Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ

Context: c w : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hw : w ∈ ball c R

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R)

Context: hd : ∀ x ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x

Context: hR : 0 < R

Context: t : Set ℂ

Context: ht : t ∈ 𝓝 w

Context: g : ℝ → ℂ := fun x => w + ofReal x

Context: this : Tendsto g (𝓝 0) (𝓝 w)

Context: l u : ℝ

Context: hlu₀ : 0 ∈ Ioo l u

Context: hlu_sub : Ioo l u ⊆ g ⁻¹' (t ∩ ball c R)


Context: a : ℝ

interior {z | z.im ≤ a} = {z | z.im < a}


Context:
G : Type u_1
Group G
s t : Set G
ht : IsNormalSubgroup t


Context:
α : Type u_1
m : Multiset α
r : α → α → Prop


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤

Context: hf_zero_rpow : ¬(∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) = 0

Context: hf_top_rpow : (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a b x y : α
hc₁ : ChainClosure r c₁
hc₂ : ChainClosure r c₂
hc : SuccChain r c₂ = c₂


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
p : T.CompleteType α
φ : L[[α]].Sentence
hf : Formula.not φ ∈ p
ht : φ ∈ p
h : ¬{φ, Formula.not φ}.IsSatisfiable


Context:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂

(α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ ((((𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (f₁ ⊗ (f₂ ⊗ g₁) ⊗ g₂)) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (β_ Y₂ V₁).hom ⊗ 𝟙 V₂)) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (α_ V₁ Y₂ V₂).hom)) ≫ (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv = ((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv) ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂)


Context: m n k : ℕ+


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : SemilatticeInf α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: s t : Set α

Context: a✝ b✝ c : α

Context: h : (s.Pairwise fun a b => ¬Disjoint a b) ∧ s ≠ {⊥}

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s

Context: b : α

Context: hb : ⊥ ∈ s

Context: hab : b = ⊥

Context: this : a = b


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
inst✝ : Archimedean R
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
b : R


Context:
K : Type uK
V : Type uV
CommRing K
AddCommGroup V
Module K V
Module.Free K V
v : V

(∀ (φ : Module.Dual K V), φ v = 0) ↔ v = 0


Context:
p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q


Context: z : ℂ

z ∈ Complex.slitPlane ↔ 0 < z.re ∨ z.im ≠ 0


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b : R
n : ℕ
hb : b ≠ 0
he : Even n


Context:
α : Type u
β : Type v
Preorder β
l : Filter α
a : α
b : β


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
heI : e ∈ I


Context:
R : Type u_4
S : Type u_5
Mul R
Mul S
Add R
Add S


Context: Ω : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: μ : MeasureTheory.Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ht : 0 ≤ t

Context: h_int : MeasureTheory.Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ

(μ {ω | ε ≤ X ω}).toReal ≤ rexp (-t * ε) * ProbabilityTheory.mgf X μ t


Context: n : ℕ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: T : E →L[𝕜] E

Context: hT : IsSelfAdjoint T

Context: x₀ : E

Context: hx₀ : x₀ ≠ 0

Context: hextr : IsMinOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀

HasEigenvector (↑T) (↑(⨅ x, T.rayleighQuotient ↑x)) x₀


Context:
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N


Context:
𝕜 : Type u_1
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
LinearOrderedAddCommMonoid β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
r s : β


Context:
f : ℕ → ℂ
s : ℂ

LSeriesSummable (-f) s ↔ LSeriesSummable f s


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.23232, u_1} D
P : MorphismProperty C


Context:
α : Type u_1
M : Type u_5
One M
f : α → M
s : Set α

Function.mulSupport f = s ↔ (∀ x ∈ s, f x ≠ 1) ∧ ∀ x ∉ s, f x = 1


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
TopologicalSpace X
AddMonoid α
f g : X → α

(tsupport fun x => f x + g x) ⊆ tsupport f ∪ tsupport g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
s : Set α
hf : AntilipschitzWith K (s.restrict f)
g : β → α
t : Set β
g_maps : Set.MapsTo g t s
g_inv : Set.RightInvOn g f t


Context:
α : Type u
β : Type v
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
hf : ¬IsField R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
DecidableEq β
f : α → β
hf : Function.Injective f
s : α →₀ M

(Finsupp.mapDomain f s).support = Finset.image f s.support


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X


Context:
R : Type u
CommRing R
I J : Ideal R
h : I ≤ J


Context:
α : Type u
UniformSpace α


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: c : T₁.obj₃ ⟶ T₂.obj₃

Context: comm : T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map a = c ≫ T₂.mor₃

∃ b, T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁ ∧ T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
h : a ∉ s


Context: M : Type u_1

Context: CommMonoid M

Context: TopologicalSpace M

Context: ContinuousMul M

Context: f : ℤ → M

Context: hf₁ : Multipliable fun n => f ↑n

Context: hf₂ : Multipliable fun n => f (-(↑n + 1))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p✝ : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b : β
p : β → Prop
hf : BijOn f s t
a : α
ha : a ∈ s
h : p (f a)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
n : Type w
inst✝ : Nontrivial R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
h : B.iIsOrtho ⇑v
hB : B.Nondegenerate
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)


Context:
F : Type u_1
Field F
Fintype F
DecidableEq F


Context:
M : Type u_6
AddMonoid M
a : AddUnits M


Context:
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
Semiring A₁
Semiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
x : A₁
n : ℕ


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : Presieve.IsSheaf J F
hG : Presieve.IsSheaf J G.toPresheaf
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
hs : s ∈ (sheafify J G).obj U

∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ unop U⦄, (G.sieveOfSection s).arrows f → F.map f.op ↑(⋯.amalgamate (G.familyOfElementsOfSection s) ⋯) = F.map f.op s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
CompactSpace α
MetricSpace β
f g : C(α, β)
C : ℝ
Nonempty α

dist f g < C ↔ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommSemiring R
f✝ : α → R
s✝ s : Finset α
f : α → R
n : ℕ

(∑ i ∈ s, f i) ^ n = ∑ x ∈ s.piAntidiag n, ↑(multinomial s x) * s.noncommProd (fun i => f i ^ x i) ⋯


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L

LieIdeal.map f (I ⊔ f.ker) = LieIdeal.map f I


Context:
n : ℕ
a b : Fin n

Fintype.card ↑(Set.Icc a b) = ↑b + 1 - ↑a


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivAt f f' x


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace V

Context: inst✝³ : BorelSpace V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hfi : Integrable f volume

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: g : V → E

Context: hg_supp : HasCompactSupport g

Context: hfg : ∫ (x : V), ‖f x - g x‖ ≤ ε / 2

Context: hg_cont : Continuous g

Context: w : V

Context: hI : ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • g v) - 0‖ < ε / 2

‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) - 0‖ < ε


Context:
R : Type uR
A : Type uA
M : Type uM
ι : Type uι
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
a : A
m : M

(Algebra.TensorProduct.basisAux A b) (a ⊗ₜ[R] m) = a • Finsupp.mapRange ⇑(algebraMap R A) ⋯ (b.repr m)


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀

Context: inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x y z : R

Context: ι : Type u_7

Context: s✝ : Finset ι

Context: f : ι → R

Context: g : Γ₀

Context: hf✝ : ∀ i ∈ s✝, v (f i) ≤ g

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s

Context: ih : (∀ i ∈ s, v (f i) ≤ g) → v (∑ i ∈ s, f i) ≤ g

Context: hf : ∀ i ∈ insert a s, v (f i) ≤ g


Context:
R : Type u
Rack R
a b : Rack.PreEnvelGroup R

Rack.PreEnvelGroupRel R a b → Rack.PreEnvelGroupRel R b a


Context:
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N


Context: α : Type u

Context: inst✝ : CanonicallyLinearOrderedCommMonoid α

Context: a b c : α

Context: hb : b ≤ a

min a (b * c) = min a (min a b * min a c)


Context:
α : Type u_3
LinearOrderedSemiring α
a b : ℕ


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: M : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory M

Context: F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)

Context: m n : M

Context: h : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj m n ≅ 𝟙_ M

Context: X : C

(CategoryTheory.unitOfTensorIsoUnit F m n h).inv.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.ε.app X)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.map h.inv).app X) ((F.μIso m n).inv.app X))


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.MonoCoprod C

Context: I : Type u_2

Context: J : Type u_3

Context: X : I → C

Context: ι : J → I

Context: hι : Function.Injective ι

Context: c : CategoryTheory.Limits.Cofan X

Context: c₁ : CategoryTheory.Limits.Cofan (X ∘ ι)

Context: hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c

Context: hc₁ : CategoryTheory.Limits.IsColimit c₁

Context: CategoryTheory.Limits.HasCoproduct fun k => X ↑k

CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.Limits.Cofan.IsColimit.desc hc₁ fun i => c.inj (ι i))


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M →+ N
g : N → M
h : Function.LeftInverse g ⇑f

∀ (a : ↥(AddMonoidHom.mrange f)), (AddEquiv.ofLeftInverse' f h).symm a = g ↑a


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: g : ℝ → F

Context: k : Set ℝ

Context: l : Filter ℝ

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l

Context: hl : k ∈ l

Context: hd✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x

Context: hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop

Context: hfg : deriv f =O[l] g

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: s : Set ℝ

Context: hsl : s ∈ l

Context: hgi : IntegrableOn (fun x => C * ‖g x‖) k volume

Context: c : ℝ

Context: hc : c ∈ s

Context: d : ℝ

Context: hd : d ∈ s

Context: hlt : ‖f c‖ + ∫ (y : ℝ) in k, C * ‖g y‖ < ‖f d‖

Context: hsub : [[c, d]] ⊆ k

Context: hfd : ∀ z ∈ [[c, d]], DifferentiableAt ℝ f z

Context: hg : ∀ x ∈ Ι c d, ‖deriv f x‖ ≤ C * ‖g x‖

Context: hg_ae : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ι c d), ‖deriv f x‖ ≤ C * ‖g x‖

Context: hsub' : Ι c d ⊆ k

Context: hfi : IntervalIntegrable (deriv f) volume c d

‖f d‖ - ‖f c‖ ≤ ∫ (y : ℝ) in k, C * ‖g y‖


Context:
R : Type u_1
Ring R
S : Type u_2
Ring S
f : R ≃+* S
IsNoetherianRing R


Context:
A : Type u_2
CommRing A
IsDedekindDomain A
x : A
n : ℕ
I : Ideal A

Associates.mk I ^ n ≤ Associates.mk (Ideal.span {x}) ↔ x ∈ I ^ n


Context:
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrderTop α
DecidableEq α
a : α


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
s : Set M₂


Context:
α : Type u_1
s : Multiset α
a : α
m : a ∉ s
n : s.Nodup


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
inst✝¹ : LocalRing S
inst✝ : IsLocalRingHom f
H : f.SurjectiveOnStalks
x : S


Context:
α : Type u_1
m : Set (MeasureTheory.OuterMeasure α)
t : Set α

MeasureTheory.OuterMeasure.sInfGen m t = ⨅ μ ∈ m, μ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : MeasureTheory.Measure α

Context: NormedAddCommGroup β

Context: f : α → β

Context: h : MeasureTheory.HasFiniteIntegral f (μ + ν)


Context:
α : Type u_1
x : α
z : Sym2 α


Context: X Y : AlgebraicGeometry.Scheme

Context: AlgebraicGeometry.IsAffine X

Context: AlgebraicGeometry.IsAffine Y

Context: f : X ⟶ Y

Context: h : Function.Surjective ⇑(AlgebraicGeometry.Scheme.Γ.map f.op)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

Submartingale (fun n x => κ.densityProcess ν n a x s) (countableFiltration γ) (ν a)


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))

Context: ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f

Context: ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j

Context: s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯

Context: ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))

Context: n : ℕ

Context: b : ι →₀ R

Context: b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t

Context: hb : ∑ i ∈ t, b i • h i = f ^ (n + 1)


Context: m n : Nat

Int.negOfNat m + Int.negOfNat n = Int.negOfNat (m + n)


Context:
b x✝ y✝ : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ
hy : y < 0
hxy : x < y


Context:
n✝ m n : ℕ
H : ∀ (k : ℕ), Prime k → k ∣ m → ¬k ∣ n
g2 : ¬m.gcd n = 1


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: g : (ι → ℝ) → E

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})

Context: hgi : IntegrableOn g (↑I) μ

Context: f : ℕ → SimpleFunc (ι → ℝ) E := SimpleFunc.approxOn g ⋯ (Set.range g ∪ {0}) 0 ⋯

Context: hfi : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (↑(f n)) (↑I) μ

Context: hfi' : ∀ (n : ℕ), BoxIntegral.Integrable I l (↑(f n)) μ.toBoxAdditive.toSMul

Context: hfg_mono : ∀ (x : ι → ℝ) {m n : ℕ}, m ≤ n → ‖↑(f n) x - g x‖ ≤ ‖↑(f m) x - g x‖

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: ε0' : 0 < ↑ε

Context: N₀ : ℕ

Context: hN₀ : ∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, ‖↑(f N₀) x - g x‖ ∂μ ≤ ↑ε

Context: Nx : (ι → ℝ) → ℕ

Context: hNx : ∀ (x : ι → ℝ), N₀ ≤ Nx x

Context: hNxε : ∀ (x : ι → ℝ), dist (↑(f (Nx x)) x) (g x) ≤ ↑ε

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c✝ : ℝ≥0

Context: hδc : HasSum δ c✝

Context: hcε : c✝ < ε

Context: r : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := fun c x => ⋯.convergenceR (↑(δ (Nx x))) c x

Context: c : ℝ≥0

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: hπ : l.MemBaseSet I c (r c) π

Context: hπp : π.IsPartition

dist (integralSum g μ.toBoxAdditive.toSMul π) (∑ J ∈ π.boxes, (μ ↑J).toReal • ↑(f (Nx (π.tag J))) (π.tag J)) + dist (∑ J ∈ π.boxes, (μ ↑J).toReal • ↑(f (Nx (π.tag J))) (π.tag J)) (∑ J ∈ π.boxes, ∫ (x : ι → ℝ) in ↑J, ↑(f (Nx (π.tag J))) x ∂μ) + dist (∑ J ∈ π.boxes, ∫ (x : ι → ℝ) in ↑J, ↑(f (Nx (π.tag J))) x ∂μ) (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ) ≤ ((μ ↑I).toReal + 1 + 1) * ↑ε


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
f : R[X]


Context:
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
s t : UpperSet α


Context:
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N✝ : Type v'
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N✝
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module R N✝
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Module S N✝
inst✝⁷ : IsScalarTower R S N✝
p : Submonoid R
inst✝⁶ : IsLocalization p S
f✝ : M →ₗ[R] N✝
inst✝⁵ : IsLocalizedModule p f✝
hp : p ≤ R⁰
N : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory C

Context: CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C

Context:
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft X)

Context:
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁}
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X)

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N : Bimod Y Z

(M.associatorBimod (Bimod.regular Y) N).hom ≫ M.whiskerLeft N.leftUnitorBimod.hom =
  Bimod.whiskerRight M.rightUnitorBimod.hom N


Context:
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
s : Set β


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction

Context: p : P

Context: this : ∀ (a : ↥s) (b : V), (_root_.orthogonalProjection s.direction) b = 0 → (reflection s) ((reflection s) (b +ᵥ ↑a)) = b +ᵥ ↑a

(reflection s) ((reflection s) (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p) +ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p))) = p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p) +ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: Mₗ₁ : Type u_9

Context: Mₗ₁' : Type u_10

Context: Mₗ₂ : Type u_11

Context: Mₗ₂' : Type u_12

Context: K : Type u_13

Context: K₁ : Type u_14

Context: K₂ : Type u_15

Context: V : Type u_16

Context: V₁ : Type u_17

Context: V₂ : Type u_18

Context: n : Type u_19

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: B F : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₂

Context: e : M₁ ≃ₗ[R] M

Context: f : Module.End R M

Context: hₗ : F.compl₁₂ ↑e ↑e ∘ₗ e.symm.conj f = (F ∘ₗ f).compl₁₂ ↑e ↑e

Context: hᵣ : (B.compl₁₂ ↑e ↑e).compl₂ (e.symm.conj f) = (B.compl₂ f).compl₁₂ ↑e ↑e

B.IsPairSelfAdjoint F f ↔ (B.compl₁₂ ↑e ↑e).IsPairSelfAdjoint (F.compl₁₂ ↑e ↑e) (e.symm.conj f)


Context: n : ℕ


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
Field K
Field L
Field L'
Algebra K L
Algebra K L'
f : L →ₐ[K] L'


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: NormedAddCommGroup E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: NormedSpace ℝ E

Context: f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E 1 μ)

‖MeasureTheory.L1.SimpleFunc.integral f‖ ≤ ‖f‖


Context: G : Type uG

Context: E' : Type uE'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: g : G → E'

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁶ : HasContDiffBump G

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: φ✝ : ContDiffBump 0

Context: x₀✝ : G

Context: inst✝⁴ : BorelSpace G

Context: inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ G

Context: inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: ι : Type u_1

Context: φ : ι → ContDiffBump 0

Context: l : Filter ι

Context: K : ℝ

Context: hφ : Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝 0)

Context: h'φ : ∀ᶠ (i : ι) in l, (φ i).rOut ≤ K * (φ i).rIn

Context: hg : LocallyIntegrable g μ

Context: this✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: x₀ : G

Context: h₀ : Tendsto (fun a => ⨍ (y : G) in a, ‖g y - g x₀‖ ∂μ) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x₀) (𝓝 0)

Context: hφ' : Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝[>] 0)

Context: this : Tendsto (fun x => ⨍ (y : G) in closedBall x₀ (φ x).rOut, ‖g y - g x₀‖ ∂μ) l (𝓝 0)

∀ᶠ (i : ι) in l, (support fun y => (φ i).normed μ (x₀ - y)) ⊆ closedBall x₀ (φ i).rOut


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CancelCommMonoid α
s : Finset α
a : α

mulRothNumber s ≤ mulRothNumber (map (mulLeftEmbedding a) s)


Context:
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
H : J ≤ Ideal.comap f I
h : Ideal.comap f I ≤ J

Function.Injective ⇑(Ideal.quotientMap I f H)


Context:
α : Type u_1
Semiring α
Invertible 2
a : α

SymAlg.sym (a * a) = SymAlg.sym a * SymAlg.sym a


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Finset (PLift α)
hs : mulSupport (f ∘ PLift.down) ⊆ ↑s
x : PLift α
hx : x ∈ mulSupport (f ∘ PLift.down)


Context: n : ℕ

(∑ i ∈ Finset.range n, i) * 2 = n * (n - 1)


Context: a✝ b n✝ n a : ℕ

(if n = 0 ∨ a = 0 then 0 else (a.factorization ⌈/⌉ n).prod fun x x_1 => x ^ x_1).factorization = a.factorization ⌈/⌉ n


Context:
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → Zero (N a)
f g : Π₀ (a : α), N a


Context:
α : Type u_1
as : Array α
start stop : Nat
h : stop ≤ start


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : Group G

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹¹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹⁰ : BorelSpace G

Context: inst✝⁹ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁸ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁷ : Γ.Normal

Context: inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝² : SigmaFinite ν

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: s : Set G

Context: fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν

Context: V : Set (G ⧸ Γ)

Context: meas_V : MeasurableSet V

Context: neZeroV : μ V ≠ 0

Context: hV : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)

Context: neTopV : μ V ≠ ⊤

Context: U : Set (G ⧸ Γ)

Context: a✝ : MeasurableSet U

Context: meas_π : Measurable QuotientGroup.mk

Context: μ' : Measure (G ⧸ Γ) := map QuotientGroup.mk (ν.restrict s)

Context: has_fund : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν

Context: i : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ'

Context: this✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: this : SigmaFinite μ'

(μ' V / ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)) • μ = μ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m n✝ n : ℕ
p : ℤ
hp : Prime p
a b c : ℤ
hpa : p ∣ a
hpb : p ∣ b
HF : a ^ n + b ^ n + c ^ n = 0


Context:
a b p q : ℝ≥0
h : p.IsConjExponent q


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
h : ∀ (a b : α), a ⋖ b → f a < f b
a b : α
hab : a < b
this : a < b → f a < f b


Context:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
s t : LeftExtension f g
i : s ⟶ t
x : B
h : c ⟶ x

(s.whisker h).hom ≫ (precomp x f).map (i.right ▷ h) = (t.whisker h).hom


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁵ : StarRing E
inst✝⁴ : NormedStarGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 E
a : E


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: I : Ideal (MvPolynomial σ R)

Context: p : MvPolynomial σ R

Context: hcoe : ∀ (m : σ →₀ ℕ), coeff m p ∈ Ideal.comap C I

∀ m ∈ p.support, (monomial m) (coeff m p) ∈ I


Context:
α : Type u
n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup β

Context: T T' : Set α → β

Context: C C' : ℝ

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc_ne_top : c ≠ ⊤

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C

DominatedFinMeasAdditive μ T (c.toReal * C)


Context: b : ℝ

∫ (x : ℝ) in Set.Ioi 0, rexp (-b * x ^ 2) = √(π / b) / 2


Context:
α : Type u_4
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α

Filter.Tendsto (fun x => ⌈x⌉₊) Filter.atTop Filter.atTop


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: A : Type u

Context: inst✝⁹ : CommSemiring A

Context: inst✝⁸ : Algebra R A

Context: B : Type u

Context: inst✝⁷ : Semiring B

Context: inst✝⁶ : Algebra R B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A B

Context: inst✝³ : FormallyUnramified R A

Context: inst✝² : FormallyUnramified A B

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing C

Context: inst✝ : Algebra R C

Context: I : Ideal C

Context: hI : I ^ 2 = ⊥

Context: f₁ f₂ : B →ₐ[R] C

Context: e : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₂


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: f : M ↪[L] N

Context: s : L.Substructure M

Context: t : Set N

Context: h1 : t.Countable

Context: h2 : (closure L).toFun t = Substructure.map f.toHom s

Context: hf : Function.Injective ⇑f.toHom

Context: x : N

Context: hx : x ∈ t

Context: h' : x ∈ ↑((closure L).toFun t)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
u : ι → UniformSpace γ

UniformFun.filter α γ (𝓤 γ) = 𝓤 (α →ᵤ γ)


Context:
ι : Sort u_1
f : ι → ℕ

⨆ i, ↑(f i) ≠ ⊤ ↔ BddAbove (Set.range f)


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_zero : c ≠ 0
hT : FinMeasAdditive μ T
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : μ s = ⊤

μ s = ⊤ ∨ c = ⊤ ∧ ¬μ s = 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsSymm α r

s.PartiallyWellOrderedOn r ↔ ∀ t ⊆ s, IsAntichain r t → t.Finite


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h✝ : H.IsComplement' K
h : ↑↑H
k : ↑↑K
x✝ : (fun x => ↑x.1 * ↑x.2) (h, k) ∈ ⊤


Context:
ι : Type u_2
f : ι → Cardinal.{u_2}
c : Cardinal.{u_2}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
LT α
LT β
a b : α

toLex (Sum.inl a) < toLex (Sum.inl b) ↔ a < b


Context:
α : Type u_2
AddSemigroup α
DecidableEq α
a : α
s t : Finset α

AddOpposite.op a +ᵥ s + t = s + (a +ᵥ t)


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ

∑ i ∈ antidiagonal n, bernoulli' i.1 / ↑i.1! * ((↑i.2 + 1) * ↑i.2!)⁻¹ * ↑n ! = ∑ k ∈ antidiagonal n, ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli' k.1


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V


Context:
m : ℤ
n : ℕ
hn : Even n
hm : m ∉ Ico 0 ↑n


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: Preorder α

Context: Preorder β

Context: Preorder γ

Context: f : α → β → γ

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: h₀ : ∀ (b : β), Monotone (Function.swap f b)

Context: h₁ : ∀ (a : α), Monotone (f a)

BddAbove s → BddAbove t → BddAbove (Set.image2 f s t)


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Infinite β
f : α → Finset β
w : ⋃ a, ↑(f a) = ⊤
k : Infinite ↑(range f)


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: L : Filter ι

Context: inst✝⁴ : L.NeBot

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F


Context:
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
v : Set M
hv : span R v = ⊤
x : M'
x✝ : x ∈ ⊤


Context:
M : Type u_1
MulOneClass M
s : Set M
S : Submonoid M


Context:
α : Type u_2
Monoid α
a : α
n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup γ

Context: F✝ : ℕ → α → β

Context: f✝ : α → β

Context: bound✝ : α → ℝ

Context: F : ℕ → α → β

Context: f : α → β

Context: bound : α → ℝ

Context: F_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (F n) μ

Context: bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound μ

Context: h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a

Context: h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))

Context: f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ

Tendsto (fun n => ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖ ∂μ) atTop (𝓝 0)


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: DivisionRing K

Context: AddCommGroup V

Context: Module K V

Context: n : ℕ

Context: hn : Fact (FiniteDimensional.finrank K V = n + 1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α

Context: inst✝ : IsCompactlyGenerated α

Context: S : Set α

Context: hS : BooleanGenerators S

Context: h : sSup S = ⊤

Context: _i : DistribLattice α := hS.distribLattice_of_sSup_eq_top h

Context: _i₁ : IsAtomistic α


Context:
ι : Type u_4
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
LinearOrder ι
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
bm : Basis ι R M
i j : ι

((Q.toBilin bm) (bm i)) (bm j) = if i = j then Q (bm i) else if i < j then QuadraticMap.polar (⇑Q) (bm i) (bm j) else 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)

Context: Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)

Context: Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0

Context: d : α

Context: hd' : ∀ {ι : Type} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)

Context: hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)

Context: hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j

Context: hf₃ : Tendsto f atTop atTop

Context: hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)

Context: hMr : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, M * r₁ (f j) ≤ r₂ (f j)

Context: w : ℕ → α

Context: hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)

Context: hw' : ∀ (j : ℕ), d ∈ closedBall (w j) (2 * r₁ (f j))

Context: C : ℝ≥0 := IsUnifLocDoublingMeasure.scalingConstantOf μ M⁻¹

Context: hC : C ≠ 0

Context: b : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (M * r₁ (f j))

Context: B : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (r₁ (f j))

Context: h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j

Context: h₂ : ∀ (j : ℕ), W ∩ B j ⊆ B j

Context: h₃ : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, Disjoint (b j) (W ∩ B j)

Context: h₄ : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, μ (B j) ≤ ↑C * μ (b j)

Context: j : ℕ

Context: hj₀ : Disjoint (b j) (W ∩ B j) ∧ μ (B j) ≤ ↑C * μ (b j)

Context: hB : μ (B j) ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ≥0∞
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤

MeasureTheory.Memℒp (↑f) p μ ↔ f.FinMeasSupp μ


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
inst✝¹ : Preorder β₁
inst✝ : Preorder β₂
u₁ : β₁ → α₁
u₂ : β₂ → α₂

map u₁ atTop ×ˢ map u₂ atTop = map (Prod.map u₁ u₂) atTop


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
a b : α
hs : s.Pairwise r
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
h : ¬r a b


Context: a b : Nat


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
s t : Set E
ht : Convex 𝕜 t


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α

(∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)) → (∃ x x_1 h, f x_1 < f x) ∧ ∃ x x_1 h, f x < f x_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c'✝ c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: hfg : IsBigOWith c l f g

Context: hc : 0 < c

Context: hgk : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l g k

Context: c' : ℝ

Context: c'pos : 0 < c'


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C

Context: CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C

Context: X : CategoryTheory.Dial C

(CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor X).inv.F =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.fst


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
a b : R
hp : Prime (Classical.choose ⋯)


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : X ^ n - 1 ≠ 0
σ τ : (X ^ n - 1).Gal
a : (X ^ n - 1).SplittingField
ha : a ^ n = 1


Context:
G : Type u_2
AddGroup G
H : AddSubgroup G
x g : G
h : ↥H.op


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
self : CategoryTheory.Subgroupoid C
c d e : C
p : c ⟶ d

p ∈ self.arrows c d → ∀ {q : d ⟶ e}, q ∈ self.arrows d e → CategoryTheory.CategoryStruct.comp p q ∈ self.arrows c e


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: A F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)

Context: η : F ⟶ A

Context: X : C

Context: s : CategoryTheory.yoneda.obj X ⟶ A

Context: u : F.obj (Opposite.op X)

Context: h : CategoryTheory.OverPresheafAux.MakesOverArrow η s u

CategoryTheory.OverPresheafAux.OverArrows.val ⟨u, h⟩ = u


Context:
α : Type u_1
M : Type u_6
N : Type u_7
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M →+ N
s : Set α
g : α → M
x : α

f (s.indicator g x) = s.indicator (⇑f ∘ g) x


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
A : Comon_ (C ⥤ D)
X : C

((CategoryTheory.Monoidal.ComonFunctorCategoryEquivalence.functorObj A).obj X).X = A.X.obj X


Context: α : Type u_2


Context:
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonUnitalRing R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
𝔖 : Set (Set α)
Zero β


Differentiable ℂ fun s => (Complex.Gamma s)⁻¹


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
D1 D2 : LieDerivation R L M
s : Set L
hs : LieSubalgebra.lieSpan R L s = ⊤
h : Set.EqOn (⇑D1) (⇑D2) s


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: i✝ : K →+* L

Context: f : K[X]

Context: hs : Splits i✝ f

Context: hf0 : (map i✝ f).degree ≠ 0

Context: this : DecidableEq L := Classical.decEq L

Context: hf0' : ¬map i✝ f = 0

Context: g : L[X]

Context: hg : Irreducible g ∧ g ∣ map i✝ f

Context: x : L

Context: hx : g.IsRoot x

Context: i : L[X]

Context: hi : map i✝ f = g * i


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : Semigroup M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: continuous_mul_left : ∀ (r : M), Continuous fun x => x * r

Context: s : Set M

Context: snemp : s.Nonempty

Context: s_compact : IsCompact s

Context: s_add : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x * y ∈ s

Context: M' : Type u_1 := { m // m ∈ s }

Context: this✝ : Semigroup M' := Semigroup.mk ⋯

Context: this : CompactSpace M'


Context:
α : Type u_2
M : Type u_4
LE M
One M
s : Set α
f : α → M
a : α
y : M
hfg : a ∈ s → f a ≤ y
hg : a ∉ s → 1 ≤ y


Context:
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
l : Turing.ListBlank Γ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : T2Space X
f : X → ℝ
hf : LocallyIntegrable f μ
g : X → E
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
K : Set X := tsupport g
hK : IsCompact K


Context:
G : Type u_2
Group G
H : Subgroup G


Context:
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R
s : ↥(nonZeroDivisors R)

v.valuation (IsLocalization.mk' K r s) = v.intValuation r / v.intValuation ↑s


Context:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x y : E
r : ℝ


Context: ι : Type u_1

Context: I : BoxIntegral.Box ι

Context: π : BoxIntegral.Prepartition I

Context: πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.Prepartition J

(π.biUnion πi).iUnion = ⋃ J ∈ π, (πi J).iUnion


Context:
cmp✝ : ?m.4485 → ?m.4485 → Ordering
inst✝¹ : TransCmp cmp✝
x✝ : Sort ?u.4483
cmp : x✝ → x✝ → Ordering
inst✝ : TransCmp cmp
x y z : x✝
h₁ : cmp y x = Ordering.lt
h₂ : cmp z y = Ordering.lt


Context: J : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} J

Context: K : CategoryTheory.Functor J (Type u)

Context: c : CategoryTheory.Limits.Cocone K

Context: hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c

Context: lc : CategoryTheory.Limits.Cocone (K.comp CategoryTheory.uliftFunctor.{v, u})

Context: x : lc.pt

Context: j : J

Context: y : K.obj j

c.ι.app j y ∈ CategoryTheory.Limits.Types.descSet hc {x} ↔ lc.ι.app j { down := y } = x


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: enc0 : enc default = Vector.replicate n false

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: encdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a

Context: enc₀ : enc default = Vector.replicate n false

Context: x✝ : Cfg₁

Context: v : σ

Context: L : ListBlank Γ

Context: q : Stmt₁

Context: R : ListBlank Γ

Reaches (step (tr enc dec M)) (stepAux (trNormal dec q) v (trTape' enc0 L R)) (trCfg enc enc0 (stepAux q v (Tape.mk' L R)))


Context:
α : Type v
M : Type u
Monoid M
MulAction M α
exp_pos : 0 < Monoid.exponent M
m : M
a : α


Context:
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝ : HasLimitsOfShape J C
X✝ Y✝ Z✝ : J ⥤ C
α : X✝ ⟶ Y✝
β : Y✝ ⟶ Z✝
j : J

{ obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.map (α ≫ β) ≫ limit.π Z✝ j = ({ obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.map α ≫ { obj := fun F => limit F, map := fun {X Y} α => limMap α }.map β) ≫ limit.π Z✝ j


Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : R1Space G

Context: S : MeasurableSpace G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ {s | IsOpen s}

Context: U' : Opens G

Context: this✝ : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }

Context: L : Compacts G

Context: L' : Compacts G := { carrier := closure ↑L, isCompact' := ⋯ }

Context: hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U

Context: hL'U : ↑L' ⊆ U

Context: hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'

Context: this : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'

↑(μ.toFun L') + ⨆ x, ↑(μ.toFun ↑x) ≤ μ.outerMeasure ↑U'


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
f : E → 𝕜
hf : DiffContOnCl 𝕜 f s
h₀ : ∀ x ∈ closure s, f x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
AddCommGroupWithOne α
m n : ℤ


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝ : Star α
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α

(fromBlocks A B C D)ᴴ = fromBlocks Aᴴ Cᴴ Bᴴ Dᴴ


Context:
x : ℂ
n : ℕ
n.AtLeastTwo


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
CommRing 𝕜
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup E
ContinuousConstSMul 𝕜 E
TopologicalAddGroup F
ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
v : Fin n → E

p.applyComposition (Composition.single n hn) v = fun _j => (p n) v


Context:
α : Type u_1
PartialOrder α
c : ClosureOperator α
x y : α
hy : c.IsClosed y


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
ι : Type u_1
f : ι → R[X]
m : Multiset ι
hm : m.Nodup

{ val := m, nodup := hm }.prod f ≠ 0 → ({ val := m, nodup := hm }.prod f).roots = { val := m, nodup := hm }.val.bind fun i => (f i).roots


Context:
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
M : Matrix n n R

(M.charpoly - ∏ i : n, (Polynomial.X - Polynomial.C (M i i))).degree < ↑(Fintype.card n - 1)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C

Context: CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D

Context: F : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi D)

∀ {X Y : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Idempotents.FunctorExtension₁.obj F).map f).f = (F.map f.f).f


Context:
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
DiscreteValuationRing R
a : R

(DiscreteValuationRing.addVal R) a = ⊤ ↔ a = 0


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N

(MonoidHom.fst M N).comp Monoid.Coprod.toProd = Monoid.Coprod.fst


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
γ : Type u_4
LinearOrderedAddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
ContinuousAdd γ
f g : α → γ
hf : UpperSemicontinuousAt f x
hg : UpperSemicontinuousAt g x

UpperSemicontinuousAt (fun z => f z + g z) x


Context:
M : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
m : M
a : AddMonoidAlgebra R M

a ∈ AddMonoidAlgebra.grade R m ↔ a.support ⊆ {m}


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
H : ¬s.Terminates
n : ℕ
val✝ : α
h : ↑s n = some val✝


Context: a b c : Prop


Context:
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : Setoid α


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: T : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace T

Context: K✝ : Set X

Context: U✝ : Set Y

Context: this : ∀ {a : Y} {K : Set X} {U : Set (Y × X)}, MapsTo (⇑(coev X Y a)) K U ↔ {a} ×ˢ K ⊆ U

Context: x : Y

Context: K : Set X

Context: hK : IsCompact K

Context: U : Set (Y × X)

Context: hU : IsOpen U

Context: hKU : {x} ×ˢ K ⊆ U

Context: V : Set Y

Context: W : Set X

Context: hV : IsOpen V

Context: hxV : {x} ⊆ V

Context: hKW : K ⊆ W

Context: hVWU : V ×ˢ W ⊆ U


Context:
R : Type u
a : R
Semiring R
p : R[X]


Context: α✝ : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α✝

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α✝ Ω

Context: μα : Measure α✝

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ

Context: inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ

Context: α : Type u_4

Context: p : Set ι → Prop

Context: f : Filter ι

Context: ns : α → Set ι

Context: inst✝² : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝¹ : Nonempty Ω

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0

Context: h_indep : iCondIndep m hm s μ

Context: hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f

Context: hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns

Context: hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)

Context: hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a

Context: t : Set Ω

Context: ht_tail : MeasurableSet t

Context: h : ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, ((condexpKernel μ m) x) t = 0 ∨ ((condexpKernel μ m) x) t = 1

Context: ht : MeasurableSet t

Context: ω : Ω

Context: hω_eq : (((condexpKernel μ m) ω) t).toReal = (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω

Context: hω : ((condexpKernel μ m) ω) t = 0 ∨ ((condexpKernel μ m) ω) t = 1

(μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 0 ∨ (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 1


Context: α : Type u_1

Context: β : α → Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: fγ : (a : α) × (β a → γ) → γ

Context: fγ_injective : Function.Injective fγ

Context: a₁ : α

Context: f₁ f₂ : β a₁ → WType β

Context: h✝ : elim γ fγ (mk a₁ f₁) = elim γ fγ (mk a₁ f₂)

Context: h : HEq (fun b => elim γ fγ (f₁ b)) fun b => elim γ fγ (f₂ b)

Context: x : β a₁


Context:
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
a : { x // p x }


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
s₁ s₂ : Set (Set Ω)
h : IndepSets s₁ s₂ κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ s₂
ht2 : t2 ∈ s₁


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: s t : Submodule K V

Context: hdim : finrank K ↥s + finrank K ↥t = finrank K V

Context: hdisjoint : Disjoint s t

Context: h_finrank_inf : finrank K ↥(s ⊓ t) = 0

finrank K ↥(s ⊔ t) = finrank K ↥s + finrank K ↥t


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: B : Set α

Context: hB : M.Indep B

Context: hBmax : ∀ e ∈ M.E \ B, ¬M.Indep (insert e B)


Context:
M : Type w
A : Set M
L : FirstOrder.Language
L.Structure M
α : Type u₁
f g : Set (α → M)
hf : A.Definable L f
hg : A.Definable L g


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
l : Filter β
f : β → α

Cauchy (Filter.map f l) ↔ l.NeBot ∧ Filter.Tendsto (fun p => (f p.1, f p.2)) (l ×ˢ l) (𝓤 α)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a

∑ x ∈ Ico 2 (n + 1), ∑ i ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, a ^ x * (r ^ i.length * ∏ j : Fin i.length, p (i.blocksFun j)) = ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, ∏ j : Fin c.length, r * (a ^ c.blocksFun j * p (c.blocksFun j))


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
hw : w ≠ 1


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α


Context:
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α

Metric.cthickening (max 0 δ) E = Metric.cthickening δ E


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
MulZeroOneClass α
MulZeroOneClass β
f : α →*₀o β
f' : α → β
h : f' = ⇑f


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{v}
α : Type v
r : α → α → Prop
x✝¹ : IsWellOrder α r
β : Type v
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s

lift.{u, v} (type r) ≤ lift.{u, v} (type s) ↔ type r ≤ type s


Context:
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s t u v : Set E

convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 s t) (convexJoin 𝕜 u v) = convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 s u) (convexJoin 𝕜 t v)


Context:
α : Type u
l : List α
a : α
ha : a ∈ l.getLast?


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H

Context: inst✝³ : CompleteSpace H

Context: K : Type u_6

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup K

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K

Context: inst✝ : CompleteSpace K

Context: e : H ≃ₗᵢ[𝕜] K

Context: e' : H →L[𝕜] K := ↑{ toLinearEquiv := e.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }

adjoint e' = (adjoint e').comp (e'.comp ↑{ toLinearEquiv := e.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
inst✝ : CompleteLattice α
f : ℝ≥0∞ → α


Context:
p : ℕ+
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

IsIntegralClosure (CyclotomicRing p ℤ ℚ) ℤ (CyclotomicField p ℚ)


Context:
n✝¹ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ζ : B
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
n✝ : ℕ+
hi : n✝ = n


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: s : Finset ι

Context: f : (i : { x // x ∈ s }) → { x // x ≠ 0 }

Context: x✝ : { x // x ∈ s }

f ⟨↑x✝, ⋯⟩ = f x✝


Context: β : Type u_1

Context: AddCommGroup β

Context: b : β

Context: V : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V

(HomologicalComplex.dgoEquivHomologicalComplex b V).functor = HomologicalComplex.dgoToHomologicalComplex b V


Context:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : span R s = ⊤
t : Set A
k : S
x : A
hx : x ∈ span R t


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α

∀ {x : MeasurableSpace α} (μ : MeasureTheory.Measure α) [inst : MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ] (s : Set α),
  ↑(AddAction.aestabilizer G μ s) = {g | g +ᵥ s =ᵐ[μ] s}


Context:
α : Type u_2
Zero α


Context:
α : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
r : ℝ≥0∞
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hr₀ : r ≠ 0
hr : ∀ (n : ℕ), r ≤ μ (s n)

∃ t, t.Infinite ∧ ∀ ⦃u : Set ℕ⦄, u ⊆ t → u.Finite → 0 < μ (⋂ n ∈ u, s n)


Context:
α : Type u
β : Type v
s : Set α
t : Set β
p : α × β


Context:
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
x : E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
hst : t ⊆ s
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
ut : ∀ (i : ℕ), u i ∈ t

∑ i ∈ Finset.range (n, ⟨u, ⋯⟩).1, edist (f (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 (i + 1))) (f (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 i)) ≤ eVariationOn f s


Context:
α : Type u
l p : Nat
a : Array α
h : a.size ≤ l


Context:
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : Finite ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : b.toMatrix p * A = 1


Context:
α : Type u_1
M : Type u_4
Zero M
s : Set α
f : α → M
DecidablePred fun x => x ∈ s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : OrderTopology α

Context: inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : OrderTopology β

Context: inst✝ : Nonempty γ

Context: a b : α

Context: s : Set α

Context: hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)

Context: hab : a ≤ b

Context: hgt : ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, (s ∩ Ioc x b).Nonempty

Context: S : Set α := s ∩ Icc a b

Context: ha : a ∈ S

Context: Sbd : BddAbove S

Context: c : α := sSup (s ∩ Icc a b)

Context: c_mem : c ∈ S


Context:
α : Type u_1
a : α
n : ℕ


Context:
a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

(a.lcm b).factorization = a.factorization ⊔ b.factorization


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k : ℕ
d : ℝ
left✝ : 0 < d
hd' : ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖f x‖ ≤ d


Context:
α : Type u_1
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
s : Set α
hs : s.Countable


Context: ι : Type u

Context: X : ι → Type

Context: (i : ι) → TopologicalSpace (X i)

Context: C : Set ((i : ι) → X i)

Context: a b : ↑C

Context:
h :
  ∀ (J : Finset ι),
    (Profinite.IndexFunctor.π_app C fun x => x ∈ J) a = (Profinite.IndexFunctor.π_app C fun x => x ∈ J) b


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂

Context: h : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂


Context: α : Type u_1

Context: AddCommSemigroup α

Context: PartialOrder α

Context: ExistsAddOfLE α

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: Sub α

Context: OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: hba : b ≤ a

Context: hdc : d ≤ c


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: inst✝⁵ : μ.IsNegInvariant

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝² : BorelSpace G

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology G

Context: inst✝ : SecondCountableTopologyEither G E

Context: hbf : BddAbove (range fun x => ‖f x‖)

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Integrable g μ


Context:
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : StrongOplaxNatTrans F G
θ : StrongOplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : a' ⟶ G.obj a
g h : a ⟶ b
β : g ⟶ h

f ◁ G.map₂ β ▷ θ.app b ≫ f ◁ (θ.naturality h).hom = f ◁ (θ.naturality g).hom ≫ f ◁ θ.app a ◁ H.map₂ β


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: X Y : Type u

Context: x₀ : X

Context: f : X → Y

Context: g : Y → F (α ::: X)

Context: R : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun a b => ∃ x, a = Cofix.corec (g ∘ f) x ∧ b = Cofix.corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: f) ∘ g) (f x)

Context: a b : Cofix F α

Context: x : X

Context: Ha : a = Cofix.corec (g ∘ f) x

Context: Hb : b = Cofix.corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: f) ∘ g) (f x)

∀ (x : X), R (Cofix.corec (g ∘ f) x) ((Cofix.corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: f) ∘ g) ∘ f) x)


Context:
x : ℝ
n : ℤ

Real.sin (x - ↑n * (2 * Real.pi)) = Real.sin x


Context:
α : Type u
s : Stream'.WSeq α


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v, u'} D
CategoryTheory.Limits.HasLimits D
CategoryTheory.WellPowered D
𝒢 : Set D
Small.{v, u'} ↑𝒢
h𝒢 : CategoryTheory.IsCoseparating 𝒢
G : CategoryTheory.Functor D C
CategoryTheory.Limits.PreservesLimits G


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
IsDomain A
IsFractionRing A K
IsIntegralClosure B A L
IsFractionRing B L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsIntegrallyClosed A
IsDedekindDomain B
I : Ideal B
hI : I ≠ ⊥
NoZeroSMulDivisors A B

differentIdeal A B ≤ I ↔ Submodule.map (↑A (Algebra.trace K L)) (Submodule.restrictScalars A ↑(↑I)⁻¹) ≤ 1


Context: o : Ordinal.{u_2}


Context:
α : Type u
UniformSpace α
CompleteSpace α
f g : CauchyFilter α

Inseparable (lim ↑f) (lim ↑g) ↔ Inseparable f g


Context:
α : Type u_3
Preorder α
a : α


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set V

G'.deleteVerts (G'.verts ∩ s) = G'.deleteVerts s


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
p : CategoryTheory.ExactPairing X Y

CategoryTheory.rightDualIso p p = CategoryTheory.Iso.refl Y


Context: α : Type u

Context: HasSubset α

Context: HasSSubset α

Context: IsNonstrictStrictOrder α (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun x x_1 => x ⊂ x_1

Context: a b : α

Context: h₁ : a ⊆ b

Context: h₂ : ¬b ⊆ a


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring k
inst✝⁵ : Monoid G
inst✝⁴ : Monoid H
A : Type u₃
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra k A
B : Type u_3
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra k B
F : G →* A
f : MonoidAlgebra k G

((lift k G A) F) f = sum f fun a b => b • F a


Context:
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
f : ℕ → Ω → ℝ
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hf : MeasureTheory.Submartingale f ℱ μ
a b : ℝ
N : ℕ

MeasureTheory.Submartingale (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, MeasureTheory.upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k))
  ℱ μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (b : β), AEMeasurable (f b) μ

Context: h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f

Context: p : α → (β → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Directed LE.le f'

Context: hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x

∫⁻ (a : α), (⨆ i, f i) a ∂μ = ⨆ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ


Context:
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
x : ↥U

(((↑U).isoSpec.hom ≫ Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)) ≫ Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) ≫ (↑U).isoSpec.inv ≫ U.ι).val.base x = ↑x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x : E
t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t

Convex 𝕜 ((fun x => x.1 + x.2) '' s ×ˢ t)


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
R1Space X
WeaklyLocallyCompactSpace X
x : X

∃ U, IsOpen U ∧ x ∈ U ∧ IsCompact (closure U)


Context:
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
h : p.degree = 0


Context:
x : Nat
z : Nat
H : 0 < z


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: k✝ : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝ : LieModule R L M₂

Context: x y : L

Context: m : M

Context: k : ℕ

Context: ih : (⇑((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y))^[k] m ∈ lowerCentralSeries R L M (2 * k)

Context: hk : 2 * k.succ = 2 * k + 1 + 1

(⇑((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y))^[k + 1] m ∈ lowerCentralSeries R L M (2 * (k + 1))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α ↪ β
s : Finset α


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasProducts C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X

(TopCat.Presheaf.SheafConditionPairwiseIntersections.coneEquiv F U).unitIso =
  TopCat.Presheaf.SheafConditionPairwiseIntersections.coneEquivUnitIso F U


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝ : CommRing Sₘ

Context: hR : IsJacobson R

Context: I : Ideal R[X]

Context: hI : I.IsPrime

Context: R' : Subring (R[X] ⧸ I) := ((Quotient.mk I).comp C).range

Context: i : R →+* ↥R' := ((Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict

Context: hi : Function.Surjective ⇑i

Context: hi' : RingHom.ker (mapRingHom i) ≤ I

Context: R'_jacob : IsJacobson ↥R'

Context: J : Ideal (↥R')[X] := map (mapRingHom i) I


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α

image (fun x => x + c) (Ioc a b) = Ioc (a + c) (b + c)


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
self : S.IsNormal
c d : C
p : c ⟶ d
γ : c ⟶ c

γ ∈ S.arrows c c →
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Groupoid.inv p) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp γ p) ∈
    S.arrows d d


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁸ : LieRing L

Context: inst✝¹⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁴ : Module R M

Context: inst✝¹³ : LieRingModule L M

Context: inst✝¹² : LieModule R L M

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: M₃ : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₁

Context: inst✝⁹ : LieRingModule L M₁

Context: inst✝⁸ : LieModule R L M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : Module R M₂

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₃

Context: inst✝ : LieModule R L M₃

Context: g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃

Context: χ₁ χ₂ : R

Context: x : L

Context: t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)

Context: F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1

Context: m₁ : M₁

Context: hm₁ : m₁ ∈ 𝕎(M₁, χ₁, x)

Context: m₂ : M₂

Context: hm₂ : m₂ ∈ 𝕎(M₂, χ₂, x)

Context: f₁ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.rTensor M₂ ((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1)

Context: f₂ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.lTensor M₁ ((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1)

Context: h_comm_square : F ∘ₗ ↑g = ↑g ∘ₗ (f₁ + f₂)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : Semiring S

Context: p : R[X]

Context: f : R →+* S

Context: n : ℕ := max p.natDegree (map f p).natDegree


Context:
α : Type u
Preorder α
a b : α


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w₁ w₂ : W

cs.length w₁ - cs.length w₂ ≤ cs.length (w₁ * w₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder β
f : α → β
l : List α
m : α
DecidableEq α

m ∈ List.argmin f l ↔
  m ∈ l ∧ (∀ (a : α), a ∈ l → f m ≤ f a) ∧ ∀ (a : α), a ∈ l → f a ≤ f m → List.indexOf m l ≤ List.indexOf a l


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
a : α


Context:
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π₁ π₂ : BoxIntegral.Prepartition I
M : Type u_2
AddCommMonoid M
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
f : BoxIntegral.Box ι → M

∑ J ∈ π₁.boxes ∪ π₂.boxes, f J = ∑ J ∈ π₁.boxes, f J + ∑ J ∈ π₂.boxes, f J


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_2
PseudoMetricSpace α
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β

TendstoUniformlyOn F f p s ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, dist (f x) (F n x) < ε


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q a : MvPolynomial σ R
n : ℕ
x✝¹ x✝ : σ →₀ ℕ

((x✝¹ + x✝).sum fun x e => e) = (x✝¹.sum fun x e => e) + x✝.sum fun x e => e


Context:
K : Type u
DivisionRing K
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subfield K
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : K


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
AddGroup G
LieAddGroup I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
n : ℕ∞
f : M → G
s : Set M
hf : ContMDiffOn I' I n f s


Context:
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
k : N ≃+ P

f.addEquivOfLocalizations (f.ofAddEquivOfLocalizations k) = k


Context: α : Type u_1

Context: s : List α

Context: x : α

Context: n : ℕ

Context: hn : n < (List.permutations'Aux x s).length

(List.permutations'Aux x s)[n] = List.insertNth n x s


Context: α : Type u_2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
𝔖 : Set (Set α)
S : Set α
V : Set (β × β)

UniformOnFun.gen 𝔖 S V =
  Prod.map (S.restrict ∘ ⇑UniformFun.toFun) (S.restrict ∘ ⇑UniformFun.toFun) ⁻¹' UniformFun.gen (↑S) β V


Context:
α : Type u
s t : Set α


Context: R : Type u

Context: Ring R

Context: S : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)

CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.moduleCatCyclesIso.hom (LinearMap.ker S.g).subtype = S.iCycles


Context: a b : Ordinal.{u_4}

(a + b).IsLimit ↔ b.IsLimit ∨ b = 0 ∧ a.IsLimit


Context:
𝕜 : Type u_1
OrderedSemiring 𝕜
E : Type u_2
AddCommMonoid E
TopologicalSpace E
T1Space E
Module 𝕜 E


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI✝ : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hI : ¬I = 0

I = (fun J => J * (dual A K I)⁻¹) ((fun x => I * x) (dual A K I))


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C
i : M.ι


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
ι : Type u_3
I : ι → FractionalIdeal R⁰ K
hS : ∀ i ∈ ∅, I i ≠ 0

count K v (∏ i ∈ ∅, I i) = ∑ i ∈ ∅, count K v (I i)


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : NoncompactSpace G
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
A : ¬K * L⁻¹ = univ
g : G
hg : g ∉ K * L⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s s' t : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → β

Context: μ : Measure β

Context: hfi : Injective f

Context: hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → NullMeasurableSet (f '' s) μ

Context: hs : NullMeasurableSet s (comap f μ)


Context:
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
𝕜 : Type u_5
NormedDivisionRing 𝕜
Module 𝕜 F
BoundedSMul 𝕜 F
c : 𝕜
f : α → F

MeasureTheory.eLpNorm (c • f) p μ = ↑‖c‖₊ * MeasureTheory.eLpNorm f p μ


Context:
n : ℕ
a b : Fin n

(uIcc a b).card = (↑↑b - ↑↑a).natAbs + 1


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A X Y : M
hx : IsUnit X.det
hy : IsUnit Y.det
h : SemiconjBy A X Y
n : ℕ
hx' : IsUnit (X ^ n.succ).det
hy' : IsUnit (Y ^ n.succ).det

A * ↑hx'.unit⁻¹ • (X ^ n.succ).adjugate = ↑hy'.unit⁻¹ • (Y ^ n.succ).adjugate * A


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I

x ∈ M.closure I ↔ M.Dep (insert x I) ∨ x ∈ I


Context:
R : Type u
NonAssocSemiring R
S : Subsemiring R
s : Set R
hs : s = ↑S


Context:
M : Type u_1
Monoid M
x : ↥(IsUnit.submonoid M)


Context:
α : Type u
n : ℕ
a : α
h : List.replicate n a ≠ []


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
J : ModelWithCorners 𝕜 F F
G : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : ChartedSpace H G
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : LieGroup I G
E' : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M
E'' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M' : Type u_11
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M'
n : ℕ∞
f g : M → G
x₀ : M
hf : ContMDiffAt I' I n f x₀
hg : ContMDiffAt I' I n g x₀

ContMDiffAt I' I n (fun x => f x * (g x)⁻¹) x₀


Context:
R : Type u
CommSemiring R
p n : ℕ
ExpChar R p

⇑(iterateFrobenius R p n) = (⇑(frobenius R p))^[n]


Context:
X : Type u_2
Y : Type u_3
EMetricSpace X
EMetricSpace Y
K : ℝ≥0
f : X → Y
h : LipschitzWith K f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
x✝ : α × List α
a : α
l : List α

Tendsto (fun p => insertNth n p.1 p.2) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 (insertNth n (a, l).1 (a, l).2))


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
f p : R[X]

(quotQuotEquivComm I f) ((Ideal.Quotient.mk (span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f})) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) p)) = (Ideal.Quotient.mk (span {(Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) f})) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) p)


Context:
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁

(π.map f).map p ≫ ⟦H.evalAt x₁⟧ = H.diagonalPath' p ∧ ⟦H.evalAt x₀⟧ ≫ (π.map g).map p = H.diagonalPath' p


Context:
α : Type u
β : Type v
Sup α
Sup β
p q : α × β


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
C : G.ComponentCompl L

ConnectedComponent.map (induceHom Hom.id ⋯) C = C


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L : Set V
v : V
vnL : v ∉ L
h : K ⊆ L

SimpleGraph.ComponentCompl.hom h (G.componentComplMk vnL) = G.componentComplMk ⋯


Context:
R : Type u
Semiring R


Context:
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
P : Type u_11
Zero M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
H : Type u_16
FunLike H N P
AddMonoidHomClass H N P
h : H
f : α →₀ M
g : α → M → N

h (f.sum g) = f.sum fun a b => h (g a b)


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : HasAntidiagonal A
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : A → α
inst✝¹ : T3Space α
inst✝ : TopologicalSemiring α
hf : Summable f
hg : Summable g
hfg : Summable fun x => f x.1 * g x.2

(∑' (n : A), f n) * ∑' (n : A), g n = ∑' (x : A) (b : ↑↑(antidiagonal x)), f (↑b).1 * g (↑b).2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : SuccOrder α

Context: a b✝ : α

Context: C : α → Sort u_2

Context: hs : (a : α) → ¬IsMax a → C (succ a)

Context: hl : (a : α) → IsSuccLimit a → C a

Context: b : α

Context: hb : ¬IsMax b

Context: hb' : ¬IsSuccLimit (succ b)

Context: H : ¬IsMax (Classical.choose ⋯) ∧ succ (Classical.choose ⋯) = succ b

HEq (hs (Classical.choose ⋯) ⋯) (hs b hb)


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: S : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: hf : S.f = 0

Context: hg : S.g = 0

(CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofZeros S hf hg).π = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.X₂


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
M : G.Subgraph
h : M.IsMatching
c : G.ConnectedComponent

(M.induce (M.verts ∩ c.supp)).IsMatching


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y✝ f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hfd : ∀ x ∈ S, DifferentiableAt ℝ f x
x : ℝ
hx : x ∈ S
y : ℝ
hy : y ∈ S
hxy : x ≤ y
hxy' : x < y


Context:
c : ℝ
f✝ g : ℕ → Bool
n : ℕ
f : ℕ → Bool
h1 : 0 ≤ c
h2 : c < 1

(bif f 0 then 1 else 0) + c * ∑' (x : ℕ), cantorFunctionAux c (fun n => f (n + 1)) x = (bif f 0 then 1 else 0) + c * cantorFunction c fun n => f (n + 1)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: SeminormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace 𝕜 E

Context: s : Set (WeakDual 𝕜 E)

Context: hb : Bornology.IsBounded (⇑NormedSpace.Dual.toWeakDual ⁻¹' s)

Context: hc : IsClosed s


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: G : Comonad C

Context: A B : G.Coalgebra

Context: h : A.A ≅ B.A

Context: w : autoParam (A.a ≫ G.map h.hom = h.hom ≫ B.a) _auto✝


Context:
α : Type u_1
BEq α
LawfulBEq α
l₁ l₂ : List α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
LinearOrderedField 𝕜
AddCommGroup E
LinearOrderedAddCommGroup β
Module 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConcaveOn 𝕜 ((convexHull 𝕜) s) f
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s


Context:
R : Type u
M : Type v
Zero M
r : R


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: inst✝¹ : ∀ (X : Dᵒᵖ), Limits.HasLimitsOfShape (StructuredArrow X G.op) A

Context: inst✝ : IsDenseSubsite J K G

Context: Y : Sheaf J A

Context: U : C

Context: X : A

IsIso ((yoneda.map ((G.op.ranCounit.app Y.val).app (op U))).app (op X))


Context:
a b : ℝ
ha : a ≠ 0
hc : ↑↑⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩ 1 0 = 0
z : ℂ
hz : 0 < z.im

↑(⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩ • ⟨z, hz⟩) = ↑(((fun x => b * a +ᵥ x) ∘ fun x => ⟨a * a, ⋯⟩ • x) ⟨z, hz⟩)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t✝ : Set α

Context: φ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h'ts : t ∈ 𝓝 x₀

Context: h't : μ t ≠ ⊤

Context: hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x

Context: hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ

Context: hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)

Context: h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ

Context: hmg : Integrable g μ

Context: hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)

Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in univ, φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 a)


Context: A : Type u_5

Context: a b : ℝ

Context: NormedRing A

Context: NormedAlgebra ℝ A

Context: CompleteSpace A

Context: u v u' v' : ℝ → A

Context: hu : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivWithinAt u (u' x) [[a, b]] x

Context: hv : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivWithinAt v (v' x) [[a, b]] x

Context: hu' : IntervalIntegrable u' MeasureTheory.volume a b

Context: hv' : IntervalIntegrable v' MeasureTheory.volume a b

∫ (x : ℝ) in a..b, u x * v' x = u b * v b - u a * v a - ∫ (x : ℝ) in a..b, u' x * v x


Context: a b : ℝ

Context: f f' g : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hff' : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Set.Ioi x) x

Context: hg_cont : ContinuousOn g (f '' Set.Ioo (min a b) (max a b))

Context: hg1 : MeasureTheory.IntegrableOn g (f '' [[a, b]]) MeasureTheory.volume

Context: hg2 : MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => (g ∘ f) x * f' x) [[a, b]] MeasureTheory.volume

∫ (x : ℝ) in a..b, (g ∘ f) x * f' x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u


Context:
X : Compactum
A B : Set X.A

Compactum.basic (A ∩ B) = Compactum.basic A ∩ Compactum.basic B


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field F

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Algebra F K

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Field E

Context: inst✝⁷ : Algebra F E

Context: inst✝⁶ : Algebra K E

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower F K E

Context: E' : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: inst✝¹ : Field E'

Context: inst✝ : Algebra F E'

Context: f : E ≃ₐ[F] E'

Context: x : E'

Context: h : IsIntegral F (f.symm x) ∧ Splits (algebraMap F E) (minpoly F (f.symm x))

IsIntegral F (f (f.symm x)) ∧ Splits ((↑↑f).comp (algebraMap F E)) (minpoly F (f.symm x))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M

Submodule.span R (Set.range fun x => (ιMulti R x.fst) x.snd) = ⊤


Context:
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
m n : ℕ
hmn : m ≤ n

(∑ i ∈ Ico m n, x ^ i) * (1 - x) = x ^ m - x ^ n


Context:
α : Type u_1
δ : α → Type u_7
(i : α) → Preorder (δ i)
s : Set α
(j : α) → Decidable (j ∈ s)
f₁ f₂ g : (i : α) → δ i
h₁ : ∀ i ∈ s, g i ≤ f₁ i
h₂ : ∀ i ∉ s, g i ≤ f₂ i


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α

⨆ x, ↑(f x) = ⊤ ↔ ¬BddAbove (Set.range f)


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
IH : n < a ^ n
this : a ^ n + a ^ n ≤ a ^ n * a


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → α
n✝ n : ℕ
ihn : id^[n] = id


Context:
R : Type u
CommRing R
X : QuadraticModuleCat R

(CategoryTheory.Iso.refl X).toIsometryEquiv = QuadraticMap.IsometryEquiv.refl X.form


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
Mₗ : Type u_9
Nₗ : Type u_10
Pₗ : Type u_11
Qₗ : Type u_12
Qₗ' : Type u_13
AddCommMonoid Mₗ
AddCommMonoid Nₗ
AddCommMonoid Pₗ
AddCommMonoid Qₗ
AddCommMonoid Qₗ'
Module R Mₗ
Module R Nₗ
Module R Pₗ
Module R Qₗ
Module R Qₗ'
f₁ f₂ : Mₗ →ₗ[R] Nₗ →ₗ[R] Pₗ
g : Qₗ →ₗ[R] Mₗ
g' : Qₗ' →ₗ[R] Nₗ
hₗ : Function.Surjective ⇑g
hᵣ : Function.Surjective ⇑g'

f₁.compl₁₂ g g' = f₂.compl₁₂ g g' ↔ f₁ = f₂


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
Field K
Field L
Field L'
Algebra K L
Algebra K L'
f : L →ₐ[K] L'
y : L'


Context:
l✝ : List ℕ
a✝ m n a : ℕ
l : List ℕ
hl hl' : (a :: l).IsZeckendorfRep

(map fib (a :: l)).sum.zeckendorf = a :: l


Context:
α : Type u_1
Preorder α
a : WithBot α
b : α


Context:
α : Type u_1
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x : α
t : Ordnode α
a₁ : WithBot α
a₂ : WithTop α
h : Ordnode.Valid' a₁ t a₂

Ordnode.Valid' a₁ (Ordnode.erase x t) a₂ ∧ Ordnode.Raised (Ordnode.erase x t).size t.size


Context:
o : Ordinal.{u_1}
ho : o.card.ord = o
ho' : ω ≤ o


Context: s m n step : Nat

List.range' s m step ++ List.range' (s + step * m) n step = List.range' s (n + m) step


Context:
α : Type u
f : Filter α
self : f.NeBot


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.156646, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
α : Cochain F K (-1)
β : G ⟶ K
eq : δ (-1) 0 α = Cochain.ofHom (φ ≫ β)
p q : ℤ
hpq : p + 1 = q

(desc φ α β eq).f p = (↑(fst φ)).v p q hpq ≫ α.v q p ⋯ + (snd φ).v p p ⋯ ≫ β.f p


Context:
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x
hxy : x < y


Context:
ι✝ : Type u
s✝ : Finset ι✝
ι : Type u_1
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : 0 < ∑ i ∈ s, w i
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i

(∏ i ∈ s, z i ^ w i) ^ (∑ i ∈ s, w i)⁻¹ ≤ (∑ i ∈ s, w i * z i) / ∑ i ∈ s, w i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: a b : α

Context: h : Finite a b

↑((multiplicity a b).get h) ≤ multiplicity a b


Context:
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
a : α
ha : a ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: h : f =O[cofinite] g''

Context: C : ℝ

Context: C₀ : C > 0

Context: hC : {x | ¬‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖}.Finite

Context: C' : ℝ

Context: hC' : ∀ i ∈ Finset.image (fun x => ‖f x‖ / ‖g'' x‖) hC.toFinset, i ≤ C'

Context: this : ∀ (x : α), C * ‖g'' x‖ < ‖f x‖ → ‖f x‖ / ‖g'' x‖ ≤ C'

Context: x : α

Context: h₀ : g'' x ≠ 0

C * ‖g'' x‖ < ‖f x‖ → ‖f x‖ ≤ C' * ‖g'' x‖


Context: n : ℕ


Context:
α : Type u_1
LinearOrder α
AddCommSemigroup α
a b : α


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
h_inf : s.Infinite
h_fin : (f '' s).Finite


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_4
LE α
a : α
f : ι → UpperSet α


Context:
x y : ℂ
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0

log (x * y) = log x + log y ↔ x.arg + y.arg ∈ Set.Ioc (-π) π


Context:
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
S : Type u_12
Semiring S
Module S N
SMulCommClass R S N
σ : ι ≃ ι'

↑(AlternatingMap.domDomCongrₗ S σ) = AlternatingMap.domDomCongrEquiv σ


Context: a b m n✝ p✝ d n : ℕ

Context: hd : d ≠ 0

Context: hdn : d ≤ n

Context: hd_lt_n : d < n

Context: h1 : n / d ≠ 0

Context: h : (n / d).factorization = n.factorization - d.factorization

Context: h2 : ¬n ≤ n / d * d

Context: p : ℕ

Context: hp : (n / d * d).factorization p < n.factorization p


Context: G : Type u

Context: α : Type w

Context: m : MeasurableSpace α

Context: SMul G α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ

Context: c : G

Filter.Tendsto (fun x => c • x) (MeasureTheory.ae μ) (MeasureTheory.ae μ)


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α✝

Context: s✝ t✝ : Set α✝

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s t : Set α

Context: x a : α

Context: has : a ∈ s

Context: b : α

Context: hbt : b ∈ t

Context: hab : a ≤ b

Context: ha : [[a, x]] ⊆ tᶜ

Context: hb : [[b, x]] ⊆ sᶜ

Context: hsub : [[a, b]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ

Context: hax : a ≤ x


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C

Context: CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D

Context: X : CategoryTheory.Functor C D

Context: P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C

(((CategoryTheory.Idempotents.functorExtension₂ C D).obj X).obj P).p = X.map P.p


Context:
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
AddCommGroup M
Module R M
IsNoetherianRing R
ι : Type
Fintype ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f

Function.Exact ⇑(AdicCompletion.map I (LinearMap.ker f).subtype) ⇑(AdicCompletion.map I f)


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulZeroClass R M
s : Set α
r : α → R
f : α → M
a : α
h✝ : a ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: f✝ g : α → β

Context: M : Type u_5

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: m : MeasurableSpace α

Context: f : α → M

Context: l : List (α → M)

Context: ihl : (∀ f ∈ l, StronglyMeasurable f) → StronglyMeasurable l.prod

Context: hl : ∀ f_1 ∈ f :: l, StronglyMeasurable f_1


Context:
P : Prop
Q : P → Prop
R : ¬P → Prop
Decidable P


Context:
n k p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)

↑(n.choose k) ≡ ↑((n % p).choose (k % p)) * ↑((n / p).choose (k / p)) [ZMOD ↑p]


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
self : L ≃ₗ⁅R⁆ L'


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : 0 < p


Context:
α : Type u_1
G H : SimpleGraph α
s : Set α
n : ℕ
hGH : G ≤ H
hH : H.CliqueFreeOn s n


Context:
R : Type u
Semiring R
p q : R[X]

(p * q).natDegree ≤ p.natDegree + q.natDegree


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
OrderBot α
s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
hs : s₁ = s₂
hfg : ∀ a ∈ s₂, f a = g a


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
self : { x // x ∈ Set.univ }

(AffineSubspace.topEquiv k V P) self = ↑self


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁹ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁶ : OrderTopology ι

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝⁴ : BorelSpace ι

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: u : ι → Ω → β

Context: τ : Ω → ι

Context: f : Filtration ι m

Context: inst✝² : MetrizableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: hf_prog : ProgMeasurable f u

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: h_str_meas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (stoppedValue u fun ω => min (τ ω) i)

Context: t : Set β

Context: ht : MeasurableSet t

Context: i : ι

Context: ω : Ω

τ ω ≤ i → (u (τ ω) ω ∈ t ↔ u (min (τ ω) i) ω ∈ t)


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q : R[X]
h : 0 = 1
p : R[X]


Context:
S : Type v
T : Type w
CommRing T
CommRing S
IsDomain S
Algebra T S
p : Polynomial T
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
x : α
s : Set α
y : β
Zero β
hs : IsOpen s
hy : 0 ≤ y

LowerSemicontinuousAt (s.indicator fun _x => y) x


Context: α✝ : Type u

Context: β✝ : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α✝

Context: γ : Type w

Context: inst✝¹ : MetricSpace γ

Context: α : Type u

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : α), F x = F y → dist x y ≤ ε

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: β : Type u_3

Context: fβ : Encodable β

Context: F : α → β

Context: hF : ∀ (x y : α), F x = F y → dist x y ≤ ε

Context: Finv : ↑(range F) → α := rangeSplitting F

Context: x : α


Context:
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring α
inst✝³ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝² : ZeroLEOneClass α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
H : 0 < a
inst✝ : Nontrivial α


Context:
β : Type u_4
OrderedAddCommGroup β

Filter.map Neg.neg Filter.atBot = Filter.atTop


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Semiring R

Context: TopologicalSpace F

Context: TopologicalSpace B

Context: TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)

Context: AddCommMonoid F

Context: Module R F

Context: (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: (x : B) → Module R (E x)

Context: e e' : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj

Context: Trivialization.IsLinear R e

Context: Trivialization.IsLinear R e'

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet

Context: y : F

(Trivialization.coordChangeL R e e' b) y = (↑e' { proj := b, snd := e.symm b y }).2


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J α

Context: CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J α

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : CategoryTheory.Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J φ

Context: X : Cᵒᵖ

Context: r : ↑(R.val.obj X)

PresheafOfModules.Sheafify.smul α φ r 0 = 0


Context:
G : Type u_1
Group G
s : Set G
hs : IsNormalSubgroup s
a b : G
hab : a * b ∈ s


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: A B : Subalgebra R S

Context: inst✝³ : Module.Free R ↥A

Context: inst✝² : Module.Free R ↥B

Context: inst✝¹ : Module.Free ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)

Context: inst✝ : Module.Free ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)

Context: h✝ : Nontrivial R

Module.rank R ↥(A ⊔ B) = Module.rank R ↥A * Module.rank ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)


Context:
α : Type u_2
s : Set α
t : Set ↑s

𝓟 t = Filter.comap Subtype.val (𝓟 (Subtype.val '' t))


Context:
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
h : x ≠ y


Context:
G : Type u_3
AddGroup G
a : G


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n.succ → R

(Fin.cons (fun j => v 0 ^ ↑j) fun i => Fin.cons 1 fun j => Fin.tail v i * vandermonde (Fin.tail v) i j) = Fin.cons (fun j => v 0 ^ ↑j) fun i => Fin.cons 1 fun j => v i.succ * vandermonde (Fin.tail v) i j


Context:
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
a a' : α
b : M

Finsupp.single a ((Finsupp.single a' b) a) = (Finsupp.single a' (Finsupp.single a' b)) a


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k : ℕ
d : ℝ
left✝ : 0 < d
hd' : ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖f x‖ ≤ d
x : E
hx : x ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: f : β → α → β

Context: H : RightCommutative f

Context: x : β

Context: q : α → Prop

Context: p : β → Prop

Context: s : Multiset α

Context: hpqf : ∀ (a : α) (b : β), q a → p b → p (f b a)

Context: px : p x

Context: q_s : ∀ a ∈ s, q a


Context:
G : Type u_3
AddGroup G
a : G
m n : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t u : Set α
f : α → β
p q : Prop


Context:
K : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p : ℕ
inst✝¹ : NeZero p
inst✝ : CharP R p
x : ℤ


Context: E : Type u_1

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace ℝ E

Context: v : ℝ → E → E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzWith K (v t)

Context: hf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)

Context: hf' : ∀ t ∈ Set.Ico a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Set.Ici t) t

Context: hg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)

Context: hg' : ∀ t ∈ Set.Ico a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Set.Ici t) t

Context: ha : f a = g a


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

Context: j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (Basis.ofVectorSpace K V) x ⊗ₜ[K] ((Basis.ofVectorSpace K V).coord x) ((Basis.ofVectorSpace K V) j) = (Basis.ofVectorSpace K V) j ⊗ₜ[K] 1


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.HasShift C ℤ

Context: J : Type u_1

Context: T : J → CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C

Context: CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₁

Context: CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₂

Context: CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (T j).obj₃

Context: CategoryTheory.Limits.HasProduct fun j => (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁

Context: T' : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C

Context: φ : (j : J) → T' ⟶ T j

(CategoryTheory.Pretriangulated.productTriangle.lift T φ).hom₁ = CategoryTheory.Limits.Pi.lift fun j => (φ j).hom₁


Context:
K : Type u_1
Field K
nf : NumberField K


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → Opens ↑X
Y : Opens ↑X
hY : Y = iSup U

({ hom := F.map (eqToHom ⋯), w := ⋯ } ≫ { hom := F.map (eqToHom ⋯), w := ⋯ }).hom = (𝟙 (Functor.mapCone F (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows.cocone.op)).hom


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: μ ν : Measure ℝ

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: c d s t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: h : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume


Context:
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
AddCommGroup M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
DecidableEq ι
Fintype ι
x h h' : (i : ι) → M₁ i

f (x + h) - f (x + h') - (f.linearDeriv x) (h - h') =
  ∑ s ∈ Finset.filter (fun x => 2 ≤ x.card) Finset.univ.powerset, (f (s.piecewise h x) - f (s.piecewise h' x))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: e : ι → M

Context: ε : ι → Dual R M

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: h : DualBases e ε

Context: H : Set ι

Context: i : ι

Context: l : ι →₀ R

Context: supp_l : l ∈ Finsupp.supported R R H

Context: hmem : (Finsupp.total ι M R e) l ∈ Submodule.span R (e '' H)

Context: hi : (ε i) ((Finsupp.total ι M R e) l) ≠ 0