Context:
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
a : α
m n : ℤ
hx : 1 < a


Context:
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : NonUnitalSubring R


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A B : C
X : C
CategoryTheory.Closed A
CategoryTheory.Closed B
f : B ⟶ A

CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.ihom.coev A).app X)
    ((CategoryTheory.MonoidalClosed.pre f).app (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj A X)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.ihom.coev B).app X)
    ((CategoryTheory.ihom B).map (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f X))


Context:
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_5
CommRing K
Algebra R K
IsFractionRing R K
x : R


Context:
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

BddAbove
  {p |
    ∃ G x x_1,
      p =
        (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp
          (PiTensorProduct.toDualContinuousMultilinearMap G)}


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_4

Context: CommRing A

Context: CommRing B

Context: Algebra A B

Context: IsDomain A

Context: IsIntegrallyClosed A

Context: IsDomain B

Context: IsIntegrallyClosed B

Context: Module.Finite A B

Context: NoZeroSMulDivisors A B

Context: Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)

Context: x : B


Context:
α : Type u_1
a b c : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulStrictMono α
bc : b ≤ c
ha : a < 1
b0 : 0 < b


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: s : Set E

Context: hs : s.Countable

Context: B : Basis ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E) ℝ E

∀ᵐ (x : E) ∂μ, ∃ L, ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v


Context:
α : Type u
m n : ℕ
f : Fin (m * n) → α

ofFn f = (ofFn fun i => ofFn fun j => f ⟨m * ↑i + ↑j, ⋯⟩).join


Context:
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
P : Type u_1
L.Structure P
Q : Type u_2
L.Structure Q
f : L.Equiv M N
g : L.Equiv N P
h : L.Equiv P Q


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T1Space α
s : Closeds α
x : α
ht : IsAtom {x}


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
x y : X
h : x ⤳ y


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: C c : ℝ

Context: hc_mem : c ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hc : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c * ↑n ≤ ↑(r i n)

Context: n : ℕ

Context: hn₁ : ⌈C / c⌉₊ ≤ n

Context: hn₂ : ∀ (i : α), c * ↑n ≤ ↑(r i n)


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K

Context: this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K

NumberField.discr K = (-1) ^ ((↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p - 2)


Context: J : Type u'

Context: CategoryTheory.Category.{v', u'} J

Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J TopCat

Context: ∀ (X : TopCat), CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape Jᵒᵖ (TopCat.Presheaf C X)

Context: F : J ⥤ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C

Context: j : J

((AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.colimitCocone F).ι.app j).base =
  CategoryTheory.Limits.colimit.ι (F ⋙ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.forget C) j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t✝ : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → ι
hs : s.SupIndep (f ∘ g)
t : Finset ι
ht : t ⊆ Finset.image g s
i : ι'
hi : i ∈ s
hit : g i ∉ t
this : DecidableEq ι'
j : ι
hjt : j ∈ t


Context:
M : Type u_2
CommMonoid M
MeasurableSpace M
MeasurableMul₂ M
μ ν : MeasureTheory.Measure M
MeasureTheory.SFinite μ
MeasureTheory.SFinite ν


Context: E : Type u_1

Context: f✝ : ℝ → E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: g : ℝ → E

Context: a : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Ici a)

Context: hft : Tendsto f atTop atTop

Context: hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x

Context: hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioi a)

Context: hg1 : IntegrableOn g (f '' Ici a) volume

Context: hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) (Ioi a) volume

Context: eq : ∀ (b : ℝ), a < b → ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u

Context: t2 : Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..id i, f' x • (g ∘ f) x) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x ∂volume))

Context: this : Ioi (f a) ⊆ f '' Ici a

Context: t1 : Tendsto ((fun i => ∫ (x : ℝ) in f a..id i, g x) ∘ f) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi (f a), g x ∂volume))

∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in Ioi (f a), g u


Context:
R : Type u_1
CommRing R
p : ℕ
ExpChar R p
h : Function.Injective ⇑(frobenius R p)


Context:
m n : ℕ
α : Type u_1
a : Fin n → α

Fin.repeat m a ∘ Fin.rev = Fin.repeat m (a ∘ Fin.rev)


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I✝ J✝ X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
I : Set α
hI : M.Basis I X
J : Set α
hJ : M.Basis J Y
hIJ : I ⊆ J

∃ I J, M.Basis I X ∧ M.Basis J Y ∧ I ⊆ J


Context:
α : Type u_1
Zero α
One α
Neg α
β : Type u_2
One β
Neg β
Zero β
f : α → β
h₁ : f 1 = 1
h₂ : f 0 = 0
h₃ : f (-1) = -1
s : SignType


Context:
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : C(X, Y)
A B : DiscreteQuotient Y
h : A ≤ B

DiscreteQuotient.comap f A ≤ DiscreteQuotient.comap f B


Context:
α : Type u
One α
a : α
LT α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
OrderedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E

↑(PointedCone.positive 𝕜 E) = ConvexCone.positive 𝕜 E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
h : K₁ ≤ K₂


Context:
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
Fact (1 ≤ p)
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
DecidableEq ι
i : ι
b₁ b₂ : β i

nndist ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)).symm (Pi.single i b₁))
    ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)).symm (Pi.single i b₂)) =
  nndist b₁ b₂


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f✝ : α → β
ι : Sort u_2
tα : TopologicalSpace α
tβ : TopologicalSpace β
f : β → α

tβ = induced f tα ↔ ∀ (b : β), 𝓝 b = comap f (𝓝 (f b))


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommSemiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R A B
x : σ → A
p : MvPolynomial σ R

(eval₂Hom (algebraMap R B) (⇑(algebraMap A B) ∘ x)) p = (eval₂Hom (algebraMap R B) fun i => (algebraMap A B) (x i)) p


Context:
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
AddMonoid ιA
VAdd ιA ιB
GradedMonoid.GMonoid A
(i : ιB) → AddMonoid (M i)
self : DirectSum.GdistribMulAction A M
i : ιA
j : ιB
a : A i


Context:
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : Set R

↑(NonUnitalSubsemiring.closure s) = ↑(AddSubmonoid.closure ↑(Subsemigroup.closure s))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Countable ι
f : ι → Set α
hn : Pairwise (Disjoint on f)
h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} V

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C₁ C₂ : HomologicalComplex V c

Context: h : C₁ = C₂

Context: n : ι

(CategoryTheory.eqToHom h).f n = CategoryTheory.eqToHom ⋯


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝ : Preorder α
f : ℕ → α
hf : Monotone f
n a : ℕ
h1 : f n < f a
h2 : f a < f (n + 1)


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Ring R
toFinsupp✝ : R[ℕ]

(match { toFinsupp := -toFinsupp✝ } with | { toFinsupp := p } => p.support) = match { toFinsupp := toFinsupp✝ } with | { toFinsupp := p } => p.support


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: hs : Cospherical s

Context: p : Fin 3 → P

Context: hps : Set.range p ⊆ s

Context: hpi : Function.Injective p

Context: v : V

Context: hv : ∀ (i : Fin 3), ∃ r, p i = r • v +ᵥ p 0


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n : ℕ

Context: h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ

Context: h₂ : ↑n + 1 ≠ 0

Context: h₃ : (1 + n).choose n = n + 1

Context: H : ∑ k ∈ antidiagonal n.succ, ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli' k.1 = 1

∑ k ∈ antidiagonal (n + 1), ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli k.1 = 0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P n

Context: i₁ i₂ : Fin (n + 1)

Context: h : i₁ ≠ i₂

Context: hc : {i₁, i₂}.card = 2

Context: W : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (s.points '' {i₁, i₂})

Context: h_faces : ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection W) s.circumcenter) = ↑((s.face hc).orthogonalProjectionSpan s.circumcenter)


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : DivisionMonoid G
inst✝³ : MeasurableMul G
inst✝² : MeasurableInv G
μ✝ μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsInvInvariant
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G

MeasurePreserving (fun t => g * t⁻¹) μ μ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : α → E → F

Context: K✝ : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hK : IsComplete K

Context: this : {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ K} = {p | p.2 ∈ D (f p.1) K}

Context: x✝¹ x✝ : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
f : α → β
s : (i : ι) → κ i → Set β

f ⁻¹' ⋂ i, ⋂ j, s i j = ⋂ i, ⋂ j, f ⁻¹' s i j


Context: E : Type u_1

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace ℂ E

Context: f : ℂ → E

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}

Context: hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[Bornology.cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)

Context: hre : Asymptotics.SuperpolynomialDecay Filter.atTop expR fun x => ‖f ↑x‖

Context: him : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * Complex.I)‖ ≤ C


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: Preorder ι

Context: 𝒢 : MeasureTheory.Filtration ι m

Context: τ η : Ω → ι

Context: i : ι

Context: s : Set Ω

Context: DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: hτ_st : MeasureTheory.IsStoppingTime 𝒢 τ

Context: hη_st : MeasureTheory.IsStoppingTime 𝒢 η

Context: hτ : ∀ (ω : Ω), i ≤ τ ω

Context: hη : ∀ (ω : Ω), i ≤ η ω

Context: hs : MeasurableSet s

MeasureTheory.IsStoppingTime 𝒢 (s.piecewise τ η)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
ha : a ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
v : VectorMeasure α M
f : α → β
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: X Y : C

Context: P : CategoryTheory.Subobject Y

Context: f : X ⟶ Y

Context: h : P.Factors f


Context:
x : ℝ
hx : x ≠ 0


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
nd₁ : l₁.NodupKeys
nd₂ : l₂.NodupKeys


Context:
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_9
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R₁ M
Module R₂ M₂
Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂


Context:
n : ℕ
c : Composition n


Context: a : ℝ

Isometry fun y => UpperHalfPlane.mk { re := a, im := rexp y } ⋯


Context:
G : Type u_2
AddGroup G
A B C : AddSubgroup G
h : A ≤ C


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: B B₁ B₂ : Set α

Context: hB : autoParam (B ⊆ M.E) _auto✝

Context: x✝ : (∃ B_1, M.Base B_1 ∧ Disjoint B B_1) ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, y ⊆ M.E → ∀ (x : Set α), M.Base x ∧ Disjoint y x → B ⊆ y → B = y

Context: B' : Set α

Context: hB' : M.Base B'

Context: hBB' : Disjoint B B'

Context: h : ∀ ⦃y : Set α⦄, y ⊆ M.E → ∀ (x : Set α), M.Base x ∧ Disjoint y x → B ⊆ y → B = y


Context:
R : Type u
CommRing R
p : PrimeSpectrum R
r : R

(algebraMap R ↑((AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).presheaf.stalk p)) r =
  (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toStalk R p) r


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hf : f.IsCycle
hg : g.IsCycle
h : f.support ⊆ g.support
h' : ∀ x ∈ f.support, f x = g x


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
b : Basis ι ℝ E

parallelepiped ⇑b = {x | ∀ (i : ι), (b.repr x) i ∈ Icc 0 1}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α ⊕ β


Context:
α : Type u_2
TopologicalSpace α
U V : TopologicalSpace.Opens α
i : U ≤ V


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommGroup β
s : Set ι
f₁ f₂ : ι → α
g : ι → β
h₁ : MonovaryOn f₁ g s
h₂ : AntivaryOn f₂ g s


Context:
R : Type u_1
Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
hu : u ≠ 0

(Polynomial.trinomial k m n u v w).trailingCoeff = u


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y✝ : C
S R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
Hss : S ≤ R
sjx : S ∈ J.sieves X
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f


Context:
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
f g : β → α
TopologicalSpace β
x₀ : β
hf : ContinuousAt f x₀
hg : ContinuousAt g x₀
hfg : f x₀ < g x₀


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hx : x % 2 = 1
hy : y % 2 = 0


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
x y : R
hy : y ∈ M

(algebraMap R S) y * IsLocalization.mk' S x ⟨y, hy⟩ = (algebraMap R S) x


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μα : Measure α

Context: μ : Measure Ω

Context: t : Set Ω

Context: h_indep : ∀ᵐ (a : α) ∂μα, (κ a) (t ∩ t) = (κ a) t * (κ a) t

Context: a : α

Context: ha : (κ a) (t ∩ t) = (κ a) t * (κ a) t


Context:
n : Nat
m : Nat
i : Fin n

Fin.cast ⋯ (i.addNat m) = Fin.natAdd m i


Context:
α : Type u_1
BEq α
l : List α


Context:
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
x y : CategoryTheory.Limits.limit F

x = y ↔ ∀ (j : J), CategoryTheory.Limits.limit.π F j x = CategoryTheory.Limits.limit.π F j y


Context:
R : Type v
CommRing R
A : Matrix (Fin 1) (Fin 1) R


Context:
G : Type u_3
Group G
x : G
m : ℤ
n : ℤ
h : x ^ n = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedAddCommGroup G
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
InnerProductSpace 𝕜 G
CompleteSpace E
CompleteSpace G
CompleteSpace F
A : F →L[𝕜] G
B : E →L[𝕜] F

ContinuousLinearMap.adjoint (A.comp B) = (ContinuousLinearMap.adjoint B).comp (ContinuousLinearMap.adjoint A)


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure β
s : Set β
t : Set α
ht : MeasurableSet t

(Measure.comap f (μ.restrict s)) t = ((Measure.comap f μ).restrict (f ⁻¹' s)) t


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: CategoryTheory.IsIdempotentComplete C

Context: CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C

AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.τ₀ =
  AlgebraicTopology.DoldKan.Compatibility.τ₁ CategoryTheory.Idempotents.DoldKan.isoN₁
    CategoryTheory.Idempotents.DoldKan.isoΓ₀ AlgebraicTopology.DoldKan.N₁Γ₀


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
i j : ZMod 2

evenOdd Q i * evenOdd Q j ≤ evenOdd Q (i + j)


Context:
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type v
Field K
Algebra F K
i : E ≃ₐ[F] K

Field.insepDegree F E = Field.insepDegree F K


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))

Context: x : ↥U

Context: V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hxV : ↑x ∈ V.carrier

Context: iVU : V ⟶ U

Context: f g : R

Context: hVDg : V ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g

Context: s_eq : const R f g V hVDg = ((structureSheaf R).val.map iVU.op) s

Context: h : R

Context: hxDh : ↑x ∈ (fun r => ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)) h

Context: hDhV : PrimeSpectrum.basicOpen h ≤ V

∃ f g i, ↑x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen g ∧ const R f g (PrimeSpectrum.basicOpen g) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map i.op) s


Context:
β : Type u_2
AddMonoid β
f : ℕ →+ β
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α
h : l ≠ []
head✝ : α
tail✝ : List α
x✝ : head✝ :: tail✝ ≠ []


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
UniformSpace β
r : Set (β × β)
s : Set α
hs : IsCompact s
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, ContinuousAt f a
hr : r ∈ 𝓤 β

{x | x.1 ∈ s → (f x.1, f x.2) ∈ r} ∈ 𝓤 α


Context:
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
N : Type u_2
L.Structure M
e : M ≃ N


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))

Context: ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f

Context: ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j

Context: s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯

Context: ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))

Context: n : ℕ

Context: b : ι →₀ R

Context: b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t

Context: hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)

Context: tt : Type u := ↑↑t

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ ↑t

Context: j : ι

Context: hj : j ∈ t


Context:
G : Type u_2
Group G
S : Set (Subgroup Gᵐᵒᵖ)

(sSup S).unop = sSup (Subgroup.op ⁻¹' S)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_3
CommMonoid α
Fintype ι
f : { i // i ∈ Finset.univ } → α

∏ i ∈ Finset.univ.attach, f i = ∏ i : ι, f ⟨i, ⋯⟩


Context:
α : Type ua
UniformSpace α


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : G.Walk u v

(Walk.map f p).reverse = Walk.map f p.reverse


Context:
M : Type u_2
α : Sort u_4
AddCommMonoid M
f : α → M
a : α
ha : ∀ (x : α), x ≠ a → f x = 0


Context:
J : Type u
inst✝ : Category.{?u.10050, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
j : J

(fun x => ⟨𝟙 (F.obj j) ↑x, ⋯⟩) = 𝟙 ↑(⋂ f, F.map f ⁻¹' s)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
ha : a ∈ s


Context:
α : Type u_2
AddMonoid α
s t : Set α
hst : s ⊆ t
n : ℕ


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: i j k : ι

∀ {X Y : HomologicalComplex C c} (f : X ⟶ Y), ((HomologicalComplex.shortComplexFunctor' C c i j k).map f).τ₁ = f.f i


Context: E : Type u_1

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: C : ℝ

Context: hf : DifferentiableOn ℝ f (Set.Icc 0 1)

Context: bound : ∀ x ∈ Set.Ico 0 1, ‖derivWithin f (Set.Icc 0 1) x‖ ≤ C


Context: x₁ x₂ x₃ y₁ y₂ y₃ : SetTheory.PGame

Context: h₁ : Surreal.Multiplication.P3 x₃ x₂ y₂ y₃

Context: h₂ : Surreal.Multiplication.P3 x₁ x₃ y₂ y₁

Surreal.Multiplication.P1 x₁ x₂ x₃ y₁ y₂ y₃


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Finset ℕ
k n a b : ℕ
h : b ≤ a

addRothNumber (Ico a b) = rothNumberNat (b - a)


Context:
A : Type u_1
R : Type u_2
B : Type u_3
CommRing R
CommSemiring A
CommRing B
Algebra R B
Algebra A B
IsIntegralClosure A R B


Context:
G : Type w
TopologicalSpace G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Sup α
Sup β
Sup γ
f : SupHom β γ
g : SupHom α β


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
t : A
n : ℕ
hnp1 : IsUnit ↑(n + 1)!

(algebraMap ℚ A) ↑(n + 1)! * ∑ x ∈ range (n + 1), (PowerSeries.coeff A x) (PowerSeries.mk fun n => (aeval t) ((1 / ↑n !) • bernoulli n)) * (PowerSeries.coeff A (n + 1 - x)) (exp A - 1) = t ^ n * (algebraMap ℚ A) (↑(n + 1)! * (1 / ↑n !))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: x : E

Context: hx : x ∈ {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}

Context: e : ℕ

Context: this : 0 < (1 / 2) ^ e


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
n : ℕ


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
M : Type u_7
AddMonoid M
s : Set G
hs : AddSubgroup.closure s = ⊤
f g : G →+ M
h : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s


Context:
α : Type u
s : Stream'.Seq α


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : ℝ × ℝ → E

∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.1 • f (↑polarCoord.symm p) = ∫ (p : ℝ × ℝ), f p


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: S : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: hg : S.g = 0

Context: c : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork S.f

Context: hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c

(CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofIsColimitCokernelCofork S hg c hc).ι =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id c.pt


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₂] F
g : E →SL[σ₁₃] G
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ = ‖g x‖
x : E

‖g x‖ ≤ ‖g‖ * ‖x‖


Context:
α : Type u_1
BooleanRing α
a : AsBoolAlg α


Context: R : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Semiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f i : N →ₗ[R] M

Context: K : Submodule R N

Context: m : ℕ

Context: heq : f.iterateMapComap i m K = f.iterateMapComap i (m + 1) K

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: hi : Injective ⇑i


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: p : R

Context: n : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: t u : Finset ℕ

Context: b c : R

Context: htus : t ∪ u = range n

Context: htu : Disjoint t u

Context: hx : (b * ∏ i ∈ t, p) * (c * ∏ i ∈ u, p) = b * c * p ^ n

∃ i j b_1 c_1, i + j = n ∧ b * c = b_1 * c_1 ∧ b * ∏ i ∈ t, p = b_1 * p ^ i ∧ c * ∏ i ∈ u, p = c_1 * p ^ j


Context:
M : Type u_1
AddMonoid M
h : IsAddUnit 0


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
s : R


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝² : MetricSpace X

Context: inst✝¹ : MetricSpace Y

Context: Φ✝ : Z → X

Context: Ψ✝ : Z → Y

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty Z

Context: Φ : Z → X

Context: Ψ : Z → Y

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: x : Y

Context: y : X

Context: h : glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inl y) = 0


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C

∀ {X Y : CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented C} (η : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented.toArrow.map η).left = η.left


Context:
b : ℂ
hb : b.re < 0
c d : ℂ


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.ConcreteCategory C

Context: CategoryTheory.Limits.HasLimits C

Context: CategoryTheory.ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms

Context: CategoryTheory.Limits.PreservesLimits CategoryTheory.ConcreteCategory.forget

Context: X : TopCat

Context: F : TopCat.Sheaf C X

Context: U₁ U₂ V : TopologicalSpace.Opens ↑X

Context: i₁ : U₁ ⟶ V

Context: i₂ : U₂ ⟶ V

Context: hcover : V ≤ U₁ ⊔ U₂

Context: s t : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (Opposite.op V))

Context: h₁ : (F.val.map i₁.op) s = (F.val.map i₁.op) t

Context: h₂ : (F.val.map i₂.op) s = (F.val.map i₂.op) t


Context:
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
AddCommGroup M
Module R M
S : Submodule R M


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Group G

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹¹ : BorelSpace G

Context: inst✝¹⁰ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁹ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁸ : Γ.Normal

Context: inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: inst✝⁶ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝⁴ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝³ : SigmaFinite ν

Context: inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν

Context: h : covolume (↥Γ.op) G ν = μ univ

Context: s : Set G

Context: fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν


Context:
R : Type u_1
M : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
NoZeroSMulDivisors R M
a : R
ha : a ≠ 0

LinearMap.ker ((LinearMap.lsmul R M) a) = ⊥


Context: l : List ℕ

l.IsZeckendorfRep → (List.map Nat.fib l).sum.zeckendorf = l


Context: g : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: hz : z ∈ 𝒟ᵒ

Context: hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ

Context: c' : ℤ := ↑g 1 0

Context: c : ℝ := ↑c'

Context: hc : 0 < c ^ 4

Context: h₁ : 3 * 3 * c ^ 4 < 4 * (g • z).im ^ 2 * (4 * z.im ^ 2) * c ^ 4

Context: h₂ : (c * z.im) ^ 4 / normSq (denom (↑g) z) ^ 2 ≤ 1


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hPz : P z = 0


Context:
R : Type u_1
Ring R
I : TwoSidedIdeal R
x : ↥I


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
ai : R
au : ai * a = 1

(1 * p).natDegree = (C ai * (C a * p)).natDegree


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N : Bimod X Y

Context: P P' : Bimod Y Z

Context: f : P ⟶ P'

coequalizer.π ({ X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actRight ▷ P.X) ((α_ { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X Y.X P.X).hom ≫ { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X ◁ P.actLeft) ≫ ({ X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.whiskerLeft f).hom = coequalizer.π ({ X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actRight ▷ P.X) ((α_ { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X Y.X P.X).hom ≫ { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X ◁ P.actLeft) ≫ ((isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N P, inv := AssociatorBimod.inv M N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom ≫ M.whiskerLeft (N.whiskerLeft f) ≫ (isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N P', inv := AssociatorBimod.inv M N P', hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).inv).hom


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
AddGroup G
AddGroup G'
f : G →+ G'
H : AddSubgroup G
x : ↥H.toAddSubmonoid


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u
S : Type v
r : R
e : ℕ
n m : σ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s : Set σ

supported R s = (rename Subtype.val).range


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: Q : QuadraticMap R M N

Context: inst✝² : IsCancelAdd R

Context: inst✝¹ : NoZeroDivisors R

Context: inst✝ : CharZero R

Context: B : BilinMap R M R

Context: x y : M

Context: h : LinearMap.IsSymm B

Context: this : AddCancelMonoid R := let __src := inst✝²; let __src_1 := inferInstanceAs (AddCommMonoid R); AddCancelMonoid.mk ⋯

B.toQuadraticMap.IsOrtho x y ↔ LinearMap.IsOrtho B x y


Context:
R : Type u_1
inst✝²⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M
inst✝²⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝²⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝²³ : CommSemiring A
inst✝²² : Algebra R A
inst✝²¹ : Module A M'
inst✝²⁰ : IsLocalization S A
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module R M'
inst✝¹⁷ : Module R M''
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝¹ : M →ₗ[R] M''
inst✝¹⁵ : IsLocalizedModule S f
N : Type ?u.1107598
N' : Type ?u.1107601
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : AddCommGroup N'
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Module R N'
g✝ : N →ₗ[R] N'
inst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S g✝
M₀ : Type u_6
M₀' : Type u_9
inst✝⁹ : AddCommGroup M₀
inst✝⁸ : AddCommGroup M₀'
inst✝⁷ : Module R M₀
inst✝⁶ : Module R M₀'
f₀ : M₀ →ₗ[R] M₀'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f₀
M₁ : Type u_7
M₁' : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₁'
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁'
inst✝ : IsLocalizedModule S f₁
g : M₀ →ₗ[R] M₁
x : LocalizedModule S M₀
m : M₀
s : ↥S

((map S f₀ f₁) g ∘ₗ ↑(iso S f₀)) (LocalizedModule.mk m 1) = (↑(iso S f₁) ∘ₗ (map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g) (LocalizedModule.mk m 1)


Context:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M

LinearMap.flip (LieModule.traceForm R L M) = LieModule.traceForm R L M


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
self : SeqCompactSpace X


Context:
s : ℝ
hs : 0 < s

Real.Gamma s * Real.Gamma (s + 1 / 2) = Real.Gamma (2 * s) * 2 ^ (1 - 2 * s) * √π


Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ico 0 1

Context: p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: hp' : (fun t => F_nat 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)

Context: q : ℝ

Context: hq : 0 < q

Context: ha' : ↑a = 0 ↔ a = 0

Context: hq' : (fun t => F_nat 0 (1 - a) t) =O[atTop] fun t => rexp (-q * t)

(fun t => F_int 0 (↑a) t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-min p q * t)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c a✝ : α

a✝ ∈ s ○ t ↔ a✝ ∈ t ○ s


Context:
n k : Nat
h : n ≠ 0


Context:
R : Type u
CommRing R
P : Fin 3 → R
u : R

(u • P) x = u ^ 2 * P x ∧ (u • P) y = u ^ 3 * P y ∧ (u • P) z = u * P z


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
v : V
hv : v ∈ s.direction


Context:
α : Type u_1
Preorder α


Context:
α : Type u_1
SeminormedAddCommGroup α
a : α

‖‖a‖‖₊ = ‖a‖₊


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
UniformSpace β
Nonempty α
Nonempty β

CompleteSpace (α × β) ↔ CompleteSpace α ∧ CompleteSpace β


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.45377, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.45429, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.obj (op X)
Y : C
f : G.obj Y ⟶ X

pushforwardFamily α x f ⋯ = α.app (op Y) (ℱ.map f.op x)


Context: x y : ℝ


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E

(fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
σ τ : L ≃ₐ[K] L
h_diff : σ ≠ τ
hστ : σ⁻¹ * τ ≠ 1
x : L
hx : (σ⁻¹ * τ) x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
this : FiniteDimensional K ↥K⟮x⟯


Context:
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
hf : StrictAntiOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s


Context: θ ψ : Angle

Context: h : θ = ↑(π / 2) - ψ ∨ θ = ↑(π / 2) - ψ + ↑π


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M

IsUnit (A ^ 0).det ↔ IsUnit A.det ∨ 0 = 0


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
κ : ι → Sort u_9
f : ι → α


Context:
R : Type u
ι : Type v
n : ℕ
M✝ : Fin n.succ → Type w
M₁ : ι → Type w₁
M₁' : ι → Type w₁'
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
M₄ : Type w₄
M : Type u_1
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ContinuousMul R
inst✝ : ContinuousSMul R M
z₁ z₂ : M

ContinuousMultilinearMap.mkPiRing R ι z₁ = ContinuousMultilinearMap.mkPiRing R ι z₂ ↔ z₁ = z₂


Context:
R : Type u_1
AddZeroClass R


Context:
R : Type u_2
NonUnitalRing R
p : RingNorm R


Context:
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
h : legendreSym p a = -1
x y : ZMod p
hxy : x ^ 2 - ↑a * y ^ 2 = 0


Context:
α : Type u_3
TopologicalSpace α
s : Set α

MeasureTheory.AnalyticSet s = (s = ∅ ∨ ∃ f, Continuous f ∧ Set.range f = s)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f✝ : α → E
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hpq : p ≤ q
hfq_m : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm f q μ < ⊤
hp0 : p ≠ 0
hp_top : ¬p = ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal
hq_top : ¬q = ⊤


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝² : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H

Context: f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s✝ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: inst✝ : ClosedUnderRestriction G

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f : H → H

Context: e' : PartialHomeomorph H H

Context: he'G : e' ∈ G

Context: he'x : x ∈ e'.source

Context: h : G.IsLocalStructomorphWithinAt f s x

Context: hx : ↑e' x ∈ ↑e'.symm ⁻¹' s

Context: hxs : x ∈ s

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: heG : e ∈ G

Context: hef : EqOn f (↑e.toPartialEquiv) (s ∩ e.source)

Context: hex : x ∈ e.source


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
FiniteDimensional 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : LinearMap.range f' = ⊤
α : Type u_4
l : Filter α
g₁ : α → F
g₂ : α → ↥(LinearMap.ker f')
h₁ : Filter.Tendsto g₁ l (𝓝 (f a))
h₂ : Filter.Tendsto g₂ l (𝓝 0)

Filter.Tendsto (fun t => HasStrictFDerivAt.implicitFunction f f' hf hf' (g₁ t) (g₂ t)) l (𝓝 a)


Context: n k : ℕ

(n + k).descFactorial k = (n + 1).ascFactorial k


Context: x : ℝ


Context: α : Type u_1

Context: I B X : Set α

Context: M : Matroid α

Context: hM : ∃ M_1, M.E = M_1.E ∧ ∀ (I : Set α), M_1.Indep I ↔ M.Indep I

∀ X ⊆ M.E, ExistsMaximalSubsetProperty M.Indep X


Context:
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
𝔸 : Type u_6
Fintype m
DecidableEq m
Fintype n
DecidableEq n
Field 𝕂
Ring 𝔸
TopologicalSpace 𝔸
TopologicalRing 𝔸
Algebra 𝕂 𝔸
T2Space 𝔸
v : m → Matrix n n 𝔸

NormedSpace.exp 𝕂 (Matrix.blockDiagonal v) = Matrix.blockDiagonal (NormedSpace.exp 𝕂 v)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

Context: x✝¹ x✝ : A

↑(((decompose 𝒜) x✝¹ + (decompose 𝒜) x✝) 0) = ↑(((decompose 𝒜) x✝¹) 0) + ↑(((decompose 𝒜) x✝) 0)


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.71152, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K'✝ : ChainComplex C ℕ
f✝ : K✝ ⟶ K'✝
Δ✝ Δ'✝ Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ' Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
θ : Δ' ⟶ Δ

(obj K).map θ ≫ (fun Δ => (splitting K).desc Δ fun A => f.f (unop A.fst).len ≫ ((splitting K').cofan Δ).inj A) Δ = (fun Δ => (splitting K).desc Δ fun A => f.f (unop A.fst).len ≫ ((splitting K').cofan Δ).inj A) Δ' ≫ (obj K').map θ


Context:
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
s : Set Aᵐᵒᵖ

(Algebra.adjoin R s).unop = Algebra.adjoin R (MulOpposite.op ⁻¹' s)


Context:
α : Type u_1
Preorder α
a : αᵒᵈ

SimpleGraph.hasseDualIso a = OrderDual.ofDual a


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W✝ : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Affine F

Context: x₁ x₂ y₁ y₂ : F

Context: h₁ : W.Equation x₁ y₁

Context: h₂ : W.Equation x₂ y₂

Context: hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

Context: sup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c

XIdeal W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * (XYIdeal W x₁ (C y₁) * XYIdeal W x₂ (C y₂)) = YIdeal W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * XYIdeal W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) (C (W.addY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))


Context: a✝ b✝ m n p a b : ℕ

(∀ (p : ℕ), a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p) ↔ a ∣ b


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn ℝ n f s

ContDiffOn ℝ n (fun x => Real.exp (f x)) s


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X

(IsSeparatedFor P R ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) ↔ IsSheafFor P R


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: C : ℝ≥0∞

Context: f : Set α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≠ ⊤ → f s ≤ C

Context: h_F_lim : ∀ (S : ℕ → Set α), (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (S n)) → Monotone S → f (⋃ n, S n) ≤ ⨆ n, f (S n)

Context: S : ℕ → Set α := spanningSets (μ.trim hm)

Context: hS_mono : Monotone S

Context: hS_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (S n)


Context:
α : Type u_1
CommMonoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a : α
ha : ¬IsUnit a


Context:
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass P
g : N →+ P
f₁ f₂ : M →+ N
hg : Function.Injective ⇑g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : a < b


Context: a x z✝ z : ℂ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
ha : a ≠ 0
n : ℕ


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x : M
v : P
y : ↥S

g x * ↑((IsUnit.liftRight (g.restrict S) hg) y)⁻¹ = v ↔ g x = g ↑y * v


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R


Context: G : SetTheory.PGame

Context: G.Impartial


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt ℝ n f x

ContDiffAt ℝ n (fun x => Real.sinh (f x)) x


Context:
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U : X.Opens
V : (↑U).Opens
x : ↥V

(↑U).presheaf.germ x ≫ (U.stalkIso ↑x).hom = X.presheaf.germ ⟨↑↑x, ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
a : α


Context:
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
g : ExteriorAlgebra R M →ₐ[R] A
m : M


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
hx : x ∈ s
hy : y ∉ s
h : x = y


Context:
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
OrderBot α
DecidableRel Disjoint
s₁ s₂ t₁ t₂ : Finset α
hs : s₁ ⊆ s₂
ht : t₁ ⊆ t₂


Context:
α : Type u
β : α → Type v


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : LT α
s : Finset ι
f : ι → WithBot α


Context:
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
s₁ s₂ t : Finset α


Context:
α : Type u_1
Add α
a b : αˢʸᵐ

SymAlg.unsym (a + b) = SymAlg.unsym a + SymAlg.unsym b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
h : IsAntichain r s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : r a b


Context: f : ℕ → ℂ

Context: l : ℂ

Context: h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)

Context: M : ℝ

Context: hM : 1 < M

Context: s : ℕ → ℂ := fun n => ∑ i ∈ range n, f i

Context: g : ℂ → ℂ := fun z => ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n

Context: hm : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (∑ i ∈ range n, f i) l < ε

∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : ℂ}, x ∈ stolzSet M → dist x 1 < δ → dist (∑' (n : ℕ), f n * x ^ n) l < ε


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ✝ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ✝
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
ρ : Measure α := μ.withDensity f
this : IsFiniteMeasure ρ

∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))


Context:
E : Type u_1
MeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
Ω : Type u_2

∀ {x : MeasurableSpace Ω} {ℙ : MeasureTheory.Measure Ω} {X : Ω → E} {s : Set E},
  MeasureTheory.pdf.IsUniform X (MeasureTheory.toMeasurable μ s) ℙ μ ↔ MeasureTheory.pdf.IsUniform X s ℙ μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUV : U ≠ V

Context: h₂ : ¬G.IsUniform ε U V

Context: hX : G.nonuniformWitness ε U V ∈ P.nonuniformWitnesses G ε U

Context: q : G.nonuniformWitness ε U V \ (star hP G ε hU V).biUnion id ⊆ (filter (fun B => B ⊆ G.nonuniformWitness ε U V ∧ B.Nonempty) (atomise U (P.nonuniformWitnesses G ε U)).parts).biUnion fun B => B \ (filter (fun x => x ⊆ B) (chunk hP G ε hU).parts).biUnion id

Context: t : (filter (fun u => u ⊆ G.nonuniformWitness ε U V ∧ u.Nonempty) (atomise U (P.nonuniformWitnesses G ε U)).parts).card ≤ 2 ^ ((P.nonuniformWitnesses G ε U).card - 1)

(P.nonuniformWitnesses G ε U).card ≤ P.parts.card


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s t : Set E

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: ht : Convex 𝕜 t

Context: hst : Disjoint s t

Context: S : Set (Set E) := {C | Convex 𝕜 C ∧ Disjoint C t}

Context: C : Set E

Context: hC : C ∈ S

Context: hsC : s ⊆ C

Context: hCmax : ∀ a ∈ S, C ⊆ a → a = C

Context: x : E

Context: hx : x ∈ Cᶜ

Context: y : E

Context: hy : y ∈ Cᶜ

Context: z : E

Context: hz : z ∈ segment 𝕜 x y

Context: hzC : z ∈ C

Context: c : E

Context: hc : c ∈ Cᶜ


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
ν μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ν
ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: p q : A → Prop

Context: inst✝²³ : Semifield R

Context: inst✝²² : StarRing R

Context: inst✝²¹ : MetricSpace R

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁹ : ContinuousStar R

Context: inst✝¹⁸ : Semifield S

Context: inst✝¹⁷ : StarRing S

Context: inst✝¹⁶ : MetricSpace S

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSemiring S

Context: inst✝¹⁴ : ContinuousStar S

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹² : Ring A

Context: inst✝¹¹ : StarRing A

Context: inst✝¹⁰ : Algebra S A

Context: inst✝⁹ : ContinuousFunctionalCalculus S q

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: inst✝⁷ : Algebra R A

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝⁵ : StarModule R S

Context: inst✝⁴ : ContinuousSMul R S

Context: inst✝³ : CompleteSpace R

Context: inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A

Context: f : C(S, R)

Context: halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)

Context: a : A

Context: hpa : p a

Context: hqa : q a

Context: h : SpectrumRestricts a ⇑f

Context: inst✝ : CompactSpace ↑(spectrum S a)


Context:
𝕜 : Type u_1
NormedDivisionRing 𝕜
E : Type u_3
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
c : 𝕜
s : Set E
x : E
h : c • x ∈ s
hc : c ≠ 0


Context:
R : Type u
CommRing R
X₁ X₂ : Type u
g₁ : Ring X₁
g₂ : Ring X₂
m₁ : Algebra R X₁
m₂ : Algebra R X₂
e : X₁ ≃ₐ[R] X₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
e e' : PartialEquiv α β
s : Set α
t : Set β
(x : α) → Decidable (x ∈ s)
(y : β) → Decidable (y ∈ t)
H : e.IsImage s t
H' : e'.IsImage s t

↑(e.piecewise e' s t H H').symm = t.piecewise ↑e.symm ↑e'.symm


Context:
α : Sort u
self : WellFoundedRelation α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t t' : Finset β
DecidableEq β
hf : Function.Injective2 f

Finset.image₂ f s (t ∩ t') = Finset.image₂ f s t ∩ Finset.image₂ f s t'


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : Ring R'

Context: inst✝⁵ : AddZeroClass A

Context: inst✝⁴ : SemilatticeSup B

Context: inst✝³ : Add B

Context: inst✝² : OrderBot B

Context: D : A → B

Context: p q : R[A]

Context: hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2

Context: inst✝¹ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: hD : Function.Injective D

Context: ap aq : A

Context: hp : supDegree D p ≤ D ap

Context: hq : supDegree D q ≤ D aq

aq ∉ q.support → (if ap + aq = ap + aq then p ap * q aq else 0) = 0


Context:
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F

CategoryTheory.Limits.limit.lift F (CategoryTheory.Limits.limit.cone F) = 𝟙 (CategoryTheory.Limits.limit F)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s : Set α
φ : r ↪r r'

IsAntichain r' (⇑φ '' s) ↔ IsAntichain r s


Context:
k G : Type u
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : Group G
A : Rep k G
inst✝ : A.IsTrivial
x✝¹ : CoeSort.coe A
x✝ : G


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E

Bornology.IsBounded s ↔ ∃ a, s ⊆ a • Metric.closedBall 0 1


4 * Real.arctan 5⁻¹ - Real.arctan 239⁻¹ = Real.pi / 4


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: hfg : Integrable (f * g) μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: this✝ : μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m]

Context: this : f * μ[g|m] =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g|m]

f * g =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕝 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid E

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid F

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 F

Context: s : Set E

Context: inst✝³ : Semiring 𝕝

Context: inst✝² : Module 𝕝 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕝 F

Context: inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul E F 𝕜 𝕝

Context: hs : StrictConvex 𝕜 s

Context: f : E →ₗ[𝕝] F

Context: hf : IsOpenMap ⇑f

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : f x ≠ f y

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1


Context:
R : Type u_3
Γ : Type u_5
LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
Semiring R
NoZeroDivisors R
x : HahnSeries Γ R
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
hcard : s.card ≤ t.card
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
hwt : m ∈ t
hws : m ∉ s
hw : ∀ ⦃a : α⦄, m < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
haw : a < m

{ ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := t.erase m }


Context:
c : Turing.ToPartrec.Code
v : List ℕ

∃ b,
  Turing.PartrecToTM2.TrCfg (Turing.ToPartrec.stepNormal c Turing.ToPartrec.Cont.halt v) b ∧
    Turing.Reaches₁ (Turing.TM2.step Turing.PartrecToTM2.tr) (Turing.PartrecToTM2.init c v) b


Context:
α : Type u_1
Preorder α
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
Topology.IsLowerSet α
Topology.IsLower α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
a : ℕ →o α
n m : ℕ
h : n ≤ m


Context:
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
IsGalois k K
h : Odd (FiniteDimensional.finrank k K)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup ι

Context: U : ι → Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)

Context: hU : Monotone U

Context: x : E

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: y : E := ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x)

Context: proj_x : ∀ (i : ι), (orthogonalProjection (U i)) x = (orthogonalProjection (U i)) y

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

∃ I, ∀ i ≥ I, ‖↑((orthogonalProjection (U i)) y) - y‖ < ε


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Monoid M
S : Set (MonoidAlgebra R M)
hS : adjoin R S = ⊤

adjoin R (⇑(of R M) '' ⋃ f ∈ S, ↑f.support) = ⊤


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: TopologicalSpace X

Context: TopologicalSpace Y

Context: TopologicalSpace Z

Context: f : X → Y → Z

Context: hf : ∀ (a : X) (b : Y) (c : X) (d : Y), (a ~ᵢ c) → (b ~ᵢ d) → f a b = f c d

Context: s : Set (SeparationQuotient X × SeparationQuotient Y)

ContinuousOn (Function.uncurry (SeparationQuotient.lift₂ f hf)) s ↔
  ContinuousOn (Function.uncurry f) (Prod.map SeparationQuotient.mk SeparationQuotient.mk ⁻¹' s)


Context: L R : List SetTheory.PGame

-SetTheory.PGame.ofLists L R = SetTheory.PGame.ofLists (List.map (fun x => -x) R) (List.map (fun x => -x) L)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_2

Context: β : Sort u_3

Context: S : ι → Set α

Context: f : (i : ι) → ↑(S i) → β

Context: hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: opi : (i : ι) → ↑(S i) → ↑(S i) → ↑(S i)

Context: opβ : β → β → β

Context: h : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), f i (opi i x y) = opβ (f i x) (f i y)

Context: op : ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S)

Context: hopi : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), inclusion ⋯ (opi i x y) = op (inclusion ⋯ x) (inclusion ⋯ y)

Context: x y : ↑(iUnion S)

iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ (op x y) = opβ (iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ x) (iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ y)


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
x : 𝕜
hx : 0 < x


Context:
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
f : ι → ℝ
g : ι' → ℝ
hf : Summable f
hg : Summable g
hf' : 0 ≤ f
hg' : 0 ≤ g


Context:
K : Type u_1
RCLike K


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝⁵ : BorelSpace X

Context: inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder X

Context: inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder E

Context: inst✝² : OrderTopology X

Context: inst✝¹ : OrderTopology E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology E

Context: hmono : MonotoneOn f s

Context: a b : X

Context: ha : IsLeast s a

Context: hb : IsGreatest s b

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: h's : MeasurableSet s

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: h✝ : s.Nonempty

Context: hbelow : BddBelow (f '' s)


Context:
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F
j : J

CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j ≫ (CategoryTheory.Limits.colimit.coconeMorphism c).hom = c.ι.app j


Context:
α : Type u
Mul α
One α
a : α


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v


Context:
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
a : α


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NonUnitalNormedRing A
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 A
x : Unitization 𝕜 A

‖(algebraMap 𝕜 (A →L[𝕜] A)) x.fst + (mul 𝕜 A) x.snd‖ ≤ 2 * max ‖((addEquiv 𝕜 A) x).1‖ ‖((addEquiv 𝕜 A) x).2‖


Context:
α : Type u_5
β : Type u_6
LE α
LE β

(OrderIso.sumComm α β).symm = OrderIso.sumComm β α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : BorelSpace β

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : Countable ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: μ : Measure α

Context: f : ι → α → β

Context: L : Filter ι

Context: inst✝ : L.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ

Context: h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 l)

Context: inhabited_h : Inhabited ι

Context: hL : L.NeBot

Context: p : α → (ι → β) → Prop := fun x f' => ∃ l, Tendsto (fun n => f' n) L (𝓝 l)

∃ f_lim, Measurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 (f_lim x))


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: f : (i : α) → E i

Context: hfq : Memℓp f 0

Context: hpq : 0 ≤ 0


Context:
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α


Context:
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
Ring α
a : α
n : ℕ

Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a n → Mathlib.Meta.NormNum.IsRat a (Int.ofNat n) 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → β → Prop
t : Finset β
a : α
DecidablePred (r a)

↑(Finset.bipartiteAbove r t a) = {b | b ∈ t ∧ r a b}


Context:
α : Type u_1
M : Type u_5
AddZeroClass M
DecidableEq α
g₁ g₂ : α →₀ M

(g₁ + g₂).support ⊆ g₁.support ∪ g₂.support


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α
f : α → β

ContinuousWithinAt f (Ioi a) a ↔ ContinuousWithinAt f (Ici a) a


Context: α : Type u

Context: n : α → Filter α

Context: ι : α → Sort u_1

Context: p : (a : α) → ι a → Prop

Context: s : (a : α) → ι a → Set α

Context: hb : ∀ (a : α), (n a).HasBasis (p a) (s a)

Context: hpure : ∀ (a : α) (i : ι a), p a i → a ∈ s a i

Context: hopen : ∀ (a : α) (i : ι a), p a i → ∀ᶠ (x : α) in n a, s a i ∈ n x

Context: a : α

Context: t : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.mkOfNhds n


Context:
R : Type u
ι : Type x
Semiring R
φ : ι → Type u_1
ψ : ι → Type u_2
χ : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
(i : ι) → AddCommMonoid (ψ i)
(i : ι) → Module R (ψ i)
(i : ι) → AddCommMonoid (χ i)
(i : ι) → Module R (χ i)
e : (i : ι) → φ i ≃ₗ[R] ψ i
f : (i : ι) → ψ i ≃ₗ[R] χ i

LinearEquiv.piCongrRight e ≪≫ₗ LinearEquiv.piCongrRight f = LinearEquiv.piCongrRight fun i => e i ≪≫ₗ f i


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
QuasiSeparatedSpace α
s t : TopologicalSpace.CompactOpens α


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
v w : V

G.IsBridge s(v, w) ↔ G.Adj v w ∧ ∀ ⦃u : V⦄ (p : G.Walk u u), p.IsCycle → s(v, w) ∉ p.edges


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b : β
f : α → β
s : Set α
a : α
has : a ∉ s

(InjOn f s ∧ InjOn f {a} ∧ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ {a}, f x ≠ f y) ↔ InjOn f s ∧ f a ∉ f '' s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x y z : E

Context: δ ε : ℝ

Context: hδ : 0 ≤ δ

Context: hε : 0 ≤ ε

Context: h : Disjoint (closedBall x δ) (closedBall y ε)

Context: hxy : ε + δ ≥ dist x y


Context:
ι : Type u_2
a b : ℝ
f : ι → ℂ
s : Finset ι
ha₀ : 0 ≤ a
ha : ↑a = ∑ i ∈ s, f i
hb : ↑b = ∑ i ∈ s, ↑‖f i‖


Context:
α : Type u_2
Group α
DecidableEq α
s t : Finset α

((fun b => Finset.image (fun a => a * b) s) '' ↑t).PairwiseDisjoint id → s.card ∣ (s * t).card


Context:
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
hJ : J ≤ I
x : ι → ℝ
h : x ∈ BoxIntegral.Box.Icc I

(BoxIntegral.TaggedPrepartition.single I J hJ x h).boxes.val = {J}


Context: x : ENNReal


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →*₀ F
hsum : Summable fun x => ‖f x‖

HasProd (fun p => (1 - f ↑p)⁻¹) (∑' (n : ℕ), f n)


Context:
G : Type u
Group G
N : Subgroup G
N.Normal
hN : (Nat.card ↥N).Coprime N.index


Context:
k : Type u
CommRing k
G : Grp
X Y : Rep k ↑G
f : ↥(X.ρ.linHom Y.ρ).invariants

((Representation.linHom.invariantsEquivRepHom X Y) f).hom = ↑f


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x y z : X
r s : ℝ
h : (ball x r ∩ ball y r).Nonempty
h₁ : ball x r = ball h.some r


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
H N : Subgroup G
hN : N.Normal
x : G
hx : x ∈ ↑(closure (↑H * ↑N))


Context:
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
h : ∀ (x : E), finrank F ↥F⟮x⟯ ≤ 1


Context:
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
f : β → α
s : Set β

Bornology.IsBounded (f '' s) ↔ ∃ C, ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (f x) (f y) ≤ C


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
w : ↑(G.commonNeighbors u v)

↑((G.walkLengthTwoEquivCommonNeighbors u v).symm w) = (SimpleGraph.Adj.toWalk ⋯).concat ⋯


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
hq : eval₂ f x q = 0


Context: k : ℕ


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: c : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g

c.π.app CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.right = c.snd


Context: m n k : ℤ

(m * n).lcm (k * n) = m.lcm k * n.natAbs


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: a b c d y✝ z : F

Context: r R : ℝ

Context: x : F

Context: hx : (fun x => c + x) x ≠ c

Context: this : HasFDerivAt (inversion c R) ((R ^ 2 * ((fun y => y⁻¹) ∘ fun x => ‖_root_.id x - c‖ ^ 2) (c + x)) • ContinuousLinearMap.id ℝ F + (R ^ 2 • -((‖_root_.id (c + x) - c‖ ^ 2) ^ 2)⁻¹ • 2 • ((innerSL ℝ) (_root_.id (c + x) - c)).comp (ContinuousLinearMap.id ℝ F)).smulRight (_root_.id (c + x) - c)) (c + x)

Context: y : F

Context: hy : y ∈ ↑(Submodule.span ℝ {x})ᗮ

((R ^ 2 * ((fun y => y⁻¹) ∘ fun x => ‖_root_.id x - c‖ ^ 2) (c + x)) • ContinuousLinearMap.id ℝ F + (R ^ 2 • -((‖_root_.id (c + x) - c‖ ^ 2) ^ 2)⁻¹ • 2 • ((innerSL ℝ) (_root_.id (c + x) - c)).comp (ContinuousLinearMap.id ℝ F)).smulRight (_root_.id (c + x) - c)) y = ((R / dist ((fun x => c + x) x) c) ^ 2 • ↑{ toLinearEquiv := (reflection (Submodule.span ℝ {(fun x => c + x) x - c})ᗮ).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }) y


Context:
G : Type u_1
Group G
a x y : G


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option α
a : α
l : List α
h : f a = none

(match none with | some b => b :: l | none => (#[].push a).toListAppend (lookmap f l)) = a :: lookmap.go f l #[]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t s : SignedMeasure α
μ : Measure α
r : ℝ≥0

((r • s).toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ).toSignedMeasure - ((r • s).toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ).toSignedMeasure = (r • s.toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ).toSignedMeasure - (r • s.toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ).toSignedMeasure


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: Q : R[X]

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})

Context: this : Module.Finite K L := finite B

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: finrank_K_L : FiniteDimensional.finrank K L = B.dim

Context: deg_K_P : (minpoly K B.gen).natDegree = B.dim

Context: deg_R_P : P.natDegree = B.dim

Context: f : ℕ → L

Context: hf : ∀ (i : ℕ), B.dim ≤ i → f i ∈ adjoin R {B.gen} ∧ (algebraMap R L) p * f i = B.gen ^ i

Context: aux : ∀ i ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, B.dim ≤ i + n

Context: hintsum : IsIntegral R (z * B.gen ^ n - ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • f (x + n))

Context: r : R

Context: hr : (algebraMap R K) r = (Algebra.norm K) (z * B.gen ^ n - ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • f (x + n))

(algebraMap R K) (Q.coeff 0 ^ n.succ * ((-1) ^ (n.succ * n) * (minpoly R B.gen).coeff 0 ^ n)) = (algebraMap R K) (p ^ n.succ * r)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N : Bimod Y Z

(α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (Y.mul ▷ N.X) ((α_ Y.X Y.X N.X).hom ≫ Y.X ◁ N.actLeft) ≫ M.X ◁ coequalizer.desc N.actLeft ⋯ ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul) ▷ N.X ≫ coequalizer.desc M.actRight ⋯ ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one


Context:
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
f g : α → F
hfg : f =ᵐ[μ] g

MeasureTheory.eLpNormEssSup f μ = MeasureTheory.eLpNormEssSup g μ


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atBot

Tendsto (fun x => f x * r) l atTop ↔ r < 0


Context:
p q y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
hp : 1 < p
M : ℤ
h : LiouvilleWith p ↑M
n : ℕ
hn : 0 < n
m : ℤ
hne : ↑M ≠ ↑m / ↑n
hlt : |↑M - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-1)
hn' : 0 < ↑n


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α
c : α
h : c < 0

(fun x => c * x) ⁻¹' Set.Iio a = Set.Ioi (a / c)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α × β


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: CommRing R

Context: CommRing A

Context: Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: hm : 0 < m

Context:
q :
  ↑↑(AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceObj
          (CommRingCat.of (HomogeneousLocalization.Away 𝒜 f))).toPresheafedSpace

Context: a : A

Context: n : ℕ

Context: hn : a ∈ 𝒜 n

a ∈ AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.FromSpec.carrier f_deg q ↔
  HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: p : TauPackage β α

Context: N : ℕ

Context: hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)

Context: i : Ordinal.{u}

Context: IH : ∀ k < i, k < p.lastStep → p.color k < N

Context: hi : i < p.lastStep

Context: A : Set ℕ := ⋃ j, ⋃ (_ : (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty), {p.color ↑j}

Context: color_i : p.color i = sInf (univ \ A)

Context: N_mem : N ∈ univ \ A

Context: Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N

Context: g : ℕ → Ordinal.{u}

Context: hg : ∀ k < N, g k < i ∧ (closedBall (p.c (p.index (g k))) (p.r (p.index (g k))) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧ k = p.color (g k)

Context: G : ℕ → Ordinal.{u} := fun n => if n = N then i else g n

Context: color_G : ∀ n ≤ N, p.color (G n) = n

Context: G_lt_last : ∀ n ≤ N, G n < p.lastStep

Context: fGn : ∀ n ≤ N, p.c (p.index (G n)) ∉ p.iUnionUpTo (G n) ∧ p.R (G n) ≤ p.τ * p.r (p.index (G n))


Context:
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X


Context:
α : Type u_6
self : FilterBasis α
x y : Set α

x ∈ self.sets → y ∈ self.sets → ∃ z ∈ self.sets, z ⊆ x ∩ y


Context:
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
x y : PiLp p α
h : ∀ (i : ι), x i = y i


Context:
α : Type u_1
One α


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤


Context:
a b : ℤ
hab : a = b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : EMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
C : ℝ≥0∞
sC : Set ℝ≥0∞
inst✝ : Finite ↑s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: inst✝ : SigmaCompactSpace X

Context: f : ι → Set X

Context: hf : LocallyFinite f

Context: hne : ∀ (i : ι), (f i).Nonempty

Context: this : ∀ (n : ℕ), {i | (f i ∩ compactCovering X n).Nonempty}.Finite

Context: i : ι

Context: x✝ : i ∈ univ

Context: x : X

Context: hx : x ∈ f i

Context: n : ℕ

Context: hn : x ∈ compactCovering X n

i ∈ ⋃ i, {i_1 | (f i_1 ∩ compactCovering X i).Nonempty}


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s✝ t : Set X

Context: μ ν✝ : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : SemilatticeSup ι

Context: s : ι → Set X

Context: hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: h_mono : Monotone s

Context: S : Set X := ⋃ i, s i

Context: hfi : IntegrableOn f S μ

Context: hSm : MeasurableSet S

Context: hsub : ∀ {i : ι}, s i ⊆ S

Context: ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊

Context: hfi' : ν S < ⊤

Context: hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ↑ε

Context: this : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)

Context: i : ι

Context: hi : ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)


Context:
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
ι : Type u_1
f : ι → F
s : Finset ι
H : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x = f y → x = y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: f g : α → β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : ι → Measure α

Context: h : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable f (μ i)

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β

Context: t : ι → Set β

Context: t_sep : ∀ (i : ι), IsSeparable (t i)

Context: ht : ∀ (i : ι), f ⁻¹' t i ∈ ae (μ i)

∀ (b : ι), ∀ᵐ (x : α) ∂μ b, ∃ i, f x ∈ t i


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)
a : C
z : (F ⨿ G).obj a

(CategoryTheory.FunctorToTypes.binaryCoproductEquiv F G a) z =
  (CategoryTheory.FunctorToTypes.binaryCoproductIso F G).hom.app a z


Context:
α : Type u_1
a : α


Context:
α : Type u_1
Preorder α
a : α


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
W X X' : D
Y : C
f : W ⟶ X
g : X ⟶ G.obj Y
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ G.obj Y

f ≫ g ≫ α.inv.app Y = f' ≫ g' ≫ α.inv.app Y ↔ f ≫ g = f' ≫ g'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: f✝ g : α → F'

Context: s : Set α

Context: f : ↥(Lp F' 1 μ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: S : ℕ → Set α := spanningSets (μ.trim hm)

Context: hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)

Context: hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)

Context: hs_eq : s = ⋃ i, S i ∩ s

∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ


Context:
M : Type u_1
R : Type u_2
Monoid M
Semiring R
MulSemiringAction M R
m : M
S : Subsemiring R


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ
g : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s

∫ (x : α) in s, g x ∂μ.tilted f = ∫ (x : α) in s, (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) • g x ∂μ


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
x y : E
h : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1

x + t • (y - x) ∈ (fun θ => x + θ • (y - x)) '' Ioo 0 1


Context:
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α


Context:
R : Type u
Γ₀ : Type v
Ring R
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
r : R


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
ht : s ∈ 𝓝 x


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
n : ℕ∞
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)

DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedDerivWithin m f s) s x


Context:
K : Type u_1
RCLike K
z : K


Context: n : Nat

list (n + 1) = List.map castSucc (list n) ++ [last n]


Context:
q a✝ b✝ c✝ : ℚ
a b c : ℤ
h : ¬c = 0


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →A[R] B
f' : A → B
h : f' = ⇑f


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: e : S₁ ≅ S₂

Context: h₁ : S₁.LeftHomologyData

Context: h₂ : S₂.LeftHomologyData

(CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMapIso' e h₁ h₂).hom = CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap' e.hom h₁ h₂


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: x✝¹ : R

Context: h : x✝¹ ∈ closure s

Context: x : R

Context: x✝ : (fun x => ∃ L, (∀ t ∈ L, ∀ y ∈ t, y ∈ s ∨ y = -1) ∧ (List.map List.prod L).sum = x) x

Context: L : List (List R)

Context: hL : (∀ t ∈ L, ∀ y ∈ t, y ∈ s ∨ y = -1) ∧ (List.map List.prod L).sum = x

∀ (head : List R) (tail : List (List R)), (List.map List.prod (List.map (List.cons (-1)) tail)).sum = -(List.map List.prod tail).sum → (List.map List.prod (List.map (List.cons (-1)) (head :: tail))).sum = -(List.map List.prod (head :: tail)).sum


Context:
n : ℕ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ

(∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), -f x) = -∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x


Context: a b✝ : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: c : ContinuousOn f (Set.Icc a b✝)

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: f' : C(↑(Set.Icc a b✝), ℝ) := { toFun := fun x => f ↑x, continuous_toFun := ⋯ }

Context: p : ℝ[X]

Context: b : ‖p.toContinuousMapOn (Set.Icc a b✝) - f'‖ < ε

∃ p, ∀ x ∈ Set.Icc a b✝, |Polynomial.eval x p - f x| < ε


Context:
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite R M
f : End R M
h : ∀ (m : M), ∃ n, (f ^ n) m = 0


Context: J : Type w

Context: CategoryTheory.Category.{w', w} J

Context: A : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A

Context: B : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B

Context: T : Type u₃

Context: CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T

Context: L : CategoryTheory.Functor A T

Context: R : CategoryTheory.Functor B T

Context: F : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.Comma L R)

Context: CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (F.comp (CategoryTheory.Comma.fst L R)) L

Context: c₁ : CategoryTheory.Limits.Cocone (F.comp (CategoryTheory.Comma.fst L R))

Context: t₁ : CategoryTheory.Limits.IsColimit c₁

Context: c₂ : CategoryTheory.Limits.Cocone (F.comp (CategoryTheory.Comma.snd L R))

Context: j : J

((CategoryTheory.Comma.coconeOfPreserves F t₁ c₂).ι.app j).left = c₁.ι.app j


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
h : I = 0
z : K

‖{ toFun := __spread✝⁻⁰.toFun, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := __spread✝⁻⁰.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } z‖ = ‖z‖


Context:
a b m n p : ℕ
f : ℕ →₀ ℕ
hf : ∀ p ∈ f.support, Prime p
h : ∀ x ∈ f.support, x ^ f x ≠ 0

(f.prod fun x x_1 => x ^ x_1).factorization = f


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
IsIrrefl α r

{c | ∃ S, Set.Unbounded r S ∧ #↑S = c}.Nonempty


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
f : E →ₗ[ℝ] E
hf : LinearMap.det f ≠ 0
s : Set E

μ (⇑f ⁻¹' s) = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det f)⁻¹| * μ s


Tendsto (fun x => rexp (-π * x)) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: x y z : ℝ

Context: l : Filter α

Context: n : ℕ

Context: C : ℝ

Context: hC₁ : 1 ≤ C

Context: hC₀ : 0 < C

Context: this : 0 < (rexp 1 * C)⁻¹

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ k ≥ N, ↑k ^ n < rexp ↑k / (rexp 1 * C)

∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Set.Ioi ia, rexp x / x ^ n ∈ Set.Ici C


Context:
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : CommRing C
inst✝³ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι'
b : ι → B
P : Matrix ι ι A

discr A (P.map ⇑(algebraMap A B) *ᵥ b) = P.det ^ 2 * discr A b


Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: TopologicalSpace B

Context: TopologicalSpace F

Context: (x : B) → Zero (E x)

Context: e : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj

Context: z : Bundle.TotalSpace F E

Context: hz : z.proj ∈ e.baseSet


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : b < a
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
t : ℝ
ht : 0 < t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: p : ℝ

Context: hp : p ≠ 0

Context: S : Set ℝ := Ioi 0

Context: a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t => t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x

Context: a2 : InjOn (fun x => x ^ p) S

Context: a3 : (fun t => t ^ p) '' S = S

IntegrableOn (fun x => (|p| * x ^ (p - 1)) • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume ↔ IntegrableOn f (Ioi 0) volume


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: P : Type u₁

Context: inst✝² : CommRing P

Context: g✝ : (i : ι) → G i →+* P

Context: Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g✝ j) (f i j hij x) = (g✝ i) x

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: injective : ∀ (i : ι) (a : G i), (g✝ i) a = 0 → a = 0

Context: i✝ : ι

Context: g : G i✝

Context: hz : (g✝ i✝) g = 0


Context:
ι : Sort u_1
s : ι → ℝ≥0


Context: f : ℕ → ℂ

AnalyticOn ℂ (LSeries f) {s | LSeries.abscissaOfAbsConv f < ↑s.re}


Context: m n : Nat


Context: x : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β


Context:
R : Type u
L₁ : Type v
CommRing R
LieRing L₁
LieAlgebra R L₁
L L' : LieSubalgebra R L₁
h : ↑L = ↑L'
x : ↥L


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: Φ : CategoryTheory.Functor C C

Context: ε : CategoryTheory.Functor.id C ⟶ Φ

Context: J : Type u

Context: LinearOrder J

Context: IsWellOrder J fun x x_1 => x < x_1

Context: OrderBot J

Context: j : J

Context: iter₁ iter₂ : CategoryTheory.Functor.Iteration ε j

Context: f g : iter₁.Hom iter₂

Context: h : f.natTrans = g.natTrans


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: I₁ : Type u_2

Context: I₂ : Type u_3

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: K L : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂

Context: f : K.toGradedObject ⟶ L.toGradedObject

Context: comm₁ : ∀ (i₁ i₁' : I₁) (i₂ : I₂), c₁.Rel i₁ i₁' → f (i₁, i₂) ≫ (L.d i₁ i₁').f i₂ = (K.d i₁ i₁').f i₂ ≫ f (i₁', i₂)

Context: comm₂ : ∀ (i₁ : I₁) (i₂ i₂' : I₂), c₂.Rel i₂ i₂' → f (i₁, i₂) ≫ (L.X i₁).d i₂ i₂' = (K.X i₁).d i₂ i₂' ≫ f (i₁, i₂')

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

((HomologicalComplex₂.homMk f comm₁ comm₂).f i₁).f i₂ = f (i₁, i₂)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: M : Type u_5

Context: CommMonoid M

Context: s : Finset α

Context: f : α → β → M

Context: h : ∀ a ∈ s, (Function.mulSupport (f a)).Finite

∏ a ∈ s, ∏ᶠ (b : β), f a b = ∏ᶠ (b : β), ∏ a ∈ s, f a b


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : BorelSpace α

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopologyEither α E

Context: inst✝⁴ : CompactSpace α

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasure μ

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝² : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: this : Function.Surjective ⇑(linearIsometryBoundedOfCompact α E 𝕜)

↑(Lp.boundedContinuousFunction E p μ) = Set.range ⇑(BoundedContinuousFunction.toLp p μ 𝕜)


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
DecidableEq α
β : Type u_2
s : β → β → Prop
p q : α × β
w : ¬Prod.Lex r s p q

¬r p.fst q.fst ∧ (p.fst ≠ q.fst ∨ ¬s p.snd q.snd)


Context:
α : Type u
β : Type v
s : Set α
t : Set β
h : (s ×ˢ t).Finite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a✝ b✝ x y : α
h : IsChain r univ
a b : α


Context:
m : Type u_2
n : Type u_3
α : m → n → Type v
M N : DMatrix m n α

(∀ (i : m) (j : n), M i j = N i j) → M = N


Context:
α : Type u_1
s : Finset α
a : α


Context:
K : Type u
DivisionRing K
s : Subfield K
x : K
hx : x ∈ s
n : ℤ


Context: a b c x : ℕ

x ∈ image (⇑(addLeftEmbedding a)) (Ico 0 b) ↔ x ∈ Ico a (a + b)


Context:
N : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
Group N
Group G
Group H
φ : G →* MulAut N
F : N ⋊[φ] G →* H

F = SemidirectProduct.lift (F.comp SemidirectProduct.inl) (F.comp SemidirectProduct.inr) ⋯


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : OnePoint X → Y
x : X

ContinuousAt f ↑x ↔ ContinuousAt (f ∘ some) x


Context:
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z


Context:
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a b : ℝ≥0∞


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.247016, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n

Context: f g : ComposableArrows C 3

Context: app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯

Context: app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯

Context: app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯

Context: app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯

Context: w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁ = app₀ ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯

Context: w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂ = app₁ ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯

Context: w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃ = app₂ ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: U : Set ↑C.pt.toTop

Context: hC : IsLimit C

Context: hU : IsClopen U

Context: S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)

Context: hS : S ⊆ {U | ∃ j, ∃ V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) j, U = ⇑((toTopCat.mapCone C).π.app j) ⁻¹' V}

Context: h : U = ⋃₀ S

Context: j : ↑S → J := fun s => Exists.choose ⋯

Context: V : (s : ↑S) → Set ↑(F.obj (j s)).toTop := fun s => ⋯.choose

Context: hV : ∀ (s : ↑S), IsClopen (V s) ∧ ↑s = ⇑(C.π.app (j s)) ⁻¹' V s

Context: hUo : ∀ (i : ↑S), IsOpen ((fun s => (forget Profinite).map (C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i)

Context: hsU : U ⊆ ⋃ i, (fun s => (forget Profinite).map (C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i

∃ j V, IsClopen V ∧ U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : MeasureTheory.SimpleFunc β γ
g : α → β
hgm : Measurable g


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
e : M ≃ₛₗ[τ₁₂] M₂
p : Submodule R M

(Submodule.orderIsoMapComap e) p = Submodule.comap e.symm p


Set.SurjOn Real.log (Set.Iio 0) Set.univ


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: X Y : C

Context: b : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y

Context: j : CategoryTheory.Limits.WalkingPair

(CategoryTheory.Limits.BinaryBicone.toBiconeFunctor.obj b).ι j = CategoryTheory.Limits.WalkingPair.casesOn j b.inl b.inr


Context:
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace R F

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: ι : Type u_5

Context: Z : VectorBundleCore R B F ι

Context: b✝ : B

Context: a : F

Context: i j : ι

Context: b : B

Context: hb : b ∈ Z.baseSet i

Context: v : Z.Fiber b

(fun y => (↑(Z.localTriv i) { proj := b, snd := y }).2) v = (Z.coordChange (Z.indexAt b) i b) v


Context:
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
φ : M ↪ₑ[L] N
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → M


Context: R : Type u

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: O : Type w

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O R

Context: hv : v.Integers O

Context: x : R

Context: hx : IsIntegral O x

Context: p : O[X]

Context: hpm : p.Monic

Context: hpx : x ^ p.natDegree = -∑ i ∈ Finset.range p.natDegree, eval₂ (algebraMap O R) x (C (p.coeff i) * X ^ i)

Context: hvx : 1 < v x


Context:
x : ℝ*
h0 : x ≠ 0
hi : x⁻¹.Infinitesimal
hn : x < 0


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v : V
c : G.Walk v v
h : u ∈ c.support


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M✝ : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v✝ : ι → M✝

Context: inst✝⁸ : Ring R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁴ : Module R M✝

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M✝

Context: M : Type u_8

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: v : ι → M

Context: li : LinearIndependent R v

Context: c d : R

Context: i j : ι

Context: hc : c ≠ 0

Context: h : c • v i = d • v j

Context: l : ι →₀ R := Finsupp.single i c - Finsupp.single j d

Context: h_total : (Finsupp.total ι M R v) l = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ : α → β
f : Function.End α
h : LocallyLipschitz f


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
ι : Type w
Fintype ι
b : Basis ι R S
DecidableEq ι
i j : ι

(BilinForm.toMatrix b) (Algebra.traceForm R S) i j = (Algebra.trace R S) (b i * b j)


RingHom.OfLocalizationSpan fun {X Y} [CommRing X] [CommRing Y] f => Function.Surjective ⇑f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
p q : α → Prop
f : Filter α
hp : ∃ᶠ (x : α) in f, p x
hq : ∀ᶠ (x : α) in f, q x


Context:
R : Type u_6
S : Type u_7
K : Type u_8
L : Type u_9
CommRing R
CommRing S
Field K
CommRing L
Algebra R S
Algebra R K
Algebra R L
Algebra S L
Algebra K L
IsScalarTower R S L
IsScalarTower R K L
IsFractionRing S L
Algebra.IsIntegral R S


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝ : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S

(λ_ (R.X ⊗ P.X)).inv ≫ R.one ▷ (R.X ⊗ P.X) ≫ ((α_ R.X R.X P.X).inv ≫ (α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) = coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ≫ 𝟙 (coequalizer (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft))


Context:
G : Type w
TopologicalSpace G
Inv G
ContinuousInv G
x y : G
h : x ⤳ y


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 2

Context: φ φ' : f ⟶ g

Context: h₀ : CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 0 ⋯ = CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ' 0 ⋯

Context: h₁ : CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 1 ⋯ = CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ' 1 ⋯

Context: h₂ : CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 2 ⋯ = CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ' 2 ⋯


Context:
A : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : DivisibleBy A ℤ
m : ℤ
g : ↥(Submodule.span ℤ {m}) →ₗ[ℤ] A
h0 : m ≠ 0
gₘ : A := g ⟨m, ⋯⟩

∃ g', ∀ (x : ℤ) (mem : x ∈ Submodule.span ℤ {m}), g' x = g ⟨x, mem⟩


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
f : R[X]
hf : f.Monic
g : K[X]
hg : g ∣ map (algebraMap R K) f
g_ne_0 : g ≠ 0

∃ g', map (algebraMap R K) g' = g * C g.leadingCoeff⁻¹


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α

∀ ⦃x : α⦄, (∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = x) → ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, a ⊔ b = x


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
hP : (↑P).relindex (↑P).normalizer ≠ 0

¬p ∣ (↑P).relindex (↑P).normalizer * Nat.card (Sylow p G)


Context:
α : Type u_1
f : α → ℂ
c : ℂ

HasSum f c ↔ HasSum (fun x => (f x).re) c.re ∧ HasSum (fun x => (f x).im) c.im


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: Group G

Context: MulAction G α

Context: s t : Set α

Context: g : G

Context: t_ss_s : t ⊆ s

Context: s_in_fixedBy : s ∈ MulAction.fixedBy (Set α) g


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: hm : span R (Set.range m) = ⊤

Context: hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0

Context: G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m

Context: hG : G = Finsupp.total ι M R m

Context: G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i

Context: G_surjective : Surjective ⇑G

Context: en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i

Context: hen : en = ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i

Context: en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h₁ : S₁.LeftHomologyData

Context: h₂ : S₂.LeftHomologyData

CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₁.homologyIso.inv (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap' φ h₁ h₂) h₂.homologyIso.inv


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
x : M ⊗[R] N

(⇑(lTensor M g) ∘ ⇑(lTensor M f)) x = (lTensor M g) ((lTensor M f) x)


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: F G : CochainComplex C ℤ

Context: φ : F ⟶ G

Context: HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ

Context: K : CochainComplex C ℤ

Context: n m : ℤ

Context: α : CochainComplex.HomComplex.Cocycle K F m

Context: β : CochainComplex.HomComplex.Cochain K G n

Context: h : n + 1 = m

Context: eq : CochainComplex.HomComplex.δ n m β + (↑α).comp (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom φ) ⋯ = 0

↑(CochainComplex.mappingCone.liftCocycle φ α β h eq) = CochainComplex.mappingCone.liftCochain φ (↑α) β h


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ : α
l : List α
x : α
h : l.formPerm x ≠ x


Context: X : Type u_3

Context: Y : ?m.22013

Context: A✝ : Type ?u.22022

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace A✝

Context: E : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : TopologicalSpace A

Context: p : E → X

Context: sep : IsSeparatedMap p

Context: inj : IsLocallyInjective p

Context: s : Set A

Context: hs : PreconnectedSpace ↑s

Context: g g₁ g₂ : A → E

Context: h₁ : Continuous (s.restrict g₁)

Context: h₂ : Continuous (s.restrict g₂)

Context: he : s.restrict (p ∘ g₁) = s.restrict (p ∘ g₂)

Context: a : A

Context: has : a ∈ s

Context: ha : g₁ a = g₂ a


Context: R : Type u

Context: Ring R

Context: J : Type v

Context: CategoryTheory.SmallCategory J

Context: CategoryTheory.IsFiltered J

Context: F : J ⥤ ModuleCatMax R

Context: x y : (j : J) × ↑(F.obj j)

Context: h : ∃ k f g, (F.map f) x.snd = (F.map g) y.snd

ModuleCat.FilteredColimits.M.mk F x = ModuleCat.FilteredColimits.M.mk F y


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
g : F → E
a : F
hg : ContinuousAt g a
hf : HasFDerivAt f (↑f') (g a)
hfg : ∀ᶠ (y : F) in 𝓝 a, f (g y) = y


Context:
K : Type u_1
DivisionSemiring K
q : ℚ≥0
z : ℤ
hq : ↑q.num ≠ 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
a : R
x y : M