Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b✝ b : β
x : α
y : β

(x, y) ∈ s ×ˢ {b} ↔ (x, y) ∈ map { toFun := fun i => (i, b), inj' := ⋯ } s


Context:
α : Type u_1
DivisionCommMonoid α
a b c : α


Context:
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
M : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (M i)
(i : ι) → Module R (M i)
b : R
v : DirectSum ι fun i => M i
i : ι


Context: L : Type u_1

Context: TopologicalSpace L

Context: ι : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → α → L

Context: l : Filter α

Context: g : ι → L

Context: SemilatticeSup L

Context: OrderBot L

Context: ContinuousSup L

Context: hs : ∀ i ∈ s, Filter.Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))

Filter.Tendsto (fun a => s.sup fun x => f x a) l (𝓝 (s.sup g))


Context:
n m : Nat
h : n ≤ m
k : Nat


Context:
R : Type u
CommSemiring R
x : R


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L

LieIdeal.map f ⁅I₁, I₂⁆ ≤ ⁅LieIdeal.map f I₁, LieIdeal.map f I₂⁆


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_6
Monoid R
Monoid S
σ : R → S
MulAction R M
MulAction S N
F : Type u_7
h : F
FunLike F M N
MulActionSemiHomClass F σ M N
c : R
t : Set N
hc : IsUnit c
hc' : IsUnit (σ c)


Context:
α : Type u_1
l : Filter α
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s

l.Subsingleton ↔ ∃ i, p i ∧ (s i).Subsingleton


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: X Y : SimplicialObject C

Context: n : ℕ

Context: P : Type := Fin (n + 2) × Fin (n + 3)

Context: S : Finset P := Finset.filter (fun ij => ↑ij.2 ≤ ↑ij.1) Finset.univ

Context: φ : (ij : P) → ij ∈ S → P := fun ij hij => (ij.2.castLT ⋯, ij.1.succ)

∀ b ∈ Sᶜ, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ S), φ a ha = b


Context:
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f g : α → β
a : α
h : IsLocalMin f a
heq : f =ᶠ[𝓝 a] g


Context:
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
R1Space α
OpensMeasurableSpace α
h : μ.InnerRegular


Context:
p : Prop
Decidable p


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: e✝ : Trivialization F proj

Context: x✝ : Z

Context: e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: x' : TotalSpace F E

Context: b✝ : B

Context: y : E b✝

Context: e : Trivialization F proj

Context: b : B

Context: h : b ∈ e.baseSet

Context: x : F


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ : Set E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
x y : E
s t : Set E


Context:
α : Type u_2
DecidableEq α
AddMonoid α
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y

Context: I : (S.bind T).Arrow


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]

p * q = ∑ i ∈ p.support, q.sum fun j a => (monomial (i + j)) (p.coeff i * a)


Context:
α : Type u_2
SemilatticeInf α
OrderTop α


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x y : FreeCommRing α
s✝ t : Set α
i✝ : ℤ
s : Set α
i : ℕ
hi : (↑↑i).IsSupported s


Context:
K : Type uK
Field K
V₁ : Type uV₁
AddCommGroup V₁
Module K V₁


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: S : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: hf : S.f = 0

Context: S.HasHomology

CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.asIsoHomologyπ hf).inv S.homologyπ = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.homology


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D₁ : Type u_3

Context: D₂ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C₁

Context: inst✝⁶ : Category.{u_8, u_2} C₂

Context: inst✝⁵ : Category.{u_5, u_3} D₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u_7, u_4} D₂

Context: G : C₁ ⥤ C₂

Context: F : C₂ ⥤ C₁

Context: adj : G ⊣ F

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: inst✝² : L₂.IsLocalization W₂

Context: G' : D₁ ⥤ D₂

Context: F' : D₂ ⥤ D₁

Context: inst✝¹ : CatCommSq G L₁ L₂ G'

Context: inst✝ : CatCommSq F L₂ L₁ F'

Context: X₁ : C₁

Context: this : Lifting L₁ W₁ ((G ⋙ F) ⋙ L₁) (G' ⋙ F') := { iso' := CatCommSq.iso'.symm }

(ε adj L₁ W₁ L₂ G' F').app (L₁.obj X₁) = L₁.map (adj.unit.app X₁) ≫ (CatCommSq.iso F L₂ L₁ F').hom.app (G.obj X₁) ≫ F'.map ((CatCommSq.iso G L₁ L₂ G').hom.app X₁)


Context:
α : Type u_1
f : ℕ → ℝ≥0
k : ℕ
a : ℝ≥0

HasSum (fun n => ↑(f n)) (↑a + ∑ i ∈ Finset.range k, ↑(f i)) ↔ HasSum f (a + ∑ i ∈ Finset.range k, f i)


Context:
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
χ : DirichletCharacter R 1


Context:
β : Type v
π : β → Type u_2
Fintype β
(b : β) → PseudoEMetricSpace (π b)
s : (b : β) → Set (π b)
c : ℝ≥0∞
h : ∀ (b : β), EMetric.diam (s b) ≤ c


Context:
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
β₁ : ι₁ → Type u_6
β₂ : ι₂ → Type u_7
(i₁ : ι₁) → UniformSpace (β₁ i₁)
(i₂ : ι₂) → UniformSpace (β₂ i₂)
e : ι₁ ≃ ι₂
F : (i₁ : ι₁) → β₁ i₁ ≃ᵤ β₂ (e i₁)

(UniformEquiv.piCongr e F).toEquiv = (Equiv.piCongrRight fun i => (F i).toEquiv).trans (Equiv.piCongrLeft β₂ e)


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
l : Filter α
CountableInterFilter l
β : Type u_2
MeasurableSpace β
f g : α → β
hf : Measurable f
hgf : g =ᶠ[l] f


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
b : Y
hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b

f ⁻¹' s ∈ 𝓝 a


Context: ι : Type u

Context: β : ι → Type v

Context: ι₁ : Type u₁

Context: DecidableEq ι₁

Context: β₁ : ι₁ → Type v₁

Context: (i₁ : ι₁) → Zero (β₁ i₁)

Context: (i : ι₁) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: (i : ι) → AddCommMonoid (β i)

Context: f : Π₀ (i₁ : ι₁), β₁ i₁

Context: g : (i₁ : ι₁) → β₁ i₁ → Π₀ (i : ι), β i

Context: i₂ : ι

(f.sum g) i₂ = f.sum fun i₁ b => (g i₁ b) i₂


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)

Context: hre : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun x => ‖f ↑x‖

Context: him : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: hz : 0 ≤ z.re

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : ε < 0

Context: g : ℂ → E := fun z => cexp (↑ε * z) • f z

Context: hd : DiffContOnCl ℂ g {z | 0 < z.re}

Context: hgn : ∀ (z : ℂ), ‖g z‖ = expR (ε * z.re) * ‖f z‖


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
f : Filter X
hf : ∀ x ∈ s, sᶜ ∈ 𝓝 x ⊓ f


Context:
α : Type u_1
f : α → α
x : α
m : ℕ
hm : Function.IsPeriodicPt f m x
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
Semiring R
φ : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
(i : ι) → Module R (φ i)
DecidableEq ι
i : ι

LinearMap.proj i ∘ₗ LinearMap.stdBasis R φ i = LinearMap.id


Context:
α : Type u_1
EMetricSpace α
s : Set α
hs : s.Finite

∃ C > 0, ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → C ≤ edist x y


Context:
n : Type u_2
𝕜 : Type u_4
Fintype n
RCLike 𝕜
DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
x : n → 𝕜

(((Matrix.toLinearMap₂' 𝕜) A) (star x)) x = 0 ↔ (Matrix.toLin' A) x = 0


Context:
α : Type u_1
LE α
s t : LowerSet α


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: x✝ y z : X

Context: ι : Type u_3

Context: F : Set X

Context: p : ι → Prop

Context: s : X → ι → Set X

Context: h : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis p (s x)

Context: h' : ∀ (x : X) (i : ι), p i → IsPathConnected (s x i)

Context: x : X

∀ (i' : Set X), i' ∈ 𝓝 x ∧ IsPathConnected i' → ∃ i, p i ∧ s x i ⊆ id i'


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝¹¹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝¹⁰ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜 E
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : Module E F
inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝⁵ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝⁴ : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝³ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝² : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f✝ : 𝕜 → E
g✝ : 𝕜 → F
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 E E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : Semiring R

Context: l : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : DecidableEq m

Context: M : Matrix m n R

Context: this : DecidableEq m := Classical.decEq m

span R (Set.range fun x => Pi.single x 1 ᵥ* M) = span R (Set.range M)


Context: a b : Prop

¬(a → b) → ¬¬a


Context:
α : Type u_2
G : Type u_4
TopologicalSpace α
Group G
MulAction G α
ContinuousConstSMul G α
c : G


Context:
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁵ : Group G✝
inst✝⁴ : TopologicalGroup G✝
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : ContinuousMul G
g h : G
hg : g ∈ connectedComponent 1
hh : h ∈ connectedComponent 1
hmul : g ∈ connectedComponent (g * h)


Context:
a b c : ℕ
P : ℕ → Prop
h : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n
base : ∃ n, ∀ m > n, P m
step : ∀ (n : ℕ), (∀ m > n, P m) → P n
n : ℕ

∀ (n : ℕ), (fun n => ∀ m ≥ n, P m) (n + 1) → (fun n => ∀ m ≥ n, P m) n


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
f : Filter β
u : β → α
a : α

Tendsto (Prod.mk a ∘ u) f (𝓤 α) ↔ Tendsto (fun x => (a, u x)) f (𝓤 α)


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
h : ↑j < ↑k


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δ : ℝ

Context: δ_pos : 0 < δ

Context: E : Set α

Context: f : α → ℝ≥0 × ℝ≥0∞ := fun x => (1, infEdist x E / ENNReal.ofReal δ)

Context: sub : ℝ≥0 × ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun p => ↑p.1 - p.2


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
r : ℝ
ha : 0 ≤ r
f : ι → ℝ


Context:
A : Type u_5
NormedRing A
a b : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
f : ℝ → A
hf : IntervalIntegrable f μ a b
c : A

IntervalIntegrable (fun x => f x * c) μ a b


Context:
α : Type u_1
s : Finset α
a✝ a : α
ha : a ∉ s


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝¹ : HasAffineProperty P Q

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsAffine Y

Context: this✝ : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P

Context: this : ∀ (i : (Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 Y)).J), IsAffine ((Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 Y)).obj i)

(∀ (i : ((Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 Y)).pullbackCover f).J), Q ((Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 Y)).pullbackHom f i)) ↔ Q f


Context: α : Type u_2

Context: OrderedAddCommMonoid α

Context: s t : Multiset α

Context: h : Multiset.Rel (fun x x_1 => x ≤ x_1) s t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l₁ l₂ : Filter α

l₁ ⤳ l₂ ↔ l₁ ≤ l₂


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝ : DecidableEq m
i✝ : n
j✝ : m

(if j✝ = i then b i✝ else Mᵀ i✝ j✝) = if j✝ = i then b i✝ else M j✝ i✝


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_3

Context: Fintype ι

Context: (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → MeasureTheory.Measure (α i)

Context: ∀ (i : ι), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)

Context: i : ι

Filter.Tendsto (Function.eval i) (MeasureTheory.ae (MeasureTheory.Measure.pi μ)) (MeasureTheory.ae (μ i))


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
g : TensorAlgebra R M →ₐ[R] A

g.toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R = f ↔ g = (TensorAlgebra.lift R) f


Context:
S : Type u_3
AddGroup S
Mul S
t : RingCon S
a b c d : S
h : t a b
h' : t c d


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: n : ℕ

Context: f : ℕ → α

Context: hf : ∀ i < n, f i ∈ s

Context: f_inj : ∀ i < n, ∀ j < n, f i = f j → i = j

Context: hs : autoParam s.Finite _auto✝


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_subset : (fixedBy α g)ᶜ ⊆ s


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
bg : β ≃ γ
e : α ≃ β

((Equiv.refl α).equivCongr bg) e = e.trans bg


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: F : X → ℝ → E

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: a b a₀ b₀ : ℝ

Context: x₀ : X

Context: hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))

Context: h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t

Context: bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b

Context: h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀

Context: ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b

Context: hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b

Context: hμb₀ : μ {b₀} = 0

Context: hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b

Context: Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀

Context: Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀

ContinuousAt (fun p => ∫ (t : ℝ) in a₀..p.2, F p.1 t ∂μ) (x₀, b₀)


Context:
α : Type u
PartialOrder α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
hab : a ≤ b


Context:
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤

∀ᵐ (x : G) ∂μ', ν' ((fun y => y * x) ⁻¹' s) < ⊤


Context:
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
s : Set G₀
a b : G₀


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
OrderedAddCommGroup β
f₁ f₂ : ι → α
g : ι → β
h₁ : Antivary f₁ g
h₂ : Monovary f₂ g


Context: M : Type u_1

Context: Add M

Context: Preorder M

Context: CovariantClass M M (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Set M

Context: hs : BddAbove s

Context: ht : BddAbove t


Filter.Tendsto Real.Wallis.W Filter.atTop (𝓝 (π / 2))


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x : α
δ : ℝ
E : Set α


Context:
A : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} T
A' : Type u_1
B' : Type u_2
T' : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.25322, u_1} A'
inst✝¹ : Category.{?u.25326, u_2} B'
inst✝ : Category.{?u.25330, u_3} T'
L : A ⥤ T
R : B ⥤ T
L₁ L₂ L₃ : A ⥤ T
R₁ R₂ R₃ : B ⥤ T
L' : A' ⥤ T'
R' : B' ⥤ T'
F₁ : A ⥤ A'
F₂ : B ⥤ B'
F : T ⥤ T'
α : F₁ ⋙ L' ⟶ L ⋙ F
β : R ⋙ F ⟶ F₂ ⋙ R'
X Y : Comma L R
φ : X ⟶ Y

α.app X.left ≫ (L ⋙ F).map φ.left ≫ F.map Y.hom ≫ β.app Y.right = α.app X.left ≫ F.map X.hom ≫ (R ⋙ F).map φ.right ≫ β.app Y.right


Context:
α : Type u
Semiring α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν ν' : Measure α

Context: inst✝² : SigmaFinite μ

Context: inst✝¹ : SigmaFinite ν

Context: inst✝ : SigmaFinite ν'

Context: hμν' : μ ⟂ₘ ν'

Context: hνν' : ν ⟂ₘ ν'

Context: h_ac : ν ≪ ν + ν'

Context: h₁ : (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae (ν + ν')] (μ.singularPart ν).rnDeriv (ν + ν') + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν + ν')

Context: h₂ : (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν).rnDeriv ν + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν

(μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1

(∡ p₃ p₁ p₂).cos * dist p₁ p₃ = dist p₁ p₂


Context: x : SetTheory.PGame


Context:
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
s t : Submodule R M
Module.Finite R ↥t
hst : s ≤ t

FiniteDimensional.finrank R ↥s ≤ FiniteDimensional.finrank R ↥t


Context:
n : ℕ
NeZero n
a : Fin n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: f : H → H'

Context: s : Set H

Context: hf : ContMDiffOn I I' n f s

Context: hmn : m + 1 ≤ n

Context: hs : UniqueMDiffOn I s

Context: m_le_n : m ≤ n

Context: one_le_n : 1 ≤ n

Context: U' : UniqueDiffOn 𝕜 (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' s)

Context: p : TangentBundle I H

Context: q : TangentBundle I' H'

ContDiffOn 𝕜 m (fun p => (↑I' (f (↑I.symm p.1)), (mfderivWithin I I' f s (↑I.symm p.1)) p.2)) ((range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' s) ×ˢ univ)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q R : C
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
a : Pseudoelement P
x : Over P

Over.mk (x.hom ≫ f ≫ g) ≈ Over.mk ((Over.mk (x.hom ≫ f)).hom ≫ g)


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α


Context:
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e : M ≃ₛₗ[σ] M₂


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: V : ℕ → Set (α × α)

Context: hV : ∀ (n : ℕ), V n ∈ 𝓤 α

Context: u : ℕ → α

Context: a : α

Context: hu : Tendsto u atTop (𝓝 a)

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ b ≥ n, b ∈ u ⁻¹' ball a (Prod.swap ⁻¹' V 0)

Context: φ : ℕ → ℕ

Context: φ_mono : StrictMono φ

Context: hφV : ∀ (n_1 : ℕ), ((u ∘ fun a => a + n) (φ (n_1 + 1)), (u ∘ fun a => a + n) (φ n_1)) ∈ V (n_1 + 1)

∃ φ, StrictMono φ ∧ (u (φ 0), a) ∈ V 0 ∧ ∀ (n : ℕ), (u (φ (n + 1)), u (φ n)) ∈ V (n + 1)


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B

Context: s : Set A

Context: p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop

Context: a : A

Context: ha : a ∈ adjoin R s

Context: mem : ∀ (x : A) (hx : x ∈ s), p x ⋯

Context: add : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯

Context: zero : p 0 ⋯

Context: mul : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯

Context: smul : ∀ (r : R) (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (r • x) ⋯

Context: star : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (Star.star x) ⋯


Context: n : ℕ

Context: m : ℤ

Context: hnpos : 0 < n

Context: N : ℤ

Context: D : ℕ

Context: P : D ≠ 0

Context: C : N.natAbs.Coprime D

Context: hxr : ↑{ num := N, den := D, den_nz := P, reduced := C } ^ n = ↑m

Context: hv : ¬∃ y, ↑{ num := N, den := D, den_nz := P, reduced := C } = ↑y


Context:
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : Matrix.SpecialLinearGroup n R
m : ℕ


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace δ
f : SpectralMap γ δ
g : SpectralMap β γ
h : SpectralMap α β


Context: E : Type u_2

Context: NormedAddCommGroup E

Context: v : ℝ → E → E

Context: tMin t₀ tMax : ℝ

Context: x₀ : E

Context: L : ℝ≥0

Context: R C : ℝ

Context: self : IsPicardLindelof v tMin t₀ tMax x₀ L R C

Context: x : E

x ∈ Metric.closedBall x₀ R → ContinuousOn (fun t => v t x) (Set.Icc tMin tMax)


Context:
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
σ : Equiv.Perm α
h : σ.IsThreeCycle


Context: m n : ℤ


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: P : {a b : α} → Relation.TransGen r a b → Prop

Context: a b : α

Context: h : Relation.TransGen r a b

Context: base : ∀ {a b : α} (h : r a b), P ⋯

Context: ih : ∀ {a b c : α} (h₁ : Relation.TransGen r a b) (h₂ : Relation.TransGen r b c), P h₁ → P h₂ → P ⋯


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v✝ : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: v : ι → M

Context: hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), (∀ i ∉ s, g i = 0) → ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0

Context: w : ι → Rˣ

Context: s : Finset ι

Context: g : ι → R

Context: hgs : ∀ i ∉ s, g i = 0

Context: hsum : ∑ i ∈ s, g i • (w • v) i = 0

Context: i : ι


Context: a b : ℤ

Finset.Icc a b = Finset.map (Nat.castEmbedding.trans (addLeftEmbedding a)) (Finset.range (b + 1 - a).toNat)


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v, u₁} C
D : CategoryTheory.GlueData C


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : E → F

Context: h'f : Function.HasTemperateGrowth (fderiv ℝ f)

Context: hf : Differentiable ℝ f

Context: k : ℕ

Context: C : ℝ

Context: h : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k


Context:
ι : Type u_1
Fintype ι
M : Type u_2
AddCommGroup M
R : Type u_3
CommRing R
Module R M
b : ι → M
DecidableEq ι
r : R

Matrix.Represents b ((algebraMap R (Matrix ι ι R)) r) ((algebraMap R (Module.End R M)) r)


Context:
α : Type u_1
LE α
a : WithBot α
b : WithTop αᵒᵈ

a ≤ WithTop.ofDual b ↔ b ≤ WithBot.toDual a


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
s : Set M
Zero M'


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: W₁ W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C

Context: data : W₁.FunctorialFactorizationData W₂

Context: X Y X' Y' : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : X' ⟶ Y'

Context: φ : CategoryTheory.Arrow.mk f ⟶ CategoryTheory.Arrow.mk g

CategoryTheory.CategoryStruct.comp (data.mapZ φ) (data.factorizationData g).p =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (data.factorizationData f).p φ.right


Context:
α : Type u_1
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
u : β → α
l₁ l₂ : LowerAdjoint u


Context:
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S

(Localization.mulEquivOfQuotient f).symm (f.mk' x y) = Localization.mk x y


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C

(Comon_.Comon_EquivMon_OpOp C).unitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun x => CategoryTheory.Iso.refl ((𝟭 (Comon_ C)).obj x)) ⋯


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: A : Type u

Context: inst✝⁹ : CommSemiring A

Context: inst✝⁸ : Algebra R A

Context: B : Type u

Context: inst✝⁷ : Semiring B

Context: inst✝⁶ : Algebra R B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A B

Context: inst✝³ : FormallyUnramified R A

Context: inst✝² : FormallyUnramified A B

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing C

Context: inst✝ : Algebra R C

Context: I : Ideal C

Context: hI : I ^ 2 = ⊥

Context: f₁ f₂ : B →ₐ[R] C

Context: e : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₂

Context: e' : f₁.comp (IsScalarTower.toAlgHom R A B) = f₂.comp (IsScalarTower.toAlgHom R A B)

Context: this : Algebra A C := (f₁.comp (IsScalarTower.toAlgHom R A B)).toAlgebra

Context: F₁ : B →ₐ[A] C := { toRingHom := f₁.toRingHom, commutes' := ⋯ }


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S

Context: f✝ : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝¹⁶ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Field K

Context: inst✝¹⁴ : Algebra R K

Context: hRK : IsFractionRing R K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹³ : Field L

Context: inst✝¹² : Algebra S L

Context: inst✝¹¹ : IsFractionRing S L

Context: V : Type u_3

Context: V' : Type u_4

Context: V'' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁹ : Module R V

Context: inst✝⁸ : Module K V

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R K V

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup V'

Context: inst✝⁵ : Module R V'

Context: inst✝⁴ : Module S V'

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S V'

Context: inst✝² : AddCommGroup V''

Context: inst✝¹ : Module R V''

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: hRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤

Context: f : V'' →ₗ[R] V

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: f' : V'' →ₗ[R] V'

Context: ι : Type u_6

Context: b : ι → V''

Context: s : Finset ι

Context: g : ι → K

Context: eq : ∑ i ∈ s, g i • (⇑f ∘ b) i = 0

Context: j' : ι

Context: hj's : j' ∈ s

Context: hj'g : ¬g j' = 0

Context: a : K

Context: j : ι

Context: hjs : j ∈ s

Context: hgI✝ : a * g j ∉ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))

Context: g'' : (i : ι) → i ∈ s → R

Context: hg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), (algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i

Context: this : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable

Context: g' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0

Context: hg' : ∀ i ∈ s, (algebraMap R K) (g' i) = a * g i

Context: hgI : (algebraMap R S) (g' j) ≠ 0

∑ i ∈ s, (fun i => (algebraMap R S) (g' i)) i • (⇑f' ∘ b) i = 0


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f' : Y ≃ₜ Z
f'' : Z ≃ₜ Z'

(e.transHomeomorph f').transHomeomorph f'' = e.transHomeomorph (f'.trans f'')


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: X : C

Context: S : CategoryTheory.Sieve X

Context: s : CategoryTheory.Limits.Cocone S.arrows.diagram


Context:
G : Type u_1
SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
SeminormedAddCommGroup H


Context:
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
hs : a ∈ s ↔ b ∈ s
x : α
hx : x ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: MeasurableSpace Ω

Context: StandardBorelSpace Ω

Context: Nonempty Ω

Context: MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α β

Context: κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × Ω)

Context: ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set Ω

Context: ht : MeasurableSet t

∫⁻ (b : β) in s, (κ.condKernel (a, b)) t ∂κ.fst a = (κ a) (s ×ˢ t)


Context:
δ : ℝ
x : UnitAddCircle
n : ℕ
hn : 0 < n

x ∈ approxAddOrderOf UnitAddCircle n δ ↔ ∃ m < n, gcd m n = 1 ∧ ‖x - ↑(↑m / ↑n)‖ < δ


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : CompactSpace G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a✝ : ℕ → α
inst✝ : Archimedean α
a x : α
hx1 : |x| < 1

IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, a * x ^ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: l : Filter α

Context: f : l.Germ β

Context: g : l.Germ γ

Context: h : l.Germ δ

Context: p : l.Germ β → l.Germ γ → l.Germ δ → Prop

Context: H : ∀ (f : α → β) (g : α → γ) (h : α → δ), p ↑f ↑g ↑h


Context:
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
Algebra.IsSeparable F E
S : Set E
q : ℕ
ExpChar F q

IntermediateField.adjoin F S = IntermediateField.adjoin F ((fun x => x ^ q) '' S)


Context:
M : Type w
A : Set M
L : FirstOrder.Language
L.Structure M
α : Type u₁
f g : Set (α → M)
hf : A.Definable L f
hg : A.Definable L g


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℂ E


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: M✝ : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommSemiring P

Context: N✝ : Submonoid S

Context: T : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommSemiring T

Context: inst✝⁴ : Algebra R T

Context: M N : Submonoid R

Context: h : M ≤ N

Context: inst✝³ : IsLocalization M S

Context: inst✝² : IsLocalization N T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: y : T

Context: x : R

Context: s : ↥N

Context: e : y * (algebraMap R T) ↑(x, s).2 = (algebraMap R T) (x, s).1

∃ x, y * (algebraMap S T) ↑x.2 = (algebraMap S T) x.1


Context: P : {α β : Type u} → [inst : TopologicalSpace α] → [inst : TopologicalSpace β] → (α → β) → Prop

Context: hP₁ : ∀ {α β : Type u} [inst : TopologicalSpace α] [inst_1 : TopologicalSpace β] (f : α ≃ₜ β), P ⇑f

Context:
hP₂ :
  ∀ {α β γ : Type u} [inst : TopologicalSpace α] [inst_1 : TopologicalSpace β] [inst_2 : TopologicalSpace γ] (f : α → β)
    (g : β → γ), P f → P g → P (g ∘ f)

(AlgebraicGeometry.topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P).RespectsIso


Context:
G : Type u_1
Group G


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : StrictOrderedSemiring R
a x y : R
n m : ℕ
h₀ : 0 < a
h₁ : a < 1
hn : 1 < n


Context:
C : Type u₁
W : Type (v + 1)
CategoryTheory.Category.{v, v + 1} W
CategoryTheory.MonoidalCategory W
CategoryTheory.EnrichedCategory W C
X : CategoryTheory.ForgetEnrichment W C

CategoryTheory.ForgetEnrichment.of W (CategoryTheory.ForgetEnrichment.to W X) = X


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
MetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K

∃ δ, (∀ (x : X), 0 < δ x) ∧ ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, Metric.closedBall x ↑(δ x) ⊆ U i


Context:
p : ℕ
idx : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
h : MvPolynomial.constantCoeff Φ = 0
n : ℕ

MvPolynomial.constantCoeff (wittStructureRat p Φ n) = 0


Context:
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
Nontrivial R
n : ℤ
hn : n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝² : LinearOrder E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α →ₛ ℝ
a : α

↑(map (fun b => max b 0) f - map (fun b => max b 0) (-f)) a = ↑f a


Context:
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
r : R

(Polynomial.monomial n) r * Polynomial.X = (Polynomial.monomial (n + 1)) r


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : DecidableEq p

Context: inst✝ : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜

Context: hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0

Context: i : Fin r

∀ k ≤ r, ((List.drop k (listTransvecCol M)).prod * M) (inl i) (inr ()) = if k ≤ ↑i then 0 else M (inl i) (inr ())


Context: V : Type u_1

Context: NormedAddCommGroup V

Context: InnerProductSpace ℝ V

Context: hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y : V

Context: h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

(o.oangle (x - y) x).sin = ‖y‖ / ‖x - y‖


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

∀ {X Y : C × D} (f : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Prod.braiding C D).functor.map f = (f.2, f.1)


Context:
T : Type w
CommRing T
p : Polynomial T
S : Type u_1
CommRing S
IsDomain S
Algebra T S
NoZeroSMulDivisors T S
a : S

a ∈ p.rootSet S ↔ p ≠ 0 ∧ (Polynomial.aeval a) p = 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
K : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
f g : End K M
inst✝ : FiniteDimensional K M
hf : f.IsSemisimple
a : End K M
ha : a ∈ (aeval f).range


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: hom : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup H

Context: inst✝⁸ : Module 𝕜 H

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁴ : UniformSpace E

Context: inst✝³ : UniformAddGroup E

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)

Context: inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)

Context: φ : hom

Context: hφ : Inducing (⇑ofFun ∘ ⇑φ)

Context: h : ∀ (u : H), Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (Set.range (φ u))

Context: this : TopologicalAddGroup H

Context: hb : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ∈ 𝓝 0) fun V => {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ V}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
OrderTop α
OrderBot β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
a : α
b : β

Finset.Ioo (Sum.inlₗ a) (Sum.inrₗ b) = Finset.map toLex.toEmbedding ((Finset.Ioi a).disjSum (Finset.Iio b))


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 3 ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : ℕ
hpq : p < q

∀ᶠ (x : 𝕜) in atTop, x ^ q = 0 → x ^ p = 0


Context:
α : Type u_2
β : Type u_4
γ : Type u_6
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
f : α → β → γ
A : Matrix l m α
B : Matrix n p β
i : l × n
j : m × p

Matrix.kroneckerMap f A B i j = f (A i.1 j.1) (B i.2 j.2)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Multiset α


Context:
β : Type u_5
CommMonoid β
a u : β
hu : IsUnit u


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ : ℕ
χ : DirichletCharacter R n✝
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
x : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤


Context:
α β γ : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
l : List (Set (α → ℕ))
d : List.Forall Dioph l

∃ β pl, ∀ (v : α → ℕ), List.Forall (fun S => S v) l ↔ ∃ t, List.Forall (fun p => p (v ⊗ t) = 0) pl


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C

Context: CategoryTheory.GaloisCategory C

Context: F : CategoryTheory.Functor C FintypeCat

Context: CategoryTheory.PreGaloisCategory.FiberFunctor F

Context: X A : C

Context: u : A ⟶ CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProd F X

Context: a : ↑(F.obj A)

Context: h : F.map u a = CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X

Context: x : ↑(F.obj X)

F.map (CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProdProj u x) a = x


Context:
α : Type u
Fintype α
Fintype (Shrink.{v, u} α)

Fintype.card (Shrink.{v, u} α) = Fintype.card α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
a : α

(∀ ⦃b : α⦄, b ≤ a → a ∈ s → b ∈ s) ↔ ∀ ⦃b : α⦄, b < a → a ∈ s → b ∈ s


Context:
a✝ b c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a c x✝ : ℕ
dvd : c + 1 ∣ a + 1
dvd2 : a + 1 ∣ x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : SubtractionMonoid β
h : Antiperiodic f c
hi : f 0 = 0
n : ℕ


Context: z : ℂ


Context:
R : Type u_1
G : Type u_3
AddCommGroup G
CommRing R
Nontrivial R

Algebra.FiniteType R (AddMonoidAlgebra R G) ↔ AddGroup.FG G


Context:
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
AddCommGroup N
Module R N


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
H : s.Nonempty
x : α


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : P ^ (i + 1) < I
hle : I ≤ P ^ i


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: K : HomologicalComplex C c

Context: i j k : ι

Context: hi : c.prev j = i

Context: hk : c.next j = k

Context: K.HasHomology j

Context: (K.sc' i j k).HasHomology

(K.opcyclesIsoSc' i j k hi hk).inv ≫ K.fromOpcycles j k = (K.sc' i j k).fromOpcycles


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : Inducing f
s : Set X


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : Field K

Context: x : (K →+* ℂ) → ℂ

Context: φ : K →+* ℂ

Context: hx : x ∈ Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(canonicalEmbedding K))

(starRingEnd ℂ) (0 φ) = 0 (ComplexEmbedding.conjugate φ)


Context: n : ZNum


Context:
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : DecidableEq K
hn : ¬n = 0
hpos : 0 < n
m : ℕ
left✝ : m < n
hcop : m.Coprime n
hx : μ ^ m ∈ primitiveRoots n K

μ ^ m ∈ (map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).roots


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
δ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
E : Set α
hδ : 0 ≤ δ
hne : E.Nonempty

cthickening δ E = ⋃ x ∈ closure E, closedBall x δ


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C

Context: Z : C

Context: I : CategoryTheory.InjectiveResolution Z

Context: n : ℕ

CategoryTheory.CategoryStruct.comp (I.cocomplex.d n (n + 1)) (I.cocomplex.d (n + 1) (n + 2)) = 0


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hr : 0 < r
hfM : ∀ w ∈ sphere z r, ‖f w‖ < M
hf : ContinuousOn f (sphere z r)
L : ℝ
hL1 : L < M
hL2 : ∀ w ∈ sphere z r, ‖f w‖ ≤ L


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Field K
p : R[X]
r : R
inst✝ : NoZeroDivisors R
a : R[X]

p.scaleRoots r ∣ p.scaleRoots r * a.scaleRoots r


Context: P : PFunctor.{u}

Context: α : Type u_2

Context: g : α → ↑P α

Context: f : α → P.M

Context: hyp : ∀ (x : α), (f x).dest = P.map f (g x)


Context:
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R →+* S
s : Subring R
y : S


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
Star B
FunLike F A B
NonUnitalAlgHomClass F R A B
NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
FunLike G B A
f : F
g : G
h₁ : ∀ (x : A), g (f x) = x
h₂ : ∀ (x : B), f (g x) = x
a : A

(StarAlgEquiv.ofStarAlgHom f g h₁ h₂) a = f a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α

Context: a✝¹ b✝ : α

Context: P : Finset α → Finset α → Prop

Context: symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a

Context: empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅

Context: singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}

Context: union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c

Context: a✝ b : Finset α

Context: x : α

Context: s : Finset α

Context: _xs : x ∉ s

Context: hi✝ : P a✝ s

Context: a : α

Context: t : Finset α

Context: _ta : a ∉ t

Context: hi : P {x} t


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F

⟪x, x⟫_ℝ + ⟪y, x⟫_ℝ = ⟪y, x⟫_ℝ + ⟪y, y⟫_ℝ ↔ ⟪x, x⟫_ℝ = ⟪y, y⟫_ℝ


Context:
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
ι : Type u_3
f : L.Hom M N
hf : Function.Injective ⇑f
S : ι → L.Substructure M

FirstOrder.Language.Substructure.comap f (⨅ i, FirstOrder.Language.Substructure.map f (S i)) = iInf S


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q✝ : ℕ
p q : R[X]
hsep : p.Separable
hq : 1 < multiplicity q p


Context:
α : Type u_1
f : α → α
x : α
m : ℕ
hm : Function.IsPeriodicPt f m x
n : ℕ
hn : m ∣ n


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b : R
h : a % b = 0


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
BoundedOrder α
BoundedOrder β
f : BoundedLatticeHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f


Context: R✝ : Type u

Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NonUnitalSemiring R

Context: inst✝⁶ : PartialOrder R

Context: inst✝⁵ : StarRing R

Context: inst✝⁴ : StarOrderedRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalSemiring S

Context: inst✝² : PartialOrder S

Context: inst✝¹ : StarRing S

Context: inst✝ : StarOrderedRing S

Context: f : R →⋆ₙ+* S

Context: x p : R

Context: hp : p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)

f p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : n ≤ m

pellZd a1 (m - n) = pellZd a1 m * star (pellZd a1 n)


Context:
α : Type u
s : Set (Set α)
i j : (Quotient.out (aleph 1).ord).α
h : j < i
t : Set α
ht : t ∈ generateMeasurableRec s j

tᶜ ∈ let i := i; let S := ⋃ j, generateMeasurableRec s ↑j; s ∪ {∅} ∪ compl '' S ∪ range fun f => ⋃ n, ↑(f n)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: T : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: g : S →+* T

Context: f : R →+* S

Context: I : Ideal S

Context: hI : I.IsPrime

Context: H : ∀ (I : Ideal S), I.IsMaximal → ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ I, f r ∉ I ∧ c * f r * s = c * f x


Context:
a b c : ℕ
h : a / c < b
hc : 0 < c


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℤ
r : R

comapDomain Int.ofNat (Finsupp.single n r) ⋯ = (if 0 ≤ n then (monomial n.toNat) r else 0).toFinsupp


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: s : Set γ

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : s ⊆ κ.mutuallySingularSetSlice η a

Context: hs' : ∀ x ∈ s, 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c : α
u : αˣ
hu : ↑u = a


Context:
q a b c : ℚ
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
h₂ : d₂ ≠ 0
n₃ : ℤ
d₃ : ℕ
h₃ : d₃ ≠ 0

(n₁ /. ↑d₁ + n₂ /. ↑d₂) * (n₃ /. ↑d₃) = n₁ /. ↑d₁ * (n₃ /. ↑d₃) + n₂ /. ↑d₂ * (n₃ /. ↑d₃)


Context:
m : Nat
n i : Nat
hi : i < m


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: α✝ : E

Context: α β γ : ↥(solvableByRad F E)

Context: hγ : γ ∈ F⟮α, β⟯

Context: hα : P α

Context: hβ : P β

Context: p : F[X] := minpoly F α

Context: q : F[X] := minpoly F β

Context: hpq : Splits (algebraMap F (p * q).SplittingField) (minpoly F α) ∧ Splits (algebraMap F (p * q).SplittingField) (minpoly F β)

Context: f : ↥F⟮α, β⟯ →ₐ[F] (p * q).SplittingField := Classical.choice ⋯

Context: key : minpoly F γ = minpoly F (f ⟨γ, hγ⟩)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L.IsLocalization W
X Y : Cᵒᵖ
w : X ⟶ Y
hw : W.op w

(CategoryTheory.Localization.isoOfHom L.op W.op w hw).inv = (CategoryTheory.Localization.isoOfHom L W w.unop hw).inv.op


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
f : α ≃ₜ β
K : Set β
hK : IsCompact K


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f g : X → ℝ
s t : Set X
hf : IntegrableOn f s μ
hg : IntegrableOn g s μ
hs : MeasurableSet s
h : ∀ x ∈ s, f x ≤ g x


Context:
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R


Context: X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f

Context: AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion g

Context: e : Set.range ⇑f.val.base = Set.range ⇑g.val.base

(AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion.isoOfRangeEq f g e).inv ≫ f = g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
LE α
LE β
LE γ
a : α

(OrderIso.sumLexAssoc α β γ) (toLex (Sum.inl (toLex (Sum.inl a)))) = toLex (Sum.inl a)


Context:
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCancelCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
n : μ
f : ι → μ

(f i + ∑ x ∈ s, f x = n ∧ ∀ (i_1 : ι), ¬f i_1 = 0 → i_1 = i ∨ i_1 ∈ s) ↔ ∃ a b, a + b = n ∧ ∃ a_1, (s.sum a_1 = b ∧ ∀ (i : ι), ¬a_1 i = 0 → i ∈ s) ∧ (addRightEmbedding fun t => if t = i then a else 0) a_1 = f


Context:
α : Type u
β' : Type v

#↑{f | Function.Surjective f} = 0 ↔ Cardinal.lift.{v, u} #α < Cardinal.lift.{u, v} #β' ∨ #α ≠ 0 ∧ #β' = 0


Context:
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
Unique β
f : β → C

(CategoryTheory.Limits.colimitCoconeOfUnique f).cocone.pt = f default


Context:
n m l a : ℕ
a✝ : n ≤ a
h₂ : a < m
h₃ : m ≤ a


Context:
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : PosMulStrictMono α
H : 0 < a
n : ℕ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
h : e.source = Set.univ


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
s : Set M


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : NonAssocSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹ : NonAssocSemiring S

Context: inst✝ : NonAssocSemiring T

Context: s : Set R

Context: p : (x : R) → x ∈ closure s → Prop

Context: mem : ∀ (x : R) (h : x ∈ s), p x ⋯

Context: zero : p 0 ⋯

Context: one : p 1 ⋯

Context: add : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯

Context: mul : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯

Context: a : R

Context: ha : a ∈ closure s


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val


Context:
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
ι : Sort u_1
s : ι → ℝ≥0

sInf (Set.range (toReal ∘ fun i => s i)) = sInf (Set.range fun i => ↑(s i))


Filter.Tendsto (fun s => riemannZeta s - 1 / (s - 1)) (𝓝[≠] 1) (𝓝 ↑γ)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T
F : Type u_1
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
s : NonUnitalSubsemiring S
x : R × S

x ∈ ⊤.prod s ↔ x ∈ comap (NonUnitalRingHom.snd R S) s


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P

sin (∠ p₁ p₂ p₃) = 0 → Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ k
ζ' : M
k' : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
hζ' : IsPrimitiveRoot ζ' k'
hk : k ≠ 0
hk' : k' ≠ 0

ζ ^ (k / k.factorizationLCMLeft k') * ζ' ^ (k' / k.factorizationLCMRight k') = ζ ^ (orderOf ζ / (orderOf ζ).factorizationLCMLeft (orderOf ζ')) * ζ' ^ (orderOf ζ' / (orderOf ζ).factorizationLCMRight (orderOf ζ'))


Context: α : Type u_2

Context: DecidableEq α

Context: B : Finset (Finset α)

Context: n : ℕ

Context: Fintype α

Context: h : ∀ (a : α), (Finset.filter (fun x => a ∈ x) B).card ≤ n


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
g₁ g₂ : Y' ⟶ Z'
f : L.obj X ⟶ L.obj Y

(homEquiv eX eY).symm f ≫ add W eY eZ g₁ g₂ = add W eX eZ ((homEquiv eX eY).symm f ≫ g₁) ((homEquiv eX eY).symm f ≫ g₂)


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
M.Finite
X : Set α
hX : X ⊆ M.E := by aesop


Context: m : Type u_1

Context: n✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n✝

Context: inst✝³ : Fintype n✝

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: k✝ : Fin (n + 1)

Context: k : Fin n

Context: ih : ∀ (c : Fin n → R), (∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → c i = 0) → ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R}, (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) → (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det

Context: c : Fin n → R

Context: hc : ∀ (i : Fin n), k.succ < i.succ → c i = 0

Context: h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j

Context: hsucc : ∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j

Context: M' : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R := M.updateRow k.succ (N k.succ)

Context: hM' : M' = M.updateRow k.succ (N k.succ)

Context: hM : M = M'.updateRow k.succ (M' k.succ + c k • M k.castSucc)

Context: k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ

Context: M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc

Context: i : Fin n

Context: j : Fin n.succ

Context: hik : ¬i = k

Context: hik2 : ¬k < i


Context:
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
NoZeroDivisors R
n : ℤ
h : ↑n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a : α
b : β
hf : Function.Injective2 f

f a b ∈ Set.image2 f s t ↔ a ∈ s ∧ b ∈ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
DiscreteTopology α
f : α × β → γ
s : Set (α × β)

ContinuousOn f s ↔ ∀ (a : α), ContinuousOn (fun x => f (a, x)) {b | (a, b) ∈ s}


Context:
G : Type v
AddGroup G
PseudoEMetricSpace G
IsometricVAdd G G
IsometricVAdd Gᵃᵒᵖ G
c : G

(IsometryEquiv.subLeft c).toEquiv = Equiv.subLeft c


Context:
K : Type u
Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a

Irreducible (Polynomial.X ^ p - Polynomial.C a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: p✝ : PMF α

Context: f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β

Context: p : PMF α

Context: f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β

Context: g : (b : β) → b ∈ (p.bindOnSupport f).support → PMF γ

Context: a : γ

((p.bindOnSupport f).bindOnSupport g) a = (p.bindOnSupport fun a ha => (f a ha).bindOnSupport fun b hb => g b ⋯) a


Context: n m : ℕ

(Nat.Partrec.Code.const n).eval m = Part.some n


Context:
M : Type u_1
Monoid M
N : Type u_2
Monoid N
φ : M →* N
A : Type u_4
AddMonoid A
DistribMulAction M A
B : Type u_5
AddMonoid B
DistribMulAction N B
f g : A →ₑ+[φ] B
h : f = g
x : A


Context:
x✝ : Iterator
h✝ : x✝.Valid
hn : x✝.hasNext = true
l r : List Char
h : ValidFor l r x✝


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set M
ChartedSpace H M
x : M

Filter.map (↑(extChartAt I x)) (𝓝[s] x) = 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ Set.range ↑I] ↑(extChartAt I x) x


Context:
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ

⇑(AdicCompletion.eval I M n) = fun f => ↑f n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β

(p.bindOnSupport f).support = ⋃ a, ⋃ (h : a ∈ p.support), (f a h).support


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I J : Ideal R

I.minimalPrimes = comap (Quotient.mk I) '' minimalPrimes (R ⧸ I)


Context:
α : Type u_2
SemilatticeSup α
S : Set (Set α)
hS : ∀ s ∈ S, SupClosed s


Context:
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
f : α → β


Context:
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0∞
hf : ∀ i ∈ s, f i ≠ ⊤
r : ℝ


Context:
α : Type u_1
f : α → ℂ
h : Summable f


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : Module ℝ E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : T2Space E

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E

Context: s : Set E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module ℝ F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : T1Space F

Context: hscomp : IsCompact s

Context: hsnemp : s.Nonempty

Context: S : Set (Set E) := {t | t.Nonempty ∧ IsClosed t ∧ IsExtreme ℝ s t}

Context: hFS : ∅ ⊆ S

Context: hF : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ∅


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: e✝ : PartialHomeomorph M H

Context: e'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t✝ : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: t : Set M'

Context: g : M' → M''

Context: x : M

Context: st : MapsTo f s t

Context: e : PartialEquiv M E := extChartAt I x

Context: e' : PartialEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)

Context: hg : ContinuousWithinAt g t (f x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑e'.symm) (↑e'.symm ⁻¹' t ∩ range ↑I') (writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x))

Context: hf : ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑e' ∘ f ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)

Context: this : ↑e' (f x) = writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x)

ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' ((g ∘ f) x)) ∘ (g ∘ f) ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: e : S₁ ≅ S₂

(CategoryTheory.ShortComplex.homologyMapIso e).hom = CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap e.hom


Context:
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
x : G

x⁻¹ ∈ H ↔ x ∈ H


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
I : Ideal R
hi : I.IsPrime


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
hf : Continuous f
s : Set Y


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A✝ B✝ B' X✝ Y✝ Y' : C
i✝ : A✝ ⟶ B✝
i' : B✝ ⟶ B'
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
p' : Y✝ ⟶ Y'
A B X Y : Cᵒᵖ
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
h : HasLiftingProperty i p
f : Opposite.unop Y ⟶ Opposite.unop B
g : Opposite.unop X ⟶ Opposite.unop A
sq : CommSq f p.unop i.unop g


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : ⊥ = ⊤
x : B
hx : x ∈ ⊤


Context:
α : Type u
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
CompletelyDistribLattice α
f : (a : ι) → κ a → α


Context: σ : Type u_1

Context: f : σ → Option σ

Context: a b : σ

Context: h : b ∈ eval f a

Context: c : σ

Context: x✝ : Reaches₁ f b c

Context: bc : Reaches₁ f b c := x✝

Context: left✝ : Reaches f a b

Context: b0 : f b = none

Context: b' : σ

Context: h' : b' ∈ f b

Context: right✝ : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f a) b' c


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: inst✝ : HasRingHomProperty P Q

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: hP : RingHom.StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q

(sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q).StableUnderBaseChange


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Mul α
Mul β
FunLike F α β
MulHomClass F α β
m : F
hm : Function.Injective ⇑m
s t : Set β
hs : s ⊆ Set.range ⇑m
ht : t ⊆ Set.range ⇑m


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t u : Finset α✝
f : α✝ → β
n : ℕ
ι : Type u_4
α : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
s : Finset ((i : ι) → α i)
a1 a2 : (i : ι) → α i
h1 : a1 ∈ s
h2 : a2 ∈ s
i : ι
hne : a1 i ≠ a2 i
ai : α i


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
s t : Set Ω
h : (condCount s) t ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
NormedField 𝕜
(i : ι) → TopologicalSpace (E i)
(i : ι) → AddCommGroup (E i)
(i : ι) → Module 𝕜 (E i)
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F
∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)
T2Space F
α : Type u_5
p : α → ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
hp : Summable p
m : (i : ι) → E i


Context:
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U V : X.Opens
i : U ⟶ V
W : (↑V).Opens

AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left W = X.presheaf.map (CategoryTheory.homOfLE ⋯).op


Context:
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y


Context: ι : Type u_1

Context: β : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : {i : ι} → β i → β i → Prop

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), IsTrichotomous (β i) s

Context: wf : WellFounded r

Context: a b : (i : ι) → β i

Context: hab : a = b


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S

vanishingIdeal '' {s | IsClosed s ∧ IsIrreducible s} ⊆ vanishingIdeal '' {s | IsIrreducible s}


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective σ₁₂
F : Type u_9
EquivLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
f : F
p : Submodule R₂ M₂

(RelIso.symm (Submodule.orderIsoMapComap f)) p = Submodule.comap f p


Context: N : ℕ

Context: k n : ℤ

Context: f : SlashInvariantForm (Gamma N) k

Context: z : ℍ

Context: Hn : ModularGroup.T ^ (↑N * n) ∈ Gamma N


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
q : R[X]
n : ℕ
r : R[X]


Context:
i : Nat
xs : Lean.Omega.IntList
h : List.length xs ≤ i


Context:
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R B
I : Ideal B
C : Type u
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : FormallySmooth R A
f : A →ₐ[R] C
g : B →ₐ[R] C
hg : Function.Surjective ⇑g
hg' : IsNilpotent (RingHom.ker ↑g)
x : A

(Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg).symm (g ((liftOfSurjective f g hg hg') x)) = (Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg).symm (f x)


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β

Function.Surjective (ULift.map f) ↔ Function.Surjective f


Context:
α : Type u_1
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
n : ℤ


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s
hp2 : p2 ∈ s


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝ : H✝.Normal
H : Subgroup G
hG : Group.IsNilpotent G

Group.nilpotencyClass ↥H ≤ Group.nilpotencyClass G


Context:
m n : ℕ
α : Type u_1
xs : Fin m → α
ys : Fin n → α

Fin.append xs ys ∘ Fin.rev = Fin.append (ys ∘ Fin.rev) (xs ∘ Fin.rev) ∘ Fin.cast ⋯


Context:
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Finset α


Context:
G : Type u_10
InvolutiveNeg G


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedRing A

Context: f g : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: c : ℝ

Context: hc : c ≠ 0

Context: h : IntervalIntegrable (fun x => f (c * x)) volume (a / c) (b / c)


Context:
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4

∀ {x : MeasurableSpace β} [inst : MeasurableSpace γ] [inst_1 : Countable δ] {l : Filter δ}
  [inst_2 : l.IsCountablyGenerated] (l' : Filter γ) [inst_3 : l'.IsCountablyGenerated] [hl' : l'.IsMeasurablyGenerated]
  {f : δ → β → γ}, (∀ (i : δ), Measurable (f i)) → MeasurableSet {x | Filter.Tendsto (fun n => f n x) l l'}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Countable ι✝

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ

Context: f✝ g : α → β

Context: M : Type u_5

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: ι : Type u_6

Context: f : ι → α → M

Context: s : Finset ι

Context: hf : ∀ i ∈ s, AEStronglyMeasurable (f i) μ

AEStronglyMeasurable (fun a => ∏ i ∈ s, f i a) μ


Context:
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R
x : R
m : ℕ
hx : x ^ m ∈ I.radical


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: TopologicalSpace H

Context: TopologicalSpace M

Context: ChartedSpace H M

Context: TopologicalSpace H'

Context: TopologicalSpace M'

Context: ChartedSpace H' M'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x : M

Context: mono_of_mem : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, s ∈ 𝓝[t] x → P f s x → P f t x

Context: h : ChartedSpace.LiftPropWithinAt P g s x

Context: hst : s ∈ 𝓝[t] x


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
hq : q.Monic
hp : p.leadingCoeff ≠ 0
hq0 : q ≠ 0
hlt : q.natDegree ≤ p.natDegree

p.degree = (q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).degree


Context:
M : Type u_1
CommMonoid M
n : ℕ
f : ℕ × ℕ → ℕ → M

∏ p ∈ Finset.antidiagonal n, f p n = ∏ p ∈ Finset.antidiagonal n, f p (p.1 + p.2)


Context:
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
LinearOrder β
f : α → β
a b : α
hf : Antitone f


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : Semiring α✝
inst✝¹ : Semiring β
a b : α✝
m n : ℕ
α : Type u_5
inst✝ : Semiring α
x : α

(x ∈ Set.range fun x => 2 * x) ↔ x ∈ {a | Even a}


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N N₂ : LieSubmodule R L M
N' : LieSubmodule R L M'


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
f : Y ⟶ X

CategoryTheory.CategoryStruct.comp α.hom f = CategoryTheory.CategoryStruct.id X ↔ f = α.inv


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v', u'} D

Context: F : C ⥤ D

Context: r : HomRel C

Context: A : Type w

Context: inst✝⁴ : AddMonoid A

Context: inst✝³ : HasShift C A

Context: inst✝² : HasShift D A

Context: inst✝¹ : r.IsCompatibleWithShift A

Context: inst✝ : F.CommShift A

Context: hF : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂

Context: a : A

Context: X : C

(natTransLift r (((functor r).associator (shiftFunctor (Quotient r) a) (lift r F hF)).symm ≪≫ isoWhiskerRight ((functor r).commShiftIso a).symm (lift r F hF) ≪≫ (shiftFunctor C a).associator (functor r) (lift r F hF) ≪≫ isoWhiskerLeft (shiftFunctor C a) (lift.isLift r F hF) ≪≫ F.commShiftIso a ≪≫ isoWhiskerRight (lift.isLift r F hF).symm (shiftFunctor D a) ≪≫ (functor r).associator (lift r F hF) (shiftFunctor D a)).hom).app ((functor r).obj X) = (lift r F hF).map (((functor r).commShiftIso a).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso a).hom.app X


Context:
n : Type u_3
α : Type v
Semiring α
DecidableEq n
Fintype n
r : α
M : Matrix n n α

Commute ((Matrix.scalar n) r) M ↔ r • M = MulOpposite.op r • M


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: p✝ q✝ : ℕ

Context: p q : R[X]

Context: hsep : p.Separable

Context: hq : 1 < multiplicity q p

Context: h : { Dom := Part.Dom 1, get := fun x => 2 } ≤ multiplicity q p


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.113036, u_1} M

Context: inst✝ : MonoidalCategory M

Context: F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)

Context: m n : M

Context: h₁ : m ⊗ n ≅ 𝟙_ M

Context: h₂ : n ⊗ m ≅ 𝟙_ M

Context: H : h₁.hom ▷ m ≫ (λ_ m).hom = (α_ m n m).hom ≫ m ◁ h₂.hom ≫ (ρ_ m).hom

Context: X : C

(F.obj m).map ((unitOfTensorIsoUnit F m n h₁).inv.app X) ≫ (F.μ n m).app ((F.obj m).obj X) ≫ (F.map h₂.hom).app ((F.obj m).obj X) ≫ F.εIso.inv.app ((F.obj m).obj X) = 𝟙 ((F.obj m).obj X)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 4
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.Exact
φ : R₁ ⟶ R₂
h₀ : Epi (φ.app 0)
h₁ : IsIso (φ.app 1)
h₂ : IsIso (φ.app ⟨3, ⋯⟩)
h₃ : Mono (φ.app ⟨4, ⋯⟩)
this : Mono (app' φ 2 ⋯)


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α

minimals r (minimals r s) = minimals r s


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
x✝ : ∃ a, (quadraticChar F) a = -1
a : F
ha : (quadraticChar F) a = -1


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ f g : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hf_le : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫ (x : α) in s, g x ∂μ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, (g - f) x ∂μ


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : s ≠ 0
hs' : s ≠ 1 ∨ a ≠ 0

DifferentiableAt ℂ (HurwitzZeta.completedCosZeta a) s


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝ : StrongRankCondition R

Context: h : ¬Nonempty (OreLocalization.OreSet R⁰)

Context: this : ℵ₀ ≤ 1


Context: X₁ : Type u₁

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X₁

Context: X : Type u

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : NormalSpace X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: e : X₁ → X

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: Y✝ : Type v

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y✝

Context: inst✝¹ : TietzeExtension Y✝

Context: Y : Type v

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: f : C(X₁, Y)

Context: t : Set Y

Context: hf : ∀ (x : X₁), f x ∈ t

Context: ht : TietzeExtension ↑t

Context: g : C(X, ↑t)

Context: hg : g.comp { toFun := e, continuous_toFun := ⋯ } = { toFun := Set.codRestrict (⇑f) t hf, continuous_toFun := ⋯ }

∃ g, (∀ (x : X), g x ∈ t) ∧ g.comp { toFun := e, continuous_toFun := ⋯ } = f


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
X : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G X
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
a : X

∀ (g : G), g • orbit (↥N) a = orbit (↥N) a ∨ Disjoint (g • orbit (↥N) a) (orbit (↥N) a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: δ : Type u_7

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: f : α → β' → γ

Context: g : β → β'

Context: f' : β → α → δ

Context: g' : δ → γ

Context: h_right_anticomm : ∀ (a : α) (b : β), f a (g b) = g' (f' b a)

Set.image2 f s (g '' t) = g' '' Set.image2 f' t s


Context:
E : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
Module ℝ E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul ℝ E
OrderedAddCommGroup β
Module ℝ β
OrderedSMul ℝ β
f : E → β
a : E
h_local_max : IsLocalMax f a
h_conc : ConcaveOn ℝ Set.univ f
x : E


Context:
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module R E
Module R F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
ContinuousAdd E
ContinuousAdd F
TopologicalSpace R
ContinuousSMul R E
ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F


Context:
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f g : M →ₗ[R] M
h : Commute f g
p : Submodule R M
hf : Set.MapsTo ⇑f ↑p ↑p
hg : Set.MapsTo ⇑g ↑p ↑p


Context:
G : Type u_2
S : Type u_4
Group G
SetLike S G
SubgroupClass S G
s : S
a : G
ha : a ∈ s


Context:
α : Type u_1
n : ℕ
DecidableEq α
s : Sym α n.succ
a : α
h : a ∈ s


Context: x : SetTheory.PGame

SetTheory.PGame.LF 0 x ↔ ∃ i, 0 ≤ x.moveLeft i


Context:
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
x : ℝ
hxs : x < s.re
hf : LSeriesSummable f ↑x
y : ℝ
hxy : x < y
hys : y < s.re
S : Set ℂ := {z | y < z.re}

LSeriesSummable (logMul f) s ∧ HasDerivAt (LSeries f) (-LSeries (logMul f) s) s


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
x : X
s : Set X
h : x ∈ closure s


Context:
x : Fin 2 → ℤ
hx : x ≠ 0


Context:
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
x y : α

x ≤ y → ⌊x⌋₊ ≤ ⌊y⌋₊


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Ring Fq

Context: d m : ℕ

Context: hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m

Context: b : Fq[X]

Context: A : Fin m.succ → Fq[X]

Context: hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree

Context: hb : b ≠ 0

Context: f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff (b.natDegree - ↑j.succ)

Context: this : Fintype.card (Fin d → Fq) < Fintype.card (Fin m.succ)

Context: i₀ i₁ : Fin m.succ

Context: i_ne : i₀ ≠ i₁

Context: i_eq : f i₀ = f i₁

Context: j : ℕ

Context: hj : b.natDegree - d ≤ j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β' : Type u_3
γ : Type u_4
l₁ : List α
l₂ : List β
f : β → β'
g : α → β' → γ

List.zipWith g l₁ (List.map f l₂) = List.zipWith (fun a b => g a (f b)) l₁ l₂


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
x : ↑{0}ᶜ

↑((homeomorphUnitSphereProd E) x).2 = ‖↑x‖


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: f : End R M

Context: p : Submodule R M

Context: hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p

Context: μ : R

Context: hμp : Disjoint (f.eigenspace μ) p

Context: x : ↥p

Context: hx : x ∈ eigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ


Context: D : GlueData

Context: α : Type u

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: J : Type u

Context: U : J → Opens α

Context: s : Set ↑(ofOpenSubsets U).glued

Context: hs : ∀ (i : (ofOpenSubsets U).J), IsOpen (⇑((ofOpenSubsets U).ι i) ⁻¹' s)

Context: i : (ofOpenSubsets U).J

Context: x : ↑(of α)

Context: hx' : x ∈ U i

Context: hx : ((ofOpenSubsets U).ι i) ⟨x, hx'⟩ ∈ s

∃ t ⊆ ⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s, IsOpen t ∧ (fromOpenSubsetsGlue U) (((ofOpenSubsets U).ι i) ⟨x, hx'⟩) ∈ t


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
x y : R

⇑(Polynomial.evalEvalRingHom x y) = Polynomial.evalEval x y


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
SeminormedAddCommGroup M
SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
f : NormedAddGroupHom M N
hf : ∀ x ∈ S, f x = 0
x : M ⧸ S

‖(QuotientAddGroup.lift S f.toAddMonoidHom hf) x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s✝ s₁ t✝ u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: s : Set E

Context: t : Set F

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 n g t

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 n f s

Context: st : s ⊆ f ⁻¹' t

Context: Eu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uF uG, uE} E

Context: Fu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uG, uF} F

Context: Gu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uF, uG} G

Context: isoE : Eu ≃L[𝕜] E

Context: isoF : Fu ≃L[𝕜] F

Context: isoG : Gu ≃L[𝕜] G

Context: fu : Eu → Fu := (⇑isoF.symm ∘ f) ∘ ⇑isoE

Context: fu_diff : ContDiffOn 𝕜 n fu (⇑isoE ⁻¹' s)

Context: gu : Fu → Gu := (⇑isoG.symm ∘ g) ∘ ⇑isoF


Context:
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F


Context:
U : Type u_1
Quiver U
u v w u' w' : U
p : Quiver.Path u v
e : v ⟶ w
hu : u = u'
hw : w = w'

Quiver.Path.cast hu hw (p.cons e) = (Quiver.Path.cast hu ⋯ p).cons (Quiver.Hom.cast ⋯ hw e)


Context:
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
Semiring B
Algebra R B
StarRing B
FunLike F A B
AlgHomClass F R A B
StarAlgHomClass F R A B
s : Set A
h : StarAlgebra.adjoin R s = ⊤
f g : F
hs : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s


Context:
α : Type u_1
x y : Part α
z : Part α
hx : x ≤ z
hy : y ≤ z


Context:
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
x y : E

{x} + Metric.ball y δ = Metric.ball (x + y) δ


Context:
α : Type u_1
r s : Setoid α
x y : α


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.231592}
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : t ⊆ range fun x => f ↑x

#↑{x | f ↑x ∈ t} = #↑((fun x => f ↑x) ⁻¹' t)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
hf : Continuous f


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
h : J ⊔ I = ⊤


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α

a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Irreducible b) ∧ f.prod ~ᵤ a


Context:
m : ℕ
hm : m ≠ 1
n : ℕ

n ∈ {n | n ≡ 1 [MOD m]} ↔ n ∈ {n | n % m = 1}


Context:
I : Type u
LinearOrder I
IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1


Cardinal.univ.{u, v}.ord = Ordinal.univ.{u, v}


Context:
α : Type u_2
InvolutiveNeg α
a : α


Context:
α : Type u
β : Type v
f✝ f : α → β
hf : Bijective f
s : Set β
t : Set α


Context:
x✝ y✝ z : ℝ
n : ℕ
x y : ℝ
h : 0 ≤ x
h₁ : x ≤ y
h₁' : x < y
h₂ : 0 ≤ 0


Context:
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
C : SubMulAction G X
B : Set X
hB : MulAction.IsBlock G B


Context: k : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommRing k

Context: G : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Group G

Context: V : Type v

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁸ : Module k V

Context: inst✝⁷ : Module (MonoidAlgebra k G) V

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) V

Context: W : Type w

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : Module k W

Context: inst✝³ : Module (MonoidAlgebra k G) W

Context: inst✝² : IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) W

Context: π : W →ₗ[k] V

Context: i : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W

Context: h : ∀ (v : V), π (i v) = v

Context: inst✝¹ : Fintype G

Context: inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)

Context: v : W

(equivariantProjection G π) v = ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ g : G, (π.conjugate g) v


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
R : Type u_6
NormedRing R
f : α → R
hf : MeasureTheory.Memℒp f p μ
c : R

MeasureTheory.Memℒp (fun x => c * f x) p μ


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: h : IsDedekindDomain A

Context: I : Ideal A

Context: hI0 : I ≠ ⊥

Context: hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0

Context: x : K

Context: hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹

Context: x_mul_mem : ∀ b ∈ (↑I)⁻¹, x * b ∈ (↑I)⁻¹

Context: y : K

Context: hy : y ∈ Subalgebra.toSubmodule (Polynomial.aeval x).range


Context:
ι : Sort u_1
G : Type u_2
Group G
S : ι → Subgroup Gᵐᵒᵖ


Context: η : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: κ✝ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: S : Finset M

Context: inst✝ : Finite κ

Context: C : M → κ

Context: ι : Type

Context: _inst : Fintype ι

Context: hι : ∀ (C : (ι → { x // x ∈ S }) → κ), ∃ l, Line.IsMono C l

∃ a > 0, ∃ b c, ∀ s ∈ S, C (a • s + b) = c


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ R

(s.sum f).totalDegree ≤ s.sup fun i => (f i).totalDegree


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : (forget D).obj (P.obj (op X))

(⊤.toMultiequalizer P ≫ colimit.ι (J.diagram P X) (op ⊤)) x = (colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) ((Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n✝ n : ℕ∞

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: u : Set H

Context: f : H → H'

Context: u_open : IsOpen u

Context: xu : x ∈ u

Context: this✝ : ↑I.symm ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range ↑I = ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' u

Context: this : u ∈ 𝓝 (↑I.symm (↑I x))


Context:
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
p : Equiv.Perm α
x : α
k : ℕ

p.toList ((p ^ k) x) = (p.toList x).rotate k


Context: P : TopCat → Prop

Context: inst✝ : HasExplicitPullbacks P

Context: hs : ∀ ⦃X Y : CompHausLike P⦄ (f : X ⟶ Y), EffectiveEpi f → Function.Surjective ⇑f

Context: X Y Z : CompHausLike P

Context: f : X ⟶ Y

Context: π : Z ⟶ Y

Context: hπ : EffectiveEpi π


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: f : ℂ → F

Context: w : ℂ

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (ball w (dist w w))

Context: hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball w (dist w w)) w


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p ^ k) x = y


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a✝ b : R

Context: x y : M

Context: hv✝ hv : LinearIndependent R v

Context: i : ι

Context: a : R

Context: l : ι →₀ R

Context: hl : Finsupp.single i a ∈ Finsupp.supported R R (univ \ {i})

Context: e : (Finsupp.total ι M R v) l = a • v i

Context: hn : ¬a = 0


Context: a b c : ℕ


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.ConcreteCategory C

Context: J : Type w

Context: CategoryTheory.Category.{t, w} J

Context: F : J ⥤ C

Context: CategoryTheory.Limits.PreservesLimit F (CategoryTheory.forget C)

Context: D : CategoryTheory.Limits.Cone F

Context: hD : CategoryTheory.Limits.IsLimit D

Function.Injective fun x j => (D.π.app j) x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s : Finset α

Context: u v a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: h : a ∈ s ∧ compress u v a ∈ s ∨ a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, compress u v b = a

Context: ha : a ∉ s


Context:
R : Type u_3
M : Type u_4
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
r : R

(TrivSqZeroExt.inlCLM R M) r = TrivSqZeroExt.inl r


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
a b : R✝
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Ring R✝
p : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
h : IsUnit (X ^ n - 1)
hn : n ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
S T : ConvexCone 𝕜 E
h : T ≤ S


Context:
F : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝¹² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹¹ : Monoid M
inst✝¹⁰ : Monoid N
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : DistribMulAction M α
inst✝⁷ : SMulCommClass M α α
inst✝⁶ : IsScalarTower M α α
inst✝⁵ : DistribMulAction N α
inst✝⁴ : SMulCommClass N α α
inst✝³ : IsScalarTower N α α
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : SMulCommClass R α α
inst✝ : IsScalarTower R α α
T S : CentroidHom α
a b : α


Context:
V : Type u_5
K : Type u_6
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
B : LinearMap.BilinForm K V
W : Submodule K V
hB₀ : B.IsRefl

IsCompl W (B.orthogonal W) ↔ Disjoint W (B.orthogonal W)


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
inst✝ : (↑P).Normal
fP : (↑P).FiniteIndex
h : p ∣ Nat.card (G ⧸ ↑P)
x : G ⧸ ↑P
hx : orderOf x = p


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s t : Set Ω
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ

CondIndepSet m' hm' s t μ ↔ μ[(s ∩ t).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t.indicator fun ω => 1|m']


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
ha0 : ↑a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop

type (Sum.Lex EmptyRelation fun x x_1 => x < x_1) ≤ type fun x x_1 => x < x_1


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β : ι → Type u_4
mβ : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
_mα : MeasurableSpace α
m : ι → MeasurableSpace Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
π : ι → Set (Set Ω)
s : ι → Set Ω
S : Finset ι
f : (x : ι) → Ω → β x
inst✝ : Fintype ι
h : iIndepSets π κ μ
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ π i

∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i, s i) = ∏ i : ι, (κ a) (s i)


Context:
α : Type u₁
β : Type u₂
R : α → β → Prop
h : Relator.BiTotal R

((R ⇒ Iff) ⇒ Iff) (fun p => ∀ (i : α), p i) fun q => ∀ (i : β), q i


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommGroup M
TopologicalSpace M
TopologicalAddGroup M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
i : Set α


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
t : Set α
ht : MeasurableSet t

Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun i => t ∩ s i


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
IsDomain A
IsFractionRing A K
IsIntegralClosure B A L
IsFractionRing B L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsIntegrallyClosed A
IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hIJ : I * J ≤ 1


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: N✝ : LieSubmodule R L M

Context: I : LieIdeal R L

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: s : Set (A ⊗[R] M) := {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ = m}

Context: this : ⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = s

s ⊆ {m | ∃ x ∈ baseChange A I, ∃ n ∈ baseChange A N, ⁅x, n⁆ = m}


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.50538, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.50590, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
Y : C
f : op X ⟶ op (G.obj Y)
a✝ : ℱ.obj (op X)

(appHom α X ≫ ℱ'.val.map f) a✝ = (ℱ.map f ≫ α.app (op Y)) a✝


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
i j : Fin 2

(basisOneI.repr (![1, I] i)) j = (Finsupp.single i 1) j


Context:
M : Type u_4
AddMonoid M
l : List M


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ
hl3 : Integrable (Xm * Yp) μ

integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y


Context:
R : Type u_1
CommRing R
ι : Type u_2
DecidableEq ι
Preorder ι
G : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
(i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
i : ι
g : G i
m : M

(TensorProduct.fromDirectLimit f M)
    ((Module.DirectLimit.of R ι (fun x => G x ⊗[R] M) (fun i j h => LinearMap.rTensor M (f i j h)) i) (g ⊗ₜ[R] m)) =
  (Module.DirectLimit.of R ι G f i) g ⊗ₜ[R] m


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
s : σ
n : ℕ
φ : MvPowerSeries σ R

MvPowerSeries.X s ^ n ∣ φ ↔ ∀ (m : σ →₀ ℕ), m s < n → (MvPowerSeries.coeff R m) φ = 0


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α

toIcoDiv hp a b • p - b = -toIcoMod hp a b


↑ArithmeticFunction.zeta * ArithmeticFunction.moebius = 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n✝ : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup ι

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: n : ℕ

Context: hfg : μ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)} = 0

Context: x : α

(x ∈ s ∧ ∀ (i : ι), ∃ k ≥ i, 1 / (↑n + 1) < dist (f k x) (g x)) → x ∈ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)}


Context:
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι

BoxIntegral.Box.Icc I = Set.univ.pi fun i => Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)


Context:
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
PartialOrder X
x y : X
hy : μ {y} = 0

∫ (t : X) in Set.Icc x y, f t ∂μ = ∫ (t : X) in Set.Ico x y, f t ∂μ


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
n : ℕ
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
pow_mem : k ^ (n + 1) ∈ σ (a ^ (n + 1))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
N : Matroid β
f : α → β


Context:
G : Type u_2
AddCommGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
f : ℕ → G
k : ℕ

(Summable fun n => f (n + k)) ↔ Summable f


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
f : α → ι
g : (Perm α)ᵈᵐᵃ


Context:
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
i : ι


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Monoid α
n : ℕ
a m : α


Context:
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
A A' : Matrix ι ι R
f f' : Module.End R M
h : Represents b A f
h' : Represents b A' f'

((LinearMap.llcomp R (ι → R) (ι → R) M) ((Fintype.total R R) b)) (algEquivMatrix'.symm A * algEquivMatrix'.symm A') = (PiToModule.fromEnd R b) (f * f')


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
A : Matrix m n α
B : Matrix n n α
inst✝ : Invertible B


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_3
V : Type u_4
PartialOrder Γ
AddCommMonoid V
SMul R V
x y : HahnSeries Γ V

(HahnModule.of R) (x + y) = (HahnModule.of R) x + (HahnModule.of R) y


Context: b : Ordinal.{u_1}

Context: IH : ∀ k < b, ∀ ⦃a : Ordinal.{u_1}⦄, a < k → beth a < beth k

Context: a : Ordinal.{u_1}

Context: h : a < b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Nonempty ι
TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p

(𝓝 0).HasBasis (fun s => s ∈ p.basisSets) id


Context:
α : Type u_1
PartialOrder α
AddCommSemigroup α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
hb : AddLECancellable b


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
self : IntermediateField K L
x : L


Context:
X Y : Grp
f : X ⟶ Y

Grp.uliftFunctor.map f = Grp.ofHom (MulEquiv.ulift.symm.toMonoidHom.comp (MonoidHom.comp f MulEquiv.ulift.toMonoidHom))


Context:
S : Type u_2
Ring S
A : Type u_4
CommRing A
Algebra A S
pb : PowerBasis A S


Context:
K : Type u
Field K
x : RatFunc K


Context:
α : Type u
f : Filter α
h : f.NeBot


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : Jᵒᵖ ⥤ C

Context: c : Cone F.rightOp

Context: hc : IsLimit c

Context: s : Cocone F

Context: m : (coconeOfConeRightOp c).pt ⟶ s.pt

Context: w : ∀ (j : Jᵒᵖ), (coconeOfConeRightOp c).ι.app j ≫ m = s.ι.app j

Context: j : J

(m.op ≫ c.π.app j).unop = (((fun s => (hc.lift (coneRightOpOfCocone s)).unop) s).op ≫ c.π.app j).unop


Context:
G : Type u_1
AddLeftCancelMonoid G
x : G
hx : IsOfFinAddOrder x
n : ℕ
hn : ∃ m, m • x = n • x

(finEquivMultiples x hx).symm ⟨n • x, hn⟩ = ⟨n % addOrderOf x, ⋯⟩


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
hw : w ≠ 1


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: ℙ : Measure Ω

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ℙ

Context: X : Ω → ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ≥0∞

Context: hg : pdf X ℙ volume =ᶠ[ae volume] g

Context: hgi : ∫⁻ (x : ℝ), ↑‖f x‖₊ * g x ≠ ⊤

Context: this : (fun x => ↑‖f x‖₊ * g x) =ᶠ[ae volume] fun x => ↑‖f x * (pdf X ℙ volume x).toReal‖₊

∫⁻ (a : ℝ), ↑‖f a * (pdf X ℙ volume a).toReal‖₊ < ⊤


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b c d : α
hb : IsUnit b
hd : IsUnit d


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : MulZeroClass R
a b : R


Context:
x : SetTheory.PGame
xl' xr' : Type u_1
el : xl' ≃ x.LeftMoves
er : xr' ≃ x.RightMoves
j : x.RightMoves

(SetTheory.PGame.relabel el er).moveRight (er.symm j) = x.moveRight j


Context:
M : Type u_4
N : Type u_5
AddZeroClass M
AddZeroClass N
f : M →+ N


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset ι
t : ι → Finset α
h : (↑s).PairwiseDisjoint t

1 = Multiset.foldr (fun x x_1 => x * x_1) ⋯ 1 (Multiset.map (fun i => 1) s.val)


Context:
α✝ : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
α : Type u

Small.{v, u} α ↔ ∃ c', lift.{v + 1, u} #α = lift.{max u (v + 1), v} c'