actualización\nc=1(1 + x+c)−\nc=1(1− x+c)\nc=1(1 + x+c) +\nc=1(1− x+c)\n. 29)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nExiste una fuerte analogía entre el algoritmo de dinámica poblacional y el de\nmensaje pasando en una instancia particular del gráfico. La iteración de los histogramas\nimplícito en (28-29) es análogo a la propagación de una población de magnetizaciones de cavidades\nentre los nodos del factor (a) y del usuario (i), que pueden escribirse como ecuaciones autosistentes:\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nTrl=±1i exp\nlari\n(-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-)\nlari\n(1 + Łlxl→a) ; (30a)\nxi→a =\nCira\n(1 + x+c→i)−\nCira\n(1 - x-c→i)\n; (30b)\ndonde Nx,x® son las normalizaciones relevantes, y la abreviatura ♥y indica el conjunto\nde nodos conectados a y. En la dinámica de la población, la noción de un gráfico en particular\ncon bordes etiquetados está ausente sin embargo, y la única distribución de los dos tipos\nde magnetizaciones son relevantes.\n3.5. Análisis de estabilidad\nPara probar la estabilidad de las soluciones obtenidas consideramos tanto la aparición de\nEntropía no negativa, y un parámetro de estabilidad definido a través de una consideración de la\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 13\nfluctuación disipación teorema. El primer criterio para que la entropía no sea negativa es\n, basado en el hecho de que las soluciones físicamente viables en sistemas discretos deben tener no-\nEntropía negativa para que cualquier solución encontrada que no cumpla estos criterios se base en\nmalas premisas; réplica de simetría es una fuente probable.\nEl parámetro de estabilidad se define en relación con el método de la cavidad para el giro\ngafas [22] y prueba la estabilidad local de las soluciones. Es equivalente a la prueba de la local\nestabilidad de las ecuaciones de propagación de creencias como se propone en [23]. Una condición necesaria para\nla estabilidad de la solución de RS es que la sensibilidad correspondiente no diverge.\nEsta condición asegura que los campos no estén fuertemente correlacionados. La susceptibilidad del vidrio giratorio\ncuando se puede definir un promedio sobre las instancias\nOooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo\n, (31)\ndonde d es la distancia entre dos nodos en el gráfico factorial, el promedio interno denota\nla función de correlación conectada entre estos nodos, Xd describe el número típico\nde variables a distancia d, y el promedio externo es sobre las instancias del trastorno (auto-\npromedio de la parte). Esta cantidad no es divergente a condición de que:\n* = ln. = ln................................................................................................................................\nOooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo\nes negativo, ya que esto indica una disminución exponencial asympopticamente en los términos de (31)\ny, por lo tanto, la convergencia de la suma. En el límite termodinámico la correlación conectada\nfunción está dominada por un único camino directo que puede ser descompuesto como una cadena de local\nsusceptibilidades lineales\n# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\ni, j)\n♥xi→a\n* x • b → i\n* x • b → i\nxj→b\n, (33)\ndonde (i,j) indica el conjunto de variables en la ruta más corta entre los nodos 0 y d en una\nejemplo particular del gráfico (30a).\nEsta representación nos permite construir una estimación para basada numéricamente\nsobre principios similares a la dinámica de la población [24] – la dirección y la estructura fija\nimplícita en un problema particular se elimina con la suposición de auto-ahorrar dejando un\ndescripción funcional similar a (23a-23c), que puede ser iterada. Para aproximar\nel parámetro de estabilidad se introduce números positivos adicionales en la población\nhistogramas dinámicos (27b,27a), xi → {xi, vi} y xáa → {xáa, váa} respectivamente. Estos nuevos\nlos valores representan los tamaños relativos de las perturbaciones en cada magnetización, y se actualizan\nen paralelo a (28,29) como\n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ; = = = = = = = = = = = = = = = =\n, (34)\ny con asignaciones similares para la actualización de campo de W\n. (35)\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 14\nLos derivados parciales se calculan a partir de (28-29) y se evalúan en el\nvalores en la población muestreada. Si el punto fijo final es estable contra pequeño\nlas perturbaciones en el campo inicial entonces estos valores {v, v deben decaer exponencialmente en\npromedio. Renormalización de {vi} y {va} de tal manera que la media es 1 después de cada actualización es\nnecesario. La constante de renormalización numérica para cada rendimiento de población (dependiente)\nlas estimaciones de , que se pueden muestrear en un tiempo de convergencia adecuado (final de la {W, \nproceso de minimización).\nAl igual que la dinámica de la población, esperamos que el comportamiento sea sensible a la inicialización\ncondiciones y efectos de tamaño finito en algunas circunstancias. Además, la estimación requiere\nbuena resolución en los histogramas W y .\n4. Resultados\nLos resultados se presentan aquí para el caso canónico del teclado de cambio de fase binario (BPSK)\ndonde {1,−1} {1,} con la misma probabilidad. Además, asumimos un modelo del GTEN para\nel verdadero ruido فارسى (de varianza 20). Para fines de evaluación asumimos el ruido del canal\nnivel se conoce con precisión, de modo que β = 1, empleando la temperatura de Nishimori [5]. Esto\ngarantiza que la solución RS es termodinámicamente dominante. Además, la energía\ntoma un valor constante a la temperatura de Nishimori y por lo tanto la entropía es afín a\nla energía libre. Donde de interés trazamos las estadísticas comparables para el Usuario Único\nCanal gaussiano (SUG), y el conjunto densamente extendido, cada uno con detectores MPM –\nequivalente a la máxima probabilidad para los bits individuales.\nPara la dinámica de la población se inicializan dos poblaciones paralelas (27a,27b)\nuniformemente al azar, o en estado ferromagnético. Estas dos poblaciones son conocidas\npara converger hacia la solución única, donde existe, desde direcciones opuestas, y\npor lo que podemos utilizar su convergencia como un criterio para detener el algoritmo y pruebas para el\naparición de múltiples soluciones. En el caso de que converjan en diferentes soluciones\nGeneralmente podemos identificar la solución convergente desde el estado inicial ferromagnético como\nuna buena solución - en el sentido de que reconstruye bien, y que llegó de azar\nestado inicial como una mala solución. En el algoritmo de propagación de creencias equivalente uno no puede\nelegir condiciones iniciales equivalentes a ferromagnética – sabiendo la solución exacta\nPor supuesto, hace que la decodificación sea redundante. Por lo tanto, esperamos las propiedades de los malos\nsolución para ser los realizables por la propagación de la creencia (aunque los algoritmos inteligentes pueden ser\ncapaz de escapar a la buena solución en algunas circunstancias). Las variables de estabilidad\n{v, v fueron inicializados independientemente cada uno como el cuadrado de un valor extraído de un gaussian\ndistribución – y las pruebas indicaron que otras distribuciones razonables produjeron resultados similares.\nLos recursos informáticos limitan los casos estudiados en detalle a una División del Sector Privado intermedia\nrégimen, y pequeño L. En particular, el problema en PSD bajo, es el ruido gaussiano\npromedio, que es poco estimado, mientras que en alta PSD la mayoría del histograma es\nconcentrados en magnetizaciones x, x+ 1 que no permitan una resolución suficiente en el resto de\nel histograma.\nVarias medidas diferentes se calculan a partir del parámetro orden convergente,\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 15\nque indique el rendimiento de la CDMA escasamente difundida. Usando los histogramas convergentes\npara los campos somos capaces de determinar las siguientes cantidades: energía libre, energía y\nhistograma para la distribución de probabilidad, a partir de discreciones de los previamente presentados\necuaciones (23a-23c). Usando la distribución de probabilidad también somos capaces de aproximar\nla tasa de error de bit de decodificación\ndP (m)\n1− signo(m)\n; (36)\nEficiencia de los usuarios múltiples\nMuE =\nerfc−1(Pb)\n; (37)\ne información mutua entre los bits enviados y reconstruidos por chip, I(b; )/N (tomando\nuna forma factorizada dada la hipótesis de RS)\nIM = α\ndP (m)\n1 + m\n1 + m\n. 38)\nLa eficiencia espectral es la capacidad I( ;y) por chip, que es afín a la entropía (y\nla energía libre a la temperatura de Nishimori)\n............................................................................... (39)\nSe puede identificar la entropía negativa cuando la eficiencia espectral medida supera la carga,\ny los puntos de transición termodinámica corresponden a puntos de eficiencia espectral coincidente.\nFigura 2‡ muestra algunas propiedades generales del conjunto regular en el que el\nLas conexiones de grado variable y factor son C : L = 3 : 3, respectivamente. Ecuaciones (23a-\n23c) fueron iterados utilizando la dinámica de la población y se calcularon las propiedades relevantes\nutilizando las soluciones obtenidas; los datos presentados se promedian en más de 100 ejecuciones y barras de error,\nque son típicamente pequeños, se omiten para la brevedad. La figura 2 a) muestra la tasa de error de bits\nen los códigos regular y Poissonian, el conjunto se centra en la gama donde la escasa-regular\ny casos densos cruzados. Los escasos códigos muestran tendencias similares al caso denso\nsalvo el código irregular, que presenta un rendimiento más débil en general y, en particular, en\nPSD alto. Las tendencias detalladas pueden verse en la figura 2(b) que muestra la eficiencia multiusuario.\nCódigos con conectividad de usuario regular muestran un rendimiento superior con respecto a la densa\ncaso en PSD bajo. En el gráfico 2 c) se observan tendencias similares en la eficiencia espectral y en la\ninformación (mostrada en el conjunto); el efecto del componente desconectado (usuario) es claro\nen el hecho de que el código irregular no alcanza la capacidad a niveles de ruido elevados. En general\nparece que la distribución de la conectividad del chip no es crítica para cambiar las tendencias presentes,\na diferencia de la distribución de conectividad del usuario. Se encontró en estos casos (y todos los casos con\nsoluciones únicas para el PSD dado), que el algoritmo convergía a la entropía no negativa\nvalores y a una medida de estabilidad fluctuando alrededor de un valor inferior a 0, como se muestra en\nFigura 2 d). Estos puntos indicarían la idoneidad de la hipótesis de la RS.\n‡ Esta cifra ha sido modificada de la versión publicada, la diferencia es que el chip Poissonian\nLos códigos de conectividad tienen en todas partes un rendimiento más débil que el conjunto de código regular denso y escaso.\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 16\nEl rendimiento de códigos densos por conjuntos escasos con conectividad de usuario regular\nen el régimen PSD bajo es nuevo a nuestro conocimiento, aunque la conectividad de chip Poissonian\nes en todas partes inferior tanto a los códigos densos y regulares dispersos. La diferencia entre\nlos códigos desaparecen rápidamente con el aumento de la densidad (conexión) a α fijo (figura 3). Esto\nestá en línea con nuestra predicción de que el código regular es un conjunto de alto rendimiento en\nPreceding sections.\nLa figura 3 indica el efecto del aumento de la densidad a α fijo en el caso de la\nCódigo regular. A medida que aumenta la densidad las estadísticas de los códigos escasos enfoque que\ndel canal denso en todos los conjuntos probados. Para el funcionamiento irregular del conjunto\naumenta monótonamente con densidad en todos los PSD. La rápida convergencia a la densa\nEl rendimiento de los casos se observó en otros lugares para conjuntos parcialmente regulares, y conjuntos\nbasado en un insumo previo gaussiano [2, 7]. En todas las densidades para las que las soluciones únicas eran\nencontró que la suposición de RS apareció validada en el parámetro de estabilidad y entropía.\nLa Figura 4 indica el efecto de la carga de canal α sobre el rendimiento. Primero explicamos los resultados\npara los códigos en los que sólo se encontró una solución única (no hay coexistencia de soluciones). Para pequeños\nvalores de la carga un aumento monotónico en la tasa de error de bits, y la capacidad se observan como α\nse incrementa con la constante C, como se muestra en las figuras 4(a) y 4(b), respectivamente. Esto coincide.\nla tendencia en el caso denso, el código denso se vuelve superior en el rendimiento a la escasa\ncódigos a medida que aumenta la PSD. Encontramos que para todos los conjuntos escasos existían regímenes con\nα > 1,49 para los que sólo existía una solución estable única, aunque el equivalente denso\nSe sabe que los sistemas tienen dos soluciones estables en algún rango de PSD [3]. En todos los solteros\nse observó una entropía positiva y un parámetro de estabilidad negativo. Sin embargo,\nen casos de grandes α muchas características se hicieron más pronunciadas cerca de la solución de caso denso\n• Régimen de coexistencia: en particular, la cúspide en el parámetro de estabilidad, la distancia entre el IMF y el\ny el gradiente en Pb.\n4.1. Regímenes de Coexistencia de Solución\nComo en el caso de la densa CDMA [3], también aquí observamos un régimen donde dos soluciones, de\nmuy diferente actuación, coexisten. Con el fin de investigar el régimen en el que dos soluciones\ncoexistimos investigamos los estados llegados desde el inicio aleatorio y ferromagnético\ncondiciones (dar soluciones malas y buenas, respectivamente). Convergencia heurística separada\ncriterios fueron encontrados para los histogramas, y estos parecían funcionar bien para el bien\nsolución. Para la mala solución simplemente presentamos resultados después de un número fijo de histograma\nactualizaciones (500) ya que todos los criterios de convergencia probados parecían demasiado estrictos, para exigir\nescalas temporales experimentalmente inaccesibles, o no capturaron los valores asintóticos para\ncantidades importantes como la entropía. Creemos que 500 actualizaciones son lo suficientemente conservadoras\npara captar las propiedades de estas soluciones, sin embargo.\nLa Figura 4(a) muestra la dependencia de la tasa de error de bits en la carga, que también es\nequivalente a L/C. Hay un aumento monotónico en la tasa de error de bits con la carga y el\nla aparición y coexistencia de dos soluciones separadas por encima de un determinado punto; en el caso\nde los 6 : 3 código el punto por encima del cual coexisten las dos soluciones es PSD = 10.23dB como\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 17\n−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10\nDensidad de potencia espectral [dB]\nIrreg.\nP. Reg.\nDense0 1 2 3 4 5 6 7 8\n−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10\nDensidad de potencia espectral [dB]\nIrreg.\nP. Reg.\nDenso(b)\n−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10\nDensidad de potencia espectral [dB]\nIrreg.\nP. Reg.\nDenso\n2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6\n−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10\nDensidad de potencia espectral [dB]\nIrreg.\nP. Reg.\nReg. Tipo 1\nReg. Tipo 2\nGráfico 2 Desempeño de la escasa configuración CDMA de grado variable y factorial\nconnectividades C : L = 3 : 3, respectivamente; todos los datos presentados sobre la base de 100 ejecuciones, error\nlas barras se omiten y son típicamente pequeñas en las subfiguras (a)-(c) la suavidad de las curvas\nser característico de este nivel (precisión numérica fue excelente sólo en\nPSDs). (a) La tasa de error de bits está limitada por el componente desconectado en el caso de\ncódigos irregulares, de lo contrario las tendencias coinciden con el caso denso, más bajo limitado por el SUG. Inset\n- el rango donde los casos poco regulares y densos se cruzan.b) Eficiencia de los usuarios múltiples\nindica que los códigos de conectividad de usuario regulares superan el caso denso por debajo de algunos PSD.\nc) La eficiencia espectral [——] muestra tendencias similares, siendo positiva la entropía.\nLa brecha entre la información mutua [· · · · · ·] y la eficiencia espectral (mostrada en el\ninset) es en todas partes pequeño y especialmente en PSD pequeño y grande, lo que indica poco\npérdida de información en el proceso de decodificación. d) Los dos indicadores muestran los resultados medios\npara las dos estimaciones de estabilidad diferentes en el algoritmo para el código regular. Hay\nerrores sistemáticos en la PSD pequeña, y la convergencia es buena sólo en la PSD intermedia.\nLas líneas representan la media de estas cantidades para cada conjunto – todos los conjuntos muestran\nuna cúspide en algunos PSD, para 3 : 3 códigos los diversos conjuntos muestran tendencias muy similares,\nindicando la estabilidad local en todas partes.\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 18\n−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10\nDensidad de potencia espectral [dB]\nDenso\n0 1 2 3 4 5 6 7 8\nDensidad de potencia espectral [dB]\nDenso\nGráfico 3 El efecto de aumentar la densidad para el conjunto regular: (a) Multiusuario\neficiencia, b) eficiencia espectral [——] e información mutua [– – –]. Datos presentados sobre\nla base de 10 carreras, las barras de error se omiten pero de un tamaño comparable con la suavidad\nde las curvas. El rendimiento de códigos escasos se aproxima rápidamente al del código denso\nEn todas partes. El umbral PSD más allá del cual el denso código supera al escaso\nEl código es bastante estable.\nindicado por la línea punteada vertical.\nUtilizamos el código regular 6 : 3 para demostrar la coexistencia de la solución que se encuentra arriba\nalgunos PSD en varios códigos. El inicio de la distribución bimodal puede ser identificado por\nla divergencia en el tiempo de convergencia en el régimen de solución única (el tiempo para\nhistogramas ferromagnéticos y aleatorios para converger a una distribución común). La hora\npara que esto ocurra, en una estadística y precisión elegida heurísticamente, se representa en la figura 4(b).\nPor una regresión lineal ingenua a lo largo de 3 décadas encontramos un exponente de la ley de poder de 0,59 y\nun punto de transición de PSD = 10.23dB, pero no puede proporcionar una medida de la bondad de ajuste a\nestos datos. Esto representaría el punto en el que coexisten al menos dos soluciones estables.\nMás allá de PSD 12dB sólo una solución estable se encuentra de ambos al azar y\ncondiciones iniciales ferromagnéticas, correspondientes estadísticamente a la continuación del\nsolución. Una solución que se asemeja estadísticamente a una continuación de la mala solución es\na veces llegados de ambas condiciones iniciales, esta solución tuvo una estabilidad positiva\nparámetro y entropía negativa – así que no es una solución viable. Así predecimos un segundo\ntransición dinámica en la región de 12dB, como podría adivinarse en comparación con el\ncaso denso y observación de la tendencia en el parámetro de estabilidad [véase la figura 4, letra c)].\nLos resultados de estabilidad se presentan en la figura 4 c). Sólo se encontraron dos soluciones estables\nen la región más allá de este punto crítico y hasta 12dB, que inferimos que es viable RS\nsoluciones (donde la entropía es positiva). La mala solución hasta 12dB tiene un bien resuelto\nvalor negativo. La buena solución tiene un valor negativo en su media, pero como otros cerca\nsoluciones ferromagnéticas investigados resultados son muy ruidosos debido a cuestiones numéricas relacionadas\na resolución de histogramas.\nTanto la capacidad como la eficiencia espectral aumentan monótonamente con la carga como se muestra en\nFigura 4 d). Para el código 6 : 3 vemos una separación de las dos soluciones en PSD = 10.23dB\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 19\n−4 −2 0 2 4 6 8 10 12\nDensidad de potencia espectral [dB]\n6:3 (Bad)\n6:3 (Bien)\n - División del Sector Privado\nMedia de datos\nAjuste lineal\nLímites\n−4 −2 0 2 4 6 8 10 12\nDensidad de potencia espectral [dB]\n6:3 (Bad)\n6:3 (Bien)\n−4 −2 0 2 4 6 8 10 12\nDensidad de potencia espectral [dB]\n6:3 (Bad)\n6:3 (Bien)\n8 10 12 \nGráfico 4 El efecto de la carga de canal α sobre el rendimiento para el conjunto regular. Datos\npresentado sobre la base de 10 tiradas, las barras de error omiten pero se caracterizan por la suavidad\nde curvas. Las líneas rotas indican los códigos analógicos densos. La línea punteada vertical\nindica el punto más allá del cual 6 : 3 condiciones iniciales aleatorias y ferromagnéticas fallaron\npara converger a la misma solución, ambas soluciones dinámicamente estables se muestran más allá de\nEste punto. (a) Hay un aumento monotónico en la tasa de error de bits con el aumento de la carga.\n(b) La investigación del código 6 : 3 (α = 2) indica una divergencia en el tiempo de convergencia como\nPSD → 10,23dB con exponente 0,59 basado en una regresión lineal simple de 15 puntos (cada uno\npunto es la media de 10 carreras independientes). Más allá de este punto diferentes condiciones iniciales\ndar lugar a una de dos soluciones. c) Se determinó que el parámetro de estabilidad era negativo\npara todas las soluciones convergentes, indicando la idoneidad de la RS. Donde la solución está cerca\nferromagnético la medida de estabilidad se vuelve rápidamente muy ruidoso (como se muestra para el 5 : 3\ny 6 : 3 códigos). d) A medida que aumenta la carga α hay un aumento monotónico de la capacidad.\nLa eficiencia espectral de la solución ’malo’ supera 2 en un pequeño intervalo (equivalente a\nEntropía negativa), similar al comportamiento notificado para el caso denso.\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 20\n(línea vertical punteada.) Las líneas discontinuas corresponden a un comportamiento similar observado en el\ncaso denso (el rango de interés se magnifica en el conjunto.) Una cruz en la entropía de la\ndos soluciones distintas, cerca de PSD 11dB, es indicativo de una transición de fase de segundo orden.\nComo en el caso denso, sólo la solución de menor eficiencia espectral es termodinámicamente\nrelevante en un determinado PSD, aunque es probable que el otro sea importante en la decodificación de la dinámica.\nLas tendencias en el caso escaso siguen el caso denso cualitativamente, con la buena solución\ntener un rendimiento ligeramente peor que la solución correspondiente en el caso denso\n(y viceversa para la mala solución).\nLa entropía de la mala solución se vuelve negativa en un pequeño intervalo (espectral\nla eficiencia supera el 2), aunque no se observa inestabilidad local. La estática y dinámica\nLas propiedades de los histogramas parecen estar bien resueltas en esta región. Sin embargo, el\nEntropía negativa indica inestabilidad hacia un tipo de solución no capturada\ndentro del supuesto RS, o hacia alguna configuración metaestable. No lo haremos.\nespecular aún más, la mala solución es en cualquier caso termodinámicamente subdominante en\nsu forma baja y negativa de entropía.\nNuestra hipótesis es, por lo tanto, que las tendencias en los conjuntos escasos coinciden con los de\nlos conjuntos densos dentro de la región de convivencia y RS siguen siendo válidos para cada\nde dos soluciones distintas de entropía positiva. La región de convivencia para los códigos escasos es\nSin embargo más pequeño que en los correspondientes conjuntos densos. Desde la actualización de nuestro histograma\nreflejar las propiedades de un algoritmo de propagación de creencias en un gráfico aleatorio que podemos sospechar\nque la mala solución puede tener implicaciones para la realización de la propagación de creencias\nla decodificación en la región de coexistencia, y que los problemas de convergencia aparecerán cerca de\nregión. En los códigos regulares del usuario se investigó la mala solución del conjunto escaso\nsupera la mala solución del conjunto denso, y viceversa para la buena solución.\nPor lo tanto, independientemente de si el bajo rendimiento de decodificación es bueno o malo, el dinámico\npunto de transición para el conjunto denso correspondería a un PSD más allá del cual denso\nCDMA supera a CDMA en una carga en particular.\n4.2. Eficiencia espectral Resultados numéricos más bajos\nFinalmente presentamos la figura 5, que muestra la información mutua entre una sola\nchip y bits transmitidos para conjuntos escasos de conectividad de chips diferentes en el infinito\nPSD (límite cero de ruido) (15). Esto muestra que en la expectativa de un chip extraído de la\nconjunto regular contiene más información sobre los bits transmitidos que un chip dibujado\nde cualquier otro conjunto (incluido el conjunto Poissonian). La diferencia entre la\nlos conjuntos regulares y poissonianos se vuelven relativamente más pequeños a medida que L aumenta. Esto parece\nconsistente con los resultados del método de réplica encontrado en alta PSD, aunque chip regular\nconectividad subrealizada en comparación con la conectividad de chip distribuida de Poisson\nen el régimen de baja PSD, que no estaba previsto por la aproximación de un solo chip.\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 21\n0 5 10 15 20 25\nConectividad media del chip, L\nPoissonian\nGráfico 5 Un PSD → • límite a la información mutua esperada entre un solo chip,\ny los bits transmitidos. La información mutua es más alta para las conexiones regulares de chip,\ncon el resultado de conectividad de chip Poissonian también se muestra, la discrepancia se convierte en\nrelativamente pequeño a medida que L aumenta. El conjunto muestra la información mutua/bit decodificada\nEn el caso de las empresas de servicios de inversión, el importe de la ayuda se calcula sobre la base del importe total de la ayuda concedida en virtud del artículo 107, apartado 1, letra b), del Tratado, de conformidad con el artículo 107, apartado 1, del TFUE.\nmostrar más detalles en los casos de pequeño L.\n5. Observaciones finales\nNuestros resultados demuestran la viabilidad de códigos regulares escasos para su uso en CDMA. En\nPSD moderado parece que el rendimiento de códigos regulares escasos puede ser muy bueno. Con\nla suposición simétrica réplica aparentemente válida en PSD práctica es probable que rápido\nalgoritmos basados en la propagación de creencias pueden ser muy exitosos en el logro de la teoría\nresultados. Por otra parte, para los códigos de menor densidad escasa el problema del régimen de coexistencia,\nque limita el rendimiento de los métodos prácticos de decodificación, parece ser menos omnipresente\nque para conjuntos densos en el régimen sobre saturado.\nUna evaluación directa de las propiedades de la propagación de creencias puede demostrar resultados similares\na los que se muestran aquí. En ausencia de réplica de estados de rotura de la simetría es normalmente\nverdad que la propagación de la creencia funciona muy bien. Sin embargo, para hacer el mejor uso del canal\nlos recursos pueden ser preferibles para aplicar regímenes de alta carga en los casos de alta PSD, y\nsuperar los problemas algorítmicos que surgen de la convivencia de la solución es un reto\nde importancia práctica en este caso.\nSin duda, otras cuestiones prácticas en la aplicación son importantes. Similar al caso\ndenso CDMA hay problemas considerables relacionados con el multipath, el desvanecimiento y el poder\ncontrol, de hecho se sabe que estos efectos son más perturbadores para los códigos escasos,\nespecialmente códigos regulares. Sin embargo, ciertas situaciones como la radiodifusión (una a muchas)\ncanales y enlace descendente CDMA, donde se puede suponer la sincronización, puede ser práctico\npuntos para su futura aplicación. Hay ventajas prácticas del caso escaso sobre\ncódigos densos y ortogonales en algunos regímenes. Es probable que el escaso método CDMA sea\nespecialmente útil en el acceso múltiple a la división de código de frecuencia y tiempo de salto\nAplicaciones (FH y TH -CDMA) donde el efecto de estas limitaciones prácticas es menor\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 22\nEn este sentido, se ha hecho hincapié en la necesidad de mejorar la calidad de vida de los trabajadores.\nExtensiones basadas en nuestro método a casos sin control de potencia o sincronización\nhan sido intentados y son bastante difíciles. Examen de los antecedentes de las aportaciones, en\nparticular los efectos cuando la CDMA escasa se combina con algún método de codificación puede\nTambién ser interesante.\nAgradecimientos\nSoporte de EVERGROW, IP No. 1935 en el VIPM de la UE es agradecido.\nDS quisiera agradecer a Ido Kanter por sus útiles discusiones.\nBibliografía\n[1] S. Verdu. Detección multiusuario. Cambridge University Press, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 1998.\n[2] M. Yoshida y T. Tanaka. Análisis de cdma escasamente difundido a través de la mecánica estadística. En las deliberaciones\n- Simposio internacional de la IEEE sobre teoría de la información, 2006, págs. 2378 a 2382, 2006.\n[3] T. Tanaka. Un enfoque estadístico-mecánico para el análisis de grandes sistemas de detectores multiusuario de cdma.\nTeoría de la Información, IEEE Transactions on, 48(11):2888–2910, Nov 2002.\n[4] D. Guo y S. Verdu. Comunicaciones, Información y Seguridad de Redes, capítulo Multiusuario\nDetection and Statistical Mechanics, págs. 229 a 277. Kluwer Academic Publishers, 2002.\n[5] H. Nishimori. Física Estadística de Gafas Giratorias y Procesamiento de la Información. Oxford Science\nPublicaciones, Oxford, Reino Unido, 2001.\n[6] M. Mezard, G. Parisi, y M.A Virasoro. Spin Glass Theory and Beyond. Científicos Mundiales,\nSingapur, 1987.\n[7] A. Montanari y D. Tse. Análisis de la propagación de creencias para problemas no lineales: El ejemplo\nde cdma (o: Cómo probar la fórmula de tanaka). Taller sobre información de la IEEE en el marco de los procedimientos\nTeoría, 2006.\n[8] Y. Kabashima. Un enfoque estadístico-mecánico para la detección de cdma multiusuario: creencias de propagación\nen un gráfico densamente conectado. cond-mat/0210535, 2002.\n[9] J.P Neirotti y D. Saad. Mejor paso de mensajes para inferencia en sistemas densamente conectados.\nEurophys. Lett., 71(5):866-872, 2005.\n[10] A. Montanari, B. Prabhakar y D. Tse. Detección multiusuario basada en la propagación de creencias. In\nActas de la Conferencia de Alerton sobre Comunicación, Control e Informática, Monticello,\nUSA, 2006.\n[11] D. Guo y C. Wang. Detección multiusuario de cdma disperso. (no publicado), 2007.\n[12] T. Tanaka y D. Saad. Un análisis estadístico-mecánico de cdma codificado con códigos ldpc regulares.\nEn Actas - Simposio Internacional del IEEE sobre Teoría de la Información, 2003., pág. 444 y 2003.\n[13] D.J. MacKay. Teoría de la Información, Inferencia y Algoritmos de Aprendizaje. Cambridge University Press,\n2004.\n[14] J. Raymond y D. Saad. Aleatoriedad y metaestabilidad en paradigmas de cdma. arXiv:0711.4380,\n2007.\n[15] R. Vicente, D. Saad e Y. Kabashima. Avances en Física de Imágenes y Electrones, volumen 125,\nCapítulo Códigos de Control de Paridad de Baja Densidad - Perspectiva de Física Estadística, páginas 231–353.\nAcademic Press, 2002.\n[16] M Talabrand. La fórmula parisi generalizada. Comptes Rendus Mathematique, 337(2):111-114, 2003.\n[17] S. Franz, M. Leone, y F.L. Toninelli. Replica límites para sistemas de giro diluidos no poissonianos.\nRevista de Física A: Matemática y General, 36(43):10967–10985, 2003.\n[18] F. Guerra. La réplica rota de los enlaces de simetría en el campo medio Spin Glass Modelo. Comunicaciones\nen Física Matemática, 233:1-12, 2003.\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 23\n[19] R. Monasson. Problemas de optimización y réplica de la simetría rompiendo en finito giro de conectividad\ngafas. J. Phys. A, 31(2):513-529, 1998.\n[20] K.Y.M. Wong y D. Sherrington. Gráfica bipartición y gafas de centrifugación en una red aleatoria de\nvalencia finita fija. J. Phys. A, 20:L793–99, 1987.\n[21] M. Mezard y G. Parisi. Revisó el vidrio de la retícula de la retícula. Euro. Phys. Jour. B, 20(2):217-233,\n2001.\n[22] O. Rivoire, G. Biroli, O.C. Martin, y M. Mzard. Modelos de vidrio en las celosías. Euro. Phys. J.\nB, 37:55–78, 2004.\n[23] Y. Kapashima. Propagando creencias en modelos de vidrio giratorio. J. Phys. Soc. Jpn., 72:1645–1649, 2003.\n[24] J. Raymond, A. Sportiello, y L. Zdeborov. El diagrama de fase de la satisfacción aleatoria 1-en-3\nproblema. Phys. Rev. E., 76(1):011101, 2007.\n\tAntecedentes\n\tEl modelo\n\tConjuntos de código\n\tMetodología\n\tEficiencia espectral Acoplamiento inferior\n\tEsquema del método de réplica\n\tEcuaciones simétricas réplica\n\tDinámica de la población\n\tAnálisis de estabilidad\n\tResultados\n\tRegímenes de Coexistencia de Solución\n\tEficiencia espectral Resultados numéricos más bajos\n\tObservaciones finales\n"}}},{"rowIdx":92,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0099,"string":"704.0099"},"title":{"kind":"string","value":"On Ando's inequalities for convex and concave functions"},"full_text":{"kind":"string","value":"Sobre las desigualdades de Ando para convexos y cóncavos\nfunciones\nKoenraad M.R. Audenaert\nInstituto de Ciencias Matemáticas, Imperial College de Londres,\n53 Prince’s Gate, Londres SW7 2PG, Reino Unido\nJaspal Singh Aujla\nDepartamento de Matemáticas Aplicadas, Instituto Nacional de Tecnología,\nJalandhar 144011, Punjab, India\nResumen\nPara matrices semidefinidas positivas A y B, Ando y Zhan demostraron las desigualdades\nf(A) + f(B) ≥ f(A + B) y g(A) + g(B) ≤ g(A + B), para cualquier\nnorma unitariamente invariante, y para cualquier monotono de operador no negativo f en [0,\ncon función inversa g. Estas desigualdades se han generalizado muy recientemente a\nfunciones cóncavas no negativas f y funciones convexas no negativas g, por Bourin\ny Uchiyama, y Kosem, respectivamente.\nEn este artículo consideramos la pregunta relacionada si las desigualdades f(A)−\nf(B) ≤ f(A−B), y g(A)− g(B) ≥ g(A−B), obtenido por Ando,\npara el operador monotona f con g inversa, también tienen una generalización similar a non-\nnegativo cóncavo f y convex g. Contestamos exactamente esta pregunta, en el negativo\npara matrices generales, y afirmativamente en el caso especial cuando A ≥ B.\nEn el curso de este trabajo, introducimos la noción novedosa de Y - majori dominado\nsation entre los espectros de dos matrices ermitañas, donde Y es en sí mismo un ermitaño\nmatriz, y demostrar una cierta propiedad de esta relación que permite fortalecer la\nlos resultados de Bourin-Uchiyama y Kosem, mencionados anteriormente.\nPalabras clave: Desigualdad de las normas de la matriz, funciones convexas, majorización.\n1991 MSC: 15A60\nDirección de correo electrónico: k.audienaert@imperial.ac.uk (Koenraad M.R. Audenaert),\naujlajs@nitj.ac.in (Jaspal Singh Aujla).\nPreprint enviado a Elsevier el 1 de noviembre de 2018, 20:38\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0099v1\n1 Introducción\nEn [1], Ando demostró las siguientes desigualdades por semidefinido positivo (PSD)\nmatrices A, B, y cualquier norma unitariamente invariante (UI). Para cualquier no negativo\nfunción monotona del operador f(t) en [0,\nf(A)− f(B) ≤ f(A−B), (1)\ny, cuando f(0) = 0 y f() = , y g es la función inversa de f,\ng(A)− g(B) ≥ g(A−B). 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. \nEn un artículo posterior [2], Ando y Zhan demostraron las desigualdades relacionadas (con el\nlas mismas condiciones en f y g)\nf(A) + f(B) ≥ f(A+B), (3)\ng(A) + g(B) ≤ g(A+B). 4)\nLas condiciones en f son satisfechas por cada función cóncava del operador f con\nf(0) = 0.\nLa desigualdad (4) fue generalizada por Kosem [7] a funciones convexas no negativas\ng en [0,l), con g(0) = 0. La desigualdad (3) se generalizó muy recientemente a\nfunción cóncava no negativa en [0,0]) por Bourin y Uchiyama [5], que\nTambién dio una prueba más simple del resultado de Kosem.\nEn el mismo espíritu, consideramos la cuestión de si las desigualdades (1) y (2)\nTambién se puede generalizar a f cóncavos no negativos y g convexos, respectivamente.\nDespués de introducir los prerrequisitos necesarios en la sección 2, presentamos nuestra\nlos resultados relativos a esta cuestión en la sección 3. Lamentablemente, la mayoría de nuestros resultados\nson respuestas negativas, y damos contraejemplos a esta generalización. Los\nrespuesta es incluso negativa para el caso especial A ≥ B, aunque la aparente\nla dureza de encontrar contraejemplos nos había llevado temporalmente a creer\nque en ese caso la generalización podría realmente sostener.\nSin embargo, no todo son malas noticias. En la Sección 4 respondemos afirmativamente a la pregunta\nen el caso especial cuando A ≥ B. En la sección 5, introducimos la noción novedosa\nde la mayoría dominada por Y entre los espectros de dos matrices ermitañas,\ndonde Y es en sí misma una matriz ermitaña. Demostramos cierta propiedad de esto.\nla relación, es decir, la Proposición 3, que posteriormente utilizamos, primero en un\nmoda destructiva. A decir verdad, la Proposición ha sido instrumental finalmente\ndescubrir un contraejemplo de la generalización de (1) para A ≥ B;\nse indicarán en la sección 6. En el lado más constructivo, la Proposición también\npermite fortalecer los resultados de Bourin-Uchiyama y Kosem mencionados\narriba. Este es el tema de la sección final, junto con algunas otras aplicaciones.\n2 Preliminares\nEn esta sección, introducimos las anotaciones y los prerrequisitos necesarios; más\nPuede encontrarse una exposición detallada, por ejemplo: en [4]. Usaremos las abreviaturas LHS\ny RHS para el lado izquierdo y derecho, respectivamente.\nDenotamos el vector de entradas diagonales de una matriz A por Diag(A).\nDenotamos el valor absoluto por ·, tanto para escalares como para matrices. Por\nmatrices esto se define como A := (A*A)1/2. Del mismo modo, denotamos el positivo\nparte de una matriz escalar real o ermitaña por (·)+, y definirlo por A+ :=\n(A+ A)/2.\nEn este documento, nos ocupamos principalmente del aumento monótono convexo\nfunciones cóncavas de R a R. Kosem señaló en [7] que tal función\npuede ser aproximado por una suma de funciones de ángulo x 7→ ax+ b(x−x0)\n+, donde\na ≥ 0, y b > 0 para una función de ángulo convexo (b < 0 para una cóncava).\nTambién nos preocupan las normas de matriz unitariamente invariantes (UI), que\ndenotamos por ·, y que se definen en términos de los valores singulares\nSólo de la matriz. Aprobamos la convención consuetudinaria de que el singular\nlos valores se ordenan en orden de no-aumento: 1 ≥ 2 ≥. . ≥ d. Casos especiales\nde estas normas son la norma del operador ·, que es justo igual a la más grande\nvalor singular 1(·), y las normas Ky Fan · (k), que se definen como la\nsuma de los k valores singulares más grandes:\nA(k) :=\nj(A).\nEl famoso teorema de dominio Ky Fan afirma que una matriz B domina\notra matriz A en todas las normas de UI si y sólo si lo hace en todas las normas de Ky Fan.\nEste último conjunto de relaciones puede ser escrito como una débil relación de mayorización\nentre los vectores de valores singulares de A y B:\n(A) (B) :\nj(A) ≤\nj(B), k.\nPara las matrices PSD, la relación de dominación anterior se traduce en un\nsación entre los vectores de los valores propios:\nEl teorema de la monotonicidad de Weyl ([4], corolario III.2.3) afirma que\nk(A) ≤ \nk(A + B), k,\npara el ermitaño A y el positivo semi-definido B. Aquí, (A) denota el (real)\nvector de valores propios de A ordenados en orden no creciente.\nFinalmente, remitimos al lector al Capítulo 2 de [6] para una exposición de un número\nde importantes propiedades analíticas funcionales de los valores propios y correspondientes\neigenspaces de una matriz ermitaña, que necesitaremos en la prueba de Propo-\nSituación 2.\n3 Principales resultados\nLa cuestión que nos ocupa es la de la generalización directa de las\nigualdad (2) a funciones convexas no negativas.\nPregunta 1 Para todas las normas A,B,≥ 0, para todas las normas de la interfaz de usuario, y para las convexas no negativas\nfunciones g en [0,) con g(0) = 0, hace la desigualdad g(A) − g(B) ≥\ng(A− B) hold?\nLa respuesta a esta pregunta es negativa, como lo demuestra la siguiente\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Se considera la función del ángulo convexo g(x) = x + (x − 1)+ y la\nnorma del operador. Para las matrices PSD 2×2\n0,9 0\n0 0,6\n, B =\n0,8 0,5\n0,5 0,4\n, (5)\nlos valores propios de g(A− B) son 0,65249 y 0,35249, mientras que los de g(A)−\ng(B) son 0,65010 y −0,48862. Así, g(A − B) = 0,65249, que es\nmayor que g(A)− g(B) = 0,65010. â € € TM TM\nBajo la restricción adicional A ≥ B, el valor absoluto en el argumento\nde g en el lado derecho desaparece, lo que conduce a una declaración simplificada, y un\nLa segunda pregunta, con mejores esperanzas de éxito. Introducción de la matriz • =\nA− B,\nPregunta 2 Para todas las normas B ≥ 0, para todas las normas de la interfaz de usuario y para las convexas no negativas\nfunciones g en [0,) con g(0) = 0, hace la desigualdad g(B)−g(B) ≥\ng() hold?\nEste caso restringido también resulta tener una respuesta negativa. Contraexamen...\nSin embargo, los problemas eran mucho más difíciles de encontrar, y requerían una reducción de la prob-\nsión, que se basa en ciertos resultados sobre una nueva relación como la de la majorización, que\nLlamamos a la mayoría dominada por Y. Este será el tema de las secciones 5\ny 6, donde una serie de Proposiciones de interés independiente son probadas.\nTambién es muy razonable preguntar:\nPregunta 3 Para todos los B ≥ 0, para todas las normas de la interfaz de usuario y para los cóncavos no negativos\nfunciones f en [0,), hace la desigualdad f(B + ) − f(B) ≤ f()\n¿Esperar?\nDe hecho, si esto fuera cierto, una respuesta positiva a la pregunta 2 vendría fácilmente después,\nutilizando el mismo razonamiento que se utilizó en [5] para derivar la generalización de\n(3) de la generalización de (4).\nDe nuevo, esta declaración es falsa, como muestra el siguiente contraejemplo. Considerar\nla función del ángulo cóncavo f(x) = min(x), 1) = x − (x − 1)+, y el 3 × 3\nMatrices PSD\n0,701816 0,317887 0.198910\n0,317887 1,014950 −0,093826\n0.198910 −0,093826 0,274236\n0,192713 0 0\n0 0,446505 0\n0 0 0,455416\nUno consigue\nf() = 0,455416\nmientras\nf(B )− f(B) = 0,455776.\nEn la sección 4, consideramos un caso especial aún más restringido, en el que el\nLas desigualdades (1) y (2) finalmente se mantienen. De hecho, probamos que un más fuerte\nen este caso especial:\nProposición 1 para la función no negativa, monótonamente creciente y cóncava\nciones g, y A,B ≥ 0 tales que A ≥ B, tenemos\n(g(A−B)) ≥ (g(A)− g(B)). 6)\nUn corolario fácil es la declaración correspondiente para el aumento monótono\nfunciones convexas.\nCorollary 1 Dejar que f sea una función convexa no negativa en [0,] con f(0) = 0.\nDejar A,B ≥ 0 Tal que A ≥ B. Entonces\n(f(A−B)) ≤ (f(A)−f(B)). 7)..................................................................................................................................................\nPrueba. Que f = g−1, con g satisfaciendo las condiciones de la Proposición 1. Reemplazar\nen (6) A por f(A) y B por f(B), produciendo\n(g(f(A)− f(B))) ≥ (A− B).\nAplicar la función f en ambos lados no cambia el orden, porque\nde la monotonicidad de f, y da validez a la desigualdad (7). â € € TM TM\nEstos dos resultados implican obviamente las correspondientes relaciones de mayorización,\ny por el dominio de Ky Fan, las relaciones en cualquier norma de la interfaz de usuario.\n4 Prueba de la Proposición 1\nQueremos demostrar la desigualdad (6):\n(g(A)− g(B)) ≤ (g(A−B)),\npara A,B ≥ 0,A ≥ B, y cóncavo, aumentando monótonamente y no-\ng negativo.\nW.l.o.g. asumiremos B = 1, ya que cualquier otro valor puede ser absorbido en\nla definición de g.\nEstá inmediatamente claro que si (6) mantiene para g que además satisfacen g(0) = 0,\nentonces también debe mantenerse sin esa restricción, es decir. para las funciones g(x)+c, con\nc ≥ 0. Esto se debe a que la constante adicional c cae en el LHS, mientras que\n(g(A−B) + c) ≥ (g(A−B)).\nAdemás, (6) sigue siendo válido al sustituir g(x) por ag(x), para un > 0.\nAsí, w.l.o.g. podemos asumir g(0) = 0 y g(1) = 1. Junto con la concavidad\nde g, esto implica que, para 0 ≤ x ≤ 1, g(x) ≥ x, mientras que para x ≥ 1, el derivado\ng′(x) ≤ 1.\nDesde 0 ≤ B ≤ 11, y para 0 ≤ x ≤ 1, g(x) ≥ x mantiene, tenemos g(B) ≥ B,\no −g(B) ≤ −B. Por monotonicidad Weyl, esto implica (g(A) − g(B)) ≤\n(g(A)-B). Por lo tanto, la declaración (6) estaría implícita en la declaración más fuerte\n(g(A)−B) ≤ (g(A−B)). (8)\nAhora tenga en cuenta que el argumento de g en el LHS, A, nunca está por debajo de 1. Por lo tanto, en\nprincipio, podríamos reemplazar g(x) en el LHS por otra función h(x) definida\nh(x) =\ng(x), si x ≥ 1\nx, de lo contrario.\nSi también lo hacemos en el RHS, obtenemos una declaración más fuerte que (8). De hecho,\nh(x) ≤ g(x) para x ≥ 0 y A − B ≥ 0, y por lo tanto h(A − B) ≤ g(A − B)\nEspera. Por la monotonicidad de Weyl de nuevo, vemos que (8) está implícito por\n(h(A)−B) ≤ (h(A−B)). (10)\nLa importancia de este movimiento es que h(x) sigue siendo un aumento monótono\ny función cóncava (porque g′(x) ≤ 1 para x ≥ 1), pero ahora tiene gradiente\nh′(x) ≤ 1 para x ≥ 0.\nDefinir C = A−B, que es semi-definido positivo, ahora tenemos que mostrar el\ndesigualdad\nk(h(C +B)− B) ≤ \nk(h(C)) = h(\nk(C)),\npor cada k. Fijación de k, e introducción de la taquigrafía x0 = \nk(C), podemos\nexplotar la concavidad de h a la unión superior como h(x) ≤ a(x − x0) + h(x0), donde\na = h′(x0) ≤ 1. De nuevo por la monotonicidad de Weyl, encontramos\nk(h(C +B)− B)\nk(a(C + B − x0) + h(x0)− B)\nk(aC + (a− 1)B − ax0 + h(x0))\nk(aC)− ax0 + h(x0) = h(x0),\ndonde en la segunda línea podríamos eliminar el término (a−1)B porque es nega-\ntivo. Esto es cierto para todos k, hemos demostrado (10) y todas las declaraciones anteriores\nque se desprenden de ella, incluida la declaración del Teorema. â € € TM TM\n5 En la mayoría dominada por Y\nPara responder a la pregunta 2, tenemos que considerar la propiedad que una función convexa\nf satisface\n(f) () (f) (f) (B) (f) (B) (11)\npara todos los PSD B y........................................................................................................................................................................................................................................................... \n(f(A−B)) (f(A)−f(B)) (12)\npara todos los A ≥ B ≥ 0.\nEl ángulo convexo monotono funciona x 7→ ax + (x − 1)+ (a ≥ 0) ya\nhan demostrado su valor como campo de ensayo para declaraciones similares, en la sección\n3. Los experimentos numéricos que utilizan funciones de ángulo para la desigualdad (11) no\ndirectamente conducen a cualquier contraejemplo, sin embargo. Esto aumentó temporalmente\nnuestra creencia de que la desigualdad podría sostenerse, y nos llevó a investigar,\ncomo primer paso hacia una \"prueba\", si la desigualdad\nj(aY +B) ≤\nj(aY + C)\npuede ser cierto para todos a ≥ 0, donde B = f(Y) y C = f(X + Y)− f(X), y\nf(x) = (x−1)+. La observación crucial es ahora que si esto se mantiene para todos a ≥ 0,\nentonces, en realidad, una relación mucho más fuerte que sólo la majorización debe sostener\nentre aY + B y aY + C.\nPara describir este fenómeno, vamos a considerar un entorno algo más amplio. Vamos.\nG y C sean matrices ermitañas, y dejen que f1 y f2 sean monótonamente crecientes\nfunciones reales en R. Supongamos que para todos a ≥ 0, lo siguiente sostiene:\nj(aA +B) ≤\nj(aA+ C), (13)\ncon A = f1(G) y B = f2(G).\nSe ve fácilmente que si (13) se mantiene para un cierto valor de a, también se mantiene para todos\nvalores positivos más pequeños. Let b ser un escalar tal que 0 ≤ b < a. Porque ambos\nA y B exhiben sus valores propios como elementos diagonales en la eigenbasis de G,\ny ambos en orden no creciente, obtenemos\nj(aA +B) =\nj (bA+B) + (a− b)\nj A).\nPor otro lado, para aA + C sólo tenemos la desigualdad de subadditividad\nj (aA+ C) ≤\nj(bA + C) + (a− b)\nj(A).\nComo consecuencia, obtenemos que, de hecho,\nj (bA+B) ≤\nj(bA + C)\nsigue de (13).\nPor lo tanto, nos llevan a considerar lo que sucede cuando una tiende a infinito, porque\nese valor domina a todos los demás. Sustracción\nj=1 \nj(aA) por ambos lados, y\nsustituyendo a = 1/t, obtenemos\nj(A + tB)− \nj(A)) ≤\nj(A+ tC)− \nj(A)).\nEn el límite de t va a 0, esto produce una comparación entre derivados:\nj(A + tB) ≤\nj(A+ tC). (14)\nDemostraremos a continuación que los derivados\nj (A + tC) son la diagonal\nelementos de C en una determinada base dependiendo de G y C. Vamos a introducir primero\nel vector (C;A) cuyas entradas satisfagan la siguiente relación:\n(C;A) :=\nj(A+ tC). (15)\nCon esta notación, la relación (14) se convierte en\nj(B;G) ≤\nj(C;G).\nEs decir, las entradas de B;G están “mayorizadas” por las de C;G. ¿Cómo...?\nen la mayoría de los casos, ya que la mayoría de los\nausencia de reordenación de las entradas en orden decreciente.\nIntroduciendo el símbolo \"dw\" para la débil mayorización con la falta de reordenación-\nmento:\na â € € TM € TM € TM TM € TM TM TM TM â € TM TM TM â TM TM TM TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM\nbj, (16)\nrelación (14) se expresa como\n(B;G) (C;G) (dw) (C;G). (17)\nPara justificar estas anotaciones, ahora mostramos:\nProposición 2 Que A y C sean matrices ermitañas. Con la definición del punto C;A) de la parte siguiente:\n(15), las entradas del vector ♥(C;A) son las entradas diagonales de C en un determinado\nbase en la que A es diagonal y sus entradas diagonales aparecen ordenados en non-\naumento del orden. Cuando todos los valores propios de A son simples (es decir, tener multiplicidad\n1), esta base es sólo la eigenbasis de A y no depende de C.\nPrueba. Hay tres casos que considerar, según que A no sea\ndegenerado, A + tC tiene una degeneración accidental en t = 0, o A + tC es\nDegenerado permanentemente.\n1. El caso más importante es cuando todos los valores propios de A son simples, es decir. cuando\ntienen multiplicidad 1. Luego mostramos que la derivada es dada por\nj(A+ tC) = Tr[Pk(A) C],\ndonde Pk(A) denota el proyector en el subespacio extendido por el k eigen-\nvectores de A correspondientes a sus valores propios más grandes k.\nPor la simplicidad de los valores propios de A, los valores propios de A + tC son también\nsimple para valores lo suficientemente pequeños de t. Esto sigue fácilmente de las desigualdades deWeyl:\nj(A) + \nn(tC) ≤ \nj (A+ tC) ≤ \nj(A) + \n1(tC);\npor lo tanto si tC es estrictamente menos de la mitad de la diferencia mínima entre\ntodos los pares de valores propios de A, la diferencia entre todos los pares de valores propios de\nA+tC está limitado a 0. Por lo tanto, para t lo suficientemente pequeño, cada valor propio\nde A+ tC tiene un eigenvector único, y como resultado Pk(A+ tC) está bien definido\ncomo la suma de los proyectores en los autovectores pertenecientes a la k más grande\nvalores propios.\nEs bien sabido que los valores propios de A+tC como funciones de la variable real\nt puede ordenarse de forma que sean funciones analíticas de t (véase [6], capítulo 2),\ny por lo tanto continua. Esto implica que el k-ésimo mayor valor propio de A+ tC\nes también una función continua de t, para cualquier k.\nSi, además, un valor propio (t) de A + tC es simple en un intervalo de t,\nentonces el proyector P (t) en el vector de origen x(t) asociado a él (con P (t) =\nx(t)x(t)*) también es analítica, y por lo tanto continua en t en este intervalo. Nosotros\nconcluir que Pk(A+ tC) es analítico en t, y por lo tanto diferenciable.\nPor la maximidad de Pk(A) en la caracterización variacional\nj(A) = máx.\nTr[AQk] = Tr[APk(A)],\ndonde Qk pasa por encima de todos los proyectores ranke-k, tenemos\nTr[APk(A + tC)] = 0,\nlo que implica\nj (A+ tC)\nTr[(A+ tC)Pk(A+ tC)]\nTr[APk(A+ tC)] +\nTr[(A+ tC)Pk(A)]\n=Tr[C Pk(A)].\nQue U sea el unitario que diagonaliza A, es decir. UAU* = (A). Entonces\nTr[C Pk(A)] =\n(UCU*)jj,\ny la declaración de la Proposición sigue.\n2. Cuando A ha degenerado valores propios, la situación se vuelve algo más\ncomplicado, pero no hay cambios realmente significativos. Ya no hay\nun eigenbasis único de A, por lo que Pk(A) no está bien definido para todos k.\nen primer lugar considerar el caso en el que C es tal que elimina la degeneración de la\neigenvalues de A en A+ tC para t lo suficientemente pequeño positivo. En ese caso Pk(A+ tC)\nse definirá de forma única para todo positivo t menos que algún valor t0, que es el\nt positivo más pequeño para el que A + tC tiene una degeneración accidental (que es\nlo que también sucede en t = 0).\nEsto ocurre, por ejemplo, cuando C tiene valores propios simples. De hecho, por analyt-\nicity de los valores propios de A + tC en t, la degeneración es accidental (para\nvalores aislados de t) o permanentes (para todos los valores de t). Puesto que todos los valores propios\nson simples para t lo suficientemente grande, tienen que permanecer simples para todos los valores de t\nexcepto posiblemente para algunos valores aislados, como t = 0, en este caso. Deje t0\nser el valor positivo más pequeño, entonces A + tC tiene valores propios simples para\n0 < t < t0.\nPor lo tanto, podemos definir Pk(A) de una manera única como el límite limt→0 Pk(A +\ntC). Esta es una opción permitida debido a la continuidad de los valores propios:\nj=0 \nk(A) = Tr[limt→0 Pk(A + tC) A]. Usando el mismo argumento que en el\nEn el caso anterior, se obtiene el valor de C;A := Tr[limt→0 Pk(A+ tC) C].\nQue Łl sean los valores propios de A (multiplicidad no contada), y Ql el projec-\nciones en los correspondientes espacios propios de A (con Q*l el correspondiente in-\nlos operadores de la conclusion); el rango de Ql es igual a la multiplicidad de Łl, que denotamos\npor ml. Para obtener los bloques diagonales Cl := QlCQ, primero construimos los bloques diagonales Cl := QlCQ\n(de tamaño ml), a continuación, tome los valores propios\n↓(Cl) en orden no creciente de cada\nbloque, y luego concatenar las secuencias obtenidas de valores propios:\n(C;A) := ((C1),. .............................................................\n↓(Cm)).\nSi todos los valores propios de A son distintos, esto se reduce al vector de diagonal\nelementos de C en la eigenbasis de A que encontramos en el caso 1.\nPor ejemplo, si (A) = (5, 5, 3, 1), entonces \n1(C1), \n2 (C1), C33, C44),\ndonde C1 =\nC11 C12\nC21 C22\ny todas las entradas de C se toman en la eigenbasis de A.\nQue U sea un unitario (que, en este caso, no es único) que diagonaliza A como\nUAU* =, y tomar los bloques diagonales Cl de UCU\n∗, como se indica más arriba. Cada bloque\nse puede diagonalizar usando una Vl unitaria. Junto con U obtenemos el total\nrotación en base W := U(\nl Vl). Por construcción,\nl Vl hojas invariantes, y\nresuelve la ambigüedad en U. Obtenemos que ♥(C;A) es el vector de diagonal\nlas entradas de C en la base obtenida mediante la aplicación de la W unitaria.\n3. Finalmente, nos fijamos en el caso cuando A + tC es permanentemente degenerado, es decir.\ncuando tiene valores propios degenerados para todos los valores de t. W.l.o.g. Sólo tenemos que hacerlo.\nver t en un intervalo [0, t0), donde t0 es el valor positivo más pequeño para el cual\nUn + tC tiene una degeneración accidental. Denotemos por los valores propios\nde A+ tC en orden no creciente, multiplicidad mj no contada, y por Pj(t)\nlos proyectores en los espacios propios correspondientes. En ese caso, Pk(A + tC) es\nsolo bien definido si hay un j′ tal que k = m1 +m2 +. .. +mj′; entonces nosotros\ntienen Pk(A + tC) = P1(t) + P2(t) +... + Pj′(t).\nSi no hay tal j′, que j′ sea el número entero más grande tal que k > m1 + m2 +\n... +mj′ =: k\n′. Así 0 < k − k′ < mj1. Entonces tenemos\nj (A+ tC)\nmiđi(t) + (k − k)\n′)j1(t)\n=Tr[(A + tC) (P1(t) +.. + Pj′(t) +\nk − k′\nmj1\nPj1(t))]\n=Tr[(A + tC) (\nk − k′\nmj1\nPkmj1(A+ tC) + (1−\nk − k′\nmj1\n)Pk′(A+ tC))].\nAsí, si definimos α := (k − k′)/mj1,\nj=1 \nj(A + tC) interpola linealmente\nentre\nj=1 \nj(A+ tC) y\n*Kmj1*\nj=1 \nj(A + tC) con parámetro α.\nProcediendo de la misma manera que en los dos casos anteriores, obtenemos para el\nderivado\nj (A+ tC) = Tr[C(αPkmj1(A) + (1− α)Pk′(A))],\ndonde el Pk(A) debe ser sustituido por los límites limt→0 Pk(A + tC) si en\nAdemás hay degeneraciones accidentales en t = 0. Consideremos las entradas\nde C otra vez como antes, en una eigenbasis de A en la que aparecen los valores propios de A\nen diagonal, en orden no creciente. Lo conseguimos.\n(C;A)k = (1− α)\nCii + α\nkmj1\nCii. (18)\nDebido a la degeneración permanente, una eigenbasis se determina hasta\nrotaciones cal” dentro de los diferentes espacios propios. Consideramos una partición de\nC en tal eigenbasis correspondiente a estos espacios propios. Es decir, en C nosotros\npuede seleccionar bloques diagonales, cada uno de los cuales corresponde al espacio propio de\neigenvalue ♥j. Podemos usar nuestra libertad para elegir las rotaciones locales para hacer\ntodos los elementos diagonales de C iguales dentro de cada bloque diagonal. Esto nos permite\ndeshacerse de la interpolación en (18), y finalmente obtenemos que, de nuevo,\n(C;A)k =\ncon las entradas de C tomadas en la eigenbasis que acabamos de elegir. â € € TM TM\nEl resultado de esta Proposición es que existe una U unitaria tal que\nUAU* = (A) y (C;A) = Diag(UCU*). En el caso genérico de que todos\n♥i(A) son distintos, U es único y no depende de C.\nUna serie de consecuencias fáciles siguen inmediatamente de esta Proposición:\nCorollary 2 Que G y C sean matrices ermitañas, f ser monótonamente\naumentar la función real en R, y g cualquier función real que aumenta estrictamente en\nR, entonces\ni) (f(G);G) = f((G)).\nii) El Teorema de la mayorización de Schur (C;G) obedece al Teorema de la mayorización de Schur: el Teorema de la mayorización de Schur (C;G) y el Teorema de la mayorización de Schur (C).\niii) (C;G) + a(f(G)) = (C + af(G);G), a ≥ 0.\niv) C; f A) = C; A).\nJunto con la equivalencia previamente demostrada de (13) con (17), el\nEl corolario conduce inmediatamente a la siguiente Proposición:\nProposición 3 Para Hermitan G,C, aumentando monótonamente las funciones reales\nf1, f2 en R, y A = f1(G), B = f2(G), los siguientes son equivalentes:\n(aA+B) (aA+C), (eA+C), (ea ≥ 0 (19))\n* (B;G) * (C;G) (20) * (B;G) * (B;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (B;G) * (B;G) * (B;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (B;G) * (B;G) * (C;G) (20)\n(aA+ B;G)(aA+ C;G)(aA+ C;G)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(A+ C;G), (a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)))(a)(a)(a)))(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a(a)(a)(a)(a)(a(a)(a)(a)(a)()(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)()(a)()()()()()()(a)()()(a)()()()(a)(a)()()()( (21)\nPrueba.\n(19) implica (20): Esto es sólo la Proposición 2.\n(20) implica (21): Añádase a(A) a ambas partes e invoque la declaración iii) de la\nCorollary.\n(21) implica (19): Por declaración (i) del corolario, el LHS de (21) es igual\na (aA+B), mientras que, por declaración (ii) del corolario, su RHS está mayorizada\npor (aA+C). â € € TM TM\n6 Contraejemplo de la pregunta 2\nSi la respuesta a la pregunta 2 es afirmativa, al menos debería ser válida para todos.\nfunciones de ángulo f(x) = ax+ b(x−x0)\n+. Por la Proposición 3 esto es equivalente a\nla declaración\n((Y − 11)+; Y ) ((X + Y − 11)\n+ − (X − 11)+; Y ).\nConsidere las matrices 3× 3\n0,35614 −0,053243 0,10116\n−0,053243 0,87456 0,40559\n0,10116 0,40559 0,82474\n0,53642 0 0\n0 0,42018 0\n0 0 0,094866\nLa eigenbasis de Y es, por lo tanto, la base estándar. A continuación, (Y − 11)+; Y ) =\n(0, 0, 0) y\n(X + Y − 11)+ − (X − 11)+ =\n−0,00018194 0,00052449 −0.0016345\n0,00052449 0,2573 0,12368\n−0,0016345 0,12368 0,04\nde modo que (X+Y −11)(X−11)+; Y ) = (−0,00018194, 0,2573, 0.04). La primera\nla entrada es negativa, violando la relación de los dw, y por lo tanto respondiendo a la pregunta\n2 en negativo. â € € TM TM\n7 Aplicaciones adicionales de la mayoría dominada por Y\nUna cuestión que tuvimos que abordar durante nuestros intentos de dar una respuesta positiva\na la pregunta 2 se refiere a la posibilidad de reducir la cuestión de la convexa\nfunciones de ángulo convexo. Una forma de hacerlo habría sido:\nposible si el conjunto de (aumentando monotonamente y convexo) funciones satisfactorias\n11) se cerraron por adición. Aunque no pudimos probar esto en particular\n(lo que es muy probable que sea falso, de todos modos), la Proposición 3 nos permite\ndemostrar la declaración correspondiente para la relación\n(f(Y); Y) (f(X + Y)− f(X); Y). (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nProposición 4 Que todos los valores propios de Y sean distintos. Dejemos que F y G sean func-\nciones de R a R satisfactorias (22). Entonces f + g también satisface (22).\nPrueba. Por la suposición en los valores propios de Y, (A; Y ) es igual a Diag(A) en\nuna base sólo dependiendo de Y y por lo tanto es una función lineal de A. Podemos\npor lo tanto sumar las desigualdades (22) para f y g y obtener la correspondiente\nDesigualdades para f + g.\nUna segunda aplicación de la Proposición 3 es un fortalecimiento de la siguiente Propo-\nla situación, que también obtuvimos en el curso de nuestros intentos de\nen respuesta a la pregunta 2.\nProposición 5 para X, Y ≥ 0 y ga(x) = ax+\n, con un ≥ 0, el siguiente\nla declaración de especialización sostiene:\n(Ga(Y)) (Ga(X + Y)-ga(X)).\nPrueba. De la prueba de Lemma X.1.4 en [4], tenemos, para X, Y ≥ 0,\nj ((X + 11)\n−1 − (X + Y + 11)−1) ≤ \nj(11 − (Y + 11)\nDefinición de la función f(x) = x\n= 1− (x+ 1)−1, esto se convierte en:\nj(f(X + Y )− f(X)) ≤ \nj(f(Y)).\nEsto implica la declaración de la majorización\nj(f(X + Y )− f(X)) ≤\nj(f(Y)). 23)\nQueremos probar una declaración algo similar para la función ga(x). Desde\nambos f y ga están aumentando monótonamente sobre R\n+, y observando que ga(x) =\n(a+ 1)x− f(x), tenemos\nj(ga(Y ))= ga(\nj (Y )) = (a+1)\nj(Y )− f(\nj(Y))\nj(f(Y ))= f(\nj(Y)),\npara que\nj(ga(Y)) = (a+1)\nj(Y)− \nj(f(Y)).\nEsto implica, en particular,\nj (ga(Y)) = (a+1)\nj (Y)−\nj(f(Y))\n≤ (a+1)\nj (Y)−\nj(f(X + Y )− f(X)),\ndonde hemos insertado (23). Explotar la relación bien conocida ([4], Th.\nIII.4.1)\nj(A+B) ≤\nj (A) +\nj(B),\npara A = (a+ 1)Y − f(X + Y ) + f(X) y B = f(X + Y )− f(X)\nj (ga(Y))≤\nj(a+1)Y − f(X + Y) + f(X))\nj(ga(X + Y )− ga(X)).\nProposición 3, con A = G = Y, B = f(Y ), C = f(X + Y ) − f(X), donde\nf(x) = x2/(x+1), luego produce el siguiente fortalecimiento de la Proposición 5:\nProposición 6 para X, Y ≥ 0, y ga(x) = ax+\n, con un ≥ 0,\n* (ga(Y ); y ) * dw (ga(X + Y )− ga(X); y ).\nAquí observamos que ga(X + Y)− ga(X) = aY + f(X + Y)− f(X).\nPara terminar esta Sección, presentamos una tercera aplicación de la Proposición 3, a saber:\na los resultados de Kosem y Bourin-Uchiyama. Considerar la primera desigualdad (3),\nque contiene para todas las funciones cóncavas no negativas f(x). En particular, sostiene que\npara todas las funciones f = ax+ f0(x), donde f0 es cóncava no negativa, y a ≥ 0.\nInsertando esto en la forma de inequidad autovalor-mayorización (3), obtenemos el\nRelación de mayorización dominada por A+B\n(a(A+B) + f0(A+B)) (a(A +B) + f0(A) + f0(B)),\npara A,B ≥ 0. Proposición 3 entonces inmediatamente da la forma más fuerte\n(f(A+B);A+B) (dw) (f(A) + f(B);A+B), (24)\npara todas las funciones cóncavas no negativas f. El fortalecimiento de la desigualdad (4)\nse realiza de una manera completamente idéntica y produce la desigualdad inversa\nde (24) para funciones convexas no negativas g tales que g(0) = 0.\nAgradecimientos\nJSA agradece al profesor Moin Uddin, director de su instituto por\ny apoyando su visita para asistir a la conferencia en Nova Sureste\nUniversidad, Fort Lauderdale, Florida, EE.UU., que llevó a su introducción a\nKoenraad M.R. Audenaert y la finalización de este trabajo.\nKA agradece al Instituto de Ciencias Matemáticas, Imperial College de Londres,\npara el apoyo. Su trabajo es parte del QIP-IRC (www.qipirc.org) apoyado por\nEPSRC (GR/S82176/0).\nBibliografía\n[1] T. Ando, “Comparación de normas f(A)− f(B) y f(A−B)”, Matemáticas. Z.\n197, 403 a 409 (1988).\n[2] T. Ando y X. Zhan, “Desigualdades de las normas relacionadas con el monotono del operador\nfunciones”, Math. Ann. 315, 771 a 780 (1999).\n[3] J.S. Aujla y F.C. Silva, “Desigualdades de majorización débiles y funciones convexas”,\nLin. Alg. Appl. 369, 217–233 (2003).\n[4] R. Bhatia, Matrix Analysis, Springer, Heidelberg (1997).\n[5] J.-C. Bourin y M. Uchiyama, “Desigualdad de subadditividad matricial para f(A+B)\ny f(A) + f(B),” Arxiv.org E-print math.FA/0702475 (2007).\n[6] T. Kato, Teoría de la Perturbación para los operadores lineales, Reimpresión de la edición de 1980,\nClásicos en Matemáticas, Springer-Verlag, Berlín (1995).\n[7] T. Kosem, “Desigualdades entre f(A + B) y f(A) + f(B)”, Lin. Alg.\nAppl. 418, 153–160 (2006).\nhttp://arxiv.org/abs/math/0702475\n\tIntroducción\n\tPreliminares\n\tPrincipales resultados\n\tPrueba de la Propuesta 1\n\tEn la mayoría dominada por Y\n\tContraejemplo de la pregunta 2\n\tOtras aplicaciones de la mayoría dominada por Y\n\tAgradecimientos\n\tBibliografía\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" Para matrices semidefinidas positivas $A$ y $B$, Ando y Zhan demostraron la\nDesigualdades $ f(A)+f(B) \\ge f(A+B) y $ g(A)+g(B) \\le\ng(A+B), para cualquier norma unitariamente invariante, y para cualquier no negativo\noperador monotone $f$ en $[0,\\infty)$ con función inversa $g$. Estos\nlas desigualdades se han generalizado recientemente a cóncavas no negativas\nfunciones $f$ y funciones convexas no negativas $g$, por Bourin y Uchiyama,\ny Kosem, respectivamente.\n En este artículo consideramos la pregunta relacionada si las desigualdades $\nf(A)-f(B) \\le f(A-B), y $ g(A)-g(B) \\ge g(A-B)\n, obtenido por Ando, para el operador monotono $f$ con inversa $g$, también tienen un\ngeneralización similar a $f$ cóncavo no negativo y $g$ convex. Contestaremos.\nexactamente esta pregunta, en el negativo para las matrices generales, y afirmativamente\nen el caso especial cuando $A\\ge B$.\n En el curso de este trabajo, introducimos la noción novedosa de $Y$ dominado\nmayorización entre los espectros de dos matrices ermitañas, donde $Y$ es en sí mismo\nuna matriz ermitaña, y demostrar una cierta propiedad de esta relación que permite\nreforzar los resultados de Bourin-Uchiyama y Kosem, mencionados anteriormente.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción\nEn [1], Ando demostró las siguientes desigualdades por semidefinido positivo (PSD)\nmatrices A, B, y cualquier norma unitariamente invariante (UI). Para cualquier no negativo\nfunción monotona del operador f(t) en [0,\nf(A)− f(B) ≤ f(A−B), (1)\ny, cuando f(0) = 0 y f() = , y g es la función inversa de f,\ng(A)− g(B) ≥ g(A−B). 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. \nEn un artículo posterior [2], Ando y Zhan demostraron las desigualdades relacionadas (con el\nlas mismas condiciones en f y g)\nf(A) + f(B) ≥ f(A+B), (3)\ng(A) + g(B) ≤ g(A+B). 4)\nLas condiciones en f son satisfechas por cada función cóncava del operador f con\nf(0) = 0.\nLa desigualdad (4) fue generalizada por Kosem [7] a funciones convexas no negativas\ng en [0,l), con g(0) = 0. La desigualdad (3) se generalizó muy recientemente a\nfunción cóncava no negativa en [0,0]) por Bourin y Uchiyama [5], que\nTambién dio una prueba más simple del resultado de Kosem.\nEn el mismo espíritu, consideramos la cuestión de si las desigualdades (1) y (2)\nTambién se puede generalizar a f cóncavos no negativos y g convexos, respectivamente.\nDespués de introducir los prerrequisitos necesarios en la sección 2, presentamos nuestra\nlos resultados relativos a esta cuestión en la sección 3. Lamentablemente, la mayoría de nuestros resultados\nson respuestas negativas, y damos contraejemplos a esta generalización. Los\nrespuesta es incluso negativa para el caso especial A ≥ B, aunque la aparente\nla dureza de encontrar contraejemplos nos había llevado temporalmente a creer\nque en ese caso la generalización podría realmente sostener.\nSin embargo, no todo son malas noticias. En la Sección 4 respondemos afirmativamente a la pregunta\nen el caso especial cuando A ≥ B. En la sección 5, introducimos la noción novedosa\nde la mayoría dominada por Y entre los espectros de dos matrices ermitañas,\ndonde Y es en sí misma una matriz ermitaña. Demostramos cierta propiedad de esto.\nla relación, es decir, la Proposición 3, que posteriormente utilizamos, primero en un\nmoda destructiva. A decir verdad, la Proposición ha sido instrumental finalmente\ndescubrir un contraejemplo de la generalización de (1) para A ≥ B;\nse indicarán en la sección 6. En el lado más constructivo, la Proposición también\npermite fortalecer los resultados de Bourin-Uchiyama y Kosem mencionados\narriba. Este es el tema de la sección final, junto con algunas otras aplicaciones.\n2 Preliminares\nEn esta sección, introducimos las anotaciones y los prerrequisitos necesarios; más\nPuede encontrarse una exposición detallada, por ejemplo: en [4]. Usaremos las abreviaturas LHS\ny RHS para el lado izquierdo y derecho, respectivamente.\nDenotamos el vector de entradas diagonales de una matriz A por Diag(A).\nDenotamos el valor absoluto por ·, tanto para escalares como para matrices. Por\nmatrices esto se define como A := (A*A)1/2. Del mismo modo, denotamos el positivo\nparte de una matriz escalar real o ermitaña por (·)+, y definirlo por A+ :=\n(A+ A)/2.\nEn este documento, nos ocupamos principalmente del aumento monótono convexo\nfunciones cóncavas de R a R. Kosem señaló en [7] que tal función\npuede ser aproximado por una suma de funciones de ángulo x 7→ ax+ b(x−x0)\n+, donde\na ≥ 0, y b > 0 para una función de ángulo convexo (b < 0 para una cóncava).\nTambién nos preocupan las normas de matriz unitariamente invariantes (UI), que\ndenotamos por ·, y que se definen en términos de los valores singulares\nSólo de la matriz. Aprobamos la convención consuetudinaria de que el singular\nlos valores se ordenan en orden de no-aumento: 1 ≥ 2 ≥. . ≥ d. Casos especiales\nde estas normas son la norma del operador ·, que es justo igual a la más grande\nvalor singular 1(·), y las normas Ky Fan · (k), que se definen como la\nsuma de los k valores singulares más grandes:\nA(k) :=\nj(A).\nEl famoso teorema de dominio Ky Fan afirma que una matriz B domina\notra matriz A en todas las normas de UI si y sólo si lo hace en todas las normas de Ky Fan.\nEste último conjunto de relaciones puede ser escrito como una débil relación de mayorización\nentre los vectores de valores singulares de A y B:\n(A) (B) :\nj(A) ≤\nj(B), k.\nPara las matrices PSD, la relación de dominación anterior se traduce en un\nsación entre los vectores de los valores propios:\nEl teorema de la monotonicidad de Weyl ([4], corolario III.2.3) afirma que\nk(A) ≤ \nk(A + B), k,\npara el ermitaño A y el positivo semi-definido B. Aquí, (A) denota el (real)\nvector de valores propios de A ordenados en orden no creciente.\nFinalmente, remitimos al lector al Capítulo 2 de [6] para una exposición de un número\nde importantes propiedades analíticas funcionales de los valores propios y correspondientes\neigenspaces de una matriz ermitaña, que necesitaremos en la prueba de Propo-\nSituación 2.\n3 Principales resultados\nLa cuestión que nos ocupa es la de la generalización directa de las\nigualdad (2) a funciones convexas no negativas.\nPregunta 1 Para todas las normas A,B,≥ 0, para todas las normas de la interfaz de usuario, y para las convexas no negativas\nfunciones g en [0,) con g(0) = 0, hace la desigualdad g(A) − g(B) ≥\ng(A− B) hold?\nLa respuesta a esta pregunta es negativa, como lo demuestra la siguiente\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Se considera la función del ángulo convexo g(x) = x + (x − 1)+ y la\nnorma del operador. Para las matrices PSD 2×2\n0,9 0\n0 0,6\n, B =\n0,8 0,5\n0,5 0,4\n, (5)\nlos valores propios de g(A− B) son 0,65249 y 0,35249, mientras que los de g(A)−\ng(B) son 0,65010 y −0,48862. Así, g(A − B) = 0,65249, que es\nmayor que g(A)− g(B) = 0,65010. â € € TM TM\nBajo la restricción adicional A ≥ B, el valor absoluto en el argumento\nde g en el lado derecho desaparece, lo que conduce a una declaración simplificada, y un\nLa segunda pregunta, con mejores esperanzas de éxito. Introducción de la matriz • =\nA− B,\nPregunta 2 Para todas las normas B ≥ 0, para todas las normas de la interfaz de usuario y para las convexas no negativas\nfunciones g en [0,) con g(0) = 0, hace la desigualdad g(B)−g(B) ≥\ng() hold?\nEste caso restringido también resulta tener una respuesta negativa. Contraexamen...\nSin embargo, los problemas eran mucho más difíciles de encontrar, y requerían una reducción de la prob-\nsión, que se basa en ciertos resultados sobre una nueva relación como la de la majorización, que\nLlamamos a la mayoría dominada por Y. Este será el tema de las secciones 5\ny 6, donde una serie de Proposiciones de interés independiente son probadas.\nTambién es muy razonable preguntar:\nPregunta 3 Para todos los B ≥ 0, para todas las normas de la interfaz de usuario y para los cóncavos no negativos\nfunciones f en [0,), hace la desigualdad f(B + ) − f(B) ≤ f()\n¿Esperar?\nDe hecho, si esto fuera cierto, una respuesta positiva a la pregunta 2 vendría fácilmente después,\nutilizando el mismo razonamiento que se utilizó en [5] para derivar la generalización de\n(3) de la generalización de (4).\nDe nuevo, esta declaración es falsa, como muestra el siguiente contraejemplo. Considerar\nla función del ángulo cóncavo f(x) = min(x), 1) = x − (x − 1)+, y el 3 × 3\nMatrices PSD\n0,701816 0,317887 0.198910\n0,317887 1,014950 −0,093826\n0.198910 −0,093826 0,274236\n0,192713 0 0\n0 0,446505 0\n0 0 0,455416\nUno consigue\nf() = 0,455416\nmientras\nf(B )− f(B) = 0,455776.\nEn la sección 4, consideramos un caso especial aún más restringido, en el que el\nLas desigualdades (1) y (2) finalmente se mantienen. De hecho, probamos que un más fuerte\nen este caso especial:\nProposición 1 para la función no negativa, monótonamente creciente y cóncava\nciones g, y A,B ≥ 0 tales que A ≥ B, tenemos\n(g(A−B)) ≥ (g(A)− g(B)). 6)\nUn corolario fácil es la declaración correspondiente para el aumento monótono\nfunciones convexas.\nCorollary 1 Dejar que f sea una función convexa no negativa en [0,] con f(0) = 0.\nDejar A,B ≥ 0 Tal que A ≥ B. Entonces\n(f(A−B)) ≤ (f(A)−f(B)). 7)..................................................................................................................................................\nPrueba. Que f = g−1, con g satisfaciendo las condiciones de la Proposición 1. Reemplazar\nen (6) A por f(A) y B por f(B), produciendo\n(g(f(A)− f(B))) ≥ (A− B).\nAplicar la función f en ambos lados no cambia el orden, porque\nde la monotonicidad de f, y da validez a la desigualdad (7). â € € TM TM\nEstos dos resultados implican obviamente las correspondientes relaciones de mayorización,\ny por el dominio de Ky Fan, las relaciones en cualquier norma de la interfaz de usuario.\n4 Prueba de la Proposición 1\nQueremos demostrar la desigualdad (6):\n(g(A)− g(B)) ≤ (g(A−B)),\npara A,B ≥ 0,A ≥ B, y cóncavo, aumentando monótonamente y no-\ng negativo.\nW.l.o.g. asumiremos B = 1, ya que cualquier otro valor puede ser absorbido en\nla definición de g.\nEstá inmediatamente claro que si (6) mantiene para g que además satisfacen g(0) = 0,\nentonces también debe mantenerse sin esa restricción, es decir. para las funciones g(x)+c, con\nc ≥ 0. Esto se debe a que la constante adicional c cae en el LHS, mientras que\n(g(A−B) + c) ≥ (g(A−B)).\nAdemás, (6) sigue siendo válido al sustituir g(x) por ag(x), para un > 0.\nAsí, w.l.o.g. podemos asumir g(0) = 0 y g(1) = 1. Junto con la concavidad\nde g, esto implica que, para 0 ≤ x ≤ 1, g(x) ≥ x, mientras que para x ≥ 1, el derivado\ng′(x) ≤ 1.\nDesde 0 ≤ B ≤ 11, y para 0 ≤ x ≤ 1, g(x) ≥ x mantiene, tenemos g(B) ≥ B,\no −g(B) ≤ −B. Por monotonicidad Weyl, esto implica (g(A) − g(B)) ≤\n(g(A)-B). Por lo tanto, la declaración (6) estaría implícita en la declaración más fuerte\n(g(A)−B) ≤ (g(A−B)). (8)\nAhora tenga en cuenta que el argumento de g en el LHS, A, nunca está por debajo de 1. Por lo tanto, en\nprincipio, podríamos reemplazar g(x) en el LHS por otra función h(x) definida\nh(x) =\ng(x), si x ≥ 1\nx, de lo contrario.\nSi también lo hacemos en el RHS, obtenemos una declaración más fuerte que (8). De hecho,\nh(x) ≤ g(x) para x ≥ 0 y A − B ≥ 0, y por lo tanto h(A − B) ≤ g(A − B)\nEspera. Por la monotonicidad de Weyl de nuevo, vemos que (8) está implícito por\n(h(A)−B) ≤ (h(A−B)). (10)\nLa importancia de este movimiento es que h(x) sigue siendo un aumento monótono\ny función cóncava (porque g′(x) ≤ 1 para x ≥ 1), pero ahora tiene gradiente\nh′(x) ≤ 1 para x ≥ 0.\nDefinir C = A−B, que es semi-definido positivo, ahora tenemos que mostrar el\ndesigualdad\nk(h(C +B)− B) ≤ \nk(h(C)) = h(\nk(C)),\npor cada k. Fijación de k, e introducción de la taquigrafía x0 = \nk(C), podemos\nexplotar la concavidad de h a la unión superior como h(x) ≤ a(x − x0) + h(x0), donde\na = h′(x0) ≤ 1. De nuevo por la monotonicidad de Weyl, encontramos\nk(h(C +B)− B)\nk(a(C + B − x0) + h(x0)− B)\nk(aC + (a− 1)B − ax0 + h(x0))\nk(aC)− ax0 + h(x0) = h(x0),\ndonde en la segunda línea podríamos eliminar el término (a−1)B porque es nega-\ntivo. Esto es cierto para todos k, hemos demostrado (10) y todas las declaraciones anteriores\nque se desprenden de ella, incluida la declaración del Teorema. â € € TM TM\n5 En la mayoría dominada por Y\nPara responder a la pregunta 2, tenemos que considerar la propiedad que una función convexa\nf satisface\n(f) () (f) (f) (B) (f) (B) (11)\npara todos los PSD B y........................................................................................................................................................................................................................................................... \n(f(A−B)) (f(A)−f(B)) (12)\npara todos los A ≥ B ≥ 0.\nEl ángulo convexo monotono funciona x 7→ ax + (x − 1)+ (a ≥ 0) ya\nhan demostrado su valor como campo de ensayo para declaraciones similares, en la sección\n3. Los experimentos numéricos que utilizan funciones de ángulo para la desigualdad (11) no\ndirectamente conducen a cualquier contraejemplo, sin embargo. Esto aumentó temporalmente\nnuestra creencia de que la desigualdad podría sostenerse, y nos llevó a investigar,\ncomo primer paso hacia una \"prueba\", si la desigualdad\nj(aY +B) ≤\nj(aY + C)\npuede ser cierto para todos a ≥ 0, donde B = f(Y) y C = f(X + Y)− f(X), y\nf(x) = (x−1)+. La observación crucial es ahora que si esto se mantiene para todos a ≥ 0,\nentonces, en realidad, una relación mucho más fuerte que sólo la majorización debe sostener\nentre aY + B y aY + C.\nPara describir este fenómeno, vamos a considerar un entorno algo más amplio. Vamos.\nG y C sean matrices ermitañas, y dejen que f1 y f2 sean monótonamente crecientes\nfunciones reales en R. Supongamos que para todos a ≥ 0, lo siguiente sostiene:\nj(aA +B) ≤\nj(aA+ C), (13)\ncon A = f1(G) y B = f2(G).\nSe ve fácilmente que si (13) se mantiene para un cierto valor de a, también se mantiene para todos\nvalores positivos más pequeños. Let b ser un escalar tal que 0 ≤ b < a. Porque ambos\nA y B exhiben sus valores propios como elementos diagonales en la eigenbasis de G,\ny ambos en orden no creciente, obtenemos\nj(aA +B) =\nj (bA+B) + (a− b)\nj A).\nPor otro lado, para aA + C sólo tenemos la desigualdad de subadditividad\nj (aA+ C) ≤\nj(bA + C) + (a− b)\nj(A).\nComo consecuencia, obtenemos que, de hecho,\nj (bA+B) ≤\nj(bA + C)\nsigue de (13).\nPor lo tanto, nos llevan a considerar lo que sucede cuando una tiende a infinito, porque\nese valor domina a todos los demás. Sustracción\nj=1 \nj(aA) por ambos lados, y\nsustituyendo a = 1/t, obtenemos\nj(A + tB)− \nj(A)) ≤\nj(A+ tC)− \nj(A)).\nEn el límite de t va a 0, esto produce una comparación entre derivados:\nj(A + tB) ≤\nj(A+ tC). (14)\nDemostraremos a continuación que los derivados\nj (A + tC) son la diagonal\nelementos de C en una determinada base dependiendo de G y C. Vamos a introducir primero\nel vector (C;A) cuyas entradas satisfagan la siguiente relación:\n(C;A) :=\nj(A+ tC). (15)\nCon esta notación, la relación (14) se convierte en\nj(B;G) ≤\nj(C;G).\nEs decir, las entradas de B;G están “mayorizadas” por las de C;G. ¿Cómo...?\nen la mayoría de los casos, ya que la mayoría de los\nausencia de reordenación de las entradas en orden decreciente.\nIntroduciendo el símbolo \"dw\" para la débil mayorización con la falta de reordenación-\nmento:\na â € € TM € TM € TM TM € TM TM TM TM â € TM TM TM â TM TM TM TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM\nbj, (16)\nrelación (14) se expresa como\n(B;G) (C;G) (dw) (C;G). (17)\nPara justificar estas anotaciones, ahora mostramos:\nProposición 2 Que A y C sean matrices ermitañas. Con la definición del punto C;A) de la parte siguiente:\n(15), las entradas del vector ♥(C;A) son las entradas diagonales de C en un determinado\nbase en la que A es diagonal y sus entradas diagonales aparecen ordenados en non-\naumento del orden. Cuando todos los valores propios de A son simples (es decir, tener multiplicidad\n1), esta base es sólo la eigenbasis de A y no depende de C.\nPrueba. Hay tres casos que considerar, según que A no sea\ndegenerado, A + tC tiene una degeneración accidental en t = 0, o A + tC es\nDegenerado permanentemente.\n1. El caso más importante es cuando todos los valores propios de A son simples, es decir. cuando\ntienen multiplicidad 1. Luego mostramos que la derivada es dada por\nj(A+ tC) = Tr[Pk(A) C],\ndonde Pk(A) denota el proyector en el subespacio extendido por el k eigen-\nvectores de A correspondientes a sus valores propios más grandes k.\nPor la simplicidad de los valores propios de A, los valores propios de A + tC son también\nsimple para valores lo suficientemente pequeños de t. Esto sigue fácilmente de las desigualdades deWeyl:\nj(A) + \nn(tC) ≤ \nj (A+ tC) ≤ \nj(A) + \n1(tC);\npor lo tanto si tC es estrictamente menos de la mitad de la diferencia mínima entre\ntodos los pares de valores propios de A, la diferencia entre todos los pares de valores propios de\nA+tC está limitado a 0. Por lo tanto, para t lo suficientemente pequeño, cada valor propio\nde A+ tC tiene un eigenvector único, y como resultado Pk(A+ tC) está bien definido\ncomo la suma de los proyectores en los autovectores pertenecientes a la k más grande\nvalores propios.\nEs bien sabido que los valores propios de A+tC como funciones de la variable real\nt puede ordenarse de forma que sean funciones analíticas de t (véase [6], capítulo 2),\ny por lo tanto continua. Esto implica que el k-ésimo mayor valor propio de A+ tC\nes también una función continua de t, para cualquier k.\nSi, además, un valor propio (t) de A + tC es simple en un intervalo de t,\nentonces el proyector P (t) en el vector de origen x(t) asociado a él (con P (t) =\nx(t)x(t)*) también es analítica, y por lo tanto continua en t en este intervalo. Nosotros\nconcluir que Pk(A+ tC) es analítico en t, y por lo tanto diferenciable.\nPor la maximidad de Pk(A) en la caracterización variacional\nj(A) = máx.\nTr[AQk] = Tr[APk(A)],\ndonde Qk pasa por encima de todos los proyectores ranke-k, tenemos\nTr[APk(A + tC)] = 0,\nlo que implica\nj (A+ tC)\nTr[(A+ tC)Pk(A+ tC)]\nTr[APk(A+ tC)] +\nTr[(A+ tC)Pk(A)]\n=Tr[C Pk(A)].\nQue U sea el unitario que diagonaliza A, es decir. UAU* = (A). Entonces\nTr[C Pk(A)] =\n(UCU*)jj,\ny la declaración de la Proposición sigue.\n2. Cuando A ha degenerado valores propios, la situación se vuelve algo más\ncomplicado, pero no hay cambios realmente significativos. Ya no hay\nun eigenbasis único de A, por lo que Pk(A) no está bien definido para todos k.\nen primer lugar considerar el caso en el que C es tal que elimina la degeneración de la\neigenvalues de A en A+ tC para t lo suficientemente pequeño positivo. En ese caso Pk(A+ tC)\nse definirá de forma única para todo positivo t menos que algún valor t0, que es el\nt positivo más pequeño para el que A + tC tiene una degeneración accidental (que es\nlo que también sucede en t = 0).\nEsto ocurre, por ejemplo, cuando C tiene valores propios simples. De hecho, por analyt-\nicity de los valores propios de A + tC en t, la degeneración es accidental (para\nvalores aislados de t) o permanentes (para todos los valores de t). Puesto que todos los valores propios\nson simples para t lo suficientemente grande, tienen que permanecer simples para todos los valores de t\nexcepto posiblemente para algunos valores aislados, como t = 0, en este caso. Deje t0\nser el valor positivo más pequeño, entonces A + tC tiene valores propios simples para\n0 < t < t0.\nPor lo tanto, podemos definir Pk(A) de una manera única como el límite limt→0 Pk(A +\ntC). Esta es una opción permitida debido a la continuidad de los valores propios:\nj=0 \nk(A) = Tr[limt→0 Pk(A + tC) A]. Usando el mismo argumento que en el\nEn el caso anterior, se obtiene el valor de C;A := Tr[limt→0 Pk(A+ tC) C].\nQue Łl sean los valores propios de A (multiplicidad no contada), y Ql el projec-\nciones en los correspondientes espacios propios de A (con Q*l el correspondiente in-\nlos operadores de la conclusion); el rango de Ql es igual a la multiplicidad de Łl, que denotamos\npor ml. Para obtener los bloques diagonales Cl := QlCQ, primero construimos los bloques diagonales Cl := QlCQ\n(de tamaño ml), a continuación, tome los valores propios\n↓(Cl) en orden no creciente de cada\nbloque, y luego concatenar las secuencias obtenidas de valores propios:\n(C;A) := ((C1),. .............................................................\n↓(Cm)).\nSi todos los valores propios de A son distintos, esto se reduce al vector de diagonal\nelementos de C en la eigenbasis de A que encontramos en el caso 1.\nPor ejemplo, si (A) = (5, 5, 3, 1), entonces \n1(C1), \n2 (C1), C33, C44),\ndonde C1 =\nC11 C12\nC21 C22\ny todas las entradas de C se toman en la eigenbasis de A.\nQue U sea un unitario (que, en este caso, no es único) que diagonaliza A como\nUAU* =, y tomar los bloques diagonales Cl de UCU\n∗, como se indica más arriba. Cada bloque\nse puede diagonalizar usando una Vl unitaria. Junto con U obtenemos el total\nrotación en base W := U(\nl Vl). Por construcción,\nl Vl hojas invariantes, y\nresuelve la ambigüedad en U. Obtenemos que ♥(C;A) es el vector de diagonal\nlas entradas de C en la base obtenida mediante la aplicación de la W unitaria.\n3. Finalmente, nos fijamos en el caso cuando A + tC es permanentemente degenerado, es decir.\ncuando tiene valores propios degenerados para todos los valores de t. W.l.o.g. Sólo tenemos que hacerlo.\nver t en un intervalo [0, t0), donde t0 es el valor positivo más pequeño para el cual\nUn + tC tiene una degeneración accidental. Denotemos por los valores propios\nde A+ tC en orden no creciente, multiplicidad mj no contada, y por Pj(t)\nlos proyectores en los espacios propios correspondientes. En ese caso, Pk(A + tC) es\nsolo bien definido si hay un j′ tal que k = m1 +m2 +. .. +mj′; entonces nosotros\ntienen Pk(A + tC) = P1(t) + P2(t) +... + Pj′(t).\nSi no hay tal j′, que j′ sea el número entero más grande tal que k > m1 + m2 +\n... +mj′ =: k\n′. Así 0 < k − k′ < mj1. Entonces tenemos\nj (A+ tC)\nmiđi(t) + (k − k)\n′)j1(t)\n=Tr[(A + tC) (P1(t) +.. + Pj′(t) +\nk − k′\nmj1\nPj1(t))]\n=Tr[(A + tC) (\nk − k′\nmj1\nPkmj1(A+ tC) + (1−\nk − k′\nmj1\n)Pk′(A+ tC))].\nAsí, si definimos α := (k − k′)/mj1,\nj=1 \nj(A + tC) interpola linealmente\nentre\nj=1 \nj(A+ tC) y\n*Kmj1*\nj=1 \nj(A + tC) con parámetro α.\nProcediendo de la misma manera que en los dos casos anteriores, obtenemos para el\nderivado\nj (A+ tC) = Tr[C(αPkmj1(A) + (1− α)Pk′(A))],\ndonde el Pk(A) debe ser sustituido por los límites limt→0 Pk(A + tC) si en\nAdemás hay degeneraciones accidentales en t = 0. Consideremos las entradas\nde C otra vez como antes, en una eigenbasis de A en la que aparecen los valores propios de A\nen diagonal, en orden no creciente. Lo conseguimos.\n(C;A)k = (1− α)\nCii + α\nkmj1\nCii. (18)\nDebido a la degeneración permanente, una eigenbasis se determina hasta\nrotaciones cal” dentro de los diferentes espacios propios. Consideramos una partición de\nC en tal eigenbasis correspondiente a estos espacios propios. Es decir, en C nosotros\npuede seleccionar bloques diagonales, cada uno de los cuales corresponde al espacio propio de\neigenvalue ♥j. Podemos usar nuestra libertad para elegir las rotaciones locales para hacer\ntodos los elementos diagonales de C iguales dentro de cada bloque diagonal. Esto nos permite\ndeshacerse de la interpolación en (18), y finalmente obtenemos que, de nuevo,\n(C;A)k =\ncon las entradas de C tomadas en la eigenbasis que acabamos de elegir. â € € TM TM\nEl resultado de esta Proposición es que existe una U unitaria tal que\nUAU* = (A) y (C;A) = Diag(UCU*). En el caso genérico de que todos\n♥i(A) son distintos, U es único y no depende de C.\nUna serie de consecuencias fáciles siguen inmediatamente de esta Proposición:\nCorollary 2 Que G y C sean matrices ermitañas, f ser monótonamente\naumentar la función real en R, y g cualquier función real que aumenta estrictamente en\nR, entonces\ni) (f(G);G) = f((G)).\nii) El Teorema de la mayorización de Schur (C;G) obedece al Teorema de la mayorización de Schur: el Teorema de la mayorización de Schur (C;G) y el Teorema de la mayorización de Schur (C).\niii) (C;G) + a(f(G)) = (C + af(G);G), a ≥ 0.\niv) C; f A) = C; A).\nJunto con la equivalencia previamente demostrada de (13) con (17), el\nEl corolario conduce inmediatamente a la siguiente Proposición:\nProposición 3 Para Hermitan G,C, aumentando monótonamente las funciones reales\nf1, f2 en R, y A = f1(G), B = f2(G), los siguientes son equivalentes:\n(aA+B) (aA+C), (eA+C), (ea ≥ 0 (19))\n* (B;G) * (C;G) (20) * (B;G) * (B;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (B;G) * (B;G) * (B;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (B;G) * (B;G) * (C;G) (20)\n(aA+ B;G)(aA+ C;G)(aA+ C;G)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(A+ C;G), (a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)))(a)(a)(a)))(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a(a)(a)(a)(a)(a(a)(a)(a)(a)()(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)()(a)()()()()()()(a)()()(a)()()()(a)(a)()()()( (21)\nPrueba.\n(19) implica (20): Esto es sólo la Proposición 2.\n(20) implica (21): Añádase a(A) a ambas partes e invoque la declaración iii) de la\nCorollary.\n(21) implica (19): Por declaración (i) del corolario, el LHS de (21) es igual\na (aA+B), mientras que, por declaración (ii) del corolario, su RHS está mayorizada\npor (aA+C). â € € TM TM\n6 Contraejemplo de la pregunta 2\nSi la respuesta a la pregunta 2 es afirmativa, al menos debería ser válida para todos.\nfunciones de ángulo f(x) = ax+ b(x−x0)\n+. Por la Proposición 3 esto es equivalente a\nla declaración\n((Y − 11)+; Y ) ((X + Y − 11)\n+ − (X − 11)+; Y ).\nConsidere las matrices 3× 3\n0,35614 −0,053243 0,10116\n−0,053243 0,87456 0,40559\n0,10116 0,40559 0,82474\n0,53642 0 0\n0 0,42018 0\n0 0 0,094866\nLa eigenbasis de Y es, por lo tanto, la base estándar. A continuación, (Y − 11)+; Y ) =\n(0, 0, 0) y\n(X + Y − 11)+ − (X − 11)+ =\n−0,00018194 0,00052449 −0.0016345\n0,00052449 0,2573 0,12368\n−0,0016345 0,12368 0,04\nde modo que (X+Y −11)(X−11)+; Y ) = (−0,00018194, 0,2573, 0.04). La primera\nla entrada es negativa, violando la relación de los dw, y por lo tanto respondiendo a la pregunta\n2 en negativo. â € € TM TM\n7 Aplicaciones adicionales de la mayoría dominada por Y\nUna cuestión que tuvimos que abordar durante nuestros intentos de dar una respuesta positiva\na la pregunta 2 se refiere a la posibilidad de reducir la cuestión de la convexa\nfunciones de ángulo convexo. Una forma de hacerlo habría sido:\nposible si el conjunto de (aumentando monotonamente y convexo) funciones satisfactorias\n11) se cerraron por adición. Aunque no pudimos probar esto en particular\n(lo que es muy probable que sea falso, de todos modos), la Proposición 3 nos permite\ndemostrar la declaración correspondiente para la relación\n(f(Y); Y) (f(X + Y)− f(X); Y). (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nProposición 4 Que todos los valores propios de Y sean distintos. Dejemos que F y G sean func-\nciones de R a R satisfactorias (22). Entonces f + g también satisface (22).\nPrueba. Por la suposición en los valores propios de Y, (A; Y ) es igual a Diag(A) en\nuna base sólo dependiendo de Y y por lo tanto es una función lineal de A. Podemos\npor lo tanto sumar las desigualdades (22) para f y g y obtener la correspondiente\nDesigualdades para f + g.\nUna segunda aplicación de la Proposición 3 es un fortalecimiento de la siguiente Propo-\nla situación, que también obtuvimos en el curso de nuestros intentos de\nen respuesta a la pregunta 2.\nProposición 5 para X, Y ≥ 0 y ga(x) = ax+\n, con un ≥ 0, el siguiente\nla declaración de especialización sostiene:\n(Ga(Y)) (Ga(X + Y)-ga(X)).\nPrueba. De la prueba de Lemma X.1.4 en [4], tenemos, para X, Y ≥ 0,\nj ((X + 11)\n−1 − (X + Y + 11)−1) ≤ \nj(11 − (Y + 11)\nDefinición de la función f(x) = x\n= 1− (x+ 1)−1, esto se convierte en:\nj(f(X + Y )− f(X)) ≤ \nj(f(Y)).\nEsto implica la declaración de la majorización\nj(f(X + Y )− f(X)) ≤\nj(f(Y)). 23)\nQueremos probar una declaración algo similar para la función ga(x). Desde\nambos f y ga están aumentando monótonamente sobre R\n+, y observando que ga(x) =\n(a+ 1)x− f(x), tenemos\nj(ga(Y ))= ga(\nj (Y )) = (a+1)\nj(Y )− f(\nj(Y))\nj(f(Y ))= f(\nj(Y)),\npara que\nj(ga(Y)) = (a+1)\nj(Y)− \nj(f(Y)).\nEsto implica, en particular,\nj (ga(Y)) = (a+1)\nj (Y)−\nj(f(Y))\n≤ (a+1)\nj (Y)−\nj(f(X + Y )− f(X)),\ndonde hemos insertado (23). Explotar la relación bien conocida ([4], Th.\nIII.4.1)\nj(A+B) ≤\nj (A) +\nj(B),\npara A = (a+ 1)Y − f(X + Y ) + f(X) y B = f(X + Y )− f(X)\nj (ga(Y))≤\nj(a+1)Y − f(X + Y) + f(X))\nj(ga(X + Y )− ga(X)).\nProposición 3, con A = G = Y, B = f(Y ), C = f(X + Y ) − f(X), donde\nf(x) = x2/(x+1), luego produce el siguiente fortalecimiento de la Proposición 5:\nProposición 6 para X, Y ≥ 0, y ga(x) = ax+\n, con un ≥ 0,\n* (ga(Y ); y ) * dw (ga(X + Y )− ga(X); y ).\nAquí observamos que ga(X + Y)− ga(X) = aY + f(X + Y)− f(X).\nPara terminar esta Sección, presentamos una tercera aplicación de la Proposición 3, a saber:\na los resultados de Kosem y Bourin-Uchiyama. Considerar la primera desigualdad (3),\nque contiene para todas las funciones cóncavas no negativas f(x). En particular, sostiene que\npara todas las funciones f = ax+ f0(x), donde f0 es cóncava no negativa, y a ≥ 0.\nInsertando esto en la forma de inequidad autovalor-mayorización (3), obtenemos el\nRelación de mayorización dominada por A+B\n(a(A+B) + f0(A+B)) (a(A +B) + f0(A) + f0(B)),\npara A,B ≥ 0. Proposición 3 entonces inmediatamente da la forma más fuerte\n(f(A+B);A+B) (dw) (f(A) + f(B);A+B), (24)\npara todas las funciones cóncavas no negativas f. El fortalecimiento de la desigualdad (4)\nse realiza de una manera completamente idéntica y produce la desigualdad inversa\nde (24) para funciones convexas no negativas g tales que g(0) = 0.\nAgradecimientos\nJSA agradece al profesor Moin Uddin, director de su instituto por\ny apoyando su visita para asistir a la conferencia en Nova Sureste\nUniversidad, Fort Lauderdale, Florida, EE.UU., que llevó a su introducción a\nKoenraad M.R. Audenaert y la finalización de este trabajo.\nKA agradece al Instituto de Ciencias Matemáticas, Imperial College de Londres,\npara el apoyo. Su trabajo es parte del QIP-IRC (www.qipirc.org) apoyado por\nEPSRC (GR/S82176/0).\nBibliografía\n[1] T. Ando, “Comparación de normas f(A)− f(B) y f(A−B)”, Matemáticas. Z.\n197, 403 a 409 (1988).\n[2] T. Ando y X. Zhan, “Desigualdades de las normas relacionadas con el monotono del operador\nfunciones”, Math. Ann. 315, 771 a 780 (1999).\n[3] J.S. Aujla y F.C. Silva, “Desigualdades de majorización débiles y funciones convexas”,\nLin. Alg. Appl. 369, 217–233 (2003).\n[4] R. Bhatia, Matrix Analysis, Springer, Heidelberg (1997).\n[5] J.-C. Bourin y M. Uchiyama, “Desigualdad de subadditividad matricial para f(A+B)\ny f(A) + f(B),” Arxiv.org E-print math.FA/0702475 (2007).\n[6] T. Kato, Teoría de la Perturbación para los operadores lineales, Reimpresión de la edición de 1980,\nClásicos en Matemáticas, Springer-Verlag, Berlín (1995).\n[7] T. Kosem, “Desigualdades entre f(A + B) y f(A) + f(B)”, Lin. Alg.\nAppl. 418, 153–160 (2006).\nhttp://arxiv.org/abs/math/0702475\n\tIntroducción\n\tPreliminares\n\tPrincipales resultados\n\tPrueba de la Propuesta 1\n\tEn la mayoría dominada por Y\n\tContraejemplo de la pregunta 2\n\tOtras aplicaciones de la mayoría dominada por Y\n\tAgradecimientos\n\tBibliografía\n"}}},{"rowIdx":93,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.01,"string":"704.01"},"title":{"kind":"string","value":"Topology Change of Black Holes"},"full_text":{"kind":"string","value":"Cambio de topología de los agujeros negros\nDaisuke Ida\ny Masaru Siino\n1Departamento de Física, Universidad de Gakushuin, Tokio 171-8588, Japón.\n2Departamento de Física, Instituto de Tecnología de Tokio, Tokio 152-8550, Japón.\n(1o de abril de 2007)\nResumen.\nLa estructura topológica del horizonte de eventos ha sido investigada en términos de\nTeoría Morse. El proceso elemental de la evolución topológica se puede entender\ncomo un accesorio de manilla. Se ha comprobado que existen ciertas limitaciones a la\nla naturaleza de la evolución topológica del agujero negro: (i) Hay n tipos de mango\nattachments in (n+1)-dimensional black hole space-times. ii) Las manijas son más amplias\nclasificados como de tipo blanco o negro, y sólo los mangos negros aparecen en reales\nagujero negro espacio-tiempos. iii) La sección espacial de un exterior del agujero negro\nla región siempre está conectada. Como corolario, se demuestra que la formación de un\nagujero negro con un horizonte Sn−2 × S1 desde el que con un horizonte Sn−1 debe ser\nno aximmétrico en espacios-tiempos asintóticamente planos.\n1. Introducción\nLos agujeros negros en espacios-tiempos de mayor o igual a cinco dimensiones tienen ricos\nestructura topológica. Según los conocidos resultados de Hawking sobre\nla topología de los agujeros negros en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, el horizonte aparente\no la sección espacial del horizonte de eventos estacionario es necesariamente difteromórfica\na una 2-esfera. [1, 2] Esto se deriva del hecho de que la curvatura total, que es\nla integral de la curvatura escalar intrínseca sobre el horizonte, es positiva bajo el\ncondición energética dominante y del teorema de Gauss-Bonnet. Alternativas y\nha mejorado las pruebas del teorema de Hawking han sido dadas por varios autores. [3, 4, 5, 6]\nSin embargo en el espacio-tiempos dimensionales superiores, un horizonte aparente o el espacio espacial\nsección del horizonte de eventos estacionario puede no ser una esfera topológica, [7, 8, 9, 10]\nporque el teorema de Gauss-Bonnet no se sostiene en tales casos. Sin embargo,\nla positividad de la curvatura total del horizonte todavía se mantiene. Esto pone seguro\nrestricciones topológicas en la topología del agujero negro, aunque son bastante débiles. Por\nejemplo, el horizonte aparente en el espacio-tiempo de cinco dimensiones puede consistir en finitamente\nmuchas sumas conectadas de copias de S3/». y copias de S2 × S1. De hecho, exacto\nsoluciones que representan un agujero negro espacio-tiempo que posee un horizonte no esférico\nLa topología se ha encontrado recientemente en la relatividad general de cinco dimensiones. Cuando tales\nagujeros negros con topologías no triviales se consideran como formadas en el curso\nde colapso gravitacional, cuestiones relativas a la evolución de la topología del negro\nlos agujeros surgen naturalmente. Nuestro propósito aquí es entender la evolución del tiempo de la\ntopología de horizontes de eventos en un entorno general. La relación entre el conjunto de pliegues,\ndonde el horizonte de eventos no es diferenciable, y la topología del horizonte de eventos\nestá estudiado en Refs. [11, 12, 13] para el espacio-tiempos de cuatro dimensiones. En el presente\ntrabajo, realizamos una investigación sistemática y encontramos reglas útiles para determinar\nprocesos admisibles de evolución topológica para el corte temporal de un agujero negro.\nNuestro enfoque es utilizar la teoría Morse [14, 15] en la topología diferencial. Los\nLa teoría de Morse es útil para el propósito de entender la topología de suave\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0100v3\nmultiples. La herramienta básica utilizada en este enfoque es una función fluida en un diferen-\nmultiples. El horizonte de acontecimientos, sin embargo, no es un múltiple diferenciable, pero\ntiene una estructura similar a cuña en los puntos finales pasados de los generadores geodésicos nulos\ndel horizonte. Por esta razón, primero suavizamos la cuña. Entonces, el suave\nfunción de tiempo que se supone que existe juega el papel de la función Morse en el\nalisó el horizonte de eventos. Según la teoría de Morse, la evolución topológica\nel horizonte del evento puede entonces ser descompuesto en procesos elementales llamados “han-\nEn tal proceso, comenzando con un horizonte esférico, se añade\nvarios mangos, cada uno caracterizado por el índice de los puntos críticos del Morse\nfunción, que es un entero que va de 0 a n (la dimensión de la\nhorizonte como un colector diferenciable).\nEl propósito del presente artículo es demostrar que hay varias limitaciones\nen los accesorios del mango para los espacios-tiempos del agujero negro reales.\n2. La teoría de Morse para horizontes de eventos\nQue M sea un espacio-tiempo asintóticamente plano (n+1)-dimensional. Requerimos el\nexistencia de una función global del tiempo t : M → R que es suave y tiene un en todas partes\ngradiente de apuntamiento temporal y futuro. El horizonte de eventos H se define como el\nlímite del pasado causal del futuro null infinity H = ♥J−(I +). [2] Tratamos\nel horizonte de evento definido con respecto a un único extremo asintótico, a menos que lo contrario\nindicado. En otras palabras, el futuro infinito nulo, I +, se supone que está conectado.\nLa región del agujero negro B se define como la región interior de H, específicamente, como B =\nM \\ J−(I +), y la región exterior E de la región del agujero negro es su complemento,\nE = int(J−(I +)). Nos referimos a la intersección de la región del agujero negro y el\ntime slice (t0) = {t = t0} como el agujero negro B(t0) = B (t0) en el momento t = t0.\nLa región exterior en el momento t = t0 está, en consecuencia, escrita E (t0) = E (t0).\nUna de las propiedades más básicas del horizonte de eventos es que se genera por null\ngeodésicos sin futuros puntos finales. En general, el horizonte de eventos no es fácil\nincrustado en el espacio-tiempo múltiple M, pero tiene una estructura similar a cuña en\nlos puntos finales pasados de los generadores geodésicos nulos, en los que\nLos generadores se cruzan. Llamamos al conjunto de puntos finales pasados de generadores geodésicos nulos\nde H, de la cual emanan dos o más generadores geodésicos nulos, el juego de pliegues\nS. [11, 12] Cuando no existe un conjunto de pliegues S entre las secciones de tiempo t = t1 y t = t2, la\nLos generadores geodésicos nulos de H definen naturalmente un difeomorfismo.\nPor lo tanto, la evolución topológica de un agujero negro sólo puede tener lugar cuando el tiempo\nS. Por supuesto, el horizonte de eventos en sí mismo es un indicador-\nobjeto independiente. Sin embargo, a menudo entendemos la dinámica del espacio-tiempo\nescaneando a lo largo de rebanadas de tiempo. Así, la evolución topológica de un agujero negro\ndepende de la función de tiempo.\nSe espera que la teoría de Morse [14] proporcione técnicas útiles para analizar\nun proceso de evolución topológica. Porque la teoría de Morse se ocupa de\nfunciones en los colectores lisos, primero regularizamos H alrededor del conjunto de pliegues S.\nhorizonte de eventos no es necesariamente suave, incluso en H \\ S, en el caso de que el futuro\nnull infinity I + tiene una estructura patológica. [16] Aquí se asume que H es\nsuave en H \\ S. Luego, pequeñas deformaciones de H cerca del conjunto de pliegue S hará\nH una hipersuperficie lisa H. en M, mientras que B.(t0) permanece deformada de tal manera\nque ♥Bś(t0) = Hś Ł(t0) mantiene y Bś(t0) sigue siendo homeomórfico al original\nagujero negro para todos los t0 o R. Esta deformación se supone que es tal que el tiempo\nGráfico 1 Un ejemplo en el que ningún procedimiento de suavizado hace\nt eH una función Morse en Hś. Aquí, la intersección del conjunto de pliegues\nS del horizonte de evento y t = t0 hipersuperficie tiene una acumulación\npunto.\nfunción t eH, que es la restricción de t en H\ntiene sólo puntos críticos no degenerados, donde el gradiente de t eH definido en H\nse convierte en cero y donde también la matriz de Hessian (?i?jt eH) de t eH no es degenerada.\nAunque esta suposición debe sostener para una amplia clase de sistemas, no siempre\nEspera. La figura 1 da un ejemplo para el cual ningún procedimiento de suavizado hace que la\nfunción de tiempo inducida t eH una función de Morse en H, porque la intersección de la\nSet de pliegue S del horizonte de evento y la hipersuperficie t = t0 tiene una acumulación\npunto. Es altamente no trivial determinar si este procedimiento de suavización es\ngenéricamente posible. Sin embargo, no es fácil ni el propósito principal de este artículo\npara afirmar en el ámbito de la validez de la suposición, y por lo tanto hacemos esto\nsuposición sin indagar sobre su validez.\nSegún el Morse Lemma, hay un sistema de coordenadas local {x1, · · ·, xn}\nsobre Hû en el barrio del punto crítico p Hû de tal manera que la restricción t eH\nde la función de tiempo t en Hś toma la forma\nt eH(x\n1, · · ·, xn) = t(p)− (x1)2 − · · · − (xl)2 + (xl)2 + · · (xn)2.\nEl entero, que va de 0 a n, se llama el índice del punto crítico p.\nla topología del agujero negro B(t) cambia cuando (t) pasa por puntos críticos,\no equivalente, cuando la función de tiempo t toma valores críticos. Esto implica que\npuntos críticos aparecen sólo cerca del conjunto de pliegues S.\nEl campo vectorial similar al gradiente para t eH se define como el campo vectorial tangente X\nde tal manera que Xt eH > 0 se mantiene en Hū, a excepción de los puntos críticos, y tiene la forma\nX = −2x1\n− · · · − 2x\n+ 2x+1\n* x x 1 *\n+ · · 2xn\ncerca del punto crítico del índice , en términos del sistema de coordenadas estándar\naparece en el Morse Lemma. Elegimos un campo vectorial similar al gradiente X de tal manera que\ncoincide con el futuro-dirigido campo vectorial tangente de generadores geodésicos nulos\nde H, excepto en un pequeño barrio del conjunto de pliegues S (Fig. 2). El efecto de\nun punto crítico p del índice es equivalente a la fijación de un ♥-handle. [14, 15]\nEl manubrio es sólo un n-disco topológico Dn (I = [0, 1]), pero se considera\ncomo el espacio del producto Dn Dn Dn (Fig. 3). El accesorio de la mano de la mano a un n-\nel colector dimensional N con un límite consiste en el conjunto h. = (D. ×Dn, f),\ndonde el mapa adjunto f induce la incrustación de \nN (Fig. 4). El nuevo colector obtenido a través de la unión de la mano de N es\nGráfico 2 El procedimiento de suavizado del horizonte de eventos H.\nel campo vectorial similar al gradiente en H se puede construir a través de un ligero\ndeformación de los generadores geodésicos nulos de H. Aquí, el efecto\ndel conjunto de pliegues S ha sido sustituido por el de los puntos críticos\np1, p2 y p3.\nGráfico 3 La estructura local alrededor del punto crítico p del índice\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Se puede ver que Hût(p) es homeomórfico a Hût(p) con una\nAtadura de mano.\ndado por\nEn el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo.\nVamos a denotar por la parte t ≤ t0 de H Entonces, Hût(p) ( > 0) justo por encima de la\nel punto crítico p del índice es homeomórfico (de hecho difeomórfico, teniendo en cuenta\ndel procedimiento de suavizado) a que justo debajo de p, H\nHt(p) Ht(p)\nsi no hay otros puntos críticos que satisfagan t(p) ≤ t ≤ t(p). El cuerpo de la manija\na sí mismo es denotado por hl también.\nConsideremos varios ejemplos. El accesorio 0-handle no necesita un\nadjuntando el mapa f. Simplemente corresponde a la emergencia de la (n − 1)-esfera\nSn−1 Ł ŁDn como horizonte de agujero negro ♥B(t). Un ejemplo típico es la creación de un\nagujero negro (fig. 5): Un agujero negro siempre emerge como un accesorio 0-handle. El otro\nGráfico 4 La fijación de un manguito y un 2 manguito a un\n3-manifold N crea un nuevo 3-manifold N â € h1 â € h2.\nGráfico 5 La aparición de un agujero negro a través de un accesorio 0-handle.\nGráfico 6 La aparición de una burbuja en la región del agujero negro por\nFijación 0-handle, que no ocurre en el agujero negro real\nespacio-tiempos.\nGráfico 7 La colisión de un par de agujeros negros, creando un solo\nagujero negro, se realiza a través de un accesorio de 1 mano.\npossiblity es la creación de una burbuja que es subconjunto de J−(I +) en una región de agujero negro\n(Fig. 6). Uno podría pensar que esto corresponde a la creación de agujeros de gusano entre el\nregiones internas y externas del horizonte de acontecimientos. Aunque en el marco de la\nteoría estándar de Morse en Hś, estos dos ejemplos son indistinguibles, que a continuación\nver que este último proceso es, de hecho, imposible.\nA continuación, consideramos un accesorio de 1 mano. Un ejemplo típico es la colisión de dos\nagujeros negros. Un 1-handle sirve como un puente que conecta los agujeros negros, o corresponde\na tomar la suma conectada de cada componente de múltiples agujeros negros (Fig. 7).\nGráfico 8 La bifurcación de un agujero negro en dos está representada\npor un accesorio (n − 1)-handle. Esto, sin embargo, nunca ocurre en\nverdadero agujero negro espacio-tiempos.\nGráfico 9 La estructura de la mano. El núcleo D. × {0} corre-\nsponds al submanifold estable con respecto al generador de flujo-\natendido por el campo vectorial similar al gradiente, y el co-núcleo {0} ×Dn\ncorresponde al submanifold inestable.\nLa inversión de tiempo de la colisión de agujeros negros consiste en la bifurcación de uno\nagujero negro en dos. Esto se realizaría a través de un accesorio (n - 1),\nsi tal proceso fuera posible (Fig. 8). Sin embargo, es bien sabido que tal\nel proceso está prohibido. [2] En general, la inversión de tiempo de la fijación de la mano\ncorresponde a la unión (n− )-manilla.\nAntes de discutir casos generales, consideremos la estructura de un manillar.\nRecordemos que una mano-de-revestimiento consiste en el espacio del producto D♥ × Dn. El subconjunto\nSe llama el núcleo del manillar, y {0} ×Dn \nDl ×Dn se llama el co-núcleo. El núcleo y el co-núcleo se cruzan transversalmente en un\npunto. Este punto puede ser considerado como un punto crítico p.\nVamos a referirnos al subconjunto Ws(p) de H\n(1) Ws(p) = {q M lim\nexpq tX = p}\nque consiste en puntos que convergen a p a lo largo del flujo generado por el gradiente-\ncomo campo vector X, como el colector estable con respecto al punto crítico p.\nEl colector estable Ws(p) es homeomórfico a R\nSi el índice de p es dado por ♥. [17]\nSimilarmente, vamos a referirnos al subconjunto Wu(p)\na p a lo largo del flujo generado por (-X) como el colector inestable con respecto a p.\nPara el colector inestable, Wu(p)\nNo, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no... Las porciones del establo y\nLos colectores inestables en el cuerpo de la manivela pueden ser considerados como correspondientes al núcleo\ny co-núcleo, respectivamente.\nEl efecto de suavizar el horizonte de eventosH a Hū es deformar el campo vectorial nulo\ngenerar H en un campo vectorial similar al gradiente X. La diferencia principal entre\nlos generadores geodésicos nulos y el flujo generado por X es que el primero hace\nno tienen futuros puntos finales, pero estos últimos pueden. Por lo tanto, son admisibles y\nprocedimientos inadmisibles para el fluido múltiple H Un procedimiento admisible es el siguiente:\n, que se obtiene a partir de un horizonte de acontecimientos realizable en principio, mientras que un\ninadmisible se construye a partir de un horizonte de acontecimientos espurios, es decir, uno que consiste en\nde la hipersuperficie nula que contiene generadores geodésicos nulos con un punto final futuro.\n3. La estructura de los puntos críticos\nLa topología espacial de un agujero negro cambia sólo cuando la función de tiempo toma un\nvalor crítico. La evolución del tiempo de la topología del agujero negro se puede entender por\nteniendo en cuenta su estructura local en torno a puntos críticos. Para determinar si un determinado\ncambio topológico es admisible o inadmisible, no es suficiente considerar sólo\nla estructura intrínseca del horizonte de eventos. Más bien, es necesario tener en cuenta\nde su estructura empotrada en relación con el espacio-tiempo.\nEn una rebanada de tiempo, cualquier punto separado de Hś pertenece a cualquiera de los dos agujeros negros\no el exterior de la región del agujero negro. Es útil considerar el comportamiento local\nde la región del agujero negro o la región exterior cerca del punto crítico p. Llamemos\nel exterior E de la región del agujero negro simplemente la región exterior, para la brevedad. Los\nla región exterior está ligeramente deformada por el procedimiento de suavizado. Los deformados\nregión exterior se denota por , y la región exterior deformada en el momento t por\n(t) = (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t).2.............................................................................................................................................................................................................................................................. \nEl mango 0 se coloca en unas t ≥ t(p). Tal apego describe el emer-\nsión de la región del agujero negro en el punto crítico p y su expansión con el tiempo.\nLa aparición de una burbuja, que consiste en una parte de J−(I +), en el fondo\nde la región del agujero negro también sería descrito por un accesorio 0-handle. Esto,\nSin embargo, nunca ocurre, como se explica a continuación en detalle. Por lo tanto, un accesorio 0-handle\nsiempre describe la creación de un agujero negro homeomórfico al n-disco.\nUn accesorio n-handle corresponde a la inversión de tiempo de un agregado 0-handle-\nmento. Este proceso, sin embargo, nunca ocurre en el espacio-tiempo del agujero negro real. Un n-\nmanillar se define para t ≤ t(p), lo que significa que termina en el punto crítico\np. El conjunto de pliegues se aísla en puntos críticos durante el curso del suavizado\nprocedimiento. El campo vectorial similar al gradiente, que se puede considerar tangente\nal generador del horizonte del acontecimiento deformado H..., puede tener varios hacia adentro (con-\nen el punto crítico debido a este procedimiento de suavización, mientras que el\ngenerador nulo original del horizonte de evento no tiene una dirección interior en\nel juego de pliegues. En el caso del n-handle, todas las direcciones se vuelven hacia el interior en el\npunto crítico. Esto implica que los generadores nulos del horizonte de eventos H deben\ntener puntos finales futuros en el punto crítico, que es, por supuesto, imposible. Lo es.\nasí visto que un accesorio n-handle nunca ocurre en el espacio-tiempos del agujero negro real.\nEl resto de los casos son adjuntos con mango para 1 ≤ ≤ n − 1. En estos\nEn el futuro, el punto crítico se encuentra a ambos lados del punto crítico p.\n[t > t(p)] y en el pasado [t < t(p)]. Entonces, consideramos el caso en el que la manija\nexiste durante el intervalo de tiempo lo suficientemente pequeño t • [t(p) − •, t(p) + \nentender el cambio topológico de la región del agujero negro en el punto crítico p.\nGráfico 10 El barrio U de p está separado por h\nregión futura, U+, y la región pasada, U−.\nPrimero, introducimos un sistema de coordenadas {t, xi} (i = 1, · ·, n) en el barrio\nU de p, donde t es una función dada del tiempo, y {xi} es la extensión sobre U de\nla coordenada canónica que aparece en el Morse Lemma de tal manera que cada curva\n(x1, · ·, xn) = [const] es temporal en U. Asumimos que U es el cilindro sólido\ndado por t [t(p), t(p)],\nxi)2 ≤ . En este sistema de coordenadas, el\nla superficie de la silla de montar es dada por la superficie de la silla de montar\nt = t(p)− (x1)2 − · · · − (xl)2 + (xl)2 + · · (xn)2\nen U, que es un conjunto acausal si la constante \nes tangente a la hipersuperficie similar al espacio t = t(p) en p. Por lo tanto, h\nU en dos subconjuntos abiertos, el futuro y las regiones pasadas U+ y U− de U, donde\nU+ y U− son los subconjuntos de futuro cronológico y pasado, respectivamente, de\nn.c.o.p. Explícitamente, el futuro y las regiones pasadas U± son las regiones\nSatisfacción\nt t(p)− (x1)2 − · · · − (xl)2 + (xl)2 + · · (xn)2\nen U, respectivamente (fig. 10).\nDebido a que la mano es un subconjunto de la frontera del agujero negro H, uno de U± es\ncontenido en la región del agujero negro, Bû, y el otro en la región exterior, .\nSin embargo, la futura región U+ de U siempre está incluida en la región del agujero negro, es decir.\nU+ â € TM B¬, y por lo tanto tenemos U− â € TM, ya que el horizonte es el límite del pasado\nset, J−(I +). Por lo tanto, la región del agujero negro Bû(t(p) − ) U en U en el momento\nt = t(p)− justo antes de que el tiempo crítico sea dado por\n(x1)2 + · · (xl)2 > (xl)2 + · · (xn)2 +,\nla cual es homotópica a la esfera S1. (En el caso de = 1, S0 consiste simplemente en:\ndos puntos.) Similarmente, Bū(t(p) + ) U justo después de que el tiempo crítico es dado por\n(x1)2 + · · (xl)2 + > (xl)2 + · · (xn)2,\nque es homotópico para el n-disco. De esta manera, la región del agujero negro se restringió a\nel pequeño barrio del punto crítico p es inicialmente homotópico a una esfera.\nLuego, la región interna de la esfera se llena en el momento crítico t = t(p) y\neventualmente se vuelve homotópicamente trivial. La región exterior, (t) U, en U es\ninicialmente homotópico a un n-disco para t = t(p) −. Entonces, su (n − ♥)-dimensional\ndirección es penetrada por la región del agujero negro en t = t(p), y así se convierte en\nhomotópico a una (n− 1)-esfera Sn1 para t = t(p) +. Si el suceso espurio\nhorizonte también se tiene en cuenta, la futura región U+ podría ser un subconjunto de , y\nPor lo tanto, la región pasada U- podría ser un subconjunto de B Luego, la región del agujero negro en\nla mano de podría ser homotópica a un n-disco inicialmente y llegar a ser homotópica a un\n(n1)-esfera finalmente, y viceversa para la región exterior. Vamos a referirnos a tal\nun cambio topológico de la región del agujero negro B(t)U de una región homotópica a\nesfera a una región homotópica a un disco como un accesorio de mango negro, y que desde\nuna región homotópica a un disco a una región homotópica a la esfera como un mango blanco\nattachment. La observación anterior muestra que sólo un accesorio de mango negro\nocurre si se considera un barrio suficientemente pequeño del punto crítico. Por\npor ejemplo, una colisión de agujeros negros corresponde a un accesorio negro de 1 mano, mientras que\nla bifurcación de un agujero negro corresponde a un accesorio blanco (n − 1)-handle\nen el sentido de que el tipo de homotopía de la región exterior (t)\nla de Sn−2 a la de Dn. Este argumento local también elucida la razón de que\nchoque agujero negro es admisible mientras que una bifurcación agujero negro, que es su tiempo\ninversión, es inadmisible. También observamos que el efecto de la inversión de tiempo es convertir\nun accesorio negro de la mano en un accesorio blanco de la mano (n− ).\nEs conveniente hacer referencia a la fijación 0-handle correspondiente a la cre-\nsión de un agujero negro como un accesorio negro de 0 manos. Entonces, la proposición de arriba\ntambién se aplica a un accesorio 0-handle.\n4. Conectividad de la región exterior\nTambién existen procesos que son irrealizables debido a las condiciones mundiales. Vamos.\nnosotros, por un momento, considerar el horizonte de eventos en Schwarzschild al máximo extendido\nespacio-tiempo. Aunque estamos interesados en el horizonte de eventos definido con respecto a\nun extremo asintótico específico, para el propósito de la explicación, examinamos el evento\nhorizonte definido con respecto a un par de extremos asintóticos en el espacio Schwarzschild-\ntiempo (Fig. 11).\nDejar I + 1 y I\n2 ser el par de futuros infinitos nulos de la máxima extensión\nSchwarzschild espacio-tiempo. El horizonte de eventos aquí está definido por H = \n2 ), que no es diferenciable en el horizonte bifurcado F = J\n−(I +1 )J\n− (I + 2).\nQue no sea una función de tiempo global y χ ser una función de coordinación radial global tales\nque cada t de dos superficies, χ = [const] es invariante bajo la isometría SO(3). Estos\nLas coordenadas se eligen de forma que la superficie de bifurcación F se encuentre en t = χ = 0\ny el horizonte de eventos H está determinado por t = alrededor de F. El evento suavizado\nhorizonte también se considera que es invariante en virtud de la isometría SO(3). Debido a la\nsimetría de la configuración, la función de tiempo t tiene puntos críticos de degenerado\ntype. De hecho, cualquier punto en el horizonte bifurcado F es crítico. Aquí, no estamos interesados\nen una situación tan no genérica. En su lugar, consideramos un tiempo ligeramente diferente cortando\ndeterminado por la nueva función de tiempo\nt′ = t+ sin2\nen los casos en que ≤ > 0 sea una constante positiva suficientemente pequeña y , que satisfaga 0 ≤ ≤ η,\nes la coordenada polar habitual de la 2-esfera. Entonces, sólo aparece un par de\npuntos críticos aislados en el polo norte ( = 0) y el polo sur ( ) en\nel horizonte bifurcado F, y la función de tiempo t′ se convierte en la función Morse en\nHū. En el momento t′ = 0, el agujero negro aparece en el polo norte. Esta es la\nFijación 0-handle. El agujero negro formado allí crece en un espesor geométrico\ncaparazón esférica con un agujero en el polo sur, que es, sin embargo, un topológico\n3 discos. En el momento t′ =, la punción en el polo sur se llena, y el negro\nregión de agujero se convierte en topológica S2 × [0, 1]. El horizonte de acontecimientos deformado Hū se divide\nen una unión desarticulada de un par de 2 esferas. Este es el accesorio de dos manos.\nEste tipo de adjunto de 2 manos ocurre porque el horizonte de eventos está definido\ncon respecto a los dos extremos asintóticos, que en general es inadmisible si el\nfuturo infinito nulo está conectado, como suponemos a partir de este punto. Para entender el\nsupra, cabe señalar que no existe un proceso mediante el cual la\nvarios componentes conectados de la región exterior (t) = (t) en el momento t\nfusionarse en un momento posterior porque un accesorio de tal manija no es admisible.\nTambién se ve que ningún componente conectado de (t) desaparece, porque possi-\nble n-handle adjuntos son inadmisibles. Estos hechos implican que el número de\nlos componentes conectados de la región exterior (t) no pueden disminuir con el tiempo\nfunción t. Por otro lado, sólo hay un componente conectado de la exte-\nregión rior (t) para t suficientemente grande, debido a la conexión de I +. Esto\nla observación muestra que la región exterior (t) permanece conectada en cualquier proceso.\nEl único proceso posible a través del cual el número de componentes conectados\nde la región exterior (t) los cambios es un accesorio (n− 1)-handle, tal como está construido\narriba en el espacio-tiempo Schwarzschild. Esto se debe a que el subconjunto D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o.\nH2 H1\nt' = t' (p)\nB (t'(p))\nII 12\nGráfico 11 La figura de la izquierda es un diagrama conformal de la\nSchwarzschild alargado al máximo el espacio-tiempo. La estructura de\nel horizonte de evento definido con respecto a los dos extremos asintóticos\nse representa a la derecha, con una dimensión omitida. El sombreado\nregión representa la región del agujero negro en el momento crítico t = t(p).\nEsto corresponde al accesorio de 2 manos, donde el exterior\nla región se separa en un par de componentes conectados.\nel límite de la mano\nEn el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, los vehículos de motor de encendido por chispa y los vehículos de motor de encendido por chispa deberán cumplir los requisitos del anexo II del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 25 de junio de 2013, por el que se establecen las normas de homologación de tipo de los vehículos de motor de encendido por chispa y por el que se modifica el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la homologación de tipo de los vehículos de motor de encendido por chispa y por el que se deroga el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo (DO L 347 de 20.12.2013, p. 1).\na saber, la parte de la parte de la que se adjunta que es el complemento de la preimagen de la\nf :..................................................................................................................................................\nse desconecta sólo cuando = n − 1. En este caso, el tipo de homotopía de la\nregión exterior (t) cambia de la de un n-disco a la de S0, a saber, dos puntos.\nTenga en cuenta, sin embargo, que esto no implica que la región exterior (t) es siempre\nseparado en dos partes desconectadas a través de la unión (n− 1)-handle. Por\nejemplo, una transición desde el horizonte de anillo negro Sn−2 × S1 a la esférica\nhorizonte de agujero negro Sn−1 se realiza a través de un accesorio de mango negro (n−1),\nque pellizque la longitud {un puntoS1+Sn−2 ×S1 en un punto. El exterior\nregión (t) permanece conectado todo el tiempo. Por lo tanto, tanto son admisibles como admisibles.\nprocedimientos inadmisibles para los accesorios de mano (n−1). Un accesorio de mano (n−1)\nes inadmisible si separa la región exterior (t).\n5. Observaciones finales\nLos argumentos que se dan en este documento se veranizan con las siguientes reglas. Como...\nsume que (i) un (n+ 1)-dimensional espacio-tiempo M es asintóticamente plano y el\nfuturo null infinito I + está conectado, o el horizonte de eventos H = J−(I +) está definido\ncon respecto a un único extremo asintótico, ii) el espacio-tiempo M admite un suave\nfunción de tiempo global t, (iii) el horizonte de eventos H se puede deformar de modo que el negro\ndeformado en consecuencia en cada momento t es suave y homeomórfico a orig-\ninal uno B(t) en cada momento t y la función de tiempo t se convierte en la función Morse\nsobre el asunto H.O.M. Entonces, la evolución topológica del horizonte de eventos puede ser considerada como un\nAcoplamiento con mango (0 ≤ ≤ n) sujeto a las siguientes normas:\n1) El anexo n-handle es inadmisible.\n(2) Únicamente el accesorio negro con mango (0 ≤ ≤ n − 1), en el que el negro\nregión de hoyo en el barrio del punto crítico varía de la región\nhomotópico a la esfera S1 (considerado como el conjunto vacío para = 0) a la\nN-disk Dn, es admisible.\n(3) El accesorio (n − 1)-handle que separa la sección espacial de la\nregión exterior del agujero negro es inadmisible.\nLa primera regla simplemente establece que ningún componente conectado de un agujero negro disap-\nPeras. También implica que si una burbuja de la región exterior se forma dentro del negro\nregión del hoyo, no desaparece.\nLa segunda regla se refiere a la estructura incrustada del horizonte de eventos\nrelativa al colector espacio-tiempo. El barrio del punto crítico es sep-\nse divide en dos regiones por el horizonte de acontecimientos. Uno cambia homotópicamente de un\nesfera a un disco y el otro de un disco a una esfera. Lo llamamos un mango negro en...\ntacment cuando el primero corresponde a la región del agujero negro y un mango blanco\nPor otra parte, el apego. Entonces, la segunda regla dice que un mango blanco...\nNunca ocurre. El proceso inverso, en el que una región de agujero negro homotópicamente\nse descartan los cambios de un disco a una esfera. Un accesorio 0-mano blanco, que\nGráfico 12 Formación de anillo negro de un agujero negro esférico debe\nser no aximmétricos en el espacio-tiempo real del agujero negro.\ndescribe el surgimiento de la región exterior, también está prohibido. Esto da un...\notra razón para el resultado bien conocido que un agujero negro no puede bifurcar, porque\ncorresponde a un accesorio blanco (n− 1)-handle.\nLa segunda regla se aplica a situaciones más generales. Por ejemplo, consideremos\nla evolución topológica del horizonte de eventos de Sn−1 a Sn−2 × S1 en (n+1)-\nespacio-tiempo dimensional (n ≥ 3). Cuando se realiza con un solo punto crítico,\ncorresponde a un accesorio de 1 mano. Aquí, uno podría esperar dos posibilidades si\nno se considera la segunda regla. Una posibilidad es que el 1-handle se adjunta en\nla región exterior del agujero negro. Esto es localmente equivalente a la fusión de un\nun par de agujeros negros, donde estos dos agujeros negros están conectados a otro lugar irrelevante.\nLa otra posibilidad es que se une desde el interior de tal manera que el 1-handle\nperfora la región del agujero negro. En los espacios-tiempos asintóticamente planos, sólo los últimos\nincluye configuraciones aximétricas de tal manera que se pellizque un agujero negro esférico\na lo largo del eje simétrico; aquí la configuración aximétrica es tal que\nel espacio-tiempo posee la isometría SO(n − 1) y el corte del tiempo respeta\nEsta simetría. Sin embargo, esta última posibilidad corresponde a un manguito blanco\napego, que es imposible, y sólo el primero, que corresponde a un negro\nUn accesorio de 1 mano, es posible. En particular, una transición de un evento esférico\nhorizonte ( Sn−1) a un horizonte de anillo negro ( Sn−2×S1) en un espacio asintóticamente plano-\nveces no es siempre axisimmétrico en el sentido de que tal configuración no puede\nposee simetría SO(n− 1) (Fig. 12).\nMientras que el horizonte aparente debe ser difeomórfico a una dos-esfera en cuatro-\nespacio-tiempos dimensionales bajo la condición de energía dominante, un evento torus hori-\nzon puede aparecer, incluso bajo la condición energética dominante, a través de un mango negro\nfijación al horizonte esférico. Más generalmente, un horizonte de eventos con un\nEl número arbitrario de genura puede estar formado por varios accesorios negros de 1 mano.\nLa tercera regla no está directamente determinada por la estructura local de la\npunto. En él se afirma que la región exterior E (t) = E (t) en cada momento es siempre\nconectado bajo el supuesto de que I + está conectado. Por lo tanto, la posibilidad de que\nallí forma una burbuja de la región exterior dentro del horizonte del agujero negro se gobierna\nFuera. Sin embargo, hay que señalar que tal proceso es posible si I + consiste en\nde varios componentes conectados. Esto también puede estar relacionado con la topología\nteorema de censura. [19] El teorema de censura topológica afirma que todos los factores causales\nlas curvas de I − a I + son homotópicas bajo la condición de energía nula. Esto también\nprohíbe la formación de una burbuja de la región exterior dentro del agujero negro, porque\nde lo contrario habría dos curvas causales no homotópicas de I − a I +, una\npasando dentro del horizonte y el otro fuera. Nuestro argumento, sin embargo, no\ndependen de las condiciones energéticas.\nBibliografía\n[1] S. W. Hawking, Commun. Matemáticas. Phys. 25 (1972), 152.\n[2] S. W. Hawking y G. F. R. Ellis, La estructura a gran escala de los espacios-tiempo (Londres, Cam-\nbridge University Press, 1973).\n[3] D. Gannon, Gen. Relate. Gravit. 7 (1974), 219.\n[4] P. T. Chrusciel y R. M. Wald, Class. Quantum Grav. 11 (1994), L147; gr-qc/9410004.\n[5] T. Jacobson y S. Venkataramani, Class. Quantum Grav. 12 (1995), 1055; gr-qc/9410023.\n[6] S. F. Browdy y G. J. Galloway, J. Matemáticas. Phys. 36 (1995), 4952.\n[7] M. l. Cai y G. J. Galloway, Class. Quantum Grav. 18 (2001), 2707; hep-th/0102149.\n[8] C. Helfgott, Y. Oz e Y. Yanay, JHEP 0602 (2006), 025; hep-th/0509013.\n[9] G. J. Galloway y R. Schoen, Commun. Matemáticas. Phys. 266 (2006), 571; gr-qc/0509107.\n[10] G. J. Galloway, gr-qc/0608118.\n[11] M. Siino, Phys. Rev. D 58 (1998), 104016; gr-qc/9701003.\n[12] M. Siino y T. Koike, arXiv:gr-qc/0405056.\n[13] S. L. Shapiro, S. A. Teukolsky y J. Winicour, Phys. Rev. D 52 (1995), 6982.\n[14] J. Milnor, Conferencias sobre el teorema del cobordismo h (Princeton, Princeton University Press, 1965).\n[15] I. Tamura, La topología diferencial (Tokio, Iwanami Shoten Publishers, 1978).\n[16] P. T. Chrusciel y G. J. Galloway, Commun. Matemáticas. Phys. 193 (1998), 449 gr-qc/9611032.\n[17] S. Smale, Ann. de Matemáticas. 74 (1961), 199.\n[18] R. Emparan y H. S. Reall, Phys. Rev. Lett. 88 (2002), 101101; hep-th/0110260.\n[19] J. L. Friedman, K. Schleich y D. M. Witt, Phys. Rev. Lett. 71 (1993), 1486 [Errata; 75\n(1995), 1872]; gr-qc/9305017.\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/9410004\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/9410023\nhttp://arxiv.org/abs/hep-th/0102149\nhttp://arxiv.org/abs/hep-th/0509013\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/0509107\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/0608118\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/9701003\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/0405056\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/9611032\nhttp://arxiv.org/abs/hep-th/0110260\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/9305017\n\t1. Introducción\n\t2. La teoría de Morse para horizontes de eventos\n\t3. La estructura de los puntos críticos\n\t4. Conectividad de la región exterior\n\t5. Observaciones finales\n\tBibliografía\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" La estructura topológica del horizonte de eventos ha sido investigada en términos\nde la teoría Morse. El proceso elemental de evolución topológica puede ser\nentendido como un accesorio de manija. Se ha encontrado que hay\nlimitaciones a la naturaleza de la evolución topológica del agujero negro: (i) Hay n\ntipos de accesorios de mango en (n+1) dimensiones de agujero negro espacio-tiempos. ii)\nLas manijas también se clasifican como de tipo blanco o negro, y sólo negro\nlos mangos aparecen en el espacio-tiempos del agujero negro real. iii) La sección espacial de un\nexterior de la región del agujero negro siempre está conectado. Como corolario, es\nmuestra que la formación de un agujero negro con un horizonte S**(n-2) x S**1 desde\nque con un horizonte S**(n-1) no debe ser aximétrico en asintóticamente plano\nespacio-tiempos.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción\nLos agujeros negros en espacios-tiempos de mayor o igual a cinco dimensiones tienen ricos\nestructura topológica. Según los conocidos resultados de Hawking sobre\nla topología de los agujeros negros en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, el horizonte aparente\no la sección espacial del horizonte de eventos estacionario es necesariamente difteromórfica\na una 2-esfera. [1, 2] Esto se deriva del hecho de que la curvatura total, que es\nla integral de la curvatura escalar intrínseca sobre el horizonte, es positiva bajo el\ncondición energética dominante y del teorema de Gauss-Bonnet. Alternativas y\nha mejorado las pruebas del teorema de Hawking han sido dadas por varios autores. [3, 4, 5, 6]\nSin embargo en el espacio-tiempos dimensionales superiores, un horizonte aparente o el espacio espacial\nsección del horizonte de eventos estacionario puede no ser una esfera topológica, [7, 8, 9, 10]\nporque el teorema de Gauss-Bonnet no se sostiene en tales casos. Sin embargo,\nla positividad de la curvatura total del horizonte todavía se mantiene. Esto pone seguro\nrestricciones topológicas en la topología del agujero negro, aunque son bastante débiles. Por\nejemplo, el horizonte aparente en el espacio-tiempo de cinco dimensiones puede consistir en finitamente\nmuchas sumas conectadas de copias de S3/». y copias de S2 × S1. De hecho, exacto\nsoluciones que representan un agujero negro espacio-tiempo que posee un horizonte no esférico\nLa topología se ha encontrado recientemente en la relatividad general de cinco dimensiones. Cuando tales\nagujeros negros con topologías no triviales se consideran como formadas en el curso\nde colapso gravitacional, cuestiones relativas a la evolución de la topología del negro\nlos agujeros surgen naturalmente. Nuestro propósito aquí es entender la evolución del tiempo de la\ntopología de horizontes de eventos en un entorno general. La relación entre el conjunto de pliegues,\ndonde el horizonte de eventos no es diferenciable, y la topología del horizonte de eventos\nestá estudiado en Refs. [11, 12, 13] para el espacio-tiempos de cuatro dimensiones. En el presente\ntrabajo, realizamos una investigación sistemática y encontramos reglas útiles para determinar\nprocesos admisibles de evolución topológica para el corte temporal de un agujero negro.\nNuestro enfoque es utilizar la teoría Morse [14, 15] en la topología diferencial. Los\nLa teoría de Morse es útil para el propósito de entender la topología de suave\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0100v3\nmultiples. La herramienta básica utilizada en este enfoque es una función fluida en un diferen-\nmultiples. El horizonte de acontecimientos, sin embargo, no es un múltiple diferenciable, pero\ntiene una estructura similar a cuña en los puntos finales pasados de los generadores geodésicos nulos\ndel horizonte. Por esta razón, primero suavizamos la cuña. Entonces, el suave\nfunción de tiempo que se supone que existe juega el papel de la función Morse en el\nalisó el horizonte de eventos. Según la teoría de Morse, la evolución topológica\nel horizonte del evento puede entonces ser descompuesto en procesos elementales llamados “han-\nEn tal proceso, comenzando con un horizonte esférico, se añade\nvarios mangos, cada uno caracterizado por el índice de los puntos críticos del Morse\nfunción, que es un entero que va de 0 a n (la dimensión de la\nhorizonte como un colector diferenciable).\nEl propósito del presente artículo es demostrar que hay varias limitaciones\nen los accesorios del mango para los espacios-tiempos del agujero negro reales.\n2. La teoría de Morse para horizontes de eventos\nQue M sea un espacio-tiempo asintóticamente plano (n+1)-dimensional. Requerimos el\nexistencia de una función global del tiempo t : M → R que es suave y tiene un en todas partes\ngradiente de apuntamiento temporal y futuro. El horizonte de eventos H se define como el\nlímite del pasado causal del futuro null infinity H = ♥J−(I +). [2] Tratamos\nel horizonte de evento definido con respecto a un único extremo asintótico, a menos que lo contrario\nindicado. En otras palabras, el futuro infinito nulo, I +, se supone que está conectado.\nLa región del agujero negro B se define como la región interior de H, específicamente, como B =\nM \\ J−(I +), y la región exterior E de la región del agujero negro es su complemento,\nE = int(J−(I +)). Nos referimos a la intersección de la región del agujero negro y el\ntime slice (t0) = {t = t0} como el agujero negro B(t0) = B (t0) en el momento t = t0.\nLa región exterior en el momento t = t0 está, en consecuencia, escrita E (t0) = E (t0).\nUna de las propiedades más básicas del horizonte de eventos es que se genera por null\ngeodésicos sin futuros puntos finales. En general, el horizonte de eventos no es fácil\nincrustado en el espacio-tiempo múltiple M, pero tiene una estructura similar a cuña en\nlos puntos finales pasados de los generadores geodésicos nulos, en los que\nLos generadores se cruzan. Llamamos al conjunto de puntos finales pasados de generadores geodésicos nulos\nde H, de la cual emanan dos o más generadores geodésicos nulos, el juego de pliegues\nS. [11, 12] Cuando no existe un conjunto de pliegues S entre las secciones de tiempo t = t1 y t = t2, la\nLos generadores geodésicos nulos de H definen naturalmente un difeomorfismo.\nPor lo tanto, la evolución topológica de un agujero negro sólo puede tener lugar cuando el tiempo\nS. Por supuesto, el horizonte de eventos en sí mismo es un indicador-\nobjeto independiente. Sin embargo, a menudo entendemos la dinámica del espacio-tiempo\nescaneando a lo largo de rebanadas de tiempo. Así, la evolución topológica de un agujero negro\ndepende de la función de tiempo.\nSe espera que la teoría de Morse [14] proporcione técnicas útiles para analizar\nun proceso de evolución topológica. Porque la teoría de Morse se ocupa de\nfunciones en los colectores lisos, primero regularizamos H alrededor del conjunto de pliegues S.\nhorizonte de eventos no es necesariamente suave, incluso en H \\ S, en el caso de que el futuro\nnull infinity I + tiene una estructura patológica. [16] Aquí se asume que H es\nsuave en H \\ S. Luego, pequeñas deformaciones de H cerca del conjunto de pliegue S hará\nH una hipersuperficie lisa H. en M, mientras que B.(t0) permanece deformada de tal manera\nque ♥Bś(t0) = Hś Ł(t0) mantiene y Bś(t0) sigue siendo homeomórfico al original\nagujero negro para todos los t0 o R. Esta deformación se supone que es tal que el tiempo\nGráfico 1 Un ejemplo en el que ningún procedimiento de suavizado hace\nt eH una función Morse en Hś. Aquí, la intersección del conjunto de pliegues\nS del horizonte de evento y t = t0 hipersuperficie tiene una acumulación\npunto.\nfunción t eH, que es la restricción de t en H\ntiene sólo puntos críticos no degenerados, donde el gradiente de t eH definido en H\nse convierte en cero y donde también la matriz de Hessian (?i?jt eH) de t eH no es degenerada.\nAunque esta suposición debe sostener para una amplia clase de sistemas, no siempre\nEspera. La figura 1 da un ejemplo para el cual ningún procedimiento de suavizado hace que la\nfunción de tiempo inducida t eH una función de Morse en H, porque la intersección de la\nSet de pliegue S del horizonte de evento y la hipersuperficie t = t0 tiene una acumulación\npunto. Es altamente no trivial determinar si este procedimiento de suavización es\ngenéricamente posible. Sin embargo, no es fácil ni el propósito principal de este artículo\npara afirmar en el ámbito de la validez de la suposición, y por lo tanto hacemos esto\nsuposición sin indagar sobre su validez.\nSegún el Morse Lemma, hay un sistema de coordenadas local {x1, · · ·, xn}\nsobre Hû en el barrio del punto crítico p Hû de tal manera que la restricción t eH\nde la función de tiempo t en Hś toma la forma\nt eH(x\n1, · · ·, xn) = t(p)− (x1)2 − · · · − (xl)2 + (xl)2 + · · (xn)2.\nEl entero, que va de 0 a n, se llama el índice del punto crítico p.\nla topología del agujero negro B(t) cambia cuando (t) pasa por puntos críticos,\no equivalente, cuando la función de tiempo t toma valores críticos. Esto implica que\npuntos críticos aparecen sólo cerca del conjunto de pliegues S.\nEl campo vectorial similar al gradiente para t eH se define como el campo vectorial tangente X\nde tal manera que Xt eH > 0 se mantiene en Hū, a excepción de los puntos críticos, y tiene la forma\nX = −2x1\n− · · · − 2x\n+ 2x+1\n* x x 1 *\n+ · · 2xn\ncerca del punto crítico del índice , en términos del sistema de coordenadas estándar\naparece en el Morse Lemma. Elegimos un campo vectorial similar al gradiente X de tal manera que\ncoincide con el futuro-dirigido campo vectorial tangente de generadores geodésicos nulos\nde H, excepto en un pequeño barrio del conjunto de pliegues S (Fig. 2). El efecto de\nun punto crítico p del índice es equivalente a la fijación de un ♥-handle. [14, 15]\nEl manubrio es sólo un n-disco topológico Dn (I = [0, 1]), pero se considera\ncomo el espacio del producto Dn Dn Dn (Fig. 3). El accesorio de la mano de la mano a un n-\nel colector dimensional N con un límite consiste en el conjunto h. = (D. ×Dn, f),\ndonde el mapa adjunto f induce la incrustación de \nN (Fig. 4). El nuevo colector obtenido a través de la unión de la mano de N es\nGráfico 2 El procedimiento de suavizado del horizonte de eventos H.\nel campo vectorial similar al gradiente en H se puede construir a través de un ligero\ndeformación de los generadores geodésicos nulos de H. Aquí, el efecto\ndel conjunto de pliegues S ha sido sustituido por el de los puntos críticos\np1, p2 y p3.\nGráfico 3 La estructura local alrededor del punto crítico p del índice\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Se puede ver que Hût(p) es homeomórfico a Hût(p) con una\nAtadura de mano.\ndado por\nEn el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo.\nVamos a denotar por la parte t ≤ t0 de H Entonces, Hût(p) ( > 0) justo por encima de la\nel punto crítico p del índice es homeomórfico (de hecho difeomórfico, teniendo en cuenta\ndel procedimiento de suavizado) a que justo debajo de p, H\nHt(p) Ht(p)\nsi no hay otros puntos críticos que satisfagan t(p) ≤ t ≤ t(p). El cuerpo de la manija\na sí mismo es denotado por hl también.\nConsideremos varios ejemplos. El accesorio 0-handle no necesita un\nadjuntando el mapa f. Simplemente corresponde a la emergencia de la (n − 1)-esfera\nSn−1 Ł ŁDn como horizonte de agujero negro ♥B(t). Un ejemplo típico es la creación de un\nagujero negro (fig. 5): Un agujero negro siempre emerge como un accesorio 0-handle. El otro\nGráfico 4 La fijación de un manguito y un 2 manguito a un\n3-manifold N crea un nuevo 3-manifold N â € h1 â € h2.\nGráfico 5 La aparición de un agujero negro a través de un accesorio 0-handle.\nGráfico 6 La aparición de una burbuja en la región del agujero negro por\nFijación 0-handle, que no ocurre en el agujero negro real\nespacio-tiempos.\nGráfico 7 La colisión de un par de agujeros negros, creando un solo\nagujero negro, se realiza a través de un accesorio de 1 mano.\npossiblity es la creación de una burbuja que es subconjunto de J−(I +) en una región de agujero negro\n(Fig. 6). Uno podría pensar que esto corresponde a la creación de agujeros de gusano entre el\nregiones internas y externas del horizonte de acontecimientos. Aunque en el marco de la\nteoría estándar de Morse en Hś, estos dos ejemplos son indistinguibles, que a continuación\nver que este último proceso es, de hecho, imposible.\nA continuación, consideramos un accesorio de 1 mano. Un ejemplo típico es la colisión de dos\nagujeros negros. Un 1-handle sirve como un puente que conecta los agujeros negros, o corresponde\na tomar la suma conectada de cada componente de múltiples agujeros negros (Fig. 7).\nGráfico 8 La bifurcación de un agujero negro en dos está representada\npor un accesorio (n − 1)-handle. Esto, sin embargo, nunca ocurre en\nverdadero agujero negro espacio-tiempos.\nGráfico 9 La estructura de la mano. El núcleo D. × {0} corre-\nsponds al submanifold estable con respecto al generador de flujo-\natendido por el campo vectorial similar al gradiente, y el co-núcleo {0} ×Dn\ncorresponde al submanifold inestable.\nLa inversión de tiempo de la colisión de agujeros negros consiste en la bifurcación de uno\nagujero negro en dos. Esto se realizaría a través de un accesorio (n - 1),\nsi tal proceso fuera posible (Fig. 8). Sin embargo, es bien sabido que tal\nel proceso está prohibido. [2] En general, la inversión de tiempo de la fijación de la mano\ncorresponde a la unión (n− )-manilla.\nAntes de discutir casos generales, consideremos la estructura de un manillar.\nRecordemos que una mano-de-revestimiento consiste en el espacio del producto D♥ × Dn. El subconjunto\nSe llama el núcleo del manillar, y {0} ×Dn \nDl ×Dn se llama el co-núcleo. El núcleo y el co-núcleo se cruzan transversalmente en un\npunto. Este punto puede ser considerado como un punto crítico p.\nVamos a referirnos al subconjunto Ws(p) de H\n(1) Ws(p) = {q M lim\nexpq tX = p}\nque consiste en puntos que convergen a p a lo largo del flujo generado por el gradiente-\ncomo campo vector X, como el colector estable con respecto al punto crítico p.\nEl colector estable Ws(p) es homeomórfico a R\nSi el índice de p es dado por ♥. [17]\nSimilarmente, vamos a referirnos al subconjunto Wu(p)\na p a lo largo del flujo generado por (-X) como el colector inestable con respecto a p.\nPara el colector inestable, Wu(p)\nNo, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no... Las porciones del establo y\nLos colectores inestables en el cuerpo de la manivela pueden ser considerados como correspondientes al núcleo\ny co-núcleo, respectivamente.\nEl efecto de suavizar el horizonte de eventosH a Hū es deformar el campo vectorial nulo\ngenerar H en un campo vectorial similar al gradiente X. La diferencia principal entre\nlos generadores geodésicos nulos y el flujo generado por X es que el primero hace\nno tienen futuros puntos finales, pero estos últimos pueden. Por lo tanto, son admisibles y\nprocedimientos inadmisibles para el fluido múltiple H Un procedimiento admisible es el siguiente:\n, que se obtiene a partir de un horizonte de acontecimientos realizable en principio, mientras que un\ninadmisible se construye a partir de un horizonte de acontecimientos espurios, es decir, uno que consiste en\nde la hipersuperficie nula que contiene generadores geodésicos nulos con un punto final futuro.\n3. La estructura de los puntos críticos\nLa topología espacial de un agujero negro cambia sólo cuando la función de tiempo toma un\nvalor crítico. La evolución del tiempo de la topología del agujero negro se puede entender por\nteniendo en cuenta su estructura local en torno a puntos críticos. Para determinar si un determinado\ncambio topológico es admisible o inadmisible, no es suficiente considerar sólo\nla estructura intrínseca del horizonte de eventos. Más bien, es necesario tener en cuenta\nde su estructura empotrada en relación con el espacio-tiempo.\nEn una rebanada de tiempo, cualquier punto separado de Hś pertenece a cualquiera de los dos agujeros negros\no el exterior de la región del agujero negro. Es útil considerar el comportamiento local\nde la región del agujero negro o la región exterior cerca del punto crítico p. Llamemos\nel exterior E de la región del agujero negro simplemente la región exterior, para la brevedad. Los\nla región exterior está ligeramente deformada por el procedimiento de suavizado. Los deformados\nregión exterior se denota por , y la región exterior deformada en el momento t por\n(t) = (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t).2.............................................................................................................................................................................................................................................................. \nEl mango 0 se coloca en unas t ≥ t(p). Tal apego describe el emer-\nsión de la región del agujero negro en el punto crítico p y su expansión con el tiempo.\nLa aparición de una burbuja, que consiste en una parte de J−(I +), en el fondo\nde la región del agujero negro también sería descrito por un accesorio 0-handle. Esto,\nSin embargo, nunca ocurre, como se explica a continuación en detalle. Por lo tanto, un accesorio 0-handle\nsiempre describe la creación de un agujero negro homeomórfico al n-disco.\nUn accesorio n-handle corresponde a la inversión de tiempo de un agregado 0-handle-\nmento. Este proceso, sin embargo, nunca ocurre en el espacio-tiempo del agujero negro real. Un n-\nmanillar se define para t ≤ t(p), lo que significa que termina en el punto crítico\np. El conjunto de pliegues se aísla en puntos críticos durante el curso del suavizado\nprocedimiento. El campo vectorial similar al gradiente, que se puede considerar tangente\nal generador del horizonte del acontecimiento deformado H..., puede tener varios hacia adentro (con-\nen el punto crítico debido a este procedimiento de suavización, mientras que el\ngenerador nulo original del horizonte de evento no tiene una dirección interior en\nel juego de pliegues. En el caso del n-handle, todas las direcciones se vuelven hacia el interior en el\npunto crítico. Esto implica que los generadores nulos del horizonte de eventos H deben\ntener puntos finales futuros en el punto crítico, que es, por supuesto, imposible. Lo es.\nasí visto que un accesorio n-handle nunca ocurre en el espacio-tiempos del agujero negro real.\nEl resto de los casos son adjuntos con mango para 1 ≤ ≤ n − 1. En estos\nEn el futuro, el punto crítico se encuentra a ambos lados del punto crítico p.\n[t > t(p)] y en el pasado [t < t(p)]. Entonces, consideramos el caso en el que la manija\nexiste durante el intervalo de tiempo lo suficientemente pequeño t • [t(p) − •, t(p) + \nentender el cambio topológico de la región del agujero negro en el punto crítico p.\nGráfico 10 El barrio U de p está separado por h\nregión futura, U+, y la región pasada, U−.\nPrimero, introducimos un sistema de coordenadas {t, xi} (i = 1, · ·, n) en el barrio\nU de p, donde t es una función dada del tiempo, y {xi} es la extensión sobre U de\nla coordenada canónica que aparece en el Morse Lemma de tal manera que cada curva\n(x1, · ·, xn) = [const] es temporal en U. Asumimos que U es el cilindro sólido\ndado por t [t(p), t(p)],\nxi)2 ≤ . En este sistema de coordenadas, el\nla superficie de la silla de montar es dada por la superficie de la silla de montar\nt = t(p)− (x1)2 − · · · − (xl)2 + (xl)2 + · · (xn)2\nen U, que es un conjunto acausal si la constante \nes tangente a la hipersuperficie similar al espacio t = t(p) en p. Por lo tanto, h\nU en dos subconjuntos abiertos, el futuro y las regiones pasadas U+ y U− de U, donde\nU+ y U− son los subconjuntos de futuro cronológico y pasado, respectivamente, de\nn.c.o.p. Explícitamente, el futuro y las regiones pasadas U± son las regiones\nSatisfacción\nt t(p)− (x1)2 − · · · − (xl)2 + (xl)2 + · · (xn)2\nen U, respectivamente (fig. 10).\nDebido a que la mano es un subconjunto de la frontera del agujero negro H, uno de U± es\ncontenido en la región del agujero negro, Bû, y el otro en la región exterior, .\nSin embargo, la futura región U+ de U siempre está incluida en la región del agujero negro, es decir.\nU+ â € TM B¬, y por lo tanto tenemos U− â € TM, ya que el horizonte es el límite del pasado\nset, J−(I +). Por lo tanto, la región del agujero negro Bû(t(p) − ) U en U en el momento\nt = t(p)− justo antes de que el tiempo crítico sea dado por\n(x1)2 + · · (xl)2 > (xl)2 + · · (xn)2 +,\nla cual es homotópica a la esfera S1. (En el caso de = 1, S0 consiste simplemente en:\ndos puntos.) Similarmente, Bū(t(p) + ) U justo después de que el tiempo crítico es dado por\n(x1)2 + · · (xl)2 + > (xl)2 + · · (xn)2,\nque es homotópico para el n-disco. De esta manera, la región del agujero negro se restringió a\nel pequeño barrio del punto crítico p es inicialmente homotópico a una esfera.\nLuego, la región interna de la esfera se llena en el momento crítico t = t(p) y\neventualmente se vuelve homotópicamente trivial. La región exterior, (t) U, en U es\ninicialmente homotópico a un n-disco para t = t(p) −. Entonces, su (n − ♥)-dimensional\ndirección es penetrada por la región del agujero negro en t = t(p), y así se convierte en\nhomotópico a una (n− 1)-esfera Sn1 para t = t(p) +. Si el suceso espurio\nhorizonte también se tiene en cuenta, la futura región U+ podría ser un subconjunto de , y\nPor lo tanto, la región pasada U- podría ser un subconjunto de B Luego, la región del agujero negro en\nla mano de podría ser homotópica a un n-disco inicialmente y llegar a ser homotópica a un\n(n1)-esfera finalmente, y viceversa para la región exterior. Vamos a referirnos a tal\nun cambio topológico de la región del agujero negro B(t)U de una región homotópica a\nesfera a una región homotópica a un disco como un accesorio de mango negro, y que desde\nuna región homotópica a un disco a una región homotópica a la esfera como un mango blanco\nattachment. La observación anterior muestra que sólo un accesorio de mango negro\nocurre si se considera un barrio suficientemente pequeño del punto crítico. Por\npor ejemplo, una colisión de agujeros negros corresponde a un accesorio negro de 1 mano, mientras que\nla bifurcación de un agujero negro corresponde a un accesorio blanco (n − 1)-handle\nen el sentido de que el tipo de homotopía de la región exterior (t)\nla de Sn−2 a la de Dn. Este argumento local también elucida la razón de que\nchoque agujero negro es admisible mientras que una bifurcación agujero negro, que es su tiempo\ninversión, es inadmisible. También observamos que el efecto de la inversión de tiempo es convertir\nun accesorio negro de la mano en un accesorio blanco de la mano (n− ).\nEs conveniente hacer referencia a la fijación 0-handle correspondiente a la cre-\nsión de un agujero negro como un accesorio negro de 0 manos. Entonces, la proposición de arriba\ntambién se aplica a un accesorio 0-handle.\n4. Conectividad de la región exterior\nTambién existen procesos que son irrealizables debido a las condiciones mundiales. Vamos.\nnosotros, por un momento, considerar el horizonte de eventos en Schwarzschild al máximo extendido\nespacio-tiempo. Aunque estamos interesados en el horizonte de eventos definido con respecto a\nun extremo asintótico específico, para el propósito de la explicación, examinamos el evento\nhorizonte definido con respecto a un par de extremos asintóticos en el espacio Schwarzschild-\ntiempo (Fig. 11).\nDejar I + 1 y I\n2 ser el par de futuros infinitos nulos de la máxima extensión\nSchwarzschild espacio-tiempo. El horizonte de eventos aquí está definido por H = \n2 ), que no es diferenciable en el horizonte bifurcado F = J\n−(I +1 )J\n− (I + 2).\nQue no sea una función de tiempo global y χ ser una función de coordinación radial global tales\nque cada t de dos superficies, χ = [const] es invariante bajo la isometría SO(3). Estos\nLas coordenadas se eligen de forma que la superficie de bifurcación F se encuentre en t = χ = 0\ny el horizonte de eventos H está determinado por t = alrededor de F. El evento suavizado\nhorizonte también se considera que es invariante en virtud de la isometría SO(3). Debido a la\nsimetría de la configuración, la función de tiempo t tiene puntos críticos de degenerado\ntype. De hecho, cualquier punto en el horizonte bifurcado F es crítico. Aquí, no estamos interesados\nen una situación tan no genérica. En su lugar, consideramos un tiempo ligeramente diferente cortando\ndeterminado por la nueva función de tiempo\nt′ = t+ sin2\nen los casos en que ≤ > 0 sea una constante positiva suficientemente pequeña y , que satisfaga 0 ≤ ≤ η,\nes la coordenada polar habitual de la 2-esfera. Entonces, sólo aparece un par de\npuntos críticos aislados en el polo norte ( = 0) y el polo sur ( ) en\nel horizonte bifurcado F, y la función de tiempo t′ se convierte en la función Morse en\nHū. En el momento t′ = 0, el agujero negro aparece en el polo norte. Esta es la\nFijación 0-handle. El agujero negro formado allí crece en un espesor geométrico\ncaparazón esférica con un agujero en el polo sur, que es, sin embargo, un topológico\n3 discos. En el momento t′ =, la punción en el polo sur se llena, y el negro\nregión de agujero se convierte en topológica S2 × [0, 1]. El horizonte de acontecimientos deformado Hū se divide\nen una unión desarticulada de un par de 2 esferas. Este es el accesorio de dos manos.\nEste tipo de adjunto de 2 manos ocurre porque el horizonte de eventos está definido\ncon respecto a los dos extremos asintóticos, que en general es inadmisible si el\nfuturo infinito nulo está conectado, como suponemos a partir de este punto. Para entender el\nsupra, cabe señalar que no existe un proceso mediante el cual la\nvarios componentes conectados de la región exterior (t) = (t) en el momento t\nfusionarse en un momento posterior porque un accesorio de tal manija no es admisible.\nTambién se ve que ningún componente conectado de (t) desaparece, porque possi-\nble n-handle adjuntos son inadmisibles. Estos hechos implican que el número de\nlos componentes conectados de la región exterior (t) no pueden disminuir con el tiempo\nfunción t. Por otro lado, sólo hay un componente conectado de la exte-\nregión rior (t) para t suficientemente grande, debido a la conexión de I +. Esto\nla observación muestra que la región exterior (t) permanece conectada en cualquier proceso.\nEl único proceso posible a través del cual el número de componentes conectados\nde la región exterior (t) los cambios es un accesorio (n− 1)-handle, tal como está construido\narriba en el espacio-tiempo Schwarzschild. Esto se debe a que el subconjunto D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o.\nH2 H1\nt' = t' (p)\nB (t'(p))\nII 12\nGráfico 11 La figura de la izquierda es un diagrama conformal de la\nSchwarzschild alargado al máximo el espacio-tiempo. La estructura de\nel horizonte de evento definido con respecto a los dos extremos asintóticos\nse representa a la derecha, con una dimensión omitida. El sombreado\nregión representa la región del agujero negro en el momento crítico t = t(p).\nEsto corresponde al accesorio de 2 manos, donde el exterior\nla región se separa en un par de componentes conectados.\nel límite de la mano\nEn el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, los vehículos de motor de encendido por chispa y los vehículos de motor de encendido por chispa deberán cumplir los requisitos del anexo II del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 25 de junio de 2013, por el que se establecen las normas de homologación de tipo de los vehículos de motor de encendido por chispa y por el que se modifica el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la homologación de tipo de los vehículos de motor de encendido por chispa y por el que se deroga el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo (DO L 347 de 20.12.2013, p. 1).\na saber, la parte de la parte de la que se adjunta que es el complemento de la preimagen de la\nf :..................................................................................................................................................\nse desconecta sólo cuando = n − 1. En este caso, el tipo de homotopía de la\nregión exterior (t) cambia de la de un n-disco a la de S0, a saber, dos puntos.\nTenga en cuenta, sin embargo, que esto no implica que la región exterior (t) es siempre\nseparado en dos partes desconectadas a través de la unión (n− 1)-handle. Por\nejemplo, una transición desde el horizonte de anillo negro Sn−2 × S1 a la esférica\nhorizonte de agujero negro Sn−1 se realiza a través de un accesorio de mango negro (n−1),\nque pellizque la longitud {un puntoS1+Sn−2 ×S1 en un punto. El exterior\nregión (t) permanece conectado todo el tiempo. Por lo tanto, tanto son admisibles como admisibles.\nprocedimientos inadmisibles para los accesorios de mano (n−1). Un accesorio de mano (n−1)\nes inadmisible si separa la región exterior (t).\n5. Observaciones finales\nLos argumentos que se dan en este documento se veranizan con las siguientes reglas. Como...\nsume que (i) un (n+ 1)-dimensional espacio-tiempo M es asintóticamente plano y el\nfuturo null infinito I + está conectado, o el horizonte de eventos H = J−(I +) está definido\ncon respecto a un único extremo asintótico, ii) el espacio-tiempo M admite un suave\nfunción de tiempo global t, (iii) el horizonte de eventos H se puede deformar de modo que el negro\ndeformado en consecuencia en cada momento t es suave y homeomórfico a orig-\ninal uno B(t) en cada momento t y la función de tiempo t se convierte en la función Morse\nsobre el asunto H.O.M. Entonces, la evolución topológica del horizonte de eventos puede ser considerada como un\nAcoplamiento con mango (0 ≤ ≤ n) sujeto a las siguientes normas:\n1) El anexo n-handle es inadmisible.\n(2) Únicamente el accesorio negro con mango (0 ≤ ≤ n − 1), en el que el negro\nregión de hoyo en el barrio del punto crítico varía de la región\nhomotópico a la esfera S1 (considerado como el conjunto vacío para = 0) a la\nN-disk Dn, es admisible.\n(3) El accesorio (n − 1)-handle que separa la sección espacial de la\nregión exterior del agujero negro es inadmisible.\nLa primera regla simplemente establece que ningún componente conectado de un agujero negro disap-\nPeras. También implica que si una burbuja de la región exterior se forma dentro del negro\nregión del hoyo, no desaparece.\nLa segunda regla se refiere a la estructura incrustada del horizonte de eventos\nrelativa al colector espacio-tiempo. El barrio del punto crítico es sep-\nse divide en dos regiones por el horizonte de acontecimientos. Uno cambia homotópicamente de un\nesfera a un disco y el otro de un disco a una esfera. Lo llamamos un mango negro en...\ntacment cuando el primero corresponde a la región del agujero negro y un mango blanco\nPor otra parte, el apego. Entonces, la segunda regla dice que un mango blanco...\nNunca ocurre. El proceso inverso, en el que una región de agujero negro homotópicamente\nse descartan los cambios de un disco a una esfera. Un accesorio 0-mano blanco, que\nGráfico 12 Formación de anillo negro de un agujero negro esférico debe\nser no aximmétricos en el espacio-tiempo real del agujero negro.\ndescribe el surgimiento de la región exterior, también está prohibido. Esto da un...\notra razón para el resultado bien conocido que un agujero negro no puede bifurcar, porque\ncorresponde a un accesorio blanco (n− 1)-handle.\nLa segunda regla se aplica a situaciones más generales. Por ejemplo, consideremos\nla evolución topológica del horizonte de eventos de Sn−1 a Sn−2 × S1 en (n+1)-\nespacio-tiempo dimensional (n ≥ 3). Cuando se realiza con un solo punto crítico,\ncorresponde a un accesorio de 1 mano. Aquí, uno podría esperar dos posibilidades si\nno se considera la segunda regla. Una posibilidad es que el 1-handle se adjunta en\nla región exterior del agujero negro. Esto es localmente equivalente a la fusión de un\nun par de agujeros negros, donde estos dos agujeros negros están conectados a otro lugar irrelevante.\nLa otra posibilidad es que se une desde el interior de tal manera que el 1-handle\nperfora la región del agujero negro. En los espacios-tiempos asintóticamente planos, sólo los últimos\nincluye configuraciones aximétricas de tal manera que se pellizque un agujero negro esférico\na lo largo del eje simétrico; aquí la configuración aximétrica es tal que\nel espacio-tiempo posee la isometría SO(n − 1) y el corte del tiempo respeta\nEsta simetría. Sin embargo, esta última posibilidad corresponde a un manguito blanco\napego, que es imposible, y sólo el primero, que corresponde a un negro\nUn accesorio de 1 mano, es posible. En particular, una transición de un evento esférico\nhorizonte ( Sn−1) a un horizonte de anillo negro ( Sn−2×S1) en un espacio asintóticamente plano-\nveces no es siempre axisimmétrico en el sentido de que tal configuración no puede\nposee simetría SO(n− 1) (Fig. 12).\nMientras que el horizonte aparente debe ser difeomórfico a una dos-esfera en cuatro-\nespacio-tiempos dimensionales bajo la condición de energía dominante, un evento torus hori-\nzon puede aparecer, incluso bajo la condición energética dominante, a través de un mango negro\nfijación al horizonte esférico. Más generalmente, un horizonte de eventos con un\nEl número arbitrario de genura puede estar formado por varios accesorios negros de 1 mano.\nLa tercera regla no está directamente determinada por la estructura local de la\npunto. En él se afirma que la región exterior E (t) = E (t) en cada momento es siempre\nconectado bajo el supuesto de que I + está conectado. Por lo tanto, la posibilidad de que\nallí forma una burbuja de la región exterior dentro del horizonte del agujero negro se gobierna\nFuera. Sin embargo, hay que señalar que tal proceso es posible si I + consiste en\nde varios componentes conectados. Esto también puede estar relacionado con la topología\nteorema de censura. [19] El teorema de censura topológica afirma que todos los factores causales\nlas curvas de I − a I + son homotópicas bajo la condición de energía nula. Esto también\nprohíbe la formación de una burbuja de la región exterior dentro del agujero negro, porque\nde lo contrario habría dos curvas causales no homotópicas de I − a I +, una\npasando dentro del horizonte y el otro fuera. Nuestro argumento, sin embargo, no\ndependen de las condiciones energéticas.\nBibliografía\n[1] S. W. Hawking, Commun. Matemáticas. Phys. 25 (1972), 152.\n[2] S. W. Hawking y G. F. R. Ellis, La estructura a gran escala de los espacios-tiempo (Londres, Cam-\nbridge University Press, 1973).\n[3] D. Gannon, Gen. Relate. Gravit. 7 (1974), 219.\n[4] P. T. Chrusciel y R. M. Wald, Class. Quantum Grav. 11 (1994), L147; gr-qc/9410004.\n[5] T. Jacobson y S. Venkataramani, Class. Quantum Grav. 12 (1995), 1055; gr-qc/9410023.\n[6] S. F. Browdy y G. J. Galloway, J. Matemáticas. Phys. 36 (1995), 4952.\n[7] M. l. Cai y G. J. Galloway, Class. Quantum Grav. 18 (2001), 2707; hep-th/0102149.\n[8] C. Helfgott, Y. Oz e Y. Yanay, JHEP 0602 (2006), 025; hep-th/0509013.\n[9] G. J. Galloway y R. Schoen, Commun. Matemáticas. Phys. 266 (2006), 571; gr-qc/0509107.\n[10] G. J. Galloway, gr-qc/0608118.\n[11] M. Siino, Phys. Rev. D 58 (1998), 104016; gr-qc/9701003.\n[12] M. Siino y T. Koike, arXiv:gr-qc/0405056.\n[13] S. L. Shapiro, S. A. Teukolsky y J. Winicour, Phys. Rev. D 52 (1995), 6982.\n[14] J. Milnor, Conferencias sobre el teorema del cobordismo h (Princeton, Princeton University Press, 1965).\n[15] I. Tamura, La topología diferencial (Tokio, Iwanami Shoten Publishers, 1978).\n[16] P. T. Chrusciel y G. J. Galloway, Commun. Matemáticas. Phys. 193 (1998), 449 gr-qc/9611032.\n[17] S. Smale, Ann. de Matemáticas. 74 (1961), 199.\n[18] R. Emparan y H. S. Reall, Phys. Rev. Lett. 88 (2002), 101101; hep-th/0110260.\n[19] J. L. Friedman, K. Schleich y D. M. Witt, Phys. Rev. Lett. 71 (1993), 1486 [Errata; 75\n(1995), 1872]; gr-qc/9305017.\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/9410004\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/9410023\nhttp://arxiv.org/abs/hep-th/0102149\nhttp://arxiv.org/abs/hep-th/0509013\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/0509107\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/0608118\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/9701003\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/0405056\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/9611032\nhttp://arxiv.org/abs/hep-th/0110260\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/9305017\n\t1. Introducción\n\t2. La teoría de Morse para horizontes de eventos\n\t3. La estructura de los puntos críticos\n\t4. Conectividad de la región exterior\n\t5. Observaciones finales\n\tBibliografía\n"}}},{"rowIdx":94,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0101,"string":"704.0101"},"title":{"kind":"string","value":"The birth of string theory"},"full_text":{"kind":"string","value":"El nacimiento de la teoría de cuerdas\nPaolo Di Vecchia1\nNordita, Blegdamsvej 17, 2100 Copenhague Ø, Dinamarca divecchi@alf.nbi.dk\nResumen. En esta contribución pasamos por los desarrollos que en los años\nde 1968 a 1974 condujo del modelo Veneziano a la teoría de cuerdas bosónicas.\nIncluyen la construcción de la amplitud de punto N para las partículas escalares, su\nfactorización a través de la introducción de un número infinito de osciladores y el\nprueba de que el subespacio físico era un espacio definitivo de Hilbert positivo. También discutimos\nel límite de pendiente cero y el cálculo de diagramas de bucle. Por último, describimos cómo\nfinalmente se reconoció que una teoría cuántica de cuerdas relativistas era la teoría\nsubyacente al modelo Veneziano.\n1 Introducción\nLos años sesenta fueron un período en el que se estudiaron procesos de interacción fuertes\nen detalle utilizando los aceleradores de nueva construcción en Cern y otros lugares.\nSe encontraron muchos nuevos estados hadrónicos que aparecieron como picos resonantes en var-\nse midieron las secciones transversales y transversales hadrónicas con aumento\nprecisión. En general, los datos experimentales para procesos que interactúan fuertemente\nen términos de intercambios de resonancia en el\ncanal a baja energía y por el intercambio de polos Regge en el transversal\ncanal a mayor energía. Teoría de campo que había tenido mucho éxito en de-\nla inscripción de QED parecía inútil para las interacciones fuertes dado el gran número de\nHadrones para acomodarse en un lagrangiano y la fuerza del pion-nucleón\nconstante de acoplamiento que no permitió cálculos perturbadores. El único...\nprincipal en el que las técnicas teóricas de campo se utilizaron con éxito fue actual\nálgebra. Aquí, asumiendo que las interacciones fuertes fueron descritas por un casi\nquiral invariante Lagrangian, que la simetría quiral se rompió espontáneamente\ny que el pion era el bosón correspondiente Goldstone, campo teórico\nmétodos dieron bastante buenas predicciones para la dispersión de amplitudes que implican pi-\na muy baja energía. Sin embargo, ir a una energía más alta no era posible.\ncon estos métodos.\nDebido a esto, mucha gente comenzó a pensar que la teoría de campo era el uso-\nmenos para describir interacciones fuertes e intentó describir interacciones fuertes\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0101v1\n2 Paolo Di Vecchia\nprocesos con métodos alternativos y más fenomenológicos. Lo básico\nLos ingredientes para describir los datos experimentales fueron de baja energía.\ncambio de resonancias en el canal directo y a mayor energía el intercambio\nde los polos de Regge en el canal transversal. Reglas de suma para interactuar fuertemente\nlos procesos fueron saturados de esta manera y se encontró un buen acuerdo con el\ndatos experimentales provenientes de los aceleradores recién construidos. Sé...\ncausa de estos éxitos y de los problemas que la teoría de campo encontró para\ndescribir los datos, se propuso construir directamente la matriz S sin\npasando por un lagrangiano. La matriz S se suponía que se construiría\nde las propiedades que debía satisfacer, pero no había un procedimiento claro sobre\ncómo implementar esta construcción1. A menudo se utilizaba la palabra “bootstrap”\ncomo la forma de construir la matriz S, pero no ayudó mucho para obtener un\nMatriz S para los procesos que interactúan fuertemente.\nUna de las ideas básicas que condujeron a la construcción de una matriz S fue\nque debe incluir resonancias a baja energía y al mismo tiempo dar\nComportamiento de regge a alta energía. Pero las dos contribuciones de las resonancias\ny de los polos de Regge no deben ser añadidos porque esto implicaría doble\nContando. Esto se llamaba dualidad Dolen, Horn y Schmidt [2]. Otra idea\nque ayudó en la construcción de una matriz S fue la dualidad planar [3] que\nfue visualizado asociándose a un proceso determinado un diagrama de dualidad, mostrado en\nFig. (1), donde cada mesón fue descrito por dos líneas que representan el quark\ny el antiquark. Por último, también el requisito de cruzar la simetría jugado\nun papel muy importante.\nFig. 1. Diagrama de dualidad para la dispersión de cuatro mesones\nPartiendo de estas ideas Veneziano [4] fue capaz de construir una matriz S\npara la dispersión de cuatro mesones que, al mismo tiempo, tenía un número infinito\nde resonancias de ancho cero yace sobre trayectorias de Regge y Regge en ascenso lineal\ncomportamiento a alta energía. Veneziano construyó originalmente el modelo para el\n1 Para una discusión de la teoría de la matriz S véase Ref.s [1]\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 3\nproceso →, pero se extendió inmediatamente a la dispersión de cuatro\npartículas escalares.\nEn el caso de cuatro partículas escalares idénticas, el scat simétrico de cruce-\nla amplitud tering encontrado por Veneziano consiste en una suma de tres términos:\nA(s, t, u) = A(s, t) +A(s, u) +A(t, u) (1)\ndonde\nA(s, t) =\n* (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a)) (a) (a)) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a)) (a) (a) (a)) (a) (a) (a) (a) (a)) (a)\n- α(t) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\ndxx®(s)−1(1− x)®(t)−1 (2)\ncon trayectorias de Regge en ascenso lineal\nα(s) = α0 + α\n′s (3)\nEsta era una propiedad muy importante para implementar en un modelo porque era\nde acuerdo con los datos experimentales en una amplia gama de energías. s, t y\nu son las variables Mandelstam:\ns = −(p1 + p2)2, t = −(p3 + p2)2, u = −(p1 + p3)2 (4)\nLos tres términos en Eq. (1) corresponden a los tres pedidos de las cuatro partes\nque no están relacionados por una permutación cíclica o anticíclica 2 de la\npiernas. Corresponden, respectivamente, a las tres permutaciones: (1234), (1243)\ny (1324) de las cuatro patas externas. Sólo tienen singularidades de polo simples.\nEl primero sólo tiene polos en los canales s y t, el segundo sólo en el s\ny u canales y el tercero sólo en los canales t y u. Esta propiedad fol-\nbajos directamente del diagrama de dualidad que se asocia a cada inequivalente\npermutación de las piernas externas. De hecho, en ese momento uno solía asociar\na cada una de las tres permutaciones inequivalentes un diagrama de dualidad donde cada\nla partícula fue dibujada como consistente en dos líneas que rappresentaron el quark y\nAntiquark inventando un mesón. Además, se suponía que el diagrama debía\ntienen sólo polos singularidades en los canales planos que son los que implican\nlíneas externas adyacentes. Esto significa que, por ejemplo, el diagrama de dualidad\nque corresponde a la permutación (1234) sólo tiene polos en el s y t chan-\nnels como se puede ver deformando el diagrama en el plano en los dos posibles\nformas que se muestran en la figura (2).\nEsta era una propiedad muy importante del diagrama de dualidad que hace\ncualitativamente diferente de un diagrama de Feynman en teoría de campo donde cada uno\ndiagrama tiene sólo un polo en uno de los tres canales s, t y u y no\nsimultáneamente en dos de ellos. Si aceptamos la idea de que cada término de la\nsuma en Eq. (1) es descrito por un diagrama de dualidad, entonces está claro que nosotros\n2 Una permutación anticíclica correspondiente, por ejemplo, a la orden (1234) es\nobtenido tomando el reverso de la orden original (4321) y luego realizando\nuna permutación cíclica.\n4 Paolo Di Vecchia\nFig. 2. El diagrama de dualidad contiene ambos polos de canal s y t\nno es necesario añadir términos correspondientes a diagramas equivalentes porque el\ndiagrama de dualidad correspondiente es el mismo y tiene las mismas singularidades. Lo siento.\nAhora está claro que de alguna manera estaba implícito en este cuadro el hecho de que el\nEl modelo Veneziano corresponde a la dispersión de cuerdas relativistas. Pero a\nesa vez la conexión no era obvia en absoluto. La única propiedad de la matriz S\nque el modelo Veneziano no pudo satisfacer era la unitariedad de la matriz S.\nporque contenía sólo resonancias de ancho cero y no tenía las diversas\ncortes requeridos por la unidad. Veremos cómo se implementará esta propiedad.\nInmediatamente después de la formulación del modelo Veneziano, Virasoro [5]\npropuso otra amplitud simétrica de cuatro puntos para las partículas escalares\nque consistió en una pieza única dada por:\nA(s, t, u)\n• (u)\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n• (1 +)\n• (1 +)\n• (1 +)\ndonde\nα(s) = α0 + α\n′s (6)\nEl modelo tenía polos en los tres canales s, t y u y no podía ser escrito\ncomo suma de tres términos que tienen polos sólo en diagramas planos. En conclusión,\nel modelo Veneziano satisface el principio de dualidad plana siendo un cruce\ncombinación simétrica de tres contribuciones cada uno con polos sólo en el\nCanales planos. Por otro lado, el modelo Virasoro consiste en un\ncruce de término simétrico con polos en canales planos y no planos.\nLos intentos de construir modelos consistentes que estaban de acuerdo\ncon la fenomenología de la interacción fuerte de los años sesenta impulsado enormemente\nla actividad en este campo de investigación. La generalización del modelo Veneziano para\nla dispersión de partículas escalares N fue construida, un formalismo de operador que consiste en\nde un número infinito de osciladores armónicos fue construido y el\nse determinó el espectro de mesons. Resultó que la degeneración de\nlos estados crecieron exponencialmente con la masa. También se encontró que la N\namplitud de punto tenía estados con norma negativa (fantasmas) a menos que la intercepción\nde la trayectoria de Regge fue α0 = 1 [6]. En este caso resultó que el\nmodelo estaba libre de fantasmas, pero el estado más bajo era un taquión. El modelo era\nllamó en la literatura el “modelo de resonancia dual”.\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 5\nEl modelo no era unitario porque todos los estados eran de ancho cero reso-\nLas nances y los diversos cortes requeridos por la unidad estaban ausentes. La unidad\nse implementó de manera perturbadora añadiendo diagramas de bucle obtenidos por\ncosiendo algunas de las patas externas después de la inserción de un propagador.\nLas amplitudes multilazo mostraron una estructura de superficies de Riemann. Esto será...\nse hizo evidente sólo más tarde cuando el modelo de resonancia dual fue reconocido a\ncorresponden a la dispersión de cuerdas.\nPero el problema principal era que el modelo tenía un taquión si α0 = 1 o tenía\nfantasmas para otros valores de α0 y no estaba de acuerdo con el experimental\ndatos: α0 no fue igual a aproximadamente\nsegún lo requerido por los experimentos para el\nLa trayectoria del regge y las partículas escalares externas no se comportaron como piones\nsatisfacer los requisitos actuales de álgebra. Se hicieron muchos intentos de\nconstruir modelos de resonancia dual más realistas, pero el principal resultado de\nLos intentos fueron la construcción de los Neveu-Schwarz [7] y los Ramond [8]\nmodelos, respectivamente, para mesones y fermiones. Fueron construidos como dos\nmodelos independientes y sólo más tarde se reconoció que eran dos sectores de la\nEl mismo modelo. El modelo Neveu-Schwarz todavía contenía un taquión que sólo en\n1976 a través de la proyección GSO fue eliminado del espectro físico.\nAdemás, no estaba describiendo adecuadamente las propiedades de la\nPiones.\nEn realidad, un modelo que describe la dispersión de una manera bastante satisfactoria\nfue propuesto por Lovelace y Shapiro [9] 3. De acuerdo con este modelo el\nTres amplitudes isospinas para la dispersión pion-pion son dadas por:\n[A(s, t) +A(s, u)]− 1\nA(t, u)\nA1 = A(s, t)−A(s, u) A2 = A(t, u) (7)\ndonde\nA(s), t = β\n* (1- α(s))* (1 − α(t))\n• (1− α(t)− α(s)\n; α(s) = α0 + α\n′s (8)\nLas amplitudes en eq.(7) proporcionar un modelo para la dispersión con elevación lineal\nTrayectorias Regge que contienen tres parámetros: la interceptación del Regge\ntrayectoria α0, la pendiente Regge α\n′ y β. Los dos primeros pueden ser determinados por\nimponer la condición de auto-coherencia del Adler, que requiere la desaparición de\nla amplitud cuando s = t = u = m2η y uno de los piones es sin masa, y el\nhecho de que la trayectoria de Regge debe dar el giro del meson que es igual\na 1 cuando\ns es igual a la masa del mesón. Estas dos condiciones\ndeterminar que la trayectoria de Regge es:\nα(s) =\ns−m2\nm2π −mη2\n= 0,48 + 0,885s (9)\n3 Véase también Ref. [10].\n6 Paolo Di Vecchia\nDespués de haber fijado los parámetros de la trayectoria Regge el modelo predice la\nlas masas y los acoplamientos de las resonancias que decaen en\nparámetro único β. Los valores obtenidos están en acuerdo razonable con\nlos experimentos. Además, uno puede calcular las longitudes de dispersión:\na0 = 0,395β a2 = −0,103β (10)\ny uno encuentra que su relación está dentro del 10% de la actual relación de álgebra dada\npor a0/a2 = −7/2. La amplitud en eq.(8) tiene exactamente la misma forma que la\npara cuatro taquiones del modelo Neveu-Schwarz con el único aparentemente menor\ndiferencia que α0 = 1/2 (para mη = 0) en lugar de 1 como en el Neveu-Schwarz\nmodelo. Esta diferencia, sin embargo, implica que la dimensión crítica espacio-tiempo\nde este modelo es d = 4 4 y no d = 10 como en el modelo Neveu-Schwarz. In\nla conclusión de que este modelo parece ser un modelo perfectamente razonable para describir\ndispersión de baja energía. El problema es, sin embargo, que nadie ha sido capaz de\npara generalizar a la dispersión multipión y por lo tanto para obtener la completa\nespectro meson.\nComo hemos visto se construyó la matriz S del modelo de resonancia dual\nutilizando ideas y herramientas de fenomenología de hadrones de finales de los años sesenta.\nAunque no parecía posible escribir un modelo realista de resonancia dual\ndescribiendo los piones, era sin embargo tal fuente de fascinación para los\nque trabajó activamente en este campo en ese momento por su hermosa estructura interna\ny consistencia que mucha energía se utilizó para investigar sus propiedades y\npara comprender su estructura básica. Resultó con gran sorpresa que\nla estructura subyacente era la de una cadena relativista cuántica.\nEl objetivo de esta contribución es explicar la lógica del trabajo que fue\nhecho en los años de 1968 a 1974 5 con el fin de descubrir las propiedades profundas de\neste modelo que parecía desde el principio ser tan hermoso y coherente\npara merecer un estudio intensivo.\nEsto me parece una muy buena manera de celebrar el 65 aniversario de\nGabriele que es la persona que comenzó y también contribuyó a desarrollar el\ntodo con su profunda intuición física.\n2 Construcción de la amplitud del punto N\nHemos visto que la construcción de la amplitud de cuatro puntos no es suficiente\npara obtener información sobre todo el espectro hadrónico porque sólo contiene\nesos hadrones que pareja a dos mesons del estado de tierra y no los ve\nEstados intermedios que sólo pareja a tres o a un mayor número de\nMesons terrestres [12]. Por lo tanto, era muy importante construir el\nAmplitud N-punto que involucra partículas escalares idénticas. La construcción de\n4 Esto se puede comprobar computando el acoplamiento de la partícula sin spin en la\nnivel α(s) = 2 y ver que desaparece para d = 4.\n5 Reseñas de este periodo se pueden encontrar en Ref. [11]\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 7\nla amplitud del punto N se hizo en Ref. [13] (prolongación de la labor de Ref. [14])\npor exigir los mismos principios que han conducido a la construcción de la\nmodelo Veneziano, a saber, el hecho de que los axiomas de la teoría S-matriz ser\nsatisfecho por un número infinito de resonancias de ancho cero acostados linealmente\ncrecimiento de las trayectorias Regge y dualidad plana.\nLa amplitud de dispersión simétrica totalmente cruzada de N escalar idéntico\nlas partículas se dan por una suma de términos correspondientes a la permu-\ntas de las patas externas:\nUn (11)\nTambién en este caso dos permutaciones de las patas externas son inequivalentes si\nno están relacionados por una permutación cíclica o anticíclica. Np es el número de\npermutaciones inequivalentes de las patas externas y es igual a Np =\n(N−1)!\ny cada término sólo tiene singularidades de polos simples en los canales planos. Cada uno\ncanal plano se describe por dos índices (i, j), lo que significa que incluye el\npiernas i, i+ 1, i+ 2... j − 1, j, por la variable Mandelstam\nsij = −(pi + pi+1 +.. + pj)2 (12)\ny por una variable adicional uij cuyo papel será claro pronto. Lo es.\nclaro que los canales (ij) y (j + 1, i− 1) 6 son idénticos y deben\nser contados sólo una vez. En el caso de N partículas escalares idénticas, el número\nde canales planos es igual a\nN(N−3)\n. Esto puede obtenerse de la siguiente manera. Los\nLos diagramas planos independientes que involucran la partícula 1 son del tipo (1, i)\ndonde i = 2...N − 2. Su número es N − 3. Este es también el número de\ndiagramas planos que involucran la partícula 2 y no la 1. Número de aviones\ndiagramas que implican la partícula 3 y no las partículas 1 y 2 es igual a\nN − 4. En general, el número de diagramas planos que implican la partícula i y\nno los anteriores de 1 a i-1 es igual a N − 1− i. Esto significa que la\nel número total de diagramas planos es igual a:\n2 (N − 3) +\n(N − 1− i) = 2 (N − 3) +\n= 2 (N − 3) +\n(N − 4) (N − 3)\nN(N−3)\nSi uno escribe el diagrama de dualidad correspondiente a un planar determinado\norden de las partículas externas, es fácil ver que el diagrama puede tener\nsingularidades de polo simultáneas sólo en N − 3 canales. Los canales que\npermitir singularidades de polo simultáneas se llaman canales compatibles, el otro\n6 Este canal incluye las partículas (j + 1,...., N, 1,... i− 1).\n8 Paolo Di Vecchia\nse llaman incompatibles. Dos canales (i,j) y (h,k) son incompatibles si\nse satisfacen las siguientes desigualdades:\ni ≤ h ≤ j; j + 1 ≤ k ≤ i− 1 (14)\nEl objetivo es construir la amplitud de dispersión para cada inequivalente por\nmutación de las piernas externas que sólo tiene singularidades de polo en el\nN(N−3)\nCanales planos. También tenemos que imponer que la amplitud tiene simultáneamente\npolos solamente en N − 3 canales compatibles. Con el fin de obtener la intuición sobre cómo\nprocederemos a reescribir la amplitud de cuatro puntos en Eq. 2) De la siguiente manera:\nA(s, t) =\ndu23 u\n•(s12)−1\n•(s23)−1\n23 (u12 + u23 − 1) (15)\ndonde u12 y u23 son las variables correspondientes a los dos planos\nnels (12) y (23) y la cancelación de polos simultáneos en\nlos canales son provistos por la función de ♥ que prohíbe u12 y u23 a desaparecer\nSimultáneamente.\nAhora extenderemos este procedimiento a la amplitud de los puntos N. Pero para el\nEn aras de la claridad, comencemos con el caso de N = 5 [14]. En este caso tenemos 5\ncanales planos descritos por u12, u13, u23, u24 y u34. Ya que sólo tenemos dos\ncanales compatibles sólo dos de las cinco variables anteriores son independientes.\nPodemos elegir que sean u12 y u13. Con el fin de determinar el depen-\ndence de las otras tres variables sobre las dos independientes, excluimos\npolos simultáneos en canales incompatibles. Esto se puede hacer mediante la imposición de\nrelaciones que impiden variables correspondientes a canales incompatibles con\nDesaparece simultáneamente. Una condición suficiente para excluir los polos simultáneos\nen canales incompatibles se impondrán las condiciones siguientes:\nuP = 1−\nuP̄ (16)\ndonde el producto está sobre las variables P̄ correspondientes a los canales que\nson incompatibles con P. En el caso de la amplitud de cinco puntos obtenemos el\nlas siguientes relaciones:\nu23 = 1− u34u12 ; u24 = 1− u13u12\nu13 = 1− u34u24 ; u34 = 1− u23u13 ; u12 = 1− u24u23 (17)\nResolviéndolos en términos de los dos independientes que obtenemos:\nu23 =\n1− u12\n1− u12u13\n; u34 =\n1− u13\n1− u12u13\n; u24 = 1− u12u13 (18)\nEn analogía con lo que hemos hecho por la amplitud de cuatro puntos en Eq. (15)\nescribimos la amplitud de cinco puntos como sigue:\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 9\ndu34u\n•(s12)−1\n•(s13)−1\n×u®(s24)−124 u\n•(s23)−1\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n*(u23 + u12u34 − 1)*(u24 + u12u13 − 1)*(u34 + u13u23 − 1) (19)\nRealizando la integral sobre las variables u23, u24 y u34 obtenemos:\ndu13u\n•(s12)−1\n•(s13)−1\n× (1− u12)+(s23)−1(1− u13)+(s13)−1(1− u12u13)+(s24)(s23)(s34)(20)\nHemos asumido implícitamente que la trayectoria de Regge es la misma en todos los chan-\nnels y que las partículas escalares externas tengan la misma masa común m\ny son los estados de mentira más bajos en la trayectoria de Regge. Esto significa que su\nmasa viene dada por:\nα0 − •p2i = 0 ; p2i •m2 (21)\nUsando entonces la relación:\nα(s23) + α(s34)− α(s24) = 2+p2 · p4 (22)\nPodemos reescribir Eq. (20) según se indica:\n•(s2)−1\n•(s3)−1\n3 (1− u2)+(s23)−1×\n× (1 − u3)+(s34)−1\n(1− xij)2α\n′pi·pj (23)\ndonde\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • .. uj−1. (24)\nAhora estamos listos para construir la función de punto N [13]. En analogía con\nlo que se ha hecho para las amplitudes de cuatro y cinco puntos podemos escribir el\nAmplitud de los puntos N, según se indica:\n...\n•(sP)−1\n(uQ − 1 +\nuQ̄) (25)\n10 Paolo Di Vecchia\ndonde el primer producto ha terminado el\nN(N−3)\nvariables correspondientes a todos\ncanales planos, mientras que el segundo está sobre el\n(N−3)(N−2)\nindependiente\nFunciones. El producto en la función de se define en Eq. (16).\nLa solución de todas las relaciones lineales no independientes impuestas por el\nLas funciones son dadas por\nuij =\n(1 − xij)(1− xi−1,j+1)\n(1− xi−1,j)(1− xi,j+1)\ndonde las variables xij se dan en Eq. (24). Eliminación de la función de\nEq. (25) se obtiene:\n• (si)−1\ni (1 − ui)\n• (si,i+1)−1\nj=i+2\n(1- xij)ij(27)\ndonde\nγij = α(sij) + α(si+1;j−1)− α(si;j−1)− α(si+1;j) ; j ≥ i+ 2 (28)\nEs fácil ver que\nα(si,i+1) = +0 − 2+pi · pi+1 ; γij = −2+pi · pj ; j ≥ i+ 2 (29)\nInsertándolos en Eq. (27) Obtenemos:\n• (si)−1\ni (1− ui)\nj=i+1\n(1− xij)2α\n′pi·pj (30)\nEsta es la forma de la amplitud de punto N que fue construida originalmente.\nEntonces Koba y Nielsen [15] lo pusieron en la forma que es más conocida hoy en día.\nLo construyeron usando las siguientes reglas. Asoció una variable real\nZi a cada pierna i. Luego se asociaron a cada canal (i, j) una anarmónica\nrelación construida a partir de las variables zi, zi−1, zj, zj+1 de la siguiente manera\n(zi, zi+1, zj, zj+1)\n•(sij)−1 =\n(zi − zj) (zi − 1 − zj+1)\n(zi−1 − zj)(zi − zj+1)\n*(sij)−1\ny finalmente dieron la siguiente expresión para la amplitud de N -point:\ndV (z)\ni, j)\n(zi, zi+1, zj, zj+1)\n•(sij)−1 (32)\ndonde\ndV (z) =\n1 (zi − zi+1)dzi)\ni=1(zi − zi+2)dVabc\n; dVabc =\ndzadzbdzc\n(zb − za) (zc − zb) (za − zc)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 11\ny las variables zi se integran a lo largo del eje real en un orden cíclico\nforma: z1 ≥ z2. . ≥ zN con a, b, c elegido arbitrariamente.\nEl integrand de la amplitud de N -point es invariante bajo proyectiva\ntransformaciones que actúan sobre las variables de la pierna zi:\nαzi + β\nγzi + \n; i = 1... N ; − • = 1 (34)\nEsto se debe a que tanto la relación anarmónica en Eq. (31) y la medida dVabc\nson invariantes bajo una transformación proyectiva. Desde un proyector transfor-\nmiento depende de tres parámetros reales, a continuación, el integrand de la N -punto\nLa amplitud depende sólo de N − 3 variables zi. Con el fin de evitar infinitos, uno\ntiene entonces que dividir el volumen de integración con el factor dVabc que es también\ninvariante bajo las transformaciones proyectivas. El hecho de que el integrand\nsólo depende de N − 3 variables está de acuerdo con el hecho de que N − 3 es\ntambién el número máximo de polos simultáneos permitidos en la amplitud.\nEs conveniente escribir la amplitud de N - punto en una forma que implica la\nproducto escalar del momento externo en lugar de las trayectorias de Regge.\nDistinguimos tres tipos de canales. La primera es cuando las partículas\ni y j del canal (i, j) están separados por al menos dos partículas. En este\nlos canales que contribuyen al exponente del factor (zi − zj) son\nlos canales (i, j) con exponente igual a •(sij) − 1, (i + 1, j − 1) con\nexponente (si+1,j−1)− 1, (i+1,j) con exponente α(si+1,j)+1 y (i, j− 1)\ncon exponente α(si,j−1) + 1. Añadiendo estas cuatro contribuciones uno consigue para el\ncanales donde i y j están separados por al menos dos partículas\n− α(sij)− α(si+1,j−1) + α(si+1,j) + α(si,j−1) = 2pi · pj (35)\nEl segundo viene de los canales que están separados por sólo uno\npartícula. En este caso, sólo tres de los cuatro canales anteriores contribuyen. Por\ninstancia si j = i+2 el canal (i+1, j− 1) consiste en una sola partícula y\nPor lo tanto, no debe incluirse. Esto significa que tendríamos:\n− α(si;i+2)− 1 + α(s1+1;i+2) + 1 + α(si;i+1 + 1) = 1 + 2+pi · pi+2 (36)\nPor último, el tercero que viene de los canales cuyas partículas son adja-\ncent, sólo recibe la contribución de:\n− α(si;i+1)− 1 = α0 − 1 + 2+pi · pi+1 (37)\nPoner todos estos tres términos juntos en Eq. (32) y recordando el factor\nen el denominador en la primera ecuación de (33) obtenemos:\n1 dzio (zi − zi+1)\ndVabc\n(zi − zi+1)α0−1\n(zi − zj)2α\n′pi·pj(38)\nUna opción conveniente para que las tres variables se mantengan fijas es:\n12 Paolo Di Vecchia\nzc = zN = 0 (39); zb = z2 = 1; zc = zN = 0 (39)\nCon esta opción la ecuación anterior se convierte en:\n(zi − zi+1)\n(zi − zi+1)α0−1×\nj=i+1\n(zi − zj)2α\n′pi·pj (40)\nAhora queremos mostrar que esta amplitud es idéntica a la dada en Eq.\n(30). Esto se puede hacer realizando el siguiente cambio de variables:\n; i = 2, 3...N − 2 (41)\nlo que implica\nzi = u2u3. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\nTeniendo en cuenta que el jacobino es igual a:\nuN−2−ii (43)\nutilizando las dos relaciones siguientes:\n(zi − zi+1)α0−1 =\n(N−1−i)α0−1\n(1− ui)α0−1 (44)\nj=i+1\n(zj − zi)2α\n′pi·pj =\nj=i+1\n(1− xij)2α\n′pi·pj\n• (si)− (N−i−1)α0\ni (45)\ny la conservación del impulso\npi = 0 (46)\njunto con Eq. (21), se puede ver fácilmente que Eq.s (30) y (40) son iguales.\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 13\nLa amplitud N -punto que hemos construido en esta sección corre-\nsponds a la dispersión de N partículas sin spinless sin grados internos de\nlibertad. Por otro lado, se sabía que los mesones eran clasificados\nsegún los múltiplos de una simetría del sabor SU(3). Esto se puso en práctica.\npor Chan y Patón [16] multiplicando la amplitud del punto N con un factor,\nllamado factor Chan-Paton, administrado por\nTr(a1a2..................................................................................................................................................... 47)..................................................................................................................................................\ndonde las matrices de los grupos unitarios en los representa-\ntion. Incluyendo los factores Chan-Paton se da la amplitud de dispersión total\nTr(a1a2..................................................................................................................................................... BN (p1, p2,. . pN ) (48)\ndonde la suma se extiende a la (N − 1)! permutaciones de las patas externas,\nque no están relacionados por una permutación cíclica. Originalmente cuando la resolución dual-\nmodelo nance se suponía que describiría fuertemente interactuando mesones, este factor\nse introdujo para representar su sabor grados de libertad. Hoy en día el\nla interpretación es diferente y el factor Chan-Paton representa el color\ngrados de libertad de los bosones de calibre y las otras partículas masivas de la\nespectro.\nLa amplitud N -punto BN que hemos construido en esta sección con-\nsólo tiene singularidades de polo simples en todos los canales planos posibles. Ellos cor-\nresponder a resonancias de ancho cero situadas a valores enteros no negativos n de\nla trayectoria de Regge α(M2) = n. El estado más bajo situado en α(m2) = 0 cor-\nresponde a las partículas en las patas externas de BN. El espectro de excitación\nlas partículas se pueden obtener factorizando la amplitud de N - punto en la mayoría\ncanal general con cualquier número de partículas. Esto se hizo en Ref.s [17] y\n[18] encontrar un espectro de estados que suben exponencialmente con la masa M.\nel modelo relativista invariante se encontró que muchos estados obtenidos por\nfactorizando la amplitud del punto N eran “fantasmas”, es decir, estados con\nnorma como se encuentra en QED cuando se cuantifica el campo electromagnético en un\ncalibrador covariante. La coherencia del modelo requiere la existencia de rela-\nciones satisfechas por las amplitudes de dispersión que son similares a las obtenidas\na través de la invarianza del calibrador en QED. Si el modelo es consistente deben decou-\nla norma negativa nos deja con un espectro físico de positivo\nlos estados de la norma. Con el fin de estudiar de una manera sencilla estos temas, discutimos en el\nsiguiente sección el formalismo del operador introducido ya en 1969 [19, 20, 21].\nAntes de concluir esta sección volvamos a los cuatro puntos no planos\namplitud en Eq. (5) y discutir su generalización a una amplitud de punto N.\nUtilizando la técnica del análogo electrostático en la esfera en lugar de en\nel disco Shapiro [22] fue capaz de obtener una amplitud de punto N que reduce\na la amplitud de cuatro puntos en Eq. (5) con intercepción α0 = 2. El punto N\nAmplitud encontrada en Ref. [22] es:\n14 Paolo Di Vecchia\ni=1 d\ndVabc\nzi − zj \n′pi·pj (49)\ndonde\ndVabc =\nd2zad\nza − zb2za − zc2zb − zc2\nLa integral en Eq. (49) se realiza en todo el plano complejo.\n3 Formalismo y factorización del operador\nLas propiedades de factorización del modelo de resonancia dual fueron estudiadas por primera vez por\nfactorizando por fuerza bruta la amplitud del punto N en los diversos polos [17, 18].\nEl número de términos que factorizan el residuo del polo en α(s) = n,\naumenta rápidamente con el valor de n. Con el fin de encontrar su degeneración se volvió\npara ser conveniente reescribir primero la amplitud del punto N en un operador\nformalismo. En esta sección introducimos el formalismo del operador y reescribimos\nla amplitud N-punto derivada en la sección anterior en este formalismo.\nLa idea clave [19, 20, 21] es introducir un conjunto infinito de oscil armónico\nLators y operadores de posición e impulso 7 que satisfacen los siguientes requisitos:\nrelaciones de conmutación:\n[anμ, a\nm/ ] = nm ; [q, p ] = i (51)\ndonde es la métrica plana de Minkowski que tomamos para ser = (−1, 1,... 1).\nUn estado con impulso p se construye en términos de un estado con cero mo-\nmentum de la manera siguiente:\n< < p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p = p > p > p = p > p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = 0 = 0 = 0 (52)\nnormalizado como 8\npp = (2η)dŁ(d)(p+ p′) (53)\nCon el fin de evitar menos signos utilizamos la convención que\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nUna base completa y ortonormal de vectores en el espacio del oscilador armónico\nes dada por\n1, 2,. • i; p =\n(an;n)\nn;μn\n¡N, μn!\neipq0, 0ó (55)\n7 En realidad, la posición y los operadores de impulso se introdujeron en Ref. [23].\n8 Aunque ahora usamos un arbitrario d queremos recordarte que todo original\nlos cálculos se hicieron para d = 4.\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 15\ndonde el primer 0 corresponde al aniquilado por toda aniquilación op-\ny el segundo al estado de cero impulso:\naμn;n0, 0° = p0, 0° = 0 (56)\nNótese que la invarianza de Lorentz obliga a introducir también osciladores que crean\nestados con norma negativa debido al signo menos en la métrica plana de Minkowski.\nEsto implica que el espacio extendido por los estados en Eq. (55) no es positivo\nDefinido. Esto, sin embargo, no está permitido en una teoría cuántica y por lo tanto si\nel modelo de resonancia dual es una teoría cuántica-relavista consistente que esperamos\nla presencia de relaciones del tipo de las proporcionadas por la invarianza del calibrador en\nPresentemos al operador de Fubini-Veneziano [23]:\nQμ(z) = Q\nμ (z) +Q\nμ (z) +Q\nμ (z) (57)\ndonde\nQ(+) = i\nz−n ; Q(−) = −i\nQ(0) = qá − 2iÃ3pá r log z (58)\nEn términos de Q introducimos el operador de vértice correspondiente a la externa\npata con impulso p:\nV (z; p) =: eip·Q(z)\n(−)(z)eipq®e+2α\n′pp log zeip·Q\n(+)z) (59)\ny calcular el siguiente valor de expectativa de vacío:\n0, 0\nV (zi, pi)0, 0 (60)\nSe puede calcular fácilmente utilizando la relación Baker-Haussdorf\neAeB = eBeAe[A,B] (61)\nque es válido si el conmutador, como en nuestro caso, [A,B] es un número c. En nuestro\nen caso de que las relaciones de conmutación que deban utilizarse sean:\n[Q(+)(z), Q(−)(w)] = −2\ny el segundo en Eq. (51). Usandolos uno consigue:\nV (z; p)V (w; k) =: V (z; p)V (w; k) : (z − w)2α\n′p·k (63)\n16 Paolo Di Vecchia\n0, 0\nV (zi, pi)\n(zi − zj)2α\n′pi·pj (2\npi) (64)\ncuando el pedido normal requiera que todos los operadores de creación se pongan en la\nizquierda de la aniquilación uno y el operador de impulso pÃ3 ser puesto a la derecha\ndel operador de posición q». Esto significa que\n(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d) (d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)()(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)()()()()()()()()()()()(d)(d)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()\npi)BN =\n1 dzio (zi − zi+1)\ndVabc\n(zi − zi+1)α0−1\n× 0, 0\nV (zi, pi)0, 0 (65)\nAl elegir las tres variables za, zb y zc como en Eq. (39) podemos reescribir el\necuación anterior como sigue:\n(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d) (d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)()(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)()()()()()()()()()()()(d)(d)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()\npi)BN =\n(zi − zi+1)×\n(zi − zi+1)α0−1\n0, p1\nV (zi; pi)0, pN (66)\ndonde hemos tomado z2 = 1 y hemos definido (α0 • p2i ; i = 1...N) :\nV (zN ; pN )0, 0oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo\nz2α01 V (z1; p1) = 0, p1 (67)\nAntes de proceder a factorizar la amplitud N -punto vamos a estudiar la prop-\nEn el marco del grupo proyectivo de los operadores que hemos introducido.\nYa hemos visto que el grupo proyectivo deja el integrand de la\nKoba-Nielsen representación de la amplitud de N -punto invariante. El projec-\nEl grupo tivo tiene tres generadores L0, L1 y L−1, respectivamente.\ndilataciones, inversiones y traducciones. Suponiendo que el Fubini-Veneziano\ncampos Q(z) se transforma como un campo con peso 0 (como escalar) podemos\nately escribir las relaciones de conmutación que Q(z) debe satisfacer. Esto significa en\nhecho de que, bajo una transformación proyectiva, Q(z) se transforma como sigue:\nQ(z) → QT (z) = Q\nαz + β\nγz + \n; − • = 1 (68)\nExpandiendo para valores pequeños de los parámetros que obtenemos:\nQT (z) = Q(z) + (+1 + 2z + 3z\ndQ(z)\n+ o(+2) (69)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 17\nEsto significa que los tres generadores del grupo proyectivo deben satisfacer\ndespués de las relaciones de conmutación con Q(z):\n[L0, Q(z)] = z\n; [L−1, Q(z)] =\n; [L1, Q(z)] = z\nSon dadas por las siguientes expresiones en términos de la oscila armónica-\ntors:\nL0 = α\n′p®2 +\nna†n · an ; L1 =\n2+p · a1 +\nn(n+ 1)an+1 · a†n (71)\nL−1 = L\n2+p· · a†1 +\nn(n+ 1)a\nn+1 · an (72)\nAniquilan el vacío.\nL0, 0 = L1 = 0, 0 = L−1 = 0, 0 = 0 (73)\nque por lo tanto se llama el vacío invariante proyectiva, y satisfacer el álgebra\nque se llama álgebra de Gliozzi [24]:\n[L0, L1] = −L1 ; [L0, L−1] = L−1 ; [L1, L−1] = 2L0 (74)\nEl operador de vértice con impulso p es un campo proyectivo con peso igual\na α0 = α\n′p2. De hecho, se transforma como sigue en el grupo proyectivo:\n[Ln, V (z, p)] = z\nn+1 dV (z, p)\n+ α0(n+ 1)z\nnV (z, p) ; n = 0,±1 (75)\no en forma finita como sigue:\nUV (z, p)U−1 =\n(γz + )2α0\nαz + β\nγz + \ndonde U es el generador de una transformación proyectiva finita arbitraria.\nDesde U deja el vacío invariante, mediante el uso de Eq. (76) es fácil de mostrar\nque:\n0, 0\nV (z′i, p)0, 0 =\n(γzi + )\n2α0-0, 0\nV (zi, p)0, 0 (77)\nque junto con la siguiente ecuación:\n(z′i − z′i+1)α0−1 =\n(zi − zi+1)α0−1\n(γzi + )\n−2α0(78)\n9 Véase también Ref. [25].\n18 Paolo Di Vecchia\nimplica que la integridad de la amplitud de punto N en Eq. (65) es invariante\nbajo transformaciones proyectivas.\nAhora estamos listos para factorizar la amplitud de N -punto y encontrar la especificación-\nTrum de mesons.\nDe los Eq.s (75) y (76) es fácil derivar la transformación de la\noperador de vértice bajo una dilatación finita:\nzL0V (1, p)z−L0 = V (z, p)zα0 (79)\nCambiar las variables de integración de la siguiente manera:\n; i = 2, 3...N − 2 ; det\n= z3z4. zN−2 (80)\ndonde el último término es el jacobio de la trasformación de zi a xi, obtenemos\nde Eq.(66) la expresión siguiente:\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\ndonde el propagador D es igual a:\ndxxL0−1+0(1− x)α0−1 = • (L0 − α0) • (α0)\n(L0)\nAN = (2η)\nd-(d)\nBN (83)\nLas propiedades de factorización de la amplitud se pueden estudiar insertando en\nel canal (1,M) o equivalente en el canal (M +1, N) descrito por el\nVariable Mandelstam\ns = −(p1 + p2 +. .. pM )2 = −(pM+1 + pM+2... + pN )2 • −P 2 (84)\nel conjunto completo de estados dados en Eq. (55):\nP(1,M), P, P D, P, P p(M+1,N) (85)\ndonde\nP(1,M) = 0, p1V (1, p2)DV (1, p3). V (1, pM ) (86)\np(M+1,N) = V (1, pM+1)D... V (1, pN−1)pN, 0 (87)\nIntroducción de la cantidad:\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 19\nna†n · an (88)\nes posible reescribir\n, P D, P =\n, P \n(−1)m\nα0 − 1\nR+m− α(s)\n, P (89)\ndonde s es la variable definida en Eq. (84). Usando esta ecuación podemos reescribir\nEq. (85) del siguiente modo:\nP(1,M), P ®\n, P \n(−1)m\nα0 − 1\nR+m− α(s)\n, P, P p(M+1,N)(90)\nEsta expresión muestra que la amplitud AN tiene un polo en el canal (1,M)\ncuando α(s) es igual a un entero n ≥ 0 y los estados que contribuyen a\nsus residuos son los que satisfacen la relación:\nR = (n−m) ; m = 0, 1.. n (91)\nEl número de estados independientes contribuir al residuo da el\ndegeneración de los estados para cada nivel n.\nDebido a la manifiesta invarianza relativista, el espacio se extiende por la com-\nsistema pleto de estados en Eq. (55) contiene estados con una norma negativa corre-\nsponding a esos estados que tienen un número impar de osciladores con tiempo similar\ninstrucciones (véase Eq. (51)). Esto no es consistente en una teoría cuántica donde\nlos estados de un sistema deben abarcar un espacio definitivo de Hilbert positivo. Esto significa\nque debe existir una serie de relaciones satisfechas por los Estados externos que\ndesacoplar un número de estados dejando con un espacio positivo definido Hilbert. In\npara encontrar estas relaciones reescribimos el estado en Eq. (87) volver a la\nVariables de Koba-Nielsen:\np(1,M) =\n(zi − zi+1)]\n(zi − zi+1)α0−1×\n× V (1, p1)V (z2, p2). ... V (zM−1, pM−1).......................................................................................................................................................................................................................................................\nConsideremos el operador U(α) que genera la transformación proyectiva\nque deja los puntos z = 0, 1 invariante:\n1− α(z − 1) = z + α(z)\n2 − z) + o(α2) (93)\nDe las propiedades de transformación de los operadores de vértice en Eq. (76)\nes fácil ver que la transformación anterior deja el estado en Eq. (92)\ninvariante:\n20 Paolo Di Vecchia\nU(α)p(1,M) = p(1,M) (94)\nEsto significa que el generador de la transformación previa aniquila el\nestado en Eq. (92):\nW1p(1,M) = 0; W1 = L1 − L0 (95)\nLa forma explícita de W1 se deriva de la forma infinitesimal de la transformación-\nciones en Eq. (93). Esta condición que es del mismo tipo de relaciones que\nsobre las amplitudes de caparazón con la emisión de fotones satisfacen como consecuencia de\nla invarianza del calibre, implica que el residuo en el polo en Eq. (90) puede ser fac-\nTorizado con un número menor de estados. Sin embargo, resulta que un\nEl análisis del espectro muestra que los estados de norma negativos todavía están presentes.\nEsto se puede entender cualitativamente de la siguiente manera. Debido a la métrica de Lorentz\ntenemos un componente de norma negativo para cada oscilador. Para poder\npara desacoplar todos los estados de la norma negativa necesitamos tener una condición de calibre de\nel tipo como en Eq. (95) para cada oscilador. Pero el número de osciladores es\ninfinito y, por lo tanto, necesitamos un número infinito de condiciones del tipo\ncomo en Eq. (95). Fue encontrado en Ref. [6] que, si tomamos α0 = 1, entonces uno puede\nconstruir fácilmente un número infinito de operadores que salen del estado en Eq.\n(92) invariante. En la siguiente sección nos concentraremos en este caso.\n4 El caso α0 = 1\nSi tomamos α0 = 1 muchas de las fórmulas dadas en la sección anterior simplificar.\nLa amplitud del punto N en Eq. 38) pasa a ser:\n1 dzio (zi − zi+1)\ndVabc\n(zi − zj)2α\n′pi·pj (96)\nque pueden ser reescritos en el formalismo del operador como sigue:\n(2l)4l(\npi)BN =\n1 dzio (zi − zi+1)\ndVabc\n0, 0\nV (zi, pi)\nAl elegir z1 = فارسى, z2 = 1 y zN = 0 se convierte en\n(2l)4l(\npi)BN =\n(zi − zi+1)0, p1\nV (zi; pi)0, pN (98)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 21\ndonde\nV (zN; pN ) 0, 0 0; pN ; 0; 0 lim\nz21V (z1; p1) = 0, p1 (99)\nEq. (81) es como antes, pero ahora el propagador se convierte en:\ndxxL0−2 =\nL0 − 1\n(100)\nEsto significa que Eq. (89) pasa a ser:\n, P D, P =, P 1\nL0 − 1\n, P (101)\ny Eq. (90) tiene la forma más sencilla:\nP(1,M), P, P \nR − α(s)\n, P, P p(M+1,N)® (102)\nBN tiene un polo en el canal (1,M) cuando α(s) es igual a un entero n ≥ 0 y\nlos estados que contribuyen a su residuo son los que satisfacen la relación:\nR = n (103)\nSu número da la degeneración de los estados que contribuyen al polo en\nα(s) = n. La amplitud de N -point se puede escribir como:\nBN = P(1,M)Dp(M+1,N)® (104)\ndonde\np(1,M) =\n∫ M−1\n[dzil(zi − zi+1)]×\n× V (1, p1)V (z2, p2). .. V (zM−1, pM−10, pM • (105)\nUsando Eq. (79) y variables cambiantes de zi, i = 2... M−1 a xi = zi+1zi, i =\n1...M − 2 con z1 = 1 podemos reescribir la ecuación anterior de la siguiente manera:\np(1,M) = V (1, p1)DV (1, p2)..DV (1, pM−1)0, pM (106)\ndonde el propagador D se define en Eq. (100).\nAhora queremos demostrar que el estado en Eq.s (105) y (106) no es sólo\naniquilado por el operador en Eq. (95), pero, si α0 = 1 [6], por un conjunto infinito\nde los operadores cuyo más bajo es el de Eq. (95). Vamos a derivar esto por\nutilizando el formalismo desarrollado en Ref. [26] y seguiremos de cerca sus\nderivación.\nA partir de Eq.s (70) Fubini y Veneziano se dieron cuenta de que los generadores\ndel grupo proyectivo que actúa en función de z están dadas por:\n22 Paolo Di Vecchia\nL0 = −z\n; L−1 = −\n; L1 = −z2\n(107)\nGeneralizaron los generadores anteriores a un transfor conformal arbitrario.\n• la introducción de los siguientes operadores, llamados operadores de Virasoro:\nLn = −zn+1\n(108)\nque satisfagan el álgebra:\n[Ln, Lm] = (n-m)Ln+m (109)\nque no contiene el término con la carga central! También mostraron que\nlos operadores de Virasoro satisfacen las siguientes relaciones de conmutación con el\noperador de vértice:\n[Ln, V (z, p)] =\nzn+1V (z, p)\n(110)\nMás en general, en realidad definen un operador Lf que corresponde a un\nfunción arbitraria f(+) y Lf = Ln si elegimos f(+) =\nn. En este caso la\nrelación de conmutación en Eq. (110) se convierte en:\n[Lf, V (z, p)] =\n(zf(z)V (z, p)) (111)\nAl introducir la variable:\n* f.............................................................................................................................................................................................................................................................. \n(112)\ndonde A es una constante arbitraria, se puede reescribir Eq. (111) en lo siguiente:\nforma:\n[Lf, zf(z)V (z, p)] =\n(zf(z)V (z, p)) (113)\nEsto implica que, bajo una transformación conformal arbitraria z → f(z),\ngenerado por U = eαLf, el operador de vértice se transforma como:\neαLfV (z, p) zf(z) eLf = V (z′, p)z′f(z′) (114)\ndonde el parámetro α es dado por:\n* f.............................................................................................................................................................................................................................................................. \n(115)\nPor otro lado, esta ecuación implica:\nzf(z)\nz′f(z′)\n(116)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 23\nque, insertado en Eq. (114), implica que la cantidad V (z, p) dz se deja invariante\npor la transformación z → f(z):\neαLfV (z, p)dze®Lf = V (z′, p)dz′ (117)\nActuamos ahora con la anterior transformación conformal sobre el estado en\nEq. (105). Tenemos:\neαLf p(1,M) =\neαLfV (1, p1)eαLf×\n×eαLfV (z2, p2)e•Lf..... eαLfV (zM−1, pM−1)e•Lf eαLf 0, pM =\n*(zi − zi+1)× eαLfV (1, p1)e*Lf×\n× V (z′2, p2)dz′2. .. V (z′M−1, pM−1)dz′M−1eαLf 0, pM (118)\ndonde hemos usado Eq. (117). La transformación anterior deja el estado\ninvariante si z = 0 y z = 1 son puntos fijos de la transfor-\nMation. Esto sucede si el denominador en Eq. (115) desaparece cuando = 0, 1.\nEsto requiere las siguientes condiciones:\nf(1) = 0 ; lim\n(+) = 0 (119)\nExpandiendo cerca del poinr = 1 podemos determinar la relación entre z\ny z′ cerca de z = z′ = 1. Tenemos:\nzeóf\n1− z + zeáf ′(1)\n(120)\ny a partir de ella podemos determinar el factor de conformación:\n(1 − z + zeáf ′(1))2\n→ eαf\n′(1) (121)\nen el límite z → 1. Procediendo en la misma cerca del punto z = z′ = 0 obtenemos:\nzf(0)eαf(0)\nf(0) + zf ′(0)(1− eαf(0)\n→ zeαf(0) (122)\nen el límite z → 0. Esto significa que Eq. (118) se convierte en\neα(Lf−f\n′(1)−f(0))p(1,M)® = p(1,M)® (123)\nUna elección de f que satisface Eq.s (119) es la siguiente:\n24 Paolo Di Vecchia\nf() = n − 1 (124)\nque proporciona el siguiente operador de gálibo:\nWn = Ln − L0 − (n− 1) (125)\nque aniquila el estado en Eq. (105):\nWnp1...M = 0 ; n = 1.... (126)\nEstas son las condiciones de Virasoro que se encuentran en Ref. [6]. Hay una condición para\ncada oscilador de norma negativa y, por lo tanto, en este caso existe la posibilidad\nque el subespacio físico es positivo definido. Una alternativa más directa\nderivación de Eq. (126) se puede obtener actuando con Wn en el estado en Eq.\n(106) y utilizando las siguientes identidades:\nWnV (1, p) = V (1, p)(Wn + n) ; (Wn + n)D = [L0 + n− 1]−1Wn (127)\nLa segunda ecuación es una consecuencia de la siguiente ecuación:\nL0 = xL0+nLn (128)\nEq.s (127) implican\nWnV (1, p)D = V (1, p)[L0 + n− 1]−1Wn (129)\nEsto muestra que el operador Wn no cambia a través de todo el producto\nde los términos V D hasta que llega delante del término V (1, pM−1)0, pM. Me voy.\na través del operador de vértice se convierte en Ln − L0 + 1 que luego aniquila el\nestado\n(Ln − L0 + 1)pM, 0â = 0 (130)\nEsto prueba Eq. (126).\nUtilizando la representación de los operadores de Virasoro dada en Eq. (108) Fu-\nbini y Veneziano mostraron que satisfacen el álgebra dada en eq. (109)\nsin la carga central. Se reconoció la presencia de la carga central\npor Joe Weis10 en 1970 y nunca publicado. A diferencia de Fubini y Veneziano [26]\nUtilizó la expresión de los operadores Ln en términos de los osciladores armónicos:\n2 + np · an +\nm(n+m)an+m · am+\nm(n−m)am−n · am;n ≥ 0 Ln = L†n (131)\n10 Véase añadido como prueba en Ref. [26].\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 25\nObtuvo el siguiente álgebra:\n[Ln, Lm] = (n-m)Ln+m +\nn(n2 − 1)•n+m;0 (132)\ndonde d es la dimensión del espacio-tiempo de Minkowski. Escribimos aquí d para el\ndimensión del espacio de Minkowski, pero queremos recordarles que casi\nTodo el mundo trabajando en un modelo para mesons en ese momento dio por sentado que\nla dimensión del espacio-tiempo fue d = 4. Por lo que recuerdo, la primera\npapel donde se introdujo una dimensión d 6= 4 fue Ref. [27] donde estaba\nmuestra que la unidad violando cortes en el bucle no-planar se convierten en polos\nque fueran consistentes con la unitariedad si d = 26.\nEn la última parte de esta sección generalizaremos el procedimiento de factorización\nal modelo Shapiro-Virasoro cuya amplitud de punto N se da en Eq. (49).\nEn este caso debemos introducir dos conjuntos de osciladores armónicos que se desplazan\ncon el otro y sólo un conjunto de modos cero que satisfagan el álgebra [28]:\n[anμ, a\nmν ] = [ãnμ, ã\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nEn términos de ellos podemos presentar el operador Fubini-Veneziano\nQ(z, z̄) = qâ − 2â € € log(zz̄) + i\n− n − a†nzn\nãnz̄\n− n − nz̄n\n(134)\nA continuación, podemos introducir el operador de vértice:\nV (z, z̄; p) =: eip·Q(z,z̄) : (135)\ny escribir la amplitud de N -punto en Eq. (95) en la siguiente forma factorizada:\ni=1 d\ndVabc\nV (zi, z̄i, pi))\n0 =\n= (2l)4l(4)(\ni=1 d\ndVabc\nzi − zj\n′pi·pj (136)\ndonde el producto ordenado radial es dado por\nV (zi, z̄i, pi))\nV (zi, z̄i, pi))\n(zi − zi+1) +. (137)\n26 Paolo Di Vecchia\ny los puntos indican una suma sobre todas las permutaciones de los operadores de vértice.\nFijando z1 = فارسى, z2 = 1, zN = 0 podemos reescribir la expresión anterior\nde la siguiente manera:\n∫ N−1\nd2zi+0, p1R\nV (zi, z̄i, pi))\n0, pN® (138)\nPor el bien de la simplicidad consideremos el término correspondiente a la per-\nmutación 1, 2,... N. En este caso las variables Koba-Nielsen se ordenan en\ntal manera que zi ≥ zi+1 para i = 1,...N −1. Entonces podemos usar la fórmula:\nV (zi, z̄i, pi) = z\nL01\ni V (1, 1, pi)z\ni (139)\ny variables de cambio:\n; wi ≤ 1 (140)\npara reescribir Eq. (138) según se indica:\n0, p1V (1, 1, pi1)DV (1, 1, p2)D.... V (1, 1, pN−1)0, pN (141)\ndonde\nwL0−1w̄Lœ0−1 =\nL0 + Lœ0 − 2\n· sinl(L0 − L0)\nL0 − Lœ0\n(142)\nAhora podemos seguir el mismo procedimiento para todas las permutaciones que llegan a la\nexpresión siguiente:\n•0, p1P [V (1, 1, p2)DV (1, 1, p3)D.... V (1, 1, pN−1)]0, pN® (143)\ndonde P significa una suma de todas las permutaciones de las partículas.\nSi queremos considerar la factorización de la amplitud en el polo en\ns = −(p1 +. .. pM )2 sólo obtenemos la siguiente contribución:\nP(1...M)Dp(M+1...N) (144)\ndonde\np(M+1...N) = P [V (1, 1, pM+1)D.... V (1, 1, pN−1]0, pN (145)\n[V (1, 1, p2)D.... V (1, 1, pM)] (146]\nLa amplitud se factoriza mediante la introducción de un conjunto completo de estados y\ning Eq. (141) según se indica:\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 27\n# P1... # # M # #, # # # # M # #, # # # # # M # #, # # # # M # #, # # # P1 # # M # #\n2, L0, Lœ0, \nL0 + Lœ0 − 2\n, p(M+1,...N) (147)\nPor escrito\np+2 +R; L0 =\npâ € 2 + Rс (148)\nna†n · an ; R =\nnn · ãn (149)\nPodemos reescribir Eq. (147) de la siguiente manera:\n# P1... # # M # #, # # # # M # #, # # # # # M # #, # # # # M # #, # # # P1 # # M # #\n2, R, R, \nR + R α(s)\n, p(M+1,...N)® (150)\nVemos que la amplitud para el modelo Shapiro-Virasoro tiene polos simples\nsólo para valores enteros pares de αSV (s) = 2 +\ns = 2n ≥ 0 y el residuo en\nlos polos factorizan en una suma con un número finito de términos. Nótese que el\nTrayectoria Regge del modelo Shapiro-Virasoro tiene doble intercepción y mitad\npendiente de la del modelo Veneziano generalizado.\n5 Estados físicos y sus operadores de vértice\nEn la sección anterior, hemos visto que el residuo en los polos de la N -\nlas amplitudes de punto factorizan en una suma de un número finito de términos. También lo hemos hecho.\nvisto que algunos de estos términos, debido a la métrica de Lorentz, corresponden a los estados\ncon norma negativa. También hemos derivado una serie de “identidades Ward” dadas\nen Eq. (126) que implican que algunos de los términos del residuo se disocian. Los\npregunta a ser respondida ahora es: ¿Es el espacio extendido por los estados físicos\n¿Una norma positiva, el espacio de Hilbert? Para responder a esta pregunta necesitamos primero\npara encontrar las condiciones que caracterizan a los estados físicos de la concha en, P \ny luego determinar cuáles son los estados que contribuyen al residuo\ndel polo en α(s = −P 2) = n. En otras palabras, tenemos que encontrar una manera de\nla caracterización de los estados físicos y la eliminación de los estados espurios que\ndesacoplamiento en Eq. (102) como consecuencia de Eq.s (126). Un estado.P contribuye\nen el residuo del polo en Eq.(102) para α(s = −P 2) = n si está en la cáscara,\na saber, si satisface las siguientes ecuaciones:\nR, P® = n, P® ; α(−P2) = 1− P2 = n (151)\nque se puede escribir en una ecuación única:\n28 Paolo Di Vecchia\n(L0 − 1), P = 0 (152)\nPor Eq. (126) también sabemos que un estado del tipo:\ns, P = W †m, P (153)\nno va a contribuir al residuo del polo. Lo llamamos espurio o\nunphysical state. Empezamos a construir el subespacio de estados espurios que\nestán en la cáscara en el nivel n. Consideremos el conjunto de estados ortogonales, P \nde tal manera que\nR, P® = n, P® ; L0, P® = (1-m), P® ; 1− P2 = n (154)\ndonde\nm = n+ nμ (155)\nEn términos de estos estados podemos construir el estado espurio más general que\nestá en caparazón en el nivel n. Es dado por\ns, = W †m, ; (L0 − 1)s, = 0 (156)\npor cualquier entero positivo m. Usando Eq. (154), eq. (156) se convierte en:\ns, P â € = L†m, P â € (157)\ndonde, P es un estado arbitrario que satisface Eq.s (154).\nUn estado físico, P se define como el que es ortogonal a todos los espui-\nEstados que aparecen en un cierto nivel n. Esto significa que debe satisfacer la\necuación siguiente:\n.P L†l, P = 0 (158)\npara cualquier estado, P satisfacer Eq.s (154). En conclusión, la\nlos estados en el nivel n se caracterizan por el hecho de que satisfacen lo siguiente\ncondiciones:\nP = (L0 − 1), P = 0; 1− P 2 = n (159)\nEstas condiciones que caracterizan el subespacio físico fueron encontradas por primera vez por Del\nGiudice y Di Vecchia [28] donde se realizó el análisis descrito aquí.\nPara encontrar el subespacio físico uno comienza a escribir el más general\nen estado de caparazón que contribuye al residuo del polo en el nivel n en Eq. (154).\nLuego se impone Eq.s (159) y determina los estados que abarcan el\nsubespacial. En realidad, entre estos estados se encuentra también un conjunto de estados de cero normas\nque son físicos y espurios al mismo tiempo. Esos estados son de la forma\nse administra en Eq. (157), pero también satisfacer Eq.s (159). Es fácil ver que son\nno realmente físico porque no están contribuyendo al residuo del polo\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 29\nen el nivel n. Esto se deriva de la forma del operador de la unidad que figura en el\nespacio de los estados físicos por:\nnorma 6=0\n, P, P \n[0, P 0, P 0, P 0, P ] (160)\ndonde 0, P ® es una norma cero estado físico y espurio y 0, P ® su con-\nEstado de la jugata. Un estado conjugado de un estado de norma cero se obtiene cambiando\nel signo de los osciladores con dirección temporal. Desde 0, P es un espurio\nindicar cuando insertamos el operador de la unidad, dado en Eq. (160), en Eq. (102)\nver que los estados de la norma cero nunca contribuyen al residuo porque su\nla contribución es aniquilada ya sea del estado p(1,M) o del estado\np(M+1,N). En conclusión, el subespacio físico contiene sólo los estados en\nel primer término en el r.h.s. de Eq. (160).\nAnalicemos los dos primeros niveles excitados. El primer nivel excitado corre...\nsponds a un campo de medición sin masa. Se extiende por los estados a\n10, P. In\nEn este caso, la única condición que debemos imponer es:\n10, P = 0 = P · = 0 (161)\nElegir un marco de referencia donde el impulso del fotón es dado por\n(P, 0...0, P ), Eq. (161) implica que los únicos estados físicos son:\n1i 0, P (a)\n1;0 − a\n1;d−1)0, P ® ; i = 1... d− 2 (162)\nen los que los términos «í» y «í» son parámetros arbitrarios. El estado en Eq. (162) es el más\nEstado general del nivel N = 1 que cumple las condiciones de Eq. (159). Los\nprimer estado en eq. (162) tiene norma positiva, mientras que la segunda tiene norma cero\nque es ortogonal a todos los demás estados físicos, ya que puede ser escrito como sigue:\n1;0 − a\n1;D−1)0, P = L\n10, P® (163)\nen el marco de referencia en el que Pμ Ł (P,...0, P ). Debido a la anterior\npropiedad se desvincula de los estados físicos junto con su conjugado:\n1,0 + a\n1,d−1)0, P â € (164)\nEn conclusión, sólo nos quedamos con los estados transversales d− 2 correspondientes\na los grados físicos de libertad de un estado de spin 1 sin masa. En el siguiente nivel\nn = 2 el estado más general es dado por:\n[a\n1 / + β\n2,μ]0, P (165)\nSi trabajamos en el centro del marco de masa donde Pμ = (M,0) obtenemos lo siguiente\nestado físico más general:\nPhys > = αij [a†1,ia\n1,j −\nd - 1)\n1,k]0, P \n30 Paolo Di Vecchia\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n2,i + a\n1,i]0, P \n1,i +\n1,0 − 2a\n0, P (166)\ndonde los índices i, j corren sobre los componentes de d− 1 espacio. El primer término en\n(166) corresponde a un giro 2 en (d− 1) espacio dimensional y tiene un positivo\nnorma hecha con índices espaciales. El segundo término tiene cero norma y es\nortogonal a los otros estados físicos ya que se puede escribir como L+1 a\n1,i0, P.\nPor lo tanto, debe ser eliminado del espectro físico junto con su\nconjugado, como se ha explicado anteriormente. Finalmente, el último estado en (166) es spinless y\ntiene una norma dada por:\n2 d - 1 (26 - d) (167)\nSi d < 26 corresponde a una partícula física de giro cero con norma positiva. Si\nd > 26 es un fantasma. Finalmente, si d = 26 tiene una norma cero y también es ortogonal\na los otros estados físicos ya que puede ser escrito en la forma:\n2 + 3L\n1 )0 > (168)\nNo pertenece, por lo tanto, al espectro físico. El análisis de esto\nnivel se hizo en Ref. [29] con d = 4. Esto no permitió a los autores de\nRef. [29] para ver que había una dimensión crítica.\nEl análisis de los estados físicos se puede extender fácilmente [28] a la\nModelo Shapiro-Virasoro. En este caso, las condiciones físicas dadas en Eq. (159)\npara la cadena abierta, conviértase en [28]:\nLm, = Lm, = (L0 − 1), = (Lū0 − 1), = 0 (169)\npara cualquier entero positivo m. Se puede ver fácilmente de las ecuaciones anteriores\nque el estado más bajo del modelo Shapiro-Virasoro es el vacío\ncorrespondiente a un taquión con masa p2 = 4, mientras que el siguiente nivel descrito\npor el Estado a\n1 / 0a, 0ã, p® contiene los estados sin masa correspondientes a la\ngravitón, un dilaton y un tensor antisimétrico de dos índices.\nHabiendo caracterizado el subespacio físico uno puede seguir adelante y construir\na Amplitud de dispersión N - punto que implica estados físicos arbitrarios. Esto fue\nhecho por Campagna, Fubini, Napolitano y Sciuto [30] donde el vértice oper-\nator para un estado físico arbitrario fue construido en analogía con lo que ha\nhecho para el estado taquiónico del suelo. Se asociaron a cada físico\nun operador de vértice Vα(z, P ) que es un campo conformal con conformal\ndimensión igual a 1:\n[Ln, Vα(z, p)] =\nzn+1Vα(z, p)\n(170)\ny reproduce el estado correspondiente actuando sobre el vacío como sigue:\nVα(z; p)0, 0 ; ; 0; 0 lim\nz2Vα(z; p) =, p (171)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 31\nSatisface, además, la relación de hermiticidad:\nV (z, P ) = Vα(\n,−P )−1)α(−P\n2) (172)\nUn vértice emocionado que jugará un papel importante en la siguiente sección es el\nuno asociado al campo de gálibo sin masa. Está dada por:\n(z, k) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()) () () () () ()) () () () () () ()) () () () ()) () () () () ()) () () ()) () () ()) ()) () ()) () ()) () ()) ()) ()) ()) () () () ()) () () ()) () () ()) () () () () ) () () () () () () () ) () () () () () ) () () () () ) () () () () () () ) () () () () () () ) () () () () () () () () ) () () () () () ) ) () () ) () () () () () () () () () () () () () () () () ) () () () ) ) ) () ) ) () () () () () () () () () () () () () () () ) () () () ) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ) ) ) ) )\ndQ(z)\neik·Q(z) ; k · = k2 = 0 (173)\nDebido a las dos últimas condiciones en Eq. (173) el orden normal no es necesario\nSary. Es conveniente dar la expresión de\ndQ(z)\nen términos del armónico\nosciladores:\nP z) dQ z)\n−n−1 (174)\nEs un campo conformal con dimensión conformal igual a 1. Reescalado\nLos osciladores αn son dados por:\nnan ; n =\nna†n ; n > 0; α0 =\n2\"p\" (175)\nEn términos de los operadores de vértice introducidos anteriormente el más general\nLa amplitud que implica estados físicos arbitrarios está dada por [30]:\n(2l)4l(\n1 dzio (zi − zi+1)\ndVabc\n0, 0\nVαi(zi, pi)0, 0(176)\nEn el caso del modelo Shapiro-Virasoro, el operador de vértice taquión es\nse administra en Eq. (135). Reescribiendo Eq. (134) según se indica:\nQ(z, z̄) = Q(z) + Q(z̄) (177)\ndonde\nQ(z) =\n+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n− n − a†nzn\n(178)\nQ?(z̄) =\nqâ − 2â € € log(z̄) + i\nãnz̄\n− n − nz̄n\n(179)\nPodemos escribir el operador de vértice taquión de la siguiente manera:\nV (z, z̄, p) =: eip·Q(z)eip·Qû(z̄) : (180)\n32 Paolo Di Vecchia\nEsto muestra que el operador de vértice correspondiente al taquión de la\nShapiro-Virasoro modelo se puede escribir como el producto de dos oper de vértice-\nators correspondientes cada uno al taquión del modelo Veneziano generalizado.\nAnalógicamente el operador del vértice correspondiente a un físico arbitrario\nel estado del modelo Shapiro-Virasoro se puede escribir siempre como un producto de\ndos operadores vértices del modelo Veneziano generalizado:\nVα,β(z, z̄, p) = Vα(z,\n)Vβ(z̄,\n) (181)\nEl primero contiene sólo los osciladores αn, mientras que el segundo sólo el\nosciladores n. Ambos contienen sólo la mitad del impulso total p y\nlos mismos modos cero pÃ3r y qÃ3r. Los dos operadores vértices de la\nEl modelo Veneziano son ambos campos conformales con dimensión conformal igual\na 1. Si corresponden a estados físicos en el nivel 2n, satisfacen la\nsiguiente relación (n = ñ):\n+ n = 1 (182)\nSe encuentran en la siguiente trayectoria de Regge:\nαSV (−p2) = 2n (183)\ncomo ya hemos visto al factorizar la amplitud en Eq. (150).\n6 Los estados del DDF y la ausencia de fantasmas\nEn la sección anterior hemos derivado las ecuaciones que caracterizan la\nlos estados físicos y sus correspondientes operadores vértices. En esta sección\nconstruirá explícitamente un número infinito de estados físicos ortonormales con\nnorma positiva.\nEl punto de partida es el operador DDF introducido por Del Giudice, Di Vec-\nchía y Fubini [31] y definido en términos del operador vértice correspondiente\nal campo de gálibo sin masa introducido en eq. (173):\nAi,n =\ni Pμ(z)e\nik·Q(z) (184)\ndonde el índice i corre sobre las direcciones transversales d−2, que son ortogonales\nal impulso k. También hemos tomado\n= 1. Debido al término de registro z\naparece en el modo cero parte de la exponencial, la integral en Eq. (184),\nque se realiza alrededor del origen z = 0, está bien definido sólo si limitamos\nel impulso del Estado, sobre el cual Ai,n actúa, para satisfacer la relación:\n2°p · k = n (185)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 33\ndonde n es un entero que no desaparece.\nEl operador en Eq. (184) generará estados físicos porque com-\nmutes con los operadores del gálibo Lm:\n[Lm, An;i] = 0 (186)\nya que el operador de vértice se transforma como un campo primario con dimensiones conforma-\nsión igual a 1 como sigue de Eq. (170).\nPor otro lado también satisface el álgebra del oscilador armónico\ncomo vamos a mostrar ahora. De Eq. (184) obtenemos:\n[An,i, Am,j] = −\nP (z)eik·Q(l)j · P (l)eik\n′ ·Q() (187)\ndonde\n2°p · k = n ; 2°p · k′ = m (188)\ny k y k′ se supone que están en la misma dirección, a saber:\nkμ = nk ; k\nμ = mk (189)\n2o p · k = 1 (190)\nFinalmente las polarizaciones se normalizan como:\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nDado que una singularidad para z = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • \nla contracción de los dos términos P () y P () que es dada por:\n0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, = −\n2ij\n(z − فارسى)2\n(192)\nInsertándolo en Eq. (187) obtenemos:\n[An,i, Am,j] =\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n= inl-j-j-n+m;0\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\ndonde hemos utilizado el hecho de que el integrand es una derivada total y\nPor lo tanto, se obtiene una contribución de desaparición a menos que n + m = 0. Si n + m = 0\nde Eq.s (174) y (190) obtenemos:\n[An,i, Am,j] = njejn+m;0; i, j = 1... d2 (194)\n34 Paolo Di Vecchia\nEq. (194) muestra que los operadores DDF satisfacen el oscilador armónico alge-\nEn términos de este conjunto infinito de osciladores transversales podemos construir un\nConjunto ortonormal de estados:\ni1, N1; i2, N2;. .. im, Nm® =\nAik,-Nk\n0, p (195)\nen el que h es la multiplicidad del operador Aih,−Nh en el producto en Eq.\n(195) y el impulso del estado en Eq. (195) es dada por\nP = p+\nkâ € ni (196)\nSe construyeron en cuatro dimensiones donde no eran una completa\nsistema de los Estados 11 y tomó algún tiempo para darse cuenta de que en realidad eran un\nsistema completo de estados si d = 26 [32, 33] 12. Brower [32] y Goddard y\nThorn [33] mostró también que el modelo de resonancia dual era libre de fantasmas para cualquier\ndimensión d ≤ 26. En d = 26, esto se debe al hecho de que los operadores de DDF\nobviamente abarcan un espacio positivo definido Hilbert (Vea Eq. (194)). Para d < 26\nhay estados adicionales llamados estados Brower [32]. El primero de estos estados es\nel último estado en Eq. (166) que se convierte en un estado de norma cero para d = 26. Pero\nTambién para d < 26 no hay estado de norma negativo entre los estados físicos.\nLa prueba del teorema sin fantasma en el caso α0 = 1 es muy importante\npaso porque muestra que el modelo de resonancia dual construido generalizando\nla fórmula Veneziano de cuatro puntos, es un cuántico-relativista plenamente consistente\n¡Teoría! Esto no es del todo cierto porque, cuando la intercepción α0 = 1, el más bajo\nestado del espectro correspondiente al polo en la amplitud de punto N para\nα(s) = 0, es un taquión con masa m2 = − 1\n. Entonces se hizo mucho esfuerzo.\nconstruir un modelo sin taquión y con un espectro meson consistente\ncon los datos experimentales. Los únicos modelos razonablemente consistentes que vinieron\nfuera de estos intentos, fueron los Neveu-Schwarz [7] para los mesones y el\nModelo Ramond [8] para los fermiones que sólo más tarde fueron reconocidos como parte de un\nmodelo único que hoy en día se llama el modelo Neveu-Schwarz-Ramond. Pero\neste modelo no era realmente más consistente que la resonancia dual original\n11 Debido a esto Fubini no quería publicar nuestro resultado, pero luego fue a un\nReunión en Israel en la primavera de 1971 dando un discurso sobre nuestro trabajo donde encontró que\nel público estaba muy interesado en nuestro resultado y cuando volvió al MIT nosotros\ndecidió publicar nuestro resultado.\n12 Todavía recuerdo a Charles Thorn, que vino a mi oficina en Cern y me dijo:\nPaolo, ¿sabes que tus estados de DDF están completos si d = 26? Rápidamente reedito.\nel análisis realizado en Ref. [29] con un valor arbitrario de la dimensión espacio-tiempo\nobtener Eq.s (166) y (167) que muestran que el estado sin spin a nivel\nα(s) = 2 se desacopla si d = 26. Lamenté mucho no haber utilizado un método arbitrario.\ndimensión espacio-tiempo d en el análisis de Ref. [29].\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 35\nmodelo porque todavía tenía un taquión con masa m2 = − 1\n. El taquión\nfue eliminado del espectro sólo en 1976 a través de la proyección GSO\npropuesta por Gliozzi, Scherk y Olive [34].\nHabiendo comprendido que, al menos por el valor crítico de la dimensión espacio-tiempo,\nsión d = 26, los estados físicos son descritos por los estados DDF que tienen solamente\nd− 2 = 24 componentes independientes, abrir el camino a Brink y Nielsen [35]\ncalcular el valor α0 = 1 de la trayectoria Regge con un ar muy físico\nGument. Relacionaron la interceptación de la trayectoria de Regge con el punto cero\nenergía de un sistema con un número infinito de osciladores que sólo d − 2\ncomponentes independientes:\nα0 = −\nn (197)\nEsta cantidad es obviamente infinita y, para darle sentido,\nun corte en las frecuencias de los osciladores armónicos que obtienen un\ntérmino infinito que eliminaron al renormalizar la velocidad de la luz y un\ntérmino constante universal finito que dio la intercepción de la trayectoria Regge.\nEn lugar de seguir su enfoque original discutimos aquí una alternativa ap-\nproach debido a Gliozzi [36] que utiliza la regularización de la función de. Él reescribe\nEq. (197) como sigue:\nα0 = −\nn = −\nn−s = −\nR(−1) = 1 (198)\ndonde en la última ecuación que hemos utilizado la identidad R(−1) = − 112 y nosotros\nhan puesto d = 26. Desde el modelo Shapiro-Virasoro tiene dos conjuntos de trans-\nosciladores armónicos verso es obvio que su interceptación es el doble de la de la\nModelo Veneziano generalizado.\nUsando las reglas discutidas en la sección anterior podemos construir el\noperador de vértice correspondiente al estado en Eq. (195). Está dada por:\nV(i;Ni)(z, P ) =\nP (zi)eiNikQ(zi) : eip·Q(z) : (199)\ndonde la integral en la variable zi se evalúa a lo largo de una curva del complejo\nplano zi que contiene el punto z. La singularidad del integrand para zi = z es\nun poste siempre que se cumpla la siguiente condición.\n2o p · k = 1 (200)\nEl último vértice en Eq. (199) es el operador de vértice correspondiente al suelo\nestado taquiónico dado en Eq. (59) con â € p2 = 1.\nUsando la forma general del vértice uno puede calcular los tres puntos\namplitud que involucra a tres operadores vértices DDF arbitrarios. Este cálculo\n36 Paolo Di Vecchia\nse ha realizado en Ref. [37] y dado que los operadores del vértice son conformes\ncampos con dimensión igual a 1 uno obtiene:\n0, 0V\n(z1, P1)V(i(2)\n(z2, P2)V(i(3)\n(z3, P3)0, 0 =\n(z1 − z2)(z1 − z3)(z2 − z3)\n(201)\ncuando la forma explícita del coeficiente C123 esté dada por:\nC123 = 1 + 0, 0 + 2 + 0, 0 + 3 + 0 e\nr.s=1\nn,m=1\n−n;iN\n−m;i+\n−n;i×\n× e..................................................................................\n(2r−1)N (1)k1, i\n1 N (2)k2, i\nâ € ¢ 2N (3)k3, i\n•3 (202)\ndonde\nN rsnm = −N rnNsm\nnmα1α2α3\nnαs +mαr\n; N rn =\n(−nαr+1\nαrn!• (1− nαr+1αr − n)\n(203)\nΠ = Pr+1αr − Prαr+1 ; r = 1, 2, 3 (204)\nΠ es independiente del valor de r elegido como consecuencia de las ecuaciones:\nPr = 0 (205)\n7 El límite de pendiente cero\nEn la introducción hemos visto que el modelo de resonancia dual ha sido\nconstruido utilizando reglas que son diferentes de las utilizadas en la teoría de campo.\nPor ejemplo, hemos visto que la dualidad planar implica que la amplitud\ncorrespondiente a un determinado diagrama de dualidad, contiene polos tanto en s como en t\ncanales, mientras que la amplitud correspondiente a un diagrama de Feynman en el campo\nLa teoría contiene sólo un polo en uno de los dos canales. Por otra parte, el\nla amplitud de dispersión en el modelo de resonancia dual contiene un número infinito\nde resonancia afirma que, a alta energía, promedio hacia fuera para dar Regge comportamiento.\nTambién esta propiedad no se observa en la teoría de campo. La cuestión que se plantea es la siguiente:\nnatural para preguntar, era entonces: ¿hay alguna relación entre la resonancia dual\n¿modelo y teoría de campo? Resultó, para sorpresa de muchos, que el doble\nmodelo de resonancia no estaba en contradicción con la teoría de campo, sino que fue\nuna extensión de un cierto número de teorías de campo. Veremos que el límite en\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 37\nque una teoría de campo se obtiene del modelo de resonancia dual corresponde\na tomar la pendiente de la trayectoria de Regge a cero.\nConsideremos la amplitud de dispersión de cuatro partículas del estado del suelo en\nEq. (1) que reescribimos aquí con el factor de normalización correcto:\nA(s, t, u) = C0N\n0 (A(s, t) +A(s, u) +A(t, u)) (206)\ndonde\n2g(2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n4 (207)\nes el factor de normalización correcto para cada pierna externa, g es el dimensional\nconstante de acoplamiento de cadena abierta que hemos ignorado constantemente en el anterior\nlas secciones C0 y C0 están determinadas por la siguiente relación:\n′ = 1 (208)\nque se obtiene requiriendo la factorización de la amplitud en el polo\ncorrespondiente a la partícula del estado del suelo cuya masa se da en Eq. (21).\nUsando Eq. (21) con el fin de reescribir la interceptación de la trayectoria Regge en\ntérminos de la masa de la partícula del estado del suelo m2 y la siguiente relación\nsatisfecho por la función de:\n* (1 + z) = z (z) (209)\npodemos realizar fácilmente el límite para > → 0 de A(s, t) obteniendo:\nA(s, t) =\nm2 − s\nm2 − s\n(210)\nRealizando el mismo límite en las otras dos amplitudes planas obtenemos el\ndespués de la expresión para la amplitud total en Eq. (206):\nA(s, t, u) =\n2g(2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n()2\nm2 − s\nm2 − s\nm2 − u\n(211)\nIntroduciendo la constante de acoplamiento:\ng3 = 4g(2α\n4 (212)\nEq. (211) pasa a ser\nA(s, t, u) = g23\nm2 − s\nm2 − s\nm2 − u\n(213)\nque es igual a la suma de los diagramas del árbol para la dispersión de cuatro partículas\ncon masa m de la teoría Φ3 con constante de acoplamiento igual a g3. Hemos mostrado\nque, manteniendo g3 fijado en el límite α\n′ → 0, la amplitud de dispersión de cuatro\n38 Paolo Di Vecchia\npartículas del estado del suelo del modelo de resonancia dual es igual a los diagramas del árbol\nde la teoría Φ3. Esta prueba se puede extender a la dispersión de N estado del suelo\npartículas que se recuperan también en este caso los diagramas arbóreos de la teoría Φ3. También lo es.\nválida para diagramas de bucles que discutiremos en la siguiente sección. En conclusión,\nel modelo de resonancia dual se reduce en el límite de pendiente cero a la teoría Φ3. Los\nprueba de que hemos presentado aquí se debe a J. Scherk [38] 13\nUn caso más interesante para estudiar es el que tiene intercepción α0 = 1. Lo haremos.\nver que, en este caso, se obtendrán los diagramas de los árboles de Yang-Mills teoría,\ncomo lo muestran Neveu y Scherk [40] 14.\nConsideremos la amplitud de tres puntos que involucra tres medidores sin masa\npartículas descritas por el operador de vértice en Eq. (173). Se da por la suma\nde dos diagramas planos. El primero que corresponde a la orden (123) es\ndado por:\n3Tr (a1a2a3)\n0, 0, 0, 1(z1, p1)V2(z2, p2)V3(z3, p3)0, 0\n[(z1 − z2)(z2 − z3)(z1 − z3)]−1\n(214)\nUsando la conservación del impulso p1+ p2+ p3 = 0 y las condiciones de la carcasa de masa\np2i = pi · i = 0 se puede reescribir la ecuación anterior de la siguiente manera:\n0Tr(l\na1oa2oa3)\n× [(+1 · +2)(p1 · +3) + (+1 · +3)(p3 · +2) + (+2 · +3)(p2 · +1)] (215)\nLa segunda contribución proviene del pedido 132 que se puede obtener\nde la anterior por la sustitución\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nResumiendo las dos contribuciones que se obtiene\noTr(l)\na1 [.a2,.a3 ])\n× [(+1 · +2)(p1 · +3) + (+1 · +3)(p3 · +2) + (+2 · +3)(p2 · +1)] (217)\nEl factor\nN0 = 2g(2α\n′(d−2)/4 (218)\nes el factor de normalización correcto para cada operador de vértice si normalizamos\nlos generadores del grupo Chan-Paton, según se indica:\nŁij (219)\n13 Véase también Ref. [39].\n14 Véase también Ref. [41].\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 39\nSe relaciona con C0 a través de la relación\n′ = 2 (220)\ng es la constante de acoplamiento de cadena abierta adimensional. Nótese que Eq.s (218)\ny (220) difieren de Eq.s (207) y (208) debido a la presencia de la\nChan-Paton factores que no incluimos en el caso de la teoría Φ3.\nUsando las relaciones de conmutación:\n[e, eb] = ifabclc (221)\ny los factores de normalización anteriores que obtenemos para la amplitud de tres gluones:\nigYMf\na1a2a3 [(+1 · +2)(+p1 − p2) · +3 +\n(p3 − p1) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • \nque es igual al vértice de 3 gluones que se obtiene de la acción Yang-Mills\nLYM = −\nF a ° F\na, F\n= A\nβ − Aaα + gYMfabcAbαAcβ (223)\ndonde\ngYM = 2g(2α\n4 (224)\nEl procedimiento anterior se puede extender a la dispersión del hallazgo de gluones N\nel mismo resultado que uno obtiene de los diagramas de los árboles de la teoría de Yang-Mills.\nEn la siguiente sección, vamos a discutir los diagramas de bucle. También, en este caso uno\nencuentra que los diagramas de h-loop que implican N gluones externos se reproducen en el\nla pendiente cero limita la suma de los diagramas de h-loop con N gluones externos de\nLa teoría de Yang-Mills.\nConcluimos esta sección mencionando que también se puede tomar la pendiente cero\nlímite de una amplitud de dispersión que implica la obtención de tres y cuatro gravitones\nacuerdo con lo que se obtiene del Einstein Lagrangian de la rela general-\ntividad. Esto ha sido demostrado por Yoneya [43].\n8 Diagramas de bucle\nLa amplitud N -punto construido previamente satisface todos los axiomas de S-\nteoría de la matriz excepto unitariedad porque sus únicas singularidades son polos simples\ncorrespondientes a resonancias de ancho cero yace en el eje real del Mandel-\nvariables estam y no contiene los diversos cortes requeridos por la unitariedad [1].\n15 La determinación de los factores de normalización anteriores se puede encontrar en el\nApéndice de Ref. [42].\n40 Paolo Di Vecchia\nCon el fin de eliminar este problema ya se propuso en los primeros días de\nla dualidad de teorías a asumir, en analogía con lo que sucede, por ejemplo, en la pertur-\nla teoría de campo bative, que la amplitud de N -punto era sólo el orden más bajo (la\ndiagrama de árbol) de una expansión perturbadora y, con el fin de implementar unitar-\nity, era necesario incluir diagramas de bucle. Luego, los diagramas de un bucle\nfueron construidos a partir del propagador y los vértices que hemos introducido\nen las secciones anteriores [44]. La amplitud de un bucle plano con M externa\nlas partículas se calcularon a partir de una amplitud del árbol (M + 2) y\na continuación, cosiendo dos patas externas después de la inserción de un propagador\nD dado en Eq. (100). De esta manera uno consigue:\n(+)d/2(+)d\nP, V (1, p1) DV (1, p2). V (1, pN)DP, (225)\ndonde la suma sobre corresponde a la traza en el espacio de la armónico os-\ncillators y la integral en ddP corresponde a integrar sobre el impulso\ncirculando en el bucle. La expresión anterior para la amplitud de un bucle\nno puede ser del todo correcto porque todos los estados del espacio generados por el oscil-\nLators en Eq. (51) están circulando en el bucle, mientras que sabemos que debemos\nincluir sólo los físicos. Esto se logró primero cancelando a mano\nel tiempo y uno de los componentes espaciales de los osciladores armónicos reduciendo\nlos grados de libertad de cada oscilador de d a d − 2 como sugiere el\nOperadores de DDF al menos para d = 26. A continuación, se demostró que este procedimiento era el siguiente:\nrect by Brink and Olive [45]. Construyeron el operador que proyecta sobre\nlos estados físicos y, al insertarlo en el bucle, mostró que la reducción\nDe hecho, los grados de libertad de los osciladores de d a d-2 eran correctos.\nEste era, en ese momento, el único procedimiento disponible para dejar sólo el\nlos estados circulan en el bucle porque el procedimiento BRST fue descubierto un poco\nmás tarde también en el marco de las teorías de campo de calibrador!\nPara ser más explícito vamos a calcular el rastro en Eq. (225) añadir también el\nFactor Chan-Paton. Tenemos:\n(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)\nNTr(a1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n8,2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 3o, 3o, 3o, 3o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o\nd/2+1\n[f1(k)]\n12 (2η)M×\nd/M−1................................................................................................................................................\nd v r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r\neG( vji)\n■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■\n; k e(226)\ndonde /JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ\nG( v) = log\nie\n1(i )\nf31 (k)\n; f1(k) = k\n(1 a k2n) (227)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 41\n*1(i♥) = −2k1/4 sin.\n1− e2ik2n\n1− e−2ik2n\n(1– k2n)(228)\nFinalmente el factor de normalización N0 se da en Eq. (218). Hemos actuado\nel cálculo de un valor arbitrario de la dimensión espacio-tiempo d. Sin embargo,\nde esta manera se obtiene también el factor adicional de k\n12 que aparecen en la primera línea\nde Eq. (226) que implica que nuestro cálculo es en realidad sólo coherente si\nd = 26. De hecho, la presencia de este factor no permite reescribir el\namplitud, obtenida originalmente en el sector Reggeon, en el sector Pomeron\ncomo se explica a continuación. En lo siguiente descuidamos este factor adicional, implícitamente\nsuponiendo que d = 26, pero, por otro lado, todavía manteniendo una d arbitraria.\nUsando las relaciones:\nf1(k) =\ntf1(q) ; 1(i iŁ) = i1(it)t1/2e\n2/t (229)\ndonde t = 1\ny q et, podemos reescribir el diagrama plano de un bucle en el\nCanal Pomeron. Tenemos:\n(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)\nNTr(a1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n8,2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 3o, 3o, 3o, 3o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o\ndt[f1(q)]\n2−d(2η)M×\nd/M−1................................................................................................................................................\n1( /jiit)\nf31 (q)\n■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■\n(230)\nNótese que, al factorizar el bucle planar en el canal de Pomeron, un\nstructed por primera vez lo que ahora llamamos el estado de frontera [46] 16. Esto\nSe puede ver fácilmente en la forma que ahora vamos a describir. En primer lugar,\nnote que la última cantidad en Eq. (230) puede escribirse como sigue:\n•1(s)(s))(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)((s)(s)((s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)((s)(s)(s)(s)((s)(s)((s)(s)(s)(()(s)(()(s)(s)(()(s)(s)((s)(()(()(s)(s)(s()(()(s)(s)(()(s)()(()(s)()()()()()(s()()()()()()(s()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(()()()()()()()()()()()()()()()()((()()()()()()()()()()()(()()()()()()()((()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()((((((((((((((((((((()()()()()()()()()((((()()()()()()()(\nf31 (q)\n■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■\n−2 sin(ji)\n1 - q2ne2üi/ji\n1 - q2ne - 2\n(1– q2n)2\n■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■\n(231)\nEsta ecuación puede ser reescrita de la siguiente manera:\nP = 0q2R\ni=1 : e\nipi·Q(e2ii ) : p = 0\nTr (p = 0q2N p = 0)\n; R =\nna†n · an (232)\n16 Véase también el primer artículo en Ref. [47].\n42 Paolo Di Vecchia\ndonde el rastro se toma sólo sobre los modos distintos de cero y el impulso con-\nSe ha utilizado la servación. También hay que subrayar que el orden normal de\nlos operadores de vértice en la ecuación anterior es tal que los modos cero son\nse toman para ser ambos en el mismo exponencial en lugar de ser ordenado como en Eq.\n(59). Trayendo a todos los operadores de aniquilación a la izquierda de los de la creación,\nde la expresión en Eq. (232) se obtiene (zi Ł e2πiνi):\n(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)\n(−2 sinji)2α\n′pi·pj×\nn=1 Tr\nn·ane\n2° pj ·\nznj e\n2«pi· anl\nTr (p = 0q2N p = 0)\n233)\nEl rastro puede calcularse utilizando la relación de integridad que implica co-\nestados herentes f = efa† 0:\nEf \nff = 1 (234)\nInsertar el operador de identidad anterior en Eq. (233) uno consigue después de un poco de cal-\nculación:\n(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)\n(−2 sinji)2α\n′pi·pj×\ni.j=1\n-2p·pje2inji q\nn(1−q2n) (235)\nExpandiendo el denominador en el último exponente y realizando la suma sobre\nn uno consigue:\n(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)\n(−2 sinji)2α\n′pi·pj×\n2+pi·pj\nlog(1−e2πi vji q2(m+1)) (236)\nque es igual a la última línea de Eq. (231) aparte de la función de\nconservación del mentum. En conclusión, hemos demostrado que Eq.s (231) y (232)\nson iguales.\nUsando Eq. (231) podemos reescribir Eq. (230) según se indica:\nNNM0 Tr(\na1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n8,2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 3o, 3o, 3o, 3o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o\ndt[f1(q)]\n2-d(2πi)M\nd/M−1................................................................................................................................................\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 43\n...\np = 0, q2R\ni=1 : e\nipi·Q(e2ii) : p = 0, \np = 0, q2N p = 0, \n(237)\ndonde la suma sobre cualquier estado corresponde a tomar el rastro sobre el\nmodos distintos de cero. Si d = 26 podemos reescribir Eq. (237) de forma más sencilla:\nNNM0 Tr(\na1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n8,2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 3o, 3o, 3o, 3o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o\ndt (2ηi)M\nd/M−1................................................................................................................................................\nP = 0, q2R−2\n: eipi·Q(e)\n2ii ) : p = 0, (238)\nLa ecuación anterior contiene el factor\ndtq2R−2 que es como el propa-\nGator del modelo Shapiro-Virasoro, pero con un solo conjunto de osciladores como\nen el modelo Veneziano generalizado. En lo siguiente lo reescribiremos com-\nCompletamente con el formalismo del modelo Shapiro-Virasoro. Esto se puede hacer\nmediante la introducción del propagador Pomeron:\ndt q2N−2 =\nDâ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °\nzL0−1z̄Lœ0−1; z q = et(239)\ny reescribir el bucle plano en la siguiente forma compacta:\n# B0DBM # # B0DBM # # # B0DBM # # # B0DBM # # # B0DBM # # B0BO # #\nn p = 0, 0a, 0 (240)\ndonde B0 es el estado de frontera sin ningún Reggeon en él,\nTd−1 =\n2 d-10)/4\n•)−d/2−1 (241)\ny BM es en su lugar el que tiene M Reggeons dado por:\nBM = NM0 Tr(♥a1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nd/M−1................................................................................................................................................\n: eipi·Q(e)\n2ii ) : B0® (242)\nQueremos recalcar una vez más que el orden normal en el anterior equa-\nión se define tomando los modos cero en la misma exponencial. Las dos cosas\nlos estados límite y el propagador son ahora los estados del Shapiro-Virasoro\nmodelo. Esto significa que hemos reescrito el diagrama plano de un bucle, donde\nlos estados del modelo Veneziano generalizado circulan en el bucle, como árbol\n44 Paolo Di Vecchia\ndiagrama del modelo Shapiro-Virasoro que incluye dos estados de frontera y un\nPropagador. Esto es lo que hoy en día se llama dualidad de cadena abierta/cerrada.\nAdemás del diagrama plano de un bucle en Eq. (225), que hoy en día se llama\nel diagrama anular, también los diagramas no planos y no orientables\nfueron construidos y estudiados. En particular, el no-planar, que es ob-\ncomo el planar en Eq. (225) pero con dos propagadores multiplicados\ncon el operador de giro\n = eL−1(−1)R, (243)\ntenía unitariedad violando los recortes que desaparecieron [27] si la dimensión de la\nespacio-tiempo d = 26, dejando detrás singularidades de polo adicionales. El explicitado\nforma del bucle no plano se puede obtener siguiendo los mismos pasos\npara el bucle plano. Uno obtiene para el bucle no-planar la siguiente amplitud:\nBM (244)\ndonde ahora ambos estados de frontera contienen, respectivamente, R y M Reggeon\nestados. Los polos adicionales encontrados en el bucle no-planar se llamaban Pomerons\nporque ocurren en el sector de Pomeron, que hoy se llama la cadena cerrada\ncanal, para distinguirlos de los Reggeons que en su lugar ocurren en el\nsector Reggeon, que hoy se llama el sector de cuerdas abiertas del planar y\ndiagramas de bucle no planos. En ese momento, de hecho, los estados de la generalización\nLos modelos Veneziano se llamaban Reggeons, mientras que los adicionales aparecen\nen el bucle no-planar se llamaban Pomerons. Los Reggeons corresponden ahoraa-\ndías para abrir estados de cadena, mientras que los Pomerons a estados de cadena cerrados. Estos\nlas cosas son obvias ahora, pero en ese momento tomó un tiempo para demostrar que el\notros estados que aparecen en el sector de Pomeron deben ser identificados con\nlos del modelo Shapiro-Virasoro. La prueba de que el espectro era el\nLo mismo ocurrió bastante temprano. Esto se obtuvo factorizando el dia no-planar\ngramo en el canal de Pomeron [46] como lo hemos hecho en Eq. (244). Fue encontrado.\nque los estados del canal de Pomeron se encuentran en una trayectoria Regge lineal que\ntiene doble intercepción y media pendiente de la de los Reggeons. Esto es lo siguiente:\ninmediatamente desde el propagador DÃ3 en Eq. (239) que tiene polos para valores de\nel impulso del Pomeron intercambiado por:\np2 = 2n (245)\nque son exactamente los valores de las masas de los estados del Shapiro-Virasoro\nmodelo [48], mientras que el propagador Reggeon en Eq. (100) tiene polos para valores de\nimpulso igual a:\n1− p2 = n (246)\nSin embargo, todavía no estaba claro que los estados de Pomeron interactuasen entre ellos.\ncomo los estados del modelo Shapiro-Virasoro. Para mostrar esto fue primero\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 45\nnecesario para construir amplitudes arbóreas que contienen ambos estados de la general-\nmodelo Veneziano y del modelo Shapiro-Virasoro [49]. Disminuyeron\na las amplitudes del modelo generalizado Veneziano (Shapiro-Virasoro) si\nsólo tenemos estados externos del Veneziano generalizado (Shapiro-Virasoro)\nmodelo. Esas amplitudes se llaman hoy en día amplitudes de disco que contienen ambos\nestados de cadena abiertos y cerrados. Se construyeron [49] utilizando para\nReggeon dice que los operadores de vértice que hemos discutido en la Sección. 5) In-\ngirando un conjunto de osciladores armónicos y para el Pomeron estados el vértice\nlos operadores indicados en Eq. (181) que reescribimos aquí:\nVα,β(z, z̄, p) = Vα(z,\n)Vβ(z̄,\n) (247)\nporque ahora ambos vértices componentes contienen el mismo conjunto de os armónicos\nciladores como en el modelo generalizado Veneziano. Además, cada uno de los dos\nvértices es por separado normal ordenado, pero su producto no es normal ordenado.\nLa amplitud que involucra a ambos tipos de estados se construye entonces tomando\nel producto de todos los vértices entre el vacío invariante proyectivo e inte-\nla rejilla de los Reggeons en el eje real de una manera ordenada y los Pomerons en\nel plano de la mitad superior, como se hace para una amplitud de disco.\nHemos mencionado anteriormente que los dos vértices son por separado normales\npedido, pero su producto no es normal pedido. Cuando ordenemos normalmente\nlos tenemos, por ejemplo para el taquión del sector de Pomeron, un factor\n(z − z̄)+p2/2 que describe la transición Reggeon-Pomeron. Esto implica un\nEnganche directo [51] entre la parte U(1) del campo de gálibo y el dosíndice\ncampo antisimétrico B., denominado campo Kalb-Ramond [50], del sector Pomeron,\nque hace que el campo de medición masiva [51].\nSe demostró entonces que, al factorizar el bucle no plano en el Pomeron\ncanal, uno reprodujo la amplitud de dispersión que contiene un estado de\nel Shapiro-Virasoro y una serie de estados del Veneziano generalizado\nmodelo [52]. Si tenemos también estados externos que pertenecen a la generalización\nShapiro-Virasoro modelo, a continuación, factorizando el no-planar un bucle amplificar-\ntude en el canal Pomeron puro, se obtendrían las amplitudes del árbol de\nel modelo Shapiro-Virasoro [52].\nTodo esto implica que el modelo generalizado Veneziano y el Shapiro-\nVirasoro modelo no son dos modelos independientes, pero son parte de la\nmismo y único modelo. De hecho, si uno comenzó con el Veneziano generalizado\nmodelo y diagramas de bucle añadidos para implementar unitariedad, se encontró el ap-\nperencia en el bucle no plano de estados adicionales que tenían la misma masa\ne interacción de los del modelo Shapiro-Virasoro.\nEl diagrama plano, escrito en Eq. (230) en el canal de cadena cerrado, es\ndivergente para los grandes valores de t. Esta divergencia se reconoció que se debe a\nintercambio, en el canal de Pomeron, del taquión del Shapiro-Virasoro\nmodelo y del dilaton [47]. Corresponden, respectivamente, a los dos primeros\ntérminos de la ampliación:\n[f1(q)]\n−24 = e2ηt + 24 + O\ne−2ηt\n(248)\n46 Paolo Di Vecchia\nEl primero podría ser cancelado por una continuación analítica, mientras que el segundo\nuno podría ser eliminado a través de una renormalización de la pendiente del Regge\nTrayectoria â € [47].\nConcluimos la discusión de los diagramas de un solo bucle mencionando\nque el diagrama de un bucle para el modelo Shapiro-Virasoro fue calculado por\nShapiro [53] que también encontró que el integrand era modular invariante.\nEl cálculo de diagramas multilazo requiere una tecnología más avanzada-\nnología que también se desarrolló en los primeros días del modelo de resonancia dual\npocos años antes del descubrimiento de su conexión con la teoría de cuerdas. Con el fin de\ncalcular diagramas multiloop primero se necesita construir un objeto que era\nllamado N -Reggeon vértice y que tiene las propiedades de contener conjuntos N\nde osciladores armónicos, uno para cada pierna externa, y es tal que, cuando\nsaturarlo con N estados físicos, obtenemos el correspondiente N -punto ampli-\nTude. A continuación vamos a discutir cómo determinar el vértice N-Reggeon.\nEl primer paso hacia el N -Reggeon vértice es el Sciuto-Della Selva-\nSaito [54] vértice que incluye dos conjuntos de osciladores armónicos que denotamos\ncon los índices 1 y 2. Es igual a:\nVSDS = 2° x = 0, 0 : exp\ndzX ′2(z) ·X1(1− z)\n: (249)\ndonde X es la cantidad que hemos llamado Q en Eq. (57) y el prime\ndenota un derivado con respecto a z. Satisface la propiedad importante\nde dar el operador de vértice Vα(z = 1) de un estado arbitrario cuando nos\nsaturarlo con el estado correspondiente:\nVSDS 2 = Vα(z = 1) (250)\nUna deficiencia de este vértice es que no es invariante bajo una permu-\ndad de las tres piernas. Un vértice simétrico cíclico ha sido construido por\nCaneschi, Schwimmer y Veneziano [55] insertando el operador de giro en\nEq. (243). Pero el vértice 3-Reggeon no es suficiente si queremos calcular un\nAmplitud multiloop arbitraria. Debemos generalizarlo a un número arbitrario.\nde piernas externas. Tal vértice, que se puede obtener de la de Eq. (249)\ncon un procedimiento muy directo, o que también puede obtenerse cosiendo juntos\ntres vértices reggeon, ha sido escrito en su forma final por Lovelace [56] 17.\nAquí no lo derivamos, pero damos directamente su expresión escrita en Ref. [56]:\nVN,0 =\ni=1 dzi\ndVabc\ni=1[V\ni (0)]\n[i<x = 0, Oa]\ni,j=1\nn,m=0\na) n Dnm(V)\ni Vj) a\n(251)\n17 Véase también Ref. [57]. Documentos anteriores sobre el N-Reggeon se pueden encontrar en Ref.s [58].\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 47\ndonde a\n0 • αi0 =\n2pai es el impulso de la partícula i y el infinito\nmatriz:\nDnm(γ) =\nmz [γ(z)]\nnz=0; n,m = 1.. : D00(γ) = − log \nAD −BC\nDn0 =\n)n ; D0n =\n)n ; γ(z) =\nAz + B\nCz +D\n(252)\nes una “representación” del grupo proyectivo correspondiente a la\npeso = 0, que satisface los eqs.:\nDnm(γ1γ2) =\nDnl(γ1)Dlm(γ2) +Dn0(γ1)0m +D0m(γ2)n0 (253)\nDnm(γ) = Dmn(\n(z) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =\n(254)\nPor último, Vi es una transformación proyectiva que mapea 0, 1 y en zi−1, zi\ny zi+1.\nEl vértice anterior puede ser escrito en una forma más elegante como sigue:\nVN,0 =\ni=1 dzi\ndVabc\ni=1[V\ni (0)]\n[i<x = 0, Oa]\ndzlX(i)(z)pári logV\ni z)\ni,j=1\ndieX(i)(z) log[Vi(z)− Vj(y)]X(j)(y)\n(255)\ndonde las cantidades X(i) son lo que llamamos Q, a saber, el Fubini-Veneziano\ncampo, en las secciones anteriores. El vértice N -Reggeon que satisface el impor-\npropiedad de dar la amplitud de dispersión de N partícula física cuando\nlo saturamos con sus estados correspondientes, es el objeto fundamental para\ncomputando las amplitudes multiloop. De hecho, si queremos calcular un M -loop\namplitud con N estados externos, tenemos que empezar desde el (N+2M)-Reggeon\nvértice y luego tenemos que coser los pares M juntos después de haber insertado un\npropagador D. De esta manera obtenemos una amplitud que no sólo está integrado\nsobre las punciones zi (i = 1... N) de los estados externos N, pero también sobre\n3h− 3 modules adicionales correspondientes a las variables de punción de la\n48 Paolo Di Vecchia\nafirma que cosimos juntos y la variable de integración de la M propaga-\nTors. h es el número de bucles. Se han obtenido las amplitudes multiloop\nde esta manera ya en 1970 [59, 60, 61] y, mediante el procedimiento de costura,\nuno obtuvo funciones, como la matriz del período, los diferenciales abelianos, el\nprimera forma, etc., que están bien definidos en la superficie de Riemann! La única cosa\nque faltaba, era la medida correcta de las integraciones sobre el 3h-3 vari-\nporque técnicamente no era posible dejar que sólo los estados físicos a\ncircular en los bucles. Este problema sólo se resolvió mucho más tarde [62, 63] cuando\nuna formulación invariante BRST de la teoría de cuerdas y el cono-luz funcional\nintegral podría ser utilizado para la computación de multiloops. Son dos muy diferentes.\nenfoques que, sin embargo, dieron el mismo resultado. En aras de la integridad\nescribimos aquí la amplitud plana h-loop que involucra a los taquiones M:\nM (p1,. .., pM ) = N\nh Tr(?a1 · · aM ) Ch\n2gs (2α)\n(d−2)/4\n[dm]Mh\nG(h)(zi, zj)\nV ′i (0)V\nj (0)\n2+pi·pj\n, (256)\ndonde Nh Tr(?a1 · · aM ) es el factor U(N) Chan-Paton apropiado, g es\nla constante de acoplamiento de cadena abierta adimensional, Ch es un factor de normalización\ndado por\n(2η)dh\ng2h−2s\n(2o)d/2\n, (257)\ny G(h) es la función h-loop bosonic Green\nG(h)(zi, zj) = logE(h)(zi, zj)−\n(2ηIm)\n, (258)\ncon E(h)(zi, zj) siendo la forma principal,\nμ (μ = 1,..., h)\ny la matriz del período. Todos estos objetos, así como la medida en\nespacio moduli [dm]Mh, se puede escribir explícitamente en la parametrización Schottky\nde la superficie de Riemann, y sus expresiones para h arbitrario se puede encontrar para\nejemplo en Ref. [64]. Es dada por\n[dm]Mh =\ndVabc\nV ′i (0)\ndkμ d d\nk2μ ( − )2\n(1– kμ)2\n(259)\n× [det (−i)]−d/2\n(1- knα)−d\n(1− knα)2\ndonde kμ son los multiplicadores, y son los puntos fijos de los generadores\ndel grupo Schottky,\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 49\n9 De modelos duales a teoría de cuerdas\nEl enfoque presentado en las secciones anteriores es un verdadero\nProa. Los datos experimentales fueron la fuerza motriz en la construcción de\nel modelo Veneziano y de su generalización a las patas externas N. El resto de\nel trabajo que hemos descrito anteriormente consistía en derivar sus propiedades. Los\nresultado es, a excepción de un taquión, un modelo cuántico-relativista plenamente consistente\nque era una fuente de fascinación para los que trabajaban en el campo. Aunque\nel modelo creció de la teoría de S-matriz donde la amplitud de dispersión es la\nsólo objeto observable, mientras que la acción o el lagrangiano no tienen un centro\nSin embargo, algunas personas comenzaron a investigar lo que era\ning estructura microscópica que dio lugar a una tan consistente y hermosa\nmodelo. Resultó, como sabemos hoy, que esta estructura subyacente es que\nde una cuerda cuántico-relativista. Sin embargo, el proceso de conexión de la\nmodelo de resonancia (en realidad dos de ellos el Veneziano generalizado y el\nShapiro-Virasoro modelo) a la teoría de cuerdas tomó varios años de la origini-\nnal idea de una prueba completa y convincente de la conjetura. El original\nla conjetura fue formulada independientemente por Nambu [20, 65], Nielsen [66] y\nSusskind [21] 18. Si lo miramos en retrospectiva, fue en ese momento un fantástico\nidea que muestra la enorme intuición física de los que la formularon.\nPor otro lado, tomó varios años digerirlo antes de que uno fuera capaz de\nderivan de ella todas las características profundas del modelo de resonancia dual. Debido a\nesto, la idea de que la estructura subyacente era la de una cadena relativista,\nno influyó realmente en la mayor parte de la investigación en el campo hasta 1973. Déjame a mí.\nTrata de explicar por qué.\nUna característica común de la obra de Ref.s [20, 66, 21] es la sugerencia de que\nel número infinito de osciladores, que uno consiguió a través de la factorización de\nel modelo de resonancia dual, naturalmente sale de un libre bidimensional\nLagrangian para la coordenada Xμ(el, el) de una cadena unidimensional, que es un\ngeneralización obvia del lagrangiano que se escribe para la coordinación\nXμ() de un objeto puntiagudo en el indicador de tiempo adecuado:\n+ L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L\n(260)\nSiendo esta teoría invariante conformal los operadores de Virasoro también fueron con-\nstructed junto con su álgebra. Sin embargo, en esta primera formulación,\nlos generadores Virasoro Ln eran sólo los generadores asociados a la confor-\nmal simetría de la cadena hoja-mundo Lagrangian dada en Eq. (260) como en\ncualquier teoría de campo conformal. No está claro en absoluto por qué deben implicar la\nlas condiciones de medición encontradas por Virasoro o, en términos modernos, por qué deberían ser\nCero clásicamente. El ingrediente básico para resolver este problema fue proporcionado por\nNambu [65] y Goto [68] que escribió el Lagrangian no lineal proporcional\n18 Véase también Ref. [67].\n50 Paolo Di Vecchia\nal área que se extiende por la cadena en el espacio de destino externo. Procedieron.\nen analogía con la partícula de punto y escribió la siguiente acción:\n−dd (261)\ndonde\nd =\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n(262)\nXμ(..,..) es la coordenada de la cadena y..\nLas coordenadas de los puntos de contacto son las coordenadas de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto.\nla hoja del mundo de la cadena. es un tensor antisimétrico con 01 = 1. Insertar\neq. (262) en (261) y fijando la constante de proporcionalidad se obtiene el Nambu-\nAcción Goto [65, 68]:\nS = −cT\n( ·X ′)2 − 2X ′2 (263)\ndonde\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # X #\nMicrófonos + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n(264)\ny T 1\nes la tensión de la cadena, que reemplaza la masa que aparece en el\ncaso de una partícula de punto. En esta formulación, la cuerda Lagrangian es invariante\nbajo cualquier reparametrización de las coordenadas de la hoja del mundo\nsólo bajo las transformaciones conformales. Esto, de hecho, implica que los dos-\ndimensional world-sheet energy-momentum tensor de la cadena es en realidad cero\ncomo veremos más adelante. Pero tardó aún algunos años en conectar el Nambu-\nIr a la acción de las propiedades del modelo de resonancia dual. Mientras tanto\nse formuló un modelo análogo [69] que reproducía el árbol y el bucle\namplitudes del modelo Veneziano generalizado. Este enfoque se prevé\npor varios años la derivación integral del camino de las amplitudes duales. Fue muy\nestrechamente relacionado con la formulación funcional integral de Ref.s [70].\nSin embargo, uno tenía que esperar hasta 1973 con el papel de Goddard,\nGoldstone, Rebbi y Thorn [71], donde la acción Nambu-Goto fue cor-\nrectly tratado, todas sus consecuencias se derivaron y se convirtió en completamente\nclaro que la estructura subyacente al modelo de resonancia dual era la de un\ncuerda cuántica-relativista. La ecuación de movimiento para la cadena fue de-\nsalido de la acción en Eq. (263) mediante la imposición de la letra S = 0 en el caso de las variaciones de\nque Xμ(i) = X\nμ(lf ) = 0. Uno se pone:\n* X *\nXμ +\n* X *\n* X= = = 0 * = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =\n(265)\ndonde L es el Lagrangian en Eq. (263). Dado que ŁXμ es arbitrario, a partir de eq. (265)\nuno consigue la ecuación de movimiento Euler-Lagrange\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 51\n* X *\n= 0 (266)\ny las condiciones de los límites\n* X *\n= 0 o Xμ = 0 a = 0, (267)\npara una cadena abierta y\nXμ(l, 0) = Xμ(l, l) (268)\npara una cuerda cerrada. En el caso de una cadena abierta, el primer tipo de límite\ncondición en Eq.(267) corresponde a las condiciones de frontera de Neumann, mientras que\nel segundo a las condiciones límite de Dirichlet. Sólo los de Neumann...\nary condiciones preservar la invarianza de traducción de la teoría y, allí-\nAntes, se usaban principalmente en los primeros días de la teoría de cuerdas. Debe ser\ndestacó, sin embargo, que las condiciones de frontera de Dirichlet ya se habían discutido\ny utilizado en los primeros días de la teoría de cuerdas para la construcción de modelos con off-\nshell states [72].\nDe Eq. (263) se puede calcular la densidad de impulso a lo largo de la cadena:\nPμ = cT\n′2 −X ( ·X ′)\n( ·X ′)2 − 2X ′2\n(269)\ny obtener las siguientes restricciones entre las variables dinámicas Xμ y\nc2T 2x′\n+ P 2 = x′ · P = 0 (270)\nSon una consecuencia de la invarianza de re-parametrización de la cadena La-\nGrangiano. Debido a esto se puede elegir el calibrador ortonormal especificado por\nlas condiciones:\n2 +X ′\n= ·X ′ = 0 (271)\nque hoy en día se llama indicador conformal. En este calibrador eq. (269) pasa a ser:\nPμ = cT \n* X *\n= −cTX (272)\ny por lo tanto el eq. de movimiento en eq.(266) pasa a ser:\n−X = 0 (273)\nmientras que la condición límite en eq.(267) se convierte en:\nX ( = 0, ) = 0 (274)\n52 Paolo Di Vecchia\nLa solución más general del eq. de movimiento y de las condiciones de los límites\npuede escribirse como sigue:\n= qμ + 2p + i\n[aμne\n- en- en- an ein- ]\ncosn\n(275)\npara una cadena abierta y\nXμ(e, e) = qμ + 2p +\n[ne\n−2in() − n e2in()]\n[aμne\n−2in() − an e2in()]\n(276)\npara una cuerda cerrada. Este procedimiento demuestra realmente que, a partir de la\nNambu-Goto acción, uno puede elegir un indicador (el ortonormal o confor-\nmal calibrador) donde la ecuación de movimiento de la cadena se convierte en el dos-\nEcuación dimensional D’Alembert en Eq. (273). Además, la invarianza\nde la acción Nambu-Goto implica que las dos\ntensor dimensional de energía-momento es idénticamente cero en el nivel clásico\n(Véase Eq. (271)).\nComo el medidor Lorentz en QED el medidor ortonormal no fija com-\nCompletamente el medidor. Todavía podemos realizar reparametrizaciones que dejan en el\ncalibrador conformal: son transformatiuons conformales. Presentando el vari-\nlos generadores de las transformaciones conformales para la apertura\nla cadena se puede escribir como sigue:\ndzzn+1\nαn−m · αm = 0 (277)\ndonde\nn =\nnaμn, si n > 0\n2 μ pμ si n = 0 μ\nnan si n < 0\n(278)\nSon cero como consecuencia de Eq.s (270) que en el gálibo conformal\nconvertirse en Eq.s (271). En el caso de una cadena cerrada obtenemos en su lugar:\nL?n =\ndzzn+1\n= 0 (279)\ndz̄z̄n+1\n= 0 (280)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 53\nEn términos de los osciladores armónicos introducidos en eq. (276) obtenemos\nαm · αn−m = 0 ; Ln =\nm · n−m = 0 (281)\ndonde para los modos no cero hemos utilizado la convención en (278), mientras que el\nel modo cero viene dado por:\n0 = \n(282)\nEn conclusión, el hecho de que tengamos invarianza de reparametrización implica que\nlos generadores Virasoro son clásicamente idénticos a cero. Cuando cuantizamos el\nteoría uno no puede y tampoco tiene que imponer que están desapareciendo en\nel nivel del operador. Se imponen como condiciones que caracterizan lo físico\nestados.\nPhysLn Phys = Phys(L0 − 1) Phys = 0; n 6= 0 (283)\nEstas ecuaciones están satisfechas si requerimos:\nLn Phys > = (L0 − 1)\nEl factor adicional −1 en las ecuaciones anteriores proviene del orden normal\ncomo se explica en Eq. (198).\nLos autores de Ref. [71] especificó además el calibrador fijándolo completamente.\nSe introdujo el calibrador de cono-luz especificado mediante la imposición de la condición:\nX+ = 2p (285)\ndonde\nX0 ±Xd−1\nX0 ±Xd−1\n(286)\nEn este indicador los únicos grados físicos de libertad son los transversales.\nDe hecho, los componentes a lo largo de las direcciones 0 y d − 1 se pueden expresar en\ntérminos de los transversales insertando Eq. (285) en las limitaciones de Eq.\n(271) y obtener:\n= 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 \n4o p+\n(2i +X)\ni ) X\n2+p+\ni ·X ′i (287)\nque hasta una constante de integración determinan completamente X− como función\nde X i. En términos de osciladores obtenemos\nn = 0;\n2n =\nαin−mα\nm n 6= 0 (288)\n54 Paolo Di Vecchia\npara una cadena abierta y\nn = \nn = 0 n 6 = 0 (289)\njunto con\n2n =\nαin−mα\n2n =\nin−m\nm (290)\nen el caso de una cuerda cerrada.\nEsto muestra que los estados físicos son descritos sólo por el transverso\nosciladores que tengan sólo d − 2 componentes. Esos osciladores transversales corre...\nspond a los operadores de DDF transversales que hemos discutido en la Sección 6.\nLos autores de Ref. [71] también construyeron los generadores Lorentz sólo en términos\nde los osciladores transversales y mostraron que satisfacen el correcto\nálgebra de Lorentz sólo si la dimensión espacio-tiempo es d = 26. De esta manera el\nespectro del modelo de resonancia dual se reprodujo completamente a partir de\nde la acción Nambu-Goto si d = 26! Por otra parte, la elección de\nd = 26 es una necesidad si queremos mantener la invarianza de Lorentz!\nInmediatamente después de esto, la interacción también se incluyó, ya sea añadiendo\nun término que describe la interacción de la cadena con un campo de ancho externo [73]\no mediante un formalismo funcional [74, 75].\nEn lo siguiente sólo daremos algunos detalles del primer enfoque para el\ncaja de una cuerda abierta. Una forma de describir la interacción de cadena es añadiendo\na la acción de cadena libre un término adicional que describe la interacción de\nla cadena con un campo externo.\nSINT =\ndDyΦL(y)JL(y)(291)\ndonde ΦL(y) es el campo externo y JL es la corriente generada por la cadena.\nEl índice L representa los posibles índices de Lorentz que están saturados con el fin de\ntienen una acción invariante de Lorentz.\nEn el caso de una partícula de punto, tal término de interacción no dará ninguna\ninformación sobre la auto-interacción de una partícula.\nEn el caso de una cadena, en su lugar, veremos que SINT describirá la\ninteracción entre cadenas porque los campos externos que pueden\ninteractuar con una cadena son sólo los que corresponden a los diversos estados de\nla cadena, como quedará claro en la discusión de abajo.\nSe trata de una consecuencia del hecho de que, en aras de la coherencia, debemos\nponer las siguientes restricciones a SINT :\n• Debe ser un operador bien definido en el espacio que abarca la cadena\nosciladores.\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 55\n• Debe preservar las invarianzas de la teoría de cuerdas libres. En particular, en\nel “calibre conformal” debe ser invariante conformal.\n• En el caso de una cadena abierta, la interacción ocurre en el punto final de\nuna cadena (digamos que está en = 0). Esto se deriva del hecho de que dos cuerdas abiertas\ninteractúe uniéndose entre sí en los puntos finales.\nSe puede escribir la corriente escalar más simple generada por el movimiento de una cadena\ndel siguiente modo:\nJ(y) =\nd(e)(e)[yμ − xμ(e)(e)] (292)\nen la que se ha introducido el método de interacción, ya que la interacción se produce al final de la\nla cuerda. En aras de la simplicidad omitimos escribir una constante de acoplamiento g\nen (292).\nInsertando (292) en (291) y utilizando para el campo exterior escalar Φ(y) = eik·y\nuna onda de plano, obtenemos la siguiente interacción:\nSINT =\neik·X(,0) : (293)\ndonde se ha introducido el pedido normal para tener un bien definido\nOperadora. La invarianza de (293) bajo una transformación conformal \nrequiere la siguiente identidad:\nSINT =\n;: eik·X(l,0) : =\ndw : eik·X(w,0) : (294)\no, en otras palabras, que\n: eik·X(l,0) :=l w′(l) : eik·X(l,0) : (295)\nEsto significa que el integrand en Eq. (294) debe ser un campo conforme con\ndimensión conformal igual a uno y esto sucede sólo si k2 = 1. Los\ncampo externo corresponde entonces al estado más bajo taquiónico de la cadena abierta.\nOtra corriente simple generada por la cadena es dada por:\nJμ(y) =\nd(e)(e, e)\nd) y −X(l, )) (296)\nInsertando (296) en (291) obtenemos\nSINT =\nd(l, 0)\nμeik·X(,0) (297)\nsi usamos una onda plana para (y) = e\nik·y. El operador de vértice en eq. (297)\nes invariante conforme solamente si\nk2 = · k = 0 (298)\n56 Paolo Di Vecchia\ny, por lo tanto, el vector externo debe ser el estado fotónico sin masa de la\ncuerda. Podemos generalizar este procedimiento a un campo externo arbitrario y\nel resultado es que sólo podemos utilizar campos externos que corresponden a en shell\nestados físicos de la cuerda.\nEste procedimiento se ha ampliado en Ref. [73] en el caso de\ngravitones mediante la introducción en la acción Nambu-Goto de una métrica espacial objetivo y\nobtener el operador de vértice para el gravitón que es un estado sin masa en el\nteoría de cuerdas cerradas. Recuerde que, en ese momento, esto podría haberse hecho\nsólo con la acción Nambu-Goto porque la acción modelo se introdujo\nsolo en 1976 primero para la partícula de punto [76] y luego para la cadena [77]. As\nen el caso del fotón resultó que el campo externo correspondiente\nal gravitón estaba obligado a estar en caparazón. Esta condición es el precursor de\nlas ecuaciones de movimiento que se obtiene de la acción de modelo \nla desaparición de la función β [78].\nUno puede entonces calcular la amplitud de probabilidad para la emisión de un\nnúmero de estados de cadena correspondientes a los diversos campos externos, de un\nestado inicial de la cadena a uno final. Esta amplitud da precisamente el punto N\namplitud que discutimos en las secciones anteriores [73]. En particular, uno\naprende que, en el caso de la cadena abierta, el campo Fubini-Veneziano es justo\nla coordenada de cadena computada en = 0:\nQμ(z) Xμ(z, = 0) ; z = ei/23370/ (299)\nEn el caso de una cadena cerrada obtenemos en su lugar:\nQμ(z, z̄) Xμ(z, z̄) ; z = e2i(), z̄ = e2i() (300)\nFinalmente, permítanme mencionar que con el enfoque funcional Mandelstam [74]\nCremmer y Gervais [79] calcularon la interacción entre tres arbi-\ny reproducido de esta manera el acoplamiento de tres\nDDF estados dados en Eq. (202) y obtenido en Ref. [37] utilizando el operador\nformalismo. En este punto estaba completamente claro que la estructura subyacente\nel modelo generalizado Veneziano era el de una cuerda relativista abierta, mientras que\nque subyacente al modelo Shapiro-Virasoro era el de un relativista cerrado\ncuerda. Además, estas dos teorías no son independientes porque, si uno\ncomienza desde una teoría de cuerdas abiertas, uno se cierra automáticamente cadenas por\nCorrecciones de bucle.\n10 Conclusiones\nEn esta contribución, hemos pasado por los acontecimientos que llevaron a\nla construcción del modelo de resonancia dual a la teoría de cuerdas bosónicas\nTratando en la medida de lo posible de incluir todos los detalles técnicos necesarios. Esto\nes porque creemos que no sólo son importantes desde un punto de vista histórico\nde punto de vista, pero también son parte del formalismo que se utiliza hoy en día en muchos\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 57\ncálculos de cadena. Hemos tratado de ser lo más completos y objetivos posible,\npero muy bien podría ser que algunos de los que participaron en la investigación\nde estos años, no estarán de acuerdo con algunas o incluso muchas de las declaraciones que\nHecho. Nos disculpamos con aquellos que hemos olvidado mencionar o no lo hemos hecho\nmencionado como les hubiera gustado.\nFinalmente, después de haber pasado por los desarrollos de estos años, mi\npensamientos van a Sergio Fubini que compartió conmigo y Gabriele muchos de los\nideas descritas aquí y que se extraña profundamente, y a mis amigos de Flo-\nrence, Nápoles y Turín para una agradable colaboración en muchos documentos discutidos\nAquí.\nAgradecimientos\nAgradezco a R. Marotta y a I. Pesando por una lectura crítica del manuscrito.\nBibliografía\n1. G.F. Chew, La matriz analítica S, W.A.Benjamin, Inc. (1966).\nR.J. Eden, P.V. Landshoff, D.I. Olive y J.C. Polkinghorne, el analítico S\nMatriz, Cambridge University Press (1966).\n2. R. Dolen, D. Horn y C. Schmid, Phys. Rev. 166, 1768 (1968).\nC. Schmid, Phys. Rev. Cartas 20, 689 (1968).\n3. H. Harari, Phys. Rev. Cartas 22, 562 (1969).\nJ.L. Rosner, Phys. Rev. Cartas 22, 689 (1969).\n4. G. Veneziano, Nuovo Cimento A 57, 190 (1968).\n5. M. A. Virasoro, Phys. Rev. 177, 2309 (1969).\n6. M.A. Virasoro, Phys. Rev. D 1, 2933 (1970).\n7. A. Neveu y J.H. Schwarz, Nucl. Phys. B 31, 86 (1971) y\nPhys. Rev. D 4, 1109 (1971).\n8. P. Ramond, Phys. Rev. D 3, 2415 (1971).\n9. C. Lovelace, Phys. Lett. B 28, 265 (1968).\nJ. Shapiro, Phys. Rev. 179, 1345 (1969).\n10. P.H. Frampton, Phys. Lett. B 41, 364 (1972).\n11. V. Alessandrini, D. Amati, M. Le Bellac y D. Olive, Phys. Rep. C 1, 269\n(1971).\nG. Veneziano, Phys. Rep. C 9, 199 (1974).\nS. Mandelstam, Phys. Rep. C 13, 259 (1974).\nC. Rebbi, Phys. Rep. C 12, 1 (1974).\nJ. Scherk, Rev. Mod. Phys. 47, 123 (1975).\n12. F. Gliozzi, Lett. Nuovo Cimento 2, 1160 (1970).\n13. K. Bardakçi y H. Ruegg, Phys. Rev. 181, 1884 (1969).\nC.G. Goebel y B. Sakita, Phys. Rev. Cartas 22, 257 (1969).\nChan Hong-Mo y T.S. Tsun, Phys. Lett. B 28, 485 (1969).\nZ. Koba y H.B.Nielsen, Nucl. Phys. B 10, 633 (1969).\n14. K. Bardakçi y H. Ruegg, Phys. Lett.B 28, 671 (1969).\nM.A. Virasoro, Phys. Rev. Lett. 22, 37 (1969).\n58 Paolo Di Vecchia\n15. Z. Koba y H.B.Nielsen, Nucl. Phys. B 12, 517 (1969).\n16. H. M. Chan y J. E. Patón, Nucl. Phys. B 10, 516 (1969).\n17. S. Fubini y G. Veneziano, Nuovo Cimento A 64, 811 (1969).\n18. Bardakçi y S. Mandelstam, Phys. Rev. 184, 1640 (1969).\n19. S. Fubini, D. Gordon y G. Veneziano, Phys. Lett. B 29, 679 (1969)\n20. Y. Nambu, Proc. Int. Conf. sobre Symmetries y modelos de Quark, estado de Wayne\nUniversidad 1969 (Gordon and Breach, 1970), pág.\n21. L. Susskind, Nuovo Cimento A 69, 457 (1970) y Phys. Rev. Carta 23, 545\n(1969).\n22. J. Shapiro, Phys. Lett. B 33, 361 (1970).\n23. S. Fubini y G. Veneziano, Nuovo Cimento A 67, 29 (1970).\n24. F. Gliozzi, Lettere al Nuovo Cimento 2, 846 (1969).\n25. C.B. Chiu, S. Matsuda y C. Rebbi, Phys. Rev. Lett. 23, 1526 (1969).\nC.B. Thorn, Phys. Rev. D 1, 1963 (1970).\n26. S. Fubini y G. Veneziano, Anales de Física 63, 12 (1971).\n27. C. Lovelace, Phys. Lett. B 34, 500 (1971).\n28. E. Del Giudice y P. Di Vecchia, Nuovo Cimento A 5, 90 (1971).\nM. Yoshimura, Phys. Lett. B 34, 79 (1971).\n29. E. Del Giudice y P. Di Vecchia, Nuovo Cimento A 70, 579 (1970).\n30. P. Campagna, S. Fubini, E Napolitano y S. Sciuto, Nuovo Cimento A 2, 911\n(1971).\n31. E. Del Giudice, P. Di Vecchia y S. Fubini, Anales de Física, 70, 378 (1972).\n32. R.C. Brower, Phys. Rev. D 6, 1655 (1972).\n33. P. Goddard y C.B. Thorn, Phys. Lett. B 40, 235 (1972).\n34. F. Gliozzi, J. Scherk y D. Olive, Phys. Lett. B 65, 282 (1976) ; Nucl. Phys.\nB 122, 253 (1977).\n35. L. Brink y H.B. Nielsen, Phys. Lett. B 45, 332 (1973).\n36. F. Gliozzi, sin publicar.\nVer también P. Di Vecchia en muchos grados de libertad en física de partículas, editado\npor H. Satz, Plenum Publishing Corporation, 1978, pág. 493.\n37. M. Ademollo, E. Del Giudice, P. Di Vecchia y S. Fubini, Nuovo Cimento A\n19, 181 (1974).\n38. J. Scherk, Nucl. Phys. B 31, 222 (1971).\n39. N. Nakanishi, Prog. Teor. Phys. 48, 355 (1972).\nP.H. Frampton y K.C. Wali, Phys. Rev. D 8, 1879 (1973).\n40. A. Neveu y J. Scherk, Nucl. Phys.B 36, 155 (1973).\n41. A. Neveu y J.L. Gervais, Nucl. Phys. B 46, 381 (1972).\n42. P. Di Vecchia, A. Lerda, L. Magnea, R. Marotta y R. Russo, Nucl. Phys. B\n469, 235 (1996)\n43. T. Yoneya, Prog. de Teor. Phys. 51, 1907 (1974).\n44. K. Kikkawa, B. Sakita y M. Virasoro, Phys. Rev. 184, 1701 (1969).\nK. Bardakçi, M.B. Halpern y J. Shapiro, Phys. Rev. 185, 1910 (1969).\nD. Amati, C. Bouchiat y J.L. Gervais, Lett. al Nuovo Cimento 2, 399 (1969).\nA. Neveu y J. Scherk, Phys. Rev. D 1, 2355 (1970).\nG. Frye y L. Susskind, Phys. Lett. B 31, 537 (1970).\nD.J. Gross, A. Neveu, J. Scherk y J.H. Schwarz, Phys. Rev. D 2, 697 (1970).\n45. L. Brink y D. Olive, Nucl. Phys. B 56, 253 (1973) y Nucl. Phys. B 58, 237\n(1973).\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 59\n46. E. Cremmer y J. Scherk, Nucl. Phys. B 50, 222 (1972).\nL. Clavelli y J. Shapiro, Nucl. Phys. B 57, 490 (1973).\nL. Brink, D.I. Olive y J. Scherk, Nucl. Phys. B 61, 173 (1973).\n47. M. Ademollo, A. D’Adda, R. D’Auria, F. Gliozzi, E. Napolitano, S. Sciuto y\nP. Di Vecchia, Nucl. Phys. B 94, 221 (1975).\nJ. Shapiro, Phys. Rev. D 11, 2937 (1975).\n48. D.I.Olive y J. Scherk, Phys. Lett. B 44, 296 (1973).\n49. M. Ademollo, A. D’Adda, R. D’Auria, E. Napolitano, P. Di Vecchia, F. Gliozzi\ny S. Sciuto, Nucl. Phys. B 77, 189 (1974).\n50. M. Kalb y P. Ramond, Phys. Rev. D 9, 2273 (1974).\n51. E, Cremmer y J. Scherk, Nucl. Phys. B 72, 117 (1974).\n52. A. D’Adda, R. D’Auria, E. Napolitano, P. Di Vecchia, F. Gliozzi y S. Sciuto,\nPhys. Lett. B 68, 81 (1977).\n53. J. Shapiro, Phys. Rev. D 5, 1945 (1975).\n54. S. Sciuto, Lettere al Nuovo Cimento 2, 411 (1969).\nA. Della Selva y S. Saito, Lett. al Nuovo Cimento 4, 689 (1970).\n55. L. Caneschi, A. Schwimmer y G. Veneziano, Phys. Lett.B 30, 356 (1969).\nL. Caneschi y A. Schwimmer, Lettere al Nuovo Cimento 3, 213 (1970).\n56. C. Lovelace, Phys. Lett. B 32, 490 (1970).\n57. D.I. Olive, Nuovo Cimento A 3, 399 (1971).\n58. I. Drummond, Nuovo Cimento A 67, 71 (1970).\nG. Carbone y S. Sciuto, Lett. Nuovo Cimento 3, 246 (1970).\nL. Kosterlitz y D. Wray, Lett. al Nuovo Cimento 3, 491 (1970).\nD. Collop, Nuovo Cimento A 1, 217 (1971).\nL.P. Yu, Phys. Rev. D 2, 1010 (!970); Phys. Rev. D 2, 2256 (!970).\nE. Corrigan y C. Montonen, Nucl. Phys. B 36, 58 (1972).\nJ.L. Gervais y B. Sakita, Phys. Rev. D 4, 2291 (1971).\n59. C. Lovelace, Phys. Lett. B 32, 703 (1970).\n60. V. Alessandrini, Nuovo Cimento A 2, 321 (1971).\n61. D. Amati y V. Alessandrini, Nuovo Cimento A 4, 793 (1971).\n62. P. Di Vecchia, M. Frau, A. Lerda y S. Sciuto, Phys. Lett. B 199, 49 (1987).\nJ.L. Petersen y J. Sidenius, Nucl. Phys. B 301, 247 (1988).\n63. S. Mandelstam, In “Unified String Theories”, editado por M. Green y D. Gross,\nWorld Scientific, p. 46.\n64. P. Di Vecchia, F. Pezzella, M. Frau, K. Hornfeck, A. Lerda y S. Sciuto, Nucl.\nPhys. B 322, 317 (1989).\n65. Y. Nambu, Conferencias en el Simposio de Copenhague, 1970, inéditas.\n66. H. B. Nielsen, documento presentado al 15o Int. Conf. sobre Física de Alta Energía,\nKiev, 1970 y Nordita preprint (1969).\n67. T. Takabayasi, Progr. Teor. Phys. 44 (1970) 1117.\nO. Hara, Progr. Teor. Phys. 46, 1549 (1971).\nL.N. Chang y J. Mansouri, Phys. Rev. D 5, 2535 (1972).\nJ. Mansouri e Y. Nambu, Phys. Lett. B 39, 357 (1972).\nM. Minami, Prog. Teor. Phys. 48, 1308 (1972).\n68. T. Goto, Progr. Teor. Phys. 46 (1971) 1560.\n69. D. Fairlie y H.B. Nielsen, Nucl. Phys. B 20, 637 (1970) y 22, 525 (1970).\n70. C.S. Hsue, B. Sakita y M.A. Virasoro, Phys. Rev. 2, 2857 (1970).\nJ.L. Gervais y B. Sakita, Phys. Rev. D 4, 2291 (1971).\n71. P. Goddard, J. Goldstone, C. Rebbi y C. Thorn, Nucl. Phys. B 56, 109\n(1973).\n60 Paolo Di Vecchia\n72. E.F. Corrigan y D.B. Fairlie, Nucl. Phys. B 91, 527 (1975).\n73. M. Ademollo, A. D’Adda, R. D’Auria, P. Di Vecchia, F. Gliozzi, R. Musto, E.\nNapolitano, F. Nicodemi y S. Sciuto, Nuovo Cimento A 21, 77 (1974).\n74. S. Mandelstam, Nucl. Phys. B 64, 205 (1973).\n75. J.L. Gervais y B. Sakita, Phys. Rev. Lett. 30, 716 (1973).\n76. L. Brink, P. Di Vecchia, P. Howe, S. Deser y B. Zumino, Phys. Lett. B 64,\n435 (1976).\n77. L. Brink, P. Di Vecchia y P. Howe, Phys. Lett. B 65, 471 (1976).\nS. Deser y B. Zumino, Phys. Lett. B 65, 369 (1976).\n78. C. Lovelace, Phys. Lett. B 136, 75 (1984).\nC.G. Callan, E.J.Martinec, M.J. Perry y D. Friedan, Nucl. Phys. B 262, 593\n(1985).\n79. E. Cremmer y J.L. Gervais, Nucl. Phys. 76, 209 (1974).\n\tEl nacimiento de la teoría de cuerdas\n\tPaolo Di Vecchia\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" En esta contribución vamos a través de los acontecimientos que en los años 1968 a\n1974 llevó del modelo Veneziano a la cuerda bosónica.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción\nLos años sesenta fueron un período en el que se estudiaron procesos de interacción fuertes\nen detalle utilizando los aceleradores de nueva construcción en Cern y otros lugares.\nSe encontraron muchos nuevos estados hadrónicos que aparecieron como picos resonantes en var-\nse midieron las secciones transversales y transversales hadrónicas con aumento\nprecisión. En general, los datos experimentales para procesos que interactúan fuertemente\nen términos de intercambios de resonancia en el\ncanal a baja energía y por el intercambio de polos Regge en el transversal\ncanal a mayor energía. Teoría de campo que había tenido mucho éxito en de-\nla inscripción de QED parecía inútil para las interacciones fuertes dado el gran número de\nHadrones para acomodarse en un lagrangiano y la fuerza del pion-nucleón\nconstante de acoplamiento que no permitió cálculos perturbadores. El único...\nprincipal en el que las técnicas teóricas de campo se utilizaron con éxito fue actual\nálgebra. Aquí, asumiendo que las interacciones fuertes fueron descritas por un casi\nquiral invariante Lagrangian, que la simetría quiral se rompió espontáneamente\ny que el pion era el bosón correspondiente Goldstone, campo teórico\nmétodos dieron bastante buenas predicciones para la dispersión de amplitudes que implican pi-\na muy baja energía. Sin embargo, ir a una energía más alta no era posible.\ncon estos métodos.\nDebido a esto, mucha gente comenzó a pensar que la teoría de campo era el uso-\nmenos para describir interacciones fuertes e intentó describir interacciones fuertes\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0101v1\n2 Paolo Di Vecchia\nprocesos con métodos alternativos y más fenomenológicos. Lo básico\nLos ingredientes para describir los datos experimentales fueron de baja energía.\ncambio de resonancias en el canal directo y a mayor energía el intercambio\nde los polos de Regge en el canal transversal. Reglas de suma para interactuar fuertemente\nlos procesos fueron saturados de esta manera y se encontró un buen acuerdo con el\ndatos experimentales provenientes de los aceleradores recién construidos. Sé...\ncausa de estos éxitos y de los problemas que la teoría de campo encontró para\ndescribir los datos, se propuso construir directamente la matriz S sin\npasando por un lagrangiano. La matriz S se suponía que se construiría\nde las propiedades que debía satisfacer, pero no había un procedimiento claro sobre\ncómo implementar esta construcción1. A menudo se utilizaba la palabra “bootstrap”\ncomo la forma de construir la matriz S, pero no ayudó mucho para obtener un\nMatriz S para los procesos que interactúan fuertemente.\nUna de las ideas básicas que condujeron a la construcción de una matriz S fue\nque debe incluir resonancias a baja energía y al mismo tiempo dar\nComportamiento de regge a alta energía. Pero las dos contribuciones de las resonancias\ny de los polos de Regge no deben ser añadidos porque esto implicaría doble\nContando. Esto se llamaba dualidad Dolen, Horn y Schmidt [2]. Otra idea\nque ayudó en la construcción de una matriz S fue la dualidad planar [3] que\nfue visualizado asociándose a un proceso determinado un diagrama de dualidad, mostrado en\nFig. (1), donde cada mesón fue descrito por dos líneas que representan el quark\ny el antiquark. Por último, también el requisito de cruzar la simetría jugado\nun papel muy importante.\nFig. 1. Diagrama de dualidad para la dispersión de cuatro mesones\nPartiendo de estas ideas Veneziano [4] fue capaz de construir una matriz S\npara la dispersión de cuatro mesones que, al mismo tiempo, tenía un número infinito\nde resonancias de ancho cero yace sobre trayectorias de Regge y Regge en ascenso lineal\ncomportamiento a alta energía. Veneziano construyó originalmente el modelo para el\n1 Para una discusión de la teoría de la matriz S véase Ref.s [1]\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 3\nproceso →, pero se extendió inmediatamente a la dispersión de cuatro\npartículas escalares.\nEn el caso de cuatro partículas escalares idénticas, el scat simétrico de cruce-\nla amplitud tering encontrado por Veneziano consiste en una suma de tres términos:\nA(s, t, u) = A(s, t) +A(s, u) +A(t, u) (1)\ndonde\nA(s, t) =\n* (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a)) (a) (a)) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a)) (a) (a) (a)) (a) (a) (a) (a) (a)) (a)\n- α(t) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\ndxx®(s)−1(1− x)®(t)−1 (2)\ncon trayectorias de Regge en ascenso lineal\nα(s) = α0 + α\n′s (3)\nEsta era una propiedad muy importante para implementar en un modelo porque era\nde acuerdo con los datos experimentales en una amplia gama de energías. s, t y\nu son las variables Mandelstam:\ns = −(p1 + p2)2, t = −(p3 + p2)2, u = −(p1 + p3)2 (4)\nLos tres términos en Eq. (1) corresponden a los tres pedidos de las cuatro partes\nque no están relacionados por una permutación cíclica o anticíclica 2 de la\npiernas. Corresponden, respectivamente, a las tres permutaciones: (1234), (1243)\ny (1324) de las cuatro patas externas. Sólo tienen singularidades de polo simples.\nEl primero sólo tiene polos en los canales s y t, el segundo sólo en el s\ny u canales y el tercero sólo en los canales t y u. Esta propiedad fol-\nbajos directamente del diagrama de dualidad que se asocia a cada inequivalente\npermutación de las piernas externas. De hecho, en ese momento uno solía asociar\na cada una de las tres permutaciones inequivalentes un diagrama de dualidad donde cada\nla partícula fue dibujada como consistente en dos líneas que rappresentaron el quark y\nAntiquark inventando un mesón. Además, se suponía que el diagrama debía\ntienen sólo polos singularidades en los canales planos que son los que implican\nlíneas externas adyacentes. Esto significa que, por ejemplo, el diagrama de dualidad\nque corresponde a la permutación (1234) sólo tiene polos en el s y t chan-\nnels como se puede ver deformando el diagrama en el plano en los dos posibles\nformas que se muestran en la figura (2).\nEsta era una propiedad muy importante del diagrama de dualidad que hace\ncualitativamente diferente de un diagrama de Feynman en teoría de campo donde cada uno\ndiagrama tiene sólo un polo en uno de los tres canales s, t y u y no\nsimultáneamente en dos de ellos. Si aceptamos la idea de que cada término de la\nsuma en Eq. (1) es descrito por un diagrama de dualidad, entonces está claro que nosotros\n2 Una permutación anticíclica correspondiente, por ejemplo, a la orden (1234) es\nobtenido tomando el reverso de la orden original (4321) y luego realizando\nuna permutación cíclica.\n4 Paolo Di Vecchia\nFig. 2. El diagrama de dualidad contiene ambos polos de canal s y t\nno es necesario añadir términos correspondientes a diagramas equivalentes porque el\ndiagrama de dualidad correspondiente es el mismo y tiene las mismas singularidades. Lo siento.\nAhora está claro que de alguna manera estaba implícito en este cuadro el hecho de que el\nEl modelo Veneziano corresponde a la dispersión de cuerdas relativistas. Pero a\nesa vez la conexión no era obvia en absoluto. La única propiedad de la matriz S\nque el modelo Veneziano no pudo satisfacer era la unitariedad de la matriz S.\nporque contenía sólo resonancias de ancho cero y no tenía las diversas\ncortes requeridos por la unidad. Veremos cómo se implementará esta propiedad.\nInmediatamente después de la formulación del modelo Veneziano, Virasoro [5]\npropuso otra amplitud simétrica de cuatro puntos para las partículas escalares\nque consistió en una pieza única dada por:\nA(s, t, u)\n• (u)\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n• (1 +)\n• (1 +)\n• (1 +)\ndonde\nα(s) = α0 + α\n′s (6)\nEl modelo tenía polos en los tres canales s, t y u y no podía ser escrito\ncomo suma de tres términos que tienen polos sólo en diagramas planos. En conclusión,\nel modelo Veneziano satisface el principio de dualidad plana siendo un cruce\ncombinación simétrica de tres contribuciones cada uno con polos sólo en el\nCanales planos. Por otro lado, el modelo Virasoro consiste en un\ncruce de término simétrico con polos en canales planos y no planos.\nLos intentos de construir modelos consistentes que estaban de acuerdo\ncon la fenomenología de la interacción fuerte de los años sesenta impulsado enormemente\nla actividad en este campo de investigación. La generalización del modelo Veneziano para\nla dispersión de partículas escalares N fue construida, un formalismo de operador que consiste en\nde un número infinito de osciladores armónicos fue construido y el\nse determinó el espectro de mesons. Resultó que la degeneración de\nlos estados crecieron exponencialmente con la masa. También se encontró que la N\namplitud de punto tenía estados con norma negativa (fantasmas) a menos que la intercepción\nde la trayectoria de Regge fue α0 = 1 [6]. En este caso resultó que el\nmodelo estaba libre de fantasmas, pero el estado más bajo era un taquión. El modelo era\nllamó en la literatura el “modelo de resonancia dual”.\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 5\nEl modelo no era unitario porque todos los estados eran de ancho cero reso-\nLas nances y los diversos cortes requeridos por la unidad estaban ausentes. La unidad\nse implementó de manera perturbadora añadiendo diagramas de bucle obtenidos por\ncosiendo algunas de las patas externas después de la inserción de un propagador.\nLas amplitudes multilazo mostraron una estructura de superficies de Riemann. Esto será...\nse hizo evidente sólo más tarde cuando el modelo de resonancia dual fue reconocido a\ncorresponden a la dispersión de cuerdas.\nPero el problema principal era que el modelo tenía un taquión si α0 = 1 o tenía\nfantasmas para otros valores de α0 y no estaba de acuerdo con el experimental\ndatos: α0 no fue igual a aproximadamente\nsegún lo requerido por los experimentos para el\nLa trayectoria del regge y las partículas escalares externas no se comportaron como piones\nsatisfacer los requisitos actuales de álgebra. Se hicieron muchos intentos de\nconstruir modelos de resonancia dual más realistas, pero el principal resultado de\nLos intentos fueron la construcción de los Neveu-Schwarz [7] y los Ramond [8]\nmodelos, respectivamente, para mesones y fermiones. Fueron construidos como dos\nmodelos independientes y sólo más tarde se reconoció que eran dos sectores de la\nEl mismo modelo. El modelo Neveu-Schwarz todavía contenía un taquión que sólo en\n1976 a través de la proyección GSO fue eliminado del espectro físico.\nAdemás, no estaba describiendo adecuadamente las propiedades de la\nPiones.\nEn realidad, un modelo que describe la dispersión de una manera bastante satisfactoria\nfue propuesto por Lovelace y Shapiro [9] 3. De acuerdo con este modelo el\nTres amplitudes isospinas para la dispersión pion-pion son dadas por:\n[A(s, t) +A(s, u)]− 1\nA(t, u)\nA1 = A(s, t)−A(s, u) A2 = A(t, u) (7)\ndonde\nA(s), t = β\n* (1- α(s))* (1 − α(t))\n• (1− α(t)− α(s)\n; α(s) = α0 + α\n′s (8)\nLas amplitudes en eq.(7) proporcionar un modelo para la dispersión con elevación lineal\nTrayectorias Regge que contienen tres parámetros: la interceptación del Regge\ntrayectoria α0, la pendiente Regge α\n′ y β. Los dos primeros pueden ser determinados por\nimponer la condición de auto-coherencia del Adler, que requiere la desaparición de\nla amplitud cuando s = t = u = m2η y uno de los piones es sin masa, y el\nhecho de que la trayectoria de Regge debe dar el giro del meson que es igual\na 1 cuando\ns es igual a la masa del mesón. Estas dos condiciones\ndeterminar que la trayectoria de Regge es:\nα(s) =\ns−m2\nm2π −mη2\n= 0,48 + 0,885s (9)\n3 Véase también Ref. [10].\n6 Paolo Di Vecchia\nDespués de haber fijado los parámetros de la trayectoria Regge el modelo predice la\nlas masas y los acoplamientos de las resonancias que decaen en\nparámetro único β. Los valores obtenidos están en acuerdo razonable con\nlos experimentos. Además, uno puede calcular las longitudes de dispersión:\na0 = 0,395β a2 = −0,103β (10)\ny uno encuentra que su relación está dentro del 10% de la actual relación de álgebra dada\npor a0/a2 = −7/2. La amplitud en eq.(8) tiene exactamente la misma forma que la\npara cuatro taquiones del modelo Neveu-Schwarz con el único aparentemente menor\ndiferencia que α0 = 1/2 (para mη = 0) en lugar de 1 como en el Neveu-Schwarz\nmodelo. Esta diferencia, sin embargo, implica que la dimensión crítica espacio-tiempo\nde este modelo es d = 4 4 y no d = 10 como en el modelo Neveu-Schwarz. In\nla conclusión de que este modelo parece ser un modelo perfectamente razonable para describir\ndispersión de baja energía. El problema es, sin embargo, que nadie ha sido capaz de\npara generalizar a la dispersión multipión y por lo tanto para obtener la completa\nespectro meson.\nComo hemos visto se construyó la matriz S del modelo de resonancia dual\nutilizando ideas y herramientas de fenomenología de hadrones de finales de los años sesenta.\nAunque no parecía posible escribir un modelo realista de resonancia dual\ndescribiendo los piones, era sin embargo tal fuente de fascinación para los\nque trabajó activamente en este campo en ese momento por su hermosa estructura interna\ny consistencia que mucha energía se utilizó para investigar sus propiedades y\npara comprender su estructura básica. Resultó con gran sorpresa que\nla estructura subyacente era la de una cadena relativista cuántica.\nEl objetivo de esta contribución es explicar la lógica del trabajo que fue\nhecho en los años de 1968 a 1974 5 con el fin de descubrir las propiedades profundas de\neste modelo que parecía desde el principio ser tan hermoso y coherente\npara merecer un estudio intensivo.\nEsto me parece una muy buena manera de celebrar el 65 aniversario de\nGabriele que es la persona que comenzó y también contribuyó a desarrollar el\ntodo con su profunda intuición física.\n2 Construcción de la amplitud del punto N\nHemos visto que la construcción de la amplitud de cuatro puntos no es suficiente\npara obtener información sobre todo el espectro hadrónico porque sólo contiene\nesos hadrones que pareja a dos mesons del estado de tierra y no los ve\nEstados intermedios que sólo pareja a tres o a un mayor número de\nMesons terrestres [12]. Por lo tanto, era muy importante construir el\nAmplitud N-punto que involucra partículas escalares idénticas. La construcción de\n4 Esto se puede comprobar computando el acoplamiento de la partícula sin spin en la\nnivel α(s) = 2 y ver que desaparece para d = 4.\n5 Reseñas de este periodo se pueden encontrar en Ref. [11]\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 7\nla amplitud del punto N se hizo en Ref. [13] (prolongación de la labor de Ref. [14])\npor exigir los mismos principios que han conducido a la construcción de la\nmodelo Veneziano, a saber, el hecho de que los axiomas de la teoría S-matriz ser\nsatisfecho por un número infinito de resonancias de ancho cero acostados linealmente\ncrecimiento de las trayectorias Regge y dualidad plana.\nLa amplitud de dispersión simétrica totalmente cruzada de N escalar idéntico\nlas partículas se dan por una suma de términos correspondientes a la permu-\ntas de las patas externas:\nUn (11)\nTambién en este caso dos permutaciones de las patas externas son inequivalentes si\nno están relacionados por una permutación cíclica o anticíclica. Np es el número de\npermutaciones inequivalentes de las patas externas y es igual a Np =\n(N−1)!\ny cada término sólo tiene singularidades de polos simples en los canales planos. Cada uno\ncanal plano se describe por dos índices (i, j), lo que significa que incluye el\npiernas i, i+ 1, i+ 2... j − 1, j, por la variable Mandelstam\nsij = −(pi + pi+1 +.. + pj)2 (12)\ny por una variable adicional uij cuyo papel será claro pronto. Lo es.\nclaro que los canales (ij) y (j + 1, i− 1) 6 son idénticos y deben\nser contados sólo una vez. En el caso de N partículas escalares idénticas, el número\nde canales planos es igual a\nN(N−3)\n. Esto puede obtenerse de la siguiente manera. Los\nLos diagramas planos independientes que involucran la partícula 1 son del tipo (1, i)\ndonde i = 2...N − 2. Su número es N − 3. Este es también el número de\ndiagramas planos que involucran la partícula 2 y no la 1. Número de aviones\ndiagramas que implican la partícula 3 y no las partículas 1 y 2 es igual a\nN − 4. En general, el número de diagramas planos que implican la partícula i y\nno los anteriores de 1 a i-1 es igual a N − 1− i. Esto significa que la\nel número total de diagramas planos es igual a:\n2 (N − 3) +\n(N − 1− i) = 2 (N − 3) +\n= 2 (N − 3) +\n(N − 4) (N − 3)\nN(N−3)\nSi uno escribe el diagrama de dualidad correspondiente a un planar determinado\norden de las partículas externas, es fácil ver que el diagrama puede tener\nsingularidades de polo simultáneas sólo en N − 3 canales. Los canales que\npermitir singularidades de polo simultáneas se llaman canales compatibles, el otro\n6 Este canal incluye las partículas (j + 1,...., N, 1,... i− 1).\n8 Paolo Di Vecchia\nse llaman incompatibles. Dos canales (i,j) y (h,k) son incompatibles si\nse satisfacen las siguientes desigualdades:\ni ≤ h ≤ j; j + 1 ≤ k ≤ i− 1 (14)\nEl objetivo es construir la amplitud de dispersión para cada inequivalente por\nmutación de las piernas externas que sólo tiene singularidades de polo en el\nN(N−3)\nCanales planos. También tenemos que imponer que la amplitud tiene simultáneamente\npolos solamente en N − 3 canales compatibles. Con el fin de obtener la intuición sobre cómo\nprocederemos a reescribir la amplitud de cuatro puntos en Eq. 2) De la siguiente manera:\nA(s, t) =\ndu23 u\n•(s12)−1\n•(s23)−1\n23 (u12 + u23 − 1) (15)\ndonde u12 y u23 son las variables correspondientes a los dos planos\nnels (12) y (23) y la cancelación de polos simultáneos en\nlos canales son provistos por la función de ♥ que prohíbe u12 y u23 a desaparecer\nSimultáneamente.\nAhora extenderemos este procedimiento a la amplitud de los puntos N. Pero para el\nEn aras de la claridad, comencemos con el caso de N = 5 [14]. En este caso tenemos 5\ncanales planos descritos por u12, u13, u23, u24 y u34. Ya que sólo tenemos dos\ncanales compatibles sólo dos de las cinco variables anteriores son independientes.\nPodemos elegir que sean u12 y u13. Con el fin de determinar el depen-\ndence de las otras tres variables sobre las dos independientes, excluimos\npolos simultáneos en canales incompatibles. Esto se puede hacer mediante la imposición de\nrelaciones que impiden variables correspondientes a canales incompatibles con\nDesaparece simultáneamente. Una condición suficiente para excluir los polos simultáneos\nen canales incompatibles se impondrán las condiciones siguientes:\nuP = 1−\nuP̄ (16)\ndonde el producto está sobre las variables P̄ correspondientes a los canales que\nson incompatibles con P. En el caso de la amplitud de cinco puntos obtenemos el\nlas siguientes relaciones:\nu23 = 1− u34u12 ; u24 = 1− u13u12\nu13 = 1− u34u24 ; u34 = 1− u23u13 ; u12 = 1− u24u23 (17)\nResolviéndolos en términos de los dos independientes que obtenemos:\nu23 =\n1− u12\n1− u12u13\n; u34 =\n1− u13\n1− u12u13\n; u24 = 1− u12u13 (18)\nEn analogía con lo que hemos hecho por la amplitud de cuatro puntos en Eq. (15)\nescribimos la amplitud de cinco puntos como sigue:\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 9\ndu34u\n•(s12)−1\n•(s13)−1\n×u®(s24)−124 u\n•(s23)−1\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n*(u23 + u12u34 − 1)*(u24 + u12u13 − 1)*(u34 + u13u23 − 1) (19)\nRealizando la integral sobre las variables u23, u24 y u34 obtenemos:\ndu13u\n•(s12)−1\n•(s13)−1\n× (1− u12)+(s23)−1(1− u13)+(s13)−1(1− u12u13)+(s24)(s23)(s34)(20)\nHemos asumido implícitamente que la trayectoria de Regge es la misma en todos los chan-\nnels y que las partículas escalares externas tengan la misma masa común m\ny son los estados de mentira más bajos en la trayectoria de Regge. Esto significa que su\nmasa viene dada por:\nα0 − •p2i = 0 ; p2i •m2 (21)\nUsando entonces la relación:\nα(s23) + α(s34)− α(s24) = 2+p2 · p4 (22)\nPodemos reescribir Eq. (20) según se indica:\n•(s2)−1\n•(s3)−1\n3 (1− u2)+(s23)−1×\n× (1 − u3)+(s34)−1\n(1− xij)2α\n′pi·pj (23)\ndonde\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • .. uj−1. (24)\nAhora estamos listos para construir la función de punto N [13]. En analogía con\nlo que se ha hecho para las amplitudes de cuatro y cinco puntos podemos escribir el\nAmplitud de los puntos N, según se indica:\n...\n•(sP)−1\n(uQ − 1 +\nuQ̄) (25)\n10 Paolo Di Vecchia\ndonde el primer producto ha terminado el\nN(N−3)\nvariables correspondientes a todos\ncanales planos, mientras que el segundo está sobre el\n(N−3)(N−2)\nindependiente\nFunciones. El producto en la función de se define en Eq. (16).\nLa solución de todas las relaciones lineales no independientes impuestas por el\nLas funciones son dadas por\nuij =\n(1 − xij)(1− xi−1,j+1)\n(1− xi−1,j)(1− xi,j+1)\ndonde las variables xij se dan en Eq. (24). Eliminación de la función de\nEq. (25) se obtiene:\n• (si)−1\ni (1 − ui)\n• (si,i+1)−1\nj=i+2\n(1- xij)ij(27)\ndonde\nγij = α(sij) + α(si+1;j−1)− α(si;j−1)− α(si+1;j) ; j ≥ i+ 2 (28)\nEs fácil ver que\nα(si,i+1) = +0 − 2+pi · pi+1 ; γij = −2+pi · pj ; j ≥ i+ 2 (29)\nInsertándolos en Eq. (27) Obtenemos:\n• (si)−1\ni (1− ui)\nj=i+1\n(1− xij)2α\n′pi·pj (30)\nEsta es la forma de la amplitud de punto N que fue construida originalmente.\nEntonces Koba y Nielsen [15] lo pusieron en la forma que es más conocida hoy en día.\nLo construyeron usando las siguientes reglas. Asoció una variable real\nZi a cada pierna i. Luego se asociaron a cada canal (i, j) una anarmónica\nrelación construida a partir de las variables zi, zi−1, zj, zj+1 de la siguiente manera\n(zi, zi+1, zj, zj+1)\n•(sij)−1 =\n(zi − zj) (zi − 1 − zj+1)\n(zi−1 − zj)(zi − zj+1)\n*(sij)−1\ny finalmente dieron la siguiente expresión para la amplitud de N -point:\ndV (z)\ni, j)\n(zi, zi+1, zj, zj+1)\n•(sij)−1 (32)\ndonde\ndV (z) =\n1 (zi − zi+1)dzi)\ni=1(zi − zi+2)dVabc\n; dVabc =\ndzadzbdzc\n(zb − za) (zc − zb) (za − zc)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 11\ny las variables zi se integran a lo largo del eje real en un orden cíclico\nforma: z1 ≥ z2. . ≥ zN con a, b, c elegido arbitrariamente.\nEl integrand de la amplitud de N -point es invariante bajo proyectiva\ntransformaciones que actúan sobre las variables de la pierna zi:\nαzi + β\nγzi + \n; i = 1... N ; − • = 1 (34)\nEsto se debe a que tanto la relación anarmónica en Eq. (31) y la medida dVabc\nson invariantes bajo una transformación proyectiva. Desde un proyector transfor-\nmiento depende de tres parámetros reales, a continuación, el integrand de la N -punto\nLa amplitud depende sólo de N − 3 variables zi. Con el fin de evitar infinitos, uno\ntiene entonces que dividir el volumen de integración con el factor dVabc que es también\ninvariante bajo las transformaciones proyectivas. El hecho de que el integrand\nsólo depende de N − 3 variables está de acuerdo con el hecho de que N − 3 es\ntambién el número máximo de polos simultáneos permitidos en la amplitud.\nEs conveniente escribir la amplitud de N - punto en una forma que implica la\nproducto escalar del momento externo en lugar de las trayectorias de Regge.\nDistinguimos tres tipos de canales. La primera es cuando las partículas\ni y j del canal (i, j) están separados por al menos dos partículas. En este\nlos canales que contribuyen al exponente del factor (zi − zj) son\nlos canales (i, j) con exponente igual a •(sij) − 1, (i + 1, j − 1) con\nexponente (si+1,j−1)− 1, (i+1,j) con exponente α(si+1,j)+1 y (i, j− 1)\ncon exponente α(si,j−1) + 1. Añadiendo estas cuatro contribuciones uno consigue para el\ncanales donde i y j están separados por al menos dos partículas\n− α(sij)− α(si+1,j−1) + α(si+1,j) + α(si,j−1) = 2pi · pj (35)\nEl segundo viene de los canales que están separados por sólo uno\npartícula. En este caso, sólo tres de los cuatro canales anteriores contribuyen. Por\ninstancia si j = i+2 el canal (i+1, j− 1) consiste en una sola partícula y\nPor lo tanto, no debe incluirse. Esto significa que tendríamos:\n− α(si;i+2)− 1 + α(s1+1;i+2) + 1 + α(si;i+1 + 1) = 1 + 2+pi · pi+2 (36)\nPor último, el tercero que viene de los canales cuyas partículas son adja-\ncent, sólo recibe la contribución de:\n− α(si;i+1)− 1 = α0 − 1 + 2+pi · pi+1 (37)\nPoner todos estos tres términos juntos en Eq. (32) y recordando el factor\nen el denominador en la primera ecuación de (33) obtenemos:\n1 dzio (zi − zi+1)\ndVabc\n(zi − zi+1)α0−1\n(zi − zj)2α\n′pi·pj(38)\nUna opción conveniente para que las tres variables se mantengan fijas es:\n12 Paolo Di Vecchia\nzc = zN = 0 (39); zb = z2 = 1; zc = zN = 0 (39)\nCon esta opción la ecuación anterior se convierte en:\n(zi − zi+1)\n(zi − zi+1)α0−1×\nj=i+1\n(zi − zj)2α\n′pi·pj (40)\nAhora queremos mostrar que esta amplitud es idéntica a la dada en Eq.\n(30). Esto se puede hacer realizando el siguiente cambio de variables:\n; i = 2, 3...N − 2 (41)\nlo que implica\nzi = u2u3. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\nTeniendo en cuenta que el jacobino es igual a:\nuN−2−ii (43)\nutilizando las dos relaciones siguientes:\n(zi − zi+1)α0−1 =\n(N−1−i)α0−1\n(1− ui)α0−1 (44)\nj=i+1\n(zj − zi)2α\n′pi·pj =\nj=i+1\n(1− xij)2α\n′pi·pj\n• (si)− (N−i−1)α0\ni (45)\ny la conservación del impulso\npi = 0 (46)\njunto con Eq. (21), se puede ver fácilmente que Eq.s (30) y (40) son iguales.\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 13\nLa amplitud N -punto que hemos construido en esta sección corre-\nsponds a la dispersión de N partículas sin spinless sin grados internos de\nlibertad. Por otro lado, se sabía que los mesones eran clasificados\nsegún los múltiplos de una simetría del sabor SU(3). Esto se puso en práctica.\npor Chan y Patón [16] multiplicando la amplitud del punto N con un factor,\nllamado factor Chan-Paton, administrado por\nTr(a1a2..................................................................................................................................................... 47)..................................................................................................................................................\ndonde las matrices de los grupos unitarios en los representa-\ntion. Incluyendo los factores Chan-Paton se da la amplitud de dispersión total\nTr(a1a2..................................................................................................................................................... BN (p1, p2,. . pN ) (48)\ndonde la suma se extiende a la (N − 1)! permutaciones de las patas externas,\nque no están relacionados por una permutación cíclica. Originalmente cuando la resolución dual-\nmodelo nance se suponía que describiría fuertemente interactuando mesones, este factor\nse introdujo para representar su sabor grados de libertad. Hoy en día el\nla interpretación es diferente y el factor Chan-Paton representa el color\ngrados de libertad de los bosones de calibre y las otras partículas masivas de la\nespectro.\nLa amplitud N -punto BN que hemos construido en esta sección con-\nsólo tiene singularidades de polo simples en todos los canales planos posibles. Ellos cor-\nresponder a resonancias de ancho cero situadas a valores enteros no negativos n de\nla trayectoria de Regge α(M2) = n. El estado más bajo situado en α(m2) = 0 cor-\nresponde a las partículas en las patas externas de BN. El espectro de excitación\nlas partículas se pueden obtener factorizando la amplitud de N - punto en la mayoría\ncanal general con cualquier número de partículas. Esto se hizo en Ref.s [17] y\n[18] encontrar un espectro de estados que suben exponencialmente con la masa M.\nel modelo relativista invariante se encontró que muchos estados obtenidos por\nfactorizando la amplitud del punto N eran “fantasmas”, es decir, estados con\nnorma como se encuentra en QED cuando se cuantifica el campo electromagnético en un\ncalibrador covariante. La coherencia del modelo requiere la existencia de rela-\nciones satisfechas por las amplitudes de dispersión que son similares a las obtenidas\na través de la invarianza del calibrador en QED. Si el modelo es consistente deben decou-\nla norma negativa nos deja con un espectro físico de positivo\nlos estados de la norma. Con el fin de estudiar de una manera sencilla estos temas, discutimos en el\nsiguiente sección el formalismo del operador introducido ya en 1969 [19, 20, 21].\nAntes de concluir esta sección volvamos a los cuatro puntos no planos\namplitud en Eq. (5) y discutir su generalización a una amplitud de punto N.\nUtilizando la técnica del análogo electrostático en la esfera en lugar de en\nel disco Shapiro [22] fue capaz de obtener una amplitud de punto N que reduce\na la amplitud de cuatro puntos en Eq. (5) con intercepción α0 = 2. El punto N\nAmplitud encontrada en Ref. [22] es:\n14 Paolo Di Vecchia\ni=1 d\ndVabc\nzi − zj \n′pi·pj (49)\ndonde\ndVabc =\nd2zad\nza − zb2za − zc2zb − zc2\nLa integral en Eq. (49) se realiza en todo el plano complejo.\n3 Formalismo y factorización del operador\nLas propiedades de factorización del modelo de resonancia dual fueron estudiadas por primera vez por\nfactorizando por fuerza bruta la amplitud del punto N en los diversos polos [17, 18].\nEl número de términos que factorizan el residuo del polo en α(s) = n,\naumenta rápidamente con el valor de n. Con el fin de encontrar su degeneración se volvió\npara ser conveniente reescribir primero la amplitud del punto N en un operador\nformalismo. En esta sección introducimos el formalismo del operador y reescribimos\nla amplitud N-punto derivada en la sección anterior en este formalismo.\nLa idea clave [19, 20, 21] es introducir un conjunto infinito de oscil armónico\nLators y operadores de posición e impulso 7 que satisfacen los siguientes requisitos:\nrelaciones de conmutación:\n[anμ, a\nm/ ] = nm ; [q, p ] = i (51)\ndonde es la métrica plana de Minkowski que tomamos para ser = (−1, 1,... 1).\nUn estado con impulso p se construye en términos de un estado con cero mo-\nmentum de la manera siguiente:\n< < p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p = p > p > p = p > p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = 0 = 0 = 0 (52)\nnormalizado como 8\npp = (2η)dŁ(d)(p+ p′) (53)\nCon el fin de evitar menos signos utilizamos la convención que\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nUna base completa y ortonormal de vectores en el espacio del oscilador armónico\nes dada por\n1, 2,. • i; p =\n(an;n)\nn;μn\n¡N, μn!\neipq0, 0ó (55)\n7 En realidad, la posición y los operadores de impulso se introdujeron en Ref. [23].\n8 Aunque ahora usamos un arbitrario d queremos recordarte que todo original\nlos cálculos se hicieron para d = 4.\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 15\ndonde el primer 0 corresponde al aniquilado por toda aniquilación op-\ny el segundo al estado de cero impulso:\naμn;n0, 0° = p0, 0° = 0 (56)\nNótese que la invarianza de Lorentz obliga a introducir también osciladores que crean\nestados con norma negativa debido al signo menos en la métrica plana de Minkowski.\nEsto implica que el espacio extendido por los estados en Eq. (55) no es positivo\nDefinido. Esto, sin embargo, no está permitido en una teoría cuántica y por lo tanto si\nel modelo de resonancia dual es una teoría cuántica-relavista consistente que esperamos\nla presencia de relaciones del tipo de las proporcionadas por la invarianza del calibrador en\nPresentemos al operador de Fubini-Veneziano [23]:\nQμ(z) = Q\nμ (z) +Q\nμ (z) +Q\nμ (z) (57)\ndonde\nQ(+) = i\nz−n ; Q(−) = −i\nQ(0) = qá − 2iÃ3pá r log z (58)\nEn términos de Q introducimos el operador de vértice correspondiente a la externa\npata con impulso p:\nV (z; p) =: eip·Q(z)\n(−)(z)eipq®e+2α\n′pp log zeip·Q\n(+)z) (59)\ny calcular el siguiente valor de expectativa de vacío:\n0, 0\nV (zi, pi)0, 0 (60)\nSe puede calcular fácilmente utilizando la relación Baker-Haussdorf\neAeB = eBeAe[A,B] (61)\nque es válido si el conmutador, como en nuestro caso, [A,B] es un número c. En nuestro\nen caso de que las relaciones de conmutación que deban utilizarse sean:\n[Q(+)(z), Q(−)(w)] = −2\ny el segundo en Eq. (51). Usandolos uno consigue:\nV (z; p)V (w; k) =: V (z; p)V (w; k) : (z − w)2α\n′p·k (63)\n16 Paolo Di Vecchia\n0, 0\nV (zi, pi)\n(zi − zj)2α\n′pi·pj (2\npi) (64)\ncuando el pedido normal requiera que todos los operadores de creación se pongan en la\nizquierda de la aniquilación uno y el operador de impulso pÃ3 ser puesto a la derecha\ndel operador de posición q». Esto significa que\n(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d) (d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)()(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)()()()()()()()()()()()(d)(d)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()\npi)BN =\n1 dzio (zi − zi+1)\ndVabc\n(zi − zi+1)α0−1\n× 0, 0\nV (zi, pi)0, 0 (65)\nAl elegir las tres variables za, zb y zc como en Eq. (39) podemos reescribir el\necuación anterior como sigue:\n(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d) (d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)()(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)()()()()()()()()()()()(d)(d)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()\npi)BN =\n(zi − zi+1)×\n(zi − zi+1)α0−1\n0, p1\nV (zi; pi)0, pN (66)\ndonde hemos tomado z2 = 1 y hemos definido (α0 • p2i ; i = 1...N) :\nV (zN ; pN )0, 0oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo\nz2α01 V (z1; p1) = 0, p1 (67)\nAntes de proceder a factorizar la amplitud N -punto vamos a estudiar la prop-\nEn el marco del grupo proyectivo de los operadores que hemos introducido.\nYa hemos visto que el grupo proyectivo deja el integrand de la\nKoba-Nielsen representación de la amplitud de N -punto invariante. El projec-\nEl grupo tivo tiene tres generadores L0, L1 y L−1, respectivamente.\ndilataciones, inversiones y traducciones. Suponiendo que el Fubini-Veneziano\ncampos Q(z) se transforma como un campo con peso 0 (como escalar) podemos\nately escribir las relaciones de conmutación que Q(z) debe satisfacer. Esto significa en\nhecho de que, bajo una transformación proyectiva, Q(z) se transforma como sigue:\nQ(z) → QT (z) = Q\nαz + β\nγz + \n; − • = 1 (68)\nExpandiendo para valores pequeños de los parámetros que obtenemos:\nQT (z) = Q(z) + (+1 + 2z + 3z\ndQ(z)\n+ o(+2) (69)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 17\nEsto significa que los tres generadores del grupo proyectivo deben satisfacer\ndespués de las relaciones de conmutación con Q(z):\n[L0, Q(z)] = z\n; [L−1, Q(z)] =\n; [L1, Q(z)] = z\nSon dadas por las siguientes expresiones en términos de la oscila armónica-\ntors:\nL0 = α\n′p®2 +\nna†n · an ; L1 =\n2+p · a1 +\nn(n+ 1)an+1 · a†n (71)\nL−1 = L\n2+p· · a†1 +\nn(n+ 1)a\nn+1 · an (72)\nAniquilan el vacío.\nL0, 0 = L1 = 0, 0 = L−1 = 0, 0 = 0 (73)\nque por lo tanto se llama el vacío invariante proyectiva, y satisfacer el álgebra\nque se llama álgebra de Gliozzi [24]:\n[L0, L1] = −L1 ; [L0, L−1] = L−1 ; [L1, L−1] = 2L0 (74)\nEl operador de vértice con impulso p es un campo proyectivo con peso igual\na α0 = α\n′p2. De hecho, se transforma como sigue en el grupo proyectivo:\n[Ln, V (z, p)] = z\nn+1 dV (z, p)\n+ α0(n+ 1)z\nnV (z, p) ; n = 0,±1 (75)\no en forma finita como sigue:\nUV (z, p)U−1 =\n(γz + )2α0\nαz + β\nγz + \ndonde U es el generador de una transformación proyectiva finita arbitraria.\nDesde U deja el vacío invariante, mediante el uso de Eq. (76) es fácil de mostrar\nque:\n0, 0\nV (z′i, p)0, 0 =\n(γzi + )\n2α0-0, 0\nV (zi, p)0, 0 (77)\nque junto con la siguiente ecuación:\n(z′i − z′i+1)α0−1 =\n(zi − zi+1)α0−1\n(γzi + )\n−2α0(78)\n9 Véase también Ref. [25].\n18 Paolo Di Vecchia\nimplica que la integridad de la amplitud de punto N en Eq. (65) es invariante\nbajo transformaciones proyectivas.\nAhora estamos listos para factorizar la amplitud de N -punto y encontrar la especificación-\nTrum de mesons.\nDe los Eq.s (75) y (76) es fácil derivar la transformación de la\noperador de vértice bajo una dilatación finita:\nzL0V (1, p)z−L0 = V (z, p)zα0 (79)\nCambiar las variables de integración de la siguiente manera:\n; i = 2, 3...N − 2 ; det\n= z3z4. zN−2 (80)\ndonde el último término es el jacobio de la trasformación de zi a xi, obtenemos\nde Eq.(66) la expresión siguiente:\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\ndonde el propagador D es igual a:\ndxxL0−1+0(1− x)α0−1 = • (L0 − α0) • (α0)\n(L0)\nAN = (2η)\nd-(d)\nBN (83)\nLas propiedades de factorización de la amplitud se pueden estudiar insertando en\nel canal (1,M) o equivalente en el canal (M +1, N) descrito por el\nVariable Mandelstam\ns = −(p1 + p2 +. .. pM )2 = −(pM+1 + pM+2... + pN )2 • −P 2 (84)\nel conjunto completo de estados dados en Eq. (55):\nP(1,M), P, P D, P, P p(M+1,N) (85)\ndonde\nP(1,M) = 0, p1V (1, p2)DV (1, p3). V (1, pM ) (86)\np(M+1,N) = V (1, pM+1)D... V (1, pN−1)pN, 0 (87)\nIntroducción de la cantidad:\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 19\nna†n · an (88)\nes posible reescribir\n, P D, P =\n, P \n(−1)m\nα0 − 1\nR+m− α(s)\n, P (89)\ndonde s es la variable definida en Eq. (84). Usando esta ecuación podemos reescribir\nEq. (85) del siguiente modo:\nP(1,M), P ®\n, P \n(−1)m\nα0 − 1\nR+m− α(s)\n, P, P p(M+1,N)(90)\nEsta expresión muestra que la amplitud AN tiene un polo en el canal (1,M)\ncuando α(s) es igual a un entero n ≥ 0 y los estados que contribuyen a\nsus residuos son los que satisfacen la relación:\nR = (n−m) ; m = 0, 1.. n (91)\nEl número de estados independientes contribuir al residuo da el\ndegeneración de los estados para cada nivel n.\nDebido a la manifiesta invarianza relativista, el espacio se extiende por la com-\nsistema pleto de estados en Eq. (55) contiene estados con una norma negativa corre-\nsponding a esos estados que tienen un número impar de osciladores con tiempo similar\ninstrucciones (véase Eq. (51)). Esto no es consistente en una teoría cuántica donde\nlos estados de un sistema deben abarcar un espacio definitivo de Hilbert positivo. Esto significa\nque debe existir una serie de relaciones satisfechas por los Estados externos que\ndesacoplar un número de estados dejando con un espacio positivo definido Hilbert. In\npara encontrar estas relaciones reescribimos el estado en Eq. (87) volver a la\nVariables de Koba-Nielsen:\np(1,M) =\n(zi − zi+1)]\n(zi − zi+1)α0−1×\n× V (1, p1)V (z2, p2). ... V (zM−1, pM−1).......................................................................................................................................................................................................................................................\nConsideremos el operador U(α) que genera la transformación proyectiva\nque deja los puntos z = 0, 1 invariante:\n1− α(z − 1) = z + α(z)\n2 − z) + o(α2) (93)\nDe las propiedades de transformación de los operadores de vértice en Eq. (76)\nes fácil ver que la transformación anterior deja el estado en Eq. (92)\ninvariante:\n20 Paolo Di Vecchia\nU(α)p(1,M) = p(1,M) (94)\nEsto significa que el generador de la transformación previa aniquila el\nestado en Eq. (92):\nW1p(1,M) = 0; W1 = L1 − L0 (95)\nLa forma explícita de W1 se deriva de la forma infinitesimal de la transformación-\nciones en Eq. (93). Esta condición que es del mismo tipo de relaciones que\nsobre las amplitudes de caparazón con la emisión de fotones satisfacen como consecuencia de\nla invarianza del calibre, implica que el residuo en el polo en Eq. (90) puede ser fac-\nTorizado con un número menor de estados. Sin embargo, resulta que un\nEl análisis del espectro muestra que los estados de norma negativos todavía están presentes.\nEsto se puede entender cualitativamente de la siguiente manera. Debido a la métrica de Lorentz\ntenemos un componente de norma negativo para cada oscilador. Para poder\npara desacoplar todos los estados de la norma negativa necesitamos tener una condición de calibre de\nel tipo como en Eq. (95) para cada oscilador. Pero el número de osciladores es\ninfinito y, por lo tanto, necesitamos un número infinito de condiciones del tipo\ncomo en Eq. (95). Fue encontrado en Ref. [6] que, si tomamos α0 = 1, entonces uno puede\nconstruir fácilmente un número infinito de operadores que salen del estado en Eq.\n(92) invariante. En la siguiente sección nos concentraremos en este caso.\n4 El caso α0 = 1\nSi tomamos α0 = 1 muchas de las fórmulas dadas en la sección anterior simplificar.\nLa amplitud del punto N en Eq. 38) pasa a ser:\n1 dzio (zi − zi+1)\ndVabc\n(zi − zj)2α\n′pi·pj (96)\nque pueden ser reescritos en el formalismo del operador como sigue:\n(2l)4l(\npi)BN =\n1 dzio (zi − zi+1)\ndVabc\n0, 0\nV (zi, pi)\nAl elegir z1 = فارسى, z2 = 1 y zN = 0 se convierte en\n(2l)4l(\npi)BN =\n(zi − zi+1)0, p1\nV (zi; pi)0, pN (98)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 21\ndonde\nV (zN; pN ) 0, 0 0; pN ; 0; 0 lim\nz21V (z1; p1) = 0, p1 (99)\nEq. (81) es como antes, pero ahora el propagador se convierte en:\ndxxL0−2 =\nL0 − 1\n(100)\nEsto significa que Eq. (89) pasa a ser:\n, P D, P =, P 1\nL0 − 1\n, P (101)\ny Eq. (90) tiene la forma más sencilla:\nP(1,M), P, P \nR − α(s)\n, P, P p(M+1,N)® (102)\nBN tiene un polo en el canal (1,M) cuando α(s) es igual a un entero n ≥ 0 y\nlos estados que contribuyen a su residuo son los que satisfacen la relación:\nR = n (103)\nSu número da la degeneración de los estados que contribuyen al polo en\nα(s) = n. La amplitud de N -point se puede escribir como:\nBN = P(1,M)Dp(M+1,N)® (104)\ndonde\np(1,M) =\n∫ M−1\n[dzil(zi − zi+1)]×\n× V (1, p1)V (z2, p2). .. V (zM−1, pM−10, pM • (105)\nUsando Eq. (79) y variables cambiantes de zi, i = 2... M−1 a xi = zi+1zi, i =\n1...M − 2 con z1 = 1 podemos reescribir la ecuación anterior de la siguiente manera:\np(1,M) = V (1, p1)DV (1, p2)..DV (1, pM−1)0, pM (106)\ndonde el propagador D se define en Eq. (100).\nAhora queremos demostrar que el estado en Eq.s (105) y (106) no es sólo\naniquilado por el operador en Eq. (95), pero, si α0 = 1 [6], por un conjunto infinito\nde los operadores cuyo más bajo es el de Eq. (95). Vamos a derivar esto por\nutilizando el formalismo desarrollado en Ref. [26] y seguiremos de cerca sus\nderivación.\nA partir de Eq.s (70) Fubini y Veneziano se dieron cuenta de que los generadores\ndel grupo proyectivo que actúa en función de z están dadas por:\n22 Paolo Di Vecchia\nL0 = −z\n; L−1 = −\n; L1 = −z2\n(107)\nGeneralizaron los generadores anteriores a un transfor conformal arbitrario.\n• la introducción de los siguientes operadores, llamados operadores de Virasoro:\nLn = −zn+1\n(108)\nque satisfagan el álgebra:\n[Ln, Lm] = (n-m)Ln+m (109)\nque no contiene el término con la carga central! También mostraron que\nlos operadores de Virasoro satisfacen las siguientes relaciones de conmutación con el\noperador de vértice:\n[Ln, V (z, p)] =\nzn+1V (z, p)\n(110)\nMás en general, en realidad definen un operador Lf que corresponde a un\nfunción arbitraria f(+) y Lf = Ln si elegimos f(+) =\nn. En este caso la\nrelación de conmutación en Eq. (110) se convierte en:\n[Lf, V (z, p)] =\n(zf(z)V (z, p)) (111)\nAl introducir la variable:\n* f.............................................................................................................................................................................................................................................................. \n(112)\ndonde A es una constante arbitraria, se puede reescribir Eq. (111) en lo siguiente:\nforma:\n[Lf, zf(z)V (z, p)] =\n(zf(z)V (z, p)) (113)\nEsto implica que, bajo una transformación conformal arbitraria z → f(z),\ngenerado por U = eαLf, el operador de vértice se transforma como:\neαLfV (z, p) zf(z) eLf = V (z′, p)z′f(z′) (114)\ndonde el parámetro α es dado por:\n* f.............................................................................................................................................................................................................................................................. \n(115)\nPor otro lado, esta ecuación implica:\nzf(z)\nz′f(z′)\n(116)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 23\nque, insertado en Eq. (114), implica que la cantidad V (z, p) dz se deja invariante\npor la transformación z → f(z):\neαLfV (z, p)dze®Lf = V (z′, p)dz′ (117)\nActuamos ahora con la anterior transformación conformal sobre el estado en\nEq. (105). Tenemos:\neαLf p(1,M) =\neαLfV (1, p1)eαLf×\n×eαLfV (z2, p2)e•Lf..... eαLfV (zM−1, pM−1)e•Lf eαLf 0, pM =\n*(zi − zi+1)× eαLfV (1, p1)e*Lf×\n× V (z′2, p2)dz′2. .. V (z′M−1, pM−1)dz′M−1eαLf 0, pM (118)\ndonde hemos usado Eq. (117). La transformación anterior deja el estado\ninvariante si z = 0 y z = 1 son puntos fijos de la transfor-\nMation. Esto sucede si el denominador en Eq. (115) desaparece cuando = 0, 1.\nEsto requiere las siguientes condiciones:\nf(1) = 0 ; lim\n(+) = 0 (119)\nExpandiendo cerca del poinr = 1 podemos determinar la relación entre z\ny z′ cerca de z = z′ = 1. Tenemos:\nzeóf\n1− z + zeáf ′(1)\n(120)\ny a partir de ella podemos determinar el factor de conformación:\n(1 − z + zeáf ′(1))2\n→ eαf\n′(1) (121)\nen el límite z → 1. Procediendo en la misma cerca del punto z = z′ = 0 obtenemos:\nzf(0)eαf(0)\nf(0) + zf ′(0)(1− eαf(0)\n→ zeαf(0) (122)\nen el límite z → 0. Esto significa que Eq. (118) se convierte en\neα(Lf−f\n′(1)−f(0))p(1,M)® = p(1,M)® (123)\nUna elección de f que satisface Eq.s (119) es la siguiente:\n24 Paolo Di Vecchia\nf() = n − 1 (124)\nque proporciona el siguiente operador de gálibo:\nWn = Ln − L0 − (n− 1) (125)\nque aniquila el estado en Eq. (105):\nWnp1...M = 0 ; n = 1.... (126)\nEstas son las condiciones de Virasoro que se encuentran en Ref. [6]. Hay una condición para\ncada oscilador de norma negativa y, por lo tanto, en este caso existe la posibilidad\nque el subespacio físico es positivo definido. Una alternativa más directa\nderivación de Eq. (126) se puede obtener actuando con Wn en el estado en Eq.\n(106) y utilizando las siguientes identidades:\nWnV (1, p) = V (1, p)(Wn + n) ; (Wn + n)D = [L0 + n− 1]−1Wn (127)\nLa segunda ecuación es una consecuencia de la siguiente ecuación:\nL0 = xL0+nLn (128)\nEq.s (127) implican\nWnV (1, p)D = V (1, p)[L0 + n− 1]−1Wn (129)\nEsto muestra que el operador Wn no cambia a través de todo el producto\nde los términos V D hasta que llega delante del término V (1, pM−1)0, pM. Me voy.\na través del operador de vértice se convierte en Ln − L0 + 1 que luego aniquila el\nestado\n(Ln − L0 + 1)pM, 0â = 0 (130)\nEsto prueba Eq. (126).\nUtilizando la representación de los operadores de Virasoro dada en Eq. (108) Fu-\nbini y Veneziano mostraron que satisfacen el álgebra dada en eq. (109)\nsin la carga central. Se reconoció la presencia de la carga central\npor Joe Weis10 en 1970 y nunca publicado. A diferencia de Fubini y Veneziano [26]\nUtilizó la expresión de los operadores Ln en términos de los osciladores armónicos:\n2 + np · an +\nm(n+m)an+m · am+\nm(n−m)am−n · am;n ≥ 0 Ln = L†n (131)\n10 Véase añadido como prueba en Ref. [26].\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 25\nObtuvo el siguiente álgebra:\n[Ln, Lm] = (n-m)Ln+m +\nn(n2 − 1)•n+m;0 (132)\ndonde d es la dimensión del espacio-tiempo de Minkowski. Escribimos aquí d para el\ndimensión del espacio de Minkowski, pero queremos recordarles que casi\nTodo el mundo trabajando en un modelo para mesons en ese momento dio por sentado que\nla dimensión del espacio-tiempo fue d = 4. Por lo que recuerdo, la primera\npapel donde se introdujo una dimensión d 6= 4 fue Ref. [27] donde estaba\nmuestra que la unidad violando cortes en el bucle no-planar se convierten en polos\nque fueran consistentes con la unitariedad si d = 26.\nEn la última parte de esta sección generalizaremos el procedimiento de factorización\nal modelo Shapiro-Virasoro cuya amplitud de punto N se da en Eq. (49).\nEn este caso debemos introducir dos conjuntos de osciladores armónicos que se desplazan\ncon el otro y sólo un conjunto de modos cero que satisfagan el álgebra [28]:\n[anμ, a\nmν ] = [ãnμ, ã\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nEn términos de ellos podemos presentar el operador Fubini-Veneziano\nQ(z, z̄) = qâ − 2â € € log(zz̄) + i\n− n − a†nzn\nãnz̄\n− n − nz̄n\n(134)\nA continuación, podemos introducir el operador de vértice:\nV (z, z̄; p) =: eip·Q(z,z̄) : (135)\ny escribir la amplitud de N -punto en Eq. (95) en la siguiente forma factorizada:\ni=1 d\ndVabc\nV (zi, z̄i, pi))\n0 =\n= (2l)4l(4)(\ni=1 d\ndVabc\nzi − zj\n′pi·pj (136)\ndonde el producto ordenado radial es dado por\nV (zi, z̄i, pi))\nV (zi, z̄i, pi))\n(zi − zi+1) +. (137)\n26 Paolo Di Vecchia\ny los puntos indican una suma sobre todas las permutaciones de los operadores de vértice.\nFijando z1 = فارسى, z2 = 1, zN = 0 podemos reescribir la expresión anterior\nde la siguiente manera:\n∫ N−1\nd2zi+0, p1R\nV (zi, z̄i, pi))\n0, pN® (138)\nPor el bien de la simplicidad consideremos el término correspondiente a la per-\nmutación 1, 2,... N. En este caso las variables Koba-Nielsen se ordenan en\ntal manera que zi ≥ zi+1 para i = 1,...N −1. Entonces podemos usar la fórmula:\nV (zi, z̄i, pi) = z\nL01\ni V (1, 1, pi)z\ni (139)\ny variables de cambio:\n; wi ≤ 1 (140)\npara reescribir Eq. (138) según se indica:\n0, p1V (1, 1, pi1)DV (1, 1, p2)D.... V (1, 1, pN−1)0, pN (141)\ndonde\nwL0−1w̄Lœ0−1 =\nL0 + Lœ0 − 2\n· sinl(L0 − L0)\nL0 − Lœ0\n(142)\nAhora podemos seguir el mismo procedimiento para todas las permutaciones que llegan a la\nexpresión siguiente:\n•0, p1P [V (1, 1, p2)DV (1, 1, p3)D.... V (1, 1, pN−1)]0, pN® (143)\ndonde P significa una suma de todas las permutaciones de las partículas.\nSi queremos considerar la factorización de la amplitud en el polo en\ns = −(p1 +. .. pM )2 sólo obtenemos la siguiente contribución:\nP(1...M)Dp(M+1...N) (144)\ndonde\np(M+1...N) = P [V (1, 1, pM+1)D.... V (1, 1, pN−1]0, pN (145)\n[V (1, 1, p2)D.... V (1, 1, pM)] (146]\nLa amplitud se factoriza mediante la introducción de un conjunto completo de estados y\ning Eq. (141) según se indica:\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 27\n# P1... # # M # #, # # # # M # #, # # # # # M # #, # # # # M # #, # # # P1 # # M # #\n2, L0, Lœ0, \nL0 + Lœ0 − 2\n, p(M+1,...N) (147)\nPor escrito\np+2 +R; L0 =\npâ € 2 + Rс (148)\nna†n · an ; R =\nnn · ãn (149)\nPodemos reescribir Eq. (147) de la siguiente manera:\n# P1... # # M # #, # # # # M # #, # # # # # M # #, # # # # M # #, # # # P1 # # M # #\n2, R, R, \nR + R α(s)\n, p(M+1,...N)® (150)\nVemos que la amplitud para el modelo Shapiro-Virasoro tiene polos simples\nsólo para valores enteros pares de αSV (s) = 2 +\ns = 2n ≥ 0 y el residuo en\nlos polos factorizan en una suma con un número finito de términos. Nótese que el\nTrayectoria Regge del modelo Shapiro-Virasoro tiene doble intercepción y mitad\npendiente de la del modelo Veneziano generalizado.\n5 Estados físicos y sus operadores de vértice\nEn la sección anterior, hemos visto que el residuo en los polos de la N -\nlas amplitudes de punto factorizan en una suma de un número finito de términos. También lo hemos hecho.\nvisto que algunos de estos términos, debido a la métrica de Lorentz, corresponden a los estados\ncon norma negativa. También hemos derivado una serie de “identidades Ward” dadas\nen Eq. (126) que implican que algunos de los términos del residuo se disocian. Los\npregunta a ser respondida ahora es: ¿Es el espacio extendido por los estados físicos\n¿Una norma positiva, el espacio de Hilbert? Para responder a esta pregunta necesitamos primero\npara encontrar las condiciones que caracterizan a los estados físicos de la concha en, P \ny luego determinar cuáles son los estados que contribuyen al residuo\ndel polo en α(s = −P 2) = n. En otras palabras, tenemos que encontrar una manera de\nla caracterización de los estados físicos y la eliminación de los estados espurios que\ndesacoplamiento en Eq. (102) como consecuencia de Eq.s (126). Un estado.P contribuye\nen el residuo del polo en Eq.(102) para α(s = −P 2) = n si está en la cáscara,\na saber, si satisface las siguientes ecuaciones:\nR, P® = n, P® ; α(−P2) = 1− P2 = n (151)\nque se puede escribir en una ecuación única:\n28 Paolo Di Vecchia\n(L0 − 1), P = 0 (152)\nPor Eq. (126) también sabemos que un estado del tipo:\ns, P = W †m, P (153)\nno va a contribuir al residuo del polo. Lo llamamos espurio o\nunphysical state. Empezamos a construir el subespacio de estados espurios que\nestán en la cáscara en el nivel n. Consideremos el conjunto de estados ortogonales, P \nde tal manera que\nR, P® = n, P® ; L0, P® = (1-m), P® ; 1− P2 = n (154)\ndonde\nm = n+ nμ (155)\nEn términos de estos estados podemos construir el estado espurio más general que\nestá en caparazón en el nivel n. Es dado por\ns, = W †m, ; (L0 − 1)s, = 0 (156)\npor cualquier entero positivo m. Usando Eq. (154), eq. (156) se convierte en:\ns, P â € = L†m, P â € (157)\ndonde, P es un estado arbitrario que satisface Eq.s (154).\nUn estado físico, P se define como el que es ortogonal a todos los espui-\nEstados que aparecen en un cierto nivel n. Esto significa que debe satisfacer la\necuación siguiente:\n.P L†l, P = 0 (158)\npara cualquier estado, P satisfacer Eq.s (154). En conclusión, la\nlos estados en el nivel n se caracterizan por el hecho de que satisfacen lo siguiente\ncondiciones:\nP = (L0 − 1), P = 0; 1− P 2 = n (159)\nEstas condiciones que caracterizan el subespacio físico fueron encontradas por primera vez por Del\nGiudice y Di Vecchia [28] donde se realizó el análisis descrito aquí.\nPara encontrar el subespacio físico uno comienza a escribir el más general\nen estado de caparazón que contribuye al residuo del polo en el nivel n en Eq. (154).\nLuego se impone Eq.s (159) y determina los estados que abarcan el\nsubespacial. En realidad, entre estos estados se encuentra también un conjunto de estados de cero normas\nque son físicos y espurios al mismo tiempo. Esos estados son de la forma\nse administra en Eq. (157), pero también satisfacer Eq.s (159). Es fácil ver que son\nno realmente físico porque no están contribuyendo al residuo del polo\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 29\nen el nivel n. Esto se deriva de la forma del operador de la unidad que figura en el\nespacio de los estados físicos por:\nnorma 6=0\n, P, P \n[0, P 0, P 0, P 0, P ] (160)\ndonde 0, P ® es una norma cero estado físico y espurio y 0, P ® su con-\nEstado de la jugata. Un estado conjugado de un estado de norma cero se obtiene cambiando\nel signo de los osciladores con dirección temporal. Desde 0, P es un espurio\nindicar cuando insertamos el operador de la unidad, dado en Eq. (160), en Eq. (102)\nver que los estados de la norma cero nunca contribuyen al residuo porque su\nla contribución es aniquilada ya sea del estado p(1,M) o del estado\np(M+1,N). En conclusión, el subespacio físico contiene sólo los estados en\nel primer término en el r.h.s. de Eq. (160).\nAnalicemos los dos primeros niveles excitados. El primer nivel excitado corre...\nsponds a un campo de medición sin masa. Se extiende por los estados a\n10, P. In\nEn este caso, la única condición que debemos imponer es:\n10, P = 0 = P · = 0 (161)\nElegir un marco de referencia donde el impulso del fotón es dado por\n(P, 0...0, P ), Eq. (161) implica que los únicos estados físicos son:\n1i 0, P (a)\n1;0 − a\n1;d−1)0, P ® ; i = 1... d− 2 (162)\nen los que los términos «í» y «í» son parámetros arbitrarios. El estado en Eq. (162) es el más\nEstado general del nivel N = 1 que cumple las condiciones de Eq. (159). Los\nprimer estado en eq. (162) tiene norma positiva, mientras que la segunda tiene norma cero\nque es ortogonal a todos los demás estados físicos, ya que puede ser escrito como sigue:\n1;0 − a\n1;D−1)0, P = L\n10, P® (163)\nen el marco de referencia en el que Pμ Ł (P,...0, P ). Debido a la anterior\npropiedad se desvincula de los estados físicos junto con su conjugado:\n1,0 + a\n1,d−1)0, P â € (164)\nEn conclusión, sólo nos quedamos con los estados transversales d− 2 correspondientes\na los grados físicos de libertad de un estado de spin 1 sin masa. En el siguiente nivel\nn = 2 el estado más general es dado por:\n[a\n1 / + β\n2,μ]0, P (165)\nSi trabajamos en el centro del marco de masa donde Pμ = (M,0) obtenemos lo siguiente\nestado físico más general:\nPhys > = αij [a†1,ia\n1,j −\nd - 1)\n1,k]0, P \n30 Paolo Di Vecchia\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n2,i + a\n1,i]0, P \n1,i +\n1,0 − 2a\n0, P (166)\ndonde los índices i, j corren sobre los componentes de d− 1 espacio. El primer término en\n(166) corresponde a un giro 2 en (d− 1) espacio dimensional y tiene un positivo\nnorma hecha con índices espaciales. El segundo término tiene cero norma y es\nortogonal a los otros estados físicos ya que se puede escribir como L+1 a\n1,i0, P.\nPor lo tanto, debe ser eliminado del espectro físico junto con su\nconjugado, como se ha explicado anteriormente. Finalmente, el último estado en (166) es spinless y\ntiene una norma dada por:\n2 d - 1 (26 - d) (167)\nSi d < 26 corresponde a una partícula física de giro cero con norma positiva. Si\nd > 26 es un fantasma. Finalmente, si d = 26 tiene una norma cero y también es ortogonal\na los otros estados físicos ya que puede ser escrito en la forma:\n2 + 3L\n1 )0 > (168)\nNo pertenece, por lo tanto, al espectro físico. El análisis de esto\nnivel se hizo en Ref. [29] con d = 4. Esto no permitió a los autores de\nRef. [29] para ver que había una dimensión crítica.\nEl análisis de los estados físicos se puede extender fácilmente [28] a la\nModelo Shapiro-Virasoro. En este caso, las condiciones físicas dadas en Eq. (159)\npara la cadena abierta, conviértase en [28]:\nLm, = Lm, = (L0 − 1), = (Lū0 − 1), = 0 (169)\npara cualquier entero positivo m. Se puede ver fácilmente de las ecuaciones anteriores\nque el estado más bajo del modelo Shapiro-Virasoro es el vacío\ncorrespondiente a un taquión con masa p2 = 4, mientras que el siguiente nivel descrito\npor el Estado a\n1 / 0a, 0ã, p® contiene los estados sin masa correspondientes a la\ngravitón, un dilaton y un tensor antisimétrico de dos índices.\nHabiendo caracterizado el subespacio físico uno puede seguir adelante y construir\na Amplitud de dispersión N - punto que implica estados físicos arbitrarios. Esto fue\nhecho por Campagna, Fubini, Napolitano y Sciuto [30] donde el vértice oper-\nator para un estado físico arbitrario fue construido en analogía con lo que ha\nhecho para el estado taquiónico del suelo. Se asociaron a cada físico\nun operador de vértice Vα(z, P ) que es un campo conformal con conformal\ndimensión igual a 1:\n[Ln, Vα(z, p)] =\nzn+1Vα(z, p)\n(170)\ny reproduce el estado correspondiente actuando sobre el vacío como sigue:\nVα(z; p)0, 0 ; ; 0; 0 lim\nz2Vα(z; p) =, p (171)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 31\nSatisface, además, la relación de hermiticidad:\nV (z, P ) = Vα(\n,−P )−1)α(−P\n2) (172)\nUn vértice emocionado que jugará un papel importante en la siguiente sección es el\nuno asociado al campo de gálibo sin masa. Está dada por:\n(z, k) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()) () () () () ()) () () () () () ()) () () () ()) () () () () ()) () () ()) () () ()) ()) () ()) () ()) () ()) ()) ()) ()) () () () ()) () () ()) () () ()) () () () () ) () () () () () () () ) () () () () () ) () () () () ) () () () () () () ) () () () () () () ) () () () () () () () () ) () () () () () ) ) () () ) () () () () () () () () () () () () () () () () ) () () () ) ) ) () ) ) () () () () () () () () () () () () () () () ) () () () ) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ) ) ) ) )\ndQ(z)\neik·Q(z) ; k · = k2 = 0 (173)\nDebido a las dos últimas condiciones en Eq. (173) el orden normal no es necesario\nSary. Es conveniente dar la expresión de\ndQ(z)\nen términos del armónico\nosciladores:\nP z) dQ z)\n−n−1 (174)\nEs un campo conformal con dimensión conformal igual a 1. Reescalado\nLos osciladores αn son dados por:\nnan ; n =\nna†n ; n > 0; α0 =\n2\"p\" (175)\nEn términos de los operadores de vértice introducidos anteriormente el más general\nLa amplitud que implica estados físicos arbitrarios está dada por [30]:\n(2l)4l(\n1 dzio (zi − zi+1)\ndVabc\n0, 0\nVαi(zi, pi)0, 0(176)\nEn el caso del modelo Shapiro-Virasoro, el operador de vértice taquión es\nse administra en Eq. (135). Reescribiendo Eq. (134) según se indica:\nQ(z, z̄) = Q(z) + Q(z̄) (177)\ndonde\nQ(z) =\n+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n− n − a†nzn\n(178)\nQ?(z̄) =\nqâ − 2â € € log(z̄) + i\nãnz̄\n− n − nz̄n\n(179)\nPodemos escribir el operador de vértice taquión de la siguiente manera:\nV (z, z̄, p) =: eip·Q(z)eip·Qû(z̄) : (180)\n32 Paolo Di Vecchia\nEsto muestra que el operador de vértice correspondiente al taquión de la\nShapiro-Virasoro modelo se puede escribir como el producto de dos oper de vértice-\nators correspondientes cada uno al taquión del modelo Veneziano generalizado.\nAnalógicamente el operador del vértice correspondiente a un físico arbitrario\nel estado del modelo Shapiro-Virasoro se puede escribir siempre como un producto de\ndos operadores vértices del modelo Veneziano generalizado:\nVα,β(z, z̄, p) = Vα(z,\n)Vβ(z̄,\n) (181)\nEl primero contiene sólo los osciladores αn, mientras que el segundo sólo el\nosciladores n. Ambos contienen sólo la mitad del impulso total p y\nlos mismos modos cero pÃ3r y qÃ3r. Los dos operadores vértices de la\nEl modelo Veneziano son ambos campos conformales con dimensión conformal igual\na 1. Si corresponden a estados físicos en el nivel 2n, satisfacen la\nsiguiente relación (n = ñ):\n+ n = 1 (182)\nSe encuentran en la siguiente trayectoria de Regge:\nαSV (−p2) = 2n (183)\ncomo ya hemos visto al factorizar la amplitud en Eq. (150).\n6 Los estados del DDF y la ausencia de fantasmas\nEn la sección anterior hemos derivado las ecuaciones que caracterizan la\nlos estados físicos y sus correspondientes operadores vértices. En esta sección\nconstruirá explícitamente un número infinito de estados físicos ortonormales con\nnorma positiva.\nEl punto de partida es el operador DDF introducido por Del Giudice, Di Vec-\nchía y Fubini [31] y definido en términos del operador vértice correspondiente\nal campo de gálibo sin masa introducido en eq. (173):\nAi,n =\ni Pμ(z)e\nik·Q(z) (184)\ndonde el índice i corre sobre las direcciones transversales d−2, que son ortogonales\nal impulso k. También hemos tomado\n= 1. Debido al término de registro z\naparece en el modo cero parte de la exponencial, la integral en Eq. (184),\nque se realiza alrededor del origen z = 0, está bien definido sólo si limitamos\nel impulso del Estado, sobre el cual Ai,n actúa, para satisfacer la relación:\n2°p · k = n (185)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 33\ndonde n es un entero que no desaparece.\nEl operador en Eq. (184) generará estados físicos porque com-\nmutes con los operadores del gálibo Lm:\n[Lm, An;i] = 0 (186)\nya que el operador de vértice se transforma como un campo primario con dimensiones conforma-\nsión igual a 1 como sigue de Eq. (170).\nPor otro lado también satisface el álgebra del oscilador armónico\ncomo vamos a mostrar ahora. De Eq. (184) obtenemos:\n[An,i, Am,j] = −\nP (z)eik·Q(l)j · P (l)eik\n′ ·Q() (187)\ndonde\n2°p · k = n ; 2°p · k′ = m (188)\ny k y k′ se supone que están en la misma dirección, a saber:\nkμ = nk ; k\nμ = mk (189)\n2o p · k = 1 (190)\nFinalmente las polarizaciones se normalizan como:\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nDado que una singularidad para z = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • \nla contracción de los dos términos P () y P () que es dada por:\n0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, = −\n2ij\n(z − فارسى)2\n(192)\nInsertándolo en Eq. (187) obtenemos:\n[An,i, Am,j] =\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n= inl-j-j-n+m;0\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\ndonde hemos utilizado el hecho de que el integrand es una derivada total y\nPor lo tanto, se obtiene una contribución de desaparición a menos que n + m = 0. Si n + m = 0\nde Eq.s (174) y (190) obtenemos:\n[An,i, Am,j] = njejn+m;0; i, j = 1... d2 (194)\n34 Paolo Di Vecchia\nEq. (194) muestra que los operadores DDF satisfacen el oscilador armónico alge-\nEn términos de este conjunto infinito de osciladores transversales podemos construir un\nConjunto ortonormal de estados:\ni1, N1; i2, N2;. .. im, Nm® =\nAik,-Nk\n0, p (195)\nen el que h es la multiplicidad del operador Aih,−Nh en el producto en Eq.\n(195) y el impulso del estado en Eq. (195) es dada por\nP = p+\nkâ € ni (196)\nSe construyeron en cuatro dimensiones donde no eran una completa\nsistema de los Estados 11 y tomó algún tiempo para darse cuenta de que en realidad eran un\nsistema completo de estados si d = 26 [32, 33] 12. Brower [32] y Goddard y\nThorn [33] mostró también que el modelo de resonancia dual era libre de fantasmas para cualquier\ndimensión d ≤ 26. En d = 26, esto se debe al hecho de que los operadores de DDF\nobviamente abarcan un espacio positivo definido Hilbert (Vea Eq. (194)). Para d < 26\nhay estados adicionales llamados estados Brower [32]. El primero de estos estados es\nel último estado en Eq. (166) que se convierte en un estado de norma cero para d = 26. Pero\nTambién para d < 26 no hay estado de norma negativo entre los estados físicos.\nLa prueba del teorema sin fantasma en el caso α0 = 1 es muy importante\npaso porque muestra que el modelo de resonancia dual construido generalizando\nla fórmula Veneziano de cuatro puntos, es un cuántico-relativista plenamente consistente\n¡Teoría! Esto no es del todo cierto porque, cuando la intercepción α0 = 1, el más bajo\nestado del espectro correspondiente al polo en la amplitud de punto N para\nα(s) = 0, es un taquión con masa m2 = − 1\n. Entonces se hizo mucho esfuerzo.\nconstruir un modelo sin taquión y con un espectro meson consistente\ncon los datos experimentales. Los únicos modelos razonablemente consistentes que vinieron\nfuera de estos intentos, fueron los Neveu-Schwarz [7] para los mesones y el\nModelo Ramond [8] para los fermiones que sólo más tarde fueron reconocidos como parte de un\nmodelo único que hoy en día se llama el modelo Neveu-Schwarz-Ramond. Pero\neste modelo no era realmente más consistente que la resonancia dual original\n11 Debido a esto Fubini no quería publicar nuestro resultado, pero luego fue a un\nReunión en Israel en la primavera de 1971 dando un discurso sobre nuestro trabajo donde encontró que\nel público estaba muy interesado en nuestro resultado y cuando volvió al MIT nosotros\ndecidió publicar nuestro resultado.\n12 Todavía recuerdo a Charles Thorn, que vino a mi oficina en Cern y me dijo:\nPaolo, ¿sabes que tus estados de DDF están completos si d = 26? Rápidamente reedito.\nel análisis realizado en Ref. [29] con un valor arbitrario de la dimensión espacio-tiempo\nobtener Eq.s (166) y (167) que muestran que el estado sin spin a nivel\nα(s) = 2 se desacopla si d = 26. Lamenté mucho no haber utilizado un método arbitrario.\ndimensión espacio-tiempo d en el análisis de Ref. [29].\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 35\nmodelo porque todavía tenía un taquión con masa m2 = − 1\n. El taquión\nfue eliminado del espectro sólo en 1976 a través de la proyección GSO\npropuesta por Gliozzi, Scherk y Olive [34].\nHabiendo comprendido que, al menos por el valor crítico de la dimensión espacio-tiempo,\nsión d = 26, los estados físicos son descritos por los estados DDF que tienen solamente\nd− 2 = 24 componentes independientes, abrir el camino a Brink y Nielsen [35]\ncalcular el valor α0 = 1 de la trayectoria Regge con un ar muy físico\nGument. Relacionaron la interceptación de la trayectoria de Regge con el punto cero\nenergía de un sistema con un número infinito de osciladores que sólo d − 2\ncomponentes independientes:\nα0 = −\nn (197)\nEsta cantidad es obviamente infinita y, para darle sentido,\nun corte en las frecuencias de los osciladores armónicos que obtienen un\ntérmino infinito que eliminaron al renormalizar la velocidad de la luz y un\ntérmino constante universal finito que dio la intercepción de la trayectoria Regge.\nEn lugar de seguir su enfoque original discutimos aquí una alternativa ap-\nproach debido a Gliozzi [36] que utiliza la regularización de la función de. Él reescribe\nEq. (197) como sigue:\nα0 = −\nn = −\nn−s = −\nR(−1) = 1 (198)\ndonde en la última ecuación que hemos utilizado la identidad R(−1) = − 112 y nosotros\nhan puesto d = 26. Desde el modelo Shapiro-Virasoro tiene dos conjuntos de trans-\nosciladores armónicos verso es obvio que su interceptación es el doble de la de la\nModelo Veneziano generalizado.\nUsando las reglas discutidas en la sección anterior podemos construir el\noperador de vértice correspondiente al estado en Eq. (195). Está dada por:\nV(i;Ni)(z, P ) =\nP (zi)eiNikQ(zi) : eip·Q(z) : (199)\ndonde la integral en la variable zi se evalúa a lo largo de una curva del complejo\nplano zi que contiene el punto z. La singularidad del integrand para zi = z es\nun poste siempre que se cumpla la siguiente condición.\n2o p · k = 1 (200)\nEl último vértice en Eq. (199) es el operador de vértice correspondiente al suelo\nestado taquiónico dado en Eq. (59) con â € p2 = 1.\nUsando la forma general del vértice uno puede calcular los tres puntos\namplitud que involucra a tres operadores vértices DDF arbitrarios. Este cálculo\n36 Paolo Di Vecchia\nse ha realizado en Ref. [37] y dado que los operadores del vértice son conformes\ncampos con dimensión igual a 1 uno obtiene:\n0, 0V\n(z1, P1)V(i(2)\n(z2, P2)V(i(3)\n(z3, P3)0, 0 =\n(z1 − z2)(z1 − z3)(z2 − z3)\n(201)\ncuando la forma explícita del coeficiente C123 esté dada por:\nC123 = 1 + 0, 0 + 2 + 0, 0 + 3 + 0 e\nr.s=1\nn,m=1\n−n;iN\n−m;i+\n−n;i×\n× e..................................................................................\n(2r−1)N (1)k1, i\n1 N (2)k2, i\nâ € ¢ 2N (3)k3, i\n•3 (202)\ndonde\nN rsnm = −N rnNsm\nnmα1α2α3\nnαs +mαr\n; N rn =\n(−nαr+1\nαrn!• (1− nαr+1αr − n)\n(203)\nΠ = Pr+1αr − Prαr+1 ; r = 1, 2, 3 (204)\nΠ es independiente del valor de r elegido como consecuencia de las ecuaciones:\nPr = 0 (205)\n7 El límite de pendiente cero\nEn la introducción hemos visto que el modelo de resonancia dual ha sido\nconstruido utilizando reglas que son diferentes de las utilizadas en la teoría de campo.\nPor ejemplo, hemos visto que la dualidad planar implica que la amplitud\ncorrespondiente a un determinado diagrama de dualidad, contiene polos tanto en s como en t\ncanales, mientras que la amplitud correspondiente a un diagrama de Feynman en el campo\nLa teoría contiene sólo un polo en uno de los dos canales. Por otra parte, el\nla amplitud de dispersión en el modelo de resonancia dual contiene un número infinito\nde resonancia afirma que, a alta energía, promedio hacia fuera para dar Regge comportamiento.\nTambién esta propiedad no se observa en la teoría de campo. La cuestión que se plantea es la siguiente:\nnatural para preguntar, era entonces: ¿hay alguna relación entre la resonancia dual\n¿modelo y teoría de campo? Resultó, para sorpresa de muchos, que el doble\nmodelo de resonancia no estaba en contradicción con la teoría de campo, sino que fue\nuna extensión de un cierto número de teorías de campo. Veremos que el límite en\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 37\nque una teoría de campo se obtiene del modelo de resonancia dual corresponde\na tomar la pendiente de la trayectoria de Regge a cero.\nConsideremos la amplitud de dispersión de cuatro partículas del estado del suelo en\nEq. (1) que reescribimos aquí con el factor de normalización correcto:\nA(s, t, u) = C0N\n0 (A(s, t) +A(s, u) +A(t, u)) (206)\ndonde\n2g(2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n4 (207)\nes el factor de normalización correcto para cada pierna externa, g es el dimensional\nconstante de acoplamiento de cadena abierta que hemos ignorado constantemente en el anterior\nlas secciones C0 y C0 están determinadas por la siguiente relación:\n′ = 1 (208)\nque se obtiene requiriendo la factorización de la amplitud en el polo\ncorrespondiente a la partícula del estado del suelo cuya masa se da en Eq. (21).\nUsando Eq. (21) con el fin de reescribir la interceptación de la trayectoria Regge en\ntérminos de la masa de la partícula del estado del suelo m2 y la siguiente relación\nsatisfecho por la función de:\n* (1 + z) = z (z) (209)\npodemos realizar fácilmente el límite para > → 0 de A(s, t) obteniendo:\nA(s, t) =\nm2 − s\nm2 − s\n(210)\nRealizando el mismo límite en las otras dos amplitudes planas obtenemos el\ndespués de la expresión para la amplitud total en Eq. (206):\nA(s, t, u) =\n2g(2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n()2\nm2 − s\nm2 − s\nm2 − u\n(211)\nIntroduciendo la constante de acoplamiento:\ng3 = 4g(2α\n4 (212)\nEq. (211) pasa a ser\nA(s, t, u) = g23\nm2 − s\nm2 − s\nm2 − u\n(213)\nque es igual a la suma de los diagramas del árbol para la dispersión de cuatro partículas\ncon masa m de la teoría Φ3 con constante de acoplamiento igual a g3. Hemos mostrado\nque, manteniendo g3 fijado en el límite α\n′ → 0, la amplitud de dispersión de cuatro\n38 Paolo Di Vecchia\npartículas del estado del suelo del modelo de resonancia dual es igual a los diagramas del árbol\nde la teoría Φ3. Esta prueba se puede extender a la dispersión de N estado del suelo\npartículas que se recuperan también en este caso los diagramas arbóreos de la teoría Φ3. También lo es.\nválida para diagramas de bucles que discutiremos en la siguiente sección. En conclusión,\nel modelo de resonancia dual se reduce en el límite de pendiente cero a la teoría Φ3. Los\nprueba de que hemos presentado aquí se debe a J. Scherk [38] 13\nUn caso más interesante para estudiar es el que tiene intercepción α0 = 1. Lo haremos.\nver que, en este caso, se obtendrán los diagramas de los árboles de Yang-Mills teoría,\ncomo lo muestran Neveu y Scherk [40] 14.\nConsideremos la amplitud de tres puntos que involucra tres medidores sin masa\npartículas descritas por el operador de vértice en Eq. (173). Se da por la suma\nde dos diagramas planos. El primero que corresponde a la orden (123) es\ndado por:\n3Tr (a1a2a3)\n0, 0, 0, 1(z1, p1)V2(z2, p2)V3(z3, p3)0, 0\n[(z1 − z2)(z2 − z3)(z1 − z3)]−1\n(214)\nUsando la conservación del impulso p1+ p2+ p3 = 0 y las condiciones de la carcasa de masa\np2i = pi · i = 0 se puede reescribir la ecuación anterior de la siguiente manera:\n0Tr(l\na1oa2oa3)\n× [(+1 · +2)(p1 · +3) + (+1 · +3)(p3 · +2) + (+2 · +3)(p2 · +1)] (215)\nLa segunda contribución proviene del pedido 132 que se puede obtener\nde la anterior por la sustitución\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nResumiendo las dos contribuciones que se obtiene\noTr(l)\na1 [.a2,.a3 ])\n× [(+1 · +2)(p1 · +3) + (+1 · +3)(p3 · +2) + (+2 · +3)(p2 · +1)] (217)\nEl factor\nN0 = 2g(2α\n′(d−2)/4 (218)\nes el factor de normalización correcto para cada operador de vértice si normalizamos\nlos generadores del grupo Chan-Paton, según se indica:\nŁij (219)\n13 Véase también Ref. [39].\n14 Véase también Ref. [41].\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 39\nSe relaciona con C0 a través de la relación\n′ = 2 (220)\ng es la constante de acoplamiento de cadena abierta adimensional. Nótese que Eq.s (218)\ny (220) difieren de Eq.s (207) y (208) debido a la presencia de la\nChan-Paton factores que no incluimos en el caso de la teoría Φ3.\nUsando las relaciones de conmutación:\n[e, eb] = ifabclc (221)\ny los factores de normalización anteriores que obtenemos para la amplitud de tres gluones:\nigYMf\na1a2a3 [(+1 · +2)(+p1 − p2) · +3 +\n(p3 − p1) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • \nque es igual al vértice de 3 gluones que se obtiene de la acción Yang-Mills\nLYM = −\nF a ° F\na, F\n= A\nβ − Aaα + gYMfabcAbαAcβ (223)\ndonde\ngYM = 2g(2α\n4 (224)\nEl procedimiento anterior se puede extender a la dispersión del hallazgo de gluones N\nel mismo resultado que uno obtiene de los diagramas de los árboles de la teoría de Yang-Mills.\nEn la siguiente sección, vamos a discutir los diagramas de bucle. También, en este caso uno\nencuentra que los diagramas de h-loop que implican N gluones externos se reproducen en el\nla pendiente cero limita la suma de los diagramas de h-loop con N gluones externos de\nLa teoría de Yang-Mills.\nConcluimos esta sección mencionando que también se puede tomar la pendiente cero\nlímite de una amplitud de dispersión que implica la obtención de tres y cuatro gravitones\nacuerdo con lo que se obtiene del Einstein Lagrangian de la rela general-\ntividad. Esto ha sido demostrado por Yoneya [43].\n8 Diagramas de bucle\nLa amplitud N -punto construido previamente satisface todos los axiomas de S-\nteoría de la matriz excepto unitariedad porque sus únicas singularidades son polos simples\ncorrespondientes a resonancias de ancho cero yace en el eje real del Mandel-\nvariables estam y no contiene los diversos cortes requeridos por la unitariedad [1].\n15 La determinación de los factores de normalización anteriores se puede encontrar en el\nApéndice de Ref. [42].\n40 Paolo Di Vecchia\nCon el fin de eliminar este problema ya se propuso en los primeros días de\nla dualidad de teorías a asumir, en analogía con lo que sucede, por ejemplo, en la pertur-\nla teoría de campo bative, que la amplitud de N -punto era sólo el orden más bajo (la\ndiagrama de árbol) de una expansión perturbadora y, con el fin de implementar unitar-\nity, era necesario incluir diagramas de bucle. Luego, los diagramas de un bucle\nfueron construidos a partir del propagador y los vértices que hemos introducido\nen las secciones anteriores [44]. La amplitud de un bucle plano con M externa\nlas partículas se calcularon a partir de una amplitud del árbol (M + 2) y\na continuación, cosiendo dos patas externas después de la inserción de un propagador\nD dado en Eq. (100). De esta manera uno consigue:\n(+)d/2(+)d\nP, V (1, p1) DV (1, p2). V (1, pN)DP, (225)\ndonde la suma sobre corresponde a la traza en el espacio de la armónico os-\ncillators y la integral en ddP corresponde a integrar sobre el impulso\ncirculando en el bucle. La expresión anterior para la amplitud de un bucle\nno puede ser del todo correcto porque todos los estados del espacio generados por el oscil-\nLators en Eq. (51) están circulando en el bucle, mientras que sabemos que debemos\nincluir sólo los físicos. Esto se logró primero cancelando a mano\nel tiempo y uno de los componentes espaciales de los osciladores armónicos reduciendo\nlos grados de libertad de cada oscilador de d a d − 2 como sugiere el\nOperadores de DDF al menos para d = 26. A continuación, se demostró que este procedimiento era el siguiente:\nrect by Brink and Olive [45]. Construyeron el operador que proyecta sobre\nlos estados físicos y, al insertarlo en el bucle, mostró que la reducción\nDe hecho, los grados de libertad de los osciladores de d a d-2 eran correctos.\nEste era, en ese momento, el único procedimiento disponible para dejar sólo el\nlos estados circulan en el bucle porque el procedimiento BRST fue descubierto un poco\nmás tarde también en el marco de las teorías de campo de calibrador!\nPara ser más explícito vamos a calcular el rastro en Eq. (225) añadir también el\nFactor Chan-Paton. Tenemos:\n(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)\nNTr(a1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n8,2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 3o, 3o, 3o, 3o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o\nd/2+1\n[f1(k)]\n12 (2η)M×\nd/M−1................................................................................................................................................\nd v r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r\neG( vji)\n■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■\n; k e(226)\ndonde /JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ\nG( v) = log\nie\n1(i )\nf31 (k)\n; f1(k) = k\n(1 a k2n) (227)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 41\n*1(i♥) = −2k1/4 sin.\n1− e2ik2n\n1− e−2ik2n\n(1– k2n)(228)\nFinalmente el factor de normalización N0 se da en Eq. (218). Hemos actuado\nel cálculo de un valor arbitrario de la dimensión espacio-tiempo d. Sin embargo,\nde esta manera se obtiene también el factor adicional de k\n12 que aparecen en la primera línea\nde Eq. (226) que implica que nuestro cálculo es en realidad sólo coherente si\nd = 26. De hecho, la presencia de este factor no permite reescribir el\namplitud, obtenida originalmente en el sector Reggeon, en el sector Pomeron\ncomo se explica a continuación. En lo siguiente descuidamos este factor adicional, implícitamente\nsuponiendo que d = 26, pero, por otro lado, todavía manteniendo una d arbitraria.\nUsando las relaciones:\nf1(k) =\ntf1(q) ; 1(i iŁ) = i1(it)t1/2e\n2/t (229)\ndonde t = 1\ny q et, podemos reescribir el diagrama plano de un bucle en el\nCanal Pomeron. Tenemos:\n(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)\nNTr(a1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n8,2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 3o, 3o, 3o, 3o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o\ndt[f1(q)]\n2−d(2η)M×\nd/M−1................................................................................................................................................\n1( /jiit)\nf31 (q)\n■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■\n(230)\nNótese que, al factorizar el bucle planar en el canal de Pomeron, un\nstructed por primera vez lo que ahora llamamos el estado de frontera [46] 16. Esto\nSe puede ver fácilmente en la forma que ahora vamos a describir. En primer lugar,\nnote que la última cantidad en Eq. (230) puede escribirse como sigue:\n•1(s)(s))(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)((s)(s)((s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)((s)(s)(s)(s)((s)(s)((s)(s)(s)(()(s)(()(s)(s)(()(s)(s)((s)(()(()(s)(s)(s()(()(s)(s)(()(s)()(()(s)()()()()()(s()()()()()()(s()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(()()()()()()()()()()()()()()()()((()()()()()()()()()()()(()()()()()()()((()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()((((((((((((((((((((()()()()()()()()()((((()()()()()()()(\nf31 (q)\n■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■\n−2 sin(ji)\n1 - q2ne2üi/ji\n1 - q2ne - 2\n(1– q2n)2\n■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■\n(231)\nEsta ecuación puede ser reescrita de la siguiente manera:\nP = 0q2R\ni=1 : e\nipi·Q(e2ii ) : p = 0\nTr (p = 0q2N p = 0)\n; R =\nna†n · an (232)\n16 Véase también el primer artículo en Ref. [47].\n42 Paolo Di Vecchia\ndonde el rastro se toma sólo sobre los modos distintos de cero y el impulso con-\nSe ha utilizado la servación. También hay que subrayar que el orden normal de\nlos operadores de vértice en la ecuación anterior es tal que los modos cero son\nse toman para ser ambos en el mismo exponencial en lugar de ser ordenado como en Eq.\n(59). Trayendo a todos los operadores de aniquilación a la izquierda de los de la creación,\nde la expresión en Eq. (232) se obtiene (zi Ł e2πiνi):\n(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)\n(−2 sinji)2α\n′pi·pj×\nn=1 Tr\nn·ane\n2° pj ·\nznj e\n2«pi· anl\nTr (p = 0q2N p = 0)\n233)\nEl rastro puede calcularse utilizando la relación de integridad que implica co-\nestados herentes f = efa† 0:\nEf \nff = 1 (234)\nInsertar el operador de identidad anterior en Eq. (233) uno consigue después de un poco de cal-\nculación:\n(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)\n(−2 sinji)2α\n′pi·pj×\ni.j=1\n-2p·pje2inji q\nn(1−q2n) (235)\nExpandiendo el denominador en el último exponente y realizando la suma sobre\nn uno consigue:\n(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)\n(−2 sinji)2α\n′pi·pj×\n2+pi·pj\nlog(1−e2πi vji q2(m+1)) (236)\nque es igual a la última línea de Eq. (231) aparte de la función de\nconservación del mentum. En conclusión, hemos demostrado que Eq.s (231) y (232)\nson iguales.\nUsando Eq. (231) podemos reescribir Eq. (230) según se indica:\nNNM0 Tr(\na1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n8,2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 3o, 3o, 3o, 3o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o\ndt[f1(q)]\n2-d(2πi)M\nd/M−1................................................................................................................................................\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 43\n...\np = 0, q2R\ni=1 : e\nipi·Q(e2ii) : p = 0, \np = 0, q2N p = 0, \n(237)\ndonde la suma sobre cualquier estado corresponde a tomar el rastro sobre el\nmodos distintos de cero. Si d = 26 podemos reescribir Eq. (237) de forma más sencilla:\nNNM0 Tr(\na1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n8,2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 3o, 3o, 3o, 3o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o\ndt (2ηi)M\nd/M−1................................................................................................................................................\nP = 0, q2R−2\n: eipi·Q(e)\n2ii ) : p = 0, (238)\nLa ecuación anterior contiene el factor\ndtq2R−2 que es como el propa-\nGator del modelo Shapiro-Virasoro, pero con un solo conjunto de osciladores como\nen el modelo Veneziano generalizado. En lo siguiente lo reescribiremos com-\nCompletamente con el formalismo del modelo Shapiro-Virasoro. Esto se puede hacer\nmediante la introducción del propagador Pomeron:\ndt q2N−2 =\nDâ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °\nzL0−1z̄Lœ0−1; z q = et(239)\ny reescribir el bucle plano en la siguiente forma compacta:\n# B0DBM # # B0DBM # # # B0DBM # # # B0DBM # # # B0DBM # # B0BO # #\nn p = 0, 0a, 0 (240)\ndonde B0 es el estado de frontera sin ningún Reggeon en él,\nTd−1 =\n2 d-10)/4\n•)−d/2−1 (241)\ny BM es en su lugar el que tiene M Reggeons dado por:\nBM = NM0 Tr(♥a1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nd/M−1................................................................................................................................................\n: eipi·Q(e)\n2ii ) : B0® (242)\nQueremos recalcar una vez más que el orden normal en el anterior equa-\nión se define tomando los modos cero en la misma exponencial. Las dos cosas\nlos estados límite y el propagador son ahora los estados del Shapiro-Virasoro\nmodelo. Esto significa que hemos reescrito el diagrama plano de un bucle, donde\nlos estados del modelo Veneziano generalizado circulan en el bucle, como árbol\n44 Paolo Di Vecchia\ndiagrama del modelo Shapiro-Virasoro que incluye dos estados de frontera y un\nPropagador. Esto es lo que hoy en día se llama dualidad de cadena abierta/cerrada.\nAdemás del diagrama plano de un bucle en Eq. (225), que hoy en día se llama\nel diagrama anular, también los diagramas no planos y no orientables\nfueron construidos y estudiados. En particular, el no-planar, que es ob-\ncomo el planar en Eq. (225) pero con dos propagadores multiplicados\ncon el operador de giro\n = eL−1(−1)R, (243)\ntenía unitariedad violando los recortes que desaparecieron [27] si la dimensión de la\nespacio-tiempo d = 26, dejando detrás singularidades de polo adicionales. El explicitado\nforma del bucle no plano se puede obtener siguiendo los mismos pasos\npara el bucle plano. Uno obtiene para el bucle no-planar la siguiente amplitud:\nBM (244)\ndonde ahora ambos estados de frontera contienen, respectivamente, R y M Reggeon\nestados. Los polos adicionales encontrados en el bucle no-planar se llamaban Pomerons\nporque ocurren en el sector de Pomeron, que hoy se llama la cadena cerrada\ncanal, para distinguirlos de los Reggeons que en su lugar ocurren en el\nsector Reggeon, que hoy se llama el sector de cuerdas abiertas del planar y\ndiagramas de bucle no planos. En ese momento, de hecho, los estados de la generalización\nLos modelos Veneziano se llamaban Reggeons, mientras que los adicionales aparecen\nen el bucle no-planar se llamaban Pomerons. Los Reggeons corresponden ahoraa-\ndías para abrir estados de cadena, mientras que los Pomerons a estados de cadena cerrados. Estos\nlas cosas son obvias ahora, pero en ese momento tomó un tiempo para demostrar que el\notros estados que aparecen en el sector de Pomeron deben ser identificados con\nlos del modelo Shapiro-Virasoro. La prueba de que el espectro era el\nLo mismo ocurrió bastante temprano. Esto se obtuvo factorizando el dia no-planar\ngramo en el canal de Pomeron [46] como lo hemos hecho en Eq. (244). Fue encontrado.\nque los estados del canal de Pomeron se encuentran en una trayectoria Regge lineal que\ntiene doble intercepción y media pendiente de la de los Reggeons. Esto es lo siguiente:\ninmediatamente desde el propagador DÃ3 en Eq. (239) que tiene polos para valores de\nel impulso del Pomeron intercambiado por:\np2 = 2n (245)\nque son exactamente los valores de las masas de los estados del Shapiro-Virasoro\nmodelo [48], mientras que el propagador Reggeon en Eq. (100) tiene polos para valores de\nimpulso igual a:\n1− p2 = n (246)\nSin embargo, todavía no estaba claro que los estados de Pomeron interactuasen entre ellos.\ncomo los estados del modelo Shapiro-Virasoro. Para mostrar esto fue primero\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 45\nnecesario para construir amplitudes arbóreas que contienen ambos estados de la general-\nmodelo Veneziano y del modelo Shapiro-Virasoro [49]. Disminuyeron\na las amplitudes del modelo generalizado Veneziano (Shapiro-Virasoro) si\nsólo tenemos estados externos del Veneziano generalizado (Shapiro-Virasoro)\nmodelo. Esas amplitudes se llaman hoy en día amplitudes de disco que contienen ambos\nestados de cadena abiertos y cerrados. Se construyeron [49] utilizando para\nReggeon dice que los operadores de vértice que hemos discutido en la Sección. 5) In-\ngirando un conjunto de osciladores armónicos y para el Pomeron estados el vértice\nlos operadores indicados en Eq. (181) que reescribimos aquí:\nVα,β(z, z̄, p) = Vα(z,\n)Vβ(z̄,\n) (247)\nporque ahora ambos vértices componentes contienen el mismo conjunto de os armónicos\nciladores como en el modelo generalizado Veneziano. Además, cada uno de los dos\nvértices es por separado normal ordenado, pero su producto no es normal ordenado.\nLa amplitud que involucra a ambos tipos de estados se construye entonces tomando\nel producto de todos los vértices entre el vacío invariante proyectivo e inte-\nla rejilla de los Reggeons en el eje real de una manera ordenada y los Pomerons en\nel plano de la mitad superior, como se hace para una amplitud de disco.\nHemos mencionado anteriormente que los dos vértices son por separado normales\npedido, pero su producto no es normal pedido. Cuando ordenemos normalmente\nlos tenemos, por ejemplo para el taquión del sector de Pomeron, un factor\n(z − z̄)+p2/2 que describe la transición Reggeon-Pomeron. Esto implica un\nEnganche directo [51] entre la parte U(1) del campo de gálibo y el dosíndice\ncampo antisimétrico B., denominado campo Kalb-Ramond [50], del sector Pomeron,\nque hace que el campo de medición masiva [51].\nSe demostró entonces que, al factorizar el bucle no plano en el Pomeron\ncanal, uno reprodujo la amplitud de dispersión que contiene un estado de\nel Shapiro-Virasoro y una serie de estados del Veneziano generalizado\nmodelo [52]. Si tenemos también estados externos que pertenecen a la generalización\nShapiro-Virasoro modelo, a continuación, factorizando el no-planar un bucle amplificar-\ntude en el canal Pomeron puro, se obtendrían las amplitudes del árbol de\nel modelo Shapiro-Virasoro [52].\nTodo esto implica que el modelo generalizado Veneziano y el Shapiro-\nVirasoro modelo no son dos modelos independientes, pero son parte de la\nmismo y único modelo. De hecho, si uno comenzó con el Veneziano generalizado\nmodelo y diagramas de bucle añadidos para implementar unitariedad, se encontró el ap-\nperencia en el bucle no plano de estados adicionales que tenían la misma masa\ne interacción de los del modelo Shapiro-Virasoro.\nEl diagrama plano, escrito en Eq. (230) en el canal de cadena cerrado, es\ndivergente para los grandes valores de t. Esta divergencia se reconoció que se debe a\nintercambio, en el canal de Pomeron, del taquión del Shapiro-Virasoro\nmodelo y del dilaton [47]. Corresponden, respectivamente, a los dos primeros\ntérminos de la ampliación:\n[f1(q)]\n−24 = e2ηt + 24 + O\ne−2ηt\n(248)\n46 Paolo Di Vecchia\nEl primero podría ser cancelado por una continuación analítica, mientras que el segundo\nuno podría ser eliminado a través de una renormalización de la pendiente del Regge\nTrayectoria â € [47].\nConcluimos la discusión de los diagramas de un solo bucle mencionando\nque el diagrama de un bucle para el modelo Shapiro-Virasoro fue calculado por\nShapiro [53] que también encontró que el integrand era modular invariante.\nEl cálculo de diagramas multilazo requiere una tecnología más avanzada-\nnología que también se desarrolló en los primeros días del modelo de resonancia dual\npocos años antes del descubrimiento de su conexión con la teoría de cuerdas. Con el fin de\ncalcular diagramas multiloop primero se necesita construir un objeto que era\nllamado N -Reggeon vértice y que tiene las propiedades de contener conjuntos N\nde osciladores armónicos, uno para cada pierna externa, y es tal que, cuando\nsaturarlo con N estados físicos, obtenemos el correspondiente N -punto ampli-\nTude. A continuación vamos a discutir cómo determinar el vértice N-Reggeon.\nEl primer paso hacia el N -Reggeon vértice es el Sciuto-Della Selva-\nSaito [54] vértice que incluye dos conjuntos de osciladores armónicos que denotamos\ncon los índices 1 y 2. Es igual a:\nVSDS = 2° x = 0, 0 : exp\ndzX ′2(z) ·X1(1− z)\n: (249)\ndonde X es la cantidad que hemos llamado Q en Eq. (57) y el prime\ndenota un derivado con respecto a z. Satisface la propiedad importante\nde dar el operador de vértice Vα(z = 1) de un estado arbitrario cuando nos\nsaturarlo con el estado correspondiente:\nVSDS 2 = Vα(z = 1) (250)\nUna deficiencia de este vértice es que no es invariante bajo una permu-\ndad de las tres piernas. Un vértice simétrico cíclico ha sido construido por\nCaneschi, Schwimmer y Veneziano [55] insertando el operador de giro en\nEq. (243). Pero el vértice 3-Reggeon no es suficiente si queremos calcular un\nAmplitud multiloop arbitraria. Debemos generalizarlo a un número arbitrario.\nde piernas externas. Tal vértice, que se puede obtener de la de Eq. (249)\ncon un procedimiento muy directo, o que también puede obtenerse cosiendo juntos\ntres vértices reggeon, ha sido escrito en su forma final por Lovelace [56] 17.\nAquí no lo derivamos, pero damos directamente su expresión escrita en Ref. [56]:\nVN,0 =\ni=1 dzi\ndVabc\ni=1[V\ni (0)]\n[i<x = 0, Oa]\ni,j=1\nn,m=0\na) n Dnm(V)\ni Vj) a\n(251)\n17 Véase también Ref. [57]. Documentos anteriores sobre el N-Reggeon se pueden encontrar en Ref.s [58].\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 47\ndonde a\n0 • αi0 =\n2pai es el impulso de la partícula i y el infinito\nmatriz:\nDnm(γ) =\nmz [γ(z)]\nnz=0; n,m = 1.. : D00(γ) = − log \nAD −BC\nDn0 =\n)n ; D0n =\n)n ; γ(z) =\nAz + B\nCz +D\n(252)\nes una “representación” del grupo proyectivo correspondiente a la\npeso = 0, que satisface los eqs.:\nDnm(γ1γ2) =\nDnl(γ1)Dlm(γ2) +Dn0(γ1)0m +D0m(γ2)n0 (253)\nDnm(γ) = Dmn(\n(z) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =\n(254)\nPor último, Vi es una transformación proyectiva que mapea 0, 1 y en zi−1, zi\ny zi+1.\nEl vértice anterior puede ser escrito en una forma más elegante como sigue:\nVN,0 =\ni=1 dzi\ndVabc\ni=1[V\ni (0)]\n[i<x = 0, Oa]\ndzlX(i)(z)pári logV\ni z)\ni,j=1\ndieX(i)(z) log[Vi(z)− Vj(y)]X(j)(y)\n(255)\ndonde las cantidades X(i) son lo que llamamos Q, a saber, el Fubini-Veneziano\ncampo, en las secciones anteriores. El vértice N -Reggeon que satisface el impor-\npropiedad de dar la amplitud de dispersión de N partícula física cuando\nlo saturamos con sus estados correspondientes, es el objeto fundamental para\ncomputando las amplitudes multiloop. De hecho, si queremos calcular un M -loop\namplitud con N estados externos, tenemos que empezar desde el (N+2M)-Reggeon\nvértice y luego tenemos que coser los pares M juntos después de haber insertado un\npropagador D. De esta manera obtenemos una amplitud que no sólo está integrado\nsobre las punciones zi (i = 1... N) de los estados externos N, pero también sobre\n3h− 3 modules adicionales correspondientes a las variables de punción de la\n48 Paolo Di Vecchia\nafirma que cosimos juntos y la variable de integración de la M propaga-\nTors. h es el número de bucles. Se han obtenido las amplitudes multiloop\nde esta manera ya en 1970 [59, 60, 61] y, mediante el procedimiento de costura,\nuno obtuvo funciones, como la matriz del período, los diferenciales abelianos, el\nprimera forma, etc., que están bien definidos en la superficie de Riemann! La única cosa\nque faltaba, era la medida correcta de las integraciones sobre el 3h-3 vari-\nporque técnicamente no era posible dejar que sólo los estados físicos a\ncircular en los bucles. Este problema sólo se resolvió mucho más tarde [62, 63] cuando\nuna formulación invariante BRST de la teoría de cuerdas y el cono-luz funcional\nintegral podría ser utilizado para la computación de multiloops. Son dos muy diferentes.\nenfoques que, sin embargo, dieron el mismo resultado. En aras de la integridad\nescribimos aquí la amplitud plana h-loop que involucra a los taquiones M:\nM (p1,. .., pM ) = N\nh Tr(?a1 · · aM ) Ch\n2gs (2α)\n(d−2)/4\n[dm]Mh\nG(h)(zi, zj)\nV ′i (0)V\nj (0)\n2+pi·pj\n, (256)\ndonde Nh Tr(?a1 · · aM ) es el factor U(N) Chan-Paton apropiado, g es\nla constante de acoplamiento de cadena abierta adimensional, Ch es un factor de normalización\ndado por\n(2η)dh\ng2h−2s\n(2o)d/2\n, (257)\ny G(h) es la función h-loop bosonic Green\nG(h)(zi, zj) = logE(h)(zi, zj)−\n(2ηIm)\n, (258)\ncon E(h)(zi, zj) siendo la forma principal,\nμ (μ = 1,..., h)\ny la matriz del período. Todos estos objetos, así como la medida en\nespacio moduli [dm]Mh, se puede escribir explícitamente en la parametrización Schottky\nde la superficie de Riemann, y sus expresiones para h arbitrario se puede encontrar para\nejemplo en Ref. [64]. Es dada por\n[dm]Mh =\ndVabc\nV ′i (0)\ndkμ d d\nk2μ ( − )2\n(1– kμ)2\n(259)\n× [det (−i)]−d/2\n(1- knα)−d\n(1− knα)2\ndonde kμ son los multiplicadores, y son los puntos fijos de los generadores\ndel grupo Schottky,\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 49\n9 De modelos duales a teoría de cuerdas\nEl enfoque presentado en las secciones anteriores es un verdadero\nProa. Los datos experimentales fueron la fuerza motriz en la construcción de\nel modelo Veneziano y de su generalización a las patas externas N. El resto de\nel trabajo que hemos descrito anteriormente consistía en derivar sus propiedades. Los\nresultado es, a excepción de un taquión, un modelo cuántico-relativista plenamente consistente\nque era una fuente de fascinación para los que trabajaban en el campo. Aunque\nel modelo creció de la teoría de S-matriz donde la amplitud de dispersión es la\nsólo objeto observable, mientras que la acción o el lagrangiano no tienen un centro\nSin embargo, algunas personas comenzaron a investigar lo que era\ning estructura microscópica que dio lugar a una tan consistente y hermosa\nmodelo. Resultó, como sabemos hoy, que esta estructura subyacente es que\nde una cuerda cuántico-relativista. Sin embargo, el proceso de conexión de la\nmodelo de resonancia (en realidad dos de ellos el Veneziano generalizado y el\nShapiro-Virasoro modelo) a la teoría de cuerdas tomó varios años de la origini-\nnal idea de una prueba completa y convincente de la conjetura. El original\nla conjetura fue formulada independientemente por Nambu [20, 65], Nielsen [66] y\nSusskind [21] 18. Si lo miramos en retrospectiva, fue en ese momento un fantástico\nidea que muestra la enorme intuición física de los que la formularon.\nPor otro lado, tomó varios años digerirlo antes de que uno fuera capaz de\nderivan de ella todas las características profundas del modelo de resonancia dual. Debido a\nesto, la idea de que la estructura subyacente era la de una cadena relativista,\nno influyó realmente en la mayor parte de la investigación en el campo hasta 1973. Déjame a mí.\nTrata de explicar por qué.\nUna característica común de la obra de Ref.s [20, 66, 21] es la sugerencia de que\nel número infinito de osciladores, que uno consiguió a través de la factorización de\nel modelo de resonancia dual, naturalmente sale de un libre bidimensional\nLagrangian para la coordenada Xμ(el, el) de una cadena unidimensional, que es un\ngeneralización obvia del lagrangiano que se escribe para la coordinación\nXμ() de un objeto puntiagudo en el indicador de tiempo adecuado:\n+ L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L\n(260)\nSiendo esta teoría invariante conformal los operadores de Virasoro también fueron con-\nstructed junto con su álgebra. Sin embargo, en esta primera formulación,\nlos generadores Virasoro Ln eran sólo los generadores asociados a la confor-\nmal simetría de la cadena hoja-mundo Lagrangian dada en Eq. (260) como en\ncualquier teoría de campo conformal. No está claro en absoluto por qué deben implicar la\nlas condiciones de medición encontradas por Virasoro o, en términos modernos, por qué deberían ser\nCero clásicamente. El ingrediente básico para resolver este problema fue proporcionado por\nNambu [65] y Goto [68] que escribió el Lagrangian no lineal proporcional\n18 Véase también Ref. [67].\n50 Paolo Di Vecchia\nal área que se extiende por la cadena en el espacio de destino externo. Procedieron.\nen analogía con la partícula de punto y escribió la siguiente acción:\n−dd (261)\ndonde\nd =\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n(262)\nXμ(..,..) es la coordenada de la cadena y..\nLas coordenadas de los puntos de contacto son las coordenadas de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto.\nla hoja del mundo de la cadena. es un tensor antisimétrico con 01 = 1. Insertar\neq. (262) en (261) y fijando la constante de proporcionalidad se obtiene el Nambu-\nAcción Goto [65, 68]:\nS = −cT\n( ·X ′)2 − 2X ′2 (263)\ndonde\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # X #\nMicrófonos + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n(264)\ny T 1\nes la tensión de la cadena, que reemplaza la masa que aparece en el\ncaso de una partícula de punto. En esta formulación, la cuerda Lagrangian es invariante\nbajo cualquier reparametrización de las coordenadas de la hoja del mundo\nsólo bajo las transformaciones conformales. Esto, de hecho, implica que los dos-\ndimensional world-sheet energy-momentum tensor de la cadena es en realidad cero\ncomo veremos más adelante. Pero tardó aún algunos años en conectar el Nambu-\nIr a la acción de las propiedades del modelo de resonancia dual. Mientras tanto\nse formuló un modelo análogo [69] que reproducía el árbol y el bucle\namplitudes del modelo Veneziano generalizado. Este enfoque se prevé\npor varios años la derivación integral del camino de las amplitudes duales. Fue muy\nestrechamente relacionado con la formulación funcional integral de Ref.s [70].\nSin embargo, uno tenía que esperar hasta 1973 con el papel de Goddard,\nGoldstone, Rebbi y Thorn [71], donde la acción Nambu-Goto fue cor-\nrectly tratado, todas sus consecuencias se derivaron y se convirtió en completamente\nclaro que la estructura subyacente al modelo de resonancia dual era la de un\ncuerda cuántica-relativista. La ecuación de movimiento para la cadena fue de-\nsalido de la acción en Eq. (263) mediante la imposición de la letra S = 0 en el caso de las variaciones de\nque Xμ(i) = X\nμ(lf ) = 0. Uno se pone:\n* X *\nXμ +\n* X *\n* X= = = 0 * = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =\n(265)\ndonde L es el Lagrangian en Eq. (263). Dado que ŁXμ es arbitrario, a partir de eq. (265)\nuno consigue la ecuación de movimiento Euler-Lagrange\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 51\n* X *\n= 0 (266)\ny las condiciones de los límites\n* X *\n= 0 o Xμ = 0 a = 0, (267)\npara una cadena abierta y\nXμ(l, 0) = Xμ(l, l) (268)\npara una cuerda cerrada. En el caso de una cadena abierta, el primer tipo de límite\ncondición en Eq.(267) corresponde a las condiciones de frontera de Neumann, mientras que\nel segundo a las condiciones límite de Dirichlet. Sólo los de Neumann...\nary condiciones preservar la invarianza de traducción de la teoría y, allí-\nAntes, se usaban principalmente en los primeros días de la teoría de cuerdas. Debe ser\ndestacó, sin embargo, que las condiciones de frontera de Dirichlet ya se habían discutido\ny utilizado en los primeros días de la teoría de cuerdas para la construcción de modelos con off-\nshell states [72].\nDe Eq. (263) se puede calcular la densidad de impulso a lo largo de la cadena:\nPμ = cT\n′2 −X ( ·X ′)\n( ·X ′)2 − 2X ′2\n(269)\ny obtener las siguientes restricciones entre las variables dinámicas Xμ y\nc2T 2x′\n+ P 2 = x′ · P = 0 (270)\nSon una consecuencia de la invarianza de re-parametrización de la cadena La-\nGrangiano. Debido a esto se puede elegir el calibrador ortonormal especificado por\nlas condiciones:\n2 +X ′\n= ·X ′ = 0 (271)\nque hoy en día se llama indicador conformal. En este calibrador eq. (269) pasa a ser:\nPμ = cT \n* X *\n= −cTX (272)\ny por lo tanto el eq. de movimiento en eq.(266) pasa a ser:\n−X = 0 (273)\nmientras que la condición límite en eq.(267) se convierte en:\nX ( = 0, ) = 0 (274)\n52 Paolo Di Vecchia\nLa solución más general del eq. de movimiento y de las condiciones de los límites\npuede escribirse como sigue:\n= qμ + 2p + i\n[aμne\n- en- en- an ein- ]\ncosn\n(275)\npara una cadena abierta y\nXμ(e, e) = qμ + 2p +\n[ne\n−2in() − n e2in()]\n[aμne\n−2in() − an e2in()]\n(276)\npara una cuerda cerrada. Este procedimiento demuestra realmente que, a partir de la\nNambu-Goto acción, uno puede elegir un indicador (el ortonormal o confor-\nmal calibrador) donde la ecuación de movimiento de la cadena se convierte en el dos-\nEcuación dimensional D’Alembert en Eq. (273). Además, la invarianza\nde la acción Nambu-Goto implica que las dos\ntensor dimensional de energía-momento es idénticamente cero en el nivel clásico\n(Véase Eq. (271)).\nComo el medidor Lorentz en QED el medidor ortonormal no fija com-\nCompletamente el medidor. Todavía podemos realizar reparametrizaciones que dejan en el\ncalibrador conformal: son transformatiuons conformales. Presentando el vari-\nlos generadores de las transformaciones conformales para la apertura\nla cadena se puede escribir como sigue:\ndzzn+1\nαn−m · αm = 0 (277)\ndonde\nn =\nnaμn, si n > 0\n2 μ pμ si n = 0 μ\nnan si n < 0\n(278)\nSon cero como consecuencia de Eq.s (270) que en el gálibo conformal\nconvertirse en Eq.s (271). En el caso de una cadena cerrada obtenemos en su lugar:\nL?n =\ndzzn+1\n= 0 (279)\ndz̄z̄n+1\n= 0 (280)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 53\nEn términos de los osciladores armónicos introducidos en eq. (276) obtenemos\nαm · αn−m = 0 ; Ln =\nm · n−m = 0 (281)\ndonde para los modos no cero hemos utilizado la convención en (278), mientras que el\nel modo cero viene dado por:\n0 = \n(282)\nEn conclusión, el hecho de que tengamos invarianza de reparametrización implica que\nlos generadores Virasoro son clásicamente idénticos a cero. Cuando cuantizamos el\nteoría uno no puede y tampoco tiene que imponer que están desapareciendo en\nel nivel del operador. Se imponen como condiciones que caracterizan lo físico\nestados.\nPhysLn Phys = Phys(L0 − 1) Phys = 0; n 6= 0 (283)\nEstas ecuaciones están satisfechas si requerimos:\nLn Phys > = (L0 − 1)\nEl factor adicional −1 en las ecuaciones anteriores proviene del orden normal\ncomo se explica en Eq. (198).\nLos autores de Ref. [71] especificó además el calibrador fijándolo completamente.\nSe introdujo el calibrador de cono-luz especificado mediante la imposición de la condición:\nX+ = 2p (285)\ndonde\nX0 ±Xd−1\nX0 ±Xd−1\n(286)\nEn este indicador los únicos grados físicos de libertad son los transversales.\nDe hecho, los componentes a lo largo de las direcciones 0 y d − 1 se pueden expresar en\ntérminos de los transversales insertando Eq. (285) en las limitaciones de Eq.\n(271) y obtener:\n= 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 \n4o p+\n(2i +X)\ni ) X\n2+p+\ni ·X ′i (287)\nque hasta una constante de integración determinan completamente X− como función\nde X i. En términos de osciladores obtenemos\nn = 0;\n2n =\nαin−mα\nm n 6= 0 (288)\n54 Paolo Di Vecchia\npara una cadena abierta y\nn = \nn = 0 n 6 = 0 (289)\njunto con\n2n =\nαin−mα\n2n =\nin−m\nm (290)\nen el caso de una cuerda cerrada.\nEsto muestra que los estados físicos son descritos sólo por el transverso\nosciladores que tengan sólo d − 2 componentes. Esos osciladores transversales corre...\nspond a los operadores de DDF transversales que hemos discutido en la Sección 6.\nLos autores de Ref. [71] también construyeron los generadores Lorentz sólo en términos\nde los osciladores transversales y mostraron que satisfacen el correcto\nálgebra de Lorentz sólo si la dimensión espacio-tiempo es d = 26. De esta manera el\nespectro del modelo de resonancia dual se reprodujo completamente a partir de\nde la acción Nambu-Goto si d = 26! Por otra parte, la elección de\nd = 26 es una necesidad si queremos mantener la invarianza de Lorentz!\nInmediatamente después de esto, la interacción también se incluyó, ya sea añadiendo\nun término que describe la interacción de la cadena con un campo de ancho externo [73]\no mediante un formalismo funcional [74, 75].\nEn lo siguiente sólo daremos algunos detalles del primer enfoque para el\ncaja de una cuerda abierta. Una forma de describir la interacción de cadena es añadiendo\na la acción de cadena libre un término adicional que describe la interacción de\nla cadena con un campo externo.\nSINT =\ndDyΦL(y)JL(y)(291)\ndonde ΦL(y) es el campo externo y JL es la corriente generada por la cadena.\nEl índice L representa los posibles índices de Lorentz que están saturados con el fin de\ntienen una acción invariante de Lorentz.\nEn el caso de una partícula de punto, tal término de interacción no dará ninguna\ninformación sobre la auto-interacción de una partícula.\nEn el caso de una cadena, en su lugar, veremos que SINT describirá la\ninteracción entre cadenas porque los campos externos que pueden\ninteractuar con una cadena son sólo los que corresponden a los diversos estados de\nla cadena, como quedará claro en la discusión de abajo.\nSe trata de una consecuencia del hecho de que, en aras de la coherencia, debemos\nponer las siguientes restricciones a SINT :\n• Debe ser un operador bien definido en el espacio que abarca la cadena\nosciladores.\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 55\n• Debe preservar las invarianzas de la teoría de cuerdas libres. En particular, en\nel “calibre conformal” debe ser invariante conformal.\n• En el caso de una cadena abierta, la interacción ocurre en el punto final de\nuna cadena (digamos que está en = 0). Esto se deriva del hecho de que dos cuerdas abiertas\ninteractúe uniéndose entre sí en los puntos finales.\nSe puede escribir la corriente escalar más simple generada por el movimiento de una cadena\ndel siguiente modo:\nJ(y) =\nd(e)(e)[yμ − xμ(e)(e)] (292)\nen la que se ha introducido el método de interacción, ya que la interacción se produce al final de la\nla cuerda. En aras de la simplicidad omitimos escribir una constante de acoplamiento g\nen (292).\nInsertando (292) en (291) y utilizando para el campo exterior escalar Φ(y) = eik·y\nuna onda de plano, obtenemos la siguiente interacción:\nSINT =\neik·X(,0) : (293)\ndonde se ha introducido el pedido normal para tener un bien definido\nOperadora. La invarianza de (293) bajo una transformación conformal \nrequiere la siguiente identidad:\nSINT =\n;: eik·X(l,0) : =\ndw : eik·X(w,0) : (294)\no, en otras palabras, que\n: eik·X(l,0) :=l w′(l) : eik·X(l,0) : (295)\nEsto significa que el integrand en Eq. (294) debe ser un campo conforme con\ndimensión conformal igual a uno y esto sucede sólo si k2 = 1. Los\ncampo externo corresponde entonces al estado más bajo taquiónico de la cadena abierta.\nOtra corriente simple generada por la cadena es dada por:\nJμ(y) =\nd(e)(e, e)\nd) y −X(l, )) (296)\nInsertando (296) en (291) obtenemos\nSINT =\nd(l, 0)\nμeik·X(,0) (297)\nsi usamos una onda plana para (y) = e\nik·y. El operador de vértice en eq. (297)\nes invariante conforme solamente si\nk2 = · k = 0 (298)\n56 Paolo Di Vecchia\ny, por lo tanto, el vector externo debe ser el estado fotónico sin masa de la\ncuerda. Podemos generalizar este procedimiento a un campo externo arbitrario y\nel resultado es que sólo podemos utilizar campos externos que corresponden a en shell\nestados físicos de la cuerda.\nEste procedimiento se ha ampliado en Ref. [73] en el caso de\ngravitones mediante la introducción en la acción Nambu-Goto de una métrica espacial objetivo y\nobtener el operador de vértice para el gravitón que es un estado sin masa en el\nteoría de cuerdas cerradas. Recuerde que, en ese momento, esto podría haberse hecho\nsólo con la acción Nambu-Goto porque la acción modelo se introdujo\nsolo en 1976 primero para la partícula de punto [76] y luego para la cadena [77]. As\nen el caso del fotón resultó que el campo externo correspondiente\nal gravitón estaba obligado a estar en caparazón. Esta condición es el precursor de\nlas ecuaciones de movimiento que se obtiene de la acción de modelo \nla desaparición de la función β [78].\nUno puede entonces calcular la amplitud de probabilidad para la emisión de un\nnúmero de estados de cadena correspondientes a los diversos campos externos, de un\nestado inicial de la cadena a uno final. Esta amplitud da precisamente el punto N\namplitud que discutimos en las secciones anteriores [73]. En particular, uno\naprende que, en el caso de la cadena abierta, el campo Fubini-Veneziano es justo\nla coordenada de cadena computada en = 0:\nQμ(z) Xμ(z, = 0) ; z = ei/23370/ (299)\nEn el caso de una cadena cerrada obtenemos en su lugar:\nQμ(z, z̄) Xμ(z, z̄) ; z = e2i(), z̄ = e2i() (300)\nFinalmente, permítanme mencionar que con el enfoque funcional Mandelstam [74]\nCremmer y Gervais [79] calcularon la interacción entre tres arbi-\ny reproducido de esta manera el acoplamiento de tres\nDDF estados dados en Eq. (202) y obtenido en Ref. [37] utilizando el operador\nformalismo. En este punto estaba completamente claro que la estructura subyacente\nel modelo generalizado Veneziano era el de una cuerda relativista abierta, mientras que\nque subyacente al modelo Shapiro-Virasoro era el de un relativista cerrado\ncuerda. Además, estas dos teorías no son independientes porque, si uno\ncomienza desde una teoría de cuerdas abiertas, uno se cierra automáticamente cadenas por\nCorrecciones de bucle.\n10 Conclusiones\nEn esta contribución, hemos pasado por los acontecimientos que llevaron a\nla construcción del modelo de resonancia dual a la teoría de cuerdas bosónicas\nTratando en la medida de lo posible de incluir todos los detalles técnicos necesarios. Esto\nes porque creemos que no sólo son importantes desde un punto de vista histórico\nde punto de vista, pero también son parte del formalismo que se utiliza hoy en día en muchos\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 57\ncálculos de cadena. Hemos tratado de ser lo más completos y objetivos posible,\npero muy bien podría ser que algunos de los que participaron en la investigación\nde estos años, no estarán de acuerdo con algunas o incluso muchas de las declaraciones que\nHecho. Nos disculpamos con aquellos que hemos olvidado mencionar o no lo hemos hecho\nmencionado como les hubiera gustado.\nFinalmente, después de haber pasado por los desarrollos de estos años, mi\npensamientos van a Sergio Fubini que compartió conmigo y Gabriele muchos de los\nideas descritas aquí y que se extraña profundamente, y a mis amigos de Flo-\nrence, Nápoles y Turín para una agradable colaboración en muchos documentos discutidos\nAquí.\nAgradecimientos\nAgradezco a R. Marotta y a I. Pesando por una lectura crítica del manuscrito.\nBibliografía\n1. G.F. Chew, La matriz analítica S, W.A.Benjamin, Inc. (1966).\nR.J. Eden, P.V. Landshoff, D.I. Olive y J.C. Polkinghorne, el analítico S\nMatriz, Cambridge University Press (1966).\n2. R. Dolen, D. Horn y C. Schmid, Phys. Rev. 166, 1768 (1968).\nC. Schmid, Phys. Rev. Cartas 20, 689 (1968).\n3. H. Harari, Phys. Rev. Cartas 22, 562 (1969).\nJ.L. Rosner, Phys. Rev. Cartas 22, 689 (1969).\n4. G. Veneziano, Nuovo Cimento A 57, 190 (1968).\n5. M. A. Virasoro, Phys. Rev. 177, 2309 (1969).\n6. M.A. Virasoro, Phys. Rev. D 1, 2933 (1970).\n7. A. Neveu y J.H. Schwarz, Nucl. Phys. B 31, 86 (1971) y\nPhys. Rev. D 4, 1109 (1971).\n8. P. Ramond, Phys. Rev. D 3, 2415 (1971).\n9. C. Lovelace, Phys. Lett. B 28, 265 (1968).\nJ. Shapiro, Phys. Rev. 179, 1345 (1969).\n10. P.H. Frampton, Phys. Lett. B 41, 364 (1972).\n11. V. Alessandrini, D. Amati, M. Le Bellac y D. Olive, Phys. Rep. C 1, 269\n(1971).\nG. Veneziano, Phys. Rep. C 9, 199 (1974).\nS. Mandelstam, Phys. Rep. C 13, 259 (1974).\nC. Rebbi, Phys. Rep. C 12, 1 (1974).\nJ. Scherk, Rev. Mod. Phys. 47, 123 (1975).\n12. F. Gliozzi, Lett. Nuovo Cimento 2, 1160 (1970).\n13. K. Bardakçi y H. Ruegg, Phys. Rev. 181, 1884 (1969).\nC.G. Goebel y B. Sakita, Phys. Rev. Cartas 22, 257 (1969).\nChan Hong-Mo y T.S. Tsun, Phys. Lett. B 28, 485 (1969).\nZ. Koba y H.B.Nielsen, Nucl. Phys. B 10, 633 (1969).\n14. K. Bardakçi y H. Ruegg, Phys. Lett.B 28, 671 (1969).\nM.A. Virasoro, Phys. Rev. Lett. 22, 37 (1969).\n58 Paolo Di Vecchia\n15. Z. Koba y H.B.Nielsen, Nucl. Phys. B 12, 517 (1969).\n16. H. M. Chan y J. E. Patón, Nucl. Phys. B 10, 516 (1969).\n17. S. Fubini y G. Veneziano, Nuovo Cimento A 64, 811 (1969).\n18. Bardakçi y S. Mandelstam, Phys. Rev. 184, 1640 (1969).\n19. S. Fubini, D. Gordon y G. Veneziano, Phys. Lett. B 29, 679 (1969)\n20. Y. Nambu, Proc. Int. Conf. sobre Symmetries y modelos de Quark, estado de Wayne\nUniversidad 1969 (Gordon and Breach, 1970), pág.\n21. L. Susskind, Nuovo Cimento A 69, 457 (1970) y Phys. Rev. Carta 23, 545\n(1969).\n22. J. Shapiro, Phys. Lett. B 33, 361 (1970).\n23. S. Fubini y G. Veneziano, Nuovo Cimento A 67, 29 (1970).\n24. F. Gliozzi, Lettere al Nuovo Cimento 2, 846 (1969).\n25. C.B. Chiu, S. Matsuda y C. Rebbi, Phys. Rev. Lett. 23, 1526 (1969).\nC.B. Thorn, Phys. Rev. D 1, 1963 (1970).\n26. S. Fubini y G. Veneziano, Anales de Física 63, 12 (1971).\n27. C. Lovelace, Phys. Lett. B 34, 500 (1971).\n28. E. Del Giudice y P. Di Vecchia, Nuovo Cimento A 5, 90 (1971).\nM. Yoshimura, Phys. Lett. B 34, 79 (1971).\n29. E. Del Giudice y P. Di Vecchia, Nuovo Cimento A 70, 579 (1970).\n30. P. Campagna, S. Fubini, E Napolitano y S. Sciuto, Nuovo Cimento A 2, 911\n(1971).\n31. E. Del Giudice, P. Di Vecchia y S. Fubini, Anales de Física, 70, 378 (1972).\n32. R.C. Brower, Phys. Rev. D 6, 1655 (1972).\n33. P. Goddard y C.B. Thorn, Phys. Lett. B 40, 235 (1972).\n34. F. Gliozzi, J. Scherk y D. Olive, Phys. Lett. B 65, 282 (1976) ; Nucl. Phys.\nB 122, 253 (1977).\n35. L. Brink y H.B. Nielsen, Phys. Lett. B 45, 332 (1973).\n36. F. Gliozzi, sin publicar.\nVer también P. Di Vecchia en muchos grados de libertad en física de partículas, editado\npor H. Satz, Plenum Publishing Corporation, 1978, pág. 493.\n37. M. Ademollo, E. Del Giudice, P. Di Vecchia y S. Fubini, Nuovo Cimento A\n19, 181 (1974).\n38. J. Scherk, Nucl. Phys. B 31, 222 (1971).\n39. N. Nakanishi, Prog. Teor. Phys. 48, 355 (1972).\nP.H. Frampton y K.C. Wali, Phys. Rev. D 8, 1879 (1973).\n40. A. Neveu y J. Scherk, Nucl. Phys.B 36, 155 (1973).\n41. A. Neveu y J.L. Gervais, Nucl. Phys. B 46, 381 (1972).\n42. P. Di Vecchia, A. Lerda, L. Magnea, R. Marotta y R. Russo, Nucl. Phys. B\n469, 235 (1996)\n43. T. Yoneya, Prog. de Teor. Phys. 51, 1907 (1974).\n44. K. Kikkawa, B. Sakita y M. Virasoro, Phys. Rev. 184, 1701 (1969).\nK. Bardakçi, M.B. Halpern y J. Shapiro, Phys. Rev. 185, 1910 (1969).\nD. Amati, C. Bouchiat y J.L. Gervais, Lett. al Nuovo Cimento 2, 399 (1969).\nA. Neveu y J. Scherk, Phys. Rev. D 1, 2355 (1970).\nG. Frye y L. Susskind, Phys. Lett. B 31, 537 (1970).\nD.J. Gross, A. Neveu, J. Scherk y J.H. Schwarz, Phys. Rev. D 2, 697 (1970).\n45. L. Brink y D. Olive, Nucl. Phys. B 56, 253 (1973) y Nucl. Phys. B 58, 237\n(1973).\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 59\n46. E. Cremmer y J. Scherk, Nucl. Phys. B 50, 222 (1972).\nL. Clavelli y J. Shapiro, Nucl. Phys. B 57, 490 (1973).\nL. Brink, D.I. Olive y J. Scherk, Nucl. Phys. B 61, 173 (1973).\n47. M. Ademollo, A. D’Adda, R. D’Auria, F. Gliozzi, E. Napolitano, S. Sciuto y\nP. Di Vecchia, Nucl. Phys. B 94, 221 (1975).\nJ. Shapiro, Phys. Rev. D 11, 2937 (1975).\n48. D.I.Olive y J. Scherk, Phys. Lett. B 44, 296 (1973).\n49. M. Ademollo, A. D’Adda, R. D’Auria, E. Napolitano, P. Di Vecchia, F. Gliozzi\ny S. Sciuto, Nucl. Phys. B 77, 189 (1974).\n50. M. Kalb y P. Ramond, Phys. Rev. D 9, 2273 (1974).\n51. E, Cremmer y J. Scherk, Nucl. Phys. B 72, 117 (1974).\n52. A. D’Adda, R. D’Auria, E. Napolitano, P. Di Vecchia, F. Gliozzi y S. Sciuto,\nPhys. Lett. B 68, 81 (1977).\n53. J. Shapiro, Phys. Rev. D 5, 1945 (1975).\n54. S. Sciuto, Lettere al Nuovo Cimento 2, 411 (1969).\nA. Della Selva y S. Saito, Lett. al Nuovo Cimento 4, 689 (1970).\n55. L. Caneschi, A. Schwimmer y G. Veneziano, Phys. Lett.B 30, 356 (1969).\nL. Caneschi y A. Schwimmer, Lettere al Nuovo Cimento 3, 213 (1970).\n56. C. Lovelace, Phys. Lett. B 32, 490 (1970).\n57. D.I. Olive, Nuovo Cimento A 3, 399 (1971).\n58. I. Drummond, Nuovo Cimento A 67, 71 (1970).\nG. Carbone y S. Sciuto, Lett. Nuovo Cimento 3, 246 (1970).\nL. Kosterlitz y D. Wray, Lett. al Nuovo Cimento 3, 491 (1970).\nD. Collop, Nuovo Cimento A 1, 217 (1971).\nL.P. Yu, Phys. Rev. D 2, 1010 (!970); Phys. Rev. D 2, 2256 (!970).\nE. Corrigan y C. Montonen, Nucl. Phys. B 36, 58 (1972).\nJ.L. Gervais y B. Sakita, Phys. Rev. D 4, 2291 (1971).\n59. C. Lovelace, Phys. Lett. B 32, 703 (1970).\n60. V. Alessandrini, Nuovo Cimento A 2, 321 (1971).\n61. D. Amati y V. Alessandrini, Nuovo Cimento A 4, 793 (1971).\n62. P. Di Vecchia, M. Frau, A. Lerda y S. Sciuto, Phys. Lett. B 199, 49 (1987).\nJ.L. Petersen y J. Sidenius, Nucl. Phys. B 301, 247 (1988).\n63. S. Mandelstam, In “Unified String Theories”, editado por M. Green y D. Gross,\nWorld Scientific, p. 46.\n64. P. Di Vecchia, F. Pezzella, M. Frau, K. Hornfeck, A. Lerda y S. Sciuto, Nucl.\nPhys. B 322, 317 (1989).\n65. Y. Nambu, Conferencias en el Simposio de Copenhague, 1970, inéditas.\n66. H. B. Nielsen, documento presentado al 15o Int. Conf. sobre Física de Alta Energía,\nKiev, 1970 y Nordita preprint (1969).\n67. T. Takabayasi, Progr. Teor. Phys. 44 (1970) 1117.\nO. Hara, Progr. Teor. Phys. 46, 1549 (1971).\nL.N. Chang y J. Mansouri, Phys. Rev. D 5, 2535 (1972).\nJ. Mansouri e Y. Nambu, Phys. Lett. B 39, 357 (1972).\nM. Minami, Prog. Teor. Phys. 48, 1308 (1972).\n68. T. Goto, Progr. Teor. Phys. 46 (1971) 1560.\n69. D. Fairlie y H.B. Nielsen, Nucl. Phys. B 20, 637 (1970) y 22, 525 (1970).\n70. C.S. Hsue, B. Sakita y M.A. Virasoro, Phys. Rev. 2, 2857 (1970).\nJ.L. Gervais y B. Sakita, Phys. Rev. D 4, 2291 (1971).\n71. P. Goddard, J. Goldstone, C. Rebbi y C. Thorn, Nucl. Phys. B 56, 109\n(1973).\n60 Paolo Di Vecchia\n72. E.F. Corrigan y D.B. Fairlie, Nucl. Phys. B 91, 527 (1975).\n73. M. Ademollo, A. D’Adda, R. D’Auria, P. Di Vecchia, F. Gliozzi, R. Musto, E.\nNapolitano, F. Nicodemi y S. Sciuto, Nuovo Cimento A 21, 77 (1974).\n74. S. Mandelstam, Nucl. Phys. B 64, 205 (1973).\n75. J.L. Gervais y B. Sakita, Phys. Rev. Lett. 30, 716 (1973).\n76. L. Brink, P. Di Vecchia, P. Howe, S. Deser y B. Zumino, Phys. Lett. B 64,\n435 (1976).\n77. L. Brink, P. Di Vecchia y P. Howe, Phys. Lett. B 65, 471 (1976).\nS. Deser y B. Zumino, Phys. Lett. B 65, 369 (1976).\n78. C. Lovelace, Phys. Lett. B 136, 75 (1984).\nC.G. Callan, E.J.Martinec, M.J. Perry y D. Friedan, Nucl. Phys. B 262, 593\n(1985).\n79. E. Cremmer y J.L. Gervais, Nucl. Phys. 76, 209 (1974).\n\tEl nacimiento de la teoría de cuerdas\n\tPaolo Di Vecchia\n"}}},{"rowIdx":95,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0102,"string":"704.0102"},"title":{"kind":"string","value":"Duality and Tameness"},"full_text":{"kind":"string","value":"arXiv:0704.0102v1 [math.AC] 1 Apr 2007\nDUALIDAD Y TAMENESS\nMARC CHARDIN, STEVEN DALE CUTKOSKY, JÜRGEN HERZOG Y HEMA SRINIVASAN\nResumen. Demostramos un teorema de dualidad para ciertos álgebras graduadas y mostrar por varios\nejemplos de diferentes tipos de fracaso de la domesticación de la cohomología local.\nIntroducción\nEl propósito de este trabajo es construir ejemplos de comportamiento extraño de coho local.\nMoology. En estas construcciones seguimos una estrategia que ya se utilizó en [CH] y\nque se refiere, a través de una secuencia espectral introducida en [HR], la cohomología local para el\ndos distinguidos ideales primos bigraded en un álgebra bigraded estándar.\nEn la primera parte consideramos álgebras con clasificaciones más bien generales y deducir un similar\nsecuencia espectral en esta situación más general. Un ejemplo típico de tal álgebra\nes el álgebra de Rees de un ideal calificado. La prueba de la secuencia espectral dada aquí es\nmás simple que la de la secuencia espectral correspondiente en [HR].\nEn la segunda parte de este artículo construimos ejemplos de los anillos de clasificación estándar A,\nque son álgebras sobre un campo K, de tal manera que la función\n(1) j 7→ dimK(H iA+(A)−j)\nes una función interesante para j â € 0. En nuestros ejemplos, esta dimensión será finita para todos\nSupongamos que A0 es un anillo local de Noetherian, A =\nj≥0Aj es un anillo graduado estándar y\nconjunto A+ :=\nj>0Aj. Que M sea un modulo A finitamente generado y F := M\ndivisión de M en Y = Proj(A). Luego hemos clasificado los isomorfismos del módulo A\nH i+1A+ (M)\nH i(Y,F(n))\npara i ≥ 1, y una expresión similar para i = 0 y 1.\nPor desaparición de Serre, H iA+(M)j = 0 para todos los i y j 0. Sin embargo, la asintótica\nel comportamiento de H iA+(M)−j para j â € 0 es mucho más misterioso.\nEn el caso cuando A0 = K es un campo, la función (1) es de hecho un polinomio para grandes\nSuficiente j. La prueba es una consecuencia de la dualidad local calificada ([BS, 13.4.6] o [BH, 3.6.19])\no sigue de la dualidad Serre en una variedad proyectiva.\nPara los módulos A0 más generales, HA+(M)−j son finitamente generados, pero no necesitan tener\nlongitud finita.\nEl siguiente problema fue propuesto por Brodmann y Hellus [BrHe].\nEl segundo autor fue parcialmente apoyado por NSF.\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0102v1\nProblema de domesticación: ¿Son los módulos de cohomología locales H iA+(M) domesticados? Es decir, ¿es eso?\ncierto que o bien\n{H iA+(M)j 6= 0, \n¿A+(M)j = 0?\nEl problema tiene una solución positiva para A0 de pequeña dimensión (algunas de las referencias\nson Brodmann [Br], Brodmann y Hellus [BrHe], Lim [L], Rotthaus y Sega [RS]).\nTeorema 0.1 ([BrHe]). Si dim(A0) ≤ 2, entonces M es domesta.\nSin embargo, dos de los autores han demostrado recientemente que la domesticación puede fallar si\ndim(A0) = 3.\nTeorema 0,2 ([CH]). Hay ejemplos con dim(A0) = 3 donde M no es domesta.\nLa declaración de este ejemplo se reproduce en el Teorema 3.1 de este artículo. La función\n(1) es periódico para j grande. Específicamente, la función (1) es 2 para grande incluso j y es 0 para\ngran j impar.\nEn Teorema 3.3 construimos un ejemplo de fracaso de la domesticación de la cohomología local\nque no es periódico, y ni siquiera es un cuasi polinomio (en −j) para j grande. Específicamente,\ntenemos para j > 0,\ndimK(H\n(A)-j) =\n1 si se trata de j • 0 (mod) (p + 1),\n1 si j = pt para algunas t impares ≥ 0,\n0 en caso contrario,\ndonde la característica de K es p. Tenemos pt • −1 (mod) (p + 1) para todos los impares t ≥ 0.\nTambién damos un ejemplo (Teorema 3.5) de fracaso de la domesticación donde (1) es un cuasi\npolinomio con crecimiento lineal en grado par y es 0 en grado impar.\nEn Teorema 3.6, damos un ejemplo dócil, pero tenemos\ndimK(H\nA) a j)\nasí que (1) está lejos de ser un cuasi polinomio en −j para j grande.\nMientras que el ejemplo de [CH] es para M = A, donde A es el módulo canónico de A, el\nejemplos del papel son todos para M = A. Esto nos permite reinterpretar fácilmente nuestros ejemplos\ncomo álgebras Rees en la Sección 4, y por lo tanto tenemos ejemplos de álgebras Rees sobre anillos locales\npara lo cual el fracaso de la mansedumbre antedicho sostiene.\nEn la sección final, sección 5, damos un análisis del papel explícito e implícito de\nbigraded duality en la construcción de los ejemplos, y algunos comentarios sobre cómo afecta\nla geometría de las construcciones.\n1. Dualidad para anillos polinomios en dos conjuntos de variables\nDeja que K sea cualquier anillo conmutativo (con unidad). En aplicaciones posteriores K será en su mayoría\nun campo. Además dejar S = K[x1,. .., xm, y1,. .., yn], P = (x1,. .., xm) y Q =\n(y1,. ., yn).\nLa homología del complejo Čech CP ( ) (resp. CQ( )) será denotado por HP ( ) (resp.\nHQ( )). Note que para cualquier anillo conmutativo K, esta homología es la cohomología local\nsoportado en P (resp. Q), como P y Q son generados por una secuencia regular.\nAsumir que S está clasificado para algún grupo abeliano, y que deg(a) = 0 para un K.\nSi xsyp R, deg(xsyp) = l(s) + l′(p) con l(s) :=\ni si deg(xi) y l\n′(p) :=\nj pj deg(yj).\nDefinición 1.1. Deja que yo sea un ideal de grado. La clasificación de S es I-afilada si H iI(S)γ\nes un K-módulo finitamente generado, para cada i y γ.\nLemma 1.2. Las condiciones siguientes son equivalentes:\n(i) la clasificación de S es P -afilada.\nii) la clasificación de S es Q-sharp.\niii) para todos los γ, (α, β): α ≥ 0, β ≥ 0, l(α) = γ + l′(β) < \nNótese que si K es Noetherian, M es un módulo S de grado S de generación finita, y el\nEl grado de S es I-afilado, entonces H iI(M)γ es un K-módulo finito, para cada i y γ. Esto\nsigue de la secuencia espectral convergente Hp−q (H)\nI (F) H\nI (M), donde F\nes una resolución S libre de grado de M con Fi finito para cada i.\nA partir de ahora asumiremos que la clasificación de S es P -afilada (equivalentemente Q-\nafilada). Set = deg(x1 · · · xmy1 · · · · yn), y si N es un módulo graduado, a continuación, dejar que N =\nHomS(N,S()) y N* = *HomK(N,K) donde la clasificación de N* es dada por (N*)γ =\nHomK(N,K). Más generalmente, siempre denotamos el K-dual calificado de un mod-\nule N (por encima de lo que calificaba de K-álgebra en cualquier caso) por N*. Finalmente denotamos por el mapa\nS(−a) → S(−b) inducido por la multiplicación por xαyβ donde a = deg xα y b = − deg yβ.\nLemma 1.3. HmP ()γ\n* HnQ()*.\nPrueba. El K-moduleHmP libre (S)γ es generado por los elementos x\n− s− 1yp con s, p ≥ 0 y\n−l(s)− l(1) + l′(p) = γ, y HnQ(S) se genera por los elementos xty−q−1 con t, q ≥ 0\ny l(t)− l′(q)− l′(1) =.\nLet dγ : H\nP (S)γ → (HnQ(S):*)γ = HnQ(S) ser el mapa K-lineal definido por\n−s−1yp(xty−q−1) =\n1, si s = t y p = q,\n0, si no.\nEntonces dγ es un isomorfismo (porque el grado de R es Q-afilado) y hay un com-\ndiagrama mutatis mutandis\nHmpP (S)a\n() HmP (S)b\n\n(HnQ(S)a)\n(HnQ(S)b)*.\nLa afirmación es la siguiente. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nComo consecuencia inmediata obtenemos\nCorollary 1.4. (a) Que f • S sea un elemento homogéneo de grado a–b, y • S(−a) →\nS(−b) el mapa grado cero inducido por la multiplicación con f.\nHmP () HnQ()*.\n(b) Que F sea un complejo de S-módulos libres finitamente generados. Entonces\ni) H iP (F) = 0 para i 6= m y H\nQ(F) = 0 para j 6= n,\nii) HmP (F) HnQ(F)*.\nComo resultado principal de esta sección tenemos\nTeorema 1.5. Suponga que K es Noetheriano, el grado-de-S es P -afilado (equivalentemente\nQ-sharp) y M es un modulo S de grado finitamente generado. Set S/K := S(). Dejad en paz a F.\nuna resolución S mínima de M. Entonces,\n(a) Para todos i, hay un isomorfismo functorial\nHiP (M) Hm−i(HmP (F)).\n(b) Hay una secuencia espectral convergente de la categoría.\nH iQ(Ext\nS(M,S/K)) H\ni+j−n(HmP (F)\nEn particular, si K es un campo, hay una secuencia espectral convergente de grado.\nH iQ(Ext\nS(M,.............................................................................................................................................................................................................................................................\ndimS−(i+j)\nP (M)\nPrueba. La reclamación a) es una consecuencia inmediata del corolario 1.4 a través de las especificaciones de la categoría...................................................................................................................................................\nsecuencia tral Hp−i(H\nP (F)) H iP (M). Para (b), las dos secuencias espectrales que surgen de\nel CQF+ doble complejo tiene como segundo términos respectivamente ′Eij2 = H iQ(Ext\nS(M,S/K)),\n2 = 0 para i 6 = n y ′′E\n2 = H\nj(HnQ(F)\n*) Hj(HmP (F)*). Si K más es un campo,\nHj(HmP (F)\n*) (Hj(HmP (F))* H\nP (F)\nCorollary 1.6. Bajo las hipótesis del teorema, si K es un campo, entonces para cualquier γ\nhay secuencias espectrales convergentes de espacios K-vector de dimensión finita\nH iQ(Ext\nS(M,R)\ndimS−(i+j)\nP (M),\nH iP (Ext\nS(M,R)\ndimS−(i+j)\nQ (M).\nAhora consideramos el caso especial de que = Z2, S := K[x1,. .., xm, y1,. .., yn] con\ndeg(xi) = (1, 0) y deg(yj) = (dj, 1) con dj ≥ 0. Set T := K[x1,. .., xm] y dejar M ser\na Módulo S de categoría S. Vemos a M como un módulo de grado Z definiendo Mk =\nj M(j,k).\nObserve que cada Mk en sí es un modulo T graduado con (Mk)j = M(j,k) para todos j. Nosotros también.\nnote que HiP (M)k\n• = H iP0(Mk), como se puede ver en la definición de la cohomología local\nutilizando el complejo Čech. Aquí P0 = (x1,. .., xm) es el ideal máximo clasificado de T.\nCorollary 1.7. Con la notación introducida, s := dimS = m + n y d := dimM.\na) H0P (Ext\nS (M,.............................................................................................................................................................................................................................................................\n• = HdQ(M)* para cualquier k,\n(b) hay una secuencia exacta\n0→H1P (Exts−dS (M,S))→H\nQ (M)\nH0P (Exts-d+1S (M,S)).\nc) Dejar i ≥ 2. Si ExtjS(M,?S) es aniquilado por un poder de P para todos s-d < j < s-d+i,\nentonces hay una secuencia exacta\nExts−d+i−1S (M,S)→H\nP (Ext\nS (M,S))→H\nQ (M)\nH0P (Exts-d+iS (M,S)).\nEn particular, si Ext\nS(M) tiene longitud finita para todos los s − d < j ≤ s − d+ i0, para algunos\nentero i0, entonces\nH iP0(Ext\nS (M,S)k)\n= (Hd-iQ (M)−k)\n* para todos los i ≤ i0 y k ≤ 0.\nEn consecuencia, si M es un módulo generalizado Cohen-Macaulay (es decir, Exts-iS (M,\nlongitud finita para todos los i 6=d), y si establecemos N = Exts−dS (M,\nH iP0 (Nk)\n= (Hd-iQ (M)−k)\n* para todos los i y todos los k â € 0.\nPrueba. a), b) y c) son consecuencias directas del corolario 1.6. Para la solicitud, notificación\nque si γ = (l, k) • • con k • 0 uno tiene ExtjS(M,•S)γ = 0 para todos los s− d < j ≤ s− d+ i0.\nPor lo tanto, para tal γ, la conclusión deseada sigue. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nUn ejemplo típico al que se aplica esta situación es el álgebra de Rees de un ideal calificado\nI en el anillo polinomio estándar T = K[x1,. .., xm]. Digamos, yo soy generado ser el\npolinomios homogéneos f1,. ..., fn con deg fj = dj para j = 1,..., n. Entonces el Rees\nálgebra R(I) T [t] se genera los elementos fjt. Si establecemos deg fjt = (dj, 1) para todos j\ny deg xi = (1, 0) para todos los i, entonces R(I) se convierte en un modulo S de grado S a través de la álgebra-K\nhomomorfismo S → R(I) con xi 7→ xi y yj 7→ fjt.\nDe acuerdo con esta definición tenemos R(I)k = Ik para todos k.\nPuesto que dimR(I) = m+1, el módulo R(I) = Extn−1S (R(I), فارسىS) es el módulo canónico\nde R(I) (en el sentido de [HK, 5. Vortrag]. Recordemos que si un anillo R es un módulo S finito\nde la dimensión m + 1, el mapa finito natural R→Hom(R, R) = Extn−1S (R, S) es un\nisomorfismo si y sólo si R es S2. Así, en combinación con el corolario 1.7 obtenemos\nCorollary 1.8. Let R := R(I). Supongamos que Rp es Cohen-Macaulay para todos p 6= (m, R+)\ndonde m = (x1,. .., xm) y R+ =\nk>0 I\nktk. Entonces\nH im(I)\nk) (Hm+1−iR+ (R)−k)\n* para todos los i y todos los k â € 0.\nPrueba. Puesto que la R se localiza, las condiciones implican que (R)p es Cohen-Macaulay para todos p 6=\n(m, R+). Por lo tanto lo natural en el mapa R→R′ := Extn−1S (R, S) tiene un cokernel de finito\nlongitud. En particular, R′k = Rk = I\nk para k + 0. Así pues, el corolario 1,7 se aplicó a M = R\nda la conclusión deseada. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 1.9. Let R := R(I). Si el cokernel de R→Hom(?R,?R) es aniquilado por un\npotencia de R+ (en otras palabras, la explosión es S2, como un esquema proyectivo sobre Spec(T)),\nentonces R′k = I\nk para k 0 y por lo tanto uno tiene una secuencia exacta\n0→H0m(T/Ik)→(HmR+(R)−k)\nH0m(ExtnS(R,S)k)→H1m(T/Ik)→(Hm−1R+ (R)k)\npara tal k.\n2. Un método de construcción de ejemplos\nSupongamos que R =\ni,j≥0Rij es un álgebra bigrada estándar sobre un anillo K = R00.\nDefinir Ri =\nj≥0Rij y Rj =\ni≥0Rij. Definir ideales P =\ni y Q =\nj>0Rj\nen R. Supongamos que M =\nijÃ3zMij es un modulo R de generación finita, bigraded. Definir\nM i =\njáZMij y Mj =\niZMij. M\ni es un R0-módulo graduado y Mj es un graduado\nR0-módulo. Dejar Q0 = R01R\n0, por lo que Q = Q0R. Dejar P0 = R10R0 para que P = R10R. Nosotros\ntienen isomorfismos del módulo K\nH lQ(M)m,n\n• = H lQ0(M\npara m,n â € Z. Dejemos que Mìm sea la sheafificación del módulo R0-Mm graduado en Proj(R0).\nTenemos isomorfismos del módulo K\nH lQ0(M\nm)n = H l−1(Proj(R0), Mśm(n))\npara l ≥ 2 y secuencias exactas\n0 → H0Q0(M\nm)n → (Rm)n = Rm,n → H0(Proj(R0), Mśm(n)) → H1Q0(M\nm)n → 0.\nTenemos fórmulas similares para el cálculo de H lP (M).\nAhora supongamos que X es un esquema proyectivo sobre K y F1 y F2 son una línea muy amplia\npaquetes en X. Vamos.\nRm,n=(X,Fm1 F\nRequerimos que R =\nm,n≥0Rm,n ser una álgebra K bigranada estándar. Tenemos\nX = Proj(R0) = Proj(R0).\nLa sheafification del R0-módulo grado Rm en X es Rśm = Fm1, y la sheafification\ndel módulo R0-Rn clasificado en X es Rn = Fn2 (Ejercicio II.5.9 [Ha]).\nPara l ≥ 2 tenemos isomorfismos bigrado\nH lQ(R)\nH lQ0(R\nm)n â € =\nm≥0,nÃ3rZ\nH l−1(X,Fm1 F\nViendo R como un álgebra R0 graduada, por lo tanto hemos clasificado isomorfismos\n(2) H lQ(R)n\nH l−1(X,Fm1 F\npara l ≥ 2 y n ≤ Z. Let d = dim(R) = dim(X) + 2.\nAhora suponemos además que K es un campo cerrado algebraicamente y X es un nonsingular\nVariedad K. Vamos.\nV = P(F1+F2),\nun paquete de espacio proyectivo sobre X con proyección η : V → X. Dado que F1+F2 es un amplio\npaquete en X, OV (1) es amplio en V. Desde\n(V,OV (t))\n• (V,OV (t)) • (X,St (F1) • (F2)) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\ni+j=t\ny R se genera en grado 1 con respecto a esta clasificación, OV (1) es muy amplio en V y\nR es el anillo de coordenadas homogéneo de la variedad proyectiva no singular V, de modo que R\nes generalizado Cohen Macaulay (todos los módulos de cohomología local H iR+(R) de R con respeto\na la máxima bitraded ideal R+ de R tienen longitud finita para i < d). Además, tenemos que\nV es proyectivamente normal por esta incrustación (Ejercicio II.5.14 [Ha]) de modo que R es normal.\n3. Comportamiento extraño de la cohomología local\nEn [CH], construimos el siguiente ejemplo de fracaso de la domesticación de la cohomología local.\nEn el ejemplo, R0 tiene la dimensión 3, que es la más baja posible para el fracaso de la domesticación\n[Br].\nTeorema 3.1. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.\nálgebra K R0 graduada estándar con dim(R0) = 3, y una álgebra R0 graduada normal\nR con dim(R) = 4 tales que para j â € 0,\ndimK(H\nQ(R)j) =\n2 si j es par,\n0 si j es impar,\ndonde R es el módulo canónico de R, Q =\nn>0Rn.\nPrimero mostramos que el teorema anterior también es cierto para la cohomología local de R.\nTeorema 3.2. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.\nálgebra K R0 graduada estándar con dim(R0) = 3, y una álgebra R0 graduada normal\nR con dim(R) = 4 tales que para j > 0,\ndimK(H\nQ(R)−j) =\n2 si j es par,\n0 si j es impar,\ndonde Q =\nn>0Rn.\nPrueba. Calculamos esto directamente para la R del Teorema 3.1 a partir de (2) y los cálculos de\n[CH]. Traduciendo de la notación de este artículo a la notación de [CH], tenemos X = S\nes una superficie abeliana, F1 = OS(r2laH) y F2 = OS(r2(D + alH)).\nPor (2) de este documento, para n â € N, tenemos\ndimK(H\nQ(R)n) =\nm≥0 h\n1 (X,Fm1 F)\nm≥0 h\n1 (S,OS((m+ n)r2alH + nr2D)).\nLa fórmula (1) de [CH] nos dice que para m,n-n-Z,\n(3) h1(S,OS(mH + nD)) =\n2 si m = 0 y n es par,\nDe lo contrario.\nAsí para n < 0, tenemos\ndimK(H\nQ(R)n) =\n2 si n es par,\n0 si n es impar,\ndando las conclusiones del teorema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEl siguiente ejemplo muestra un fallo no periódico de domesticación.\nTeorema 3.3. Supongamos que p es un número primo tal que p • 2 (mod) 3 y p ≥ 11.\nEntonces existe un estándar normal de K-álgebra R0 sobre un campo K de características\np con dim(R0) = 4, y un R0-álgebra R normal graduado con dim(R) = 5 tales\nque para j > 0,\ndimK(H\nQ(R)−j) =\n1 si se trata de j • 0 (mod) (p + 1),\n1 si j = pt para algunas t impares ≥ 0,\n0 en caso contrario,\ndonde Q =\nn>0Rn. Tenemos p\nt • −1(mod)(p + 1) para todos los t impares ≥ 0.\nPara establecer esto, necesitamos el siguiente simple lema.\nLemma 3.4. Supongamos que C es una curva no singular del género g sobre un algebraicamente cerrado\ncampo K, y M, N son paquetes de línea en C. Si deg(M) ≥ 2(2g+1) y deg(N) ≥ 2(2g+1),\nluego el mapa natural\n(C,M) (C,N) (C,N) → (C,MN)\nes una suposición.\nPrueba. Si L es un paquete de línea en C, entonces H1(C,L) = 0 si deg(L) > 2g − 2 y L es muy\namplio si deg(L) ≥ 2 g + 1 (capítulo IV, sección 3 [Ha]).\nSupongamos que L es muy amplia y G es otro paquete de línea en C. Si deg(G) > 2g − 2−\ndeg(L), entonces G es 2-regular para L (Lectura 14, [M1]. Así, si deg(G) > 2g − 2 + deg(L),\n(C,G) (C,L) (C,L) → (C,G L)\nes una suposición de la Proposición de Castelnuovo, Conferencia 14, página 99 [M1].\nAhora aplicamos lo anterior para probar el lema. Escribe M = Aq B donde A es una\nconjunto de líneas de modo que deg(A) = 2g + 1, y 2g + 1 ≤ deg(B) < 2,2g + 1). deg(N) >\n2g − 2 + deg(A). Por lo tanto, existe una superposición\n* (C,N ) * (C,A) * (C,A) * (C,AN ).\nHacemos iteraciones para conseguir surjecciones\n(C,Ai N ) (C,A) → (C,A(i+1) N )\npara i ≤ q, y una superficie\n(C,Aq N ) (C,B) → (C,MN ).\nAhora probamos el Teorema 3.3. Para la construcción, comenzamos con un ejemplo de\nSección 6 de [CS]. Existe un campo cerrado algebraicamente K de p característica, una curva\nC del género 2 sobre K, un punto q ° C y un haz de líneas M sobre C de grado 0, de tal manera que para\nn ≥ 0,\nH1(C,OC (q)Mn) =\n1 si n = pt para algunos t ≥ 0,\nDe lo contrario.\nAdemás, H1(C,OC (2q)Mn) = 0 para todos los n > 0.\nDejar a = p+ 1. Dejar E ser una curva elíptica sobre K, y dejar T = E × E, con proyecciones\nηi : T → E. Let b E be a point and let A = 1(OE(b)) 2(OE(b)). Dejar X = T × C,\ncon proyecciones de 1°: X → T, 2°: X → C. Let L = OC(q). Vamos.\nF1 = 1(A)a 2(L)a,\nF2 = 1(A)(1+a) 2(L(1+a) M−1).\nPara m,n ≥ 0, tenemos\n(X,Fm1 F)\n2 ) = (T,A(ma+n(1+a))) (C,L(ma+n(1+a)) Mn)\n= (T,Aa) m (T,A(1+a))n (C,La)m (C,L(1+a) M−1)n\n= (X,F1)m (X,F2)n\npor la fórmula Künneth (IV de la Conferencia 11 [M1]) y Lemma 3.4.\nLet Rm,n = (X,Fm1 F)\n2 ). R =\nm,n≥0Rm,n es una álgebra K bigranada estándar por\n4). Por lo tanto (2) se mantiene.\nPor el teorema de Roch Riemann, calculamos,\n(5) h0(C,Lr Ms) = h1(C,Lr Ms) + r − 1,\ny para s < 0,\n(6) h1(C,Lr Ms) =\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n1− r r < 0,\n1 r = 0, s < 0,\n1 r = 1, s = −pt, para algunos t • N,\n0 r = 1, s 6 = −pt para algunos t â € N,\n0 r = 2, s < 0,\n0 r ≥ 3.\nMás adelante tenemos\n(7) h1(T,Ar) =\n0 r 6= 0,\n2 r = 0,\n(8) h0(T,Ar) =\n0 r < 0,\n1 r = 0,\nr2 r > 0.\nPor (2), para n â € Z, tenemos\ndimK(H\nQ(R)n) =\nh1(X,Fm1 F\nPor la fórmula Künneth,\nH1(X,Fm1 F\n= H0(T,A(ma+n(1+a)))H1(C,L(ma+n(1+a)) Mn)\n•H1(T,A(ma+n(1+a)))H0(C,L(ma+n(1+a)) Mn).\nAsí por (5) - (8), tenemos para j > 0,\ndimK(H\nQ(R)−j) =\n1 j 0 (mod) a,\n1 j = pt para algunos t impar â € N,\nDe lo contrario.\ny tenemos las conclusiones del Teorema 3.3.\nTeorema 3.5 da un ejemplo de fracaso de la domesticación de la cohomología local con mayor\ncrecimiento.\nTeorema 3.5. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.\nálgebra K R0 de grado estándar sobre K con dim(R0) = 4, y un estándar normal graduado\nR0-álgebra R con dim(R) = 5 tales que para j > 0,\ndimK(H\nQ(R)−j) =\n6j si j es par,\n0 si j es impar,\ndonde Q =\nn>0Rn.\nPrueba. Deja que E sea una curva elíptica sobre K, y deja que q E sea un punto. Let L = OE(3q). Por\nProposición IV.4.6 [Ha], L es muy amplia en E, y\n(9) N ≥ 0(E,Ln)\nse genera en grado 1 como álgebra-K. En el caso de n° N,\n(10) h0(C,Ln) =\n0 n < 0,\n1 n = 0,\n3n n > 0.\n(11) h1(C,Ln) =\n−3n n < 0,\n1 n = 0,\n0 n > 0.\nLet X = E3, con las tres proyecciones canónicas πi : X → E. Definir\nF1 = 1(L2) 2(L2) 3(L2)\nF2 = 1(L) 2(L) 3(L2).\nRm,n=(X,Fm1 F\nm,n≥0\nRm, n.\nPor (9) y la fórmula Künneth, R es bigraded estándar. Por (2), el hecho de que X = OX\ny la dualidad Serre,\ndimK(H\nQ(R)−j) =\nh2(X,Fm1 F\n2 ) =\nh1(X,Fm1 F\npara j â € Z.\nAhora por (10), (11) y la fórmula Künneth, tenemos que para n > 0,\nh1(X,Fm1 F\n2 ) =\n0 si 2m+ n 6= 0,\n2h0(X,Ln) si 2m+ n = 0.\nAsí, las conclusiones de Teorema 3.5 sostienen. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEl siguiente teorema da un ejemplo de domesticación, pero aún así bastante extraño cohomol local-\nOgy. Que [x] sea el número entero más grande en un número real x.\nTeorema 3.6. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.\nálgebra K R0 graduada estándar con dim(R0) = 3, y una álgebra R0 graduada normal\nR con dim(R) = 4 tales que para j > 0,\ndimK(H\nQ(R)−j) = 162\ndimK(H\nQ(R)-j)\ndonde Q =\nn>0Rn.\nPrueba. Utilizamos el método del Ejemplo 1.6 [Cu]. Dejar E ser una curva elíptica sobre un\ncampo algebraicamente cerrado K, y dejar que p â € E ser un punto. Let X = E × E con proyecciones\nηi : X → E. Let C1 = 1(p), C2 = 2(p) y\n* = {(q, q) * q * E}\nser la diagonal de X. Calculamos (como en [Cu]) que\n(12) (C21 ) = (C\n2 ) = ( )\n2) = 0\n(13) (• · C1) = (• · C2) = (• C1 · C2) = 1.\nSi N es un paquete de líneas amplias en X, entonces\n(14) H i(X,N ) = 0 para i > 0\npor el teorema de desaparición de la Sección 16 [M2].\nSupongamos que L es un paquete de línea muy amplio en X, y M es un efectivo numérico (nef)\nUn paquete de líneas. Entonces M es 3 regular para L, por lo que\n(X,MLn) (X,L) → (X,ML(n+1))\nes una sobreyección si n ≥ 3. C1 + 2C2 es un divisor amplio por el criterio Moishezon Nakai\n(Teorema V.1.10 [Ha]), de modo que 3(C1+2C2) es muy amplio por el teorema de Lefschetz (Teorema,\nSección 17 [M2]). Vamos.\nF1 = OX(9(C1 + 2C2)).\nEntonces OX es 3 regular para OX(3(C1 + 2C2)), por lo que tenemos suposiciones\n* (X,Fn1 ) * (X,F1) * (X,F1) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F1) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F)\n(n+1)\npara todos los n ≥ 1.\nC2 es amplio por el criterio de Moishezon Nakai. Dejar D = 3(C2). D es muy amplio\npor el teorema de Lefschetz, y por lo tanto OX(D)F1 es muy amplio. Vamos.\nF2 = OX(3D)F31.\nOX es 3 regular para OX(D)F1, por lo que tenemos suposiciones\n(X,F2n) (X,F2) → (X,F(n+1)2 )\npara todos los n ≥ 1.\npara n > 0 y m ≥ 0, tenemos\nFm1 F\n= OX(3nD)F(m+3n)1.\nDado que D es nef, es 3 regular para F1, y tenemos una superficie para todos m ≥ 0, n > 0,\n(X,Fm1 F)\n2 ) •(X,F1) → •(X,F\n(m+1)\nRm,n=(X,Fm1 F\nHemos demostrado que m,n≥0Rm,n es un estándar bigrad K-álgebra. Por lo tanto (2) se mantiene.\nPara m,n Z, let G = Fm1 F\n2. Como en el ejemplo 1.6 [Cu], y por (14) y Serre\nDualidad (X=OX ya que X es una variedad abeliana), deducimos que\n1. (G2) > 0 y (G · F1) > 0 implican que G es amplio y h1(X,G) = h2(X,G) = 0.\n2. (G2) < 0 implica h0(X,G) = h2(X,G) = 0.\n3. (G2) > 0 y (G · F1) < 0 implican que G−1 es amplio y h0(X,G) = h1(X,G) = 0.\nDejemos que el valor de 2 ° = −4−\ny فارسى1 = −4 +\nUsando (12) y (13), computamos\n(F21 ) = 2 · 162, (F2)2 = 31 · 162, (F1 · F2) = 8 · 162.\nTenemos\n(G2) = 324(m2 + 8mn+ 31\n= 324(m− Ł1n)(m− Ł2n).\n(G · F1) = 324(m + 4n).\nA partir de 2 °C < 4 < 1 °C < 0, para n < 0 y m °C, tenemos\n1. m > Ł2n si y sólo si G2 > 0 y G · F1 > 0\n2............................................................................................................................................................................................................................................................... \n3. m < Ł1n si y sólo si (G2) > 0 y (G · F1) < 0.\nPor el Teorema de Roch de Riemann para una superficie Abeliana (Sección 16 [M2]),\nχ(G) = 1\n(G2).\nPor lo tanto, para m+ Z y n < 0,\nh1(X,G) =\n(G2) = −162(m2 + 8mn+ 31\nn2), si Ł1n < m < Ł2n,\nDe lo contrario.\nEn el caso de n+Z, déjese (n) = dimK(H2Q(Rn)). Por (2),\n(n) =\nh1(X,Fm1 F\nPara n < 0, tenemos\n(n) = −162(\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n(m2 + 8mn+\nn2)).\nAjuste r = m+ 4n, tenemos\n(n) = −162(\nn<r\n(r2 − 1\n= −324\nr=1 (r\n2 − 1\nn2) + 81n2\n= −324\n+ 81n2\n= 162\nAsí pues, tenemos las conclusiones del teorema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n4. Ejemplos extraños de álgebras de Rees\nQue la notación y las suposiciones sean como en la Sección 2. Dado que F1 es amplio, existe l > 0\nTal que (X,Fl1 F\n2 ) 6= 0. Así tenemos una incrustación F2 F\n1 • OX. Vamos.\nA = F2 F−l1, que hemos incrustado como una vaina ideal de X. Para j ≥ 0 e i ≥ jl,\nTij = (X,Fi1 Aj) = Ri−jl,j.\nPara j ≥ 0, Tj =\ni≥jl Tij y T =\nj≥0 Tj. Let B =\nj>0 Tj. R\n= T como anillos clasificados\nsobre R0 T0, aunque tienen diferentes estructuras bigraded. Así que para todos i, j tenemos\n(15) H iB(T)j\n= H iQ(R)j.\nT1 es un ideal homogéneo de T0, y T es el álgebra de Rees de T1. Así que todo el examen...\nples de la sección 3 se puede interpretar como álgebras Rees sobre anillos normales T0 con aislados\nsingularidades.\nAsí obtenemos los siguientes teoremas de los teoremas 3.2 - 3.6. Teoremas 4.1, 4.2 y\n4.3 dar ejemplos de álgebras Rees con cohomología local no domestica.\nTeorema 4.1. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad,\nálgebra estándar K álgebra T0 con dim(T0) = 3 y un ideal graduado A T0 tal que el\nRees álgebra T = T0[En] de A es normal, y para j > 0,\ndimK(H\nB(T)-j) =\n2 si j es par,\n0 si j es impar.\ndonde B es el ideal clasificado AtT de T.\nTeorema 4.2. Supongamos que p es un número primo de tal manera que p 2 (mod)3 y p ≥ 11.\nLuego existe un estándar normal de K-álgebra T0 sobre un campo K de características\np con dim(T0) = 4, y un ideal calificado A â € T0 tal que el álgebra de Rees T = T0[En] de\nA es normal, y para j > 0,\ndimK(H\nQ(T)−j) =\n1 en el caso de j Ł 0(mod)(p + 1),\n1 si j = pt para algunas t impares ≥ 0,\n0 en caso contrario,\ndonde B es el AtT ideal clasificado de T. Tenemos pt • −1(mod)(p + 1) para todos los impares t ≥ 0.\nTeorema 4.3. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad,\nT0 K-álgebra grado estándar con dim(T0) = 4 y un ideal grado A â € T0 tal que el\nRees álgebra T = R0[En] de A es normal, y para j > 0,\ndimK(H\nB(T)-j) =\n6j si j es par,\n0 si j es impar,\ndonde B es el ideal clasificado AtT de T.\nTeorema 4.4. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.\nálgebra estándar K álgebra T0 con dim(T0) = 3, y un ideal de clasificación A T0 tal que el\nRees álgebra T = T0[En] de A es normal, y para j > 0,\ndimK(H\nB(T)-j) = 162\ndimK(H\nB(T)-j)\ndonde B es el ideal clasificado AtT de T.\nAl localizar en el ideal máximo graduado de T0, obtenemos ejemplos de álgebras de Rees\nde anillos locales con extraña cohomología local.\nEn todos estos ejemplos, T0 es generalizado Cohen Macaulay, pero no es Cohen Macaulay.\nEsto sigue desde que en todos estos ejemplos,\nH2P0(R0)0\n= H1(X,OX) 6= 0.\n5. La dualidad local en los ejemplos\nEl ejemplo de [CH], dando el fracaso de la domesticación de la cohomología local, se indica en el\norem 3.1 de este documento. La prueba de [CH] utiliza el teorema de dualidad local bigraded de\n[HR], que ahora sigue del teorema de dualidad local mucho más general, The-\norem 1.5 y el corolario 1.7 de este documento, para concluir que en nuestra situación, donde R es\ngeneralizado Cohen Macaulay,\n16) (Hd-iQ (R)j)\n* = H.i.P. (R)j\npara j â € 0.\nEn [CH], la fórmula\nH iP (R)j\n= H iP0(Rj)\ni−1(X, Rśj(m))\ni−1(X,Fm1 F\npara i ≥ 2 y j ≥ 0 se utiliza entonces con la fórmula (1) de [CH] ((3) de este documento) para demostrar\nTeorema 3.1.\nEn la sección 2 derivamos (2) de la cual calculamos directamente la cohomología local en el\nejemplos de este documento. Hacemos uso esencial de la dualidad Serre en X en la computación\nejemplos.\nEn esta sección, mostramos cómo (16) se puede obtener directamente a partir de la geometría de X y\nV, y cómo esta fórmula puede ser interpretada directamente como dualidad Serre en X.\nQue la notación sea como en la sección 2, de modo que K es un campo algebraicamente cerrado, F1 y F2\nson paquetes de línea muy amplios en la variedad nonsingular X.\nDeja que R sea el módulo de dualización de R, y deja que X sea el paquete canónico de X (que\nes una vaina dualizante en X). Para un módulo K W, deje W ′ = HomK(W,K).\nLemma 5.1. Tenemos eso.\n(R)ij =\n(X,Fi1 F)\n2 X) si i ≥ 1 y j ≥ 1\nDe lo contrario.\nConjunto (R)\n(R)i, j, una calificación R\nMódulo 0. La esquilación de (R)\ni en X es\n(18) (R)i =\nFi1 X si i ≥ 1\n0 si i ≤ 0.\nConjunto (R)j =\nEl módulo R0 es un módulo de R0 graduado. La esquilación de (R)j en X es\n(19) (R)j =\nFj2 X si j ≥ 1\n0 si j ≤ 0.\nPrueba. Dar R la clasificación donde los elementos de grado e en R son [R]e =\ni+j=eRij.\nNos hemos dado cuenta de R (con esta clasificación) como el anillo de coordinación de la incrustación proyectiva-\nding de V = P(F1+F2) por el divisor muy amplio OV (1), con proyección η : V → X.\nVamos a V ser el paquete de línea canónica en V. Primero calculamos V. Deja que f sea una fibra de\nel mapa : V → X. Por adjunción, tenemos que (f · • V ) = − 2. Desde\nPic(V) = ZOV (1) (Pic(X)),\nvemos que existe un paquete de línea G en X de tal manera que\nV = OV (−2) (G).\nLa secuencia exacta de división natural\n(20) 0 → F2 → F1+F2 → F1 → 0\ndetermina una sección X0 de X, tal que de la secuencia exacta\n0 → OV (1)OV (−X0) → OV (1) → OV (1) OX0 → 0\nes (20) (Proposición II.7.12 [Ha]). Por lo tanto\nOV (1) OV (−X0) = (F2)\nOV (1)OX0 = F1.\nPor adición, tenemos que el paquete de línea canónica de X0 es\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \nJuntando lo anterior, vemos que\nG F1 F2 X.\nV = OV (−2) (F1 F2 X).\nNos damos cuenta de R como un cociente bigraded de un anillo polinomio bigraded\nS = K[x1,. .., xm, y1,. .., yn],\ncon deg(xi) = (1, 0) para todos los i y deg(yj) = (0, 1) para todos los j. Viendo a S como un K-\nálgebra con la clasificación determinada por d(xi) = d(yj) = 1 para todos i, j, tenemos un proyectivo\nincrustado V-P = Proj(S). Puesto que V es no-singular, vemos en la Sección III.7 de [Ha]\nV = ExtrP(OV,Op(−e))\ndonde e = m+ n es la dimensión de S, y r = e− dim(R). Se define como:\nR = *Ext\nS(R,S(−e))\nExtrP(OV,OP(m− e)).\nEn el caso de m â € 0,\n(P, ExtrP(OV,Op(m− e))) = ExtrP(OV,OP(m− e))\n(Proposición III.6.9 [Ha]). Por lo tanto, R y\n(V ) =\n(V, V (m))\nson isomórficos en alto grado. Dado que ambos módulos tienen una profundidad ≥ 2 en el bigrad máximo\nideal de R, vemos que\n* R = (V ).\nmâ € € (V, â € € (m))\n(V,OV (m-2) (F1 F2 -X)).\nPuesto que una fibra f de η satisface (f ·OV (m− 2)(F1F2)) < 0 si m < 2, vemos que (con\nEsta clasificación) [R]m = 0 si m < 2 y para m ≥ 2, tenemos\n[R]m = (X,S\nm−2(F1 F2)F1 F2)\ni+j=m−2 فارسى(X,F\n(i+1)\n(j+1)\n2 X).\nA continuación figuran las conclusiones del lema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nSupongamos que 2 ≤ i ≤ d − 2. Dado que F1 y F2 son amplias, y d − (i + 1) > 0, hay\nexiste un número natural n0 tal que\n(21) Hd−(i+1)(X,Fm1 Fn2 X) = 0\npara n ≥ n0 y todos los m ≥ 0.\nPara (18), hemos clasificado los isomorfismos\n(22) H iQ(R)n\nH i−1(X,Fm1 F\n2 X)\npara n.o Z.o.p.\nPor la dualidad Serre,\n(23) H iQ(R)n\n(Hd−i−1(X,Fm1 F)\nPor (21), no existe tal que\n(24) H iQ(R)−n\n(Hd−i−1(X,Fm1 F)\npara n ≥ n0.\nAhora aplique el functor L* = HomK(L,K) en módulos R0 clasificados, con la clasificación\n(L*)i = HomK(L-i,K)\na (24), y comparar con (17), para obtener\n(25) Hd−iP (R)n\n= (H iQ(R)−n)*\npara n ≥ n0, del que (16) sigue inmediatamente.\nAhora podemos verificar que el teorema 3.1 es de hecho cierto para todos j > 0, usando (22) y (3).\nFinalmente comentamos que se obtiene una prueba alternativa de Teorema 3.2 para j â € 0\nde Teorema 3.1, Fórmulas (2) y (22), el hecho de que X es una variedad abeliana para que\nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x\nh1(X,Fn2 ) = h\n1 (X,Fn2 ) = 0\npara n > 0.\nBibliografía\n[A] Aoyama, Sobre la profundidad y la dimensión proyectiva del módulo canónico, Japan J. Matemáticas.\n6 (1980), 61–69.\nBrodmann, M. y Hellus, M., Patrones cohomológicos de gavillas coherentes sobre proyectivas\nplanes, J. Puro y Appl. Alg. 172 (2002), 165–182.\n[Br] Brodmann, M., Comportamiento asintótico de la cohomología: mansedumbre, soportes y primos asociados,\nReunión Internacional Conjunta de la American Mathematical Society y la India Mathematical\nSociedad de Álgebra Conmutativa y Geometría Algebraica, Bangalore/India, 17 y 20 de diciembre,\n2003, Matemáticas contemporáneas 390 (2005), 31-61.\nBrodmann, M. y Sharp, R., Cohomología local, Cambridge Univ. Press, Cambridge, (1998).\n[BH] Bruns, W. y Herzog, J., anillos Cohen-Macaulay (edición revisada), Cambridge Studies in Ad-\nMatemática avanzada 39, Cambridge University Press, 1998.\nCutkosky, S.D., Zariski descomposición de divisores en variedades algebraicas, Duke Math. J. 53 (1986),\n149 -156.\nCutkosky, S.D. y Herzog, J., Falta de mansedumbre de la Cohomología Local, para aparecer en el Diario\nde Álgebra Pura y Aplicada.\nCutkosky, S.D. y Srinivas, V., sobre un problema de Zariski sobre las dimensiones de los sistemas lineales,\nAnales de Matemáticas. 137 (1993), 531 - 559.\n[E] Eisenbud, D., álgebra comunitaria, con una visión hacia la geometría algebraica, Springer Verlag,\nNueva York, Heidelberg, Berlín (1995).\n[Ha] Hartshorne, R., Geometría algebraica, Springer Verlag, Nueva York, Heidelberg, Berlín, 1977.\n[HK] Herzog, J. y Kunz, E., Der kanonische Module eines Cohen-Macaualy Anillos, notas de conferencia en\nMatemáticas 238, Springer, 1971.\n[HR] Herzog, J. y Rahimi, A., Dualidad local para módulos bigrados, matemáticas.AC/0604587.\n[L] Lim, C.S., Tameness de los módulos de cohomología local clasificados para la dimensión R0 = 2, el Cohen-\nCaso Macaulay, Menumi Math 26, 11 - 21 (2004).\n[M1] Mumford, D., Conferencias sobre curvas en una superficie algebraica, Annals of Math Studies 59, Princeton\nUniv. Press, Princeton (1966).\n[M2] Mumford, D., Abelian Varieties, Oxford University Press, Bombay, 1970.\n[RS] Rotthaus, C. y Sega, L.M., Algunas propiedades de los módulos de cohomología local clasificados, J. álgebra\n283, 232 - 247 (2005).\nMarc Chardin, Institut Mathématique de Jussieu Université Pierre et Marie Curie, Boite\n247, 4, lugar Jussieu, F-75252 PARIS CEDEX 05\nDirección de correo electrónico: chardin@math.jussieu.fr\nDale Cutkosky, Departamento de Matemáticas, 202 Mathematical Sciences Bldg, Universidad\nde Missouri, Columbia, MO 65211 EE.UU.\nDirección de correo electrónico: dale@math.missouri.edu\nJürgen Herzog, Fachbereich Mathematik und Informatik, Universität Duisburg-Essen,\nCampus Essen, 45117 Essen, Alemania\nDirección de correo electrónico: juergen.herzog@uni-essen.de\nHema Srinivasan, Departamento de Matemáticas, 202 Mathematical Sciences Bldg, Universidad\nde Missouri, Columbia, MO 65211 EE.UU.\nDirección de correo electrónico: srinivasanh@math.missouri.edu <srinivasan@math.missouri.edu>\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" Demostramos un teorema de dualidad para ciertos álgebras graduadas y mostrar por varios\nejemplos de diferentes tipos de fracaso de la domesticación de la cohomología local.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción\nEl propósito de este trabajo es construir ejemplos de comportamiento extraño de coho local.\nMoology. En estas construcciones seguimos una estrategia que ya se utilizó en [CH] y\nque se refiere, a través de una secuencia espectral introducida en [HR], la cohomología local para el\ndos distinguidos ideales primos bigraded en un álgebra bigraded estándar.\nEn la primera parte consideramos álgebras con clasificaciones más bien generales y deducir un similar\nsecuencia espectral en esta situación más general. Un ejemplo típico de tal álgebra\nes el álgebra de Rees de un ideal calificado. La prueba de la secuencia espectral dada aquí es\nmás simple que la de la secuencia espectral correspondiente en [HR].\nEn la segunda parte de este artículo construimos ejemplos de los anillos de clasificación estándar A,\nque son álgebras sobre un campo K, de tal manera que la función\n(1) j 7→ dimK(H iA+(A)−j)\nes una función interesante para j â € 0. En nuestros ejemplos, esta dimensión será finita para todos\nSupongamos que A0 es un anillo local de Noetherian, A =\nj≥0Aj es un anillo graduado estándar y\nconjunto A+ :=\nj>0Aj. Que M sea un modulo A finitamente generado y F := M\ndivisión de M en Y = Proj(A). Luego hemos clasificado los isomorfismos del módulo A\nH i+1A+ (M)\nH i(Y,F(n))\npara i ≥ 1, y una expresión similar para i = 0 y 1.\nPor desaparición de Serre, H iA+(M)j = 0 para todos los i y j 0. Sin embargo, la asintótica\nel comportamiento de H iA+(M)−j para j â € 0 es mucho más misterioso.\nEn el caso cuando A0 = K es un campo, la función (1) es de hecho un polinomio para grandes\nSuficiente j. La prueba es una consecuencia de la dualidad local calificada ([BS, 13.4.6] o [BH, 3.6.19])\no sigue de la dualidad Serre en una variedad proyectiva.\nPara los módulos A0 más generales, HA+(M)−j son finitamente generados, pero no necesitan tener\nlongitud finita.\nEl siguiente problema fue propuesto por Brodmann y Hellus [BrHe].\nEl segundo autor fue parcialmente apoyado por NSF.\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0102v1\nProblema de domesticación: ¿Son los módulos de cohomología locales H iA+(M) domesticados? Es decir, ¿es eso?\ncierto que o bien\n{H iA+(M)j 6= 0, \n¿A+(M)j = 0?\nEl problema tiene una solución positiva para A0 de pequeña dimensión (algunas de las referencias\nson Brodmann [Br], Brodmann y Hellus [BrHe], Lim [L], Rotthaus y Sega [RS]).\nTeorema 0.1 ([BrHe]). Si dim(A0) ≤ 2, entonces M es domesta.\nSin embargo, dos de los autores han demostrado recientemente que la domesticación puede fallar si\ndim(A0) = 3.\nTeorema 0,2 ([CH]). Hay ejemplos con dim(A0) = 3 donde M no es domesta.\nLa declaración de este ejemplo se reproduce en el Teorema 3.1 de este artículo. La función\n(1) es periódico para j grande. Específicamente, la función (1) es 2 para grande incluso j y es 0 para\ngran j impar.\nEn Teorema 3.3 construimos un ejemplo de fracaso de la domesticación de la cohomología local\nque no es periódico, y ni siquiera es un cuasi polinomio (en −j) para j grande. Específicamente,\ntenemos para j > 0,\ndimK(H\n(A)-j) =\n1 si se trata de j • 0 (mod) (p + 1),\n1 si j = pt para algunas t impares ≥ 0,\n0 en caso contrario,\ndonde la característica de K es p. Tenemos pt • −1 (mod) (p + 1) para todos los impares t ≥ 0.\nTambién damos un ejemplo (Teorema 3.5) de fracaso de la domesticación donde (1) es un cuasi\npolinomio con crecimiento lineal en grado par y es 0 en grado impar.\nEn Teorema 3.6, damos un ejemplo dócil, pero tenemos\ndimK(H\nA) a j)\nasí que (1) está lejos de ser un cuasi polinomio en −j para j grande.\nMientras que el ejemplo de [CH] es para M = A, donde A es el módulo canónico de A, el\nejemplos del papel son todos para M = A. Esto nos permite reinterpretar fácilmente nuestros ejemplos\ncomo álgebras Rees en la Sección 4, y por lo tanto tenemos ejemplos de álgebras Rees sobre anillos locales\npara lo cual el fracaso de la mansedumbre antedicho sostiene.\nEn la sección final, sección 5, damos un análisis del papel explícito e implícito de\nbigraded duality en la construcción de los ejemplos, y algunos comentarios sobre cómo afecta\nla geometría de las construcciones.\n1. Dualidad para anillos polinomios en dos conjuntos de variables\nDeja que K sea cualquier anillo conmutativo (con unidad). En aplicaciones posteriores K será en su mayoría\nun campo. Además dejar S = K[x1,. .., xm, y1,. .., yn], P = (x1,. .., xm) y Q =\n(y1,. ., yn).\nLa homología del complejo Čech CP ( ) (resp. CQ( )) será denotado por HP ( ) (resp.\nHQ( )). Note que para cualquier anillo conmutativo K, esta homología es la cohomología local\nsoportado en P (resp. Q), como P y Q son generados por una secuencia regular.\nAsumir que S está clasificado para algún grupo abeliano, y que deg(a) = 0 para un K.\nSi xsyp R, deg(xsyp) = l(s) + l′(p) con l(s) :=\ni si deg(xi) y l\n′(p) :=\nj pj deg(yj).\nDefinición 1.1. Deja que yo sea un ideal de grado. La clasificación de S es I-afilada si H iI(S)γ\nes un K-módulo finitamente generado, para cada i y γ.\nLemma 1.2. Las condiciones siguientes son equivalentes:\n(i) la clasificación de S es P -afilada.\nii) la clasificación de S es Q-sharp.\niii) para todos los γ, (α, β): α ≥ 0, β ≥ 0, l(α) = γ + l′(β) < \nNótese que si K es Noetherian, M es un módulo S de grado S de generación finita, y el\nEl grado de S es I-afilado, entonces H iI(M)γ es un K-módulo finito, para cada i y γ. Esto\nsigue de la secuencia espectral convergente Hp−q (H)\nI (F) H\nI (M), donde F\nes una resolución S libre de grado de M con Fi finito para cada i.\nA partir de ahora asumiremos que la clasificación de S es P -afilada (equivalentemente Q-\nafilada). Set = deg(x1 · · · xmy1 · · · · yn), y si N es un módulo graduado, a continuación, dejar que N =\nHomS(N,S()) y N* = *HomK(N,K) donde la clasificación de N* es dada por (N*)γ =\nHomK(N,K). Más generalmente, siempre denotamos el K-dual calificado de un mod-\nule N (por encima de lo que calificaba de K-álgebra en cualquier caso) por N*. Finalmente denotamos por el mapa\nS(−a) → S(−b) inducido por la multiplicación por xαyβ donde a = deg xα y b = − deg yβ.\nLemma 1.3. HmP ()γ\n* HnQ()*.\nPrueba. El K-moduleHmP libre (S)γ es generado por los elementos x\n− s− 1yp con s, p ≥ 0 y\n−l(s)− l(1) + l′(p) = γ, y HnQ(S) se genera por los elementos xty−q−1 con t, q ≥ 0\ny l(t)− l′(q)− l′(1) =.\nLet dγ : H\nP (S)γ → (HnQ(S):*)γ = HnQ(S) ser el mapa K-lineal definido por\n−s−1yp(xty−q−1) =\n1, si s = t y p = q,\n0, si no.\nEntonces dγ es un isomorfismo (porque el grado de R es Q-afilado) y hay un com-\ndiagrama mutatis mutandis\nHmpP (S)a\n() HmP (S)b\n\n(HnQ(S)a)\n(HnQ(S)b)*.\nLa afirmación es la siguiente. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nComo consecuencia inmediata obtenemos\nCorollary 1.4. (a) Que f • S sea un elemento homogéneo de grado a–b, y • S(−a) →\nS(−b) el mapa grado cero inducido por la multiplicación con f.\nHmP () HnQ()*.\n(b) Que F sea un complejo de S-módulos libres finitamente generados. Entonces\ni) H iP (F) = 0 para i 6= m y H\nQ(F) = 0 para j 6= n,\nii) HmP (F) HnQ(F)*.\nComo resultado principal de esta sección tenemos\nTeorema 1.5. Suponga que K es Noetheriano, el grado-de-S es P -afilado (equivalentemente\nQ-sharp) y M es un modulo S de grado finitamente generado. Set S/K := S(). Dejad en paz a F.\nuna resolución S mínima de M. Entonces,\n(a) Para todos i, hay un isomorfismo functorial\nHiP (M) Hm−i(HmP (F)).\n(b) Hay una secuencia espectral convergente de la categoría.\nH iQ(Ext\nS(M,S/K)) H\ni+j−n(HmP (F)\nEn particular, si K es un campo, hay una secuencia espectral convergente de grado.\nH iQ(Ext\nS(M,.............................................................................................................................................................................................................................................................\ndimS−(i+j)\nP (M)\nPrueba. La reclamación a) es una consecuencia inmediata del corolario 1.4 a través de las especificaciones de la categoría...................................................................................................................................................\nsecuencia tral Hp−i(H\nP (F)) H iP (M). Para (b), las dos secuencias espectrales que surgen de\nel CQF+ doble complejo tiene como segundo términos respectivamente ′Eij2 = H iQ(Ext\nS(M,S/K)),\n2 = 0 para i 6 = n y ′′E\n2 = H\nj(HnQ(F)\n*) Hj(HmP (F)*). Si K más es un campo,\nHj(HmP (F)\n*) (Hj(HmP (F))* H\nP (F)\nCorollary 1.6. Bajo las hipótesis del teorema, si K es un campo, entonces para cualquier γ\nhay secuencias espectrales convergentes de espacios K-vector de dimensión finita\nH iQ(Ext\nS(M,R)\ndimS−(i+j)\nP (M),\nH iP (Ext\nS(M,R)\ndimS−(i+j)\nQ (M).\nAhora consideramos el caso especial de que = Z2, S := K[x1,. .., xm, y1,. .., yn] con\ndeg(xi) = (1, 0) y deg(yj) = (dj, 1) con dj ≥ 0. Set T := K[x1,. .., xm] y dejar M ser\na Módulo S de categoría S. Vemos a M como un módulo de grado Z definiendo Mk =\nj M(j,k).\nObserve que cada Mk en sí es un modulo T graduado con (Mk)j = M(j,k) para todos j. Nosotros también.\nnote que HiP (M)k\n• = H iP0(Mk), como se puede ver en la definición de la cohomología local\nutilizando el complejo Čech. Aquí P0 = (x1,. .., xm) es el ideal máximo clasificado de T.\nCorollary 1.7. Con la notación introducida, s := dimS = m + n y d := dimM.\na) H0P (Ext\nS (M,.............................................................................................................................................................................................................................................................\n• = HdQ(M)* para cualquier k,\n(b) hay una secuencia exacta\n0→H1P (Exts−dS (M,S))→H\nQ (M)\nH0P (Exts-d+1S (M,S)).\nc) Dejar i ≥ 2. Si ExtjS(M,?S) es aniquilado por un poder de P para todos s-d < j < s-d+i,\nentonces hay una secuencia exacta\nExts−d+i−1S (M,S)→H\nP (Ext\nS (M,S))→H\nQ (M)\nH0P (Exts-d+iS (M,S)).\nEn particular, si Ext\nS(M) tiene longitud finita para todos los s − d < j ≤ s − d+ i0, para algunos\nentero i0, entonces\nH iP0(Ext\nS (M,S)k)\n= (Hd-iQ (M)−k)\n* para todos los i ≤ i0 y k ≤ 0.\nEn consecuencia, si M es un módulo generalizado Cohen-Macaulay (es decir, Exts-iS (M,\nlongitud finita para todos los i 6=d), y si establecemos N = Exts−dS (M,\nH iP0 (Nk)\n= (Hd-iQ (M)−k)\n* para todos los i y todos los k â € 0.\nPrueba. a), b) y c) son consecuencias directas del corolario 1.6. Para la solicitud, notificación\nque si γ = (l, k) • • con k • 0 uno tiene ExtjS(M,•S)γ = 0 para todos los s− d < j ≤ s− d+ i0.\nPor lo tanto, para tal γ, la conclusión deseada sigue. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nUn ejemplo típico al que se aplica esta situación es el álgebra de Rees de un ideal calificado\nI en el anillo polinomio estándar T = K[x1,. .., xm]. Digamos, yo soy generado ser el\npolinomios homogéneos f1,. ..., fn con deg fj = dj para j = 1,..., n. Entonces el Rees\nálgebra R(I) T [t] se genera los elementos fjt. Si establecemos deg fjt = (dj, 1) para todos j\ny deg xi = (1, 0) para todos los i, entonces R(I) se convierte en un modulo S de grado S a través de la álgebra-K\nhomomorfismo S → R(I) con xi 7→ xi y yj 7→ fjt.\nDe acuerdo con esta definición tenemos R(I)k = Ik para todos k.\nPuesto que dimR(I) = m+1, el módulo R(I) = Extn−1S (R(I), فارسىS) es el módulo canónico\nde R(I) (en el sentido de [HK, 5. Vortrag]. Recordemos que si un anillo R es un módulo S finito\nde la dimensión m + 1, el mapa finito natural R→Hom(R, R) = Extn−1S (R, S) es un\nisomorfismo si y sólo si R es S2. Así, en combinación con el corolario 1.7 obtenemos\nCorollary 1.8. Let R := R(I). Supongamos que Rp es Cohen-Macaulay para todos p 6= (m, R+)\ndonde m = (x1,. .., xm) y R+ =\nk>0 I\nktk. Entonces\nH im(I)\nk) (Hm+1−iR+ (R)−k)\n* para todos los i y todos los k â € 0.\nPrueba. Puesto que la R se localiza, las condiciones implican que (R)p es Cohen-Macaulay para todos p 6=\n(m, R+). Por lo tanto lo natural en el mapa R→R′ := Extn−1S (R, S) tiene un cokernel de finito\nlongitud. En particular, R′k = Rk = I\nk para k + 0. Así pues, el corolario 1,7 se aplicó a M = R\nda la conclusión deseada. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 1.9. Let R := R(I). Si el cokernel de R→Hom(?R,?R) es aniquilado por un\npotencia de R+ (en otras palabras, la explosión es S2, como un esquema proyectivo sobre Spec(T)),\nentonces R′k = I\nk para k 0 y por lo tanto uno tiene una secuencia exacta\n0→H0m(T/Ik)→(HmR+(R)−k)\nH0m(ExtnS(R,S)k)→H1m(T/Ik)→(Hm−1R+ (R)k)\npara tal k.\n2. Un método de construcción de ejemplos\nSupongamos que R =\ni,j≥0Rij es un álgebra bigrada estándar sobre un anillo K = R00.\nDefinir Ri =\nj≥0Rij y Rj =\ni≥0Rij. Definir ideales P =\ni y Q =\nj>0Rj\nen R. Supongamos que M =\nijÃ3zMij es un modulo R de generación finita, bigraded. Definir\nM i =\njáZMij y Mj =\niZMij. M\ni es un R0-módulo graduado y Mj es un graduado\nR0-módulo. Dejar Q0 = R01R\n0, por lo que Q = Q0R. Dejar P0 = R10R0 para que P = R10R. Nosotros\ntienen isomorfismos del módulo K\nH lQ(M)m,n\n• = H lQ0(M\npara m,n â € Z. Dejemos que Mìm sea la sheafificación del módulo R0-Mm graduado en Proj(R0).\nTenemos isomorfismos del módulo K\nH lQ0(M\nm)n = H l−1(Proj(R0), Mśm(n))\npara l ≥ 2 y secuencias exactas\n0 → H0Q0(M\nm)n → (Rm)n = Rm,n → H0(Proj(R0), Mśm(n)) → H1Q0(M\nm)n → 0.\nTenemos fórmulas similares para el cálculo de H lP (M).\nAhora supongamos que X es un esquema proyectivo sobre K y F1 y F2 son una línea muy amplia\npaquetes en X. Vamos.\nRm,n=(X,Fm1 F\nRequerimos que R =\nm,n≥0Rm,n ser una álgebra K bigranada estándar. Tenemos\nX = Proj(R0) = Proj(R0).\nLa sheafification del R0-módulo grado Rm en X es Rśm = Fm1, y la sheafification\ndel módulo R0-Rn clasificado en X es Rn = Fn2 (Ejercicio II.5.9 [Ha]).\nPara l ≥ 2 tenemos isomorfismos bigrado\nH lQ(R)\nH lQ0(R\nm)n â € =\nm≥0,nÃ3rZ\nH l−1(X,Fm1 F\nViendo R como un álgebra R0 graduada, por lo tanto hemos clasificado isomorfismos\n(2) H lQ(R)n\nH l−1(X,Fm1 F\npara l ≥ 2 y n ≤ Z. Let d = dim(R) = dim(X) + 2.\nAhora suponemos además que K es un campo cerrado algebraicamente y X es un nonsingular\nVariedad K. Vamos.\nV = P(F1+F2),\nun paquete de espacio proyectivo sobre X con proyección η : V → X. Dado que F1+F2 es un amplio\npaquete en X, OV (1) es amplio en V. Desde\n(V,OV (t))\n• (V,OV (t)) • (X,St (F1) • (F2)) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\ni+j=t\ny R se genera en grado 1 con respecto a esta clasificación, OV (1) es muy amplio en V y\nR es el anillo de coordenadas homogéneo de la variedad proyectiva no singular V, de modo que R\nes generalizado Cohen Macaulay (todos los módulos de cohomología local H iR+(R) de R con respeto\na la máxima bitraded ideal R+ de R tienen longitud finita para i < d). Además, tenemos que\nV es proyectivamente normal por esta incrustación (Ejercicio II.5.14 [Ha]) de modo que R es normal.\n3. Comportamiento extraño de la cohomología local\nEn [CH], construimos el siguiente ejemplo de fracaso de la domesticación de la cohomología local.\nEn el ejemplo, R0 tiene la dimensión 3, que es la más baja posible para el fracaso de la domesticación\n[Br].\nTeorema 3.1. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.\nálgebra K R0 graduada estándar con dim(R0) = 3, y una álgebra R0 graduada normal\nR con dim(R) = 4 tales que para j â € 0,\ndimK(H\nQ(R)j) =\n2 si j es par,\n0 si j es impar,\ndonde R es el módulo canónico de R, Q =\nn>0Rn.\nPrimero mostramos que el teorema anterior también es cierto para la cohomología local de R.\nTeorema 3.2. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.\nálgebra K R0 graduada estándar con dim(R0) = 3, y una álgebra R0 graduada normal\nR con dim(R) = 4 tales que para j > 0,\ndimK(H\nQ(R)−j) =\n2 si j es par,\n0 si j es impar,\ndonde Q =\nn>0Rn.\nPrueba. Calculamos esto directamente para la R del Teorema 3.1 a partir de (2) y los cálculos de\n[CH]. Traduciendo de la notación de este artículo a la notación de [CH], tenemos X = S\nes una superficie abeliana, F1 = OS(r2laH) y F2 = OS(r2(D + alH)).\nPor (2) de este documento, para n â € N, tenemos\ndimK(H\nQ(R)n) =\nm≥0 h\n1 (X,Fm1 F)\nm≥0 h\n1 (S,OS((m+ n)r2alH + nr2D)).\nLa fórmula (1) de [CH] nos dice que para m,n-n-Z,\n(3) h1(S,OS(mH + nD)) =\n2 si m = 0 y n es par,\nDe lo contrario.\nAsí para n < 0, tenemos\ndimK(H\nQ(R)n) =\n2 si n es par,\n0 si n es impar,\ndando las conclusiones del teorema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEl siguiente ejemplo muestra un fallo no periódico de domesticación.\nTeorema 3.3. Supongamos que p es un número primo tal que p • 2 (mod) 3 y p ≥ 11.\nEntonces existe un estándar normal de K-álgebra R0 sobre un campo K de características\np con dim(R0) = 4, y un R0-álgebra R normal graduado con dim(R) = 5 tales\nque para j > 0,\ndimK(H\nQ(R)−j) =\n1 si se trata de j • 0 (mod) (p + 1),\n1 si j = pt para algunas t impares ≥ 0,\n0 en caso contrario,\ndonde Q =\nn>0Rn. Tenemos p\nt • −1(mod)(p + 1) para todos los t impares ≥ 0.\nPara establecer esto, necesitamos el siguiente simple lema.\nLemma 3.4. Supongamos que C es una curva no singular del género g sobre un algebraicamente cerrado\ncampo K, y M, N son paquetes de línea en C. Si deg(M) ≥ 2(2g+1) y deg(N) ≥ 2(2g+1),\nluego el mapa natural\n(C,M) (C,N) (C,N) → (C,MN)\nes una suposición.\nPrueba. Si L es un paquete de línea en C, entonces H1(C,L) = 0 si deg(L) > 2g − 2 y L es muy\namplio si deg(L) ≥ 2 g + 1 (capítulo IV, sección 3 [Ha]).\nSupongamos que L es muy amplia y G es otro paquete de línea en C. Si deg(G) > 2g − 2−\ndeg(L), entonces G es 2-regular para L (Lectura 14, [M1]. Así, si deg(G) > 2g − 2 + deg(L),\n(C,G) (C,L) (C,L) → (C,G L)\nes una suposición de la Proposición de Castelnuovo, Conferencia 14, página 99 [M1].\nAhora aplicamos lo anterior para probar el lema. Escribe M = Aq B donde A es una\nconjunto de líneas de modo que deg(A) = 2g + 1, y 2g + 1 ≤ deg(B) < 2,2g + 1). deg(N) >\n2g − 2 + deg(A). Por lo tanto, existe una superposición\n* (C,N ) * (C,A) * (C,A) * (C,AN ).\nHacemos iteraciones para conseguir surjecciones\n(C,Ai N ) (C,A) → (C,A(i+1) N )\npara i ≤ q, y una superficie\n(C,Aq N ) (C,B) → (C,MN ).\nAhora probamos el Teorema 3.3. Para la construcción, comenzamos con un ejemplo de\nSección 6 de [CS]. Existe un campo cerrado algebraicamente K de p característica, una curva\nC del género 2 sobre K, un punto q ° C y un haz de líneas M sobre C de grado 0, de tal manera que para\nn ≥ 0,\nH1(C,OC (q)Mn) =\n1 si n = pt para algunos t ≥ 0,\nDe lo contrario.\nAdemás, H1(C,OC (2q)Mn) = 0 para todos los n > 0.\nDejar a = p+ 1. Dejar E ser una curva elíptica sobre K, y dejar T = E × E, con proyecciones\nηi : T → E. Let b E be a point and let A = 1(OE(b)) 2(OE(b)). Dejar X = T × C,\ncon proyecciones de 1°: X → T, 2°: X → C. Let L = OC(q). Vamos.\nF1 = 1(A)a 2(L)a,\nF2 = 1(A)(1+a) 2(L(1+a) M−1).\nPara m,n ≥ 0, tenemos\n(X,Fm1 F)\n2 ) = (T,A(ma+n(1+a))) (C,L(ma+n(1+a)) Mn)\n= (T,Aa) m (T,A(1+a))n (C,La)m (C,L(1+a) M−1)n\n= (X,F1)m (X,F2)n\npor la fórmula Künneth (IV de la Conferencia 11 [M1]) y Lemma 3.4.\nLet Rm,n = (X,Fm1 F)\n2 ). R =\nm,n≥0Rm,n es una álgebra K bigranada estándar por\n4). Por lo tanto (2) se mantiene.\nPor el teorema de Roch Riemann, calculamos,\n(5) h0(C,Lr Ms) = h1(C,Lr Ms) + r − 1,\ny para s < 0,\n(6) h1(C,Lr Ms) =\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n1− r r < 0,\n1 r = 0, s < 0,\n1 r = 1, s = −pt, para algunos t • N,\n0 r = 1, s 6 = −pt para algunos t â € N,\n0 r = 2, s < 0,\n0 r ≥ 3.\nMás adelante tenemos\n(7) h1(T,Ar) =\n0 r 6= 0,\n2 r = 0,\n(8) h0(T,Ar) =\n0 r < 0,\n1 r = 0,\nr2 r > 0.\nPor (2), para n â € Z, tenemos\ndimK(H\nQ(R)n) =\nh1(X,Fm1 F\nPor la fórmula Künneth,\nH1(X,Fm1 F\n= H0(T,A(ma+n(1+a)))H1(C,L(ma+n(1+a)) Mn)\n•H1(T,A(ma+n(1+a)))H0(C,L(ma+n(1+a)) Mn).\nAsí por (5) - (8), tenemos para j > 0,\ndimK(H\nQ(R)−j) =\n1 j 0 (mod) a,\n1 j = pt para algunos t impar â € N,\nDe lo contrario.\ny tenemos las conclusiones del Teorema 3.3.\nTeorema 3.5 da un ejemplo de fracaso de la domesticación de la cohomología local con mayor\ncrecimiento.\nTeorema 3.5. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.\nálgebra K R0 de grado estándar sobre K con dim(R0) = 4, y un estándar normal graduado\nR0-álgebra R con dim(R) = 5 tales que para j > 0,\ndimK(H\nQ(R)−j) =\n6j si j es par,\n0 si j es impar,\ndonde Q =\nn>0Rn.\nPrueba. Deja que E sea una curva elíptica sobre K, y deja que q E sea un punto. Let L = OE(3q). Por\nProposición IV.4.6 [Ha], L es muy amplia en E, y\n(9) N ≥ 0(E,Ln)\nse genera en grado 1 como álgebra-K. En el caso de n° N,\n(10) h0(C,Ln) =\n0 n < 0,\n1 n = 0,\n3n n > 0.\n(11) h1(C,Ln) =\n−3n n < 0,\n1 n = 0,\n0 n > 0.\nLet X = E3, con las tres proyecciones canónicas πi : X → E. Definir\nF1 = 1(L2) 2(L2) 3(L2)\nF2 = 1(L) 2(L) 3(L2).\nRm,n=(X,Fm1 F\nm,n≥0\nRm, n.\nPor (9) y la fórmula Künneth, R es bigraded estándar. Por (2), el hecho de que X = OX\ny la dualidad Serre,\ndimK(H\nQ(R)−j) =\nh2(X,Fm1 F\n2 ) =\nh1(X,Fm1 F\npara j â € Z.\nAhora por (10), (11) y la fórmula Künneth, tenemos que para n > 0,\nh1(X,Fm1 F\n2 ) =\n0 si 2m+ n 6= 0,\n2h0(X,Ln) si 2m+ n = 0.\nAsí, las conclusiones de Teorema 3.5 sostienen. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEl siguiente teorema da un ejemplo de domesticación, pero aún así bastante extraño cohomol local-\nOgy. Que [x] sea el número entero más grande en un número real x.\nTeorema 3.6. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.\nálgebra K R0 graduada estándar con dim(R0) = 3, y una álgebra R0 graduada normal\nR con dim(R) = 4 tales que para j > 0,\ndimK(H\nQ(R)−j) = 162\ndimK(H\nQ(R)-j)\ndonde Q =\nn>0Rn.\nPrueba. Utilizamos el método del Ejemplo 1.6 [Cu]. Dejar E ser una curva elíptica sobre un\ncampo algebraicamente cerrado K, y dejar que p â € E ser un punto. Let X = E × E con proyecciones\nηi : X → E. Let C1 = 1(p), C2 = 2(p) y\n* = {(q, q) * q * E}\nser la diagonal de X. Calculamos (como en [Cu]) que\n(12) (C21 ) = (C\n2 ) = ( )\n2) = 0\n(13) (• · C1) = (• · C2) = (• C1 · C2) = 1.\nSi N es un paquete de líneas amplias en X, entonces\n(14) H i(X,N ) = 0 para i > 0\npor el teorema de desaparición de la Sección 16 [M2].\nSupongamos que L es un paquete de línea muy amplio en X, y M es un efectivo numérico (nef)\nUn paquete de líneas. Entonces M es 3 regular para L, por lo que\n(X,MLn) (X,L) → (X,ML(n+1))\nes una sobreyección si n ≥ 3. C1 + 2C2 es un divisor amplio por el criterio Moishezon Nakai\n(Teorema V.1.10 [Ha]), de modo que 3(C1+2C2) es muy amplio por el teorema de Lefschetz (Teorema,\nSección 17 [M2]). Vamos.\nF1 = OX(9(C1 + 2C2)).\nEntonces OX es 3 regular para OX(3(C1 + 2C2)), por lo que tenemos suposiciones\n* (X,Fn1 ) * (X,F1) * (X,F1) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F1) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F)\n(n+1)\npara todos los n ≥ 1.\nC2 es amplio por el criterio de Moishezon Nakai. Dejar D = 3(C2). D es muy amplio\npor el teorema de Lefschetz, y por lo tanto OX(D)F1 es muy amplio. Vamos.\nF2 = OX(3D)F31.\nOX es 3 regular para OX(D)F1, por lo que tenemos suposiciones\n(X,F2n) (X,F2) → (X,F(n+1)2 )\npara todos los n ≥ 1.\npara n > 0 y m ≥ 0, tenemos\nFm1 F\n= OX(3nD)F(m+3n)1.\nDado que D es nef, es 3 regular para F1, y tenemos una superficie para todos m ≥ 0, n > 0,\n(X,Fm1 F)\n2 ) •(X,F1) → •(X,F\n(m+1)\nRm,n=(X,Fm1 F\nHemos demostrado que m,n≥0Rm,n es un estándar bigrad K-álgebra. Por lo tanto (2) se mantiene.\nPara m,n Z, let G = Fm1 F\n2. Como en el ejemplo 1.6 [Cu], y por (14) y Serre\nDualidad (X=OX ya que X es una variedad abeliana), deducimos que\n1. (G2) > 0 y (G · F1) > 0 implican que G es amplio y h1(X,G) = h2(X,G) = 0.\n2. (G2) < 0 implica h0(X,G) = h2(X,G) = 0.\n3. (G2) > 0 y (G · F1) < 0 implican que G−1 es amplio y h0(X,G) = h1(X,G) = 0.\nDejemos que el valor de 2 ° = −4−\ny فارسى1 = −4 +\nUsando (12) y (13), computamos\n(F21 ) = 2 · 162, (F2)2 = 31 · 162, (F1 · F2) = 8 · 162.\nTenemos\n(G2) = 324(m2 + 8mn+ 31\n= 324(m− Ł1n)(m− Ł2n).\n(G · F1) = 324(m + 4n).\nA partir de 2 °C < 4 < 1 °C < 0, para n < 0 y m °C, tenemos\n1. m > Ł2n si y sólo si G2 > 0 y G · F1 > 0\n2............................................................................................................................................................................................................................................................... \n3. m < Ł1n si y sólo si (G2) > 0 y (G · F1) < 0.\nPor el Teorema de Roch de Riemann para una superficie Abeliana (Sección 16 [M2]),\nχ(G) = 1\n(G2).\nPor lo tanto, para m+ Z y n < 0,\nh1(X,G) =\n(G2) = −162(m2 + 8mn+ 31\nn2), si Ł1n < m < Ł2n,\nDe lo contrario.\nEn el caso de n+Z, déjese (n) = dimK(H2Q(Rn)). Por (2),\n(n) =\nh1(X,Fm1 F\nPara n < 0, tenemos\n(n) = −162(\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n(m2 + 8mn+\nn2)).\nAjuste r = m+ 4n, tenemos\n(n) = −162(\nn<r\n(r2 − 1\n= −324\nr=1 (r\n2 − 1\nn2) + 81n2\n= −324\n+ 81n2\n= 162\nAsí pues, tenemos las conclusiones del teorema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n4. Ejemplos extraños de álgebras de Rees\nQue la notación y las suposiciones sean como en la Sección 2. Dado que F1 es amplio, existe l > 0\nTal que (X,Fl1 F\n2 ) 6= 0. Así tenemos una incrustación F2 F\n1 • OX. Vamos.\nA = F2 F−l1, que hemos incrustado como una vaina ideal de X. Para j ≥ 0 e i ≥ jl,\nTij = (X,Fi1 Aj) = Ri−jl,j.\nPara j ≥ 0, Tj =\ni≥jl Tij y T =\nj≥0 Tj. Let B =\nj>0 Tj. R\n= T como anillos clasificados\nsobre R0 T0, aunque tienen diferentes estructuras bigraded. Así que para todos i, j tenemos\n(15) H iB(T)j\n= H iQ(R)j.\nT1 es un ideal homogéneo de T0, y T es el álgebra de Rees de T1. Así que todo el examen...\nples de la sección 3 se puede interpretar como álgebras Rees sobre anillos normales T0 con aislados\nsingularidades.\nAsí obtenemos los siguientes teoremas de los teoremas 3.2 - 3.6. Teoremas 4.1, 4.2 y\n4.3 dar ejemplos de álgebras Rees con cohomología local no domestica.\nTeorema 4.1. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad,\nálgebra estándar K álgebra T0 con dim(T0) = 3 y un ideal graduado A T0 tal que el\nRees álgebra T = T0[En] de A es normal, y para j > 0,\ndimK(H\nB(T)-j) =\n2 si j es par,\n0 si j es impar.\ndonde B es el ideal clasificado AtT de T.\nTeorema 4.2. Supongamos que p es un número primo de tal manera que p 2 (mod)3 y p ≥ 11.\nLuego existe un estándar normal de K-álgebra T0 sobre un campo K de características\np con dim(T0) = 4, y un ideal calificado A â € T0 tal que el álgebra de Rees T = T0[En] de\nA es normal, y para j > 0,\ndimK(H\nQ(T)−j) =\n1 en el caso de j Ł 0(mod)(p + 1),\n1 si j = pt para algunas t impares ≥ 0,\n0 en caso contrario,\ndonde B es el AtT ideal clasificado de T. Tenemos pt • −1(mod)(p + 1) para todos los impares t ≥ 0.\nTeorema 4.3. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad,\nT0 K-álgebra grado estándar con dim(T0) = 4 y un ideal grado A â € T0 tal que el\nRees álgebra T = R0[En] de A es normal, y para j > 0,\ndimK(H\nB(T)-j) =\n6j si j es par,\n0 si j es impar,\ndonde B es el ideal clasificado AtT de T.\nTeorema 4.4. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.\nálgebra estándar K álgebra T0 con dim(T0) = 3, y un ideal de clasificación A T0 tal que el\nRees álgebra T = T0[En] de A es normal, y para j > 0,\ndimK(H\nB(T)-j) = 162\ndimK(H\nB(T)-j)\ndonde B es el ideal clasificado AtT de T.\nAl localizar en el ideal máximo graduado de T0, obtenemos ejemplos de álgebras de Rees\nde anillos locales con extraña cohomología local.\nEn todos estos ejemplos, T0 es generalizado Cohen Macaulay, pero no es Cohen Macaulay.\nEsto sigue desde que en todos estos ejemplos,\nH2P0(R0)0\n= H1(X,OX) 6= 0.\n5. La dualidad local en los ejemplos\nEl ejemplo de [CH], dando el fracaso de la domesticación de la cohomología local, se indica en el\norem 3.1 de este documento. La prueba de [CH] utiliza el teorema de dualidad local bigraded de\n[HR], que ahora sigue del teorema de dualidad local mucho más general, The-\norem 1.5 y el corolario 1.7 de este documento, para concluir que en nuestra situación, donde R es\ngeneralizado Cohen Macaulay,\n16) (Hd-iQ (R)j)\n* = H.i.P. (R)j\npara j â € 0.\nEn [CH], la fórmula\nH iP (R)j\n= H iP0(Rj)\ni−1(X, Rśj(m))\ni−1(X,Fm1 F\npara i ≥ 2 y j ≥ 0 se utiliza entonces con la fórmula (1) de [CH] ((3) de este documento) para demostrar\nTeorema 3.1.\nEn la sección 2 derivamos (2) de la cual calculamos directamente la cohomología local en el\nejemplos de este documento. Hacemos uso esencial de la dualidad Serre en X en la computación\nejemplos.\nEn esta sección, mostramos cómo (16) se puede obtener directamente a partir de la geometría de X y\nV, y cómo esta fórmula puede ser interpretada directamente como dualidad Serre en X.\nQue la notación sea como en la sección 2, de modo que K es un campo algebraicamente cerrado, F1 y F2\nson paquetes de línea muy amplios en la variedad nonsingular X.\nDeja que R sea el módulo de dualización de R, y deja que X sea el paquete canónico de X (que\nes una vaina dualizante en X). Para un módulo K W, deje W ′ = HomK(W,K).\nLemma 5.1. Tenemos eso.\n(R)ij =\n(X,Fi1 F)\n2 X) si i ≥ 1 y j ≥ 1\nDe lo contrario.\nConjunto (R)\n(R)i, j, una calificación R\nMódulo 0. La esquilación de (R)\ni en X es\n(18) (R)i =\nFi1 X si i ≥ 1\n0 si i ≤ 0.\nConjunto (R)j =\nEl módulo R0 es un módulo de R0 graduado. La esquilación de (R)j en X es\n(19) (R)j =\nFj2 X si j ≥ 1\n0 si j ≤ 0.\nPrueba. Dar R la clasificación donde los elementos de grado e en R son [R]e =\ni+j=eRij.\nNos hemos dado cuenta de R (con esta clasificación) como el anillo de coordinación de la incrustación proyectiva-\nding de V = P(F1+F2) por el divisor muy amplio OV (1), con proyección η : V → X.\nVamos a V ser el paquete de línea canónica en V. Primero calculamos V. Deja que f sea una fibra de\nel mapa : V → X. Por adjunción, tenemos que (f · • V ) = − 2. Desde\nPic(V) = ZOV (1) (Pic(X)),\nvemos que existe un paquete de línea G en X de tal manera que\nV = OV (−2) (G).\nLa secuencia exacta de división natural\n(20) 0 → F2 → F1+F2 → F1 → 0\ndetermina una sección X0 de X, tal que de la secuencia exacta\n0 → OV (1)OV (−X0) → OV (1) → OV (1) OX0 → 0\nes (20) (Proposición II.7.12 [Ha]). Por lo tanto\nOV (1) OV (−X0) = (F2)\nOV (1)OX0 = F1.\nPor adición, tenemos que el paquete de línea canónica de X0 es\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \nJuntando lo anterior, vemos que\nG F1 F2 X.\nV = OV (−2) (F1 F2 X).\nNos damos cuenta de R como un cociente bigraded de un anillo polinomio bigraded\nS = K[x1,. .., xm, y1,. .., yn],\ncon deg(xi) = (1, 0) para todos los i y deg(yj) = (0, 1) para todos los j. Viendo a S como un K-\nálgebra con la clasificación determinada por d(xi) = d(yj) = 1 para todos i, j, tenemos un proyectivo\nincrustado V-P = Proj(S). Puesto que V es no-singular, vemos en la Sección III.7 de [Ha]\nV = ExtrP(OV,Op(−e))\ndonde e = m+ n es la dimensión de S, y r = e− dim(R). Se define como:\nR = *Ext\nS(R,S(−e))\nExtrP(OV,OP(m− e)).\nEn el caso de m â € 0,\n(P, ExtrP(OV,Op(m− e))) = ExtrP(OV,OP(m− e))\n(Proposición III.6.9 [Ha]). Por lo tanto, R y\n(V ) =\n(V, V (m))\nson isomórficos en alto grado. Dado que ambos módulos tienen una profundidad ≥ 2 en el bigrad máximo\nideal de R, vemos que\n* R = (V ).\nmâ € € (V, â € € (m))\n(V,OV (m-2) (F1 F2 -X)).\nPuesto que una fibra f de η satisface (f ·OV (m− 2)(F1F2)) < 0 si m < 2, vemos que (con\nEsta clasificación) [R]m = 0 si m < 2 y para m ≥ 2, tenemos\n[R]m = (X,S\nm−2(F1 F2)F1 F2)\ni+j=m−2 فارسى(X,F\n(i+1)\n(j+1)\n2 X).\nA continuación figuran las conclusiones del lema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nSupongamos que 2 ≤ i ≤ d − 2. Dado que F1 y F2 son amplias, y d − (i + 1) > 0, hay\nexiste un número natural n0 tal que\n(21) Hd−(i+1)(X,Fm1 Fn2 X) = 0\npara n ≥ n0 y todos los m ≥ 0.\nPara (18), hemos clasificado los isomorfismos\n(22) H iQ(R)n\nH i−1(X,Fm1 F\n2 X)\npara n.o Z.o.p.\nPor la dualidad Serre,\n(23) H iQ(R)n\n(Hd−i−1(X,Fm1 F)\nPor (21), no existe tal que\n(24) H iQ(R)−n\n(Hd−i−1(X,Fm1 F)\npara n ≥ n0.\nAhora aplique el functor L* = HomK(L,K) en módulos R0 clasificados, con la clasificación\n(L*)i = HomK(L-i,K)\na (24), y comparar con (17), para obtener\n(25) Hd−iP (R)n\n= (H iQ(R)−n)*\npara n ≥ n0, del que (16) sigue inmediatamente.\nAhora podemos verificar que el teorema 3.1 es de hecho cierto para todos j > 0, usando (22) y (3).\nFinalmente comentamos que se obtiene una prueba alternativa de Teorema 3.2 para j â € 0\nde Teorema 3.1, Fórmulas (2) y (22), el hecho de que X es una variedad abeliana para que\nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x\nh1(X,Fn2 ) = h\n1 (X,Fn2 ) = 0\npara n > 0.\nBibliografía\n[A] Aoyama, Sobre la profundidad y la dimensión proyectiva del módulo canónico, Japan J. Matemáticas.\n6 (1980), 61–69.\nBrodmann, M. y Hellus, M., Patrones cohomológicos de gavillas coherentes sobre proyectivas\nplanes, J. Puro y Appl. Alg. 172 (2002), 165–182.\n[Br] Brodmann, M., Comportamiento asintótico de la cohomología: mansedumbre, soportes y primos asociados,\nReunión Internacional Conjunta de la American Mathematical Society y la India Mathematical\nSociedad de Álgebra Conmutativa y Geometría Algebraica, Bangalore/India, 17 y 20 de diciembre,\n2003, Matemáticas contemporáneas 390 (2005), 31-61.\nBrodmann, M. y Sharp, R., Cohomología local, Cambridge Univ. Press, Cambridge, (1998).\n[BH] Bruns, W. y Herzog, J., anillos Cohen-Macaulay (edición revisada), Cambridge Studies in Ad-\nMatemática avanzada 39, Cambridge University Press, 1998.\nCutkosky, S.D., Zariski descomposición de divisores en variedades algebraicas, Duke Math. J. 53 (1986),\n149 -156.\nCutkosky, S.D. y Herzog, J., Falta de mansedumbre de la Cohomología Local, para aparecer en el Diario\nde Álgebra Pura y Aplicada.\nCutkosky, S.D. y Srinivas, V., sobre un problema de Zariski sobre las dimensiones de los sistemas lineales,\nAnales de Matemáticas. 137 (1993), 531 - 559.\n[E] Eisenbud, D., álgebra comunitaria, con una visión hacia la geometría algebraica, Springer Verlag,\nNueva York, Heidelberg, Berlín (1995).\n[Ha] Hartshorne, R., Geometría algebraica, Springer Verlag, Nueva York, Heidelberg, Berlín, 1977.\n[HK] Herzog, J. y Kunz, E., Der kanonische Module eines Cohen-Macaualy Anillos, notas de conferencia en\nMatemáticas 238, Springer, 1971.\n[HR] Herzog, J. y Rahimi, A., Dualidad local para módulos bigrados, matemáticas.AC/0604587.\n[L] Lim, C.S., Tameness de los módulos de cohomología local clasificados para la dimensión R0 = 2, el Cohen-\nCaso Macaulay, Menumi Math 26, 11 - 21 (2004).\n[M1] Mumford, D., Conferencias sobre curvas en una superficie algebraica, Annals of Math Studies 59, Princeton\nUniv. Press, Princeton (1966).\n[M2] Mumford, D., Abelian Varieties, Oxford University Press, Bombay, 1970.\n[RS] Rotthaus, C. y Sega, L.M., Algunas propiedades de los módulos de cohomología local clasificados, J. álgebra\n283, 232 - 247 (2005).\nMarc Chardin, Institut Mathématique de Jussieu Université Pierre et Marie Curie, Boite\n247, 4, lugar Jussieu, F-75252 PARIS CEDEX 05\nDirección de correo electrónico: chardin@math.jussieu.fr\nDale Cutkosky, Departamento de Matemáticas, 202 Mathematical Sciences Bldg, Universidad\nde Missouri, Columbia, MO 65211 EE.UU.\nDirección de correo electrónico: dale@math.missouri.edu\nJürgen Herzog, Fachbereich Mathematik und Informatik, Universität Duisburg-Essen,\nCampus Essen, 45117 Essen, Alemania\nDirección de correo electrónico: juergen.herzog@uni-essen.de\nHema Srinivasan, Departamento de Matemáticas, 202 Mathematical Sciences Bldg, Universidad\nde Missouri, Columbia, MO 65211 EE.UU.\nDirección de correo electrónico: srinivasanh@math.missouri.edu <srinivasan@math.missouri.edu>\n"}}},{"rowIdx":96,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0103,"string":"704.0103"},"title":{"kind":"string","value":"Generalized regularly discontinuous solutions of the Einstein equations"},"full_text":{"kind":"string","value":"Soluciones discontinuas generalizadas regularmente\nde las ecuaciones de Einstein\nGianluca Gemelli\nL.S. B. Pascal, V. P. Nenni 48, Pomezia (Roma), Italia.\nCorreo electrónico: gianluca.gemelli@poste.it\nResumen\nLa consistencia física de la coincidencia de las métricas tipo C0 es\nDebatida. La teoría matemática de la discontinuidad gravitacional hy-\npersuperficies se generaliza para cubrir el partido de regular discontinua\nmétricas. El marco de geometría diferencial de valor medio en un hy-\nse introduce persuperficie, y las condiciones de compatibilidad correspondientes\nse deducen. Ejemplos de capas de contorno generalizadas, gravitacional\nSe estudian las ondas de choque y las conchas delgadas.\nPresentado a Int. J. Theor. Phys.\n1 Introducción\n¿Es posible definir soluciones débiles de las ecuaciones Einstein de clase\nC0 a trozos, es decir, generalizar las condiciones de compatibilidad que sustituyen\nlas ecuaciones de campo en una hipersuperficie singular al caso cuando la métrica es\n¿Con regularidad discontinua?\nAlcanzar este objetivo significaría probablemente definir la clase más general\nde soluciones débiles regularmente discontinuas de las ecuaciones de Einstein. Parece\nque este problema nunca había sido estudiado antes en la literatura. Pero, antes de que nosotros\nProcede, tenemos que discutir si estamos hablando de algo mathemat-\ncial y físicamente consistente o no.\nUn concepto fundamental de la geometría Riemanniana es que en cualquier punto de\nun submanifold hay opciones de coordenadas para las que la métrica se reduce a\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0103v1\nla métrica plana de Minkowski. Evidentemente, si esta elección se hace en ambos lados de la\nla superficie de discontinuidad, cualquier “salto” en la métrica desaparece. Por lo tanto, la\ndiscontinuidad métrica aparece como un concepto dependiente de coordenadas, que es\nni geométricamente (ni físicamente) aceptable en el contexto de\nRelatividad.\nPero también tenemos que considerar que la regularidad de las coordenadas globales juega\nun papel importante en nuestro enfoque, que es el de [1] y de la literatura\ncitado en el mismo. En particular, ya que aquí el espacio tiempo es sólo C0, nos llevan a\nconsiderando las transformaciones de coordenadas (C0, C1) a trozos. Si la métrica es\ndiscontinuo en algún gráfico global de C0, es en general imposible obtener\nla desaparición del salto métrico a ambos lados de una hipersuperficie con un C0\ntransformación de coordenadas (ver sección 2). Moeover en el siguiente somos\nllevó de una manera natural a considerar las transformaciones de coordenadas C1; la métrica\n¡La discontinuidad es un tensor con respecto a tales cambios de coordenadas!\nEn otras palabras, el salto de la métrica tiene una media matemática precisa-\ning, si lo consideramos en relación con las coordenadas regulares globales.\nEn un procedimiento bien consolidado, el supuesto de continuidad para el\nmétrica a través de una interfaz gravitacional generalmente se da por sentado; sin embargo\nse deriva del proceso de limitación de la modelización sándwich fino, en\nconsecuencia de la hipótesis de que los derivados externos de la métrica\nse delimitan [2]. Sin embargo, en este documento vamos a ver que, incluso la eliminación\nla suposición de continuidad, todavía es posible definir un interior generalizado\ngeometría de la hipersuperficie de discontinuidad; uno así puede encontrar consistentemente\nun conjunto generalizado correspondiente de condiciones de compatibilidad, que, evidentemente,\nse reduce a los habituales cuando se restablece la hipótesis de continuidad.\nSin embargo, ¿cuáles son las motivaciones físicas para pasar a tal generalización?\nEn realidad las ondas de choque gravitacional y las conchas delgadas son generalmente definidas por el\npresencia de curvatura singular con un componente “delta” concentrado en una\nhipersuperficie, situación que está bien moldeada dentro del clásico C0 piecewise-C1\nCoincidencia de las métricas [1, 3].\nOriginalmente fuimos llevados a considerar soluciones de clase-C0, como pos-\ngeneralizaciones de ondas de choque y conchas delgadas, por el bien de la mathe-\nmatical completo, con la idea de que la interpretación física seguiría.\nEn realidad encontramos un marco de alcance más que el habitual, con algunos en-\nnuevas características teresantes (e incluso algunas más bien indeseables), que nosotros\nexhibido en este papel.\nHay dos teorías principales en la literatura para las soluciones de la clase C0\nC1, es decir, que en términos de la segunda forma fundamental (heurística\nla teoría, véase, por ejemplo, [4, 5]) y que en términos de la curvatura tensor-distribución\n(Teoría axiomática, véase, por ejemplo, [6, 1]); son equivalentes por medio de la asignación\nextensiones (para una visión general autónoma véase, por ejemplo, [1]).\nLa teoría axiomática parece no ser apropiada para el estudio de\nlas soluciones izadas, ya que la teoría de las distribuciones es básicamente lineal. Incluso si nosotros\nEn principio, podría sustituir la métrica discontinua por sus distri-\nbution gD, entonces sería imposible definir, por ejemplo, los reemplazos\npara los símbolos Christoffel, ya que esto implicaría producto de distribuciones,\nque, como se cree en general, es imposible de definir. De hecho, se demostró que\nSchwarz [7] que, bajo hipótesis razonables, no puede haber una definición\nde funcionamiento conmutativo y asociativo en distribuciones que se reducen a\nmultiplicación ordinaria en distribuciones integrables (por ejemplo, en funciones regulares);\nPor lo tanto, en una palabra es imposible definir el producto de las distribuciones.\n¿O lo es? Colombeau [8, 9, 10] desarrolló una teoría que aparentemente\nTradice el resultado de Schwarz. Introdujo un espacio muy amplio de\nfunciones, que extiende el espacio habitual de distribuciones, un subespacio de las cuales\ncorresponde, en cierto sentido (la correspondencia no es 1 a 1), a lo habitual\ndistribuciones. El formalismo de Colombeau permite la multiplicación de\nfunciones; pero la contradicción con el teorema de imposibilidad es sólo ap-\npadre, de hecho la hipótesis de Schwarz se violan, ya que la operación hace\nno coinciden con la multiplicación ordinaria en funciones regulares ni con mul-\ntiplicación de una función regular veces una distribución (aunque hace al menos\npara las funciones de C.O.C.).\nEsta teoría, sin embargo, no encaja de una manera natural en la relatividad general,\nya que es imposible definir objetos geométricos covariantemente invariantes; en\nEl espacio de Colombeau no es invariable para la transformación de coordenadas fluidas.\nciones, a menos que sean lineales. Sin embargo, tal dificultad parece haber sido\nsuperado en posteriores ajustes de la teoría, con la introducción de\nun marco matemático más rico [11, 12], de modo que las funciones generalizadas\naparatos actuales se pueden utilizar en la relatividad general, y de hecho ha sido\nse aplica al menos al cálculo de las curvaturas singulares de los espacios-tiempo\nde Kerr [13], Reissner-Nordstrom [14], y el llamado espacio-tiempo de cuerdas cósmicas\n[15]. En esta literatura la teoría de Colombeau se adapta al manejo de\ncurvatura cuando la métrica tiene una singularidad en el sentido de funciones, es decir. la\nla curvatura ordinaria explotaría, en un punto de acontecimiento singular o en un singular\nworldline. No parece haber ninguna razón en particular para prohibir a Colombeau\nmétodo también para definir la coincidencia de la pieza-C0 regularmente discontinuo\nmétricas en una hipersuperficie singular; sin embargo, por lo que el autor sabe, no\nSe ha intentado aún utilizarlo en este marco.\nEl método directo que vamos a introducir en las siguientes secciones, sin embargo,\nes tan conceptualmente simple que preferimos no experimentar con Colombeau\nfunciones generalizadas, lo que significaría, en cambio, la introducción de un\naparato matemático complicado y desconocido.\nEn este artículo proponemos de hecho una nueva teoría generalizada para regularmente\nsoluciones discontinuas, que cubren también la combinación de métricas tipo C0. Nuestro\nla teoría es heurística, ya que se construye de una manera similar a la heurística el-\nory de C0, las soluciones por pieza-C1 se originaron de los estudios de Israel, pero\nevitamos completamente el marco tradicional o proyectual Gauss-Codazzi\n(que no incluye el caso liviano [4, 5], o necesita un adap-\ne introducir lo que llamamos “diferencia de valor medio”\nEn cambio, el marco de geometría” (véase la sección 3). Esto es conceptualmente muy sim-\ny permite construir de una manera natural una teoría generalizada, donde\nel papel principal (que solía ser el del salto del secund fundamental\nforma) se juega aquí por el salto de los símbolos de Christoffel. La teoría es un\nextensión de la teoría de hipersuperficies de discontinuidad gravitacional que tenemos\nestudiado en [1], al que se reduce cuando la métrica es C0. Incluso si deberíamos\nlimitar a la solución C0, añadiendo el supuesto tradicional de continuidad para\nla métrica, nuestra teoría sin duda tendría al menos las buenas cualidades de\nno necesita el tiempo y el caso de luz para ser distinguido (diferente\nde la teoría heurística habitual), y de sólo requerir la continuidad C0 para la co-\nordenadas (diferentes de la teoría axiomática). Por otra parte, es completamente\nen el marco de las coordenadas generales del espacio ambiente (encolado)-\ntiempo, sin uso de ecuaciones paramétricas de la hipersuperficie, ni de\ncoordenadas y 3 bases holonómicas, que podrían considerarse una buena calidad\nen algunas aplicaciones también.\nSoluciones débiles Pickwise-C0 de las ecuaciones de Einstein, hasta el au-\nthor es consciente, nunca se han considerado previamente en la literatura. Ellos\ngeneralizar las soluciones C0 correspondientes, como muestran los ejemplos de este artículo;\nSin embargo, hay más. Aparentemente de hecho la teoría permite la propagación\nde discontinuidad gravitacional libre a una velocidad inferior a la velocidad de la luz (seg-\nEn el caso de que se trate de un problema de salud pública, la Comisión no está de acuerdo con lo que ha dicho el Sr. Van den Broek.\nla energía concentrada en el tiempo debería implicar necesariamente la\ndegeneración de la solución generalizada a la capa de contorno, aunque lo hace\nal menos para una amplia clase de emparejamientos esféricos (véase la sección 6). Por otra parte, no\nse permite la energía de estrés simétrica en la hipersuperficie (sección 9), como, por ejemplo, en\nDinámica Einstein-Cartán. Este posible vínculo con las teorías clásicas de unificación\nEs sorprendente, ya que en nuestro marco no tenemos nada similar a Einstein.\nTorsión cartánica. Por lo tanto, vemos mucho espacio para futuras investigaciones.\n2 métricas discontinuas\nSupongamos que V4 un multiple orientado diferenciable de la dimensión 4, de clase\n(C0, C2), provisto de una métrica de firma estrictamente hiperbólica\n- Y clase a destajo-C0. Deja que V4 sea un subconjunto abierto conectado con\ncierre compacto. Dejar que las unidades se elijan para tener la velocidad de la luz en\nespacio vacío c • 1. Los índices griegos van de 0 a 3.\nVamos a ser una hipersuperfaz regular de la ecuación f(x) = 0; vamos a y\ndenotan los subdominios distinguidos por el signo de f.\nmétrica y sus derivados parciales primero y segundo que se discontinuarán regularmente.\nen todos los gráficos de la clase C0(). Let f C0(♥) C2(), and let\nlos derivados segundo y tercero de f deben ser discontinuas regularmente en Por último,\nlet lα f denotar el gradiente de f.\nQue la métrica sea una solución de las ecuaciones ordinarias de Einstein en cada uno de\nlos dos dominios y. En esta situación es la interfaz entre dos\ngeneral relativista espaciotiempos y se llama un (generalizado) gravitacional\nhipersuperficie de discontinuidad.\nEn lo siguiente vamos a desarrollar una teoría para justificar la introducción de\ncondiciones adecuadas de compatibilidad generalizada para sustituir el equa- de Einstein\n(sección 5); si dichas condiciones se cumplen en el\ngeneralización de la hipersuperficie gravitacional\nsolución discontinua de las ecuaciones de Einstein.\nAhora vamos a recordar brevemente algunas nociones básicas sobre regularmente discontinuo\ncampos, que utilizaremos como herramientas. En cualquier caso, para notación y terminología\nnos referimos a [1].\nUn campo se dice que es regularmente discontinuo en si sus restricciones a\nlos dos subdominios y ambos tienen un límite finito para f 0; nosotros\ndenotar tales límites por y, respectivamente.\nEn este caso, el salto a través de la línea y su valor medio aritmético son:\nbien definido en la hipersuperficie:\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n* = (1/2)( + )\nSi es continuo a lo largo de la línea, obviamente tenemos: [] = 0, = . También tenemos\nlas fórmulas inversas:\n= (1/2)[l]\n= (1/2).\nEn cuanto al producto de dos funciones, tenemos:\n[] = [] + []\n= + (1/4)[\nSi un campo es regularmente discontinuo en el campo, su salto se llama a veces\nsu discontinuidad del orden 0.\nEl salto de una función regularmente discontinuo tiene soporte en....................................................................................................................\ngeneral, la derivada parcial del salto está bien definido como el salto de la\nderivado de la función (véase [17, 18]). En particular, el derivado de la\nsalto de un campo continuo no es nulo, a menos que el campo sea también C1.\nDel mismo modo, definimos la derivada parcial del valor medio como la media\nvalor del derivado parcial. También podemos utilizar prolongaciones regulares a\nextender, en cierto sentido, la definición de.a y [.a] a todo el dominio.a. Por lo tanto\npueden ser considerados como campos regulares y derivables en , pero sus valores\n(y los de sus derivados) están bien definidos sólo en.........................................................................................................................................................................................................................................................\ndependen de la elección de la prolongación. Para más detalles sobre el método de\nlas prórrogas regulares, véase, por ejemplo, [17, 18].\nDefinimos por otro lado la derivada covariante de un campo con soporte sobre \npor medio del valor medio \n de los símbolos Christoffel. Para el salto de un\nvector discontinuo regularmente, por ejemplo, con esta definición uno tiene que\nel salto del derivado covariante es diferente al derivado covariante\ndel salto. Así, por definición, tenemos:\nβ] = [V\nβ] + \nβ[V ] (4)\ny como consecuencia de (3):\nβ] = [V\nβ]− [\n, (5)\ny de manera similar para el salto de cualquier tensor regularmente discontinuo.\nPuesto que el espacio-tiempo es sólo C0, nos llevan a considerar (C0,\nC1) coordinar las transformaciones, con regular discontinua primera deriva-\nla discontinuidad métrica [g®] no es un tensor con respecto a tales\ncambios de coordenadas. De hecho tenemos:\n[g] = [g]\n+ q\n+ q\ndonde:\nq =\n[G]\n+ \nPor lo tanto, podemos simular todos los cambios de coordenadas (C0, C1)\nEnlazar cambios C1 con cambios en el gálibo métrico:\n[gá] [gá] + qá\n+ q\nque generalizan los cambios usuales del calibre gravitacional de la teoría de (C0, pieza-\nsoluciones prudentes C1) [1].\n¿Es siempre posible hacer [gá] desaparecer con un C apropiado\n0 trans-\n¿Formación? Claramente la respuesta es negativa. De hecho, basta con considerar la\ncaso cuando [g] y son ambos definitivamente positivos en un gráfico dado para ver que\nla ecuación obtenida de (6) sustituyendo el lado de primera mano por 0 no tiene\nsolución para [lxα\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n- Sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí. Por lo tanto, el conjunto de eficacia generalizada\nLas hipersuperficies de discontinuidad gravitacional no están vacías.\nPor otra parte se producirá en muchas aplicaciones para tener lα C\n0. Por lo tanto\na menudo será deseable trabajar en el marco de (C1, C2 a partes)\ncoordinar las transformaciones, que conservan tal condición. La métrica des-\ncontinuidad es un tensor con respecto a tales cambios de coordenadas, pero el\nsalto de los símbolos de Christoffel, que parecen jugar un papel principal en el\na continuación, no lo es; de hecho tenemos:\n[] = []\nxxβ\nSi las coordenadas son C0 y así es la forma lα podemos escribir:\nxxβ\n= lαl\nen la que el punto 2 denota la débil discontinuidad del orden 2 (véase, por ejemplo, [17, 18]). Por lo tanto, en\nPodemos generar todas las transformaciones (C1, C2) a medida para combinar\nTransformaciones de C2 (con respecto a las cuales • es un tensor) y Christoffel\ntransformaciones de calibres, es decir, del tipo:\n]↔ [\n] + lαlβQ\n(11)\ncon alguna analogía con el caso de las métricas C0 (donde se juega el papel principal\npor la discontinuidad métrica de primer orden (g), véase [1] sección 3).\nEn cualquier caso, ni el valor medio de la g métrica ni su salto [g] ahora\ntienen derivados covariantes nulos. Considerar de hecho la identidad g = 0 en\nel dominio ; a partir del límite f 0+, en tenemos:\n− (\nü)+g − ()\nv)+g = 0 (12)\nAquí, con el significado obvio de los símbolos, denotamos: g = (g)\n+, g =\ng, etc. En consecuencia, a partir de (2)1 tenemos:\ng + (1/2)[g]− \n~ ~ ~ ~ ~ ~ ~\n- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!\n−(1/2)([\n/ ]g + \n/ [g] + []\n/ ]g + \n/ [g ])+\n−(1/4)([\n/ [g] + []\n/ [g ]) = 0\nDel mismo modo, desde el límite f 0− y a partir de (2)2 también tenemos en فارسى:\ng − (1/2)[g]− \n~ ~ ~ ~ ~ ~ ~\n- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!\n+(1/2)([\n/ ]g + \n/ [g] + []\n/ ]g + \n/ [g ])+\n−(1/4)([\n/ [g] + []\n/ [g ]) = 0\nDe la suma de expresiones (13) y (14) tenemos así:\ng = (1/4)[\n/ [g] + []\n/ [g ]) (15)\ny, a partir de la diferencia:\n[g] = [] + [ ] (16)\nA partir de (16), (3), y de la definición de derivado covariante sobre \na continuación:\n[g] = []\n& / ]g + [\n/ ]g (17)............................................................................................................................................................................................................................................................\nEn cuanto al salto y el valor medio de los símbolos Christoffel que tenemos, de\nEl Tribunal de Primera Instancia decidió:\n+(1/4)[g]([g] + [g]− [g ])}\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n+[g](g + g − g)\no, de (15) y (17):\nEl Tribunal de Primera Instancia decidió, en primer lugar, si la Decisión impugnada era compatible con el mercado interior y, en segundo lugar, si la Decisión impugnada era compatible con el mercado interior y, en segundo lugar, si la Decisión impugnada era compatible con el mercado interior.\nNo obstante, el Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia no puede pronunciarse sobre la compatibilidad de la medida con el mercado común.\n3 Geometría de valor medio en una hipersuperficie\nConsideremos un V α 4-vector, regularmente discontinuo en Ł, el salto y el\nel valor medio de los cuales funcionará como prototipo de vectores con el valor de soporte.\nTenemos, por definición:\n[V\n] = [V\n[]− []\n- ¿Qué? - ¿Por qué? - ¿Por qué? - ¿Por qué?\nAsunto C-212/90 Comisión de las Comunidades Europeas / Reino de los Países Bajos\ndonde [V\n] = [V\n]+ [\ny donde, de nuevo por definición, tenemos:\nV =\n(V)\n+) + ()\n(V +) + (V)\n-)-()-()-()-()-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(......)-(.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................\n(V −) (22)\nAsí, a partir de (2) tenemos:\nV ♥ = V + (1/4)[\n[V], (23)\nque, por cierto, es el mismo resultado que podríamos obtener de la aplicación formal\nsión de (3), que puede aplicarse realmente a los derivados covariantes, siempre y cuando\nuno interpreta â € = â € TM. Por lo tanto, tenemos:\n[V\n] = [V\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n+ [\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n−[]\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n− (1/4)[][\n][V ]+\n+[\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n+ (1/4)[\n][\n[V]] [V]\ny por lo tanto, por antisimetría:\n[[]V\n] = [][V\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n[β[β]\n][]\nv. [V.] (25)\nAhora, de la identidad de Ricci tenemos: [[]V\n] = [R\ny, a continuación, por\n[[]V\n] = [R\n+R\n[V], (26)\ny, por lo tanto, de una identidad bien conocida que se deriva de (3) como consecuencia\nnuestra definición (5) para el derivado covariante en فارسى, es decir. (véase [1]):\n[R\n] = [\n¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!\n] (27)\ntenemos que el conmutador de los derivados covariantes del salto de un\nvector genérico discontinua regularmente obedece a la siguiente fórmula tipo Ricci:\n[[][V]\n(1/2)R\n − (1/4)[β\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n[V.]. (28)\nNo es de extrañar, trabajar de una manera similar a partir de V y anti-\nSimetrizando, encontramos de nuevo:\n[]V\n(1/2)R\n − (1/4)[β\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n; (29)\nde hecho, cualquier campo dado con el apoyo en el • puede ser considerado, con la ayuda de\nprolongaciones adecuadas, como el salto (o como el valor medio de) algunos regularmente\ncampo discontinuo. Por lo tanto, para cualquier vector V con el apoyo en.......................................................................................................................................................\nintroducir la siguiente fórmula de Ricci similar a la geometría de valor medio en el punto de referencia:\n([])V\n = (R)\nV l; (30)\ndonde hemos introducido la curvatura de la geometría del valor medio (R), definida\npor la siguiente geometría de valor medio primera identidad Gauss-Codazzi:\n(R)\n = R\n − (1/4)[\n][\n- [] - []\n][\n/ ]) (31)\nNótese que, en aras de la simplicidad, hemos introducido un ligero abuso\nde notación, ya que en [1] y [16] el mismo símbolo R\ncurvatura interior definida con la ayuda de proyecciones. En realidad, todo vale.\ncomo en [1] sección 4 con el marco Gauss-Codazzi, con la diferencia\nque aquí no tenemos que hacer proyecciones, lo que implicaría producto\nveces una métrica tangente discontinua. Por otra parte, aquí ni siquiera tenemos\npara distinguir entre los casos de tiempo o luz. En otras palabras:\nnuestra geometría diferencial de valor medio en una hipersuperficie es muy simple, en\ntérminos conceptuales, análogo del aparato Gauss-Codazzi.\nAsí, con la teoría heurística de [1] sección 6 (véase también [4] para el tiempo\nen mente como un prototipo, esperamos el salto de los símbolos de Christoffel a\ndesempeñar el papel principal, en lugar de la forma fundamental secundaria, en la definición\nde las condiciones de compatibilidad para soluciones muy débiles de las ecuaciones de Einstein.\nDe hecho, esto sucede, como se mostrará en el siguiente.\n4 Formalismo complejo de valor medio\nLa métrica es dicontinuous en..............................................................................................................................................\naumentar y bajar los índices, y construir la curvatura de la manera tradicional.\nEsta es la razón por la que a veces uno se siente tentado a introducir algún híbrido\nobjeto métrico en para reemplazar la métrica, incluso en el caso (C0, tipo C1)\n(véase, por ejemplo, [5]). Es tranquilizador descubrir que el marco de la preselección\nla sección puede ser confirmada por este tipo de enfoque.\nSería deseable simplemente reemplazar g con g en Ł, pero es fácil de\ncomprobar que g no tiene los requisitos algebraicos necesarios; en particular tenemos\n# 6 = # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 #\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Considere en su lugar:\ng = gÃ3 + i(1/2)[gÃ3], g\n• = g − i(1/2)[g} (32)\ndonde i es la unidad imaginaria (i.e. tenemos i2 = −1). Es fácil de comprobar,\ncon la ayuda de (3), que tenemos:\n¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío!\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n(+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + \n• (33)\nEs decir, en particular:\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. En aras de la brevedad en lo siguiente:\nvamos a denotar A B la relación R(A) = R(B). Así el par g y\ng es un buen candidato para la sustitución de la métrica en, a los efectos de\nÍndices ascendentes y decrecientes. Ahora, similar a (32) vamos a presentar:\n= + i(1/2)[ ], \n = \n − i(1/2)[\n] (34)\npara que tengamos: \nEn el caso de los animales de la especie bovina, el número de animales de la especie bovina se determinará de conformidad con el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 18 de diciembre de 2013, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la carne de porcino y por el que se deroga el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo (DO L 347 de 20.12.2013, p. 1).\nY a la inversa:\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Déjanos\nahora introducir el operador diferencial en, que hace uso de en\nlugar de la ciudad. Como podríamos esperar, tenemos:\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n0 (35)\nque es el reemplazo en Ł para la conservación covariante de la métrica\nTensor.\nAhora vamos a construir sobre el tensor de curvatura complejo R\nmanera, pero con en lugar de los símbolos Christoffel ordinario (que son\nundefined on Ł):\nR\n = \n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n + \n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nμ − \n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nμ (36)\nNos enteramos de eso de manera poco escrupulosa.\nR\n = (R)\n + i(1/2)[R\n] (37)\ni.e. en particular tenemos: R\n (R)\n, en el que R es dado por (31).\nEsta es sólo otra razón para identificar a R.o como el reemplazo de la\nel tensor de curvatura de, que es el primer paso de nuestro camino a la generalización\ncondiciones de compatibilidad.\n5 Condiciones de compatibilidad generalizadas\nConsideremos ahora el límite f → 0+ del tensor de curvatura del subdominio\n; por (2) tenemos:\n(R\n)+ = R\n + (1/2)[R\n] (38)\ny, por (27):\n(R\n)+ = R\n [β[]\n] (39)\nTambién tenemos, por (31):\n(R\n)+ = (Rl)\n [β[]\n] + [β\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n(40)\nVemos que R y R. sólo difieren por términos proporcionales a [. ], y no\nque impliquen derivados de la misma. Por lo tanto, en vista de descuidar estos tems, en el\na continuación vamos a considerar R en lugar de R. Esto simplemente evita la introducción\ndel símbolo “ ” con el significado de igualdad pero para términos que no impliquen\n(que aquí sustituye a la segunda forma fundamental K) como en\n[1] sección 6. Entonces para el tensor Ricci R = R\nα tenemos:\n(R)\n+ = R + (1/2)\nμ[\n- [] - []\ny para la curvatura escalar R = Rα\nR+ = R + (1/2)\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nAhora, para construir el tensor de Einstein G+ tenemos que recordar que, desde\nla métrica también es discontinua:\ng)\n+ = g + (1/2)[g] (43)\npara que tengamos:\n(G)\n+ = G + (1/2)\nμ − (1/8)[g]\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\ndonde hemos denotado, por razones de brevedad:\nμ[\n- [] - []\nμ]− (1/2)g\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nVamos a fijar un gráfico de coordenadas y considerar un genérico (por el momento) regular\nprolongación para G, de modo que su valor medio se defina en el conjunto de . Ahora\nconsiderar la integral de 4 volúmenes de Riemann de G+ sobre el dominio ; de\nel teorema verde que obtenemos (para la definición general de integral en un\nhipersuperficie ver [6] p. 6):\nG =\nG + (1/2)\nlH\nμ − (1/8)\nl [g]\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nLa fórmula análoga para implica −l− como el vector normal saliente\ny la métrica g = gÃ3 − (1/2)[gÃ3], por lo que tenemos:\nG =\nG + (1/2)\nlH\nμ + (1/8)\nl [g]\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\ny, por consiguiente, tenemos:\nG =\nG +\nlμH\nμ (48)\nPor lo tanto, razones similares a las de la teoría heurística (véase [4] y [1] sección\n6) llevar a la hipótesis razonable de que G permanece limitado en el\n, para cualquier prolongación admisible, de modo que del volumen\nintegral de las ecuaciones de Einstein, con la presencia de una fuente eventual\nTérmino concentrado en la letra........................................................................................................................................................................................................................................................... \nGó = \n- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -\nT (49)\ndonde χ denota la constante gravitacional, concluimos que\nlμH\nμ = \nT (50)\nque es nuestra razón heurística para considerar el siguiente conjunto de\nlas condiciones de compatibilidad con el sistema para mantener el sistema Einstein como reemplazo del sistema Einstein;\necuaciones:\nlμH\nμ = T (51)\nAquí TÃ3 representa el contenido stress-energy de la hipersuperficie.\nEn el caso más sencillo lα C\n0, es muy fácil comprobar que el objeto lμH\nes calibrado-invariante en el sentido de (11), como podríamos esperar.\nPasando ahora a la comparación con el caso C0, vemos en eq.s (71)\ny (85) de [1] que nuestras condiciones generalizadas (51) son formalmente idénticas a\ncondiciones ordinarias de compatibilidad [eq. (110) del mismo documento], si se expresa\n(que en el caso general es una función del salto de la\nmétrica [g], así como de su débil discontinuidad. Por lo tanto, está claro\nque las condiciones generalizadas de compatibilidad se reducen a las normales en caso de\nmétrica es continua, es decir. en el caso de [g] = 0.\nEn particular, supongamos que g (C0, a medida C1) y f (C0, a medida);\nnosotros por otra parte supongamos (l · l) > 0, es decir. # Como en el tiempo. # Por definición de Christoffel\nsímbolos, y a partir de (11) de [1], tenemos:\n] = (l · l)-1/2(NβG\n +N/23370/Gβ\n(l · l)............................................................................................................................................................................................................................................................\n1/2NβNlQ\n (52)\nQ es un vector que se puede establecer en cero con una elección de calibre adecuada; se reproduce\nNingún papel en (51), como cabría esperar, de hecho tenemos:\nlμ[\nμ] = −G + (l · l)N(Q ·N)\nlβ[\nAsunto C-372/98 Comisión de las Comunidades Europeas / República Federal de Alemania\n/ + (l · l)NβN/23370/(Q ·N)\nlμ[+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nv. + (l · l) (Q ·N)\nlμ[+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n] = −G/\nv. + (l · l) (Q ·N)\ny, puesto que g = g = h(N) +N N, tenemos de (45):\nlμH\nμ = G − h(N)G/\n/ (54)\nEs decir, según (88) de [1]:\nlμH\nμ = H (55)\ncomo se esperaba. Ahora supongamos (l · l) = 0, es decir. - Sí, claro. Vamos.\nu C0() ser un marco de referencia auxiliar dado. De eq.s (21) y (16) de\n[1] Tenemos:\n(u ·l)−1(−LβF(u)\nL/23370/F(u)β\nLÔF(u))+(u ·l)\n2LβLQ\n (56)\ny, por consiguiente, de (18) y (19) del mismo documento:\nlμ[\nμ] = LβB(u, n)\n3LβL(Q · L)\nlβ[\nAsunto C-372/98 Comisión de las Comunidades Europeas / República Helénica y República Helénica\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nlμ[+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n(+) = lμ[+)\n] = 0\nPor lo tanto, tenemos:\nlμH\nμ = G(u, n) v\n- LβB(u, n)\ni.e. una vez más, según (83) de [1], tenemos: lμH\nμ = H, como se esperaba.\nPor lo tanto, el conjunto (51) de condiciones de compatibilidad, junto con\nEcuaciones Einstein para sostener a cada lado de la hipersuperficie de discontinuidad,\ndefine la clase de soluciones generalizadas regularmente discontinuas de la Ein-\nEcuaciones de stein. Y en caso [g] = 0, es decir. para la medición continua, a partir de\ncondiciones que recuperamos las condiciones normales de compatibilidad para regular des-\nsoluciones continuas y débiles.\nSin embargo, en el caso genérico tenemos algunas diferencias, como vamos a\nmostrar en el siguiente.\n6 Una clase de capas esféricas de contorno\nConsideremos el partido de dos piezas-C0 regularmente discontinua spher-\nsoluciones icales de las ecuaciones de Einstein al vacío, de la forma\nds2 = −a(r, t)dt2 + b(r, t)dr2 + r2d\na través de una desgravación gravitacional admisible esférica\ncontinuidad hipersuperficie de la ecuación r = Por lo tanto\nla forma lα = \nr − \nt es continuo (mientras que lβ = glα en general no lo es).\nSuponemos globalmente coordenadas C0, la misma forma de la métrica en ambos\ndominios y, y la identificación t+ = t−, r+ = r−, =,\nLeta, b > 0 y dejar que a, b • piecewise-C0 sea regularmente dis-\ncontinua en el caso de los primeros derivados discontinuos con regularidad y en el caso de los primeros derivados discontinuos. Déjanos\ndenotar por un punto la derivada parcial con respecto a t, y por un primo que\ncon respecto a r. Dejar por otra parte condición a− b > 0, es decir, (l · l) > 0, espera\nA ambos lados en la parte superior.\nTenemos:\n= −[a]\nt + [b]\nr (60)\nAhora definamos la coincidencia como una solución generalizada regularmente discontinua\npor (51), con Tó = 0, es decir, en ausencia de energía-estrés concentrada en..........................................................................................................................................................................................................................................................\nEn este caso, nuestras condiciones de compatibilidad se reducen a:\nlβ[\nμ]− lμ[\nμ] = 0 (61)\nque, para un emparejamiento de métricas del tipo (59), son equivalentes a las siguientes:\nsistema:\n[b−1] + [a′b−1] = 0\n[a−1] + [a′a−1] = 0\n[a′a−1] + [a−1] = 0\n[b′b−1] + [b−1] = 0\n[b-1] = 0\ni.e. tenemos [b] = 0 y, en consecuencia:\n[] + [a′] = 0\n[a−1] + [a′a−1] = 0\n[a′a−1] + [a−1] = 0\n[b′] + [] = 0\ny a partir de (3):\n[] + [a′] = 0\n( a′)[a−1] = 0\n( a′ + )[a−1] + ([a′] + [])a−1 = 0\n[b′] + [] = 0\nAhora si tuviéramos ambos [] + [a′] = 0 y + a′ = 0, por (2) tendríamos\n+ a′ = 0 a ambos lados de la hipersuperficie. Descartamos por el momento.\nesta situación singular, y de (64)2 llegamos a la conclusión de que [a\n−1) = 0.\nAsí, en este caso, nuestras condiciones de compatibilidad generalizada implican [a] =\n[b] = 0, es decir, fuerzan a la cerilla a ser C0, a pie-C1.\nEn [1] ya hemos estudiado algunos ejemplos de coincidencias C0, tipo-C1\nde métricas del tipo (59) en una hipersuperficie de radio constante r = rb, con\nlα = \nr. Es decir, hemos considerado: Schwarzschild externo - interno\nSchwarzschild; Schwarzschild externo - Tolman VI; Schwarzschild externo -\nTolman V. Tales coincidencias obviamente tienen lα C\n0; además condición a′ 6=\n0 reducir en este caso a a′ 6= 0, que está obviamente satisfecho. En cada caso nosotros\nhan verificado que la condición [a] = [b] = 0 implica \norden discontinuidad), que luego define la coincidencia como una capa límite [1] (es\nEn realidad, también implica b = 0, como se puede verificar). Semejante es un resultado general, ya que\npara una métrica del tipo (59) los componentes totalmente temporales y radiales\ndel tensor Einstein son independientes de los segundos derivados de la\nmétrica:\nGtt = −a(b)\n′r + b2 − b)/r2b2\nGrr = −(a)\n′r − ab+a)/ar2\nde modo que las ecuaciones de Einstein correspondientes al vacío se reduzcan a:\nb′r + b2 − b = 0,\na′r − ab+ a = 0.\nAhora, ya que en la coincidencia de (59) soluciones de vacío ecuaciones (66) se satisfacen\nen cada lado de la interfaz فارسى, su salto es en particular nulo, y a partir de (3)\ntenemos:\n′] + (2b− 1)[b] = 0\n′]− a[b]− (b+1)[a] = 0\nde la cual se desprende claramente que las condiciones [a] = [b] = 0 implican [a′] = [b′] = 0,\ni.e. A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A\nResumiendo, para el partido de dos piezas-C0 regularmente discontinuo\nsoluciones esféricas, en la hipótesis anterior, la compatibilidad generalizada con\ndicciones (51) implican [a] = [b] = 0, es decir, fuerzan a la cerilla a ser C0. Activar\nlas condiciones de la otra mano [a] = [b] = 0 implican que فارسى es una capa límite.\nPor lo tanto, para tales compatibilidades esféricas condiciones de compatibilidad generalizada (51)\nson necesarios y suficientes para que el partido sea una capa límite.\n7 Ondas de choque gravitacional generalizadas\nConsideremos la coincidencia de dos métricas de onda plana de la forma\nds2 = −2ddη + F ()2dx2 + G()2dy2 (68)\na través de una hipersuperficie de la ecuación de 0 = 0. Aquí y η son los dos nulos\ncoordenadas. Suponemos que coinciden continuamente coordenadas y F,G reg-\nulularmente discontinuos, junto con sus derivados primero y segundo. Los\nvector de gradiente de فارسى es la característica continua (a cada lado de فارسى) vector\nlα = \nCondiciones de compatibilidad generalizadas (51) en el caso T. = 0 (es decir, Sin estrés...\nenergía concentrada en la hipersuperficie) reducir a la siguiente escalar\necuación:\n[F-1F ′ +G-1G′] = 0 (69)\nque caracterizan la onda de choque gravitacional generalizada. Vamos ahora.\nestudio de compatibilidad de (69) con las ecuaciones de Einstein. El vacío de Einstein\nlas ecuaciones también reducen a una sola ecuación escalar:\nF−1F ′′ +G−1G′′ = 0 (70)\nque se supone que sostengamos a cada lado de la hipersuperficie; reemplazando así\nF+ y G+ por sus expresiones en términos de F, [F ], G y [G] según\n(2) da lugar a las siguientes condiciones escalares de pareja:\n(2F ′′ + [F ′′])(2G+ [G]) + (2G′′ + [G′′])(2F + [F ]) = 0 (71)\n(2F ′′ − [F ′′])(2G− [G]) + (2G′′ − [G′′])(2F − [F ]) = 0 (72)\nLas ecuaciones (71) a (72) son compatibles con (69), es decir: las tres ecuaciones establecidas\nse puede resolver algebraicamente con respecto a F, [G] y a cualquier miembro de la\npar (F, G), y la solución no es necesariamente trivial.\nFinalmente vamos a notar que, si la condición adicional [F ] = [G] = 0 mantiene,\ni.e. si la solución es C0, la condición (69) se reduce a F−1[F ′]+G−1[G′] = 0 es decir.:\nF - 1-F + G - 1-G = 0 (73)\nque es la condición análoga para la onda de choque ordinaria, de acuerdo con\n[1] sección 10.5.\n8 Ondas gravitacionales generalizadas lentas\nComencemos a intentar combinar dos soluciones de vacío del tipo (68) a través\nla hipersuperficie temporal (en ambos lados) de la ecuación • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Otra vez nosotros.\nSuponga que las coordenadas coinciden continuamente, F, G regularmente discontinua a-\ngether con sus derivados primero y segundo, y Tâ = 0. Esta vez, gener...\nlas condiciones de compatibilidad alizadas incluyen (69) y las dos siguientes:\ncondiciones escalares:\n[FF ′] = 0, [GG′] = 0 (74)\nEs decir, en términos de F, [F ], G y [G], de acuerdo con (3):\nF [F ′] + [F]F ′ = 0 (75)\nG[G′] + [G]G′ = 0 (76)\nEs fácil comprobar que el sistema (75)-(76) no es compatible con (71)-(72),\nen el sentido de que todo el sistema no admite soluciones no triviales para\nF, [F], G y [G].\nPor otra parte, hemos demostrado en la sección 6 que una amplia clase de\nCoinciden esféricas borradas en una hipersuperficie de radio constante necesariamente\nDegenerado a una coincidencia de C0.\nOtros ejemplos de degeneración no se han incluido en el documento para\nel bien de la brevedad, pero al menos parece ser una tarea difícil de construir un no-\ncoincidencia generalizada trivial a través de un tiempo (en cada lado) hipersuperficie, con\nsin contenido de energía-estrés. Tal dificultad no es ciertamente una prueba de que esto sea\nuna tarea imposible, pero nos hace preguntarnos si tal solución debería\nnecesariamente degeneran en una capa de frontera, al igual que sucede para el ordinario\nSoluciones C0 (véase, por ejemplo, [1]). Esto prohibiría la existencia de\nsoluciones que se propagan a una velocidad más lenta que la luz. Tal sería un\nprohibiciones indeseables bajo cierto respeto, ya que se podía esperar que\nlas interacciones gravitacionales en el vacío deben necesariamente propagarse a la velocidad\nde la luz también en una teoría generalizada.\nEn términos generales, ya que para soluciones generalizadas la métrica es discontinua\nous, una hipersuperficie puede en principio tener diferentes firmas en los diferentes\nlados; por esta razón no podemos simplemente distinguir entre el tiempo y\nel caso claro, como para las soluciones habituales C0. Más bien deberíamos distinguir\nentre tres casos: timelike-timelike, timelike-lightlike (o por el contrario) y\nLuz-luz-luz.\nEn cualquier caso, es legítimo esperar que, al menos en el tiempo-como\ncaso, similar al caso temporal de soluciones (C0, a medida C1), ausencia de\nla energía de estrés concentrada en la energía debería implicar la solución para degenerar a\nuna capa límite [1].\nDesafortunadamente para las soluciones generalizadas todavía no tenemos pruebas de que la ausencia\nde la energía de estrés concentrada en • implica necesariamente la degeneración de\nla solución a una capa de contorno.\nPor lo tanto, aunque los ejemplos considerados en este documento parecen\nque tal propiedad podría ser válida también en el caso generalizado, para el\nen el momento en que tal resultado sigue siendo una conjetura; por lo tanto, tenemos que admitir que la\nen principio permite la propagación de ondas de choque gravitacional generalizadas\na menor velocidad que la velocidad de la luz. Llamaríamos a tales ondas “la gen-\nondas de choque gravitacional borradas”. Sería razonable prohibir esto.\nla situación como antifísica, pero por ahora esto sólo se puede hacer ad hoc, por medio de\nde una hipótesis adicional correspondiente.\n9 Energía de estrés no simétrica\nNote que lμH\nμ no es necesariamente simétrico; a partir de la identidad:\n/ = (1/2)g−1g (77)\ndonde g denota el determinante de la métrica contravariante, tenemos:\nlμH[]\nμ = (1/4)(lβ[g\n− 1 g]− l[g\n−1g]) (78)\nPor lo tanto, el esquema generalizado permite en principio la presencia de\ntensión métrica-energía en la hipersuperficie de discontinuidad. Vamos a mostrar no-\nejemplos triviales de no simetría en la siguiente sección. Nótese que el\nLa parte derecha de (78) es idénticamente nula en el caso de g-C0 y lα-C\n0, desde\nen este caso tenemos [g−1g] = lβg\n−1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og.\nUn tensor Einstein no simétrico es una característica de la teoría Einstein-Cartán de\ngravedad (véase [19], véase también [3] sección 7.2), donde se debe a la presencia\nde torsión en la conexión no simétrica utilizada para construir generalizada\ncurvatura. Por lo tanto, la teoría generalizada se puede interpretar, al menos a algunos\nextensión, como la introducción de una herramienta equivalente a la torsión en el shell solamente, incluso si hay\nno son objetos geométricos en nuestra teoría que pueden ser interpretados directamente\ncomo torsión. Sin embargo, la teoría Einstein-Cartán también tiene un giro - angular mo-\necuación de campo mentum, además de las ecuaciones de Einstein, que aquí es\nFalta.\nEn la literatura, condiciones de compatibilidad para soluciones C0 de límite\ncapas [20], y recientemente de ondas de choque y conchas delgadas [21], se han estudiado\ntambién en el marco de la teoría Einstein-Cartán; en realidad, esto puede conducir a\nenergía de estrés no simétrica en el caparazón. Pero en esa teoría esta característica\nse hereda del espacio-tiempo ambiente, que no está aquí: no-simétrico\nstress-energy surge sólo en la cáscara, en consecuencia de la teoría. Esto\nEs probable que valga la pena investigar una feauture interesante.\n10 Conchas delgadas generalizadas\nAhora consideremos una forma más general de la métrica esférica:\nds2 = −a(r, t)dt2 + b(r, t)dr2 + c(r, t)d\nConsideremos una coincidencia de dos soluciones esféricas de las ecuaciones de Einstein\na través de una hipersuperficie temporal (en cada lado) de la ecuación r = (t). Otra vez nosotros.\nSupóngase C1 (t) y por lo tanto lα = \nr − \nt â € C0. Deje que las coordenadas\nser C0 globalmente, y dejar que la métrica tenga la misma forma (79) en ambos dominios\ny, con la identificación t+ = t−, r+ = r−, =, = on\nQue por otra parte a, b, c > 0 y dejar que a, b, c • piecewise-C0 sea regularmente dis-\ncontinua en el caso de los primeros derivados discontinuos con regularidad y en el caso de los primeros derivados discontinuos. Otra vez nosotros.\ndenotar por un punto la derivada parcial con respecto a t, y por un primo que\ncon respecto a r.\nEn este caso para el lado izquierdo de la condición de compatibilidad generalizada\nciones lμH\nμ obtenemos:\nlμH\nμ = −\n[a′b−1/2] + [b−1/2 + c−1]\n+([a′a−1/2 + c′c−1] + [a−1/2]\n+([a−1/2 + c−1] + [a′a−1/2]\n−([b−1/2] + [b′b−1/2 + c′c−1)]\n+([c′b−1/2] + [a−1/2])\n* + sin2 *\n[b−1(a′a−1/2 + c′c−1)] + [a−1(b−1/2 + c−1)]\ndonde, obviamente:\ng = −a®\nt + b+\nr + c(+)\n* + sin2 *\n(81)\nAhora queremos interpretar (80) como la materia-energía de un caparazón delgado. Vamos.\nnosotros primero volver al caso particular = 0 (concha estática) y = =\n• = 0, para simplificar la interpretación eliminando el no-simétrico\ncomponente; reorganizar algunos términos que de hecho obtenemos:\nlμH\nμ = (−[a′b−1/2] + ac−1[c′b−1/2]\n+([a′a−1/2 + c′c−1]− bc−1[c′b−1/2]\nc−1[c′b−1/2]− [b−1(a′a−1/2 + c′c−1)]\nEsto se puede interpretar como una perfecta capa delgada de magneto-fluido isotrópico con\nConductividad infinita, es decir. podemos resolver las condiciones de compatibilidad mediante\nsidering la siguiente energía de estrés como el lado derecho:\nT = (0 + p+ μh\n2)UαUβ + (p+ (1/2)μh\n2)g® − μhαhβ (83)\ndonde 0 es la densidad adecuada, h el campo magnético y μ el magnético\npermeabilidad [22, 23, 24, 25, 6]; aquí definimos h2 = hαhβg\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * De hecho, sí.\nbasta para definir el siguiente vector de 4 velocidades:\na– (1/4)[a2]a−1\nt = (a−1)1/2\nt (84)\nque, por construcción, es unitaria en el sentido siguiente: UαUβg\n• = −1,\ny las siguientes variables magnetohidrodinámicas:\n0 = χ\n−1a−1[a′b−1]/2 + 1c−1(b b−1/2− aa−1 + 1)[c′b−1]/2+\n1[b−1](a′a−1/2 + c′c−1)− (3/2)1b−1[a′a−1/2 + c′c−1)\np = 1c−1(bb−1/2− 1)[c′b−1/2] + (1/2)1b−1[a′a−1/2 + c′c−1]+\n1[b−1](a′a−1/2 + c′c−1)\nhα = ±\nb−11([a′a−1/2 + c′c−1]− bc−1[c′b−1/2])\npara emparejar (82) y (83) a través de lμH\nμ = T. Si [a] = [b] = [c] = 0\nConcha generalizada (85) degenera en la capa magnetohidrodinámica C0\nconsiderado en [1] sección 10.1, en el caso particular = 0.\nEl caso ligeramente más general de = = 0, pero 6= 0, muestra\nen términos no simétricos (80); sin embargo, no es difícil ver que la\nla interpretación del magnetofluido todavía se mantiene, siempre y cuando no\ntérminos simétricos son interpretados, o descuidados. De hecho, en este caso tenemos:\nlμH\nμ = (−[a′b−1/2] + c−1[c′b−1/2]\n+([a′a−1/2 + c′c−1]− bc−1[c′b−1/2]\n+(1/2)[a′a−1/2− b′b−1/2− c′c−1](\nt + â €\n+(1/2)[a′a−1/2 + b′b−1/2 + c′c−1]\nt − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nc−1[c′b−1/2]− [b−1(a′a−1/2 + c′c−1)]\nConsideremos ahora, en aras de la brevedad, las siguientes cantidades:\n2[ a\n2b−1 − (a)\n− [a]\n))2a−1\n− [a]\n− [a]\ny supongamos que la desigualdad α < 0 sostiene, que es necesario para el\ninterpretación física. De hecho, en este caso el siguiente vector:\n− [a]\nt + 1\n[ a]\n− [a]\nes un vector tipo tiempo de unidad en el sentido de que UαUβg\n• = −1. Reordenar\ntérminos, (86) ahora dice:\nlμH\nμ = αUβU/23370/ + \nr + 1\n[ a]\nt − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nc−1[ c\n− [b−1(a)\nque se puede igualar a través de lμH\nμ = T con un tensor de tensión-energía de\nel tipo siguiente:\nT = (0 + p+ μh\n2)UαUβ + (p+ (1/2)μh\n2)g® − μhαhβ + A® (91)\ndonde A denota el término anti-simétrico. Tenemos:\n0 = \n−1α + 1 1\n− 1[b−1( a)\n)]− 1\np = 1 1\n] + 1[b−1( a\n)]− 1\nμh2 = 1βb−1\nmientras que el término anti-simétrico A dice:\nA = \nt − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nr) (93)\nLa interpretación de este término aún no se ha hecho; por el contrario, podría ser\nnegándose añadiendo la hipótesis adicional:\n= 0 (94)\nque es equivalente a [g−1g′] = 0, como podríamos esperar de (78).\nBibliografía\n[1] G. Gemelli Gen. Rel. Grav. 34 1491-1540 (2002).\n[2] S.O’Brien, J.L.Synge Comm. Dublin Inst. Adv. Stud. Ser. A 9 1-20\n(1952).\n[3] C. Barrabes, P.A. Hipersuperficies nulas de Hogan Singular en relatividad general\nWorld Scientific, Singapur (2003).\n[4] W. Israel, Nuovo Cimento B 44 1 (1966); correcciones en 48, 463.\n[5] C. Barrabes, W. Israel Phys. Rev. D 43 1129 (1991).\n[6] A. Lichnerowicz, Magnetohidrodinámica: ondas y ondas de choque en\nespacio-tiempo curvo, estudios de física matemática vol. 14, Kluwer académico\neditoriales, Dordrecht, 1994.\n[7] L. Schwarz, C. R. Acad. Sci. París 239 847 (1954).\n[8] J.F. Colombeau J. de Matemáticas. Anal. y appl. 94 96 (1983).\n[9] J.F. Colombeau Nuevas funciones generalizadas y multiplicación de distribu-\nciones Norte-Holanda (1984).\n[10] J.F. Colombeau Multiplicación de distribuciones Notas de conferencia en Mathe-\nmatics 1532, Springer (1992).\n[11] J.F. Colombeau, A. Meril J. Matemáticas. Anal. Appl. 186 (1984).\n[12] J.A. Vickers, clase J.P. Wilson. Quantum Grav. 16 579-588 (1999).\n[13] H. Balasin, Class. Quantum Grav. 14 (1997).\n[14] R. Steinbauer J. Matemáticas. Phys. 38 1614 (1997).\n[15] C.J.S. Clarke, J.A. Vickers, clase J.P. Wilson. Quantum Grav. 13 2485\n(1986).\n[16] G. Gemelli, J. Geom. Phys. 43/4 371-383 (2002).\n[17] C. Cattaneo Istit. Lombardo Accade. Sci. Lett. Rend. A 112 139 (1978).\n[18] G. Gemelli J. Geom. Phys. 20 233 (1996).\n[19] E. Cartan C. R. Acad. Sci. Paris 174 593-595 (1922).\n[20] W. Arkuszewsky, W Kopczynski, V.N. Ponomariev Commun. Matemáticas.\nPhys. 45 183-190 (1985).\n[21] Clase G.F. Bressange. Quantum Grav. 17 2509-2523 (2000). bibitem-\nlich67\n[22] A. Lichnerowicz, Ann. Inst. H.Poincaré 7 271 (1967).\n[23] A. Lichnerowicz, Comm. Matemáticas. Phys. 12 145 (1969).\n[24] A. Lichnerowicz, en “Centr. Int. Mat. Est. 1970\", Cremonese, Roma,\n(1971).\n[25] A. M. Anile Fluidos relativistas y magneto - fluidos Cambridge Univer-\nsity Press, Cambridge (1989).\n\tIntroducción\n\tmétricas discontinuas\n\tGeometría de valor medio en una hipersuperficie\n\tFormalismo complejo de valor medio\n\tCondiciones de compatibilidad generalizada\n\tUna clase de capas esféricas de contorno\n\tOndas de choque gravitacional generalizadas\n\tOndas gravitacionales generalizadas lentas\n\tEnergía de estrés no simétrica\n\tConchas delgadas generalizadas\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" La consistencia física de la combinación de las métricas por pieza-$C^0$ es\nDebatida. La teoría matemática de las hipersuperficies de discontinuidad gravitacional\nse generaliza para cubrir la coincidencia de métricas regularmente discontinuas. Los\nSe introduce un marco de geometría diferencial de valor medio en una hipersuperficie, y\nse deducen las condiciones de compatibilidad correspondientes. Ejemplos de\nSe estudian las capas límite, las ondas de choque gravitacional y las conchas delgadas.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción\n¿Es posible definir soluciones débiles de las ecuaciones Einstein de clase\nC0 a trozos, es decir, generalizar las condiciones de compatibilidad que sustituyen\nlas ecuaciones de campo en una hipersuperficie singular al caso cuando la métrica es\n¿Con regularidad discontinua?\nAlcanzar este objetivo significaría probablemente definir la clase más general\nde soluciones débiles regularmente discontinuas de las ecuaciones de Einstein. Parece\nque este problema nunca había sido estudiado antes en la literatura. Pero, antes de que nosotros\nProcede, tenemos que discutir si estamos hablando de algo mathemat-\ncial y físicamente consistente o no.\nUn concepto fundamental de la geometría Riemanniana es que en cualquier punto de\nun submanifold hay opciones de coordenadas para las que la métrica se reduce a\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0103v1\nla métrica plana de Minkowski. Evidentemente, si esta elección se hace en ambos lados de la\nla superficie de discontinuidad, cualquier “salto” en la métrica desaparece. Por lo tanto, la\ndiscontinuidad métrica aparece como un concepto dependiente de coordenadas, que es\nni geométricamente (ni físicamente) aceptable en el contexto de\nRelatividad.\nPero también tenemos que considerar que la regularidad de las coordenadas globales juega\nun papel importante en nuestro enfoque, que es el de [1] y de la literatura\ncitado en el mismo. En particular, ya que aquí el espacio tiempo es sólo C0, nos llevan a\nconsiderando las transformaciones de coordenadas (C0, C1) a trozos. Si la métrica es\ndiscontinuo en algún gráfico global de C0, es en general imposible obtener\nla desaparición del salto métrico a ambos lados de una hipersuperficie con un C0\ntransformación de coordenadas (ver sección 2). Moeover en el siguiente somos\nllevó de una manera natural a considerar las transformaciones de coordenadas C1; la métrica\n¡La discontinuidad es un tensor con respecto a tales cambios de coordenadas!\nEn otras palabras, el salto de la métrica tiene una media matemática precisa-\ning, si lo consideramos en relación con las coordenadas regulares globales.\nEn un procedimiento bien consolidado, el supuesto de continuidad para el\nmétrica a través de una interfaz gravitacional generalmente se da por sentado; sin embargo\nse deriva del proceso de limitación de la modelización sándwich fino, en\nconsecuencia de la hipótesis de que los derivados externos de la métrica\nse delimitan [2]. Sin embargo, en este documento vamos a ver que, incluso la eliminación\nla suposición de continuidad, todavía es posible definir un interior generalizado\ngeometría de la hipersuperficie de discontinuidad; uno así puede encontrar consistentemente\nun conjunto generalizado correspondiente de condiciones de compatibilidad, que, evidentemente,\nse reduce a los habituales cuando se restablece la hipótesis de continuidad.\nSin embargo, ¿cuáles son las motivaciones físicas para pasar a tal generalización?\nEn realidad las ondas de choque gravitacional y las conchas delgadas son generalmente definidas por el\npresencia de curvatura singular con un componente “delta” concentrado en una\nhipersuperficie, situación que está bien moldeada dentro del clásico C0 piecewise-C1\nCoincidencia de las métricas [1, 3].\nOriginalmente fuimos llevados a considerar soluciones de clase-C0, como pos-\ngeneralizaciones de ondas de choque y conchas delgadas, por el bien de la mathe-\nmatical completo, con la idea de que la interpretación física seguiría.\nEn realidad encontramos un marco de alcance más que el habitual, con algunos en-\nnuevas características teresantes (e incluso algunas más bien indeseables), que nosotros\nexhibido en este papel.\nHay dos teorías principales en la literatura para las soluciones de la clase C0\nC1, es decir, que en términos de la segunda forma fundamental (heurística\nla teoría, véase, por ejemplo, [4, 5]) y que en términos de la curvatura tensor-distribución\n(Teoría axiomática, véase, por ejemplo, [6, 1]); son equivalentes por medio de la asignación\nextensiones (para una visión general autónoma véase, por ejemplo, [1]).\nLa teoría axiomática parece no ser apropiada para el estudio de\nlas soluciones izadas, ya que la teoría de las distribuciones es básicamente lineal. Incluso si nosotros\nEn principio, podría sustituir la métrica discontinua por sus distri-\nbution gD, entonces sería imposible definir, por ejemplo, los reemplazos\npara los símbolos Christoffel, ya que esto implicaría producto de distribuciones,\nque, como se cree en general, es imposible de definir. De hecho, se demostró que\nSchwarz [7] que, bajo hipótesis razonables, no puede haber una definición\nde funcionamiento conmutativo y asociativo en distribuciones que se reducen a\nmultiplicación ordinaria en distribuciones integrables (por ejemplo, en funciones regulares);\nPor lo tanto, en una palabra es imposible definir el producto de las distribuciones.\n¿O lo es? Colombeau [8, 9, 10] desarrolló una teoría que aparentemente\nTradice el resultado de Schwarz. Introdujo un espacio muy amplio de\nfunciones, que extiende el espacio habitual de distribuciones, un subespacio de las cuales\ncorresponde, en cierto sentido (la correspondencia no es 1 a 1), a lo habitual\ndistribuciones. El formalismo de Colombeau permite la multiplicación de\nfunciones; pero la contradicción con el teorema de imposibilidad es sólo ap-\npadre, de hecho la hipótesis de Schwarz se violan, ya que la operación hace\nno coinciden con la multiplicación ordinaria en funciones regulares ni con mul-\ntiplicación de una función regular veces una distribución (aunque hace al menos\npara las funciones de C.O.C.).\nEsta teoría, sin embargo, no encaja de una manera natural en la relatividad general,\nya que es imposible definir objetos geométricos covariantemente invariantes; en\nEl espacio de Colombeau no es invariable para la transformación de coordenadas fluidas.\nciones, a menos que sean lineales. Sin embargo, tal dificultad parece haber sido\nsuperado en posteriores ajustes de la teoría, con la introducción de\nun marco matemático más rico [11, 12], de modo que las funciones generalizadas\naparatos actuales se pueden utilizar en la relatividad general, y de hecho ha sido\nse aplica al menos al cálculo de las curvaturas singulares de los espacios-tiempo\nde Kerr [13], Reissner-Nordstrom [14], y el llamado espacio-tiempo de cuerdas cósmicas\n[15]. En esta literatura la teoría de Colombeau se adapta al manejo de\ncurvatura cuando la métrica tiene una singularidad en el sentido de funciones, es decir. la\nla curvatura ordinaria explotaría, en un punto de acontecimiento singular o en un singular\nworldline. No parece haber ninguna razón en particular para prohibir a Colombeau\nmétodo también para definir la coincidencia de la pieza-C0 regularmente discontinuo\nmétricas en una hipersuperficie singular; sin embargo, por lo que el autor sabe, no\nSe ha intentado aún utilizarlo en este marco.\nEl método directo que vamos a introducir en las siguientes secciones, sin embargo,\nes tan conceptualmente simple que preferimos no experimentar con Colombeau\nfunciones generalizadas, lo que significaría, en cambio, la introducción de un\naparato matemático complicado y desconocido.\nEn este artículo proponemos de hecho una nueva teoría generalizada para regularmente\nsoluciones discontinuas, que cubren también la combinación de métricas tipo C0. Nuestro\nla teoría es heurística, ya que se construye de una manera similar a la heurística el-\nory de C0, las soluciones por pieza-C1 se originaron de los estudios de Israel, pero\nevitamos completamente el marco tradicional o proyectual Gauss-Codazzi\n(que no incluye el caso liviano [4, 5], o necesita un adap-\ne introducir lo que llamamos “diferencia de valor medio”\nEn cambio, el marco de geometría” (véase la sección 3). Esto es conceptualmente muy sim-\ny permite construir de una manera natural una teoría generalizada, donde\nel papel principal (que solía ser el del salto del secund fundamental\nforma) se juega aquí por el salto de los símbolos de Christoffel. La teoría es un\nextensión de la teoría de hipersuperficies de discontinuidad gravitacional que tenemos\nestudiado en [1], al que se reduce cuando la métrica es C0. Incluso si deberíamos\nlimitar a la solución C0, añadiendo el supuesto tradicional de continuidad para\nla métrica, nuestra teoría sin duda tendría al menos las buenas cualidades de\nno necesita el tiempo y el caso de luz para ser distinguido (diferente\nde la teoría heurística habitual), y de sólo requerir la continuidad C0 para la co-\nordenadas (diferentes de la teoría axiomática). Por otra parte, es completamente\nen el marco de las coordenadas generales del espacio ambiente (encolado)-\ntiempo, sin uso de ecuaciones paramétricas de la hipersuperficie, ni de\ncoordenadas y 3 bases holonómicas, que podrían considerarse una buena calidad\nen algunas aplicaciones también.\nSoluciones débiles Pickwise-C0 de las ecuaciones de Einstein, hasta el au-\nthor es consciente, nunca se han considerado previamente en la literatura. Ellos\ngeneralizar las soluciones C0 correspondientes, como muestran los ejemplos de este artículo;\nSin embargo, hay más. Aparentemente de hecho la teoría permite la propagación\nde discontinuidad gravitacional libre a una velocidad inferior a la velocidad de la luz (seg-\nEn el caso de que se trate de un problema de salud pública, la Comisión no está de acuerdo con lo que ha dicho el Sr. Van den Broek.\nla energía concentrada en el tiempo debería implicar necesariamente la\ndegeneración de la solución generalizada a la capa de contorno, aunque lo hace\nal menos para una amplia clase de emparejamientos esféricos (véase la sección 6). Por otra parte, no\nse permite la energía de estrés simétrica en la hipersuperficie (sección 9), como, por ejemplo, en\nDinámica Einstein-Cartán. Este posible vínculo con las teorías clásicas de unificación\nEs sorprendente, ya que en nuestro marco no tenemos nada similar a Einstein.\nTorsión cartánica. Por lo tanto, vemos mucho espacio para futuras investigaciones.\n2 métricas discontinuas\nSupongamos que V4 un multiple orientado diferenciable de la dimensión 4, de clase\n(C0, C2), provisto de una métrica de firma estrictamente hiperbólica\n- Y clase a destajo-C0. Deja que V4 sea un subconjunto abierto conectado con\ncierre compacto. Dejar que las unidades se elijan para tener la velocidad de la luz en\nespacio vacío c • 1. Los índices griegos van de 0 a 3.\nVamos a ser una hipersuperfaz regular de la ecuación f(x) = 0; vamos a y\ndenotan los subdominios distinguidos por el signo de f.\nmétrica y sus derivados parciales primero y segundo que se discontinuarán regularmente.\nen todos los gráficos de la clase C0(). Let f C0(♥) C2(), and let\nlos derivados segundo y tercero de f deben ser discontinuas regularmente en Por último,\nlet lα f denotar el gradiente de f.\nQue la métrica sea una solución de las ecuaciones ordinarias de Einstein en cada uno de\nlos dos dominios y. En esta situación es la interfaz entre dos\ngeneral relativista espaciotiempos y se llama un (generalizado) gravitacional\nhipersuperficie de discontinuidad.\nEn lo siguiente vamos a desarrollar una teoría para justificar la introducción de\ncondiciones adecuadas de compatibilidad generalizada para sustituir el equa- de Einstein\n(sección 5); si dichas condiciones se cumplen en el\ngeneralización de la hipersuperficie gravitacional\nsolución discontinua de las ecuaciones de Einstein.\nAhora vamos a recordar brevemente algunas nociones básicas sobre regularmente discontinuo\ncampos, que utilizaremos como herramientas. En cualquier caso, para notación y terminología\nnos referimos a [1].\nUn campo se dice que es regularmente discontinuo en si sus restricciones a\nlos dos subdominios y ambos tienen un límite finito para f 0; nosotros\ndenotar tales límites por y, respectivamente.\nEn este caso, el salto a través de la línea y su valor medio aritmético son:\nbien definido en la hipersuperficie:\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n* = (1/2)( + )\nSi es continuo a lo largo de la línea, obviamente tenemos: [] = 0, = . También tenemos\nlas fórmulas inversas:\n= (1/2)[l]\n= (1/2).\nEn cuanto al producto de dos funciones, tenemos:\n[] = [] + []\n= + (1/4)[\nSi un campo es regularmente discontinuo en el campo, su salto se llama a veces\nsu discontinuidad del orden 0.\nEl salto de una función regularmente discontinuo tiene soporte en....................................................................................................................\ngeneral, la derivada parcial del salto está bien definido como el salto de la\nderivado de la función (véase [17, 18]). En particular, el derivado de la\nsalto de un campo continuo no es nulo, a menos que el campo sea también C1.\nDel mismo modo, definimos la derivada parcial del valor medio como la media\nvalor del derivado parcial. También podemos utilizar prolongaciones regulares a\nextender, en cierto sentido, la definición de.a y [.a] a todo el dominio.a. Por lo tanto\npueden ser considerados como campos regulares y derivables en , pero sus valores\n(y los de sus derivados) están bien definidos sólo en.........................................................................................................................................................................................................................................................\ndependen de la elección de la prolongación. Para más detalles sobre el método de\nlas prórrogas regulares, véase, por ejemplo, [17, 18].\nDefinimos por otro lado la derivada covariante de un campo con soporte sobre \npor medio del valor medio \n de los símbolos Christoffel. Para el salto de un\nvector discontinuo regularmente, por ejemplo, con esta definición uno tiene que\nel salto del derivado covariante es diferente al derivado covariante\ndel salto. Así, por definición, tenemos:\nβ] = [V\nβ] + \nβ[V ] (4)\ny como consecuencia de (3):\nβ] = [V\nβ]− [\n, (5)\ny de manera similar para el salto de cualquier tensor regularmente discontinuo.\nPuesto que el espacio-tiempo es sólo C0, nos llevan a considerar (C0,\nC1) coordinar las transformaciones, con regular discontinua primera deriva-\nla discontinuidad métrica [g®] no es un tensor con respecto a tales\ncambios de coordenadas. De hecho tenemos:\n[g] = [g]\n+ q\n+ q\ndonde:\nq =\n[G]\n+ \nPor lo tanto, podemos simular todos los cambios de coordenadas (C0, C1)\nEnlazar cambios C1 con cambios en el gálibo métrico:\n[gá] [gá] + qá\n+ q\nque generalizan los cambios usuales del calibre gravitacional de la teoría de (C0, pieza-\nsoluciones prudentes C1) [1].\n¿Es siempre posible hacer [gá] desaparecer con un C apropiado\n0 trans-\n¿Formación? Claramente la respuesta es negativa. De hecho, basta con considerar la\ncaso cuando [g] y son ambos definitivamente positivos en un gráfico dado para ver que\nla ecuación obtenida de (6) sustituyendo el lado de primera mano por 0 no tiene\nsolución para [lxα\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n- Sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí. Por lo tanto, el conjunto de eficacia generalizada\nLas hipersuperficies de discontinuidad gravitacional no están vacías.\nPor otra parte se producirá en muchas aplicaciones para tener lα C\n0. Por lo tanto\na menudo será deseable trabajar en el marco de (C1, C2 a partes)\ncoordinar las transformaciones, que conservan tal condición. La métrica des-\ncontinuidad es un tensor con respecto a tales cambios de coordenadas, pero el\nsalto de los símbolos de Christoffel, que parecen jugar un papel principal en el\na continuación, no lo es; de hecho tenemos:\n[] = []\nxxβ\nSi las coordenadas son C0 y así es la forma lα podemos escribir:\nxxβ\n= lαl\nen la que el punto 2 denota la débil discontinuidad del orden 2 (véase, por ejemplo, [17, 18]). Por lo tanto, en\nPodemos generar todas las transformaciones (C1, C2) a medida para combinar\nTransformaciones de C2 (con respecto a las cuales • es un tensor) y Christoffel\ntransformaciones de calibres, es decir, del tipo:\n]↔ [\n] + lαlβQ\n(11)\ncon alguna analogía con el caso de las métricas C0 (donde se juega el papel principal\npor la discontinuidad métrica de primer orden (g), véase [1] sección 3).\nEn cualquier caso, ni el valor medio de la g métrica ni su salto [g] ahora\ntienen derivados covariantes nulos. Considerar de hecho la identidad g = 0 en\nel dominio ; a partir del límite f 0+, en tenemos:\n− (\nü)+g − ()\nv)+g = 0 (12)\nAquí, con el significado obvio de los símbolos, denotamos: g = (g)\n+, g =\ng, etc. En consecuencia, a partir de (2)1 tenemos:\ng + (1/2)[g]− \n~ ~ ~ ~ ~ ~ ~\n- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!\n−(1/2)([\n/ ]g + \n/ [g] + []\n/ ]g + \n/ [g ])+\n−(1/4)([\n/ [g] + []\n/ [g ]) = 0\nDel mismo modo, desde el límite f 0− y a partir de (2)2 también tenemos en فارسى:\ng − (1/2)[g]− \n~ ~ ~ ~ ~ ~ ~\n- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!\n+(1/2)([\n/ ]g + \n/ [g] + []\n/ ]g + \n/ [g ])+\n−(1/4)([\n/ [g] + []\n/ [g ]) = 0\nDe la suma de expresiones (13) y (14) tenemos así:\ng = (1/4)[\n/ [g] + []\n/ [g ]) (15)\ny, a partir de la diferencia:\n[g] = [] + [ ] (16)\nA partir de (16), (3), y de la definición de derivado covariante sobre \na continuación:\n[g] = []\n& / ]g + [\n/ ]g (17)............................................................................................................................................................................................................................................................\nEn cuanto al salto y el valor medio de los símbolos Christoffel que tenemos, de\nEl Tribunal de Primera Instancia decidió:\n+(1/4)[g]([g] + [g]− [g ])}\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n+[g](g + g − g)\no, de (15) y (17):\nEl Tribunal de Primera Instancia decidió, en primer lugar, si la Decisión impugnada era compatible con el mercado interior y, en segundo lugar, si la Decisión impugnada era compatible con el mercado interior y, en segundo lugar, si la Decisión impugnada era compatible con el mercado interior.\nNo obstante, el Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia no puede pronunciarse sobre la compatibilidad de la medida con el mercado común.\n3 Geometría de valor medio en una hipersuperficie\nConsideremos un V α 4-vector, regularmente discontinuo en Ł, el salto y el\nel valor medio de los cuales funcionará como prototipo de vectores con el valor de soporte.\nTenemos, por definición:\n[V\n] = [V\n[]− []\n- ¿Qué? - ¿Por qué? - ¿Por qué? - ¿Por qué?\nAsunto C-212/90 Comisión de las Comunidades Europeas / Reino de los Países Bajos\ndonde [V\n] = [V\n]+ [\ny donde, de nuevo por definición, tenemos:\nV =\n(V)\n+) + ()\n(V +) + (V)\n-)-()-()-()-()-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(......)-(.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................\n(V −) (22)\nAsí, a partir de (2) tenemos:\nV ♥ = V + (1/4)[\n[V], (23)\nque, por cierto, es el mismo resultado que podríamos obtener de la aplicación formal\nsión de (3), que puede aplicarse realmente a los derivados covariantes, siempre y cuando\nuno interpreta â € = â € TM. Por lo tanto, tenemos:\n[V\n] = [V\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n+ [\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n−[]\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n− (1/4)[][\n][V ]+\n+[\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n+ (1/4)[\n][\n[V]] [V]\ny por lo tanto, por antisimetría:\n[[]V\n] = [][V\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n[β[β]\n][]\nv. [V.] (25)\nAhora, de la identidad de Ricci tenemos: [[]V\n] = [R\ny, a continuación, por\n[[]V\n] = [R\n+R\n[V], (26)\ny, por lo tanto, de una identidad bien conocida que se deriva de (3) como consecuencia\nnuestra definición (5) para el derivado covariante en فارسى, es decir. (véase [1]):\n[R\n] = [\n¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!\n] (27)\ntenemos que el conmutador de los derivados covariantes del salto de un\nvector genérico discontinua regularmente obedece a la siguiente fórmula tipo Ricci:\n[[][V]\n(1/2)R\n − (1/4)[β\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n[V.]. (28)\nNo es de extrañar, trabajar de una manera similar a partir de V y anti-\nSimetrizando, encontramos de nuevo:\n[]V\n(1/2)R\n − (1/4)[β\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n; (29)\nde hecho, cualquier campo dado con el apoyo en el • puede ser considerado, con la ayuda de\nprolongaciones adecuadas, como el salto (o como el valor medio de) algunos regularmente\ncampo discontinuo. Por lo tanto, para cualquier vector V con el apoyo en.......................................................................................................................................................\nintroducir la siguiente fórmula de Ricci similar a la geometría de valor medio en el punto de referencia:\n([])V\n = (R)\nV l; (30)\ndonde hemos introducido la curvatura de la geometría del valor medio (R), definida\npor la siguiente geometría de valor medio primera identidad Gauss-Codazzi:\n(R)\n = R\n − (1/4)[\n][\n- [] - []\n][\n/ ]) (31)\nNótese que, en aras de la simplicidad, hemos introducido un ligero abuso\nde notación, ya que en [1] y [16] el mismo símbolo R\ncurvatura interior definida con la ayuda de proyecciones. En realidad, todo vale.\ncomo en [1] sección 4 con el marco Gauss-Codazzi, con la diferencia\nque aquí no tenemos que hacer proyecciones, lo que implicaría producto\nveces una métrica tangente discontinua. Por otra parte, aquí ni siquiera tenemos\npara distinguir entre los casos de tiempo o luz. En otras palabras:\nnuestra geometría diferencial de valor medio en una hipersuperficie es muy simple, en\ntérminos conceptuales, análogo del aparato Gauss-Codazzi.\nAsí, con la teoría heurística de [1] sección 6 (véase también [4] para el tiempo\nen mente como un prototipo, esperamos el salto de los símbolos de Christoffel a\ndesempeñar el papel principal, en lugar de la forma fundamental secundaria, en la definición\nde las condiciones de compatibilidad para soluciones muy débiles de las ecuaciones de Einstein.\nDe hecho, esto sucede, como se mostrará en el siguiente.\n4 Formalismo complejo de valor medio\nLa métrica es dicontinuous en..............................................................................................................................................\naumentar y bajar los índices, y construir la curvatura de la manera tradicional.\nEsta es la razón por la que a veces uno se siente tentado a introducir algún híbrido\nobjeto métrico en para reemplazar la métrica, incluso en el caso (C0, tipo C1)\n(véase, por ejemplo, [5]). Es tranquilizador descubrir que el marco de la preselección\nla sección puede ser confirmada por este tipo de enfoque.\nSería deseable simplemente reemplazar g con g en Ł, pero es fácil de\ncomprobar que g no tiene los requisitos algebraicos necesarios; en particular tenemos\n# 6 = # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 #\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Considere en su lugar:\ng = gÃ3 + i(1/2)[gÃ3], g\n• = g − i(1/2)[g} (32)\ndonde i es la unidad imaginaria (i.e. tenemos i2 = −1). Es fácil de comprobar,\ncon la ayuda de (3), que tenemos:\n¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío!\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n(+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + \n• (33)\nEs decir, en particular:\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. En aras de la brevedad en lo siguiente:\nvamos a denotar A B la relación R(A) = R(B). Así el par g y\ng es un buen candidato para la sustitución de la métrica en, a los efectos de\nÍndices ascendentes y decrecientes. Ahora, similar a (32) vamos a presentar:\n= + i(1/2)[ ], \n = \n − i(1/2)[\n] (34)\npara que tengamos: \nEn el caso de los animales de la especie bovina, el número de animales de la especie bovina se determinará de conformidad con el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 18 de diciembre de 2013, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la carne de porcino y por el que se deroga el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo (DO L 347 de 20.12.2013, p. 1).\nY a la inversa:\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Déjanos\nahora introducir el operador diferencial en, que hace uso de en\nlugar de la ciudad. Como podríamos esperar, tenemos:\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n0 (35)\nque es el reemplazo en Ł para la conservación covariante de la métrica\nTensor.\nAhora vamos a construir sobre el tensor de curvatura complejo R\nmanera, pero con en lugar de los símbolos Christoffel ordinario (que son\nundefined on Ł):\nR\n = \n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n + \n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nμ − \n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nμ (36)\nNos enteramos de eso de manera poco escrupulosa.\nR\n = (R)\n + i(1/2)[R\n] (37)\ni.e. en particular tenemos: R\n (R)\n, en el que R es dado por (31).\nEsta es sólo otra razón para identificar a R.o como el reemplazo de la\nel tensor de curvatura de, que es el primer paso de nuestro camino a la generalización\ncondiciones de compatibilidad.\n5 Condiciones de compatibilidad generalizadas\nConsideremos ahora el límite f → 0+ del tensor de curvatura del subdominio\n; por (2) tenemos:\n(R\n)+ = R\n + (1/2)[R\n] (38)\ny, por (27):\n(R\n)+ = R\n [β[]\n] (39)\nTambién tenemos, por (31):\n(R\n)+ = (Rl)\n [β[]\n] + [β\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n(40)\nVemos que R y R. sólo difieren por términos proporcionales a [. ], y no\nque impliquen derivados de la misma. Por lo tanto, en vista de descuidar estos tems, en el\na continuación vamos a considerar R en lugar de R. Esto simplemente evita la introducción\ndel símbolo “ ” con el significado de igualdad pero para términos que no impliquen\n(que aquí sustituye a la segunda forma fundamental K) como en\n[1] sección 6. Entonces para el tensor Ricci R = R\nα tenemos:\n(R)\n+ = R + (1/2)\nμ[\n- [] - []\ny para la curvatura escalar R = Rα\nR+ = R + (1/2)\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nAhora, para construir el tensor de Einstein G+ tenemos que recordar que, desde\nla métrica también es discontinua:\ng)\n+ = g + (1/2)[g] (43)\npara que tengamos:\n(G)\n+ = G + (1/2)\nμ − (1/8)[g]\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\ndonde hemos denotado, por razones de brevedad:\nμ[\n- [] - []\nμ]− (1/2)g\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nVamos a fijar un gráfico de coordenadas y considerar un genérico (por el momento) regular\nprolongación para G, de modo que su valor medio se defina en el conjunto de . Ahora\nconsiderar la integral de 4 volúmenes de Riemann de G+ sobre el dominio ; de\nel teorema verde que obtenemos (para la definición general de integral en un\nhipersuperficie ver [6] p. 6):\nG =\nG + (1/2)\nlH\nμ − (1/8)\nl [g]\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nLa fórmula análoga para implica −l− como el vector normal saliente\ny la métrica g = gÃ3 − (1/2)[gÃ3], por lo que tenemos:\nG =\nG + (1/2)\nlH\nμ + (1/8)\nl [g]\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\ny, por consiguiente, tenemos:\nG =\nG +\nlμH\nμ (48)\nPor lo tanto, razones similares a las de la teoría heurística (véase [4] y [1] sección\n6) llevar a la hipótesis razonable de que G permanece limitado en el\n, para cualquier prolongación admisible, de modo que del volumen\nintegral de las ecuaciones de Einstein, con la presencia de una fuente eventual\nTérmino concentrado en la letra........................................................................................................................................................................................................................................................... \nGó = \n- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -\nT (49)\ndonde χ denota la constante gravitacional, concluimos que\nlμH\nμ = \nT (50)\nque es nuestra razón heurística para considerar el siguiente conjunto de\nlas condiciones de compatibilidad con el sistema para mantener el sistema Einstein como reemplazo del sistema Einstein;\necuaciones:\nlμH\nμ = T (51)\nAquí TÃ3 representa el contenido stress-energy de la hipersuperficie.\nEn el caso más sencillo lα C\n0, es muy fácil comprobar que el objeto lμH\nes calibrado-invariante en el sentido de (11), como podríamos esperar.\nPasando ahora a la comparación con el caso C0, vemos en eq.s (71)\ny (85) de [1] que nuestras condiciones generalizadas (51) son formalmente idénticas a\ncondiciones ordinarias de compatibilidad [eq. (110) del mismo documento], si se expresa\n(que en el caso general es una función del salto de la\nmétrica [g], así como de su débil discontinuidad. Por lo tanto, está claro\nque las condiciones generalizadas de compatibilidad se reducen a las normales en caso de\nmétrica es continua, es decir. en el caso de [g] = 0.\nEn particular, supongamos que g (C0, a medida C1) y f (C0, a medida);\nnosotros por otra parte supongamos (l · l) > 0, es decir. # Como en el tiempo. # Por definición de Christoffel\nsímbolos, y a partir de (11) de [1], tenemos:\n] = (l · l)-1/2(NβG\n +N/23370/Gβ\n(l · l)............................................................................................................................................................................................................................................................\n1/2NβNlQ\n (52)\nQ es un vector que se puede establecer en cero con una elección de calibre adecuada; se reproduce\nNingún papel en (51), como cabría esperar, de hecho tenemos:\nlμ[\nμ] = −G + (l · l)N(Q ·N)\nlβ[\nAsunto C-372/98 Comisión de las Comunidades Europeas / República Federal de Alemania\n/ + (l · l)NβN/23370/(Q ·N)\nlμ[+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nv. + (l · l) (Q ·N)\nlμ[+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n] = −G/\nv. + (l · l) (Q ·N)\ny, puesto que g = g = h(N) +N N, tenemos de (45):\nlμH\nμ = G − h(N)G/\n/ (54)\nEs decir, según (88) de [1]:\nlμH\nμ = H (55)\ncomo se esperaba. Ahora supongamos (l · l) = 0, es decir. - Sí, claro. Vamos.\nu C0() ser un marco de referencia auxiliar dado. De eq.s (21) y (16) de\n[1] Tenemos:\n(u ·l)−1(−LβF(u)\nL/23370/F(u)β\nLÔF(u))+(u ·l)\n2LβLQ\n (56)\ny, por consiguiente, de (18) y (19) del mismo documento:\nlμ[\nμ] = LβB(u, n)\n3LβL(Q · L)\nlβ[\nAsunto C-372/98 Comisión de las Comunidades Europeas / República Helénica y República Helénica\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nlμ[+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n(+) = lμ[+)\n] = 0\nPor lo tanto, tenemos:\nlμH\nμ = G(u, n) v\n- LβB(u, n)\ni.e. una vez más, según (83) de [1], tenemos: lμH\nμ = H, como se esperaba.\nPor lo tanto, el conjunto (51) de condiciones de compatibilidad, junto con\nEcuaciones Einstein para sostener a cada lado de la hipersuperficie de discontinuidad,\ndefine la clase de soluciones generalizadas regularmente discontinuas de la Ein-\nEcuaciones de stein. Y en caso [g] = 0, es decir. para la medición continua, a partir de\ncondiciones que recuperamos las condiciones normales de compatibilidad para regular des-\nsoluciones continuas y débiles.\nSin embargo, en el caso genérico tenemos algunas diferencias, como vamos a\nmostrar en el siguiente.\n6 Una clase de capas esféricas de contorno\nConsideremos el partido de dos piezas-C0 regularmente discontinua spher-\nsoluciones icales de las ecuaciones de Einstein al vacío, de la forma\nds2 = −a(r, t)dt2 + b(r, t)dr2 + r2d\na través de una desgravación gravitacional admisible esférica\ncontinuidad hipersuperficie de la ecuación r = Por lo tanto\nla forma lα = \nr − \nt es continuo (mientras que lβ = glα en general no lo es).\nSuponemos globalmente coordenadas C0, la misma forma de la métrica en ambos\ndominios y, y la identificación t+ = t−, r+ = r−, =,\nLeta, b > 0 y dejar que a, b • piecewise-C0 sea regularmente dis-\ncontinua en el caso de los primeros derivados discontinuos con regularidad y en el caso de los primeros derivados discontinuos. Déjanos\ndenotar por un punto la derivada parcial con respecto a t, y por un primo que\ncon respecto a r. Dejar por otra parte condición a− b > 0, es decir, (l · l) > 0, espera\nA ambos lados en la parte superior.\nTenemos:\n= −[a]\nt + [b]\nr (60)\nAhora definamos la coincidencia como una solución generalizada regularmente discontinua\npor (51), con Tó = 0, es decir, en ausencia de energía-estrés concentrada en..........................................................................................................................................................................................................................................................\nEn este caso, nuestras condiciones de compatibilidad se reducen a:\nlβ[\nμ]− lμ[\nμ] = 0 (61)\nque, para un emparejamiento de métricas del tipo (59), son equivalentes a las siguientes:\nsistema:\n[b−1] + [a′b−1] = 0\n[a−1] + [a′a−1] = 0\n[a′a−1] + [a−1] = 0\n[b′b−1] + [b−1] = 0\n[b-1] = 0\ni.e. tenemos [b] = 0 y, en consecuencia:\n[] + [a′] = 0\n[a−1] + [a′a−1] = 0\n[a′a−1] + [a−1] = 0\n[b′] + [] = 0\ny a partir de (3):\n[] + [a′] = 0\n( a′)[a−1] = 0\n( a′ + )[a−1] + ([a′] + [])a−1 = 0\n[b′] + [] = 0\nAhora si tuviéramos ambos [] + [a′] = 0 y + a′ = 0, por (2) tendríamos\n+ a′ = 0 a ambos lados de la hipersuperficie. Descartamos por el momento.\nesta situación singular, y de (64)2 llegamos a la conclusión de que [a\n−1) = 0.\nAsí, en este caso, nuestras condiciones de compatibilidad generalizada implican [a] =\n[b] = 0, es decir, fuerzan a la cerilla a ser C0, a pie-C1.\nEn [1] ya hemos estudiado algunos ejemplos de coincidencias C0, tipo-C1\nde métricas del tipo (59) en una hipersuperficie de radio constante r = rb, con\nlα = \nr. Es decir, hemos considerado: Schwarzschild externo - interno\nSchwarzschild; Schwarzschild externo - Tolman VI; Schwarzschild externo -\nTolman V. Tales coincidencias obviamente tienen lα C\n0; además condición a′ 6=\n0 reducir en este caso a a′ 6= 0, que está obviamente satisfecho. En cada caso nosotros\nhan verificado que la condición [a] = [b] = 0 implica \norden discontinuidad), que luego define la coincidencia como una capa límite [1] (es\nEn realidad, también implica b = 0, como se puede verificar). Semejante es un resultado general, ya que\npara una métrica del tipo (59) los componentes totalmente temporales y radiales\ndel tensor Einstein son independientes de los segundos derivados de la\nmétrica:\nGtt = −a(b)\n′r + b2 − b)/r2b2\nGrr = −(a)\n′r − ab+a)/ar2\nde modo que las ecuaciones de Einstein correspondientes al vacío se reduzcan a:\nb′r + b2 − b = 0,\na′r − ab+ a = 0.\nAhora, ya que en la coincidencia de (59) soluciones de vacío ecuaciones (66) se satisfacen\nen cada lado de la interfaz فارسى, su salto es en particular nulo, y a partir de (3)\ntenemos:\n′] + (2b− 1)[b] = 0\n′]− a[b]− (b+1)[a] = 0\nde la cual se desprende claramente que las condiciones [a] = [b] = 0 implican [a′] = [b′] = 0,\ni.e. A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A\nResumiendo, para el partido de dos piezas-C0 regularmente discontinuo\nsoluciones esféricas, en la hipótesis anterior, la compatibilidad generalizada con\ndicciones (51) implican [a] = [b] = 0, es decir, fuerzan a la cerilla a ser C0. Activar\nlas condiciones de la otra mano [a] = [b] = 0 implican que فارسى es una capa límite.\nPor lo tanto, para tales compatibilidades esféricas condiciones de compatibilidad generalizada (51)\nson necesarios y suficientes para que el partido sea una capa límite.\n7 Ondas de choque gravitacional generalizadas\nConsideremos la coincidencia de dos métricas de onda plana de la forma\nds2 = −2ddη + F ()2dx2 + G()2dy2 (68)\na través de una hipersuperficie de la ecuación de 0 = 0. Aquí y η son los dos nulos\ncoordenadas. Suponemos que coinciden continuamente coordenadas y F,G reg-\nulularmente discontinuos, junto con sus derivados primero y segundo. Los\nvector de gradiente de فارسى es la característica continua (a cada lado de فارسى) vector\nlα = \nCondiciones de compatibilidad generalizadas (51) en el caso T. = 0 (es decir, Sin estrés...\nenergía concentrada en la hipersuperficie) reducir a la siguiente escalar\necuación:\n[F-1F ′ +G-1G′] = 0 (69)\nque caracterizan la onda de choque gravitacional generalizada. Vamos ahora.\nestudio de compatibilidad de (69) con las ecuaciones de Einstein. El vacío de Einstein\nlas ecuaciones también reducen a una sola ecuación escalar:\nF−1F ′′ +G−1G′′ = 0 (70)\nque se supone que sostengamos a cada lado de la hipersuperficie; reemplazando así\nF+ y G+ por sus expresiones en términos de F, [F ], G y [G] según\n(2) da lugar a las siguientes condiciones escalares de pareja:\n(2F ′′ + [F ′′])(2G+ [G]) + (2G′′ + [G′′])(2F + [F ]) = 0 (71)\n(2F ′′ − [F ′′])(2G− [G]) + (2G′′ − [G′′])(2F − [F ]) = 0 (72)\nLas ecuaciones (71) a (72) son compatibles con (69), es decir: las tres ecuaciones establecidas\nse puede resolver algebraicamente con respecto a F, [G] y a cualquier miembro de la\npar (F, G), y la solución no es necesariamente trivial.\nFinalmente vamos a notar que, si la condición adicional [F ] = [G] = 0 mantiene,\ni.e. si la solución es C0, la condición (69) se reduce a F−1[F ′]+G−1[G′] = 0 es decir.:\nF - 1-F + G - 1-G = 0 (73)\nque es la condición análoga para la onda de choque ordinaria, de acuerdo con\n[1] sección 10.5.\n8 Ondas gravitacionales generalizadas lentas\nComencemos a intentar combinar dos soluciones de vacío del tipo (68) a través\nla hipersuperficie temporal (en ambos lados) de la ecuación • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Otra vez nosotros.\nSuponga que las coordenadas coinciden continuamente, F, G regularmente discontinua a-\ngether con sus derivados primero y segundo, y Tâ = 0. Esta vez, gener...\nlas condiciones de compatibilidad alizadas incluyen (69) y las dos siguientes:\ncondiciones escalares:\n[FF ′] = 0, [GG′] = 0 (74)\nEs decir, en términos de F, [F ], G y [G], de acuerdo con (3):\nF [F ′] + [F]F ′ = 0 (75)\nG[G′] + [G]G′ = 0 (76)\nEs fácil comprobar que el sistema (75)-(76) no es compatible con (71)-(72),\nen el sentido de que todo el sistema no admite soluciones no triviales para\nF, [F], G y [G].\nPor otra parte, hemos demostrado en la sección 6 que una amplia clase de\nCoinciden esféricas borradas en una hipersuperficie de radio constante necesariamente\nDegenerado a una coincidencia de C0.\nOtros ejemplos de degeneración no se han incluido en el documento para\nel bien de la brevedad, pero al menos parece ser una tarea difícil de construir un no-\ncoincidencia generalizada trivial a través de un tiempo (en cada lado) hipersuperficie, con\nsin contenido de energía-estrés. Tal dificultad no es ciertamente una prueba de que esto sea\nuna tarea imposible, pero nos hace preguntarnos si tal solución debería\nnecesariamente degeneran en una capa de frontera, al igual que sucede para el ordinario\nSoluciones C0 (véase, por ejemplo, [1]). Esto prohibiría la existencia de\nsoluciones que se propagan a una velocidad más lenta que la luz. Tal sería un\nprohibiciones indeseables bajo cierto respeto, ya que se podía esperar que\nlas interacciones gravitacionales en el vacío deben necesariamente propagarse a la velocidad\nde la luz también en una teoría generalizada.\nEn términos generales, ya que para soluciones generalizadas la métrica es discontinua\nous, una hipersuperficie puede en principio tener diferentes firmas en los diferentes\nlados; por esta razón no podemos simplemente distinguir entre el tiempo y\nel caso claro, como para las soluciones habituales C0. Más bien deberíamos distinguir\nentre tres casos: timelike-timelike, timelike-lightlike (o por el contrario) y\nLuz-luz-luz.\nEn cualquier caso, es legítimo esperar que, al menos en el tiempo-como\ncaso, similar al caso temporal de soluciones (C0, a medida C1), ausencia de\nla energía de estrés concentrada en la energía debería implicar la solución para degenerar a\nuna capa límite [1].\nDesafortunadamente para las soluciones generalizadas todavía no tenemos pruebas de que la ausencia\nde la energía de estrés concentrada en • implica necesariamente la degeneración de\nla solución a una capa de contorno.\nPor lo tanto, aunque los ejemplos considerados en este documento parecen\nque tal propiedad podría ser válida también en el caso generalizado, para el\nen el momento en que tal resultado sigue siendo una conjetura; por lo tanto, tenemos que admitir que la\nen principio permite la propagación de ondas de choque gravitacional generalizadas\na menor velocidad que la velocidad de la luz. Llamaríamos a tales ondas “la gen-\nondas de choque gravitacional borradas”. Sería razonable prohibir esto.\nla situación como antifísica, pero por ahora esto sólo se puede hacer ad hoc, por medio de\nde una hipótesis adicional correspondiente.\n9 Energía de estrés no simétrica\nNote que lμH\nμ no es necesariamente simétrico; a partir de la identidad:\n/ = (1/2)g−1g (77)\ndonde g denota el determinante de la métrica contravariante, tenemos:\nlμH[]\nμ = (1/4)(lβ[g\n− 1 g]− l[g\n−1g]) (78)\nPor lo tanto, el esquema generalizado permite en principio la presencia de\ntensión métrica-energía en la hipersuperficie de discontinuidad. Vamos a mostrar no-\nejemplos triviales de no simetría en la siguiente sección. Nótese que el\nLa parte derecha de (78) es idénticamente nula en el caso de g-C0 y lα-C\n0, desde\nen este caso tenemos [g−1g] = lβg\n−1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og.\nUn tensor Einstein no simétrico es una característica de la teoría Einstein-Cartán de\ngravedad (véase [19], véase también [3] sección 7.2), donde se debe a la presencia\nde torsión en la conexión no simétrica utilizada para construir generalizada\ncurvatura. Por lo tanto, la teoría generalizada se puede interpretar, al menos a algunos\nextensión, como la introducción de una herramienta equivalente a la torsión en el shell solamente, incluso si hay\nno son objetos geométricos en nuestra teoría que pueden ser interpretados directamente\ncomo torsión. Sin embargo, la teoría Einstein-Cartán también tiene un giro - angular mo-\necuación de campo mentum, además de las ecuaciones de Einstein, que aquí es\nFalta.\nEn la literatura, condiciones de compatibilidad para soluciones C0 de límite\ncapas [20], y recientemente de ondas de choque y conchas delgadas [21], se han estudiado\ntambién en el marco de la teoría Einstein-Cartán; en realidad, esto puede conducir a\nenergía de estrés no simétrica en el caparazón. Pero en esa teoría esta característica\nse hereda del espacio-tiempo ambiente, que no está aquí: no-simétrico\nstress-energy surge sólo en la cáscara, en consecuencia de la teoría. Esto\nEs probable que valga la pena investigar una feauture interesante.\n10 Conchas delgadas generalizadas\nAhora consideremos una forma más general de la métrica esférica:\nds2 = −a(r, t)dt2 + b(r, t)dr2 + c(r, t)d\nConsideremos una coincidencia de dos soluciones esféricas de las ecuaciones de Einstein\na través de una hipersuperficie temporal (en cada lado) de la ecuación r = (t). Otra vez nosotros.\nSupóngase C1 (t) y por lo tanto lα = \nr − \nt â € C0. Deje que las coordenadas\nser C0 globalmente, y dejar que la métrica tenga la misma forma (79) en ambos dominios\ny, con la identificación t+ = t−, r+ = r−, =, = on\nQue por otra parte a, b, c > 0 y dejar que a, b, c • piecewise-C0 sea regularmente dis-\ncontinua en el caso de los primeros derivados discontinuos con regularidad y en el caso de los primeros derivados discontinuos. Otra vez nosotros.\ndenotar por un punto la derivada parcial con respecto a t, y por un primo que\ncon respecto a r.\nEn este caso para el lado izquierdo de la condición de compatibilidad generalizada\nciones lμH\nμ obtenemos:\nlμH\nμ = −\n[a′b−1/2] + [b−1/2 + c−1]\n+([a′a−1/2 + c′c−1] + [a−1/2]\n+([a−1/2 + c−1] + [a′a−1/2]\n−([b−1/2] + [b′b−1/2 + c′c−1)]\n+([c′b−1/2] + [a−1/2])\n* + sin2 *\n[b−1(a′a−1/2 + c′c−1)] + [a−1(b−1/2 + c−1)]\ndonde, obviamente:\ng = −a®\nt + b+\nr + c(+)\n* + sin2 *\n(81)\nAhora queremos interpretar (80) como la materia-energía de un caparazón delgado. Vamos.\nnosotros primero volver al caso particular = 0 (concha estática) y = =\n• = 0, para simplificar la interpretación eliminando el no-simétrico\ncomponente; reorganizar algunos términos que de hecho obtenemos:\nlμH\nμ = (−[a′b−1/2] + ac−1[c′b−1/2]\n+([a′a−1/2 + c′c−1]− bc−1[c′b−1/2]\nc−1[c′b−1/2]− [b−1(a′a−1/2 + c′c−1)]\nEsto se puede interpretar como una perfecta capa delgada de magneto-fluido isotrópico con\nConductividad infinita, es decir. podemos resolver las condiciones de compatibilidad mediante\nsidering la siguiente energía de estrés como el lado derecho:\nT = (0 + p+ μh\n2)UαUβ + (p+ (1/2)μh\n2)g® − μhαhβ (83)\ndonde 0 es la densidad adecuada, h el campo magnético y μ el magnético\npermeabilidad [22, 23, 24, 25, 6]; aquí definimos h2 = hαhβg\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * De hecho, sí.\nbasta para definir el siguiente vector de 4 velocidades:\na– (1/4)[a2]a−1\nt = (a−1)1/2\nt (84)\nque, por construcción, es unitaria en el sentido siguiente: UαUβg\n• = −1,\ny las siguientes variables magnetohidrodinámicas:\n0 = χ\n−1a−1[a′b−1]/2 + 1c−1(b b−1/2− aa−1 + 1)[c′b−1]/2+\n1[b−1](a′a−1/2 + c′c−1)− (3/2)1b−1[a′a−1/2 + c′c−1)\np = 1c−1(bb−1/2− 1)[c′b−1/2] + (1/2)1b−1[a′a−1/2 + c′c−1]+\n1[b−1](a′a−1/2 + c′c−1)\nhα = ±\nb−11([a′a−1/2 + c′c−1]− bc−1[c′b−1/2])\npara emparejar (82) y (83) a través de lμH\nμ = T. Si [a] = [b] = [c] = 0\nConcha generalizada (85) degenera en la capa magnetohidrodinámica C0\nconsiderado en [1] sección 10.1, en el caso particular = 0.\nEl caso ligeramente más general de = = 0, pero 6= 0, muestra\nen términos no simétricos (80); sin embargo, no es difícil ver que la\nla interpretación del magnetofluido todavía se mantiene, siempre y cuando no\ntérminos simétricos son interpretados, o descuidados. De hecho, en este caso tenemos:\nlμH\nμ = (−[a′b−1/2] + c−1[c′b−1/2]\n+([a′a−1/2 + c′c−1]− bc−1[c′b−1/2]\n+(1/2)[a′a−1/2− b′b−1/2− c′c−1](\nt + â €\n+(1/2)[a′a−1/2 + b′b−1/2 + c′c−1]\nt − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nc−1[c′b−1/2]− [b−1(a′a−1/2 + c′c−1)]\nConsideremos ahora, en aras de la brevedad, las siguientes cantidades:\n2[ a\n2b−1 − (a)\n− [a]\n))2a−1\n− [a]\n− [a]\ny supongamos que la desigualdad α < 0 sostiene, que es necesario para el\ninterpretación física. De hecho, en este caso el siguiente vector:\n− [a]\nt + 1\n[ a]\n− [a]\nes un vector tipo tiempo de unidad en el sentido de que UαUβg\n• = −1. Reordenar\ntérminos, (86) ahora dice:\nlμH\nμ = αUβU/23370/ + \nr + 1\n[ a]\nt − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nc−1[ c\n− [b−1(a)\nque se puede igualar a través de lμH\nμ = T con un tensor de tensión-energía de\nel tipo siguiente:\nT = (0 + p+ μh\n2)UαUβ + (p+ (1/2)μh\n2)g® − μhαhβ + A® (91)\ndonde A denota el término anti-simétrico. Tenemos:\n0 = \n−1α + 1 1\n− 1[b−1( a)\n)]− 1\np = 1 1\n] + 1[b−1( a\n)]− 1\nμh2 = 1βb−1\nmientras que el término anti-simétrico A dice:\nA = \nt − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nr) (93)\nLa interpretación de este término aún no se ha hecho; por el contrario, podría ser\nnegándose añadiendo la hipótesis adicional:\n= 0 (94)\nque es equivalente a [g−1g′] = 0, como podríamos esperar de (78).\nBibliografía\n[1] G. Gemelli Gen. Rel. Grav. 34 1491-1540 (2002).\n[2] S.O’Brien, J.L.Synge Comm. Dublin Inst. Adv. Stud. Ser. A 9 1-20\n(1952).\n[3] C. Barrabes, P.A. Hipersuperficies nulas de Hogan Singular en relatividad general\nWorld Scientific, Singapur (2003).\n[4] W. Israel, Nuovo Cimento B 44 1 (1966); correcciones en 48, 463.\n[5] C. Barrabes, W. Israel Phys. Rev. D 43 1129 (1991).\n[6] A. Lichnerowicz, Magnetohidrodinámica: ondas y ondas de choque en\nespacio-tiempo curvo, estudios de física matemática vol. 14, Kluwer académico\neditoriales, Dordrecht, 1994.\n[7] L. Schwarz, C. R. Acad. Sci. París 239 847 (1954).\n[8] J.F. Colombeau J. de Matemáticas. Anal. y appl. 94 96 (1983).\n[9] J.F. Colombeau Nuevas funciones generalizadas y multiplicación de distribu-\nciones Norte-Holanda (1984).\n[10] J.F. Colombeau Multiplicación de distribuciones Notas de conferencia en Mathe-\nmatics 1532, Springer (1992).\n[11] J.F. Colombeau, A. Meril J. Matemáticas. Anal. Appl. 186 (1984).\n[12] J.A. Vickers, clase J.P. Wilson. Quantum Grav. 16 579-588 (1999).\n[13] H. Balasin, Class. Quantum Grav. 14 (1997).\n[14] R. Steinbauer J. Matemáticas. Phys. 38 1614 (1997).\n[15] C.J.S. Clarke, J.A. Vickers, clase J.P. Wilson. Quantum Grav. 13 2485\n(1986).\n[16] G. Gemelli, J. Geom. Phys. 43/4 371-383 (2002).\n[17] C. Cattaneo Istit. Lombardo Accade. Sci. Lett. Rend. A 112 139 (1978).\n[18] G. Gemelli J. Geom. Phys. 20 233 (1996).\n[19] E. Cartan C. R. Acad. Sci. Paris 174 593-595 (1922).\n[20] W. Arkuszewsky, W Kopczynski, V.N. Ponomariev Commun. Matemáticas.\nPhys. 45 183-190 (1985).\n[21] Clase G.F. Bressange. Quantum Grav. 17 2509-2523 (2000). bibitem-\nlich67\n[22] A. Lichnerowicz, Ann. Inst. H.Poincaré 7 271 (1967).\n[23] A. Lichnerowicz, Comm. Matemáticas. Phys. 12 145 (1969).\n[24] A. Lichnerowicz, en “Centr. Int. Mat. Est. 1970\", Cremonese, Roma,\n(1971).\n[25] A. M. Anile Fluidos relativistas y magneto - fluidos Cambridge Univer-\nsity Press, Cambridge (1989).\n\tIntroducción\n\tmétricas discontinuas\n\tGeometría de valor medio en una hipersuperficie\n\tFormalismo complejo de valor medio\n\tCondiciones de compatibilidad generalizada\n\tUna clase de capas esféricas de contorno\n\tOndas de choque gravitacional generalizadas\n\tOndas gravitacionales generalizadas lentas\n\tEnergía de estrés no simétrica\n\tConchas delgadas generalizadas\n"}}},{"rowIdx":97,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0104,"string":"704.0104"},"title":{"kind":"string","value":"A geometric realization of sl(6,C)"},"full_text":{"kind":"string","value":"UNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C)\nGIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\nResumen. Dada una débilmente orientable auto-dual multiple X de rango dos, nosotros\nconstruir una realización geométrica del álgebra Lie sl(6,C) como una definición natural\nálgebra LC de endomorfismos del espacio de formas diferenciales de X. Nosotros pro-\nvide una descripción explícita de los generadores Serre en términos de generadores naturales\nde LC. Esta construcción da un paquete en X que está relacionado con la búsqueda\npara una teoría del medidor natural en X. Consideramos este documento como un primer paso en la\nestudio de una estructura algebraica rica e interesante.\n1. Introducción\nEste trabajo es un paso en un programa más amplio, que tiene como objetivo encontrar un geomet-\nric homólogo a la simetría espejo faenomenon, y posiblemente una geométrica\nlenguaje en el que formular una teoría física interpolando entre diferentes\nModelos. Mientras dirigimos al lector a [G2],[G3] para más detalles, enumeramos aquí\nsólo algunos aspectos de esta teoría para poner el presente trabajo en contexto.\nEn la aproximación Strominger-Yau-Zaslow a la simetría espejo tienes que dos\nespejo doble Calabi-Yaus debe poseer (en cierto sentido limitante) semi-plano especial\nFibraciones de toro lagrangiano f : M → B, fâ € : Mâ → B que tienen como fibras toris planas\nque son duales en el sentido métrico (véase [SYZ], y [G2] para la terminología y el\ndefiniciones). Como es ampliamente conocido, el principal inconveniente de este enfoque es que\nes muy difícil construir fibras tori lagrangianas especiales. Usualmente esta construcción\nsólo se puede llevar a cabo cuando los colectores de Calabi-Yau duales son en realidad hiper-\nkahler, y el tori lagrangian especial se puede ver como complejos submanifolds (con\nrespeto a una estructura compleja rotada), de modo que los métodos de complejo algebraico\nLa geometría se puede poner a trabajar.\nCuando usted tiene las fibras, entonces la idea es construir el mapa del espejo como\nuna especie de transformación de Fourier-Mukai (véase, por ejemplo, [BMP]). Este Fourier-Mukai\ntransformar es una correspondencia inducida por el retroceso y empujar hacia adelante de la\nespacio X = M × B Mâ. En el caso de hiperkähler este espacio es un complejo colector,\nmientras que en el caso general (por ejemplo, para Mirror Symmetry para Calabi-Yau tres-\npliegues) es sólo un verdadero múltiple de dimensión (real) 3 · dimC(M).\nAntecedentes. La noción de (débilmente) auto-doble múltiple (cf. [G2]) fue con-\nrecibido en primer lugar para aislar los aspectos geométricos de la X arriba que son\nnecesaria para obtener la Simetría Espejo entre M y Mâ. Aquí reproducimos el def-\ninición para el lector, mientras se refiere a [G2] y [G3] para todas las observaciones, ejemplos\ny observaciones:\nDefinición 1.1. Se da un colector débilmente auto-dual (multiplicador de WSD para la brevedad)\npor un suave colector X, junto con dos lisos de 2 formas........................................................................................................................................................................................................................................................\nmétrica y un tercero liso de 2 formas • D (la forma dualizante) en él, que satisfacen la\nlas siguientes condiciones:\n1 ° d ° 1 = d ° 2 = d ° D = 0 y la distribución °\n1 + فارسى\n2 es integrable.\n2) Para todos los p • X existe una base ortogonal dx1,.., dxm, dy\n1,..., dy\nm, dy\n1,..., dy\nFecha: 24 de octubre de 2006.\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0104v1\n2 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\ndz1,..., dzc, dw1,..., dwc de T\npX tal que el dx1,.., dxm, dy\n1,..., dy\nm, dy\n1,..., dy\nson ortonormales y\n(1)p =\ndxi Ł dy\ni, (+2)p =\ndxi Ł dy\ni, (D)p =\ndy1i\ndzi Ł dwi\nCualquier base ortogonal de TpX dual a una base de 1- formas como se dice anteriormente\nadaptado a la estructura, o estándar. El número m es el rango de la estructura.\nPara una definición más intrínseca de múltiples WSD el lector debe referirse a [G2].\nAquí hemos elegido la forma más rápida de presentarlos.\nCuando las formas #1, #2, #D son constantes covariantes con respecto a la Levi-Civita\nconexión, hablamos de 2-Kähler colectores. Un ejemplo de esto viene del espejo\nsimetría para las variedades abelianas.\nObservación 1.2. La forma D es simpléctica, una vez restringida a\n1 + فارسى\n2. Tenemos\npor lo tanto, que\ndim(X)−m\n6= 0.\nDefinición 1.3. 1) Un colector de la WSD no es degenerado si dim( +01 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n2) p = 0 en absoluto\npuntos (equivalente si su dimensión es 3 veces el rango).\n2) Un colector de WSD es auto-dual (diverso de SD para la brevedad) si todas las hojas de la\nDistribución de los productos 01 + \n2 tienen volumen uno (con respecto a la forma de volumen inducida por\nla métrica)\nUsando Auto colectores duales, usted puede dar una primera definición geométrica nóve de Mir-\nror Simetría según se indica:\nDos colectores Calabi-Yau con campo B (M, BM ) y (Más, BMâs ) son espejo dual\nsi hay una auto-doble multiple X junto con las conjeturas η : X → M y\n: X → Más tales que:\na) (M) = 1, \n) = 2.\nb) Las hojas de 1 son las fibras de \nc) Las hojas de 2 son las fibras de \nd) Los campos B inducidos en M y Mâ € son los que se dan.\nAquí hacen su primera aparición el B-campos BM y BM®, que son unitarias planas\ngerbes sobre M y M, respectivamente, y que no son pertinentes para los debates de\nEste periódico. En [G2] se demostró que esta imagen funciona bien en el caso de la elíptica\ncurvas, y para algunas otras situaciones planas.\nMotivación física. Sin embargo, una de las razones para introducir múltiples SD\nse deshizo de las fibraciones lagrangianas especiales, que son tan difíciles de construir,\ny ser capaz de atacar el problema de la simetría espejo también cuando estos fibra-\nNo se espera que existan. En este contexto más general se espera que el\nEspejo de simetría faenomenon no se obtendrá directamente de las fibras de\nun colector SD para el doble Calabi-Yaus, pero a través de un procedimiento más sofisticado,\nque implica un tipo de límite Gromov-Hausdorff. En [G3] se demostró que para\nla familia de divisores anticanónicos en espacio proyectivo complejo se puede construir un\n(real) familia bidimensional de los múltiples de la CMD, que degeneran en una normalización\nGromov-Hausdorff siente los límites correctos del espejo doble Calabi-Yaus. Los\nla imagen es la siguiente:\nUNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 3\nMB MAS\ndonde MA y MB son los grandes Kähler y grandes límites de estructura compleja de M\ny Mós, respectivamente. Para ser precisos, los colectores que salen de la co-\nciones de [G3] son 11 dimensionales (degeneradas) Debilmente auto-duales múltiples o rango 3.\nDimensión 11 es muy atractivo en este contexto desde un punto de vista físico, y\nnos lleva a la motivación del presente trabajo.\nEl punto de vista de [G3] es muy diferente del actual en el litro principal-\nature on matemática Mirror Symmetry: en lugar de considerar el producto de fibra\nM×B MÃ3 (cuando exista) como dispositivo para probar la Simetría de Espejos para Calabi-Yaus,\nla limitación Calabi-Yaus de Simetría Espejo son vistos como límites muy especiales de una\nfamilia de colectores Self-Dual, que son los principales objetos de estudio. Esto es en realidad\nmás en línea con lo que se puede encontrar en la literatura física, donde los modelos\ndefinir las teorías de cuerdas de las que se origina la simetría espejo se ven como\nsólo “fases” de una teoría única, que no está necesariamente en la forma de un modelo\npero muy probablemente podría ser similar a una teoría de calibre cuantificado en un 11-dimensional\nmultiple. Para hacer este círculo de ideas más concreto (y por lo tanto más verificable) en\nel final de [G3] se sugiere que uno debe tratar de construir una teoría de calibre natural\nLa esperanza es que una vez cuantificado esta teoría de la medición podría en-\nterpolado entre los modelos asociados a los Calabi-Yau, y como subproducto\nprueban la simetría del espejo para ellos. Por supuesto, uno siempre puede poner un paquete de calibre en\nlos colectores auto-duales \"artificialmente\", pero un haz natural que depende sólo de\nla estructura geométrica sería mucho más atractiva. Ignoramos aquí la cuestión.\nde los cuales la acción para poner en la teoría, pero también debe ser una geométrica natural.\nFinalmente, en [GG] analizamos la situación para el rango tres de múltiples de la WSD, y nosotros\nencontrado que en este caso el paquete natural correspondiente está formado por complejo Lie\nsuperálgebras. Fuimos capaces de encontrar una forma geométricamente motivada real, y para\ndividirlo en factores simples. Los resultados de [GG] confirman la sospecha de que en un WSD\nmúltiple de rango lo suficientemente alto podría haber suficientes paquetes algebraicos naturales de\noperadores para construir teorías de medición interesantes.\nLa construcción de LC. Desde el punto de vista físico, el caso de Calabi-\nYau tres veces (es decir, clasificar tres colectores WSD) o cuádruples (es decir, clasificación de cuatro WSD\ncúltiples) sería el más interesante para empezar. Sin embargo, su\nla dificultad nos convenció de que partiéramos más modestamente del caso de Calabi-Yau dos-\npliegues (es decir, K3 superficies) que corresponden al rango de dos colectores Self-dual. Nosotros también.\nno degenerado, por lo tanto, de los múltiples auto-duales de rango dos, por lo que\ndimensión 6. Esto podría considerarse una prueba de concepto desde el punto de vista físico\nde vista, sin embargo Mirror Symmetry para K3 es en sí mismo muy interesante mathemati-\nCally, así que esperamos que nuestros resultados puedan tener algunas consecuencias geométricas útiles.\nEl caso de rango tres se trata en nuestro siguiente [GG], como se mencionó en el anterior\nsección de la presente introducción. El principal resultado del presente documento es el siguiente:\n4 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\n(que es una reafirmación geométrica del Teorema 5.11):\nLa Lie álgebra sl(6,C) actúa a través de operadores canónicos (dependiendo sólo de la geo-\nestructura métrica) en las formas diferenciales lisas de cualquier no degenerado orientable\nWSD multiple de rango 2.\nEsta acción generaliza naturalmente la acción de sl(2,C) sobre diferencial suave\nformas de cualquier colector casi Kähler, y es inducido por una acción de paquete en el\npotencia exterior del haz de cotangente.\nRecordemos que un colector débilmente auto-dual es un colector Riemanniano con tres\nFormas diferenciales “compatibles” cerradas. Construiremos un álgebra de Lie de punto\noperadores en formas diferenciales complejas en X, como secciones lisas de un paquete de Lie\nálgebras de los operadores en el complejo paquete cotangente de X. Para empezar, uno puede\ndefinir los siguientes operadores:\nDefinición 1.4. Por lo que se refiere a la letra a) del apartado 1 del artículo 4 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013\nL0() = D , L1() = 2 ·, L2() = 1 \nUno puede notar inmediatamente el fuerte parecido de los operadores de arriba con\nel operador Lefschetz de la geometría Kähler. De hecho, se puede profundizar en esta simi-\nlarity, y utilice la métrica para definir los contiguos Łj = L\nj (utilizando un procedimiento\ncomo en el caso casi Kähler).\nSimplemente usando el Lj y el Łj, uno puede mostrar que el álgebra generada es iso-\nmorfo a SL(4,C) ([G2]). Sin embargo, hay otras formas diferenciales naturales en\nun colector de la CMD (que no tiene una contraparte en el caso Kähler), a saber:\nformas de volumen de las distribuciones 1, \n1, 2.................................................................................................\nD de vectores que se contraen a cero\ncon los formularios +1, +2 y +D, respectivamente. Si uno llama V0, V1, V2 el correspondiente\nlos operadores de cuña, y A0, A1, A2 sus colindantes, la complejidad de los cálculos\npara describir el álgebra de Lie generada crece mucho. Llamamos L el álgebra generada\npor el Lj, Vj y sus colindantes, y LC su complejidad. Para estudiar LC introducimos...\nun operador J, que es una estructura compleja en cada una de las dos dimensiones\ndistribuciones mencionadas anteriormente y genera un grupo isomórfico a SO(2,R) (recordar\nque estamos en el caso \"hiperkahler\", correspondiente a la simetría de espejo para K3,\npor lo que una estructura “extra” compleja no debería sorprender; además, la holonomía de\nun colector de la WSD en el que todos los â € € TM € TM, â € € TM ; D son invariantes en realidad siempre se incluye en\nel grupo generado por J). Un control de que todos los operadores introducidos conmutan\ncon él:\n[Jj, J] = [Jj, J] = [Vj, J] = [Aj, J] = 0\ny por lo tanto uno puede tratar de descomponer T*\nX con respecto a J y luego utilizar\nLemma de Shur para reducir al estudio de los operadores sobre los componentes isotípicos.\nCabe mencionar que en los casos (muy) buenos (por ejemplo, los colectores 2-Kähler)\nlos operadores anteriores son todos constante covariante con respecto a la connec-\ny definir una acción sobre la cohomología de X mucho de la misma manera que en el\nKähler fijando los operadores L y Ł do (debido a las identidades del tipo Hodge). Nosotros no\nexplorar este aspecto aquí, aunque puede ser relevante para el espejo (homológico)\nconstrucción de mapas.\nVolviendo a la construcción, señalamos la inclusión de la Lie álgebra LC\ndentro de una copia del álgebra de Clifford Cl6,6.\nUtilizando este álgebra de Clifford se puede identificar a los operadores de “grado dos” o “cuadratic”\n(de una manera similar a los involucrados en las representaciones de Espinor en el estándar\nSpin multiples) y entre estos los SO(2,R)-invariantes. A posteriori, gira.\nde que los operadores de LC® < J > son todos los operadores J-invariantes de ”grado\nUNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 5\ndos”, y esto refuerza la razón de ser en nuestra selección de operadores naturales.\nComo último paso uno encuentra que dentro de T ∗X hay un SO(2,R)-isotípico compo-\nnent de la dimensión 6, y por el cálculo directo demostramos que de hecho los operadores\nrestringido a esta sub-representación determinar una copia de sl(6,C) (con la defin-\n■ representación). Utilizando el límite de la dimensión de la computación obtenida por LC\n“cuadratica” invariantes, se muestra entonces que la representación en este isotípico\ncomponente es fiel. Esto proporciona como subproducto un método para dar presenta-\nde los generadores estándar Serre de LC, expresamente escritos en términos de\ngeneradores geométricos.\n2. Operadores básicos\nEn esta sección fijamos un punto p en el múltiple X de la WSD. La estructura de la Cumbre Mundial sobre el Desarrollo Sostenible\ndivide el espacio cotangente como T *pX = W0â € € TM W1â € TM W2 donde el Wj son tres mutuamente\ndistribuciones canónicas ortogonales definidas como:\nW0 = T\npX \n2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + + + + + + + + + + + + 1 + + 1 + + + + + + + + + + + + 1 + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + \n2 = 0}\nW1 = T\npX \n2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + + + + + + + + + + + + 1 + + 1 + + + + + + + + + + + + 1 + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + \nD = 0}\nW2 = T\npX \n1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1\nD = 0}\nLa estructura WSD también determina identificaciones lineales canónicas de par\nentre W0, W1 y W2, por lo que también se puede escribir T\npX = W0 R R\n3 o más\nsimplemente\nT ∗pX =W R R\ndonde W = W0 = W1 = W2.\nVolvamos ahora a los operadores canónicos Lj mencionados en la introducción:\nDefinición 1.4\nL0() = D , L1() = 2 ·, L2() = 1 \nAhora elegimos una base ortonormal (no canónica) γ1, γ2 para W0, y esto juntos\ncon las identificaciones estándar del Wj determina una base ortonormal para\nT *pX, que escribimos como {vij = γi ej i = 1, 2, j = 0, 1, 2}. Observamos que\nel vij son un coframe adaptado para la estructura de la WSD, y por lo tanto tenemos el\nexpresiones explícitas:\n• 1 = v10 • v11 + v20 • v21\n2 ° = v10 ° v12 + v20 ° v22\nD = v11 v12 + v21 v22\nUna elección diferente de la γ1, γ2 estaría relacionada con la anterior por un elemento en\nO(2,R) o, teniendo en cuenta la orientabilidad de X mencionada en la introducción,\nun elemento de SO(2,R). El álgebra de Lie del grupo SO(2,R) expresando la\ncambio de una base adaptada orientada a otra se genera (punto por punto) por\nel operador global J :\nDefinición 2.1. El operador J. EndR.\n∗(X)) es inducida por su acción puntual\nen el T ∗pX para variar p X, definido en términos de la base estándar vij como\nJ(v1j) = v2j, J(v2j) = −v1j para j {0, 1, 2}\ny J(v) W = J(v) W + v) J(w) para v, w T ∗pX\nObservación 2.2. A medida que J se desplaza consigo mismo, está bien definido, independientemente de la\nelección de una base adaptada orientada.\nUtilizando la base escogida (ortonormal), se puede definir la correspondiente (no canon-\nlos operadores de cuñas y contracciones:\n6 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\nDefinición 2.3. Vamos a {1, 2} y j {0, 1, 2}. Los operadores Eij y Iij son\nrespectivamente la cuña y el operador de contracción con la forma vij en\n(definido utilizando la base dada); utilizamos la notación \npara indicar el elemento de\nTpX dual a vij T\nEij() = vij (), Iij () =\nProposición 2.4. Los operadores Eij, Iij satisfacen las siguientes relaciones:\nI, j, k, l EijEkl = −EklEij, IijIkl = −IklIij\nEijIij + IijEij = Id\n(i, j) 6= (k, l) EijIkl = −IklEij\ni, j E*ij = Iij, I\nij = Eij\ndonde ∗ es adjunción con respecto a la métrica.\nPrueba La prueba es una simple verificación directa, que omitimos. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEs entonces inmediato verificar que:\nProposición 2.5. J puede expresarse como\n(E2jI1j − E1jI2j)\nen su conjunto\nT ∗pX. De esta expresión y de la proposición anterior uno ob-\nque J* = −J, es decir, para cada p el álgebra Lie generada por J es un subalgebra\nde o(\nT ∗pX) isomórfico a so(2,R)\nPor otra parte, las imágenes exponenciales en-\nlado AutR(\n*(X)) de los operadores del tipo tJ para t â € R forman un grupo isomórfico a\nSO(2,R) = S1, ya que este isomorfismo sostiene la restricción (fiel) del grupo\nacción a T ∗pX.\nUtilizando los operadores (no canónicos) Eij podemos obtener expresiones simples para el\nacción puntual de los demás operadores canónicos, el volumen forma Vj :\nDefinición 2.6. En nombre de la República Popular Democrática de Corea\nT ∗pX,\nV0(l) = E10E20(l), V1(l) = E11E21(l), V2(l) = E12E22(l)\nRecuerde, sin embargo, que los operadores Vj no dependen de la elección de una base,\ncomo son simplemente multiplicación por las formas de volumen de los espacios Wj.\nUtilizamos el vij también como una base ortonormal para el espacio complejo T\np R C\n(con respecto al producto interno del ermitaño inducido). Indicamos con la misma\nsímbolos Vj los operadores complejos que actúan sobre los espacios\nT ∗pX.\nLa métrica riemanniana induce una métrica riemanniana en T*pX y en el espacio\nT ∗pX.\nDefinición 2.7. Para j {0, 1, 2}\n•j = L\nj, Aj = V\nPor la construcción de los operadores canónicos Lj, Vj,\nT *pX son el punto-\nrestricciones prudentes de los operadores mundiales correspondientes sobre formas diferenciales fluidas,\nque indicamos con los mismos símbolos: para j {0, 1, 2},\nLj, Vj,\n*(X) → (X)\nResumiendo:\nUNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 7\nDefinición 2.8. El ∗-Lie álgebra L es el ∗-Lie subalgebra de EndR (\n∗ (X)\npor parte de los operadores\n{Lj, Vj,j, Aj para j = 0, 1, 2}\nEl operador ∗ en L es inducido por el contiguo con respecto al Riemannian\nmétrica. El *-Lie álgebra LC es L C, y es de una manera natural un ∗-Lie subalgebra\nde fin de período de sesiones de la Comisión de las Naciones Unidas para la Eliminación de la Discriminación Racial\n(X)). El operador ∗ en LC es inducido por el contiguo con respecto a\nla métrica de Hermitia inducida.\nLa división canónica T *pX = W0 â € € TM W1 â € TM W2 junto con la canónica\nlas identificaciones W0 = W1 = W2 inducen una acción del grupo simétrico S3, que\nse propaga a\nT * X y sus secciones C. En cada momento, la acción puede ser\nescrito explícitamente en términos de la base como\n(vij) = vi(j)\nLa acción inducida sobre los endomorfismos vía conjugación, \nLC. De hecho, uno puede comprobar directamente utilizando la base vij en cada punto que para \n(Vj) = V(j), (Lj) = \nPuesto que S3 actúa sobre LC por conjugación con operadores unitarios, su acción conmuta\ncon la adjunción (el operador ∗), y por lo tanto\n(Aj) = A\nPor otra parte, también se tiene que (J) = J lo que significa que la acción de S3 conmuta\ncon el de so(2,R).\n3. La acción de so(2,R)\nCuando se trata de la simetría del espejo para los colectores de 2-Kähler (ver el Introduc-\n), los múltiples WSD que surgen tienen la propiedad de que las formas....................................................................................................................................................................................................................................................... \nD son constantes covariantes con respecto a la métrica. En este caso, el máximo\nla posible holonomía del colector X de la WSD se incluye en el so(2,R) generado\npor el operador J. Demostraremos ahora que J viaja con LC. Nuestra prueba lo hará.\nser estrictamente algebraico, por lo que la computatividad entre so(2,R) y LC se mantendrá\nTambién en los colectores de la CMD para los cuales la holonomía es más general.\nDefinición 3.1. Dado n â € Z, indicamos con Vn el complejo unidimensional\nrepresentación de SO(2,R) < S1 > = R/Z dada por el carácter:\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nProposición 3.2. Bajo la representación SO(2,R) inducida por el operador J,\npara cualquier p â € X :\n1) El espacio\nXp) escisiones como\nV â € 31\n8 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\n2) Todo el espacio\nXp) se divide de acuerdo con la siguiente imagen:\nXp) = V0\nXp) = V\nV â € 31\nXp) = V\nV â € 90\nV â € 32\nXp) = V−3\nV â € 91\nXp) = V\nV â € 90\nV â € 32\nXp) = V\nV â € 31\nXp) = V0\nPrueba 1) El espacio T *\nXp es una suma directa de los tres Wj, y cada uno de estos\nes la representación real bidimensional estándar de so(2,R). Por lo tanto, diag-\nonalize la representación introduciendo una nueva base para cada Wj =< v1j, v2j >:\nwj = v1j + ı v2j, wj = v1j − ıv2j\nA partir de la definición de J, uno tiene entonces para cada j {0, 1, 2}\nJ(wj) = wj, J(wj) = ıwj\nPor lo tanto, uno tiene para cada j. {0, 1, 2}\n< wj = V−1, < wj = V1\n2) Para probar el caso general, utilizamos el hecho de que el operador J determina un\nestructura casi compleja en el colector X, compatible con la métrica. Desde\nesto, siguiendo los argumentos estándar, las formas diferenciales complejas y también el\nelementos de\nXy para cualquier y • Y se puede dividir de acuerdo a su tipo:\np+q=n\nEn la notación adoptada en la prueba de la primera declaración,\nXy = < wi1 · · · • wip wj1 · · · · • wjq i1,..., jq • {0, 1, 2} >\nDe la definición de la acción de J se tiene por lo tanto que para cualquier p, q\nXy â € = V\ncon k =\na partir de la cual la segunda declaración de la proposición puede ser\nDeducido. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nTeorema 3.3. Los operadores Lj, Vj para j {0, 1, 2} viajan con el generador\nJ de so(2,R).\nUNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 9\nPrueba Demostramos las declaraciones mediante un cálculo directo utilizando la base vij ;\npor otra parte, utilizando la acción de S3 (que permuta el Lj, Vj y corrige J), es\nsuficiente para probar la computatividad para L0 y V0. Es útil volver a escribir 0 (y\nPor lo tanto, L0 que es cuña con 0) en términos de la base generada por el wj :\n• 0 = v11 • v12 + v21 • v22 =\n(w1 (w2 (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1)) (w1)) (w1) (w1) (w1)) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1)\ny luego:\n[J, L0](wi1 • · · · • wip • wj1 • · · • wjq ) =\n(w1 (w2 (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1)) (w1)) (w1) (w1) (w1)) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1)\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #\n(w1 (w2 (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1)) (w1)) (w1) (w1) (w1)) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1)\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #\n(w1 • w2 • w2 • • • J(wi1 • · · • • wip • wj1 • · · • • wjq )\nPor lo tanto, el resultado se deriva del hecho de que\n(w1 •w2 − w2 • w1) = 0\ncomo wj y wk tienen peso opuesto con respecto a J para cualquier j, k.\nDel mismo modo, [J, V0] = 0 se deriva del hecho de que para cualquier α\nV0(α) = v10 • v20 • α =\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \nDesde el teorema anterior se obtiene el siguiente corolario, que se mantiene sobre cualquier\nMultiplex WSD (no necesariamente 2-Kähler ):\nCorolario 3.4. El álgebra LC se desplaza con la acción de so(2,R) inducido por\nPrueba Ya sabemos que [J, Lj] = [J, Vj ] = 0 para j {0, 1, 2}. El corre...\nsponding relaciones de conmutación para los grupos electrógenos contiguos...................................................................................................................................................................................................................................................... \nel hecho de que J* = −J, como se observa en la Proposición 2.5. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 3.5. Del lema de Schurs se desprende que las columnas del diagrama de\nLa Proposición 3.2 está preservada por la acción de LC.\n4. Una representación irreductible de LC\nMirando la tabla de la Proposición 3.2 notamos que la segunda columna de\nla izquierda es una representación de LC (por Observación 3.5) de la dimensión 6:\nV = V\n−2 = < w0 • w1, w0 • w2, w1 • w2, w0 • w1 • w2 • w0,\nW0 W1 W2 W2 W1 W1 W2 W2 W2\nEn esta sección computaremos explícitamente esta representación.\nUtilizando la base descrita anteriormente, no es difícil calcular las matrices por\nmano:\nProposición 4.1. Indicando con β la base ordenada para V indicada anteriormente, la\nlas matrices para los (restricciones a V de) generadores de LC son las siguientes:\nMβ(L0) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0\n0 0 0 0\n, Mβ(0) =\n0 0 0 0 −2 0\n0 0 0 0 0 −2\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n10 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\nMβ(L1) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 −\n0 0 0\n, Mβ(1) =\n0 0 0 2 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 −2\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\nMβ(L2) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0\n0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n, Mβ(2) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 2 0 0\n0 0 0 0 2 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\nMβ(V0) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n, Mβ(A0) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 −2ı 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\nMβ(V1) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n, Mβ(A1) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 2ı 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\nMβ(V2) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0\n, Mβ(A2) =\n0 0 0 0 0 −2ı\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\nPrueba Cálculo directo utilizando la base generada por el wj. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nCorolario 4.2. El álgebra generada por la restricción de LC a V es isomórfica\na sl(6,C), con V su representación natural.\nUno puede resumir los cálculos anteriores en el siguiente teorema:\nTeorema 4.3. Hay una secuencia exacta de álgebras de Lie\n0 → K → LC → sl(6,C) → 0\ndada por la restricción a V.\nEn la siguiente sección probaremos que K = {0}, y por lo tanto la representación\nV es fiel y LC = sl(6,C).\n5. Invariantes cuadráticas\nComenzamos por mostrar que la acción de Lie álgebra LC es inducida por un (no-\nCanónico) representación de álgebra de Clifford. Utilizamos para la simplicidad el canónico\nidentificación T Xp = T Xp sin más comentarios, de modo que si {vij} es una base\npara T ∗pX, entonces {\n} es la base dual correspondiente para TpX.\nDefinición 5.1. Para p X, el álgebra de Clifford Cp es\nCp = Cl(TpX + T\npX, q)\nUNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 11\ncon la forma cuadrática q inducida por la métrica\nEn el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo.\n*, j, h, k <...............................................................................................................\n6 = (h, k) < vij,\ni, j < vij,\n> = − 1\nObservación 5.2. El Clifford álgebras Cp para variar p definir un paquete de Clifford C\nsobre X, ya que la definición de Cp es independiente en la elección de una base. De hecho, la\nLa forma cuadrática utilizada para definirla es simplemente inducida por − 1\nveces el bilineal natural\nemparejamiento TpX T\npX → R.\nProposición 5.3. El álgebra Clifford Cp tiene una representación canónica\nT ∗pX, inducido por los operadores Eij y Iij a través del mapa\nP(vij) = Eij, P\n= Iij\nPrueba de las relaciones de Clifford\n+ = −2 < \nson precisamente el contenido de la Proposición 2.4. La representación es canónica, aunque\nlos operadores Eij y Iij no son, porque puede definirse en una base independiente\nmanera como\nlp(v)(α) = v l, lp\nAbusando ligeramente de la notación, identificaremos a Cp con su imagen (fiel) dentro\nT ∗pX\n, y omitiremos cualquier referencia al mapa. En realidad, como la\nrepresentación arriba es un análogo real de la representación de Spinor, es fácil de\nverifique que el mapa p es un isomorfismo de álgebras asociativas. Uno entonces tiene:\nDefinición 5.4. El subespacio lineal C2p de Cp es la imagen del mapa natural\n(TpX-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T\npX) → Cp. El subespacio lineal C\np de Cp es el subespacio generado por\nRecuerde que C2p es un subalgebra de Lie de Cp (con el soporte del conmutador).\nProposición 5.5. El Lie álgebra Lp y el operador J se sientan dentro de C\np para todos\nÍNDICE (continuación)\nPrueba Los operadores Lj, el?j, el Vj y el Aj mienten dentro de C\np por Propo-\nSituación 2.4 y el hecho de que â € 1, â € TM TM y D mienten en\nT ∗pX. El operador J se encuentra dentro\nC2p â € C\np por Proposición 2.5. Por definición, los elementos C\np son conmutadores, y\nPor lo tanto, tienen traza cero en cualquier representación, y por lo tanto también en la p. Además,\nde nuevo por inspección todos los generadores de Lp tienen traza cero una vez representado a través de\n(son nilpotentes), y por lo tanto deben estar dentro de C\np. El operador J es\nen el álgebra de Lie del grupo de isometría, y por lo tanto también tiene traza cero y\npor lo tanto se sienta dentro de C2p. As C\np se cierra bajo el soporte del conmutador de Cp, y\neste conmutador coincide con el soporte de composición de los operadores, tenemos el\nconclusión. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 5.6. Dar el grado 1 a los operadores Eij y el grado −1 a la ópera-\nTors Iij, inducimos un grado Z en Cp. Este grado coincide con el grado de la\noperadores inducidos por la clasificación en los formularios a partir de\nT ∗X.\n12 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\nObservación 5.7. Para cualquier p • X, el álgebra Clifford Cp es isomórfico a Cl6,6, como\nla métrica utilizada para definirla tiene firma (6, 6). Por consiguiente, la propuesta anterior\nmuestra que Lp es una mentira subalgebra de Cl\n= spin(6, 6) = so(6, 6), generado por\nsecciones globales suaves del paquete C de Clifford.\nEl operador J actúa sobre toda la Cp mediante la adición con respecto al conmutador\ny envía su parte cuadrática C2p a sí misma desde la Proposición 5.5.\nMostraremos que el espacio de J-invariantes dentro de C2p (los \"cuadraticos\" J-invariantes)\ncoincide con LC. Para describirlo explícitamente, vamos a introducir la siguiente notación:\nDefinición 5.8.\nEwj = E1j + ıE2j, Ewj = E1j − ıE2j\nIwj = I1j − ıI2j, Iwj = I1j + ıI2j\nLemma 5.9. La acción adjunta del operador J en Ewj, Iwj, Ewj, Iwj es:\n[J, Ewj] = Ewj, [J, Iwj] = ıIwj\n[J, Ewj ] = ıEwj, [J, Iwj ] = Iwj\nPrueba Es suficiente considerar los pesos J correspondientes del wj, wj. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nProposición 5.10. Los 36 operadores siguientes proporcionan una base lineal para la\ndratic J-invariantes:\n(1) [Ew0, Ew1 ], [Ew0, Ew2 ], [Ew1, Ew2 ], [Ew1, Ew0 ], [Ew2, Ew0 ], [Ew2, Ew1 ]\n(2) [Iw0, Iw1 ], [Iw0, Iw2 ], [Iw1, Iw2 ], [Iw1, Iw0 ], [Iw2, Iw0 ], [Iw2, Iw1 ]\n(3) [Ew0, Ew0 ], [Ew1, Ew1 ], [Ew2, Ew2 ]\n(4) [Iw0, Iw0 ], [Iw1, Iw1 ], [Iw2, Iw2 ]\n(5) [Ew0, Iw1], [Ew0, Iw2], [Ew1, Iw0], [Ew1, Iw2], [Ew2, Iw0], [Ew2, Iw1]\n(6) [Ew0, Iw1 ], [Ew0, Iw2 ], [Ew1, Iw0 ], [Ew1, Iw2 ], [Ew2, Iw0 ], [Ew2, Iw1 ]\n(7) [Ew0, Iw0 ], [Ew1, Iw1 ], [Ew2, Iw2 ], [Ew0, Iw0 ], [Ew1, Iw1 ], [Ew2, Iw2 ]\nPrueba El peso J de un grupo de operadores J-homógenos es la suma de\nlos pesos respectivos. Los “monomios” cuadráticos (con respecto al soporte)\nen el Ewj, Iwj, Ewj, Iwj son todos J-homogéneos, y por lo tanto para encontrar una base de\nJ-invariante operadores cuadráticos es suficiente para identificar el J-invariante cuadrático\nmonomios. Ser J-invariante significa simplemente tener peso cero, y el compu-\nde los mononios cuadráticos sigue inmediatamente de los\nde Ewj, Iwj, Ewj, Iwj, que son respectivamente, ı, ı,. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nTerminamos esta sección con lo siguiente:\nTeorema 5.11. En la secuencia exacta del Teorema 4.3 el núcleo K es igual a {0}.\nEl álgebra LC es por lo tanto isomórfico a sl(6,C).\nPrueba Dado que LC está incluido en el álgebra de Lie de invariantes cuadráticas, es\nsuficiente para demostrar que J 6o LC, a partir de esta y la proposición anterior que sigue\nque dimC(LC) ≤ 35. Como los mapas de LC surjetivamente a sl(6,C) que tiene dimensión 35,\nel núcleo debe ser cero. Cuando se limita a la subrepresentación V, los generadores\nde LC tienen todos rastro cero por inspección de sus matrices. Sin embargo, por definición\nde V, J restringido a él es la multiplicación por −2ı, y por lo tanto tiene traza igual a\n−12ı. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nCorollary 5.12. El álgebra de Lie LCâ < J > es igual al álgebra de Lie de cuadrática\ninvariantes dentro de C2p.\nUNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 13\n6. Una presentación geométrica de los generadores Serre\nEn esta sección, para obtener una mejor comprensión geométrica de la representación\nLC de sl(6,C), exploramos con mayor detalle su relación con la estructura geométrica de\na Multiples de la Cumbre Mundial sobre el Desarrollo Sostenible. En particular, ofrecemos una presentación de una elección natural de Cartan\ngeneradores de subalgebra y Serre en términos de los generadores geométricos Lj,?j, Vj, Aj.\nLos operadores LJ son similares en naturaleza a los operadores Lefschetz de un Kähler\nmultiple. Esta analogía es lo que proporcionó el interés inicial en la estructura algebraica\ntura de LC. Del mismo modo que la construcción estándar correspondiente de una representación\nde sl(2,C), definimos\nDefinición 6.1. Para j {0, 1, 2}\nHj = [Lj,lj]\nEstos operadores son autoadjuntos, como L*j = Łj por definición. Al igual que en el contexto de\nLa geometría kähleriana, para cada j el álgebra < Lj,j, Hj > resulta ser una copia\nde sl(2,C). Por otra parte, la propuesta siguiente muestra que los operadores Hj son\nsemisimple en el conjunto de álgebra LC, y por lo tanto generar un subalgebra toral de\nProposición 6.2. Los operadores geométricos Hj generan una subalgebra toral de LC,\ny mantener las siguientes relaciones: para j 6= k {0, 1, 2}\n(1) [Hj, Lj] = 2Lj, [Hj,\n(2) [Hj, Lk] = Lk, [Hj,lk] = k\n(3) [Hj, Vj ] = 0, [Hj, Aj ] = 0\n(4) [Hj, Vk] = 2Vk, [Hj, Ak] = −2Ak\nPrueba En vista de Teorema 5.11, en este punto el método más rápido de prueba de\nesta proposición es referirse a las matrices explícitas de la restricción (fiel) de LC\na V.\nTodo el álgebra LC se divide en una suma directa de espacios de peso con respecto a\n< H0, H1, H2 >, ya que este subalgebra es toral. El peso de L0 con respecto a la\nbase dual a H0, H1, H2 es:\nαL0 = (αL0(H0), αL0(H1), αL0(H2)) = (2, 1, 1)\nLa lista completa es:\nαL0 = (2, 1, 1), 0 = L0\nαL1 = (1, 2, 1), 1 = L1\nαL2 = (1, 1, 2), 2 = L2\nαV0 = (0, 2, 2), αA0 = V0\nαV1 = (2, 0, 2), αA1 = V1\nαV2 = (2, 2, 0), αA2 = V2\nPara encontrar una expresión geométrica natural para dos elementos ad-semisimple que com-\nplete < H0, H1, H2 > a una subalgebra cartán miramos los generadores Vj y Aj.\nSin embargo, resulta que los candidatos naturales [Vj, Aj ] ya se encuentran en el álgebra\n< H0, H1, H2 > En cambio, construimos los nuevos operadores por “sustracción” de la Vj\nsu peso αVj :\nDefinición 6.3. Definimos\nS0 = ı[[[V0,1],2], L0]\nS1 = ı[[[V1,2],0], L1]\nS2 = ı[[[V2,0],1], L2]\n14 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\ny denotar por H el álgebra de Lie (sobre C):\nH = < H0, H1, H2, S0, S1, S2 >\nLos coeficientes ı que aparecen en las fórmulas anteriores son dictados por el hecho\nque con esta opción las matrices (diagonales) del Sj restringido a V tienen entero\nentradas.\nProposición 6.4. El álgebra H es un subálgebra cartán de LC. Más precisamente,\nlas siguientes son las diagonales de los operadores H0,..., S2 una vez restringidos a V\n, H1 :\n, H2 :\n, S0 :\n, S1 :\n, S2 :\nPrueba El cálculo de las matrices anteriores muestra que, una vez restringido a\nV, el álgebra H abarca el espacio de matrices diagonales de traza cero en el dado\nbase. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 6.5. El cálculo anterior muestra también que los operadores S0, S1, S2 safisfy\nla relación\nS0 + S1 + S2 = 0\nIncluso si de la proposición anterior sabemos que H es máxima toral dentro de LC,\nlos generadores geométricos naturales Lj,j no son autovectores para la acción contigua\ndel Sk. En este punto, sin embargo, es posible distinguir en geométrico natural\ntérminos operadores de LC que tienen peso “puro” con respecto al álgebra H y\nque contienen en su margen lineal el Lj,\nDefinición 6.6. Para j {0, 1, 2}\nL1j = −2Lj + [Sj, Lj], L2j = 2Lj + [Sj, Lj]\n* 1j = − 2j − [Sj,?j], * 2j = 2j − [Sj,?j]\nProposición 6.7. Indicando con ehk la matriz 6×6 con 1 en posición k (fila)\ny h (columna) y cero de otro modo, las matrices de los operadores Lij y \nLas restricciones impuestas en V son las siguientes:\nL10 = 2e\n6 L11 = −2e\n4 L12 = −2e\nL20 = −2e\n5 L21 = −2e\n6 L22 = 2e\n10 ° = 8 e\n2 °11 = −8e\n1 °12 = −8e\n•20 = −8e\n1 °21 = −8e\n3 °22 = 8e\nCorollary 6.8. Tenemos las siguientes relaciones para los operadores de LC restringidos\na V:\n[Hk, Lij] = (1 + Łkj)Lij, [Hk,\n[Sk, Lij] = (−1)\ni+1(1− 3kj)Lij, [Sk,ğij] = (−1)\ni(1− 3kj)\n[Sk, Vj] = 0, [Sk, Aj] = 0\nGuiado por todos los cálculos explícitos de la acción sobre el componente isotípico\nV = V â € 6\n−2 compuesto hasta este punto, ahora definimos en términos de la geométrica natural\noperadores un conjunto de generadores Serre para el álgebra LC.\nUNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 15\nDefinición 6.9.\n[L20, A1] f1 =\n[V1;20]\n[L22, A0] f2 =\n[V0,~22]\ne3 = V0 f3 = A0\n[L12, A0] f4 =\n[V0,?12]\n[L10, A1] f5 =\n[V1; 10]\nAdemás, para todos los i {1,.., 5} definimos hi = [ei, fi].\nComo los ei tienen por construcción matriz asociada e\ni+1 una vez restringido a V y\nlos fi son sus respectivos contiguos, uno obtiene:\nProposición 6.10. Los operadores ei, fj,hk satisfacen las relaciones Serre para sl(6,C)\ny el hi span el cartán subalgebra H:\n(H1 − H2 − S1 − S2)\n(H0 −H1 + S2)\n(−H0 +H1 +H2)\n(H0 − H1 − S2)\n(H1 −H2 + S1 + S2)\nSería interesante como última observación identificar en la lista de cuadráticas in-\nVariantes de los operadores geométricos Lij,JJ,Vj,Aj, el álgebra H y el so(2,R)\ngenerador J. Para hacer esto uno podría por supuesto utilizar las matrices explícitas para el qua-\ndratic invariants una vez restringido a V, que no son difíciles de calcular. Uno puede\nSin embargo, obtener muy rápidamente un cuadro cualitativo mediante el uso de la noción de multigrado\nque ahora presentamos.\nLa descomposición T *X = W0 â € € TM W1 â € TM W2 induce naturalmente un multi-grado en\nX con valores en Z3, que indicamos con mdeg. Esto es lo que se desprende de la\necuación\np+q+r=n\n(W0 C)\n(W1 C)\n(W2 C)\nObservamos además que la descomposición (complejada) anterior se conserva por\nel operador J, y por lo tanto mdeg se desplaza con la acción de so(2,R).\nProposición 6.11. Los operadores Lj, Vj,J, Aj, Hj, Sj son mdeg-homogéneos,\ncon múltiples grados:\nmdeg(L0) = (0, 1, 1) mdeg(L1) = (1, 0,1) mdeg(L2) = (1, 1, 0)\nmdeg(0) = (0,1,1) mdeg(1) = (1,0,1) mdeg(2) = (1,1,0)\nmdeg(V0) = (2, 0, 0) mdeg(V1) = (0, 2, 0) mdeg(V2) = (0, 0, 2)\nmdeg(A0) = (−2, 0, 0) mdeg(A1) = (0,−2, 0) mdeg(A2) = (0, 0,−2)\nmdeg(H0) = (0, 0, 0) mdeg(H1) = (0, 0, 0) mdeg(H2) = (0, 0, 0)\nmdeg(S0) = (0, 0, 0) mdeg(S1) = (0, 0, 0) mdeg(S2) = (0, 0, 0)\nPrueba Los valores de mdeg para el Lj y el Vj siguen inmediatamente desde mdeg\nde las formas correspondientes y de los operadores duales (contracción) tienen un valor opuesto\n16 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\nde mdeg. Los valores restantes se pueden calcular utilizando la aditividad de mdeg con\ncon respecto al soporte. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nProposición 6.12. Let {j, k, l} = {0, 1, 2}. Entonces\nSpan (L1j, L2j) = Span ([Ewk, Ewl], [Ewl, Ewk])\nEspadín (1j 2j) = Espadín ([Iwk, Iwl ], [Iwl, Iwk ])\nSpan (Vj) = Span\n[Ewj, Ewj]\nSpan (Aj) = Span\n[Iwj, Iwj]\nSpan (J) =\nSpan ([Ewm, Iwm], [Ewm, Iwm])\nPrueba El mdeg del Lij es el mismo de la Lj correspondiente, y sim-\nIlaramente por sus contiguos. Los mdegs de los monomios cuadráticos son immedi-\ncomtely calculado como son la suma de los de sus componentes. Por ejemplo,\nmdeg(Ew0) = mdeg(Ew0) = (1, 0, 0), mdeg(Ew1) = mdeg(Ew1) = (0, 1, 0) y\nPor lo tanto mdeg([Ew0, Ew1 ] = (1, 1, 0), igual a la de L12 y L22. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nBibliografía\n[B] V. Batyrev, Poliedros duales y simetría de espejos para hipersuperficies Calabi-Yau\nvariedades, J. Alg. Geom. 3 (1994), 493-535\n[BMP] U. Bruzzo, G. Marelli, F. Pioli Una transformación de Fourier para gavillas en tori real Parte II.\nTeoría relativa J. de Geometría y Phy. 41 (2002) 312-329\n[CDGP] P. Candelas, X.C. De la Ossa, P.S. Green, L. Parkes, Un par de colectores Calabi-Yau\ncomo una teoría superconformal exactamente soluble, Nucl. Phys. B359 (1991), p. 21-74\nG. Gaiffi, M. Grassi, un paquete de superálgebra de Lie natural en el rango tres colectores de la WSD,\npreprint (2007)\n[G1] M. Grassi, Espacios polisimpléticos, colectores s-Kähler y fibras lagrangianas,\nmatemáticas.DG/0006154 (2000)\n[G2] M. Grassi, Simetría espejo y colectores auto-duales, matemáticas.DG/0202016 (2002)\n[G3] M. Grassi, Auto-doble colectores y simetría de espejo para el triple quíntico, asiático\nJ. Matemáticas 9 (2005) 79-102\n[GP] B.R. Greene, M.R. Plesser, Duality in Calabi-Yau moduli space, Nucl. Phys. B338\n(1990), 15-37\n[GVW] B. R. Greene, C. Vafa, N. P. Warner, Collectores Calabi-Yau y grupo de renormalización\nfluye, Nucl. Phys. B324 (1989), 371-390\nM. Gromov, estructuras métricas para espacios Riemannianos y no Riemannianos,\nBirkhäuser P.M. 152, Boston 1999\n[GW] M. Gross, P.M.H. Wilson, grandes límites de estructura compleja de superficies K3,\nmatemáticas.DG/0008018 (2001)\n[Gu] V. Guillemin, Moment maps e invariantes combinatoria de los espacios de Hamiltonian Tn,\nBirkhäuser P.M. 122 (1994)\n[M] A. McInroy, Simetría del espejo Orbifold para tori complejo, preimpresión\nM. Kontsevich, Y. Soibelman, Simetría del espejo homológico y fibras de toro,\nmatemáticas.SG/0011041 (2001)\nA. Strominger, S.T. Yau, E. Zaslow, Mirror Symmetry es T-Dualidad, Nucl. Phys. B479\n(1996) 243-259; hep-th/9606040\nhttp://arxiv.org/abs/math/0006154\nhttp://arxiv.org/abs/math/0202016\nhttp://arxiv.org/abs/math/0008018\nhttp://arxiv.org/abs/math/0011041\nhttp://arxiv.org/abs/hep-th/9606040\n\t1. Introducción\n\t2. Operadores básicos\n\t3. La acción de so(2,R)\n\t4. Una representación irreductible de LC\n\t5. Invariantes cuadráticas\n\t6. Una presentación geométrica de los generadores Serre\n\tBibliografía\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" Dada una débilmente orientable auto-dual multiple X de rango dos, construimos un\nrealización geométrica de la Lie álgebra sl(6,C) como un álgebra definida naturalmente\nL de endomorfismos del espacio de formas diferenciales de X. Nosotros proporcionamos un\ndescripción explícita de los generadores Serre en términos de generadores naturales de L.\nEsta construcción da un paquete en X que está relacionado con la búsqueda de un\nteoría del medidor natural en X. Consideramos este trabajo como un primer paso en el estudio\nde una estructura algebraica rica e interesante.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción\nEste trabajo es un paso en un programa más amplio, que tiene como objetivo encontrar un geomet-\nric homólogo a la simetría espejo faenomenon, y posiblemente una geométrica\nlenguaje en el que formular una teoría física interpolando entre diferentes\nModelos. Mientras dirigimos al lector a [G2],[G3] para más detalles, enumeramos aquí\nsólo algunos aspectos de esta teoría para poner el presente trabajo en contexto.\nEn la aproximación Strominger-Yau-Zaslow a la simetría espejo tienes que dos\nespejo doble Calabi-Yaus debe poseer (en cierto sentido limitante) semi-plano especial\nFibraciones de toro lagrangiano f : M → B, fâ € : Mâ → B que tienen como fibras toris planas\nque son duales en el sentido métrico (véase [SYZ], y [G2] para la terminología y el\ndefiniciones). Como es ampliamente conocido, el principal inconveniente de este enfoque es que\nes muy difícil construir fibras tori lagrangianas especiales. Usualmente esta construcción\nsólo se puede llevar a cabo cuando los colectores de Calabi-Yau duales son en realidad hiper-\nkahler, y el tori lagrangian especial se puede ver como complejos submanifolds (con\nrespeto a una estructura compleja rotada), de modo que los métodos de complejo algebraico\nLa geometría se puede poner a trabajar.\nCuando usted tiene las fibras, entonces la idea es construir el mapa del espejo como\nuna especie de transformación de Fourier-Mukai (véase, por ejemplo, [BMP]). Este Fourier-Mukai\ntransformar es una correspondencia inducida por el retroceso y empujar hacia adelante de la\nespacio X = M × B Mâ. En el caso de hiperkähler este espacio es un complejo colector,\nmientras que en el caso general (por ejemplo, para Mirror Symmetry para Calabi-Yau tres-\npliegues) es sólo un verdadero múltiple de dimensión (real) 3 · dimC(M).\nAntecedentes. La noción de (débilmente) auto-doble múltiple (cf. [G2]) fue con-\nrecibido en primer lugar para aislar los aspectos geométricos de la X arriba que son\nnecesaria para obtener la Simetría Espejo entre M y Mâ. Aquí reproducimos el def-\ninición para el lector, mientras se refiere a [G2] y [G3] para todas las observaciones, ejemplos\ny observaciones:\nDefinición 1.1. Se da un colector débilmente auto-dual (multiplicador de WSD para la brevedad)\npor un suave colector X, junto con dos lisos de 2 formas........................................................................................................................................................................................................................................................\nmétrica y un tercero liso de 2 formas • D (la forma dualizante) en él, que satisfacen la\nlas siguientes condiciones:\n1 ° d ° 1 = d ° 2 = d ° D = 0 y la distribución °\n1 + فارسى\n2 es integrable.\n2) Para todos los p • X existe una base ortogonal dx1,.., dxm, dy\n1,..., dy\nm, dy\n1,..., dy\nFecha: 24 de octubre de 2006.\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0104v1\n2 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\ndz1,..., dzc, dw1,..., dwc de T\npX tal que el dx1,.., dxm, dy\n1,..., dy\nm, dy\n1,..., dy\nson ortonormales y\n(1)p =\ndxi Ł dy\ni, (+2)p =\ndxi Ł dy\ni, (D)p =\ndy1i\ndzi Ł dwi\nCualquier base ortogonal de TpX dual a una base de 1- formas como se dice anteriormente\nadaptado a la estructura, o estándar. El número m es el rango de la estructura.\nPara una definición más intrínseca de múltiples WSD el lector debe referirse a [G2].\nAquí hemos elegido la forma más rápida de presentarlos.\nCuando las formas #1, #2, #D son constantes covariantes con respecto a la Levi-Civita\nconexión, hablamos de 2-Kähler colectores. Un ejemplo de esto viene del espejo\nsimetría para las variedades abelianas.\nObservación 1.2. La forma D es simpléctica, una vez restringida a\n1 + فارسى\n2. Tenemos\npor lo tanto, que\ndim(X)−m\n6= 0.\nDefinición 1.3. 1) Un colector de la WSD no es degenerado si dim( +01 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n2) p = 0 en absoluto\npuntos (equivalente si su dimensión es 3 veces el rango).\n2) Un colector de WSD es auto-dual (diverso de SD para la brevedad) si todas las hojas de la\nDistribución de los productos 01 + \n2 tienen volumen uno (con respecto a la forma de volumen inducida por\nla métrica)\nUsando Auto colectores duales, usted puede dar una primera definición geométrica nóve de Mir-\nror Simetría según se indica:\nDos colectores Calabi-Yau con campo B (M, BM ) y (Más, BMâs ) son espejo dual\nsi hay una auto-doble multiple X junto con las conjeturas η : X → M y\n: X → Más tales que:\na) (M) = 1, \n) = 2.\nb) Las hojas de 1 son las fibras de \nc) Las hojas de 2 son las fibras de \nd) Los campos B inducidos en M y Mâ € son los que se dan.\nAquí hacen su primera aparición el B-campos BM y BM®, que son unitarias planas\ngerbes sobre M y M, respectivamente, y que no son pertinentes para los debates de\nEste periódico. En [G2] se demostró que esta imagen funciona bien en el caso de la elíptica\ncurvas, y para algunas otras situaciones planas.\nMotivación física. Sin embargo, una de las razones para introducir múltiples SD\nse deshizo de las fibraciones lagrangianas especiales, que son tan difíciles de construir,\ny ser capaz de atacar el problema de la simetría espejo también cuando estos fibra-\nNo se espera que existan. En este contexto más general se espera que el\nEspejo de simetría faenomenon no se obtendrá directamente de las fibras de\nun colector SD para el doble Calabi-Yaus, pero a través de un procedimiento más sofisticado,\nque implica un tipo de límite Gromov-Hausdorff. En [G3] se demostró que para\nla familia de divisores anticanónicos en espacio proyectivo complejo se puede construir un\n(real) familia bidimensional de los múltiples de la CMD, que degeneran en una normalización\nGromov-Hausdorff siente los límites correctos del espejo doble Calabi-Yaus. Los\nla imagen es la siguiente:\nUNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 3\nMB MAS\ndonde MA y MB son los grandes Kähler y grandes límites de estructura compleja de M\ny Mós, respectivamente. Para ser precisos, los colectores que salen de la co-\nciones de [G3] son 11 dimensionales (degeneradas) Debilmente auto-duales múltiples o rango 3.\nDimensión 11 es muy atractivo en este contexto desde un punto de vista físico, y\nnos lleva a la motivación del presente trabajo.\nEl punto de vista de [G3] es muy diferente del actual en el litro principal-\nature on matemática Mirror Symmetry: en lugar de considerar el producto de fibra\nM×B MÃ3 (cuando exista) como dispositivo para probar la Simetría de Espejos para Calabi-Yaus,\nla limitación Calabi-Yaus de Simetría Espejo son vistos como límites muy especiales de una\nfamilia de colectores Self-Dual, que son los principales objetos de estudio. Esto es en realidad\nmás en línea con lo que se puede encontrar en la literatura física, donde los modelos\ndefinir las teorías de cuerdas de las que se origina la simetría espejo se ven como\nsólo “fases” de una teoría única, que no está necesariamente en la forma de un modelo\npero muy probablemente podría ser similar a una teoría de calibre cuantificado en un 11-dimensional\nmultiple. Para hacer este círculo de ideas más concreto (y por lo tanto más verificable) en\nel final de [G3] se sugiere que uno debe tratar de construir una teoría de calibre natural\nLa esperanza es que una vez cuantificado esta teoría de la medición podría en-\nterpolado entre los modelos asociados a los Calabi-Yau, y como subproducto\nprueban la simetría del espejo para ellos. Por supuesto, uno siempre puede poner un paquete de calibre en\nlos colectores auto-duales \"artificialmente\", pero un haz natural que depende sólo de\nla estructura geométrica sería mucho más atractiva. Ignoramos aquí la cuestión.\nde los cuales la acción para poner en la teoría, pero también debe ser una geométrica natural.\nFinalmente, en [GG] analizamos la situación para el rango tres de múltiples de la WSD, y nosotros\nencontrado que en este caso el paquete natural correspondiente está formado por complejo Lie\nsuperálgebras. Fuimos capaces de encontrar una forma geométricamente motivada real, y para\ndividirlo en factores simples. Los resultados de [GG] confirman la sospecha de que en un WSD\nmúltiple de rango lo suficientemente alto podría haber suficientes paquetes algebraicos naturales de\noperadores para construir teorías de medición interesantes.\nLa construcción de LC. Desde el punto de vista físico, el caso de Calabi-\nYau tres veces (es decir, clasificar tres colectores WSD) o cuádruples (es decir, clasificación de cuatro WSD\ncúltiples) sería el más interesante para empezar. Sin embargo, su\nla dificultad nos convenció de que partiéramos más modestamente del caso de Calabi-Yau dos-\npliegues (es decir, K3 superficies) que corresponden al rango de dos colectores Self-dual. Nosotros también.\nno degenerado, por lo tanto, de los múltiples auto-duales de rango dos, por lo que\ndimensión 6. Esto podría considerarse una prueba de concepto desde el punto de vista físico\nde vista, sin embargo Mirror Symmetry para K3 es en sí mismo muy interesante mathemati-\nCally, así que esperamos que nuestros resultados puedan tener algunas consecuencias geométricas útiles.\nEl caso de rango tres se trata en nuestro siguiente [GG], como se mencionó en el anterior\nsección de la presente introducción. El principal resultado del presente documento es el siguiente:\n4 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\n(que es una reafirmación geométrica del Teorema 5.11):\nLa Lie álgebra sl(6,C) actúa a través de operadores canónicos (dependiendo sólo de la geo-\nestructura métrica) en las formas diferenciales lisas de cualquier no degenerado orientable\nWSD multiple de rango 2.\nEsta acción generaliza naturalmente la acción de sl(2,C) sobre diferencial suave\nformas de cualquier colector casi Kähler, y es inducido por una acción de paquete en el\npotencia exterior del haz de cotangente.\nRecordemos que un colector débilmente auto-dual es un colector Riemanniano con tres\nFormas diferenciales “compatibles” cerradas. Construiremos un álgebra de Lie de punto\noperadores en formas diferenciales complejas en X, como secciones lisas de un paquete de Lie\nálgebras de los operadores en el complejo paquete cotangente de X. Para empezar, uno puede\ndefinir los siguientes operadores:\nDefinición 1.4. Por lo que se refiere a la letra a) del apartado 1 del artículo 4 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013\nL0() = D , L1() = 2 ·, L2() = 1 \nUno puede notar inmediatamente el fuerte parecido de los operadores de arriba con\nel operador Lefschetz de la geometría Kähler. De hecho, se puede profundizar en esta simi-\nlarity, y utilice la métrica para definir los contiguos Łj = L\nj (utilizando un procedimiento\ncomo en el caso casi Kähler).\nSimplemente usando el Lj y el Łj, uno puede mostrar que el álgebra generada es iso-\nmorfo a SL(4,C) ([G2]). Sin embargo, hay otras formas diferenciales naturales en\nun colector de la CMD (que no tiene una contraparte en el caso Kähler), a saber:\nformas de volumen de las distribuciones 1, \n1, 2.................................................................................................\nD de vectores que se contraen a cero\ncon los formularios +1, +2 y +D, respectivamente. Si uno llama V0, V1, V2 el correspondiente\nlos operadores de cuña, y A0, A1, A2 sus colindantes, la complejidad de los cálculos\npara describir el álgebra de Lie generada crece mucho. Llamamos L el álgebra generada\npor el Lj, Vj y sus colindantes, y LC su complejidad. Para estudiar LC introducimos...\nun operador J, que es una estructura compleja en cada una de las dos dimensiones\ndistribuciones mencionadas anteriormente y genera un grupo isomórfico a SO(2,R) (recordar\nque estamos en el caso \"hiperkahler\", correspondiente a la simetría de espejo para K3,\npor lo que una estructura “extra” compleja no debería sorprender; además, la holonomía de\nun colector de la WSD en el que todos los â € € TM € TM, â € € TM ; D son invariantes en realidad siempre se incluye en\nel grupo generado por J). Un control de que todos los operadores introducidos conmutan\ncon él:\n[Jj, J] = [Jj, J] = [Vj, J] = [Aj, J] = 0\ny por lo tanto uno puede tratar de descomponer T*\nX con respecto a J y luego utilizar\nLemma de Shur para reducir al estudio de los operadores sobre los componentes isotípicos.\nCabe mencionar que en los casos (muy) buenos (por ejemplo, los colectores 2-Kähler)\nlos operadores anteriores son todos constante covariante con respecto a la connec-\ny definir una acción sobre la cohomología de X mucho de la misma manera que en el\nKähler fijando los operadores L y Ł do (debido a las identidades del tipo Hodge). Nosotros no\nexplorar este aspecto aquí, aunque puede ser relevante para el espejo (homológico)\nconstrucción de mapas.\nVolviendo a la construcción, señalamos la inclusión de la Lie álgebra LC\ndentro de una copia del álgebra de Clifford Cl6,6.\nUtilizando este álgebra de Clifford se puede identificar a los operadores de “grado dos” o “cuadratic”\n(de una manera similar a los involucrados en las representaciones de Espinor en el estándar\nSpin multiples) y entre estos los SO(2,R)-invariantes. A posteriori, gira.\nde que los operadores de LC® < J > son todos los operadores J-invariantes de ”grado\nUNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 5\ndos”, y esto refuerza la razón de ser en nuestra selección de operadores naturales.\nComo último paso uno encuentra que dentro de T ∗X hay un SO(2,R)-isotípico compo-\nnent de la dimensión 6, y por el cálculo directo demostramos que de hecho los operadores\nrestringido a esta sub-representación determinar una copia de sl(6,C) (con la defin-\n■ representación). Utilizando el límite de la dimensión de la computación obtenida por LC\n“cuadratica” invariantes, se muestra entonces que la representación en este isotípico\ncomponente es fiel. Esto proporciona como subproducto un método para dar presenta-\nde los generadores estándar Serre de LC, expresamente escritos en términos de\ngeneradores geométricos.\n2. Operadores básicos\nEn esta sección fijamos un punto p en el múltiple X de la WSD. La estructura de la Cumbre Mundial sobre el Desarrollo Sostenible\ndivide el espacio cotangente como T *pX = W0â € € TM W1â € TM W2 donde el Wj son tres mutuamente\ndistribuciones canónicas ortogonales definidas como:\nW0 = T\npX \n2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + + + + + + + + + + + + 1 + + 1 + + + + + + + + + + + + 1 + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + \n2 = 0}\nW1 = T\npX \n2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + + + + + + + + + + + + 1 + + 1 + + + + + + + + + + + + 1 + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + \nD = 0}\nW2 = T\npX \n1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1\nD = 0}\nLa estructura WSD también determina identificaciones lineales canónicas de par\nentre W0, W1 y W2, por lo que también se puede escribir T\npX = W0 R R\n3 o más\nsimplemente\nT ∗pX =W R R\ndonde W = W0 = W1 = W2.\nVolvamos ahora a los operadores canónicos Lj mencionados en la introducción:\nDefinición 1.4\nL0() = D , L1() = 2 ·, L2() = 1 \nAhora elegimos una base ortonormal (no canónica) γ1, γ2 para W0, y esto juntos\ncon las identificaciones estándar del Wj determina una base ortonormal para\nT *pX, que escribimos como {vij = γi ej i = 1, 2, j = 0, 1, 2}. Observamos que\nel vij son un coframe adaptado para la estructura de la WSD, y por lo tanto tenemos el\nexpresiones explícitas:\n• 1 = v10 • v11 + v20 • v21\n2 ° = v10 ° v12 + v20 ° v22\nD = v11 v12 + v21 v22\nUna elección diferente de la γ1, γ2 estaría relacionada con la anterior por un elemento en\nO(2,R) o, teniendo en cuenta la orientabilidad de X mencionada en la introducción,\nun elemento de SO(2,R). El álgebra de Lie del grupo SO(2,R) expresando la\ncambio de una base adaptada orientada a otra se genera (punto por punto) por\nel operador global J :\nDefinición 2.1. El operador J. EndR.\n∗(X)) es inducida por su acción puntual\nen el T ∗pX para variar p X, definido en términos de la base estándar vij como\nJ(v1j) = v2j, J(v2j) = −v1j para j {0, 1, 2}\ny J(v) W = J(v) W + v) J(w) para v, w T ∗pX\nObservación 2.2. A medida que J se desplaza consigo mismo, está bien definido, independientemente de la\nelección de una base adaptada orientada.\nUtilizando la base escogida (ortonormal), se puede definir la correspondiente (no canon-\nlos operadores de cuñas y contracciones:\n6 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\nDefinición 2.3. Vamos a {1, 2} y j {0, 1, 2}. Los operadores Eij y Iij son\nrespectivamente la cuña y el operador de contracción con la forma vij en\n(definido utilizando la base dada); utilizamos la notación \npara indicar el elemento de\nTpX dual a vij T\nEij() = vij (), Iij () =\nProposición 2.4. Los operadores Eij, Iij satisfacen las siguientes relaciones:\nI, j, k, l EijEkl = −EklEij, IijIkl = −IklIij\nEijIij + IijEij = Id\n(i, j) 6= (k, l) EijIkl = −IklEij\ni, j E*ij = Iij, I\nij = Eij\ndonde ∗ es adjunción con respecto a la métrica.\nPrueba La prueba es una simple verificación directa, que omitimos. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEs entonces inmediato verificar que:\nProposición 2.5. J puede expresarse como\n(E2jI1j − E1jI2j)\nen su conjunto\nT ∗pX. De esta expresión y de la proposición anterior uno ob-\nque J* = −J, es decir, para cada p el álgebra Lie generada por J es un subalgebra\nde o(\nT ∗pX) isomórfico a so(2,R)\nPor otra parte, las imágenes exponenciales en-\nlado AutR(\n*(X)) de los operadores del tipo tJ para t â € R forman un grupo isomórfico a\nSO(2,R) = S1, ya que este isomorfismo sostiene la restricción (fiel) del grupo\nacción a T ∗pX.\nUtilizando los operadores (no canónicos) Eij podemos obtener expresiones simples para el\nacción puntual de los demás operadores canónicos, el volumen forma Vj :\nDefinición 2.6. En nombre de la República Popular Democrática de Corea\nT ∗pX,\nV0(l) = E10E20(l), V1(l) = E11E21(l), V2(l) = E12E22(l)\nRecuerde, sin embargo, que los operadores Vj no dependen de la elección de una base,\ncomo son simplemente multiplicación por las formas de volumen de los espacios Wj.\nUtilizamos el vij también como una base ortonormal para el espacio complejo T\np R C\n(con respecto al producto interno del ermitaño inducido). Indicamos con la misma\nsímbolos Vj los operadores complejos que actúan sobre los espacios\nT ∗pX.\nLa métrica riemanniana induce una métrica riemanniana en T*pX y en el espacio\nT ∗pX.\nDefinición 2.7. Para j {0, 1, 2}\n•j = L\nj, Aj = V\nPor la construcción de los operadores canónicos Lj, Vj,\nT *pX son el punto-\nrestricciones prudentes de los operadores mundiales correspondientes sobre formas diferenciales fluidas,\nque indicamos con los mismos símbolos: para j {0, 1, 2},\nLj, Vj,\n*(X) → (X)\nResumiendo:\nUNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 7\nDefinición 2.8. El ∗-Lie álgebra L es el ∗-Lie subalgebra de EndR (\n∗ (X)\npor parte de los operadores\n{Lj, Vj,j, Aj para j = 0, 1, 2}\nEl operador ∗ en L es inducido por el contiguo con respecto al Riemannian\nmétrica. El *-Lie álgebra LC es L C, y es de una manera natural un ∗-Lie subalgebra\nde fin de período de sesiones de la Comisión de las Naciones Unidas para la Eliminación de la Discriminación Racial\n(X)). El operador ∗ en LC es inducido por el contiguo con respecto a\nla métrica de Hermitia inducida.\nLa división canónica T *pX = W0 â € € TM W1 â € TM W2 junto con la canónica\nlas identificaciones W0 = W1 = W2 inducen una acción del grupo simétrico S3, que\nse propaga a\nT * X y sus secciones C. En cada momento, la acción puede ser\nescrito explícitamente en términos de la base como\n(vij) = vi(j)\nLa acción inducida sobre los endomorfismos vía conjugación, \nLC. De hecho, uno puede comprobar directamente utilizando la base vij en cada punto que para \n(Vj) = V(j), (Lj) = \nPuesto que S3 actúa sobre LC por conjugación con operadores unitarios, su acción conmuta\ncon la adjunción (el operador ∗), y por lo tanto\n(Aj) = A\nPor otra parte, también se tiene que (J) = J lo que significa que la acción de S3 conmuta\ncon el de so(2,R).\n3. La acción de so(2,R)\nCuando se trata de la simetría del espejo para los colectores de 2-Kähler (ver el Introduc-\n), los múltiples WSD que surgen tienen la propiedad de que las formas....................................................................................................................................................................................................................................................... \nD son constantes covariantes con respecto a la métrica. En este caso, el máximo\nla posible holonomía del colector X de la WSD se incluye en el so(2,R) generado\npor el operador J. Demostraremos ahora que J viaja con LC. Nuestra prueba lo hará.\nser estrictamente algebraico, por lo que la computatividad entre so(2,R) y LC se mantendrá\nTambién en los colectores de la CMD para los cuales la holonomía es más general.\nDefinición 3.1. Dado n â € Z, indicamos con Vn el complejo unidimensional\nrepresentación de SO(2,R) < S1 > = R/Z dada por el carácter:\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nProposición 3.2. Bajo la representación SO(2,R) inducida por el operador J,\npara cualquier p â € X :\n1) El espacio\nXp) escisiones como\nV â € 31\n8 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\n2) Todo el espacio\nXp) se divide de acuerdo con la siguiente imagen:\nXp) = V0\nXp) = V\nV â € 31\nXp) = V\nV â € 90\nV â € 32\nXp) = V−3\nV â € 91\nXp) = V\nV â € 90\nV â € 32\nXp) = V\nV â € 31\nXp) = V0\nPrueba 1) El espacio T *\nXp es una suma directa de los tres Wj, y cada uno de estos\nes la representación real bidimensional estándar de so(2,R). Por lo tanto, diag-\nonalize la representación introduciendo una nueva base para cada Wj =< v1j, v2j >:\nwj = v1j + ı v2j, wj = v1j − ıv2j\nA partir de la definición de J, uno tiene entonces para cada j {0, 1, 2}\nJ(wj) = wj, J(wj) = ıwj\nPor lo tanto, uno tiene para cada j. {0, 1, 2}\n< wj = V−1, < wj = V1\n2) Para probar el caso general, utilizamos el hecho de que el operador J determina un\nestructura casi compleja en el colector X, compatible con la métrica. Desde\nesto, siguiendo los argumentos estándar, las formas diferenciales complejas y también el\nelementos de\nXy para cualquier y • Y se puede dividir de acuerdo a su tipo:\np+q=n\nEn la notación adoptada en la prueba de la primera declaración,\nXy = < wi1 · · · • wip wj1 · · · · • wjq i1,..., jq • {0, 1, 2} >\nDe la definición de la acción de J se tiene por lo tanto que para cualquier p, q\nXy â € = V\ncon k =\na partir de la cual la segunda declaración de la proposición puede ser\nDeducido. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nTeorema 3.3. Los operadores Lj, Vj para j {0, 1, 2} viajan con el generador\nJ de so(2,R).\nUNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 9\nPrueba Demostramos las declaraciones mediante un cálculo directo utilizando la base vij ;\npor otra parte, utilizando la acción de S3 (que permuta el Lj, Vj y corrige J), es\nsuficiente para probar la computatividad para L0 y V0. Es útil volver a escribir 0 (y\nPor lo tanto, L0 que es cuña con 0) en términos de la base generada por el wj :\n• 0 = v11 • v12 + v21 • v22 =\n(w1 (w2 (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1)) (w1)) (w1) (w1) (w1)) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1)\ny luego:\n[J, L0](wi1 • · · · • wip • wj1 • · · • wjq ) =\n(w1 (w2 (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1)) (w1)) (w1) (w1) (w1)) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1)\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #\n(w1 (w2 (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1)) (w1)) (w1) (w1) (w1)) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1)\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #\n(w1 • w2 • w2 • • • J(wi1 • · · • • wip • wj1 • · · • • wjq )\nPor lo tanto, el resultado se deriva del hecho de que\n(w1 •w2 − w2 • w1) = 0\ncomo wj y wk tienen peso opuesto con respecto a J para cualquier j, k.\nDel mismo modo, [J, V0] = 0 se deriva del hecho de que para cualquier α\nV0(α) = v10 • v20 • α =\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \nDesde el teorema anterior se obtiene el siguiente corolario, que se mantiene sobre cualquier\nMultiplex WSD (no necesariamente 2-Kähler ):\nCorolario 3.4. El álgebra LC se desplaza con la acción de so(2,R) inducido por\nPrueba Ya sabemos que [J, Lj] = [J, Vj ] = 0 para j {0, 1, 2}. El corre...\nsponding relaciones de conmutación para los grupos electrógenos contiguos...................................................................................................................................................................................................................................................... \nel hecho de que J* = −J, como se observa en la Proposición 2.5. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 3.5. Del lema de Schurs se desprende que las columnas del diagrama de\nLa Proposición 3.2 está preservada por la acción de LC.\n4. Una representación irreductible de LC\nMirando la tabla de la Proposición 3.2 notamos que la segunda columna de\nla izquierda es una representación de LC (por Observación 3.5) de la dimensión 6:\nV = V\n−2 = < w0 • w1, w0 • w2, w1 • w2, w0 • w1 • w2 • w0,\nW0 W1 W2 W2 W1 W1 W2 W2 W2\nEn esta sección computaremos explícitamente esta representación.\nUtilizando la base descrita anteriormente, no es difícil calcular las matrices por\nmano:\nProposición 4.1. Indicando con β la base ordenada para V indicada anteriormente, la\nlas matrices para los (restricciones a V de) generadores de LC son las siguientes:\nMβ(L0) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0\n0 0 0 0\n, Mβ(0) =\n0 0 0 0 −2 0\n0 0 0 0 0 −2\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n10 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\nMβ(L1) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 −\n0 0 0\n, Mβ(1) =\n0 0 0 2 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 −2\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\nMβ(L2) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0\n0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n, Mβ(2) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 2 0 0\n0 0 0 0 2 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\nMβ(V0) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n, Mβ(A0) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 −2ı 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\nMβ(V1) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n, Mβ(A1) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 2ı 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\nMβ(V2) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0\n, Mβ(A2) =\n0 0 0 0 0 −2ı\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\nPrueba Cálculo directo utilizando la base generada por el wj. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nCorolario 4.2. El álgebra generada por la restricción de LC a V es isomórfica\na sl(6,C), con V su representación natural.\nUno puede resumir los cálculos anteriores en el siguiente teorema:\nTeorema 4.3. Hay una secuencia exacta de álgebras de Lie\n0 → K → LC → sl(6,C) → 0\ndada por la restricción a V.\nEn la siguiente sección probaremos que K = {0}, y por lo tanto la representación\nV es fiel y LC = sl(6,C).\n5. Invariantes cuadráticas\nComenzamos por mostrar que la acción de Lie álgebra LC es inducida por un (no-\nCanónico) representación de álgebra de Clifford. Utilizamos para la simplicidad el canónico\nidentificación T Xp = T Xp sin más comentarios, de modo que si {vij} es una base\npara T ∗pX, entonces {\n} es la base dual correspondiente para TpX.\nDefinición 5.1. Para p X, el álgebra de Clifford Cp es\nCp = Cl(TpX + T\npX, q)\nUNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 11\ncon la forma cuadrática q inducida por la métrica\nEn el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo.\n*, j, h, k <...............................................................................................................\n6 = (h, k) < vij,\ni, j < vij,\n> = − 1\nObservación 5.2. El Clifford álgebras Cp para variar p definir un paquete de Clifford C\nsobre X, ya que la definición de Cp es independiente en la elección de una base. De hecho, la\nLa forma cuadrática utilizada para definirla es simplemente inducida por − 1\nveces el bilineal natural\nemparejamiento TpX T\npX → R.\nProposición 5.3. El álgebra Clifford Cp tiene una representación canónica\nT ∗pX, inducido por los operadores Eij y Iij a través del mapa\nP(vij) = Eij, P\n= Iij\nPrueba de las relaciones de Clifford\n+ = −2 < \nson precisamente el contenido de la Proposición 2.4. La representación es canónica, aunque\nlos operadores Eij y Iij no son, porque puede definirse en una base independiente\nmanera como\nlp(v)(α) = v l, lp\nAbusando ligeramente de la notación, identificaremos a Cp con su imagen (fiel) dentro\nT ∗pX\n, y omitiremos cualquier referencia al mapa. En realidad, como la\nrepresentación arriba es un análogo real de la representación de Spinor, es fácil de\nverifique que el mapa p es un isomorfismo de álgebras asociativas. Uno entonces tiene:\nDefinición 5.4. El subespacio lineal C2p de Cp es la imagen del mapa natural\n(TpX-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T\npX) → Cp. El subespacio lineal C\np de Cp es el subespacio generado por\nRecuerde que C2p es un subalgebra de Lie de Cp (con el soporte del conmutador).\nProposición 5.5. El Lie álgebra Lp y el operador J se sientan dentro de C\np para todos\nÍNDICE (continuación)\nPrueba Los operadores Lj, el?j, el Vj y el Aj mienten dentro de C\np por Propo-\nSituación 2.4 y el hecho de que â € 1, â € TM TM y D mienten en\nT ∗pX. El operador J se encuentra dentro\nC2p â € C\np por Proposición 2.5. Por definición, los elementos C\np son conmutadores, y\nPor lo tanto, tienen traza cero en cualquier representación, y por lo tanto también en la p. Además,\nde nuevo por inspección todos los generadores de Lp tienen traza cero una vez representado a través de\n(son nilpotentes), y por lo tanto deben estar dentro de C\np. El operador J es\nen el álgebra de Lie del grupo de isometría, y por lo tanto también tiene traza cero y\npor lo tanto se sienta dentro de C2p. As C\np se cierra bajo el soporte del conmutador de Cp, y\neste conmutador coincide con el soporte de composición de los operadores, tenemos el\nconclusión. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 5.6. Dar el grado 1 a los operadores Eij y el grado −1 a la ópera-\nTors Iij, inducimos un grado Z en Cp. Este grado coincide con el grado de la\noperadores inducidos por la clasificación en los formularios a partir de\nT ∗X.\n12 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\nObservación 5.7. Para cualquier p • X, el álgebra Clifford Cp es isomórfico a Cl6,6, como\nla métrica utilizada para definirla tiene firma (6, 6). Por consiguiente, la propuesta anterior\nmuestra que Lp es una mentira subalgebra de Cl\n= spin(6, 6) = so(6, 6), generado por\nsecciones globales suaves del paquete C de Clifford.\nEl operador J actúa sobre toda la Cp mediante la adición con respecto al conmutador\ny envía su parte cuadrática C2p a sí misma desde la Proposición 5.5.\nMostraremos que el espacio de J-invariantes dentro de C2p (los \"cuadraticos\" J-invariantes)\ncoincide con LC. Para describirlo explícitamente, vamos a introducir la siguiente notación:\nDefinición 5.8.\nEwj = E1j + ıE2j, Ewj = E1j − ıE2j\nIwj = I1j − ıI2j, Iwj = I1j + ıI2j\nLemma 5.9. La acción adjunta del operador J en Ewj, Iwj, Ewj, Iwj es:\n[J, Ewj] = Ewj, [J, Iwj] = ıIwj\n[J, Ewj ] = ıEwj, [J, Iwj ] = Iwj\nPrueba Es suficiente considerar los pesos J correspondientes del wj, wj. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nProposición 5.10. Los 36 operadores siguientes proporcionan una base lineal para la\ndratic J-invariantes:\n(1) [Ew0, Ew1 ], [Ew0, Ew2 ], [Ew1, Ew2 ], [Ew1, Ew0 ], [Ew2, Ew0 ], [Ew2, Ew1 ]\n(2) [Iw0, Iw1 ], [Iw0, Iw2 ], [Iw1, Iw2 ], [Iw1, Iw0 ], [Iw2, Iw0 ], [Iw2, Iw1 ]\n(3) [Ew0, Ew0 ], [Ew1, Ew1 ], [Ew2, Ew2 ]\n(4) [Iw0, Iw0 ], [Iw1, Iw1 ], [Iw2, Iw2 ]\n(5) [Ew0, Iw1], [Ew0, Iw2], [Ew1, Iw0], [Ew1, Iw2], [Ew2, Iw0], [Ew2, Iw1]\n(6) [Ew0, Iw1 ], [Ew0, Iw2 ], [Ew1, Iw0 ], [Ew1, Iw2 ], [Ew2, Iw0 ], [Ew2, Iw1 ]\n(7) [Ew0, Iw0 ], [Ew1, Iw1 ], [Ew2, Iw2 ], [Ew0, Iw0 ], [Ew1, Iw1 ], [Ew2, Iw2 ]\nPrueba El peso J de un grupo de operadores J-homógenos es la suma de\nlos pesos respectivos. Los “monomios” cuadráticos (con respecto al soporte)\nen el Ewj, Iwj, Ewj, Iwj son todos J-homogéneos, y por lo tanto para encontrar una base de\nJ-invariante operadores cuadráticos es suficiente para identificar el J-invariante cuadrático\nmonomios. Ser J-invariante significa simplemente tener peso cero, y el compu-\nde los mononios cuadráticos sigue inmediatamente de los\nde Ewj, Iwj, Ewj, Iwj, que son respectivamente, ı, ı,. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nTerminamos esta sección con lo siguiente:\nTeorema 5.11. En la secuencia exacta del Teorema 4.3 el núcleo K es igual a {0}.\nEl álgebra LC es por lo tanto isomórfico a sl(6,C).\nPrueba Dado que LC está incluido en el álgebra de Lie de invariantes cuadráticas, es\nsuficiente para demostrar que J 6o LC, a partir de esta y la proposición anterior que sigue\nque dimC(LC) ≤ 35. Como los mapas de LC surjetivamente a sl(6,C) que tiene dimensión 35,\nel núcleo debe ser cero. Cuando se limita a la subrepresentación V, los generadores\nde LC tienen todos rastro cero por inspección de sus matrices. Sin embargo, por definición\nde V, J restringido a él es la multiplicación por −2ı, y por lo tanto tiene traza igual a\n−12ı. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nCorollary 5.12. El álgebra de Lie LCâ < J > es igual al álgebra de Lie de cuadrática\ninvariantes dentro de C2p.\nUNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 13\n6. Una presentación geométrica de los generadores Serre\nEn esta sección, para obtener una mejor comprensión geométrica de la representación\nLC de sl(6,C), exploramos con mayor detalle su relación con la estructura geométrica de\na Multiples de la Cumbre Mundial sobre el Desarrollo Sostenible. En particular, ofrecemos una presentación de una elección natural de Cartan\ngeneradores de subalgebra y Serre en términos de los generadores geométricos Lj,?j, Vj, Aj.\nLos operadores LJ son similares en naturaleza a los operadores Lefschetz de un Kähler\nmultiple. Esta analogía es lo que proporcionó el interés inicial en la estructura algebraica\ntura de LC. Del mismo modo que la construcción estándar correspondiente de una representación\nde sl(2,C), definimos\nDefinición 6.1. Para j {0, 1, 2}\nHj = [Lj,lj]\nEstos operadores son autoadjuntos, como L*j = Łj por definición. Al igual que en el contexto de\nLa geometría kähleriana, para cada j el álgebra < Lj,j, Hj > resulta ser una copia\nde sl(2,C). Por otra parte, la propuesta siguiente muestra que los operadores Hj son\nsemisimple en el conjunto de álgebra LC, y por lo tanto generar un subalgebra toral de\nProposición 6.2. Los operadores geométricos Hj generan una subalgebra toral de LC,\ny mantener las siguientes relaciones: para j 6= k {0, 1, 2}\n(1) [Hj, Lj] = 2Lj, [Hj,\n(2) [Hj, Lk] = Lk, [Hj,lk] = k\n(3) [Hj, Vj ] = 0, [Hj, Aj ] = 0\n(4) [Hj, Vk] = 2Vk, [Hj, Ak] = −2Ak\nPrueba En vista de Teorema 5.11, en este punto el método más rápido de prueba de\nesta proposición es referirse a las matrices explícitas de la restricción (fiel) de LC\na V.\nTodo el álgebra LC se divide en una suma directa de espacios de peso con respecto a\n< H0, H1, H2 >, ya que este subalgebra es toral. El peso de L0 con respecto a la\nbase dual a H0, H1, H2 es:\nαL0 = (αL0(H0), αL0(H1), αL0(H2)) = (2, 1, 1)\nLa lista completa es:\nαL0 = (2, 1, 1), 0 = L0\nαL1 = (1, 2, 1), 1 = L1\nαL2 = (1, 1, 2), 2 = L2\nαV0 = (0, 2, 2), αA0 = V0\nαV1 = (2, 0, 2), αA1 = V1\nαV2 = (2, 2, 0), αA2 = V2\nPara encontrar una expresión geométrica natural para dos elementos ad-semisimple que com-\nplete < H0, H1, H2 > a una subalgebra cartán miramos los generadores Vj y Aj.\nSin embargo, resulta que los candidatos naturales [Vj, Aj ] ya se encuentran en el álgebra\n< H0, H1, H2 > En cambio, construimos los nuevos operadores por “sustracción” de la Vj\nsu peso αVj :\nDefinición 6.3. Definimos\nS0 = ı[[[V0,1],2], L0]\nS1 = ı[[[V1,2],0], L1]\nS2 = ı[[[V2,0],1], L2]\n14 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\ny denotar por H el álgebra de Lie (sobre C):\nH = < H0, H1, H2, S0, S1, S2 >\nLos coeficientes ı que aparecen en las fórmulas anteriores son dictados por el hecho\nque con esta opción las matrices (diagonales) del Sj restringido a V tienen entero\nentradas.\nProposición 6.4. El álgebra H es un subálgebra cartán de LC. Más precisamente,\nlas siguientes son las diagonales de los operadores H0,..., S2 una vez restringidos a V\n, H1 :\n, H2 :\n, S0 :\n, S1 :\n, S2 :\nPrueba El cálculo de las matrices anteriores muestra que, una vez restringido a\nV, el álgebra H abarca el espacio de matrices diagonales de traza cero en el dado\nbase. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 6.5. El cálculo anterior muestra también que los operadores S0, S1, S2 safisfy\nla relación\nS0 + S1 + S2 = 0\nIncluso si de la proposición anterior sabemos que H es máxima toral dentro de LC,\nlos generadores geométricos naturales Lj,j no son autovectores para la acción contigua\ndel Sk. En este punto, sin embargo, es posible distinguir en geométrico natural\ntérminos operadores de LC que tienen peso “puro” con respecto al álgebra H y\nque contienen en su margen lineal el Lj,\nDefinición 6.6. Para j {0, 1, 2}\nL1j = −2Lj + [Sj, Lj], L2j = 2Lj + [Sj, Lj]\n* 1j = − 2j − [Sj,?j], * 2j = 2j − [Sj,?j]\nProposición 6.7. Indicando con ehk la matriz 6×6 con 1 en posición k (fila)\ny h (columna) y cero de otro modo, las matrices de los operadores Lij y \nLas restricciones impuestas en V son las siguientes:\nL10 = 2e\n6 L11 = −2e\n4 L12 = −2e\nL20 = −2e\n5 L21 = −2e\n6 L22 = 2e\n10 ° = 8 e\n2 °11 = −8e\n1 °12 = −8e\n•20 = −8e\n1 °21 = −8e\n3 °22 = 8e\nCorollary 6.8. Tenemos las siguientes relaciones para los operadores de LC restringidos\na V:\n[Hk, Lij] = (1 + Łkj)Lij, [Hk,\n[Sk, Lij] = (−1)\ni+1(1− 3kj)Lij, [Sk,ğij] = (−1)\ni(1− 3kj)\n[Sk, Vj] = 0, [Sk, Aj] = 0\nGuiado por todos los cálculos explícitos de la acción sobre el componente isotípico\nV = V â € 6\n−2 compuesto hasta este punto, ahora definimos en términos de la geométrica natural\noperadores un conjunto de generadores Serre para el álgebra LC.\nUNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 15\nDefinición 6.9.\n[L20, A1] f1 =\n[V1;20]\n[L22, A0] f2 =\n[V0,~22]\ne3 = V0 f3 = A0\n[L12, A0] f4 =\n[V0,?12]\n[L10, A1] f5 =\n[V1; 10]\nAdemás, para todos los i {1,.., 5} definimos hi = [ei, fi].\nComo los ei tienen por construcción matriz asociada e\ni+1 una vez restringido a V y\nlos fi son sus respectivos contiguos, uno obtiene:\nProposición 6.10. Los operadores ei, fj,hk satisfacen las relaciones Serre para sl(6,C)\ny el hi span el cartán subalgebra H:\n(H1 − H2 − S1 − S2)\n(H0 −H1 + S2)\n(−H0 +H1 +H2)\n(H0 − H1 − S2)\n(H1 −H2 + S1 + S2)\nSería interesante como última observación identificar en la lista de cuadráticas in-\nVariantes de los operadores geométricos Lij,JJ,Vj,Aj, el álgebra H y el so(2,R)\ngenerador J. Para hacer esto uno podría por supuesto utilizar las matrices explícitas para el qua-\ndratic invariants una vez restringido a V, que no son difíciles de calcular. Uno puede\nSin embargo, obtener muy rápidamente un cuadro cualitativo mediante el uso de la noción de multigrado\nque ahora presentamos.\nLa descomposición T *X = W0 â € € TM W1 â € TM W2 induce naturalmente un multi-grado en\nX con valores en Z3, que indicamos con mdeg. Esto es lo que se desprende de la\necuación\np+q+r=n\n(W0 C)\n(W1 C)\n(W2 C)\nObservamos además que la descomposición (complejada) anterior se conserva por\nel operador J, y por lo tanto mdeg se desplaza con la acción de so(2,R).\nProposición 6.11. Los operadores Lj, Vj,J, Aj, Hj, Sj son mdeg-homogéneos,\ncon múltiples grados:\nmdeg(L0) = (0, 1, 1) mdeg(L1) = (1, 0,1) mdeg(L2) = (1, 1, 0)\nmdeg(0) = (0,1,1) mdeg(1) = (1,0,1) mdeg(2) = (1,1,0)\nmdeg(V0) = (2, 0, 0) mdeg(V1) = (0, 2, 0) mdeg(V2) = (0, 0, 2)\nmdeg(A0) = (−2, 0, 0) mdeg(A1) = (0,−2, 0) mdeg(A2) = (0, 0,−2)\nmdeg(H0) = (0, 0, 0) mdeg(H1) = (0, 0, 0) mdeg(H2) = (0, 0, 0)\nmdeg(S0) = (0, 0, 0) mdeg(S1) = (0, 0, 0) mdeg(S2) = (0, 0, 0)\nPrueba Los valores de mdeg para el Lj y el Vj siguen inmediatamente desde mdeg\nde las formas correspondientes y de los operadores duales (contracción) tienen un valor opuesto\n16 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\nde mdeg. Los valores restantes se pueden calcular utilizando la aditividad de mdeg con\ncon respecto al soporte. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nProposición 6.12. Let {j, k, l} = {0, 1, 2}. Entonces\nSpan (L1j, L2j) = Span ([Ewk, Ewl], [Ewl, Ewk])\nEspadín (1j 2j) = Espadín ([Iwk, Iwl ], [Iwl, Iwk ])\nSpan (Vj) = Span\n[Ewj, Ewj]\nSpan (Aj) = Span\n[Iwj, Iwj]\nSpan (J) =\nSpan ([Ewm, Iwm], [Ewm, Iwm])\nPrueba El mdeg del Lij es el mismo de la Lj correspondiente, y sim-\nIlaramente por sus contiguos. Los mdegs de los monomios cuadráticos son immedi-\ncomtely calculado como son la suma de los de sus componentes. Por ejemplo,\nmdeg(Ew0) = mdeg(Ew0) = (1, 0, 0), mdeg(Ew1) = mdeg(Ew1) = (0, 1, 0) y\nPor lo tanto mdeg([Ew0, Ew1 ] = (1, 1, 0), igual a la de L12 y L22. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nBibliografía\n[B] V. Batyrev, Poliedros duales y simetría de espejos para hipersuperficies Calabi-Yau\nvariedades, J. Alg. Geom. 3 (1994), 493-535\n[BMP] U. Bruzzo, G. Marelli, F. Pioli Una transformación de Fourier para gavillas en tori real Parte II.\nTeoría relativa J. de Geometría y Phy. 41 (2002) 312-329\n[CDGP] P. Candelas, X.C. De la Ossa, P.S. Green, L. Parkes, Un par de colectores Calabi-Yau\ncomo una teoría superconformal exactamente soluble, Nucl. Phys. B359 (1991), p. 21-74\nG. Gaiffi, M. Grassi, un paquete de superálgebra de Lie natural en el rango tres colectores de la WSD,\npreprint (2007)\n[G1] M. Grassi, Espacios polisimpléticos, colectores s-Kähler y fibras lagrangianas,\nmatemáticas.DG/0006154 (2000)\n[G2] M. Grassi, Simetría espejo y colectores auto-duales, matemáticas.DG/0202016 (2002)\n[G3] M. Grassi, Auto-doble colectores y simetría de espejo para el triple quíntico, asiático\nJ. Matemáticas 9 (2005) 79-102\n[GP] B.R. Greene, M.R. Plesser, Duality in Calabi-Yau moduli space, Nucl. Phys. B338\n(1990), 15-37\n[GVW] B. R. Greene, C. Vafa, N. P. Warner, Collectores Calabi-Yau y grupo de renormalización\nfluye, Nucl. Phys. B324 (1989), 371-390\nM. Gromov, estructuras métricas para espacios Riemannianos y no Riemannianos,\nBirkhäuser P.M. 152, Boston 1999\n[GW] M. Gross, P.M.H. Wilson, grandes límites de estructura compleja de superficies K3,\nmatemáticas.DG/0008018 (2001)\n[Gu] V. Guillemin, Moment maps e invariantes combinatoria de los espacios de Hamiltonian Tn,\nBirkhäuser P.M. 122 (1994)\n[M] A. McInroy, Simetría del espejo Orbifold para tori complejo, preimpresión\nM. Kontsevich, Y. Soibelman, Simetría del espejo homológico y fibras de toro,\nmatemáticas.SG/0011041 (2001)\nA. Strominger, S.T. Yau, E. Zaslow, Mirror Symmetry es T-Dualidad, Nucl. Phys. B479\n(1996) 243-259; hep-th/9606040\nhttp://arxiv.org/abs/math/0006154\nhttp://arxiv.org/abs/math/0202016\nhttp://arxiv.org/abs/math/0008018\nhttp://arxiv.org/abs/math/0011041\nhttp://arxiv.org/abs/hep-th/9606040\n\t1. Introducción\n\t2. Operadores básicos\n\t3. La acción de so(2,R)\n\t4. Una representación irreductible de LC\n\t5. Invariantes cuadráticas\n\t6. Una presentación geométrica de los generadores Serre\n\tBibliografía\n"}}},{"rowIdx":98,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0105,"string":"704.0105"},"title":{"kind":"string","value":"Rigid subsets of symplectic manifolds"},"full_text":{"kind":"string","value":"8 Subconjuntos rígidos de colectores simpléticos\nMichael Entova y Leonid Polterovichb\n31 de agosto de 2018\nResumen\nDemostramos que hay una jerarquía de la rigidez de la intersección apropiada-\nataduras de conjuntos en un colector simplético cerrado: algunos conjuntos no pueden ser dis-\ncolocados por simplictomorfismos de más conjuntos que los otros. Nosotros\nTambién encontrar nuevos ejemplos de rigidez de las intersecciones que implican, en par-\nticular, fibras específicas de los mapas momentáneos de las acciones del toro Hamiltoniano,\nmonotona Lagrangian submanifolds (siguiendo las obras de P.Albers\ny P.Biran-O.Cornea), así como ciertos, posiblemente singulares, conjuntos de-\nmultada en términos de subálgebras conmutativas Poisson de func-\nciones. Además, tenemos algunas obstrucciones geométricas a semi-simpli-\nciudad de la homología cuántica de los colectores simpléticos. Las pruebas son\nbasado en la maquinaria teórica de Floer de cuasi-simple práctica parcial\nestados.\naCon el apoyo parcial de E. y J. Bishop Research Fund y del Instituto de Ciencias de Israel\nSubvención de la Fundación # 881/06.\nbCon el apoyo parcial de la subvención de la Fundación Científica Israelí # 11/03.\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0105v2\nSumario\nIntroducción y principales resultados 3\n1.1 Muchas facetas de la desplazabilidad...........................................................................................................................................................................................................................................................\n1.2 Preliminares sobre la homología cuántica. .................................................................................. 8\n1.3 Una jerarquía de subconjuntos rígidos dentro de la teoría de Floer. ......................................................................................................................................................................\n1.4 Acciones de toros de Hamilton........................................................................................................................................................................................................................................................... \n1.5 Monotonas super(pesadas) submanifolds lagrangianos. ...................................................................................................................\n1.6 Efecto de la semisimplicidad...........................................................................................................................................................................................................................................................\n1.7 Debate y preguntas abiertas 27...................................................................................................................................................................\n1.7.1 ¿Una fuerte desplazabilidad más allá de la teoría de Floer? .....................................................................................................................................\n1.7.2 Fibras pesadas de subespacios conmutativos de Poisson 28\n2 Detectar la desplazabilidad estable 32\n3 Preliminares sobre la teoría de Hamilton Floer 33\n3.1 Valoración de QH*(M).......................................................................................................................................................................................................................................................... \n3.2 Teoría de Hamilton Floer........................................................................................................................................................................................................................................................... \n3.3 Índices de Conley-Zehnder y Maslov. ........... 36\n3.4 Números espectrales. ................... 42\n3.5 Los cuasiestados simpléticos parciales..........................................................................................................................................................................................................................................................\n4 Propiedades básicas de (super) juegos pesados 45\n5 Productos de juegos (super) pesados 48\n5.1 Fórmula de producto para invariantes espectrales. ................................................................ 48\n5.2 Complejos Z2 decorados. .................................................................... 49\n5.3 Homología Floer y Cuántica Reducida. ....................................................................\n5.4 Prueba del teorema 5.1................... 51\n5.5 Prueba del teorema algebraico 5.2.............. 52\n6 No desplazabilidad estable de conjuntos pesados 57\n7 Análisis de los tallos estables 59\n8 Submanifolds Lagrangiano Monotone 61\n9 Rigidez de las fibras especiales de las acciones Hamiltonianas 66\n9.1 Calabi y acción mixta - Maslov. ............ 76\n1 Introducción y principales resultados\n1.1 Muchas facetas de la desplazabilidad\nUna propiedad bien estudiada y fácil de visualizar la rigidez de los subconjuntos de un simplec-\nla rigidez de las intersecciones: un subconjunto X\nser desplazado del cierre de un subconjunto Y â € M por un soporte compacto\nIsotopía Hamiltoniana:\n* (X) * Y 6= * * Ham(M) *\nDecimos en tal caso que X no puede ser desplazado de Y. Si X no puede ser\nDesplazado de sí mismo lo llamamos no desplazable. Estas propiedades se convierten en\nespecialmente interesante y puramente simplético cuando X puede ser desplazado de\no de Y por una isotopía suave (compactamente soportada).\nUno de los temas principales del presente documento es que “algunos\nconjuntos capaces son más rígidos que otros.” Para explicar esto, necesitamos lo siguiente\nramificaciones de la noción de conjunto no desplazable:\nFuerte no-desplazabilidad: Un subconjunto X-M se llama fuertemente no-\ndesplazable si uno no puede desplazarlo por ninguno (no necesariamente Hamiltoniano)\nel simplectomorfismo de (M.\nNo desplazabilidad estable: Considere T ∗S1 = R × S1 con el coordi-\nlos nates (r, Ł) y la forma simpléctica dr. Decimos que X-M es estable.\nno desplazable si X × {r = 0} no es desplazable en M × T ∗S1 equipado\ncon la forma simpléctica de la división = (dr dŁ). Mencionemos que de-\ntecting subconjuntos estable no desplazables es útil para el estudio de la geometría y\ndinámica de los flujos Hamiltonianos (véase, por ejemplo, [50] por su papel en Hofer\ngeometría y [51] por su apariencia en el contexto de la estabilidad de la patada en\nDinámica hamiltoniana).\nFormalmente hablando, las propiedades de la no-desplazabilidad fuerte y estable\nson mutuamente independientes y ambos son estrictamente más fuertes que la desplazabilidad.\nEn el presente trabajo refinamos la maquinaria de parcial simplético cuasi-\nlos estados introducidos en [23] y obtener nuevos ejemplos de\nconjuntos, incluyendo ciertas fibras de mapas momentáneos de acciones de toros Hamiltonianos\nasí como monotones Lagrangian submanifolds discutidos por Albers [2] y\nBiran-Cornea [15]. Además, abordamos la siguiente pregunta: dada la clase\nde conjuntos estable no desplazables, se puede distinguir aquellos de ellos que son\ntambién fuertemente no-desplazable por medio de la teoría de Floer? O, de otra manera\nalrededor, ¿cuáles son las características Homológicas de Floer estable no desplazable\npero sets fuertemente desplazables? Ejemplos de juguetes son dados por el ecuador de la\nDos esferas simpléticas y por el meridiano en un dos torso simplés. Ambas cosas.\nson establemente no-desplazables ya que sus homologías Lagrangian Floer son no-\ntrivial. Por otro lado, el ecuador es fuertemente no desplazable, mientras que\nel meridiano es fuertemente desplazable por un cambio no hamiltoniano. Más tarde\nexplicará la diferencia entre estos dos ejemplos desde el punto de vista\nde la homología hamiltoniana Floer y presentar diversas generalizaciones.\nLa pregunta sobre la caracterización homológica de Floer de (fuertemente)\nlos conjuntos que se pueden desplazar pero que se pueden desplazar de forma estable están totalmente abiertos, véase la sección 1.7.1 infra para\nun ejemplo que involucra el teorema de embalaje de Gromov y la discusión.\nDejando consideraciones teóricas de Floer para la siguiente sección, vamos a esbozar\n(en parte, informalmente) el esquema general de nuestros resultados: Dado un simplético\nmultiple (M,), definiremos (en el lenguaje de la teoría de Floer) dos\ncolecciones de subconjuntos cerrados de M, subconjuntos pesados y subconjuntos superpesados.\nCada subconjunto superpesado es pesado, pero, en general, no viceversa. Formalmente\nhablando, la jerarquía pesada-superpesada depende de una manera delicada de la\nelección de un idempotente en el anillo de homología cuántica de M. Esto y otros\nlos matices serán ignorados en este esquema. Las propiedades clave de estas colecciones\nson los siguientes (véanse los teoremas 1.2 y 1.5 infra):\nInvarianza: Ambas colecciones son invariantes bajo el grupo de todos los symplec-\ntomorfismos de M.\nNo-desplazabilidad estable: Cada subconjunto pesado es estable no-desplazamiento-\nCapaz.\nIntersecciones: Cada subconjunto superpesado intersecta cada subconjunto pesado. In\nEn particular, los subconjuntos superpesados son fuertemente no desplazables. En contraste con\nEsto, subconjuntos pesados pueden ser mutuamente desconectados y fuertemente desplazables.\nProductos: El producto de dos subconjuntos (super)pesados es (super)pesado.\n¿Qué hay dentro de las colecciones? Las colecciones de pesados y superpesados\nse incluyen los siguientes ejemplos:\nTallos estables: Dejemos que A C(M) sea un Poisson-commuta de dimensión finita.\ntivo subespacio (es decir, cualquiera de las dos funciones de un viaje con respecto a la\nPoisson brackets). Let Φ :M → A* ser el mapa del momento: (x), F = F (x).\nUna fibra no vacía 1(p), p A*, se llama un tallo de A (véase [23]).\nfibras no vacías 1(q) con q 6= p son desplazables y un tallo estable si\nson establemente desplazables. Si un subconjunto de M es un tallo (estable) de un finito-\nsubespacio dimensional de Poisson-commutativo de C(M), se llamará justo\na Tallo (estable). Claramente, cualquier tallo es un tallo estable. La colección de\nLos subconjuntos superpesados incluyen todos los tallos estables (ver Teorema 1.6 abajo).\nUno muestra fácilmente que un producto directo de tallos estables es un tallo estable y\nque la imagen de un tallo estable bajo cualquier simplectomorfismo es de nuevo un\nvástago estable.\nEl siguiente ejemplo de un tallo estable se toma prestado (con un mod-\n) de [23]: Que X â € M sea un subconjunto cerrado cuyo complemento es\nuna unión finita disyuntiva de conjuntos estable desplazables. Entonces X es un tallo estable.\nPor ejemplo, el esqueleto de la codimensión-1 de una triangulación suficientemente fina de\ncualquier colector simplético cerrado es un tallo estable. Otro ejemplo es dado por\nel ecuador de S2: divide la esfera en dos discos abiertos desplazables y\npor lo tanto es un tallo estable. Al tomar productos, uno puede llegar a ser más sofisticado\nejemplos de tallos estables. Ya el producto de los ecuadors de las dos esferas\nda lugar a un Lagrangian Clifford toro en S2×...×S2. Para demostrar su rigidez\npropiedades (como no desplazabilidad estable) uno tiene que usar sim-\nHerramientas plécticas como la homología Lagrangian Floer, véase, por ejemplo. [44]. Productos de\nlos 1-esqueletos de las triangulaciones finas de las dos esferas pueden ser considerados como\nsingular Lagrangian submanifolds, un objeto que actualmente está fuera de alcance\nde la teoría Lagrangian Floer.\nOtro ejemplo de los tallos estables proviene de las acciones de toros de Hamilton.\nConsiderar una acción Hamiltoniana eficaz : Tk → Ham(M) con el mo-\nΦ = (Φ1,............................................................................................ ...............................................................................................\nk. Supongamos que Φi es un\nHamiltonian, eso es\nΦi = 0 para todos los i = 1,...., k. Una acción de toro se llama\ncomprimible si la imagen del homomorfismo : η1(T\nk) → η1(Ham(M)),\ninducido por la acción............................................................................................................................................................................................................................................................. Uno puede demostrar que por compresible\nacciones la fibra 1(0) es un tallo estable (ver Teorema 1.7 abajo).\nFibras especiales de las acciones de toros Hamiltonianos: Considere un eficaz\nHamiltonian torus action (acción de toros) sobre un colector simplético esféricamente monótono.\nLet I : η1(Ham(M)) → R ser la acción mixta-Homomorfismo Maslov intro-\nEn el caso de las importaciones procedentes de la República Popular China, el importe de las importaciones objeto de dumping procedentes de la República Popular China se estima en [...] millones EUR. Puesto que el espacio objetivo Rk del mapa del momento Φ es naturalmente\nidentificado con Hom(η1(T)\nk), R), la pull back pspec := \nI de la mezcla\nacción-Homomorfismo Maslov con el signo inverso puede ser considerado como un\npunto de Rk. La preimagen 1(pspec) se llama la fibra especial de la acción.\nVeremos abajo que la fibra especial siempre no está vacía. Para monotona\nlos colectores toricos simpléticos (es decir, cuando 2k = dimM) la fibra especial es un\nMonotone Lagrangian Torus. Tenga en cuenta que cuando la acción es comprimible\ntienen pspec = 0 y por lo tanto la fibra especial es un tallo estable según el\nejemplo anterior. Se desconoce si estos últimos bienes persisten para\nacciones no comprimibles. Así en lo que sigue tratamos los tallos estables\ny fibras especiales como ejemplos separados. La colección de superpesados\nLos subconjuntos incluyen todas las fibras especiales (ver Teorema 1.9 abajo).\nPor ejemplo, considere el CP 2 y el Torus Lagrangian Clifford en él (i.e.\nel toro {[z0 : z1 : z2] • CP\n2 Toma el estándar\nAcción Hamiltoniana T2 sobre el CP 2 preservando el toro Clifford. Tiene tres.\npuntos fijos globales lejos del toro de Clifford. Hacer un sym equivariante...\nblow-up pléctico, M, de CP 2 a k de estos puntos fijos, 0 ≤ k ≤ 3, de modo que\nel colector simplético obtenido es esféricamente monotono. La acción de los toros\nse eleva a una acción Hamiltoniana en M. Uno puede demostrar que su fibra especial es\nla transformación adecuada del toro de Clifford.\nMonotone Lagrangian submanifolds: Let (M2n, Ł) ser una esférica\nmonotone simplectic multiple, y dejar L â € M ser un monótono cerrado La-\nSubmanifold grangiano con el número mínimo de Maslov NL ≥ 2. Nosotros decimos\nque L satisface la condición de Albers [2] si la imagen del morfismo natural\nH*(L;Z2) → H*(M;Z2) contiene un elemento S no cero con\ndeg S > dimL+ 1−NL.\nLa colección de juegos pesados incluye todos los monótonos cerrados Lagran-\nSubmanifolds gian que satisfacen la condición de Albers (véase Teorema 1.15\ninfra).\nEjemplos específicos incluyen el meridiano en T2, RP n • CP n y todos los La-\nEsferas grangianas en hipersuperficies proyectivas complejas de grado d en CP n+1\ncon n > 2d − 3. En el caso de que la clase fundamental [L] de L se divida\nun idempotente no trivial en el álgebra homológica cuántica de M, L es, en\nhecho, superpesado (ver Teorema 1.18 más abajo). Por ejemplo, este es el caso\npara RP n • CP n. Además, una versión de superpeso se mantiene para cualquier\nEsfera lagrangiana en el complejo cuadrático de dimensión par (compleja).\nSin embargo, existen ejemplos de pesado, pero no superpesado, Lagrangian\nsubmanifolds: Por ejemplo, el meridiano del 2-torus es\nceable por un (no-Hamiltoniano!) cambio y por lo tanto no es superpesado. Otro\nejemplo de pesado pero no superpesado submanifold Lagrangian es la esfera\nsurgida como la parte real de la hipersuperficie de Fermat\nM = zd0 + z\n1 +... + z\nn+1 = 0}\ncon d ≥ 4 y n > 2d− 3. Nos remitimos a la sección 1.5 para más detalles sobre\n(super) monótono pesado submanifolds Lagrangian.\nMotivación: Nuestra motivación para la selección de ejemplos que aparecen en el\nLa lista anterior es la siguiente. Tallos estables proporcionan un patio de recreo para estudiar\nrigidez simpléctica de subconjuntos singulares. En particular, ningún análogo visible de\nla técnica convencional de homología Lagrangian Floer es aplicable a ellos.\nDetectar (estable) la no-desplazabilidad de los submanifolds Lagrangian vía La-\nLa homología grangiana Floer es uno de los temas centrales de la topología simpléctica.\nEn contraste con esto, la detección de una fuerte no-desplazabilidad tiene en el momento la\ncondición del arte en lugar de la ciencia. Por eso nos intrigaba Albers’\nobservación de que la monotona Lagrangian submanifolds satisfacer su condición\nse encuentran en algunas situaciones fuertemente no desplazables. En el presente trabajo lo intentamos\ndigerir los resultados de Albers [2] y mirarlos desde el punto de vista teórico\nde cuasiestados simpléticos parciales desarrollados en [23]. Además, nuestro resultado\nsobre la superpeso del antidiagonal lagrangiano en S2 × S2 nos permite\ndetectar un toro Lagrangiano “exótico” en este colector simplético:\neste toro no se interseca el antidiagonal, y por lo tanto no es pesado en\ncontraste con el toro estándar Clifford, véase el ejemplo 1.20 a continuación.\nEn [23] probamos un teorema que dice que cada\nLa foliación coisotrópica tiene al menos una fibra no desplazable. ¿Cómo...?\nsiempre, nuestra prueba es no-constructiva y no nos dice qué fibras específicas\nno se pueden desplazar. La noción de la fibra especial surgió como un intento de\nresolver este problema para las acciones del círculo hamiltoniano.\nMencionemos también que la propiedad del producto nos permite producir\nmás ejemplos de subconjuntos (super)pesados tomando productos de los subconjuntos\nque aparecen en la lista.\nAlgunos comentarios sobre los métodos involucrados en nuestro estudio de la pesada y su-\nlos subconjuntos perheavy están en orden. Estas colecciones se definen en términos de:\ncuasiestados simpléticos parciales introducidos en [23]. Estos son...\ncon propiedades algebraicas ricas que\nse construyen por medio de la teoría de Hamiltonian Floer y que conve-\nCodificar una parte de la información contenida en esta teoría. En general,\nla definición de un cuasiestado simplético parcial implica la elección de un\nelemento idempotente en la parte conmutativa QH•(M)\nálgebra de mología de M. Aunque la opción por defecto es sólo la unidad de la\nálgebra, existen algunas otras opciones significativas, en particular en el caso\ncuando QH•(M) es semisimple. Esto da lugar a otro tema discutido en\nEste artículo: obstrucciones topológicas “visibles” a la semisimplicidad (ver Corol-\nlary 1,24 y Teorema 1,25 infra). Por ejemplo, demostraremos que si\nmonotone simplectic multiple M contiene “demasiado” disjoint monotone\nEsferas lagrangianas cuyos números mínimos de Maslov superan n+1, el quan-\nQH•(M) no puede ser semi-simple.\nPasemos a la configuración precisa. Para la comodidad del lector, la\nterial presentado en este breve esquema se repetirá en partes en el siguiente\nsecciones en una forma menos comprimida.\n1.2 Preliminares sobre la homología cuántica\nEl Anillo Novikov: Deja que F denote un campo base que en nuestro caso será\no bien C o Z2, y dejar que R sea un subgrupo contable (con respecto a la\nadded). Let s, q ser variables formales. Definir un campo K® cuyos elementos son\nSerie Laurent generalizada en s de la forma siguiente:\nK. :=\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # F # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \nEn el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo.\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nDefinir un anillo := K[q, q\n−1) como anillo de polinomios en q, q−1 con\nCoeficiente de K............................................................................................................................................... Convertimos en un anillo clasificado estableciendo el grado de s\nser 0 y el grado de q ser 2.\nEl anillo sirve como un modelo abstracto del anillo Novikov asociado a\nun colector simplés. Vamos a ser (M,) un colector simplético conectado cerrado.\nDenotar por HS2 (M) el subgrupo de clases de homología esférica en la integral\ngrupo homológico H2(M ;Z). Abusando de la notación escribiremos فارسى(A), c1(A)\npara los resultados de la evaluación de las clases de cohomología y c1(M)\nA H2(M ;Z). Establecer\n2(M) := H\n2 (M)/\ndonde, por definición,\nB iff (A) = (B) y c1 (A) = c1 (B).\nDenotar por el subgrupo de períodos de la\nforma simpléctica en M en las clases de homología esférica. Por definición, el\nEl anillo de Novikov de un colector simplés (M.) es (M.). En lo que sigue,\ncuando se fija (M,), abreviamos y escribimos, K y en lugar de (M,),\n(M.) y (M.) (M.) respectivamente.\nHomología cuántica: Conjunto 2n = dimM. La homología cuántica QH*(M)\nse define como sigue. En primer lugar, se trata de un módulo graduado sobre.............................................................................................................................................\nQH*(M) := H*(M;F)F\ncon la clasificación definida por las clasificaciones en H*(M;F) y \ndeg (a zsŁqk) := deg (a) + 2k.\nEn segundo lugar, y lo más importante, QH*(M) está equipado con una pro-\nect: si a • Hk(M ;F), b • Hl(M ;F), su producto cuántico es una clase\na* b • QHk+l−2n(M), definido por\na * b =\nA2(M)\na ∗ b) A s\n(A)q−c1(A),\ndonde (a ∗ b) A Hk+l−2n+2c1(A)(M) se define por el requisito\na ∗ b) A c = GW\nA (a, b, c)\nAquí significa el índice de intersección y GWFA (a, b, c)\nGromov-Witten invariante que, en términos generales, cuenta el número de\nesferas pseudo-holomórficas en M en la clase A que cumplen los ciclos que representan\na), b), c) H*(M;F) (véase [55], [56], [41] para la definición precisa).\nExtender esta definición por linealidad a todo el QH*(M) que se obtiene\nuna operación de producto asociativo clasificada y conmutativa correctamente definida* en\nQH*(M) que es una deformación del producto clásico en singular\nEn el caso de las empresas de seguros de vida, el importe de las primas de seguro de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de seguros de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de vida de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de seguros de seguros de vida de vida de seguros de vida de vida de las empresas de seguros de seguros de seguros de vida de vida de vida de vida de vida de vida. El álgebra cuántica de homología QH*(M)\nes un anillo cuya unidad es la clase fundamental [M] y que es un módulo\nde rango finito por encima de. Si a, b • QH*(M) han graduado grados grados grados de g (a), deg (b)\ndeg (a ∗ b) = deg (a) + deg (b)− 2n. 1)..........................................................................................................................................................\nEstaremos principalmente interesados en la parte conmutativa del cuántico\nanillo de homología (que en el caso F = Z2 es, por supuesto, todo el cuántico\nanillo de homología). Para ello se introduce la siguiente notación:\nDenotamos por QH•(M) toda la homología cuántica QH*(M) si\nF = Z2 y la parte de grado par de QH*(M) si F = C.\nEn general, dado un espacio topológico X, denotamos por H•(X ;F) la\ngrupo H*(X;F) si F = Z2 y el par-\ngrado parte de H*(X;F) si F = C.\nPor lo tanto, en nuestra notación el anillo QH•(M) = H•(M ;F)F\nmutatisticve subring con la unidad de QH*(M) y un módulo de rango finito por encima de.\nNos identificaremos con un suburbio de QH•(M) por 7→ [M ] ♥.\n1.3 Una jerarquía de subconjuntos rígidos dentro de la teoría de Floer\nFijar un idempotente distinto de cero a QH2n(M) (por obvia clasificación considera-\nciones el grado de cada idempotente es igual a 2n). Nos ocuparemos de los espectrales.\ninvariantes c(a,H), donde H = Ht : M → R, t â € R, es un tiempo suave-\ndependiente y 1-periódico en el tiempo Hamiltoniano función en M, o c(a, H),\ndonde H es un elemento de la cobertura universal Hśam (M) de Ham(M) rep.\nresentida por un camino basado en la identidad dado por el flujo Hamiltoniano del tiempo-1\ngenerado por H. Si H se normaliza, lo que significa que\ndimM/2 = 0 para todos\nt, entonces c(a,H) = c(a, H). Estos invariantes, que hoy en día son estándar\nobjetos de la teoría de Floer, fueron introducidos en [45] (cf. [59] en la asférica\ncaso; véase también [42], [43] para una versión anterior de la construcción y [22] para un\nresumen de las definiciones y resultados en el caso monotono).\nDescargo de responsabilidad: A lo largo de todo el documento suponemos tácitamente que (M,.......................................................................................................................................................\ncomo (M ×T2, ), cuando hablamos de desplazabilidad estable) pertenece a la clase\nS de colectores simpléticos cerrados para los que los invariantes espectrales están bien\ndefinir y disfrutar de la lista estándar de propiedades (véase, por ejemplo, [41, Teorema\n12.4.4]). Por ejemplo, S contiene todo asférica y esféricamente\ncolectores monotónicos. Además, S contiene todos los colectores simpléticos M2n\npara los cuales, por un lado, c1 = 0 o el número mínimo de Chern (en\nHS2 (M)) es al menos n − 1 y, por otra parte,\n2 (M)) es un\nsubgrupo de R (cf. [64]). La creencia general es que la clase S incluye a todos\ncolectores simpléticos.\nDefinir un funcional : C(M) → R por\n(H) := lim\nc(a, lH)\nSe muestra en [23] que el funcional tiene algún algebraico muy especial\npropiedades (véase Teorema 3.6) que forman los axiomas de un simplés parcial\nel cuasi-estado introducido en [23]. La siguiente definición está motivada en parte por\nla obra de Albers [2].\nDefinición 1.1. Un subconjunto cerrado X â € M se llama pesado (con respecto a â €\no con respecto a un utilizado para definir\n(H) ≥ inf\nH. H. C. M., (3)\ny se llama superpesado (con respecto a o a) si\n(H) ≤ sup\nH. H. C. M....................................................................................................................................... 4)\nLa elección por defecto de un idempotente a es la unidad [M ] QH*(M). En este\ncaso, como veremos a continuación, las colecciones de conjuntos pesados y superpesados\nsatisfacer las propiedades enumeradas en la sección 1.1 e incluir los ejemplos en ella.\nTeniendo en cuenta las posibles aplicaciones (incluidas las obstrucciones geométricas a\nla simplicidad de la homología cuántica), trabajaremos, siempre que sea posible, con\nÍdempotentes generales.\nLa asimetría entre supX H e infX H está relacionada con el hecho de que\nlos números espectrales satisfacen una desigualdad triangular c(a ∗ b, \nc(b, ŁG), mientras que puede no haber una desigualdad adecuada “en la dirección opuesta-\ntion”. En el caso de que exista tal desigualdad “opuesta” (por ejemplo: cuando a = b\nes un idempotente y • definido por él es un verdadero cuasi-estado simplético – ver\nSección 1.6 a continuación) la simetría entre supX H e infX H se restaura\ny las clases de conjuntos pesados y superpesados coinciden.\nEnfaticemos que la noción de (super)peso depende de la\nelección de un anillo de coeficiente para la teoría de Floer. En este artículo los coeficientes\npara la teoría Floer será Z2 o C dependiendo de la situación. A menos que\nde lo contrario, nuestros resultados en subconjuntos (super)pesados son válidos para cualquier elección\nlos coeficientes.\nEl grupo Symp (M) de todos los simplectomorfismos de M actúa naturalmente sobre\nH*(M;F) y, por lo tanto, en QH*(M) = H*(M;F) F. Claramente, la identidad\ncomponente Symp0(M) de Symp (M) actúa trivialmente sobre QH*(M) y por lo tanto para\ncualquier idempotente a • QH*(M) el correspondiente • es invariante Symp0(M).\nAsí, la imagen de un (super)pesado conjunto bajo un elemento de Symp0(M) es de nuevo\na (super)conjunto pesado con respecto al mismo idempotente a. Si a es invariante\nbajo la acción de todo el Symp (M) (por ejemplo, si a = [M ]) las clases\nde conjuntos pesados y superpesados con respecto a a son invariantes bajo la acción\nde todo el Symp (M) de acuerdo con la propiedad de la invarianza presentada\nen la sección 1.1 supra.\nMencionemos también que las colecciones de (super) sets pesados disfrutan de un\npropiedad de estabilidad en inclusiones: Si X, Y, X â € ¢ Y, son subconjuntos cerrados de M\ny X es pesado (respectivamente, superpesado) con respecto a un idempotente a\nentonces Y también es pesado (respectivamente, superpesado) con respecto a la misma a.\nAhora estamos dispuestos a formular los principales resultados de la presente sección.\nTeorema 1.2. Suponga que una y la otra son fijas. Entonces\n(i) Cada conjunto superpesado es pesado, pero, en general, no viceversa.\nii) Cada subconjunto pesado es establemente no desplazable.\niii) Cada conjunto superpesado se cruza con cada conjunto pesado. En particular, un super-\nun conjunto pesado no puede ser desplazado por un simplético (no necesariamente Hamil-\ntoniano) isotopía y si el idempotente a es invariante bajo el symplec-\ngrupo de tomorfismo de (M.o) (p.e. si a = [M ]), cada conjunto superpesado es\nfuertemente no desplazable.\nEl siguiente teorema discute la relación entre pesadez/super-\npropiedades de pesadez con respecto a diferentes idempotentes. En particular,\nmuestra que [M] juega un papel especial entre todos los otros idempotentes no cero\nen QH*(M).\nTeorema 1.3. Supongamos que a es un idempotente no cero en la homología cuántica.\n(i) Cada conjunto que es superpesado con respecto a [M] también es superpesado con\nrespeto a a.\n(ii) Cada conjunto que es pesado con respecto a a es también pesado con respecto a\n[M]\niii) Suponga que el idempotente a es una suma de idempotentes distintos de cero\ne1,. ..., el y asumir que un subconjunto cerrado X • M es pesado con re-\nspect a a. Entonces X es pesado con respecto a ei para al menos una i.\nLa siguiente propuesta muestra que, en general, la pesadez de un conjunto\ndepende de la elección de un idempotente en la homología cuántica.\nProposición 1.4. Considere el toro T2n equipado con el sim-\nestructura pléctica • = dpÃ3dq. Que M2n = T2n+CP n sea una explosión simpléctica de\nT2n en un punto (la explosión se realiza en una pequeña bola alrededor del punto).\nAsumir que el toro lagrangiano L • T2n dado por q = 0 no se intersecta\nla bola en T2n, donde se realizó la explosión.\nEntonces la transformación apropiada de L (identificado con L) es un sub-\nmúltiple de M, que no es pesado con respecto a algunos no cero idempotente\na QH*(M) pero pesado con respecto a [M]. (Aquí trabajamos con F = Z2).\nA continuación, considere los productos directos de (super) sets pesados. Comenzamos con el fol-\nconvención de reducción en los productos tensores. Vamos a i, i = 1, 2, ser dos contables\nSubgrupos de R. Dejemos que Ei sea un módulo sobre K.i. Pusimos\nE1KE2 =\nE1 K1 K1 K1 K2\nK12\nE2 KÃ32 KÃ12\n. 5)\nSi E1, E2 son también anillos automáticamente suponemos que el tensor medio prod-\nuct es el producto tensor de los anillos. En palabras simples, ampliamos ambos módulos\na los módulos K. 1 ó 2 y considerar el producto tensor habitual sobre K. 1 ó 2.\nHabida cuenta de dos colectores simpléticos (M1, M1,.......................................................................................................................................................................................................................................................\nsubgrupos de períodos de las formas simpléticas satisfacen\n*(M1 ×M2, *(M1 ×M2) =*(M1, *1) +*(M2, *2).\nAdemás, debido a la fórmula Künneth para la homología cuántica (véase, por ejemplo,\n[41, Ejercicio 11.1.15] para la declaración en el caso monotono; el\ncaso en nuestra configuración algebraica se puede tratar de manera similar) existe un\nmonomorfismo de anillo lineal sobre K. 1 2\nQH2n1(M1)KQH2n2(M2) QH2n1+2n2(M1 ×M2),\nFijaremos un par de idempotentes ai QH*(Mi), i = 1, 2. Las nociones\nde (super)peso en M1, M2 y M1 ×M2 se entienden en el sentido de\nidempotents a1, a2 y a1 a2 respectivamente.\nTeorema 1.5. Supongamos que Xi es un pesado (resp. superpesados) subconjunto de Mi\ncon respecto a algunos idempotent ai, i = 1, 2. Entonces el producto X1 × X2\nes un pesado (resp. superpesados) subconjunto de M con respecto al idempotente\na1 a2 QH•(M1 ×M2).\nUna clase importante de conjuntos superpesados es dada por tallos estables introducidos\ne ilustrado en la sección 1.1.\nTeorema 1.6. Cada tallo estable es un subconjunto superpesado con respecto a cualquier\nÍdempotente no cero a QH*(M). En particular, es fuerte y estable\nno desplazable.\nEn la siguiente sección presentamos un ejemplo de tallos estables provenientes de Hamil-\nacciones de toro toniano.\n1.4 Acciones de toros hamiltonianos\nFibras del momento mapas de acciones de toros Hamiltonianos forman un interesante\nparque infantil para probar las diversas nociones de desplazabilidad y pesadez\nIntroducción anterior. A lo largo del documento nos ocupamos de acciones eficaces solamente,\nque es suponemos que el mapa : Tk → Ham(M) definir la acción\nes un monomorfismo. Además, suponemos que el mapa del momento Φ =\n(Φ1,. ...............................................................................................\nk de la acción se normaliza: Φi es un normalizado\nHamiltonian para todos i = 1,..... por el teorema de Atiyah-Guillemin-Sternberg\n[6], [30], la imagen = Φ(M) de Φ es un politopo convexo k-dimensional,\nllamó al momento politopo. Los subconjuntos 1(p), p, se llaman fibras de\nel mapa del momento. Una acción de toro se llama comprimible si la imagen de la\nhomomorfismo : η1(T\nk) → η1(Ham(M)), inducido por la acción\ngrupo finito.\nTeorema 1.7. Supongamos que está equipado con un Hamilto comprimible.\nnian Tk-action con mapa del momento Φ y politopo del momento. Dejad que Y # # # sea #\ncualquier subconjunto convexo cerrado que no contenga 0. Entonces el subconjunto 1(Y)\nes establemente desplazable. En particular, la fibra 1(0) es un tallo estable.\nTenga en cuenta que para los colectores tóricos simpléticos, es decir, cuando 2k = dimM, el punto\n0 es el baricentro del politopo del momento con respecto a la Lebesgue\nmedida. Esto se deriva de nuestra suposición sobre la normalización de la\nmapa del momento.\nLos teoremas 1.6 y 1.7 implican que la fibra 1(0) del toro comprimible\nacción es estable no desplazable, y así obtenemos la descripción completa\nde fibras establemente desplazables para tales acciones.\nEn el caso de que la acción no sea comprimible, la cuestión de la\nLa descripción completa de las fibras estable no desplazables permanece abierta. Hacemos un\nprogreso parcial en esta dirección mediante la presentación de al menos una de esas fibras, llamado\nla fibra especial, explícitamente en el caso de que (M,•) sea esféricamente monotona:\nHS2 (M)\n= c1(TM)HS2 (M)\n.......................................................................\nLa fibra especial se puede describir a través de la acción mixta-Homomor Maslov-\nphism introducido en [49]: Dejar (M2n, ) ser una esférica monotona simplectic\nmúltiple, y que {ft}, t [0, 1], sea cualquier bucle de difeomorfismos hamiltonianos,\ncon f0 = f1 = 1, generado por un func de Hamilton normalizado 1-periódico-\ntion F (x, t). Las órbitas de cualquier bucle hamiltoniano son contractibles debido a la\nteoría estándar de Floer1. Elija cualquier punto x â € M y cualquier disco u : D2 → M\nabarcando la órbita γ = {ftx}. Definir la acción\n2 de la órbita por\nAF (γ, u) :=\nF (γ(t), t)dt−\nu.\nTrivialize el paquete de vectores simplés u*(TM) sobre D2 y denote por\nmF (γ, u) el índice Maslov del bucle de matrices simpléticas correspondientes\na {ft con respecto a la trivialización elegida. Uno comprueba fácilmente que,\nen vista de la monotonicidad esférica, la cantidad\nI(F) := −AF (γ, u)−\nmF (γ, u)\nno depende de la elección del punto x y el disco u, y es invariante\nbajo los homotopies del bucle Hamiltoniano {ft}. De hecho, yo soy un bien definido\nhomomorfismo de η1(Ham(M)) a R (véase [49], [68]).\nSupóngase de nuevo que : Tk → Ham(M,) es un torus hamiltoniano ac-\ntion. Escriba para el homomorfismo inducido de los grupos fundamentales.\nPuesto que el espacio objetivo Rk del mapa del momento Φ se identifica naturalmente con\nHom(π1(T)\nk), R), la retirada I de la acción mixta-Homomor Maslov-\nphism con el signo inverso puede ser considerado como un punto de Rk. Llamamos\nes un punto especial y denota por pspec. La preimagen Φ\n−1(pspec) se llama\nfibra especial del mapa del momento. En el caso k = 1, cuando Φ es un valor real\nfunción en M, llamaremos pspec el valor especial de Φ.\n1La teoría de Floer garantiza la existencia de al menos una órbita periódica contractible –\nEsto no es obvio a priori si {ft} no es un flujo autónomo. Desde todas las órbitas de {ft}\nson homotópicos, todos son contráctiles.\n2Tenga en cuenta que nuestra acción funcional y la de [49] son de signos opuestos.\nSi k = n y M es un colector torico simplético, entonces pspec se puede definir\nen términos puramente combinatorios que implican sólo el politopo. Es decir, elegir\nun vértice x de Ł. Puesto que en este caso es un politopo Delzant [20], hay un\núnica (hasta una permutación) elección de vectores v1,. .................................................\n• oriundo de x;\n• abarcan los rayos n que contienen los bordes de • adyacentes a x;\n• formar una base de Zn sobre Z.\nProposición 1.8.\npspec = x+ \nvi. 6)\nPrueba. Los vértices del momento politopo están en correspondencia uno-a-uno\ncon los puntos fijos de la acción. Que x â € ¢ M sea el punto fijo corre-\nsponding al vértice x = (x1,. ..,xn). Entonces los vectores vj = (v\nj,. v..............................................................\nj = 1,..., n, son simplemente los pesos de la isotropía Tn-acción en TxM. Desde\nla definición de la acción mixta-Maslov invariante de un círculo hamiltoniano\nla acción no depende de la elección de una órbita 1-periódica y\nning, vamos a calcular todos los II, l = 1,..., n, utilizando la órbita periódica constante\nconcentrado en el punto fijo x y el disco constante u que lo abarca. Claramente,\nAΦi(x, u) = Φi(x) = xi y mΦi(x, u) = 2\nvij Łi = 1,..., n,\nque produce fácilmente la fórmula (6).\nE.Shelukhin nos señaló que al resumir las ecuaciones (6) sobre todo el\nvértices x(1). ..,x(m) • Rn del politopo del momento, uno consigue fácilmente que\npspec =\nTeorema 1.9. Suponga que M2n es un colector simplético esféricamente monótono\nequipado con un Hamiltonian Tk-action. Entonces la fibra especial del momento\nmapa es superpesado con respecto a cualquier (no-cero) idempotente a QH2n(M).\nEn particular, es estable y no desplazable.\nMencionemos que, en particular, la fibra especial no está vacía y así\npspec â â € € TM. Por otra parte pspec es un punto interior de • – de lo contrario Φ\n−1(pspec) es\nisotrópico de dimensión < n y, por lo tanto, desplazable (véase, por ejemplo, [9]).\nObservación 1.10. Si dimM = 2dimTk (es decir, nos ocupamos de un\nmúltiple), la fibra especial, dicen L, es un toro lagrangiano. De hecho, este toro\nes monotona: por cada D • η2(M,L) que tenemos\n* = * mL(D),\ndonde mL representa la clase Maslov de L. Esto es una consecuencia inmediata\nde las definiciones.\nObservación 1.11. Tenga en cuenta que cuando M es esféricamente monotona y la acción es\nLos teoremas comprimibles 1.7 y 1.9 coinciden entre sí: en este caso pspec = 0\ny por lo tanto la fibra especial es un tallo estable por Teorema 1.7. Se desconoce\nsi esta propiedad persiste para las fibras especiales de ac-\nciones.\nEjemplo 1.12. Dejar que M sea el monótono simplético explosión de CP 2 en k\npuntos (0 ≤ k ≤ 3) que sean equivariantes con respecto a la norma T2-\nacción y que se realiza lejos del toro de Clifford en CP 2. Desde\nla explosión es equivariante, M viene equipado con una acción Hamiltonian T2-\nampliación de la acción T2 sobre CP 2. El toro Clifford es una fibra del momento\nmapa de la acción T2 sobre CP 2. Que L M sea el toro lagrangiano que es\nla transformación adecuada del toro de Clifford bajo la explosión – es una fibra de\nel mapa del momento de la T2-acción en M. Usando la Proposición 1.8 es fácil\nver que L es la fibra especial de M. De acuerdo con Teorema 1.9, es estable\ny fuertemente no desplazable. De hecho, es un tallo: la desplazabilidad de\ntodas las demás fibras se comprobaron para k = 0 en [10], para k = 1 en [23] y para\nk = 2, 3 in [40].\nNos remitimos a la sección 1.7.2 para seguir examinando los problemas conexos y muy\navances recientes.\nDigresión: Calabi vs. acción-Maslov. El método utilizado para demostrar\nTeorema 1.9 también permite probar el siguiente resultado que implica la mezcla\nacción-Homomorfismo Maslov. Denotar por vol (M) el volumen simplético de\nM. Considere la función μ : Hśam (M) → R definido por\nμ(H) := −vol (M) lim\nc(a, ŁlH)/l.\nEn el caso cuando a es la unidad en un campo que es un resumen directo en el\nla descomposición de la K-álgebra QH2n(M), como álgebra, en un directo\nsuma de subalgebras, μ es un cuasimorfismo homogéneo en H\nCalabi cuasi-morfismo [22],[24],[46]; en el caso general tiene utilería más débil\nerties [23]. Con este lenguaje, la función de • (en funciones normalizadas) es\ninducido (hasta un factor constante) por el retroceso de μ a la Lie álgebra de\nHśam (M).\nDespués de P.Seidel describimos en [22] la restricción de μ (de hecho, para cualquier\nM esféricamente monótono) en el η1(Ham(M))\nhomomorfismo η1(Ham(M)) → QH\n* (M), donde QH\n* (M) denota:\ngrupo de elementos invertibles en el anillo QH*(M). Aquí damos una alternativa\ndescripción de 1(Ham(M)) en términos de la acción mixta-Homomor Maslov-\nphism I que, a su vez, también proporciona cierta información sobre el Seidel\nhomomorfismo.\nTeorema 1.13. Asumir que M es esféricamente monotona y dejar que μ se defina como\narriba para algunos idempotentes distintos de cero a QH*(M). Entonces\n1(Ham(M)) = vol (M) · I.\nNótese que, en particular, 1(Ham(M)) no depende de un utilizado para de-\nBien μ. El teorema también implica que μ desciende a un cuasi-morfismo en\nHam(M) si y sólo si I : η1(Ham(M)) → R desaparece idénticamente (desde μ\ndesciende a un cuasi-morfismo en Ham(M) si y sólo si 1(Ham(M)) 0 –\nVéase, por ejemplo, [22], Prop. 3.4). La prueba del teorema figura en la sección 9.1.\nMencionemos también que, curiosamente, el homomorfismo I\ncoincide con la restricción a η1(Ham(M)) de otro cuasimorfismo\nsobre la Hśam (M) construida por P.Py (véanse [52, 53]).\nDigresión: Acción-Homomorfismo Maslov y Futaki invari-\nhormiga. Esta observación surgió de una observación que nos señaló Chris\nWoodward – le estamos agradecidos por ello. Asume que nuestro simplés\nmultipleM es complejo Kähler (es decir. se induce la estructura simpléctica sobre M\npor el Kähler uno) y Fano (con esto queremos decir aquí que [] = c1). Asumir\ntambién que una acción Hamiltoniana S1 {ft} preserva la métrica de Kähler y el\nestructura compleja. Por ejemplo, si M2n es un colector torico simplético puede\nestar equipados canónicamente con una estructura compleja y una métrica de Kähler invari-\nen el marco de la acción Tn sobre M, por lo tanto, en el marco de la acción de cualquier subgrupo S1-\n{ft} de T\nQue V sea el campo vectorial Hamiltoniano que genera el flujo Hamiltoniano\n{ft}. Puesto que {ft} preserva la estructura compleja, uno puede asociar a V su\nFutaki invariante F (V ) C [29]. Ha sido comprobado por E.Shelukhin [63]\nque, hasta un factor constante universal, este invariante Futaki es igual a la\nvalor del homomorfismo de acción mixta-Maslov en el bucle {ft}:\nF(V) = const · I({ft}).\nTenga en cuenta que si tal M admite una métrica de Kähler-Einstein entonces el Futaki\ninvariante tiene que desaparecer [29] – así si I({ft}) 6= 0 el colector no admite\na métrica de Kähler-Einstein. Por otra parte, si M2n es toric lo contrario también es cierto:\nsi el invariante Futaki desaparece para cualquier V generando un subgrupo del toro\nActuando en M entonces M admite una métrica de Kähler-Einstein – esto sigue de una\nteorema de Wang y Zhu [67], combinado con un resultado previo de Mabuchi\n[38]. En términos del politopo del momento, la desaparición de la invariante Futaki,\ny, en consecuencia, la existencia de una métrica de Kähler-Einstein, en un Fano de Kähler\nmúltiplo tórico significa precisamente que el punto especial del politopo coincide\ncon el baricentro.\n1.5 Monotonas super(pesadas) submanifolds lagrangianos\nQue (M2n, ) sea un colector simplético cerrado esféricamente monótono con [] =\n• c1(TM) en el punto η2(M), • • > 0. Deja que L-M sea un monótono cerrado Lagrangiano\nsubmanifold con el número mínimo de Maslov NL ≥ 2. Como de costumbre, ponemos\nNL = + + η2(M,L) = 0. Como antes, trabajamos con el campo básico F que\nes Z2 o C. En el caso F = C, suponemos que L es relativamente vuelta, que\nes L es orientable y la 2a clase Stiefel-Whitney de L es la restricción de\nalguna clase de cohomología integral de M.\nDescargo de responsabilidad: En el caso F = C los resultados de esta sección son condicionales:\nDamos por sentado que la Proposición 8.1 a continuación, que fue probada por Biran\ny Cornea [15] para las homologías con coeficiente Z2, se extiende a las homologías\ncon C-coeficiente. En cada uno de los ejemplos específicos a continuación vamos a explícitamente\nindicar qué F estamos utilizando y cada vez que usamos F = C suponemos que L\nes relativamente girar.\nDenotar por j el morfismo natural j : H•(L;F) → H•(M ;F). Nosotros decimos que\nL cumple la condición de Albers [2] si existe un elemento S • H•(L;F) así\nque j(S) 6= 0 y\ndeg S > dimL+ 1−NL.\nNos referiremos a S como a un elemento de Albers de L.\nEjemplo 1.14. Suponga que [L] H•(L;F) y j([L]) H•(M;F) no es cero.\nEsto significa precisamente que [L] es un elemento de Albers de L.\nUn monótono cerrado Lagrangian submanifold L que satisface esta\n(y cuyo número mínimo de Maslov es mayor que 1) se llamará\nhomológicamente no trivial en M.\nTeorema 1.15. Que L sea un monótono cerrado Lagrangian submanifold satisfacer-\nEn el estado de Albers. Entonces L es pesado con respecto a [M ]. En particular,\ncualquier submanifold Lagrangiano homológicamente no trivial es pesado con respeto\na [M].\nEjemplo 1.16. Asumir que η2(M,L) = 0. Entonces la clase de homología de un\npunto es un elemento Albers de L, y por lo tanto L es pesado. Tenga en cuenta que en este\nla pesadez del caso no se puede mejorar a la pesadez super: el meridiano en el\nDos torso es pesado pero no superpesado. Aquí tomamos F = Z2.\nEjemplo 1.17 (Esferas lagrangianas en las hipersuperficies de Fermat). Más examen...\n(pero no necesariamente superpesada) monotona Lagrangian sub-\nLos colectores pueden ser construidos de la siguiente manera3.\nDejar que M • CP n+1 sea una hipersuperficie compleja suave de grado d. La\nel retroceso de la estructura simpléctica estándar de CP n+1 convierte M en una\ncolectores simpléticos (de dimensión real 2n). Si d ≥ 2, entonces, como se explica,\npor ejemplo, en [12],M contiene una esfera lagrangiana: M se puede incluir en\nuna familia de hipersuperficies algebraicas de CP n+1 con degeneraciones cuadráticas en\npuntos aislados y el ciclo de desaparición de tal degeneración se pueden realizar\npor una esfera lagrangiana que sigue [5], [21], [60], [61], [62].\nDejemos que M • CP n+1 sea una hipersuperficie proyectiva de grado d, 2 ≤ d < n+ 2.\nEl número mínimo de Chern de M es igual a N := n+2− d > 0. Let Ln â € M2n\nser un simple submanifold Lagrangian conectado (por ejemplo, un Lagrangian\nesfera).\nEn primer lugar, considerar el caso cuando n es par, L es relativamente vuelta y el Euler\nlas características de L no desaparecen (este es el caso de una esfera). Entonces el\n3Agradecemos a P.Biran su ayuda indispensable con estos ejemplos.\nclase de homología j([L]) Hn(M;Z) no es cero: su número de auto-intersección\nen M hasta el signo es igual a la característica de Euler. Así [L] es un Albers\nelemento. (Aquí usamos F = C). En vista de Teorema 1.15, L es pesado con\ncon respecto a [M].\nSegundo, supongamos que n es de paridad arbitraria pero n > 2d − 3, y no\nya se asume la restricción de las características de Euler de L. Esto da resultados\nNL = 2N > n+ 1 y por lo tanto L satisface la condición de Albers con la clase de\nun punto P como elemento de Albers. Así L es pesado con respecto a [M ] – aquí\nUtilizamos F = Z2.\nFinalmente, fijar n ≥ 3 y un número par d tal que 4 ≤ d < n+2. Considerar\na Fermat hipersuperficie de grado d\nM = zd0 + z\n1 +... + z\nn+1 = 0}\nn+1.\nSu parte real L := M • RP n+1 se encuentra en el gráfico afín z0 6= 0 y está dada por\nla ecuación\nxd1 +.. + x\nn+1 = 1,\ndonde xj := Re(zj/z0). Dado que d es par, L es una esfera n-dimensional. As\nse explicó anteriormente, L es pesado con respecto a [M ] si n es uniforme\n(y F = C) o n > 2d − 3 (y F = Z2). Sin embargo, en cualquiera de los dos casos L no es\nsuperpesados con respecto a [M]. De hecho, vamos a hacer que Zd sea el grupo de complejos\nraíces de la unidad. Dado un vector α = (α1,. ..................................................................................................\nn+1, denotar por fα la\nsimplectomorfismo de M dado por\nfα(z0 : z1 :. .. : zn+1) = (z0 : α1z1 :. .. : αn+1zn+1). 7)..................................................................................................................................................\nSi todos los αj â ¬ C\\R, entonces αjx /â € R siempre que x â € Râ € €, y por lo tanto fα(L)â € L = â €.\nPor lo tanto, L es muy desplazable y la reclamación se deriva de la parte iii)\nde Teorema 1.2.\nEl siguiente resultado da una condición suficiente de superpeso fácil de usar.\nTeorema 1.18. Suponga que L es homológicamente no trivial en M y asuma\na QH2n(M) es un idempotente divisible distinto de cero por j([L]) en QH•(M), que\nes un j([L])*QH•(M). Entonces L es superpesada con respecto a a.\nLa no trivialidad homológica de L en la hipótesis del teorema significa\nsólo que [L] es un elemento Albers de L (véase el ejemplo 1.14). De hecho, la\nteorema se puede generalizar a los casos cuando L tiene otros elementos Albers -\nVéase la Observación 8.3 ii).\nEjemplo 1.19 (Esferas lagrangianas en cuadriciclos). Aquí trabajamos con F = C.\nQue M sea la parte real del Fermat cuadrático M = z20 +\nj=1 z\nj = 0}.\nSupongamos que n es par y L es un simple submanifold Lagrangian conectado\ncon una característica Euler no discontinua (por ejemplo: a Esfera lagrangiana). Bajo\nEsta suposición, [L] H•(L) y j([L]) 6= 0, ya que L tiene autodesvanecimiento\nintersección. Denotar por p • H*(M ;F) la clase de un punto. El cuántico\nEl anillo de homología de M fue descrito por Beauville en [8]. En particular, p * p =\nw−2[M], donde w = snqn. Por lo tanto\na± :=\n[M]± pw\nson idempotentes. Uno puede mostrar que j([L]) divide a− y por lo tanto L es a−-\nsuperpesado. Puesto que a- es invariante bajo la acción de Symp(M), el\nL es fuertemente no desplazable.\nPara simplificar, presentamos el cálculo en el caso n = 2 – el general\nEl caso es absolutamente análogo. El cuadrical de 2 dimensiones es simplectomórfico\na (S2 × S2, â € € ¬). Denotar por A y B las clases de [S2] × [punto] y\n[punto] × [S2], respectivamente. Puesto que la forma simpléctica desaparece en j([L]) nosotros\nobtener que j([L]) = l(B − A) con l 6= 0. Se sabe que A * B = p y\nB*B = w−1[M ]. Por lo tanto j([L]) ∗ 1\nwB = a−, es decir j([L]) divide a−.\nEn particular, el antidiagonal lagrangiano\nS2 × S2 : x = −y},\nque es difeomórfico a la 2-esfera, es superpesado con respecto a a-. Lo es.\nno se sabe si es superpesada con respecto a a+. Información adicional\nen superpesados submanifolds Lagrangian en los cuadriculos se puede extraer\na partir de [15].\nEjemplo 1.20 (Un toro Lagrangiano no pesado en S2 × S2). Con-\nsider el cuadro M = S2 × S2 del ejemplo anterior. Pensaremos en\nS2 a partir de la esfera de unidad en R3 cuya forma simpléctica es la forma de área dividida\npor 4η. Vamos a trabajar de nuevo con F = C. Curiosamente, tal M\ncontiene un toro Lagrangiano monotona que no es pesado con respecto a a−.\nEs decir, considere un submanifold K dado por ecuaciones4\nK = (x, y) S2 × S2 : x1y1 + x2y2 + x3y3 = −\n, x3 + y3 = 0}.\n4Agradecemos a Frol Zapolsky su ayuda con los cálculos en este ejemplo.\nUno comprueba fácilmente que K es un toro monótono Lagrangiano con NK = 2\nque representa un elemento cero en H2(M ;F) (ambos con F = C y F = Z2).\nAsí H•(K;F) no contiene ningún elemento de Albers. Además, K es\ndisjunto del antidiagonal lagrangiano y por lo tanto no es pesado con\na) ya que, como se ha demostrado anteriormente, • es superpesada con respecto a\na−. En particular, K es un toro monótono exótico: no es simplectomórfico\nal toro de Clifford que es un tallo y por lo tanto un--superpesado. Otro\nestudio de los toros exóticos en productos de esferas se está llevando a cabo actualmente por\nY.Chekanov y F.Schlenk.\nEs un problema interesante para entender si K es superpesada con\nrespecto a a+, o al menos no desplazable. Identificar M \\ {la diagonal} con\nel paquete de co-bola de la unidad de la 2-esfera. Después de tal identificación, corre...\nsponds a la sección cero, mientras que K corresponde a un Lagrangiano monotone\nTorus, di K ′. Curiosamente, la homología Lagrangia Floer de K ′\nen T ∗S2 (con F = Z2) no desaparece como lo demostraron Albers y Frauen-\nfelder en [3], y por lo tanto K no es desplazable en M \\ {la diagonal}. Por lo tanto\nla cuestión de la (no)-desplazabilidad de K está relacionada con la comprensión de la\nefecto de la compactación del conjunto de co-bolas de la unidad a S2 × S2.\nLas pruebas de los teoremas anteriores se basan en estimaciones espectrales debido a\nAlbers [2] y Biran-Cornea [15]. Además, los resultados anteriores admiten\nvarias generalizaciones en el marco de la teoría de Biran-Cornea de la cuántica\ninvariantes para los submanifolds monotónicos lagrangianos, véase [15] y la discusión\nen la sección 8 infra.\n1.6 Efecto de la semisimplicidad\nRecuerde que un álgebra conmutativa (finito-dimensional) Q sobre un campo A es\nllamado semi-simple si se divide en una suma directa de campos como sigue: Q =\nQ1 â € TM..â € Qd, donde\n• cada Qi Q es un subespacio lineal de dimensión finita sobre A;\n• cada Qi es un campo con respecto a la estructura de anillo inducida;\n• la multiplicación en Q respeta la división:\n(a1,. .., ad) · (b1,......................................................... .., bd) = (a1b1,. ., adbd).\nUn teorema clásico de Wedderburn (véase, por ejemplo, [66], §96) implica que la\nsimplicidad es equivalente a la ausencia de nilpotents en el álgebra.\nObservación 1.21. Asumir que el K-álgebra QH2n(M) se divide, como un álgebra,\nen una suma directa de dos álgebras, al menos uno de los cuales es un campo, y dejar e\nser la unidad en ese campo. En particular, este es el caso cuando QH2n(M,\nQ1â €...â € Qd es semi-simple y e es la unidad en uno de los campos Qi. Un poco.\ngeneralización del argumento en [23, 46] (véase [24], la observación en pp. 56 a 57)\nmuestra que el cuasi-estado parcial asociado a e es R-homógeno\n(y no sólo R+-homógeno como en el caso general).\nEsto inmediatamente produce que cada conjunto que es pesado con respecto a e es\nautomáticamente superpesados con respecto a e.\nDe hecho, en esta situación es un verdadero cuasi-estado simplético en el sentido de\n[23] y, en particular, un cuasiestado topológico en el sentido de Aarnes [1] (véase\n[23] para más detalles). En [1] Aarnes demostró ser un análogo de la representación Riesz\nteorema para cuasiestados topológicos que generalizan la correspondencia\nentre los estados genuinos (es decir, las funciones lineales positivas en C(M)) y\nmedidas. El objeto que corresponde a un cuasi-estado se llama un cuasi-\nmedida (o una medida topológica). Con este lenguaje en su lugar, los conjuntos que\nson (super)pesados con respecto a no son nada más que los conjuntos cerrados de la\nCuasi-medida completa . Cualquiera de estos dos conjuntos tiene que intersecar para el siguiente\nrazón básica: cualquier cuasi-medida es finitamente aditivo en subconjuntos cerrados disjuntos\ny, por tanto, si dos subconjuntos cerrados de M de la cuasimedida completa no\nintersecta, la cuasi-medida de su unión debe ser mayor que el total\ncasi-medida de M, lo cual es imposible.\nEjemplo 1.22. En este ejemplo volvemos a asumir que F = Z2. Dejar M =\nEl CP n estará equipado con la estructura simpléctica Fubini-Study, normalizada.\nde modo que la clase homóloga de la hiper-H2n−2(M) sea la clase homóloga de la hiper-H2n−2(M)\navión. Uno verifica fácilmente el siguiente isomorfismo K-álgebra\nQH2n(M) ≤ K[X ]/+X\nn+1 − u−1®,\ndonde\nK = Z2[[u] = {zku\nk + zk−1u\nk−1 +. .............................................\nes el campo de la serie tipo Laurent en u := sn+1 con coeficientes en Z2 y\nX = qA. Puesto que ninguna raíz de grado 2 o más de u−1 está contenida en K, la\nel polinomio P es irreductible sobre K para cualquier n (véase, por ejemplo, [34], Teorema 9.1) y\npor lo tanto QH2n(M) es un campo. De ahí las colecciones de pesados y superpesados\nlos conjuntos con respecto a la clase fundamental coinciden.\nAlegamos que L := RP n + CP n es superpesada. El caso n = 1 cor-\nresponde al ecuador de la esfera, que se sabe que es un tallo estable.\nPara n ≥ 2, tenga en cuenta que NL = n + 1 y S = [RP]\n2] es un elemento de Albers de L.\nPor lo tanto, L es [M]-pesada por Teorema 1.15, y por lo tanto superpesada.\nEl siguiente resultado sigue directamente de Teorema 1.3 iii) y Observación 1.21:\nTeorema 1.23. Supongamos que QH2n(M) es semi-simple y se divide en un\nsuma directa de los campos d cuyas unidades serán denotadas por e1,. ., ed. Asumir que\nun subconjunto cerrado X â € M es pesado con respecto a un idempotente no cero a – como\nuno puede ver fácilmente, tal idempotente tiene que ser de la forma a = ej1+...+ejl\npara unos 1 ≤ j1 <. .. < jl ≤ d. Entonces X es superpesada con respecto a algunos\neji, 1 ≤ i ≤ l.\nEl teorema produce la siguiente caracterización geométrica de no-semi-\nsimplicidad de QH2n(M). Es decir, definir el grupo Torelli simplés como el\ngrupo de todos los simplectomorfismos de M que inducen el mapa de identidad en\nH•(M;F). Por ejemplo, este grupo contiene Symp0(M). Tenga en cuenta que cualquier ele-\ndel simplés grupo Torelli actúa trivialmente sobre la homología cuántica\nde M y, por lo tanto, los mapas conjuntos (super)pesados con respecto a un idempotente a a\nsets (super)pesados con respecto a a.\nAhora Teorema 1.23 implica fácilmente lo siguiente\nCorolario 1.24. Supóngase que (M,) contiene un subconjunto cerrado X que es\npesado con respecto a un idempotente no cero y desplazable por un simplec-\ntomorfismo del simplético grupo Torelli. Entonces QH2n(M) no es semi-\nSimple.\nLos ejemplos más simples son proporcionados por conjuntos de la forma Xa meridian}\nen M × T2 con una X pesada.\nOtro resultado en la misma vena es el siguiente5. Dado un conjunto Y de positivo\nenteros, poner βY (M) =\ni-Y βi(M), donde βi(M) significa el i-th Betti\nnúmero de M sobre F.\n5En el caso F = C, el teorema 1.25 es condicional, ver la descargo de responsabilidad en el anterior\nsección.\nTeorema 1.25. Asumir que cualquiera de los siguientes (sin excluirse mutuamente)\nlas condiciones son las siguientes:\na) M contiene m > βY (M) + 1 monotono cerrado disjunto por pares La-\nSubmanifolds grangianos cuyos números mínimos de Maslov son mayores que n+1\ny pertenecen a un conjunto Y de enteros positivos.\n(b) M contiene un par de par desjuntos homológicamente no trivial Lagrangian sub-\nsus clases fundamentales, consideradas como elementos (no nulos) de\nH•(M ;F), son linealmente dependientes sobre F.\n(En el caso F = C asumir que todos los submanifolds Lagrangian arriba son\ntambién girar relativamente.)\nEntonces QH2n(M) no es semi-simple.\nLa prueba se presenta en la sección 8.\nEjemplo 1.26. Por ejemplo, si todos los submanifolds Lagrangian de parte\n(a) del teorema están simplemente conectados, sus números mínimos de Maslov son\nigual a 2N, de modo que el conjunto Y consta de un elemento: Y = {2N}. Por lo tanto\nsi 2N > n + 1 y QH2n(M) es semisimple, M no puede contener más de\nβ2N(M)+ 1 par-desjunto simplemente-conectados Lagrangians (proporcionó todo de\nson relativamente girar si trabajamos con F = C).\nEjemplo 1.27. Set F = C. Fix n ≥ 11 y un número par d de tal manera que\n6 ≤ d < (n + 3)/2. Considerar una hipersuperficie de Fermat de grado d\nM = zd0 + z\n1 +... + z\nn+1 = 0}\nComo ya vimos en el ejemplo 1.17, el colector L := M • RP n+1 es un\nEsfera n-dimensional lagrangiana. Considere las imágenes fα(L), donde sim-\nlos plectomorfismos fα se definen por (7). Tenga en cuenta que, siempre y cuando αj/βj 6= ±1\nPara todas las j, las esferas lagrangianas fα(L) y fβ(L) son discontinuos. Usando esto\nobservación, es fácil encontrar d/2 esferas Lagrangian disjuntas en M.\nEl número mínimo de Chern N deM es igual a n+2-d, y así 2N se encuentra en la\nintervalo [n+2, 2n−4]. En este caso β2N(M) = 1 (véase, por ejemplo, [31]). Desde d/2 > 2,\nConcluimos del ejemplo anterior que QH2n(M) no es semi-simple.\nEsta conclusión concuerda con el cálculo de QH*(M) por Beauville [8].\n6Vea el ejemplo 1.14 para la definición. Como en ese ejemplo volvemos a asumir que todos nuestros\nLos submanifolds lagrangianos están cerrados, monotonas y tienen un número mínimo de Maslov mayor\nque 1.\nSería interesante encontrar ejemplos de colectores simpléticos donde el\nhomología cuántica no se conoce a priori y donde los teoremas anteriores son\naplicable. Mencionemos que las diferentes obstrucciones a la semi-simplicidad\nde QH•(M) procedentes de submanifolds lagrangianos fueron encontrados recientemente por\nBiran y Cornea [14].\n1.7 Debate y preguntas abiertas\n1.7.1 ¿Una fuerte desplazabilidad más allá de la teoría de Floer?\nClaramente, la deslocalización implica una deslocalización estable. Lo contrario no es\ntrue, como muestra el siguiente ejemplo:\nEjemplo 1.28. Considerar el complejo espacio proyectivo CP n equipado con\nla forma simpléctica Fubini-Study (en nuestra normalización el área de una línea\nes igual a 1). Identificar la CP n con el corte simplético de la bola euclidiana B(1)\nCn (que es el límite de B(1) se colapsa a CP n−1 a lo largo de las fibras de\nla fibración Hopf, véase [36], donde B(r) := z2 ≤ r}. Entonces B(r) â € ¢ CP n\ni) Desplazables para r < 1/2;\nii) muy no desplazable, pero establemente desplazable, para r • [1/2, n/n+1];\niii) fuerte y estable no desplazable para r ≥ n/n+ 1.\nEs instructivo analizar las técnicas involucradas en las pruebas:\nel resultado de no desplazabilidad ii) es una consecuencia inmediata de Gromov\nteorema de embalaje por dos bolas, que se prueba a través de la variante J-holomorphic\ndel teorema que afirma que existe una línea J-holomorphic en CP n\npasando por cualquier dos puntos. En el caso iii) la bola B(r) contiene la\nClifford Torus, que es establemente no desplazable. Esto es lo que se desprende de la\nel hecho de que el toro de Clifford es un tallo (véase [10]), o de la no desaparición de su\nHomología Lagrangian Floer [16].\nLa deslocalización de B(r) en i) se deriva de la construcción explícita\ndel embalaje de las dos bolas (véase [33]). La dislocabilidad estable en (ii) es un\nconsecuencia directa del teorema 1.7 anterior: En efecto, considerar la norma Tn-\nacción sobre el CP n. El politopo del momento normalizado............................................................................................................................................\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nI ≤ 1 } en\nRn, donde (1,. .., ln) denotan las coordenadas en R\nn, y w = − 1\n(1,.., 1).\nNótese que la bola B(r) es igual a 1(r) donde r := r stand + w. Nota\nque no contiene el origen exactamente cuando r ≤\nque da lugar a la\nDesplazabilidad estable en el inciso ii) supra.\nUna característica misteriosa del Ejemplo 1.28 es la siguiente. Por un lado, nosotros\ncreen en el siguiente principio empírico general: cada vez que se puede establecer\nla no-desplazabilidad de un subconjunto por medio de la teoría de la homología Floer,\nse obtiene de forma gratuita la estabilidad de no-desplazabilidad. Por otro lado, nosotros...\n, siguiendo una explicación filosófica proporcionada por Biran, que Gromov\nEl teorema de empaquetado de dos bolas puede extraerse de algunas “operaciones” en\nHomología Floer. Ejemplo 1.28 muestra que al menos una de estas creencias es\nNo, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Sería interesante aclarar esta cuestión.\n1.7.2 Fibras pesadas de subespacios conmutativos de Poisson\nSe demostró en [23] que para cualquier Poisson-commutativo de dimensión finita\nal menos una de las fibras de su mapa de momento Φ tiene que\nser no-desplazable.\nPregunta. ¿Es cierto que al menos una fibra de Φ tiene que ser pesada (con respeto\na algún idempotente que no sea cero un QH*(M)?\nEs fácil construir un ejemplo de A cuyo mapa de momento Φ no tiene\nfibras superpesadas: tomar T2 con las coordenadas p, q mod 1 en él y tomar A\nser el conjunto de todas las funciones lisas dependiendo solamente de p – el correspondiente\nΦ define la fibración de T2 por meridianos, ninguno de los cuales es superpesado.\nEsta es otra pregunta que se refiere a las fibras del hombre torico simplés.\nifolds, es decir. fibras de un mapa de momento Φ de una eficaz acción Hamiltoniana Tn\nel (M2n, فارسى). Suponga que M es (esféricamente) monotona. Teorema 1.9 muestra que\nen tal caso la fibra especial de M es superpesada, por lo tanto estable y fuerte\nno desplazable. En todos los ejemplos donde se ha comprobado este turno\npara ser la única fibra no desplazable de M.\nPregunta. Es la fibra especial para un monótono tórico simplético M siempre\n¿Un tallo? En particular, es la única fibra no desplazable del momento\nEn el caso del monótono la fibra especial es claramente la única fibra pesada de\nel mapa del momento, porque es superpesada y cualquier otra fibra pesada\nhan tenido que intersecarlo. Por otro lado, si consideramos un Hamiltonian Tk-\nacción sobre M2n con k < n puede haber más de una fibra no desplazable\ndel mapa del momento – por ejemplo, debido a obstrucciones puramente topológicas:\nla más simple acción Hamiltoniana T1-en CP 2 proporciona tal ejemplo. In\nel caso de los colectores tóricos simpléticos monotónicos de dimensión superior a 4\nLa pregunta anterior está absolutamente abierta.\nDespués de la aparición del primer borrador de este documento, un progreso notable en este\nla dirección se ha logrado en las obras de Cho [17] y Fukaya, Oh, Ohta\ny Ono [28]: En particular, resulta que un simplés no monótono\ncolector torico puede tener más de una fibra no desplazable – esto sucede\nya para ciertas explosiones equivariantes de CP 2.\nOrganización del documento:\nEn la sección 2 probamos el teorema 1.7 que, en particular, declara que el\nfibra especial de un toro comprimible acción es un tallo estable.\nEn la Sección 3 se resumen varios preliminares de la teoría de Floer, incluyendo\npropiedades básicas de invariantes espectrales y cuasiestados simpléticos parciales. In\nadicional deletreamos una propiedad útil del índice de Conley-Zehnder: es un\ncasi-morfismo en la cobertura universal del grupo simplés (ver Propo-\nSituación 3.5). Para la integridad extraemos una prueba de esta propiedad de [54];\nAlternativamente, se pueden utilizar los resultados de [19].\nEn la sección 4 demostramos las partes i) y iii) del Teorema 1.2 y el Teorema 1.3\nsobre las propiedades básicas de los conjuntos (super)pesados.\nEn la sección 5 probamos Teorema 1.5 en productos de (super) sets pesados. Nuestro\nenfoque se basa en una fórmula de producto bastante general para invariantes espectrales\n(Teorema 5.1), que se demuestra por un argumento algebraico bastante largo.\nEn la sección 6 demostramos el teorema 1.2 ii) sobre la no-desplazabilidad estable de\nsubconjuntos pesados. El argumento implica una “versión de bebé” de los hombres arriba mencionados.\nla fórmula del producto tionado.\nEn la Sección 7 demostramos sobrepeso de tallos estables.\nEn la Sección 8 reunimos las pruebas de varios resultados relacionados con\n(super)peso de los submanifolds Lagrangiano monotona satisfaciendo los Albers\ncondición, incluidos los teoremas 1.15, 1.18, 1.25 y la Proposición 1.4.\nEn la Sección 9 probamos Teorema 1.9 sobre la superpeso de las fibras especiales de\nAcciones de toros Hamiltonianos sobre colectores simpléticos monotónicos. La prueba es\nbastante involucrado. De hecho, dos trucos nos permitieron acortar nuestro\nEn primer lugar, utilizamos la transformación de Fourier en el espacio de rápida decadencia\nfunciones sobre la Lie coargebra del toro para reducir el problema\nal caso de las acciones del círculo Hamiltoniano. En segundo lugar, utilizamos sistemáticamente el\ncasi-morfismo propiedad del índice de Conley-Zehnder para el calcu asintótico-\nLaciones con invariantes espectrales Hamiltonianos. Finalmente, en la Sección 9.1 probamos\nTeorema 1.13.\nEn la figura 1 se resume la jerarquía de las propiedades no desplazables\nmaldecidos arriba.\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nMHierarchy de las propiedades de no-desplazabilidad de un subconjunto cerrado de \nPesado\naidempotente \nSuperpesado\nidempotente a\ncon un no-cero con un no-cero\n3) 4) 5) (6)\nacción sobre una esféricamente\nacción de los toros sobre un (no\nun hamiltoniano comprimible\nnecesariamente monotona)\nFibra especial de\nmonotona M\nSiempre es verdad.\nVerdadero bajo ciertas condiciones (ver abajo)\n♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ Pregunta (bajo ciertas condiciones − ver más abajo)\nMonotona\nLagrangian\nsubmanifold L\n(14) (15)\n(17) (18)\n21) (22)\n(16 b)\nProducto de la codimensión-1\nesqueletos de multa\ntriangulaciones\nFuertemente.\nno desplazables\nun toro hamiltoniano\nNo desplazables\nuna isotopía simpléctica\nNo desplazable por\nwrt [M]\nPesado\n(16a)\nSuperpesado\nwrt [M]\nTallo estable\nEstable\nno desplazables\nCero fibra de\nFigura 1: Jerarquía de las propiedades no desplazables\n(1),(2),(6),(19) - Trivial.\n(3) Verdadero si a es invariante bajo la acción de todo el grupo Symp (M) –\nTeorema 1.2, parte iii).\n4), 9) Teorema 1.2, parte iii).\n(5) Verdadero si el álgebra QH2n(M) es semi-simple – ver corolario 1.24.\n(7a) Verdadero si el álgebra QH2n(M) se divide, como un álgebra, en una suma directa de\ndos álgebras, al menos uno de los cuales es un campo, y a es el elemento de unidad en\nese campo – véase la Observación 1.21.\n(7b), (16b) Teorema 1.2, parte i).\n8) Teorema 1.2, parte ii).\n(10) Teorema 1.18 (véanse los supuestos en L).\n(11) Verdadero si el álgebra QH2n(M) es semi-simple – vea el corolario 1.24.\n(12) Teorema 1.3, parte i).\n13) Teorema 1.3, parte ii).\n(14) Teorema 1.18 (véanse los supuestos en L) con a = [M ] – es decir: j(L)\nes invertible en QH•(M).\n(15) L cumple la condición de Albers – ver Teorema 1.15.\n(16a) Verdadero si QH2n(M) es un campo – ver Observación 1.21.\n(17) Teorema 1.6.\n(18) Teorema 1.9.\n(20) Teorema 1.7.\n(21) ¿Es siempre un tallo la fibra especial para un átrico simplético monótono M?\nVéase la sección 1.7.2.\n(22) Verdadero si M es esféricamente monotona y la acción del toro es comprimible\n– Véase la Observación 1.11.\n(23) Véase [23].\n2 Detectar la desplazabilidad estable\nPara detectar la desplazabilidad estable de un subconjunto de un colector simplético nosotros\nusará el siguiente resultado (cf. [48, cap. 6]).\nTeorema 2.1. Que X sea un subconjunto cerrado de un colector simplético cerrado\n(M.A.). Supongamos que existe un bucle contráctil de diffeo hamiltoniano.\nmorfismos de (M.o) generados por un hamiltoniano regularizado del tiempo-periódico\nHt(x) de manera que Ht(x) 6= 0 para todos los t â € [0, 1] y x â € X. Entonces X es estable.\nDesplazable.\nPrueba. Denotar por ht el bucle Hamiltoniano generado por H. Let h\nno es su\nhomotopía al bucle constante: h\nt = ht y h\nt = 1. Escribir H\ns)x, t) para\nlos correspondientes Hamiltonianos normalizados. Consideremos la familia de los dif-\nmorfismos de M × T\n∗S1 dada por\n(x, r, ) = (h)\nx, r −H\ns)h\n* x, *), *)......................................................................................................................................................\nUno comprueba fácilmente que el \"s\", s [0, 1], es una isotopía Hamiltoniana (no com-\nen el marco de un pacto de apoyo). Alegamos que el 1 desplaza Y := X × {r = 0}. De hecho,\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nsuposición del teorema. Esto completa la prueba.\nPrueba de Teorema 1.7: Elija un funcional lineal F : Rk → R con\ncoeficientes racionales que es estrictamente positivo en Y. Entonces para un poco de suffi...\nel número entero positivo N el Hamiltoniano H:= NF genera un\nacción contráctil círculo Hamiltoniano en M y H es estrictamente positivo en\nX := 1(Y ). Por lo tanto, X es establemente desplazable en vista de la teo-\n3 Preliminares sobre la teoría de Hamilton Floer\n3.1 Valoración de QH*(M)\nDefinir una función ν : K →\n(+) = máx{ + + + z + 6 = 0}. = máx{ + z + 6 = 0 = 0 }.\nLa convención es la siguiente: En términos algebraicos, exp / es un non-\nValor absoluto arquimedeano en K.\nLa función / admite una extensión natural a la letra a) y, a continuación, a la letra a) del apartado M) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra b) de la letra a) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) del apartado 1 de la letra b) del apartado 1 de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra\nabusar de la notación que vamos a denotar todos ellos por. Es decir, cualquier elemento\npuede ser representado de forma única como........................................................................................................................................................................................................................................................... \n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nA donde pertenece cada uno de ellos.\na F [q, q−1], y cualquier no-cero a QH*(M) puede ser representado como\ni Łibi, 0 6= Łi, 0 6= bi H*(M;F). Definir\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n6 = 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 6 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + \n/(a) := máx.\nEl Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001.\n3.2 Teoría de Hamilton Floer\nRecordamos brevemente la notación y las convenciones para el establecimiento de la Hamilto-\nNian Floer teoría que se utilizará en las pruebas.\nQue L sea el espacio de todos los bucles contractibles suaves γ : S1 = R/Z → M.\nVamos a ver tal γ como un mapa 1-periódico γ : R → M. Dejar D2 ser el\nunidad de disco estándar en R2. Considerar una cubierta de L de L cuyos elementos son\nclases de equivalencia de pares (γ, u), donde γ L, u : D2 → M, uD2 = γ (i.e.\nu(e2π)\n−1t) = γ(t)), es un disco (por pieza liso) que abarca γ en M y el\nla relación de equivalencia se define de la siguiente manera: (γ1, u1) (γ2, u2) si y sólo si γ1 =\nγ2 y la 2-esfera u1#(−u2) desaparece en H\n2 (M). La clase de equivalencia de\nun par (γ, u) será denotado por [γ, u]. El grupo de transformaciones de cubierta de\nla cubierta L → L puede identificarse naturalmente con HS2 (M). Un elemento\nA HS2 (M) actúa por la transformación\nA([γ, u]) = [γ, u#(−A)]. (8)\nLet F :M× [0, 1] → R ser una función Hamiltoniana (que es temporal-periódico\ncomo siempre asumimos). Set Ft := F (·, t). Denotaremos por pies el Hamiltoniano\nflujo generado por F, es decir, el flujo del Hamiltoniano dependiente del tiempo\ncampo vector Xt definido por la fórmula\n•(·, Xt) = dFt(·) •t.\n(¡Tenga en cuenta nuestra convención de la firma!)\nQue el PF sea el conjunto de todas las órbitas contráctiles 1-periódicas del Hamilto-\nflujo nian generado por F, es decir, el conjunto de todos los γ • L tales que γ(t) = ft(γ(0)).\nDenote por la F.P. el ascensor completo de PF a L.P.\nDenotar por Fix (F ) el conjunto de los puntos fijos de f que son puntos finales de\nórbitas periódicas contráctiles del flujo:\nFix (F ) := {x M PF, x = γ(0)}.\nDecimos que F es regular si para cualquier x - Fix (F) el mapa dxf : TxM → TxM\nno tiene valor propio 1.\nRecordemos que la acción funcional se define en Lс por la fórmula:\nAF ([γ, u]) =\nF (γ(t), t)dt−\nTenga en cuenta que\nAF (Ay) = AF (y) + A(A) (9)\npara todos los y â € € € € TM y A â € HS2 (M).\nPara un regular Hamiltonian F definir un espacio vectorial C(F) sobre F como el\nconjunto de todas las sumas formales\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nmodulo las relaciones\nAy = s(A)q−c1(A)y,\npara todos y â € € TM, A â € TM H\n2 (M). La clasificación en........................................................................................................................................\nEl índice de Zehnder sobre los elementos de la PF (véase la sección 3.3) define un grado Z en\nC(F). Denotaremos el componente de grado i-th por Ci(F ).\nDado un bucle {Jt},\n1, de las estructuras casi complejas compatibles con los requisitos de la letra a),\ndefinir una métrica Riemanniana en L por\n(+1, +2) =\n(l) (t), (t) (t) (t) (t) (t), (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t)\nen la que se citan los puntos 1, 2 y 3 del anexo I del Reglamento de Ejecución (UE) n.o 575/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 17 de diciembre de 2013, por el que se establecen las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo y se deroga el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo (DO L 347 de 20.12.2013, p. Elevar esta métrica a Lś y considerar el gradiente negativo\nflujo de la acción funcional AF. Para una elección genérica del Hamiltoniano\nF y el bucle {Jt} (como un par (F, J) se llama regular) el con-\nlated gradiente trayectorias que conectan puntos críticos de AF da lugar en el\nmétodo estándar [26], [32], [58] a un diferencial de tipo Morse\nd : C(F ) → C(F ), d2 = 0. (10)\nEl diferencial d es lineal y tiene el grado graduado −1. Estrictamente de-\nRedobla la acción. La homología, definida por d, se llama la homología Floer\ny será denotado por HF* (F, J). Es un modulo. Diferentes opciones de una\npar regular (F, J) conducen a isomorfismos naturales entre la homología de Floer\ngrupos.\nLa siguiente propuesta resume algunas propiedades algebraicas básicas de\nComplejos Floer y homología Floer que serán importantes para nosotros más adelante.\nLa prueba es directa y la omitimos.\nProposición 3.1.\n1) Cada Ci(F) y cada HFi(F, J), i + Z, es un vector finito-dimensional\nespacio sobre K.\n2) Multiplicación por q define los isomorfismos Ci(F) → Ci+2(F) y\nHFi(F, J) → HFi+2(F, J) de espacios K-vector.\n3) Para cada i â € Z existe una base de Ci(F) sobre K que consiste en la\nlos elementos de la forma ql[γ, u], con [γ, u] \n4) Una colección finita de los elementos de la forma ql[γ, u], [γ, u]\nEn C0(F ) C1(F ) es una base del espacio vectorial C0(F ) C1(F ) sobre el campo\nK si y sólo si se trata de una base del módulo C(F) sobre el anillo.\n3.3 Índices de Conley-Zehnder y Maslov\nEn esta sección esbozamos brevemente la definición y recordamos la\nlos vínculos del índice de Conley-Zehnder que se refieren a [54, 58, 57] para más detalles. En par-\nticular, mostramos que el índice de Conley-Zehnder es un cuasi-morfismo en el\ncubierta universal S‡p (2k) del grupo simplés Sp(2k) (véase la Proposición 3.5)\nabajo), un hecho que será útil para los cálculos asintóticos con Floer\nhomología en las siguientes secciones. Hay varias rutas que conducen a este hecho,\nque es bastante natural, ya que todos los cuasimorfismos homogéneos en Sœp (2k) son\nproporcional, y por lo tanto el mismo cuasi-morfismo admite bastante diferente\ndefiniciones [7]. Extraemos la propiedad cuasi-morfismo del papel de\nRobbin y Salamon [54] al reunir varias declaraciones contenidas\nEn ella7.\nEl índice Conley-Zehnder asigna un número a cada uno [γ, u]. Orig...\ninally el índice Conley-Zehnder fue definido sólo para los Hamiltonianos regulares\n[18] – en este caso es valorado en número entero y da lugar a una clasificación de la ho-\ngrupos de teología en la teoría de Floer. Más tarde, la definición se amplió en diferentes\nformas de diferentes autores a los hamiltonianos arbitrarios. Usaremos un ex-\ntensión introducida en [54] (véase también [57, 58]). En este caso, el Conley-Zehnder\níndice puede tomar también los valores de medio entero.\nQue k sea un número natural. Considere el espacio vectorial simplés R2k\ncon una forma simpléctica de 2k en él. Denota por p = (p1,. .., pk), q = (q1,. .., qk)\nlas coordenadas correspondientes de Darboux en el espacio vectorial R2k.\n7Agradecemos a V.L. Ginzburg para estimular discusiones sobre el material de esta sección.\nÍndice de Robbin-Salamon de rutas lagrangianas: Let V R2k ser un\nSubespacio lagrangiano. Considere el Lagr (k) de Grassmann de todos los lagrangianos\nsubespacios en R2k y considerar la hipersuperficie Lagr (k) formado por todos\nlos subespacios lagrangianos que no son transversales a V. A tal V y\na cualquier trayectoria lisa {Lt}, 0 ≤ t ≤ 1, en Lagr (k) Robbin y Salamón [54]\nasociar un índice, que puede tomar valores enteros o medios enteros y que\ndenotaremos por RS({Lt}, V ). La definición del índice puede ser esbozada\ndel siguiente modo.\nUn número t [0, 1] se llama un cruce si el Tte. A cada cruce t uno\nasocia una determinada forma cuadrática Qt en el espacio L(t) V – véase [54] para\nla definición precisa. El cruce t se llama regular si la forma cuadrática\nQt no es degenerado. El índice de tal cruce regular t se define como el\nfirma de Qt si 0 < t < 1 y como la mitad de la firma de Qt si t = 0, 1.\nUno puede demostrar que los cruces regulares están aislados. Para una ruta {Lt} con sólo\ncruces regulares el índice RS({Lt}, V ) se define como la suma de los índices\nde sus cruces. Una ruta arbitraria puede ser perturbada, manteniendo los puntos finales\nfija, en un camino con sólo cruces regulares y el índice de la perturbada\ncamino no depende de la perturbación – de hecho, depende sólo de la\nendpoints fijos clase homotopy de la ruta. Además, es aditivo con\nrespeto a la concatenación de caminos y satisface la propiedad de la naturalidad:\nRS({ALt}, AV ) = RS({Lt}, V ) para cualquier matriz simpléctica A.\nÍndices de caminos en Sp (2k): Considere el grupo Sp (2k) de simplés\n2k × 2k-Matrices. Denotar por Sûp (2k) su cubierta universal. Uno puede usar el\níndice RS con el fin de definir dos índices sobre el espacio de rutas lisas en\nSp (2k).\nEl primer índice, denotado por Ind2k, se define como sigue. Arreglar un lagrangiano\nsubespacio V+R2k. Para cada trayectoria lisa {A}, 0 ≤ t ≤ 1, en Sp (2k) definir\nInd2k ({a}, V ) como\nInd2k ({En}, V ) := RS({EnV}, V ).\nLa naturalidad del índice RS implica que\nRS({BAtB\n−1(BV )}, BV ) = RS({BAtV )}, BV ) =\n= RS({AtV )}, V ) para cualquier B • Sp (2k)\ny así obtenemos la siguiente condición de naturalidad para Ind2k:\nInd2k ({BAtB)\n−1}, BV ) = Ind2k ({A}, V ) para cualquier B • Sp (2k). (11)\nEl segundo índice, que llamaremos el índice Conley-Zehnder de una matriz\nruta y que será denotado por CZmatr, se define como sigue. Para cada una de ellas\nA Sp (2k) denotar por GrA la gráfica de A que es un subespacio lagrangiano\ndel espacio vectorial simplés R4k = R2k×R2k equipado con el espacio vectorial simplés\nEstructura: 4k=2k=2k=2k. Denotar por la diagonal en R\n4k = R2k × R2k\n– es un subespacio lagrangiano con respecto a 4k. Ahora para cualquier camino suave\n{A}, 0 ≤ t ≤ 1, en Sp (2k) definir CZmatr como\nCZmatr({A}):= RS({GrAt},\nEquivalentemente, se puede definir CZmatr({At}) similar al índice RS por look-\nen las intersecciones de {A(t)} con la hipersuperficie • • Sp (2k) formada\npor todas las matrices simpléticas de 2k×2k con valor propio 1 y traduciendo el\nnociones de un cruce regular y la forma cuadrática correspondiente a este\nPrepárate.\nAmbos índices Ind2k ({A}, V ) y CZmatr({A}) dependen sólo de la\nendpoints homotopy class of the path {At} y son aditivos con respecto a\nla concatenación de las sendas en Sp (2k). La relación entre los dos índices\nes el siguiente. Denotar por I2k la matriz de identidad 2k × 2k. Dado un suave\nruta {At}, 0 ≤ t ≤ 1, en Sp (2k), set Ât := I2k â € A â € Sp (4k). Entonces\nCZmatr({A}) = Ind4k(t}, (12)\nObservación 3.2. Tenga en cuenta que cerca de cada W â € ¢ V existe una coordenada local\ngráfico (en Lagr (k)) en el que ŁV se puede definir por una ecuación algebraica de\ngrado limitado desde arriba por una constante C dependiendo sólo de k y W.\nPor otra parte, puesto que para cualquier V, V ′ Lagr (k) existe un difeomorfismo de\nLagr (k) mapeo de V en V ′ podemos asumir que C = C(k) es independiente\nde W y depende sólo de k. Por lo tanto para cualquier V, para cualquier punto W\ny para cualquier barrio suficientemente pequeño abierto UW de W en Lagr (k) la\nnúmero de componentes conectados de UW \\(UW V ) está limitado por una constante\ndependiendo sólo de k.\nUsando estas observaciones y el hecho de que los cruces regulares están aislados\nes fácil demostrar que existe una constante C(k), dependiendo sólo de k, tales\nque para cualquier subespacio Lagrangiano V â R2k y cualquier camino {A} â Sp (2k),\n0 ≤ t ≤ 1, existe un > 0 tal que para cualquier trayectoria lisa {A′t} • Sp (2k),\n0 ≤ t ≤ 1, que es -cerca de {En} en la C\n0-métrico, uno tiene\nInd2k({En}, V)−Ind2k({A)\nt}, V < C(k),\nCZmatr({En})− CZmatr({A)\nt < C(k).\nTeorema de leray en el índice Ind2k: El siguiente resultado es\nTeorema 5.1 en [54] que Robbin y Salamon acreditan a Leray [35], p.52.\nNota de L el lagrangiano (q1,. .., qk)-plano de coordenadas en R\n2k. Cualquier sim...\nmatriz pléctica S • Sp (2k) se puede descomponer en k × k bloques como\ncuando los bloques satisfagan, en particular, la condición de que:\nEF T − FET = 0. (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nEn caso de que SL • L = 0, la k × k-matrix F sea invertible y se multiplique (13)\npor F−1 a la izquierda y (F T )−1 = (F−1)T a la derecha, obtenemos ese F−1E −\nET (F−1)T = 0. Por lo tanto la matriz QS := F\n−1E es simétrico.\nTeorema 3.3 ([54], Teorema 5.1; [35], p.52). Asumir {a}, {Bt}, 0 ≤ t ≤ 1,\nson dos caminos lisos en Sp (2k), de tal manera que A0 = B0 = I2k y A1L + L = 0,\nB1L • L = 0, A1B1L • L = 0. Entonces\nInd2k({AtBt}, L) = Ind2k({At}, L) + Ind2k({Bt}, L) +\nsigno (QA1 + QB1),\ndonde el signo (QA1 + QB1) es la firma del formulario cuadrático definido por el\nk × k-matriz QA1 + QB1.\nCorolario 3.4. Que V sea cualquier subespacio Lagrangiano de R2k. Entonces existe\nuna constante positiva C, dependiendo sólo de k, de tal manera que para cualquier camino liso\n{Xt}, {Yt}, 0 ≤ t ≤ 1, en Sp (2k), de manera que X0 = Y0 = I2k (no hay\nsuposiciones en X1, Y1!),\nInd2k({XtYt}, V )− Ind2k({Xt}, V )− Ind2k({Yt}, V ) < C.\nPrueba. Escribiremos C1, C2,. .. para las constantes positivas (posiblemente diferentes) de-\npendiente sólo en k.\nEscoja un mapa • • Sp (2k) de tal manera que • V = L. Denote At = • Xt\nBt =\n−1. Tenga en cuenta que las rutas {A}, {Bt} se basan en la identidad.\nUsando la propiedad de la naturalidad (11) de Ind2k obtenemos\nInd2k({XtYt}, V )− Ind2k({Xt}, V )− Ind2k({Yt}, V ) =\n= Ind2k(XtYt\n− 1},~ V )− Ind2k(Xt\n− 1},~V)−\n−Ind2k(Yt\n- 1},~ V ) =\n= Ind2k({(\n−1)(•Yt•\n− 1)}, L)− Ind2k(Xt\n− 1}, L)−\n−Ind2k(Yt\n−1}, L) =\n= Ind2k({AtBt}, L)− Ind2k({At}, L)− Ind2k({Bt}, L).\nInd2k({XtYt}, V )− Ind2k({Xt}, V )− Ind2k({Yt}, V ) =\n= Ind2k({AtBt}, L)− Ind2k({At}, L)− Ind2k({Bt}, L). (14)\nMás adelante, la Observación 3.2 implica que podemos encontrar una identidad suficientemente cercana a C0.\nperturbaciones basadas {A′t}, {B\nt} de {A}, {B} tales que\nA′1L • L = 0, B\n1L • L = 0, A\n1L • L = 0. (15)\nInd2k({AtBt}, L)− Ind2k({At}, L)− Ind2k({Bt}, L)\nInd2k({A)\nt}, L)− Ind2k({A)\nt}, L)− Ind2k({B\nt}, L) < C1, (16)\npara un poco de C1. Por otra parte, desde los tres caminos basados en la identidad {A\n{B′t}, {A\nt}, satisfacer las condiciones (15), podemos aplicar a ellos Teorema 3.3.\nPor lo tanto existe C2 tal que\nInd2k({A)\nt}, L)− Ind2k({A)\nt}, L)− Ind2k({B\nt}, L) < C2.\nCombinando con (14) y (16) obtenemos que existe C3 tal que\nInd2k({XtYt}, V )− Ind2k({Xt}, V )− Ind2k({Yt}, V ) < C3,\nque termina la prueba.\nÍndice de Conley-Zehnder como cuasimorfismo: Recordar que 2n = dimM.\nRestringiendo CZmatr a las rutas basadas en la identidad en Sp (2n) se obtiene una función\nen la página (2n) que todavía será denotado por CZmatr.\nProposición 3.5 (cf. [19]). La función CZmatr : Sśp (2n) → R es un cuasi-\nMorfismo. Significa que existe una constante C > 0 tal que\nCZmatr(ab)− CZmatr(a)− CZmatr(b) ≤ C \nPrueba. Representar a y b por rutas basadas en la identidad {En}, {Bt}, 0 ≤ t ≤ 1, en\nSp (2n). A continuación, utilice (12) y aplique el corolario 3.4 para k = 2n, V = a t},\n{B}t} en Sp (4n).\nÍndice Maslov de bucles simpléticos: El índice Conley-Zehnder para\nLos bucles basados en identidad en Sp (2n) se llaman el índice Maslov de un bucle. Su\ndefinición original, volviendo a [4], es la siguiente: es la intersección\nnúmero de un bucle basado en la identidad con la hipersuperficie estratificada\nEl estrato principal está equipado con una cierta coorientación. Tenga en cuenta que lo hacemos\nno dividir el número de intersección por 2 y por lo tanto en nuestro caso el índice de Maslov\ntoma sólo valores pares; por ejemplo, el índice de Maslov de un sentido contrario a las agujas del reloj\n2η-twist de la R2 simpléctica estándar es 2. Denotamos el índice Maslov de\nun bucle {B(t)} de Maslov ({B(t)}).\nÍndices de órbitas periódicas de Conley-Zehnder y Maslov:\nÍndice de ley-Zehnder para órbitas periódicas se define por medio de la Conley-\nÍndice de Zehnder para rutas de matriz de la siguiente manera. Teniendo en cuenta [γ, u]\nruta basada en la identidad {A(t)} en Sp (2n)\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nflujo linealizado dγ(0)ft, 0 ≤ t ≤ 1, junto con γ con una matriz simpléctica\n{A(t)}. Entonces el índice de Conley-Zehnder CZF ([γ, u]) se define como\nCZF ([γ, u]) := n− CZmatr ({A(t)}). (17)\nCon tal normalización de CZF para cualquier C\n2-pequeño autónomo\nMorse Hamiltonian F, el índice de Conley-Zehnder de un elemento de P\nresentida por un par [x, u] que consiste en un punto crítico x de F (visto como un\nruta constante en M) y el disco trivial u, es igual al índice de Morse de\nx. Tenga en cuenta que con tal normalización CZF (Sy) = CZF (y)+2\nc1(M) para\ntodos los y â € € € TM € € € TM € TM € TM € TM € TM € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM\n2 (M).\nDel mismo modo, si el flujo de tiempo-1 generado por F define un bucle en Ham(M) entonces\na cada uno [γ, u] â € € ¢ F se puede asociar su índice de Maslov. Es decir, trivializar el\npaquete u*(TM) sobre D2 e identificar el flujo linealizado {dxft} a lo largo de γ con\nun bucle basado en la identidad de matrices simpléticas 2n × 2n. Definir el Maslov\níndice mF ([γ, u]) como el índice Maslov para el bucle de matrices simplécticas.\nEn el marco de la acción HS2 (M) sobre la PF, el índice de Maslov cambia de la siguiente manera:\nmF (S · [γ, u]) = mF ([γ, u])− 2\nc1(M), S-H\n2 (M).\nHagamos la siguiente observación. Asumir γ PF y asumir que un\nbanalización simpléctica del haz (TM) sobre S1 identifica {dγ(0)ft}\ncon una trayectoria basada en la identidad {A(t)} de matrices simpléticas. Supón que está ahí.\nes otra trivialización simpléctica del mismo paquete, coincidiendo con el\nel primero en γ(0), y denotar por {B(t)} el bucle de transición basado en la identidad\nmatrices desde la primera trivialización simpléctica hasta la segunda. Usar la\nsegunda trivialización para identificar {dγ(0)ft} con una ruta basada en la identidad {A\n′(t)}.\nCZmatr ({A)\n′(t)}) = CZmatr ({A(t)}) +Maslov ({B(t)}), (18)\ny si {A(t)} es un bucle entonces es {A′(t)} y\nMaslov ({A′(t)} = Maslov ({A(t)}) + Maslov ({B(t)}). (19)\n3.4 Números espectrales\nDada la configuración algebraica como arriba, la construcción del Piunikhin-Sala-\nEl isomorfismo mon-Schwarz (PSS) [47] produce un isomorfismo lineal (PSS-\nIsomorfismo) M : QH*(M) → HF*(F, J) que preserva la clasificación y\nque es en realidad un anillo isomorfismo (el producto par de pantalones define un anillo\nestructura sobre HF* (F, J)).\nUsando el PSS-isomorfismo se definen los números espectrales c(a, F),\ndonde 0 6 = un QH*(M), de la manera habitual [45]. Es decir, la acción funcional\nAF define una filtración en C(F) que induce una filtración HF\n* (F, J),\nHF*(F, J), con HF\n* (F, J) • HF\n* (F, J) siempre que α < β. Entonces\nc(a, F ) := inf â € € € € M(a) â € € € €\n* (F, J)}.\nTal número espectral es finito y bien definido (no depende de J). Toma.\nes una breve descripción de las propiedades relevantes de los números espectrales – para más detalles\nVéase [45] (véase también [65, 42, 59, 43] para versiones anteriores de esta teoría).\n(Espectralidad) c(a,H) • spec (H), donde la especificación del espectro (H) de H es\ndefinido como el conjunto de valores críticos de la acción funcional AH, es decir,\nspec (H):= AH(P\n(Propiedad de desplazamiento de la homología de quantum) c(l,H) = c(l,H) + (l) para todos\nEn el caso de que se trate de una tasación definida en la sección 3.1.\n(propiedad de desplazamiento hamiltoniano) c(a,H + (t)) = c(a,H) +\n(t) dt para\ncualquier Hamiltonian H y función : S1 → R.\n(Monotonicidad) Si H1 ≤ H2, entonces c(a,H1) ≤ c(a,H2).\n(Propiedad Lipschitz) El mapa H 7→ c(a,H) es Lipschitz en el espacio de\n(dependiendo del tiempo) Hamiltonians H : M × S1 → R con respecto a la\nC0-norm.\n(invarianza simpléctica) c(a, H) = c(a, H) por cada \nH (M); más generalmente, Symp (M) actúa sobre H* (M ;F), y por lo tanto\nsobre QH*(M), y c(a, \n∗H) = c(a,H) para cualquier síntoma (M). • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • \n(Normalización) c(a, 0) = ν(a) por cada • QH*(M).\n(Invarianza de Homotopy) c(a,H1) = c(a,H2) para cualquier H1, H2 normalizado\nla generación de la misma Hśam (M). Por lo tanto, se puede definir c(a, ♥) para cualquier\nPara cualquier generación normalizada de H, H (M) como c(a, H).\n(Desigualdad triángulo) c(a ∗ b, ) ≤ c(a, \nEl anillo conmutativo QH•(M) admite una forma K-bilineal y K-valuada \nsobre QH•(M) que se asocia a un par de clases de homología cuántica a, b\nQH•(M) el coeficiente (perteneciente a K) en la clase [punto] = [punto] · q\na punto en su producto cuántico a * b • QH•(M) (la estructura Frobenius).\nLet : K → F ser el mapa que envía cada serie\n\n* * * * *, * * * * *, * * *, * * * * F, * *, * * a su libre, * *, * * a su libre, * *, *\nTérmino z0. Definir un emparejamiento no degenerado F -valuado F -lineal en QH•(M) por\nΠ(a, b) := (a, b) = (a ∗ b, [M ]). (20)\nNótese que Π es simétrico y\nΠ(a ∗ b, c) = Π(a, b ∗ c) (21)\nCon esta noción a la mano, podemos presentar otra propiedad importante de\nNúmeros espectrales:\n(Poincaré duality) c(b, ) = − infa(b) c(a, \n−1) para todos los b • QH•(M) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • \ny.................................................................................................. Aquí (b) denota el conjunto de todo un QH•(M) con Π(a, b) 6= 0.\nLa dualidad de Poincaré se puede extraer de [47] (cf. [22]) – Para una prueba véase\n[46].\nLa siguiente propiedad es una consecuencia inmediata de las definiciones (véase [22]\npara una discusión en el caso monotono:\n(Propiedad exponente característica) Dado 0 6= \na, b, a + b 6= 0, y a (dependiendo del tiempo) Hamiltonian H, uno tiene\nc( · a,H) = c(a,H) y c(a+ b,H) ≤ max(c(a,H), c(b,H)).\n3.5 Los cuasiestados simpléticos parciales\nTeniendo en cuenta un idempotente distinto de cero un QH2n(M) y un Hamil-\ntoniano H :M → R, definir\n(a,H) := lim\nc(a, lH)\n. (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nCuando una es fija, a menudo abreviaremos •(H) en lugar de •(a,H). El límite\nen la fórmula (22) siempre existe y, por lo tanto, el funcional....................................................................................................................................................................................................................................................... \nbien definido. El funcional de la \"C\" es Lipschitz con respecto a la C0-\nnorma H = maxM H y por lo tanto se extiende a un funcional : C(M) → R,\ndonde C(M) es el espacio de todas las funciones continuas en M. Estos hechos fueron\nprobado en [23] en el caso a = [M ] pero las pruebas realmente pasan por cualquier\nÍdempotente no cero a QH2n(M).\nAquí vamos a enumerar las propiedades de • para tal M. De nuevo, estos proprie-\nse probaron en [23] en el caso a = [M ] pero la prueba pasa por\ncualquier idempotente distinto de cero a QH2n(M). La aditividad con respecto a la\npropiedad de stants no estaba explícitamente enumerado en [23], pero sigue inmediatamente de\nla definición de la propiedad de los números espectrales y el cambio Hamiltoniano.\nLa desigualdad del triángulo se deriva fácilmente de la definición de\ndesigualdad triangular para los números espectrales.\nTeorema 3.6. El funcional : C(M) → R satisface los siguientes prop-\nerties:\nSemi-homogeneidad: (αF ) = (F ) para cualquier F y cualquier α-R≥0.\nDesigualdad del triángulo: Si F1, F2 o C\n(M), {F1, F2} = 0 a continuación (F1 + F2) ≤\n(F1) + (F2).\nAditividad parcial y desaparición: Si F1, F2 + C\n(M), {F1, F2} = 0 y la\nsoporte de F2 es desplazable, a continuación, •(F1 + F2) = •(F1); en particular, si el\nel soporte de F • C(M) es desplazable, • (F) = 0.\nAditividad con respecto a las constantes y normalización: (F ) = (F )\npara cualquier F y cualquier α â € R. En particular, â € (1) = 1.\nMonotonicidad: ≤ (F ) ≤ (G) para F ≤ G.\nInvarianza simpléctica: •(F) = •(F) •(f) para cada difeomorfismo simpléctico\nf) Symp0 (M).\nCaracterística de la propiedad exponente: (a1+a2, F ) ≤ max(a1, F ), (a2, F ) para\ncada par de idempotentes no cero a1, a2 con a1 ∗ a2 = 0, a1+ a2 6= 0 (en este\nel caso a1 + a2 es también un idempotente distinto de cero), y para todos los F + C(M).\nLlamaremos al funcional : C(M) → R satisfaciendo todas las propiedades\nenumerado en Teorema 3.6 un cuasi estado simplético parcial.\n4 Propiedades básicas de (super) juegos pesados\nEn esta sección demostramos las partes (i) y (iii) del Teorema 1.2, así como la\norem 1.3. Usaremos que un cuasi-estado simplético parcial se extiende por\ncontinuidad en la norma uniforme a un monótono funcional en el espacio de\nfunciones continuas C(M), véase la sección 3.5 supra. En particular, se puede\nutilizar funciones continuas en lugar de las suaves en la definición de (su-\npor)peso en las fórmulas (3) y (4).\nSuponga que se fija un cuasiestado parcial definido por un idempotente distinto de cero\ny consideramos pesadez y superpeso con respecto a................................................................................................................. Comenzamos\ncon la siguiente elemental\nProposición 4.1. Un subconjunto cerrado X • M es pesado si y sólo si por cada\nH (M) con H(X) = 0, H (H) ≤ 0 Un subconjunto cerrado\nX M es superpesada si y sólo si por cada H C • M con H = 0,\nH ≥ 0 una persona presenta un intervalo de tiempo de 0 a 0.\nPrueba. Las partes “solo si” siguen fácilmente de la propiedad de la monotonicidad de\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Demostremos la parte “si” en el “caso pesado” – el caso “superpesado” es\nsimilar. Tomar una función H en M y poner\nF = min(H − inf\nH, 0).\nNótese que F X = 0 y F ≤ 0. Por lo tanto (F ) = 0 por la suposición de la\nProposición. Por lo tanto\n0 = (F ) ≤ (H − inf\nH) = فارسى(H)− inf\nque produce pesadez de X.\nLa siguiente proposición prueba la parte i) del Teorema 1.2.\nProposición 4.2. Cada juego superpesado es pesado.\nPrueba. Let X â € ¢ M ser un subconjunto superpesado. Supongamos que HX = 0, H ≤ 0.\nPor la desigualdad del triángulo para.... tenemos...................................................................................... Tenga en cuenta que\n−HX = 0, −H ≥ 0. Los rendimientos de la superpeso (−H) ≤ 0, así que ≤(H) ≥ 0. Pero\npor monotoniicidad (H) ≤ 0. Por lo tanto, el valor de la reclamación es 0 y la reclamación se deriva de:\nProposición 4.1.\nLos juegos superpesados tienen la siguiente propiedad fácil de usar.\nProposición 4.3. Deja que X-M sea un juego superpesado. Entonces por cada α â € TM TM R\ny H °C(M) con HX • α uno tiene •(H) = α.\nPrueba. Dado que el término «H» + «α» = «H» + «α», basta con demostrar la\nα = 0. Tome cualquier función H con HX = 0. Dado que X es superpesada y, por\nProposición 4.2, también pesado, tenemos\n0 = (H) ≤ (H) ≤ (H) = 0,\nque produce •(H) = 0.\nComo consecuencia inmediata obtenemos parte (iii) del Teorema 1.2.\nProposición 4.4. Cada conjunto superpesado se cruza con cada conjunto pesado.\nPrueba. Deja que X sea un conjunto superpesado y Y sea un conjunto pesado. Asumir en el\nAl contrario que X â € Y = â € €. Tomar una función H ≤ 0 con HY فارسى 0 y\nHX-−1. A continuación, en la Proposición 4.3, el punto H = −1. Por otra parte,\n(H) = 0 ya que Y es pesado, y obtenemos una contradicción.\nTenga en cuenta que dos conjuntos pesados no necesariamente se cruzan entre sí: un meridiano\nde T2 es pesado (véase el corolario 6.4 más abajo), mientras que dos meridianos pueden ser desarticulados.\nPrueba del teorema 1.3 i) y ii): la desigualdad triangular produce\nc(a,H) = c(a ∗ [M], 0 +H) ≤ c(a, 0) + c([M ], H) = v(a) + c([M ], H).\nPasando a los cuasi-estados parciales (a,H) y ([M ], H) obtenemos:\n•(a,H) = lim\nc(a, kH)/k ≤\n≤ lim\n( v.a) + c([M ], kH))/k = lim\nc([M], kH)/k = فارسى([M], H).\nEl resultado ahora se deriva de la definición de conjuntos pesados y superpesados (véase\nDefinición 1.1).\nPrueba de Teorema 1.3 (iii): Por la característica propiedad exponente de\ninvariantes espectrales,\n(a, F ) ≤ máx.\ni=1,...,l\n* (ei, F ) * (F ) * (C )\n* (M). 23)\nElija una secuencia de funciones Gj â € C\n• (M), j → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\npropiedades de descenso: Gk ≤ Gj para k > j, Gj = 0 en X, Gj ≤ 0 y para\ncada función F ≤ 0 que desaparece en un barrio abierto de X allí\nexiste j para que Gj ≤ F (la existencia de tal secuencia se puede comprobar fácilmente).\nEn vista de la desigualdad (23), tenemos que para cada j existe i para que\n• (a,Gj) ≤ (ei, Gj). Pasando, si es necesario, a una subsecuencia Gjk, jk →.\npodemos asumir sin pérdida de generalidad que yo es el mismo para todos j. A la vista\nde pesadez de X con respecto a a, tenemos que •(a,Gj) = 0. Por lo tanto\n• (ei, Gj) ≥ 0.\nElija cualquier función F ≤ 0 onM que desaparezca en un barrio abierto\nde X. Entonces existe j lo suficientemente grande como para que F ≥ Gj. Por monotonicidad\ncombinado con la estimación anterior que tenemos\n0 ≥ (ei, F ) ≥ (ei, Gj) ≥ 0,\nque produce (ei, F ) = 0.\nAhora que F sea cualquier función continua en M que desaparece en X. Toma\nuna secuencia de funciones continuas Fj, convergiendo a F en la C\n0-norm, así que\nque cada FJ desaparece en un barrio abierto de X. Entonces, (ei, Fj) =\nlimj (ei, Fj) = 0, porque (ei, ·) es Lipschitz con respecto a la C\nnorma. La pesadez de X con respecto a ei se deriva ahora de la Proposición 4.1.\nEsto termina la prueba del teorema.\n5 Productos de conjuntos (super) pesados\nEn esta sección probamos Teorema 1.5 en productos de subconjuntos (super) pesados.\n5.1 Fórmula de producto para invariantes espectrales\nLa prueba de Teorema 1.5 se basa en el siguiente resultado general.\nTeorema 5.1. Por cada par de Hamiltonianos dependientes del tiempo G1, G2 onM1\ny M2, y todos los no-cero a1 QHi1(M1), a2 QHi2(M2) tenemos\nc(a1 a2, G1(z1, t) + G2(z2, t)) = c(a1, G1) + c(a1, G2).\nAquí G1(z1, t) +G2(z2, t) es un Hamiltoniano dependiente del tiempo en M1 ×M2.\nDeduzcamos el Teorema 1.5 del Teorema 5.1.\nPrueba de Teorema 1.5: Demostramos que el producto de los juegos superpesados es\nsuperpesados (la prueba para conjuntos pesados va sin ningún cambio). Denotamos\npor.............................................................................................................................................................................................................................................................. \nsociated a los idempotentes a1, a2 y a1 a2 respectivamente. Deja que Xi Mi,\ni = 1, 2, ser un conjunto superpesado. Por la Proposición 4.1 basta con demostrar que si un\nLa función no negativa G-C-(M) desaparece en algún barrio, dicen U,\nde X := X1 × X2 a continuación (G) = 0. (Puesto que es Lipschitz con respecto a la\nC0-norm esto implicaría que •(G) = 0 para cualquier G • C(M) no negativo\nque desaparece en X). Put K := maxM G. Elegir barrios Ui de Xi así\nque U1 × U2 + U. Elegir funciones no negativas Gi on Mi que desaparecen en\nXi y tal que Gi(z) > K para todos z â € Mi \\Ui. Observe que G ≤ G1 + G2.\nPero, en vista del Teorema 5.1 y la superpeso de Xi, tenemos\n*(G1 +G2) = *1(G1) + *2(G2) = 0.\nPor monotonicidad\n0 ≤ G ≤ G1 + G2 = 0,\ny, por lo tanto, (G) = 0.\nQueda por probar el Teorema 5.1. Tenga en cuenta que el lado izquierdo de la igualdad\nen el teorema no excede del lado derecho: se trata de un imme-\ndiate consecuencia de la desigualdad triangular para invariantes espectrales. Sin embargo,\nNo pudimos usar esta observación para probar el teorema. Nuestro ap-\nproach se basa en un análisis algebraico bastante largo que nos permite\ncalcular por separado los lados izquierdo y derecho “en el nivel de la cadena”. A\nLa simple inspección de los resultados de este cálculo da lugar a la igualdad deseada.\n5.2 Complejos degradados de grado Z2\nUn complejo Z2 es un espacio vectorial de dimensiones finitas V de grado Z2 sobre un campo\nK equipado con un diferencial K-lineal \ncambiar la clasificación. Un complejo decorado sobre K = K.o. incluye lo siguiente:\ndatos:\n• un subgrupo contable\n• un complejo de grado Z2 (V, d) sobre K\n• una base preferida x1,. ...........................................................\n• una función F : {x1,. .., xn} → R (llamado el filtro) que se extiende a V\njxj) = max(lj) + F (xj)\n6 = 0},\ny satisface F (dv) < F (v) para todos v < V \\ {0}. La convención es que\nF (0) =. Aquí está la valoración definida en la sección 3.1 anterior.\nUsaremos la notación.\nV := (V, {xi}i=1,...,n, F, d,\npara un complejo decorado.\nEl producto K-tensor V = V1KV2 de complejos decorados\nVi = (Vi, {x)\nj }j = 1,...,ni, Fi, di,Í), i = 1, 2\nse define como sigue. Considerar el espacio V = V1KV2 (véase la fórmula (5) anterior)\ncon el grado natural Z2. Definir el diferencial d en V por\nd(x y) = d1x y + (−1)\nxx d2y.\nLa base preferida en V es dada por {xpq := x\np x\nq } y el filtro F es\ndefinido por\nF (xpq) = F1(x)\np ) + F2(x\nFinalmente, pusimos V := (V, {xpq}, F, d,\nLa homología (de grado Z2) de los complejos decorados está denotada por H*(V)\n– son espacios K-vector. Por la fórmula Künneth, H(V1KV2) =\nH(V1)KH(V2).\nA continuación definimos invariantes espectrales asociados a un complejo decorado V :=\n(V, {xpq}, F, d). Es decir, para un â ¬ H(V) puesto\nc(a) := inf{F (v) a = [v], v Ker d}.\nVeremos más abajo que c(a) > â € para cada 6= 0.\nEl propósito de esta digresión algebraica es declarar el siguiente resultado:\nTeorema 5.2. Para cualquier dos complejos decorados V1,V2\nc(a1 a2) = c(a1) + c(a2) \n5.3 Homología Floer y Cuántica Reducida\nLa 2-periodicidad del complejo Floer y la homología Floer definida por el\nla multiplicación por q (véase la Proposición 3.1 anterior) permite codificar su\nestructura gebraica en un complejo Z2 decorado. Considerar un par regular (G, J)\nque consiste en una función Hamiltoniana y una estructura casi compleja compatible\nEn general, ambos dependen del tiempo. Let (C*(G), dG,J) be the\nel correspondiente complejo Floer. Asociémoslo a un complejo Z2-: un Z2-\nVG de espacio vectorial graduado sobre K.o., definido como\nVG := C0(G)+ C1(G),\ncon el grado de Z2 obvio, y un diferencial ŁG,J : VG → VG, definido como\nla suma directa de dG,J : C1(G) → C0(G) y qdG,J : C0(G) → C1(G). Uno\ncomprueba fácilmente que se trata de un complejo Z2 porque dG,J : C(G) → C(G)\nes -lineal. Llamaremos (VG, G, J) al complejo Z2 asociado a (G, J).\nTenga en cuenta que los ciclos y los límites de (VG, G) que tienen Z2-grado\ni {0, 1} en VG coinciden, respectivamente, con los ciclos y los límites\nque tengan un grado Z i de (C(G), dG,J). Por lo tanto la homología Floer HFi (G, J)\nes isomórfico, como un espacio vectorial sobre K.O., al componente i-ésimo grado de la\nla homología del complejo (VG, G, J).\nEl Z2-complejo (VG, G, J) lleva una estructura del complejo decorado\nVG,J como sigue. Que γi(t), i = 1,.., m, sea la colección de todos los contractibles\nÓrbitas 1-periódicas del flujo Hamiltoniano generadas por G. Elija el disco ui\nen M que abarca γi. Para cada i existe un entero único, decir ri, de modo que\nel índice Conley-Zehnder del elemento xi := q\nri · [γi, ui] se encuentra en el conjunto\n{0, 1}. Claramente, la colección {xi} forma una base de VG sobre K. Lo haremos.\nconsiderarlo como una base preferida. Tenga en cuenta que la base preferida es única hasta\nmultiplicación de xis por elementos de la forma s\nαi, αi â € â € €. Por último, la acción\nfuncional asociado a G define una filtración en VG.\nLa homología de (VG, G, J) se puede identificar canónicamente a través de la PSS-\nisomorfismo con el objeto que llamamos homología cuántica reducida:\nQHred(M):= QH0(M)+QH1(M).\nLlamamos a esto isomorfismo el reducido PSS-isomorfismo y lo denotamos por G,J.\nTenga en cuenta que tenemos una proyección natural p : QH*(M) → QHred(M) que\nenvía cualquier elemento homogéneo de grado a aqr con deg a + 2r {0, 1}.\nCon esta notación, el habitual Floer-homológico invariante espectral c(a,G)\ncoincide con el invariante espectral c(p(a)) del complejo decorado VG,J.\n5.4 Prueba del teorema 5.1\nPor la propiedad Lipschitz de los números espectrales es suficiente considerar la\ncaso cuando G1 y G2 pertenecen a pares regulares (Gi, Ji), i = 1, 2. Establecer\nG(z1, z2, t) := G1(z1, t) +G(z2, t)\ny J := J1 × J2. Entonces (G, J) es también un par regular. Puso \"i\" = \"(Mi\", \"i\"). Lo siento.\nes sencillo ver que el complejo decorado VG,J es el K-tensor\nproducto de los complejos decorados VGi,Ji para i = 1, 2.\nPut (M,) = (M1×M2, 12). Una modificación obvia de los Künneth\nfórmula para la homología cuántica (véase, por ejemplo, [41, Ejercicio 11.1.15] para el Estado\nEn el caso de los monótonos, se produce un monomorfismo natural.\nı : QHi1(M1, #1)KQHi2(M1, #1) → QHi1+i2(M,#).\nPuesto que en nuestro entorno las homologías cuánticas son 2-periódicas, la colección de estos\nisomorfismos para todos los pares (i1, i2) del conjunto {0, 1} induce un isomorfismo\nj : QHred(M1)KQHred(M2) → QHred(M).\nTiene las siguientes propiedades: En primer lugar, dados dos elementos a1 â € QHi1(M1, â € TM 1)\ny a2 QHi2(M2, 2) tenemos que\np(a1) p(a2) = p(a1 a2).\nEn segundo lugar, el siguiente diagrama se desplaza:\nH(VG1, ŁG1,J1)KH(VG2, ŁG2,J2)\nG1,J1G2,J2\nH (VG, G, J)\nQHred(M1)KQHred(M2)\n// QHred(M)\nAquí k es el isomorfismo que viene de la fórmula Künneth para Z2-comple-\nxes, y Gi, Ji, G, J representan el reducido PSS-isomorfismos. De ello se deduce que\nla definición de c(ai, Gi), c(a1a2, G) coincide con la definición de c(pai) y\nc(p(a1) p(a2)). Por Teorema 5.2 obtenemos eso\nc(a1a2, G) = c(p(a1)p(a2)) = c(p(a1))+ c(p(a2)) = c(a1, G1)+ c(a2, G2).\nEsto demuestra Teorema 5.1 módulo Teorema 5.2.\n5.5 Prueba del teorema algebraico 5.2\nUn complejo decorado se llama genérico si F (xi) − F (xj) / para todos i 6= j\n(recordemos que bajo nuestras suposiciones, el grupo de períodos del simplés\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Comenzamos desde algunos\nhechos auxiliares del álgebra lineal. Let V := (V, {xi}i=1,...,n, F, d,\ncomplejo decorado genérico. Recordamos una vez más que por brevedad escribimos K\nen lugar de \"K\" donde sea que esté claro lo que se toma.\nUn elemento x • V se llama normalizado si\nx = xp +\ni 6=p\n(xp) > máx.\ni 6=p\nF (lxixi).\nUsaremos la notación x = xp+o(xp). En los complejos genéricos, cada elemento\nx 6= 0 se puede escribir de forma única como x = ♥(xp+o(xp)) para algunos p = 1,..., n y\nK. Un sistema de vectores e1,. ..., em en V se llama normal si cada ei tiene\nla forma ei = xji +o(xji) para ji {1,...., n} y los números ji son pares\nDistinto.\nLemma 5.3. Let e1,. ............................................................................... Entonces\n(+) = máx.\nF ()...................................................................................................................................................................\nPrueba. Demostramos el resultado utilizando la inducción en m. Para m = 1 la declaración es\nEs obvio. Vamos a comprobar el paso de inducción m− 1 → m. Observe que es suficiente\npara comprobar que\nF (e1 +\n(e1), ≥ F (e1). (24)\nEntonces, obviamente.\n(+) ≥ máx.\nF (l'iei),\nmientras que la desigualdad inversa es una consecuencia inmediata de las definiciones.\nPor el paso de inducción,\n(+) = máx.\ni=2,...,n\nF ()...................................................................................................................................................................\nEn vista de la genericidad, el máximo en el lado derecho puede ser único\nescrito con la letra F (0xi0). Sin pérdida de generalidad asumiremos que ei =\nxi + o(xi) e i0 = 2.\n12 ♥iei = x2 + o(x2).\nEscribir\ne1 = x1 + αx2 +X, v = x2 + βx1 + Y,\ndonde α, β-K y X, Y-SpanK(x3,. ., xn). Tenga en cuenta que F (x1) > F (αx2),\nF (x2) > F (βx1), que rinde\n/(α) < F (x1)− F (x2) < (β) = /(β)\n−1). (25)\nEn particular, /(α) < /(1). Tenga en cuenta que\ne1 + 2v = (1 + 2β)x1 + (α + 2)x2 + Z, Z • SpanK(x3,. .., xn).\nF (e1 + 2v) ≥ max( v(1 + 2β) + F (x1), ν(α + 2) + F (x2)).\nSi ν(1 + ♥2β) ≥ 0 tenemos F (e1 + ♥2v) ≥ F (x1) = F (e1) y desigualdad (24)\nsigue. Asumir que < 0 = 1 / 1. A continuación, el apartado 2 del artículo 2 del Reglamento n° 1408/71 se sustituye por el texto siguiente:\ny, por lo tanto, /(l) 2 = /(l)\n-1) 6 = /(α). Por lo tanto\n≥ < = (β)......................................................................................................................................................................................................................................................... \nCombinando esta desigualdad con (25) obtenemos eso\nF (e1 + 2v) ≥ ν(α + 2) + F (x1) + (F (x2)− F (x1))\n≥ F (x1) + ( v(α + 2) + ν(β)) ≥ F (x1) = F (e1).\nEsto completa la prueba de la desigualdad (24), y por lo tanto del lema.\nSe deduce fácilmente del lema que cada sistema normal es linealmente inde-\nPendent.\nLemma 5.4. Todos los subespacios L+V tienen una base normal.\nPrueba. Utilizamos inducción sobre m = dimK L. El caso m = 1 es obvio,\nasí que vamos a manejar el paso de inducción m − 1 → m. Basta con mostrar el\nsiguiente: Let e1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\n′, y let v / L′\nser cualquier vector. Poner L = SpanK(L\n′ {v}). Entonces existe em â € L para que\ne1,. ........................................................................ De hecho, asumir sin pérdida de generalidad que\npara todos los i = 1,..., m−1 uno tiene ei = xi+ o(xi). Poner W = SpanK(xm,. ., xn).\nAlegamos que L′ W = {0}. De hecho, de lo contrario\n1e1 +... •m−1em−1 = mxm +... + nxn\ndonde las combinaciones lineales en los lados derecho e izquierdo son no-\ntrivial. Aplicar F a ambos lados de esta igualdad. Por Lemma 5.3\nF (1e1 +.... + m1em1) = F (xp) mod •, donde 1 ≤ p ≤ m− 1,\nmientras\nF (........nxn) = F (xq) mod................................................................................................................................................................................................................................................ \nEsto contradice la genericidad de nuestro complejo decorado, y la afirmación fol-\nBajas. Desde dimLdimW = dimV, tenemos que V = LW. Descomponer v\ncomo u+w con u â L′, w â W, y tenga en cuenta que w â L. Tenga en cuenta que e1,. .., em−1, w\nson linealmente independientes. Además, w = (xp + o(xp)) para algunos p ≥ m.\nPut em = \n−1w. Los vectores e1,. ...............................................................\nLa misma prueba muestra que si L1 + L2 son subespacios de V, cada base normal\nen L1 se extiende a una base normal en L2.\nAhora nos dirigimos al análisis del diferencial d. Elija una base normal\ng1,. .., gq en Im d, y extenderlo a una base normal g1,. .., gq, h1,. ...........................................................\nKer d. Tenga en cuenta que cada uno de estos vectores p + q tiene la forma xj + o(xj) con\ndistinto j. Asumamos sin pérdida de generalidad que el n−p−q restante\nlos elementos de la base preferida en V son x1,. .., xq, y\ngi = xi+q + o(xi+q), hj = xj+2q + o(xj+2q).\nAquí usamos eso, por el teorema de la dimensión, n = p+ 2q. Tenga en cuenta que\nx1,. .., xq, g1,. .., gq, h1,. .., hp\nes un sistema normal, y por lo tanto una base en V. Llamamos a tal base un espectral\nbase del complejo decorado V.\nTenga en cuenta que [h1],. .., [hp] es una base en la homología H (V). Considerar cualquier\nhomología clase a =\n[hola]. Cada elemento v V con a = [v] puede ser\nescrito como v =\n♥ihi +\nαjgj. Por lo tanto, por Lemma 5.3, F (v) ≥ maxi F (đihi)\ny, por lo tanto,\nc(a) = máx.\nF (l'ihi). 26)\nEsto demuestra en particular que los invariantes espectrales son finitos siempre que un 6= 0.\nPara conjuntos finitos A = {v1,. .., vs} y B = {w1,. ..........................................................\nconjunto finito {vi wj}.\nSupongamos ahora que V1,V2 son complejos decorados genéricamente. Nosotros decimos que ellos\nestán en posición general si su producto tensor V = V1KV2 es genérico. Vamos.\nBi = {x\n1,. .., x\n1,. .., g\n1,. .., h\n}, i = 1, 2\nser una base espectral en Vi. Obviamente, B1 B2 es una base normal en V1KV2.\nDenotaremos por d1, d2, d los diferenciales y por F1, F2, F los filtros en\nV1, V2 y V respectivamente. Ponga Gi = {g\n1,. .., g\nqi }, Hi = {h\n1,. .., h\ny K = G1 B2 B1 G2. Observar que\nIm d â € ¢ W := Span(K).\nTomar cualquier dos clases\nj ] H(Vi), i = 1, 2.\nSupongamos que a1 a2 = [v]. Entonces v es de la forma\n(1)m \nm h\nl + w\ndonde w debe estar en W. Observar que (H1 H2) Por Lemma 5.3,\nF v) ≥ máx.\nF (de 1 m)\nm h\nl ),\ny, por lo tanto,\nc(a1 a2) = máx.\nF (de 1 m)\nm h\n= máx.\nm ) + F2(\n= máx.\nm ) + máx.\nl ) = c(a1) + c(a2).\nEn la última igualdad usamos (26). Esto completa la prueba del Teorema 5.2\npara complejos decorados en posición general.\nQueda por eliminar el supuesto de posición general. Esto se hará.\ncon la ayuda del siguiente lema. Trabajaremos con una familia de...\nComplejos clasificados\nV := (V, {xi}i=1,...,n, F, d,\nque tienen exactamente los mismos datos (base preferida, clasificación, diferencia y\nCon la excepción del filtro F, que podrá variar en la clase\nde filtros. Los invariantes espectrales correspondientes serán denotados por c(a, F ).\nLemma 5.5.\ni) Si los filtros F, F ′ satisfacen F (xi) ≤ F\n′(xi) para todos los i = 1,..............................................................................................................................................\nc(a, F ′) para todas las clases distintas de cero a H(V).\n(ii) Si F es un filtro y R, entonces F + es de nuevo un filtro y c(a, F + R) =\nc(a, F ) + para todas las clases distintas de cero a • H(V).\nLa prueba es obvia y la omitimos. De ello se deduce que para los dos filtros F, F ′\nc(a, F )− c(a, F ′) ≤ F − F C0 \nSupongamos ahora que V1,V2 son complejos decorados. Denota por F1, F2 sus\nfiltros. Arreglar â € > 0. Por una pequeña perturbación de los filtros obtenemos nuevos filtros,\nF ′1 y F\n2, en nuestros complejos para que los complejos se conviertan en genéricos y en\nposición general y, además,\nF1 − F\n1C0 ≤ , F2 − F\n2C0 ≤ .\nTeniendo en cuenta las clases de homología ai H(Vi) tenemos\nc(a1, F1) + c(a2, F2)− c(a1 a2, F1 + F2) ≤\nc(a1, F\n1) + c(a2, F\n2) - c(a1 a2, F\n1 + F\n2 = 4 = 4 = 2 = 4 = 2 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4.\nAquí hemos utilizado que el teorema 5.2 ya está probado para los complejos genéricos en\nposición general. Puesto que â € > 0 es arbitrario, obtenemos que\nc(a1, F1) + c(a2, F2)− c(a1 a2, F1 + F2) = 0,\nque completa la prueba de Teorema 5.2 en toda generalidad.\n6 No desplazabilidad estable de conjuntos pesados\nEn esta sección demostramos la parte (ii) del Teorema 1.2.\nProposición 6.1. Cada subconjunto pesado es establemente no desplazable.\nPara la prueba necesitaremos la siguiente declaración auxiliar. Dado R > 0,\nconsiderar el toro T2R obtenido como cociente del cilindro T\n∗S1 = R(r)×\nS1 ( mod 1) por el cambio (r, ) 7→ (r + R, ). Para α > 0 definir la función\nFα(r, ) := αf(r) en T\nR, donde f(r) es cualquier función R-periódica que\ndos puntos críticos no degenerados en [0, R]: un punto máximo en r = 0 con\nf(0) = 1, y un punto mínimo en r = R/2, f(R/2) =: < 0. Denotamos\npor [T] la clase fundamental de T2R. Trabajamos con la forma simpléctica dr.d.\nen T2R.\nLemma 6.2. c([T ], Fα) = α.\nPrueba. Tenga en cuenta que las órbitas cerradas contractibles del período 1 del Hamiltonian\nflujo generado por Fα son puntos fijos formando círculos S+ = {r = 0} y\nS− = {r = R/2}. Las acciones de los puntos fijos en S± igual, respectivamente, a\nα y, y por lo tanto los invariantes espectrales de Fα se encuentran en el conjunto,.\nRecordemos de [59] que c([T ], Fα) > c([punto], Fα). Así c([T ], Fα) = α.\nLemma 6.3. Dejemos que H (C) (M) sea desplazable para que H-1 (maxH). Entonces\n(H) < maxH.\nPrueba. Elija â € > 0 para que el conjunto\nH−1((máx.\nes desplazable. Elija una función de corte de valor real : R → [0, 1] que\nes igual a 1 cerca de maxH y que se apoya en (maxH,maxH). Por lo tanto\nEn H−1((maxH − •; maxH ]) y en 0, se admite el uso de H−1(H) (maxH − •; maxH ]. Desde H\ny (H) Poisson-computar, la desaparición y la monotonicidad axiomas rendimiento\n(H) ≤ máx(H) (H) < máx(H) (H) < máx(H) (H) < máx(H) (H) < máxH.\nPrueba de la Proposición 6.1: Basta con demostrar que por cada R > 0 el conjunto\nY := X × {r = 0} M ′ := M × T2R\nno es desplazable. Supongamos por el contrario que Y es desplazable. Elegir\na función H en M con H ≤ 0, H−1(0) = X. Poner\nH ′ = H + F1 = H + f(r) :M\n′ → R.\nAsumir que el cuasi-estado parcial en M está asociado a algunos no-cero\nidempotente a QH*(M) por medio de (2). Denotación de.................................................................................................\n′ el cuasiestado en\nM ′ asociado a a T. Tenga en cuenta que\nY = (H ′)−1(maxH ′), donde maxH ′ = 1,\nmientras que el teorema 5.1 y Lemma 6.2 implican que\nفارسى ′(H ′) = فارسى(H) + 1.\nPor Lemma 6.3 ≤ ′(H ′) < 1 y por Lemma (H) < 0. En vista de la Proposición 4.1,\nobtener una contradicción con la pesadez de X.\nLemma 6.2 también da una simple prueba del siguiente resultado, que también sigue\ndel corolario 1.15:\nCorolario 6.4. Cualquier meridiano de T2 es pesado (con respecto a la fundamental\nclase [T]).\nPrueba. En la notación anterior identificar T2 con T21 para R = 1. Desde cualquier\ndos meridianos de T2 pueden ser mapeados entre sí por una isotopía simpléctica\ny puesto que tal isotopía preserva la pesadez, basta probar que la\nel meridiano S := S+ = {r = 0} (ver la prueba de Lemma 6.2) es pesado.\nLet H : T2 → R ser un hamiltoniano y vamos a mostrar que •(H) ≥ infSH,\ndonde se defina el valor de los valores de referencia utilizando [T ]. Cambiando H, si es necesario, por una constante, podemos\nasumir sin pérdida de generalidad que infSH = 1. Pick f = f(r) : T\n2 → R\ncomo en la definición de Fα para que F1 = f ≤ H en T\n2 (nota que f es igual a 1 en\nS). Entonces Lemma 6,2 rendimientos\n• (H) ≥ (F1) = 1 = inf\n7 Analizar tallos estables\nPrueba de Teorema 1.6: Supongamos que A es un subespacio Commutativo Poisson\nΦ : M → A* su mapa del momento con la imagen, y let X =\n1(p) ser un tallo estable de A.\nTome cualquier funciónH • C•(A*) con H ≥ 0 y H(p) = 0. Nosotros afirmamos que\n*(H) = 0. Por una arbitrariamente pequeña C0-perturbación de H podemos asumir\nque H = 0 en un barrio pequeño, digamos U, de p. Elija una cubierta abierta\nU0, U1,. ...................................................................................................................................................\n− 1 (Ui) son establemente desplazables\npara i ≥ 1 (existe por la definición de tallo). Let.......................................................................................................................................................................................\nser una partición de unidad subordinada a la cubierta {Ui}.\nTome el T2R de dos torsión como en la Sección 6. Elija R > 0 lo suficientemente grande para que\n1(Ui)× {r = const} es desplazable en M × T\nR para todos los i ≥ 1. Elija ahora\nuna cobertura suficientemente fina Vj, j = 1,..., K, del toro T.\nR por lo suficiente\ndelgada anular r − rj < de modo que los conjuntos Φ\n−1(Ui) × Vj son desplazables en\nM × T2R para todos los i ≥ 1 y todos los j. Let â € ~ j = â € ~ j(r), j = 1,..., K, ser una partición\nde unidad subordinada a la cubierta {Vj}.\nDenotar por el estado cuasi parcial correspondiente a aT. Puso F (r, ) =\ncos(2γr/R). Escribir\nH + F =\n(H + F )\n(H0) + F · Φ\n0 +\n(H + F ) · i · j.\nNótese que H0 = 0 y F · Φ\n0 ≤ 1. Aplicación de la cuasiadditividad parcial\ny la monotonicidad tenemos eso\n′(H + F ) = ′(F · 0) ≤ 1.\nPor Lemma 6.2 y la fórmula del producto (Teorema 5.1 arriba) tenemos\n(H + F ) = (H + F ) = (H ) + 1 ≤ 1\ny, por lo tanto, «(H)» ≤ 0. Por otra parte, el valor de H ≥ 0 (H) ≥ 0 desde el punto de vista de H ≥ 0. Por lo tanto\nA continuación figura una reclamación de 0 (H) = 0.\nAdemás, dada cualquier función G en M con G ≥ 0 y GX = 0, se puede\nencontrar una función H en A* con H(p) = 0 para que G ≤ H. Por monotonicidad\ny la reclamación supra\n0 ≤ G ≤ H = 0,\ny, por lo tanto, el punto G = 0. Así X es superpesada.\n8 Submanifolds monotónicos lagrangianos\nLa principal herramienta de prueba (super)peso de la monotona Lagrangian subman-\nilolds que satisfacen la condición de Albers es la estimación espectral en Proposi-\nsión 8.1(iii) a continuación, que se originó en la obra de Albers [2]. Más tarde.\nBiran y Cornea señalaron un error en [2], y sugirieron una corrección\njunto con una generalización de largo alcance en [15]. Mencionemos que el\nLa estimación original de Albers se utilizó en la primera versión del presente documento. Nosotros\ngracias Biran y Cornea por informarnos sobre el error, explicando a\nnos su enfoque y nos ayuda a corregir una serie de nuestros resultados afectados\npor este error.\nEl ingrediente principal de las técnicas de Biran-Cornea que se necesita para nuestro\nla finalidad es el siguiente resultado. Vamos a ser un simplético monótono cerrado\nCélulas de hierro o acero sin alear, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % pero inferior o igual al 85 % en peso, y con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, pero inferior o igual al 85 % en peso, pero inferior o igual al 85 % en peso, pero inferior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, y con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, pero inferior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso EscribeN para el número mínimo de Chern\nde (M. Deja que Ln M2n sea un monótono cerrado Lagrangian submanifold con\nel número mínimo de Maslov NL ≥ 2.\nTrataremos de manera ligeramente diferente los casos en que NL es paritario y extraño. Vamos.\nMencionamos que para L orientable, NL es automáticamente uniforme. Por lo tanto, debido a\nnuestra convención, cuando NL es raro trabajamos con el campo básico F = Z2. Vamos.\nN · Z sea el grupo de períodos de M. Recuerde que el anillo cuántico tiene\nla forma QH*(M) = H*(M;F) F \ncomo = [q, q\n−1]. Put = (N/2) · Z. Considere un anillo Novikov extendido\n:= K [q\n2, q−\n2 ]. Definir ahora QH (M) como QH*(M) si NL es par, y como\nH*(M,Z2)Z2 \n′ si NL es raro. En este último caso, QH\n∗(M) es una extensión de\nQH*(M), y lo consideraremos sin mencionar de manera especial QH*(M),\ncomo subrenglones de QH (M),\n′, K. La clasificación de QH\n* La letra M) está determinada por:\nla condición deg q\n2 = 1. Como antes, utilizaremos la notación QH (M), donde\n• = “equivalente” cuando F = C y • = * cuando F = Z2.\nTenga en cuenta que los invariantes espectrales (y por lo tanto parcial simplés cuasi-\nlos estados) están bien definidos sobre el anillo extendido, y además, sus valores\ny las propiedades, por razones tautológicas, no se alteran bajo tal extensión\n(cf. una discusión en [15], sección 5.4. Put w := sNL/2qNL/2. Recordemos que j\nrepresenta el morfismo natural H•(L;F) → H•(M;F).\nProposición 8.1. Supongamos que k > n+1−NL. Si F = C asumen además\nQue k está a mano. Entonces existe un homomorfismo canónico jq : Hk(L;F) →\nQH ′k(M) con las siguientes propiedades\n8La letra “q” en jq significa cuántica.\ni) jq(x) = j(x) + w−1y, donde y es un polinomio en w−1 con coeficientes\nen H•(M ;F);\nii) jq([L]) = j([L]);\niii) Si jq(x) 6= 0 entonces c(jq(x), H) ≤ supLH por cada H + C\n(M).\nEn particular, si S es un elemento Albers de L, tenemos jq(S) = j(S)+O(w−1) 6=\nEsta proposición fue probada por Biran y Cornea en [15] en el caso\nF = Z2: El mapa j\nq es esencialmente el mapa iL que aparece en Teorema A(iii)\nen [15]. La Proposición 8.1 i) es una combinación de Teorema A iii) y\nProposición 4.5.1 i) en [15]. Nuestra variable w corresponde a la variable t−1 en\n[15], mientras que nuestro sNŁqN corresponde a la variable s−1 en la Sección 2.1.2 de [15].\nDespués de tal ajuste de la notación, la fórmula w := sNL/2qNL/2 arriba\npuede extraerse de la sección 2.1.2 de [15]. Para la propuesta 8.1 ii) supra\nVéase la Observación 5.3.2.a en [15]. La Proposición 8.1 iii) se deriva de Lemma\n5.3.1 ii) en [15]. Por último, vamos a repetir el descargo de responsabilidad hecho en la sección 1.5: nosotros\ndar por sentado que la Proposición 8.1 sigue siendo válida para el caso F = C.\nPasemos a las pruebas de nuestros resultados sobre (super)-peso del monotono\nSubmanifolds lagrangianos. Comenzamos con la siguiente observación. Deja que S sea un\nAlbers elemento de L. La propiedad de dualidad Poincaré de invariantes espectrales\n(véase la sección 3.4 supra) se extiende literalmente al caso del anillo QH ′(M)\ncon la siguiente modificación: Cuando NL es impar, el emparejamiento Π introducido\nen la sección 3.4 se extiende de manera obvia a un valor F no degenerado\nemparejamiento en QH (M) que todavía denotamos por Π. Aplicación de la dualidad de Poincaré\ny sustituyendo H := −F en la Proposición 8.1 iii) arriba obtenemos eso para\ntodas las funciones F + C+(M)\nc(T, F ) ≥ inf\nF T T QH (M) con Π(T, j\nq(S) 6= 0.\nEn particular, dado un idempotente distinto de cero a • QH (M) y una clase b •\nQH (M), de modo que Π(a*b, j\nq(S) 6= 0, obtenemos, usando la propiedad de normalización\nde invariantes espectrales, que\nc(a, F ) + (b) ≥ c(a ∗ b, F ) ≥ inf\nF. F. C. M........................................................................................................... (27)\nPor lo tanto, aplicando (27) a kF para k â € N, dividiendo por k y pasando a la\nlímite como k → #, obtenemos que para el cuasi-estado parcial #, definido por a,\n(F ) ≥ inf\nF. F. C. M.\nlo que significa que L es pesado con respecto a a.\nPrueba de Teorema 1.15: Que S sea un elemento Albers de L. Let T\nH•(M;F) ser cualquier clase de homología singular tal que T • j(S) 6= 0. Por lo tanto,\naplicando la Proposición 8.1 i) vemos que Π([M]*T, jq(S)) = Π(T, jq(S)) 6= 0,\ny por lo tanto desigualdad (27), aplicado a a = [M ], b = T, rendimientos que L es pesado\ncon respecto a [M].\nPasemos a la prueba del Teorema 1.25 sobre el efecto de la semi-simplicidad\nde la homología cuántica. Se sigue fácilmente de la siguiente más general\ndeclaración. Let L1,. ...............................................................................\ncondición. Que Si sea cualquier elemento Albers de Li. Nota de Zi = j\nq(Si)\nQH (M) su imagen bajo el morfismo de inclusión de la Proposición 8.1 anterior.\nTeorema 8.2. Teniendo en cuenta tal L1,. ............................................. .., Zm, asumir, además,\nque QH2n(M) es semi-simple y los submanifolds lagrangianos L1,. ..............................................................\nson desarticulados en el sentido del par. Luego las clases Z1,. .., Zm son linealmente independientes\nsobre K.\nPrueba. Argumentando por contradicción, asumir que\nZ1 = α2Z2 +... + αmZm (28)\npara algunos α2,. ............................................................... Puesto que QH2n(M) es semi-simple, se descompone\nen una suma directa de campos con unidades e1,. ., ed. Desde el apareamiento Π (en\nQH (M;F)) no es degenerado, existe T QH\n•(M;F) de tal manera que\nΠ(T, Z1) 6= 0. 29)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nEscribamos T como\nT = [M ] * T =\n* T. (30)\nEcuaciones (29), (30) implican que existe l â € [1, d] de tal manera que\nΠ(el ∗ T, Z1) 6= 0. 31)\nEntonces (28) implica que existe r [2, m] de tal manera que\nΠ(el ∗ T, αrZr) 6= 0.\nUsando (21) (para Π en QH (M;F)) podemos reescribir la última ecuación como\nΠ(el ∗ αrT, Zr) 6= 0. (32)\nAplicando ahora la fórmula (27) para S = Z1 H•(L1;F), a = el, b = T, y también\npara S = Zr H•(Lr;F), a = el, b = αrT, concluimos que tanto L1 como Lr\nson pesados con respecto a El. Por lo tanto son superpesados con respecto a el,\nporque el es la unidad en un factor de campo de QH2n(M) (ver Sección 1.6). Por lo tanto\ndeben intersecarse, en contradicción con la suposición del teorema. Esto\ntermina la prueba de la primera parte del teorema.\nPrueba de Teorema 1.25(a): Supongamos que L1,. ...............................................................\nSubmanifolds lagrangianos que satisfacen la condición (a) de la formulación\ndel teorema. Denotar por Ni el número mínimo Maslov de Li. Desde\nNi > n + 1, la clase de un punto de H0(Li;F) es un elemento de Albers para Li.\nDejemos que Zi QH\n0(M) ser su imagen bajo el morfismo de inclusión de Biran-Cornea\nasociado a Li. Note que por la Proposición 8.1(i) Zi = p + aiw\ni, donde\nwi = s\nNi/2qNi/2, ai, HNi(M;F) y p, H0(M;F) es la clase de homología de\nun punto. Observar que degwi = Ni > n + 1, y por lo tanto la expresión para Zi\nno puede contener términos en w−1i de orden dos y superior, ya que HkNi(M ;F) = 0\npara k ≥ 2.\nRecordar ahora que toda la mentira de Ni en algún conjunto Y de enteros positivos. Dejad que W...\nQH ′0(M) ser el lapso sobre K de\nH0(M;F)\nsE/2q−E/2 ·HE(M;F).\nTenga en cuenta que\ndimK W = βY (M) + 1 < m.\nAsí los elementos Zi, i = 1,..., m, son linealmente dependientes sobre K. Por\nEl teorema 8.2, QH2n(M) no es semisimple.\nPrueba de Teorema 1.25(b): Supongamos que L1,. ...............................................................\nSubmanifolds Lagrangianos homológicamente no triviales. Por la Proposición 8.1 ii)\njq([Li]) = j([Li]) para cada i = 1,..., m. Dado que las clases j([Li]) son linealmente\ndependiente, Teorema 8.2 implica que QH2n(M) no es semi-simple.\nPrueba del Teorema 1.18: Combinando la Proposición 8.1 ii) y iii) obtenemos\nque para cualquier H â € TM Câ TM (M)\nc(j([L]), H) ≤ sup\nH. H. C. M.......................................................................................................................................\nPor la hipótesis del teorema, podemos escribir j([L]) * b = a para algunos b.\nc(a,H) = c(j([L]) ∗ b,H) ≤ c(j([L]), H) + c(b, 0).\nc(a,H) ≤ sup\nH + c(b, 0).\nAplicando esta desigualdad a E · H con E > 0, dividiendo por E y pasando\nhasta el límite como E → â € € TM € ~ (H) ≤ supLH para todos los H. Por lo tanto L es\nsuperpesado.\nObservación 8.3. Los resultados anteriores admiten las siguientes generalizaciones en el\nmarco de la teoría de Biran-Cornea. El principal objeto de esta teoría es la\nanillo de homología cuántica QH*(L) de un submanifold Lagrangiano monotono,\nque es isomórfico a la homología Lagrangia Floer HF*(L, L) de L hasta\nun cambio en la clasificación.\ni) Si QH*(L) no desaparece, L es pesada (véase la Observación 1.2.9b en [15]).\nDe hecho, de [15] se deduce que si L cumple la condición de Albers,\nQH*(L) no desaparece.\n(ii) El mapa jq de la Proposición 8.1 anterior es una huella de la\nMapa de inclusión de tum iL : QH*(L) → QH\n*(M) construido en [15]. Los\nla estimación de la acción en el inciso iii) de la propuesta es\nque figuran en [15] para las clases iL(x) para los elementos x • QH*(L) de una determinada\nforma especial, dando la siguiente generalización del Teorema 1.18: para\nestas clases especiales x • QH*(L) la condición de que la clase iL(x)\nno desaparece y divide un idempotente no trivial a implica que L\nes superpesado con respecto a a. Esto permite, por ejemplo,\nize Ejemplo 1.19 sobre las esferas lagrangianas en los cuadros anteriores al caso\ncuando dimL es raro.\n(iii) En [15] uno puede encontrar otra estimación de acción que viene de la\nEstructura del módulo QH*(M) en QH*(L), que da más resultados sobre\n(super)peso de los submanifolds Lagrangiano monótono.\nPrueba de la Proposición 1.4: La homología cuántica QH2n(M) se divide como una\nálgebra sobre K en una suma directa de dos álgebras uno de los cuales es un campo. Esto\nfue probado por McDuff para el campo F = C (véase [39] y [24, sección 7]), pero\nla prueba pasa por el caso F = Z2 también. Denotar la unidad de la\ncampo por a. Es un idempotente no cero en QH2n(M). Como ya hemos señalado\nhacia fuera en la Observación 1.21, tal idempotente a define un verdadero simplés cuasi-\ny por lo tanto las clases de conjuntos pesados y superpesados con respecto a\nCoincidencia.\nPor el teorema 1.2, el toro lagrangiano L-M no puede ser superpesado\ncon respecto a un, ya que puede ser desplazado de sí mismo por un simplético (no-\nHamiltonian) isotopía. De hecho, tome una isotopía simpléctica obvia............................................................................................................................................\nque desplaza L (un cambio paralelo) y lo compone con una isotopía Hamiltoniana\nPara que por cada t que tenemos que es constante en t (L) y t (t) es la identidad\nen la bola donde se realizó la explosión de T2n. Sin lugar a dudas, el resultado\nla isotopía simpléctica se extiende a una isotopía simpléctica de M que desplaza\nPor otro lado, NL ≥ 2 porque en este caso NL = 2N, donde N ≥ 1\nes el número mínimo Chern de M. Por último, tenga en cuenta que L representa un no-\nclase de homología trivial en Hn(M ;Z2). Por lo tanto podemos aplicar Teorema 1.15\ny conseguir que L es pesado con respecto a [M ].\n9 Rigidez de fibras especiales de ac-\nciones\nEn esta sección probamos Teorema 1.9. Denotar la fibra especial de Φ por\nL := 1(pspec).\nReducción al caso de las acciones T1: En primer lugar, afirmamos que es suficiente\npara probar el teorema de las acciones Hamiltonian T1- y el caso general\nSígueme de ahí. De hecho, supongamos que esto está probado. La superpeso de la\nfibra especial inmediatamente produce que para cualquier función H̄ : R → R\n*(H̄) = H̄(pspec), (33)\ndonde Φ :M → R es el mapa del momento de la acción T1.\nVolvamos a la situación multidimensional y vamos a Φ : M → Rk\nser el mapa del momento normalizado de un Hamiltonian Tk-action en M. Para un\nv Rk denotar por Φv(x) = Φv,Φ(x), donde, es el estándar euclidiano\nproducto interior en Rk. Tenga en cuenta que si v • Zk la función Φv es el normalizado\nmapa del momento de una acción del círculo Hamiltoniano y su valor especial es v, pspeñá.\nAsí por (33)\nK) = K(v, pspeñá)\n*(R). (34)\nPor la homogeneidad de la igualdad (34) se mantiene para todos v. Qk, y por la continuidad\npara todos los v â € Rk.\nObsérvese que para cada par de funciones lisas P,Q,C,C,(R) y para cada\npar de vectores v,w Rk las funciones \nP y \nQ Poisson-computar en\nM. Así la desigualdad triangular para los números espectrales (ver Sección 3.4)\nrendimientos\nP + \nQ) ≤ ()\nP ) + ()\nP). (35)\nPuesto que M es compacto, basta con asumir que la función H̄ â € TM TM Câ TM (Rk) en\nRk es compatible de forma compacta. Por la inversa transformación de Fourier podemos escribir\nH̄(p) =\n(v) + cosáv, páv) · F (v) + cosáv, páv) ·G(v)\npara algunos rápidamente (digamos, más rápido que (p + 1)-N para cualquier N N) decayendo\nfunciones F y G en Rk. Para cada v â € TM Rk definir una función Kv â € C\nKv(s) := sin s · F (v) + cos ·G(v).\nObservar que\nH̄ =\nKv dv.\nDenotar por B(R) la bola euclidiana de radio R en Rk con el centro en el\norigen. Poner\nH̄R(p) =\nKv(v, ) dv, p R\nDado que las funciones F y G están decayendo rápidamente, tenemos que\nH̄R − HC0(Rk) → 0 como R → فارسى. (36)\nAfirmamos que por cada R\n*(H̄R) ≤ H̄R(pspec). (37)\nDe hecho, para â > 0 introducir la suma integral\nH̄R (p) =\nvÃ3r ZkÃ3B(R)\nKv (v, p)...........................................................................................................................................\nH̄R, =\nvÃ3r ZkÃ3B(R)\n- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!\nAplicando repetidamente (35) y (34) obtenemos eso\n*(H̄R,♥) ≤ H̄R,/23370/(pspec).\nTenga en cuenta ahora que para R fijo la familia H̄R, fue convergente a H̄R como فارسى → 0 en\nla norma uniforme sobre C0(Rk). El uso de que es Lipschitz con respecto a la\nnorma uniforme en C0(M) obtenemos fácilmente la desigualdad (37).\nCombinando el hecho de que es Lipschitz con (36) y (37) obtenemos que\n(H̄) = lim\n(H̄R) ≤ lim\nH̄R(pspec) = H̄(pspec).\nAhora, asuma que H̄ ≥ 0 y H̄(pspec) = 0. Acabamos de demostrar que\n•(H̄) ≤ 0, y por lo tanto •(H) = 0, que inmediatamente produce el su- deseado\nla permeabilidad de la fibra especial. Esto completa la reducción de la\ncaso al caso 1-dimensional.\nA partir de ahora consideraremos sólo el caso de un Hamil efectivo...\ntoniano T1-acción en M con un mapa de momento Φ :M → R. Su momento\nEl politopo es un intervalo cerrado en R y pspec = −I(Φ) R.\nReducción al caso de una función estrictamente convexa: Nosotros reclamamos\nque es suficiente para mostrar la siguiente proposición:\nProposición 9.1. Suponga H̄ : R → R es una función lisa estrictamente convexa\nalcanzar su mínimo en pspec. Conjunto H := Φ\n*H̄. A continuación, Ł(H) = H̄(pspec).\nAplazando la prueba de la proposición por un momento vamos a demostrar que\nimplica el teorema. De hecho, let F : M → R ser un hamiltoniano en M. En\norden para mostrar la superpeso de L = 1(pspec) tenemos que mostrar que\n•(F ) ≤ supL F. Elija una función muy pronunciada estrictamente convexa H̄ : R → R con\nel valor mínimo de supL F alcanzado en pspec y tal que Φ\n*H̄ =: H ≥ F\nen todas partes en M. Entonces utilizando la Proposición 9.1 y la monotonicidad de\n•(F) ≤ (H) = H̄(pspec) = sup\npor lo que se refiere a la presentación de la reclamación.\nPreparativos para la prueba de la Proposición 9.1: Dado un (tiempo-\ndependiente, no necesariamente regular) Hamiltonian G, nos asociamos a cada\npar [γ, u] â € € € TM TM un número\nDG([γ, u]) := AG([γ, u])−\n· CZG([γ, u]).\n(Recuerde que definimos el índice Conley-Zehnder para todos los Hamiltonianos y\nno sólo los regulares – ver sección 3.3). El número DG([γ, u]) está in-\nvariante bajo un cambio del disco de extensión u – una adición de una esfera\njS HS2 (M) en el disco u cambia tanto AG([γ, u]) como CZG([γ, u]) por\nel mismo número. Así podemos escribir DG([γ, u]) = DG(γ).\nTeniendo en cuenta lo siguiente:\n(l) y u(l) como las composiciones\nde γ y u con el mapa z → zl en la unidad de disco D2 o C (aquí z es un\nCoordenada compleja sobre C). Denotar por t 7→ gt el flujo de tiempo de G y por\nG(l) :M × R → R el Hamiltoniano cuyo flujo temporal es t 7→ (gt)\nl y qué\nes definido por\nG(l) := G®. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\ndonde GÃ3K(x, t) := G(x, t) +K(g−1t x, t) para cualquier K :M × R → R.\nProposición 9.2. Existe una constante C > 0, dependiendo sólo de n, con\nla siguiente propiedad. Teniendo en cuenta una órbita 1-periódica γ PG del flujo t 7→ gt\ngenerado por G, asumir que γ(l) es una órbita 1-periódica del flujo t 7→ glt\ngenerado por G(l), y por lo tanto para cualquier u tal que [γ, u]\n[γ(l), u(l)].......................................................................................................................................................................................................................................................... Entonces\nDG(l)([γ\n(l), u(l)]— LDG([γ, u]) ≤ l · C.\nPrueba. El término de acción en DG se multiplica por l a medida que pasamos de G a G\nEn cuanto al término Conley-Zehnder, la propiedad cuasimorfista del Conley-\nEl índice de Zehnder (véase la Proposición 3.5) implica que existe una constante C > 0\n(dependiendo solamente de n) tal que\nlCZG[γ, u]− CZG(l)([γ\n(l), u(l)]) ≤ C.\nEsto prueba inmediatamente la proposición.\nProposición 9.3. Let G :M × [0, 1] → R ser un hamiltoniano como arriba. Entonces\nse puede elegir > 0, dependiendo de G, y una constante Cn > 0, dependiendo de\nsólo en n = dimM/2, de modo que cualquier función F : M × [0, 1] → R que es\ncerca de G, en una medida métrica-C. sobre C.(M×[0, 1]) cumple la condición siguiente:\npor cada γ0 • PF existe γ • • PG de tal manera que la diferencia entre DF (γ0)\ny la DG(γ) está limitada por Cn.\nPrueba. Denote el flujo de G por gt (como antes) y el flujo de F por ft.\nverá las trayectorias periódicas de tiempo-1 de estos flujos tanto como mapas de [0, 1] a\nM que tengan el mismo valor en 0 y 1 y como mapas de S1 a M.\nPrimero, considere la fibración D2×M →M y, abusando ligeramente de la notación,\ndenotar la retirada natural de............................................................................................................ Segundo, mira la fibración.\npr : D2 ×M → D2. Denotar por V ert el haz vertical sobre D2 × M formado\npor los espacios tangentes a las fibras de pr. Para cada bucle : S1 →M define por\n: S1 → D2 ×M el mapa (t) := (t, γ(t)). Los paquetes TM y V ert\nsobre S1 coinciden. Similarmente para cada w : D2 →M denotar por : D2 → D2×M\nel mapa (z) := (z, w(z)).\nExiste > 0, dependiendo de G, de tal manera que para cada γ PG un tubular\nEl término «vecindario» de la imagen de en S1 ×M D2 ×M, denotado por Ubγ, tiene\nlas siguientes propiedades:\n• existe un 1-formo en Ubγ que satisface d\n• V ert admite una trivialización sobre Ubγ.\nDado un â € > 0, podemos elegir F lo suficientemente cerca de G para que el\nrutas t 7→ pies y t 7→ gt en Ham(M) son arbitrariamente C\n- Muy cerca y, por lo tanto,\n• por cada x • Fix (F) existe y • Fix (G) que está cerca de x\n(pensar en los puntos fijos como puntos de intersección de la gráfica de un\ndifeomorfismo con la diagonal;\n• la distancia entre los mapas γ0 : t 7→ ft(x) y γ : t 7→ gt(y)\nde [0, 1] a M está limitada por y la imagen de 0 se encuentra en Ubγ.\nElija un mapa u0 : D\n2 → M, uD2 = γ0. Dado que γ0 y γ son C\n- ¡Cerca! - ¡Cerca!\npuede agrandar D2 a un disco más grande D21 D\n2 y encontrar un mapa suave u : D21 →M\npara que\n• uD21\n= u0;\n• u(D21 \\ D\n2) Ubγ.\nRescatar D21 podemos asumir sin pérdida de generalidad que [γ, u] PG.\nTrivializar los paquetes de vectores 0TM y γ\n* TM para que las trivializaciones\nse extienden a una trivialización de u*TM sobre D21 (y por lo tanto de u\n0TM sobre D\nUtilizando las trivializaciones podemos identificar las rutas t 7→ dγ0(0)ft y t 7→ dγ(0)gt\ncon algunos caminos basados en la identidad de matrices simpléticas A(t), B(t). Fijación de un\npequeño como el anterior, también podemos asumir que F es elegido para C-cerca de G que,\nademás de todo lo anterior, la distancia C-entre los caminos t 7→ A(t)\ny t 7→ B(t) en Sp (2n) está limitado por (por ejemplo, asegúrese primero de que\nlas trayectorias de matriz obtenidas escribiendo las trayectorias t 7→ dγ0(0)ft y t 7→ dγ(0)gt\nusando alguna trivialización de V ert sobre Ubγ son lo suficientemente cerca – entonces la matriz\nrutas t 7→ A(t) y t 7→ B(t) también estarán lo suficientemente cerca).\nNosotros afirmamos que al elegir lo suficientemente pequeño en la construcción de arriba nosotros\npuede vincular la diferencia entre DF ([γ0, u0]) y DG([γ, u]) en una cantidad\ndependiendo sólo de dimM.\nDe hecho, la diferencia \nF (γ0(t), t)dt −\nG(γ(t))dt está limitado por una\ncantidad dependiendo sólo de algunas constantes universales y, porque γ0 es\nCerca de γ y F se encuentra cerca de G con respecto a la medida. Puede ser\nhecho arbitrariamente pequeño al elegir un lo suficientemente pequeño. La diferencia\n* −\nu = \n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nestá limitado por la diferencia \n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \nOh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Desde entonces, γ0 y γ son\nla diferencia posterior se puede hacer menos de 1 si elegimos\na lo suficientemente pequeño. Por lo tanto, hemos demostrado que al elegir un suficientemente\npequeño podemos unir AF ([γ0, u0])-AG([γ, u]) por 1.\nAhora, en lo que respecta a los índices de Conley-Zehnder, nuestra elección\nde las trivializaciones significa que la diferencia entre CZF ([γ0, u0]) y\nCZG([γ, u]) es sólo la diferencia entre los índices de Conley-Zehnder para el\nvías de matriz t 7→ A(t) y t 7→ B(t). Pero los últimos caminos en Sp (2n) son\nPor lo tanto, representan los elementos cercanos de Sœp (2n) y si\nse eligió suficientemente pequeño, entonces, como mencionamos en la sección 3.3, su\nLos índices de Conley-Zehnder difieren a lo sumo por una constante dependiendo solamente de n.\nEsto termina la prueba de la reclamación y la proposición.\nPlan de la prueba de la Proposición 9.1: Asumimos ahora que H̄ es\nuna función fija estrictamente convexa en R. Nuestros cálculos contarán con E como un\nparámetro grande. Para las cantidades α, β dependiendo de E escribiremos α β si\nα ≤ const se mantiene para E lo suficientemente grande, donde el const depende solamente de (M,\nΦ y H̄, y en particular no depende de E. Vamos a escribir α • β si\nα β y β α. Usando este lenguaje la proposición puede ser reafirmada como\nc(a, EH) EH̄(pspec). 38)\nEn general, las órbitas 1-periódicas del flujo de EH no están aisladas y allí-\nEl Hamiltoniano no es regular. Dejar F ser un regular (tiempo-periódico)\nperturbación de EH.\nPor el axioma de espectralidad, el número espectral c(a, F) para un QH2n(M)\nes igual a AF ([γ0, u0]) para algunos pares [γ0, u0] â € € con CZF ([γ0, u0]) = 2n. Por lo tanto\nc(a, F ) • DF (γ0). Combinando esto con la Proposición 9.3 obtenemos eso para algunos\nγ • PEH\nEH̄(pspec) c(a, EH) فارسى c(a, F ) ♥ DF (γ0) DEH(γ). (39)\nPor lo tanto, sería suficiente para demostrar que\nDEH(γ) EH̄(pspec) para todos los γ PEH, (40)\nque junto con (39) implicaría (38).\nLa desigualdad (40) se demostrará de la siguiente manera. Nótese que cada uno de ellos\nPEH se encuentra en Φ\n−1(p) para algunos p • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Vamos a demostrar que\nDEH(γ) ♥ EH̄(p) + EH̄\n′(p)(pspec − p). 41)\nTenga en cuenta que (41) implica (40). De hecho, ya que H̄ es estrictamente convexo y alcanza\nsu mínimo en pspec, se deduce de (41) que\nDEH(γ) ♥ EH̄(p) + EH̄\n′(p)(pspec − p) ≤ EH̄(pspec),\nlo que es cierto para cualquier γ â € ¢ PEH por lo tanto rindiendo (40).\nPrueba de (41): Que la acción T1 sobre M sea dada por un bucle de sim-\nplectomorfismos t}, t R, t = t+1. El flujo de EH tiene la forma\nhtx = ♥EH(Φ(x))tx.\nVemos γ como un mapa γ : [0, 1] → M satisfaciendo γ(0) = γ(1). Denotar\nx := γ(0). La curva γ se encuentra en 1(p).\nNota N := γ([0, 1]). Este es el T1-órbita de x y es o bien un punto o\nun círculo.\nEn el primer caso γ es una trayectoria constante concentrada en un punto fijo\nN.M. de la acción. Usando esta curva constante γ junto con la constante\ndisco u que abarca las definiciones de I(Φ) y DEH(γ) se obtiene\npspec − p = mΦ(γ, u)\nDEH(γ) = EH̄(p)− فارسى/2 · CZEH([γ, u]).\nAsí pues, la prueba (41) reduce en este caso a la prueba\n-CZEH([γ, u])\n′(p) ·mΦ(γ, u).\nVamos a fijar una base simpléctica de TNM y ver cada diferencial dN\nmatriz simpléctica A(t), de modo que {A(t)} es un bucle basado en la identidad en Sp (2n).\n-CZEH([γ, u]) -CZmatr({A(EH̄)\n′(p)t)},\nmientras\nEH̄ ′(p) ·mΦ(γ, u) \n′(p)Maslov({A(t)}).\nPor lo tanto, tenemos que demostrar\nCZmatr({A(EH̄)\n′(p)t)}) فارسى EH̄ ′(p)Maslov({A(t)},\nque se sigue fácilmente de las definiciones del índice de Conley-Zehnder y\nla clase Maslov.\nAsí que a partir de ahora asumiremos que N es un círculo. Toma cualquier punto.\nx N. El estabilizador de x bajo la acción T1 es un grupo cíclico finito de\norden k N. Así la órbita de la T1-acción gira k veces a lo largo de N. Desde γ\nes una órbita cerrada no constante del flujo hamiltoniano generado por EH̄,\ngira r veces a lo largo de N con r Z \\ {0}. Esto implica que EH̄ ′(p) = r/k.\nAlegamos que sin pérdida de generalidad podemos asumir que l := r/k es un\nentero.\nDe hecho, siempre podemos pasar a γ(k) PkEH, de modo que (kEH̄)\n′(p)+Z, y\nsi podemos probar la proposición para γ(k), entonces\nDkEH(γ\nk) kEH̄(p) + kEH̄ ′(p)(pspec − p).\nAplicando la Proposición 9.2 obtenemos\nkDEH(γ) kEH̄(p) + kEH̄\n′(p)(pspec − p) + k · const,\ny, por lo tanto,\nDEH(γ) ♥ EH̄(p) + EH̄\n′(p)(pspec − p),\nla prueba de la reclamación de la γ original.\nA partir de ahora suponemos que l := EH̄ ′(p) â € € € € € TM y que [γ, u] â € € € € TM.\nConsidere el campo vectorial de Hamilton X := sgradΦ en un punto x â € N. Desde\nN es una órbita no constante obtenemos X 6= 0. Entonces V = Tx(Φ\n−1(p)) es el sesgo\nComplemento ortogonal a X. Elija un T1-invariante casi compatible con\nestructura compleja J en un barrio de N. Juntos Ł y J definen un T1-\nmétrica de Riemannia invariante g. Descomponga el haz tangente TM a lo largo\nN como se indica a continuación. Poner Z = Span(JX,X) y establecer W para ser el g-ortogonal\ncomplemento a X en V. Así tenemos una descomposición invariante T1-\nTxM = W â € Z, x â € N. (42)\nAdemás, W y Z llevan formas canónicas simplécticas. Por lo tanto W y Z\ndefinir subbundles simpléticos (y por lo tanto triviales) de TM sobre N. Inducen\nsubbundles triviales del paquete TM sobre S1.\nCalculamos\ndht(x) = dŁEH′(Φ(x))t(x) + EH\n′′(Φ(x)) · dΦ() ·X. (43)\nConsideramos dos trivializaciones del paquete TM sobre S1. El primer trivi-\nla alización se define por medio de secciones invariantes bajo la acción T1. Los\nsegundo se elige de tal manera que se extiende a una trivialización de u*TM\nsobre D2. Usando estas trivializaciones podemos identificar dht(x), respectivamente, con\ndos rutas basadas en la identidad {Ct}, {C\nDe matrices simpléticas. El decompo-\nSituación (42) induce una división\nCt = 1° Bt.\nAfirmamos que CZmatr({Bt}) está limitado por una constante independiente de E.\nDe hecho, observar que en la base (X, JX) de Z\n1 b12(t)\nDenote por L la línea que abarca X = (1, 0). Perturb {Bt} a una ruta {B]\nRtBt}, donde Rt es la rotación por el ángulo t, y > 0 es lo suficientemente pequeño.\nObsérvese queB′(t)LÃ3L = {0} para t > 0. Se desprende fácilmente de las definiciones\nque CZmatr(B\nt) y CZmatr(RŁt) no excedan de 2. Por lo tanto, por la cuasi-\npropiedad del morfismo del índice de Conley-Zehnder (ver Proposición 3.5)\ntienen que CZmatr({Bt}) está limitado por una constante independiente de E, que\nda lugar a la reclamación. Por lo tanto\nCZmatr ({Ct}) 0.\nPor otra parte, por fórmula (18)\nCZmatr ({C)\nt}) = CZmatr ({Ct}) +mlΦ([γ, u]).\nCZEH([γ, u]) := n− CZmatr ({C)\nt}) -mlΦ([γ, u]). (44)\nPuesto que la trayectoria periódica γ se encuentra dentro de 1(p), obtenemos\nAEH([γ, u]) =\nEH(γ(t))dt−\nu = EH̄(p)−\nu. (45)\nUsando (45) y (44) la igualdad precisa\nDEH([γ, u]) = AEH([γ, u])−\n· CZEH([γ, u])\npuede convertirse en una desigualdad asintótica\nDEH([γ, u]) فارسى EH̄(p)−\nu +\nmlΦ([γ, u]). (46)\nPuesto que la trayectoria periódica γ se encuentra dentro de 1(p), tenemos\nAlΦ([γ, u]) =\nlΦ(γ(t))dt−\nu = lp−\nu. (47)\nSumando y restando lp del lado derecho de (46) y utilizando (47)\n¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos.\nDEH(γ) = DEH([γ, u])\nEH̄(p)− lp)\nmlΦ([γ, u])\nEH̄(p)−\nAlΦ([γ, u])+\nmlΦ([γ, u])\nEH̄(p)−\n− I(lΦ) =\n= EH̄(p) + l(−I(Φ)− p) = EH̄(p) + l(pspec − p).\nRecordando que l = EH ′(p), finalmente obtenemos que\nDEH(γ) = EH̄(p) + EH\n′(p)(pspec − p),\nque es precisamente la ecuación (41) que queríamos obtener. Esto termina el\nprueba de la Proposición 9.1 y del Teorema 1.9.\n9.1 Calabi y acción mixta-Maslov\nPrueba de Teorema 1.13.\nSuponga H :M × [0, 1] → R es un Hamiltoniano normalizado que genera\nun bucle en Ham(M) que representa una clase α • η1(Ham(M)) • Hśam (M). Entonces\nH(l) también se normaliza y genera un bucle que representa αl. Vamos a calcular\nμ(α) = −vol (M) · liml c(a,H\n(l))/l.\nArgumentando como en la prueba de (39) obtenemos que existe una constante C >\n0 De tal manera que para cada l N existe γ • PH(l) para el cual c(a,H\nl) −\nDH(l)(γ) ≤ C. Pero, como se desprende de las definiciones y del hecho de que\nI es un homomorfismo, DH(l)(γ) no depende de γ y es igual a −I(α\n− lI(α). Esto implica inmediatamente que μ(α) = vol (M) · I(α).\nAgradecimientos. Los orígenes de este documento se encuentran en nuestro trabajo conjunto con\nP.Biran en el papel [10] – le agradecemos por su fructífera colaboración en un\netapa inicial de este proyecto, así como por su ayuda crucial con el ejemplo 1.17\nsobre las esferas lagrangianas en hipersuperficies proyectivas. También le damos las gracias y\nO.Cornea por señalarnos un error en la versión original de este artículo\ny ayudándonos con la corrección (ver Sección 8). Damos las gracias a F. Zapolsky\npor su ayuda con el \"exótico\" monótono Lagrangiano toro en S2 × S2 dis-\ntachado en el ejemplo 1.20. Agradecemos a C. Woodward por señalarnos el\nenlace entre el punto especial en el momento politopo de un áurico simplés\nmúltiples y la invariante Futaki, y E. Shelukhin para discusiones útiles\nsobre esta cuestión. También estamos agradecidos a V.L. Ginzburg, Y. Karshon, Y. Largo.\nD. McDuff, M. Pinsonnault, D. Salamon y M. Sodin para debates útiles\ny las comunicaciones. Damos las gracias a K. Fukaya, H. Ohta y K. Ono, la...\nlos nizers de la Conferencia sobre topología simplética de Kioto (febrero de 2006),\nM. Harada, Y. Karshon, M. Masuda y T. Panov, los organizadores de\nference on Toric Topology in Osaka (mayo de 2006), O. Cornea, V.L. Ginzburg,\nE. Kerman y F. Lalonde, los organizadores del Taller de Teoría Floer\n(Banff, 2007), y A. Fathi, Y.-G. Oh y C. Viterbo, los organizadores de\nConferencia de verano de la AMS sobre topología simplética y conservación de medidas\nSistemas Dinámicos (Snowbird, julio de 2007), por darnos la oportunidad de\npresentar una versión preliminar de este trabajo y por el excelente trabajo que hicieron\nen la organización de estas conferencias. Finalmente, agradecemos a un árbitro anónimo por\ncomentarios útiles y correcciones.\nBibliografía\n[1] Aarnes, J.F., Quasi-estados y cuasi-medidas, Adv. Matemáticas. 86:1 (1991),\n41-67.\n[2] Albers, P., Sobre la topología extrínseca de los submanifolds lagrangianos, Int.\nMatemáticas. Res. No, no. 38, (2005), 2341-2371.\n[3] Albers, P., Frauenfelder, U., Un toro lagrangiano no desplazable en\nT ∗S2, Comm. Pura Appl. Matemáticas. 61:8 (2008), 1046-1051.\n[4] Arnold, V.I., En una clase característica que entra en condiciones de quan-\ntisation, (ruso) Funkcional. Anal. i Priložen. 1 1967, 1-14.\n[5] Arnold, V. I., Algunas observaciones sobre la monodromia simpléctica de Milnor\nbrations, en el volumen conmemorativo de The Floer, 99-103, Progr. Matemáticas., 133,\nBirkhäuser, 1995.\n[6] Atiyah, M.F., Convexity and commuting Hamiltonians, Bull. Londres\nMatemáticas. Soc. 14:1 (1981), 1-15.\n[7] Barge, J., Ghys, E., Cocycles d’Euler et de Maslov, Math. Ann. 294:2\n(1992), 235-265.\n[8] Beauville, A., Cohomología cuántica de intersecciones completas, Mat. Fiz.\nAnal. Geom. 2:3-4 (1995), 384-398.\n[9] Biran, P., Cieliebak, K., topología simpléctica sobre colectores subcríticos,\nComm. Matemáticas. Helv. 76:4 (2001), 712-753.\n[10] Biran, P., Entov, M., Polterovich, L., Calabi cuasimorfismos para el\nBola simpléctica, Commun. Contemporaneo. Matemáticas. 6:5 (2004), 793-802.\n[11] Biran, P., Geometría de Intersecciones Simplécticas, en las Actas de la\nCongreso Internacional de Matemáticos (Beijing 2002), Vol. II, 241-\n[12] Biran, P., topología simpléctica y familias algebraicas, en la cuarta edición europea\nCongreso de Matemáticas (Estocolmo 2004), pp. 827-836, Eur. Matemáticas.\nSoc., Zürich, 2005.\n[13] Biran, P., Lagrangian Non-Intersecciones, Geom. y Funct. Anal.\n(GAFA), 16 (2006), 279-326.\n[14] Biran, P., Cornea, O., estructuras cuánticas para submanifolds lagrangianos,\npreprint, arXiv:0708.4221, 2007.\n[15] Biran, P., Cornea, O., Rigidez y uni-\npliegues, arXiv:0808.2440, 2008.\n[16] Cho, C.-H., disco holomórfico, estructuras de giro y cohomología Floer de\nEl toro de Clifford, Int. Matemáticas. Res. No, no. 35 (2004), 1803-1843.\n[17] Cho, C.-H., Submanifolds Lagrangianos no desplazables y Floer coho-\nmology with non-uniary line bundle, prperint, arXiv:0710.5454, 2007.\n[18] Conley, C., Zehnder, E., teoría de índices tipo Morse para flujos y peri-\nsoluciones odic para las ecuaciones Hamiltonianas, Comm. Pura Appl. Matemáticas. 37:2\n(1984), 207 a 253.\n[19] de Gosson, M., de Gosson, S., Piccione, P., En una fórmula de producto para el\nConley-Zehnder índice de trayectorias simpléticas y sus aplicaciones, preimpresión,\nmatemáticas.SG/0607024, 2006.\n[20] Delzant, T., Hamiltoniens périodiques et images convexes de l’appli-\nmomento catiónico, Bull. Soc. Matemáticas. Francia 116:3 (1988), 315-339.\n[21] Donaldson, S. K., Polinomios, ciclos de desaparición y homología Floer, en\nMatemáticas: fronteras y perspectivas, 55-64, AMS, 2000.\n[22] Entov, M., Polterovich, L., Calabi cuasimorfismo y homol cuántico\nOgy, pasante. Matemáticas. Res. Notificaciones 30 (2003), 1635-1676.\n[23] Entov, M., Polterovich, L., Quasi-estados e intersecciones simpléticas,\nComm. Matemáticas. Helv. 81:1 (2006), 75-99.\nhttp://arxiv.org/abs/0708.4221\nhttp://arxiv.org/abs/0808.2440\nhttp://arxiv.org/abs/0710.5454\n[24] Entov, M., Polterovich, L., cuasiestados simpléticos y semisimplicidad\nde homología cuántica, en Topología Torica, pp. 47-70, Contemporary\nMatemáticas 460, AMS, 2008.\n[25] Entov, M., Polterovich, L., Zapolsky, F., Quasi-morfismos y los Pois-\nhijo bracket, Pure Appl. Matemáticas. Trimestral 3:4, parte 1 (2007), 1037-1055.\n[26] Floer, A., Puntos fijos simpléticos y esferas holomórficas, Comm.\nMatemáticas. Phys. 120:4 (1989), 575-611.\n[27] Fukaya, K., Oh., Y.-G., Ohta, H., Ono, K., intersección lagrangiana\nTeoría Floer – anomalía y obstrucción, preimpresión.\n[28] Fukaya, K., Oh., Y.-G., Ohta, H., Ono, K., Lagrangian Floer teoría sobre\ncolectores toricos compactos I, preimpresión, arXiv:0802.1703, 2008.\n[29] Futaki, A., Una obstrucción a la existencia de las métricas de Einstein Kähler,\nInventar. Matemáticas. 73:3 (1983), 437-443.\n[30] Guillemin, V., Sternberg, S., Propiedades de convexidad del mapa del momento-\nping, Invent. Matemáticas. 67:3 (1982), 491-513.\n[31] Hirzebruch, F., Métodos topológicos en geometría algebraica, Springer-\nVerlag, Berlín, 1966.\n[32] Hofer, H., Salamon, D., homología Floer y anillos Novikov, en: El Floer\nMemorial Volume, 483-524, Progr. Math., 133, Birkhäuser, 1995.\n[33] Karshon, Y., Apéndice al documento “Embalaje simbólico y algebraico\ngeometría” por D.McDuff y L.Polterovich, Invent. Matemáticas. 115:3 (1994),\n431-434.\n[34] Lang, S., Álgebra, 3a edición, Springer-Verlag, 2002.\n[35] Leray, J., Análisis Lagrangiano y Mecánica Cuántica, El MIT\nPress, Cambridge, Massachusetts, 1981.\n[36] Lerman, E., Cortes simpléticos, Math. Res. Lett. 2:3 (1995), 247-258.\n[37] Liu, G., Associatividad de la multiplicación cuántica, Comm. Matemáticas. Phys.\n191:2 (1998), 265-282.\nhttp://arxiv.org/abs/0802.1703\n[38] Mabuchi, T., Einstein-Káhler formas, invariantes Futaki y convex ge-\nometría de las variedades de Fano torico, Osaka J. Matemáticas. 24:4 (1987), 705-737.\n[39] McDuff, D., Hamiltonian S1 colectores son uniruled, preprint,\narXiv:0706.0675, 2007.\n[40] McDuff, D., Comunicación privada, 2007.\n[41] McDuff, D., Salamon, D., J-holomorphic curvas y topología simpléctica,\nAMS, 2004.\n[42] Oh, Y.-G., topología simplética como la geometría de la acción funcional I,\nJ. Diferente. Geom. 46 (1997), 499-577.\n[43] Oh, Y.-G., topología simplética como la geometría de acción funcional II,\nComun. Anal. Geom. 7 (1999), 1 a 55.\n[44] Oh, Y.-G., Adición a: “Cohomología Floer de las intersecciones Lagrangianas\ny discos pseudo-holomórficos. I”, Comm. Pura Appl. Matemáticas. 48 (1995),\nNo. 11, 1299-1302.\n[45] Oh, Y.-G., Construcción de invariantes espectrales de difeomor hamiltoniano.\nlos phismos sobre los colectores simpléticos generales, en la anchura de los simpléticos y\nGeometría de Poisson, 525-570, Birkhäuser, 2005.\n[46] Ostrover, Y., Calabi cuasi-morfismos para algunos simplec no monótono-\ntic multiples, Algebr. Geom. Topol. 6 (2006), 405-434.\n[47] Piunikhin, S., Salamon, D., Schwarz, M., Symplectic Floer-Donaldson\nteoría y cohomología cuántica, en: Contacto y geometría simpléctica,\n171-200, Publ. Newton Inst., 8, Cambridge Univ. Press, 1996.\n[48] Polterovich, L., La geometría del grupo de difeomor simplés-\nphisms, Birkhäuser, 2001.\n[49] Polterovich, L., los bucles Hamiltonianos y el principio de Arnold, Amer. Matemáticas.\nSoc. Transl. (2) 180 (1997), 181-187.\n[50] Polterovich, L., el diámetro de Hofer y las intersecciones lagrangianas, Internat.\nMatemáticas. Res. Notificaciones 4 1998, 217-223.\nhttp://arxiv.org/abs/0706.0675\n[51] Polterovich, L., Rudnick, Z., Kick estabilidad en grupos y dinámica\nsistemas, Nonlinealidad 14:5 (2001), 1331-1363.\n[52] Py, P., Quasi-morfismes et invariant de Calabi, Ann. Sci. Ecole Norm.\nSup. 39 (2006), 177–195.\n[53] Py, P., Quasi-morfismes et diffeomorfismes Hamiltoniens, PhD-\ntesis, ENS-Lyon, 2008.\n[54] Robbin, J., Salamon, D., El índice Maslov para los caminos, Topología 32:4\n(1993), 827-844.\n[55] Ruan, Y., Tian, G., Una teoría matemática de la cohomología cuántica,\nMatemáticas. Res. Lett. 1:2 (1994), 269-278.\n[56] Ruan, Y., Tian, G., Una teoría matemática de la cohomología cuántica, J.\nDiff. Geom. 42:2 (1995), 259-367.\n[57] Salamon, D., Zehnder, E., teoría de Morse para las soluciones periódicas de Hamil-\nsistemas tonianos y el índice Maslov, Comm. Pura Appl. Matemáticas. 45:10\n(1992), 1303-1360.\n[58] Salamon, D., Lectures on Floer homology, in: Symplectic geometry and\ntopología (Park City, UT, 1997), 143-229, IAS/Park City Math. Ser., 7,\nAMS, 1999.\n[59] Schwarz, M., En el espectro de acción para cerrado simplécticamente asférico\nmultiples, Pacific J. Matemáticas. 193:2 (2000), 419-461.\n[60] Seidel, P., la homología Floer y el problema de la isotopía simplés, el doctorado en...\ns.a., Universidad de Oxford, 1997.\n[61] Seidel, P., Submanifolds Lagrangianos Graduados, Bull. Soc. Matemáticas. Francia\n128:1 (2000), 103-149.\n[62] Seidel, P., Ciclos de desaparición y mutación, en el Congreso Europeo de\nMatemáticas, Vol. II (Barcelona, 2000), 65-85, Progr. Math., 202,\nBirkhäuser, 2001.\n[63] Shelukhin, E., tesis doctoral (en preparación), Universidad de Tel-Aviv.\n[64] Usher, M., números espectrales en teorías Floer, preimpresión, arXiv:0709.1127,\n2007.\n[65] Viterbo, C., topología simplética como la geometría de las funciones generadoras,\nMatemáticas. Ann. 292:4 (1992), 685-710.\n[66] van der Waerden, B., Álgebra. Vol. 2, Springer-Verlag, 1991.\n[67] Wang, X.-J., Zhu, X., Kähler-Ricci solitons en colectores toricos con pos-\nitive primera clase Chern, Adv. Matemáticas. 188:1 (2004), 87-103.\n[68] Weinstein, A., Cohomología de los grupos simplectomorfistas y críticos\nvalores de los hamiltonianos, matemáticas. Z. 201:1 (1989), 75-82.\n[69] Witten, E., teoría de la gravedad bidimensional y de las intersecciones sobre el modulo\nEspacio, Encuestas en Diff. Geom. 1 (1991), 243-310.\nMichael Entov Leonid Polterovich\nDepartamento de Matemáticas Escuela de Ciencias Matemáticas\nTechnion Tel Aviv University\nHaifa 32000, Israel Tel Aviv 69978, Israel\nentov@math.technion.ac.il polterov@post.tau.ac.il\nhttp://arxiv.org/abs/0709.1127\n\tIntroducción y principales resultados\n\tMuchas facetas de la desplazabilidad\n\tPreliminares sobre homología cuántica\n\tUna jerarquía de subconjuntos rígidos dentro de la teoría de Floer\n\tAcciones de toros hamiltonianos\n\tMonotonas super(pesadas) submanifolds lagrangianos\n\tEfecto de la semisimplicidad\n\tDebate y preguntas abiertas\n\t¿Fuerte desplazabilidad más allá de la teoría de Floer? \n\tFibras pesadas de subespacios conmutativos Poisson\n\tDetectar la desplazabilidad estable\n\tPreliminares sobre la teoría de Hamilton Floer\n\tValoración sobre QH* (M)\n\tTeoría hamiltoniana de Floer\n\tÍndices de Conley-Zehnder y Maslov\n\tNúmeros espectrales\n\tCasi-estados simpléticos parciales\n\tPropiedades básicas de (super) juegos pesados\n\tProductos de (super)conjuntos pesados \n\tFórmula de producto para invariantes espectrales\n\tComplejos degradados de grado Z2\n\tHomología Floer y Cuántica Reducida\n\tPrueba del teorema 5.1\n\tPrueba del teorema algebraico 5.2 \n\tNo desplazabilidad estable de conjuntos pesados\n\tAnalizar tallos estables\n\tSubmanifolds monotónicos lagrangianos \n\tRigidez de las fibras especiales de las acciones Hamiltonianas\n\tCalabi y acción mixta-Maslov\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" Demostramos que hay una jerarquía de las propiedades de rigidez de la intersección de\nconjuntos en un colector simplético cerrado: algunos conjuntos no pueden ser desplazados por\nsimplectomorfismos de más conjuntos que los otros. También encontramos nuevos ejemplos de\nrigidez de las intersecciones que implican, en particular, fibras específicas del momento\nmapas de acciones de toros Hamiltonianos, monotones Lagrangian submanifolds (siguiendo\nlas obras de P.Albers y P.Biran-O.Cornea), así como ciertas, posiblemente\nsingular, conjuntos definidos en términos de Poisson-commutativo subalgebras de suave\nfunciones. Además, obtenemos algunas obstrucciones geométricas a la semi-simplicidad\nde la homología cuántica de los colectores simpléticos. Las pruebas se basan en el\nMaquinaria teórica flotante de cuasi-estados simpléticos parciales.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción y principales resultados 3\n1.1 Muchas facetas de la desplazabilidad...........................................................................................................................................................................................................................................................\n1.2 Preliminares sobre la homología cuántica. .................................................................................. 8\n1.3 Una jerarquía de subconjuntos rígidos dentro de la teoría de Floer. ......................................................................................................................................................................\n1.4 Acciones de toros de Hamilton........................................................................................................................................................................................................................................................... \n1.5 Monotonas super(pesadas) submanifolds lagrangianos. ...................................................................................................................\n1.6 Efecto de la semisimplicidad...........................................................................................................................................................................................................................................................\n1.7 Debate y preguntas abiertas 27...................................................................................................................................................................\n1.7.1 ¿Una fuerte desplazabilidad más allá de la teoría de Floer? .....................................................................................................................................\n1.7.2 Fibras pesadas de subespacios conmutativos de Poisson 28\n2 Detectar la desplazabilidad estable 32\n3 Preliminares sobre la teoría de Hamilton Floer 33\n3.1 Valoración de QH*(M).......................................................................................................................................................................................................................................................... \n3.2 Teoría de Hamilton Floer........................................................................................................................................................................................................................................................... \n3.3 Índices de Conley-Zehnder y Maslov. ........... 36\n3.4 Números espectrales. ................... 42\n3.5 Los cuasiestados simpléticos parciales..........................................................................................................................................................................................................................................................\n4 Propiedades básicas de (super) juegos pesados 45\n5 Productos de juegos (super) pesados 48\n5.1 Fórmula de producto para invariantes espectrales. ................................................................ 48\n5.2 Complejos Z2 decorados. .................................................................... 49\n5.3 Homología Floer y Cuántica Reducida. ....................................................................\n5.4 Prueba del teorema 5.1................... 51\n5.5 Prueba del teorema algebraico 5.2.............. 52\n6 No desplazabilidad estable de conjuntos pesados 57\n7 Análisis de los tallos estables 59\n8 Submanifolds Lagrangiano Monotone 61\n9 Rigidez de las fibras especiales de las acciones Hamiltonianas 66\n9.1 Calabi y acción mixta - Maslov. ............ 76\n1 Introducción y principales resultados\n1.1 Muchas facetas de la desplazabilidad\nUna propiedad bien estudiada y fácil de visualizar la rigidez de los subconjuntos de un simplec-\nla rigidez de las intersecciones: un subconjunto X\nser desplazado del cierre de un subconjunto Y â € M por un soporte compacto\nIsotopía Hamiltoniana:\n* (X) * Y 6= * * Ham(M) *\nDecimos en tal caso que X no puede ser desplazado de Y. Si X no puede ser\nDesplazado de sí mismo lo llamamos no desplazable. Estas propiedades se convierten en\nespecialmente interesante y puramente simplético cuando X puede ser desplazado de\no de Y por una isotopía suave (compactamente soportada).\nUno de los temas principales del presente documento es que “algunos\nconjuntos capaces son más rígidos que otros.” Para explicar esto, necesitamos lo siguiente\nramificaciones de la noción de conjunto no desplazable:\nFuerte no-desplazabilidad: Un subconjunto X-M se llama fuertemente no-\ndesplazable si uno no puede desplazarlo por ninguno (no necesariamente Hamiltoniano)\nel simplectomorfismo de (M.\nNo desplazabilidad estable: Considere T ∗S1 = R × S1 con el coordi-\nlos nates (r, Ł) y la forma simpléctica dr. Decimos que X-M es estable.\nno desplazable si X × {r = 0} no es desplazable en M × T ∗S1 equipado\ncon la forma simpléctica de la división = (dr dŁ). Mencionemos que de-\ntecting subconjuntos estable no desplazables es útil para el estudio de la geometría y\ndinámica de los flujos Hamiltonianos (véase, por ejemplo, [50] por su papel en Hofer\ngeometría y [51] por su apariencia en el contexto de la estabilidad de la patada en\nDinámica hamiltoniana).\nFormalmente hablando, las propiedades de la no-desplazabilidad fuerte y estable\nson mutuamente independientes y ambos son estrictamente más fuertes que la desplazabilidad.\nEn el presente trabajo refinamos la maquinaria de parcial simplético cuasi-\nlos estados introducidos en [23] y obtener nuevos ejemplos de\nconjuntos, incluyendo ciertas fibras de mapas momentáneos de acciones de toros Hamiltonianos\nasí como monotones Lagrangian submanifolds discutidos por Albers [2] y\nBiran-Cornea [15]. Además, abordamos la siguiente pregunta: dada la clase\nde conjuntos estable no desplazables, se puede distinguir aquellos de ellos que son\ntambién fuertemente no-desplazable por medio de la teoría de Floer? O, de otra manera\nalrededor, ¿cuáles son las características Homológicas de Floer estable no desplazable\npero sets fuertemente desplazables? Ejemplos de juguetes son dados por el ecuador de la\nDos esferas simpléticas y por el meridiano en un dos torso simplés. Ambas cosas.\nson establemente no-desplazables ya que sus homologías Lagrangian Floer son no-\ntrivial. Por otro lado, el ecuador es fuertemente no desplazable, mientras que\nel meridiano es fuertemente desplazable por un cambio no hamiltoniano. Más tarde\nexplicará la diferencia entre estos dos ejemplos desde el punto de vista\nde la homología hamiltoniana Floer y presentar diversas generalizaciones.\nLa pregunta sobre la caracterización homológica de Floer de (fuertemente)\nlos conjuntos que se pueden desplazar pero que se pueden desplazar de forma estable están totalmente abiertos, véase la sección 1.7.1 infra para\nun ejemplo que involucra el teorema de embalaje de Gromov y la discusión.\nDejando consideraciones teóricas de Floer para la siguiente sección, vamos a esbozar\n(en parte, informalmente) el esquema general de nuestros resultados: Dado un simplético\nmultiple (M,), definiremos (en el lenguaje de la teoría de Floer) dos\ncolecciones de subconjuntos cerrados de M, subconjuntos pesados y subconjuntos superpesados.\nCada subconjunto superpesado es pesado, pero, en general, no viceversa. Formalmente\nhablando, la jerarquía pesada-superpesada depende de una manera delicada de la\nelección de un idempotente en el anillo de homología cuántica de M. Esto y otros\nlos matices serán ignorados en este esquema. Las propiedades clave de estas colecciones\nson los siguientes (véanse los teoremas 1.2 y 1.5 infra):\nInvarianza: Ambas colecciones son invariantes bajo el grupo de todos los symplec-\ntomorfismos de M.\nNo-desplazabilidad estable: Cada subconjunto pesado es estable no-desplazamiento-\nCapaz.\nIntersecciones: Cada subconjunto superpesado intersecta cada subconjunto pesado. In\nEn particular, los subconjuntos superpesados son fuertemente no desplazables. En contraste con\nEsto, subconjuntos pesados pueden ser mutuamente desconectados y fuertemente desplazables.\nProductos: El producto de dos subconjuntos (super)pesados es (super)pesado.\n¿Qué hay dentro de las colecciones? Las colecciones de pesados y superpesados\nse incluyen los siguientes ejemplos:\nTallos estables: Dejemos que A C(M) sea un Poisson-commuta de dimensión finita.\ntivo subespacio (es decir, cualquiera de las dos funciones de un viaje con respecto a la\nPoisson brackets). Let Φ :M → A* ser el mapa del momento: (x), F = F (x).\nUna fibra no vacía 1(p), p A*, se llama un tallo de A (véase [23]).\nfibras no vacías 1(q) con q 6= p son desplazables y un tallo estable si\nson establemente desplazables. Si un subconjunto de M es un tallo (estable) de un finito-\nsubespacio dimensional de Poisson-commutativo de C(M), se llamará justo\na Tallo (estable). Claramente, cualquier tallo es un tallo estable. La colección de\nLos subconjuntos superpesados incluyen todos los tallos estables (ver Teorema 1.6 abajo).\nUno muestra fácilmente que un producto directo de tallos estables es un tallo estable y\nque la imagen de un tallo estable bajo cualquier simplectomorfismo es de nuevo un\nvástago estable.\nEl siguiente ejemplo de un tallo estable se toma prestado (con un mod-\n) de [23]: Que X â € M sea un subconjunto cerrado cuyo complemento es\nuna unión finita disyuntiva de conjuntos estable desplazables. Entonces X es un tallo estable.\nPor ejemplo, el esqueleto de la codimensión-1 de una triangulación suficientemente fina de\ncualquier colector simplético cerrado es un tallo estable. Otro ejemplo es dado por\nel ecuador de S2: divide la esfera en dos discos abiertos desplazables y\npor lo tanto es un tallo estable. Al tomar productos, uno puede llegar a ser más sofisticado\nejemplos de tallos estables. Ya el producto de los ecuadors de las dos esferas\nda lugar a un Lagrangian Clifford toro en S2×...×S2. Para demostrar su rigidez\npropiedades (como no desplazabilidad estable) uno tiene que usar sim-\nHerramientas plécticas como la homología Lagrangian Floer, véase, por ejemplo. [44]. Productos de\nlos 1-esqueletos de las triangulaciones finas de las dos esferas pueden ser considerados como\nsingular Lagrangian submanifolds, un objeto que actualmente está fuera de alcance\nde la teoría Lagrangian Floer.\nOtro ejemplo de los tallos estables proviene de las acciones de toros de Hamilton.\nConsiderar una acción Hamiltoniana eficaz : Tk → Ham(M) con el mo-\nΦ = (Φ1,............................................................................................ ...............................................................................................\nk. Supongamos que Φi es un\nHamiltonian, eso es\nΦi = 0 para todos los i = 1,...., k. Una acción de toro se llama\ncomprimible si la imagen del homomorfismo : η1(T\nk) → η1(Ham(M)),\ninducido por la acción............................................................................................................................................................................................................................................................. Uno puede demostrar que por compresible\nacciones la fibra 1(0) es un tallo estable (ver Teorema 1.7 abajo).\nFibras especiales de las acciones de toros Hamiltonianos: Considere un eficaz\nHamiltonian torus action (acción de toros) sobre un colector simplético esféricamente monótono.\nLet I : η1(Ham(M)) → R ser la acción mixta-Homomorfismo Maslov intro-\nEn el caso de las importaciones procedentes de la República Popular China, el importe de las importaciones objeto de dumping procedentes de la República Popular China se estima en [...] millones EUR. Puesto que el espacio objetivo Rk del mapa del momento Φ es naturalmente\nidentificado con Hom(η1(T)\nk), R), la pull back pspec := \nI de la mezcla\nacción-Homomorfismo Maslov con el signo inverso puede ser considerado como un\npunto de Rk. La preimagen 1(pspec) se llama la fibra especial de la acción.\nVeremos abajo que la fibra especial siempre no está vacía. Para monotona\nlos colectores toricos simpléticos (es decir, cuando 2k = dimM) la fibra especial es un\nMonotone Lagrangian Torus. Tenga en cuenta que cuando la acción es comprimible\ntienen pspec = 0 y por lo tanto la fibra especial es un tallo estable según el\nejemplo anterior. Se desconoce si estos últimos bienes persisten para\nacciones no comprimibles. Así en lo que sigue tratamos los tallos estables\ny fibras especiales como ejemplos separados. La colección de superpesados\nLos subconjuntos incluyen todas las fibras especiales (ver Teorema 1.9 abajo).\nPor ejemplo, considere el CP 2 y el Torus Lagrangian Clifford en él (i.e.\nel toro {[z0 : z1 : z2] • CP\n2 Toma el estándar\nAcción Hamiltoniana T2 sobre el CP 2 preservando el toro Clifford. Tiene tres.\npuntos fijos globales lejos del toro de Clifford. Hacer un sym equivariante...\nblow-up pléctico, M, de CP 2 a k de estos puntos fijos, 0 ≤ k ≤ 3, de modo que\nel colector simplético obtenido es esféricamente monotono. La acción de los toros\nse eleva a una acción Hamiltoniana en M. Uno puede demostrar que su fibra especial es\nla transformación adecuada del toro de Clifford.\nMonotone Lagrangian submanifolds: Let (M2n, Ł) ser una esférica\nmonotone simplectic multiple, y dejar L â € M ser un monótono cerrado La-\nSubmanifold grangiano con el número mínimo de Maslov NL ≥ 2. Nosotros decimos\nque L satisface la condición de Albers [2] si la imagen del morfismo natural\nH*(L;Z2) → H*(M;Z2) contiene un elemento S no cero con\ndeg S > dimL+ 1−NL.\nLa colección de juegos pesados incluye todos los monótonos cerrados Lagran-\nSubmanifolds gian que satisfacen la condición de Albers (véase Teorema 1.15\ninfra).\nEjemplos específicos incluyen el meridiano en T2, RP n • CP n y todos los La-\nEsferas grangianas en hipersuperficies proyectivas complejas de grado d en CP n+1\ncon n > 2d − 3. En el caso de que la clase fundamental [L] de L se divida\nun idempotente no trivial en el álgebra homológica cuántica de M, L es, en\nhecho, superpesado (ver Teorema 1.18 más abajo). Por ejemplo, este es el caso\npara RP n • CP n. Además, una versión de superpeso se mantiene para cualquier\nEsfera lagrangiana en el complejo cuadrático de dimensión par (compleja).\nSin embargo, existen ejemplos de pesado, pero no superpesado, Lagrangian\nsubmanifolds: Por ejemplo, el meridiano del 2-torus es\nceable por un (no-Hamiltoniano!) cambio y por lo tanto no es superpesado. Otro\nejemplo de pesado pero no superpesado submanifold Lagrangian es la esfera\nsurgida como la parte real de la hipersuperficie de Fermat\nM = zd0 + z\n1 +... + z\nn+1 = 0}\ncon d ≥ 4 y n > 2d− 3. Nos remitimos a la sección 1.5 para más detalles sobre\n(super) monótono pesado submanifolds Lagrangian.\nMotivación: Nuestra motivación para la selección de ejemplos que aparecen en el\nLa lista anterior es la siguiente. Tallos estables proporcionan un patio de recreo para estudiar\nrigidez simpléctica de subconjuntos singulares. En particular, ningún análogo visible de\nla técnica convencional de homología Lagrangian Floer es aplicable a ellos.\nDetectar (estable) la no-desplazabilidad de los submanifolds Lagrangian vía La-\nLa homología grangiana Floer es uno de los temas centrales de la topología simpléctica.\nEn contraste con esto, la detección de una fuerte no-desplazabilidad tiene en el momento la\ncondición del arte en lugar de la ciencia. Por eso nos intrigaba Albers’\nobservación de que la monotona Lagrangian submanifolds satisfacer su condición\nse encuentran en algunas situaciones fuertemente no desplazables. En el presente trabajo lo intentamos\ndigerir los resultados de Albers [2] y mirarlos desde el punto de vista teórico\nde cuasiestados simpléticos parciales desarrollados en [23]. Además, nuestro resultado\nsobre la superpeso del antidiagonal lagrangiano en S2 × S2 nos permite\ndetectar un toro Lagrangiano “exótico” en este colector simplético:\neste toro no se interseca el antidiagonal, y por lo tanto no es pesado en\ncontraste con el toro estándar Clifford, véase el ejemplo 1.20 a continuación.\nEn [23] probamos un teorema que dice que cada\nLa foliación coisotrópica tiene al menos una fibra no desplazable. ¿Cómo...?\nsiempre, nuestra prueba es no-constructiva y no nos dice qué fibras específicas\nno se pueden desplazar. La noción de la fibra especial surgió como un intento de\nresolver este problema para las acciones del círculo hamiltoniano.\nMencionemos también que la propiedad del producto nos permite producir\nmás ejemplos de subconjuntos (super)pesados tomando productos de los subconjuntos\nque aparecen en la lista.\nAlgunos comentarios sobre los métodos involucrados en nuestro estudio de la pesada y su-\nlos subconjuntos perheavy están en orden. Estas colecciones se definen en términos de:\ncuasiestados simpléticos parciales introducidos en [23]. Estos son...\ncon propiedades algebraicas ricas que\nse construyen por medio de la teoría de Hamiltonian Floer y que conve-\nCodificar una parte de la información contenida en esta teoría. En general,\nla definición de un cuasiestado simplético parcial implica la elección de un\nelemento idempotente en la parte conmutativa QH•(M)\nálgebra de mología de M. Aunque la opción por defecto es sólo la unidad de la\nálgebra, existen algunas otras opciones significativas, en particular en el caso\ncuando QH•(M) es semisimple. Esto da lugar a otro tema discutido en\nEste artículo: obstrucciones topológicas “visibles” a la semisimplicidad (ver Corol-\nlary 1,24 y Teorema 1,25 infra). Por ejemplo, demostraremos que si\nmonotone simplectic multiple M contiene “demasiado” disjoint monotone\nEsferas lagrangianas cuyos números mínimos de Maslov superan n+1, el quan-\nQH•(M) no puede ser semi-simple.\nPasemos a la configuración precisa. Para la comodidad del lector, la\nterial presentado en este breve esquema se repetirá en partes en el siguiente\nsecciones en una forma menos comprimida.\n1.2 Preliminares sobre la homología cuántica\nEl Anillo Novikov: Deja que F denote un campo base que en nuestro caso será\no bien C o Z2, y dejar que R sea un subgrupo contable (con respecto a la\nadded). Let s, q ser variables formales. Definir un campo K® cuyos elementos son\nSerie Laurent generalizada en s de la forma siguiente:\nK. :=\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # F # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \nEn el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo.\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nDefinir un anillo := K[q, q\n−1) como anillo de polinomios en q, q−1 con\nCoeficiente de K............................................................................................................................................... Convertimos en un anillo clasificado estableciendo el grado de s\nser 0 y el grado de q ser 2.\nEl anillo sirve como un modelo abstracto del anillo Novikov asociado a\nun colector simplés. Vamos a ser (M,) un colector simplético conectado cerrado.\nDenotar por HS2 (M) el subgrupo de clases de homología esférica en la integral\ngrupo homológico H2(M ;Z). Abusando de la notación escribiremos فارسى(A), c1(A)\npara los resultados de la evaluación de las clases de cohomología y c1(M)\nA H2(M ;Z). Establecer\n2(M) := H\n2 (M)/\ndonde, por definición,\nB iff (A) = (B) y c1 (A) = c1 (B).\nDenotar por el subgrupo de períodos de la\nforma simpléctica en M en las clases de homología esférica. Por definición, el\nEl anillo de Novikov de un colector simplés (M.) es (M.). En lo que sigue,\ncuando se fija (M,), abreviamos y escribimos, K y en lugar de (M,),\n(M.) y (M.) (M.) respectivamente.\nHomología cuántica: Conjunto 2n = dimM. La homología cuántica QH*(M)\nse define como sigue. En primer lugar, se trata de un módulo graduado sobre.............................................................................................................................................\nQH*(M) := H*(M;F)F\ncon la clasificación definida por las clasificaciones en H*(M;F) y \ndeg (a zsŁqk) := deg (a) + 2k.\nEn segundo lugar, y lo más importante, QH*(M) está equipado con una pro-\nect: si a • Hk(M ;F), b • Hl(M ;F), su producto cuántico es una clase\na* b • QHk+l−2n(M), definido por\na * b =\nA2(M)\na ∗ b) A s\n(A)q−c1(A),\ndonde (a ∗ b) A Hk+l−2n+2c1(A)(M) se define por el requisito\na ∗ b) A c = GW\nA (a, b, c)\nAquí significa el índice de intersección y GWFA (a, b, c)\nGromov-Witten invariante que, en términos generales, cuenta el número de\nesferas pseudo-holomórficas en M en la clase A que cumplen los ciclos que representan\na), b), c) H*(M;F) (véase [55], [56], [41] para la definición precisa).\nExtender esta definición por linealidad a todo el QH*(M) que se obtiene\nuna operación de producto asociativo clasificada y conmutativa correctamente definida* en\nQH*(M) que es una deformación del producto clásico en singular\nEn el caso de las empresas de seguros de vida, el importe de las primas de seguro de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de seguros de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de vida de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de seguros de seguros de vida de vida de seguros de vida de vida de las empresas de seguros de seguros de seguros de vida de vida de vida de vida de vida de vida. El álgebra cuántica de homología QH*(M)\nes un anillo cuya unidad es la clase fundamental [M] y que es un módulo\nde rango finito por encima de. Si a, b • QH*(M) han graduado grados grados grados de g (a), deg (b)\ndeg (a ∗ b) = deg (a) + deg (b)− 2n. 1)..........................................................................................................................................................\nEstaremos principalmente interesados en la parte conmutativa del cuántico\nanillo de homología (que en el caso F = Z2 es, por supuesto, todo el cuántico\nanillo de homología). Para ello se introduce la siguiente notación:\nDenotamos por QH•(M) toda la homología cuántica QH*(M) si\nF = Z2 y la parte de grado par de QH*(M) si F = C.\nEn general, dado un espacio topológico X, denotamos por H•(X ;F) la\ngrupo H*(X;F) si F = Z2 y el par-\ngrado parte de H*(X;F) si F = C.\nPor lo tanto, en nuestra notación el anillo QH•(M) = H•(M ;F)F\nmutatisticve subring con la unidad de QH*(M) y un módulo de rango finito por encima de.\nNos identificaremos con un suburbio de QH•(M) por 7→ [M ] ♥.\n1.3 Una jerarquía de subconjuntos rígidos dentro de la teoría de Floer\nFijar un idempotente distinto de cero a QH2n(M) (por obvia clasificación considera-\nciones el grado de cada idempotente es igual a 2n). Nos ocuparemos de los espectrales.\ninvariantes c(a,H), donde H = Ht : M → R, t â € R, es un tiempo suave-\ndependiente y 1-periódico en el tiempo Hamiltoniano función en M, o c(a, H),\ndonde H es un elemento de la cobertura universal Hśam (M) de Ham(M) rep.\nresentida por un camino basado en la identidad dado por el flujo Hamiltoniano del tiempo-1\ngenerado por H. Si H se normaliza, lo que significa que\ndimM/2 = 0 para todos\nt, entonces c(a,H) = c(a, H). Estos invariantes, que hoy en día son estándar\nobjetos de la teoría de Floer, fueron introducidos en [45] (cf. [59] en la asférica\ncaso; véase también [42], [43] para una versión anterior de la construcción y [22] para un\nresumen de las definiciones y resultados en el caso monotono).\nDescargo de responsabilidad: A lo largo de todo el documento suponemos tácitamente que (M,.......................................................................................................................................................\ncomo (M ×T2, ), cuando hablamos de desplazabilidad estable) pertenece a la clase\nS de colectores simpléticos cerrados para los que los invariantes espectrales están bien\ndefinir y disfrutar de la lista estándar de propiedades (véase, por ejemplo, [41, Teorema\n12.4.4]). Por ejemplo, S contiene todo asférica y esféricamente\ncolectores monotónicos. Además, S contiene todos los colectores simpléticos M2n\npara los cuales, por un lado, c1 = 0 o el número mínimo de Chern (en\nHS2 (M)) es al menos n − 1 y, por otra parte,\n2 (M)) es un\nsubgrupo de R (cf. [64]). La creencia general es que la clase S incluye a todos\ncolectores simpléticos.\nDefinir un funcional : C(M) → R por\n(H) := lim\nc(a, lH)\nSe muestra en [23] que el funcional tiene algún algebraico muy especial\npropiedades (véase Teorema 3.6) que forman los axiomas de un simplés parcial\nel cuasi-estado introducido en [23]. La siguiente definición está motivada en parte por\nla obra de Albers [2].\nDefinición 1.1. Un subconjunto cerrado X â € M se llama pesado (con respecto a â €\no con respecto a un utilizado para definir\n(H) ≥ inf\nH. H. C. M., (3)\ny se llama superpesado (con respecto a o a) si\n(H) ≤ sup\nH. H. C. M....................................................................................................................................... 4)\nLa elección por defecto de un idempotente a es la unidad [M ] QH*(M). En este\ncaso, como veremos a continuación, las colecciones de conjuntos pesados y superpesados\nsatisfacer las propiedades enumeradas en la sección 1.1 e incluir los ejemplos en ella.\nTeniendo en cuenta las posibles aplicaciones (incluidas las obstrucciones geométricas a\nla simplicidad de la homología cuántica), trabajaremos, siempre que sea posible, con\nÍdempotentes generales.\nLa asimetría entre supX H e infX H está relacionada con el hecho de que\nlos números espectrales satisfacen una desigualdad triangular c(a ∗ b, \nc(b, ŁG), mientras que puede no haber una desigualdad adecuada “en la dirección opuesta-\ntion”. En el caso de que exista tal desigualdad “opuesta” (por ejemplo: cuando a = b\nes un idempotente y • definido por él es un verdadero cuasi-estado simplético – ver\nSección 1.6 a continuación) la simetría entre supX H e infX H se restaura\ny las clases de conjuntos pesados y superpesados coinciden.\nEnfaticemos que la noción de (super)peso depende de la\nelección de un anillo de coeficiente para la teoría de Floer. En este artículo los coeficientes\npara la teoría Floer será Z2 o C dependiendo de la situación. A menos que\nde lo contrario, nuestros resultados en subconjuntos (super)pesados son válidos para cualquier elección\nlos coeficientes.\nEl grupo Symp (M) de todos los simplectomorfismos de M actúa naturalmente sobre\nH*(M;F) y, por lo tanto, en QH*(M) = H*(M;F) F. Claramente, la identidad\ncomponente Symp0(M) de Symp (M) actúa trivialmente sobre QH*(M) y por lo tanto para\ncualquier idempotente a • QH*(M) el correspondiente • es invariante Symp0(M).\nAsí, la imagen de un (super)pesado conjunto bajo un elemento de Symp0(M) es de nuevo\na (super)conjunto pesado con respecto al mismo idempotente a. Si a es invariante\nbajo la acción de todo el Symp (M) (por ejemplo, si a = [M ]) las clases\nde conjuntos pesados y superpesados con respecto a a son invariantes bajo la acción\nde todo el Symp (M) de acuerdo con la propiedad de la invarianza presentada\nen la sección 1.1 supra.\nMencionemos también que las colecciones de (super) sets pesados disfrutan de un\npropiedad de estabilidad en inclusiones: Si X, Y, X â € ¢ Y, son subconjuntos cerrados de M\ny X es pesado (respectivamente, superpesado) con respecto a un idempotente a\nentonces Y también es pesado (respectivamente, superpesado) con respecto a la misma a.\nAhora estamos dispuestos a formular los principales resultados de la presente sección.\nTeorema 1.2. Suponga que una y la otra son fijas. Entonces\n(i) Cada conjunto superpesado es pesado, pero, en general, no viceversa.\nii) Cada subconjunto pesado es establemente no desplazable.\niii) Cada conjunto superpesado se cruza con cada conjunto pesado. En particular, un super-\nun conjunto pesado no puede ser desplazado por un simplético (no necesariamente Hamil-\ntoniano) isotopía y si el idempotente a es invariante bajo el symplec-\ngrupo de tomorfismo de (M.o) (p.e. si a = [M ]), cada conjunto superpesado es\nfuertemente no desplazable.\nEl siguiente teorema discute la relación entre pesadez/super-\npropiedades de pesadez con respecto a diferentes idempotentes. En particular,\nmuestra que [M] juega un papel especial entre todos los otros idempotentes no cero\nen QH*(M).\nTeorema 1.3. Supongamos que a es un idempotente no cero en la homología cuántica.\n(i) Cada conjunto que es superpesado con respecto a [M] también es superpesado con\nrespeto a a.\n(ii) Cada conjunto que es pesado con respecto a a es también pesado con respecto a\n[M]\niii) Suponga que el idempotente a es una suma de idempotentes distintos de cero\ne1,. ..., el y asumir que un subconjunto cerrado X • M es pesado con re-\nspect a a. Entonces X es pesado con respecto a ei para al menos una i.\nLa siguiente propuesta muestra que, en general, la pesadez de un conjunto\ndepende de la elección de un idempotente en la homología cuántica.\nProposición 1.4. Considere el toro T2n equipado con el sim-\nestructura pléctica • = dpÃ3dq. Que M2n = T2n+CP n sea una explosión simpléctica de\nT2n en un punto (la explosión se realiza en una pequeña bola alrededor del punto).\nAsumir que el toro lagrangiano L • T2n dado por q = 0 no se intersecta\nla bola en T2n, donde se realizó la explosión.\nEntonces la transformación apropiada de L (identificado con L) es un sub-\nmúltiple de M, que no es pesado con respecto a algunos no cero idempotente\na QH*(M) pero pesado con respecto a [M]. (Aquí trabajamos con F = Z2).\nA continuación, considere los productos directos de (super) sets pesados. Comenzamos con el fol-\nconvención de reducción en los productos tensores. Vamos a i, i = 1, 2, ser dos contables\nSubgrupos de R. Dejemos que Ei sea un módulo sobre K.i. Pusimos\nE1KE2 =\nE1 K1 K1 K1 K2\nK12\nE2 KÃ32 KÃ12\n. 5)\nSi E1, E2 son también anillos automáticamente suponemos que el tensor medio prod-\nuct es el producto tensor de los anillos. En palabras simples, ampliamos ambos módulos\na los módulos K. 1 ó 2 y considerar el producto tensor habitual sobre K. 1 ó 2.\nHabida cuenta de dos colectores simpléticos (M1, M1,.......................................................................................................................................................................................................................................................\nsubgrupos de períodos de las formas simpléticas satisfacen\n*(M1 ×M2, *(M1 ×M2) =*(M1, *1) +*(M2, *2).\nAdemás, debido a la fórmula Künneth para la homología cuántica (véase, por ejemplo,\n[41, Ejercicio 11.1.15] para la declaración en el caso monotono; el\ncaso en nuestra configuración algebraica se puede tratar de manera similar) existe un\nmonomorfismo de anillo lineal sobre K. 1 2\nQH2n1(M1)KQH2n2(M2) QH2n1+2n2(M1 ×M2),\nFijaremos un par de idempotentes ai QH*(Mi), i = 1, 2. Las nociones\nde (super)peso en M1, M2 y M1 ×M2 se entienden en el sentido de\nidempotents a1, a2 y a1 a2 respectivamente.\nTeorema 1.5. Supongamos que Xi es un pesado (resp. superpesados) subconjunto de Mi\ncon respecto a algunos idempotent ai, i = 1, 2. Entonces el producto X1 × X2\nes un pesado (resp. superpesados) subconjunto de M con respecto al idempotente\na1 a2 QH•(M1 ×M2).\nUna clase importante de conjuntos superpesados es dada por tallos estables introducidos\ne ilustrado en la sección 1.1.\nTeorema 1.6. Cada tallo estable es un subconjunto superpesado con respecto a cualquier\nÍdempotente no cero a QH*(M). En particular, es fuerte y estable\nno desplazable.\nEn la siguiente sección presentamos un ejemplo de tallos estables provenientes de Hamil-\nacciones de toro toniano.\n1.4 Acciones de toros hamiltonianos\nFibras del momento mapas de acciones de toros Hamiltonianos forman un interesante\nparque infantil para probar las diversas nociones de desplazabilidad y pesadez\nIntroducción anterior. A lo largo del documento nos ocupamos de acciones eficaces solamente,\nque es suponemos que el mapa : Tk → Ham(M) definir la acción\nes un monomorfismo. Además, suponemos que el mapa del momento Φ =\n(Φ1,. ...............................................................................................\nk de la acción se normaliza: Φi es un normalizado\nHamiltonian para todos i = 1,..... por el teorema de Atiyah-Guillemin-Sternberg\n[6], [30], la imagen = Φ(M) de Φ es un politopo convexo k-dimensional,\nllamó al momento politopo. Los subconjuntos 1(p), p, se llaman fibras de\nel mapa del momento. Una acción de toro se llama comprimible si la imagen de la\nhomomorfismo : η1(T\nk) → η1(Ham(M)), inducido por la acción\ngrupo finito.\nTeorema 1.7. Supongamos que está equipado con un Hamilto comprimible.\nnian Tk-action con mapa del momento Φ y politopo del momento. Dejad que Y # # # sea #\ncualquier subconjunto convexo cerrado que no contenga 0. Entonces el subconjunto 1(Y)\nes establemente desplazable. En particular, la fibra 1(0) es un tallo estable.\nTenga en cuenta que para los colectores tóricos simpléticos, es decir, cuando 2k = dimM, el punto\n0 es el baricentro del politopo del momento con respecto a la Lebesgue\nmedida. Esto se deriva de nuestra suposición sobre la normalización de la\nmapa del momento.\nLos teoremas 1.6 y 1.7 implican que la fibra 1(0) del toro comprimible\nacción es estable no desplazable, y así obtenemos la descripción completa\nde fibras establemente desplazables para tales acciones.\nEn el caso de que la acción no sea comprimible, la cuestión de la\nLa descripción completa de las fibras estable no desplazables permanece abierta. Hacemos un\nprogreso parcial en esta dirección mediante la presentación de al menos una de esas fibras, llamado\nla fibra especial, explícitamente en el caso de que (M,•) sea esféricamente monotona:\nHS2 (M)\n= c1(TM)HS2 (M)\n.......................................................................\nLa fibra especial se puede describir a través de la acción mixta-Homomor Maslov-\nphism introducido en [49]: Dejar (M2n, ) ser una esférica monotona simplectic\nmúltiple, y que {ft}, t [0, 1], sea cualquier bucle de difeomorfismos hamiltonianos,\ncon f0 = f1 = 1, generado por un func de Hamilton normalizado 1-periódico-\ntion F (x, t). Las órbitas de cualquier bucle hamiltoniano son contractibles debido a la\nteoría estándar de Floer1. Elija cualquier punto x â € M y cualquier disco u : D2 → M\nabarcando la órbita γ = {ftx}. Definir la acción\n2 de la órbita por\nAF (γ, u) :=\nF (γ(t), t)dt−\nu.\nTrivialize el paquete de vectores simplés u*(TM) sobre D2 y denote por\nmF (γ, u) el índice Maslov del bucle de matrices simpléticas correspondientes\na {ft con respecto a la trivialización elegida. Uno comprueba fácilmente que,\nen vista de la monotonicidad esférica, la cantidad\nI(F) := −AF (γ, u)−\nmF (γ, u)\nno depende de la elección del punto x y el disco u, y es invariante\nbajo los homotopies del bucle Hamiltoniano {ft}. De hecho, yo soy un bien definido\nhomomorfismo de η1(Ham(M)) a R (véase [49], [68]).\nSupóngase de nuevo que : Tk → Ham(M,) es un torus hamiltoniano ac-\ntion. Escriba para el homomorfismo inducido de los grupos fundamentales.\nPuesto que el espacio objetivo Rk del mapa del momento Φ se identifica naturalmente con\nHom(π1(T)\nk), R), la retirada I de la acción mixta-Homomor Maslov-\nphism con el signo inverso puede ser considerado como un punto de Rk. Llamamos\nes un punto especial y denota por pspec. La preimagen Φ\n−1(pspec) se llama\nfibra especial del mapa del momento. En el caso k = 1, cuando Φ es un valor real\nfunción en M, llamaremos pspec el valor especial de Φ.\n1La teoría de Floer garantiza la existencia de al menos una órbita periódica contractible –\nEsto no es obvio a priori si {ft} no es un flujo autónomo. Desde todas las órbitas de {ft}\nson homotópicos, todos son contráctiles.\n2Tenga en cuenta que nuestra acción funcional y la de [49] son de signos opuestos.\nSi k = n y M es un colector torico simplético, entonces pspec se puede definir\nen términos puramente combinatorios que implican sólo el politopo. Es decir, elegir\nun vértice x de Ł. Puesto que en este caso es un politopo Delzant [20], hay un\núnica (hasta una permutación) elección de vectores v1,. .................................................\n• oriundo de x;\n• abarcan los rayos n que contienen los bordes de • adyacentes a x;\n• formar una base de Zn sobre Z.\nProposición 1.8.\npspec = x+ \nvi. 6)\nPrueba. Los vértices del momento politopo están en correspondencia uno-a-uno\ncon los puntos fijos de la acción. Que x â € ¢ M sea el punto fijo corre-\nsponding al vértice x = (x1,. ..,xn). Entonces los vectores vj = (v\nj,. v..............................................................\nj = 1,..., n, son simplemente los pesos de la isotropía Tn-acción en TxM. Desde\nla definición de la acción mixta-Maslov invariante de un círculo hamiltoniano\nla acción no depende de la elección de una órbita 1-periódica y\nning, vamos a calcular todos los II, l = 1,..., n, utilizando la órbita periódica constante\nconcentrado en el punto fijo x y el disco constante u que lo abarca. Claramente,\nAΦi(x, u) = Φi(x) = xi y mΦi(x, u) = 2\nvij Łi = 1,..., n,\nque produce fácilmente la fórmula (6).\nE.Shelukhin nos señaló que al resumir las ecuaciones (6) sobre todo el\nvértices x(1). ..,x(m) • Rn del politopo del momento, uno consigue fácilmente que\npspec =\nTeorema 1.9. Suponga que M2n es un colector simplético esféricamente monótono\nequipado con un Hamiltonian Tk-action. Entonces la fibra especial del momento\nmapa es superpesado con respecto a cualquier (no-cero) idempotente a QH2n(M).\nEn particular, es estable y no desplazable.\nMencionemos que, en particular, la fibra especial no está vacía y así\npspec â â € € TM. Por otra parte pspec es un punto interior de • – de lo contrario Φ\n−1(pspec) es\nisotrópico de dimensión < n y, por lo tanto, desplazable (véase, por ejemplo, [9]).\nObservación 1.10. Si dimM = 2dimTk (es decir, nos ocupamos de un\nmúltiple), la fibra especial, dicen L, es un toro lagrangiano. De hecho, este toro\nes monotona: por cada D • η2(M,L) que tenemos\n* = * mL(D),\ndonde mL representa la clase Maslov de L. Esto es una consecuencia inmediata\nde las definiciones.\nObservación 1.11. Tenga en cuenta que cuando M es esféricamente monotona y la acción es\nLos teoremas comprimibles 1.7 y 1.9 coinciden entre sí: en este caso pspec = 0\ny por lo tanto la fibra especial es un tallo estable por Teorema 1.7. Se desconoce\nsi esta propiedad persiste para las fibras especiales de ac-\nciones.\nEjemplo 1.12. Dejar que M sea el monótono simplético explosión de CP 2 en k\npuntos (0 ≤ k ≤ 3) que sean equivariantes con respecto a la norma T2-\nacción y que se realiza lejos del toro de Clifford en CP 2. Desde\nla explosión es equivariante, M viene equipado con una acción Hamiltonian T2-\nampliación de la acción T2 sobre CP 2. El toro Clifford es una fibra del momento\nmapa de la acción T2 sobre CP 2. Que L M sea el toro lagrangiano que es\nla transformación adecuada del toro de Clifford bajo la explosión – es una fibra de\nel mapa del momento de la T2-acción en M. Usando la Proposición 1.8 es fácil\nver que L es la fibra especial de M. De acuerdo con Teorema 1.9, es estable\ny fuertemente no desplazable. De hecho, es un tallo: la desplazabilidad de\ntodas las demás fibras se comprobaron para k = 0 en [10], para k = 1 en [23] y para\nk = 2, 3 in [40].\nNos remitimos a la sección 1.7.2 para seguir examinando los problemas conexos y muy\navances recientes.\nDigresión: Calabi vs. acción-Maslov. El método utilizado para demostrar\nTeorema 1.9 también permite probar el siguiente resultado que implica la mezcla\nacción-Homomorfismo Maslov. Denotar por vol (M) el volumen simplético de\nM. Considere la función μ : Hśam (M) → R definido por\nμ(H) := −vol (M) lim\nc(a, ŁlH)/l.\nEn el caso cuando a es la unidad en un campo que es un resumen directo en el\nla descomposición de la K-álgebra QH2n(M), como álgebra, en un directo\nsuma de subalgebras, μ es un cuasimorfismo homogéneo en H\nCalabi cuasi-morfismo [22],[24],[46]; en el caso general tiene utilería más débil\nerties [23]. Con este lenguaje, la función de • (en funciones normalizadas) es\ninducido (hasta un factor constante) por el retroceso de μ a la Lie álgebra de\nHśam (M).\nDespués de P.Seidel describimos en [22] la restricción de μ (de hecho, para cualquier\nM esféricamente monótono) en el η1(Ham(M))\nhomomorfismo η1(Ham(M)) → QH\n* (M), donde QH\n* (M) denota:\ngrupo de elementos invertibles en el anillo QH*(M). Aquí damos una alternativa\ndescripción de 1(Ham(M)) en términos de la acción mixta-Homomor Maslov-\nphism I que, a su vez, también proporciona cierta información sobre el Seidel\nhomomorfismo.\nTeorema 1.13. Asumir que M es esféricamente monotona y dejar que μ se defina como\narriba para algunos idempotentes distintos de cero a QH*(M). Entonces\n1(Ham(M)) = vol (M) · I.\nNótese que, en particular, 1(Ham(M)) no depende de un utilizado para de-\nBien μ. El teorema también implica que μ desciende a un cuasi-morfismo en\nHam(M) si y sólo si I : η1(Ham(M)) → R desaparece idénticamente (desde μ\ndesciende a un cuasi-morfismo en Ham(M) si y sólo si 1(Ham(M)) 0 –\nVéase, por ejemplo, [22], Prop. 3.4). La prueba del teorema figura en la sección 9.1.\nMencionemos también que, curiosamente, el homomorfismo I\ncoincide con la restricción a η1(Ham(M)) de otro cuasimorfismo\nsobre la Hśam (M) construida por P.Py (véanse [52, 53]).\nDigresión: Acción-Homomorfismo Maslov y Futaki invari-\nhormiga. Esta observación surgió de una observación que nos señaló Chris\nWoodward – le estamos agradecidos por ello. Asume que nuestro simplés\nmultipleM es complejo Kähler (es decir. se induce la estructura simpléctica sobre M\npor el Kähler uno) y Fano (con esto queremos decir aquí que [] = c1). Asumir\ntambién que una acción Hamiltoniana S1 {ft} preserva la métrica de Kähler y el\nestructura compleja. Por ejemplo, si M2n es un colector torico simplético puede\nestar equipados canónicamente con una estructura compleja y una métrica de Kähler invari-\nen el marco de la acción Tn sobre M, por lo tanto, en el marco de la acción de cualquier subgrupo S1-\n{ft} de T\nQue V sea el campo vectorial Hamiltoniano que genera el flujo Hamiltoniano\n{ft}. Puesto que {ft} preserva la estructura compleja, uno puede asociar a V su\nFutaki invariante F (V ) C [29]. Ha sido comprobado por E.Shelukhin [63]\nque, hasta un factor constante universal, este invariante Futaki es igual a la\nvalor del homomorfismo de acción mixta-Maslov en el bucle {ft}:\nF(V) = const · I({ft}).\nTenga en cuenta que si tal M admite una métrica de Kähler-Einstein entonces el Futaki\ninvariante tiene que desaparecer [29] – así si I({ft}) 6= 0 el colector no admite\na métrica de Kähler-Einstein. Por otra parte, si M2n es toric lo contrario también es cierto:\nsi el invariante Futaki desaparece para cualquier V generando un subgrupo del toro\nActuando en M entonces M admite una métrica de Kähler-Einstein – esto sigue de una\nteorema de Wang y Zhu [67], combinado con un resultado previo de Mabuchi\n[38]. En términos del politopo del momento, la desaparición de la invariante Futaki,\ny, en consecuencia, la existencia de una métrica de Kähler-Einstein, en un Fano de Kähler\nmúltiplo tórico significa precisamente que el punto especial del politopo coincide\ncon el baricentro.\n1.5 Monotonas super(pesadas) submanifolds lagrangianos\nQue (M2n, ) sea un colector simplético cerrado esféricamente monótono con [] =\n• c1(TM) en el punto η2(M), • • > 0. Deja que L-M sea un monótono cerrado Lagrangiano\nsubmanifold con el número mínimo de Maslov NL ≥ 2. Como de costumbre, ponemos\nNL = + + η2(M,L) = 0. Como antes, trabajamos con el campo básico F que\nes Z2 o C. En el caso F = C, suponemos que L es relativamente vuelta, que\nes L es orientable y la 2a clase Stiefel-Whitney de L es la restricción de\nalguna clase de cohomología integral de M.\nDescargo de responsabilidad: En el caso F = C los resultados de esta sección son condicionales:\nDamos por sentado que la Proposición 8.1 a continuación, que fue probada por Biran\ny Cornea [15] para las homologías con coeficiente Z2, se extiende a las homologías\ncon C-coeficiente. En cada uno de los ejemplos específicos a continuación vamos a explícitamente\nindicar qué F estamos utilizando y cada vez que usamos F = C suponemos que L\nes relativamente girar.\nDenotar por j el morfismo natural j : H•(L;F) → H•(M ;F). Nosotros decimos que\nL cumple la condición de Albers [2] si existe un elemento S • H•(L;F) así\nque j(S) 6= 0 y\ndeg S > dimL+ 1−NL.\nNos referiremos a S como a un elemento de Albers de L.\nEjemplo 1.14. Suponga que [L] H•(L;F) y j([L]) H•(M;F) no es cero.\nEsto significa precisamente que [L] es un elemento de Albers de L.\nUn monótono cerrado Lagrangian submanifold L que satisface esta\n(y cuyo número mínimo de Maslov es mayor que 1) se llamará\nhomológicamente no trivial en M.\nTeorema 1.15. Que L sea un monótono cerrado Lagrangian submanifold satisfacer-\nEn el estado de Albers. Entonces L es pesado con respecto a [M ]. En particular,\ncualquier submanifold Lagrangiano homológicamente no trivial es pesado con respeto\na [M].\nEjemplo 1.16. Asumir que η2(M,L) = 0. Entonces la clase de homología de un\npunto es un elemento Albers de L, y por lo tanto L es pesado. Tenga en cuenta que en este\nla pesadez del caso no se puede mejorar a la pesadez super: el meridiano en el\nDos torso es pesado pero no superpesado. Aquí tomamos F = Z2.\nEjemplo 1.17 (Esferas lagrangianas en las hipersuperficies de Fermat). Más examen...\n(pero no necesariamente superpesada) monotona Lagrangian sub-\nLos colectores pueden ser construidos de la siguiente manera3.\nDejar que M • CP n+1 sea una hipersuperficie compleja suave de grado d. La\nel retroceso de la estructura simpléctica estándar de CP n+1 convierte M en una\ncolectores simpléticos (de dimensión real 2n). Si d ≥ 2, entonces, como se explica,\npor ejemplo, en [12],M contiene una esfera lagrangiana: M se puede incluir en\nuna familia de hipersuperficies algebraicas de CP n+1 con degeneraciones cuadráticas en\npuntos aislados y el ciclo de desaparición de tal degeneración se pueden realizar\npor una esfera lagrangiana que sigue [5], [21], [60], [61], [62].\nDejemos que M • CP n+1 sea una hipersuperficie proyectiva de grado d, 2 ≤ d < n+ 2.\nEl número mínimo de Chern de M es igual a N := n+2− d > 0. Let Ln â € M2n\nser un simple submanifold Lagrangian conectado (por ejemplo, un Lagrangian\nesfera).\nEn primer lugar, considerar el caso cuando n es par, L es relativamente vuelta y el Euler\nlas características de L no desaparecen (este es el caso de una esfera). Entonces el\n3Agradecemos a P.Biran su ayuda indispensable con estos ejemplos.\nclase de homología j([L]) Hn(M;Z) no es cero: su número de auto-intersección\nen M hasta el signo es igual a la característica de Euler. Así [L] es un Albers\nelemento. (Aquí usamos F = C). En vista de Teorema 1.15, L es pesado con\ncon respecto a [M].\nSegundo, supongamos que n es de paridad arbitraria pero n > 2d − 3, y no\nya se asume la restricción de las características de Euler de L. Esto da resultados\nNL = 2N > n+ 1 y por lo tanto L satisface la condición de Albers con la clase de\nun punto P como elemento de Albers. Así L es pesado con respecto a [M ] – aquí\nUtilizamos F = Z2.\nFinalmente, fijar n ≥ 3 y un número par d tal que 4 ≤ d < n+2. Considerar\na Fermat hipersuperficie de grado d\nM = zd0 + z\n1 +... + z\nn+1 = 0}\nn+1.\nSu parte real L := M • RP n+1 se encuentra en el gráfico afín z0 6= 0 y está dada por\nla ecuación\nxd1 +.. + x\nn+1 = 1,\ndonde xj := Re(zj/z0). Dado que d es par, L es una esfera n-dimensional. As\nse explicó anteriormente, L es pesado con respecto a [M ] si n es uniforme\n(y F = C) o n > 2d − 3 (y F = Z2). Sin embargo, en cualquiera de los dos casos L no es\nsuperpesados con respecto a [M]. De hecho, vamos a hacer que Zd sea el grupo de complejos\nraíces de la unidad. Dado un vector α = (α1,. ..................................................................................................\nn+1, denotar por fα la\nsimplectomorfismo de M dado por\nfα(z0 : z1 :. .. : zn+1) = (z0 : α1z1 :. .. : αn+1zn+1). 7)..................................................................................................................................................\nSi todos los αj â ¬ C\\R, entonces αjx /â € R siempre que x â € Râ € €, y por lo tanto fα(L)â € L = â €.\nPor lo tanto, L es muy desplazable y la reclamación se deriva de la parte iii)\nde Teorema 1.2.\nEl siguiente resultado da una condición suficiente de superpeso fácil de usar.\nTeorema 1.18. Suponga que L es homológicamente no trivial en M y asuma\na QH2n(M) es un idempotente divisible distinto de cero por j([L]) en QH•(M), que\nes un j([L])*QH•(M). Entonces L es superpesada con respecto a a.\nLa no trivialidad homológica de L en la hipótesis del teorema significa\nsólo que [L] es un elemento Albers de L (véase el ejemplo 1.14). De hecho, la\nteorema se puede generalizar a los casos cuando L tiene otros elementos Albers -\nVéase la Observación 8.3 ii).\nEjemplo 1.19 (Esferas lagrangianas en cuadriciclos). Aquí trabajamos con F = C.\nQue M sea la parte real del Fermat cuadrático M = z20 +\nj=1 z\nj = 0}.\nSupongamos que n es par y L es un simple submanifold Lagrangian conectado\ncon una característica Euler no discontinua (por ejemplo: a Esfera lagrangiana). Bajo\nEsta suposición, [L] H•(L) y j([L]) 6= 0, ya que L tiene autodesvanecimiento\nintersección. Denotar por p • H*(M ;F) la clase de un punto. El cuántico\nEl anillo de homología de M fue descrito por Beauville en [8]. En particular, p * p =\nw−2[M], donde w = snqn. Por lo tanto\na± :=\n[M]± pw\nson idempotentes. Uno puede mostrar que j([L]) divide a− y por lo tanto L es a−-\nsuperpesado. Puesto que a- es invariante bajo la acción de Symp(M), el\nL es fuertemente no desplazable.\nPara simplificar, presentamos el cálculo en el caso n = 2 – el general\nEl caso es absolutamente análogo. El cuadrical de 2 dimensiones es simplectomórfico\na (S2 × S2, â € € ¬). Denotar por A y B las clases de [S2] × [punto] y\n[punto] × [S2], respectivamente. Puesto que la forma simpléctica desaparece en j([L]) nosotros\nobtener que j([L]) = l(B − A) con l 6= 0. Se sabe que A * B = p y\nB*B = w−1[M ]. Por lo tanto j([L]) ∗ 1\nwB = a−, es decir j([L]) divide a−.\nEn particular, el antidiagonal lagrangiano\nS2 × S2 : x = −y},\nque es difeomórfico a la 2-esfera, es superpesado con respecto a a-. Lo es.\nno se sabe si es superpesada con respecto a a+. Información adicional\nen superpesados submanifolds Lagrangian en los cuadriculos se puede extraer\na partir de [15].\nEjemplo 1.20 (Un toro Lagrangiano no pesado en S2 × S2). Con-\nsider el cuadro M = S2 × S2 del ejemplo anterior. Pensaremos en\nS2 a partir de la esfera de unidad en R3 cuya forma simpléctica es la forma de área dividida\npor 4η. Vamos a trabajar de nuevo con F = C. Curiosamente, tal M\ncontiene un toro Lagrangiano monotona que no es pesado con respecto a a−.\nEs decir, considere un submanifold K dado por ecuaciones4\nK = (x, y) S2 × S2 : x1y1 + x2y2 + x3y3 = −\n, x3 + y3 = 0}.\n4Agradecemos a Frol Zapolsky su ayuda con los cálculos en este ejemplo.\nUno comprueba fácilmente que K es un toro monótono Lagrangiano con NK = 2\nque representa un elemento cero en H2(M ;F) (ambos con F = C y F = Z2).\nAsí H•(K;F) no contiene ningún elemento de Albers. Además, K es\ndisjunto del antidiagonal lagrangiano y por lo tanto no es pesado con\na) ya que, como se ha demostrado anteriormente, • es superpesada con respecto a\na−. En particular, K es un toro monótono exótico: no es simplectomórfico\nal toro de Clifford que es un tallo y por lo tanto un--superpesado. Otro\nestudio de los toros exóticos en productos de esferas se está llevando a cabo actualmente por\nY.Chekanov y F.Schlenk.\nEs un problema interesante para entender si K es superpesada con\nrespecto a a+, o al menos no desplazable. Identificar M \\ {la diagonal} con\nel paquete de co-bola de la unidad de la 2-esfera. Después de tal identificación, corre...\nsponds a la sección cero, mientras que K corresponde a un Lagrangiano monotone\nTorus, di K ′. Curiosamente, la homología Lagrangia Floer de K ′\nen T ∗S2 (con F = Z2) no desaparece como lo demostraron Albers y Frauen-\nfelder en [3], y por lo tanto K no es desplazable en M \\ {la diagonal}. Por lo tanto\nla cuestión de la (no)-desplazabilidad de K está relacionada con la comprensión de la\nefecto de la compactación del conjunto de co-bolas de la unidad a S2 × S2.\nLas pruebas de los teoremas anteriores se basan en estimaciones espectrales debido a\nAlbers [2] y Biran-Cornea [15]. Además, los resultados anteriores admiten\nvarias generalizaciones en el marco de la teoría de Biran-Cornea de la cuántica\ninvariantes para los submanifolds monotónicos lagrangianos, véase [15] y la discusión\nen la sección 8 infra.\n1.6 Efecto de la semisimplicidad\nRecuerde que un álgebra conmutativa (finito-dimensional) Q sobre un campo A es\nllamado semi-simple si se divide en una suma directa de campos como sigue: Q =\nQ1 â € TM..â € Qd, donde\n• cada Qi Q es un subespacio lineal de dimensión finita sobre A;\n• cada Qi es un campo con respecto a la estructura de anillo inducida;\n• la multiplicación en Q respeta la división:\n(a1,. .., ad) · (b1,......................................................... .., bd) = (a1b1,. ., adbd).\nUn teorema clásico de Wedderburn (véase, por ejemplo, [66], §96) implica que la\nsimplicidad es equivalente a la ausencia de nilpotents en el álgebra.\nObservación 1.21. Asumir que el K-álgebra QH2n(M) se divide, como un álgebra,\nen una suma directa de dos álgebras, al menos uno de los cuales es un campo, y dejar e\nser la unidad en ese campo. En particular, este es el caso cuando QH2n(M,\nQ1â €...â € Qd es semi-simple y e es la unidad en uno de los campos Qi. Un poco.\ngeneralización del argumento en [23, 46] (véase [24], la observación en pp. 56 a 57)\nmuestra que el cuasi-estado parcial asociado a e es R-homógeno\n(y no sólo R+-homógeno como en el caso general).\nEsto inmediatamente produce que cada conjunto que es pesado con respecto a e es\nautomáticamente superpesados con respecto a e.\nDe hecho, en esta situación es un verdadero cuasi-estado simplético en el sentido de\n[23] y, en particular, un cuasiestado topológico en el sentido de Aarnes [1] (véase\n[23] para más detalles). En [1] Aarnes demostró ser un análogo de la representación Riesz\nteorema para cuasiestados topológicos que generalizan la correspondencia\nentre los estados genuinos (es decir, las funciones lineales positivas en C(M)) y\nmedidas. El objeto que corresponde a un cuasi-estado se llama un cuasi-\nmedida (o una medida topológica). Con este lenguaje en su lugar, los conjuntos que\nson (super)pesados con respecto a no son nada más que los conjuntos cerrados de la\nCuasi-medida completa . Cualquiera de estos dos conjuntos tiene que intersecar para el siguiente\nrazón básica: cualquier cuasi-medida es finitamente aditivo en subconjuntos cerrados disjuntos\ny, por tanto, si dos subconjuntos cerrados de M de la cuasimedida completa no\nintersecta, la cuasi-medida de su unión debe ser mayor que el total\ncasi-medida de M, lo cual es imposible.\nEjemplo 1.22. En este ejemplo volvemos a asumir que F = Z2. Dejar M =\nEl CP n estará equipado con la estructura simpléctica Fubini-Study, normalizada.\nde modo que la clase homóloga de la hiper-H2n−2(M) sea la clase homóloga de la hiper-H2n−2(M)\navión. Uno verifica fácilmente el siguiente isomorfismo K-álgebra\nQH2n(M) ≤ K[X ]/+X\nn+1 − u−1®,\ndonde\nK = Z2[[u] = {zku\nk + zk−1u\nk−1 +. .............................................\nes el campo de la serie tipo Laurent en u := sn+1 con coeficientes en Z2 y\nX = qA. Puesto que ninguna raíz de grado 2 o más de u−1 está contenida en K, la\nel polinomio P es irreductible sobre K para cualquier n (véase, por ejemplo, [34], Teorema 9.1) y\npor lo tanto QH2n(M) es un campo. De ahí las colecciones de pesados y superpesados\nlos conjuntos con respecto a la clase fundamental coinciden.\nAlegamos que L := RP n + CP n es superpesada. El caso n = 1 cor-\nresponde al ecuador de la esfera, que se sabe que es un tallo estable.\nPara n ≥ 2, tenga en cuenta que NL = n + 1 y S = [RP]\n2] es un elemento de Albers de L.\nPor lo tanto, L es [M]-pesada por Teorema 1.15, y por lo tanto superpesada.\nEl siguiente resultado sigue directamente de Teorema 1.3 iii) y Observación 1.21:\nTeorema 1.23. Supongamos que QH2n(M) es semi-simple y se divide en un\nsuma directa de los campos d cuyas unidades serán denotadas por e1,. ., ed. Asumir que\nun subconjunto cerrado X â € M es pesado con respecto a un idempotente no cero a – como\nuno puede ver fácilmente, tal idempotente tiene que ser de la forma a = ej1+...+ejl\npara unos 1 ≤ j1 <. .. < jl ≤ d. Entonces X es superpesada con respecto a algunos\neji, 1 ≤ i ≤ l.\nEl teorema produce la siguiente caracterización geométrica de no-semi-\nsimplicidad de QH2n(M). Es decir, definir el grupo Torelli simplés como el\ngrupo de todos los simplectomorfismos de M que inducen el mapa de identidad en\nH•(M;F). Por ejemplo, este grupo contiene Symp0(M). Tenga en cuenta que cualquier ele-\ndel simplés grupo Torelli actúa trivialmente sobre la homología cuántica\nde M y, por lo tanto, los mapas conjuntos (super)pesados con respecto a un idempotente a a\nsets (super)pesados con respecto a a.\nAhora Teorema 1.23 implica fácilmente lo siguiente\nCorolario 1.24. Supóngase que (M,) contiene un subconjunto cerrado X que es\npesado con respecto a un idempotente no cero y desplazable por un simplec-\ntomorfismo del simplético grupo Torelli. Entonces QH2n(M) no es semi-\nSimple.\nLos ejemplos más simples son proporcionados por conjuntos de la forma Xa meridian}\nen M × T2 con una X pesada.\nOtro resultado en la misma vena es el siguiente5. Dado un conjunto Y de positivo\nenteros, poner βY (M) =\ni-Y βi(M), donde βi(M) significa el i-th Betti\nnúmero de M sobre F.\n5En el caso F = C, el teorema 1.25 es condicional, ver la descargo de responsabilidad en el anterior\nsección.\nTeorema 1.25. Asumir que cualquiera de los siguientes (sin excluirse mutuamente)\nlas condiciones son las siguientes:\na) M contiene m > βY (M) + 1 monotono cerrado disjunto por pares La-\nSubmanifolds grangianos cuyos números mínimos de Maslov son mayores que n+1\ny pertenecen a un conjunto Y de enteros positivos.\n(b) M contiene un par de par desjuntos homológicamente no trivial Lagrangian sub-\nsus clases fundamentales, consideradas como elementos (no nulos) de\nH•(M ;F), son linealmente dependientes sobre F.\n(En el caso F = C asumir que todos los submanifolds Lagrangian arriba son\ntambién girar relativamente.)\nEntonces QH2n(M) no es semi-simple.\nLa prueba se presenta en la sección 8.\nEjemplo 1.26. Por ejemplo, si todos los submanifolds Lagrangian de parte\n(a) del teorema están simplemente conectados, sus números mínimos de Maslov son\nigual a 2N, de modo que el conjunto Y consta de un elemento: Y = {2N}. Por lo tanto\nsi 2N > n + 1 y QH2n(M) es semisimple, M no puede contener más de\nβ2N(M)+ 1 par-desjunto simplemente-conectados Lagrangians (proporcionó todo de\nson relativamente girar si trabajamos con F = C).\nEjemplo 1.27. Set F = C. Fix n ≥ 11 y un número par d de tal manera que\n6 ≤ d < (n + 3)/2. Considerar una hipersuperficie de Fermat de grado d\nM = zd0 + z\n1 +... + z\nn+1 = 0}\nComo ya vimos en el ejemplo 1.17, el colector L := M • RP n+1 es un\nEsfera n-dimensional lagrangiana. Considere las imágenes fα(L), donde sim-\nlos plectomorfismos fα se definen por (7). Tenga en cuenta que, siempre y cuando αj/βj 6= ±1\nPara todas las j, las esferas lagrangianas fα(L) y fβ(L) son discontinuos. Usando esto\nobservación, es fácil encontrar d/2 esferas Lagrangian disjuntas en M.\nEl número mínimo de Chern N deM es igual a n+2-d, y así 2N se encuentra en la\nintervalo [n+2, 2n−4]. En este caso β2N(M) = 1 (véase, por ejemplo, [31]). Desde d/2 > 2,\nConcluimos del ejemplo anterior que QH2n(M) no es semi-simple.\nEsta conclusión concuerda con el cálculo de QH*(M) por Beauville [8].\n6Vea el ejemplo 1.14 para la definición. Como en ese ejemplo volvemos a asumir que todos nuestros\nLos submanifolds lagrangianos están cerrados, monotonas y tienen un número mínimo de Maslov mayor\nque 1.\nSería interesante encontrar ejemplos de colectores simpléticos donde el\nhomología cuántica no se conoce a priori y donde los teoremas anteriores son\naplicable. Mencionemos que las diferentes obstrucciones a la semi-simplicidad\nde QH•(M) procedentes de submanifolds lagrangianos fueron encontrados recientemente por\nBiran y Cornea [14].\n1.7 Debate y preguntas abiertas\n1.7.1 ¿Una fuerte desplazabilidad más allá de la teoría de Floer?\nClaramente, la deslocalización implica una deslocalización estable. Lo contrario no es\ntrue, como muestra el siguiente ejemplo:\nEjemplo 1.28. Considerar el complejo espacio proyectivo CP n equipado con\nla forma simpléctica Fubini-Study (en nuestra normalización el área de una línea\nes igual a 1). Identificar la CP n con el corte simplético de la bola euclidiana B(1)\nCn (que es el límite de B(1) se colapsa a CP n−1 a lo largo de las fibras de\nla fibración Hopf, véase [36], donde B(r) := z2 ≤ r}. Entonces B(r) â € ¢ CP n\ni) Desplazables para r < 1/2;\nii) muy no desplazable, pero establemente desplazable, para r • [1/2, n/n+1];\niii) fuerte y estable no desplazable para r ≥ n/n+ 1.\nEs instructivo analizar las técnicas involucradas en las pruebas:\nel resultado de no desplazabilidad ii) es una consecuencia inmediata de Gromov\nteorema de embalaje por dos bolas, que se prueba a través de la variante J-holomorphic\ndel teorema que afirma que existe una línea J-holomorphic en CP n\npasando por cualquier dos puntos. En el caso iii) la bola B(r) contiene la\nClifford Torus, que es establemente no desplazable. Esto es lo que se desprende de la\nel hecho de que el toro de Clifford es un tallo (véase [10]), o de la no desaparición de su\nHomología Lagrangian Floer [16].\nLa deslocalización de B(r) en i) se deriva de la construcción explícita\ndel embalaje de las dos bolas (véase [33]). La dislocabilidad estable en (ii) es un\nconsecuencia directa del teorema 1.7 anterior: En efecto, considerar la norma Tn-\nacción sobre el CP n. El politopo del momento normalizado............................................................................................................................................\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nI ≤ 1 } en\nRn, donde (1,. .., ln) denotan las coordenadas en R\nn, y w = − 1\n(1,.., 1).\nNótese que la bola B(r) es igual a 1(r) donde r := r stand + w. Nota\nque no contiene el origen exactamente cuando r ≤\nque da lugar a la\nDesplazabilidad estable en el inciso ii) supra.\nUna característica misteriosa del Ejemplo 1.28 es la siguiente. Por un lado, nosotros\ncreen en el siguiente principio empírico general: cada vez que se puede establecer\nla no-desplazabilidad de un subconjunto por medio de la teoría de la homología Floer,\nse obtiene de forma gratuita la estabilidad de no-desplazabilidad. Por otro lado, nosotros...\n, siguiendo una explicación filosófica proporcionada por Biran, que Gromov\nEl teorema de empaquetado de dos bolas puede extraerse de algunas “operaciones” en\nHomología Floer. Ejemplo 1.28 muestra que al menos una de estas creencias es\nNo, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Sería interesante aclarar esta cuestión.\n1.7.2 Fibras pesadas de subespacios conmutativos de Poisson\nSe demostró en [23] que para cualquier Poisson-commutativo de dimensión finita\nal menos una de las fibras de su mapa de momento Φ tiene que\nser no-desplazable.\nPregunta. ¿Es cierto que al menos una fibra de Φ tiene que ser pesada (con respeto\na algún idempotente que no sea cero un QH*(M)?\nEs fácil construir un ejemplo de A cuyo mapa de momento Φ no tiene\nfibras superpesadas: tomar T2 con las coordenadas p, q mod 1 en él y tomar A\nser el conjunto de todas las funciones lisas dependiendo solamente de p – el correspondiente\nΦ define la fibración de T2 por meridianos, ninguno de los cuales es superpesado.\nEsta es otra pregunta que se refiere a las fibras del hombre torico simplés.\nifolds, es decir. fibras de un mapa de momento Φ de una eficaz acción Hamiltoniana Tn\nel (M2n, فارسى). Suponga que M es (esféricamente) monotona. Teorema 1.9 muestra que\nen tal caso la fibra especial de M es superpesada, por lo tanto estable y fuerte\nno desplazable. En todos los ejemplos donde se ha comprobado este turno\npara ser la única fibra no desplazable de M.\nPregunta. Es la fibra especial para un monótono tórico simplético M siempre\n¿Un tallo? En particular, es la única fibra no desplazable del momento\nEn el caso del monótono la fibra especial es claramente la única fibra pesada de\nel mapa del momento, porque es superpesada y cualquier otra fibra pesada\nhan tenido que intersecarlo. Por otro lado, si consideramos un Hamiltonian Tk-\nacción sobre M2n con k < n puede haber más de una fibra no desplazable\ndel mapa del momento – por ejemplo, debido a obstrucciones puramente topológicas:\nla más simple acción Hamiltoniana T1-en CP 2 proporciona tal ejemplo. In\nel caso de los colectores tóricos simpléticos monotónicos de dimensión superior a 4\nLa pregunta anterior está absolutamente abierta.\nDespués de la aparición del primer borrador de este documento, un progreso notable en este\nla dirección se ha logrado en las obras de Cho [17] y Fukaya, Oh, Ohta\ny Ono [28]: En particular, resulta que un simplés no monótono\ncolector torico puede tener más de una fibra no desplazable – esto sucede\nya para ciertas explosiones equivariantes de CP 2.\nOrganización del documento:\nEn la sección 2 probamos el teorema 1.7 que, en particular, declara que el\nfibra especial de un toro comprimible acción es un tallo estable.\nEn la Sección 3 se resumen varios preliminares de la teoría de Floer, incluyendo\npropiedades básicas de invariantes espectrales y cuasiestados simpléticos parciales. In\nadicional deletreamos una propiedad útil del índice de Conley-Zehnder: es un\ncasi-morfismo en la cobertura universal del grupo simplés (ver Propo-\nSituación 3.5). Para la integridad extraemos una prueba de esta propiedad de [54];\nAlternativamente, se pueden utilizar los resultados de [19].\nEn la sección 4 demostramos las partes i) y iii) del Teorema 1.2 y el Teorema 1.3\nsobre las propiedades básicas de los conjuntos (super)pesados.\nEn la sección 5 probamos Teorema 1.5 en productos de (super) sets pesados. Nuestro\nenfoque se basa en una fórmula de producto bastante general para invariantes espectrales\n(Teorema 5.1), que se demuestra por un argumento algebraico bastante largo.\nEn la sección 6 demostramos el teorema 1.2 ii) sobre la no-desplazabilidad estable de\nsubconjuntos pesados. El argumento implica una “versión de bebé” de los hombres arriba mencionados.\nla fórmula del producto tionado.\nEn la Sección 7 demostramos sobrepeso de tallos estables.\nEn la Sección 8 reunimos las pruebas de varios resultados relacionados con\n(super)peso de los submanifolds Lagrangiano monotona satisfaciendo los Albers\ncondición, incluidos los teoremas 1.15, 1.18, 1.25 y la Proposición 1.4.\nEn la Sección 9 probamos Teorema 1.9 sobre la superpeso de las fibras especiales de\nAcciones de toros Hamiltonianos sobre colectores simpléticos monotónicos. La prueba es\nbastante involucrado. De hecho, dos trucos nos permitieron acortar nuestro\nEn primer lugar, utilizamos la transformación de Fourier en el espacio de rápida decadencia\nfunciones sobre la Lie coargebra del toro para reducir el problema\nal caso de las acciones del círculo Hamiltoniano. En segundo lugar, utilizamos sistemáticamente el\ncasi-morfismo propiedad del índice de Conley-Zehnder para el calcu asintótico-\nLaciones con invariantes espectrales Hamiltonianos. Finalmente, en la Sección 9.1 probamos\nTeorema 1.13.\nEn la figura 1 se resume la jerarquía de las propiedades no desplazables\nmaldecidos arriba.\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nMHierarchy de las propiedades de no-desplazabilidad de un subconjunto cerrado de \nPesado\naidempotente \nSuperpesado\nidempotente a\ncon un no-cero con un no-cero\n3) 4) 5) (6)\nacción sobre una esféricamente\nacción de los toros sobre un (no\nun hamiltoniano comprimible\nnecesariamente monotona)\nFibra especial de\nmonotona M\nSiempre es verdad.\nVerdadero bajo ciertas condiciones (ver abajo)\n♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ Pregunta (bajo ciertas condiciones − ver más abajo)\nMonotona\nLagrangian\nsubmanifold L\n(14) (15)\n(17) (18)\n21) (22)\n(16 b)\nProducto de la codimensión-1\nesqueletos de multa\ntriangulaciones\nFuertemente.\nno desplazables\nun toro hamiltoniano\nNo desplazables\nuna isotopía simpléctica\nNo desplazable por\nwrt [M]\nPesado\n(16a)\nSuperpesado\nwrt [M]\nTallo estable\nEstable\nno desplazables\nCero fibra de\nFigura 1: Jerarquía de las propiedades no desplazables\n(1),(2),(6),(19) - Trivial.\n(3) Verdadero si a es invariante bajo la acción de todo el grupo Symp (M) –\nTeorema 1.2, parte iii).\n4), 9) Teorema 1.2, parte iii).\n(5) Verdadero si el álgebra QH2n(M) es semi-simple – ver corolario 1.24.\n(7a) Verdadero si el álgebra QH2n(M) se divide, como un álgebra, en una suma directa de\ndos álgebras, al menos uno de los cuales es un campo, y a es el elemento de unidad en\nese campo – véase la Observación 1.21.\n(7b), (16b) Teorema 1.2, parte i).\n8) Teorema 1.2, parte ii).\n(10) Teorema 1.18 (véanse los supuestos en L).\n(11) Verdadero si el álgebra QH2n(M) es semi-simple – vea el corolario 1.24.\n(12) Teorema 1.3, parte i).\n13) Teorema 1.3, parte ii).\n(14) Teorema 1.18 (véanse los supuestos en L) con a = [M ] – es decir: j(L)\nes invertible en QH•(M).\n(15) L cumple la condición de Albers – ver Teorema 1.15.\n(16a) Verdadero si QH2n(M) es un campo – ver Observación 1.21.\n(17) Teorema 1.6.\n(18) Teorema 1.9.\n(20) Teorema 1.7.\n(21) ¿Es siempre un tallo la fibra especial para un átrico simplético monótono M?\nVéase la sección 1.7.2.\n(22) Verdadero si M es esféricamente monotona y la acción del toro es comprimible\n– Véase la Observación 1.11.\n(23) Véase [23].\n2 Detectar la desplazabilidad estable\nPara detectar la desplazabilidad estable de un subconjunto de un colector simplético nosotros\nusará el siguiente resultado (cf. [48, cap. 6]).\nTeorema 2.1. Que X sea un subconjunto cerrado de un colector simplético cerrado\n(M.A.). Supongamos que existe un bucle contráctil de diffeo hamiltoniano.\nmorfismos de (M.o) generados por un hamiltoniano regularizado del tiempo-periódico\nHt(x) de manera que Ht(x) 6= 0 para todos los t â € [0, 1] y x â € X. Entonces X es estable.\nDesplazable.\nPrueba. Denotar por ht el bucle Hamiltoniano generado por H. Let h\nno es su\nhomotopía al bucle constante: h\nt = ht y h\nt = 1. Escribir H\ns)x, t) para\nlos correspondientes Hamiltonianos normalizados. Consideremos la familia de los dif-\nmorfismos de M × T\n∗S1 dada por\n(x, r, ) = (h)\nx, r −H\ns)h\n* x, *), *)......................................................................................................................................................\nUno comprueba fácilmente que el \"s\", s [0, 1], es una isotopía Hamiltoniana (no com-\nen el marco de un pacto de apoyo). Alegamos que el 1 desplaza Y := X × {r = 0}. De hecho,\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nsuposición del teorema. Esto completa la prueba.\nPrueba de Teorema 1.7: Elija un funcional lineal F : Rk → R con\ncoeficientes racionales que es estrictamente positivo en Y. Entonces para un poco de suffi...\nel número entero positivo N el Hamiltoniano H:= NF genera un\nacción contráctil círculo Hamiltoniano en M y H es estrictamente positivo en\nX := 1(Y ). Por lo tanto, X es establemente desplazable en vista de la teo-\n3 Preliminares sobre la teoría de Hamilton Floer\n3.1 Valoración de QH*(M)\nDefinir una función ν : K →\n(+) = máx{ + + + z + 6 = 0}. = máx{ + z + 6 = 0 = 0 }.\nLa convención es la siguiente: En términos algebraicos, exp / es un non-\nValor absoluto arquimedeano en K.\nLa función / admite una extensión natural a la letra a) y, a continuación, a la letra a) del apartado M) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra b) de la letra a) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) del apartado 1 de la letra b) del apartado 1 de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra\nabusar de la notación que vamos a denotar todos ellos por. Es decir, cualquier elemento\npuede ser representado de forma única como........................................................................................................................................................................................................................................................... \n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nA donde pertenece cada uno de ellos.\na F [q, q−1], y cualquier no-cero a QH*(M) puede ser representado como\ni Łibi, 0 6= Łi, 0 6= bi H*(M;F). Definir\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n6 = 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 6 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + \n/(a) := máx.\nEl Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001.\n3.2 Teoría de Hamilton Floer\nRecordamos brevemente la notación y las convenciones para el establecimiento de la Hamilto-\nNian Floer teoría que se utilizará en las pruebas.\nQue L sea el espacio de todos los bucles contractibles suaves γ : S1 = R/Z → M.\nVamos a ver tal γ como un mapa 1-periódico γ : R → M. Dejar D2 ser el\nunidad de disco estándar en R2. Considerar una cubierta de L de L cuyos elementos son\nclases de equivalencia de pares (γ, u), donde γ L, u : D2 → M, uD2 = γ (i.e.\nu(e2π)\n−1t) = γ(t)), es un disco (por pieza liso) que abarca γ en M y el\nla relación de equivalencia se define de la siguiente manera: (γ1, u1) (γ2, u2) si y sólo si γ1 =\nγ2 y la 2-esfera u1#(−u2) desaparece en H\n2 (M). La clase de equivalencia de\nun par (γ, u) será denotado por [γ, u]. El grupo de transformaciones de cubierta de\nla cubierta L → L puede identificarse naturalmente con HS2 (M). Un elemento\nA HS2 (M) actúa por la transformación\nA([γ, u]) = [γ, u#(−A)]. (8)\nLet F :M× [0, 1] → R ser una función Hamiltoniana (que es temporal-periódico\ncomo siempre asumimos). Set Ft := F (·, t). Denotaremos por pies el Hamiltoniano\nflujo generado por F, es decir, el flujo del Hamiltoniano dependiente del tiempo\ncampo vector Xt definido por la fórmula\n•(·, Xt) = dFt(·) •t.\n(¡Tenga en cuenta nuestra convención de la firma!)\nQue el PF sea el conjunto de todas las órbitas contráctiles 1-periódicas del Hamilto-\nflujo nian generado por F, es decir, el conjunto de todos los γ • L tales que γ(t) = ft(γ(0)).\nDenote por la F.P. el ascensor completo de PF a L.P.\nDenotar por Fix (F ) el conjunto de los puntos fijos de f que son puntos finales de\nórbitas periódicas contráctiles del flujo:\nFix (F ) := {x M PF, x = γ(0)}.\nDecimos que F es regular si para cualquier x - Fix (F) el mapa dxf : TxM → TxM\nno tiene valor propio 1.\nRecordemos que la acción funcional se define en Lс por la fórmula:\nAF ([γ, u]) =\nF (γ(t), t)dt−\nTenga en cuenta que\nAF (Ay) = AF (y) + A(A) (9)\npara todos los y â € € € € TM y A â € HS2 (M).\nPara un regular Hamiltonian F definir un espacio vectorial C(F) sobre F como el\nconjunto de todas las sumas formales\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nmodulo las relaciones\nAy = s(A)q−c1(A)y,\npara todos y â € € TM, A â € TM H\n2 (M). La clasificación en........................................................................................................................................\nEl índice de Zehnder sobre los elementos de la PF (véase la sección 3.3) define un grado Z en\nC(F). Denotaremos el componente de grado i-th por Ci(F ).\nDado un bucle {Jt},\n1, de las estructuras casi complejas compatibles con los requisitos de la letra a),\ndefinir una métrica Riemanniana en L por\n(+1, +2) =\n(l) (t), (t) (t) (t) (t) (t), (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t)\nen la que se citan los puntos 1, 2 y 3 del anexo I del Reglamento de Ejecución (UE) n.o 575/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 17 de diciembre de 2013, por el que se establecen las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo y se deroga el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo (DO L 347 de 20.12.2013, p. Elevar esta métrica a Lś y considerar el gradiente negativo\nflujo de la acción funcional AF. Para una elección genérica del Hamiltoniano\nF y el bucle {Jt} (como un par (F, J) se llama regular) el con-\nlated gradiente trayectorias que conectan puntos críticos de AF da lugar en el\nmétodo estándar [26], [32], [58] a un diferencial de tipo Morse\nd : C(F ) → C(F ), d2 = 0. (10)\nEl diferencial d es lineal y tiene el grado graduado −1. Estrictamente de-\nRedobla la acción. La homología, definida por d, se llama la homología Floer\ny será denotado por HF* (F, J). Es un modulo. Diferentes opciones de una\npar regular (F, J) conducen a isomorfismos naturales entre la homología de Floer\ngrupos.\nLa siguiente propuesta resume algunas propiedades algebraicas básicas de\nComplejos Floer y homología Floer que serán importantes para nosotros más adelante.\nLa prueba es directa y la omitimos.\nProposición 3.1.\n1) Cada Ci(F) y cada HFi(F, J), i + Z, es un vector finito-dimensional\nespacio sobre K.\n2) Multiplicación por q define los isomorfismos Ci(F) → Ci+2(F) y\nHFi(F, J) → HFi+2(F, J) de espacios K-vector.\n3) Para cada i â € Z existe una base de Ci(F) sobre K que consiste en la\nlos elementos de la forma ql[γ, u], con [γ, u] \n4) Una colección finita de los elementos de la forma ql[γ, u], [γ, u]\nEn C0(F ) C1(F ) es una base del espacio vectorial C0(F ) C1(F ) sobre el campo\nK si y sólo si se trata de una base del módulo C(F) sobre el anillo.\n3.3 Índices de Conley-Zehnder y Maslov\nEn esta sección esbozamos brevemente la definición y recordamos la\nlos vínculos del índice de Conley-Zehnder que se refieren a [54, 58, 57] para más detalles. En par-\nticular, mostramos que el índice de Conley-Zehnder es un cuasi-morfismo en el\ncubierta universal S‡p (2k) del grupo simplés Sp(2k) (véase la Proposición 3.5)\nabajo), un hecho que será útil para los cálculos asintóticos con Floer\nhomología en las siguientes secciones. Hay varias rutas que conducen a este hecho,\nque es bastante natural, ya que todos los cuasimorfismos homogéneos en Sœp (2k) son\nproporcional, y por lo tanto el mismo cuasi-morfismo admite bastante diferente\ndefiniciones [7]. Extraemos la propiedad cuasi-morfismo del papel de\nRobbin y Salamon [54] al reunir varias declaraciones contenidas\nEn ella7.\nEl índice Conley-Zehnder asigna un número a cada uno [γ, u]. Orig...\ninally el índice Conley-Zehnder fue definido sólo para los Hamiltonianos regulares\n[18] – en este caso es valorado en número entero y da lugar a una clasificación de la ho-\ngrupos de teología en la teoría de Floer. Más tarde, la definición se amplió en diferentes\nformas de diferentes autores a los hamiltonianos arbitrarios. Usaremos un ex-\ntensión introducida en [54] (véase también [57, 58]). En este caso, el Conley-Zehnder\níndice puede tomar también los valores de medio entero.\nQue k sea un número natural. Considere el espacio vectorial simplés R2k\ncon una forma simpléctica de 2k en él. Denota por p = (p1,. .., pk), q = (q1,. .., qk)\nlas coordenadas correspondientes de Darboux en el espacio vectorial R2k.\n7Agradecemos a V.L. Ginzburg para estimular discusiones sobre el material de esta sección.\nÍndice de Robbin-Salamon de rutas lagrangianas: Let V R2k ser un\nSubespacio lagrangiano. Considere el Lagr (k) de Grassmann de todos los lagrangianos\nsubespacios en R2k y considerar la hipersuperficie Lagr (k) formado por todos\nlos subespacios lagrangianos que no son transversales a V. A tal V y\na cualquier trayectoria lisa {Lt}, 0 ≤ t ≤ 1, en Lagr (k) Robbin y Salamón [54]\nasociar un índice, que puede tomar valores enteros o medios enteros y que\ndenotaremos por RS({Lt}, V ). La definición del índice puede ser esbozada\ndel siguiente modo.\nUn número t [0, 1] se llama un cruce si el Tte. A cada cruce t uno\nasocia una determinada forma cuadrática Qt en el espacio L(t) V – véase [54] para\nla definición precisa. El cruce t se llama regular si la forma cuadrática\nQt no es degenerado. El índice de tal cruce regular t se define como el\nfirma de Qt si 0 < t < 1 y como la mitad de la firma de Qt si t = 0, 1.\nUno puede demostrar que los cruces regulares están aislados. Para una ruta {Lt} con sólo\ncruces regulares el índice RS({Lt}, V ) se define como la suma de los índices\nde sus cruces. Una ruta arbitraria puede ser perturbada, manteniendo los puntos finales\nfija, en un camino con sólo cruces regulares y el índice de la perturbada\ncamino no depende de la perturbación – de hecho, depende sólo de la\nendpoints fijos clase homotopy de la ruta. Además, es aditivo con\nrespeto a la concatenación de caminos y satisface la propiedad de la naturalidad:\nRS({ALt}, AV ) = RS({Lt}, V ) para cualquier matriz simpléctica A.\nÍndices de caminos en Sp (2k): Considere el grupo Sp (2k) de simplés\n2k × 2k-Matrices. Denotar por Sûp (2k) su cubierta universal. Uno puede usar el\níndice RS con el fin de definir dos índices sobre el espacio de rutas lisas en\nSp (2k).\nEl primer índice, denotado por Ind2k, se define como sigue. Arreglar un lagrangiano\nsubespacio V+R2k. Para cada trayectoria lisa {A}, 0 ≤ t ≤ 1, en Sp (2k) definir\nInd2k ({a}, V ) como\nInd2k ({En}, V ) := RS({EnV}, V ).\nLa naturalidad del índice RS implica que\nRS({BAtB\n−1(BV )}, BV ) = RS({BAtV )}, BV ) =\n= RS({AtV )}, V ) para cualquier B • Sp (2k)\ny así obtenemos la siguiente condición de naturalidad para Ind2k:\nInd2k ({BAtB)\n−1}, BV ) = Ind2k ({A}, V ) para cualquier B • Sp (2k). (11)\nEl segundo índice, que llamaremos el índice Conley-Zehnder de una matriz\nruta y que será denotado por CZmatr, se define como sigue. Para cada una de ellas\nA Sp (2k) denotar por GrA la gráfica de A que es un subespacio lagrangiano\ndel espacio vectorial simplés R4k = R2k×R2k equipado con el espacio vectorial simplés\nEstructura: 4k=2k=2k=2k. Denotar por la diagonal en R\n4k = R2k × R2k\n– es un subespacio lagrangiano con respecto a 4k. Ahora para cualquier camino suave\n{A}, 0 ≤ t ≤ 1, en Sp (2k) definir CZmatr como\nCZmatr({A}):= RS({GrAt},\nEquivalentemente, se puede definir CZmatr({At}) similar al índice RS por look-\nen las intersecciones de {A(t)} con la hipersuperficie • • Sp (2k) formada\npor todas las matrices simpléticas de 2k×2k con valor propio 1 y traduciendo el\nnociones de un cruce regular y la forma cuadrática correspondiente a este\nPrepárate.\nAmbos índices Ind2k ({A}, V ) y CZmatr({A}) dependen sólo de la\nendpoints homotopy class of the path {At} y son aditivos con respecto a\nla concatenación de las sendas en Sp (2k). La relación entre los dos índices\nes el siguiente. Denotar por I2k la matriz de identidad 2k × 2k. Dado un suave\nruta {At}, 0 ≤ t ≤ 1, en Sp (2k), set Ât := I2k â € A â € Sp (4k). Entonces\nCZmatr({A}) = Ind4k(t}, (12)\nObservación 3.2. Tenga en cuenta que cerca de cada W â € ¢ V existe una coordenada local\ngráfico (en Lagr (k)) en el que ŁV se puede definir por una ecuación algebraica de\ngrado limitado desde arriba por una constante C dependiendo sólo de k y W.\nPor otra parte, puesto que para cualquier V, V ′ Lagr (k) existe un difeomorfismo de\nLagr (k) mapeo de V en V ′ podemos asumir que C = C(k) es independiente\nde W y depende sólo de k. Por lo tanto para cualquier V, para cualquier punto W\ny para cualquier barrio suficientemente pequeño abierto UW de W en Lagr (k) la\nnúmero de componentes conectados de UW \\(UW V ) está limitado por una constante\ndependiendo sólo de k.\nUsando estas observaciones y el hecho de que los cruces regulares están aislados\nes fácil demostrar que existe una constante C(k), dependiendo sólo de k, tales\nque para cualquier subespacio Lagrangiano V â R2k y cualquier camino {A} â Sp (2k),\n0 ≤ t ≤ 1, existe un > 0 tal que para cualquier trayectoria lisa {A′t} • Sp (2k),\n0 ≤ t ≤ 1, que es -cerca de {En} en la C\n0-métrico, uno tiene\nInd2k({En}, V)−Ind2k({A)\nt}, V < C(k),\nCZmatr({En})− CZmatr({A)\nt < C(k).\nTeorema de leray en el índice Ind2k: El siguiente resultado es\nTeorema 5.1 en [54] que Robbin y Salamon acreditan a Leray [35], p.52.\nNota de L el lagrangiano (q1,. .., qk)-plano de coordenadas en R\n2k. Cualquier sim...\nmatriz pléctica S • Sp (2k) se puede descomponer en k × k bloques como\ncuando los bloques satisfagan, en particular, la condición de que:\nEF T − FET = 0. (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nEn caso de que SL • L = 0, la k × k-matrix F sea invertible y se multiplique (13)\npor F−1 a la izquierda y (F T )−1 = (F−1)T a la derecha, obtenemos ese F−1E −\nET (F−1)T = 0. Por lo tanto la matriz QS := F\n−1E es simétrico.\nTeorema 3.3 ([54], Teorema 5.1; [35], p.52). Asumir {a}, {Bt}, 0 ≤ t ≤ 1,\nson dos caminos lisos en Sp (2k), de tal manera que A0 = B0 = I2k y A1L + L = 0,\nB1L • L = 0, A1B1L • L = 0. Entonces\nInd2k({AtBt}, L) = Ind2k({At}, L) + Ind2k({Bt}, L) +\nsigno (QA1 + QB1),\ndonde el signo (QA1 + QB1) es la firma del formulario cuadrático definido por el\nk × k-matriz QA1 + QB1.\nCorolario 3.4. Que V sea cualquier subespacio Lagrangiano de R2k. Entonces existe\nuna constante positiva C, dependiendo sólo de k, de tal manera que para cualquier camino liso\n{Xt}, {Yt}, 0 ≤ t ≤ 1, en Sp (2k), de manera que X0 = Y0 = I2k (no hay\nsuposiciones en X1, Y1!),\nInd2k({XtYt}, V )− Ind2k({Xt}, V )− Ind2k({Yt}, V ) < C.\nPrueba. Escribiremos C1, C2,. .. para las constantes positivas (posiblemente diferentes) de-\npendiente sólo en k.\nEscoja un mapa • • Sp (2k) de tal manera que • V = L. Denote At = • Xt\nBt =\n−1. Tenga en cuenta que las rutas {A}, {Bt} se basan en la identidad.\nUsando la propiedad de la naturalidad (11) de Ind2k obtenemos\nInd2k({XtYt}, V )− Ind2k({Xt}, V )− Ind2k({Yt}, V ) =\n= Ind2k(XtYt\n− 1},~ V )− Ind2k(Xt\n− 1},~V)−\n−Ind2k(Yt\n- 1},~ V ) =\n= Ind2k({(\n−1)(•Yt•\n− 1)}, L)− Ind2k(Xt\n− 1}, L)−\n−Ind2k(Yt\n−1}, L) =\n= Ind2k({AtBt}, L)− Ind2k({At}, L)− Ind2k({Bt}, L).\nInd2k({XtYt}, V )− Ind2k({Xt}, V )− Ind2k({Yt}, V ) =\n= Ind2k({AtBt}, L)− Ind2k({At}, L)− Ind2k({Bt}, L). (14)\nMás adelante, la Observación 3.2 implica que podemos encontrar una identidad suficientemente cercana a C0.\nperturbaciones basadas {A′t}, {B\nt} de {A}, {B} tales que\nA′1L • L = 0, B\n1L • L = 0, A\n1L • L = 0. (15)\nInd2k({AtBt}, L)− Ind2k({At}, L)− Ind2k({Bt}, L)\nInd2k({A)\nt}, L)− Ind2k({A)\nt}, L)− Ind2k({B\nt}, L) < C1, (16)\npara un poco de C1. Por otra parte, desde los tres caminos basados en la identidad {A\n{B′t}, {A\nt}, satisfacer las condiciones (15), podemos aplicar a ellos Teorema 3.3.\nPor lo tanto existe C2 tal que\nInd2k({A)\nt}, L)− Ind2k({A)\nt}, L)− Ind2k({B\nt}, L) < C2.\nCombinando con (14) y (16) obtenemos que existe C3 tal que\nInd2k({XtYt}, V )− Ind2k({Xt}, V )− Ind2k({Yt}, V ) < C3,\nque termina la prueba.\nÍndice de Conley-Zehnder como cuasimorfismo: Recordar que 2n = dimM.\nRestringiendo CZmatr a las rutas basadas en la identidad en Sp (2n) se obtiene una función\nen la página (2n) que todavía será denotado por CZmatr.\nProposición 3.5 (cf. [19]). La función CZmatr : Sśp (2n) → R es un cuasi-\nMorfismo. Significa que existe una constante C > 0 tal que\nCZmatr(ab)− CZmatr(a)− CZmatr(b) ≤ C \nPrueba. Representar a y b por rutas basadas en la identidad {En}, {Bt}, 0 ≤ t ≤ 1, en\nSp (2n). A continuación, utilice (12) y aplique el corolario 3.4 para k = 2n, V = a t},\n{B}t} en Sp (4n).\nÍndice Maslov de bucles simpléticos: El índice Conley-Zehnder para\nLos bucles basados en identidad en Sp (2n) se llaman el índice Maslov de un bucle. Su\ndefinición original, volviendo a [4], es la siguiente: es la intersección\nnúmero de un bucle basado en la identidad con la hipersuperficie estratificada\nEl estrato principal está equipado con una cierta coorientación. Tenga en cuenta que lo hacemos\nno dividir el número de intersección por 2 y por lo tanto en nuestro caso el índice de Maslov\ntoma sólo valores pares; por ejemplo, el índice de Maslov de un sentido contrario a las agujas del reloj\n2η-twist de la R2 simpléctica estándar es 2. Denotamos el índice Maslov de\nun bucle {B(t)} de Maslov ({B(t)}).\nÍndices de órbitas periódicas de Conley-Zehnder y Maslov:\nÍndice de ley-Zehnder para órbitas periódicas se define por medio de la Conley-\nÍndice de Zehnder para rutas de matriz de la siguiente manera. Teniendo en cuenta [γ, u]\nruta basada en la identidad {A(t)} en Sp (2n)\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nflujo linealizado dγ(0)ft, 0 ≤ t ≤ 1, junto con γ con una matriz simpléctica\n{A(t)}. Entonces el índice de Conley-Zehnder CZF ([γ, u]) se define como\nCZF ([γ, u]) := n− CZmatr ({A(t)}). (17)\nCon tal normalización de CZF para cualquier C\n2-pequeño autónomo\nMorse Hamiltonian F, el índice de Conley-Zehnder de un elemento de P\nresentida por un par [x, u] que consiste en un punto crítico x de F (visto como un\nruta constante en M) y el disco trivial u, es igual al índice de Morse de\nx. Tenga en cuenta que con tal normalización CZF (Sy) = CZF (y)+2\nc1(M) para\ntodos los y â € € € TM € € € TM € TM € TM € TM € TM € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM\n2 (M).\nDel mismo modo, si el flujo de tiempo-1 generado por F define un bucle en Ham(M) entonces\na cada uno [γ, u] â € € ¢ F se puede asociar su índice de Maslov. Es decir, trivializar el\npaquete u*(TM) sobre D2 e identificar el flujo linealizado {dxft} a lo largo de γ con\nun bucle basado en la identidad de matrices simpléticas 2n × 2n. Definir el Maslov\níndice mF ([γ, u]) como el índice Maslov para el bucle de matrices simplécticas.\nEn el marco de la acción HS2 (M) sobre la PF, el índice de Maslov cambia de la siguiente manera:\nmF (S · [γ, u]) = mF ([γ, u])− 2\nc1(M), S-H\n2 (M).\nHagamos la siguiente observación. Asumir γ PF y asumir que un\nbanalización simpléctica del haz (TM) sobre S1 identifica {dγ(0)ft}\ncon una trayectoria basada en la identidad {A(t)} de matrices simpléticas. Supón que está ahí.\nes otra trivialización simpléctica del mismo paquete, coincidiendo con el\nel primero en γ(0), y denotar por {B(t)} el bucle de transición basado en la identidad\nmatrices desde la primera trivialización simpléctica hasta la segunda. Usar la\nsegunda trivialización para identificar {dγ(0)ft} con una ruta basada en la identidad {A\n′(t)}.\nCZmatr ({A)\n′(t)}) = CZmatr ({A(t)}) +Maslov ({B(t)}), (18)\ny si {A(t)} es un bucle entonces es {A′(t)} y\nMaslov ({A′(t)} = Maslov ({A(t)}) + Maslov ({B(t)}). (19)\n3.4 Números espectrales\nDada la configuración algebraica como arriba, la construcción del Piunikhin-Sala-\nEl isomorfismo mon-Schwarz (PSS) [47] produce un isomorfismo lineal (PSS-\nIsomorfismo) M : QH*(M) → HF*(F, J) que preserva la clasificación y\nque es en realidad un anillo isomorfismo (el producto par de pantalones define un anillo\nestructura sobre HF* (F, J)).\nUsando el PSS-isomorfismo se definen los números espectrales c(a, F),\ndonde 0 6 = un QH*(M), de la manera habitual [45]. Es decir, la acción funcional\nAF define una filtración en C(F) que induce una filtración HF\n* (F, J),\nHF*(F, J), con HF\n* (F, J) • HF\n* (F, J) siempre que α < β. Entonces\nc(a, F ) := inf â € € € € M(a) â € € € €\n* (F, J)}.\nTal número espectral es finito y bien definido (no depende de J). Toma.\nes una breve descripción de las propiedades relevantes de los números espectrales – para más detalles\nVéase [45] (véase también [65, 42, 59, 43] para versiones anteriores de esta teoría).\n(Espectralidad) c(a,H) • spec (H), donde la especificación del espectro (H) de H es\ndefinido como el conjunto de valores críticos de la acción funcional AH, es decir,\nspec (H):= AH(P\n(Propiedad de desplazamiento de la homología de quantum) c(l,H) = c(l,H) + (l) para todos\nEn el caso de que se trate de una tasación definida en la sección 3.1.\n(propiedad de desplazamiento hamiltoniano) c(a,H + (t)) = c(a,H) +\n(t) dt para\ncualquier Hamiltonian H y función : S1 → R.\n(Monotonicidad) Si H1 ≤ H2, entonces c(a,H1) ≤ c(a,H2).\n(Propiedad Lipschitz) El mapa H 7→ c(a,H) es Lipschitz en el espacio de\n(dependiendo del tiempo) Hamiltonians H : M × S1 → R con respecto a la\nC0-norm.\n(invarianza simpléctica) c(a, H) = c(a, H) por cada \nH (M); más generalmente, Symp (M) actúa sobre H* (M ;F), y por lo tanto\nsobre QH*(M), y c(a, \n∗H) = c(a,H) para cualquier síntoma (M). • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • \n(Normalización) c(a, 0) = ν(a) por cada • QH*(M).\n(Invarianza de Homotopy) c(a,H1) = c(a,H2) para cualquier H1, H2 normalizado\nla generación de la misma Hśam (M). Por lo tanto, se puede definir c(a, ♥) para cualquier\nPara cualquier generación normalizada de H, H (M) como c(a, H).\n(Desigualdad triángulo) c(a ∗ b, ) ≤ c(a, \nEl anillo conmutativo QH•(M) admite una forma K-bilineal y K-valuada \nsobre QH•(M) que se asocia a un par de clases de homología cuántica a, b\nQH•(M) el coeficiente (perteneciente a K) en la clase [punto] = [punto] · q\na punto en su producto cuántico a * b • QH•(M) (la estructura Frobenius).\nLet : K → F ser el mapa que envía cada serie\n\n* * * * *, * * * * *, * * *, * * * * F, * *, * * a su libre, * *, * * a su libre, * *, *\nTérmino z0. Definir un emparejamiento no degenerado F -valuado F -lineal en QH•(M) por\nΠ(a, b) := (a, b) = (a ∗ b, [M ]). (20)\nNótese que Π es simétrico y\nΠ(a ∗ b, c) = Π(a, b ∗ c) (21)\nCon esta noción a la mano, podemos presentar otra propiedad importante de\nNúmeros espectrales:\n(Poincaré duality) c(b, ) = − infa(b) c(a, \n−1) para todos los b • QH•(M) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • \ny.................................................................................................. Aquí (b) denota el conjunto de todo un QH•(M) con Π(a, b) 6= 0.\nLa dualidad de Poincaré se puede extraer de [47] (cf. [22]) – Para una prueba véase\n[46].\nLa siguiente propiedad es una consecuencia inmediata de las definiciones (véase [22]\npara una discusión en el caso monotono:\n(Propiedad exponente característica) Dado 0 6= \na, b, a + b 6= 0, y a (dependiendo del tiempo) Hamiltonian H, uno tiene\nc( · a,H) = c(a,H) y c(a+ b,H) ≤ max(c(a,H), c(b,H)).\n3.5 Los cuasiestados simpléticos parciales\nTeniendo en cuenta un idempotente distinto de cero un QH2n(M) y un Hamil-\ntoniano H :M → R, definir\n(a,H) := lim\nc(a, lH)\n. (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nCuando una es fija, a menudo abreviaremos •(H) en lugar de •(a,H). El límite\nen la fórmula (22) siempre existe y, por lo tanto, el funcional....................................................................................................................................................................................................................................................... \nbien definido. El funcional de la \"C\" es Lipschitz con respecto a la C0-\nnorma H = maxM H y por lo tanto se extiende a un funcional : C(M) → R,\ndonde C(M) es el espacio de todas las funciones continuas en M. Estos hechos fueron\nprobado en [23] en el caso a = [M ] pero las pruebas realmente pasan por cualquier\nÍdempotente no cero a QH2n(M).\nAquí vamos a enumerar las propiedades de • para tal M. De nuevo, estos proprie-\nse probaron en [23] en el caso a = [M ] pero la prueba pasa por\ncualquier idempotente distinto de cero a QH2n(M). La aditividad con respecto a la\npropiedad de stants no estaba explícitamente enumerado en [23], pero sigue inmediatamente de\nla definición de la propiedad de los números espectrales y el cambio Hamiltoniano.\nLa desigualdad del triángulo se deriva fácilmente de la definición de\ndesigualdad triangular para los números espectrales.\nTeorema 3.6. El funcional : C(M) → R satisface los siguientes prop-\nerties:\nSemi-homogeneidad: (αF ) = (F ) para cualquier F y cualquier α-R≥0.\nDesigualdad del triángulo: Si F1, F2 o C\n(M), {F1, F2} = 0 a continuación (F1 + F2) ≤\n(F1) + (F2).\nAditividad parcial y desaparición: Si F1, F2 + C\n(M), {F1, F2} = 0 y la\nsoporte de F2 es desplazable, a continuación, •(F1 + F2) = •(F1); en particular, si el\nel soporte de F • C(M) es desplazable, • (F) = 0.\nAditividad con respecto a las constantes y normalización: (F ) = (F )\npara cualquier F y cualquier α â € R. En particular, â € (1) = 1.\nMonotonicidad: ≤ (F ) ≤ (G) para F ≤ G.\nInvarianza simpléctica: •(F) = •(F) •(f) para cada difeomorfismo simpléctico\nf) Symp0 (M).\nCaracterística de la propiedad exponente: (a1+a2, F ) ≤ max(a1, F ), (a2, F ) para\ncada par de idempotentes no cero a1, a2 con a1 ∗ a2 = 0, a1+ a2 6= 0 (en este\nel caso a1 + a2 es también un idempotente distinto de cero), y para todos los F + C(M).\nLlamaremos al funcional : C(M) → R satisfaciendo todas las propiedades\nenumerado en Teorema 3.6 un cuasi estado simplético parcial.\n4 Propiedades básicas de (super) juegos pesados\nEn esta sección demostramos las partes (i) y (iii) del Teorema 1.2, así como la\norem 1.3. Usaremos que un cuasi-estado simplético parcial se extiende por\ncontinuidad en la norma uniforme a un monótono funcional en el espacio de\nfunciones continuas C(M), véase la sección 3.5 supra. En particular, se puede\nutilizar funciones continuas en lugar de las suaves en la definición de (su-\npor)peso en las fórmulas (3) y (4).\nSuponga que se fija un cuasiestado parcial definido por un idempotente distinto de cero\ny consideramos pesadez y superpeso con respecto a................................................................................................................. Comenzamos\ncon la siguiente elemental\nProposición 4.1. Un subconjunto cerrado X • M es pesado si y sólo si por cada\nH (M) con H(X) = 0, H (H) ≤ 0 Un subconjunto cerrado\nX M es superpesada si y sólo si por cada H C • M con H = 0,\nH ≥ 0 una persona presenta un intervalo de tiempo de 0 a 0.\nPrueba. Las partes “solo si” siguen fácilmente de la propiedad de la monotonicidad de\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Demostremos la parte “si” en el “caso pesado” – el caso “superpesado” es\nsimilar. Tomar una función H en M y poner\nF = min(H − inf\nH, 0).\nNótese que F X = 0 y F ≤ 0. Por lo tanto (F ) = 0 por la suposición de la\nProposición. Por lo tanto\n0 = (F ) ≤ (H − inf\nH) = فارسى(H)− inf\nque produce pesadez de X.\nLa siguiente proposición prueba la parte i) del Teorema 1.2.\nProposición 4.2. Cada juego superpesado es pesado.\nPrueba. Let X â € ¢ M ser un subconjunto superpesado. Supongamos que HX = 0, H ≤ 0.\nPor la desigualdad del triángulo para.... tenemos...................................................................................... Tenga en cuenta que\n−HX = 0, −H ≥ 0. Los rendimientos de la superpeso (−H) ≤ 0, así que ≤(H) ≥ 0. Pero\npor monotoniicidad (H) ≤ 0. Por lo tanto, el valor de la reclamación es 0 y la reclamación se deriva de:\nProposición 4.1.\nLos juegos superpesados tienen la siguiente propiedad fácil de usar.\nProposición 4.3. Deja que X-M sea un juego superpesado. Entonces por cada α â € TM TM R\ny H °C(M) con HX • α uno tiene •(H) = α.\nPrueba. Dado que el término «H» + «α» = «H» + «α», basta con demostrar la\nα = 0. Tome cualquier función H con HX = 0. Dado que X es superpesada y, por\nProposición 4.2, también pesado, tenemos\n0 = (H) ≤ (H) ≤ (H) = 0,\nque produce •(H) = 0.\nComo consecuencia inmediata obtenemos parte (iii) del Teorema 1.2.\nProposición 4.4. Cada conjunto superpesado se cruza con cada conjunto pesado.\nPrueba. Deja que X sea un conjunto superpesado y Y sea un conjunto pesado. Asumir en el\nAl contrario que X â € Y = â € €. Tomar una función H ≤ 0 con HY فارسى 0 y\nHX-−1. A continuación, en la Proposición 4.3, el punto H = −1. Por otra parte,\n(H) = 0 ya que Y es pesado, y obtenemos una contradicción.\nTenga en cuenta que dos conjuntos pesados no necesariamente se cruzan entre sí: un meridiano\nde T2 es pesado (véase el corolario 6.4 más abajo), mientras que dos meridianos pueden ser desarticulados.\nPrueba del teorema 1.3 i) y ii): la desigualdad triangular produce\nc(a,H) = c(a ∗ [M], 0 +H) ≤ c(a, 0) + c([M ], H) = v(a) + c([M ], H).\nPasando a los cuasi-estados parciales (a,H) y ([M ], H) obtenemos:\n•(a,H) = lim\nc(a, kH)/k ≤\n≤ lim\n( v.a) + c([M ], kH))/k = lim\nc([M], kH)/k = فارسى([M], H).\nEl resultado ahora se deriva de la definición de conjuntos pesados y superpesados (véase\nDefinición 1.1).\nPrueba de Teorema 1.3 (iii): Por la característica propiedad exponente de\ninvariantes espectrales,\n(a, F ) ≤ máx.\ni=1,...,l\n* (ei, F ) * (F ) * (C )\n* (M). 23)\nElija una secuencia de funciones Gj â € C\n• (M), j → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\npropiedades de descenso: Gk ≤ Gj para k > j, Gj = 0 en X, Gj ≤ 0 y para\ncada función F ≤ 0 que desaparece en un barrio abierto de X allí\nexiste j para que Gj ≤ F (la existencia de tal secuencia se puede comprobar fácilmente).\nEn vista de la desigualdad (23), tenemos que para cada j existe i para que\n• (a,Gj) ≤ (ei, Gj). Pasando, si es necesario, a una subsecuencia Gjk, jk →.\npodemos asumir sin pérdida de generalidad que yo es el mismo para todos j. A la vista\nde pesadez de X con respecto a a, tenemos que •(a,Gj) = 0. Por lo tanto\n• (ei, Gj) ≥ 0.\nElija cualquier función F ≤ 0 onM que desaparezca en un barrio abierto\nde X. Entonces existe j lo suficientemente grande como para que F ≥ Gj. Por monotonicidad\ncombinado con la estimación anterior que tenemos\n0 ≥ (ei, F ) ≥ (ei, Gj) ≥ 0,\nque produce (ei, F ) = 0.\nAhora que F sea cualquier función continua en M que desaparece en X. Toma\nuna secuencia de funciones continuas Fj, convergiendo a F en la C\n0-norm, así que\nque cada FJ desaparece en un barrio abierto de X. Entonces, (ei, Fj) =\nlimj (ei, Fj) = 0, porque (ei, ·) es Lipschitz con respecto a la C\nnorma. La pesadez de X con respecto a ei se deriva ahora de la Proposición 4.1.\nEsto termina la prueba del teorema.\n5 Productos de conjuntos (super) pesados\nEn esta sección probamos Teorema 1.5 en productos de subconjuntos (super) pesados.\n5.1 Fórmula de producto para invariantes espectrales\nLa prueba de Teorema 1.5 se basa en el siguiente resultado general.\nTeorema 5.1. Por cada par de Hamiltonianos dependientes del tiempo G1, G2 onM1\ny M2, y todos los no-cero a1 QHi1(M1), a2 QHi2(M2) tenemos\nc(a1 a2, G1(z1, t) + G2(z2, t)) = c(a1, G1) + c(a1, G2).\nAquí G1(z1, t) +G2(z2, t) es un Hamiltoniano dependiente del tiempo en M1 ×M2.\nDeduzcamos el Teorema 1.5 del Teorema 5.1.\nPrueba de Teorema 1.5: Demostramos que el producto de los juegos superpesados es\nsuperpesados (la prueba para conjuntos pesados va sin ningún cambio). Denotamos\npor.............................................................................................................................................................................................................................................................. \nsociated a los idempotentes a1, a2 y a1 a2 respectivamente. Deja que Xi Mi,\ni = 1, 2, ser un conjunto superpesado. Por la Proposición 4.1 basta con demostrar que si un\nLa función no negativa G-C-(M) desaparece en algún barrio, dicen U,\nde X := X1 × X2 a continuación (G) = 0. (Puesto que es Lipschitz con respecto a la\nC0-norm esto implicaría que •(G) = 0 para cualquier G • C(M) no negativo\nque desaparece en X). Put K := maxM G. Elegir barrios Ui de Xi así\nque U1 × U2 + U. Elegir funciones no negativas Gi on Mi que desaparecen en\nXi y tal que Gi(z) > K para todos z â € Mi \\Ui. Observe que G ≤ G1 + G2.\nPero, en vista del Teorema 5.1 y la superpeso de Xi, tenemos\n*(G1 +G2) = *1(G1) + *2(G2) = 0.\nPor monotonicidad\n0 ≤ G ≤ G1 + G2 = 0,\ny, por lo tanto, (G) = 0.\nQueda por probar el Teorema 5.1. Tenga en cuenta que el lado izquierdo de la igualdad\nen el teorema no excede del lado derecho: se trata de un imme-\ndiate consecuencia de la desigualdad triangular para invariantes espectrales. Sin embargo,\nNo pudimos usar esta observación para probar el teorema. Nuestro ap-\nproach se basa en un análisis algebraico bastante largo que nos permite\ncalcular por separado los lados izquierdo y derecho “en el nivel de la cadena”. A\nLa simple inspección de los resultados de este cálculo da lugar a la igualdad deseada.\n5.2 Complejos degradados de grado Z2\nUn complejo Z2 es un espacio vectorial de dimensiones finitas V de grado Z2 sobre un campo\nK equipado con un diferencial K-lineal \ncambiar la clasificación. Un complejo decorado sobre K = K.o. incluye lo siguiente:\ndatos:\n• un subgrupo contable\n• un complejo de grado Z2 (V, d) sobre K\n• una base preferida x1,. ...........................................................\n• una función F : {x1,. .., xn} → R (llamado el filtro) que se extiende a V\njxj) = max(lj) + F (xj)\n6 = 0},\ny satisface F (dv) < F (v) para todos v < V \\ {0}. La convención es que\nF (0) =. Aquí está la valoración definida en la sección 3.1 anterior.\nUsaremos la notación.\nV := (V, {xi}i=1,...,n, F, d,\npara un complejo decorado.\nEl producto K-tensor V = V1KV2 de complejos decorados\nVi = (Vi, {x)\nj }j = 1,...,ni, Fi, di,Í), i = 1, 2\nse define como sigue. Considerar el espacio V = V1KV2 (véase la fórmula (5) anterior)\ncon el grado natural Z2. Definir el diferencial d en V por\nd(x y) = d1x y + (−1)\nxx d2y.\nLa base preferida en V es dada por {xpq := x\np x\nq } y el filtro F es\ndefinido por\nF (xpq) = F1(x)\np ) + F2(x\nFinalmente, pusimos V := (V, {xpq}, F, d,\nLa homología (de grado Z2) de los complejos decorados está denotada por H*(V)\n– son espacios K-vector. Por la fórmula Künneth, H(V1KV2) =\nH(V1)KH(V2).\nA continuación definimos invariantes espectrales asociados a un complejo decorado V :=\n(V, {xpq}, F, d). Es decir, para un â ¬ H(V) puesto\nc(a) := inf{F (v) a = [v], v Ker d}.\nVeremos más abajo que c(a) > â € para cada 6= 0.\nEl propósito de esta digresión algebraica es declarar el siguiente resultado:\nTeorema 5.2. Para cualquier dos complejos decorados V1,V2\nc(a1 a2) = c(a1) + c(a2) \n5.3 Homología Floer y Cuántica Reducida\nLa 2-periodicidad del complejo Floer y la homología Floer definida por el\nla multiplicación por q (véase la Proposición 3.1 anterior) permite codificar su\nestructura gebraica en un complejo Z2 decorado. Considerar un par regular (G, J)\nque consiste en una función Hamiltoniana y una estructura casi compleja compatible\nEn general, ambos dependen del tiempo. Let (C*(G), dG,J) be the\nel correspondiente complejo Floer. Asociémoslo a un complejo Z2-: un Z2-\nVG de espacio vectorial graduado sobre K.o., definido como\nVG := C0(G)+ C1(G),\ncon el grado de Z2 obvio, y un diferencial ŁG,J : VG → VG, definido como\nla suma directa de dG,J : C1(G) → C0(G) y qdG,J : C0(G) → C1(G). Uno\ncomprueba fácilmente que se trata de un complejo Z2 porque dG,J : C(G) → C(G)\nes -lineal. Llamaremos (VG, G, J) al complejo Z2 asociado a (G, J).\nTenga en cuenta que los ciclos y los límites de (VG, G) que tienen Z2-grado\ni {0, 1} en VG coinciden, respectivamente, con los ciclos y los límites\nque tengan un grado Z i de (C(G), dG,J). Por lo tanto la homología Floer HFi (G, J)\nes isomórfico, como un espacio vectorial sobre K.O., al componente i-ésimo grado de la\nla homología del complejo (VG, G, J).\nEl Z2-complejo (VG, G, J) lleva una estructura del complejo decorado\nVG,J como sigue. Que γi(t), i = 1,.., m, sea la colección de todos los contractibles\nÓrbitas 1-periódicas del flujo Hamiltoniano generadas por G. Elija el disco ui\nen M que abarca γi. Para cada i existe un entero único, decir ri, de modo que\nel índice Conley-Zehnder del elemento xi := q\nri · [γi, ui] se encuentra en el conjunto\n{0, 1}. Claramente, la colección {xi} forma una base de VG sobre K. Lo haremos.\nconsiderarlo como una base preferida. Tenga en cuenta que la base preferida es única hasta\nmultiplicación de xis por elementos de la forma s\nαi, αi â € â € €. Por último, la acción\nfuncional asociado a G define una filtración en VG.\nLa homología de (VG, G, J) se puede identificar canónicamente a través de la PSS-\nisomorfismo con el objeto que llamamos homología cuántica reducida:\nQHred(M):= QH0(M)+QH1(M).\nLlamamos a esto isomorfismo el reducido PSS-isomorfismo y lo denotamos por G,J.\nTenga en cuenta que tenemos una proyección natural p : QH*(M) → QHred(M) que\nenvía cualquier elemento homogéneo de grado a aqr con deg a + 2r {0, 1}.\nCon esta notación, el habitual Floer-homológico invariante espectral c(a,G)\ncoincide con el invariante espectral c(p(a)) del complejo decorado VG,J.\n5.4 Prueba del teorema 5.1\nPor la propiedad Lipschitz de los números espectrales es suficiente considerar la\ncaso cuando G1 y G2 pertenecen a pares regulares (Gi, Ji), i = 1, 2. Establecer\nG(z1, z2, t) := G1(z1, t) +G(z2, t)\ny J := J1 × J2. Entonces (G, J) es también un par regular. Puso \"i\" = \"(Mi\", \"i\"). Lo siento.\nes sencillo ver que el complejo decorado VG,J es el K-tensor\nproducto de los complejos decorados VGi,Ji para i = 1, 2.\nPut (M,) = (M1×M2, 12). Una modificación obvia de los Künneth\nfórmula para la homología cuántica (véase, por ejemplo, [41, Ejercicio 11.1.15] para el Estado\nEn el caso de los monótonos, se produce un monomorfismo natural.\nı : QHi1(M1, #1)KQHi2(M1, #1) → QHi1+i2(M,#).\nPuesto que en nuestro entorno las homologías cuánticas son 2-periódicas, la colección de estos\nisomorfismos para todos los pares (i1, i2) del conjunto {0, 1} induce un isomorfismo\nj : QHred(M1)KQHred(M2) → QHred(M).\nTiene las siguientes propiedades: En primer lugar, dados dos elementos a1 â € QHi1(M1, â € TM 1)\ny a2 QHi2(M2, 2) tenemos que\np(a1) p(a2) = p(a1 a2).\nEn segundo lugar, el siguiente diagrama se desplaza:\nH(VG1, ŁG1,J1)KH(VG2, ŁG2,J2)\nG1,J1G2,J2\nH (VG, G, J)\nQHred(M1)KQHred(M2)\n// QHred(M)\nAquí k es el isomorfismo que viene de la fórmula Künneth para Z2-comple-\nxes, y Gi, Ji, G, J representan el reducido PSS-isomorfismos. De ello se deduce que\nla definición de c(ai, Gi), c(a1a2, G) coincide con la definición de c(pai) y\nc(p(a1) p(a2)). Por Teorema 5.2 obtenemos eso\nc(a1a2, G) = c(p(a1)p(a2)) = c(p(a1))+ c(p(a2)) = c(a1, G1)+ c(a2, G2).\nEsto demuestra Teorema 5.1 módulo Teorema 5.2.\n5.5 Prueba del teorema algebraico 5.2\nUn complejo decorado se llama genérico si F (xi) − F (xj) / para todos i 6= j\n(recordemos que bajo nuestras suposiciones, el grupo de períodos del simplés\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Comenzamos desde algunos\nhechos auxiliares del álgebra lineal. Let V := (V, {xi}i=1,...,n, F, d,\ncomplejo decorado genérico. Recordamos una vez más que por brevedad escribimos K\nen lugar de \"K\" donde sea que esté claro lo que se toma.\nUn elemento x • V se llama normalizado si\nx = xp +\ni 6=p\n(xp) > máx.\ni 6=p\nF (lxixi).\nUsaremos la notación x = xp+o(xp). En los complejos genéricos, cada elemento\nx 6= 0 se puede escribir de forma única como x = ♥(xp+o(xp)) para algunos p = 1,..., n y\nK. Un sistema de vectores e1,. ..., em en V se llama normal si cada ei tiene\nla forma ei = xji +o(xji) para ji {1,...., n} y los números ji son pares\nDistinto.\nLemma 5.3. Let e1,. ............................................................................... Entonces\n(+) = máx.\nF ()...................................................................................................................................................................\nPrueba. Demostramos el resultado utilizando la inducción en m. Para m = 1 la declaración es\nEs obvio. Vamos a comprobar el paso de inducción m− 1 → m. Observe que es suficiente\npara comprobar que\nF (e1 +\n(e1), ≥ F (e1). (24)\nEntonces, obviamente.\n(+) ≥ máx.\nF (l'iei),\nmientras que la desigualdad inversa es una consecuencia inmediata de las definiciones.\nPor el paso de inducción,\n(+) = máx.\ni=2,...,n\nF ()...................................................................................................................................................................\nEn vista de la genericidad, el máximo en el lado derecho puede ser único\nescrito con la letra F (0xi0). Sin pérdida de generalidad asumiremos que ei =\nxi + o(xi) e i0 = 2.\n12 ♥iei = x2 + o(x2).\nEscribir\ne1 = x1 + αx2 +X, v = x2 + βx1 + Y,\ndonde α, β-K y X, Y-SpanK(x3,. ., xn). Tenga en cuenta que F (x1) > F (αx2),\nF (x2) > F (βx1), que rinde\n/(α) < F (x1)− F (x2) < (β) = /(β)\n−1). (25)\nEn particular, /(α) < /(1). Tenga en cuenta que\ne1 + 2v = (1 + 2β)x1 + (α + 2)x2 + Z, Z • SpanK(x3,. .., xn).\nF (e1 + 2v) ≥ max( v(1 + 2β) + F (x1), ν(α + 2) + F (x2)).\nSi ν(1 + ♥2β) ≥ 0 tenemos F (e1 + ♥2v) ≥ F (x1) = F (e1) y desigualdad (24)\nsigue. Asumir que < 0 = 1 / 1. A continuación, el apartado 2 del artículo 2 del Reglamento n° 1408/71 se sustituye por el texto siguiente:\ny, por lo tanto, /(l) 2 = /(l)\n-1) 6 = /(α). Por lo tanto\n≥ < = (β)......................................................................................................................................................................................................................................................... \nCombinando esta desigualdad con (25) obtenemos eso\nF (e1 + 2v) ≥ ν(α + 2) + F (x1) + (F (x2)− F (x1))\n≥ F (x1) + ( v(α + 2) + ν(β)) ≥ F (x1) = F (e1).\nEsto completa la prueba de la desigualdad (24), y por lo tanto del lema.\nSe deduce fácilmente del lema que cada sistema normal es linealmente inde-\nPendent.\nLemma 5.4. Todos los subespacios L+V tienen una base normal.\nPrueba. Utilizamos inducción sobre m = dimK L. El caso m = 1 es obvio,\nasí que vamos a manejar el paso de inducción m − 1 → m. Basta con mostrar el\nsiguiente: Let e1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\n′, y let v / L′\nser cualquier vector. Poner L = SpanK(L\n′ {v}). Entonces existe em â € L para que\ne1,. ........................................................................ De hecho, asumir sin pérdida de generalidad que\npara todos los i = 1,..., m−1 uno tiene ei = xi+ o(xi). Poner W = SpanK(xm,. ., xn).\nAlegamos que L′ W = {0}. De hecho, de lo contrario\n1e1 +... •m−1em−1 = mxm +... + nxn\ndonde las combinaciones lineales en los lados derecho e izquierdo son no-\ntrivial. Aplicar F a ambos lados de esta igualdad. Por Lemma 5.3\nF (1e1 +.... + m1em1) = F (xp) mod •, donde 1 ≤ p ≤ m− 1,\nmientras\nF (........nxn) = F (xq) mod................................................................................................................................................................................................................................................ \nEsto contradice la genericidad de nuestro complejo decorado, y la afirmación fol-\nBajas. Desde dimLdimW = dimV, tenemos que V = LW. Descomponer v\ncomo u+w con u â L′, w â W, y tenga en cuenta que w â L. Tenga en cuenta que e1,. .., em−1, w\nson linealmente independientes. Además, w = (xp + o(xp)) para algunos p ≥ m.\nPut em = \n−1w. Los vectores e1,. ...............................................................\nLa misma prueba muestra que si L1 + L2 son subespacios de V, cada base normal\nen L1 se extiende a una base normal en L2.\nAhora nos dirigimos al análisis del diferencial d. Elija una base normal\ng1,. .., gq en Im d, y extenderlo a una base normal g1,. .., gq, h1,. ...........................................................\nKer d. Tenga en cuenta que cada uno de estos vectores p + q tiene la forma xj + o(xj) con\ndistinto j. Asumamos sin pérdida de generalidad que el n−p−q restante\nlos elementos de la base preferida en V son x1,. .., xq, y\ngi = xi+q + o(xi+q), hj = xj+2q + o(xj+2q).\nAquí usamos eso, por el teorema de la dimensión, n = p+ 2q. Tenga en cuenta que\nx1,. .., xq, g1,. .., gq, h1,. .., hp\nes un sistema normal, y por lo tanto una base en V. Llamamos a tal base un espectral\nbase del complejo decorado V.\nTenga en cuenta que [h1],. .., [hp] es una base en la homología H (V). Considerar cualquier\nhomología clase a =\n[hola]. Cada elemento v V con a = [v] puede ser\nescrito como v =\n♥ihi +\nαjgj. Por lo tanto, por Lemma 5.3, F (v) ≥ maxi F (đihi)\ny, por lo tanto,\nc(a) = máx.\nF (l'ihi). 26)\nEsto demuestra en particular que los invariantes espectrales son finitos siempre que un 6= 0.\nPara conjuntos finitos A = {v1,. .., vs} y B = {w1,. ..........................................................\nconjunto finito {vi wj}.\nSupongamos ahora que V1,V2 son complejos decorados genéricamente. Nosotros decimos que ellos\nestán en posición general si su producto tensor V = V1KV2 es genérico. Vamos.\nBi = {x\n1,. .., x\n1,. .., g\n1,. .., h\n}, i = 1, 2\nser una base espectral en Vi. Obviamente, B1 B2 es una base normal en V1KV2.\nDenotaremos por d1, d2, d los diferenciales y por F1, F2, F los filtros en\nV1, V2 y V respectivamente. Ponga Gi = {g\n1,. .., g\nqi }, Hi = {h\n1,. .., h\ny K = G1 B2 B1 G2. Observar que\nIm d â € ¢ W := Span(K).\nTomar cualquier dos clases\nj ] H(Vi), i = 1, 2.\nSupongamos que a1 a2 = [v]. Entonces v es de la forma\n(1)m \nm h\nl + w\ndonde w debe estar en W. Observar que (H1 H2) Por Lemma 5.3,\nF v) ≥ máx.\nF (de 1 m)\nm h\nl ),\ny, por lo tanto,\nc(a1 a2) = máx.\nF (de 1 m)\nm h\n= máx.\nm ) + F2(\n= máx.\nm ) + máx.\nl ) = c(a1) + c(a2).\nEn la última igualdad usamos (26). Esto completa la prueba del Teorema 5.2\npara complejos decorados en posición general.\nQueda por eliminar el supuesto de posición general. Esto se hará.\ncon la ayuda del siguiente lema. Trabajaremos con una familia de...\nComplejos clasificados\nV := (V, {xi}i=1,...,n, F, d,\nque tienen exactamente los mismos datos (base preferida, clasificación, diferencia y\nCon la excepción del filtro F, que podrá variar en la clase\nde filtros. Los invariantes espectrales correspondientes serán denotados por c(a, F ).\nLemma 5.5.\ni) Si los filtros F, F ′ satisfacen F (xi) ≤ F\n′(xi) para todos los i = 1,..............................................................................................................................................\nc(a, F ′) para todas las clases distintas de cero a H(V).\n(ii) Si F es un filtro y R, entonces F + es de nuevo un filtro y c(a, F + R) =\nc(a, F ) + para todas las clases distintas de cero a • H(V).\nLa prueba es obvia y la omitimos. De ello se deduce que para los dos filtros F, F ′\nc(a, F )− c(a, F ′) ≤ F − F C0 \nSupongamos ahora que V1,V2 son complejos decorados. Denota por F1, F2 sus\nfiltros. Arreglar â € > 0. Por una pequeña perturbación de los filtros obtenemos nuevos filtros,\nF ′1 y F\n2, en nuestros complejos para que los complejos se conviertan en genéricos y en\nposición general y, además,\nF1 − F\n1C0 ≤ , F2 − F\n2C0 ≤ .\nTeniendo en cuenta las clases de homología ai H(Vi) tenemos\nc(a1, F1) + c(a2, F2)− c(a1 a2, F1 + F2) ≤\nc(a1, F\n1) + c(a2, F\n2) - c(a1 a2, F\n1 + F\n2 = 4 = 4 = 2 = 4 = 2 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4.\nAquí hemos utilizado que el teorema 5.2 ya está probado para los complejos genéricos en\nposición general. Puesto que â € > 0 es arbitrario, obtenemos que\nc(a1, F1) + c(a2, F2)− c(a1 a2, F1 + F2) = 0,\nque completa la prueba de Teorema 5.2 en toda generalidad.\n6 No desplazabilidad estable de conjuntos pesados\nEn esta sección demostramos la parte (ii) del Teorema 1.2.\nProposición 6.1. Cada subconjunto pesado es establemente no desplazable.\nPara la prueba necesitaremos la siguiente declaración auxiliar. Dado R > 0,\nconsiderar el toro T2R obtenido como cociente del cilindro T\n∗S1 = R(r)×\nS1 ( mod 1) por el cambio (r, ) 7→ (r + R, ). Para α > 0 definir la función\nFα(r, ) := αf(r) en T\nR, donde f(r) es cualquier función R-periódica que\ndos puntos críticos no degenerados en [0, R]: un punto máximo en r = 0 con\nf(0) = 1, y un punto mínimo en r = R/2, f(R/2) =: < 0. Denotamos\npor [T] la clase fundamental de T2R. Trabajamos con la forma simpléctica dr.d.\nen T2R.\nLemma 6.2. c([T ], Fα) = α.\nPrueba. Tenga en cuenta que las órbitas cerradas contractibles del período 1 del Hamiltonian\nflujo generado por Fα son puntos fijos formando círculos S+ = {r = 0} y\nS− = {r = R/2}. Las acciones de los puntos fijos en S± igual, respectivamente, a\nα y, y por lo tanto los invariantes espectrales de Fα se encuentran en el conjunto,.\nRecordemos de [59] que c([T ], Fα) > c([punto], Fα). Así c([T ], Fα) = α.\nLemma 6.3. Dejemos que H (C) (M) sea desplazable para que H-1 (maxH). Entonces\n(H) < maxH.\nPrueba. Elija â € > 0 para que el conjunto\nH−1((máx.\nes desplazable. Elija una función de corte de valor real : R → [0, 1] que\nes igual a 1 cerca de maxH y que se apoya en (maxH,maxH). Por lo tanto\nEn H−1((maxH − •; maxH ]) y en 0, se admite el uso de H−1(H) (maxH − •; maxH ]. Desde H\ny (H) Poisson-computar, la desaparición y la monotonicidad axiomas rendimiento\n(H) ≤ máx(H) (H) < máx(H) (H) < máx(H) (H) < máx(H) (H) < máxH.\nPrueba de la Proposición 6.1: Basta con demostrar que por cada R > 0 el conjunto\nY := X × {r = 0} M ′ := M × T2R\nno es desplazable. Supongamos por el contrario que Y es desplazable. Elegir\na función H en M con H ≤ 0, H−1(0) = X. Poner\nH ′ = H + F1 = H + f(r) :M\n′ → R.\nAsumir que el cuasi-estado parcial en M está asociado a algunos no-cero\nidempotente a QH*(M) por medio de (2). Denotación de.................................................................................................\n′ el cuasiestado en\nM ′ asociado a a T. Tenga en cuenta que\nY = (H ′)−1(maxH ′), donde maxH ′ = 1,\nmientras que el teorema 5.1 y Lemma 6.2 implican que\nفارسى ′(H ′) = فارسى(H) + 1.\nPor Lemma 6.3 ≤ ′(H ′) < 1 y por Lemma (H) < 0. En vista de la Proposición 4.1,\nobtener una contradicción con la pesadez de X.\nLemma 6.2 también da una simple prueba del siguiente resultado, que también sigue\ndel corolario 1.15:\nCorolario 6.4. Cualquier meridiano de T2 es pesado (con respecto a la fundamental\nclase [T]).\nPrueba. En la notación anterior identificar T2 con T21 para R = 1. Desde cualquier\ndos meridianos de T2 pueden ser mapeados entre sí por una isotopía simpléctica\ny puesto que tal isotopía preserva la pesadez, basta probar que la\nel meridiano S := S+ = {r = 0} (ver la prueba de Lemma 6.2) es pesado.\nLet H : T2 → R ser un hamiltoniano y vamos a mostrar que •(H) ≥ infSH,\ndonde se defina el valor de los valores de referencia utilizando [T ]. Cambiando H, si es necesario, por una constante, podemos\nasumir sin pérdida de generalidad que infSH = 1. Pick f = f(r) : T\n2 → R\ncomo en la definición de Fα para que F1 = f ≤ H en T\n2 (nota que f es igual a 1 en\nS). Entonces Lemma 6,2 rendimientos\n• (H) ≥ (F1) = 1 = inf\n7 Analizar tallos estables\nPrueba de Teorema 1.6: Supongamos que A es un subespacio Commutativo Poisson\nΦ : M → A* su mapa del momento con la imagen, y let X =\n1(p) ser un tallo estable de A.\nTome cualquier funciónH • C•(A*) con H ≥ 0 y H(p) = 0. Nosotros afirmamos que\n*(H) = 0. Por una arbitrariamente pequeña C0-perturbación de H podemos asumir\nque H = 0 en un barrio pequeño, digamos U, de p. Elija una cubierta abierta\nU0, U1,. ...................................................................................................................................................\n− 1 (Ui) son establemente desplazables\npara i ≥ 1 (existe por la definición de tallo). Let.......................................................................................................................................................................................\nser una partición de unidad subordinada a la cubierta {Ui}.\nTome el T2R de dos torsión como en la Sección 6. Elija R > 0 lo suficientemente grande para que\n1(Ui)× {r = const} es desplazable en M × T\nR para todos los i ≥ 1. Elija ahora\nuna cobertura suficientemente fina Vj, j = 1,..., K, del toro T.\nR por lo suficiente\ndelgada anular r − rj < de modo que los conjuntos Φ\n−1(Ui) × Vj son desplazables en\nM × T2R para todos los i ≥ 1 y todos los j. Let â € ~ j = â € ~ j(r), j = 1,..., K, ser una partición\nde unidad subordinada a la cubierta {Vj}.\nDenotar por el estado cuasi parcial correspondiente a aT. Puso F (r, ) =\ncos(2γr/R). Escribir\nH + F =\n(H + F )\n(H0) + F · Φ\n0 +\n(H + F ) · i · j.\nNótese que H0 = 0 y F · Φ\n0 ≤ 1. Aplicación de la cuasiadditividad parcial\ny la monotonicidad tenemos eso\n′(H + F ) = ′(F · 0) ≤ 1.\nPor Lemma 6.2 y la fórmula del producto (Teorema 5.1 arriba) tenemos\n(H + F ) = (H + F ) = (H ) + 1 ≤ 1\ny, por lo tanto, «(H)» ≤ 0. Por otra parte, el valor de H ≥ 0 (H) ≥ 0 desde el punto de vista de H ≥ 0. Por lo tanto\nA continuación figura una reclamación de 0 (H) = 0.\nAdemás, dada cualquier función G en M con G ≥ 0 y GX = 0, se puede\nencontrar una función H en A* con H(p) = 0 para que G ≤ H. Por monotonicidad\ny la reclamación supra\n0 ≤ G ≤ H = 0,\ny, por lo tanto, el punto G = 0. Así X es superpesada.\n8 Submanifolds monotónicos lagrangianos\nLa principal herramienta de prueba (super)peso de la monotona Lagrangian subman-\nilolds que satisfacen la condición de Albers es la estimación espectral en Proposi-\nsión 8.1(iii) a continuación, que se originó en la obra de Albers [2]. Más tarde.\nBiran y Cornea señalaron un error en [2], y sugirieron una corrección\njunto con una generalización de largo alcance en [15]. Mencionemos que el\nLa estimación original de Albers se utilizó en la primera versión del presente documento. Nosotros\ngracias Biran y Cornea por informarnos sobre el error, explicando a\nnos su enfoque y nos ayuda a corregir una serie de nuestros resultados afectados\npor este error.\nEl ingrediente principal de las técnicas de Biran-Cornea que se necesita para nuestro\nla finalidad es el siguiente resultado. Vamos a ser un simplético monótono cerrado\nCélulas de hierro o acero sin alear, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % pero inferior o igual al 85 % en peso, y con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, pero inferior o igual al 85 % en peso, pero inferior o igual al 85 % en peso, pero inferior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, y con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, pero inferior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso EscribeN para el número mínimo de Chern\nde (M. Deja que Ln M2n sea un monótono cerrado Lagrangian submanifold con\nel número mínimo de Maslov NL ≥ 2.\nTrataremos de manera ligeramente diferente los casos en que NL es paritario y extraño. Vamos.\nMencionamos que para L orientable, NL es automáticamente uniforme. Por lo tanto, debido a\nnuestra convención, cuando NL es raro trabajamos con el campo básico F = Z2. Vamos.\nN · Z sea el grupo de períodos de M. Recuerde que el anillo cuántico tiene\nla forma QH*(M) = H*(M;F) F \ncomo = [q, q\n−1]. Put = (N/2) · Z. Considere un anillo Novikov extendido\n:= K [q\n2, q−\n2 ]. Definir ahora QH (M) como QH*(M) si NL es par, y como\nH*(M,Z2)Z2 \n′ si NL es raro. En este último caso, QH\n∗(M) es una extensión de\nQH*(M), y lo consideraremos sin mencionar de manera especial QH*(M),\ncomo subrenglones de QH (M),\n′, K. La clasificación de QH\n* La letra M) está determinada por:\nla condición deg q\n2 = 1. Como antes, utilizaremos la notación QH (M), donde\n• = “equivalente” cuando F = C y • = * cuando F = Z2.\nTenga en cuenta que los invariantes espectrales (y por lo tanto parcial simplés cuasi-\nlos estados) están bien definidos sobre el anillo extendido, y además, sus valores\ny las propiedades, por razones tautológicas, no se alteran bajo tal extensión\n(cf. una discusión en [15], sección 5.4. Put w := sNL/2qNL/2. Recordemos que j\nrepresenta el morfismo natural H•(L;F) → H•(M;F).\nProposición 8.1. Supongamos que k > n+1−NL. Si F = C asumen además\nQue k está a mano. Entonces existe un homomorfismo canónico jq : Hk(L;F) →\nQH ′k(M) con las siguientes propiedades\n8La letra “q” en jq significa cuántica.\ni) jq(x) = j(x) + w−1y, donde y es un polinomio en w−1 con coeficientes\nen H•(M ;F);\nii) jq([L]) = j([L]);\niii) Si jq(x) 6= 0 entonces c(jq(x), H) ≤ supLH por cada H + C\n(M).\nEn particular, si S es un elemento Albers de L, tenemos jq(S) = j(S)+O(w−1) 6=\nEsta proposición fue probada por Biran y Cornea en [15] en el caso\nF = Z2: El mapa j\nq es esencialmente el mapa iL que aparece en Teorema A(iii)\nen [15]. La Proposición 8.1 i) es una combinación de Teorema A iii) y\nProposición 4.5.1 i) en [15]. Nuestra variable w corresponde a la variable t−1 en\n[15], mientras que nuestro sNŁqN corresponde a la variable s−1 en la Sección 2.1.2 de [15].\nDespués de tal ajuste de la notación, la fórmula w := sNL/2qNL/2 arriba\npuede extraerse de la sección 2.1.2 de [15]. Para la propuesta 8.1 ii) supra\nVéase la Observación 5.3.2.a en [15]. La Proposición 8.1 iii) se deriva de Lemma\n5.3.1 ii) en [15]. Por último, vamos a repetir el descargo de responsabilidad hecho en la sección 1.5: nosotros\ndar por sentado que la Proposición 8.1 sigue siendo válida para el caso F = C.\nPasemos a las pruebas de nuestros resultados sobre (super)-peso del monotono\nSubmanifolds lagrangianos. Comenzamos con la siguiente observación. Deja que S sea un\nAlbers elemento de L. La propiedad de dualidad Poincaré de invariantes espectrales\n(véase la sección 3.4 supra) se extiende literalmente al caso del anillo QH ′(M)\ncon la siguiente modificación: Cuando NL es impar, el emparejamiento Π introducido\nen la sección 3.4 se extiende de manera obvia a un valor F no degenerado\nemparejamiento en QH (M) que todavía denotamos por Π. Aplicación de la dualidad de Poincaré\ny sustituyendo H := −F en la Proposición 8.1 iii) arriba obtenemos eso para\ntodas las funciones F + C+(M)\nc(T, F ) ≥ inf\nF T T QH (M) con Π(T, j\nq(S) 6= 0.\nEn particular, dado un idempotente distinto de cero a • QH (M) y una clase b •\nQH (M), de modo que Π(a*b, j\nq(S) 6= 0, obtenemos, usando la propiedad de normalización\nde invariantes espectrales, que\nc(a, F ) + (b) ≥ c(a ∗ b, F ) ≥ inf\nF. F. C. M........................................................................................................... (27)\nPor lo tanto, aplicando (27) a kF para k â € N, dividiendo por k y pasando a la\nlímite como k → #, obtenemos que para el cuasi-estado parcial #, definido por a,\n(F ) ≥ inf\nF. F. C. M.\nlo que significa que L es pesado con respecto a a.\nPrueba de Teorema 1.15: Que S sea un elemento Albers de L. Let T\nH•(M;F) ser cualquier clase de homología singular tal que T • j(S) 6= 0. Por lo tanto,\naplicando la Proposición 8.1 i) vemos que Π([M]*T, jq(S)) = Π(T, jq(S)) 6= 0,\ny por lo tanto desigualdad (27), aplicado a a = [M ], b = T, rendimientos que L es pesado\ncon respecto a [M].\nPasemos a la prueba del Teorema 1.25 sobre el efecto de la semi-simplicidad\nde la homología cuántica. Se sigue fácilmente de la siguiente más general\ndeclaración. Let L1,. ...............................................................................\ncondición. Que Si sea cualquier elemento Albers de Li. Nota de Zi = j\nq(Si)\nQH (M) su imagen bajo el morfismo de inclusión de la Proposición 8.1 anterior.\nTeorema 8.2. Teniendo en cuenta tal L1,. ............................................. .., Zm, asumir, además,\nque QH2n(M) es semi-simple y los submanifolds lagrangianos L1,. ..............................................................\nson desarticulados en el sentido del par. Luego las clases Z1,. .., Zm son linealmente independientes\nsobre K.\nPrueba. Argumentando por contradicción, asumir que\nZ1 = α2Z2 +... + αmZm (28)\npara algunos α2,. ............................................................... Puesto que QH2n(M) es semi-simple, se descompone\nen una suma directa de campos con unidades e1,. ., ed. Desde el apareamiento Π (en\nQH (M;F)) no es degenerado, existe T QH\n•(M;F) de tal manera que\nΠ(T, Z1) 6= 0. 29)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nEscribamos T como\nT = [M ] * T =\n* T. (30)\nEcuaciones (29), (30) implican que existe l â € [1, d] de tal manera que\nΠ(el ∗ T, Z1) 6= 0. 31)\nEntonces (28) implica que existe r [2, m] de tal manera que\nΠ(el ∗ T, αrZr) 6= 0.\nUsando (21) (para Π en QH (M;F)) podemos reescribir la última ecuación como\nΠ(el ∗ αrT, Zr) 6= 0. (32)\nAplicando ahora la fórmula (27) para S = Z1 H•(L1;F), a = el, b = T, y también\npara S = Zr H•(Lr;F), a = el, b = αrT, concluimos que tanto L1 como Lr\nson pesados con respecto a El. Por lo tanto son superpesados con respecto a el,\nporque el es la unidad en un factor de campo de QH2n(M) (ver Sección 1.6). Por lo tanto\ndeben intersecarse, en contradicción con la suposición del teorema. Esto\ntermina la prueba de la primera parte del teorema.\nPrueba de Teorema 1.25(a): Supongamos que L1,. ...............................................................\nSubmanifolds lagrangianos que satisfacen la condición (a) de la formulación\ndel teorema. Denotar por Ni el número mínimo Maslov de Li. Desde\nNi > n + 1, la clase de un punto de H0(Li;F) es un elemento de Albers para Li.\nDejemos que Zi QH\n0(M) ser su imagen bajo el morfismo de inclusión de Biran-Cornea\nasociado a Li. Note que por la Proposición 8.1(i) Zi = p + aiw\ni, donde\nwi = s\nNi/2qNi/2, ai, HNi(M;F) y p, H0(M;F) es la clase de homología de\nun punto. Observar que degwi = Ni > n + 1, y por lo tanto la expresión para Zi\nno puede contener términos en w−1i de orden dos y superior, ya que HkNi(M ;F) = 0\npara k ≥ 2.\nRecordar ahora que toda la mentira de Ni en algún conjunto Y de enteros positivos. Dejad que W...\nQH ′0(M) ser el lapso sobre K de\nH0(M;F)\nsE/2q−E/2 ·HE(M;F).\nTenga en cuenta que\ndimK W = βY (M) + 1 < m.\nAsí los elementos Zi, i = 1,..., m, son linealmente dependientes sobre K. Por\nEl teorema 8.2, QH2n(M) no es semisimple.\nPrueba de Teorema 1.25(b): Supongamos que L1,. ...............................................................\nSubmanifolds Lagrangianos homológicamente no triviales. Por la Proposición 8.1 ii)\njq([Li]) = j([Li]) para cada i = 1,..., m. Dado que las clases j([Li]) son linealmente\ndependiente, Teorema 8.2 implica que QH2n(M) no es semi-simple.\nPrueba del Teorema 1.18: Combinando la Proposición 8.1 ii) y iii) obtenemos\nque para cualquier H â € TM Câ TM (M)\nc(j([L]), H) ≤ sup\nH. H. C. M.......................................................................................................................................\nPor la hipótesis del teorema, podemos escribir j([L]) * b = a para algunos b.\nc(a,H) = c(j([L]) ∗ b,H) ≤ c(j([L]), H) + c(b, 0).\nc(a,H) ≤ sup\nH + c(b, 0).\nAplicando esta desigualdad a E · H con E > 0, dividiendo por E y pasando\nhasta el límite como E → â € € TM € ~ (H) ≤ supLH para todos los H. Por lo tanto L es\nsuperpesado.\nObservación 8.3. Los resultados anteriores admiten las siguientes generalizaciones en el\nmarco de la teoría de Biran-Cornea. El principal objeto de esta teoría es la\nanillo de homología cuántica QH*(L) de un submanifold Lagrangiano monotono,\nque es isomórfico a la homología Lagrangia Floer HF*(L, L) de L hasta\nun cambio en la clasificación.\ni) Si QH*(L) no desaparece, L es pesada (véase la Observación 1.2.9b en [15]).\nDe hecho, de [15] se deduce que si L cumple la condición de Albers,\nQH*(L) no desaparece.\n(ii) El mapa jq de la Proposición 8.1 anterior es una huella de la\nMapa de inclusión de tum iL : QH*(L) → QH\n*(M) construido en [15]. Los\nla estimación de la acción en el inciso iii) de la propuesta es\nque figuran en [15] para las clases iL(x) para los elementos x • QH*(L) de una determinada\nforma especial, dando la siguiente generalización del Teorema 1.18: para\nestas clases especiales x • QH*(L) la condición de que la clase iL(x)\nno desaparece y divide un idempotente no trivial a implica que L\nes superpesado con respecto a a. Esto permite, por ejemplo,\nize Ejemplo 1.19 sobre las esferas lagrangianas en los cuadros anteriores al caso\ncuando dimL es raro.\n(iii) En [15] uno puede encontrar otra estimación de acción que viene de la\nEstructura del módulo QH*(M) en QH*(L), que da más resultados sobre\n(super)peso de los submanifolds Lagrangiano monótono.\nPrueba de la Proposición 1.4: La homología cuántica QH2n(M) se divide como una\nálgebra sobre K en una suma directa de dos álgebras uno de los cuales es un campo. Esto\nfue probado por McDuff para el campo F = C (véase [39] y [24, sección 7]), pero\nla prueba pasa por el caso F = Z2 también. Denotar la unidad de la\ncampo por a. Es un idempotente no cero en QH2n(M). Como ya hemos señalado\nhacia fuera en la Observación 1.21, tal idempotente a define un verdadero simplés cuasi-\ny por lo tanto las clases de conjuntos pesados y superpesados con respecto a\nCoincidencia.\nPor el teorema 1.2, el toro lagrangiano L-M no puede ser superpesado\ncon respecto a un, ya que puede ser desplazado de sí mismo por un simplético (no-\nHamiltonian) isotopía. De hecho, tome una isotopía simpléctica obvia............................................................................................................................................\nque desplaza L (un cambio paralelo) y lo compone con una isotopía Hamiltoniana\nPara que por cada t que tenemos que es constante en t (L) y t (t) es la identidad\nen la bola donde se realizó la explosión de T2n. Sin lugar a dudas, el resultado\nla isotopía simpléctica se extiende a una isotopía simpléctica de M que desplaza\nPor otro lado, NL ≥ 2 porque en este caso NL = 2N, donde N ≥ 1\nes el número mínimo Chern de M. Por último, tenga en cuenta que L representa un no-\nclase de homología trivial en Hn(M ;Z2). Por lo tanto podemos aplicar Teorema 1.15\ny conseguir que L es pesado con respecto a [M ].\n9 Rigidez de fibras especiales de ac-\nciones\nEn esta sección probamos Teorema 1.9. Denotar la fibra especial de Φ por\nL := 1(pspec).\nReducción al caso de las acciones T1: En primer lugar, afirmamos que es suficiente\npara probar el teorema de las acciones Hamiltonian T1- y el caso general\nSígueme de ahí. De hecho, supongamos que esto está probado. La superpeso de la\nfibra especial inmediatamente produce que para cualquier función H̄ : R → R\n*(H̄) = H̄(pspec), (33)\ndonde Φ :M → R es el mapa del momento de la acción T1.\nVolvamos a la situación multidimensional y vamos a Φ : M → Rk\nser el mapa del momento normalizado de un Hamiltonian Tk-action en M. Para un\nv Rk denotar por Φv(x) = Φv,Φ(x), donde, es el estándar euclidiano\nproducto interior en Rk. Tenga en cuenta que si v • Zk la función Φv es el normalizado\nmapa del momento de una acción del círculo Hamiltoniano y su valor especial es v, pspeñá.\nAsí por (33)\nK) = K(v, pspeñá)\n*(R). (34)\nPor la homogeneidad de la igualdad (34) se mantiene para todos v. Qk, y por la continuidad\npara todos los v â € Rk.\nObsérvese que para cada par de funciones lisas P,Q,C,C,(R) y para cada\npar de vectores v,w Rk las funciones \nP y \nQ Poisson-computar en\nM. Así la desigualdad triangular para los números espectrales (ver Sección 3.4)\nrendimientos\nP + \nQ) ≤ ()\nP ) + ()\nP). (35)\nPuesto que M es compacto, basta con asumir que la función H̄ â € TM TM Câ TM (Rk) en\nRk es compatible de forma compacta. Por la inversa transformación de Fourier podemos escribir\nH̄(p) =\n(v) + cosáv, páv) · F (v) + cosáv, páv) ·G(v)\npara algunos rápidamente (digamos, más rápido que (p + 1)-N para cualquier N N) decayendo\nfunciones F y G en Rk. Para cada v â € TM Rk definir una función Kv â € C\nKv(s) := sin s · F (v) + cos ·G(v).\nObservar que\nH̄ =\nKv dv.\nDenotar por B(R) la bola euclidiana de radio R en Rk con el centro en el\norigen. Poner\nH̄R(p) =\nKv(v, ) dv, p R\nDado que las funciones F y G están decayendo rápidamente, tenemos que\nH̄R − HC0(Rk) → 0 como R → فارسى. (36)\nAfirmamos que por cada R\n*(H̄R) ≤ H̄R(pspec). (37)\nDe hecho, para â > 0 introducir la suma integral\nH̄R (p) =\nvÃ3r ZkÃ3B(R)\nKv (v, p)...........................................................................................................................................\nH̄R, =\nvÃ3r ZkÃ3B(R)\n- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!\nAplicando repetidamente (35) y (34) obtenemos eso\n*(H̄R,♥) ≤ H̄R,/23370/(pspec).\nTenga en cuenta ahora que para R fijo la familia H̄R, fue convergente a H̄R como فارسى → 0 en\nla norma uniforme sobre C0(Rk). El uso de que es Lipschitz con respecto a la\nnorma uniforme en C0(M) obtenemos fácilmente la desigualdad (37).\nCombinando el hecho de que es Lipschitz con (36) y (37) obtenemos que\n(H̄) = lim\n(H̄R) ≤ lim\nH̄R(pspec) = H̄(pspec).\nAhora, asuma que H̄ ≥ 0 y H̄(pspec) = 0. Acabamos de demostrar que\n•(H̄) ≤ 0, y por lo tanto •(H) = 0, que inmediatamente produce el su- deseado\nla permeabilidad de la fibra especial. Esto completa la reducción de la\ncaso al caso 1-dimensional.\nA partir de ahora consideraremos sólo el caso de un Hamil efectivo...\ntoniano T1-acción en M con un mapa de momento Φ :M → R. Su momento\nEl politopo es un intervalo cerrado en R y pspec = −I(Φ) R.\nReducción al caso de una función estrictamente convexa: Nosotros reclamamos\nque es suficiente para mostrar la siguiente proposición:\nProposición 9.1. Suponga H̄ : R → R es una función lisa estrictamente convexa\nalcanzar su mínimo en pspec. Conjunto H := Φ\n*H̄. A continuación, Ł(H) = H̄(pspec).\nAplazando la prueba de la proposición por un momento vamos a demostrar que\nimplica el teorema. De hecho, let F : M → R ser un hamiltoniano en M. En\norden para mostrar la superpeso de L = 1(pspec) tenemos que mostrar que\n•(F ) ≤ supL F. Elija una función muy pronunciada estrictamente convexa H̄ : R → R con\nel valor mínimo de supL F alcanzado en pspec y tal que Φ\n*H̄ =: H ≥ F\nen todas partes en M. Entonces utilizando la Proposición 9.1 y la monotonicidad de\n•(F) ≤ (H) = H̄(pspec) = sup\npor lo que se refiere a la presentación de la reclamación.\nPreparativos para la prueba de la Proposición 9.1: Dado un (tiempo-\ndependiente, no necesariamente regular) Hamiltonian G, nos asociamos a cada\npar [γ, u] â € € € TM TM un número\nDG([γ, u]) := AG([γ, u])−\n· CZG([γ, u]).\n(Recuerde que definimos el índice Conley-Zehnder para todos los Hamiltonianos y\nno sólo los regulares – ver sección 3.3). El número DG([γ, u]) está in-\nvariante bajo un cambio del disco de extensión u – una adición de una esfera\njS HS2 (M) en el disco u cambia tanto AG([γ, u]) como CZG([γ, u]) por\nel mismo número. Así podemos escribir DG([γ, u]) = DG(γ).\nTeniendo en cuenta lo siguiente:\n(l) y u(l) como las composiciones\nde γ y u con el mapa z → zl en la unidad de disco D2 o C (aquí z es un\nCoordenada compleja sobre C). Denotar por t 7→ gt el flujo de tiempo de G y por\nG(l) :M × R → R el Hamiltoniano cuyo flujo temporal es t 7→ (gt)\nl y qué\nes definido por\nG(l) := G®. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\ndonde GÃ3K(x, t) := G(x, t) +K(g−1t x, t) para cualquier K :M × R → R.\nProposición 9.2. Existe una constante C > 0, dependiendo sólo de n, con\nla siguiente propiedad. Teniendo en cuenta una órbita 1-periódica γ PG del flujo t 7→ gt\ngenerado por G, asumir que γ(l) es una órbita 1-periódica del flujo t 7→ glt\ngenerado por G(l), y por lo tanto para cualquier u tal que [γ, u]\n[γ(l), u(l)].......................................................................................................................................................................................................................................................... Entonces\nDG(l)([γ\n(l), u(l)]— LDG([γ, u]) ≤ l · C.\nPrueba. El término de acción en DG se multiplica por l a medida que pasamos de G a G\nEn cuanto al término Conley-Zehnder, la propiedad cuasimorfista del Conley-\nEl índice de Zehnder (véase la Proposición 3.5) implica que existe una constante C > 0\n(dependiendo solamente de n) tal que\nlCZG[γ, u]− CZG(l)([γ\n(l), u(l)]) ≤ C.\nEsto prueba inmediatamente la proposición.\nProposición 9.3. Let G :M × [0, 1] → R ser un hamiltoniano como arriba. Entonces\nse puede elegir > 0, dependiendo de G, y una constante Cn > 0, dependiendo de\nsólo en n = dimM/2, de modo que cualquier función F : M × [0, 1] → R que es\ncerca de G, en una medida métrica-C. sobre C.(M×[0, 1]) cumple la condición siguiente:\npor cada γ0 • PF existe γ • • PG de tal manera que la diferencia entre DF (γ0)\ny la DG(γ) está limitada por Cn.\nPrueba. Denote el flujo de G por gt (como antes) y el flujo de F por ft.\nverá las trayectorias periódicas de tiempo-1 de estos flujos tanto como mapas de [0, 1] a\nM que tengan el mismo valor en 0 y 1 y como mapas de S1 a M.\nPrimero, considere la fibración D2×M →M y, abusando ligeramente de la notación,\ndenotar la retirada natural de............................................................................................................ Segundo, mira la fibración.\npr : D2 ×M → D2. Denotar por V ert el haz vertical sobre D2 × M formado\npor los espacios tangentes a las fibras de pr. Para cada bucle : S1 →M define por\n: S1 → D2 ×M el mapa (t) := (t, γ(t)). Los paquetes TM y V ert\nsobre S1 coinciden. Similarmente para cada w : D2 →M denotar por : D2 → D2×M\nel mapa (z) := (z, w(z)).\nExiste > 0, dependiendo de G, de tal manera que para cada γ PG un tubular\nEl término «vecindario» de la imagen de en S1 ×M D2 ×M, denotado por Ubγ, tiene\nlas siguientes propiedades:\n• existe un 1-formo en Ubγ que satisface d\n• V ert admite una trivialización sobre Ubγ.\nDado un â € > 0, podemos elegir F lo suficientemente cerca de G para que el\nrutas t 7→ pies y t 7→ gt en Ham(M) son arbitrariamente C\n- Muy cerca y, por lo tanto,\n• por cada x • Fix (F) existe y • Fix (G) que está cerca de x\n(pensar en los puntos fijos como puntos de intersección de la gráfica de un\ndifeomorfismo con la diagonal;\n• la distancia entre los mapas γ0 : t 7→ ft(x) y γ : t 7→ gt(y)\nde [0, 1] a M está limitada por y la imagen de 0 se encuentra en Ubγ.\nElija un mapa u0 : D\n2 → M, uD2 = γ0. Dado que γ0 y γ son C\n- ¡Cerca! - ¡Cerca!\npuede agrandar D2 a un disco más grande D21 D\n2 y encontrar un mapa suave u : D21 →M\npara que\n• uD21\n= u0;\n• u(D21 \\ D\n2) Ubγ.\nRescatar D21 podemos asumir sin pérdida de generalidad que [γ, u] PG.\nTrivializar los paquetes de vectores 0TM y γ\n* TM para que las trivializaciones\nse extienden a una trivialización de u*TM sobre D21 (y por lo tanto de u\n0TM sobre D\nUtilizando las trivializaciones podemos identificar las rutas t 7→ dγ0(0)ft y t 7→ dγ(0)gt\ncon algunos caminos basados en la identidad de matrices simpléticas A(t), B(t). Fijación de un\npequeño como el anterior, también podemos asumir que F es elegido para C-cerca de G que,\nademás de todo lo anterior, la distancia C-entre los caminos t 7→ A(t)\ny t 7→ B(t) en Sp (2n) está limitado por (por ejemplo, asegúrese primero de que\nlas trayectorias de matriz obtenidas escribiendo las trayectorias t 7→ dγ0(0)ft y t 7→ dγ(0)gt\nusando alguna trivialización de V ert sobre Ubγ son lo suficientemente cerca – entonces la matriz\nrutas t 7→ A(t) y t 7→ B(t) también estarán lo suficientemente cerca).\nNosotros afirmamos que al elegir lo suficientemente pequeño en la construcción de arriba nosotros\npuede vincular la diferencia entre DF ([γ0, u0]) y DG([γ, u]) en una cantidad\ndependiendo sólo de dimM.\nDe hecho, la diferencia \nF (γ0(t), t)dt −\nG(γ(t))dt está limitado por una\ncantidad dependiendo sólo de algunas constantes universales y, porque γ0 es\nCerca de γ y F se encuentra cerca de G con respecto a la medida. Puede ser\nhecho arbitrariamente pequeño al elegir un lo suficientemente pequeño. La diferencia\n* −\nu = \n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nestá limitado por la diferencia \n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \nOh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Desde entonces, γ0 y γ son\nla diferencia posterior se puede hacer menos de 1 si elegimos\na lo suficientemente pequeño. Por lo tanto, hemos demostrado que al elegir un suficientemente\npequeño podemos unir AF ([γ0, u0])-AG([γ, u]) por 1.\nAhora, en lo que respecta a los índices de Conley-Zehnder, nuestra elección\nde las trivializaciones significa que la diferencia entre CZF ([γ0, u0]) y\nCZG([γ, u]) es sólo la diferencia entre los índices de Conley-Zehnder para el\nvías de matriz t 7→ A(t) y t 7→ B(t). Pero los últimos caminos en Sp (2n) son\nPor lo tanto, representan los elementos cercanos de Sœp (2n) y si\nse eligió suficientemente pequeño, entonces, como mencionamos en la sección 3.3, su\nLos índices de Conley-Zehnder difieren a lo sumo por una constante dependiendo solamente de n.\nEsto termina la prueba de la reclamación y la proposición.\nPlan de la prueba de la Proposición 9.1: Asumimos ahora que H̄ es\nuna función fija estrictamente convexa en R. Nuestros cálculos contarán con E como un\nparámetro grande. Para las cantidades α, β dependiendo de E escribiremos α β si\nα ≤ const se mantiene para E lo suficientemente grande, donde el const depende solamente de (M,\nΦ y H̄, y en particular no depende de E. Vamos a escribir α • β si\nα β y β α. Usando este lenguaje la proposición puede ser reafirmada como\nc(a, EH) EH̄(pspec). 38)\nEn general, las órbitas 1-periódicas del flujo de EH no están aisladas y allí-\nEl Hamiltoniano no es regular. Dejar F ser un regular (tiempo-periódico)\nperturbación de EH.\nPor el axioma de espectralidad, el número espectral c(a, F) para un QH2n(M)\nes igual a AF ([γ0, u0]) para algunos pares [γ0, u0] â € € con CZF ([γ0, u0]) = 2n. Por lo tanto\nc(a, F ) • DF (γ0). Combinando esto con la Proposición 9.3 obtenemos eso para algunos\nγ • PEH\nEH̄(pspec) c(a, EH) فارسى c(a, F ) ♥ DF (γ0) DEH(γ). (39)\nPor lo tanto, sería suficiente para demostrar que\nDEH(γ) EH̄(pspec) para todos los γ PEH, (40)\nque junto con (39) implicaría (38).\nLa desigualdad (40) se demostrará de la siguiente manera. Nótese que cada uno de ellos\nPEH se encuentra en Φ\n−1(p) para algunos p • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Vamos a demostrar que\nDEH(γ) ♥ EH̄(p) + EH̄\n′(p)(pspec − p). 41)\nTenga en cuenta que (41) implica (40). De hecho, ya que H̄ es estrictamente convexo y alcanza\nsu mínimo en pspec, se deduce de (41) que\nDEH(γ) ♥ EH̄(p) + EH̄\n′(p)(pspec − p) ≤ EH̄(pspec),\nlo que es cierto para cualquier γ â € ¢ PEH por lo tanto rindiendo (40).\nPrueba de (41): Que la acción T1 sobre M sea dada por un bucle de sim-\nplectomorfismos t}, t R, t = t+1. El flujo de EH tiene la forma\nhtx = ♥EH(Φ(x))tx.\nVemos γ como un mapa γ : [0, 1] → M satisfaciendo γ(0) = γ(1). Denotar\nx := γ(0). La curva γ se encuentra en 1(p).\nNota N := γ([0, 1]). Este es el T1-órbita de x y es o bien un punto o\nun círculo.\nEn el primer caso γ es una trayectoria constante concentrada en un punto fijo\nN.M. de la acción. Usando esta curva constante γ junto con la constante\ndisco u que abarca las definiciones de I(Φ) y DEH(γ) se obtiene\npspec − p = mΦ(γ, u)\nDEH(γ) = EH̄(p)− فارسى/2 · CZEH([γ, u]).\nAsí pues, la prueba (41) reduce en este caso a la prueba\n-CZEH([γ, u])\n′(p) ·mΦ(γ, u).\nVamos a fijar una base simpléctica de TNM y ver cada diferencial dN\nmatriz simpléctica A(t), de modo que {A(t)} es un bucle basado en la identidad en Sp (2n).\n-CZEH([γ, u]) -CZmatr({A(EH̄)\n′(p)t)},\nmientras\nEH̄ ′(p) ·mΦ(γ, u) \n′(p)Maslov({A(t)}).\nPor lo tanto, tenemos que demostrar\nCZmatr({A(EH̄)\n′(p)t)}) فارسى EH̄ ′(p)Maslov({A(t)},\nque se sigue fácilmente de las definiciones del índice de Conley-Zehnder y\nla clase Maslov.\nAsí que a partir de ahora asumiremos que N es un círculo. Toma cualquier punto.\nx N. El estabilizador de x bajo la acción T1 es un grupo cíclico finito de\norden k N. Así la órbita de la T1-acción gira k veces a lo largo de N. Desde γ\nes una órbita cerrada no constante del flujo hamiltoniano generado por EH̄,\ngira r veces a lo largo de N con r Z \\ {0}. Esto implica que EH̄ ′(p) = r/k.\nAlegamos que sin pérdida de generalidad podemos asumir que l := r/k es un\nentero.\nDe hecho, siempre podemos pasar a γ(k) PkEH, de modo que (kEH̄)\n′(p)+Z, y\nsi podemos probar la proposición para γ(k), entonces\nDkEH(γ\nk) kEH̄(p) + kEH̄ ′(p)(pspec − p).\nAplicando la Proposición 9.2 obtenemos\nkDEH(γ) kEH̄(p) + kEH̄\n′(p)(pspec − p) + k · const,\ny, por lo tanto,\nDEH(γ) ♥ EH̄(p) + EH̄\n′(p)(pspec − p),\nla prueba de la reclamación de la γ original.\nA partir de ahora suponemos que l := EH̄ ′(p) â € € € € € TM y que [γ, u] â € € € € TM.\nConsidere el campo vectorial de Hamilton X := sgradΦ en un punto x â € N. Desde\nN es una órbita no constante obtenemos X 6= 0. Entonces V = Tx(Φ\n−1(p)) es el sesgo\nComplemento ortogonal a X. Elija un T1-invariante casi compatible con\nestructura compleja J en un barrio de N. Juntos Ł y J definen un T1-\nmétrica de Riemannia invariante g. Descomponga el haz tangente TM a lo largo\nN como se indica a continuación. Poner Z = Span(JX,X) y establecer W para ser el g-ortogonal\ncomplemento a X en V. Así tenemos una descomposición invariante T1-\nTxM = W â € Z, x â € N. (42)\nAdemás, W y Z llevan formas canónicas simplécticas. Por lo tanto W y Z\ndefinir subbundles simpléticos (y por lo tanto triviales) de TM sobre N. Inducen\nsubbundles triviales del paquete TM sobre S1.\nCalculamos\ndht(x) = dŁEH′(Φ(x))t(x) + EH\n′′(Φ(x)) · dΦ() ·X. (43)\nConsideramos dos trivializaciones del paquete TM sobre S1. El primer trivi-\nla alización se define por medio de secciones invariantes bajo la acción T1. Los\nsegundo se elige de tal manera que se extiende a una trivialización de u*TM\nsobre D2. Usando estas trivializaciones podemos identificar dht(x), respectivamente, con\ndos rutas basadas en la identidad {Ct}, {C\nDe matrices simpléticas. El decompo-\nSituación (42) induce una división\nCt = 1° Bt.\nAfirmamos que CZmatr({Bt}) está limitado por una constante independiente de E.\nDe hecho, observar que en la base (X, JX) de Z\n1 b12(t)\nDenote por L la línea que abarca X = (1, 0). Perturb {Bt} a una ruta {B]\nRtBt}, donde Rt es la rotación por el ángulo t, y > 0 es lo suficientemente pequeño.\nObsérvese queB′(t)LÃ3L = {0} para t > 0. Se desprende fácilmente de las definiciones\nque CZmatr(B\nt) y CZmatr(RŁt) no excedan de 2. Por lo tanto, por la cuasi-\npropiedad del morfismo del índice de Conley-Zehnder (ver Proposición 3.5)\ntienen que CZmatr({Bt}) está limitado por una constante independiente de E, que\nda lugar a la reclamación. Por lo tanto\nCZmatr ({Ct}) 0.\nPor otra parte, por fórmula (18)\nCZmatr ({C)\nt}) = CZmatr ({Ct}) +mlΦ([γ, u]).\nCZEH([γ, u]) := n− CZmatr ({C)\nt}) -mlΦ([γ, u]). (44)\nPuesto que la trayectoria periódica γ se encuentra dentro de 1(p), obtenemos\nAEH([γ, u]) =\nEH(γ(t))dt−\nu = EH̄(p)−\nu. (45)\nUsando (45) y (44) la igualdad precisa\nDEH([γ, u]) = AEH([γ, u])−\n· CZEH([γ, u])\npuede convertirse en una desigualdad asintótica\nDEH([γ, u]) فارسى EH̄(p)−\nu +\nmlΦ([γ, u]). (46)\nPuesto que la trayectoria periódica γ se encuentra dentro de 1(p), tenemos\nAlΦ([γ, u]) =\nlΦ(γ(t))dt−\nu = lp−\nu. (47)\nSumando y restando lp del lado derecho de (46) y utilizando (47)\n¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos.\nDEH(γ) = DEH([γ, u])\nEH̄(p)− lp)\nmlΦ([γ, u])\nEH̄(p)−\nAlΦ([γ, u])+\nmlΦ([γ, u])\nEH̄(p)−\n− I(lΦ) =\n= EH̄(p) + l(−I(Φ)− p) = EH̄(p) + l(pspec − p).\nRecordando que l = EH ′(p), finalmente obtenemos que\nDEH(γ) = EH̄(p) + EH\n′(p)(pspec − p),\nque es precisamente la ecuación (41) que queríamos obtener. Esto termina el\nprueba de la Proposición 9.1 y del Teorema 1.9.\n9.1 Calabi y acción mixta-Maslov\nPrueba de Teorema 1.13.\nSuponga H :M × [0, 1] → R es un Hamiltoniano normalizado que genera\nun bucle en Ham(M) que representa una clase α • η1(Ham(M)) • Hśam (M). Entonces\nH(l) también se normaliza y genera un bucle que representa αl. Vamos a calcular\nμ(α) = −vol (M) · liml c(a,H\n(l))/l.\nArgumentando como en la prueba de (39) obtenemos que existe una constante C >\n0 De tal manera que para cada l N existe γ • PH(l) para el cual c(a,H\nl) −\nDH(l)(γ) ≤ C. Pero, como se desprende de las definiciones y del hecho de que\nI es un homomorfismo, DH(l)(γ) no depende de γ y es igual a −I(α\n− lI(α). Esto implica inmediatamente que μ(α) = vol (M) · I(α).\nAgradecimientos. Los orígenes de este documento se encuentran en nuestro trabajo conjunto con\nP.Biran en el papel [10] – le agradecemos por su fructífera colaboración en un\netapa inicial de este proyecto, así como por su ayuda crucial con el ejemplo 1.17\nsobre las esferas lagrangianas en hipersuperficies proyectivas. También le damos las gracias y\nO.Cornea por señalarnos un error en la versión original de este artículo\ny ayudándonos con la corrección (ver Sección 8). Damos las gracias a F. Zapolsky\npor su ayuda con el \"exótico\" monótono Lagrangiano toro en S2 × S2 dis-\ntachado en el ejemplo 1.20. Agradecemos a C. Woodward por señalarnos el\nenlace entre el punto especial en el momento politopo de un áurico simplés\nmúltiples y la invariante Futaki, y E. Shelukhin para discusiones útiles\nsobre esta cuestión. También estamos agradecidos a V.L. Ginzburg, Y. Karshon, Y. Largo.\nD. McDuff, M. Pinsonnault, D. Salamon y M. Sodin para debates útiles\ny las comunicaciones. Damos las gracias a K. Fukaya, H. Ohta y K. Ono, la...\nlos nizers de la Conferencia sobre topología simplética de Kioto (febrero de 2006),\nM. Harada, Y. Karshon, M. Masuda y T. Panov, los organizadores de\nference on Toric Topology in Osaka (mayo de 2006), O. Cornea, V.L. Ginzburg,\nE. Kerman y F. Lalonde, los organizadores del Taller de Teoría Floer\n(Banff, 2007), y A. Fathi, Y.-G. Oh y C. Viterbo, los organizadores de\nConferencia de verano de la AMS sobre topología simplética y conservación de medidas\nSistemas Dinámicos (Snowbird, julio de 2007), por darnos la oportunidad de\npresentar una versión preliminar de este trabajo y por el excelente trabajo que hicieron\nen la organización de estas conferencias. Finalmente, agradecemos a un árbitro anónimo por\ncomentarios útiles y correcciones.\nBibliografía\n[1] Aarnes, J.F., Quasi-estados y cuasi-medidas, Adv. Matemáticas. 86:1 (1991),\n41-67.\n[2] Albers, P., Sobre la topología extrínseca de los submanifolds lagrangianos, Int.\nMatemáticas. Res. No, no. 38, (2005), 2341-2371.\n[3] Albers, P., Frauenfelder, U., Un toro lagrangiano no desplazable en\nT ∗S2, Comm. Pura Appl. Matemáticas. 61:8 (2008), 1046-1051.\n[4] Arnold, V.I., En una clase característica que entra en condiciones de quan-\ntisation, (ruso) Funkcional. Anal. i Priložen. 1 1967, 1-14.\n[5] Arnold, V. I., Algunas observaciones sobre la monodromia simpléctica de Milnor\nbrations, en el volumen conmemorativo de The Floer, 99-103, Progr. Matemáticas., 133,\nBirkhäuser, 1995.\n[6] Atiyah, M.F., Convexity and commuting Hamiltonians, Bull. Londres\nMatemáticas. Soc. 14:1 (1981), 1-15.\n[7] Barge, J., Ghys, E., Cocycles d’Euler et de Maslov, Math. Ann. 294:2\n(1992), 235-265.\n[8] Beauville, A., Cohomología cuántica de intersecciones completas, Mat. Fiz.\nAnal. Geom. 2:3-4 (1995), 384-398.\n[9] Biran, P., Cieliebak, K., topología simpléctica sobre colectores subcríticos,\nComm. Matemáticas. Helv. 76:4 (2001), 712-753.\n[10] Biran, P., Entov, M., Polterovich, L., Calabi cuasimorfismos para el\nBola simpléctica, Commun. Contemporaneo. Matemáticas. 6:5 (2004), 793-802.\n[11] Biran, P., Geometría de Intersecciones Simplécticas, en las Actas de la\nCongreso Internacional de Matemáticos (Beijing 2002), Vol. II, 241-\n[12] Biran, P., topología simpléctica y familias algebraicas, en la cuarta edición europea\nCongreso de Matemáticas (Estocolmo 2004), pp. 827-836, Eur. Matemáticas.\nSoc., Zürich, 2005.\n[13] Biran, P., Lagrangian Non-Intersecciones, Geom. y Funct. Anal.\n(GAFA), 16 (2006), 279-326.\n[14] Biran, P., Cornea, O., estructuras cuánticas para submanifolds lagrangianos,\npreprint, arXiv:0708.4221, 2007.\n[15] Biran, P., Cornea, O., Rigidez y uni-\npliegues, arXiv:0808.2440, 2008.\n[16] Cho, C.-H., disco holomórfico, estructuras de giro y cohomología Floer de\nEl toro de Clifford, Int. Matemáticas. Res. No, no. 35 (2004), 1803-1843.\n[17] Cho, C.-H., Submanifolds Lagrangianos no desplazables y Floer coho-\nmology with non-uniary line bundle, prperint, arXiv:0710.5454, 2007.\n[18] Conley, C., Zehnder, E., teoría de índices tipo Morse para flujos y peri-\nsoluciones odic para las ecuaciones Hamiltonianas, Comm. Pura Appl. Matemáticas. 37:2\n(1984), 207 a 253.\n[19] de Gosson, M., de Gosson, S., Piccione, P., En una fórmula de producto para el\nConley-Zehnder índice de trayectorias simpléticas y sus aplicaciones, preimpresión,\nmatemáticas.SG/0607024, 2006.\n[20] Delzant, T., Hamiltoniens périodiques et images convexes de l’appli-\nmomento catiónico, Bull. Soc. Matemáticas. Francia 116:3 (1988), 315-339.\n[21] Donaldson, S. K., Polinomios, ciclos de desaparición y homología Floer, en\nMatemáticas: fronteras y perspectivas, 55-64, AMS, 2000.\n[22] Entov, M., Polterovich, L., Calabi cuasimorfismo y homol cuántico\nOgy, pasante. Matemáticas. Res. Notificaciones 30 (2003), 1635-1676.\n[23] Entov, M., Polterovich, L., Quasi-estados e intersecciones simpléticas,\nComm. Matemáticas. Helv. 81:1 (2006), 75-99.\nhttp://arxiv.org/abs/0708.4221\nhttp://arxiv.org/abs/0808.2440\nhttp://arxiv.org/abs/0710.5454\n[24] Entov, M., Polterovich, L., cuasiestados simpléticos y semisimplicidad\nde homología cuántica, en Topología Torica, pp. 47-70, Contemporary\nMatemáticas 460, AMS, 2008.\n[25] Entov, M., Polterovich, L., Zapolsky, F., Quasi-morfismos y los Pois-\nhijo bracket, Pure Appl. Matemáticas. Trimestral 3:4, parte 1 (2007), 1037-1055.\n[26] Floer, A., Puntos fijos simpléticos y esferas holomórficas, Comm.\nMatemáticas. Phys. 120:4 (1989), 575-611.\n[27] Fukaya, K., Oh., Y.-G., Ohta, H., Ono, K., intersección lagrangiana\nTeoría Floer – anomalía y obstrucción, preimpresión.\n[28] Fukaya, K., Oh., Y.-G., Ohta, H., Ono, K., Lagrangian Floer teoría sobre\ncolectores toricos compactos I, preimpresión, arXiv:0802.1703, 2008.\n[29] Futaki, A., Una obstrucción a la existencia de las métricas de Einstein Kähler,\nInventar. Matemáticas. 73:3 (1983), 437-443.\n[30] Guillemin, V., Sternberg, S., Propiedades de convexidad del mapa del momento-\nping, Invent. Matemáticas. 67:3 (1982), 491-513.\n[31] Hirzebruch, F., Métodos topológicos en geometría algebraica, Springer-\nVerlag, Berlín, 1966.\n[32] Hofer, H., Salamon, D., homología Floer y anillos Novikov, en: El Floer\nMemorial Volume, 483-524, Progr. Math., 133, Birkhäuser, 1995.\n[33] Karshon, Y., Apéndice al documento “Embalaje simbólico y algebraico\ngeometría” por D.McDuff y L.Polterovich, Invent. Matemáticas. 115:3 (1994),\n431-434.\n[34] Lang, S., Álgebra, 3a edición, Springer-Verlag, 2002.\n[35] Leray, J., Análisis Lagrangiano y Mecánica Cuántica, El MIT\nPress, Cambridge, Massachusetts, 1981.\n[36] Lerman, E., Cortes simpléticos, Math. Res. Lett. 2:3 (1995), 247-258.\n[37] Liu, G., Associatividad de la multiplicación cuántica, Comm. Matemáticas. Phys.\n191:2 (1998), 265-282.\nhttp://arxiv.org/abs/0802.1703\n[38] Mabuchi, T., Einstein-Káhler formas, invariantes Futaki y convex ge-\nometría de las variedades de Fano torico, Osaka J. Matemáticas. 24:4 (1987), 705-737.\n[39] McDuff, D., Hamiltonian S1 colectores son uniruled, preprint,\narXiv:0706.0675, 2007.\n[40] McDuff, D., Comunicación privada, 2007.\n[41] McDuff, D., Salamon, D., J-holomorphic curvas y topología simpléctica,\nAMS, 2004.\n[42] Oh, Y.-G., topología simplética como la geometría de la acción funcional I,\nJ. Diferente. Geom. 46 (1997), 499-577.\n[43] Oh, Y.-G., topología simplética como la geometría de acción funcional II,\nComun. Anal. Geom. 7 (1999), 1 a 55.\n[44] Oh, Y.-G., Adición a: “Cohomología Floer de las intersecciones Lagrangianas\ny discos pseudo-holomórficos. I”, Comm. Pura Appl. Matemáticas. 48 (1995),\nNo. 11, 1299-1302.\n[45] Oh, Y.-G., Construcción de invariantes espectrales de difeomor hamiltoniano.\nlos phismos sobre los colectores simpléticos generales, en la anchura de los simpléticos y\nGeometría de Poisson, 525-570, Birkhäuser, 2005.\n[46] Ostrover, Y., Calabi cuasi-morfismos para algunos simplec no monótono-\ntic multiples, Algebr. Geom. Topol. 6 (2006), 405-434.\n[47] Piunikhin, S., Salamon, D., Schwarz, M., Symplectic Floer-Donaldson\nteoría y cohomología cuántica, en: Contacto y geometría simpléctica,\n171-200, Publ. Newton Inst., 8, Cambridge Univ. Press, 1996.\n[48] Polterovich, L., La geometría del grupo de difeomor simplés-\nphisms, Birkhäuser, 2001.\n[49] Polterovich, L., los bucles Hamiltonianos y el principio de Arnold, Amer. Matemáticas.\nSoc. Transl. (2) 180 (1997), 181-187.\n[50] Polterovich, L., el diámetro de Hofer y las intersecciones lagrangianas, Internat.\nMatemáticas. Res. Notificaciones 4 1998, 217-223.\nhttp://arxiv.org/abs/0706.0675\n[51] Polterovich, L., Rudnick, Z., Kick estabilidad en grupos y dinámica\nsistemas, Nonlinealidad 14:5 (2001), 1331-1363.\n[52] Py, P., Quasi-morfismes et invariant de Calabi, Ann. Sci. Ecole Norm.\nSup. 39 (2006), 177–195.\n[53] Py, P., Quasi-morfismes et diffeomorfismes Hamiltoniens, PhD-\ntesis, ENS-Lyon, 2008.\n[54] Robbin, J., Salamon, D., El índice Maslov para los caminos, Topología 32:4\n(1993), 827-844.\n[55] Ruan, Y., Tian, G., Una teoría matemática de la cohomología cuántica,\nMatemáticas. Res. Lett. 1:2 (1994), 269-278.\n[56] Ruan, Y., Tian, G., Una teoría matemática de la cohomología cuántica, J.\nDiff. Geom. 42:2 (1995), 259-367.\n[57] Salamon, D., Zehnder, E., teoría de Morse para las soluciones periódicas de Hamil-\nsistemas tonianos y el índice Maslov, Comm. Pura Appl. Matemáticas. 45:10\n(1992), 1303-1360.\n[58] Salamon, D., Lectures on Floer homology, in: Symplectic geometry and\ntopología (Park City, UT, 1997), 143-229, IAS/Park City Math. Ser., 7,\nAMS, 1999.\n[59] Schwarz, M., En el espectro de acción para cerrado simplécticamente asférico\nmultiples, Pacific J. Matemáticas. 193:2 (2000), 419-461.\n[60] Seidel, P., la homología Floer y el problema de la isotopía simplés, el doctorado en...\ns.a., Universidad de Oxford, 1997.\n[61] Seidel, P., Submanifolds Lagrangianos Graduados, Bull. Soc. Matemáticas. Francia\n128:1 (2000), 103-149.\n[62] Seidel, P., Ciclos de desaparición y mutación, en el Congreso Europeo de\nMatemáticas, Vol. II (Barcelona, 2000), 65-85, Progr. Math., 202,\nBirkhäuser, 2001.\n[63] Shelukhin, E., tesis doctoral (en preparación), Universidad de Tel-Aviv.\n[64] Usher, M., números espectrales en teorías Floer, preimpresión, arXiv:0709.1127,\n2007.\n[65] Viterbo, C., topología simplética como la geometría de las funciones generadoras,\nMatemáticas. Ann. 292:4 (1992), 685-710.\n[66] van der Waerden, B., Álgebra. Vol. 2, Springer-Verlag, 1991.\n[67] Wang, X.-J., Zhu, X., Kähler-Ricci solitons en colectores toricos con pos-\nitive primera clase Chern, Adv. Matemáticas. 188:1 (2004), 87-103.\n[68] Weinstein, A., Cohomología de los grupos simplectomorfistas y críticos\nvalores de los hamiltonianos, matemáticas. Z. 201:1 (1989), 75-82.\n[69] Witten, E., teoría de la gravedad bidimensional y de las intersecciones sobre el modulo\nEspacio, Encuestas en Diff. Geom. 1 (1991), 243-310.\nMichael Entov Leonid Polterovich\nDepartamento de Matemáticas Escuela de Ciencias Matemáticas\nTechnion Tel Aviv University\nHaifa 32000, Israel Tel Aviv 69978, Israel\nentov@math.technion.ac.il polterov@post.tau.ac.il\nhttp://arxiv.org/abs/0709.1127\n\tIntroducción y principales resultados\n\tMuchas facetas de la desplazabilidad\n\tPreliminares sobre homología cuántica\n\tUna jerarquía de subconjuntos rígidos dentro de la teoría de Floer\n\tAcciones de toros hamiltonianos\n\tMonotonas super(pesadas) submanifolds lagrangianos\n\tEfecto de la semisimplicidad\n\tDebate y preguntas abiertas\n\t¿Fuerte desplazabilidad más allá de la teoría de Floer? \n\tFibras pesadas de subespacios conmutativos Poisson\n\tDetectar la desplazabilidad estable\n\tPreliminares sobre la teoría de Hamilton Floer\n\tValoración sobre QH* (M)\n\tTeoría hamiltoniana de Floer\n\tÍndices de Conley-Zehnder y Maslov\n\tNúmeros espectrales\n\tCasi-estados simpléticos parciales\n\tPropiedades básicas de (super) juegos pesados\n\tProductos de (super)conjuntos pesados \n\tFórmula de producto para invariantes espectrales\n\tComplejos degradados de grado Z2\n\tHomología Floer y Cuántica Reducida\n\tPrueba del teorema 5.1\n\tPrueba del teorema algebraico 5.2 \n\tNo desplazabilidad estable de conjuntos pesados\n\tAnalizar tallos estables\n\tSubmanifolds monotónicos lagrangianos \n\tRigidez de las fibras especiales de las acciones Hamiltonianas\n\tCalabi y acción mixta-Maslov\n"}}},{"rowIdx":99,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0106,"string":"704.0106"},"title":{"kind":"string","value":"Multiple Parton Scattering in Nuclei: Quark-quark Scattering"},"full_text":{"kind":"string","value":"Dispersión múltiple de Parton en Nuclei:\nDispersión de quark-quark\nAndreas Schäfer, a Xin-Nian Wang b y Ben-Wei Zhang c,d,a\naInstitut für Theoretische Physik, Universität Ratisbona\nD-93040 Ratisbona, Alemania\nb División de Ciencia Nuclear, MS 70R0319\nLawrence Berkeley National Laboratory, Berkeley, CA 94720\ncCyclotron Institute and Physics Department, Texas A&M University\nCollege Station, Texas 77843-3366\ndInstituto de Física de Partículas, Universidad Normal de China Central\nWuhan 430079, China\nResumen\nModificaciones de las funciones de fragmentación de quark y antiquark debido al quark-quark\n(antiquark) la dispersión doble en medio nuclear se estudian sistemáticamente hasta\nordenar O(α2s) en la dispersión (DIS) profundamente inelástica de objetivos nucleares. En el orden\nO(α2s), twist-cuatro contribuciones de quark-quark (antiquark) rescattering también ex-\nprohibir la característica de interferencia Landau-Pomeranchuck-Midgal (LPM) similar al gluón\nbremsstrahlung inducido por la dispersión de múltiples parten. Comparado con quark-gluon\nscattering, la modificación, que está dominada por el quark-quark del canal t (anti-\n) dispersión, es sólo menor por un factor de CF /CA = 4/9 veces la relación de\ndistribuciones de quark y gluon en el medio. Tal modificación no es negli-\ngible para cinemática realista y tamaño mediano finito. Las modificaciones al quark\n(antiquark) funciones de fragmentación de los procesos de aniquilación quark-antiquark\nse muestran determinados por la densidad de distribución del anticuarco (cuarco) en el\nMedio. La asimetría en las distribuciones quark y antiquark en los núcleos conducirá\na diferentes modificaciones de funciones de fragmentación quark y antiquark en el interior\nun núcleo, que cualitativamente explica el sabor observado experimentalmente depen-\nDence de la represión de hadron líder en el DIS semi-inclusive fuera de objetivos nucleares.\nLos procesos de aniquilación quark-antiquark también mezclan la fragmentación quark y gluon\nfunciones en la región de gran impulso fraccionario, lo que conduce a una dependencia del sabor\nde un chorro que se apaga en colisiones de iones pesados.\nPalabras clave: Atenuación de chorros, fragmentación modificada, pérdida de energía de parten.\nPACS: 24.85.+p, 12.38.Bx, 13.87.Ce, 13.60.-r\nPreimpresión enviada a Elsevier el 30 de octubre de 2018\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0106v2\n1 Introducción\nLa dispersión de múltiples partes en un medio denso se puede utilizar como una herramienta útil para estudiar\npropiedades de la materia nuclear caliente y fría. El éxito de este enfoque ha sido\ndemostrado por el descubrimiento de fuertes fenómenos de apagado de chorro en el centro de Au + Au\ncolisiones en el colisionador de iones pesados relativistas (RHIC) [1,2,3] y sus implicaciones\nsobre la formación de un plasma de quark-gluón fuertemente acoplado en RHIC [4,5]. Sin embargo,\npara un estudio fenomenológico convincente de los datos experimentales existentes y futuros,\nuna descripción unificada de todos los efectos medios en procesos duros en los que participan núcleos, tales como\ncolisiones electrón-núcleo (e + A), hadrón-núcleo (h + A) y núcleo-núcleo (A +\nA) tiene que ser desarrollado [6,7]. Esto debe incluir la física del impulso transversal\nampliación [8], fuerte mejora nuclear en la producción de DIS [9] y Drell-Yan [10,11],\nla sombra nuclear [12], y la pérdida de energía de parten debido a la radiación de gluón inducida por múltiples\ndispersión [13,14,15,16,17,18,19].\nExisten muchos marcos diferentes en la literatura para describir la dispersión múltiple\nen un medio nuclear [20,21,22]. Entre ellos, el enfoque de expansión de giro se basa en\nla factorización generalizada en QCD perturbante como desarrollado inicialmente por Luo, Qiu\ny Sterman (LQS) [23]. En el formalismo LQS, los procesos de dispersión múltiple generalmente\nEn el caso de la distribución de la parten, las correlaciones de múltiples partes de alta torsión son similares a las de la distribución de la parten.\nen los procesos de torsión líderes. Aunque las correcciones correspondientes de giro superior son\nSuprimidas por poderes de 1/Q2, son reforzadas al menos por un factor de A1/3 debido a\ndispersión múltiple en un núcleo grande. Este marco se ha aplicado recientemente al estudio\nmodificación media de las funciones de fragmentación como parten principal se propaga\na través del medio [18,19]. Debido al Landau-Pomeranchuck-Midgal no abeliano\ninterferencia en el gluon bremsstrahlung inducida por la dispersión de múltiples partes en los núcleos,\nlas modificaciones nucleares de mayor torsión a las funciones de fragmentación se mejoran de hecho\npor A2/3, cuadrático en el tamaño nuclear [18,19]. Estudio fenomenológico de la energía Parton\npérdida y modificación nuclear de las funciones de fragmentación en materia nuclear fría [24]\nda una buena descripción de la modificación nuclear de los principales espectros de hadrones en semi-\nInclusive diseminación profundamente inelástica del leptón-núcleo observado por el experimento HRMES\n[25,26]. El mismo marco también da una explicación convincente para la supresión de\ngrandes hadrones de impulso transversal descubiertos en RHIC [27].\nEl énfasis de los estudios recientes de la modificación media de las funciones de fragmentación tiene\nha estado en la pérdida de energía radiativa parten inducida por la dispersión múltiple con gluones. Semejante\nprocesos de hecho son dominantes en relación con la dispersión múltiple con quarks debido a la\nabundancia de gluones blandos en núcleos fríos o materia caliente densa producida en iones pesados\ncolisiones. Dado que gluon bremsstrahlung inducido por la dispersión con gluones medios es el\nigual para quarks y anti-quarks, también se espera la pérdida de energía y la fragmentación\nmodificación para ser idéntica para quarks y anti-quarks. Sin embargo, en un medio con fi-\nla densidad de los bariones, como los núcleos fríos y la región delantera de las colisiones de iones pesados,\nla diferencia entre las distribuciones de quark y antiquark en el medio debe dar lugar a\nent pérdida de energía y funciones de fragmentación modificadas para quarks y antiquarks a través de\nProcesos de aniquilación quark-antiquark. Para estudiar tal asimetría, uno debe considerar\nsistemáticamente todos los posibles procesos de dispersión quark-quark y quark-antiquark, que\nserá el centro de atención de este documento.\nEn este estudio vamos a calcular las modificaciones de la fragmentación quark y antiquark\nfunciones (FF) debidas a la doble dispersión de quark-quark (antiquark) en un medio nuclear,\ntrabajar dentro del marco LQS para la factorización generalizada en QCD perturbador.\nPara una descripción completa de la modificación nuclear de la especificación de hadron\ntra, todavía hay que considerar la modificación media de las funciones de fragmentación del gluón en\nAdemás de la función de fragmentación de quark modificada debido a la dispersión de quark-gluón [18].\nLos resultados teóricos presentados en este trabajo serán un segundo paso hacia una completa\ndescripción de las funciones de fragmentación de mediana modificación. Sin embargo, ya se puede encontrar\nque quark-quark (antiquark) doble dispersión dará diferentes correcciones a quark\ny antiquark FF, dependiendo de la densidad antiquark y quark del medio, respec-\nTily. Esta diferencia entre quark modificado y antiquark FF puede arrojar luz sobre el\ninteresante observación por el experimento HERMES [25,26] de una gran diferencia entre\nsupresión nuclear de los principales espectros de protones y antiprotones en el DIS semi-inclusivo\nde grandes núcleos. Tal imagen de quark-quark (antiquark) dispersión puede proporcionar un com-\nmecanismo de contacto para el fenómeno observado experimentalmente, además de posible\nabsorción de hadrones de estado final dentro de la materia nuclear [28,29].\nEl documento se organiza de la siguiente manera. En la próxima sección vamos a presentar la general para\nmalismo de nuestro cálculo incluyendo la factorización generalizada de los procesos twist-4.\nEn la Sección III ilustraremos el procedimiento de cálculo de las partes\nQuark-quark doble dispersión en núcleos. En la Sección IV discutiremos las modificaciones\na funciones de fragmentación quark y antiquark debido a quark-quark (antiquark) dou-\nble dispersión en los núcleos. En la Sección V, nos centraremos en la parte dependiente del sabor de la\nmediana modificación al quark FF debido a la aniquilación quark-antiquark y lo haremos\ndiscutir las implicaciones para la dependencia del sabor de los principales espectros de hadrones en ambos\nDIS de un núcleo y colisiones de iones pesados. Resumiremos nuestra labor en la Sección VI. In\nel Apéndice A-1, recogemos los resultados completos para las partes duras de\ndiagramas cortados de quark-quark (antiquark) rescattering doble en núcleos. También proporcionamos\nun cálculo alternativo de las partes duras de los diagramas de corte central del apéndice A-3\na través de la dispersión elástica quark-quark o aniquilación quark-antiquark como un control cruzado.\n2 Formalismo general\nCon el fin de estudiar quark y antiquark FF en semi-inclusive profundamente inelástico leptón-\ndispersión del núcleo, consideramos los siguientes procesos,\ne(L1) + A(p) e(L2) + h(lh) +X,\nAp Ap\nFig. 1. El orden más bajo y la contribución líder-twist al DIS semi-inclusive.\ndonde L1 y L2 son los cuatro momentos de los leptones entrantes y salientes, y lh\nes el impulso de hadron observado. La sección transversal diferencial para el semi-inclusivo\nproceso puede expresarse como\nEL2Elh\ndđhDIS\nd3L2d3lh\nLŁElh\ndW فارسى\n, (1)\ndonde p = [p+, 0, 0] es el momento por nucleón en el núcleo, q = L2 − L1 =\n[−Q2/2q−, q−, 0] la transferencia de impulso transportada por el fotón virtual, s = (p + L1)2\nel centro de energía de masa leptón-nucleón y αEM es el acoplamiento electromagnético (EM)\nconstante. El tensor leptonico es dado por L = 1/2Tr (γ · L1 · L2) mientras que el semi-\nel tensor hadrónico inclusivo se define como,\n«AJμ(0)X, hX, hJ/(0)A24(q + p- pX- lh) (2)\ndonde\nX recorre todos los estados finales posibles y Jμ =\nq eqqq es el EM hadronic\nactual.\nAsumiendo la factorización colineal en el modelo de parten, la contribución\nla sección transversal semi-inclusive se puede factorizar en un producto de distribuciones de partón,\nfunciones de fragmentación de parten y la sección transversal de parten. Incluyendo todos los registros principales\ncorrecciones radiativas, la contribución de orden más bajo [O(α0s)] de un solo duro + q\nesparciendo, como se ilustra en la Fig. 1, se puede escribir como\ndW S..............................................................................................................................................................................................................................................................\ndxfAq (x, μ\n(x, p, q)Dq→h(zh, μ\n2) ; (3)\nH(0)-(x, p, q) =\nTr(γ · p · (q + xp))\n2p · q\n(x– xB), (4)\ndonde la fracción de impulso transportada por el hadrón se define como zh = l\n−, xB =\nQ2/2p+q− es la variable de escala de Bjorken, μ2I y μ\n2 son las escalas de factorización para\nlas distribuciones de quark iniciales fAq (x, μ\nI) en un núcleo y las funciones de fragmentación\nen vacío Dq→h(zh, μ\n2), respectivamente. Función de fragmentación de quarks renormalizada\nDq→h(zh, μ\n2) cumple las ecuaciones de evolución del QCD DGLAP [30]:\nDq→h(zh, μ\n lnμ2\nγq→qg(z)Dq→h(zh/z, μ\n+ γq→gq(z)Dg→h(zh/z, μ\n; (5)\nDg→h(zh, μ\n lnμ2\nγg→qq̄(z)Dq→h(zh/z, μ\n+ γg→gg(z)Dg→h(zh/z, μ\n, (6)\ndonde γa→bc(z) denota las funciones de división de los procesos radiativos correspondientes\n[31,32].\nEn DIS fuera de un objetivo nuclear, el quark de propagación experimentará scatterings adicionales\ncon otras partes del núcleo. Los rescatterings pueden inducir parten adicional\n(cuark o gluon) radiación y hacer que el quark principal pierda energía. Tal inducido\nLa radiación dará lugar efectivamente a términos adicionales en la ecuación de evolución de la DGLAP\ndando lugar a una modificación de las funciones de fragmentación en un medio. Estos son el poder...\nSuprimió las correcciones de la twist superior e involucran elementos de la matriz de la parten de la twist superior.\nSólo vamos a considerar aquellas contribuciones que implican correlaciones de dos partes de dos\ndiferentes nucleones dentro del núcleo. Son proporcionales al espesor del núcleo\n[18,23,33] y, por lo tanto, se ven reforzadas por un factor nuclear A1/3 en comparación con dos partes\ncorrelaciones en un nucleón. Al igual que en estudios anteriores [18,19], limitaremos nuestro estudio a\nprocesos de dispersión doble en un medio nuclear. Estos son torsión-cuatro procesos y dar\nlas principales contribuciones a los efectos nucleares. Las contribuciones de procesos de torsión superior o\nPor el momento no se tendrán en cuenta las contribuciones no mejoradas por el medio nuclear.\nAl considerar la doble dispersión con la mejora nuclear, un proceso muy importante\nes doble dispersión quark-gluon como se ilustra en la Fig. 2. Tales procesos dan a la dominante\ncontribución a la principal pérdida de energía quark y han sido estudiados en detalle en Refs.\n[18,19]. La modificación a la función de fragmentación quark vacío de quark-gluon\nla dispersión es,\nqg→qg\nq→h (zh)=\nα2sCA\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1- z)+\nTAqg(x, xL)\nfAq (x)\n+ (z − 1)\nTTAqg(x, l\nfAq (x)\n+Dg→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\nTAqg(x, xL)\nfAq (x)\n, (7)\nFig. 2. Un diagrama típico para la dispersión doble quark-gluon con tres posibles cortes [central(C),\nizquierda (L) y derecha (R)].\ndonde la función + se define como\nF (z)\n(1 − z)+\nF (z)− F (1)\npara cualquier F (z) suficientemente suave a z = 1 y la torsión-cuatro quark-gluon correla-\nfunción de tion,\nTAqg(x, xL) =\ndy−1 dy\ni(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n2 )(1− e−ixLp+(yy\nAq(0)\nF (y\n(y−1)q(y\n−)A(−y−2 )فارسى(y− − y−1 ), (9)\ntiene interferencia explícita incluida. El elemento matricial en la corrección virtual [el término\nse define de la siguiente manera:\nTTAqg(x, l\nT )\n2TAqg(x, xL)z=1 − (1 + z2)TAqg(x, xL)\n. (10)\nDesde TAqg(x, xL)/f\nq (x) es proporcional a la distribución del gluón e independiente del sabor\ndel quark principal, la supresión del espectro de hadrones causada por el quark-gluón o\nla dispersión antiquárk-gluón debe ser proporcional a la densidad de gluón del medio\ny es idéntico para la fragmentación de quark y antiquark. Fue mostrado en Ref. [24] que\ntal modificación de las funciones de fragmentación de Parton por doble dispersión quark-gluon\ny gluon bremsstrahlung en un medio nuclear describe muy bien el reciente HERMES\ndatos [25] sobre el DIS semi-inclusivo fuera de los objetivos nucleares.\nFig. 3. Diagrama para la orden principal de aniquilación quark-antiquark con tres posibles cortes [cen-\ntral(C), izquierda(L) y derecha(R)].\nFig. 4. Un diagrama típico para la corrección de orden siguiente a líder a la aniquilación quark-antiquark\ncon tres posibles cortes [central(C), izquierda(L) y derecha(R)].\nEn este artículo, vamos a considerar quark-quark (antiquark) doble dispersión como el\nproceso mostrado en la Fig. 3 y sus correcciones radiativas en orden O(α2s) en la Fig. 4. Los\ncontribuciones de quark-quark doble dispersión es proporcional a la densidad de quark en\nun nucleón, mientras que la contribución de doble dispersión quark-gluón es proporcional a\nla densidad de gluón en un nucleón; y la densidad de gluón es generalmente mayor que el quark\ndensidad en un nucleón a pequeña fracción de impulso. Sin embargo, como se ha señalado en trabajos anteriores\n[18], quark-quark mezcla de dispersión doble quark y funciones de fragmentación de gluón y\nPor lo tanto, da lugar a nuevos efectos nucleares. Los procesos de aniquilación como se muestra en las Figs. 3\ny 4 conducirá a diferentes modificaciones de funciones de fragmentación quark y antiquark\nen un medio con densidad de bariones finitos (o quarks de valencia). Estas diferencias se producirán en los Estados miembros y en los Estados miembros de la Unión Europea.\nvuelta conducen a la dependencia del sabor de la modificación nuclear de los principales espectros de hadrones como\nobservado en el experimento HERMES [25,26].\nQuark-cuark doble dispersión, así como quark-gluon doble dispersión son twist-4 pro-\ncestos. Aplicaremos el mismo procedimiento de factorización generalizada para los procesos twist-4\nsegún lo desarrollado por LQS [23] para procesos semi-inclusivos en DIS. En general, el giro-cuatro\ncontribuciones se pueden expresar como la convolución de partes duras partónicas y dos partes\nlos elementos de la matriz de correlación. En este marco, las contribuciones de doble quark-quark\ndispersión en cualquier orden de αs, por ejemplo, el proceso de aniquilación quark-antiquark como se ilustra\nen Fig. 4, puede ser escrito en la forma siguiente,\ndWD\np+dy−\ndy−1 dy\n−, y−1, y\n2, p, q, zh)\nAq(0)\n−)q(y\n2 )A. (11)\nAquí hemos descuidado el momento transverso de todos los quarks en la parte dura de la parte partónica.\nLas contribuciones dependientes del impulso transversal son giros más altos y son suprimidas por\nPor lo tanto, todos los quarks’ momentaa se asumen colineales, k2 = x2p y k3 = x3p.\n−, y−1, y\n2, p, q, zh ) es la transformación de Fourier de la parte dura partónica H (x, x 1, x 2, p, q, zh )\nen el espacio de impulso,\n−, y−1, y\n2, p, q, zh) =\neix1p\n+yix2p\n+i(x−x1−x2)p\n(x, x1, x2, p, q, zh)\ndxH(0)-(x, p, q)H\n(y−, y−1, y\n2, x, p, q, zh), (12)\ndonde, en aproximación colineal, la parte dura de la parte partónica H(0) (x, p, q) [Eq. 4)] en el\ngiro principal sin dispersión múltiple parten se puede factorizar fuera de la alta torsión\nparte dura HûD(x, x1, x2, p, q, zh). Las fracciones de impulso x, x1 y x2 se fijan por\nLas funciones de las condiciones generales de los Estados miembros y de los polos de los Estados miembros de que se trate.\nagators en la parte dura partónica. Los factores de fase en H\n−, y−1, y\n2, p, q, zh ) puede entonces\nse tendrá en cuenta, que a su vez se combinará con los campos partónicos en Eq. (11)\npara dar twist-cuatro elementos de matriz partónica o correlaciones de dos partes. El quark-quark\ncorrección de dispersión doble en Eq. (11) puede entonces ser factorizado como la convolución de\nfunciones de fragmentación, torsión-cuatro elementos de la matriz partónica y el scat duro partónico-\nsecciones transversales de tering. Para dispersar (contra la aniquilación) con quarks (antiquarks),\nuna suma sobre el sabor de los quarks secundarios (antiquarks) debe ser incluido\nen elementos de matriz de correlación de dos cuartetos y ambos canales t, u y sus interferencias\ndebe considerarse para la dispersión de quarks idénticos en las partes duras del partónico.\nDespués de la factorización, definimos la corrección twist-cuatro al quark de giro principal\nfunción de fragmentación en la misma forma [Eq. 3)],\ndWD\ndxfAq (x)H\n* (x, p, q)* Dq→h(zh). (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................\n3 procesos de dispersión doble Quark-quark\nEn esta sección vamos a discutir el cálculo de la parte dura de quark-quark doble\ndispersando en detalle. El proceso de orden más bajo de quark-quark (antiquark) doble dispersión\nen los núcleos es aniquilación quark-antiquark (o conversión quark-gluon) como se muestra en la Fig. 3.\nLas partes duras de los tres diagramas de corte de esta figura son [18]:\n0,C(y)\n−, y−1, y\n2, x, p, q, zh)=Dg→h(zh)\n(−y−2)•(y− − y−1), (14)\n0,L(y)\n−, y−1, y\n2, x, p, q, zh)=Dq→h(zh)\n(y−1 − y−2 )•(y− − y−1 ), (15)\n0,R(y)\n−, y−1, y\n2, x, p, q, zh)=Dq→h(zh)\n(−y−2 )(y−2 − y−1 ). 16)\nEl tema principal de este documento es sobre las contribuciones de la siguiente orden de dirección correc-\nciones al proceso de orden más bajo anterior. Hay un total de 12 diagramas para correcciones reales\na nivel de un bucle, como se ilustra en la Fig. 5 a Fig. 16 en el Apéndice A-1, cada uno teniendo\na tres cortes diferentes. En esta sección, demostramos el cálculo de las piezas duras\nde la aniquilación quark-antiquark en la Fig. 4 en detalle como ejemplo. Vamos a listar la\nresultados completos de todos los diagramas del Apéndice A.\nUno puede escribir la parte dura del diagrama de corte central de la Fig. 4 (Fig. 5\nen el apéndice A-1), de conformidad con la norma convencional Feynman,\nC (y)\n−, y−1, y\n2, p, q, zh)=\nDg→h(\neix1p\n+yix2p\n×ei(x−x1−x2)p+y\n(2η)4\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n2(l)\n2) 2(l)\ng) (1− z −\nγ · (q + x1p)\n(q + x1p)2\nγ · (q + x1p− l)\n(q + x1p− l)2 − i\nγ · (q + xp− l)\n(q + xp− l)2 + i.........................................................................................................................................................................................................................................................\nγ · (q + xp)\n(q + xp)2 + i..........................................................................................................................................................................................................................................................\n(l) (lg), (17)\ndonde es una función delta de Dirac con sólo la solución positiva en su variable funcional,\n(l) = −gÃ3 + (nαlс + nlα)/n · l es el tensor de polarización de un propagador de gluon en\nun medidor axial (n · A = 0) con n = [1, 0−,~0], l y lg = q + (x1 + x2)p − l son los\n4-momenta llevado por los dos gluones finales respectivamente. El gluón fragmentante lleva\na fracción, z = l−g /q\n−, del impulso longitudinal del quark inicial (el\ncomponente).\nPara simplificar el cálculo en el caso de un pequeño impulso transversal lT q−, p+, nosotros\npuede aplicar la aproximación colineal para completar el rastro del producto de las matrices γ,\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nγ · lq\n. (18)\nDe acuerdo con la convención en Eqs. (11) y (12), las contribuciones de quark-quark doble\ndispersión en el medio nuclear al tensor semi-inclusivo hadrónico en DIS de un núcleo\npuede expresarse en la forma factorizada general:\ndWDqq̄,\ndxH(0)-(x, p, q)\np+dy−\ndy−1 dy\n(y−, y−1, y\n2, x, p, q, zh)\n× Aq(0)\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n−)q(y\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n2 )A. (19)\nDespués de llevar a cabo la integración de impulso en x, x1, x2 y l\n± en Eq. (17) con la\nayuda de la integración del contorno y de las funciones de......................................................................................................................................................................................................................................................... \nel reescattering para el diagrama de corte central en la Fig. 4 (Fig. 5) como\n5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, p, q, zh) =\nα2sxB\nDg→h(zh/z)\n× 2,1 + z\nz(1− z)\nI5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p), (20)\nI5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p) = e\ni(x+xL)p\n+y(−y−2)•(y− − y−1)\n× (1− e−ixLp+y\n2 )(1− e−ixLp+(yy\n), (21)\ndonde las fracciones de impulso xL se definen como\n2p+q−z(1− z)\n. (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nTenga en cuenta que la función I5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p) contiene sólo factores de fase. Uno puede\ncombinar estos factores de fase con los elementos de matriz de los campos de quark para definir un\nfunción especial de correlación de dos cuartetos\nA(5,C)\nqq̄ (x, xL) =\np+dy−\ndy−1 dy\n2 Aq(0)\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n−)q(y\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n2 )A\n× I5,C(y−, y−1, y−2, x, xL, p). 23)\nLa contribución de la aniquilación quark-antiquark en el diagrama de corte central en la Fig. 4\nal tensor hadrónico se puede entonces expresar como\ndWDqq̄,\ndxH(0)-(x, p, q)\nα2sxB\nDg→h(\n2 (1 + z2)\nz(1 − z)\nA(5,C)\nqq̄ (x, xL). (24)\nLas contribuciones de todos los procesos de dispersión doble quark-quark (antiquark) se pueden fundir\nen la forma factorizada anterior.\nLa estructura de los factores de fase en I5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p) es exactamente lo mismo que para\ngluon bremsstrahlung inducido por la dispersión de quark-gluon, como se ha estudiado en Ref. [18,19]. Lo siento.\nse asemeja a la sección transversal de dispersión del dipolo y representa las contribuciones de dos\ndiferentes procesos y sus interferencias. Contiene esencialmente cuatro términos,\nI5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p) = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n×[1 + e−ixLp+(yy\n) − e−ixLp+y\n2 − e−ixLp+(yy\n)]. (25)\nEl primer término corresponde a los llamados procesos hard-soft donde la emisión de gluon\nes inducido por la dispersión dura entre el fotón virtual y el quark inicial\ncon el impulso (x + xL)p. El quark entonces se convierte en capa antes de aniquilar con\nun suave antiquark del núcleo que lleva cero impulso y se convierte en un real\nGluon en el estado final. El segundo término corresponde a un proceso en el que el\nquark con el impulso xp es on-shell después de la primera dispersión dura -cuark. Entonces.\naniquila con otro antiquark y produce dos gluones finales en el estado final. In\neste proceso, el antiquark lleva un momento finito (duro) xLp. Por lo tanto, uno a menudo se refiere\na este proceso como dispersión doble-duro en comparación con el primer proceso en el que el\nel antiquark lleva un impulso cero. Deja a un lado el cambio de sabores en la inicial y final\nlos estados, la dispersión doble-duro corresponde esencialmente a la dispersión elástica de dos partes\ncon impulso finito y transferencia de energía. Esto es en contraste con el scattering duro-blando\nque es esencialmente la radiación del estado final de la dispersión de -cuark y el total\nla energía y el impulso de los dos gluones del estado final vienen todos del quark inicial. Los\nlos elementos de matriz correspondientes de las funciones de correlación de dos cuartetos de estos dos primeros\nlos términos se llaman elementos ‘diagonales’.\nLos términos tercero y cuarto con signos negativos en I5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p) son interfer-\nentre procesos duros y procesos duros dobles. Los elementos de matriz correspondientes\nse denominan «off-diagonales». La cancelación entre las dos diagonales y off-diagonal\nlos términos esencialmente da lugar a la interferencia destructiva que es muy similar a la\nLandau-Pomeranchuk-Migdal (LPM) interferencia en gluon bremsstrahlung inducido por\nDoble dispersión quark-gluon [18,19]. Uno puede definir de manera similar el tiempo de formación de la\nemisión de partón (cuarto o gluón) como\n. 26)\nEn el límite de emisión colineal (xL → 0) o cuando el tiempo de formación de la parten\nla emisión, f, es mucho más grande que el tamaño nuclear, el elemento de matriz eficaz desaparece\nporque\nI5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p)xL=0 → 0, (27)\ncuando los procesos duros y duros dobles tienen interferencia destructiva completa.\nHay que tener en cuenta que en el diagrama de corte central de la Fig. 4, las partes del estado final son dos\ngluones. Por lo tanto, en Eq. (20) la función de fragmentación del gluón en el vacío Dg→h(zh/z)\nEntra. Si el otro gluon (cerca de la interacción -cuark) fragmentos, la contribución\nal tensor semi-inclusivo hadrónico es similar, excepto que el\n“función de división” debe sustituirse por “función de división”\n1 + z2\nz(1 − z)\n→ 1 + (1− z)\nz(1 − z)\n. (28)\nComo veremos en el Apéndice A-1, los dos gluones en la aniquilación quark-antiquark\nlos procesos (diagramas de corte central) son simétricos cuando las contribuciones de todas las\nLos procesos de nihilación y sus interferencias se resumen. Por lo tanto, uno puede simplemente mul-\nlos resultados finales por un factor de 2 para tener en cuenta la hadronización de la segunda\ngluon del estado final.\nAdemás del diagrama de corte central, también se debería tener en cuenta la\ndiagramas cortados en la Fig. 4, que representan la interferencia entre la emisión de gluón de una sola\ny triple dispersión. Las partes duras son principalmente las mismas que para el corte central.\ndiagrama. Las únicas diferencias son los factores de fase y las funciones de fragmentación\nya que el fragmento parten puede ser el quark o gluon del estado final. Estas partes duras pueden\nse calculan siguiendo un procedimiento similar y se obtiene,\n5,L(R)(y)\n−, y−1, y\n2, x, p, q, zh) =\nα2sxB\nDq→h(\n2 (1 + z2)\nz(1 − z)\n× I5,L(R)(y−, y−1, y−2, x, xL, p), (29)\nI5,L(y)\n−, y−1, y\n2, x, xL, p) =−ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+(yy\n(y−1 − y−2 )•(y− − y−1 ), (30)\nI5,R(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p) =−ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n(−y−2 )(y−2 − y−1 ). 31)\nEn los diagramas asimétricos de corte, las contribuciones anteriores provienen de la fragmentación\ndel quark del estado final. Por lo tanto, la función de fragmentación de quark Dq→h(zh/z) entra en esta\ncontribución. Para la fragmentación del gluón en el hadron observado en este corte asimétrico\ndiagramas, la contribución puede obtenerse simplemente sustituyendo la fragmentación quark\nfunción por la función de fragmentación de gluón Dg→h(zh/z) y sustituir z por 1 − z.\nResumiendo las contribuciones de tres diagramas de corte diferentes de la Fig. 4, podemos observar\notros ejemplos de mezcla (o conversión) de funciones de fragmentación de quark y gluon.\nEsta mezcla inducida por el medio fue observada por primera vez por Wang y Guo [18] y es una mezcla única.\ncaracterística de quark-quark (antiquark) dispersión doble entre todos los múltiples scattering parten\nprocesos.\nCon el mismo procedimiento podemos calcular las contribuciones de todos los otros diagramas de corte\nde quark-quark (antiquark) doble dispersión en el orden O(α2s), que se enumeran en Ap-\npendix A-1. Hay tres tipos de procesos: dos procesos de aniquilación, qq̄ → gg\n(Diágramas de corte central en Figs. 5, 6, 7, 8 y 9), qq̄ → qiq̄i (diagrama de corte central en la Fig. 10)\ny la dispersión de quark-quark (antiquark), qqi(q̄i) → qqi(q̄i) ( diagrama de corte central en la Fig. 11).\nTambién hay que considerar la interferencia de la amplitud del canal s y t para la aniquilación\nen un par de quark idéntico, qq̄ → qq̄ (diagramas de corte central en Figs. 12 y 13) y la\ninterferencia entre los canales t y u de cuark idéntico scattering qq → qq (corte central)\ndiagrama en la Fig. 14).\nLas contribuciones de los diagramas de corte izquierdo y derecho corresponden a la interferencia entre el\nAmplitud de la radiación gluon de dispersión de un solo -cuark y dispersión de quark triple.\nLas amplitudes de la radiación gluon a través de la dispersión de quark triple esencialmente provienen de ra-\nCorrecciones diativas a los diagramas de corte izquierdo y derecho del quark-antiquark de orden más bajo\naniquilación en la Fig. 3 (como se muestra en los diagramas de corte izquierdo y derecho en las Figs. 5, 6, 8, 9, 12,\n13, 15 y 16). Otros dos triples quark dispersión con la radiación gluon, se muestra como el\nDiagramas de corte izquierdo y derecho en Figs. 11 y 14, corresponden al caso en que uno de los\nlos quarks del estado final, después de la dispersión de quark-quark, aniquilan con otro antiquark y\nse convierte en un gluon de estado final.\n4 Funciones de fragmentación modificadas\nCon el fin de simplificar las contribuciones de quark-quark (antiquark) dispersión (annhi-\n), primero se pueden organizar los resultados de las partes duras en términos de contribuciones de\ndiagramas de corte central, izquierdo o derecho, que están asociados por integrales de contorno con específicos\nlos productos de las funciones de la letra Β,\n= HDC (−y−2 )•(y− − y−1 )•HDL (y−1 − y−2 )•(y− − y−1 )\n- HDR (−y−2 )-(y−2 − y−1 ).................................................................................................................................................................................................................................................... (32)\nEstas funciones proporcionan un orden espacio-tiempo de la correlación de parten y restringirán\nel rango de integración a lo largo del cono-luz. Para las contribuciones de la central, izquierda y derecha-\ndiagramas de corte que tienen las mismas partes duras, H\nC = H\nL = H\nR, lo harán\ntienen una combinación común de funciones de ♥ que produce una integral ordenada por trayectoria,\ndy−2 =−\ndy−1 dy\n(- y - 2 ) • (- y - 1 ) • ( - y - 2 ) • ( - 2 − y - 1 ) • ( - 2 − y - 1 )\n(y− − y−1 •(y−1 − y−2 )\nque está limitado sólo por la extensión espacial y- de la primera parteon a lo largo del cono de luz\ncoord. Para un partón de alta energía que transporta fracción de impulso xp+, y− 1/xp+\ndebe ser muy pequeño. Las contribuciones que son proporcionales a la ruta arriba ordenada\nintegral se denominan contribuciones de contacto (o interacciones de contacto).\nDel mismo modo, y-1 − y−2 es la propagación espacial de la segunda parte y sólo puede ser limitada\npor el tamaño espacial de su nucleón huésped, incluso para un pequeño valor de fracción de impulso. Los\nposición espacial de su nucleón huésped, y−1 + y\n2, sin embargo, puede estar en cualquier lugar dentro de la nu-\ncleus. Por lo tanto, cualquier contribución de la dispersión de doble parten que tienen sin restricciones\nintegración sobre y-1 y y\n2 debe ser proporcional al tamaño nuclear del objetivo A\ny por lo tanto son potenciados nuclearmente. En este documento, sólo vamos a mantener la energía nuclear mejorada\ncontribuciones y descuidar las contribuciones de contacto. Esto simplificará en gran medida la\nresultados para la dispersión de doble parten.\n4.1 qq̄ → g aniquilación\nPara el orden más bajo de aniquilación quark-antiquark en Eqs. (14)-(16), las partes duras\nde los tres diagramas de corte son casi los mismos, excepto por la fragmentación del partón\nfunciones. El diagrama de corte central es proporcional a la función de fragmentación del gluón\nmientras que los diagramas de corte izquierdo y derecho son proporcionales a las funciones de fragmentación de quark.\nReorganizando las contribuciones de los tres diagramas de corte y descuidando el contacto\ntérmino que es proporcional a la integral ordenada como en Eq. 33), la contribución total\npuede ser escrito como\ndWD(0)\nqq̄ (x, 0)\nH(0)-(x, p, q)\n× [Dg→h(zh)−Dq→h(zh)]. (34)\nSegún nuestra definición en Eq. (13) de la corrección twist-cuatro al fragmen quark-\nfunciones de la estación, la modificación de la función de fragmentación quark desde la más baja\norden de aniquilación quark-antiquark es entonces,\n(qqg)\nq→h (zh) =\n[Dg→h(zh)−Dq→h(zh)]\nqq̄ (x, 0)\nfAq (x)\n. (35)\nAquí la efectiva correlación quark-antiquark T\nqq̄ (x, 0) se define como,\nqq̄i (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\nixp+yixLp\n• (−y−2 ) •(y− − y−1 )\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 )A, (36)\ncon el antiquark q̄i cargando fracción de impulso xL. Esta función de correlación de dos partes...\nsión se asocia siempre con procesos de redispersión de doble duro. De igual manera, definimos\notros tres elementos de matriz de correlación quark-antiquark\nqq̄i (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\ni(x+xL)p\n+y(y− − y−1)\n× (−y−2 )â € Aq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 ) A, (37)\nA(I−L)\nqq̄i (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\ni(x+xL)p\n+yixLp\n+(yy)\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n× (−y−2 )â € Aq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 )A, (38)\nA(I−R)\nqq̄i (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\ni(x+xL)p\n+yixLp\n2 (y− − y−1 )\n× (−y−2 )â € Aq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 ) A, (39)\nque se asocian con rescattering suave duro y la interferencia entre doble duro\ny rescattering suave y duro. En la primera parten correlación T\nqq̄i (x, xL), el antiquark q̄i\nlleva fracción de impulso xL mientras que el quark inicial tiene la fracción de impulso x. Los\ncorrelación de dos partes T\nqq̄i (x, xL) corresponde al caso cuando el quark líder tiene\nx+ xL pero el antiquark lleva cero impulso. Los dos elementos de la matriz de interferencia\nson aproximadamente el mismo para el pequeño valor de xL y se denotará como T\nqq̄i (x, xL).\n4.2 qq̄ → aniquilación qiq̄i\nContribuciones de la orden siguiente a la primera aniquilación quark-antiquark o quark-\nla dispersión de quark (antiquark) son más complicados ya que involucran a muchos reales y vir-\nCorrecciones de tual. La corrección real más simple viene de qq̄ → aniquilación qiq̄i (qi 6= q)\n[Fig. 10 y Eqs. (A-25) y (A-26)] que sólo tiene un diagrama de corte central,\n(qqqiq̄i)\nq→h (zh) =\nα2sxB\n[z2 + (1− z)2]\nqi 6=q\n[Dqi→h(zh/z) +Dq̄i→h(zh/z)]\nqq̄ (x, xL)\nfAq (x)\n. (40)\nEste tipo de aniquilación qq̄ es realmente un proceso duro y por lo tanto requiere la segunda y-\ntiquark para llevar fracción de impulso inicial finita xL. Además, no hay otros\nprocesos de interferencia.\n4.3 qqi(q̄i) → qqi(q̄i) dispersión\nContribuciones de quark-quark no idéntico dispersión qq̄i → qq̄i (qi 6= q) son un poco\ncomplicados porque involucran los tres diagramas de corte (central, izquierdo y derecho) [Eqs. (A-\n28)-(A-32)]. Uno puede tener en cuenta las funciones de las partes duras de acuerdo con Eq. (32)\ny reorganizar los factores de fase en cada diagrama de corte,\nI11,C = e\ni(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n2 )(1− e−ixLp+(yy\n= ei(x+xL)p\n+y−[1− e−ixLp+y\n2 − e−ixLp+(yy\n) + e-ixLp\n+(yy)\nI11,L = e\ni(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+(yy\n= ei(x+xL)p\n+y−[1− e−ixLp+y\n2 − e−ixLp+(yy\n) + e-ixLp\n2 ] ;\nI11,R = e\ni(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n= ei(x+xL)p\n+y−[1− e−ixLp+y\n2 − e−ixLp+(yy\n) + e-ixLp\n+(yy)\n)], (41)\nde tal manera que los tres primeros términos en cada amplitud son los mismos. Estas tres fases comunes\nfactores darán lugar a una contribución de contacto para todas las partes duras similares de los tres\nlos diagramas cortados, que vamos a descuidar ya que no son potenciados nuclearmente. El resto\nparte tendrá los siguientes factores de fase,\nI11=e\ni(x+xL)p\n+y−[(−y−2 )•(y− − y−1 )e−ixLp\n+(yy)\n(y−1 − y−2 )(y− − y−1 )e−ixLp\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n+(yy)\n)]. (42)\nTenga en cuenta que los factores de fase de los dos últimos términos en la ecuación anterior dan identi-\ncontribución a los elementos de la matriz cuando intergated sobre y-1 y y\n2 como dif-\nsólo por la sustitución y−2 ↔ y−1 − y−. Por lo tanto, se puede combinar con\n*(−y−2 )*(y− − y−1 )e−ixLp\n+(yy)\n) para formar otra contribución de contacto (path-ordened)\nque se puede descuidar. El factor final de la fase efectiva es entonces\nI11 = e\nixp+yixLp\n)1− eixLp+y\n2 ). (43)\nUtilizando el factor de fase eficaz anterior, se puede obtener la modificación efectiva a la\nfunción de fragmentación quark debido a la dispersión quark-antiquark, qq̄i → qq̄i,\n(qq̄i→qq̄i)\nq→h (zh) =\nα2sxB\nq̄i 6=q̄\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1- z)2\n+ Dg→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\nA(HI)\nqq̄i (x, xL)\nfAq (x)\n+ [Dq̄i→h(zh/z))−Dg→h(zh/z)]\n1 + (1− z)2\nA(HS)\nqq̄i (x, xL)\nfAq (x)\nα2sxB\nq̄i 6=q̄\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1- z)2\n+ Dq̄i→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\nA(HI)\nqq̄i (x, xL)\nfAq (x)\n+ [Dq̄i→h(zh/z)−Dg→h(zh/z)]\n1 + (1− z)2\nA(SI)\nqq̄i (x, xL)\nfAq (x)\n, (44)\ndonde se definen tres tipos de correlaciones de dos partes:\nA(HI)\nqq̄i (x, xL)\nqq̄i (x, xL)− T\nqq̄i (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\nixp+yixLp\n)1− eixLp+y\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (45)\nA(SI)\nqq̄i (x, xL)\nqq̄i (x, xL)− T\nqq̄i (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\ni(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (46)\nA(HS)\nqq̄i (x, xL)\nA(HI)\nqq̄i (x, xL) + T\nA(SI)\nqq̄i (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\ni(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n× (1− e−ixLp+(yy)\n))•(−y−2 )•(y− − y−1 )\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 )A. (47)\nDe manera similar, se puede obtener la modificación de la fragmentación de quark a partir de no idénticos\nscattering quark-quark reemplazando q̄i → qi en Eq. (44),\n(qqi→qqi)\nq→h (zh) =\nα2sxB\nqi 6=q\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1- z)2\n+ Dqi→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\nTA(HI)qqi (x, xL)\nfAq (x)\n+ [Dqi→h(zh/z)−Dg→h(zh/z)]\n1 + (1− z)2\nTA(SI)qqi (x, xL)\nfAq (x)\n. (48)\nLas correlaciones de dos cuartetos, TA(HI)qqi (x, xL) y T\nA(SI)\n(x, xL) puede obtenerse en T\nA(HI)\nqq̄i (x, xL)\ny T\nA(SI)\nqq̄i (x, xL), respectivamente, al hacer los reemplazos qi(y2) → qi(y2) y qi(y1) →\n(y1) en Eqs. (45) y (46),\nTA(HI)qqi (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\nixp+yixLp\n)1− eixLp+y\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n1 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (49)\nTA(SI)qqi (x, xL) =\np+dy−\ndy−1 dy\ni(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n1 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (50)\ny TA(HS)qqi (x, xL) = T\nA(HI)\n(x, xL) + T\nA(SI)\n(x, xL).\nTenga en cuenta que la contribución de la fragmentación de quark qi o antiquark q̄i sólo proviene de\nel diagrama de corte central. Esta contribución es positiva y es proporcional a T\nA(HI)\nqq̄i (x, xL)+\nA(SI)\nqq̄i (x, xL), que contiene los cuatro términos: hard-soft, doble-hard y ambas interferencias\ntérminos. La fragmentación del gluón proviene sólo de las interferencias de un triple (izquierda y\ndiagramas de corte derecho). Por lo tanto, su contribución es negativa y anula parcialmente el\nla inducción de qi(q̄i) del rescattering duro-blando. La cancelación no está completa desde\nlas funciones de fragmentación de gluón y quark son diferentes. La estructura de este hard-soft\nrescattering (quark plus gluon) es muy similar al resultado de orden más bajo de qq̄ → g en\nEq. (35). Contribuye a la modificación de la función de fragmentación efectiva, pero\nno contribuye a la pérdida de energía. La pérdida de energía del quark líder viene sólo\nde rescattering doble-duro, ya que la principal fragmentación quark viene tanto de\nlas interferencias de corte central y de triple único, y los términos de interferencia de triple único pueden-\ncel el efecto de la dispersión suave duro para la fragmentación principal. Su contribución neta es la siguiente:\npor lo tanto proporcional a T\nA(HI)\nqq̄i(q̄i)\n. Puesto que el redispersión de doble duro equivale a elástico\nqqi(q̄i) dispersión, la pérdida de energía efectiva es esencialmente la pérdida de energía elástica como se muestra en\nRef. [34]. Hay, sin embargo, supresión de LPM debido a la cancelación parcial por un solo triple\ncontribuciones de interferencia. Durante un largo período de formación, 1/xLp\n+ RA, la cancelación es\nCompletado. Por lo tanto, la interferencia LPM impone efectivamente el límite inferior xL ≥ 1/p+RA\nsobre el impulso fraccional llevado por el segundo quark (antiquark).\n4.4 qq → dispersión qq\nPara la dispersión de quark-quark idéntico, qq → qq, uno tiene que incluir los canales t y u,\nsus interferencias, y las correspondientes contribuciones de interferencia de un solo trilo. Usando el mismo\ntécnica para identificar y descuidar las contribuciones de contacto, se puede encontrar la correspondencia\nmodificación de la función de fragmentación de quark a partir de Eqs. (48) y (A45)-(A49),\n(qq→qq)\nq→h (zh) =\nα2sxB\nTA(HS)qq (x, xL)\nfAq (x)\n× [Dq→h(zh/z))−Dg→h(zh/z)]\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1- z)2\nz(1 − z)\n+Dg→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\nTA(HI)qq (x, xL)\nfAq (x)\nα2sxB\nTA(SI)qq (x, xL)\nfAq (x)\nP (s)qq→qq(z)[Dq→h(zh/z)\n−Dg→h(zh/z)] +Dq→h(zh/z)Pqq→qq(z)\nTA(HI)qq (x, xL)\nfAq (x)\n, (51)\ndonde las funciones de división efectivas se definen como\nP (s)qq→qq(z) =\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\n, (52)\nPqq→qq(z) =\n1 + (1− z)2\n1 + z2\n(1- z)2\nz(1− z)\n. (53)\n4.5 qq̄ → qq̄, aniquilación gg\nLos cuatro procesos más complicados que involucran a cuatro operadores de campo de quark son quark-\nAniquilación antiquark en dos gluones o un par de quark-antiquark idéntico. Tenemos que hacerlo.\nconsiderarlos juntos ya que tienen procesos de interferencia de un solo trilo similares y\ninvolucran el mismo tipo de elementos de matriz de correlación quark-antiquark, T\nqq̄ (x, xL),\n(i = HI, SI, HS).\nPara el propósito de la notación, primero tenemos en cuenta el factor común (CF/Nc)α\nsxB/Q\n2/fAq (x) y\nla integración sobre lT y z y definir\n(qqgg,qq̄)\nq→h (zh)\nα2sxB\nQ2fAq (x)\n(qqgg,qq̄)\nq→h (zh, z, x, xL). (54)\nDespués de reorganizar los factores de fase e identificar (combinando central, izquierda y derecha)\nlos diagramas de corte) y descuidando las contribuciones de contacto que podemos enumerar en el siguiente giro-\ncuatro correcciones a la fragmentación quark de las partes duras de cada corte\ndiagrama (véase el apéndice A):\nFig. 5 (t-canal qq̄ → gg),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(5) =Dg→h(zh/z)2CF\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\n1 + z2\nz(1− z)\nA(HI)\nqq̄ (x, xL)\n+ [Dg→h(zh/z)−Dq→h(zh/z)] 2CF\n1 + z2\nz(1− z)\nA(SI)\nqq̄ (x, xL) ; (55)\nFig. 6 (interferencia entre u y t-canal de qq̄ → gg),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(6) =Dg→h(zh/z)\n−4(CF − CA/2)\nz(1 − z)\nA(HI)\nqq̄ (x, xL)\n+ [Dg→h(zh/z)−Dq→h(zh/z)]\n−2(CF − CA/2)\nz(1 − z)\nA(SI)\nqq̄ (x, xL) ; (56)\nFig. 7 (s-canal de qq̄ → gg),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(7) = Dg→h(zh/z)4CA\n(1− z + z2)2\nz(1 − z)\nqq̄ (x, xL) ; (57)\nHigos. 8 y 9 (interferencia de s y t-canal qq̄ → gg),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(8+9) =Dg→h(zh/z)(−2CA)\n1 + z3\nz(1− z)\n1 + (1− z)3\nz(1 − z)\n×TA(HI)qq̄ (x, xL) + CA\nDq→h(zh/z)\n1 + z3\nz(1 − z)\n+Dg→h(zh/z)\n1 + (1− z)3\nz(1 − z)\n× [TA(I2)qq̄ (x, xL)− T\nqq̄ (x, xL)] ; (58)\nFig. 10 (s-canal de qq̄ → qq̄),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(10) = [Dq→h(zh/z) +Dqh(zh/z)] [z\n2 + (1− z)2]\n×TA(H)qq̄ (x, xL), (59)\nFig. 11 (t-canal de qq̄ → qq̄), similar a Eq. (44),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(11) =Dq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1 − z)2\nA(HI)\nqq̄ (x, xL)\n+Dqh(zh/z)\n1 + (1− z)2\nA(HS)\nqq̄ (x, xL)\n−Dg→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\nA(SI)\nqq̄ (x, xL) ; (60)\nHigos. 12 y 13 (interferencia entre s y t-canal qq̄ → qq̄),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(12+13) =−4(CF − CA/2)\nDq→h(zh/z)\n1 − z\n+ Dqh(zh/z)\n(1- z)2\nA(HI)\nqq̄ (x, xL)\n+2(CF − CA/2)\nDq→h(zh/z)\n+Dg→h(zh/z)\n(1- z)2\n× [TA(I2)qq̄ (x, xL)− T\nqq̄ (x, xL)] ; (61)\nHigos. 15 y 16 (dos diagramas adicionales de interferencia de un triple),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(15+16) =−2CF\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n+ Dg→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\nA(I2)\nqq̄ (x, xL). (62)\nLa mayoría de los procesos implican tanto TA(HI)(x, xL) para la redispersión de doble duro con interferencia\ny TA(SI)(x, xL) para la redispersión suave con interferencia. Todos los canales S (Figs. 7\ny 10) los procesos implican una dispersión de doble dureza solamente. Por lo tanto, dependen sólo de la\nqq̄ (x, xL) = T\nA(HI)\nqq̄ (x, xL) + T\nqq̄ (x, xL). Para interferencias entre uno y tres\ndispersión (diagramas cortados a la izquierda y a la derecha en las Figs. 8, 9, 12 13, 15 y 16), donde un\nrescattering con el segundo quark (antiquark) sigue un suave rescattering con el tercero\nanticuarco (cuarco), solo elementos de la matriz de interferencia, T\nqq̄ (x, xL) y T\nA(I2)\nqq̄ (x, xL), son\nEnvuelto. Aquí,\nA(I2)\nqq̄ (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\nixp+yixLp\nAq(0)\n−)q(y\n2 )A(−y−2 )(y− − y−1 )\np+dy−\ndy−1 dy\nixp+yixLp\n+(yy)\nAq(0)\n−)q(y\n2 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (63)\nes un nuevo tipo de elementos de la matriz de interferencia que sólo está asociado con este tipo de\nprocesos de interferencia de triple único. Uno puede categorizar las contribuciones anteriores de acuerdo a\na los elementos de la matriz de correlación de dos cuartetos asociados y reescriba el contribu-\nciones como,\nqqqq̄,gg\nq→h(HI) = T\nA(HI)\nqq̄ (x, xL)[Dg→h(zh/z)Pqqgg(z) +Dq→h(zh/z)Pqqq̄(z)\n+Dqh(zh/z)Pqqqq̄(1− z)] (64)\nqqqq̄,gg\nq→h(SI) = T\nA(SI)\nqq̄ (x, xL)\nz(1 − z)\n+ 2CF\n1 + (1− z)2\n×Dg→h(zh/z)−Dq→h(zh/z)\nz(1− z)\n+ 2CF\n+ Dqh(zh/z)\n1 + (1− z)2\nA(SI)\nqq̄ (x, xL)\n[Dq→h(zh/z)−Dg→h(zh/z)]\nP (s)qq→qq(z)\n− 2CF\n1 + z2\nz(1− z)\n+ [Dqh(zh/z)−Dq→h(zh/z)]\n1 + (1− z)2\nqqqq̄,gg\nq→h(I) = T\nqq̄ (x, xL)\n4(1− z + z2)2 − 1\nz(1 − z)\n− 2CF\n(1- z)2\n×Dg→h(zh/z) + [z2 + (1− z)2]Dqh(zh/z)]\n+ Dq→h(zh/z)\nz2 + (1− z)2 −\nz(1 − z)\n− 2CF\nA(I2)\nqq̄ (x, xL)\nDq→h(zh/z)\nz(1 − z)\n− 2CF\n+ Dg→h(zh/z)\nz(1 − z)\n− 2CF\n, (66)\ndonde P (s)qq→qq(z) se indica en Eq. (52) y las funciones de división efectivas para qq̄ → gg y\nqq̄ → qq̄ se definen como\nPqqgg(z) = 2CF\nz2 + (1− z)2\nz(1− z)\n− 2CA[z2 + (1− z)2] ; (67)\nPqqqq̄(z) = z\n2 + (1− z)2 +\n1 + z2\n(1- z)2\n, (68)\nque vienen de los elementos de la matriz completa de qq̄ → gg y qq̄ → qq̄ dispersión (ver\nApéndice A-3). Una vez más, el rescattering doble-duro corresponde a la dispersión elástica de\nel quark líder con otro antiquark en el medio y la interferencia contribu-\nciones. La estructura de la contribución hard-soft rescattering que identificamos arriba muestra\nel mismo tipo de mezcla gluon-cuark (o quark-antiquark) en las funciones de fragmentación\ny no contribuye a la pérdida de energía del quark líder. Las contribuciones únicas\nen el qq̄ → qq̄, los procesos gg son las contribuciones de sólo interferencia. Vienen principalmente\nde procesos de interferencia de un solo trilo en la dispersión de múltiples partones.\n5 Modificación debida a la mezcla quark-gluon\nHasta ahora hemos lanzado la modificación de la función de fragmentación quark debido a quark-\nQuark (antiquark) dispersión (o aniquilación) en una forma similar a la evolución de la DGLAP\necuación en vacío. De hecho, también se puede ver la evolución de las funciones de fragmentación en\nvacío como modificación debido a la radiación gluon del estado final. En ambos casos, la modificación\nen zh grande es determinado principalmente por el comportamiento singular de las funciones de división para\nz → 1, mientras que las modificaciones en el centro comercial zh está dominado por el comportamiento singular de la\nfunción de división para z → 0.\nCentrémonos primero en la modificación en general zh. Un examen cuidadoso de la contribución\nciones de todos los procesos posibles muestran que la modificación dominante a la eficacia\nLa función de fragmentación de quark proviene del canal t de doble capa dura de quark-quark scat-\nlos procesos de tering,\n* Dq→h(zh)*\nα2sxB\nDq→h(\nTA(HI)qqi (x, xL)\nfAq (x)\n× 1 + z\n(1 − z)2+\n(1 - z)qi(l2T)\nDq→h(\nA(HI)\n(x, xL)\nfAq (x)\n×z(1 + z\n(1 − z)+\n+ 1- z)qi(l2T )\n, (69)\ndonde la suma es sobre todos los posibles sabores quark y antiquark incluyendo qi = q, q̄\nI y I (l)\nT ) representa la contribución de las correcciones virtuales. Hemos expresado la\nmodificación en una forma que es proporcional a los elementos de la matriz xLT\nA(HI)\n(x, xL)/f\nq (x)\nA1/3xLf\n(xL) en comparación con la modificación de la dispersión de quark-gluon\nelemento matricial correspondiente [Eq. 9)] es TA(HI)qg (x, xL)/f\nq (x) • A1/3xLGN(xL). Aquí,\nfNqi (x) y G\nN(x) son distribuciones de quark y gluon, respectivamente, en un nucleón. Esto\nla contribución principal a la modificación de la dispersión quark-quark es muy similar en\nforma a la de la dispersión quark-gluon [véase Eq. 7)]. Sin embargo, es más pequeño debido a la\ndiferentes factores de color CF/CA = 4/9 y las diferentes distribuciones de quark y gluon,\nfNqi (xL) y G\nN(xL) en un nucleón. Debido a la intereferencia LPM, dispersión de ángulo pequeño\ncon un largo tiempo de formación f = 1/xLp\n+ se suprime, dando lugar a un valor mínimo de\nxL ≥ xA = 1/mNRA = 0,043 para un objetivo Kr. Para este valor de xL, la relación\nfNqi (xL, Q\nGN(xL, Q2)\n≥ 1,40/1,85 + 0,75, (70)\na Q2 = 2 GeV2 según la parametrización CTEG4HJ [35]. Por lo tanto, uno tiene que\nincluir el efecto de dispersión quark-quark para un cálculo completo del quark total\npérdida de energía y modificación media de las funciones de fragmentación de quark.\nEn un plasma de quark-gluón débilmente acoplado y totalmente equilibrado, quark a gluón número\nLa relación de densidad es de lq/lg = nf (3/2)Nc/(N)\nc - 1) = 9nf/16. Una energía asintótica\nchorro en un medio infinitamente grande realmente sondea el pequeño x = q2T /2ET régimen, donde\nLos pares quark-antiquark y gluones son predominantemente generados por gluones térmicos a través de\nEvolución del PCQD. En este escenario ideal se espera Nq/Ng â € 1/4CA = 1/12 y por lo tanto\npuede descuidar la dispersión de quark-quark. La modificación de la función de fragmentación de quark será\nser dominado por quark-gluon rescattering. Sin embargo, para la energía de chorro moderada E 20 GeV\ny un medio finito L + 5 fm, las distribuciones de parten en un quark-gluon plamsa están cerca de\nla distribución térmica. En particular, si la producción de quark y gluon está dominada por\nproducción de pares no-perturbativos de campos de color fuertes en la etapa inicial de iones pesados\ncolisiones [36], la relación entre quark y gluon es comparable al valor de equilibrio. En este\ncaso, debemos tener en cuenta la modificación media de la fragmentación quark\nfunciones por dispersión quark-quark.\nUn proceso duro doble importante en la dispersión quark-quark (antiquark) es qq̄ → gg\n[Eq. (64)]. En este proceso, la aniquilación convierte el quark inicial en dos gluones finales\nque posteriormente se fragmentan en hadrones. Esto llevará a la supresión de los líderes\nhadrones no sólo debido a la pérdida de energía (energía transportada por el otro gluón), pero\ntambién debido al comportamiento más suave de las funciones de fragmentación de gluón en zh grande. A pesar de que\nel comportamiento principal de la función de división efectiva [Eq. (67)]\nPqqgg(z) 2CF\nz2 + (1− z)2\nz(1− z)\nno es tan dominante como el de la dispersión quark quark-quark de canal en t, es realzado por un color\nfactor 2CF = 8/3. Se espera que esto contribuya de manera significativa al medio ambiente.\nmodificación en zh intermedio.\nEn las colisiones de iones pesados de alta energía, las proporciones de las tasas iniciales de producción de valencia\nLos quarks, gluones y antiquarks varían con el impulso transversal pT. Producción de gluon\nla velocidad domina en pT bajo mientras que la fracción de chorros de quark de valencia aumenta en pT grande.\nLos quarks tienen más probabilidades de fragmentarse en protones que los antiprotones, mientras que los gluones se fragmentan\nen protones y antiprotones con iguales probabilidades. Por lo tanto, la relación de pT grande\nel rendimiento del antiprotón y del protón en las colisiones de p + p es menor que 1 y disminuye con pT\na medida que aumenta la fracción de los chorros de valencia quark. Dado que se espera que los gluones pierdan más\nenergía que los chorros de quark, uno ingenuamente esperaría ver la relación antiprotón a protón\np̄/p se vuelve más pequeño debido a la extinción del chorro. Sin embargo, si la conversión quark-gluon debido\na qq̄ → gg se vuelve importante, uno esperaría que las fracciones de quark y gluon\nlos chorros se modifican hacia sus valores de equilibrio. La relación final p̄/p podría ser mayor que\no comparable a la de las colisiones p+ p. Tal escenario de conversión quark-gluon fue\nconsiderado recientemente en Ref. [37] a través de una ecuación de tasa maestra.\nLa mezcla entre los chorros de quark y gluon también ocurre en el orden más bajo de quark-\naniquilación anticuarto como se muestra en la Fig. 3. En NLO, todos los quark-quark blandos (antiquark)\nLos procesos de dispersión tienen este tipo de mezcla entre la fragmentación de quark y gluon\nfunciones. Sus contribuciones generalmente tienen la forma,\nα2sxB\nDqi→h(\n)−Dg→h(\n×Pqqi→qqi(z)\nTA(SI)qqi (x, xL)\nfAq (x)\n, (72)\ndonde de nuevo la suma sobre el sabor quark incluye qi = q, q̄. Esta mezcla hace\nno se producen en la probabilidad, sino más bien en el nivel de amplitud, ya que implica en\nterferencias entre dispersión simple y triple. Por lo tanto, esta contribución depende de\nla diferencia entre las funciones de fragmentación de gluón y quark [Eq. (35)] y puede ser\npositivo o negativo en diferentes regiones de zh. Sin embargo, contribuyen a la mod-\nificación de la función eficaz de fragmentación de quark y la dependencia del sabor de la\nLos espectros finales de Hadron.\n6 La dependencia del sabor de la fragmentación media modificada\nResumiendo todas las contribuciones a quark-quark (antiquark) scattering doble como\ntion 4, podemos expresar la corrección total twist-cuatro hasta O(α2s) a los fragmen quark-\nfunción de tentaciùn como\nDq→h(zh)=\n2 [Dg→h(zh)−Dq→h(zh)]\nqq̄ (x, 0)\nfAq (x)\na,b,i\nDb→h(zh/z)P\nqa→b(z)\nTA(i)qa (x, xL)\nfAq (x)\n, (73)\ndonde la sumación es sobre todos los procesos posibles q+a→ b+X y todas las matrices diferentes\nelementos TA(i)qa (x, xL) (i = HI, SI, I, I2), que serán cuatro elementos básicos de la matriz que vamos a\nuso. Las funciones de división efectivas P\nqa→b(z) se enumeran en el apéndice A-2. Uno también debería\nincluir correcciones virtuales que se pueden construir a partir de las correcciones reales a través de\nLimitaciones de unitariedad [18].\nDel mismo modo, también podemos escribir las cuatro correcciones a la fragmentación anticuarto\nen un medio nuclear,\nDqh(zh)=\n2 [Dg→h(zh)−Dqh(zh)]\nq̄q (x, 0)\nfAq̄ (x)\na,b,i\nDb→h(zh/z)P\nq̄a→b(z)\nq̄a (x, xL)\nfAq̄ (x)\n, (74)\ndonde los elementos de la matriz T\nq̄a (x, xL) y las funciones de división efectivas P\nq̄a→b(z) can\nse obtendrán de los correspondientes para quarks. Dado un modelo para el dos-cuarco\nfunciones de correlación, uno será capaz de utilizar las expresiones anteriores para evaluar numéricamente\ntwist-cuatro correcciones a las funciones de fragmentación de quark (antiquark). En este artículo,\nvamos a dar una estimación cualitativa de la dependencia del sabor de la corrección en\nDIS de un gran núcleo.\nA los efectos de una estimación cualitativa, se puede suponer que todos los twist-cuatro dos-cuarto\nfunciones de correlación se pueden factorizar, como se ha hecho en Refs. [18,19,23,33],\np+dy−\ndy−1 dy\n+yix2p\n• (−y−2 ) •(y− − y−1 )\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 )A\nfAq (x1) f\n(x2), (75)\np+dy−\ndy−1 dy\n+yix2p\n) ±ixLp\n2 (−y−2 )(y− − y−1 )\nAq(0)\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 )A\nfAq (x1) f\n(x2)e\nA, (76)\ndonde xA = 1/mNRA, mN es la masa de nucleón, RA el tamaño del núcleo, f\n(x2) es la\ndistribución antiquark en un nucleón y C se supone que es una constante, parametrizante\nla fuerza de las correlaciones de dos partes dentro de un núcleo. La integración sobre la posición\ndel anticuarco (y−1 +y\n2 )/2 en el twist-cuatro elementos de la matriz de correlación de dos cuartetos da\naumento del factor de mejora nuclear 1/xA = mNRA = 0,21A\nDebemos tener en cuenta que establecemos kT = 0 para la expansión colineal. Como consecuencia de ello, el\ncampo quark secundario en los elementos de matriz twist-cuatro parten llevará cero impulso\nen el proceso suave-duro. El impulso transversal intrínseco finito lleva a un cor-\nlas recciones. Si un subconjunto de los términos más altos en la expansión colineal se puede volver a resumir\npara restaurar los factores de fase como eixT p\n+y−, en el que xT • • k2T •/2p+q−z(1 − z), el\nLos campos de quark en los elementos de matriz de Parton llevarán un momento fraccionario finito xT.\nBajo tal suposición de factorización, uno puede obtener toda la correlación de dos cuartetos\nelementos de matriz:\nA(HI)\nqq̄i (x, xL)\nfAq (x) f\n(xL + xT )[1− e−x\nA], (77)\nA(SI)\nqq̄i (x, xL)\nfAq (x+ xL) f\n(xT )[1− e−x\nA], (78)\nqq̄i (x, xL)\nA(I2)\nqq̄i (x, xL)\nfAq (x+ xL) f\n(xT )e\nfAq (x) f\n(xL + xT )e\nA. (79)\nEn la última aproximación, hemos asumido xL xT x. Del mismo modo, uno puede obtener\nTA(i)qqi (x, xL), T\nq̄qi (x, xL) y T\nq̄q̄i (x, xL). Con estas formas de correlación de dos quarks\nelementos de matriz, podemos estimar la dependencia del sabor de la modificación nuclear a\nel quark (antiquark) funciones de fragmentación.\nLas correcciones de orden más bajas [O(αs)] son muy simples\nq→h (zh) CA1/3[Dg→h(zh)−Dq→h(zh)]fNq̄ (xT ), (80)\nqh̄\n(zh) CA1/3[Dg→h̄(zh)−Dqh̄(zh)]fNq (xT ). (81)\nConsideramos la contribución dominante de la fragmentación de un quark (antiquark)\nque es uno de los quarks de valencia (antiquarks) de la partícula final h (antipartícula h̄).\nLas funciones de fragmentación del gluón en h y h̄ son las mismas. Para el zh grande, el gluon\nLa función de fragmentación es siempre más suave que la valencia quark (antiquark) fragmenta-\nión [38]. Por lo tanto, las correcciones de giro-cuatro ordenes más bajas son siempre negativas para grandes\nzh, llevando a una supresión de la función de fragmentación de quark de valencia (antiquark),\nDqv→h(zh) [Dq̄v→h̄(zh)]. Considere aquellos quarks que también son quarks de valencia de un nucleón:\nn = udd\np = uud, p̄ = d̄, (82)\nK+ = us̄,K− = ūs. (83)\n, η0, = ud̄, (uū − dd̄ )/\n2, dū. (84)\nUno puede encontrar la siguiente dependencia del sabor de la orden más baja torsión cuatro correcciones\na las funciones de fragmentación quark (antiquark),\nq̄v→h̄\nD(LO)\nq̄v→h̄\n(zh)\nD(LO)qv→h(zh)\nfNqv (xT )\nfq̄v(xT )\n> 1, (85)\nq̄v→h̄\n1 + D\nq̄v→h̄\n(zh)/Dqh̄(zh)\n1 + D\n(zh)/Dq→h(zh)\n< 1, (86)\ndonde R\nes la correspondiente orden de supresión de la función de fragmentación\nen zh grande para el protón (antiprotón) y K\n+ (K−). Dado que los piones contienen ambos valencia\nquark y antiquark, los factores de supresión deben ser similares para todos los piones. Para xT ≥\n0,043, u(x)/ū(x) ≥ 3 y d(x)/d̄(x) ≥ 2 [35]. Por lo tanto, la modificación de antiquark\nfunciones de fragmentación debido a la aniquilación quark-antiquark es significativamente mayor que\nel de un quark.\nLa dependencia del sabor de los resultados NLO son más complicados ya que implican dispersión-\ning con quarks y antiquarks en el medio. Uno puede observar primero que efectivo\nfunciones de división (o sección transversal de dispersión quark-quark) son las mismas para el canal en t\nqq′ → qq′ y qq → qq (q′ 6= q) scatterings,\nqq.»b(z) = P\nq̄q.»b(z) = P\nqqb(z) = P\nq̄qb(z). (87)\nPara la dispersión de quark-quark idéntico o aniquilación de quark-antiquark, uno puede separar\nla aniquilación qq̄ funciones de división (o secciones transversales) en singlet y no-singlet\ncontribuciones mediante la selección de las contribuciones en t-canal,\nqqb(z)\nqq→b(z) + P\nqqb(z), (88)\nq̄q→b(z)\nq̄qb(z) + P\nq̄q→b(z). (89)\nEstas contribuciones individuales a las funciones de fragmentación modificadas son,\nS(NLO)\nq→h (zh)\nb,q′,i\nDb→h P (i)qqÃ3b(zh)\n×[fNq′ (xT ) + fNq (xT )]C(i), (90)\nS(NLO)\nqh̄\n(zh)\nb,q′,i\nDbh̄ P\nq̄qb̄\n×[fNq′ (xT ) + fNq (xT )]C(i), (91)\ndonde la suma sobre q′ ahora incluye q′=q y C(i)(xL) son independientes del sabor\nfunciones determinadas a partir de Eqs. 77)-(79),\nC(HI) =C(SI) = C(xL)(1− e−x\nC(I) =C(I2) = C(xL)e\nA, (92)\ny C(xL) es un coeficiente común que es una función de xL. Uso de P\nq̄qb̄\n(z) = P\nqq→b(z)\n, se puede concluir que las contribuciones singlet al quark modificado y antiquark\nlas funciones de fragmentación son las mismas,\nS(NLO)\nq→h (zh) = D\nS(NLO)\nqh̄\n(zh).\nLas contribuciones no individuales, principalmente de interferencias s-canal y s-t, son,\nN(NLO)\nq→h (zh)\nDb→h PN(i)qqb(zh)fNq̄ (xT )C(i), (93)\nN(NLO)\nqh̄\n(zh)\nDbh̄ P\nq̄q→b̄\n(zh)f\nq (xT )C\ni), (94)\ndonde otra vez\nqqb(z) = P\nq̄q→b̄\n(z) debido a la simetría de cruce. Hemos enumerado todos los no-\nDesvanecimiento de las funciones de división singlet\nqqb(z) del apéndice A-2.\nDe nuevo consideramos el límite zh → 1. En esta región la convolución en el\nfunción de fragmentación está dominada por el gran z → 1 comportamiento de la división efectiva-\nfunciones de ting. De la lista P\nqqb(z) en el Apéndice A-2, podemos obtener el\ncontribuciones,\nC(i)P\nqqq(z)4CF\nC(xL)\nC(i)P\nqqg(z)\n2CF + CF (1− e−x\nA) + CAe\nC(xL)\n, (95)\ndonde también hemos descuidado términos proporcionales a 1/Nc. Todos los P\nqqq̄(z) no son líderes\nen el límite z → 1 y por lo tanto puede ser descuidado. Con estas importantes contribuciones,\nla modificación no-singlet a las funciones de fragmentación quark y antiquark puede ser\nestimado como\nN(NLO)\nq→h (zh)\nC(xL)\n(1- z)+\nCF (1− e−x\nA) + CAe\n+ (1− z)(lT)\n−Dq→h\nC(xL)\n(1- z)+\n+ (1− z)(lT)\nfNq̄ (xT ), (96)\nN(NLO)\nqh̄\n(zh)\nDg→h̄\nC(xL)\n(1- z)+\nCF (1− e−x\nA) + CAe\n+ (1− z)(lT)\nDg→h̄\n−Dqh̄\nC(xL)\n(1- z)+\n+ (1− z)(lT)\nfNq (xT ), (97)\ndonde el punto 1(IT ) y el punto 2(IT ) proceden de correcciones virtuales,\n1(lT )=\nCFC(xL)z=1 − [CF (1− e−x\n+ CAe\nA]C(xL)\n, (98)\n2(lT )=\n2CF [C(xL)z=1 − C(xL)]. (99)\nDebido a la conservación del impulso, C(xL) = 0 cuando xL → • para z = 1. Por lo tanto,\nlas correcciones virtuales anteriores siempre son negativas. En general zh, estas correcciones virtuales\ndominar sobre los reales.\nHay dos tipos de contribuciones no individuales en las expresiones dadas anteriormente. Uno que\nes proporcional a las funciones de fragmentación de gluón se debe a la aniquilación quark-antiquark\nen gluones que luego se fragmentan. El gluón fragmentante no sólo transporta menos energía que\nel quark inicial pero también tiene una función de fragmentación más suave, lo que conduce a la supresión de\nlos hadrones líderes finales. El segundo tipo de contribuciones es proporcional a Dg→h(zh)−\nDq→h(zh) y por lo tanto mezcla funciones de fragmentación quark y gluon, del mismo modo que el\nlos procesos de aniquilación quark-antiquark de orden más bajo [véase Eqs. (80) y (81)]. Desde un gluon\nfunción de fragmentación es más suave que un quark uno, las correcciones reales de este tipo de\nlos procesos son positivos para los pequeños zh y negativos para los grandes zh. Las correcciones virtuales\ntienen exactamente el comportamiento opuesto. Por lo tanto, el segundo tipo de contribuciones reducirá\nla modificación neta total. Para los valores intermedios de zh donde 2Dg→h(zh) > Dq→h(zh),\nel efecto neto sigue siendo la supresión de las funciones de fragmentación eficaces para\nHadrons.\nDesde fNq (xT ) > f\nq̄ (xT ), podemos concluir que la LO y la NLO combinados no-singlet\nLa supresión de la fragmentación anticuarto en hadrones de valencia es más grande que la de quark.\nfragmentación en hadrones de valencia. Esto explica cualitativamente la dependencia del sabor de\nla supresión nuclear de los principales hadrones del DIS frente a objetivos nucleares pesados medidos por\nel experimento HERMES [25,26]. La relación de las secciones transversales semi-inclusivas diferenciales\npara los objetivos de núcleo y deuterón se utilizaron para estudiar la supresión nuclear de la\nfunciones de mentation. Se observó que la supresión de los principales antiprotones es más fuerte\nque para el protón líder y la supresión de K− es más fuerte que K+. En el quark de Valence\nimagen de fragmentación, el protón principal (K+) se produce principalmente a partir de u, d (u) quark\nfragmentación mientras que los antiprotones provienen principalmente de la fragmentación ū, d̄ (ū). Por lo tanto,\nLos datos de HERMES son consistentes con una mayor supresión de la fragmentación anticuarto.\nDesde gluon bremsstrahlung y el singlet qqi(q̄i) dispersión también suprimir quark y\nantiquark fragmentación, pero independientemente del sabor quark, uno tiene que incluir todos los\nprocesos con el fin de tener una evaluación numérica completa y cuantitativa del sabor\ndependencia de la modificación nuclear de las funciones de fragmentación de quark. Además...\nmás, las contribuciones de la ONL son proporcionales a αs ln(Q)\n2)/2ň. Son tan importantes.\ncomo la corrección de orden más baja para grandes valores de Q2. En principio, hay que volver a resumir estos\ncorrección de orden superior mediante la resolución de un conjunto de ecuaciones de evolución acopladas DGLAP, in-\nmodificación del medio para las funciones de fragmentación del gluón. Las contribuciones de\nquark-quark (antiquark) la dispersión derivada en este documento será una parte importante de la\nDscripción completa. Estudio numérico detallado del efecto del quark-quark (antiquark)\nla dispersión será posible sólo después de la terminación de esta descripción completa en el\nfuturo.\n7 Resumen\nUtilizando el marco de factorización generalizada para twist-cuatro procesos tenemos\nla modificación nuclear de las funciones de fragmentación de quark y antiquark (FF) debida\na quark-quark (antiquark) doble dispersión en materia nuclear densa hasta el orden O(α2s).\nCalculamos y analizamos el conjunto completo de todos los diagramas de corte posibles. Resultados\nse pueden clasificar en contribuciones de procesos de doble-duro, duro-suave y su\ninterferencias. Los rescatterings de doble dureza corresponden a la dispersión elástica del plomo-\ning quark con otro quark medio. Requiere el segundo quark para llevar un finito\nmomento fraccionario xL. Por lo tanto, la pérdida de energía del quark líder a través de tales\nprocesos pueden ser identificados como pérdida de energía elástica en el orden O(α2s). La pérdida de energía quark\ny la modificación de las funciones de fragmentación quark están dominadas por el canal t de\nla dispersión de quark-quark (antiquark) y se demuestra que es similar a la causada por quark-\nGluon esparciendo. La contribución de la dispersión quark-quark es más pequeña que la de\nDispersión del quark-gluon por un factor de CF/CA multiplicado por la relación de distribución del quark y del gluon-\nciones en el medio. Hemos demostrado que esas contribuciones no son insignificantes.\npara cinemática realista y tamaño mediano finito. Los rescatterings blandos y duros mezclan gluon y\nscattering quark, de la misma manera que el orden más bajo qq̄ → g procesos. Tales procesos\nmodifica los espectros de hadrones finales o las funciones de fragmentación eficaces, pero no\ntributo a la pérdida de energía del quark líder. Para qq̄ → qq̄, gg procesos, también existen\ncontribuciones de interferencia puras procedentes principalmente de interferencias de dispersión de un solo triple.\nCon un modelo simple de funciones factorizadas de correlación de dos cuartetos, investi-\nla dependencia del sabor del medio modificado funciones de fragmentación de quark en una\nnúcleo grande. Identificamos la parte dependiente del sabor de la modificación y encontramos que\nla modificación nuclear para una fragmentación antiquark en un hadron de valencia es más grande\nque el de un quark. Esto ofrece una explicación cualitativa para la dependencia del sabor de\nla principal supresión de hadrones en el DIS semi-inclusivo frente a objetivos nucleares, como se observa en\nel experimento HERMES [25,26].\nAgradecimientos\nLos autores agradecen a Jian-Wei Qiu y Enke Wang por su útil discusión. Este trabajo\nfue apoyado por NSFC en el marco del proyecto No. 10405011, por el Ministerio de Educación de China en el marco del proyecto\nIRT0624, por Alexander von Humboldt Foundation, por BMBF, por el Director de la Oficina\nde Investigación Energética, Oficina de Energía Alta y Física Nuclear, Divisiones de Energía Nuclear\nFísica, del Departamento de Energía de los Estados Unidos bajo el Contrato No. DE-AC02-05CH11231,\ny por el US NSF bajo Grant No. PHY-0457265, la Fundación Welch en virtud de la subvención\nNo. A-1358.\nA-1 Partes duras para doble dispersión quark-quark\nEn la Sección 3 hemos discutido el cálculo de la parte dura de un ejemplo de corte-diagrama\n(Fig. 5) en detalle. En este apéndice enumeramos los resultados de todas las posibles correcciones reales a\nquark-quark (antiquark) doble dispersión en el orden O(α2s). Hay\nun total de 12 diagramas como se ilustra en las Figs. 5-16. Para el propósito de abreviar, nosotros\nsuprimirá las variables en las anotaciones de las partes duras partonicas\nD HD(y−, y−1, y−2, x, p, q, zh), (A-1)\ny funciones de los factores de fase\nI (y−, y−1, y−2, x,, xL, p). (A-2)\nPrimero consideramos todos los diagramas de aniquilación qq̄ → gg con diferentes cortes posibles. Los\ncontribuciones de la Fig. 5 son:\n5,C =\nα2sxB\nI5,CDg→h(zh/z)\n1 + z2\nz(1 − z)\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\n, (A-3)\nFig. 5. El canal t de qq̄ → diagrama de aniquilación gg con tres posibles cortes, central(C),\nizquierda (L) y derecha (R).\nFig. 6. La interferencia entre t y u-canal de qq̄ → aniquilación gg.\nI5,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n×(1− e−ixLp+y\n2 )(1− e−ixLp+(yy\n), (A-4)\n5,L(R) =\nα2sxB\nI5,L(R)\nDq→h(zh/z)2\n1 + z2\nz(1 − z)\n+Dg→h(zh/z)2\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\n, (A-5)\nI5,L =(y−1 − y−2 )♥(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+(yy\n), (A-6)\nI5,R =(−y−2 )♥(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n2 ). (A-7)\nAquí hemos incluido la fragmentación de ambas partes del estado final.\nLas contribuciones de la Fig. 6 son:\nFig. 7. El canal s de qq̄ → diagrama de aniquilación gg con sólo un corte central.\n6,C =\nα2sxB\nI6,C 2Dg→h(zh/z)\n(1- z)z\nCF (CF − CA/2)\n, (A-8)\n6,L(R) =\nα2sxB\nI6,L(R) [Dg→h(zh/z) +Dq→h(zh/z)]\n(1- z)z\nCF (CF − CA/2)\n, (A-9)\nI6,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n× (1− e−ixLp+y\n2 )(1− e−ixLp+(yy\n), (A-10)\nI6,L =(y−1 − y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+(yy\n) ). (A-11)\nI6,R =(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n2 ), (A-12)\nTenga en cuenta que el diagrama de corte central en la Fig. 6 corresponde a la interferencia entre t y\nu-canal de los procesos de aniquilación qq̄ → gg en la Fig. 5. Puesto que la función de división es\nsimétrico en z y 1 − z, un factor de 2 proviene de la fragmentación de ambos gluones en\nel diagrama de corte central.\nEl canal s de qq̄ → gg se muestra en la Fig. 7 que sólo tiene un corte central. Su contri-\nbution a la parte dura partónica es,\n7,C =\nα2sxB\nI7,C 2Dg→h(zh/z)\n2-z2 − z + 1)2\nz(1 − z)\n, (A-13)\nI7,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−e−ixLp\n+(yy−\n)e-ixLp\n2. (A-14)\nTenga en cuenta que la función de división 2(z2 − z + 1)2/z(1 − z) = 2[1 − z(1 − z)]2/z(1 − z) es\nsimétrico en z y 1− z. Por lo tanto, la fragmentación de los dos gluones finales da lugar a\nel factor de 2 frente a la función de fragmentación del gluón.\nFig. 8. La interferencia entre el canal t y s de qq̄ → aniquilación gg.\nFig. 9. El conjugado complejo de la Fig. 8.\nLas interferencias entre t y s-canal de qq̄ → gg procesos se muestran en Figs. 8 y\n9. Hay sólo dos cortes posibles en estos diagramas. Las contribuciones de la Fig. 8 son:\n8,C =\nα2sxB\nI8,C Dg→h(zh/z)\n1 + z3\nz(1 − z)\n1 + (1− z)3\nz(1 − z)\n, (A-15)\nα2sxB\nDq→h(zh/z)2\n1 + z3\nz(1− z)\n+ Dg→h(zh/z)2\n1 + (1− z)3\nz(1 − z)\n, (A-16)\nI8,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n×(1− e−ixLp+y\n2 )e−ixLp\n+(yy−\n), (A-17)\nI8,L = (y\n1 - y -2 )-(y - - y -1 )ei(x+xL)p\n×(e−ixLp+(yy)\n) − e−ixLp+(yy\n) ). (A-18)\nContribuciones de la Fig. 9, que son sólo el complejo conjugado de la Fig. 8, son:\n9,C =\nα2sxB\nI9,C Dg→h(zh/z)\n1 + z3\nz(1 − z)\n1 + (1− z)3\nz(1 − z)\n, (A-19)\n9,R =\nα2sxB\nDq→h(zh/z)2\n1 + z3\nz(1 − z)\n+ Dg→h(zh/z)2\n1 + (1− z)3\nz(1 − z)\n, (A-20)\nI9,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n×(1− e−ixLp+(yy\n))e-ixLp\n2, (A-21)\nI9,R = فارسى(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p\n×(1− e−ixLp+(y\n))e-ixLp\n1. (A-22)\nUno puede recoger todas las contribuciones del doble duro qq̄ → gg procesos de la central-\ndiagramas de corte, que deben tener el factor de fase común\n* C = (−y−2 ) * (y− − y−1 ) eixp\n+y−e−ixLp\n), (A-23)\ny obtener la función de división efectiva total en la parte dura,\nPqqgg(z) =\nz(1 − z)\n{C2F [1 + z2 + 1 + (1− z)2]− 2CF (CF − CA/2)\n+2CFCCA(1− z + z2)2 − CFCA[1 + z3 + 1 + (1− z)3]}\nz2 + (1− z)2\nz(1− z)\n− 2CA[z2 + (1− z)2]\n. (A-24)\nMás adelante, en el Apéndice A-3, veremos que el resultado anterior también puede obtenerse del\nelementos de matriz total al cuadrado para qq̄ → aniquilación gg.\nAhora consideramos los procesos de aniquilación qq̄ → qiq̄i con qi 6= q. Sólo está el\nproceso de canal s con un diagrama de corte central como se muestra en la Fig. 10. Su contribución a\nla parte difícil es\n10,C =\nα2sxB\nI10,C\nqi 6=q\n[Dqi→h(zh/z) +Dq̄i→h(zh/z)]\nFig. 10. s-canal qq̄ → aniquilación qiq̄i.\nFig. 11. t-canal qqi(q̄i) → qqi(q̄i) dispersión.\n×[z2 + (1− z)2]\n, (A-25)\nI10,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−e−ixLp\n+(yy)\n)e-ixLp\n2. (A-26)\nAquí definimos la función de división efectiva para qq̄ → aniquilación qiq̄i como,\nPqqqiq̄i(z) =\n[z2 + (1− z)2]. (A-27)\nDel mismo modo, para qq̄i → qq̄i dispersión con qi 6= q, sólo hay el canal t como se muestra en\nFig. 11. Hay, sin embargo, tres diagramas de corte. Sus contribuciones a la dura particónica\nparte son:\n11,C =\nα2sxB\nI11,C\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1- z)2\n+Dq̄i→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\n, (A-28)\n11,L(R) =\nα2sxB\nI11,L(R)\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1- z)2\n+Dg→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\n, (A-29)\nI11,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n× (1− e−ixLp+y\n2 )(1− e−ixLp+(yy\n), (A-30)\nI11,L =(y−1 − y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+(yy\n), (A-31)\nI11,R =(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n2 ). (A-32)\nEl elemento de matriz de correlación twist-cuatro dos-parten asociado con el quark anterior-\nla dispersión antiquark es el correlator quark-antiquark,\nTAqq̄i(x, xL)\nixp+yixLp\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 ) A, (A-33)\ny uno debe sumar sobre todos los posibles sabores qi 6= q. Tenga en cuenta que en el elemento de matriz anterior,\nel flujo de impulso para el antiquark (q̄i) es opuesto al de los campos quark (q).\nPara la dispersión quark-quark, qqi → qqi, la parte dura es esencialmente la misma. El único\ndiferencia es el elemento de matriz asociado para el correlator quark-quark que es ob-\nproveniente de la del correlator quark-antiquark a través del intercambio qi(y2) → qi(y2)\ny qi(y1) → qi(y1),\nTAqqi(x, xL)\nixp+yixLp\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n1 )A. (A-34)\nTenga en cuenta que los flujos de impulso de los dos quarks (q y qi) apuntan en la misma dirección.\nLa función de división efectiva de este proceso de dispersión se define a través de los fragmen-\nla puesta del quark en el diagrama de corte central,\nPqqi(q̄i)→qqi(q̄i)(z) =\n1 + z2\n(1- z)2\n. (A-35)\nPara aniquilación qq̄ → qq̄ en pares de quark y antiquark idénticos, además de la\ns-canal (Fig. 10 para qi = q) y t-canal (Fig. 11 para qi = q̄), uno también tiene que considerar\nla interferencia entre las amplitudes s y t-canal como se muestra en las Figs. 12 y 13, cada uno\ntener dos cortes. Sus contribuciones a las partes duras son, respectivamente:\nFig. 12. Interferencia entre s y t-canal de qq̄ → qq̄ dispersión\nFig. 13. El conjugado complejo de la Fig. 12.\n12,C =\nα2sxB\nI12,C\nDq→h(zh/z)\n(1 a z)\n+Dqh(zh/z)\n2(1− z)2\nCF (CF − CA/2)\n, (A-36)\n12,L =\nα2sxB\nI12,L\nDq→h(zh/z)\n(1 a z)\n+Dg→h(zh/z)\n2(1− z)2\nCF (CF − CA/2)\n, (A-37)\nI12,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n×(1− e−ixLp+y\n2 )e−ixLp\n+(yy−\n), (A-38)\nI12,L = (y\n1 - y -2 )-(y - - y -1 )ei(x+xL)p\n×(e−ixLp+(yy)\n) − e−ixLp+(yy\n) ; (A-39)\nFig. 14. La interferencia entre t y u-canal de cuark-cuark idéntico dispersión qq → qq.\n13,C =\nα2sxB\nI13,C\nDq→h(zh/z)\n(1 a z)\n+Dqh(zh/z)\n2(1− z)2\nCF (CF − CA/2)\n, (A-40)\n13,R =\nα2sxB\nI13,R\nDq→h(zh/z)\n(1 a z)\n+Dg→h(zh/z)\n2(1− z)2\nCF (CF − CA/2)\n, (A-41)\nI13,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n×(1− e−ixLp+(yy\n))e-ixLp\n2, (A-42)\nI13,R = فارسى(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p\n×(e−ixLp+y\n1 − e−ixLp+y\n2 ). (A-43)\nUna vez más se pueden recoger contribuciones de los diagramas de corte central de la dispersión doble\nprocesos en Figs. 10, 11 12 y 13 y obtener la función de división efectiva total para\nqq̄ → qq̄,\nPqqqq̄(z) =\n[z2 + (1− z)2] +\n1 + z2\n(1- z)2\nCF (CF − CA/2)\nz2 + (1− z)2 +\n1 + z2\n(1- z)2\n. (A-44)\nAquí hemos usado CF − CA/2 = −1/2Nc. Para la fragmentación anticuarto, Pqqq̄q(z) =\nPqqqq̄(1 − z). Uno también puede obtener el resultado anterior de qq̄ → qq̄ matriz de dispersión\nal cuadrado como se muestra en el apéndice A-3.\nDel mismo modo, para la dispersión de quarks idénticos qq → qq, uno debe establecer qi = q en Fig. 11[en\nEq. (A-28)]. Además, también debería incluirse la interferencia entre t y u-canal\nde la dispersión como se muestra en la Fig. 14. Las contribuciones de este diagrama de interferencia\n14,C =\nα2sxB\nI14,C\n× 2Dq→h(zh/z)\nz(1 − z)\nCF (CF − CA/2)\n, (A-45)\n14,L(R) =\nα2sxB\nI14,L(R)\n× [Dq→h(zh/z) +Dg→h(zh/z)]\nz(1− z)\nCF (CF − CA/2)\n, (A-46)\nI14,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n× (1− e−ixLp+y\n2 )(1− e−ixLp+(yy\n), (A-47)\nI14,L =(y−1 − y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+(yy\n), (A-48)\nI14,R =(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n2 ). (A-49)\nNótese de nuevo que la fragmentación de ambos quarks contribuye al factor 2 en Eq. (A-\n45) ya que la función de división es simétrica en z y 1 − z. El giro-cuatro dos-cuarto\nelemento de matriz de correlación asociado con qq → dispersión qq es TAqq(x, xL) en comparación\na TAqq̄(x, xL) para procesos de aniquilación quark-antiquark.\nPodemos sumar las contribuciones de la dispersión dura doble en todos los diagramas de corte central\nen Figs. 11 y 14 y obtener la función de división efectiva total para procesos qq → qq,\nPqq→qq(z) =\n1 + z2\n(1- z)2\n1 + (1− z)2\nCF (CF − CA/2)\nz(1 − z)\n1 + z2\n(1- z)2\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\n. (A-50)\nHay dos diagramas de corte restantes que contribuyen a la aniquilación quark-antiquark\nal orden de O(α2s) como se muestra en las Figs. 15 y 16. Sus contribuciones son las siguientes:\n15,L =\nα2sxB\nI15,L\nDq→h(zh/z)2\n1 + z2\n+Dg→h(zh/z)2\n1 + (1− z)2\n, (A-51)\nI15,L =(y−1 − y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−e−ixLp\n+(yy)\n), (A-52)\nFig. 15. Interferencia entre la radiación gluon del estado final de dispersión de un solo y triple cuarteto.\nFig. 16. El conjugado complejo de la Fig. 15.\n16,R =\nα2sxB\nI16,R\nDq→h(zh/z)2\n1 + z2\n+Dg→h(zh/z)2\n1 + (1− z)2\n, (A-53)\nI16,R =(−y−2 )♥(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−e−ixLp\n1. (A-54)\nA-2 Funciones efectivas de división\nEn este Apéndice, enumeramos las funciones de división efectivas asociadas a cada proceso\nqa→ b y el doble duro (HI), hard-soft (SI) o sus interferencias (I, I2) según\na Eq. (73).\nqqi(q̄i)→qi(q̄i)\nz) =\n1 + (1− z)2\nqqi(q̄i)→q\nz) =\n1 + z2\n(1- z)2\nqqi(q̄i)→qi(q̄i)\nz) =\n1 + (1− z)2\nqqi(q̄i)→g\n(z) = −1 + (1− z)\n(A-55)\nqqqi(z) =P\nqqq̄i(z) = z\n2 + (1− z)2,\nqqqi(z) =P\nqqq̄i(z) = z\n2 + (1− z)2, (A-56)\nP (HI)qq→q(z) =\n1 + (1− z)2\n1 + z2\n(1- z)2\nz(1 − z)\nP (SI)qq→g(z) =−P (SI)qq→q(z), (A-57)\nP (SI)qq→q(z) =\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\nqqq(z) = z\n2 + (1− z)2 + 1 + z\n(1- z)2\nqqq̄(z) =P\nqqq(1− z),\nqqg(z) = 2CF\nz2 + (1− z)2\nz(1 − z)\n− 2CA[z2 + (1− z)2], (A-58)\nqqq(z) =−\nz(1 − z)\n+ 2CF\nqqq̄(z) =\n1 + (1− z)2\nqqg(z) =\nz(1 − z)\n+ 2CF\n− 1 + (1− z)\n(A-59)\nqqq(z) = z\n2 + (1− z)2 −\nz(1 − z)\n− 2CF\nqqq̄(z) = z\n2 + (1− z)2,\nqqg(z) =CA\n4(1− z + z2)2 − 1\nz(1 − z)\n− 2CF\n(1- z)2\n, (A-60)\nqqq(z) =\nz(1 − z)\n− 2CF\nqqg(z) =\nz(1 − z)\n− 2CF\n. (A-61)\nLas funciones de división no-singlet para qq̄ → b, definido como\nqqb(z) P\nqqb(z)− P\nqq→b(z), (A-62)\nse enumeran a continuación:\nN(HI)\nqqqi(q̄i)\n(z) =P\nqqqi(q̄i)\n(z), (P)\nqqqi(q̄i)\n(z) = P\nqqqi(q̄i)\nz), (A-63)\nN(HI)\nqqq (z) =−\n(1− z2)(1 + z2 + (1− z)2)\n1 + z3\nz(1− z)\nN(HI)\nqqq̄ (z) =P\nqqq̄(z), ŁP\nN(HI)\nqqg (z) = P\nqqg(z), (A-64)\nN(SI)\nqqq (z) =−\n1 + z2\n1 + (1− z)2\nN(SI)\nqqq̄ (z) =P\nqqq̄(z)\nN(SI)\nqqg (z) = 2CF\n1 + z2\nz(1 − z)\n1 + (1− z)2\n(A-65)\nqqb(z) =P\nqqb(z), ŁP\nN(I2)\nqqb (z) = P\nqqb(z) (b = q, q̄, g) (A-66)\nA-3 Cálculos alternativos de diagramas de corte central\nComo control cruzado de las partes duras de la parte partónica calculadas a partir de diferentes diagramas de corte en\nApéndice A-1, proporcionamos un cálculo alternativo de todos los diagramas de corte central,\nque corresponden a la dispersión quark-quark (antiquark).\nConsiderando una parten (a) con impulso q dispersando con otra parten (b) que\nlleva un momento fraccionario xp, a(q) + b(xp) → c(l) + d(p′), la sección transversal puede ser\npor escrito como\ndđab =\nM 2ab→cd(t/, û/)\n(2l)32l0\n2[(p+ q − l)2]\n(4η)2\nM 2ab→cd(t/, û/)\nz(1− z)\ndl2T\n, (A-67)\ndonde q = [0, q−, 0] y p = [xp+, 0, 0] son momentáneas de las partes iniciales y\n, zq−, ~lT\n(A-68)\nes el impulso de una de las partes finales. Con la cinemática dada, el on-shell\ncondición en la sección transversal se puede refundir como\n(xp + q − l)2 = 2(1− z)xp+q−\n1 - xL\n, xL =\n2z(1− z)p+q−\n. (A-69)\nLas variables Mandelstam de la colisión son,\n=(q + xp)2 = 2xp+q− =\nz(1 − z)\n, û = (l− xp)2 = −z\nt=(l− q)2 = −(1 − z)\n• = −(1− z), (A-70)\ndonde hemos utilizado la condición en la cáscara x = xL.\nCon Eq. (A-67) y funciones de distribución de parten fNb (x), se puede obtener la parten-\nsección transversal de nucleón,\ndaN =\ndđabf\nb (x)dx\nfNb (xL)xLM 2ab→cd(tÃ3rÃ, û/)\nz(1− z)\nfNb (xL)\nC0Pab→cd(z)dz\n, (A-71)\ndonde s = 2p+q− es la energía del centro de la masa para la colisión aN, C0 es algún color común\nfactor en los elementos de la matriz de dispersión y\nPab→cd(z) = (1/C0)M 2ab→cd(tÃ3rá/, û/) (A-72)\nes lo que hemos definido como la función de división efectiva para los procesos correspondientes.\nPor lo tanto, se puede obtener fácilmente estas funciones de división efectiva de la correspondiente\nelementos de matriz para la dispersión elemental de parten-parten [39]. Los enumeraremos en el fol-\nLoading. Un factor de color común para toda dispersión quark-quark(antiquark) es C0 = CF/Nc.\nqq̄ → aniquilación qiq̄i:\nM 2qqqiq̄i =\ntâ € 2 + û2\nPqqqiq̄i(z) = z\n2 + (1− z)2. (A-73)\nqq̄ → aniquilación qq̄:\nM 2qqqq̄ =\nû2 + â € 2\nû2 + tâ € 2\nPqqqq̄(z) =\n1 + z2\n(1- z)2\n+ z2 + (1− z)2 +\n. (A-74)\nqq̄ → aniquilación gg:\nM 2qqgg =\n− 2CA\nû2 + tâ € 2\nPqqgg(z) = 2CF\nz2 + (1− z)2\nz(1− z)\n− 2CA(z2 + (1− z)2). (A-75)\nqqi(q̄i) → qqi(q̄i) scattering:\nM 2qqi(q̄i)→qqi(q̄i)=\nû2 + â € 2\nPqqi(q̄i)→qqi(q̄i)(z) =\n1 + z2\n(1- z)2\n. (A-76)\nqq → dispersión qq:\nM 2qq→qq =\nû2 + â € 2\n2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +\nPqq→qq(z) =\n1 + z2\n(1- z)2\n1 + (1− z)2\nz(1− z)\n. (A-77)\nPara la dispersión de quark-gluon Compton, la función de distribución de gluon relevante es xLGN (xL).\nPor lo tanto, se puede reescribir la contribución de qg → qg a Eq. (A-71) como,\ndqN = xLGN(xL)\nsz(1 − z)M 2qg→qg(tÃ3rá, û/Ã)dz\nxLGN(xL)+2s\nPqg→qg(z)dz\n. (A-78)\nTenemos entonces para qg → qg dispersión,\nM 2qg→qg =\n•2 + û2\nû2 + â € 2\nPqg→qg(z) = z(1 − z)\n1 + z2\n(1- z)2\n1 + z2\n. (A-79)\nComparando este resultado con el de Ref. [18] para el rescatado quark-gluon, podemos ver\nque están de acuerdo en el límite 1 − z → 0. Esto es una consecuencia de la aproximación colineal\nmación empleada en Ref. [18] en el cálculo de la parte dura del quark-gluón\nRescatando.\nTambién podemos extender este cálculo al caso de dispersión gluon-nucleón. Uno puede usar\nEq. (A-71) para definir la función de división para la dispersión de gq → gq,\nM 2gq→gq =\n2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +\nt+2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + + + 2 + 2 + 2 + 2 + + + + + + 2 + 2 + 2 + + + 2 + + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + + + + + + 2 + + + 2 + 2 \nPgq→gq(z) = z(1 − z)\n1 + (1− z)2\n1 + (1− z)2\n(1 a z)\n. (A-80)\nAquí para la dispersión gluon-partón, no hay factor de color común.\ngg → aniquilación qq̄,\nM 2gg→qq̄ =\ntâ € 2 + û2\ntâ € 2 + û2\nPgg→qq̄(z) = z(1 − z)\nz2 + (1− z)2\nz(1− z)\n[z2 + (1− z)2]\n. (A-81)\ngg → gg scattering\nM 2gg→gg=2\n3 - t\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n− t\nPgg→gg(z) = 2\n(1− z + z2)3\nz(1− z)\n. (A-82)\nSe puede utilizar esta técnica para extender el estudio de funciones de fragmentación modificadas a\nGluones de propagación. Dado que la modificación está dominada por quark-gluon y gluon-gluon\nscattering, comparando las funciones de división efectivas,\nPqg→qg(z)\n, (A-83)\nPgg→gg(z)\n, (A-84)\nen el límite z → 1, se puede concluir que la pérdida de energía radiativa de un gluón es mayor que\na quark por un factor de Nc/CF = CA/CF = 9/4. Dejaremos la derivación completa de\nmodificación media de las fragmentaciones de gluón a una publicación futura.\nBibliografía\n[1] K. Adcox et al., [PHENIX Collaboration], Phys. Rev. Lett. 88, 022301 (2002).\n[2] C. Adler et al., [STAR Collaboration], Phys. Rev. Lett. 89 202301 (2002).\n[3] C. Adler et al., [STAR Collaboration], Phys. Rev. Lett. 90, 082302 (2003).\n[4] M. Gyulassy y L. McLerran, Nucl. Phys. A 750, 30 (2005).\n[5] P. Jacobs y X. N. Wang, Prog. Parte. Nucl. Phys. 54, 443 (2005).\n[6] J. W. Qiu, [arXiv:hep-ph/0507268].\n[7] J. W. Qiu y G. Sterman, Int. J. Mod. Phys. E 12 (2003) 149.\n[8] X. F. Guo, Phys. Rev. D58 (1998) 114033.\n[9] X. F. Guo, J. W. Qiu y W. Zhu, Phys. Lett. B 523 (2001) 88.\n[10] R. J. Fries, A. Schäfer, E. Stein y B. Muller, Nucl. Phys. B 582, 537 (2000).\n[11] J. W. Qiu y X. Zhang, Phys. Lett. B 525 (2002) 265.\n[12] J. W. Qiu e I. Vitev, Phys. Rev. Lett. 93, 262301 (2004), J. W. Qiu e I. Vitev, Phys.\nLett. B 587, 52 (2004).\n[13] M. Gyulassy y X.-N. Wang, Nucl. Phys. B 420, 583 (1994); X.-N. Wang, M. Gyulassy\ny M. Plümer, Phys. Rev. D 51, 3436 (1995).\n[14] R. Baier y otros, Nucl. Phys. B 483, 291 (1997). Nucl. Phys. B 484, 265 (1997); Phys. Rev.\nC 58, 1706 (1998).\n[15] B. G. Zakharov, JETP Lett. 63, 952 (1996).\n[16] M. Gyulassy, P. Lévai e I. Vitev, Nucl. Phys. B594, 371 (2001); Phys. Rev. Lett. 85,\n5535 (2000).\n[17] U. Wiedemann, Nucl. Phys. B588, 303 (2000); C. A. Salgado y U. A. Wiedemann, Phys.\nRev. Lett. 89, 092303 (2002).\n[18] X. F. Guo y X.-N. Wang, Phys. Rev. Lett. 85, 3591 (2000);\nX.-N. Wang y X. F. Guo, Nucl. Phys. A 696, 788 (2001).\n[19] B. W. Zhang y X.-N. Wang, Nucl. Phys. A 720, 429 (2003); B. W. Zhang, E. Wang\ny X.-N. Wang, Phys. Rev. Lett. 93, 072301 (2004); B. W. Zhang, E. K. Wang y\nX.-N. Wang, Nucl. Phys. A 757, 493 (2005).\n[20] B. Z. Kopeliovich, A. Schäfer y A. V. Tarasov, Phys. Rev. C 59 (1999) 1609\n[arXiv:hep-ph/9808378].\n[21] M. Gyulassy, I. Vitev, X. N. Wang y B. W. Zhang, Quark-Gluon Plasma 3, R. C. Hwa y\nX.-N Wang, Eds. (World Scientific, Singapur, 2003), p123-191 [arXiv:nucl-th/0302077].\n[22] A. Kovner y U. A. Wiedemann, arXiv:hep-ph/0304151.\n[23] M. Luo, J. W. Qiu y G. Sterman, Phys. Lett. B 279 (1992) 377; Phys. Rev. D 50 (1994)\n1951;\nPhys. Rev. D 49, 4493 (1994).\n[24] E. Wang y X.-N. Wang, Phys. Rev. Lett. 89, 162301 (2002) [arXiv:hep-ph/0202105].\n[25] A. Airapetian et al. [HERMES Colaboración], Eur. Phys. J. C 20, 479 (2001)\n[arXiv:hep-ex/0012049].\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ph/0507268\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ph/9808378\nhttp://arxiv.org/abs/nucl-th/0302077\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ph/0304151\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ph/0202105\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ex/0012049\n[26] A. Airapetian et al. [HERMES Colaboración], Phys. Lett. B 577, 37 (2003)\n[arXiv:hep-ex/0307023].\n[27] X. N. Wang, Phys. Lett. B 595, 165 (2004) [arXiv:nucl-th/0305010].\n[28] T. Falter, W. Cassing, K. Gallmeister y U. Mosel, Phys. Rev. C 70, 054609 (2004)\n[arXiv:nucl-th/0406023].\n[29] B. Z. Kopeliovich, J. Nemchik, E. Predazzi y A. Hayashigaki, Nucl. Phys. A 740, 211\n(2004) [arXiv:hep-ph/0311220].\n[30] V. N. Gribov y L. N. Lipatov, Sov. J. Nucl. Phys. 15, 438 (1972); Yu. L. Dokshitzer,\nSov. Phys. JETP 46, 641 (1977); G. Altarelli y G. Parisi, Nucl. Phys. B126, 298 (1977);\n[31] R. D. Field, Aplicaciones del QCD Perturbativo, Frontiers in Physics Lecture, Vol. 77, Ch.\n5.6 (Addison Wesley, 1989).\n[32] M. E. Peskin y D. V. Schroeder, Introducción a la Teoría de Campo de Quantuam, (Addison-\nWesley Advanced Book Program, 1995).\n[33] J. Osborne y X.-N. Wang, Nucl. Phys. A 710, 281 (2002) [arXiv:hep-ph/0204046].\n[34] X. N. Wang, arXiv:nucl-th/0604040.\n[35] H. L. Lai y otros [Colaboración CTEQ], Eur. Phys. J. C 12, 375 (2000)\n[arXiv:hep-ph/9903282]; Uno puede utilizar la calculadora de distribución de parten en línea en\nhttp://durpdg.dur.ac.uk/HEPDATA/PDF.\n[36] F. Gelis, K. Kajantie y T. Lappi, Phys. Rev. Lett. 96, 032304 (2006)\n[arXiv:hep-ph/0508229].\n[37] W. Liu, C. M. Ko y B. W. Zhang, arXiv:nucl-th/0607047.\n[38] J. Binnewies, B. A. Kniehl y G. Kramer, Phys. Rev. D 52, 4947 (1995)\n[arXiv:hep-ph/9503464].\n[39] R. Cutler y D. W. Sivers, Phys. Rev. D 17, 196 (1978).\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ex/0307023\nhttp://arxiv.org/abs/nucl-th/0305010\nhttp://arxiv.org/abs/nucl-th/0406023\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ph/0311220\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ph/0204046\nhttp://arxiv.org/abs/nucl-th/0604040\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ph/9903282\nhttp://durpdg.dur.ac.uk/HEPDATA/PDF\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ph/5508229\nhttp://arxiv.org/abs/nucl-th/0607047\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ph/9503464\n\tIntroducción\n\tFormalismo general\n\tProcesos de dispersión doble Quark-quark\n\tFunciones de fragmentación modificadas\n\t q\"7016q g aniquilación\n\tq\"7016q qi\"7016qi aniquilación\n\tqqi(\"7016qi) qqi(\"7016qi) scattering\n\tdispersión qqqqq\n\tq\"7016q q\"7016q, gg aniquilation\n\tModificación debida a la mezcla quark-gluon\n\tLa dependencia del sabor del medio modificado fragmentación\n\tResumen\n\tPartes duras para doble scattering quark-quark\n\tFunciones de división eficaces\n\tCálculos alternativos de diagramas de corte central\n\tBibliografía\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" Modificaciones de las funciones de fragmentación de quark y antiquark debido a\nse estudia la doble dispersión de quark-quark (antiquark) en medio nuclear\nsistemáticamente hasta el orden \\cal{O}(\\alpha_{s2)$ en profundamente inelástico\ndispersión (DIS) de objetivos nucleares. En el orden $\\cal{O}(\\alpha_s^2)$,\ntwist-cuatro contribuciones de quark-quark (antiquark) rescattering también exhiben\nla característica de interferencia Landau-Pomeranchuck-Midgal (LPM) similar al gluón\nbremsstrahlung inducido por la dispersión de múltiples parten. Comparado con quark-gluon\ndispersión, la modificación, que está dominada por $t$-canal quark-cuark\n(antiquark) dispersión, es sólo más pequeño por un factor de $C_F/C_A=4/9$ veces el\nrelación de las distribuciones de quark y gluon en el medio. Esa modificación es la siguiente:\nno es insignificante para la cinemática realista y el tamaño mediano finito. Los\nmodificaciones de las funciones de fragmentación quark (antiquark) desde quark-antiquark\nlos procesos de aniquilación se muestran determinados por el anticuarco (cuarco)\ndensidad de distribución en el medio. La asimetría en quark y antiquark\nlas distribuciones en los núcleos conducirán a diferentes modificaciones de quark y\nfragmentación antiquark funciona dentro de un núcleo, que cualitativamente\nexplica la dependencia del sabor observada experimentalmente del hadrón principal\nsupresión en el DIS semi-inclusivo de objetivos nucleares. El quark-antiquark\nprocesos de aniquilación también mezclan funciones de fragmentación de quark y gluon en el\ngran región de impulso fraccionario, lo que conduce a una dependencia del sabor de jet\namortiguación en colisiones de iones pesados.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción\nLa dispersión de múltiples partes en un medio denso se puede utilizar como una herramienta útil para estudiar\npropiedades de la materia nuclear caliente y fría. El éxito de este enfoque ha sido\ndemostrado por el descubrimiento de fuertes fenómenos de apagado de chorro en el centro de Au + Au\ncolisiones en el colisionador de iones pesados relativistas (RHIC) [1,2,3] y sus implicaciones\nsobre la formación de un plasma de quark-gluón fuertemente acoplado en RHIC [4,5]. Sin embargo,\npara un estudio fenomenológico convincente de los datos experimentales existentes y futuros,\nuna descripción unificada de todos los efectos medios en procesos duros en los que participan núcleos, tales como\ncolisiones electrón-núcleo (e + A), hadrón-núcleo (h + A) y núcleo-núcleo (A +\nA) tiene que ser desarrollado [6,7]. Esto debe incluir la física del impulso transversal\nampliación [8], fuerte mejora nuclear en la producción de DIS [9] y Drell-Yan [10,11],\nla sombra nuclear [12], y la pérdida de energía de parten debido a la radiación de gluón inducida por múltiples\ndispersión [13,14,15,16,17,18,19].\nExisten muchos marcos diferentes en la literatura para describir la dispersión múltiple\nen un medio nuclear [20,21,22]. Entre ellos, el enfoque de expansión de giro se basa en\nla factorización generalizada en QCD perturbante como desarrollado inicialmente por Luo, Qiu\ny Sterman (LQS) [23]. En el formalismo LQS, los procesos de dispersión múltiple generalmente\nEn el caso de la distribución de la parten, las correlaciones de múltiples partes de alta torsión son similares a las de la distribución de la parten.\nen los procesos de torsión líderes. Aunque las correcciones correspondientes de giro superior son\nSuprimidas por poderes de 1/Q2, son reforzadas al menos por un factor de A1/3 debido a\ndispersión múltiple en un núcleo grande. Este marco se ha aplicado recientemente al estudio\nmodificación media de las funciones de fragmentación como parten principal se propaga\na través del medio [18,19]. Debido al Landau-Pomeranchuck-Midgal no abeliano\ninterferencia en el gluon bremsstrahlung inducida por la dispersión de múltiples partes en los núcleos,\nlas modificaciones nucleares de mayor torsión a las funciones de fragmentación se mejoran de hecho\npor A2/3, cuadrático en el tamaño nuclear [18,19]. Estudio fenomenológico de la energía Parton\npérdida y modificación nuclear de las funciones de fragmentación en materia nuclear fría [24]\nda una buena descripción de la modificación nuclear de los principales espectros de hadrones en semi-\nInclusive diseminación profundamente inelástica del leptón-núcleo observado por el experimento HRMES\n[25,26]. El mismo marco también da una explicación convincente para la supresión de\ngrandes hadrones de impulso transversal descubiertos en RHIC [27].\nEl énfasis de los estudios recientes de la modificación media de las funciones de fragmentación tiene\nha estado en la pérdida de energía radiativa parten inducida por la dispersión múltiple con gluones. Semejante\nprocesos de hecho son dominantes en relación con la dispersión múltiple con quarks debido a la\nabundancia de gluones blandos en núcleos fríos o materia caliente densa producida en iones pesados\ncolisiones. Dado que gluon bremsstrahlung inducido por la dispersión con gluones medios es el\nigual para quarks y anti-quarks, también se espera la pérdida de energía y la fragmentación\nmodificación para ser idéntica para quarks y anti-quarks. Sin embargo, en un medio con fi-\nla densidad de los bariones, como los núcleos fríos y la región delantera de las colisiones de iones pesados,\nla diferencia entre las distribuciones de quark y antiquark en el medio debe dar lugar a\nent pérdida de energía y funciones de fragmentación modificadas para quarks y antiquarks a través de\nProcesos de aniquilación quark-antiquark. Para estudiar tal asimetría, uno debe considerar\nsistemáticamente todos los posibles procesos de dispersión quark-quark y quark-antiquark, que\nserá el centro de atención de este documento.\nEn este estudio vamos a calcular las modificaciones de la fragmentación quark y antiquark\nfunciones (FF) debidas a la doble dispersión de quark-quark (antiquark) en un medio nuclear,\ntrabajar dentro del marco LQS para la factorización generalizada en QCD perturbador.\nPara una descripción completa de la modificación nuclear de la especificación de hadron\ntra, todavía hay que considerar la modificación media de las funciones de fragmentación del gluón en\nAdemás de la función de fragmentación de quark modificada debido a la dispersión de quark-gluón [18].\nLos resultados teóricos presentados en este trabajo serán un segundo paso hacia una completa\ndescripción de las funciones de fragmentación de mediana modificación. Sin embargo, ya se puede encontrar\nque quark-quark (antiquark) doble dispersión dará diferentes correcciones a quark\ny antiquark FF, dependiendo de la densidad antiquark y quark del medio, respec-\nTily. Esta diferencia entre quark modificado y antiquark FF puede arrojar luz sobre el\ninteresante observación por el experimento HERMES [25,26] de una gran diferencia entre\nsupresión nuclear de los principales espectros de protones y antiprotones en el DIS semi-inclusivo\nde grandes núcleos. Tal imagen de quark-quark (antiquark) dispersión puede proporcionar un com-\nmecanismo de contacto para el fenómeno observado experimentalmente, además de posible\nabsorción de hadrones de estado final dentro de la materia nuclear [28,29].\nEl documento se organiza de la siguiente manera. En la próxima sección vamos a presentar la general para\nmalismo de nuestro cálculo incluyendo la factorización generalizada de los procesos twist-4.\nEn la Sección III ilustraremos el procedimiento de cálculo de las partes\nQuark-quark doble dispersión en núcleos. En la Sección IV discutiremos las modificaciones\na funciones de fragmentación quark y antiquark debido a quark-quark (antiquark) dou-\nble dispersión en los núcleos. En la Sección V, nos centraremos en la parte dependiente del sabor de la\nmediana modificación al quark FF debido a la aniquilación quark-antiquark y lo haremos\ndiscutir las implicaciones para la dependencia del sabor de los principales espectros de hadrones en ambos\nDIS de un núcleo y colisiones de iones pesados. Resumiremos nuestra labor en la Sección VI. In\nel Apéndice A-1, recogemos los resultados completos para las partes duras de\ndiagramas cortados de quark-quark (antiquark) rescattering doble en núcleos. También proporcionamos\nun cálculo alternativo de las partes duras de los diagramas de corte central del apéndice A-3\na través de la dispersión elástica quark-quark o aniquilación quark-antiquark como un control cruzado.\n2 Formalismo general\nCon el fin de estudiar quark y antiquark FF en semi-inclusive profundamente inelástico leptón-\ndispersión del núcleo, consideramos los siguientes procesos,\ne(L1) + A(p) e(L2) + h(lh) +X,\nAp Ap\nFig. 1. El orden más bajo y la contribución líder-twist al DIS semi-inclusive.\ndonde L1 y L2 son los cuatro momentos de los leptones entrantes y salientes, y lh\nes el impulso de hadron observado. La sección transversal diferencial para el semi-inclusivo\nproceso puede expresarse como\nEL2Elh\ndđhDIS\nd3L2d3lh\nLŁElh\ndW فارسى\n, (1)\ndonde p = [p+, 0, 0] es el momento por nucleón en el núcleo, q = L2 − L1 =\n[−Q2/2q−, q−, 0] la transferencia de impulso transportada por el fotón virtual, s = (p + L1)2\nel centro de energía de masa leptón-nucleón y αEM es el acoplamiento electromagnético (EM)\nconstante. El tensor leptonico es dado por L = 1/2Tr (γ · L1 · L2) mientras que el semi-\nel tensor hadrónico inclusivo se define como,\n«AJμ(0)X, hX, hJ/(0)A24(q + p- pX- lh) (2)\ndonde\nX recorre todos los estados finales posibles y Jμ =\nq eqqq es el EM hadronic\nactual.\nAsumiendo la factorización colineal en el modelo de parten, la contribución\nla sección transversal semi-inclusive se puede factorizar en un producto de distribuciones de partón,\nfunciones de fragmentación de parten y la sección transversal de parten. Incluyendo todos los registros principales\ncorrecciones radiativas, la contribución de orden más bajo [O(α0s)] de un solo duro + q\nesparciendo, como se ilustra en la Fig. 1, se puede escribir como\ndW S..............................................................................................................................................................................................................................................................\ndxfAq (x, μ\n(x, p, q)Dq→h(zh, μ\n2) ; (3)\nH(0)-(x, p, q) =\nTr(γ · p · (q + xp))\n2p · q\n(x– xB), (4)\ndonde la fracción de impulso transportada por el hadrón se define como zh = l\n−, xB =\nQ2/2p+q− es la variable de escala de Bjorken, μ2I y μ\n2 son las escalas de factorización para\nlas distribuciones de quark iniciales fAq (x, μ\nI) en un núcleo y las funciones de fragmentación\nen vacío Dq→h(zh, μ\n2), respectivamente. Función de fragmentación de quarks renormalizada\nDq→h(zh, μ\n2) cumple las ecuaciones de evolución del QCD DGLAP [30]:\nDq→h(zh, μ\n lnμ2\nγq→qg(z)Dq→h(zh/z, μ\n+ γq→gq(z)Dg→h(zh/z, μ\n; (5)\nDg→h(zh, μ\n lnμ2\nγg→qq̄(z)Dq→h(zh/z, μ\n+ γg→gg(z)Dg→h(zh/z, μ\n, (6)\ndonde γa→bc(z) denota las funciones de división de los procesos radiativos correspondientes\n[31,32].\nEn DIS fuera de un objetivo nuclear, el quark de propagación experimentará scatterings adicionales\ncon otras partes del núcleo. Los rescatterings pueden inducir parten adicional\n(cuark o gluon) radiación y hacer que el quark principal pierda energía. Tal inducido\nLa radiación dará lugar efectivamente a términos adicionales en la ecuación de evolución de la DGLAP\ndando lugar a una modificación de las funciones de fragmentación en un medio. Estos son el poder...\nSuprimió las correcciones de la twist superior e involucran elementos de la matriz de la parten de la twist superior.\nSólo vamos a considerar aquellas contribuciones que implican correlaciones de dos partes de dos\ndiferentes nucleones dentro del núcleo. Son proporcionales al espesor del núcleo\n[18,23,33] y, por lo tanto, se ven reforzadas por un factor nuclear A1/3 en comparación con dos partes\ncorrelaciones en un nucleón. Al igual que en estudios anteriores [18,19], limitaremos nuestro estudio a\nprocesos de dispersión doble en un medio nuclear. Estos son torsión-cuatro procesos y dar\nlas principales contribuciones a los efectos nucleares. Las contribuciones de procesos de torsión superior o\nPor el momento no se tendrán en cuenta las contribuciones no mejoradas por el medio nuclear.\nAl considerar la doble dispersión con la mejora nuclear, un proceso muy importante\nes doble dispersión quark-gluon como se ilustra en la Fig. 2. Tales procesos dan a la dominante\ncontribución a la principal pérdida de energía quark y han sido estudiados en detalle en Refs.\n[18,19]. La modificación a la función de fragmentación quark vacío de quark-gluon\nla dispersión es,\nqg→qg\nq→h (zh)=\nα2sCA\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1- z)+\nTAqg(x, xL)\nfAq (x)\n+ (z − 1)\nTTAqg(x, l\nfAq (x)\n+Dg→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\nTAqg(x, xL)\nfAq (x)\n, (7)\nFig. 2. Un diagrama típico para la dispersión doble quark-gluon con tres posibles cortes [central(C),\nizquierda (L) y derecha (R)].\ndonde la función + se define como\nF (z)\n(1 − z)+\nF (z)− F (1)\npara cualquier F (z) suficientemente suave a z = 1 y la torsión-cuatro quark-gluon correla-\nfunción de tion,\nTAqg(x, xL) =\ndy−1 dy\ni(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n2 )(1− e−ixLp+(yy\nAq(0)\nF (y\n(y−1)q(y\n−)A(−y−2 )فارسى(y− − y−1 ), (9)\ntiene interferencia explícita incluida. El elemento matricial en la corrección virtual [el término\nse define de la siguiente manera:\nTTAqg(x, l\nT )\n2TAqg(x, xL)z=1 − (1 + z2)TAqg(x, xL)\n. (10)\nDesde TAqg(x, xL)/f\nq (x) es proporcional a la distribución del gluón e independiente del sabor\ndel quark principal, la supresión del espectro de hadrones causada por el quark-gluón o\nla dispersión antiquárk-gluón debe ser proporcional a la densidad de gluón del medio\ny es idéntico para la fragmentación de quark y antiquark. Fue mostrado en Ref. [24] que\ntal modificación de las funciones de fragmentación de Parton por doble dispersión quark-gluon\ny gluon bremsstrahlung en un medio nuclear describe muy bien el reciente HERMES\ndatos [25] sobre el DIS semi-inclusivo fuera de los objetivos nucleares.\nFig. 3. Diagrama para la orden principal de aniquilación quark-antiquark con tres posibles cortes [cen-\ntral(C), izquierda(L) y derecha(R)].\nFig. 4. Un diagrama típico para la corrección de orden siguiente a líder a la aniquilación quark-antiquark\ncon tres posibles cortes [central(C), izquierda(L) y derecha(R)].\nEn este artículo, vamos a considerar quark-quark (antiquark) doble dispersión como el\nproceso mostrado en la Fig. 3 y sus correcciones radiativas en orden O(α2s) en la Fig. 4. Los\ncontribuciones de quark-quark doble dispersión es proporcional a la densidad de quark en\nun nucleón, mientras que la contribución de doble dispersión quark-gluón es proporcional a\nla densidad de gluón en un nucleón; y la densidad de gluón es generalmente mayor que el quark\ndensidad en un nucleón a pequeña fracción de impulso. Sin embargo, como se ha señalado en trabajos anteriores\n[18], quark-quark mezcla de dispersión doble quark y funciones de fragmentación de gluón y\nPor lo tanto, da lugar a nuevos efectos nucleares. Los procesos de aniquilación como se muestra en las Figs. 3\ny 4 conducirá a diferentes modificaciones de funciones de fragmentación quark y antiquark\nen un medio con densidad de bariones finitos (o quarks de valencia). Estas diferencias se producirán en los Estados miembros y en los Estados miembros de la Unión Europea.\nvuelta conducen a la dependencia del sabor de la modificación nuclear de los principales espectros de hadrones como\nobservado en el experimento HERMES [25,26].\nQuark-cuark doble dispersión, así como quark-gluon doble dispersión son twist-4 pro-\ncestos. Aplicaremos el mismo procedimiento de factorización generalizada para los procesos twist-4\nsegún lo desarrollado por LQS [23] para procesos semi-inclusivos en DIS. En general, el giro-cuatro\ncontribuciones se pueden expresar como la convolución de partes duras partónicas y dos partes\nlos elementos de la matriz de correlación. En este marco, las contribuciones de doble quark-quark\ndispersión en cualquier orden de αs, por ejemplo, el proceso de aniquilación quark-antiquark como se ilustra\nen Fig. 4, puede ser escrito en la forma siguiente,\ndWD\np+dy−\ndy−1 dy\n−, y−1, y\n2, p, q, zh)\nAq(0)\n−)q(y\n2 )A. (11)\nAquí hemos descuidado el momento transverso de todos los quarks en la parte dura de la parte partónica.\nLas contribuciones dependientes del impulso transversal son giros más altos y son suprimidas por\nPor lo tanto, todos los quarks’ momentaa se asumen colineales, k2 = x2p y k3 = x3p.\n−, y−1, y\n2, p, q, zh ) es la transformación de Fourier de la parte dura partónica H (x, x 1, x 2, p, q, zh )\nen el espacio de impulso,\n−, y−1, y\n2, p, q, zh) =\neix1p\n+yix2p\n+i(x−x1−x2)p\n(x, x1, x2, p, q, zh)\ndxH(0)-(x, p, q)H\n(y−, y−1, y\n2, x, p, q, zh), (12)\ndonde, en aproximación colineal, la parte dura de la parte partónica H(0) (x, p, q) [Eq. 4)] en el\ngiro principal sin dispersión múltiple parten se puede factorizar fuera de la alta torsión\nparte dura HûD(x, x1, x2, p, q, zh). Las fracciones de impulso x, x1 y x2 se fijan por\nLas funciones de las condiciones generales de los Estados miembros y de los polos de los Estados miembros de que se trate.\nagators en la parte dura partónica. Los factores de fase en H\n−, y−1, y\n2, p, q, zh ) puede entonces\nse tendrá en cuenta, que a su vez se combinará con los campos partónicos en Eq. (11)\npara dar twist-cuatro elementos de matriz partónica o correlaciones de dos partes. El quark-quark\ncorrección de dispersión doble en Eq. (11) puede entonces ser factorizado como la convolución de\nfunciones de fragmentación, torsión-cuatro elementos de la matriz partónica y el scat duro partónico-\nsecciones transversales de tering. Para dispersar (contra la aniquilación) con quarks (antiquarks),\nuna suma sobre el sabor de los quarks secundarios (antiquarks) debe ser incluido\nen elementos de matriz de correlación de dos cuartetos y ambos canales t, u y sus interferencias\ndebe considerarse para la dispersión de quarks idénticos en las partes duras del partónico.\nDespués de la factorización, definimos la corrección twist-cuatro al quark de giro principal\nfunción de fragmentación en la misma forma [Eq. 3)],\ndWD\ndxfAq (x)H\n* (x, p, q)* Dq→h(zh). (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................\n3 procesos de dispersión doble Quark-quark\nEn esta sección vamos a discutir el cálculo de la parte dura de quark-quark doble\ndispersando en detalle. El proceso de orden más bajo de quark-quark (antiquark) doble dispersión\nen los núcleos es aniquilación quark-antiquark (o conversión quark-gluon) como se muestra en la Fig. 3.\nLas partes duras de los tres diagramas de corte de esta figura son [18]:\n0,C(y)\n−, y−1, y\n2, x, p, q, zh)=Dg→h(zh)\n(−y−2)•(y− − y−1), (14)\n0,L(y)\n−, y−1, y\n2, x, p, q, zh)=Dq→h(zh)\n(y−1 − y−2 )•(y− − y−1 ), (15)\n0,R(y)\n−, y−1, y\n2, x, p, q, zh)=Dq→h(zh)\n(−y−2 )(y−2 − y−1 ). 16)\nEl tema principal de este documento es sobre las contribuciones de la siguiente orden de dirección correc-\nciones al proceso de orden más bajo anterior. Hay un total de 12 diagramas para correcciones reales\na nivel de un bucle, como se ilustra en la Fig. 5 a Fig. 16 en el Apéndice A-1, cada uno teniendo\na tres cortes diferentes. En esta sección, demostramos el cálculo de las piezas duras\nde la aniquilación quark-antiquark en la Fig. 4 en detalle como ejemplo. Vamos a listar la\nresultados completos de todos los diagramas del Apéndice A.\nUno puede escribir la parte dura del diagrama de corte central de la Fig. 4 (Fig. 5\nen el apéndice A-1), de conformidad con la norma convencional Feynman,\nC (y)\n−, y−1, y\n2, p, q, zh)=\nDg→h(\neix1p\n+yix2p\n×ei(x−x1−x2)p+y\n(2η)4\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n2(l)\n2) 2(l)\ng) (1− z −\nγ · (q + x1p)\n(q + x1p)2\nγ · (q + x1p− l)\n(q + x1p− l)2 − i\nγ · (q + xp− l)\n(q + xp− l)2 + i.........................................................................................................................................................................................................................................................\nγ · (q + xp)\n(q + xp)2 + i..........................................................................................................................................................................................................................................................\n(l) (lg), (17)\ndonde es una función delta de Dirac con sólo la solución positiva en su variable funcional,\n(l) = −gÃ3 + (nαlс + nlα)/n · l es el tensor de polarización de un propagador de gluon en\nun medidor axial (n · A = 0) con n = [1, 0−,~0], l y lg = q + (x1 + x2)p − l son los\n4-momenta llevado por los dos gluones finales respectivamente. El gluón fragmentante lleva\na fracción, z = l−g /q\n−, del impulso longitudinal del quark inicial (el\ncomponente).\nPara simplificar el cálculo en el caso de un pequeño impulso transversal lT q−, p+, nosotros\npuede aplicar la aproximación colineal para completar el rastro del producto de las matrices γ,\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nγ · lq\n. (18)\nDe acuerdo con la convención en Eqs. (11) y (12), las contribuciones de quark-quark doble\ndispersión en el medio nuclear al tensor semi-inclusivo hadrónico en DIS de un núcleo\npuede expresarse en la forma factorizada general:\ndWDqq̄,\ndxH(0)-(x, p, q)\np+dy−\ndy−1 dy\n(y−, y−1, y\n2, x, p, q, zh)\n× Aq(0)\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n−)q(y\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n2 )A. (19)\nDespués de llevar a cabo la integración de impulso en x, x1, x2 y l\n± en Eq. (17) con la\nayuda de la integración del contorno y de las funciones de......................................................................................................................................................................................................................................................... \nel reescattering para el diagrama de corte central en la Fig. 4 (Fig. 5) como\n5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, p, q, zh) =\nα2sxB\nDg→h(zh/z)\n× 2,1 + z\nz(1− z)\nI5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p), (20)\nI5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p) = e\ni(x+xL)p\n+y(−y−2)•(y− − y−1)\n× (1− e−ixLp+y\n2 )(1− e−ixLp+(yy\n), (21)\ndonde las fracciones de impulso xL se definen como\n2p+q−z(1− z)\n. (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nTenga en cuenta que la función I5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p) contiene sólo factores de fase. Uno puede\ncombinar estos factores de fase con los elementos de matriz de los campos de quark para definir un\nfunción especial de correlación de dos cuartetos\nA(5,C)\nqq̄ (x, xL) =\np+dy−\ndy−1 dy\n2 Aq(0)\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n−)q(y\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n2 )A\n× I5,C(y−, y−1, y−2, x, xL, p). 23)\nLa contribución de la aniquilación quark-antiquark en el diagrama de corte central en la Fig. 4\nal tensor hadrónico se puede entonces expresar como\ndWDqq̄,\ndxH(0)-(x, p, q)\nα2sxB\nDg→h(\n2 (1 + z2)\nz(1 − z)\nA(5,C)\nqq̄ (x, xL). (24)\nLas contribuciones de todos los procesos de dispersión doble quark-quark (antiquark) se pueden fundir\nen la forma factorizada anterior.\nLa estructura de los factores de fase en I5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p) es exactamente lo mismo que para\ngluon bremsstrahlung inducido por la dispersión de quark-gluon, como se ha estudiado en Ref. [18,19]. Lo siento.\nse asemeja a la sección transversal de dispersión del dipolo y representa las contribuciones de dos\ndiferentes procesos y sus interferencias. Contiene esencialmente cuatro términos,\nI5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p) = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n×[1 + e−ixLp+(yy\n) − e−ixLp+y\n2 − e−ixLp+(yy\n)]. (25)\nEl primer término corresponde a los llamados procesos hard-soft donde la emisión de gluon\nes inducido por la dispersión dura entre el fotón virtual y el quark inicial\ncon el impulso (x + xL)p. El quark entonces se convierte en capa antes de aniquilar con\nun suave antiquark del núcleo que lleva cero impulso y se convierte en un real\nGluon en el estado final. El segundo término corresponde a un proceso en el que el\nquark con el impulso xp es on-shell después de la primera dispersión dura -cuark. Entonces.\naniquila con otro antiquark y produce dos gluones finales en el estado final. In\neste proceso, el antiquark lleva un momento finito (duro) xLp. Por lo tanto, uno a menudo se refiere\na este proceso como dispersión doble-duro en comparación con el primer proceso en el que el\nel antiquark lleva un impulso cero. Deja a un lado el cambio de sabores en la inicial y final\nlos estados, la dispersión doble-duro corresponde esencialmente a la dispersión elástica de dos partes\ncon impulso finito y transferencia de energía. Esto es en contraste con el scattering duro-blando\nque es esencialmente la radiación del estado final de la dispersión de -cuark y el total\nla energía y el impulso de los dos gluones del estado final vienen todos del quark inicial. Los\nlos elementos de matriz correspondientes de las funciones de correlación de dos cuartetos de estos dos primeros\nlos términos se llaman elementos ‘diagonales’.\nLos términos tercero y cuarto con signos negativos en I5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p) son interfer-\nentre procesos duros y procesos duros dobles. Los elementos de matriz correspondientes\nse denominan «off-diagonales». La cancelación entre las dos diagonales y off-diagonal\nlos términos esencialmente da lugar a la interferencia destructiva que es muy similar a la\nLandau-Pomeranchuk-Migdal (LPM) interferencia en gluon bremsstrahlung inducido por\nDoble dispersión quark-gluon [18,19]. Uno puede definir de manera similar el tiempo de formación de la\nemisión de partón (cuarto o gluón) como\n. 26)\nEn el límite de emisión colineal (xL → 0) o cuando el tiempo de formación de la parten\nla emisión, f, es mucho más grande que el tamaño nuclear, el elemento de matriz eficaz desaparece\nporque\nI5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p)xL=0 → 0, (27)\ncuando los procesos duros y duros dobles tienen interferencia destructiva completa.\nHay que tener en cuenta que en el diagrama de corte central de la Fig. 4, las partes del estado final son dos\ngluones. Por lo tanto, en Eq. (20) la función de fragmentación del gluón en el vacío Dg→h(zh/z)\nEntra. Si el otro gluon (cerca de la interacción -cuark) fragmentos, la contribución\nal tensor semi-inclusivo hadrónico es similar, excepto que el\n“función de división” debe sustituirse por “función de división”\n1 + z2\nz(1 − z)\n→ 1 + (1− z)\nz(1 − z)\n. (28)\nComo veremos en el Apéndice A-1, los dos gluones en la aniquilación quark-antiquark\nlos procesos (diagramas de corte central) son simétricos cuando las contribuciones de todas las\nLos procesos de nihilación y sus interferencias se resumen. Por lo tanto, uno puede simplemente mul-\nlos resultados finales por un factor de 2 para tener en cuenta la hadronización de la segunda\ngluon del estado final.\nAdemás del diagrama de corte central, también se debería tener en cuenta la\ndiagramas cortados en la Fig. 4, que representan la interferencia entre la emisión de gluón de una sola\ny triple dispersión. Las partes duras son principalmente las mismas que para el corte central.\ndiagrama. Las únicas diferencias son los factores de fase y las funciones de fragmentación\nya que el fragmento parten puede ser el quark o gluon del estado final. Estas partes duras pueden\nse calculan siguiendo un procedimiento similar y se obtiene,\n5,L(R)(y)\n−, y−1, y\n2, x, p, q, zh) =\nα2sxB\nDq→h(\n2 (1 + z2)\nz(1 − z)\n× I5,L(R)(y−, y−1, y−2, x, xL, p), (29)\nI5,L(y)\n−, y−1, y\n2, x, xL, p) =−ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+(yy\n(y−1 − y−2 )•(y− − y−1 ), (30)\nI5,R(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p) =−ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n(−y−2 )(y−2 − y−1 ). 31)\nEn los diagramas asimétricos de corte, las contribuciones anteriores provienen de la fragmentación\ndel quark del estado final. Por lo tanto, la función de fragmentación de quark Dq→h(zh/z) entra en esta\ncontribución. Para la fragmentación del gluón en el hadron observado en este corte asimétrico\ndiagramas, la contribución puede obtenerse simplemente sustituyendo la fragmentación quark\nfunción por la función de fragmentación de gluón Dg→h(zh/z) y sustituir z por 1 − z.\nResumiendo las contribuciones de tres diagramas de corte diferentes de la Fig. 4, podemos observar\notros ejemplos de mezcla (o conversión) de funciones de fragmentación de quark y gluon.\nEsta mezcla inducida por el medio fue observada por primera vez por Wang y Guo [18] y es una mezcla única.\ncaracterística de quark-quark (antiquark) dispersión doble entre todos los múltiples scattering parten\nprocesos.\nCon el mismo procedimiento podemos calcular las contribuciones de todos los otros diagramas de corte\nde quark-quark (antiquark) doble dispersión en el orden O(α2s), que se enumeran en Ap-\npendix A-1. Hay tres tipos de procesos: dos procesos de aniquilación, qq̄ → gg\n(Diágramas de corte central en Figs. 5, 6, 7, 8 y 9), qq̄ → qiq̄i (diagrama de corte central en la Fig. 10)\ny la dispersión de quark-quark (antiquark), qqi(q̄i) → qqi(q̄i) ( diagrama de corte central en la Fig. 11).\nTambién hay que considerar la interferencia de la amplitud del canal s y t para la aniquilación\nen un par de quark idéntico, qq̄ → qq̄ (diagramas de corte central en Figs. 12 y 13) y la\ninterferencia entre los canales t y u de cuark idéntico scattering qq → qq (corte central)\ndiagrama en la Fig. 14).\nLas contribuciones de los diagramas de corte izquierdo y derecho corresponden a la interferencia entre el\nAmplitud de la radiación gluon de dispersión de un solo -cuark y dispersión de quark triple.\nLas amplitudes de la radiación gluon a través de la dispersión de quark triple esencialmente provienen de ra-\nCorrecciones diativas a los diagramas de corte izquierdo y derecho del quark-antiquark de orden más bajo\naniquilación en la Fig. 3 (como se muestra en los diagramas de corte izquierdo y derecho en las Figs. 5, 6, 8, 9, 12,\n13, 15 y 16). Otros dos triples quark dispersión con la radiación gluon, se muestra como el\nDiagramas de corte izquierdo y derecho en Figs. 11 y 14, corresponden al caso en que uno de los\nlos quarks del estado final, después de la dispersión de quark-quark, aniquilan con otro antiquark y\nse convierte en un gluon de estado final.\n4 Funciones de fragmentación modificadas\nCon el fin de simplificar las contribuciones de quark-quark (antiquark) dispersión (annhi-\n), primero se pueden organizar los resultados de las partes duras en términos de contribuciones de\ndiagramas de corte central, izquierdo o derecho, que están asociados por integrales de contorno con específicos\nlos productos de las funciones de la letra Β,\n= HDC (−y−2 )•(y− − y−1 )•HDL (y−1 − y−2 )•(y− − y−1 )\n- HDR (−y−2 )-(y−2 − y−1 ).................................................................................................................................................................................................................................................... (32)\nEstas funciones proporcionan un orden espacio-tiempo de la correlación de parten y restringirán\nel rango de integración a lo largo del cono-luz. Para las contribuciones de la central, izquierda y derecha-\ndiagramas de corte que tienen las mismas partes duras, H\nC = H\nL = H\nR, lo harán\ntienen una combinación común de funciones de ♥ que produce una integral ordenada por trayectoria,\ndy−2 =−\ndy−1 dy\n(- y - 2 ) • (- y - 1 ) • ( - y - 2 ) • ( - 2 − y - 1 ) • ( - 2 − y - 1 )\n(y− − y−1 •(y−1 − y−2 )\nque está limitado sólo por la extensión espacial y- de la primera parteon a lo largo del cono de luz\ncoord. Para un partón de alta energía que transporta fracción de impulso xp+, y− 1/xp+\ndebe ser muy pequeño. Las contribuciones que son proporcionales a la ruta arriba ordenada\nintegral se denominan contribuciones de contacto (o interacciones de contacto).\nDel mismo modo, y-1 − y−2 es la propagación espacial de la segunda parte y sólo puede ser limitada\npor el tamaño espacial de su nucleón huésped, incluso para un pequeño valor de fracción de impulso. Los\nposición espacial de su nucleón huésped, y−1 + y\n2, sin embargo, puede estar en cualquier lugar dentro de la nu-\ncleus. Por lo tanto, cualquier contribución de la dispersión de doble parten que tienen sin restricciones\nintegración sobre y-1 y y\n2 debe ser proporcional al tamaño nuclear del objetivo A\ny por lo tanto son potenciados nuclearmente. En este documento, sólo vamos a mantener la energía nuclear mejorada\ncontribuciones y descuidar las contribuciones de contacto. Esto simplificará en gran medida la\nresultados para la dispersión de doble parten.\n4.1 qq̄ → g aniquilación\nPara el orden más bajo de aniquilación quark-antiquark en Eqs. (14)-(16), las partes duras\nde los tres diagramas de corte son casi los mismos, excepto por la fragmentación del partón\nfunciones. El diagrama de corte central es proporcional a la función de fragmentación del gluón\nmientras que los diagramas de corte izquierdo y derecho son proporcionales a las funciones de fragmentación de quark.\nReorganizando las contribuciones de los tres diagramas de corte y descuidando el contacto\ntérmino que es proporcional a la integral ordenada como en Eq. 33), la contribución total\npuede ser escrito como\ndWD(0)\nqq̄ (x, 0)\nH(0)-(x, p, q)\n× [Dg→h(zh)−Dq→h(zh)]. (34)\nSegún nuestra definición en Eq. (13) de la corrección twist-cuatro al fragmen quark-\nfunciones de la estación, la modificación de la función de fragmentación quark desde la más baja\norden de aniquilación quark-antiquark es entonces,\n(qqg)\nq→h (zh) =\n[Dg→h(zh)−Dq→h(zh)]\nqq̄ (x, 0)\nfAq (x)\n. (35)\nAquí la efectiva correlación quark-antiquark T\nqq̄ (x, 0) se define como,\nqq̄i (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\nixp+yixLp\n• (−y−2 ) •(y− − y−1 )\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 )A, (36)\ncon el antiquark q̄i cargando fracción de impulso xL. Esta función de correlación de dos partes...\nsión se asocia siempre con procesos de redispersión de doble duro. De igual manera, definimos\notros tres elementos de matriz de correlación quark-antiquark\nqq̄i (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\ni(x+xL)p\n+y(y− − y−1)\n× (−y−2 )â € Aq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 ) A, (37)\nA(I−L)\nqq̄i (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\ni(x+xL)p\n+yixLp\n+(yy)\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n× (−y−2 )â € Aq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 )A, (38)\nA(I−R)\nqq̄i (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\ni(x+xL)p\n+yixLp\n2 (y− − y−1 )\n× (−y−2 )â € Aq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 ) A, (39)\nque se asocian con rescattering suave duro y la interferencia entre doble duro\ny rescattering suave y duro. En la primera parten correlación T\nqq̄i (x, xL), el antiquark q̄i\nlleva fracción de impulso xL mientras que el quark inicial tiene la fracción de impulso x. Los\ncorrelación de dos partes T\nqq̄i (x, xL) corresponde al caso cuando el quark líder tiene\nx+ xL pero el antiquark lleva cero impulso. Los dos elementos de la matriz de interferencia\nson aproximadamente el mismo para el pequeño valor de xL y se denotará como T\nqq̄i (x, xL).\n4.2 qq̄ → aniquilación qiq̄i\nContribuciones de la orden siguiente a la primera aniquilación quark-antiquark o quark-\nla dispersión de quark (antiquark) son más complicados ya que involucran a muchos reales y vir-\nCorrecciones de tual. La corrección real más simple viene de qq̄ → aniquilación qiq̄i (qi 6= q)\n[Fig. 10 y Eqs. (A-25) y (A-26)] que sólo tiene un diagrama de corte central,\n(qqqiq̄i)\nq→h (zh) =\nα2sxB\n[z2 + (1− z)2]\nqi 6=q\n[Dqi→h(zh/z) +Dq̄i→h(zh/z)]\nqq̄ (x, xL)\nfAq (x)\n. (40)\nEste tipo de aniquilación qq̄ es realmente un proceso duro y por lo tanto requiere la segunda y-\ntiquark para llevar fracción de impulso inicial finita xL. Además, no hay otros\nprocesos de interferencia.\n4.3 qqi(q̄i) → qqi(q̄i) dispersión\nContribuciones de quark-quark no idéntico dispersión qq̄i → qq̄i (qi 6= q) son un poco\ncomplicados porque involucran los tres diagramas de corte (central, izquierdo y derecho) [Eqs. (A-\n28)-(A-32)]. Uno puede tener en cuenta las funciones de las partes duras de acuerdo con Eq. (32)\ny reorganizar los factores de fase en cada diagrama de corte,\nI11,C = e\ni(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n2 )(1− e−ixLp+(yy\n= ei(x+xL)p\n+y−[1− e−ixLp+y\n2 − e−ixLp+(yy\n) + e-ixLp\n+(yy)\nI11,L = e\ni(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+(yy\n= ei(x+xL)p\n+y−[1− e−ixLp+y\n2 − e−ixLp+(yy\n) + e-ixLp\n2 ] ;\nI11,R = e\ni(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n= ei(x+xL)p\n+y−[1− e−ixLp+y\n2 − e−ixLp+(yy\n) + e-ixLp\n+(yy)\n)], (41)\nde tal manera que los tres primeros términos en cada amplitud son los mismos. Estas tres fases comunes\nfactores darán lugar a una contribución de contacto para todas las partes duras similares de los tres\nlos diagramas cortados, que vamos a descuidar ya que no son potenciados nuclearmente. El resto\nparte tendrá los siguientes factores de fase,\nI11=e\ni(x+xL)p\n+y−[(−y−2 )•(y− − y−1 )e−ixLp\n+(yy)\n(y−1 − y−2 )(y− − y−1 )e−ixLp\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n+(yy)\n)]. (42)\nTenga en cuenta que los factores de fase de los dos últimos términos en la ecuación anterior dan identi-\ncontribución a los elementos de la matriz cuando intergated sobre y-1 y y\n2 como dif-\nsólo por la sustitución y−2 ↔ y−1 − y−. Por lo tanto, se puede combinar con\n*(−y−2 )*(y− − y−1 )e−ixLp\n+(yy)\n) para formar otra contribución de contacto (path-ordened)\nque se puede descuidar. El factor final de la fase efectiva es entonces\nI11 = e\nixp+yixLp\n)1− eixLp+y\n2 ). (43)\nUtilizando el factor de fase eficaz anterior, se puede obtener la modificación efectiva a la\nfunción de fragmentación quark debido a la dispersión quark-antiquark, qq̄i → qq̄i,\n(qq̄i→qq̄i)\nq→h (zh) =\nα2sxB\nq̄i 6=q̄\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1- z)2\n+ Dg→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\nA(HI)\nqq̄i (x, xL)\nfAq (x)\n+ [Dq̄i→h(zh/z))−Dg→h(zh/z)]\n1 + (1− z)2\nA(HS)\nqq̄i (x, xL)\nfAq (x)\nα2sxB\nq̄i 6=q̄\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1- z)2\n+ Dq̄i→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\nA(HI)\nqq̄i (x, xL)\nfAq (x)\n+ [Dq̄i→h(zh/z)−Dg→h(zh/z)]\n1 + (1− z)2\nA(SI)\nqq̄i (x, xL)\nfAq (x)\n, (44)\ndonde se definen tres tipos de correlaciones de dos partes:\nA(HI)\nqq̄i (x, xL)\nqq̄i (x, xL)− T\nqq̄i (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\nixp+yixLp\n)1− eixLp+y\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (45)\nA(SI)\nqq̄i (x, xL)\nqq̄i (x, xL)− T\nqq̄i (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\ni(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (46)\nA(HS)\nqq̄i (x, xL)\nA(HI)\nqq̄i (x, xL) + T\nA(SI)\nqq̄i (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\ni(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n× (1− e−ixLp+(yy)\n))•(−y−2 )•(y− − y−1 )\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 )A. (47)\nDe manera similar, se puede obtener la modificación de la fragmentación de quark a partir de no idénticos\nscattering quark-quark reemplazando q̄i → qi en Eq. (44),\n(qqi→qqi)\nq→h (zh) =\nα2sxB\nqi 6=q\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1- z)2\n+ Dqi→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\nTA(HI)qqi (x, xL)\nfAq (x)\n+ [Dqi→h(zh/z)−Dg→h(zh/z)]\n1 + (1− z)2\nTA(SI)qqi (x, xL)\nfAq (x)\n. (48)\nLas correlaciones de dos cuartetos, TA(HI)qqi (x, xL) y T\nA(SI)\n(x, xL) puede obtenerse en T\nA(HI)\nqq̄i (x, xL)\ny T\nA(SI)\nqq̄i (x, xL), respectivamente, al hacer los reemplazos qi(y2) → qi(y2) y qi(y1) →\n(y1) en Eqs. (45) y (46),\nTA(HI)qqi (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\nixp+yixLp\n)1− eixLp+y\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n1 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (49)\nTA(SI)qqi (x, xL) =\np+dy−\ndy−1 dy\ni(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n1 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (50)\ny TA(HS)qqi (x, xL) = T\nA(HI)\n(x, xL) + T\nA(SI)\n(x, xL).\nTenga en cuenta que la contribución de la fragmentación de quark qi o antiquark q̄i sólo proviene de\nel diagrama de corte central. Esta contribución es positiva y es proporcional a T\nA(HI)\nqq̄i (x, xL)+\nA(SI)\nqq̄i (x, xL), que contiene los cuatro términos: hard-soft, doble-hard y ambas interferencias\ntérminos. La fragmentación del gluón proviene sólo de las interferencias de un triple (izquierda y\ndiagramas de corte derecho). Por lo tanto, su contribución es negativa y anula parcialmente el\nla inducción de qi(q̄i) del rescattering duro-blando. La cancelación no está completa desde\nlas funciones de fragmentación de gluón y quark son diferentes. La estructura de este hard-soft\nrescattering (quark plus gluon) es muy similar al resultado de orden más bajo de qq̄ → g en\nEq. (35). Contribuye a la modificación de la función de fragmentación efectiva, pero\nno contribuye a la pérdida de energía. La pérdida de energía del quark líder viene sólo\nde rescattering doble-duro, ya que la principal fragmentación quark viene tanto de\nlas interferencias de corte central y de triple único, y los términos de interferencia de triple único pueden-\ncel el efecto de la dispersión suave duro para la fragmentación principal. Su contribución neta es la siguiente:\npor lo tanto proporcional a T\nA(HI)\nqq̄i(q̄i)\n. Puesto que el redispersión de doble duro equivale a elástico\nqqi(q̄i) dispersión, la pérdida de energía efectiva es esencialmente la pérdida de energía elástica como se muestra en\nRef. [34]. Hay, sin embargo, supresión de LPM debido a la cancelación parcial por un solo triple\ncontribuciones de interferencia. Durante un largo período de formación, 1/xLp\n+ RA, la cancelación es\nCompletado. Por lo tanto, la interferencia LPM impone efectivamente el límite inferior xL ≥ 1/p+RA\nsobre el impulso fraccional llevado por el segundo quark (antiquark).\n4.4 qq → dispersión qq\nPara la dispersión de quark-quark idéntico, qq → qq, uno tiene que incluir los canales t y u,\nsus interferencias, y las correspondientes contribuciones de interferencia de un solo trilo. Usando el mismo\ntécnica para identificar y descuidar las contribuciones de contacto, se puede encontrar la correspondencia\nmodificación de la función de fragmentación de quark a partir de Eqs. (48) y (A45)-(A49),\n(qq→qq)\nq→h (zh) =\nα2sxB\nTA(HS)qq (x, xL)\nfAq (x)\n× [Dq→h(zh/z))−Dg→h(zh/z)]\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1- z)2\nz(1 − z)\n+Dg→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\nTA(HI)qq (x, xL)\nfAq (x)\nα2sxB\nTA(SI)qq (x, xL)\nfAq (x)\nP (s)qq→qq(z)[Dq→h(zh/z)\n−Dg→h(zh/z)] +Dq→h(zh/z)Pqq→qq(z)\nTA(HI)qq (x, xL)\nfAq (x)\n, (51)\ndonde las funciones de división efectivas se definen como\nP (s)qq→qq(z) =\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\n, (52)\nPqq→qq(z) =\n1 + (1− z)2\n1 + z2\n(1- z)2\nz(1− z)\n. (53)\n4.5 qq̄ → qq̄, aniquilación gg\nLos cuatro procesos más complicados que involucran a cuatro operadores de campo de quark son quark-\nAniquilación antiquark en dos gluones o un par de quark-antiquark idéntico. Tenemos que hacerlo.\nconsiderarlos juntos ya que tienen procesos de interferencia de un solo trilo similares y\ninvolucran el mismo tipo de elementos de matriz de correlación quark-antiquark, T\nqq̄ (x, xL),\n(i = HI, SI, HS).\nPara el propósito de la notación, primero tenemos en cuenta el factor común (CF/Nc)α\nsxB/Q\n2/fAq (x) y\nla integración sobre lT y z y definir\n(qqgg,qq̄)\nq→h (zh)\nα2sxB\nQ2fAq (x)\n(qqgg,qq̄)\nq→h (zh, z, x, xL). (54)\nDespués de reorganizar los factores de fase e identificar (combinando central, izquierda y derecha)\nlos diagramas de corte) y descuidando las contribuciones de contacto que podemos enumerar en el siguiente giro-\ncuatro correcciones a la fragmentación quark de las partes duras de cada corte\ndiagrama (véase el apéndice A):\nFig. 5 (t-canal qq̄ → gg),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(5) =Dg→h(zh/z)2CF\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\n1 + z2\nz(1− z)\nA(HI)\nqq̄ (x, xL)\n+ [Dg→h(zh/z)−Dq→h(zh/z)] 2CF\n1 + z2\nz(1− z)\nA(SI)\nqq̄ (x, xL) ; (55)\nFig. 6 (interferencia entre u y t-canal de qq̄ → gg),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(6) =Dg→h(zh/z)\n−4(CF − CA/2)\nz(1 − z)\nA(HI)\nqq̄ (x, xL)\n+ [Dg→h(zh/z)−Dq→h(zh/z)]\n−2(CF − CA/2)\nz(1 − z)\nA(SI)\nqq̄ (x, xL) ; (56)\nFig. 7 (s-canal de qq̄ → gg),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(7) = Dg→h(zh/z)4CA\n(1− z + z2)2\nz(1 − z)\nqq̄ (x, xL) ; (57)\nHigos. 8 y 9 (interferencia de s y t-canal qq̄ → gg),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(8+9) =Dg→h(zh/z)(−2CA)\n1 + z3\nz(1− z)\n1 + (1− z)3\nz(1 − z)\n×TA(HI)qq̄ (x, xL) + CA\nDq→h(zh/z)\n1 + z3\nz(1 − z)\n+Dg→h(zh/z)\n1 + (1− z)3\nz(1 − z)\n× [TA(I2)qq̄ (x, xL)− T\nqq̄ (x, xL)] ; (58)\nFig. 10 (s-canal de qq̄ → qq̄),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(10) = [Dq→h(zh/z) +Dqh(zh/z)] [z\n2 + (1− z)2]\n×TA(H)qq̄ (x, xL), (59)\nFig. 11 (t-canal de qq̄ → qq̄), similar a Eq. (44),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(11) =Dq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1 − z)2\nA(HI)\nqq̄ (x, xL)\n+Dqh(zh/z)\n1 + (1− z)2\nA(HS)\nqq̄ (x, xL)\n−Dg→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\nA(SI)\nqq̄ (x, xL) ; (60)\nHigos. 12 y 13 (interferencia entre s y t-canal qq̄ → qq̄),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(12+13) =−4(CF − CA/2)\nDq→h(zh/z)\n1 − z\n+ Dqh(zh/z)\n(1- z)2\nA(HI)\nqq̄ (x, xL)\n+2(CF − CA/2)\nDq→h(zh/z)\n+Dg→h(zh/z)\n(1- z)2\n× [TA(I2)qq̄ (x, xL)− T\nqq̄ (x, xL)] ; (61)\nHigos. 15 y 16 (dos diagramas adicionales de interferencia de un triple),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(15+16) =−2CF\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n+ Dg→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\nA(I2)\nqq̄ (x, xL). (62)\nLa mayoría de los procesos implican tanto TA(HI)(x, xL) para la redispersión de doble duro con interferencia\ny TA(SI)(x, xL) para la redispersión suave con interferencia. Todos los canales S (Figs. 7\ny 10) los procesos implican una dispersión de doble dureza solamente. Por lo tanto, dependen sólo de la\nqq̄ (x, xL) = T\nA(HI)\nqq̄ (x, xL) + T\nqq̄ (x, xL). Para interferencias entre uno y tres\ndispersión (diagramas cortados a la izquierda y a la derecha en las Figs. 8, 9, 12 13, 15 y 16), donde un\nrescattering con el segundo quark (antiquark) sigue un suave rescattering con el tercero\nanticuarco (cuarco), solo elementos de la matriz de interferencia, T\nqq̄ (x, xL) y T\nA(I2)\nqq̄ (x, xL), son\nEnvuelto. Aquí,\nA(I2)\nqq̄ (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\nixp+yixLp\nAq(0)\n−)q(y\n2 )A(−y−2 )(y− − y−1 )\np+dy−\ndy−1 dy\nixp+yixLp\n+(yy)\nAq(0)\n−)q(y\n2 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (63)\nes un nuevo tipo de elementos de la matriz de interferencia que sólo está asociado con este tipo de\nprocesos de interferencia de triple único. Uno puede categorizar las contribuciones anteriores de acuerdo a\na los elementos de la matriz de correlación de dos cuartetos asociados y reescriba el contribu-\nciones como,\nqqqq̄,gg\nq→h(HI) = T\nA(HI)\nqq̄ (x, xL)[Dg→h(zh/z)Pqqgg(z) +Dq→h(zh/z)Pqqq̄(z)\n+Dqh(zh/z)Pqqqq̄(1− z)] (64)\nqqqq̄,gg\nq→h(SI) = T\nA(SI)\nqq̄ (x, xL)\nz(1 − z)\n+ 2CF\n1 + (1− z)2\n×Dg→h(zh/z)−Dq→h(zh/z)\nz(1− z)\n+ 2CF\n+ Dqh(zh/z)\n1 + (1− z)2\nA(SI)\nqq̄ (x, xL)\n[Dq→h(zh/z)−Dg→h(zh/z)]\nP (s)qq→qq(z)\n− 2CF\n1 + z2\nz(1− z)\n+ [Dqh(zh/z)−Dq→h(zh/z)]\n1 + (1− z)2\nqqqq̄,gg\nq→h(I) = T\nqq̄ (x, xL)\n4(1− z + z2)2 − 1\nz(1 − z)\n− 2CF\n(1- z)2\n×Dg→h(zh/z) + [z2 + (1− z)2]Dqh(zh/z)]\n+ Dq→h(zh/z)\nz2 + (1− z)2 −\nz(1 − z)\n− 2CF\nA(I2)\nqq̄ (x, xL)\nDq→h(zh/z)\nz(1 − z)\n− 2CF\n+ Dg→h(zh/z)\nz(1 − z)\n− 2CF\n, (66)\ndonde P (s)qq→qq(z) se indica en Eq. (52) y las funciones de división efectivas para qq̄ → gg y\nqq̄ → qq̄ se definen como\nPqqgg(z) = 2CF\nz2 + (1− z)2\nz(1− z)\n− 2CA[z2 + (1− z)2] ; (67)\nPqqqq̄(z) = z\n2 + (1− z)2 +\n1 + z2\n(1- z)2\n, (68)\nque vienen de los elementos de la matriz completa de qq̄ → gg y qq̄ → qq̄ dispersión (ver\nApéndice A-3). Una vez más, el rescattering doble-duro corresponde a la dispersión elástica de\nel quark líder con otro antiquark en el medio y la interferencia contribu-\nciones. La estructura de la contribución hard-soft rescattering que identificamos arriba muestra\nel mismo tipo de mezcla gluon-cuark (o quark-antiquark) en las funciones de fragmentación\ny no contribuye a la pérdida de energía del quark líder. Las contribuciones únicas\nen el qq̄ → qq̄, los procesos gg son las contribuciones de sólo interferencia. Vienen principalmente\nde procesos de interferencia de un solo trilo en la dispersión de múltiples partones.\n5 Modificación debida a la mezcla quark-gluon\nHasta ahora hemos lanzado la modificación de la función de fragmentación quark debido a quark-\nQuark (antiquark) dispersión (o aniquilación) en una forma similar a la evolución de la DGLAP\necuación en vacío. De hecho, también se puede ver la evolución de las funciones de fragmentación en\nvacío como modificación debido a la radiación gluon del estado final. En ambos casos, la modificación\nen zh grande es determinado principalmente por el comportamiento singular de las funciones de división para\nz → 1, mientras que las modificaciones en el centro comercial zh está dominado por el comportamiento singular de la\nfunción de división para z → 0.\nCentrémonos primero en la modificación en general zh. Un examen cuidadoso de la contribución\nciones de todos los procesos posibles muestran que la modificación dominante a la eficacia\nLa función de fragmentación de quark proviene del canal t de doble capa dura de quark-quark scat-\nlos procesos de tering,\n* Dq→h(zh)*\nα2sxB\nDq→h(\nTA(HI)qqi (x, xL)\nfAq (x)\n× 1 + z\n(1 − z)2+\n(1 - z)qi(l2T)\nDq→h(\nA(HI)\n(x, xL)\nfAq (x)\n×z(1 + z\n(1 − z)+\n+ 1- z)qi(l2T )\n, (69)\ndonde la suma es sobre todos los posibles sabores quark y antiquark incluyendo qi = q, q̄\nI y I (l)\nT ) representa la contribución de las correcciones virtuales. Hemos expresado la\nmodificación en una forma que es proporcional a los elementos de la matriz xLT\nA(HI)\n(x, xL)/f\nq (x)\nA1/3xLf\n(xL) en comparación con la modificación de la dispersión de quark-gluon\nelemento matricial correspondiente [Eq. 9)] es TA(HI)qg (x, xL)/f\nq (x) • A1/3xLGN(xL). Aquí,\nfNqi (x) y G\nN(x) son distribuciones de quark y gluon, respectivamente, en un nucleón. Esto\nla contribución principal a la modificación de la dispersión quark-quark es muy similar en\nforma a la de la dispersión quark-gluon [véase Eq. 7)]. Sin embargo, es más pequeño debido a la\ndiferentes factores de color CF/CA = 4/9 y las diferentes distribuciones de quark y gluon,\nfNqi (xL) y G\nN(xL) en un nucleón. Debido a la intereferencia LPM, dispersión de ángulo pequeño\ncon un largo tiempo de formación f = 1/xLp\n+ se suprime, dando lugar a un valor mínimo de\nxL ≥ xA = 1/mNRA = 0,043 para un objetivo Kr. Para este valor de xL, la relación\nfNqi (xL, Q\nGN(xL, Q2)\n≥ 1,40/1,85 + 0,75, (70)\na Q2 = 2 GeV2 según la parametrización CTEG4HJ [35]. Por lo tanto, uno tiene que\nincluir el efecto de dispersión quark-quark para un cálculo completo del quark total\npérdida de energía y modificación media de las funciones de fragmentación de quark.\nEn un plasma de quark-gluón débilmente acoplado y totalmente equilibrado, quark a gluón número\nLa relación de densidad es de lq/lg = nf (3/2)Nc/(N)\nc - 1) = 9nf/16. Una energía asintótica\nchorro en un medio infinitamente grande realmente sondea el pequeño x = q2T /2ET régimen, donde\nLos pares quark-antiquark y gluones son predominantemente generados por gluones térmicos a través de\nEvolución del PCQD. En este escenario ideal se espera Nq/Ng â € 1/4CA = 1/12 y por lo tanto\npuede descuidar la dispersión de quark-quark. La modificación de la función de fragmentación de quark será\nser dominado por quark-gluon rescattering. Sin embargo, para la energía de chorro moderada E 20 GeV\ny un medio finito L + 5 fm, las distribuciones de parten en un quark-gluon plamsa están cerca de\nla distribución térmica. En particular, si la producción de quark y gluon está dominada por\nproducción de pares no-perturbativos de campos de color fuertes en la etapa inicial de iones pesados\ncolisiones [36], la relación entre quark y gluon es comparable al valor de equilibrio. En este\ncaso, debemos tener en cuenta la modificación media de la fragmentación quark\nfunciones por dispersión quark-quark.\nUn proceso duro doble importante en la dispersión quark-quark (antiquark) es qq̄ → gg\n[Eq. (64)]. En este proceso, la aniquilación convierte el quark inicial en dos gluones finales\nque posteriormente se fragmentan en hadrones. Esto llevará a la supresión de los líderes\nhadrones no sólo debido a la pérdida de energía (energía transportada por el otro gluón), pero\ntambién debido al comportamiento más suave de las funciones de fragmentación de gluón en zh grande. A pesar de que\nel comportamiento principal de la función de división efectiva [Eq. (67)]\nPqqgg(z) 2CF\nz2 + (1− z)2\nz(1− z)\nno es tan dominante como el de la dispersión quark quark-quark de canal en t, es realzado por un color\nfactor 2CF = 8/3. Se espera que esto contribuya de manera significativa al medio ambiente.\nmodificación en zh intermedio.\nEn las colisiones de iones pesados de alta energía, las proporciones de las tasas iniciales de producción de valencia\nLos quarks, gluones y antiquarks varían con el impulso transversal pT. Producción de gluon\nla velocidad domina en pT bajo mientras que la fracción de chorros de quark de valencia aumenta en pT grande.\nLos quarks tienen más probabilidades de fragmentarse en protones que los antiprotones, mientras que los gluones se fragmentan\nen protones y antiprotones con iguales probabilidades. Por lo tanto, la relación de pT grande\nel rendimiento del antiprotón y del protón en las colisiones de p + p es menor que 1 y disminuye con pT\na medida que aumenta la fracción de los chorros de valencia quark. Dado que se espera que los gluones pierdan más\nenergía que los chorros de quark, uno ingenuamente esperaría ver la relación antiprotón a protón\np̄/p se vuelve más pequeño debido a la extinción del chorro. Sin embargo, si la conversión quark-gluon debido\na qq̄ → gg se vuelve importante, uno esperaría que las fracciones de quark y gluon\nlos chorros se modifican hacia sus valores de equilibrio. La relación final p̄/p podría ser mayor que\no comparable a la de las colisiones p+ p. Tal escenario de conversión quark-gluon fue\nconsiderado recientemente en Ref. [37] a través de una ecuación de tasa maestra.\nLa mezcla entre los chorros de quark y gluon también ocurre en el orden más bajo de quark-\naniquilación anticuarto como se muestra en la Fig. 3. En NLO, todos los quark-quark blandos (antiquark)\nLos procesos de dispersión tienen este tipo de mezcla entre la fragmentación de quark y gluon\nfunciones. Sus contribuciones generalmente tienen la forma,\nα2sxB\nDqi→h(\n)−Dg→h(\n×Pqqi→qqi(z)\nTA(SI)qqi (x, xL)\nfAq (x)\n, (72)\ndonde de nuevo la suma sobre el sabor quark incluye qi = q, q̄. Esta mezcla hace\nno se producen en la probabilidad, sino más bien en el nivel de amplitud, ya que implica en\nterferencias entre dispersión simple y triple. Por lo tanto, esta contribución depende de\nla diferencia entre las funciones de fragmentación de gluón y quark [Eq. (35)] y puede ser\npositivo o negativo en diferentes regiones de zh. Sin embargo, contribuyen a la mod-\nificación de la función eficaz de fragmentación de quark y la dependencia del sabor de la\nLos espectros finales de Hadron.\n6 La dependencia del sabor de la fragmentación media modificada\nResumiendo todas las contribuciones a quark-quark (antiquark) scattering doble como\ntion 4, podemos expresar la corrección total twist-cuatro hasta O(α2s) a los fragmen quark-\nfunción de tentaciùn como\nDq→h(zh)=\n2 [Dg→h(zh)−Dq→h(zh)]\nqq̄ (x, 0)\nfAq (x)\na,b,i\nDb→h(zh/z)P\nqa→b(z)\nTA(i)qa (x, xL)\nfAq (x)\n, (73)\ndonde la sumación es sobre todos los procesos posibles q+a→ b+X y todas las matrices diferentes\nelementos TA(i)qa (x, xL) (i = HI, SI, I, I2), que serán cuatro elementos básicos de la matriz que vamos a\nuso. Las funciones de división efectivas P\nqa→b(z) se enumeran en el apéndice A-2. Uno también debería\nincluir correcciones virtuales que se pueden construir a partir de las correcciones reales a través de\nLimitaciones de unitariedad [18].\nDel mismo modo, también podemos escribir las cuatro correcciones a la fragmentación anticuarto\nen un medio nuclear,\nDqh(zh)=\n2 [Dg→h(zh)−Dqh(zh)]\nq̄q (x, 0)\nfAq̄ (x)\na,b,i\nDb→h(zh/z)P\nq̄a→b(z)\nq̄a (x, xL)\nfAq̄ (x)\n, (74)\ndonde los elementos de la matriz T\nq̄a (x, xL) y las funciones de división efectivas P\nq̄a→b(z) can\nse obtendrán de los correspondientes para quarks. Dado un modelo para el dos-cuarco\nfunciones de correlación, uno será capaz de utilizar las expresiones anteriores para evaluar numéricamente\ntwist-cuatro correcciones a las funciones de fragmentación de quark (antiquark). En este artículo,\nvamos a dar una estimación cualitativa de la dependencia del sabor de la corrección en\nDIS de un gran núcleo.\nA los efectos de una estimación cualitativa, se puede suponer que todos los twist-cuatro dos-cuarto\nfunciones de correlación se pueden factorizar, como se ha hecho en Refs. [18,19,23,33],\np+dy−\ndy−1 dy\n+yix2p\n• (−y−2 ) •(y− − y−1 )\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 )A\nfAq (x1) f\n(x2), (75)\np+dy−\ndy−1 dy\n+yix2p\n) ±ixLp\n2 (−y−2 )(y− − y−1 )\nAq(0)\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 )A\nfAq (x1) f\n(x2)e\nA, (76)\ndonde xA = 1/mNRA, mN es la masa de nucleón, RA el tamaño del núcleo, f\n(x2) es la\ndistribución antiquark en un nucleón y C se supone que es una constante, parametrizante\nla fuerza de las correlaciones de dos partes dentro de un núcleo. La integración sobre la posición\ndel anticuarco (y−1 +y\n2 )/2 en el twist-cuatro elementos de la matriz de correlación de dos cuartetos da\naumento del factor de mejora nuclear 1/xA = mNRA = 0,21A\nDebemos tener en cuenta que establecemos kT = 0 para la expansión colineal. Como consecuencia de ello, el\ncampo quark secundario en los elementos de matriz twist-cuatro parten llevará cero impulso\nen el proceso suave-duro. El impulso transversal intrínseco finito lleva a un cor-\nlas recciones. Si un subconjunto de los términos más altos en la expansión colineal se puede volver a resumir\npara restaurar los factores de fase como eixT p\n+y−, en el que xT • • k2T •/2p+q−z(1 − z), el\nLos campos de quark en los elementos de matriz de Parton llevarán un momento fraccionario finito xT.\nBajo tal suposición de factorización, uno puede obtener toda la correlación de dos cuartetos\nelementos de matriz:\nA(HI)\nqq̄i (x, xL)\nfAq (x) f\n(xL + xT )[1− e−x\nA], (77)\nA(SI)\nqq̄i (x, xL)\nfAq (x+ xL) f\n(xT )[1− e−x\nA], (78)\nqq̄i (x, xL)\nA(I2)\nqq̄i (x, xL)\nfAq (x+ xL) f\n(xT )e\nfAq (x) f\n(xL + xT )e\nA. (79)\nEn la última aproximación, hemos asumido xL xT x. Del mismo modo, uno puede obtener\nTA(i)qqi (x, xL), T\nq̄qi (x, xL) y T\nq̄q̄i (x, xL). Con estas formas de correlación de dos quarks\nelementos de matriz, podemos estimar la dependencia del sabor de la modificación nuclear a\nel quark (antiquark) funciones de fragmentación.\nLas correcciones de orden más bajas [O(αs)] son muy simples\nq→h (zh) CA1/3[Dg→h(zh)−Dq→h(zh)]fNq̄ (xT ), (80)\nqh̄\n(zh) CA1/3[Dg→h̄(zh)−Dqh̄(zh)]fNq (xT ). (81)\nConsideramos la contribución dominante de la fragmentación de un quark (antiquark)\nque es uno de los quarks de valencia (antiquarks) de la partícula final h (antipartícula h̄).\nLas funciones de fragmentación del gluón en h y h̄ son las mismas. Para el zh grande, el gluon\nLa función de fragmentación es siempre más suave que la valencia quark (antiquark) fragmenta-\nión [38]. Por lo tanto, las correcciones de giro-cuatro ordenes más bajas son siempre negativas para grandes\nzh, llevando a una supresión de la función de fragmentación de quark de valencia (antiquark),\nDqv→h(zh) [Dq̄v→h̄(zh)]. Considere aquellos quarks que también son quarks de valencia de un nucleón:\nn = udd\np = uud, p̄ = d̄, (82)\nK+ = us̄,K− = ūs. (83)\n, η0, = ud̄, (uū − dd̄ )/\n2, dū. (84)\nUno puede encontrar la siguiente dependencia del sabor de la orden más baja torsión cuatro correcciones\na las funciones de fragmentación quark (antiquark),\nq̄v→h̄\nD(LO)\nq̄v→h̄\n(zh)\nD(LO)qv→h(zh)\nfNqv (xT )\nfq̄v(xT )\n> 1, (85)\nq̄v→h̄\n1 + D\nq̄v→h̄\n(zh)/Dqh̄(zh)\n1 + D\n(zh)/Dq→h(zh)\n< 1, (86)\ndonde R\nes la correspondiente orden de supresión de la función de fragmentación\nen zh grande para el protón (antiprotón) y K\n+ (K−). Dado que los piones contienen ambos valencia\nquark y antiquark, los factores de supresión deben ser similares para todos los piones. Para xT ≥\n0,043, u(x)/ū(x) ≥ 3 y d(x)/d̄(x) ≥ 2 [35]. Por lo tanto, la modificación de antiquark\nfunciones de fragmentación debido a la aniquilación quark-antiquark es significativamente mayor que\nel de un quark.\nLa dependencia del sabor de los resultados NLO son más complicados ya que implican dispersión-\ning con quarks y antiquarks en el medio. Uno puede observar primero que efectivo\nfunciones de división (o sección transversal de dispersión quark-quark) son las mismas para el canal en t\nqq′ → qq′ y qq → qq (q′ 6= q) scatterings,\nqq.»b(z) = P\nq̄q.»b(z) = P\nqqb(z) = P\nq̄qb(z). (87)\nPara la dispersión de quark-quark idéntico o aniquilación de quark-antiquark, uno puede separar\nla aniquilación qq̄ funciones de división (o secciones transversales) en singlet y no-singlet\ncontribuciones mediante la selección de las contribuciones en t-canal,\nqqb(z)\nqq→b(z) + P\nqqb(z), (88)\nq̄q→b(z)\nq̄qb(z) + P\nq̄q→b(z). (89)\nEstas contribuciones individuales a las funciones de fragmentación modificadas son,\nS(NLO)\nq→h (zh)\nb,q′,i\nDb→h P (i)qqÃ3b(zh)\n×[fNq′ (xT ) + fNq (xT )]C(i), (90)\nS(NLO)\nqh̄\n(zh)\nb,q′,i\nDbh̄ P\nq̄qb̄\n×[fNq′ (xT ) + fNq (xT )]C(i), (91)\ndonde la suma sobre q′ ahora incluye q′=q y C(i)(xL) son independientes del sabor\nfunciones determinadas a partir de Eqs. 77)-(79),\nC(HI) =C(SI) = C(xL)(1− e−x\nC(I) =C(I2) = C(xL)e\nA, (92)\ny C(xL) es un coeficiente común que es una función de xL. Uso de P\nq̄qb̄\n(z) = P\nqq→b(z)\n, se puede concluir que las contribuciones singlet al quark modificado y antiquark\nlas funciones de fragmentación son las mismas,\nS(NLO)\nq→h (zh) = D\nS(NLO)\nqh̄\n(zh).\nLas contribuciones no individuales, principalmente de interferencias s-canal y s-t, son,\nN(NLO)\nq→h (zh)\nDb→h PN(i)qqb(zh)fNq̄ (xT )C(i), (93)\nN(NLO)\nqh̄\n(zh)\nDbh̄ P\nq̄q→b̄\n(zh)f\nq (xT )C\ni), (94)\ndonde otra vez\nqqb(z) = P\nq̄q→b̄\n(z) debido a la simetría de cruce. Hemos enumerado todos los no-\nDesvanecimiento de las funciones de división singlet\nqqb(z) del apéndice A-2.\nDe nuevo consideramos el límite zh → 1. En esta región la convolución en el\nfunción de fragmentación está dominada por el gran z → 1 comportamiento de la división efectiva-\nfunciones de ting. De la lista P\nqqb(z) en el Apéndice A-2, podemos obtener el\ncontribuciones,\nC(i)P\nqqq(z)4CF\nC(xL)\nC(i)P\nqqg(z)\n2CF + CF (1− e−x\nA) + CAe\nC(xL)\n, (95)\ndonde también hemos descuidado términos proporcionales a 1/Nc. Todos los P\nqqq̄(z) no son líderes\nen el límite z → 1 y por lo tanto puede ser descuidado. Con estas importantes contribuciones,\nla modificación no-singlet a las funciones de fragmentación quark y antiquark puede ser\nestimado como\nN(NLO)\nq→h (zh)\nC(xL)\n(1- z)+\nCF (1− e−x\nA) + CAe\n+ (1− z)(lT)\n−Dq→h\nC(xL)\n(1- z)+\n+ (1− z)(lT)\nfNq̄ (xT ), (96)\nN(NLO)\nqh̄\n(zh)\nDg→h̄\nC(xL)\n(1- z)+\nCF (1− e−x\nA) + CAe\n+ (1− z)(lT)\nDg→h̄\n−Dqh̄\nC(xL)\n(1- z)+\n+ (1− z)(lT)\nfNq (xT ), (97)\ndonde el punto 1(IT ) y el punto 2(IT ) proceden de correcciones virtuales,\n1(lT )=\nCFC(xL)z=1 − [CF (1− e−x\n+ CAe\nA]C(xL)\n, (98)\n2(lT )=\n2CF [C(xL)z=1 − C(xL)]. (99)\nDebido a la conservación del impulso, C(xL) = 0 cuando xL → • para z = 1. Por lo tanto,\nlas correcciones virtuales anteriores siempre son negativas. En general zh, estas correcciones virtuales\ndominar sobre los reales.\nHay dos tipos de contribuciones no individuales en las expresiones dadas anteriormente. Uno que\nes proporcional a las funciones de fragmentación de gluón se debe a la aniquilación quark-antiquark\nen gluones que luego se fragmentan. El gluón fragmentante no sólo transporta menos energía que\nel quark inicial pero también tiene una función de fragmentación más suave, lo que conduce a la supresión de\nlos hadrones líderes finales. El segundo tipo de contribuciones es proporcional a Dg→h(zh)−\nDq→h(zh) y por lo tanto mezcla funciones de fragmentación quark y gluon, del mismo modo que el\nlos procesos de aniquilación quark-antiquark de orden más bajo [véase Eqs. (80) y (81)]. Desde un gluon\nfunción de fragmentación es más suave que un quark uno, las correcciones reales de este tipo de\nlos procesos son positivos para los pequeños zh y negativos para los grandes zh. Las correcciones virtuales\ntienen exactamente el comportamiento opuesto. Por lo tanto, el segundo tipo de contribuciones reducirá\nla modificación neta total. Para los valores intermedios de zh donde 2Dg→h(zh) > Dq→h(zh),\nel efecto neto sigue siendo la supresión de las funciones de fragmentación eficaces para\nHadrons.\nDesde fNq (xT ) > f\nq̄ (xT ), podemos concluir que la LO y la NLO combinados no-singlet\nLa supresión de la fragmentación anticuarto en hadrones de valencia es más grande que la de quark.\nfragmentación en hadrones de valencia. Esto explica cualitativamente la dependencia del sabor de\nla supresión nuclear de los principales hadrones del DIS frente a objetivos nucleares pesados medidos por\nel experimento HERMES [25,26]. La relación de las secciones transversales semi-inclusivas diferenciales\npara los objetivos de núcleo y deuterón se utilizaron para estudiar la supresión nuclear de la\nfunciones de mentation. Se observó que la supresión de los principales antiprotones es más fuerte\nque para el protón líder y la supresión de K− es más fuerte que K+. En el quark de Valence\nimagen de fragmentación, el protón principal (K+) se produce principalmente a partir de u, d (u) quark\nfragmentación mientras que los antiprotones provienen principalmente de la fragmentación ū, d̄ (ū). Por lo tanto,\nLos datos de HERMES son consistentes con una mayor supresión de la fragmentación anticuarto.\nDesde gluon bremsstrahlung y el singlet qqi(q̄i) dispersión también suprimir quark y\nantiquark fragmentación, pero independientemente del sabor quark, uno tiene que incluir todos los\nprocesos con el fin de tener una evaluación numérica completa y cuantitativa del sabor\ndependencia de la modificación nuclear de las funciones de fragmentación de quark. Además...\nmás, las contribuciones de la ONL son proporcionales a αs ln(Q)\n2)/2ň. Son tan importantes.\ncomo la corrección de orden más baja para grandes valores de Q2. En principio, hay que volver a resumir estos\ncorrección de orden superior mediante la resolución de un conjunto de ecuaciones de evolución acopladas DGLAP, in-\nmodificación del medio para las funciones de fragmentación del gluón. Las contribuciones de\nquark-quark (antiquark) la dispersión derivada en este documento será una parte importante de la\nDscripción completa. Estudio numérico detallado del efecto del quark-quark (antiquark)\nla dispersión será posible sólo después de la terminación de esta descripción completa en el\nfuturo.\n7 Resumen\nUtilizando el marco de factorización generalizada para twist-cuatro procesos tenemos\nla modificación nuclear de las funciones de fragmentación de quark y antiquark (FF) debida\na quark-quark (antiquark) doble dispersión en materia nuclear densa hasta el orden O(α2s).\nCalculamos y analizamos el conjunto completo de todos los diagramas de corte posibles. Resultados\nse pueden clasificar en contribuciones de procesos de doble-duro, duro-suave y su\ninterferencias. Los rescatterings de doble dureza corresponden a la dispersión elástica del plomo-\ning quark con otro quark medio. Requiere el segundo quark para llevar un finito\nmomento fraccionario xL. Por lo tanto, la pérdida de energía del quark líder a través de tales\nprocesos pueden ser identificados como pérdida de energía elástica en el orden O(α2s). La pérdida de energía quark\ny la modificación de las funciones de fragmentación quark están dominadas por el canal t de\nla dispersión de quark-quark (antiquark) y se demuestra que es similar a la causada por quark-\nGluon esparciendo. La contribución de la dispersión quark-quark es más pequeña que la de\nDispersión del quark-gluon por un factor de CF/CA multiplicado por la relación de distribución del quark y del gluon-\nciones en el medio. Hemos demostrado que esas contribuciones no son insignificantes.\npara cinemática realista y tamaño mediano finito. Los rescatterings blandos y duros mezclan gluon y\nscattering quark, de la misma manera que el orden más bajo qq̄ → g procesos. Tales procesos\nmodifica los espectros de hadrones finales o las funciones de fragmentación eficaces, pero no\ntributo a la pérdida de energía del quark líder. Para qq̄ → qq̄, gg procesos, también existen\ncontribuciones de interferencia puras procedentes principalmente de interferencias de dispersión de un solo triple.\nCon un modelo simple de funciones factorizadas de correlación de dos cuartetos, investi-\nla dependencia del sabor del medio modificado funciones de fragmentación de quark en una\nnúcleo grande. Identificamos la parte dependiente del sabor de la modificación y encontramos que\nla modificación nuclear para una fragmentación antiquark en un hadron de valencia es más grande\nque el de un quark. Esto ofrece una explicación cualitativa para la dependencia del sabor de\nla principal supresión de hadrones en el DIS semi-inclusivo frente a objetivos nucleares, como se observa en\nel experimento HERMES [25,26].\nAgradecimientos\nLos autores agradecen a Jian-Wei Qiu y Enke Wang por su útil discusión. Este trabajo\nfue apoyado por NSFC en el marco del proyecto No. 10405011, por el Ministerio de Educación de China en el marco del proyecto\nIRT0624, por Alexander von Humboldt Foundation, por BMBF, por el Director de la Oficina\nde Investigación Energética, Oficina de Energía Alta y Física Nuclear, Divisiones de Energía Nuclear\nFísica, del Departamento de Energía de los Estados Unidos bajo el Contrato No. DE-AC02-05CH11231,\ny por el US NSF bajo Grant No. PHY-0457265, la Fundación Welch en virtud de la subvención\nNo. A-1358.\nA-1 Partes duras para doble dispersión quark-quark\nEn la Sección 3 hemos discutido el cálculo de la parte dura de un ejemplo de corte-diagrama\n(Fig. 5) en detalle. En este apéndice enumeramos los resultados de todas las posibles correcciones reales a\nquark-quark (antiquark) doble dispersión en el orden O(α2s). Hay\nun total de 12 diagramas como se ilustra en las Figs. 5-16. Para el propósito de abreviar, nosotros\nsuprimirá las variables en las anotaciones de las partes duras partonicas\nD HD(y−, y−1, y−2, x, p, q, zh), (A-1)\ny funciones de los factores de fase\nI (y−, y−1, y−2, x,, xL, p). (A-2)\nPrimero consideramos todos los diagramas de aniquilación qq̄ → gg con diferentes cortes posibles. Los\ncontribuciones de la Fig. 5 son:\n5,C =\nα2sxB\nI5,CDg→h(zh/z)\n1 + z2\nz(1 − z)\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\n, (A-3)\nFig. 5. El canal t de qq̄ → diagrama de aniquilación gg con tres posibles cortes, central(C),\nizquierda (L) y derecha (R).\nFig. 6. La interferencia entre t y u-canal de qq̄ → aniquilación gg.\nI5,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n×(1− e−ixLp+y\n2 )(1− e−ixLp+(yy\n), (A-4)\n5,L(R) =\nα2sxB\nI5,L(R)\nDq→h(zh/z)2\n1 + z2\nz(1 − z)\n+Dg→h(zh/z)2\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\n, (A-5)\nI5,L =(y−1 − y−2 )♥(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+(yy\n), (A-6)\nI5,R =(−y−2 )♥(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n2 ). (A-7)\nAquí hemos incluido la fragmentación de ambas partes del estado final.\nLas contribuciones de la Fig. 6 son:\nFig. 7. El canal s de qq̄ → diagrama de aniquilación gg con sólo un corte central.\n6,C =\nα2sxB\nI6,C 2Dg→h(zh/z)\n(1- z)z\nCF (CF − CA/2)\n, (A-8)\n6,L(R) =\nα2sxB\nI6,L(R) [Dg→h(zh/z) +Dq→h(zh/z)]\n(1- z)z\nCF (CF − CA/2)\n, (A-9)\nI6,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n× (1− e−ixLp+y\n2 )(1− e−ixLp+(yy\n), (A-10)\nI6,L =(y−1 − y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+(yy\n) ). (A-11)\nI6,R =(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n2 ), (A-12)\nTenga en cuenta que el diagrama de corte central en la Fig. 6 corresponde a la interferencia entre t y\nu-canal de los procesos de aniquilación qq̄ → gg en la Fig. 5. Puesto que la función de división es\nsimétrico en z y 1 − z, un factor de 2 proviene de la fragmentación de ambos gluones en\nel diagrama de corte central.\nEl canal s de qq̄ → gg se muestra en la Fig. 7 que sólo tiene un corte central. Su contri-\nbution a la parte dura partónica es,\n7,C =\nα2sxB\nI7,C 2Dg→h(zh/z)\n2-z2 − z + 1)2\nz(1 − z)\n, (A-13)\nI7,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−e−ixLp\n+(yy−\n)e-ixLp\n2. (A-14)\nTenga en cuenta que la función de división 2(z2 − z + 1)2/z(1 − z) = 2[1 − z(1 − z)]2/z(1 − z) es\nsimétrico en z y 1− z. Por lo tanto, la fragmentación de los dos gluones finales da lugar a\nel factor de 2 frente a la función de fragmentación del gluón.\nFig. 8. La interferencia entre el canal t y s de qq̄ → aniquilación gg.\nFig. 9. El conjugado complejo de la Fig. 8.\nLas interferencias entre t y s-canal de qq̄ → gg procesos se muestran en Figs. 8 y\n9. Hay sólo dos cortes posibles en estos diagramas. Las contribuciones de la Fig. 8 son:\n8,C =\nα2sxB\nI8,C Dg→h(zh/z)\n1 + z3\nz(1 − z)\n1 + (1− z)3\nz(1 − z)\n, (A-15)\nα2sxB\nDq→h(zh/z)2\n1 + z3\nz(1− z)\n+ Dg→h(zh/z)2\n1 + (1− z)3\nz(1 − z)\n, (A-16)\nI8,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n×(1− e−ixLp+y\n2 )e−ixLp\n+(yy−\n), (A-17)\nI8,L = (y\n1 - y -2 )-(y - - y -1 )ei(x+xL)p\n×(e−ixLp+(yy)\n) − e−ixLp+(yy\n) ). (A-18)\nContribuciones de la Fig. 9, que son sólo el complejo conjugado de la Fig. 8, son:\n9,C =\nα2sxB\nI9,C Dg→h(zh/z)\n1 + z3\nz(1 − z)\n1 + (1− z)3\nz(1 − z)\n, (A-19)\n9,R =\nα2sxB\nDq→h(zh/z)2\n1 + z3\nz(1 − z)\n+ Dg→h(zh/z)2\n1 + (1− z)3\nz(1 − z)\n, (A-20)\nI9,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n×(1− e−ixLp+(yy\n))e-ixLp\n2, (A-21)\nI9,R = فارسى(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p\n×(1− e−ixLp+(y\n))e-ixLp\n1. (A-22)\nUno puede recoger todas las contribuciones del doble duro qq̄ → gg procesos de la central-\ndiagramas de corte, que deben tener el factor de fase común\n* C = (−y−2 ) * (y− − y−1 ) eixp\n+y−e−ixLp\n), (A-23)\ny obtener la función de división efectiva total en la parte dura,\nPqqgg(z) =\nz(1 − z)\n{C2F [1 + z2 + 1 + (1− z)2]− 2CF (CF − CA/2)\n+2CFCCA(1− z + z2)2 − CFCA[1 + z3 + 1 + (1− z)3]}\nz2 + (1− z)2\nz(1− z)\n− 2CA[z2 + (1− z)2]\n. (A-24)\nMás adelante, en el Apéndice A-3, veremos que el resultado anterior también puede obtenerse del\nelementos de matriz total al cuadrado para qq̄ → aniquilación gg.\nAhora consideramos los procesos de aniquilación qq̄ → qiq̄i con qi 6= q. Sólo está el\nproceso de canal s con un diagrama de corte central como se muestra en la Fig. 10. Su contribución a\nla parte difícil es\n10,C =\nα2sxB\nI10,C\nqi 6=q\n[Dqi→h(zh/z) +Dq̄i→h(zh/z)]\nFig. 10. s-canal qq̄ → aniquilación qiq̄i.\nFig. 11. t-canal qqi(q̄i) → qqi(q̄i) dispersión.\n×[z2 + (1− z)2]\n, (A-25)\nI10,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−e−ixLp\n+(yy)\n)e-ixLp\n2. (A-26)\nAquí definimos la función de división efectiva para qq̄ → aniquilación qiq̄i como,\nPqqqiq̄i(z) =\n[z2 + (1− z)2]. (A-27)\nDel mismo modo, para qq̄i → qq̄i dispersión con qi 6= q, sólo hay el canal t como se muestra en\nFig. 11. Hay, sin embargo, tres diagramas de corte. Sus contribuciones a la dura particónica\nparte son:\n11,C =\nα2sxB\nI11,C\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1- z)2\n+Dq̄i→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\n, (A-28)\n11,L(R) =\nα2sxB\nI11,L(R)\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1- z)2\n+Dg→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\n, (A-29)\nI11,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n× (1− e−ixLp+y\n2 )(1− e−ixLp+(yy\n), (A-30)\nI11,L =(y−1 − y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+(yy\n), (A-31)\nI11,R =(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n2 ). (A-32)\nEl elemento de matriz de correlación twist-cuatro dos-parten asociado con el quark anterior-\nla dispersión antiquark es el correlator quark-antiquark,\nTAqq̄i(x, xL)\nixp+yixLp\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 ) A, (A-33)\ny uno debe sumar sobre todos los posibles sabores qi 6= q. Tenga en cuenta que en el elemento de matriz anterior,\nel flujo de impulso para el antiquark (q̄i) es opuesto al de los campos quark (q).\nPara la dispersión quark-quark, qqi → qqi, la parte dura es esencialmente la misma. El único\ndiferencia es el elemento de matriz asociado para el correlator quark-quark que es ob-\nproveniente de la del correlator quark-antiquark a través del intercambio qi(y2) → qi(y2)\ny qi(y1) → qi(y1),\nTAqqi(x, xL)\nixp+yixLp\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n1 )A. (A-34)\nTenga en cuenta que los flujos de impulso de los dos quarks (q y qi) apuntan en la misma dirección.\nLa función de división efectiva de este proceso de dispersión se define a través de los fragmen-\nla puesta del quark en el diagrama de corte central,\nPqqi(q̄i)→qqi(q̄i)(z) =\n1 + z2\n(1- z)2\n. (A-35)\nPara aniquilación qq̄ → qq̄ en pares de quark y antiquark idénticos, además de la\ns-canal (Fig. 10 para qi = q) y t-canal (Fig. 11 para qi = q̄), uno también tiene que considerar\nla interferencia entre las amplitudes s y t-canal como se muestra en las Figs. 12 y 13, cada uno\ntener dos cortes. Sus contribuciones a las partes duras son, respectivamente:\nFig. 12. Interferencia entre s y t-canal de qq̄ → qq̄ dispersión\nFig. 13. El conjugado complejo de la Fig. 12.\n12,C =\nα2sxB\nI12,C\nDq→h(zh/z)\n(1 a z)\n+Dqh(zh/z)\n2(1− z)2\nCF (CF − CA/2)\n, (A-36)\n12,L =\nα2sxB\nI12,L\nDq→h(zh/z)\n(1 a z)\n+Dg→h(zh/z)\n2(1− z)2\nCF (CF − CA/2)\n, (A-37)\nI12,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n×(1− e−ixLp+y\n2 )e−ixLp\n+(yy−\n), (A-38)\nI12,L = (y\n1 - y -2 )-(y - - y -1 )ei(x+xL)p\n×(e−ixLp+(yy)\n) − e−ixLp+(yy\n) ; (A-39)\nFig. 14. La interferencia entre t y u-canal de cuark-cuark idéntico dispersión qq → qq.\n13,C =\nα2sxB\nI13,C\nDq→h(zh/z)\n(1 a z)\n+Dqh(zh/z)\n2(1− z)2\nCF (CF − CA/2)\n, (A-40)\n13,R =\nα2sxB\nI13,R\nDq→h(zh/z)\n(1 a z)\n+Dg→h(zh/z)\n2(1− z)2\nCF (CF − CA/2)\n, (A-41)\nI13,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n×(1− e−ixLp+(yy\n))e-ixLp\n2, (A-42)\nI13,R = فارسى(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p\n×(e−ixLp+y\n1 − e−ixLp+y\n2 ). (A-43)\nUna vez más se pueden recoger contribuciones de los diagramas de corte central de la dispersión doble\nprocesos en Figs. 10, 11 12 y 13 y obtener la función de división efectiva total para\nqq̄ → qq̄,\nPqqqq̄(z) =\n[z2 + (1− z)2] +\n1 + z2\n(1- z)2\nCF (CF − CA/2)\nz2 + (1− z)2 +\n1 + z2\n(1- z)2\n. (A-44)\nAquí hemos usado CF − CA/2 = −1/2Nc. Para la fragmentación anticuarto, Pqqq̄q(z) =\nPqqqq̄(1 − z). Uno también puede obtener el resultado anterior de qq̄ → qq̄ matriz de dispersión\nal cuadrado como se muestra en el apéndice A-3.\nDel mismo modo, para la dispersión de quarks idénticos qq → qq, uno debe establecer qi = q en Fig. 11[en\nEq. (A-28)]. Además, también debería incluirse la interferencia entre t y u-canal\nde la dispersión como se muestra en la Fig. 14. Las contribuciones de este diagrama de interferencia\n14,C =\nα2sxB\nI14,C\n× 2Dq→h(zh/z)\nz(1 − z)\nCF (CF − CA/2)\n, (A-45)\n14,L(R) =\nα2sxB\nI14,L(R)\n× [Dq→h(zh/z) +Dg→h(zh/z)]\nz(1− z)\nCF (CF − CA/2)\n, (A-46)\nI14,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n× (1− e−ixLp+y\n2 )(1− e−ixLp+(yy\n), (A-47)\nI14,L =(y−1 − y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+(yy\n), (A-48)\nI14,R =(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n2 ). (A-49)\nNótese de nuevo que la fragmentación de ambos quarks contribuye al factor 2 en Eq. (A-\n45) ya que la función de división es simétrica en z y 1 − z. El giro-cuatro dos-cuarto\nelemento de matriz de correlación asociado con qq → dispersión qq es TAqq(x, xL) en comparación\na TAqq̄(x, xL) para procesos de aniquilación quark-antiquark.\nPodemos sumar las contribuciones de la dispersión dura doble en todos los diagramas de corte central\nen Figs. 11 y 14 y obtener la función de división efectiva total para procesos qq → qq,\nPqq→qq(z) =\n1 + z2\n(1- z)2\n1 + (1− z)2\nCF (CF − CA/2)\nz(1 − z)\n1 + z2\n(1- z)2\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\n. (A-50)\nHay dos diagramas de corte restantes que contribuyen a la aniquilación quark-antiquark\nal orden de O(α2s) como se muestra en las Figs. 15 y 16. Sus contribuciones son las siguientes:\n15,L =\nα2sxB\nI15,L\nDq→h(zh/z)2\n1 + z2\n+Dg→h(zh/z)2\n1 + (1− z)2\n, (A-51)\nI15,L =(y−1 − y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−e−ixLp\n+(yy)\n), (A-52)\nFig. 15. Interferencia entre la radiación gluon del estado final de dispersión de un solo y triple cuarteto.\nFig. 16. El conjugado complejo de la Fig. 15.\n16,R =\nα2sxB\nI16,R\nDq→h(zh/z)2\n1 + z2\n+Dg→h(zh/z)2\n1 + (1− z)2\n, (A-53)\nI16,R =(−y−2 )♥(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−e−ixLp\n1. (A-54)\nA-2 Funciones efectivas de división\nEn este Apéndice, enumeramos las funciones de división efectivas asociadas a cada proceso\nqa→ b y el doble duro (HI), hard-soft (SI) o sus interferencias (I, I2) según\na Eq. (73).\nqqi(q̄i)→qi(q̄i)\nz) =\n1 + (1− z)2\nqqi(q̄i)→q\nz) =\n1 + z2\n(1- z)2\nqqi(q̄i)→qi(q̄i)\nz) =\n1 + (1− z)2\nqqi(q̄i)→g\n(z) = −1 + (1− z)\n(A-55)\nqqqi(z) =P\nqqq̄i(z) = z\n2 + (1− z)2,\nqqqi(z) =P\nqqq̄i(z) = z\n2 + (1− z)2, (A-56)\nP (HI)qq→q(z) =\n1 + (1− z)2\n1 + z2\n(1- z)2\nz(1 − z)\nP (SI)qq→g(z) =−P (SI)qq→q(z), (A-57)\nP (SI)qq→q(z) =\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\nqqq(z) = z\n2 + (1− z)2 + 1 + z\n(1- z)2\nqqq̄(z) =P\nqqq(1− z),\nqqg(z) = 2CF\nz2 + (1− z)2\nz(1 − z)\n− 2CA[z2 + (1− z)2], (A-58)\nqqq(z) =−\nz(1 − z)\n+ 2CF\nqqq̄(z) =\n1 + (1− z)2\nqqg(z) =\nz(1 − z)\n+ 2CF\n− 1 + (1− z)\n(A-59)\nqqq(z) = z\n2 + (1− z)2 −\nz(1 − z)\n− 2CF\nqqq̄(z) = z\n2 + (1− z)2,\nqqg(z) =CA\n4(1− z + z2)2 − 1\nz(1 − z)\n− 2CF\n(1- z)2\n, (A-60)\nqqq(z) =\nz(1 − z)\n− 2CF\nqqg(z) =\nz(1 − z)\n− 2CF\n. (A-61)\nLas funciones de división no-singlet para qq̄ → b, definido como\nqqb(z) P\nqqb(z)− P\nqq→b(z), (A-62)\nse enumeran a continuación:\nN(HI)\nqqqi(q̄i)\n(z) =P\nqqqi(q̄i)\n(z), (P)\nqqqi(q̄i)\n(z) = P\nqqqi(q̄i)\nz), (A-63)\nN(HI)\nqqq (z) =−\n(1− z2)(1 + z2 + (1− z)2)\n1 + z3\nz(1− z)\nN(HI)\nqqq̄ (z) =P\nqqq̄(z), ŁP\nN(HI)\nqqg (z) = P\nqqg(z), (A-64)\nN(SI)\nqqq (z) =−\n1 + z2\n1 + (1− z)2\nN(SI)\nqqq̄ (z) =P\nqqq̄(z)\nN(SI)\nqqg (z) = 2CF\n1 + z2\nz(1 − z)\n1 + (1− z)2\n(A-65)\nqqb(z) =P\nqqb(z), ŁP\nN(I2)\nqqb (z) = P\nqqb(z) (b = q, q̄, g) (A-66)\nA-3 Cálculos alternativos de diagramas de corte central\nComo control cruzado de las partes duras de la parte partónica calculadas a partir de diferentes diagramas de corte en\nApéndice A-1, proporcionamos un cálculo alternativo de todos los diagramas de corte central,\nque corresponden a la dispersión quark-quark (antiquark).\nConsiderando una parten (a) con impulso q dispersando con otra parten (b) que\nlleva un momento fraccionario xp, a(q) + b(xp) → c(l) + d(p′), la sección transversal puede ser\npor escrito como\ndđab =\nM 2ab→cd(t/, û/)\n(2l)32l0\n2[(p+ q − l)2]\n(4η)2\nM 2ab→cd(t/, û/)\nz(1− z)\ndl2T\n, (A-67)\ndonde q = [0, q−, 0] y p = [xp+, 0, 0] son momentáneas de las partes iniciales y\n, zq−, ~lT\n(A-68)\nes el impulso de una de las partes finales. Con la cinemática dada, el on-shell\ncondición en la sección transversal se puede refundir como\n(xp + q − l)2 = 2(1− z)xp+q−\n1 - xL\n, xL =\n2z(1− z)p+q−\n. (A-69)\nLas variables Mandelstam de la colisión son,\n=(q + xp)2 = 2xp+q− =\nz(1 − z)\n, û = (l− xp)2 = −z\nt=(l− q)2 = −(1 − z)\n• = −(1− z), (A-70)\ndonde hemos utilizado la condición en la cáscara x = xL.\nCon Eq. (A-67) y funciones de distribución de parten fNb (x), se puede obtener la parten-\nsección transversal de nucleón,\ndaN =\ndđabf\nb (x)dx\nfNb (xL)xLM 2ab→cd(tÃ3rÃ, û/)\nz(1− z)\nfNb (xL)\nC0Pab→cd(z)dz\n, (A-71)\ndonde s = 2p+q− es la energía del centro de la masa para la colisión aN, C0 es algún color común\nfactor en los elementos de la matriz de dispersión y\nPab→cd(z) = (1/C0)M 2ab→cd(tÃ3rá/, û/) (A-72)\nes lo que hemos definido como la función de división efectiva para los procesos correspondientes.\nPor lo tanto, se puede obtener fácilmente estas funciones de división efectiva de la correspondiente\nelementos de matriz para la dispersión elemental de parten-parten [39]. Los enumeraremos en el fol-\nLoading. Un factor de color común para toda dispersión quark-quark(antiquark) es C0 = CF/Nc.\nqq̄ → aniquilación qiq̄i:\nM 2qqqiq̄i =\ntâ € 2 + û2\nPqqqiq̄i(z) = z\n2 + (1− z)2. (A-73)\nqq̄ → aniquilación qq̄:\nM 2qqqq̄ =\nû2 + â € 2\nû2 + tâ € 2\nPqqqq̄(z) =\n1 + z2\n(1- z)2\n+ z2 + (1− z)2 +\n. (A-74)\nqq̄ → aniquilación gg:\nM 2qqgg =\n− 2CA\nû2 + tâ € 2\nPqqgg(z) = 2CF\nz2 + (1− z)2\nz(1− z)\n− 2CA(z2 + (1− z)2). (A-75)\nqqi(q̄i) → qqi(q̄i) scattering:\nM 2qqi(q̄i)→qqi(q̄i)=\nû2 + â € 2\nPqqi(q̄i)→qqi(q̄i)(z) =\n1 + z2\n(1- z)2\n. (A-76)\nqq → dispersión qq:\nM 2qq→qq =\nû2 + â € 2\n2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +\nPqq→qq(z) =\n1 + z2\n(1- z)2\n1 + (1− z)2\nz(1− z)\n. (A-77)\nPara la dispersión de quark-gluon Compton, la función de distribución de gluon relevante es xLGN (xL).\nPor lo tanto, se puede reescribir la contribución de qg → qg a Eq. (A-71) como,\ndqN = xLGN(xL)\nsz(1 − z)M 2qg→qg(tÃ3rá, û/Ã)dz\nxLGN(xL)+2s\nPqg→qg(z)dz\n. (A-78)\nTenemos entonces para qg → qg dispersión,\nM 2qg→qg =\n•2 + û2\nû2 + â € 2\nPqg→qg(z) = z(1 − z)\n1 + z2\n(1- z)2\n1 + z2\n. (A-79)\nComparando este resultado con el de Ref. [18] para el rescatado quark-gluon, podemos ver\nque están de acuerdo en el límite 1 − z → 0. Esto es una consecuencia de la aproximación colineal\nmación empleada en Ref. [18] en el cálculo de la parte dura del quark-gluón\nRescatando.\nTambién podemos extender este cálculo al caso de dispersión gluon-nucleón. Uno puede usar\nEq. (A-71) para definir la función de división para la dispersión de gq → gq,\nM 2gq→gq =\n2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +\nt+2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + + + 2 + 2 + 2 + 2 + + + + + + 2 + 2 + 2 + + + 2 + + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + + + + + + 2 + + + 2 + 2 \nPgq→gq(z) = z(1 − z)\n1 + (1− z)2\n1 + (1− z)2\n(1 a z)\n. (A-80)\nAquí para la dispersión gluon-partón, no hay factor de color común.\ngg → aniquilación qq̄,\nM 2gg→qq̄ =\ntâ € 2 + û2\ntâ € 2 + û2\nPgg→qq̄(z) = z(1 − z)\nz2 + (1− z)2\nz(1− z)\n[z2 + (1− z)2]\n. (A-81)\ngg → gg scattering\nM 2gg→gg=2\n3 - t\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n− t\nPgg→gg(z) = 2\n(1− z + z2)3\nz(1− z)\n. (A-82)\nSe puede utilizar esta técnica para extender el estudio de funciones de fragmentación modificadas a\nGluones de propagación. Dado que la modificación está dominada por quark-gluon y gluon-gluon\nscattering, comparando las funciones de división efectivas,\nPqg→qg(z)\n, (A-83)\nPgg→gg(z)\n, (A-84)\nen el límite z → 1, se puede concluir que la pérdida de energía radiativa de un gluón es mayor que\na quark por un factor de Nc/CF = CA/CF = 9/4. Dejaremos la derivación completa de\nmodificación media de las fragmentaciones de gluón a una publicación futura.\nBibliografía\n[1] K. Adcox et al., [PHENIX Collaboration], Phys. Rev. Lett. 88, 022301 (2002).\n[2] C. Adler et al., [STAR Collaboration], Phys. Rev. Lett. 89 202301 (2002).\n[3] C. Adler et al., [STAR Collaboration], Phys. Rev. Lett. 90, 082302 (2003).\n[4] M. Gyulassy y L. McLerran, Nucl. Phys. A 750, 30 (2005).\n[5] P. Jacobs y X. N. Wang, Prog. Parte. Nucl. Phys. 54, 443 (2005).\n[6] J. W. Qiu, [arXiv:hep-ph/0507268].\n[7] J. W. Qiu y G. Sterman, Int. J. Mod. Phys. E 12 (2003) 149.\n[8] X. F. Guo, Phys. Rev. D58 (1998) 114033.\n[9] X. F. Guo, J. W. Qiu y W. Zhu, Phys. Lett. B 523 (2001) 88.\n[10] R. J. Fries, A. Schäfer, E. Stein y B. Muller, Nucl. Phys. B 582, 537 (2000).\n[11] J. W. Qiu y X. Zhang, Phys. Lett. B 525 (2002) 265.\n[12] J. W. Qiu e I. Vitev, Phys. Rev. Lett. 93, 262301 (2004), J. W. Qiu e I. Vitev, Phys.\nLett. B 587, 52 (2004).\n[13] M. Gyulassy y X.-N. Wang, Nucl. Phys. B 420, 583 (1994); X.-N. Wang, M. Gyulassy\ny M. Plümer, Phys. Rev. D 51, 3436 (1995).\n[14] R. Baier y otros, Nucl. Phys. B 483, 291 (1997). Nucl. Phys. B 484, 265 (1997); Phys. Rev.\nC 58, 1706 (1998).\n[15] B. G. Zakharov, JETP Lett. 63, 952 (1996).\n[16] M. Gyulassy, P. Lévai e I. Vitev, Nucl. Phys. B594, 371 (2001); Phys. Rev. Lett. 85,\n5535 (2000).\n[17] U. Wiedemann, Nucl. Phys. B588, 303 (2000); C. A. Salgado y U. A. Wiedemann, Phys.\nRev. Lett. 89, 092303 (2002).\n[18] X. F. Guo y X.-N. Wang, Phys. Rev. Lett. 85, 3591 (2000);\nX.-N. Wang y X. F. Guo, Nucl. Phys. A 696, 788 (2001).\n[19] B. W. Zhang y X.-N. Wang, Nucl. Phys. A 720, 429 (2003); B. W. Zhang, E. Wang\ny X.-N. Wang, Phys. Rev. Lett. 93, 072301 (2004); B. W. Zhang, E. K. Wang y\nX.-N. Wang, Nucl. Phys. A 757, 493 (2005).\n[20] B. Z. Kopeliovich, A. Schäfer y A. V. Tarasov, Phys. Rev. C 59 (1999) 1609\n[arXiv:hep-ph/9808378].\n[21] M. Gyulassy, I. Vitev, X. N. Wang y B. W. Zhang, Quark-Gluon Plasma 3, R. C. Hwa y\nX.-N Wang, Eds. (World Scientific, Singapur, 2003), p123-191 [arXiv:nucl-th/0302077].\n[22] A. Kovner y U. A. Wiedemann, arXiv:hep-ph/0304151.\n[23] M. Luo, J. W. Qiu y G. Sterman, Phys. Lett. B 279 (1992) 377; Phys. Rev. D 50 (1994)\n1951;\nPhys. Rev. D 49, 4493 (1994).\n[24] E. Wang y X.-N. Wang, Phys. Rev. Lett. 89, 162301 (2002) [arXiv:hep-ph/0202105].\n[25] A. Airapetian et al. [HERMES Colaboración], Eur. Phys. J. C 20, 479 (2001)\n[arXiv:hep-ex/0012049].\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ph/0507268\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ph/9808378\nhttp://arxiv.org/abs/nucl-th/0302077\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ph/0304151\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ph/0202105\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ex/0012049\n[26] A. Airapetian et al. [HERMES Colaboración], Phys. Lett. B 577, 37 (2003)\n[arXiv:hep-ex/0307023].\n[27] X. N. Wang, Phys. Lett. B 595, 165 (2004) [arXiv:nucl-th/0305010].\n[28] T. Falter, W. Cassing, K. Gallmeister y U. Mosel, Phys. Rev. C 70, 054609 (2004)\n[arXiv:nucl-th/0406023].\n[29] B. Z. Kopeliovich, J. Nemchik, E. Predazzi y A. Hayashigaki, Nucl. Phys. A 740, 211\n(2004) [arXiv:hep-ph/0311220].\n[30] V. N. Gribov y L. N. Lipatov, Sov. J. Nucl. Phys. 15, 438 (1972); Yu. L. Dokshitzer,\nSov. Phys. JETP 46, 641 (1977); G. Altarelli y G. Parisi, Nucl. Phys. B126, 298 (1977);\n[31] R. D. Field, Aplicaciones del QCD Perturbativo, Frontiers in Physics Lecture, Vol. 77, Ch.\n5.6 (Addison Wesley, 1989).\n[32] M. E. Peskin y D. V. Schroeder, Introducción a la Teoría de Campo de Quantuam, (Addison-\nWesley Advanced Book Program, 1995).\n[33] J. Osborne y X.-N. Wang, Nucl. Phys. A 710, 281 (2002) [arXiv:hep-ph/0204046].\n[34] X. N. Wang, arXiv:nucl-th/0604040.\n[35] H. L. Lai y otros [Colaboración CTEQ], Eur. Phys. J. C 12, 375 (2000)\n[arXiv:hep-ph/9903282]; Uno puede utilizar la calculadora de distribución de parten en línea en\nhttp://durpdg.dur.ac.uk/HEPDATA/PDF.\n[36] F. Gelis, K. Kajantie y T. Lappi, Phys. Rev. Lett. 96, 032304 (2006)\n[arXiv:hep-ph/0508229].\n[37] W. Liu, C. M. Ko y B. W. Zhang, arXiv:nucl-th/0607047.\n[38] J. Binnewies, B. A. Kniehl y G. Kramer, Phys. Rev. D 52, 4947 (1995)\n[arXiv:hep-ph/9503464].\n[39] R. Cutler y D. W. Sivers, Phys. Rev. D 17, 196 (1978).\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ex/0307023\nhttp://arxiv.org/abs/nucl-th/0305010\nhttp://arxiv.org/abs/nucl-th/0406023\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ph/0311220\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ph/0204046\nhttp://arxiv.org/abs/nucl-th/0604040\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ph/9903282\nhttp://durpdg.dur.ac.uk/HEPDATA/PDF\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ph/5508229\nhttp://arxiv.org/abs/nucl-th/0607047\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ph/9503464\n\tIntroducción\n\tFormalismo general\n\tProcesos de dispersión doble Quark-quark\n\tFunciones de fragmentación modificadas\n\t q\"7016q g aniquilación\n\tq\"7016q qi\"7016qi aniquilación\n\tqqi(\"7016qi) qqi(\"7016qi) scattering\n\tdispersión qqqqq\n\tq\"7016q q\"7016q, gg aniquilation\n\tModificación debida a la mezcla quark-gluon\n\tLa dependencia del sabor del medio modificado fragmentación\n\tResumen\n\tPartes duras para doble scattering quark-quark\n\tFunciones de división eficaces\n\tCálculos alternativos de diagramas de corte central\n\tBibliografía\n"}}}],"truncated":false,"partial":false},"paginationData":{"pageIndex":0,"numItemsPerPage":100,"numTotalItems":1754,"offset":0,"length":100}},"jwt":"eyJhbGciOiJFZERTQSIsImtpZCI6IjVHZDBvd0g5MTM2eDZjc1FvbE1zcktNWUZoRVFoUm5PVVVybEpjOUhaUEEifQ.eyJyZWFkIjp0cnVlLCJwZXJtaXNzaW9ucyI6eyJyZXBvLmNvbnRlbnQucmVhZCI6dHJ1ZX0sInJlcG9JZHMiOlsiNjI0YTMxYjdjOWU3NGM3NGNmZjA0OGM3Il0sImlhdCI6MTc5MjU3NjcyNSwianRpIjoiM2Y3NTZmZTYtODI3MS00MmRiLTljNmMtNmU1NDFjMTdmZGY2Iiwic3ViIjoiL2RhdGFzZXRzL21pcmFjRmVuY2Uvc2NpZW50aWZpY19wYXBlcnNfZXMiLCJleHAiOjE3OTI1ODAzMjUsImlzcyI6Imh0dHBzOi8vaHVnZ2luZ2ZhY2UuY28ifQ.4NpfZjAHPalGauq7cbxkF3x6Hp_lwQVJT3CzpL96d9qH_x_3VnKKPPuBHmRLi-Zk-4QDHsBWuqN3E35gRZpyCA","displayUrls":true,"splitSizeSummaries":[{"config":"default","split":"train","numRows":1754,"numBytesParquet":81583883}]},"discussionsStats":{"closed":0,"open":0,"total":0},"fullWidth":true,"hasGatedAccess":true,"hasFullAccess":true,"isEmbedded":false,"savedQueries":{"community":[],"user":[]}}">
id float64 704 704 | title stringlengths 15 188 | full_text stringlengths 6 868k | abstract stringlengths 45 2.17k | text_no_abstract stringlengths 6 866k |
|---|---|---|---|---|
704.0002 | Sparsity-certifying Graph Decompositions | Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity
Ileana Streinu1*, Louis Theran2
1 Departamento de Ciencias de la Computación, Smith College, Northampton, MA. Correo electrónico: streinu@cs.smith.edu
2 Departamento de Ciencias de la Computación, Universidad de Massachusetts Amherst. Correo electrónico: ther... | Describimos un nuevo algoritmo, el juego de $(k,\ell)$-pebble con colores, y el uso
obtener una caracterización de la familia de $(k,\ell)$-sparse gráficos y
soluciones algorítmicas a una familia de problemas relativos a las descomposiciones arbóreas de
gráficos. Casos especiales de gráficos escasos aparecen en la te... | Introducción y preliminares
El foco de este documento son las descomposicións de (k, `)-sparse gráficos en bordes-disjunto subgraphs
que certifique la escasez. Usamos el gráfico para significar un múltiplo, posiblemente con bucles. Nosotros decimos que un
grafo es (k, `)-sparse si ningún subconjunto de n′ vértices abar... |
704.0003 | The evolution of the Earth-Moon system based on the dark matter field
fluid model | La evolución del sistema Tierra-Luna basado en el modelo de fluido oscuro
La evolución del sistema Tierra-Luna basado en
el modelo de fluido de campo de materia oscura
Hongjun Pan
Departamento de Química
Universidad del Norte de Texas, Denton, Texas 76203, U.S. A.
Resumen
La evolución del sistema Tierra-Luna es... | La evolución del sistema Tierra-Luna es descrita por el campo de materia oscura
modelo fluido propuesto en la Reunión de la División de Partículas y Campo 2004,
Sociedad Física Americana. El comportamiento actual del sistema Tierra-Luna está de acuerdo
con este modelo muy bien y el patrón general de la evolución de l... | Introducción
La teoría aceptada popularmente para la formación del sistema Tierra-Luna es que
la Luna se formó a partir de escombros de un fuerte impacto por un gigante planetesimal con el
La Tierra al final del período de formación del planeta (Hartmann y Davis 1975). Desde el
formación del sistema Tierra-Luna, qu... |
704.0004 | A determinant of Stirling cycle numbers counts unlabeled acyclic
single-source automata | Un determinante de los números de ciclo de Stirling cuenta sin etiqueta
Automata de una sola fuente acíclica
DAVID CALLAN
Departamento de Estadística
Universidad de Wisconsin-Madison
1300 University Ave
Madison, WI 53706-1532
callen@stat.wisc.edu
30 de marzo de 2007
Resumen
Demostramos que un determinante de los número... | Demostramos que un determinante de los números de ciclo Stirling cuenta sin etiqueta acíclica
autómatas de una sola fuente. La prueba implica una bijección de estos autómatas a
algunos caminos de celosía marcados y una involución de inversión de signos para evaluar el
determinante.
| Introducción El propósito principal de este artículo es mostrar bijectamente que
un determinante de los números de ciclo Stirling cuenta autómatas acíclicos de una sola fuente sin etiqueta.
Específicamente, deje que Ak(n) denote la matriz kn × kn con (i, j) entrada
[ i−1
i−1
1+i−j
, donde
es el número del ciclo de Sti... |
704.0005 | From dyadic $\Lambda_{\alpha}$ to $\Lambda_{\alpha}$ | DE DÍA A DÍA
WAEL ABU-SHAMMALA Y ALBERTO TORCHINSKY
Resumen. En este artículo mostramos cómo calcular la norma â € ¢, α ≥ 0,
usando la cuadrícula dyádica. Este resultado es una consecuencia de la descripción de
el Hardy espacios Hp(RN) en términos de átomos dyadic y especiales.
Recientemente, varios métodos novedosos p... | En este artículo mostramos cómo calcular la norma $\Lambda_{\alpha}$, $\alpha\ge
0$, usando la cuadrícula dyádica. Este resultado es una consecuencia de la descripción de
los espacios Hardy $H^p(R^N)$ en términos de átomos dyádicos y especiales.
| DE DÍA A DÍA
WAEL ABU-SHAMMALA Y ALBERTO TORCHINSKY
Resumen. En este artículo mostramos cómo calcular la norma â € ¢, α ≥ 0,
usando la cuadrícula dyádica. Este resultado es una consecuencia de la descripción de
el Hardy espacios Hp(RN) en términos de átomos dyadic y especiales.
Recientemente, varios métodos novedosos p... |
704.0007 | Polymer Quantum Mechanics and its Continuum Limit | La mecánica cuántica de polímeros y su límite de continuidad
Alejandro Corichi,1, 2, 3, ∗ Tatjana Vukašinac,4, † y José A. Zapata1, ‡
Instituto de Matemáticas, Unidad Morelia, Universidad Nacional Autónoma de México,
UNAM-Campus Morelia, A. Postal 61-3, Morelia, Michoacán 58090, México
Instituto de Ciencias Nucleares, ... | Una representación cuántica no estándar de la conmutación canónica
relaciones de los sistemas mecánicos cuánticos, conocidos como la representación del polímero
recibió cierta atención en los últimos años, debido a su posible relación con Planck
física a escala. En particular, este enfoque se ha seguido de forma simé... | La mecánica cuántica de polímeros y su límite de continuidad
Alejandro Corichi,1, 2, 3, ∗ Tatjana Vukašinac,4, † y José A. Zapata1, ‡
Instituto de Matemáticas, Unidad Morelia, Universidad Nacional Autónoma de México,
UNAM-Campus Morelia, A. Postal 61-3, Morelia, Michoacán 58090, México
Instituto de Ciencias Nucleares, ... |
704.0008 | Numerical solution of shock and ramp compression for general material
properties | Solución numérica de choque y compresión de rampa
para propiedades materiales generales
Damian C. Swift*
División de Ciencia y Tecnología de Materiales,
Laboratorio Nacional Lawrence Livermore,
7000, East Avenue, Livermore, CA 94550, U.S.A.
(Fecha: 7 de marzo de 2007; versión revisada el 8 de abril de 2008 y el 1 de ju... | Se elaboró una formulación general para representar modelos materiales para
aplicaciones en carga dinámica. Se diseñaron métodos numéricos para calcular
respuesta a la compresión de golpes y rampas, y descompresión de rampas, generalizando
soluciones previas para ecuaciones escalares de estado. Los métodos numéricos ... | Introducción
Estructura conceptual para propiedades del material
Carga unidimensional idealizada
Compresión de rampas
Compresión por choque
Precisión: aplicación al aire
Comportamiento complejo de la materia condensada
Temperatura
Ecuaciones de densidad-temperatura del estado
Modelo de temperatura para ecuacio... |
704.001 | Partial cubes: structures, characterizations, and constructions | Cubos parciales: estructuras, caracterizaciones, y
construcciones
Sergei Ovchinnikov
Departamento de Matemáticas
Universidad Estatal de San Francisco
San Francisco, CA 94132
sergei@sfsu.edu
8 de mayo de 2006
Resumen
Los cubos parciales son subgrafías isométricas de hipercubes. Estructuras en un
grafo definido por medio... | Los cubos parciales son subgrafías isométricas de hipercubes. Estructuras en un gráfico
definida por medio de semicubos, y el juego de relaciones de Djokovi\'{c} y Winkler
un papel importante en la teoría de los cubos parciales. Estas estructuras están empleadas
en el papel para caracterizar gráficos bipartitos y cub... | Introducción
Un hipercubo H(X) en un conjunto X es un gráfico que los vértices son los subconjuntos finitos
de X ; dos vértices se unen por un borde si difieren por un singleton. Un parcial
cubo es un gráfico que puede ser isométricamente incrustado en un hipercubo.
Hay tres estructuras generales grafo-teóricas que jue... |
704.0011 | Computing genus 2 Hilbert-Siegel modular forms over $\Q(\sqrt{5})$ via
the Jacquet-Langlands correspondence | COMPUTANDO GENUS 2 HILBERT-SIEGEL MODULAR
FORMULARIOS SOBRE Q(
5) VIA LAS JACQUETAS-LANGLANDAS
CORRESPONDENCIA
CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ
Resumen. En este artículo presentamos un algoritmo para la computación de Hecke
eigensystems de Hilbert-Siegel formas cúspide sobre los campos cuadráticos reales de
clase e... | En este artículo presentamos un algoritmo para la computación Hecke eigensystems de
Hilbert-Siegel forma cúspide sobre campos cuadráticos reales de número de clase estrecho
Uno. Damos algunos ejemplos ilustrativos usando el campo cuadrático
$\Q(\sqrt{5})$. En esos ejemplos, identificamos a Hilbert-Siegel eigenforms q... | Introducción
Dejar F ser un campo cuadrático real de clase estrecha número uno y dejar B ser el
singular (hasta isomorfismo) quaternion álgebra sobre F que se ramifica en
ambos lugares arquimedienses de F y no ramificados en todas partes. Dejar GU2(B)
ser el grupo de similitudes unitarias de B+2. Este es el conjunto de... |
704.0012 | Distribution of integral Fourier Coefficients of a Modular Form of Half
Integral Weight Modulo Primes | DISTRIBUCIÓN DE CUARTOS COEFICIENTES INTEGRALES DE UNA
FORMA MODULAR DE MÓDULO DE PESO INTEGRAL
PRIMES
D. CHOI
Resumen. Recientemente, Bruinier y Ono clasificaron las formas cúspides f(z) :=
af n)q
Sâ € 1
• Z[[q] que no satisface una determinada propiedad de distribución para el módulo
p impares primos. En este artícul... | Recientemente, Bruinier y Ono clasificados cúspide formas $f(z) := \sum_{n=0infty}
a_f(n)q ^n \in S_{\lambda+1/2}(\Gamma_0(N),\chi)\cap \mathbb{Z}[[q]$ que hace
no satisfacer una cierta propiedad de distribución para modulo impar primos $p$. En este
de papel, utilizando Rankin-Cohen Bracket, ampliamos este resultado ... | Introducción y resultados
Dejemos que Mâ € 1
(0(N), χ) y S1
(0(N), χ) ser los espacios, respectivamente, de las formas modulares
y formas de cúspide de peso + 1
en el punto 0(N) con un carácter Dirichlet χ cuyo conductor
divide N. Si f(z) â € Mâ € 1
(0(N), χ), entonces f(z) tiene el formulario
f(z) =
a(n)qn,
dond... |
704.0013 | $p$-adic Limit of Weakly Holomorphic Modular Forms of Half Integral
Weight | LÍMITE PÁDICO DE LOS CUARTOS COEFICIENCIAS DE LA DEBILIDAD
FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DE PESO INTEGRAL
D. Choi e Y. Choie
Resumen. Serre obtuvo el límite p-ádico de los coeficientes integrales de Fourier de los módulos
formularios en SL2(Z) para p = 2, 3, 5, 7. En este documento, extendemos el resultado de Serre a d... | Serre obtuvo el límite p-ádico del coeficiente integral de Fourier de
formularios modulares en $SL_2(\mathbb{Z})$ por $p=2,3,5,7$. En este documento, extendemos
el resultado de Serre a formas modulares débilmente holomórficas de medio peso integral
en $\Gamma_{0}(4N)$ por $N=1,2,4$. Una prueba se basa en relaciones l... | Introducción y declaración de los principales resultados
Serre obtuvo los límites p-ádicos de los coeficientes integrales de Fourier de las formas modulares en
SL2(Z) para p = 2, 3, 5, 7 (véase Théorème 7 y Lemma 8 en [20]). En este documento, extendemos
el resultado de Serre a formas modulares débilmente holomórficas ... |
704.0014 | Iterated integral and the loop product | Las integrales iteradas y el producto del bucle
Koichi Fujii
1 Introducción
El propósito de este artículo es describir la topología de cuerdas desde el punto de vista de
Las integrales iteradas de Chen. Dejar que M sea un d-manifold cerrado compacto orientado y
LM ser el espacio de bucle libre de M, el conjunto de mapa... | En este artículo discutimos una relación entre la topología de cuerdas y
formas diferenciales basadas en la teoría de las integrales iteradas de Chen y el
Complejo de barras cíclicas.
| Introducción
El propósito de este artículo es describir la topología de cuerdas desde el punto de vista de
Las integrales iteradas de Chen. Dejar que M sea un d-manifold cerrado compacto orientado y
LM ser el espacio de bucle libre de M, el conjunto de mapas lisos sin base de S1 a M.
Que H* (LM) sea la homología del es... |
704.0015 | Fermionic superstring loop amplitudes in the pure spinor formalism | arXiv:0704.0015v2 [hep-th] 10 Mar 2008
Preimpresión tipográfica en estilo JHEP - HYPER VERSION
Amplitudes fermónicas del lazo de la supercadena en el
pura formalismo espinoso
Christian Stahn
Departamento de Física, Universidad de Carolina del Norte
Chapel Hill, NC 27599–3255, EE.UU.
Correo electrónico: stahn@physics.un... | La formulación espinosa pura de la supercadena de diez dimensiones conduce a
amplitudes de bucle manifiestamente supersimétricas, expresadas como integrales en puro
spinor superespacio. Este trabajo explora diferentes métodos para evaluar estos
integrales y luego los utiliza para calcular los factores cinemáticos del... | Introducción
La cuantificación de la supercadena de diez dimensiones usando espinores puros como hoja del mundo
los fantasmas [1] han superado muchas dificultades encontradas en el Green-Schwarz (GS) y
Ramond-Neveu-Schwarz (RNS) formalismos. En particular, manteniendo el espacio manifiesto
supersimetría de tiempo, el p... |
704.0016 | Lifetime of doubly charmed baryons | La vida de los bariones doblemente encantados
Chao-Hsi Chang1,2*, Tong Li3†, Xue-Qian Li3‡ y Yu-Ming Wang4§
1CCAST (World Laboratory), P.O.Box 8730, Beijing 100080, P.R. China
2Instituto de Física Teórica, Academia China de Ciencias,
P.O.Box 2735, Beijing 100080, P.R. China
3 Departamento de Física, Universidad de Nank... | En este trabajo, evaluamos las vidas de los bariones doblemente encantados
$\Xi_{cc$, $\Xi_{cc$ y $\Omega_{cc$. Calculamos cuidadosamente
las contribuciones de los no-espectadores en el nivel quark donde el Cabibbo-suprimió
También se incluyen diagramas. Los elementos de la matriz hadrónica se evalúan en el
modelo si... | Introducción
Formulación para toda la vida de cc+, cc++, cc+
Contribución del Espectador a la vida útil de cc+, cc++, cc+
Contribuciones de no-espectador a Decaimientos Inclusivos de cc+, cc++, cc+
Los elementos de la matriz hadrónica
Parámetros de entrada y resultados numéricos
Conclusión y debate
Bibliografí... |
704.0017 | Spectroscopic Observations of the Intermediate Polar EX Hydrae in
Quiescence | Mon. No, no. R. Astron. Soc. 000, 000–000 (0000) Impreso el 30 de octubre de 2018 (archivo de estilo MN LATEX v2.2)
Observaciones espectroscópicas de la hidra polar intermedia en
Quisescencia
N. Mhlahlo1,2, D.A.H. Buckley2, V.S. Dhillon3, S.B. Potter2, B. Warner1 y
P.A. Woudt1
1 Departamento de Astronomía, Universidad ... | Resultados de observaciones espectroscópicas del Polar Intermedio (IP) EX Hya
En los años 1991 y 2001 se presenta el estado de quiescencia. Radial modulado por giro
se detectaron velocidades consistentes con un origen disco exterior para el primer
tiempo en una IP. La pulsación de giro fue modulada con velocidades ce... | Introducción
Observaciones y reducción de datos
1991 Observaciones
2001 Observaciones
Las velocidades radiales
Búsquedas de periodos
Variaciones orbitales de las líneas de emisión
Tomografías orbitales y espectros rastreados
Girar Variaciones de las líneas de emisión
La curva radial de velocidad de giro
Tomog... |
704.0018 | In quest of a generalized Callias index theorem | arXiv:0704.0018v2 [hep-th] 21 Abr 2007
En busca de un teorema generalizado de índice Callias
Andreas Gustavsson1
Förstamajgatan 24,
S-415 10 Göteborg, Suecia
Resumen
Le damos una receta para calcular el índice de Callias, utilizando como regulador un
función exponencial. Encontramos acuerdo con los resultados antiguos ... | Le damos una receta para calcular el índice de Callias, usando como
regulador de una función exponencial. Encontramos acuerdo con los resultados antiguos en todos
dimensiones extrañas. Demostramos que el problema de la computación de la dimensión de la
espacio moduli de las cadenas auto-duales se puede formular como ... | Introducción
No sabemos lo que es realmente la teoría de seis dimensiones (2, 0). Se cree
que puede sostener cuerdas solitónicas auto-duales [1], aunque nadie hoy en día sabe
lo que realmente es una cuerda auto-dual (no-abeliana). Pero si rompemos el grupo de medición
máxima a U(1)r, entonces deberíamos ser capaces de ... |
704.0019 | Approximation for extinction probability of the contact process based on
the Gr\"obner basis | Aproximación para la probabilidad de extinción
el proceso de contacto basado en la base de Gröbner
Norio Konno
Departamento de Matemáticas Aplicadas
Universidad Nacional de Yokohama
Resumen. En esta nota damos un nuevo método para obtener una serie de aproxi-
para la probabilidad de extinción del proceso de contacto un... | En esta nota damos un nuevo método para obtener una serie de aproximaciones para
la probabilidad de extinción del proceso de contacto unidimensional utilizando la
Gr\"obner base.
| Introducción
Let X = {0, 1}Zd denota un espacio de configuración, donde Zd es el d-dimensional
Enrejados enteros. El proceso de contacto t : t ≥ 0} es un X-valorado continuo-
el proceso de Markov. El modelo fue introducido por Harris en 1974 [1] y
se considera como un modelo simple para la propagación de una enfermedad... |
704.002 | Measurement of the Hadronic Form Factor in D0 --> K- e+ nue Decays | BABAR-PUB-07/015
SLAC-PUB-12417
Medición del factor de forma hadrónica en D0 → K−ee Decays.
B. Aubert, M. Bona, D. Boutigny, Y. Karyotakis, J. P. Lees, V. Poireau, X. Prudente, V. Tisserand, y A. Zghiche
Laboratoire de Physique des Particules, IN2P3/CNRS et Université de Savoie, F-74941 Annecy-Le-Vieux, Francia
J. Garr... | La forma del factor de forma hadrónica f+(q2) en el decaimiento D0 --> K- e+ nue
se ha medido en un modelo de análisis independiente y se ha comparado con
cálculos. Utilizamos 75 fb(-1) de datos registrados por el detector BABAR en el
Colisionador de positrones de electrones PEPII. La fracción de ramificación de desi... | Introducción
El factor de forma hadronica f+(q2)
Parametrizaciones del factor de forma
Expansión de Taylor
Parametrizaciones dependientes de modelos
Expectativas cuantitativas
Modelos Quark
Reglas de suma QCD
QCD de celosía
Parametrizaciones analizadas
El detector BABAR y el conjunto de datos
Reconstrucción ... |
704.0021 | Molecular Synchronization Waves in Arrays of Allosterically Regulated
Enzymes | Olas de Sincronización Molecular en Rayos de Enzimas Alostéricamente Reguladas
Vanessa Casagrande,1 Yuichi Togashi,2, ∗ y Alexander S. Mikhailov2, †
1Hahn-Meitner-Institut, Glienicker Straße 100, 14109 Berlín, Alemania
2Fritz-Haber-Institut der Max-Planck-Gesellschaft, Faradayweg 4-6, 14195 Berlín, Alemania
Formación d... | Formación del patrón espaciotemporal en una reacción enzimática activada por el producto a
se investigan concentraciones elevadas de enzimas. Las simulaciones estocásticas muestran que
ciclos catalíticos de rotación de enzimas individuales pueden llegar a ser coherentes y que
pueden desarrollarse patrones de onda com... | Olas de Sincronización Molecular en Rayos de Enzimas Alostéricamente Reguladas
Vanessa Casagrande,1 Yuichi Togashi,2, ∗ y Alexander S. Mikhailov2, †
1Hahn-Meitner-Institut, Glienicker Straße 100, 14109 Berlín, Alemania
2Fritz-Haber-Institut der Max-Planck-Gesellschaft, Faradayweg 4-6, 14195 Berlín, Alemania
Formación d... |
704.0022 | Stochastic Lie group integrators | INTEGRADORES DE GRUPOS ESTOCÁSTICOS
SIMON J.A. MALHAM* Y ESCRITO ANTIGUO*
Resumen. Presentamos integradores de grupo de Lie para ecuaciones diferenciales estocásticos no lineales con
campos vectoriales no conmutativos cuya solución evoluciona en un colector finito liso. Dado
una acción de grupo de la mentira que genera... | Presentamos integradores de grupo de Lie para diferencial estocástico no lineal
ecuaciones con campos vectoriales no conmutativos cuya solución evoluciona sobre un suave
multiple dimensión finita. Dada una acción de grupo de Lie que genera transporte
a lo largo del colector, tiramos hacia atrás el flujo estocástico e... | Introducción. Estamos interesados en diseñar esquemas numéricos de grupo de Lie
para la fuerte aproximación de la ecualización diferencial estocástica no lineal de Stratonovich
ciones de la forma
yt = y0 +
Vi(y/23370/, ) dW
*............................................................................ (1.1)
AquíW 1,...... |
704.0023 | ALMA as the ideal probe of the solar chromosphere | Astrofísica y Ciencia Espacial manuscrito No.
(se insertará por el editor)
ALMA como sonda ideal de la cromosfera solar
Maria A. Loukitcheva · Sami K. Solanki · Stephen White
Recibido: fecha / Aceptado: fecha
Resumen La naturaleza misma de la cromosfera solar,
su estructuración y dinámica, está lejos de ser
correctamen... | La naturaleza misma de la cromosfera solar, su estructuración y dinámica,
sigue estando lejos de ser comprendido adecuadamente, a pesar de la investigación intensiva.
Aquí señalamos el potencial de las observaciones cromosféricas en el milímetro
longitudes de onda para resolver este problema de larga data. Cálculos e... | Introducción
La cromosfera sigue siendo la capa menos comprendida de
la atmósfera solar, con los fundamentos de su estructura
dad que se debate acaloradamente: ¿está mejor descrito por la Comisión?
imagen clásica de un aumento constante de la temperatura como func-
ciones de altura, con oscilaciones débiles superpuesta... |
704.0024 | Formation of quasi-solitons in transverse confined ferromagnetic film
media | Formación de cuasisolitones en ferromagnético confinado transversal
Medios cinematográficos
A.A. Serga 1
Technische Universität Kaiserslautern, Departamento de Física y
Forschungsschwerpunkt MINAS, D - 67663 Kaiserslautern, Alemania
M. Kostylev 2
Escuela de Física, Universidad de Australia Occidental, 35 Stirling
Autop... | La formación de formas de onda de giro cuasi-2D en magnetizado longitudinalmente
las rayas de la película ferromagnética se observaron mediante el uso de tiempo y espacio resuelto
Técnica de dispersión de luz Brillouin. En el régimen lineal se encontró que
el confinamiento disminuye la amplitud de la magnetización di... | Formación de cuasisolitones en ferromagnético confinado transversal
Medios cinematográficos
A.A. Serga 1
Technische Universität Kaiserslautern, Departamento de Física y
Forschungsschwerpunkt MINAS, D - 67663 Kaiserslautern, Alemania
M. Kostylev 2
Escuela de Física, Universidad de Australia Occidental, 35 Stirling
Autop... |
704.0025 | Spectroscopic Properties of Polarons in Strongly Correlated Systems by
Exact Diagrammatic Monte Carlo Method | arXiv:0704.0025v1 [cond-mat.str-el] 2 Abr 2007
Propiedades espectroscópicas de Polarons en
Sistemas fuertemente relacionados por exactamente
Método Diagnóstico de Monte Carlo
A. S. Mishchenko1,2 y N. Nagaosa3
1 CREST, Organismo Japonés de Ciencia y Tecnología (JST), AIST, 1-1-1, Higashi,
Tsukuba 305-8562, Japón.
2 Cent... | Presentamos recientes avances en la comprensión del terreno y estados excitados
de los sistemas acoplados electrón-fonón obtenidos por métodos novedosos de
Esquemática Monte Carlo y Optimización Estocástica, que permiten la
cálculo libre de aproximación de la función Matsubara Green en tiempos imaginarios
y realizar ... | Introducción
El estudio teórico de polarones en el sistema fuertemente correlacionado es como un
tentad a ver el contenido de una caja Pandora incrustada en otra, aún más
siniestro y oscuro, contenedor de acertijos, enigmas y misterios. Esta des-
situación perada ocurre porque la solución no se conoce ni siquiera para ... |
704.0026 | Placeholder Substructures II: Meta-Fractals, Made of Box-Kites, Fill
Infinite-Dimensional Skies | 7 Subestructuras de Placeholder II: Meta-Fractales,
Hecho de kites de caja, llenar infinito-dimensional
Cielos
Robert P. C. de Marrais*
Thothic Technology Partners, P.O.Box 3083, Plymouth MA 02361
2 de marzo de 2022
Resumen
Cero-divisores (ZDs) derivados por el Proceso Cayley-Dickson (CDP) de N-
los números dimensional... | Divisores cero (ZD) derivados del Proceso Cayley-Dickson (CDP) de
N-dimensional hipercomplejos números (N una potencia de 2, al menos 4) puede representar
singularidades y, a medida que N se acerca a infinitos, fractales -- y por lo tanto, libres de escala
redes. Cualquier entero mayor que 8 y no una potencia de 2 ge... | Introducción a modo de repetición: De los box-kites
a los ET
La creación de análogos 2N-dimensionales de los números complejos (y no fue un
conocimiento trivial del álgebra del siglo 19 que los análogos legítimos siempre tienen dimen-
sión un poder de 2) es manejado por un algoritmo ahora bien conocido llamado el Cayle... |
704.0027 | Filling-Factor-Dependent Magnetophonon Resonance in Graphene | Resonancia magnetofonónica dependiente del factor de llenado en el grafeno
M. O. Goerbig,1 J.-N. Fuchs,1 K. Kechedzhi,2 y Vladimir I. Fal’ko2
Laboratoire de Physique des Solides, Univ. Paris-Sud, CNRS UMR 8502, F-91405 Orsay, Francia y
Departamento de Física, Universidad de Lancaster, Lancaster, LA1 4YB, Reino Unido
(F... | Describimos una estructura fina peculiar adquirida por el fonón óptico en el plano
en el punto Gamma en el grafeno cuando se pone en resonancia con uno de
las transiciones inter-Landau-nivel en este material. El efecto es más
pronunciado cuando este modo de celosía (asociado con la banda G en el grafeno Raman
espectr... | Resonancia magnetofonónica dependiente del factor de llenado en el grafeno
M. O. Goerbig,1 J.-N. Fuchs,1 K. Kechedzhi,2 y Vladimir I. Fal’ko2
Laboratoire de Physique des Solides, Univ. Paris-Sud, CNRS UMR 8502, F-91405 Orsay, Francia y
Departamento de Física, Universidad de Lancaster, Lancaster, LA1 4YB, Reino Unido
(F... |
704.0028 | Pfaffians, hafnians and products of real linear functionals | Pfa ans, hafnians y produ
ts de lineal real
diversión
ciones
Péter E. Frenkel
Instituto Alfréd Rényi de Mathemati
s
Húngaro A
ademy de S
ien
es
P.O.B. 127, 1364 Budapest, Hungría
frenkelp renyi.hu
Abstra
t
Demostramos las versiones pfa y hafnia de las desigualdades de Lieb en disuadir-
minants y permanentes de semi-de ... | Demostramos versiones pfaffianas y hafnias de las desigualdades de Lieb sobre los determinantes
y permanentes de matrices semidefinidas positivas. Usamos el hafniano.
la desigualdad para mejorar el límite inferior de R\'ev\esz y Sarantopoulos en el
norma de un producto de las funciones lineales en un espacio euclidia... | Pfa ans, hafnians y produ
ts de lineal real
diversión
ciones
Péter E. Frenkel
Instituto Alfréd Rényi de Mathemati
s
Húngaro A
ademy de S
ien
es
P.O.B. 127, 1364 Budapest, Hungría
frenkelp renyi.hu
Abstra
t
Demostramos las versiones pfa y hafnia de las desigualdades de Lieb en disuadir-
minants y permanentes de semi-de ... |
704.0029 | Understanding the Flavor Symmetry Breaking and Nucleon Flavor-Spin
Structure within Chiral Quark Model | Comprender la ruptura de la simetría del sabor y el núcleo
Sabor-Spin Estructura dentro del modelo de Quark de Chiral
Zhan Shu, Xiao-Lin Chen y Wei-Zhen Deng*
Departamento de Física, Universidad de Pekín, Beijing 100871, China
Resumen
En χQM, un quark puede emitir bosones Goldstone. La simetría del sabor se rompe en el... | En $\XQM$, un quark puede emitir bosones Goldstone. La simetría del sabor irrumpiendo
el proceso de emisión de bosón de Goldstone se utiliza para intepretar el nucleón
estructura del sabor-spin. En este artículo, estudiamos la estructura interna de
quarks constituyentes implícitos en $\XQM$ causados por la emisión de... | Comprender la ruptura de la simetría del sabor y el núcleo
Sabor-Spin Estructura dentro del modelo de Quark de Chiral
Zhan Shu, Xiao-Lin Chen y Wei-Zhen Deng*
Departamento de Física, Universidad de Pekín, Beijing 100871, China
Resumen
En χQM, un quark puede emitir bosones Goldstone. La simetría del sabor se rompe en el... |
704.003 | Tuning correlation effects with electron-phonon interactions | Efectos de correlación de sintonía con el electrón-fonón
interacciones
J.P.Hague y N.d'Ambrumenil
Departamento de Física, Universidad de Warwick, CV4 7AL, Reino Unido
Investigamos el efecto de afinar la energía fonónica en la correlación ef-
infecta en modelos de interacciones electrón-fonón usando DMFT. En el régimen
... | Investigamos el efecto de afinar la energía fonónica en la correlación
efectos en modelos de interacciones electrón-fonón utilizando DMFT. En el régimen
donde electrones itinerantes, correlaciones instantáneas impulsadas por el electrón-fonón
y las distorsiones estáticas compiten en escalas de energía similares, enco... | Introducción
Montaje de pruebas experimentales de altas Tc cuprates 1, niquelados 2,
manganitas 3,4 y otros materiales interesantes sugieren que el electrón grande-
las interacciones fonónicas pueden jugar un papel más importante en la física de
sistemas de electrones correlacionados de lo que se pensaba. Migdal-Eliash... |
704.0031 | Crystal channeling of LHC forward protons with preserved distribution in
phase space | Microsoft Word - Difracción-Arxiv
Canalización cristalina de protones delanteros LHC
con distribución preservada en el espacio de fase
V.M. Biryukov♦
Instituto de Física de Alta Energía, Protvino, 142281, Rusia
Resumen
Demostramos que el cristal puede atrapar una amplia (x, x', y, y', E) distribución de partículas y
ca... | Demostramos que el cristal puede atrapar una amplia (x, x', y, y', E) distribución de
las partículas y el canal lo conservan con una alta precisión. Esta muestra-y-mano
la distribución puede ser dirigida por un cristal doblado para el análisis aguas abajo. In
simulaciones para el 7 TeV Gran Colisionador de Hadrones, ... | Introducción
Una partícula que entra en la celosía de cristal paralelo a una dirección cristalográfica mayor puede ser
capturado y canalizado por la celosía a lo largo de un eje o plano de cristal [1]. Por ejemplo, un positivo
la partícula puede ser canalizada entre los planos atómicos adyacentes. En un cristal doblado... |
704.0032 | Probing non-standard neutrino interactions with supernova neutrinos | IFIC/07-03
Probando interacciones de neutrinos no estándar con neutrinos de supernova
A. Esteban-Pretel, R. Tomàs y J. W. F. Valle1
1AHEP Group, Institut de Fsica Corpuscular - C.S.I.C/Universitat de València
Edifici Instituts d’Investigació, Apt. 22085, E-46071 València, España
(Fecha: 4 de noviembre de 2018)
Analizam... | Analizamos la posibilidad de detectar interacciones no estándar con neutrinos
(NSI, para abreviar) a través de la detección de neutrinos producidos en un futuro
supernova galáctica (SN).Consideramos el efecto del NSI sobre el neutrino
propagación a través de la envolvente SN dentro de un marco de tres neutrinos,
espe... | IFIC/07-03
Probando interacciones de neutrinos no estándar con neutrinos de supernova
A. Esteban-Pretel, R. Tomàs y J. W. F. Valle1
1AHEP Group, Institut de Fsica Corpuscular - C.S.I.C/Universitat de València
Edifici Instituts d’Investigació, Apt. 22085, E-46071 València, España
(Fecha: 4 de noviembre de 2018)
Analizam... |
704.0033 | Convergence of the discrete dipole approximation. I. Theoretical
analysis | Convergencia de la Aproximación Discreta del Dipolo
Convergencia de la aproximación discreta del dipolo.
I. Análisis teórico.
Maxim A. Yurkin
Facultad de Ciencias, Sección de Ciencias Computacionales, de la Universidad de Amsterdam,
Kruislaan 403, 1098 SJ, Amsterdam, Países Bajos
Instituto de cinética química y co... | Se realizó un riguroso análisis teórico de convergencia de lo discreto
aproximación del dipolo (DDA). Demostramos que los errores en cualquier cantidad medida son
limitado por una suma de un término lineal y cuadrático en el tamaño de un dipolo d, cuando
Este último se encuentra en el ámbito de aplicación del DDA. Po... | Introducción
La aproximación discreta del dipolo (DDA) es un método bien conocido para resolver la luz
problema de dispersión de partículas en forma arbitraria. Desde su introducción por Purcell y
Pennypacker1 se ha mejorado constantemente. La formulación de DDA resumida por
Draine y Flatau2 hace más de 10 años tod... |
704.0034 | Origin of adaptive mutants: a quantum measurement? | Microsoft Word - NatureCorspondJasmitedit.rtf
Enviado a la naturaleza en 1990
Resumen
Este es un suplemento del documento arXiv:q-bio/0701050, que contiene el texto de la correspondencia
enviado a Nature en 1990.
Origen de los mutantes adaptativos: ¿una medición cuántica?
Señor, - Varios trabajos recientes desc... | Este es un suplemento del documento arXiv:q-bio/0701050, que contiene el texto de
correspondencia enviada a Nature en 1990.
| Microsoft Word - NatureCorspondJasmitedit.rtf
Enviado a la naturaleza en 1990
Resumen
Este es un suplemento del documento arXiv:q-bio/0701050, que contiene el texto de la correspondencia
enviado a Nature en 1990.
Origen de los mutantes adaptativos: ¿una medición cuántica?
Señor, - Varios trabajos recientes desc... |
704.0035 | Convergence of the discrete dipole approximation. II. An extrapolation
technique to increase the accuracy | Microsoft Word - DDAextrapolation_preprint.doc
Convergencia de la aproximación discreta del dipolo.
II. Una técnica de extrapolación para aumentar la precisión.
Maxim A. Yurkin
Facultad de Ciencias, Sección de Ciencias Computacionales, de la Universidad de Amsterdam,
Kruislaan 403, 1098 SJ, Amsterdam, Países Bajos... | Proponemos una técnica de extrapolación que permite mejorar la precisión de la
cálculos discretos de aproximación del dipolo. El rendimiento de esta técnica
se estudió empíricamente en base a simulaciones extensas para 5 casos de ensayo utilizando
muchas discreciones diferentes. La calidad de la extrapolación mejora ... | Introducción
La aproximación discreta del dipolo (DDA) es un método bien conocido para resolver la luz
problema de dispersión de partículas en forma arbitraria. Desde su introducción por Purcell y
Pennypacker1 se ha mejorado constantemente. La formulación de DDA resumida por
Draine y Flatau2 hace más de 10 años tod... |
704.0036 | A remark on the number of steady states in a multiple futile cycle | Una observación sobre el número de estados estables en un ciclo múltiple inútil
Liming Wang y Eduardo D. Sontag
Departamento de Matemáticas
Universidad Rutgers, Nueva Brunswick, NJ, EE.UU.
Resumen
El ciclo de fosforilación-desfosforilación multisitio es un motivo utilizado repetidamente en la señalización celular.
Este... | El ciclo multisitio de fosforilación-desfosforilación es un motivo repetidamente
utilizado en la señalización celular. Este motivo en sí mismo puede generar una variedad de dinámica
comportamientos como la bistabilidad y la ultrasensibilidad sin positivo directo
feedbacks. En este trabajo, estudiamos el número de est... | Introducción
Un enfoque prometedor para manejar la complejidad de las vías de señalización celular es descomponer las vías en
pequeños motivos, y analizar los motivos individuales. Un motivo en particular que ha atraído mucha atención en
los últimos años es el ciclo formado por dos o más formas inter-convertibles de un... |
704.0037 | The discrete dipole approximation for simulation of light scattering by
particles much larger than the wavelength | La aproximación discreta del dipolo para la simulación de la dispersión de la luz por partículas mucho más grandes que la longitud de onda
La aproximación discreta del dipolo para la simulación de la dispersión de la luz
por partículas mucho más grandes que la longitud de onda
M.A. Yurkina,b*, V.P. Maltsevb, c, y A. ... | En este manuscrito investigamos las capacidades del Dipolo Discreto
Aproximación (DDA) para simular la dispersión de partículas que son mucho más grandes
que la longitud de onda de la luz incidente, y describir un optimizado públicamente
DDA programa informático disponible que procesa el gran número de dipolos
necesa... | Introducción
La aproximación discreta del dipolo (DDA) es un método general para calcular la dispersión y
absorción de ondas electromagnéticas por partículas de geometría y composición arbitrarias. Los
DDA fue propuesto por primera vez por Purcell y Pennypacker [1] y fue revisado por Draine y
Flatau en 1994 [2]. Un... |
704.0038 | The discrete dipole approximation: an overview and recent developments | La aproximación discreta del dipolo: una visión general y reciente
Acontecimientos
M.A. Yurkina,b,* y A. G. Hoekstraa
a Sección de Ciencias Computacionales, Facultad de Ciencias, Universidad de Amsterdam, Kruislaan
403, 1098 SJ, Amsterdam, Países Bajos
b Instituto de cinética química y combustión, sección siberiana... | Presentamos una revisión de la aproximación discreta del dipolo (DDA), que es un
método general para simular la dispersión de la luz mediante partículas de forma arbitraria. Nosotros
poner el método en contexto histórico y discutir los acontecimientos recientes, tomando
el punto de vista de un marco general basado en... | Introducción.................................................................................................................... 2
2 Marco general................................................................................................................ 3
3 Varios modelos de DDA..................................... |
704.0039 | Scalar radius of the pion and zeros in the form factor | Radio escalar del pion y ceros en el factor de forma
José A. Oller y Luis Roca
Departamento de Física. Universidad de Murcia.
E-30071, Murcia. España.
oller@um.es, luisroca@um.es
Resumen
El radio escalar de pion cuadrático, r2s, juega un papel importante para el presente determino preciso-
minaciones de dispersión. Rec... | El radio escalar de pion cuadrático, \la r^2\raÃ3pi_s, juega un papel importante
para las determinaciones precisas presentes de dispersión \pi\pi. Recientemente, Yndur\ain,
utilizando una representación Omnes del isóspin nulo (I) no extraño pion escalar
factor de forma, obtiene \la r^2\ra\pi_s=0.75\pm 0.07 fm^2. Este... | Introducción
El factor de forma escalar del pion, (t), corresponde al elemento matricial
(t) =
d4x e−i(q
q)x(q′)
muū(x)u(x) +mdd̄(x)d(x)
(q), t = (q′ − q)2. (1.1)
Realizar una expansión de Taylor alrededor de t = 0,
(t) = (0)
+O(t2)
, (1.2)
donde r2s es el radio escalar cuadrático del pion.
La cantidad aporta alrededor... |
704.004 | Multilinear function series in conditionally free probability with
amalgamation | arXiv:0704.0040v3 [math.OA] 5 Sep 2008
SERIE DE FUNCIÓN MULTILINEAR EN CONDICIONAL
LIBRE PROBABILIDAD CON LA AMALGAMACIÓN
MIHAI POPA
Resumen. Como en los casos de la libertad y la independencia monotónica, la
la noción de libertad condicional es significativa cuando los estados de valor complejo son
sustituido por expe... | Como en los casos de libertad e independencia monotónica, la noción de
la libertad condicional es significativa cuando los estados de valor complejo son reemplazados por
expectativas condicionales positivas. En este marco, el documento presenta
varios resultados de positividad, una versión del teorema del límite cent... | Introducción
El documento aborda un tema relacionado con la libertad condicional (o, en breve, utilizando el
término a partir de [2] c-libre) probabilidad. Esta noción se desarrolló en los años 90 (véase [1],
[2]) como una extensión de la libertad en el marco de ∗-álgebras dotadas de
no uno, sino dos estados. Es decir,... |
704.0041 | Quantum Group of Isometries in Classical and Noncommutative Geometry | arXiv:0704.0041v4 [math.QA] 26 Oct 2007
Grupo Quantum de Isometries en Clásica y
Geometría no conmutativa
Debashish Goswami 1
Unidad Stat-Math, Centro Kolkata,
Instituto de Estadística de la India
203, B. T. Road, Kolkata 700 108, India
Resumen
Formulamos una generalización cuántica de la noción de grupo de
Isometrías ... | Formulamos una generalización cuántica de la noción de grupo de
Isometrías Riemannianas para un colector Riemanniano compacto, mediante la introducción de un
noción natural de acción suave e isométrica por un grupo cuántico compacto en un
múltiple clásico o no conmutativo descrito por triples espectrales, y luego
pro... | Introducción
Desde la formulación de grupos de automorfismo cuántico por Wang ([15],
[16]), siguiendo las sugerencias de Alain Connes, muchos ejemplos interesantes de
tales grupos cuánticos, en particular los grupos de permutación cuántica de finitos
sets y gráficos finitos, han sido ampliamente estudiados por una seri... |
704.0042 | General System theory, Like-Quantum Semantics and Fuzzy Sets | Microsoft Word - Like-QuantumSemantics.doc
Teoría general del sistema, Semántica de Quantum y conjuntos borrosos
Ignazio Licata
Isem, Instituto de Metodología Científica, Pa, Italia
Ignazio.licata@ejtp.info
Resumen: Se describe la posibilidad de extender el formalismo cuántico en relación con el
requisitos de la t... | Se describe la posibilidad de ampliar el formalismo cuántico en relación con
los requisitos de la teoría general de sistemas. Se puede hacer mediante el uso de un
semántica cuántica que surge de la estructura lógica profunda de la teoría cuántica. Lo siento.
es tan posible teniendo en cuenta la relación de apertura l... | Microsoft Word - Like-QuantumSemantics.doc
Teoría general del sistema, Semántica de Quantum y conjuntos borrosos
Ignazio Licata
Isem, Instituto de Metodología Científica, Pa, Italia
Ignazio.licata@ejtp.info
Resumen: Se describe la posibilidad de extender el formalismo cuántico en relación con el
requisitos de la t... |
704.0043 | Nonequilibrium entropy limiters in lattice Boltzmann methods | Limitadores de entropía no equilibrio
en celosía Boltzmann métodos 1
R. A. Brownlee, A. N. Gorban*, J. Levesley
Departamento de Matemáticas, Universidad de Leicester, Leicester LE1 7RH, Reino Unido
Resumen
Construimos un sistema de limitadores de entropía no equilibrium para la celosía Boltz-
métodos de mann (LBM). Est... | Construimos un sistema de limitadores de entropía no equilibrium para la celosía
Métodos Boltzmann (LBM). Estos limitadores borran oscilaciones espurias sin
desenfoque de los choques, y no afectan a las soluciones suaves. En general, hacen el
el mismo trabajo para LBM que hacen los limitadores de flujo para las difer... | Introducción
En 1959, S.K. Godunov [17] demostró que un esquema (lineal) para una PDE
no podía, al mismo tiempo, ser monótono y de segundo orden exacto. Por lo tanto,
* Autor correspondiente.
Dirección de correo electrónico: r.brownlee@mcs.le.ac.uk (R. A. Brownlee),
a.gorban@mcs.le.ac.uk (A. N. Gorban), j.levesley@mcs.... |
704.0044 | Astrophysical gyrokinetics: kinetic and fluid turbulent cascades in
magnetized weakly collisional plasmas | SERIE DE SUMINISTRO ASTRÓFICO DE SUMINISTRO, 182:310 (2009) [impresión electrónica arXiv:0704.0044]
Tipografía preimpresa utilizando el estilo LATEX emularapj v. 08/22/09
GIROKINETICA ASTROFÍSICA: CASCADES TURBULENTES TINÉTICOS Y FLUIDOS EN MAGNETIZADOS DEBILIDAD
PLASMAS COLISIONALES
A. A. SCHEKOCHIHIN,1,2 S. C. COWLEY... | Presentamos un marco teórico para la turbulencia plasmática en la astrofísica
plasmas (viento solar, medio interestelar, cúmulos de galaxias, discos de acreción).
Las suposiciones clave son que la turbulencia es anisotrópica con respecto a la
El campo magnético medio y las frecuencias son bajas en comparación con el ... | Introducción conceptual al presente documento, que es mucho más detallada
y cubre un conjunto mucho más amplio de temas.
9 Esta es la versión de la teoría de Kolmogorov debido a Obukhov 1941.
FIG. 1.- Espectro de fluctuaciones eléctricas y magnéticas en el viento solar
en 1 UA (véase el cuadro 1 para los parámetros de ... |
704.0045 | Evolution of solitary waves and undular bores in shallow-water flows
over a gradual slope with bottom friction | Evolución de las ondas solitarias y los agujeros ondulados en
aguas poco profundas fluyen sobre una pendiente gradual con fondo
fricción
G.A. El1, R.H.J. Grimshaw2
Departamento de Ciencias Matemáticas, Universidad de Loughborough,
Loughborough LE11 3TU, Reino Unido
1 correo electrónico: G. El@lboro.ac.uk 2 correo elect... | Este artículo considera la propagación de aguas poco profundas solitarias y no lineales
ondas periódicas sobre una pendiente gradual con fricción en el fondo en el marco de una
Coeficiente variable Korteweg-de Vries ecuación. Usamos el promedio de Whitham
método, utilizando un desarrollo reciente de esta teoría para ... | Introducción
Ha habido muchos estudios de la propagación de las olas de agua sobre una pendiente, a veces
también sujeto a los efectos de la fricción en el fondo. Muchas de estas obras han considerado lineales
ondas, o han sido simulaciones numéricas en el marco de varias ondas largas no lineales
Ecuaciones modelo. Nue... |
704.0046 | A limit relation for entropy and channel capacity per unit cost | Una relación límite para la entropía
y capacidad de canal por unidad de costo
Imre Csiszár1,4, Fumio Hiai2,5 y Dénes Petz3,4
4 Instituto Alfréd Rényi de Matemáticas,
H-1364 Budapest, POB 127, Hungría
5 Escuela Superior de Ciencias de la Información, Universidad de Tohoku
Aoba-ku, Sendai 980-8579, Japón
Resumen: En un m... | En un modelo mecánico cuántico, Diosi, Feldmann y Kosloff llegaron a un
conjetura de que el límite de la entropía de determinadas mezclas es la
Entropía relativa como el tamaño del sistema va al infinito. La conjetura se demuestra en
este papel para matrices de densidad. La primera prueba es analítica y utiliza el
le... | Introducción
Fue conjeturado por Diósi, Feldmann y Kosloff en [4], basado en la termodinámica
consideraciones, que la entropía de von Neumann de un estado cuántico igual a una mezcla
Rn :=
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *... |
704.0047 | Intelligent location of simultaneously active acoustic emission sources:
Part I | Ubicación inteligente de la acústica activa simultáneamente
fuentes de emisión:
Parte I
Tadej Kosel e Igor Grabec
Facultad de Ingeniería Mecánica, Universidad de Liubliana,
Aškerčeva 6, POB 394, SI-1001 Liubliana, Eslovenia
Correo electrónico: tadej.kosel@guest.arnes.si; igor.grabec@fs.uni-lj.si
Resumen— Se describe el... | El localizador inteligente de emisiones acústicas se describe en la parte I, mientras que la parte
II se refiere a la separación de fuentes ciegas, la estimación del tiempo de retraso y la ubicación de dos
fuentes de emisión acústica continua activa simultáneamente.
La ubicación de la emisión acústica en estructura... | Ubicación inteligente de la acústica activa simultáneamente
fuentes de emisión:
Parte I
Tadej Kosel e Igor Grabec
Facultad de Ingeniería Mecánica, Universidad de Liubliana,
Aškerčeva 6, POB 394, SI-1001 Liubliana, Eslovenia
Correo electrónico: tadej.kosel@guest.arnes.si; igor.grabec@fs.uni-lj.si
Resumen— Se describe el... |
704.0048 | Inference on white dwarf binary systems using the first round Mock LISA
Data Challenges data sets | compilado:
25 de octubre
Inferencia en los sistemas binarios de la enana blanca usando el
Primera ronda de conjuntos de datos Mock LISA Data Challenges
Alexander Stroeer1,2, John Veitch1, Christian Röver3,
Ed Bloomer4, James Clark4, Nelson Christensen5,
Martin Hendry4, Chris Messenger4, Renate Meyer3,
Matthew Pitkin4, ... | Informamos sobre el análisis de conjuntos de datos de una sola fuente seleccionados desde el primer
ronda del Mock LISA Data Challenges (MLDC) para binarios enanos blancos. Nosotros
puesta en marcha de una tubería de extremo a extremo consistente en una red coherente
unidad de preprocesamiento para la detección de se... | Introducción
Los datos obtenidos de LISA [1] contendrán un gran número de binarios enanos blancos
sistemas a través de toda la ventana de observación [2]. A frecuencias inferiores a 3 mHz
las fuentes son tan abundantes que producen un primer plano estocástico cuya intensidad
domina el ruido instrumental [3]. Las fuente... |
704.0049 | An algorithm for the classification of smooth Fano polytopes | Un algoritmo para la clasificación de Fano suave
politopos
Mikkel Øbro
24 de octubre de 2018
Resumen
Presentamos un algoritmo que produce la lista de clasificación de
D-politopos de Fano lisos para cualquier d dado ≥ 1. La entrada del algo-
ritmo es un solo número, a saber, el entero positivo d. El algoritmo
se ha util... | Presentamos un algoritmo que produce la lista de clasificación de Fano suave
d-polytopes para cualquier d dado. La entrada del algoritmo es un solo número,
a saber, el entero positivo d. El algoritmo se ha utilizado para clasificar suave
D-politopos de Fano para d<=7. Hay 7622 clases de isomorfismo de Fano suave
6-po... | Introducción
Las clases de isomorfismo de las variedades de Fano torico liso de dimensión d corresponden
a las clases de isomorfismo de los llamados d-politopos de Fano lisos, que son completamente
politopos de celosía convexa dimensional en Rd, de tal manera que el origen está en el
interior de los politopos y los vér... |
704.005 | Intelligent location of simultaneously active acoustic emission sources:
Part II | Localización inteligente de dos activos simultáneamente
fuentes de emisión acústica:
Parte II
Tadej Kosel e Igor Grabec
Facultad de Ingeniería Mecánica, Universidad de Liubliana,
Aškerčeva 6, POB 394, SI-1001 Liubliana, Eslovenia
Correo electrónico: tadej.kosel@guest.arnes.si; igor.grabec@fs.uni-lj.si
Resumen— La parte... | La parte I describe un localizador inteligente de emisiones acústicas, mientras que la parte II
discute separación de fuentes ciegas, estimación de tiempo de retraso y localización de dos
fuentes de emisión acústica continua.
El análisis de emisiones acústicas (AE) se utiliza para la caracterización y localización ... | Localización inteligente de dos activos simultáneamente
fuentes de emisión acústica:
Parte II
Tadej Kosel e Igor Grabec
Facultad de Ingeniería Mecánica, Universidad de Liubliana,
Aškerčeva 6, POB 394, SI-1001 Liubliana, Eslovenia
Correo electrónico: tadej.kosel@guest.arnes.si; igor.grabec@fs.uni-lj.si
Resumen— La parte... |
704.0051 | Visualizing Teleportation | Visualización de la teletransportación
Scott M. Cohen*
Departamento de Física, Universidad Duquesne, Pittsburgh, Pennsylvania 15282 y
Departamento de Física, Universidad Carnegie-Mellon, Pittsburgh, Pennsylvania 15213
Se describe una nueva forma de imaginar el procesamiento de la información cuántica, permitiendo un vi... | Se describe una nueva forma de imaginar el procesamiento de la información cuántica,
permitiendo una visualización directa de la teletransportación de estados cuánticos y
proporcionar una comprensión sencilla e intuitiva de este fascinante fenómeno.
La discusión está dirigida a proporcionar a los físicos un método de... | Introducción
Probabilidades
Monedas clásicas y probabilidades clásicas
Monedas cuánticas y probabilidades cuánticas
Teletransportación
Visualización del procesamiento cuántico de la información
Estados de las monedas cuánticas
Medición de las monedas cuánticas
Visualización de la teletransportación
Teletranspo... |
704.0052 | Quantum Field Theory on Curved Backgrounds. II. Spacetime Symmetries | TEORÍA QUANTUM SOBRE EL TERRITORIO CURVO
ANTECEDENTES. II.
SIMETRIAS DE ESPACETIMO
ARTHUR JAFFE Y GORDON RITTER
Resumen. Estudiamos las simetrías espacio-tiempo en el campo cuántico escalar
teoría (incluidas las teorías de interacción) sobre el espacio-tiempo estático. Nosotros primero.
Considerar la teoría de campo cu... | Estudiamos simetrías espacio-tiempo en teoría de campos cuánticos escalares (incluyendo
la interacción de las teorías) sobre el espacio-tiempos estáticos. Primero consideramos a Euclidiano
la teoría cuántica del campo en un múltiple Riemanniano estático, y mostrar que el
grupo isométrico es generado por subgrupos de ... | Introducción
La extensión de la teoría cuántica del campo a los tiempos-espacio curvos ha llevado a
el descubrimiento de muchos fenómenos cualitativamente nuevos que no ocurren
en la teoría más simple sobre el espacio Minkowski, como la radiación Hawking; para
antecedentes y referencias históricas, véase [2, 6, 18].
La... |
704.0053 | A Global Approach to the Theory of Special Finsler Manifolds | ENFOQUE MUNDIAL DE LA
TEORÍA DE LAS
MANIFOLADORES ESPECIALES
Nabil L. Youssef†, S. H. Abed† y A. Soleiman‡
†Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias,
Universidad de El Cairo, Giza, Egipto.
nyoussef@frcu.eun.eg, sabed@frcu.eun.eg
‡Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias,
Universidad Benha, Benha, Egip... | El objetivo del presente documento es ofrecer una presentación mundial de la
teoría de los colectores especiales Finsler. Presentamos e investigamos globalmente (o
intrínsecamente, libre de coordenadas locales) muchos de los más importantes y más
colectores especiales de Finsler de uso común: localmente Minkowskian, ... | Introducción
En geometría Finsler todos los objetos geométricos dependen no sólo de la posición coordi-
nates, como en la geometría Riemanniana, pero también en argumentos direccionales. En Riemannian
geometría hay una conexión lineal canónica en el múltiple M, mientras que en Finsler
geometría hay una conexión lineal ... |
704.0054 | The Hardy-Lorentz Spaces $H^{p,q}(R^n)$ | El Hardy-Lorentz Spaces Hp,q(Rn)
Wael Abu-Shammala y Alberto Torchinsky
Resumen
En este artículo consideramos los espacios Hardy-Lorentz Hp,q(Rn), con
0 < p ≤ 1, 0 < q ≤ Discutimos la descomposición atómica de
los elementos en estos espacios, sus propiedades de interpolación, y el
comportamiento de integrales singular... | En este artículo consideramos los espacios de Hardy-Lorentz $H?p,q}(R^n)$, con
$0<p\le 1$, $0<q\le \infty$. Discutimos la descomposición atómica de la
elementos en estos espacios, sus propiedades de interpolación, y el comportamiento de
integrales singulares y otros operadores que actúan sobre ellas.
| El Hardy-Lorentz Spaces Hp,q(Rn)
Wael Abu-Shammala y Alberto Torchinsky
Resumen
En este artículo consideramos los espacios Hardy-Lorentz Hp,q(Rn), con
0 < p ≤ 1, 0 < q ≤ Discutimos la descomposición atómica de
los elementos en estos espacios, sus propiedades de interpolación, y el
comportamiento de integrales singular... |
704.0055 | Potassium intercalation in graphite: A van der Waals density-functional
study | Intercalación de potasio en el grafito: estudio funcional de densidad van der Waals
Eleni Ziambaras,1 Jesper Kleis,1 Elsebeth Schröder,1 y Per Hyldgaard1,2,*
Departamento de Física Aplicada, Universidad Tecnológica de Chalmers, SE-412 96 Göteborg, Suecia
Microtecnología y nanociencia, MC2, Universidad Tecnológica de Ch... | La intercalación de potasio en el grafito es investigada por los primeros principios
teoría. La unión en el compuesto de potasio-grafito está razonablemente bien
Contemplada por la teoría funcional tradicional de densidad semilocal (DFT)
cálculos. Sin embargo, para investigar la energía de formación de intercalado de... | Intercalación de potasio en el grafito: estudio funcional de densidad van der Waals
Eleni Ziambaras,1 Jesper Kleis,1 Elsebeth Schröder,1 y Per Hyldgaard1,2,*
Departamento de Física Aplicada, Universidad Tecnológica de Chalmers, SE-412 96 Göteborg, Suecia
Microtecnología y nanociencia, MC2, Universidad Tecnológica de Ch... |
704.0056 | Phase diagram of Gaussian-core nematics | Diagrama de fase de la nemática del núcleo gaussiano
Santi Prestipino1, * y Franz Saija2, †
Università degli Studi di Messina, Dipartimento di Fisica, Contrada Papardo, 98166 Messina, Italia
Istituto per i Processi Chimico-Fisici del CNR, Sezione di Messina, Via La Farina 237, 98123 Messina, Italia
(Fecha: 4 de noviemb... | Estudiamos un modelo simple de un cristal líquido nemático hecho de paralelo
partículas elipsoidales que interactúan a través de una ley gaussiana repulsiva. Después
identificación de las fases sólidas pertinentes del sistema a través de un
examen de la temperatura cero de hasta once estructuras de cristal candidatas... | Introducción, una de las principales
la comodidad de las simulaciones líquido-cristal es la correcta
identificación de la(s) fase(s) sólida(s) del sistema, ya que
una plétora de tales fases son concebibles y hay
no hay criterio infalible para elegir aquellos que son realmente
pertinente para el modelo específico objeto... |
704.0057 | High-spin to low-spin and orbital polarization transitions in
multiorbital Mott systems | Transiciones de alta velocidad a baja velocidad y polarización orbital en sistemas multiorbitales de Mott
Philipp Werner y Andrew J. Millis
Universidad de Columbia, 538 West, 120th Street, Nueva York, NY 10027, EE.UU.
(Fecha: 30 de junio de 2007)
Estudiamos la interacción de la división de campo de cristal y acoplamien... | Estudiamos la interacción de la división de campo de cristal y acoplamiento de hund en un
modelo de dos órbitas que captura la física esencial de los sistemas con dos
electrones u agujeros en la cáscara e_g. Utilizamos el campo medio dinámico de un solo sitio
teoría con un recientemente desarrollado solucionador de i... | Transiciones de alta velocidad a baja velocidad y polarización orbital en sistemas multiorbitales de Mott
Philipp Werner y Andrew J. Millis
Universidad de Columbia, 538 West, 120th Street, Nueva York, NY 10027, EE.UU.
(Fecha: 30 de junio de 2007)
Estudiamos la interacción de la división de campo de cristal y acoplamien... |
704.0058 | Intelligent Life in Cosmology | arXiv:0704.0058v1 [physics.pop-ph] 31 Mar 2007
Vida inteligente en Cosmología
Frank J. Tipler
Departamento de Matemáticas y Departamento de Física
Universidad de Tulane
Nueva Orleans, Louisiana 70118 EE.UU.
Resumen
Presentaré tres argumentos para la proposición de que la vida inteligente es muy rara en el universo. En ... | Presentaré tres argumentos para la proposición de que la vida inteligente es
muy raro en el universo. En primer lugar, resumiré la opinión consensuada de:
los fundadores de la síntesis moderna (Simpson, Dobzhanski, y Mayr) que el
la evolución de la vida inteligente es extremadamente improbable. En segundo lugar, lo h... | Introducción
Martin Rees es aficionado a argumentar, la ausencia de pruebas no es evidencia de ausencia. ¿Cómo podría alguien
¿No está de acuerdo? Pero sobre la cuestión de la existencia de la vida inteligente extraterrestre, tenemos un hecho innegable:
no están aquí. Es decir, seres inteligentes extraterrestres no est... |
704.0059 | The Mass and Radius of the Unseen M-Dwarf Companion in the Single-Lined
Eclipsing Binary HAT-TR-205-013 | LA MASA Y LA RADIUS DEL UNSEEN M-DWARF
COMPAÑIA EN LA BINARIA DE ECLIPACIÓN ÚNICA
HAT-TR-205-013
Thomas G. Beatty1, José M. Fernández2,3, David W. Latham2, Gáspár Á.
Bakos2,4, Géza Kovács5, Robert W. Noyes2, Robert P. Stefanik2, Guillermo
Torres2, Mark E. Everett6, Carl W. Hergenrother7,2
dlatham@cfa.harvard.edu
RESUME... | Derivamos masas y radios para ambos componentes en el eclipsado de una sola línea
binario HAT-TR-205-013, que consiste en un primario F7V y un M-enano tardío
secundaria. El período del sistema es corto, $P=2.230736 \pm 0.000010$ días, con
una órbita indistinguible de circular, $e=0.012 \pm 0.021$. Demostramos
general... | LA MASA Y LA RADIUS DEL UNSEEN M-DWARF
COMPAÑIA EN LA BINARIA DE ECLIPACIÓN ÚNICA
HAT-TR-205-013
Thomas G. Beatty1, José M. Fernández2,3, David W. Latham2, Gáspár Á.
Bakos2,4, Géza Kovács5, Robert W. Noyes2, Robert P. Stefanik2, Guillermo
Torres2, Mark E. Everett6, Carl W. Hergenrother7,2
dlatham@cfa.harvard.edu
RESUME... |
704.006 | Coulomb excitation of unstable nuclei at intermediate energies | Excitación Coulomb de núcleos inestables a energías intermedias
C.A. Bertulani1*, G. Cardella2, M. De Napoli2, 3, G. Raciti2,3 y E. Rapisarda2,3
1 Departamento de Física y Astronomía,
Universidad de Tennessee, Knoxville, Tennessee 37996, EE.UU.
2 Istituto Nazionale di Fisica Nucleare, Sezione di Catania,
Via Santa Sofí... | Investigamos la excitación Coulomb de estados de baja altitud de núcleos inestables
en colisiones de energía intermedias ($E_{labásim10-500$ MeV/núcleo). Lo es.
muestra que las secciones transversales para las transiciones de $E1$ y $E2$ son más grandes en
energías más bajas, mucho menos de 10 MeV/núcleo. Efectos sob... | Excitación Coulomb de núcleos inestables a energías intermedias
C.A. Bertulani1*, G. Cardella2, M. De Napoli2, 3, G. Raciti2,3 y E. Rapisarda2,3
1 Departamento de Física y Astronomía,
Universidad de Tennessee, Knoxville, Tennessee 37996, EE.UU.
2 Istituto Nazionale di Fisica Nucleare, Sezione di Catania,
Via Santa Sofí... |
704.0061 | Intersection Bodies and Generalized Cosine Transforms | arXiv:0704.0061v2 [math.FA] 3 de mayo de 2007
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN Y GENERALIZADAS
TRANSFORMES DE COSINA
BORIS RUBIN
Resumen. Los cuerpos de intersección representan una clase notable de
objetos geométricos asociados con secciones de cuerpos estelares y en-
Radón que invoca transforma, coseno generalizado transforma... | Los cuerpos de intersección representan una clase notable de objetos geométricos
asociado con secciones de cuerpos estelares e invocando
Radón transforma, coseno generalizado transforma, y el pertinente Fourier
análisis. El objetivo principal de este artículo es la interrelación entre
coseno transforma de diferente... | Introducción.
2. Preliminares.
3. Las familias analíticas del coseno generalizado se transforman.
4. Distribuciones homogéneas definitivas positivas.
5. Cuerpos de intersección.
6. Ejemplos de cuerpos de intersección.
7. (q, l)-bolas.
8. El coseno generalizado transforma y compara volúmenes.
9. Apéndice.
2000 Clasifica... |
704.0062 | On-line Viterbi Algorithm and Its Relationship to Random Walks | arXiv:0704.0062v1 [cs.DS] 31 Mar 2007
Algoritmo Viterbi en línea y su relación con las caminatas aleatorias
Rastislav Šrámek1, Broňa Brejová2, y Tomáš Vinař2
1 Departamento de Ciencias de la Computación, Universidad Comenius,
842 48 Bratislava, Eslovaquia, correo electrónico: rasto@ksp.sk
2 Departamento de Estadística ... | En este artículo, presentamos el algoritmo Viterbi en línea para la decodificación oculta
Modelos Markov (HMMs) en mucho menor espacio que lineal. Nuestro análisis sobre
Los HMM de dos estados sugieren que la memoria máxima esperada utilizada para decodificar
secuencia de longitud $n$ con $m$-estado HMM puede ser tan... | Introducción
Los modelos Markov ocultos (HMMs) son modelos probabilísticos generativos que han tenido éxito
utilizados para la anotación de datos secuenciales, tales como secuencias de ADN y proteínas, textos de languaje natural,
y secuencias de observaciones o mediciones. Sus numerosas aplicaciones incluyen la búsqued... |
704.0063 | Experimental efforts in search of 76Ge Neutrinoless Double Beta Decay | Esfuerzos experimentales en la búsqueda de
- 1 -
Esfuerzos experimentales en busca de 76Ge Neutrinoless Doble Beta Decaimiento
Somnath Choudhury †
Departamento de Física y Meteorología
Instituto Indio de Tecnología, Kharagpur – 721302, India
Resumen
La doble desintegración beta sin neutrones es uno de los enfoque... | El doble decaimiento beta sin neutros es uno de los enfoques más sensibles en
física de partículas no aceleradora para llevarnos a un régimen de física más allá de la
modelo estándar. Este artículo es una breve revisión de los experimentos en busca de
doble decaimiento beta sin neutrinos de 76Ge. Tras una breve intro... | Introducción
El doble decaimiento beta sin neutros es uno de los enfoques más sensibles con grandes perspectivas para probar partículas
física más allá del Modelo Estándar. Hay un inmenso alcance para utilizar 0 decaimiento para limitar las masas de neutrinos,
modelos simétricos izquierda-derecha, interacciones que ... |
704.0064 | Nilpotent symmetry invariance in the superfield formulation: the
(non-)Abelian 1-form gauge theories | arXiv:0704.0064v5 [hep-th] 24 Oct 2008
arXiv:0704.0064 [hep-th]
CAS-PHYS-BHU/Preprint
INVESTIGACIÓN NILPOTENTE DE LA SIMMETRÍA EN EL SUPERFIELDO
FORMULACIÓN: TEORÍAS DE GARRO DE 1 FORMULARIO (NO-)BELIAN
R. P. MALIK
Centro de Estudios Avanzados, Departamento de Física,
Universidad Hindú de Banaras, Varanasi - 221 005, (... | Capturamos el off-shell, así como el nilpotente on-shell
Becchi-Rouet-Stora-Tyutin (BRST) e invariabilidad de la simetría anti-BRST de la
Densidades lagrangianas de los cuatro (3 + 1)-dimensionales (4D) (no-)Abelian 1-forma
calibra las teorías dentro del marco del formalismo supercampo. En particular,
proporcionamos ... | Introducción
El enfoque geométrico supercampo [1-8] al formalismo Becchi-Rouet-Stora-Tyutin (BRST)
es uno de los enfoques más atractivos e intuitivos que nos permite obtener
ideas sobre las estructuras hermosas (pero abstractas matemáticas) que se asocian con
las transformaciones de simetría (anti-)BRST nilpotentes y s... |
704.0065 | Littlewood-Richardson polynomials | Polinomios Littlewood–Richardson
A. I. Molev
Escuela de Matemáticas y Estadística
Universidad de Sydney, Nueva Gales del Sur 2006, Australia
alexm@maths.usyd.edu.au
Resumen
Introducimos una familia de anillos de funciones simétricas dependiendo de un in-
secuencia finita de parámetros. Una base distinguida de tal anill... | Introducimos una familia de anillos de funciones simétricas dependiendo de un
secuencia infinita de parámetros. Una base distinguida de tal anillo es
compuesto por análogos de las funciones de Schur. La estructura correspondiente
coeficientes son polinomios en los parámetros que llamamos el
Polinomios Littlewood-Rich... | Introducción
Let a = (ai), i â € Z ser una secuencia de variables. Considere el anillo de polinomios
Z[a] en las variables ai con coeficientes enteros. Introducir otro conjunto infinito de
variables x = (x1, x2,. .. ) y para cada número entero no negativo n denotar por el anillo
de polinomios simétricos en x1,. .., xn ... |
704.0066 | Lagrangian quantum field theory in momentum picture. IV. Commutation
relations for free fields | Teoría cuántica del campo lagrangiano
en la imagen del impulso
IV. Relaciones de libre comercio
Bozidar Z. Iliev
* † ‡
Título corto: QFT en imagen de impulso: IV
Producido: → Noviembre 4, 2018
http://www.arXiv.org e-Print archive No. : arXiv:0704.0066[hep-th]
R© TM
Clases de materias:
Teoría del campo cuántico
2000 Núm... | Posibles relaciones de conmutación (algebraica) en la teoría cuántica lagrangiana
de campos libres (escalar, spinor y vector) se consideran desde matemáticas
punto de vista. Como fuentes de estas relaciones se emplean el Heisenberg
ecuaciones/relaciones para las variables dinámicas y una condición específica para
sin... | Introducción 1
2 La imagen del impulso 3
3 Lagrangianos, ecuaciones Euler-Lagrange y variables dinámicas 5
4 Sobre la singularidad de las variables dinámicas 10
5 Relaciones con Heisenberg 14
6 Tipos de posibles relaciones de conmutación 20
6.1 Restricciones relacionadas con el operador de impulso. ....................... |
704.0067 | Order of Epitaxial Self-Assembled Quantum Dots: Linear Analysis | Orden de los puntos cuánticos autoensamblados epitaxiales: análisis lineal
Lawrence H. Friedman
4 de noviembre de 2018
Dept. de Ingeniería y Mecánica, Universidad Estatal de Pensilvania, 212 Ciencias de la Tierra y la Ingeniería
Edificio, University Park, Pennsylvania 16802
lfriedman@psu.edu
palabras clave: puntos cuán... | Los puntos cuánticos autoensamblados epitaxiales (SAQD) son de interés para
dispositivos optoelectrónicos y electrónicos nanoestructurados, como los láseres,
fotodetectores y lógica de nanoescala. Orden espacial y tamaño de orden de SAQDs son
importante para el desarrollo de dispositivos utilizables. Es probable que ... | Introducción
Los puntos cuánticos autoensamblados epitaxiales (SAQD) representan un paso importante en el avance de los semiconductores
fabricación a nanoescala que permitirá avances en optoelectrónica y electrónica. [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10, 11, 12] Las aplicaciones optoelectrónicas más frecuentes son láseres de... |
704.0068 | A Note About the {Ki(z)} Functions | UNA NOTA SOBRE EL {Ki(z)}
FUNCIONES
Branko J. Malešević
En el artículo [10], A. Petojević verificó las propiedades útiles de las funciones Ki(z)
que generalizan la función factorial izquierda de Kurepa [1]. En esta nota, presentamos
pruebas simplificadas de dos de estos resultados y respondemos a la pregunta abierta
en... | En el artículo [Petojevic 2006], A. Petojevi\' c propiedades útiles verificadas
de las funciones $K_{i}(z)$ que generalizan la izquierda de Kurepa [Kurepa 1971]
función factorial. En esta nota, presentamos pruebas simplificadas de dos de estos
resultados y respondemos a la pregunta abierta formulada en [Petojevic 200... | UNA NOTA SOBRE EL {Ki(z)}
FUNCIONES
Branko J. Malešević
En el artículo [10], A. Petojević verificó las propiedades útiles de las funciones Ki(z)
que generalizan la función factorial izquierda de Kurepa [1]. En esta nota, presentamos
pruebas simplificadas de dos de estos resultados y respondemos a la pregunta abierta
en... |
704.0069 | Dynamical Objects for Cohomologically Expanding Maps | Objetos dinámicos para la cohomología
Expandiendo Mapas.
John W. Robertson
4 de noviembre de 2018
John W. Robertson1
Universidad Estatal de Wichita
Wichita, Kansas 67260-0033
Teléfono: 316-978-3979
Fax: 316-978-3748
robertson@math.wichita.edu
Resumen
El objetivo de este trabajo es construir objetos dinámicos invariante... | El objetivo de este trabajo es construir objetos dinámicos invariantes para un (no
necesariamente invertible) self map suave de un colector compacto. Demostramos un
resultado que aprovecha las diferencias en las tasas de expansión en los términos
de una secuencia cohomológica larga y exacta para crear elevaciones úni... | Introducción
Nuestro propósito es construir objetos dinámicos invariantes para un automapa f : X →
X de un espacio topológico compacto. Hacemos uso de la cohomología de la vaina y
diferencias en las tasas de expansión en diferentes términos de una secuencia exacta larga
para construir secciones invariantes de una gavil... |
704.007 | Coincidence of the oscillations in the dipole transition and in the
persistent current of narrow quantum rings with two electrons | Coincidencia de las oscilaciones en la transición del dipolo y en la corriente persistente de
anillos cuánticos estrechos con dos electrones
Y. Z. Él y C. G. Bao*
Laboratorio Estatal Clave de Materiales y Tecnologías Optoelectrónicas,
y Departamento de Física, Universidad Sun Yat-Sen, Guangzhou, 510275, P.R. China
La o... | La oscilación fraccionaria Aharnov-Bohm (FABO) de anillos cuánticos estrechos con
dos electrones han sido estudiados y han sido explicados de una manera analítica, la
la evolución del período y las amplitudes contra el campo magnético puede ser
exactamente descrito. Además, la transición del dipolo del estado del sue... | Coincidencia de las oscilaciones en la transición del dipolo y en la corriente persistente de
anillos cuánticos estrechos con dos electrones
Y. Z. Él y C. G. Bao*
Laboratorio Estatal Clave de Materiales y Tecnologías Optoelectrónicas,
y Departamento de Física, Universidad Sun Yat-Sen, Guangzhou, 510275, P.R. China
La o... |
704.0071 | Pairwise comparisons of typological profiles (of languages) | Microsoft Word - Comparaciones emparejadas de perfiles tipológicos6.doc
Comparaciones entre pares de perfiles tipológicos
Søren Wichmann
Instituto Max Planck de Antropología Evolutiva y Universidad de Leiden
Eric W. Holman
Universidad de California, Los Ángeles
0. Introducción
Ser raro o “exótico” es un fenómeno r... | No hay resumen dado; compara pares de idiomas del Atlas Mundial de la Lengua
Estructuras.
| Introducción
Ser raro o “exótico” es un fenómeno relativo. Desde un punto de vista samoano Burushaski es un
lenguaje extremadamente exótico, pero desde el punto de vista de Telugu mucho menos. En esta breve nota nosotros
quieren mirar un cómo diferente y cómo lenguajes similares resultan ser en pares de comparaciones... |
704.0072 | The decomposition method and Maple procedure for finding first integrals
of nonlinear PDEs of any order with any number of independent variables | El método de descomposición y el procedimiento de Maple
para encontrar las primeras integrales de PDE no lineales
de cualquier orden con cualquier número de variables independientes
Yu. N. Kosovtsov
Lviv Radio Engineering Research Institute, Ucrania
Correo electrónico: kosovtsov@escort.lviv.net
Resumen
En este document... | En este documento proponemos un método aparentemente nuevo para encontrar soluciones de
algunos tipos de PDE no lineales en forma cerrada. El método se basa en
la descomposición de los operadores no lineales en la secuencia de los operadores de órdenes inferiores.
Se demuestra que el proceso de descomposición puede r... | Introducción
Ecuaciones diferenciales parciales no lineales (PDE) juegan un papel muy importante en muchos
campos de las matemáticas, la física, la química y la biología, y numerosas aplicaciones
ciones. Si para las ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales (ODEs) uno puede observar
progreso incontestable en su s... |
704.0074 | Injective Morita contexts (revisited) | Contextos de Morita inyectores (revisados)
Dedicado al Prof. Robert Wisbauer
J. Y. Abuhlail* S. K. Nauman
Departamento de Matemáticas y Estadística Departamento de Matemáticas
King Fahd University of Petroleum King AbdulAziz University
& Minerales, Box # 5046 P.O.Box 80203
31261 Dhahran (KSA) 21589 Jeddah (KSA)
abuhlai... | Este artículo es una exposición de los llamados contextos inyectores Morita (en
que los morfismos bimódulos de conexión son inyectores) y Morita
$\alpha$contexts (en los que los bimódulos de conexión disfrutan de algunos locales
proyectividad en el sentido de Zimmermann-Huisgen). Motivados por situaciones en
que sólo... | Introducción
Contextos Morita, en general, y contextos Morita (semi-)stricto (con
Los morfismos bilineales de nectación, en particular, fueron ampliamente estudiados y desarrollados expo-
nencialmente durante las últimas décadas (e.g. [AGH-Z1997]). Sin embargo, sinceramente sentimos que
hay una brecha en la literatura ... |
704.0075 | Strong decays of charmed baryons | Fuertes decaimientos de bariones encantados
Chong Chen, Xiao-Lin Chen, Xiang Liu,* Wei-Zhen Deng y Shi-Lin Zhu†
Departamento de Física, Universidad de Pekín, Beijing, 100871, China
(Fecha: 29 de octubre de 2018)
Ha habido importantes avances experimentales en el sector de los bariones pesados en el pasado.
años. Estudi... | Se han realizado importantes progresos experimentales en el sector de los bariones pesados
en los últimos años. Estudiamos las fuertes decaimientos de la onda S, onda P,
La onda D y los bariones con encanto radialmente excitados usando el modelo $^3P_0$. Después
comparar el patrón de desintegración calculado y la anc... | Introducción
Las anotaciones y convenciones de baryon encantado
El modelo 3P0
Las fuertes decaimientos del barón encantado
Resultados numéricos
Debate y conclusión
Apéndice
Las funciones de onda oscilante armónica utilizadas en nuestro cálculo
El impulso de la integración espacial
Agradecimientos
Bibliografía... |
704.0076 | CP violation in beauty decays | 27 de octubre de 2018 17:34 WSPC/INSTRUCCIÓN FILE CP-review
Revista Internacional de Física Moderna A
c© World Scientific Publishing Company
VIOLACIÓN DE LA PC EN LOS DECENIOS DE BELLEZA*
MICHAEL GRONAU
Departamento de Física, Technion – Instituto de Tecnología de Israel
32000 Haifa (Israel)
gronau@physics.technion.ac.... | Se discuten las pruebas de precisión del modelo Kobayashi-Maskawa de violación del PC,
señalando posibles firmas de otras fuentes de violación de la CP y de nuevas
Operadores que cambian el sabor. El estado actual de las pruebas más precisas es
Resumen.
| Introducción
Tomó treinta y siete años desde el descubrimiento de un pequeño PC violando el efecto del orden.
10−3 inKL → 1 a una primera observación de un desglose de la simetría de CP fuera
el extraño sistema meson. Una gran asimetría PC de orden uno entre las tasas de
Las desintegraciones iniciales de B0 y B̄0 fuer... |
704.0077 | Universal Forces and the Dark Energy Problem | arXiv:0704.0077v1 [physics.gen-ph] 1 Apr 2007
LAS FUERZAS UNIVERSALES Y LA OSCURIDAD
PROBLEMA DE ENERGÍA
AFSAR ABBAS
Centro de Física Teórica
JMI, Jamia Nagar, Nueva Delhi - 110025, India
(dirección de correo electrónico: safsarabbas@gmail.com)
Resumen
El problema de la Energía Oscura nos está obligando a reexaminar nu... | El problema de la Energía Oscura nos está obligando a reexaminar nuestros modelos y nuestros
comprensión de la relatividad y espacio-tiempo. Aquí una idea novedosa de fundamental
Se introducen fuerzas. Esto nos permite percibir la Teoría General de
Relatividad y Ecuación de Einstein de una nueva pesrpectiva. Además d... | Introducción del libro de Reichenbach [3]. Él llamó al concepto como ”... de grande
interés por la metodología de la física, pero lo que hasta ahora no ha recibido la
la atención que merece”. En este documento trataremos de rectificar este fracaso.
de apreciar el concepto de la Fuerza Universal, aunque en cierta medida... |
704.0078 | Linear perturbations of matched spacetimes: the gauge problem and
background symmetries | Perturbaciones lineales de los espacios-tiempos emparejados:
problema de calibre y simetrías de fondo
Marc Mars*, Filipe C. Mena® y Raül Vera‡
* Facultad de Ciencias, Universidad de Salamanca,
Plaza de la Merced s/n, 37008 Salamanca, España
Departamento de Matemáticas, Universidade do Minho,
Campus de Gualtar, 4710 Bra... | Presentamos una revisión crítica sobre el estudio de las perturbaciones lineales de
coincide con el espacio-tiempo incluyendo problemas de medición. Analizamos la libertad introducida
en la perturbada coincidencia por la presencia de simetrías de fondo y revisitar
el caso particular de la simetría esférica en las dim... | Introducción
Un aspecto importante en cualquier teoría gravitacional geométrica es el análisis de cómo corresponder
dos tiempos espaciales. Esto es cierto en particular para la Relatividad General y su perturbación
teoría. A pesar de la relevancia y madurez de la teoría de emparejamiento uno a menudo encuentra papeles
... |
704.0079 | Operator algebras associated with unitary commutation relations | 7 Álgebras Operadoras Asociadas con Unitarias
Relaciones con los países de la AELC
Stephen C. Power†
Universidad de Lancaster
Departamento de Matemáticas y Estadística
Lancaster, Reino Unido LA1 4YF
Correo electrónico: s.power@lancaster.ac.uk
Baruch Solel‡
Technion
Departamento de Matemáticas
Haifa 32000, Israel
Correo... | Definimos álgebras de operador no autoadjunto con generadores $L_{e_1},...,
L_{e_n}, L_{f_1},...,L_{f_m}$ sujeto a las relaciones de conmutación unitaria de
el formulario \[ L_{e_i}L_{f_j} = \sum_{k,l} u_{i,j,k,l} L_{f_l}L_{e_k} donde $u=
(u_{i,j,k,l})$ es una matriz unitaria de $nm \times nm$. Estos álgebras, que
ge... | Introducción
El cambio unilateral en el complejo espacio separable Hilbert genera dos
álgebras del operador mental, a saber, la norma cerrada (unital) álgebra y el
topología de operador débil álgebra cerrada. El primero es naturalmente isomórfico a
el álgebra de disco de las funciones holomórficas en la unidad de disco... |
704.008 | Shaping the Globular Cluster Mass Function by Stellar-Dynamical
Evaporation | EL VIAJE ASTROFÍSICO, 679:1272–1287, 2008 JUNIO 1
Tipografía preimpresa utilizando el estilo LATEX emularapj v. 08/22/09
COMPARTIENDO LA FUNCIÓN GLOBULAR EN MASA POR EVOLUCIÓN ESTELLAR Y DINÁMICA
DEAN E. MCLAUGHLIN1,2 Y S. MICHAEL FALL3,4
The Astrophysical Journal, 679:1272–1287, 1 de junio de 2008
RESUMEN
Demostramos ... | Demostramos que la función de masa globular (GCMF) en la Vía Láctea
depende de la densidad de media masa de racimo (rho_h) en el sentido de que el volumen de negocios
masa M_TO aumenta con rho_h mientras que el ancho del GCMF disminuye. Discutimos
que esta es la firma esperada de la erosión lenta de una función de ma... | EL VIAJE ASTROFÍSICO, 679:1272–1287, 2008 JUNIO 1
Tipografía preimpresa utilizando el estilo LATEX emularapj v. 08/22/09
COMPARTIENDO LA FUNCIÓN GLOBULAR EN MASA POR EVOLUCIÓN ESTELLAR Y DINÁMICA
DEAN E. MCLAUGHLIN1,2 Y S. MICHAEL FALL3,4
The Astrophysical Journal, 679:1272–1287, 1 de junio de 2008
RESUMEN
Demostramos ... |
704.0081 | Quantum Deformations of Relativistic Symmetries | Deformaciones cuánticas de las asimetrías relativistas*
V.N. Tolstoi†
Instituto de Física Nuclear, Universidad Estatal de Moscú,
119 992 Moscú, Rusia; correo electrónico: tolstoy@nucl-th.sinp.msu.ru
Resumen
Discutimos deformaciones cuánticas de D = 4 álgebras de Lorentz y Poincaré. In
el caso de Poincaré álgebra se mue... | Discutimos deformaciones cuánticas de D=4 Lorentz y álgebras de Poincare. In
el caso de Poincare álgebra se muestra que casi todas las matrices r clásicas
de la clasificación de S. Zakrzewski corresponden a deformaciones retorcidas de Abelian
y tipos jordanos. Una parte de los giros correspondientes a las matrices r ... | Introducción
Las deformaciones cuánticas de las simetrías relativistas son descritas por Hopf-algebraic
deformaciones de álgebras de Lorentz y Poincaré. Tales deformaciones cuánticas son clasificadas
por Lorentz y Poincaré Poisson estructuras. Estas estructuras Poisson dadas por el clásico
Las matrices r ya fueron clas... |
704.0082 | Matter-Wave Bright Solitons with a Finite Background in Spinor
Bose-Einstein Condensates | arXiv:0704.0082v1 [cond-mat.other] 1 Apr 2007
Conjunto de tipos con jpsj2.cls <ver.1.2> Papel Completo
Solitones brillantes con fondo finito en spinor
Condensados de Bose-Einstein
Tetsuo Kurosaki* y Miki Wadati
Departamento de Física, Escuela de Posgrado en Ciencias, Universidad de Tokio, Tokio 113-0033
Investigamos la... | Investigamos las propiedades dinámicas de los solitones brillantes con un finito
fondo en el condensado de F=1 espinor Bose-Einstein (BEC), basado en un
Modelo espinor integrable que es equivalente a la matriz no lineal
Ecuación de Schr\"{o}dinger con una no linealidad auto-enfocada. Aplicamos el
método de dispersión... | Introducción
En 2002, los solitones brillantes de la onda de la materia en casi una dimensión (1D) Bose-Einstein conden-
sates (BECs) fueron observados experimentalmente.1, 2) Solitones brillantes propagan en la mayoría de los casos con
Amplitudes mucho mayores que los solitones oscuros3, 4) y se espera que tengan el p... |
704.0083 | Why there is something rather than nothing (out of everything)? | ¿Por qué hay algo más que nada (de todo)?
A.O.Barvinsky
Departamento de Teoría, Instituto de Física Lebedev, Leninsky Prospect 53, 119991 Moscú, Rusia
La trayectoria integral sobre geometrías euclidianas para la matriz de densidad recientemente sugerida de la
El universo se muestra para describir un conjunto microcanón... | El camino integral sobre geometrías euclidianas para el recientemente sugerido
matriz de densidad del Universo se muestra para describir un conjunto microcanónico
en cosmología cuántica. Este conjunto corresponde a un uniforme (peso uno)
distribución en el espacio de fase de las variables físicas verdaderas, pero en ... | ¿Por qué hay algo más que nada (de todo)?
A.O.Barvinsky
Departamento de Teoría, Instituto de Física Lebedev, Leninsky Prospect 53, 119991 Moscú, Rusia
La trayectoria integral sobre geometrías euclidianas para la matriz de densidad recientemente sugerida de la
El universo se muestra para describir un conjunto microcanón... |
704.0086 | Clustering in a stochastic model of one-dimensional gas | Agrupamiento en un modelo estocástico de gas unidimensional
Los Anales de Probabilidad Aplicada
2008, Vol. 18, No. 3, 1026-1058
DOI: 10.1214/07-AAP481
c© Instituto de Estadística Matemática, 2008
INCLUYE EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE
GAS DE UN DIMENSIONAL
Por Vladislav V. Vysotsky1
Universidad Estatal de San Petersburgo
... | Damos un análisis cuantitativo del agrupamiento en un modelo estocástico de
gas unidimensional. En el tiempo cero, el gas consiste en $n$ partículas idénticas
que se distribuyen aleatoriamente en la línea real y tienen cero velocidades iniciales.
Las partículas comienzan a moverse bajo las fuerzas de la atracción mut... | Introducción.
1.1. Descripción del modelo. Damos un análisis cuantitativo de clus-
en un modelo estocástico de gas unidimensional. En el tiempo cero, el gas
consiste en n partículas de punto, cada una de la masa 1
. Estas partículas están...
domly distribuido en la línea real y tienen cero velocidades iniciales. Partíc... |
704.0087 | Approximate solutions to the Dirichlet problem for harmonic maps between
hyperbolic spaces | SOLUCIONES APROXIMADAS AL PROBLEMA DEL DIRICHLET
PARA MAPAS ARMONICAS ENTRE ESPACIOS HIPERBÓLICOS
DUONG MINH DUC Y TRUONG TRUNG TUYEN
Resumen. Nuestro principal resultado en este trabajo es el siguiente: Dado Hm, Hn
espacios hiperbólicos de m dimensional ≥ 2 y n correspondientes, y
Función del titular f = (f1,..., fn−1... | Nuestro principal resultado en este documento es el siguiente: Dado $H^m, H^n$ hiperbólico
espacios dimensionales de $m$ y $n$ correspondientes, y dada una función Holder
$f=(s^1,...,fn-1}):\parcial H^m\to \parcial H^n$ entre límites geométricos
de $H^m$ y $H^n$. Entonces por cada $\epsilon >0$ existe un mapa armónic... | Introducción
Que Hm y Hn sean espacios hiperbólicos con dimensiones m ≥ 2 y n corresponden-
Ingly. Para mayor comodidad, utilizamos los modelos de espacio de la mitad superior para Hm y Hn. Así que
Hm = {(x1,..., xm) • IRm : xm > 0}, Hn = {(y1,..., yn) • IRn : yn > 0} con
métricas
d2Hm =
(xm)2
(dx1)2 +...+ (dxm)2),
d2H... |
704.0088 | Some new experimental photonic flame effect features | EFECTO FOTÓNICO DEL FLAME
ALGUNOS NUEVOS EFECTOS FOTONICOS EXPERIMENTALES
CARACTERÍSTICAS
N.V.Tcherniega
P.N.Lebedev Physical Institute, RAS
Leninskii pr., 53, 119991, Moscú, Rusia
tchera@sci.lebedev.ru
Resumen
Los resultados de las características espectrales, energéticas y temporales de la radiación en el... | Los resultados de las características espectrales, energéticas y temporales de
se presenta radiación en presencia del efecto fotónico de la llama.
Opalo artificial colocado en la placa de Cu a la temperatura de ebullición de nitrógeno líquido
El punto (77 K) irradiado por el pulso láser de rubí de nanosegundo produce... | Introducción
En [1-3] se encontró un nuevo efecto llamado efecto fotónico de la llama y algunas de sus propiedades fueron:
estudiados. Este efecto está determinado por las propiedades de los cristales fotónicos.
Los cristales fotónicos han atraído gran atención desde los primeros documentos relativos a... |
704.0089 | A general approach to statistical modeling of physical laws:
nonparametric regression | Un enfoque general de la modelización estadística de las leyes físicas:
regresión no paramétrica
Igor Grabec*
Facultad de Ingeniería Mecánica, Universidad de Liubliana,
Aškerčeva 6, PP 394, 1001 Liubliana, Eslovenia†
(Fecha: 26 de octubre de 2018)
Resumen
El modelado estadístico de leyes físicas experimentales se basa ... | El modelo estadístico de las leyes físicas experimentales se basa en el
función de densidad de probabilidad de las variables medidas. Se expresa por:
datos experimentales a través de un estimador del núcleo. El núcleo se determina objetivamente
mediante la dispersión de datos durante la calibración de la configuració... | Introducción
Fundamentos del modelado no paramétrico
Descripción de la función del núcleo
Estimación no paramétrica de PDF correspondiente a datos experimentales
Estimación de una ley física
Características del modelo
Calidad del predictor
Función de redundancia y costo predictor
Ejemplo
Discusión
Con... |
704.009 | Real Options for Project Schedules (ROPS) | ASA_0.1.ps
Opciones reales para los planes de proyectos (ROPS)
Lester Ingber
Investigación Lester Ingber
Ashland Oregon
ingber@ingber.com, ingber@alumni.caltech.edu
http://www.ingber.com/
Resumen
Las opciones reales para los planes de proyectos (ROPS) tienen tres conchas recursivas de muestreo/optimización. Un exterior... | Opciones reales para los planes de proyectos (ROPS) tiene tres recursivo
Conchas de muestreo/optimización. Un revestimiento exterior adaptativo simulado (ASA)
shell optimiza los parámetros de los planes estratégicos que contienen múltiples
Proyectos que contienen tareas ordenadas. Una probabilidad de las muestras int... | Introducción
Este documento es una breve descripción de una metodología de opciones de desarrollo (en el sentido de opciones financieras,
por ejemplo, con todos los griegos), que se aplicará en colaboración con Michael Bowman, como primer ejemplo para
programando un proyecto masivo del Ejército de EE.UU., Future Combat... |
704.0091 | Groups with finitely many conjugacy classes and their automorphisms | GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN Y
SUS AUTOMÓRFICOS
ASHOT MINASYAN
Resumen. Combinamos métodos clásicos de teoría de grupos combinatoria con
la teoría de la pequeña cancelación sobre grupos relativamente hiperbólicos para construir
grupos sin torsión finitamente generados que tienen sólo finitamente muchas clase... | Combinamos métodos clásicos de teoría de grupos combinatoria con la teoría de
pequeñas cancelaciones sobre grupos relativamente hiperbólicos para construir finitamente
grupos libres de torsión generados que sólo tienen finitamente muchas clases de conjugado
elementos. Por otra parte, presentamos varios resultados rel... | Introducción
Empezaremos con
Definición. Supongamos que n ≥ 2 es un entero. Diremos que un grupo M tiene el
propiedad (nCC) si hay exactamente n clases de conjugación de elementos en M.
Tenga en cuenta que un grupo M tiene (2CC) si y sólo si hay dos elementos no triviales
conjugado en M. Para dos elementos x, y de algú... |
704.0092 | Energy density for chiral lattice fermions with chemical potential | Densidad de energía para fermiones de celosía quiral con potencial químico
Christof Gattringera y Ludovit Liptakb
Institut für Physik, FB Theoretische Physik, Universität Graz,
Universitätsplatz 5, 8010 Graz, Austria
Instituto de Física, Academia Eslovaca de Ciencias,
Dúbravská cesta 9, 845 11 Bratislava 45, República ... | Estudiamos una formulación recientemente propuesta de fermiones de superposición en finitos
densidad. En particular, calculamos la densidad de energía en función de la
potencial químico y la temperatura. Se muestra que se superponen los fermiones con
potencial químico reproduce el comportamiento continuo correcto.
| Densidad de energía para fermiones de celosía quiral con potencial químico
Christof Gattringera y Ludovit Liptakb
Institut für Physik, FB Theoretische Physik, Universität Graz,
Universitätsplatz 5, 8010 Graz, Austria
Instituto de Física, Academia Eslovaca de Ciencias,
Dúbravská cesta 9, 845 11 Bratislava 45, República ... |
704.0093 | Aspects of Electron-Phonon Self-Energy Revealed from Angle-Resolved
Photoemission Spectroscopy | Aspectos de la autoenergía electron-phonón revelados desde ángulos resueltos
Espectroscopia de fotoemisión
W.S. Lee,1 S. Johnston,2 T.P. Devereaux,2 y Z.-X. Shen1
Departamento de Física, Física Aplicada y Stanford Synchrotron
Laboratorio de radiación, Universidad de Stanford, Stanford, CA 94305
Departamento de Física, ... | Contribución de celosía a la auto-energía electrónica en complejo correlacionado
óxidos es un tema fascinante que últimamente ha estimulado discusiones animadas.
Expectativas de efectos de autoenergía electrón-fonón para materiales más simples, tales como:
como Pd y Al, han resultado en varios conceptos erróneos en f... | Aspectos de la autoenergía electron-phonón revelados desde ángulos resueltos
Espectroscopia de fotoemisión
W.S. Lee,1 S. Johnston,2 T.P. Devereaux,2 y Z.-X. Shen1
Departamento de Física, Física Aplicada y Stanford Synchrotron
Laboratorio de radiación, Universidad de Stanford, Stanford, CA 94305
Departamento de Física, ... |
704.0094 | Timing and Lensing of the Colliding Bullet Clusters: barely enough time
and gravity to accelerate the bullet | arXiv:0704.0094v1 [astro-ph] 2 Abr 2007
Calendario y lente de los cúmulos de balas de colisión: apenas el tiempo y la gravedad suficientes
para acelerar la bala
HongSheng Zhao
Universidad de St Andrews, Scottish University Physics Alliances, KY16 9SS, Reino Unido
Presentamos restricciones semianalíticas sobre la cantid... | Presentamos restricciones semi-analíticas sobre la cantidad de materia oscura en el
fusionando el cúmulo de galaxias de bala usando los clásicos argumentos de tiempo del Grupo Local.
Consideramos órbitas de partículas en modelos potenciales que se ajustan a los datos de lente.
Modelos CDM marginalmente consistentes e... | arXiv:0704.0094v1 [astro-ph] 2 Abr 2007
Calendario y lente de los cúmulos de balas de colisión: apenas el tiempo y la gravedad suficientes
para acelerar la bala
HongSheng Zhao
Universidad de St Andrews, Scottish University Physics Alliances, KY16 9SS, Reino Unido
Presentamos restricciones semianalíticas sobre la cantid... |
704.0095 | Geometry of Locally Compact Groups of Polynomial Growth and Shape of
Large Balls | GEOMETRÍA DE LOS GRUPOS DE
CRECIMIENTO POLINOMIAL Y FORMA DE BALLAS GRANDES.
EMMANUEL BREUILLARD
Resumen. Demostramos que cualquier grupo G localmente compacto con crecimiento polinomio
es débilmente commensurable a algunos simplemente conectado grupo de Lie solvable S, el
La sombra de la mentira de G. Luego estudiamos... | Obtenemos asintóticos para el volumen de grandes bolas en una arbitraria localmente
Grupo compacto G con crecimiento polinomio. Esto se hace a través de un estudio de la
geometría de G y una generalización de la tesis de P. Pansu. En particular, mostramos
que cualquier tal G es débilmente commensurable a algunos simp... | Introducción
1.1. Grupos con crecimiento polinomio. Dejar G ser un grupo localmente compacto con
izquierda Haar medida volG. Asumiremos que G es generada por un sim-
métrica subconjunto. Clásicamente, G se dice que tiene crecimiento polinomio si existe
C > 0 y k > 0 de tal manera que para cualquier entero n ≥ 1
volG(
... |
704.0096 | Much ado about 248 | Mucho ado sobre 248
M.C. Nucci y P.G.L. Leach*
Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Perugia,
06123 Perugia, Italia
Resumen
En esta nota presentamos tres representaciones de una mentira de 248 dimensiones
álgebra, a saber, el álgebra de las simetrías Lie punto admitido por un sistema
de cinco ecuacion... | En esta nota presentamos tres representaciones de una mentira de 248 dimensiones
álgebra, a saber, el álgebra de las simetrías Lie punto admitido por un sistema de
cinco ecuaciones diferenciales ordinarias triviales cada uno de orden cuarenta y cuatro, que
admitido por un sistema de siete ecuaciones diferenciales tri... | Introducción
Un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias cada uno de orden M > 1,
k = fk(u
j, t), j, k = 1, n, s = 0,M − 1, (1)
tiene un número variable de simetrías de puntos de Lie dependiendo de la estructura de
las funciones fk. La dimensión máxima D del álgebra del punto de mentira admitido
las simetrías p... |
704.0097 | Conformal Field Theory and Operator Algebras | Teoría de campo formal
y álgebras operadoras
Yasuyuki Kawahigashi
Departamento de Ciencias Matemáticas
Universidad de Tokio, Komaba, Tokio, 153-8914, Japón
Correo electrónico: yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp
Resumen
Examinamos los recientes avances en el enfoque algebraico de los operadores
teoría cuántica formal del campo. ... | Revisamos los avances recientes en el enfoque algebraico del operador a la conformación cuántica
teoría de campo. Nuestro énfasis está en el uso de la teoría de la representación en la clasificación
teoría. Esto se basa en una serie de trabajos conjuntos con R. Longo.
| Introducción
Una aproximación matemáticamente rigurosa a la teoría cuántica del campo basada en
álgebras erator se llama una teoría de campo cuántico algebraico. Tiene un largo
historia desde obras pioneras de Araki, Haag, Kastker. (Véase [22]
tratamiento eral de la teoría del campo cuántico algebraico.) Esta teoría fu... |
704.0098 | Sparsely-spread CDMA - a statistical mechanics based analysis | CDMA escasamente difundida - una mecánica estadística
Análisis basado
Jack Raymond y David Saad
Grupo de Investigación de Computación Neural, Universidad de Aston, Triángulo de Aston, Birmingham,
B4 7EJ
Correo electrónico: jack.raymond@physics.org
Resumen.
Acceso Múltiple a la División de Códigos Sparse (CDMA), una var... | Acceso Múltiple a la División de Códigos Sparse (CDMA), una variación de la CDMA estándar
método en el que la matriz de propagación (firma) contiene sólo una relativamente
el pequeño número de elementos distintos de cero, se presenta y analiza utilizando métodos de
física estadística. El análisis proporciona resultad... | CDMA escasamente difundida - una mecánica estadística
Análisis basado
Jack Raymond y David Saad
Grupo de Investigación de Computación Neural, Universidad de Aston, Triángulo de Aston, Birmingham,
B4 7EJ
Correo electrónico: jack.raymond@physics.org
Resumen.
Acceso Múltiple a la División de Códigos Sparse (CDMA), una var... |
704.0099 | On Ando's inequalities for convex and concave functions | Sobre las desigualdades de Ando para convexos y cóncavos
funciones
Koenraad M.R. Audenaert
Instituto de Ciencias Matemáticas, Imperial College de Londres,
53 Prince’s Gate, Londres SW7 2PG, Reino Unido
Jaspal Singh Aujla
Departamento de Matemáticas Aplicadas, Instituto Nacional de Tecnología,
Jalandhar 144011, Punjab, ... | Para matrices semidefinidas positivas $A$ y $B$, Ando y Zhan demostraron la
Desigualdades $ f(A)+f(B) \ge f(A+B) y $ g(A)+g(B) \le
g(A+B), para cualquier norma unitariamente invariante, y para cualquier no negativo
operador monotone $f$ en $[0,\infty)$ con función inversa $g$. Estos
las desigualdades se han gener... | Introducción
En [1], Ando demostró las siguientes desigualdades por semidefinido positivo (PSD)
matrices A, B, y cualquier norma unitariamente invariante (UI). Para cualquier no negativo
función monotona del operador f(t) en [0,
f(A)− f(B) ≤ f(A−B), (1)
y, cuando f(0) = 0 y f() = , y g es la función inversa de f,
g(A... |
704.01 | Topology Change of Black Holes | Cambio de topología de los agujeros negros
Daisuke Ida
y Masaru Siino
1Departamento de Física, Universidad de Gakushuin, Tokio 171-8588, Japón.
2Departamento de Física, Instituto de Tecnología de Tokio, Tokio 152-8550, Japón.
(1o de abril de 2007)
Resumen.
La estructura topológica del horizonte de eventos ha sido inves... | La estructura topológica del horizonte de eventos ha sido investigada en términos
de la teoría Morse. El proceso elemental de evolución topológica puede ser
entendido como un accesorio de manija. Se ha encontrado que hay
limitaciones a la naturaleza de la evolución topológica del agujero negro: (i) Hay n
tipos de acc... | Introducción
Los agujeros negros en espacios-tiempos de mayor o igual a cinco dimensiones tienen ricos
estructura topológica. Según los conocidos resultados de Hawking sobre
la topología de los agujeros negros en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, el horizonte aparente
o la sección espacial del horizonte de event... |
704.0101 | The birth of string theory | El nacimiento de la teoría de cuerdas
Paolo Di Vecchia1
Nordita, Blegdamsvej 17, 2100 Copenhague Ø, Dinamarca divecchi@alf.nbi.dk
Resumen. En esta contribución pasamos por los desarrollos que en los años
de 1968 a 1974 condujo del modelo Veneziano a la teoría de cuerdas bosónicas.
Incluyen la construcción de la amplitu... | En esta contribución vamos a través de los acontecimientos que en los años 1968 a
1974 llevó del modelo Veneziano a la cuerda bosónica.
| Introducción
Los años sesenta fueron un período en el que se estudiaron procesos de interacción fuertes
en detalle utilizando los aceleradores de nueva construcción en Cern y otros lugares.
Se encontraron muchos nuevos estados hadrónicos que aparecieron como picos resonantes en var-
se midieron las secciones transversa... |
704.0102 | Duality and Tameness | arXiv:0704.0102v1 [math.AC] 1 Apr 2007
DUALIDAD Y TAMENESS
MARC CHARDIN, STEVEN DALE CUTKOSKY, JÜRGEN HERZOG Y HEMA SRINIVASAN
Resumen. Demostramos un teorema de dualidad para ciertos álgebras graduadas y mostrar por varios
ejemplos de diferentes tipos de fracaso de la domesticación de la cohomología local.
Introducció... | Demostramos un teorema de dualidad para ciertos álgebras graduadas y mostrar por varios
ejemplos de diferentes tipos de fracaso de la domesticación de la cohomología local.
| Introducción
El propósito de este trabajo es construir ejemplos de comportamiento extraño de coho local.
Moology. En estas construcciones seguimos una estrategia que ya se utilizó en [CH] y
que se refiere, a través de una secuencia espectral introducida en [HR], la cohomología local para el
dos distinguidos ideales pri... |
704.0103 | Generalized regularly discontinuous solutions of the Einstein equations | Soluciones discontinuas generalizadas regularmente
de las ecuaciones de Einstein
Gianluca Gemelli
L.S. B. Pascal, V. P. Nenni 48, Pomezia (Roma), Italia.
Correo electrónico: gianluca.gemelli@poste.it
Resumen
La consistencia física de la coincidencia de las métricas tipo C0 es
Debatida. La teoría matemática de la discon... | La consistencia física de la combinación de las métricas por pieza-$C^0$ es
Debatida. La teoría matemática de las hipersuperficies de discontinuidad gravitacional
se generaliza para cubrir la coincidencia de métricas regularmente discontinuas. Los
Se introduce un marco de geometría diferencial de valor medio en una h... | Introducción
¿Es posible definir soluciones débiles de las ecuaciones Einstein de clase
C0 a trozos, es decir, generalizar las condiciones de compatibilidad que sustituyen
las ecuaciones de campo en una hipersuperficie singular al caso cuando la métrica es
¿Con regularidad discontinua?
Alcanzar este objetivo significar... |
704.0104 | A geometric realization of sl(6,C) | UNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C)
GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI
Resumen. Dada una débilmente orientable auto-dual multiple X de rango dos, nosotros
construir una realización geométrica del álgebra Lie sl(6,C) como una definición natural
álgebra LC de endomorfismos del espacio de formas diferenciales de X. Nosotro... | Dada una débilmente orientable auto-dual multiple X de rango dos, construimos un
realización geométrica de la Lie álgebra sl(6,C) como un álgebra definida naturalmente
L de endomorfismos del espacio de formas diferenciales de X. Nosotros proporcionamos un
descripción explícita de los generadores Serre en términos de ... | Introducción
Este trabajo es un paso en un programa más amplio, que tiene como objetivo encontrar un geomet-
ric homólogo a la simetría espejo faenomenon, y posiblemente una geométrica
lenguaje en el que formular una teoría física interpolando entre diferentes
Modelos. Mientras dirigimos al lector a [G2],[G3] para más ... |
704.0105 | Rigid subsets of symplectic manifolds | 8 Subconjuntos rígidos de colectores simpléticos
Michael Entova y Leonid Polterovichb
31 de agosto de 2018
Resumen
Demostramos que hay una jerarquía de la rigidez de la intersección apropiada-
ataduras de conjuntos en un colector simplético cerrado: algunos conjuntos no pueden ser dis-
colocados por simplictomorfismos ... | Demostramos que hay una jerarquía de las propiedades de rigidez de la intersección de
conjuntos en un colector simplético cerrado: algunos conjuntos no pueden ser desplazados por
simplectomorfismos de más conjuntos que los otros. También encontramos nuevos ejemplos de
rigidez de las intersecciones que implican, en pa... | Introducción y principales resultados 3
1.1 Muchas facetas de la desplazabilidad................................................................................................................................................................................................................................................... |
704.0106 | Multiple Parton Scattering in Nuclei: Quark-quark Scattering | Dispersión múltiple de Parton en Nuclei:
Dispersión de quark-quark
Andreas Schäfer, a Xin-Nian Wang b y Ben-Wei Zhang c,d,a
aInstitut für Theoretische Physik, Universität Ratisbona
D-93040 Ratisbona, Alemania
b División de Ciencia Nuclear, MS 70R0319
Lawrence Berkeley National Laboratory, Berkeley, CA 94720
cCyclotron ... | Modificaciones de las funciones de fragmentación de quark y antiquark debido a
se estudia la doble dispersión de quark-quark (antiquark) en medio nuclear
sistemáticamente hasta el orden \cal{O}(\alpha_{s2)$ en profundamente inelástico
dispersión (DIS) de objetivos nucleares. En el orden $\cal{O}(\alpha_s^2)$,
twist-c... | Introducción
La dispersión de múltiples partes en un medio denso se puede utilizar como una herramienta útil para estudiar
propiedades de la materia nuclear caliente y fría. El éxito de este enfoque ha sido
demostrado por el descubrimiento de fuertes fenómenos de apagado de chorro en el centro de Au + Au
colisiones en ... |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.