Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
α : Type u_12
DecidableEq l
DecidableEq m
Zero α
v : l ⊕ m → α

(Matrix.diagonal v).toBlocks₁₁ = Matrix.diagonal fun i => v (Sum.inl i)


Context:
C : FloatCfg
this : ↑prec ≤ ↑(2 * emax)


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_4
p : ι → Prop
DecidablePred p
f g : ι → Set α

(⋂ i, if p i then f i else g i) = (⋂ i, ⋂ (_ : p i), f i) ∩ ⋂ i, ⋂ (_ : ¬p i), g i


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
S.HasHomology
h : S.RightHomologyData


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: P : (J : Finset ι) → MeasureTheory.Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)

Context: I J : Finset ι

Context: hP : MeasureTheory.IsProjectiveMeasureFamily P

Context: hJI : J ⊆ I


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v


Context: n m : ℕ

Context: hm : NeZero m

Context: h : n ∣ m

Context: x : ℕ

Context: hx : x.Coprime n

Context: ps : Finset ℕ := Finset.filter (fun p => ¬p ∣ x) m.primeFactors


Context:
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f g : E → F
s : Set E
x : E
hf : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
hs : f =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : f x = g x


Context: a x✝ z x y : ℂ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: H : Subgroup (Perm α)

Context: d : DecidablePred fun x => x ∈ H

Context: τ : Perm α

Context: h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)

Context: h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H

Context: h2 : τ ∈ H

Context: h3 : τ.IsSwap

Context: this : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))

Context: σ : ↥H

Context: hσ : orderOf σ = Fintype.card α

Context: hσ1 : orderOf ↑σ = Fintype.card α

Context: hσ2 : (↑σ).IsCycle

Context: hσ3 : (↑σ).support = ⊤


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
f : α → β
m : ι → MeasureTheory.OuterMeasure β

(MeasureTheory.OuterMeasure.comap f) (⨅ i, m i) = ⨅ i, (MeasureTheory.OuterMeasure.comap f) (m i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
h_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
x : α
hx : 0 x ≤ f x


Context: m n : ℕ


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
σ : Type u_2
s : Multiset σ
r : σ → R
k : ℕ
h : k ≤ card s


Context: K : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : Algebra K S

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K S

Context: A : Type u_4

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra S A

Context: inst✝ : IsScalarTower R S A

Context: B✝ : PowerBasis S A

Context: hB✝ : IsIntegral R B✝.gen

Context: B B' : PowerBasis K S

Context: P : R[X]

Context: h : (aeval B.gen) P = B'.gen

Context: hB : IsIntegral R B.gen

Context: hmin : minpoly K B.gen = Polynomial.map (algebraMap R K) (minpoly R B.gen)

Context: i : Fin B.dim

Context: j : Fin B'.dim

IsIntegral R ((B.basis.repr ((fun i => B'.gen ^ ↑i) j)) i)


Context:
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F

((CategoryTheory.Limits.Cone.equivCostructuredArrow F).functor.obj c).left = c.pt


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: w x y z : V

Context: hwx : Submodule.span ℝ {w} = Submodule.span ℝ {x}

Context: hyz : Submodule.span ℝ {y} = Submodule.span ℝ {z}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c : CauSeq α abs
εa : α
εa0 : εa > 0
ia : ℕ
ha : ∀ j ≥ ia, εa ≤ ↑(c - a) j
εb : α
εb0 : εb > 0
ib : ℕ
hb : ∀ j ≥ ib, εb ≤ ↑(c - b) j


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b : α
m n✝ : ℕ
ha : Even a
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n : ℕ
hpos : 0 < n


Context: X : TopCat

Context: p₀ : ↑X

Context: inst✝² : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)

Context: C : Type v

Context: inst✝¹ : Category.{u, v} C

Context: A : C

Context: inst✝ : HasTerminal C

Context: y : ↑X

Context: h : p₀ ⤳ y

Context: U V : (OpenNhds y)ᵒᵖ

Context: inc : U ⟶ V

eqToHom ⋯ ≫ (fun U => eqToHom ⋯) V = (fun U => eqToHom ⋯) U ≫ ((Functor.const (OpenNhds y)ᵒᵖ).obj A).map inc


Context:
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ
f : α × β → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

Measurable fun y => ∫⁻ (x : α), f (x, y) ∂μ


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p q : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))

(List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) (FreeAddMonoid.toList p) ++ List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) (FreeAddMonoid.toList q)).sum ≤ (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p).sum + (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) q).sum


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Mul G
A : Type u₃
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module k A
IsScalarTower k A A
SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
a : MonoidAlgebra k G

((MonoidAlgebra.liftMagma k) f) a = Finsupp.sum a fun m t => t • f m


Context: α : Type u_1

Context: M : Type u_5

Context: CommMonoid M

Context: f : α → M

Context: s : Set α

Context: p : M → Prop

Context: hp₀ : p 1

Context: hp₁ : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)

Context: hp₂ : ∀ x ∈ s, p (f x)


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor C D
α : F.op ≅ G.op

(CategoryTheory.NatIso.removeOp α).hom = CategoryTheory.NatTrans.removeOp α.hom


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
f : G ≃* N
K : Subgroup G
x : N


Context: a b : ℕ+


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
h : ℵ₀ ≤ c
α : Type u
αe : ⟦α⟧ = succ c


Context: cf : Code


Context:
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
S T : NonUnitalSubalgebra R A
h : S ≤ T
x : A
hx : x ∈ S

(NonUnitalSubalgebra.inclusion h) ⟨x, hx⟩ = ⟨x, ⋯⟩


Context:
α : Type u
Finite α
s t : Set α
h : #↑s = #↑t


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context:
h :
  ∀ (J : Type w) {𝒥 : CategoryTheory.SmallCategory J},
    CategoryTheory.FinCategory J → CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a✝ : α
e : α ↪o β
he : IsUpperSet (range ⇑e)
a : α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : InvolutiveInv α
s t : Set α
a : α
ι : Sort u_5
f : ι → α

Inv.inv '' range f = range fun i => (f i)⁻¹


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_2, u_1} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: adj : F ⊣ G

Context: inst✝² : G.Full

Context: inst✝¹ : G.Faithful

Context: I : D

Context: hI : Injective (G.obj I)

Context: X Y : D

Context: f : X ⟶ I

Context: g : X ⟶ Y

Context: inst✝ : Mono g

Context: this : PreservesLimitsOfSize.{0, 0, u_2, v₁, u_1, u₁} G

Context: w : G.obj Y ⟶ G.obj I

Context: h : G.map g ≫ w = G.map f

g ≫ inv (adj.counit.app Y) ≫ F.map w ≫ adj.counit.app I = f


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
y✝ y : ι → ℝ

(y ∈ univ.pi fun i_1 => Ioc (update I.lower i (max x (I.lower i)) i_1) (I.upper i_1)) ↔ y ∈ ↑I ∩ {y | x < y i}


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n

∀ a ∈ m.divisorsAntidiagonal ×ˢ n.divisorsAntidiagonal, f a.1.1 * g a.1.2 * (f a.2.1 * g a.2.2) = f (match a with | ((i, j), k, l) => (i * k, j * l)).1 * g (match a with | ((i, j), k, l) => (i * k, j * l)).2


Context:
α : Type u_1
a : α
x : Option (Option α)
h : a ∈ x.join


Context:
a b c : Prop
h : a ↔ b


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : LieRing L

Context: inst✝¹¹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁷ : LieModule R L M

Context: k✝ : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: L₂ : Type u_1

Context: M₂ : Type u_2

Context: inst✝⁶ : LieRing L₂

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : LieRingModule L₂ M₂

Context: inst✝¹ : LieModule R L₂ M₂

Context: f : L →ₗ⁅R⁆ L₂

Context: g : M →ₗ[R] M₂

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: hg : Surjective ⇑g

Context: hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆

Context: inst✝ : LieModule.IsNilpotent R L M

Context: k : ℕ

Context: hk : lowerCentralSeries R L M k = ⊥


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableEq V
v w : V
h : v ≠ w


Context:
α : Type u_3
Preorder α
a : α


Context:
α : Type u_1
Preorder α
a b : α

toAntisymmetrization (fun x x_1 => x ≤ x_1) a ≤ toAntisymmetrization (fun x x_1 => x ≤ x_1) b ↔ a ≤ b


Context:
x : ℝ*
h : x ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
f g : CoprodI M →* N
h : ∀ (i : ι), f.comp of = g.comp of
x✝ : (i : ι) × M i
i : ι
x : M i

(g.comp of) x = (g.comp (conGen (Rel M)).mk') (FreeMonoid.of ⟨i, x⟩)


Context:
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a b : ℍ[R,c₁,c₂]

(a * b).imI = a.re * b.imI + a.imI * b.re - c₂ * a.imJ * b.imK + c₂ * a.imK * b.imJ


Context:
α : Type u_2
CompleteLattice α
a : α


Context:
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
x : G₀
h : x ≠ 0


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
α : Type u_2
f : OnePoint X → α
l : Filter α

Filter.Tendsto f (𝓝 OnePoint.infty) l ↔
  Filter.Tendsto f (pure OnePoint.infty) l ∧ Filter.Tendsto (f ∘ OnePoint.some) (Filter.coclosedCompact X) l


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
p : ℝ≥0
hp : p ≠ 0

eLpNorm f (↑p) μ ^ ↑p = ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ ↑p ∂μ


Context:
ι : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_7
αs : ι → Type u_13
Zero M
l : (i : ι) × αs i →₀ M
AddCommMonoid N
f : (i : ι) × αs i → M → N

l.sum f = ∑ i ∈ l.splitSupport, (l.split i).sum fun a b => f ⟨i, a⟩ b


Context: z : ℍ

Context: x : Fin 2 → ℤ

Context: hx : x ≠ 0

Context: H1 : max (x 0).natAbs (x 1).natAbs = (x 1).natAbs


Context:
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f : α → F

MeasureTheory.eLpNorm (-f) p μ = MeasureTheory.eLpNorm f p μ


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: s : Meq (J.plusObj P) S

Context: inj : ∀ (X : C), Function.Injective ⇑((J.toPlus P).app (op X))

Context: T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y

Context: t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)

Context: ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)

Context: B : J.Cover X := S.bind T


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
x : α
h : ContinuousOn f s
hx : s ∈ 𝓝 x


Context:
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
f : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
s : Set P₂


Context:
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Ring R
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y : R
h : v y < v x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: a : α

Context: t : Set Ω

Context: ht : MeasurableSet t

∫⁻ (b : β), ∫⁻ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫⁻ (x : β × Ω) in Set.univ ×ˢ t, f x ∂κ a


Context: M : Type u_1

Context: α : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: MeasurableSpace M

Context: MeasurableSpace α

Context: NormedAddCommGroup E

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: VAdd M α

Context: MeasureTheory.VAddInvariantMeasure M α μ

Context: MeasurableVAdd M α

Context: c : Mᵈᵃᵃ

Context: f g : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)


Context:
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β

Monotone (⇑OrderDual.toDual ∘ f ∘ ⇑OrderDual.ofDual) ↔ Monotone f


Context:
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
f : α → β
h : UniformContinuous f
a : α

SeparationQuotient.map f (SeparationQuotient.mk a) = SeparationQuotient.mk (f a)


Context:
α : Type u
a : α
s₁ : Stream' α
s₂ : Stream' α

a ∈ s₁ → a ∈ s₁ ⋈ s₂


Context:
E : Type u_2
Norm E
x : E


Context:
α : Type u
Countable α


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
t : κ → TopologicalSpace X'
F : ι → X' → α
x₀ : X'
k : κ
hk : EquicontinuousAt F x₀


Context:
α : Type u_1
E : Type u_5

∀ {x : MeasurableSpace α} [inst : MeasurableSpace E] [inst_1 : AddGroup E] [inst_2 : MeasurableAdd E] {g : α → E},
  Measurable g → ∀ (f : MeasureTheory.SimpleFunc α E), Measurable (↑f + g)


Context:
G : Type u_2
MeasurableSpace G
AddGroup G
MeasurableAdd G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsAddRightInvariant
x : G

Filter.map (fun h => h + x) (MeasureTheory.ae μ) = MeasureTheory.ae μ


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Preorder M

Context: inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x : M

Context: hx : x ≤ 1

Context: n : ℕ


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hr : r ≠ 0
x y : E
s t : Set E

μ ({x} + r • s) / μ ({y} + r • t) = μ s / μ t


Context:
α : Type u_1
x : α → ℕ


Context:
w : Nat
x : BitVec w


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
i' : ZMod 2
x' : ↥(evenOdd Q i')

∀ (m : M), (GradedAlgebra.ι Q) m * (GradedAlgebra.ι Q) m = (algebraMap R (⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))) (Q m)


Context: X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: ∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.p1 𝒰 f g ≫ f = AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.p2 𝒰 f g ≫ g


Context:
α : Type u
Order.Frame α
s : Set α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
DiscreteTopology α
f : C(α, β)
a : α

(ContinuousMap.equivFnOfDiscrete α β) f a = f a


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
NoMaxOrder α
DenselyOrdered α
a : α
s : Set α

s ∈ 𝓝[>] a ↔ ∃ u ∈ Set.Ioi a, Set.Ioc a u ⊆ s


Context:
M : Type u_2
AddZeroClass M
S₁ : AddSubmonoid M
S₂ : AddSubmonoid Mᵃᵒᵖ


Context:
R : Type u_1
p m n : ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : PerfectRing R p
x : R


Context: q : ℍ

‖NormedSpace.exp ℝ q‖ = ‖NormedSpace.exp ℝ q.re‖


Context:
α : Type u_1
f : α → ENNReal
s : Finset α
h : ∑ a ∈ s, f a = 1
h' : ∀ a ∉ s, f a = 0
a : α


Context:
M : Type u_6
CommGroup M
f : ℕ → M
n : ℕ

∏ i ∈ Finset.range n, f (i + 1) / f i = f n / f 0


Context:
K : SSet
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
x : (K ⊗ 𝟙_ SSet).obj Δ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: hx : x ∈ s

Context: L : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∃ F, ContinuousWithinAt F s x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u

Context: u₀ : Set (β × β)

Context: hu₀ : u₀ ∈ 𝓤 β

Context: u₁ : Set (β × β)

Context: h₁ : u₁ ∈ 𝓤 β

Context: u₁₀ : u₁ ○ u₁ ⊆ u₀

Context: u₂ : Set (β × β)

Context: h₂ : u₂ ∈ 𝓤 β

Context: hsymm : ∀ {a b : β}, (a, b) ∈ u₂ → (b, a) ∈ u₂

Context: u₂₁ : u₂ ○ u₂ ⊆ u₁

u₀ ∈ map (fun x_1 => (f x_1, f x)) (𝓝[s] x)


Context: n : ℕ

Context: m : ℤ

Context: hnpos : 0 < n

Context: N : ℤ

Context: P : 1 ≠ 0

Context: C : N.natAbs.Coprime 1

Context: hxr : m * ↑1 ^ n = N ^ n

Context: hv : ¬∃ y, ↑{ num := N, den := 1, den_nz := P, reduced := C } = ↑y

Context: c1 : ↑↑1 ≠ 0

Context: c2 : ↑↑1 ^ n ≠ 0

Context: hdivn : 1 ∣ N.natAbs


Context: E : Type u

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : ℂ → F

Context: z w : ℂ

Context: r : ℝ := dist w z

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)

Context: hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z

Context: hw : w ∈ closedBall z r

Context: hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖

Context: hr : 0 < r

Context: hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r


Context:
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
s : Subring R


Context:
α : Type u_1
self : Matroid α
I : Set α


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C

S.IsThin ↔ ∀ (c : ↑S.objs), Subsingleton ↑(S.arrows ↑c ↑c)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
t : MonoOver Z

(pullback (f ≫ g)).obj (Quotient.mk'' t) = (pullback f).obj ((pullback g).obj (Quotient.mk'' t))


Context:
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddCommMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
i j : A

CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.shiftComm X i j).hom
    ((CategoryTheory.shiftFunctor C i).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C j).map f)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctor C j).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C i).map f))
    (CategoryTheory.shiftComm Y i j).hom


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: x y : α

Context: a : α × α

Context: ha₁ : a.1 ∈ s

Context: ha₂ : a.2 ∈ s

Context: ha : a.1 ≠ a.2

Context: h : Rel α a (x, y)

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : x ≠ y

Context: hxy' : y ≠ x

Context: this : filter (fun z => Sym2.mk z = s(x, y)) s.offDiag = {(x, y), (y, x)}


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : C × D ⥤ E
W : C
X Y Z : D
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

F.map (𝟙 W, f ≫ g) = F.map (𝟙 W, f) ≫ F.map (𝟙 W, g)


Context:
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
P : Type u_6
NormedAddCommGroup V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
NormedAddCommGroup W
NormedField R
NormedSpace R V
NormedSpace R W
t : R
f : P →ᴬ[R] W


Context:
R : Type u_1
Add R
PartialOrder R
a : R
ha : AddLECancellable a


Context:
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : LocalRing R
h : I ≠ ⊤
x✝ : ℕ
i : R


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: D : GlueData C

Context: i j k : D.J

Context: U : Opens ↑↑(D.V (i, j))

Context: this : ∀ (U : (Opens ↑↑(D.U i))ᵒᵖ), (D.f i j).c.app U ≫ (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op ((Opens.map (D.f i j).base).obj (unop U))) = ((D.f i k).c.app U ≫ (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op ((Opens.map (D.f i k).base).obj (unop U)))) ≫ (pullback (D.f i j) (D.f i k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)

(D.f i k).c.app (op ((opensFunctor (D.f i j)).obj U)) = (D.f i k).c.app (op ((opensFunctor (D.f i j)).obj U)) ≫ (D.V (i, k)).presheaf.map ((homOfLE ⋯).op ≫ (opensFunctor (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k))).op.map (eqToHom ⋯ ≫ (Opens.map (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base).op.map (eqToHom ⋯)) ≫ eqToHom ⋯)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
g : G

g ∈ H.normalizer ↔ ∀ (h : G), h ∈ H ↔ g⁻¹ * h * g ∈ H


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
T : E →ₗ[𝕜] E
x : E


Context:
a b c : Int
h : a < b + c


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s

vectorSpan k s = Submodule.span k ((fun x => x -ᵥ p) '' s)


Context:
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I : FractionalIdeal S P
n : ℕ


Context:
a x✝ z x : ℂ
hr : x.re < 0
hi : x.im = 0

(if 0 ≤ x.re then -Real.arcsin (x.im / abs x) else if 0 ≤ -x.im then Real.arcsin (x.im / abs x) + π else Real.arcsin (x.im / abs x) - π) = if x.re < 0 ∧ x.im = 0 then π else -if 0 ≤ x.re then Real.arcsin (x.im / abs x) else if 0 ≤ x.im then -Real.arcsin (x.im / abs x) + π else -Real.arcsin (x.im / abs x) - π


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Sym2 α → Sym2 β → γ
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β

↑(Sym2.lift₂.symm F) a₁ a₂ b₁ b₂ = F s(a₁, a₂) s(b₁, b₂)


Context: μ : Measure ℝ

Context: inst✝ : NoAtoms μ

Context: s : Set ℝ

Context: p : ℝ → Prop

Context: h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (s ∩ Ioo a b), p x

Context: T : ↑s × ↑s → Set ℝ := fun p => Ioo ↑p.1 ↑p.2

Context: u : Set ℝ := ⋃ i, T i

Context: hfinite : (s \ u).Finite

Context: A : Set (↑s × ↑s)

Context: A_count : A.Countable

Context: hA : ⋃ i ∈ A, T i = ⋃ i, T i

Context: this : s ⊆ s \ u ∪ ⋃ p ∈ A, s ∩ T p


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddMonoid G
a : G
b : k
n : ℕ

single a b ^ (n + 1) = single ((n + 1) • a) (b ^ (n + 1))


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
OrderedAddCommMonoid β
l : Filter α
f : α → β
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atBot
n : ℕ
hn : 0 < n

Filter.Tendsto (fun x => n • f x) l Filter.atBot


Context: α : Type u_1

Context: M : Type u_8

Context: N : Type u_10

Context: Zero M

Context: AddCommMonoid N

Context: f : α →₀ M

Context: g1 g2 : α → M → N

Context: h : ∀ x ∈ f.support, g1 x (f x) = g2 x (f x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝓕 : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : ProperSpace E

Context: inst✝ : ProperSpace F

Context: f✝ : 𝓕

Context: f : E → F

Context: h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖


Context:
V : Type u_2
P : Type u_4
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace ℝ V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
hx : x ∉ s
h : (↑s).Nonempty


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: P : C

Context: π : Y ⟶ P

Context: w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f π = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g π

(CategoryTheory.Limits.Cofork.ofπ π w).π = π


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
i✝ : Fin n
i : Fin n.succ

i✝.succ < i ↔ ∃ a, i✝ < a ∧ (succEmb n) a = i


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
s : Set (Set α)
h₁ : Set.Unbounded r (⋃₀ s)
h₂ : #↑s < StrictOrder.cof r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: TopologicalSpace M

Context: ChartedSpace H M

Context: F₁ : Type u_14

Context: NormedAddCommGroup F₁

Context: NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: NormedAddCommGroup F₂

Context: NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_16

Context: NormedAddCommGroup F₃

Context: NormedSpace 𝕜 F₃

Context: n : ℕ∞

Context: g : M → F₁ →L[𝕜] F₃

Context: f : M → F₂ →L[𝕜] F₁

Context: x : M

Context: hg : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₃) n g x

Context: hf : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F₂ →L[𝕜] F₁) n f x

ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F₂ →L[𝕜] F₃) n (fun x => (g x).comp (f x)) x


Context:
xl xr : Type u
x : PGame

((∃ i, (∀ (i' : x.LeftMoves), x.moveLeft i' ⧏ moveLeft 0 i) ∧ ∀ (j : (moveLeft 0 i).RightMoves), x ⧏ (moveLeft 0 i).moveRight j) ∨ ∃ j, (∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), (x.moveRight j).moveLeft i ⧏ 0) ∧ ∀ (j' : RightMoves 0), x.moveRight j ⧏ moveRight 0 j') ↔ ∃ j, ∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), (x.moveRight j).moveLeft i ⧏ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
AddSemigroup β
f : α → β
x : α
y : FreeAddSemigroup α

(FreeAddSemigroup.lift f) (FreeAddSemigroup.of x + y) = f x + (FreeAddSemigroup.lift f) y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
U₁ U₂ V : Submodule 𝕜 E

U₁ ⊔ U₂ ⟂ V ↔ U₁ ⟂ V ∧ U₂ ⟂ V


Context:
α : Type u
n : ℕ
a : α
v : Mathlib.Vector α n

(Mathlib.Vector.cons a v).toList = a :: v.toList


Context:
m n : ℕ
h : m ≤ n


Context:
m : Type u_2
α : Type v
NonAssocSemiring α
Fintype m
DecidableEq m
v : m → α


Context: o : ONote


Context:
K : Type u_1
RCLike K
n : ℤ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
A : Submodule R M


Context: x y : ℝ

Real.exp (x - y) = Real.exp x / Real.exp y


Context:
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α

f =O[l] g → ∃ c, Asymptotics.IsBigOWith c l f g


Context:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
hn : 1 ≤ n
hx : x ∈ s

HasFDerivWithinAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) s x


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
e : Basis ι R M
w : ι → Rˣ

SameRay R (e.unitsSMul w).det (e.unitsSMul w).det


Context:
r : ℝ≥0
n : ℕ


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Ring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: N' : Submodule R S

Context: h : N' ≤ N

Context: inst✝ : Module.Flat R ↥M

Context: i : ↥M ⊗[R] ↥N' →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion h)


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂

HomologicalComplex₂.total.map (𝟙 K) c₁₂ = 𝟙 (K.total c₁₂)


Context: n : ℕ

∑ i ∈ Finset.range n, i = n * (n - 1) / 2


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.IsTrail
e : Sym2 V


Context:
x : ℝ
hx✝ : cos x = 0
hx : Complex.cos ↑x = 0

Tendsto Complex.ofReal' (𝓝[≠] x) (𝓝[≠] ↑x)


Context:
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.201719}
α : Type u
ι : Type v
f : ι → Set α

(sum fun i => #↑(f i)) = sum fun i => lift.{v, u} #↑(f i)


Context:
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
v : M
a✝ : v ∈ ⊤
p' q' : R[X]
hpq' : p' * p + q' * q = 1

((aeval f) (q * q')) v ∈ LinearMap.range ((aeval f) q) ∧ ((aeval f) (p * p')) v + ((aeval f) (q * q')) v = v


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Group G'

Context: H K L : Subgroup G

Context: h : H.index = 2

Context: a b : G

Context: ha : a ∉ H

Context: hb : b ∉ H

Context: c : G

Context: hc : ∀ (b : G), Xor' (b * c ∈ H) (b ∈ H)


Context:
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
OrderBot α
DecidableRel Disjoint
s₁ s₂ t : Finset α

(s₁ ∩ s₂).disjSups t ⊆ s₁.disjSups t ∩ s₂.disjSups t


Context:
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
b : R

(LinearMap.toSpanSingleton R M x) b = b • x


Context:
u : Set ℝ≥0∞
h : u.OrdConnected


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: n : ℕ∞

Context: hL : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: u v w : Set α

Context: hu : MeasurableSet u

Context: hv : MeasurableSet v

Context: hw : MeasurableSet w

Context: hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ (-s).restrict u

Context: hsv : VectorMeasure.restrict 0 v ≤ (-s).restrict v

Context: hs : ↑s (u ∆ v) = 0

Context: this : ↑(-s) (u ∆ v) = 0 → ↑(-s) (w ∩ u) = ↑(-s) (w ∩ v)


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
t : Set M'
g : M' → M''
hg : SmoothOn I' I'' g t
hf : Smooth I I' f
ht : ∀ (x : M), f x ∈ t


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
TopologicalSpace α
Preorder α
TopologicalSpace β
Preorder β
TopologicalSpace γ
Preorder γ
g₁ g₂ : β →Co γ
f : α →Co β
hf : Function.Surjective ⇑f


Context:
α : Type u_1
Encodable α
n : ℕ
a : α

a ∈ Encodable.decode₂ α n ↔ Encodable.encode a = n


Context:
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
Subsingleton R


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
f : α ≃ β


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2
B₁ : BilinMap R M R
Q✝ : QuadraticMap R M N
Q : QuadraticForm R M
hB₁ : associated' Q ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: n : ℕ

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: Ei : Fin n.succ → Type wEi

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)

Context: inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G

Context: m : (i : Fin n.succ) → Ei i


Context:
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
x : R

(MulChar.trivial R R') x = if IsUnit x then 1 else 0


Context:
α : Type u
CommSemiring α
x y : α
n : ℕ

(∑ i ∈ Finset.range n, (x + y) ^ i * y ^ (n - 1 - i)) * x + y ^ n = (x + y) ^ n


Context:
m : Type u_2
o : Type u_4
α : Type u_12
DecidableEq o
DecidableEq m
Fintype o
Fintype m
Semiring α
M : o → Matrix m m α
n : ℕ

Matrix.blockDiagonal (M ^ n) = Matrix.blockDiagonal M ^ n


Context: R : Type u_1

Context: CommRing R

Context: IsDedekindDomain R

Context: S : Type u_2

Context: CommRing S

Context: Algebra R S

Context: Module.Free R S

Context: Module.Finite R S

Context: p : Ideal R

Context: hp0 : p ≠ ⊥

Context: p.IsPrime

Context: Sₚ : Type u_3

Context: CommRing Sₚ

Context: Algebra S Sₚ

Context: IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ

Context: Algebra R Sₚ

Context: IsScalarTower R S Sₚ

Context: IsDedekindDomain Sₚ

Context: IsDomain S

Context: P : Ideal Sₚ

Context: hP : P.IsPrime

Context: hP0 : P ≠ ⊥

P ∈ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R Sₚ) p)


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
α : Type u_11


Context: α : Type u_1

Context: MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: NormedAddCommGroup E

Context: SecondCountableTopology α

Context: BorelSpace α

Context: MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: NormedSpace ℝ E

Context: CompleteSpace E

Context: f : α → E

Context: hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ

∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, f y ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
TopologicalSpace W
f : Y × Z → W
g : X → Y
h : X → Z
x : X
hf : ContinuousAt f (g x, h x)
hg : ContinuousAt g x
hh : ContinuousAt h x


Context:
n : ℕ
hn : n > 0

↑(harmonic (n + 1)) - log ↑(n + 1) < ↑(harmonic n) - log ↑n


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: Ring R

Context: AddCommGroup M

Context: Module R M

Context: StrongRankCondition R

Context: s : Set M

Context: Fintype ↑s

Context: card_lt : s.toFinset.card < FiniteDimensional.finrank R M


Context: a b n : ℕ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_4

Context: E : B → Type u_6

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: NormedAddCommGroup F

Context: NormedSpace 𝕜 F

Context: TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)

Context: (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: EB : Type u_7

Context: NormedAddCommGroup EB

Context: NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: n : ℕ∞

Context: TopologicalSpace B

Context: ChartedSpace HB B

Context: FiberBundle F E

Context: s : Set (Bundle.TotalSpace F E)

ContMDiffOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) IB n Bundle.TotalSpace.proj s


Context:
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
h : f.graph = g.graph


Context: H : Type u_1

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: TopologicalSpace H

Context: TopologicalSpace H'

Context: TopologicalSpace M'

Context: ChartedSpace H' M'

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: f f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: g : H → M'

Context: x : H

Context: s : Set H

Context: hf : f ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas M' G'

Context: xf : g x ∈ f.source

Context: hf' : f' ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas M' G'

Context: xf' : g x ∈ f'.source

Context: hgs : ContinuousWithinAt g s x


Context:
α : Type u_4
self : BiheytingAlgebra α
a b c : α


Context:
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
n j : ℕ
hj : j ≥ n

↑(const _root_.abs (∑ i ∈ range n, x ^ i / ↑i !)) j ≤ ↑⟨fun n => (↑(exp' ↑x) n).re, ⋯⟩ j


Context:
R : Type u
a b c d : R
Semiring R

(Polynomial.C a * Polynomial.X ^ 3 + Polynomial.C b * Polynomial.X ^ 2 + Polynomial.C c * Polynomial.X +
      Polynomial.C d).natDegree ≤
  3


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
this : IsSymm E fun x y => 1 ≤ ‖x - y‖
s : Finset E


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)

Context: inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: F G : Sheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: U : Opens ↑X

Context: hinj : ∀ (x : ↥U), Function.Injective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)

Context: hsurj : ∀ (t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))) (x : ↥U), ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (f.val.app (op V)) s = (G.val.map iVU.op) t

Context: t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))

Context: V : ↥U → Opens ↑X

Context: mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x

Context: iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U

Context: sf : (x : ↥U) → (forget C).obj (F.val.obj (op (V x)))

Context: heq : ∀ (x : ↥U), (f.val.app (op (V x))) (sf x) = (G.val.map (iVU x).op) t

Context: V_cover : U ≤ iSup V

Context: x y : ↥U

∀ (x_1 : ↥(V x ⊓ V y)), (F.presheaf.germ x_1) ((F.val.map ((V x).infLELeft (V y)).op) (sf x)) = (F.presheaf.germ x_1) ((F.val.map ((V x).infLERight (V y)).op) (sf y))


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
π : ι → Set (Set α)
S T : Set ι
hST : S ⊆ T


Context:
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
H : Subgroup N

Subgroup.map f (Subgroup.comap f H) = f.range ⊓ H


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f g : ArithmeticFunction R
h : ArithmeticFunction M


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : AddGroup A

Context: s : Set G

Context: p : (x : G) → x ∈ closure s → Prop

Context: one : p 1 ⋯

Context: x : G

Context: mul_left : ∀ (x : G) (hx : x ∈ s) (y : G) (hy : y ∈ Submonoid.closure (s ∪ s⁻¹)), p y ⋯ → p (x * y) ⋯

Context: mul_left_inv : ∀ (x : G) (hx : x ∈ s) (y : G) (hy : y ∈ Submonoid.closure (s ∪ s⁻¹)), p y ⋯ → p (x⁻¹ * y) ⋯

∀ (h : x ∈ Submonoid.closure (s ∪ s⁻¹)), p x ⋯


Context:
a✝ b✝ c d✝ m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b d : ℕ
hdb : d ∣ b
h : a < b


Context:
G : Type v
Group G
PseudoEMetricSpace G
IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
c : G

(IsometryEquiv.divRight c).symm = IsometryEquiv.mulRight c


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: s t : Set α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : NoMaxOrder α

Context: a : α

Context: ha : ∀ b ∈ s, (fun x x_1 => x ≤ x_1) b a


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: S : CategoryTheory.ShortComplex (HomologicalComplex C c)

Context: hS : S.ShortExact

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

Context: A : C

Context: x₃ : A ⟶ S.X₃.X i

Context: hx₃ : x₃ ≫ S.X₃.d i j = 0

Context: x₂ : A ⟶ S.X₂.X i

Context: hx₂ : x₂ ≫ S.g.f i = x₃

Context: x₁ : A ⟶ S.X₁.X j

Context: hx₁ : x₁ ≫ S.f.f j = x₂ ≫ S.X₂.d i j

Context: k : ι

Context: hk : c.next j = k

S.X₃.liftCycles x₃ j ⋯ hx₃ ≫ S.X₃.homologyπ i ≫ hS.δ i j hij = S.X₁.liftCycles x₁ k hk ⋯ ≫ S.X₁.homologyπ j


Context: n : ℕ


Context:
R : Type uR
M : Type uM
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
Ring A
Algebra R A
f : CliffordAlgebra.EvenHom Q A

∀ (a : ↥(CliffordAlgebra.even Q)),
  (CliffordAlgebra.even.lift.aux f) a = (((CliffordAlgebra.foldr Q (CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) ⋯) (1, 0)) ↑a).1


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: s : Set α

Context: t : Set ι

Context: C : ℝ≥0

Context: r : ι → ℝ

Context: c : ι → α

Context: B : ι → Set α

Context: hB : ∀ a ∈ t, B a ⊆ closedBall (c a) (r a)

Context: μB : ∀ a ∈ t, μ (closedBall (c a) (3 * r a)) ≤ ↑C * μ (B a)

Context: ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty

Context: h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)

Context: hf : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ a ∈ t, r a ≤ ε ∧ c a = x

Context: R : α → ℝ

Context: hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x

Context: hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1

Context: hRμ : ∀ (x : α), μ (closedBall x (20 * R x)) < ⊤

Context: t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ r a ≤ R (c a)}

Context: u : Set ι

Context: ut' : u ⊆ t'

Context: u_disj : u.PairwiseDisjoint B

Context: hu : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty ∧ r a ≤ 2 * r b

∃ u ⊆ t, u.Countable ∧ u.PairwiseDisjoint B ∧ μ (s \ ⋃ a ∈ u, B a) = 0


Context: α : Type u

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: f : Set (α × α) → Set (CauchyFilter α × CauchyFilter α) := fun s => {p | s ∈ ↑p.2 ×ˢ ↑p.1}

Context: h₁ : map Prod.swap ((𝓤 α).lift' gen) = (𝓤 α).lift' f

Context: h₂ : (𝓤 α).lift' f ≤ (𝓤 α).lift' gen

map Prod.swap ((𝓤 α).lift' gen) ≤ (𝓤 α).lift' gen


Context:
α β : Sort u_4
p : α → Prop
q : β → Prop
a : { x // p x }
b : { y // q y }
h : α = β
h' : HEq p q


Context: a : ℝ

¬MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => x⁻¹) (Set.Ici a) MeasureTheory.volume


Context:
α : Type u_1
a : α
s t : Multiset α


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: CommSemiring R

Context: CommRing S

Context: Algebra R S

Context: S' : Subalgebra R S

Context: s : Set S

Context: l : ↑s →₀ S

Context: hs : (Finsupp.total (↑s) S S Subtype.val) l = 1

Context: hs' : s ⊆ ↑S'

Context: hl : ∀ (i : ↑s), l i ∈ S'

Context: x : S

Context: H : ∀ (r : ↑s), ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ S'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β

(Setoid.ker f).classes ⊆ Set.range fun y => {x | f x = y}


Context:
α : Type u_1
E B I : Set α
hIE : I ⊆ E

(Matroid.uniqueBaseOn I E).Base B ↔ B = I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β

_root_.Disjoint (map Embedding.inl s) (map Embedding.inr t)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V

Context: i : ι

Context: x : G i

hV.linearIsometry (lp.single 2 i x) = (V i) x


Context: x : ℂ


Context:
b o : Ordinal.{u}
hb : 1 < b
x : Ordinal.{u} × Ordinal.{u}


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hfN : ∀ (ω : Ω), a ≤ f N ω
hfzero : 0 ≤ f 0
hab : a < b

(b - a) * ∫ (x : Ω), ↑(upcrossingsBefore a b f N x) ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range N, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
H K L : AddSubgroup G
hHK : H ≤ K
hKL : K ≤ L

H.relindex K * K.relindex L = H.relindex L


Context:
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
G : K ⥤ C
e : K ≌ J
α : e.functor ⋙ F ≅ G

(CategoryTheory.Limits.Cones.equivalenceOfReindexing e α).inverse =
  CategoryTheory.Limits.Cones.postcompose α.inv ⋙
    CategoryTheory.Limits.Cones.whiskering e.inverse ⋙ CategoryTheory.Limits.Cones.postcompose (e.invFunIdAssoc F).hom


Context:
R : Type u
CommSemiring R
I J : Ideal R

PrimeSpectrum.zeroLocus ↑(I ⊔ J) = PrimeSpectrum.zeroLocus ↑I ∩ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑J


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
NormedAddCommGroup γ
K K' : ℝ≥0
f : α → β
g : β → γ
hg : LipschitzWith K g
hg' : AntilipschitzWith K' g
g0 : g 0 = 0

MeasureTheory.Integrable (g ∘ f) μ ↔ MeasureTheory.Integrable f μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
n : ℕ
h : a ∉ s
m : { x // x ∈ (insert a s).sym n }

(Sym.filterNe a ↑m).snd ∈ s.sym (n - ↑(Sym.filterNe a ↑m).fst)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: e : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ : ℕ → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: f g : ℕ → Ω → E

Context: hf : Martingale f ℱ μ

Context: hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)

Context: hg0 : g 0 = 0

Context: hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ

Context: n : ℕ

Context: h : ℕ → Ω → E := f - martingalePart (f + g) ℱ μ

Context: hhdef : h = f - martingalePart (f + g) ℱ μ

Context: hh : h = predictablePart (f + g) ℱ μ - g

Context: hhpred : Adapted ℱ fun n => h (n + 1)

martingalePart (f + g) ℱ μ n =ᶠ[ae μ] f n


Context:
G : Type u_1
Group G
IsCoatomic (Subgroup G)
K : Subgroup G
h : K ⊔ frattini G = ⊤


Context:
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
ha : P.a = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
a b : α
f : α ↪o β
hab : a ⩿ b
h : (Set.range ⇑f).OrdConnected


Context: G : Type u

Context: inst✝ : AddCommGroup G

Context: hG : AddGroup.FG G

Context: n : ℕ

Context: ι : Type

Context: fι : Fintype ι

Context: p : ι → ℤ

Context: hp : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)

Context: e : ι → ℕ

Context: f : G ≃ₗ[ℤ] (Fin n →₀ ℤ) × ⨁ (i : ι), ℤ ⧸ Submodule.span ℤ {p i ^ e i}

∃ n ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Nat.Prime (p i)), ∃ e, Nonempty (G ≃+ (Fin n →₀ ℤ) × ⨁ (i : ι), ZMod (p i ^ e i))


Context:
α : Type u_1
M : Type u_4
AddZeroClass M
s t : Set α
a : α
h : a ∉ s ∩ t
f : α → M

(s ∪ t).indicator f a = s.indicator f a + t.indicator f a


Context: n b a : Nat


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
E : Type u_3
Norm E
F : Type u_4
Norm F
e : α ≃ₜ β
b : β
f : β → E
g : β → F

f =O[𝓝 b] g ↔ (f ∘ ⇑e) =O[𝓝 (e.symm b)] (g ∘ ⇑e)


Context:
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α

(l.node3L x m y r).dual = r.dual.node3R y m.dual x l.dual


Context: α : Type u_1

∀ (a : α), Function.Embedding.coeWithTop a = ↑a


Context:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : Fintype Ω
s : Set Ω


Context:
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix n n α
Invertible A


Context: α : Type u

Context: ι : Type x

Context: PseudoEMetricSpace α

Context: f : ι → Function.End α

Context: K : ι → ℝ≥0

Context: h : ∀ (i : ι), LipschitzWith (K i) (f i)

Context: l : List ι

LipschitzWith (List.map K l).prod (List.map f l).prod


Context:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace 𝕜
r : ℝ
rpos : 0 < r
h : IsCompact (Metric.closedBall 0 r)


Context:
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: A : StarSubalgebra 𝕜 C(X, 𝕜)

Context: hA : A.SeparatesPoints

Context: I : C(X, ℝ) →ₗ[ℝ] C(X, 𝕜) := ContinuousLinearMap.compLeftContinuous ℝ X ofRealCLM

Context: key : LinearMap.range I ≤ (Submodule.restrictScalars ℝ (Subalgebra.toSubmodule A.toSubalgebra)).topologicalClosure

Context: f : C(X, 𝕜)

Context: f_re : C(X, ℝ) := { toFun := ⇑re, continuous_toFun := ⋯ }.comp f

Context: f_im : C(X, ℝ) := { toFun := ⇑im, continuous_toFun := ⋯ }.comp f


Context:
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
a : α
(𝓝[<] a).NeBot

(𝓝ˢ (Set.Ici a)).HasBasis (fun x => x < a) Set.Ici


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ takeWhile p l.reverse


Context:
M : Type u_6
N : Type u_7
Mul M
Mul N
f : M ≃* N
x y : M


Context: b : String

Levenshtein.stringLengthCost.insert b = b.length


Context:
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
G : K ⥤ C
t : CategoryTheory.Limits.Cone G
P : CategoryTheory.Limits.IsLimit s
Q : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F

(P.conePointsIsoOfEquivalence Q e w).inv =
  P.lift ((CategoryTheory.Limits.Cones.equivalenceOfReindexing e w).functor.obj t)


Context:
α : Type u
Semiring α
PartialOrder α
a b : α
PosMulStrictMono α
MulPosMono α
h1 : 0 ≤ a
h2 : a < b


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: U : (Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ

Context: a b : (x : ↥(unop U)) → at ↑x

Context: ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a

Context: hb : (isLocallyFraction 𝒜).pred b

Context: x : ↥(unop U)

Context: Va : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: ma : ↑x ∈ Va

Context: ia : Va ⟶ unop U

Context: ja : ℕ

Context: ra : A

Context: ra_mem : ra ∈ 𝒜 ja

Context: sa : A

Context: sa_mem : sa ∈ 𝒜 ja

Context: hwa : ∀ (x : ↥Va), ↑⟨sa, sa_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal

Context: wa : ∀ (x : ↥Va), (fun x => a ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja, num := ⟨ra, ra_mem⟩, den := ⟨sa, sa_mem⟩, den_mem := ⋯ }

Context: Vb : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: mb : ↑x ∈ Vb

Context: ib : Vb ⟶ unop U

Context: jb : ℕ

Context: rb : A

Context: rb_mem : rb ∈ 𝒜 jb

Context: sb : A

Context: sb_mem : sb ∈ 𝒜 jb

Context: hwb : ∀ (x : ↥Vb), ↑⟨sb, sb_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal

Context: wb : ∀ (x : ↥Vb), (fun x => b ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := jb, num := ⟨rb, rb_mem⟩, den := ⟨sb, sb_mem⟩, den_mem := ⋯ }

∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ i, (isFractionPrelocal 𝒜).pred fun x => (a + b) ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'X : ¬X =ᶠ[ae μ] 0
I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω‖₊ ∂μ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => x - a) ⁻¹' Ico b c = Ico (b + a) (c + a)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: c' : ComplexShape ι'

Context: C : Type u_3

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: K : HomologicalComplex C c'

Context: e : c.Embedding c'

Context: e.IsTruncGE

Context: ∀ (i' : ι'), K.HasHomology i'

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

Context: i' j' : ι'

Context: hi' : e.f i = i'

Context: hj' : e.f j = j'

Context: hi : e.BoundaryGE i

(K.truncGE' e).d i j = (K.truncGE'XIsoOpcycles e hi' hi).hom ≫ K.fromOpcycles i' j' ≫ (K.truncGE'XIso e hj' ⋯).inv


Context:
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
t : Set α
p : α → Prop
ht : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, p x
htc : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict tᶜ, p x


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: B A₁ A₂ : C

Context: f : A₁ ⟶ B

Context: g : A₂ ⟶ B

Context: CategoryTheory.Mono f

Context: CategoryTheory.Mono g

Context: h : CategoryTheory.Subobject.mk f ≤ CategoryTheory.Subobject.mk g

CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Subobject.ofMkLEMk f g h) g = f


Context: w : Nat

Context: α : Type u_1

Context: f : Fin w → α → α × Bool

Context: state : Nat → α

Context: value : BitVec w

Context: a : α

Context: init : state 0 = a

Context: step : ∀ (i : Fin w), f i (state ↑i) = (state (↑i + 1), value.getLsb ↑i)

BitVec.iunfoldr f a = (state w, BitVec.truncate w value)


Context: X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace

Context: r : ↑(AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Γ.obj (Opposite.op X))

X.toΓSpecFun ⁻¹' (PrimeSpectrum.basicOpen r).carrier = (X.toRingedSpace.basicOpen r).carrier


Context:
n : ℕ
a : Composition n
b : Composition a.length
i : Fin b.length

(a.sigmaCompositionAux b ⟨↑i, ⋯⟩).length = b.blocksFun i


Context:
δ' : Type u_5
π : δ' → Type u_6
(x : δ') → MeasurableSpace (π x)
DecidableEq δ'
l : List δ'
hnd : l.Nodup
h : ∀ (i : δ'), i ∈ l

⇑(MeasurableEquiv.piMeasurableEquivTProd hnd h).symm = List.TProd.elim' h


Context:
α : Type u_1
p : α → Prop
s : Finset { x // p x }
a : α
h : ¬p a

a ∉ Finset.map (Function.Embedding.subtype fun x => p x) s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s t : Finset β
a : α
b : β

↑s ⊆ a • ↑t ↔ a⁻¹ • ↑s ⊆ ↑t


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: f g f' g' : X ⟶ Y

Context: α : CategoryTheory.Limits.parallelPair f g ⟶ CategoryTheory.Limits.parallelPair f' g'

Context: c : CategoryTheory.Limits.Fork f g

CategoryTheory.Limits.Fork.ι ((CategoryTheory.Limits.Cones.postcompose α).obj c) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp c.ι (α.app CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α


Context:
α : Type u_2
HeytingAlgebra α
a b : α


Context:
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
F₁ F₂ : C × D ⥤ E
h : curry.obj F₁ = curry.obj F₂


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a✝ : α

Context: f✝ g : α → β

Context: inst✝² : CommMonoid β

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: M : Type u_6

Context: inst✝ : CommMonoid M

Context: f : α → M

Context: a : α

Context: s : List α

Context: IH : (List.map f s).prod = ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ count m s

Context: has : a ∉ s.toFinset

f a * ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ count m s = ∏ x ∈ insert a s.toFinset, f x ^ count x (a :: s)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: s t u v : Set α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TotallyDisconnectedSpace β

Context: f✝ : α → β

Context: S : Set α

Context: hS : IsPreconnected S

Context: T : Set β

Context: inst✝ : DiscreteTopology ↑T

Context: f : α → β

Context: hc : ContinuousOn f S

Context: hTm : MapsTo f S T

Context: x y : α

Context: hx : x ∈ S

Context: hy : y ∈ S

Context: F : ↑S → ↑T := MapsTo.restrict f S T hTm


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: h : 1 < finrank ℚ K

Context: x : 𝓞 K

Context: h_nz : x ≠ 0

Context: h_bd : ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑x| ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|

Context: h_nm : 1 ≤ ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑x|

4 / 9 * (3 * π / 4) ^ finrank ℚ K ≤ ↑|discr K|


Context:
a : Prop
h : (¬a) = True


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)

Context: x : K

Context: h : IsIntegral ℤ x


Context: D : GlueData

Context: α : Type u

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: J : Type u

Context: U : J → Opens α

Context: s : Set ↑(ofOpenSubsets U).glued

Context: hs : ∀ (i : (ofOpenSubsets U).J), IsOpen (⇑((ofOpenSubsets U).ι i) ⁻¹' s)

∀ x ∈ ⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s, ∃ t ⊆ ⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s, IsOpen t ∧ x ∈ t


Context:
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * r₁ = ra * ↑s₂
rb : R
sb : ↥S
hb : ↑sb * r₂ = rb * ↑s₃
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ra = rc * ↑sb

(r₁ /ₒ s₁) • (rb • r₃ /ₒ (sb * s₂)) = rc • rb • r₃ /ₒ (sc * sa * s₁)


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y : ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f S y


Context: m n k : ℕ


Context:
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : a ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μa μb
s : Set β
hs : MeasurableSet s

map f (μa.restrict (f ⁻¹' s)) = μb.restrict s


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup G
AddAction G β
VAdd α β
VAddCommClass G α β
a : α
b : β

AddAction.stabilizer G b ≤ AddAction.stabilizer G (a +ᵥ b)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
n : ℕ


Context:
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
m n : ℕ
h : m = n
h' : m ≤ n
φ : L.BoundedFormula α m
v : α → M
xs : Fin n → M

(FirstOrder.Language.BoundedFormula.castLE h' φ).Realize v xs ↔ φ.Realize v (xs ∘ Fin.cast h)


Context:
α : Type u
b : Set (Set α)
hc : b.Countable


Context: q : ℚ


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : E
L : Filter E
f₂ : E → F × G
f₂' : E →L[𝕜] F × G
h : HasFDerivAtFilter f₂ f₂' x L

HasFDerivAtFilter (fun x => (f₂ x).1) ((ContinuousLinearMap.fst 𝕜 F G).comp f₂') x L


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: a b : A

Context: ha : a ∈ carrier f_deg q

Context: hb : b ∈ carrier f_deg q

Context: i : ℕ

Context: g : ℕ → A⁰_ f := fun j => (m + m).choose j • if h2 : m + m < j then 0 else if h1 : j ≤ m then HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) b ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } else HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } * HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) a ^ (j - m) * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j), ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }

Context: j : ℕ

Context: hj : j ∈ range (m + m + 1)

Localization.mk ((m + m).choose j • ((proj 𝒜 i) a ^ j * (proj 𝒜 i) b ^ (m + m - j))) ⟨f ^ (i + i), ⋯⟩ = HomogeneousLocalization.val (g j)


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommRing R✝

Context: S : Submonoid R✝

Context: P : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommRing P

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: R₁ : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R₁

Context: K✝ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Field K✝

Context: inst✝⁶ : Algebra R₁ K✝

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R₁ K✝

Context: inst✝⁴ : IsDomain R₁

Context: R : Type u_6

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J

Context: h : Ideal.span {a} = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z


Context: x : ℝ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
y : ℤ


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m✝ : Multiset ι
f g : ι → α
m : Multiset α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
N : Matroid β
E B : Set α
h : Set.BijOn f E N.E

(N.comapOn E f).Base B ↔ N.Base (f '' B) ∧ B ⊆ E


Context:
R : Type u
Field R
p q : R[X]


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Ring K
inst✝² : NoZeroDivisors K
inst✝¹ : Nontrivial K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
n : ℕ := Fintype.card ↥G
nzero : ↑(Fintype.card ↥G) = 0
p : ℕ
char_p : CharP K p
hd : p ∣ n


Context:
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂

domCoprod' ((∑ σ : Perm ιa, Perm.sign σ • domDomCongr σ a) ⊗ₜ[R'] ∑ σ : Perm ιb, Perm.sign σ • domDomCongr σ b) = ∑ x : Perm ιa, ∑ x_1 : Perm ιb, Perm.sign x • Perm.sign x_1 • domCoprod' (domDomCongr x a ⊗ₜ[R'] domDomCongr x_1 b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4


Context:
α : Type u
a : α
s t : Stream'.Seq α

(Stream'.Seq.cons a s).append t = Stream'.Seq.cons a (s.append t)


Context:
α : Type u
DivisionMonoid α
a b c : α
h : IsUnit c


Context:
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R


Context:
z : ℂ
hz : 1 + -z ∈ slitPlane


Context:
X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0

‖SemiNormedGrp.explicitCokernelDesc w‖ ≤ ‖g‖


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hodd : p ≠ 2

Context: this : NumberField K := numberField {p ^ (k + 1)} ℚ K

(Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = ↑↑p


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : Infinite α

Context: this : DecidableEq α := Classical.decEq α

Context: m n : ℕ

Context: h : Infinite.natEmbeddingAux α m = Infinite.natEmbeddingAux α n

Context: hmlen : m ≤ n

Context: hmn✝ : ¬m = n

Context: hmn : m < n


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
f : CategoryTheory.Aut X
n : ℤ


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
h : Function.Surjective F.obj


Context:
α : Type u_3
a : Multiset α
l : List (Multiset α)

l.sum.Disjoint a ↔ ∀ b ∈ l, b.Disjoint a


Context: n : Type u

Context: DecidableEq n

Context: Fintype n

Context: R : Type v

Context: CommRing R

Context: i : n

Context: A : ↥(Subgroup.center (Matrix.SpecialLinearGroup n R))

(Matrix.SpecialLinearGroup.center_equiv_rootsOfUnity' i) A = rootsOfUnity.mkOfPowEq (↑↑A i i) ⋯


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: rs : ℕ

Context: rl : Ordnode α

Context: rx : α

Context: rr : Ordnode α

Context: hr : Valid' (↑x) (Ordnode.node rs rl rx rr) o₂

Context: H1 : ¬l.size + (Ordnode.node rs rl rx rr).size ≤ 1

Context: H2 : delta * l.size ≤ rl.size + rr.size

Context: H3 : 2 * (rl.size + rr.size) ≤ 9 * l.size + 3 ∨ rl.size + rr.size ≤ 2

Context: H3_0 : l.size = 0 → rl.size + rr.size ≤ 2

Context: H3p : l.size > 0 → 2 * (rl.size + rr.size) ≤ 9 * l.size + 3

Context: ablem : ∀ {a b : ℕ}, 1 ≤ a → a + b ≤ 2 → b ≤ 1

Context: hlp : l.size > 0 → ¬rl.size + rr.size ≤ 1

Valid' o₁ (l.rotateL x (Ordnode.node rs rl rx rr)) o₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 2 ≤ N
hN' : N ≤ 4096


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
hg : Measurable g
hf : AEMeasurable f μ

essSup g (Measure.map f μ) = essSup (g ∘ f) μ


Context:
R : Type u
S : Type u₁
Monoid R
Monoid S
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction S B
f : A →ₛₙₐ[φ] B


Context:
α : Type u_1
n : ℕ
f : Fin n → α

(Mathlib.Vector.mOfFn fun i => Part.some (f i)) = Part.some (Mathlib.Vector.ofFn f)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 p4 : P

Context: h : InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p3) (p4 -ᵥ p3) = π


Context:
ι : Type u_11
α : Type u_12
s : Set ι
hs : s.Nonempty
f : ι → Set α
t : Set α


Context:
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
t : Batteries.RBSet α cmp
cut : α → Ordering
f : Option α → Option α
self : t.AlterWF cut f

Batteries.RBNode.WF cmp (Batteries.RBNode.alter cut f t.val)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f g : ι → α
inst✝ : CommRing α
n k : ℕ

∏ i ∈ range k, (↑n - ↑i) = ↑(∏ i ∈ range k, (n - i))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a : α
m : M
f : α →₀ M

(∃ a_1, f a_1 ≠ 0 ∧ { toFun := fun a => (a, f a), inj' := ⋯ } a_1 = (a, m)) ↔ f a = m ∧ m ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ : Finset β
f✝ f g : β → α
hfg : ∀ a ∈ s₁, f a = g a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ

Context: h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x

Context: h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))

Context: this : Monotone fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ


Context:
i : Fin 2
hi : i ≠ 0


Context:
α : Type u
TopologicalSpace α
F : Set α
x : α
h : x ∉ F


Context: G : Type u

Context: inst✝¹ : Groupoid G

Context: inst✝ : IsFreeGroupoid G

Context: a b : G

Context: p : a ⟶ b

Context: X : Type u := FreeGroup (WeaklyConnectedComponent (Generators G))

Context: f : G → X := fun g => FreeGroup.of (WeaklyConnectedComponent.mk g)

Context: F : G ⥤ CategoryTheory.SingleObj X := differenceFunctor f

Context: a✝ b✝ : Generators G

Context: e✝ : a✝ ⟶ b✝

WeaklyConnectedComponent.mk b✝ = WeaklyConnectedComponent.mk (let_fun this := a✝; this)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X

(∀ (f : Ultrafilter X), ↑f ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ClusterPt x ↑f) ↔ ∀ (f : Ultrafilter X), ↑f ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ↑f ≤ 𝓝 x


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 1 μ)


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_6
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
NormedAddCommGroup H
NormedSpace 𝕜 H
φ : α → H
L : H ≃L[𝕜] E

MeasureTheory.Integrable (fun a => L (φ a)) μ ↔ MeasureTheory.Integrable φ μ


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α

g (abs ⟨a, splitFun f' fun i => (P F).wRec (fun a f' _f rec => g (abs ⟨a, splitFun f' rec⟩)) (f i)⟩) = g (abs ⟨a, splitFun f' (((P F).wRec fun a f' _f rec => g (abs ⟨a, splitFun f' rec⟩)) ∘ f)⟩)


Context:
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s : Set α

TotallyBounded s ↔ ∀ ε > 0, ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, EMetric.ball y ε


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 →ᵃ[𝕜] E


Context:
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : J ⥤ C
j : J

(λ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = (limit.lift ((Functor.const J).obj (𝟙_ C)) { pt := 𝟙_ C, π := { app := fun j => 𝟙 (𝟙_ C), naturality := ⋯ } } ⊗ 𝟙 (limit X)) ≫ ((limit.π (𝟙_ (J ⥤ C)) j ⊗ 𝟙 (limit X)) ≫ (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ limit.π X j)) ≫ (λ_ (X.obj j)).hom


Context:
R : Type u_1
M : Type u_9
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
σ : R →+* R
RingHomId σ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : LinearOrder α

Context: inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x y : α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology β

{x | ¬ContinuousWithinAt f (Ioi x) x}.Countable


Context:
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
S T : NonUnitalStarSubalgebra R A
h : ∀ (x : A), x ∈ S ↔ x ∈ T


Context:
x✝ y✝ x y : ℝ
h : 0 < x


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n✝ : ℕ
x : G
hx : IsOfFinOrder x
n : ℕ
hn : ∃ m, x ^ m = x ^ n

(finEquivPowers x hx).symm ⟨x ^ n, hn⟩ = ⟨n % orderOf x, ⋯⟩


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C

(shiftFunctorAdd C 0 a).hom.app X = eqToHom ⋯ ≫ (shiftFunctor C a).map ((shiftFunctorZero C A).inv.app X)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ

¬a ≡ b [PMOD p] ↔ toIcoDiv hp a b = toIocDiv hp a b


Context: n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: f : α → β

Context: TopologicalSpace β

Context: FirstCountableTopology β

Context: OrderTopology β

Context: hf : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (MeasureTheory.ae μ) f := by isBoundedDefault


Context: n : ℕ

↑(bif (↑n).bodd then 1 else 0) + 2 * (↑n).div2 = ↑n


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
e : M ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
p : Submodule R M

Submodule.map (↑e) p = Submodule.comap (↑e.symm) p


Context:
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
Preorder α
PartialOrder β
gi : GaloisInsertion l u


Context:
α : Type u_2
Zero α


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
X✝ Y✝ : (Mon_ Cᵒᵖ)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝

f.unop.hom.unop ≫ ((fun A => Mon_OpOpToComon_obj' C (unop A)) Y✝).counit = ((fun A => Mon_OpOpToComon_obj' C (unop A)) X✝).counit


Context:
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid A
Module R A
Coalgebra R A
a : A

(TensorProduct.assoc R A A A) ((LinearMap.rTensor A Coalgebra.comul) (Coalgebra.comul a)) =
  (LinearMap.lTensor A Coalgebra.comul) (Coalgebra.comul a)


Context:
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
ca ca' : Computation α
cb cb' : Computation β
ha : ca.Equiv ca'
hb : cb.Equiv cb'

Computation.LiftRel R ca cb ↔ Computation.LiftRel R ca' cb'


Context:
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β
s t : Multiset α
H : s ⊆ t


Context: x y : ℂ

Context: s1 : cos x = cos ((x + y) / 2) * cos ((x - y) / 2) - sin ((x + y) / 2) * sin ((x - y) / 2)

Context: s2 : cos ((x + y) / 2 - (x - y) / 2) = cos ((x + y) / 2) * cos ((x - y) / 2) + sin ((x + y) / 2) * sin ((x - y) / 2)


Context:
b o : Ordinal.{u_1}
hbo : o < b


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : AddCommMonoid β
inst✝ : Module α β
a b : α
s : Set β
x : β
hx : x ∈ s

(fun x => (a + b) • x) x ∈ a • s + b • s


Context:
M : Type u_1
Mul M
c : Con M
C : c.Quotient → Prop
q : c.Quotient
H : ∀ (x : M), C ↑x


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
A : Set E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul 𝕜 E
hA : Balanced 𝕜 A


Context:
α : Type u_1
n : Type u_4
AddGroup α
A : Matrix n n α


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
f g : M₁ →SL[σ₁₂] M₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α

∃ x, ∀ x_1 ∈ s.measureOfNegatives, x ≤ x_1


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure X

Context: l : Filter X

Context: inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated

Context: f : X → E

Context: b : E

Context: h : Tendsto f (l ⊓ ae μ) (𝓝 b)

Context: hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ

Context: hμ : μ.FiniteAtFilter l

Context: s : ι → Set X

Context: li : Filter ι

Context: hs : Tendsto s li l.smallSets

Context: m : optParam (ι → ℝ) fun i => (μ (s i)).toReal

Context: hsμ : autoParam ((fun i => (μ (s i)).toReal) =ᶠ[li] m) _auto✝

(fun s => ∫ (x : X) in s, f x ∂μ - (μ s).toReal • b) =o[l.smallSets] fun s => (μ s).toReal


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
b : H
AddZeroClass G
One G
Add H
AddConstMapClass F G H 1 b
f : F


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → β
hf : Function.Surjective f
p : β → Prop


Context:
α : Sort u
β : Sort v
f : α → β
hf : Function.Bijective f
x : β


Context:
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
IsEmpty σ
p : MvPolynomial σ R

p = MvPolynomial.C (MvPolynomial.coeff 0 p)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
r : R
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
hinf : (B₂ \ B₁).encard = ⊤


Context:
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
N : Type u_5
AddCommGroup N
Module R N
Module S N
IsScalarTower R S N
x : N
a : Set N

x ∈ Submodule.span S a ↔ ∃ y ∈ Submodule.span R a, ∃ z, x = IsLocalization.mk' S 1 z • y


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e e' : PartialHomeomorph X Y
h : e ≈ e'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: TopologicalSpace B

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: NormedAddCommGroup F

Context: NormedSpace 𝕜 F

Context: φ φ' : B → F ≃L[𝕜] F

Context: U U' : Set B

Context: hU : IsOpen U

Context: hφ : ContinuousOn (fun x => ↑(φ x)) U

Context: h2φ : ContinuousOn (fun x => ↑(φ x).symm) U

Context: hU' : IsOpen U'

Context: hφ' : ContinuousOn (fun x => ↑(φ' x)) U'

Context: h2φ' : ContinuousOn (fun x => ↑(φ' x).symm) U'

Context: b : B

Context: v : F

↑(FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hU hφ h2φ ≫ₕ FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ' hU' hφ' h2φ') (b, v) =
  (b, (φ' b) ((φ b) v))


∀ {x : Sort u_1} {cmp : x → x → Ordering} [inst : Batteries.TransCmp cmp] {x_1 y z : x},
  cmp x_1 y = Ordering.lt → cmp y z ≠ Ordering.gt → cmp x_1 z = Ordering.lt


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : TangentBundle I H

↑(chartAt (ModelProd H E) p) = ⇑(TotalSpace.toProd H E)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f g : α → ℝ
Kf Kg : ℝ≥0
hf : LipschitzWith Kf f
a : ℝ


Context:
α✝ α : Type u
inst✝² : Monoid α
a b : α
inst✝¹ : Invertible a
inst✝ : Invertible b
h : a = b


Context:
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 < a
hb : 0 < b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ

(∃ z, b = a + z • p) → toIocMod hp a b = a + p


Context: ι : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t : ι → Finset α

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: hn : Fintype.card ι = n.succ

Context: ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card

Context: ih : ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α), Fintype.card ι' ≤ n → (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: hns : s ≠ univ

Context: hus : s.card = (s.biUnion t).card

Context: this : DecidableEq ι

Context: card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n

Context: t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'

Context: f' : { x // x ∈ s } → α

Context: hf' : Function.Injective f'

Context: hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x

∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
f g : α →o β
hf : Continuous f
hg : Continuous g


Context:
p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q


Context:
G : Type w
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
a : G


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: f : X ⟶ Y

Context: CategoryTheory.Limits.HasKernel f

Context: Z : C

Context: h : Y ⟶ Z

Context: CategoryTheory.Limits.HasKernel (f ≫ h)

CategoryTheory.Limits.kernelSubobject f ≤ CategoryTheory.Limits.kernelSubobject (f ≫ h)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f g : R

((toBasicOpen R f).comp (algebraMap R (Localization.Away f))) g = (toOpen R (PrimeSpectrum.basicOpen f)) g


Context:
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b c : α
inst✝ : Invertible c


Context:
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
hab : a < b


Context:
S : Type u_6
LinearOrderedRing S
a : S


Context:
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: hκη : κ ≤ η

Context: a : α

Context: x : γ

Context: hx_le_one : (∂κ a/∂η a) x ≤ 1 x


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
CommRing R
AddCommGroup L
Module R L
AddCommGroup M
Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
Fintype ι
Fintype ι'
DecidableEq ι
DecidableEq ι'
Module.Free R M
Module.Finite R M
b : Basis ι R L
b' : Basis ι' R L
k : ℕ
H : (φ.polyCharpoly b).coeff k = 0


Context:
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
f : Filter β
u : β → α
a : α

Filter.Tendsto u f (𝓝 a) ↔ Filter.Tendsto (fun x => (u x, a)) f (𝓤 α)


Context:
M₀ : Type u_2
CommMonoidWithZero M₀
a : M₀
ha : ⟦a⟧ ∈ (Associates M₀)⁰

associatesNonZeroDivisorsEquiv ⟨⟦a⟧, ha⟩ = ⟦⟨a, ⋯⟩⟧


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hfd : ∀ x ∈ S, DifferentiableAt ℝ f x
x : ℝ
hx hy : x ∈ S
hxy : x ≤ x


Context:
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η : F ⟶ G
a : B

(CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor η).hom.app a = (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor (η.app a)).hom


Context:
R' : Type u_5
M' : Type u_6
CommSemiring R'
AddCommMonoid M'
Module R' M'
s : Set R'
N : Submodule R' M'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: RCLike 𝕜

Context: NormedAddCommGroup E

Context: InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_4

Context: DecidableEq ι

Context: V : ι → Submodule 𝕜 E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ

Context: x : DirectSum ι fun i => ↥(V i)

Context: i : ι

Context: CompleteSpace ↥(V i)

(orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) x) = x i


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤

((μ.withDensity f).withDensity fun x => (f x)⁻¹) = μ


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: f g : CategoryTheory.Arrow C

Context: ∀ (n : ℕ), CategoryTheory.Limits.HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom

Context: ∀ (n : ℕ), CategoryTheory.Limits.HasWidePushout g.left (fun x => g.right) fun x => g.hom

Context: F : f ⟶ g

(CategoryTheory.Arrow.mapAugmentedCechConerve F).left = F.left


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : b ≠ 0
ha : 2 ≤ a
h : a ^ n ∣ b


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.147899, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
ψ : S₃ ⟶ S₁

(ψ ≫ φ₁).τ₃ = ψ.τ₃ ≫ h.h₃ + (ψ.τ₃ ≫ h.h₂) ≫ S₂.g + (ψ ≫ φ₂).τ₃


Context:
E : Type u_5
SeminormedAddCommGroup E
R' : Type u_12
Ring R'
Module R' E
p q : Submodule R' E
h : p = q

(LinearIsometryEquiv.ofEq p q h).symm = LinearIsometryEquiv.ofEq q p ⋯


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0

∃ s, MeasurableSet s ∧ μ s < ⊤ ∧ ∫⁻ (a : α) in sᶜ, f a ∂μ < ε


Context:
a t : ℝ
ht : 0 < t

HasSum (fun n => rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t)) (evenKernel (↑a) t)


Context:
R : Type u
a : R
Semiring R
ha : a ≠ 0

(Polynomial.C a * Polynomial.X).degree = 1


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f₁ : α → β
f₂ : α → γ
h₁ : UniformContinuous f₁
h₂ : UniformContinuous f₂


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F G H : C ⥤ D
X : C

(α_ F G H).hom.app X = (α_ (F.obj X) (G.obj X) (H.obj X)).hom


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure Ω

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)

Context: E : Set Ω

Context: E_mble : MeasurableSet E

Context: h : limsup (fun i => (μs i) E) L ≤ μ E

Context: hne : L.NeBot

Context: meas_Ec : μ Eᶜ = 1 - μ E

Context: meas_i_Ec : ∀ (i : ι), (μs i) Eᶜ = 1 - (μs i) E

Context: obs : liminf (fun i => 1 - (μs i) E) L = liminf ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L

1 - μ E ≤ liminf ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L


Context:
α : Type u
f : Filter α


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
E₁ : Type u_9
E₂ : Type u_10
UniformSpace E₁
UniformSpace E₂
AddCommGroup E₁
AddCommGroup E₂
Module R₁ E₁
Module R₂ E₂
UniformAddGroup E₁
UniformAddGroup E₂
e : E₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] E₂
h₁ : Continuous ⇑e
h₂ : Continuous ⇑e.symm


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p : α → β → Prop


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
s : Finset ι
f : ι →₀ α
t : ι → Finset α

f ∈ s.finsupp t ↔ f.support ⊆ s ∧ ∀ i ∈ s, f i ∈ t i


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : Mul α
inst✝² : Mul α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : MulHomClass F α α₂
f : F
x y : MonoidAlgebra β α

(sum x fun a b => sum y fun a_1 b_1 => Finsupp.single (f a * f a_1) (b * b_1)) = sum (mapDomain (⇑f) x) fun a₁ b₁ => sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (a₁ * a₂) (b₁ * b₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
LinearOrder α
TopologicalSpace β
a : α
f : α → β

ContinuousAt f a ↔ ContinuousWithinAt f (Set.Iio a) a ∧ ContinuousWithinAt f (Set.Ioi a) a


Context:
R : Type u_6
A : Type u_7
M : Type u_8
Semiring R
Semiring A
Module R A
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
Module.Finite R A
Module.Finite A M


Context: α : Type u

Context: Semiring α

Context: LinearOrder α

Context: ExistsAddOfLE α

Context: MulPosStrictMono α

Context: CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c : α

Context: h : c < 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
m : M

(TensorAlgebra.GradedAlgebra.ι R M) m =
  (DirectSum.of (fun i => ↥(LinearMap.range (TensorAlgebra.ι R) ^ i)) 1) ⟨(TensorAlgebra.ι R) m, ⋯⟩


Context:
α : Type u_2
M : Type u_4
CanonicallyOrderedCommMonoid M
a : α
s : Set α
f g : α → M
hfg : a ∈ s → f a ≤ g a


Context: V : Type u_1

Context: NormedAddCommGroup V

Context: InnerProductSpace ℝ V

Context: Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x : V


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Sort w

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: x : X

Context: s s₁ s₂ t : Set X

Context: p p₁ p₂ : X → Prop

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: h : IsClosed s

Context: A : frontier s = s \ interior s

Context: B : interior (frontier s) ⊆ interior s

Context: C : interior (frontier s) ⊆ frontier s

Context: this : interior (frontier s) ⊆ interior s ∩ (s \ interior s)


Context:
α : Type u_1
Preorder α
OrderBot α
LocallyFiniteOrder α


Context: n : ℕ

(Tree.treesOfNumNodesEq n).card = catalan n


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
x : S
i : Fin f.natDegree

(Finsupp.comapDomain Fin.val (h.modByMonicHom x).toFinsupp ⋯) i = (h.modByMonicHom x).coeff ↑i


Context:
I : Type u
LinearOrder I
C : Set (I → Bool)
l : Profinite.NobelingProof.Products I
J K : I → Prop
h : ∀ a ∈ ↑l, J a
(j : I) → Decidable (J j)
(j : I) → Decidable (K j)
hJK : ∀ (i : I), J i → K i

⇑(Profinite.NobelingProof.Products.eval (Profinite.NobelingProof.π C J) l) ∘
    Profinite.NobelingProof.ProjRestricts C hJK =
  ⇑(Profinite.NobelingProof.Products.eval (Profinite.NobelingProof.π C K) l)


Context:
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
a b : ℝ
φ : ℝ → F →L[𝕜] E
hφ : IntervalIntegrable φ μ a b
v : F

(∫ (x : ℝ) in a..b, φ x ∂μ) v = ∫ (x : ℝ) in a..b, (φ x) v ∂μ


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b✝ b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ N
x_ne : x ≠ 0

LinearIndependent R (Subtype.val ∘ fun x_1 => ⟨x, hx⟩)


Context: σ₁ : Type u_1

Context: σ₂ : Type u_2

Context: f₁ : σ₁ → Option σ₁

Context: f₂ : σ₂ → Option σ₂

Context: tr : σ₁ → σ₂ → Prop

Context: H : Respects f₁ f₂ tr

Context: a₁ : σ₁

Context: a₂ : σ₂

Context: aa : tr a₁ a₂

Context: b₁ : σ₁

Context: ab✝ : Reaches f₁ a₁ b₁

Context: ab : TransGen (fun a b => b ∈ f₁ a) a₁ b₁


Context:
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
P : Type u_3
CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : S.LocalizationMap P
x y : M

f.toMap x = f.toMap y ↔ g.toMap x = g.toMap y


Context:
β : Type u_2
AddCommMonoid β
f : Fin 5 → β


Context:
α : Type u_1
n : Type u_4
InvolutiveStar α
A : Matrix n n α


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt ℂ f s x
hxs : UniqueDiffWithinAt ℂ s x

fderivWithin ℂ (fun x => Complex.sin (f x)) s x = Complex.cos (f x) • fderivWithin ℂ f s x


Context:
E : Type u_3
SeminormedAddGroup E
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: I J✝ : Box ι

Context: i : ι

Context: x : ℝ

Context: inst✝ : Finite ι

Context: π : Prepartition I

Context: t : Finset (ι × ℝ)

Context: ht : ∀ (I_1 J : Box ι), J ∈ π.boxes → ∀ J' ∈ splitMany I_1 t, ¬Disjoint ↑J ↑J' → J' ≤ J

Context: J : Box ι

Context: hJ : J ∈ (splitMany I t).filter fun J => ↑J ⊆ π.iUnion


Context:
u : XgcdType
a b : ℕ+


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: ι : Sort u_1

Context: s : ι → Set α

Context: hs : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: hd : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s j, (x, y) ∈ U → i = j

Context: S : Set α := ⋃ i, s i

Context: l : Filter α

Context: hl : Cauchy l

Context: hls : S ∈ l

Context: hl_ne : l.NeBot

Context: hl' : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ l, t ×ˢ t ⊆ s


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
h₁ : p₁ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
h₂ : p₂ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
h₃ : p₃ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_4

Context: MeasurableSpace α

Context: NormedAddCommGroup E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : (α → E) → Prop

Context: h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → P (s.indicator fun x => c)

Context:
h_add :
  ∀ ⦃f g : α → E⦄,
    Disjoint (Function.support f) (Function.support g) →
      MeasureTheory.Memℒp f p μ → MeasureTheory.Memℒp g p μ → P f → P g → P (f + g)

Context: h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}

Context: h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᵐ[μ] g → MeasureTheory.Memℒp f p μ → P f → P g

Context: f : α → E


Context: R✝ S : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing R✝

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R'

Context: inst✝³ : CommRing S'

Context: f : R✝ →+* S

Context: inst✝² : Algebra R✝ R'

Context: inst✝¹ : Algebra S S'

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: h : ∀ (J : Ideal R) (x : J.IsMaximal), (fun R hR => IsReduced R) (Localization.AtPrime J) OreLocalization.instCommRing

Context: x : R

Context: hx : IsNilpotent x


Context: K : Type u_1

Context: Field K

Context: s : SimpContFract K

Context: n : ℕ

Context: not_terminatedAt_n : ¬(↑s).TerminatedAt n


Context:
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝¹ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝ : e.NF
this : e'.NF
ee : (e.cmp e').Compares e e'

(match e.cmp e' with | Ordering.lt => e'.oadd n' a' | Ordering.eq => e.oadd (n + n') a' | Ordering.gt => e.oadd n (e'.oadd n' a')).repr = ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr)


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q✝ : MvPolynomial σ R
f q : R →+* S₁
r : R
hr : ∀ (r' : R), q r' = 0 ↔ r ∣ r'
φ : MvPolynomial σ R


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
y₁ : ↥I₁
h₁ : f ↑y₁ ∈ map f I₁
y₂ : ↥I₂
h₂ : f ↑y₂ ∈ map f I₂

⁅↑⟨f ↑y₁, h₁⟩, ↑⟨f ↑y₂, h₂⟩⁆ ∈ ⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
s : Finset α
f : α → β
DivisionCommMonoid β


Context:
M : Type u_12
N : Type u_13
F : Type u_14
Mul M
Mul N
FunLike F M N
MulHomClass F M N
f : F
hf : Function.Bijective ⇑f
a : M


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : AddMonoid ι

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

Context: κ : Sort u_5

Context: f : κ → Ideal A

Context: s : κ → Set ↥(homogeneousSubmonoid 𝒜)

Context: hs : ∀ (i : κ), f i = span (Subtype.val '' s i)

(fun i => f i) = fun i => span (Subtype.val '' s i)


Context:
α : Type u_1
AddCommMonoid α
x x' : α
h : x = x'


Context:
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s : Set α
ε : ℝ≥0

EMetric.diam (Metric.cthickening (↑ε) s) ≤ EMetric.diam s + 2 * ↑ε


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝² : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : range v ≤ ↑(span R w)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0∞
hr : 1 ≤ r


Context:
n : ℕ
c : Composition n
h : 0 < n


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x✝ y✝ z x y : 𝕜
h : y ≤ x


Context: x y : Bool


Context:
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
F : ι → C(X, Y)
f : C(X, Y)

Filter.Tendsto F l (𝓝 f) ↔
  ∀ (K : Set X),
    IsCompact K → Filter.Tendsto (fun i => ContinuousMap.restrict K (F i)) l (𝓝 (ContinuousMap.restrict K f))


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f : E → ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1


Context: I : Type u

Context: LinearOrder I

Context: IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : Profinite.NobelingProof.contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

(CategoryTheory.ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (Profinite.NobelingProof.πs C o))
    (ModuleCat.ofHom (Profinite.NobelingProof.Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).Exact


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
h0 : 0 < type r
a : α


Context:
f : Type u₀ → Type u₁
self : EquivFunctor f
α : Type u₀


Context: f : ℕ → ℕ