Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsPrime

Context: p q : R[X]

Context: hfl : (p * q).leadingCoeff ∉ P

Context: hfP : ∀ (n : ℕ), ↑n < (p * q).degree → (p * q).coeff n ∈ P

Context: hfd0✝ : 0 < (p * q).degree

Context: h0 : (p * q).coeff 0 ∉ P ^ 2

Context: hu : (p * q).IsPrimitive

Context: hf0 : p * q ≠ 0

Context: hf : map (mk P) p * map (mk P) q = C ((mk P) (p * q).leadingCoeff) * X ^ (p * q).natDegree

Context: hfd0 : 0 < (p * q).natDegree


Context:
p : EReal × EReal
h₁ : p.1 ≠ 0 ∨ p.2 ≠ ⊥
h₂ : p.1 ≠ 0 ∨ p.2 ≠ ⊤
h₃ : p.1 ≠ ⊥ ∨ p.2 ≠ 0
h₄ : p.1 ≠ ⊤ ∨ p.2 ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
f : α ↪ β
b✝ : ↑(Set.range ⇑f)
inst✝ : Nonempty α
b : β
h : b ∈ Set.range ⇑f

f ((Set.range ⇑f).restrict (invFun ⇑f) ⟨b, h⟩) = f (f.invOfMemRange ⟨b, h⟩)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : Group G'
inst✝⁵ : Group G''
A : Type u_4
inst✝⁴ : AddGroup A
M : Type u_5
S : Type u_6
inst✝³ : DivInvMonoid M
inst✝² : SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H✝ K✝ : S
inst✝¹ : SetLike S G
inst✝ : SubgroupClass S G
H K L : S
h : ↑H ⊆ ↑K ∪ ↑L


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : OrderBot α

Context: s✝ : Finset ι

Context: f✝ : ι → α

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: s : Finset ι'

Context: g : ι' → Finset ι

Context: f : ι → α

Context: hs : (↑s).PairwiseDisjoint fun i => (g i).sup f

Context: hg : ∀ i' ∈ s, (↑(g i')).PairwiseDisjoint f


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk u w

(p.reverseAux q).length = p.length + q.length


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s
a : α

Measurable fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)


Context:
α : Type u_1
a : α
l : List α


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
β : Type u_2
Preorder β
f : α → β
x : α
s : Set α
h : UpperSemicontinuousAt f x


Context:
R : Type u_1
b c d : R
Semiring R

{ a := 0, b := b, c := c, d := d }.toPoly.degree ≤ 2


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
r x : ℝ
hr : 0 < r
ε : ℝ
L₁ L₂ : F
h₁ : x ∈ A f L₁ r ε
h₂ : x ∈ A f L₂ r ε


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : AddMonoid ι

Context: inst✝ : Semiring M

Context: to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }

Context: x✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring

Context: xi : ι

Context: xv : M

Context: yi : ι

Context: yv : M

(⇑to_hom ∘ ⇑(AddMonoidHom.mul (Finsupp.single xi xv))) (Finsupp.single yi yv) = ((AddMonoidHom.mul.comp to_hom) (Finsupp.single xi xv)) (to_hom (Finsupp.single yi yv))


Context:
X Y : CompactlyGenerated
f : ↑X.toTop ≃ₜ ↑Y.toTop

(CompactlyGenerated.isoOfHomeo f).hom = { toFun := ⇑f, continuous_toFun := ⋯ }


Context:
R : Type u_1
E : Type u_5
Semiring R
SeminormedAddCommGroup E
Module R E
f : E →ₗᵢ[R] E
n : ℕ


Context:
Ω : Type u_1
mΩ✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
f : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
Mf Mg mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
hMf : Mf ≤ mΩ
hMg : Mg ≤ mΩ
h_ind : Indep Mf Mg μ
h_meas_f : Measurable f

∀ {g : Ω → ℝ≥0∞}, Measurable g → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * g ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), g ω ∂μ


Context: X : Type u

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : CompactSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: h : Projective X

Context: U : Set X

Context: hU : IsOpen U

Context: Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}

Context: Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}

Context: Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂

Context: hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂

Context: hZ₁ : IsClosed Z₁

Context: hZ₂ : IsClosed Z₂

Context: hZ : IsClosed Z

Context: f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_sur : Surjective f

Context: this : CompactSpace ↑Z

Context: g : X → ↑Z

Context: hg : Continuous g

Context: g_sec : f ∘ g = id

Context: φ : X → X × Bool := Subtype.val ∘ g

Context: hφ : Continuous φ


Context:
m✝ n a b c d m : ℕ
h : ↑(m * n) ∣ ↑b - ↑a

↑n ∣ ↑b - ↑a


Context:
α : Type u_1
f g h✝ : Perm α
h : f.Disjoint g
x : α


Context:
p q : Prop
dpq : Decidable (p ∨ q)
dp : Decidable p
dq : Decidable q


Context:
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A : Matrix n n α
β : Type u_1
s : Finset β
f : β → n → α

∑ x ∈ s, A.cramer (f x) = A.cramer (∑ x ∈ s, f x)


Context: m n : ℕ


Context:
G : Type u_3
Semigroup G
a b c : G
h : SemiconjBy a b c

Function.Semiconj (fun x => a * x) (fun x => b * x) fun x => c * x


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x a c d : ℝ

Context: l : Filter ℝ

Context: hl : l ≤ 𝓝[≠] x

Context: hf : Tendsto (fun y => (f y - d) / (y - x)) l (𝓝 a)

Context: h' : Tendsto (fun y => y + c * (y - x) ^ 2) l l

Context: L : Tendsto (fun y => (y + c * (y - x) ^ 2 - x) / (y - x)) l (𝓝 1)

Context: Z : Tendsto (fun x_1 => ((fun y => (f y - d) / (y - x)) ∘ fun y => y + c * (y - x) ^ 2) x_1 * ((x_1 + c * (x_1 - x) ^ 2 - x) / (x_1 - x))) l (𝓝 a)

Tendsto (fun y => (f (y + c * (y - x) ^ 2) - d) / (y - x)) l (𝓝 a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
X✝ Y✝ Z✝ : Pointed
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝

{ obj := fun X => { x // x ≠ X.point }, map := fun {X Y} f => PFun.toSubtype (fun x => x ≠ Y.point) f.toFun ∘ Subtype.val }.map (f ≫ g) = { obj := fun X => { x // x ≠ X.point }, map := fun {X Y} f => PFun.toSubtype (fun x => x ≠ Y.point) f.toFun ∘ Subtype.val }.map f ≫ { obj := fun X => { x // x ≠ X.point }, map := fun {X Y} f => PFun.toSubtype (fun x => x ≠ Y.point) f.toFun ∘ Subtype.val }.map g


Context:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞

ContDiff 𝕜 n f ↔ HasFTaylorSeriesUpTo n f (ftaylorSeries 𝕜 f)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C

Context: W X Y Z : C

Context: f : W ⟶ Y

Context: g : X ⟶ Z

Context: inst✝ : IsIso (biprod.map f g)

Context: t : f ≫ biprod.inl ≫ inv (biprod.map f g) ≫ biprod.fst = biprod.inl ≫ biprod.fst

f ≫ biprod.inl ≫ inv (biprod.map f g) ≫ biprod.fst = 𝟙 W


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: d : Set α → ℝ := fun s => ↑(μ s).toNNReal - ↑(ν s).toNNReal

Context: c : Set ℝ := d '' {s | MeasurableSet s}

Context: γ : ℝ := sSup c

Context: hμ : ∀ (s : Set α), μ s ≠ ⊤

Context: hν : ∀ (s : Set α), ν s ≠ ⊤

Context: to_nnreal_μ : ∀ (s : Set α), ↑(μ s).toNNReal = μ s

Context: to_nnreal_ν : ∀ (s : Set α), ↑(ν s).toNNReal = ν s

Context: d_split : ∀ (s t : Set α), MeasurableSet t → d s = d (s \ t) + d (s ∩ t)

Context: d_Union : ∀ (s : ℕ → Set α), Monotone s → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋃ n, s n)))

Context: d_Inter : ∀ (s : ℕ → Set α), (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)) → (∀ (n m : ℕ), n ≤ m → s m ⊆ s n) → Tendsto (fun n => d (s n)) atTop (𝓝 (d (⋂ n, s n)))

Context: bdd_c : BddAbove c

Context: c_nonempty : c.Nonempty

Context: d_le_γ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → d s ≤ γ

Context: this : ∀ (n : ℕ), ∃ s, MeasurableSet s ∧ γ - (1 / 2) ^ n < d s

Context: e : ℕ → Set α

Context: he : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (e x) ∧ γ - (1 / 2) ^ x < d (e x)

Context: he₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (e n)

Context: he₂ : ∀ (n : ℕ), γ - (1 / 2) ^ n < d (e n)

Context: f : ℕ → ℕ → Set α := fun n m => (Finset.Ico n (m + 1)).inf e

Context: hf : ∀ (n m : ℕ), MeasurableSet (f n m)

Context: f_subset_f : ∀ {a b c d : ℕ}, a ≤ b → c ≤ d → f a d ⊆ f b c

Context: f_succ : ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → f n (m + 1) = f n m ∩ e (m + 1)

Context: le_d_f : ∀ (n m : ℕ), m ≤ n → γ - 2 * (1 / 2) ^ m + (1 / 2) ^ n ≤ d (f m n)

Context: s : Set α := ⋃ m, ⋂ n, f m n

Context: γ_le_d_s : γ ≤ d s

∃ s, MeasurableSet s ∧ (∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ s → ν t ≤ μ t) ∧ ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → t ⊆ sᶜ → μ t ≤ ν t


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid A

Context: inst✝⁵ : Sub A

Context: inst✝⁴ : OrderedSub A

Context: inst✝³ : ContravariantClass A A (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : HasAntidiagonal A

Context: n m : A

Context: inst✝¹ : DecidablePred fun x => x = m

Context: inst✝ : Decidable (m ≤ n)

Context: this : (fun x => x.2 = m) ∘ Prod.swap = fun x => x.1 = m

map { toFun := Prod.swap, inj' := ⋯ } (filter ((fun x => x.2 = m) ∘ ⇑{ toFun := Prod.swap, inj' := ⋯ }) (antidiagonal n)) = if m ≤ n then {(n - m, m)} else ∅


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
s : Set X


Context: z τ : ℂ

jacobiTheta₂' (z + τ) τ = cexp (-↑π * I * (τ + 2 * z)) * (jacobiTheta₂' z τ - 2 * ↑π * I * jacobiTheta₂ z τ)


Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: CommRing R

Context: AddCommGroup M

Context: AddCommGroup N

Context: Module R M

Context: Module R N

Context: toFun : M → N

Context: toFun_smul : ∀ (a : R) (x : M), toFun (a • x) = (a * a) • toFun x

Context:
polar_add_left :
  ∀ (x x' y : M), QuadraticMap.polar toFun (x + x') y = QuadraticMap.polar toFun x y + QuadraticMap.polar toFun x' y

Context: polar_smul_left : ∀ (a : R) (x y : M), QuadraticMap.polar toFun (a • x) y = a • QuadraticMap.polar toFun x y

∀ (a : M), (QuadraticMap.ofPolar toFun toFun_smul polar_add_left polar_smul_left) a = toFun a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : ProbabilityTheory.Kernel α β

Context: f : α × β → StieltjesFunction

Context: ProbabilityTheory.IsFiniteKernel κ

Context: hf : ProbabilityTheory.IsCondKernelCDF f κ ν

Context: a : α

Context: s : Set (β × ℝ)

Context: hs : MeasurableSet s

∫⁻ (b : β), ((ProbabilityTheory.IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) {y | (b, y) ∈ s} ∂ν a = (κ a) s


Context:
X : Type u_1
F : Type u_4
MeasurableSpace X
𝕜 : Type u_5
NormedField 𝕜
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure X
c : 𝕜
f : ↥(MeasureTheory.Lp F p μ)
s : Set X

MeasureTheory.Memℒp.toLp ↑↑(c • f) ⋯ = c • MeasureTheory.Memℒp.toLp ↑↑f ⋯


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ₑ D

(CategoryTheory.LeftExactFunctor.ofExact C D).obj F = { obj := F.obj, property := ⋯ }


Context:
R : Type u_1
CommRing R
S : Type u_2
CommRing S
f : R →+* S
n ν : ℕ

Polynomial.map f (bernsteinPolynomial R n ν) = bernsteinPolynomial S n ν


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K

Context: U : LieSubalgebra K L

Context: x : L

Context: hxU : x ∈ U

Context: y : L

Context: hyU : y ∈ U

Context: Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩

Context: Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩

Context: hUle : U ≤ ↑Ex

Context: hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E

Context: E : LieSubmodule K (↥U) L := let __src := engel K x; { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }

Context: hx₀ : x ≠ 0

Context: Q : Type u_2 := L ⧸ E

Context: r : ℕ := finrank K ↥↑E

Context: hr : r < finrank K L

Context: x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩

Context: y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩

Context: u : ↥U := y' - x'

Context: χ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K (↥↑E) x' u

Context: ψ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K Q x' u

Context: i : ℕ

Context: hi : i < r

Context: hi0 : i ≠ 0


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

Context: F : CategoryTheory.Functor C D

Context: d : D

Context: X : (CategoryTheory.CostructuredArrow F d)ᵒᵖ

(CategoryTheory.CostructuredArrow.toStructuredArrow F d).obj X =
  CategoryTheory.StructuredArrow.mk (Opposite.unop X).hom.op


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: N✝ N' : LieSubmodule R L M

Context: I J : LieIdeal R L

Context: ι : Sort u_1

Context: N : ι → LieSubmodule R L M

Context: C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, N i → Prop

Context: hN : ∀ (i : ι) (x : M) (hx : x ∈ N i), C x ⋯

Context: h0 : C 0 ⋯

Context: hadd : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, N i) (hy : y ∈ ⨆ i, N i), C x hx → C y hy → C (x + y) ⋯

Context: x : M

Context: hx : x ∈ ⨆ i, N i


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
f : G →* G'

Nat.card ↥f.range = Nat.card ↑(Set.range ⇑f)


Context:
F : Type u_1
Field F
ι : Type u_2
DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s

(Lagrange.basis s v i).natDegree = s.card - 1


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K

IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_succ_n ↔ ∃ ifp_n, IntFractPair.stream v n = some ifp_n ∧ ifp_n.fr ≠ 0 ∧ IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹ = ifp_succ_n


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a x : G

(∃ i, a⁻¹ * (↑i)⁻¹ * x ∈ ↑K) ↔ ∃ x_1 ∈ ↑H, ∃ y ∈ ↑K, x = x_1 * a * y


Context:
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : 𝕜 → G
hf : Differentiable 𝕜 f
hf' : ∀ (x : 𝕜), deriv f x = 0
x y : 𝕜


Context:
α : Type u_2
self : NormedOrderedAddGroup α
x y : α


Context:
α : Type u_1
LinearOrder α
IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : a < wellOrderSucc b


Context:
M : Type u_1
AddZeroClass M
S : AddSubmonoid M


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: CommMonoid α

Context: TopologicalSpace α

Context: T2Space α

Context: ContinuousMul α

Context: DecidableEq β

Context: f : β → α

Context: b : β

Context: hf : Multipliable (Function.update f b 1)

∏' (x : β), f x = f b * ∏' (x : β), if x = b then 1 else f x


Context:
x✝ y z : ℝ
n : ℕ
x : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
n : ℤ

pure (IntCast.intCast (n + 1)) ≤ 𝓝[≥] ↑(n + 1)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
s : Opens α

CompleteLattice.IsCompactElement s ↔ IsCompact ↑s


Context:
R : Type u_2
Add R
Mul R
r : R → R → Prop

ringConGen r = sInf {s | ∀ (x y : R), r x y → s x y}


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
y : Y
f : X → Z

(Inducing fun x => (f x, y)) ↔ Inducing f


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: CategoryTheory.Category.{max v u, w} D

Context: CategoryTheory.ConcreteCategory D

Context: CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget D)

Context: ∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)

Context: ∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: (X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (CategoryTheory.forget D)

Context: (CategoryTheory.forget D).ReflectsIsomorphisms

∀ {X Y : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D} (η : X ⟶ Y), ((CategoryTheory.plusPlusSheaf J D).map η).val = J.sheafifyMap η


Context: J : Type w

Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: f : J → (X ⟶ Y)

Context: CategoryTheory.Limits.HasWideCoequalizer f

Context: Nonempty J

Context: W : C

Context: k : Y ⟶ W

Context: h : ∀ (j₁ j₂ : J), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f j₁) k = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f j₂) k

CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.wideCoequalizer.π f)
    (CategoryTheory.Limits.wideCoequalizer.desc k h) =
  k


Context:
R : CommRingCat
f : ↑Γ(Spec R, ⊤)

(Spec R).basicOpen f = PrimeSpectrum.basicOpen ((Scheme.ΓSpecIso R).hom f)


Context:
R : Type u_1
CommRing R
IsDomain R
n : ℕ
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
α a : R
hn : 0 < n
e : α ^ n = a

Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a = ∏ i ∈ Finset.range n, (Polynomial.X - Polynomial.C (ζ ^ i * α))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: s : Meq (J.plusObj P) S

Context: inj : ∀ (X : C), Function.Injective ⇑((J.toPlus P).app (op X))

Context: T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y

Context: t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)

Context: ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)

Context: B : J.Cover X := S.bind T

Context: Z : B.Arrow → C

Context: e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I

Context: e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X

Context: he2 : ∀ (I : B.Arrow), S.sieve.arrows (e2 I)

Context: h✝ : ∀ (I : B.Arrow), (fun Y f h => ((fun Y f hf => (T { Y := Y, f := f, hf := hf }).sieve) Y f h).arrows) (Z I) (e2 I) ⋯ (e1 I)

Context: a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f

Context: w : Meq P B := meqOfSep P hsep X S s T t ht


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : ∀ (x : α), (𝓝[<] x).NeBot

Context: s : Set α

Context: hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s

Context: x : α

Context: hx : x ∈ interior s

Context: this : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝 x, y ∈ s


Context:
G : Type w
TopologicalSpace G
InvolutiveNeg G
ContinuousNeg G
s : Set G
hs : IsClosed s


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
J K : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
CategoryTheory.Category.{v₂, u₁} K
F : J ⥤ C
G : K ⥤ C
h : F.cones ≅ G.cones
CategoryTheory.Limits.HasLimit F


Context:
b e : String.Pos
s : Substring

s.Valid → { str := s.toString, startPos := b, stopPos := e }.Valid → (s.extract b e).toString = s.toString.extract b e


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝ : LocallyConnectedSpace α
F : Set α
x : α
hF : IsOpen F
y : α
hy : y ∈ connectedComponentIn F x


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hi : Irreducible p
x : R
hx : p.IsRoot x
g : R[X]
hg : p = (X - C x) * g
this : IsUnit (X - C x) ∨ IsUnit g
h : IsUnit (X - C x)
h₁ : (X - C x).degree = 1


Context:
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
Zero β
f : BoundedContinuousFunction α β


Context:
α : Type u_1
l : Filter α
s t : Set α
h : s ⊆ t


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
C : β → Type u_7
(b : β) → SemilatticeInf (C b)
(b : β) → OrderTop (C b)
s : Finset α
f : α → (b : β) → C b
b : β


Context:
f : ℂ ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1

f = LinearIsometryEquiv.refl ℝ ℂ ∨ f = Complex.conjLIE


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
hg : UniformConvexOn s ψ g


Context:
R : Type u
Ring R
I : Ideal R

I.jacobson = I ↔ ∃ M, (∀ J ∈ M, J.IsMaximal ∨ J = ⊤) ∧ I = sInf M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
CommGroup α
UniformSpace α
UniformGroup α
f : β → α

(CauchySeq fun s => ∏ b ∈ s, f b) ↔ ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∏ b ∈ t, f b ∈ e


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
Zero β
SMulZeroClass α β
DecidableEq β
t : Finset β
a : α
h : 0 ∈ t


Context:
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
IsEmpty β


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedField α
ε a₁ a₂ b₁ b₂ : α

|a₁ - b₁| < ε → |a₂ - b₂| < ε → |a₁ ⊔ a₂ - b₁ ⊔ b₂| < ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : PredOrder α

Context: a b : α

Context: C : α → Sort u_2

Context: inst✝ : WellFoundedGT α

Context: H_pred : (a : α) → ¬IsMin a → C a → C (pred a)

Context: H_lim : (a : α) → IsPredLimit a → ((b : α) → b > a → C b) → C a

Context: ha : ¬IsMin a

Context: h : ¬IsPredLimit (pred a)

(let x := Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬IsMin x ∧ pred x = pred a) ⋯; ⋯ ▸ H_pred ↑x ⋯ ((fun y x => ⋯.fix (fun a IH => if h : IsPredLimit a then H_lim a h IH else let x := Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬IsMin x ∧ pred x = a) ⋯; ⋯ ▸ H_pred ↑x ⋯ (IH ↑x ⋯)) y) ↑x ⋯)) = H_pred a ha (PredOrder.limitRecOn a H_pred H_lim)


Context:
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
h : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
CategoryTheory.Epi f.val.base


Context:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n

(0 ≤ if x.val ≤ n / 2 then ↑x.val else ↑x.val - ↑n) ↔ x.val ≤ n / 2


Context: R : Type u_1

Context: AddMonoid R

Context: S : AddSubmonoid R

Context: AddOreLocalization.AddOreSet S

Context: X : Type u_3

Context: AddAction R X

Context: C : Sort u_2

Context: P : X → ↥S → X → ↥S → C

Context:
hP :
  ∀ (r₁ : X) (t₁ : R) (s₁ : ↥S) (ht₁ : t₁ + ↑s₁ ∈ S) (r₂ : X) (t₂ : R) (s₂ : ↥S) (ht₂ : t₂ + ↑s₂ ∈ S),
    P r₁ s₁ r₂ s₂ = P (t₁ +ᵥ r₁) ⟨t₁ + ↑s₁, ht₁⟩ (t₂ +ᵥ r₂) ⟨t₂ + ↑s₂, ht₂⟩

Context: r₁ : X

Context: s₁ : ↥S

Context: r₂ : X

Context: s₂ : ↥S

AddOreLocalization.lift₂Expand P hP (r₁ -ₒ s₁) (r₂ -ₒ s₂) = P r₁ s₁ r₂ s₂


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s t : Set E

(convexHull R) (s - t) = (convexHull R) s - (convexHull R) t


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : 2 * n < j


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
a b : List α

a.toFinset = b.toFinset ↔ ∀ (x : α), x ∈ a ↔ x ∈ b


Context: z : ℂ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
x y : α × β

Prod.Lex r s x y ↔ r x.1 y.1 ∨ x.1 = y.1 ∧ s x.2 y.2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι' : Sort u_5
la : Filter α
lb : Filter β
pb : ι' → Prop
sb : ι' → Set β
f : α → β
H : Filter.Tendsto f la lb
hlb : lb.HasBasis pb sb
i : ι'


Context:
α : Type u_1
CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
Sub α
OrderedSub α
a b : α
ha : AddLECancellable a


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁹ : CommSemiring R
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁷ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R₁
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁴ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
inst✝⁸ : Module R M'✝
inst✝⁷ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : FiniteDimensional K V
ι✝ : Type u_10
inst✝³ : DecidableEq ι✝
inst✝² : Finite ι✝
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
ι : Type u_11
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι K V
i j : ι

(B ((B.dualBasis hB (B.flip.dualBasis ⋯ b)) i)) ((B.flip.dualBasis ⋯ b) j) = (B (b i)) ((B.flip.dualBasis ⋯ b) j)


Context:
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q


Context:
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
GroupWithZero G₀
Bornology G₀
MulAction G₀ α
t : Set α
ι : Type u_3
I : Set ι
hI : I.Finite
s : ι → Set α

Absorbs G₀ (⋂ i ∈ I, s i) t ↔ ∀ i ∈ I, Absorbs G₀ (s i) t


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u : Set α
p : Prop
inst✝ : Decidable p
t : p → Set α
x : α

(x ∈ if h : p then t h else ∅) ↔ ∃ (h : p), x ∈ t h


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
κ : ProbabilityTheory.Kernel α α
μ : MeasureTheory.Measure α
hκ : κ.Invariant μ

κ ∘ₖ ProbabilityTheory.Kernel.const α μ = ProbabilityTheory.Kernel.const α μ


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} A

Context: D : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D

Context: inst✝ : HasWeakSheafify J D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η γ : sheafify J P ⟶ Q

Context: hQ : Presheaf.IsSheaf J Q

Context: h : toSheafify J P ≫ η = toSheafify J P ≫ γ

sheafifyLift J (toSheafify J P ≫ η) hQ = γ


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω

Context: s t u : Set Ω

Context: hs : s.Finite

Context: hs' : s.Nonempty

Context: ht : s ⊆ t

Context: this : IsProbabilityMeasure (condCount s)


Context:
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
h : X ≃ₜ Y
f : Y → Z


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
A : Set X
f : X → β
hf1 : Continuous f
hf2 : Function.Injective f
x : β
hx : ∃ x_1, AccPt x_1 (𝓟 A) ∧ f x_1 = x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p μ < B N

Context: h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i => f (i + 1) x - f i x

Context: h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) x - f i x)) atTop (𝓝 l)

∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
S : CategoryTheory.ShortComplex C
s : S.Splitting
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive


Context:
α : Type u
Group α
i : ℕ
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedRing α
LinearOrderedAddCommGroup β
Module α β
PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β

a • b ≤ 0 ↔ (a < 0 → 0 ≤ b) ∧ (0 < b → a ≤ 0)


Context: X : ℕ → Type u

Context: inst✝ : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)

Context: f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)

Context: I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)

Context: n : ℕ

Context: h : PseudoMetricSpace ((n : ℕ) × X n) := inductivePremetric I

Context: x✝ : TopologicalSpace ((n : ℕ) × X n) := UniformSpace.toTopologicalSpace

Context: x : X n


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Final
CategoryTheory.IsFiltered C


Context:
n : Type u_4
α : Type u_5
ι : Type u_7
Fintype n
Unique ι
SeminormedAddCommGroup α
v : n → α

‖Matrix.col ι v‖₊ = ‖(WithLp.equiv 2 (n → α)).symm v‖₊


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
DecidableEq n
Fintype n
Fintype m
DecidableEq m
M : Matrix l m R
N : Matrix m n R
x : n → R

(Matrix.toLin' (M * N)) x = (Matrix.toLin' M) ((Matrix.toLin' N) x)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hμ : μ ≠ 0

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hN : μ N = 0

Context: this : 0 < μ ({x | f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ} \ N)


Context:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : 𝕜 → F
f' g' : F
x : 𝕜
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hg : HasStrictDerivAt g g' x

HasStrictDerivAt (fun x => f x - g x) (f' - g') x


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: Group G

Context: MulAction G α

Context: FaithfulSMul G α

Context: g h : G

Context: ne_one : g ≠ 1

Context: disjoint : Disjoint (MulAction.fixedBy α g)ᶜ (h • (MulAction.fixedBy α g)ᶜ)


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s

intrinsicClosure 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicClosure 𝕜 s


Context: α : Type u_1

Relation.Comp List.Perm List.Perm = List.Perm


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: hb : AddLECancellable b

Context: hba : b ≤ a


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
v : α → M
l : α →₀ R

(Finsupp.total α M R v) l = l.sum fun i a => a • v i


Context: z τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: T : ℝ

Context: hT : 0 < T

Context: hτ' : T < τ.im

Context: S : ℝ

Context: hz : |z.im| < S

Context: V : Set (ℂ × ℂ) := {u | |u.im| < S} ×ˢ {v | T < v.im}

Context: hVo : IsOpen V

Context: hVmem : (z, τ) ∈ V

Context: hVp : IsPreconnected V

Context: f : ℤ → ℂ × ℂ → ℂ := fun n p => jacobiTheta₂_term n p.1 p.2

Context: f' : ℤ → ℂ × ℂ → ℂ × ℂ →L[ℂ] ℂ := fun n p => jacobiTheta₂_term_fderiv n p.1 p.2

Context: hf : ∀ (n : ℤ), ∀ p ∈ V, HasFDerivAt (f n) (f' n p) p

Context: u : ℤ → ℝ := fun n => 3 * π * ↑|n| ^ 2 * rexp (-π * (T * ↑n ^ 2 - 2 * S * ↑|n|))

Context: hu : ∀ (n : ℤ), ∀ x ∈ V, ‖f' n x‖ ≤ u n

Context: hu_sum : Summable u

Context: hf_sum : Summable fun n => f n (z, τ)

HasFDerivAt (fun p => jacobiTheta₂ p.1 p.2) (jacobiTheta₂_fderiv z τ) (z, τ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
g : β → γ
h : Function.Injective (g ∘ f)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: S✝ : Submonoid R

Context: M : Type w

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: t : Finset R

Context: ht : Ideal.span ↑t = ⊤

Context: Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1

Context: inst✝⁷ : (g : { x // x ∈ t }) → AddCommMonoid (Mₚ g)

Context: inst✝⁶ : (g : { x // x ∈ t }) → Module R (Mₚ g)

Context: Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u

Context: inst✝⁵ : (g : { x // x ∈ t }) → CommRing (Rₚ g)

Context: inst✝⁴ : (g : { x // x ∈ t }) → Algebra R (Rₚ g)

Context: inst✝³ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)

Context: inst✝² : (g : { x // x ∈ t }) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)

Context: inst✝¹ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)

Context: f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g

Context: inst✝ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)

Context: H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)

Context: s₁ : (g : { x // x ∈ t }) → Finset (Mₚ g)

Context: s₂ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Submodule.span (Rₚ g) ↑(s₁ g) = ⊤

Context: sf : { x // x ∈ t } → Finset M := fun x => IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ↑x) (f x) (s₁ x)

Context: x : M

Context: r : ↑↑t

Context: S : Submonoid R := Submonoid.powers ↑r

Context: n₁ : ℕ

Context: hn₁ : (f r) (↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • x) ∈ Submodule.span R ↑(s₁ r)

∃ n, ↑r ^ n • x ∈ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)


Context:
𝕜 : Type u_4
NormedDivisionRing 𝕜
CompleteSpace 𝕜
r : 𝕜
hr : ‖r‖ < 1

HasSum (fun n => ↑n * r ^ n) (r / (1 - r) ^ 2)


Context:
X : Type u
x : X
s : Set X
TopologicalSpace X

x ∈ closure s ↔ (Filter.comap Subtype.val (𝓝 x)).NeBot


Context: G : Type u

Context: inst✝ : AddCommGroup G

Context: hG : AddGroup.FG G

Context: n : ℕ

Context: ι : Type

Context: fι : Fintype ι

Context: p : ι → ℤ

Context: hp : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)

Context: e : ι → ℕ

Context: f : G ≃ₗ[ℤ] (Fin n →₀ ℤ) × ⨁ (i : ι), ℤ ⧸ Submodule.span ℤ {p i ^ e i}

G ≃+ (Fin n →₀ ℤ) × ⨁ (i : ι), ZMod ((fun i => (p i).natAbs) i ^ e i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : f.LimZero


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: h e f : L

Context: m : M

Context: μ : R

Context: t : IsSl2Triple h e f

Context: P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ

Context: inst✝³ : IsNoetherian R M

Context: inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : CharZero R

Context: hs : (range fun n => μ - 2 * ↑n).Infinite

Context: contra : ∀ (n : ℕ), ((toEnd R L M) f ^ n) m ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β

f.bind (MeasureTheory.SimpleFunc.const α) = f


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)

Context: mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯

Context: msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯

Context: m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂

Context: s : Set α

Context: hs : (inducedOuterMeasure m P0 m0) s ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: h : (inducedOuterMeasure m P0 m0) s < (inducedOuterMeasure m P0 m0) s + ε

∃ t, P t ∧ s ⊆ t ∧ (inducedOuterMeasure m P0 m0) t ≤ (inducedOuterMeasure m P0 m0) s + ε


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i j : n

(fromBlocks M₁₁ 0 M₂₁ M₂₂).charpoly = M₁₁.charpoly * M₂₂.charpoly


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
CommSemiring R
υ : Type u_6
f : σ → MvPolynomial τ R
g : τ → υ
φ : MvPolynomial σ R

(MvPolynomial.rename g) ((MvPolynomial.bind₁ f) φ) = (MvPolynomial.bind₁ fun i => (MvPolynomial.rename g) (f i)) φ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommMonoid α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: f✝ g✝ : β → α

Context: a a₁ a₂ : α

Context: inst✝² : T2Space α

Context: α' : Type u_5

Context: inst✝¹ : CommMonoid α'

Context: inst✝ : TopologicalSpace α'

Context: e : α' → α

Context: hes : Surjective e

Context: h1 : e 1 = 1

Context: f : β → α

Context: g : γ → α'

Context: h : ∀ {a : α'}, HasProd f (e a) ↔ HasProd g a

Context: hg : ¬Multipliable g

Context: hf : ¬Multipliable f


Context:
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
s : Finset α


Context:
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f g : ↑(X.presheaf.obj (op U))

Subtype.val '' {x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) (f * g))} = (fun a => ↑a) '' ({x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)} ∩ {x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) g)})


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing A
S : Submonoid A
hS : S ≤ A⁰
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsFractionRing A K
B : Type u_3
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsLocalization S B
x : K

x ∈ (mapToFractionRing K S B hS).range ↔ ∃ a s, ∃ (_ : s ∈ S), x = (algebraMap A K) a * ((algebraMap A K) s)⁻¹


Context:
a b : ℝ
ha : a ≤ 0
z : ℂ
hz : |z.im| ≤ b
hb : b ≤ π / 2

abs (cexp (↑a * (cexp z + cexp (-z)))) ≤ rexp (a * Real.cos b * rexp |z.re|)


Context:
α : Type u_1
DivisionCommMonoid α
a b c : α


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
R : Type u_3
M : Type u_5
TopologicalSpace M
SMul R M
ContinuousConstSMul R M
c : R
f : C(α, M)
a : α


Context:
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
L : List A
h : ∀ x ∈ L, x ∈ S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
x : β


Context:
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1


Context:
p q : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
h₂ : d₂ ≠ 0

↑n₁ * ↑d₂ = ↑n₂ * ↑d₁ ↔ n₁ * d₂ = n₂ * d₁


Context: α : Type u

Context: Group α

Context: LT α

Context: CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c : α


Context:
α : Type u
TopologicalSpace α
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝⁶ : SemilatticeSup β
inst✝⁵ : OrderBot β
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderClosedTopology β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
i : ℕ → β
f : α → β
n : ℕ
a : α
hf : Measurable f
k : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
c x : E
hx : x ∈ (fun z => c + z) ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ (fun z => c + z) ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

f (c + (a • x + b • y)) = f (a • (c + x) + b • (c + y))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Option α ≃ Option β
h : e none = none


Context:
R : Type u
x : Tropical R


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
Zero M
DecidableEq α
DecidableEq M
l : AList fun _x => M

l.lookupFinsupp.support = (List.filter (fun x => decide (x.snd ≠ 0)) l.entries).keys.toFinset


Context:
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
b : Ordinal.{0}
h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NFBelow b
h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NF

(e₁.oadd n₁ a₁ - e₂.oadd n₂ a₂).NFBelow b


Context:
α : Type u_1
a b : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulMono α
ha : a ≤ 1
hb : b ≤ 1
a0 : 0 ≤ a


Context:
G : Type u
Group G
a : G ⧸ (MonoidHom.id G).ker

QuotientGroup.quotientBot a = (QuotientGroup.kerLift (MonoidHom.id G)) a


Context:
α : Type u_1
LE α
S : Set (LowerSet α)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N N₁ N₂ P P₁ P₂ : Submodule R M
I : Ideal R


Context:
x y : PSet
h : x.Equiv y


Context:
R : Type u_1
n : Type u_3
DecidableEq n
Semiring R
Fintype n
a : R
i : n

∑ x : n, Finsupp.single x (if i = x then a else 0) = Finsupp.single i a


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: CommRing R

Context: LieRing L

Context: LieAlgebra R L

Context: S : Set L

Context: h₁ : ∀ {a b : L}, a ∈ S → b ∈ S → a + b ∈ S

Context: h₂ : S 0

Context:
h₃ :
  ∀ (c : R) {x : L},
    x ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂ }.carrier →
      c • x ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂ }.carrier

Context:
h₄ :
  ∀ {x y : L},
    x ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂, smul_mem' := h₃ }.carrier →
      y ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂, smul_mem' := h₃ }.carrier →
        ⁅x, y⁆ ∈ { carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂, smul_mem' := h₃ }.carrier

↑{ carrier := S, add_mem' := h₁, zero_mem' := h₂, smul_mem' := h₃, lie_mem' := h₄ } = S


Context:
ι : Type u_1
Fintype ι
I : BoxIntegral.Box ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
π₁ π₂ : BoxIntegral.Prepartition I
h : π₁.iUnion = π₂.iUnion

l.toFilteriUnion I π₁ = l.toFilteriUnion I π₂


Context: α : Type u_1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
a b : n
ha : a ≠ i
c : R
M : Matrix n n R


Context:
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
x y : α

Prime (x * y) ↔ Prime x ∧ IsUnit y ∨ IsUnit x ∧ Prime y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f : ↥(Lp E p μ)

∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range Subtype.val) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 f)


Context:
α : Type u_2
TopologicalSpace α
U : TopologicalSpace.Opens α


Context:
m : Type → Type
ω σ : Type

∀ {α : Type} {p : α → Prop} {x : StateRefT' ω σ m α} [inst : Monad m],
  SatisfiesM p x ↔ ∀ (s : ST.Ref ω σ), SatisfiesM p (x s)


Context: z : ℂ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: MeasurableSpace α

Context: NormedAddCommGroup E

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: MeasurableSpace β

Context: e : α → β

Context: ν : MeasureTheory.Measure β

Context: h₁ : MeasureTheory.MeasurePreserving e μ ν

Context: h₂ : MeasurableEmbedding e

Context: f : β → E

Context: s : Set β

MeasureTheory.IntegrableOn (f ∘ e) (e ⁻¹' s) μ ↔ MeasureTheory.IntegrableOn f s ν


Context:
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
p : α → Prop
q : β → Prop

Setoid.r (toNat p) (toNat q) ↔ ManyOneEquiv p q


Context:
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r✝ r : R → R → Prop
x y : R
w : r x y


Context:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddGroup E
SMul 𝕜 E

∀ (a : Seminorm 𝕜 E) (a_1 : E), (Seminorm.coeFnAddMonoidHom 𝕜 E) a a_1 = a a_1


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁹ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝⁸ : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝⁷ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝⁶ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F

Context: inst✝⁵ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝⁴ : G.IsContinuous J K

Context: inst✝³ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝² : HasWeakSheafify K A

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝ : G.IsContinuous J K

Context: F : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: adj₁ : (whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op ⊣ G.op.ran := G.op.ranAdjunction A

Context: adj₂ : presheafToSheaf J A ⊣ sheafToPresheaf J A := sheafificationAdjunction J A

Context: adj₃ : presheafToSheaf K A ⊣ sheafToPresheaf K A := sheafificationAdjunction K A

Context: adj₄ : G.sheafPushforwardContinuous A J K ⊣ G.sheafPushforwardCocontinuous A J K := G.sheafAdjunctionCocontinuous A J K

Context: eq : adj₁.unit.app F ≫ G.op.ran.map (adj₂.unit.app (((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).obj F)) ≫ G.op.ran.map ((sheafToPresheaf J A).map (((adj₁.comp adj₂).leftAdjointUniq (adj₃.comp adj₄)).hom.app F)) = adj₃.unit.app F ≫ (sheafToPresheaf K A).map (adj₄.unit.app ((presheafToSheaf K A).obj F))

(adj₁.homEquiv F ((sheafToPresheaf J A).obj ((presheafToSheaf K A ⋙ G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj F))) (adj₂.unit.app (((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).obj F) ≫ (sheafToPresheaf J A).map (((adj₁.comp adj₂).leftAdjointUniq (adj₃.comp adj₄)).hom.app F)) = (adj₁.homEquiv F ((sheafToPresheaf J A).obj ((presheafToSheaf K A ⋙ G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj F))) (((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).map (adj₃.unit.app F))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G

Context: g'inv : G →L[𝕜] E

Context: hg'inv : φ.rightDeriv.comp g'inv = ContinuousLinearMap.id 𝕜 G

Context: hg'invf : φ.leftDeriv.comp g'inv = 0

Context: this : HasStrictFDerivAt (HasStrictFDerivAt.localInverse φ.prodFun (φ.leftDeriv.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl φ.rightDeriv ⋯ ⋯ ⋯) φ.pt ⋯) ↑(φ.leftDeriv.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl φ.rightDeriv ⋯ ⋯ ⋯).symm (φ.leftFun φ.pt, φ.rightFun φ.pt)

HasStrictFDerivAt (φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt)) g'inv (φ.rightFun φ.pt)


Context:
R : Type u_1
Semiring R
s : Set R
x : R

x ∈ Subsemiring.closure s ↔ ∃ L, (∀ t ∈ L, ∀ y ∈ t, y ∈ s) ∧ (List.map List.prod L).sum = x


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s✝ : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : AddCommMonoid N

Context: f : Multiset (α →₀ M)

Context: h : α → M → N

Context: h₀ : ∀ (a : α), h a 0 = 0

Context: h₁ : ∀ (a : α) (b₁ b₂ : M), h a (b₁ + b₂) = h a b₁ + h a b₂

Context: a : α →₀ M

Context: s : Multiset (α →₀ M)

Context: ih : s.sum.sum h = (Multiset.map (fun g => g.sum h) s).sum

(a ::ₘ s).sum.sum h = (Multiset.map (fun g => g.sum h) (a ::ₘ s)).sum


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
H : Type uH
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
g : ι → M → F
t : Set F
x : M
hx : x ∈ s
hg : ∀ (i : ι), (f i) x ≠ 0 → g i x ∈ t
ht : Convex ℝ t


Context:
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
ι : Sort u_2
p : ι → Prop
s : ι → Set α
x : α
h : (𝓝 x).HasBasis p s

(v.filterAt x).HasBasis p fun i => {t | t ∈ v.setsAt x ∧ t ⊆ s i}


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
U : Submodule 𝕜 E

U ⟂ ⊤ ↔ U = ⊥


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
h : H.index = 2
a b : G
ha : a ∉ H
hb : b ∉ H


Context:
G : Type u_1
Monoid G
H : Submonoid G
x : ↥H


Context: x : ℂ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
x z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 (x + z) s


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Module A M
inst✝⁵ : Module B M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A M
inst✝¹ : IsScalarTower R B M
inst✝ : SMulCommClass A B M
p : Submodule (A ⊗[R] B) M
b : B
m : M
hm : m ∈ p


Context:
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
M : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SetLike S M
inst✝ : AddSubmonoidClass S M
A : ι → S
x : ⨁ (i : ι), ↥(A i)


Context: x : ℝ


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : Center C
U : C

(X.snd.β Y.fst).hom ▷ U ≫ (α_ Y.fst X.fst U).hom ≫ Y.fst ◁ (X.snd.β U).hom ≫ (α_ Y.fst U X.fst).inv ≫ (Y.snd.β U).hom ▷ X.fst ≫ (α_ U Y.fst X.fst).hom = ((α_ X.fst Y.fst U).hom ≫ X.fst ◁ (Y.snd.β U).hom ≫ (α_ X.fst U Y.fst).inv ≫ (X.snd.β U).hom ▷ Y.fst ≫ (α_ U X.fst Y.fst).hom) ≫ U ◁ (X.snd.β Y.fst).hom


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
g : F → G
hg : IsBoundedLinearMap 𝕜 g
hf : IsBoundedLinearMap 𝕜 f


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1

Context: ε : ℚ

Context: hε : 0 < ε

Context: j : ℕ

Context: hj : j ≥ 1

padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat 1 - 1) j) < ε


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
p q : ℝ
hq_pos : 0 < q


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι


Context:
α : Type u_2
Zero α
s : Set α
h : s.Nonempty


Context: n k : ℕ


Context: α : Type u_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup β
f : α → β

MeasureTheory.Memℒp f 1 μ ↔ MeasureTheory.Integrable f μ


Context: a b : ℝ

Context: n✝ m n : ℕ

Context: hc : Continuous fun u => u ^ n * (1 - u ^ 2) ^ m

-∫ (x : ℝ) in b..a, sin x ^ (2 * m + 1) * cos x ^ n = ∫ (x : ℝ) in b..a, (1 - cos x ^ 2) ^ m * -sin x * cos x ^ n


Context:
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
s t : Submodule R M

Module.rank R ↥(s ⊔ t) ≤ Module.rank R ↥s + Module.rank R ↥t


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
i j : ℤ
hij : i + 1 = j

(CochainComplex.mappingCone φ).d i j ≫ (CochainComplex.mappingCone.snd φ).v j j ⋯ =
  (↑(CochainComplex.mappingCone.fst φ)).v i j hij ≫ φ.f j + (CochainComplex.mappingCone.snd φ).v i i ⋯ ≫ G.d i j


Context:
X : Type u
x : X
s : Set X
TopologicalSpace X
hs : IsOpen s
hx : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
k n m : ℕ
H : Raised n m


Context:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s t : Set E
f : E → F
x : E
y : E
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
n : ℕ

iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s =ᶠ[𝓝 x] iteratedFDerivWithin 𝕜 n f t


Context:
n : ℕ
h : 0 < ↑n
x : ↑I
h' : ↑n ≠ 0

(fun x => x * ↑n) (∑ k : Fin (n + 1), (↑x - ↑(k/ₙ)) ^ 2 * (bernstein n ↑k) x) = (fun x => x * ↑n) (↑x * (1 - ↑x) / ↑n)


Context: p : ℕ

Context: Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_2

Context: Field k

Context: IsAlgClosed k

Context: CharP k p

Context: V : Type u_3

Context: AddCommGroup V

Context: WittVector.Isocrystal p k V

Context: h_dim : FiniteDimensional.finrank (FractionRing (WittVector p k)) V = 1

∃ m, Nonempty (WittVector.IsocrystalEquiv p k (WittVector.StandardOneDimIsocrystal p k m) V)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
exps : HeightOneSpectrum R → ℤ

∀ (x y : FractionalIdeal R⁰ K), count K v x = 0 → count K v y = 0 → count K v (x * y) = 0


Context: X₁ X₂ : CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape CategoryTheory.Limits.WalkingPair

∀ (a : X₁ ⟶ X₂),
  CategoryTheory.Limits.walkingSpanOpEquiv.inverse.map a =
    CategoryTheory.Limits.widePullbackShapeOpMap CategoryTheory.Limits.WalkingPair X₁ X₂ a


Context:
α : Type u
s : Set α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
a : α
h : a ∈ l


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝¹ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
P : Finpartition t

(interedges r s t).card = ∑ b ∈ P.parts, (interedges r s b).card


Context:
D : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Groupoid D
inst✝² : Category.{?u.4103, u_2} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalClosed C
F G : D ⥤ C
X Y : D
f : X ⟶ Y

(ihom.coev (F.obj Y)).app (G.obj X) ≫ (ihom (F.obj Y)).map (F.obj Y ◁ G.map f) = (ihom.coev (F.obj Y)).app (G.obj X) ≫ (ihom (F.obj Y)).map (CategoryTheory.inv (F.map f) ▷ G.obj X ≫ F.map f ▷ G.obj X ≫ F.obj Y ◁ G.map f)


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
n : ℕ
v : Fin n → V

LinearIndependent K (Fin.snoc v x) ↔ LinearIndependent K v ∧ x ∉ span K (range v)


Context: α : Type u_1

Context: Lattice α

Context: CommGroup α

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α


Context:
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
Finite G


Context: k : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : NumberField K

Context: inst✝⁴ : Algebra k K

Context: inst✝³ : Algebra k F

Context: inst✝² : Algebra K F

Context: inst✝¹ : IsScalarTower k K F

Context: σ : K ≃ₐ[k] K

Context: w : InfinitePlace K

Context: inst✝ : IsGalois k K

Context: φ : K →+* ℂ

Context: H : ∀ (σ : K ≃ₐ[k] K), ComplexEmbedding.IsConj φ σ → σ = 1


Context:
R : Type u
inst✝ : LinearOrder R
a b : Tropical (WithTop R)

a = 0 ∧ a ≤ b ∨ b = 0 ∧ b ≤ a ↔ a = 0 ∧ b = 0


Context:
α : Type u_1
Mul α
a x y : α

SemiconjBy (MulOpposite.op a) (MulOpposite.op y) (MulOpposite.op x) ↔ SemiconjBy a x y


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.HasLeftCalculusOfFractions
X : C

(CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W).obj X = X


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
y : NumDenSameDeg 𝒜 x

(-Quotient.mk'' y).val = -val (Quotient.mk'' y)


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a


Context:
R : Type u_1
CommRing R
CharZero R

Function.Injective fun n => Polynomial.cyclotomic n R


Context:
G : Type u_1
Group G
IsSimpleGroup G
H : Subgroup G
Hn : H.Normal


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
this : b = ∑ i : n, b i • Pi.single i 1
k : n

A.cramer (∑ i : n, b i • Pi.single i 1) k = ((of fun i => Aᵀᵀ.cramer (Pi.single i 1))ᵀ *ᵥ b) k


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : CategoryTheory.Center C
self : X.Hom Y
U : C

self.f ▷ U ≫ (Y.snd.β U).hom = (X.snd.β U).hom ≫ U ◁ self.f


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : OrderTop R
s : Finset S
f : S → Tropical R

s.inf (untrop ∘ f) = (Multiset.map untrop (Multiset.map f s.val)).inf


Context:
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Neg α
f : m → n → α


Context:
α : Type u
f : Filter α

∅ ∈ f ↔ f = ⊥


Context:
m : ℕ
n : ℕ


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
S : Set G

AddSubgroup.IsComplement S Set.univ ↔ ∃ g, S = {g}


Context:
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α

countP p l = l.length ↔ ∀ (a : α), a ∈ l → p a = true


Context:
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
SeminormedAddCommGroup V₃
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
SeminormedAddCommGroup W₁
SeminormedAddCommGroup W₂
SeminormedAddCommGroup W₃
f₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
ψ : NormedAddGroupHom W₁ W₂
φ' : NormedAddGroupHom V₂ V₃
ψ' : NormedAddGroupHom W₂ W₃
hf : ψ.comp f₁ = f₂.comp φ
hf' : ψ'.comp f₂ = f₃.comp φ'

(ψ'.comp ψ).comp f₁ = f₃.comp (φ'.comp φ)


Context:
K : Type u
Field K
G : Type u_1
Group G
MulSemiringAction G K
g : G
S T : ValuationSubring K

S ≤ g • T ↔ g⁻¹ • S ≤ T


Context:
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
Fintype ι
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
f : (i : ι) → β i

‖(WithLp.equiv ⊤ ((i : ι) → β i)).symm f‖ = ‖f‖


Context: P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme

Context: Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: AlgebraicGeometry.HasRingHomProperty P Q

Context: X Y : AlgebraicGeometry.Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: AlgebraicGeometry.IsAffine Y

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: ∀ (i : 𝒰.J), AlgebraicGeometry.IsAffine (𝒰.obj i)

Context: H : ∀ (i : 𝒰.J), Q (AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.app (𝒰.map i ≫ f) ⊤)


Context:
α : Type u_1
Zero α
TopologicalSpace α
PartialOrder α
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
OrderTopology α
a : α
h : 0 < a


Context:
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
x : G₀
h : x ≠ 0


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
s₁ s₂ : Set (Sym2 V)
h : s₁ ⊆ s₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p : G.Walk a b
hp : p.IsHamiltonian


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
p q : Subspace 𝕜 E
h : IsCompl p q
hp : IsClosed ↑p
hq : IsClosed ↑q

⇑(Submodule.linearProjOfClosedCompl p q h hp hq) = ⇑(Submodule.linearProjOfIsCompl p q h)


Context:
α : Type u_2
β : Type u_1
inst✝² : Preorder α
s : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : β → α
inst✝ : IsLower α

Continuous f ↔ ∀ (a : α), IsClosed (f ⁻¹' Ici a)


Context:
R : Type uR
A : Type uA
CommRing R
Ring A
Algebra R A
s : Set A
x : A

x ∈ Algebra.adjoin R s ↔ x ∈ Subring.closure (Set.range ⇑(algebraMap R A) ∪ s)


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hfN : ∀ (ω : Ω), a ≤ f N ω
hfzero : 0 ≤ f 0
hab : a < b

∫ (a_1 : Ω), (b - a) * ↑(upcrossingsBefore a b f N a_1) ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range N, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: h : y ∈ EMetric.ball x r

Context: this✝ : ↑‖y - x‖₊ < r

Context: this : HasFPowerSeriesOnBall f (p.changeOrigin (y - x)) (x + (y - x)) (r - ↑‖y - x‖₊)


Context:
x : ℝ
p : ℝ
hp : 1 < p

HasDerivAt (fun x => ‖x‖ ^ p) (p * ‖x‖ ^ (p - 2) * x) x


Context:
R : Type u
Ring R
M N : ModuleCat R

(M.biprodIsoProd N).inv ≫ CategoryTheory.Limits.biprod.fst = LinearMap.fst R ↑M ↑N


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α✝
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : α✝ → β
α : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace α

IsQuasiSeparated Set.univ ↔ QuasiSeparatedSpace α


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
hp : p ≠ 0
hq : 0 < q.degree
hq0 : q ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : ProbabilityTheory.Kernel α γ

Context: a : α

MeasurableSet (κ.mutuallySingularSetSlice η a)


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hS₀ : S ∈ Algebra.adjoin K {(ad K L) x}
hN : _root_.IsNilpotent N
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S


Context:
x : ℝ
hx : 0 ≤ x


Context:
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
h₁ : a₁ ≤ b₁

Finset.Icc a₁ b₁ ⊆ Finset.Icc a₂ b₂ ↔ a₂ ≤ a₁ ∧ b₁ ≤ b₂


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝² : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H

Context: f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s✝ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: inst✝ : ClosedUnderRestriction G

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f : H → H

Context: e' : PartialHomeomorph H H

Context: he'G : e' ∈ G

Context: a✝ : s ⊆ f ⁻¹' e'.source

Context: hfx : f x ∈ e'.source

Context: h : G.IsLocalStructomorphWithinAt f s x

Context: hx : x ∈ s

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: heG : e ∈ G

Context: hef : EqOn f (↑e.toPartialEquiv) (s ∩ e.source)

Context: hex : x ∈ e.source

∃ e ∈ G, EqOn (↑e' ∘ f) (↑e.toPartialEquiv) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup α
AddAction α β
A B : Set β
a : α


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
b : M₁


Context:
p : ℚ
q : ℚ≥0
hp : 0 ≤ p


Context:
R : Type u_1
Ring R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S

Subsingleton (OreLocalization S R) ↔ 0 ∈ S


Context:
R : Type u_3
CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_4
CommSemiring A
Algebra R A
IsLocalization S A
M : Type u_5
N : Type u_6
AddCommMonoid M
Module R M
Module A M
IsScalarTower R A M
AddCommMonoid N
Module R N
Module A N
IsScalarTower R A N
f : M →ₗ[A] N

LinearMap.extendScalarsOfIsLocalization S A (↑R f) = f


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅I, N'⁆ ≤ ⁅I, N ⊔ N'⁆
m : M
x : ↥I
n : M
hn : n ∈ N ⊔ N'
h : ⁅↑x, ↑⟨n, hn⟩⁆ = m


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
OrderedAddCommMonoid β
SMulZeroClass α β
CeilDiv α β
a : α
b c : β
ha : 0 < a


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
z : A

z ∈ ↑(Submonoid.closure (s ∪ t)) ↔ z ∈ ↑(Submonoid.closure s) * ↑(Submonoid.closure t)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: I : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: B : I → Type u_5

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : (i : I) → NormedRing (B i)

Context: inst✝¹ : (i : I) → NormedAlgebra 𝕜 (B i)

Context: inst✝ : ∀ (i : I), NormOneClass (B i)

Context: k : 𝕜

Memℓp ((algebraMap 𝕜 ((i : I) → B i)) k) ⊤


Context: α : Type u_1

Context: MeasurableSpace α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (i : ℕ), Measurable (f i)

Context: lim : Filter.Tendsto f Filter.atTop (𝓝 g)


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: f : (a : α) → a ∈ s → β

Context: hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t

Context: hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂

Context: hst : t.ncard ≤ s.ncard

Context: ht : t.Finite := by toFinite_tac

Context: b : β


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: V : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: x✝ : M

Context: p✝ p' : Submodule R M

Context: inst✝⁴ : Semiring R₂

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : FunLike F M M₂

Context: inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂

Context: s t : Set M

Context: ι : Sort u_9

Context: p : ι → Submodule R M

Context: C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, p i → Prop

Context: mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hx : x ∈ p i), C x ⋯

Context: zero : C 0 ⋯

Context: add : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, p i) (hy : y ∈ ⨆ i, p i), C x hx → C y hy → C (x + y) ⋯

Context: x : M

Context: hx : x ∈ ⨆ i, p i

(fun x => ∃ (hx : x ∈ ⨆ i, p i), C x hx) 0


Context:
α β : Type u
n : ℕ


Context: a : UnitAddCircle

Context: s : ℂ

Context: hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n

Context: hs' : a ≠ 0 ∨ s ≠ 1

Context: this : hurwitzZetaEven a (1 - s) = completedHurwitzZetaEven a (1 - s) * (1 - s).Gammaℝ⁻¹

completedCosZeta a s * (s.Gammaℂ * Complex.cos (↑π * s / 2) * s.Gammaℝ⁻¹) = s.Gammaℂ * Complex.cos (↑π * s / 2) * (completedCosZeta a s / s.Gammaℝ)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
x : M ⊗[R] N


Context:
G : Type u_1
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : LocallyCompactSpace G
inst✝ : μ.InnerRegular
E : Set G
hE : MeasurableSet E
hEpos : 0 < μ E
K : Set G
hKE : K ⊆ E
hK : IsCompact K
K_closed : IsClosed K
hKpos : 0 < μ K
g : G
hg : μ (g • K \ K) < μ K


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: M : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory M

Context: F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)

Context: m n : M

Context: h₁ : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj m n ≅ 𝟙_ M

Context: h₂ : CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj n m ≅ 𝟙_ M

Context:
H :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight h₁.hom m)
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor m).hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator m n m).hom
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft m h₂.hom)
        (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor m).hom)

(CategoryTheory.equivOfTensorIsoUnit F m n h₁ h₂ H).inverse = F.obj n


Context:
ι : Type u_6
α : Type u_8
DecidableEq ι
CommSemiring α
κ : ι → Type u_9
Fintype ι
(i : ι) → Fintype (κ i)
f : (i : ι) → κ i → α

∏ i : ι, ∑ j : κ i, f i j = ∑ x : (i : ι) → κ i, ∏ i : ι, f i (x i)


Context:
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
x : E

gauge s x = sInf {r | r ∈ Set.Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ s}


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
a : α

filter (fun x => a == x) l = replicate (count a l) a


Context:
o : Ordinal.{u_1}
ho : o.card.ord = o
ho' : ω ≤ o
a : Ordinal.{u_1}
ha : (aleph' a).ord = o


Context:
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c : α


Context:
α : Type u_1
DivisionMonoid α
a : α
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g : α → β
μ ν : Measure α
h : ∀ᵐ (x : α) (y : α) ∂μ, f x = f y
hμ : μ ≠ 0


Context:
a b c : EReal
h₁ : c ≠ ⊥
h₂ : c ≠ ⊤
h₃ : c ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
a : α
has : a ∉ s

Set.InjOn f (insert a s) ↔ Set.InjOn f s ∧ f a ∉ f '' s


Context:
α : Type u_1
Inhabited α
l : List α
n : Nat


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
hf : Function.Surjective f


Context: z τ : ℂ

(starRingEnd ℂ) (jacobiTheta₂ z τ) = jacobiTheta₂ ((starRingEnd ℂ) z) (-(starRingEnd ℂ) τ)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s✝ s : Seq α

match (corec (fun x => match x.1.destruct with | none => match x.2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', x.2)) (nil, s)).destruct, s.destruct with | none, none => True | some (a, s), some (a', s') => a = a' ∧ ∃ s_1, s = corec (fun x => match x.1.destruct with | none => match x.2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', x.2)) (nil, s_1) ∧ s' = s_1 | x, x_1 => False


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s : Set α
t : Set β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤

MeasureTheory.Integrable (fun b => ((η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)).toReal) (κ a)


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : CommMonoid β
S : Multiset α
g1 g2 : α → β
h : ∀ a ∈ S, g1 a ∣ g2 a


Context:
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
s : Finset α
f : α → β
a : α
h : a ∈ s


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : LocallyCompactSpace E
v : E
hv : v ≠ 0
L : 𝕜 → E := fun t => t • v


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x✝ y
a b : X
γ : Path a b
x : ↑I
this : ↑x ∈ Icc 0 1


Context:
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
α : Type u'
L'' : FirstOrder.Language
φ : L' →ᴸ L''
ψ : L →ᴸ L'


Context:
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
h0 : 0 ∈ s
inst✝ : CompactSpace ↑s

closure ↑(polynomialFunctions s).starClosure = Set.univ


Context: x a : ℝ

0 ^ x = a ↔ x ≠ 0 ∧ a = 0 ∨ x = 0 ∧ a = 1


Context: m : Type u

Context: n : Type v

Context: α : Type w

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : CommRing α

Context: A : Matrix n n α

Context: h_card : Fintype.card n - Nat.succ 0 + Nat.succ 0 = Fintype.card n

Context: A' : Matrix n n (MvPolynomial (n × n) ℤ) := mvPolynomialX n n ℤ

A'.adjugate.det = A'.det ^ (Fintype.card n - 1)


Context: Ω : Type u_1

Context: MeasurableSpace Ω

Context: TopologicalSpace Ω

Context: OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω

Context: μs : ℕ → MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω

Context: h_opens : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → μ G ≤ Filter.liminf (fun i => (μs i) G) Filter.atTop

Filter.Tendsto (fun i => μs i) Filter.atTop (𝓝 μ)


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
T : ℝ
hT : 0 ≤ T

‖GaussianFourier.verticalIntegral b c T‖ ≤ 2 * |c| * rexp (-(b.re * T ^ 2 - 2 * |b.im| * |c| * T - b.re * c ^ 2))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α


Context:
A B : Grp
f : A ⟶ B
b✝ : ↑B
hb : b✝ ∈ MonoidHom.range f
b : ↑B := b✝

b • ↑(MonoidHom.range f) = ↑(MonoidHom.range f)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: x y : R

Context: inst✝ : MonoidWithZero R

Context: k : ℕ

Context: s : Set ℕ := {k | x ^ k = 0}

Context: this : ∀ (k₁ k₂ : ℕ), k₁ ≤ k₂ → k₁ ∈ s → k₂ ∈ s

nilpotencyClass x = k + 1 ↔ x ^ (k + 1) = 0 ∧ x ^ k ≠ 0


Context: a b : ℚ

a ≠ b ↔ ↑a ≠ ↑b


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
i j : Fin f.natDegree

(X ^ ↑i).toFinsupp ↑j = (Finsupp.single i 1) j


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ' : Measure α

Context: ν✝ ν' : Measure β

Context: τ✝ : Measure γ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: f : α × β → γ

Context: μ : Measure α

Context: ν : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: hf : Measurable f

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: h2f : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, QuasiMeasurePreserving (fun y => f (x, y)) ν τ


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m' mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: StandardBorelSpace Ω

Context: Nonempty Ω

Context: hm' : m' ≤ mΩ

Context: μ : MeasureTheory.Measure Ω

Context: MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ

Context: β : Type u_5

Context: m : MeasurableSpace β

Context: Add β

Context: MeasurableAdd₂ β

Context: f : ι → Ω → β

Context: hf_indep : ProbabilityTheory.iCondIndepFun m' hm' (fun x => m) f μ

Context: hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: i j k : ι

Context: hik : i ≠ k

Context: hjk : j ≠ k

ProbabilityTheory.CondIndepFun m' hm' (f i + f j) (f k) μ


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f✝ : CauSeq β abv
hf✝ : ¬f✝.LimZero
hl : f✝.lim ≠ 0
g f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero


Context: K : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Fintype K

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Fintype σ

Context: inst✝² : DecidableEq σ

Context: inst✝¹ : DecidableEq K

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : CharP K p

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → MvPolynomial σ K

Context: h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ

Context: hq : 0 < q - 1

Context: S : Finset (σ → K) := {x | x ∈ univ ∧ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0}.toFinset

Context: hS : ∀ (x : σ → K), x ∈ S ↔ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0

Context: F : MvPolynomial σ K := ∏ i ∈ s, (1 - f i ^ (q - 1))

Context: hF : ∀ (x : σ → K), (eval x) F = if x ∈ S then 1 else 0

Context: key : ∑ x : σ → K, (eval x) F = ↑(Fintype.card { x // ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0 })


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: h : ps ⊆ ↑s

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = n

Context: c : P

Context: hc✝ : c ∈ s

Context: r : ℝ

Context: hcr : ∀ p ∈ ps, dist p c = r

Context: sx : Simplex ℝ P n

Context: hsxps : Set.range sx.points ⊆ ps

Context: hsx : affineSpan ℝ (Set.range sx.points) = s

Context: hc : c ∈ affineSpan ℝ (Set.range sx.points)


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: MeasurableSpace α

Context: MeasurableSpace β

Context: MeasurableSpace γ

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: ν : MeasureTheory.Measure β

Context: f : α → γ

Context: g : β → γ

Context: NormedAddCommGroup γ

Context: BorelSpace γ

Context: h : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν

ProbabilityTheory.IdentDistrib (fun x => ‖f x‖) (fun x => ‖g x‖) μ ν


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
f : End K V
inst✝ : PerfectField K

∃ n ∈ adjoin K {f}, ∃ s ∈ adjoin K {f}, IsNilpotent n ∧ s.IsSemisimple ∧ f = n + s


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
R : ℝ≥0
f : α → ℝ
hbdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, |f x| ≤ ↑R
hnm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
h : 0 < μ {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}

∫ (x : α) in {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}, |f x| ∂μ ≤ (μ {x | ↑R < |(μ[f|m]) x|}).toReal * ↑R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Rel β γ
t : Set α
z : γ

(∃ x ∈ t, (r • s) x z) ↔ ∃ x, (∃ x_1 ∈ t, r x_1 x) ∧ s x z


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a b : α
c : α
h : 0 < c

(fun x => x * c) ⁻¹' Set.Icc a b = Set.Icc (a / c) (b / c)


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs' : s ≠ 1 ∨ a ≠ 0

DifferentiableAt ℂ (HurwitzZeta.cosZeta a) s


Context: n m k : Nat


Context:
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
UniformSpace α
UniformSpace β

UniformContinuous ⇑(WithLp.equiv p (α × β)).symm


Context:
α : Type u_1
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α

map (fun x => c + x) (Ico a b) = Ico (c + a) (c + b)


Context:
a b : ℤ
ha : 0 < a
hab : a ∣ b


Context:
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p : ℝ
f g : α → ENNReal
hf : AEMeasurable f μ
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ < ⊤
hg_top : ∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ < ⊤
hp1 : 1 ≤ p


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X : Cᵒᵖ

(CategoryTheory.shiftFunctorZero Cᵒᵖ ℤ).inv.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctorZero C ℤ).hom.app (Opposite.unop X)).op
    ((CategoryTheory.Pretriangulated.shiftFunctorOpIso C 0 0 ⋯).inv.app X)


Context:
x y : SetTheory.PGame
hy : y.Numeric
ihyx : Surreal.Multiplication.IH1 y x
i : x.LeftMoves
k : y.LeftMoves
l : (-y).LeftMoves

Surreal.Multiplication.P3 (x.moveLeft i) x (y.moveLeft k) (-(-y).moveLeft l)


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x✝ : E
n : ℕ∞
x : E


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁷ : CommRing R

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : CommRing T

Context: inst✝¹⁴ : Algebra R S

Context: inst✝¹³ : Algebra R T

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: inst✝¹² : Field K

Context: inst✝¹¹ : Field L

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Algebra R L

Context: inst✝⁶ : Algebra L F

Context: inst✝⁵ : Algebra R F

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R L F

Context: inst✝³ : Algebra K F

Context: inst✝² : IsScalarTower K L F

Context: E : Type u_7

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra K E

Context: pb : PowerBasis K L

Context: hE : Splits (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen)

Context: hfx : IsSeparable K pb.gen

Context: this✝ : DecidableEq E := Classical.decEq E

Context: this : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb

∀ (x : { x // x ∈ (minpoly K pb.gen).aroots E }), ?f x = _root_.id ↑x


Context:
n m : ℕ
j : Fin n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ 0


Context: G : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: s : Set G

Context: t : Set P

Context: a✝ : P

Context: inst✝³ : PartialOrder G

Context: inst✝² : PartialOrder P

Context: inst✝¹ : SMul G P

Context: inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P

Context: x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a✝)

Context: hs : s.IsPWO

Context: ht : t.IsPWO

Context: a : P

Context: h : (s.smulAntidiagonal t a).Infinite

Context: h1 : (s.smulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)

Context: h2 : (s.smulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)

Context: isrfl : IsRefl (G × P) (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)

Context: istrns : IsTrans (G × P) (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)

Context: g : ℕ ↪o ℕ

Context: hg : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g m)) ↑((Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g n))

Context: m n : ℕ

Context: mn : m < n

Context: h2' : (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g m)) ↑((Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g n))


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b : V
f : ι → G.Subgraph

(⨅ i, f i).Adj a b ↔ (∀ (i : ι), (f i).Adj a b) ∧ G.Adj a b


Context: a b : ℝ≥0∞

Context: h : a = ⊤ → b = ⊤

Context: h_nnreal : a ≠ ⊤ → b ≠ ⊤ → a.toNNReal ≤ b.toNNReal


Context:
α : Type u_1
UniformSpace α


Context:
α : Type u
f : Filter α
s : Set α
h : ∀ (a : α), a ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤
t : Set α
h : IsIrreducible t
h' : IsClosed t
x : α
hx : x ∈ t
U : Set α
hU : U ∈ S
hU' : x ∈ U
this : QuasiSober ↑U
H : IsIrreducible (Subtype.val ⁻¹' t)


Context:
R : Type u
M : Type v
Monoid R
MulAction R M
p : SubMulAction R M
G : Type u_1
Group G
SMul G R
MulAction G M
IsScalarTower G R M
g : G
x : M


Context:
α : Sort u₁
β : Sort u₂
φ : Sort u₃
g : β → φ
f : α → β
hg : Function.Injective g
hf : Function.Injective f


Context:
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.Pseudofunctor B C


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: x : R

Context: this : TopologicalSpace R := I.adicTopology

(𝓝 x).HasBasis (fun _n => True) fun n => (fun y => x + y) '' ↑(I ^ n)


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s : Finset α
t : Finset β


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: μ : ℝ

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hμ : HasEigenvalue T ↑μ

Context: hnn : ∀ (x : E), 0 < RCLike.re ⟪x, T x⟫_𝕜


Context:
C : Type u_1
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
CategoryTheory.Category.{u_8, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_10, u_5} D₁
CategoryTheory.Category.{u_9, u_6} D₂
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L₁ : CategoryTheory.Functor C D₁
L₁.IsLocalization W
L₂ : CategoryTheory.Functor C D₂
L₂.IsLocalization W
X Y : C
f : X ⟶ Y

(CategoryTheory.Localization.homEquiv W L₁ L₂) (L₁.map f) = L₂.map f


Context:
α : Type u
s : Computation α
T : s.Terminates
a : α
h : a ∈ s


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : R⟦X⟧
n : ℕ
h₁ : n < n + 1
h₂ : n < n + 1 + 1

(coeff R n) (f * g).derivativeFun = (coeff R n) (f • g.derivativeFun + g • f.derivativeFun)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
α : Type u_4
l : Filter α
g₁ : α → F
g₂ : α → ↥(LinearMap.ker f')
h₁ : Tendsto g₁ l (𝓝 (f a))
h₂ : Tendsto g₂ l (𝓝 0)

Tendsto (fun t => implicitFunction f f' hf hf' (g₁ t) (g₂ t)) l (𝓝 a)


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: 𝕜₃ : Type u_5

Context: 𝕝 : Type u_6

Context: E : Type u_7

Context: E₂ : Type u_8

Context: E₃ : Type u_9

Context: F : Type u_10

Context: G : Type u_11

Context: ι✝ : Type u_12

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕝

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : Module 𝕝 E

Context: ι : Sort u_13

Context: inst✝² : UniformSpace E

Context: inst✝¹ : UniformAddGroup E

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E

Context: p' : ι → Prop

Context: s : ι → Set E

Context: p : Seminorm 𝕜 E

Context: hb : (𝓝 0).HasBasis p' s

Context: h₁ : ∃ r, p.closedBall 0 r ∈ 𝓝 0

Context: h₂ : ∀ (i : ι), p' i → ∃ r > 0, p.ball 0 r ⊆ s i


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x


Context:
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s

{x | ∃ k, beattySeq r k = x}ᶜ = {x | ∃ k, beattySeq' s k = x}


Context: a n : ℕ


Context:
x y : Int
h : y ≥ x


Context:
α : Type u_1
m n : Nat
x : α
xs : List α
hl : (x :: xs).Nodup
h : m ≤ n

(take m (x :: xs)).Disjoint (drop n (x :: xs))


Context:
α : Type u_1
Preorder α
a : α
b : ↑(Set.Iio a)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F

Context: f : 𝓢(E, F)

Context: k : ℕ

Context: x₀ : E

Context: this : ‖x₀‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ 0 (⇑f) x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 k 0) f

‖x₀‖ ^ k * ‖f x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 k 0) f


Context:
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsMulRightInvariant
x : G

Filter.map (fun h => h * x) (MeasureTheory.ae μ) = MeasureTheory.ae μ


Context:
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a : E

‖a‖₊ ≠ 0 → a ≠ 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
h : 2 ≤ n


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ


Context:
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
b : BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit

inl ≫ (BinaryBiproduct.bicone X Y).toCone.π.app { as := WalkingPair.left } = inl ≫ desc b.inl b.inr ≫ b.toCone.π.app { as := WalkingPair.left }


Context:
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
CategoryTheory.Limits.HasColimit F
j j' : J
x : F.obj j
f : j ⟶ j'

CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j' (F.map f x) = CategoryTheory.Limits.colimit.ι F j x


Context: x : EReal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
h : ¬Multipliable f


Context:
self : TopCat.GlueData.MkCore
i j : self.J
k : self.J
x : ↥(self.V i j)

↑x ∈ self.V i k → ↑((self.t i j) x) ∈ self.V j k


Context:
α : Type u_1
l₁ l₂ l₃ : List α
h₁ : l₁ <+ l₂
h₂ : l₂ <+ l₃


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: F : Type u_5

Context: NormedAddCommGroup F

Context: NormedSpace ℝ F

Context: NormedField 𝕜

Context: NormedSpace 𝕜 F

Context: SMulCommClass ℝ 𝕜 F

Context: k n : ℕ

Context: f : SchwartzMap ℝ F

Context: M : ℝ

Context: hMp : 0 ≤ M

Context: hM : ∀ (x : ℝ), |x| ^ k * ‖iteratedDeriv n (⇑f) x‖ ≤ M


Context:
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
s : Set ℝ≥0∞
hf : ∀ r ∈ s, r ≠ ⊤

(sInf s).toReal = sInf (ENNReal.toReal '' s)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

o.oangle x (x + y) = ↑(Real.arcsin (‖y‖ / ‖x + y‖))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
i j : ι

(if j = i then 1 else 0) = if i = j then 1 else 0


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
ι : Type u_3
γ : Type u_4
LinearOrderedAddCommMonoid γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
ContinuousAdd γ
f : ι → α → γ
a : Finset ι
ha : ∀ i ∈ a, LowerSemicontinuous (f i)

LowerSemicontinuous fun z => ∑ i ∈ a, f i z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
x✝ : α

x✝ ∈ filter p (s₁ ∪ s₂) ↔ x✝ ∈ filter p s₁ ∪ filter p s₂


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A

Context: inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 A A

Context: inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A

Context: inst✝¹ : StarRing A

Context: inst✝ : CstarRing A

Context: a : 𝓜(𝕜, A)

Context: h0 : ∀ (f : A →L[𝕜] A) (C : ℝ≥0), (∀ (b : A), ‖f b‖₊ ^ 2 ≤ C * ‖f b‖₊ * ‖b‖₊) → ‖f‖₊ ≤ C


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r : R[X]
n : ℕ
p q : R[ℕ]

(p * q) n = ∑ x ∈ antidiagonal n, p x.1 * q x.2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → ‖x + y‖ = 2 → SameRay ℝ x y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: C : ℝ≥0∞

Context: hC : C ≠ ⊤

Context: h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y

Context: x : α

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε > 0

Context: δ : ℝ≥0

Context: δ0 : δ > 0

Context: hδ : C * ↑δ < ε

∀ᶠ (x_1 : α) in 𝓝 x, f x_1 ∈ Icc (f x - ε) (f x + ε)


Context:
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a b : E


Context:
α : Type u
a : α
s : Stream'.WSeq α


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
Semiring R
DecidableEq ι
i i' : ι

(LinearMap.stdBasis R (fun _x => R) i) 1 i' = if i = i' then 1 else 0


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
Fintype ι
DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι

Orthonormal ℝ ⇑(e.toBasis.adjustToOrientation x)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
F : Filter X


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
s : Finset α
n : ℤ
f : α → ℤ

(Multiset.map ((fun x => x % n) ∘ fun i => f i) s.val).prod % n = (Multiset.map (fun i => f i % n) s.val).prod % n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α

l₁ ~ l₂ ↔ ∀ (a : α), count a l₁ = count a l₂


Context: a b c : Cardinal.{u_1}


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence

T ⊨ᵇ φ ↔ ¬(T ∪ {Formula.not φ}).IsSatisfiable


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
IsDomain A
IsFractionRing A K
IsIntegralClosure B A L
IsFractionRing B L
FiniteDimensional K L
Algebra.IsSeparable K L
IsIntegrallyClosed A
IsDedekindDomain B
I : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
NoZeroSMulDivisors A B

↑(differentIdeal A B) ≤ I ↔ Submodule.map (↑A (Algebra.trace K L)) (Submodule.restrictScalars A ↑I⁻¹) ≤ 1


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: s : Set ι

Context: this✝ : aeval (x ∘ Subtype.val) = (aeval x).comp (rename Subtype.val)

Context: this : ∀ (p : MvPolynomial (↑s) R), (rename Subtype.val) p = 0 ↔ p = 0

AlgebraicIndependent R (x ∘ Subtype.val) ↔ ∀ p ∈ supported R s, (aeval x) p = 0 → p = 0


Context:
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddGroup R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop


Context: y : ℝ

Context: hp : 0 < y

Context: A : Tendsto (fun p => rexp (log p.1 * p.2)) (𝓝[≠] 0 ×ˢ 𝓝 y) (𝓝 0)

Context: B : Tendsto (fun p => p.1 ^ p.2) (𝓝[≠] 0 ×ˢ 𝓝 y) (𝓝 0)

ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) (0, y)


Context: X Y : LocallyRingedSpace

Context: f g : X ⟶ Y

Context: U : Opens ↑↑(coequalizer f.val g.val).toPresheafedSpace

Context: s : ↑((coequalizer f.val g.val).presheaf.obj (op U))

⇑f.val.base ⁻¹' (imageBasicOpen f g U s).carrier = ⇑g.val.base ⁻¹' (imageBasicOpen f g U s).carrier


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: H : ∀ (i : ι) (a : R), a • v i ∈ span R (v '' (univ \ {i})) → a = 0

Context: l : ι →₀ R

Context: hl : (Finsupp.total ι M R v) l = 0

Context: i : ι


Context: α : Type u_1


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: p : List α → Prop

Context: base : p []

Context: ind : ∀ (l : List α) (e : α), p l → p (l ++ [e])

Context: q : List α → Prop := fun l => p l.reverse

Context: pq : ∀ (l : List α), p l.reverse → q l


Context: I₁ : Type u_1

Context: I₂ : Type u_2

Context: I₁₂ : Type u_3

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: c₁₂ : ComplexShape I₁₂

Context: TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂

Context: TotalComplexShape c₂ c₁ c₁₂

Context: self : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c₁₂

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ i₂' : I₂

Context: h₂ : c₂.Rel i₂ i₂'

TotalComplexShapeSymmetry.σ c₁ c₂ c₁₂ i₁ i₂ * c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) =
  c₂.ε₁ c₁ c₁₂ (i₂, i₁) * TotalComplexShapeSymmetry.σ c₁ c₂ c₁₂ i₁ i₂'


Context:
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
L : List (List α)

L.join.Nodup ↔ (∀ l ∈ L, l.Nodup) ∧ Pairwise Disjoint L


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite ν
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f


Context:
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f : G → E
g : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
hf' : ∀ (x : G), f (g * x) = -f x


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_4
f : ι → α
i : ι

Ordinal.bfamilyOfFamily f (Ordinal.typein WellOrderingRel i) ⋯ = f i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
e : Equiv.Perm α
f : Equiv.Perm β


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
x✝¹ : ℕ
x✝ : M

([].set x✝¹ x✝).prod = ((take x✝¹ []).prod * if x✝¹ < [].length then x✝ else 1) * (drop (x✝¹ + 1) []).prod


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x : E

∑ x_1 : ι, (b.toBasis.repr x) x_1 • b.toBasis x_1 = x


Context:
R : Type u
Semiring R
S T : Ideal R
x : R


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
x : X
h : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
a : ℝ
this : IsGLB (range Rat.cast ∩ Ioi a) a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : ℕ
n : Fin m → ℕ
inst✝ : ∀ (i : Fin m), NeZero (n i)
i : Fin m
j : Fin (n i)
x : Fin m
hx : x ≠ i

↑(Pi.single i j x) * ∏ j : Fin ↑x, n (Fin.castLE ⋯ j) = 0


Context:
R : Type u_2
S : Type u_3
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
f : R →ₙ+* S
hf : ∀ (x y : R), Commute (f x) (f y)

⇑(f.toOpposite hf) = MulOpposite.op ∘ ⇑f


Context:
R : Type u
Semiring R
P : R[X]
hP : P.Monic
hdeg : 0 < P.degree
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T : Set α
hT : T ⊆ S
ha : IsAtom (sSup T)
haS : sSup T ≤ sSup S
a : α
haT : a ∈ T
this : a ≤ sSup T


Context: motive : Nat → Nat → Sort u_1

Context: zero_zero : motive 0 0

Context: zero_succ : (n : Nat) → motive 0 (n + 1)

Context: succ_zero : (m : Nat) → motive (m + 1) 0

Context: succ_succ : (m n : Nat) → motive (m + 1) (n + 1)

Context: n : Nat

Nat.casesDiagOn 0 (n + 1) zero_zero zero_succ succ_zero succ_succ = zero_succ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: MetricSpace β

Context: n : ℕ

Context: j : ι

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: Preorder ι

Context: Countable ι

Context: hf : ∀ (n : ι), MeasureTheory.StronglyMeasurable (f n)

Context: hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g

MeasurableSet (MeasureTheory.Egorov.notConvergentSeq f g n j)


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E✝ B I X R✝ J E R : Set α

∀ I ⊆ (loopyOn E ↾ R).E, (loopyOn E ↾ R).Indep I ↔ (loopyOn R).Indep I