Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: f : α →₀ M


Context: α : Type u_1

Context: AddGroup α

Context: LinearOrder α

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: DenselyOrdered α

Context: a b : α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
b : β
c : γ
f : δ ≃. β
x✝ : δ
a✝ : γ
h : ∀ (a : δ), ¬f a = some b

a✝ ∈ (f.trans (single b c)) x✝ ↔ a✝ ∈ ⊥ x✝


Context:
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
h₀ : 0 < i
hₙ : i < Fin.last n
j : Fin n


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: c : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan X Y

CategoryTheory.IsVanKampenColimit c ↔
  ∀ {X' Y' : C} (c' : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan X' Y') (αX : X' ⟶ X) (αY : Y' ⟶ Y) (f : c'.pt ⟶ c.pt),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp αX c.inl = CategoryTheory.CategoryStruct.comp c'.inl f →
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp αY c.inr = CategoryTheory.CategoryStruct.comp c'.inr f →
        (Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsColimit c') ↔
          CategoryTheory.IsPullback c'.inl αX f c.inl ∧ CategoryTheory.IsPullback c'.inr αY f c.inr)


Context:
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Fintype ι₁
inst✝¹ : Finite ι₂
inst✝ : DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂

(fun i => ((toMatrix b₁ b₂) 0).toMvPolynomial i) = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: a✝ : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: c : T₁.obj₃ ⟶ T₂.obj₃

Context: comm : T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map a✝ = c ≫ T₂.mor₃

Context: a : T₁.invRotate.obj₃ ⟶ T₂.invRotate.obj₃

Context: ha₁ : T₁.invRotate.mor₂ ≫ a = a✝ ≫ T₂.invRotate.mor₂

Context: ha₂ : T₁.invRotate.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map ((shiftFunctor C (-1)).map c) = a ≫ T₂.invRotate.mor₃

∃ b, T₁.mor₁ ≫ b = a✝ ≫ T₂.mor₁ ∧ T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
J : Type u_4
inst✝¹⁵ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝¹³ : Category.{?u.106857, u_3} E
inst✝¹² : Category.{?u.106861, u_4} J
F₁ F₂ F₃ : C ⥤ D
τ : F₁ ⟶ F₂
τ' : F₂ ⟶ F₃
e : F₁ ≅ F₂
G G' : D ⥤ E
τ'' : G ⟶ G'
H : E ⥤ J
A : Type u_5
inst✝¹¹ : AddMonoid A
inst✝¹⁰ : HasShift C A
inst✝⁹ : HasShift D A
inst✝⁸ : HasShift E A
inst✝⁷ : HasShift J A
inst✝⁶ : F₁.CommShift A
inst✝⁵ : F₂.CommShift A
inst✝⁴ : F₃.CommShift A
inst✝³ : G.CommShift A
inst✝² : G'.CommShift A
inst✝¹ : H.CommShift A
inst✝ : CommShift τ A
a : A
X : C

(shiftFunctor D a).map (τ.app X) = (F₁.commShiftIso a).inv.app X ≫ τ.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (F₂.commShiftIso a).hom.app X


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : ℕ → β

Context: a : ℕ → α

Context: n : ℕ

Context: hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m

Context: hg : IsCauSeq abs fun n => ∑ i ∈ range n, a i

Context: ε : α

Context: ε0 : ε > 0

Context: i : ℕ

Context: hi : ∀ j ≥ i, |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2

Context: j : ℕ

Context: ji : j ≥ max n i

Context: hi₁ : |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2

Context: hi₂ : |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) (max n i) - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2

Context: sub_le : |∑ k ∈ range j, a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k| ≤ |∑ k ∈ range j, a k - ∑ k ∈ range i, a k| + |∑ k ∈ range i, a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k|

Context: this : |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| + |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i - ∑ k ∈ range (max n i), a k| < ε

abv ((fun n => ∑ i ∈ range n, f i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) (max n i)) ≤ ∑ k ∈ range j, a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β
g : α → ℕ × β → β
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
n : ℕ
a : α

Nat.rec 0 (fun n_1 n_ih => Nat.rec (encode (Option.map f (decode n_1))) (fun y IH => encode (Option.map (fun p => g p.1 p.2) ((decode n_1).bind fun a => Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode IH.pred)))) (Nat.unpair n).2) (encode (some a)) = encode ((some a).bind fun a => some (Nat.rec (f a) (fun n IH => g a (n, IH)) (Nat.unpair n).2))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type ?u.268667

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : LocalRing R

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : Module R N

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup P

Context: inst✝³ : Module R P

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Context: hg : Surjective ⇑g

Context: h : Exact ⇑f ⇑g

Context: inst✝² : Finite R M

Context: inst✝¹ : Finite R N

Context: inst✝ : Free R N

Context: hf : Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor k f)

Context: this : FinitePresentation R P


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
RingHomInvPair σ σ'
RingHomIsometric σ
RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
CompleteSpace F
CompleteSpace E
hsurj : Function.Surjective ⇑f
s : Set F


Context: a b c d m n i : ℤ


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
C : Set (Set α)
self : μ.FiniteSpanningSetsIn C


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s✝ : Finset α

Context: u✝ v a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: u : α

Context: s : Finset α

filter (fun x => compress u u x ∈ s) s ∪ filter (fun x => x ∉ s) (image (compress u u) s) = s


Context:
α : Type u
s t : Set α
x : α
h1 : x ∈ s
h2 : ¬x ∈ t


Context:
R : Type u_1
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p p' : Submodule R M
h : p ≤ p'

Submodule.map p'.subtype (LinearMap.range (Submodule.inclusion h)) = p


Context:
n : ℕ
a : Fin n
b : Fin (n + 1)

a.succ.predAbove b.succ = (a.predAbove b).succ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
MeasureTheory.SFinite μ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s

(μ ⊗ₘ κ) s = ∫⁻ (a : α), (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' s) ∂μ


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : Set ↑Γ(X, ⊤)

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)

∀ (U V : ↑X.affineOpens), IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V)


Context:
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
ϕ : L →ᴸ L'
M : Type u_1
L.Structure M
L'.Structure M
ϕ.IsExpansionOn M
n : ℕ
R : L.Relations n
x : Fin n → M

FirstOrder.Language.Structure.RelMap (ϕ.onRelation R) x = FirstOrder.Language.Structure.RelMap R x


Context:
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
f : α →o β

OmegaCompletePartialOrder.Continuous' ⇑f ↔ OmegaCompletePartialOrder.Continuous f


Context:
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
φ ψ : PowerSeries R


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
b a✝ : α


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
n : σ →₀ ℕ
φ : MvPowerSeries σ R
a : R

(MvPowerSeries.coeff R n) ((MvPowerSeries.C σ R) a * φ) = a * (MvPowerSeries.coeff R n) φ


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x : E


Context:
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1

log (1 + z) - z = log (1 + z) - logTaylor (1 + 1) z


Context: a b : Int


Context:
l m r : List Char
s : Substring

Substring.ValidFor l m r s → ∀ (n : Nat), Substring.ValidFor l (List.take n m) (List.drop n m ++ r) (s.take n)


Context:
R : Type u_2
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : M


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
TopologicalSpace.SeparableSpace α
PartialOrder α

∃ s, s.Countable ∧ Dense s ∧ (∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s) ∧ ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: E : Type u_5

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp_pos : 0 < p

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ

Context: f_lim : α → E

Context: h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))

Context: h_pow_liminf : liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ) atTop ^ p = liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ ^ p) atTop

liminf (fun n => ∫⁻ (a : α), ↑‖f n a‖₊ ^ p ∂μ) atTop = liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ ^ p) atTop


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f g : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: h : ↑f =ᶠ[ae μ] ↑g

Context: x y : E

Context: hxy : x ≠ y


Context:
α : Type u
x : α


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ

∀ (m : R) (x : B), { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯ }.toFun x


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_5

∀ {x : MeasurableSpace α} (f : α → ℝ≥0∞) (μ : ι → MeasureTheory.Measure α),
  HasSum (fun i => ∫⁻ (a : α), f a ∂μ i) (∫⁻ (a : α), f a ∂MeasureTheory.Measure.sum μ)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
Module R M
Module R N
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
TopologicalSpace N
ContinuousSMul R N
f : M [⋀^ι]→L[R] R
z : N

∀ (a : (i : ι) → (fun x => M) i), (f.smulRight z) a = f a • z


Context:
α : Type u_2
DecidableEq α
k : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)


SetTheory.PGame.star.RightMoves = PUnit.{u_1 + 1}


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel g.SameCycle
h : f.SameCycle x y
z : α


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ f' : G → E

Context: g✝ g' : G → E'

Context: x✝ x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup P

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 P

Context: μ : Measure G

Context: L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: n : ℕ∞

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: s : Set P

Context: v : P → G

Context: hv : ContDiffOn 𝕜 n v s

Context: f : G → E

Context: g : P → G → E'

Context: k : Set G

Context: hs : IsOpen s

Context: hk : IsCompact k

Context: hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)

Context: x : P

Context: hx : x ∈ s

x ∈ (fun x => (_root_.id x, v x)) ⁻¹' s ×ˢ univ


Context:
β : Type v
UniformSpace β
α : Type u_1
f : α → β
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ s

Filter.comap (Prod.map f f) (𝓤 β) = 𝓟 idRel


Context: f : ℕ → ℂ

Context: l : ℂ

Context: h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)

Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Context: s : ℕ → ℂ := fun n => ∑ i ∈ range n, f i

Context: k : Tendsto (fun x => ∑ i ∈ range x, f i - ∑ i ∈ range x, f i * z ^ i) atTop (𝓝 (l - ∑' (b : ℕ), f b * z ^ b))

Tendsto (fun n => (1 - z) * ∑ i ∈ range n, (l - ∑ j ∈ range (i + 1), f j) * z ^ i) atTop (𝓝 (l - ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n))


Context:
K : Type u
CommRing K
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP K p
x y : ℕ


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D

Context: F : C ⥤ D

Context: F.PreservesZeroMorphisms

Context: X Y : C

Context: b : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Nontrivial S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
b : Basis ι S M
m : M

m ∈ span R (range ⇑b) ↔ ∀ (i : ι), (b.repr m) i ∈ range ⇑(algebraMap R S)


Context:
m n : ℕ+
k l : ℕ
h : m.Coprime n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b : α
s : Finset α
a : α


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (X.mul ▷ M.X) ((α_ X.X X.X M.X).hom ≫ X.X ◁ M.actLeft) ≫ LeftUnitorBimod.hom M ≫ f.hom ≫ LeftUnitorBimod.inv N


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: v : Fin (n + 1) → E

Context: hv : Pairwise fun i j => ⟪v i, v j⟫_ℝ = 0

Context: this : FiniteDimensional ℝ E

Context: hdim : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)

Context: b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis hdim v

Context: hb : b.toBasis.det v = ∏ i : Fin n.succ, ⟪b i, v i⟫_ℝ

|o.volumeForm v| = ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖


Context:
E : Type u_1
SeminormedCommGroup E
δ : ℝ
s : Set E

s / Metric.ball 1 δ = Metric.thickening δ s


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m n m' : M
f : m ⟶ m'
X : C

(F.μIso m n).inv.app X ≫ (F.obj n).map ((F.map f).app X) = (F.map (f ▷ n)).app X ≫ (F.μIso m' n).inv.app X


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: AddCommMonoid α

Context: TopologicalSpace α

Context: f : β → α

Context: a : α

Context: g : γ → α

Context: e : ↑(Function.support f) ≃ ↑(Function.support g)

Context: he : ∀ (x : ↑(Function.support f)), g ↑(e x) = f ↑x


Context:
α : Type u
p q : α → Prop

{x | x ∈ {y | p y} ∧ q x} = {x | p x ∧ q x}


Context:
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
h : π.IsPartition


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R

∀ (b : ℕ), 1 ≤ b → seminormFromConst_seq c f x b ≤ f x


Context:
X : Type u_1
MetricSpace X
CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y

∃ ε' > 0, ∃ x', ε' ≤ ε ∧ d x' x ≤ 2 * ε ∧ ε * ϕ x ≤ ε' * ϕ x' ∧ ∀ (y : X), d x' y ≤ ε' → ϕ y ≤ 2 * ϕ x'


Context:
α : Type u
c d : Cardinal.{u}


Context: X : TopCat

∀ (Z B : LightProfinite) (π : Z ⟶ B) [inst : EffectiveEpi π], QuotientMap ⇑(LightProfinite.toTopCat.map π)


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U : X.Opens
r : ↑Γ(X, U)

U.ι ''ᵁ (↑U).basicOpen (U.topIso.inv r) = X.basicOpen r


Context:
α : Type u_1
M : Type u_4
One M
s : Set α
a : α
h : a ∉ s
f : α → M


Context:
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) 1 ≠ 0


Context:
α : Type u
L₁ L₂ L₃ : List (α × Bool)

FreeAddGroup.Red.Step L₁ L₂ → FreeAddGroup.Red.Step (L₁ ++ L₃) (L₂ ++ L₃)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.46503, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hF : Presheaf.IsSheaf J F

Context: R : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: α : G.op ⋙ R ⟶ F

Context: hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension

Context: X : D

Context: S : K.Cover X

Context: s : Multifork (S.index R)

Context: W : A

Context: f g : W ⟶ R.obj (op X)

Context: h : ∀ (i : S.Arrow), f ≫ R.map i.f.op = g ≫ R.map i.f.op

∀ (j : StructuredArrow (op X) G.op), f ≫ ((Functor.RightExtension.mk R α).coneAt (op X)).π.app j = g ≫ ((Functor.RightExtension.mk R α).coneAt (op X)).π.app j


Context:
σ R : Type u
inst✝ : CommSemiring R

max (max (lift.{u, u} #R) (lift.{u, u} #σ)) ℵ₀ ≤ max (max #R #σ) ℵ₀


Context: α : Type u_6

Context: β : Type u_7

Context: ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: f : Filter α

Context: u : α → β

Context: x : β

Context: h₁ : Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u := by isBoundedDefault

Context: h₂ : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u := by isBoundedDefault

Filter.limsup u f ≤ x ↔ ∀ y > x, ∀ᶠ (a : α) in f, u a < y


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z


Context:
S : Type u_1
Semiring S
l : List S[X]
n : ℕ
hl : ∀ p ∈ l, p.natDegree ≤ n

l.prod.coeff (l.length * n) = (List.map (fun p => p.coeff n) l).prod


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} D
L✝ : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L✝.IsLocalization W
X Y : C
φ : W.LeftFraction X Y
L : C ⥤ D
hL : W.IsInvertedBy L

(inv (L.map φ.s)).op ≫ (L.map φ.f).op = inv (L.map φ.s).op ≫ (L.map φ.f).op


Context:
R : Type u
CommRing R
x y z : R


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b : G
hb : b ∈ doset a ↑H ↑K


Context:
n : ℕ
x : ℝ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s : Set X
h : IsPreconnected s
hs : s.Nontrivial
hf : s.Finite
this : DiscreteTopology ↑s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s : Finset α

Context: h : (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length - 1 < (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length

Context: H : s.Nonempty

Context: l : List α := sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s

(sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).get ⟨(sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length - 1, h⟩ ≤ s.max' H


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S

((optionEquivLeft R (n × n)).symm (univ R n)).IsHomogeneous (Fintype.card n)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R

(map (fun x => X + C (-x)) s).prod = ∑ j ∈ Finset.range (card s + 1), (-1) ^ j * (C (s.esymm j) * X ^ (card s - j))


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
NormedLinearOrderedField K
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
b : Basis ι K E
FloorRing K
Fintype ι
x : E

Zspan.fract b x ∈ Zspan.fundamentalDomain b


Context:
M : Type u_1
Monoid M
MeasurableSpace M
MeasurableMul₂ M
μ ν ρ : MeasureTheory.Measure M
MeasureTheory.SFinite μ
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite ρ


Context:
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
ha₁ : n < p ^ a
ha₂ : k < p ^ a

n.choose k ≡ ∏ i ∈ range a, (n / p ^ i % p).choose (k / p ^ i % p) [MOD p]


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
i : Γ
hx : x ≠ 0
hi : i ∈ x.support


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P

EuclideanGeometry.angle p₁ p₂ p₃ = 0 ↔ p₁ = p₃ ∧ p₁ ≠ p₂ ∨ Sbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ Sbtw ℝ p₂ p₃ p₁


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X

(⨅ s, ⨅ (_ : IsClosed s ∧ IsLindelof s), 𝓟 sᶜ).HasBasis (fun s => IsClosed s ∧ IsLindelof s) compl


Context:
α : Type u_1
CancelMonoidWithZero α
a b c : α
ha : a ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F E

Context: v : Fin n → F

Context: A : univ = {c | 1 < c.length}.toFinset ∪ {Composition.single n hn}

Context: B : Disjoint {c | 1 < c.length}.toFinset {Composition.single n hn}

Context: C : (p (Composition.single n hn).length) (q.applyComposition (Composition.single n hn) v) = (p 1) fun x => (q n) v

(p.comp q n) v = ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, (p c.length) (q.applyComposition c v) + (p 1) fun x => (q n) v


Context:
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
h1 : Disjoint H K
h2 : ↑H * ↑K = Set.univ


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : OrderedRing R

Context: inst✝⁴ : StarRing R

Context: inst✝³ : StarOrderedRing R

Context: inst✝² : Algebra ℝ R

Context: inst✝¹ : OrderedSMul ℝ R

Context: inst✝ : StarModule ℝ R

Context: A₀ A₁ B₀ B₁ : R

Context: T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁

Context: M : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x

Context: P : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀

Context: Q : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁

Context: w : √2 ^ 3 • 1 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁ = (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)

Context: pos : 0 ≤ (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)

0 ≤ √2 ^ 3 • 1 - (A₀ * B₀ + A₀ * B₁ + A₁ * B₀ - A₁ * B₁)


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
w₁ w₂ w₃ p₁ p₂ p₃ : ℝ≥0

w₁ + w₂ + w₃ = 1 → p₁ ^ ↑w₁ * p₂ ^ ↑w₂ * p₃ ^ ↑w₃ ≤ w₁ * p₁ + w₂ * p₂ + w₃ * p₃


Context:
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedCommRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → 𝔸

NormedSpace.exp 𝕂 (∑ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, NormedSpace.exp 𝕂 (f i)


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: t : CategoryTheory.Limits.Fork f g

Context: lift : (s : CategoryTheory.Limits.Fork f g) → s.pt ⟶ t.pt

Context: fac : ∀ (s : CategoryTheory.Limits.Fork f g), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (lift s) t.ι = s.ι

Context:
uniq :
  ∀ (s : CategoryTheory.Limits.Fork f g) (m : s.pt ⟶ t.pt), CategoryTheory.CategoryStruct.comp m t.ι = s.ι → m = lift s

Context: s : CategoryTheory.Limits.Fork f g

(CategoryTheory.Limits.Fork.IsLimit.mk t lift fac uniq).lift s = lift s


Context:
α : Type u_1
Monoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α


Context:
F : Type w
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
f : F
s : NonUnitalSubring R


Context:
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder Γ✝
inst✝² : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝¹ : Zero Γ
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x + y ≠ 0
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
CompleteLattice β
Countable ι
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x


Context:
p m n : ℕ
pp : Nat.Prime p
h : p ∣ m ^ n


Context:
m : Type u_1 → Type u_2
σ α β : Type u_1
Monad m
x : StateT σ m α
f : α → StateT σ m β
s : σ

(x >>= f).run s = do
  let p ← x.run s
  (f p.fst).run p.snd


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: CommRing R

Context: CommRing S

Context: Algebra R S

Context: g : R[X]

Context: pb : PowerBasis R S

Context: h₁ : (Polynomial.aeval (AdjoinRoot.root g)) (minpoly R pb.gen) = 0

Context: h₂ : (Polynomial.aeval pb.gen) g = 0

↑(AdjoinRoot.equiv' g pb h₁ h₂) = AdjoinRoot.liftHom g pb.gen h₂


Context: a b c : Ordinal.{u_1}

Context: ba : b + a = a

Context: l : c.IsLimit

Context: IH : ∀ c' < c, (a + b) * succ c' = a * succ c' + b

Context: c' : Ordinal.{u_1}

Context: h : c' < c


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z Z' : C
h : Z ⟶ Z'

(𝟙 (X ⊗ Y) ⊗ h) ≫ (α_ X Y Z').hom = (α_ X Y Z).hom ≫ (𝟙 X ⊗ 𝟙 Y ⊗ h)


Context: R : Type u

Context: Ring R

Context: X₁ X₂ X₃ : ModuleCat R

Context: f : X₁ ⟶ X₂

Context: g : X₂ ⟶ X₃

Context: hfg : LinearMap.range f ≤ LinearMap.ker g

(CategoryTheory.ShortComplex.moduleCatMkOfKerLERange f g hfg).X₃ = X₃


Context:
Γ₀ : Type u_2
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀


Context:
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedGroup A
n : ℕ
δ : ℝ
a : A

a ∈ approxOrderOf A n δ ↔ ∃ b, orderOf b = n ∧ a ∈ ball b δ


Context:
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f g : CauchyFilter α
a b : α
ha : ↑f ≤ 𝓝 a
hb : ↑g ≤ 𝓝 b


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
g : E → F
c : ℝ≥0
Fact (1 ≤ p)
hg : LipschitzWith c g
g0 : g 0 = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l✝ : List α

Context: x✝ x y x' y' : α

Context: l l' : List α

Context: hd : (x :: y :: l).Nodup

Context: hd' : (x' :: y' :: l').Nodup

Context: h : (x :: y :: l).formPerm = (x' :: y' :: l').formPerm


Context:
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
inst✝¹ : CommMonoid β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
e : ι → κ
he : Set.InjOn e ↑s
hest : Set.MapsTo e ↑s ↑t
h' : ∀ i ∈ t, i ∉ e '' ↑s → g i = 1
h : ∀ i ∈ s, f i = g (e i)


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
H : Subgroup G
a b : α
h : ⟦a⟧ = ⟦b⟧


Context:
X : Type u_3
Z : Type u_5
β : Type u_6
MeasurableSpace X
StandardBorelSpace X
MeasurableSpace β
MeasurableSpace Z
MeasurableSpace.CountablySeparated Z
f : X → Z
hf : Measurable f
hsurj : Function.Surjective f
g : Z → β


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.46503, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hF : Presheaf.IsSheaf J F

Context: R : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: α : G.op ⋙ R ⟶ F

Context: hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension

Context: X : D

Context: S : K.Cover X

Context: s : Multifork (S.index R)

Context: W✝ : A

Context: f g : W✝ ⟶ R.obj (op X)

Context: h : ∀ (i : S.Arrow), f ≫ R.map i.f.op = g ≫ R.map i.f.op

Context: j : StructuredArrow (op X) G.op

Context: W : C

Context: i : W ⟶ unop j.right

Context: hi : (GrothendieckTopology.Cover.sieve ⟨Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback j.hom.unop ↑S), ⋯⟩).arrows i

Context: eq : f ≫ R.map (j.hom ≫ (G.map i).op) = g ≫ R.map (j.hom ≫ (G.map i).op)

(f ≫ R.map j.hom ≫ α.app j.right) ≫ F.map i.op = (g ≫ R.map j.hom ≫ α.app j.right) ≫ F.map i.op


Context:
α : Type u_1
AddGroupWithOne α
n : ZNum


Context:
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ


Context:
α : Type u_1
p q : Perm α
n : ℤ
x : α
hx : ¬(p ^ n) x = x
H : p x = x


Context: x : ℤ[i]

{ re := ↑(star x).re, im := ↑(star x).im } = (starRingEnd ℂ) { re := ↑x.re, im := ↑x.im }


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : IsDomain S

Context: inst✝⁵ : Nontrivial S

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝³ : Module.Free ℤ S

Context: inst✝² : Module.Finite ℤ S

Context: I : Ideal S

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : EquivLike E S ↥I

Context: inst✝ : AddEquivClass E S ↥I

Context: e : E

Context: hI : ¬I = ⊥

Context: ι : Type u_1 := Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S

Context: b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ S := Module.Free.chooseBasis ℤ S

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: this✝¹ : Fintype (S ⧸ I) := I.fintypeQuotientOfFreeOfNeBot hI

Context: this✝ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι

Context: a : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S → ℤ := smithCoeffs b I hI

Context: b' : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ S := ringBasis b I hI

Context: ab : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ ↥I := selfBasis b I hI

Context: ab_eq : ∀ (i : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S), ↑((selfBasis b I hI) i) = smithCoeffs b I hI i • (ringBasis b I hI) i

Context: e' : S ≃ₗ[ℤ] ↥I := b'.equiv ab (Equiv.refl (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S))

Context: f : S →ₗ[ℤ] S := ↑ℤ (Submodule.subtype I) ∘ₗ ↑e'

Context: f_apply : ∀ (x : S), f x = ↑((b'.equiv ab (Equiv.refl (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S))) x) := fun x => rfl

Context: ha : ∀ (i : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S), f (b' i) = a i • b' i

Context: this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι

((LinearMap.toMatrix b' b') f).det.natAbs = (Matrix.diagonal a).det.natAbs


Context:
K : Type u
Field K
G : Type u_1
Group G
MulSemiringAction G K
g : G
S : ValuationSubring K
x : K

x ∈ g • S ↔ g⁻¹ • x ∈ S


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → E
p : ℝ≥0∞
hf : Memℒp f p μ
hp : 1 ≤ p
x : X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

MeasureTheory.SignedMeasure.ExistsOneDivLT s i (MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))

Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), ↑‖↑↑i (x, y) - ↑↑g (x, y)‖₊ ∂η (a, x) ∂κ a) (𝓝 g) (𝓝 0)


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty Cᵒᵖ
hP : P.StableUnderBaseChange


Context:
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
L : Type u_8
RCLike L
f : α → L
g : β → L

∫ (z : α × β), f z.1 * g z.2 ∂μ.prod ν = (∫ (x : α), f x ∂μ) * ∫ (y : β), g y ∂ν


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Abelian C

Context: P Q : C

Context: f : P ⟶ Q

Context: x y : CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement P

CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply f x = CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply f y →
  ∃ z,
    CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply f z = 0 ∧
      ∀ (R : C) (g : P ⟶ R),
        CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply g y = 0 →
          CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply g z = CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply g x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : β →. γ
g : α →. β
a : α


Context:
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α

x ∈ Metric.cthickening δ s ↔ EMetric.infEdist x s ≤ ENNReal.ofReal δ


Context: R : Type u

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: X₁ X₂ X₃ : ModuleCat R

Context: f : X₁ ⟶ X₂

Context: g : X₂ ⟶ X₃

Context: hfg : LinearMap.range f = LinearMap.ker g


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
b : E × F → G
u : Set (E × F)
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 b


Context:
α : Type u_1
M : IndepMatroid α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y
t : Set Y
h : MapsTo f s t
hc : Continuous f


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → F →L[ℝ] F'

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f : α →ₛ G

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: g : G → F

Context: hg : g 0 = 0

Context: T_empty : T ∅ = 0

Context: hfp : ∀ x ∈ f.range, x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤

∑ x ∈ Finset.image g f.range, (T (↑(map g f) ⁻¹' {x})) x = ∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)


Context:
α : Type u
β : Type v
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s t : Set α
f : α → β
hf : LipschitzOnWith K f t
h : s ⊆ t


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ ν : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
h : MeasureTheory.Memℒp f p (μ + ν)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

(α_ P.X S.X S.X).hom ≫ (α_ P.X S.X S.X).inv ≫ P.actRight ▷ S.X ≫ P.actRight = coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ▷ S.X ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ ▷ S.X ≫ P.actRight


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
f : α → Computation β
g : β → Computation γ

((s.bind f).bind g = s.bind fun x => (f x).bind g) ∨ ∃ s_1, (s.bind f).bind g = (s_1.bind f).bind g ∧ (s.bind fun x => (f x).bind g) = s_1.bind fun x => (f x).bind g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
m : Measure (Measure α)
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

⨆ n, ∑ x ∈ (SimpleFunc.eapprox f n).range, x * ∫⁻ (μ : Measure α), μ (↑(SimpleFunc.eapprox f n) ⁻¹' {x}) ∂m = ∫⁻ (μ : Measure α), ⨆ n, ∑ x ∈ (SimpleFunc.eapprox f n).range, x * μ (↑(SimpleFunc.eapprox f n) ⁻¹' {x}) ∂m


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
hU : IsClosed U


Context:
G : Type u_1
α : Type u_3
AddGroup G
AddAction G α
s : Set α

s \ MeasureTheory.addFundamentalFrontier G s = MeasureTheory.addFundamentalInterior G s


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: X Y : C

Context: t : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y

Context: ht : CategoryTheory.Limits.IsColimit t.toCocone

t.fst = ht.desc (CategoryTheory.Limits.BinaryCofan.mk (𝟙 X) 0)


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝ : SFinite μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t

(μ.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ) t = (⊤ • μ.toFinite.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ) t


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
h : f.HasEigenvalue μ
n : ℕ


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
K : CochainComplex C ℤ
a b ab : ℤ
h : a + b = ab
n : ℤ

((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) a b ab h).hom.app K).f n = (HomologicalComplex.XIsoOfEq K ⋯).hom


Context:
M : Type u_1
AddMonoid M
MeasurableSpace M
μ : MeasureTheory.Measure M


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : ClosedEmbedding f
s : Set X


Context:
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
A : Matrix n' n' R
h : IsUnit A.det
n : ℤ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder α
Preorder β
Preorder γ
g : β → γ
f : α → β
hg : StrictMono g
hf : StrictAnti f


Context:
n : ℕ
NeZero n
i : ZMod (2 * n)

orderOf (QuaternionGroup.a i) = 2 * n / (2 * n).gcd i.val


Context: I : Type w₁

Context: C : I → Type u₁

Context: (i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)

Context: i : I

Context: X Y Z : C i

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

(CategoryTheory.Sigma.SigmaHom.mk f).comp (CategoryTheory.Sigma.SigmaHom.mk g) =
  CategoryTheory.Sigma.SigmaHom.mk (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_3

Context: A : ι → Type u_4

Context: CommSemiring R

Context: (i : ι) → Semiring (A i)

Context: (i : ι) → Algebra R (A i)

Context: S : Type u_5

Context: Semiring S

Context: Algebra R S

Context: f : MultilinearMap R A S

Context: one : f 1 = 1

Context: mul : ∀ (x y : (i : ι) → A i), f (x * y) = f x * f y

Context: a : ⨂[R] (i : ι), A i

(PiTensorProduct.liftAlgHom f one mul) a = (PiTensorProduct.lift f) a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2

Infinite (α × β) ↔ Infinite α ∧ Nonempty β ∨ Nonempty α ∧ Infinite β


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
h : IsBoundedLinearMap 𝕜 f

HasFDerivWithinAt f h.toContinuousLinearMap s x


Context:
R : Type u
M : Type v
AddCommGroup M
Ring R
Module R M
S : Submodule R M
S.IsPrincipal

Submodule.span R {Submodule.IsPrincipal.generator S} = S


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S F E✝ E'✝ : IntermediateField K L
h : F ≤ E✝
h' : F ≤ E'✝
x : L
E E' : { E // F ≤ E }

extendScalars ⋯ ≤ extendScalars ⋯ ↔ E ≤ E'


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: q r : ℚ

Context: hqr : q + r ≠ 0

Context: h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r

Context: hq : ¬q = 0

Context: hr : ¬r = 0

Context: hqn : q.num ≠ 0

Context: hqd : ↑q.den ≠ 0

Context: hrn : r.num ≠ 0

Context: hrd : ↑r.den ≠ 0

Context: hqreq : q + r = (q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) /. (↑q.den * ↑r.den)


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
a : A 0
n : ℕ


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace V

Context: inst✝³ : BorelSpace V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf1 : Continuous f

Context: hf2 : HasCompactSupport f

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: R : ℝ

Context: hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0

Context: A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}

Context: mA : MeasurableSet A

Context: B : ℝ≥0

Context: hB_pos : 0 < B

Context: hB_vol : volume A ≤ ↑B

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : δ > 0

Context: hδ2 : ∀ {a b : V}, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε / ↑B

Context: w : V

Context: hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖

Context: hw_ne : w ≠ 0

Context: hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)

Context: this : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹


Context:
n : ℕ
h : 0 < n
NeZero n


Context:
F : Type u
Field F
DecidableEq F
h2 : 2 = 0

EllipticCurve.ofJ 0 = EllipticCurve.ofJ0 F


Context:
R : Type u
Semiring R
f : R[X]
n : ℕ

Polynomial.X ^ n ∣ f ↔ ∀ d < n, f.coeff d = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ✝ : Type w
ι : Sort x
γ : Type u_1
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β
g : β → γ
hf : BddAbove (range f)
hg : Monotone g


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝³³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³² : AddCommMonoid N

Context: inst✝³¹ : CommSemiring R

Context: inst✝³⁰ : CommSemiring S

Context: inst✝²⁹ : Algebra R S

Context: inst✝²⁸ : Module R M

Context: inst✝²⁷ : Module R N

Context: inst✝²⁶ : Module S N

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: h : IsBaseChange S f✝

Context: P : Type u_2

Context: Q : Type u_3

Context: inst✝²⁴ : AddCommMonoid P

Context: inst✝²³ : Module R P

Context: inst✝²² : AddCommMonoid Q

Context: inst✝²¹ : Module S Q

Context: T : Type u_4

Context: O : Type u_5

Context: inst✝²⁰ : CommSemiring T

Context: inst✝¹⁹ : Algebra R T

Context: inst✝¹⁸ : Algebra S T

Context: inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O

Context: inst✝¹⁵ : Module R O

Context: inst✝¹⁴ : Module S O

Context: inst✝¹³ : Module T O

Context: inst✝¹² : IsScalarTower S T O

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O

Context: R' : Type u_6

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S'

Context: inst✝⁷ : Algebra R R'

Context: inst✝⁶ : Algebra S S'

Context: inst✝⁵ : Algebra R' S'

Context: inst✝⁴ : Algebra R S'

Context: inst✝³ : IsScalarTower R R' S'

Context: inst✝² : IsScalarTower R S S'

Context: H : IsPushout R S R' S'

Context: A : Type u_8

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f : S →ₐ[R] A

Context: g : R' →ₐ[R] A

Context: hf : ∀ (x : S) (y : R'), f x * g y = g y * f x

Context: this✝² : Module S A := Module.compHom A f.toRingHom

Context: this✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: this✝ : IsScalarTower S A A

Context: this : ∀ (x : R'), (⋯.lift g.toLinearMap) ((algebraMap R' S') x) = g x


Context:
α : Type u_1
s t u : Multiset α


Context: R : Type u

Context: ι : Type w

Context: s : Finset ι

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: f : ι → R[X]

Context: t✝ : Multiset R[X]

Context: a : R[X]

Context: t : Multiset R[X]

Context: ih : (Multiset.map leadingCoeff t).prod ≠ 0 → t.prod.leadingCoeff = (Multiset.map leadingCoeff t).prod

Context: h : a.leadingCoeff * (Multiset.map leadingCoeff t).prod ≠ 0

a.leadingCoeff * t.prod.leadingCoeff ≠ 0


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
Zero α


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_3
σ : Type u_4
DecidableEq ι
AddCommMonoid M
SetLike σ M
AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
DirectSum.Decomposition ℳ
x : M
i j : ι
hx : x ∈ ℳ i
hij : i ≠ j


Context:
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
S : StarSubalgebra R A


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
M : Type w'
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : M ⊨ T
p : T.CompleteType α


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
φ : A →+ B
inst✝ : HasShift C B
X : PullbackShift C φ
a₁ a₂ a₃ : A
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : B
h₁ : b₁ = φ a₁
h₂ : b₂ = φ a₂
h₃ : b₃ = φ a₃

(shiftFunctorZero (PullbackShift C φ) A).hom.app X = (pullbackShiftIso C φ 0 0 ⋯).hom.app X ≫ (shiftFunctorZero C B).hom.app X


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: X : C

Context: hX : CategoryTheory.Limits.IsTerminal X


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: t : Set E

Context: f : α → E

Context: hf : ∀ (c : Dual 𝕜 E), (fun x => c (f x)) =ᶠ[ae μ] 0

Context: h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t

Context: d : Set E

Context: d_count : d.Countable

Context: hd : t ⊆ closure d

Context: this : Encodable ↑d

Context: s : ↑d → E →L[𝕜] 𝕜

Context: hs : ∀ (x : ↑d), ‖s x‖ ≤ 1 ∧ (s x) ↑x = ↑‖↑x‖

Context: A : ∀ a ∈ t, (∀ (x : ↑d), (s x) a = 0) → a = 0

Context: hfs : ∀ (y : ↑d), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (s y) (f x) = 0

Context: hf' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (y : ↑d), (s y) (f x) = 0


Context: α : Type u_1

Context: Ring α

Context: n : ℕ

Context: a a' : α

Context: h : Mathlib.Meta.NormNum.IsInt a (Int.ofNat n)

Context: e : ↑n = a'


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Nontrivial S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
b : Basis ι S M
m : ↥(span R (range ⇑b))
i : ι

(algebraMap R S) (((restrictScalars R b).repr m) i) = (b.repr ↑m) i


Context:
R : Type u_1
Rack R
x y : R

MulOpposite.op x ◃⁻¹ MulOpposite.op y = MulOpposite.op (x ◃ y)


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Primcodable α

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: c : α → Code

Context: hc : Primrec c

Context: z : α → σ

Context: hz : Primrec z

Context: s : α → σ

Context: hs : Primrec s

Context: l : α → σ

Context: hl : Primrec l

Context: r : α → σ

Context: hr : Primrec r

Context: pr : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpr : Primrec₂ pr

Context: co : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hco : Primrec₂ co

Context: pc : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpc : Primrec₂ pc

Context: rf : α → Code × σ → σ

Context: hrf : Primrec₂ rf

Context: PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)

Context: CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)

Context: PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)

Context: RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)

Context: F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)

Context: G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)

Context: this✝ : Primrec G₁

Context: G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)

Context: this : Primrec₂ G


Context: R : Type u_1

Context: M₁ : Type u_2

Context: M₂ : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: CommRing R

Context: AddCommGroup M₁

Context: AddCommGroup M₂

Context: AddCommGroup N

Context: Module R M₁

Context: Module R M₂

Context: Module R N

Context: Q₁ : QuadraticForm R M₁

Context: Q₂ : QuadraticForm R M₂

Context: Qₙ : QuadraticForm R N

Context: f₁ : Q₁ →qᵢ Qₙ

Context: f₂ : Q₂ →qᵢ Qₙ

Context: hf : ∀ (x : M₁) (y : M₂), QuadraticMap.IsOrtho Qₙ (f₁ x) (f₂ y)

Context: m₁ : CliffordAlgebra Q₁

Context: m₂ : CliffordAlgebra Q₂

Context: i₁ : ZMod 2

Context: hm₁ : m₁ ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q₁ i₁

Context: hm₂ : m₂ ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q₂ 0

Commute ((CliffordAlgebra.map f₁) m₁) ((CliffordAlgebra.map f₂) m₂)


Context: ι✝ : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t✝ : ι✝ → Finset α

Context: inst✝ : Fintype ι✝

Context: ι : Type u

Context: t : ι → Finset α

Context: s : Finset ι

Context: hus : s.card = (s.biUnion t).card

Context: ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card

Context: s' : Finset ↑(↑s)ᶜ

Context: this : DecidableEq ι

s'.card ≤ (s'.biUnion fun x' => t ↑x' \ s.biUnion t).card


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
b : P
c : k

(s.weightedVSubOfPoint p b) (c • w) = c • (s.weightedVSubOfPoint p b) w


Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : Monoid M

Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: F : Type v

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : MulSemiringAction M F

Context: inst✝ : MulSemiringAction G F

Context: m : M

Context: s✝ : Finset F

Context: this : IsEmpty ↑↑∅

Context: a : F

Context: s : Finset F

Context: has : a ∉ s

Context: ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i

Context: hs : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (b : ↑↑s) => ↑b) ∧ a ∉ Submodule.span ↥(subfield G F) ↑s

Context: l : F →₀ F

Context: hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s

Context: hla : ∑ i ∈ s, l i • (toFun G F) i = (toFun G F) a


Context: G : Type u_1

Context: Group G

Context: p : ℕ

Context: P : Sylow p G

Context: hP : (↑P).normalizer ≤ Subgroup.centralizer ↑P

Context: Fact (Nat.Prime p)

Context: Finite (Sylow p G)

Context: (↑P).FiniteIndex

Context: g : G

Context: hg : g ∈ P

(MonoidHom.transferSylow P hP) g = ⟨g ^ (↑P).index, ⋯⟩


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α

Context: s : Set (WithTop α)

Context: hs : s = ∅


Context:
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
S : IntermediateField F E
h : S.FG


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x y : α

Context: h : x < y

Context: this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α

Context: this : OrderTopology α

Context: h' : 𝓝[<] y ≠ ⊥


Context:
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => x - a) '' Set.Icc b c = Set.Icc (b - a) (c - a)


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂

∡ p₁ s.center p₂ = ↑π - 2 • ∡ s.center p₂ p₁


Context:
α : Type u
β : Type v
e : α ≃ β
Add β
Mul β
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α → β
G : Type u_6
Group G
MulAction G β
ContinuousConstSMul G β
c : G

MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => c • f x) μ ↔ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ


Context:
M : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
TopologicalSpace M
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
SMul M X
ContinuousSMul M X
f : Y → M
g : Y → X
hf : Continuous f
hg : Continuous g


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s t : TopologicalSpace.CompactOpens α


Context:
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x y : R
p : ℕ
hp : Odd p

↑p ^ 2 ∣ ∑ i ∈ range p, (a + ↑p * b) ^ i * a ^ (p - 1 - i) - ↑p * a ^ (p - 1)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: p : F[X]

Context: sp : Polynomial.IsSplittingField F E p

Context: hp : p.Separable

Context: hFE : FiniteDimensional F E

Context: this : DecidableEq E := Classical.decEq E

Context: s : Set E := p.rootSet E

Context: adjoin_root : IntermediateField.adjoin F s = ⊤

Context: P : IntermediateField F E → Prop := fun K => Fintype.card (↥K →ₐ[F] E) = finrank F ↥K


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: x✝ : Cᵒᵖ

colimMap (J.diagramNatTrans (𝟙 P) (unop x✝)) = (𝟙 { obj := fun X => colimit (J.diagram P (unop X)), map := fun {X Y} f => colimMap (J.diagramPullback P f.unop) ≫ colimit.pre (J.diagram P (unop Y)) (J.pullback f.unop).op, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).app x✝


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: S : (CategoryTheory.ShortComplex C)ᵒᵖ

(CategoryTheory.ShortComplex.opFunctor C).obj S = (Opposite.unop S).op


Context:
G : Type w
α : Type u
TopologicalSpace G
Div G
ContinuousDiv G
TopologicalSpace α
f g : α → G
s : Set α
x : α
hf : ContinuousWithinAt f s x
hg : ContinuousWithinAt g s x

ContinuousWithinAt (fun x => f x / g x) s x


Context:
α : Type u_5
NonUnitalNonAssocSemiring α
x y : CentroidHom α


Context:
V : Type u
a b : V
s : Set (SimpleGraph V)
hs : s.Nonempty


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
CategoryTheory.Balanced C
hS : S.Exact
h : S.LeftHomologyData
CategoryTheory.Mono S.f


Context:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S✝ S T : Subgroupoid C
h : S ≤ T
s t : ↑S.objs
x✝¹ x✝ : s ⟶ t
f : ↑s ⟶ ↑t
hf : f ∈ S.arrows ↑s ↑t
g : ↑s ⟶ ↑t
hg : g ∈ S.arrows ↑s ↑t


Context:
x x₁✝ x₂✝ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y'✝ : PGame
h : IH1 x y
x₁ x₂ y' : PGame
h₁ : x₁.IsOption (-x)
h₂ : x₂.IsOption (-x)
hy : y' = y ∨ y'.IsOption y


Context:
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace β
Group α
MulAction α β
ContinuousConstSMul α β
s : Set α
t : Set β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: TopologicalSpace α

Context: Preorder α

Context: OrderClosedTopology α

Context: SemilatticeInf β

Context: f : β → α

Context: a : α

Context: hf : Monotone f

Context: ha : Filter.Tendsto f Filter.atBot (𝓝 a)

Context: b : β


Context: ι : Type u_1

Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: c : ComplexShape ι

Context: K L K' L' : HomologicalComplex C c

Context: φ : K ⟶ L

Context: φ' : K' ⟶ L'

Context: e : CategoryTheory.Arrow.mk φ ≅ CategoryTheory.Arrow.mk φ'

Context: ∀ (i : ι), K.HasHomology i

Context: ∀ (i : ι), L.HasHomology i

Context: ∀ (i : ι), K'.HasHomology i

Context: ∀ (i : ι), L'.HasHomology i


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt : ℝ

IsIntegralCurveOn γ v s ↔ IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x + dt) v {t | t + dt ∈ s}


Context:
n : ℕ
NeZero n
a : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_2
E : Type u_1
OrderedSemiring 𝕜
OrderedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
OrderedSMul 𝕜 E
TopologicalSpace E
OrderClosedTopology E

↑↑(ProperCone.positive 𝕜 E) = ConvexCone.positive 𝕜 E


Context:
n k : ℕ
h : k.succ ≤ n.succ

(n.succ - k.succ)! * n.succ.descFactorial k.succ = n.succ !


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : DecidableEq ι
hi : i ∈ s
f : (j : ι) → α j
a : α i
t : (j : ι) → α j → Set (β j)


Context: n d : PosNum

↑(↑n.pred' / ↑d).succ = ↑(↑n.pred' / (↑d.pred' + 1)).succ


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C

Context: CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D

Context: A : Type u_5

Context: AddMonoid A

Context: CategoryTheory.HasShift D A

Context: F G : CategoryTheory.SingleFunctors C D A

Context: f g : F ⟶ G

Context: h : f.hom = g.hom


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
Field A
Ring B
Algebra A B
x : B
IsReduced B


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f✝ : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x✝ y✝ z✝ : E
f : 𝕜 → β
x y z : 𝕜
hf : ConcaveOn 𝕜 (Set.Icc x y) f
hz : z ∈ Set.Icc x y


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: f : Filter β

Context: u : β → α

Context: s : Set α

Context: hs : Dense s

Context: H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in f, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n)

Context: h : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝

Context: h' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝

Context: hbot : f.NeBot

Context: hlt : liminf u f < limsup u f


Context:
R : Type u
inst✝ : AddGroupWithOne R
m n : ℕ
h : m ≤ n


Context:
E : Type u_3
SeminormedAddCommGroup E
a₁ a₂ b₁ b₂ : E

nndist (a₁ + a₂) (b₁ + b₂) ≤ nndist a₁ b₁ + nndist a₂ b₂


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_4
Fintype n
CommSemiring R
M : Matrix m n R
i : m


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β → γ → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable (Function.uncurry f)

Context: F : ℕ → SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞ := SimpleFunc.eapprox (Function.uncurry f)

Context: h : ∀ (a : β) (b : γ), ⨆ n, ↑(F n) (a, b) = f a b

Context: h_mono : Monotone F

Context: this : ∀ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ⨆ n, ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b) = ⨆ n, ∫⁻ (c : γ), ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b)

Context: h_some_meas_integral : ∀ (f' : SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞), Measurable fun b => ∫⁻ (c : γ), ↑f' (b, c) ∂η (a, b)

Monotone fun n b => ∫⁻ (c : γ), ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b)


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
CommSemiring R
a : MvPolynomial S₁ R[X]

(MvPolynomial.optionEquivRight R S₁).symm a =
  (MvPolynomial.aevalTower (Polynomial.aeval (MvPolynomial.X none)) fun i => MvPolynomial.X (some i)) a


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
x : M

x ∈ ↑N ↔ x ∈ N


Context:
F : Type u_10
M : outParam (Type u_11)
N : outParam (Type u_12)
One M
One N
FunLike F M N
self : OneHomClass F M N
f : F


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : SeminormedAddCommGroup β
f✝ g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompactSpace α
f : α →ᵇ β
M : ℝ

dist f 0 < M ↔ ∀ (x : α), dist (f x) 0 < M


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
hfg' : f + g ≈ f
hcfg : (f + g).norm = f.norm


Context:
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
x : ↥f.domain


Context:
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
NormalizedGCDMonoid R
p : Polynomial R


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : x ∈ ball y ε


Context:
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Sub α
A B : Matrix m n α
i : m
j : n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t u : Set α

Context: π : δ → Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : DecidableEq δ

Context: s : Finset δ

Context: x : (i : δ) → π i

∀ (a : δ), Measurable fun x_1 => if hi : a ∈ s then x_1 ⟨a, hi⟩ else x a


∀ (a : ℝ × ℝ), (Complex.equivRealProdLm.symm a).re = a.1


Context: α : Type u

Context: LinearOrder α

Context: IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1

Context: l m : List α

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hl : List.Sorted (fun x x_1 => x > x_1) l

Context: hm : List.Sorted (fun x x_1 => x > x_1) m

Context: hmltl : m < l

Context: hlt : ∀ i ∈ l, Ordinal.typein (fun x x_1 => x < x_1) i < o

Context: i : α

i ∈ m → Ordinal.typein (fun x x_1 => x < x_1) i < o


Context:
α : Type u
a : α
as : List α


Context: 𝕜 : Type u

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: NormedAddCommGroup F

Context: NormedSpace 𝕜 F

Context: x : 𝕜

Context: L : Filter 𝕜

Context: ι : Type u_1

Context: u : Finset ι

Context: A : ι → 𝕜 → F

Context: A' : ι → F

Context: h : ∀ i ∈ u, HasDerivAtFilter (A i) (A' i) x L

HasDerivAtFilter (fun y => ∑ i ∈ u, A i y) (∑ i ∈ u, A' i) x L


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
H : Function.Surjective f


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
c g' : Perm (Fin 5)
h : 3 ∈ (c * g').cycleType
hd : c.Disjoint g'
left✝ : c.IsCycle
h3 : c.support.card = 3


Context:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
v : Set τ
hv : v ∈ f

ω f ϕ s = ⋂ u, closure (image2 ϕ (↑u ∩ v) s)


Context:
α : Type u_1
s : Set α


Context:
G : Type u
H : Type v
Add G
Add H
f : G ≃+ H


Context:
α : Type u_1
s : Finset α
Fintype { x // x ∈ s }


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: s t✝ : Set E

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: x y : E

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : x + y ∈ s

Context: t : 𝕜

Context: ht : t ∈ Icc 0 1

Context: h : x + t • y = (1 - t) • x + t • (x + y)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a i : M
l : List M
hil : (∀ x ∈ l, x = 1) → l.prod = 1
hl : ∀ x ∈ i :: l, x = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : Subsingleton F


Context: k G : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: inst✝ : Group G

Context: A : Rep k G

Context: h1 : ↑(oneCochainsLequiv A) ≫ ModuleCat.ofHom (dOne A) = (inhomogeneousCochains A).d 1 2 ≫ ↑(twoCochainsLequiv A)

Context: h2 : ↑(twoCochainsLequiv A) ≫ ModuleCat.ofHom (dTwo A) = (inhomogeneousCochains A).d 2 3 ≫ ↑(threeCochainsLequiv A)

ModuleCat.ofHom (dOne A) ≫ ModuleCat.ofHom (dTwo A) = 0


Context:
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : i.Coprime n

IsPrimitiveRoot (Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I * (↑i / ↑n))) n


Context:
X : Type u
TopologicalSpace X
x₀ x₁ : X
p₀ p₁ : Path x₀ x₁
F : p₀.Homotopy p₁
x : ↑I × ↑I


Context:
a : ℤ
n : ℕ


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
MulOneClass M
MulOneClass N
MulOneClass M'
MulOneClass N'
M'' : Type u_6
N'' : Type u_7
MulOneClass M''
MulOneClass N''
f' : M' →* M''
g' : N' →* N''
f : M →* M'
g : N →* N'
x : Monoid.Coprod M N

(Monoid.Coprod.map f' g') ((Monoid.Coprod.map f g) x) = (Monoid.Coprod.map (f'.comp f) (g'.comp g)) x


Context:
R : Type u
Ring R
p q : R[X]


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s t✝ t : Set α

Context: xs : x ∈ s

Context: yt : y ∈ t

Context: A : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, edist a b ≤ diam s + edist x y + diam t

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s ∪ t

Context: b : α

Context: hb : b ∈ s ∪ t

Context: h'a : a ∈ t

Context: h'b : b ∈ s


Context: B : Type u

Context: CategoryTheory.Bicategory B

Context: a b : B

Context: f g : a ⟶ b

Context: CategoryTheory.BicategoricalCoherence f g


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Infinite F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: ϕ : F →+* E

Context: α β : E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable F E

Context: hα : IsIntegral F α

Context: hβ : IsIntegral F β

Context: f : F[X] := minpoly F α

Context: g : F[X] := minpoly F β

Context: ιFE : F →+* E := algebraMap F E

Context: ιEE' : E →+* (Polynomial.map ιFE g).SplittingField := algebraMap E (Polynomial.map ιFE g).SplittingField

Context: c : F

Context: hc : ∀ α' ∈ (Polynomial.map (ιEE'.comp ιFE) f).roots, ∀ β' ∈ (Polynomial.map (ιEE'.comp ιFE) g).roots, -(α' - ιEE' α) / (β' - ιEE' β) ≠ (ιEE'.comp ιFE) c

Context: γ : E := α + c • β

Context: p : (↥F⟮γ⟯)[X] := EuclideanDomain.gcd ((Polynomial.map (algebraMap F ↥F⟮γ⟯) f).comp (C (AdjoinSimple.gen F γ) - C ⟨(algebraMap F E) c, ⋯⟩ * X)) (Polynomial.map (algebraMap F ↥F⟮γ⟯) g)

Context: h : E[X] := EuclideanDomain.gcd ((Polynomial.map ιFE f).comp (C γ - C (ιFE c) * X)) (Polynomial.map ιFE g)

Context: map_g_ne_zero : Polynomial.map ιFE g ≠ 0

Context: h_ne_zero : h ≠ 0

Context: h_sep : h.Separable

Context: h_root : eval β h = 0

Context: h_splits : Splits ιEE' h

Polynomial.map (algebraMap (↥F⟮γ⟯) E) p = C h.leadingCoeff * (X - C β)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0

ν.rnDeriv (r • μ) =ᶠ[ae (r • μ)] r⁻¹ • ν.rnDeriv μ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
x : E
r : ℝ

c • Metric.ball x r = Metric.ball (c • x) (‖c‖ * r)


Context:
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderTop α
a b c : α

Codisjoint (a ⊔ b) c ↔ Codisjoint (a ⊔ c) b


Context:
n p : ℕ
pp : Prime p
k x : ℕ

x ∈ (p ^ k).divisors ↔ ∃ j ≤ k, x = p ^ j


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : BooleanAlgebra α

Context: s : Finset α

Context: hs : (↑s).Intersecting

Context: x : α

Context: hx' : x ∈ s

Context: hx : { toFun := compl, inj' := ⋯ } x ∈ s

Context: hxc : { toFun := compl, inj' := ⋯ } x ∈ map { toFun := compl, inj' := ⋯ } s


Context:
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L

IsLieAbelian L ↔ LieAlgebra.center R L = ⊤


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
A : Type u_2
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
X : CategoryTheory.OppositeShift C A
a b : A

(CategoryTheory.shiftFunctorAdd (CategoryTheory.OppositeShift C A) a b).inv.app X =
  ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd C a b).hom.app (Opposite.unop X)).op


Context: p : ℕ

Nat.rec (unpair p).1 (fun y IH => IH - 1) (unpair p).2 = (unpair p).1 - (unpair p).2


Context:
α : Type u
s : Set α


Context:
α : Type u_1
l : List (Option α)

l.length = l.reduceOption.length + (List.filter Option.isNone l).length


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n k : ℕ
h : k < count p n


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasColimits C

Context: X : PresheafedSpace C

Context: x : ↑↑X

Context: e_1✝ : (X.presheaf.stalk x ⟶ X.presheaf.stalk x) = ((stalkFunctor C x).obj X.presheaf ⟶ (stalkFunctor C x).obj X.presheaf)

(𝟙 X).c ≫ (Pushforward.id X.presheaf).hom = 𝟙 X.presheaf


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X : TopCat
ℱ : TopCat.Presheaf C X
x : ↑X

(TopCat.Presheaf.stalkFunctor C x).obj ℱ = ℱ.stalk x


Context: R : Type u_3

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Ring R

Context: LinearOrderedAddCommMonoidWithTop Γ₀

Context: f : R → Γ₀

Context: h0 : f 0 = ⊤

Context: h1 : f 1 = 0

Context: hadd : ∀ (x y : R), min (f x) (f y) ≤ f (x + y)

Context: hmul : ∀ (x y : R), f (x * y) = f x + f y

Context: r : R

(AddValuation.of f h0 h1 hadd hmul) r = f r


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b : α
x✝ : Invertible a


Context:
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
hb : 0 < b


Context:
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s : AList β


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: s : CategoryTheory.Limits.BinaryCofan X Y

s.ι.app { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left } = s.inl


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
h : u =O[l] 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R

Context: inst✝¹² : StarRing R

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹⁰ : Semiring A

Context: inst✝⁹ : Algebra R A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : StarModule R A

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring A

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: inst✝³ : Semiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : StarRing B

Context: inst✝ : T2Space B

Context: S : StarSubalgebra R A

Context: φ ψ : ↥S.topologicalClosure →⋆ₐ[R] B

Context: hφ : Continuous ⇑φ

Context: hψ : Continuous ⇑ψ

Context: h : φ.comp (inclusion ⋯) = ψ.comp (inclusion ⋯)


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y✝ y' : F

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: h : Integrable I l f vol

Context: hJ : J ≤ I

Context: y : F

Context: hy : Tendsto (integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I (Prepartition.single I J hJ)) (𝓝 y)


Context: n : ℕ

(antidiagonal (n + 1)).val = (n + 1, 0) ::ₘ Multiset.map (⇑((Embedding.refl ℕ).prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })) (antidiagonal n).val


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : CommRing A'

Context: inst✝⁴ : CommRing A''

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R A'

Context: inst✝¹ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: η : Type u_9

Context: inst✝ : Nonempty η

Context: s : η → Set A

Context: hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s

Context: h : ∀ (i : η), AlgebraicIndependent R Subtype.val


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
f : Filter α
g : Filter β
inst✝ : g.NeBot
s : Set α


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: W W' : CategoryTheory.MorphismProperty C

Context: h : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), W f ↔ W' f


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
p : Prop
Decidable p
s : Finset α
f g : α → β

(∏ x ∈ s, if p then f x else g x) = if p then ∏ x ∈ s, f x else ∏ x ∈ s, g x


Context:
A : Type u_1
CommRing A
Algebra ℚ A

PowerSeries.exp A * PowerSeries.evalNegHom (PowerSeries.exp A) = 1


Context:
α : Type u
LinearOrder α
OrderBot α
a : α


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
AddCommMonoid R
s : Finset S
f : S → Tropical R

Tropical.untrop (∏ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, Tropical.untrop (f i)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
r : R

TensorPower.toTensorAlgebra (DirectSum.GAlgebra.toFun r) = (algebraMap R (TensorAlgebra R M)) r


Context:
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : Matrix n n R
j : n
c : n → R

(A.updateRow j (∑ k : n, c k • A k)).det = c j • A.det


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝² : HasAffineProperty P Q

Context: X Y U✝ V✝ : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : U✝ ⟶ Y

Context: inst✝¹ : IsAffine U✝

Context: inst✝ : IsOpenImmersion g

Context: iV : V✝ ⟶ X

Context: f' : V✝ ⟶ U✝

Context: h : IsPullback iV f' f g

Context: H : P.diagonal f

Context: this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P

Context: U V : Scheme

Context: f₁ : U ⟶ pullback f g

Context: f₂ : V ⟶ pullback f g

Context: hU : IsAffine U

Context: hV : IsAffine V

Context: hf₁ : IsOpenImmersion f₁

Context: hf₂ : IsOpenImmersion f₂

IsAffine (pullback (f₁ ≫ pullback.snd f g) (f₂ ≫ pullback.snd f g))


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) a‖₊ ∂μ ≤ μ s * ↑‖x‖₊


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
f : X → Y
g : Y → Z
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : QuotientMap (g ∘ f)


Context: α : Type u_1

∀ (a : α), (Equiv.punitProd α).symm a = (PUnit.unit, a)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s : WSeq α

(fun x => a :: x) <$> s.toList = List.cons a <$> Computation.corec (fun x => match Seq.destruct x.2 with | none => Sum.inl x.1.reverse | some (none, s') => Sum.inr (x.1, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: x.1, s')) ([], s)


Context:
α : Type u_1
rα : α → α → Prop
h : WellFounded rα


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
m : ℤ

toIcoDiv hp a (b + m • p) = toIcoDiv hp a b + m


Context:
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
NormedLatticeAddCommGroup β
f g : BoundedContinuousFunction α β


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: c : Cardinal.{max u v}

Context: f : α → β

Context: hf : ∀ (b : β), Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk ↑(f ⁻¹' {b})) ≤ c

Cardinal.lift.{v, u} (Cardinal.mk α) ≤ Cardinal.lift.{u, v} (Cardinal.mk β) * c


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
s : Computation α

Computation.map (g ∘ f) s = Computation.map g (Computation.map f s)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁷ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: inst✝² : Module R P

Context: g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P

Context: Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x

Context: inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

Context: inst✝ : (i : ι) → (k : G i) → Decidable (k ≠ 0)

Context: x : DirectSum ι G

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j

Context: hx : ∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ i

Context: k : ι

Context: hk : k ∈ DFinsupp.support x

(DirectSum.toModule R ι (G j) fun k => totalize G f k j) (DFinsupp.single k (x k)) = (f i j hij) ((DirectSum.toModule R ι (G i) fun k => totalize G f k i) (DFinsupp.single k (x k)))


Context:
m n a b d : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: hv : Valued K Γ₀

Context: γ : Γ₀ˣ

Context: x : hat K

Context: γ₀ : Γ₀ := extensionValuation x

Context: h : γ₀ ≠ 0

x ∈ closure (↑K '' {x | v x < ↑γ}) ↔ γ₀ < ↑γ


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
x : X


Context:
y z : PartENat
hz : z ≠ ⊤
m : ℕ
h : ↑m < y


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.ConcreteCategory C

Context: (CategoryTheory.forget C).PreservesMonomorphisms

CategoryTheory.MorphismProperty.injective C = CategoryTheory.MorphismProperty.monomorphisms C


Context: x y : ℂ

x = y ↔ Complex.abs x = Complex.abs y ∧ x.arg = y.arg


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
Algebra R A


Context:
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α → F
c : ℝ≥0∞

MeasureTheory.eLpNorm f p (c • μ) = c ^ (1 / p).toReal • MeasureTheory.eLpNorm f p μ


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Field R

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace V

Context: inst✝¹¹ : TopologicalRing R

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalAddGroup V

Context: inst✝⁹ : Module R V

Context: inst✝⁸ : SeparatingDual R V

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : SeparatingDual 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Nontrivial E

Context: inst✝ : CompleteSpace (E →L[𝕜] F)

Context: f : ℕ → F

Context: hf : CauchySeq f

Context: v : E

Context: hv : v ≠ 0

Context: φ : E →L[𝕜] 𝕜

Context: hφ : φ v = 1

Context: g : ℕ → E →L[𝕜] F := fun n => ((ContinuousLinearMap.smulRightL 𝕜 E F) φ) (f n)

Context: this✝ : CauchySeq g

Context: a : E →L[𝕜] F

Context: ha : Tendsto g atTop (𝓝 a)

Context: this : Tendsto (fun n => (g n) v) atTop (𝓝 (a v))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
μ : Measure α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
h : SigmaFinite (Measure.map f μ)
n : ℕ

μ ((fun n => f ⁻¹' spanningSets (Measure.map f μ) n) n) < ⊤


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E

Continuous { toFun := fun x => (⟨‖↑x‖⁻¹ • ↑x, ⋯⟩, ⟨‖↑x‖, ⋯⟩), invFun := fun x => ⟨↑x.2 • ↑x.1, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜 E'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0

(fun x => ‖c • f' x‖) =O[l] g ↔ f' =O[l] g


Context:
G : Type u_1
SubNegMonoid G
n : ℤ
x : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
h : ∀ (x : β), p x → q x

Filter.blimsup u f p ≤ Filter.blimsup u f q


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ₁ μ₂ ν ν' : MeasureTheory.Measure α
h1 : μ₁.AbsolutelyContinuous ν
h2 : μ₂.AbsolutelyContinuous ν'


Context:
K : Type u_3
DivisionMonoid K
HasDistribNeg K
a b : K


Context: σ : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: f : MvPowerSeries σ R

Context: m : ℕ

Context: hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : m + d.degree ≤ n

Context: k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ

Context: hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n


Context:
α : Type u_2
Preorder α
BoundedOrder α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u✝ : Set α
x✝ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : Countable δ
l : Filter δ
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
l' : Filter γ
inst✝ : l'.IsCountablyGenerated
hl' : l'.IsMeasurablyGenerated
f : δ → β → γ
hf : ∀ (i : δ), Measurable (f i)
u : ℕ → Set δ
hu : l.HasAntitoneBasis u

MeasurableSet {x | Tendsto (fun n => f n x) l l'}


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : β → α → β
b : β
v : Vector α n
x : α

scanl f b (x ::ᵥ v) = b ::ᵥ scanl f (f b x) v


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃ₛₗ[σ] F
h : Continuous ⇑e
s : Set E
hs : IsOpen s


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Finite M
G : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
H : Subgroup G


Context:
α : Type u_1
s : Set α
T : Set (Set α)


Context: r p : ℝ


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hF : Presheaf.IsSheaf J F

Context: R : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: α : G.op ⋙ R ⟶ F

Context: hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension

Context: X : D

Context: S : K.Cover X

Context: s : Multifork (S.index R)

Context: i : S.Arrow

Context: j : StructuredArrow (op i.Y) G.op

Context: eq : lift hF hR s ≫ R.map i.f.op ≫ R.map j.hom ≫ α.app j.right = liftAux hF α s (j.hom.unop ≫ i.f)

(lift hF hR s ≫ R.map i.f.op) ≫ R.map j.hom ≫ α.app j.right = s.ι i ≫ R.map j.hom ≫ α.app j.right


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L

Subsingleton (LieSubmodule R L M) ↔ Subsingleton (Submodule R M)


Context: this : Tendsto (fun x => -(eulerMascheroniSeq' ∘ fun a => a + 1) x) atTop (𝓝 (-γ))

Tendsto (fun N => -↑(harmonic (N + 1)) + log (↑N + 1)) atTop (𝓝 (-γ))


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : Zero β✝
inst✝¹ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β✝
β : Type u_5
inst✝ : AddMonoid β
f g : α →ₛ β
hf : f.FinMeasSupp μ
hg : g.FinMeasSupp μ


Context: o : Ordinal.{u_3}


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
i : SetLike A B
p : A
q : ↥p → Prop

(∀ (x : ↥p), q x) ↔ ∀ (x : B) (h : x ∈ p), q ⟨x, h⟩


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : LocallyCompactSpace E
v : E
hv : v ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : α → Type u
DecidableEq α
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)

(s.pi t).val = s.val.pi fun a => (t a).val


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ
hz : z = 0


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: IH : ∀ m < n, 0 < m → (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ m) = 0

Context: hn : 0 < n

0 ∉ Finset.range n → C ↑p ^ 0 * (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ 0) ^ p ^ (n - 0) = 0


Context:
G : Type u_2
α : Type u_3
MeasurableSpace G
Div G
m : MeasurableSpace α
f : α → G
MeasurableDiv G
hf : Measurable f
c : G


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: A' : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{max v₁ u₁, u₂} A'

Context: J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C

Context: P' : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A'

Context: CategoryTheory.Limits.HasProducts A'

Context: CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C

CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf J P' ↔ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf' J P'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
UniformSpace α
UniformGroup α
f : β → α
CompleteSpace α
hf : Multipliable f
s : Set β


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : Semifield α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulReflectLT α
inst✝ : ZeroLEOneClass α
a✝ b a : α
ha : 0 < a


Context:
P : Type u_1
Preorder P
IF : Order.Ideal.PrimePair P


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: P : CliffordAlgebra Q → Prop

Context: algebraMap : ∀ (r : R), P ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)

Context: add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q), P x → P y → P (x + y)

Context: ι_mul : ∀ (x : CliffordAlgebra Q) (m : M), P x → P ((ι Q) m * x)

∀ (x : CliffordAlgebra Q), P (reverse x)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: s : Set (PrimeSpectrum R)

Context: hs : s ∈ irreducibleComponents (PrimeSpectrum R)

((zeroLocus ∘ SetLike.coe) ∘ vanishingIdeal) s = id s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α × β


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹ : IsDedekindDomain B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
x : B
hx : adjoin K {(algebraMap B L) x} = ⊤

Ideal.span {(aeval x) (derivative (minpoly A x))} ≤ differentIdeal A B


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: f : α → α

Context: x y : ℕ → α

Context: hf : Monotone f

Context: h₀ : x 0 ≤ y 0

Context: n : ℕ

Context: ihn : 0 < n → (∀ (k : ℕ), k < n → x (k + 1) < f (x k)) → (∀ (k : ℕ), k < n → f (y k) ≤ y (k + 1)) → x n < y n

Context: hn : 0 < n + 1

Context: hx : ∀ (k : ℕ), k < n + 1 → x (k + 1) < f (x k)

Context: hy : ∀ (k : ℕ), k < n + 1 → f (y k) ≤ y (k + 1)


Context:
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
h₂ : MeasurableSet s₂


Context: n : ℕ


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3
hZ : ∀ {n : ℕ}, IsUnit (W.dblZ P ^ n)

W.dblXYZ P = W.dblZ P • ![W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)), W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)), 1]


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
R : CategoryTheory.Functor D C
adj : L ⊣ R


Context:
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ 𝒢
hf : Submartingale f 𝒢 μ
hτ : IsStoppingTime 𝒢 τ
hπ : IsStoppingTime 𝒢 π
hle : τ ≤ π
N : ℕ
hbdd : ∀ (ω : Ω), π ω ≤ N

∫ (x : Ω), stoppedValue f τ x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), stoppedValue f π x ∂μ


Context:
α : Type u
Preorder α
s : Set α


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X✝¹ : C

Context: R✝ : Presieve X✝¹

Context: S✝ : Sieve X✝¹

Context: inst✝¹ : R✝.hasPullbacks

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X✝ : C

Context: R : Presieve X✝

Context: S : Sieve X✝

Context: B : C

Context: I : Type

Context: X : I → C

Context: π : (i : I) → X i ⟶ B

Context: inst✝ : (Presieve.ofArrows X π).hasPullbacks

(∀ (x : (i : I) → P.obj (op (X i))), Arrows.Compatible P π x → ∃! t, ∀ (i : I), P.map (π i).op t = x i) ↔ ∀ (a : (j : I) → P.obj (op (X j))), Arrows.Compatible P π a → ∃! x, forkMap P X π x = (Types.productIso fun i => P.obj (op (X i))).toEquiv.symm a


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C

Context: CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C

Context: X₁ X₂ Y₁ Y₂ : CategoryTheory.Dial C

Context: f : X₁ ⟶ X₂

Context: g : Y₁ ⟶ Y₂

(CategoryTheory.Dial.tensorHom f g).f = CategoryTheory.Limits.prod.map f.f g.f


Context:
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
p : BoxIntegral.Box ι → Prop


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
m : M
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : M
hn : -m + n ∈ S
hn' : ‖n‖ < ‖(mk' S) m‖ + ε


Context:
α : Type u
inst✝ : EMetricSpace α
s : Set α

∀ (x y : α × Closeds α), infEdist x.1 ↑x.2 ≤ infEdist y.1 ↑y.2 + 2 * edist x y


Context:
m n a b c d : ℕ
h₁ : c ≡ d [MOD n]
h₂ : a + c ≡ b + d [MOD n]


Context:
α : Type u_2
CommSemiring α
ι : Type u_6
Fintype ι
a b : α

∑ s : Finset ι, a ^ s.card * b ^ (Fintype.card ι - s.card) = (a + b) ^ Fintype.card ι


Context:
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
p : Equiv.Perm α
x : α


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
n : ℕ
hn : 0 < n


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M

Subsingleton (LieSubmodule R L M) ↔ Subsingleton M


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: X Y P : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: π : Y ⟶ P

Context: w : f ≫ π = 0

CategoryTheory.Limits.Cofork.π (CategoryTheory.Limits.CokernelCofork.ofπ π w) = π


Context:
m n✝ n : ℕ
a : ZMod n


Context:
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : rexp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : rexp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ s ≠ ⊤

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: this : Tendsto (fun ε => ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ + 2 * ↑ε * μ s) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ))

μ (f '' s) ≤ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hf : AEMeasurable f ν

Context: hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0

Context: hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤

Context: μ' : Measure α := ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)

Context: h₁ : μ'.rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae ν] μ.rnDeriv (ν.withDensity f)

Context: h₂ : μ.rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] μ'.rnDeriv ν

Context: this : SigmaFinite μ'

Context: hμ' : (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae ν] fun x => (f x)⁻¹ * (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν x

Context: x : α

Context: hx₁ : μ'.rnDeriv (ν.withDensity f) x = μ.rnDeriv (ν.withDensity f) x

Context: hx₂ : μ.rnDeriv ν x = μ'.rnDeriv ν x

Context: hx_eq : (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν.withDensity f) x = (f x)⁻¹ * (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν x

μ.rnDeriv (ν.withDensity f) x = (f x)⁻¹ * μ.rnDeriv ν x


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a : α

Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | a < b}) ↔ Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s


Context:
X✝ Y✝ Z✝ : Stonean
f✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
x : (forget Stonean).obj X
h : x ∈ ⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i
y : (forget Stonean).obj Y
hy : i y = f x

(fst f hi ≫ f) ⟨x, h⟩ = (snd f hi ≫ i) ⟨x, h⟩


Context:
α : Type u_1
LinearOrder α
a : α
ha : IsWellOrderLimitElement a
IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
b : α
hb : b < a


Context: a b c d : List Turing.PartrecToTM2.Γ'

Turing.PartrecToTM2.K'.elim a b c d Turing.PartrecToTM2.K'.main = a


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : IsNoetherian R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: x : L

Context: k : ℕ

Context: m : M

Context: F : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M

Context: x✝ : M ⧸ F

Context: hk : ((toEnd R L M) x ^ k) m ∈ F

Context: this : (((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) ∘ₗ ↑(LieSubmodule.Quotient.mk' F)) m = (↑(LieSubmodule.Quotient.mk' F) ∘ₗ (toEnd R L M) x ^ k) m

((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) (LieSubmodule.Quotient.mk m) = LieSubmodule.Quotient.mk (((toEnd R L M) x ^ k) m)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: TopologicalSpace M

Context: ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: NormedAddCommGroup E'

Context: NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: TopologicalSpace M'

Context: ChartedSpace H' M'

Context: f : M → M'

Context: x : M

Context: s : Set M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: f' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: h : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'

Context: h' : f' = f₁'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
c : α


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
φ : F ⟶ G
p' p q : ℤ
hpq : p + 0 = q

F.d p' p ≫ (ofHom φ).v p q hpq = F.d p' q ≫ φ.f q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
l : List α
f : α → β

Finset.image (fun x => f (l.get x)) Finset.univ = (List.map f l).toFinset


Context:
A✝ : Type u_1
inst✝⁹ : AddCommGroup A✝
inst✝⁸ : Module ℂ A✝
inst✝⁷ : StarAddMonoid A✝
inst✝⁶ : StarModule ℂ A✝
A : Type u_2
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module ℂ A
inst✝² : IsScalarTower ℂ A A
inst✝¹ : SMulCommClass ℂ A A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
a_eq : a = ↑(ℜ a) + I • ↑(ℑ a)

star (↑(ℜ a) + I • ↑(ℑ a)) * (↑(ℜ a) + I • ↑(ℑ a)) + (↑(ℜ a) + I • ↑(ℑ a)) * star (↑(ℜ a) + I • ↑(ℑ a)) = 2 • (↑(ℜ a) * ↑(ℜ a) + ↑(ℑ a) * ↑(ℑ a))