Context: G : Type u

Context: inst✝ : Monoid G

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: this : Fact (Nat.Prime p)

Context: h : p ∈ (exponent G).factorization.support

Context: he : 0 < exponent G

Context: g : G

Context: hg : g ^ (exponent G / p) ≠ 1

∃ g, orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: q : Products I

Context: hq : q < (↑l).Tail

Context: this : Inhabited I

List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (term I ho :: ↑q)


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : h₀ ≫ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : S₁.g ≫ h₃ = 0

homologyMap (S₁.nullHomotopic S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃) = 0


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f

∀ (a : M'),
  (IsLocalizedModule.iso S f).symm a = (Equiv.ofBijective ⇑(IsLocalizedModule.fromLocalizedModule S f) ⋯).symm a


Context:
M : Type u_1
AddZeroClass M
S : AddSubmonoid M

AddSubmonoid.map (AddMonoidHom.id M) S = S


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F

‖x - y‖ * ‖x - y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ - 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ * ‖y‖


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
c : CokernelCofork (f - g)


Context:
G : Type u_1
α : Type u_3
MeasurableSpace G
MeasurableSpace α
Group G
MulAction G α
MeasurableSMul G α
c : G

(MeasurableEquiv.smul c).toEquiv = MulAction.toPerm c


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} J

Context: T : CategoryTheory.Comonad C

Context: D : CategoryTheory.Functor J T.Coalgebra

Context: c : CategoryTheory.Limits.Cocone (D.comp T.forget)

Context: t : CategoryTheory.Limits.IsColimit c

(CategoryTheory.Comonad.ForgetCreatesColimits'.coconePoint D c t).a =
  t.desc (CategoryTheory.Comonad.ForgetCreatesColimits'.newCocone D c)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : γ → β
κ : Kernel α β
hf : MeasurableEmbedding f
hκ : ∀ (a : α), (κ a) (Set.range f) = 1
a : α


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
a b : G
h : G

AddCommute (h + a + -h) (h + b + -h) ↔ AddCommute a b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_3

Context: E : Type u_6

Context: MeasurableSpace α

Context: MeasurableSpace β

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: ν : MeasureTheory.Measure β

Context: NormedAddCommGroup E

Context: MeasureTheory.SFinite ν

Context: NormedSpace ℝ E

Context: MeasureTheory.SFinite μ

Context: f : α × β → E

Context: hf : MeasureTheory.Integrable f (μ.prod ν)

∫ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α), ∫ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ


Context:
H : Type u_5
NormedAddCommGroup H
InnerProductSpace ℝ H
y : H
s : Set H

y ∈ s.innerDualCone ↔ ∀ x ∈ s, 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ


Context:
α : Type u_1
R : Type u_3
n : Type u_4
Monoid R
AddMonoid α
DistribMulAction R α
k : R
A : Matrix n n α
ha : A.IsDiag


Context:
α : Type u
Semiring α
Preorder α
a b : α
ZeroLEOneClass α
PosMulMono α
ha : 1 < a
hb : 1 ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace ℝ E

Context: CompleteSpace E

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : α → E

Context: hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → MeasureTheory.IntegrableOn f s μ

Context: hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0

Context: hf : MeasureTheory.FinStronglyMeasurable f (μ.trim hm)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4

LipschitzWith 2 (Subtype.val ∘ fun p => p.1 - p.2)


Context: m n : ℕ


Context: R : Type u

Context: CommRing R

Context: M : ModuleCat R

Context: Module.Flat R ↑M

Context: C : CategoryTheory.ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hC : C.Exact


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)

Context: t u : Set E

Context: h'u : μ u ≠ 0

Context: t_bound : t ⊆ closedBall 0 1

Context: A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)


Context:
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M

LinearIndependent R v ↔ ∀ (i : ι) (a : R), a • v i ∈ Submodule.span R (v '' (Set.univ \ {i})) → a = 0


∀ {α : Type u_1} {s₁ t₁ s₂ t₂ : List α}, s₁ ++ t₁ = s₂ ++ t₂ → t₁.length = t₂.length → s₁ = s₂ ∧ t₁ = t₂


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : NormalSpace Y

Context: f : C(X, ℝ)

Context: t : Set ℝ

Context: e : X → Y

Context: hs : t.OrdConnected

Context: hf : ∀ (x : X), f x ∈ t

Context: hne : t.Nonempty

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: h : ℝ ≃o ↑(Ioo (-1) 1)

Context: F : X →ᵇ ℝ := { toFun := Subtype.val ∘ ⇑h ∘ ⇑f, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }

Context: t' : Set ℝ := Subtype.val ∘ ⇑h '' t

Context: ht_sub : t' ⊆ Ioo (-1) 1


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
AddTorsor G P
x y : P

(Equiv.pointReflection x) y = x -ᵥ y +ᵥ x


Context:
R : Type u
CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
Semiring A
Algebra R A
a₁ a₂ : A
s₁ s₂ : ↥S

LocalizedModule.mk a₁ s₁ * LocalizedModule.mk a₂ s₂ = LocalizedModule.mk (a₁ * a₂) (s₁ * s₂)


Context:
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
F₁ F₂ : W.Localization ⥤ D
τ : W.Q ⋙ F₁ ⟶ W.Q ⋙ F₂

∀ ⦃X Y : W.Localization⦄ (f : X ⟶ Y), F₁.map f ≫ NatTransExtension.app τ Y = NatTransExtension.app τ X ≫ F₂.map f


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: i : ι

Context: h✝ : i ∈ univ


Context:
R : Type u_1
StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
e : M ≃ₗ[R] N
v : M
hv : v ≠ 0

(Module.Ray.map e) (rayOfNeZero R v hv) = rayOfNeZero R (e v) ⋯


Context:
E : Type u_1
F : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
f : E ≃ᵢ F
x : E

f.toRealLinearIsometryEquiv x = f x - f 0


Context:
R : Type u
Ring R
p : R[X]


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : FinEnum α

(List.map (⇑equiv.symm) (List.finRange (card α))).Nodup


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
Nonempty X
MeasurableSpace X
MeasurableSpace.CountablySeparated X
f : α → α
g : α → X
h : QuasiErgodic f μ
hgm : MeasureTheory.NullMeasurable g μ
hg_eq : g ∘ f =ᵐ[μ] g


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: C₄ : Type u_4

Context: C₁₂ : Type u_5

Context: CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C₁

Context: CategoryTheory.Category.{u_8, u_2} C₂

Context: CategoryTheory.Category.{u_9, u_3} C₃

Context: CategoryTheory.Category.{u_10, u_4} C₄

Context: CategoryTheory.Category.{u_11, u_5} C₁₂

Context: F₁₂ : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ C₁₂)

Context: G : CategoryTheory.Functor C₁₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₄)

Context: X₁ : C₁

Context: X₂ : C₂

Context: X₃ : C₃

((CategoryTheory.bifunctorComp₁₂Obj F₁₂ G X₁).obj X₂).obj X₃ = (G.obj ((F₁₂.obj X₁).obj X₂)).obj X₃


Context:
n : Nat
x y : BitVec n

(x - y).toNat = (x.toNat + (2 ^ n - y.toNat)) % 2 ^ n


Context:
M : Type u_1
Mul M
S : Subsemigroup M
s : Set M
hs : s = ↑S


Context: z : ℍ


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
i : ι
a : (i : ι) → α i


Context:
α : Type u_2
OrderedCommGroup α
s : NonemptyInterval α
a : α
ha : a ∈ s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : Field 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : CharZero 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : Ring R

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹² : Algebra 𝕜 R

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: inst✝⁹ : Module Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁸ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower 𝕜 R M

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : TopologicalRing R

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup M

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R M

Context: inst✝ : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M

Context: x : tsze R M

Context: hx : MulOpposite.op x.fst • x.snd = x.fst • x.snd

Context: e : R

Context: h : HasSum (fun n => (expSeries 𝕜 R n) fun x_1 => x.fst) e

HasSum (fun n => (expSeries 𝕜 (tsze R M) n) fun x_1 => x) (inl e + inr (e • x.snd))


Context: x y : ℝ

↑(cos (2 * x)) = ↑(cos x ^ 2 - sin x ^ 2)


Context:
α : Type u
l : List α


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f : ↥A
g : ℝ[X]

(g.toContinuousMapOn (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).comp (↑f).attachBound ∈ A


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
k : A ⟶ S.X₂
hk : k ≫ S.g = 0
inst✝ : S.HasLeftHomology

S.liftCycles k hk ≫ h.cyclesIso.hom = h.liftK k hk


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
self : W.HasRightCalculusOfFractions
X Y : C
φ : W.LeftFraction X Y

∃ ψ, CategoryTheory.CategoryStruct.comp ψ.s φ.f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp ψ.f φ.s


Context:
γ : Type w
LinearOrder γ
s : Set γ
a b : γ
ha : IsLUB s a
hb : b ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}

o.brange f = range (o.familyOfBFamily f)


Context:
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
K : Type w
Field K
Algebra F K
i : E →ₐ[F] K

IntermediateField.map i (perfectClosure F E) ≤ perfectClosure F K


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: t✝ : Finset α

Context: m n✝ : ℕ

Context: m_pos : m > 0

Context: s : Finset α

Context: ih : ∀ t ⊂ s, ∀ {a b : ℕ} {P : Finpartition t}, a * m + b * (m + 1) = t.card → ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b

Context: a b : ℕ

Context: P : Finpartition s

Context: hs : a * m + b * (m + 1) = s.card

Context: hab : 0 < a ∨ 0 < b

Context: n : ℕ := if 0 < a then m else m + 1

Context: hn : n = if 0 < a then m else m + 1

Context: hn₀ : 0 < n

Context: hn₁ : n ≤ m + 1

Context: hn₂ : n ≤ a * m + b * (m + 1)

Context: hn₃ : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = s.card - n

Context: u : Finset α

Context: hu₁ : u ∈ P.parts

Context: hu₂ : m + 1 ≤ u.card

Context: t : Finset α

Context: htu : t ⊆ u

Context: htn : t.card = n

Context: ht : t.Nonempty

Context: hcard : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = (s \ t).card

Context: R : Finpartition (s \ t)

Context: hR₁ : ∀ x ∈ R.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1

Context: hR₂ : ∀ x ∈ (P.avoid t).parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) R.parts).biUnion id).card ≤ m

Context: hR₃ : (filter (fun i => i.card = m + 1) R.parts).card = if 0 < a then b else b - 1

(if ¬0 < a then insert t (filter (fun i => i.card = m + 1) R.parts) else filter (fun i => i.card = m + 1) R.parts).card = b


Context:
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f f₁ g₁ : α₁ → β₁ → Finset γ₁
g f₂ g₂ : α₂ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
c₁ : γ₁

¬∃ a₂ b₂ c₂, a = inr a₂ ∧ b = inr b₂ ∧ inl c₁ = inr c₂ ∧ c₂ ∈ g a₂ b₂


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: n G : Type v

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: α β : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: M : Matrix n n R

Context: p✝ : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)

Context: hM : IsNilpotent M

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: p : R[X] := M.charpolyRev

Context: hp : p - 1 = X * (p /ₘ X)

Context: this : IsNilpotent (p /ₘ X)

Context: aux : (M.charpoly - X ^ Fintype.card n).natDegree ≤ M.charpoly.natDegree

IsNilpotent (M.charpolyRev - reflect M.charpoly.natDegree (X ^ Fintype.card n))


Context:
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X X' : C
f : X ⟶ X'
Y Z : C

f ⊗ 𝟙 (Y ⊗ Z) = (α_ X Y Z).inv ≫ (α_ X Y Z).hom ≫ (f ⊗ 𝟙 Y ⊗ 𝟙 Z)


Context:
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
ExpChar R p
x y : R

(frobenius R p) (x * y) = (frobenius R p) x * (frobenius R p) y


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
∀ (i : ι), Nonempty (α i)


Context:
R : Type u
S : Type u_1
Ring R
Ring S
IsPrincipalIdealRing R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
g : Fin (n + 1) → G

(A.ρ (g 0)) (f fun i => g i.succ) + ∑ j : Fin (n + 1), (-1) ^ (↑j + 1) • f (j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g) = (A.ρ (g 0)) (f fun i => (Fin.partialProd g i.castSucc.castSucc * g i.castSucc)⁻¹ * (Fin.partialProd g i.succ.castSucc * g i.succ)) + ∑ i : Fin (n + 1), ((diagonalHomEquiv n A).symm f).hom ((-1) ^ ↑i.succ • Finsupp.single (Fin.partialProd g ∘ i.succ.succAbove) 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: MeasurableSpace α

Context: MeasurableSpace β

Context: MeasurableSpace γ

Context: f : α → γ

Context: g : β → γ

Context: μ : autoParam (MeasureTheory.Measure α) _auto✝

Context: ν : autoParam (MeasureTheory.Measure β) _auto✝¹

Context: self : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν


Context:
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
a : ↥⊤


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
OrderTop α
s : Finset β
f : β → αᵒᵈ

OrderDual.ofDual (s.sup f) = s.inf (⇑OrderDual.ofDual ∘ f)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
π : Perm α
hτ : (π * σ * π⁻¹).IsCycle
h : IsConj σ (π * σ * π⁻¹)
b : α
hb : b ∈ (π * σ * π⁻¹).support


Context:
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
a b : α
h : normalize a = a


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →*₀ F
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hsum : Summable fun x => ‖f x‖


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : Function.Injective f
hf' : Continuous f
T1Space Y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ

(map f μ).toOuterMeasure = ((OuterMeasure.map f) μ.toOuterMeasure).trim


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: DecidableEq α

Context: Semiring R

Context: x : α → R

Context: s : Finset α

Context: hc : (↑s).Pairwise fun i j => Commute (x i) (x j)

Context: n : ℕ

s.sum x ^ n = ∑ k : { x // x ∈ s.sym n }, ↑(↑↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l : List α

Context: y : α

Context: hl : l.Nodup

Context: h✝ : (y :: l).getLast ⋯ ∈ l

Context: h : (y :: l).getLast ⋯ ∈ y :: l

Context: hy : (y :: l).getLast ⋯ ≠ y

Context: H : (y :: l).getLast ⋯ ∈ (y :: l).dropLast

Context: k : ℕ

Context: hk : k + 1 < (y :: l).dropLast.length

Context: hk' : (y :: l).dropLast.get ⟨k + 1, hk⟩ = (y :: l).getLast ⋯


Context:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hsf : s.Finite
h : ⋯.toFinset.card = hsf.toFinset.card


Context:
α : Type u
β : Type v
f : Filter β

(Filter.comap Prod.snd f).NeBot ↔ Nonempty α ∧ f.NeBot


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝² : MulOneClass α
inst✝¹ : MulOneClass β
f : α → β
hf : IsMonoidHom f
γ : Type u_1
inst✝ : MulOneClass γ
g : β → γ
hg : IsMonoidHom g


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S✝
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T
F : Type u_1
inst✝¹ : FunLike F R S✝
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝
ι : Sort u_2
hι : Nonempty ι
S : ι → NonUnitalSubsemiring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R


Context:
G : Type u
inst✝ : Group G

⇑(closureCommutatorRepresentatives G).subtype '' commutatorSet ↥(closureCommutatorRepresentatives G) ⊆ commutatorSet G


Context: G : Type u

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Finite G

Context: val✝ : Fintype G

Context: n : ℕ

Context: ι : Type

Context: fι : Fintype ι

Context: p : ι → ℕ

Context: hp : ∀ (i : ι), Nat.Prime (p i)

Context: e : ι → ℕ

Context: f : G ≃+ (Fin n →₀ ℤ) × ⨁ (i : ι), ZMod (p i ^ e i)

∃ ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Nat.Prime (p i)), ∃ e, Nonempty (G ≃+ ⨁ (i : ι), ZMod (p i ^ e i))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: hI : I.IsMaximal

Context: hI' : I ≠ ⊥

Context: hx : comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤

Context: hx' : _root_.IsIntegral R x

Context: J : Ideal S

Context: hJ : J ∈ normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R S) I)

Context: this : ↑(Multiset.count (normalize J) (normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R S) I))) = multiplicity (↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx') ⟨J, hJ⟩)) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))

Irreducible ↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx') ⟨J, hJ⟩)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra R K

Context: inst✝³ : IsFractionRing R K

Context: inst✝² : IsNoetherianRing R

Context: inst✝¹ : LocalRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: h : ¬IsField R

Context: this✝ : finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1 ↔ finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1

Context: this : maximalIdeal R ≠ ⊥

DiscreteValuationRing R ↔ IsPrincipalIdealRing R


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
IsAsymm α r


Context:
α : Type u_1
One α
Pow α ℤ
a : α
n : ℤ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
x y : E

openSegment 𝕜 x y = ⇑(AffineMap.lineMap x y) '' Set.Ioo 0 1


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁

Context: CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂

Context: W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁

Context: W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂

Context: Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: X₂ : C₂ᵒᵖ

Context: R : (Φ.op.RightResolution X₂)ᵒᵖ

(CategoryTheory.LocalizerMorphism.RightResolution.unopFunctor Φ X₂).obj R = (Opposite.unop R).unop


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Mono f

(CategoryTheory.Limits.pullbackSymmetry f f).hom = 𝟙 (CategoryTheory.Limits.pullback f f)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_3
F' : Type u_7
Norm E
SeminormedAddCommGroup F'
f : α → E
g' : α → F'
l : Filter α


Context: r : ℝ≥0


Context: n m : ℕ


Context:
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
n : ℕ
a : E

‖n • a‖ ≤ ↑n * ‖a‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: c : 𝕜

Context: 𝕜' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedField 𝕜'

Context: inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' E

Context: inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E

Context: inst✝ : Nontrivial E

Context: N : ℝ

Context: x✝ : N ≥ 0

Context: h : ∀ (x : 𝕜'), ‖(lsmul 𝕜 𝕜') x‖ ≤ N * ‖x‖

Context: y : E

Context: hy : y ≠ 0

Context: this : ‖((lsmul 𝕜 𝕜') 1) y‖ ≤ N * ‖1‖ * ‖y‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
D : Set β

((∀ (x : Set α), M.Indep x → ¬D = f '' x) ∧ ∃ u ⊆ M.E, f '' u = D) ↔ ∃ D₀, (¬M.Indep D₀ ∧ D₀ ⊆ M.E) ∧ D = f '' D₀


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f


Context:
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
TopologicalSpace α
f : α → E

Continuous f → Continuous fun x => ‖f x‖


Context:
m : ℕ
h : 2 ≤ 2 + m


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s

vectorSpan k s = Submodule.span k ((fun x => p -ᵥ x) '' s)


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
NonAssocSemiring α
Preorder α
NonAssocSemiring β
Preorder β
f : α ≃+*o β


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝² : PreGaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝¹ : FiberFunctor F

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : Mono f

Context: h : Nat.card ↑(F.obj X) = Nat.card ↑(F.obj Y)


Context: θ : ℝ

(↑θ).toReal = θ - 2 * π ↔ θ ∈ Set.Ioc π (3 * π)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_4

Context: N' : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : AddCommGroup N'

Context: inst✝¹ : Module R N'

Context: S : Submonoid R

Context: f : N →ₗ[R] N'

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S f

Context: g : M →ₗ[R] N'

Context: σ : Finset M

Context: hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤

Context: τ : Finset ({ x // x ∈ σ } →₀ R)

Context: hτ : Submodule.span R ↑τ = LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ σ } M R Subtype.val)

Context: π : ({ x // x ∈ σ } →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total { x // x ∈ σ } M R Subtype.val

Context: hπ : Function.Surjective ⇑π


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝ : Finite α

Context: f : (i : α) → E i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
s : Set β

MeasurableSet (Sum.inr '' s) ↔ MeasurableSet s


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : V →ₗ[K] V
hinj : Injective ⇑f
h : finrank K ↥(range f) = finrank K V


Context:
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
Add A
Add B
Mul A
Mul B
SMul R A
SMul R B
Star A
Star B
e : A ≃⋆ₐ[R] B


Context: ι : Type u

Context: f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: a : Ordinal.{max u v}

Context: b : Ordinal.{max v u}

Ordinal.nfpFamily f a ≤ b ↔ ∀ (l : List ι), List.foldr f a l ≤ b


Context:
n : ℕ
hn : 1 < n
w z : ℂ


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : ℕ → C
f : (n : ℕ) → X n ⟶ X (n + 1)
n : ℕ

(CategoryTheory.Functor.ofSequence f).map (CategoryTheory.homOfLE ⋯) = f n


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z✝ : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : dist x y ≤ ε₂ - ε₁
z : α
zx : z ∈ ball x ε₁


Context:
l m r : List Char
c : Char
s : Substring

Substring.ValidFor l m r s → (s.contains c = true ↔ c ∈ m)


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C

[CategoryTheory.Epi f, CategoryTheory.Limits.cokernel.π f = 0, (CategoryTheory.ShortComplex.mk f 0 ⋯).Exact].TFAE


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q
x : E
this✝ : ExpChar E q
this : ExpChar E[X] q

(minpoly F x).natSepDegree = 1 ↔ ∃ n, Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x) = (X - C x) ^ q ^ n


∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, 0 ≤ 1 + AkraBazziRecurrence.smoothingFn ↑n


Context:
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : J ⥤ C
j : J

(λ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ 𝟙 (limit X)) ≫ (λ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j


Context: X : TopCat

∀ (X_1 Y : Opens ↑((toTopCat X).obj ⊤)) (f : X_1 ⟶ Y), ⋯.functor.map f = eqToHom ⋯ ≫ (map (inclusionTopIso X).inv).map f ≫ eqToHom ⋯


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M

LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap (LinearMap.dualProd R M) = 2 • QuadraticForm.dualProd R M


Context:
X : Type u
TopologicalSpace X
p : X → Prop

interior {x | p x} = {x | ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, p y}


Context:
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
hu₀ : 0 < u - ⌊ξ⌋ * v
huv : u - ⌊ξ⌋ * v < v
hξ₀ : 0 < fract ξ

|(fract ξ)⁻¹ - ↑v / (↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v)| < ((↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v) * (2 * (↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v) - 1))⁻¹


Context:
α : Type u_1
Preorder α
t : Ordnode α
x : α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
H : Ordnode.Valid' o₁ t o₂
h₁ : Ordnode.nil.Bounded (↑x) o₂
h₂ : Ordnode.All (fun x_1 => x_1 > x) t


Context:
x y : ℂ
hre : |x.re| ≤ |y.re|
him : |x.im| ≤ |y.im|


Context: ι : Type u_1

Context: ι₂ : Type u_2

Context: ι₃ : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: R₁ : Type u_5

Context: R₂ : Type u_6

Context: s : ι → Type u_7

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)

Context: M : Type u_8

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: E : Type u_9

Context: inst✝² : AddCommMonoid E

Context: inst✝¹ : Module R E

Context: F : Type u_10

Context: inst✝ : AddCommMonoid F

Context: motive : (⨂[R] (i : ι), s i) → Prop

Context: z : ⨂[R] (i : ι), s i

Context: smul_tprod : ∀ (r : R) (f : (i : ι) → s i), motive (r • (tprod R) f)

Context: add : ∀ (x y : ⨂[R] (i : ι), s i), motive x → motive y → motive (x + y)


Context:
R : Type u_2
Semiring R
f : HahnSeries ℕ R
n : ℕ

(PowerSeries.coeff R n) (HahnSeries.toPowerSeries f) = f.coeff n


Context:
α : Type u
β : Type v
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
f : α →. β

Filter.PTendsto f l₁ l₂ ↔ Filter.RTendsto f.graph' l₁ l₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : Ring α
h : Periodic f c
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
LE α
s : LowerSet α


Context:
α : Type u_1
p : α → Prop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ν
h : ¬μ ⟂ₘ ν

∃ ε,
  0 < ε ∧
    ∃ E,
      MeasurableSet E ∧
        0 < ν E ∧
          MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0 E ≤
            MeasureTheory.VectorMeasure.restrict (μ.toSignedMeasure - (ε • ν).toSignedMeasure) E


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
PreconnectedSpace X
Nonempty Y
f : LocallyConstant X Y


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Semiring R

Context: TopologicalSpace F

Context: TopologicalSpace B

Context: AddCommMonoid F

Context: Module R F

Context: (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: (x : B) → Module R (E x)

Context: e : Pretrivialization F Bundle.TotalSpace.proj

Context: Pretrivialization.IsLinear R e

Context: b : B

⇑(Pretrivialization.linearMapAt R e b) = fun y => if b ∈ e.baseSet then (↑e { proj := b, snd := y }).2 else 0


Context:
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f

Filter.Tendsto f (Filter.cocompact X) (Filter.cocompact Y)


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ F

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace F

Context: inst✝ : BorelSpace F

Context: b : OrthonormalBasis ι ℝ F

Context: this : Fact (finrank ℝ F = finrank ℝ F)

Context: o : Orientation ℝ F (Fin (finrank ℝ F)) := (stdOrthonormalBasis ℝ F).toBasis.orientation


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: hd : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] c, DifferentiableAt ℂ f z

Context: R : ℝ≥0

Context: hR0 : 0 < ↑R

Context: hRs : closedBall c ↑R ∩ {c}ᶜ ⊆ {x | (fun z => DifferentiableAt ℂ f z) x}

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c ↑R)


Context:
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
d : Module.Dual R M
a : M

∀ (a_1 : CliffordAlgebra Q × CliffordAlgebra Q),
  ((CliffordAlgebra.contractLeftAux Q d) a) a_1 = d a • a_1.1 - (CliffordAlgebra.ι Q) a * a_1.2


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
t : (i : ι) → Set (α i)


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
IsEmpty V


Context:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E


Context:
M : Type u_1
MulOneClass M


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hf : ConvexOn 𝕜 s f

Context: x y z : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: hz : z ∈ s

Context: hxy : 0 < y - x

Context: hyz : 0 < z - y

Context: hxz : 0 < z - x

Context: a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)

Context: b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)

Context: hy : a • x + b • z = y

Context: key : f (a • x + b • z) ≤ a • f x + b • f z


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Invertible ↑p

Context: n : ℕ

Context: IH : ∀ m < n, constantCoeff (xInTermsOfW p R m) = 0

⅟↑p ^ n * ∑ x ∈ range n, constantCoeff (C (↑p ^ x) * xInTermsOfW p R x ^ p ^ (n - x)) = 0


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : AddHom M N
S : AddSubsemigroup M
x : M
hx : x ∈ S


Context:
α : Type u_4
s : Finset α
hs : s.Nonempty

∃ t a, ∃ (ha : a ∉ t), Finset.cons a t ha = s


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: htwo : ¬p ^ (k + 1) = 2

Context: this : NumberField K


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
h : G ⊣ F
X' : Cᵒᵖ
X Y : Dᵒᵖ
f : F.op.obj X' ⟶ X
g : X ⟶ Y

((h.homEquiv (Opposite.unop Y) (Opposite.unop X')).symm (g.unop ≫ f.unop)).op = ((h.homEquiv (Opposite.unop X) (Opposite.unop X')).symm f.unop).op ≫ (G.map g.unop).op


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β → γ → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable (Function.uncurry f)

Context: F : ℕ → SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞ := SimpleFunc.eapprox (Function.uncurry f)

Context: h : ∀ (a : β) (b : γ), ⨆ n, ↑(F n) (a, b) = f a b

Context: h_mono : Monotone F

Context: this : ∀ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ⨆ n, ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b) = ⨆ n, ∫⁻ (c : γ), ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b)

Context: h_some_meas_integral : ∀ (f' : SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞), Measurable fun b => ∫⁻ (c : γ), ↑f' (b, c) ∂η (a, b)

Context: n : ℕ

∫⁻ (a : β × γ), ↑(F n) a ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (a_1 : β), ∫⁻ (c : γ), ↑(F n) (a_1, c) ∂η (a, a_1) ∂κ a


Context:
α : Type u_1
R : α → α → Prop
DecidableRel R


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: f : ↥(MeasureTheory.Lp ℂ 2 AddCircle.haarAddCircle)

HasSum (fun i => fourierCoeff (↑↑f) i • fourierLp 2 i) f


Context:
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
X Y : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X Y
inst✝ : PreservesBinaryBiproduct X Y F
W : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y

lift (F.map f) (F.map g) ≫ (F.mapBiprod X Y).inv = F.map (lift f g)


Context:
n : ℕ
NeZero n
h : ¬1 = Fin.last (n + 1) := ⋯


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
i : ℤ


Context: σ : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: f : MvPowerSeries σ R

Context: m : ℕ

Context: hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : m + d.degree ≤ n

Context: k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ

Context: hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n

Context: s : Finset ℕ := Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)

Context: hs_def : s = Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)

Context: hs : s ⊆ range n

Context: hs' : ∀ i ∈ s, (coeff R (k i)) f = (constantCoeff σ R) f

Context: hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommSemiring R
AddCommMonoid A
AddCommMonoid B
Module R A
Module R B
CoalgebraStruct R A
CoalgebraStruct R B
e : A ≃ₗc[R] B
x x' : A


Context:
α : Type u_1
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
hm₂ : m₂ ≤ m
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim ⋯)


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
s : Set X
hs : IsOpen s
s' : Set X
hs' : IsOpen s'

(ofSet s hs).trans (ofSet s' hs') = ofSet (s ∩ s') ⋯


Context:
α β : Type u
ι : Type v
f : ι → Cardinal.{w}
hf : BddAbove (range f)
t : Cardinal.{max u w}

lift.{u, w} (iSup f) ≤ t ↔ ∀ (i : ι), lift.{u, w} (f i) ≤ t


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
Algebra R A

↑(ContinuousAlgHom.id R A) = AlgHom.id R A


Context: α : Type u_1


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
hx : AlgebraicIndependent R x

(MvPolynomial.aeval x).comp hx.repr = (Algebra.adjoin R (Set.range x)).val


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
f' g' : E →L[ℂ] ℂ
x : E
s : Set E
c : ℂ
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hg : HasFDerivWithinAt g g' s x
h0 : f x ∈ slitPlane

HasFDerivWithinAt (fun x => f x ^ g x) ((g x * f x ^ (g x - 1)) • f' + (f x ^ g x * Complex.log (f x)) • g') s x


Context: T : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} T

Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X✝ Y✝ : Arrow C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: w : f.left ≫ Y✝.hom = X✝.hom ≫ f.right := f.w

(𝟭 D).map (F.map f.left) ≫ ((fun a => { left := F.obj a.left, right := F.obj a.right, hom := F.map a.hom }) Y✝).hom = ((fun a => { left := F.obj a.left, right := F.obj a.right, hom := F.map a.hom }) X✝).hom ≫ (𝟭 D).map (F.map f.right)


Context:
A : Type u_1
Add A
e₁ e₂ : AddAut A

⇑(e₁ * e₂) = ⇑e₁ ∘ ⇑e₂


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: x : ℕ → β

Context: hx : x ∈ (inducedMap A).fst

Context: y : ℕ → β

Context: hy : y ∈ (inducedMap A).fst

Context: hxy : (inducedMap A).snd ⟨x, hx⟩ = (inducedMap A).snd ⟨y, hy⟩

Context: n : ℕ

Context: ih : res x n = res y n

Context: hA : ¬x n = y n


Context:
α : Type u_1
a : αᵒᵈ

OrderDual.toDual (OrderDual.ofDual a) = a


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: I : Ideal (MvPolynomial σ R)

Context: p : MvPolynomial σ R

Context: hcoe : ∀ (m : σ →₀ ℕ), coeff m p ∈ Ideal.comap C I


Context:
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
L'.Structure M
φ : L →ᴸ L'
φ.IsExpansionOn M
t : L.Term α
v : α → M

FirstOrder.Language.Term.realize v (φ.onTerm t) = FirstOrder.Language.Term.realize v t


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootSystem ι R M N
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
P₁ P₂ : RootSystem ι R M N
he : P₁.toLin = P₂.toLin
hr : P₁.root = P₂.root
i : ι

MapsTo (⇑(preReflection (P₁.root i) (P₁.toLin.flip (P₂.coroot i)))) (range ⇑P₁.root) (range ⇑P₁.root)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β
hab : 0 ≤ a • b


Context:
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
s : Set α
x : α
h : IsGreatest s x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ : 𝕜
hμ : HasEigenvalue T μ
v : E
hv₁ : T v = μ • v
hv₂ : v ≠ 0


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : MeasureTheory.Measure Ω

Context: MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ

Context: ι : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: LinearOrder ι

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: NormedAddCommGroup β

Context: BorelSpace β

Context: f : ι → Ω → β

Context: i j : ι

Context: SecondCountableTopology β

Context: CompleteSpace β

Context: NormedSpace ℝ β

Context: hf : ∀ (i : ι), MeasureTheory.StronglyMeasurable (f i)

Context: hfi : ProbabilityTheory.iIndepFun (fun x => mβ) f μ

Context: hij : i < j

μ[f j|↑(MeasureTheory.Filtration.natural f hf) i] =ᵐ[μ] fun x => ∫ (x : Ω), f j x ∂μ


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasRightHomology
inst✝ : S₂.HasRightHomology
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : h₀ ≫ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : S₁.g ≫ h₃ = 0

rightHomologyMap (S₁.nullHomotopic S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃) = 0


Context:
s : Set Ordinal.{u}
a✝ : Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u_1}


Context:
R S : CommRingCat
φ : R ⟶ S

AlgebraicGeometry.Spec.preimage (AlgebraicGeometry.Spec.map φ) = φ


Context:
α : Type u
f : Filter α
a : α
hf : f.NeBot


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

((setToL1 hT + setToL1 hT').comp (coeToLp α E ℝ)) f = (setToL1SCLM α E μ ⋯) f


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
a✝ : Rˣ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hgcd_ne_zero : x.gcd y ≠ 0
hlcm_ne_zero : x.lcm y ≠ 0


Context: x x' : SetTheory.PGame


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α


Context:
R : Type u_3
A : Type u_4
Semifield R
Ring A
Algebra R A
a : A
x : R

x ∈ quasispectrum R a ↔ x = 0 ∨ x ∈ spectrum R a


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
s : Finset S₂
p : S₂ → MvPolynomial σ R

MvPolynomial.eval₂ f g (∑ x ∈ s, p x) = ∑ x ∈ s, MvPolynomial.eval₂ f g (p x)


Context:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
𝕜' : Type u_13
NormedField 𝕜
SeminormedRing 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
NormOneClass 𝕜'
AddCommGroup E
Module 𝕜' E
SMul 𝕜 E
IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
p : Seminorm 𝕜' E

(Seminorm.restrictScalars 𝕜 p).closedBall = p.closedBall


Context:
n : ℕ
z : ℂ
hz : 1 + z ∈ slitPlane
hz' : -z ≠ 1

(-z) ^ n * (1 + z)⁻¹ = (1 + z)⁻¹ - ∑ j ∈ Finset.range n, (-1) ^ j * z ^ j


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)

‖f‖ = ∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
f : ℝ → E
MeasureTheory.NoAtoms μ
h_int : MeasureTheory.Integrable f μ
a : ℝ

Continuous fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e e' : PartialHomeomorph M H

Context: f f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: mono : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, t ⊆ s → P f s x → P f t x

Context: h : LiftProp P g


Context: m k n : Nat


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C
hμ : NeZero μ
hp : ¬p = 0
this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖↑C‖₊

eLpNorm f p μ ≤ C • μ Set.univ ^ p.toReal⁻¹


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
hμ : f.HasEigenvalue μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: w : Set ℝ≥0∞

Context: w_count : w.Countable

Context: w_dense : Dense w

Context: left✝ : 0 ∉ w

Context: w_top : ⊤ ∉ w

Context: I : ∀ x ∈ w, x ≠ ⊤

Context: A : ∀ c ∈ w, ∀ d ∈ w, c < d → ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ¬((∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a / μ a < c) ∧ ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, d < ρ a / μ a)

∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ c, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 c)


Context: a : ℝ

ContinuousOn (fun x => jacobiTheta₂' (↑a) (I * ↑x) / (-2 * ↑π)) (Ioi 0)


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_6
β' : Type u_7
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
f : Ω → β
g : Ω → β'
_mβ : MeasurableSpace β
_mβ' : MeasurableSpace β'
Neg β
MeasurableNeg β
hfg : ProbabilityTheory.IndepFun f g μ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
x : E

AnalyticWithinAt 𝕜 f univ x ↔ AnalyticAt 𝕜 f x


Context:
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
cut : α → Ordering
f : α → α
t : RBSet α cmp

(∀ {x : α}, (zoom cut t.val).fst.root? = some x → cmpEq cmp (f x) x) → OnRoot (fun x => cmpEq cmp (f x) x) (zoom cut t.val).fst


Context: α : Type u_1

Context: CompleteLattice α

Context: AddGroup α

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Set α


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: c : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: a : ℝ

Context: h0 : 0 < rexp a

Context: b : ℝ

Context: hle : a ≤ b

Context: hd : ∀ z ∈ (ball c (rexp b) \ closedBall c (rexp a)) \ s, DifferentiableAt ℂ f z

Context: A : Set ℂ := closedBall c (rexp b) \ ball c (rexp a)

Context: hc : ContinuousOn f A

Context: R : Set ℂ := [[a, b]] ×ℂ [[0, 2 * π]]

Context: g : ℂ → ℂ := fun x => c + cexp x

Context: hdg : Differentiable ℂ g

∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, I • f (circleMap c (rexp b) θ) = ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, I • f (circleMap c (rexp a) θ)


Context:
G : Type u_1
GroupWithZero G
a : G
ha : a ≠ 0

⇑(Equiv.symm (Equiv.mulRight₀ a ha)) = fun x => x * a⁻¹


Context:
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x y : α


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : SemilatticeSup B

Context: inst✝¹⁰ : OrderBot B

Context: inst✝⁹ : SemilatticeInf T

Context: inst✝⁸ : OrderTop T

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid B

Context: inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : AddCommMonoid T

Context: inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: degb : A → B

Context: degt : A → T

Context: degb0 : degb 0 ≤ 0

Context: degbm : ∀ (a b : A), degb (a + b) ≤ degb a + degb b

Context: a✝ : List R[A]

(Multiset.prod (Quot.mk Setoid.r a✝)).support.sup degb ≤ (Multiset.map (fun f => f.support.sup degb) (Quot.mk Setoid.r a✝)).sum


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
x : E
s t : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
ht : StarConvex 𝕜 x t


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
M : ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_bdd : f ≤ᶠ[ae μ] fun x => M

∫ (ω : α), f ω ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 M, (μ {a | t ≤ f a}).toReal


(𝓝 ⊤).HasBasis (fun x => True) fun x => Set.Ioi ↑x


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
HasContDiffBump E
MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
μ : MeasureTheory.Measure E
x : E


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
h : a ≤ b


Context:
r : ℝ≥0
b : ℝ≥0∞

Filter.Tendsto (fun b => ↑r - b) (𝓝 b) (𝓝 (↑r - b))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
I.Boundaryless
x : M


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

Context: F : CategoryTheory.Functor C D

Context: d : D

Context: X : (CategoryTheory.CostructuredArrow F.op (Opposite.op d))ᵒᵖ

(CategoryTheory.CostructuredArrow.toStructuredArrow' F d).obj X =
  CategoryTheory.StructuredArrow.mk (Opposite.unop X).hom.unop


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.ConcreteCategory C

Context: X₁ X₂ S : C

Context: f₁ : X₁ ⟶ S

Context: f₂ : X₂ ⟶ S

Context: CategoryTheory.Limits.HasPullback f₁ f₂

Context: CategoryTheory.Limits.PreservesLimit (CategoryTheory.Limits.cospan f₁ f₂) (CategoryTheory.forget C)

Context: x₁ : (CategoryTheory.forget C).obj X₁

Context: x₂ : (CategoryTheory.forget C).obj X₂

Context: h : f₁ x₁ = f₂ x₂

(CategoryTheory.Limits.pullback.fst f₁ f₂) (CategoryTheory.Limits.Concrete.pullbackMk f₁ f₂ x₁ x₂ h) = x₁


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ F = n + 1)

Context: x : Fin (n + 1) → F

Context: e : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o

Context: he : e.toBasis.orientation = o

((map (Fin (n + 1)) φ.toLinearEquiv) o).volumeForm x = o.volumeForm (⇑φ.symm ∘ x)


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R'

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R R'

Context: inst✝ : Algebra S S'

Context: I J : Ideal R

Context: h : ∀ (P : Ideal R) (hP : P.IsMaximal), map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) I ≤ map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) J

Context: x : R

Context: hx : x ∈ I


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
f' : E →L[𝕜] G

HasFDerivWithinAt (f ∘ ⇑iso) f' (⇑iso ⁻¹' s) x ↔ HasFDerivWithinAt f (f'.comp ↑iso.symm) s (iso x)


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
NonAssocSemiring α
Preorder α
NonAssocSemiring β
Preorder β
f : α ≃+*o β


Context:
α : Type u
f : Filter α
hf : f.NeBot
s : Set α
hs : s ∈ f


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V


Context: a : Int


Context:
α : Type u_1
Max α
n : Nat
a : α
w : max a a = a
h : 0 < n


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
A X : C
inst✝ : IsConnected A
a : ↑(F.obj A)
f g : A ⟶ X
h : F.map f a = F.map g a
this : IsIso (equalizer.ι f g)


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: DivisionRing k

Context: AddCommGroup V

Context: Module k V

Context: FiniteDimensional k V

Context: n : ℕ

Context: T : Affine.Simplex k V n

Context: hrank : FiniteDimensional.finrank k V = n


Context:
α : Type u_1
s t : Set α


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝¹ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝¹ k
inst✝ : IsDomain R
ζ✝ : R
n : ℕ+
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hζ : ↑ζ = ζ✝


Context: X : AlgebraicGeometry.Scheme

Context: s : Set ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op ⊤))

⇑(AlgebraicGeometry.ΓSpec.adjunction.unit.app X).val.base ⁻¹' PrimeSpectrum.zeroLocus s = X.zeroLocus s


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S N
f : M → N
s : S
x y : M


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
ι : Type u_9
s : Set ι
p : ι → Submodule R₂ M₂
hp : ⨆ i ∈ s, p i = ⊤
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
hf : Surjective ⇑f
k : ι
hk : k ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Mul α

Context: Preorder α

Context: Preorder β

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: f g : β → α

Context: hf : Antitone f

Context: hg : StrictAnti g


Context:
α : Type u_1
self : Matroid α
B : Set α


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
α : Type u_4
f : M →ₗ[R] α →₀ R
s : Function.Surjective ⇑f

f ∘ₗ f.splittingOfFinsuppSurjective s = LinearMap.id


Context:
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : IsCyclic α


Context:
P : Type u_1
Preorder P
F : Order.PFilter P


Context:
R : Type u_1
M : Type u
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
HasRankNullity.{u, u_1} R
N : Submodule R M
h : Module.rank R ↥N < Module.rank R M


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℂ E H

Context: inst✝⁴ : I.Boundaryless

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : CompactSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: f : M → F

Context: c : M

Context: hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c

Context: e : PartialEquiv M E := extChartAt I c

Context: hI : range ↑I = univ

Context: H₁ : 𝓝[range ↑I] ↑e c = 𝓝 (↑e c)

Context: H₂ : map (↑e.symm) (𝓝 (↑e c)) = 𝓝 c

Context: hd : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 (↑e c), DifferentiableAt ℂ (f ∘ ↑e.symm) y


Context:
α : Type u_1
Monoid α
x y z : α


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
AddGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α

(Finset.addETransformLeft e x).2 = x.2 ∪ (-e +ᵥ x.2)


Context:
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Ring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
h : (x - y) ^ n = 0


Context:
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
inst✝ : HasZeroObject V
C : ChainComplex V ℕ
X : V
f : { f // C.d 1 0 ≫ f = 0 }
i : ℕ
hi : (ComplexShape.down ℕ).Rel i 0


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
a b : E
r : k
h : 0 < r


Context: X : Type u_1

Context: E : Type u_3

Context: MeasurableSpace X

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace ℝ E

Context: f : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ : MeasureTheory.Measure X

Context: hts : s ⊆ t

Context: h't : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0

Context: haux : MeasureTheory.StronglyMeasurable f

Context: h'aux : MeasureTheory.IntegrableOn f t μ

∫ (x : X) in t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]

Polynomial.eval₂ f x p = p.sum fun e a => f a * x ^ e


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
B : Matrix n o R


Context:
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2


Context:
R : Type u_1
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ


Context:
R : Type u
CommRing R
X Y : QuadraticModuleCat R
i : X ≅ Y
a : ↑Y.toModuleCat

i.toIsometryEquiv.invFun a = i.inv.toIsometry a


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace α✝

Context: α : Type u_2

Context: f : Filter α

Context: u v : α → EReal

Context: a b : EReal

Context: h' : limsup (-(u + v)) f = limsup (-u + -v) f

Context: hu : ¬limsup (-u) f = ⊤

Context: hv : ¬limsup (-v) f = ⊤

limsup (-(u + v)) f ≤ limsup (-u) f + limsup (-v) f


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : ↥R⁰
m n : R_hat R K

Algebra.toRingHom m * Algebra.toRingHom n * (Algebra.toRingHom ↑↑r * ↑↑r) = Algebra.toRingHom m * Algebra.toRingHom n * (↑↑r * ↑↑r)


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r✝ : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : ι → ℝ
r : ℝ
hr : 0 < r
h✝ : Nonempty ι

dimH (Metric.ball x r) = ↑(Fintype.card ι)


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
b : β
hb : b ∉ s

(Finset.cons b s hb).sup' ⋯ f = f b ⊔ s.sup' H f


Context: m n : ℕ∞

↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n


Context:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a✝ x y : E
h : ∃ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + t • y ∈ s
a : ℕ → ℝ
ha : Tendsto a atTop (𝓝[>] 0)
has : ∀ (n : ℕ), x + a n • y ∈ s

(fun x => y) =ᶠ[atTop] fun n => a⁻¹ n • (fun x => a x • y) n


LinearMap.det Complex.conjAe.toLinearMap = -1


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁✝ J₂✝ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x✝ x : ι → ℝ

Context: J₁ : Box ι

Context: h₁ : J₁ ∈ π

Context: hx₁ : x ∈ Box.Icc J₁

Context: J₂ : Box ι

Context: h₂ : J₂ ∈ π

Context: hx₂ : x ∈ Box.Icc J₂

Context: i : ι

Context: H : ∀ (x_1 : ι), J₁.lower x_1 = x x_1 ↔ J₂.lower x_1 = x x_1

Context: hi₁ : J₁.lower i < x i

(Set.Ioc (J₁.lower i) (J₁.upper i) ∩ Set.Ioc (J₂.lower i) (J₂.upper i)).Nonempty


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
A B : Set E
hAB : IsExtreme 𝕜 A B

Set.extremePoints 𝕜 B = B ∩ Set.extremePoints 𝕜 A


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: a b c d✝ : α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : PosMulMono α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: h : b ≤ a

Context: hc : c ≤ 0

Context: d : α

Context: hcd : 0 = c + d


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: CommRing R

Context: CommRing S

Context: Algebra R S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: CommRing Rₘ

Context: Algebra R Rₘ

Context: CommRing Sₘ

Context: Algebra S Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: IsLocalization M Rₘ

Context: IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ

Context: Algebra Rₘ Sₘ

Context: Algebra R Sₘ

Context: IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: IsScalarTower R S Sₘ

Context: ι : Type u_5

Context: Fintype ι

Context: DecidableEq ι

Context: b : Basis ι R S

Context: a : S

(algebraMap R Rₘ).mapMatrix ((Algebra.leftMulMatrix b) a) =
  (Algebra.leftMulMatrix (Basis.localizationLocalization Rₘ M Sₘ b)) ((algebraMap S Sₘ) a)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x₁ x₂ y₁ L : R

span {(mk W) (C (X - C (W.addX x₁ x₂ L))), (mk W) (Y - C (C (-(L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) - W.a₁ * W.addX x₁ x₂ L - W.a₃)))} = span {(mk W) (-Y - C (C W.a₁ * X + C W.a₃) - C (C L * (X - C x₁) + C y₁))} ⊔ span {(mk W) (C (X - C (W.addX x₁ x₂ L)))}


Context: E : Type u

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F

Context: f : E → ℂ

Context: c : E

Context: hf : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z

Context: hc : IsLocalMin (norm ∘ f) c

Context: h : ¬f c = 0

Context: h1 : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, f z ≠ 0

Context: h2 : IsLocalMax (norm ∘ f)⁻¹ c


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : OrderedAddCommGroup H
f : G → H
h₁ : ∀ (x : G), f (-x) = -f x
h₂ : StrictMonoOn f (Ici 0)
x : G
hx : x ∈ Iic 0
y : G
hy : y ∈ Iic 0
hxy : x < y


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
t : CategoryTheory.Limits.Cofork f g

t.ι.app CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one = t.π


Context: α : Type u_1

Context: AddZeroClass α

Context: Preorder α

Context: CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c : α

Context: ha : 0 ≤ a

Context: hbc : b ≤ c


Context: B : Type u

Context: F : Type v

Context: E : B → Type w₁

Context: B' : Type w₂

Context: TopologicalSpace B'

Context: TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)

Context: f : B' → B


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
n : ℕ∞
s : Set E
f g : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g s x

ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => f x - g x) s x


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
r : α → α → Prop
s : Set (Sym2 α)
x y : α


Context:
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
s : NonUnitalSubring R
x : R
hx : x ∈ s
n : ℤ


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ


Context:
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
μ : MeasureTheory.Measure (ι → ℝ)
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ


Context: J : Type w

Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X B : C

Context: F : Discrete PEmpty.{1} ⥤ Over B

Context: s : Cone F

Context: m : s.pt ⟶ { pt := mk (𝟙 B), π := { app := fun p => p.as.elim, naturality := ⋯ } }.pt

Context: x✝ : ∀ (j : Discrete PEmpty.{1}), m ≫ { pt := mk (𝟙 B), π := { app := fun p => p.as.elim, naturality := ⋯ } }.π.app j = s.π.app j

Context: this : (𝟭 C).map m.left ≫ { pt := mk (𝟙 B), π := { app := fun p => p.as.elim, naturality := ⋯ } }.pt.hom = s.pt.hom ≫ (Functor.fromPUnit B).map m.right


Context:
α : Type u
x y : List α


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

cosZeta a s = (cosZeta a s + I * sinZeta a s + (cosZeta a s + I * -sinZeta a s)) / 2


Context: n a b : ℤ


Context: f : ℂ → ℂ

Context: c : ℂ

Context: R : ℝ

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c R)

Context: h_maps : Set.MapsTo f (Metric.ball c R) (Metric.ball c R)

Context: hc : f c = c

Context: h₀ : 0 < R


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
i : ι
x : H


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
z : ℤ


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
CommSemiring ι
Module ι (Additive ℤˣ)
DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
CommRing R
(i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
(i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
(i : ι) → Module R (𝒜 i)
(i : ι) → Module R (ℬ i)
DirectSum.GRing 𝒜
DirectSum.GRing ℬ
DirectSum.GAlgebra R 𝒜
DirectSum.GAlgebra R ℬ


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : Countable ι✝

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: ι : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁶ : MetrizableSpace ι

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: u : ι → α → β

Context: hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x

Context: h : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (u i)

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β

Context: t_sf : ℕ → ι →ₛ ι

Context: ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))

Context: U : ℕ → ι × α → β := fun n p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2

Context: h_tendsto : Tendsto U atTop (𝓝 fun p => u p.1 p.2)

Context: n : ℕ

Context: h_str_meas : StronglyMeasurable fun p => u (↑p.1) p.2


Context: ι : Type u_1

Context: I : BoxIntegral.Box ι

Context: π₁ π₂ : BoxIntegral.TaggedPrepartition I

Context: h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion

(π₁.disjUnion π₂ h).boxes = π₁.boxes ∪ π₂.boxes


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: α : Option ι → Type v

Context: Monoid γ

Context: (i : Option ι) → AddMonoid (α i)

Context: (i : Option ι) → DistribMulAction γ (α i)

Context: r : γ

Context: f : Π₀ (i : Option ι), α i

DFinsupp.equivProdDFinsupp (r • f) = r • DFinsupp.equivProdDFinsupp f


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J K L I : Ideal R
hI : I.IsPrime
s : Finset R


Context:
M : Type u_1
Neg M
a : M


Context:
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
Module R₁ M₁
p : Submodule R₁ M₁


Context:
α β : Frm
e : ↑α ≃o ↑β
a : ↑α


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
a₁ a₂ : 𝕎 k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
h : frobeniusRotation p ha₁ ha₂ = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
rb sb : R
hb : sb * ↑s₁ = rb * ↑s₂
h : sb * ↑s₁ ∈ S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * sb = rc * ↑sa
this : ↑sc * rb * ↑s₂ = rc * ra * ↑s₂
sd : ↥S
hd : ↑sd * (↑sc * rb) = ↑sd * (rc * ra)

∃ u v, u • (sb • r₁ + rb • r₂) = v • (sa • r₁ + ra • r₂) ∧ ↑u * ↑⟨sb * ↑s₁, h⟩ = v * ↑(sa * s₁)


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
TopologicalSpace 𝕜
OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f : α → 𝕜
h : Filter.Tendsto f l Filter.atTop


Context:
M : Type u
MulOneClass M
P : Prop
Decidable P
a b : M

(if P then 1 else a * b) = (if P then 1 else a) * if P then 1 else b


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: I : Type u_3

Context: J : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Zero I

Context: inst✝⁴ : DecidableEq I

Context: inst✝³ : HasInitial C

Context: F : C ⥤ D ⥤ D

Context: X : C

Context: e : F.obj X ≅ 𝟭 D

Context: inst✝² : (Y : D) → PreservesColimit (Functor.empty C) (F.flip.obj Y)

Context: p : I × J → J

Context: hp : ∀ (j : J), p (0, j) = j

Context: Y Y' : GradedObject J D

Context: φ : Y ⟶ Y'

Context: inst✝¹ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y).HasMap p

Context: inst✝ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y').HasMap p

Context: j : J

φ j ≫ e.inv.app (Y' j) ≫ (F.map (singleObjApplyIso 0 X).inv).app (Y' j) ≫ ιMapBifunctorMapObj F p ((single₀ I).obj X) Y' 0 j j ⋯ = e.inv.app (Y j) ≫ (F.map (singleObjApplyIso 0 X).inv).app (Y j) ≫ (F.map (𝟙 ((single₀ I).obj X 0))).app (Y j) ≫ (F.obj ((single₀ I).obj X 0)).map (φ j) ≫ ιMapBifunctorMapObj F p ((single₀ I).obj X) Y' 0 j j ⋯


Context:
z x y p : ℝ
h : 1 ≤ p


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : SuccOrder α

Context: inst✝ : PredOrder α

Context: a b i : α

Context: n : ℕ

Context: hn : ¬IsMax (succ^[n - 1] i) → pred^[n] (succ^[n] i) = i

Context: hin : ¬IsMax (succ^[n] i)

Context: h_not_max : ¬IsMax (succ^[n - 1] i)


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_4
LE α
f : ι → LowerSet α


Context:
ξ : ℝ
hξ : Irrational ξ
q : ℚ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedLinearOrderedField β
u v : α → β
l : Filter α
OrderTopology β
huv : u ~[l] v
hu : Filter.Tendsto u l Filter.atBot


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : Seminorm 𝕜 (⨂[𝕜] (i : ι), E i)

Context: G : Type (max uι u𝕜 uE)

Context: x✝¹ : SeminormedAddCommGroup G

Context: x✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: hp : p = (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G)

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

‖(toDualContinuousMultilinearMap G) x‖ ≤ projectiveSeminorm x


Context: a b c x : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
r : ℝ
hr : 0 < r

⨆ x, T.rayleighQuotient ↑x = ⨆ x, T.rayleighQuotient ↑x


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: hm : m ≤ m0

Context: f g : ↥(Lp E' p μ)

Context: hp_ne_zero : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑f) s μ

Context: hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑g) s μ

Context: hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑g x ∂μ

Context: hf_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ

Context: hg_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑g) μ

Context: hfg' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑(f - g) x ∂μ = 0

Context: hfg_int : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑(f - g)) s μ


Context: E : Type u_1

Context: NormedAddCommGroup E

Context: InnerProductSpace ℝ E

Context: Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin 2)

Context: x y : E

((-o).kahler x) y = (starRingEnd ℂ) ((o.kahler x) y)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type ?u.189967

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: inst✝⁷ : LocalRing R

Context: M : Type u_2

Context: N : Type ?u.190432

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R N

Context: P : Type ?u.191572

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Context: hg : Surjective ⇑g

Context: h : Exact ⇑f✝ ⇑g

Context: inst✝ : FinitePresentation R M

Context: H : Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype 𝔪))

Context: I : Type (max u_2 u_1) := Free.ChooseBasisIndex k (k ⊗[R] M)

Context: b : Basis I k (k ⊗[R] M) := Free.chooseBasis k (k ⊗[R] M)

Context: this✝² : IsNoetherian k (k ⊗[R] (I →₀ R)) := isNoetherian_of_isNoetherianRing_of_finite k (k ⊗[R] (I →₀ R))

Context: f : k ⊗[R] M → M

Context: hf : ∀ (b : k ⊗[R] M), ((TensorProduct.mk R k M) 1) (f b) = b

Context: i : (I →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total I M R (f ∘ ⇑b)

Context: hi : Surjective ⇑i

Context: this✝¹ : Finite R ↥(LinearMap.ker i)

Context: this✝ : Surjective ⇑(LinearMap.baseChange k i)

Context: hi' : Function.Bijective ⇑(LinearMap.baseChange k i)

Context: this : ∀ {g₁ : ↥(LinearMap.ker i) →ₗ[R] I →₀ R} {g₂ : (I →₀ R) →ₗ[R] M}, Exact ⇑(Submodule.subtype 𝔪) ⇑(Submodule.mkQ 𝔪) → Surjective ⇑(Submodule.mkQ 𝔪) → Exact ⇑g₁ ⇑g₂ → Surjective ⇑g₂ → Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype 𝔪)) → Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor R g₁) → Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor (R ⧸ 𝔪) g₁)

Context: x : k ⊗[R] ↥(LinearMap.ker i)

(LinearMap.baseChange k i) ((LinearMap.lTensor (R ⧸ 𝔪) (LinearMap.ker i).subtype) x) = (LinearMap.baseChange k i) ((LinearMap.lTensor (R ⧸ 𝔪) (LinearMap.ker i).subtype) 0)


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁵ : DivisionRing K

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module K V

Context: V₂ : Type v'

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: S : Submodule K V

Context: h : finrank K ↥S = finrank K V

Context: this✝¹ : IsNoetherian K V

Context: bS : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S)) K ↥S := Basis.ofVectorSpace K ↥S

Context: bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S

Context: this✝ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S }) K Subtype.val

Context: b : Basis (↑(this✝.extend ⋯)) K V := Basis.extend this✝

Context: b_eq : b = Basis.extend this✝

Context: i1 : Fintype ↑(this✝.extend ⋯) := ⋯.fintype

Context: i2 : Fintype ↑(Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S) := ⋯.fintype

Context: i3 : Fintype ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S) := ⋯.fintype

Context: this : Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S = this✝.extend ⋯

S = Submodule.map S.subtype (span K (Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S))


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
l : Filter α
CountableInterFilter l


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝² : NormalizationMonoid R

Context: inst✝¹ : DecidableRel Dvd.dvd

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: p x : R

Context: hp : Irreducible p

Context: hnorm : normalize p = p

Context: n : ℕ

Context: hle : p ^ n ∣ x

Context: hlt : ¬p ^ (n + 1) ∣ x

Context: this : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1 := fun x x_1 => Classical.propDecidable ((fun x x_2 => x ∣ x_2) x x_1)

Context: hx0 : ¬x = 0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: p : Fin 3 → P

Context: hps : Set.range p ⊆ s

Context: hpi : Function.Injective p

Context: v : V

Context: hv0 : v ≠ 0

Context: c : P

Context: r : ℝ

Context: hs : ∀ p ∈ s, dist p c = r

Context: hs' : ∀ (i : Fin 3), dist (p i) c = r

Context: f : Fin 3 → ℝ

Context: hf : ∀ (i : Fin 3), p i = f i • v +ᵥ p 0

Context: hf0 : f 0 = 0

Context: hfi : Function.Injective f

Context: hsd : ∀ (i : Fin 3), f i = 0 ∨ f i = -2 * ⟪v, p 0 -ᵥ c⟫_ℝ / ⟪v, v⟫_ℝ


Context:
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
S₁ S₂ : AffineSubspace k P₁
Nonempty ↥S₁
Nonempty ↥S₂
h : S₁ = S₂
x : ↥S₁


Context:
R : Type u
Mul R
StarMul R
x y : R


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: self : S₁.Hom S₂

CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.τ₁ S₂.f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.f self.τ₂


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_3
X : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace M
Monoid M
ContinuousMul M
f : ι → X → M
l : List ι
h : ∀ i ∈ l, Continuous (f i)

Continuous fun a => (List.map (fun i => f i a) l).prod


Context: ι : Type u_1

Context: M : ι → Type u_2

Context: (i : ι) → Monoid (M i)

Context: C : Monoid.CoprodI M → Prop

Context: m : Monoid.CoprodI M

Context: one : C 1

Context: mul : ∀ {i : ι} (m : M i) (x : Monoid.CoprodI M), C x → C (Monoid.CoprodI.of m * x)


Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: MeasurableSpace Ω

Context: StandardBorelSpace Ω

Context: Nonempty Ω

Context: ρ : MeasureTheory.Measure (β × Ω)

Context: MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ

Context: E : Type u_4

Context: f : β × Ω → E

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace ℝ E

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set Ω

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hf : MeasureTheory.IntegrableOn f (s ×ˢ t) ρ

∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫ (x : β × Ω) in s ×ˢ t, f x ∂ρ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
hN : μ N = 0


Context:
a b c : Int
h : c ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
f : G → E
x : G
f' : G →L[𝕜] F

HasFDerivAt (⇑iso ∘ f) f' x ↔
  HasFDerivAt f ((↑{ toLinearEquiv := iso.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).comp f')
    x


Context:
R : Type u
a : R
Semiring R
ha : a ≠ 0


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C

Context: CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} D

Context: A : Type u_5

Context: AddMonoid A

Context: CategoryTheory.HasShift D A

Context: F G : CategoryTheory.SingleFunctors C D A

Context: iso : (a : A) → F.functor a ≅ G.functor a

Context:
comm :
  ∀ (n a a' : A) (ha' : n + a = a'),
    (F.shiftIso n a a' ha').hom ≫ (iso a).hom =
      CategoryTheory.whiskerRight (iso a').hom (CategoryTheory.shiftFunctor D n) ≫ (G.shiftIso n a a' ha').hom

Context: a : A

(CategoryTheory.SingleFunctors.isoMk iso comm).hom.hom a = (iso a).hom


Context:
α : Type u
f : α → α
m n : ℕ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace ℝ E

Context: NormedAddCommGroup F

Context: NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: hne : (interior s).Nonempty

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x

Context: v w : E


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E


Context: α : Type u

Context: PseudoEMetricSpace α

Context: δ : ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: hsδ : s ⊆ Set.Ioi δ

Context: hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Set.Ioc δ ε).Nonempty

Context: E : Set α

Metric.cthickening δ E = ⋂ ε ∈ s, Metric.cthickening ε E


Context:
α : Type u
GroupWithZero α
a : α
Invertible a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : MetrizableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
h : IdentDistrib f g μ ν
hf : AEStronglyMeasurable f μ

∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : β) ∂ν, g x ∈ t


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
A₁ A₂ : Set α
B₁ B₂ : Set β
f : α → β
n : ℕ
hA : A₁ ⊆ A₂
hf : IsAddFreimanIso n A₂ B₂ f
hf' : Set.BijOn f A₁ B₁


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
y : β
o : Option α

y ∈ Option.map f o ↔ ∃ x, x ∈ o ∧ f x = y


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R P
Module R Q
p : Submodule R P
q : Submodule R Q

LinearMap.range (TensorProduct.mapIncl p q) = Submodule.span R (Set.image2 (fun x x_1 => x ⊗ₜ[R] x_1) ↑p ↑q)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z

IsClosedMap f ↔ ∀ (s : Set X) (y : Y), MapClusterPt y (𝓟 s) f → ∃ x, f x = y ∧ ClusterPt x (𝓟 s)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop


Context:
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
AB_dvd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1
this : 2 ≤ 2 * p - 2


Context:
α : Type u_1
Neg α
x : α


Context:
K : Type u
DivisionRing K
s : Set K
t : Subfield K


Context:
β : Type u_2
G : Type u_5
TopologicalSpace G
CommGroup G
TopologicalGroup G
T2Space G
a : G


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: f : E →ₗ.[R] F

Context: hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥

Context: x : F × E

Context: hv : x ∈ Submodule.map (LinearEquiv.prodComm R E F) f.graph

Context: hv' : x.1 = 0


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z X' Y' Z' : C
iX : X ≅ X'
iY : Y ≅ Y'
iZ : Z ≅ Z'
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
f' : X' ⟶ Y'
g' : X' ⟶ Z'
wf : iX.hom ≫ f' = f ≫ iY.hom
wg : iX.hom ≫ g' = g ≫ iZ.hom

(CategoryTheory.Limits.spanExt iX iY iZ wf wg).hom.app CategoryTheory.Limits.WalkingSpan.left = iY.hom


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞

HasSum f r ↔ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N

Monoid.Coprod.lift Monoid.Coprod.inl Monoid.Coprod.inr = MonoidHom.id (Monoid.Coprod M N)


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq l

Context: inst✝³ : DecidableEq m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Semiring α

Context: inst✝ : Fintype n

Context: i j : n

Context: M : Matrix n n α

Context: hM : Commute (stdBasisMatrix i j 1) M

Context: this : (stdBasisMatrix i j 1 * M) i j = (M * stdBasisMatrix i j 1) i j


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
CommRing A
CommRing B
CommRing C
f : A →+* B
g : B →+* C
hg : (g.comp f).FinitePresentation
hf : f.FiniteType


Context:
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t✝ : (a : α) → Finset (β a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s

(insert a s).pi t = (t a).biUnion fun b => image (Pi.cons s a b) (s.pi t)


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: inst✝² : (i : ι) → PartialOrder (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)

Context: f g : Π₀ (i : ι), α i

(Ioc f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Icc (f i) (g i)).card - 1


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x y : AddCircle T
hxy : x ≠ y


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝³ : Nonempty ι

Context: inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: S : ι →o L.Substructure M

Context: i : ι

Context: x : ↥(S i)

(Equiv_iSup S).symm ((Substructure.inclusion ⋯) x) = (of L ι (fun x => ↥(S x)) (fun x x_1 h => Substructure.inclusion ⋯) i) x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜✝¹ ℬ✝ : Finset (Finset α)

Context: s t : Finset α

Context: a✝ : α

Context: n : ℕ

Context: 𝒜✝ : Finset (Finset α)

Context: a : α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: ih₀ : (nonMemberSubfamily a 𝒜).card ≤ (nonMemberSubfamily a 𝒜).shatterer.card

Context: ih₁ : (memberSubfamily a 𝒜).card ≤ (memberSubfamily a 𝒜).shatterer.card

Context: ℬ : Finset (Finset α) := image (insert a) ((memberSubfamily a 𝒜).shatterer ∩ (nonMemberSubfamily a 𝒜).shatterer)

Context: hℬ : ℬ.card = ((memberSubfamily a 𝒜).shatterer ∩ (nonMemberSubfamily a 𝒜).shatterer).card


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: OrderedCommSemiring R

Context: StarRing R

Context: MetricSpace R

Context: TopologicalSemiring R

Context: ContinuousStar R

Context: ∀ (α : Type u_1) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)

Context: TopologicalSpace A

Context: Ring A

Context: StarRing A

Context: PartialOrder A

Context: StarOrderedRing A

Context: Algebra R A

Context: ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: r : R

Context: a : A

Context: h : ∀ x ∈ spectrum R a, r ≤ x

Context: ha : p a := by cfc_tac


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: hP'_prime : P'.IsPrime

Context: m : R[X]

Context: hmem_P : m ∈ P

Context: hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0

Context: hm' : m ≠ 0

Context: φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯

Context: a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') m).leadingCoeff

Context: M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a

Context: hp0 : a ≠ 0

Context: hM : 0 ∉ M

Context: M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map φ M

Context: hM' : 0 ∉ M'

Context: this : IsDomain (Localization M')

(map (algebraMap (R[X] ⧸ P) (Localization M')) ⊥).IsMaximal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α

bliminf s cofinite p = {x | {n | p n ∧ x ∉ s n}.Finite}


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
SemilatticeInf α
a : α
f : β → ↑(Set.Iic a)
l : Filter β

Filter.Tendsto f l Filter.atBot ↔ Filter.Tendsto (fun x => ↑(f x)) l Filter.atBot


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x : S

(normalizeScaleRoots p).degree = p.degree


Context:
n : ℕ
f : Mathlib.Vector ℕ n →. ℕ
hf : Nat.Partrec' f


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D

Context: F : C ⥤ D

Context: X Y : C

Context: CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y

Context: CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct (F.obj X) (F.obj Y)

CategoryTheory.Limits.biprod.inl ≫ F.biprodComparison' X Y = F.map CategoryTheory.Limits.biprod.inl


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
s : Set X


Context: G : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: S : Set (Equiv.Perm α)

Context: hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap

Context: f : Equiv.Perm α

Context: hf : ∀ (x : α), f x ∈ orbit (↥(closure S)) x

Context: supp : Set α := (fixedBy α f)ᶜ

Context: fin : supp.Finite

Context: supp_eq : supp = (fixedBy α f)ᶜ


Context:
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
CommSemiring R
CommSemiring A₁
CommSemiring A₂
Algebra R A₁
Algebra R A₂
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
α : Type u_1
Zero α
ι : Type u_2
f : ι →₀ α
g : ι → α → A₁

e (f.prod g) = f.prod fun i a => e (g i a)


Context:
m n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
hjk : ↑j ≠ ↑k
h : ↑k = ↑j

j.contractNth op g k = g (j.succAbove k)


Context:
α : Type u_1
s : Set α


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i j : ℕ
a : Fin i → M
b : Fin j → M

(List.ofFn fun i_1 => (TensorAlgebra.ι R) (Fin.append a b i_1)).prod = (List.ofFn fun i => (TensorAlgebra.ι R) (a i)).prod * (List.ofFn fun i => (TensorAlgebra.ι R) (b i)).prod


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Group G

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: Γ : Subgroup G

Context: 𝓕 : Set G

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ

Context: inst✝⁵ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)

Context: inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : μ.IsMulRightInvariant

Context: f : G → E

Context: hf₁ : Integrable f μ

Context: hf₂ : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))

∑' (γ : ↥Γ.op), ∫ (x : G) in 𝓕, f (γ • x) ∂μ = ∫ (x : G) in 𝓕, ∑' (γ : ↥Γ.op), f (γ • x) ∂μ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p q u v x y z : E
hz : z ∈ segment 𝕜 x y
hu : u ∈ segment 𝕜 x p
hv : v ∈ segment 𝕜 y q

∃ x ∈ segment 𝕜 u v, x ∈ (convexHull 𝕜) {p, q, z}


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s : Set (AddCircle T)
ι : Type u_1
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
u : ι → AddCircle T
μ : Measure (AddCircle T) := volume
hs : NullMeasurableSet s μ
hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s
n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u
hu₂ : Tendsto n l atTop
hT₀ : 0 < T
hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0
h : μ s ≠ 0


∀ {X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace} (f : X ⟶ Y),
  AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.forgetToTop.map f = (AlgebraicGeometry.SheafedSpace.forget CommRingCat).map f.val


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f✝ g : α → β

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: r : Finset (α × γ)

Context: s : Finset γ

Context: t : γ → Finset α

Context: h : ∀ (p : α × γ), p ∈ r ↔ p.2 ∈ s ∧ p.1 ∈ t p.2

Context: f : α × γ → β

∏ p ∈ r, f p = ∏ x ∈ s.sigma t, f (x.snd, x.fst)


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
BoundedOrder α
Preorder β
BoundedOrder β
f : BoundedOrderHom α β

(BoundedOrderHom.dual f).toOrderHom = OrderHom.dual f.toOrderHom


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
i : ι

Set.range (Sigma.mk i) = Sigma.fst ⁻¹' {i}


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_5
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
e : ι ≃ ι'
f : ι' → A
g : ι → A
h : f ∘ ⇑e = g

AlgebraicIndependent R g ↔ AlgebraicIndependent R f


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ

(of v).convs' (n + 1) = ↑⌊v⌋ + 1 / (of (fract v)⁻¹).convs' n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
u : ℕ → α
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r✝ r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsTrans α r
s : Set α
h : s.PartiallyWellOrderedOn r

{l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}.PartiallyWellOrderedOn (List.SublistForall₂ r)


Context:
α : Type u
l : List α


Context:
m : ℤ
n : ℕ
hn : Even n
hm : m ∉ Ico 0 ↑n
a : ℕ
ha : a ∈ Finset.range n
h : m - ↑a = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card) ≤ ε ^ 5 / 50


Context:
n p k : ℕ
hp : Prime p
hk : k ≠ 0


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Context: x : I → Bool

Context: hx : x ∈ C0 C ho

Context: i : I

Context: hi : o < ord I i ∨ o = ord I i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁵ : CompleteLattice β

Context: γ : Type u_3

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: f : α → γ

Context: g : γ → β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : SecondCountableTopology β

Context: inst✝¹ : OrderClosedTopology β

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace β

Context: hg : Measurable g

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: c : β

Context: h_le : ∀ᶠ (n : β) in map (g ∘ f) (ae μ), n ≤ c

∀ᶠ (n : β) in map g (ae (Measure.map f μ)), n ≤ c


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing P

Context: inst✝⁴ : Algebra R P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: R₁ : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R₁

Context: K : Type u_4

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R₁ K

Context: inst✝ : IsFractionRing R₁ K

Context: I J : Ideal R₁

Context: x y : R₁

Context: hy : y ∈ R₁⁰

Context: this : spanSingleton R₁⁰ (mk' K 1 ⟨y, hy⟩) * spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) y) = 1

Context: y' : (FractionalIdeal R₁⁰ K)ˣ := Units.mkOfMulEqOne (spanSingleton R₁⁰ (mk' K 1 ⟨y, hy⟩)) (spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) y)) this

Context: coe_y' : ↑y' = spanSingleton R₁⁰ (mk' K 1 ⟨y, hy⟩)

spanSingleton R₁⁰ (mk' K x ⟨y, hy⟩) * ↑I = ↑J ↔ Ideal.span {x} * I = Ideal.span {y} * J


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g✝ f g : Perm α
x : α

x ∈ (f * g).support → x ∈ f.support ∪ g.support


Context:
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ t : Set G
ht : t * closure {1} = t
x : G
hx : x ∈ tᶜ
g : G
hg : g ∈ closure {1}
H : (fun x x_1 => x * x_1) x g ∉ tᶜ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: R C : ℝ

Context: hR : 0 < R

Context: hc : ContinuousOn f (sphere c R)

Context: hf : ∀ z ∈ sphere c R, ‖f z‖ ≤ C

Context: hlt : ∃ z ∈ circleMap c R '' Ioc 0 (2 * π), ‖f z‖ < C

‖∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z‖ < 2 * π * R * C


Context:
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)


Context: C : Type u_3

Context: CategoryTheory.Category.{u_1, u_3} C

Context: r : HomRel C

Context: D : Type u_4

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_4} D

Context: F G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Quotient r) D

Context: τ : (CategoryTheory.Quotient.functor r).comp F ⟶ (CategoryTheory.Quotient.functor r).comp G

Context: X : C

(CategoryTheory.Quotient.natTransLift r τ).app ((CategoryTheory.Quotient.functor r).obj X) = τ.app X


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
f : 𝕜 → F
a : 𝕜

iteratedDeriv n (fun x => f (-x)) a = (-1) ^ n • iteratedDeriv n f (-a)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: MeasurableSpace α

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedAddCommGroup F

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: TopologicalSpace α

Context: SecondCountableTopology α

Context: (Filter.cocompact α).IsMeasurablyGenerated

Context: hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ

Context: ho : f =O[Filter.cocompact α] g

Context: hg : MeasureTheory.IntegrableAtFilter g (Filter.cocompact α) μ


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : StrongRankCondition K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : Module.Free K V
inst✝ : Module.Finite K V

finrank K V ≤ 1 ↔ ∃ v, ∀ (w : V), ∃ c, c • v = w


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
PartialOrder G
PartialOrder P
SMul G P
IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO

{a | (Finset.SMulAntidiagonal hs ht a).Nonempty} ⊆ s • t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
s : Set ℝ
h : Bornology.IsBounded s


Context:
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
x y : R
nonzero : ¬(x = 0 ∧ y = 0)
H : ∀ (z : R), Prime z → z ∣ x → ¬z ∣ y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: s✝ : Set β

Context: ι : Type u_3

Context: U : ι → Opens β

Context: hU : iSup U = ⊤

Context: H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)

Context: s : Set α

Context: hs : IsClosed s


Context:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
hf : HasDerivAtFilter f f' x L
c : F

HasDerivAtFilter (fun x => f x - c) f' x L


Context: s n : Nat

List.range' s (n + 1) = List.range' s n ++ [s + n]


Context:
D : TopCat.GlueData
i : D.J
U : TopologicalSpace.Opens ↑(D.U i)