Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: s : Set M

Context: li : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val

Context: t : Finset ↑s

Context: f : { x // x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t } → ↑s := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s✝ t : Finset α
a✝ : α
m n : ℕ
a : α
s : Fin n → Finset α

(∃ f, (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod = a) ↔ ∃ f, (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod = a


Context:
α : Type u_1
γ : Type u_3
f : Filter α
g : Filter γ
p : α × γ × γ → Prop

(∀ᶠ (x : α × γ × γ) in f ×ˢ g ×ˢ g, p x) → ∀ᶠ (x : α × γ) in f ×ˢ g, p (x.1, x.2, x.2)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: x y : E

Context: f' : E → E →L[ℝ] ℝ

Context: hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: hs : Convex ℝ s

Context: xs : x ∈ s

Context: ys : y ∈ s

Context: g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t

Context: I : Set ℝ := Icc 0 1

Context: hsub : Ioo 0 1 ⊆ I

Context: hmaps : MapsTo g I s

Context: hfg : ∀ t ∈ I, HasDerivWithinAt (f ∘ g) ((f' (g t)) (y - x)) I t

Context: t : ℝ

Context: Ht : t ∈ Ioo 0 1

Context: hMVT' : (f' (g t)) (y - x) = (f (g 1) - f (g 0)) / (1 - 0)

f y - f x = (f' ((AffineMap.lineMap x y) t)) (y - x)


Context:
R : Type u
M : Type v
AddGroupWithOne R
AddGroup M
z : ℤ


Context:
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
M₂ : Type u_10
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
M₃ : Type u_11
AddCommMonoid M₃
Module R M₃
S : Type u_12
Semiring S
Module S N
SMulCommClass R S N
e : M ≃ₗ[R] M₂
f : M₂ ≃ₗ[R] M₃

AlternatingMap.domLCongr R N ι S e ≪≫ₗ AlternatingMap.domLCongr R N ι S f = AlternatingMap.domLCongr R N ι S (e ≪≫ₗ f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f g : α → β
s : Set α
x : α
h : f =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : f x = g x

ContinuousWithinAt f s x ↔ ContinuousWithinAt g s x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 < δ
a b : E

Metric.closedBall a ε - Metric.ball b δ = Metric.ball (a - b) (ε + δ)


Context:
R : Type u_3
Γ : Type u_5
LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
NonUnitalNonAssocSemiring R
NoZeroDivisors R
x y : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0


Context:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
x : L

x ∈ LieModule.ker R L M ↔ ∀ (m : M), ⁅x, m⁆ = 0


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
p : ExactPairing X Y

(leftDualIso p p).hom = (Iso.refl X).hom


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
x : F


Context:
α : Type u_1
Preorder α
a : α

Interval.dual (Interval.pure a) = Interval.pure (OrderDual.toDual a)


Context: A : Type u

Context: B : Type v

Context: CommRing A

Context: CommRing B

Context: Algebra A B

Context: h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)


Context: α : Type u_1

Context: UniformSpace α

Context: β : Type u_2

Context: UniformSpace β

Context: f : α → β

Context: g : UniformSpace.Completion α → UniformSpace.Completion β

Context: hg : UniformContinuous g

Context: h : ∀ (a : α), ↑β (f a) = g (↑α a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: a : α

Context: inst✝ : IsStronglyAtomic α

Context: ha : (Set.Ici a).Infinite

Context: hfin : {x | a ⋖ x}.Finite

Context: h : ∀ (b : α), a ⋖ b → ¬(Set.Ici b).Infinite

Context: b : α

Context: hb : b ∈ Set.Ici a \ {a}

Context: x : α

Context: hax : a ⋖ x

Context: hxb : x ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : α → Set β
Preorder α


Context:
𝕜 : Type u_1
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace β
LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
OrderTopology β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set β
hs : s.OrdConnected


Context:
D : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Groupoid D
inst✝² : Category.{?u.11305, u_2} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalClosed C
F G : D ⥤ C
X Y : D
f : X ⟶ Y

(F.map f ⊗ (ihom (F.obj X)).map (G.map f) ≫ (pre (CategoryTheory.inv (F.map f))).app (G.obj Y)) ≫ (ihom.ev (F.obj Y)).app (G.obj Y) = (ihom.ev (F.obj X)).app (G.obj X) ≫ G.map f


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set (β × β)
F : ι → β → α
hβ : (𝓤 β).HasBasis p s

(∀ ib ∈ 𝓤 α, ∃ ia, p ia ∧ ∀ (a b : β), (a, b) ∈ s ia → ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) a, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) b) ∈ UniformFun.gen ι α ib) ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ k, p k ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s k → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U


Context:
r : ℝ
h : r.sign = 0


Context:
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p : Polynomial R


Context:
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹² : Monoid A
inst✝¹¹ : Monoid B
inst✝¹⁰ : Monoid C
inst✝⁹ : Monoid D
inst✝⁸ : CommGroup E
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace C
inst✝⁴ : TopologicalSpace D
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalGroup E
inst✝¹ : ContinuousMul B
inst✝ : T2Space B
x y : A

IsClosed {x_1 | x_1 (x * y) = x_1 x * x_1 y}


Context:
R : Type u_1
G : Type u_2
CommSemiring R
Group G
MulAction G R
SMulCommClass G R R
IsScalarTower G R R
x : G
y z : R


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
hx : x ≠ 0
hex : ∃ k, x.coeff k ≠ 0
n : ℕ := Nat.find hex

∃ n x', x'.coeff 0 ≠ 0 ∧ x = (⇑verschiebung)^[n] x'


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α✝
s✝ s'✝ : Cycle α✝
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
l l' : List α

∀ {hs : Nodup (Quotient.mk'' l)} {hs' : Nodup (Quotient.mk'' l')}, formPerm (Quotient.mk'' l) hs = formPerm (Quotient.mk'' l') hs' ↔ Quotient.mk'' l = Quotient.mk'' l' ∨ length (Quotient.mk'' l) ≤ 1 ∧ length (Quotient.mk'' l') ≤ 1


Context:
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
hf : StrictMonoOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
o : Ordering


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : α → Prop
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : NormedLinearOrderedField 𝕜
α : Type u_2
u v : α → 𝕜
l : Filter α
huv : u =O[l] v
hu : Tendsto (fun x => ‖u x‖) l atTop


Context:
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : αᵒᵈ

Finset.Ioo (OrderDual.ofDual a) (OrderDual.ofDual b) = Finset.map OrderDual.ofDual.toEmbedding (Finset.Ioo b a)


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
α : Type u_1
C : G.Coloring α
v : V


Context:
ι : Type u_5
σ : ι → Type u_7
(i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
i : ι


Context:
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁✝ a₂✝ b b₁✝ b₂✝ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a₁ a₂ b₁ b₂ : E

↑(nndist (a₁ * a₂) (b₁ * b₂)) ≤ ↑(nndist a₁ b₁) + ↑(nndist a₂ b₂)


Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), Ordinal.IsNormal (f i hi)

Context: a : Ordinal.{max u v}

(∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi a = a) ↔ ∃ b, o.derivBFamily f b = a


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
n : ℕ∞
c : E → F →L[𝕜] G
hc : ContDiffOn 𝕜 n c s
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
x : E
hx : x ∈ s
u : F
m : Fin i → E

(iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fun y => (c y) u) s x) m = ((iteratedFDerivWithin 𝕜 i c s x) m) u


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C

(CategoryTheory.CategoryStruct.id (Opposite.op X)).unop = CategoryTheory.CategoryStruct.id X


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ g : ℝ → ℝ

Context: a✝ b✝ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hfi : IntervalIntegrable f volume a b

Context: hpos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 < f x

Context: hab : a < b

Context: hsupp : Ioo a b ⊆ support f ∩ Ioc a b

Context: h₀ : 0 ≤ᶠ[ae (volume.restrict (Ι a b))] f


Context:
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
s t : Set α
Hf : AntitoneOn f t
Hst : s ⊆ t

f '' (lowerBounds s ∩ t) ⊆ upperBounds (f '' s)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℚ_[p]
h : ‖z1 + z2‖ < ‖z1‖
hne : ¬‖z1‖ = ‖z2‖


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
s : Set G

AddSubgroup.centralizer s = ⊤ ↔ s ⊆ ↑(AddSubgroup.center G)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝕜

Context: x : 𝕜

Context: x✝ : x ∈ Set.univ

Context: U : Set 𝕜

Context: hU : U ∈ 𝓝 x

Context: c : 𝕜

Context: c_pos : 0 < ‖c‖

Context: hc : ‖c‖ < 1

Context: A : Tendsto (fun n => x + c ^ n) atTop (𝓝 x)

Context: B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + c ^ n ∈ U

Context: n : ℕ

Context: hn : x + c ^ n ∈ U


Context:
R : Type u
Γ₀ : Type v
CommRing R
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
CommRing O
Algebra O R
self : v.Integers O
r : R


Context:
N : Type u_2
r : N → N → Prop
Group N

Covariant N N (fun x x_1 => x * x_1) r ↔ Contravariant N N (fun x x_1 => x * x_1) r


Context:
M : Type u_1
SeminormedAddCommGroup M
R : Type u_3
Ring R
Module R M
S : Submodule R M
m : M


Context:
n : ℕ
a b : ℤ
_hb : 1 < b

IsOpen (ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n) \ {↑a / ↑b})


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: X Y : C

Context: CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y

CategoryTheory.Limits.cokernelBiprodInlIso.hom =
  CategoryTheory.Limits.colimit.desc (CategoryTheory.Limits.parallelPair CategoryTheory.Limits.biprod.inl 0)
    (CategoryTheory.Limits.biprod.inlCokernelCofork X Y)


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: f₁ f₂ : End R M

Context: μ₁ μ₂ : R

Context: h : Commute f₁ f₂

Context: m : M

Context: hm : m ∈ (⨆ k, (f₁.genEigenspace μ₁) k) ⊓ ⨆ k, (f₂.genEigenspace μ₂) k

m ∈ ⨆ k, ((f₁ + f₂).genEigenspace (μ₁ + μ₂)) k


Context:
α : Sort u
β : α → Sort v
DecidableEq α
f : (a : α) → β a
a : α
b : β a


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Group α
inst✝³ : MulAction α β
inst✝² : ContinuousInv α
inst✝¹ : ContinuousSMul α β
s : Set α
t✝ : Set β
inst✝ : CompactSpace α
t : Set β
ht : IsClosed t


Context:
α : Type u_1
Lattice α
IsUpperModularLattice α
a b : α


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y L : R


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
hR : autoParam (R ⊆ M.E) _auto✝


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p₁ p₂ p₃ : P
l₁ l₂ l₃ : L
h₂₁ : p₂ ∉ l₁
h₂₂ : p₂ ∈ l₂
h₂₃ : p₂ ∈ l₃
h₃₁ : p₃ ∉ l₁
h₃₂ : p₃ ∈ l₂
h₃₃ : p₃ ∉ l₃


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C

Context: CategoryTheory.HasShift C ℤ

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : CategoryTheory.Pretriangulated C

Context: T T' : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C

Context: e : T ≅ T'

Context: hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles

(CategoryTheory.Pretriangulated.shortComplexOfDistTriangleIsoOfIso e hT).inv.τ₁ = e.inv.hom₁


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_4
(i : ι) → Group (G i)
i j : ι
w : Monoid.CoprodI.NeWord G i j


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
hp : p ≠ 0
s : Multiset R

(Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod ∣ p ↔ s ≤ p.roots


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D

Context: S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h₁ : S₁.HomologyData

Context: h₂ : S₂.HomologyData

Context: F : CategoryTheory.Functor C D

Context: F.PreservesZeroMorphisms

Context: h₁.left.IsPreservedBy F

Context: h₁.right.IsPreservedBy F

Context: h₂.left.IsPreservedBy F

Context: h₂.right.IsPreservedBy F

F.map (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' φ h₁ h₂) =
  CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' (F.mapShortComplex.map φ) (h₁.map F) (h₂.map F)


Context:
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
R' : Type u_1
A : Type u_2
Monoid R'
Semiring A
(i : ι) → Module A (M₁ i)
DistribMulAction R' M₂
Module A M₂
SMulCommClass A R' M₂
c : R'
f : MultilinearMap A M₁ M₂


Context:
α β : Type u
n : ℕ
a : Cardinal.{u}


Context: ι : Type u_1

Context: A : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: Semiring A

Context: DecidableEq ι

Context: CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι

Context: SetLike σ A

Context: AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: GradedRing 𝒜

Context: a b : A

Context: n i : ι

Context: Sub ι

Context: OrderedSub ι

Context: ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a_mem : a ∈ 𝒜 i

Context: h : i ≤ n

↑(((DirectSum.decompose 𝒜) (a * b)) n) = a * ↑(((DirectSum.decompose 𝒜) b) (n - i))


Context:
R : Type u_2
StrictOrderedSemiring R
Archimedean R

Filter.atTop.HasCountableBasis (fun x => True) fun n => Set.Ici ↑n


Context:
F : Type u → Type u
Applicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
a : α'
l : List α'

traverse f (a :: l) = Seq.seq ((fun x x_1 => x :: x_1) <$> f a) fun x => traverse f l


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α✝

Context: inst✝¹ : Preorder β

Context: s✝ t : Set α✝

Context: α : Type u_3

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: s : Set α

Context: hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x < y → Ioo x y ⊆ s

Context: x : α

Context: hx hy : x ∈ s

Context: hxy : x ≤ x


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
f : CategoryTheory.Functor C D
hf : f.FullyFaithful
X : C

∀ (a : X ⟶ X), (hf.mulEquivEnd X) a = f.map a


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} E

Context: F F' : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: obj : C → D

Context: map : {X Y : C} → (X ⟶ Y) → (obj X ⟶ obj Y)

Context: G_obj : D → E

Context: map✝¹ : {X Y : D} → (X ⟶ Y) → (G_obj X ⟶ G_obj Y)

Context: map_id✝¹ : ∀ (X : D), { obj := G_obj, map := map✝¹ }.map (𝟙 X) = 𝟙 ({ obj := G_obj, map := map✝¹ }.obj X)

Context: map_comp✝¹ : ∀ {X Y Z : D} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), { obj := G_obj, map := map✝¹ }.map (f ≫ g) = { obj := G_obj, map := map✝¹ }.map f ≫ { obj := G_obj, map := map✝¹ }.map g

Context: inst✝¹ : { obj := G_obj, map := map✝¹, map_id := map_id✝¹, map_comp := map_comp✝¹ }.Faithful

Context: map✝ : {X Y : C} → (X ⟶ Y) → ((G_obj ∘ obj) X ⟶ (G_obj ∘ obj) Y)

Context: map_id✝ : ∀ (X : C), { obj := G_obj ∘ obj, map := map✝ }.map (𝟙 X) = 𝟙 ({ obj := G_obj ∘ obj, map := map✝ }.obj X)

Context: map_comp✝ : ∀ {X Y Z : C} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), { obj := G_obj ∘ obj, map := map✝ }.map (f ≫ g) = { obj := G_obj ∘ obj, map := map✝ }.map f ≫ { obj := G_obj ∘ obj, map := map✝ }.map g

Context: inst✝ : { obj := G_obj ∘ obj, map := map✝, map_id := map_id✝, map_comp := map_comp✝ }.Faithful

Context: h_obj : ∀ (X : C), { obj := G_obj, map := map✝¹, map_id := map_id✝¹, map_comp := map_comp✝¹ }.obj (obj X) = { obj := G_obj ∘ obj, map := map✝, map_id := map_id✝, map_comp := map_comp✝ }.obj X

Context: h_map✝ : ∀ {X Y : C} {f : X ⟶ Y}, HEq ({ obj := G_obj, map := map✝¹, map_id := map_id✝¹, map_comp := map_comp✝¹ }.map (map f)) ({ obj := G_obj ∘ obj, map := map✝, map_id := map_id✝, map_comp := map_comp✝ }.map f)

Context: h_map : ∀ {X Y : C} {f : X ⟶ Y}, map✝¹ (map f) = map✝ f

(fun {X Y} f => { obj := G_obj, map := map✝¹, map_id := map_id✝¹, map_comp := map_comp✝¹ }.map ({ obj := obj, map := map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.map f)) = map✝


Context:
n m : ℕ
h : m ∈ n.properDivisors


Context:
M : Type u_1
TopologicalSpace M
AddMonoid M


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: B : ℝ

Context: x✝ : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

x✝ ∈ convexBodySum K B ↔ x✝ ∈ convexBodySumFun ⁻¹' Set.Icc 0 B


Context: C : FloatCfg

emin = max (emin + ↑(Nat.size 0) - ↑prec) emin


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C

(α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (β_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C) X).hom ≫ (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv ▷ 𝟙_ C ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom = (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (β_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C) X).hom ≫ X ◁ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
v : E


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : T0Space X

Context: inst✝ : CompletelyRegularSpace X

Context: μ : ↑(range diracProba)

Context: F : Filter ↑(range diracProba)

Context: key : Tendsto diracProba (map (⇑diracProbaEquiv.symm) F) (𝓝 (diracProba (diracProbaEquiv.symm μ))) ↔ Tendsto id (map (⇑diracProbaEquiv.symm) F) (𝓝 (diracProbaEquiv.symm μ))

Tendsto (⇑diracProbaEquiv.symm) F (𝓝 (diracProbaEquiv.symm μ)) ↔ Tendsto id F (𝓝 μ)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder R

Context: s : Finset S

Context: f : S → WithTop R

trop (sInf (f '' ↑s)) = ∑ i ∈ s, trop (f i)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
m n : ZNum


Context:
α : Type u_1
acc : Array α
as : List (Option α)
as' : List α

List.fillNonesTR.go as as' acc = acc.data ++ as.fillNones as'


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: s✝ : Multiset ι

Context: f g : ι → α

Context: a : ι

Context: s : Multiset ι

Context: ih : (map (fun i => f i + g i) s).prod = (map (fun p => (map f p.1).prod * (map g p.2).prod) s.antidiagonal).sum

(map (fun i => f i + g i) (a ::ₘ s)).prod = (map (fun p => (map f p.1).prod * (map g p.2).prod) (a ::ₘ s).antidiagonal).sum


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: P : (J : Finset ι) → Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)

Context: μ ν : Measure ((i : ι) → α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : Finset ι), IsFiniteMeasure (P i)

Context: hμ : IsProjectiveLimit μ P

Context: hν : IsProjectiveLimit ν P

Context: this : IsFiniteMeasure μ

Context: I : Finset ι

Context: S : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)

Context: hS : MeasurableSet S

Context: hs : cylinder I S ∈ measurableCylinders α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: f g : α → β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : ι → Measure α

Context: h : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable f (μ i)

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β

Context: A : ∀ (i : ι), ∃ t, IsSeparable t ∧ f ⁻¹' t ∈ ae (μ i)

∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂sum μ, f x ∈ t


Context:
X : Type u_2
EMetricSpace X
s t : Set X


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
hf : Differentiable ℂ f
hg : Differentiable ℂ g
h0 : ∀ (x : E), f x ∈ Complex.slitPlane


Context:
α : Type u
s : Set α
a : α
h : a ∉ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s : Set α

Context: f : ↑s ↪ β

Context: h✝ : Nonempty (↑sᶜ ≃ ↑(range ⇑f)ᶜ)

Context: g : ↑sᶜ ≃ ↑(range ⇑f)ᶜ

Context: h : α ≃ β := (Set.sumCompl s).symm.trans (((ofInjective ⇑f ⋯).sumCongr g).trans (Set.sumCompl (range ⇑f)))


Context:
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_4

Context: MeasurableSpace α

Context: NormedAddCommGroup E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E p μ)

MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toLp (MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toSimpleFunc f) ⋯ = f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g

∫⁻ (a : α), f a + g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), (⨆ n, ↑(eapprox f n) a) + ⨆ n, ↑(eapprox g n) a ∂μ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace 𝕜 E

Context: NormedAddCommGroup F

Context: NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

Context: x y : E

Context: hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r

Context: h : y ∈ EMetric.ball x r


Context:
α : Type u_2
One α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Finite α

Context: s : Set α

Context: f : ↑s ↪ β

Context: h : lift.{max u v, u} #α = lift.{max u v, v} #β

Context: g : α ≃ β

lift.{max u v, u} #↑s = lift.{max u v, v} #↑(range ⇑f)


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.HasShift C ℤ

Context: X₁ X₂ : C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X₁ X₂

(CategoryTheory.Pretriangulated.binaryBiproductTriangle X₁ X₂).obj₃ = X₂


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
h : x ∈ s
H : hausdorffDist s t < r
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
r0 : 0 < r


Context:
G : Type w
AddGroup G
t₁ t₂ : TopologicalSpace G
h₁ : TopologicalAddGroup G
h₂ : TopologicalAddGroup G


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
e : Perm α


Context: C : Type u

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : Category.{v', u'} D

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory D

Context: inst✝ : HasForget₂ C D

Context: X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: x : (forget D).obj ((forget₂ C D).obj X)

((forget₂ C D).map (f ≫ g)) x = ((forget₂ C D).map g) (((forget₂ C D).map f) x)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
l : List α

count a ((c :: l).erase b) = count a (c :: l) - if a = b then 1 else 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
EquivLike F α β
OrderIsoClass F α β
f : F
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μa μb
h₂ : MeasurableEmbedding f
s : Set β

map f (μa.restrict (f ⁻¹' s)) = μb.restrict s


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝² : Field A

Context: inst✝¹ : Ring B

Context: inst✝ : Algebra A B

Context: x : B

Context: p : A[X]

Context: pmonic : p.Monic

Context: hp : (Polynomial.aeval x) p = 0

Context: pmin : ∀ (q : A[X]), q.Monic → (Polynomial.aeval x) q = 0 → p.degree ≤ q.degree

Context: hx : IsIntegral A x


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
u : Rˣ
hn : IsUnit ↑n
a✝ : Nontrivial R
hpos : n > 0
n' : R
hn' : n' * ↑n = 1

∃ a b, a * (X ^ n - C ↑u) + b * derivative (X ^ n - C ↑u) = 1


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
a : R
h0 : p ≠ 0
this : Nontrivial R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
hf : MapsTo f s t
f_inj : InjOn f s


Context:
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type ?u.10594
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y

IsSeparatedMap f ↔ ClosedEmbedding (toPullbackDiag f)


Context:
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 < δ
a b : E

Metric.ball a ε - Metric.ball b δ = Metric.ball (a - b) (ε + δ)


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_3
S : Type u_4
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* S

(MvPolynomial.map f).comp MvPolynomial.C = MvPolynomial.C.comp f


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : dist p3 p1 = dist p3 p2
m : P := midpoint ℝ p1 p2
h1 : p3 -ᵥ p1 = p3 -ᵥ m - (p1 -ᵥ m)
h2 : p3 -ᵥ p2 = p3 -ᵥ m + (p1 -ᵥ m)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f : β → α
s✝ t : Set α
x y : α
s : Set β

(f '' s).WellFoundedOn r ↔ s.WellFoundedOn (r on f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : IsClosedMap f
s : Set β
t : Set ↑(f ⁻¹' s)

IsClosed t → IsClosed (s.restrictPreimage f '' t)


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B

Context: S : NonUnitalStarSubalgebra R A

Context: h : ∀ (x : A), x ∈ S

Context: x : A

x ∈ S ↔ x ∈ ⊤


Context: z : ℂ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: C : ℝ

Context: hf'_ge : ∀ x ∈ interior D, C ≤ deriv f x

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ D

Context: hxy : x ≤ y

Context: hxy' : x < y

Context: hxyD : Icc x y ⊆ D

Context: hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D

Context: a : ℝ

Context: a_mem : a ∈ Ioo x y

Context: ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)

Context: this : C ≤ (f y - f x) / (y - x)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: h : Fact (∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊤ → CharZero (R ⧸ I))

Context: n : ℕ+


Context:
α β : Type u_2
f : α → β
l : List α


Context:
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
r : ι → F
x : F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
hx : ∀ i ∈ s, x ≠ v i

Polynomial.eval x ((Lagrange.interpolate s v) r) =
  (∑ i ∈ s, Lagrange.nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ * r i) / ∑ i ∈ s, Lagrange.nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ s ≠ ⊤

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: this : Tendsto (fun ε => ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ + 2 * ↑ε * μ s) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ))

∀ a ∈ Ioi 0, μ (f '' s) ≤ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ + 2 * ↑a * μ s


Context: τ : Type u_1

Context: TopologicalSpace τ

Context: AddMonoid τ

Context: ContinuousAdd τ

Context: α : Type u_2

Context: TopologicalSpace α

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : Flow τ α

Context: s : Set α

Context: hf : ∀ (t : τ), Filter.Tendsto (fun x => t + x) f f

IsInvariant ϕ.toFun (omegaLimit f ϕ.toFun s)


Context: α : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f✝ g : α → F'

Context: s : Set α

Context: hμ : NeZero μ

Context: f : α → F'

Context: hμ_finite : IsFiniteMeasure μ

Context: h_meas : StronglyMeasurable (μ[f|⊥])

Context: c : F'

Context: h_eq : μ[f|⊥] = fun x => c

Context: h_integral : (μ Set.univ).toReal • c = ∫ (x : α), f x ∂μ


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ+
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
p : ℕ := ringChar R
hfin : multiplicity.Finite p ↑n


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: NormedAddCommGroup G

Context: NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x : 𝕜

Context: l.NeBot

Context: hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)

Context: hf : ∀ᶠ (n : ι × 𝕜) in l ×ˢ 𝓝 x, HasDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2

Context: hfg : ∀ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝 x, Filter.Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))


Context:
α✝ β α : Type u
n : ℕ
H : ↑n < #α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
x : Set ℝ

x ∈ ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : a < b), {Ioo ↑a ↑b} ↔ x ∈ {S | ∃ l u, ↑l < ↑u ∧ Ioo ↑l ↑u = S}


Context:
p q : ℚ
K : Type u_5
LinearOrderedField K

↑p ≤ ↑q ↔ p ≤ q


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
μ : M → N → N
PartialOrder N

(Covariant M N μ fun x x_1 => x < x_1) → Covariant M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: ∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: i j : 𝒰.J

AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.pullbackFstιToV 𝒰 f g i j ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i) =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst
      (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.p1 𝒰 f g) (𝒰.map i))
      ((AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.gluing 𝒰 f g).ι j) ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.p1 𝒰 f g) (𝒰.map i)


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
IsLocalization M S
h : R ≃+* P

IsLocalization (Submonoid.map h.toMonoidHom M) S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Countable ι
f✝ g : α → β
X : Type u_5
Y : Type u_6
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : PseudoMetrizableSpace α
f : X × Y → α
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
this✝¹ : MeasurableSpace α := borel α
this✝ : BorelSpace α


Context: F : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁵ : FunLike F G H

Context: a : G

Context: b : H

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : Archimedean G

Context: inst✝² : AddGroup H

Context: inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b

Context: f : F

Context: R : H → H → Prop

Context: inst✝ : IsTrans H R

Context: hR : CovariantClass H H (fun x y => y + x) R

Context: ha : 0 < a

Context: l : G

Context: hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)

Context: x y : G

Context: hxy : (fun x x_1 => x < x_1) x y


Context:
α : Type u
Preorder α
f : ℕ → α
hf : Antitone f
n : ℕ
x : α
h1 : f (n + 1) < x
h2 : x < f n
a : ℕ


Context:
R : Type u_1
c₁ c₂ : R
Infinite R


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
s : ℕ
hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)

Nat.card (G ⧸ H) * Nat.card ↥H = s * p * Nat.card ↥H


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x✝ y✝ z x y : V
hx : x ≠ 0

LinearIndependent K ![x, y] ↔ ∀ (a : K), a • x ≠ y


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
t : Set β
a : α
s : Set α


Context:
x : ℝ
hx : Liouville x
n : ℕ

∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a, x ≠ ↑a / ↑b ∧ |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ n


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
inst✝⁴ : Field K₁
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K₁ V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
J : K →+* K
J₁ J₁' : K₁ →+* K
B : V₁ →ₛₗ[J₁] V₁ →ₛₗ[J₁'] V₂
x : V₁
hx : ¬B.IsOrtho x x
μ : V₁ → K₁
h : B.IsOrtho x (μ x • x)


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝¹ : Monoid α

Context: inst✝ : Monoid β

Context: s : Multiset α

Context: comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute

Context: p : α → Prop

Context: hom : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)

Context: unit : p 1

Context: base : ∀ x ∈ s, p x


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
inst✝ : Fintype ι
m : M


Context:
n p : ℕ
hp : p ∈ n.primeFactors


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂


Context:
R : Type u_1
S : Type u_6
M : Type u_9
M₃ : Type u_12
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module S M₃
σ : R →+* S
f g : M →ₛₗ[σ] M₃
h : f = g
x : M


Context:
α : Type u_2
LinearOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b c d : α
hcb : c ≤ b
had : a ≤ d

Finset.Ico a b ∪ Finset.Ico c d = Finset.Ico (min a c) (max b d)


Context:
R : Type u
CommRing R
A : Type u
CommRing A
Algebra R A
r : R
IsLocalization.Away r A


Context:
M : Type u_1
AddZeroClass M
S : AddSubmonoid M
x y : ↥S


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : NonAssocSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹ : NonAssocSemiring S✝

Context: inst✝ : NonAssocSemiring T

Context: S : Set (Subsemiring R)

Context: Sne : S.Nonempty

Context: hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: x : R


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m' mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: StandardBorelSpace Ω

Context: Nonempty Ω

Context: hm' : m' ≤ mΩ

Context: μ : MeasureTheory.Measure Ω

Context: MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ

Context: β : ι → Type u_3

Context: m : (x : ι) → MeasurableSpace (β x)

Context: f : (i : ι) → Ω → β i

Context: hf_Indep : ProbabilityTheory.iCondIndepFun m' hm' m f μ

Context: i j : ι

Context: hij : i ≠ j

ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' (f i) (f j) μ


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
i j : n
c : α
i' j' : n
inst✝ : Fintype n


Context:
f : ℝ → ℝ
hf : Differentiable ℝ f
hf'_mono : Monotone (deriv f)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: f g : α → β → α

Context: a : α

Context: l : List β

Context: H : ∀ (a : α) (b : β), b ∈ l → f a b = g a b


Context:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
f : P1 →ᵃ[k] P2

Function.Surjective ⇑f.linear ↔ Function.Surjective ⇑f


Context:
α : Type u
a : α
BEq α


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)

Context: hs : IsClosed s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
h₁ : ¬a ∈ l₁
h₂ : ¬a ∈ l₂


Context:
w : Nat
x : BitVec w


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
Field K
AddCommGroup V
Module K V
W : Subspace K (Module.Dual K V)
FiniteDimensional K ↥W


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
ι : Type u_1
v : ι → K
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
this : ExpChar K q


Context: M : Type u_3

Context: AddMonoid M

Context: LinearOrder M

Context: CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x : M

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g h : C
α : f ⟶ g
β : g ⟶ h

CategoryTheory.CategoryStruct.comp α β = CategoryTheory.CategoryStruct.comp α β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
x : Set ℝ

x ∈ ⋃ a, {Ici ↑a} ↔ x ∈ Ici '' (Rat.cast '' univ)


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))

Context: ι : Type u_1

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U

Context: h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)

Context: hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s

Context: fractions_eq : ∀ (i j : ι), IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ = IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩

Context: exists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n

Context: n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose

Context: n_spec : ∀ (p : ι × ι), a p.1 * h p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose = h p.1 * a p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose

Context: N : ℕ := (t ×ˢ t).sup n

Context: basic_opens_eq : ∀ (i : ι), PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen (h i)

Context: i : ι

Context: a✝ : i ∈ t

((structureSheaf R).val.map ((fun i => eqToHom ⋯ ≫ iDh i) i).op) s = const R ((fun i => a i * h i ^ N) i) ((fun i => h i ^ (N + 1)) i) (PrimeSpectrum.basicOpen ((fun i => h i ^ (N + 1)) i)) ⋯


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
s✝ : Set E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0 ∧ Convex ℝ s

Balanced 𝕜 ((convexHull ℝ) (balancedCore 𝕜 s)) ∧ Convex ℝ ((convexHull ℝ) (balancedCore 𝕜 s))


Context:
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
ExpChar R p
ι : Type u_2
s : Finset ι
f : ι → R


Context:
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace δ
Zero δ
g : CocompactMap β γ


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : Semigroup M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: continuous_mul_left : ∀ (r : M), Continuous fun x => x * r

Context: s : Set M

Context: snemp : s.Nonempty

Context: s_compact : IsCompact s

Context: s_add : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x * y ∈ s

Context: M' : Type u_1 := { m // m ∈ s }

Context: this✝² : Semigroup M' := Semigroup.mk ⋯

Context: this✝¹ : CompactSpace M'

Context: this✝ : Nonempty M'

Context: this : ∀ (p : M'), Continuous fun x => x * p

Context: m : M

Context: hm : m ∈ s

Context: idem : ⟨m, hm⟩ * ⟨m, hm⟩ = ⟨m, hm⟩


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ p : P
h : p -ᵥ p₁ = p -ᵥ p₂


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hn : n % 2 = 1


Context:
α : Type u_1
One α


Context:
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite

(ProbabilityTheory.condCount s) (t ∩ u) = (ProbabilityTheory.condCount (s ∩ u)) t * (ProbabilityTheory.condCount s) u


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀

Context: inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: a s : R

Context: h : s ∈ v.supp


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : α → Prop
s : Finset α
H : ∀ (x : α), x ∈ s ↔ p x
inst✝ : Fintype { x // p x }


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X

(Homeomorph.refl X).toPartialHomeomorph = PartialHomeomorph.refl X


Context: m n : ℕ


Context:
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
hm : m ≠ 0


Tendsto eulerMascheroniSeq atTop (𝓝 eulerMascheroniConstant)


Context:
R✝ : Type u₁
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝⁵ : CharP R✝ p
R : Type u₁
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CharP R p
inst✝² : PerfectRing R p
S : Type u₂
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CharP S p
f : R →+* Ring.Perfection S p
r : R
n : ℕ

(coeff S p 0) (f ((⇑(frobeniusEquiv R p).symm)^[n] r)) = (coeff S p n) (f r)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
x y : List α
h : x <+: y
hl : x.length < y.length

take x.length y ++ [y.get ⟨x.length, hl⟩] = take (x.length + 1) y


Context:
ι : Type u_4
F : Type u_5
Fintype ι
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
FiniteDimensional ℝ F
MeasurableSpace F
BorelSpace F
b : OrthonormalBasis ι ℝ F


Context:
α : Type u_1
x : α


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
D : LieDerivation R L M


Context:
m n : ℕ
h : m ≤ n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a b : R
h : IsCoprime a b
h' : a ^ 2 + b ^ 2 = 0
ha : a ^ 2 = 0
hb : b ^ 2 = 0


Context: M : Type u_1

Context: Add M

Context: s t : Set M

Context: h_mul : ∀ {a b : M}, a ∈ s → b ∈ s → a + b ∈ s

Context: h_mul' : ∀ {a b : M}, a ∈ t → b ∈ t → a + b ∈ t

{ carrier := s, add_mem' := h_mul } ≤ { carrier := t, add_mem' := h_mul' } ↔ s ⊆ t


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
a : 𝓜(𝕜, A)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: inst✝¹⁰ : Module S M

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S M

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : CommRing B

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra S B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A B

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S B

Context: inst✝ : SMulCommClass S A B

Context: h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)

Context: y : A

(map R S A B) ((D R A) y) ∈ ↑(LinearMap.range (map R S A B))


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
iso : E ≃ₗᵢ[𝕜] F

HasStrictFDerivAt (⇑iso) (↑{ toLinearEquiv := iso.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }) x


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Field R

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : SetLike S A

Context: hSA : NonUnitalSubringClass S A

Context: hSRA : SMulMemClass S R A

Context: s : S

Context: h1 : 1 ∉ s

Context: inst✝¹ : FunLike F (Unitization R ↥s) A

Context: inst✝ : AlgHomClass F R (Unitization R ↥s) A

Context: f : F

Context: hf : ∀ (x : ↥s), f ↑x = ↑x

Context: r : R

Context: hr : r ≠ 0

Context: hr' : (algebraMap R A) r ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup γ

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: hflt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤

Context: g : α → ℝ

Context: this : (fun x => g x * (f x).toReal) = fun x => (f x).toReal • g x

Integrable g (μ.withDensity f) ↔ Integrable (fun x => (f x).toReal • g x) μ


Context:
R : Type u_1
CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
DecidableEq ι

Polynomial.derivative (Lagrange.nodal s v) = ∑ i ∈ s, Lagrange.nodal (s.erase i) v


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: n : ℕ∞

Context: x : (i : ι) → E i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: y : (i : ι) → E i

Context: h✝ : Nonempty ι

(∑ a : { s // s.card = Fintype.card ι - 1 }, ((f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeriesTerm 1 (Fintype.card ι - 1) ↑a ⋯) fun x_1 => x) fun x => y) = ∑ i : ι, f (Function.update x i (y i))


Context: V : Type w'

Context: FirstOrder.Language.graph.Structure V

Context: V ⊨ FirstOrder.Language.Theory.simpleGraph

Context: x y : V

(FirstOrder.Language.simpleGraphOfStructure V).Adj x y =
  FirstOrder.Language.Structure.RelMap FirstOrder.Language.adj ![x, y]


Context:
p : ℕ+
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹² : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹¹ : Category.{u_6, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: ι : Type u_3

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝¹⁰ : Preadditive C

Context: inst✝⁹ : Preadditive D

Context: inst✝⁸ : CategoryWithHomology C

Context: inst✝⁷ : CategoryWithHomology D

Context: inst✝⁶ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization

Context: inst✝⁵ : (HomologicalComplex.quasiIso D c).HasLocalization

Context: inst✝⁴ : F.Additive

Context: inst✝³ : F.PreservesHomology

Context: inst✝² : c.QFactorsThroughHomotopy C

Context: inst✝¹ : c.QFactorsThroughHomotopy D

Context: inst✝ : (HomotopyCategory.quotient C c).IsLocalization (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c)

Context: K : HomologicalComplex C c

(Localization.liftNatTrans (HomotopyCategory.quotient C c) (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c) (HomotopyCategory.quotient C c ⋙ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh ⋙ F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c) (HomotopyCategory.quotient C c ⋙ F.mapHomotopyCategory c ⋙ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh) (HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh ⋙ F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c) (F.mapHomotopyCategory c ⋙ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh) (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom).app ((HomotopyCategory.quotient C c).obj K) = (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c).map ((HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso C c).hom.app K) ≫ (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K ≫ (HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso D c).inv.app ((F.mapHomologicalComplex c).obj K) ≫ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.map ((F.mapHomotopyCategoryFactors c).inv.app K)


Context:
l : Type u_1
R : Type u_2
DecidableEq l
Fintype l
CommRing R
A : ↥(Matrix.symplecticGroup l R)

↑A⁻¹ = (↑A)⁻¹


Context:
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M

Module.Flat R M ↔ Module.Baer R (CharacterModule M)


Context:
M : Type u_3
CommMonoid M
n : ℕ
i : Fin n
v : Fin n.succ → M

∏ j ∈ Finset.Ioi i.succ, v j = ∏ j ∈ Finset.Ioi i, v j.succ


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: T : CategoryTheory.Monad C

Context: J : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} J

Context: D : CategoryTheory.Functor J T.Algebra

Context: c : CategoryTheory.Limits.Cocone (D.comp T.forget)

Context: t : CategoryTheory.Limits.IsColimit c

Context: CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (D.comp T.forget) T.toFunctor

Context: CategoryTheory.Limits.PreservesColimit ((D.comp T.forget).comp T.toFunctor) T.toFunctor

(CategoryTheory.Monad.ForgetCreatesColimits.coconePoint c t).a = CategoryTheory.Monad.ForgetCreatesColimits.lambda c t


Context:
K : Type u_1
NontriviallyNormedField K
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace K F
m : ℕ
f : K → F
hf : ContDiff K (↑m + 1) f


Context:
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
I : Ideal R
M₁ M₂ : Submodule R M

I • (M₁ ⊓ M₂) ≤ I • M₁ ⊓ I • M₂


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x✝ x : 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

iteratedDerivWithin (n + 1) f s x = derivWithin (iteratedDerivWithin n f s) s x


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.55275, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)

Context: hS : S.Exact

Context: inst✝³ : Epi S.g

Context: i : ι

Context: inst✝² : S.X₁.HasHomology i

Context: inst✝¹ : S.X₂.HasHomology i

Context: inst✝ : S.X₃.HasHomology i

opcyclesMap S.f i ≫ opcyclesMap S.g i = 0


Context:
K : Type u_1
RCLike K
z : K


Context:
R : Type u_2
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
N : Type u_8
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid N
Module R M₁
Module R M₂
Module R N
Q₁ : QuadraticMap R M₁ N
Q₂ : QuadraticMap R M₂ N
f : Q₁ →qᵢ Q₂

f.comp (QuadraticMap.Isometry.id Q₁) = f


Context:
α : Type u_2
Monoid α
s t : Set α
hst : s ⊆ t
n : ℕ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: inst✝ : T1Space X

Context: x : X

Context: U : ℕ → Set X

Context: hU : ∀ (i : ℕ), x ∈ U i ∧ IsOpen (U i)

Context: h_basis : (𝓝 x).HasAntitoneBasis fun i => U i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : CompactSpace α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x y : α
h4 : x ≠ y
h5 : τ = swap x y
i : ℕ
hi : (σ ^ i) x = y
m : ℕ
hm : i = Fintype.card α * m


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : Field K

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : Nontrivial R

Context: inst✝¹¹ : LieRing L

Context: inst✝¹⁰ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite K L

Context: inst✝³ : Module.Finite R L

Context: inst✝² : Module.Free R L

Context: inst✝¹ : Module.Finite R M

Context: inst✝ : Module.Free R M

Context: x y : L

Context: r : R

Context: b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L

Polynomial.map ((evalRingHom r).comp ↑(MvPolynomial.aeval fun i => C ((b.repr y) i) * X + C ((b.repr x) i))) ((↑φ).polyCharpoly b) = charpoly (φ (r • y + x))


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁹ : Group G

Context: inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁷ : SFinite ν

Context: inst✝⁶ : SFinite μ

Context: s : Set G

Context: inst✝⁵ : MeasurableInv G

Context: inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: μ' ν' : Measure G

Context: inst✝³ : SigmaFinite μ'

Context: inst✝² : SigmaFinite ν'

Context: inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant

Context: sm : MeasurableSet s

Context: h2s : ν' s ≠ 0

Context: h3s : ν' s ≠ ⊤

Context: f : G → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: g : G → ℝ≥0∞ := fun y => f y⁻¹ / ν' ((fun x => x * y⁻¹) ⁻¹' s)

μ' s * lintegral ν' g = ∫⁻ (x : G), f x ∂μ'


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
f : G →g G'
hinj : Function.Injective ⇑f
u v : V
p : G.Path u v

↑(SimpleGraph.Path.map f hinj p) = SimpleGraph.Walk.map f ↑p


Context:
θ₂ : Angle
x✝ : ℝ

(↑x✝ + θ₂).expMapCircle = (↑x✝).expMapCircle * θ₂.expMapCircle


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : ProbabilityTheory.Kernel α β

Context: f : α × β → ℚ → ℝ

Context: ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ

Context: hf : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDF f κ ν

Context: a : α

Context: x : ℝ

∫ (b : β), ↑(ProbabilityTheory.stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x ∂ν a = ((κ a) (Set.univ ×ˢ Set.Iic x)).toReal


Context:
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
r : Set β
hf : Set.BijOn f s t
hrt : r ⊆ t


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a b : R
S : Type v
x y : R
I : Ideal R


Context:
ι : Type u_1
β : Type u_4
CommMonoid β
κ : Type u_7
s : Finset ι
t : ι → Set κ
f : κ → β

(↑s).PairwiseDisjoint t → (⋃ i ∈ s, t i).mulIndicator f = fun a => ∏ i ∈ s, (t i).mulIndicator f a


Context:
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
s : Set α

StrictAntiOn (f ∘ ⇑OrderDual.ofDual) s ↔ StrictMonoOn f s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a b : α
ha : a ∉ s
hb : b ∈ s


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_5
LinearOrder α
OrderTop α
s : Finset ι
f : ι → α
SemilatticeInf β
OrderTop β
g : α → β
mono_g : Monotone g
top : g ⊤ = ⊤


Context: θ : Real.Angle

θ.sin ≠ 0 ↔ θ ≠ 0 ∧ θ ≠ ↑π


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: E : ι → Type wE

Context: Fintype ι

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: ι' : Type v'

Context: Fintype ι'

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: (i' : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i')

Context: (i' : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i')

Context: f : (i' : ι') → ContinuousMultilinearMap 𝕜 E (E' i')


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2

Context: n : ℤ

Context: x : 𝓞 K

Context: pB : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis

Context: hdim : 1 < pB.dim

Context: h : (pB.basis.repr hζ.toInteger) ⟨1, hdim⟩ = (pB.basis.repr (↑↑p * x + ↑n)) ⟨1, hdim⟩

Context: this : pB.gen = hζ.toInteger


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
a✝ : α
b : β
x : α ⊕ β
a : α
left✝ : a ∈ s
ha : inl a = inr b


Context:
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
φ : L.Hom M N
S : L.Substructure N

↑(FirstOrder.Language.Substructure.comap φ S) = ⇑φ ⁻¹' ↑S


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F✝ : H → α → E

Context: x₀✝ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F : 𝕜 → α → E

Context: x₀ : 𝕜

Context: F' : α → E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) μ

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound a)) (fun x => F x a) (ball x₀ ε)

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: L : E →L[𝕜] 𝕜 →L[𝕜] E := (ContinuousLinearMap.smulRightL 𝕜 𝕜 E) 1

Context: h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (L (F' a)) x₀

Context: hm : AEStronglyMeasurable (⇑L ∘ F') μ

Context: key : HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), (⇑L ∘ F') a ∂μ) x₀

Context: hF'_int : Integrable F' μ

Context: hE : CompleteSpace E

HasDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: CategoryTheory.Limits.HasKernels C

Context: CategoryTheory.Limits.HasCokernels C

∀ {X Y : CategoryTheory.ShortComplex C} (φ : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyFunctor C).map φ = CategoryTheory.ShortComplex.rightHomologyMap φ


Context:
n : ℕ
x y : ℤ
he : ↑x = ↑y
hl : x.natAbs ≤ n / 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α

blimsup s cofinite p = {x | {n | p n ∧ x ∈ s n}.Infinite}


Context:
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
μ : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite μ
s : Set G
MeasurableInv G
μ.IsMulLeftInvariant
y : G

μ ((fun x => x * y) ⁻¹' s) = 0 ↔ μ s = 0


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)


Context: E : Type u_1

Context: NormedAddCommGroup E

Context:
h :
  ∀ (u : ℕ → E),
    (Summable fun x => ‖u x‖) → ∃ a, Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, u i) Filter.atTop (𝓝 a)


Context:
α : Type u_1
DivisionMonoid α
a : α
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
t : Set β

(μ.restrict s).prod (ν.restrict t) = (μ.prod ν).restrict (s ×ˢ t)


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: DivisionRing k

Context: AddCommGroup V

Context: Module k V

Context: AffineSpace V P

Context: DecidableEq P

Context: p : ι → P

Context: hi : AffineIndependent k p

Context: s : Finset ι

Context: sp : AffineSubspace k P

Context: FiniteDimensional k ↥sp.direction

Context: hle : affineSpan k ↑(Finset.image p s) ≤ sp

Context: hc : s.card = FiniteDimensional.finrank k ↥sp.direction + 1


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S

Context: f✝ : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝¹⁶ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Field K

Context: inst✝¹⁴ : Algebra R K

Context: hRK : IsFractionRing R K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹³ : Field L

Context: inst✝¹² : Algebra S L

Context: inst✝¹¹ : IsFractionRing S L

Context: V : Type u_3

Context: V' : Type u_4

Context: V'' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁹ : Module R V

Context: inst✝⁸ : Module K V

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R K V

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup V'

Context: inst✝⁵ : Module R V'

Context: inst✝⁴ : Module S V'

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S V'

Context: inst✝² : AddCommGroup V''

Context: inst✝¹ : Module R V''

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: hRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤

Context: f : V'' →ₗ[R] V

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: f' : V'' →ₗ[R] V'

Context: ι : Type u_6

Context: b : ι → V''

Context: s : Finset ι

Context: g : ι → K

Context: eq✝ : ∑ i ∈ s, g i • (⇑f ∘ b) i = 0

Context: j' : ι

Context: hj's : j' ∈ s

Context: hj'g : ¬g j' = 0

Context: a : K

Context: j : ι

Context: hjs : j ∈ s

Context: hgI✝ : a * g j ∉ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))

Context: g'' : (i : ι) → i ∈ s → R

Context: hg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), (algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i

Context: this : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable

Context: g' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0

Context: hg' : ∀ i ∈ s, (algebraMap R K) (g' i) = a * g i

Context: hgI : (algebraMap R S) (g' j) ≠ 0

Context: eq : f (∑ i ∈ s, g' i • b i) = 0

∑ i ∈ s, (fun i => (algebraMap R S) (g' i)) i • (⇑f' ∘ b) i = 0


Context:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMinOn f s a
hf : HasFDerivWithinAt f f' s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
hy' : -y ∈ posTangentConeAt s a


Context: σ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: x : MvPolynomial σ R

Context: s : Set σ

Context: this : x ∈ Ideal.span ((fun x => (monomial (Finsupp.single x 1)) 1) '' s) ↔ ∀ xi ∈ x.support, ∃ si ∈ (fun i => Finsupp.single i 1) '' s, si ≤ xi

x ∈ Ideal.span (X '' s) ↔ ∀ m ∈ x.support, ∃ i ∈ s, m i ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set H
x : H


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: F : Type uF

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedAddCommGroup E'

Context: NormedAddCommGroup F

Context: f : G → E

Context: g : G → E'

Context: x : G

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: NormedSpace 𝕜 E

Context: NormedSpace 𝕜 E'

Context: NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: MeasurableSpace G

Context: μ : MeasureTheory.Measure G

Context: AddCommGroup G

Context: MeasurableNeg G

Context: μ.IsAddLeftInvariant

Context: MeasurableAdd G

Context: μ.IsNegInvariant

Context: h : MeasureTheory.ConvolutionExistsAt f g x L μ

MeasureTheory.Integrable (fun t => (L (f (x - t))) (g t)) μ


Context: I₁ : Type u_1

Context: I₂ : Type u_2

Context: I₃ : Type u_3

Context: J : Type u_4

Context: Zero I₂

Context: r : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: π : I₁ × I₃ → J

Context: self : CategoryTheory.GradedObject.TriangleIndexData r π

Context: i : I₁ × I₂ × I₃


Context:
R : Type u_1
Ring R
h01 : 0 = 1


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
ι : Type u_3
f : ι → IntermediateField F E
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, f i
i : ι


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w : V
e✝ : Sym2 V
inst✝ : DecidableEq V
v : V
e : Sym2 V
he : e ∈ G.edgeSet
hv : v ∈ e

G.otherVertexOfIncident ⋯ ∈ G.neighborSet v


Context:
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ℂ
hx : x ≠ 0

Complex.log (x * ↑r) = ↑(Real.log r) + Complex.log x


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: D : GlueData C

Context: i j k : D.J

Context: S : Set ↑↑(D.V (i, j))

Context: eq₁ : (PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom ≫ pullback.fst ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k)) = (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base

Context: eq₂ : (PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom ≫ pullback.snd ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k)) = (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).base

⇑(pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).base '' (⇑(pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base ⁻¹' S) = ⇑(D.f i k).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base '' S)


Context:
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : α → E
s : Set α
c : α
h : IsMaxOn (norm ∘ f) s c


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u✝ v✝ s : Set α

Context: h : ∀ (t t' : Set α), IsClosed t → IsClosed t' → s ⊆ t ∪ t' → (s ∩ t).Nonempty → (s ∩ t').Nonempty → (s ∩ (t ∩ t')).Nonempty

Context: u v : Set α

Context: hu : IsOpen u

Context: hv : IsOpen v

Context: huv : s ⊆ u ∪ v

Context: x : α

Context: xs : x ∈ s

Context: xu : x ∈ u

Context: y : α

Context: ys : y ∈ s

Context: yv : y ∈ v


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
s t : Set α
a : α
m n✝ : ℕ
ha : a ∈ s
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
PartialOrder β
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
OrderTopology α
OrderTopology β
e : α ≃o β


Context:
α : Type u
a : α
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ zpowers g
g' : G'
hg' : orderOf g' ∣ orderOf g

Classical.choose ⋯ ≡ 1 [ZMOD ↑(orderOf g)]


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : 0 < b → b < a → c ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
ι : Sort uι
MeasurableSpace α
Countable ι
p : ι → α → Prop
hp : ∀ (i : ι), Measurable (p i)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : GroupWithZero α
inst✝ : MulAction α β
a✝ a : α
ha : a ≠ 0
x y : β
h : a⁻¹ • x = y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : Filter α
g : Filter β
h : Filter γ

Filter.map (⇑(Equiv.prodAssoc α β γ)) ((f ×ˢ g) ×ˢ h) = f ×ˢ g ×ˢ h


Context: ι : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: α : ι → Type u_6

Context: inst✝² : (i : ι) → LinearOrder (α i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), IsWellOrder (α i) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : Finite ι

Context: s : Set ((i : ι) → α i)

Context: val✝ : Fintype ι


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot (f ζ) k
hf : Injective ⇑f
l : ℕ
hl : f ζ ^ l = 1


Context:
α : Type u_2
Ring α
self : Ring.PositiveCone α
a b : α

self.pos a → self.pos b → self.pos (a * b)


Context: R : Type u

Context: NonUnitalNonAssocRing R

Context: s : Set R

Context: p : R → R → Prop

Context: a b : R

Context: ha : a ∈ NonUnitalSubring.closure s

Context: hb : b ∈ NonUnitalSubring.closure s

Context: Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y

Context: H0_left : ∀ (x : R), p 0 x

Context: H0_right : ∀ (x : R), p x 0

Context: Hneg_left : ∀ (x y : R), p x y → p (-x) y

Context: Hneg_right : ∀ (x y : R), p x y → p x (-y)

Context: Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y

Context: Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)

Context: Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y

Context: Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)


Context:
Ω : Type u_1
f g : Ω → ℝ≥0∞
Mf Mg mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
hMf : Mf ≤ mΩ
hMg : Mg ≤ mΩ
h_ind : ProbabilityTheory.Indep Mf Mg μ
h_meas_f : Measurable f
h_meas_g : Measurable g

∫⁻ (ω : Ω), f ω * g ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), g ω ∂μ


Context:
x : ℕ
r : ℝ

Nat.cast ⁻¹' Metric.closedBall (↑x) r = Metric.closedBall x r


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ c✝ : Cat
f✝ g✝ : a✝ ⟶ b✝
η✝ : f✝ ⟶ g✝
h✝ : b✝ ⟶ c✝

(prelaxfunctor.map₂ (Bicategory.whiskerRight η✝ h✝)).app = (((fun {a b c} => mapComp) f✝ h✝).hom ≫ Bicategory.whiskerRight (prelaxfunctor.map₂ η✝) (prelaxfunctor.map h✝) ≫ ((fun {a b c} => mapComp) g✝ h✝).inv).app


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: β : ι → Type u_3

Context: γ : ι → Type u_4

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f g : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)

Context: a✝ : (i : ι) × α i

Context: b✝ : (i : ι) × β i

Context: h : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄ ⦃b : β i⦄, f a b ⊆ g a b

Context: a : (i : ι) × α i

Context: b : (i : ι) × β i

Context: x : Sigma γ

Context: hx : x ∈ sigmaLift f a b


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G ↪g G'
e : ↑G.edgeSet

f.mapEdgeSet e = SimpleGraph.Hom.mapEdgeSet (RelEmbedding.toRelHom f) e


Context:
m n a b : ℕ
hn : a ≡ b [MOD n]
hm : a ≡ b [MOD m]


Context:
α : Type u_1
p : α → Prop


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : BorelSpace β

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : Countable ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: μ : Measure α

Context: f : ι → α → β

Context: L : Filter ι

Context: inst✝ : L.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ

Context: h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 l)

Context: inhabited_h : Inhabited ι

Context: hL : L.NeBot

Context: p : α → (ι → β) → Prop := fun x f' => ∃ l, Tendsto (fun n => f' n) L (𝓝 l)

Context: hp_mem : ∀ x ∈ aeSeqSet hf p, p x fun n => f n x

∃ f_lim, Measurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 (f_lim x))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: A : ContinuousOn (fun y => y - x) (EMetric.ball x r)

MapsTo (fun y => y - x) (EMetric.ball x r) (EMetric.ball 0 r)


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
Group G
Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G


Context: α : Type u_1

Context: l : Filter α

Context: CountableInterFilter l

Context: p : Set α → Prop

Context: HasCountableSeparatingOn α p Set.univ

Context: hl : ∀ (U : Set α), p U → U ∈ l ∨ Uᶜ ∈ l


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞


Context:
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
F : Type u_3
Field F
w : NumberField.InfinitePlace K
f : F →+* K
g : k →+* F

w.comap (f.comp g) = (w.comap f).comap g


Context:
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
CommRing R'
CommRing S'
Algebra R' S'
P' : Algebra.Generators R' S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
f : P.Hom P'
x : P.Cotangent

(Algebra.Generators.CotangentSpace.map f) (P.cotangentComplex x) =
  P'.cotangentComplex ((Algebra.Generators.Cotangent.map f) x)


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : SimplicialObject.Split C

SimplicialObject.Split.nondegComplexFunctor.obj S = S.s.nondegComplex


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
i : ι
x : H


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
i j : A

(shiftFunctor C j).map ((shiftFunctor C i).map f) = (shiftComm X i j).hom ≫ (shiftFunctor C i).map ((shiftFunctor C j).map f) ≫ (shiftComm Y j i).hom


Context: R : Type u_5

Context: S : Type u_6

Context: Semiring R

Context: OrderedSemiring S

Context: f : R →ₙ* S

Context: h₁ : ∀ (x : R), 0 ≤ f.toFun x

Context: h₂ : ∀ (x : R), f.toFun x = 0 ↔ x = 0

Context: h₃ : ∀ (x y : R), f.toFun (x + y) ≤ f.toFun x + f.toFun y

⇑{ toMulHom := f, nonneg' := h₁, eq_zero' := h₂, add_le' := h₃ } = ⇑f


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s t : Set M
h : s ⊆ t


Context: x✝¹ x✝ : ℝ

Context: h : ∃ k, 2 * (x✝¹ + x✝) - π = 2 * π * ↑k


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R₁ A
inst✝¹ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
J : Ideal S
f : R ≃+* S
hIJ : J = map (↑f) I


Context:
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsJacobson R
σ : Type u_2
inst✝¹ : _root_.Finite σ
S : Type u_3
inst✝ : Field S
f : MvPolynomial σ R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f


Context:
ctx : Nat.Linear.Context
e : Nat.SOM.Expr

Nat.SOM.Poly.denote ctx e.toPoly = Nat.SOM.Expr.denote ctx e


Context:
α : Type u
n : Nat


Context:
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f : α₁ → β₁ → Finset γ₁
g : α₂ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c₁ : γ₁

Sum.inl c₁ ∈ Finset.sumLift₂ f g a b ↔ ∃ a₁ b₁, a = Sum.inl a₁ ∧ b = Sum.inl b₁ ∧ c₁ ∈ f a₁ b₁


Context:
R : Type u
σ : Type u_1
CommRing R
p : MvPolynomial σ R


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: s✝ : Finset α

Context: P : Finpartition univ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊

Context: x y z : α

Context: s : Finset α

Context: hX : s ∈ P.parts

Context: Y : Finset α

Context: hY : Y ∈ P.parts

Context: xX : x ∈ s

Context: yY : y ∈ Y

Context: nXY : s ≠ Y

Context: uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y

Context: dXY : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)

Context: Z : Finset α

Context: hZ : Z ∈ P.parts

Context: zZ : z ∈ Z

Context: hX' : s ∈ P.parts

Context: xX' : x ∈ s

Context: nXZ : s ≠ Z

Context: uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z

Context: dXZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)

Context: hY' : Y ∈ P.parts

Context: yY' : y ∈ Y

Context: hZ' : Z ∈ P.parts

Context: zZ' : z ∈ Z

Context: nYZ : Y ≠ Z

Context: uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y Z

Context: dYZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z)

triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card


Context:
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
M : Submonoid R
B : Type w
CommRing B
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B

Submonoid.map f (Algebra.algebraMapSubmonoid A M) = Algebra.algebraMapSubmonoid B M


Context:
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W✝ : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Affine F

Context: x₁ x₂ y₁ y₂ : F

Context: h₁ : W.Equation x₁ y₁

Context: h₂ : W.Equation x₂ y₂

Context: hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

Context: sup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c

∃ x, (∃ a a_1 a_2, a_2 * (Y - W.negPolynomial) = x + a * C (X - C x₁) + a_1 * C (X - C x₂)) ∧ (AdjoinRoot.mk W.polynomial) x = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
t : Finset β
h : ∀ x ∈ s, f x ∈ t

Finset.filter (fun y => y ∈ Finset.image f s) t = Finset.image f s


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : (i : ι) → α i → α i → Prop

Context: hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0

Context: hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: i✝ i : ι

Context: h✝ : ∀ (y : ι), (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y i → Acc (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y

Context: ih : ∀ (y : ι), (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y i → ∀ (a : α y), Acc (DFinsupp.Lex r s) (single y a)

Context: a✝ a : α i

Context: ha : ∀ (y : α i), s i y a → (fun x => Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i x)) y

(fun x => Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i x)) a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
b : ℝ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : F →L[𝕜] G
B : E →L[𝕜] F
v : G

(adjoint (A.comp B)) v = ((adjoint B).comp (adjoint A)) v


Context: X : TopCat

Context: p₀ : ↑X

Context: inst✝³ : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)

Context: C : Type v

Context: inst✝² : Category.{u, v} C

Context: A : C

Context: inst✝¹ : HasTerminal C

Context: inst✝ : HasColimits C

Context: 𝓕 : Presheaf C X

Context: c : C

Context: f : 𝓕.stalk p₀ ⟶ c

Context: U : (OpenNhds p₀)ᵒᵖ

(𝓕.germ ⟨p₀, ⋯⟩ ≫ f ≫ eqToHom ⋯) ≫ eqToHom ⋯ = colimit.ι ((OpenNhds.inclusion p₀).op ⋙ 𝓕) U ≫ f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedAddCommGroup β
f : α → β
x : α

Filter.Tendsto (fun M => {x | ↑M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x) Filter.atTop (𝓝 0)


Context:
σ : Type u_1
Fintype σ
DecidableEq σ
R : Type u_2
CommRing R
k : ℕ
f : Finset σ × σ → MvPolynomial σ R

∑ t ∈ Finset.filter (fun t => t.1.card < k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k), f t =
  ∑ a ∈ Finset.filter (fun a => a.1 < k) (Finset.antidiagonal k),
    ∑ A ∈ Finset.powersetCard a.1 Finset.univ, ∑ j : σ, f (A, j)


Context:
M : Type u_1
inst✝ : Distrib M
a b : M
ha : a ∈ center M
hb : b ∈ center M
x✝¹ x✝ : M

(a + b) * (x✝¹ * x✝) = (a + b) * x✝¹ * x✝


@AlgebraicGeometry.UniversallyClosed = (AlgebraicGeometry.topologically @IsClosedMap).universally


Context:
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
hp : 0 < ↑p.natTrailingDegree


Context:
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0∞


Context:
K : Type u
A : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra K A
x : A
p : K[X]
hp : p ≠ 0
hpx : (aeval x) p = 0

eval₂ (algebraMap K A) x (p * C p.leadingCoeff⁻¹) = 0


Context:
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
CommSemiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
M₁' : ι → Type u_1
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
(i : ι) → Module R (M₁' i)
g : MultilinearMap R M₁' M₂

∀ (a : (i : ι) → (fun i => M₁ i →ₗ[R] M₁' i) i) (m : (i : ι) → M₁ i),
  ((MultilinearMap.piLinearMap g) a) m = g fun i => (a i) (m i)


Context:
α : Type u
Nonempty α
l : List α

l.rotate 1 = l ↔ ∃ a, l = List.replicate l.length a


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p q : R[X]

Context: hdp : (p ^ 2).degree = 2 • p.degree

Context: hdpq : (p * q * (C W.a₁ * X + C W.a₃)).degree ≤ p.degree + q.degree + 1

Context: hdq : (q ^ 2 * (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)).degree = 2 • q.degree + 3

(p ^ 2 - p * q * (C W.a₁ * X + C W.a₃) - q ^ 2 * (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)).degree = max (2 • p.degree) (2 • q.degree + 3)


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C

∀ {X Y : CategoryTheory.CosimplicialObject C} (f : X ⟶ Y),
  (AlgebraicTopology.alternatingCofaceMapComplex C).map f = AlgebraicTopology.AlternatingCofaceMapComplex.map f


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
U : Type u_2
inst✝¹ : CommRing U
inst✝ : Algebra R U
h : IsAdjoinRoot S f
h' : IsAdjoinRoot T f
h'' : IsAdjoinRoot U f
z : S

((h.aequiv h').trans (h'.aequiv h'')) z = (h.aequiv h'') z


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
T2Space B
s : Set A
f g : A →A[R] B
h : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s

Set.EqOn (⇑f) (⇑g) (closure ↑(Algebra.adjoin R s))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
v : E


Context:
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hf : MonotoneOn f s

∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: X : SimplicialObject C

Context: Y : C

Context: n a q : ℕ

Context: φ : Y ⟶ X _[n + 1]

Context: v : HigherFacesVanish q φ

Context: hnaq : n = a + q

Context: hnaq_shift : ∀ (d : ℕ), n + d = a + d + q

Context: simplif : ∀ (a b c d e f : Y ⟶ X _[n + 1]), b = f → d + e = 0 → c + a = 0 → a + b + (c + d + e) = f


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
φ : W.RightFraction X Y


Context:
M : Type u_1
Monoid M
s : Set M
self : IsSubmonoid s


Context:
R : Type u_1
CommRing R
G : AlgebraCat R
H : Type u
Ring H
Algebra R H
f : ↑G →ₐ[R] H


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞
f : M → M'
x : M

ContMDiffAt I I' n f x ↔
  ContinuousAt f x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (Set.range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_5
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass P
f : Monoid.Coprod M N →* P

MonoidHom.mrange f = MonoidHom.mrange (f.comp Monoid.Coprod.inl) ⊔ MonoidHom.mrange (f.comp Monoid.Coprod.inr)


Context:
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : 0 < n
div : p ∣ n


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing 𝕜
inst✝⁵ : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : ↑(characterSpace 𝕜 A)

((fun a => { toFun := fun φ => φ a, continuous_toFun := ⋯ }) 1) a = 1 a


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : IsArtinian R M
inst✝ : IsArtinian R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
h : LinearMap.range f = LinearMap.ker g

∀ (a : Submodule R N), Submodule.comap g (Submodule.map g a) = a ⊔ LinearMap.range f


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
f : ι → E → F
u : Finset ι
i : ℕ
x : E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
h : ∀ j ∈ u, ContDiffOn 𝕜 (↑i) (f j) s

iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fun x => ∑ j ∈ u, f j x) s x = ∑ j ∈ u, iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f j) s x


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_4
n : Type u_5
Fintype n
M : Matrix m n R

LinearMap.ker M.mulVecLin = ⊥ ↔ ∀ (v : n → R), M *ᵥ v = 0 → v = 0


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
AddTorsor G P


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : CountablyGenerated α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
x y : α
hxy : mapNatBool α x = mapNatBool α y
n : ℕ

Decidable (y ∈ natGeneratingSequence α n)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a b : R
S : Type v
x y : R
I : Ideal R


Context:
α : Type u
Nonempty α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
Fintype β
f : β → α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : AddGroup α

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a : α

(if a < 0 then 1 else if 0 < a then -1 else 0) = -if 0 < a then 1 else if a < 0 then -1 else 0


Context:
R : Type u
CommSemiring R
f : R[X]
𝓟 : Ideal R
self : f.IsEisensteinAt 𝓟


Context:
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α : Type u_7
β : Type u_8

∀ (a : α ⊕ β →₀ M), (Finsupp.sumFinsuppLEquivProdFinsupp R) a = Finsupp.sumFinsuppAddEquivProdFinsupp.toFun a


Context:
A : Type u_2
B : Type u_3
AddMonoid A
AddMonoid B
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B
ContinuousAdd B
T2Space B


Context:
b c a : Prop
h : b ↔ c


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
Nontrivial E


Context: x : ℝ

↑x ≠ 1 ↔ x ≠ 1


Context:
α β : Sort u_1
h : α = β
x : α


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
H : SimpleGraph V
h : H ≤ G

∀ (a a_1 : V), (SimpleGraph.toSubgraph H h).Adj a a_1 = H.Adj a a_1


Context:
R : Type u
CommSemiring R
p q : R[X]
n : ℕ
m : ℕ
dvd : q ^ n ∣ p

q ^ (n - m) ∣ (⇑Polynomial.derivative)^[m] p


Context:
A : Set ℕ
DecidablePred fun x => x ∈ A
DecidablePred fun x => x ∈ insert 0 A

schnirelmannDensity (insert 0 A) = schnirelmannDensity A


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
f : X → A
x : X

((FreeAlgebra.lift R) f) (FreeAlgebra.ι R x) = f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Part α
g : α → Part β

(f.bind g).Dom ↔ ∃ (h : f.Dom), (g (f.get h)).Dom


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_3
Preorder ι
LinearOrder α
u : ι → α
h : Monotone u
H : ¬BddAbove (Set.range u)

Filter.Tendsto u Filter.atTop Filter.atTop


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ

Context: ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ

Context: ProbabilityTheory.IsFiniteKernel η

Context: a : α

((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0


Context: X Y : Scheme

Context: U✝ : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U✝

Context: f✝ : ↑Γ(X, U✝)

Context: f : X ⟶ Y

Context: H : IsOpenImmersion f

Context: U : { U // ↑U ≤ Scheme.Hom.opensRange f }


Context:
β : Type u_2
AddCommMonoid β
x : β
n : ℕ


Context:
L : Language
α : Type w
V : Type w'
n : ℕ
S : Language.graph.Structure V
inst✝ : V ⊨ Theory.simpleGraph
x✝² : ℕ
x✝¹ : Language.graph.Relations x✝²
x✝ : Fin x✝² → V


Context:
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ

∀ b ∈ Finset.range (n + 1), b ≠ 0 → (bind₁ onePoly) (C (↑p ^ b) * X b ^ p ^ (n - b)) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n✝ : ℕ
hx : x ∈ periodicPts f
n : ℕ


Context:
α : Type u
Inf α
a b : α

{ down := a ⊓ b } = { down := a } ⊓ { down := b }


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
s : Set E
hs : IsOpen s


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_7, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.128478, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_6, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ'✝ ℱ ℱ' : Sheaf K A
α : ℱ ⟶ ℱ'
i : IsIso (whiskerLeft G.op α.val)

α = (sheafIso (asIso (whiskerLeft G.op α.val))).hom


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
x : List α
y : List β
h : List.Forall₂ R x y
i : ℕ
hx : i < x.length
hy : i < y.length


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
s₁ s₂ : Finset α
f g : α → β
AddCommMonoid β
h : s₁ = s₂

(∀ x ∈ s₂, f x = g x) → s₁.sum f = s₂.sum g


Context:
U : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁴ : Quiver U
inst✝³ : Quiver V
inst✝² : Quiver W
V' : Type u_4
inst✝¹ : Quiver V'
inst✝ : HasReverse V'
φ : V ⥤q V'

∀ (X : V), (of ⋙q lift φ).obj X = φ.obj X


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
inst✝ : Nontrivial α


Context:
α : Type u_2
TopologicalSpace α
U : TopologicalSpace.Opens α


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g' g✝ φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: G : Type u_6

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: g : ℝ → G

Context: hf : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x

Context: hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]

Context: hg : ContinuousOn g (f '' [[a, b]])


Context:
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
α : Type u_2
SMul α ℂ
IsScalarTower α ℂ ℂ
f : CuspForm Γ k
n : α


Context:
n m l : ℕ
hlm : l ≤ m

filter (fun x => decide (x < l)) (Ico n m) = Ico n l


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
a b : ℝ
f : ι → Ω → ℝ
n : ℕ
ω : Ω

MeasureTheory.upperCrossingTime a b f ⊥ n ω = ⊥


Context:
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hl : l.Sized
hr : r.Sized

(l.balance' x r).size = l.size + r.size + 1


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α


Context: R : Type u_1

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Ideal.map (Ideal.Quotient.mk v.supp) v.supp = 0


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : ↥A


Context:
α : Type u_1
p q : α → Prop
t : RBNode α

All (fun a => p a ∧ q a) t ↔ All p t ∧ All q t


Context:
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
self : H.IsCartanSubalgebra


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: CategoryTheory.Category.{v', u'} A

Context: CategoryTheory.ConcreteCategory A

Context: F₁ F₂ : CategoryTheory.Sheaf J A

Context: φ : F₁ ⟶ F₂

CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J ((CategoryTheory.sheafToPresheaf J A).map φ) ↔
  CategoryTheory.Sheaf.IsLocallySurjective φ


Context:
α : Type u
β : Type v
SemilatticeInf β
f g : α → β
a : α
l : Filter α
hf : IsMaxFilter f l a
hg : IsMaxFilter g l a


Context: q : ℤ[X]

Context: k m n : ℕ

Context: hkm : k < m

Context: hmn : m < n

Context: x y z : ℤ

Context: hp : {k, m, n}.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ {k, m, n}, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)

Context: hx : IsUnit ((x + y * if k = m then 1 else 0) + z * if k = n then 1 else 0)

Context: hy : IsUnit ((x * if m = k then 1 else 0) + y + z * if m = n then 1 else 0)

Context: hz : IsUnit (((x * if n = k then 1 else 0) + y * if n = m then 1 else 0) + z)

(C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: s✝ t✝ : WSeq α

Context: c1 c2 : Computation (Option (α × WSeq α))

Context: s t : WSeq α

Context: h : c1 = (s.append t).destruct ∧ c2 = s.destruct.bind (destruct_append.aux t)

Computation.BisimO (fun c1 c2 => ∃ s t, c1 = (s.append t).destruct ∧ c2 = s.destruct.bind (destruct_append.aux t)) (s.append t).destruct.destruct (s.destruct.bind (destruct_append.aux t)).destruct


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝¹ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α

(𝓝 a).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {b | |b - a| < ε}


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
i j : ℕ


Context:
T : ℝ
hT : 0 < T
t : ℝ
μ : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
x : ℝ


Context:
a x✝ z x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

x * y = ↑(abs x) * ↑(abs y) * (cexp (↑x.arg * I) * cexp (↑y.arg * I))


Context:
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
Semiring B
Algebra R B
StarRing B
StarModule R B
f : A →⋆ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
a : A

(StarAlgEquiv.ofInjective f hf) a = f.rangeRestrict a


Context:
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
inst✝ : Mono f
a b : X₁ ⊕ X₂

Quot.mk (Rel f g) a = Quot.mk (Rel f g) b ↔ Rel' f g a b


Context:
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
a b : α
h₁ : a < b
h₂ : s.min = ↑b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
M : Matroid α
X : Set α

∀ (x : α), (∀ (t : Set α), M.Flat t → X ∩ M.E ⊆ t → x ∈ t) ↔ x ∈ M.E ∧ ∀ a ⊆ M.E, X ∩ M.E ⊆ a → M.Flat a → x ∈ a


Context: α : Type u_1

Context: is l : List α

Context: H : l.Perm ([] ++ is) → (∃ ts', ∃ (_ : ts'.Perm []), l = ts' ++ is) ∨ l ∈ is.permutationsAux []


Context:
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S✝ S : StarSubalgebra ℂ A
hS : IsClosed ↑S
x : A
h : IsUnit x
hxS : x ∈ S
hx : IsUnit (star x * x)
this : IsStarNormal (star x * x)
hx' : IsUnit ⟨star x * x, ⋯⟩

↑hx.unit⁻¹ ∈ elementalStarAlgebra ℂ (star x * x)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
inst✝¹ : PartialOrder X
x y : X
inst✝ : NoAtoms μ

∫ (t : X) in Icc x y, f t ∂μ = ∫ (t : X) in Ioo x y, f t ∂μ


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f : Perm α
e : α ≃ Fin n
h : ∀ (x : α), f x ≠ x → x ∈ []

signAux ((e.symm.trans f).trans e) = signAux2 [] f


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P (n + 1)


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x y z : X
r✝ s r : ℝ
hr : r ≠ 0


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x✝ : X
s✝ : Set X
B : Set (Set X)
hB : IsTopologicalBasis B
x : X
s : Set X
h : s ∈ 𝓝 x


Context:
R : Type u
Semiring R
Nontrivial R
p : R[X]

(p * Polynomial.X).degree = p.degree + 1


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: NormedAddCommGroup E

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: f : α → E

Context: p q : ℝ

Context: hp0_lt : 0 < p

Context: hpq : p ≤ q

Context: hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ

MeasureTheory.eLpNorm' f p μ ≤ MeasureTheory.eLpNorm' f q μ * μ Set.univ ^ (1 / p - 1 / q)