Context: α : Type u

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: n : ℕ

Context: j : Fin n

Context: mem : swap j.castSucc j.succ ∈ Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ)

Context: ih : j.castSucc ≠ j.castSucc → j.castSucc < j.castSucc → swap j.castSucc j.castSucc ∈ ↑(Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ))

Context: ne : j.castSucc ≠ j.succ

Context: lt : j.castSucc < j.succ

swap j.castSucc j.succ ∈ ↑(Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ))


Context:
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c : α
h : a ⊔ c ≤ b ⊔ c


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
x : ℝ

∀ᶠ (a : EReal × EReal) in 𝓝 (⊤, ⊤), ↑x < a.1 * a.2


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsUnit x
b : R
hb : b * x = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E


Context: α β : Type u

Context: a b : Cardinal.{u_1}

Context: h : ¬a * b < ℵ₀ ↔ ¬(a = 0 ∨ b = 0 ∨ a < ℵ₀ ∧ b < ℵ₀) := Iff.not mul_lt_aleph0_iff

ℵ₀ ≤ a * b ↔ a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 ∧ (ℵ₀ ≤ a ∨ ℵ₀ ≤ b)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace ℝ E

Context: CompleteSpace E

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: s : Set E

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ

Context: NeZero μ

Context: hg : ConvexOn ℝ s g

Context: hgc : ContinuousOn g s

Context: hsc : IsClosed s

Context: hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s

Context: hfi : MeasureTheory.Integrable f μ

Context: hgi : MeasureTheory.Integrable (g ∘ f) μ

(⨍ (x : α), f x ∂μ, ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ) ∈ {p | p.1 ∈ s ∧ g p.1 ≤ p.2}


Context:
R : Type u
Semiring R


Context:
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
hs : s ⊆ t
h : μ.restrict t = ν.restrict t


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L

↑⁅I, N⁆ = Submodule.span R {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}


Context:
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
S₁ S₂ : StarSubalgebra R A
h : S₁ ≤ S₂

∀ (a : ↥S₁), (StarSubalgebra.inclusion h) a = Subtype.map id h a


Context:
R : Type u
Ring R


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: hz : p • z ∈ adjoin R {B.gen}

Context: hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C

Context: P Q : C

(CategoryTheory.Limits.coprod.braiding P Q).inv =
  CategoryTheory.Limits.coprod.desc CategoryTheory.Limits.coprod.inr CategoryTheory.Limits.coprod.inl


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁴ : CommSemiring R

Context: S : Type ?u.153874

Context: inst✝¹³ : Semiring S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: ι₁ : Type v₁

Context: ι₂ : Type v₂

Context: inst✝¹¹ : DecidableEq ι₁

Context: inst✝¹⁰ : DecidableEq ι₂

Context: M₁ : ι₁ → Type w₁

Context: M₁' : Type w₁'

Context: M₂ : ι₂ → Type w₂

Context: M₂' : Type w₂'

Context: inst✝⁹ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'

Context: inst✝⁷ : (i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂'

Context: inst✝⁵ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)

Context: inst✝⁴ : Module R M₁'

Context: inst✝³ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)

Context: inst✝² : Module R M₂'

Context: inst✝¹ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)

Context: inst✝ : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)

Context: x : M₁'

Context: i : ι₂

Context: y : M₂ i

(directSumRight R M₁' M₂).symm ((lof R ι₂ (fun i => M₁' ⊗[R] M₂ i) i) (x ⊗ₜ[R] y)) = x ⊗ₜ[R] (lof R ι₂ M₂ i) y


Context:
G : Type u_3
Group G
G' : Type u_5
Group G'
Group.FG G
Group.FG G'
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
x✝ : minpoly A x ∣ p
q : A[X]
hq : p = minpoly A x * q


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
CommSemiring R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
h_spec : spectrum R a ⊆ {0}
ha : p a := by cfc_tac


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
x : β
h_cont : Continuous f
hx : Tendsto f (cocompact α) (𝓝 x)
r : Set (β × β)
hr : r ∈ 𝓤 β


Context: ξ : ℝ

Context: u v : ℤ

Context: hv : 2 ≤ v

Context: hξ₀ : 0 < fract ξ

Context: u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v

Context: hu₀ : 0 < u'

Context: huv : u' < v

Context: hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v

Context: hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v

Context: Hu : 0 < ↑u'

Context: Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1

Context: Hv : 0 < ↑v

Context: Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1

Context: H₁ : 0 < ↑v / ↑u' / fract ξ

Context: h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹

Context: h' : |fract ξ - ↑u' / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹

Context: H : 2 * ↑u' - 1 ≤ (2 * ↑v - 1) * fract ξ

Context: help₁ : ∀ {a b c : ℝ}, a ≠ 0 → b ≠ 0 → c ≠ 0 → |a⁻¹ - b / c| = |(a - c / b) * (b / c / a)|

Context: help₂ : ∀ {a b c d : ℝ}, a ≠ 0 → b ≠ 0 → c ≠ 0 → d ≠ 0 → (b * c)⁻¹ * (b / d / a) = (d * c * a)⁻¹


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_10
inst✝³ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝ : IsEmpty ι
x : ⨂[R] (i : ι), s i

(fun r => r • (tprod R) isEmptyElim) ({ toFun := ⇑(lift (constOfIsEmpty R s 1)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x) = x


Context:
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : G → E
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
k : Set G := tsupport g
k_comp : IsCompact k
x₀ : G
t : Set G
t_comp : IsCompact t
ht : t ∈ 𝓝 x₀

ContinuousAt (fun x => ∫ (y : G), g (y⁻¹ * x) ∂μ) x₀


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_4
f : ι → α
s : Set α


Context:
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N : Bimod Y Z

coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ 𝟙 N.X) (M.X ◁ 𝟙 N.X) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X M N)


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I : Ideal A

I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥


Context:
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
self : Sylow p G


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel r

Context: l : List α

Context: o✝ : Option α

Context: a✝ m✝ : α

Context: hr₀ : Irreflexive r

Context: hr₁ : Transitive r

Context: tl : List α

Context: a : α

Context: ih : ∀ {a m : α} {o : Option α}, a ∈ tl → m ∈ foldl (argAux r) o tl → ¬r a m

Context: b m : α

Context: o : Option α

Context: hb : b ∈ tl ++ [a]

Context: ho : m ∈ Option.casesOn (foldl (argAux r) o tl) (some a) fun c => if r a c then some a else some c

Context: c : α

Context: hf : foldl (argAux r) o tl = some c


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x : 𝕜

Context: hf' : UniformCauchySeqOnFilter f' l (𝓝 x)

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)

Context: hf : ∀ᶠ (n : ι × 𝕜) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1 n.2)) n.2


Context:
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
LinearOrder α
OrderClosedTopology α
f g : β → α
TopologicalSpace β
hf : Continuous f
hg : Continuous g

frontier {b | f b < g b} ⊆ {b | f b = g b}


Context:
α : Type u_1
ConditionallyCompleteLattice α
Zero α


Context:
α : Type u_3
AddCommMonoid α
s : Multiset α

Multiplicative.ofAdd s.sum = (Multiset.map (⇑Multiplicative.ofAdd) s).prod


Context:
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
Semiring A
Algebra R A
M N P : Submodule R A


Context:
k G : Type u
CommRing k
Group G
A B : Rep k G

((CategoryTheory.ihom.ev A).app B).hom =
  (TensorProduct.uncurry k (CoeSort.coe A) (CoeSort.coe A →ₗ[k] CoeSort.coe B) (CoeSort.coe B)) LinearMap.id.flip


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
hs : s.Nonempty

s ⊆ {a, b} ↔ s = {a} ∨ s = {b} ∨ s = {a, b}


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
s✝ : Set E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
s : Set E
hs_zero : 0 ∈ s
hs_open : IsOpen s
hs_balanced : Balanced 𝕜 s
hs_convex : Convex ℝ s

∃ i, (i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 i ∧ Convex ℝ i) ∧ id i ⊆ id s


Context:
α : Type u
p : Prop
Decidable p
t : ¬p → Set α
x : α

(x ∈ if h : p then Set.univ else t h) ↔ ∀ (h : ¬p), x ∈ t h


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V


Context: G : Type u_1

Context: AddGroup G

Context: TopologicalSpace G

Context: K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G

Context: U : Set G

Context: K : TopologicalSpace.Compacts G

0 ≤ MeasureTheory.Measure.haar.addPrehaar (↑K₀) U K


Context:
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ

(if Even (2 * k + 1) then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ ((2 * k + 1) / 2) = (if Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1)) then 1 else cs.simple i) * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1)) / 2)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Fintype G

Context: hG : 0 < Fintype.card G

Context: inst✝ : (k : ℕ) → DecidablePred fun x => x ∈ ∅ ^ k

∀ (k : ℕ), Fintype.card G ≤ k → Fintype.card ↑(∅ ^ k) = Fintype.card ↑(∅ ^ Fintype.card G)


Context:
α : Type u_1
Preorder α
a b : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ι → E
g : ι → ℝ
hg : Summable g
h : ∀ᶠ (i : ι) in cofinite, ‖f i‖ ≤ g i
ε : ℝ
hε : ε > 0

∃ s, ∀ (t : Finset ι), Disjoint t s → ‖∑ i ∈ t, f i‖ < ε


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ

Context: c w : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hw : w ∈ ball c R \ s

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R)

Context: hd : ∀ x ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x

(∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * I) • f w


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
ν : MeasureTheory.Measure α

MeasureTheory.Measure.rnDeriv 0 ν =ᵐ[ν] 0


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : OrderedSemiring β
l : Filter α
f g : α → β
hf : 0 ≤ᶠ[l] f
hg : 0 ≤ᶠ[l] g


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → IsPrincipal P


Context: G : Type u_1

Context: TopologicalSpace G

Context: Group G

Context: TopologicalGroup G

Context: MeasurableSpace G

Context: BorelSpace G

Context: LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : MeasureTheory.Measure G

Context: μ.IsHaarMeasure

Context: MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: μ'.IsMulLeftInvariant

Context: s : Set G

Context: h's : IsCompact (closure s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hm : IsPeriodicPt f m (f^[n] x)
r : ℕ
hr : r > 0
hr' : IsPeriodicPt f r x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J

∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors)) = I


Context: L : FirstOrder.Language

Context: α : Type u'

Context: n : ℕ

Context: P : {m : ℕ} → L.BoundedFormula α m → Prop

Context: φ : L.BoundedFormula α n

Context: hqf : ∀ {m : ℕ} {ψ : L.BoundedFormula α m}, ψ.IsQF → P ψ

Context: hall : ∀ {m : ℕ} {ψ : L.BoundedFormula α (m + 1)}, P ψ → P ψ.all

Context: hex : ∀ {m : ℕ} {φ : L.BoundedFormula α (m + 1)}, P φ → P φ.ex

Context: hse : ∀ {m : ℕ} {φ₁ φ₂ : L.BoundedFormula α m}, ∅.SemanticallyEquivalent φ₁ φ₂ → (P φ₁ ↔ P φ₂)


Context:
R : Type u_1
CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
d : ℕ
h : χ.FactorsThrough d

χ = (DirichletCharacter.changeLevel ⋯) h.χ₀


Context: X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: ∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: i : 𝒰.J

(AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.pullbackP1Iso 𝒰 f g i).inv ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.fst (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.p1 𝒰 f g) (𝒰.map i) =
  (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.gluing 𝒰 f g).ι i


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
p q r : R[X]
C : Type z
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
f : A ≃ₐ[R] B
g : B ≃ₐ[R] C

∀ (a : A[X]), ((mapAlgEquiv f).trans (mapAlgEquiv g)) a = (mapAlgEquiv (f.trans g)) a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
f✝ f g : α → ℚ → ℝ
a : α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
hf : p a → IsRatStieltjesPoint f a
hg : ¬p a → IsRatStieltjesPoint g a
h : p a


Context:
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
x y : ι → ℝ
I : WithBot (Box ι)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
f : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter f
hf : sᶜ ∉ f

∃ x ∈ s, sᶜ ∉ 𝓝 x ⊓ f


Context:
z : ℤ
c : ℝ≥0

|z| ≤ ↑⌊c⌋₊ ↔ ‖z‖₊ ≤ c


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: u : ι → ℝ

Context: hu : Summable u

Context: hf : ∀ (i : ι), DifferentiableOn ℂ (F i) U

Context: hU : IsOpen U

Context: hF_le : ∀ (i : ι), ∀ w ∈ U, ‖F i w‖ ≤ u i

Context: hz : z ∈ U

Context: hc : TendstoLocallyUniformlyOn (fun t x => ∑ n ∈ t, F n x) (fun x => ∑' (n : ι), F n x) atTop U

Tendsto (fun s => ∑ b ∈ s, deriv (F b) z) atTop (𝓝 (deriv (fun w => ∑' (i : ι), F i w) z))


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
hn : IsPrimePow ↑n
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
h : n ≠ 2
this : 2 < n


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n✝ : Type u_4
R : Type u_5
α : Type u_6
n : Type u_7
inst✝³ : Zero α
inst✝² : One α
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : AddGroup n
i j : n


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B


Context: x : ℂ

deriv Complex.tan x = 1 / Complex.cos x ^ 2


Context:
n : ℕ
a b : Fin n

Finset.map Fin.valEmbedding (Finset.Ico a b) = Finset.Ico ↑a ↑b


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: I₁ : Type u_2

Context: I₂ : Type u_3

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: K L : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂

Context: f : K ⟶ L

Context: i₁ i₁' : I₁

Context: i₂ : I₂

(f.f i₁).f i₂ ≫ (L.d i₁ i₁').f i₂ = (K.d i₁ i₁').f i₂ ≫ (f.f i₁').f i₂


Context:
X : Type u_1
PseudoEMetricSpace X
e e' : X ≃ᵈ X


Context: o : Ordinal.{u_3}


Context:
V : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} V
CategoryTheory.MonoidalCategory V
C : Type u₁
CategoryTheory.EnrichedCategory V C
X Y : C

(CategoryTheory.EnrichedFunctor.id V C).map X Y =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.EnrichedCategory.Hom X Y)


Context: X : Type u_1

Context: l : Type u_3

Context: R : Type u_8

Context: m' : l → Type u_9

Context: n' : l → Type u_10

Context: AddCommMonoid R

Context: TopologicalSpace R

Context: DecidableEq l

Context: f : X → (i : l) → Matrix (m' i) (n' i) R

(Summable fun x => Matrix.blockDiagonal' (f x)) ↔ Summable f


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
f : X → A

Algebra.adjoin R (Set.range f) = ((FreeAlgebra.lift R) f).range


Context:
f : ℕ → ℕ
hf : Nat.Primrec f


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E

⟪x, y⟫_𝕜 = ↑‖x‖ * ↑‖y‖ ↔ ↑‖y‖ • x = ↑‖x‖ • y


Context: n m : Nat


Context:
σ : Type u_1
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
f : MvPolynomial σ (ZMod p)

(frobenius (MvPolynomial σ (ZMod p)) p) f = (MvPolynomial.expand p) f


Context:
α : Type u
β : Type u_1
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
h : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ a * b ^ n


Context:
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
BorelSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
H : μ.InnerRegularWRT IsClosed IsOpen


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
hp : p ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
n : ℕ
h : ∀ (n : ℕ), p.coeff n ∈ f.rangeS
k : ℕ
hk : ¬k = n
i : R
hi : f i = p.coeff k


Context:
R : Type u_1
DivisionRing R
CharZero R
p r : R
z : ℤ
hz : z ≠ 0

z • r ∈ AddSubgroup.zmultiples p ↔ ∃ k, r - ↑k • (p / ↑z) ∈ AddSubgroup.zmultiples p


Context:
α : Type u
x y z w : α

{x, y} = {z, w} ↔ x = z ∧ y = w ∨ x = w ∧ y = z


Context:
R : Type u
S : Type v
Ring R
Ring S
f : R →+* S
s : Set R
hs : IsSubring s


Context:
l m r : List Char
s : Substring

Substring.ValidFor l m r s → s.bsize = String.utf8Len m


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α

Function.RightInverse (List.map f) (List.map g) ↔ Function.RightInverse f g


Context: f : CircleDeg1Lift


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁶ : MulOneClass M
inst✝⁵ : MulOneClass N
inst✝⁴ : FunLike F M N
inst✝³ : FunLike F G H
inst✝² : DivInvMonoid G
inst✝¹ : DivInvMonoid H
inst✝ : MonoidHomClass F G H
f : F
hf : ∀ (a : G), f a⁻¹ = (f a)⁻¹
a b : G


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: G' : Type u_7

Context: G'' : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G''

Context: inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G'

Context: T : Set α → G' →L[ℝ] G''

Context: hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x

Context: f : α →ₛ G'

Context: hf : 0 ≤ f

Context: hfi : Integrable (↑f) μ


Context: a b : EReal


Context:
α : Type u_1
I B X : Set α
M : IndepMatroid α

∀ ⦃I : Set α⦄, M.Indep I ↔ ∃ B, (fun x => x ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}) B ∧ I ⊆ B


Context:
α : Type u_1
Preorder α
s : UpperSet α
a : α


Context: a : UnitAddCircle

∃ p, 0 < p ∧ HurwitzZeta.oddKernel a =O[Filter.atTop] fun x => rexp (-p * x)


Context: α : Type u_4

Context: B : Set (Set α)

Context: empty_mem : ∅ ∈ B

Context: subset_mem : ∀ s₁ ∈ B, ∀ s₂ ⊆ s₁, s₂ ∈ B

Context: union_mem : ∀ s₁ ∈ B, ∀ s₂ ∈ B, s₁ ∪ s₂ ∈ B

Context: sUnion_univ : ⋃₀ B = Set.univ

Bornology.cobounded α = Filter.comk (fun x => x ∈ B) empty_mem subset_mem union_mem


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Lattice α
BoundedOrder α
Lattice β
BoundedOrder β
Lattice γ
BoundedOrder γ
g : BoundedLatticeHom βᵒᵈ γᵒᵈ
f : BoundedLatticeHom αᵒᵈ βᵒᵈ

BoundedLatticeHom.dual.symm (g.comp f) = (BoundedLatticeHom.dual.symm g).comp (BoundedLatticeHom.dual.symm f)


Context:
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
MetricSpace Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
fA : f ∈ GromovHausdorff.candidates X Y
x y : X


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
m n : ℕ
h : m ≤ n
x : ℤ_[p]

((toZModPow n) x).cast = (toZModPow m) x


Context:
α : Type u_2
MulZeroClass α
s : Set α


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Multiset α

Context: a : α

Context: h : a ∈ s

Context: comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute

Context: comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ s.erase a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ s.erase a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯

a * (s.erase a).noncommProd comm' = s.noncommProd comm


Context:
X Y : CondensedSet
f : X ⟶ Y

CategoryTheory.Epi f ↔ ∀ (S : Stonean), Function.Surjective (f.val.app (Opposite.op S.compHaus))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set β

s ×ˢ ⋃ i, ⋃ j, t i j = ⋃ i, ⋃ j, s ×ˢ t i j


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: inst✝³ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: a b : NONote


Context:
R : Type u_1
CommRing R
n ν : ℕ

Polynomial.eval 0 ((⇑Polynomial.derivative)^[ν] (bernsteinPolynomial R n ν)) =
  Polynomial.eval (↑(n - (ν - 1))) (ascPochhammer R ν)


Context:
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
(j : Fin (n + 1)) → Add (α j)
i : Fin (n + 1)
x y : α i
p q : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)

i.insertNth (x + y) (p + q) = i.insertNth x p + i.insertNth y q


Context: b : Int


Context:
R : Type u
Ring R
M : ModuleCat R
m : ↑M


Context:
R : Type u_1
CommRing R
x y : R
n : ℕ

x ^ 2 ^ n - y ^ 2 ^ n = (∏ i ∈ Finset.range n, (x ^ 2 ^ i + y ^ 2 ^ i)) * (x - y)


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: e : B ≃ B'

Context: W : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group W

Context: inst✝ : Group H

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: p : W → Prop

Context: w : W

Context: one : p 1

Context: mul_simple_right : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (w * cs.simple i)

Context: p' : (w : W) → w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) → Prop := fun w x => p w

Context: this : w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)


Context:
α : Type u_1
l : List α
n : Nat
a : α


Context:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : 𝕜
G : Type u_2
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
hc : HasDerivAt c c' x
hd : HasDerivAt d d' x

HasDerivAt (fun y => (c y).comp (d y)) (c'.comp (d x) + (c x).comp d') x


Context:
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α


Context:
α : Type u
LinearOrderedAddCommGroup α
Nontrivial α


Context:
α : Type u
β : Type v
AddZeroClass α
MulOneClass β
f : Multiplicative α →* β

⇑(MonoidHom.toAdditive'' f) = ⇑Additive.ofMul ∘ ⇑f ∘ ⇑Multiplicative.ofAdd


Context:
X : AlgebraicGeometry.Scheme
U V : X.Opens
i : U ⟶ V

(X.restrictFunctor.map i).left = AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion.lift V.ι U.ι ⋯


Context:
α : Type u
PartialOrder α
s : Set α
a b : α
Ha : IsGLB s a
Hb : IsGLB s b


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S✝ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S✝

Context: S : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : CommRing T

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra R T

Context: inst✝³ : Algebra S T

Context: inst✝² : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹ : IsLocalization M S

Context: inst✝ : IsFractionRing R T

Context: hM : M ≤ nonZeroDivisors R

Context: this : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (nonZeroDivisors R)) T

∀ (x : ↥(nonZeroDivisors S)), ∃ m, m * ↑x ∈ Submonoid.map (algebraMap R S) (nonZeroDivisors R)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedSemifield α
LinearOrderedSemifield β
f : ι → α
g : ι → β
hf : StrongLT 0 f
hg : StrongLT 0 g


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
inst✝ : SemilatticeSup β
l : Filter α
f g h : α → β
hf : f ≤ᶠ[l] h
hg : g ≤ᶠ[l] h


Context:
ι : Sort u_1
M : Type u_2
MulOneClass M
S : ι → Submonoid M


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_3

Context: TopologicalSpace X

Context: TopologicalSpace Y

Context: e e' : PartialHomeomorph X Y

Context: s : Set X

Context: t : Set Y

Context: (x : X) → Decidable (x ∈ s)

Context: (y : Y) → Decidable (y ∈ t)

Context: H : e.IsImage s t

Context: H' : e'.IsImage s t

Context: Hs : e.source ∩ frontier s = e'.source ∩ frontier s

Context: Heq : Set.EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ frontier s)

(e.piecewise e' s t H H' Hs Heq).toPartialEquiv = e.piecewise e'.toPartialEquiv s t H H'


Context:
α : Type u_1
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b c : α
hc : AddLECancellable c


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type x

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: m n✝ : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ q r f : R[X]

Context: I : Ideal R[X]

Context: p : Ideal R[X] := Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}

Context: n : ℕ

Context: _hn : n ∈ f.support

Context: this✝ : C (f.coeff n) ∈ p

Context: this : (monomial n) 1 • C (f.coeff n) ∈ p

C (f.coeff n) * X ^ n = (monomial n) (f.coeff n)


Context:
α : Type u
s : Set α


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsCofiltered Cᵒᵖ


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
S : Submodule R M
h : S = ⊥


Context: α : Type u_2

Context: TopologicalSpace α

Context: a : { x // IsClosed x ∧ IsIrreducible x }

TopologicalSpace.IrreducibleCloseds.equivSubtype'.symm a = { carrier := ↑a, is_irreducible' := ⋯, is_closed' := ⋯ }


Context:
α : Type u_2
DecidableEq α
Mul α
s : Finset α
a : α

s * {a} = Finset.image (fun x => x * a) s


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
h : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
s_meas : MeasurableSet s
μs : μ s ≠ ⊤
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ s
K : Set G
Ks : K ⊆ s
K_comp : IsCompact K
hK : r < μ K


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
s : ι → Set α
h : Pairwise (Disjoint on s)
x : (i : ι) × ↑(s i)

(Function.Embedding.sigmaSet h) x = ↑x.snd


Context:
R : Type u
B : Type u_2
CommSemiring R
Semiring B
Algebra R B
f g : R[X] →ₐ[R] B
hX : f Polynomial.X = g Polynomial.X


Context:
S : LightProfinite
n m : ℕ
h : n ≤ m


Context: G✝ : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝

Context: inst✝⁴ : Div G✝

Context: inst✝³ : ContinuousDiv G✝

Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : CommGroup G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : ContinuousDiv G

Context: b c : G

Context: f : α → G

Context: l : Filter α

Context: h : Tendsto (fun k => b / f k) l (𝓝 (b / c))


Context: b : ℂ

Context: V : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: hb : 0 < b.re

Context: c : ℂ

Context: w : EuclideanSpace ℝ ι

Context: this : MeasurePreserving (⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm) volume volume

Context: y : ι → ℝ

-(b * ↑‖(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm y‖ ^ 2) = -b * ∑ i : ι, ↑(y i) ^ 2


Context:
r₁ r₂ : ℝ
h₁ : 0 ≤ r₁
h₂ : r₁ ≤ r₂

(fun n => r₁ ^ n) =O[Filter.atTop] fun n => r₂ ^ n


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
a b : R
n : ℕ
h : b * a ∈ I ^ n


Context: n m : Nat


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b✝ b : EReal

(∀ (z : ℝ), b < ↑z → limsup u f ≤ ↑z) ↔ ∀ (c : ℝ), b < ↑c → ∀ᶠ (a : α) in f, u a ≤ ↑c


Context:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
p₀ p₁ : V1
c : k

(AffineMap.lineMap p₀ p₁) c = c • (p₁ - p₀) + p₀


Context:
Ω : Type u_1
m' : MeasurableSpace Ω
mΩ : MeasurableSpace Ω
StandardBorelSpace Ω
Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
s t : Set Ω
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t

ProbabilityTheory.CondIndepSets m' hm' {s} {t} μ ↔
  μ[(s ∩ t).indicator fun ω => 1|m'] =ᵐ[μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t.indicator fun ω => 1|m']


Context: R : Type u_1

Context: E : Type u_3

Context: ι : Type u_5

Context: LinearOrderedField R

Context: AddCommGroup E

Context: Module R E

Context: w : ι → R

Context: z : ι → E

Context: s t : Finset ι

Context: hw : ∑ i ∈ s, w i + ∑ i ∈ t, w i = 0

Context: hz : ∑ i ∈ s, w i • z i + ∑ i ∈ t, w i • z i = 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : IsArtinian R M
inst✝ : IsArtinian R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
h : LinearMap.range f = LinearMap.ker g

∀ (a : Submodule R N), Submodule.map f (Submodule.comap f a) = a ⊓ LinearMap.range f


Context: x : ℝ


Context:
a✝ b c d : Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u_1}


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
r ε : ℝ
hε : 0 < ε
hr : 0 < r
x : E
L₁ L₂ : E →L[𝕜] F
h₁ : x ∈ A f L₁ r ε
h₂ : x ∈ A f L₂ r ε
y : E
ley : r / 2 / ‖c‖ ≤ ‖y‖
ylt : ‖y‖ < r / 2


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝⁶ : MeasurableSpace F
inst✝⁵ : BorelSpace F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
f : E ≃ₗᵢ[ℝ] F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_5
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable σ
f : α → β → σ
hf : Computable fun p => f p.1 p.2


Context: G : Type u_1

Context: Group G

Context: A B : Subgroup G

Context: d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B

Context: g₁ g₂ : G

g₁ • HNNExtension.NormalWord.ofGroup g₂ = HNNExtension.NormalWord.ofGroup (g₁ * g₂)


Context:
M : Type u_5
N : Type u_6
Add M
Add N
a₁ a₂ : M
b₁ b₂ : N

(a₁, b₁) + (a₂, b₂) = (a₁ + a₂, b₁ + b₂)


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: β✝ : Type u_4

Context: β' : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: γ' : Type u_7

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μ : Measure α

Context: f✝ : Ω → β✝

Context: g : Ω → β'

Context: β : ι → Type u_8

Context: m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)

Context: f : (i : ι) → Ω → β i

Context: inst✝ : IsMarkovKernel κ

Context: S T : Finset ι

Context: hST : Disjoint S T

Context: hf_Indep : iIndepFun m f κ μ

Context: hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: πSβ : Set (Set ((i : { x // x ∈ S }) → β ↑i)) := Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}

Context: πS : Set (Set Ω) := {s | ∃ t ∈ πSβ, (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t = s}

Context: hπS_pi : IsPiSystem πS

Context: hπS_gen : MeasurableSpace.comap (fun a i => f (↑i) a) pi = generateFrom πS

Context: πTβ : Set (Set ((i : { x // x ∈ T }) → β ↑i)) := Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}

Context: πT : Set (Set Ω) := {s | ∃ t ∈ πTβ, (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t = s}

Context: hπT_pi : IsPiSystem πT

Context: hπT_gen : MeasurableSpace.comap (fun a i => f (↑i) a) pi = generateFrom πT

Context: s : Set ((i : { x // x ∈ S }) → β ↑i)

Context: sets_s : (i : { x // x ∈ S }) → Set (β ↑i)

Context: hs2 : Set.univ.pi sets_s = s

Context: t : Set ((i : { x // x ∈ T }) → β ↑i)

Context: sets_t : (i : { x // x ∈ T }) → Set (β ↑i)

Context: ht2 : Set.univ.pi sets_t = t

Context: hs1 : ∀ (i : { x // x ∈ S }), MeasurableSet (sets_s i)

Context: ht1 : ∀ (i : { x // x ∈ T }), MeasurableSet (sets_t i)

∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) ((fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' s ∩ (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t) = (κ a) ((fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' s) * (κ a) ((fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t)


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α'
inst✝⁵ : One β
inst✝⁴ : One γ
inst✝³ : One δ
g✝ : β → γ
f✝ : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
inst✝² : T2Space α'
hf : HasCompactMulSupport f✝
g : α → α'
cont : Continuous g
f : α → γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : One γ
h : HasCompactMulSupport f
N : Set γ
hN : N ∈ 𝓝 1
v : α
hv : v ∈ (mulTSupport f)ᶜ


Context:
R : Type u_1
NonAssocRing R


Context:
α : Type u
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b c d : α
h : a < b


∀ {α : Type u_1} {a : α} {l₁ l₂ : List α}, l₁.Disjoint (a :: l₂) → l₁.Disjoint l₂


Context:
c : ℝ
hc : 1 < c
i : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: u : ℕ → Set α

Context: u_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)

Context: u_univ : ⋃ n, u n = univ

Context: hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n) μ

Context: this : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)

Context: x : α

Context: hx : ∀ (i : ℕ), Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u i).indicator f y - (u i).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)

Context: n : ℕ

Context: hn : x ∈ u n

Context: a : Set α

Context: ha : a ⊆ u n

Context: h'a : MeasurableSet a

∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ ∂μ = ∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : PreconnectedSpace X
inst✝ : DiscreteTopology X
x y : X
hxy : x ∉ univ


Context:
M : Type u_1
AddSemigroup M
z : M

z ∈ AddSubsemigroup.center M ↔ ∀ (g : M), g + z = z + g


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C✝ : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}

Context: hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)

Context: hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x‖

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Group G'

Context: H K L : Subgroup G

Context: h : H.index = 2

Context: a b : G

Context: ha : a ∉ H

Context: hb : b ∉ H

Context: c : G

Context: hc : ∀ (b : G), Xor' (b * c ∈ H) (b ∈ H)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: U : Set E

Context: hU : U ∈ 𝓝 0

Context: r : ℝ

Context: V : Set E

Context: hr : 0 < r

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: hrVU : ∀ (c : 𝕜) (y : E), ‖c‖ < r → y ∈ V → c • y ∈ U

Context: y : 𝕜

Context: hy₀ : y ≠ 0

Context: hyr : ‖y‖ < r


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: M : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : ι → Submodule R N

Context: h : ∀ (i : ι) (x : ↥(p i)) (v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i v) = ↑x → x = 0

Context: m : Π₀ (i : ι), ↥(p i)

Context: hm : ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) m = 0

Context: i : ι

((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i m) = ↑(-m i)


Context:
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f
x : α
r : ℝ

Set.MapsTo f (Metric.ball x r) (Metric.ball (f x) r)


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DistribLattice α
x y z a b c : α

a ⊓ (a ⊓ b ⊔ c) = (a ⊔ a ⊓ b) ⊓ (a ⊓ b ⊔ c)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: p q : R[X]

Context: hp : p.Monic

Context: hp1 : p ≠ 1

Context: h : ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → f = 1 ∨ g = 1

Context: f g : R[X]

Context: hfg : p = f * g


Context:
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N

Subgroup.map f H.normalizer ≤ (Subgroup.map f H).normalizer


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology V

Context: inst✝³ : MeasurableSpace V

Context: inst✝² : BorelSpace V

Context: μ✝ : Measure V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: K N : ℕ∞

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ

Context: k n : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: v : V

Context: w : W


Context: G : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: Group G

Context: MulAction G α

Context: S : Set G

Context: T : Set α

Context: a : α

Context: hS : ∀ g ∈ S, g⁻¹ ∈ S

Context: subset : T ⊆ MulAction.orbit (↥(Subgroup.closure S)) a

Context: not_mem : a ∉ T

Context: nonempty : T.Nonempty

∃ σ ∈ S, ∃ a ∈ T, σ • a ∉ T


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T : CategoryTheory.Monad C
A B : T.Algebra
self : A.Hom B

CategoryTheory.CategoryStruct.comp (T.map self.f) B.a = CategoryTheory.CategoryStruct.comp A.a self.f


Context:
k : ℕ
hk : k ≠ 0
n : ℤ

fourierCoeff (Complex.ofReal' ∘ periodizedBernoulli k) n = -↑k ! / (2 * ↑π * Complex.I * ↑n) ^ k


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
h'f : 0 ≤ f
A : ℝ

∫ (x : α), ProbabilityTheory.truncation f A x ∂μ ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
AddCommMonoid γ
A : Set α
B : Set β
C : Set γ
f : α → β
g : β → γ
n : ℕ
hg : IsAddFreimanIso n B C g
hf : IsAddFreimanIso n A B f


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: CategoryTheory.CategoryWithHomology C

∀ {X Y : CategoryTheory.ShortComplex C} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.ShortComplex.homologyFunctor C).map f = CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
a b : α
m n : ℕ
h1 : s.Results a m
h2 : s.Results b n
this : s.Terminates


Context: x : SetTheory.PGame

Context: x.Short


Context:
α : Type u_1
f : α → ℝ
A : ℝ
x : α

|ProbabilityTheory.truncation f A x| ≤ |A|


Context:
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
a : α
b : β


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0

eLpNorm' (fun x => c) q μ = ↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / q)


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
x✝ : C

e.functor.map (e.unit.app x✝) ≫ e.counit.app (e.functor.obj x✝) = 𝟙 (e.functor.obj x✝)


Context:
α : Type u_5
Monoid α
a : α
h : IsUnit a


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s✝ s₁ t u : Set E

Context: B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G

Context: f : D → E

Context: g : D → F

Context: N : ℕ∞

Context: s : Set D

Context: x : D

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 N f s

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 N g s

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hx : x ∈ s

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: Du : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uE uF uG, uD} D

Context: Eu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uF uG, uE} E

Context: Fu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uE uG, uF} F

Context: Gu : Type (max uD uE uF uG) := ULift.{max uD uE uF, uG} G

Context: isoD : Du ≃ₗᵢ[𝕜] D

Context: isoE : Eu ≃ₗᵢ[𝕜] E

Context: isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F

Context: isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G

Context: fu : Du → Eu := ⇑isoE.symm ∘ f ∘ ⇑isoD

Context: hfu : fu = ⇑isoE.symm ∘ f ∘ ⇑isoD

Context: gu : Du → Fu := ⇑isoF.symm ∘ g ∘ ⇑isoD

Context: hgu : gu = ⇑isoF.symm ∘ g ∘ ⇑isoD

Context: Bu₀ : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] G := ((B.comp ↑{ toLinearEquiv := isoE.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip.comp ↑{ toLinearEquiv := isoF.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip

Context: hBu₀ : Bu₀ = ((B.comp ↑{ toLinearEquiv := isoE.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip.comp ↑{ toLinearEquiv := isoF.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip

Context: Bu : Eu →L[𝕜] Fu →L[𝕜] Gu := ((compL 𝕜 Eu (Fu →L[𝕜] G) (Fu →L[𝕜] Gu)) ((compL 𝕜 Fu G Gu) ↑{ toLinearEquiv := isoG.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })) Bu₀

Context: hBu : Bu = ((compL 𝕜 Eu (Fu →L[𝕜] G) (Fu →L[𝕜] Gu)) ((compL 𝕜 Fu G Gu) ↑{ toLinearEquiv := isoG.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })) Bu₀

Context: Bu_eq : (fun y => (Bu (fu y)) (gu y)) = ⇑isoG.symm ∘ (fun y => (B (f y)) (g y)) ∘ ⇑isoD

Context: Bu_le : ‖Bu‖ ≤ ‖B‖

Context: su : Set Du := ⇑isoD ⁻¹' s

‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) s x‖ ≤ ‖B‖ * ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖


Context:
R : Type u_1
Ring R
S : Type u_2
AddCommGroup S
Pow S ℕ
Module R S
p : Polynomial R
x : S


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
p : ι → Prop
U : ι → Set (α × α)
h : (𝓤 α).HasBasis p U
s : Set α
x : α

x ∈ ⋂ i, ⋂ (_ : p i), ⋃ x ∈ s, ball x (U i) ↔ x ∈ closure s


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b✝ : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p q : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b : R
h : IsUnit (a - b)

-C ↑h.unit⁻¹ * (X - C a) + C ↑h.unit⁻¹ * (X - C b) = 1


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommRing R
IsDomain R
IsPrincipalIdealRing R
S : Type u_4
CommRing S
IsDomain S
Algebra R S
Finite ι
b : Basis ι R S
I : Ideal S
hI : I ≠ ⊥
i : ι

↑((Ideal.selfBasis b I hI) i) = Ideal.smithCoeffs b I hI i • (Ideal.ringBasis b I hI) i


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: s k✝ : Set α

Context: G : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: k : Set G

Context: h : μ.IsEverywherePos k

Context: hk : IsCompact k

Context: h'k : IsClosed k

Context: u : ℕ → ℝ≥0∞

Context: u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: W : ℕ → Set G

Context: W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (W n)

Context: mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n

Context: hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n

Context: V : ℕ → Set G := fun n => ⋂ i ∈ Finset.range n, W i

Context: x : G

Context: hx : x ∈ ⋂ n, V n * k

Context: v : ℕ → G

Context: hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i

Context: y : ℕ → G

Context: hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k

Context: hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x x_1 => x * x_1) (v i) (y i) = x

Context: z : G

Context: zk : z ∈ k

Context: hz : MapClusterPt z atTop y


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
w : NormalWord d


Context:
R : Type u
S : Type u₁
Monoid R
Monoid S
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction S B
f : A →ₛₙₐ[φ] B


Context:
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0
hf : Summable f


Context:
M : Type u_1
α : Type u_3
AddMonoid M
TopologicalSpace α
AddAction M α
AddAction.IsMinimal M α
x : α


Context:
V : Type u_1
Fintype V
DecidableEq V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
x : V → ℝ

(((Matrix.toLinearMap₂' ℝ) (SimpleGraph.lapMatrix ℝ G)) x) x = 0 ↔ ∀ (i j : V), G.Reachable i j → x i = x j


Context:
R : Type u
CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic
f : AdjoinRoot g
i : Fin g.natDegree

((AdjoinRoot.powerBasisAux' hg).repr f) i = ((AdjoinRoot.modByMonicHom hg) f).coeff ↑i


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
e : Basis ι R M
i : ι

(-1 * ∏ x ∈ Finset.univ \ {i}, 1 x)⁻¹ • e.orientation = -e.orientation


Context:
α : Sort u
β : Sort v
Countable α
Uncountable β
f : α → β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero β
self : SMulPosReflectLE α β
b : β
hb : 0 < b
a₁ a₂ : α

a₁ • b ≤ a₂ • b → a₁ ≤ a₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
s : Set β
f : β → α


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝


Context:
α : Type u
DecidableEq α
a b : α
l : List α
h : a ∈ b :: l


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: M₃ : Type u_5

Context: M₄ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₄

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : Module R M₃

Context: inst✝ : Module R M₄

Context: a b : R

Context: h1 : IsSMulRegular M a ∧ IsSMulRegular (QuotSMulTop a M) b

Context: h2 : torsionBy R M b = a • torsionBy R M b → torsionBy R M b = ⊥

IsSMulRegular M b ∧ IsSMulRegular (QuotSMulTop b M) a


Context: T : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} T

Context: f g : CategoryTheory.Arrow T

Context: u : f.left ⟶ g.left

Context: v : f.right ⟶ g.right

Context: w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp u g.hom = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f.hom v

(CategoryTheory.Arrow.homMk w).right = v


Context:
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : Set R

NonUnitalSubsemiring.closure ↑(AddSubmonoid.closure s) = NonUnitalSubsemiring.closure s


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
s : 𝕜 → 𝕜
U : Set 𝕜
hs : MeromorphicOn s U
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ENNReal
ε_pos : 0 < ε
x : α
xC : x ∈ C

let D := closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C);
Perfect D ∧ D.Nonempty ∧ D ⊆ C ∧ EMetric.diam D ≤ ε


Context:
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
A A' : Matrix ι ι R
f f' : Module.End R M
h : Represents b A f
h' : Represents b A' f'

((LinearMap.llcomp R (ι → R) (ι → R) M) ((Fintype.total R R) b) ∘ₗ algEquivMatrix'.symm.toLinearMap) (A * A') = (PiToModule.fromEnd R b) (f * f')


Context: R : CommRingCat

AlgebraicGeometry.IsNoetherian (AlgebraicGeometry.Spec R) ↔ IsNoetherianRing ↑R


Context:
R : Type u
Ring R
p : R[X]
T : Subring R
hp : ↑p.coeffs ⊆ ↑T
n : ℕ

↑((p.toSubring T hp).coeff n) = p.coeff n


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.39248, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
d e : ℤ
γ : Cochain F K d
he : 1 + d = e

(inl φ).comp ((↑(fst φ)).comp γ he) ⋯ = γ


Context:
R : Type u_1
B : Type u_3
CommRing R
Ring B
Algebra R B


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: A B A' B' X Y : C

Context: i : A ⟶ B

Context: i' : A' ⟶ B'

Context: e : CategoryTheory.Arrow.mk i ≅ CategoryTheory.Arrow.mk i'

Context: p : X ⟶ Y

Context: hip : CategoryTheory.HasLiftingProperty i p


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x y : V
p : G.Walk u✝ v✝
hnp : ¬p.Nil
u v w : V
huv : G.Adj u v
q : G.Walk v w

(notNilRec (fun {u v w} x q => q) (cons huv q) ⋯).support = (cons huv q).support.tail


Context: E : Type u

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : ℂ → F

Context: z w : ℂ

Context: r : ℝ := dist w z

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)

Context: hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z

Context: hw : w ∈ closedBall z r


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: f g : CategoryTheory.Arrow C

Context: F : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f.hom

Context: sq : f ⟶ g

Context: CategoryTheory.IsIso sq


Context:
I : Type u
f : I → Type v₁
(i : I) → Zero (f i)


Context:
o : Ordinal.{u_3}
n : ℕ
n.AtLeastTwo

o.card ≤ OfNat.ofNat n ↔ o ≤ OfNat.ofNat n


Context:
K : Type u
CommRing K
IsDomain K

(RatFunc.toFractionRingRingEquiv K).symm = (IsLocalization.algEquiv K[X]⁰ (FractionRing K[X]) (RatFunc K)).toRingEquiv


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
CategoryTheory.Limits.HasPushout f g

f ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.inl f g = g ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.inr f g


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a✝ b a : α
s t : Multiset α
h : t ≤ s


Context:
α : Type u₁
β : Type u₂
γ : Type u₃
δ : Type u₄
ι : Type u₅
inst✝¹ : MulZeroClass β
inst✝ : DecidableEq α
g₁ g₂ : α →₀ β
a : α
h : g₁ a * g₂ a ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝³ : DivisionSemiring α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSemiring α
f g : ι → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : T2Space α


Context:
R : Type u_1
Ring R
I : Type u_3
Fintype I
e : I → R

CompleteOrthogonalIdempotents e ↔ OrthogonalIdempotents e ∧ ∑ i : I, e i = 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r✝ r' r : α → α → Prop

Context: h : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬r x m

Context: x : α

Context: hx : ¬Acc r x

Context: m : α

Context: hm : m ∈ {x | ¬Acc r x}

Context: hm' : ∀ x ∈ {x | ¬Acc r x}, ¬r x m

Context: y : α

Context: hy : r y m

Context: hy' : ¬Acc r y


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Field Fq

Context: b : Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]

Context: hbε : 0 < cardPowDegree b • ε

Context: one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq

Context: one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)

Context: q_pos : 0 < Fintype.card Fq

Context: q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)

Context: le_b : ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊ < b.natDegree

Context: i₀ i₁ : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ

Context: i_ne : i₀ ≠ i₁

Context: deg_lt : (A i₁ % b - A i₀ % b).degree < ↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)

Context: h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b

Context: h' : A i₁ % b - A i₀ % b ≠ 0

↑(A i₁ % b - A i₀ % b).natDegree < ↑?m.44242


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R✝

Context: A✝ : Type u_2

Context: B✝ : Type u_3

Context: inst✝¹² : Semiring A✝

Context: inst✝¹¹ : Semiring B✝

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: A : Type u_5

Context: B : Type u_6

Context: C : Type u_7

Context: D : Type u_8

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : Ring B

Context: inst✝⁵ : Ring C

Context: inst✝⁴ : Ring D

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra R C

Context: inst✝ : Algebra R D

Context: f : A →ₐ[R] B

Context: g : C →ₐ[R] D

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: hg : Function.Surjective ⇑g

Context: this : map f g = (map f (AlgHom.id R D)).comp (map (AlgHom.id R A) g)

Ideal.comap (↑(map (AlgHom.id R A) g)) (RingHom.ker (map f (AlgHom.id R D))) = Ideal.comap (map (AlgHom.id R A) g) (Ideal.map (map (AlgHom.id R A) g) (Ideal.map includeLeft (RingHom.ker f)))


Context: G : Type uG

Context: E' : Type uE'

Context: NormedAddCommGroup E'

Context: g : G → E'

Context: MeasurableSpace G

Context: μ : MeasureTheory.Measure G

Context: SeminormedAddCommGroup G

Context: BorelSpace G

Context: SecondCountableTopology G

Context: μ.IsAddLeftInvariant

Context: MeasureTheory.SFinite μ

Context: NormedSpace ℝ E'

Context: CompleteSpace E'

Context: f : G → ℝ

Context: x₀ : G

Context: R ε : ℝ

Context: z₀ : E'

Context: hε : 0 ≤ ε

Context: hf : Function.support f ⊆ Metric.ball 0 R

Context: hnf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x

Context: hintf : ∫ (x : G), f x ∂μ = 1

Context: hmg : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ

Context: hg : ∀ x ∈ Metric.ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε

dist (MeasureTheory.convolution f g (ContinuousLinearMap.lsmul ℝ ℝ) μ x₀) z₀ ≤ ε


Context:
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}

Ordinal.lsub f ≤ Order.succ (Ordinal.sup f)


Context:
α : Type u
PartialOrder α
OrderBot α
a : α

¬⊥ < a ↔ a = ⊥


Context:
G : Type u
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
g : G
q : G ⧸ H


Context:
α : Type u_1
S T : Set (Set α)
hST : S ⊆ T


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.138641, u_1} K✝

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.138648, u_2} D

Context: K : Type u_3

Context: inst✝ : Category.{u_4, u_3} K

Context: e : J ≌ K

Context: F : K ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: hc : IsVanKampenColimit c

Context: F' : J ⥤ C

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ e.functor ⋙ F

Context: f : c'.pt ⟶ (Cocone.whisker e.functor c).pt

Context: e' : α ≫ (Cocone.whisker e.functor c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Nonempty (IsColimit c') ↔ ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Cocone.whisker e.functor c).ι.app j)


Context:
ι : Type u_1
N : Type u_5
OrderedAddCommMonoid N
s : Finset ι
f : ι → N
n : N
h : ∀ x ∈ s, n ≤ f x


Context:
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α


Context: a b : Prop


Context:
α : Type u
β : Type u_1
l₁ l₂ : List α
h : l₁ ~r l₂
f : α → β


Context:
r : ℕ+
H : 1 < ADEInequality.sumInv {2, 3, r}


Context:
α : Type u_1
a : Array α
i j : Fin a.size
k : Nat
hk' : k < (a.swap i j).size

(a.swap i j)[k] = if k = ↑i then a[j] else if k = ↑j then a[i] else a[k]


Context:
α : Type u_1
s t : Set α
Ixx : α → α → Set α

Filter.TendstoIxxClass Ixx (𝓟 s) (𝓟 t) ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, Ixx x y ⊆ t


Context:
R : Type u
σ : Type u_1
a : R
s : σ →₀ ℕ
CommSemiring R
f : σ → R

(MvPolynomial.eval f) ((MvPolynomial.monomial s) a) = a * s.prod fun n e => f n ^ e


Context:
α : Type u_1
M : Type u_8
N : Type u_10
P : Type u_11
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
g : N →+ P
f : α → M →+ N

g.comp (Finsupp.liftAddHom f) = Finsupp.liftAddHom fun a => g.comp (f a)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S

Context: P : Ideal R

Context: inst✝ : P.IsPrime

Context: hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P

Context: hP0 : 0 ∉ Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl

Context: Rₚ : Type u_1 := Localization P.primeCompl

Context: Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)

Context: this : IsDomain (Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)) := IsLocalization.isDomain_localization (le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors hP0)

∃ Q, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q = P


Context:
R : Type u_2
M : Type u_3
Semiring R
S : Type u_4
Monoid S
AddCommMonoid M
Module R M
DistribMulAction S M
N : Submodule R M
s t : Set S


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
M : Mon_ C

(CategoryTheory.tensor_μ C (M.X, 𝟙_ C) (M.X, 𝟙_ C) ≫ (M.mul ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).hom)) ≫ (ρ_ M.X).hom =
  ((ρ_ M.X).hom ⊗ (ρ_ M.X).hom) ≫ M.mul


Context:
α : Type u_1
p : Option α → Prop


Context:
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
p : G₀ → Prop


Context:
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a b : E
r : ℝ


Context:
M : Type u_12
N : Type u_13
P : Type u_14
Q : Type u_15
Mul P
Mul Q
f : M ≃ N
g : P ≃* Q
h : M → P
n : N

(MulEquiv.arrowCongr f g) h n = g (h (f.symm n))


Context:
a b c d m n : ℤ
hmn : m.natAbs ∣ n.natAbs
hnm : n.natAbs < m.natAbs


Context:
G : Type u_3
H : Type u_4
Monoid G
a : G
n : ℕ
MulAction G H
b : H


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Fintype (Sym2 V)
this : DecidableEq V

Fintype.card G.Dart = ∑ v : V, G.degree v


Context:
A : Type u_1
α : Type u_2
AddMonoid A
SMul α A
Zero α
self : DivisibleBy A α
n : α
a : A


Context: u : ℕ → ℝ

Context: h : Subadditive u

Context: hbdd : BddBelow (range fun n => u n / ↑n)

Tendsto (fun n => u n / ↑n) atTop (𝓝 h.lim)


Context:
M : Type u_6
N : Type u_7
Add M
Add N
α : Type u_12
e : M ≃+ N
f : N → α
g : M → α


Context: a : ℤ

(↑a)⁻¹.den = if a = 0 then 1 else a.natAbs


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝ : Infinite R
p q : R[X]
ext : ∀ (r : R), eval r p = eval r q
x : R


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: p : PMF α

Context: f✝ : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β

Context: a : α

Context: f : (a' : α) → a' ∈ (pure a).support → PMF β

Context: b : β

(∑' (a_1 : α), (if a_1 = a then 1 else 0) * if h : (if a_1 = a then 1 else 0) = 0 then 0 else (f a_1 h) b) = (f a ⋯) b


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
Z Z' : C
f : Z ⟶ Z'

CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) f)
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z').hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft Y f))


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
inst✝⁶ : SMul M α
inst✝⁵ : SMul M β✝
inst✝⁴ : SMul N α
inst✝³ : SMul N β✝
a✝ : M
x : α × β✝
β : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid β
inst✝ : DistribMulAction M β
a : M
b : α


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: a b : α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝ : (cocompact α).IsMeasurablyGenerated

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: ho : f =O[cocompact α] g

Context: hg : IntegrableAtFilter g (cocompact α) μ


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i✝ i : ι
hi : i < i0


Context: a b : Int


Context:
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
ι : Type v
v : Basis ι R M


Context:
α : Type u_1
π : α → Type u_11
i : Set α
s t : (a : α) → Set (π a)

i.pi s \ i.pi t ⊆ ⋃ a ∈ i, Function.eval a ⁻¹' (s a \ t a)


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R

IsLocalization.toLocalizationMap M (Localization M) = Localization.monoidOf M


Context:
a x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
this✝ : abs x ≠ 0
this : abs y ≠ 0

(x.re * y.re + x.im * y.im) * ((abs y)⁻¹ * (abs x)⁻¹) = (x.re * (y.re * (abs y ^ 2)⁻¹) + x.im * (y.im * (abs y ^ 2)⁻¹)) * (abs y * (abs x)⁻¹)


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: X Y : C

Context: h : CategoryTheory.Epi 0

(CategoryTheory.Limits.isoZeroOfEpiZero h).hom = 0


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: S : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: A : C

Context: k : A ⟶ S.X₂

Context: S.HasLeftHomology

Context: x : A ⟶ S.X₁

Context: hx : k = CategoryTheory.CategoryStruct.comp x S.f

CategoryTheory.CategoryStruct.comp (S.liftCycles k ⋯) S.leftHomologyπ = 0


Context: σ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : Semiring R

Context: m✝ n✝ : σ →₀ ℕ

Context: φ ψ : MvPowerSeries σ R

Context: a : R

Context: n : σ →₀ ℕ

Context: h : ∀ (m : σ →₀ ℕ), Commute ((coeff R m) φ) a

Context: m : σ →₀ ℕ

(coeff R m) (φ * (monomial R n) a) = (coeff R m) ((monomial R n) a * φ)


Context:
α : Type u
β : Type v
Group α
Group β
f : α → β
hf : IsGroupHom f


Context:
m n : Nat
a : Nat
h : m ≤ n


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

(o.areaForm x) (o.rightAngleRotation y) = ⟪x, y⟫_ℝ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
x_out : x ∉ thickening δ E


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
S : Type u_10
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M'
inst✝¹ : SMulCommClass R S M'
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : ι → M'
x : M

((b.constr S) f) x = ∑ i : ι, b.equivFun x i • f i


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p✝ q p : R[X]

Context: a : R

Context: this : ((X - C a) ^ rootMultiplicity a p).Monic

(X - C a) ^ rootMultiplicity a p * (p /ₘ (X - C a) ^ rootMultiplicity a p) = 0 + (X - C a) ^ rootMultiplicity a p * (p /ₘ (X - C a) ^ rootMultiplicity a p)


Context:
m : ℕ
inst✝ : NeZero m
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
k : ZMod m
H : Summable ({n | ↑n = k}.indicator f)

Summable (∑ a : ZMod m, {n | ↑n = a}.indicator f)


Context:
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
RCLike 𝕂
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕂 𝔸
CompleteSpace 𝔸

HasStrictFDerivAt (NormedSpace.exp 𝕂) 1 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M'

(iso S f).symm m = LocalizedModule.mk ⋯.choose.1 ⋯.choose.2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt

Context: a b c d : α

Context: this : ∀ (M : Type ?u.3042) (N : Type ?u.3041) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: y : α

Context: hya : a ≤ y

Context: hyb : y ≤ b

Context: z : α

Context: hzc : c ≤ z

Context: hzd : z < d

(fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Ico (a * c) (b * d)


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support


Context:
a : ℝ
ha : 0 ≤ a


Context:
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
f : G × G → CoeSort.coe A
g : G × G × G


Context: f✝ f : ℝ → ℝ

Context: hf✝ : GrowsPolynomially f

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)

Context: x : ℝ

Context: hx : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)

Context: u : ℝ

Context: hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
c : F
n : ℕ
hn : 0 < n.succ
y : 𝕜
hy : y ∈ s
this : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s y

derivWithin (fun z => c - f z) s y = -derivWithin f s y


Context:
M : Type u_1
R : Type u_4
CommSemiring R
i : M
r : R

Finsupp.single i r ∈ AddMonoidAlgebra.grade R i


Context:
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Infinite
n : ℕ

Nat.nth p n = ↑((Nat.Subtype.orderIsoOfNat (setOf p)) n)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_6, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A

((constantSheafAdj J B ht).counit.app ((sheafCompose J U).obj F)).val = ((sheafifyComposeIso J U ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))).symm ≪≫ (presheafToSheaf J B ⋙ sheafToPresheaf J B).mapIso (constComp Cᵒᵖ (F.val.obj (op t)) U)).inv ≫ ((sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)).val


Context:
R : Type u
X : Type v
Semiring R
A : Type w
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
f : X → A
x : X

((FreeNonUnitalNonAssocAlgebra.lift R) f) (FreeNonUnitalNonAssocAlgebra.of R x) = f x


Context:
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L₂ : Type w
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
h : Function.Injective ⇑f
x : L

(f.equivRangeOfInjective h) x = ⟨f x, ⋯⟩


Context:
M : Type u_1
Monoid M
a : M
x y : Mˣ
h : SemiconjBy a ↑x ↑y


Context:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
𝕜' : Type u_2
NormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
u : 𝕜 → 𝕜'
v : 𝕜'

deriv (fun y => u y * v) x = deriv u x * v


Context:
R : Type u
Semiring R
Nontrivial R
n : ℕ
r : R

((Polynomial.X + Polynomial.C r) ^ n).natDegree = n


Context: a : UnitAddCircle

Tendsto (fun s => s * completedHurwitzZetaEven a s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (if a = 0 then -1 else 0))


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : MeasureTheory.AECover μ l φ
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ

Filter.Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, f x ∂μ) l (𝓝 (∫⁻ (x : α), f x ∂μ))


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
Semifield R
StarRing R
MetricSpace R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
HasContinuousInv₀ R
TopologicalSpace A
Ring A
StarRing A
Algebra R A
ContinuousFunctionalCalculus R p
a : Aˣ
n : ℤ
ha : p ↑a := by cfc_tac


Context:
x n : ℂ
hx : x.arg ≠ π

(starRingEnd ℂ) x ^ n = (starRingEnd ℂ) (x ^ (starRingEnd ℂ) n)


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: B A : C

Context: X : CategoryTheory.Subobject B

Context: f : A ⟶ B

Context: CategoryTheory.Mono f

Context: g : A ⟶ CategoryTheory.Subobject.underlying.obj X

Context: w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp g X.arrow = f


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
i : ι

b.repr ((fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i) = lp.single 2 i 1


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i j : ι


Context: Ω : Type u_1

Context: MeasureTheory.MeasureSpace Ω

Context: MeasureTheory.IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : MeasureTheory.Integrable (X 0) ℙ

Context: hident : ∀ (i : ℕ), ProbabilityTheory.IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

∀ᵐ (ω : Ω),
  (fun n =>
      ∑ i ∈ Finset.range n, ProbabilityTheory.truncation (X i) (↑i) ω - ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) =o[Filter.atTop]
    fun n => ↑n


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} F
G : CategoryTheory.Functor C E
H : CategoryTheory.Functor D F
L₁ : CategoryTheory.Functor C D
R₁ : CategoryTheory.Functor D C
L₂ : CategoryTheory.Functor E F
R₂ : CategoryTheory.Functor F E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : G.comp L₂ ⟶ L₁.comp H
c : C

CategoryTheory.CategoryStruct.comp (G.map (adj₁.unit.app c)) (((CategoryTheory.mateEquiv adj₁ adj₂) α).app (L₁.obj c)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (adj₂.unit.app (G.obj ((CategoryTheory.Functor.id C).obj c)))
    (R₂.map (α.app ((CategoryTheory.Functor.id C).obj c)))


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : DistribLattice α
inst✝³ : OrderBot α
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidablePred SupIrred
inst✝ : DecidableEq α
a b : α

Fintype.finsetOrderIsoSet.symm (birkhoffSet a ∩ birkhoffSet b) = Fintype.finsetOrderIsoSet.symm (birkhoffSet a) ∩ Fintype.finsetOrderIsoSet.symm (birkhoffSet b)


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CharP R p
x : 𝕎 R
n : ℕ

(frobenius x).coeff n = ((map (_root_.frobenius R p)) x).coeff n


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace α
OpensMeasurableSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0
hf : Continuous f

MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ↑(f x))


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
P : Submodule R M
b : Basis ι R ↥P
x : M

x ∈ P ↔ ∃ c, x = c.sum fun i x => x • ↑(b i)


Context: c : Cardinal.{u}

Cardinal.continuum < Cardinal.lift.{v, u} c ↔ Cardinal.continuum < c


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E

Context: F₁ : CategoryTheory.Functor C D

Context: F₂ : CategoryTheory.Functor D E

Context: F₁₂ : CategoryTheory.Functor C E

Context: e : F₁.comp F₂ ≅ F₁₂

Context: J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C

Context: K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D

Context: L : CategoryTheory.GrothendieckTopology E

Context: F₁.IsContinuous J K

Context: F₂.IsContinuous K L


Context:
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype n
M : Matrix m n α


Context: ι : Type u_1

Context: I : BoxIntegral.Box ι

Context: π₁ π₂ : BoxIntegral.TaggedPrepartition I

Context: Fintype ι

Context: h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion

(π₁.disjUnion π₂ h).distortion = max π₁.distortion π₂.distortion


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P

∡ p₁ p₂ p₃ = ↑π ↔ Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul 𝕜 E
RegularSpace E

(𝓝 0).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 0 ∧ IsClosed s ∧ Balanced 𝕜 s) id


Context:
c₁ c₂ : Cardinal.{u_1}
h₁ : ℵ₀ ≤ c₁
h₂ : 2 ≤ c₂
h₂' : c₂ ≤ c₁


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s✝ : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a✝ : α

Context: s : Set β

Context: t : Set γ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ht : MeasurableSet t

Context: a : α

Context: u : Set (β × γ)

Context: hu : MeasurableSet u

Context: this : ∀ (b : β), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ u ∧ b ∈ s ∧ c ∈ t} = s.indicator (fun b => (η (a, b)) ({c | (b, c) ∈ u} ∩ t)) b

∫⁻ (b : β) in s, (η (a, b)) ({c | (b, c) ∈ u} ∩ t) ∂κ a = ∫⁻ (b : β), s.indicator (fun b => (η (a, b)) ({c | (b, c) ∈ u} ∩ t)) b ∂κ a


Context:
α : Type u_1
IdemSemiring α
n : ℕ


Context:
H : Type u
M : Type u_2
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
e e' : PartialHomeomorph M H
G : StructureGroupoid H
he : e ∈ atlas H M
he' : e' ∈ atlas H M
HasGroupoid M G
ClosedUnderRestriction G
s : TopologicalSpace.Opens M
hs : Nonempty ↥s

(e.subtypeRestr hs).symm ≫ₕ e'.subtypeRestr hs ∈ G


Context:
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
f : α → Bool
hf : Computable f
hp : ComputablePred fun a => f a = true
n : α
a : Unit

(a ∈ bif f n then Part.some () else Part.none) ↔ a ∈ Part.assert (f n = true) fun x => Part.some ()


Context:
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
i : ι
b : β i
hb : b ≠ 0


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: D : GlueData C

Context: i j k : D.J

Context: S : Set ↑↑(D.V (i, j))

Context: eq₁ : (PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom ≫ pullback.fst ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k)) = (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base

Context: eq₂ : (PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom ≫ pullback.snd ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k)) = (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).base

Function.Surjective ⇑(PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: Zero α

Context: Preorder α

Context: Preorder β

Context: Preorder γ

Context: SMul α β

Context: SMul α γ

Context: f : β → γ

Context: PosSMulStrictMono α γ

Context: hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, f b₁ ≤ f b₂ ↔ b₁ ≤ b₂

Context: smul : ∀ (a : α) (b : β), f (a • b) = a • f b


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: hS : S.ShortExact

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

Context: A : C

Context: x : A ⟶ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₀).obj (mappingCone S.f)

Context: A' : C

Context: π : A' ⟶ A

Context: w✝ : Epi π

Context: x' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀

Context: w : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0

Context: hx' : π ≫ x = (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀

x ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap (triangle S.f).mor₃ n₀ n₁ ⋯ ≫ 𝟙 ((HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₁).obj S.X₁) = x ≫ HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n₀ ≫ hS.δ n₀ n₁ h


Context:
α : Type u
DecidableEq α
Fintype α
x y : α

Equiv.Perm.sign (Equiv.swap x y) = if x = y then 1 else -1


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfgne : f.norm ≠ g.norm
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : f ≈ 0
this : (f - 0).LimZero


Context: R : Type uR

Context: A : Type uA

Context: CommSemiring R

Context: Semiring A

Context: Algebra R A

Context: s : Set A

Context: x : A

Context: hx : x ∈ Algebra.adjoin R s

Context: p : (x : A) → x ∈ Algebra.adjoin R s → Prop

Context: mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p x ⋯

Context: algebraMap : ∀ (r : R), p ((algebraMap R A) r) ⋯

Context: add : ∀ (x : A) (hx : x ∈ Algebra.adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ Algebra.adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯

Context: mul : ∀ (x : A) (hx : x ∈ Algebra.adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ Algebra.adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
n : ℕ


Context: n : ℕ

∏ x ∈ Finset.range n, (x + 1).factorial = n.superFactorial


Context:
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α


Context:
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
P : Type u_6
Q : Type u_7
NormedAddCommGroup V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
NormedAddCommGroup W
MetricSpace Q
NormedAddTorsor W Q
NormedField R
NormedSpace R V
NormedSpace R W
f : P →ᴬ[R] Q
p₁ p₂ : P


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α

IsOpen s ↔ s ∈ Set.preimage f '' {s | IsOpen s}


Context: α : Type u_1

Context: LE α

Context: MulOneClass α

Context: i : IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α

Context: ha : MulLECancellable a


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
rω : cs.IsReduced ω


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty
v : V
vnK : v ∉ K

∃ ck, ck.1 ∈ G.componentComplMk vnK ∧ ck.2 ∈ K ∧ G.Adj ck.1 ck.2


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β

Filter.Tendsto (⇑e) Filter.atBot Filter.atBot


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
τ : Type u_4
a : Set α
σ✝ : Type u_5
F✝ : CFilter (Set α) σ✝

a ∈ F✝.toFilter ↔ ∃ b, { σ := σ✝, F := F✝, eq := ⋯ }.F.f b ⊆ a


Context:
α : Type u
Preorder α
WellFoundedLT α


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : CharZero k
h : s.card ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]


Context:
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), f i < Ordinal.sup f

(Ordinal.sup f).cof ≤ Cardinal.lift.{v, u} #ι


Context:
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
Module.Finite R M
ι : Type w
h : Basis ι R M


Context:
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
hf : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i

ENNReal.ofReal (∏ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ENNReal.ofReal (f i)


Context:
α : Type u
self : UniformSpace.Core α

(self.uniformity.lift' fun s => s ○ s) ≤ self.uniformity


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁸ : PartialOrder A

Context: inst✝⁷ : NormedRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalRing A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus 𝕜 A

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: h : Continuous ⇑(cfcHom ⋯)

Context: x✝ : ContinuousOn (exp 𝕜) (spectrum 𝕜 a)

Context: a✝ : ↑(spectrum 𝕜 a)

{ toFun := (spectrum 𝕜 a).restrict (exp 𝕜), continuous_toFun := ⋯ } a✝ = (exp 𝕜 { toFun := (spectrum 𝕜 a).restrict id, continuous_toFun := ⋯ }) a✝


Context: s : ℂ

LSeriesSummable (fun n => ↑(ArithmeticFunction.moebius n)) s ↔ 1 < s.re


Context:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ

iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) f x =
  (⇑(continuousMultilinearCurryRightEquiv' 𝕜 n E F) ∘ iteratedFDeriv 𝕜 n fun y => fderiv 𝕜 f y) x


Context:
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
κ : Type u_8
e₁ : ι ≃ κ
e₂ : M ≃ₗ[R] N
k : κ
n : N

(Finsupp.lcongr e₁ e₂).symm (Finsupp.single k n) = Finsupp.single (e₁.symm k) (e₂.symm n)


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝ : MulOneClass M

Context: ι : Sort u_4

Context: S : ι → Submonoid M

Context: C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop

Context: mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯

Context: one : C 1 ⋯

Context: mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯

Context: x : M

Context: hx : x ∈ ⨆ i, S i


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hR : 0 < ringChar R
φ : AddChar R ℂ
a : R


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
y : ℕ


Context:
n : ℕ
a b : Fin n

Fintype.card ↑(Set.Ioo a b) = ↑b - ↑a - 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
LE β
SMul 𝕜 E
s : Set E
f : E → β
hs : Convex 𝕜 s
h : ∀ (r : β), Convex 𝕜 {x | r ≤ f x}


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: PseudoMetricSpace α

Context: f : β → α

Context: a : α

Context: hf : Filter.Tendsto f Filter.cofinite (𝓝 a)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
s : Set M
hs : AddSubmonoid.closure s = ⊤
f g : M →+ N
h : Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: s t u : Set M

Context: hl : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ u }) R Subtype.val

Context: hsu : s ⊆ u

Context: htu : t ⊆ u

Context: hst : span R s ≤ span R t

Context: this : s ∪ t = t


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
x : X
x_in : x ∈ F
h : pathComponentIn x F = F


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
H N : AddSubgroup G
h : H.normalizer ≤ N

H.normalizer.addSubgroupOf N = (H.addSubgroupOf N).normalizer


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X

(maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) Y ∧ I' ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Nonempty


Context:
A : Type u_4
CommRing A
IsDomain A
UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
x : K

∃ a b, IsRelPrime a ↑b ∧ IsLocalization.mk' K a b = x


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)

Context: hS : S.Exact

Context: inst✝³ : Epi S.g

Context: i : ι

Context: inst✝² : S.X₁.HasHomology i

Context: inst✝¹ : S.X₂.HasHomology i

Context: inst✝ : S.X₃.HasHomology i

Context: this : Epi (S.map (eval C c i)).g

Context: hj : IsColimit (CokernelCofork.ofπ (S.map (eval C c i)).g ⋯)

(ShortComplex.mk (opcyclesMap S.f i) (opcyclesMap S.g i) ⋯).Exact


Context:
α : Type u
β : Type v
s : Set (Filter β)
m : α → β

Filter.comap m (sSup s) = ⨆ f ∈ s, Filter.comap m f


Context:
G : Type u_3
AddGroup G


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} 𝒳
CategoryTheory.Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
p.IsHomLift f φ


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : CategoryTheory.SimplicialObject C
n : ℕ
j : Fin (n + 2)
i : Fin (n + 1)
H : j = i.castSucc

X.σ i ≫ X.δ j = 𝟙 (X.obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk n)))


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a : ℤ


Context:
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i✝ j i : Fin n


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.HasShift C ℤ

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C

Context: ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: CategoryTheory.Pretriangulated C

Context: W : CategoryTheory.MorphismProperty C

Context: self : W.IsCompatibleWithTriangulation

Context: T₁ T₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C

T₁ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles →
  T₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles →
    ∀ (a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁) (b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂),
      W a →
        W b →
          CategoryTheory.CategoryStruct.comp T₁.mor₁ b = CategoryTheory.CategoryStruct.comp a T₂.mor₁ →
            ∃ c,
              ∃ (_ : W c),
                CategoryTheory.CategoryStruct.comp T₁.mor₂ c = CategoryTheory.CategoryStruct.comp b T₂.mor₂ ∧
                  CategoryTheory.CategoryStruct.comp T₁.mor₃ ((CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map a) =
                    CategoryTheory.CategoryStruct.comp c T₂.mor₃


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: f g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Countable ι

Context: F : ι → α → E

Context: hF_int : ∀ (i : ι), Integrable (F i) μ

Context: hF_sum : Summable fun i => ∫ (a : α), ‖F i a‖ ∂μ

Context: hE : CompleteSpace E

Context: this : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖F i a‖₊ ∂μ = ↑‖∫ (a : α), ‖F i a‖ ∂μ‖₊

Summable fun x => ‖∫ (a : α), ‖F x a‖ ∂μ‖₊


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
M₀ : Type u_6
inst✝⁴ : MulZeroOneClass α
inst✝³ : MulZeroOneClass β
inst✝² : MulZeroOneClass γ
inst✝¹ : MulZeroOneClass δ
inst✝ : FunLike F α β
g : β →*₀ γ
f₁ f₂ : α →*₀ β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
x : α


Context:
α : Type u_1
cut : α → Ordering
t : Batteries.RBNode α
path : Batteries.RBNode.Path α

Batteries.RBNode.Path.fill' (Batteries.RBNode.zoom cut t path) = path.fill t


Context:
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
c : PushoutCocone f g
hc : IsColimit c
h₁ : Function.Injective f
x₁ : X₁
x₂ : X₂

(Pushout.cocone f g).inl x₁ = (Pushout.cocone f g).inr x₂ ↔ ∃ s, f s = x₁ ∧ g s = x₂


Context:
f : CircleDeg1Lift
x : ℝ


Context:
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r : ℝ≥0∞
h : x ∈ s
H : EMetric.hausdorffEdist s t < r


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : PartialOrder β

Context: inst✝² : OrderBot α

Context: inst✝¹ : IsAtomic α

Context: inst✝ : OrderBot β

Context: l : α → β

Context: u : β → α

Context: gi : GaloisInsertion l u

Context: hbot : u ⊥ = ⊥

Context: h_atom : ∀ (a : α), IsAtom a → u (l a) = a

Context: a : α

Context: hla : IsAtom (l a)

Context: a' : α

Context: ha' : IsAtom a'

Context: hab' : a' ≤ u (l a)

Context: this : l a' = l a


Context: α : Type u_1

Context: Fintype α

Context: DecidableEq α

Context: σ τ : ↥(alternatingGroup α)

Context: hc : IsConj ↑σ ↑τ

Context: hσ : (↑σ).support.card + 2 ≤ Fintype.card α


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
x : E
h : {x} ∈ 𝓝[s] x
fc : ContinuousWithinAt f s x
t : Set E
ot : IsOpen t
xt : x ∈ t
st : t ∩ s ⊆ {x}
r : ℝ
r0 : r > 0
rt : Metric.ball x r ⊆ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalAddGroup α
f : β → α
a : α
h : HasSum f a


Context:
α✝ β : Type u
α : Type u_1
n : ℕ
h : ↑n ≤ #α


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X

x ∈ pathComponent y ↔ y ∈ pathComponent x


Context:
x : ℝ
h : x < 0

Real.arctan x⁻¹ = -(Real.pi / 2) - Real.arctan x


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → M₁ i

Context: i : ι

Context: c : R

Context: x : M₁ i

f (update (c • m) i x) = c ^ (Fintype.card ι - 1) • f (update m i x)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝ : I.Boundaryless
x : M
hx : x ∈ f.source

map (↑(f.extend I)) (𝓝 x) = 𝓝 (↑(f.extend I) x)


Context:
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β : Type u_3
LE β
One β
v₁ : α₁ → β
v₂ : α₂ → β


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → Set (Set Ω)
s' : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
u : Set ι
hyp : ∀ n ∈ u, IndepSets (s n) s' κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ ⋃ n ∈ u, s n
ht2 : t2 ∈ s'


Context: J : Type u'

Context: CategoryTheory.Category.{v', u'} J

Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape J TopCat

Context: ∀ (X : TopCat), CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape Jᵒᵖ (TopCat.Presheaf C X)

Context: F : J ⥤ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C

↑(AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.colimit F) =
  CategoryTheory.Limits.colimit (F ⋙ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.forget C)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIocMod hp (a + p) b = toIocMod hp a b + p


Context:
α : Type u_1
x : α
l : List α
n : Nat
h : n < l.length


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hf : Conservative f μ

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: h0 : μ s ≠ 0

Context: t : ℕ → Set α := fun n => s ∩ f^[n] ⁻¹' s

Context: H : ¬∃ᶠ (m : ℕ) in atTop, μ (s ∩ f^[m] ⁻¹' s) ≠ 0

Context: N : ℕ

Context: hN : μ (t N) ≠ 0

Context: hmax : ∀ n > N, μ (t n) = 0


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: m✝ : Submodule R M

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: x✝¹ : Nontrivial M ∧ ∀ (x : M), x ≠ 0 → Function.Surjective ⇑(LinearMap.toSpanSingleton R M x)

Context: left✝ : Nontrivial M

Context: h : ∀ (x : M), x ≠ 0 → Function.Surjective ⇑(LinearMap.toSpanSingleton R M x)

Context: m : Submodule R M

Context: ne_bot : ¬m = ⊥

Context: x : M

Context: hxm : x ∈ m

Context: hx0 : x ≠ 0

Context: y : R

Context: x✝ : (LinearMap.toSpanSingleton R M x) y ∈ ⊤


Context:
m n a b c d : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
X : C ⥤ Comon_ D

∀ (X_1 : C),
  ((CategoryTheory.Monoidal.ComonFunctorCategoryEquivalence.counitIso.hom.app X).app X_1).hom = 𝟙 (X.obj X_1).X


Context:
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
v : n → R

(∀ i ∈ Finset.univ, v i * star (v i) = 0) ↔ v = 0


Context:
α : Type u_2
Sub α
f g : Filter α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
h : (succ #ι).ord ≤ mex f


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
hc : G.Colorable n


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: inst✝⁷ : DecidableEq α'

Context: inst✝⁶ : DecidableEq β'

Context: inst✝⁵ : DecidableEq γ

Context: inst✝⁴ : DecidableEq γ'

Context: inst✝³ : DecidableEq δ

Context: inst✝² : DecidableEq δ'

Context: inst✝¹ : DecidableEq ε

Context: inst✝ : DecidableEq ε'

Context: f f'✝ : α → β → γ

Context: g✝ g'✝ : α → β → γ → δ

Context: s s' : Finset α

Context: t t' : Finset β

Context: u u' : Finset γ

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c : γ

Context: g : γ → δ

Context: f' : β' → α → δ

Context: g' : β → β'

Context: h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g' b) a

g '' image2 f ↑s ↑t = image2 f' (g' '' ↑t) ↑s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set α

s ∩ ⋃ i, ⋃ j, t i j = ⋃ i, ⋃ j, s ∩ t i j


Context:
z : ℍ
x : Fin 2 → ℤ
hx : x ≠ 0

EisensteinSeries.r z * ‖x‖ ≤ Complex.abs (↑(x 0) * ↑z + ↑(x 1))


Context: C : Type u

Context: X Y Z : CategoryTheory.FreeMonoidalCategory C

Context: f : X.Hom Y

Context: g : Y.Hom Z

⟦f.comp g⟧ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp ⟦f⟧ ⟦g⟧


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Bornology α
s t : Set α
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : Nonempty α