Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E✝ : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝

Context: f✝ g : α → E✝

Context: s✝ t : Set α

Context: μ ν : Measure α

Context: E : Type u_5

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: s : Set α

Context: f : ↥(Lp E p μ)

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: hμ_restrict_univ : (μ.restrict s) univ < ⊤

Context: hμ_finite : IsFiniteMeasure (μ.restrict s)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * m + b * (m + 1) = s.card
m_pos : m > 0

∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: f_intble : Integrable f μ

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}

Context: lhs_finite : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ < ⊤

Context: rhs_finite : ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} < ⊤

Context: rhs_integrand_finite : ∀ t > 0, μ {a | t < f a} < ⊤

∫ (ω : α), f ω ∂μ = (∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ).toReal


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : ChainComplex C ℕ
Δ Δ' : SimplexCategory
i : Δ' ⟶ Δ
CategoryTheory.Mono i
hi : AlgebraicTopology.DoldKan.Isδ₀ i

AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.Obj.Termwise.mapMono K i = K.d Δ.len Δ'.len


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
p : ℝ
hp : 1 < p


Context:
R : Type u_2
S : Type u_1
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
x : S
hx : IsIntegral R x
i : ℕ
hi : i ≤ (minpolyDiv R x).natDegree

(minpolyDiv R x).coeff ((minpolyDiv R x).natDegree - i) - x ^ i ∈ Submodule.span R ((fun x_1 => x ^ x_1) '' Set.Iio i)


Context:
J : Type u
CategoryTheory.Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
j : J
x : F.obj j

x ∈ F.eventualRange j ↔ ∀ ⦃i : J⦄ (f : i ⟶ j), x ∈ Set.range (F.map f)


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

Context: F G : C ⥤ D

Context: app' : (X : C) → F.obj X ≅ G.obj X

Context: naturality : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), F.map f ≫ (app' Y).hom = (app' X).hom ≫ G.map f

Context: X : C

(CategoryTheory.NatIso.ofComponents app' naturality).app X = app' X


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)

(((whiskeringLeft (SimplicialObject C) (Karoubi (SimplicialObject C)) (Karoubi (SimplicialObject C))).obj (toKaroubi (SimplicialObject C))).preimage (Γ₂N₂ToKaroubiIso.hom ≫ Γ₂N₁.natTrans)).app P = (N₂ ⋙ Γ₂).map P.decompId_i ≫ (Γ₂N₂ToKaroubiIso.hom ≫ Γ₂N₁.natTrans).app P.X ≫ P.decompId_p


Context:
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
TopologicalSpace β
hf : IsLocalMinOn f s a
(𝓝[<] f a).NeBot


Context: α : Type u_1

Context: TopologicalSpace α

Context: ι : Sort u_3

Context: δ' : Type u_5

Context: ConditionallyCompleteLinearOrder δ'

Context: f : ι → α → δ'

Context: bdd : ∀ (x : α), BddBelow (Set.range fun i => f i x)

Context: h : ∀ (i : ι), UpperSemicontinuous (f i)

UpperSemicontinuous fun x' => ⨅ i, f i x'


Context: n m : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : SFinite ν

Context: inst✝ : SFinite ν'

Context: h1 : μ ≪ μ'

Context: h2 : ν ≪ ν'

Context: s : Set (α × β)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h2s : (fun x => ν' (Prod.mk x ⁻¹' s)) =ᶠ[ae μ'] 0

(fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) =ᶠ[ae μ] 0


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I J : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
CompleteSpace F
h : BoxIntegral.Integrable I l f vol
hJ : J ≤ I


Context:
p k n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : k ≤ n + k

(p - 1) * padicValNat p (n + k)! - ((p - 1) * padicValNat p k ! + (p - 1) * padicValNat p (n + k - k)!) = (p.digits k).sum + (p.digits n).sum - (p.digits (n + k)).sum


Context: R : Type u_1

Context: r : R

Context: inst✝ : CommRing R

Context: P : R[X]

Context: hunit : IsUnit (P.coeff 0)

Context: hnil : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction

EuclideanGeometry.Cospherical ps ↔ ∃ center ∈ s, ∃ radius, ∀ p ∈ ps, dist p center = radius


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring k
inst✝⁵ : Monoid G
inst✝⁴ : Monoid H
A : Type u₃
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra k A
B : Type u_3
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra k B
F : G →* A
a : G
b : k


Context:
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R


Context:
α : Type u_1
OrderedSemiring α
x y : ↑(Set.Icc 0 1)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
h2 : n ≤ p.natDegree
h3 : ¬p.natTrailingDegree ≤ n

p.mirror.coeff n = p.coeff (p.natDegree + p.natTrailingDegree - n)


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
f : Y ⟶ X
self : CategoryTheory.EffectiveEpi f


Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: M : Type u_1

Context: CommSemiring R

Context: Semiring A

Context: a : A

Context: Algebra R A

Context: AddCommMonoid M

Context: Module A M

Context: Module R M

Context: IsScalarTower R A M

Context: p : Submodule R M

Context: hp : p ≤ Submodule.comap ((Algebra.lsmul R R M) a) p

(Module.AEval.comapSubmodule R M a) (Module.AEval.mapSubmodule a hp) = p


Context: α : Type u

Context: γ : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : T2Space γ

Context: inst✝ : CompactSpace γ

Context: f : α → γ

Context: b : Ultrafilter α

Context: c : γ

Context: h : Ultrafilter.extend f b = c

Context: b' : Ultrafilter (Ultrafilter α) := Ultrafilter.map pure b


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_3
NonUnitalSeminormedRing 𝕜'
NormedSpace 𝕜 𝕜'
IsScalarTower 𝕜 𝕜' 𝕜'
SMulCommClass 𝕜 𝕜' 𝕜'
x : 𝕜'

‖(ContinuousLinearMap.mul 𝕜 𝕜') x‖ ≤ ‖x‖


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
disj : Disjoint s t
hs : s.Nonempty
_ht : t.Nonempty
U V : Set E
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
hU₁ : Convex ℝ U
hV₁ : Convex ℝ V
sU : s ⊆ U
tV : t ⊆ V
disj' : Disjoint U V

∃ f u v, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ u < v ∧ ∀ b ∈ t, v < f b


Context:
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder α
t : OrderClosedTopology α
TopologicalSpace β
f g : β → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
j : ι


Context:
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
ι : Sort u_1
S : ι → Subalgebra R A

Subalgebra.toSubmodule (⨅ i, S i) = ⨅ i, Subalgebra.toSubmodule (S i)


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝ : Inhabited Γ

Context: l₁ l₂ : List Γ

Context: i j : ℕ

Context: e : l₁ ++ List.replicate i default = l₂ ++ List.replicate j default

Context: h : l₁.length ≤ l₂.length


Context:
α : Type u_2
R : Type u_7
CommRing R
f : α → ℤ
s : Finset α


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: r : ℝ

Context: hnr : ↑(finrank ℝ E) < r

Context: hr : 0 < r

Context: h_meas : Measurable fun ω => (1 + ‖ω‖) ^ (-r)

Context: h_pos : ∀ (x : E), 0 ≤ (1 + ‖x‖) ^ (-r)

Context: h_int : ∀ (t : ℝ), 0 < t → μ {a | t ≤ (1 + ‖a‖) ^ (-r)} = μ (Metric.closedBall 0 (t ^ (-r⁻¹) - 1))

∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ (1 + ‖a‖) ^ (-r)} < ⊤


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y z : 𝕜
hxy : x ≠ y

openSegment 𝕜 x y = Ioo (min x y) (max x y)


Context: x : PartENat


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
Fintype K
Fintype V
k : ℕ
hk : k ≤ FiniteDimensional.finrank K V

Nat.card { s // LinearIndependent K s } =
  ∏ i : Fin k, (Fintype.card K ^ FiniteDimensional.finrank K V - Fintype.card K ^ ↑i)


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
inst✝ : Nonempty ι
f : α → β
m : ι → OuterMeasure β
s : Set β

(⨅ i, (map f) ((comap f) (m i))) s ≤ ((map f) (⨅ i, (comap f) (m i))) s


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
CommMonoid M
f : α → M
s : Finset (Option α)

∏ x ∈ Finset.eraseNone s, f x = ∏ x ∈ s, Option.elim' 1 f x


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
r✝ : R✝
f✝ : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
f : R[X]
r s : R

(taylor r) ((taylor s) f) = (taylor (r + s)) f


Context:
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
FiniteDimensional F E
h : IntermediateField.fixedField ⊤ = ⊥


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
e : ι → M
ε : ι → Module.Dual R M
DecidableEq ι
h : Module.DualBases e ε
m : M
i : ι


Context:
X : Type u
TopologicalSpace X
x : X


Context:
K : Type u_1
Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3


Context:
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
i : Set α

Pairwise (Disjoint on MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β

Context: inst✝ : ExistsAddOfLE β

Context: 𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)

Context: a : α

Context: f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β

Context: s✝ t✝ u : Finset α

Context: hu : a ∉ u

Context: h₁ : 0 ≤ f₁

Context: h₂ : 0 ≤ f₂

Context: h₃ : 0 ≤ f₃

Context: h₄ : 0 ≤ f₄

Context: h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: hsu : s ⊆ u

Context: t : Finset α

Context: htu : t ⊆ u

Context: this✝¹ : s ⊆ insert a u

Context: this✝ : t ⊆ insert a u

Context: this : insert a s ⊆ insert a u

collapse 𝒜 a f₁ s * collapse ℬ a f₂ t ≤ collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)


Context:
α : Type u_2
DistribLattice α
a : α


Context:
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
leq : lift.{v, u} #α = lift.{u, v} #β'


Context:
t : ℝ
ht : -1 ≤ t ∧ t ≤ 1
x : ℝ


Context:
α : Type u_1
Preorder α
a b : α


Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf' : Differentiable ℝ f

Context: hf'' : Differentiable ℝ (deriv f)

Context: hf''_nonneg : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ deriv^[2] f x


Context:
α : Type v
M : Type u
Monoid M
MulAction M α
exp_pos : 0 < Monoid.exponent M
m : M
a : α

MulAction.period m a ≤ Monoid.exponent M


Context:
M : Type u_1
Semigroup M
V : Ultrafilter M


Context: θ : Angle


Context:
α : Type u_1
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
h : G ≤ H


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ t✝ : Multiset α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s t : Multiset α
d : s.Nodup
h : a ∈ s - t
h' : a ∈ t


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B
C : Type u_4
Semiring C
Algebra R C
TopologicalSpace C
D : Type u_5
Semiring D
Algebra R D
TopologicalSpace D
h : C →A[R] D
g : B →A[R] C
f : A →A[R] B


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: h : ∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω), 0 < ε → ε < ⊤ → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening (δ + ε).toReal B) + δ + ε ∧ ν B ≤ μ (thickening (δ + ε).toReal B) + δ + ε

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: a✝ : δ < ⊤

Context: ε_top : ¬↑ε = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: m : Set α → ℝ≥0∞

Context: m_empty : m ∅ = 0

Context: s t : Set α

Context: h : ∀ (u : Set α), (s ∩ u).Nonempty → (t ∩ u).Nonempty → m u = ⊤

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf : s ∪ t ⊆ ⋃ i, f i

Context: μ : OuterMeasure α := OuterMeasure.ofFunction m m_empty

Context: i : ℕ

Context: hs : (s ∩ f i).Nonempty

Context: ht : (t ∩ f i).Nonempty


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
n : ℕ
h : 2 ≤ n

dickson k a n = X * dickson k a (n - 1) - C a * dickson k a (n - 2)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : Ω[S⁄R]

x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(D R S))


Context:
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
α : Type u_2
SMul α ℂ
IsScalarTower α ℂ ℂ
f : SlashInvariantForm Γ k
n : α


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

(α_ P.X Q.X (T.X ⊗ T.X)).hom ≫ (P.X ◁ (α_ Q.X T.X T.X).inv ≫ P.X ◁ Q.actRight ▷ T.X ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ (T.X ⊗ T.X) ≫ (α_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X T.X).inv ≫ actRight P Q ▷ T.X ≫ actRight P Q


Context:
R : Type u_1
m : Type u_2
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
A₁ : Matrix m n₁ R
A₂ : Matrix m n₂ R
B₁ : Matrix m n₁ R
B₂ : Matrix m n₂ R

A₁.fromColumns A₂ = B₁.fromColumns B₂ ↔ A₁ = B₁ ∧ A₂ = B₂


Context:
X : Type u_2
EMetricSpace X
m : Set X → ℝ≥0∞


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2


Context:
M : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace M
AddMonoid M
TopologicalSpace X
f : X → AddUnits M

Continuous f ↔ Continuous (AddUnits.val ∘ f) ∧ Continuous fun x => ↑(-f x)


Context: m : Type u → Type u

Context: inst✝¹ : _root_.Monad m

Context: inst✝ : LawfulMonad m

Context: X✝ Y✝ Z✝ : Kleisli (ofTypeMonad m)

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: g : Y✝ ⟶ Z✝

Context: this✝ : _root_.Monad (ofTypeMonad m).obj := let_fun this := inferInstance; this

Context: this : LawfulMonad (ofTypeMonad m).obj := let_fun this := inferInstance; this

{ obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map (f ≫ g) = { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map f ≫ { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map g


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : 0 < r

Filter.Tendsto (fun x => f x / r) l Filter.atTop ↔ Filter.Tendsto f l Filter.atTop


Context: k : ℕ


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
hf : f.LimZero
hg : g.LimZero


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C

Map.Arrows φ hφ S (φ.obj c) (φ.obj c) (𝟙 (φ.obj c))


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : Set ↑Γ(X, ⊤)

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)

Context: U V : ↑X.affineOpens

Context: s' : Finset ↑Γ(X, ⊤)

Context: hs' : ↑s' ⊆ s

Context: e : Ideal.span ↑s' = ⊤

Context: i : ↑↑s'


Context:
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_3
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
I : Ideal R

↑I ≠ 1 ↔ I ≠ 1


Context:
α : Type u_9
β : Type u_10
s : Set (α → β → Prop)
a : α
b : β


Context:
X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0
c : NNReal
h : ‖g‖ ≤ ↑c

‖SemiNormedGrp.explicitCokernelDesc w‖ ≤ ↑c


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
PartialOrder G
PartialOrder P
SMul G P
IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
u : Set G
hu : u.IsPWO
a : P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
h : u ⊆ s

Finset.SMulAntidiagonal hu ht a ⊆ Finset.SMulAntidiagonal hs ht a


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: X Y Z : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C

Context: α : X ⟶ Y

Context: β : Y ⟶ Z

Context: U : (TopologicalSpace.Opens ↑↑Z)ᵒᵖ

(α ≫ β).c.app U = β.c.app U ≫ α.c.app (Opposite.op ((TopologicalSpace.Opens.map β.base).obj (Opposite.unop U)))


Context:
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
ι : Sort u_3
S : ι → IntermediateField F E

(iInf S).toSubfield = ⨅ i, (S i).toSubfield


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedField α
DivisionRing β
a : α
b : β

b ∈ LinearOrderedField.cutMap β a ↔ ∃ q, ↑q < a ∧ ↑q = b


Context:
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
a : A
r : R

{r} - spectrum R a = spectrum R ((algebraMap R A) r - a)


Context:
R : Type u
AddCommGroup R


Context:
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F G H : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
η θ : F ⟶ G
Γ : η ⟶ θ
ι : G ⟶ H
a : B

(CategoryTheory.OplaxNatTrans.whiskerRight Γ ι).app a = CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (Γ.app a) (ι.app a)


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
b : β
s : Computation α
h : b ∈ Computation.map f s


Context:
α : Type u_1
η : Type u_14
Fintype η
ιs : η → Type u_15
Zero α
f : (j : η) × ιs j →₀ α
j : η
i : ιs j

(Finsupp.sigmaFinsuppEquivPiFinsupp f j) i = f ⟨j, i⟩


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y : C
f g : X ⟶ Y
W : C
ι : W ⟶ X
q : IsSplitEqualizer f g ι
F : C ⥤ D

F.map f ≫ F.map q.rightRetraction = F.map q.leftRetraction ≫ F.map ι


Context: x y : ℝ

sinh (3 * x) = 4 * sinh x ^ 3 + 3 * sinh x


Context:
α : Type u_3
TopologicalSpace α
PolishSpace α


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
AddCommGroup N
Module R N
LieRingModule L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c c' : E

MeasureTheory.indicatorConstLp p hs hμs c - MeasureTheory.indicatorConstLp p hs hμs c' =
  MeasureTheory.indicatorConstLp p hs hμs (c - c')


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
h : R ≃+* P
x : P

x ∈ nonZeroDivisors P ↔ x ∈ Submonoid.map h.toMonoidHom (nonZeroDivisors R)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
a : α


Context: f : ℝ → ℝ

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hb₀ : 0 < b

Context: h_tendsto : Tendsto (fun x => 1 / 2 * log x) atTop atTop

∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, log u ∈ Set.Icc (1 / 2 * log x) (1 * log x)


Context:
G : Type u_1
Group G


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: MeasurableSpace E

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → E

Context: ℙ : MeasureTheory.Measure Ω

Context: μ : MeasureTheory.Measure E := by volume_tac

Context: hX : MeasureTheory.HasPDF X ℙ μ

MeasureTheory.Measure.map X ℙ = MeasureTheory.Measure.withDensity μ (MeasureTheory.pdf X ℙ μ)


Context: X : RingedSpace

Context: U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: f : ↑(X.presheaf.obj (op U))

Context: h : ∀ (x : ↥U), IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)

Context: V : ↥U → Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U

Context: m : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x

Context: h_unit : ∀ (x : ↥U), IsUnit ((X.presheaf.map (iVU x).op) f)

Context: hcover : U ≤ iSup V

Context: g : (x : ↥U) → ↑(X.presheaf.obj (op (V x)))

Context: hg : ∀ (x : ↥U), (X.presheaf.map (iVU x).op) f * g x = 1

Context: ic : IsCompatible (sheaf X).val V g

Context: gl : (CategoryTheory.forget CommRingCat).obj ((sheaf X).val.obj (op U))

Context: gl_spec : ∀ (i : ↥U), ((sheaf X).val.map (iVU i).op) gl = g i

Context: i : ↥U

((sheaf X).val.map (iVU i).op) f * g i = 1


Context:
R : Type u_1
CommRing R
a b : ℤ
h : IsCoprime a b


Context: B : Type u

Context: CategoryTheory.Bicategory B

Context: a b c : B

Context: f : a ⟶ b

Context: g : a ⟶ c

Context: t : CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension f g

Context: H : t.IsKan

Context: s : CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension f g

CategoryTheory.CategoryStruct.comp t.unit (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (H.desc s)) = s.unit


Context:
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
x y : F

⟪x + y, x + y⟫_ℝ = ⟪x, x⟫_ℝ + 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ⟪y, y⟫_ℝ


Context: h : LSeriesSummable (fun n => ↑(μ n)) 1

Summable (-fun i => ↑({p | Nat.Prime p}.indicator (fun n => 1 / ↑n) i))


Context:
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
N' : Type u_8
AddCommGroup N'
Module R N'
f : N →ₗ[R] N'
Q : QuadraticMap R M N

(f.compQuadraticMap' Q).polarBilin = LinearMap.compr₂ Q.polarBilin f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
h : c ≤ b


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
NonUnitalRing A
Module R A
Star A
S : NonUnitalStarSubalgebra R A

NonUnitalSubringClass.subtype S = ↑(NonUnitalStarSubalgebraClass.subtype S)


Context: q : ℚ

Context: f : ℚ → ℚ → ℚ

Context: f₁ f₂ : ℤ → ℤ → ℤ → ℤ → ℤ

Context: fv : ∀ {n₁ : ℤ} {d₁ : ℕ} {h₁ : d₁ ≠ 0} {c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁} {n₂ : ℤ} {d₂ : ℕ} {h₂ : d₂ ≠ 0} {c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂}, f { num := n₁, den := d₁, den_nz := h₁, reduced := c₁ } { num := n₂, den := d₂, den_nz := h₂, reduced := c₂ } = f₁ n₁ (↑d₁) n₂ ↑d₂ /. f₂ n₁ (↑d₁) n₂ ↑d₂

Context: f0 : ∀ {n₁ d₁ n₂ d₂ : ℤ}, d₁ ≠ 0 → d₂ ≠ 0 → f₂ n₁ d₁ n₂ d₂ ≠ 0

Context: a b c d : ℤ

Context: b0 : b ≠ 0

Context: d0 : d ≠ 0

Context: H : ∀ {n₁ d₁ n₂ d₂ : ℤ}, a * d₁ = n₁ * b → c * d₂ = n₂ * d → f₁ n₁ d₁ n₂ d₂ * f₂ a b c d = f₁ a b c d * f₂ n₁ d₁ n₂ d₂

Context: n₁ : ℤ

Context: d₁ : ℕ

Context: h₁ : d₁ ≠ 0

Context: c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁

Context: ha : a /. b = n₁ /. ↑d₁

f { num := n₁, den := d₁, den_nz := h₁, reduced := c₁ } (c /. d) = f₁ a b c d /. f₂ a b c d


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J✝ : Type v
inst✝ : HasFiniteLimits C
J : Type
x✝ : Finite J
val✝ : Fintype J

HasLimitsOfShape (WidePullbackShape J) C


Context: K : Type u

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : Algebra K L

Context: inst✝² : IsGalois K L

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝ : IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)

Context: hK : (primitiveRoots (finrank K L) K).Nonempty

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ (finrank K L)

Context: σ : L ≃ₐ[K] L

Context: hσ : ∀ (x : L ≃ₐ[K] L), x ∈ Subgroup.zpowers σ

Context: hσ' : orderOf σ = Fintype.card (L ≃ₐ[K] L)

Context: this : (minpoly K σ.toLinearMap).IsRoot ζ

Context: v : L

Context: hv : Module.End.HasEigenvector σ.toLinearMap ζ v

Context: hv' : ∀ (n : ℕ), (σ.toLinearMap ^ n) v = ζ ^ n • v

∃ α, α ^ finrank K L ∈ Set.range ⇑(algebraMap K L) ∧ K⟮α⟯ = ⊤


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁷ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
F : Type u_4
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : OrderedSMul ℝ F
f : ι → Ω → F
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
hf : Supermartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j


Context:
R : Type u_1
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
DecidableEq n
Fintype n
DecidableEq m
Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
AddCommMonoid M₁'
Module R M₁'
AddCommMonoid M₂'
Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
Fintype n'
Fintype m'
DecidableEq n'
DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂

(LinearMap.toMatrix₂ b₁' b₂') (B.compl₁₂ l r) =
  ((LinearMap.toMatrix b₁' b₁) l)ᵀ * (LinearMap.toMatrix₂ b₁ b₂) B * (LinearMap.toMatrix b₂' b₂) r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
L : CompleteSublattice α

(CompleteSublattice.map f L).carrier = ⇑f '' ↑L


Context:
M : Type u_3
f : ℕ → M
m n : ℕ
AddCommGroup M
hmn : m < n

∑ i ∈ Finset.Ico m n, f i - f m = ∑ i ∈ Finset.Ico (m + 1) n, f i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
g : β → γ
s : Set β
t : Set γ
hg : Set.MapsTo g s t
f : α → β


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l : List α
d : (List.map f l).Nodup
x : α

x ∈ l → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ l → f x = f y → x = y


Context:
α : Type u
β : Type v
e : α ≃ β
R : Type u_1
SMul R β
r : R
x : α


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
e : E →L[𝕜] F
x : E
L : Filter E


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s₁ s₂ : Stream' α

s₁.tail ⋈ s₂.tail = (s₁.head :: s₂.head :: (s₁.tail ⋈ s₂.tail)).tail.tail


Context:
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
Zero M
p : α → Prop
AddCommMonoid N
v : α →₀ M
h : α → M → N
hp : ∀ x ∈ v.support, p x

((Finsupp.subtypeDomain p v).sum fun a b => h (↑a) b) = v.sum h


Context:
n : Type u_3
α : Type v
ι : Type u_6
Mul α
AddCommMonoid α
Unique ι
a b : n → α

(Matrix.col ι a * Matrix.row ι b).diag = a * b


Context:
α : Type u_1
s : Multiset α
hs : s ≠ 0
t : Set α

(PMF.ofMultiset s hs).toOuterMeasure t =
  (∑' (x : α), ↑(Multiset.count x (Multiset.filter (fun x => x ∈ t) s))) / ↑(Multiset.card s)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M

(∀ (a : Set (Submodule R M)), a.Nonempty → ∃ M' ∈ a, ∀ I ∈ a, ¬I < M') ↔ IsArtinian R M


Context: x : PGame

x.birthday = 0 ↔ IsEmpty x.LeftMoves ∧ IsEmpty x.RightMoves


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Mul M
s : Set M
inst✝ : Add A
t : Set A
S✝ : Subsemigroup M
ι : Sort u_4
S : ι → Subsemigroup M
x : M


Context:
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
H K : Subgroup N
hf : Function.Surjective ⇑f

Subgroup.comap f H ⊔ Subgroup.comap f K = Subgroup.comap f (H ⊔ K)


Context:
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
f : M ↪ₑ[L] N
φ : L.Sentence

M ⊨ φ ↔ N ⊨ φ


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : o.IsLimit

Context: hsC : contained C o

Context: l : Products I

Context: h : isGood (π C fun x => ord I x < o) l

((↑l).toFinset.sup fun a => Order.succ (ord I a)) < o ∧ isGood (π C fun x => ord I x < (↑l).toFinset.sup fun a => Order.succ (ord I a)) l


Context:
α : Type u
s : Set α
h : s.Countable
default : α

Set.range (Set.enumerateCountable h default) ⊆ insert default s


Context:
a b n : ℕ
hn : 0 < n.succ


Context: K : Type u_1

Context: Field K

Context: w : NumberField.InfinitePlace K

Context: x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

(NumberField.mixedEmbedding.normAtPlace w) (-x) = (NumberField.mixedEmbedding.normAtPlace w) x


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f f' : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hf' : IsLimit f'
hc : IsColimit c
j : α

((opProductIsoCoproduct' hf' hc).inv.unop ≫ (opProductIsoCoproduct' hf hc).hom.unop ≫ f.proj j).op = (f'.π.app { as := j }).op


Context:
α : Type u_1
i : Nat
as bs : Array α
h : i < (as ++ bs).size
hle : as.size ≤ i
hlt : i - as.size < bs.size := ⋯


Context: V : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: Quiver V

Context: Quiver W

Context: obj : V → W

Context: map : {X Y : V} → (X ⟶ Y) → (obj X ⟶ obj Y)

Context: X : V

{ obj := obj, map := map }.obj X = obj X


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
ι : Type u_1
v : ι → K
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q


Context:
M : Type u_1
Monoid M
MeasurableSpace M
MeasurableMul₂ M
μ ν ρ : MeasureTheory.Measure M
MeasureTheory.SFinite μ
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite ρ


Context:
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
k : ℕ
h : ¬Even (k + 1 + 1)
hx : x + 1 < 0


Context: k : Type u_1

Context: inst✝³ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field F

Context: inst✝ : NumberField K

Context: w : InfinitePlace K

Context: a : 𝓞 K

Context: ha : a ≠ 0

Context: h : ∀ ⦃z : InfinitePlace K⦄, z ≠ w → z ↑a < 1


Context: k n : Nat


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : CategoryTheory.Center C


Context:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith K C


Context:
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
s : Set α

(PMF.uniformOfFintype α).toOuterMeasure s = ↑(Fintype.card ↑s) / ↑(Fintype.card α)


Context:
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
AddCommGroup N
Module R N
f : M →ₗ[R] N
n : ℕ
x : AdicCompletion I M

↑((AdicCompletion.map I f) x) n = (LinearMap.reduceModIdeal (I ^ n) f) (↑x n)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: D' : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.28361, u_3} D'

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝ : L.IsLocalization W

Context: Y : C

Context: P : CostructuredArrow L (L.obj Y) → Prop

Context: hP₀ : P (CostructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj Y)))

Context: hP₁ : ∀ ⦃X₁ X₂ : C⦄ (f : X₁ ⟶ X₂) (φ : L.obj X₂ ⟶ L.obj Y), P (CostructuredArrow.mk φ) → P (CostructuredArrow.mk (L.map f ≫ φ))

Context: hP₂ : ∀ ⦃X₁ X₂ : C⦄ (w : X₁ ⟶ X₂) (hw : W w) (φ : L.obj X₁ ⟶ L.obj Y), P (CostructuredArrow.mk φ) → P (CostructuredArrow.mk ((isoOfHom L W w hw).inv ≫ φ))

Context: g : CostructuredArrow L (L.obj Y)

Context: g' : StructuredArrow (op ((Functor.fromPUnit (L.obj Y)).obj g.right)) L.op := StructuredArrow.mk g.hom.op


Context: α : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : Set α → Prop

Context: U✝ : Set α

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: H : μ.InnerRegularWRT p q

Context: c : ℝ≥0∞

Context: U : Set α

Context: hU : q U

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r < c * ⨆ K, ⨆ (_ : K ⊆ U), ⨆ (_ : p K), μ K


Context:
α : Type u
inst✝³ : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space β
f : α → β
hf : UniformContinuous f
a : α


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ 0

Context: h_ne_zero : Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) ≠ 0

Context: hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)

Context: h_dvd : v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors ∣ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors

Context: h_not_dvd : ¬v.asIdeal ^ ((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors + 1) ∣ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors

(Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s t : Set X
x : X
hx : x ∈ s
h : {x}ᶜ ∈ 𝓝ˢ t → {x}ᶜ ∈ 𝓝ˢ s


Context: α : Type u_1

Context: One α

Context: AddZeroClass α

Context: PartialOrder α

Context: ZeroLEOneClass α

Context: NeZero 1

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

(∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49


Context: V : Type u_1

Context: NormedAddCommGroup V

Context: InnerProductSpace ℝ V

Context: Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y : V

Context: h : (o.oangle x y).sign ≠ 0


Context: p : Prop → Prop


Context: cs cs' : List Char

{ data := cs ++ cs' }.prev { byteIdx := String.utf8Len cs } = { byteIdx := String.utf8Len cs.dropLast }


Context: ι : Type u_1

Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: c : ComplexShape ι

Context: K L M : HomologicalComplex C c

Context: φ : K ⟶ L

Context: φ' : L ⟶ M

Context: ∀ (i : ι), K.HasHomology i

Context: ∀ (i : ι), L.HasHomology i

Context: ∀ (i : ι), M.HasHomology i

Context: hφ' : QuasiIso φ'


Context:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ
hr : r ≤ 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: I J : Ideal R

Context: f : R →+* S

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: p : Ideal R

Context: H : p ∈ minimalPrimes R

Context: this✝ : p.IsPrime

Context: this : Nontrivial (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))

Context: M : Ideal (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))

Context: hM : M.IsMaximal

comap (algebraMap R (Localization p.primeCompl)) (comap (IsLocalization.map (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl)) f ⋯) M) = p


Context:
x y : SetTheory.PGame
i : x.RightMoves
j : y.RightMoves

(x * y).moveLeft (SetTheory.PGame.toLeftMovesMul (Sum.inr (i, j))) =
  x.moveRight i * y + x * y.moveRight j - x.moveRight i * y.moveRight j


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p : ℕ
x : R
hp : ¬1 < p


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
μ : MeasureTheory.Measure Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
CompleteSpace E
f : Ω → E
Filter.atTop.IsCountablyGenerated
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime ℱ τ
i : ι
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim ⋯)

μ[f|⋯.measurableSpace] =ᵐ[μ.restrict {x | τ x ≤ i}] μ[f|hτ.measurableSpace]


Context: X : Type u

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁵ : NormalSpace X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: 𝕜 : Type v

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : TietzeExtension 𝕜

Context: E : Type w

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: f : ↑s →ᵇ E

Context: hf : ¬‖f‖ = 0

Context: this : TietzeExtension ↑(Metric.closedBall 0 ‖f‖)

Context: hf' : ∀ (x : ↑s), f x ∈ Metric.closedBall 0 ‖f‖

Context: g : C(X, E)

Context: hg : ContinuousMap.restrict s g = ↑f

Context: hg_mem : ∀ (x : X), ‖g x‖ ≤ ‖f‖


Context:
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))

IsUnit ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f)


Context:
S : Set ℝ
h₁ : S.Nonempty
h₂ : BddAbove S


Context:
α : Type u_2
Zero α
f : Filter α
h : f.NeBot


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Z → X
x : Z
h : f ⁻¹' e.source ∈ 𝓝 x
hx : f x ∈ e.source
h' : f ⁻¹' e.source ∈ 𝓝[univ] x

ContinuousAt f x ↔ ContinuousAt (↑e ∘ f) x


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Invertible ↑p

Context: n : ℕ

Context: IH : ∀ m < n, constantCoeff (xInTermsOfW p R m) = 0

∑ x ∈ range n, constantCoeff (C (↑p ^ x) * xInTermsOfW p R x ^ p ^ (n - x)) = 0


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Ring k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Nontrivial k

Context: p : ι → P

Context: ha : ∀ (s1 s2 : Finset ι) (w1 w2 : ι → k), ∑ i ∈ s1, w1 i = 1 → ∑ i ∈ s2, w2 i = 1 → (affineCombination k s1 p) w1 = (affineCombination k s2 p) w2 → (↑s1).indicator w1 = (↑s2).indicator w2

Context: s1 s2 : Set ι

Context: p0 : P

Context: fs1 : Finset ι

Context: hfs1 : ↑fs1 ⊆ s1

Context: w1 : ι → k

Context: hw1 : ∑ i ∈ fs1, w1 i = 1

Context: hp0s1 : p0 = (affineCombination k fs1 p) w1

Context: fs2 : Finset ι

Context: hfs2 : ↑fs2 ⊆ s2

Context: w2 : ι → k

Context: hw2 : ∑ i ∈ fs2, w2 i = 1

Context: hp0s2 : p0 = (affineCombination k fs2 p) w2


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t s : Set α
ht : NullMeasurableSet t μ


Context:
α : Type u_1
l : List α
k : Nat


Context:
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : IsMaxOn f s a
hs : s ∈ 𝓝 a


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p
y : R
m : ℕ

((X ^ p ^ n - C y) ^ m).roots = (m * p ^ n) • {(iterateFrobeniusEquiv R p n).symm y}


Context:
α : Type u_2
Sub α
f₁ f₂ g : Filter α


Context:
k✝ G✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing k✝
inst✝⁶ : Monoid G✝
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing k
inst✝⁴ : Monoid G
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Module k W
ρ : G →* V →ₗ[k] V
σ : G →* W →ₗ[k] W
f : V →ₗ[k] W
w : ∀ (g : G), f ∘ₗ ρ g = σ g ∘ₗ f
r : MonoidAlgebra k G
x : V

∀ (r : k) (f_1 : MonoidAlgebra k G), f ((((MonoidAlgebra.lift k G (V →ₗ[k] V)) ρ) f_1) x) = (((MonoidAlgebra.lift k G (W →ₗ[k] W)) σ) f_1) (f x) → f ((((MonoidAlgebra.lift k G (V →ₗ[k] V)) ρ) (r • f_1)) x) = (((MonoidAlgebra.lift k G (W →ₗ[k] W)) σ) (r • f_1)) (f x)


Context:
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X✝
inst✝¹ : FirstCountableTopology X✝
inst✝ : R1Space X✝
x y : X✝
X : Type u_3
t₁ t₂ : TopologicalSpace X
h₁ : R1Space X
h₂ : R1Space X


Context:
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
L'.Structure M
φ : L →ᴸ L'
φ.IsExpansionOn M
ψ : L.Formula α
v : α → M


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms C

Context: β : Type w

Context: f : β → C

Context: inst✝ : HasProduct f

Context: h : IsCoseparator (∏ᶜ f)

Context: X Y : C

Context: u v : X ⟶ Y

Context: huv : ∀ G ∈ Set.range f, ∀ (h : Y ⟶ G), u ≫ h = v ≫ h


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s✝ t u : Set α✝

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α✝

Context: inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝

Context: a b x✝ : α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: s : Set α

Context: hd : Dense s

Context: hbot : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s

Context: hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → x ∈ s

Context: x y : αᵒᵈ

Context: hlt : x < y

Context: he : Ioo x y = ∅


Context:
n : ℕ
s : ℝ
hs : s ∈ Ici 1


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
x : FirstObj P S.arrows

((firstObjEqFamily P S.arrows).hom x).SieveCompatible ↔ firstMap P S x = secondMap P S x


Context:
M : Type u_6
AddMonoid M
TopologicalSpace M
ContinuousAdd M
a b : M
h : Inseparable a b
n : ℕ


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: s t : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: h's : IsGδ s

Context: ht : IsClosed t

Context: hd : Disjoint s t

Context: U : ℕ → Set X

Context: U_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: hU : s = ⋂ n, U n

Context: m : Set X

Context: m_comp : IsCompact m

Context: sm : s ⊆ interior m

Context: mt : m ⊆ tᶜ

Context: f : ℕ → C(X, ℝ)

Context: fs : ∀ (n : ℕ), EqOn (⇑(f n)) 1 s

Context: fm : ∀ (n : ℕ), EqOn (⇑(f n)) 0 (U n ∩ interior m)ᶜ

Context: _hf : ∀ (n : ℕ), HasCompactSupport ⇑(f n)

Context: f_range : ∀ (n : ℕ) (x : X), (f n) x ∈ Icc 0 1

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < u i

Context: u_sum : Summable u

Context: hu : ∑' (i : ℕ), u i = 1

Context: g : X → ℝ := fun x => ∑' (n : ℕ), u n * (f n) x

Context: hgmc : EqOn g 0 mᶜ

Context: I : ∀ (n : ℕ) (x : X), u n * (f n) x ≤ u n

Context: S : ∀ (x : X), Summable fun n => u n * (f n) x

Context: x : X

{ toFun := g, continuous_toFun := ?intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1 } x ≤ 1


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedField α
Archimedean α
x : α


Context:
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup F
f : α → F
μ ν : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞

MeasureTheory.eLpNorm f p μ ≤ MeasureTheory.eLpNorm f p (μ + ν)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: s : ConvexCone ℝ E

Context: f : E →ₗ.[ℝ] ℝ

Context: nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x

Context: dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s

Context: hdom : f.domain ≠ ⊤

∃ g, f < g ∧ ∀ (x : ↥g.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑g x


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
m : M
hm : m ∈ N


Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: ι : Type w

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M₁

Context: n : ℕ

Context: H : ∀ (s : Finset M), (LinearIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n

Context: s : Set M

Context: li : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val

#↑↑⟨s, li⟩ ≤ ↑n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalGroup α
f : β → α
T2Space α
s : Finset β
hf : Multipliable f

(∏ x ∈ s, f x) * ∏' (x : ↑(↑s)ᶜ), f ↑x = ∏' (x : β), f x


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
a b : ℝ
N : ℕ

Submartingale (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (1 - upcrossingStrat a b f N k) * (f (k + 1) - f k)) ℱ μ


Context:
a k : ℕ
h0 : 0 < a
h1 : a < k
n : ℕ

∀ ⦃x : ℕ⦄, k ≤ x → x < k + n → Prime x → (k ≤ x ∧ x < k + n) ∧ a.Coprime x


Context:
ι : Type u_5
σ : ι → Type u_7
(i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
i : ι


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r : R[X]
n : ℕ
p q : R[X]
qn : q.natDegree ≤ n
h : (p + q).natDegree ≤ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: s : Set α

Context: hs : SetIndependent s

Context: x : α

Context: y : Set α

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ⊆ s

Context: hxy : x ∉ y

Context: this : Disjoint x (sSup (insert x y \ {x}))


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_4
DecidableEq ι
i : ι
m : M
n : N

(TensorProduct.finsuppLeft R M N ι).symm (Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)) = Finsupp.single i m ⊗ₜ[R] n


Context:
n : ℕ
f : Vector ℕ n →. ℕ
pf : Partrec' f


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
t : Affine.Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃

Affine.Simplex.altitude t i₁ = Affine.Simplex.mongePlane t i₂ i₃


Context:
x y : SetTheory.PGame
h : x ≤ y
j : y.RightMoves


Context: R : CommRingCat

Context: U V : (TopologicalSpace.Opens ↑↑(AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceObj R).toPresheafedSpace)ᵒᵖ

Context: i : U ⟶ V

(AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceObj R).presheaf.map i = (AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf ↑R).val.map i


Context:
α : Type u
BEq α
self : LawfulBEq α
a b : α


Context: R : Type u₁

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : CharP R p

Context: f : Ring.Perfection R p

Context: n m✝ m : ℕ

Context: ih : (coeff R p (n + m)) ((⇑(frobenius (Ring.Perfection R p) p))^[m] f) = (coeff R p n) f

(coeff R p (n + m.succ)) ((⇑(frobenius (Ring.Perfection R p) p))^[m.succ] f) = (coeff R p n) f


Context:
α : Type u_1
G : Type u_6
AddGroup G
s : Set α
f : α → G


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: μ : Measure ℝ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝³ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: a b : ι → ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: hfi : Integrable f μ

Context: ha : Tendsto a l atBot

Context: hb : Tendsto b l atTop

Context: φ : ι → Set ℝ := fun i => Ioc (a i) (b i)

Context: hφ : AECover μ l φ

Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a i..b i, f x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : ℝ), f x ∂μ))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology V

Context: inst✝³ : MeasurableSpace V

Context: inst✝² : BorelSpace V

Context: μ✝ : Measure V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: K N : ℕ∞

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ

Context: k n : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: w : W

∫ (v : V), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun v => fourierPowSMulRight L f v k) v‖ ∂μ ≤ (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂μ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α

(foldr (fun a arr => Array.foldl (fun r l => r.push (a :: l)) arr arr 0) #[[]] l).toList = foldr (fun a r => (Array.foldl (fun r l => r.push (a :: l)) (toArray r) (toArray r) 0).toList) [[]] l


Context:
α : Type u_1
s : Set α

s.encard = 2 ↔ ∃ x y, x ≠ y ∧ s = {x, y}


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y : V

Context: h : o.oangle x y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑π

Context: hx : ¬x = 0

Context: hy : ¬y = 0

x = 0 ∨ y = 0 ∨ |(o.oangle x y).toReal| = 0 ∨ |(o.oangle x y).toReal| = π


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: CategoryTheory.Epi φ.τ₁

Context: CategoryTheory.IsIso φ.τ₂

Context: CategoryTheory.Mono φ.τ₃


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ i : ι
xi : β i

i = i ∧ HEq xi 0 ∨ xi = 0 ∧ 0 = 0 ↔ xi = 0


Context: f✝ f g : StieltjesFunction


Context: I : Type w₁

Context: C : I → Type u₁

Context: (i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)

Context: J : Type w₂

Context: g : J → I

Context: j : J

Context: X Y : C (g j)

Context: f : X ⟶ Y

(CategoryTheory.Sigma.map C g).map (CategoryTheory.Sigma.SigmaHom.mk f) = CategoryTheory.Sigma.SigmaHom.mk f


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : F → E
hf : Differentiable ℝ f
x : F
p : ℝ
hp : 1 < p

‖fderiv ℝ (fun x => ‖f x‖ ^ p) x‖ ≤ p * ‖f x‖ ^ (p - 1) * ‖fderiv ℝ f x‖


Context: a b c : Ordinal.{u_4}


Context:
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
c : Ordinal.{max u v}
hι : Cardinal.lift.{v, u} #ι < c.cof
hf : ∀ (i : ι), f i < c


Context:
R : Type u
S : Type u₁
Monoid R
Monoid S
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction S B
f : A →ₛₙₐ[φ] B
x y : A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
CommMonoid M
DecidableEq α
DecidableEq β
s : Finset (α × β)
f : α × β → M

∏ᶠ (ab : α × β) (_ : ab ∈ s), f ab =
  ∏ᶠ (a : α) (b : β) (_ : b ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun ab => ab.1 = a) s)), f (a, b)


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
ha : a ≠ 0
h : n ≤ m


Context:
X : Type u
ι : Sort w
TopologicalSpace X
Finite ι
f : ι → Set X


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α × β → ℚ → ℝ

Context: hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: a : α

Context: q : ℚ

Context: t : β

Context: hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r => f (a, t) ↑r)

Context: h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q

Context: h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x y z : P
h : Wbtw R x y z


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: f : Stream' (Option α)

Context: al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, f n = some a → f (n + 1) = some a

Stream'.map (fun o => Option.rec none (fun val => some val) o) f = f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: η : 𝟭 C ≅ F ⋙ G

Context: ε : G ⋙ F ≅ 𝟭 D

Context: X : C

Context: this : (ε.app (F.obj X)).hom ≫ (ε.app (F.obj X)).inv = 𝟙 ((G ⋙ F).obj (F.obj X))

F.map (η.hom.app X) ≫ (ε.hom.app (F.obj X) ≫ ε.inv.app (F.obj X)) ≫ F.map (η.inv.app X) = 𝟙 (F.obj X)


Context:
A D : Type u
TopologicalSpace A
TopologicalSpace D
T1Space A
CompactSpace D
π : D → A
π_cont : Continuous π
π_surj : Function.Surjective π

∃ E, CompactSpace ↑E ∧ π '' E = Set.univ ∧ ∀ (E₀ : Set ↑E), E₀ ≠ Set.univ → IsClosed E₀ → E.restrict π '' E₀ ≠ Set.univ


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasTerminal C

(CategoryTheory.subterminalsEquivMonoOverTerminal C).counitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun X =>
      CategoryTheory.MonoOver.isoMk
        (CategoryTheory.Iso.refl
          (({ obj := fun X => { obj := X.obj.left, property := ⋯ }, map := fun {X Y} f => f.left, map_id := ⋯,
                        map_comp := ⋯ }.comp
                    {
                      obj := fun X =>
                        { obj := CategoryTheory.Over.mk (CategoryTheory.Limits.terminal.from X.obj), property := ⋯ },
                      map := fun {X Y} f => CategoryTheory.MonoOver.homMk f ⋯, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).obj
                X).obj.left)
        ⋯)
    ⋯


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
T : Subring R
hp : ↑p.coeffs ⊆ ↑T
i : ℕ

(p.toSubring T hp).coeff i = 0 ↔ ↑((p.toSubring T hp).coeff i) = 0


Context:
α : Type u_1
a : α
l₁ l₂ r₁ r₂ : List α

l₁ ++ a :: r₁ ~ l₂ ++ a :: r₂ → l₁ ++ r₁ ~ l₂ ++ r₂


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
hn : ↑n < φ.order + ψ.order

∀ x ∈ antidiagonal n, (coeff R x.1) φ * (coeff R x.2) ψ = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s : Finset α
a b c : α


Context:
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ S : L.Substructure M
x : M


Context:
α : Type u_1
Primcodable α


Context:
F : Type u_1
NormedAddCommGroup F
g : ℝ → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0

MeasureTheory.Integrable (fun x => g (x * R)) MeasureTheory.volume ↔ MeasureTheory.Integrable g MeasureTheory.volume


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
U : Set X
hf : IsProperMap f
hU : IsClosed U


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedCancelAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f


Context:
M : Type u_5
S : Type u_6
DivInvMonoid M
SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H : S
x y : M
hx : x ∈ H
hy : y ∈ H


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s : Multiset (MvPolynomial σ R)
l : List (MvPolynomial σ R)

l.prod.totalDegree ≤ (List.map totalDegree l).sum


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N₁ N₂ : Bimod Y Z

Context: f : N₁ ⟶ N₂

(α_ X.X M.X N₁.X).inv ≫ M.actLeft ▷ N₁.X ≫ M.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (X.X ◁ M.X ◁ f.hom ≫ X.X ◁ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N₂.X) ((α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ≫ TensorBimod.actLeft M N₂


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p


Context: M : Type u_1

Context: AddCommMonoid M

Context: TopologicalSpace M

Context: m m' : M

Context: ContinuousAdd M

Context: f : ℤ → M

Context: hf₁ : HasSum (fun n => f ↑n) m

Context: hf₂ : HasSum (fun n => f (-(↑n + 1))) m'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b₁ b₂ : β
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero α
PosSMulReflectLE α β
h : a • b₁ ≤ a • b₂
ha : 0 < a


Context:
x : ℝ≥0∞
y z : ℝ
hx : x ≠ 0
h'x : x ≠ ⊤


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
H : Subgroup G
x : Quotient G α
a b : ↑x.orbit
c : α
h : ⟦a⟧ = ⟦b⟧


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G✝ : Type u_4
inst✝¹² : Mul G✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G✝
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H G✝
inst✝⁹ : SmoothMul I G✝
E' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M
g✝ h✝ : G✝
G : Type u_8
inst✝³ : Semigroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : ChartedSpace H G
inst✝ : SmoothMul I G
g h x✝ : G

(𝑳 I (g * h)) x✝ = ((𝑳 I g).comp (𝑳 I h)) x✝


Context: x y : ℝ


Context:
R✝ : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R✝
x y z : R✝
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b u v : ℤ
H : u * a + v * b = 1


Context:
f : StieltjesFunction
l : ℝ
hf : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 l)
x : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c x : α
Ring α
h : Function.Periodic f c
n : ℕ


Context:
R : Type u
AddGroupWithOne R
m n : ℤ


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: h : CategoryTheory.IsIdempotentComplete Cᵒᵖ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : C(X, Y)
g : LocallyConstant Y Z
x : X


Context:
α : Type u_1
M : Type u_3
One M
s t : Set α
f g : α → M
l : Filter α
hf : f =ᶠ[l ⊓ 𝓟 s] g
hs : s =ᶠ[l] t


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
finj : Injective f
s t : Multiset α
l₁ l₂ : List α

List.map f (l₁.diff l₂ ++ l₂) = (List.map f l₁).diff (List.map f l₂) ++ List.map f l₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : α → β

Context: hp_one : 1 ≤ p

Context: hp_top : p ≠ ⊤

Context: n : ℕ

Context: h : ∀ {f : Fin n → α → β}, (∀ (i : Fin n), Memℒp (f i) p μ) → UnifIntegrable f p μ

Context: f : Fin (n + 1) → α → β

Context: hfLp : ∀ (i : Fin (n + 1)), Memℒp (f i) p μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k

Context: hgLp : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ

Context: δ₁ : ℝ

Context: hδ₁pos : 0 < δ₁

Context: hδ₁ : ∀ (i : Fin n) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : Fin (n + 1)) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: m : ℤ

Context: hm : 0 < m

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Hpv : (multiplicity (↑p) m).get ⋯ % 2 = 1


Context:
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
h : z ∈ 𝒟ᵒ


Context:
s : ℝ
hs : -1 ≤ s
p : ℝ
hp : 1 ≤ p


Context:
a x✝ z x : ℂ
hi : x.im = 0

(-x).arg = x.arg - π ↔ 0 < x.im ∨ x.im = 0 ∧ x.re < 0


Context:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞
f' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : HasFTaylorSeriesUpTo n f f'


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
p q : ℤ
hpq : p + n = q

CochainComplex.HomComplex.Cochain.v 0 p q hpq = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Monotone seq
hseq_tendsto : Tendsto seq atTop atTop

∀ᵐ (c : β) ∂ν a, Tendsto (fun m => f (a, c) (seq m)) atTop (𝓝 1)


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
hs : Dense s


Context: x y : ℂ

Context: hj : ∀ (j : ℕ), ∑ m ∈ range j, (x + y) ^ m / ↑m.factorial = ∑ i ∈ range j, ∑ k ∈ range (i + 1), x ^ k / ↑k.factorial * (y ^ (i - k) / ↑(i - k).factorial)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: Semiring R

Context: f : S → R[X]

Context: s : Finset S

Context: h : {i | i ∈ s ∧ f i ≠ 0}.Pairwise (Ne on Polynomial.natDegree ∘ f)

(s.sum f).natDegree = s.sup fun i => (f i).natDegree


Context:
M : Type u_2
AddMonoid M
a : M


Context: R : Type u_1

Context: CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: CommSemiring S

Context: Algebra R S

Context: IsLocalization M S

Context: z : S

Context: h : M ≤ Submonoid.comap (RingHom.id R) M := ⋯

(IsLocalization.map S (RingHom.id R) h) z = z


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: K : HomologicalComplex C c

Context: i j : ι

Context: hj : c.next i = j

Context: h : K.d i j = 0

Context: K.HasHomology i


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.101120, u_3} E
inst✝ : IsIdempotentComplete D
F G : Karoubi C ⥤ D
τ : toKaroubi C ⋙ F ⟶ toKaroubi C ⋙ G
P : Karoubi C

(((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).preimage τ).app { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ } = (((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).map (((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).preimage τ)).app P.X


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : TopCat

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: homeo : ↑(pullback f g) ≃ₜ ↑(of { p // f p.1 = g p.2 }) := homeoOfIso (pullbackIsoProdSubtype f g)

(pullback f g).str = induced (⇑(pullback.fst f g)) X.str ⊓ induced (⇑(pullback.snd f g)) Y.str


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: CategoryTheory.Category.{max v u, w} D

Context: CategoryTheory.ConcreteCategory D

Context: CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget D)

Context: X : C

Context: P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D

Context: S : J.Cover X

Context: CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)

Context: x : (CategoryTheory.forget D).obj (CategoryTheory.Limits.multiequalizer (S.index P))

Context: I : S.Arrow

↑((CategoryTheory.Meq.equiv P S) x) I = (CategoryTheory.Limits.Multiequalizer.ι (S.index P) I) x


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : IntermediateField F E
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F ↥L
inst✝ : Algebra.IsSeparable F ↥L
x : E
hx : x ∈ L
y : F
hy : (algebraMap F ↥L) y = ⟨x, hx⟩


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
AddCommMonoid S
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
Module R S
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
f' : S →ₗ[R] M

TensorProduct.map f g ∘ₗ LinearMap.rTensor N f' = TensorProduct.map (f ∘ₗ f') g


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
A : Type u_3
CommSemiring A
Algebra R A

(MvPolynomial.coeToMvPowerSeries.algHom A) φ = (MvPowerSeries.map σ (algebraMap R A)) ↑φ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α →ₘ[μ] E
hf : MeasureTheory.eLpNorm (↑f) p μ < ⊤


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
b₃ : B.Nondegenerate
h : W = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: fs : ℕ → α → E

Context: f : α → E

Context: bound : α → ℝ

Context: fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a

Context: h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))

Context: f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ

Context: fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ

Tendsto (fun n => setToFun μ T hT (fs n)) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: s : S

Context: n : ℕ

Context: hzero : ¬s = 0

Context: q : R[X]

Context: hq : (map f q).coeff n = ((monomial n) s).coeff n

Context: hcoeff : f (q.coeff n) = s

Context: hqzero : q.coeff n ≠ 0

(C (q.coeff n) * X ^ n).degree = ((monomial n) s).degree


Context: V : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : Fintype V

Context: inst✝² : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝ : DecidableEq G.ConnectedComponent

Context: g : G.ConnectedComponent → ℝ

Context: h0 : ↑(∑ i : G.ConnectedComponent, g i • G.lapMatrix_ker_basis_aux i) = ↑0


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedCommMonoidWithZero α
a b : α
h : b < a


Context:
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
InnerProductSpaceable E
n : ℕ
x y : E


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α

a ∈ [[b, c]] ↔ b ≤ a ∧ a ≤ c ∨ c ≤ a ∧ a ≤ b


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
D : LieDerivation R L M


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: f : E → F

Context: hf : Differentiable ℂ f

Context: hb : Bornology.IsBounded (range f)

Context: z w : E

Context: g : ℂ → F := f ∘ fun t => t • (w - z) + z


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b : α
hab : a ≤ b
ha : a < 1
hb : b < 1

mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1


Context: m : ℕ

Context: hm : m ≠ 1

Context: hm' : m > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: this : image (fun x => x * m + 1) (Icc 0 ((n - 1) / m)) ⊆ filter (fun x => x % m = 1) (Ioc 0 n)

Context: a b : ℕ

(fun x => x * m + 1) a = (fun x => x * m + 1) b → a = b


Context:
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
p₁ p₂ : P

LipschitzWith (nndist p₁ p₂) ⇑(AffineMap.lineMap p₁ p₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
h : ((κ.compProd η) a) s = 0

(fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)) =ᵐ[κ a] 0


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

⟪x, o.rightAngleRotationAux₁ y⟫_ℝ = -(o.areaForm x) y


Context:
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
h : 0 < x


Context:
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : ContinuousAdd M
inst✝ : IsSimpleModule R N


Context: m n : ZNum


Context:
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
M₂ : Type u_5
AddCommGroup M₂
Module R M₂
LieRingModule L M₂
LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : Function.Injective ⇑f

LieSubmodule.comap f (LieModule.weightSpace M₂ χ) = LieModule.weightSpace M χ


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S y


Context:
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: u : α → ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : α → E → F

Context: f' : α → E → E →L[𝕜] F

Context: g g' : α → 𝕜 → F

Context: v : ℕ → α → ℝ

Context: s : Set E

Context: t : Set 𝕜

Context: x₀ x : E

Context: y₀ y : 𝕜

Context: N : ℕ∞

Context: hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)

Context: hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)

Context: h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i


∀ {α : Type u_1} {cut : α → Ordering} {t : Batteries.RBNode α} {path : Batteries.RBNode.Path α}
  {t' : Batteries.RBNode α} {path' : Batteries.RBNode.Path α} {c₀ : Batteries.RBColor} {n₀ : Nat}
  {c : Batteries.RBColor} {n : Nat},
  t.Balanced c n →
    Batteries.RBNode.Path.Balanced c₀ n₀ path c n →
      Batteries.RBNode.zoom cut t path = (t', path') →
        ∃ c n, t'.Balanced c n ∧ Batteries.RBNode.Path.Balanced c₀ n₀ path' c n


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
α : Type u_1
Fintype α
hG : G.Colorable (Fintype.card α)

G.chromaticNumber = ↑(Fintype.card α) ↔ ∀ (C : G.Coloring α), Function.Surjective ⇑C


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
ConditionallyCompleteLinearOrder β
TopologicalSpace β
OrderClosedTopology β
f : α → β
s : Set α
Cf : ContinuousAt f (sInf s)
Mf : Monotone f
ne : s.Nonempty
H : BddBelow s


Context:
α : Type u_1
f : List α → List α
n : Nat
l : List α
h : n ≤ l.length

∃ l₁ l₂, l = l₁ ++ l₂ ∧ l₁.length = n ∧ List.modifyNthTail f n l = l₁ ++ f l₂


Context:
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
Nontrivial R


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
w x y z : R

span {w, x} * span {y, z} = span {w * y, w * z, x * y, x * z}


∀ {α : Type u_1} {x : α} {p : α → Bool} {as : Array α}, x ∈ Array.filter p as 0 ↔ x ∈ as ∧ p x = true


Context:
M : Type u
Monoid M
α : Type v
MulAction M α
m : M
a : α

m • MulAction.orbit M a ⊆ MulAction.orbit M a


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G

ContDiff 𝕜 ⊤ ⇑(Equiv.prodAssoc E F G).symm


Context: M : Type u

Context: inst✝⁵ : Monoid M

Context: G : Type u

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : MulSemiringAction M F

Context: inst✝¹ : MulSemiringAction G F

Context: m : M

Context: inst✝ : Fintype G

Context: x : F

Context: f g : Polynomial ↥(subfield G F)

Context: hf : f.Monic

Context: hg : g.Monic

Context: hfg : f * g = minpoly G F x

Context: hf2 : f ∣ minpoly G F x

Context: hg2 : g ∣ minpoly G F x

Context: this : Polynomial.eval₂ (subfield G F).subtype x f = 0 ∨ Polynomial.eval₂ (subfield G F).subtype x g = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
x : S
n : ℕ
r : R

Polynomial.eval₂ f x ((Polynomial.monomial n) r) = f r * x ^ n


Context:
α : Type u_1
n : ℕ
a : α

↑(Sym.replicate n a) = Multiset.replicate n a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: x : β

Context: f : α → β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: hf : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (ae μ) f) _auto✝


Context:
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
p : K[X]
m : p.Monic
hsplit : Splits (RingHom.id K) p

(Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod = C p.leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod


Context:
p✝ x : ℝ
hp✝ : p✝ ≠ 0
p : ℝ
hp : 0 < p
hx : |x| ≤ p / 2
hx' : x ≠ p / 2


Context: α : Type u_1

Context: x : Quiver.SingleObj α

Context: p : Quiver.Path (Quiver.SingleObj.star α) x

Quiver.SingleObj.listToPath (Quiver.SingleObj.pathToList p) = Quiver.Path.cast ⋯ ⋯ p


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

closure s ⊆ s ↔ ∀ (x : X), (∃ᶠ (y : X) in 𝓝 x, y ∈ s) → x ∈ s


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : StrongRankCondition F
inst✝³ : Ring E
inst✝² : Algebra F E
S : Subalgebra F E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : Module.Free F E


Context:
α : Type v
M : Type u
Monoid M
MulAction M α
m : M
a : α
n : ℕ
n_pos : 0 < n
fixed : m ^ n • a = a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α

(∃ l ∈ s.subchain, l.length = 1) ↔ s.Nonempty


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory C

Context: CategoryTheory.MonoidalPreadditive C

Context: CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C

Context: J : Type

Context: Fintype J

Context: X Y : C

Context: f : J → C

Context: g h : X ⟶ CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y (⨁ f)

Context:
w :
  ∀ (j : J),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp g
        (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft Y (CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j)) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp h
        (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft Y (CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j))


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: a : FiberPrebundle F E

Context: e✝ e e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: x✝ : e' ∈ a.pretrivializationAtlas


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0

∃ δ > 0, ∀ (s : Set α), μ s < δ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ < ε


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]

(p * p.mirror).coeff (p.natDegree + p.natTrailingDegree) = p.sum fun n x => x ^ 2


Context:
b c : Ordinal.{u}
h : b ≤ c
a : Ordinal.{u}


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝³ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : S.HasRightHomology
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S

rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).rightHomologyData (S.rightHomologyData.map F) = rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).rightHomologyData (hr.map F) ≫ F.map (rightHomologyMap' (𝟙 S) hr S.rightHomologyData)


Context:
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
Semiring S
R₂ : Type u_3
Semiring R₂
S₂ : Type u_4
Semiring S₂
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module S N
Module R₂ P
Module S₂ P
SMulCommClass S₂ R₂ P
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
f : M →ₛₗ[ρ₁₂] N →ₛₗ[σ₁₂] P
m : M
n : N


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : DecidableEq L

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝² : Algebra R L

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: P : ClassGroup R → Prop

Context: h : ∀ (I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ), P (mk I)

Context: x : ClassGroup R

Context: I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ


Context:
V W : SemiNormedGrp
CompleteSpace ↑W
T0Space ↑W
f : V ⟶ W

SemiNormedGrp.completion.incl ≫ SemiNormedGrp.completion.lift f = f


Context:
K : Type u_1
NormedLinearOrderedField K
HasSolidNorm K
FloorRing K
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
FiniteDimensional K E
ProperSpace E
L : AddSubgroup E
DiscreteTopology ↥L
IsZlattice K L


Context: X : CategoryTheory.RelCat

CategoryTheory.CategoryStruct.id X = fun x x_1 => x = x_1


Context:
ξ : ℝ
n : ℕ

ξ.convergent (n + 1) = ↑⌊ξ⌋ + ((Int.fract ξ)⁻¹.convergent n)⁻¹


Context:
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set ↑(range f)
y : ↑(range f)
m : y ∈ s


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : X ≅ 0
Z : C
g h : Z ⟶ X
x✝ : g ≫ f = h ≫ f


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C

(α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ X ◁ (λ_ (𝟙_ C)).hom = (ρ_ X).hom ▷ 𝟙_ C


Context:
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
s : Set β
hs : IsConnected s
f : α → β
hinj : Function.Injective f
hf : IsOpenMap f
hsf : s ⊆ Set.range f


Context: α : Type u_1

Context: Mul α

Context: Preorder α

Context: DecidableEq α

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LE.le

Context: LocallyFiniteOrderTop α

Context: a b : α

Finset.Ici a * Finset.Ici b ⊆ Finset.Ici (a * b)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A ≃ₐ[R] B

∀ (a : Aᵐᵒᵖ), (AlgEquiv.op f) a = MulOpposite.op (f (MulOpposite.unop a))


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
o o' : Ordinal.{u}
ho : o < type r
ho' : o' < type r

¬r (enum r o' ho') (enum r o ho) ↔ o ≤ o'


Context:
α : Sort u
β : Sort v
a₁ a₂ : α
b : α → β
h : a₁ = a₂

(let x := a₁;
  b x) =
  let x := a₂;
  b x


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D
α : F ⟶ G
X : C

(CategoryTheory.NatTrans.rightOp α).app X = (α.app (Opposite.op X)).op


Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ConditionallyCompleteLinearOrderedField β

Context: ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ

(LinearOrderedField.inducedOrderRingIso β γ).symm = LinearOrderedField.inducedOrderRingIso γ β


Context:
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
v : Fin 2 → ℤ
hv : v ∈ gammaSet N a
γ : SL(2, ℤ)

v ᵥ* ↑γ ∈ gammaSet N (a ᵥ* ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ))


Context:
α : Type u_1
One α
a : α


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
p : P


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Abelian C

Context: S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C

CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.L₀.g S.δ = 0


Context:
G : Type u_1
Group G
H₁ H₂ : Subgroup G

⁅H₁, H₂⁆ = ⁅H₂, H₁⁆


Context:
n p : ℕ
pp : Prime p
i : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f g : α → β

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 ≤ c

Context: hf : ∀ x ∈ s, dist (f x) (g x) ≤ c

Context: hp : ¬p = 0

Context: this : ∀ (x : α), ‖s.indicator (f - g) x‖ ≤ ‖s.indicator (fun x => c) x‖

eLpNorm (s.indicator (f - g)) p μ ≤ ENNReal.ofReal c * μ s ^ (1 / p.toReal)


Context:
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : a ≤ b


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J J' : Ideal S
I : Ideal (R × S)

I = (map (RingHom.fst R S) I).prod (map (RingHom.snd R S) I)


Context:
α : Type u_1
s : Set α
LinearOrder α
a : α

Set.Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | a ≤ b}) ↔ Set.Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s


Context:
α : Type u
i : Nat
a : Array α


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : Unique Mˣ
a : M
l₁ : List M
b : M
l₂ : List M
h : (a :: l₁).prod = (b :: l₂).prod
hl₁ : ∀ p ∈ a :: l₁, Prime p
hl₂ : ∀ p ∈ b :: l₂, Prime p


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace β

Context: x✝ y : α

Context: s t u : Set α

Context: Φ : α → β

Context: x : α

Context: xs : x ∈ s

Context: this : infEdist x ∅ ≤ hausdorffEdist s ∅


Context: J : Type u

Context: inst✝ : Category.{?u.10050, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j k : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: X✝ Y✝ : J

Context: g : X✝ ⟶ Y✝

Context: x : F.obj X✝

Context: h : ∀ (i_1 : X✝ ⟶ i), x ∈ F.map i_1 ⁻¹' s

Context: f : Y✝ ⟶ i

F.map f (F.map g x) ∈ s ↔ x ∈ F.map (g ≫ f) ⁻¹' s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Finite α
this : Fintype α

Nat.card (α → β) = Nat.card β ^ Nat.card α


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u

(ρ_ ((free R).obj X)).hom = (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ ε R) ≫ (μ R X (𝟙_ (Type u))).hom ≫ map (free R).obj (ρ_ X).hom


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β


Context:
α : Type u_1
s : Set α


Context:
α : Type u_1
s t : Finset α


Context:
n : ℕ
h : n ≠ 0

Finset.filter (fun x => x ∣ n) (Finset.range n.succ) = n.divisors


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : Lattice β
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c x a b : α


Context:
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
M₃ : Type y
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M
Module R M₂
Module R M₃

∀ (x : M), LinearMap.vecEmpty₂ x = LinearMap.vecEmpty


Context:
p : ℕ
hp : Nat.blt 1 p = true
h : sMod' (2 ^ p - 1) (p - 2) = 0


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝¹ : IsPreimmersion g

Context: inst✝ : IsPreimmersion (f ≫ g)

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: h : Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap (f ≫ g) x)

Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap f x)


Context: f : Code → ℕ →. ℕ

Context: hf : Partrec₂ f

Context: cf : Code

Context: ef : cf.eval = fun n => (↑(decode n)).bind fun a => Part.map encode ((fun p => f p.1 p.2) a)

Context: c : Code

Context: e : (cf.curry (encode c)).eval = c.eval

Context: n : ℕ


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
v : Mathlib.Vector α n
f : α → β
i : Fin n

(Mathlib.Vector.map f v).get i = f (v.get i)


Context: p : ℕ

Context: Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2

Filter.Tendsto (fun i => ‖Polynomial.eval (↑(newton_cau_seq hnorm) i) F‖) Filter.atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁵ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝² : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f : ↥(lp E p)

Context: hp₀ : 0 < p

Context: hp' : 0 < p.toReal

Context: this : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : Finset α) in Filter.atTop, dist (∑ b ∈ x, ‖↑f b‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal) < ε

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: s : Finset α

Context: hs : dist (∑ b ∈ s, ‖↑f b‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal) < ε ^ p.toReal

dist (∑ b ∈ s, lp.single p b (↑f b)) f ^ p.toReal < ε ^ p.toReal


Context:
G : Type u_1
TopologicalSpace G
InvolutiveInv G
ContinuousInv G


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set α
i : ι
j : κ i
h : s i j ⊆ t


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : Nontrivial n
i j j' : n
hj' : j' ≠ j

∀ (i_1 : n), 0ᵀ.updateColumn j (Pi.single i 1) i_1 j' = 0


Context:
α✝ : Type u_1
l₁ l₂ l : List α✝

(l₁ ++ l₂).Disjoint l ↔ l₁.Disjoint l ∧ l₂.Disjoint l


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
G : Type u_8
NormedAddCommGroup G
InnerProductSpace 𝕜 G
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
L : E ≃ₗᵢ[𝕜] G
i : ι


Context:
c : Char
cs t : List Char
i : Nat

go₂ (c :: cs ++ t) { byteIdx := i } { byteIdx := utf8Len (c :: cs) + i } = c :: cs


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν

∀ (f : α × β → ℝ≥0∞), Measurable f → ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalGroup α
f : β → α

(Multipliable fun b => (f b)⁻¹) ↔ Multipliable f


Context:
d : ℤ
z : ℤ√d


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C

F.ε.app ((F.obj n).obj X) = 𝟙 ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj ((F.obj n).obj X)) ≫ (F.map (ρ_ n).inv).app X ≫ (F.μIso n (𝟙_ M)).inv.app X


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Ring Fq

Context: d m : ℕ

Context: hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m

Context: b : Fq[X]

Context: A : Fin m.succ → Fq[X]

Context: hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree

Context: hb : b ≠ 0

Context: f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff (b.natDegree - ↑j.succ)

Context: this : Fintype.card (Fin d → Fq) < Fintype.card (Fin m.succ)

∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ (A i₁ - A i₀).degree < ↑(b.natDegree - d)


Context:
ι✝ : Type u_1
R✝ : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι✝
inst✝⁸ : CommSemiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : Module R✝ N
ι : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
w : ι → R

∑ x : ι, ((Pi.basisFun R ι).repr w) x • v x = ∑ i : ι, w i • v i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
c : α
AddCommMonoid α
DivisionSemiring γ
Module γ α
h : Function.Periodic f c
a : γ

Function.Periodic (fun x => f (a • x)) (a⁻¹ • c)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α

(∃ c, IsBigOWith c l f fun x => -g' x) ↔ ∃ c, IsBigOWith c l f g'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Denumerable α
Denumerable β
n : ℕ

Denumerable.ofNat (α × β) n = (Denumerable.ofNat α (Nat.unpair n).1, Denumerable.ofNat β (Nat.unpair n).2)


Context:
M : Type u_11
N : Type u_12
AddZeroClass N
VAdd M N
VAddCommClass M N N
x : M
y : N


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f f' g : ↥(Lp E 2 μ)
x : α
hx : ↑↑(f + f') x = (↑↑f + ↑↑f') x

(fun a => ⟪↑↑(f + f') a, ↑↑g a⟫_𝕜) x = (fun a => ⟪↑↑f a + ↑↑f' a, ↑↑g a⟫_𝕜) x


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P (n + 2)

Context: i₁ : Fin (n + 3)

Context: p : P

Context: h : ∀ (i₂ : Fin (n + 3)), i₁ ≠ i₂ → p ∈ s.mongePlane i₁ i₂

Context: h' : ∀ (i₂ : Fin (n + 3)), i₁ ≠ i₂ → p -ᵥ s.mongePoint ∈ (Submodule.span ℝ {s.points i₁ -ᵥ s.points i₂})ᗮ ⊓ vectorSpan ℝ (Set.range s.points)

Context: hi : p -ᵥ s.mongePoint ∈ ⨅ i₂, (Submodule.span ℝ {s.points i₁ -ᵥ s.points ↑i₂})ᗮ


Context:
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A

∃ T, ∀ (w : V), T ≤ ‖w‖ → ‖∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v‖ < ε


Context:
R : Type u_1
Semiring R
φ : PowerSeries R

(PowerSeries.coeff R 0) (PowerSeries.X * φ) = 0


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
Monoid A
Monoid B
TopologicalSpace A
TopologicalSpace B

PontryaginDual.map (ContinuousMonoidHom.one A B) = ContinuousMonoidHom.one (PontryaginDual B) (PontryaginDual A)


Context:
α : Type u_1
p : PMF α
s : Set α


Context:
G : Type v
Group G
PseudoMetricSpace G
IsometricSMul G G
IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b c : G


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hcd : IntervalIntegrable f μ c d
hac : IntervalIntegrable f μ a c

∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in c..d, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in d..b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in c..a, f x ∂μ


Context:
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
Semiring R₁
Semiring R₂
Semiring R₃
AddCommMonoid M₁
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
hf : Function.Injective ⇑f


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝³ : Monoid β

Context: inst✝² : Monoid γ

Context: inst✝¹ : FunLike F β γ

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: h : a ∈ s

Context: f : α → β

Context: comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)

Context: comm' : optParam (∀ x ∈ ↑(s.erase a), ∀ y ∈ ↑(s.erase a), x ≠ y → (fun a b => Commute (f a) (f b)) x y) ⋯

(s.erase a).noncommProd f comm' * f a = s.noncommProd f comm


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β

(κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)


Context:
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
i j : ℕ
ij : i < j
d : ℕ
hd : j = i.succ + d


Context:
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type u_4
Ring A
Algebra R A
h2 : IsUnit 2
f : M →ₗ[R] A

(∀ (x : M), f x * f x = (algebraMap R A) (Q x)) ↔
  (LinearMap.mul R A).compl₂ f ∘ₗ f + (LinearMap.mul R A).flip.compl₂ f ∘ₗ f =
    LinearMap.compr₂ (QuadraticMap.polarBilin Q) (Algebra.linearMap R A)


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
BEq α
LawfulBEq α
f : α → β
a : α
as : List α
h : a ∈ as

List.lookup a (List.map (fun x => (x, f x)) as) = some (f a)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
L : CategoryTheory.Functor C D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
W.HasRightCalculusOfFractions
X Y : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MulticospanIndex C
K : Multifork I
b : I.R

K.π.app (WalkingMulticospan.right b) = K.ι (I.sndTo b) ≫ I.snd b


Context:
f✝ f : StieltjesFunction
x : ℝ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s t : Finset α
n : ℕ
a : α


Context:
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
a : Associates α


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ : ℝ
hr₁ : r₁ ≠ 0
r₂ : ℝ

Metric.closedBall 0 r₁ • p.ball 0 r₂ ⊆ p.ball 0 (r₁ * r₂)


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
s : AList β

(insert a b s).keys = a :: s.keys.erase a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f g : α → Option β
x : Option α
h : ∀ (a : α), a ∈ x → f a = g a


Context:
p : Cardinal.{u_1} → Prop
c : Cardinal.{u_1}
h : ∀ (α : Type u_1), p (Cardinal.mk α)


Context:
M : Type u_1
Monoid M
S : Submonoid M
x : (↥S)ˣ

↑↑x⁻¹ * ↑↑x = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ

t ∈ ∂⁺ ^[k] 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, s ⊆ t ∧ t.card = s.card + k


Context:
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X
hs : IsOpen s


Context: F : Type u_3

Context: NormedAddCommGroup F

Context: NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace ℝ E

Context: MeasurableSpace E

Context: BorelSpace E

Context: FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : MeasureTheory.Measure E

Context: μ.IsAddHaarMeasure

Context: u : E → F

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p : ℝ≥0

Context: hp : (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ E)).IsConjExponent p

MeasureTheory.eLpNorm u (↑p) μ ≤
  ↑(MeasureTheory.eLpNormLESNormFDerivOneConst μ ↑p) * MeasureTheory.eLpNorm (fderiv ℝ u) 1 μ


Context:
α : Type u_1
i : Nat
l : List α


Context:
α : Type u_9
s : Set (α → Prop)
a : α


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasExt C
X Y : C
HasDerivedCategory C
f : X ⟶ Y

(CategoryTheory.Abelian.Ext.mk₀ f).hom = CategoryTheory.ShiftedHom.mk₀ ↑0 ⋯ ((DerivedCategory.singleFunctor C 0).map f)


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
β : Type u_4
SetLike α β
l : LowerAdjoint SetLike.coe
f : (i : ι) → κ i → α

l.toFun (⋃ i, ⋃ j, ↑(l.toFun ↑(f i j))) = l.toFun (⋃ i, ⋃ j, ↑(f i j))


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X

PerfectSpace X ↔ ∀ (x : X), (𝓝[≠] x).NeBot


Context:
α : Type u_5
self : NonUnitalSeminormedRing α
x y : α


Context:
α : Type u_1
Inhabited α
a : α


Context:
R : Type u_4
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι S M

B.dualSubmodule (B.flip.dualSubmodule (Submodule.span R (Set.range ⇑b))) = Submodule.span R (Set.range ⇑b)


Context:
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
x : S
n : ℕ


Context:
p : ℕ
n : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Semiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R P

Context: N : Submodule R M

Context: h : ∀ s ≤ N, s.FG

Context: s : Submodule R ↥N

Context: f : ↥(Submodule.map N.subtype s) ≃ₗ[R] ↥s

Context: h₁ : (Submodule.map N.subtype s).FG

Context: h₂ : Submodule.map f ⊤ = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Countable ι

Context: u : ι → UniformSpace α

Context: hcomp : ∀ (i : ι), CompleteSpace α

Context: hcount : ∀ (i : ι), (𝓤 α).IsCountablyGenerated

Context: ht₀ : ∃ t₀, T2Space α ∧ ∀ (i : ι), (fun i => UniformSpace.toTopologicalSpace) i ≤ t₀

Context: hut : ∀ (i : ι), UniformSpace.toTopologicalSpace = (fun i => UniformSpace.toTopologicalSpace) i


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑t)