Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
x : ℕ


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
n : ℕ
F : CategoryTheory.ComposableArrows C n
X : C
f : X ⟶ F.left

CategoryTheory.ComposableArrows.Precomp.map F f 0 0 ⋯ = CategoryTheory.CategoryStruct.id X


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Finite m
inst✝⁷ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
G : Type u_7
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G M₁
inst✝ : SMulCommClass G R M₁
g : G
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i✝ : m
j✝ : n

(toMatrix (g • v₁) v₂) f i✝ j✝ = (toMatrix v₁ v₂) (f ∘ₗ DistribMulAction.toLinearMap R M₁ g) i✝ j✝


Context:
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
S : Subalgebra R A


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ s₂✝ : Finmap β
s₁ s₂ : AList β
h : ⟦s₁⟧.Disjoint ⟦s₂⟧

⟦s₁⟧ ∪ ⟦s₂⟧ = ⟦s₂⟧ ∪ ⟦s₁⟧


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
val : β

(RelEmbedding.sumLiftRelInr r s) val = Sum.inr val


Context: f g : CircleDeg1Lift


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
α : Type u_9
s : Set (α → Prop)
a : α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
ι : Type u_8
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
Nonempty ι
TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
x : E

(𝓝 x).HasBasis (fun sr => 0 < sr.2) fun sr => (sr.1.sup p).ball x sr.2


Context:
α : Type u_1
β : Type v
r : α → β → Prop
b : Multiset β


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X


Context:
K : Type u
DivisionRing K
s : Subfield K


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
hs : IsOpen s
hse : s ⊆ e.source


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z


Context:
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → Dist (α i)
p : ℝ≥0∞
hp : 0 < p.toReal
f g : PiLp p α

dist f g = (∑ i : ι, dist (f i) (g i) ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹

AntilipschitzWith (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ - c)⁻¹ (s.restrict f)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Infinite F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : Field E

Context: ϕ : F →+* E

Context: α β : E

Context: f g : F[X]

Context: sf : Multiset E := (Polynomial.map ϕ f).roots

Context: sg : Multiset E := (Polynomial.map ϕ g).roots

Context: s : Finset E := (sf.bind fun α' => Multiset.map (fun β' => -(α' - α) / (β' - β)) sg).toFinset

Context: s' : Finset F := s.preimage ⇑ϕ ⋯

Context: c : F

Context: hc : ¬∃ a ∈ sf, ∃ a_1 ∈ sg, -(a - α) / (a_1 - β) = ϕ c

∃ c, ∀ α' ∈ (Polynomial.map ϕ f).roots, ∀ β' ∈ (Polynomial.map ϕ g).roots, -(α' - α) / (β' - β) ≠ ϕ c


Context:
α : Type u
AddCommMonoid α
Mul α
a₀ a₁ b₀ b₁ : α

Matrix.dotProduct ![a₀, a₁] ![b₀, b₁] = a₀ * b₀ + a₁ * b₁


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : AddMonoidWithOne B
inst✝² : FunLike F ℕ A
inst✝¹ : AddMonoidWithOne A
inst✝ : AddMonoidHomClass F ℕ A
f : F
h1 : f 1 = 1


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: n G : Type v

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: α β : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: M✝ : Matrix n n R

Context: p✝ : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)

Context: M : Matrix n n R

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: t : R[T;T⁻¹] := T 1

Context: t_inv : R[T;T⁻¹] := T (-1)

Context: p : R[T;T⁻¹] := ((scalar n) t - M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det

Context: q : R[T;T⁻¹] := (1 - (scalar n) t * M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det

Context: ht : t_inv * t = 1

Context: hp : toLaurentAlg M.charpoly = p

Context: hq : toLaurentAlg M.charpolyRev = q

(1 - t_inv • M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det = (invert.mapMatrix (1 - (scalar n) t * M.map ⇑LaurentPolynomial.C)).det


Context:
α : Type u
Semiring α
M M' : Ideal α
hM : M.IsMaximal
hM' : M'.IsMaximal
hne : M ≠ M'


Context: X : Type u_5

Context: t : TopologicalSpace X

Context: self : TopologicalSpace.PseudoMetrizableSpace X

∃ m, UniformSpace.toTopologicalSpace = t


Context:
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
(i : ι) → AddGroup (α i)
(i : ι) → Lattice (α i)
f : (i : ι) → α i


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
a : α
inst✝ : SuccOrder α
ha : ¬IsMax a


Context:
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f g : α → M
s t : Set α
h₀ : s = t
h₁ : ∀ x ∈ t, f x = g x

∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), g i


Context:
F : PFunctor.{u}
r : F.M → Sort u_2
x : ↑F F.M
f : (x : ↑F F.M) → r (PFunctor.M.mk x)


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
X : C × D × E

(CategoryTheory.prod.inverseAssociator C D E).obj X = ((X.1, X.2.1), X.2.2)


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : Urysohns.CU P


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: κ' : Kernel α (γ × β)

Context: hκκ' : κ ≤ κ'

Context: hκ'ν : κ'.fst ≤ ν

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: x : γ

Context: s : Set β

Context: h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0

Context: h_le : (κ' a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)

((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal ≤ ((κ' a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: i : ι

Context: f : (i : ι) → β i

Context: s : { s // ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0 }

i ∈ { toFun := f, support' := Trunc.mk s }.support ↔ { toFun := f, support' := Trunc.mk s } i ≠ 0


Context:
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableInv G
μ.IsMulRightInvariant

MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving (fun p => p.1 / p.2) (μ.prod ν) μ


Context: α : Type u_2

TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (Set.range (Set.Iic ∘ 𝓟))


Context:
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
CommSemiring R
f : ι → R[X]

(∏ i ∈ s, f i).coeff 0 = ∏ i ∈ s, (f i).coeff 0


Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : UniformSpace X

Context: i : (𝓤 X).IsCountablyGenerated

Context: s : Set X

Context: this : PseudoEMetricSpace X := PseudoMetricSpace.toPseudoEMetricSpace

Context: h : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, EMetric.ball y ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: a t : α

Context: ts is : List α

Context: IH1 : ∀ (l : List α), l ~ t :: is ++ ts → (∃ is', ∃ (_ : is' ~ t :: is), l = is' ++ ts) ∨ l ∈ ts.permutationsAux (t :: is)

Context: IH2 : ∀ (l : List α), l ~ [] ++ is → (∃ is', ∃ (_ : is' ~ []), l = is' ++ is) ∨ l ∈ is.permutationsAux []

Context: l : List α

Context: p : l ~ is ++ t :: ts

(∃ is', ∃ (_ : is' ~ is), l = is' ++ t :: ts) ∨ l ∈ ts.permutationsAux (t :: is) ∨ ∃ l₁ l₂, l₁ ++ l₂ ∈ is.permutations ∧ l₂ ≠ [] ∧ l = l₁ ++ t :: l₂ ++ ts


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
x y₁ : L
hy₁ : y₁ ∈ I₁
y₂ : L
hy₂ : y₂ ∈ I₂
hx : ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ = x

⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ ∈ ↑(comap f ⁅map f I₁, map f I₂⁆)


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop


Context:
α : Type u_1
β✝ : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t : (a : α) → Finset (β✝ a)
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → β
a : (a : α) → a ∈ s → β
ha : a ∈ s.pi fun a => {f a}
i : α
hi : i ∈ s


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C

Context: P Q R : C

(CategoryTheory.Limits.biprod.associator P Q R).inv =
  CategoryTheory.Limits.biprod.lift
    (CategoryTheory.Limits.biprod.lift CategoryTheory.Limits.biprod.fst
      (CategoryTheory.Limits.biprod.snd ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.fst))
    (CategoryTheory.Limits.biprod.snd ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.snd)


Context:
J : Type v
CategoryTheory.SmallCategory J
F : J ⥤ CommRingCat
x : CommRingCat.Colimits.Prequotient F

Quot.mk Setoid.r x.neg = -Quot.mk Setoid.r x


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν κ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
MeasureTheory.SigmaFinite ν
MeasureTheory.SigmaFinite κ
hμν : μ ≪ ν

μ.rnDeriv ν * ν.rnDeriv κ =ᵐ[κ] μ.rnDeriv κ


Context:
α : Type u_2
I : Type u_1
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I
inst✝ : DecidableEq I

Pairwise (IsRelPrime on fun i => s ↑i) ↔ ∀ i ∈ t, IsRelPrime (s i) (∏ j ∈ t \ {i}, s j)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: CommRing R

Context: CommRing S

Context: Algebra R S

Context: P : Polynomial R

Context: x : S

Context: h : IsNilpotent ((Polynomial.aeval x) P)

Context: n : ℕ


Context:
α : Type u
HasSSubset α
IsIrrefl α fun x x_1 => x ⊂ x_1
a : α


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: e : B ≃ B'

Context: W : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group W

Context: inst✝ : Group H

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: this : Set.range cs.simple = Set.range cs.simple ∪ (Set.range cs.simple)⁻¹

Submonoid.closure (Set.range cs.simple) = ⊤


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Nonempty α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
inhabited_h : Inhabited α
f : ℕ → α
hf : StrictMono f
hf₀ : f 0 = default


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hJ : M.Basis J Y
hJX : J ⊆ X
hIY : I ⊆ Y


Context:
G : Type u_1
Group G
Fintype G
x : G


Context:
α : Type u
Preorder α
IsDirected α fun x x_1 => x ≥ x_1
s t : Set α

BddBelow (s ∪ t) ↔ BddBelow s ∧ BddBelow t


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: D : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D

Context: Z : D

Context: F : CategoryTheory.Functor C D

Context: M : (x : C) → Z ⟶ F.obj x

Context: hM : ∀ (x y : C) (f : x ⟶ y), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (M x) (F.map f) = M y

Context: X : C

(CategoryTheory.WithInitial.inclLift F M hM).hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id
    (match CategoryTheory.WithInitial.incl.obj X with
    | CategoryTheory.WithInitial.of x => F.obj x
    | CategoryTheory.WithInitial.star => Z)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0

Context: this✝³ : LocallyCompactSpace H

Context: this✝² : LocallyCompactSpace M

Context: this✝¹ : SecondCountableTopology H

Context: this✝ : SecondCountableTopology M

Context: this : MetrizableSpace M

Context: x✝ : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M

Context: s : Set M

Context: hs : IsCompact s

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : IsCompact (cthickening δ s)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α

filter p s + filter (fun a => ¬p a) s = s


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : MonoidWithZero R
hx : nilpotencyClass x = 1


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Ring S

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing B

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : Algebra A B

Context: K : Type u_6

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra K S

Context: x : S

Context: h : IsIntegral K x

Context: g : Fin (minpoly K x).natDegree → K

Context: hg : ∑ i : Fin (minpoly K x).natDegree, g i • x ^ ↑i = 0

Context: i : Fin (minpoly K x).natDegree


Context:
β : Type u_2
AddCommMonoid β
f : Fin 8 → β


Context:
R : Type u
CommSemiring R
p : ℕ
f : R[X]

((Polynomial.expand R p) f).natDegree = f.natDegree * p


Context: n : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s

∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) (Iic x) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ Iic x)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m : ℤ
n : ℕ

(WittVector.wittZSMul p m n).vars ⊆ Finset.univ ×ˢ Finset.range (n + 1)


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : G.Subgraph
v : V
inst✝ : Fintype ↑(G'.neighborSet v)

(∃! a, a ∈ (G'.neighborSet v).toFinset) ↔ ∃! w, G'.Adj v w


Context:
𝕜 : Type u
ι : Type v
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
z : G

‖ContinuousMultilinearMap.mkPiRing 𝕜 ι z‖ = ‖z‖


Context: g✝ : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: p : Fin 2 → ℤ

Context: hp : IsCoprime (p 0) (p 1)

Context: this : (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2)⁻¹ ≠ 0

Context: f : ℝ ≃ₜ ℝ := Homeomorph.mulRight₀ (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2)⁻¹ this

Context: ff : ℝ ≃ₜ ℝ := Homeomorph.addRight ((↑(p 1) * ↑z - ↑(p 0)) / ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)))).re

Context: e_1✝ : ↑((fun g => ↑g 1) ⁻¹' {p}) = { g // ↑g 1 = p }

Context: g : ↑((fun g => ↑g 1) ⁻¹' {p})

(↑g • z).re = (lcRow0 p) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) ↑g) / (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) + ((↑(p 1) * ↑z - ↑(p 0)) / ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)))).re


Context:
b✝ x y a b c : ℝ
h₁ : b ≠ 0
h₂ : b ≠ 1
h₃ : b ≠ -1

log b / log a * (log c / log b) = log c / log a


Context:
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
K : Subgroup N
f : G →* N


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : Fintype Kˣ


Context:
α : Type u_2
AddGroup α
b : α

Finset.preimage 0 (fun x => x + -b) ⋯ = {b}


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: S : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: h : S.HomologyData

(CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData.id h).right = CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyMapData.id h.right


Context:
R : Type u_1
NormedCommRing R
CompleteSpace R
f : ℕ → R
hsum : Summable f
hf₀ : f 0 = 0
ε : ℝ
εpos : 0 < ε

∃ N, ∀ (s : Finset ℕ), N.primesBelow ≤ s → ‖∑' (m : ℕ), f m - ∑' (m : ↑(Nat.factoredNumbers s)), f ↑m‖ < ε


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w x : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj v w
q : G.Walk w x

(p.concat h).append q = p.append (cons h q)


Context:
G : Type u_1
a b : G
Group G
s : Set G
hs : IsSubgroup s
h : a ∈ s


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal

∀ (n : ℕ), upperCentralSeries G n ≤ upperCentralSeries G (n + 1)


Context:
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
l₁ l₂ : List (Sigma β)
nd₁ : l₁.NodupKeys
p : l₁.Perm l₂

(List.kinsert a b l₁).Perm (List.kinsert a b l₂)


Context:
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
self : X ≃ₕ Y

(self.invFun.comp self.toFun).Homotopic (ContinuousMap.id X)


Context:
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a b : E
r : ℝ


Context: r : ℝ≥0

↑r ≠ 0 ↔ r ≠ 0


Context: a b : Cardinal.{v}

Cardinal.lift.{u, v} (max a b) = max (Cardinal.lift.{u, v} a) (Cardinal.lift.{u, v} b)


Context: R : Type u_1

Context: CommSemiring R

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: Q : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: AddCommMonoid M

Context: AddCommMonoid N

Context: AddCommMonoid P

Context: AddCommMonoid Q

Context: AddCommMonoid S

Context: Module R M

Context: Module R N

Context: Module R P

Context: Module R Q

Context: Module R S

Context: φ ψ : TensorProduct R (TensorProduct R M N) (TensorProduct R P Q) →ₗ[R] S

Context: H : ∀ (w : M) (x : N) (y : P) (z : Q), φ ((w ⊗ₜ[R] x) ⊗ₜ[R] y ⊗ₜ[R] z) = ψ ((w ⊗ₜ[R] x) ⊗ₜ[R] y ⊗ₜ[R] z)


Context:
u : XgcdType
a b : ℕ+
this : 0 < ↑a


Context:
R : Type u
Semiring R
NoZeroDivisors R
p q : R[X]
h1 : p ∣ q
h2 : q ≠ 0


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
h : (↑s).Nonempty


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R✝ I J X Y R : Set α
hR : R ⊆ M.E
hX : (M ↾ R).Dep X


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition s

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: f : { x // x ∈ s } ≃ (t : { x // x ∈ P.parts }) × Fin (↑t).card

Context: hf : ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ (f a).fst = (f b).fst

Context: g : { x // x ∈ P.parts } ≃ Fin P.parts.card

Context: hg : ∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(g t) < s.card % P.parts.card

∃ f, ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ ↑(f a) % P.parts.card = ↑(f b) % P.parts.card


Context:
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x y : ModP K v O hv p
hxy0 : x * y ≠ 0

preVal K v O hv p (x * y) = preVal K v O hv p x * preVal K v O hv p y


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁷ : Monoid M
inst✝⁶ : MulAction M α
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
g✝ : G
a✝ b : α
inst✝³ : Group H
inst✝² : MulAction G H
inst✝¹ : SMulCommClass G H H
inst✝ : IsScalarTower G H H
g : G
a : H
n : ℤ


Context:
α : Type u
β : Type v
MulOneClass α
AddZeroClass β
f : Additive α →+ β
a : α

(AddMonoidHom.toMultiplicative' f) a = Multiplicative.ofAdd (f (Additive.ofMul a))


Context:
α : Type u_1
Semiring α
a b c : α
m n : ℕ
ha : c ^ m ∣ a
hb : c ^ n ∣ b


Context:
α : Type u
DivisionCommMonoid α
c : α
h : IsUnit c
a b : α


Context:
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
Zero β
TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
b : β
nhd_b : {0}ᶜ ∈ 𝓝 b
nhd_o : {b}ᶜ ∈ 𝓝 0

Filter.Tendsto (fun i => (As i).indicator fun x => b) L (𝓝 (A.indicator fun x => b)) ↔
  ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
u : ℕ → ℝ
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ∀ k < n, c * u k < u (k + 1)


Context:
α : Type u_1
Add α
a x y : αᵃᵒᵖ

AddSemiconjBy (AddOpposite.unop a) (AddOpposite.unop y) (AddOpposite.unop x) ↔ AddSemiconjBy a x y


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddCommMonoid R
α : Type u_3
β : Type u_4
s : HahnSeries.SummableFamily Γ R α
f : α ↪ β
a : α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x y
a b : X
γ : Path a b
t₀ t₁ : ℝ

∀ (x : ℝ) (h : x ∈ I), (γ.truncate t₀ t₁) ⟨x, h⟩ ∈ range γ.extend


Context:
z w : ℍ
r R : ℝ
a b c : ℍ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
I : Ideal R

↑(tensorQuotEquivQuotSMul M I).symm ∘ₗ (I • ⊤).mkQ = (TensorProduct.mk R M (R ⧸ I)).flip 1


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K L
f : L →ₐ[K] L


Context:
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
f : α → F
C : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊

C • μ s ^ (1 / p.toReal) ≤ MeasureTheory.eLpNorm f p μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: μ : Measure X

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : X → E

Context: s : ι → Set X

Context: hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ

Context: h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ

Context: B : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ)

Context: S' : Summable fun i => ⟨∫ (x : X) in s i, ↑‖f x‖₊ ∂μ, ⋯⟩

Context: S'' : ∑' (a : ι), ENNReal.ofReal (∫ (x : X) in s a, ‖f x‖ ∂μ) = ENNReal.ofReal ↑(∑' (b : ι), ⟨∫ (x : X) in s b, ‖f x‖ ∂μ, ⋯⟩)

∑' (b : ι), ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s b, ↑‖f a‖₊ ∂μ) < ⊤


Context:
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : AlexandrovDiscrete α
S : Set (Set α)
f✝ f : ι → Set α

(closure (⋃ i, f i))ᶜ = (⋃ i, closure (f i))ᶜ


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ
x : α

(fun f => f.toFun) 0 x ≤ (fun f => f.toFun) (const α ‖f‖ - f) x


Context:
a n m : Nat
h : 1 < a
w : n ≤ m


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht : Convex ℝ t
disj : Disjoint s t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
x₀ : E := b₀ - a₀
C : Set E := x₀ +ᵥ (s - t)
this✝² : 0 ∈ C
this✝¹ : Convex ℝ C
this✝ : x₀ ∉ C
f : E →L[ℝ] ℝ
hf₁ : f x₀ = 1
hf₂ : ∀ x ∈ C, f x < 1
this : f b₀ = f a₀ + 1

∃ f u, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ ∀ b ∈ t, u ≤ f b


Context:
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α

(l.node' x r).dual = r.dual.node' x l.dual


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : α ≃ β
o : ∀ ⦃a b : α⦄, s (f a) (f b) ↔ r a b

⇑{ toEquiv := f, map_rel_iff' := o } = ⇑f


Context:
R : Type u
σ : Type u_1
S : Type u_2
τ : Type u_3
x : τ → S
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* MvPolynomial τ S
g : σ → MvPolynomial τ S
p : MvPolynomial σ R

(MvPolynomial.eval x) (MvPolynomial.eval₂ f g p) =
  MvPolynomial.eval₂ ((MvPolynomial.eval x).comp f) (fun s => (MvPolynomial.eval x) (g s)) p


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: W : C

Context: ι : W ⟶ X

Context: self : CategoryTheory.IsSplitEqualizer f g ι

CategoryTheory.CategoryStruct.comp f self.rightRetraction = CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.leftRetraction ι


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I J : Ideal A
x✝ : DvdNotUnit I J
hI : I ≠ 0
H : Ideal A
hunit : ¬IsUnit H
hmul : J = I * H
h : J = I


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → MeasurableSpace Ω

∀ {x : MeasurableSpace Ω} {μ : MeasureTheory.Measure Ω},
  ProbabilityTheory.iIndep m μ → ProbabilityTheory.iIndepSets (fun x => {s | MeasurableSet s}) μ


Context:
a b : ℝ
m n : ℕ


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: CommRing R

Context: LieRing L

Context: LieAlgebra R L

Context: A : Type u₃

Context: Ring A

Context: Algebra R A

Context: g₁ g₂ : UniversalEnvelopingAlgebra R L →ₐ[R] A

Context: h : g₁.toLieHom.comp (UniversalEnvelopingAlgebra.ι R) = g₂.toLieHom.comp (UniversalEnvelopingAlgebra.ι R)


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f' : Y ≃ₜ Z
f'' : Z ≃ₜ Z'

(e.transHomeomorph f').transHomeomorph f'' = e.transHomeomorph (f'.trans f'')


Context:
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
K : IntermediateField F E
S : Set E

IntermediateField.restrictScalars F (IntermediateField.adjoin (↥K) S) = IntermediateField.adjoin F (↑K ∪ S)


Context:
R : Type u_1
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
CommSemiring R
AddCommMonoid N₂
Module R N₂
DecidableEq n
Fintype n
DecidableEq m
Fintype m

Matrix.toLinearMap₂ (Pi.basisFun R n) (Pi.basisFun R m) = Matrix.toLinearMap₂' R


Context:
γ : Type u_3
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
T2Space β
MeasurableSpace β
s : Set γ
f : γ → β
OpensMeasurableSpace β
tγ : TopologicalSpace γ
PolishSpace γ
MeasurableSpace γ
BorelSpace γ
hs : MeasurableSet s
f_cont : ContinuousOn f s
f_inj : Set.InjOn f s


Context:
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
x y : G


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: inst✝ : I.IsPrime

Context: hIJ : I ≤ J

Context: r : S

Context: p : R[X]

Context: p_ne_zero : Polynomial.map (Quotient.mk (comap f I)) p ≠ 0

Context: hpI : eval₂ f r p ∈ I

Context: hrJ : r ∈ ↑J

Context: hrI : r ∉ ↑I

Context: rbar_ne_zero : (Quotient.mk I) r ≠ 0

Context: rbar_mem_J : (Quotient.mk I) r ∈ map (Quotient.mk I) J

Context: quotient_f : ∀ x ∈ comap f I, ((Quotient.mk I).comp f) x = 0

Context: rbar_root : eval₂ (Quotient.lift (comap f I) ((Quotient.mk I).comp f) quotient_f) ((Quotient.mk I) r) (Polynomial.map (Quotient.mk (comap f I)) p) = 0

Context: i : ℕ

Context: ne_zero : (Polynomial.map (Quotient.mk (comap f I)) p).coeff i ≠ 0

Context: mem : (Polynomial.map (Quotient.mk (comap f I)) p).coeff i ∈ comap (Quotient.lift (comap f I) ((Quotient.mk I).comp f) quotient_f) (map (Quotient.mk I) J)

∃ i, p.coeff i ∈ ↑(comap f J) \ ↑(comap f I)


Context:
α : Type u
p : α → Prop
a : α
l : List α
h : p a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t✝ u : Set α

Context: π : δ → Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set δ

Context: t : (i : δ) → Set (π i)

Context: hs : s.Countable

Context: ht : ∀ i ∈ s, MeasurableSet (t i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x y : α

Context: h : x < y

Context: this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α

Context: this : OrderTopology α

Context: h' : 𝓝[<] y ≠ ⊥


Context:
R : Type u
self : EuclideanDomain R
a : R
b : R

b ≠ 0 → EuclideanDomain.r (EuclideanDomain.remainder a b) b


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_3
Semiring A
Algebra R A
s : Set A

Algebra.adjoin R s = ((FreeAlgebra.lift R) Subtype.val).range


Context:
α : Type u_1
l : Filter α
s : Set α

Filter.EventuallyConst s l ↔ (∀ᶠ (x : α) in l, x ∈ s) ∨ ∀ᶠ (x : α) in l, x ∉ s


Context:
α : Type u_1
SubtractionCommMonoid α
a b : α
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w✝ : σ → M
n : M
φ✝ ψ : MvPolynomial σ R
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
m : M

(weightedHomogeneousComponent w m) φ ∈ weightedHomogeneousSubmodule R w m


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K : Set F

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: x : ℝ

Context: hx : DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x

∃ R > 0, ∀ r ∈ Ioo 0 R, x ∈ A f (derivWithin f (Ici x) x) r ε


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
x✝ : ℤ


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X


Context:
G : Type w
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
a : G


Context:
K : Type u_1
Field K
NumberField K
w : { w // w.IsReal }

(NumberField.mixedEmbedding.indexEquiv K) (Sum.inl w) = (↑w).embedding


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hflt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g : α → E

Integrable (fun x => (f x).toNNReal • g x) μ ↔ Integrable (fun x => (f x).toReal • g x) μ


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
g : α → ℝ≥0∞

AEMeasurable g (μ.withDensity fun x => ↑(f x)) ↔ AEMeasurable (fun x => ↑(f x) * g x) μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s : Set E

Context: A : Tendsto (fun r => ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 1)) (𝓝[<] 1) (𝓝 (μ (closedBall 0 1)))


Context:
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
F : Type u_2
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
NormedSpace ℝ F
IsScalarTower ℝ 𝕜 F
fr : F →L[ℝ] ℝ
x : F

fr.extendTo𝕜' x = ↑(fr x) - RCLike.I * ↑(fr (RCLike.I • x))


Context: J : Type u_1

Context: C : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: X : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.ShortComplex C)

∀ (X_1 : J),
  (((CategoryTheory.ShortComplex.FunctorEquivalence.counitIso J C).hom.app X).app X_1).τ₂ =
    CategoryTheory.CategoryStruct.id (X.obj X_1).X₂


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: inst✝¹ : Algebra F L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K

Context: splits : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)

normalClosure F K ↥(normalClosure F K L) = ⊤


Context:
α : Type u_1
a : α
s : Multiset α

s = Multiset.replicate (Multiset.card s) a ↔ ∀ b ∈ s, b = a


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : Cardinal.{u_2}
ha : ℵ₀ ≤ a
b1 : 1 < b
b0 : b ≠ 0


Context:
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S T : Subsemigroup M
this : T ≤ S ⊔ T


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasColimits C

Context: inst✝³ : HasLimits C

Context: inst✝² : PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)

Context: inst✝¹ : PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)

Context: inst✝ : (CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: X Y : SheafedSpace C

Context: f : ↑X.toPresheafedSpace ⟶ ↑Y.toPresheafedSpace

Context: fc gc : Y.presheaf ⟶ (pushforward C f).obj X.presheaf

Context: h' : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), { base := f, c := fc }.stalkMap x = (Y.presheaf.stalkCongr ⋯).hom ≫ { base := f, c := gc }.stalkMap x

Context: U : Opens ↑↑Y.toPresheafedSpace

Context: s : (CategoryTheory.forget C).obj (Y.presheaf.obj (op U))


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
i j : ℕ


Context:
α : Type u_3
DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: inst✝² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝¹ : Pretriangulated C

Context: S : Subcategory C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsIso f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c✝ d a b c : G


Context:
α : Sort u
p : α → Prop
b : Prop
h₁ : Exists fun x => p x
h₂ : ∀ (a : α), p a → b


Context:
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a : α
hp : Prime p
k : ℕ

multiplicity p (a ^ k) = k • multiplicity p a


Context:
m n : ℕ
h : m ∣ n


Context:
R : Type u
a b : R
Semiring R

(Polynomial.C a * Polynomial.X + Polynomial.C b).natDegree ≤ 1


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: NormedField 𝕜₁

Context: NormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: AddCommGroup E

Context: Module 𝕜₁ E

Context: TopologicalSpace E

Context: AddCommGroup F

Context: Module 𝕜₂ F

Context: TopologicalSpace F

Context: TopologicalAddGroup F

Context: 𝔖 : Set (Set E)

Context: h𝔖₁ : 𝔖.Nonempty

Context: h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖

(𝓝 0).HasBasis (fun SV => SV.1 ∈ 𝔖 ∧ SV.2 ∈ 𝓝 0) fun SV => {f | ∀ x ∈ SV.1, f x ∈ SV.2}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
MeasurableSingletonClass α
f : α → β
s : Set α
hs : s.Finite
hf : Measurable (sᶜ.restrict f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
PartialOrder α
TopologicalSpace β
a : α
f : α → β

ContinuousWithinAt f (Set.Ioi a) a ↔ ContinuousWithinAt f (Set.Ici a) a


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
a b : A
n x : ℕ
hx : x ∈ Finset.range n.succ

(algebraMap ℚ A) (1 / ↑x !) * (algebraMap ℚ A) (1 / ↑(n - x)!) = ↑(n.choose x) * (algebraMap ℚ A) (1 / ↑n !)


Context:
R : Type u
S : Type w
Star R
SetLike S R
hS : StarMemClass S R
s : S
x : ↥s


Context:
X : Type u
TopologicalSpace X


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R X : Set α

(M.restrict R).Dep X ↔ ¬M.Indep X ∧ X ⊆ R


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: d : ℕ → ℝ≥0

Context: hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ (fun i => ↑(d i)) n

Context: hd : ∑' (i : ℕ), ↑(d i) ≠ ⊤


Context:
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : α
hx : x ∈ sᶜ

(Set.sumCompl s).symm ↑⟨x, hx⟩ = Sum.inr ⟨x, hx⟩


Context:
α : Type u_2
I : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I

(∀ i ∈ t, IsRelPrime (s i) x) → IsRelPrime (∏ i ∈ t, s i) x


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : PartialHomeomorph E E

Context: hf' : ∀ x ∈ f.source, HasFDerivAt (↑f) (f' x) x

Context: g : E → F

∫ (x : E) in f.target, g x ∂μ = ∫ (x : E) in f.source, |(f' x).det| • g (↑f x) ∂μ


Context:
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
j : Subtype pᶜ
k : Subtype p

0 ≫ biproduct.π (Subtype.restrict pᶜ f) j = 0


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
x : PushoutI φ
g₁ : G i
hg₁ : (of i) g₁ = x
g₂ : G j
hg₂ : (of j) g₂ = x
hx : ¬x ∈ (base φ).range
hx1 : x ≠ 1
hg₁1 : g₁ ≠ 1
hg₂1 : g₂ ≠ 1


Context: M : Type u_1

Context: AddZeroClass M

Context: S : Set (AddSubmonoid M)

Context: Sne : S.Nonempty

Context: hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: x : M


Context: s n : Nat

range' s (n + 1) = range' s n ++ [s + n]


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y : P
h : x ≠ y

(pointReflection R x) x ≠ (pointReflection R x) y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
NormedAddCommGroup β
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
f : α → β
μ : ι → MeasureTheory.Measure α
s : Finset ι

MeasureTheory.Integrable f (∑ i ∈ s, μ i) ↔ ∀ i ∈ s, MeasureTheory.Integrable f (μ i)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Preorder β
inst✝⁵ : Preorder γ
inst✝⁴ : Preorder δ
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : MulOneClass β
inst✝¹ : MulOneClass γ
inst✝ : MulOneClass δ
f g✝ : α →*o β
g : β →*o γ
f₁ f₂ : α →*o β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α


Context:
R' : Type u
M : Type v
CommSemiring R'
AddCommMonoid M
Module R' M
Module R'ᵐᵒᵖ M
IsCentralScalar R' M

TrivSqZeroExt.map LinearMap.id = AlgHom.id R' (tsze R' M)


Context:
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
self : AkraBazziRecurrence T g a b r


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α

a \ (b ⊔ a ⊓ b) ⊔ b \ (a ⊔ a ⊓ b) = a ∆ b


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ
x : α

(fun f => f.toFun) 0 x ≤ (fun f => f.toFun) (f + const α ‖f‖) x


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeSup α
OrderBot α
f : β → α


Context:
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]

(prod 0).coeff 0 = (Multiset.map (fun f => f.coeff 0) 0).prod


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
self : F.IsEquivalence


Context:
α β : Type u
s : Set α
t : (a : α) → a ∈ s → Set β
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hs : #↑s < c

#↑(⋃ a, ⋃ (h : a ∈ s), t a h) < c ↔ ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), #↑(t a ha) < c


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0
hc : 1 < ‖c‖
h₀ : r ≠ 0 ∨ x ≠ 0

egauge 𝕜 (ball 0 ↑r) x ≤ ↑‖c‖₊ * ↑‖x‖₊ / ↑r


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ : α → β
f : β → γ
g : α → β
hf : LocallyLipschitz f
hg : LocallyLipschitz g
x : α
Kg : ℝ≥0
t : Set α
ht : t ∈ 𝓝 x
hgL : LipschitzOnWith Kg g t
Kf : ℝ≥0
u : Set β
hu : u ∈ 𝓝 (g x)
hfL : LipschitzOnWith Kf f u

LipschitzOnWith (Kf * Kg) (f ∘ g) (t ∩ g ⁻¹' u)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
Z : Type u_6
Semiring Z
f : C(X, Y)
g : LocallyConstant Y Z

∀ (a : X), ((LocallyConstant.comapRingHom f) g) a = g (f a)


Context:
R : Type u
CommRing R
ι : Type u_1
I : ι → Ideal R


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul 𝕜 E
TopologicalAddGroup E
s t : Set E
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty

Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (s - t) ↔ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s ∧ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 t


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF : Integrable F μ

Context: h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x

Context: h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))

Context: f' : ℕ → α → ℝ := fun n x => f n x - f 0 x

Context: hf'_nonneg : ∀ (i : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, 0 ≤ f' i a

Context: hf'_meas : ∀ (n : ℕ), Integrable (f' n) μ

Context: hF_ge : 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => (F - f 0) x

∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ((F - f 0) a) ∂μ ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
n : Type u_5
DecidableEq n
MulZeroClass α
v w : n → α

(Matrix.diagonal v).hadamard (Matrix.diagonal w) = Matrix.diagonal (v * w)


Context:
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : Matrix.SpecialLinearGroup n R
v : n → R

(Matrix.SpecialLinearGroup.toLin' A) v = (Matrix.toLin' ↑A) v


Context:
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
N : Type w'
g : M ≃ N

(Equiv.bundledInduced L g).str = g.inducedStructure


Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: ConditionallyCompleteLinearOrder R

Context: TopologicalSpace R

Context: OrderTopology R

Context: ConditionallyCompleteLinearOrder S

Context: TopologicalSpace S

Context: OrderTopology S

Context: F : Filter R

Context: F.NeBot

Context: f : R → S

Context: f_decr : Antitone f

Context: f_cont : ContinuousAt f F.limsSup

Context: bdd_above : Filter.IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F := by isBoundedDefault

Context: cobdd : Filter.IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F := by isBoundedDefault


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x : M

ContMDiffAt I I' n f x ↔ ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
OrderedAddCommMonoid β
SMul 𝕜 E
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
r : β


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n : ℕ
hst : s ⊆ t


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
DecidableEq α
DecidableEq N
DecidableEq M
Zero M
Zero N
f g : α →₀ N
F : N → M
F0 : F 0 = 0
hF : Function.Injective F

(Finsupp.mapRange F F0 f).neLocus (Finsupp.mapRange F F0 g) = f.neLocus g


Context:
p : ℝ × ℝ
hp_fst : 0 < p.1


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝²² : RCLike 𝕜

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace F''

Context: k : G → E''

Context: L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'

Context: L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'

Context: L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''

Context: inst✝⁶ : AddGroup G

Context: inst✝⁵ : SFinite μ

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant

Context: inst✝² : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant

Context: inst✝ : MeasurableNeg G

Context: hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), (L₂ ((L x) y)) z = (L₃ x) ((L₄ y) z)

Context: x₀ : G

Context: hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L ν

Context: hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt g k x L₄ μ

Context: hi : Integrable (uncurry fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x)))) (μ.prod ν)

Context: t : G

Context: ht : ConvolutionExistsAt g k (x₀ - t) L₄ μ


Context: m n : ℕ


Context:
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
cut : α → Ordering
f : α → α
t : RBSet α cmp

(∀ {x : α}, RBNode.find? cut t.val = some x → cmpEq cmp (f x) x) → OnRoot (fun x => cmpEq cmp (f x) x) (zoom cut t.val).fst


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r R✝ : ℝ
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
R : ℝ

dist ((R / dist x c) ^ 2 • (x -ᵥ c) +ᵥ c) ((R / dist y c) ^ 2 • (y -ᵥ c) +ᵥ c) = R ^ 2 / (dist x c * dist y c) * dist x y


Context:
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a : α
OrderBot α


Context:
l m r : List Char
s : Substring

Substring.ValidFor l m r s → s.next { byteIdx := String.utf8Len m } = { byteIdx := String.utf8Len m }


Context: α✝ : Sort u_1

Context: β : Sort u_2

Context: α : Sort u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: iseqv✝¹ : Equivalence r

Context: p : α → α → Prop

Context: iseqv✝ : Equivalence p

Context: Eq : ∀ (a b : α), Setoid.r a b ↔ Setoid.r a b

Context: this : r = p

{ r := r, iseqv := iseqv✝¹ } = { r := p, iseqv := iseqv✝ }


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : SeminormFamily 𝕜 (E →WOT[𝕜]F) (E × NormedSpace.Dual 𝕜 F) := seminormFamily 𝕜 E F

(Filter.comap (⇑(inducingFn 𝕜 E F)) (Filter.pi fun i => 𝓝 0)).HasBasis (seminormFamily 𝕜 E F).basisSets id


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
h𝒜₁ : 𝒜.Nonempty
h𝒜₂ : univ ∉ 𝒜
m : ℕ
hm : m = 𝒜.card

supSum 𝒜 = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹


Context:
x : ℝ
h : 1 ≤ x


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
h : I ≤ 1


Context: x✝ : ℝ


Context: n : ℕ

↑n.totient = ↑n * ∏ p ∈ n.primeFactors, (1 - (↑p)⁻¹)


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.225151}
S T : Set α
h : T ⊆ S


Context:
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M

(FirstOrder.Language.Equiv.refl L M).toHom = FirstOrder.Language.Hom.id L M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → Option γ
BEq α
Hashable α
m : Batteries.HashMap.Imp α β
H : m.WF


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝⁶ : Category.{t, v} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: ι : Type v

Context: dec_ι : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type v

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s : Cocone (directLimitDiagram G f)

Context: i j : ι

Context: h : i ≤ j

Context: x : G i

(s.ι.app j) ((f i j h) x) = ((directLimitDiagram G f).map (homOfLE h) ≫ s.ι.app j) x


Context: o : Ordinal.{u_4}

Order.succ o.pred = o ↔ ∃ a, o = Order.succ a


Context:
X : Type u_5
Y : Type u_6
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set Y
DiscreteTopology ↑s
f : X → Y
hc : Continuous f
hinj : Function.Injective f


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : Group G'
inst✝⁵ : Group G''
A : Type u_4
inst✝⁴ : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝³ : Group N
inst✝² : Group P
K : Subgroup G
M✝ : Type u_7
inst✝¹ : MulOneClass M✝
M : Type u_8
inst✝ : Monoid M
f : G →* M
x : G


Context:
R : Type u
inst₁ inst₂ : AddCommGroupWithOne R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_one : One.one = One.one
this : toAddCommGroup = toAddCommGroup


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
rω : cs.IsReduced ω


Context:
α : Type u
Preorder α
a : α


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
hb : b ≠ 0
h : b = a⁻¹ * c


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasInitial C

Context: ι : Type u_3

Context: F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Discrete ι) C

Context: c : CategoryTheory.Limits.Cocone F

Context: hc : CategoryTheory.IsVanKampenColimit c

Context: i j : CategoryTheory.Discrete ι

Context: hi : i ≠ j

CategoryTheory.IsPullback (CategoryTheory.Limits.initial.to (F.obj i)) (CategoryTheory.Limits.initial.to (F.obj j))
  (c.ι.app i) (c.ι.app j)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: a : α

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Monotone seq

Context: hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ

Context: hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)

Context: this : IsFiniteKernel κ

Context: h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal ((κ a) univ)

Context: h : Tendsto (⇑(κ a) ∘ fun m => univ ×ˢ seq m) atTop (𝓝 ((κ a) (⋃ n, univ ×ˢ seq n)))


Context:
α : Type u_1
r c✝ : ℝ
l : Filter α
f g : α → ℝ
hr : 0 < r
hg : 0 ≤ᶠ[l] g
h : f =o[l] g
c : ℝ
hc : 0 < c

IsBigOWith c l (fun x => f x ^ r) fun x => g x ^ r


Context: R : Type u

Context: σ : Type v

Context: CommRing R

Context: I : Ideal (MvPolynomial σ R)

Context: p : MvPolynomial σ R

Context: hcoe : ∀ (m : σ →₀ ℕ), MvPolynomial.coeff m p ∈ Ideal.comap MvPolynomial.C I


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C

(CategoryTheory.Iso.refl X).symm = CategoryTheory.Iso.refl X


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
Ring R
AddCommGroup V
TopologicalSpace V
TopologicalSpace R
Module R V
SeparatingDual R V
x : V
hx : x ≠ 0


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
Semiring β
Mul α
Mul α₂
F : Type u_6
FunLike F α α₂
MulHomClass F α α₂
f : F
x y : MonoidAlgebra β α

MonoidAlgebra.mapDomain (⇑f) (x * y) = MonoidAlgebra.mapDomain (⇑f) x * MonoidAlgebra.mapDomain (⇑f) y


Context:
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonUnitalCommRing R

inst₁ = inst₂ ↔ HAdd.hAdd = HAdd.hAdd ∧ HMul.hMul = HMul.hMul


Context: α✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace M

Context: inst✝ : MeasurableMul₂ M

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → M

Context: l : List (α → M)

Context: ihl : (∀ f ∈ l, AEMeasurable f μ) → AEMeasurable l.prod μ

Context: hl : AEMeasurable f μ ∧ ∀ x ∈ l, AEMeasurable x μ


Context:
b : Bool
n : ℕ


Context:
R : Type u
M : Type v
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S : Set R
T : Set M

Ideal.span S • Submodule.span R T = Submodule.span R (⋃ s ∈ S, ⋃ t ∈ T, {s • t})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a x : α

x ∈ ⋂₀ {a | {x | p x ∧ ¬s x ⊆ a}.Finite} ↔ x ∈ {x | {n | p n ∧ x ∈ s n}.Infinite}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : BorelSpace β

Context: ι : Type u_3

Context: μ : Measure α

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: u : Filter ι

Context: hu : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ

Context: h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))

Context: v : ℕ → ι

Context: hv : Tendsto v atTop u

Context: h'f : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f (v n)) μ

Context: p : α → (ℕ → β) → Prop := fun x f' => Tendsto (fun n => f' n) atTop (𝓝 (g x))

Context: hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f (v n) x

Context: aeSeqLim : α → β := fun x => if x ∈ aeSeqSet h'f p then g x else ⋯.some


Context: R : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: CommSemiring ι

Context: DecidableEq ι

Context: CommRing R

Context: Ring A

Context: Ring B

Context: Algebra R A

Context: Algebra R B

Context: 𝒜 : ι → Submodule R A

Context: ℬ : ι → Submodule R B

Context: GradedAlgebra 𝒜

Context: GradedAlgebra ℬ

Context: M : Type u_5

Context: AddCommMonoid M

Context: Module R M

Context: f g : 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ →ₗ[R] M

Context: h : f ∘ₗ ↑(GradedTensorProduct.of R 𝒜 ℬ) = g ∘ₗ ↑(GradedTensorProduct.of R 𝒜 ℬ)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → E
f' : E →L[𝕜] E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hx : f x = x
hs : MapsTo f s s
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
F : Type u
inst✝ : Field F
p q : F[X]
f✝ g : RatFunc F
f : F[X]
hf : f ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
μ : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite μ
ν : MeasureTheory.Measure γ
MeasureTheory.SFinite ν

(ProbabilityTheory.Kernel.const α μ).prod (ProbabilityTheory.Kernel.const α ν) =
  ProbabilityTheory.Kernel.const α (μ.prod ν)


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
hnegζ : IsPrimitiveRoot (-ζ) (2 * ↑n)
k : ℕ
hkpos : 0 < k
hkn : x ^ k = 1
l : ℕ
hl : l ∈ k.divisors
hlzero : NeZero l
this : NeZero ↑l
a : ℕ
ha : 2 * ↑n = l * a
hlroot : x ^ (2 * ↑n) = 1


Context:
α : Type u
Top α


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : Set P

affineSpan k s₁ ∥ affineSpan k s₂ ↔ vectorSpan k s₁ = vectorSpan k s₂ ∧ (s₁ = ∅ ↔ s₂ = ∅)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: I : Type u_3

Context: J : Type u_4

Context: CategoryTheory.Category.{u_6, u_1} C

Context: CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D

Context: Zero I

Context: DecidableEq I

Context: CategoryTheory.Limits.HasInitial C

Context: F : CategoryTheory.Functor C (CategoryTheory.Functor D D)

Context: X : C

Context: e : F.obj X ≅ CategoryTheory.Functor.id D

Context: (Y : D) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Functor.empty C) (F.flip.obj Y)

Context: p : I × J → J

Context: hp : ∀ (j : J), p (0, j) = j

Context: Y : CategoryTheory.GradedObject J D

Context: j : J

CategoryTheory.Limits.Cofan.inj (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorLeftUnitorCofan F X e p hp Y j) ⟨(0, j), ⋯⟩ =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.map (CategoryTheory.GradedObject.singleObjApplyIso 0 X).hom).app (Y j))
    (e.hom.app (Y j))


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
x : L
hx : x ∈ H
hx' : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x)
y : ↥H


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l₁ l₂ : ι →₀ 𝕜

⟪(Finsupp.total ι E 𝕜 v) l₁, (Finsupp.total ι E 𝕜 v) l₂⟫_𝕜 = l₂.sum fun i y => (starRingEnd 𝕜) (l₁ i) * y


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B : Set α
hB : M.Base B


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
Sup α
Sup β
Sup γ
f : SupHom β γ
g : SupHom α β
a : α


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: e : S₁ ≅ S₂

S₁.Exact ∧ CategoryTheory.Mono S₁.f ↔ S₂.Exact ∧ CategoryTheory.Mono S₂.f


Context: C : Type u_1

Context: A : Type u_3

Context: CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C

Context: CategoryTheory.HasShift C ℤ

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: CategoryTheory.Pretriangulated C

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} A

Context: CategoryTheory.Abelian A

Context: F : CategoryTheory.Functor C A

Context: F.IsHomological

Context: F.ShiftSequence ℤ

Context: T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C

Context: hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles

Context: n₀ : ℤ

(CategoryTheory.ShortComplex.mk ((F.shift n₀).map T.mor₁) ((F.shift n₀).map T.mor₂) ⋯).Exact


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
w : ι → k
p : ι → P


Context:
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
hn : n ≠ 0
x y : α
h : x < y
hy : 0 < y
q₂ : ℚ
hx₂ : max x 0 < ↑q₂
hy₂ : ↑q₂ < y
q₁ : ℚ
hx₁ : max x 0 < ↑q₁
hq₁₂ : ↑q₁ < ↑q₂
this : 0 < ↑q₂


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
a : ℕ → E
hs : HasSum (fun m => z ^ m • a m) s
ha : ∀ k < n, a k = 0

∃ t, z ^ n • t = s ∧ HasSum (fun m => z ^ m • a (m + n)) t


Context:
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_5
Fintype n
CommRing R
Fintype m
DecidableEq m
A : Matrix m m R
B : Matrix m n R
hA : IsUnit A.det


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: m : Submodule R M

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: s : Set ι

Context: p : ι → Submodule R M

Context: hp : ∀ i ∈ s, IsSemisimpleModule R ↥(p i)

Context: hp' : ⨆ i ∈ s, p i = ⊤


Context:
a : ℤ
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : J(a | p) = 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: h : ∀ (u : ℕ → E), (Summable fun x => ‖u x‖) → ∃ a, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 a)

Context: u : ℕ → E

Context: hu : CauchySeq u

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : StrictMono f

Context: hf₂ : Summable fun i => dist (u (f (i + 1))) (u (f i))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t : Set α

Context: ht : t.Finite

Context: hst : s ⊆ t

Context: hts : (t \ s).encard + s.encard ≤ 0 + s.encard

Context: hdiff : t ⊆ s


Context:
ι : Type u_1
I : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : I → Type u_6
x y : (i : I) → f✝ i
i : I
inst✝¹ : One γ
inst✝ : LE γ
f : α → β
g : α → γ
e : β → γ
hg : g ≤ 1
he : e ≤ 1
_b : β


Context: A : Type u_1

Context: A' : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: B' : Type u_4

Context: inst✝³ : Category.{u_5, u_1} A

Context: inst✝² : Category.{u_7, u_2} A'

Context: inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} B

Context: inst✝ : Category.{u_8, u_4} B'

Context: eA : A ≌ A'

Context: eB : B ≌ B'

Context: e' : A' ≌ B'

Context: F : A ⥤ B'

Context: hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F

Context: G : B ⥤ A

Context: hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor

Context: X : A

(equivalence₁ hF).unitIso.hom.app X ≫ (equivalence₁ hF).inverse.map (eB.counitIso.inv.app (F.obj X)) = (equivalence₂UnitIso eB hF).hom.app X


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
a : G
b : H
AddGroup G
AddGroup H
AddConstMapClass F G H a b
f : F
x : G
n : ℤ


Context: α : Type u_1

Context: AddCommGroup α

Context: DecidableEq α

Context: A B : Finset α

Context: C : Finset α

Context: hA : ∀ A' ⊆ A, (A + B).card * A'.card ≤ (A' + B).card * A.card

(A + B + C).card * A.card ≤ (A + B).card * (A + C).card


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: CategoryTheory.Category.{v', u'} D

Context: F : C ⥤ D

Context: r : HomRel C

Context: A : Type w

Context: AddMonoid A

Context: CategoryTheory.HasShift C A

Context: CategoryTheory.HasShift D A

Context: r.IsCompatibleWithShift A

Context: F.CommShift A

Context: hF : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂

Context: a : A

Context: X : C

(CategoryTheory.Quotient.LiftCommShift.iso F r hF a).inv.app ((CategoryTheory.Quotient.functor r).obj X) =
  (F.commShiftIso a).inv.app X ≫
    (CategoryTheory.Quotient.lift r F hF).map (((CategoryTheory.Quotient.functor r).commShiftIso a).hom.app X)


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
H : AddSubgroup N

⊤.prod H = AddSubgroup.comap (AddMonoidHom.snd G N) H


Context:
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
FiniteDimensional 𝕜 E
_hT : Fact T.IsSymmetric
x : E
μ : Module.End.Eigenvalues T

((DirectSum.decompose fun μ => Module.End.eigenspace T (↑T μ)) x) μ =
  (orthogonalProjection (Module.End.eigenspace T (↑T μ))) x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : Preorder β

Context: f✝ g : α → β

Context: x : α

Context: s t : Set α

Context: y z : β

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → α → ℝ≥0∞

Context: h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousWithinAt (f i) s x

Context: b : Finset ι

LowerSemicontinuousWithinAt (fun x' => ∑ i ∈ b, f i x') s x


Context:
G : Type u_1
AddGroup G


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹³ : Field F

Context: inst✝¹² : Field K

Context: inst✝¹¹ : Field E

Context: inst✝¹⁰ : Algebra F K

Context: inst✝⁹ : Algebra F E

Context: inst✝⁸ : Algebra K E

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower F K E

Context: A₁ : Type u_4

Context: B₁ : Type u_5

Context: A₂ : Type u_6

Context: B₂ : Type u_7

Context: inst✝⁶ : Field A₁

Context: inst✝⁵ : Field B₁

Context: inst✝⁴ : Field A₂

Context: inst✝³ : Field B₂

Context: inst✝² : Algebra A₁ B₁

Context: inst✝¹ : Algebra A₂ B₂

Context: e₁ : A₁ ≃+* A₂

Context: e₂ : B₁ ≃+* B₂

Context: he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable A₁ B₁

Context: this✝¹ : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra

Context: this✝ : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra

Context: this : IsScalarTower A₁ A₂ B₁

Context: e : B₁ ≃ₐ[A₂] B₂ := { toEquiv := e₂.toEquiv, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: n : ℕ

Context: H : ∀ (s : Finset M), (LinearIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n

Context: s : Set M

Context: li : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y

(CategoryTheory.Limits.parallelPair f g).obj CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.zero = X


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s'✝ : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p'✝ : Filter α

Context: g : ι → α

Context: ι' : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β' : Type u_3

Context: inst✝ : UniformSpace β'

Context: F' : ι' → α' → β'

Context: f' : α' → β'

Context: p' : Filter ι'

Context: s' : Set α'

Context: h : TendstoUniformlyOnFilter F f p (𝓟 s)

Context: h' : TendstoUniformlyOnFilter F' f' p' (𝓟 s')

TendstoUniformlyOnFilter (fun i => Prod.map (F i.1) (F' i.2)) (Prod.map f f') (p ×ˢ p') (𝓟 (s ×ˢ s'))


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : K[X]
hP : ¬P = 0

(Polynomial.idealX K).intValuation P = (idealX K).intValuation ↑P


Context: α : Sort u_1

Context: a b c : List Nat

Context: ctx : Lean.Data.AC.Context α

Context: h : Std.Commutative ctx.op

Context: h₂ : Lean.Data.AC.evalList α ctx a = Lean.Data.AC.evalList α ctx b

Context: h₃ : a ≠ []

Context: h₄ : b ≠ []

Lean.Data.AC.evalList α ctx (Lean.Data.AC.sort.loop a c) = Lean.Data.AC.evalList α ctx (Lean.Data.AC.sort.loop b c)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
ε δ : ℝ
s : Set α
hε : 0 ≤ ε
hδ : δ ≤ 0

thickening ε (thickening δ s) ⊆ thickening (ε + δ) s


Context: θ : Angle


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
ChartedSpace H M
x : M


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUV : U ≠ V

Context: hunif : ¬G.IsUniform ε U V

4 / 5 * ε ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
g : G
x : Quotient G α

Set.MapsTo (fun x => g • x) (MulAction.orbit G (Quotient.out' x)) (MulAction.orbit G (Quotient.out' x))


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : 1 < y


Context:
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
m : M

(TrivSqZeroExt.inrHom R M) m = TrivSqZeroExt.inr m


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype m
A B : Matrix m n α
x : m → α
x✝ : n

(x ᵥ* (A + B)) x✝ = (x ᵥ* A + x ᵥ* B) x✝


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
inst✝ : Finite ι
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X

EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ ∀ (i : ι), ContinuousWithinAt (F i) S x₀


Context:
X : RingedSpace
U V : (Opens ↑↑X.toPresheafedSpace)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
inst✝ : IsIso i
f : ↑(X.presheaf.obj U)

X.basicOpen ((X.presheaf.map i) f) = X.basicOpen f


Context:
α : Type u_1
f : α → α


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D

(CategoryTheory.Monoidal.transportedMonoidalCounitIso e).inv =
  CategoryTheory.monoidalUnit (CategoryTheory.Monoidal.fromTransported e) e.symm.toAdjunction


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} D

Context: i : D ⥤ C

Context: inst✝² : HasFiniteProducts C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed C

Context: inst✝ : Reflective i

Context: h : (A : C) → i ⋙ exp A ⋙ reflector i ⋙ i ≅ i ⋙ exp A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
g : γ → α
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
hg : Measurable g

(ProbabilityTheory.Kernel.sum fun n => (κ.seq n).comap g hg) = κ.comap g hg


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
M : Type ?u.50075
inst✝ : Monoid M
x : M
hx : IsOfFinOrder x


Context:
R : Type u
inst✝ : Semiring R
q : ℕ
h : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q


Context:
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
u : ℕ → E
l : E
h : Tendsto u atTop (𝓝 l)

Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 l)


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V


Context:
a b : Nat
h : a ≤ b


Context: J : Type v

Context: CategoryTheory.SmallCategory J

Context: F : CategoryTheory.Functor J CategoryTheory.Cat

Context: X : CategoryTheory.Limits.limit (F.comp CategoryTheory.Cat.objects)

CategoryTheory.CategoryStruct.id X =
  CategoryTheory.Limits.Types.Limit.mk (CategoryTheory.Cat.HasLimits.homDiagram X X)
    (fun j => CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.Limits.limit.π (F.comp CategoryTheory.Cat.objects) j X))
    ⋯


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
hnm : ¬n + 1 = m
z : Cochain F G n
p q : ℤ
hpq : p + m = q

(Cochain.mk fun p q hpq => z.v p (p + n) ⋯ ≫ G.d (p + n) q + m.negOnePow • F.d p (p + m - n) ≫ z.v (p + m - n) q ⋯).v p q hpq = Cochain.v 0 p q hpq


Context:
G : Type u_3
AddCommSemigroup G
a b c : G


Context:
Ω : Type u_1
Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q✝ r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p q : R[X]

∀ (a : R), map f ((C a).comp q) = (map f (C a)).comp (map f q)


Context:
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TotallyDisconnectedSpace β
f : α → β
h : Continuous f
g : ConnectedComponents α → β
hg : g ∘ ConnectedComponents.mk = f


Context:
α : Type u
UniformSpace α


Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Context: this : HasSum (fun x => -I / 2 * (((-1) ^ (2 * x.1 + ↑x.2 + 1) + 1) * (z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2))) (-I / 2 * log ((1 + z * I) / (1 - z * I)))

Context: k : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f✝ g✝ : α → ℝ
s✝ : Set α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
f_mble : AEMeasurable f μ
g_mble : AEMeasurable g μ
s : Set α
s_mble : NullMeasurableSet s μ

NullMeasurableSet {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ Ico (f p.1) (g p.1)} (μ.prod volume)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K✝ : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
f : Function.End α
K : ℝ≥0
h : LipschitzWith K f
n : ℕ


Context:
M : Type u_4
AddMonoid M
n : ℕ
a : M


Context:
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
x : { x // x ∈ s }

𝓝 x = Filter.comap Subtype.val (𝓝[s] ↑x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s✝ : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: s : SignedMeasure α

Context: f : ℕ → ℝ

Context: left✝ : Antitone f

Context: hf₂ : Tendsto f atTop (nhds (sInf s.measureOfNegatives))

Context: B : ℕ → Set α

Context: hB : ∀ (n : ℕ), B n ∈ {B | MeasurableSet B ∧ restrict s B ≤ restrict 0 B} ∧ ↑s (B n) = f n

Context: hB₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)

Context: hB₂ : ∀ (n : ℕ), restrict s (B n) ≤ restrict 0 (B n)

∃ i, MeasurableSet i ∧ restrict 0 i ≤ restrict s i ∧ restrict s iᶜ ≤ restrict 0 iᶜ


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0

⇑(chainTop α β) = chainTopCoeff α β • α + ⇑β


Context: R : Type u1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: d d' : Module.Dual R M

Context: m : CliffordAlgebra Q

Context: x : M

Context: hx : (contractLeft d) ((contractLeft d') m) = -(contractLeft d') ((contractLeft d) m)

(contractLeft d) ((contractLeft d') ((ι Q) x * m)) = -(contractLeft d') ((contractLeft d) ((ι Q) x * m))


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
I.Boundaryless
M : Type u_4
TopologicalSpace M
CompactSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
hf : MDifferentiable I 𝓘(ℂ, F) f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: f✝ : Filter α

Context: b : α

Context: v : Filter ι

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set ι

Context: inst✝¹ : Countable (Subtype p)

Context: inst✝ : Nonempty (Subtype p)

Context: hv : v.HasBasis p s

Context: f : ι → α

Context: H : ¬∃ j, s ↑j = ∅

Context: H' : ¬∀ (j : Subtype p), ¬BddBelow (range fun i => f ↑i)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
x : α
E : Set α

0 < infEdist x (closure E) ↔ x ∉ closure E


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R

zeroLocus ↑I ⊆ zeroLocus ↑J ↔ J ≤ I.radical


Context:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C₁
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} C₂
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} C₃
W : CategoryTheory.MorphismProperty C₁
F : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
G : CategoryTheory.Functor C₂ C₃

(W.map F).IsInvertedBy G ↔ W.IsInvertedBy (F.comp G)


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure α
s t : Set β
ht : MeasurableSet t

((Measure.map f μ).restrict s) t = (Measure.map f (μ.restrict (f ⁻¹' s))) t


Context: R : Type u_1

Context: S : Type v₃

Context: CommSemiring R

Context: CommSemiring S

Context: Algebra R S

Context: R' : Type u_6

Context: S' : Type u_7

Context: CommSemiring R'

Context: CommSemiring S'

Context: Algebra R R'

Context: Algebra S S'

Context: Algebra R' S'

Context: Algebra R S'

Context: IsScalarTower R R' S'

Context: IsScalarTower R S S'

Context: H : Algebra.IsPushout R S R' S'

Context: A : Type u_8

Context: Semiring A

Context: Algebra R A

Context: f : S →ₐ[R] A

Context: g : R' →ₐ[R] A

Context: hf : ∀ (x : S) (y : R'), f x * g y = g y * f x

Context: a : S'

(Algebra.pushoutDesc S' f g hf) a = (⋯.lift g.toLinearMap) a


Context: n : Num


Context:
α : Type u_3
n : ℕ
β : Type u_2
γ : Type u_1
σ₂ : Type
xs : Mathlib.Vector α n
f₂ : α → σ₂ → σ₂ × β
s : σ₂
f₁ : β → γ

Mathlib.Vector.map f₁ (Mathlib.Vector.mapAccumr f₂ xs s).2 =
  (Mathlib.Vector.mapAccumr
      (fun x s =>
        let r := f₂ x s;
        (r.1, f₁ r.2))
      xs s).2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_3

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: DecidableEq δ

Context: DecidableEq δ'

Context: DecidableEq ε

Context: s : Finset α

Context: t : Finset β

Context: γ : Type u_14

Context: u : Finset γ

Context: f : δ → γ → ε

Context: g : α → β → δ

Context: f' : α → γ → δ'

Context: g' : δ' → β → ε

Context: h_right_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = g' (f' a c) b

Finset.image₂ f (Finset.image₂ g s t) u = Finset.image₂ g' (Finset.image₂ f' s u) t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: M : Type u_5

Context: Zero M

Context: l : α →₀ M

Context: f : α ↪ β

Context: a : β

Context: b : M

Context: hb : b ≠ 0

Context: h : Finsupp.embDomain f l = Finsupp.single a b


Context:
K : Type u_4
L : Type u_5
Field K
Field L
Algebra K L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
pb : PowerBasis K L
i : Fin pb.dim

((Algebra.traceForm K L).dualBasis ⋯ pb.basis) i =
  (minpolyDiv K pb.gen).coeff ↑i / (Polynomial.aeval pb.gen) (Polynomial.derivative (minpoly K pb.gen))


Context:
α : Type u_1
x : α
as bs : List α


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
b₁ b₂ : β
a : α
ha : a ∈ s
h : f a * b₁ = f a * b₂

(∏ a ∈ s, f a) * b₁ = (∏ a ∈ s, f a) * b₂


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v : V


Context:
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
c : CategoryTheory.Limits.Cocone F

(CategoryTheory.Limits.colimit.isColimit F).desc c = CategoryTheory.Limits.colimit.desc F c


Context:
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ

(WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.mk W) (W.ψ n) = (WeierstrassCurve.Affine.CoordinateRing.mk W) (W.Ψ n)


Context: a b c : ℝ≥0∞


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set β
f : α → β

Set.MapsTo f (⋃ i, ⋃ j, s i j) t ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), Set.MapsTo f (s i j) t


Context:
a : Bool
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ

(Nat.bit a m).ldiff (Nat.bit b n) = Nat.bit (a && !b) (m.ldiff n)


Context:
α : Type u
β : Type v
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
f : α → β
s : Set α

UniformContinuousOn f s ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist x y ≤ δ → dist (f x) (f y) ≤ ε


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R

SetLike.GradedMonoid (MvPolynomial.homogeneousSubmodule σ R)


Context:
α : Type u_1
f : Perm α
n : ℤ
x : α


Context:
α : Type u_2
One α
h : Set.Finite 1 := ⋯


Context:
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F

HasGradientWithinAt f f' s x ↔ (fun x' => f x' - f x - ⟪f', x' - x⟫_𝕜) =o[𝓝[s] x] fun x' => x' - x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α

Computation.IsBisimulation fun c1 c2 => ∃ l s, c1 = Computation.corec (fun x => match x with | (n, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl n | some (none, s') => Sum.inr (n, s') | some (some val, s') => Sum.inr (n + 1, s')) (l.length, s) ∧ c2 = Computation.map List.length (Computation.corec (fun x => match x with | (l, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl l.reverse | some (none, s') => Sum.inr (l, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s')) (l, s))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: pkg : AbstractCompletion α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: pkg' : AbstractCompletion α

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : T3Space γ

Context: f : α → γ

Context: cont_f : Continuous f

Context: x✝¹ : UniformSpace pkg'.space := pkg'.uniformStruct

Context: x✝ : UniformSpace pkg.space := pkg.uniformStruct

Context: h : ∀ (a : pkg.space), Tendsto f (comap pkg.coe (𝓝 a)) (𝓝 (⋯.extend f a))

⋯.extend f ∘ pkg'.compare pkg = ⋯.extend f


Context: f : ℕ → ℂ


Context:
G : Type u_1
CommGroup G
s : Set G


Context: a : ℕ


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0

(o.oangle (-x) y).sign = -(o.oangle x y).sign


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
DecidableEq α
s t : Finset α
f g : α → β

∑ x ∈ s, t.piecewise f g x = ∑ x ∈ s ∩ t, f x + ∑ x ∈ s \ t, g x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_7
Semiring R
Semiring S
f : R ≃+* S

∀ (a : S), f.toSemilinearEquiv.symm a = f.invFun a


Context:
R : Type u_2
Ring R
M : Type u_4
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_5
AddCommGroup N
Module R N
IsSimpleModule R M
IsSimpleModule R N
f : M →ₗ[R] N


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s

Submodule.span k (s -ᵥ s) ≤ Submodule.span k ((fun x => x -ᵥ p) '' s)


Context:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
R : Type u_1
CommSemiring R
Algebra R 𝕜
q : R[X]

DifferentiableAt 𝕜 (fun x => (Polynomial.aeval x) q) x


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
a b x✝ : G


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
n : ℕ


Context:
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b

∃ m, Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)


Context:
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
f : k⟦X⟧
hf : f ≠ 0
h : IsUnit f
this : f.order.get ⋯ = 0

divided_by_X_pow_order hf = X ^ f.order.get ⋯ * divided_by_X_pow_order hf


Context:
α : Type u_3
Nonempty α
SemilatticeInf α
Countable α

Filter.atBot.HasCountableBasis (fun x => True) Set.Iic


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
Nonempty ↥s
HasOrthogonalProjection s.direction
p : P

EuclideanGeometry.orthogonalProjectionFn s p ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: p : α → Prop

Context: DecidablePred p

Context: f : α → β

Context: hf : Function.Injective f

Context: s : Multiset α

Context: DecidablePred fun b => ∃ a, p a ∧ f a = b

Multiset.map f (Multiset.filter p s) = Multiset.filter (fun b => ∃ a, p a ∧ f a = b) (Multiset.map f s)


Context:
α : Type u_1
Preorder α
a : α

↑(NonemptyInterval.pure a) = Interval.pure a


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂


Context: f : ℕ → ℝ≥0∞

Filter.Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) Filter.atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), f n))


Context: f f' g : ℝ → ℝ

Context: a : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Set.Ici a)

Context: hft : Filter.Tendsto f Filter.atTop Filter.atTop

Context: hff' : ∀ x ∈ Set.Ioi a, HasDerivWithinAt f (f' x) (Set.Ioi x) x

Context: hg_cont : ContinuousOn g (f '' Set.Ioi a)

Context: hg1 : MeasureTheory.IntegrableOn g (f '' Set.Ici a) MeasureTheory.volume

Context: hg2 : MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => (g ∘ f) x * f' x) (Set.Ici a) MeasureTheory.volume

∫ (x : ℝ) in Set.Ioi a, (g ∘ f) x * f' x = ∫ (u : ℝ) in Set.Ioi (f a), g u


Context:
N : ℕ
j : ℝ
hj : 0 < j
c : ℝ
hc : 1 < c

∑ i ∈ Finset.filter (fun x => j < ↑⌊c ^ x⌋₊) (Finset.range N), 1 / ↑⌊c ^ i⌋₊ ^ 2 ≤ c ^ 5 * (c - 1)⁻¹ ^ 3 / j ^ 2


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Nontrivial B
x : A

(minpoly A ((algebraMap A B) x)).degree = 1


Context:
C : Type u
𝒞 : CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C × C × C
f : X ⟶ Y

(CategoryTheory.MonoidalCategory.leftAssocTensor C).map f =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorHom f.1 f.2.1) f.2.2


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M

b.repr.symm (Finsupp.single i c) = b.repr.symm (c • Finsupp.single i 1)


Context: a b : Ordinal.{u}


Context:
R : Type u_1
Semiring R
p : Polynomial R
S : Type u_2
NonAssocSemiring S
Module R S
IsScalarTower R S S
Pow S ℕ
NatPowAssoc S
x : S
n : ℕ

(p * Polynomial.X ^ n).smeval x = p.smeval x * x ^ n


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m✝ m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: H : ∀ (f : ℕ → α → E), (∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ) → ∀ (B : ℕ → ℝ≥0∞), ∑' (i : ℕ), B i < ⊤ → (∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N) → ∃ f_lim, Memℒp f_lim p μ ∧ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)

Context: B : ℕ → ℝ := fun n => (1 / 2) ^ n

Context: hB_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n

Context: f : ℕ → ↥(Lp E p μ)

Context: hf : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (f n) (f m) < B N

Context: M : ℝ

Context: hB : HasSum B M

Context: B1 : ℕ → ℝ≥0∞ := fun n => ENNReal.ofReal (B n)

Context: hB1_has : HasSum B1 (ENNReal.ofReal M)

Context: hB1 : ∑' (i : ℕ), B1 i < ⊤

Context: f1 : ℕ → α → E := fun n => ↑↑(f n)

Context: N n m : ℕ

Context: hn : N ≤ n

Context: hm : N ≤ m


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : Invertible 2

IsUnit (2 ^ 4) ∧ IsUnit W.Δ ↔ IsUnit W.Δ


Context:
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
z : ℂ
hz : z ∈ spectrum ℂ a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 1 ≤ a


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
A : Set X
x : X


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.12624, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.ShortExact
h₂ : S₂.ShortExact
inst✝¹ : IsIso φ.τ₁
inst✝ : IsIso φ.τ₃
this✝¹ : Mono S₁.f
this✝ : Mono S₂.f
this : Epi S₁.g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : SimpleGraph α
n : ℕ
f : α ↪ β
Nonempty α

(SimpleGraph.map f G).CliqueFree n ↔ G.CliqueFree n


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: S✝ : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommSemiring S✝

Context: inst✝⁵ : Algebra R✝ S✝

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring P

Context: inst✝³ : IsLocalization M S✝

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: r : R

Context: hr : IsUnit r

Context: H : Function.Bijective ⇑(algebraMap R S)

Context: n : ℕ

IsUnit ((algebraMap R S) ↑⟨(fun x => r ^ x) n, ⋯⟩)


Context:
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
f g : BoundedContinuousFunction α β

nndist f g = sInf {C | ∀ (x : α), nndist (f x) (g x) ≤ C}


Context:
A : Type u_1
SeminormedCommGroup A
m : ℕ
δ : ℝ
n : ℕ
hm : 0 < m

(fun y => y ^ m) '' approxOrderOf A (n * m) δ ⊆ approxOrderOf A n (↑m * δ)


Context:
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hca : c ∣ a
h : ¬c = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
x : R
i✝ j✝ : n

(toMatrix v₁ v₁) (DistribMulAction.toLinearMap R M₁ x) i✝ j✝ = Matrix.diagonal (fun x_1 => x) i✝ j✝


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
this✝¹ : LocallyCompactSpace H
this✝ : LocallyCompactSpace M
this : SecondCountableTopology H


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a✝ b✝ c d a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2


Context:
σ : Type u
R : Type v
inst✝ : CommSemiring R
p✝ m : ℕ
p : MvPolynomial σ R
n : ℕ

p ∈ restrictDegree σ R n ↔ ∀ s ∈ p.support, ∀ (i : σ), s i ≤ n


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: AddCommMonoid M

Context: w : σ → M

Context: m : M

Context: p : MvPolynomial σ R

Context: hp : MvPolynomial.IsWeightedHomogeneous w p m

(MvPolynomial.weightedHomogeneousComponent w m) p = p


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p q P : α → Prop


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
OpensMeasurableSpace α
b : ι → α
hb : Filter.Tendsto b l Filter.atTop
NoMaxOrder α

MeasureTheory.AECover μ l fun i => Set.Iio (b i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_4
EMetricSpace α
FunLike F α β
PseudoEMetricSpace β
DilationClass F α β
f : F


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommSemiring R
f : α → R
s : Finset α
inst✝ : CommSemiring R
x : α → R
n : ℕ

s.sum x ^ n = ∑ i : { x // x ∈ s.sym n }, ↑(↑↑i).multinomial * (Multiset.map x ↑↑i).prod


Context:
R : Type u_2
CommSemiring R
n m : ℕ
f : PowerSeries R
h : n < m

(PowerSeries.coeff R n) ↑(PowerSeries.trunc m f) = (PowerSeries.coeff R n) f


Context:
B : Type u
Quiver B
a b c : CategoryTheory.FreeBicategory B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c

CategoryTheory.FreeBicategory.Hom.comp f g = CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K U V : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection U

Context: h : (orthogonalProjection U).comp V.subtypeL = 0

Context: u : E

Context: hu : u ∈ U

Context: v : E

Context: hv : v ∈ V


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
l : List ι
i : ℕ
h : i < l.length

(take i l).length + (drop (i + 1) l).length + 1 = i + (drop (i + 1) l).length + 1


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup R
inst✝ : StarAddMonoid R
x : R

x ∈ (skewAdjoint R).carrier ↔ star x = -x


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: I : Type u_3

Context: J : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Zero I

Context: inst✝⁴ : DecidableEq I

Context: inst✝³ : HasInitial C

Context: F : D ⥤ C ⥤ D

Context: Y : C

Context: e : F.flip.obj Y ≅ 𝟭 D

Context: inst✝² : (X : D) → PreservesColimit (Functor.empty C) (F.obj X)

Context: p : J × I → J

Context: hp : ∀ (j : J), p (j, 0) = j

Context: X X' : GradedObject J D

Context: φ : X ⟶ X'

Context: inst✝¹ : (((mapBifunctor F J I).obj X).obj ((single₀ I).obj Y)).HasMap p

Context: inst✝ : (((mapBifunctor F J I).obj X').obj ((single₀ I).obj Y)).HasMap p

Context: j : J

Cofan.inj (mapBifunctorRightUnitorCofan F Y e p hp X j) ⟨(j, 0), ⋯⟩ = (F.obj (X j)).map (singleObjApplyIso 0 Y).hom ≫ e.hom.app (X j)


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: X Y : C

Context: CategoryTheory.Limits.HasBinaryProduct X Y

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

CategoryTheory.IsPullback CategoryTheory.Limits.prod.fst CategoryTheory.Limits.prod.snd 0 0


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R


Context:
Ω : Type u_1
MeasurableSpace Ω
TopologicalSpace Ω
HasOuterApproxClosed Ω
BorelSpace Ω


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
a : α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: h : ∀ (x' : E), ‖x' - x‖ = 0 → ‖f x' - f x - f' (x' - x)‖ = 0

Tendsto (fun x_1 => ‖f x_1 - f x - f' (x_1 - x)‖ / ‖x_1 - x‖) L (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - f' (x' - x)‖) L (𝓝 0)


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
ι : Type u_1
inst✝ : Unique ι
h : finrank K V = 1
v : V
hv : v ≠ 0


Context: x✝ y x : ℝ


Context: α : Type u_1

Context: Preorder α

Context: a b c : α

Context: hab : a ⩿ b

Context: hbc : AntisymmRel (fun x x_1 => x ≤ x_1) b c


Context:
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subfield K
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : K


Context: n : Int


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: μ : Measure ℝ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : l.NeBot

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b : ι → ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: I a₀ b₀ : ℝ

Context: hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc (a i) (b i)) volume

Context: ha : Tendsto a l (𝓝 a₀)

Context: hb : Tendsto b l (𝓝 b₀)

Context: h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ≤ I

Context: i : ι

Context: hi : ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ≤ I


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
γ : Sort u_3
t : γ → Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)

ProjectiveSpectrum.vanishingIdeal (⋃ i, t i) = ⨅ i, ProjectiveSpectrum.vanishingIdeal (t i)


Context: x y : SetTheory.PGame


Context:
R : Type u_1
OrderedRing R
x : R


Context:
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
k : ℕ
hk : k ∉ A
hk' : k > 0

filter (fun x => x ∈ A) (Ioo 0 k) ⊆ Ioo 0 k


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f : Sym2 α → Sym2 β → Prop

Context: i : Sym2 α

Context: j : Sym2 β

Context: hf : ∀ (a₁ a₂ : α) (b₁ b₂ : β), f s(a₁, a₂) s(b₁, b₂)


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y x✝¹ : E
x✝ : x✝¹ ∈ s