Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: f : ι' ↪ ι

Context: hss : range v ⊆ ↑(span R (range (v ∘ ⇑f)))

Context: i : ι

Context: repr : ↥(span R (range (v ∘ ⇑f))) → ι' →₀ R := ⇑⋯.repr

Context: l : ι →₀ R := Finsupp.mapDomain (⇑f) (repr ⟨v i, ⋯⟩)

Context: h_total_l : (Finsupp.total ι M R v) l = v i

Context: h_total_eq : (Finsupp.total ι M R v) l = (Finsupp.total ι M R v) (Finsupp.single i 1)


Context:
G : Type u_1
Group G
M : Type u_7
MulOneClass M
f : G →* M


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f g : ℝ × ℝ → E

Context: f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E

Context: a b : ℝ × ℝ

Context: hle : a ≤ b

Context: s : Set (ℝ × ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)

Context: Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)

Context: Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt f (f' x) x

Context: Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt g (g' x) x

Context: Hi : IntegrableOn (fun x => (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1)) (Set.Icc a b) volume

Context: e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] Fin 2 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.finTwoArrow ℝ ℝ).symm


Context:
x y : ℝ
a b : Cauchy abs

({ cauchy := a } - { cauchy := b }).cauchy = { cauchy := a }.cauchy - { cauchy := b }.cauchy


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)
h : CategoryTheory.Limits.IsIndObject A

CategoryTheory.IsFiltered (CategoryTheory.CostructuredArrow CategoryTheory.yoneda A)


Context:
E : Type u_6
NormedGroup E
a : E


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
X✝ Y✝ : Augmented C
η : X✝ ⟶ Y✝

η.left ≫ Y✝.hom.app [0] = X✝.hom.app [0] ≫ η.right.app [0]


Context:
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
ExpChar R p
n : ℕ


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
sq sq₁ sq₂ : Square C
h : sq₁.IsPushout
e : sq₁ ≅ sq₂

sq₁.f₃₄ ≫ (evaluation₄.mapIso e).hom = (evaluation₃.mapIso e).hom ≫ sq₂.f₃₄


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a b : α
u : αˣ
h : a ∣ b


Context:
c : Cardinal.{u_1}
hc : ℵ₀ ≤ c

Ordinal.Principal (fun x x_1 => x + x_1) c.ord


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: P : Prop

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: h_pos : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → CharP R p → P

Context: h_equal : Algebra ℚ R → P

Context: h_mixed : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → MixedCharZero R p → P


Context: G : Type u_2

Context: AddGroup G

Context: ι : Sort u_5

Context: S : ι → AddSubgroup G

Context: C : G → Prop

Context: x : G

Context: hx : x ∈ ⨆ i, S i

Context: mem : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ S i, C x

Context: one : C 0

Context: mul : ∀ (x y : G), C x → C y → C (x + y)


Context:
M : Type u_3
AddCommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ

∑ ij ∈ Finset.antidiagonal n, f ij.1 ij.2 = ∑ k ∈ Finset.range n.succ, f k (n - k)


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
H' H : AddSubgroup G
h : H' ≤ H

∃ S, ↑H' + S = ↑H ∧ Nat.card ↥H' * Nat.card ↑S = Nat.card ↥H


Context:
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Type u
τ : Type u
t : τ
x : p 0

Function.FromTypes.const p t x = Function.FromTypes.const (Matrix.vecTail p) t


Context:
α : Type u
J : Type w
inst✝⁴ : SmallCategory J
inst✝³ : FinCategory J
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderTop α
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
f : ι → α

Finset.univ.inf (f ∘ ⇑discreteEquiv.toEmbedding) = Fintype.elems.inf f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
NormedAddCommGroup γ
f : α → β
g : α → γ
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
hg : MeasureTheory.Integrable g μ

MeasureTheory.Integrable (fun x => (f x, g x)) μ


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: P : Type u → Prop

Context: of_equiv : ∀ {α β : Type u}, α ≃ β → P α → P β

Context: h_empty : P PEmpty.{u + 1}

Context: h_option : ∀ {α : Type u} [inst : Fintype α], P α → P (Option α)

Context: α : Type u

Context: inst✝ : Finite α

Context: val✝ : Fintype α


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E

Context: f f' : 𝕜 → E

Context: z₀ z₁ : 𝕜

Context: hcont : ContinuousOn (fun t => f' (z₀ + t • z₁)) (Icc 0 1)

Context: hderiv : ∀ t ∈ Icc 0 1, HasDerivAt f (f' (z₀ + t • z₁)) (z₀ + t • z₁)

Context: γ : ℝ → 𝕜 := fun t => z₀ + t • z₁

Context: hint : IntervalIntegrable (z₁ • f' ∘ γ) volume 0 1

Context: hderiv' : ∀ t ∈ [[0, 1]], HasDerivAt (f ∘ γ) (z₁ • (f' ∘ γ) t) t

z₁ • ∫ (t : ℝ) in 0 ..1, f' (z₀ + t • z₁) = ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, z₁ • (f' ∘ γ) y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : α ≃ β
f' : PartialEquiv β γ

(e.transPartialEquiv f').target = f'.target


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
NormedAddCommGroup G'
NormedSpace 𝕜 G'
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : G' → E
g : G' → F
f' : G' →L[𝕜] E
g' : G' →L[𝕜] F
x : G'
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
hg : HasStrictFDerivAt g g' x

HasStrictFDerivAt (fun y => (B (f y)) (g y))
  (((ContinuousLinearMap.precompR G' B) (f x)) g' + ((ContinuousLinearMap.precompL G' B) f') (g x)) x


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop

AntisymmRel (Function.swap r) = AntisymmRel r


Context:
α : Type u_1
MeasurableSpace α
TopologicalSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
μ.OuterRegular
A : Set α
hA : MeasurableSet A
hA' : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0

∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ μ U < ⊤ ∧ μ (U \ A) < ε


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
LinearOrderedSemifield α
LinearOrderedSemifield β
f : ι → α
g : ι → β
hf : StrongLT 0 f


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ
hp : ∀ n' < n, ¬p n'


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
MeasurableSpace Ω
MeasurableSpace Ω'
ν : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
f : Ω → Ω'

↑(ν.map f) = MeasureTheory.Measure.map f ↑ν


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : MultilinearMap 𝕜 E G

Context: hf₀ : ∀ {m : (i : ι) → E i} {i : ι}, ‖m i‖ = 0 → ‖f m‖ = 0

Context: ε : ι → ℝ

Context: C : ℝ

Context: hε : ∀ (i : ι), 0 < ε i

Context: c : ι → 𝕜

Context: hc : ∀ (i : ι), 1 < ‖c i‖

Context: hf : ∀ (m : (i : ι) → E i), (∀ (i : ι), ε i / ‖c i‖ ≤ ‖m i‖) → (∀ (i : ι), ‖m i‖ < ε i) → ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖

Context: m : (i : ι) → E i

Context: hm : ∀ (i : ι), ‖m i‖ ≠ 0

Context: δ : ι → 𝕜

Context: hδ0 : ∀ (i : ι), δ i ≠ 0

Context: hδm_lt : ∀ (i : ι), ‖δ i • m i‖ < ε i

Context: hle_δm : ∀ (i : ι), ε i / ‖c i‖ ≤ ‖δ i • m i‖

Context: a✝ : ∀ (i : ι), ‖δ i‖⁻¹ ≤ (ε i)⁻¹ * ‖c i‖ * ‖m i‖


Context:
n : Type u_2
𝕜 : Type u_4
Fintype n
RCLike 𝕜
DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
i : n


Context:
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D

∀ {X Y : CategoryTheory.Limits.Cone F} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Limits.Cones.functoriality F G).map f).hom = G.map f.hom


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
inst✝ : Finite ι
s : Finset (Box ι)

∀ᶠ (t : Finset (ι × ℝ)) in atTop, ∀ (I J : Box ι), J ∈ s → ∀ J' ∈ splitMany I t, ¬Disjoint ↑J ↑J' → J' ≤ J


Context:
α : Type u_2
InvolutiveInv α
a : α


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSemiring R
A : Type u_2
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : TopologicalSemiring A
inst✝ : Algebra R A
f : A →A[R] A

↑f = AlgHom.id R A ↔ f = ContinuousAlgHom.id R A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
(j : α) → Decidable (j ∈ s)
f f' g : α → β
t t' : Set α
h : Set.EqOn f g (t ∩ s)
h' : Set.EqOn f' g (t' ∩ sᶜ)

Set.EqOn (s.piecewise f f') g (s.ite t t')


Context: J : Type v'

Context: CategoryTheory.Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: F G : CategoryTheory.Functor J C

Context: α : F ⟶ G

Context: CategoryTheory.IsIso α

Context: c : CategoryTheory.Limits.Cocone G

Context: hc : CategoryTheory.IsUniversalColimit c

CategoryTheory.IsUniversalColimit ((CategoryTheory.Limits.Cocones.precompose α).obj c)


Context: A B : TopCat

∀ (X Y : ↑(π.obj (TopCat.of (↑A × ↑B)))) (f : X ⟶ Y), HEq (((projLeft A B).prod' (projRight A B) ⋙ prodToProdTop A B).map f) ((𝟭 ↑(π.obj (TopCat.of (↑A × ↑B)))).map f)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
x : M ⊗[R] N
S : M →₀ N
h : x = S.sum fun m n => m ⊗ₜ[R] n

∑ a ∈ S.support, a ⊗ₜ[R] S a = ∑ i ∈ S.graph, i.1 ⊗ₜ[R] i.2


Context:
α : Type u_1
Preorder α
a : α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₂ F

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F

Context: κ : ι → Type u_10

Context: inst✝² : Nonempty ((i : ι) × κ i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), Nonempty (κ i)

Context: p : (i : ι) → SeminormFamily 𝕜 E (κ i)

Context: t : ι → TopologicalSpace E

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), TopologicalAddGroup E

Context: hp : ∀ (i : ι), WithSeminorms (p i)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
h : a ≤ b
δ : α
inst✝ : Archimedean α
hδ : 0 < δ


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E

∀ (v : E), ⟪(-o).rightAngleRotation x, v⟫_ℝ = ⟪-o.rightAngleRotation x, v⟫_ℝ


Context:
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
x1 x2 : Matrix m₁ n R
y1 y2 : Matrix m₂ n R

x1.fromRows y1 = x2.fromRows y2 → x1 = x2 ∧ y1 = y2


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p k : ℕ
hn : Fact (Nat.Prime p)

eval 1 (cyclotomic (p ^ (k + 1)) R) = ↑p


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: e✝ : Pretrivialization F proj

Context: x : Z

Context: e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: x' : TotalSpace F E

Context: b✝ : B

Context: y✝ : E b✝

Context: inst✝ : (x : B) → Zero (E x)

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet

Context: y : F

{ proj := b, snd := e.symm b y } = ↑e.symm (b, y)


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ

Context: ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ

Context: ProbabilityTheory.IsFiniteKernel η

Context: a : α

(η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a = 0 ↔ (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
a : R

(if a = 0 then ⊥ else sum 0 fun x e => e) = 0


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory C

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory D

Context: E : Type u₃

Context: CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory E

Context: F : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D

Context: G : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C E


Context:
α : Type u_1
f g h✝ : Perm α
h : f.Disjoint g
x : α


Context:
X : AlgebraicGeometry.Scheme
R : CommRingCatᵒᵖ

AlgebraicGeometry.ΓSpec.adjunction.homEquiv X R =
  AlgebraicGeometry.ΓSpec.locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X.toLocallyRingedSpace R


Context:
G : Type u_1
Group G
a : G
m n : ℤ


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
e : E →L[𝕜] F


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasFiniteCoproducts C

Context: inst✝¹ : HasCokernels C

Context: inst✝ : NormalEpiCategory C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z : C

Context: l : IsLimit (KernelFork.ofι 0 ⋯)

Context: Z✝ : C

Context: u v : Z✝ ⟶ X

Context: huv : u ≫ f = v ≫ f

Context: W : C

Context: w : W ⟶ X

Context: hw : w ≫ coequalizer.π u v = 0

Context: hl : IsColimit (CokernelCofork.ofπ (coequalizer.π u v) hw)

Context: m : coequalizer u v ⟶ Y

Context: hm : coequalizer.π u v ≫ m = f

Context: reassoced : ∀ {W_1 : C} (h : coequalizer u v ⟶ W_1), w ≫ coequalizer.π u v ≫ h = 0 ≫ h

Context: hwf : w ≫ f = 0

Context: n : W ⟶ (KernelFork.ofι 0 ⋯).pt

Context: hn : 0 = w

Context: this : IsIso (coequalizer.π u v)

u ≫ coequalizer.π u v = v ≫ coequalizer.π u v


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
p : ℝ
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
h : f x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p

HasStrictFDerivAt (fun x => f x ^ p) ((p * f x ^ (p - 1)) • f') x


Context:
n : ℕ
NeZero n
a : ZMod n

↑a.valMinAbs.natAbs = if a.val ≤ n / 2 then a else -a


Context:
α : Type u
xs ys : List (List α)
a : α
hxs : xs ≠ []
hys : ys ≠ []

(List.zipWith (fun x x_1 => x ++ x_1) (List.modifyHead (List.cons a) xs) ys).join =
  a :: (List.zipWith (fun x x_1 => x ++ x_1) xs ys).join


Context:
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x : ModP K v O hv p


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ConditionallyCompleteLinearOrder α
f : ι → α


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
x : E


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: A B : C

Context: CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C

Context: CategoryTheory.Exponentiable A

CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Limits.prod.map (CategoryTheory.CategoryStruct.id A) ((CategoryTheory.exp.coev A).app B))
    ((CategoryTheory.exp.ev A).app (A ⨯ B)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (A ⨯ B)


Context:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h₂' y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
s : Set E
t : Set 𝕜'
x : E
hh : HasDerivWithinAt h₂ h₂' t y
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hst : Set.MapsTo f s t
hy : y = f x

HasFDerivWithinAt (h₂ ∘ f) (h₂' • f') s x


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : NonPreadditiveAbelian C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : (CokernelCofork.ofπ σ ⋯).pt ⟶ Y

Context: hg : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ σ ⋯) ≫ g = prod.map f f ≫ σ


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁹ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁶ : OrderTopology ι

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝⁴ : BorelSpace ι

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: u : ι → Ω → β

Context: τ : Ω → ι

Context: f : Filtration ι m

Context: inst✝² : MetrizableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: hf_prog : ProgMeasurable f u

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: h_str_meas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (stoppedValue u fun ω => min (τ ω) i)


Context: x nx z : ℕ

Mathlib.Meta.NormNum.IsNat x nx → nx.sqrt = z → Mathlib.Meta.NormNum.IsNat x.sqrt z


Context:
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0

∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(Real.cos x) ^ n =
  ↑n / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.sin (2 * z * ↑x) * ↑(Real.sin x) * ↑(Real.cos x) ^ (n - 1)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor C D
e : L₁ ≅ L₂
L₁.IsLocalization W


Context:
G : Type u_1
Group G
x : G
n : ℤ


Context:
α β : Type u_1
s : Set α
f : α → Set β
h : s.Finite
hf : ∀ a ∈ s, (f a).Finite


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε : ℝ


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b c : E


Context:
R : Type u_1
AddMonoidWithOne R
p : ℕ
CharP R p
a b : ℕ
h : a ≡ b [MOD p]


Context:
E : Type u_2
AddCommGroup E
F : Type u_3
AddCommGroup F
K : Type u_5
DivisionRing K
Module K E
Module K F
f : E →ₗ.[K] F
x : E
y : F
hx : x ∉ f.domain

(f.supSpanSingleton x y hx).domain = f.domain ⊔ Submodule.span K {x}


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsArtinianRing R

Context: Jac : Ideal R := ⊥.jacobson

Context: f : ℕ →o (Ideal R)ᵒᵈ := { toFun := fun n => Jac ^ n, monotone' := ⋯ }

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Jac ^ n = Jac ^ m

Context: J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)

Context: hJ : J ≠ ⊤

Context: J' : Submodule R R

Context: hJJ' : J < J'

Context: hJ' : ∀ (I : Ideal R), J < I → ¬I < J'


Context:
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : SMulWithZero ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀✝ x₀ : X
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module ℝ M
φ : ι → X → M

∑ i ∈ ρ.finsupport x₀, (ρ i) x₀ • φ i x₀ = ∑ᶠ (i : ι), (ρ i) x₀ • φ i x₀


Context:
M : Type u_1
α : Type u_2
Group M
MulAction M α
ι : Sort u_3
s : ι → Set α

fixingSubgroup M (⋃ i, s i) = ⨅ i, fixingSubgroup M (s i)


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a : P
SMul G P
IsCancelSMul G P
x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a)
h : (↑x).1 = (↑y).1


Context:
x y : SimplexCategory
f : x ⟶ y
hyp_f_mono : Mono f


Context:
p n k : ℕ
hp : Nat.Prime p
hkn : k ≤ p ^ n
hk0 : k ≠ 0

multiplicity p ((p ^ n).choose k) = ↑(n - (multiplicity p k).get ⋯)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
l : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter l
hs : IsLindelof s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
U : X → Set X
hUl : ∀ x ∈ s, (U x)ᶜ ∈ l
hxU : ∀ x ∈ s, x ∈ U x
hUo : ∀ x ∈ s, IsOpen (U x)
t : Set X
htc : t.Countable
hts : ∀ x ∈ t, x ∈ s
hst : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α

Context: ι : Type u_8

Context: inst✝⁴ : LinearOrder ι

Context: inst✝³ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝² : OrderTopology ι

Context: inst✝¹ : DenselyOrdered ι

Context: inst✝ : FirstCountableTopology ι

Context: s : ι → Set α

Context: a : ι

Context: hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)

Context: hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j

Context: hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤

Context: L : ℝ≥0∞

Context: hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)

Context: u : ℕ → ι

Context: u_anti : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)

Context: A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)))

Context: B : ⋂ n, s (u n) = ⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r

Context: n : ℕ

Context: hn : μ (s (u n)) < L


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u}


Context:
V : Type u_1
α : Type u_2
A : Matrix V V α
MulZeroOneClass α
Nontrivial α
h : A.IsAdjMatrix
i j : V


Context:
r : ℝ
hr : 0 < r

Filter.Tendsto (fun x => Real.log x * x ^ r) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f 1 μ

Context: hmeas✝ : StronglyMeasurable f

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: htendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun M => {x | ↑M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x) atTop (𝓝 0)

Context: hmeas : ∀ (M : ℕ), AEStronglyMeasurable ({x | ↑M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) μ

Context: hbound : HasFiniteIntegral (fun x => ‖f x‖) μ

Context: this : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖{x | ↑n ≤ ‖f x‖₊}.indicator f a - 0‖ ∂μ ≤ ε

Context: M : ℕ

Context: hM : ∀ n ≥ M, ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖{x | ↑n ≤ ‖f x‖₊}.indicator f a‖ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε

∫⁻ (x : α), ↑‖{x | ↑M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context:
S : Type u_2
R : Type u
M : Type v
Monoid S
AddMonoid M
SMul S R
DistribMulAction S M
s : S
r : R

TrivSqZeroExt.inl (s •> r) = s •> TrivSqZeroExt.inl r


Context:
α : Type u_1
dec : DecidableEq α
a : α


Context:
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₁
Module R M₂
Fintype ι₁
Finite ι₂
DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : ι₂

(LinearMap.toMvPolynomial b₁ b₂ f i).IsHomogeneous 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : α → Set β
t : α → Set γ
inst✝ : Preorder α
x : α

⋃ y, ⋃ (_ : y ≤ x), s y ⊆ ⋃ y, ⋃ (_ : y ≤ x), Accumulate s y


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Function.Injective ⇑f

AffineIndependent k (⇑f ∘ p) ↔ AffineIndependent k p


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
s : Multiset α

foldl (fun x y => y * x) ⋯ 1 s = foldl (fun x x_1 => x * x_1) ⋯ 1 s


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
v : Vector α (n + 1)
i : ℕ
hi : i < n + 1
j : ℕ
hj : j < n + 2

(List.insertNth j a ↑v).eraseIdx ↑(if i < j then ⟨i, ⋯⟩ else ⟨i + 1, ⋯⟩) = List.insertNth (↑(if h : i < j then ⟨j, hj⟩.pred ⋯ else ⟨j, hj⟩.castPred ⋯)) a ↑(match v with | ⟨l, p⟩ => ⟨l.eraseIdx i, ⋯⟩)


Context:
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
StarRing A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A

(NonUnitalStarSubalgebra.center R A).toNonUnitalSubalgebra = NonUnitalSubalgebra.center R A


Context: α : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤

Context: this : f =ᶠ[ae μ] fun x => ↑(f x).toNNReal

SigmaFinite (μ.withDensity fun x => ↑(f x).toNNReal)


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p : α → Prop
DecidablePred p
x₀ : { a // p a } → β
x : { a // ¬p a } → β
a : α
h : p a

↑((Equiv.subtypePreimage p x₀).symm x) a = x₀ ⟨a, h⟩


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
Field k
AddCommGroup E
Module k E
f : k → E
a b : k
h : a ≠ b

slope (fun x => (x - a) • f x) a b = f b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
this : IsFiniteKernel κ

0 ≤ᶠ[ae ((ν a).restrict A)] fun x => κ.density ν a x s


Context:
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → K

↑(FractionalIdeal.spanFinset R₁ s f) = Submodule.span R₁ (f '' ↑s)


Context:
m k n : Nat
h₁ : m + k ≤ n
h₂ : 0 < k


Context:
M : Type u_1
MeasurableSpace M
Sup M
self : MeasurableSup M
c : M


Context:
α : Type u
l : List α
r : α → α → Prop
hl : l.Nodup
h : ∀ a ∈ l, ∀ b ∈ l, a ≠ b → r a b


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

HurwitzZeta.sinZeta a s = (HurwitzZeta.expZeta a s - HurwitzZeta.expZeta (-a) s) / (2 * Complex.I)


Context:
f : CircleDeg1Lift
n : ℕ


Context:
x : ℝ*
hi : x.Infinitesimal
r : ℝ
hr : r < 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
c : E
hc : c ≠ 0
a✝ : AEStronglyMeasurable f μ

∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ * ↑‖c‖₊ ∂μ < ⊤ ↔ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z : CategoryTheory.Center C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z


Context:
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
h : μ t = 0


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : MeasureTheory.Measure Ω

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace ℝ E

Context: CompleteSpace E

Context: ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0

Context: MeasureTheory.SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: f g : ℕ → Ω → E

Context: hf : MeasureTheory.Martingale f ℱ μ

Context: hg : MeasureTheory.Adapted ℱ fun n => g (n + 1)

Context: hg0 : g 0 = 0

Context: hgint : ∀ (n : ℕ), MeasureTheory.Integrable (g n) μ

Context: n : ℕ

MeasureTheory.martingalePart (f + g) ℱ μ n =ᵐ[μ] f n


Context:
R : Type u
Ring R
r : ↥⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_6

Context: ConditionallyCompleteLattice β

Context: ConditionallyCompleteLattice γ

Context: f : Filter α

Context: u : α → β

Context: g : β ≃o γ

Context: hu : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u := by isBoundedDefault

Context: hu_co : Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u := by isBoundedDefault

Context: hgu : Filter.IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f fun x => g (u x) := by isBoundedDefault

Context: hgu_co : Filter.IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f fun x => g (u x) := by isBoundedDefault

g (Filter.liminf u f) = Filter.liminf (fun x => g (u x)) f


Context:
X : Type u_1
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
f : X →ᵇ E


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E


Context:
R : Type u
Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
AddCommMonoid M
Module R M
A : ι → Submodule R M
h : DirectSum.IsInternal A
i j : ι
hij : i ≠ j
x : M
hx : x ∈ A i

((LinearEquiv.ofBijective (DirectSum.coeLinearMap A) h).symm x) j = 0


Context:
α : Sort u
β : Sort v
r : β → β → Prop
f : α → β
h : Transitive r


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
U : Submodule 𝕜 E
CompleteSpace ↥U

IsSelfAdjoint (U.subtypeL.comp (orthogonalProjection U))


Context:
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Injective ⇑f


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y

CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor Y).inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).inv
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (𝟙_ C) f)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: NormedAddCommGroup F

Context: NormedSpace 𝕜 F

Context: CompleteSpace E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: c : ℝ≥0

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: hf : ApproximatesLinearOn f f' s c

Context: f'symm : f'.NonlinearRightInverse

Context: hs : IsOpen s

Context: hc : Subsingleton F ∨ c < f'symm.nnnorm⁻¹


Context:
x : ℂ
y : ℝ

Complex.abs (x ^ ↑y) = Complex.abs x ^ y


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α
inst✝¹ : SeparableSpace α
inst✝ : Nonempty α


Context:
A : Type u_2
K : Type u_3
CommRing A
Field K
IsDomain A
Algebra A K
IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
I : FractionalIdeal A⁰ K
hI : I ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α


Context: ι : Type u_1

Context: a s : ι → ℕ

Context: l l' : List ι

Context: hl : l.Perm l'

Context: hs : ∀ i ∈ l, s i ≠ 0

Context: co : List.Pairwise (Coprime on s) l

Context: z : { k // ∀ i ∈ l', k ≡ a i [MOD s i] } := chineseRemainderOfList a s l' ⋯

↑(chineseRemainderOfList a s l co) = ↑(chineseRemainderOfList a s l' ⋯)


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : Fix F α


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
x y : R
h : Commute x y


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: X Y : C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: b : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone X Y

Context: h : b.IsBilimit

CategoryTheory.IsPullback b.inl 0 b.snd 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi : ↑s i < 0

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: h : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

Context: hn : ∀ (n : ℕ), ¬restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)

Context: A : Set α := i \ ⋃ l, MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l

Context: hA : A = i \ ⋃ l, MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l

Context: bdd : ℕ → ℕ := fun n => MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)

Context: hn' : ∀ (n : ℕ), ¬restrict s (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ l, ⋃ (_ : l ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)

Context: h₁ : ↑s i = ↑s A + ∑' (l : ℕ), ↑s (MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i l)

Context: h₂ : ↑s A ≤ ↑s i

Context: h₃' : Summable fun n => 1 / (↑(bdd n) + 1)

Context: h₃ : Tendsto (fun n => ↑(bdd n) + 1) atTop atTop

Context: h₄ : Tendsto (fun n => ↑(bdd n)) atTop atTop

Context: A_meas : MeasurableSet A

∃ j, MeasurableSet j ∧ j ⊆ i ∧ restrict s j ≤ restrict 0 j ∧ ↑s j < 0


Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Set R

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: H : ∀ (r : ↑s), (fun {X Y} [CommRing X] [CommRing Y] f => Function.Surjective ⇑f) (Localization.awayMap f ↑r)

Context: this : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S

Context: l : ↑s →₀ R

Context: hl : (Finsupp.total (↑s) R R Subtype.val) l = 1

∀ (i : ↑s), ∃ n, f ↑i ^ n • x ∈ (Algebra.ofId R S).range


Context:
X Y : TopCat
f : ↑X ≃ₜ ↑Y
x✝ : (forget TopCat).obj X

(f.toContinuousMap ≫ f.symm.toContinuousMap) x✝ = (𝟙 X) x✝


Context:
α : Type u
Preorder α
NoMinOrder α


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
a b : A
n : ℕ

∑ x ∈ Finset.range n.succ, a ^ x * (algebraMap ℚ A) (1 / ↑x !) * (b ^ (n - x) * (algebraMap ℚ A) (1 / ↑(n - x)!)) = ∑ x ∈ Finset.range (n + 1), a ^ x * b ^ (n - x) * ↑(n.choose x) * (algebraMap ℚ A) (1 / ↑n !)


Context:
m : Type u_1
DecidableEq m
Fintype m
R : Type v
CommRing R
StarRing R
M : Matrix m m R


Context:
R : Type u
I : Type v
CommSemiring R
x : R
s : I → R
t : Finset I

IsCoprime x (∏ i ∈ t, s i) ↔ ∀ i ∈ t, IsCoprime x (s i)


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b : α
l₁ l₂ : List α
L : List (List α)
hL : ¬[] ∈ l₁ :: l₂ :: L

Chain' R (l₁ :: l₂ :: L).join ↔ (∀ (l : List α), l ∈ l₁ :: l₂ :: L → Chain' R l) ∧ Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₁ :: l₂ :: L)


Context:
α : Type u_1
CompleteSemilatticeSup α
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, x ≤ y


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
f : R[X]
inst✝¹ : CommRing S
i : R →+* S
a : S
h : eval₂ i a f = 0
inst✝ : Algebra R S
ϕ : AdjoinRoot f →ₐ[R] S


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass N
Monoid P
f : M × N →* P

(f.comp (MonoidHom.inl M N)).noncommCoprod (f.comp (MonoidHom.inr M N)) ⋯ = f


Context:
α : Type u_1
inst✝¹² : TopologicalSpace α
R : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
A₂ : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace A₂
inst✝⁵ : Semiring A₂
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : TopologicalSemiring A₂
𝕜 : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
s✝ : Set C(α, 𝕜)
f✝ : ↑s✝
x✝ : α
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : TopologicalRing 𝕜
s : Subalgebra 𝕜 C(α, 𝕜)
h : s.SeparatesPoints
v : α → 𝕜
x y : α
n : ¬x = y
f : C(α, 𝕜)
hf : f ∈ ↑s
hxy : f x - f y ≠ 0


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M

(fun x => a + x) '' Ico b c = Ico (a + b) (a + c)


Context:
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
InnerProductSpaceable E
y z : E

‖RCLike.I • y - 2 • z‖ * ‖RCLike.I • y - 2 • z‖ =
  2 * (‖RCLike.I • y - z‖ * ‖RCLike.I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖RCLike.I • y‖ * ‖RCLike.I • y‖


Context:
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
Field K
CharZero K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : QuadraticMap 𝕜 E F
a b : E

HasLineDerivAt 𝕜 (⇑f) (polar (⇑f) a b) a b


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β

hausdorffEdist s u ≤ hausdorffEdist s t + hausdorffEdist t u


Context:
α : Type u
β : Type u_1
n : ℕ
f : Fin n → α
g : α → β

List.map g (List.ofFn f) = List.ofFn (g ∘ f)


Context:
n : Type u_2
R : Type u_4
Semiring R
Fintype n
v : n → R

(∀ (w : n → R), Matrix.dotProduct v w = 0) ↔ v = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G

↑↑(condexpIndL1Fin hm ⋯ ⋯ x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x + condexpIndL1Fin hm ht hμt x)


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m✝ m0✝ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: μ✝ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: m m₂ m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: hm₂ : m₂ ≤ m0

Context: inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)

Context: hs_m : MeasurableSet s

Context: hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) ↔ MeasurableSet (s ∩ t)

Context: hs_m₂ : MeasurableSet s

Context: hf_int : Integrable f μ

AEStronglyMeasurable' m₂ (μ[s.indicator f|m]) μ


Context:
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod (n + 1))ˣ

↑((↑u).val * (↑u⁻¹).val) = ↑(↑(u * u⁻¹)).val


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
p : ι → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : AddCommMonoid γ
S : ι → AddSubmonoid γ

⨆ i, ⨆ (_ : p i), S i ≤ AddMonoidHom.mrange ((sumAddHom fun i => (S i).subtype).comp (filterAddMonoidHom (fun i => ↥(S i)) p))


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
Monoid M
Monoid N
x : N

Monoid.Coprod.snd (Monoid.Coprod.inr x) = x


Context: F : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: inst✝¹³ : Field F

Context: inst✝¹² : Field K✝

Context: inst✝¹¹ : Algebra F K✝

Context: K₁ : Type u_3

Context: K₂ : Type u_4

Context: K₃ : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : Field F

Context: inst✝⁹ : Field K₁

Context: inst✝⁸ : Field K₂

Context: inst✝⁷ : Field K₃

Context: inst✝⁶ : Algebra F K₁

Context: inst✝⁵ : Algebra F K₂

Context: inst✝⁴ : Algebra F K₃

Context: ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂

Context: χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂

Context: ψ : K₂ →ₐ[F] K₃

Context: ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃

Context: K : Type u_6

Context: L : Type u_7

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : Normal K L

Context: x y : L

Context: hy : IsAlgebraic K y

Context: h_ev : (Polynomial.aeval x) (minpoly K y) = 0

Context: hx : IsAlgebraic K x


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasStrictTerminalObjects C

Context: I : C

Context: hI : CategoryTheory.Limits.IsTerminal I

Context: A : C

Context: f : I ⟶ A


Context: x y : SetTheory.PGame

x ≤ y ↔ (∀ (i : x.LeftMoves), (x.moveLeft i).LF y) ∧ ∀ (j : y.RightMoves), x.LF (y.moveRight j)


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
DecidableEq α
s t : Finset β
b c : β


Context:
y z : ℝ
hyz : y < z
x : ℝ≥0
hx : 1 < ↑x


Context: α : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: F : Type u_5

Context: NormedDivisionRing F

Context: f g : α → F

Context: hint : MeasureTheory.Integrable g μ

Context: hm : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ

Context: hfbdd : ∃ C, ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C

MeasureTheory.Integrable (fun x => f x * g x) μ


Context: num den : Int


Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_4

Context: Semiring R

Context: AddCommMonoid M

Context: Module R M

Context: n : ℕ

Context: H : ∀ (s : Finset M), (LinearIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n

Context: s : Set M

LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val → #↑s ≤ ↑n


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace V

Context: inst✝³ : BorelSpace V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: w : V

Context: hw : w ≠ 0

Context: hiw : ⟪i w, w⟫_ℝ = 1 / 2

Context: this✝ : (fun v => 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f (v + i w)) = fun v => (fun x => -(𝐞 (-⟪x, w⟫_ℝ) • f x)) (v + i w)

Context: this : ∫ (x : V), -(𝐞 (-⟪x + i w, w⟫_ℝ) • f (x + i w)) = ∫ (x : V), -(𝐞 (-⟪x, w⟫_ℝ) • f x)

∫ (v : V), (fun x => -(𝐞 (-⟪x, w⟫_ℝ) • f x)) (v + i w) = -∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o✝ : Ordinal.{u}

Context: ho✝ : o✝.IsLimit

Context: hsC✝ : contained C o✝

Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : o.IsLimit

Context: hsC : contained C o

LinearIndependent ℤ (eval C) ↔ LinearIndependent ℤ fun (p : ↑(⋃ e, smaller C ↑e)) => ↑p


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_3
Z : Type u_5
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
h : e.target = e'.source

∀ (a : Z), ↑(e.trans' e' h).symm a = ↑e.symm (↑e'.symm a)


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: this : upcrossings a b f ω < ⊤ ↔ ∃ k, upcrossings a b f ω ≤ ↑k

(∃ k, ∀ (i : ℕ), ↑(upcrossingsBefore a b f i ω) ≤ ↑k) ↔ ∃ k, ∀ (N : ℕ), upcrossingsBefore a b f N ω ≤ k


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x : E


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : ↥(oneCocycles A)


Context:
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
hs : Dense s
x : α
ε : ℝ
hε : 0 < ε


Context:
α : Type u_1
Preorder α
a b : α

(SimpleGraph.hasse α).Adj a b ↔ a ⋖ b ∨ b ⋖ a


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : α → β
hf : Surjective f
x : 𝕎 β
n : ℕ

(mapFun f (mk p fun n => Classical.choose ⋯)).coeff n = x.coeff n


Context:
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n

(Polynomial.cyclotomic' n R).degree = ↑n.totient


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
x : β
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
x✝ : G


Context:
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N


Context: m : ℕ+

Context: v : PrimeMultiset

Context: h : m.factorMultiset ≤ v.prod.factorMultiset ↔ m ∣ v.prod := factorMultiset_le_iff


Context: U : Type u_1

Context: Quiver U

Context: V : Type u_2

Context: Quiver V

Context: φ : U ⥤q V

Context: hφ : ∀ (u : U), Function.Bijective (φ.star u)

Context: u : U


Context:
p : ℕ → Prop
DecidablePred p
h : ∃ n, p n
n : ℕ

n < Nat.find h ↔ ∀ (m : ℕ), m ≤ n → ¬p m


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C

Γ₂N₁.natTrans.app X = Γ₂N₂ToKaroubiIso.inv.app X ≫ 𝟙 (Γ₂.obj (N₂.obj { X := X, p := 𝟙 X, idem := ⋯ })) ≫ (Γ₂N₂ToKaroubiIso.hom.app X ≫ Γ₂N₁.natTrans.app X) ≫ 𝟙 { X := X, p := 𝟙 X, idem := ⋯ }


Context: V : Type

Context: G : SimpleGraph V

Context: e : ↑G.end

Context: K : (Finset V)ᵒᵖ

Context: L : Finset V

Context: h : Opposite.unop K ⊆ Opposite.unop (Opposite.op L)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X → Y
U₁ Z₁ : Set X
hU₁ : IsOpen U₁
hZ₁ : IsClosed Z₁
U₂ Z₂ : Set X
hU₂ : IsOpen U₂
hZ₂ : IsClosed Z₂


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: r : HomRel C

Context: D : Type u_3

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} D

Context: F G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Quotient r) D

Context: τ : (CategoryTheory.Quotient.functor r).comp F ≅ (CategoryTheory.Quotient.functor r).comp G

(CategoryTheory.Quotient.natIsoLift r τ).inv = CategoryTheory.Quotient.natTransLift r τ.inv


Context:
R : Type u_1
Monoid R
StarMul R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
self : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
hf : Differentiable ℝ f
hx : ∀ (x : E), f x ≠ 0

Differentiable ℝ fun x => Real.log (f x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
n : ℕ
h : 1 < n


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
TopologicalSpace α
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
a : α
hf : IsLocalMax f a
g : β → γ
hg : Monotone g


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l : List α

Context: l' : List (Multiset α)

Context: H : ∀ ⦃x : Multiset α × Multiset α⦄, x ∈ l'.revzip → x.1 + x.2 = ↑l

l'.revzip = List.map (fun x => (x, ↑l - x)) l'


Context:
α : Sort u
β : Sort v
Countable β
f : α ↪ β


Context:
α : Type u_1
CompleteLattice α
self : CompleteSublattice α
s : Set α

s ⊆ self.carrier → sInf s ∈ self.carrier


Context: ι✝ : Type ?u.54871

Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁶ : LinearOrder ι✝

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: inst✝ : Module.Free R M

Context: Q : QuadraticMap R M N

Context: ι : Type u_2

Context: b : Basis ι R M

Context: this : LinearOrder ι := IsWellOrder.linearOrder WellOrderingRel


Context:
α : Type u_2
r : α → α → Prop


Context:
n : Type u'
α : Type v
Fintype n
DecidableEq n
CommRing α
A : (Matrix n n α)ˣ

↑A⁻¹ = (↑A)⁻¹


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C

(CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y)).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y (𝟙_ C)).hom
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft X (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor Y).hom)


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
x : L
D₁ D₂ : LieDerivation R L L

⁅x, ⁅D₁, D₂⁆⁆ = ⁅⁅x, D₁⁆, D₂⁆ + ⁅D₁, ⁅x, D₂⁆⁆


Context:
R : Type u
M : Type v
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Small.{v, u} R

Module.Flat R M ↔
  ∀ ⦃N N' N'' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : AddCommGroup N'']
    [inst_3 : Module R N] [inst_4 : Module R N'] [inst_5 : Module R N''] ⦃f : N →ₗ[R] N'⦄ ⦃g : N' →ₗ[R] N''⦄,
    Function.Exact ⇑f ⇑g → Function.Exact ⇑(LinearMap.lTensor M f) ⇑(LinearMap.lTensor M g)


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁

Context: CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂

Context: W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁

Context: W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂

Context: Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: X₂ : C₂ᵒᵖ

Context: L : Φ.op.LeftResolution X₂


Context:
E : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
a b : E
r : ℝ
c : E

a + c ∈ Metric.ball (b + c) r ↔ a ∈ Metric.ball b r


Context:
α : Type u_1
SemilatticeSup α
OrderTop α
a b : α


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
c : F

(Differentiable 𝕜 fun y => c + f y) ↔ Differentiable 𝕜 f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : M → N → P
hf : f 0 0 = 0
a : α
m : M
n : N
a' : α

f ((single a m) a') ((single a n) a') = (single a (f m n)) a'


Context:
E : Type u_2
Field E
S : Set E
F : Subfield E
T : Set E
HT : T ⊆ ↑F


Context: xl xr : Type u


Context:
α : Type u_5
self : ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
a : α


Context:
δ : Type u_4
π : δ → Type u_6
(a : δ) → MeasurableSpace (π a)
p : δ → Prop
DecidablePred p

Measurable ⇑(Equiv.piEquivPiSubtypeProd p π).symm


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{?u.21810, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{?u.21814, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.21818, u_3} E
inst✝⁷ : HasShift C ℤ
inst✝⁶ : HasShift D ℤ
inst✝⁵ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝³ : G.CommShift ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
inst✝ : F.Additive
n : ℤ
T : Triangle C

(F.map (n.negOnePow • (shiftFunctor C n).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 n).hom.app T.obj₁) ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app ((shiftFunctor C n).obj T.obj₁)) ≫ (shiftFunctor D 1).map ((F.commShiftIso n).hom.app T.obj₁) = (F.commShiftIso n).hom.app T.obj₃ ≫ (n.negOnePow • (shiftFunctor D n).map (F.map T.mor₃ ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app T.obj₁) ≫ (shiftFunctorComm D 1 n).hom.app (F.obj T.obj₁))


Context: n : ℕ


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C

(CategoryTheory.Square.toArrowArrowFunctor'.obj sq).right.hom = sq.f₃₄


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
s₁ s₂ : Set α
t₁ t₂ : Set β

s₁ ∩ s₂ +ᵥ (t₁ ∪ t₂) ⊆ s₁ +ᵥ t₁ ∪ (s₂ +ᵥ t₂)


Context: a : ℤ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F

⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖) = -1 ↔ x ≠ 0 ∧ ∃ r < 0, y = r • x


Context:
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
CommSemiring S
Algebra R S
A B : Subalgebra R S

B.mulMap A = (A.mulMap B).comp ↑(Algebra.TensorProduct.comm R ↥B ↥A)


Context:
X : Type u
TopologicalSpace X
T1Space X
T35Space X


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝² : L.Structure M

Context: inst✝¹ : L.Structure N

Context: inst✝ : L.Structure P

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: t : L.Term α

Context: h : listDecode ([t].bind listEncode) = [t]

(fun l => (do let a ← (listDecode l).head? pure (some a)).join) t.listEncode = some t


Context:
α : Type u_1
F : Type u_4
R : Type u_13
Norm F
SeminormedRing R
g : α → F
l : Filter α
f : α → R
h : f =O[l] g
c' : R


Context:
α : Type u_1
n : ℕ
Sub α
x : α
v : Fin n → α
w : Fin n.succ → α

Matrix.vecCons x v - w = Matrix.vecCons (x - Matrix.vecHead w) (v - Matrix.vecTail w)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s t : Set (ι → ℝ)

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: hs : IsUpperSet s

Context: hx : x ∈ closure s

Context: hδ : 0 < δ

Context: y : ι → ℝ

Context: hy : y ∈ s

Context: z : ι → ℝ

Context: hz : ‖x + const ι (3 / 4 * δ) - z‖ ≤ δ / 4

Context: i : ι

Context: hxy : ‖(x - y) i‖ ≤ δ / 4


Context: u✝ : Lean.Level

Context: arg : Q(Type u✝)

Context: sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)

Context: u : Lean.Level

Context: α : Q(Type u)

Context: sα : Q(CommSemiring «$α»)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: a a' a₁✝ a₂✝ a₃ b b' b₁ b₂ b₃ c₁ c₂ a₁ : R

Context: a₂ : ℕ


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
M : Mon_ (Comon_ C)

(Bimon_.ofMon_Comon_obj C M).X = (Comon_.forgetMonoidal C).mapMon.obj M


Context:
M : Type u_1
AddZeroClass M

(AddSubmonoid.center M).toAddSubsemigroup = AddSubsemigroup.center M


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
A : Type u_3
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
f g : E → A
N : ℕ∞
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hg : ContDiffOn 𝕜 N g s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N

‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => f y * g y) s x‖ ≤
  ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖


Context:
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
AddMonoid ιA
VAdd ιA ιB
(i : ιA) → AddCommMonoid (A i)
(i : ιB) → AddCommMonoid (M i)
DecidableEq ιA
DecidableEq ιB
GradedMonoid.GMonoid A
DirectSum.Gmodule A M
x : ⨁ (i : ιB), M i


Context:
α : Type u_1
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
H : (Ordnode.node s l x r).Sized

(Ordnode.node s l x r).size = l.size + r.size + 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
f g : α × β → γ
h : f =ᵐ[μ.prod ν] g

∀ᵐ (x : α) ∂μ, Function.curry f x =ᵐ[ν] Function.curry g x


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι

Context: a b : ℝ

Context: f : ι → Ω → ℝ

Context: N : ι

Context: n m : ℕ

Context: ω : Ω


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
G : C

(preadditiveCoyoneda.obj (op G) ⋙ forget AddCommGrp).Faithful ↔ (preadditiveCoyoneda.obj (op G)).Faithful


Context: P : Type u_1

Context: inst✝¹ : LE P

Context: I✝ J✝ s t : Ideal P

Context: x y : P

Context: inst✝ : IsDirected P fun x x_1 => x ≥ x_1

Context: I J : Ideal P

Context: a : P

Context: ha : a ∈ ↑I

Context: b : P

Context: hb : b ∈ ↑J


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
MeasurableSpace G
MeasurableSpace α
CommGroup G
MeasurableMul₂ G
MeasurableInv G
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → G
hf : AEMeasurable f μ

AEMeasurable (f * g) μ ↔ AEMeasurable g μ


Context:
X : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x y z : 𝒰.J

𝒰.gluedCoverT' x y z ≫
    𝒰.gluedCoverT' y z x ≫
      𝒰.gluedCoverT' z x y ≫
        CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y))
          (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map z)) =
  CategoryTheory.Limits.pullback.snd (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y))
    (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map z))


Context: I : Type u

Context: LinearOrder I

Context: IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hsC : Profinite.NobelingProof.contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

(⇑(Profinite.NobelingProof.Linear_CC' C hsC ho) ∘ fun l => Profinite.NobelingProof.Products.eval C ↑l) = fun l =>
  Profinite.NobelingProof.Products.eval (Profinite.NobelingProof.C' C ho) (↑l).Tail


Context:
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
x : CliffordAlgebra Q
n : ZMod 2

CliffordAlgebra.reverse x ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q n ↔ x ∈ CliffordAlgebra.evenOdd Q n


Context:
α : Type u
s : Set α


Context: a : ENNReal

a⁻¹ ≤ 1 ↔ 1 ≤ a


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_3
Fintype ι
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
SecondCountableTopology E
b : Basis ι ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
MeasureTheory.SigmaFinite μ
μ.IsAddLeftInvariant


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p : R⟦X⟧
n d : ℕ

∀ b ∈ antidiagonal (d + n), b ≠ (d, n) → (coeff R b.1) p * (coeff R b.2) (X ^ n) = 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
c : E

∫ (x : α), c ∂μ = (μ Set.univ).toReal • c


Context:
n : ℕ
n_large : 512 ≤ n


Context:
R S T : Type u
CommRing R
CommRing S
CommRing T
Algebra R S
Algebra R T

(AlgebraicGeometry.pullbackSpecIso R S T).inv ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.fst (AlgebraicGeometry.Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap R S)))
      (AlgebraicGeometry.Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap R T))) =
  AlgebraicGeometry.Spec.map (CommRingCat.ofHom Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom)


Context:
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
TopologicalSpace B
TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i : ι


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w✝ : ι → R
z✝ : ι → E
s : Set E
x : E
inst✝ : Fintype ι
w : ι → R
z : ι → E
hw₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i : ι, w i = 1
hz : ∀ (i : ι), z i ∈ s
hx : ∑ i : ι, w i • z i = x


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
f : R →+* S
n : ℕ


Context:
α : Type u
Preorder α
a b : α
h : a > b


Context:
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C

∀ {X Y Z : CategoryTheory.Limits.Cocone F} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), (f ≫ g).hom = f.hom ≫ g.hom


Context:
F✝ : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
f₀ f₁ : C(X, Y)
F : f₀.Homotopy f₁
t : ℝ
ht : 1 ≤ t
x : X


Context:
q : ℚ
n₁ n₂ d₂ : ℤ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : HeytingAlgebra α
a✝ a b : α
h : IsCompl a b


Context:
α : Type u
a b c : Set α

a ∩ b ⊆ c ↔ a ⊆ bᶜ ∪ c


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝¹ : Module ℝ E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs₀ : 0 ∈ s

Context: hs₁ : Convex ℝ s

Context: hs₂ : IsOpen s

Context: x₀ : E

Context: hx₀ : x₀ ∉ s

Context: f : E →ₗ.[ℝ] ℝ := LinearPMap.mkSpanSingleton x₀ 1 ⋯

Context: x : E

Context: hx : x ∈ f.domain


Context: α : Type u_1

Context: MulOneClass α

Context: Preorder α

Context: CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c : α

Context: ha : 1 < a

Context: hbc : b < c


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: inst✝³ : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝² : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝¹ : DecidableEq δ

Context: s✝ t : Finset δ

Context: f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x y : (i : δ) → π i

Context: i : δ

Context: inst✝ : Fintype δ

Context: s : Finset δ

Context: f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: hg : Measurable g

Context: hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ

Context: h : IsEmpty ((i : δ) → π i)

∫⁻ (x : (i : δ) → π i), f x ∂Measure.pi μ = ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), g x ∂Measure.pi μ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

(fun z => -deriv ε z) =o[atTop] fun x => x⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : GCDMonoid α

Context: a b c : α

Context: hab : IsUnit (gcd b a)

Context: k : ℕ

Context: h✝ : Nontrivial α

Context: ha : ¬a = 0

Context: hb : ¬b = 0

Context: hk : k > 0

Context: hc✝ : c ∣ a * b

Context: d₁ d₂ : α

Context: hd₁ : d₁ ∣ a

Context: hd₂ : d₂ ∣ b

Context: hc : c = d₂ * d₁

Context: h0₁ : d₁ ^ k ≠ 0

Context: a' : α

Context: ha' : a = d₁ ^ k * a'

Context: h0₂ : d₂ ^ k ≠ 0

Context: b' : α

Context: h : d₂ ^ k * b' * (d₁ ^ k * a') = d₂ ^ k * d₁ ^ k

Context: hb' : b = d₂ ^ k * b'


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))

Context: this : Inhabited I

Context: m : Products I →₀ ℤ

Context: hmmem : m ∈ Finsupp.supported ℤ ℤ {m | m < (↑l).Tail}

Context: hmsum : (m.sum fun i a => a • Products.eval (C' C ho) i) = (Linear_CC' C hsC ho) (Products.eval C ↑l)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁✝ l₂✝ l₁ l₂ : List α

Context: h' : ∀ (n : ℕ), n < max l₁.length l₂.length → l₁.get? n = l₂.get? n

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ max l₁.length l₂.length


Context: K : Type u_1

Context: Field K

Context: NumberField K

Context: IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ

IsCoprime (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S)


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α

Finset.Icc s t = Finset.filter (fun x => s ⊆ x) t.powerset


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: N : ι → Submodule R M

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: h : IsInternal N

Context: inst✝⁵ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)

Context: inst✝⁴ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝¹ : Module.Free R M

Context: inst✝ : Module.Finite R M

Context: f g : Module.End R M

Context: h_comm : Commute f g

Context: hf : ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤

Context: hg : ∀ (μ : R), (trace R ↥(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)) (restrict g ⋯) = 0


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: h : a * b < c * d


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G

↑(H.addSubgroupOf K) = ⇑K.subtype ⁻¹' ↑H


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α → β
WellFoundedLT β
hf : StrictMono f


Context: S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u

Context: hs : IsSheaf typesGrothendieckTopology S

Context: α : Type u

Context: f : α → S.obj (op PUnit.{u + 1})


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)

Context: inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: hne : s.Nonempty

Context: x : (n : ℕ) → E n

Context: hx : x ∉ s

Context: A : ∃ n, Disjoint s (cylinder x n)

Context: B : Nat.find A - 1 < Nat.find A

Context: y : (n : ℕ) → E n

Context: ys : y ∈ s

Context: hy : x ∈ cylinder y (Nat.find A - 1)

(s ∩ cylinder x (Nat.find A - 1)).Nonempty


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n m : ι
ω : Ω


Context: x y z : ℝ


Context:
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
Monad m
l : List α
f : α → β → m β
b : β

List.foldrM f b l.reverse = List.foldlM (fun x y => f y x) b l


Context:
a b r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0


Context:
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.236298}
α : Type u_1
l : List α
h : ∀ (z : α), z ∈ l


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E

‖A x‖ ^ 2 = re ⟪((adjoint A).comp A) x, x⟫_𝕜


Context: α : Type u_3

Context: E : Type u_6

Context: SeminormedAddGroup E

Context: l : Filter α

Context: f : α → E

Context: h : Filter.Tendsto (fun y => ‖f y‖) l Filter.atTop

Context: x : E


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
i : Set ι
s : (a : ι) → Set (π a)
hi : i.Finite
hs : ∀ a ∈ i, IsOpen (s a)


Context: M : Type u_1

Context: Monoid M

Context: Preorder M

Context: CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α


Context:
α : Type u_1
self : NormedLatticeAddCommGroup α
a b : α


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : LocallyCompactSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: g : G → E

Context: hg : Continuous g

Context: h'g : HasCompactSupport g

Context: k : Set G := tsupport g

Context: k_comp : IsCompact k

Context: x₀ : G

Context: t : Set G

Context: t_comp : IsCompact t

Context: ht : t ∈ 𝓝 x₀

Context: k' : Set G := t • k⁻¹

Context: k'_comp : IsCompact k'

Context: A : ContinuousOn (fun x => ∫ (y : G), g (y⁻¹ * x) ∂μ) t

ContinuousAt (fun x => ∫ (y : G), g (y⁻¹ * x) ∂μ) x₀


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: K : HomologicalComplex C c

Context: i j k : ι

Context: hi : c.prev j = i

Context: hk : c.next j = k

Context: K.HasHomology j

Context: (K.sc' i j k).HasHomology

K.toCycles i j ≫ (K.cyclesIsoSc' i j k hi hk).hom = (K.sc' i j k).toCycles


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α ≃o β
a : α

(LowerSet.map f) (LowerSet.Iic a) = LowerSet.Iic (f a)


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
Fintype V
DecidableRel G.Adj
v : V


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w₁ w₂ : W

cs.length (w₁ * w₂) % 2 = (cs.length w₁ + cs.length w₂) % 2


Context: x y z : ZFSet


Context:
a✝ b✝ c✝ d✝ : Ordinal.{u}
a b c d : Ordinal.{u_1}
hd : d < a ⨳ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
b : α
l : List α

List.foldl (fun x y => op y x) b l = List.foldl op b l


Context:
m n : ℕ
hn : 1 < n
h : n ! = m !
hnm : n < m


Context:
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s t : Set α
x : α
h : s ⊆ t
hs : s.Nonempty


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J I : Box ι
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π : Prepartition I

∃ π', π'.toPrepartition ≤ π ∧ π'.IsHenstock ∧ π'.IsSubordinate r ∧ π'.distortion = π.distortion ∧ π'.iUnion = π.iUnion


Context:
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : f =ᶠ[Filter.atTop] g

LSeriesSummable f s ↔ LSeriesSummable g s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ✝ : Type x

Context: γ : Type u_1

Context: P : γ → Set γ → Prop

Context: this : Nonempty γ

Context: c : Set γ → γ

Context: hc : ∀ (t : Set γ), t.Finite → P (c t) t

Context: f : (n : ℕ) → ((m : ℕ) → m < n → γ) → γ := fun n g => c (range fun k => g ↑k ⋯)

Context: u : ℕ → γ := fun n => n.strongRecOn' f

Context: n : ℕ


Context:
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁵ : GroupWithZero G₀
inst✝⁴ : Bornology G₀
inst✝³ : MulAction G₀ α
s✝ t u : Set α
S : Set (Set α)
inst✝² : (cobounded G₀).NeBot
E : Type u_3
inst✝¹ : AddMonoid E
inst✝ : DistribMulAction G₀ E
s : Set E


Context:
α : Type u
Preorder α
a b c : α


Context:
α : Type u_1
m : Multiset α
z : Sym2 α


Context:
R : Type u
Ring R
p q : R[X]
S : Type u_1
Ring S
f : R →+* S

Polynomial.map f (p - q) = Polynomial.map f p - Polynomial.map f q


Context:
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ✝ : Measure α
κ η : Kernel α β
μ : Measure β
inst✝ : IsFiniteMeasure μ

dirac () ⊗ₘ Kernel.const Unit μ = map (Prod.mk ()) μ


Context: x y : ℂ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)

‖f‖₊ = (MeasureTheory.eLpNorm (↑↑f) p μ).toNNReal


Context: β : Type u_1

Context: AddCommGroup β

Context: b : β

Context: V : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} V

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V

Context: X : HomologicalComplex V (ComplexShape.up' b)

Context: i : β

((HomologicalComplex.dgoEquivHomologicalComplexCounitIso b V).hom.app X).f i = 𝟙 (X.X i)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

(o.oangle (x - y) x).sin = ‖y‖ / ‖x - y‖


Context: R : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: Semiring R

Context: AddCommMonoid N

Context: Module R N

Context: AddCommMonoid M

Context: Module R M

Context: f i : N →ₗ[R] M

Context: K : Submodule R N

Context: m : ℕ

Context: heq : f.iterateMapComap i m K = f.iterateMapComap i (m + 1) K

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: hi : Function.Injective ⇑i

Context: n : ℕ

f.iterateMapComap i n K = f.iterateMapComap i (n + 1) K


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G


Context:
K : Type u_1
Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω✝ : Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω✝
inst✝³ : Nonempty Ω✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F✝
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ✝
X✝ : α → β
Y : α → Ω✝
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω✝
t : Set β
f✝ : β × Ω✝ → F✝
Ω : Type u_5
F : Type u_6
mΩ : MeasurableSpace Ω
X : Ω → β
μ : Measure Ω
inst✝ : TopologicalSpace F
f : Ω → F
hf : AEStronglyMeasurable f μ

Measure.QuasiMeasurePreserving Prod.snd (Measure.map (fun ω => (X ω, ω)) μ) μ


Context:
α : Sort u_2
β : Sort u_1
a b : α
C : α → Sort u_1
x : β
y : C a
e : a = b


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : Nontrivial R


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I J X : Set α
hI : M.Basis' I X
hIJ : I ⊆ J
hJ : M.Indep J


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
inst✝¹ : Simple Y
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
w : IsIso f → False


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a✝ a b : R
dvd : a ∣ b


Context:
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
inst✝¹ : HasZeroObject V
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A : V
i : ι
hi : i ≠ j


Context:
n : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a.castSucc ≠ 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
inst✝ : Fintype I
e : I → R
he : CompleteOrthogonalIdempotents e


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
hs : NullMeasurableSet s μ
r : ℝ
hs' : s.Nonempty
hr : r ≠ 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ‖x + y‖ = ‖x‖ + ‖y‖


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : Group G

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹¹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹⁰ : BorelSpace G

Context: inst✝⁹ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁸ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁷ : Γ.Normal

Context: inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : SigmaFinite ν

Context: inst✝³ : ν.IsHaarMeasure

Context: inst✝² : ν.IsMulRightInvariant

Context: 𝓕 : Set G

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: V : Set (G ⧸ Γ)

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: meas_V : MeasurableSet V

Context: hμK : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ 𝓕)

Context: neTopV : μ V ≠ ⊤


Context:
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
hs : 1 < s.re


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Semifield S
inst✝⁶ : Ring A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra S A
inst✝² : IsScalarTower R S A
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSpace S
a : A
f : C(S, R)
h : SpectrumRestricts a ⇑f
h_cpct : CompactSpace ↑(spectrum S a)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasProducts C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → Opens ↑X
x✝ : Discrete (ι × ι)

F.map (leSupr U x✝.as.1).op ≫ F.map ((U x✝.as.1).infLELeft (U x✝.as.2)).op = F.map (leSupr U x✝.as.2).op ≫ F.map ((U x✝.as.1).infLERight (U x✝.as.2)).op


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
self : Concept α β r

extentClosure r self.toProd.2 = self.toProd.1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
MeasureTheory.OuterMeasureClass F α
μ : F
f : α → β


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred fun x => ¬p x
f : (x : α) → p x → γ
g : (x : α) → ¬p x → γ
h : γ → β
x : { x // x ∈ filter p s }


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommMonoidWithZero R

Context: n : ℕ

Context: χ : DirichletCharacter R n

Context: m : ℕ

Context: inst✝ : NeZero m

Context: hm : n ∣ m

Context: a₁✝ a₂✝ : DirichletCharacter R n

Context: h : (changeLevel hm) a₁✝ = (changeLevel hm) a₂✝

Context: z : (ZMod m)ˣ

a₁✝ ↑((ZMod.unitsMap hm) z) = a₂✝ ↑((ZMod.unitsMap hm) z)


Context:
R : Type u_2
LinearOrderedAddCommGroup R
x y z : R

|x - y| ≤ z ↔ y ∈ Set.Icc (x - z) (x + z)


Context:
R : Type u
CommRing R

(AlgebraicGeometry.StructureSheaf.globalSectionsIso R).inv =
  CategoryTheory.inv (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen R ⊤)


Context:
α : Type u_1
LT α


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
p : ℝ≥0∞
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup G
f : ↥(MeasureTheory.Lp G p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: G : Type (max (max (max uE u𝕜) uι) (max uE uι) u𝕜) := (⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)

Context: G' : Submodule 𝕜 F := LinearMap.range (lift f.toMultilinearMap)

Context: e : ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) ≃ₗ[𝕜] ↥(LinearMap.range (lift f.toMultilinearMap)) := (lift f.toMultilinearMap).quotKerEquivRange

Context: this✝ : SeminormedAddCommGroup G := SeminormedAddCommGroup.induced G (↥G') e

Context: this : NormedSpace 𝕜 G := NormedSpace.induced 𝕜 G (↥G') e

Context: f'₀ : MultilinearMap 𝕜 E ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) := lift.symm (↑e.symm ∘ₗ (lift f.toMultilinearMap).rangeRestrict)

Context: hf'₀ : ∀ (x : (i : ι) → E i), ‖f'₀ x‖ ≤ ‖f‖ * ∏ i : ι, ‖x i‖

Context: f' : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E ((⨂[𝕜] (i : ι), E i) ⧸ LinearMap.ker (lift f.toMultilinearMap)) := f'₀.mkContinuous ‖f‖ hf'₀

Context: hnorm : ‖f'‖ ≤ ‖f‖

Context: heq : ↑(e ((lift f'.toMultilinearMap) x)) = (lift f.toMultilinearMap) x

Context: hle : (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G) ≤ injectiveSeminorm

‖(lift f'.toMultilinearMap) x‖ ≤ ‖f'‖ * (fun f => ⇑f) ((normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G)) x


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝¹ : Category.{v', u'} A

Context: H : J.OneHypercoverFamily

Context: inst✝ : H.IsGenerating

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hP : ∀ ⦃X : C⦄ (E : J.OneHypercover X), H E → Nonempty (IsLimit (E.multifork P))

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: E : J.OneHypercover X

Context: hE : H E

Context: le : E.sieve₀ ≤ S

Context: F : Multifork (Cover.index ⟨S, ⋯⟩ P)

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: hf : S.arrows f

Context: Z : C

Context: g : Z ⟶ Y

Context: i : E.I₀

Context: a : Z ⟶ E.X i

Context: fac : a ≫ E.f i = g ≫ f

(lift hP hE le F ≫ P.map f.op) ≫ P.map g.op = F.ι { Y := Y, f := f, hf := hf } ≫ P.map g.op


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
self : MeasureTheory.IsSetSemiring C


Context:
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y : α
ε : ℝ≥0∞

y ∈ EMetric.closedBall x ε ↔ edist x y ≤ ε


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p₂ : ι → P
p₁ : P
h : ∑ i ∈ s, w i = 0

∑ i ∈ s, w i • (p₁ -ᵥ p₂ i) = -(s.weightedVSub p₂) w


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
NormedField 𝕜
NormedRing 𝕝
NormedSpace 𝕜 𝕝
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
SMulWithZero 𝕝 E
IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s : Set E
hs : Balanced 𝕝 s
a : 𝕝
b : 𝕜
h : ‖a‖ ≤ ‖b‖


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
AddCommMonoid γ
f : Π₀ (i : ι), β i
h : (i : ι) → β i → γ
hyp : ∀ (i : ι), h i (f i) = 0


Context:
R : Type u
Semiring R


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : RestrictGermPredicate P A x ↑f
h : ∀ᶠ (z : X) in 𝓝ˢ A, g z = f z
hx : x ∈ A
y : X
hy : P y ↑f
h'y : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 y, g x = f x


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]


Context:
β : Type v
inst✝ : NormedField β
f : ℕ → β
hf : CauchySeq f


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
f : X → Y
hf : IsOpenMap f
s : Set Y


Context:
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
l : Filter α
g₁ g₂ : α → F
h : f =O[l] g₁
hg : ∀ (x : α), g₁ x = g₂ x


Context:
R : Type u_6
S : Type u_7
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
hf : f.IsIntegral
M : Submonoid R

(IsLocalization.map (Localization (Submonoid.map (↑f) M)) f ⋯).IsIntegral


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
f : 𝕜 → F

iteratedDerivWithin n f Set.univ = iteratedDeriv n f


Context:
x y : ℝ
hxy : x < y

Set.Icc x y ∈ (IsUnifLocDoublingMeasure.vitaliFamily MeasureTheory.volume 1).setsAt x


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory C

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory D

Context: F : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor C D

∀ {X Y : Mon_ C} (f : X ⟶ Y), (F.mapMon.map f).hom = F.map f.hom


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
t✝ t₁ t₂ : TopologicalSpace α✝
t' : TopologicalSpace β✝
f : α✝ → β✝
g : β✝ → α✝
α : Type u_4
β : Type u_5
e : α ≃ β
t : TopologicalSpace α
U : Set β

(∃ t_1, IsOpen t_1 ∧ ⇑e.symm ⁻¹' t_1 = U) ↔ IsOpen (⇑e ⁻¹' U)


Context:
α : Type u_2
TopologicalSpace α
s : Set α
h : IsClosed s


Context:
α : Type u
s : Set α
Finite ↑s


Context:
α : Type u_2
_m0 : MeasurableSpace α
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
f₁ : X ⟶ Y
f₂ : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono f₂
small_k : IsKernelPair f₁ a b

∀ (s : PullbackCone (f₁ ≫ f₂) (f₁ ≫ f₂)) (m : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk a b ⋯).pt), (∀ (j : WalkingCospan), m ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).π.app j = s.π.app j) → m = (fun s => small_k.lift s.fst s.snd ⋯) s


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
x : R
p q : ℤ
hpq : p + n' = q

((x • γ).rightShift a n' hn').v p q hpq = x • (γ.rightShift a n' hn').v p q hpq


Context:
q : ℕ+
n : ℕ


Context:
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y

NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X ≈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y → Nonempty (X ≃ᵢ Y)


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
a b : α


Context:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
h : HasDerivWithinAt f f' s x


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
x y : MvPolynomial R ℚ

WittVector.teichmullerFun p (x * y) = WittVector.teichmullerFun p x * WittVector.teichmullerFun p y


Context: R : Type u_1

Context: C : Type u_2

Context: Semiring R

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: CategoryTheory.Linear R C

Context: S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h₁ : S₁.HomologyData

Context: h₂ : S₂.HomologyData

Context: γ : CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData φ h₁ h₂

Context: a : R


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a a₁ a₂ : α
h₁ : r a₁ a
h₂ : r a₂ a


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R

(fun t => inverse (1 - t)) =O[𝓝 0] fun _t => 1


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype p
inst✝ : LinearOrderedRing R
v : n → R

(∀ i ∈ Finset.univ, v i * v i = 0) ↔ v = 0


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ : Type u_5
inst✝¹ : Group H✝
H : Type u_6
inst✝ : Group H
f : G ≃* H
sh : Subgroup H

Subgroup.map (↑f) (Subgroup.map (↑f.symm) sh) = sh


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
w : ι' → ↑S.X₃
hv : ⊤ ≤ span R (range v)
hw : ⊤ ≤ span R (range w)
hE : Epi S.g

Sum.elim (⇑S.f ∘ v) (Function.invFun S.g.toFun ∘ w) ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β✝ : ι → Type u_4

Context: inst✝² : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: β : ι → Type u_5

Context: inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)

Context: x : PiLp 2 β


Context: P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme

Context: Q : AlgebraicGeometry.AffineTargetMorphismProperty

Context: AlgebraicGeometry.HasAffineProperty P Q

Context: hP' : Q.StableUnderBaseChange

Context: X Y S : AlgebraicGeometry.Scheme

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: AlgebraicGeometry.IsAffine S

Context: H : Q g

P (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g)


Context:
α : Type u_1
MeasurableSpace α
MeasurableSpace.CountablyGenerated α


Context: α : Type u

Context: AddGroup α

Context: LE α

Context: CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α


Context:
R : Type u
CommRing R
X Y : Type v
Ring X
Ring Y
Bialgebra R X
Bialgebra R Y
e : X ≃ₐc[R] Y


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} A

Context: B : Type u₃

Context: CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} B

Context: J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C

Context: F : CategoryTheory.Functor A B

Context: J.HasSheafCompose F

CategoryTheory.sheafCompose_map J (CategoryTheory.CategoryStruct.id F) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.sheafCompose J F)


Context:
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
LieAlgebra.IsKilling K L


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
ℱ : TopCat.Presheaf C X
U : (TopologicalSpace.Opens ↑Z)ᵒᵖ

(TopCat.Presheaf.Pushforward.comp f g ℱ).inv.app U =
  𝟙 (((TopCat.Presheaf.pushforward C g).obj ((TopCat.Presheaf.pushforward C f).obj ℱ)).obj U)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : Infinite α

Context: this : DecidableEq α := Classical.decEq α

Context: m n : ℕ

Context: h : Infinite.natEmbeddingAux α m = Infinite.natEmbeddingAux α n

Context: hmlen : m ≤ n

Context: hmn✝ : ¬m = n

Context: hmn : m < n

Classical.choose ⋯ ∈ (Multiset.pmap (fun m x => Infinite.natEmbeddingAux α m) (Multiset.range n) ⋯).toFinset


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
hx : x.Compatible
Y₁✝ Y₂✝ Z✝ : C
g₁✝ : Z✝ ⟶ Y₁✝
g₂✝ : Z✝ ⟶ Y₂✝
f₁✝ : Y₁✝ ⟶ X
f₂✝ : Y₂✝ ⟶ X
h₁ : (generate R).arrows f₁✝
h₂ : (generate R).arrows f₂✝
comm : g₁✝ ≫ f₁✝ = g₂✝ ≫ f₂✝

P.map (g₁✝ ≫ ⋯.choose).op (x ⋯.choose ⋯) = P.map (g₂✝ ≫ ⋯.choose).op (x ⋯.choose ⋯)


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
G'' : G'.coe.Subgraph
v w : V

(SimpleGraph.Subgraph.coeSubgraph G'').Adj v w ↔ ∃ (hv : v ∈ G'.verts) (hw : w ∈ G'.verts), G''.Adj ⟨v, hv⟩ ⟨w, hw⟩


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: t : Finset (α × β × γ)

Context: SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.ExplicitDisjoint t

Context: SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.NoAccidental t


Context:
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
p : Path u v


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_4

Context: MeasurableSpace α

Context: NormedAddCommGroup E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E p μ)

MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toSimpleFunc f)) μ


Context: a : UInt16


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
i : ι


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α

Context: inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ

Context: X Y : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)

Context: S : Sieve (Opposite.unop X) := Presheaf.imageSieve α r ⊓ Presheaf.imageSieve φ m ⊓ Presheaf.imageSieve φ m'

Context: hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop X)

∀ (Y : C) (f : Y ⟶ Opposite.unop X), S.arrows f → (A.val.map f.op) (smul α φ r (m + m')) = (A.val.map f.op) (smul α φ r m + smul α φ r m')


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
f : C(X, Y)
hf : QuotientMap ⇑f
g : C(X, Z)
h : Function.FactorsThrough ⇑g ⇑f

∀ (a : Y), (hf.lift g h) a = ((fun i => i.liftOn' ⇑g ⋯) ∘ ⇑hf.homeomorph.symm) a


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
R : CategoryTheory.Functor D C
R.Full
L : CategoryTheory.Functor C D
adj : R ⊣ L


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: Ring R

Context: AddCommGroup M

Context: Module R M

Context: Nontrivial R

Context: IsArtinian R M

Context: s : Set M

Context: hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
y : β
rxy : r x y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0

Context: h₀ : r ≠ 0

Context: a✝ : ℝ

Context: ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1

Context: hp✝ : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a✝ ^ x

Context: this : (∃ a ∈ Ioo (-1) 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x) ↔ ∃ a ∈ Ioo 0 1, ∃ C > 0, ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: hp : ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
α : Type u_12
DecidableEq l
DecidableEq m
Zero α
v : l ⊕ m → α

(Matrix.diagonal v).toBlocks₂₂ = Matrix.diagonal fun i => v (Sum.inr i)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
G : Type u_2
inst✝ : Group G
n : ℕ
v : ↑(vectorsProdEqOne G (n + 1))


Context:
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
s : Finset R

(∏ a ∈ s, (Polynomial.X - Polynomial.C a)).roots = s.val


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα✝ : α.IsNonZero

Context: hα : ¬α.IsZero

Context: x' : L := ⋯.choose

Context: h : x' ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β) ∧ x' ≠ 0

Context: k : K

Context: hx : k • x' ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)

chainLength α β • k • x' = ⁅coroot α, k • x'⁆


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: rι : ι → ι → Prop

Context: rπ : (i : ι) → π i → π i → Prop

Context: f : γ → ι

Context: g : (i : ι) → γ → π i

Context: s : Set γ

Context: hι : WellFounded (rι on f)

Context: hπ : ∀ (i : ι), (f ⁻¹' {i}).WellFoundedOn (rπ i on g i)

Context: c c' : γ

Context: h : (Sigma.Lex rι rπ on fun c => ⟨f c, g (f c) c⟩) c c'

((PSigma.Lex (fun a b => rι ↑a ↑b) fun a a_1 b => (rπ ↑a on g ↑a) ↑a_1 ↑b) on fun c => ⟨⟨f c, ⋯⟩, ⟨c, ⋯⟩⟩) c c'


Context:
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x1 x2 y : ℕ × K
H : R K p x1 x2
n : ℕ
x : K

R K p ((n, x).1 + y.1, (⇑(frobenius K p))^[y.1] (n, x).2 + (⇑(frobenius K p))^[(n, x).1] y.2) ((n + y.1).succ, (frobenius K p) ((⇑(frobenius K p))^[y.1] x + (⇑(frobenius K p))^[n] y.2))


Context:
G : Type u_1
Group G

Subsingleton (Subgroup G) ↔ Subsingleton G


Context:
α : Type u_2
Lattice α
s t : Set α
hs : IsSublattice s
ht : IsSublattice t


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

Context: F : CategoryTheory.Functor C D

Context: G : CategoryTheory.Functor D C

Context: adj : F ⊣ G

Context: ∀ (X : C), CategoryTheory.IsIso (adj.unit.app X)

Context: ∀ (Y : D), CategoryTheory.IsIso (adj.counit.app Y)

Context: X : C

adj.toEquivalence.unitIso.hom.app X = adj.unit.app X


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G H : SimpleGraph α

Context: m n✝ : ℕ

Context: s : Finset α

Context: n : ℕ

Context: f : ⊤ ↪g G

Context: v' : Fin n

Context: hv : f.toEmbedding v' ∈ ↑(map f.toEmbedding univ)

Context: w' : Fin n

Context: hw : f.toEmbedding w' ∈ ↑(map f.toEmbedding univ)

(induce (↑(map f.toEmbedding univ)) G).Adj ⟨f.toEmbedding v', hv⟩ ⟨f.toEmbedding w', hw⟩ ↔ ⊤.Adj ⟨f.toEmbedding v', hv⟩ ⟨f.toEmbedding w', hw⟩


ConvexOn ℝ (Ioi 0) (log ∘ doublingGamma)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: a : α

Context: b : β

Context: q : ℚ

Context: x y : α

inducedMap α β (x + y) = inducedMap α β x + inducedMap α β y


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: F G : CochainComplex C ℤ

Context: n : ℤ

Context: z₁ z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n

Context: h : z₁ = z₂

Context: p q : ℤ

Context: hpq : p + n = q


Context:
p q y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
hp : 1 < p
M : ℤ
h : LiouvilleWith p ↑M
n : ℕ
hn : 0 < n
m : ℤ
hne : ¬↑M * ↑n = ↑m
hlt : |↑M - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-1)
hn' : 0 < ↑n


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set α

(⋂ i, ⋂ j, s i j) ∪ t = ⋂ i, ⋂ j, s i j ∪ t


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1

dist p₃ p₂ / (∡ p₃ p₁ p₂).sin = dist p₁ p₃


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: P Q : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C

Context: f g : P ⟶ Q


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
A : C
f₁ : CategoryTheory.MonoOver A
f₂ : CategoryTheory.Subobject A

Quotient.mk'' f₁ ⊓ f₂ =
  (CategoryTheory.Subobject.map f₁.arrow).obj ((CategoryTheory.Subobject.pullback f₁.arrow).obj f₂)


Context:
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C✝ C' C'' : ℝ

Context: G' : Type u_7

Context: G'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G''

Context: inst✝² : CompleteSpace G''

Context: inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G'

Context: T : Set α → G' →L[ℝ] G''

Context: C : ℝ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x

Context: f : ↥(Lp G' 1 μ)

Context: hf : 0 ≤ f

Context: g : { g // 0 ≤ g }

IsClosed {x | (fun g => 0 ≤ (setToL1 hT) ↑g) x}


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂


Context:
X : Type u
ι : Sort w
TopologicalSpace X
l : Filter X
p : ι → Prop
s : ι → Set X
h : l.HasBasis p s
hc : ∀ (i : ι), p i → IsClosed (s i)


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
OpensMeasurableSpace α
a b : ι → α
A B : α
MeasureTheory.NoAtoms μ
ha : Filter.Tendsto a l (𝓝 A)
hb : Filter.Tendsto b l (𝓝 B)

MeasureTheory.AECover (μ.restrict (Set.Icc A B)) l fun i => Set.Icc (a i) (b i)


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
self : GaloisInsertion l u
x : β


Context:
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
h : ∀ f ∈ t, f.Monic
a✝ : Nontrivial R

t.prod.natDegree = (Multiset.map natDegree t).sum


Context:
K : Type u
Field K
p : K[X]
q : K[X]
hq : q ≠ 0

((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).denom =
  Polynomial.C (q / gcd p q).leadingCoeff⁻¹ * (q / gcd p q)


Context:
α : Type u_1
a : Array α
i j : Fin a.size


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup F

Context: inst✝¹² : AddCommGroup G

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜 G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: v : Fin n → E

Context: i : ℕ

Context: hi2 : i < n

Context: j_val : ℕ

Context: j_property : j_val < (Composition.single n hn).length

Context: hi1 : i < (Composition.single n hn).blocksFun ⟨j_val, j_property⟩

Context: this : j_val = 0

((Composition.single n hn).embedding ⟨j_val, j_property⟩) ⟨i, hi1⟩ = ((Composition.single n hn).embedding 0) ⟨i, hi2⟩