Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
a b : A
n x : ℕ
hx : x ∈ Finset.range n.succ

↑(n.choose x) / ↑n ! = 1 / (↑x ! * ↑(n - x)!)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: hP : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), IsIso (S.toMultiequalizer P)

Context: X : Cᵒᵖ

IsIso (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) (op ⊤))


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s1 s2 : AffineSubspace k P
hd : s1.direction = s2.direction
hn : (↑s1 ∩ ↑s2).Nonempty
p : P
hq1 : hn.some ∈ ↑s1
hq2 : hn.some ∈ ↑s2


Context:
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
hns : μ s ≠ 0
hnt : μ s ≠ ⊤
hu : IsUniform X s ℙ μ
t : Set E := toMeasurable μ s

Measure.map X ℙ = μ.withDensity (t.indicator ((μ t)⁻¹ • 1))


Context:
K : Type u
CommRing K
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP K p


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m✝ m : OuterMeasure α
m0 m1 : MeasurableSpace α
h : m0 ≤ m1

∀ (s : Set α), MeasurableSet s → m.trim s ≤ m s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝ : ChartedSpace H' M'

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f : H → H'

Context: e' : PartialHomeomorph H' H'

Context: he' : e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ I'

Context: hs : s ⊆ f ⁻¹' e'.source

Context: hx : f x ∈ e'.source

Context: h : DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x)

Context: A : (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I x) ∈ ↑I'.symm ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I'

DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ (↑e' ∘ f) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x)


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T1Space X
a b : X


Context:
α : Type u
s t : Set α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : QuotientMap f
s : Set Y


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : IsScalarTower K L F
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K F
inst✝ : FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L
this✝ : FiniteDimensional L F
this : Algebra.IsSeparable L F

∏ σ : F →ₐ[K] E, σ ((algebraMap L F) pb.gen) = (∏ σ : L →ₐ[K] E, σ pb.gen) ^ finrank L F


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
μ : M → N → N
LinearOrder N

(Covariant M N μ fun x x_1 => x < x_1) ↔ Contravariant M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1


Context:
x y : ℕ
h : y % x = 0


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: K L : CochainComplex C ℤ

Context: n : ℤ

Context: γ₁ γ₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n

Context: a n' : ℤ

Context: hn' : n' + a = n

(γ₁ + γ₂).rightShift a n' hn' = γ₁.rightShift a n' hn' + γ₂.rightShift a n' hn'


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s t : Set α
h : s ⊆ t


Context: α : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: AddCommMonoid M

Context: TopologicalSpace M

Context: AddCommMonoid N

Context: TopologicalSpace N

Context: v : MeasureTheory.VectorMeasure α M

Context: w : MeasureTheory.VectorMeasure α N

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h₁ : ∀ t ⊆ s, MeasurableSet t → ↑v t = 0

Context: h₂ : ∀ t ⊆ sᶜ, MeasurableSet t → ↑w t = 0


Context:
n : Type u
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : GL n R


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: R✝ I✝ J X Y : Set α

Context: M : Matroid α

Context: R I : Set α

Context: hI : M.Indep I

Context: hIY : I ⊆ R

Context: hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)

Context: B' : Set α

Context: hB' : M.Base B'

Context: hI' : M.Basis (B' ∩ (R ∩ M.E)) (R ∩ M.E)

∃ x ∈ (B' ∩ (R ∩ M.E)) \ I, (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) (insert x I)


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

2 ^ finrank ℝ (({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)) ≠ 0


Context:
V : Type u_4
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
x y : V

⟪T x, y⟫_ℂ =
  (⟪T (x + y), x + y⟫_ℂ - ⟪T (x - y), x - y⟫_ℂ - Complex.I * ⟪T (x + Complex.I • y), x + Complex.I • y⟫_ℂ +
      Complex.I * ⟪T (x - Complex.I • y), x - Complex.I • y⟫_ℂ) /
    4


Context:
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
f : α → β → γ
g : γ → γ'
A : Matrix l m α
B : Matrix n p β

(Matrix.kroneckerMap f A B).map g = Matrix.kroneckerMap (fun a b => g (f a b)) A B


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: CommRing R

Context: AddCommGroup M

Context: Module R M

Context: Nontrivial M

Context: Module.Finite R M

Context: r : R

Context: h : r ∈ (Module.annihilator R M).jacobson


Context:
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
hY : QuasiSeparated (terminal.from Y)
inst✝ : QuasiSeparated f


Context:
α : Type u
β : Type u_1
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hn : 0 < a
hm : 1 < b


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NormedAddCommGroup Fₗ
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
NormedSpace 𝕜 Fₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
f : E →SL[σ₁₂] F
CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ⇑e
h_e : UniformInducing ⇑e
g : Fₗ →SL[σ₁₂] F
H : g.comp e = f


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
f : SpectralMap β γ
g : SpectralMap α β
a : α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f_closed : IsClosedMap f
f_cont : Continuous f
F : Filter X

F.lift' (closure ∘ image f) = F.lift' (image f ∘ closure)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
AddZeroClass M
AddZeroClass N
AddZeroClass M'
AddZeroClass N'
e : M ≃+ N
e' : M' ≃+ N'

⇑(AddMonoid.MulEquiv.coprodCongr e e').symm = ⇑(AddMonoid.Coprod.map ↑e.symm ↑e'.symm)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k


Context:
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f : G → E
g : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
hf' : ∀ (x : G), f (x * g) = -f x


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : N →ₗ[R] M
e e' : M ≃ₗ[R] N
x : M

(f ∘ₗ ↑e) x = (f ∘ₗ ↑e') ((e ≪≫ₗ e'.symm) x)


Context:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormedSpace 𝕜' F
IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
hc : DifferentiableAt 𝕜 c x
f : F

deriv (fun y => c y • f) x = deriv c x • f


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
hx : (aeval x) f = 0
hmo : f.Monic

∀ (i : ℕ), (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree ≤ i → x ^ i ∈ Ideal.map (algebraMap R S) 𝓟


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
f : β → α
hr : Pairwise (r on f)
hf : Function.Surjective f


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
x✝ : ℝ


Context: ι : Sort u_1

Context: κ : ι → Sort u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: s t : Set α

Context: a x y : α

Context: inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α

Context: inst✝ : AlexandrovDiscrete β

Context: f : β → α

Context: h : Inducing f

Context: S : Set (Set β)

Context: U : (s : Set β) → s ∈ S → Set α

Context: hU : ∀ (s : Set β) (a : s ∈ S), IsOpen (U s a)

Context: htU : ∀ (s : Set β) (a : s ∈ S), f ⁻¹' U s a = s


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hPz : P z = 0

W'.Nonsingular P ↔ W'.Equation P ∧ (3 * P x ^ 2 ≠ 0 ∨ 2 * P y ≠ 0 ∨ W'.a₁ * P x * P y ≠ 0)


Context:
R : Type u_1
Semiring R
r : R
rs : List R

Ideal.ofList (r :: rs) = Ideal.span {r} ⊔ Ideal.ofList rs


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
Ring k
MulOneClass G
z : ℤ


Context:
R : Type u
Semiring R

(∀ (f g : R[X]), f = g) ↔ ∀ (a b : R), a = b


Context:
K : Type u
CommRing K
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
CharP K p
x1 x2 y : ℕ × K
H : PerfectClosure.R K p x1 x2

PerfectClosure.mk K p (x1.1 + y.1, (⇑(frobenius K p))^[y.1] x1.2 + (⇑(frobenius K p))^[x1.1] y.2) =
  PerfectClosure.mk K p (x2.1 + y.1, (⇑(frobenius K p))^[y.1] x2.2 + (⇑(frobenius K p))^[x2.1] y.2)


Context:
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
k : ℕ

((⇑Polynomial.derivative)^[k] p).natDegree ≤ p.natDegree - k


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommMonoid α
a : α


Context:
R : Type u
inst✝ : AddGroupWithOne R
n : ℕ
x✝ : 0 < n + 1


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]


Context:
α : Type u_2
A : Set α
D E : Set ↑A

Subtype.val '' (D ∩ E) = Subtype.val '' D ∩ Subtype.val '' E


Context:
R : Type u
inst✝¹¹ : Ring R
P : Type v
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : Module R P
R₀ : Type ?u.49012
M : Type u_1
N : Type ?u.52304
inst✝⁸ : CommRing R₀
inst✝⁷ : Algebra R₀ R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R₀ M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : IsScalarTower R₀ R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R₀ N
inst✝ : Projective R M
i : P →ₗ[R] M
s : M →ₗ[R] P
H : s ∘ₗ i = LinearMap.id


Context:
x y : Class
H : ∀ z ∈ x, y ∈ z
z : ZFSet
hz : z ∈ x

∃ x_1, ↑x_1 = y ∧ ∀ (z : ZFSet), x z → x_1 ∈ z


Context: k n : ℕ

Context: hk0 : k ≠ 0

Context: hk1 : 1 < k

Context: b : ℕ := k * n !

Context: hgt : 1 < (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs

Context: p : ℕ := (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs.minFac

Context: hprime : Fact (Prime p)


Context:
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
Subsingleton α
f : α → β


Context:
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
Star A
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
s : Set A
hs : s = ↑S


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
h₁ : Continuous f
h₂ : Injective f
h₃ : IsOpenMap f


Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι✝

Context: A : ι✝ → Type u_2

Context: inst✝⁹ : (i : ι✝) → MeasurableSpace (A i)

Context: μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)

Context: inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: u : E → F

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p : ℝ

Context: hp✝ : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p

Context: C : ℝ≥0 := lintegralPowLePowLIntegralFDerivConst μ p

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: hιcard : #ι = finrank ℝ E

Context: this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: e : E ≃L[ℝ] ι → ℝ := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq this✝

Context: this : (Measure.map (⇑e.symm) volume).IsAddHaarMeasure

Context: hp : (↑#ι).IsConjExponent p

Context: h0p : 0 ≤ p

∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ p ∂μ ≤ ↑C * (∫⁻ (x : E), ↑‖fderiv ℝ u x‖₊ ∂μ) ^ p


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
NormedField 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
x : V


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : EMetricSpace α

Context: cs : CompleteSpace α

Context: K : ℝ≥0

Context: f : α → α

Context: hf : ContractingWith K f

Context: s : Set α

Context: hsc : IsComplete s

Context: hsf : MapsTo f s s

Context: hfs : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf)

Context: x : α

Context: hxs : x ∈ s

Context: hx : edist x (f x) ≠ ⊤

Context: t : Set α

Context: htc : IsComplete t

Context: htf : MapsTo f t t

Context: hft : ContractingWith K (MapsTo.restrict f t t htf)

Context: y : α

Context: hyt : y ∈ t

Context: hy : edist y (f y) ≠ ⊤

Context: hxy : edist x y ≠ ⊤

efixedPoint' f hsc hsf hfs x hxs hx = efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy


Context: n : ℕ

Fintype.card (CompositionAsSet n) = 2 ^ (n - 1)


Context:
α : Type u_2
AddGroup α
t : Set α
b : α

(fun x => x + b) '' t = (fun x => x + -b) ⁻¹' t


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ≅ b
inst✝ : p.IsHomLift f φ.hom

(eqToHom ⋯ ≫ (p.mapIso φ).inv ≫ eqToHom ⋯) ≫ f = 𝟙 S


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r p q : R[X]
hp : p ≠ 0
hpq : p.degree < q.degree
hq : ¬q = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
Nonempty ι
x : 𝕜
U : Set E
hU : U ∈ p.basisSets

∃ V ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets, V ⊆ (fun y => x • y) ⁻¹' U


Context: α : Type u_1

Context: a✝ b✝ c✝ d : α

Context: inst✝¹ : MulZeroClass α

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: h✝ : CovariantClass { x // 0 < x } α (fun x y => ↑x * y) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a : { x // 0 ≤ x }

Context: b c : α

Context: h : b ≤ c

Context: ha : 0 = ↑a


Context:
M : Type u_1
Add M
p p' : AddSubsemigroup M
x : M


Context:
K : Type u
Field K
L : Type u_3
Field L
Algebra K L
x : L
FiniteDimensional K L

(minpoly K x).degree ≤ ↑(FiniteDimensional.finrank K L)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : Inducing f


Context:
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
s : Set α
c : G


Context: a b : ℝ

Context: f : C(↑(Set.Icc a b), ℝ)

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: w : ∀ (i : ℝ), 0 < i → ∃ x ∈ Metric.ball f i, x ∈ ↑(polynomialFunctions (Set.Icc a b)).toSubsemiring

Context: m : ℝ[X]

Context: H : ↑(Polynomial.toContinuousMapOnAlgHom (Set.Icc a b)) m ∈ Metric.ball f ε

∃ p, ‖p.toContinuousMapOn (Set.Icc a b) - f‖ < ε


Context:
R : Type u_1
a b : R
inst✝ : Monoid R
n : ℕ
rra : IsRightRegular a


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
h : b ∈ closedBall a r


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D

Context: W : CategoryTheory.MorphismProperty C

Context: W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y Z : C

Context: z₁ : W.LeftFraction X Y

Context: z₂ : W.LeftFraction Y Z

Context: z₃ : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'

Context: h₃ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp z₂.f z₃.s = CategoryTheory.CategoryStruct.comp z₁.s z₃.f

Context: L : CategoryTheory.Functor C D

Context: L.IsLocalization W

CategoryTheory.CategoryStruct.comp (z₁.map L ⋯) (z₂.map L ⋯) = (z₁.comp₀ z₂ z₃).map L ⋯


Context:
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
MeasureTheory.SigmaFinite μ
f : α → E

MeasureTheory.Integrable (fun x => (μ.rnDeriv ν x).toReal • f x) ν ↔ MeasureTheory.Integrable f μ


Context:
F : Type w
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
s t : NonUnitalSubring S
f : F

NonUnitalSubring.comap f (s ⊓ t) = NonUnitalSubring.comap f s ⊓ NonUnitalSubring.comap f t


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p q : R[X]
h : {x | eval x p = eval x q}.Infinite


Context:
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
h : s.Nonempty


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hcont✝ : ContinuousWithinAt f (Ici a) a

Context: hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x

Context: f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume

Context: hf : Tendsto f atTop (𝓝 m)

Context: hcont : ContinuousOn f (Ici a)

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Ioi a

Context: h'x : a ≤ id x


Context:
α : Type u
s t : Stream'.WSeq α
h : s ~ʷ t
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
B : FilterBasis α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : Finite α

Context: f : α → β

Context: e : α ≃ β

Context: this : Injective (⇑e.symm ∘ f) ↔ Surjective (⇑e.symm ∘ f)

Context: hinj : Injective f


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
M : Type u_7
AddMonoid M
f g : G →+ M
s : Set G
h : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s


Context:
u : PrimeMultiset
n : ℕ+
h : u.prod ∣ n ↔ u ≤ n.factorMultiset


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
f : M ≃* N
K : Submonoid M
x : N

x ∈ Submonoid.map f.toMonoidHom K ↔ f.symm x ∈ K


Context: M : Type v

Context: α : Type w

Context: m : MeasurableSpace α

Context: MeasurableSpace M

Context: SMul M α

Context: MeasurableSMul M α

Context: c : M

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: MeasureTheory.SMulInvariantMeasure M α μ

MeasureTheory.MeasurePreserving (fun x => c • x) μ μ


Context:
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α
h : b < c


Context:
α : Type u_1
f f' g : α → α
h : Function.Commute f g
h' : Function.Commute f' g


Context:
α β : Type u
s : Set α
t : (a : α) → a ∈ s → Set β
c : Cardinal.{u}
h : #↑(⋃ a, ⋃ (h : a ∈ s), t a h) < c
a : α
ha : a ∈ s


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L₁ : CategoryTheory.Functor C D
R₁ : CategoryTheory.Functor D C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁

(CategoryTheory.conjugateEquiv adj₁ adj₁).symm (CategoryTheory.CategoryStruct.id R₁) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id L₁


Context:
x : ℝ
n : ℕ∞

ContDiffAt ℝ n Real.arcsin x ↔ n = 0 ∨ x ≠ -1 ∧ x ≠ 1


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁴ : PolishSpace γ

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : T2Space β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace β

Context: f : γ → β

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_inj : Injective f

Context: this✝ : UpgradedPolishSpace γ := upgradePolishSpace γ

Context: b : Set (Set γ)

Context: b_count : b.Countable

Context: b_nonempty : ∅ ∉ b

Context: hb : IsTopologicalBasis b

Context: this : Encodable ↑b

Context: A : Type u_3 := { p // Disjoint ↑p.1 ↑p.2 }

Context: q : A → Set β

Context: hq1 : ∀ (p : A), f '' ↑(↑p).1 ⊆ q p

Context: hq2 : ∀ (p : A), Disjoint (f '' ↑(↑p).2) (q p)

Context: q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)

Context: E : ↑b → Set β := fun s => closure (f '' ↑s) ∩ ⋂ t, ⋂ (ht : Disjoint ↑s ↑t), q ⟨(s, t), ht⟩ \ q ⟨(t, s), ⋯⟩

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_anti : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
f : X → Y
hf : IsLocallyConstant f
x : X

∃ U, IsOpen U ∧ x ∈ U ∧ ∀ x' ∈ U, f x' = f x


Context:
s : Set Game
inst✝ : Small.{u, u + 1} ↑s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : LinearOrder β
c : β

∀ {x y z : β}, x ≥ min y z ↔ x ≥ y ∨ x ≥ z


Context:
a b : Ordinal.{u_4}
a0 : 0 < a


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: hdiam : VanishingDiam A

Context: hanti : ClosureAntitone A

Context: hnonempty : ∀ (l : List β), (A l).Nonempty

Context: x : ℕ → β

Context: u : ℕ → α

Context: hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n)

Context: umem : ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → u m ∈ A (res x n)

Context: this : CauchySeq u


Context:
α : Type u
f : Ultrafilter α


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P✝ : Fin 3 → R
u✝ u : Rˣ
P : Fin 3 → R
h : W.Nonsingular (u • P)


Context:
G : Type u_1
Group G
A' A : Subgroup G
B : Subgroup G
hA : A' ≤ A
hN : (A'.subgroupOf A).Normal


Context:
R : Type u
n : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
J A B : Matrix n n R
hA : Aᵀ * J = J * -A
hB : Bᵀ * J = J * -B


Context:
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSingletonClass α
a : α → ℝ≥0∞
a_mble : Measurable a
c : ℝ≥0∞
tsum_le_c : ∑' (i : α), a i ≤ c
ε : ℝ≥0∞
ε_ne_zero : ε ≠ 0
ε_ne_top : ε ≠ ⊤

MeasureTheory.Measure.count {i | ε ≤ a i} ≤ c / ε


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ✝ : MeasurableSpace Ω

Context: μ✝ : Measure Ω

Context: g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: Mf mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: hMf : Mf ≤ mΩ

Context: c : ℝ≥0∞

Context: T : Set Ω

Context: h_meas_T : MeasurableSet T

Context: h_ind : IndepSets {s | MeasurableSet s} {T} μ

Context: h_mul_indicator : ∀ (g : Ω → ℝ≥0∞), Measurable g → Measurable fun a => g a * T.indicator (fun x => c) a

∀ {f : Ω → ℝ≥0∞}, Measurable f → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f g : Perm (Fin n)

(∏ x ∈ finPairsLT n, if (f * g) x.fst ≤ (f * g) x.snd then -1 else 1) = ∏ x ∈ finPairsLT n, (if f x.fst ≤ f x.snd then -1 else 1) * if g⁻¹ x.fst ≤ g⁻¹ x.snd then -1 else 1


Context:
ι : Type u_1
Fintype ι
I : BoxIntegral.Box ι


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
a : α
s : Computation α
m : a ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
CommSemiring 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
ContinuousAdd 𝕜
ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E

Function.Bijective ⇑(continuousLinearMapToWeakSpace 𝕜 E)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α × β → M
hf : (Function.support f).Finite

∑ᶠ (ab : α × β), f ab = ∑ᶠ (a : α) (b : β), f (a, b)


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
σ : Type u_3
Φ : MvPolynomial idx ℤ
f : idx → σ
n : ℕ

(bind₁ fun k => (bind₁ ((fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) ∘ f)) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ)) (xInTermsOfW p ℚ n) = (bind₁ fun i => (bind₁ fun i_1 => (rename (Prod.map f id ∘ Prod.mk i_1)) (W_ ℚ i)) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ)) (xInTermsOfW p ℚ n)


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
a : R
n : ℕ

Mathlib.Meta.NormNum.IsNat a n → a = n.rawCast + 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁✝ s₂✝ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α
s₁ s₂ s₃ : Finset α
x✝ : α

x✝ ∈ s₁ ∩ (s₂ ∩ s₃) ↔ x✝ ∈ s₂ ∩ (s₁ ∩ s₃)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F'

Context: C : ℝ

Context: hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: b : E

Context: hb✝ : b ∈ f.range

Context: hb : b ≠ 0

‖T (↑f ⁻¹' {b})‖ ≤ C * (μ (↑f ⁻¹' {b})).toReal


Context:
k : Type u_1
Field k
σ : Type u_2
V : Set (σ → k)

PrimeSpectrum.vanishingIdeal (MvPolynomial.pointToPoint '' V) = MvPolynomial.vanishingIdeal V


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
Field K
Field L
Field L'
Algebra K L
Algebra K L'
Algebra L' L
IsScalarTower K L' L
E : IntermediateField L' L

(IntermediateField.restrictScalars K E).toSubalgebra = Subalgebra.restrictScalars K E.toSubalgebra


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

Context: F : CategoryTheory.Functor C D

Context: G : CategoryTheory.Functor D C

Context: adj : CategoryTheory.Adjunction.CoreHomEquiv F G

Context: X : C

Context: Y Y' : D

Context: f : X ⟶ G.obj Y

Context: g : Y ⟶ Y'

CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map f) ((adj.homEquiv (G.obj Y) Y').symm (G.map g)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((adj.homEquiv X Y).symm f) g


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
self : Concept α β r

intentClosure r self.toProd.1 = self.toProd.2


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p : α → Prop
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

(∀ᵐ (x : α) ∂μ.withDensity f, p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict {x | f x ≠ 0}, p x


Context:
α : Sort u_1
p : α → Prop
a1 a2 : { x // p x }


Context: x : ℝ

Context: h1 : 0 ≤ x

Context: h2 : x ≤ 1

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: h3 : |x| = x

Context: h4 : |x| ≤ 1

Context: h' : |rexp x - ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial| ≤ x ^ n * (↑n.succ / (↑n.factorial * ↑n))

Context: h'' : rexp x - ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial ≤ x ^ n * (↑n.succ / (↑n.factorial * ↑n))

rexp x ≤ ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial + x ^ n * (↑n + 1) / (↑n.factorial * ↑n)


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: k : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : LieRingModule L M₂

Context: inst✝¹ : LieModule R L M₂

Context: inst✝ : IsNilpotent R L M

Context: s : Set ℕ := {k | lowerCentralSeries R L M k = ⊥}

Context: hs : s.Nonempty

Context: h : lowerCentralSeries R L M 0 = ⊥


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 →ᵃ[𝕜] E
x : 𝕜


Context:
R : Type v
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : Module.End R M
k : ℕ

(f.genEigenspace 0) k = LinearMap.ker (f ^ k)


Context:
σ✝ : Type u
R✝ : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R✝
σ : Type u
R : Type v
inst✝ : CommSemiring R

#(MvPolynomial σ R) ≤ max (max (lift.{u, v} #R) (lift.{v, u} #σ)) ℵ₀


Context:
p : Char → Bool
l m r : List Char

Substring.takeWhileAux { data := l ++ m ++ r } { byteIdx := String.utf8Len l + String.utf8Len m } p
    { byteIdx := String.utf8Len l } =
  { byteIdx := String.utf8Len l + String.utf8Len (List.takeWhile p m) }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l✝ : List α
a✝ m a : α
l : List α

Option.rec (some a) (fun val => if val < a then some a else some val) (argmax id l) = max (argmax id l) ↑a


Context:
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact U.carrier
x f : ↑Γ(X, U)
H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
s : Set ↑X.affineOpens
hs : s.Finite
e : U.carrier = ⋃ i ∈ s, ↑↑i


Context: G : Type u_1

Context: α : Type u_3

Context: AddGroup G

Context: AddAction G α

Context: MeasurableSpace α

Context: s : Set α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: MeasurableSpace G

Context: MeasurableVAdd G α

Context: MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ

Context: Countable G

Context: h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ

Context: f : α → ℝ≥0∞

∫⁻ (x : α), f x ∂μ = ∑' (g : G), ∫⁻ (x : α) in s, f (g +ᵥ x) ∂μ


Context:
α : Type u_1
Preorder α
IsEmpty α


Context: n : ℤ

ZMod.χ₈ ↑n = if n % 2 = 0 then 0 else if n % 8 = 1 ∨ n % 8 = 7 then 1 else -1


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
m : ℕ
hm : n ∣ m

MulChar.toUnitHom ((DirichletCharacter.changeLevel hm) χ) = (MulChar.toUnitHom χ).comp (ZMod.unitsMap hm)


Context:
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
hκ : IsSFiniteKernel κ

∫⁻ (b : β), (η (a, b)) Set.univ ∂κ a ≤ (κ a) Set.univ * IsFiniteKernel.bound η


Context:
α : Type u_3
Ring α
a : α
n : ℤ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hf : AEMeasurable f ν

Context: hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0

Context: hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤

Context: μ' : Measure α := ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)

μ.rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae ν] fun x => (f x)⁻¹ * μ.rnDeriv ν x


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
s : ℝ

μ (Metric.ball x (r * s)) = ENNReal.ofReal (r ^ FiniteDimensional.finrank ℝ E) * μ (Metric.ball 0 s)


Context:
R : Type u_2
Add R
Mul R
Neg R
One R
Zero R
self : FirstOrder.Ring.CompatibleRing R
x : Fin 0 → R

FirstOrder.Language.Structure.funMap FirstOrder.Ring.oneFunc x = 1


Context:
E : Type u_1
MeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
s : Set E

MeasureTheory.pdf.IsUniform id s (ProbabilityTheory.cond μ s) μ


Context:
a b : ℕ
h : b ≤ a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B C✝ : Finset α

Context: hA : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card

Context: x : α

Context: C : Finset α

Context: a✝ : x ∉ C

Context: ih : (A * B * C).card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C).card

Context: A' : Finset α := A ∩ (A * C / {x})

Context: hA' : A' = A ∩ (A * C / {x})

Context: C' : Finset α := insert x C

Context: hC' : C' = insert x C

Context: h₀ : A' * {x} = A * {x} ∩ (A * C)

Context: h₁ : A * B * C' = A * B * C ∪ (A * B * {x}) \ (A' * B * {x})

Context: h₂ : A' * B * {x} ⊆ A * B * {x}

Context: h₃ : (A * B * C').card ≤ (A * B * C).card + (A * B).card - (A' * B).card

((A * B * C).card + (A * B).card - (A' * B).card) * A.card ≤ (A * B).card * (A * C').card


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
hx : f x < g x
n : ℕ
hn : 0 < n


Context:
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : GL n R

↑(Matrix.GeneralLinearGroup.det A)⁻¹ = (↑A⁻¹).det


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
S : E →L[𝕜] F

IsSelfAdjoint (S.comp (T.comp (ContinuousLinearMap.adjoint S)))


Context:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
Semiring A
Semiring B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B


Context:
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
S T : NonUnitalSubalgebra R A


Context:
G : Type u_1
AddLeftCancelMonoid G
Finite G
x y : G
DecidableEq G

y ∈ AddSubmonoid.multiples x ↔ y ∈ Finset.image (fun x_1 => x_1 • x) (Finset.range (addOrderOf x))


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)
IsTrichotomous ι r
hr : WellFounded (Function.swap r)


Context:
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
b : B
a : F

↑(Z.localTrivAt b) { proj := b, snd := a } = (b, a)


Context:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
t : ℝ
c : ℝ

ProbabilityTheory.mgf (fun x => c) μ t = (μ Set.univ).toReal * rexp (t * c)


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory C

Context: CategoryTheory.MonoidalPreadditive C

Context: CategoryTheory.Limits.HasFiniteBiproducts C

Context: J : Type

Context: Fintype J

Context: f : J → C

Context: X : C

Context: j : J

CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.rightDistributor f X).hom
    (CategoryTheory.Limits.biproduct.π (fun j => CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (f j) X) j) =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.Limits.biproduct.π f j) X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
a : α
b : β


Context: E : Type u_2

Context: AddCommGroup E

Context: Module ℝ E

Context: s : ConvexCone ℝ E

Context: p : E →ₗ.[ℝ] ℝ

Context: hp_nonneg : ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x

Context: hp_dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s

∃ q ≥ p, q.domain = ⊤ ∧ ∀ (x : ↥q.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑q x


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
x y : α
h : x ≠ y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
x : E

x +ᵥ r • closedBall 0 1 = closedBall x r


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r✝ R : ℝ
z w : ℍ
r : ℝ
H : 2 * z.im * w.im ≠ 0

dist ↑z ↑(w.center r) ^ 2 = 2 * z.im * w.im * (Real.cosh (dist z w) - Real.cosh r) + (w.im * Real.sinh r) ^ 2


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
ha : a₂ ≤ a₁
hb : b₁ ≤ b₂


Context:
X : Type u
Y✝ : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y✝
s t✝ : Set X
b : ι → Set X
hb : IsTopologicalBasis (range b)
U : Set X
hUc : IsCompact U
hUo : IsOpen U
Y : Type u
f' : Y → ι
e : U = ⋃ i, (b ∘ f') i
hf' : ∀ (i : Y), b (f' i) = (b ∘ f') i
t : Finset Y
ht : U ⊆ ⋃ i ∈ t, (b ∘ f') i


Context:
G : Type u_7
AddCommGroup G
A : Type u_8
DecidableEq A
l : List A
f g : A → G
a : A

(List.map (fun x => if x = a then f x else g x) l).sum = List.count a l • (f a - g a) + (List.map g l).sum


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c d : α


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R

Context: inst✝¹² : Nontrivial R

Context: inst✝¹¹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁰ : MetricSpace R

Context: inst✝⁹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁸ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁷ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Module R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝² : SMulCommClass R A A

Context: inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ g✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝

Context: hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝

Context: hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝

Context: hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A

Context: g f : R → R

Context: a : A

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' σₙ R a)) _auto✝

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝

Context: hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: this : ContinuousOn (g ∘ f) (σₙ R a)

Context: sp_eq : σₙ R ((cfcₙHom ⋯) { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := hf0 }) = f '' σₙ R a

(cfcₙHom ha) { toFun := (σₙ R a).restrict (g ∘ f), continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ } = (cfcₙHom ⋯) ({ toFun := (σₙ R ((cfcₙHom ⋯) { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ })).restrict g, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ }.comp ?f')


Context:
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R

(MvPolynomial.eval P) W'.polynomialX = W'.a₁ * P y * P z - (3 * P x ^ 2 + 2 * W'.a₂ * P x * P z ^ 2 + W'.a₄ * P z ^ 4)


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
I : Type u_1
X : C
Y : I → C
f : (i : I) → Y i ⟶ X
i : I

(CategoryTheory.Sieve.ofArrows Y f).arrows (f i)


Context:
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
a b : α
h : a ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
hs : s.Nontrivial


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: s t✝ u : Finset α

Context: f : α → β

Context: n : ℕ

Context: t : Finset β

Context: i : (a : α) → a ∈ s → β

Context: j : (a : β) → a ∈ t → α

Context: hi : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t

Context: hj : ∀ (a : β) (ha : a ∈ t), j a ha ∈ s

Context: left_inv : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), j (i a ha) ⋯ = a

Context: right_inv : ∀ (a : β) (ha : a ∈ t), i (j a ha) ⋯ = a

Context: a1 : α

Context: h1 : a1 ∈ s

Context: a2 : α

Context: h2 : a2 ∈ s

Context: eq : i a1 h1 = i a2 h2


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K

(Polynomial.idealX K).intValuation Polynomial.X = ↑(Multiplicative.ofAdd (-1))


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P : Fin 3 → R


Context:
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
h✝ : Nontrivial R
this : Nontrivial S

Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank S N) ≤ Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R M)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict t, f x = 0

Context: ht : IntegrableOn f t μ

∫ (x : X) in s ∪ t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ


Context:
R : Type u_3
A : Type u_4
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
q : R[X]
hq : q ≠ 0
h : ¬p = 1


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ

(∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z) = ∫ (θ : ℝ) in Set.Icc 0 (2 * π), deriv (circleMap c R) θ • f (circleMap c R θ)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f


Context:
α : Type u
f : Filter α
hf : f.NeBot
x : α


Context:
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜


Context:
X : Type u_2
TopologicalSpace X
S : DiscreteQuotient X


Context:
α : Type u
PseudoMetricSpace α
ProperSpace α

Bornology.cobounded α = Filter.cocompact α


Context:
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
Zero M
CommMonoid N
f : α →₀ M
y : α
g : α → M → N
hg : ∀ (i : α), g i 0 = 1

g y (f y) * (Finsupp.erase y f).prod g = f.prod g


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: s : Set (Set E)

Context: hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s

Context: h : ∀ a ∈ s, Orthonormal 𝕜 fun x => ↑x


Context:
R : Type u_1
M : Type u_8
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
m : Type u_17
n : Type u_18
f : m → n
hf : Function.Surjective f

Function.Injective ⇑(LinearMap.funLeft R M f)


Context:
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l₁ l₂ : List α
h₁ : ∀ (a : α), a ∈ l₁ → p a
h₂ : ∀ (a : α), a ∈ l₂ → p a

List.pmap f (l₁ ++ l₂) ⋯ = List.pmap f l₁ h₁ ++ List.pmap f l₂ h₂


Context: V : Type u_1

Context: NormedAddCommGroup V

Context: InnerProductSpace ℝ V

Context: Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y : V

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0

(o.oangle x y).cos = Real.cos (InnerProductGeometry.angle x y)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
a x : α
b : M

(Finsupp.single a b) x = 0 ↔ x = a → b = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hp : p.Monic
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3
hp0 : p ≠ 0
hp1 : p ≠ 1
h : ∀ (a : R), ¬X - C a ∣ p
q : R[X]
hq : q.Monic
hq1 : q.natDegree = 1


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
n : ℕ
a : M
b : ↥S


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
s : Set P
h₁ : s.Subsingleton
h₂ : affineSpan k s = ⊤


Context: n : ℕ+


Context:
M : Type u_2
AddMonoid M
a : M


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_8
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] F
s : Set E


Context: p : Prop


Context:
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜


Context:
G : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace G
TopologicalSpace X
AddGroup G
AddAction G X
self : ProperVAdd G X

IsProperMap fun gx => (gx.1 +ᵥ gx.2, gx.2)


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i i' : ι
hi'_lub : IsLUB (Set.Iio i) i'
hi'_eq_i : i' = i


Context:
M : Type u_5
F : Type u_6
Group M
FunLike F M M
MonoidHomClass F M M
f : F
n : ℕ
x y : M


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : P
h : ∑ i ∈ s, w i = 0


Context:
R : Type u
M : Type v
Monoid R
MulAction R M
p : SubMulAction R M
m : ↥p

Subtype.val '' MulAction.orbit R m = MulAction.orbit R ↑m


Context:
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a

¬¬IsUnit a ∨ ¬∀ (a_1 b : Cardinal.{u}), a = a_1 * b → IsUnit a_1 ∨ IsUnit b


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : IsIrrefl α r
s' s : Multiset α

(∃ t a, (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s + t ∧ s' = (s + t).erase a) ↔ ∃ t a, (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s ∧ s' = s.erase a + t


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.75295, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
i j : ℕ
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j

∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ IndexSet.id (op [i]) → ((s.πSummand b ≫ (s.cofan (op [i])).inj b) ≫ K[X].d i j) ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j])) = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
f : R' →+* R''
hf : Function.Injective ⇑f
a : Rˣ
ha : χ ↑a ≠ 1


Context: X : Scheme

Context: inst✝ : IsIntegral X

Context: U : X.Opens

Context: x : ↥U

Context: y : ↑(X.presheaf.obj (op U))

Context: hy : (X.presheaf.germ x) y = (X.presheaf.germ x) 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: a p P : R[X]

Context: h : ∀ (r : R), r • P = 0 → r = 0

Context: Q : R[X]

Context: hQ : P * Q = 0

Context: l : ℕ

Context: IH : ∀ m > l, P.coeff m • Q = 0

Context: hl : (P.coeff l • Q).natDegree = Q.natDegree


Context: K : Type u

Context: CommRing K

Context: p : ℕ

Context: Fact (Nat.Prime p)

Context: CharP K p

Context: x : PerfectClosure K p

Context: q : PerfectClosure K p → Prop

Context: h : ∀ (x : ℕ × K), q (PerfectClosure.mk K p x)


Context:
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
s t : Set α
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hf : (s + t).Finite := ⋯

Set.Finite.toFinset hf = hs.toFinset + ht.toFinset


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
s : Set α
f : α → E
a : α

‖s.indicator f a‖ = s.indicator (fun a => ‖f a‖) a


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module ℝ E

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousAdd E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: h : 1 < Module.rank ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs : s.Countable

Context: this : Nontrivial E

Context: a : E

Context: ha : a ∈ sᶜ

Context: b : E

Context: hb : b ∈ sᶜ

Context: hab : a ≠ b

Context: c : E := 2⁻¹ • (a + b)

Context: x : E := 2⁻¹ • (b - a)

Context: Ia : c - x = a

Context: Ib : c + x = b

Context: x_ne_zero : x ≠ 0

Context: y : E

Context: hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]

Context: A : {t | ([c + x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty}.Countable

Context: B : {t | ([c - x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty}.Countable

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ ({t | ([c + x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty} ∪ {t | ([c - x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty})ᶜ


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)

D.diagramOverOpenπ U i ≫ (D.U i).presheaf.map ((((eqToIso ⋯).inv ≫ (homOfLE ⋯).op) ≫ (opensFunctor (D.f i i)).op.map (𝟙 ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)) ≫ eqToHom ⋯)) ≫ (eqToHom ⋯).op) ≫ (D.f i j).c.app (op ((Opens.map (D.ι i).base).obj (⋯.functor.obj U))) ≫ (D.V (i, j)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j)))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EM : Type u_2

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_5

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E H'

Context: M : Type u

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace HM M

Context: N G A A' R : Type u

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H N

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H' A'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace R

Context: inst✝² : ChartedSpace H R

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : SmoothRing I R

Context: x : M

Context: y : (smoothSheaf IM I M R).presheaf.stalk x

(eval IM I M R x) ((forgetStalk IM I M R x).inv y) = smoothSheaf.eval IM I R x y


Context:
α : Type u
R : Type u_1
CommSemiring R
Small.{v, u} α
Semiring α
Algebra R α

∀ (a : α), (Shrink.algEquiv α R).symm a = (equivShrink α) a


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

Context: functor : CategoryTheory.Functor C D

Context: inverse : CategoryTheory.Functor D C

Context: unit_iso : CategoryTheory.Functor.id C ≅ functor.comp inverse

Context: counit_iso : inverse.comp functor ≅ CategoryTheory.Functor.id D

Context:
f :
  ∀ (X : C),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (functor.map (unit_iso.hom.app X)) (counit_iso.hom.app (functor.obj X)) =
      CategoryTheory.CategoryStruct.id (functor.obj X)

{ functor := functor, inverse := inverse, unitIso := unit_iso, counitIso := counit_iso,
      functor_unitIso_comp := f }.counitInv =
  counit_iso.inv


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X Y Z : C

prod.lift (prod.lift prod.fst (prod.snd ≫ prod.fst)) (prod.snd ≫ prod.snd) ≫ prod.lift prod.snd prod.fst ≫ prod.lift (prod.lift prod.fst (prod.snd ≫ prod.fst)) (prod.snd ≫ prod.snd) = prod.map (𝟙 X) (prod.lift prod.snd prod.fst) ≫ prod.lift (prod.lift prod.fst (prod.snd ≫ prod.fst)) (prod.snd ≫ prod.snd) ≫ prod.map (prod.lift prod.snd prod.fst) (𝟙 Y)


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b : CauSeq α abs


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: hI : I.IsMaximal

Context: hI' : I ≠ ⊥

Context: hx : comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤

Context: hx' : _root_.IsIntegral R x

Context: J : Ideal S

Context: hJ : J ∈ normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R S) I)

Context: this : ↑(Multiset.count (normalize J) (normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R S) I))) = multiplicity (↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx') ⟨J, hJ⟩)) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))

Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x) ≠ 0


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα✝ : α.IsNonZero

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≤ chainLength α β

Context: hα : ¬α.IsZero

Context: x : L

Context: hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) β)

Context: x_ne0 : x ≠ 0

Context: h e f : L

Context: isSl2 : IsSl2Triple h e f

Context: he : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) ≠ ⊥


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: s : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork f

f ≫ CategoryTheory.Limits.Cofork.π s = 0


Context:
α : Type u_1
Lattice α
IsModularLattice α
x y z : α
hxy : x < y
hinf : y ⊓ z ≤ x ⊓ z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace 𝕜 E

Context: CompleteSpace E

Context: F : Type u_3

Context: NormedAddCommGroup F

Context: NormedSpace 𝕜 F

Context: CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: a : E

Context: hf : HasStrictFDerivAt f f' a

Context: hf' : LinearMap.range f' = ⊤

Context: hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented

HasStrictFDerivAt (HasStrictFDerivAt.implicitFunctionOfComplemented f f' hf hf' hker (f a)) (LinearMap.ker f').subtypeL
  0


Context:
ι : Type u_1
M₀ : Type u_4
MulZeroOneClass M₀
s : Set ι
i : ι
Nontrivial M₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace 𝕜 E

Context: NormedAddCommGroup F

Context: NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: n : ℕ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: finite : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

Context: pos : 0 < r

Context: sum_eq : ∀ y ∈ EMetric.ball 0 r, (∑ i ∈ Finset.range n, (p i) fun x => y) = f (x + y)


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
v : Vector α (n + 1)
f : α → β
a : α
v' : Vector α n
h : v = a ::ᵥ v'


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup G

Context: inst✝³ : Module R G

Context: M : Type u_5

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : DistribMulAction M F

Context: inst✝ : SMulCommClass R M F

Context: y✝ : M

Context: f : E →ₗ.[R] F

Context: x y : E

Context: x' y' : F

Context: hx : ∃ y, ↑y = (x, x').1 ∧ ↑f y = (x, x').2

Context: hy : ∃ y_1, ↑y_1 = (y, y').1 ∧ ↑f y_1 = (y, y').2

Context: hxy : x = y


Context: F : Type u

Context: K✝¹ : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝³ : Field K✝¹

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Field F

Context: n✝ : ℕ

Context: K✝ : Type u

Context: inst✝ : Field K✝

Context: n : ℕ

Context: ih : (fun n => ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]), f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤) n

Context: K : Type u

Context: x✝ : Field K

Context: f : K[X]

Context: hfn : f.natDegree = n.succ

Context: hndf : f.natDegree ≠ 0

Context: hfn0 : f ≠ 0

Context: hmf0 : map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) (X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) * map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor ≠ 0

Subalgebra.restrictScalars K (Algebra.adjoin ↥(IsScalarTower.toAlgHom K (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)).range ↑(map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor).roots.toFinset) = ⊤


Context:
α : Type u_6
β : Type u_7
f : α → β
s : Set α


Context:
K : Type u_2
Field K
NumberField K

Fintype.card { φ // ¬NumberField.ComplexEmbedding.IsReal φ } = 2 * NumberField.InfinitePlace.NrComplexPlaces K


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAlgebra 𝕜 ℂ
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : E → ℂ
s : Set E
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s

ContDiffOn 𝕜 n (fun x => Complex.exp (f x)) s


Context:
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
RCLike 𝕜
Fintype m
Fintype n
DecidableEq n
Fintype l
DecidableEq l
A : Matrix m n 𝕜
B : Matrix n l 𝕜

‖A * B‖ ≤ ‖A‖ * ‖B‖


Context:
x y r : ℕ
hr : y * y + r = x
hle : r.ble (2 * y) = true


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : GCDMonoid R
p✝ q✝ p q : R
hq : q ≠ 0
r : R
hr : q = GCDMonoid.gcd p q * r


Context: V : Type u_1

Context: NormedAddCommGroup V

Context: InnerProductSpace ℝ V

Context: Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y z : V

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0

Context: hz : z ≠ 0

o.oangle x z - o.oangle x y = o.oangle y z


Context:
α : Type u_1
LinearOrder α
s : Set α
x : α

(s.ordConnectedComponent x).Nonempty ↔ x ∈ s


Context: M : Type u_1

Context: Monoid M

Context: ι : Type u_3

Context: hι : Nonempty ι

Context: s : ι → Set M

Context: hs : ∀ (i : ι), IsSubmonoid (s i)

Context: Directed : ∀ (i j : ι), ∃ k, s i ⊆ s k ∧ s j ⊆ s k


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanHom 2 (↑A) (↑B) f
hf' : Set.BijOn f ↑A ↑B
s : Finset β
hsB : s ⊆ B
hcard : s.card = mulRothNumber B
hs : ThreeGPFree ↑s
hsA : invFunOn f ↑A '' ↑s ⊆ ↑A
hfsA : Set.SurjOn f ↑A ↑s

(image (invFunOn f ↑A) s).card ≤ mulRothNumber A


Context:
n : Type u_1 → Type u_2
m : Type u_1 → Type u_3
α ρ : Type u_1
MonadLiftT n m
x : n α
ctx : ρ


Context: x y : SetTheory.PGame


Context:
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
y : M


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
h : i₁ ≠ i₂
hu : {i₁, i₂} ⊆ univ
i₃ : Fin 3
hi₃ : univ \ {i₁, i₂} = {i₃}
hi₃₁ : i₃ ≠ i₁
hi₃₂ : i₃ ≠ i₂

-(∑ x : Fin (0 + 2 + 1), (∑ x_1 : Fin (0 + 2 + 1), ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x_1 = i₁ ∨ x_1 = i₂ then 1 else 0) * (dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x_1)) * dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x_1))) + ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) * dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex))) + (∑ x : Fin (0 + 2 + 1), (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * (dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) * dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x))) + (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) * dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex)))) / 2 = circumradius t * circumradius t


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
g : P ≃ₗ[R] Q
f : N ≃ₗ[R] P
y : TensorProduct R N M

(LinearEquiv.rTensor M (f ≪≫ₗ g)) y = (LinearEquiv.rTensor M g) ((LinearEquiv.rTensor M f) y)


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
u : F (α ::: β) → β
x y : (P F).W α

∀ (a : (P F).A) (f' : (P F).drop.B a ⟹ α) (f : (P F).last.B a → (P F).W α), WEquiv ((P F).wMk a f' f) y → recF u ((P F).wMk a f' f) = recF u y


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: DivisionRing K

Context: AddCommGroup V

Context: Module K V

Context: S₁ S₂ : Submodule K V

Context: FiniteDimensional K ↥S₂

Context: hle : S₁ ≤ S₂

Context: hd : FiniteDimensional.finrank K ↥S₂ ≤ FiniteDimensional.finrank K ↥S₁


Context:
α : Type u_1
a : α
LE α
x : WithBot α


Context:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : CommSemiring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
t : Set A
z : A

Set.range ⇑(algebraMap (↥(toAlgHom R S A).range) A) = Set.range ⇑(algebraMap S A)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: H : Subgroup (Perm α)

Context: d : DecidablePred fun x => x ∈ H

Context: τ : Perm α

Context: h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)

Context: h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H

Context: h2 : τ ∈ H

Context: h3 : τ.IsSwap

Context: this : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))

Context: σ : ↥H

Context: hσ : orderOf σ = Fintype.card α

Context: hσ1 : orderOf ↑σ = Fintype.card α

Context: hσ2 : (↑σ).IsCycle


Context:
ι : Type u_2
α : Type u_3
DivisionCommMonoid α
m : Multiset ι
f : ι → α
n : ℤ

(Multiset.map (fun i => f i ^ n) m).prod = (Multiset.map f m).prod ^ n


Context:
α : Type u
R : α → α → Prop
l : List α

List.Pairwise R l → List.Pairwise (List.Lex (Function.swap R)) l.sublists'


Context:
I : Type u_4
Fintype I
DecidableEq I
R : I → Type u_5
(i : I) → Ring (R i)

CompleteOrthogonalIdempotents fun x => Pi.single x 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
f g : Filter β
p : β → Prop
u : β → α
h : f ≤ g

Filter.bliminf u g p ≤ Filter.bliminf u f p


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
𝕜 : Type u_2
Field 𝕜
IsAlgClosed 𝕜
CategoryTheory.Linear 𝕜 C
CategoryTheory.Limits.HasKernels C
X Y : C
FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
CategoryTheory.Simple X
CategoryTheory.Simple Y


Context:
R : Type u_3
M : Type u_4
UniformSpace R
UniformSpace M

uniformity (tsze R M) =
  Filter.comap (fun p => (p.1.fst, p.2.fst)) (uniformity R) ⊓ Filter.comap (fun p => (p.1.snd, p.2.snd)) (uniformity M)


Context:
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
CompleteSpace E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
𝕜 : Type u_6
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
f : ℝ → 𝕜
c : E

∫ (x : ℝ) in a..b, f x • c ∂μ = (∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) • c


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L


Context:
M : Type u_1
inst✝⁵ : CancelMonoidWithZero M
inst✝⁴ : Finite M
R : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : GCDMonoid R
inst✝ : Unique Rˣ
a b c : R
n : ℕ
cp : IsCoprime a b
h : a * b = c ^ n


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : NoTopOrder α
a : α


Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι✝

Context: A : ι✝ → Type u_2

Context: inst✝⁹ : (i : ι✝) → MeasurableSpace (A i)

Context: μ✝ : (i : ι✝) → Measure (A i)

Context: inst✝⁸ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: p : ℝ

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hg : Inducing g


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: X Y : C

Context: i : CategoryTheory.IsIso 0


Context:
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
f : R[X]
a : ℕ

f.coeff a ∈ I ^ a ↔ a ∈ f.support → f.coeff a ∈ I ^ a


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: b : CategoryTheory.Limits.Bicone (CategoryTheory.Limits.pairFunction X Y)

(CategoryTheory.Limits.Bicone.toBinaryBiconeFunctor.obj b).snd = b.π CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0

AEMeasurable (ν.rnDeriv (r • μ)) (r • μ)


Context:
M : Type u_1
Mul M

↑Subsemigroup.topEquiv = MulMemClass.subtype ⊤


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_4
Preorder α
f : ι → Set α

lowerClosure (⋃ i, f i) = ⨆ i, lowerClosure (f i)


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C

Context: K : ChainComplex C ℕ

Context: n : ℕ

((AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting K).cofan (Opposite.op [n])).inj
      (SimplicialObject.Splitting.IndexSet.id (Opposite.op [n])) ≫
    AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f n =
  ((AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting K).cofan (Opposite.op [n])).inj
    (SimplicialObject.Splitting.IndexSet.id (Opposite.op [n]))


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Set ι
p0 : P
hp0s1 : p0 ∈ affineSpan k (p '' s1)
hp0s2 : p0 ∈ affineSpan k (p '' s2)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
self : IsArtinian R M


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : IsIrrefl α r
s : Multiset α
hs : ∀ a ∈ s, Acc (CutExpand r) {a}


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Inv α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x : α

(equivShrink α) x⁻¹ = ((equivShrink α) x)⁻¹


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace ℝ E

Context: CompleteSpace E

Context: NormedAddCommGroup F

Context: NormedSpace ℝ F

Context: CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: φ : E → ℝ

Context: x₀ : E

Context: f' : E →L[ℝ] F

Context: φ' : E →L[ℝ] ℝ

Context: hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀

Context: hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀

Context: hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀


Context:
α : Type u_1
l : Filter α
M : Type u_5
NatCast M
n : ℕ
n.AtLeastTwo


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
hcf : HasCompactSupport f
hf : Continuous f
x t : G
s : Set G
hx : x ∈ s

(-tsupport f + s).indicator (fun t => (‖L‖ * ⨆ i, ‖f i‖) * ‖g t‖) t = (-tsupport f + s).indicator (fun t => ‖L.flip‖ * ‖g t‖ * ⨆ i, ‖f i‖) t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
b : Ordinal.{u_4}
h₁ : 0 ∣ b
h₂ : b ∣ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
LinearOrderedCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g₁ g₂ : ι → β
h₁ : AntivaryOn f g₁ s
h₂ : AntivaryOn f g₂ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
π : α → Type u_6
π' : β → Type u_7
f : α → β
hf : Function.Injective f
g : (a : α) → π a → π' (f a)
a : α
l : Filter (π' (f a))

(comap (Sigma.map f g) (map (Sigma.mk (f a)) l)).HasBasis (fun s => s ∈ l) fun i => Sigma.mk a '' (g a ⁻¹' id i)


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

Context: A : Type u₃

Context: CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A

Context: B : Type u₄

Context: CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} B

Context: L : D

Context: R : CategoryTheory.Functor C D

Context: L' : B

Context: R' : CategoryTheory.Functor A B

Context: F : CategoryTheory.Functor C A

Context: G : CategoryTheory.Functor D B

Context: α : L' ⟶ G.obj L

Context: β : R.comp G ⟶ F.comp R'

Context: X : CategoryTheory.Comma (CategoryTheory.Functor.fromPUnit L) R

((CategoryTheory.StructuredArrow.map₂ α β).obj X).left = X.left


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝² : Add α
inst✝¹ : DivisionMonoid β
inst✝ : HasDistribNeg β
hf : Antiperiodic f c
hg : Antiperiodic g c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : SMulZeroClass R M
b : R
g : α →₀ M
a : α


Context:
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso g

OpenEmbedding ((forget TopCat).map (f ≫ g)) ↔ OpenEmbedding ⇑f


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0

term (fun n => if n = 0 then 0 else 1) s n = 1 / ↑n ^ s


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: x y : R

Context: h : Commute x y

Context: n : ℕ

Context: t : ℕ → ℕ → R := fun n m => x ^ m * y ^ (n - m) * ↑(n.choose m)

Context: h_first : ∀ (n : ℕ), t n 0 = y ^ n

(x + y) ^ n = ∑ m ∈ range (n + 1), t n m


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: s : PullbackCone f g

∀ (b : (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram.R), Multicoequalizer.π (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ gluedLift 𝒰 f g s ≫ p1 𝒰 f g = Multicoequalizer.π (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ s.fst


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
Star B
F : Type u_6
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
f : F


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 1 < x
hyz : y < z


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddGroup E
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → E
hf : Continuous f
h : HasCompactSupport f


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I : Set α
ι : Type u_2
Nonempty ι
X : ι → Set α
hI : ∀ (i : ι), M.Basis I (X i)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
x✝ : α


Context:
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
u : (P₁ →ᵃ[k] P₁)ˣ
a : P₁

(AffineEquiv.equivUnitsAffineMap.symm u).symm a = ↑u⁻¹ a


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'

UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context: G : Type u_1

Context: α : Type u_3

Context: E : Type u_5

Context: AddGroup G

Context: AddAction G α

Context: MeasurableSpace α

Context: NormedAddCommGroup E

Context: s : Set α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: MeasurableSpace G

Context: MeasurableVAdd G α

Context: MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ

Context: Countable G

Context: NormedSpace ℝ E

Context: h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ

Context: f : α → E

Context: hf : MeasureTheory.Integrable f μ

∫ (x : α), f x ∂μ = ∑' (g : G), ∫ (x : α) in s, f (-g +ᵥ x) ∂μ


Context:
G : Type u_1
Group G
a : G

a ∈ IsSubgroup.center G ↔ ∀ (g : G), g * a = a * g


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

↑⟪x, y⟫_ℝ + (o.areaForm x) y • Complex.I = (starRingEnd ℂ) (↑⟪y, x⟫_ℝ + (o.areaForm y) x • Complex.I)


Context: α : Type u

Context: Add α

Context: β : Type v

Context: AddSemigroup β

Context: f g : AddHom (AddMagma.FreeAddSemigroup α) β

Context: h : f.comp AddMagma.FreeAddSemigroup.of = g.comp AddMagma.FreeAddSemigroup.of


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
Zero Γ


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
d₁ d₂ d₃ : Factorisation f✝
f : d₁.Hom d₂
g : d₂.Hom d₃


Context:
x✝ y✝ x y : ℝ
hy : y ∈ Ico (-(π / 2)) (π / 2)
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1


Context: J : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: F : J ⥤ C

Context: CategoryTheory.Limits.HasColimit F

Context: E : K ⥤ J

Context: CategoryTheory.Limits.HasColimit (E ⋙ F)

Context: k : K

CategoryTheory.Limits.colimit.ι (E ⋙ F) k ≫ CategoryTheory.Limits.colimit.pre F E =
  CategoryTheory.Limits.colimit.ι F (E.obj k)


Filter.Tendsto Int.cast Filter.cofinite (Filter.cocompact ℝ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
x : α
ε : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : Set α
hs : ∃ R > 0, μ (thickening R s) ≠ ⊤
h's : IsClosed s


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn✝ : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: this✝ : Fact (Irreducible (X ^ n - C a)) := { out := H }

Context: this : Algebra K K[n√a] := inferInstance

Context: hn : 0 < n

Context: hn' : ¬n = 1

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

∀ x ∈ Finset.range n, ∀ y ∈ Finset.range n, (algebraMap K K[n√a]) ζ ^ x * root (X ^ n - C a) = (algebraMap K K[n√a]) ζ ^ y * root (X ^ n - C a) → x = y


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
v : Basis ι R M
this : Nontrivial R

lift.{v, w} #ι = lift.{w, v} (Module.rank R M)


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
x : E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
hs₁ : BddAbove s
hs₂ : s.Nonempty


Context:
α : Type u_2
CompleteLattice α
k : α
h : CompleteLattice.IsCompactElement k


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]

∀ (n : ℕ) (c : R), c ≠ 0 → (divX_hom ((monomial n) c)).natDegree = n - 1


Context:
α : Type u_2
Lattice α
s : Set α

IsSublattice (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s) ↔ IsSublattice s


Context:
M : Type u_5
N : Type u_6
Zero M
Zero N


Context: α : Type u

Context: Semiring α

Context: LinearOrder α

Context: a b c : α

Context: ExistsAddOfLE α

Context: MulPosMono α

Context: CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: h : a * c < b * c

Context: hc : c ≤ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
y : Set β

maximals r (⇑f ⁻¹' y) = ⇑f ⁻¹' maximals s (y ∩ Set.range ⇑f)


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset ι
t : Finset ι'
ws : ι → R
zs : ι → E
wt : ι' → R
zt : ι' → E
hws : ∑ i ∈ s, ws i = 1
hwt : ∑ i ∈ t, wt i = 1
a b : R
hab : a + b = 1

a • s.centerMass ws zs + b • t.centerMass wt zt = (s.disjSum t).centerMass (Sum.elim (fun i => a * ws i) fun j => b * wt j) (Sum.elim zs zt)


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R

MvPolynomial.comap (AlgHom.id R (MvPolynomial σ R)) = id


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: R : ℝ

Context: f : X → ℝ

Context: hR : 0 ≤ R

Context: hfint : IntegrableOn f {x | R < f x} μ

Context: hμ : μ {x | R < f x} ≠ 0

Context: this : IntegrableOn (fun x => R) {x | R < f x} μ

0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict {x | R < f x})] fun a => f a - R


Context:
α : Sort u_1
x y : α
Decidable (x = y)


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
φ ψ : MvPolynomial σ R

↑φ = ↑ψ ↔ φ = ψ


Context: α β : Type u

⇑(prodEquivPiFinTwo α β).symm = fun f => (f 0, f 1)


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
hμ : NeZero μ
f : α → F'
hμ_finite : IsFiniteMeasure μ
h_meas : StronglyMeasurable (μ[f|⊥])
c : F'
h_eq : μ[f|⊥] = fun x => c

(fun x => c) = fun x => (μ Set.univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
Monoid α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
h : multiplicity.Finite a b


Context:
β : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Unique β
f : β → C
s : Cocone (Discrete.functor f)

{ pt := f default, ι := Discrete.natTrans fun x => match x with | { as := j } => eqToHom ⋯ }.ι.app default ≫ (fun s => s.ι.app default) s = s.ι.app default


Context:
α β : HeytAlg
e : ↑α ≃o ↑β
a : ↑α


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
s : Set α
t : Set β
b : β

b ∈ s +ᵥ t ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ t, x +ᵥ y = b


Context:
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S : Subsemiring Rᵐᵒᵖ


Context:
M : Type u_2
AddCommGroup M
R : Type u_3
CommRing R
Module R M
Module.Finite R M
f : Module.End R M

∃ p, p.Monic ∧ (Polynomial.aeval f) p = 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: CommSemiring R

Context: Nontrivial R

Context: StarRing R

Context: MetricSpace R

Context: TopologicalSemiring R

Context: ContinuousStar R

Context: NonUnitalRing A

Context: StarRing A

Context: TopologicalSpace A

Context: Module R A

Context: IsScalarTower R A A

Context: SMulCommClass R A A

Context: NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: hf : ¬f 0 = 0


Context:
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
inst✝ : CategoryWithHomology C
f : K ⟶ L


Context:
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
NoZeroDivisors R
Nontrivial R
p : ℕ
NeZero p
CharP R p


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: hpos : 0 < n

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).Monic

Context: h : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).degree = ⊥


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β

Context: MeasurableSpace β

Context: BorelSpace β

Context: hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ

Measurable (MeasureTheory.AEStronglyMeasurable.mk f hf)


Context:
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{u_10, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.40310, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.40314, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.40318, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.40330, u_7} D₃
W : MorphismProperty C
L₁ : C ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W
L₂ : C ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W
L₃ : C ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W
X Y Z : C
G : D₁ ⥤ D₂
e : L₁ ⋙ G ≅ L₂
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y

(homEquiv W L₁ L₂) f = e.inv.app X ≫ G.map f ≫ e.hom.app Y


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝³ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y : C

Context: φ : W.LeftFraction X Y

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_3} E

Context: L₁ : C ⥤ D

Context: L₂ : C ⥤ E

Context: inst✝¹ : L₁.IsLocalization W

Context: inst✝ : L₂.IsLocalization W

Context: e : L₁ ⋙ (Localization.uniq L₁ L₂ W).functor ≅ L₂ := Localization.compUniqFunctor L₁ L₂ W

Context: this : IsIso (L₂.map φ.s)

(Localization.uniq L₁ L₂ W).functor.map (φ.map L₁ ⋯) = (Localization.compUniqFunctor L₁ L₂ W).hom.app X ≫ φ.map L₂ ⋯ ≫ (Localization.compUniqFunctor L₁ L₂ W).inv.app Y


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.440575, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n

Context: f g : ComposableArrows C 5

Context: app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯

Context: app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯

Context: app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯

Context: app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯

Context: app₄ : f.obj' 4 ⋯ ≅ g.obj' 4 ⋯

Context: app₅ : f.obj' 5 ⋯ ≅ g.obj' 5 ⋯

Context: w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.hom = app₀.hom ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯

Context: w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.hom = app₁.hom ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯

Context: w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃.hom = app₂.hom ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯

Context: w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄.hom = app₃.hom ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯

Context: w₄ : f.map' 4 5 ⋯ ⋯ ≫ app₅.hom = app₄.hom ≫ g.map' 4 5 ⋯ ⋯

g.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.inv = app₀.inv ≫ f.map' 0 1 ⋯ ⋯


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
f : X → Y
y : Y
hf : Tendsto f (coLindelof X) (𝓝 y)
hfc : Continuous f
l : Filter Y
hne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
hle : l ≤ 𝓟 (insert y (range f))
s : Set Y
hsy : s ∈ 𝓝 y
t : Set Y
htl : t ∈ l
hd : Disjoint s t
K : Set X
hKc : IsLindelof K
hKs : Kᶜ ⊆ f ⁻¹' s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ε : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: f : α →. β ⊕ α

Context: a : α

Context: b : β

Context: h : b ∈ f.fix a

Context: h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a

Context: h₂ : (f a).Dom

Context: a'✝ : α

Context: heq✝ : (f a).get h₂ = Sum.inr a'✝

Context: h₃ : b ∈ WellFounded.fixF (fun a IH => Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => IH a' ⋯) a'✝ ⋯

Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α →. β
s t : Set β

f.preimage (s ∩ t) ⊆ f.preimage s ∩ f.preimage t


Context:
X : Type u_2
EMetricSpace X
MeasurableSpace X
BorelSpace X

(MeasureTheory.Measure.mkMetric fun x => ⊤) = ⊤


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x p₁ p₂ : P
hx : x ∉ s
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : 0 < t


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: C₄ : Type u_4

Context: C₁₂ : Type u_5

Context: CategoryTheory.Category.{u_16, u_1} C₁

Context: CategoryTheory.Category.{u_15, u_2} C₂

Context: CategoryTheory.Category.{u_13, u_3} C₃

Context: CategoryTheory.Category.{u_12, u_4} C₄

Context: CategoryTheory.Category.{u_14, u_5} C₁₂

Context: F₁₂ : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ C₁₂)

Context: G : CategoryTheory.Functor C₁₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₄)

Context: I₁ : Type u_7

Context: I₂ : Type u_8

Context: I₃ : Type u_9

Context: J : Type u_10

Context: r : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: ρ₁₂ : CategoryTheory.GradedObject.BifunctorComp₁₂IndexData r

Context: X₁ : CategoryTheory.GradedObject I₁ C₁

Context: X₂ : CategoryTheory.GradedObject I₂ C₂

Context: X₃ : CategoryTheory.GradedObject I₃ C₃

Context: (((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F₁₂ I₁ I₂).obj X₁).obj X₂).HasMap ρ₁₂.p

Context:
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor G ρ₁₂.I₁₂ I₃).obj
            (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂)).obj
        X₃).HasMap
    ρ₁₂.q

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: i₃ : I₃

Context: j : J

Context: h : r (i₁, i₂, i₃) = j

Context: i₁₂ : ρ₁₂.I₁₂

Context: h₁₂ : ρ₁₂.p (i₁, i₂) = i₁₂

CategoryTheory.GradedObject.ιMapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    ((G.map (CategoryTheory.GradedObject.ιMapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂ i₁ i₂ i₁₂ h₁₂)).app (X₃ i₃))
    (CategoryTheory.GradedObject.ιMapBifunctorMapObj G ρ₁₂.q
      (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂) X₃ i₁₂ i₃ j ⋯)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

Context: f : E → F

Context: x : E

Context: s : Set E

Context: h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x (n + 1) r

HasFiniteFPowerSeriesOnBall (fderiv 𝕜 f) p.derivSeries x n r


Context:
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
s : Set α
TopologicalSpace β
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
hf' : Function.Injective f
h : IsTotallyDisconnected (f '' s)


Context:
s : String
p : Char → Bool


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup 𝕜
inst✝¹ : SMulZeroClass 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
c : 𝕜
f : α → β
hfi : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤

∫⁻ (a : α), ↑‖(c • f) a‖₊ ∂μ < ⊤


Context:
α : Type u_1
s t u : Set α
hst : s ⊆ t
htu : t ⊆ u
x : ↑s

Set.inclusion htu (Set.inclusion hst x) = Set.inclusion ⋯ x


Context:
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₁
Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
m₁ : M₁

(CliffordAlgebra.toProd Q₁ Q₂) ((CliffordAlgebra.ι Q₁) m₁ ᵍ⊗ₜ[R] 1) =
  (CliffordAlgebra.ι (QuadraticMap.prod Q₁ Q₂)) (m₁, 0)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s✝ t s : Set α

Context: hs : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε

Context: x₀ : α

Context: hx₀ : x₀ ∈ s


Context: o : Ordinal.{u_1}


Context:
m : Type u → Type v
α ε : Type u
Monad m
x : m α


Context:
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
p : α → Prop

(∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (s ∪ t), p x) ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, p x) ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, p x


Context:
R : Type u_1
CommRing R


Context:
β : Type u_2
γ : Type u_3
LinearOrder β
PartialOrder γ
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
f g : β → γ
hf : StrictMono f
hg : StrictMono g


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: S : C

Context: self : CategoryTheory.PreOneHypercover S

Context: i₁ i₂ : self.I₀

Context: j : self.I₁ i₁ i₂

CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.p₁ j) (self.f i₁) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.p₂ j) (self.f i₂)


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: k : K

Context: n d : R

Context: hd : d ∈ nonZeroDivisors R

Context: hk : k * (algebraMap R K) ↑(n, ⟨d, hd⟩).2 = (algebraMap R K) (n, ⟨d, hd⟩).1

Context: hd' : d ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: e : L

Context: heα : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: he₀ : e ≠ 0

Context: f' : L

Context: hfα : f' ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: hf : ((killingForm K L) e) f' ≠ 0

Context: hef✝ : ⁅e, f'⁆ = ((killingForm K L) e) f' • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))

Context: h : ↥H := ⟨⁅e, f'⁆, ⋯⟩

Context: hh : α h ≠ 0

Context: f : L := (2 * (α h)⁻¹) • f'

Context: hef : ⁅⁅e, f⁆, e⁆ = 2 • e


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : b ∉ map f K
C : ConvexCone ℝ F := ↑↑(map f K)
y : F
hxy : ∀ x ∈ C, 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ
hyb : ⟪y, b⟫_ℝ < 0
x : E
hxK : x ∈ K


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v : V
p : G.Walk u v

(induce {v_1 | v_1 ∈ p.support} G).Connected


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: φ : ℕ → MvPolynomial (idx × ℕ) ℤ

Context: h : ∀ (n : ℕ), (bind₁ φ) (W_ ℤ n) = (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℤ n)) Φ

∀ (n : ℕ), (bind₁ fun k => (map (Int.castRingHom ℚ)) (φ k)) (W_ ℚ n) = (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ n)) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ)


Context: α : Type u_1

Context: MulOneClass α

Context: Preorder α

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c : α

Context: hbc : b < c

Context: ha : a < 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ a : ℝ

Context: ha : a ≠ 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: h : IsIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)

Metric.ball (t₀ / a) (ε / |a|) = {t | t * a ∈ Metric.ball t₀ ε}


Context:
α : Type u_1
KleeneAlgebra α
a b : α
hb : 1 ≤ b


Context: R : Type u1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: d d' : Module.Dual R M

Context: m : CliffordAlgebra Q

Context: x : M

Context: hx : (contractLeft d) ((contractLeft d) m) = 0

(contractLeft d) ((contractLeft d) ((ι Q) x * m)) = 0


Context:
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
s : AList β

AList.extract a s = (AList.lookup a s, AList.erase a s)


Context:
α : Type u_1
DivisionRing α
a : α
n : ℤ
d : ℕ

Mathlib.Meta.NormNum.IsRat a n d → ↑d ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b x : α
hx : x ≤ a ∧ x ≤ -b ∨ -a ≤ x ∧ b ≤ x


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
n : ℕ
hn : n ≠ 0
dvd : n ∣ orderOf x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
h : (s ×ˢ t).Nonempty
st : s.Nonempty ∧ t.Nonempty

s ×ˢ t ⊆ s₁ ×ˢ t₁ ↔ s ⊆ s₁ ∧ t ⊆ t₁ ∨ s = ∅ ∨ t = ∅


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: m' mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: StandardBorelSpace Ω

Context: Nonempty Ω

Context: hm' : m' ≤ mΩ

Context: μ : MeasureTheory.Measure Ω

Context: MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ

Context: Zero β

Context: One β

Context: m : MeasurableSpace β

Context: s : ι → Set Ω

Context: hs : ProbabilityTheory.iCondIndepSet m' hm' s μ

ProbabilityTheory.iCondIndepFun m' hm' (fun _n => m) (fun n => (s n).indicator fun _ω => 1) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
f : r ↪r s
g : t ↪r u

∀ {a b : α × γ}, Prod.Lex s u ({ toFun := Prod.map ⇑f ⇑g, inj' := ⋯ } a) ({ toFun := Prod.map ⇑f ⇑g, inj' := ⋯ } b) ↔ Prod.Lex r t a b


Context:
X : Type u
s : Set X
TopologicalSpace X

IsClosed s ↔ ∀ (x : X), (∃ᶠ (y : X) in 𝓝 x, y ∈ s) → x ∈ s


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
M : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : DivInvMonoid M
inst✝ : SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H K : S
x : M
hx : x ∈ K
n : ℕ


Context:
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H I : OplaxFunctor B C
η θ : F ⟶ G
Γ : η ⟶ θ
ι : G ⟶ H
a b : B
f : a ⟶ b

F.map f ◁ Γ.app b ▷ ι.app b ≫ (α_ (F.map f) (θ.app b) (ι.app b)).inv ≫ θ.naturality f ▷ ι.app b ≫ (α_ (θ.app a) (G.map f) (ι.app b)).hom ≫ θ.app a ◁ ι.naturality f ≫ (α_ (θ.app a) (ι.app a) (H.map f)).inv = (α_ (F.map f) (η.app b) (ι.app b)).inv ≫ η.naturality f ▷ ι.app b ≫ (α_ (η.app a) (G.map f) (ι.app b)).hom ≫ Γ.app a ▷ (G.map f ≫ ι.app b) ≫ θ.app a ◁ ι.naturality f ≫ (α_ (θ.app a) (ι.app a) (H.map f)).inv


Context:
α : Type u_2
SemilatticeInf α
a : α

SupPrime (OrderDual.toDual a) ↔ InfPrime a


Context:
α : Type u_1
l : Filter α
u v : α → ℝ

((fun x => |u x|) =o[l] fun x => |v x|) ↔ u =o[l] v


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
h : IsAdjoinRoot S f
e : S ≃ₐ[R] T
x✝ : R

(algebraMap R T) x✝ = (((↑↑e).comp h.map).comp C) x✝


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α →ₘ[μ] E

f ∈ MeasureTheory.Lp E p μ ↔ MeasureTheory.eLpNorm (↑f) p μ < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: f : β → ℝ≥0

Context: hf : Summable f

Context: g : β → ℝ≥0

Context: hgf : ∀ (b : β), (fun i => ↑(g i)) b ≤ (fun i => ↑(f i)) b


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
E : EllipticCurve R
inst✝ : Invertible 3


Context:
R : Type u
CommRing R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N

ModuleCat.MonoidalCategory.tensorHom (𝟙 (ModuleCat.of R R)) f ≫ (ModuleCat.MonoidalCategory.leftUnitor N).hom =
  (ModuleCat.MonoidalCategory.leftUnitor M).hom ≫ f


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: c : ℂ

Context: R : ℝ

Context: h0 : 0 < R

Context: f : ℂ → E

Context: y : E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R \ {c})

Context: hd : ∀ z ∈ (ball c R \ {c}) \ s, DifferentiableAt ℂ f z

Context: hy : Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 y)

‖(∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹ • f z) - (2 * ↑π * I) • y‖ ≤ 0


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g i : α → ℝ≥0∞
i_meas : Measurable i
hi : i ≤ f * g
A : (fun x => (f x)⁻¹ * i x) ≤ g

∫⁻ (a : α), i a ∂μ ≤ ⨆ (_ : (fun x => (f x)⁻¹ * i x) ≤ g), ∫⁻ (a : α), (fun x => (f x)⁻¹ * i x) a ∂μ.withDensity f


Context:
R : Type u_1
LinearOrderedField R
a b : ℍ[R]

Quaternion.normSq (a / b) = Quaternion.normSq a / Quaternion.normSq b


Context:
α : Type u_1
a b : PosNum

↑a + ↑b + (↑a + ↑b) + 1 = ↑a + ↑a + (↑b + ↑b + 1)


Context: Ω : Type u_1

Context: m' mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: StandardBorelSpace Ω

Context: Nonempty Ω

Context: hm' : m' ≤ mΩ

Context: μ : MeasureTheory.Measure Ω

Context: MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ

Context: s₁ s' : Set (Set Ω)

Context: s₂ : Set (Set Ω)

Context: h₁ : ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' s₁ s' μ

ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' (s₁ ∩ s₂) s' μ


Context:
α : Type ua
UniformSpace α
x : α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Module.Finite R M

Module.support R M = PrimeSpectrum.zeroLocus ↑(Module.annihilator R M)


Context:
α : Type u_1
n : ℕ
xs ys : List α
h : xs.Sublist ys


Context: J : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J

Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: J' : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J'

Context: e : J ≌ J'

Context: CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J C


Context: x : ℝ≥0


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: X Y : C

Context: CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y

Context: b : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y

Context: hb : b.IsBilimit

(hb.isLimit.conePointUniqueUpToIso (CategoryTheory.Limits.BinaryBiproduct.isLimit X Y)).hom =
  CategoryTheory.Limits.biprod.lift b.fst b.snd


Context:
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
ha : 0 < a


Context:
M : Type u_7
CommMonoid M


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : E → F
x : E
y : F

Tendsto f (𝓝 x) (𝓝 y) ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ (x' : E), ‖x' / x‖ < δ → ‖f x' / y‖ < ε


Context:
R : Type u_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0

(n.factorization.prod fun p k => (σ 0) (p ^ k)) = ∏ x ∈ n.primeFactors, (n.factorization x + 1)


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀

Context: inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x✝ y✝ z x y : R


Context:
α : Type u
β : Type v
OmegaCompletePartialOrder α
OmegaCompletePartialOrder β
f g : α →𝒄 β
x y : α
h₁ : f ≤ g
h₂ : x ≤ y


Context:
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
f : α → ℝ
K : ℝ≥0
h : LipschitzOnWith K f s
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: P : (J : Finset ι) → Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)

Context: I J : Finset ι

Context: hP : IsProjectiveMeasureFamily P

Context: S : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)

Context: T : Set ((i : { x // x ∈ J }) → α ↑i)

Context: hT : MeasurableSet T

Context: h_eq : cylinder I S = cylinder J T

Context: hJI : J ⊆ I


Subgroup.normalClosure {⟨finRotate 5, ⋯⟩} = ⊤