Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)


Context:
K : Type u
V : Type v
Ring K
StrongRankCondition K
AddCommGroup V
Module K V
Module.Free K V


Context:
X : TopCat
U : TopologicalSpace.Opens ↑X


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: a : α

Context: t : Set Ω

Context: ht : MeasurableSet t

∫⁻ (b : β), ∫⁻ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫⁻ (b : β) in Set.univ, ∫⁻ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
p : Submodule k V
x : V


Context:
α : Type u_1
Inv α
a : α

AddOpposite.op a⁻¹ = (AddOpposite.op a)⁻¹


Context:
α : Type v
LinearOrder α
s : Set α
a : α
a_glb : IsGLB s a
a_mem : a ∈ s


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
e : α ≃ β
h₁ : Monotone ⇑e
h₂ : Monotone ⇑e.symm


Context:
x : ENNReal
y : ℝ


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y


Context:
α : Type u_1
β : α → Type u_4
i : α


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]

(∀ (r : R), r ∣ p.content → IsUnit r) ↔ IsUnit p.content


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: s : Finset ι

Context: S₁ S₂ : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)

MeasureTheory.cylinder s S₁ ∩ MeasureTheory.cylinder s S₂ = MeasureTheory.cylinder s (S₁ ∩ S₂)


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s s' t : Set α

Context: f✝ : α → β✝

Context: β : Type u_8

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: hfi : Injective f

Context: hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → MeasurableSet (f '' s)

Context: μ : Measure β

Context: hs : MeasurableSet s


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
p2 : P


Context: α : Type u_1

Context: I✝ B X E : Set α

Context: Indep : Set α → Prop

Context: indep_empty : Indep ∅

Context: indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I

Context: indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)

Context: indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I

Context: subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E

Context: I : Set α

Context: e : α

Context: hIe : ¬Indep (insert e I)

Context: h : ∀ I₀ ⊆ I, I₀.Finite → Indep (insert e I₀)

Context: J : Set α

Context: hJss : J ⊆ insert e I

Context: hJfin : J.Finite


Context:
n a b : ℤ
m : ℤ


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
ha : 2 ≤ a


Context: ι : Type u_1

Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: c : ComplexShape ι

Context: K L : HomologicalComplex C c

Context: f : K ⟶ L

Context: i : ι

Context: K.HasHomology i

Context: L.HasHomology i

QuasiIsoAt f i ↔ CategoryTheory.IsIso (HomologicalComplex.homologyMap f i)


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D C
adj : F ⊣ G
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
K : CategoryTheory.Functor J C
c : CategoryTheory.Limits.Cocone K

((adj.functorialityUnit K).app c).hom = adj.unit.app c.pt


Context:
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝³ : SMul R ℝ≥0
inst✝² : SMul R ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
μ : FiniteMeasure Ω
A : Set Ω


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
LieRingModule L M
LieRingModule L N
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β


Context:
c c' : Cardinal.{u_1}
hc : c ≤ Cardinal.aleph0
hc' : c' ≤ Cardinal.aleph0

Cardinal.toPartENat c = Cardinal.toPartENat c' ↔ c = c'


Context:
x : ℝ
m : ℤ


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α

(connectedComponent x).Subsingleton ↔ connectedComponent x = {x}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
r s : α → β → Prop
(a : α) → (b : β) → Decidable (r a b)
(a : α) → (b : β) → Decidable (s a b)
hr : PrimrecRel r
H : ∀ (a : α) (b : β), r a b ↔ s a b


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
f : M → N
hf : IsMonoidHom f
x : Mˣ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
u : ↥K
v : E

⟪↑((orthogonalProjection K) v), ↑u⟫_𝕜 = ⟪↑((orthogonalProjection K) v), ↑u⟫_𝕜 + ⟪v - ↑((orthogonalProjection K) v), ↑u⟫_𝕜


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedCommGroup α

Context: a b : α

Context: m n : ℤ

Context: hmn : m ≠ n

Context: x : α

Context: hx : x ∈ Ico (a * b ^ m) (a * b ^ (m + 1)) ∩ Ico (a * b ^ n) (a * b ^ (n + 1))


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: f : Stream' (Option α)

Context: al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, f n = some a → f (n + 1) = some a


Context: R : Type u_1

Context: m : ℕ

Context: this : ∑ i ∈ range (m + 1), (2 * m + 1).choose (2 * m + 1 - i) = ∑ i ∈ range (m + 1), (2 * m + 1).choose i


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
i : σ
j : σ →₀ ℕ
r : R

(r = 0 ∨ Finsupp.single i 1 ≤ j) ∧ 1 ∣ r ↔ r = 0 ∨ j i ≠ 0


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P n

(s.circumsphere.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points) ∧
    Set.range s.points ⊆ Metric.sphere s.circumsphere.center s.circumsphere.radius) ∧
  ∀ (cs : EuclideanGeometry.Sphere P),
    cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points) ∧ Set.range s.points ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius →
      cs = s.circumsphere


Context:
α : Type u_1
SeminormedRing α
a : α
n : ℕ
h : 0 < n


Context:
M : Type u_1
MulOneClass M
s : Set M

Submonoid.closure (Subtype.val ⁻¹' s) = ⊤


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PolishSpace β
s : Set β
hs : IsOpen s
f : β → α
f_cont : Continuous f


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
a : α
hs : s.Finite
ht : t.Finite
inst✝¹ : Fintype α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h : {x | p x}.Finite
a✝ : α

a✝ ∈ h.toFinset ↔ a✝ ∈ Finset.filter p Finset.univ


Context:
X : Type u_5
TopologicalSpace X
s t : Set X

DiscreteTopology ↑s → t ⊆ s → DiscreteTopology ↑t


Context:
α : Type u
s t : Set α
h : ∀ (u : Set α), s ⊆ u ↔ t ⊆ u


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_5
One β
s : ι → Set α
f : α → β
a : α

Filter.Tendsto (fun n => (⋃ i ∈ n, s i).mulIndicator f a) Filter.atTop (pure ((Set.iUnion s).mulIndicator f a))


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P ≃ₗ[R] Q
f : N ≃ₗ[R] P
m : M
n : N
p : P
x : M ⊗[R] N
y : N ⊗[R] M


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i i' : ι
hi'_lub : IsLUB (Set.Iio i) i'
h_Iio_eq_Iic : Set.Iio i = Set.Iic i'


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α
h : t ⊆ s


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
CategoryTheory.Limits.HasEqualizers C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Limits.HasImage f
Y' : C
h : Y ⟶ Y'
CategoryTheory.IsIso h

(CategoryTheory.Limits.imageSubobjectCompIso f h).hom ≫ (CategoryTheory.Limits.imageSubobject f).arrow =
  (CategoryTheory.Limits.imageSubobject (f ≫ h)).arrow ≫ CategoryTheory.inv h


Context:
α : Type u_1
R : Type u_13
SeminormedRing R
u : Rˣ
f : α → R
l : Filter α

Asymptotics.IsBigOWith ‖↑u⁻¹‖ l f fun x => ↑u * f x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
hx : x ∈ e.source

∀ᶠ (y : Y) in 𝓝 (↑e x), ↑e (↑e.symm y) = y


Context:
α : Type u
l : List α
a : α
n : ℕ
hl : n < (a :: l).length

(a :: l).nthLe n hl = if hn : n = 0 then a else l.nthLe (n - 1) ⋯


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
AddCommMonoid G
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
Module 𝕜 G
g : F →ₗ[𝕜] G
f : E →ₗ[𝕜] F
S : ConvexCone 𝕜 G

ConvexCone.comap f (ConvexCone.comap g S) = ConvexCone.comap (g ∘ₗ f) S


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : infEdist x (closure s) < ⊤
ε0 : 0 < ↑ε / 2

infEdist x s ≤ infEdist x (closure s) + ↑ε


Context:
R✝ : Type u
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : IsDomain R✝
inst✝³ : DiscreteValuationRing R✝
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
ϖ : R
hϖ : ϖ ≠ 0
h : maximalIdeal R = span {ϖ}
h2 : ¬IsUnit ϖ
a b : R
hab : ϖ = ϖ * (ϖ * (a * b))


Context:
w x✝ y z : ℝ
x : ℝ≥0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.414921, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n

Context: f g : ComposableArrows C 5

Context: app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯

Context: app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯

Context: app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯

Context: app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯

Context: app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯

Context: app₅ : f.obj' 5 ⋯ ⟶ g.obj' 5 ⋯

Context: w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁ = app₀ ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯

Context: w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂ = app₁ ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯

Context: w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃ = app₂ ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯

Context: w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄ = app₃ ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯

Context: w₄ : f.map' 4 5 ⋯ ⋯ ≫ app₅ = app₄ ≫ g.map' 4 5 ⋯ ⋯


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: K L L' M : Set V

Context: Gc : G.Preconnected

Context: hK : K.Nonempty

Context: v : V

Context: vnK : v ∉ K

Context: C : G.ComponentCompl K := G.componentComplMk vnK

Context: dis : K ∩ ↑C ⊆ ∅ := Set.disjoint_iff.mp (ComponentCompl.disjoint_right C)

Context: h : ∀ (ck : V × V), ck.1 ∈ G.componentComplMk vnK → ck.2 ∈ K → ¬G.Adj ck.1 ck.2


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ

Context: hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

Context: ω : Ω

Context: hω : (fun n => ∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) ↑i) a) =o[atTop] fun n => ↑⌊c ^ n⌋₊

Context: A : Tendsto (fun n => ⌊c ^ n⌋₊) atTop atTop

(fun n => ∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ↑⌊c ^ n⌋₊ * ∫ (a : Ω), X 0 a) = fun x => (∑ i ∈ range ⌊c ^ x⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ x⌋₊, truncation (X i) ↑i) a) + ((fun n => (∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range n, truncation (X i) ↑i) a) - ↑n * ∫ (a : Ω), X 0 a) ∘ fun n => ⌊c ^ n⌋₊) x


Context:
R✝ : Type u
S✝ : Type v
F : Type u_1
inst✝¹⁰ : Semiring R✝
inst✝⁹ : Semiring S✝
inst✝⁸ : FunLike F R✝ S✝
rc : RingHomClass F R✝ S✝
f : F
I✝ J : Ideal R✝
K L : Ideal S✝
G : Type u_2
inst✝⁷ : FunLike G S✝ R✝
rcg : RingHomClass G S✝ R✝
ι : Sort u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
I : Ideal R
N : Submodule S M

Submodule.restrictScalars R (⨆ b ∈ ↑I, (algebraMap R S) b • N) = ⨆ a ∈ ↑I, Submodule.restrictScalars R ((algebraMap R S) a • N)


Context: T : ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: hg : Function.Periodic g T

Context: h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable g MeasureTheory.volume t₁ t₂

Context: hT : 0 < T

Context: t : ℝ

∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x ≤ sSup ((fun t => ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x) '' Set.Icc 0 T) + ⌊t / T⌋ • ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero α
f : α → β


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y


Context: X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace

Context: self : X.Hom Y

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

IsLocalRingHom (AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap self.val x)


Context:
M : Type u_3
N : Type u_4

∀ {x : Mul M} {x_1 : CommSemigroup N} (f g : M →ₙ* N), ⇑f * ⇑g = fun x_2 => f x_2 * g x_2


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q

(∀ (a : CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement P), CategoryTheory.Abelian.Pseudoelement.pseudoApply f a = 0) → 0 = f


Context:
R A B : Type u
CommRing R
CommRing A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B

(CommRingCat.pushoutCocone R A B).pt = CommRingCat.of (A ⊗[R] B)


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C

Context: X₁ X₂ Y₁ Y₂ : C

Context: f₁₁ : X₁ ⟶ Y₁

Context: f₁₂ : X₁ ⟶ Y₂

Context: f₂₁ : X₂ ⟶ Y₁

Context: f₂₂ : X₂ ⟶ Y₂

CategoryTheory.Limits.biprod.inl ≫ CategoryTheory.Biprod.ofComponents f₁₁ f₁₂ f₂₁ f₂₂ =
  f₁₁ ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.inl + f₁₂ ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.inr


Context:
M : Type u_4
N : Type u_5
MulOneClass M
MulOneClass N
f : M →* N


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : CommMonoid β
u a b : β
hu : IsUnit u


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β

ConvexOn 𝕜 s f ↔
  Convex 𝕜 s ∧
    ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s✝ : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
s : SignedMeasure α

∃ i, ∃ (hi₁ : MeasurableSet i) (hi₂ : VectorMeasure.restrict 0 i ≤ VectorMeasure.restrict s i) (hi₃ : VectorMeasure.restrict s iᶜ ≤ VectorMeasure.restrict 0 iᶜ), s.toJordanDecomposition.posPart = s.toMeasureOfZeroLE i hi₁ hi₂ ∧ s.toJordanDecomposition.negPart = s.toMeasureOfLEZero iᶜ ⋯ hi₃


Context: n : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: LinearOrder α

Context: f : Fin n → α

Context: P : (Fin n → α) → Prop

Context: hf : P f

Context:
h :
  ∀ (σ : Equiv.Perm (Fin n)) (i j : Fin n),
    i < j → (f ∘ ⇑σ) j < (f ∘ ⇑σ) i → P (f ∘ ⇑σ) → P (f ∘ ⇑σ ∘ ⇑(Equiv.swap i j))


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : NormalizedGCDMonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : Ring S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
p : R[X]
s : S
hpzero : p ≠ 0
hp : (aeval s) p = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
ht : t ∈ P.parts


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
x : MvPolynomial σ R
i : σ

(x * MvPolynomial.X i).modMonomial (Finsupp.single i 1) = 0


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: B B' I J D X : Set α

Context: e f : α

Context: x✝ : M.Indep B ∧ ∀ (I : Set α), M.Indep I → B ⊆ I → B = I

Context: h : M.Indep B

Context: h' : ∀ (I : Set α), M.Indep I → B ⊆ I → B = I


Context:
w i : Nat
x : BitVec w

BitVec.truncate (i + 1) x = BitVec.cons (x.getLsb i) (BitVec.truncate i x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_5

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: Nonempty ι

Context: Nonempty ι'

Context: NormedField 𝕜

Context: AddCommGroup E

Context: Module 𝕜 E

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E ι

Context: q : SeminormFamily 𝕜 E ι'

Context: t : TopologicalSpace E

Context: hp : WithSeminorms p

Context: hpq : Seminorm.IsBounded p q LinearMap.id

Context: hqp : Seminorm.IsBounded q p LinearMap.id


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι✝
g : ι✝ → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
ι : Sort u_5
p : ι → Prop
V : ι → Set (β × β)
h : (𝓤 β).HasBasis p V

𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β) = ⨅ s ∈ 𝔖, ⨅ i, ⨅ (_ : p i), 𝓟 (UniformOnFun.gen 𝔖 s (V i))


Context:
α : Type u
TopologicalSpace α
AddGroup α
ContinuousConstVAdd αᵃᵒᵖ α
s : Set α
a : α
b : α
h : s ∈ 𝓝 b


Context:
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
s : Set X
f : C(X, R)


Context:
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
f : MvPolynomial σ R

∀ (p q : MvPolynomial σ R), eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) ((Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) p)) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) p → eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) ((Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) q)) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) q → eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) ((Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (p + q))) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (p + q)


Context:
α : Type u_1
SemilatticeSup α
a b c : α
hac : a ⩿ c
hbc : b ⩿ c
hab : a ≠ b


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: i n : ℕ

Context: npos : 0 < n

Context: lem2 : ∀ k > n, k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))

Context: ij : i < n + 1

Context: j2n : n + 1 ≤ 2 * n

Context: jnn : n + 1 ≠ n

Context: ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)

Context: o : n = n ∨ n < n

Context: lin : i < n

xn a1 (n - 1) + xn a1 i % xn a1 n < xn a1 n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: ι'✝ : Sort u_5

Context: l✝ l' : Filter α

Context: p✝ : ι✝ → Prop

Context: s✝ : ι✝ → Set α

Context: t✝ : Set α

Context: i : ι✝

Context: p' : ι'✝ → Prop

Context: s' : ι'✝ → Set α

Context: i' : ι'✝

Context: ι : Type u_6

Context: ι' : Type u_7

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: l : ι → Filter α

Context: s : ι → ι' → Set α

Context: p : ι → ι' → Prop

Context: hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)

Context: h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) l

Context: t : Set α

t ∈ ⨅ i, l i ↔ ∃ i, p i.1 i.2 ∧ s i.1 i.2 ⊆ t


Context:
A : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarModule ℂ A
inst✝² : PartialOrder A
inst✝¹ : StarOrderedRing A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝

‖a‖ ∈ spectrum ℝ a ∨ -‖a‖ ∈ spectrum ℝ a


Context: m n : ℕ

Nat.fib (m + n + 1) = Nat.fib m * Nat.fib n + Nat.fib (m + 1) * Nat.fib (n + 1)


Context: d₁ d₂ d₃ : ManyOneDegree

d₁ ≤ d₂ → d₂ ≤ d₃ → d₁ ≤ d₃


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : 0 < r
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop

Filter.Tendsto (fun x => f x * r) l Filter.atTop


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g

Context: h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε

∃ ns, StrictMono ns ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_4

Context: E : B → Type u_6

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: NormedAddCommGroup EB

Context: NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: TopologicalSpace B

Context: ChartedSpace HB B

Context: (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: NormedAddCommGroup F

Context: NormedSpace 𝕜 F

Context: TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)

Context: (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: FiberBundle F E

Context: VectorBundle 𝕜 F E

Context: SmoothVectorBundle F E IB

Context: e e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj

Context: MemTrivializationAtlas e

Context: MemTrivializationAtlas e'

SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e e' b)) (e.baseSet ∩ e'.baseSet)


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)

Context: x✝ y✝ : (i : ι) → α i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: x y : (i : ι) → α i

Context: i₀ : ι

Context: m : α i₀

Context: z : (i : ι) → α i

Context: h₁ : z ∈ univ.pi fun i => Ioc (x i) (update y i₀ m i)

Context: h₂ : z ∈ univ.pi fun i => Ioc (update x i₀ m i) (y i)


Context:
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
f : β → γ
g : α → Part β
hg : Continuous' g


Context:
α : Type u_1
MeasurableSpace α
j : MeasureTheory.JordanDecomposition α

∃ S,
  MeasurableSet S ∧
    MeasureTheory.VectorMeasure.restrict j.toSignedMeasure S ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 S ∧
      MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 Sᶜ ≤ MeasureTheory.VectorMeasure.restrict j.toSignedMeasure Sᶜ ∧
        j.posPart S = 0 ∧ j.negPart Sᶜ = 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset αᵒᵈ

WithTop.map (⇑ofDual) s.min = s.sup (WithBot.some ∘ ⇑ofDual)


Context:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
this : {ω | i ≤ τ ω} = {ω | τ ω < i}ᶜ


Context:
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n k : ℕ

(fun x => (n + k + 1).factorial • x) (multichoose (-↑n) (n + k + 1)) = (fun x => (n + k + 1).factorial • x) 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne α
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace α
a : α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
inst✝ : Decidable (a ∈ s)

∫⁻ (x : α) in s, f x ∂dirac a = if a ∈ s then f a else 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
h : p.leadingCoeff ∈ R⁰
x : R[X]
hx : x * p = 0


Context:
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (Fin.last n)
p : (i : Fin n) → α i.castSucc


Context: z : ℍ


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: s : Set Ω

Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: mbles : ∀ (r : ℝ), MeasurableSet (frontier (Metric.thickening r s))

∃ r ∈ Ioo a b, μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIciTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β
h : a < b

ContinuousWithinAt f (Icc a b) a ↔ ContinuousWithinAt f (Ici a) a


Context:
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: I✝ J : Ideal R

Context: I : Ideal S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes

Context: this : p.IsPrime

Context: f' : R →+* S ⧸ I := (Quotient.mk I).comp f

Context: e : RingHom.ker f' = comap f I

∃ p', p'.IsPrime ∧ I ≤ p' ∧ comap f p' = p


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
X : C

CategoryTheory.Sieve.functorPushforward F ⊥ = ⊥


Context:
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
CommSemiring R
S : Submonoid R
CommSemiring Rₛ
Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
AddCommMonoid M
Module R M
Module Rₛ M
IsScalarTower R Rₛ M
ι : Type u_5
b : ι → M
hli : LinearIndependent R b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifTight f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: hε_top : ¬ε = ⊤

Context: s : Set α

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: hfs : ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε.toNNReal

∀ᶠ (s : Set α) in μ.cofinite.smallSets, ∀ (i : ι), eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ε


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
CommMonoid α
CommMonoid β
CommMonoid γ
A : Set α
B : Set β
C : Set γ
f : α → β
g : β → γ
n : ℕ
hg : IsMulFreimanHom n B C g
hf : IsMulFreimanHom n A B f


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹ : (i : o) → Fintype (n' i)
inst✝ : Fintype o
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
N : (i : o) → Matrix (n' i) (p' i) α
k : o
i : m' k
k' : o
j : p' k'

∀ (x : o), x ≠ k → (∑ x_1 : n' x, (if h : k = x then M k i (cast ⋯ x_1) else 0) * if h : x = k' then N x x_1 (cast ⋯ j) else 0) = 0


Context:
a b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0

‖y‖ / Real.sin (angle x (x - y)) = ‖x - y‖


Context:
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜₁ M₁
inst✝¹ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
hf : IsCompactOperator ⇑f
S : Set M₁
hS : Bornology.IsBounded S


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
b b' c : R
a a' : ℕ

a = a' → b = b' → a' • b' = c → a • b = c


Context: f : ℕ → ENNReal

Context: hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
c : α
AddCommMonoid α
DivisionSemiring γ
Module γ α
h : Function.Periodic f c
a : γ

Function.Periodic (fun x => f (a⁻¹ • x)) (a • c)


Context:
n m : ℕ
hm : n ≠ m


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
K : Type u_6
inst✝ : RCLike K
f : α → K

Memℒp (fun x => RCLike.re (f x)) p μ ∧ Memℒp (fun x => RCLike.im (f x)) p μ ↔ Memℒp f p μ


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: s : Set (α × β)

Context: h : (μ.prod ν) s = 0

Context: t : Set (α × β)

Context: hst : s ⊆ t

Context: mt : MeasurableSet t

Context: ht : (fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' t)) =ᶠ[ae μ] 0

(fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) ≤ᶠ[ae μ] 0 ∧ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)


Context: n : ZNum


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedSemiring α
a : α
Invertible a

0 ≤ ⅟a ↔ 0 ≤ a


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : Dist E

Context: l : Filter ι

Context: f f' : ι → α → E

Context: g g' : α → E

Context: h_left : ∀ᶠ (i : ι) in l, f i =ᶠ[ae μ] f' i

Context: h_right : g =ᶠ[ae μ] g'

Context: h_tendsto : TendstoInMeasure μ f l g

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: i : ι

Context: h_ae_eq : f i =ᶠ[ae μ] f' i

Context: x : α

Context: hxf : f i x = f' i x

Context: hxg : g x = g' x

{x | ε ≤ dist (f' i x) (g' x)} x ↔ {x | ε ≤ dist (f i x) (g x)} x


Context:
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N

∃ y_1 ∈ (extensionOfMax i f).domain, ∃ z ∈ Submodule.span R {?y}, y_1 + z = y


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i →+ β₂ i
f₂ : (i : ι) → β i →+ β₁ i


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1


Context:
F : Type u
inst✝³ : Field F
K : Type v
inst✝² : Field K
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Nontrivial S
f : F →+* S
p : F[X]
H : (map f p).Separable
m : Ideal S
hm : m.IsMaximal


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ≥0∞
g : G

∫⁻ (x : G), f (g * x) ∂μ = ∫⁻ (x : G), f x ∂μ


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → IsPrincipal P

Context: J : Ideal R

Context: hJ : J ∈ nonPrincipals R

Context: I : Ideal R

Context: Ibad : I ∈ nonPrincipals R

Context: Imax : ∀ z ∈ nonPrincipals R, I ≤ z → z = I

Context: Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → IsPrincipal J

Context: hI1 : ¬I = ⊤

Context: x y : R

Context: hxy : x * y ∈ I

Context: hy : y ∉ I

Context: a : R

Context: ha : I ⊔ Ideal.span {y} = Submodule.span R {a}


Context:
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
h : ⌊a⌋₊ < n


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
e : PartialHomeomorph M H


Context: a : EReal


Context: f : CircleDeg1Lift

Context: τ' : ℝ

Context: h : Filter.Tendsto f.transnumAuxSeq Filter.atTop (𝓝 τ')


Context:
α : Type u_2
LinearOrder α
x y : α
p : α → Prop
hx : p x
hy : p y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : Module R P

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Module.Free R M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R M

Context: inst✝³ : Module.Free R N

Context: inst✝² : Module.Finite R N

Context: inst✝¹ : Module.Free R P

Context: inst✝ : Module.Finite R P

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: g : N →ₗ[R] N

Context: h : (trace R (M ⊗[R] N)) (TensorProduct.map f g) = (trace R M) f * (trace R N) g


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: l : IntegrationParams

Context: y : E

Context: hy : HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul y


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
hsμ : μ s ≠ ⊤
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t ≠ ⊤
c : E
hc : c ≠ 0

MeasureTheory.indicatorConstLp p hs hsμ c = MeasureTheory.indicatorConstLp p ht htμ c ↔ s =ᵐ[μ] t


Context:
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α


Context:
R : Type u
CommSemiring R
S : Subsemiring R


Context: L : List ℕ


Context: I : Type u

Context: inst✝³ : LinearOrder I

Context: inst✝² : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: J K : I → Prop

Context: h : ∀ a ∈ ↑l, J a

Context: inst✝¹ : (j : I) → Decidable (J j)

Context: inst✝ : (j : I) → Decidable (K j)

Context: hJK : ∀ (i : I), J i → K i

⇑(eval (π C J) l) ∘ ProjRestricts C hJK = ⇑(eval (π C K) l)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β
f : Filter α
g h : Set α → Filter β

(f.lift fun x => g x ⊓ h x) = f.lift g ⊓ f.lift h


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g✝ : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: φ : α → β

Context: hφ : AEMeasurable φ μ

Context: f : β → G

Context: hfm : AEStronglyMeasurable f (Measure.map φ μ)

Context: g : β → G := AEStronglyMeasurable.mk f hfm

Measure.map φ μ = Measure.map (AEMeasurable.mk φ hφ) μ


Context:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C

(α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).inv ≫ X₁ ◁ (ρ_ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫ X₁ ◁ ((β_ (𝟙_ C) X₂).hom ≫ (ρ_ X₂).hom) = ((α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).inv ≫ X₁ ◁ (β_ (𝟙_ C) X₂).hom ▷ 𝟙_ C ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ (α_ X₁ X₂ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).inv) ≫ (X₁ ⊗ X₂) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (ρ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom


Context: α : Type u_1

Context: AddCommGroup α

Context: DecidableEq α

Context: A B : Finset α

Context: hAB : ∀ A' ⊆ A, (A + B).card * A'.card ≤ (A' + B).card * A.card

Context: n : ℕ

↑(A + n • B).card ≤ (↑(A + B).card / ↑A.card) ^ n * ↑A.card


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c : α


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
k n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
x : E

‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (-⇑f) x‖ = ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖


Context:
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
LinearOrderedAddCommGroupWithTop Γ₀
Ring R
v : AddValuation R Γ₀
x y : R
hx : v y < v x


Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: AddCommMonoid α

Context: f : β → α

Context: g : γ → α

Context: h_eq : ∀ (u : Finset γ), ∃ v, ∀ (v' : Finset β), v ⊆ v' → ∃ u', u ⊆ u' ∧ ∑ x ∈ u', g x = ∑ b ∈ v', f b

Filter.map (fun s => ∑ b ∈ s, f b) Filter.atTop ≤ Filter.map (fun s => ∑ x ∈ s, g x) Filter.atTop


Context:
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
n : ℕ


Context:
α : Type u
s t u : Set α
hs : t ∩ u ⊆ s
ht : s ∩ u ⊆ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
h✝ : (g - f).LimZero ∨ (-(g - f)).Pos
h : (-(g - f)).Pos


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M

IsCompl (CliffordAlgebra.evenOdd Q 0) (CliffordAlgebra.evenOdd Q 1)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R

p ∈ support R M ↔ ∃ m, (Submodule.span R {m}).annihilator ≤ p.asIdeal


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ

toIcoMod hp a b = b ↔ b ∈ Set.Ico a (a + p)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Part α
g : α → Part β
b : β


Context:
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
h : a ⋖ b


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} D
E : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} E
X Y : C
f : Sum.inl X ⟶ Sum.inl Y

(CategoryTheory.sum.inverseAssociator C D E).map f = f


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝¹ : CommMonoid C
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : AddChar (ZMod n) C


Context:
α : Type u_4
CommMonoid α
TopologicalSpace α
β : Type u_5
f : β → α

tprod f = if h : Multipliable f then if (Function.mulSupport f).Finite then finprod f else Exists.choose h else 1


Context: α : Type u_1

Context: cut : α → Ordering

Context: cmp : α → α → Ordering

Context: f : α → α

Context: t : Batteries.RBNode α

Context: H : Batteries.RBNode.OnRoot (fun x => Batteries.RBNode.cmpEq cmp (f x) x) (Batteries.RBNode.zoom cut t).fst

Context: h : Batteries.RBNode.Ordered cmp t

Batteries.RBNode.Ordered cmp (Batteries.RBNode.modify cut f t)


Context:
K : Type u_2
Field K
s : ℕ

Valued.v ((HahnSeries.ofPowerSeries ℤ K) PowerSeries.X ^ s) = ↑(Multiplicative.ofAdd (-↑s))


Context: x y : ℝ


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
Fintype G
IsAddCyclic G
d : ℕ
a b : ZMod d
hGcard : Fintype.card G = d
h : ∀ (t : G), a.val • t = b.val • t


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CommSemiring S
p : R[X]
f : R →+* S
z : S
hz : eval₂ f z p = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0

f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * eval₂ f z p = 0


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G

CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (-φ) = -CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom φ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M


Context:
K : Type v
Field K
n : ℕ
f : K[X]

Polynomial.SplittingFieldAux (n + 1) f = Polynomial.SplittingFieldAux n f.removeFactor


Context: E : Type u_1

Context: NormedAddCommGroup E

Context: InnerProductSpace ℝ E

Context: Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin 2)

Context: a x y : E

⟪a, x⟫_ℝ * ⟪a, y⟫_ℝ + (o.areaForm a) x * (o.areaForm a) y = ‖a‖ ^ 2 * ⟪x, y⟫_ℝ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semigroup R
a b : R
ab : IsLeftRegular (a * b)

Function.Injective ((fun x => a * x) ∘ fun x => b * x)


Context:
E : Type u_2
NNNorm E
x : E


Context:
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
m : Fin n
h : m.castSucc < i


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hd : HasStrictDerivAt d d' x
hx : d x ≠ 0

HasStrictDerivAt (fun y => c y / d y) ((c' * d x - c x * d') / d x ^ 2) x


Context:
p : ℂ × ℂ
hp : p.1 ∈ slitPlane

HasStrictFDerivAt (fun x => x.1 ^ x.2) ((p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℂ ℂ ℂ + (p.1 ^ p.2 * log p.1) • ContinuousLinearMap.snd ℂ ℂ ℂ) p


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: f : α → Option β

Context: g : α → β

Context: a : α

Context: l : List α

Context: ih : filterMap f l = map g l → ∀ (x : α), x ∈ l → f x = some (g x)

Context: b : β

Context: ha : f a = some b

b = g a → filterMap f l = map g l → b = g a ∧ ∀ (a : α), a ∈ l → f a = some (g a)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: x : M

Context: f : Dual R M

Context: y : M

Context: g : Dual R M

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M

Context: Φ : Set M

Context: hΦ : _root_.Finite ↑Φ

Context: hfx : f x = 2

Context: hgy : g y = 2

Context: hgx : g x = 2

Context: hfy : f y = 2

Context: hxfΦ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ

Context: hygΦ : MapsTo (⇑(preReflection y g)) Φ Φ

Context: hyΦ : y ∈ Φ


Context: A₁ : Type u_8

Context: B₁ : Type u_9

Context: A₂ : Type u_10

Context: B₂ : Type u_11

Context: CommRing A₁

Context: Ring B₁

Context: CommRing A₂

Context: Ring B₂

Context: Algebra A₁ B₁

Context: Algebra A₂ B₂

Context: e₁ : A₁ ≃+* A₂

Context: e₂ : B₁ ≃+* B₂

Context: he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)

Context: x : B₁

(Algebra.norm A₁) x = e₁.symm ((Algebra.norm A₂) (e₂ x))


Context:
M₀ : Type u_1
M₀' : Type u_2
inst✝² : MulZeroOneClass M₀
inst✝¹ : Nontrivial M₀
G₀ : Type u_3
inst✝ : GroupWithZero G₀
a : G₀
h : a ≠ 0
a_eq_0 : a⁻¹ = 0
this : a * a⁻¹ = 1


Context:
x y : EReal
h : x < y
z : ℝ


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v

List.map (fun x => x.toProd.1) p.darts = p.support.dropLast


Context: α : Type u_1


Context: n : ℕ


Context: m n : Nat


Context:
s : ℂ
hs : 0 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0
this : ∀ (x : ℝ), x = x / ↑n * ↑n

↑n ^ s * s.betaIntegral (↑n + 1) = ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑(x / ↑n * ↑n) ^ (s - 1)


Context: f✝ f g : ℝ → ℝ

Context: hf✝¹ : GrowsPolynomially f

Context: hg✝¹ : GrowsPolynomially g

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: hf✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => |f x|) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => |f x|) x) (c₂ * (fun x => |f x|) x)

Context: c₃ : ℝ

Context: hc₃_mem : c₃ > 0

Context: c₄ : ℝ

Context: hc₄_mem : c₄ > 0

Context: hg✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => |g x|) u ∈ Set.Icc (c₃ * (fun x => |g x|) x) (c₄ * (fun x => |g x|) x)

Context: x : ℝ

Context: hf : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, |f u| ∈ Set.Icc (c₁ * |f x|) (c₂ * |f x|)

Context: hg : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, |g u| ∈ Set.Icc (c₃ * |g x|) (c₄ * |g x|)

∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, |f u| * |g u| ∈ Set.Icc (c₁ * c₃ * (|f x| * |g x|)) (c₂ * c₄ * (|f x| * |g x|))


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
a₂ c₂ : R
ea₁ b c₁ : ℕ
xa₁ : R

ea₁ * b = c₁ → a₂ ^ b = c₂ → (xa₁ ^ ea₁ * a₂) ^ b = xa₁ ^ c₁ * c₂


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝² : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty

Context: u : Set α

Context: su : u ⊇ s

Context: u_open : IsOpen u

Context: μu : μ u ≤ μ s + ε / 2

Context: R : α → ℝ

Context: hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u

Context: t0 : Set α

Context: r0 : α → ℝ

Context: t0_count : t0.Countable

Context: t0s : t0 ⊆ s

Context: hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)

Context: μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0

Context: t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r0 x)

Context: s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)

Context: s's : s' ⊆ s

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)

Context: v : Set α

Context: s'v : v ⊇ s'

Context: v_open : IsOpen v

Context: μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N

Context: r1 : α → ℝ

Context: hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v

Context: q : BallPackage (↑s') α := { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }

Context: S : Fin N → Set ↑s'

Context: S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint fun j => closedBall (q.c j) (q.r j)

Context: hS : range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)

Context: S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable

Context: r : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x

Context: r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x

∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧ ∑' (x : ↑t), μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε


Context: M : Type u_1

Context: AddCommMonoid M

Context: S : AddSubmonoid M

Context: N : Type u_2

Context: AddCommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: AddCommMonoid P

Context: f : S.LocalizationMap N

Context: g : M →+ P

Context: Q : Type u_4

Context: AddCommMonoid Q

Context: hg : Function.Surjective ⇑g

Context: k : (AddSubmonoid.map g S).LocalizationMap Q


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_5

Context: MeasurableSpace α

Context: MeasurableSpace β

Context: MeasurableSpace γ

Context: δ : Type u_7

Context: MeasurableSpace δ

Context: μa : MeasureTheory.Measure α

Context: μb : MeasureTheory.Measure β

Context: μc : MeasureTheory.Measure γ

Context: μd : MeasureTheory.Measure δ

Context: MeasureTheory.SFinite μa

Context: MeasureTheory.SFinite μc

Context: f : α → β

Context: hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μa μb

Context: g : α → γ → δ

Context: hgm : Measurable (Function.uncurry g)

Context: hg : ∀ᵐ (x : α) ∂μa, MeasureTheory.Measure.map (g x) μc = μd

MeasureTheory.MeasurePreserving (fun p => (f p.1, g p.1 p.2)) (μa.prod μc) (μb.prod μd)


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I X J : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hJ : M.Basis J X
hIJ : I \ J = {e}


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
k : 𝓞 K
hk : S.a + ↑η ^ 2 * S.b = λ ^ 2 * k
k' : 𝓞 K
hk' : S.a + S.b = λ ^ 2 * k'


Context:
A : Type u_1
AddCommGroup A
Module ℂ A
StarAddMonoid A
StarModule ℂ A
a : A

imaginaryPart (Complex.I • a) = realPart a


Context:
p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq0 : ↑q ≠ 0

∑ a ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * q / p + ∑ a ∈ Ico 1 (q / 2).succ, a * p / q = p / 2 * (q / 2)


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
Field A
Ring B
Algebra A B
Nontrivial B
a : A

minpoly A ((algebraMap A B) a) = Polynomial.X - Polynomial.C a


Context:
R : Type u_1
Semiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
Fintype m
M : Matrix m n R

LinearMap.range M.vecMulLinear = Submodule.span R (Set.range M)


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f g : PreTilt K v O hv p

Context: m n k : ℕ

Context: hm : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f ≠ 0

Context: hn : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g ≠ 0

Context: hk : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) (f + g) ≠ 0

ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f + (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g) ^ p ^ max (max m n) k ≤ max (ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f) ^ p ^ max (max m n) k) (ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g) ^ p ^ max (max m n) k)


Context:
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: ∀ (n : ℕ) (f : CategoryTheory.Arrow C), CategoryTheory.Limits.HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom

Context: F : CategoryTheory.Arrow C

Context: X : CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented C

Context: G : F ⟶ CategoryTheory.CosimplicialObject.Augmented.toArrow.obj X

Context: x : SimplexCategory

(CategoryTheory.CosimplicialObject.equivalenceRightToLeft F X G).right.app x =
  CategoryTheory.Limits.WidePushout.desc (G.left ≫ X.hom.app x)
    (fun i => G.right ≫ X.right.map ((SimplexCategory.mk 0).const x i)) ⋯


Context:
a y k : ℕ
hy0 : y ≠ 0
hk0 : k ≠ 0
hyk : y ^ k < a
hya : y < a


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: TopologicalSpace B

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: NormedAddCommGroup F

Context: NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_4

Context: NormedAddCommGroup EB

Context: NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_5

Context: TopologicalSpace HB

Context: ChartedSpace HB B

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: e : PartialHomeomorph (B × F) (B × F)

Context: U : Set B

Context: hU : e.source = U ×ˢ Set.univ

Context:
h :
  ∀ x ∈ U,
    ∃ φ u,
      ∃ (hu : IsOpen u) (_ : u ⊆ U) (_ : x ∈ u) (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) u) (h2φ :
        SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) u),
        (e.restr (u ×ˢ Set.univ)).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hu ⋯ ⋯)

∃ Φ U,
  ∃ (hU₀ : IsOpen U) (hΦ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(Φ x)) U) (h2Φ :
    SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(Φ x).symm) U), e.EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph Φ hU₀ ⋯ ⋯)


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X

IsPreirreducible (irreducibleComponent x) ∧
  {x} ⊆ irreducibleComponent x ∧
    ∀ (u : Set X), IsPreirreducible u → irreducibleComponent x ⊆ u → u = irreducibleComponent x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
s : Set β
hs : MeasurableSet s

s ∈ ae (Measure.map f μ) ↔ f ⁻¹' s ∈ ae μ


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : f ≈ g
hf : ¬f ≈ 0


Context:
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ.[R] F
x : ↥f.domain


Context:
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ

(↑r * (cos ↑θ + sin ↑θ * I)).arg = toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Finite G

Context: x y : G

Context: h : ¬IsOfFinOrder x

Context: n m : ℤ

Context: hnm : (fun n => x ^ n) n = (fun n => x ^ n) m


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C

Context: K : CategoryTheory.Limits.Multifork I

Context: lift : (E : CategoryTheory.Limits.Multifork I) → E.pt ⟶ K.pt

Context: fac : ∀ (E : CategoryTheory.Limits.Multifork I) (i : I.L), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (lift E) (K.ι i) = E.ι i

Context:
uniq :
  ∀ (E : CategoryTheory.Limits.Multifork I) (m : E.pt ⟶ K.pt),
    (∀ (i : I.L), CategoryTheory.CategoryStruct.comp m (K.ι i) = E.ι i) → m = lift E

Context: E : CategoryTheory.Limits.Multifork I

(CategoryTheory.Limits.Multifork.IsLimit.mk K lift fac uniq).lift E = lift E


Context:
α : Type u
f₁ f₂ : Filter α

f₁ ≤ f₂ ↔ ∀ (g : Ultrafilter α), ↑g ≤ f₁ → ↑g ≤ f₂


Context:
α : Type u_2
TopologicalSpace α

∀ (a : (TopologicalSpace.Opens α)ᵒᵈ),
  (RelIso.symm (TopologicalSpace.Closeds.complOrderIso α)) a = (TopologicalSpace.Opens.compl ∘ ⇑OrderDual.ofDual) a


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ = x₂
hy : y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

y₁ - W.negY x₁ y₁ = evalEval x₁ y₁ W.polynomialY


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
i : ℕ
x : ExteriorAlgebra R M
hx : x ∈ ⋀[R]^i M

(liftι R M) ↑⟨x, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i => ↥(⋀[R]^i M)) i) ⟨x, hx⟩


Context:
x y : ℂ
h : I * sin (x * I) = -sinh x


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
CommSemiring k
Monoid G
Monoid H
A : Type u₃
Semiring A
Algebra k A
e : G ≃* H

(MonoidAlgebra.domCongr k A e).symm = MonoidAlgebra.domCongr k A e.symm


Context:
R : Type u_3
CommRing R
x : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddAbove s
val✝ : Fintype ι


Context:
l m r : List Char
s : Substring

Substring.ValidFor l m r s → s.toString = { data := m }


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.EnoughInjectives Cᵒᵖ


Context:
α : Type u_1
a b b' : α
LE α
h : a ≤ b
eq : b = b'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β

Context: ρ : Measure (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

∫⁻ (b : β) in s, ∫⁻ (ω : Ω), f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫⁻ (b : β) in s, ∫⁻ (ω : Ω) in Set.univ, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: hQ : Presheaf.IsSheaf J Q

Context: γ : J.sheafify P ⟶ Q

Context: h : J.toSheafify P ≫ γ = η


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
v : E
hv : v ∈ ⨅ i, (eigenspace T i)ᗮ


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : Nonempty α


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → E

Context: p δ : ℝ≥0∞

Context: hδ : δ ≠ 0

Context: this : Tendsto (fun η => LpAddConst p * (η + η)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (LpAddConst p * (0 + 0)))

∃ η, 0 < η ∧ ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ η → eLpNorm g p μ ≤ η → eLpNorm (f + g) p μ < δ


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreUnitCounit F G
X : C
Y : D
f : F.obj X ⟶ Y
e_4✝ : (𝟭 D).obj (F.obj X) = F.obj X

F.map (adj.unit.app X) ≫ adj.counit.app (F.obj X) = 𝟙 (F.obj X)


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: s : Set ι

Context: f : Π₀ (i : ι), β i

(∀ (x : ι), ¬f x = 0 → x ∈ s) ↔ ∀ i ∉ s, f i = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α


Context: α β : Type u

Context: a : Cardinal.{u}

Context: h✝ : lift.{v, u} (succ a) > succ (lift.{v, u} a)

Context: b : Cardinal.{u}

Context: e : lift.{v, u} b = succ (lift.{v, u} a)

Context: h : b < succ a


Context:
x : ℂ
hx : Complex.abs x ≤ 1

Complex.abs (Complex.exp x - 1 - x) ≤ Complex.abs x ^ 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Finset β
ht : t.card ≤ 1

(SimpleGraph.map f G).IsClique ↑t ↔ t.card ≤ 1 ∨ ∃ s, G.IsClique ↑s ∧ map f s = t


Context:
R : Type u
S✝ : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S✝
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Finite σ
ϕ : MvPolynomial σ R →+* S
p : MvPolynomial σ R

ϕ p = eval₂ (ϕ.comp C) (fun s => ϕ (X s)) p


Context: α : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s t u : Finset α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)

Context: dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)

Context: dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)

Context: utu : G.IsUniform ε t u

Context: x : α

Context: hxY : ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card

Context: hsu : ↑u.card * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card

Context: hY : ↑t.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card

Context: hZ : ↑u.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card

ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(filter (fun x => match x with | (y, z) => G.Adj y z) (filter (G.Adj x) t ×ˢ filter (G.Adj x) u)).card


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a b : α
l l₁ l₂ : List α
h : (a :: b :: l).split = (l₁, l₂)
l₁' l₂' : List α
e : l.split = (l₁', l₂')
fst_eq✝ : a :: l₁' = l₁
snd_eq✝ : b :: l₂' = l₂

l₁.length < (a :: b :: l).length ∧ l₂.length < (a :: b :: l).length


Context:
M : Type u_1
α : Type u_2
Group M
MulAction M α
s : Set α
a : α
a_in_s : a ∈ s

MulAction.orbit (↥(fixingSubgroup M sᶜ)) a ⊆ s


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] 0

Context: hm : m ≤ m0

Context: hsf_zero : ∀ (g : α → E), g =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] 0 → s.indicator g =ᶠ[ae μ] g

μ[s.indicator f|m] =ᶠ[ae μ] s.indicator (μ[f|m])


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b x y : α
hy : IsUnit y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace 𝕜 E

Context: x : E

Context: ι : Type u_6

Context: Fintype ι

Context: F' : ι → Type u_7

Context: (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)

Context: (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: h : ∀ (i : ι), DifferentiableAt 𝕜 (φ i) x

fderiv 𝕜 (fun x i => φ i x) x = ContinuousLinearMap.pi fun i => fderiv 𝕜 (φ i) x


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p

(∀ i ∈ p.basisSets, Absorbs 𝕜 (id i) s) ↔ ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r


Context:
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
DivisionRing K
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n

Context: hsum : Summable fun x => ‖f x‖

Context: hf₀ : f 0 = 0

Context: this : Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range n, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator (fun p => ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)) i) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), f n))

Tendsto (fun n => ∏ p ∈ n.primesBelow, ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), f n))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
x y : E
b : Basis ι 𝕜 E
h : ∀ (i : ι), ⟪x, b i⟫_𝕜 = ⟪y, b i⟫_𝕜


Context: X : Type u_1

Context: TopologicalSpace X

Context: Zero X

Context: A : Type u_2

Context: NonUnitalRing A

Context: StarRing A

Context: Module ℝ A

Context: φ : ContinuousMapZero X NNReal →⋆ₙₐ[NNReal] A

Context: f : ContinuousMapZero X NNReal

φ.realContinuousMapZeroOfNNReal
    ({ toFun := NNReal.toReal, continuous_toFun := NNReal.continuous_coe, map_zero' := ⋯ }.comp f) =
  φ f


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hab : a ≤ b
hc : 0 ≤ c


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C

Context: M : Type u_4

Context: AddMonoid M

Context: CategoryTheory.HasShift C M

Context: X Y : C

Context: Z : C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: ∀ (a : M), (CategoryTheory.shiftFunctor C a).PreservesZeroMorphisms

Context: a : M

Context: β : CategoryTheory.ShiftedHom X Y a

Context: b c : M

Context: h : b + a = c


Context:
α : Type u
G : Type u_1
Group G
f : G →* Function.End α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t μ
hsμ : μ s ≠ ⊤
htμ : μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s μ
hft : IntegrableOn f t μ
this✝ : Fact (μ s < ⊤)
this : Fact (μ t < ⊤)

⨍ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ = ((μ s).toReal / ((μ s).toReal + (μ t).toReal)) • ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ + ((μ t).toReal / ((μ s).toReal + (μ t).toReal)) • ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ✝ : MeasurableSpace Ω

Context: μ✝ : Measure Ω

Context: g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: Mf mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: hMf : Mf ≤ mΩ

Context: c : ℝ≥0∞

Context: T : Set Ω

Context: h_meas_T : MeasurableSet T

Context: h_ind : IndepSets {s | MeasurableSet s} {T} μ

Context: h_mul_indicator : ∀ (g : Ω → ℝ≥0∞), Measurable g → Measurable fun a => g a * T.indicator (fun x => c) a

∀ ⦃f g : Ω → ℝ≥0∞⦄, Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → Measurable f → Measurable g → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ → ∫⁻ (ω : Ω), g ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), g ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ → ∫⁻ (ω : Ω), (f + g) ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), (f + g) ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
m : ℕ × ℕ
k n : ℕ
hk : k ≤ m.1
hn : n ≤ m.2
f : 𝓢(E, F)
x : E

∑ i ∈ Finset.range (k + 1), ‖x‖ ^ i * ↑(k.choose i) * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ 2 ^ m.1 * ((Finset.Iic m).sup fun m => SchwartzMap.seminorm 𝕜 m.1 m.2) f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w


Context: R : Type u_1

Context: CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: CommSemiring S

Context: Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: CommSemiring P

Context: IsLocalization M S

Context: g : R →+* P

Context: T : Submonoid P

Context: Q : Type u_4

Context: CommSemiring Q

Context: hy : M ≤ Submonoid.comap g T

Context: Algebra P Q

Context: IsLocalization T Q

Context: j : S →+* Q

Context: hj : ∀ (x : R), j ((algebraMap R S) x) = (algebraMap P Q) (g x)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: c g' : Perm α

Context: hd : c.Disjoint g'

Context: hc : c.IsCycle

Context: hn2 : Fintype.card α < c.support.card + 2

Context: hng : c.support.card ∈ (c * g').cycleType


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
pf : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → MulZeroClass (α i)
DecidableEq ι
i : ι
f : (i : ι) → α i
a : α i

Pi.single i (f i * a) = f * Pi.single i a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a b c d : α
h : b ≠ 0


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : FunLike F α β
s : Multiset α
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
y : α
h : ∀ x ∈ s, Commute y x


Context: a r : ℝ

MeasureTheory.volume (Metric.closedBall a r) = ENNReal.ofReal (2 * r)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
f : α → β → α → γ
la : List α
lb : List β

List.zipWith3 f la lb la = List.zipWith (fun a b => f a b a) la lb


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b c : α
hab : Relation.ReflTransGen r a b
hbc : Relation.TransGen r b c


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
n : ℕ
p : G.Walk v w
h : G.Adj u v

(SimpleGraph.Walk.cons h p).getVert (n + 1) = p.getVert n


Context:
a b c : Int
H1 : b ≠ 0
H2 : a = b * c


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R


Context: n d : PosNum

↑(n.pred' / Num.pos d).succ' = -↑n / -↑d


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
l : Filter α
s : Set β

Filter.Tendsto f l (𝓟 s) ↔ ∀ᶠ (a : α) in l, f a ∈ s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
inst✝ : AddGroup β
f g : α → β
l : Filter α
h : f =ᶠ[l] g


Context: E : Type u_1

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace ℝ E

Context: MeasurableSpace E

Context: BorelSpace E

Context: FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : MeasureTheory.Measure E

Context: μ.IsAddHaarMeasure

Context: s : Set E

Context: hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ

Context: r : ℝ

MeasureTheory.NullMeasurableSet (r • s) μ


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s : (a : α) → Finset (γ a)
β : Type u_4
inst✝ : DecidableEq β
a : α

image (fun f => f a) (piFinset fun _i => ∅) = ∅


Context:
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α
n : ℕ
n.AtLeastTwo

Int.fract (a + OfNat.ofNat n) = Int.fract a


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
hs : s ⊆ f.source

Filter.map (↑(f.extend I)) (𝓝[s] y) = 𝓝[↑(f.extend I) '' s] ↑(f.extend I) y


Context:
α : Type u_1
AddCommGroup α
DecidableEq α
A : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
n : ℕ

↑(n • B).card ≤ (↑(A - B).card / ↑A.card) ^ n * ↑A.card


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
Quiver.IsThin C
X Y : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ X


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
st : s ⊆ f ⁻¹' t
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : Set F
u_nhd : u ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
left✝ : u ⊆ insert (f x) t
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑m) g u
v : Set E
v_nhd : v ∈ 𝓝[insert x s] x
vs : v ⊆ insert x s
hv : ContDiffOn 𝕜 (↑m) f v

∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u


Context:
R : Type u
CommRing R
V W : HopfAlgebraCat R


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.123089, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cochain G K n
h : m + 1 = n
p₁ p₂ : ℤ
h₁₂ : p₁ + n = p₂

(inr φ).f p₁ ≫ (descCochain φ α β h).v p₁ p₂ h₁₂ = β.v p₁ p₂ h₁₂


Context:
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Module.Finite R M


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
h : 𝟙 X = 0
Y : C
f : Y ⟶ X


Context:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ

variance X μ = ∫ (x : Ω), ((X - fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ^ 2) x ∂μ


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
NonUnitalNonAssocSemiring α
NonUnitalNonAssocSemiring β
f : α →ₙ+* β


Context:
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R


Context:
R : Type u_1
m : Type u_2
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
A : Matrix m (n₁ ⊕ n₂) R
i : m
j : n₂


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α
p : α → Prop

(∀ (c : α), (∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = c) → p c) ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, Disjoint a b → p (a ⊔ b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
m' : MeasurableSpace β
inst✝ : BooleanAlgebra β
h : Measurable compl
f : α → β

MeasurableSpace.comap (fun a => (f a)ᶜ) inferInstance = MeasurableSpace.comap f inferInstance


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
inst✝ : Nonempty X
f : X →ᵇ ℝ
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
inhabited_h : Inhabited X
a : ℝ
ha : IsGLB (range ⇑f) a
b : ℝ
hb : IsLUB (range ⇑f) b
hmem : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b
hle : a ≤ b
hlt : a < b
c : ℝ := (a + b) / 2

∃ g, (∀ (y : Y), ∃ x₁ x₂, g y ∈ Icc (f x₁) (f x₂)) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f


Context:
R : Type u₁
S : Type u₂
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
M₁ M₂ M₃ : ModuleCat R
l₁₂ : M₁ ⟶ M₂
l₂₃ : M₂ ⟶ M₃

ModuleCat.ExtendScalars.map' f (l₁₂ ≫ l₂₃) = ModuleCat.ExtendScalars.map' f l₁₂ ≫ ModuleCat.ExtendScalars.map' f l₂₃


Context:
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : Set R
sm : Subsemigroup R
hm : ↑sm = s
sa : AddSubgroup R
ha : ↑sa = s

(NonUnitalSubring.mk' s sm sa hm ha).toSubsemigroup = sm


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t : Set α
f : ι → Filter α
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
inst✝ : Nonempty ι
s : Set α


Context:
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
s : Set α
hs : s.Nontrivial


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
m : ℕ
f : α → ℕ
h₁ : ∀ x ∈ s, f x = m


Context: J : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C

Context: F : J ⥤ C

Context: D : Type u₄

Context: CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D

Context: G : K ⥤ D

Context: h : CategoryTheory.Limits.Cocone G ≌ CategoryTheory.Limits.Cocone F

Context: c : CategoryTheory.Limits.Cocone G

Context: P : CategoryTheory.Limits.IsColimit (h.functor.obj c)

Context: s : CategoryTheory.Limits.Cocone G

((CategoryTheory.Limits.IsColimit.ofCoconeEquiv h) P).desc s =
  (h.unit.app c).hom ≫ (h.inverse.map (P.descCoconeMorphism (h.functor.obj s))).hom ≫ (h.unitInv.app s).hom


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: t : M → Set F

Context: n : ℕ∞

Context: s : Set M

Context: hs : IsOpen s

Context: f : SmoothPartitionOfUnity M I M

Context: hf : f.IsSubordinate fun x => (chartAt H x).source

Context: g : M → H → ℝ

Context: g_supp : ∀ (c : M), support (g c) = (chartAt H c).target ∩ ↑(chartAt H c).symm ⁻¹' s

Context: g_diff : ∀ (c : M), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) (g c)

Context: hg : ∀ (c : M), range (g c) ⊆ Icc 0 1

∃ f, support f = s ∧ Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ ∀ (x : M), 0 ≤ f x


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞
Eu : Type u
NormedAddCommGroup Eu
NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
NormedAddCommGroup Fu
NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
NormedAddCommGroup Gu
NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg : ContDiffOn 𝕜 n g t
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t


Context:
n k : ℕ
hk : k ≠ 0


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C

Context: A : C

Context: n : ℕ

HomologicalComplex.ExactAt ((CochainComplex.single₀ C).obj A) (n + 1)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hf_zero : ¬∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = 0
hg_zero : ¬∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ = 0
hf_top : ¬∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = ⊤
hg_top : ¬∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ = ⊤


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
UniformSpace α
UniformSpace β
UniformSpace γ
g : β → γ
hg : UniformEmbedding g
f : α → β
hf : UniformEmbedding f


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
hnsp : ∀ (i : ι), BddBelow (ns i)


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
a b : α
h : a < b

Filter.map Subtype.val Filter.atBot = 𝓝[>] a


Context:
n : ℕ
i j : Fin n
h : i ≠ j


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
c : Chain (Part α)
a b : α
i : ℕ
ha : c i = some a
j : ℕ
hb : some b = c j


Context: m n k : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
hr : Symmetric r
ha : a ∉ s

(insert a s).Pairwise r ↔ s.Pairwise r ∧ ∀ b ∈ s, r a b


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
l : List α

l.sublists' ++ map (cons a) l.sublists' ~ l.sublists ++ map (cons a) l.sublists


∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁ <:+ l₂ → l₁ ⊆ l₂


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → DecidableEq (α i)
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → Zero (α i)
(i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i

(Finset.Icc f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Finset.Icc (f i) (g i)).card


Context: T : Type uT

Context: N : Type uN

Context: r : ContextFreeRule T N

Context: v w p x y : List (Symbol T N)

Context: hxy : v = x ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ y ∧ w = x ++ r.output ++ y

∃ p_1 q, p ++ v = p_1 ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ q ∧ p ++ w = p_1 ++ r.output ++ q


Context:
α : Type u_1
EuclideanDomain α
DecidableEq α
x y : α

Ideal.span {EuclideanDomain.gcd x y} = Ideal.span {x, y}


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: X : C

Context: f : CategoryTheory.WithTerminal.star ⟶ CategoryTheory.WithTerminal.of X


Context:
α : Type u_1
SMul α ℂ
IsScalarTower α ℂ ℂ
k : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
f : ℍ → ℂ
c : α

ModularForm.slash k A (c • f) = c • ModularForm.slash k A f


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderTopology α
a l' : α
s : Set α
hl' : l' < a

s ∈ 𝓝[≤] a ↔ ∃ l ∈ Set.Ico l' a, Set.Ioc l a ⊆ s


Context: x : ℝ≥0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β
F : Filter α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R✝ : Type u_3
R' : Type u_4
S✝ : Type u_5
S' : Type u_6
T : Type u_7
T' : Type u_8
R : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : IsDomain (R × S)
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Nontrivial S
this : 0 = 0 ∧ 1 = 0 ∨ 1 = 0 ∧ 0 = 0


Context:
s : Finset ℕ
m n p✝ p k : ℕ
hp : Prime p
hk : 0 < k
h : Squarefree (p ^ k)


Context: u✝ : Lean.Level

Context: arg : Q(Type u✝)

Context: sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)

Context: u : Lean.Level

Context: α : Q(Type u)

Context: sα : Q(CommSemiring «$α»)

Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommSemiring R✝

Context: a a' a₁✝ a₂✝ a₃ b b' b₁ b₂ b₃ c c₁ c₂ : R✝

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : Ring R

Context: a₁ a₂ : R


Context:
R : Type u
Semiring R
p : R[ℕ]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f : α → β
h : a < b

Tendsto (fun x => f ↑x) atBot l ↔ Tendsto (f ∘ Subtype.val) atBot l


Context: x : ℝ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l

(fun s => ⟨s.fst - s.snd.card, ⟨s.snd.card, ⟨Finset.map (finCongr ⋯).toEmbedding s.snd, ⋯⟩⟩⟩) ((fun s => ⟨s.fst + s.snd.fst, ↑s.snd.snd⟩) ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩) = ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: hc : AddLECancellable c

Context: h : c ≤ b

Context: h' : a < b - c


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι✝ : Type u_1

Context: π : ι✝ → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t✝ u v : Set α

Context: ι : Type u_3

Context: t : Set ι

Context: s : ι → Set α

Context: H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)

Context: K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j

Context: R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t

Context: P : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen R i j → ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)


Context: z : ℂ

Context: this : HasSum (fun x => ((z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)! + (-z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)!) / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)

Context: k : ℕ


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
m : M


Context:
α : Type u_1
Nonempty α
DecidableEq α
s : Finset α
f : α → ℤ
n : ℕ
h : ∑ i ∈ s, (f i).natAbs ≤ n

∃ β x sgn g,
  (∀ (b : β), g b ∉ s → sgn b = 0) ∧ Fintype.card β = n ∧ ∀ a ∈ s, (∑ i : β, if g i = a then ↑(sgn i) else 0) = f a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderTop α
s : Multiset α
a : α

∀ (a_1 : α) (s : Multiset α), (a ≤ s.inf ↔ ∀ b ∈ s, a ≤ b) → (a ≤ (a_1 ::ₘ s).inf ↔ ∀ b ∈ a_1 ::ₘ s, a ≤ b)


Context: ι : Type u

Context: f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: H : ∀ (i : ι), Ordinal.IsNormal (f i)

Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) (⋂ i, Function.fixedPoints (f i))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hf : Integrable f ρ

∫ (b : β), ∫ (ω : Ω), f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫ (x : β × Ω), f x ∂ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel


Context:
α : Type u
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α
y : α
hy : y ≠ 1
h : 1 < y


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
DecidableEq ι
Zero M
l : List (ι →₀ M)
x : ι

x ∈ List.foldr (fun x x_1 => x.support ⊔ x_1) ∅ l ↔ ∃ f ∈ l, x ∈ f.support


Context:
a b : ℕ
hb : 0 < b


Context:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ

0 ≤ᶠ[ae ℙ] fun ω => (X ω - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2


Context:
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
S : Type w
CommRing S
f : R ≃+* S
M : Matrix n n R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LE β
s t : Set α
a : α
h : IsLowerSet sᶜ


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: AddCommMonoid ι

Context: DecidableEq ι

Context: CommRing R

Context: CommRing A

Context: Algebra R A

Context: 𝒜 : ι → Submodule R A

Context: GradedAlgebra 𝒜

Context: x : Submonoid A

Context: c1 c2 : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
ι : Type u_6
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → V
hw : s.sum w = 0

(s.weightedVSub p) w = ∑ i ∈ s, w i • p i


Context: R : Type u

Context: inst✝²⁵ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝²⁴ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝²³ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: inst✝²² : Field K

Context: inst✝²¹ : Algebra R K

Context: hRK : IsFractionRing R K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝²⁰ : Field L

Context: inst✝¹⁹ : Algebra S L

Context: inst✝¹⁸ : IsFractionRing S L

Context: V : Type u_3

Context: V' : Type u_4

Context: V'' : Type u_5

Context: inst✝¹⁷ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁶ : Module R V

Context: inst✝¹⁵ : Module K V

Context: inst✝¹⁴ : IsScalarTower R K V

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹² : Module R V'

Context: inst✝¹¹ : Module S V'

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R S V'

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup V''

Context: inst✝⁸ : Module R V''

Context: inst✝⁷ : IsDomain S

Context: inst✝⁶ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝⁵ : Algebra K L

Context: inst✝⁴ : Algebra R L

Context: inst✝³ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝² : IsScalarTower R S L

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: hp : p.IsMaximal

Context: inst✝ : IsNoetherian R S

Context: this : Field (R ⧸ p) := Quotient.field p

Context: ι : Type v := Module.Free.ChooseBasisIndex (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p)

Context: b : Basis ι (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p) := Module.Free.chooseBasis (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p)

Context: b' : ι → S := fun i => ⋯.choose

Context: b_eq_b' : ⇑b = ⇑(↑R (Submodule.mkQ (map (algebraMap R S) p))) ∘ b'

finrank (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p) = finrank K L


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: ifp_n : IntFractPair K

Context: seq_nth_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n

Context: left✝ : ifp_n.fr ≠ 0

Context: stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)

Context: succ_nth_fr_eq_zero : (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0


Context:
α : Type u_1
Rₐ : α → α → Prop
l : List α

List.Forall₂ Rₐ l l ↔ ∀ (x : α), x ∈ l → Rₐ x x


Context: p : ℝ≥0∞ → Prop

(∀ (a : ℝ≥0∞), a ≠ ⊤ → p a) ↔ ∀ (r : ℝ≥0), p ↑r


Context:
α : Type u_1
n : ℕ
DecidableEq α
s : Sym α n
a : α
h : a ∈ a ::ₛ s := ⋯


Context:
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Free R M
Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : BoundedOrder β
x y : α × β

IsCompl x y ↔ IsCompl x.1 y.1 ∧ IsCompl x.2 y.2


Context:
x y : SetTheory.PGame
r : x.Relabelling y


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g


Context:
K✝ : Type u
K : Type u_1
inst✝ : Field K

(idealX K).valuation RatFunc.X = ↑(Multiplicative.ofAdd (-1))


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Affine.Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃

Affine.Simplex.altitude t₂ j₂ = affineSpan ℝ {t₁.points i₁, t₁.points i₂}


Context:
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
c : L.Constants
v : α → M

FirstOrder.Language.Term.realize v c.term = ↑c


Context:
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)
nd : l.NodupKeys


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → β
hf : Function.Injective f
DecidablePred fun x => x ∈ Set.range f
g : α → M

(∏ᶠ (b : β), if h : b ∈ Set.range f then g (Classical.choose h) else 1) = ∏ᶠ (a : α), g a


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E


Context:
α : Type u_2
AddMonoid α
a : α


Context:
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
s : Subring R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
x : ↥s

↑((s.equivMapOfInjective f hf) x) = f ↑x


Context:
α : Type u
UniformSpace α

Filter.map Prod.swap ((𝓤 α).lift' CauchyFilter.gen) ≤ (𝓤 α).lift' CauchyFilter.gen


Context:
α : Type u
β : Type v
l : List α
d : α
n : ℕ
f : α → β

(List.map f l).getD n (f d) = f (l.getD n d)


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
Fintype ι
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ E
NormedSpace ℝ F
MeasurableSpace E
MeasurableSpace F
BorelSpace E
BorelSpace F
SecondCountableTopology F
SigmaCompactSpace F
b : Basis ι ℝ E
f : E ≃L[ℝ] F

MeasureTheory.Measure.map (⇑f) b.addHaar = (b.map f.toLinearEquiv).addHaar


Context:
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
Module.Finite R L
Module.Free R L
Module.Finite R M
Module.Free R M
x y : L

(LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly R M x y).Monic


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ

∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), bernsteinPolynomial R n ν = (X + (1 - X)) ^ n


Context:
G : Type u_2
Group G
S : Subgroup G


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h : 2 < ↑n

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: this✝² : NeZero ↑↑n

Context: E : Type v := AlgebraicClosure L

Context: z : E

Context: hz : (cyclotomic (↑n) E).IsRoot z

Context: this✝¹ : FiniteDimensional K L := finiteDimensional {n} K L

Context: this✝ : IsGalois K L := isGalois n K L

Context: Hprod : ∏ σ : L →ₐ[K] E, (1 - σ ζ) = eval 1 (cyclotomic' (↑n) E)

Context: this : NeZero ↑↑n

∏ x : L →ₐ[K] E, (1 - x ζ) = (algebraMap K E) ↑(eval 1 (cyclotomic ↑n ℤ))


Context:
α : Type u_1
Preorder α
a b : α
s : Flag α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y : P

(lineMap y ((pointReflection R x) y)) 2⁻¹ = x


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
u : ι → UniformSpace β
l : Filter β
inst✝ : l.NeBot


Context: α : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: TopologicalSpace α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: self : MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: x : α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: f : Stream' (Option α)

Context: al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, f n = some a → f (n + 1) = some a

Context: e : Option.rec none some = id

Context: h : (fun x => x) = id

Stream'.map (fun o => Option.rec none (fun val => some val) o) f = f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Finset β


Context: R : Type u

Context: CommRing R

Context: M : ModuleCat R

Context: U : (TopologicalSpace.Opens ↑(AlgebraicGeometry.PrimeSpectrum.Top R))ᵒᵖ

Context: x : ↥(Opposite.unop U)

Context: r : ↑((AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).val.obj U)

Context: m : ModuleCat.Tilde.Localizations M ↑x


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ

image₂ f s t ⊆ u ↔ ∀ a ∈ s, image (fun b => f a b) t ⊆ u


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
x : HahnSeries Γ R


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

re (⟪x, y⟫_𝕜 * ⟪y, x⟫_𝕜) = ‖⟪x, y⟫_𝕜 * ⟪y, x⟫_𝕜‖


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J J' : FractionalIdeal S P
h : J ≤ J'

(fun x => I * x) J ≤ (fun x => I * x) J'


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
x : M

x ∈ ↑(torsion R M) ↔ x ∈ {x | ∃ x_1, (∀ (n : M), (∃ a, a • x = n) → x_1 • n = 0) ∧ x_1 ≠ 0}


Context:
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →+ P
T : AddSubmonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
AddCommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
A : Type u_5
AddCommMonoid A
U : AddSubmonoid A
R : Type u_6
AddCommMonoid R
j : U.LocalizationMap R
l : P →+ A
hl : ∀ (w : ↥T), l ↑w ∈ U
x : N

(k.map hl j) ((f.map hy k) x) = (f.map ⋯ j) x


Context:
M : Type u_1
Monoid M
a : Mˣ
ha : ↑a ∈ Set.center M


Context:
α : Type u
n : ℕ
x : α
StrictOrderedRing α
hx : x < 0
hx' : 0 < x + 1
hn : 1 < n

0 < ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i ∧ ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i < 1


Context:
R : Type u
S : Type u₁
Monoid R
Monoid S
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction S B
f g : A →ₛₙₐ[φ] B


Context:
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : NonUnitalSubring R

NonUnitalSubring.map (NonUnitalRingHom.id R) s = s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: inst✝ : LinearOrder E

Context: f : X → E

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: h_union : {x | f x ≤ 0} = {x | f x < 0} ∪ {x | f x = 0}

∫ (x : X) in {x | f x < 0}, f x ∂μ = ∫ (x : X) in {x | f x < 0} ∪ {x | f x = 0}, f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
StrictOrderedSemiring α
x : ↑(Set.Ioc 0 1)


Context:
M : Type u_6
N : Type u_7
Mul M
Mul N
e : M ≃* N
y : N


Context:
n : ℕ
p i : Fin (n + 1)
h : i < p
hp : p ≠ 0 := ⋯
hi : i ≠ Fin.last n := ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
fa : α ≃o α
fb : β ↪o β
g : α → β
h : Semiconj g ⇑fa ⇑fb
g' : β → α
hg' : IsOrderRightAdjoint g g'


Context:
x : ℝ
hx : x ∈ Ici 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing A

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : IsDomain R

Context: inst✝⁷ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝⁶ : DecidableEq R

Context: inst✝⁵ : DecidableEq (Ideal R)

Context: inst✝⁴ : NormalizationMonoid R

Context: inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝² : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq (Associates (Ideal R))

Context: inst✝ : (p : Associates (Ideal R)) → Decidable (Irreducible p)

Context: I J : Ideal R

Context: hJ : J.IsPrime

Context: hJ₀ : J ≠ ⊥

Context: hI : Associates.mk I ≠ 0

Context: hJ' : Irreducible (Associates.mk J)

I ≤ J ^ (Associates.mk J).count (Associates.mk I).factors


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
TopologicalSpace X
f : X → α

Set.range f ⊆ insert 0 (f '' tsupport f)


Context:
α : Type u
a b : α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: h : HasMFDerivAt I I' f x f'

ContinuousAt f x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: RCLike 𝕜

Context: NormedAddCommGroup E

Context: InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: LinearOrder ι

Context: LocallyFiniteOrderBot ι

Context: IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: Fintype ι

Context: FiniteDimensional 𝕜 E

Context: h : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = Fintype.card ι

Context: f : ι → E

Context: i j : ι

Context: hij : i < j

⟪(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) j, f i⟫_𝕜 = 0


Context:
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i✝ : ι
b : B
a : F
i : ι
p : Z.TotalSpace

p ∈ (Z.localTrivAsPartialEquiv i).source ↔ p ∈ (Z.localTrivAsPartialEquiv i).source ∩ ↑(Z.localTrivAsPartialEquiv i) ⁻¹' Z.baseSet i ×ˢ univ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
CompleteSpace 𝕜
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
Module 𝕜 E
ContinuousSMul 𝕜 E
AddCommGroup F
TopologicalSpace F
T2Space F
TopologicalAddGroup F
Module 𝕜 F
ContinuousSMul 𝕜 F
FiniteDimensional 𝕜 F
f : E →L[𝕜] F
hf : LinearMap.range f = ⊤

∃ g, f.comp g = ContinuousLinearMap.id 𝕜 F


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: μ' : Measure α

Context: c' : ℝ≥0∞

Context: hc' : c' ≠ ⊤

Context: hμ'_le : μ' ≤ c' • μ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'

Context: f : α → E

Context: hfμ : Integrable f μ

Context: h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g μ → Integrable g μ'


Context: ξ : ℝ

Context: u v : ℤ

Context: hv : 2 ≤ v

Context: hv₀ hv₁ : 0 < ↑v

Context: hv₂ : 0 < 2 * ↑v - 1

Context: hcop : IsCoprime u v

Context: left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u

Context: h : |↑⌊ξ⌋ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹

Context: hf : ξ = ↑⌊ξ⌋

Context: H : 2 * ↑v - 1 < 1


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Abelian C

Context: J : C

Context: hP : CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteColimits (CategoryTheory.preadditiveYonedaObj J)


∀ {α : Type u_1} {a : α} {l : List α} {R : α → α → Prop}, List.Pairwise R (a :: l) → List.Pairwise R l


Context: n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
SmoothManifoldWithCorners I' M'


Context:
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y z : α