import Mathlib

namespace OAI

namespace CirculantHadamard

universe u

def IsSign {R : Type u} [One R] [Neg R] (x : R) : Prop :=
  x = 1 ∨ x = -1

abbrev RealMatrix (n : ℕ) := Matrix (Fin n) (Fin n) ℝ

def IsCirculant {n : ℕ} (H : RealMatrix n) : Prop :=
  ∃ h : Fin n → ℝ, ∀ i j, H i j = h (j - i)

def IsSignHadamard {n : ℕ} (H : RealMatrix n) : Prop :=
  (∀ i j, IsSign (H i j)) ∧
    H * H.transpose = (n : ℝ) • (1 : RealMatrix n)

def ExistsRealCirculantHadamard (n : ℕ) : Prop :=
  ∃ H : RealMatrix n, IsCirculant H ∧ IsSignHadamard H

end CirculantHadamard

end OAI