Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

f.hom ▷ Y.X ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)) WalkingParallelPair.one = f.hom ▷ Y.X ≫ (((ρ_ (N.X ⊗ Y.X)).inv ≫ N.actRight ▷ 𝟙_ C) ≫ N.X ◁ Y.one) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n R

∑ p : n × n, (algebraMap R A) (M p.1 p.2) ⊗ₜ[R] stdBasisMatrix p.1 p.2 1 = 1 ⊗ₜ[R] M


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: this : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: ih : ∀ (f : ι → Finset (Finset α)), (∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting) → s.card ≤ Fintype.card α → (s.biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - s.card)

Context: f : ι → Finset (Finset α)

Context: hf : ∀ i_1 ∈ cons i s hi, (↑(f i_1)).Intersecting

Context: hs : (cons i s hi).card ≤ Fintype.card α

Context: f' : ι → Finset (Finset α) := fun j => if hj : j ∈ cons i s hi then ⋯.choose else ∅

Context: hf₁ : ∀ j ∈ cons i s hi, f j ⊆ f' j ∧ 2 * (f' j).card = 2 ^ Fintype.card α ∧ (↑(f' j)).Intersecting

Context: hf₂ : ∀ j ∈ cons i s hi, IsUpperSet ↑(f' j)

2 ^ Fintype.card α + (2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - s.card)) ≤ 2 * (2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - (cons i s hi).card))


Context:
α : Type u_1
a : α

Batteries.DList.singleton a = Batteries.DList.lazy_ofList { fn := fun x => [a] }


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: a : E

Context: hf : HasStrictFDerivAt f f' a

Context: hf' : range f' = ⊤

Context: hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented

(implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).rightDeriv.comp (LinearMap.ker f').subtypeL = ContinuousLinearMap.id 𝕜 ↥(LinearMap.ker f')


Context:
m : ℕ
h : 2 ≤ 2 + m


Context: x y : ℂ

Complex.cosh (x + y) = Complex.cosh x * Complex.cosh y + Complex.sinh x * Complex.sinh y


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G'' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G''

Context: T : Set α → G'' →L[ℝ] G'

Context: h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G''), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x

Context: f g : ↥(simpleFunc G'' 1 μ)

Context: hfg : 0 ≤ g - f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f✝ g : ι → α → β
p✝ : ℝ≥0∞
x✝ : MeasurableSpace α
f : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α

UnifTight f p μ ↔ ∀ ⦃ε : ℝ≥0∞⦄, 0 < ε → ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
i : α
β : α → Type u_2
f : β i × ((j : { j // j ≠ i }) → β ↑j)
x : { j // j ≠ i }

((fun f => (f i, fun j => f ↑j)) ((fun f j => if h : j = i then ⋯ ▸ f.1 else f.2 ⟨j, h⟩) f)).2 x = f.2 x


Context: S : CategoryTheory.ShortComplex Ab


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F →L[𝕜] 𝕜
g : E → G
n : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 n f
hg : ContDiff 𝕜 n g

ContDiff 𝕜 n fun x => (f x).smulRight (g x)


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W


Context:
α : Type u
AddMonoidWithOne α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
m : α


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
V : ℕ → Set (α × α)
hV : ∀ (n : ℕ), V n ∈ 𝓤 α
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u

∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), (u (φ (n + 1)), u (φ n)) ∈ V n


Context:
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
Zero M
Zero N
f : M → N
hf : f 0 = 0
g : α →₀ M

(Finsupp.mapRange f hf g).support ⊆ g.support


Context:
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
x : M × M'

chartAt (ModelProd H H') x = (chartAt H x.1).prod (chartAt H' x.2)


Context: z✝ w✝ : ℍ

Context: r✝ R : ℝ

Context: z : ℍ

Context: r : ℝ

Context: w : ℂ

Context: h : dist w ↑(z.center r) ≤ z.im * Real.sinh r

dist (↑(z.center r)) w ≤ z.im * Real.sinh r


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ

cs.wordProd ω * ((cs.wordProd (drop (j + 1) ω))⁻¹ * (Option.map cs.simple (ω.get? j)).getD 1 * cs.wordProd (drop (j + 1) ω)) = cs.wordProd (take j ω ++ drop (j + 1) ω)


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: a✝ o✝ : Ordinal.{u}

Context: f✝ : (b : Ordinal.{u}) → b < o✝ → Ordinal.{u}

Context: a o o' : Ordinal.{u}

Context: f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}

Context: hf : a.IsFundamentalSequence o f

Context: g : (b : Ordinal.{u}) → b < o' → Ordinal.{u}

Context: hg : o.IsFundamentalSequence o' g

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < o'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: r : ℕ

Context: h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜

Context: i : DecidableRel fun x x_1 => x ⊆ x_1 := fun x x_1 => Classical.dec ((fun x x_2 => x ⊆ x_2) x x_1)

Context: s : Finset α

Context: hs : s ∈ ∂ 𝒜

Context: t : Finset α

Context: ht : t ∈ 𝒜 ∧ s ⊆ t

Context: this : ∅ ∉ 𝒜


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p : PProd α β


Context:
ι : Type u_6
α : Type u_8
DecidableEq ι
Fintype ι
CommSemiring α
f g : ι → α

∏ a : ι, (f a + g a) = ∑ t : Finset ι, (∏ a ∈ t, f a) * ∏ a ∈ tᶜ, g a


Context:
n : ℕ
n2 : 2 ≤ n
np : ¬Nat.Prime n


Context: α : Type u_1

Context: p : Set α → Prop

Context: t : Set α

Context: S : Set (Set α)

Context: Sct : S.Countable

Context: Sp : ∀ s ∈ S, p s

Context: hS : ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y

HasCountableSeparatingOn (↑t) (fun u => ∃ v, p v ∧ Subtype.val ⁻¹' v = u) univ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
x : FreeAbelianGroup α


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' : I₁₂
h₁₂ : ¬c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂


Context:
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
α : Type u_2
SMul α ℂ
IsScalarTower α ℂ ℂ
f : SlashInvariantForm Γ k
n : α
z : ℍ


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a : X ⟶ Y


Context:
M : Type u_2
AddMonoid M
a : M
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
s t : Set α
x✝ : α × α
a : α
x : α × α

x ∈ (s ∩ t).offDiag ↔ x ∈ s.offDiag ∩ t.offDiag


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
Fintype n
Fintype o
Mul α
AddCommMonoid α
p : Type u_10
q : Type u_11
M : Matrix m n α
N : Matrix n p α
e₁ : l → m
e₂ : o → n
e₃ : q → p
he₂ : Function.Bijective e₂

(M * N).submatrix e₁ e₃ = M.submatrix e₁ e₂ * N.submatrix e₂ e₃


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
x : Y
hx : x ∈ e.target

∀ᶠ (y : X) in 𝓝 (↑e.symm x), ↑e.symm (↑e y) = y


Context:
x✝¹ y✝¹ z✝¹ w x✝ y✝ z✝ x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y z : ℝ
H : 0 = x


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: A : Type w

Context: B : Type u₁

Context: M : Type v₁

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module A M

Context: inst✝ : IsScalarTower R A M

Context: hsur : Function.Surjective ⇑(algebraMap R A)

Context: X : Set M


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T T' : Triangle C

Context: φ : T ⟶ T'

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: h₁ : IsIso φ.hom₁

Context: h₃ : IsIso φ.hom₃

Context: this : Mono φ.hom₂

Context: A : C


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: c : ℝ

Context: hc : c < 1

Context: h₁ : (∀ a' < 1, ∀ᶠ (b : ℝ) in atTop, a' < 1 - ε b) ∧ ∀ a' > 1, ∀ᶠ (b : ℝ) in atTop, 1 - ε b < a'


Context:
P : MorphismProperty Scheme
inst✝¹ : IsLocalAtSource P
X Y U V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion g
𝒰 : X.OpenCover
H : ∀ (i : 𝒰.J), P (𝒰.map i ≫ f)
i : 𝒰.J


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : C × D ⥤ E
X X' : C
f : X ⟶ X'
Y Y' : D
g : Y ⟶ Y'

F.map (f, 𝟙 Y) ≫ F.map (𝟙 X', g) = F.map (f, g)


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace E
TopologicalSpace X
f : E → X
hf : IsCoveringMap f
hf' : Function.Surjective f


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
f g : G → E
s : Set G
x : G
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
hg : DifferentiableWithinAt ℝ g s x

DifferentiableWithinAt ℝ (fun x => ⟪f x, g x⟫_𝕜) s x


Context:
n p : ℕ
hn : n ≠ 0
pp : Nat.Prime p
h : p ∣ n


Context:
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
s t : Finset α
p : α → Prop

(∀ c ∈ s ⊻ t, p c) ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, p (a ⊔ b)


Context:
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : Field 𝕜
inst✝¹⁷ : CharZero 𝕜
inst✝¹⁶ : Ring R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Algebra 𝕜 R
inst✝¹³ : Module 𝕜 M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁹ : IsScalarTower 𝕜 R M
inst✝⁸ : IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁷ : TopologicalSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : TopologicalRing R
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : T2Space R
inst✝ : T2Space M
m : M

MulOpposite.op (inr m).fst • (inr m).snd = (inr m).fst • (inr m).snd


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α

s.diag ∪ s.offDiag = filter (fun a => a.1 = a.2) (s ×ˢ s) ∪ filter (fun a => ¬a.1 = a.2) (s ×ˢ s)


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2

(quadraticChar F) (-1) = χ₄ ↑(Fintype.card F)


Context: a : Prop


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C

∀ {X Y : CategoryTheory.Arrow (CategoryTheory.Arrow C)} (φ : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Square.fromArrowArrowFunctor'.map φ).τ₂ = φ.left.right


Context:
α : Type u
DivisionRing α
x : α
hx1 : x ≠ 1
hx0 : x ≠ 0
n : ℕ

∑ i ∈ Finset.range n, x⁻¹ ^ i = (x - 1)⁻¹ * (x - x⁻¹ ^ n * x)


Context:
n : ℕ
b : Fin n

Finset.Iio b = Finset.fin n (Finset.Iio ↑b)


Context:
q : ℚ
d : ℤ
hd : d ≠ 0
qdf : q = 0 /. d


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S
X : Set α
hX : X ⊆ S
hX' : sSup T₁ ⊓ sSup T₂ = sSup X
I : α
hI : I ∈ X


Context:
w x✝ y✝ z✝ : ℝ
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : 0 < z


Context:
α : Type u_1
CommMonoid α
a : α


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{w, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C

Context: CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts D

Context: A : C

Context: ∀ (B : C), CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.prodComparison F A B)

(CategoryTheory.Limits.prodComparisonNatIso F A).hom = CategoryTheory.Limits.prodComparisonNatTrans F A


Context: V : Type (u + 1)

Context: CategoryTheory.LargeCategory V

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory V

Context: H : Grp

Context: X : Action V ((CategoryTheory.forget₂ Grp MonCat).obj H)

Context: CategoryTheory.RightRigidCategory V

Context: h : ↑H


Context:
α : Type u
a : α
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ zpowers g
g' : G'
hg' : orderOf g' ∣ orderOf g


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n✝ : ℕ
hx : x ∈ periodicPts f
n : ℕ

IsPeriodicPt f (minimalPeriod f x) (f^[n] x)


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
α : ι → Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq κ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
s : (i : ι) → Finset (α i)
i : ι
a : α i
ha : a ∈ s i

(filter (fun f => f i = a) (piFinset s)).card = ∏ j ∈ univ.erase i, (s j).card


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s t u v : Finset α

∀ (s t u : Finset α), s ○ t ○ u = s ○ (t ○ u)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_5

Context: δ : Type u_7

Context: f : α → β → γ

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: g : γ → δ

Context: f' : β → α' → δ

Context: g' : α → α'

Context: h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' b (g' a)

g '' Set.image2 f s t = Set.image2 f' t (g' '' s)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: s : Set α

Context: x✝ y : α

Context: hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: z : α

Context: hy : x ∈ s

Context: hz : z = x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
e : G ≃L[𝕜] E

ContDiffOn 𝕜 n (f ∘ ⇑e) (?m.449353 ⁻¹' univ) ↔ ContDiffOn 𝕜 n f univ


Context:
Γ : Type u_1
Λ : Type u_2
Inhabited Λ
σ : Type u_3
Inhabited σ
M : Λ → Turing.TM1.Stmt Γ Λ σ
Fintype σ
S : Finset Λ
ss : Turing.TM1.Supports M S

Turing.TM0.Supports (Turing.TM1to0.tr M) ↑(Turing.TM1to0.trStmts M S)


Context:
α : Type u
s : Set (Set α)
i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α

#↑(generateMeasurableRec s i) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
h : f.HasEigenvalue μ
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
h : f.SameCycle x y
hx : f x ≠ x

∃ i < (f.cycleOf x).support.card, (f ^ i) x = y


Context:
n : Nat
j : Fin n


Context:
α : Type u_1
OrderedSemiring α
h : 1 ∈ Set.Icc 0 1


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β✝ : ι → Type u_4

Context: inst✝⁷ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝⁶ : Fintype ι

Context: inst✝⁵ : Semiring 𝕜

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β✝ i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (β✝ i)

Context: c : 𝕜

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup β

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: b : β

Context: h : p = ⊤

‖(WithLp.equiv p (ι → β)).symm (Function.const ι b)‖₊ = ↑(Fintype.card ι) ^ (1 / p).toReal * ‖b‖₊


Context: α : Type u_4

IsEmpty (ULift.{u_5, u_4} α) ↔ IsEmpty α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: s✝ : Finset α

Context: P : Finpartition univ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊

Context: x y z : α

Context: s : Finset α

Context: hX : s ∈ P.parts

Context: Y : Finset α

Context: hY : Y ∈ P.parts

Context: xX : x ∈ s

Context: yY : y ∈ Y

Context: nXY : s ≠ Y

Context: uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y

Context: dXY : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)

Context: Z : Finset α

Context: hZ : Z ∈ P.parts

Context: zZ : z ∈ Z

Context: Z' : Finset α

Context: hZ' : Z' ∈ P.parts

Context: zZ' : z ∈ Z'

Context: hX' : s ∈ P.parts

Context: xX' : x ∈ s

Context: nXZ : s ≠ Z

Context: uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z

Context: dXZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)

Context: hY' : Y ∈ P.parts

Context: yY' : y ∈ Y

Context: nYZ : Y ≠ Z'

Context: uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y Z'

Context: dYZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z')

triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z

(CategoryTheory.Limits.spanCompIso F f g).hom.app CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.zero =
  𝟙 ((CategoryTheory.Limits.span f g ⋙ F).obj CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.zero)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H K : Subgroup G

Context: S T : Set G

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : MulAction G α

Context: a : α

Context: h1 : ∀ (h : ↥H), h • a = a → h = 1

Context: h2 : ∀ (g : G), ∃ h, h • g • a = a

Context: h : ↥H

Context: h' : ↑↑H

Context: g : G

Context: hg : g • a = a

Context: hh : h • (↑(h', ⟨g, hg⟩).1 * ↑(h', ⟨g, hg⟩).2) • a = a

Context: hh' : (↑h * (↑(h', ⟨g, hg⟩).1 * ↑(h', ⟨g, hg⟩).2)) • a = a

(h', ⟨g, hg⟩) = (h⁻¹, ⟨↑h * (↑(h', ⟨g, hg⟩).1 * ↑(h', ⟨g, hg⟩).2), hh'⟩)


Context:
α : Type u
HasSubset α
a b : α
IsAntisymm α fun x x_1 => x ⊆ x_1


Context: b n : ℕ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: s✝ t : Set E

Context: inst✝ : Subsingleton ι

Context: p : ι → E

Context: s : Set ι

Context: x : ι

Context: hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) (p '' s)

Context: this : ((convexHull 𝕜) (p '' s)).Nonempty


Context:
o : Ordinal.{u_4}
h : o.IsLimit


Context:
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
a : ℝ≥0


Context:
n : ℕ
p : ℕ → Prop
hn : n ≤ sInf {m | p m}
m : ℕ
hm : m ∈ {m | p (m + n)}

sInf {m | p (m + n)} + n = sInf {m | p m}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hs : MeasurableSet s


Context:
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a y : E
h : IsLocalMinOn f s a
hf : HasFDerivWithinAt f f' s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
hy' : -y ∈ posTangentConeAt s a


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: f' : W ⟶ X

Context: inst✝² : HasPullback f g

Context: inst✝¹ : HasPullback f' (pullback.fst f g)

Context: inst✝ : HasPullback (f' ≫ f) g

(pullbackRightPullbackFstIso f g f').inv ≫ pullback.fst f' (pullback.fst f g) ≫ f' = pullback.fst (f' ≫ f) g ≫ f'


Context:
f : ℕ → ℝ≥0
hf : Summable f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: NormedAddCommGroup F

Context: NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: h : ∀ x ∈ s, ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ DifferentiableOn 𝕜 f (s ∩ u)


Context:
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
Fintype ιa
Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
CommSemiring R'
AddCommGroup N₁
Module R' N₁
AddCommGroup N₂
Module R' N₂
AddCommMonoid Mᵢ
Module R' Mᵢ
DecidableEq ιa
DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
σ : Equiv.Perm.ModSumCongr ιa ιb
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j

(AlternatingMap.domCoprod.summand a b σ) v + (AlternatingMap.domCoprod.summand a b (Equiv.swap i j • σ)) v = 0


Context:
α : Type u_1
CommGroup α
DecidableEq α
A B C : Finset α

(A * C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B * C).card


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.HasShift C ℤ

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: CategoryTheory.Pretriangulated C

Context: T₁ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle Cᵒᵖ

Context: hT₁ : T₁ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.distinguishedTriangles C

Context: T₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle Cᵒᵖ

Context: e : T₂ ≅ T₁

T₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.distinguishedTriangles C


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: m : List I

Context: hm : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) m

Context: h : ⟨m, hm⟩ ∈ {m | m < nil}


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: I : Ideal R

Context: y : R

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Away y S

Context: H : IsJacobson R

Context: P' : Ideal S

Context: hP'✝ : P'.IsPrime

Context: hP' : (comap (algebraMap R S) P').IsPrime

Context: hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(comap (algebraMap R S) P')


Context:
α : Type u_1
β : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq β
f : α → α → β
s t : Finset α
hf : ∀ (a b : α), f a b = f b a

Finset.image₂ f (s ∪ t) (s ∩ t) ⊆ Finset.image₂ f s t


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝¹ : ℕ
β : Type u_3
f : α → β
n✝ : ℕ
xs✝ : List α
n : ℕ
x : α
xs : List α

map (fun p => f x ::ₛ p) (map (Sym.map f) (List.sym n (x :: xs))) ++ map (Sym.map f) (List.sym (n + 1) xs) = map (Sym.map f) (List.sym (n + 1) (x :: xs))


Context: q : ℚ

Context: q_pos : 0 < q

Context: q_num_pos : 0 < q.num

Context: q_num_abs_eq_q_num : ↑q.num.natAbs = q.num

Context: q_inv : ℚ := ↑q.den / ↑q.num

Context: q_inv_def : q_inv = ↑q.den / ↑q.num

Context: q_inv_eq : q⁻¹ = q_inv


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
h : Disjoint s₁ s₂

∏ x ∈ s₁.disjUnion s₂ h, f x = fold (fun x x_1 => x * x_1) 1 (fun x => f x) (s₁.disjUnion s₂ h)


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
x : ι
f : ι →₀ R
h : x ∉ ↑f.support
p : v x ∉ span R (v '' ↑f.support)


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: K L : CochainComplex C ℕ

Context: f : K ⟶ L

Context: HomologicalComplex.HasHomology K 0

Context: HomologicalComplex.HasHomology L 0

Context: (HomologicalComplex.sc' K 0 0 1).HasHomology

Context: (HomologicalComplex.sc' L 0 0 1).HasHomology

QuasiIsoAt f 0 ↔
  CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso ((HomologicalComplex.shortComplexFunctor' C (ComplexShape.up ℕ) 0 0 1).map f)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Field α
n k e : α
h2 : e ≠ 0
h3 : n * e = k


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y : P


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t✝ : Set α
s : Finset α
f : α → Filter β
t : Set β

t ∈ ⨅ a ∈ s, f a ↔ ∃ p, (∀ a ∈ s, p a ∈ f a) ∧ t = ⋂ a ∈ s, p a


Context: a : Primrec fun a => ofNat (ℕ × Code) a.length

Context: k : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.length).1

Primrec fun p => (fun a n => Nat.casesOn (ofNat (ℕ × Code) a.length).1 Option.none fun k' => Code.recOn (ofNat (ℕ × Code) a.length).2 (some 0) (some n.succ) (some (unpair n).1) (some (unpair n).2) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup a ((ofNat (ℕ × Code) a.length).1, cf) n let y ← Nat.Partrec.Code.lup a ((ofNat (ℕ × Code) a.length).1, cg) n some (Nat.pair x y)) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup a ((ofNat (ℕ × Code) a.length).1, cg) n Nat.Partrec.Code.lup a ((ofNat (ℕ × Code) a.length).1, cf) x) (fun cf cg x x => let z := (unpair n).1; Nat.casesOn (unpair n).2 (Nat.Partrec.Code.lup a ((ofNat (ℕ × Code) a.length).1, cf) z) fun y => do let i ← Nat.Partrec.Code.lup a (k', (ofNat (ℕ × Code) a.length).2) (Nat.pair z y) Nat.Partrec.Code.lup a ((ofNat (ℕ × Code) a.length).1, cg) (Nat.pair z (Nat.pair y i))) fun cf x => let z := (unpair n).1; let m := (unpair n).2; do let x ← Nat.Partrec.Code.lup a ((ofNat (ℕ × Code) a.length).1, cf) (Nat.pair z m) Nat.casesOn x (some m) fun x => Nat.Partrec.Code.lup a (k', (ofNat (ℕ × Code) a.length).2) (Nat.pair z (m + 1))) p.1 p.2


Context:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
u : Set τ
hu : u ∈ f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : NoetherianSpace α

Context: H : ∀ y < ⊥, ∃ S, S.Finite ∧ (∀ t ∈ S, IsIrreducible ↑t) ∧ y = sSup S

∃ S, S.Finite ∧ (∀ t ∈ S, IsIrreducible ↑t) ∧ ⊥ = sSup S


Context:
n : Nat
h : n.isPowerOfTwo


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β


Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: Semifield R

Context: Field S

Context: NonUnitalRing A

Context: Module R A

Context: Module S A

Context: Algebra R S

Context: a : A

Context: f : S → R

Context: hf : Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)

Context: h : quasispectrum S a ⊆ Set.range ⇑(algebraMap R S)


Context: G : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : MulAction G X

Context: inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G

Context: inst✝³ : BaireSpace X

Context: inst✝² : T2Space X

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul G X

Context: inst✝ : IsPretransitive G X

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ 𝓝 1

Context: x : X

Context: V : Set G

Context: V_mem : V ∈ 𝓝 1

Context: V_closed : IsClosed V

Context: V_symm : V⁻¹ = V

Context: VU : V * V ⊆ U

Context: s : Set G

Context: s_count : s.Countable

Context: hs : ⋃ g ∈ s, g • V = univ

Context: K : ℕ → Set G := compactCovering G

Context: F : ℕ × ↑s → Set X := fun p => (K p.1 ∩ ↑p.2 • V) • {x}

Context: n : ℕ

Context: g : G

Context: hg : g ∈ s

Context: hi : (interior (F (n, ⟨g, hg⟩))).Nonempty

Context: I : (interior ((g • V) • {x})).Nonempty


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : Option α → β → γ
b : β
bs : List β

List.map₂Right' f [] (b :: bs) = (f none b :: List.map (f none) bs, [])


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : s.card = t.card

(fun x => x + t.dens) (s \ t).dens = (fun x => x + t.dens) (t \ s).dens


Context:
x : ℝ
hx : x ≤ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: a b p : Associates α

Context: hp : Irreducible p

Context: hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d

Context: ha : ¬a = 0

Context: hb : ¬b = 0

p.count a.factors + p.count b.factors = p.count a.factors ∨ p.count a.factors + p.count b.factors = p.count b.factors


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: S : Subcategory C

Context: Y Z : C

Context: g : Y ⟶ Z

(∃ Z_1 g_1 h, ∃ (_ : Triangle.mk g g_1 h ∈ distinguishedTriangles), S.P Z_1) ↔ ∃ X f h, ∃ (_ : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles), S.P X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
t : Set α
a : α
s : Set α

t ∈ 𝓝[s] a ↔ ∃ u, IsOpen u ∧ a ∈ u ∧ u ∩ s ⊆ t


Context:
G : Type u_10
AddGroup G
a : G


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: L : Set C(X, ℝ)

Context: nA : L.Nonempty

Context: inf_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊓ g ∈ L

Context: sup_mem : ∀ f ∈ L, ∀ g ∈ L, f ⊔ g ∈ L

Context: sep : ∀ (v : X → ℝ) (x y : X), ∃ f ∈ L, f x = v x ∧ f y = v y

Context: f : C(X, ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: nX : Nonempty X

Context: g : X → X → C(X, ℝ)

Context: hg : ∀ (x y : X), g x y ∈ L

Context: w₁ : ∀ (x y : X), (g x y) x = f x

Context: w₂ : ∀ (x y : X), (g x y) y = f y

Context: U : X → X → Set X := fun x y => {z | f z - ε < (g x y) z}

Context: U_nhd_y : ∀ (x y : X), U x y ∈ 𝓝 y

Context: ys : X → Finset X := fun x => ⋯.choose

Context: ys_w : ∀ (x : X), ⋃ y ∈ ys x, U x y = ⊤ := fun x => Exists.choose_spec (CompactSpace.elim_nhds_subcover (U x) (U_nhd_y x))

Context: ys_nonempty : ∀ (x : X), (ys x).Nonempty


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧

∀ (i : ℕ), ↑i < min φ.order ψ.order → (coeff R i) (φ + ψ) = 0


Context:
α : Type u_1
f : α → α
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n
hx : Function.IsPeriodicPt f n x


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : MulAction R M
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : IsScalarTower R M M
inst✝ : SMulCommClass R M M
p : SubMulAction R M


Context:
n : ℕ
d : ℕ
a : Fin n → ℕ

(Behrend.map d) a = ∑ i : Fin n, a i * d ^ ↑i


Context:
s : ℝ
hs : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
α : Type u_10
MulZeroClass α
f g : X → α

(tsupport fun x => f x * g x) ⊆ tsupport g


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
hv : LinearIndependent R v
i : ι
x : ↥(span R (range v))
hx : ↑x = v i

(Finsupp.total ι M R v) (Finsupp.single i 1) = ↑x


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
K : Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
p q : K[X]
h : q ≠ 0
h₁ : q.leadingCoeff⁻¹ ≠ 0

(p * C q.leadingCoeff⁻¹).degree = p.degree


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
F : CategoryTheory.ComposableArrows C 0

∃ X, F = CategoryTheory.ComposableArrows.mk₀ X


Context:
n : ℕ
x : ZMod n


Context: A : Type u_1

Context: TopologicalSpace A

Context: Ring A

Context: StarRing A

Context: Algebra ℂ A

Context: ContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal

Context: ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint

Context: UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A

Context: UniqueContinuousFunctionalCalculus ℂ A

Context: a : A

Context: ha : IsSelfAdjoint a

cfcHom ha = SpectrumRestricts.starAlgHom (cfcHom ⋯) ⋯


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
p : Submodule 𝕜 E
hp : Dense ↑p
x : ↥((↑A).toPMap p).adjoint.domain
y : ↥((↑(adjoint A)).toPMap ⊤).domain
hxy : ↑x = ↑y
v : ↥((↑A).toPMap p).domain

⟪↑((↑(adjoint A)).toPMap ⊤) y, ↑v⟫_𝕜 = ⟪↑x, ↑((↑A).toPMap p) v⟫_𝕜


Context: R : Type u_1

Context: Ring R

Context: Nontrivial R

Context: OreLocalization.OreSet (nonZeroDivisors R)

Context: NoZeroDivisors R

Context: r : R

Context: s : ↥(nonZeroDivisors R)

(r /ₒ s)⁻¹ = if hr : r = 0 then 0 else ↑s /ₒ ⟨r, ⋯⟩


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
t : Set β
a : α
x : β


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
xs : List α
w : List.findIdx p xs < xs.length

p (xs.get ⟨List.findIdx p xs, w⟩) = true


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M
R : L.Relations 2
t₁ t₂ : L.Term (α ⊕ Fin l)

(R.boundedFormula₂ t₁ t₂).Realize v xs ↔ RelMap R ![realize (Sum.elim v xs) t₁, realize (Sum.elim v xs) t₂]


Context:
G : Type u
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)

Group.rank ↥(commutator G) ≤ Nat.card ↑(commutatorSet G)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f g : Filter β
p q : β → Prop
u v : β → α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f : Perm α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
h✝ : (↑s).Nontrivial

(↑(range s.card)).PairwiseDisjoint fun k => map { toFun := fun i => (i, (f ^ k) i), inj' := ⋯ } s


Context: 𝕜 : Type u

Context: hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝¹³ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝¹² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝⁸ : ContinuousSMul 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝² : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹ : T2Space E

Context: ι : Type v

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: ξ : Basis ι 𝕜 E

Context: this✝ : UniformSpace E := TopologicalAddGroup.toUniformSpace E

Context: this : UniformAddGroup E := comm_topologicalAddGroup_is_uniform


Context:
α : Type u
CanonicallyOrderedCommSemiring α
a : α
ha : 0 < a
n : ℕ


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: W X Y Z : C

Context: f : W ⟶ X

Context: g : W ⟶ Y

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ReflectsColimit (span f g) F

Context: e : f ≫ h = g ≫ i

Context: H : IsPushout (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)

((Cocones.precompose (spanCompIso F f g).inv).obj (F.mapCocone (PushoutCocone.mk h i ⋯))).ι.app WalkingCospan.left ≫ ?refine_1.hom = H.cocone.ι.app WalkingCospan.left


Context: α : Type u_1

Context: s : List α

Context: x : α

Context: hn : 0 < (List.permutations'Aux x s).length := ⋯

(List.permutations'Aux x s).get ⟨0, hn⟩ = x :: s


Context:
α : Type u_1
a : α
f : α →₀ ℕ

f.multinomial = (f.sum fun x => id).choose (f a) * (f.update a 0).multinomial


Context:
G : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Finite G
val✝ : Fintype G

∃ ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Nat.Prime (p i)), ∃ e, Nonempty (G ≃+ ⨁ (i : ι), ZMod (p i ^ e i))


Context: R : Type u_1

Context: CommRing R

Context: IsDomain R

Context: IsDedekindDomain R

Context: I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ

ClassGroup.mk0 ⟨ClassGroup.integralRep ↑I, ⋯⟩ = ClassGroup.mk I


Context: G : Type u_1

Context: α : Type u_3

Context: AddGroup G

Context: AddAction G α

Context: MeasurableSpace α

Context: s t : Set α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: MeasurableSpace G

Context: MeasurableVAdd G α

Context: MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ

Context: Countable G

Context: hs : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ

Context: ht : MeasureTheory.NullMeasurableSet t μ

Context: hd : Pairwise (MeasureTheory.AEDisjoint μ on fun g => (g +ᵥ t) ∩ s)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x

¬DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => -f y) s x


Context:
R : Type u
CommSemiring R
ι : Sort u_1
t : ι → Set (PrimeSpectrum R)

PrimeSpectrum.vanishingIdeal (⋃ i, t i) = ⨅ i, PrimeSpectrum.vanishingIdeal (t i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : 𝕜
hr : ‖r‖ < 1
A : Summable fun n => ↑n * r ^ n

HasSum (fun n => ↑n * r ^ n) (r / (1 - r) ^ 2)


Context:
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
f : A →ₙₐ[R] B


Context:
n m a : ℕ
h : n ≤ m
ha : m - n ∣ a
p : ℕ
pp : Prime p
hn : p ∣ n * a + 1
hm : p ∣ m * a + 1
this✝ : p ∣ (m - n) * a
this : p ∣ a


Context:
X : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ E
NormedSpace ℝ F
CompleteSpace F
f : X → E × F
hf : MeasureTheory.Integrable f μ


Context:
M : Type u_2
AddZeroClass M
x : AddSubmonoid M


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
S T : Set (Set α)
h_gen : m0 = generateFrom S
h_inter : IsPiSystem S
h_sub : T ⊆ S
hc : T.Countable
hU : ⋃₀ T = univ
htop : ∀ s ∈ T, μ s ≠ ⊤
h_eq : ∀ s ∈ S, μ s = ν s


Context:
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsLawson α


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
TopologicalSpace N
ChartedSpace H N
G : Type u_10
Zero G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H' G


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : RegularSpace X
K U : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
L : Set X
L_compact : IsCompact L
L_closed : IsClosed L
KL : K ⊆ interior L
LU : L ⊆ U

∃ V, IsOpen V ∧ K ⊆ V ∧ closure V ⊆ U ∧ IsCompact (closure V)


Context: G : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹² : Group G

Context: inst✝¹¹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹⁰ : MulAction G X

Context: inst✝⁹ : SigmaCompactSpace G

Context: inst✝⁸ : BaireSpace X

Context: inst✝⁷ : T2Space X

Context: inst✝⁶ : ContinuousSMul G X

Context: inst✝⁵ : IsPretransitive G X

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Group H

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : BaireSpace H

Context: inst✝¹ : T2Space H

Context: inst✝ : ContinuousMul H

Context: f : G →* H

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: h'f : Continuous ⇑f

Context: A : MulAction G H := MulAction.compHom H f

Context: this : ContinuousSMul G H


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
v : Projectivization K V

FiniteDimensional.finrank K ↥v.submodule = 1


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y : ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : DifferentiableAt ℝ f y


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v : V

G.dist u v = sInf (Set.range SimpleGraph.Walk.length)


Context:
R : Type u
ι : Type v
M₁ : ι → Type w₁
M₂ : Type w₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
(i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)
TopologicalSpace M₂
f : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
inst✝ : Finite I
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
i j : I
hij : i ≠ j


Context: n : ℕ

↑(WeierstrassCurve.expCoeff n) = if Even n then ↑n / 2 else ↑n


Context:
R : Type u_2
CommRing R
S : Type u_3
CommRing S
Algebra R S
r : R
IsLocalization.Away r S

(IsLocalization.Away.auxHom S r).comp (IsLocalization.Away.auxInv S r) = RingHom.id S


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
g : R[X]
inst✝ : Field K
f : K[X]
hf : f ≠ 0

minpoly K (root f) = f * C f.leadingCoeff⁻¹


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
j : Fin (n + 1)
hj₁ : n + 1 ≤ ↑j + (q + 1)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
t : Set β
hst : ↑s ≃ ↑t


Context:
K : Type u
V : Type v
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
Φ : Subspace K (Module.Dual K V)

FiniteDimensional.finrank K ↥(Submodule.dualCoannihilator Φ) =
  FiniteDimensional.finrank K ↥(Submodule.dualAnnihilator Φ)


Context: x : ℂ

Complex.cos ((starRingEnd ℂ) x) = (starRingEnd ℂ) (Complex.cos x)


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
CommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
DecidablePred p
h : ∀ x ∈ s, p x

∏ x ∈ Finset.subtype p s, f ↑x = ∏ x ∈ s, f x


Context:
α : Type u
s t : Set α


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology V

Context: inst✝³ : MeasurableSpace V

Context: inst✝² : BorelSpace V

Context: μ✝ : Measure V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: K N : ℕ∞

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ

Context: k n : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: w : W

Context: I : ∀ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), Integrable (fun v => ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ

0 ≤ᶠ[ae μ] fun a => ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun v => fourierPowSMulRight L f v k) a‖


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
Field F
Ring E
Algebra F E
hr : FiniteDimensional.finrank F E = 2


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
𝔸 : Type u_6
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
a : E → 𝔸
a' : E →L[𝕜] 𝔸
ha : HasStrictFDerivAt a a' x
b : 𝔸

HasStrictFDerivAt (fun y => a y * b) (a'.smulRight b) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
x y : α


Context:
α : Type u
p : α → Prop
f : Filter α
hp : ∃ᶠ (x : α) in f, p x


Context:
F : Type u
Field F
r : F


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
a✝¹ : α
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → γ
g : β → δ
p : α × β


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
x : K
hsep : IsSeparable F x
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
hi : IsIntegral F x
hi' : IsIntegral E x
hsep' : IsSeparable E x
this✝² : Algebra.IsSeparable F ↥F⟮x⟯
this✝¹ : Algebra.IsSeparable E ↥E⟮x⟯
this✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥F⟮x⟯
this : Algebra.IsAlgebraic E ↥E⟮x⟯

(Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x)).natDegree = (minpoly E x).natDegree


Context:
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
S : Type u_4
Monoid S
AddCommMonoid M
Module R M
DistribMulAction S M
s : Set S
N : Submodule R M
r : S
m : M
mem1 : r ∈ s
mem2 : m ∈ N


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
AddAction G β

AddAction.orbitRel G (α × β) ≤ Setoid.comap Prod.snd (AddAction.orbitRel G β)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : Semiring A

Context: inst✝⁷ : Semiring B

Context: inst✝⁶ : Module A M

Context: inst✝⁵ : Module B M

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A M

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R B M

Context: inst✝ : SMulCommClass A B M

Context: p : AddSubmonoid M

Context: hA : ∀ (a : A) {m : M}, m ∈ p → a • m ∈ p

Context: hB : ∀ (b : B) {m : M}, m ∈ p → b • m ∈ p

Context: ab : A ⊗[R] B

Context: m : M

Context: x✝ : m ∈ { carrier := ↑p, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }.carrier

0 • m ∈ { carrier := ↑p, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }.carrier


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : StrongRankCondition R
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Free R M'
m : Type v
n : Type w
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
val✝¹ : Fintype m
val✝ : Fintype n

Module.rank R (Matrix m n R) = lift.{max v w u, v} #m * lift.{max v w u, w} #n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: r : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)

Context: hr' : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, p i → 0 < r i

blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f : Perm α

Context: hf : f.IsCycle

Context: val✝ : Fintype α

Context: x : α

Context: hx : f x ≠ x

Context: hy : ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle x y

∀ (y : Cycle α), (fun s => ∃ (h : s.Nodup), s.formPerm h = f) y → y = ↑(f.toList x)


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_3
f : ι → Filter α

(iInf f).smallSets = ⨅ i, (f i).smallSets


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
x : β
n : ℕ

CauSeq.const abv (x ^ n) = CauSeq.const abv x ^ n


Context:
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : AddCommMonoid F
inst✝ : Module 𝕜 F
ts : Set (TopologicalSpace E)
h : ∀ t ∈ ts, LocallyConvexSpace 𝕜 E
this : TopologicalSpace E := sInf ts
x : E

(𝓝 x).HasBasis ((fun x If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, If.2 i ∈ 𝓝 x ∧ Convex 𝕜 (If.2 i)) x) ((fun x If => ⋂ i ∈ If.1, If.2 i) x)


Context:
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₂ : QuadraticForm R M₂

comp Q₂ ↑(TensorProduct.lid R M₂) = QuadraticForm.tmul QuadraticMap.sq Q₂


Context:
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
h : f.eraseLead = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
g : Filter β

limsup u (f ⊔ g) = limsup u f ⊔ limsup u g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
x : Option α
a : α
h : ∀ (a : α), a ∈ x → p a
ha✝ : a ∈ x
ha : x = some a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
hs : s₁ ≤ s₂
ht : t₁ < t₂


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : AddMonoid M
S : Set R[M]
hS : adjoin R S = ⊤

S ⊆ ↑(adjoin R (⋃ f ∈ S, of' R M '' ↑f.support))


Context:
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
p : Submodule R E
q : { q // IsCompl p q }

↑(p.isComplEquivProj q) = p.linearProjOfIsCompl ↑q ⋯


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra.FinitePresentation R A

Context: f : A →ₐ[R] S

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: t : Finset A

Context: ht : Ideal.span ↑t = ⊤

Context: H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Algebra.FinitePresentation R (Localization.Away (f ↑g))

Context: g : ↑↑t

Context: f' : Localization.Away ↑g →ₐ[R] Localization.Away (f ↑g) := Localization.awayMapₐ f ↑g

(ker (Localization.awayMap f.toRingHom ↑g)).FG


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_4
f : ι → α
p : α → Prop

(∀ a ∈ Set.range f, p a) ↔ ∀ (i : ι), p (f i)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hs : HasFDerivWithinAt f f' s x
ht : HasFDerivWithinAt f f' t x

HasFDerivAtFilter f f' x (𝓝[s] x ⊔ 𝓝[t] x)


Context:
R : Type u_1
L : Type u_3
ι : Type u_5
CommRing R
Nontrivial R
LieRing L
LieAlgebra R L
Module.Finite R L
Module.Free R L
Fintype ι
DecidableEq ι
b : Basis ι R L

((↑(LieAlgebra.ad R L)).polyCharpoly b).coeff (LieAlgebra.rank R L) ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞

∫⁻ (a : α), f a ∂c • μ = c * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ


Context:
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a : α


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Lattice α
Lattice β
Lattice γ
g : LatticeHom β γ
f₁ f₂ : LatticeHom α β
hg : Function.Injective ⇑g


Context: C : ℕ

Context: u : ℕ → ℕ

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: hu_strict : StrictMono u

Context: hC_nonzero : C ≠ 0

Context: h_succ_diff : SuccDiffBounded C u

Context: f : ℕ → ℝ≥0

Context: hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m

Context: this : ∀ (k : ℕ), ↑(u (k + 1)) - ↑(u k) = ↑(↑(u (k + 1)) - ↑(u k))

(Summable fun k => ↑(↑(u (k + 1)) - ↑(u k)) * ↑(f (u k))) ↔ Summable fun i => ↑(f i)


Context:
n : ℕ
c : CompositionAsSet n


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
A' : Type u_6
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
CommRing A'
Algebra R A
Algebra R A'
f : A →ₐ[R] A'
hfv : AlgebraicIndependent R (⇑f ∘ x)


Context:
A : Type u_4
CommRing A
IsDomain A
K : Type u_5
CommRing K
Algebra A K
IsFractionRing A K


Context: k : ℕ


Context: N k : ℕ

(N.roughNumbersUpTo k).card ≤ ∑ p ∈ N.succ.primesBelow \ k.primesBelow, N / p


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : Semiring R
r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
inst✝ : Semiring T
p q : R[ℕ]
hf : ∀ (k : ℕ), Commute (f (q k)) x

(liftNC ↑f ⇑((powersHom S) x)) (p * q) = (liftNC ↑f ⇑((powersHom S) x)) p * (liftNC ↑f ⇑((powersHom S) x)) q


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: a b : A

Context: ha : a ∈ carrier f_deg q

Context: hb : b ∈ carrier f_deg q

Context: i : ℕ

Context: g : ℕ → A⁰_ f := fun j => (m + m).choose j • if h2 : m + m < j then 0 else if h1 : j ≤ m then HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) b ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } else HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ (j - m) * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }

∀ j ∈ range (m + m + 1), Localization.mk ((m + m).choose j • ((proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j))) ⟨f ^ (i + i), ⋯⟩ = (algebraMap (A⁰_ f) (Localization.Away f)) (g j)


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
f : β → β → α
comm : ∀ (a b : β), f a b ≤ f b a
a b : β


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F

DifferentiableOn 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s


Context:
C : Type u_5
D : Type u_3
H : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_6, u_5} C
CategoryTheory.Category.{u_1, u_3} D
CategoryTheory.Category.{u_2, u_4} H
RF : CategoryTheory.Functor D H
F : CategoryTheory.Functor C H
L : CategoryTheory.Functor C D
α : F ⟶ L.comp RF
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
RF.IsRightDerivedFunctor α W
G : CategoryTheory.Functor D H
β : F ⟶ L.comp G

G.IsRightDerivedFunctor β W ↔ CategoryTheory.IsIso (RF.rightDerivedDesc α W G β)


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: K : HomologicalComplex C c

Context: i : ι

Context: K.HasHomology i

K.ExactAt i ↔ CategoryTheory.Limits.IsZero (K.homology i)


Context: A : 0 < 3 / 2

Context: this : (log ∘ Gamma) (↑2 + 1 / 2) ≤ (log ∘ Gamma) ↑2 + 1 / 2 * log ↑2


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
Semiring α
Semiring β
f : α →+* β
a : α


Context:
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X


Context:
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
a : M
b c : ↥S


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f : E → F
R : ℝ
s : Set E
hR : 0 < R

∫ (x : E) in s, f (R • x) ∂μ = (R ^ finrank ℝ E)⁻¹ • ∫ (x : E) in R • s, f x ∂μ


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring F

Context: inst✝¹ : Semiring E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: b : F →ₗ[F] E

Context: hb : Function.Injective ⇑b

Context: x y : F

Context: e : (algebraMap F E) x = (algebraMap F E) y


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
ζ : K
l : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ l
hl✝ : l ≠ 0
hl : NeZero l


Context:
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
l : List Γ

(Turing.ListBlank.mk l).tail = Turing.ListBlank.mk l.tail


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
V : (↑U).Opens
W : (↑(f ⁻¹ᵁ U)).Opens
e : W ≤ (f ∣_ U) ⁻¹ᵁ V

Scheme.Hom.appLE (f ∣_ U) V W e = Scheme.Hom.appLE f (U.ι ''ᵁ V) ((f ⁻¹ᵁ U).ι ''ᵁ W) ⋯


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
x : E
f : F
hf : (algebraMap F E) f = x


Context: ξ : ℝ

Context: u v : ℤ

Context: hv : 2 ≤ v

Context: hv₀ hv₁ : 0 < ↑v

Context: hv₂ : 0 < 2 * ↑v - 1

Context: hcop : IsCoprime u v

Context: left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u

Context: h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹

Context: hf : ξ = ↑⌊ξ⌋


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
hx : x ≠ 0


Context:
n : ℕ
a b : Fin n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b : α
h✝ : Equivalence r
h : EqvGen r a b


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
S : Set (Set X)
ho : ∀ s ∈ S, IsOpen s
hS : S.Countable
hd : ∀ s ∈ S, Dense s
h : S.Nonempty


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x✝ y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
x : V
hx : x ∈ (p.dropUntil u h).support


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst✝² : CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
T : ↑(leftTransversals ↑H)
p : ℕ
P : Sylow p G
hP : (↑P).normalizer ≤ centralizer ↑P
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
g : G
hg : g ∈ P
k : ℕ
g₀ : G
h : g₀⁻¹ * g ^ k * g₀ ∈ P


Context:
G : Type u_1
AddLeftCancelMonoid G
a : G

(↑(AddSubmonoid.multiples a)).Finite ↔ IsOfFinAddOrder a


Context:
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
A : Set M
α : Type u₁
x : α → M


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : HasOrthogonalProjection K
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection U
y : E

‖y - ↑((orthogonalProjection U) y)‖ = ⨅ x, ‖y - ↑x‖


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
UniformSpace α
UniformSpace β
UniformSpace γ
f : α × β → γ

UniformContinuous₂ (Function.curry f) ↔ UniformContinuous f


Context:
σ : Type u_1
s : Set σ
R : Type u_3
CommRing R
F : MvPolynomial σ ℤ
hF : ↑F.vars ⊆ s

∃ f, ∀ (x : σ → R), f (x ∘ Subtype.val) = (MvPolynomial.aeval x) F


Context:
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.87545, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.87549, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddMonoid M
inst✝⁴ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : HasShift C G
inst✝¹ : F.ShiftSequence M
inst✝ : F.ShiftSequence G
X Y : C
m : G
f : X ⟶ (shiftFunctor C m).obj Y
n : G
hnm : n + m = 0
a a' : G
ha' : m + a = a'


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: hm : 0 < m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: i : ℕ

Context: e_1✝ : HomogeneousLocalization 𝒜 (Submonoid.powers f) = ↑(CommRingCat.of (A⁰_ f))


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁

Context: CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂

Context: W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁

Context: W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂

Context: Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: X₂ : C₂

∀ {X Y : (Φ.LeftResolution X₂)ᵒᵖ} (φ : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.LocalizerMorphism.LeftResolution.opFunctor Φ X₂).map φ).f = φ.unop.f.op


Context: G : Type w

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝ : R1Space G

Context: U : ℕ → Opens G

Context: h3 : ∀ (t : Finset ℕ) (K : ℕ → Compacts G), (fun s => ↑(μ.toFun s)) (t.sup K) ≤ ∑ i ∈ t, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (K i)

Context: K : Compacts G

Context: hK : ↑K ⊆ ↑(⨆ i, U i)

Context: t : Finset ℕ

Context: ht : ↑K ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(U i)

Context: K' : ℕ → Set G

Context: h1K' : ∀ (i : ℕ), IsCompact (K' i)

Context: h2K' : ∀ (i : ℕ), K' i ⊆ (SetLike.coe ∘ U) i

Context: h3K' : ↑K = ⋃ i ∈ t, K' i

Context: L : ℕ → Compacts G := fun n => { carrier := K' n, isCompact' := ⋯ }

∀ i ∈ t, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (L i) ≤ μ.innerContent (U i)


Context:
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁷ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁶ : Group G✝
inst✝⁵ : TopologicalGroup G✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
n : G
hn : n ∈ N.topologicalClosure
g : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β


Context:
J : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
U : Opens ↑↑(colimit F)
i j k : Jᵒᵖ
f : i ⟶ j
g : j ⟶ k

(F.map (g.unop ≫ f.unop)).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι F (unop i)).base).obj U)) ≫ (F.obj (unop k)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = ((F.map f.unop).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι F (unop i)).base).obj U)) ≫ (F.obj (unop j)).presheaf.map (eqToHom ⋯)) ≫ (F.map g.unop).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι F (unop j)).base).obj U)) ≫ (F.obj (unop k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)


Context:
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
p₁ p₂ : P
c : 𝕜

nndist p₁ ((AffineMap.homothety p₁ c) p₂) = ‖c‖₊ * nndist p₁ p₂


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]

Function.Injective ⇑(quotientMap (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P) (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⋯)


Context: K : Type u_1

Context: NontriviallyNormedField K

Context: E : Type u_2

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace K E

Context: x : E

Context: n : ℕ∞

Context: ι : Type u_6

Context: Fintype ι

Context: F' : ι → Type u_8

Context: (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)

Context: (i : ι) → NormedSpace K (F' i)

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: hΦ : ∀ (i : ι), ContDiffAt K n (fun x => Φ x i) x


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing A
S : Submonoid A
hS✝ : S ≤ A⁰
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsFractionRing A K
B : Type u_3
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsLocalization S B
hS : S ≤ A⁰
a s : A
hs : s ∈ S

(mapToFractionRing K S B hS).toRingHom (IsLocalization.mk' B a ⟨s, hs⟩) = IsLocalization.mk' K a ⟨s, ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
Max α
a b : α


Context:
R : Type u_4
Ring R
r : R
k : ℤ


Context:
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
IsDedekindDomain A
I : FractionalIdeal A⁰ K
hI : I ≠ 0


Context:
α β : Type u
f : α → FreeGroup β
x : FreeGroup α


Context:
α β : Type
n : ℕ
S : Set (α ⊕ Fin2 0 → ℕ)
d : Dioph S
f : Vector3 ((α → ℕ) → ℕ) 0
x✝ : VectorAllP DiophFn f
v : α → ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
h : Set.MapsTo f s t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f g : α → β
hf : Monotone f
hg : Antitone g


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
h : G.Adj u v

(SimpleGraph.Walk.cons h SimpleGraph.Walk.nil).reverse = SimpleGraph.Walk.cons ⋯ SimpleGraph.Walk.nil


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
SupSet α
s : Set β
f : β → α


Context:
α : Type u_1
a b c : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
h : a < b * c
hc : c ≤ 1
hb : 0 ≤ b


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace X
s : optParam (Set X) Set.univ
self : BumpCovering ι X s


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Small.{v, max u₂ v} ↑((F ⋙ evaluation R X) ⋙ forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections

Context: X Y Z : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: j : J

limit.π (F ⋙ evaluation R X) j ≫ restrictionApp f (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv = limMap (whiskerLeft F (restriction R f)) ≫ limit.π ((F ⋙ evaluation R Y) ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) j ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X
p : Path x₀ x₁
x✝ : ↑I

(if h : ↑x✝ ≤ 2⁻¹ then p ⟨2 * ↑x✝, ⋯⟩ else x₁) = p ⟨if ↑x✝ ≤ 2⁻¹ then 2 * ↑x✝ else 1, ⋯⟩


Context:
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β

Continuous ⇑(WithLp.equiv p (α × β)).symm


Context:
α : Type u
p : α
s : Set α

(FreeCommRing.of p).IsSupported s ↔ p ∈ s


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
NormedLinearOrderedField K
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
b : Basis ι K E
FloorRing K
Fintype ι
m n : E

Zspan.fract b m = Zspan.fract b n ↔ -m + n ∈ Submodule.span ℤ (Set.range ⇑b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α (β → γ)
g : MeasureTheory.SimpleFunc α β
a : α


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hi : Irreducible p
x : R
hx : p.IsRoot x
g : R[X]
hg : p = (X - C x) * g
this : IsUnit (X - C x) ∨ IsUnit g
h : IsUnit (X - C x)
h₁ : (X - C x).degree = 1
h₂ : (X - C x).degree = 0


Context:
α : Type u
Zero α
β : Type u_1
f : α → β


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
_l : List α

countP p (Quot.mk Setoid.r _l) = 0 ↔ ∀ a ∈ Quot.mk Setoid.r _l, ¬p a


Context:
α : Type u_1
Preorder α
f : α → α
x : α
hf : StrictMono f
hx : x < f x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
f : α → Computation β
g : β → Computation γ

(s.bind f).bind g = s.bind fun x => (f x).bind g


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
CommRing R
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
x : Kˣ

↑((toPrincipalIdeal R K) x) = FractionalIdeal.spanSingleton R⁰ ↑x


Context:
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
LinearOrderedAddCommGroupWithTop Γ₀
Ring R
v : AddValuation R Γ₀
x y : R
h : v x < v y


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f✝ g✝ : X → Y

Context: f g : (i : ι) → π i


Context:
G : Type u_1
Group G


Context:
ι : Type u_1
I J : WithBot (BoxIntegral.Box ι)

↑I ⊆ ↑J ↔ I ≤ J


Context:
G : Type u_1
Group G
s : Set G
hs : IsNormalSubgroup s


Context:
m : Type u
DecidableEq m
R : Type u_2
CommRing R
Fintype m
A : Matrix m m R
Invertible A


Context:
α : Type u
x y : ULift.{v, u} α
Add α


Context: R : Type u_1

Context: r : R

Context: inst✝ : CommRing R

Context: P✝ P : R[X]

Context: N : ℕ

Context: hN : P.natDegree ≤ N

Context: h : ∀ (i : ℕ), IsNilpotent ((reflect N P).coeff i)

Context: i : ℕ

Context: hi : i ≤ N


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : AddCancelCommMonoid E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
z x : E
hx : x ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

a • x + b • y ∈ (fun b => z + b) ⁻¹' interior s


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℤ


Context:
α : Type u
Order.Coframe α
s : Set α
b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
k : ℕ
r₁ : R
r₂ : ℝ
h : ‖r₁‖ < r₂
h0 : 0 < ‖r₁‖

(fun n => ↑n ^ k * r₁ ^ n) =o[atTop] fun n => r₂ ^ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
x : α
s : Set α
f : α → β
ctsf : ContinuousWithinAt f s x


∀ {R S : Type u_1} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] (e : R ≃+* S), Function.Surjective ⇑e.toRingHom


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → β → α
S : Set β
h : UniformEquicontinuousOn F S

UniformEquicontinuousOn (F ∘ rangeSplitting F) S


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X₁ X₂ : C

(λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom =
  CategoryTheory.tensor_μ C (𝟙_ C, X₁) (𝟙_ C, X₂) ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom


Context: x y : Unit


Context:
ι : Type w
Fintype ι
A : Type u
B : Type v
CommRing A
CommRing B
Algebra A B
b : Basis ι A B
z : B

Algebra.traceMatrix A ⇑b *ᵥ b.equivFun z = fun i => (Algebra.trace A B) (z * b i)


Context:
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddGroup A
CategoryTheory.HasShift C A
n : A
X : C

(CategoryTheory.shiftFunctor C (-n)).map ((CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId C (-n) n ⋯).inv.app X) =
  (CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId C n (-n) ⋯).inv.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C (-n)).obj X)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
e : ↑s ↪ ↑t


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
a✝ : List α
h : Nodup (Quot.mk Setoid.r a✝)

(reverse (Quot.mk Setoid.r a✝)).formPerm ⋯ = (formPerm (Quot.mk Setoid.r a✝) h)⁻¹


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝² : IsTrans α r
inst✝¹ : IsSymm α r
x : α
inst✝ : DecidablePred (r x)
t : Multiset α
h : Rel r 0 t


Context:
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
hn : n ≤ firstDiff x y


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h₁ : Embedding f
h₂ : IsClosedMap f


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
h : M.FG
n : ℕ


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ
hp : 1 < p

∀ (x : E), ContinuousAt (fderiv ℝ fun x => ‖x‖ ^ p) x


Context:
α : Type u
m n : ℕ
a : Fin m → α
b : Fin n → α

List.ofFn (Fin.append a b) = List.ofFn a ++ List.ofFn b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → β
g : γ → δ
x : α ⊕ γ


Context:
α : Type u_1
PartialOrder α
c : ClosureOperator α
x : α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') a

∃ s, a ∈ s ∧ IsOpen s ∧ ApproximatesLinearOn f (↑f') s (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ / 2)


Context:
α : Sort u_3
β : Sort u_4
γ : Sort u_5
f : α → β → γ
P : Prop
Decidable P
a b : α
c d : β

f (if P then a else b) (if P then c else d) = if P then f a c else f b d


Context:
R : Type u_1
M : Type u_8
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M

(LinearEquiv.refl R M).symm = LinearEquiv.refl R M


Context:
x✝ y✝ x : ℝ
hex : rexp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : rexp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Fintype τ
n : ℕ

esymm σ R n = ∑ x ∈ powersetCard n univ, ∏ i ∈ x, (monomial (Finsupp.single i 1)) 1


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
m n : ℕ
h : m ≤ n


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
A : C
B : D
e : MonoOver A ≌ MonoOver B

𝟭 (Subobject A) = ThinSkeleton.map (𝟭 (MonoOver A))


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
e : α ≃o β


Context:
α : Type u_2
LinearOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b c d : α
h₁ : min a b ≤ max c d
h₂ : min c d ≤ max a b

Finset.Ico a b ∪ Finset.Ico c d = Finset.Ico (min a c) (max b d)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace N
inst✝⁴ : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝³ : TopologicalSpace N'
inst✝² : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners J N
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
hn : 1 ≤ n
s : Set M
hs : UniqueMDiffOn I s


Context:
G : Type u_6
AddGroup G
x : G


Context: f g : MulRingNorm ℚ

(∀ (n : ℕ), f ↑n = g ↑n) ↔ ∀ (n : ℤ), f ↑n = g ↑n


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: ι : Type v

Context: F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C

Context: inst✝ : HasColimit F

Context: i : Discrete ι

Context: this : colimit.ι (F ⋙ forget C) i ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).hom = Discrete.natIsoFunctor.hom.app i ≫ colimit.ι (Discrete.functor ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)) i

OpenEmbedding ⇑(colimit.ι (F ⋙ forget C) i ≫ (preservesColimitIso (forget C) F).inv)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
f : α → β
h : Function.Surjective f
h' : ¬Function.Injective f


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
this : W ⊓ B.orthogonal W = ⊥

finrank K V ≤ finrank K V + finrank K ↥(W ⊓ B.orthogonal ⊤)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: a t : α

Context: ts is : List α

Context: IH2✝ : (is.permutationsAux []).length + [].length ! = (is.length + [].length)!

Context: IH2 : (is.permutationsAux []).length + 1 = is.length !

Context: IH1 : (ts.permutationsAux (t :: is)).length + is.length ! * is.length.succ = (ts.length + is.length)! * (ts.length + is.length).succ

((t :: ts).permutationsAux is).length + is.length ! = ((t :: ts).length + is.length)!


Context:
α : Type u_1
l : List (List (List α))

l.join.join = (List.map List.join l).join


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace α
BorelSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
CompleteSpace E
TopologicalSpace.MetrizableSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
μ.IsOpenPosMeasure
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ closure (interior s)
hmg : MeasureTheory.IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀

Filter.Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) Filter.atTop (𝓝 (g x₀))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r : ℝ


Context: α : Type u_1

∀ {x : MeasurableSpace α} {f : α → ℝ},
  MeasureTheory.StronglyMeasurable f → MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => (f x).toNNReal


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
inst✝ : L.Structure M
α : Type w'
ie : IsEmpty α

((LHom.id L).sumElim (LHom.ofIsEmpty (constantsOn α) L)).comp (L.lhomWithConstants α) = LHom.id L


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : CommRing T

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: inst✝⁷ : Algebra R T

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : Field L

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: F : Type u_6

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Algebra K S

Context: inst✝ : Algebra K F

Context: x : L

Context: hx : ∃ s, Nonempty (Basis { x_1 // x_1 ∈ s } K ↥K⟮x⟯)


Context:
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocRing α
x : CentroidHom α


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x y : F
h : W.Nonsingular x y

ClassGroup.mk (XYIdeal' ⋯) * ClassGroup.mk (XYIdeal' h) = 1


Context:
α : Type u_2
Lattice α
S : Set (Sublattice α)


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
StarRing 𝕜
StarRing A
StarModule 𝕜 A
NormedStarGroup A
a : A


Context: n : ℕ

Context: F✝ : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q✝ : MvQPF F✝

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: x : Cofix F α

Context: R : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun x y => abs y.repr = x

∀ (x y : Cofix F α), R x y → LiftR' (α.RelLast' R) x.dest y.dest


Context: this : HasDerivAt Gamma ↑(-√π * (γ + 2 * Real.log 2)) ↑(1 / 2)

HasDerivAt Gamma (-↑√π * (↑γ + 2 * log 2)) (1 / 2)


Context:
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
s : Finset α


Context:
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
v : E
s : Set ℝ

μH[1] ((fun r => r • v) '' s) = ‖v‖₊ • μH[1] s


Context:
G : Type v
AddGroup G
PseudoEMetricSpace G
IsometricVAdd G G
IsometricVAdd Gᵃᵒᵖ G


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: P Q : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C

Context: f : P.Hom Q

CategoryTheory.CategoryStruct.comp P.p f.f = f.f


Context:
x y : SetTheory.PGame
h : x ≤ y
i : x.LeftMoves


Context:
G : Type u_1
Mul G
A B : Finset G
a0 b0 : G

UniqueMul (Finset.map { toFun := MulOpposite.op, inj' := ⋯ } B) (Finset.map { toFun := MulOpposite.op, inj' := ⋯ } A)
    (MulOpposite.op b0) (MulOpposite.op a0) ↔
  UniqueMul A B a0 b0


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Abelian C

Context: S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C

CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput.functorL₂'.obj S = S.L₂'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
NonAssocSemiring α
NonAssocSemiring β
f : α →+* β
I : Type u_3
h : I → α

∀ (a : I), (f.compLeft I) h a = (⇑f ∘ h) a


Context:
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f f₁ g₁ : α₁ → β₁ → Finset γ₁
g f₂ g₂ : α₂ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
c₂✝ : γ₂
w✝¹ : α₁
w✝ : β₁
c₂ : γ₁
left✝¹ : a = inl w✝¹
left✝ : b = inl w✝
h : inr c₂✝ = inl c₂
right✝ : c₂ ∈ f w✝¹ w✝


Context:
α : Type v
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
s : Set α
hs : IsConnected s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S✝ : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
F : Type u_5
inst✝ : FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F
S : Submonoid N
h : S ≤ MonoidHom.mrange f


Context:
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
𝔸 : Type u_6
RCLike 𝕂
Fintype m
DecidableEq m
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
U : (Matrix m m 𝔸)ˣ
A : Matrix m m 𝔸

NormedSpace.exp 𝕂 (↑U * A * ↑U⁻¹) = ↑U * NormedSpace.exp 𝕂 A * ↑U⁻¹


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: X✝ Y✝ Z : TopCat

Context: X Y S : TopCat

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: H₁ : Embedding ⇑f

Context: H₂ : Embedding ⇑g

Context: e_2✝ : ↑((cospan f g).obj WalkingCospan.one) = ↑S

⇑(limit.π (cospan f g) WalkingCospan.one) = ⇑g ∘ ⇑(pullback.snd f g)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A

NonUnitalSubalgebra.centralizer R Set.univ = NonUnitalSubalgebra.center R A


Context:
ctx : Nat.Linear.Context
fuel : Nat
p₁ p₂ : Nat.Linear.Poly

Nat.Linear.Poly.denote ctx (Nat.Linear.Poly.combineAux fuel p₁ p₂) =
  Nat.Linear.Poly.denote ctx p₁ + Nat.Linear.Poly.denote ctx p₂


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f' : M →ₗ[R] M
n : ℕ


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
k : ℕ


Context:
M : Type u_2
Mul M
e₁ e₂ : MulAut M

⇑(e₁ * e₂) = ⇑e₁ ∘ ⇑e₂


Context: p n : ℕ

padicValNat p n = 0 ↔ p = 1 ∨ n = 0 ∨ ¬p ∣ n


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x p : ℝ
hp : 1 < p

p * ‖x‖ ^ (p - 2) * x = ((p * ‖x‖ ^ (p - 2)) • (innerSL ℝ) x) 1


Context: a b c d : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
LE α
LE β
b : β

(OrderIso.sumLexDualAntidistrib α β).symm (Sum.inl (OrderDual.toDual b)) = OrderDual.toDual (Sum.inr b)


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a b c d : α


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ

ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x ↔ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ContMDiffOn I I' (↑n) f u


Context:
α : Type u
DecidableEq α
l : List α
H : l.Nodup
i : Fin l.length


Context: m n : ℕ

Context: IH : shiftLeft' true m n ≠ 0 → (shiftLeft' true m n).size = m.size + n

Context: h : ¬bit true 0 = 0

Context: s0 : shiftLeft' true m n = 0

Context: this : shiftLeft' true m n + 1 = 1


Context: X Y : Stonean

Context: f : X ⟶ Y

Context: h : Epi f

Context: y : (forget Stonean).obj Y

Context: hy : ∀ (a : (forget Stonean).obj X), f a ≠ y

Context: C : Set ((forget Stonean).obj Y) := Set.range ⇑f

Context: hC : IsClosed C

Context: U : Set ((forget Stonean).obj Y) := Cᶜ


Context:
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
R : Type u_9
S : Type u_10
Semiring S
SMul R M₁
Module S M₁
SMul R M₂
Module S M₂
LinearMap.CompatibleSMul M₁ M₂ R S
f : M₁ →L[S] M₂
c : R
x : M₁


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive D
F G : CategoryTheory.Functor C D
ι : Type u_3
s : Finset ι
X : C
α : ι → (F ⟶ G)

(∑ i ∈ s, α i).app X = ∑ i ∈ s, (α i).app X


Context:
α : Type u_1
LinearOrder α
PredOrder α
a b : α

Order.pred (max a b) = max (Order.pred a) (Order.pred b)


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I X J : Set α
hI : M.Basis' I X
hJ : M.Basis' J X


∀ {α : Type u_1} {cut : α → Ordering} {t : Batteries.RBNode α} {path : Batteries.RBNode.Path α}
  {t' : Batteries.RBNode α} {path' : Batteries.RBNode.Path α},
  Batteries.RBNode.zoom cut t path = (t', path') →
    Batteries.RBNode.Path.Zoomed cut path → Batteries.RBNode.Path.Zoomed cut path'


Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: Monoid β

Context: DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: f : α → β

Context: comm : (↑(insert a s)).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)

Context: ha : a ∉ s

(insert a s).noncommProd f comm = s.noncommProd f ⋯ * f a


Context:
y : ℝ
hy : y ≥ 1
τ : ℂ
hτ : τ.im = y


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor C C
X : C

(CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor F).hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id
    ((CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj F (𝟙_ (CategoryTheory.Functor C C))).obj X)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: a : α

Context: r✝ r : List (List α)

Context: l : List α

Context: ih : sublistsAux a r = r.bind fun l => [l, a :: l]

foldl (fun r l => r ++ [l, a :: l]) (foldl (fun r l => r ++ [l, a :: l]) [] r) [l] = sublistsAux a r ++ [l, a :: l]


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: G' : Type u_7

Context: G'' : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G''

Context: inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G'

Context: T T' : Set α → E →L[ℝ] G''

Context: hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : E), (T s) x ≤ (T' s) x

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

setToSimpleFunc T f ≤ setToSimpleFunc T' f


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
PreconnectedSpace X
f : X → Y
hf : IsLocallyConstant f
x y : X


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: AddCommMonoid M

Context: ι : Type u_4

Context: s : Finset ι

Context: φ : ι → MvPolynomial σ R

Context: n : M

Context: w : σ → M

Context: h : ∀ i ∈ s, MvPolynomial.IsWeightedHomogeneous w (φ i) n

MvPolynomial.IsWeightedHomogeneous w (∑ i ∈ s, φ i) n


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
r : R

(MvPolynomial.eval₂Hom f g) (MvPolynomial.C r) = f r


Context: I : Type u

Context: AddMonoid I

Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory C

Context: X₁ X₂ X₃ : CategoryTheory.GradedObject I C

Context: X₂.HasTensor X₃

Context: X₁.HasTensor (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₂ X₃)

Context: i₁ i₂ i₃ j : I

Context: h : i₁ + i₂ + i₃ = j

Context: i₂₃ : I

Context: h' : i₂ + i₃ = i₂₃

CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (X₁ i₁)
      (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj X₂ X₃ i₂ i₃ i₂₃ h'))
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj X₁ (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₂ X₃) i₁ i₂₃ j
      ⋯)


Context:
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0∞
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ ⊤


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
self : S.Splitting

CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.f self.r = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.X₁


Context: R : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R

Context: a b x y : R

Context: p : ℕ

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: hp : Prime ↑p

Context: hp1 : Odd p

Context: hx : ¬↑p ∣ y

Context: k : R

Context: hk : x - y = ↑p * k


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory C

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory D

Context: E : Type u₃

Context: CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory E

Context: F : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D

Context: G : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C E

Context: X Y : C


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D

Context: S : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: h : S.LeftHomologyData

Context: F : CategoryTheory.Functor C D

Context: F.PreservesZeroMorphisms

Context: h.IsPreservedBy F


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: f g : CategoryTheory.Arrow C

Context: CategoryTheory.Limits.HasImage f.hom

Context: CategoryTheory.Limits.HasImage g.hom

Context: sq : f ⟶ g

Context: map : CategoryTheory.Limits.image f.hom ⟶ CategoryTheory.Limits.image g.hom

Context: map_ι : map ≫ CategoryTheory.Limits.image.ι g.hom = CategoryTheory.Limits.image.ι f.hom ≫ sq.right := by aesop_cat

Context: map' : CategoryTheory.Limits.image f.hom ⟶ CategoryTheory.Limits.image g.hom

Context: map_ι' : map' ≫ CategoryTheory.Limits.image.ι g.hom = CategoryTheory.Limits.image.ι f.hom ≫ sq.right


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ

(W.map f).Φ n = Polynomial.map f (W.Φ n)


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: L : Filter ι

Context: inst✝⁴ : L.NeBot

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: ex : ∃ rs, Tendsto rs atTop (𝓝 0) ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < rs n ∧ μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0

Context: rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex

Context: rs_lim : Tendsto rs atTop (𝓝 0)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X][Y]
q : R[X]
r : R

eval (f r) (eval (map f q) (map (mapRingHom f) p)) = f (eval r (eval q p))


Context: α : Type u_1

Context: Group α

Context: LinearOrder α

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a : α


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
MulAction α β
a : α
s : Set β


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x✝ x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝³ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝² : AddGroup G

Context: inst✝¹ : MeasurableAdd G

Context: inst✝ : MeasurableNeg G

Context: x₀ : G

Context: h : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (fun x => ‖g x‖) x₀ (mul ℝ ℝ) μ

Context: hmf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) μ)

Context: x : G

‖(L (f x)) (g (x₀ - x))‖ ≤ ‖L‖ * (fun x => ‖f x‖) x * (fun x => ‖g x‖) (x₀ - x)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
x : ↥(unitsFstOne R A)

↑↑((fun x => ⟨{ val := 1 + ↑(equiv.symm ↑x), inv := 1 + ↑(equiv.symm ↑x⁻¹), val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }, ⋯⟩) ((fun x => { val := equiv (↑↑x).snd, inv := equiv (↑↑x⁻¹).snd, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }) x)) = ↑↑x


Context: p : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: this : Fact (Prime p)

Context: natAbs_iff : ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ}, a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k

Context: hm : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p

Context: a b c d : ℕ

Context: hmin : ∀ m < 1, ¬(m < p ∧ 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p)

Context: hmp : 1 < p

Context: hm₀ : 0 < 1

Context: habcd : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 1 * p


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℕ
hn : ↑(chainBotCoeff (⇑α) β) < ↑n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r'✝ : ℝ≥0∞

Context: r' : ℝ≥0

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: h : ↑r' < r

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C * a ^ n

Context: y : E

Context: hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'

Context: n : ℕ

Context: yr' : ‖y‖ < ↑r'

‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C / (1 - a) * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : A
m : ι
hf : f ∈ 𝒜 m
z : Away 𝒜 f
k : ℕ
hk : f ^ k = den z
k' : ℕ
hk' : k ≤ k'

∃ x ∈ 𝒜 (k' • m), (algebraMap A (at Submonoid.powers f)) x = f ^ k' • val z


Context:
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
ι : Sort u_4
Countable ι
p : α → ι → Prop

(∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ι), p a i) ↔ ∀ (i : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, p a i


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
B A : C
X Y : Subobject B
f : A ⟶ B
inst✝ : Mono f
h₁ : X ≤ Y
h₂ : Y ≤ mk f

underlying.map (h₁.hom ≫ h₂.hom) ≫ (underlyingIso f).hom = underlying.map ⋯.hom ≫ (underlyingIso f).hom


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y

(CategoryTheory.Limits.cokernel.π f.op).unop =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.cokernelOpUnop f).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.kernel.ι f) (CategoryTheory.eqToHom ⋯))


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_3
CommSemiring S
Algebra R S
B : Type u_4
Ring B
TopologicalSpace B
Algebra R B
Algebra S B
IsScalarTower R S B
C : Type u_5
Ring C
TopologicalSpace C
Algebra R C
Algebra S C
IsScalarTower R S C
f : B →A[S] C

↑(ContinuousAlgHom.restrictScalars R f) = AlgHom.restrictScalars R ↑f


Context: R : Type u_1

Context: CommSemiring R

Context: M₁ : Type u_2

Context: M₂ : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: AddCommMonoid M₁

Context: AddCommMonoid M₂

Context: AddCommMonoid M

Context: Module R M₁

Context: Module R M₂

Context: Module R M

Context: f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M

Context: h : IsTensorProduct f

Context: C : M → Prop

Context: m : M

Context: h0 : C 0

Context: htmul : ∀ (x : M₁) (y : M₂), C ((f x) y)

Context: hadd : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x + y)


Context:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s t a b : Set α
f : α → β
h : a ⊆ b


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: Add β

Context: f g : AddHom (FreeAddSemigroup α) β

Context: h : ⇑f ∘ FreeAddSemigroup.of = ⇑g ∘ FreeAddSemigroup.of


Context:
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
i : ι
x : E i
j : ι
y : E j
z : E i

dist ⟨i, x⟩ ⟨i, z⟩ ≤ dist ⟨i, x⟩ ⟨j, y⟩ + dist ⟨j, y⟩ ⟨i, z⟩


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s✝ t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
s : Set E
x : E

egauge 𝕜 (c • s) x = egauge 𝕜 s x / ↑‖c‖₊