Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t : Set A
f : A →ₐ[R] B
s : Set A


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : EMetricSpace X
inst✝⁸ : EMetricSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
s : Set ℝ


Context:
xl xr yl yr : Type u_1
xL : xl → SetTheory.PGame
xR : xr → SetTheory.PGame
yL : yl → SetTheory.PGame
yR : yr → SetTheory.PGame
i : xr
j : yl

(SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR * SetTheory.PGame.mk yl yr yL yR).moveRight (Sum.inr (i, j)) =
  xR i * SetTheory.PGame.mk yl yr yL yR + SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR * yL j - xR i * yL j


Context: q : ℚ

Context: q_pos : 0 < q

Context: q_num_pos : 0 < q.num

Context: q_num_abs_eq_q_num : ↑q.num.natAbs = q.num

Context: q_inv : ℚ := ↑q.den / ↑q.num

Context: q_inv_def : q_inv = ↑q.den / ↑q.num

Context: q_inv_eq : q⁻¹ = q_inv

Context: q_inv_num_denom_ineq : q⁻¹.num - ⌊q⁻¹⌋ * ↑q⁻¹.den < ↑q⁻¹.den


Context:
η : Type u_14
Fintype η
α : Type u_16
ιs : η → Type u_17
AddMonoid α
f : (j : η) × ιs j →₀ α
j : η
i : ιs j

(Finsupp.sigmaFinsuppAddEquivPiFinsupp f j) i = f ⟨j, i⟩


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G
h1 : 1 ∈ T


Context:
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Γ : Type u_4
inst✝⁶ : Group Γ
T : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace T
inst✝⁴ : MulAction Γ T
G₀ : Type u_6
inst✝³ : GroupWithZero G₀
inst✝² : MulAction G₀ α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ α
c : G₀
s : Set α
x : α
hs : ∃ t ⊆ s, IsOpen t ∧ x ∈ t
hc : c ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
LinearOrder β
Countable α
DenselyOrdered β
Nontrivial β


Context:
α : Sort u_1
IsEmpty α
f : α → ℝ


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
AddGroup G
AddGroup G'
f : G →+ G'


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s : Multiset α
n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝² : CommMonoid α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: f g : β → α

Context: a✝ b : α

Context: s✝ : Finset β

Context: inst✝ : ContinuousMul α

Context: ι : Type u_5

Context: s : Finset ι

Context: t : ι → Set β

Context: a : ι → α

Context: hs : (↑s).Pairwise (Disjoint on t)

Context: hf : ∀ i ∈ s, HasProd (f ∘ Subtype.val) (a i)

HasProd (f ∘ Subtype.val) (∏ i ∈ s, a i)


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
l : ListBlank Γ


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: f g : L ≃ₐ[K] L

Context: hf' : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m

Context: hg' : ∃ m, g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m

Context: hfg : hf'.choose ≡ hg'.choose [MOD ↑n]

Context: hf : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose

Context: hg : g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose

hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose = hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose


Context:
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
hy : y.Numeric
ihyx : IH1 y x
i : x.LeftMoves
k : y.LeftMoves
l : (-y).LeftMoves


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
m : ℕ


Context:
R : Type u
CommSemiring R
x y : R
m n : ℕ
H : IsCoprime x y


Context:
a b : ℕ
hb₀ : (b / 2).beq 0 = false
ha : a % 2 = 0
hb₁ : b % 2 = 0
hf : (↑a).gcd ↑b = 1
h : 2 ∣ (↑a).gcd ↑b


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝³ : DivisionSemiring α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSemiring α
f g : ι → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : T2Space α
hf : ¬Summable f
ha : ¬a = 0


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X₁ X₂ : Type u
X Y : AlgebraCat R
i : X ≅ Y
x : ↑X


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Algebra A B
x : B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
hx : IsIntegral A x
f g : A[X]
hf : f.Monic
hg : g.Monic
he : f * g = minpoly A x
h : ¬IsUnit f ∧ ¬IsUnit g


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
v : Basis ι R M
w : ι → Rˣ
i : ι


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂

Context: h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂


Context:
ctx : Nat.Linear.Context
c₁ c₂ : Nat.Linear.PolyCnstr
h₁ : Nat.Linear.PolyCnstr.denote ctx c₁
h₂ : Nat.Linear.PolyCnstr.denote ctx c₂

Nat.Linear.PolyCnstr.denote ctx (c₁.combine c₂)


Context: c : Type u → Type u

Context: hom : ⦃α β : Type u⦄ → c α → c β → Type u

Context: self : CategoryTheory.BundledHom hom

Context: α β : Type u

Context: Iα : c α

Context: Iβ : c β


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
this : -2 = ↑(-2)


Context:
x : ℝ
h : 0 ≤ x


Context:
c : ℝ
f✝ g : ℕ → Bool
n : ℕ
f : ℕ → Bool
h1 : 0 ≤ c
h2 : c < 1

cantorFunctionAux c f 0 + ∑' (b : ℕ), cantorFunctionAux c f (b + 1) = (bif f 0 then 1 else 0) + c * cantorFunction c fun n => f (n + 1)


Context: α : Type u

Context: γ : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : T2Space γ

Context: inst✝ : CompactSpace γ

Context: f : α → γ

Context: b : Ultrafilter α

Context: c : γ

Context: h : Ultrafilter.extend f b = c

Context: b' : Ultrafilter (Ultrafilter α) := Ultrafilter.map pure b

Context: t : ↑b' ≤ 𝓝 b


Context:
R : Type u_1
LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
v : M
r : R


Context: p q : ℤ[X]

Context: k m m' n : ℕ

Context: hkm : k < m

Context: hmn : m < n

Context: hkm' : k < m'

Context: hmn' : m' < n

Context: u v w x z : ℤˣ

Context: hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w

Context: hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z

Context: h : p * p.mirror = q * q.mirror

Context: hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x

Context: hadd : eval 1 (trinomial k m n ↑u ↑v ↑w) ^ 2 = eval 1 (trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z) ^ 2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: n : ℕ∞

Context: h : ∀ x ∈ s, f x = f₁ x

Context: p : TangentBundle I M

Context: hp : p.proj ∈ s

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj

HEq (tangentMapWithin I I' f s p).snd (tangentMapWithin I I' f₁ s p).snd


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: β : Type u_4

Context: u : ι ⊕ β → ↑S.X₂

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

Context: hv : ⊤ ≤ span R (range v)

Context: hw : ⊤ ≤ span R (range (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr))

Context: m : ↑S.X₂

Context: a✝ : m ∈ ⊤

Context: hgm : S.g m ∈ span R (range (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr))


Context:
c f₁ f₂ : Type u
r₁ r₂ : Type v

∀ (a : ℕ), (FirstOrder.Language.mk₂ c f₁ f₂ r₁ r₂).Relations a = FirstOrder.Sequence₂ PEmpty.{v + 1} r₁ r₂ a


Context:
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

IsIntegralClosure (CyclotomicRing (p ^ k) ℤ ℚ) ℤ (CyclotomicField (p ^ k) ℚ)


Context:
α : Type u
x : α


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A✝ A : C
i : ι
hi : i ≠ j

IsZero (((single C c j).obj A).homology i)


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hJ : M.Basis J Y
hJX : J ⊆ X
hIY : I ⊆ Y
hI' : M.Basis I (X ∩ Y)
hJ' : M.Basis J (X ∩ Y)


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
γ : Q ⟶ R
hR : Presheaf.IsSheaf J R

toSheafify J P ≫ sheafifyMap J η ≫ sheafifyLift J γ hR = η ≫ γ


Context:
M : Type u_4
N : Type u_5
One M
One N
f : OneHom M N


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s t✝ : Set α
f : α → β
t : Set ↑s

LipschitzOnWith K (s.restrict f) t ↔ LipschitzOnWith K f (s ∩ Subtype.val '' t)


Context:
α : Type u_1
s : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α


Context:
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ x y : R


Context:
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
f : M ≃+ N

(Finsupp.mapRange.addEquiv f).symm = Finsupp.mapRange.addEquiv f.symm


Context:
α : Type u
σ : Type v
s : σ
a : Option α


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
Zero α
Preorder α
a : α
ha : 0 ≤ a


Context:
f✝ g f g₁ g₂ : CircleDeg1Lift
h : Semiconj ⇑f ⇑g₁ ⇑g₂


Context:
R : Type u_1
Semiring R
V : Type u_18
V₂ : Type u_17

⇑(LinearEquiv.curry R V V₂) = Function.curry


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: hg_top : ∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ ≠ ⊤

Context: h_add_zero : ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ ≠ 0

Context: h_add_top : ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ ≠ ⊤

Context: hp_not_nonpos : ¬p ≤ 0

Context: htop_rpow : (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
n : ℕ
v : Fin n → α

(Matrix.circulant v).IsSymm ↔ ∀ (i : Fin n), v (-i) = v i


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LindelofSpace X
f : X → Y
hf : Continuous f


Context:
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a : α


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x₀ : E
h : DifferentiableAt 𝕜 f x₀

(fun x => f x - f x₀) =O[𝓝 x₀] fun x => x - x₀


Context:
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M✝ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
c : ℕ
x : M


Context:
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
F : Type u_6
MonoidWithZero M₀
GroupWithZero G₀
Nontrivial M₀
FunLike F G₀ M₀
MonoidWithZeroHomClass F G₀ M₀
f : F
a : G₀


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S
X : Set α
hX : X ⊆ S
hX' : sSup T₁ ⊓ sSup T₂ = sSup X


Context: α : Type u_2


Context:
α : Type u
R : Type v
CommRing R
f : FreeCommRing α →+* R

FreeCommRing.lift (⇑f ∘ FreeCommRing.of) = f


Context:
G : PGame
inst✝ : G.Impartial


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
K : Type u_3
inst✝ : Group K
f : G →* K
g : H →* K


Context:
n : ℕ
α : TypeVec.{u} n
F : TypeVec.{u} n → Type v
MvFunctor F
LawfulMvFunctor F
x : F α


Context: X : Type u

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: Y : Type v

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: e : X ≃ᵢ Y

Context: f : ↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ X

Context: g : Y ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y))

⟦NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X⟧ = ⟦NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y⟧


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

HurwitzZeta.hurwitzZetaOdd (-a) s = -HurwitzZeta.hurwitzZetaOdd a s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s : Set α
t : Set β


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
FloorRing α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
n : ℤ

Filter.Tendsto (fun x => ↑⌈x⌉) (𝓝[≤] ↑n) (𝓝 ↑n)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: h'f : HasCompactSupport f

Context: hg : Continuous g

Context: v : E

Context: K : Set E := cthickening ‖v‖ (tsupport f)

Context: K_compact : IsCompact K

Integrable (K.indicator fun x => ↑C * ‖v‖ * ‖g x‖) μ


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : ι → E

Context: val✝ : Fintype ι

Context: hf : LinearMap.ker ((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i)) = ⊥

Context: K : ℝ≥0

Context: K0 : K > 0

Context: hK : AntilipschitzWith K ⇑((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i))

Context: this : Tendsto (fun g => ∑ i : ι, ‖g i - f i‖) (𝓝 f) (𝓝 0)

∀ᶠ (g : ι → E) in 𝓝 f, LinearMap.ker ((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (g i)) = ⊥


Context: E : Type u

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace ℂ E

Context: CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: hd : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] c, DifferentiableAt ℂ f z

Context: ho : (fun z => f z - f c) =o[𝓝[≠] c] fun z => (z - c)⁻¹

Filter.Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 (limUnder (𝓝[≠] c) f))


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f g : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
hg : MeasureTheory.Memℒp g p μ

MeasureTheory.Memℒp.toLp f hf = MeasureTheory.Memℒp.toLp g hg ↔ f =ᵐ[μ] g


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)
α : Type
X : α → C
c : CategoryTheory.Limits.Cofan X
hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c

let_fun this := ⋯;
(CategoryTheory.Limits.piComparison F fun x => Opposite.op (X x)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (F.map
      (CategoryTheory.Limits.opCoproductIsoProduct' hc
          (CategoryTheory.Limits.productIsProduct fun x => Opposite.op (X x))).inv)
    (CategoryTheory.Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj)


Context:
α : Type u_1
n : PosNum


Context:
β : Type u_2
α : Type u_6
ConditionallyCompleteLattice β
f : Filter α
f.NeBot
b : β


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
x✝ : (i : ι) → s i

((map fun i => g i ∘ₗ f i).compMultilinearMap (tprod R)) x✝ = ((map g ∘ₗ map f).compMultilinearMap (tprod R)) x✝


Context: E : Type u_1

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: NormedAddCommGroup V

Context: InnerProductSpace ℝ V

Context: FiniteDimensional ℝ V

Context: MeasurableSpace V

Context: BorelSpace V

Context: f : V → E

Context: N : ℕ∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → MeasureTheory.Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) MeasureTheory.volume

Context: h'f : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f MeasureTheory.volume

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑n ≤ N

iteratedFDeriv ℝ n (𝓕 f) = 𝓕 fun v => VectorFourier.fourierPowSMulRight (innerSL ℝ) f v n


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
p : P

↑s ∩ ↑(AffineSubspace.mk' p s.directionᗮ) = {EuclideanGeometry.orthogonalProjectionFn s p}


Context:
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y : α


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D✝ : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝

Context: J✝ : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} J✝

Context: T : Comonad C

Context: D : J✝ ⥤ T.Coalgebra

Context: c : Cone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsLimit c

Context: inst✝² : PreservesLimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor

Context: inst✝¹ : PreservesLimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor

Context: inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor

Context: s : Cone D

Context: m : s.pt ⟶ (liftedCone c t).pt

Context: J : ∀ (j : J✝), m ≫ (liftedCone c t).π.app j = s.π.app j

m.f = ((fun s => { f := t.lift (T.forget.mapCone s), h := ⋯ }) s).f


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P' Q' : Fin 3 → R
u v : Rˣ

W'.add ((fun m => m • P') u) ((fun m => m • Q') v) ≈ W'.add P' Q'


Context: n₁ n₂ : ℤ

(n₁ - n₂).negOnePow = n₁.negOnePow * n₂.negOnePow


Context: α : Type u_1

Context: AddGroup α

Context: s : AddSubgroup α

Context: β : Sort u_2

Context: f : α → β

Context: h : ∀ (a b : α), Setoid.r a b → f a = f b

Context: x : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a✝ a : α

Context: s : Finset α

Context: hs : a ∉ s

Context: ih : ∀ {𝒜 ℬ : Finset (Finset α)}, IsLowerSet ↑𝒜 → IsLowerSet ↑ℬ → (∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ s) → (∀ t ∈ ℬ, t ⊆ s) → 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜

Context: hℬ : IsLowerSet ↑ℬ

Context: h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ insert a s

Context: hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ insert a s

(Finset.memberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.nonMemberSubfamily a ℬ).card + (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.memberSubfamily a ℬ).card + ((Finset.memberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.memberSubfamily a ℬ).card + (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.nonMemberSubfamily a ℬ).card) ≤ 2 ^ (s.card + 1) * (𝒜 ∩ ℬ).card


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Preorder (α i)
x : (i : ι) → α i
Nonempty ι

(Set.univ.pi fun i => Set.Ioi (x i)) ⊆ Set.Ioi x


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
a : 𝕜'
ha : a ≠ 0

logDeriv (fun z => a * f z) x = logDeriv f x


Context:
a : ℤ
b : ℕ
ha2 : a % 2 = 0
hb2 : b % 2 = 1

(if b % 8 = 3 ∨ b % 8 = 5 then -jacobiSym (a / 2) b else jacobiSym (a / 2) b) = jacobiSym a b


Context:
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : ContinuousMul M
a b : M


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: TopologicalSpace β

Context: f g : α → β

Context: Add β

Context: ContinuousAdd β

Context: hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ

Context: hg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ

MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f + g) μ


Context:
α : Type u_1
a b : α


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ : 0 ≤ δ
hscard : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
htcard : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
h : 1 ≤ δ

|↑(edgeDensity r s₂ t₂) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
hμν : μ ≪ ν
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν

Measurable fun x => (map f μ).rnDeriv (map f ν) (f x)


Context: q r : ℚ

Context: s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)

Context: hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0

Context: c : ℤ

Context: c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num

Context: c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den

Context: a✝ : ¬c = 0

Context: h : q + r = s

↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q + r).num = (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den


Context:
K : Type u_1
v : K
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ

(of v).convs (n + 1) = ↑⌊v⌋ + 1 / (of (Int.fract v)⁻¹).convs n


Context:
α : Type u_2
CompleteLattice α

(WellFounded fun x x_1 => x > x_1) ↔ CompleteLattice.IsSupFiniteCompact α


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
hs : MeasurableSet s


Context:
n✝ : ℕ
i✝ : Fin (n✝ + 1).succ
i : Fin (n✝ + 1)

(if i = Fin.last n✝ then 0 else ↑i.succ + 1) = ↑((swap 0 1) ((finRotate (n✝ + 1)) i).succ)


Context:
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
x y : 𝕜
hxy : x ≠ y

openSegment 𝕜 x y = Set.Ioo (min x y) (max x y)


Context:
α : Type u
x y : α
BooleanAlgebra α


Context:
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s : Finmap β


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C

Context: X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ

Context: f : X₁ ⟶ X₂

Context: g : X₂ ⟶ X₃

(CochainComplex.mappingConeCompTriangle f g).obj₃ = CochainComplex.mappingCone g


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
inst✝ : HasKernels V
i j : ι
r : c.Rel i j

kernelSubobject (C.d i j ≫ (C.xNextIso r).inv) = kernelSubobject (C.d i j)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
n : ℕ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: s : Set M

Context: x✝ : M

Context: x : M × M'

Context: this : ∀ᶠ (y : E × E') in 𝓝[range ↑(I.prod I')] ↑(extChartAt (I.prod I') x) x, (↑(extChartAt I' x.2) ∘ Prod.snd ∘ ↑(extChartAt (I.prod I') x).symm) y = y.2

(↑(extChartAt I' x.2) ∘ Prod.snd ∘ ↑(extChartAt (I.prod I') x).symm) (↑(extChartAt (I.prod I') x) x) = (↑(extChartAt (I.prod I') x) x).2


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n✝ m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: h : 0 ≠ 0

Context: this : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: hp0 : ¬p = 0

Context: hpn0 : p ^ n = 0

Context: h1 : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
i : Set ι
s : (a : ι) → Set (π a)
x : (a : ι) → π a
hi : i.Finite
hs : ∀ a ∈ i, s a ∈ 𝓝 (x a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : SuccOrder α

Context: a b : α

Context: n m : ℕ

Context: h_eq : succ^[n] a = succ^[m] a

Context: h_lt : n < m

Context: this : succ (succ^[n] a) = succ^[n + 1] a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
t : Set β
hs : IsAntichain r' t
φ : r ≃r r'


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
n : ℕ
b : Basis (Fin n) R M
k : Fin n

b.flag k.succ = Submodule.span R {b k} ⊔ b.flag k.castSucc


Context:
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R

I.cotangentToQuotientSquare ∘ₗ I.toCotangent = Submodule.mkQ (I ^ 2) ∘ₗ Submodule.subtype I


Context:
p : PosNum
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α

toIocDiv hp a (p + b) = toIocDiv hp a b + 1


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: f : Filter α

Context: hf : Cauchy f

Context: U : ℕ → Set (α × α)

Context: U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α

Context: U_le : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ n, U n ⊆ s

Context: N m n : ℕ

Context: hm : N ≤ m

Context: hn : N ≤ n

Context: p : α × α

Context: hp : p ∈ setSeq hf U_mem m ×ˢ setSeq hf U_mem n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
r : Set α
hf : Set.BijOn f s t
hrs : r ⊆ s


Context:
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_11
CommRing R
Fintype m
DecidableEq m
Fintype n
DecidableEq n
e : m ≃ n
M : Matrix m m R

((Matrix.reindexLinearEquiv R R e e) M).det = M.det


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLawson α
a : α


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]
x✝¹ x✝ : R

(algebraMap R ℍ[R,c₁,c₂]) x✝¹ = (algebraMap R ℍ[R,c₁,c₂]) x✝ → x✝¹ = x✝


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
h✝ : Nontrivial A
k : Fin pb.dim

pb.gen ^ (↑k + 1) = ∑ x : Fin pb.dim, (if ↑k + 1 = pb.dim then -pb.minpolyGen.coeff ↑x else if ↑x = ↑k + 1 then 1 else 0) • pb.gen ^ ↑x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
e : α ≃ᵐ β
s : Set β

MeasurableSet (⇑e ⁻¹' s) ↔ MeasurableSet s


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : Quotient.mk'' f ≠ 0

‖Quotient.mk'' f‖ = ↑p ^ (-valuation (Quotient.mk'' f))


Context:
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
x y z : (i : ι) → β i

hammingDist x z ≤ hammingDist x y + hammingDist y z


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
h✝ : Nonempty α


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹⁵ : Semiring R
inst✝¹⁴ : Semiring S
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module R M₃
inst✝⁴ : Module R M₄
inst✝³ : Module R M₅
inst✝² : Module R M₆
f✝ : M →ₗ[R] M₂
inst✝¹ : Module S M₃
inst✝ : SMulCommClass R S M₃
f : M × M₂ →ₗ[R] M₃

{ toFun := fun f => f.1.coprod f.2, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun f => (f ∘ₗ inl R M M₂, f ∘ₗ inr R M M₂)) f) = f


Context:
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
s : Finmap β
h : Finmap.lookup a s = some b

Finmap.erase a s ∪ Finmap.singleton a b = s


Context:
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
f : CategoryTheory.Arrow T

(CategoryTheory.CategoryStruct.id f).right = CategoryTheory.CategoryStruct.id f.right


Context:
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
CommRing A
φ : R →+* A


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X₁ X₂ : C

∀ (j : Discrete WalkingPair), tensorHom ℬ (𝟙 X₁) (𝟙 X₂) ≫ (ℬ X₁ X₂).cone.π.app j = 𝟙 (tensorObj ℬ X₁ X₂) ≫ (ℬ X₁ X₂).cone.π.app j


Context:
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0

n ≤ ⌊a⌋₊ ↔ ↑n ≤ a


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M

span ℕ s ≤ AddSubmonoid.toNatSubmodule.symm.symm (AddSubmonoid.closure s)


Context:
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
self : DirectedSystem G f
i j k : ι
hij : i ≤ j
hjk : j ≤ k
x : G i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: NormedAddCommGroup EB

Context: NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: TopologicalSpace B

Context: ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_9

Context: NormedAddCommGroup EM

Context: NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: TopologicalSpace M

Context: ChartedSpace HM M

Context: (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: NormedAddCommGroup F

Context: NormedSpace 𝕜 F

Context: TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)

Context: (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: FiberBundle F E

Context: VectorBundle 𝕜 F E

Context: SmoothVectorBundle F E IB

Context: e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj

Context: MemTrivializationAtlas e

Context: f : M → Bundle.TotalSpace F E

Context: s : Set M

Context: he : Set.MapsTo f s e.source

SmoothOn IM (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) f s ↔
  SmoothOn IM IB (fun x => (f x).proj) s ∧ SmoothOn IM 𝓘(𝕜, F) (fun x => (↑e (f x)).2) s


Context:
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
Fintype β
Nonempty β
a b : α

(edist (fun x => a) fun x => b) = edist a b


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
Fact (Nat.Prime p)
Finite (Sylow p G)


Context:
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
G : K ⥤ C
e : K ≌ J
α : e.functor ⋙ F ≅ G
X : CategoryTheory.Limits.Cocone F

(CategoryTheory.Limits.Cocones.equivalenceOfReindexing e α).functor.obj X =
  (CategoryTheory.Limits.Cocones.precompose α.inv).obj (CategoryTheory.Limits.Cocone.whisker e.functor X)


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂

⁅I, N ⊓ N'⁆ ≤ ⁅I, N⁆ ∧ ⁅I, N ⊓ N'⁆ ≤ ⁅I, N'⁆


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
S : L[[α]].Theory

{p | S ⊆ ↑p} = ∅ ↔ ¬((L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ S).IsSatisfiable


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: ι : Sort u_1

Context: s : ι → Set α

Context: hs : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: hd : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s j, (x, y) ∈ U → i = j

Context: S : Set α := ⋃ i, s i

Context: l : Filter α

Context: hl : Cauchy l

Context: hls : S ∈ l

Context: hl_ne : l.NeBot

Context: hl' : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ l, t ×ˢ t ⊆ s

Context: t : Set α

Context: htS : t ⊆ S

Context: htl : t ∈ l

Context: htU : t ×ˢ t ⊆ U

Context: i : ι

Context: hi : t ⊆ s i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
hs : s₁ = s₂
ht : ∀ a ∈ s₁, t₁ a = t₂ a
x : β

∀ (a : α), a ∈ s₁ ∧ x ∈ t₁ a ↔ a ∈ s₂ ∧ x ∈ t₂ a


Context: k : Type u

Context: inst✝ : Field k

Context: n : ℕ

Context: x : Step k n

Context: hx : AlgebraicClosure.toStepOfLE' k n (n + 1) ⋯ x = (toStepSucc k n) x

(Ring.DirectLimit.of (Step k) (AlgebraicClosure.toStepOfLE' k) (n + 1)) (AlgebraicClosure.toStepOfLE' k n (n + 1) ⋯ x) = (Ring.DirectLimit.of (Step k) (AlgebraicClosure.toStepOfLE' k) n) x


Context:
S : Type uS
CommSemiring S
A : Type uA
Semiring A
Algebra S A
c : RingCon A
s : S

↑((algebraMap S A) s) = (algebraMap S c.Quotient) s


Context:
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
InnerProductSpaceable E
r : ℚ


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
U : Set X
hU : IsClosed U


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
c g' : Perm (Fin 5)
h : 3 ∈ (c * g').cycleType
hd : c.Disjoint g'
left✝ : c.IsCycle
h3 : c.support.card = 3
n : ℕ
hn : n ∈ g'.cycleType


Context:
α₁ : Type u_2
β₁ : Type u_1
β₂ : Type u_3
e : α₁ → β₁ ≃ β₂
a : α₁
b : β₁

((sigmaEquivProd α₁ β₁).symm.trans (sigmaCongrRight e)) (a, b) = ((prodCongrRight e).trans (sigmaEquivProd α₁ β₂).symm) (a, b)


Context:
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
Infinite R
σ : Type u_2
p q : MvPolynomial σ R

p = q ↔ ∀ (x : σ → R), (MvPolynomial.eval x) p = (MvPolynomial.eval x) q


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : Disjoint u v
hsuv : s ⊆ u ∪ v
hsu : (s ∩ u).Nonempty
hs : IsPreconnected s
hsv : (s ∩ v).Nonempty
x : α
left✝ : x ∈ s
hx : x ∈ u ∩ v


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : WeierstrassCurve R

Context: dp : ∀ {m n : ℕ} {p : R[X]}, p.natDegree ≤ m → (p ^ n).natDegree ≤ n * m := fun {m n} {p} => natDegree_pow_le_of_le n

Context: h : ∀ {n : ℕ}, (W.preΨ' n).natDegree ≤ WeierstrassCurve.expDegree n ∧ (W.preΨ' n).coeff (WeierstrassCurve.expDegree n) = ↑(WeierstrassCurve.expCoeff n) := fun {n} => WeierstrassCurve.natDegree_coeff_preΨ' W n

Context: n : ℕ

Context: hd : (n + 1) ^ 2 - 1 = 2 * WeierstrassCurve.expDegree (n + 1) + if Even (n + 1) then 3 else 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a✝ b✝ : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: φ : R →+* S

Context: f : R[X]

Context: h_mon : f.leadingCoeff = 1

Context: h_irr : Irreducible (Polynomial.map φ f)

Context: a b : R[X]

Context: h : f = a * b

Context: q : a.leadingCoeff * b.leadingCoeff = 1


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι✝ : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
ι : Sort u_3
c : ι → Set α
hs : IsCompact s
hc₁ : ∀ (i : ι), IsOpen (c i)
hc₂ : s ⊆ ⋃ i, c i


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]


Context: a b c : ℤ

Context: h : Minimal a b c

Context: ha2 : a % 2 = 1

Context: hc : 0 < c

Context: ht : PythagoreanTriple (a ^ 2) (b ^ 2) c

Context: h2 : (a ^ 2).gcd (b ^ 2) = 1

Context: ha22 : a ^ 2 % 2 = 1

Context: m n : ℤ

Context: ht1 : a ^ 2 = m ^ 2 - n ^ 2

Context: ht2 : b ^ 2 = 2 * m * n

Context: ht3 : c = m ^ 2 + n ^ 2

Context: ht4 : m.gcd n = 1

Context: ht5 : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0

Context: ht6 : 0 ≤ m

Context: htt : PythagoreanTriple a n m

Context: h3 : a.gcd n = 1

Context: hb20 : b ^ 2 ≠ 0

Context: h4 : 0 < m

Context: r s : ℤ

Context: left✝ : a = r ^ 2 - s ^ 2

Context: htt2 : n = 2 * r * s

Context: htt3 : m = r ^ 2 + s ^ 2

Context: htt4 : r.gcd s = 1

Context: htt5 : r % 2 = 0 ∧ s % 2 = 1 ∨ r % 2 = 1 ∧ s % 2 = 0

Context: htt6 : 0 ≤ r

Context: hcp : m.gcd (r * s) = 1

Context: b' : ℤ

Context: hb2' : b = 2 * b'


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : ρ o < ⊤

∃ u ∈ 𝓝[{x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}] x, μ u = 0


Context:
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S
p : S[X]

∃ b, ∀ (i : ℕ), (algebraMap R S) ((IsLocalization.integerNormalization M p).coeff i) = ↑b • p.coeff i


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hf' : IsClosed (range f)
K : Set Y
hK : IsCompact K


Context:
α : Type u_1
LE α
s : LowerSet α


Context:
α : Type u_1
a : α
l : List α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
e e' : PartialEquiv α β
hs : Disjoint e.source e'.source
ht : Disjoint e.target e'.target
(x : α) → Decidable (x ∈ e.source)
(y : β) → Decidable (y ∈ e.target)

↑(e.disjointUnion e' hs ht) = e.source.piecewise ↑e ↑e'


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
x : M
h : I.IsInteriorPoint x


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Ring R
AddCommGroup V
Module R V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
AddCommGroup W
Module R W
S : Type u_8
TopologicalSpace W
Monoid S
DistribMulAction S W
SMulCommClass R S W
ContinuousConstSMul S W
t : S
f : P →ᴬ[R] W
x : P


Context: a o : Ordinal.{u}

Context: f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}

Context: hf : a.IsFundamentalSequence o f

Context: i j : Ordinal.{u}

Context: hi : i < o

Context: hj : j < o

Context: hij : i ≤ j


Context:
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
hr' : 0 < ↑r

count (fun x => x ≡ v [MOD r]) b = b / r + if v % r < b % r then 1 else 0


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n := zeta_spec n K L

Context: hμ : ∀ (t : (ZMod ↑n)ˣ), IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑t).val) ↑n := fun t => IsPrimitiveRoot.pow_of_coprime hζ (↑t).val (ZMod.val_coe_unit_coprime t)

Context: f : L ≃ₐ[K] L

(fun t => (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) ⋯) ((↑__src✝).toFun f) = f


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α✝
a b c✝ d : α✝
α : Type u_1
A B : SemilatticeSup α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
x y c : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
μ : Measure α
f : α → α
s : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : MeasurePreserving f μ μ
hs : NullMeasurableSet s μ
hs' : μ s ≠ 0


Context: s : (n : ℕ) × Finset (Fin n)

(FormalMultilinearSeries.changeOriginIndexEquiv.symm s).fst = s.fst - s.snd.card


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
E₁ : Type u_3
E₂ : Type u_4
NormedAddCommGroup E₁
NormedAddCommGroup E₂
NormedSpace 𝕜 E₁
NormedSpace 𝕜 E₂
g : E₁ × E₂ → G
f₁ : F → E₁
f₂ : F → E₂
s : Set F
hg : ContDiff 𝕜 n g
hf₁ : ContDiffOn 𝕜 n f₁ s
hf₂ : ContDiffOn 𝕜 n f₂ s

ContDiffOn 𝕜 n (fun x => g (f₁ x, f₂ x)) s


Context:
α : Type u
Group α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
a : α
ha : a ∉ s


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
S : Set G

(∀ g ∈ Subgroup.closure S, (MulAction.fixedBy α g)ᶜ.Finite) ↔ ∀ g ∈ S, (MulAction.fixedBy α g)ᶜ.Finite


Context:
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ

(Matrix.vandermonde fun i => ↑↑i).det = ↑n.superFactorial


Context:
R : Type u
a b c : R
Semiring R

(Polynomial.C a * Polynomial.X ^ 2 + Polynomial.C b * Polynomial.X + Polynomial.C c).degree ≤ 2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt I s x

Context: f : M → M'

Context: f' : E →L[𝕜] E'

Context: hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'

Context: hd : DenseRange ⇑f'

Context: this : UniqueMDiffWithinAt I (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
AddCommMonoid α
LT α
s : Finset ι
f : ι → WithTop α


borel ℝ = MeasurableSpace.generateFrom (⋃ a, {Set.Ioi ↑a})


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: f g : E →ₗ.[R] F

Context: h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y


Context:
n : Type u_3
α : Type v
Add α
A B : Matrix n n α


Context:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
g₁ g₂ : N →ₗ[S] Q
e : ∀ (x : M), g₁ (f x) = g₂ (f x)
x : N


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδε : δ < ε

∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤) ∧ Integrable (fun x => (g x).toReal) μ ∧ ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ↑ε


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M M' : Bimod W X

Context: f : M ⟶ M'

Context: N : Bimod X Y

Context: P : Bimod Y Z

M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).inv ≫ (((α_ M.X N.X P.X).hom ≫ f.hom ▷ (N.X ⊗ P.X)) ≫ M'.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ≫ coequalizer.π (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
n : ℤ


Context:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
e : 𝕜 →ₗ[𝕜] F


Context:
α : Type u_1
a : Array α
v : α
i : USize
h : i.toNat < a.size


Context:
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
c c' : CategoryTheory.Limits.Cone F
f g : c ⟶ c'
w : f.hom = g.hom


Context: r : ℝ

↑r⁻¹ = (↑r)⁻¹


Context:
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ≤ 0


Context: α : Type u

Context: AddGroup α

Context: f g : AddGroupTopology α

Context: h : TopologicalSpace.IsOpen = TopologicalSpace.IsOpen


Context:
α : Type u_1
LinearOrder α
SuccOrder α
IsSuccArchimedean α
a b : α

(∃ n, Order.succ^[n] a = b) ∨ ∃ n, Order.succ^[n] b = a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: r k : ℕ

Context: ih : ∀ {t : Finset α}, t ∈ ∂⁺ ^[k] 𝒜 ↔ ∃ u, u.card = k ∧ u ⊆ t ∧ t \ u ∈ 𝒜

Context: t : Finset α

t ∈ ∂⁺ ^[k + 1] 𝒜 ↔ ∃ u, u.card = k + 1 ∧ u ⊆ t ∧ t \ u ∈ 𝒜


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
pf : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
hf : HasFPowerSeriesAt f pf x
v : Fin 0 → E


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
T : Subring R
p : (↥T)[X]


Context:
α : Type u_1
Add α
x y : αᵃᵒᵖ

AddOpposite.unop (x + y) = AddOpposite.unop y + AddOpposite.unop x


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{u_3, u_2} D

Context: ε : C ≌ D

Context: h : IsIdempotentComplete C

Context: X' : D

Context: p : X' ⟶ X'

Context: hp : p ≫ p = p

Context: φ : (𝟭 D).obj X' ≅ (ε.inverse ⋙ ε.functor).obj X' := ε.counitIso.symm.app X'


Context:
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C

(Comon_.Comon_EquivMon_OpOp C).functor = Comon_.Comon_ToMon_OpOp C


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
Group α
x : Finset α × Finset α


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: F : X → ℝ → E

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: a b a₀ b₀ : ℝ

Context: x₀ : X

Context: hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))

Context: h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t

Context: bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b

Context: h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀

Context: ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b

Context: hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b

Context: hμb₀ : μ {b₀} = 0

Context: hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b

Context: Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀

Context: Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀

Context: hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t

Context: this : ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀), ∫ (s : ℝ) in a₀..p.2, F p.1 s ∂μ = ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F p.1 s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F x₀ s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ

ContinuousAt (fun x => ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F x.1 s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x₀ s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x.1 s - F x₀ s ∂μ) (x₀, b₀)


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: c : Set (Lifts F E K)

Context: hc✝ : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c

Context: t : ↑(insert ⊥ c) → IntermediateField F E := fun i => (↑i).carrier

Context: t' : ↑(insert ⊥ c) → Subalgebra F E := fun i => (t i).toSubalgebra

Context: hc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (insert ⊥ c)

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) t


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
x : E
hK : Dense ↑K
h : x ∈ Kᗮ


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.IsEquivalence
X Y : C
f : X ⟶ Y

F.inv.map (F.map f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.asEquivalence.unitInv.app X)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (F.asEquivalence.unit.app Y))


Context:
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
h : p.coeff n ≠ 0


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: S✝ R✝ : Sieve X

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: f : Y ⟶ X

Context: S R : Sieve X

Context: h : J.Covers S f

Context: k : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ X), S.arrows g → J.Covers R g

∀ ⦃Y_1 : C⦄ ⦃f_1 : Y_1 ⟶ Y⦄, (Sieve.pullback f S).arrows f_1 → Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f R) ∈ J.sieves Y_1


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
hc : G.Colorable n
s : Finset V
h : G.IsClique ↑s
hm : n < s.card


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι✝ : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι✝
c : R
t✝ : Finset ι✝
w✝² : ι✝ → R
z : ι✝ → E
t : Set F
x : E
y : F
ι : Type
w✝¹ : Fintype ι
w : ι → R
f : ι → E
hw₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i : ι, w i = 1
hfs : ∀ (i : ι), f i ∈ s
hf : ∑ i : ι, w i • f i = x
κ : Type
w✝ : Fintype κ
v : κ → R
g : κ → F
hv₀ : ∀ (i : κ), 0 ≤ v i
hv₁ : ∑ i : κ, v i = 1
hgt : ∀ (i : κ), g i ∈ t
hg : ∑ i : κ, v i • g i = y

∃ ι x_1 w z, (∀ (i : ι), 0 ≤ w i) ∧ ∑ i : ι, w i = 1 ∧ (∀ (i : ι), z i ∈ s ×ˢ t) ∧ ∑ i : ι, w i • z i = (x, y)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: k : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : AffineSpace V P

Context: inst✝² : Ring k

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: b : AffineBasis ι k P

Context: s : Finset ι

Context: i j : ι

Context: e : ι ≃ ι'

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: w : ι → k

Context: hw : ∑ i : ι, w i = 1

Context: hq : (Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w ∈ affineSpan k (range ⇑b)

Context: x✝ : ι

Context: a✝ : x✝ ∈ Finset.univ

(b.coord x✝) ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w) = w x✝


Context: B : Type u

Context: CategoryTheory.Bicategory B

Context: a b c : B

Context: f : a ⟶ b

Context: g : a ⟶ c

Context: s t : CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension f g

Context: i : s ⟶ t

Context: x : B

Context: h : c ⟶ x

(CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension.whiskerHom i h).right = CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight i.right h


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq N
inst✝² : Zero N
inst✝¹ : DecidableEq M
inst✝ : Zero M
f g : α →₀ N
F : N → M
F0 : F 0 = 0
x : α

x ∈ (mapRange F F0 f).neLocus (mapRange F F0 g) → x ∈ f.neLocus g


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝² : OrderTopology ι

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝ : BorelSpace ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: hπ : IsStoppingTime f π

Context: j : ι

Context: this : {ω | τ ω ≤ π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | min (τ ω) j ≤ min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j}


Context:
α : Type u
Subsingleton α
r : α → α → Prop
hr : IsIrrefl α r


Context:
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
h : IsCyclic α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g


Context:
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M
s : Set M
h : x ∈ Submodule.span R s

Submodule.span R (insert x s) = Submodule.span R s


Context:
Y : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace Y
a✝¹ a✝ : Y

(∀ (p₁ p₂ : Path a✝¹ a✝), p₁.Homotopic p₂) ↔ Subsingleton (Path.Homotopic.Quotient a✝¹ a✝)


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝² : HasBinaryProducts C

Context: inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F

Context: inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: this✝ : HasBinaryBiproducts C

Context: this : PreservesBinaryBiproducts F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
t : α → Finset β
h : s₁ ⊆ s₂
x : β


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
α : Type u_4
l : Filter α
f : α → E →WOT[𝕜]F
A : E →WOT[𝕜]F

Tendsto f l (𝓝 A) ↔ ∀ (x : E) (y : F), Tendsto (fun a => ((InnerProductSpace.toDual 𝕜 F) y) ((f a) x)) l (𝓝 (((InnerProductSpace.toDual 𝕜 F) y) (A x)))


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α
F : Set α
hs : IsPreconnected s
hxs : x ∈ s
hsF : s ⊆ F


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: n✝ : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: C : G.Coloring α

Context: n : ℕ

Context: h : sInf {n' | G.Colorable n'} ≤ n

Context: m : ℕ

Context: hm : G.Colorable m

Context: this : G.Colorable (sInf {n' | G.Colorable n'})


Context:
α : Type u_2
ι : Type u_5
DistribLattice α
OrderBot α
s : Finset ι
f : ι → α
a : α

Disjoint (s.sup f) a ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → Disjoint (f i) a


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: f : ℕ → M

Context: u : ℕ → ℕ

Context: C : ℕ

Context: hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n

Context: hu : Monotone u

Context: h_succ_diff : SuccDiffBounded C u

Context: n : ℕ

∑ k ∈ range (n + 1), (u (k + 1) - u k) • f (u k) ≤ (u 1 - u 0) • f (u 0) + C • ∑ k ∈ Ico (u 0 + 1) (u n + 1), f k


Context:
M : Type u_4
MulOneClass M
a : M


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F₁ : Type u_3

Context: F₂ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E₁ : B → Type u_6

Context: E₂ : B → Type u_7

Context: inst✝³⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝³⁴ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)

Context: inst✝³³ : (x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)

Context: inst✝³² : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝³¹ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: inst✝³⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)

Context: inst✝²⁹ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)

Context: inst✝²⁸ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)

Context: inst✝²⁷ : (x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝²⁵ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: inst✝²⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)

Context: inst✝²³ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)

Context: inst✝²² : ∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)

Context: inst✝²¹ : ∀ (x : B), ContinuousSMul 𝕜 (E₂ x)

Context: EB : Type u_8

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_9

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁶ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M

Context: inst✝¹⁰ : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝⁹ : FiberBundle F₁ E₁

Context: inst✝⁸ : VectorBundle 𝕜 F₁ E₁

Context: inst✝⁷ : FiberBundle F₂ E₂

Context: inst✝⁶ : VectorBundle 𝕜 F₂ E₂

Context: e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj

Context: e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj

Context: inst✝⁵ : SmoothVectorBundle F₁ E₁ IB

Context: inst✝⁴ : SmoothVectorBundle F₂ E₂ IB

Context: inst✝³ : MemTrivializationAtlas e₁

Context: inst✝² : MemTrivializationAtlas e₁'

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e₂

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e₂'

Context: h₁ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₁) (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e₁' e₁ b)) (e₁'.baseSet ∩ e₁.baseSet)

SmoothOn IB 𝓘(𝕜, (F₁ →L[𝕜] F₂) →L[𝕜] F₁ →L[𝕜] F₂) (continuousLinearMapCoordChange (RingHom.id 𝕜) e₁ e₁' e₂ e₂') (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet ∩ (e₁'.baseSet ∩ e₂'.baseSet))


Context:
M : Type u_1
Monoid M
R : Type u_2
Semiring R
MulSemiringAction M R
m : M

HSMul.hSMul m = Polynomial.map (MulSemiringAction.toRingHom M R m)


Context:
M : Type u_1
S : Set M
AddMonoid M
z : M

z ∈ AddSubmonoid.centralizer S ↔ ∀ g ∈ S, g + z = z + g


Context:
α : Type u
SemilatticeSup α
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
x : α
hx : (μ.rnDeriv ν)⁻¹ x = ν.rnDeriv μ x


Context:
d : ℤ
z w : ℤ√d

(z * w).re = z.re * w.re + d * z.im * w.im


Context:
R : Type u
M : Type v
SMul R M
p : SubMulAction R M
x : M


Context: S : Profinite


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.20465, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.20469, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.20473, u_3} E
F G H : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
φ' : G ⟶ H
P : Karoubi C

(F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f ≫ (φ'.app P.X).f = (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f ≫ (G.map P.p).f ≫ (φ'.app P.X).f


Context:
X : Type u_2
x : FreeAbelianGroup X

Finsupp.toFreeAbelianGroup (FreeAbelianGroup.toFinsupp x) = x


Context:
R : Type u
Semiring R
p : R[X]


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure Ω

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)

Context: E : Set Ω

Context: E_mble : MeasurableSet E

Context: h : limsup (fun i => (μs i) E) L ≤ μ E

Context: hne : L.NeBot

Context: meas_Ec : μ Eᶜ = 1 - μ E

Context: meas_i_Ec : ∀ (i : ι), (μs i) Eᶜ = 1 - (μs i) E

Context: obs : liminf (fun i => 1 - (μs i) E) L = liminf ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L

Context: this : 1 - limsup (fun i => (μs i) E) L = liminf ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L

1 - μ E ≤ liminf ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L


Context:
α : Type u_1
Mul α
a b : Part α

a * b = do
  let y ← a
  Part.map (fun x => y * x) b


Context:
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Equiv M N

f.symm.toHom.comp f.toHom = FirstOrder.Language.Hom.id L M


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
f : α → β
m : ι → MeasureTheory.OuterMeasure α

(MeasureTheory.OuterMeasure.map f) (⨅ i, m i) ≤ ⨅ i, (MeasureTheory.OuterMeasure.map f) (m i)


Context:
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : Y ⟶ X
AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
x : ↑↑X.toPresheafedSpace


Context: α : Type u_1

Context: AddZeroClass α

Context: Preorder α

Context: CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α

Context: ha : 0 ≤ a

Context: hb : 0 < b


Context:
β : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Group G
inst✝² : AddGroup α
inst✝¹ : SMul γ α
inst✝ : SlashAction β G α γ
k : β
g : G
a : α


Context: C : Type u_1

Context: H : Type u_3

Context: D : Type u_5

Context: D' : Type u_6

Context: CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C

Context: CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H

Context: CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D

Context: CategoryTheory.Category.{u_10, u_6} D'

Context: L : CategoryTheory.Functor C D

Context: L' : CategoryTheory.Functor C D'

Context: G : CategoryTheory.Functor D D'

Context: f : L' ⟶ L.comp G

Context: F : CategoryTheory.Functor C H

Context: X : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit F) ((CategoryTheory.whiskeringLeft C D' H).obj L')

∀ {X_1 Y : D} (f_1 : X_1 ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Functor.LeftExtension.postcomp₁ G f F).obj X).right.map f_1 = X.right.map (G.map f_1)


Context:
α : Type u_2
TopologicalSpace α
self : TopologicalSpace.Opens α


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Fintype V


Context: α : Type u_1

Context: p q : α → Bool

Context: l : List α

Context: h : ∀ (x : α), x ∈ l → p x = true → q x = true


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : HasCoequalizer f g

Context: inst✝ : HasCoequalizer (G.map f) (G.map g)

Context: Z : C

Context: h : Y ⟶ Z

Context: w : f ≫ h = g ≫ h


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq β
SemilatticeInf α
SemilatticeInf β
FunLike F α β
InfHomClass F α β
f : F
s t : Finset α

Finset.image (⇑f) (s ⊼ t) = Finset.image (⇑f) s ⊼ Finset.image (⇑f) t


Context:
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
S : Set X
f g h : C(X, Y)
h₀ : f.HomotopicRel g S
h₁ : g.HomotopicRel h S


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a b : α
s : Seq α


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁷ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁶ : Countable ι
inst✝⁵ : TopologicalSpace ι
inst✝⁴ : MeasurableSpace ι
inst✝³ : BorelSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass ι
inst✝ : SecondCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π

∀ (i : ι), MeasurableSet ({ω | τ ω = π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ i})


Context:
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m✝ m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : T2Space M
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Encodable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
s : β → α

∏' (i : ℕ), m (⨆ b ∈ decode₂ β i, s b) = ∏' (b : β), m (s b)


Context:
n j : ℕ
left✝ : Prime j
a1 : 1 ≠ 1
hp : Prime (1 * j)


Context: x : ℂ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F✝ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝

Context: f : E →SL[σ] F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: g : E →ₗ[𝕜] F

Context: hg : IsClosed ↑g.graph

Context: this✝ : CompleteSpace ↥g.graph := completeSpace_coe_iff_isComplete.mpr (IsClosed.isComplete hg)

Context: φ₀ : E →ₗ[𝕜] E × F := id.prod g

Context: this : LeftInverse Prod.fst ⇑φ₀

Context: φ : E ≃ₗ[𝕜] ↥g.graph := LinearEquiv.ofLeftInverse this ≪≫ₗ LinearEquiv.ofEq (range φ₀) g.graph ⋯


Context:
R : Type u
CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
X Y : Set α
hX : X ⊆ M.E


Context:
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
Fintype m
Fintype n
DecidableEq m
DecidableEq n
CommRing α
A : Matrix m n α
B : Matrix n m α


Context:
a b : ℍ
h : ↑a = ↑b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s s₁ s₂ : LowerSet α
t t₁ t₂ : LowerSet β
x : α × β

Disjoint (s₁ ×ˢ t₁) (s₂ ×ˢ t₂) ↔ Disjoint s₁ s₂ ∨ Disjoint t₁ t₂


Context: α : Type u_1

Context: Mul α

Context: Preorder α

Context: DecidableEq α

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LE.le

Context: LocallyFiniteOrder α

Context: a b c d : α

Finset.Icc a b * Finset.Icc c d ⊆ Finset.Icc (a * c) (b * d)


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set (Set α)
h : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s

(⋃₀ s).Pairwise r ↔ ∀ a ∈ s, a.Pairwise r


Context:
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
X Y : CategoryTheory.Comma L R
self : CategoryTheory.CommaMorphism X Y

CategoryTheory.CategoryStruct.comp (L.map self.left) Y.hom = CategoryTheory.CategoryStruct.comp X.hom (R.map self.right)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α


Context:
α : Type u_3
SemilatticeSup α
a : α

Filter.atTop = Filter.comap Subtype.val Filter.atTop


Context:
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]


Context: z : ℍ


Context:
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
g : α →₀ M


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
hdvd : p ^ 1 ∣ Nat.card G


Context: a o o' : Ordinal.{u}

Context: f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}

Context: hf : a.IsFundamentalSequence o f

Context: g : (b : Ordinal.{u}) → b < o' → Ordinal.{u}

Context: hg : o.IsFundamentalSequence o' g

a.IsFundamentalSequence o' fun i hi => f (g i hi) ⋯


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C


Context:
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AddTorsor V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AddTorsor V₂ P₂
TopologicalSpace P₁
TopologicalSpace P₂
e : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
s : Set P₂


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : 0 < p.radius
r : ℝ≥0
r0 : 0 < ↑r
rlt : ↑r < p.radius
rpos : 0 < ↑r
C : ℝ
Cpos : C > 0
hCp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C / ↑r ^ n
n : ℕ


Context:
α : Type u
s : Computation α


Context:
ι : Type u_1
Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
hs : IsUpperSet s


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: I : C

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: hF : IsSheafFor F (ofArrows Empty.elim fun a => instIsEmptyEmpty.elim a)

Context: hI : IsInitial I

Context: α : Type

Context: X : α → C

Context: c : Cofan X

Context: hc : IsColimit c

Context: inst✝³ : (ofArrows X c.inj).hasPullbacks

Context: inst✝² : HasInitial C

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)

Context: hd : Pairwise fun i j => IsPullback (initial.to (X i)) (initial.to (X j)) (c.inj i) (c.inj j)

Context: inst✝ : PreservesLimit (Discrete.functor fun x => op (X x)) F

Context: this : HasCoproduct X

Context: hi : IsIso (piComparison F fun x => op (X x))

∀ (y : Equalizer.Presieve.Arrows.FirstObj F X), Equalizer.Presieve.Arrows.firstMap F X c.inj y = Equalizer.Presieve.Arrows.secondMap F X c.inj y → ∃! x, Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj x = y


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
p : A[X]
hp1 : Irreducible p
hp2 : (Polynomial.aeval x) p = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ x : Fin n → ℕ
hx : x ∈ sphere n d k

‖(WithLp.equiv 2 (Fin n → ℝ)).symm (Nat.cast ∘ x)‖ = √↑k


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X

T1Space X ↔ ∀ ⦃x y : X⦄, x ≠ y → Disjoint (𝓝 x) (pure y)


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: this✝ : ∀ (x : ℝ), x = x / ↑n * ↑n

Context: this : ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑(x / ↑n * ↑n) ^ (s - 1) = ↑n • ∫ (x : ℝ) in 0 / ↑n..↑n / ↑n, ↑((1 - x) ^ n) * ↑(x * ↑n) ^ (s - 1)

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Ioc 0 1

Context: hn' : ↑n ≠ 0

Context: A : ↑n ^ s = ↑n ^ (s - 1) * ↑n


Context: α : Type u_1

Context: Add α

Context: LE α

Context: ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c : α

Context: bc : a + b ≤ a + c


Context:
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α

LipschitzWith 1 fun x => Metric.infDist x s


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: inst✝ : Module.Finite R M

Context: n : ℕ

Context: p : (Fin n → R) →ₗ[R] M

Context: hp : Function.Surjective ⇑p

Context: f : AdicCompletion I R ⊗[R] (Fin n → R) →ₗ[AdicCompletion I R] AdicCompletion I M := ofTensorProduct I M ∘ₗ LinearMap.baseChange (AdicCompletion I R) p

Context: g : AdicCompletion I R ⊗[R] (Fin n → R) →ₗ[AdicCompletion I R] AdicCompletion I M := map I p ∘ₗ ofTensorProduct I (Fin n → R)

Context: hfg : f = g

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Function.Surjective ⇑(ofTensorProduct I M)


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
T : Subring R
hp : ↑p.coeffs ⊆ ↑T


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
OrderedSMul α β
σ : Equiv.Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
Fintype ι
hfg : Monovary f g

∑ i : ι, f i • g (σ i) < ∑ i : ι, f i • g i ↔ ¬Monovary f (g ∘ ⇑σ)


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
n : ℕ
hn : Even n
a : α


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
β : Sort u_1
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f : X ⟶ Y


Context:
ι : Type u_1
LinearOrder ι
SuccOrder ι
IsSuccArchimedean ι
PredOrder ι
i0 i j : ι
h_le : toZ i0 i ≤ toZ i0 j


Context:
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
h : MinFacHelper n k
np : n.minFac ≠ k
h2 : k < n.minFac


Context:
R : Type u
A : Type z
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A

∀ (a : A), Polynomial.CAlgHom a = Polynomial.C a


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y


Context:
K : Type u_1
RCLike K
z w : K

z < w ↔ RCLike.re z < RCLike.re w ∧ RCLike.im z = RCLike.im w


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
self : ProbabilityTheory.Kernel α β


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
H : AddSubgroup G
f : G →+ N
hf : Function.Bijective ⇑f

AddSubgroup.map f H.normalizer = (AddSubgroup.map f H).normalizer


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace F
f g : E → F
s : Set E
x : E
hf : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
hs : f =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : f x = g x


Context:
M : Type u_1
Monoid M
α : Type u_2
MulAction M α
m : M
hm : IsUnit m


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
p q : ℝ
hp✝ : 0 ≤ p
hq✝ : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
hp : 0 < p
hq : 0 < q
h2p : 1 < 1 / p

∫⁻ (a : α), f a ^ p * g a ^ q ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), f a ∂μ) ^ p * (∫⁻ (a : α), g a ∂μ) ^ q


Context: h : Summable ({p | Nat.Prime p}.indicator fun n => 1 / ↑n)

Context: k : ℕ

Context: hk : ∑' (x : ℕ), ({p | Nat.Prime p} ∩ {p | k ≤ p}).indicator (fun n => 1 / ↑n) x < 1 / 2


Context:
α : Type u_2
Div α
s t u : Set α


Context:
p : ℕ
hp : Prime p
n : ℕ


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: CategoryTheory.Preadditive D

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroObject D

Context: CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C

Context: F : C ⥤ₗ D

((CategoryTheory.AdditiveFunctor.ofLeftExact C D).obj F).obj = F.obj


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h₁ : Function.Surjective ⇑f
x : L
hx : x ∈ ↑I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β

f ×ˢ (g₁ ⊓ g₂) = f ×ˢ g₁ ⊓ f ×ˢ g₂


Context: α : Type u_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
a : α


Context:
R : Type u
Semiring R


Context:
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0

∀ (f g : α → E), Continuous f ∧ Memℒp f p μ ∧ IsBounded (range f) → Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ IsBounded (range g) → Continuous (f + g) ∧ Memℒp (f + g) p μ ∧ IsBounded (range (f + g))


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
x : (Opens ↑↑Y)ᵒᵖ

(((isoRestrict f).hom ≫ Y.ofRestrict ⋯).c ≫ whiskerRight (eqToHom ⋯) X.presheaf).app x = f.c.app x


Context: α : Type u_1

Context: TopologicalSpace α

Context: s : Set α

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → α → ℝ≥0∞

Context: h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousOn (f i) s

LowerSemicontinuousOn (fun x' => ∑' (i : ι), f i x') s


Context:
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
p : K[X]

RatFunc.mk p 0 = { toFractionRing := 0 }


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: F G K : HomologicalComplex C c

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ

Context: inst✝ : DecidableRel c.Rel

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

Context: A : C

Context: f g : A ⟶ X φ i

Context: h₁ : f ≫ fstX φ i j hij = g ≫ fstX φ i j hij

Context: h₂ : f ≫ sndX φ i = g ≫ sndX φ i


Context:
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
C : ℝ
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist x y ≤ C


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.121680, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology

cyclesMap e.hom ≫ cyclesMap e.inv = 𝟙 S₁.cycles


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.117978, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology

leftHomologyMap e.hom ≫ leftHomologyMap e.inv = 𝟙 S₁.leftHomology


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: TopologicalSpace X

Context: s : Set X

Context: NormalSpace X

Context: ParacompactSpace X

Context: p : (X → ℝ) → Prop

Context:
h01 :
  ∀ (s t : Set X),
    IsClosed s →
      IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ Set.EqOn (⇑f) 0 s ∧ Set.EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Set.Icc 0 1

Context: hs : IsClosed s

Context: U : ι → Set X

Context: ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hU : s ⊆ ⋃ i, U i

∃ f, (∀ (i : ι), p ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ

s ≪ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure ↔ μ.withDensityᵥ (s.rnDeriv μ) = s


Context: n : ℕ


Context:
G : Type u_3
Mul G
IsRightCancelMul G
a : G
b c : G


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: ι : Type u_1

Context: f : ι → R[X]

Context: s✝ : Finset ι

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s

Context: ih : (∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → IsCoprime (f x) (f y)) → (∀ x ∈ s, (f x).Separable) → (∏ x ∈ s, f x).Separable

Context: h1 : ∀ x ∈ insert a s, ∀ y ∈ insert a s, x ≠ y → IsCoprime (f x) (f y)

Context: h2 : ∀ x ∈ insert a s, (f x).Separable


Context:
M : Type u_1
TopologicalSpace M
x : M

Filter.map (⇑DomAddAct.mk) (𝓝 x) = 𝓝 (DomAddAct.mk x)


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
m : M
s : ↥S

IsLocalization.mk' T 1 1 • mk m s = mk m s


Context:
α : Type u
a : α
l m : List α
ainm : a ∈ m
lsubm : l ⊆ m


Context:
M : Type u_1
B : Type u_3
AddMonoid M
SetLike B M
AddSubmonoidClass B M
S : B
l : List M
hl : ∀ x ∈ l, x ∈ S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : ι → α
s t : Set α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
x : E
ι : Sort u_4
s : ι → Set E
hs : ∀ (i : ι), StarConvex 𝕜 x (s i)


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : CommRing B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝² : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: k : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ (2 ^ k)

Context: hk : 2 ≤ k

Context: H : IsCyclotomicExtension {2 ^ k} K L

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (2 ^ k) K)

Context: this : 2 < 2 ^ k


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
CommRing R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
a b : P

(AffineMap.homothety a ⅟2) b = midpoint R a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
n : ℕ
hn : 0 < n


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
s : Set ↥(maximalIdeal R)

Submodule.span (ResidueField R) (⇑(maximalIdeal R).toCotangent '' s) = ⊤ ↔ Submodule.span R s = ⊤


Context:
α : Type u_2
CoheytingAlgebra α
a b : α
h : a ≤ b


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
h_mono : Monotone f

∫⁻ (a : α), ⨆ n, f n a ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ


Context:
α : Type u_1
l : List α


Context:
K : Type u_1
RCLike K
r : ℝ

↑r⁻¹ = (↑r)⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: NormedAddCommGroup β

Context: F : ℕ → α → β

Context: f : α → β

Context: bound : α → ℝ

Context: F_measurable : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (F n) μ

Context: bound_hasFiniteIntegral : MeasureTheory.HasFiniteIntegral bound μ

Context: h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a

Context: h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => F n a) Filter.atTop (𝓝 (f a))

Filter.Tendsto (fun n => ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖ ∂μ) Filter.atTop (𝓝 0)


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝²² : RCLike 𝕜

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace F''

Context: k : G → E''

Context: L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'

Context: L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'

Context: L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''

Context: inst✝⁶ : AddGroup G

Context: inst✝⁵ : SFinite μ

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant

Context: inst✝² : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant

Context: inst✝ : MeasurableNeg G

Context: hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), (L₂ ((L x) y)) z = (L₃ x) ((L₄ y) z)

Context: x₀ : G

Context: hf : AEStronglyMeasurable f ν

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: hk : AEStronglyMeasurable k μ

Context: hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L ν

Context: hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ) μ

Context: hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) ((fun x => ‖g x‖) ⋆[mul ℝ ℝ, μ] fun x => ‖k x‖) x₀ (mul ℝ ℝ) ν

((f ⋆[L, ν] g) ⋆[L₂, μ] k) x₀ = (f ⋆[L₃, ν] g ⋆[L₄, μ] k) x₀


Context:
M : Type u_1
P : Type u_3
AddZeroClass M
AddZeroClass P
c : AddCon M
f : M →+ P
H : c ≤ AddCon.ker f

AddMonoidHom.mrange (c.lift f H) = AddMonoidHom.mrange f


Context: n k k' : ℕ

Context: e : k + 2 = k'

Context: h : Mathlib.Meta.NormNum.MinFacHelper n k

Context: np : n.minFac ≠ k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: ι : Sort u_4

Context: f g : ι → ℝ≥0∞

Context: h : ∀ (i j : ι), ∃ k, f i + g j ≤ f k + g k

Context: h✝ : IsEmpty ι


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω'
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω'
inst✝ : BorelSpace Ω'
f : Ω → Ω'
f_cont : Continuous f


Context: a : ℤ


Context:
R : Type u_1
CommRing R
Module R (Additive ℤˣ)
s : ℤˣ
x y : R


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Balanced C
G : C

CategoryTheory.IsSeparator G → CategoryTheory.IsDetector G


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α✝
inst✝¹ : OrderBot α✝
s✝ s₁ s₂ : Finset β✝
f✝ g : β✝ → α✝
a✝ : α✝
α : Type u_7
β : Type u_8
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s : Finset β
f : β → α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_4
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
FunLike F α β
DilationClass F α β
f : F


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁷ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁶ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: c : 𝕜

Context: f✝ g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: m : (i : ι) → E i

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedField 𝕜'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜' G

Context: inst✝² : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G

Context: inst✝¹ : (i' : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i')

Context: inst✝ : (i' : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i')

Context: f : (i' : ι') → ContinuousMultilinearMap 𝕜 E (E' i')

Context: x✝ : ℝ≥0

‖pi f‖₊ ≤ x✝ ↔ ‖f‖₊ ≤ x✝


Context:
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
ContinuousAdd M₁
self : M₁ →L[R₁] M₁

ContinuousLinearMap.toLinearMapRingHom self = ↑self


Context: ι : Type u

Context: α : ι → Type v

Context: i✝ j : ι

Context: l : List ι

Context: f : (i : ι) → α i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: is : List ι

Context: hl : (i :: is).Nodup

Context: v w : TProd α (i :: is)

Context: hvw : ∀ (i_1 : ι) (hi : i_1 ∈ i :: is), v.elim hi = w.elim hi


Context: V : Type (u + 1)

Context: inst✝² : LargeCategory V

Context: G : MonCat

Context: inst✝¹ : MonoidalCategory V

Context: H : Grp

Context: X : Action V ((forget₂ Grp MonCat).obj H)

Context: inst✝ : LeftRigidCategory V

Context: h : ↑H


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x y : α
h4 : x ≠ y
h5 : τ = swap x y
i : ℕ
hi : (σ ^ i) x = y


Context:
m✝ n✝ m : ℕ∞
n : ℕ
h : m ≤ ↑n


Context:
F : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
Star R
Star S
FunLike F R S
StarHomClass F R S
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
f : F


Context:
n d : ℤ
h : n ≠ 0
hd : d ≠ 0


Context:
a : Int
b : Int
hb : 0 < b


Context:
α : Type u_7
β : Type u_8
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
t₃ : TopologicalSpace β
h₁ : t₂ ≤ t₁
s : Set α
f : α → β
h₂ : ContinuousOn f s


Context: B : Type u

Context: CategoryTheory.Bicategory B

Context: a b c : B

Context: f : a ⟶ b

Context: g : a ⟶ c

Context: CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanExtension f g

Context: x : B

Context: h : c ⟶ x

Context: CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanExtension f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h)

Context:
i :
  CategoryTheory.Bicategory.lan f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h) ≅
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.lan f g) h

Context:
w :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.lanUnit f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h))
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f i.hom) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.lanUnit f g) h)
      (CategoryTheory.Bicategory.associator f (CategoryTheory.Bicategory.lan f g) h).hom

CategoryTheory.Bicategory.Lan.CommuteWith f g h


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n✝ : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq M
m n : M
p : MvPolynomial σ R
h : IsWeightedHomogeneous w p n
x : σ →₀ ℕ

coeff x ((weightedHomogeneousComponent w m) p) = coeff x (if m = n then p else 0)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹² : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝¹¹ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝¹⁰ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F✝ : D ⥤ E

Context: inst✝⁹ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D

Context: inst✝⁸ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E

Context: inst✝⁷ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F✝

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝⁶ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝⁵ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E

Context: inst✝⁴ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F✝

Context: F G : D ⥤ E

Context: η : F ⟶ G

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝³ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F

Context: inst✝² : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ G

Context: inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan G

Context: X : Cᵒᵖ

Context: W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

η.app (multiequalizer ((unop W).index P)) ≫ (J.diagramCompIso G P (unop X)).hom.app W ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ G) (unop X)) W = (J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (P ⋙ G)) ((J.diagram (P ⋙ F) (unop X)).obj W) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ η.app (P.obj (op i.Y))) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ G) (unop X)) W


Context:
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length := c.index j
H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i
i_pos : 0 < ↑i
i₁ : ℕ := (↑i).pred


Context:
α : Type u_1
f : α → α
x y : α
n : ℕ
hx : Function.IsPeriodicPt f n x
hy : Function.IsPeriodicPt f n y
hn : 0 < n
h : f x = f y


Context:
n k : ℕ
hk : k ≠ 0


Context:
ι : Type u
α : ι → Type v
i j : ι
l : List ι
DecidableEq ι
hl : (i :: l).Nodup
hj : j ∈ l
v : List.TProd α (i :: l)


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α

Fintype.card { a // a.IsDiag } = Fintype.card α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing α
a b c : α


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

(CategoryTheory.MonoidalOpposite.mopEquiv C).counitIso =
  CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.unmopFunctor C ⋙ CategoryTheory.mopFunctor C)


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Preorder M

Context: inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x a : M

Context: ha : 1 < a

Context: l : ℕ

Context: hk : l.succ ≠ 0


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
v : Mathlib.Vector α n.succ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_3

Context: E : Type u_6

Context: MeasurableSpace α

Context: MeasurableSpace β

Context: ν : MeasureTheory.Measure β

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace ℝ E

Context: MeasureTheory.SFinite ν

Context: f : α → β → E

Context: hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable (Function.uncurry f)

MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => ∫ (y : β), f x y ∂ν


Context:
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ
hs : -1 < s

IntegrableOn (fun x => x ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) (Ioi 0) volume


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: hs : IsOpen s

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: hspec : ∀ (x : X), f x ⤳ g x

Context: this : ∀ (U : Set Y), IsOpen U → g ⁻¹' U ⊆ f ⁻¹' U

Context: U : Set Y

Context: hU : IsOpen U


Context:
α : Sort u_1
h✝ : Nonempty α


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
a : R
b : ↥M
c : R


Context:
b : Int
e : Nat


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
h : S ⊆ {∅, univ}

(∃ x, ∃ (_ : x ∈ S), ¬x = ∅) → ⋃₀ S = univ


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →*₀ F
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hsum : Summable fun x => ‖f x‖


Context: α : Type u

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: f : Perm α

Context: p : α → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: h₁ : ∀ (x : α), p x ↔ p (f x)

Context: h₂ : ∀ (x : α), f x ≠ x → p x

Context: l : { l // l.prod = f.subtypePerm h₁ ∧ ∀ g ∈ l, g.IsSwap } := (f.subtypePerm h₁).truncSwapFactors.out

Context: hl' : ∀ g' ∈ List.map ⇑ofSubtype ↑l, g'.IsSwap


Context:
x : ℝ
hx : 0 ≤ x


Context: f₁ f₂ : CircleDeg1Lift

Context: h₁ : Function.Bijective ⇑f₁

Context: h₂ : Function.Bijective ⇑f₂

Context: h : f₁.translationNumber = f₂.translationNumber


Context:
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
k n : ℕ
f : SchwartzMap E F
x : E

‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (-⇑f) x‖ = ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
H1 : ∀ x ∈ s, infDist x t ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, infDist x s ≤ r
h1 : ¬hausdorffEdist s t = ⊤
hs : s = ∅


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LE β
SMul 𝕜 E
s : Set E
f : E → β
hs : Convex 𝕜 s
h : ∀ (r : β), Convex 𝕜 {x | f x ≤ r}


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t : M → Set F
n : ℕ∞
s : Set H
hs : IsOpen s
h's : IsOpen (↑I.symm ⁻¹' s)

∃ f, support f = s ∧ Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ range f ⊆ Icc 0 1


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
E : L.LeftExtension F
h : E.IsPointwiseLeftKanExtension
G : L.LeftExtension F
f₁ f₂ : E ⟶ G


Context:
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
OrderBot α
hs : IsLowerSet s

⊥ ∉ s ↔ s = ∅


Context: E : Type u_2

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace ℝ E

Context: CompleteSpace E

Context: F : Type u_4

Context: NormedAddCommGroup F

Context: NormedSpace ℝ F

Context: FiniteDimensional ℝ F

Context: MeasurableSpace F

Context: BorelSpace F

Context: μ : MeasureTheory.Measure F

Context: μ.IsAddHaarMeasure

Context: φ : F → ℝ

Context: hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x

Context: h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1

Context: h : Filter.Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ FiniteDimensional.finrank ℝ F * φ x) (Bornology.cobounded F) (𝓝 0)

Context: g : F → E

Context: hg : MeasureTheory.Integrable g μ

Context: h'g : ContinuousAt g 0

Filter.Tendsto (fun c => ∫ (x : F), (c ^ FiniteDimensional.finrank ℝ F * φ (c • x)) • g x ∂μ) Filter.atTop (𝓝 (g 0))


Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: SemilatticeSup α

Context: OrderBot α

Context: SemilatticeSup γ

Context: OrderBot γ

Context: s : Finset β

Context: f : β → α

Context: g : α → γ

Context: g_sup : ∀ (x y : α), g (x ⊔ y) = g x ⊔ g y

Context: bot : g ⊥ = ⊥


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A

(Subalgebra.toSubmodule S).toSubalgebra ⋯ ⋯ = S


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Nonempty Z
MetricSpace Z
MetricSpace X
MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
hΦ : Isometry Φ
hΨ : Isometry Ψ


Context:
α : Type u_2
OrderedCommMonoid α
s : Multiset α


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty

IsVonNBounded 𝕜 (s + t) ↔ s = ∅ ∨ t = ∅ ∨ IsVonNBounded 𝕜 s ∧ IsVonNBounded 𝕜 t


Context:
M : Type u_2
Monoid M
σ : M →* M
self : MonoidHom.CompTriple.IsId σ


Context:
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
H H' : C ⥤ D
α : H ≅ H'
c : CategoryTheory.Limits.Cone F

(CategoryTheory.Functor.postcomposeWhiskerLeftMapCone α c).inv.hom = α.inv.app c.pt


Context:
α : Type u_1
Group α
H : Type u_2
Group H
K : Subgroup H
f : α →* H
hf : Function.Injective ⇑f

Nat.card ↥(Subgroup.comap f K) ∣ Nat.card ↥K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → β → Prop

Relation.Comp (fun x x_1 => x = x_1) r = r


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
x : X


Context:
α : Type u_1
Preorder α
a : α
PredOrder α
IsPredArchimedean α
NoMinOrder α
h : Order.IsPredLimit a


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
Preorder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
i : ι
hτ_le : ∀ (ω : Ω), i ≤ τ ω


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
s : Set M

⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' ↑(span R s) ⊆ ↑(span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l✝ : Filter α
f : α → β
l : Filter β
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
h : Tendsto f cofinite l