Context:
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X✝ → E
s✝ t : Set X✝
μ✝ ν : Measure X✝
l l' : Filter X✝
X : Type u_5
m m0 : MeasurableSpace X
μ : Measure X
hm : m ≤ m0
f : X → E
hf_meas : StronglyMeasurable f
s : Set X
hs : MeasurableSet s

∫ (x : X) in s, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ.trim hm


Context: M : Type u_1

Context: m₁ m₂ : DivInvMonoid M

Context: h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul

Context: h_inv : Inv.inv = Inv.inv

Context: h_mon : toMonoid = toMonoid

Context: h₁ : One.one = One.one

Context: f : M →* M := { toFun := id, map_one' := h₁, map_mul' := ⋯ }

Context: this : Monoid.npow = Monoid.npow


Context:
α : Type u
Preorder α
s t : Set α
h : s ⊆ t


Context: ι : Type u_1

Context: N : Type u_4

Context: TopologicalSpace N

Context: Monoid N

Context: ContinuousMul N

Context: T2Space N

Context: f : ι → Nˣ

Context: r₁ r₂ : N

Context: l : Filter ι

Context: l.NeBot

Context: h₁ : Filter.Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝 r₁)

Context: h₂ : Filter.Tendsto (fun x => ↑(f x)⁻¹) l (𝓝 r₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
AddCommGroup α
Neg β
h : Function.Antiperiodic f c
a : α

Function.Antiperiodic (fun x => f (x - a)) c


Context:
x y : ℝ
h : 1 < x * y
hx : 0 < x

Real.arctan x + Real.arctan y = Real.arctan ((x + y) / (1 - x * y)) + Real.pi


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.38446, u_1} C
X Y : PresheafedSpace C
H : X ≅ Y
U : Opens ↑↑Y

(Presheaf.pushforwardToOfIso ((forget C).mapIso H).symm H.inv.c).app (op U) ≫ H.hom.c.app (op U) = 𝟙 (((Presheaf.pushforward C H.hom.base).obj X.presheaf).obj (op U))


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : _root_.Finite ι
b : Basis ι R M
f : ι →₀ R
i : ι
this : DecidableEq ι

((Finsupp.total ι (Dual R M) R b.coord) f) (b i) = f i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : DivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : CharZero 𝕜
inst✝² : Algebra ℝ 𝕜
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ 𝕜
inst✝ : TopologicalDivisionRing 𝕜
x : 𝕜


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
f : M [⋀^ι]→L[R] N
v : ι → M
hv : ¬Function.Injective v


Context:
G : Type u_7
AddGroup G
self : NonarchAddGroupSeminorm G
r s : G

self.toFun (r + s) ≤ max (self.toFun r) (self.toFun s)


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Semiring R
Semiring S
FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
G : Type u_2
FunLike G S R
g : G
I : Ideal S
h : Function.LeftInverse ⇑g ⇑f


Context: u v m n : ℤ


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
CommRing K
Field L
Algebra K L
NoZeroSMulDivisors K L
Algebra.IsAlgebraic K L
ϕ : L ≃ₐ[K] L

(Algebra.IsAlgebraic.algEquivEquivAlgHom K L) ϕ = ↑ϕ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: x : α

Context: s✝ t : Set α

Context: r : ℝ

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: k s : Set β

Context: f : β → α

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : ∀ x ∈ k, ContinuousWithinAt f s x

Context: this : Disjoint (𝓝ˢ k ⊓ 𝓟 s) (comap f (cobounded α))

∃ t, k ⊆ t ∧ IsOpen t ∧ IsBounded (f '' (t ∩ s))


Context:
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
ι : Type u_5
s : Set ι
f : ι → α
a : α
hs : s.Nonempty
hf : BddAbove (f '' s)


Context:
x y : ℝ
h0 : x < 0
h1 : -1 < x
h0' : 0 < -x
h1' : -x < 1


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hpi : Prime ↑p

Context: hp1 : p % 2 = 1

Context: hp3 : p % 4 ≠ 3

Context: hp41 : p % 4 = 1

Context: k : ℕ

Context: k_lt_p : k < p

Context: hk : -1 = ↑k * ↑k

Context: hpk : p ∣ k ^ 2 + 1

Context: hkmul : ↑k ^ 2 + 1 = { re := ↑k, im := 1 } * { re := ↑k, im := -1 }

Context: hkltp : 1 + k * k < p * p

Context: hpk₁ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := -1 }


Context: w : Nat

Context: x y : BitVec w

Context: pred : ∀ (i : Fin w), x.getLsb ↑i = y.getLsb ↑i


Context:
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
E : Type u_4
MeasurableSpace E
MeasurableSingletonClass E
Countable E
f g : α → E
hf : Measurable f
hg : Measurable g


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: K : Type w

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: g : R[X]

Context: pb : PowerBasis R S

Context: h₁ : (aeval (root g)) (minpoly R pb.gen) = 0

Context: h₂ : (aeval pb.gen) g = 0

Context: x : S

Context: a✝ : Nontrivial S

(liftHom g pb.gen h₂) ((pb.lift (root g) h₁) x) = x


Context:
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I : FractionalIdeal S P

I.den • ↑I = Submodule.map (Algebra.linearMap R P) I.num


Context:
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n k : ℕ
h : n < k


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c : α
h : c ≠ 0
hab : a * c ≤ b * c


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m' mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: StandardBorelSpace Ω

Context: Nonempty Ω

Context: hm' : m' ≤ mΩ

Context: μ : MeasureTheory.Measure Ω

Context: MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ

Context: β : ι → Type u_5

Context: m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)

Context: f : (i : ι) → Ω → β i

Context: h_indep : ProbabilityTheory.iCondIndepFun m' hm' m f μ

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: i j k l : ι

Context: hik : i ≠ k

Context: hil : i ≠ l

Context: hjk : j ≠ k

Context: hjl : j ≠ l

ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' (fun a => (f i a, f j a)) (fun a => (f k a, f l a)) μ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
R : Type u_4
SMul R Y
r : R
f : LocallyConstant X Y
x : X


Context:
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'

lift.{max (max u u') v, max (max u u') v} #((k : ℕ) × L.Term (α ⊕ Fin k) ⊕ (n : ℕ) × L.Relations n ⊕ ℕ) ≤ max ℵ₀ (lift.{max (max u u') v, max (max u u') v} (lift.{max u v, u'} #α + lift.{u', max u v} L.card)) ∧ ℵ₀ ≤ max ℵ₀ (lift.{max (max u u') v, max (max u u') v} (lift.{max u v, u'} #α + lift.{u', max u v} L.card))


Context:
α : Type u
s t : Set α


Context:
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
s : Set A
z : A

z ∈ StarSubalgebra.centralizer R s ↔ ∀ g ∈ s, g * z = z * g ∧ star g * z = z * star g


Context: α : Type u_1

Context: Preorder α

Context: p : α → Prop

Context: DecidablePred p

Context: LocallyFiniteOrder α

Context: a b : Subtype p

Context: hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x

Finset.map (Function.Embedding.subtype p) (Finset.Ioo a b) = Finset.Ioo ↑a ↑b


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
m n k : ℕ
hx : x ^ m = 0
hy : y ^ n = 0
h : m + n ≤ k + 1

∑ m ∈ Finset.antidiagonal k, k.choose m.1 • (x ^ m.1 * y ^ m.2) = 0


Context:
n m : SimplexCategory
f : n ⟶ m

CategoryTheory.Epi f ↔ Function.Surjective ⇑(SimplexCategory.Hom.toOrderHom f)


Context:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
p₁ p₂ p₃ p₄ : P1
c : k

(AffineMap.lineMap p₁ p₂) c -ᵥ (AffineMap.lineMap p₃ p₄) c = (AffineMap.lineMap (p₁ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₄)) c


Context:
α : Type u
TopologicalSpace α
LinearOrder α
ClosedIciTopology α
a : α


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
a : ⨁ (i : ι), 𝒜 i
b : ℬ 0

↑(gradedComm R 𝒜 ℬ) ∘ₗ (mk R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (⨁ (i : ι), ℬ i)).flip ((lof R ι ℬ 0) b) = (mk R (⨁ (i : ι), ℬ i) (⨁ (i : ι), 𝒜 i)) ((lof R ι ℬ 0) b)


Context:
R : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing A
p : R[X]
x : R
P : Ideal R
hP : x ∈ P
n✝ : ℕ
i : n✝ < (p.scaleRoots x).natDegree


Context: α : Type u_1

Context: Lattice α

Context: CommGroup α

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a : α


Context: 𝓕 : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: E✝ : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : SeminormedCommGroup E✝

Context: inst✝² : SeminormedCommGroup F

Context: a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E✝

Context: r r₁ r₂ : ℝ

Context: α : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹ : SeminormedCommGroup E

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: K Kf Kg : ℝ≥0

Context: f g : α → E

Context: s : Set α

Context: x✝ : α

Context: hf : AntilipschitzWith Kf f

Context: hg : LipschitzWith Kg g

Context: hK : Kg < Kf⁻¹

Context: this : PseudoMetricSpace α := PseudoEMetricSpace.toPseudoMetricSpace ⋯

Context: x y : α

dist x y ≤ ↑(Kf⁻¹ - Kg)⁻¹ * dist (f x * g x) (f y * g y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: i j : ι

Context: hij : i < j

Context: b : Basis ι 𝕜 E

Context: this : gramSchmidt 𝕜 (⇑b) i ∈ span 𝕜 (gramSchmidt 𝕜 ⇑b '' Set.Iio j)


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
QuasiSober α
IrreducibleSpace α


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
h : a ∈ s


Context:
α : Type u
x : FreeRing α

(FreeAbelianGroup.lift ⇑(FreeMonoid.lift FreeCommRing.of)) x = (FreeAbelianGroup.lift ((fun α_1 => FreeAbelianGroup.of α_1) ∘ fun l => ↑l)) x


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
r : R

∀ (a : ℕ) (b : M), (eval r) (p • (single R a) b) = Polynomial.eval r p • (eval r) ((single R a) b)


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
a₁ b₁ : R
a₂ b₂ : ↥M
H : ↑a₂ * b₁ = ↑b₂ * a₁

IsLocalization.mk' S a₁ a₂ = IsLocalization.mk' S b₁ b₂


Context:
x : SetTheory.PGame
i : x.RightMoves

(-x).moveLeft (SetTheory.PGame.toLeftMovesNeg i) = -x.moveRight i


Context:
R : Type u
Semiring R
S T : Ideal R
x : R


Context:
α : Type u_1
as bs cs : List α
h : as ++ bs = cs ++ bs


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
inst✝ : Invertible 2

dickson 1 1 1 = 2 * (Chebyshev.T R ↑1).comp (C ⅟2 * X)


Context:
K : Type u_1
RCLike K
x : K

‖(starRingEnd K) x + x‖ ^ 2 = RCLike.re ((starRingEnd K) x + x) ^ 2


Context:
m : ℤ
hm₀ : m ≠ 0
hm₁ : m ≠ 1
x : ℝ
hx : 0 < x

0 < (∏ i ∈ Finset.range 2, (↑m - ↑i)) * x ^ (m - ↑2)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set α
f : α →₀ M

(Finsupp.lsubtypeDomain s) f = Finsupp.subtypeDomain (fun x => x ∈ s) f


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
g : TensorAlgebra R M →ₐ[R] A

g.toLinearMap ∘ₗ ι R = f ↔ (lift R).symm g = f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_7

Context: AddCommMonoid M

Context: AddCommMonoid N

Context: f : α → β

Context: v : α →₀ M

Context: g : M → N

Context: h0 : g 0 = 0

Context: hadd : ∀ (x y : M), g (x + y) = g x + g y

Finsupp.mapDomain f (Finsupp.mapRange g h0 v) = Finsupp.mapRange g h0 (Finsupp.mapDomain f v)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : T1Space E
hp : WithSeminorms p
x : E
hx : x ≠ 0
this : ∀ ⦃x y : E⦄, x ⤳ y → x = y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
h : Bornology.IsBounded s


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S✝ : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
S : Finset M

CompleteLattice.IsCompactElement (⨆ x ∈ ↑S, span R {x})


Context:
n : ℕ
l : List ℕ
h₁ : l.prod = n
h₂ : ∀ p ∈ l, Prime p


Context:
k : Type u_1
Field k
K : Type u_2
Field K
Algebra k K
σ : K ≃ₐ[k] K
w : NumberField.InfinitePlace K
x : K


Context:
a✝ b✝ c✝ d✝ : Ordinal.{u}
a b c a' : Ordinal.{u_1}
ha : a' < a
d : Ordinal.{u_1}
hd : d < b ♯ c

a' ⨳ (b ♯ c) ♯ a ⨳ d < a ⨳ b ♯ a ⨳ c ♯ a' ⨳ d


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : MulOneClass M
x✝ : M


Context:
α : Type u_1
Preorder α
s : NonemptyInterval α
a : α

↑s = Interval.pure a ↔ s = NonemptyInterval.pure a


Context:
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
h : ∀ (x : α), f x = 1


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: H : IsPreirreducible s

Context: f : X → Y

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: u v : Set Y

Context: hu : IsOpen u

Context: hv : IsOpen v

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s

Context: hxu : x ∈ f ⁻¹' u

Context: y : X

Context: hy : y ∈ s

Context: hyv : y ∈ f ⁻¹' v

Context: u' : Set X

Context: hu' : IsOpen u'

Context: u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s

Context: v' : Set X

Context: hv' : IsOpen v'

Context: v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s

Context: this : (s ∩ u').Nonempty → (s ∩ v').Nonempty → (s ∩ (u' ∩ v')).Nonempty


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: this : ∀ (r : ℝ≥0) {n : ℕ}, 0 < n → (↑r ≤ 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n)) ↔ ‖p n‖₊ * r ^ n ≤ 1)

Context: r : ℝ≥0

Context: hr : ↑r < liminf (fun n => 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n))) atTop


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: f : H → H'

Context: s : Set H

Context: hf : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : H) (y : H'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))

Context: hn : 1 ≤ n

Context: hs : UniqueMDiffOn I s

Context: x : H := ↑I.symm 0

Context: y : H' := ↑I'.symm 0

Context: A : ContDiffOn 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)

↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I = (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s


Context: J : Type w

Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X B : C

Context: F : Discrete PEmpty.{1} ⥤ Over B

Context: s : Cone F

Context: m : s.pt ⟶ { pt := mk (𝟙 B), π := { app := fun p => p.as.elim, naturality := ⋯ } }.pt

Context: x✝ : ∀ (j : Discrete PEmpty.{1}), m ≫ { pt := mk (𝟙 B), π := { app := fun p => p.as.elim, naturality := ⋯ } }.π.app j = s.π.app j


Context:
c : Cardinal.{u_2}
H : c.IsRegular


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
One α
Preorder α
a : α
Nonempty β


Context:
n : ℕ
A : Type u_2
AddGroup A
f : { f // f ↑n = 0 }

Function.Injective ⇑((ZMod.lift n) f) ↔ ∀ (m : ℤ), ↑f m = 0 → ↑m = 0


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G

(HomologicalComplex.cyclesIsoSc' (inhomogeneousCochains A) 1 2 3 isoTwoCocycles.proof_2 isoTwoCocycles.proof_3).hom ≫ cyclesMap { τ₁ := ↑(oneCochainsLequiv A), τ₂ := ↑(twoCochainsLequiv A), τ₃ := ↑(threeCochainsLequiv A), comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ } ≫ (shortComplexH2 A).iCycles = iCocycles A 2 ≫ ↑(twoCochainsLequiv A)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

Context: this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49

Context: x y : Finset α

Context: hx : x ∈ A

Context: hy : y ∈ B


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i

∫ (x : α) in i, (f + g) x ∂μ = ∫ (x : α) in i, f x ∂μ + ∫ (x : α) in i, g x ∂μ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : LocalRing R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Nontrivial S
f : R →+* S
inst✝ : IsLocalRingHom f
hf : Function.Surjective ⇑f
a b : R
hab : IsUnit (f (a + b))


Context:
α : Type u_1
CommMonoid α
u : (Associates α)ˣ


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
x : R
hu : IsUnit x
y z : R


Context:
R : Type u_1
CommRing R
n : ℕ
hn : 1 < n


Context:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s : Set α

omegaLimit f ϕ s = ⋂ u ∈ f, closure (Set.image2 ϕ u s)


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F : J ⥤ C

Context: t : Cone F

Context: X : C

Context: h : yoneda.obj X ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cones

Context: s : Cone F

(limitCone h).extend (homOfCone h s) = coneOfHom h (homOfCone h s)


Context: ι : Sort u_1

Context: M : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝ : Mul M

Context: S : ι → Subsemigroup M

Context: C : M → Prop

Context: x₁ : M

Context: hx₁ : x₁ ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))

Context: mem : ∀ (i : ι), ∀ x₂ ∈ S i, C x₂

Context: mul : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x * y)


Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : IsDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R A

Context: g : ↑{x | IsAlgebraic R x} → R[X]

Context: hg₁ : ∀ (x : ↑{x | IsAlgebraic R x}), g x ≠ 0

Context: hg₂ : ∀ (x : ↑{x | IsAlgebraic R x}), (aeval ↑x) (g x) = 0

Context: x : ↑{x | IsAlgebraic R x}


Context:
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
q a m : ℕ
φ : Y ⟶ X _[m + 1 + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
j : Fin (m + 1 + 1)
hj₁ : m + 1 + 1 ≤ ↑j + (q + 1)
hqn : ¬m + 1 < q
ha : q + a = m + 1
hj₂ : ¬a = ↑j
haj : a < ↑j

φ ≫ X.δ j.succ = φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩ ≫ X.δ j.succ


Context: n : Nat


Context: V : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} V

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V

Context: C : CochainComplex V ℕ

Context: X : V

Context: f : X ⟶ C.X 0

Context: w : f ≫ C.d 0 1 = 0

Context: i j : ℕ

(C.augment f w).d (i + 1) (j + 1) = C.d i j


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
A X : C
CategoryTheory.Closed A

CategoryTheory.MonoidalClosed.curry
    (CategoryTheory.CategoryStruct.id
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj A ((CategoryTheory.Functor.id C).obj X))) =
  (CategoryTheory.ihom.coev A).app X


Context:
α : Type u_1
Nontrivial α
x : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : n < (a :: l).length


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P


Context:
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a b : α
hb : Order.IsSuccLimit b
ha : a < b


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
γ : Type u_3
LinearOrder γ
f : α → γ

LowerSemicontinuous f ↔ ∀ (y : γ), IsClosed (f ⁻¹' Set.Iic y)


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
f : Equiv.Perm α


Context:
p : ℝ
hp : 1 ≤ p


Context: i : Nat

List.iota (i + 1) = (i + 1) :: List.iota i


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℕ) (f : Arrow C), HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom

Context: X : Augmented C

Context: F : Arrow C

Context: G : Augmented.toArrow.obj X ⟶ F

Context: x : SimplexCategoryᵒᵖ

Context: i : Fin ((Opposite.unop x).len + 1)

(X.left.map ((SimplexCategory.mk 0).const (Opposite.unop x) i).op ≫ G.left) ≫ F.hom = X.hom.app x ≫ G.right


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
inst✝ : Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: ι'✝ : Sort u_5

Context: l✝ l' : Filter α

Context: p✝ : ι✝ → Prop

Context: s✝ : ι✝ → Set α

Context: t✝ : Set α

Context: i : ι✝

Context: p' : ι'✝ → Prop

Context: s' : ι'✝ → Set α

Context: i' : ι'✝

Context: ι : Type u_6

Context: ι' : ι → Type u_7

Context: dom : Set ι

Context: hdom : dom.Nonempty

Context: l : ι → Filter α

Context: s : (i : ι) → ι' i → Set α

Context: p : (i : ι) → ι' i → Prop

Context: hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)

Context: h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom

Context: t : Set α

t ∈ ⨅ i ∈ dom, l i ↔ ∃ i, (i.fst ∈ dom ∧ p i.fst i.snd) ∧ s i.fst i.snd ⊆ t


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F
X A : C
inst✝¹ : Nonempty ↑(F.obj X)
inst✝ : IsConnected A
f : X ⟶ A


Context:
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R[X]
g : S[X]
h : f.support ⊆ g.support


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeSup α
OrderBot α
s : Finset β
t : Finset γ
f : β → γ → α

(s.sup fun b => t.sup (f b)) = t.sup fun c => s.sup fun b => f b c


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
k : ℕ
hM : lowerCentralSeries R L M k = ⊥
x : L
m : M


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: Dist E

Context: l : Filter ι

Context: f f' : ι → α → E

Context: g g' : α → E

Context: h_left : ∀ᶠ (i : ι) in l, f i =ᵐ[μ] f' i

Context: h_right : g =ᵐ[μ] g'

Context: h_tendsto : MeasureTheory.TendstoInMeasure μ f l g

MeasureTheory.TendstoInMeasure μ f' l g'


Context:
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : NormalSpace X

Context: u : ι → Set X

Context: s : Set X

Context: v : PartialRefinement u s

Context: hs : IsClosed s

Context: i : ι

Context: hi : i ∉ v.carrier

Context: I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i

Context: C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : CommSemiring S

Context: inst✝⁶ : Semiring A

Context: inst✝⁵ : Semiring B

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: inst✝ : IsScalarTower R S A

Context: s t : Set A

Context: x : A

Context: hx : x ∈ adjoin R s

Context: p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop

Context: mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p x ⋯

Context: algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R A) r) ⋯

Context: add : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯

Context: mul : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯


Context:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_3
D₂ : Type u_4
CategoryTheory.Category.{u_8, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_7, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} D₁
CategoryTheory.Category.{u_5, u_4} D₂
G : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
F : CategoryTheory.Functor C₂ C₁
adj : G ⊣ F
L₁ : CategoryTheory.Functor C₁ D₁
L₂ : CategoryTheory.Functor C₂ D₂
W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂
L₂.IsLocalization W₂
G' : CategoryTheory.Functor D₁ D₂
F' : CategoryTheory.Functor D₂ D₁
CategoryTheory.CatCommSq G L₁ L₂ G'
CategoryTheory.CatCommSq F L₂ L₁ F'
X₂ : C₂

(CategoryTheory.Adjunction.Localization.η adj L₁ L₂ W₂ G' F').app (L₂.obj X₂) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (G'.map ((CategoryTheory.CatCommSq.iso F L₂ L₁ F').inv.app X₂))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.CatCommSq.iso G L₁ L₂ G').inv.app (F.obj X₂))
      (L₂.map (adj.counit.app X₂)))


Context: α : Type u_1

(match (motive := Bool → Num → Num) true with | true => Num.bit1 | false => Num.bit0) 0 = 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: r : ℕ → ℝ

Context: h₁ : blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p

Context: h₂ : blimsup (fun i => cthickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p

Context: hr : Tendsto (fun i => M * r i) atTop (𝓝 0)

Context: hr' : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, p i → 0 < M * r i

blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p


Context:
α : Type u_1
s : Set α


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
l : List α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : E
y : NormedSpace.Dual 𝕜 F


Context:
α : Type u_1
Encodable α
n : ℕ
a : α

Encodable.decode₂ α n = some a ↔ Encodable.encode a = n


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: K L : CochainComplex C ℤ

Context: n : ℤ

Context: γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n

Context: a n' : ℤ

Context: hn' : n + a = n'

(γ.leftShift a n' hn').rightShift a n hn' = (a * n' + a * (a - 1) / 2).negOnePow • γ.shift a


Context:
β : Type u_2
α : Type u_4
Finite (α ⊕ β)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
hs : s.Finite


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
hab : a ≤ b

IntervalIntegrable f μ a b ↔ IntegrableOn f (Ico a b) μ


Context: ι✝ : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝⁴ : EMetricSpace X

Context: inst✝³ : EMetricSpace Y

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : BorelSpace X

Context: β : Type u_4

Context: ι : β → Type u_5

Context: inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)

Context: s : Set X

Context: l : Filter β

Context: r : β → ℝ≥0∞

Context: hr : Tendsto r l (𝓝 0)

Context: t : (n : β) → ι n → Set X

Context: ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n

Context: hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i

Context: m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞

Context: this : (n : β) → Encodable (ι n)

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : 0 < ε

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc : liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l < c

Context: n : β

Context: hn : ∑' (i : ι n), m (diam (t n i)) < c

Context: hrn : r n < ε

Context: htn : ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n

Context: hstn : s ⊆ ⋃ i, t n i

Context: u : ℕ → Set X := fun j => ⋃ b ∈ decode₂ (ι n) j, t n b

⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), m (diam (t n)) ≤ c


Context: u₁ u₂ : ℤˣ


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: P : C

Context: hP : PreservesFiniteColimits (preadditiveCoyonedaObj (op P))


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Preadditive C
U : CategoryTheory.Comonad C
U.Additive
F G : U.Coalgebra
α β : F ⟶ G


Context: a b : ℝ

Context: n✝ m n : ℕ

Context: hc : Continuous fun u => u ^ m * (1 - u ^ 2) ^ n

Context: x✝ : ℝ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α
x : m.ToType


Context:
m n : ℤ
hne : m ≠ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c✝ d a b c : G


Context:
n m : ℕ
hm : m ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ

a / b ≤ 0 ↔ 0 ≤ a ∧ b ≤ 0 ∨ a ≤ 0 ∧ 0 ≤ b


Context:
α : Type u
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
inst✝ : Preorder α

s.chainHeight = ⨆ i ∈ s, (s ∩ Ici i).chainHeight


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: J : Type v₁

Context: inst✝² : SmallCategory J

Context: inst✝¹ : FinCategory J

Context: K✝ : J ⥤ C

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : RepresentablyFlat F

Context: c✝ : Cone K✝

Context: hc✝ : IsLimit c✝

Context: s✝ : Cone (K✝ ⋙ F)

Context: K : J ⥤ C

Context: c : Cone K

Context: hc : IsLimit c

Context: s : Cone (K ⋙ F)

Context: f₁ f₂ : s.pt ⟶ F.obj c.pt

Context: h₁ : ∀ (j : J), f₁ ≫ (F.mapCone c).π.app j = s.π.app j

Context: h₂ : ∀ (j : J), f₂ ≫ (F.mapCone c).π.app j = s.π.app j

Context: α₁ : (F.mapCone c).toStructuredArrow ⋙ map f₁ ⟶ s.toStructuredArrow := { app := fun X => eqToHom ⋯, naturality := ⋯ }

Context: α₂ : (F.mapCone c).toStructuredArrow ⋙ map f₂ ⟶ s.toStructuredArrow := { app := fun X => eqToHom ⋯, naturality := ⋯ }

Context: c₁ : Cone (s.toStructuredArrow ⋙ pre s.pt K F) := (Cones.postcompose (whiskerRight α₁ (pre s.pt K F))).obj (c.toStructuredArrowCone F f₁)

Context: c₂ : Cone (s.toStructuredArrow ⋙ pre s.pt K F) := (Cones.postcompose (whiskerRight α₂ (pre s.pt K F))).obj (c.toStructuredArrowCone F f₂)

Context: c₀ : Cone (biconeMk J c₁ c₂) := IsCofiltered.cone (biconeMk J c₁ c₂)

Context: g₁ : c₀.pt ⟶ c₁.pt := c₀.π.app Bicone.left

Context: g₂ : c₀.pt ⟶ c₂.pt := c₀.π.app Bicone.right

Context: this✝¹ : ∀ (j : J), g₁.right ≫ c.π.app j = g₂.right ≫ c.π.app j

Context: this✝ : c.extend g₁.right = c.extend g₂.right

Context: this : g₁.right = g₂.right


Context:
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
h : (interior s).Nonempty

dimH s = ↑(FiniteDimensional.finrank ℝ E)


Context:
m n✝ n a p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : ℕ
h : ↑k ≠ 0


Context:
G : Type u_3
Group G
a b : G


Context:
α : Type u
s : Set α


Context:
α : Type u
l₁ l₂ : List α
a : α


Context:
α : Type u_2
PartialOrder α
a b : α
H : ∀ (c : α), a ≤ c ↔ b ≤ c


Context:
a b : Prop
h : a = True


Context:
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Multiset α

Multiset.card s = Multiset.countP p s + Multiset.countP (fun x => ¬p x) s


∀ {α : Type u_1} {p q : List α}, p ++ q = [] ↔ p = [] ∧ q = []


Context:
p : ℕ
w✝ : 1 < p
p' : ℕ := p - 2
z : p = p' + 2
w : 1 < p' + 2

¬Nat.Prime (mersenne p) → ¬LucasLehmerTest p


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
𝔸 : Type u_6
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
a : E → 𝔸
ha : DifferentiableAt 𝕜 a x
b : 𝔸


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasInitial C
h : ∀ (A : C) (f : A ⟶ ⊥_ C), IsIso f
I A : C
f : A ⟶ I
hI : IsInitial I
this : IsIso (f ≫ hI.to (⊥_ C))

f ≫ hI.to (⊥_ C) ≫ inv (f ≫ hI.to (⊥_ C)) = 𝟙 A


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
r : ℝ
z : K


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: NormedAddCommGroup G

Context: ι : Type u_5

Context: Nonempty ι

Context: LinearOrder ι

Context: f : ι → α → G

Context: f_lim : α → G

Context: h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (𝓝 (f_lim x))

MeasureTheory.eLpNorm f_lim ⊤ μ = essSup (fun x => Filter.liminf (fun m => ↑‖f m x‖₊) Filter.atTop) μ


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
C' : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C'
D' : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D'
iC : CategoryTheory.Functor C C'
iD : CategoryTheory.Functor D D'
L' : CategoryTheory.Functor C' D'
R' : CategoryTheory.Functor D' C'
adj : L' ⊣ R'
hiC : iC.FullyFaithful
hiD : iD.FullyFaithful
L : CategoryTheory.Functor C D
R : CategoryTheory.Functor D C
comm1 : iC.comp L' ≅ L.comp iD
comm2 : iD.comp R' ≅ R.comp iC
X : C

iC.map ((adj.restrictFullyFaithful hiC hiD comm1 comm2).unit.app X) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (adj.unit.app (iC.obj X))
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (R'.map (comm1.hom.app X)) (comm2.hom.app (L.obj X)))


Context:
α : Type u_2
Preorder α
s : Set α

s.IsPWO ↔ ∀ (f : ℕ → α), (∀ (n : ℕ), f n ∈ s) → ∃ g, Monotone (f ∘ ⇑g)


Context:
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Field β

Context: abv : β → α

Context: inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv

Context: inst✝ : IsComplete β abv

Context: f✝ : CauSeq β abv

Context: hf✝ : ¬f✝.LimZero

Context: hl : f✝.lim ≠ 0

Context: g f : CauSeq β abv

Context: hf : ¬f.LimZero

Context: h₂ : g - f * f.inv hf * g = 1 * g - f * f.inv hf * g

Context: h₃ : f * f.inv hf * g = f * f.inv hf * g

Context: h₄ : g - f * f.inv hf * g = (1 - f * f.inv hf) * g

Context: h₅ : g - f * f.inv hf * g = g * (1 - f * f.inv hf)

Context: h₆ : g - f * f.inv hf * g = g * (1 - f.inv hf * f)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R


Context:
G : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
M : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Monoid (M i)

(univ.lcm fun x => exponent (M x)) ∣ exponent ((i : ι) → M i)


Context: J : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J

Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: F : J ⥤ C

Context: self : CategoryTheory.Limits.HasColimit F


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
f' : E →L[ℂ] ℂ
x : E
s : Set E
c : ℂ
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
h0 : c ≠ 0 ∨ f x ≠ 0

HasFDerivWithinAt (fun x => c ^ f x) ((c ^ f x * Complex.log c) • f') s x


Context:
α : Sort u
β : Sort v


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
a : A
m : M
hm : m ∈ p


Context:
𝕜 : Type u
ι : Type v
E₁ : ι → Type wE₁
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
k : ℕ
x : (i : ι) → E₁ i

‖f.iteratedFDeriv k x‖ ≤ ↑((Fintype.card ι).descFactorial k) * ‖f‖ * ‖x‖ ^ (Fintype.card ι - k)


Context:
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
n : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : IsDedekindDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: p : K[X]

Context: hp : p ≠ 0

Context: this : ∀ q ∈ Multiset.map (fun q => span {q}) (factors p), Prime q

factors (span {p}) = Multiset.map (fun q => span {q}) (factors p)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Div β
a b : β

Function.const α a / Function.const α b = Function.const α (a / b)


Context: n : ℕ

Context: α : TypeVec.{u_1} (n + 1)

Context: p : α.Arrow (TypeVec.repeat (n + 1) Prop)

TypeVec.dropFun (TypeVec.ofSubtype p) = TypeVec.ofSubtype (TypeVec.dropFun p)


Context:
m n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
NormalSpace X
s t : Set X
hs : IsClosed s
ht : IsOpen t
hst : s ⊆ t


Context:
α : Type u_1
DistribLattice α
OrderBot α
a b c : α
hb : Disjoint a b
hc : Disjoint a c


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: OrderedCommSemiring R

Context: Nontrivial R

Context: StarRing R

Context: MetricSpace R

Context: TopologicalSemiring R

Context: ContinuousStar R

Context: ∀ (α : Type u_1) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀

Context: TopologicalSpace A

Context: NonUnitalRing A

Context: StarRing A

Context: PartialOrder A

Context: StarOrderedRing A

Context: Module R A

Context: IsScalarTower R A A

Context: SMulCommClass R A A

Context: NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: h : ∀ x ∈ σₙ R a, f x ≤ g x

Context: hf : ContinuousOn f (σₙ R a) := by cfc_cont_tac

Context: hg : ContinuousOn g (σₙ R a) := by cfc_cont_tac

Context: hf0 : f 0 = 0 := by cfc_zero_tac

Context: hg0 : g 0 = 0 := by cfc_zero_tac


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
T1Space X
DecidableEq X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y

ContinuousOn (Function.update f x y) s ↔ ContinuousOn f (s \ {x}) ∧ (x ∈ s → Filter.Tendsto f (𝓝[s \ {x}] x) (𝓝 y))


Context:
I : Type u
f : I → Type v
(i : I) → Neg (f i)
DecidableEq I
f₁ : (i : I) → f i
i : I
x₁ : f i

Function.update (-f₁) i (-x₁) = -Function.update f₁ i x₁


Context:
p : ℕ
α : Type u_4
β : Type u_5
f : α → β
hf : Function.Injective f


Context:
k : ℕ
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))

(Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger ^ 2 ^ k - 1) = (-2) ^ 2 ^ k


Context:
f : ℝ → ℝ
a : ℝ
h : IsLocalMax f a


Context:
α : Type u
a b c : α
LE α
h₁ : a = b
h₂ : b ≤ c


Context:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
AddCommGroup V2
Module k V2
AffineSpace V2 P2
f : P1 →ᵃ[k] P2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
s : Set α


Context:
a : Nat
b c : Nat
h : b ≤ c


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
t t' : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)

ProjectiveSpectrum.vanishingIdeal t ⊔ ProjectiveSpectrum.vanishingIdeal t' ≤ ProjectiveSpectrum.vanishingIdeal (t ∩ t')


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝² : Mul G

Context: inst✝¹ : Mul H

Context: A B : Finset G

Context: a0 b0 : G

Context: inst✝ : DecidableEq H

Context: f : G →ₙ* H

Context: hf : ∀ ⦃a b c d : G⦄, a * b = c * d → f a = f c ∧ f b = f d → a = c ∧ b = d

Context: h : UniqueMul (Finset.image (⇑f) A) (Finset.image (⇑f) B) (f a0) (f b0)

Context: a b : G

Context: ha : a ∈ A

Context: hb : b ∈ B

Context: ab : a * b = a0 * b0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter β
u v : β → α
p : β → Prop
h : ∀ᶠ (a : β) in f, p a → u a = v a


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_5, u_2} D

Context: L✝ : C ⥤ D

Context: W✝ : MorphismProperty C

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{u_6, u_3} E

Context: inst✝¹ : L✝.IsLocalization W✝

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝ : L.IsLocalization W

Context: F₁ F₂ : D ⥤ E

Context: τ τ' : F₁ ⟶ F₂

Context: h : ∀ (X : C), τ.app (L.obj X) = τ'.app (L.obj X)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f g : α → E

Context: hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ

Context: hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ

Context: hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ

Context: hf : AEFinStronglyMeasurable f μ

Context: hg : AEFinStronglyMeasurable g μ

Context: hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, (f - g) x ∂μ = 0

Context: hfg_int : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (f - g) s μ


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
Fintype ι
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v


Context: α : Type u_1

Context: Fintype α

Context: DecidableEq α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: h𝒜 : IsAntichain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ↑𝒜

Context: h𝒜₀ : ∅ ∉ 𝒜

∑ s ∈ 𝒜, (↑((Fintype.card α).choose s.card))⁻¹ ≤ AhlswedeZhang.infSum 𝒜


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context:
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s✝ t✝ : Finset α
a b : α
s t : Finset α
h : _root_.Disjoint s t

(s.disjUnion t h).dens = s.dens + t.dens


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: inst✝² : HasRingHomProperty P Q

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝¹ : IsAffine X

Context: inst✝ : IsAffine Y

(∀ (i : (Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 X)).J), Q (Scheme.Hom.app ((Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 X)).map i ≫ f) ⊤)) ↔ Q (Scheme.Hom.app f ⊤)


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: f : 𝕜 → F

Context: x₀ : 𝕜

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: hlip : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r r' : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : PartialOrder γ
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
f g : β → γ
hf : StrictMono f
hg : StrictMono g
hfg : range f = range g
a : β

∀ (x : β), (∀ y < x, f y = g y) → f x = g x


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
x : R
hu : IsUnit x
y z : R


Context:
α : Type u_2
s : Set α
Preorder α
SupSet α
Inhabited ↑s


Context:
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char

{ str := { data := l ++ (m₁ ++ c :: m₂) ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (m₁ ++ c :: m₂) } }.prev { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len m₁ }


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
s : Multiset ι
f : ι → Ideal R
P : Ideal R
hp : P.IsPrime

(Multiset.map f s).prod ≤ P ↔ ∃ i ∈ s, f i ≤ P


Context:
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
r : R → R → Prop
F : RingQuot r →+* T

(fun f => preLift ⋯) ((fun F => ⟨F.comp (mkRingHom r), ⋯⟩) F) = F


Context:
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
i : Fin (n + 1)

⇑(Equiv.piFinSuccAbove α i) = fun f => (f i, i.removeNth f)


Context:
R : Type u
σ : Type u_1
a a' : R
s : σ →₀ ℕ
CommSemiring R

MvPolynomial.C a * (MvPolynomial.monomial s) a' = (MvPolynomial.monomial s) (a * a')


Context:
m n : ℕ
hn : 1 < n
h : n ! = m !
hnm : m < n


Context:
α β : Type u
Infinite α
Zero β
Nontrivial β


Context:
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s

∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t


Context:
α : Type u
L₁ L₂ : List (α × Bool)
x : α
b : Bool

FreeGroup.Red.Step (L₁ ++ (x, !b) :: (x, b) :: L₂) (L₁ ++ L₂)


Context: n m : Nat


Context:
R : Type u₁
CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
CharP R p

(frobenius (Ring.Perfection R p) p).comp (Perfection.pthRoot R p) = RingHom.id (Ring.Perfection R p)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0

o.oangle (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x - x) = ↑(Real.arctan r⁻¹)


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: X Y X' Y' : C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: f' g' : X' ⟶ Y'

Context: p : X ⟶ X'

Context: q : Y ⟶ Y'

Context: wf : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f q = CategoryTheory.CategoryStruct.comp p f'

Context: wg : CategoryTheory.CategoryStruct.comp g q = CategoryTheory.CategoryStruct.comp p g'

(CategoryTheory.Limits.parallelPairHom f g f' g' p q wf wg).app CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero = p


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.ConcreteCategory C

Context: J : Type w

Context: CategoryTheory.Category.{r, w} J

Context: F : J ⥤ C

Context: CategoryTheory.Limits.PreservesColimit F (CategoryTheory.forget C)

Context: CategoryTheory.IsFiltered J

Context: CategoryTheory.Limits.HasColimit F

Context: i j : J

Context: x : (CategoryTheory.forget C).obj (F.obj i)

Context: y : (CategoryTheory.forget C).obj (F.obj j)

(CategoryTheory.Limits.colimit.ι F i) x = (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j) y ↔ ∃ k f g, (F.map f) x = (F.map g) y


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: f : End K V

Context: m : ℕ

Context: hm : finrank K V ≤ m

Context: k : ℕ

Context: h_k_le : k ≤ finrank K V

Context: hk : LinearMap.ker (f ^ k) = LinearMap.ker (f ^ k.succ)

LinearMap.ker (f ^ m) = LinearMap.ker (f ^ finrank K V)


Context:
α : Type u
x : WithOne α


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
h : IsInitial X → False
he : IsEmpty ↑(F.obj X)


Context:
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
s : Finset (ι × ℝ)
p : ι × ℝ

BoxIntegral.Prepartition.splitMany I (insert p s) =
  BoxIntegral.Prepartition.splitMany I s ⊓ BoxIntegral.Prepartition.split I p.1 p.2


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y : C
g : Y ⟶ X
inst✝ : Mono g
f₂ : Subobject Y

∀ (f₁ : Subobject Y), (map g).obj (f₁ ⊓ f₂) = (map g).obj f₁ ⊓ (map g).obj f₂


Context:
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
p : ℕ
CharP R p
p.AtLeastTwo


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ f.hom ≫ (((λ_ (X.X ⊗ N.X)).inv ≫ 𝟙_ C ◁ N.actLeft) ≫ X.one ▷ N.X) ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)


Context:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
p : ℕ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
hp : p ≠ 0

ProbabilityTheory.centralMoment 0 p μ = 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α E
g : E → ℝ≥0∞
hf : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ
hg0 : g 0 = 0
ht : ∀ (b : E), g b ≠ ⊤

MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ (MeasureTheory.SimpleFunc.map (ENNReal.toReal ∘ g) f) =
  (∫⁻ (a : α), g (↑f a) ∂μ).toReal


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝² : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a✝ : α
b : β
δ : 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset ι
f : ι → Finset β
a : α × β

a ∈ interedges r s (t.biUnion f) ↔ a ∈ t.biUnion fun b => interedges r s (f b)


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C

Context: F F' : CategoryTheory.Sheaf J (Type w)

Context: f : F ⟶ F'

(CategoryTheory.GrothendieckTopology.imageSheafι f).val =
  (CategoryTheory.GrothendieckTopology.Subpresheaf.sheafify J
      (CategoryTheory.GrothendieckTopology.imagePresheaf f.val)).ι


Context: J : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} J

Context: K : CategoryTheory.Functor J (Type u)

Context: c : CategoryTheory.Limits.Cocone K

Context: hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c

Context: lc : CategoryTheory.Limits.Cocone (K.comp CategoryTheory.uliftFunctor.{v, u})

Context: f : c.pt → lc.pt

f = CategoryTheory.Limits.Types.descFun hc lc ↔ ∀ (j : J), f ∘ c.ι.app j = lc.ι.app j ∘ ULift.up


Context:
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
f' : α → E'
g' : α → F'
l : Filter α


Context:
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
DecidableEq (Associates α)
m p : Associates α
h₁ : m ≠ 0
h₂ : Irreducible p
k : ℕ

p ^ k ≤ m ↔ k ≤ Associates.bcount ⟨p, h₂⟩ m.factors


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: hfinε : ε ≠ ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
a : α


Context:
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.Pseudofunctor B C
a b c d : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d

CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.mapComp f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h)).hom
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft (F.map f) (F.mapComp g h).hom) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.associator f g h).inv)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.mapComp (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) h).hom
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (F.mapComp f g).hom (F.map h))
        (CategoryTheory.Bicategory.associator (F.map f) (F.map g) (F.map h)).hom))


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
x y : α
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
x' y' : β
h : cmp x y = cmp x' y'


Context:
x : ℂ
n : ℕ
hx : Complex.abs x / ↑n.succ ≤ 1 / 2

Complex.abs (Complex.exp x - ∑ m ∈ Finset.range n, x ^ m / ↑m.factorial) ≤ Complex.abs x ^ n / ↑n.factorial * 2


Context:
α : Type u_2
PartialOrder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
DecidableEq α
h : a ≤ b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
n : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesAt f p x n
hg : f =ᶠ[𝓝 x] g


Context:
J : Type v₁
CategoryTheory.SmallCategory J
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
F : CategoryTheory.Functor J C
c₁ c₂ : CategoryTheory.Limits.Cone F

∀ {X Y : CategoryTheory.Bicone J} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.biconeMk J c₁ c₂).map f =
    CategoryTheory.BiconeHom.casesOn (motive := fun a a_1 x =>
      X = a →
        Y = a_1 →
          HEq f x →
            ((fun X => CategoryTheory.Bicone.casesOn X c₁.pt c₂.pt fun j => F.obj j) X ⟶
              (fun X => CategoryTheory.Bicone.casesOn X c₁.pt c₂.pt fun j => F.obj j) Y))
      f
      (fun h =>
        Eq.ndrec (motive := fun {X} =>
          (f : X ⟶ Y) →
            Y = CategoryTheory.Bicone.left →
              HEq f CategoryTheory.BiconeHom.left_id →
                ((fun X => CategoryTheory.Bicone.casesOn X c₁.pt c₂.pt fun j => F.obj j) X ⟶
                  (fun X => CategoryTheory.Bicone.casesOn X c₁.pt c₂.pt fun j => F.obj j) Y))
          (fun f h =>
            Eq.ndrec (motive := fun {Y} =>
              (f : CategoryTheory.Bicone.left ⟶ Y) →
                HEq f CategoryTheory.BiconeHom.left_id →
                  ((fun X => CategoryTheory.Bicone.casesOn X c₁.pt c₂.pt fun j => F.obj j) CategoryTheory.Bicone.left ⟶
                    (fun X => CategoryTheory.Bicone.casesOn X c₁.pt c₂.pt fun j => F.obj j) Y))
              (fun f h =>
                CategoryTheory.CategoryStruct.id
                  ((fun X => CategoryTheory.Bicone.casesOn X c₁.pt c₂.pt fun j => F.obj j) CategoryTheory.Bicone.left))
              ⋯ f)
          ⋯ f)
      (fun h =>
        Eq.ndrec (motive := fun {X} =>
          (f : X ⟶ Y) →
            Y = CategoryTheory.Bicone.right →
              HEq f CategoryTheory.BiconeHom.right_id →
                ((fun X => CategoryTheory.Bicone.casesOn X c₁.pt c₂.pt fun j => F.obj j) X ⟶
                  (fun X => CategoryTheory.Bicone.casesOn X c₁.pt c₂.pt fun j => F.obj j) Y))
          (fun f h =>
            Eq.ndrec (motive := fun {Y} =>
              (f : CategoryTheory.Bicone.right ⟶ Y) →
                HEq f CategoryTheory.BiconeHom.right_id →
                  ((fun X => CategoryTheory.Bicone.casesOn X c₁.pt c₂.pt fun j => F.obj j) CategoryTheory.Bicone.right ⟶
                    (fun X => CategoryTheory.Bicone.casesOn X c₁.pt c₂.pt fun j => F.obj j) Y))
              (fun f h =>
                CategoryTheory.CategoryStruct.id
                  ((fun X => CategoryTheory.Bicone.casesOn X c₁.pt c₂.pt fun j => F.obj j) CategoryTheory.Bicone.right))
              ⋯ f)
          ⋯ f)
      (fun j h =>
        Eq.ndrec (motive := fun {X} =>
          (f : X ⟶ Y) →
            Y = CategoryTheory.Bicone.diagram j →
              HEq f (CategoryTheory.BiconeHom.left j) →
                ((fun X => CategoryTheory.Bicone.casesOn X c₁.pt c₂.pt fun j => F.obj j) X ⟶
                  (fun X => CategoryTheory.Bicone.casesOn X c₁.pt c₂.pt fun j => F.obj j) Y))
          (fun f h =>
            Eq.ndrec (motive := fun {Y} =>
              (f : CategoryTheory.Bicone.left ⟶ Y) →
                HEq f (CategoryTheory.BiconeHom.left j) →
                  ((fun X => CategoryTheory.Bicone.casesOn X c₁.pt c₂.pt fun j => F.obj j) CategoryTheory.Bicone.left ⟶
                    (fun X => CategoryTheory.Bicone.casesOn X c₁.pt c₂.pt fun j => F.obj j) Y))
              (fun f h => c₁.π.app j) ⋯ f)
          ⋯ f)
      (fun j h =>
        Eq.ndrec (motive := fun {X} =>
          (f : X ⟶ Y) →
            Y = CategoryTheory.Bicone.diagram j →
              HEq f (CategoryTheory.BiconeHom.right j) →
                ((fun X => CategoryTheory.Bicone.casesOn X c₁.pt c₂.pt fun j => F.obj j) X ⟶
                  (fun X => CategoryTheory.Bicone.casesOn X c₁.pt c₂.pt fun j => F.obj j) Y))
          (fun f h =>
            Eq.ndrec (motive := fun {Y} =>
              (f : CategoryTheory.Bicone.right ⟶ Y) →
                HEq f (CategoryTheory.BiconeHom.right j) →
                  ((fun X => CategoryTheory.Bicone.casesOn X c₁.pt c₂.pt fun j => F.obj j) CategoryTheory.Bicone.right ⟶
                    (fun X => CategoryTheory.Bicone.casesOn X c₁.pt c₂.pt fun j => F.obj j) Y))
              (fun f h => c₂.π.app j) ⋯ f)
          ⋯ f)
      (fun {j k} f_1 h =>
        Eq.ndrec (motive := fun {X} =>
          (f : X ⟶ Y) →
            Y = CategoryTheory.Bicone.diagram k →
              HEq f (CategoryTheory.BiconeHom.diagram f_1) →
                ((fun X => CategoryTheory.Bicone.casesOn X c₁.pt c₂.pt fun j => F.obj j) X ⟶
                  (fun X => CategoryTheory.Bicone.casesOn X c₁.pt c₂.pt fun j => F.obj j) Y))
          (fun f h =>
            Eq.ndrec (motive := fun {Y} =>
              (f : CategoryTheory.Bicone.diagram j ⟶ Y) →
                HEq f (CategoryTheory.BiconeHom.diagram f_1) →
                  ((fun X => CategoryTheory.Bicone.casesOn X c₁.pt c₂.pt fun j => F.obj j)
                      (CategoryTheory.Bicone.diagram j) ⟶
                    (fun X => CategoryTheory.Bicone.casesOn X c₁.pt c₂.pt fun j => F.obj j) Y))
              (fun f h => F.map f_1) ⋯ f)
          ⋯ f)
      ⋯ ⋯ ⋯


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
s t : Set L
h : s ⊆ t


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
ι : Type u_5
f : ι → α → F'
hf : ∀ i ∈ ∅, Integrable (f i) μ

μ[∑ i ∈ ∅, f i|m] =ᶠ[ae μ] ∑ i ∈ ∅, μ[f i|m]


Context: E : Type u_1

Context: NormedAddCommGroup E

Context: InnerProductSpace ℝ E

Context: Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin 2)

Context: x y : E

Context: h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
BEq α
a : α
l : Batteries.AssocList α β

Batteries.AssocList.contains a l = l.toList.any fun x => x.fst == a


Context:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜


Context:
α : Type u_1
F : Type u_4
R : Type u_13
Norm F
SeminormedRing R
c : ℝ
g : α → F
l : Filter α
f : α → R
h : Asymptotics.IsBigOWith c l f g
c' : R

Asymptotics.IsBigOWith (‖c'‖ * c) l (fun x => c' * f x) g


Context:
n m : ℕ
h : n < m

[n] ++ Ico n.succ m = n :: Ico (n + 1) m


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_6
m : ι → MeasurableSpace α

MeasurableSpace.generateFrom (⋃ n, {t | MeasurableSet t}) = ⨆ n, m n


Context:
α : Type u_1
M : IndepMatroid α

∀ (x : Set α), M.matroid.Base x = (x ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I})


Context: X : Scheme

Context: inst✝ : IsIntegral X

Context: U V : X.Opens

Context: i : U ⟶ V

Context: H : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace

Context: x : ↑Γ(X, V)

Context: hx : X.basicOpen ((X.presheaf.map i.op) x) = ⊥


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
h : affineSpan ℝ s = ⊤


Context:
α : Type u_1
M : Type u_5
Zero M
p : α → Prop
DecidablePred p
f : α →₀ M
a : α

(Finsupp.filter p f) a = if p a then f a else 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α →ₘ[μ] β

Context: g : { f // AEStronglyMeasurable f μ } := Quotient.out' f

Context: this : g = ⟨↑g, ⋯⟩


Context:
α : Type u_2
OrderedCommMonoid α
s : Multiset α
n : α
h : ∀ x ∈ s, x ≤ n


Context:
K : Type u_1
Field K
x : RatFunc K

Valued.v x = (Polynomial.idealX K).valuation x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t
i : ι
a✝ : i ∈ {i | t i ≠ ⊥}
j : ι
hj : t j ≠ ⊥
h : t i = t j
contra : i ≠ j


Context:
a c b d : Nat
hac : a < c
hbd : b ≤ d
hd : 0 < d


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c


Context:
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
LieModule.IsNilpotent R L M
x : L


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).OuterRegular

Context: h' : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)

Context: h'' : univ ⊆ ⋃ n, s n

Context: A : Set α

Context: hA : MeasurableSet A

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r > μ A

Context: HA : μ A < ⊤


Context: k : ℕ

derivative (bernoulli k) = ↑k * bernoulli (k - 1)


Context:
J : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
j₁ j₂ j₃ : J
f : j₁ ⟶ j₂
g : j₂ ⟶ j₃
U : (Opens ↑↑(F.obj j₃))ᵒᵖ

(F.map (f ≫ g)).c.app U = (F.map g).c.app U ≫ ((pushforward C (F.map g).base).map (F.map f).c).app U ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j₁).presheaf).hom.app U


Context:
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
x : ↑X

⟦H.evalAt x⟧ = eqToHom ⋯ ≫ (π.map H.uliftMap).map ((prodToProdTop (TopCat.of (ULift.{u, 0} ↑I)) X).map (⟦unitInterval.upath01⟧, 𝟙 (fromTop x))) ≫ eqToHom ⋯


Context: m n : Nat

Int.negOfNat n * Int.negSucc m = Int.ofNat (n * m.succ)


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 = x ∨ 0 < x
hxy : x < y
hz : 0 < z


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

Context: ∀ (a b : C), CategoryTheory.Limits.HasProductsOfShape (a ⟶ b) D

Context: c : C

∀ {X Y : D} (f : X ⟶ Y) (t : C),
  ((CategoryTheory.evaluationRightAdjoint D c).map f).app t =
    CategoryTheory.Limits.Pi.lift fun g =>
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Pi.π (fun x => X) g) f


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: t✝ : Finset α

Context: m n✝ : ℕ

Context: m_pos : m > 0

Context: s : Finset α

Context: ih : ∀ t ⊂ s, ∀ {a b : ℕ} {P : Finpartition t}, a * m + b * (m + 1) = t.card → ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b

Context: a b : ℕ

Context: P : Finpartition s

Context: hs : a * m + b * (m + 1) = s.card

Context: hab : 0 < a ∨ 0 < b

Context: n : ℕ := if 0 < a then m else m + 1

Context: hn : n = if 0 < a then m else m + 1

Context: hn₀ : 0 < n

Context: hn₁ : n ≤ m + 1

Context: hn₂ : n ≤ a * m + b * (m + 1)

Context: hn₃ : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = s.card - n

Context: u : Finset α

Context: hu₁ : u ∈ P.parts

Context: hu₂ : m + 1 ≤ u.card

Context: t : Finset α

Context: htu : t ⊆ u

Context: htn : t.card = n

Context: ht : t.Nonempty


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]

↑φ = 1 ↔ φ = 1


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0

‖c • ‖x‖⁻¹ • x‖ = c


Context:
α : Type u_1
LT α
a : WithTop α


Context: R : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: inst✝ : HasColimit (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)

Context: r s : R

Context: j : J

(F.obj j).smul r ≫ colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j + (F.obj j).smul s ≫ colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j = colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j ≫ colimMap { app := fun j => (F.obj j).smul r, naturality := ⋯ } + colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j ≫ colimMap { app := fun j => (F.obj j).smul s, naturality := ⋯ }


Context:
X : Type u
ι : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Finset ι
f : ι → Set X
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)


Context:
α : Type u_1
SubtractionMonoid α
a : α


Context:
M : Type u_1
Monoid M
S : Submonoid M


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
f' : G' →g G''
u✝ v✝ u' v' : V
p✝ : G.Walk u✝ v✝
u v : V
p : G.Walk u v
H : SimpleGraph V
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∈ H.edgeSet

(p.transfer H hp).reverse = p.reverse.transfer H ⋯


Context:
R : Type u_1
CommRing R
n : ℤ

Polynomial.Chebyshev.T R (n - 1) = 2 * Polynomial.X * Polynomial.Chebyshev.T R n - Polynomial.Chebyshev.T R (n + 1)


Context: I : Type u

Context: AddMonoid I

Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory C

Context: X₁ X₂ X₃ : CategoryTheory.GradedObject I C

Context: X₂.HasTensor X₃

Context: X₁.HasTensor (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj X₂ X₃)

Context: Y₁ Y₂ Y₃ : CategoryTheory.GradedObject I C

Context: Y₂.HasTensor Y₃

Context: Y₁.HasTensor (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObj Y₂ Y₃)

Context: f₁ : X₁ ⟶ Y₁

Context: f₂ : X₂ ⟶ Y₂

Context: f₃ : X₃ ⟶ Y₃

Context: i₁ i₂ i₃ j : I

Context: h : i₁ + i₂ + i₃ = j

CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h)
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorHom f₁ (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorHom f₂ f₃) j) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (f₁ i₁) (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (f₂ i₂) (f₃ i₃)))
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj₃ Y₁ Y₂ Y₃ i₁ i₂ i₃ j h)


Context:
α : Type u_1
A : Type u_3
AddGroup A
GroupWithZero α
DistribMulAction α A
a : α
ha : a ≠ 0
S T : AddSubgroup A


Context:
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E

HasFPowerSeriesWithinAt f p Set.univ x ↔ HasFPowerSeriesAt f p x


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : LeftCancelMonoid G

Context: x✝ y a : G

Context: m n : ℕ

Context: x : G

Context: h : ¬IsOfFinOrder x

Context: s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}

Context: hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}


Context:
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ
hs : -1 < s

AEStronglyMeasurable (fun x => (-x) ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) (volume.restrict (Ioi 0))


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_6
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 v
y : α
hy : c y ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β


Context:
M : Type u_2
AddCommGroup M
K : Type u_3
Field K
Module K M
f g : Module.End K M
FiniteDimensional K M
PerfectField K
comm : Commute f g
hf : f.IsSemisimple
hg : g.IsSemisimple


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t✝ u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: f : E → F → G

Context: g : E → F

Context: t : Set F

Context: n : ℕ∞

Context: hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)

Context: hg : ContDiffWithinAt 𝕜 m g s x₀

Context: ht : UniqueDiffOn 𝕜 t

Context: hmn : m + 1 ≤ n

Context: hx₀ : x₀ ∈ s

Context: hst : s ⊆ g ⁻¹' t

∀ᶠ (x : E) in 𝓝[insert x₀ s] x₀, UniqueDiffWithinAt 𝕜 t (g x)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≤ b


Context: F : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair ⥤ TopCat

Context: U : Set ↑(CategoryTheory.Limits.colimit F)

IsOpen U ↔ IsOpen (⇑(CategoryTheory.Limits.colimit.ι F CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.one) ⁻¹' U)


Context: a b : Ordinal.{u_1}


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set α
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
huv : s ⊆ u' ∪ v'
z : α
hz : z ∈ s ∩ (u' ∩ v')


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ

κ.rnDeriv η = fun a x => ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x) / ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
a : β × α
g : γ → ℝ≥0∞

∫⁻ (c : γ), g c ∂κ.swapLeft a = ∫⁻ (c : γ), g c ∂κ a.swap


Context:
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
DecidableEq ι
(i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

AddCommGroup.DirectLimit.map (fun i => AddMonoidHom.id (G i)) ⋯ = AddMonoidHom.id (AddCommGroup.DirectLimit G f)


Context:
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
IsDomain R₁
IsNoetherianRing R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0

∫⁻ (x : ℝ), ENNReal.ofReal (ProbabilityTheory.gaussianPDFReal μ v x) = 1


Context:
T : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} T
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor D T
X : T

∀ (X_1 : CategoryTheory.Comma (F.comp (CategoryTheory.Functor.id T)) (CategoryTheory.Functor.fromPUnit X)),
  ((CategoryTheory.CostructuredArrow.toOver F X).obj X_1).left = F.obj X_1.left


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a b : α
s t : Finset α
x : α
h : x ∉ t


Context:
u : Lean.Level
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n d : ℕ
inv✝ : Invertible ↑d

IsRat (↑(-Int.ofNat n.succ) * ⅟↑d)⁻¹ (-Int.ofNat d) n.succ


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type w)

(CategoryTheory.sheafOfTypesBotEquiv.inverse.obj P).val = P


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : α → E


Context:
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
x : (i : Fin (n + 1)) → α i
s : (i : Fin (n + 1)) → Finset (α i)

x ∈ piFinset s ↔ init x ∈ piFinset (init s) ∧ x (last n) ∈ s (last n)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
CommMonoidWithZero α
NoZeroDivisors α
Nontrivial α
DecidableEq α
LT α
s : Finset ι
f : ι → WithBot α
h : ∀ i ∈ s, f i ≠ ⊥


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R P
hS : 0 ∉ S
I : FractionalIdeal S P
hI : I.num = ⊥


Context: a b : Rat

{ num := a.num.div ↑(a.num.natAbs.gcd b.den) * b.num.div ↑(b.num.natAbs.gcd a.den), den := a.den / b.num.natAbs.gcd a.den * (b.den / a.num.natAbs.gcd b.den), den_nz := ⋯, reduced := ⋯ } = normalize (a.num * b.num) (a.den * b.den) ⋯


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s : Set α
inst✝ : CompleteLattice α
a : α
S : Set ↑(Iic a)
f : ι → ↑(Iic a)
p : ι → Prop


Context: s : Set EReal


Context: I₁ : Type u_1

Context: I₂ : Type u_2

Context: I₃ : Type u_3

Context: J : Type u_4

Context: Zero I₂

Context: r : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: π : I₁ × I₃ → J

Context: self : CategoryTheory.GradedObject.TriangleIndexData r π

Context: i₁ : I₁


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a b : α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β

((StrictMono fun a => map f ↑a) ∧ ∀ (x : α), map f ⊥ < map f ↑x) ↔ StrictMono f


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
S : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
p : ι →₀ R
n : N
i : ι

((finsuppScalarLeft R N ι) (p ⊗ₜ[R] n)) i = (p.sum fun i m => Finsupp.single i (m • n)) i


Context:
x z : EReal
h : x < z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : OrderTopology β
t : Set α
x : α
inst✝ : (𝓝 x).IsCountablyGenerated
htx : IsLUB t x
not_mem : x ∉ t
ht : t.Nonempty
v : ℕ → α
hvx : Tendsto v atTop (𝓝[≤] x)
hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t

∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ t


Context:
F : Type u → Type w
G : Type v → Type u
Applicative F
Applicative G
LawfulApplicative F
LawfulApplicative G
α β γ : Type v
x : Functor.Comp F G α
f : Functor.Comp F G (α → β)
g : Functor.Comp F G (β → γ)

(Seq.seq g fun x_1 => Seq.seq f fun x_2 => x) = Seq.seq (Seq.seq (Function.comp <$> g) fun x => f) fun x_1 => x


Context:
R : Type u_3
M : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Invertible 2
Q : QuadraticMap R M R
hB : Q.Anisotropic


Context: x y : ℂ

SameRay ℝ x y ↔ x = 0 ∨ y = 0 ∨ x.arg = y.arg


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → ℝ
a : α
hf : ContinuousAt f a
h₀ : f a ≠ 0

ContinuousAt (fun x => Real.log (f x)) a


Context:
M : Type u_2
N : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass N
f : M →* N

∀ (a : Mᵐᵒᵖ), (MonoidHom.op f) a = (MulOpposite.op ∘ ⇑f ∘ MulOpposite.unop) a


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: x✝ y✝ z : X

Context: ι : Type u_3

Context: F : Set X

Context: f : X → Y

Context: hf : Inducing f

Context: hF : F.Nonempty ∧ ∀ a ∈ F, ∀ a_2 ∈ F, JoinedIn (f '' F) (f a) (f a_2)

Context: x : X

Context: hx : x ∈ F

Context: y : X

Context: hy : y ∈ F


Context:
K : Type u_3
Field K
a b c : K
hc : c ≠ 0


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: X₁₁ X₁₂ X₁₃ X₂₁ X₂₂ X₂₃ : C

Context: h₁₁ : X₁₁ ⟶ X₁₂

Context: h₁₂ : X₁₂ ⟶ X₁₃

Context: h₂₁ : X₂₁ ⟶ X₂₂

Context: h₂₂ : X₂₂ ⟶ X₂₃

Context: v₁₁ : X₁₁ ⟶ X₂₁

Context: v₁₂ : X₁₂ ⟶ X₂₂

Context: v₁₃ : X₁₃ ⟶ X₂₃

Context: s : CategoryTheory.IsPushout h₁₁ v₁₁ v₁₂ h₂₁

Context: e : h₁₂ ≫ v₁₃ = v₁₂ ≫ h₂₂

CategoryTheory.IsPushout (h₁₁ ≫ h₁₂) v₁₁ v₁₃ (h₂₁ ≫ h₂₂) ↔ CategoryTheory.IsPushout h₁₂ v₁₂ v₁₃ h₂₂


Context:
R : Type u
CommRing R
P Q : Fin 3 → R
hPz : P z = 0
hQz : Q z ≠ 0


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

Complex.normSq ((o.kahler x) y) = (‖x‖ * ‖y‖) ^ 2


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: K : HomologicalComplex C c

Context: i j : ι

Context: hi : c.prev j = i

Context: h : K.d i j = 0

Context: K.HasHomology j

(K.isoHomologyπ i j hi h).inv ≫ K.homologyπ j = 𝟙 (K.homology j)


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : S'.a ^ 3 - 1 = λ ^ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : S'.b ^ 3 - 1 = λ ^ 4 * y


Context:
M : Type u_3
AddCommGroup M
S : AddSubgroup M


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
g : α → β
y : α
q : Fin n → α

g ∘ Fin.cons y q = Fin.cons (g y) (g ∘ q)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: s_conv✝ : Convex ℝ s✝

Context: f✝ : E → F

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] F

Context: f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x

Context: x✝ : E

Context: xs✝ : x✝ ∈ s✝

Context: hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x

Context: v w y : E

Context: hy : y ∈ interior s

Context: z : E

Context: hz : z = (1 / 4) • (y - x)

Context: A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)


Context:
α : Type u
p : α → Bool
a : α
l : List α
h : a ∈ List.filter p l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
h : ¬∃ a, o = succ a


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : I.Boundaryless
x : M

(extChartAt I x).target ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x) x)


Context:
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'

LieSubalgebra.ofLe h = LieSubalgebra.comap K'.incl K


Context:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
m : ℕ
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hmn : ↑m ≤ n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

ContinuousOn (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: i : ι

Context: f : (i : ι) → β i

Context: s : { s // ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0 }


Context:
a b : ℕ
hb : Odd b
ha₀ : a ≠ 0


Context: b : ℂ

Context: V : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: hb : 0 < b.re

Context: c : ℂ

Context: w : V

Context: e : EuclideanSpace ℝ (Fin (FiniteDimensional.finrank ℝ V)) ≃ₗᵢ[ℝ] V := (stdOrthonormalBasis ℝ V).repr.symm

∫ (v : V), cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + c * ↑⟪w, v⟫_ℝ) = (↑π / b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2) * cexp (c ^ 2 * ↑‖w‖ ^ 2 / (4 * b))


Context:
α : Sort u_4
β : Sort u_5
Finite β
f : α → β
H : Function.Injective f


Context: R S : Type u

Context: M : Type v

Context: M'✝ : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'✝

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'✝

Context: inst✝ : Module R M₁

Context: M' : Submodule R M

Context: ι₁ : Type u_2

Context: ι₂ : Type u_3

Context: f : ι₁ → ↥M'

Context: hf : LinearIndependent R f

Context: g : ι₂ → M

Context: hg : LinearIndependent R (Submodule.Quotient.mk ∘ g)

Context: x : M

Context: h₁ : x ∈ span R (range fun x => ↑(f x))

Context: h₂ : x ∈ span R (range g)


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
hn : 0 < n
a : R


Context: α✝ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: t : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : PolishSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: inst✝ : SecondCountableTopology ↑(range f)

Context: hf : Measurable f

Context: b : Set (Set ↑(range f))

Context: b_count : b.Countable

Context: hb : IsTopologicalBasis b

Context: this✝ : Countable ↑b

Context: T : ↑b → TopologicalSpace α

Context: Tt : ∀ (s : ↑b), T s ≤ t

Context: Tpolish : ∀ (s : ↑b), PolishSpace α

Context: h✝ : ∀ (s : ↑b), IsClosed (rangeFactorization f ⁻¹' ↑s)

Context: Topen : ∀ (s : ↑b), IsOpen (rangeFactorization f ⁻¹' ↑s)

Context: t' : TopologicalSpace α

Context: t'T : ∀ (i : ↑b), t' ≤ T i

Context: t't : t' ≤ t

Context: t'_polish : PolishSpace α

Context: this : Continuous (rangeFactorization f)


Context:
α : Type u
TopologicalSpace α
U : Set α

ConnectedComponents.mk ⁻¹' (ConnectedComponents.mk '' U) = ⋃ x ∈ U, connectedComponent x


Context: α : Type u_1


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: i j k : 𝒰.J

t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j ≫ pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map k) ≫ pullback.snd (𝒰.map i ≫ f) g = pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map k) ≫ pullback.snd (𝒰.map i ≫ f) g


Context:
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G

H.Saturated ↔ ∀ (n : ℕ) (g : G), g ^ n ∈ H → n = 0 ∨ g ∈ H


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3


Context:
M : Type u_1
R : Type u_2
Monoid M
Semiring R
MulSemiringAction M R
a : M
s : Set R

a • Subsemiring.closure s = Subsemiring.closure (a • s)


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f g : CategoryTheory.Arrow C
CategoryTheory.Limits.HasImage f.hom
CategoryTheory.Limits.HasImage g.hom
sq : f ⟶ g
m : CategoryTheory.Limits.ImageMap sq

CategoryTheory.Limits.factorThruImage f.hom ≫ m.map = sq.left ≫ CategoryTheory.Limits.factorThruImage g.hom


Nat.Primrec' fun v => v.head - v.tail.head


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData

CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' (φ + φ') h₁ h₂ =
  CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' φ h₁ h₂ + CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' φ' h₁ h₂


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: r : ↥R⁰

Context: x : FiniteAdeleRing R K

Context: hx : ∃ x_1 ∈ ↑(Submodule.span (R_hat R K) {↑↑r}), ∃ y ∈ ↑(Submodule.span (R_hat R K) {↑↑r}), x_1 * y = x


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
_hp : DecidablePred p
f g : α → γ
h : γ → β

∏ x ∈ s, h (if p x then f x else g x) =
  (∏ x ∈ Finset.filter p s, h (f x)) * ∏ x ∈ Finset.filter (fun x => ¬p x) s, h (g x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
m : ℤ
x : 𝕜

ContinuousAt (fun x => x ^ m) x → x ≠ 0 ∨ 0 ≤ m


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u s : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
x : ℝ≥0
right✝ : ↑x < ε
h0r : 0 < ↑x
hrε : ↑x < ε


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
X : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C

X.toRestrictTop.base = (TopologicalSpace.Opens.inclusionTopIso ↑X).inv


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
s : Set α
p : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
c : E
hμsc : c = 0 ∨ μ s ≠ ⊤

MeasureTheory.Memℒp (s.indicator fun x => c) p μ


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
d : σ →₀ ℕ
r : R

(rename f) ((monomial d) r) = (monomial (Finsupp.mapDomain f d)) r


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt ℝ n f x

ContDiffAt ℝ n (fun x => Real.exp (f x)) x


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
C : β → Type u_7
(b : β) → SemilatticeInf (C b)
s : Finset α
H : s.Nonempty
f : α → (b : β) → C b
b : β


Context:
F : Type u_3
Field F
Finite F
hF : ringChar F ≠ 2


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
x : α

ε ≤ ↑‖f x‖₊ ↔ ε ^ p.toReal ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal


Context:
θ : ℂ
n : ℤ

Polynomial.eval (Complex.cos θ) (Polynomial.Chebyshev.U ℂ n) * Complex.sin θ = Complex.sin ((↑n + 1) * θ)


Context:
α : Type u
Monoid α
self : αˣ


Context: n : ℕ

Monoid.exponent (DihedralGroup n) = lcm n 2


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F

Context: h : L ⊣ F

Context: A : C

Context: conjeq : (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A))) ((mateEquiv h h) (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A)))) = (conjugateEquiv (h.comp (exp.adjunction A)) ((exp.adjunction (F.obj A)).comp h)) (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A)))

Context: B : C

(h.unit.app (F.obj A ⨯ F.obj B) ≫ F.map (prodComparison L (F.obj A) (F.obj B) ≫ prod.map (h.counit.app A) (h.counit.app B))) ≫ prodComparison F A B = 𝟙 (F.obj A ⨯ F.obj B)


Context: x y : UInt16

(x * y).toNat = x.toNat * y.toNat % UInt16.size


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T2Space Y
s : Set X
hs : IsCompact (closure s)
f : X → Y
hf : ContinuousOn f (closure s)


Context:
α : Type u_1
SemilatticeInf α
OrderBot α
a b c : α
h : Disjoint (a ⊓ b) c
hle : b ≤ c


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x₁ x₂ y₁ L : R

span {(mk W) (C (X - C (W.addX x₁ x₂ L))), (mk W) (Y - C (C (-(L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) - W.a₁ * W.addX x₁ x₂ L - W.a₃)) + C (X - C (W.addX x₁ x₂ L)) * C (C (W.a₁ + L)))} = span {(mk W) (C (X - C (W.addX x₁ x₂ L))), (mk W) (C (C W.a₁ * X + C W.a₃) + C (C L * (X - C x₁) + C y₁) + Y)}


Context:
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype m
Fintype n
SeminormedAddCommGroup α
A : Matrix m n α

‖A‖ = ↑(Finset.univ.sup fun i => ∑ j : n, ‖A i j‖₊)


Context:
μ : YoungDiagram
self : SemistandardYoungTableau μ
i j1 j2 : ℕ

j1 < j2 → (i, j2) ∈ μ → self.entry i j1 ≤ self.entry i j2


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g₁ g₂ : β → α
fa : Filter α
fb : Filter β
hleft : ∀ᶠ (x : α) in fa, g₁ (f x) = x
hright : ∀ᶠ (y : β) in fb, f (g₂ y) = y
htendsto : Filter.Tendsto g₂ fb fa


Context: α : Type u_1

⇑FreeAddMonoid.toList ∘ ⇑FreeAddMonoid.ofList = id


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0

1 < a / b ↔ 0 < b ∧ b < a ∨ b < 0 ∧ a < b


Context:
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
I J : TwoSidedIdeal R


Context:
α : Type u_2
Preorder α
s t : Set α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: s✝ : Finset α

Context: h𝒜 : IsAntichain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ↑𝒜

Context: h𝒜₀ : ∅ ∉ 𝒜

Context: s : Finset α

Context: hs : s ∈ 𝒜


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
Fintype α
Mul β

commProb (α → β) = commProb β ^ Fintype.card α


Context: z w : Complex.UnitDisc


Context:
G : Type u₂
k : Type u_3
H : Type u_4
F : Type u_5
Semiring k
Monoid G
Monoid H
FunLike F G H
MonoidHomClass F G H
f : F

∀ (a : G →₀ k), (MonoidAlgebra.mapDomainRingHom k f) a = (↑(Finsupp.mapDomain.addMonoidHom ⇑f)).toFun a


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f g : α → β

Context: inst✝¹ : CommMonoid β

Context: R : Setoid α

Context: inst✝ : DecidableRel Setoid.r

Context: h : ∀ x ∈ s, ∏ a ∈ filter (fun y => y ≈ x) s, f a = 1

Context: x : α

Context: x_in_s : x ∈ s

Context: xbar_in_s : Quotient.mk'' x ∈ image Quotient.mk'' s

∏ y ∈ filter (fun x_1 => ⟦x_1⟧ = Quotient.mk'' x) s, f y = 1


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² inst✝¹ : NumberField K

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K

Context: ζ : K

Context: l : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ l

Context: hl✝ : l ≠ 0

Context: hl : NeZero l

Context: hroot : IsPrimitiveRoot (zeta n ℚ K) ↑n

Context: r : ℕ

Context: hr : GCDMonoid.lcm l ↑n = ↑n * r

Context: ineq : φ ↑n * φ r ≤ φ (GCDMonoid.lcm l ↑n)

Context: key : φ r ≤ 1


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
l : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter l
hs : IsLindelof s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
U : X → Set X
hUl : ∀ x ∈ s, (U x)ᶜ ∈ l
hxU : ∀ x ∈ s, x ∈ U x
hUo : ∀ x ∈ s, IsOpen (U x)
t : Set X
htc : t.Countable
hts : ∀ x ∈ t, x ∈ s
hst : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x


Context:
K : Type v
V : Type w
Field K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
f : Module.End K V
μ : K
h : (minpoly K f).IsRoot μ


Context:
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))

(toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen 1) ≫ (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.map (eqToHom ⋯).op) ≫ X.toΓSpec.val.c.app (op ⊤) = 𝟙 (Γ.obj (op X))


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: ∀ (n : ℕ) (f : CategoryTheory.Arrow C), CategoryTheory.Limits.HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom

Context: f : CategoryTheory.Arrow C

CategoryTheory.CosimplicialObject.augmentedCechConerve.obj f = f.augmentedCechConerve


Context:
α : Type u_1
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x : α
t : Ordnode α
h : t.Valid


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D
A : CommMon_ (C ⥤ D)
X : C

((CategoryTheory.Monoidal.CommMonFunctorCategoryEquivalence.functor.obj A).obj X).mul = A.mul.app X


Context:
α : Type u_1
f : α → α

⋃ n, Function.ptsOfPeriod f ↑n = Function.periodicPts f


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'

Context: h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H

Context: P : Sylow (Nat.card ↥N).minFac ↥N


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M✝ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: b : ι → M✝

Context: inst✝² : Finite ι

Context: O : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup O

Context: inst✝ : Module R O

Context: M N : Submodule R O

Context: b'M : Basis ι R ↥M

Context: N_bot : N ≠ ⊥

Context: N_le_M : N ≤ M

Context: this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N

Context: ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose

Context: ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N

Context: a_zero : ¬a = 0

Context: y : O

Context: yN : y ∈ N

Context: ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a

Context: _ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0

∃ y ∈ M, ∃ a, a • y ∈ N ∧ ∃ M' ≤ M, ∃ N' ≤ N, N' ≤ M' ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0) ∧ (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0) ∧ ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'), ∃ bN, ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'), ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1), ∃ bM, ∀ (as : Fin n' → R), (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) → ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))


Context:
α : Type u_1
G : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup G
s : Set α
c : G
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ 0
hp : p ≠ 0

MeasureTheory.eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ = ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
Finite ι
DecidableEq α
t : ι → Finset α

(∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card) ↔ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
n : ℕ
f : (Fin n → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f

Function.Bijective ⇑(ofTensorProduct I M)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: U✝ : Set M

Context: hU : IsOpen U✝

Context: hSig : IsSigmaCompact U✝

Context: hf : LocallyIntegrableOn f U✝ μ

Context: h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → tsupport g ⊆ U✝ → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0

Context: meas_U : MeasurableSet U✝

Context: U : Opens M := { carrier := U✝, is_open' := hU }

∀ᵐ (x : ↥U) ∂Measure.comap Subtype.val μ, f ↑x = 0


Context:
α : Type u_2
PartialOrder α
x y : α


Context:
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
AddCommMonoid M
Module R M
A : ι → Submodule R M
h : DirectSum.IsInternal A
α : ι → Type u_2
v : (i : ι) → Basis (α i) R ↥(A i)
x : M
i : ι
a : α i
hx : x ∈ A i

((h.collectedBasis v).repr x) ⟨i, a⟩ = ((v i).repr ⟨x, hx⟩) a


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S


Context: a b : Ordinal.{v}

Ordinal.lift.{u, v} a < Ordinal.lift.{u, v} b ↔ a < b


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e f : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι

Orthonormal ℝ ⇑(e.toBasis.adjustToOrientation x)


Context:
α : Type u_1
d : DynkinSystem α
a : Set α
h : d.Has aᶜ


Context:
α : Type u_1
CompleteLattice α
s : True → α


Context: R : Type uR

Context: A₁ : Type uA₁

Context: A₂ : Type uA₂

Context: CommSemiring R

Context: Semiring A₁

Context: Semiring A₂

Context: Algebra R A₁

Context: Algebra R A₂

Context: f : A₁ ≃+* A₂

Context: hf : ∀ (x : R), f ((algebraMap R A₁) x) = (algebraMap R A₂) x

↑(AlgEquiv.ofRingEquiv hf) = { toFun := ⇑f, invFun := ⇑f.symm, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }