Context:
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C C' : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith K C
H : C ≤ C'
g : V₁
k_in : f g ∈ K
hg : ‖g‖ ≤ C * ‖f g‖


Context:
α : Type u
Ring α
a b : α
u : αˣ


Context:
α : Type u
Mul α

WithOne.map (MulHom.id α) = MonoidHom.id (WithOne α)


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
a : R
s : σ →₀ ℕ
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f : R →+* S₁
g : σ → S₁

MvPolynomial.eval₂ f g ((MvPolynomial.monomial s) a) = f a * s.prod fun n e => g n ^ e


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: x : Rˣ

Context: n : ℕ

Context: hzero : Tendsto (fun x_1 => -↑x⁻¹ * x_1) (𝓝 0) (𝓝 0)

Context: t : R

Context: ht : inverse (↑x + t) = inverse (1 + ↑x⁻¹ * t) * ↑x⁻¹

Context: ht' : inverse (1 - -↑x⁻¹ * t) = ∑ i ∈ range n, (-↑x⁻¹ * t) ^ i + (-↑x⁻¹ * t) ^ n * inverse (1 - -↑x⁻¹ * t)

inverse (↑x + t) = (∑ i ∈ range n, (-↑x⁻¹ * t) ^ i) * ↑x⁻¹ + (-↑x⁻¹ * t) ^ n * inverse (↑x + t)


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m1 m2 m : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
p1 p2 : Set (Set Ω)
h1 : m1 ≤ m
h2 : m2 ≤ m
hp1 : IsPiSystem p1
hp2 : IsPiSystem p2
hpm1 : m1 = generateFrom p1
hpm2 : m2 = generateFrom p2
hyp : IndepSets p1 p2 κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ {s | MeasurableSet s}
ht2 : t2 ∈ {s | MeasurableSet s}


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : MonoidalCategory C
W X Y Z : C

(α_ W (X ⊗ Y) Z).inv ≫ ((α_ W X Y).inv ⊗ 𝟙 Z) ≫ (α_ (W ⊗ X) Y Z).hom = (𝟙 W ⊗ (α_ X Y Z).hom) ≫ (α_ W X (Y ⊗ Z)).inv


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → E
x y : k


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
n : ℕ
b : Basis (Fin n) R M
k : Fin (n + 1)
l : Fin n
h : k ≤ l.castSucc


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
g : P ≃ₗ[R] Q
f : N ≃ₗ[R] P

LinearEquiv.lTensor M (f ≪≫ₗ g) = LinearEquiv.lTensor M f ≪≫ₗ LinearEquiv.lTensor M g


Context:
α : Type u_2
DecidableEq α
Sub α
s t₁ t₂ : Finset α


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
v : α → M

LinearMap.range (Finsupp.total α M R v) = Submodule.span R (Set.range v)


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
e : x = y


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Monoid G
a : G
b : k


Context:
α : Type u_1
Primcodable α
f : ℕ → α → α
a : α
hf : Primrec₂ f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N : Bimod Y Z

((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (Y.mul ▷ N.X) ((α_ Y.X Y.X N.X).hom ≫ Y.X ◁ N.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N)) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ LeftUnitorBimod.hom N) (M.X ◁ LeftUnitorBimod.hom N) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul) ▷ N.X ≫ coequalizer.desc M.actRight ⋯ ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one


Context:
α : Type u_2
A : Set α
S : Set (Set α)

Subtype.val ⁻¹' ⋃₀ S = ⋃₀ {x | ∃ B ∈ S, Subtype.val ⁻¹' B = x}


Context:
X Y : CommGrp
f : X ⟶ Y

CommGrp.uliftFunctor.map f =
  CommGrp.ofHom (MulEquiv.ulift.symm.toMonoidHom.comp (MonoidHom.comp f MulEquiv.ulift.toMonoidHom))


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
x : M


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → E

MeasureTheory.eLpNormEssSup (f + g) μ ≤ MeasureTheory.eLpNormEssSup f μ + MeasureTheory.eLpNormEssSup g μ


Context: a b : ℝ

∫ (x : ℝ) in a..b, Real.cos x ^ 2 = (Real.cos b * Real.sin b - Real.cos a * Real.sin a + b - a) / 2


Context:
α : Type u
β✝ : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Continuous f
c : Set α
c_count : c.Countable
hc : s ⊆ closure c


Context:
α : Type u_1
F : Type u_3
p : ℝ≥0∞
NormedAddCommGroup F
MeasurableSpace α
f : α → F


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
Preorder β
Preorder γ
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : IsMinOn f s a
g : β → γ
hg : Antitone g


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y Z : Cᴹᵒᵖ

(CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom.unmop =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator Z.unmop Y.unmop X.unmop).inv


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: h this : SigmaFinite μ

Context: s : ℕ → Set α := spanningSets μ

Context: hs_univ : ⋃ i, s i = univ

Context: hs_meas : ∀ (i : ℕ), s i = ∅ ∨ s i = univ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S
X : Set α
hX : X ⊆ S
hX' : sSup T₁ ⊓ sSup T₂ = sSup X
I : α
hI : I ∈ X


Context: n : ℕ∞

1 ≤ ↑n ↔ 1 ≤ n


Context:
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
l : ℕ
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M

θ.all.Realize v xs ↔ ∀ (a : M), θ.Realize v (Fin.snoc xs a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : αᵒᵈ → βᵒᵈ
a : WithTop α

WithBot.map f (WithTop.toDual a) = WithTop.map (⇑OrderDual.toDual ∘ f) a


Context:
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
hf : LSeriesSummable f s
hg : LSeriesSummable g s


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f g : α →ᵇ 𝕜

Context: hf_ae : ↑↑((BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) f) =ᶠ[ae μ] ⇑f

(fun a => ⟪↑↑((BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) f) a, ↑↑((BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) g) a⟫_𝕜) =ᶠ[ae μ] fun a => (starRingEnd 𝕜) (f a) * g a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
h : s ∈ 𝔖

⨅ i ∈ 𝔖, 𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β) ≤ comap (fun x => ((⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x.2)) (𝓤 (↑s →ᵤ β))


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

Context: F : CategoryTheory.Functor C D

Context: ∀ (d : D), CategoryTheory.IsFiltered (CategoryTheory.StructuredArrow d F)


Context:
a : USize
b : Nat


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E

⟪x, y⟫_𝕜 = (↑‖x + y‖ ^ 2 - ↑‖x - y‖ ^ 2 + (↑‖x - RCLike.I • y‖ ^ 2 - ↑‖x + RCLike.I • y‖ ^ 2) * RCLike.I) / 4


Context:
K : Type v
Field K
p : K[X]

Polynomial.Splits (RingHom.id K) p ↔ Multiset.card p.roots = p.natDegree


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option α
a b : α
l : List α
h : f a = some b

(match f a with | some b => b :: l | none => lookmap.go f l (#[].push a)) = b :: l


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

dist p₃ p₂ / (∡ p₃ p₁ p₂).sin = dist p₁ p₃


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
r : R

(eval r ∘ₗ comp p) q = (eval (Polynomial.eval r p)) q


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s✝ : Set α
μ : Measure α
β : Type u_2
m' : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
s' : Set β
g : α → β
hg : MeasurePreserving g μ μ'
hf : PreErgodic f μ
f' : β → β
h_comm : g ∘ f = f' ∘ g
s : Set β
hs₀ : MeasurableSet s
hs₁ : f ⁻¹' (g ⁻¹' s) = g ⁻¹' s
hs₂ : g ⁻¹' s =ᶠ[ae μ] ∅


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommRing P
a c : R
b d : ↥M

mk a b - mk c d = mk (↑d * a - ↑b * c) (b * d)


Context: F : Type u_1

Context: Field F

Context: E : Type u_2

Context: Field E

Context: Algebra F E

Context: p : F[X]

Context: hFE : FiniteDimensional F E

Context: sp : Polynomial.IsSplittingField F E p

Context: hp : p.Separable

Context: K : Type u_3

Context: Field K

Context: Algebra F K

Context: Algebra K E

Context: IsScalarTower F K E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ p.aroots E

Context: Fintype (K →ₐ[F] E)

Context: Fintype (↥(IntermediateField.restrictScalars F K⟮x⟯) →ₐ[F] E)

Fintype.card (↥(IntermediateField.restrictScalars F K⟮x⟯) →ₐ[F] E) =
  Fintype.card (K →ₐ[F] E) * FiniteDimensional.finrank K ↥K⟮x⟯


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)

Context: hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2

Context: hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))

Context: this : (fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (g' x) (a.2 - x))) = ((fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (f a.1 a.2 - f a.1 x))) + fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f a.1 a.2 - f a.1 x - ((f' a.1 x) a.2 - (f' a.1 x) x))) + fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f' a.1 x - g' x) (a.2 - x)


Context:
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivAt f f' x
hg : HasDerivAt g g' x
h : 0 < f x

HasDerivAt (fun x => f x ^ g x) (f' * g x * f x ^ (g x - 1) + g' * f x ^ g x * Real.log (f x)) x


Context: α : Type u_1

Context: CommGroup α

Context: LinearOrder α

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
f : α ≃o β
x✝ : β

x✝ ∈ ↑(upperClosure (⇑f '' s)) ↔ x✝ ∈ ↑((UpperSet.map f.symm).symm (upperClosure s))


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝ : K.HasHomology i
A' A : C
k : A ⟶ K.X i
j : ι
hj : c.next i = j
hk : k ≫ K.d i j = 0
α : A' ⟶ A

α ≫ K.liftCycles k j hj hk = K.liftCycles (α ≫ k) j hj ⋯


Context:
α : Type u_1
f : α → α
n : ℕ


Context: P : TopCat → Prop

Context: self : CompHausLike.HasExplicitFiniteCoproducts P

Context: α : Type w

Context: Finite α

Context: X : α → CompHausLike P


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CategoryTheory.Limits.Fork f f
h : CategoryTheory.Limits.IsLimit c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p : α
hp✝ hp : Prime p
a : α
n : ℕ
ih : p ∣ a ^ n → p ∣ a
h : p ∣ a * a ^ n


Context: α : Type u

Context: lsize rsize : Nat

Context: self : Lean.Diff.Histogram.Entry α lsize rsize

self.rightCount = 0 ↔ self.rightIndex = none


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: φ : ι → Set α

Context: hφ : AECover μ l φ

Context: f : α → E

Context: I : ℝ

Context: hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (φ i) μ

Context: hbounded : ∀ᶠ (i : ι) in l, (∫⁻ (a : α) in φ i, ↑‖f a‖₊ ∂μ).toReal ≤ I

Context: hfm : AEStronglyMeasurable f μ

Context: i : ι

Context: hi : (∫⁻ (a : α) in φ i, ↑‖f a‖₊ ∂μ).toReal ≤ I

∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal I


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: A B : E →WOT[𝕜]F

Context: h : ∀ (x : E) (y : NormedSpace.Dual 𝕜 F), y (A x) = y (B x)


Context:
α : Type u_1
G H : SimpleGraph α
h : G ≤ H


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
p p' : Submodule R M


Context:
α : Sort u
p : α → Prop
w : α
h₁ : p w
h₂ : ∀ (y : α), p y → y = w


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
a b x y z x' y' : α
h : IsCompl x y
h' : IsCompl x' y'


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
hn : n > 0

Nat.card { u // addOrderOf u = n } = n.totient


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
z₁ : W.LeftFraction X Y
z₂ : W.LeftFraction Y Z

(CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Hom.mk z₁).comp
    (CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Hom.mk z₂) =
  z₁.comp z₂


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
s : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
β' : Type u_4
f : β ↪ γ
g : α ↪ β
f' : α ↪ β'
g' : β' ↪ γ
h_comm : ∀ (a : α), f (g a) = g' (f' a)

Finset.map f (Finset.map g s) = Finset.map g' (Finset.map f' s)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f g : α → ℝ
Kf Kg : ℝ≥0
hf : LipschitzWith Kf f
a : ℝ


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
W : MorphismProperty C
F₁ F₂ : C ⥤ D
e : F₁ ≅ F₂

(∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), W f → IsIso (F₁.map f)) ↔ ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), W f → IsIso (F₂.map f)


Context:
α : Type u
a b : α
l l₁ l₂ : List α
h : (a :: b :: l).split = (l₁, l₂)

l₁.length < (a :: b :: l).length ∧ l₂.length < (a :: b :: l).length


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
hf : CircleIntegrable f c R


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f₁ f₂ : v.FunSpace
n : ℕ
t : ↑(Set.Icc v.tMin v.tMax)

dist ((PicardLindelof.FunSpace.next^[n] f₁).toFun t) ((PicardLindelof.FunSpace.next^[n] f₂).toFun t) ≤
  (↑v.L * |↑t - ↑v.t₀|) ^ n / ↑n ! * dist f₁ f₂


Context:
ι : Sort u_1
f : ι → ℕ
s : Set ℕ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
AddCommGroup Q
Module R Q
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g

Function.Exact ⇑(LinearMap.lTensor Q f) ⇑(LinearMap.lTensor Q g)


Context:
R : Type u_5
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
l : Multiset R
x : M

l.sum • x = (Multiset.map (fun r => r • x) l).sum


Context:
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
a1 : 1 ≤ a
m n : ℕ
mn : m ≤ n


Context:
α : Type u
m : ℕ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype n'
A : Matrix (Fin m.succ) n' α
B : Matrix n' o' α
i : Fin m
j : o'

(A * B) i.succ j = (Matrix.of (Matrix.vecTail (Matrix.of.symm A)) * B) i j


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: NormedAddCommGroup V

Context: InnerProductSpace ℝ V

Context: MetricSpace P

Context: NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)

Context: Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: p₁ p₂ p₃ p₄ : P

Context: h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄

Context: hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}

EuclideanGeometry.Concyclic {p₁, p₂, p₃, p₄}


Context: ι : Type u_1

Context: β : Type u_4

Context: AddCommMonoid β

Context: DecidableEq ι

Context: Fintype ι

Context: κ : ι → Type u_6

Context: t : (i : ι) → Finset (κ i)

Context: f : ((i : ι) → i ∈ Finset.univ → κ i) → β

∑ x ∈ Finset.univ.pi t, f x = ∑ x ∈ Fintype.piFinset t, f fun a x_1 => x a


Context:
α : Type u_1
Fintype α
CategoryTheory.SmallCategory α
CategoryTheory.FinCategory α
a : CategoryTheory.FinCategory.AsType α

(CategoryTheory.FinCategory.asTypeToObjAsType α).obj a = id a


Context:
F : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Monoid α
Monoid β
FunLike F α β
MonoidHomClass F α β
s : Multiset α
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
f : F

{x | x ∈ Multiset.map (⇑f) s}.Pairwise Commute


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: s t : Finset α

Context: P✝ : Finpartition univ

Context: ε : ℝ

Context: hG : G.FarFromTriangleFree ε

Context: h✝ : Nonempty α

Context: hε : 0 < ε

Context: l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊

Context: hl : 4 / ε ≤ ↑l

Context: hl' : l ≤ Fintype.card α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: hP₂ : l ≤ P.parts.card

Context: hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) l

Context: hP₄ : P.IsUniform G (ε / 8)

Context: this : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card

Context: k : ↑G.edgeFinset.card - ↑(regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).edgeFinset.card < ε * ↑(Fintype.card α ^ 2)

triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card


Context:
α : Type u_1
DivisionMonoid α
a b : α
h : 1 / a = 1 / b


Context:
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
x y : X
hm : IsMaximal x (x ⊔ y)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y
g : L.obj Y ⟶ L.obj Z
α : W.LeftFraction₂ X Y
h₁ : f₁ = α.fst.map L ⋯
h₂ : f₂ = α.snd.map L ⋯
β : W.LeftFraction Y Z
hβ : g = β.map L ⋯
γ : W.LeftFraction α.Y' β.Y'
hγ : β.f ≫ γ.s = α.s ≫ γ.f

f₂ ≫ g = (LeftFraction₂.mk (α.f ≫ γ.f) (α.f' ≫ γ.f) (β.s ≫ γ.s) ⋯).snd.map L ⋯


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : UniformSpace E

Context: inst✝⁹ : UniformAddGroup E

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : UniformSpace F

Context: inst✝⁶ : FirstCountableTopology E

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: inst✝² : RCLike 𝕜'

Context: inst✝¹ : Module 𝕜' F

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: f : E →ₛₗ[σ] F

Context: hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)

Context: b : ℕ → Set E

Context: bE1 : ∀ (i : ℕ), b i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (b i)

Context: bE : (𝓝 0).HasAntitoneBasis fun i => b i

Context: bE' : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun n => (↑n)⁻¹ • b n

Context: V : Set F

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: u : ℕ → E

Context: hu : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → u ia ∈ (↑ia)⁻¹ • b ia

Context: hu' : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → f (u ia) ∉ V

Context: h_tendsto : Tendsto (fun n => ↑n • u n) atTop (𝓝 0)

Context: h_bounded : IsVonNBounded 𝕜 (Set.range fun n => ↑n • u n)

Context: r : ℝ

Context: hr : r > 0

Context: h' : ∀ (c : 𝕜'), r ≤ ‖c‖ → (⇑f '' Set.range fun n => ↑n • u n) ⊆ c • V


Context:
α : Type u
ι : Sort x
p : α → Prop
fs : ι → Filter α

(∀ᶠ (x : α) in ⨆ b, fs b, p x) ↔ ∀ (b : ι), ∀ᶠ (x : α) in fs b, p x


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: V : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: x✝ : M

Context: p p' : Submodule R M

Context: inst✝⁴ : Semiring R₂

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : FunLike F M M₂

Context: inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂

Context: s t : Set M

Context: x : M

Context: d : Set (Submodule R M)

Context: hemp : d.Nonempty

Context: hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d

Context: hsup : span R {x} ≤ sSup d

Context: this : x ∈ sSup d

Context: y : Submodule R M

Context: hyd : y ∈ d

Context: hxy : x ∈ y


Context:
α : Type u_1
G : Type u_5
TopologicalSpace G
AddCommGroup G
TopologicalAddGroup G
f : α → G
hf : Summable f
e : Set G
he : e ∈ 𝓝 0

∃ s, ∀ (t : Set α), Disjoint t ↑s → ∑' (b : ↑t), f ↑b ∈ e


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m n m' : M
f : m ⟶ m'
X : C

(F.obj n).map ((F.map f).app X) ≫ inv ((F.μIso m' n).inv.app X) = inv ((F.μIso m n).inv.app X) ≫ (F.map (f ▷ n)).app X


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasLimits C

Context: inst✝⁴ : HasColimits C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : (CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: inst✝¹ : PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)

Context: inst✝ : PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)

Context: X Y : SheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Y

Context: hf : OpenEmbedding ⇑f.base

Context: U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: y : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hy : y ∈ ↑U

Context: H : IsIso ((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C (f.base y)).map f.c ≫ TopCat.Presheaf.stalkPushforward C f.base X.presheaf y)

Context: H' : IsIso (TopCat.Presheaf.stalkPushforward C f.base X.presheaf y)

Context: this : IsIso (((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C (f.base y)).map f.c ≫ TopCat.Presheaf.stalkPushforward C f.base X.presheaf y) ≫ inv (TopCat.Presheaf.stalkPushforward C f.base X.presheaf y))

IsIso ((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C ↑⟨f.base y, ⋯⟩).map (let_fun this := { val := f.c }; this).val)


Context: B : Type u₁

Context: CategoryTheory.Bicategory B

Context: C : Type u₂

Context: CategoryTheory.Bicategory C

Context: F G H I : CategoryTheory.OplaxFunctor B C

Context: η : F ⟶ G

Context: θ : G ⟶ H

Context: ι : H ⟶ I

Context: a : B

(CategoryTheory.OplaxNatTrans.associator η θ ι).inv.app a =
  (CategoryTheory.Bicategory.associator (η.app a) (θ.app a) (ι.app a)).inv


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β


Context: x : SetTheory.PGame


Context:
R : Type u_3
OrderedSemiring R
a : R
m : ℕ
ha : 1 ≤ a
h : m ≠ 0


Context:
K : Type u_1
g : GenContFract K
DivisionRing K


Context: G : Type u_1

Context: α : Type u_3

Context: AddGroup G

Context: AddAction G α

Context: MeasurableSpace α

Context: ν : MeasureTheory.Measure α

Context: 𝓕 : Set α

Context: h𝓕 : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G 𝓕 ν

Context: μ : MeasureTheory.Measure (Quotient (AddAction.orbitRel G α))

Context: MeasureTheory.AddQuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ

MeasureTheory.MeasurePreserving (Quotient.mk (AddAction.orbitRel G α)) (ν.restrict 𝓕) μ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
Z : Type u_6
AddZeroClass Z
f : C(X, Y)
g : LocallyConstant Y Z

(LocallyConstant.comapAddMonoidHom f) g = LocallyConstant.comap f g


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)

(Filter.coprodᵢ f).NeBot ↔ ∃ d, (f d).NeBot


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D

Context: W : MorphismProperty C

Context: M : Type w'

Context: inst✝⁵ : AddMonoid M

Context: inst✝⁴ : HasShift C M

Context: inst✝³ : HasShift D M

Context: inst✝² : W.IsCompatibleWithShift M

Context: X✝ Y✝ : C

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : L.CommShift M

Context: X Y : C

Context: eq : ∀ (a b : M), Small.{w, v₂} (L.obj ((shiftFunctor C a).obj X) ⟶ L.obj ((shiftFunctor C b).obj Y)) ↔ Small.{w, v₂} ((shiftFunctor D a).obj (L.obj X) ⟶ (shiftFunctor D b).obj (L.obj Y))

(∀ (a b : M), HasSmallLocalizedHom W ((shiftFunctor C a).obj X) ((shiftFunctor C b).obj Y)) ↔ ∀ (a b : M), Small.{w, v₂} ((shiftFunctor D a).obj (L.obj X) ⟶ (shiftFunctor D b).obj (L.obj Y))


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Zero (β₁ i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Zero (β₂ i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i

Context: hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0

Context: g : Π₀ (i : ι), β₁ i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hμ : IntegrableOn f s μ
hν : IntegrableOn f s ν


Context:
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i


Context:
f : ℝ → ℝ
a f' : ℝ
hf : HasStrictDerivAt f f' a

HasStrictDerivAt (fun x => Real.arsinh (f x)) ((√(1 + f a ^ 2))⁻¹ • f') a


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x y z : L

-(⁅⁅z, x⁆, y⁆ + -⁅⁅z, y⁆, x⁆) = - -⁅⁅z, y⁆, x⁆ - - -⁅⁅z, x⁆, y⁆


Context: ι : Type u_1

Context: M : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: N : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid N

Context: hnontriv : Nontrivial ι

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : Group G

Context: H : ι → Type u_5

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)

Context: f : (i : ι) → H i →* G

Context: hcard : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)

Context: α : Type u_6

Context: inst✝ : MulAction G α

Context: X : ι → Set α

Context: hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty

Context: hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)

Context: hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i

Context: i j k : ι

Context: w : NeWord H i j

Context: hhead : k ≠ i

Context: hlast : k ≠ j

Context: heq1 : (lift f) w.prod = 1

Context: this : X k ⊆ X i


Context:
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
NoMinOrder α
a b : α


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
self : StrongFEPair E


Context:
α : Type u_1
Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Ordnode.Valid' o₁ l ↑x
hr : Ordnode.Valid' (↑x) r o₂

Ordnode.BalancedSz l.size r.size → Ordnode.Valid' o₁ (l.glue r) o₂ ∧ (l.glue r).size = l.size + r.size


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : PadicSeq p

Context: h : ∀ (k : ℕ), padicNorm p (↑f k) = padicNorm p (↑g k)

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: hg : ¬g ≈ 0


Context:
K : Type u_1
Field K
NumberField K
A : Type u_2
NormedField A
IsAlgClosed A
NormedAlgebra ℚ A
B : ℝ

{x | IsIntegral ℤ x ∧ ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ ≤ B}.Finite


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
x y : E


Context: z w : ℂ

Complex.normSq (z / w) = Complex.normSq z / Complex.normSq w


Context:
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
s s' : S.Splitting
h : s.s = s'.s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
inst✝ : CompleteLattice α
B : Set ι
Bcbl : B.Countable
f : ι → α
i₀ : ι
h : f i₀ = ⊤
Bnonempty : B.Nonempty


Context:
δ : Type u_4
π : δ → Type u_6
(a : δ) → MeasurableSpace (π a)
s : Set δ
t : (i : δ) → Set (π i)
hs : s.Countable
ht : ∀ i ∈ s, MeasurableSet (t i)


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix n n R

∑ τ : Perm n, ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, M (σ i) (τ i) * N (τ i) i = ∑ σ : Perm n, ∑ τ : Perm n, (∏ i : n, N (σ i) i) * ↑↑(sign τ) * ∏ j : n, M (τ j) (σ j)


Context: n✝ n : ℕ

(1 - 1) * ∑ i ∈ range (log 1 n).succ, n / 1 ^ i.succ = n - (digits 1 n).sum


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
x : F
hs : MeasurableSet Set.univ
hs_empty : Set.univ.Nonempty

∑ x_1 ∈ (piecewise Set.univ hs (const α x) (const α 0)).range, (T (↑(piecewise Set.univ hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x_1})) x_1 = (T Set.univ) x


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x

Context: f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume

Context: hf : Tendsto f atBot (𝓝 m)


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α

(Finset.image Sym2.mk s.offDiag).card = s.card.choose 2


Context:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i j : N
f g : ↑(Ω^ N X x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel (α × β) γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set (β × γ)

∫⁻ (b : β), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a ≤ ((κ.compProd η) a) s


Context:
p n pow : ℕ
hp : 1 < p
hn : 0 < n
h : p ^ pow ∣ n
c : ℕ
hc : n = p ^ pow * c


Context:
A : Type u_1
Add A
Mul A
Star A


Context:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMinOn f s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
hy' : -y ∈ posTangentConeAt s a
hf : ¬DifferentiableWithinAt ℝ f s a


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: DivisionRing K

Context: AddCommGroup V

Context: Module K V

Context: FiniteDimensional K V

Context: S : Submodule K V

Context: h : FiniteDimensional.finrank K ↥S = FiniteDimensional.finrank K V


Context: ι : Type u

Context: f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)

(∀ (a : Ordinal.{max u v}), derivFamily f a ∈ ⋂ i, fixedPoints (f i)) ∧ ∀ b ∈ ⋂ i, fixedPoints (f i), ∃ a, derivFamily f a = b


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
f : α → α
n✝ : ℕ
hf : Involutive f
n : ℕ


Context: k m n : Nat


Context:
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
s t : Set α
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t


Context:
C : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} E
F : CategoryTheory.Functor (C × D) E

∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y) (Y_1 : D),
  ((CategoryTheory.curry.obj F).map f).app Y_1 = F.map (f, CategoryTheory.CategoryStruct.id Y_1)


Context: α✝ : Type u

Context: inst✝² : DecidableEq α✝

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : Fintype α✝

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ : α → Perm β

Context: a : α

Context: b : β

Context: a' : α

Context: l : List α

Context: ih : l.Nodup → a ∈ l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, (σ a) b) ∨ a ∉ l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, b)

Context: hl : (a' :: l).Nodup

Context: not_mem_l : a ∉ l

Context: prod_eq : (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, b)

a ∈ a' :: l ∧ (prodExtendRight a' (σ a')) (a, b) = (a, (σ a) b) ∨ a ∉ a' :: l ∧ (prodExtendRight a' (σ a')) (a, b) = (a, b)


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3

¬Nonempty (α → β) ↔ ¬(IsEmpty α ∨ Nonempty β)


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I : Box ι

(volume ↑I).toReal = ∏ i : ι, (I.upper i - I.lower i)


Context: n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: F : Type uF

Context: P : Type uP

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedAddCommGroup E'

Context: NormedAddCommGroup F

Context: RCLike 𝕜

Context: NormedSpace 𝕜 E

Context: NormedSpace 𝕜 E'

Context: NormedSpace ℝ F

Context: NormedSpace 𝕜 F

Context: CompleteSpace F

Context: MeasurableSpace G

Context: NormedAddCommGroup G

Context: BorelSpace G

Context: NormedSpace 𝕜 G

Context: NormedAddCommGroup P

Context: NormedSpace 𝕜 P

Context: μ : MeasureTheory.Measure G

Context: μ.IsAddLeftInvariant

Context: μ.IsNegInvariant

Context: L : E' →L[𝕜] E →L[𝕜] F

Context: s : Set P

Context: n : ℕ∞

Context: v : P → G

Context: hv : ContDiffOn 𝕜 n v s

Context: f : G → E

Context: g : P → G → E'

Context: k : Set G

Context: hs : IsOpen s

Context: hk : IsCompact k

Context: hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0

Context: hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ Set.univ)

ContDiffOn 𝕜 n (fun x => MeasureTheory.convolution (g x) f L μ (v x)) s


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N

(AddMonoid.Coprod.swap M N).comp AddMonoid.Coprod.inl = AddMonoid.Coprod.inr


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s t u : Finset α
a₀ a₁ b₀ b₁ c₀ c₁ d₀ d₁ : β
ha₀ : 0 ≤ a₀
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₀ : 0 ≤ b₀
hb₁ : 0 ≤ b₁
hc₀ : 0 ≤ c₀
hc₁ : 0 ≤ c₁
hd₀ : 0 ≤ d₀
hd₁ : 0 ≤ d₁
h₀₀ : a₀ * b₀ ≤ c₀ * d₀
h₁₀ : a₁ * b₀ ≤ c₀ * d₁
h₀₁ : a₀ * b₁ ≤ c₀ * d₁
h₁₁ : a₁ * b₁ ≤ c₁ * d₁


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f μ
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Integrable (fun x => y₀) μ
n : ℕ

Integrable (↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n)) μ


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: F : Type uF

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedAddCommGroup E'

Context: NormedAddCommGroup F

Context: RCLike 𝕜

Context: NormedSpace 𝕜 E

Context: NormedSpace 𝕜 E'

Context: NormedSpace ℝ F

Context: NormedSpace 𝕜 F

Context: f₀ : 𝕜 → E

Context: g₀ : 𝕜 → E'

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: μ : MeasureTheory.Measure 𝕜

Context: μ.IsAddLeftInvariant

Context: MeasureTheory.SFinite μ

Context: μ.IsNegInvariant

Context: hcf : HasCompactSupport f₀

Context: hf : ContDiff 𝕜 1 f₀

Context: hg : MeasureTheory.LocallyIntegrable g₀ μ

Context: x₀ : 𝕜

HasDerivAt (MeasureTheory.convolution f₀ g₀ L μ) (MeasureTheory.convolution (deriv f₀) g₀ L μ x₀) x₀


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : Monoid N

Context: inst✝¹ : Monoid P

Context: l✝ l₁ l₂ : List M

Context: a : M

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: l : List M

Context: ih : a ∈ l → (∀ x ∈ l, ∀ y ∈ l, x * y = y * x) → a * (l.erase a).prod = l.prod

Context: ha : a ∈ a :: l

Context: comm : ∀ x ∈ a :: l, ∀ y ∈ a :: l, x * y = y * x

a * ((a :: l).erase a).prod = (a :: l).prod


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y


Context:
R : Type u_1
Rack R
G : Type u_2
Group G
f : R →◃ Quandle.Conj G
a b : Rack.PreEnvelGroup R

Rack.PreEnvelGroupRel' R a b → Rack.toEnvelGroup.mapAux f a = Rack.toEnvelGroup.mapAux f b


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanIso n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
a✝ : α
ha✝ : a✝ ∈ A
a : α
ha : a ∈ s + replicate (n - m) a✝


Context:
α : Type u_1
a : α
l : List α
h : a ∈ l


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v₁)

(CategoryTheory.Presheaf.tautologicalCocone P).pt = P


Context:
α : Type u
β : Type v
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
M : Ideal R
hm : M.IsMaximal
non_field : ¬IsField R


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : Preorder β

Context: s : Set (Lex (α × β))

Context: hα : ∀ (f : ℕ → α), (∀ (n : ℕ), f n ∈ (fun x => (ofLex x).1) '' s) → ∃ g, Monotone (f ∘ ⇑g)

Context: hβ : ∀ (a : α), {y | toLex (a, y) ∈ s}.IsPWO

Context: f : ℕ → Lex (α × β)

Context: hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s

Context: g : ℕ ↪o ℕ

Context: hg : Monotone fun n => (ofLex f (g n)).1

Context: hhg : ∀ (n : ℕ), (ofLex f (g 0)).1 ≤ (ofLex f (g n)).1

∃ m n, m < n ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f m) (f n)


Context: X : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace

Context: r : ↑(AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Γ.obj (Opposite.op X))

X.toΓSpecMapBasicOpen r = X.toRingedSpace.basicOpen r


Context:
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F G : J ⥤ C
α : F ≅ G

(CategoryTheory.Limits.Cones.postcomposeEquivalence α).functor = CategoryTheory.Limits.Cones.postcompose α.hom


Context:
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
S : Type u_10
Monoid S
DistribMulAction S N
SMulCommClass R S N
c : S
m : ι → M


Context: α : Sort u_4


Context:
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
NoMinOrder α
a : α


ContinuousOn Real.tan {x | Real.cos x ≠ 0}


Context: K : Type v

Context: V : Type w

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: f : End K V

Context: μ : K

Context: h : (minpoly K f).IsRoot μ

Context: p : K[X]

Context: hp : minpoly K f = (X - C μ) * p

Context: con : LinearMap.ker (f - (algebraMap K (End K V)) μ) = ⊥

Context: u : (V →ₗ[K] V)ˣ

Context: hu : ↑u = f - (algebraMap K (End K V)) μ

Context: p_ne_0 : p ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)

Context: x✝ y✝ z✝ : 𝕜

Context: hx : x✝ ∈ s

Context: hz : z✝ ∈ s

Context: hxy : x✝ < y✝

Context: hyz : y✝ < z✝


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
h : Disjoint s₁ s₂

∏ x ∈ s₁ ∪ s₂, f x = (∏ x ∈ s₁, f x) * ∏ x ∈ s₂, f x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
CommSemiring R
CommSemiring S
f : R →+* S
x y : S
p : R[X][Y]

Polynomial.eval₂ (Polynomial.eval₂RingHom f x) y p =
  Polynomial.evalEval x y (Polynomial.map (Polynomial.mapRingHom f) p)


Context:
α : Type u
β : Type v
Group α
AddMonoid β
DistribMulAction α β
x : α

∀ (a : β), (DistribMulAction.toAddEquiv β x) a = x • a


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: P : CategoryTheory.MorphismProperty C

Context: CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C

Context: P.RespectsIso

Context: hP₂ : ∀ (X Y S : C) (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S), P g → P (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g)


Context: z : ℂ

Context: this : HasSum (fun x => ((z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)! + (-z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)!) / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)

Context: k : ℕ


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C

Context: H : J.OneHypercoverFamily

Context: self : H.IsGenerating

Context: X : C

Context: S : CategoryTheory.Sieve X

Context: hS : S ∈ J.sieves X


Context:
F : Type u
Field F
f : RatFunc F
r : F


Context:
C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝⁵ : Linear 𝕜 C
inst✝⁴ : HasKernels C
X Y : C
inst✝³ : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ Y)
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y

finrank 𝕜 (X ⟶ Y) = 0 ↔ ¬finrank 𝕜 (X ⟶ Y) = 1


Context:
R : Type u
CommRing R
P Q : Fin 3 → R
hx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α

μ.toFiniteAux s = ∑' (n : ℕ), (2 ^ (n + 1) * (sFiniteSeq μ n) Set.univ)⁻¹ * (sFiniteSeq μ n) s


Context: V : Type u_1

Context: NormedAddCommGroup V

Context: InnerProductSpace ℝ V

Context: hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y : V

Context: h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

‖y‖ / (o.oangle x (x + y)).sin = ‖x + y‖


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

-b - -(toIocDiv hp (-a) b • p + 1 • p) = p - (b - toIocDiv hp (-a) b • p)


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
h : HasFDerivWithinAt f f' t x
hst : s ⊆ t


Context:
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
hf : StrictMono f
a b : α


Context:
α : Type u_1
a b : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
PosMulStrictMono α
ha : 1 ≤ a
hb : 1 < b
a0 : 0 < a


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Algebra R S
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
hRS : Algebra.FiniteType R S
hSA : Algebra.FiniteType S A


Context: p : ℕ

Context: a : ZMod p

Context: ha : a ^ (p - 1) = 1

Context: hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
ha : a ≠ 0
x✝ : p ∣ C a * q
r : R[X]
hr : C a * q = p * r


Context:
p : ℕ
h : p ∈ primeFactorsList 0


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
v : V


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
Fintype σ

MvPolynomial.psum σ R 0 = ↑(Fintype.card σ)


Context: 𝒪 : Type u

Context: K : Type v

Context: Γ : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing 𝒪

Context: inst✝⁴ : IsDomain 𝒪

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra 𝒪 K

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ

Context: v : Valuation K Γ

Context: hh : v.Integers 𝒪

Context: inst✝ : ValuationRing 𝒪

IsFractionRing 𝒪 K ↔ (∀ (x : K), ∃ a, x = (algebraMap 𝒪 K) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap 𝒪 K) a) ∧ Function.Injective ⇑(algebraMap 𝒪 K)


Context:
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a b : E


Context:
α : Type u_1
MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
Nonempty α
CompleteSpace α
g : α → α
hg : ContractingWith K g
C : ℝ
hfg : ∀ (z : α), dist (f z) (g z) ≤ C

dist (ContractingWith.fixedPoint f hf) (ContractingWith.fixedPoint g hg) ≤ C / (1 - ↑K)


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : Karoubi (ChainComplex C ℕ)
n : ℕ

((𝟭 (Karoubi (ChainComplex C ℕ))).map X.decompId_i).f.f n ≫ X.p.f n ≫ ((Γ₀.splitting X.X).cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n])) = X.p.f n ≫ ((Γ₀.splitting X.X).cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n]))


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
K : Type u_3
K' : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K'
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : Algebra R K'
inst✝¹ : IsFractionRing R K'
I J : FractionalIdeal R⁰ K
h : K →ₐ[R] K'
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
y : K
y_mem : y ∈ I
y_not_mem : y ∉ ⊥


Context:
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂✝ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
R : outParam (Type u_17)
M : outParam (Type u_18)
M₂ : outParam (Type u_19)
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
F : Type u_20
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : LinearMapClass F R M M₂
f : F
r : R
x : M


Context:
R : Type u_1
Semiring R
S : Type u_2
Semiring S
R₂ : Type u_3
Semiring R₂
S₂ : Type u_4
Semiring S₂
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module S N
Module R₂ P
Module S₂ P
SMulCommClass S₂ R₂ P
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
f g : M →ₛₗ[ρ₁₂] N →ₛₗ[σ₁₂] P
h : f = g
x : M
y : N


Context:
z w : ℍ
r R : ℝ
a b c : ℍ

(dist ↑a ↑b * dist (↑c) ((starRingEnd ℂ) ↑b) + dist (↑a) ((starRingEnd ℂ) ↑b) * dist ↑b ↑c) / (2 * 2 * (√(a.im * b.im) * √(b.im * c.im))) = (dist ↑a ↑b * dist (↑c) ((starRingEnd ℂ) ↑b) + dist (↑a) ((starRingEnd ℂ) ↑b) * dist ↑b ↑c) / (2 * 2 * (√(a.im * c.im) * b.im))


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: M : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N

Context: p : ι → Submodule R N

Context: hp : Independent p

Context: v : ι → N

Context: hv : ∀ (i : ι), v i ∈ p i

Context: hv' : ∀ (i : ι), v i ≠ 0

Context: x✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι

Context: x✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: l : ι →₀ R

Context: hl : (Finsupp.total ι N R v) l = 0

Context: a : Π₀ (i : ι), ↥(p i) := (mapRange.linearMap fun i => LinearMap.toSpanSingleton R ↥(p i) ⟨v i, ⋯⟩) l.toDFinsupp


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : CommSemiring S

Context: inst✝⁵ : CommSemiring P

Context: inst✝⁴ : CommSemiring Q

Context: M : Submonoid R

Context: T : Submonoid P

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra P Q

Context: inst✝¹ : IsLocalization M S

Context: inst✝ : IsLocalization T Q

Context: g : R →+* P

Context: hT : Submonoid.map g M = T

Context: e : ↥(Ideal.map (algebraMap R S) (ker g)) ≃ₛₗ[id S] ↥(ker (IsLocalization.map Q g ⋯)) := LinearEquiv.ofEq (Ideal.map (algebraMap R S) (ker g)) (ker (IsLocalization.map Q g ⋯)) ⋯

IsLocalizedModule M (↑(LinearEquiv.restrictScalars R e) ∘ₗ Algebra.idealMap S (ker g))


Context:
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R

(W.variableChange C).b₆ = ↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.b₆ + 2 * C.r * W.b₄ + C.r ^ 2 * W.b₂ + 4 * C.r ^ 3)


Context:
α : Type u_1
l : List α
d : α

(Set.range fun n => l[n]?.getD d) = insert d {x | x ∈ l}


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: s t : Set (ι → ℝ)

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: hs : IsUpperSet s

Context: hx : x ∈ closure s

Context: hδ : 0 < δ

Context: y : ι → ℝ

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : dist x y < δ / 4

Context: z : ι → ℝ

Context: hz : z ∈ closedBall (x + const ι (3 / 4 * δ)) (δ / 4)

Context: i : ι


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : NormalizationMonoid α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: x : α

Context: n : ℕ

Context: ih : normalizedFactors (x ^ n) = n • normalizedFactors x

Context: h0 : ¬x = 0

normalizedFactors (x ^ (n + 1)) = (n + 1) • normalizedFactors x


Context:
X : Type u
s t : Set X
TopologicalSpace X
h₁ : s ⊆ t
h₂ : IsClosed t


Context: F : Type u_1

Context: Field F

Context: E : Type u_2

Context: Field E

Context: Algebra F E

Context: K : Type u

Context: Field K

Context: Algebra F K

Context: Algebra E K

Context: IsScalarTower F E K

Context: S : Set K

Context: hprim : IntermediateField.adjoin F S = ⊤


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < p.radius

Summable ((fun s => ‖p (s.fst + s.snd.fst)‖₊ * r ^ s.snd.fst * r' ^ s.fst) ∘ ⇑changeOriginIndexEquiv.symm)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → β


Context:
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p p' : Submodule R M
h : Disjoint p p'
x : ↥p'


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
n : ℤ

∀ {X Y : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C} (f : X ⟶ Y),
  ((CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle.shiftFunctor C n).map f).hom₁ = (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.hom₁


Context:
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
X Y : C
f : X ⟶ Y


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: f✝ f₁ f₂ : Filter α

Context: g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β

Context: f : ι → Filter α

Context: g : Set α → Filter β

Context: hg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ⊓ g t

Context: hg' : g univ = ⊤


Context:
R : Type u_1
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
CommSemiring R
AddCommMonoid M₁
Module R M₁
AddCommMonoid M₂
Module R M₂
DecidableEq n
Fintype n
DecidableEq m
Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
AddCommMonoid M₁'
Module R M₁'
b₁' : Basis n' R M₁'
Fintype n'
DecidableEq n'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
f : M₁' →ₗ[R] M₁

(LinearMap.toMatrix₂ b₁' b₂) (B ∘ₗ f) = ((LinearMap.toMatrix b₁' b₁) f)ᵀ * (LinearMap.toMatrix₂ b₁ b₂) B


Context:
L : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice L
a b : L

(fun u => {x | x u}) (a ⊓ b) = (fun u => {x | x u}) a ⊓ (fun u => {x | x u}) b


Context:
G : Type u_3
Mul G
IsLeftCancelMul G
a : G


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p q : R[X]
r : R
h : p.natDegree = q.natDegree
n : ℕ

(r ^ (p.natDegree - (p + q).natDegree) • (p + q).scaleRoots r).coeff n = (p.scaleRoots r + q.scaleRoots r).coeff n


Context:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
h : x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1
hy : y ≠ 0


Context:
α : Type u
m : ℕ
x : α
u : Fin m → α


Context:
α : Type u
s : Stream'.WSeq α
n : ℕ
T : (s.get? n).Terminates


Context: 𝕜 : Type u

Context: n : ℕ

Context: Ei : Fin n.succ → Type wEi

Context: G : Type wG

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)

Context: (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)

Context: NormedAddCommGroup G

Context: NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G

Context: x : Ei 0

Context: m : (i : Fin n) → Ei i.succ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : Integrable f μ
hN : μ N = 0


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: p : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hp : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < p i

Context: hs : 0 < s.re

Context: hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => a i * ↑(rexp (-p i * t))) (F t)

Context: h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / p i ^ s.re

HasSum (fun i => Complex.Gamma s * a i / ↑(p i) ^ s) (mellin F s)


Context:
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N
f : L.Hom M N
hf : Function.Surjective ⇑f


Context:
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x y : E
s t u : Set E

convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 s t) u = convexJoin 𝕜 s (convexJoin 𝕜 t u)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s✝ : Set E
a b m✝ : ℝ
x y : E
f✝ g : E → ℝ
s : Set E
f : E → ℝ
m n : ℝ


Context:
ι : Type u_2
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomotopyCategory V c
f : C ⟶ D

(HomotopyCategory.quotient V c).map (Quot.out f) = f


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂

ContDiffOn 𝕜 ⊤ f₂ s₂ ↔ DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂ ∧ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (derivWithin f₂ s₂) s₂


Context:
x : PartENat
y : ℕ
h : x ≤ ↑y


Context:
R : Type u
S : Type v
CommRing R
f : R[X]
CommRing S
i : R →+* S
a : S
h : Polynomial.eval₂ i a f = 0
g : R[X]

(AdjoinRoot.lift i a h) ((AdjoinRoot.mk f) g) = Polynomial.eval₂ i a g


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
hf : Function.Bijective f


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace 𝕜 P
Nonempty ↥s


Context:
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N' : Type u_6
AddCommGroup N'
Module R N'
ι : Type u_7
g g₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: A : C

Context: CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C

Context: CategoryTheory.Exponentiable A

Context: I : C

Context: t : CategoryTheory.Limits.IsInitial I

(CategoryTheory.zeroMul t).hom = CategoryTheory.Limits.prod.snd


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: ce : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: this : NumberField K

Context: H₁ : (aeval (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen) (X - 1) = (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen

Context: H₂ : (aeval (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen) (X + 1) = (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen

Context: i : Fin (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).dim

Context: j : Fin (subOnePowerBasis ℚ hζ).dim

minpoly ℚ (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen = Polynomial.map (algebraMap ℤ ℚ) (minpoly ℤ (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen)


Context:
G : Type u_7
Group G
H K : Subgroup G
h : H ≤ K
g : ↥(H.subgroupOf K)

↑((Subgroup.subgroupOfEquivOfLe h) g) = ↑↑g


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: p q : A → Prop

Context: inst✝²⁰ : Semifield R

Context: inst✝¹⁹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝¹⁵ : Semifield S

Context: inst✝¹⁴ : StarRing S

Context: inst✝¹³ : MetricSpace S

Context: inst✝¹² : TopologicalSemiring S

Context: inst✝¹¹ : ContinuousStar S

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁹ : Ring A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : Algebra S A

Context: inst✝⁶ : ContinuousFunctionalCalculus S q

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝² : StarModule R S

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R S

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : C(S, R)

Context: halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)

Context: h0 : p 0

Context: h : ∀ (a : A), p a ↔ q a ∧ SpectrumRestricts a ⇑f

Context: h_cpct : ∀ (a : A), q a → CompactSpace ↑(spectrum S a)

Context: a : A

Context: ha : p a

ClosedEmbedding ⇑(starAlgHom (cfcHom ⋯) ⋯)


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
x : α


Context:
α : Type u_1
a b : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
MulPosStrictMono α
hb : 0 < b
h : a < 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: MetricSpace β

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: SemilatticeSup ι

Context: Nonempty ι

Context: Countable ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hf : ∀ (n : ι), MeasureTheory.StronglyMeasurable (f n)

Context: hg : MeasureTheory.StronglyMeasurable g

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Filter.Tendsto (fun n => f n x) Filter.atTop (𝓝 (g x))

Context: n : ℕ

∃ j, μ (s ∩ MeasureTheory.Egorov.notConvergentSeq f g n j) ≤ ENNReal.ofReal (ε * 2⁻¹ ^ n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β → σ
x✝¹ : α
x✝ : ℕ

Option.map (f x✝¹) (decode x✝) = (decode x✝).bind (Option.some ∘ f x✝¹)


Context: n d : ℤ


Context:
a b x y u v : ℕ
ha : ↑a = ↑x ^ 2 + ↑y ^ 2
hb : ↑b = ↑u ^ 2 + ↑v ^ 2
r s : ℤ
h : ↑a * ↑b = r ^ 2 + s ^ 2


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
n : Type w
Nontrivial R
NoZeroDivisors R
B : LinearMap.BilinForm R M
v : Basis n R M
hO : B.iIsOrtho ⇑v

B.Nondegenerate ↔ ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
Monoid β
a : α
f : α → β


Context:
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : LSeriesSummable f s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ

a ≡ b [PMOD p] ↔ toIcoDiv hp a b = toIocDiv hp a b + 1


Context:
α : Sort u
β : α → Sort v
α' : Sort w
DecidableEq α
DecidableEq α'
g : (a : α) → β a
f : α' → α
hf : Function.Injective f
i : α'
a : β (f i)

(fun j => Function.update g (f i) a (f j)) = Function.update (fun i => g (f i)) i a


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T0Space X


Context:
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : ZMod n


Context:
K : Type u
Field K
x : RatFunc K

(-x).num * x.denom = -x.num * (-x).denom


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
H : LiftRel R s t
n : ℕ

Option (α × WSeq α) → Option (β × WSeq β) → Prop


Context:
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype m
Fintype n
SeminormedAddCommGroup α
A : Matrix m n α

‖A‖ = ↑(Finset.univ.sup fun i => Finset.univ.sup fun j => ‖A i j‖₊)


Context:
R : Type u
CommRing R
M : AlgebraCat R


Context: α : Type u_1

Context: TopologicalSpace α

Context: x : α

Context: ι : Sort u_3

Context: δ : Type u_4

Context: CompleteLinearOrder δ

Context: f : ι → α → δ

Context: h : ∀ (i : ι), UpperSemicontinuousAt (f i) x

UpperSemicontinuousAt (fun x' => ⨅ i, f i x') x


Context:
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
o₁ e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
o₂ : ONote
h₁ : (e₁.oadd n₁ o₁).NF
h : e₁ < e₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: NormedAddCommGroup β

Context: F : ℕ → α → β

Context: f : α → β

Context: bound : α → ℝ

Context: h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a

Context: h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun n => F n a) Filter.atTop (𝓝 (f a))

∀ᵐ (a : α) ∂μ, ENNReal.ofReal ‖f a‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound a)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
e : M ≃ₗ[R] ι → R
i j : ι

e ((ofEquivFun e) i) j = e (e.symm (update 0 i 1)) j


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b : α
m n : ℕ


Context:
α : Type u
a : α


Context:
α : Type u_1
l : List α
n : ℕ
x : α


Context:
α : Type u
β : Type v
l l₁✝ l₂✝ : List α
r : α → α → Prop
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
l₁ : List α
a : α
l₂ : List α
hl₁ : l₁.Nodup

l₁.diff (a :: l₂) = List.filter (fun x => decide (x ∉ a :: l₂)) l₁


Context:
S : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroupWithOne S
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasShift C S
n : S
X✝ Y✝ Z✝ : DifferentialObject S C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝

autoParam ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map (f.f ≫ g.f) = (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.f ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map g.f) _auto✝


Context:
α : Type u_1
MeasurableSpace α
PseudoEMetricSpace α
OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
N : ℕ
x : α

↑(MeasureTheory.SimpleFunc.nearestPtInd e (N + 1)) x =
  if ∀ k ≤ N, edist (e (N + 1)) x < edist (e k) x then N + 1 else ↑(MeasureTheory.SimpleFunc.nearestPtInd e N) x


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanHom 2 (↑A) (↑B) f
hf' : Set.BijOn f ↑A ↑B
s : Finset β
hsB : s ⊆ B
hcard : s.card = mulRothNumber B
hs : ThreeGPFree ↑s
hsA : invFunOn f ↑A '' ↑s ⊆ ↑A
hfsA : Set.SurjOn f ↑A ↑s


Context: P : CategoryTheory.MorphismProperty AlgebraicGeometry.Scheme

Context: hP : AlgebraicGeometry.IsLocalAtTarget P

Context: X Y : AlgebraicGeometry.Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

Context: H : ∀ (i : (𝒰.pullbackCover f).J), P (𝒰.pullbackHom f i)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
NormedAddCommGroup X
NormedAddCommGroup Y
NormedSpace ℝ X
NormedSpace ℝ Y
f g : X → Y
x : X
u : Set X
hx : x ∈ u
hu : IsOpen u
hf : ConformalAt f x
h : ∀ x ∈ u, g x = f x


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E

∀ (x x_1 : C × D × E) (f : x ⟶ x_1), (CategoryTheory.prod.inverseAssociator C D E).map f = ((f.1, f.2.1), f.2.2)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
f : α →o β
g : β →o γ
x : β
c : Chain α
z : β

Function.const α x (ωSup c) ≤ z ↔ ∀ (i : ℕ), (Function.const α x ∘ ⇑c) i ≤ z


Context: n : ℕ

(∑' (i : ℕ), if n ≤ i then 2⁻¹ ^ i else 0) = 2 * 2⁻¹ ^ n


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: β : Type u_4

Context: u : ι ⊕ β → ↑S.X₂

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

Context: hv : ⊤ ≤ span R (range v)

Context: hw : ⊤ ≤ span R (range (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr))

Context: m : ↑S.X₂

Context: a✝ : m ∈ ⊤

Context: cm : β →₀ R

Context: hm : (cm.sum fun i a => a • (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr) i) = S.g m

Context: m' : ↑S.X₂ := cm.sum fun j a => a • u (Sum.inr j)


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.14791, u_1} C
P : Karoubi C


Context:
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph α
Fintype α
DecidableEq α
DecidableRel G.Adj
n : ℕ
DecidableRel H.Adj
h : G ≤ H


Context:
M : Type u_1
α : Type u_7
AddMonoid M
AddAction M α
b : α


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedSemifield α
a : α
m n : ℤ
h₀ : 0 < a
h₁ : a ≠ 1


Context:
α : Type u
c : Cardinal.{u}
hreg : c.IsRegular
s : Set α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
x y : E

openSegment 𝕜 x y = (fun p => p.1 • x + p.2 • y) '' {p | 0 < p.1 ∧ 0 < p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
a a' : α
v : Vector α n


Context:
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
ϕ : L →ᴸ L'
L'' : FirstOrder.Language
ψ : L'' →ᴸ L'
L3 : FirstOrder.Language
θ : L' →ᴸ L3

θ.comp (ϕ.sumElim ψ) = (θ.comp ϕ).sumElim (θ.comp ψ)


Context: I : Type w₁

Context: C : I → Type u₁

Context: (i : I) → CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} (C i)

Context: J : Type w₂

Context: K : Type w₃

Context: f : K → J

Context: g : J → I

Context: X : (i : K) × (fun i => C (g (f i))) i

(CategoryTheory.Sigma.mapComp C f g).inv.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id ⟨g (f X.fst), X.snd⟩


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
s : Set E
x y : E

[x-[𝕜]y] ⊆ s ↔ ∀ (a b : 𝕜), 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s


Context:
K : Type u_2
Field K
NumberField K
x : K

∏ w : NumberField.InfinitePlace K, w x ^ w.mult = ↑|(Algebra.norm ℚ) x|


Context:
m : Nat
b : Int
H : 0 < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f g : C(α, β)
h : ∀ (a : α), f a = g a


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty Cᵒᵖ
X Y : Cᵒᵖ
φ : W.LeftFraction X Y


Context:
F : Type u
Field F


Context:
θ ψ : ℝ
Hcos : cos θ = cos ψ
Hsin : sin θ = sin ψ
hc : ↑θ = -↑ψ


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
θ : Δ ⟶ Δ'
A : Splitting.IndexSet Δ

(image.ι (θ.unop ≫ A.e)).op ≫ (A.pull θ).e.op = A.e.op ≫ θ


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
s : Set V

SimpleGraph.induceHom SimpleGraph.Hom.id ⋯ = SimpleGraph.Hom.id


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I✝ I J : Ideal A
HI : ∃ S, I = span (Subtype.val '' S)
HJ : ∃ S, J = span (Subtype.val '' S)


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
f g : Π₀ (_a : α), ℕ

DFinsupp.toMultiset f ≤ DFinsupp.toMultiset g ↔ f ≤ g


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : (forget C).Corepresentable
J : Type w
inst✝¹ : Category.{t, w} J
G : J ⥤ C
inst✝ : HasLimit G

Small.{v, max v w} ↑(G ⋙ forget C).sections


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
s : Set G

AddSubgroup.center G ≤ AddSubgroup.centralizer s


Context: G : Type u_1

Context: Group G

Context: MeasurableSpace G

Context: TopologicalSpace G

Context: TopologicalGroup G

Context: BorelSpace G

Context: PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: Countable ↥Γ

Context: Γ.Normal

Context: T2Space (G ⧸ Γ)

Context: SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)

Context: ν : MeasureTheory.Measure G

Context: MeasureTheory.SigmaFinite ν

Context: ν.IsHaarMeasure

Context: ν.IsMulRightInvariant

Context: K : TopologicalSpace.PositiveCompacts (G ⧸ Γ)

Context: 𝓕 : Set G

Context: h𝓕 : MeasureTheory.IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν

Context: h𝓕_finite : ν 𝓕 ≠ ⊤

MeasureTheory.QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν (ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' ↑K ∩ 𝓕) • MeasureTheory.Measure.haarMeasure K)


Context:
α : Type u_1
s s' : Multiset α
hs : s = s'
p p' : α → Prop
DecidablePred p
DecidablePred p'
hp : ∀ x ∈ s, p x = p' x

Multiset.countP p s = Multiset.countP p' s'


Context: m n : Nat


Context:
K : Type u
V : Type v
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
FiniteDimensional K V
f g : V →ₗ[K] V

f ∘ₗ g = LinearMap.id ↔ g ∘ₗ f = LinearMap.id


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalGroup α
OrderClosedTopology α
f g : ι → α
hf : Multipliable f
hg : Multipliable g
h : f < g


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup β

Context: T T' : Set α → β

Context: C C' : ℝ

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc_ne_top : c ≠ ⊤

Context: h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → c • μ s = ⊤ → μ s = ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s < ⊤

Context: hcμs : c * μ s ≠ ⊤

Context: hT : FinMeasAdditive (c • μ) T ∧ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → c * μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (c.toReal * (μ s).toReal)

C * (c.toReal * (μ s).toReal) = c.toReal * C * (μ s).toReal


Context:
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
M : Matrix m n α
i : m
j : n
c : m → α
DecidableEq n
j' : n

M.updateColumn j c i j' = if j' = j then c i else M i j'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ι → α → β

Context: hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ

Context: h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Context: g : ι → α → β := fun i => Exists.choose ⋯

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖Exists.choose ⋯ x‖₊}.indicator (Exists.choose ⋯)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
b : β
s : Set β
h : b ∈ s


Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁸ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: inst✝⁷ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝⁶ : ConcreteCategory D

Context: inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)

Context: K : Type (max v u)

Context: inst✝⁴ : SmallCategory K

Context: inst✝³ : FinCategory K

Context: inst✝² : HasLimitsOfShape K D

Context: inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape K (forget D)

Context: inst✝ : ReflectsLimitsOfShape K (forget D)

Context: F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: S : Cone (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj (op X))

Context: k : K

Context: j : (J.Cover (unop (op X)))ᵒᵖ

colimit.ι (J.diagram (F.obj k) X) j = (colimit.ι (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip j).app k ≫ (colimitObjIsoColimitCompEvaluation (F ⋙ J.diagramFunctor D X).flip k).hom


Context:
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
e : C ≌ D

(CategoryTheory.Limits.Cones.functorialityEquivalence F e).unitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun c => CategoryTheory.Limits.Cones.ext (e.unitIso.app ((𝟭 (CategoryTheory.Limits.Cone F)).obj c).1) ⋯) ⋯


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Finsubgraph


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y : V

Context: h : (o.oangle x y).sign = -1

Context: hx : ¬x = 0

Context: hy : ¬y = 0

Context: hxy : o.oangle x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: G : StructureGroupoid H

Context: inst✝ : HasGroupoid M G

Context: s U : Opens M

Context: x : ↥U

Context: e : PartialHomeomorph M H := chartAt H ↑x

↑e.symm =ᶠ[𝓝 (↑e ↑x)] Subtype.val ∘ ↑(chartAt H x).symm


Context:
t : Type u → Type u → Type u
Bitraversable t
LawfulBitraversable t
α β : Type u


Context:
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

IsLeast {C | ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖₊ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖₊} ‖f‖₊


Context:
α : Type u_1
p : ℂ × ℂ
hp_fst : p.1 ≠ 0


Context: V : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} V

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroObject V

Context: ι : Type u_1

Context: DecidableEq ι

Context: c : ComplexShape ι

Context: K : HomologicalComplex V c

Context: j : ι

Context: A : V

Context: f g : K ⟶ (HomologicalComplex.single V c j).obj A

Context: hfg : f.f j = g.f j


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ

Context: inst✝² : IsProbabilityMeasure μ'

Context: inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : μ'.IsHaarMeasure

Context: this : CompactSpace G

Context: A : ∀ (s : Set G), μ' s = μ'.haarScalarFactor μ • μ s


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
F' : Type u_14
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
TopologicalSpace N'
ChartedSpace G' N'
x : M
f : M → M'
g : M → N'
hf : SmoothAt I I' f x
hg : SmoothAt I J' g x

SmoothAt I (I'.prod J') (fun x => (f x, g x)) x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
x : X
h : e.IsImage s t
hx : x ∈ e.source


Context:
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
R : CategoryTheory.Functor B T
L₁ L₂ L₃ : CategoryTheory.Functor A T
l : L₁ ⟶ L₂
l' : L₂ ⟶ L₃
X : CategoryTheory.Comma L₃ R

((CategoryTheory.Comma.mapLeftComp R l l').hom.app X).right = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
X : Ω → E
h : ¬pdf X ℙ μ =ᶠ[ae μ] 0


Context:
R : Type u_5
σ : Type u_6
CommRing R
φ : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n


Context:
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
CharZero R
p : R[X]
t : R
hpt : p.IsRoot t

Polynomial.rootMultiplicity t (Polynomial.derivative p) = Polynomial.rootMultiplicity t p - 1


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
y : R
hI : I.IsRadical
h : y ∉ I.toAddSubmonoid
n : ℕ
hx' : (fun x => y ^ x) n ∈ ↑I


Context:
E'' : Type u_9
NormedAddCommGroup E''
c : E''


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Group G

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G

Context: inst✝⁵ : PolishSpace G

Context: ν : Measure G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁴ : Countable ↥Γ

Context: inst✝³ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: inst✝² : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: inst✝¹ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ

Context: inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν

Context: g : G

Context: A : Set (G ⧸ Γ)

Context: hA : MeasurableSet A

Context: meas_π : Measurable QuotientGroup.mk

Context: 𝓕 : Set G

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν

Context: h𝓕_translate_fundom : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) (g • 𝓕) ν


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : Semiring S

Context: I✝ I' : Ideal R

Context: J J' I : Ideal S

Context: h : I.IsPrime

Context: this : (I.prod ⊤).IsPrime := isPrime_ideal_prod_top

(map (↑RingEquiv.prodComm) (I.prod ⊤)).IsPrime


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α →ₘ[μ] β
g : α →ₘ[μ] γ


Context:
F : PFunctor.{u}
n : ℕ
x y : F.M

PFunctor.Approx.Agree (x.approx n) (y.approx (n + 1)) ↔ PFunctor.M.Agree' n x y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
ι : Type u_5
Preorder ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
t : ι → Set α
V : ι → Set (β × β)
ht : ∀ (n : ι), t n ∈ 𝔖
hmono : Monotone t
hex : ∀ s ∈ 𝔖, ∃ n, s ⊆ t n
hb : (𝓤 β).HasAntitoneBasis V

(𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)).HasAntitoneBasis fun n => UniformOnFun.gen 𝔖 (t n) (V n)


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D

Context: F : CategoryTheory.Functor C D

Context: F.ReflectsEffectiveEpis

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: h : CategoryTheory.EffectiveEpi (F.map f)


Context:
a : Nat
xs : List Nat
m : a ∈ xs
h : a ≠ 0


Context:
V : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
Zero α
One α


Context: B : Type u

Context: CategoryTheory.Bicategory B

Context: a b c : B

Context: f : a ⟶ b

Context: g : a ⟶ c

Context: CategoryTheory.Bicategory.HasLeftKanExtension f g

Context: x : B

Context: h : c ⟶ x

Context: CategoryTheory.Bicategory.Lan.CommuteWith f g h

(CategoryTheory.Bicategory.Lan.CommuteWith.lanCompIsoWhisker f g h).inv.right =
  (CategoryTheory.Bicategory.Lan.CommuteWith.isKan f g h).desc
    (CategoryTheory.Bicategory.lanLeftExtension f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g h))


Context:
α : Type u
Zero α
LT α
a : α


Context:
α : Type u
r : ℕ → ℕ → Prop
n a : ℕ

r a 0 → (Chain r 0 (map succ (range n)) ↔ Chain' r (0 :: map succ (range n)))


Context:
a b c : PartENat
hc : c ≠ ⊤


Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: LinearOrderedField α

Context: ConditionallyCompleteLinearOrderedField β

Context: Archimedean α

Context: a : α

Context: ha : 0 < a

Context: b : β

Context: hba : b < LinearOrderedField.inducedMap α β a * LinearOrderedField.inducedMap α β a

∃ c ∈ LinearOrderedField.cutMap β (a * a), b < c


Context:
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n
i : Fin n

T ((hT.eigenvectorBasis hn) i) = ↑(hT.eigenvalues hn i) • (hT.eigenvectorBasis hn) i


Context:
α : Type u
a a₁ : α
l₁ : List α
a₀ : α
l₀ : List α

Stream'.cycleG (a, a₁ :: l₁, a₀, l₀) = (a₁, l₁, a₀, l₀)


Context:
R : Type u_4
NormedRing R
CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : AlgebraicGeometry.SheafedSpace C


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
N✝ : Type u_3
inst✝¹ : Monoid N✝
N : Type u_4
inst✝ : Monoid N
f : (i : ι) → M i →* N

⨆ i, Submonoid.closure (range fun b => (f ⟨i, b⟩.fst) ⟨i, b⟩.snd) = ⨆ i, MonoidHom.mrange (f i)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a✝ a : α

Context: s : Finset α

Context: hs : a ∉ s

Context: ih : ∀ {𝒜 ℬ : Finset (Finset α)}, IsLowerSet ↑𝒜 → IsLowerSet ↑ℬ → (∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ s) → (∀ t ∈ ℬ, t ⊆ s) → 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜

Context: hℬ : IsLowerSet ↑ℬ

Context: h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ insert a s

Context: hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ insert a s

2 * ((Finset.memberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.memberSubfamily a ℬ).card + (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.nonMemberSubfamily a ℬ).card) ≤ 2 * (2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
IsTrans γ t
f : r ≺i s
g : s ≺i t
a : α

(f.trans g).toRelEmbedding a = g.toRelEmbedding (f.toRelEmbedding a)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝ : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n m : ℕ

Context: x y : E

Context: hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r

Context: h : y ∈ EMetric.ball x r


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t : Multiset α
_l₁ _l₂ : List α

_l₁ ≈ _l₂ ↔ ∀ (a : α), count a ⟦_l₁⟧ = count a ⟦_l₂⟧


Context:
n : ℕ
R : Type u_1
hpos : 0 < n
Ring R
Nontrivial R


Context:
n : Nat
i : Fin n


Context:
R₂ : Type u_5
CommSemiring R₂
n : Type u_11
Fintype n
DecidableEq n
B : LinearMap.BilinForm R₂ (n → R₂)
i j : n

LinearMap.BilinForm.toMatrix' B i j =
  (B ((LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) i) 1)) ((LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero α
PosSMulMono α β
a : α
s : Set β
hs : BddAbove s
ha : 0 ≤ a


Context:
α : Type u
S : Set (Set (Set α))

TopologicalSpace.generateFrom (⋃₀ S) = ⨅ s ∈ S, TopologicalSpace.generateFrom s


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_4
TopologicalSpace X
f g : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
hg : ∀ (i : ι), g i ⊆ f i


Context:
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{u_5, u_2} C₂

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: inst✝⁶ : Φ.IsLocalizedEquivalence

Context: inst✝⁵ : W₁.IsMultiplicative

Context: inst✝⁴ : ∀ (X₂ : C₂), IsConnected (Φ.RightResolution X₂)

Context: inst✝³ : Φ.arrow.HasRightResolutions

Context: inst✝² : W₂.ContainsIdentities

Context: D : Type u_3

Context: inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} D

Context: L : C₂ ⥤ D

Context: inst✝ : L.IsLocalization W₂

Context: X₂ : C₂

Context: X₃ : D

Context: y : L.obj X₂ ⟶ X₃

Context: w : TwoSquare Φ.functor (Φ.functor ⋙ L) L (𝟭 D) := TwoSquare.mk Φ.functor (Φ.functor ⋙ L) L (𝟭 D) (Φ.functor ⋙ L).rightUnitor.inv

Context: this : Nonempty (w.CostructuredArrowDownwards y)

Context: c : C₁

Context: g : X₂ ⟶ Φ.functor.obj c

Context: x : L.obj (Φ.functor.obj c) ⟶ X₃

Context: fac : L.map g ≫ 𝟙 (L.obj (Φ.functor.obj c)) ≫ x = y

∃ Y, Zigzag (TwoSquare.CostructuredArrowDownwards.mk w y c g x fac) ((fromRightResolution Φ L y).obj Y)


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_2
LE E
hm : m ≤ m0
f₁ f₂ : α → E
h12 : f₁ ≤ᵐ[μ.trim hm] f₂


Context:
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hq : q.Monic
hpq : p.degree < q.degree


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
Nontrivial E
RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] F


Context: P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: h₁ : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P

∀ {X Y Z : Scheme} (e : Y ≅ Z) (f : X ⟶ Y) [h : IsAffine Y], sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f → sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) (f ≫ e.hom)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x✝ y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel (f * g).SameCycle
inst✝ : DecidableRel (g * f).SameCycle
h : f.Disjoint g
x : α

(f * g).cycleOf x = f.cycleOf x * g.cycleOf x


Context:
x : ℝ
h : Irrational x
m : ℕ
hm : m ≠ 0


Context:
C : Type v₁
CategoryTheory.Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty C

F.Final ↔
  (∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)) ∧
    ∀ {d : D} {c : C} (s s' : d ⟶ F.obj c),
      ∃ c' t, CategoryTheory.CategoryStruct.comp s (F.map t) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp s' (F.map t)


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁸ : Field F
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field F
inst✝¹⁴ : Field K₁
inst✝¹³ : Field K₂
inst✝¹² : Field K₃
inst✝¹¹ : Algebra F K₁
inst✝¹⁰ : Algebra F K₂
inst✝⁹ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E : Type u_6
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra E K₁
inst✝⁵ : Algebra E K₂
inst✝⁴ : Algebra E K₃
inst✝³ : IsScalarTower F E K₁
inst✝² : IsScalarTower F E K₂
inst✝¹ : IsScalarTower F E K₃
inst✝ : Normal F E
x✝ : E

(algebraMap E K₃) (((ψ.restrictNormal E).comp (ϕ.restrictNormal E)) x✝) = (algebraMap E K₃) (((ψ.comp ϕ).restrictNormal E) x✝)


Context:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : MeasurableSpace M
inst✝³ : MeasurableMul₂ M
μ ν ρ : Measure M
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite ρ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
b : β
p : β → Prop
s : (x : β) → x = b ∨ p x → Set α

⋃ x, ⋃ (h : x = b ∨ p x), s x h = s b ⋯ ∪ ⋃ x, ⋃ (h : p x), s x ⋯


Context:
α : Type u
β : Type v
Add β
F : AddHom (FreeAddMagma α) β

∀ (a : α), FreeAddMagma.lift.symm F a = (⇑F ∘ FreeAddMagma.of) a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: f_mble : Measurable f

Context: g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t

Context: g_mble : Measurable g

Context: g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t

Context: g_intble' : ∀ (t : ℝ), 0 ≤ t → IntervalIntegrable g volume 0 t

Context: integrand_eq : ∀ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioc 0 (f ω), ENNReal.ofReal (g t)

∫⁻ (y : ℝ), ∫⁻ (x : α), (Ioc 0 (f x)).indicator (fun t => ENNReal.ofReal (g t)) y ∂μ ∂volume = ∫⁻ (a : ℝ), (Ioi 0).indicator (fun t => μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)) a


Context:
α : Type u_1
Zero α
One α
LE α
ZeroLEOneClass α
x : α
hx : 0 ≤ x


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
x : ι
f : ι →₀ R
h : x ∉ ↑f.support


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
TopologicalSpace M
AddMonoid M
ContinuousAdd M
f : ι → α → M
x : Filter α
a : ι → M
l : List ι

(∀ i ∈ l, Filter.Tendsto (f i) x (𝓝 (a i))) →
  Filter.Tendsto (fun b => (List.map (fun c => f c b) l).sum) x (𝓝 (List.map a l).sum)


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: hg₁ : S₁.g = 0

Context: c₁ : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork S₁.f

Context: hc₁ : CategoryTheory.Limits.IsColimit c₁

Context: hg₂ : S₂.g = 0

Context: c₂ : CategoryTheory.Limits.CokernelCofork S₂.f

Context: hc₂ : CategoryTheory.Limits.IsColimit c₂

Context: f : c₁.pt ⟶ c₂.pt

Context:
comm :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ.τ₂ (CategoryTheory.Limits.Cofork.π c₂) =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.Cofork.π c₁) f

(CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData.ofIsColimitCokernelCofork φ hg₁ c₁ hc₁ hg₂ c₂ hc₂ f comm).φK = φ.τ₂


Context:
R : Type u
CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime (x + y * z) y


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
MulAction α β
s : Set β


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C

(CategoryTheory.LaxBraidedFunctor.id C).ε = 𝟙 (𝟙_ C)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
c : 𝕜
f : α → F
hc : c ≠ 0

↑‖c‖₊ * eLpNorm f p μ ≤ eLpNorm (c • f) p μ


Context: R S Rₘ Sₘ : Type u

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹² : CommRing Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹¹ : Algebra R S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁹ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝³ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ

Context: inst✝² : FormallySmooth R Sₘ

Context: Q : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing Q

Context: inst✝ : Algebra Rₘ Q

Context: I : Ideal Q

Context: e : I ^ 2 = ⊥

Context: f✝ : Sₘ →ₐ[Rₘ] Q ⧸ I

Context: this✝ : Algebra R Q := ((algebraMap Rₘ Q).comp (algebraMap R Rₘ)).toAlgebra

Context: this : IsScalarTower R Rₘ Q := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' rfl

Context: f : Sₘ →ₐ[Rₘ] Q := let __src := lift I ⋯ (AlgHom.restrictScalars R f✝); { toRingHom := __src.toRingHom, commutes' := ⋯ }


Context: m n : ℕ

↑(Nat.bitwise (fun x y => x && !!y) m n) = ↑(m &&& n)


Context:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : ℝ≥0
hc : 0 < c
r : ℝ
x : E

(c • p).closedBall x r = p.closedBall x (r / ↑c)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set β

e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (↑e ⁻¹' s) = e.target ∩ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
Preorder α
Preorder β
a : α
h : StrictAnti f


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: CategoryTheory.Category.{max v u, w} D

Context: CategoryTheory.ConcreteCategory D

Context: CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget D)

Context: ∀ (X : C), CategoryTheory.Limits.HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: ∀ (P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), CategoryTheory.Limits.HasMultiequalizer (S.index P)

Context: (X : C) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (CategoryTheory.forget D)

Context: X : C

Context: P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D

Context: S T : J.Cover X

Context: x : CategoryTheory.Meq P S

Context: y : CategoryTheory.Meq P T

CategoryTheory.GrothendieckTopology.Plus.mk x = CategoryTheory.GrothendieckTopology.Plus.mk y ↔
  ∃ W h1 h2, x.refine h1 = y.refine h2


Context: a✝ b✝ : ℝ

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: hs : s.OrdConnected

Context: hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ s

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ s

Context: m : ℝ

Context: hma : f' a < m

Context: hmb : m < f' b

Context: hab : a ≤ b


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]

(p - q).natDegree ≤ max p.natDegree q.natDegree


Context: c : Cardinal.{u_1}


Context: z : ℝ


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
x : ↥H
hαx : 0 x = 0
hx : x ∈ corootSpace 0


Context:
K : Type u_1
RCLike K
n : ℕ
n.AtLeastTwo


Context:
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E

EMetric.infEdist x (Metric.thickening δ s) = EMetric.infEdist x s - ENNReal.ofReal δ


Context:
R : Type u_1
Semiring R
φ : PowerSeries R


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: p : α → Prop

Context: f g : α → β

Context: inst✝ : (a : α) → Decidable (p a)

Context: hp : ∀ a ∈ frontier {x | p x}, f a = g a

Context: hf : ContinuousOn f (closure {x | p x})

Context: hg : ContinuousOn g (closure {x | ¬p x})

ContinuousOn (fun a => if p a then f a else g a) univ


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
f : Filter α
g : Filter β


Context: z : ℂ


Context:
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
Preorder α
Preorder β
gi : GaloisInsertion l u
a b : β


Context:
α : Type u_1
NormedRing α
Nontrivial α
x : αˣ


Context: E : Type u

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝¹ : Nontrivial E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℂ E

Context: f : E → F

Context: U : Set E

Context: hb : Bornology.IsBounded U

Context: hne : U.Nonempty

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f U

Context: hc : IsCompact (closure U)

Context: w : E

Context: hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w

Context: hwU : w ∈ interior U

Context: this : interior U ≠ univ

Context: z : E

Context: hzU : z ∈ frontier (interior U)

Context: hzw : infDist w (interior U)ᶜ = dist w z

∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : Infinite R

Context: σ : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: f : Fin n → σ

Context: hf : Function.Injective f

Context: p : MvPolynomial (Fin n) R

Context: h : ∀ (x : σ → R), (eval x) ((rename f) p) = 0


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
k : ℕ
c : Composition k
hd : (2 ≤ k ∧ k < n + 1) ∧ 1 < c.length

2 ≤ c.length ∧ c.length < n + 1 ∧ ∀ (j : Fin c.length), c.blocksFun j < n


Context:
V : Type u_1
R : Type u_2
Fintype V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
AddCommMonoidWithOne R
i : V

↑(G.degree i) = ∑ j : V, if G.Adj i j then 1 else 0


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
x : P.Ring

(f.toAlgHom.toLinearMap - g.toAlgHom.toLinearMap) x ∈ Submodule.restrictScalars R P'.ker


Context:
n✝ b b' : ℕ
c : ℤ
h : ↑b ∣ ↑b' - c
n : ℕ


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x✝ : 𝕜

Context: s✝ t✝ : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: f : 𝕜 → F

Context: s t : Set 𝕜

Context: h : s ⊆ closure (s ∩ t)

Context: x : 𝕜

Context: H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot

Context: H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x

Context: I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot

Context: this : Tendsto (slope f x) (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x) (𝓝 (derivWithin f s x))

∀ᶠ (x_1 : 𝕜) in 𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x, slope f x x_1 ∈ ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t)).topologicalClosure


Context:
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α

Finset.mulDysonETransform e (Finset.mulDysonETransform e x) = Finset.mulDysonETransform e x


Context:
M : Type u_5
CommMonoid M
ι : Type u_6
s : Finset ι
f g : ι → M
h : ∀ i ∈ s, f i ~ᵤ g i


Context:
G : Type w
TopologicalSpace G
μ : MeasureTheory.Content G
R1Space G
U : ℕ → Set G
hU : ∀ (i : ℕ), IsOpen (U i)

μ.innerContent { carrier := ⋃ i, U i, is_open' := ⋯ } ≤ ∑' (i : ℕ), μ.innerContent { carrier := U i, is_open' := ⋯ }


Context:
α : Type u_1
dec : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b


Context:
G₁ : Type u_2
G₂ : Type u_3
TopologicalSpace G₂
T2Space G₂
Neg G₁
Neg G₂
ContinuousNeg G₂

IsClosed {f | ∀ (x : G₁), f (-x) = -f x}