Context:
R : Type uR
S✝ : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R A

comap f (map f S) = S ⊔ adjoin R (⇑f ⁻¹' {0})


Context:
α β : Lat
e : ↑α ≃o ↑β
a : ↑α


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Mul β
f g : FreeSemigroup α →ₙ* β
h : ⇑f ∘ of = ⇑g ∘ of
x✝ : FreeSemigroup α
x : α
y : FreeSemigroup α
hx : f (of x) = g (of x)
hy : f y = g y


Context:
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃ₛₗ[σ] M₂


Context:
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
i : ι


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s

infEdist x (thickening δ s) ≤ infEdist x s - ENNReal.ofReal δ


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
p q : ℚ
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField K


Context: R : Type u_1

Context: CommRing R

Context: f : R → ℝ

Context: c : ℝ

Context: f_ne_zero : f ≠ 0

Context: f_nonneg : 0 ≤ f

Context: f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y


Context:
X : Type u
TopologicalSpace X
CompactSpace X
S : Set X
hS : IsClosed S
hne : S.Nonempty

∃ V ⊆ S, V.Nonempty ∧ IsClosed V ∧ ∀ V' ⊆ V, V'.Nonempty → IsClosed V' → V' = V


Context:
lc : Lean.Omega.LinearCombo
i : Int
v : Lean.Omega.Coeffs


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x : ℝ≥0∞


Context:
f : Ordinal.{u_2} → Ordinal.{u_2}
c : Ordinal.{u_2}
hc : ℵ₀ < c.cof
hf : ∀ i < c, f i < c
a : Ordinal.{u_2}


Context:
α : Type u_1
f : Char → α → α
l m r : List Char
a : α

foldrAux f a { data := l ++ m ++ r } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } { byteIdx := utf8Len l } = List.foldr f a m


Context:
α : Type u_1
𝒜 : Finset (Finset α)
Fintype α
DecidableEq α

(Finset.Iic (Fintype.card α)).biUnion 𝒜.slice = 𝒜


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
f : E →SL[σ₁₂] F
K : ℝ≥0
hf : LipschitzWith K ⇑f
x : E

‖f x‖ ≤ ↑K * ‖x‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
x : ℝ
hx : 2 / (1 - 2 / rexp 1) ≤ x
this : 0 < 1 - 2 / rexp 1


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
E : Type u_5
g : F → G
hg : IsBoundedLinearMap 𝕜 g
f : E → F
l : Filter E


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: r : α → β → Prop

Context: f : α →ₛ β

Context: h : ∀ (b : β), MeasurableSet {a | r a b}

Context: this : {a | r a (↑f a)} = ⋃ b ∈ range ↑f, {a | r a b} ∩ ↑f ⁻¹' {b}


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂


Context:
R : Type u_1
AddMonoid R
S : AddSubmonoid R
AddOreLocalization.AddOreSet S
X : Type u_2
AddAction R X
p : R
r : X
s : ↥S


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.121497, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h' : Homotopy φ₃ φ₄

S₁.g ≫ h.h₂ + h.h₁ ≫ S₂.f + φ₂.τ₂ + (S₁.g ≫ h'.h₂ + h'.h₁ ≫ S₂.f + φ₄.τ₂) = S₁.g ≫ h.h₂ + S₁.g ≫ h'.h₂ + (h.h₁ ≫ S₂.f + h'.h₁ ≫ S₂.f) + (φ₂.τ₂ + φ₄.τ₂)


Context:
b x y : ℝ
hb : 1 < b
h : 0 < x
h₁ : 0 < y


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
h : Surjective (image f)
y : β


Context: X : Type u_2

Context: EMetricSpace X

Context: MeasurableSpace X

Context: OpensMeasurableSpace X

Context: m : Set X → ℝ≥0∞

Context: hcl : ∀ (s : Set X), m (closure s) = m s

Context: r : ℝ≥0∞

(MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric'.pre m r).trim = MeasureTheory.OuterMeasure.mkMetric'.pre m r


Context: x : ℝ


Context:
R : Type u_1
r : R
CommRing R
P : Polynomial R

IsUnit (Polynomial.C r + Polynomial.X * P) ↔ IsUnit r ∧ IsNilpotent P


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝¹ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
i✝ : ι'
i : ι

(Finsupp.single (Sum.inr i✝) 1) (Sum.inl i) = 0


Context:
a b m n p✝ p : ℕ
pp : Prime p

Icc 1 ((factorization 0) p) = Finset.filter (fun i => p ^ i ∣ 0) (Ico 1 0)


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
U : OpenAddSubgroup G
g : G

g ∈ ↑U ↔ g ∈ U


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: inst✝¹ : UniformSpace γ

Context: e✝ : β → α

Context: h_e : UniformInducing e✝

Context: h_dense : DenseRange e✝

Context: f✝ : β → γ

Context: h_f : UniformContinuous f✝

Context: inst✝ : CompleteSpace γ

Context: p : α → Prop

Context: e : α → β

Context: f : α → γ

Context: b : β

Context: s : Set α

Context: hf : UniformContinuous fun x => f ↑x

Context: he : UniformEmbedding e

Context: hd : ∀ (x : β), x ∈ closure (range e)

Context: hb : closure (e '' s) ∈ 𝓝 b

Context: hs : IsClosed s

Context: hp : ∀ x ∈ s, p x

Context: de : DenseEmbedding e

Context: de' : DenseEmbedding (DenseEmbedding.subtypeEmb p e)

Context: ue' : UniformEmbedding (DenseEmbedding.subtypeEmb p e)


Context:
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
r : ℝ


Context:
α : Type u_2
InvolutiveInv α
ι : Sort u_5
f : ι → α

(Set.range f)⁻¹ = Set.range fun i => (f i)⁻¹


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a : α


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X

Monotone fun f => ∃ x ∈ s, ClusterPt x f


Context:
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁷ : T2Space β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f✝ : γ → β
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝³ : PolishSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace γ
hγ : OpensMeasurableSpace γ
inst✝¹ : Countable ι
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
f : ι → β → γ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hl : l.NeBot

MeasurableSet {x | ∃ c, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 c)}


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜


Context:
α : Type u_2
DivisionRing α
CharZero α
s : Multiset ℚ


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
H₁ H₂ : G.Subgraph
h : Disjoint H₁ H₂


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
h : c • x ∈ s


Context:
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
hv : LinearIndependent R v
l : ι →₀ R

↑(hv.totalEquiv l) = (Finsupp.total ι M R v) l


Context:
α : Type u_1
Primcodable α
n : ℕ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩

Context: δpos : 0 < δ

∃ f, AEMeasurable f (μ.restrict s) ∧ ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict s, dist (f x) (f' x) ≤ ε


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: H : Type u_3

Context: TopologicalSpace H

Context: E : Type u_4

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace 𝕜 E

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: G : Type u_5

Context: AddCommMonoid G

Context: TopologicalSpace G

Context: ChartedSpace H G

Context: SmoothAdd I G

Context: E' : Type u_6

Context: NormedAddCommGroup E'

Context: NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_7

Context: TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_8

Context: TopologicalSpace M

Context: ChartedSpace H' M

Context: f : ι → M → G

Context: h : ∀ (i : ι), Smooth I' I (f i)

Context: hfin : LocallyFinite fun i => Function.support (f i)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
M : Matroid α


Context:
y : ℝ
hy : 0 < y
x : ℝ≥0∞


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f✝ : β → γ
g : γ → α
δ : Type u_5
mδ : MeasurableSpace δ
ξ : Kernel γ δ
inst✝ : IsSFiniteKernel ξ
η : Kernel β γ
κ : Kernel α β
a : α
f : δ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

∫⁻ (b : δ), f b ∂(ξ ∘ₖ η ∘ₖ κ) a = ∫⁻ (b : δ), f b ∂(ξ ∘ₖ (η ∘ₖ κ)) a


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : Zero β
inst✝² : Zero γ
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
f : α → β → γ
hf₁ : ∀ (b : β), f 0 b = 0
hf₂ : ∀ (a : α), f a 0 = 0
a : m → α
b : n → β
i₁ : m
i₂ : n
j₁ : m
j₂ : n

kroneckerMap f (diagonal a) (diagonal b) (i₁, i₂) (j₁, j₂) = diagonal (fun mn => f (a mn.1) (b mn.2)) (i₁, i₂) (j₁, j₂)


Context: z : Complex.UnitDisc


Context: p : ℕ

Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group H

Context: f : H →* G

Context: hf : IsPGroup p ↥f.ker

Context: inst✝ : Finite (Sylow p G)

Context: h_exists : ∀ (P : Sylow p H), ∃ Q, comap f ↑Q = ↑P := fun P => exists_comap_eq_of_ker_isPGroup P hf

Context: g : Sylow p H → Sylow p G := fun P => Classical.choose ⋯

Context: hg : ∀ (P : Sylow p H), comap f ↑(g P) = ↑P

Context: P Q : Sylow p H

Context: h : g P = g Q


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: TopologicalSpace α

Context: OrderTopology α

Context: ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: TopologicalSpace β

Context: OrderClosedTopology β

Context: ι : Sort u_4

Context: Nonempty ι

Context: f : α → β

Context: g : ι → α

Context: Cf : ContinuousAt f (iInf g)

Context: Af : Antitone f

Context: bdd : BddBelow (Set.range g) := by bddDefault


Context:
a✝ b✝ c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b n : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁷ : CommRing R

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : CommRing T

Context: inst✝¹⁴ : Algebra R S

Context: inst✝¹³ : Algebra R T

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: inst✝¹² : Field K

Context: inst✝¹¹ : Field L

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Algebra R L

Context: inst✝⁶ : Algebra L F

Context: inst✝⁵ : Algebra R F

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R L F

Context: inst✝³ : Algebra K F

Context: inst✝² : IsScalarTower K L F

Context: E : Type u_7

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra K E

Context: pb : PowerBasis K L

Context: hE : Splits (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen)

Context: hfx : IsSeparable K pb.gen

Context: this✝ : DecidableEq E := Classical.decEq E

Context: this : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb


Context:
x : SetTheory.PGame
i : (-x).RightMoves

(-x).moveRight i = -x.moveLeft (SetTheory.PGame.toRightMovesNeg.symm i)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} A

Context: inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} B

Context: F : A ⥤ B

Context: G₁ : (Cᵒᵖ ⥤ A) ⥤ Sheaf J A

Context: adj₁ : G₁ ⊣ sheafToPresheaf J A

Context: G₂ : (Cᵒᵖ ⥤ B) ⥤ Sheaf J B

Context: adj₂ : G₂ ⊣ sheafToPresheaf J B

Context: inst✝ : J.HasSheafCompose F

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: α : G₂.obj (P ⋙ F) ⟶ (sheafCompose J F).obj (G₁.obj P)

Context: hα : adj₂.unit.app (P ⋙ F) ≫ (sheafToPresheaf J B).map α = whiskerRight (adj₁.unit.app P) F

(adj₂.homEquiv (P ⋙ F) ((sheafCompose J F).obj (G₁.obj P))) α = (adj₂.homEquiv (P ⋙ F) ((sheafCompose J F).obj (G₁.obj P))) ((adj₂.homEquiv (P ⋙ F) ((sheafCompose J F).obj (G₁.obj P))).symm (whiskerRight (adj₁.unit.app P) F))


Context: ι : Type u_6

Context: κ : Type u_7

Context: α : Type u_8

Context: CommMonoid α

Context: s : Finset ι

Context: t : Finset κ

Context: f : ι → α

Context: g : κ → α

Context: i : (a : ι) → a ∈ s → κ

Context: hi : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t

Context: i_inj : ∀ (a₁ : ι) (ha₁ : a₁ ∈ s) (a₂ : ι) (ha₂ : a₂ ∈ s), i a₁ ha₁ = i a₂ ha₂ → a₁ = a₂

Context: i_surj : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), i a ha = b

Context: h : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), f a = g (i a ha)


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁵ : Module R✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝³ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R
this : {r | ¬IsUnit r} ⊆ spectrum R ↑a

r ∈ quasispectrum R a ↔ r ∈ quasispectrum R ↑a


Context:
R : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R E
x : E
hx : x ≠ 0
this : Injective fun k => k • x


Context: n✝ : ℕ

Context: b : Bool

Context: n : ℕ

Context: h : n ≠ 0

Context: ih : digits 2 n = List.map (fun b => bif b then 1 else 0) n.bits

digits 2 (bit b n) = List.map (fun b => bif b then 1 else 0) (b :: n.bits)


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

Context: j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

(∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), if x = j then 1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord x else 0) = 1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord j


Context:
α : Type u_1
n : Nat
f : Fin n → α


Context:
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a✝ : A
m n✝ : ℕ
δ : ℝ
n : ℕ
hm : 0 < m
a : A
ha : a ∈ approxOrderOf A (n * m) δ
b : A
hab : a ∈ ball b δ
hb : b ^ m ∈ {y | orderOf y = n}

(fun y => y ^ m) a ∈ ball (b ^ m) (↑m * δ)


Context:
α : Type u
a : α
s t : Set α
h : s ⊆ t


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology

Context: inst✝ : HasZeroObject C

Context: S : ShortComplex C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y


Context:
p q : ℚ≥0
hn : p.num = q.num
hd : p.den = q.den


Context: p : ℝ

Context: hp₀ : 0 < p

Context: hp₁ : p < 1

Context: hp₀' : 0 < 1 / p

Context: hp₁' : 1 < 1 / p

Context: f : ℝ≥0 ≃o ℝ≥0 := orderIsoRpow (1 / p) hp₀'

Context: h₁ : StrictConvexOn ℝ≥0 univ ⇑f


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n : ℕ
H : SimpleGraph V
K : Finset V
left✝ : K ⊆ univ
hr : 0 < K.card
hn : K.card ≤ Fintype.card V
hG : G.IsTuranMaximal K.card
h : G.CliqueFree K.card


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
PseudoEMetricSpace Z
Cg rg : ℝ≥0
g : Y → Z
hg : HolderWith Cg rg g
Cf rf : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
hf : HolderOnWith Cf rf f s

HolderOnWith (Cg * Cf ^ ↑rg) (rg * rf) (g ∘ f) s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f : ℝ → E

Context: s : ℂ

Context: a : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: this : IntegrableOn (fun x => (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (a * x)) (Ioi 0) volume ↔ IntegrableOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (Ioi (a * 0)) volume

MellinConvergent (fun t => f (a * t)) s ↔ MellinConvergent f s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: NormedField 𝕜

Context: (i : ι) → TopologicalSpace (E i)

Context: (i : ι) → AddCommGroup (E i)

Context: (i : ι) → Module 𝕜 (E i)

Context: AddCommGroup F

Context: Module 𝕜 F

Context: UniformSpace F

Context: UniformAddGroup F

Context: ∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)

Context: ContinuousConstSMul 𝕜 F

Context: CompleteSpace F

Context: T2Space F

Context: h : RestrictGenTopology {s | Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s}

CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F)


Context:
V : Type u_1
SeminormedAddCommGroup V
h : ∃ x, ‖x‖ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
a : α

List.filter (fun x => a == x) l = List.replicate (List.count a l) a


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoidWithZero P
f : S.LocalizationMap N
h : 0 ∈ S
a b : N


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: hfc : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hff'✝ : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x

Context: hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: hgc : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgg'✝ : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x

Context: hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)

Context: lfa lga lfb lgb : ℝ

Context: hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x

Context: hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 lfa)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 lga)

Context: hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lfb)

Context: hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 lgb)

Context: h : ℝ → ℝ := fun x => (lgb - lga) * f x - (lfb - lfa) * g x

Context: hha : Tendsto h (𝓝[>] a) (𝓝 (lgb * lfa - lfb * lga))

Context: hhb : Tendsto h (𝓝[<] b) (𝓝 (lgb * lfa - lfb * lga))

Context: h' : ℝ → ℝ := fun x => (lgb - lga) * f' x - (lfb - lfa) * g' x

Context: hhh' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt h (h' x) x

Context: c : ℝ

Context: cmem : c ∈ Ioo a b

Context: hc : h' c = 0

∃ c ∈ Ioo a b, (lgb - lga) * f' c = (lfb - lfa) * g' c


Context:
a b : ℝ
h : a < b

Subalgebra.comap (ContinuousMap.compRightAlgHom ℝ ℝ (iccHomeoI a b h).symm.toContinuousMap)
    (polynomialFunctions unitInterval) =
  polynomialFunctions (Set.Icc a b)


Context:
R : Type u₁
CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
CharP R p
f : Ring.Perfection R p
m n : ℕ
hfm : (Perfection.coeff R p m) f ≠ 0
hmn : m ≤ n


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α

∀ (x : α) (y : Array (List α)), ?g₂ x y.toList = (Array.foldl (fun r l => r.push (x :: l)) y y 0).toList


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s t : Set α
f g : α → M
a : α

(s.mulIndicator f = fun x => 1) ↔ Disjoint (mulSupport f) s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_2
Pow β γ
f g : α → β
l : Filter α
h : f =ᶠ[l] g
c : γ

(fun x => f x ^ c) =ᶠ[l] fun x => g x ^ c


Context: x : Bool


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
hG : IsPGroup p G
H : Type u_2
Group H
ϕ : G ≃* H


Context:
k : Type u_1
inst✝ : Field k
σ : Type u_2
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
p : MvPolynomial σ k
hp : p ∈ I.radical
x : σ → k
hx : x ∈ zeroLocus I


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : AddCommMonoid S
f : ℕ → R → S
hf : ∀ (i : ℕ), f i 0 = 0
n : ℕ
p : R[X]
hn : p.degree < ↑n
hp : ¬p = 0

∑ i : Fin n, f (↑i) (p.coeff ↑i) = p.sum f


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β → β
b : β
a : α
l : List α

scanr f b (a :: l) = foldr f b (a :: l) :: scanr f b l


Context:
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
SeminormedAddCommGroup β
f : BoundedContinuousFunction α β
IsEmpty α


Context: ι : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: Group G

Context: ConditionallyCompleteLattice G

Context: CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: Nonempty ι

Context: f : ι → G

Context: hf : BddAbove (Set.range f)

Context: a : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hs : s.Finite
h : s ⊆ t
x : α
hx : t \ s = {x}


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ


Context:
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
hf : ∀ a ∈ s, 0 ≤ f a


Context: ι : Type u_1

Context: I J : Box ι

Context: x y l₁ u₁ : ι → ℝ

Context: h₁ : ∀ (i : ι), l₁ i < u₁ i

Context: l₂ u₂ : ι → ℝ

Context: h₂ : ∀ (i : ι), l₂ i < u₂ i

Context: h : (l₂ ≤ l₁ ∧ u₁ ≤ u₂) ∧ l₁ ≤ l₂ ∧ u₂ ≤ u₁


Context:
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
One F
NormOneClass F
TopologicalSpace α
a : α

(f =O[𝓝[≠] a] fun x => 1) ↔ f =O[𝓝 a] fun x => 1


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hc : c ≠ 0
x : ℝ

|c⁻¹| * gaussianPDFReal (c⁻¹ * μ) (⟨c⁻¹ ^ 2, ⋯⟩ * v) x = |c⁻¹| * gaussianPDFReal (c⁻¹ * μ) (⟨(c ^ 2)⁻¹, ⋯⟩ * v) x


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₂} D
i : D ⥤ C
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : Reflective i
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : HasFiniteProducts D
inst✝ : ExponentialIdeal i
A B : C

((reflectorAdjunction i).homEquiv (A ⨯ B) ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B)).symm (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ ((exp.adjunction B).homEquiv A (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))).symm ((unitCompPartialBijective A ⋯).symm (((exp.adjunction B).homEquiv (i.obj ((reflector i).obj A)) (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))) (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ ((exp.adjunction (i.obj ((reflector i).obj A))).homEquiv B (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))).symm ((unitCompPartialBijective B ⋯).symm (((exp.adjunction (i.obj ((reflector i).obj A))).homEquiv (i.obj ((reflector i).obj B)) (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))) ((PreservesLimitPair.iso i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B)).inv ≫ i.map (𝟙 ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B)) ≫ 𝟙 (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))))) ≫ 𝟙 (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))))) ≫ 𝟙 (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))) = prodComparison (reflector i) A B


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
(i : ι) → Preorder (α i)
x : (i : ι) → α i
Nonempty ι

(Set.univ.pi fun i => Set.Iio (x i)) ⊆ Set.Iio x


Context:
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R

I ∈ Ideal.isPrincipalSubmonoid R ↔ Submodule.IsPrincipal I


Context:
s : Set ℝ
a : ℝ

1 ∈ posTangentConeAt s a ↔ a ∈ closure (Set.Ioi a ∩ s)


Context:
α : Type u_2
s : Finset (Set α)


Context:
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y


Context:
α : Type u_1
l : List α
R : α → α → Prop
DecidableRel R

List.destutter R (List.destutter R l) = List.destutter R l


Context:
α : Type u
n : ℕ
s : Stream' α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
s t : Set Y
h : SeparatedNhds s t
hf : Continuous f


Context:
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
r : AdicCompletion I R
x : M

((AdicCompletion.ofTensorProductBil I M) r) x = r • (AdicCompletion.of I M) x


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.39244, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.39248, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
d e : ℤ
γ : Cochain F K d
he : 1 + d = e


Context: G : Type u_1

Context: Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)

Context: hind : CompleteLattice.Independent fun i => (ϕ i).range

Context: hinj : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(ϕ i)

Function.Injective ⇑(MonoidHom.noncommPiCoprod ϕ hcomm)


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p q : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))

(List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) (FreeAddMonoid.toList p)).sum + (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) (FreeAddMonoid.toList q)).sum ≤ (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p).sum + (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) q).sum


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

Context: ∀ (a b : C), CategoryTheory.Limits.HasCoproductsOfShape (a ⟶ b) D

Context: c : C

Context: Y : CategoryTheory.Functor C D

Context: e : C

((CategoryTheory.evaluationAdjunctionRight D c).counit.app Y).app e = CategoryTheory.Limits.Sigma.desc fun h => Y.map h


Context:
X : Type u
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
𝕜 : Type v
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : TietzeExtension 𝕜
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : ↑s →ᵇ E
hf : ¬‖f‖ = 0


Context:
R : Type u_1
Ring R
I : Type u_3
e : I → R
DecidableEq I

OrthogonalIdempotents e ↔ ∀ (i j : I), e i * e j = if i = j then e i else 0


Context:
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : R


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f✝ g : Perm α

Context: x y : α

Context: p : β → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: f : α ≃ Subtype p

Context: a : α

Context: ha : g a ≠ a

Context: ha' : ∀ ⦃y : α⦄, g y ≠ y → g.SameCycle a y

Context: b : β

Context: hb : (g.extendDomain f) b ≠ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : DenselyOrdered α
a : α
s : Set α

(∃ u, toDual a < toDual u ∧ Icc (toDual a) (toDual u) ⊆ ⇑ofDual ⁻¹' s) ↔ ∃ l < a, Icc l a ⊆ s


Context:
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R
a b : ℍ[R,c₁,c₂]


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: f : CategoryTheory.Arrow (CategoryTheory.Arrow C)

(CategoryTheory.Square.fromArrowArrowFunctor.obj f).X₁ = f.left.left


Context: α : Type u_1

Context: p : Multiset α → Sort u_3

Context: n : ℕ

Context: H : (t₁ : Multiset α) → ({t₂ : Multiset α} → Multiset.card t₂ ≤ n → t₁ < t₂ → p t₂) → Multiset.card t₁ ≤ n → p t₁

Context: s : Multiset α

Multiset.strongDownwardInduction H s = H s fun {t₂} ht _hst => Multiset.strongDownwardInduction H t₂ ht


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤

MeasureTheory.Memℒp (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) 1 μ


Context:
α : Type u_1
l l' : List α
a b : α

l.concat a = l'.concat b ↔ l = l' ∧ a = b


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑Y
hU : ↑U ⊆ Set.range ⇑f.base

(f.c.app (op U) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯)) ≫ inv (f.c.app (op ((opensFunctor f).obj ((Opens.map f.base).obj U)))) = Y.presheaf.map (eqToHom ⋯).op


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
hq : q.Monic
hp : p.leadingCoeff ≠ 0
hq0 : q ≠ 0


Context:
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
e : M ≃+ M₂


Context:
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
k : ℤ_[p]


Context:
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: I✝ : Ideal R

Context: h : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → P.jacobson = P

Context: I : Ideal R

Context: hI : I.IsRadical

Context: x : R

Context: hx : ∀ ⦃I_1 : Ideal R⦄, I_1 ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsMaximal} → x ∈ I_1

Context: P : Ideal R

Context: hP : I ≤ P ∧ P.IsPrime

∀ ⦃I : Ideal R⦄, I ∈ {J | P ≤ J ∧ J.IsMaximal} → x ∈ I


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
v1 v2 : ℕ


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: iσ : RingHomIsometric σ

Context: B : Type u_3

Context: F₁ : Type u_4

Context: NormedAddCommGroup F₁

Context: NormedSpace 𝕜₁ F₁

Context: E₁ : B → Type u_5

Context: (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)

Context: (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)

Context: TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₁ E₁)

Context: F₂ : Type u_6

Context: NormedAddCommGroup F₂

Context: NormedSpace 𝕜₂ F₂

Context: E₂ : B → Type u_7

Context: (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)

Context: (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)

Context: TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₂ E₂)

Context: TopologicalSpace B

Context: (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)

Context: FiberBundle F₁ E₁

Context: VectorBundle 𝕜₁ F₁ E₁

Context: (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)

Context: FiberBundle F₂ E₂

Context: VectorBundle 𝕜₂ F₂ E₂

Context: ∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)

Context: ∀ (x : B), ContinuousSMul 𝕜₂ (E₂ x)

Context: x₀ : B

(trivializationAt (F₁ →SL[σ] F₂) (Bundle.ContinuousLinearMap σ E₁ E₂) x₀).source =
  Bundle.TotalSpace.proj ⁻¹' ((trivializationAt F₁ E₁ x₀).baseSet ∩ (trivializationAt F₂ E₂ x₀).baseSet)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝ : LinearOrderedSemifield α

Context: l : Filter β

Context: f : β → α

Context: r c : α

Context: n : ℕ

Context: h : Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop atTop


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
M : Mon_ C

M.X ◁ M.mul ≫ M.mul = (α_ M.X M.X M.X).inv ≫ M.mul ▷ M.X ≫ M.mul


Context: M : Type u_1

Context: CancelCommMonoidWithZero M

Context: UniqueFactorizationMonoid M

Context: q : Associates M

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: c : Fin (n + 1) → Associates M

Context: h₁ : StrictMono c

Context: h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i

Context: hq : q ≠ 0


Context:
b : ℂ
hb : b.re < 0
c d : ℂ
hb' : b ≠ 0

Integrable (fun x => cexp (b * ↑x ^ 2 + c * ↑x + d)) volume


Context:
α : Type u_1
Subsingleton α
s : Set α


Context:
M : Type u_2
AddCommGroup M
𝕜 : Type u_7
Field 𝕜
Module 𝕜 M
f : M →ₗ[𝕜] M
hf : LinearMap.det f ≠ 1


Context:
R : Type u
CommSemiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
hu : ¬IsUnit p


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasProjectiveResolutions C
inst✝ : EnoughProjectives C
Z : C
n : ℕ

(ShortComplex.mk ((ChainComplex.of (fun n => (ChainComplex.mkAux (over Z) (syzygies (Projective.π Z)) (syzygies (d (Projective.π Z))) (d (Projective.π Z)) (d (d (Projective.π Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.f, ⟨d S.f, ⋯⟩⟩) n).X₃) (fun n => (ChainComplex.mkAux (over Z) (syzygies (Projective.π Z)) (syzygies (d (Projective.π Z))) (d (Projective.π Z)) (d (d (Projective.π Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.f, ⟨d S.f, ⋯⟩⟩) n).g) ⋯).d (n + 1 + 1) (n + 1)) ((ChainComplex.of (fun n => (ChainComplex.mkAux (over Z) (syzygies (Projective.π Z)) (syzygies (d (Projective.π Z))) (d (Projective.π Z)) (d (d (Projective.π Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.f, ⟨d S.f, ⋯⟩⟩) n).X₃) (fun n => (ChainComplex.mkAux (over Z) (syzygies (Projective.π Z)) (syzygies (d (Projective.π Z))) (d (Projective.π Z)) (d (d (Projective.π Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.f, ⟨d S.f, ⋯⟩⟩) n).g) ⋯).d (n + 1) n) ⋯).Exact


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
n : ℕ
hf : IsMulFreimanIso n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hmn : 0 ≤ n
hs : card s = 0
ht : card t = 0

(map f s).prod = (map f t).prod ↔ s.prod = t.prod


Context:
G : Type u_3
AddCommGroup G
a b c : G
h : c + a = b


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝¹⁰ : Module R M✝

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : Module R P

Context: T : Type u_5

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup T

Context: inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: M : ι → Type u_7

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : AdicCauchySequence I (⨁ (j : ι), M j)

Context: n : ℕ

∑ x : ι, Submodule.Quotient.mk ((lof R ι M x) ((component R ι M x) (↑f n))) = Submodule.Quotient.mk (↑f n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l₁ : List α
l₂ : List β
a : α
b : β

(a, b) ∈ l₁ ×ˢ l₂ ↔ a ∈ l₁ ∧ b ∈ l₂


Context:
xl xr : Type u_1
xL : xl → SetTheory.PGame
xR : xr → SetTheory.PGame
i : xl

(xL i).LF (SetTheory.PGame.mk xl xr xL xR)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.1617, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.1621, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.1625, u_3} E
F : C ⥤ Karoubi D
X✝ Y✝ : Karoubi C
f : X✝ ⟶ Y✝

(F.map f.f).f = ((fun P => { X := (F.obj P.X).X, p := (F.map P.p).f, idem := ⋯ }) X✝).p ≫ (F.map f.f).f ≫ ((fun P => { X := (F.obj P.X).X, p := (F.map P.p).f, idem := ⋯ }) Y✝).p


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
hH : Finite (G ⧸ H)
val✝ : Fintype (G ⧸ H)


Context:
α : Type u_1
CommMonoid α
x y z : α
H : IsRelPrime x (y * z)


Context:
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
h0 : ↑a ≠ 0


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
h : IsInitial X → False
hzero : Nat.card ↑(F.obj X) = 0


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithTriangulation

Context: inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive

Context: inst✝ : L.Additive

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁

Context: b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂

Context: fac✝ : L.map T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂.mor₁

Context: α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁

Context: hα : a = α.map L ⋯

Context: β : W.LeftFraction α.Y' T₂.obj₂

Context: hβ : T₂.mor₁ ≫ β.s = α.s ≫ β.f

Context: γ : W.LeftFraction T₁.obj₂ β.Y'

Context: hγ : b ≫ L.map β.s = γ.map L ⋯

Context: this✝ : IsIso (L.map β.s)

Context: this : IsIso (L.map γ.s)

Context: Z₂ : C

Context: σ : γ.Y' ⟶ Z₂

Context: hσ : W σ

Context: fac : (α.f ≫ β.f ≫ γ.s) ≫ σ = (T₁.mor₁ ≫ γ.f) ≫ σ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M : Matroid α
N✝ : Matroid β
E B I : Set α
N : Matroid β
f : α → β


Context:
α : Type u
x : α
BooleanAlgebra α


Context:
ι : Type u_2
α✝ : ι → Type ?u.29822
α : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

∃ i i_1, ∃ (_ : MeasurableSet i_1), ∅ = cylinder i i_1


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β → γ
hf : Function.Injective2 f
a : α


Context:
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
ca : Computation α
cb : Computation β

Computation.LiftRel R ca cb.think ↔ Computation.LiftRel R ca cb


Context: R S Rₘ Sₘ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹⁰ : CommRing Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝⁹ : Algebra R S

Context: inst✝⁸ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝² : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝¹ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ

Context: inst✝ : FormallySmooth R S

Context: this : FormallySmooth S Sₘ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : Module ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: mE : MeasurableSpace E

Context: tE : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: inst✝² : T2Space E

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: g : E → ℝ

Context: h1 : g 0 = 0

Context: h2 : ∀ (x : E), g (-x) = g x

Context: h3 : ∀ (x y : E), g (x + y) ≤ g x + g y

Context: h4 : ∀ {x : E}, g x = 0 → x = 0

Context: h5 : ∀ (r : ℝ) (x : E), g (r • x) ≤ |r| * g x

Context: p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: F : Type u_1 := E

Context: this✝³ : NormedAddCommGroup F := NormedAddCommGroup.mk ⋯

Context: this✝² : NormedSpace ℝ F := NormedSpace.mk ⋯

Context: this✝¹ : TopologicalSpace F := UniformSpace.toTopologicalSpace

Context: this✝ : MeasurableSpace F := borel F

Context: this : BorelSpace F

Context: φ : E ≃L[ℝ] F := (LinearEquiv.refl ℝ E).toContinuousLinearEquiv

Context: ν : Measure F := map (⇑φ) μ

μ {x | g x < 1} = ENNReal.ofReal ((∫ (x : E), Real.exp (-g x ^ p) ∂μ) / Real.Gamma (↑(finrank ℝ E) / p + 1))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: a b c d : α

Context: h : a ≤ b

Context: δ : α

Context: hδ : 0 ≤ δ

Context: t : ↑(Icc a b)

Context: n : ℕ

Context: ht : t ∈ Icc (addNSMul h δ n) (addNSMul h δ (n + 1))


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : SnakeInput C

Context: A₀ : C

Context: x₃ : A₀ ⟶ S.L₀.X₃

Context: hx₃ : x₃ ≫ S.δ = 0

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A₀

Context: hπ₁ : Epi π₁

Context: p : A₁ ⟶ S.P

Context: hp : π₁ ≫ x₃ = p ≫ pullback.snd S.L₁.g S.v₀₁.τ₃

∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₃ = x₁ ≫ S.L₁'.f


Context: G : Type w

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝ : R1Space G

Context: U : ℕ → Opens G

Context: h3 : ∀ (t : Finset ℕ) (K : ℕ → Compacts G), (fun s => ↑(μ.toFun s)) (t.sup K) ≤ ∑ i ∈ t, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (K i)

Context: K : Compacts G

Context: hK : ↑K ⊆ ↑(⨆ i, U i)

Context: t : Finset ℕ

Context: ht : ↑K ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(U i)

Context: K' : ℕ → Set G

Context: h1K' : ∀ (i : ℕ), IsCompact (K' i)

Context: h2K' : ∀ (i : ℕ), K' i ⊆ (SetLike.coe ∘ U) i

Context: h3K' : ↑K = ⋃ i ∈ t, K' i

Context: L : ℕ → Compacts G := fun n => { carrier := K' n, isCompact' := ⋯ }

(fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≤ ∑' (i : ℕ), μ.innerContent (U i)


Context:
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
h : RCLike.im RCLike.I = 1
x✝ : 𝕜

‖{ toFun := __spread✝⁻⁰.toFun, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := __spread✝⁻⁰.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } x✝‖ = ‖x✝‖


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
f_lim : α → E
f_lim_ℒp : Memℒp f_lim p μ

Tendsto f fi (𝓝 (Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp)) ↔ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - f_lim) p μ) fi (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
m : Associates α
p : α
hp : Prime (Associates.mk p)
hle : m ≤ Associates.mk p


Context:
α : Type u_5
β : Type u_6
Monoid α
Mul β
MulAction α β
IsScalarTower α β β
SMulCommClass α β β
a : α × β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: h : ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: φ : α →ₛ ℝ≥0

Context: hle : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x

Context: b : ℝ≥0∞

Context: hbφ : b < (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ + ε

Context: hb : ∀ (i : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑i x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal i).lintegral μ ≤ b

Context: ψ : α →ₛ ℝ≥0

Context: hψ : ∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x

(SimpleFunc.map ofNNReal (ψ - φ)).lintegral μ < ε


Context:
M : Type u_1
Add M
a b : Mᵈᵃᵃ

DomAddAct.mk.symm (a + b) = DomAddAct.mk.symm b + DomAddAct.mk.symm a


Context:
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
StarModule R A
S : Set (NonUnitalStarSubalgebra R A)


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α

Set.BijOn g (Function.fixedPoints (f ∘ g)) (Function.fixedPoints (g ∘ f))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: ι : Type u_5

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: F : ι → α → ℝ≥0∞

Context: f bound : α → ℝ≥0∞

Context: hF_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, Measurable (F n)

Context: h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F n a ≤ bound a

Context: h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤

Context: h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) l (𝓝 (f a))

∀ (x : ℕ → ι), Tendsto x atTop l → Tendsto ((fun n => ∫⁻ (a : α), F n a ∂μ) ∘ x) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), f a ∂μ))


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f✝ : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g✝ : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
f g : M →ₗ[R] M
h : Commute f g
p : Submodule R M
hf : MapsTo ⇑f ↑p ↑p
hg : MapsTo ⇑g ↑p ↑p

f.restrict hf * g.restrict hg = g.restrict hg * f.restrict hf


Context:
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set α

upperBounds (l '' s) = u ⁻¹' upperBounds s


Context: G : Type u_1

Context: α : Type u_3

Context: E : Type u_5

Context: AddGroup G

Context: AddAction G α

Context: MeasurableSpace α

Context: NormedAddCommGroup E

Context: s t : Set α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: MeasurableSpace G

Context: MeasurableVAdd G α

Context: MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ

Context: Countable G

Context: hs : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ

Context: ht : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G t μ

Context: f : α → E

Context: hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g +ᵥ x) = f x

MeasureTheory.IntegrableOn f s μ ↔ MeasureTheory.IntegrableOn f t μ


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k l : ℕ
a✝ : Nontrivial M
this : IsReduced R

Disjoint ((f.genEigenspace μ₁) k) ((f.genEigenspace μ₂) l)


Context:
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0

W.negAddY P Q =
  ((P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) *
        (W.addX P Q * (P z * Q z) ^ 2 - P x * Q z ^ 2 * WeierstrassCurve.Jacobian.addZ P Q ^ 2) +
      P y * Q z ^ 3 * WeierstrassCurve.Jacobian.addZ P Q ^ 3) /
    (P z * Q z) ^ 3


Context:
R : Type u
CommRing R
n : Type v
DecidableEq n
Fintype n
N : Type w
AddCommGroup N
Module R N
b : Basis n R N
M : Matrix n n R

minpoly R ((Matrix.toLin b b) M) = minpoly R M


Context:
M : Type u_1
TopologicalSpace M


Context:
n : ℕ
i j : ZMod (2 * n)

QuaternionGroup.xa i * QuaternionGroup.xa j = QuaternionGroup.a (↑n + j - i)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: z : S

Context: inj : ∀ (x : R), (algebraMap R S) x = 0 → x = 0

Context: p : R[X]

Context: p_ne_zero : p ≠ 0

Context: px : (aeval z) p = 0

Context: a : R := p.leadingCoeff

∃ x y, y ≠ 0 ∧ z * (algebraMap R S) y = ↑x


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : BorelSpace G
g : G → E'' →L[𝕜] E'
hf : LocallyIntegrable f μ
hcg : HasCompactSupport g
hg : Continuous g
x₀ : G
x : E''

((f ⋆[precompR E'' L, μ] g) x₀) x = (f ⋆[L, μ] fun a => (g a) x) x₀


Context:
b v : Ordinal.{u_1}
hb : b ≠ 0
u : Ordinal.{u_1}
hv : v ≠ 0
w : Ordinal.{u_1}


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α

(∃ x, ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = x) → ∃ x, x ∈ s


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: hP₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), iSup U = ⊤ → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f

∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (U : Y.Opens), P.universally f → P.universally (f ∣_ U)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : IsDedekindDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: J : Ideal A

Context: hJ : J ≠ ⊤

Context: ι : Type u_4

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → K

Context: j : ι

Context: hjs : j ∈ s

Context: hjf : f j ≠ 0

Context: I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f

∃ a, (∀ i ∈ s, IsLocalization.IsInteger A (a * f i)) ∧ ∃ i ∈ s, a * f i ∉ ↑J


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
f : X → ℝ
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] f
hfi : IntegrableOn f s μ

NullMeasurableSet (f ⁻¹' {0}ᶜ) (μ.restrict s)


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α✝
α : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace β
s u : Set α
t v : Set β
a : α
b : β
hu : u ∈ 𝓝[s] a
hv : v ∈ 𝓝[t] b


Context:
α β : CompleteLat
e : ↑α ≃o ↑β
a : ↑α

(CompleteLat.Iso.mk e).hom.toFun a = e a


Context:
M : Type u_1
MulOneClass M
Pow M ℕ
NatPowAssoc M
x : M
m n : ℕ


Context:
x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1


Context:
R : Type u
CommRing R
X Y : Type u
Ring X
Ring Y
Algebra R X
Algebra R Y
e : X ≃ₐ[R] Y

algEquivIsoAlgebraIso.hom e = e.toAlgebraIso


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: m n : ℕ

Context: h : n < m

Context: f : ℕ → ℚ := fun i => ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹

Context: hf : f = fun i => ↑(n.choose i) * (↑(m.choose i))⁻¹

Context: i : ℕ

Context: h₁✝ : i < n + 1

Context: h₁ : i ≤ n

Context: h₂ : i < m

Context: h₃ : i ≤ m

Context: hi₄ : ↑i + 1 ≠ 0

Context: this : ↑(m.choose (i + 1) * (i + 1)) = ↑(m.choose i * (m - i))

f i - f (i + 1) = ↑(n.choose i) * (↑m - ↑n) / ((↑m - ↑i) * ↑(m.choose i))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
P : Prop
Decidable P
x : β → ¬P → α

(∑' (b : β), if h : P then 0 else x b h) = if h : P then 0 else ∑' (b : β), x b h


Context:
α : Type u
β : Type u_1
n✝ : ℕ
x : α
inst✝ : StrictOrderedRing α
hx : x + 1 ≤ 0
n : ℕ

if Even n then ∑ i ∈ range n, x ^ i ≤ 0 else 1 ≤ ∑ i ∈ range n, x ^ i


Context: f₁ f₂ : CircleDeg1Lift

Context: h₁ : IsUnit f₁

Context: h₂ : IsUnit f₂

Context: h : f₁.translationNumber = f₂.translationNumber


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
s : Set P


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Zero γ
f : α → β


Context:
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
ha : P.a = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : 𝓢(E, F)
k : ℕ
x₀ : E

‖x₀‖ ^ k * ‖f x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 k 0) f


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : TopologicalSemiring A
s : Subalgebra R A
B : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : TopologicalRing B
inst✝ : Algebra R B
f : B →ₐ[R] A
f' : B ≃ₜ A
w : ⇑f = ⇑f'

comap f s.topologicalClosure = (comap f s).topologicalClosure


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M₁ M₂ : Bimod X Y

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : Bimod Y Z

((α_ M₁.X Y.X N.X).hom ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) ≫ f.hom ▷ N.X = f.hom ▷ Y.X ▷ N.X ≫ (α_ M₂.X Y.X N.X).hom ≫ M₂.X ◁ N.actLeft


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J₁ J₂ : GrothendieckTopology C

Context: c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)

Context: hc : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (S : Sieve X), (c Y) (Sieve.pullback f S) = Sieve.pullback f ((c X) S)

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hS : (c X) S = ⊤

Context: R : Sieve X

Context: hR : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f R ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) Y

∀ (Y : C) (f : Y ⟶ X), S.arrows f → ((c X) R).arrows f


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ


Context:
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
hf✝ : ContDiff 𝕂 1 f
x : E'
K : ℝ≥0
t : Set E'
ht : t ∈ 𝓝 ?m.51584
hf : LipschitzOnWith K f t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ

Context: h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x

∫⁻ (a : α), (⨆ i, f i) a ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hq : 0 ≤ q
h : q ≤ p

ENNReal.ofReal (p - q) = ENNReal.ofReal p - ENNReal.ofReal q


Context:
α : Type u_5
Preorder α

IsStronglyCoatomic α ↔ ∀ (a b : α), a < b → ∃ x, a ≤ x ∧ x ⋖ b


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.HasExt C
X : C
n : ℕ

∀ {X_1 Y : C} (f : X_1 ⟶ Y),
  (CategoryTheory.Abelian.extFunctorObj X n).map f = AddCommGrp.ofHom ((CategoryTheory.Abelian.Ext.mk₀ f).postcomp X ⋯)


Context:
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
h : g.comp f = 0
v : V₁

↑((NormedAddGroupHom.ker.lift f g h) v) = f v


Context:
n : ℕ
X : Type u_1
Zero X
f : Fin n → X

SSet.Augmented.StandardSimplex.shiftFun f 0 = 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
x : M


Context:
α : Type u_1
NormedOrderedAddGroup α
s : Set α

↑(lowerClosure (interior s)) ⊆ interior ↑(lowerClosure s)


Context:
P : Type u_1
Preorder P
OrderTop P


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
G₀ : Type u_7
TopologicalSpace β
GroupWithZero G₀
MulAction G₀ β
ContinuousConstSMul G₀ β

∀ {x : MeasurableSpace α} {c : G₀},
  c ≠ 0 → ((MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => c • f x) ↔ MeasureTheory.StronglyMeasurable f)


Context:
α : Type u_1
cut : α → Ordering
f : α → α
t : Batteries.RBNode α

Batteries.RBNode.modify cut f t = Batteries.RBNode.alter cut (Option.map f) t


Context: C : Type uC

Context: inst✝³ : Category.{vC, uC} C

Context: D : Type uD

Context: inst✝² : Category.{vD, uD} D

Context: G✝ : C ⥤ D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.9506, u_1} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝ : G.IsLocallyFaithful K

Context: ℱ : SheafOfTypes K

Context: X Y : C

Context: i₁ i₂ : X ⟶ Y

Context: e : G.map i₁ = G.map i₂

Context: s t : ℱ.val.obj (op (G.obj X))

Context: h : ∀ ⦃Z : C⦄ (j : Z ⟶ X), j ≫ i₁ = j ≫ i₂ → ℱ.val.map (G.map j).op s = ℱ.val.map (G.map j).op t

∀ ⦃Y_1 : D⦄ ⦃f : Y_1 ⟶ G.obj X⦄, (Sieve.functorPushforward G (Sieve.equalizer i₁ i₂)).arrows f → ℱ.val.map f.op s = ℱ.val.map f.op t


Context:
S : Type u_5
LinearOrderedSemifield S
R : Type u_6
DivisionSemiring R
abv : R → S
IsAbsoluteValue abv
a : R


Context: E : Type u

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : ℂ → F

Context: z w : ℂ

Context: r : ℝ := dist w z

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)

Context: hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z

Context: hw : w ∈ closedBall z r

Context: hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖

Context: hr : 0 < r

Context: hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: inst✝³ : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝² : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝¹ : DecidableEq δ

Context: s✝ t : Finset δ

Context: f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x y : (i : δ) → π i

Context: i : δ

Context: inst✝ : Fintype δ

Context: s : Finset δ

Context: f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: hg : Measurable g

Context: hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ ≤ ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ

Context: h : IsEmpty ((i : δ) → π i)

∫⁻ (x : (i : δ) → π i), f x ∂Measure.pi μ ≤ ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), g x ∂Measure.pi μ


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
f : k → E
a b r : k
hab : a < b
h₀ : 0 < r
h₁ : r < 1

(AffineMap.lineMap (f a) (f b)) r ≤ f ((AffineMap.lineMap a b) r) ↔
  slope f ((AffineMap.lineMap a b) r) b ≤ slope f a ((AffineMap.lineMap a b) r)


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n : ℕ

Context: b : ℤ√↑(Pell.d a1)

Context: h1 : 1 ≤ b

Context: hp : IsPell b

Context: h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)

Context: a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }

Context: am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }

Context: a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1

Context: ha : { re := ↑a, im := 1 } ≤ b


Context:
α : Type u_1
Fintype α
s : Finset α


Context: n m : ℕ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: v : ι → E

Context: hv : Function.Injective v

Context: f : ι ≃ ↑(Set.range v) := Equiv.ofInjective v hv

Context: h : Orthonormal 𝕜 v

Orthonormal 𝕜 (v ∘ ⇑(Equiv.ofInjective v hv).symm)


Context:
R : Type u₁
Ring R
f : R →+* R
hf : f = RingHom.id R
M N : ModuleCat R
φ : M ⟶ N

φ ≫ (ModuleCat.restrictScalarsId'App f hf N).inv =
  (ModuleCat.restrictScalarsId'App f hf M).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars f).map φ


Context: V : Type u_1

Context: NormedAddCommGroup V

Context: InnerProductSpace ℝ V

Context: Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y : V

Context: h : o.oangle x y = ↑(-π / 2)


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: W : CategoryTheory.MorphismProperty C

Context: X Y : C

Context: z₁ z₂ : W.LeftFraction X Y

Context: h : CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFractionRel z₁ z₂


Context:
α : Type u
a : α
l : List α
n m : ℕ

((a :: l).rotate' (n + 1)).rotate' m = (a :: l).rotate' (n + 1 + m)


Context:
n i : Nat
h : i < (list n).length


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: h this : SigmaFinite μ

Context: s : ℕ → Set α := spanningSets μ

Context: hs_univ : ⋃ i, s i = univ

Context: hs_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
CommRing R
CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
n : ℕ
hn : Odd n
hχ : χ ^ n = 1


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: inst✝¹ : Algebra E K

Context: inst✝ : IsScalarTower F E K

Context: q : ℕ

Context: h2✝ : ∀ (x : K), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap E K).range

Context: h1✝ : ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range

Context: h✝ : ExpChar F q

Context: this : ExpChar E q

Context: x : K

Context: n : ℕ

Context: y : E

Context: h2 : (algebraMap E K) y = x ^ q ^ n

Context: m : ℕ

Context: z : F

Context: h1 : (algebraMap F E) z = y ^ q ^ m


Context:
α : Type u_1
l : List α
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Surjective f
s t : Set β

Disjoint (f ⁻¹' s) (f ⁻¹' t) ↔ Disjoint s t


∀ {X Y : TwoP} (f : X ⟶ Y) (a : X.toBipointed.X), (TwoP.swap.map f).toFun a = f.toFun a


Context: b : Bool


Context:
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : HasTrivialRadical R L
h : IsLieAbelian L


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : ProbabilityTheory.Kernel α β

Context: E : Type u_4

Context: NormedAddCommGroup E

Context: ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ

Context: f : α → β → E

Context: hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable (Function.uncurry f)

MeasurableSet {x | MeasureTheory.Integrable (f x) (κ x)}


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ F

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace F

Context: inst✝ : BorelSpace F

Context: b : OrthonormalBasis ι ℝ F

Context: e_3✝ : MeasureSpace.toMeasurableSpace = inst✝¹

volume = map (⇑b.measurableEquiv.symm) (EuclideanSpace.basisFun ι ℝ).toBasis.addHaar


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: motive : (u v : V) → G.Walk u v → Sort u_1

Context: Hnil : {u : V} → motive u u SimpleGraph.Walk.nil

Context: Hconcat : {u v w : V} → (p : G.Walk u v) → (h : G.Adj v w) → motive u v p → motive u w (p.concat h)

Context: u : V

SimpleGraph.Walk.concatRec Hnil Hconcat SimpleGraph.Walk.nil = Hnil


Context:
i : Nat
α✝ : Type u_1
xs : List α✝
j : Nat
h₀ : i < xs.length
h₁ : xs.Nodup
h₂ : xs.get? i = xs.get? j


Context:
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
p x y : 𝕜


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J K L I : Ideal R
hI : I.IsPrime
s : Finset R


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: P : (x : CliffordAlgebra Q) → x ∈ evenOdd Q 1 → Prop

Context: ι : ∀ (v : M), P ((CliffordAlgebra.ι Q) v) ⋯

Context: add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q 1) (hy : y ∈ evenOdd Q 1), P x hx → P y hy → P (x + y) ⋯

Context: ι_mul_ι_mul : ∀ (m₁ m₂ : M) (x : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q 1), P x hx → P ((CliffordAlgebra.ι Q) m₁ * (CliffordAlgebra.ι Q) m₂ * x) ⋯

Context: x : CliffordAlgebra Q

Context: hx : x ∈ evenOdd Q 1

Context: ιv : CliffordAlgebra Q

∀ (h : ιv ∈ LinearMap.range (CliffordAlgebra.ι Q) ^ ZMod.val 1), P ιv ⋯


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: CategoryTheory.Category.{w', w} A

Context: J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C

Context: K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D

Context: ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F

Context: CategoryTheory.HasWeakSheafify J A

Context: CategoryTheory.HasWeakSheafify K A

Context: G.IsCocontinuous J K

Context: G.IsContinuous J K

Context: F : Dᵒᵖ ⥤ A

CategoryTheory.toSheafify J (G.op ⋙ F) ≫ ((G.pushforwardContinuousSheafificationCompatibility A J K).hom.app F).val =
  CategoryTheory.whiskerLeft G.op (CategoryTheory.toSheafify K F)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
h : g = ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
w δ' : ι → ℝ≥0
Hpos : ∀ (i : ι), 0 < δ' i
Hsum : ∑' (i : ι), ↑(δ' i) < ε
this : ∀ (i : ι), 0 < max 1 (w i)

∑' (i : ι), (fun i => ↑(w i)) i * ↑((fun i => δ' i / max 1 (w i)) i) < ε


Context: i₁ i₂ : String.Pos


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x y : ProjectiveSpectrum 𝒜


Context:
α : Type u
β : Type v
Fintype β
DecidableEq α
f : β → Set α
(w : β) → Fintype ↑(f w)

(⋃ x, f x).toFinset = Finset.univ.biUnion fun x => (f x).toFinset


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ = p₂


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
s : Submonoid M
t : Submonoid N


Context:
a : Nat
b c : Nat
h : b ≤ c


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: OrderedCommRing R

Context: StarRing R

Context: MetricSpace R

Context: TopologicalRing R

Context: ContinuousStar R

Context: ∀ (α : Type u_1) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)

Context: TopologicalSpace A

Context: Ring A

Context: StarRing A

Context: PartialOrder A

Context: StarOrderedRing A

Context: Algebra R A

Context: ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: NonnegSpectrumClass R A

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: f g : C(↑(spectrum R a), R)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_5
f : α → β
SeminormedAddCommGroup β
NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
c : ℝ
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
x : α


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra.FinitePresentation R A

Context: f : A →ₐ[R] S

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: t : Finset A

Context: ht : Ideal.span ↑t = ⊤

Context: H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Algebra.FinitePresentation R (Localization.Away (f ↑g))

Context: g : ↑↑t

Context: f' : Localization.Away ↑g →ₐ[R] Localization.Away (f ↑g) := Localization.awayMapₐ f ↑g

Context: this : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Algebra.FinitePresentation R (Localization.Away ↑g)

(ker (Localization.awayMap f.toRingHom ↑g)).FG


Context:
α : Type u_1
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α → σ
h : α → ℕ × σ → σ
hf : Computable f
hg : Computable g
hh : Computable₂ h

Computable fun a => Nat.rec (g a) (fun y IH => h a (y, IH)) (f a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
f : Fin 6 → β


Context:
K : Type u_3
DivisionMonoid K
HasDistribNeg K


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
h : Odd n


Context: x : ZFSet


Context:
x : ℂ
hx : x ≠ 0
y : ℂ


Context: L : FirstOrder.Language

Context: K : Set (CategoryTheory.Bundled L.Structure)

Context: M : Type w

Context: L.Structure M

Context: Countable ((l : ℕ) × L.Functions l)

Context: Countable M

Context: h : FirstOrder.Language.IsFraisseLimit K M


Context:
G : Type u_3
H : Type u_4
Sub G
Sub H
a b : G × H


Context:
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{u_9, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.45154, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.45158, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.45162, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_10, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.45174, u_7} D₃
W : MorphismProperty C
L₁ : C ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W
L₂ : C ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W
L₃ : C ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W
X Y Z : C
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y
g : L₁.obj Y ⟶ L₁.obj Z

(homEquiv W L₁ L₂) (f ≫ g) = (homEquiv W L₁ L₂) f ≫ (homEquiv W L₁ L₂) g


Context:
n : Type u_12
m : Type u_13
m' : Type u_15
R : Type u_17
CommSemiring R
Fintype n
Fintype m
DecidableEq n
DecidableEq m
Fintype m'
DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
M : Matrix m m' R

(LinearMap.toMatrix₂' R) B * M = (LinearMap.toMatrix₂' R) (B.compl₂ (Matrix.toLin' M))


Context: s t a b : ℝ

Context: hs : 0 < s

Context: ht : 0 < t

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: f : ℝ → ℝ → ℝ → ℝ := fun c u x => rexp (-c * x) * x ^ (c * (u - 1))

Context: e : (1 / a).IsConjExponent (1 / b)

Context: hab' : b = 1 - a

Context: hst : 0 < a * s + b * t

Context: posf : ∀ (c u x : ℝ), x ∈ Ioi 0 → 0 ≤ f c u x

Context: posf' : ∀ (c u : ℝ), ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ f c u x

Context: fpow : ∀ {c x : ℝ}, 0 < c → ∀ (u : ℝ), 0 < x → rexp (-x) * x ^ (u - 1) = f c u x ^ (1 / c)

Context: f_mem_Lp : ∀ {c u : ℝ}, 0 < c → 0 < u → Memℒp (f c u) (ENNReal.ofReal (1 / c)) (volume.restrict (Ioi 0))


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.IsTuranMaximal r

Context: l : r < h.finpartition.parts.card

Context: z : Finset V

Context: hz : Set.BijOn h.finpartition.part ↑z ↑h.finpartition.parts

Context: ncf : ¬G.CliqueFree h.finpartition.parts.card


Context:
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ≥0


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
L : Type u_3
W : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing L
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module L W
σ : K →+* L
τ : L →+* K
inst✝ : RingHomInvPair σ τ
f : V →ₛₗ[σ] W
hf : Function.Injective ⇑f
u : V
hu : u ≠ 0
v : V
hv : v ≠ 0
a : L
ha : a • f v = f u


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
q : Submodule R N
f : (i : ι) → Ms i →ₗ[R] N
hf : ∀ (i : ι), p i ≤ comap (f i) q
x : (i : ι) → Ms i

((piQuotientLift p q f hf) fun i => Quotient.mk (x i)) = Quotient.mk (((lsum R Ms R) f) x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α × β

(Equiv.prodSumDistrib α β γ).symm (Sum.inl a) = (a.1, Sum.inl a.2)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
i j : ι

(star (a.toBasis.toMatrix ⇑b) * a.toBasis.toMatrix ⇑b) i j = 1 i j


Context:
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c d : α
h : Set.uIcc a b ⊆ Set.uIcc c d


Context:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
h : E → 𝕜
S : Set E
hf : DifferentiableOn 𝕜 h S
hz : ∀ x ∈ S, h x ≠ 0


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: I : Type v

Context: CategoryTheory.SmallCategory I

Context: CategoryTheory.IsFiltered I

Context: F : CategoryTheory.Functor I C

Context: c : CategoryTheory.Limits.Cocone (F.comp CategoryTheory.yoneda)

Context: hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c

(CategoryTheory.Limits.IndObjectPresentation.ofCocone c hc).ℐ = inst✝


Context:
G : Type u_1
Group G
H K : Subgroup G
h : H ≤ K


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type u_2

Context: NormedAddCommGroup F

Context: NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type u_3

Context: AddCommGroup E

Context: Module 𝕜 E

Context: E' : Type u_4

Context: AddCommGroup E'

Context: Module 𝕜 E'

Context: f : E → F

Context: x : E'

Context: L : E' →ₗ[𝕜] E

Context: v : E'

Context: hf : LineDifferentiableAt 𝕜 (f ∘ ⇑L) x v


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} n → Type u_1

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: x : F α

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a ⟹ α

Context: xeq : abs ⟨a, f⟩ = x

Context: h : ∀ (i : Fin2 n) (a' : (P F).A) (f' : (P F).B a' ⟹ α), abs ⟨a', f'⟩ = x → f i '' univ ⊆ f' i '' univ

Context: p : (i : Fin2 n) → α i → Prop

Context: h' : ∀ (i : Fin2 n), ∀ u ∈ supp x i, p i u

Context: j : Fin2 n

Context: y : (P F).B a j


Context: J : Type w

Context: C : Type uC

Context: CategoryTheory.Category.{uC', uC} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: f : J → C

Context: t : CategoryTheory.Limits.Cone (CategoryTheory.Discrete.functor f)

Context: ht : CategoryTheory.Limits.IsLimit t

Context: j : J

(CategoryTheory.Limits.Bicone.ofLimitCone ht).π j = t.π.app { as := j }


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝ : Category.{v', u'} A

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hG : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → IsLimit (G.mapCone (Sieve.pullback f S).arrows.cocone.op)

Context: x : Presieve.FamilyOfElements (presheafHom F G) S.arrows

Context: hx : x.Compatible

∀ (y₁ y₂ : (presheafHom F G).obj (op X)), x.IsAmalgamation y₁ → x.IsAmalgamation y₂ → y₁ = y₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜 E'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0

(fun x => c • f' x) =o[l] g ↔ f' =o[l] g


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

IsClosed s ↔ ∀ (x : X) (u : Ultrafilter X), ↑u ≤ 𝓝 x → s ∈ u → x ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: AddCommMonoid ι

Context: DecidableEq ι

Context: CommRing R

Context: CommRing A

Context: Algebra R A

Context: 𝒜 : ι → Submodule R A

Context: GradedAlgebra 𝒜

Context: x : Submonoid A

Context: f : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x

Context: h : f.num = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: UniformSpace α

Context: Group α

Context: UniformGroup α

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: l' : Filter β

Context: f f' : ι → β → α

Context: g g' : β → α

Context: hf : TendstoUniformlyOnFilter f g l l'

Context: hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l l'

TendstoUniformlyOnFilter (f * f') (g * g') l l'


Context:
R : Type u_4
S : Type u_5
S' : Type u_6
Mul R
Mul S
Add R
Add S
Mul S'
Add S'
e₁ : R ≃+* S
e₂ : S ≃+* S'

(e₁.trans e₂).symm = e₂.symm.trans e₁.symm


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: e✝ : Trivialization F proj

Context: x : Z

Context: e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: x' : TotalSpace F E

Context: b : B

Context: y : E b

Context: inst✝ : (x : B) → Zero (E x)

Context: e : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: this : ∀ z ∈ e.baseSet ×ˢ univ, { proj := z.1, snd := e.symm z.1 z.2 } = ↑e.symm z

ContinuousOn (fun z => TotalSpace.mk' F z.1 (e.symm z.1 z.2)) (e.baseSet ×ˢ univ)


Context:
n k : Nat
h : n < n + k


Context:
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} J
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
F : J ⥤ C
j : J


Context: a✝ b✝ m n p a b : ℕ

Context: h : ∀ (p : ℕ), a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p

Context: hb0 : b ≠ 0

Context: pa : Prime a

Context: pb : Prime b


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : Module R N

Context: P : Type u

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: inst✝² : Module R P

Context: inst✝¹ : IsNoetherianRing R

Context: inst✝ : Module.Finite R N

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: k : ℕ

Context: hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)

Context: x : AdicCompletion I M

Context: a : AdicCauchySequence I M

Context: hx : (map I f) ((mk I M) a) = 0

Context: n : ℕ

Context: x✝ : n ≥ 42

↑a (n + k) ∈ Submodule.comap f (I ^ n • range f)


Context: a n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: hac : AddLECancellable (a - c)

Context: h : c ≤ a


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α'
inst✝³ : One β
inst✝² : One γ
inst✝¹ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x✝ : α
inst✝ : TopologicalSpace β
h'f : HasCompactMulSupport f
hf : Continuous f
k : Set β
hk : IsClosed k
h'k : 1 ∉ k
x : α
hx : x ∈ f ⁻¹' k


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure (s ∩ t)
x : 𝕜
H : 𝓝[s \ {x}] x = ⊥

derivWithin f s x ∈ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))


Context: α : Type u


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x

∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 x, ‖f x_1 - f x - f' (x_1 - x)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₀ p : P


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)

Context: x✝ y✝ z✝ : 𝕜

Context: hx : x✝ ∈ s

Context: hz : z✝ ∈ s

Context: hxy : x✝ < y✝

Context: hyz : y✝ < z✝


Context:
n : ℕ
a b : ZMod n

(a + b).cast = if ↑n ≤ a.cast + b.cast then a.cast + b.cast - ↑n else a.cast + b.cast


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: f : α → β

Context: y : α

Context: s : Multiset α

Context: ih : y ∈ s → map f (s.erase y) = (map f s).erase (f y)

Context: h : y ∈ y ::ₘ s

map f ((y ::ₘ s).erase y) = (map f (y ::ₘ s)).erase (f y)


Context:
R : Type u_1
F : Type u_3
AddCommGroup F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
Field R
Module R F
ContinuousConstSMul R F
x : F
t : R
ht : t ≠ 0


Context:
n a b : ℕ
hab : a.Coprime b
hn : IsPrimePow n


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: S : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: CategoryTheory.Limits.HasCokernel S.f

Context: hg : S.g = 0

(CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyData.ofHasCokernel S hg).π = CategoryTheory.Limits.cokernel.π S.f


Context:
α : Type u_1
r : ℕ


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : K[X]
hP : ¬P = 0

↑(Multiplicative.ofAdd (-↑((Associates.mk (Polynomial.idealX K).asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {P})).factors))) = ↑(Multiplicative.ofAdd (-↑((Associates.mk (idealX K).asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {↑P})).factors)))


Context:
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α

Function.IsFixedPt (⇑f) (OrderHom.gfp f)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
w x y z : P
h₁ : Wbtw R w x z
h₂ : Sbtw R x y z


Context:
α : Type u_2
CompleteLattice α
self : IsAtomistic α
b : α


Context:
R : Type u_1
Semiring R
a : R

(Polynomial.C a).mirror = Polynomial.C a


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
u : V
p : G.Walk u u


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoidWithZero R

Context: n✝ p✝ : R

Context: k n p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hn : p ∣ n

Context: hn₀ : n ≠ 0

Context: hq : ∀ (y : ℕ), Nat.Prime y → y ∣ n → y = p

n.primeFactorsList.Subperm (p ^ n.factorization p).primeFactorsList


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
f : α → β
m : ι → OuterMeasure β
s : Set α
hs : s.Nonempty
t : ℕ → Set β
ht : s ⊆ ⋃ i, f ⁻¹' t i
k : ℕ

⨅ i, (m i) (f '' (f ⁻¹' t k)) ≤ ⨅ i, (m i) (t k)


Context:
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝ : ∀ (a b : C), HasCoproductsOfShape (a ⟶ b) D

Context: c : C

Context: d : D

Context: F : C ⥤ D

Context: f : (evaluationLeftAdjoint D c).obj d ⟶ F

Context: x : C

Context: g : c ⟶ x

(Sigma.ι (fun x => d) g ≫ Sigma.desc fun h => (Sigma.ι (fun x => d) (𝟙 c) ≫ f.app c) ≫ F.map h) = Sigma.ι (fun x => d) g ≫ f.app x


Context:
α : Type u
s : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
a : α
H : a ∉ s
b : PUnit.{u + 1}

(Equiv.Set.insert H).symm (Sum.inr b) = ⟨a, ⋯⟩


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
n : ℕ
f : List α → β
r : List β

sublistsLenAux n l f r = map f (sublistsLen n l) ++ r


Context:
α : Type u
β : Type v
Preorder β
f : α → β
l : Filter α
a : α
l' : Filter α
h : IsMaxFilter f l a
hl : l' ≤ l


Context:
X : Type u
TopologicalSpace X
t : Set X
f : Filter X
ht : IsCompact t
hf : Disjoint f (Filter.cocompact X)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: CommRing R

Context: CommRing A

Context: Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: hm : 0 < m

Context:
q :
  ↑↑(AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceObj
          (CommRingCat.of (HomogeneousLocalization.Away 𝒜 f))).toPresheafedSpace

AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.FromSpec.carrier.asIdeal f_deg hm q ≠ ⊤


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x₀ : N

Context: f : N → M → M'

Context: g : N → M

Context: hf : ContMDiffAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (x₀, g x₀)

Context: hg : ContMDiffAt J I m g x₀

Context: hmn : m + 1 ≤ n

Context: h4f : ContinuousAt (fun x => f x (g x)) x₀

ContMDiffAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderiv I I' (f x) (g x)) x₀) x₀


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
ha : ∃ l, l < a

𝓝[≤] a = ⨅ l, ⨅ (_ : l < a), 𝓟 (Ioc l a)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Iio 0)

Context: hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Iio 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)

Context: hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C

Context: him : ∀ x ≤ 0, ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: z : ℂ

Context: hz_re : 0 ≤ z.re

Context: hz_im : 0 ≤ z.im

Context: H : MapsTo Neg.neg (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0) (Iio 0 ×ℂ Iio 0)


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
this✝ : DecidableEq α
this : DecidableEq β

∀ (g : (a : α) → a ∈ s → α), (∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a * f (g a ha) = 1) → (∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ≠ 1 → g a ha ≠ a) → ∀ (g_mem : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), g a ha ∈ s), (∀ (a : α) (ha : a ∈ s), g (g a ha) ⋯ = a) → ∏ x ∈ s, f x = 1


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y L : R

C (eval (C L * (X - C x) + C y) (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆))) = (Y - C (C L * (X - C x) + C y)) * (-Y - C (C W.a₁ * X + C W.a₃) - C (C L * (X - C x) + C y)) + (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hg : f =ᶠ[𝓝 x] g
r₁ : ℝ≥0∞
h₁ : HasFPowerSeriesOnBall f p x r₁


Context: C : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: inst✝³ : HasWeakSheafify J AddCommGrp

Context: inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp

Context: inst✝¹ : J.HasSheafCompose (forget₂ RingCat AddCommGrp)

Context: M N P : SheafOfModules R

Context: σ : M.GeneratingSections

Context: p : M ⟶ N

Context: inst✝ : Epi p


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: K L : HomologicalComplex C c

Context: φ : K ⟶ L

Context: i : ι

Context: K.HasHomology i

Context: L.HasHomology i

K.homologyπ i ≫ HomologicalComplex.homologyMap φ i = HomologicalComplex.cyclesMap φ i ≫ L.homologyπ i


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
f : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
i i' : ι
w : c.Rel i i'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Add α

Context: Preorder α

Context: Preorder β

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: f g : β → α

Context: hf : Monotone f

Context: hg : StrictMono g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 2 ≤ N
hN' : N ≤ 4096


Context: i : Nat


Context:
X : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : SeparableSpace X
inst✝¹ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
h : 𝔠 ≤ #↑s
t : Set X
htc : t.Countable
htd : Dense t
this : Countable ↑t


∀ {α : Type u_1} {l₁ l₂ : List α}, l₁ <:+ l₂ → l₁ <:+: l₂


Context: α : Type u

Context: AddCommGroup α

Context: Preorder α

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c d : α

Context: hab : a ≤ b

Context: hcd : c ≤ d


Context: x : ℝ


Context: a t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: this : HasSum (fun n => -I * ↑↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑n) * ↑(rexp (-π * ↑↑n ^ 2 * t)) + -I * ↑(-↑n) * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑n)) * ↑(rexp (-π * ↑(-↑n) ^ 2 * t))) ↑(sinKernel (↑a) t)

HasSum (fun x => ↑(2 * ↑x * Real.sin (2 * π * a * ↑x) * rexp (-π * ↑x ^ 2 * t))) ↑(sinKernel (↑a) t)


Context:
R : Type u
CommRing R
I J : Ideal R
h : I ≤ J

Ideal.comap (Ideal.Quotient.mk I) (Ideal.map (Ideal.Quotient.mk I) J) = J


Context:
X : Type u_1
x : X

((FundamentalGroupoid.equiv X).symm x).as = x


Context:
z : ℂ
x : ℝ


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ ν : Measure α✝

Context: α : Type u_5

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hf_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ

Context: hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))

Context: hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i => f i a

Context: h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), F a ≤ f i a

Context: h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤

Context: h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤

∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))


Context:
i n : ℕ
hi : 2 ≤ i
hn : 1 ≤ n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : l.length ≤ n - 1


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Tendsto (fun n => ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n) atTop (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
CommMonoid α
k p : ℕ
f : ℕ → α
h : Nat.Prime p

∏ x ∈ (p ^ k).properDivisors, f x = ∏ x ∈ Finset.range k, f (p ^ x)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝² : IsFilteredOrEmpty D

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)

Context: this : IsFilteredOrEmpty C


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
h₁ : p % 8 % 2 = 1
h₂ : p % 8 < 8


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M


Context: x : ℝ

Real.cos x ^ 2 = 1 / 2 + Real.cos (2 * x) / 2


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: X Y : C

Context: CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y

CategoryTheory.IsPushout 0 0 CategoryTheory.Limits.biprod.inl CategoryTheory.Limits.biprod.inr


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
c : α
s : Finset α
hS : s.Nontrivial


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_3

Context: Fintype ι

Context: (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)

Context: ∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)

Context: (i : ι) → PartialOrder (α i)

Context: ∀ (i : ι), MeasureTheory.NoAtoms (μ i)

Context: f : (i : ι) → α i

(Set.univ.pi fun i => Set.Iio (f i)) =ᵐ[MeasureTheory.Measure.pi μ] Set.Iic f


Context:
α : Type u_2
Mul α
IsLeftCancelMul α
DecidableEq α
t : Finset α
s : Finset α
hs : s.Nonempty


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_5
CommSemiring R
Finite ι

(Pi.basisFun R ι).toMatrix = Matrix.transpose


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ

(c ∈ Set.Ico a (a + p) ∧ ∃ z, b - z • p = c) → toIcoMod hp a b = c


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
x : α
E : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
s : Finset ι
t : Finset ι'
f : ι × ι' → α

(s.product t).SupIndep f ↔ (s.SupIndep fun i => t.sup fun i' => f (i, i')) ∧ t.SupIndep fun i' => s.sup fun i => f (i, i')


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
f g : Filter β
f.NeBot
g.NeBot


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: e : C ≌ D

Context: G : D ⥤ C

Context: A✝ : Type u₃

Context: inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} A✝

Context: inst✝⁴ : TransportsGrothendieckTopology J K e

Context: inst✝³ : HasSheafify K A✝

Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} A

Context: B : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} B

Context: F : A ⥤ B

Context: inst✝ : K.HasSheafCompose F

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hP : Presheaf.IsSheaf J P

Context: hP' : Presheaf.IsSheaf K (e.inverse.op ⋙ P ⋙ F)


Context:
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
s✝ s : ℕ → Set Ω
ω : Ω
n : ℕ

(s (n + 1)).indicator (fun a => ‖1 a‖) ω ≤ 1


Context:
y z : ℝ
hyz : z < y
x : ℝ≥0
hx0 : 0 < ↑x
hx1 : ↑x < 1


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
C : Type u_6
inst✝ : CommGroup C
s t : Subgroup C
y : C
hy : y ∈ s
z : C
hz : z ∈ t


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
Zero R


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
t : Finset M
h : (↑t).Finite


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
f : E ≃L[𝕜] E'
x : E


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C

Context: CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C

Context: X Y : CategoryTheory.Dial C


Context:
R : Type u_2
CommSemiring R
a : R


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
q : Seminorm 𝕜 E
hq : Continuous ⇑q


Context:
ι : Type u_6
DecidableEq ι
i : ι
Y : ι → Type u_7
(j : ι) → TopologicalSpace (Y j)
f : (j : ι) → Y j

(Homeomorph.piSplitAt i Y) f = (f i, fun j => f ↑j)


Context: α : Type u_1

Context: a b : PosNum

Context: this : Ordering.casesOn (a.cmp b) (↑a < ↑b) (a = b) (↑b < ↑a)

Ordering.casesOn ((pos a).cmp (pos b)) (↑(pos a) < ↑(pos b)) (pos a = pos b) (↑(pos b) < ↑(pos a))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: f : Filter α

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: a : α

Context: hf : autoParam (IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) f) _auto✝

Context: h : a < f.limsSup


Context:
n : ℕ
R : Type u_1
AddGroupWithOne R
S : Type u_2
AddGroupWithOne S
a : ZMod n


Context: b : Bool


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A

∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal


Context: R : Type u

Context: CommRing R

Context: IsDedekindDomain R

Context: K : Type v

Context: Field K

Context: Algebra R K

Context: IsFractionRing R K

Context: v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R

Context: x : Rˣ

v.valuationOfNeZero ((Units.map ↑(algebraMap R K)) x) = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
t : Set α
h : Set.InjOn f s


Context:
α : Sort u
op : α → α → α
self : Std.Commutative op
a b : α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : Subsingleton F


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s

(μ.withDensity f) s = ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ


Context:
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
r : R
x : CliffordAlgebra Q


Context:
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace X
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G X
inst✝³ : IsometricSMul G X
inst✝² : DivInvMonoid M
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace M
inst✝ : IsometricSMul Mᵐᵒᵖ M
a b c : M


Context: a b c : ℝ≥0∞


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
U : ι → Set β
hU : iUnion U = univ

Bijective f ↔ ∀ (i : ι), Bijective ((U i).restrictPreimage f)


Context:
R : Type u_4
NormedRing R
CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1

‖∑' (n : ℕ), x ^ n‖ ≤ ‖1‖ - 1 + (1 - ‖x‖)⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: x y : Finset α × Finset α

Context: s t : Finset α

Context: hs : s.Nonempty

Context: ht : t.Nonempty

Context: ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1

Context: hst : s.card ≤ t.card

Context: a : α

Context: ha : a ∈ ↑s

Context: b : α

Context: hb : b ∈ ↑s

Context: hab : a ≠ b

Context: g : α

Context: hg : g ≠ 1

Context: hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty

Context: hsg : (s ∩ op g • s).card < s.card

Context: aux1 : ((mulETransformLeft g (s, t)).1 * (mulETransformLeft g (s, t)).2).card ≤ ((s, t).1 * (s, t).2).card

minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: MeasurableSpace α

Context: TopologicalSpace β

Context: TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace β

Context: MeasurableSpace β

Context: BorelSpace β

Context: ι : Type u_3

Context: Countable ι

Context: Nonempty ι

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: f : ι → α → β

Context: L : Filter ι

Context: L.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ

Context: h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Filter.Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 l)

∃ f_lim, Measurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 (f_lim x))