Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ L₃ : C ⥤ D
R₁ R₂ R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : R₁ ⟶ R₂
β : R₂ ⟶ R₃

(conjugateEquiv adj₂ adj₃).symm β ≫ (conjugateEquiv adj₁ adj₂).symm α = (conjugateEquiv adj₁ adj₃).symm (α ≫ β)


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
S T : Set G

AddSubgroup.IsComplement S T ↔ ∀ (g : G), ∃! x, ↑x.1 + ↑x.2 = g


Context: α : Type u

Context: l : List α

Context: i : ℕ

Context: h1 : l.length - 1 - i < l.reverse.length

Context: h2 : i < l.length

l.reverse.nthLe (l.length - 1 - i) h1 = l.nthLe i h2


Context:
α : Type u_4
β : Type u_5
Fintype α
Fintype β
f : α ≃ β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α

(Filter.bliminf u f fun x => True) = Filter.liminf u f


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
V : Set E

(∃ i, (∃ i_1 r, 0 < r ∧ i = (i_1.sup p).ball 0 r) ∧ id i ⊆ V) ↔ ∃ a b, 0 < b ∧ (a.sup p).ball 0 b ⊆ V


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Z → W
hf : IsProperMap f
hg : IsProperMap g


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Groupoid G

Context: inst✝¹ : IsFreeGroupoid G

Context: T : WideSubquiver (Symmetrify (Generators G))

Context: inst✝ : Arborescence (WideSubquiver.toType (Symmetrify (Generators G)) T)

Context: a b : Generators G

Context: e : a ⟶ b

Context: H : e ∈ wideSubquiverSymmetrify T a b

treeHom T (let_fun this := a; this) ≫ of e = treeHom T b


Context: L : FirstOrder.Language

Cardinal.mk ((n : ℕ) × (L.sum L.skolem₁).Functions n) = Cardinal.mk ((n : ℕ) × L.BoundedFormula Empty (n + 1))


Context: P : ℕ → Prop

Context: h : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n

Context: k seed : ℕ

Context: hk : 1 < k

Context: hs : P seed.succ

Context: hm : ∀ (x : ℕ), seed < x → P x → P (k * x)

Context: n : ℕ


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
x : X
y : Y
h : e.IsImage s t
hx : x ∈ e.source


Context:
C : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{?u.61156, u_3} E
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
inst✝² : HasShift D M
inst✝¹ : HasShift E M
X Y Z T : C
a b c : M
f : ShiftedHom X Y a
g : ShiftedHom Y Z b
h : b + a = c
F : C ⥤ D
inst✝ : F.CommShift M

F.map f ≫ F.map ((shiftFunctor C a).map g) ≫ F.map ((shiftFunctorAdd' C b a c h).inv.app Z) ≫ (F.commShiftIso c).hom.app Z = F.map f ≫ (F.commShiftIso a).hom.app Y ≫ (shiftFunctor D a).map (F.map g) ≫ (shiftFunctor D a).map ((F.commShiftIso b).hom.app Z) ≫ (shiftFunctorAdd' D b a c h).inv.app (F.obj Z)


Context:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E

AnalyticOn ℂ f univ ↔ DifferentiableOn ℂ f univ


Context:
α : Type u_4
self : HeytingAlgebra α
a : α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r'✝ : ℝ≥0∞

Context: r' : ℝ≥0

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: h : ↑r' < r

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C * a ^ n

Context: y : E

Context: hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'

Context: n✝ : ℕ

Context: yr' : ‖y‖ < ↑r'

Context: hr'0 : 0 < ↑r'

Context: this : y ∈ EMetric.ball 0 r

Context: ya : a * (‖y‖ / ↑r') ≤ a

Context: n : ℕ

‖(p n) fun x => y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
ι : Type u_2
xs : ι → α
xs_dense : DenseRange xs
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α


Context:
K : Type u_1
RCLike K
h : RCLike.I = 0

∀ (a : K), (RCLike.realLinearIsometryEquiv h) a = (RCLike.realRingEquiv h).toFun a


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
f : NormedAddGroupHom M N
hquot : f.IsQuotient
m : M


Context:
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp₁ : p ≤ 1

ConcaveOn NNReal Set.univ fun x => x ^ p


Context:
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 < a
hb : 0 < b


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: N : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: I₀ : WithTop (Box ι)

Context: I J : Box ι

Context: i : ι

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : ι →ᵇᵃ[I₀] M

Context: hI : ↑I ≤ I₀

Context: π₁ π₂ : Prepartition I

Context: h : π₁.iUnion = π₂.iUnion

Context: s : Finset (ι × ℝ)

Context: h₁ : (π₁.biUnion fun J => splitMany J s) = (splitMany I s).filter fun J => ↑J ⊆ π₂.iUnion

Context: h₂ : (π₂.biUnion fun J => splitMany J s) = (splitMany I s).filter fun J => ↑J ⊆ π₂.iUnion

∑ J ∈ π₁.boxes, f J = ∑ J ∈ π₂.boxes, f J


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup α
OpensMeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : β → α
hf : Measurable f


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
a : α


Context: a b : Char


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G

(p.prod q).radius = min p.radius q.radius


Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: TopologicalSpace B

Context: TopologicalSpace F

Context: x : B

Context: y : F

Context: e' : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj

Context: h : x ∈ e'.baseSet


Context:
k n : ℕ
hk : n.gcd k < k
hk' : ↑k ≠ 0


Context: X : FinPartOrd

FinPartOrd.dual.obj X = FinPartOrd.of (↑X.toPartOrd)ᵒᵈ


Context:
α : Type u_2
DecidableEq α
InvolutiveNeg α
s : Finset α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Ord α
inst✝² : Ord β
inst✝¹ : TransOrd α
inst✝ : TransOrd β

TransCmp (compareLex (compareOn fun x => x.fst) (compareOn fun x => x.snd))


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.3839, u_1} C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : IndexSet Δ

A.fst = Δ ↔ (unop A.fst).len = (unop Δ).len


Context: α : Type u

Context: s : Set (Set α)

Context: i✝ i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α

Context: IH : ∀ (y : (Quotient.out (aleph 1).ord).α), (Quotient.out (aleph 1).ord).r y i → #↑(generateMeasurableRec s y) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀

Context: A : ℵ₀ ≤ aleph 1

Context: B : aleph 1 ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀

Context: C : ℵ₀ ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀

Context: J : #↑(⋃ j, generateMeasurableRec s ↑j) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀

#↑((s ∪ {∅} ∪ compl '' ⋃ j, generateMeasurableRec s ↑j) ∪ range fun f => ⋃ n, ↑(f n)) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀


Context:
M : Type u_1
Add M
s : AddSubsemigroup M


Context:
α β : Type u
n c : ℕ
h : ↑c ≤ ↑n


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩

Context: δpos : 0 < δ

Context: t : ℕ → Set E

Context: A : ℕ → E →L[ℝ] E

Context: t_disj : Pairwise (Disjoint on t)

Context: t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)

Context: t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n

Context: ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) δ

Context: right✝ : s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y

Context: g : E → E →L[ℝ] E

Context: g_meas : Measurable g

Context: hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ t n, g x = A n

Context: n : ℕ

Context: E₁ : ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict (s ∩ t n), ‖f' x - A n‖₊ ≤ δ

∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict (s ∩ t n), dist (g x) (f' x) ≤ ε


Context:
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b : α
h : a ≤ b

variationOnFromTo f s a b = (eVariationOn f (s ∩ Set.Icc a b)).toReal


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: S : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)

Context: hS : S.ShortExact

Context: i : ι

(CategoryTheory.ShortComplex.mk (HomologicalComplex.homologyMap S.f i) (HomologicalComplex.homologyMap S.g i) ⋯).Exact


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
L : Type u_6
RCLike L
r : L
f : α → L

∫ (a : α), r * f a ∂μ = r * ∫ (a : α), f a ∂μ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X

(∀ (U : Finset (Set X)), (∀ u ∈ U, IsOpen u) → (∀ u ∈ U, (s ∩ u).Nonempty) → (s ∩ ⋂₀ ↑U).Nonempty) ↔ ∀ (t : Finset (Set X)), (∀ z ∈ t, IsClosed z) → s ⊆ ⋃₀ ↑t → ∃ z ∈ t, s ⊆ z


Context:
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x x' y : M

QuadraticMap.polar (⇑Q) (x + x') y = QuadraticMap.polar (⇑Q) x y + QuadraticMap.polar (⇑Q) x' y


Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: LinearOrderedSemiring α

Context: l : Filter β

Context: f : β → α

Context: c : α

Context: hc : 0 < c

Context: hf : Filter.Tendsto (fun x => f x * c) l Filter.atTop


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p : P

(AffineIsometryEquiv.constVSub 𝕜 p).symm =
  (LinearIsometryEquiv.neg 𝕜).toAffineIsometryEquiv.trans (AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 p)


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D₂ : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} C₂

Context: inst✝³ : Category.{u_7, u_3} D₂

Context: inst✝² : Category.{?u.53917, u_4} H

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂

Context: inst✝ : Φ.HasLeftResolutions

Context: X₂ : D₂

Context: this : L₂.EssSurj

Context: L : Φ.LeftResolution (L₂.objPreimage X₂)


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s : Set α
IsRefl α r
IsTrans α r
t : Set β
hs : s.PartiallyWellOrderedOn r
ht : t.PartiallyWellOrderedOn r'

(s ×ˢ t).PartiallyWellOrderedOn fun x y => r x.1 y.1 ∧ r' x.2 y.2


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
i : ι
r : ℝ
hr : 0 < r


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C
self : CategoryTheory.GaloisCategory C

∃ F, Nonempty (CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: t : PullbackCone f g

Context: w : ((Functor.const WalkingCospan).obj t.pt).map inl ≫ t.π.app WalkingCospan.one = t.π.app WalkingCospan.left ≫ (cospan f g).map inl


Context:
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
inst✝¹ : HasZeroObject V
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A : V
i : ι
hi : i ≠ j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
l : List α

List.map (Prod.map id f) l.enum = (List.map f l).enum


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h't : μ t ≠ 0

Context: h''t : μ t ≠ ⊤

Context: this : Tendsto (fun r => μ (toMeasurable μ s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)


Context:
K : Type uK
V : Type uV
CommRing K
AddCommGroup V
Module K V
Module.Free K V

Subsingleton (Module.Dual K V) ↔ Subsingleton V


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra E K

Context: inst✝² : IsScalarTower F E K

Context: inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable E K

Context: S : IntermediateField F K := separableClosure F K

Context: h : Module.rank E K ≤ Module.rank F ↥S


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞

Context: inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_3

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: mass_lim : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 0)

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Tendsto (fun i => (μs i).testAgainstNN f) F (𝓝 (testAgainstNN 0 f))


Context: x : ℝ


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
s : ℤ
this : Valued.v 1 = 1

Valued.v ((single s) 1) = ↑(Multiplicative.ofAdd (-s))


Context:
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
FunLike F R S
n : ℕ
h : NeZero ↑n
RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Injective ⇑f


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
u : ℕ → Ω → β
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : AddCommMonoid β
n i : ℕ


Context:
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x : α
n : ℕ

∑ i ∈ range (n + 1), x ^ i = x * ∑ i ∈ range n, x ^ i + 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
N : Matroid β
B : Set α

(N.comap f).Base B ↔ N.Basis (f '' B) (f '' (f ⁻¹' N.E)) ∧ Set.InjOn f B ∧ B ⊆ f ⁻¹' N.E


Context:
R : Type u
M : Type v
Sub R
Sub M
x₁ x₂ : tsze R M


Context:
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction M R
a : M
S : Ideal R
ha : Function.Surjective fun r => a • r
x✝ : R

x✝ ∈ (a • S).toAddSubmonoid ↔ x✝ ∈ a • S.toAddSubmonoid


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x✝ y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: hf : Continuous f

Context: h : SpecializingMap f

Context: x : X


Context:
a b : ℝ
t : ℂ
ht : t ≠ -1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedCommGroup α

Context: a b : α

Context: m n : ℤ

Context: hmn : m ≠ n

Context: x : α

Context: hx : x ∈ Ioc (a * b ^ m) (a * b ^ (m + 1)) ∩ Ioc (a * b ^ n) (a * b ^ (n + 1))

Context: hb : 1 < b

Context: i1 : a * b ^ m < a * b ^ (n + 1)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Nontrivial M


Context:
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
OpensMeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
f₁ f₂ : Ω →ᵇ ℝ≥0

μ.testAgainstNN (f₁ + f₂) = μ.testAgainstNN f₁ + μ.testAgainstNN f₂


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
A : Type u_3
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDomain A
a : A
ha : a ≠ 0
φ : MvPolynomial σ A
i : σ

(∃ d, coeff d (C a * φ) ≠ 0 ∧ i ∈ d.support) ↔ ∃ d, coeff d φ ≠ 0 ∧ i ∈ d.support


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
h : 0 < n
k : 𝕜
hk : addOrderOf ↑k = n
a : ℤ
ha : a • p = n • k
h0 : ↑n ≠ 0

∃ m < n, m.gcd n = 1 ∧ ↑(↑m / ↑n * p) = ↑k


Context:
α : Type u_2
InvolutiveNeg α
s : Set α
hs : s.Finite


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.HasShift C ℤ

Context: A : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C


Context:
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
h𝒜 : MeasureTheory.IsSetAlgebra 𝒜


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : φ₁ = φ₂

(CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy.ofEq h).h₃ = 0


Context:
X Y : FinPartOrd
a : ↑X.toPartOrd →o ↑Y.toPartOrd


Context:
R : Type u_1
Semiring R
x : PowerSeries R
n : ℕ

((HahnSeries.ofPowerSeries ℤ R) x).coeff ↑n = (PowerSeries.coeff R n) x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoidWithZero R

Context: n p : R

Context: k : ℕ

Context: h : Nat.minFac 0 ^ (Nat.factorization 0) (Nat.minFac 0) = 0

Context: hn : 0 ≠ 1


Context:
R : Type u_1
CommRing R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n

bernsteinPolynomial R n ν = (bernsteinPolynomial R n (n - ν)).comp (1 - Polynomial.X)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: n : ℕ

Context: hyp : ∀ m < n, card ↑(derangements (Fin m)) = numDerangements m

card ↑(derangements (Fin n)) = numDerangements n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g'✝ : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : TopologicalSpace α
x : α
s : Set α
g : α → E'
g' : α → F'
h : g x = 0

g =o[𝓝[insert x s] x] g' ↔ g =o[𝓝[s] x] g'


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
x : M
f : Module.Dual R M
y : M
g : Module.Dual R M
h : f x = 2

Module.preReflection ((Module.preReflection x f) y) ((Module.preReflection f ((Module.Dual.eval R M) x)) g) =
  Module.preReflection x f ∘ₗ Module.preReflection y g ∘ₗ Module.preReflection x f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: r✝ : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: u : δ → δ → Prop

Context: inst✝ : Setoid α

Context: r : α → α → Prop

Context: H : ∀ (a₁ b₁ a₂ b₂ : α), a₁ ≈ a₂ → b₁ ≈ b₂ → r a₁ b₁ = r a₂ b₂

Context: x y : Quotient inst✝

Context: a b : α

r ((Embedding.quotientOut α) ⟦a⟧) ((Embedding.quotientOut α) ⟦b⟧) ↔ Quotient.lift₂ r H ⟦a⟧ ⟦b⟧


Context:
a b : ℤ
ha : a ≤ 0
hb : b ≤ 0


Context:
α : Sort u
β : Sort v
Uncountable α
Countable β
f : α → β


Context: f : CircleDeg1Lift

f.transnumAuxSeq = fun n => (f ^ 2 ^ n) 0 / 2 ^ n


Context:
α : Type u_1
a : α
l : List α
p : α → Bool
h : p a = true


Context: x y : UInt64


Context:
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f : β → γ
x✝ : t β
η : ApplicativeTransformation F G
x : t (F α)

(fun {α} => η.app α) (sequence x) = sequence ((fun {α} => η.app α) <$> x)


Context: f g : MulRingNorm ℚ

Context: hf_nontriv : f ≠ 1

Context: bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1

Context: p : ℕ

Context: hp0 : 0 < f ↑p

Context: hp1 : f ↑p < 1

Context: hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m

Context: pprime : Nat.Prime p


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module 𝕜₂ F

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: inst✝ : TopologicalSpace F

Context: hι : Nonempty ι

Context: q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι

Context: hq : WithSeminorms q

Context: f : E →ₛₗ[σ₁₂] F

Context: this : TopologicalAddGroup F

Context: x✝ : TopologicalSpace E := TopologicalSpace.induced (⇑f) inferInstance


Context: a b k✝ m n✝ p n k : ℕ

(n ^ (k + 1)).primeFactors = n.primeFactors


Context:
ι : Type u_1
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
f : ι → G₀

Function.support f⁻¹ = Function.support f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: E : ι → Type u_3

Context: f : (i : ι) → E i → 𝕜

Context: inst✝¹ : (i : ι) → MeasureSpace (E i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite volume

Context: hf : ∀ (i : ι), Integrable (f i) volume

Context: e : Fin (card ι) ≃ ι := (equivFin ι).symm

Integrable (fun x => ∏ i : ι, f i (x i)) volume


Context:
M : Type u_1
AddMonoid M
c : AddCon M
f : M → M
hf : ∀ (x : M), c (f x + x) 0
x y : M
h : c x y


Context:
M : Type u_1
α : Type u_7
Monoid M
MulAction M α
a₁ a₂ : M

((fun x => a₁ • x) ∘ fun x => a₂ • x) = fun x => (a₁ * a₂) • x


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : s ≠ 1

DifferentiableAt ℂ (HurwitzZeta.hurwitzZeta a) s


Context:
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
hdiv : ¬p ∣ n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R

(expand R p) (cyclotomic n R) = cyclotomic (n * p) R * cyclotomic n R


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Abelian C

Context: R₁ R₂ : CategoryTheory.ComposableArrows C 2

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₁ : R₁.Exact

Context: hR₂ : R₂.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0

Context: hR₂' : CategoryTheory.Mono (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯)

Context: h₀ : CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 1 ⋯)

Context: h₁ : CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 2 ⋯)

CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 0 ⋯)


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: μ : Measure ℝ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : l.NeBot

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b✝ : ι → ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: I b : ℝ

Context: hfi✝ : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc (a i) b) μ

Context: ha : Tendsto a l atBot

Context: h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a i..b, ‖f x‖ ∂μ ≤ I

Context: hφ : AECover (μ.restrict (Iic b)) l fun i => Ioi (a i)

Context: hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioi (a i)) (μ.restrict (Iic b))

Context: i : ι

Context: hai : a i ≤ b

∫ (x : ℝ) in a i..b, ‖f x‖ ∂μ ≤ I → ∫ (x : ℝ) in Ioi (a i), ‖f x‖ ∂μ.restrict (Iic b) ≤ I


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
StarMul R
TrivialStar R
AddCommGroup A
Module R A
StarAddMonoid A
StarModule R A
Invertible 2

skewAdjointPart R ∘ₗ (skewAdjoint.submodule R A).subtype = LinearMap.id


Context: n k m : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: hν : IsFiniteKernel ν

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: u : Set γ

Context: hu : u ∈ countablePartition γ n

Context: this✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hu_meas : MeasurableSet u

Context: this : ∫⁻ (x : γ) in u, (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x) ∂ν a = ∫⁻ (x : γ) in u, (κ a) (u ×ˢ s) / (ν a) u ∂ν a

Context: h0 : ¬(ν a) u = 0


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass N
Monoid P
f : M →* P
g : N →* P

(Monoid.Coprod.lift f g).comp Monoid.Coprod.inr = g


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: f g : ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)

Context: n✝ : ℕ

Context: C✝ : ℝ

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: x : ℕ → α

Context: a✝ b✝ : α

Context: H : DenseRange x

Context: a b : α

Context: e : ℝ

Context: epos : 0 < e

Context: n : ℕ

Context: hn : dist a (x n) < e / 2

Context: C : dist b (x n) - dist a (x n) = ↑(embeddingOfSubset x b) n - ↑(embeddingOfSubset x a) n

Context: this : dist a b ≤ dist (embeddingOfSubset x b) (embeddingOfSubset x a) + e

dist a b ≤ dist (embeddingOfSubset x a) (embeddingOfSubset x b) + e


Context:
α : Type u_2
β : Type u_4
TopologicalSpace α
Zero β
f : α → β

HasCompactSupport f ↔ IsCompact (closure (Function.support f))


Context:
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
N₂ : Type u_10
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
g : N →ₗ[R] N₂
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
m : ι → M


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s t u : Set α

Context: π : δ → Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: f : δ' ≃ δ

Context: i : δ

Measurable fun x => (piCongrLeft π f) x i


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: inst✝¹³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁶ : BorelSpace E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F'

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ F

Context: u : E → F

Context: s : Set E

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : support u ⊆ s

Context: p : ℝ≥0

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h2p : p < ↑(finrank ℝ E)

Context: hs : Bornology.IsBounded s

eLpNorm u (↑p) μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfLeConst F μ s p p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: n k : ℕ

Context: this : 2 ^ n ≤ 2 ^ (n + k)

‖newton_seq (n + (k + 1)) - newton_seq n‖ = ‖newton_seq (n + k + 1) - newton_seq n‖


Context:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid A
Module R S
Module S A
Module R A
IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : Submodule.span R s = ⊤
t : Set A

Submodule.span R (s • t) = Submodule.restrictScalars R (Submodule.span S t)


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: CategoryTheory.Category.{max v u, w} D

Context: CategoryTheory.ConcreteCategory D

Context: Y X : C

Context: P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : CategoryTheory.Meq P S

Context: f : Y ⟶ X

Context: I : ((J.pullback f).obj S).Arrow

↑(x.pullback f) I = ↑x { Y := I.Y, f := CategoryTheory.CategoryStruct.comp I.f f, hf := ⋯ }


Context: C : Type u

Context: X : CategoryTheory.FreeMonoidalCategory C

Context: Y₁ Y₂ : CategoryTheory.FreeMonoidalCategory C

Context: f : Y₁.Hom Y₂

⟦CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.Hom.whiskerLeft X f⟧ = CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X ⟦f⟧


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
b : β
a : α


Context:
N i : ℕ
H : i ≤ N


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: n : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder n

Context: inst✝² : IsWellOrder n fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n

Context: S : Matrix n n 𝕜

Context: inst✝ : Fintype n

Context: hS : S.PosDef


Context:
R S : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E

(∃ z ∈ s, dist x z < ε + δ) → ∃ z, (∃ z_1 ∈ s, dist z z_1 < δ) ∧ dist x z < ε


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: X : C

Context: S : CategoryTheory.Sieve X


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid α
CommMonoid β
s : Multiset α
F : Type u_6
FunLike F α β
MonoidHomClass F α β
f : F


Context: a b : Nat


Context:
R : Type u
NonAssocSemiring R
p p' : Subsemiring R


Context:
X : Type u
Y✝ : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y✝
s t : Set X
b : ι → Set X
hb : IsTopologicalBasis (range b)
U : Set X
hUc : IsCompact U
hUo : IsOpen U
Y : Type u
f' : Y → ι
e : U = ⋃ i, (b ∘ f') i
hf' : ∀ (i : Y), b (f' i) = (b ∘ f') i


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι'

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: inst✝² : MeasurableSpace F

Context: inst✝¹ : BorelSpace F

Context: inst✝ : SecondCountableTopologyEither E F

Context: v : Basis ι ℝ E

Context: w : Basis ι' ℝ F

Context: this : FiniteDimensional ℝ E

(v.prod w).addHaar = v.addHaar.prod w.addHaar


Context:
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β
n : ℕ
l₁ l₂ : List α

List.oldMapIdxCore f n (l₁ ++ l₂) = List.oldMapIdxCore f n l₁ ++ List.oldMapIdxCore f (n + l₁.length) l₂


Context:
f : ℕ → ℂ
h : f 1 = 1


Context:
l₁ l₂ : Lean.Omega.LinearCombo
v : Lean.Omega.Coeffs
w : l₁.coeffs.isZero ∨ l₂.coeffs.isZero

(l₁.mul l₂).eval v = l₁.eval v * l₂.eval v


Context: b m n : ℕ

Nat.ofDigits b (b.digits n ++ b.digits m) = n + b ^ (b.digits n).length * m


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: s₁ s₂ : AList β

Context: h : s₁.entries ⊆ s₂.entries

Context: k : α

Context: hk : k ∈ s₁.keys

Context: this✝ : DecidableEq α := Classical.decEq α

Context: this : lookup k s₂ = some ((lookup k s₁).get ⋯)

(some ((lookup k s₁).get ⋯)).isSome = true


Context:
α : Type u_1
BooleanAlgebra α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting

Disjoint s (Finset.map { toFun := compl, inj' := ⋯ } s)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
π : α → Type u_11
t : (i : α) → Set (π i)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 < b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a✝ b✝ c d e : α
m n : ℤ
a : α
h : 0 < a
b : α
this : 0 < a / max (b + 1) 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: x : E

Context: h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h't : μ t ≠ 0

Context: h''t : μ t ≠ ⊤

Context: I : ∀ (u v : Set E), μ u ≠ 0 → μ u ≠ ⊤ → MeasurableSet v → μ u / μ u - μ (vᶜ ∩ u) / μ u = μ (v ∩ u) / μ u

Context: L : Tendsto (fun r => μ (sᶜ ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)

Context: L' : Tendsto (fun r => μ (sᶜ ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)

Context: L'' : Tendsto (fun r => μ ({x} + r • t) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)

Context: this : Tendsto (fun a => μ ({x} + a • t) / μ ({x} + a • t) - μ (sᶜ ∩ ({x} + a • t)) / μ ({x} + a • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
hP0 : ¬P = ⊥


Context:
a k n : ℕ
a_pos : 0 < a

(filter a.Coprime (Ico k (k + (n % a + a * (n / a))))).card ≤ φ a * (n / a + 1)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G

Context: inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G

Context: ι₁ : Type u_5

Context: ι₂ : Type u_6

Context: b₁ : Basis ι₁ 𝕜 E

Context: b₂ : Basis ι₂ 𝕜 F

Context: A : E →ₗ[𝕜] F

Context: B : F →ₗ[𝕜] E

Context: h : ∀ (i₁ : ι₁) (i₂ : ι₂), ⟪A (b₁ i₁), b₂ i₂⟫_𝕜 = ⟪b₁ i₁, B (b₂ i₂)⟫_𝕜

Context: i₁ : ι₁


Context:
α : Type u_1
m n : Num

(m.cmp n).swap = Ordering.lt ↔ m.cmp n = Ordering.gt


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
Nontrivial α
a b : α
na nb : ℤ
da db : ℕ
ha : Mathlib.Meta.NormNum.IsRat a na da
hb : Mathlib.Meta.NormNum.IsRat b nb db
h : decide (nb * ↑da < na * ↑db) = true


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
f g : ι →₀ α

(uIcc f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (uIcc (f i) (g i)).card


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝¹ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : QuasiMeasurePreserving f μ μ
hs : f ⁻¹' sᶜ =ᵐ[μ] sᶜ
x✝ : ℕ
n : α

n ∈ (compl ∘ fun n => (preimage f)^[n] s) x✝ ↔ n ∈ (preimage f)^[x✝] sᶜ


Context:
G : Type u_1
Group G
G₂ : Type u_2
Group G₂
p₁ p₂ : ℕ
hp₁ : Fact (Nat.Prime p₁)
hp₂ : Fact (Nat.Prime p₂)
hne : p₁ ≠ p₂
H₁ : Subgroup G
H₂ : Subgroup G₂
Finite ↥H₁
Finite ↥H₂
hH₁ : IsPGroup p₁ ↥H₁
hH₂ : IsPGroup p₂ ↥H₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
hs : s.einfsep = ⊤


Context:
ιA : Type u_1
ιM : Type u_3
A : ιA → Type u_4
M : ιM → Type u_5
AddMonoid ιA
VAdd ιA ιM
GradedMonoid.GMonoid A
self : GradedMonoid.GMulAction A M
b : GradedMonoid M


Context:
α : Type u
s : Computation α
h : s.Terminates
a : α


Context:
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 < a
hb : 0 < b


Context:
α : Type u_1
Primcodable α


Context: n : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: Field 𝕜

Context: DecidableEq n

Context: Fintype n

Context: L : List (Matrix.TransvectionStruct n 𝕜)

(List.map Matrix.TransvectionStruct.toMatrix L).prod.det = 1


Context:
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: C : Set α

Context: hC : Perfect C

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hnonempty : C.Nonempty

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: D₀ D₁ : Set α

Context: perf0 : Perfect D₀

Context: sub0 : D₀ ⊆ C

Context: hdisj : Disjoint D₀ D₁

Context: perf1 : Perfect D₁

Context: sub1 : D₁ ⊆ C

Context: x₀ : α

Context: hx₀ : x₀ ∈ D₀

Context: x₁ : α

Context: hx₁ : x₁ ∈ D₁

Context: perf0' : Perfect (closure (EMetric.ball x₀ (ε / 2) ∩ D₀))

Context: non0' : (closure (EMetric.ball x₀ (ε / 2) ∩ D₀)).Nonempty

Context: sub0' : closure (EMetric.ball x₀ (ε / 2) ∩ D₀) ⊆ D₀

Context: diam0 : EMetric.diam (closure (EMetric.ball x₀ (ε / 2) ∩ D₀)) ≤ ε

Context: perf1' : Perfect (closure (EMetric.ball x₁ (ε / 2) ∩ D₁))

Context: non1' : (closure (EMetric.ball x₁ (ε / 2) ∩ D₁)).Nonempty

Context: sub1' : closure (EMetric.ball x₁ (ε / 2) ∩ D₁) ⊆ D₁

Context: diam1 : EMetric.diam (closure (EMetric.ball x₁ (ε / 2) ∩ D₁)) ≤ ε

∃ C₀ C₁, (Perfect C₀ ∧ C₀.Nonempty ∧ C₀ ⊆ C ∧ EMetric.diam C₀ ≤ ε) ∧ (Perfect C₁ ∧ C₁.Nonempty ∧ C₁ ⊆ C ∧ EMetric.diam C₁ ≤ ε) ∧ Disjoint C₀ C₁


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x y : M
a b : ↑↑S


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: CategoryTheory.HasShift C ℤ

Context: T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C


Context:
α : Type u_1
LT α
s : Set α
IsEmpty α


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B

Context: ι : Sort u_1

Context: S : ι → NonUnitalStarSubalgebra R A

Context: x : A


Context:
M : Type u_1
Monoid M
s t : Set M
ht : IsSubmonoid t
h : s ⊆ t


Context:
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K

IsUnramified k w ↔ w.mult ≤ (w.comap (algebraMap k K)).mult


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃

affineSpan ℝ {t₁.points i₁, t₁.points i₂} = altitude t₂ j₂


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Ring R
p✝ p q : R[X]
hq : q.leadingCoeff = -1
hpq : p.degree < q.degree
this : (-q).coeff (-q).natDegree = 1


Context:
α : Type u_1
Sub α
a b : Part α
hab : (a - b).Dom


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K : Set F

Context: r ε : ℝ

Context: L : F

Context: x y z : ℝ

Context: hy : y ∈ Icc x (x + r / 2)

Context: hz : z ∈ Icc x (x + r / 2)

Context: r' : ℝ

Context: r'mem : r' ∈ Ioc (r / 2) r

Context: hr' : ∀ y ∈ Icc x (x + r'), ∀ z ∈ Icc x (x + r'), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r

Context: A : x + r / 2 ≤ x + r'


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
x : PushoutI φ
g₁ : G i
hg₁ : (of i) g₁ = x
g₂ : G j
hg₂ : (of j) g₂ = x
hx : ¬x ∈ (base φ).range
hx1 : x ≠ 1
hg₁1 : g₁ ≠ 1
hg₂1 : g₂ ≠ 1
hg₁r : g₁ ∉ (φ i).range
hg₂r : g₂ ∉ (φ j).range


∀ {α : Type u_1} {a : α} {as : List α} {i : Nat}, List.take (i + 1) (a :: as) = a :: List.take i as


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
this : p.degree ≤ 0
hc : p.coeff 0 = 0
h : degree 0 = 0


Context:
α : Sort u_1
p : α → Prop
s : Subtype p


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P


Context:
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
Neg G
ContinuousNeg G
TopologicalSpace α
f : α → G
x : α
hf : ContinuousAt f x


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: σ : ι → Type u_7

Context: τ : κ → Type u_8

Context: inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)

Context: inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: fst✝ : ι

Context: snd✝ : σ fst✝

𝓝 ⟨fst✝, snd✝⟩ = Filter.map (mk ⟨fst✝, snd✝⟩.fst) (𝓝 ⟨fst✝, snd✝⟩.snd)


Context:
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasProjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F G : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : ProjectiveResolution X

(HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app ((projectiveResolutions C).obj X).as) ≫ (G.mapHomotopyCategory (ComplexShape.down ℕ)).map P.iso.hom ≫ 𝟙 ((HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).obj ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex)) = ((F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.down ℕ)).map P.iso.hom ≫ 𝟙 ((HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).obj ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex))) ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app P.complex)


Context:
α : Type u
l : List α
n : Fin l.length

l.get n :: List.drop (↑n + 1) l = List.drop (↑n) l


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
h : IsOpen s
hx : x ∈ s

HasFDerivWithinAt f f' s x ↔ HasFDerivAt f f' x


Context: k : ℕ

Context: hk : k ≠ 0

Context: n : ℤ

Context: this : ofReal' ∘ periodizedBernoulli k = AddCircle.liftIco 1 0 (ofReal' ∘ bernoulliFun k)

fourierCoeff (ofReal' ∘ periodizedBernoulli k) n = -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : Nontrivial R

Context: inst✝¹¹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁰ : MetricSpace R

Context: inst✝⁹ : TopologicalRing R

Context: inst✝⁸ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁶ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : Module R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝² : SMulCommClass R A A

Context: inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: hf✝ : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝

Context: hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

Context: inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f ((fun x => -x) '' σₙ R a)) _auto✝

Context: h0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context:
y z : ℝ
f : ℝ → ℝ≥0∞
hzy : z ≤ y

∫⁻ (x : ℝ) in Set.Iic y, f x = (∫⁻ (x : ℝ) in Set.Iio z, f x) + ∫⁻ (x : ℝ) in Set.Icc z y, f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s

Fintype.card ↑s = Fintype.card α ↔ s = Set.univ


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D

e.unit.app (e.inverse.obj Y) = e.inverse.map (e.counitInv.app Y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Finite α
f : α → β


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
f : E ≃ₗ[ℝ] E
s : Set E

μ (⇑f ⁻¹' s) = ENNReal.ofReal |LinearMap.det ↑f.symm| * μ s


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty


Context:
n k : ℕ
x : Fin k → ℕ

x ∈ List.Nat.antidiagonalTuple k n ↔ ∑ i : Fin k, x i = n


Context:
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasInjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F G : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : InjectiveResolution X
n : ℕ

(HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map ((NatTrans.rightDerivedToHomotopyCategory α).app X) = ((HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (P.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj P.cocomplex)) ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app P.cocomplex) n ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) n).inv.app ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj P.cocomplex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (P.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a b : α
h : a ∈ s


Context:
ι : Type u_5
α : ι → Type u_6
(i : ι) → Lattice (α i)
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
ht : ∀ i ∈ s, IsSublattice (t i)


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
Vsymm : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ○ V ⊆ U

Prod.map F F ⁻¹' UniformFun.gen X α U ∈ ⨅ i, comap (fun x => (F x.1 i, F x.2 i)) (𝓤 α)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: c' : ComplexShape ι'

Context: C : Type u_3

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: K : HomologicalComplex C c

Context: e : c.Embedding c'

Context: i' j' : ι'

Context: j : ι

Context: hj : e.f j = j'

Context: hj' : ¬c.Rel (c.prev j) j


Context:
a b d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : b ∣ a
e : ℕ


Context:
α : Type u
Add α
a b : WithBot α
x : α

a + b = ↑x ↔ ∃ a' b', ↑a' = a ∧ ↑b' = b ∧ a' + b' = x


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
c : ℝ≥0∞


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
m n : ℕ
h : m ≤ n
k : ℕ
hk : n = m + k


Context:
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a b c : α
h : b < c


Context:
α : Type u
β : Type v
f : Filter α
c : β → α
h : Set.range c ∈ f
W : Set β
W_in : W ∈ Filter.comap c f


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R✝

Context: A✝ : Type u_2

Context: B✝ : Type u_3

Context: inst✝¹² : Semiring A✝

Context: inst✝¹¹ : Semiring B✝

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: A : Type u_5

Context: B : Type u_6

Context: C : Type u_7

Context: D : Type u_8

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : Ring B

Context: inst✝⁵ : Ring C

Context: inst✝⁴ : Ring D

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra R C

Context: inst✝ : Algebra R D

Context: f : A →ₐ[R] B

Context: g : C →ₐ[R] D

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: this : Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker (map f (AlgHom.id R C))) = LinearMap.ker (LinearMap.rTensor C f.toLinearMap)

LinearMap.range (LinearMap.rTensor C (LinearMap.ker f.toLinearMap).subtype) = LinearMap.range (LinearMap.rTensor C (Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker f)).subtype)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: a : Associates α

Context: ha : a ≠ 0

Context: k : ℕ

Context: hk : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → k ∣ p.count a.factors

Context: a✝ : Nontrivial α


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
f : S ≃ₐ[R] S

↑((AlgEquiv.algHomUnitsEquiv R S).symm f) = ↑f


Context:
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
ι : Sort u_2
S : ι → NonUnitalSubring R
x : R


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R

MvPolynomial.IsWeightedHomogeneous w p 0 ↔ MvPolynomial.weightedTotalDegree w p = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι✝ : Type u_5

Context: π : ι✝ → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: ι : Sort u_7

Context: f : α → β

Context: s : ι → Set α

Context: hs : ∀ (x : α), ∃ i, s i ∈ 𝓝 x

Context: hf : ∀ (i : ι), ContinuousOn f (s i)

Context: x : α

Context: i : ι

Context: hi : s i ∈ 𝓝 x


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
X : F.Elementsᵒᵖ

(CategoryTheory.CategoryOfElements.costructuredArrowYonedaEquivalence F).functor.obj X =
  CategoryTheory.CostructuredArrow.mk (CategoryTheory.yonedaEquiv.symm (Opposite.unop X).snd)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : PartialHomeomorph E F

Context: f₀' : E ≃L[𝕜] F

Context: a : F

Context: ha : a ∈ f.target

Context: hf₀' : HasFDerivAt (↑f) (↑f₀') (↑f.symm a)

Context: Itop : ∀ (n : ℕ), ContDiffAt 𝕜 (↑n) (↑f) (↑f.symm a) → ContDiffAt 𝕜 (↑n) (↑f.symm) a

Context: hf : ContDiffAt 𝕜 ⊤ (↑f) (↑f.symm a)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
v : ι → E


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : ¬p = 0


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.89019, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift A
X : C
a b : A
h : a + b = 0

𝟙 (F.obj ((shiftFunctor C a ⋙ shiftFunctor C b).obj X)) = ((F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ (shiftFunctorCompIsoId D a b h).hom.app (F.obj X)) ≫ (shiftFunctorCompIsoId D a b h).inv.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso b).inv.app ((shiftFunctor C a).obj X)


Context:
a : ↥circle
h : rotation a = conjLIE


Context:
α : Type u
DecidableEq α
s : Set α
a : α
hs : (insert a s).Finite


Context: a b c d : ℝ≥0∞


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : EuclideanDomain R

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: b : R

Context: hb : b ≠ 0

Context: h✝ : abv.IsAdmissible

Context: A : Fin (h✝.card ε ^ Fintype.card ι).succ → ι → R

Context: e : ι ≃ Fin (Fintype.card ι) := Fintype.equivFin ι

Context: i₀ i₁ : Fin (h✝.card ε ^ Fintype.card ι).succ

Context: ne : i₀ ≠ i₁

Context: h : ∀ (k : Fin (Fintype.card ι)), ↑(abv (A i₁ (e.symm k) % b - A i₀ (e.symm k) % b)) < abv b • ε

Context: k : ι

↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε


Context:
R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x y : L

__src✝.toFun ⁅x, y⁆ = ⁅__src✝.toFun x, __src✝.toFun y⁆


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
h : e.IsImage s t


Context:
n : Type u_2
R : Type u_3
Fintype n
CommRing R
PartialOrder R
StarRing R
DecidableEq n
M : Matrix n n R
hM : M.PosSemidef


Context:
R : Type u
CommSemiring R
p : R[X]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f g : r ↪r s


Context:
w : Nat
x y z : BitVec w


Context:
α : Type u
m n : ℕ
a : Fin m → α
b : Fin n → α

ofFn (Fin.append a b) = ofFn a ++ ofFn b


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
i : Fin (q.length + 1)

(p.append q connect).toFun (↑↑(Fin.natAdd p.length i) + 1) = q.toFun i


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ inst✝ : NumberField K

Context: x ζ : (𝓞 K)ˣ

Context: f : Fin (rank K) → ℤ

Context: hζ : ζ ∈ torsion K

Context: h : x = ζ * ∏ i : Fin (rank K), fundSystem K i ^ f i

f = ⇑((basisModTorsion K).repr (Additive.ofMul ↑x))


Context:
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
i : ι
b : M i

DFinsupp.single i b = (DirectSum.lof R ι M i) b


Context:
K : Type u_8
M : Type u_9
L : Type u_10
CommRing K
Semiring M
Algebra K M
CommRing L
IsDomain L
Algebra K L
NoZeroSMulDivisors K L


Context:
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
a : α
s : Multiset α

Multiset.filter p (a ::ₘ s) = (if p a then {a} else 0) + Multiset.filter p s


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a b : M
h : Commute a b
n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: k f g : α → β

Context: TopologicalSpace β

Context: LinearOrderedCommRing β

Context: OrderTopology β

Context: hf : Asymptotics.SuperpolynomialDecay l k f

Context: hfg : ∀ (x : α), |g x| ≤ |f x|


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s t : Set α
h : Semiconj f fa fb
ha : Surjective fa


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
x : E

(∃ x_1, ∃ (h : x ∈ f.domain), ↑f ⟨x, ⋯⟩ = x_1) ↔ x ∈ f.domain


Context:
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α


Context:
R : Type u_1
M : Type u_4
S : Type u_7
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
SetLike S M
AddSubmonoidClass S M
SMulMemClass S R M
s : S


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: f : ↥(MeasureTheory.Lp ℂ 2 AddCircle.haarAddCircle)

Context: i : ℤ

↑(fourierBasis.repr f) i = fourierCoeff (↑↑f) i


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
t : ℝ
ht : μ {a | t ≤ f a} = μ {a | t < f a}

μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1)) = μ {a | t < f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.Exact
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S
this : S.HasHomology


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
hp₁ : dist p₁ p = r
hp₂ : dist p₂ p < r
hp₃ : dist p₃ p = r
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
L : Filter E
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
C : ℝ≥0
hf' : AntilipschitzWith C ⇑f'

(fun x' => x' - x) =O[L] fun x' => f x' - f x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedCommRing 𝕜
inst✝² : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x, y]
s t : 𝕜
c : E
hs : -1 * s - t * -1 = 0


Context:
α : Type u
Preorder α
a b : α
h : a ≤ b


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
x : WittVector p R
n k : ℕ

((⇑WittVector.verschiebung)^[n] x).coeff (k + n) = x.coeff k


Context:
α : Type u_1
NatCast α
n : ℕ
n.AtLeastTwo

AddOpposite.unop (OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: J : I → Prop

Context: h : ∀ a ∈ ↑l, J a

Context: inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)

Context: x : ↑C

(∀ i ∈ ↑l, ↑(Set.MapsTo.restrict (Proj J) C (π C J) ⋯ x) i = true) = ∀ i ∈ ↑l, ↑x i = true


Context:
a n : Nat
h : 0 < a


Context:
α✝ : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α✝
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
α : Type u_5
f : α → β →𝒄 γ
c✝ : Chain β
x : α

ωSup (c✝.map ↑(f x)) = ωSup (c✝.map { toFun := fun x y => (f y) x, monotone' := ⋯ }) x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: l : Filter ℂ

Context: u : ℂ → ℝ

Context: this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → ∀ (z : ℂ), ‖expR (B₁ * expR (c₁ * |u z|))‖ ≤ ‖expR (B₂ * expR (c₂ * |u z|))‖

Context: cf : ℝ

Context: hcf : cf < a

Context: Bf : ℝ

Context: hOf : f =O[l] fun z => expR (Bf * expR (cf * |u z|))

Context: cg : ℝ

Context: hcg : cg < a

Context: Bg : ℝ

Context: hOg : g =O[l] fun z => expR (Bg * expR (cg * |u z|))

(f - g) =O[l] fun z => expR (max 0 (max Bf Bg) * expR (max cf cg * |u z|))


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
p : β → Prop
hf : Filter.Tendsto f l₁ l₂
h : ∀ᶠ (y : β) in l₂, p y


Context:
σ K : Type u
inst✝ : Field K

Module.rank K (MvPolynomial σ K) = Cardinal.mk (σ →₀ ℕ)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
DiscreteTopology X
f : X → Y


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b c : α
hab : Relation.ReflTransGen r a b
hbc : Relation.ReflTransGen r b c


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: c : ℂ

Context: R : ℝ

Context: h0 : 0 < R

Context: f : ℂ → E

Context: y : E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R \ {c})

Context: hd : ∀ z ∈ (ball c R \ {c}) \ s, DifferentiableAt ℂ f z

Context: hy : Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 y)

(∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * I) • y


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
TopologicalSpace H
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
CommMonoid G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
s : Set M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
h : ∀ i ∈ t, ContMDiffOn I' I n (f i) s

ContMDiffOn I' I n (fun x => ∏ i ∈ t, f i x) s


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: K : HomologicalComplex C c

Context: i j : ι

Context: hj : c.next i = j

Context: h : K.d i j = 0

Context: K.HasHomology i

(K.iCyclesIso i j hj h).inv ≫ K.iCycles i = 𝟙 (K.X i)


Context:
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)


Context:
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I : FractionalIdeal S P

↑I ≠ ⊥ ↔ I ≠ 0


Context:
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]

t.prod.coeff 0 = (Multiset.map (fun f => f.coeff 0) t).prod


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts ys : List α
f : List α → β

(permutationsAux2 (id t) ts (map f []) ys ?f').2 = (permutationsAux2 t ts [] ys f).2


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : R.n₀ ≤ n


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f : α → ℝ

∫ (x : α) in s, |(μ[f|m]) x| ∂μ ≤ ∫ (x : α) in s, |f x| ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a b : ℤ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt

Context: a b c d : α

Context: this : ∀ (M : Type ?u.4635) (N : Type ?u.4634) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1


Context:
s : List Char
i e n : Nat

go₂ s { byteIdx := i + n } { byteIdx := e + n } = go₂ s { byteIdx := i } { byteIdx := e }


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : NonAssocSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹ : NonAssocSemiring S

Context: inst✝ : NonAssocSemiring T

Context: s : Set R

Context: x : R

Context: hx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)


Context:
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
F' : Type x
AddCommGroup F'
Module 𝕜 F'
TopologicalSpace F'
TopologicalAddGroup F'
ContinuousSMul 𝕜 F'
CompleteSpace 𝕜
T2Space E
FiniteDimensional 𝕜 E


Context:
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : Set α
s_mble : MeasurableSet s
hsc : MeasureTheory.Measure.count s = 0


Context:
z : ℍ
x : Fin 2 → ℤ


Context:
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
α : Type u_4
s : Finset α
f : α → AdicCompletion I M
n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x✝ x : P


Context:
M : Type u_4
N : Type u_5
MulOneClass M
MulOneClass N
x : M


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁹ : CommRing R₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : Module R₂ M₂
e✝ : Basis ι R M
v✝ : ι' → M
i : ι
j : ι'
N : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
b✝ : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : Finite κ
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq ι'
b : Basis ι R M
v : ι' → M
e : ι ≃ ι'
i✝ j✝ : ι'

(b.reindex e).toMatrix v i✝ j✝ = (reindexAlgEquiv R R e) (b.toMatrix (v ∘ ⇑e)) i✝ j✝


Context:
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b : α
h : Codisjoint a b


Context:
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
s : Set Y
hs : s.Finite
f : Y → Set X
h : ∀ i ∈ s, IsClopen (f i)


Context:
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
f : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂
ContinuousAdd M₂
DecidableEq ι
Fintype ι
x y : (i : ι) → M₁ i

(f.linearDeriv x) y = ∑ i : ι, f (Function.update x i (y i))


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace R F

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: ι : Type u_5

Context: Z : VectorBundleCore R B F ι

Context: i j k : ι

Context: x : B

Context: hx : x ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j ∩ Z.baseSet k

Context: v : F

((Z.coordChange j k x).comp (Z.coordChange i j x)) v = (Z.coordChange i k x) v


Context:
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A

Algebra.Transcendental R A ↔ ¬Algebra.IsAlgebraic R A


Context:
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1


Context:
n : ℕ+
x : ℂˣ
hn0 : ↑↑n ≠ 0

↑x ^ ↑n = 1 ↔ ∃ i < ↑n, cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑↑n)) = ↑x


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
v : V
Fintype ↑(G'.neighborSet v)

(G'.neighborSet v).toFinset.card = G'.degree v


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: s✝ : Multiset (Multiset α)

Context: a : Multiset α

Context: s : Multiset (Multiset α)

Context: ih : (map sum s).prod = (map prod s.Sections).sum

(map sum (a ::ₘ s)).prod = (map prod (a ::ₘ s).Sections).sum


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
W✝ X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝¹ : HasPushout f g
inst✝ : HasPushout (G.map f) (G.map g)
W : C
h : Y ⟶ W
k : Z ⟶ W
w : f ≫ h = g ≫ k

pushoutComparison G f g ≫ G.map (pushout.desc h k w) = pushout.desc (G.map h) (G.map k) ⋯


Context:
n : ℕ
h₁ : 1 < n
h₂ : ¬Nat.Prime n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
LinearOrder α
TopologicalSpace γ
a b : α
h : a ≤ b
TopologicalSpace α
OrderTopology α
TopologicalSpace β
f : γ → ↑(Set.Icc a b) → β
g : γ → α
hf : Continuous ↿f
hg : Continuous g

Continuous fun a_1 => Set.IccExtend h (f a_1) (g a_1)


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: CategoryTheory.HasShift C ℤ

Context: A : Cᵒᵖ

Context: T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

Context: x : Opposite.unop A ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor C n₀).obj T.obj₃

((CategoryTheory.preadditiveCoyoneda.obj A).homologySequenceδ T n₀ n₁ h) x =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp x
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctor C n₀).map T.mor₃)
      ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C 1 n₀ n₁ ⋯).inv.app T.obj₁))


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝¹ : IsClosedImmersion g

Context: inst✝ : IsClosedImmersion (f ≫ g)

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: h : Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap g (f.val.base x) ≫ Scheme.Hom.stalkMap f x)

Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap f x)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
s : ι → Set α
t : Set α
tfin : t.Finite
h : t ⊆ ⋃ i, s i
I : Set ι
Ifin : I.Finite
hI : t ⊆ ⋃ i ∈ I, s i
x : α


Context:
z : ℂ
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im

HasSum (fun n => jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ) (jacobiTheta₂_fderiv z τ)


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
self : CategoryTheory.ExactPairing X Y

Y ◁ CategoryTheory.ExactPairing.coevaluation' ≫ (α_ Y X Y).inv ≫ CategoryTheory.ExactPairing.evaluation' ▷ Y =
  (ρ_ Y).hom ≫ (λ_ Y).inv


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: f : ℂ → E

Context: c z z₀ : ℂ

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)

Context: h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)

Context: hz : z ∈ ball c R₁


Context: J : Type w

Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: Unique J

Context: f : J → C

(CategoryTheory.Limits.biproductUniqueIso f).hom =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.desc (CategoryTheory.Limits.limitBiconeOfUnique f).bicone.ι


Context:
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' : L.Theory
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
T : ι → L.Theory
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) T
h' : ∀ (i : ι), (T i).IsSatisfiable

∀ (T0 : Finset L.Sentence), ↑T0 ⊆ ⋃ i, T i → IsSatisfiable ↑T0


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
a✝ b✝ : A₁ ⟶ A₂


Context:
l : List ℕ
h : ∀ p ∈ l, Nat.Prime p

↑(PrimeMultiset.ofNatList l h).prod = l.prod


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: Z X✝ Y P : C

Context: f : Z ⟶ X✝

Context: g : Z ⟶ Y

Context: inl : X✝ ⟶ P

Context: inr : Y ⟶ P

Context: inst✝¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms C

Context: X : C

Context: s : Cocone (span 0 (𝟙 X))

Context: c : ∀ (j : WalkingSpan), s.ι.app j ≫ 0 = s.ι.app j ≫ 𝟙 s.pt

∀ (j : WalkingSpan), (PushoutCocone.mk 0 0 ⋯).ι.app j ≫ (fun s => 0) s = s.ι.app j


Context: α✝ : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : Div G

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: f✝ g✝ : α → G

Context: μ : Measure α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: E : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E

Context: inst✝ : Countable E

Context: f g : α → E

Context: hf : Measurable f

Context: hg : Measurable g

Context: this : {x | f x = g x} = ⋃ j, {x | f x = j} ∩ {x | g x = j}

Context: j : E


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero

chainBotCoeff (⇑α) β + chainTopCoeff (⇑α) β ≤ chainLength α β


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x : ℝ≥0∞


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
β : Type u_1
X Y : CategoryTheory.GradedObject β C
e : (i : β) → X i ≅ Y i
i : β


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K 0
m₁ : ℤ
h₁ : n₁ + 1 = m₁

δ n₁ m₁ (z₁.comp z₂ ⋯) = z₁.comp (δ 0 1 z₂) h₁ + (δ n₁ m₁ z₁).comp z₂ ⋯


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace G
f : F → G
g : E → F
s : Set F
t : Set E
x : E
hf : AnalyticWithinAt 𝕜 f s (g x)
hg : AnalyticWithinAt 𝕜 g t x
h : MapsTo g t s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid M

Context: inst✝ : OrderClosedTopology M

Context: v w : VectorMeasure α M

Context: i j : Set α

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (f n)

Context: hf₂ : ∀ (n : ℕ), v.restrict (f n) ≤ w.restrict (f n)

Context: a : Set α

Context: ha₁ : MeasurableSet a

Context: ha₂ : a ⊆ ⋃ n, f n

Context: ha₃ : ⋃ n, a ∩ disjointed f n = a

Context: ha₄ : Pairwise (Disjoint on fun n => a ∩ disjointed f n)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u
inst✝² : Category.{v, u} D
inst✝¹ : Preadditive D
inst✝ : Linear R D
F : C ⥤ D
X Y Z : Free R C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

∀ (a : X ⟶ Y) (b : R), { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map (single a b ≫ g) = { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map (single a b) ≫ { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map g


Context: n i : Nat


Context:
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: f g✝ : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: A K : Set X

Context: inst✝¹ : NormedRing R

Context: inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R

Context: g g' : X → R

Context: hg : Memℒp g 1 (μ.restrict A)

Context: hg' : ContinuousOn g' K

Context: hA : MeasurableSet A

Context: hK : IsCompact K

Context: hAK : A ⊆ K

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ K, ‖g' x‖ ≤ C

Memℒp (fun x => g x * g' x) 1 (μ.restrict A)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n✝ m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: ih : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0 → (p ^ n).leadingCoeff = p.leadingCoeff ^ n

Context: h : p.leadingCoeff ^ n.succ ≠ 0

(p ^ n.succ).leadingCoeff = p.leadingCoeff ^ n.succ