Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: NormedAddCommGroup V

Context: InnerProductSpace ℝ V

Context: MetricSpace P

Context: NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: h : ps ⊆ ↑s

Context: Nonempty ↥s

Context: n : ℕ

Context: FiniteDimensional ℝ ↥s.direction

Context: hd : FiniteDimensional.finrank ℝ ↥s.direction = n

Context: hc : EuclideanGeometry.Cospherical ps

Context: sx₁ sx₂ : Affine.Simplex ℝ P n

Context: hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps

Context: hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps


Context:
α : Type u
s t : Set α


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
i j : n


Context:
F : Type u → Type w
G : Type v → Type u
α : Type v
x y : Functor.Comp F G α


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
X : C
E : CategoryTheory.PreOneHypercover X
F : CategoryTheory.Functor C D
i₁ i₂ : E.I₀


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
A : ι → Type u_3
AddMonoid ι
GradedMonoid.GMonoid A
l : List α
f : α → GradedMonoid A

(List.map f l).prod =
  GradedMonoid.mk (l.dProdIndex fun i => (f i).fst) (l.dProd (fun i => (f i).fst) fun i => (f i).snd)


Context:
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
h : a ≤ b


Context:
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
hP' : Q.StableUnderBaseChange
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
inst✝ : IsAffine S
H : Q g


Context:
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A
hi_B : 1 < B


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
a : R
x : σ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹³ : Preadditive C

Context: inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝¹¹ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹⁰ : Category.{?u.108053, u_2} D

Context: inst✝⁹ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : Preadditive D

Context: inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A

Context: inst✝³ : Abelian A

Context: F : C ⥤ A

Context: inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological

Context: inst✝ : F.ShiftSequence ℤ

Context: T T' : Triangle C

Context: hT✝ : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: φ : T ⟶ T'

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h✝ : n₀ + 1 = n₁

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z : C

Context: g : Y ⟶ Z

Context: h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X

Context: hT : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles

F.homologicalKernel.W f ↔ ∀ (n : ℤ), IsIso ((F.shift n).map f)


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: D : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D

Context: Z : D

Context: F : CategoryTheory.Functor C D

Context: M : (x : C) → F.obj x ⟶ Z

Context: hM : ∀ (x y : C) (f : x ⟶ y), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map f) (M y) = M x

(CategoryTheory.WithTerminal.liftStar F M hM).inv = CategoryTheory.CategoryStruct.id Z


Context:
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_1
p₂ : α → Prop

∀ {α_1 : Type u_1} {q : α_1 → Prop} {f : m (α → α_1)} [inst : Applicative m] [inst_1 : LawfulApplicative m] {x : m α},
  SatisfiesM (fun f => ∀ {a : α}, p₂ a → q (f a)) f → SatisfiesM p₂ x → SatisfiesM q (Seq.seq f fun x_1 => x)


Context:
R : Type u_1
NonUnitalSemiring R
s : Set R

NonUnitalSubsemiring.center R ≤ NonUnitalSubsemiring.centralizer s


Context: n : ℕ

0 < n → n.zeckendorf = n.greatestFib :: (n - Nat.fib n.greatestFib).zeckendorf


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
NormedField 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
p : α → ℕ →. Bool
hp : Partrec₂ p
n✝ : ℕ
a : α
e : decode n✝ = Option.some a
n : ℕ

Part.map (fun x => decide ((bif x then 0 else 1) = 0)) (p a n) = p a n


Context: a : Prop


Context: n : ℕ

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf' : ∀ k < n, Squarefree (f k)

Context: hn : n ≠ 0

Context: hf : StrictMonoOn f (Set.Iio n)

Context: this : ∀ i < n, ∀ j < n, f i < (f i).gcd (f j) * n

Context: 𝒜 : Finset (Finset ℕ) := image (fun n => (f n).primeFactors) (Iio n)

Context: hf'' : ∀ i < n, ∀ (j : ℕ), Squarefree (f i / (f i).gcd (f j))

∀ a ∈ 𝒜 \\ 𝒜, (fun s => ∏ p ∈ s, p) a ∈ Ioo 0 n


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m

CategoryTheory.IsIso (AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proj.toSpec 𝒜 f)


Context:
G : Type u_1
AddMonoid G
y : AddUnits G


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁷ : Category.{w, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: A✝ A' B B' : C

Context: inst✝⁶ : HasBinaryCoproduct A✝ B

Context: inst✝⁵ : HasBinaryCoproduct A' B'

Context: inst✝⁴ : HasBinaryCoproduct (F.obj A✝) (F.obj B)

Context: inst✝³ : HasBinaryCoproduct (F.obj A') (F.obj B')

Context: inst✝² : HasBinaryCoproducts C

Context: inst✝¹ : HasBinaryCoproducts D

Context: A : C

Context: inst✝ : ∀ (B : C), IsIso (coprodComparison F A B)

IsIso { app := fun B => coprodComparison F A B, naturality := ⋯ }


Context:
α : Type u_1
M₁ M₂ : Matroid α

M₁ = M₂✶ ↔ M₁✶ = M₂


Context: P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: h₁ : RespectsIso P

Context: h₂ : ∀ ⦃R S T : Type u⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] [inst_3 : Algebra R S] [inst_4 : Algebra R T], P (algebraMap R T) → P Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom

Context: R S R' S' : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : CommRing R'

Context: inst✝⁷ : CommRing S'

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra R R'

Context: inst✝⁴ : Algebra R S'

Context: inst✝³ : Algebra S S'

Context: inst✝² : Algebra R' S'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S S'

Context: inst✝ : IsScalarTower R R' S'

Context: h : Algebra.IsPushout R S R' S'

Context: H : P (algebraMap R S)

Context: e : TensorProduct R R' S ≃ₛₗ[id R'] S' := ⋯.equiv

Context: f' : TensorProduct R R' S →ₐ[R] S' := Algebra.TensorProduct.productMap (IsScalarTower.toAlgHom R R' S') (IsScalarTower.toAlgHom R S S')

Context: this : ∀ (x : TensorProduct R R' S), e x = f' x


Context:
α : Type u_1
ord : Ord α
inst : Batteries.OrientedOrd α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
x : α
y : β
r : ℝ
z : α × β

z ∈ ball x r ×ˢ ball y r ↔ z ∈ ball (x, y) r


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
p : P


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : AddSemigroup α
h1 : Periodic f c₁
h2 : Periodic f c₂


Context:
G : Type w
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
s t : Set G
ht : IsClosed t
hs : IsCompact s


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: J₁ : CategoryTheory.GrothendieckTopology C

Context: X : C

Context: S : CategoryTheory.Sieve X


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
s : Set A


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
s : MeasureTheory.SignedMeasure α
μ : MeasureTheory.Measure α
r : ℝ

(r • s).singularPart μ = r • s.singularPart μ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s : Set E


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β
F : Filter β
x : α

(∀ (A : Set α), ∀ B ∈ F, f ⁻¹' B ⊆ A → x ∈ A) ↔ ∀ B ∈ F, f x ∈ B


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
A : Type u_4
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S I
x : R
h : optParam (LocalRing S) ⋯

(algebraMap R S) x ∉ LocalRing.maximalIdeal S ↔ x ∉ I


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
φ ψ : R⟦X⟧

∑ p ∈ antidiagonal (single () n), (MvPowerSeries.coeff R p.1) φ * (MvPowerSeries.coeff R p.2) ψ = ∑ p ∈ antidiagonal n, (coeff R p.1) φ * (coeff R p.2) ψ


Context:
α : Type u_4
β : Type u_5
a : Part α
Decidable a.Dom
b : β
f : α → β

a.toOption.elim b f = if h : a.Dom then f (a.get h) else b


Context: α : Type u

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: s : Set (CauchyFilter α × CauchyFilter α)

Context: t : Set (α × α)

Context: _h : t ∈ 𝓤 α

gen t ⊆ s ↔ ∀ (f g : CauchyFilter α), t ∈ ↑f ×ˢ ↑g → (f, g) ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : T2Space α

Context: s : ι → Set α

Context: hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)

Context: i₀ : ι

Context: β : ι → Type

Context: hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)

Context: h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)

Context: f : (n : ι) → β n → α

Context: f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)

Context: f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n

Context: γ : Type u_2 := (n : ι) → β n

Context: t : Set γ := ⋂ n, {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}


Context:
a b : ℕ
ha : Odd a
hb : Odd b

jacobiSym (↑a) b = (-1) ^ (a / 2 * (b / 2)) * jacobiSym (↑b) a


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
f : LatticeHom α β


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁✝ π₂✝ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
π₁ π₂ : Prepartition I
hU : π₁.iUnion = π₂.iUnion

Tendsto (integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I π₂) (𝓝 (∑ J ∈ π₂.boxes, integral J l f vol))


Context:
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DifferentiableOn ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
x : E
hx : x ∈ U
H₁ : ‖f x‖ = ‖f c‖
H₂ : ‖f x + f c‖ = ‖f c + f c‖

‖f x + Function.const E (f c) x‖ = ‖f x‖ + ‖Function.const E (f c) x‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
CompleteLattice β
f : α ≃o β
s : Set α


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.84186, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{?u.84190, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : Preadditive D

Context: S : ShortComplex C

Context: inst✝ : HasZeroObject C

Context: s : S.Splitting

Context: hi : IsLimit (KernelFork.ofι S.f ⋯)

Context: f' : (KernelFork.ofι S.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι S.f ⋯).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S.f ⋯)

Context: hf' : f' = 𝟙 (KernelFork.ofι S.f ⋯).pt

Context: wπ : f' ≫ 0 = 0

Context: hπ : IsColimit (CokernelCofork.ofπ 0 wπ)


Context:
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
x : Step k n

((ofStep k (n + 1)).comp (toStepSucc k n)) x = (ofStep k n) x


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ

((r + 1) ^ 1 + (↑k).smeval (r + 1)) * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) = (k + 1).factorial • multichoose (r + 1) k + r ^ 1 * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r ^ 1 + smeval 1 r)


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
f : CategoryTheory.Functor C D
hf : f.FullyFaithful
X : C
i : X ≅ X

((hf.autMulEquivOfFullyFaithful X) i).inv = f.map i.inv


Context:
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
h : 0 < ⌊a⌋₊


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
DecidableRel r
IsTotal α r
IsTrans α r
l l' : List α

List.Sorted r l → List.Sorted r l' → List.Sorted r (List.merge (fun x x_1 => decide (r x x_1)) l l')


Context:
G : Type u
self : AddLeftCancelSemigroup G
a b c : G


Filter.Tendsto Stirling.stirlingSeq Filter.atTop (𝓝 √π)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
l : List α
n : Nat


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: s : Set M

Context: x✝ : M

Context: c✝ c : M'

Context: x : M


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : CstarRing A

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝² : StarModule ℂ A

Context: inst✝¹ : PartialOrder A

Context: inst✝ : StarOrderedRing A

Context: a : A

Context: this : star a * a ≤ (algebraMap ℝ A) ‖star a * a‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f✝ : α → β

Context: E I✝ s : Set α

Context: M : Matroid α

Context: N : Matroid β

Context: f : α → β

Context: h_range : N.E ⊆ range f

Context: hf : InjOn f (f ⁻¹' N.E)

Context: I : Set α

Context: hI : I ⊆ f ⁻¹' N.E

Context: x✝ : ∃ I₀, (N.Indep (f '' I₀) ∧ InjOn f I₀) ∧ f '' I = f '' I₀

Context: I₀ : Set α

Context: hI₀ : N.Indep (f '' I₀)

Context: right✝ : InjOn f I₀

Context: hII₀ : f '' I = f '' I₀


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : MeasurableAdd₂ G
inst✝² : MeasurableNeg G
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.IsAddRightInvariant
h1 : f =ᶠ[ae μ] f'
h2 : g =ᶠ[ae μ] g'
x : G


Context: α : Type u_1

Context: p : α → Bool

Context: y : α

Context: xs : List α

Context: w : xs.get? (List.findIdx p xs) = some y


Context: K : Type u

Context: Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: a : K

Context: H : Irreducible (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)

Polynomial.IsSplittingField K K[n√a] (Polynomial.X ^ n - Polynomial.C a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : α ⊕ β → Sort u_3
p : ((ab : α ⊕ β) → γ ab) → Prop

(∀ (fab : (ab : α ⊕ β) → γ ab), p fab) ↔
  ∀ (fa : (val : α) → γ (Sum.inl val)) (fb : (val : β) → γ (Sum.inr val)), p fun t => Sum.rec fa fb t


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
CompleteLattice α
CompleteLattice β
CompleteLattice γ
f : FrameHom β γ
g : FrameHom α β


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞

⨍⁻ (x : α), f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂(μ Set.univ)⁻¹ • μ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : Filter α
g : Filter β
m : α → β → γ
s : Set γ

s ∈ (Filter.map m f).seq g ↔ ∃ t u, t ∈ g ∧ u ∈ f ∧ ∀ x ∈ u, ∀ y ∈ t, m x y ∈ s


Context:
𝒮 : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
𝒴 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
𝒵 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
F : CategoryTheory.BasedFunctor 𝒳 𝒴
G H : CategoryTheory.BasedFunctor 𝒴 𝒵
α : G ⟶ H

(CategoryTheory.BasedCategory.whiskerLeft F α).toNatTrans = CategoryTheory.whiskerLeft F.toFunctor α.toNatTrans


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
s : Stream'.WSeq α

Stream'.WSeq.map (g ∘ f) s = Stream'.WSeq.map g (Stream'.WSeq.map f s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hα : Nonempty α

MeasurableSet {b | BddAbove (range fun i => f i b)}


Context:
α : Type u_1
F' : Type u_7
E'' : Type u_9
SeminormedAddCommGroup F'
NormedAddCommGroup E''
g' : α → F'
f'' : α → E''
l : Filter α
h : f'' =O[l] g'
hf : ∃ᶠ (x : α) in l, f'' x ≠ 0


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
self : CategoryTheory.Subgroupoid C
c d : C
p : c ⟶ d

p ∈ self.arrows c d → CategoryTheory.Groupoid.inv p ∈ self.arrows d c


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
LinearOrderedAddCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g₁ g₂ : ι → β
h₁ : MonovaryOn f g₁ s
h₂ : MonovaryOn f g₂ s


Context:
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
Fintype ι
h : π.IsSubordinate r
π' : BoxIntegral.Prepartition I


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
hd : p ∣ a


Context: s : Substring

s.Valid → (s.isEmpty = true ↔ s.toString = "")


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R

C (C 4 * X ^ 3 + C (W.a₁ ^ 2 + 4 * W.a₂) * X ^ 2 + C (2 * (2 * W.a₄ + W.a₁ * W.a₃)) * X + C (W.a₃ ^ 2 + 4 * W.a₆)) = (C (C 2) * Y + C (C W.toAffine.a₁ * X + C W.toAffine.a₃)) ^ 2 - 4 * (Y ^ 2 + C (C W.toAffine.a₁ * X + C W.toAffine.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.toAffine.a₂ * X ^ 2 + C W.toAffine.a₄ * X + C W.toAffine.a₆))


Context:
α : Type u
Monoid α
a b : α
Invertible b


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
AddGroup G
LieAddGroup I G


Context:
x : ℝ
hx : x ≤ 0
y : ℂ
hlt : x < 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : LinearOrder β
c x y z : β


Context: α : Type u_1

Context: AddMonoidWithOne α

Context: Preorder α

Context: ZeroLEOneClass α

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: α : Type u_5

Context: self : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α

Context: x : α


Context:
M : Type u_1
R : Type u_2
Group M
Ring R
MulSemiringAction M R
a : M
S : Subring R
x : R


Context:
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n


Context:
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
s : Multiset α


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
hfg : ¬f * g ≈ 0


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁴ : DivisionRing k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: s : Set P

Context: inst✝ : FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k s)

Collinear k s ↔ finrank k ↥(vectorSpan k s) ≤ 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : DistribLattice α

Context: inst✝² : BoundedOrder α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Finset α

Context: a : α

Context: hs : a ∈ upperClosure ↑s

Context: ht : a ∈ upperClosure ↑t

((image (Function.uncurry fun x x_1 => x ⊔ x_1) (filter (fun x => x ≤ a) s ×ˢ filter (fun x => x ≤ a) t)).inf' ⋯ fun x => id x) = (filter (fun x => x ≤ a) s ×ˢ filter (fun x => x ≤ a) t).inf' ⋯ fun i => id i.1 ⊔ id i.2


Context: C : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_1, u_2} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: CategoryTheory.ShortComplex.QuasiIso φ


Context:
G : Type u_1
Group G
K : Subgroup G
S : Set G
hSK : Subgroup.IsComplement S ↑K
g k : G
h : k ∈ K

hSK.equiv (g * k) = ((hSK.equiv g).1, (hSK.equiv g).2 * ⟨k, h⟩)


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M
m : M

m ∈ Submodule.span R (⇑b '' ↑(b.repr m).support)


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} ℰ
A : CategoryTheory.Functor C ℰ
X : ℰ

∀ {X_1 Y : Cᵒᵖ} (f : X_1 ⟶ Y) (a : (CategoryTheory.yoneda.obj X).obj (A.op.obj X_1)),
  ((CategoryTheory.Presheaf.restrictedYoneda A).obj X).map f a = CategoryTheory.CategoryStruct.comp (A.map f.unop) a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup α

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹² : AddCommGroup β

Context: inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup γ

Context: inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup δ

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ

Context: inst✝⁴ : UniformSpace G

Context: inst✝³ : AddCommGroup G

Context: inst✝² : UniformAddGroup G

Context: inst✝¹ : T0Space G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: e : β →+ α

Context: de : DenseInducing ⇑e

Context: f : δ →+ γ

Context: df : DenseInducing ⇑f

Context: φ : β →+ δ →+ G

Context: hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2

Context: W' : Set G

Context: W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0

Context: x₀ : α

Context: y₁ : δ

Context: Nx : Filter α := 𝓝 x₀

Context: ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)

Context: lim1 : Tendsto (fun a => (a.2 - a.1, y₁)) (comap (⇑e) Nx ×ˢ comap (⇑e) Nx) (𝓝 (0, y₁))

∃ U₂ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∀ x ∈ U₂, ∀ x' ∈ U₂, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y₁) ∈ W'


Context:
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
x : E


Context:
R : Type u
CommRing R
x : R

RingHom.ker (Polynomial.evalRingHom x) = Ideal.span {Polynomial.X - Polynomial.C x}


Context: α : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc ℝ 1 μ)

↑(MeasureTheory.L1.SimpleFunc.posPart f) = MeasureTheory.Lp.posPart ↑f


Context: E : Type u_1

Context: NormedAddCommGroup E

Context: InnerProductSpace ℝ E

Context: Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ E = 2)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin 2)

Context: x y : E

Complex.abs ((o.kahler x) y) = ‖x‖ * ‖y‖


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r


Context:
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
p : α → Prop
x y : Subtype p


Context:
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
s : Set X
f : C(X, R)

f ∈ idealOfSet R s ↔ ∀ ⦃x : X⦄, x ∈ sᶜ → f x = 0


Context:
α : Type u_1
Zero α
a : α


Context:
M : Type u_3
A : Type u_4
CommMonoid M
s : Set M
hs : IsSubmonoid s
f : A → M
t : Finset A


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝¹ : Module ℝ E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs₀ : 0 ∈ s

Context: hs₁ : Convex ℝ s

Context: hs₂ : IsOpen s

Context: x₀ : E

Context: hx₀ : x₀ ∉ s

Context: f : E →ₗ.[ℝ] ℝ := LinearPMap.mkSpanSingleton x₀ 1 ⋯

Context: y : ℝ

Context: hx : y • x₀ ∈ f.domain

Context: h : y ≤ 0


Context:
α : Type u_3
Preorder α
LocallyFiniteOrderBot α
a : α
Fintype ↑(Set.Iic a)


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
CommGroup α
s : Finset α
t : Finset α
ht : t.Nonempty

∃ u, u.card * t.card ≤ (s * t).card ∧ s ⊆ u * t / t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: h : ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: φ : α →ₛ ℝ≥0

Context: hle : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x

Context: b : ℝ≥0∞

Context: hbφ : b < (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ + ε

Context: hb : ∀ (i : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑i x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal i).lintegral μ ≤ b

Context: ψ : α →ₛ ℝ≥0

Context: hψ : ∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x

Context: this : (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ ≠ ⊤

Context: x : α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
T : E →ₗ[𝕜] E
x : E


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Ring α
inst✝¹ : Ring β
f : α → β
hf✝ : IsRingHom f
x✝ y✝ : α
hf : IsRingHom f
γ : Type u_1
inst✝ : Ring γ
g : β → γ
hg : IsRingHom g
x y : α


Context:
𝕜 : Type u
A : Type v
Field 𝕜
Ring A
Algebra 𝕜 A
IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : Polynomial 𝕜
hdeg : 0 < p.degree

spectrum 𝕜 ((Polynomial.aeval a) p) = (fun x => Polynomial.eval x p) '' spectrum 𝕜 a


Context:
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
t : Set α
s : Set α
ht : MeasurableSet t

μ.restrict (s ∩ t) + μ.restrict (s \ t) = μ.restrict s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝² : OrderedRing E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : OrderClosedTopology E

Context: l : E

Context: f : ℕ → E

Context: hfl : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i) atTop (𝓝 l)

Context: hfm : Monotone f

Context: k : ℕ

∑ i ∈ Finset.range (2 * k + 1), (-1) ^ i * f i ≤ l


Context:
X Y : Type u
f : X ⟶ Y

typeToBoolAlgOp.map f =
  Quiver.Hom.op
    (let __src := { toFun := ⇑(CompleteLatticeHom.setPreimage f), map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ };
    { toFun := ⇑(CompleteLatticeHom.setPreimage f), map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ })


Context:
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
f : α × β → ℝ≥0∞

Measurable f → ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ


Context:
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
h : √x = y


Context:
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero L
φ : K[X] →*₀ L
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ L⁰
f : RatFunc K

(liftMonoidWithZeroHom φ hφ) f = φ f.num / φ f.denom


Context:
α : Type u_1
s : Finset α
a : α
DecidableEq α
ha : a ∉ s


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Mul G

Context: A B : Finset G

Context: h : 1 < A.card * B.card → ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2

Context: hA : A.Nonempty

Context: hB : B.Nonempty

Context: hc : ¬(A.card ≤ 1 ∧ B.card ≤ 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b₁ b₂ : β
GroupWithZero α
Preorder α
Preorder β
MulAction α β
PosSMulStrictMono α β
PosSMulReflectLT α β
ha : 0 < a

a⁻¹ • b₁ < b₂ ↔ b₁ < a • b₂


Context:
G : Type w
Group G
TopologicalSpace G
TopologicalGroup G
x : G

Filter.comap (fun x_1 => x_1 / x) (𝓝 1) = 𝓝 x


Context:
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n
i : Fin n

Module.End.HasEigenvalue T ↑(hT.eigenvalues hn i)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
s t : Associates α
d : Associates α
eq : t = s * d


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
TopologicalSpace.NoetherianSpace α


Context: α : Type u_2

Context: DecidableEq α

Context: P : Finset α → Prop

Context: s : Finset α

Context: hP : ∀ ⦃s t : Finset α⦄, P s → s ⊆ t → P t

s ∈ minimals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {t | P t} ↔ P s ∧ ∀ x ∈ s, ¬P (s.erase x)


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α

Finset.Ioo s t = Finset.filter (fun x => s ⊂ x) t.ssubsets


Context:
ι : Type u_4
f : ι → Ordinal.{max u_5 u_4}
a : Ordinal.{max u_4 u_5}
ha : a < Ordinal.mex f


Context:
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.castSucc
i : Fin n
y : α✝ i.castSucc
z : α✝ (last n)
α : Type u_1
a : α
as : Fin n → α
bs : Fin m → α

append (cons a as) bs = cons a (append as bs) ∘ cast ⋯


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
x : X

((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ (λ_ ((free R).obj X)).hom) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x = ((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ ((ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom)) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x


Context:
α : Type u
l : List α


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : WellPowered C
inst✝¹ : HasCoproducts C
inst✝ : HasImages C
A : C
s : Set (Subobject A)
f : Subobject A
k : ∀ g ∈ s, g ≤ f

underlying.obj (sSup s) ⟶ underlying.obj f


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
h : b ≠ a

ContinuousAt (dslope f a) b ↔ ContinuousAt f b


Context:
R : Type u_1
CommRing R
u v w : Fin 3 → R

(crossProduct u) ((crossProduct v) w) = (crossProduct ((crossProduct u) v)) w + (crossProduct v) ((crossProduct u) w)


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
a b : ℝ
f : ι → Ω → ℝ
N : ι
n m : ℕ
ω : Ω
hnm : n ≤ m

MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N n ω ≤ MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N m ω


Context:
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → Dist (α i)
f g : PiLp 0 α


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type v
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
b : Set (Set β)
f : α → β
h : ∀ a ∈ b, IsOpen (f ⁻¹' a)


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
x y : ↥H


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T2Space β
f : α → β
a b : α
lb : β
hab : a < b
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lb)


Context:
α : Type u
l : Filter α
ι : Type u_2
s : Finset ι
f g : ι → Set α
heq : ∀ i ∈ s, f i =ᶠ[l] g i


Context:
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
R : CategoryTheory.Functor B T
L₁ L₂ : CategoryTheory.Functor A T
l l' : L₁ ⟶ L₂
h : l = l'
X : CategoryTheory.Comma L₂ R

((CategoryTheory.Comma.mapLeftEq R l l' h).hom.app X).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} J

Context: T : CategoryTheory.Comonad C

Context: D : CategoryTheory.Functor J T.Coalgebra

Context: c : CategoryTheory.Limits.Cone (D.comp T.forget)

(CategoryTheory.Comonad.ForgetCreatesLimits'.newCone c).pt = c.pt


Context:
G : Type u_3
AddGroup G
a b c d : G
H : a - b = c - d


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K

y ∈ closure K ↔ ∃ x ∈ K, Inseparable x y


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C

Context: P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi (ChainComplex C ℕ)

Context: Δ : SimplexCategoryᵒᵖ

(AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₂.obj P).p.app Δ =
  (AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting P.X).desc Δ fun A =>
    P.p.f (Opposite.unop A.fst).len ≫ ((AlgebraicTopology.DoldKan.Γ₀.splitting P.X).cofan Δ).inj A


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t s U : Set X

ContinuousOn U.boolIndicator s ↔ IsClopen (Subtype.val ⁻¹' U)


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α β : TypeVec.{u_1} n

Context: F' : TypeVec.{u_1} n → Type u

Context: inst✝¹ : MvFunctor F'

Context: inst✝ : LawfulMvFunctor F'

Context: R : β ⊗ β ⟹ repeat n Prop

Context: x : F' α

Context: f g : α ⟹ β

Context: h : α ⟹ Subtype_ R

Context: hh : subtypeVal R ⊚ h = (f ⊗' g) ⊚ prod.diag

(f ⊚ TypeVec.id) <$$> x = f <$$> x ∧ (prod.snd ⊚ subtypeVal R) <$$> h <$$> x = g <$$> x


Context:
a b : Prop
h : b = False


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
cst : ℝ → ℝ := fun x => 1

∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a}


Context:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddGroup E
SMul 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
x : E


Context:
a : Ordinal.{u_1}
n : ℕ
a✝ : (HMul.hMul 0)^[n] a ≤ id a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
h : a ~ᵤ b
hb : b ≠ 0
ha : a ≠ 0


Context: x y : ℝ


Context:
R : Type u
a b : R
m✝ n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
k l m n : ℕ
u v : R
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0

Finsupp.single k u + Finsupp.single l v = Finsupp.single m u + Finsupp.single n v ↔ k = m ∧ l = n ∨ u = v ∧ k = n ∧ l = m ∨ u + v = 0 ∧ k = l ∧ m = n


Context:
G : Type u_1
Group G
tG : Monoid.IsTorsion G
H : Subgroup G


Context: a b : Int


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
h : affineSpan ℝ s = ⊤
t : Finset V
hts : ↑t ⊆ s
b : AffineBasis ↑↑t ℝ V
hb : ⇑b = Subtype.val

(interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b))).Nonempty


Context:
α : Type ua
UniformSpace α
x : α

𝓝 x = Filter.comap (fun y => (y, x)) (𝓤 α)


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
sq : CategoryTheory.Square C


Context:
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
δ : Type u_2
TopologicalSpace δ
DiscreteTopology δ
f : α ↪ δ
g₁ g₂ : BoundedContinuousFunction α β
h₁ h₂ : BoundedContinuousFunction δ β

dist (BoundedContinuousFunction.extend f g₁ h₁) (BoundedContinuousFunction.extend f g₂ h₂) =
  max (dist g₁ g₂) (dist (h₁.restrict (Set.range ⇑f)ᶜ) (h₂.restrict (Set.range ⇑f)ᶜ))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
g : β → γ
f : α → β
s : Set α
t : Set β
hg : ContinuousOn g t
hf : ContinuousOn f s
h : Set.MapsTo f s t


Context:
K : Type u_1
DivisionRing K
p q : K[X]
hp0 : p ≠ 0

q ∣ p * Polynomial.C p.leadingCoeff⁻¹ ↔ q ∣ p


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Small.{v, max u₂ v} ↑((F ⋙ evaluation R X) ⋙ forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections

Context: X Y Z : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: j : J

limMap (whiskerLeft F (restriction R (f ≫ g))) ≫ limit.π (F ⋙ evaluation R Z ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))) j = (limMap (whiskerLeft F (restriction R f)) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) (F ⋙ evaluation R Y)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (limMap (whiskerLeft F (restriction R g)) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map g)) (F ⋙ evaluation R Z)).inv) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ (limit (F ⋙ evaluation R Z))).inv ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))) (F ⋙ evaluation R Z)).hom) ≫ limit.π (F ⋙ evaluation R Z ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))) j


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: Semiring S

Context: f : (k : ℕ) → S →+* TruncatedWittVector p k R

Context: f_compat : ∀ (k₁ k₂ : ℕ) (hk : k₁ ≤ k₂), (TruncatedWittVector.truncate hk).comp (f k₂) = f k₁

Context: g : S →+* 𝕎 R

Context: g_compat : ∀ (k : ℕ), (WittVector.truncate k).comp g = f k


Context:
α : Type u_4
TopologicalSpace α
self : TopologicalSpace.Compacts α


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : M.Base B
hBX : M.Basis (B ∩ X) X

M✶.Basis (M.E \ B ∩ (M.E \ X)) (M.E \ X)


Context:
α : Type u_1
UniformSpace α
p : UniformSpace.Completion α → Prop
a : UniformSpace.Completion α
hp : IsClosed {a | p a}
ih : ∀ (a : α), p (↑α a)


Context: X Y : AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace

Context: e : X ≅ Y

Context: y : ↑Y.toTopCat

Context: z : ↑(Y.presheaf.stalk (e.hom.val.base (e.inv.val.base y)))

(AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap e.inv y)
    ((AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap e.hom (e.inv.val.base y)) z) =
  (Y.presheaf.stalkSpecializes ⋯) z


Context:
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
e : R ≃+* S
x : S

e.toRingHom.IsIntegralElem (e (e.symm x))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: μs : ℕ → Measure Ω

Context: inst✝ : ∀ (i : ℕ), IsProbabilityMeasure (μs i)

Context: f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: h_opens : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop

Context: same : ∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μs i) atTop

∫ (x : Ω), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂μs i) atTop


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : N →* G
x : N

x ∈ comap f H.normalizer → x ∈ (comap f H).normalizer


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

Context: IH : ∀ m < n + 1, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m

Context: key : (bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) ((expand p) (W_ ℤ n))) Φ = (bind₁ fun i => (expand p) (wittStructureInt p Φ i)) (W_ ℤ n)

C ↑(p ^ (n + 1)) ∣ (bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℤ (n + 1))) Φ - ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), C (↑p ^ i) * wittStructureInt p Φ i ^ p ^ (n + 1 - i)


Context:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
h : DifferentiableAt 𝕜 f x
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x


Context:
M : Type u_1
MeasurableSpace M
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
f : α → M
Sup M
MeasurableSup M
hf : Measurable f
c : M


Context:
α : Type u
PseudoMetricSpace α
a : α

Filter.comap (fun x => dist x a) (𝓝 0) = 𝓝 a


Context: Ω : Type u_1

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n : ℕ

Context: ω : Ω

Context: M : ℕ

Context: hNM : N ≤ M

Context: h : MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω < N

MeasureTheory.upperCrossingTime a b f M (n + 1) ω = MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω ∧
  MeasureTheory.lowerCrossingTime a b f M n ω = MeasureTheory.lowerCrossingTime a b f N n ω


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f₁ f₂ : α → β
Preorder α
Preorder β
h₁ : StrictMonoOn f₁ s
h : Set.EqOn f₁ f₂ s


Context:
α : Type u_2
Lattice α
s : Set αᵒᵈ

SupClosed (⇑OrderDual.toDual ⁻¹' s) ↔ InfClosed s


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M


Context:
n✝ p n : ℕ
h : 1 < p

(p - 1) * ∑ i ∈ range (log p n).succ, n / p ^ i.succ = n - (p.digits n).sum


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
Group α
MulAction α β
t : Finset β
s : Finset α

((fun x => x • t) '' ↑s).PairwiseDisjoint id → t.card ∣ (s • t).card


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s

s.SOppSide x y ↔ x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)


Context:
α : Type u_1
MonoidWithZero α
a b : α
h : a ~ᵤ b


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
p p' : AddSubgroup G


Context:
α : Type u
s : Set α
x : α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
x : E

ContinuousWithinAt f s x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x


Context:
α : Type u_2
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
Div α
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set α

(⋃ i, ⋃ j, s i j) / t = ⋃ i, ⋃ j, s i j / t


Context:
α : Type u
Semiring α
I : Ideal α


Context:
ι : Type u_2
Fintype ι
b : ι → ℂ
hb : ∀ (i : ι), 0 < (b i).re
c : ι → ℂ


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hdf : DifferentiableAt 𝕜 f x
n : ℤ

logDeriv (fun x => f x ^ n) x = ↑n * logDeriv f x


Context:
R : Type u
Semiring R
Nontrivial R


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F✝ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝

Context: f : E →SL[σ] F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: g : E →ₗ[𝕜] F

Context: hg : ∀ (u : ℕ → E) (x : E) (y : F), Tendsto u atTop (𝓝 x) → Tendsto (⇑g ∘ u) atTop (𝓝 y) → y = g x


Context:
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
RCLike 𝕜
Fintype m
Fintype n
DecidableEq n
DecidableEq m
A : Matrix m n 𝕜


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I✝ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I : LieIdeal R L
h₁ : comap f ⊥ = ⊥
h₂ : I ≤ ⊥


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0

x = ↑(unitCoeff hx) * ↑p ^ x.valuation.natAbs


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: h : (∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i

Context: hp_pos : 0 < p

Context: h_integral : ∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ < ⊤

Context: rpow_ae_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊) ^ p < ⊤

Context: x : α

Context: hx : (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊) ^ p < ⊤


Context:
M : Type u_2
MulOneClass M
S : Submonoid M


Context:
M₀ : Type u_2
MonoidWithZero M₀
a : M₀


Context:
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
f' : α → E'
g' : α → F'
l : Filter α
h : f' =Θ[l] g'

Filter.Tendsto (norm ∘ f') l Filter.atTop ↔ Filter.Tendsto (norm ∘ g') l Filter.atTop


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
σ : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring S₁
f : R →+* S₁
g : S₁ →+* R
hf : Function.RightInverse ⇑f ⇑g

Function.RightInverse ⇑(MvPolynomial.map f) ⇑(MvPolynomial.map g)


Context:
R : Type u
CommRing R
A B : Type u
CommRing A
Algebra R A
CommRing B
Algebra R B
Algebra.Unramified R A
e : A ≃ₐ[R] B


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℂ E

2 * Cardinal.lift.{0, u_1} (Module.rank ℂ E) = Cardinal.lift.{0, u_1} (2 * Module.rank ℂ E)


Context: R : Type u_1

Context: Semiring R

Context: M : R[T;T⁻¹] → Prop

Context: p : R[T;T⁻¹]

Context: h_C : ∀ (a : R), M (LaurentPolynomial.C a)

Context: h_add : ∀ {p q : R[T;T⁻¹]}, M p → M q → M (p + q)

Context:
h_C_mul_T :
  ∀ (n : ℕ) (a : R),
    M (LaurentPolynomial.C a * LaurentPolynomial.T ↑n) → M (LaurentPolynomial.C a * LaurentPolynomial.T (↑n + 1))

Context:
h_C_mul_T_Z :
  ∀ (n : ℕ) (a : R),
    M (LaurentPolynomial.C a * LaurentPolynomial.T (-↑n)) → M (LaurentPolynomial.C a * LaurentPolynomial.T (-↑n - 1))


Context:
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℕ
toFinsupp✝ : R[ℕ]

(-{ toFinsupp := toFinsupp✝ }).coeff n = -{ toFinsupp := toFinsupp✝ }.coeff n


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q✝ : R[X]
K : Type u_1
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hpq : p ∣ q
hq : q ≠ 0
h₁ : q.natDegree ≤ p.natDegree


Context:
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
δ : Type u_1
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderClosedTopology δ
a b : α
hab : a ≤ b
f : α → δ
hf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)


Context:
α : Type u_1
Lattice α
BoundedOrder α
x y : α
h₁ : x ⊓ y ≤ ⊥
h₂ : ⊤ ≤ x ⊔ y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
x : β
f : α → β


Context:
α : Type u_1
Nonempty α


Context: a b : ℕ

Disjoint (Finset.range a) (Finset.map (addRightEmbedding a) (Finset.range b))


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
g : α → ℝ≥0∞

∫⁻ (a : α), f a + g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ∫⁻ (a : α), g a ∂μ


Context:
m a b d : ℕ
h : a ≡ b [MOD m]
hdm : d ∣ m


Context:
I : Type u
β : Type u_2
DecidableEq I
One β
i : I
x : β
i' : I

Pi.mulSingle i x i' = if i' = i then x else 1


Context: p q : ℚ


Context: R S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Set R

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: H : ∀ (r : ↑s), (fun {X Y} [CommRing X] [CommRing Y] f => Function.Surjective ⇑f) (Localization.awayMap f ↑r)

Context: this : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: x : S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : SupSet α
f✝ g : ι → α
s : Set β
f : β → α


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hfd : ∀ x ∈ S, DifferentiableAt ℝ f x


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : SeparableSpace R
inst✝¹ : ContinuousAdd M
inst✝ : ContinuousSMul R M
s : Set M
hs : IsSeparable s

IsSeparable (⋃ n, (fun f => ∑ i : Fin n, (f i).1 • (f i).2) '' {f | ∀ (i : Fin n), (f i).2 ∈ s})


Context:
α : Type u_1
A : α → PSet


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
I : Ideal R
hp : I.IsPrime
hd : Disjoint ↑M ↑I


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: U : (Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ

Context: a b : (x : ↥(unop U)) → at ↑x

Context: ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a

Context: hb : (isLocallyFraction 𝒜).pred b

Context: x : ↥(unop U)

Context: Va : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: ma : ↑x ∈ Va

Context: ia : Va ⟶ unop U

Context: ja : ℕ

Context: ra : A

Context: ra_mem : ra ∈ 𝒜 ja

Context: sa : A

Context: sa_mem : sa ∈ 𝒜 ja

Context: hwa : ∀ (x : ↥Va), ↑⟨sa, sa_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal

Context: wa : ∀ (x : ↥Va), (fun x => a ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja, num := ⟨ra, ra_mem⟩, den := ⟨sa, sa_mem⟩, den_mem := ⋯ }

Context: Vb : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: mb : ↑x ∈ Vb

Context: ib : Vb ⟶ unop U

Context: jb : ℕ

Context: rb : A

Context: rb_mem : rb ∈ 𝒜 jb

Context: sb : A

Context: sb_mem : sb ∈ 𝒜 jb

Context: hwb : ∀ (x : ↥Vb), ↑⟨sb, sb_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal

Context: wb : ∀ (x : ↥Vb), (fun x => b ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := jb, num := ⟨rb, rb_mem⟩, den := ⟨sb, sb_mem⟩, den_mem := ⋯ }

Context: y : ↥(Va ⊓ Vb)

(fun x => (a * b) ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) y = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja + jb, num := ⟨ra * rb, ⋯⟩, den := ⟨sa * sb, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: f : F[X]

Context: this : Multiset.card (f.aroots f.SplittingField) ≤ f.natDegree


Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: AddMonoid β

Context: DecidableEq α

Context: l : List α

Context: f : α → β

Context: comm : (↑l.toFinset).Pairwise fun a b => AddCommute (f a) (f b)

Context: hl : l.Nodup

l.toFinset.noncommSum f comm = (List.map f l).sum


Context: R : Type u1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: n : ℕ

Context: f : Fin n → ↑↑(LinearMap.range (ι R))

Context: hu : (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod ∈ ↑(LinearMap.range (ι R)) ^ n

(List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod ∈ Set.range ⇑(ιMulti R n)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: h : ∀ (u : ℕ → ι), Tendsto u atTop l → TendstoUniformlyOn (fun n => F (u n)) f atTop s

∀ (x : ℕ → ι × α), Tendsto x atTop (l ×ˢ 𝓟 s) → Tendsto ((fun q => (f q.2, F q.1 q.2)) ∘ x) atTop (𝓤 β)


Context:
X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
s t : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : Fintype β
ha : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
g : α → ℝ≥0∞


Context:
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : CommSemiring R
f : M →+ ι
m : M
r : R

Finsupp.single (Multiplicative.toAdd (Multiplicative.ofAdd m)) (r * 1) = ↑(GradedMonoid.mk (f m) ⟨Finsupp.single m r, ⋯⟩).snd


Context: n : ℕ

Context: α : TypeVec.{u_1} (n + 1)

Context: p : α.Arrow (TypeVec.repeat (n + 1) Prop)

TypeVec.dropFun (TypeVec.toSubtype p) = TypeVec.toSubtype fun i => p i.fs


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
s t : Set β


Context:
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
C : SubMulAction G X
B : Set ↥C

MulAction.IsBlock G B ↔ MulAction.IsBlock G (Subtype.val '' B)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
inst✝ : Preorder α
a : α
ha : ∀ b ∈ s, b < a

(insert a s).chainHeight = s.chainHeight + 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v}

Context: x✝ : (∀ (a : Ordinal.{u}), f a < f (succ a)) ∧ ∀ (o : Ordinal.{u}), o.IsLimit → (o.bsup fun x x_1 => f x) = f o

Context: h₁ : ∀ (a : Ordinal.{u}), f a < f (succ a)

Context: h₂ : ∀ (o : Ordinal.{u}), o.IsLimit → (o.bsup fun x x_1 => f x) = f o

Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : o.IsLimit

Context: a : Ordinal.{max u v}

(o.bsup fun x x_1 => f x) ≤ a ↔ ∀ b < o, f b ≤ a


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C

CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap 0 = 0


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommSemiring R
f : α → R
s : Finset α
inst✝ : CommSemiring R
x : α → R
n : ℕ

s.sum x ^ n = ∑ k ∈ s.sym n, ↑(↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑k).prod


Context:
p : ℕ
a : ℚ
hp : Fact (Nat.Prime p)
H : 1 < padicNorm p a


Context:
α : Type u
l : List α
n k : ℕ
hk : k < l.length

(l.rotate n).nthLe ((l.length - n % l.length + k) % l.length) ⋯ = l.nthLe k hk


Context:
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
PseudoEMetricSpace X
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : X → X
g l : X → E
hf : LipschitzWith 1 f
hg : UniformContinuous g
hl : Continuous l

IsClosed {x | Filter.Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 f g x_1 x) Filter.atTop (𝓝 (l x))}


Context:
α : Type u_1
CommMonoid α
a : α
ha : Irreducible a


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_4
TopologicalSpace α
T3Space α
NonUnitalNonAssocSemiring α
TopologicalSemiring α
f : ι → α
g : κ → α
s t : α
hf : HasSum f s
hg : HasSum g t
hfg : Summable fun x => f x.1 * g x.2


Context: R : Type uR

Context: M₂ : Type v₂

Context: M' : Type v'

Context: CommSemiring R

Context: AddCommMonoid M'

Context: AddCommMonoid M₂

Context: Module R M'

Context: Module R M₂

Context: k l n : ℕ

Context: s : Finset (Fin n)

Context: hk : s.card = k

Context: hl : sᶜ.card = l

Context: f : MultilinearMap R (fun x => M') (MultilinearMap R (fun x => M') M₂)

Context: x y : M'

((f fun x_1 => x) fun i => s.piecewise (fun x_1 => x) (fun x => y) ((sᶜ.orderEmbOfFin hl) i)) =
  (f fun x_1 => x) fun x => y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_4
CompleteLattice α
f : β → γ → α
s : Set β
t : Set γ

sInf (Set.image2 f s t) = ⨅ a ∈ s, ⨅ b ∈ t, f a b


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: CommRing R

Context: CommRing S

Context: Algebra R S

Context: x y : S

Context: h : ↑(Algebra.adjoin R {x}) = ↑(Algebra.adjoin R {y})


Context: α : Type u_1


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D

(CategoryTheory.Monoidal.transportedMonoidalUnitIso e).inv =
  CategoryTheory.monoidalCounit (CategoryTheory.Monoidal.fromTransported e) e.symm.toAdjunction


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
y : E
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
this✝ : s =ᶠ[𝓝[≠] x] t
this : 𝓝[s \ {x}] x = 𝓝[t \ {x}] x

fderivWithin 𝕜 f s x = fderivWithin 𝕜 f t x


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : Monoid γ

Context: inst✝ : FunLike F β γ

Context: s : Finset α

Context: f : α → β

Context: comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)

Context: m : β

Context: h : ∀ x ∈ s, f x = m


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
CommRing K
CommRing L
CommRing M
i : K →+* L
j : K →+* M
p : ℕ
ExpChar K p
ExpChar L p
ExpChar M p
PerfectRing L p
IsPerfectClosure i p
PerfectRing M p
IsPerfectClosure j p
x : K

(IsPerfectClosure.equiv i j p) (i x) = j x


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
g : M →ₗ[R] M
f : (M →ₗ[R] M)ˣ

(trace R M) (↑f⁻¹ * (↑f * g)) = (trace R M) g


Context:
α : Type u
Preorder α
a : α


Context:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
η✝ : 𝟙 a ≅ f ≫ g
ε✝ : g ≫ f ≅ 𝟙 b
η : 𝟙 a ≅ f ≫ g
ε : g ≫ f ≅ 𝟙 b

η.hom ▷ f ≫ ((α_ f g f).hom ≫ 𝟙 f ▷ (g ≫ f)) ≫ f ◁ (g ◁ ((ρ_ f).inv ≫ (f ◁ ε.inv ≫ (𝟙 f ▷ (g ≫ f) ≫ (α_ f g f).inv) ≫ η.inv ▷ f) ≫ (λ_ f).hom) ≫ ε.hom) = (λ_ f).hom ≫ (ρ_ f).inv


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
h : E ≃ₘ^n⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
hn : 1 ≤ n
s : Set F

UniqueDiffOn 𝕜 (⇑h ⁻¹' s) ↔ UniqueDiffOn 𝕜 s


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
x : ℝ
s : ℂ
f : E

(↑(rexp (-x)) * cexp (-↑x) ^ (s - 1)) • f = cexp (-s * ↑x) • f


Context:
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁹ : PartialOrder Γ✝
inst✝⁸ : PartialOrder Γ'
inst✝⁷ : VAdd Γ✝ Γ'
inst✝⁶ : IsOrderedCancelVAdd Γ✝ Γ'
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
Γ : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid Γ
inst✝³ : AddAction Γ Γ'
inst✝² : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝¹ : MulZeroClass R
inst✝ : SMulWithZero R V
r : R
x : HahnModule Γ' R V
x✝ : Γ'

((of R).symm ((HahnSeries.single 0) r • x)).coeff x✝ = ((of R).symm (r • x)).coeff x✝


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: s : Finset E

Context: hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2

Context: h : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E := Measure.addHaar

Context: δ : ℝ := 1 / 2

Context: ρ : ℝ := 5 / 2

Context: ρpos : 0 < ρ

Context: A : Set E := ⋃ c ∈ s, ball c δ

Context: hA : A = ⋃ c ∈ s, ball c δ

Context: D : (↑s).Pairwise (Disjoint on fun c => ball c δ)

Context: A_subset : A ⊆ ball 0 ρ

Context: I : ↑s.card * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E) * μ (ball 0 1) ≤ ENNReal.ofReal (ρ ^ finrank ℝ E) * μ (ball 0 1)

Context: J : ↑s.card * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E) ≤ ENNReal.ofReal (ρ ^ finrank ℝ E)


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
DivisionRing K
AddCommGroup V
Module K V
L : Type u_3
W : Type u_4
DivisionRing L
AddCommGroup W
Module L W
σ : K →+* L
τ : L →+* K
RingHomInvPair σ τ
f : V →ₛₗ[σ] W
hf : Function.Injective ⇑f

Function.Injective (Projectivization.map f hf)


Context:
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
V₁ : Type u_6
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
b p' : P₁

(AffineEquiv.vaddConst k b).symm p' = p' -ᵥ b


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
h : ∀ (t : ℝ), IsIntegralCurveAt γ v t
t : ℝ

HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I γ t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a b c : α


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
mvpz : ↑p ^ (n + 1) = C (↑p ^ (n + 1))

wittPolyProd p (n + 1) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) + remainder p n


Context:
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b c : α
h : 0 < b


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p₁ p₂ : ι → P
b : P

∑ i ∈ s, w i • (p₁ i -ᵥ p₂ i) = (s.weightedVSubOfPoint p₁ b) w - (s.weightedVSubOfPoint p₂ b) w


Context:
a b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q b : ℝ≥0
hb : 1 ≤ ↑r * ↑b


Context:
b : ℤ
k : ℕ
L : List ℕ

Nat.ofDigits b L % ↑k = Nat.ofDigits (b % ↑k) L % ↑k


Context:
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M

CG L M ↔ ∃ S, S.Countable ∧ (closure L).toFun S = ⊤


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r✝ R r r' : ℝ≥0

Context: hr : ↑r + ↑r' < p.radius

Context: this : ∀ (n : ℕ), HasSum (fun s => ‖p (n - s.card + s.card)‖₊ * r ^ s.card * r' ^ (n - s.card)) (‖p n‖₊ * (r + r') ^ n)

Summable fun x => ‖p (x.fst - x.snd.card + x.snd.card)‖₊ * r ^ x.snd.card * r' ^ (x.fst - x.snd.card)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c : P
R : ℝ
x : P

EuclideanGeometry.inversion c R x = (AffineMap.lineMap c x) ((R / dist x c) ^ 2)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
s t : Set α
hst : s ⊆ t
ht : t.Finite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
v : VectorMeasure α M
f : α → β
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s

↑{ measureOf' := fun s => if MeasurableSet s then ↑v (f ⁻¹' s) else 0, empty' := ⋯, not_measurable' := ⋯, m_iUnion' := ⋯ } s = ↑v (f ⁻¹' s)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: q : ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝² : NormedRing 𝕜

Context: inst✝¹ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: f : (i : α) → E i

Context: c : 𝕜

Context: hf : Memℓp f 0


Context:
R : Type u
Ring R
p : R[X]


Context:
α : Type u_1
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup F
hq0_ne : q ≠ 0
hμ : μ ≠ 0
f : α → F
hf_zero : f =ᵐ[μ] 0


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
G : CategoryTheory.Functor D C
iso : e.inverse ≅ G
X : D

(e.changeInverse iso).counitIso.hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e.functor.map (iso.inv.app X)) (e.counitIso.hom.app X)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f✝ p f : Perm α

Context: h : p.IsCycle ∧ ∀ a ∈ p.support, p a = f a

Context: x : α

Context: hx : x ∈ p.support


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
a : G
b : H
AddCommMonoid G
AddMonoid H
AddConstMapClass F G H a b
f : F
n : ℕ
x : G


Context:
R : Type u_1
E : Type u_3
LinearOrderedField R
AddCommGroup E
Module R E
s t : Set E

(convexHull R) (s - t) = (convexHull R) s - (convexHull R) t


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' i₁₂'' : I₁₂

K.D₁ c₁₂ i₁₂ i₁₂' ≫ K.D₁ c₁₂ i₁₂' i₁₂'' = 0


Context:
L : FirstOrder.Language
ι : Type v
Preorder ι
Nonempty ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
M : Type u_1
L.Structure M
S : ι →o L.Substructure M

(FirstOrder.Language.DirectLimit.liftInclusion S).toHom.range = ⨆ i, S i


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
σ : Finset S

IsLocalization (Submonoid.comap (algebraMap (↥(Algebra.adjoin R ↑σ)) S) (IsUnit.submonoid S)) S ↔
  ∀ (s : S), ∃ t ∈ Algebra.adjoin R ↑σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ Algebra.adjoin R ↑σ


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : LinearOrder α✝
inst✝⁷ : LinearOrder β
inst✝⁶ : OrderTopology α✝
inst✝⁵ : OrderTopology β
α : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : FirstCountableTopology α
x y : α
hy : y < x
hx : x ∉ Ioo y x

∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo y x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x)


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α

(Finset.Ioo s t).card = ∏ i ∈ s.toFinset ∪ t.toFinset, (Multiset.count i t + 1 - Multiset.count i s) - 2


Context: 𝕜 : Type u

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: NormedAddCommGroup F

Context: NormedSpace 𝕜 F

Context: s : Set E

Context: f : E → F

Context: n : ℕ∞

Context: Hcont : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContinuousOn (fun x => iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s x) s

Context: Hdiff : ∀ (m : ℕ), ↑m < n → DifferentiableOn 𝕜 (fun x => iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s x) s


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddGroup R
x : HahnSeries Γ R


Context:
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝⁹ : RCLike 𝕂
inst✝⁸ : Fintype m
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : (i : m) → Fintype (n' i)
inst✝³ : (i : m) → DecidableEq (n' i)
inst✝² : NormedCommRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
A : Matrix m m 𝔸


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
NormalSpace α
R1Space α
MeasurableSpace α
BorelSpace α
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedSpace ℝ E
WeaklyLocallyCompactSpace α
μ.Regular
f : α → E
hf : MeasureTheory.Integrable f μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε

∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ MeasureTheory.Integrable g μ


Context:
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
n d : F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hd : d ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
s : Finset ι
(j : ι) → Decidable (j ∈ s)
π : ι → Type u_3
f g : (i : ι) → π i
(i : ι) → Preorder (π i)
h : g ≤ f


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂


Context:
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι : Type u_3
κ✝ : Type u_4
α : Type u_5
κ : Type u_6
η : Type u_7
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Finite κ
inst✝ : Finite η
val✝ : Fintype η

∃ ι x, ∀ (C : (ι → α) → κ), ∃ l, IsMono C l


Context:
α : Type u
Group α
a : α


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
h : Module.rank R M = 0


Context:
E : Type u_2
SeminormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
s : Set E
x : E

EMetric.infEdist x (Metric.cthickening δ s) = EMetric.infEdist x s - ENNReal.ofReal δ


Context: q : ℚ


Context:
K : Type u
CommRing K
IsDomain K
L : Type u_1
S : Type u_3
Field L
CommSemiring S
Algebra S K[X]
Algebra S L
φ : K[X] →ₐ[S] L
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ L⁰
n : K[X]
d : ↥K[X]⁰

(RatFunc.liftAlgHom φ hφ) { toFractionRing := Localization.mk n d } = φ n / φ ↑d


Context:
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
f : i ⟶ j

(∀ (i_1 : J) (j_1 : i_1 ⟶ j), range (F.map f) ⊆ range (F.map j_1)) ↔ ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i), range (F.map f) ⊆ range (F.map (g ≫ f))


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

Context: m : (i : ι) → E i

∏ i : ι, ‖(f i) (m i)‖ ≤ (∏ i : ι, ‖f i‖) * ∏ i : ι, ‖m i‖


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory C

Context: P : C → Prop

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P

Context: CategoryTheory.BraidedCategory C

Context: X Y : CategoryTheory.FullSubcategory P

(CategoryTheory.MonoidalCategory.fullBraidedSubcategoryInclusion P).μ X Y =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X.obj Y.obj)


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: β : Type u_8

Context: m : MeasurableSpace β

Context: Div β

Context: MeasurableDiv₂ β

Context: f : ι → Ω → β

Context: ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ

Context: hf_indep : ProbabilityTheory.Kernel.iIndepFun (fun x => m) f κ μ

Context: hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: i j k l : ι

Context: hik : i ≠ k

Context: hil : i ≠ l

Context: hjk : j ≠ k

Context: hjl : j ≠ l

ProbabilityTheory.Kernel.IndepFun (f i / f j) (f k / f l) κ μ


Context:
X : Type u
Y : Type v
MetricSpace X
MetricSpace Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y : X ⊕ Y
fA : f ∈ GromovHausdorff.candidates X Y


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: this : HasSum (fun n => -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s / 2 + -(-I * ↑(↑n).sign) * cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑n)) / ↑n ^ s / 2) (sinZeta (↑a) s)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: g : ℝ → F

Context: k : Set ℝ

Context: l : Filter ℝ

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l

Context: hl : k ∈ l

Context: hd✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x

Context: hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop

Context: hfg : deriv f =O[l] g

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: s : Set ℝ

Context: hsl : s ∈ l

Context: hsub : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, [[x, y]] ⊆ k

Context: hfd : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ [[x, y]], DifferentiableAt ℝ f z

Context: hg : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ [[x, y]], ‖deriv f z‖ ≤ C * ‖g z‖

Context: hgi : IntegrableOn (fun x => C * ‖g x‖) k volume

Context: c : ℝ

Context: hc : c ∈ s

Context: d : ℝ

Context: hd : d ∈ s

Context: hlt : ‖f c‖ + ∫ (y : ℝ) in k, C * ‖g y‖ < ‖f d‖


Context: α : Type u

Context: Semiring α

Context: PartialOrder α

Context: a b c d : α

Context: ExistsAddOfLE α

Context: MulPosStrictMono α

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: hba : b < a

Context: hdc : d < c


Context:
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : L.Structure M

#((n : ℕ) × (L.sum L.skolem₁).Functions n) ≤ max ℵ₀ L.card


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (chartAt H x).source
hy : f x' ∈ (chartAt H' y).source

MDifferentiableWithinAt I I' f s x' ↔
  ContinuousWithinAt f s x' ∧
    DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
      (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ Set.range ↑I) (↑(extChartAt I x) x')


Context:
M : Type u_8
AddCommMonoid M
n : ℕ
σ : Fin n →₀ M
i : M

((Finsupp.cons i σ).sum fun x e => e) = i + σ.sum fun x e => e


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_10
Neg R
A : Matrix n l R
B : Matrix n m R
C : Matrix o l R
D : Matrix o m R

-Matrix.fromBlocks A B C D = Matrix.fromBlocks (-A) (-B) (-C) (-D)


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module K M

Context: inst✝ : Module.Finite K M

Context: φ : Module.End K M

Context: this : [¬φ.HasEigenvalue 0, ¬(minpoly K φ).IsRoot 0, constantCoeff (charpoly φ) ≠ 0, LinearMap.det φ ≠ 0, ¬⊥ < ker φ, ∀ (m : M), m ≠ 0 → φ m ≠ 0].TFAE

[¬φ.HasEigenvalue 0, ¬(minpoly K φ).IsRoot 0, constantCoeff (charpoly φ) ≠ 0, LinearMap.det φ ≠ 0, ker φ = ⊥, ∀ (m : M), φ m = 0 → m = 0].TFAE


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: k✝ : ℕ

Context: N✝ : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝ : LieModule R L M₂

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: h₁ : N ≤ maxTrivSubmodule R L M

Context: k : ℕ

Context: hk : lowerCentralSeries R L (M ⧸ N) k = ⊥


Context:
m : ℕ∞
hm : m ≠ 0

ℵ₀ * ↑m = ℵ₀


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
m n : ℕ
h : m ≤ n

edist (f m) (f n) ≤ ∑ i ∈ Finset.Ico m n, edist (f i) (f (i + 1))


Context: V : Type (u + 1)

Context: CategoryTheory.LargeCategory V

Context: G : MonCat

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V

Context: X Y : Action V G


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
h : f.lim = 0


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : 0 < r

Tendsto (fun x => f x * r) l atBot ↔ Tendsto f l atBot


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
Ui Vj : Finset α

(Ui, Vj) ∈ P.parts.offDiag.attach.biUnion (SzemerediRegularity.distinctPairs hP G ε) → (Ui, Vj) ∈ (increment hP G ε).parts.offDiag


Context:
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
ha₁ : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
ha₂ : ∀ x ∈ σ ℝ (-a), 0 ≤ x
a✝ : Nontrivial A


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l : Filter α
ι : Type u_2
s : Set ι
hs : s.Finite
f g : ι → Set α
hle : ∀ i ∈ s, f i ≤ᶠ[l] g i
this : Finite ↑s


Context:
n : ℕ
a : Fin (n + 1)

PredOrder.pred a = if a = 0 then 0 else a - 1


Context:
a b : Int
n : Nat
h : a + ↑n = b


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: ι✝ : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: inst✝⁸ : LinearOrderedField R

Context: inst✝⁷ : LinearOrderedField R'

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: inst✝³ : Module R E

Context: inst✝² : Module R F

Context: inst✝¹ : Module R α

Context: inst✝ : OrderedSMul R α

Context: s✝ : Set E

Context: i j : ι✝

Context: c : R

Context: t : Finset ι✝

Context: w✝ : ι✝ → R

Context: z✝ : ι✝ → E

Context: ι : Sort u_8

Context: w : ι → R

Context: z : ι → E

Context: s : Set E

Context: hs : Convex R s

Context: h₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i

Context: h₁ : ∑ᶠ (i : ι), w i = 1

Context: hz : ∀ (i : ι), w i ≠ 0 → z i ∈ s

Context: hfin_w : (support (w ∘ PLift.down)).Finite


Context:
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α

x ∈ Metric.thickening δ s ↔ EMetric.infEdist x s < ENNReal.ofReal δ


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
TopologicalSpace E
TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
hf : IsCoveringMapOn f s
x : E
hx : f x ∈ s


Context:
n m : ℕ
hzero : n ≠ 0
h : m ∣ n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α

toIcoMod hp a (b - c) = toIcoMod hp (a + c) b - c


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: F : ℕ → ↥(lp E p)

Context: hF : CauchySeq F

Context: f : ↥(lp E p)

Context: hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) atTop (𝓝 ↑f)

∀ (i : ℝ), 0 < i → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, F x ∈ Metric.closedBall f i


Context:
m n a b c d✝ : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]
d : ℕ
hd : a ^ d ≡ b ^ d [ZMOD n]


Context:
α : Type ua
UniformSpace α
K : Set α
ι' : Sort u_2
ι : Sort u_3
p : ι' → Prop
V : ι' → Set (α × α)
U : ι → Set α
hbasis : (𝓤 α).HasBasis p V
hK : IsCompact K
hopen : ∀ (j : ι), IsOpen (U j)
hcover : K ⊆ ⋃ j, U j

∃ i, p i ∧ ∀ x ∈ K, ∃ j, UniformSpace.ball x (V i) ⊆ U j


Context:
α : Type u
s : Stream'.Seq α
m n : ℕ


Context:
D : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Groupoid D
inst✝² : Category.{?u.4103, u_2} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalClosed C
F G : D ⥤ C
X Y : D
f : X ⟶ Y

(ihom.coev (F.obj Y)).app (G.obj X) ≫ (ihom (F.obj Y)).map (F.obj Y ◁ G.map f) = (ihom.coev (F.obj X)).app (G.obj X) ≫ (pre (CategoryTheory.inv (F.map f))).app (F.obj X ⊗ G.obj X) ≫ (ihom (F.obj Y)).map (F.map f ⊗ G.map f)


Context:
α : Type u
x : α


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V

LinearIndependent K (((fun o => o.casesOn' x v) ∘ ⇑(Equiv.optionEquivSumPUnit ι).symm) ∘ Sum.inl) ∧ ¬x = 0 ∧ (x ∈ span K (range (((fun o => o.casesOn' x v) ∘ ⇑(Equiv.optionEquivSumPUnit ι).symm) ∘ Sum.inl)) → x = 0) ↔ LinearIndependent K v ∧ x ∉ span K (range v)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝¹ X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z✝
inst✝ : Mono (f ≫ g)
Z : C
a b : Z ⟶ X
w : a ≫ f ≫ g = b ≫ f ≫ g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ ‖g x‖


Context: α : Type u_1

Context: SeminormedAddCommGroup α

Context: f : ℕ → α

Context: h : CauchySeq fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, f k


Context:
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
F : Type u_5
inst✝⁵ : FunLike F M M₂
inst✝⁴ : AddMonoidHomClass F M M₂
f : F
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : DivisionRing R
inst✝² : DivisionRing S
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module S M₂
x : M
n : ℕ


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y

Context: x y z t : X ⊕ Y

Context: f g : GromovHausdorff.Cb X Y

Context: cg : ℝ

Context: hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)

Context: Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x

Context: cf : ℝ

Context: hcf : cf ∈ lowerBounds (range ⇑f)

⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g


Context:
m : Type u → Type u
Monad m
α β : Type u
LawfulMonad m
f : α → β → m β
xs : FreeMonoid α

∀ (a : CategoryTheory.KleisliCat.mk m β),
  (Monoid.foldrM.ofFreeMonoid f) xs a = flip (List.foldrM f) (FreeMonoid.toList xs) a


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂

Context: hw : LinearIndependent R (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr)

Context: hm : Mono S.f

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

Disjoint (span R (range (u ∘ Sum.inr))) (LinearMap.ker S.g)


Context:
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
Semiring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
hx : x ^ n = 0


Context: F : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁹ : Monoid A

Context: inst✝¹⁸ : Monoid B

Context: inst✝¹⁷ : Monoid C

Context: inst✝¹⁶ : Monoid D

Context: inst✝¹⁵ : CommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace C

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace D

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁹ : TopologicalGroup E

Context: X : Type u_7

Context: Y : Type u_8

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Group X

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup X

Context: inst✝⁵ : UniformSpace Y

Context: inst✝⁴ : CommGroup Y

Context: inst✝³ : UniformGroup Y

Context: inst✝² : T0Space Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: V : ℕ → Set Y

Context: hV : ∀ {n : ℕ} {x : Y}, x ∈ V n → x * x ∈ V n → x ∈ V (n + 1)

Context: hVo : (nhds 1).HasBasis (fun x => True) V

Context: U0 : Set X

Context: hU0c : IsCompact U0

Context: hU0o : U0 ∈ nhds 1

Context: U_aux : ℕ → ↑{S | S ∈ nhds 1} := fun t => Nat.rec ⟨U0, hU0o⟩ (fun x S => let h := ⋯; ⟨Classical.choose h, ⋯⟩) t

Context: U : ℕ → Set X := fun n => ↑(U_aux n)

Context: hU1 : ∀ (n : ℕ), U n ∈ nhds 1

Context: hU2 : ∀ (n : ℕ), U (n + 1) * U (n + 1) ⊆ U n

Context: hU3 : ∀ (n : ℕ), U (n + 1) ⊆ U n

Context: hU4 : ∀ (f : X →* Y), Set.MapsTo (⇑f) (U 0) (V 0) → ∀ (n : ℕ), Set.MapsTo (⇑f) (U n) (V n)

LocallyCompactSpace (ContinuousMonoidHom X Y)


Context: ιa : Type u_1

Context: ιb : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ιa

Context: inst✝⁹ : Fintype ιb

Context: R' : Type u_3

Context: Mᵢ : Type u_4

Context: N₁ : Type u_5

Context: N₂ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup N₁

Context: inst✝⁶ : Module R' N₁

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N₂

Context: inst✝⁴ : Module R' N₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ

Context: inst✝² : Module R' Mᵢ

Context: inst✝¹ : DecidableEq ιa

Context: inst✝ : DecidableEq ιb

Context: a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁

Context: b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂

Context: σ : Quotient (QuotientGroup.leftRel (Perm.sumCongrHom ιa ιb).range)

∑ y ∈ Finset.filter (fun x => ⟦x⟧ = σ) Finset.univ, Perm.sign y • domDomCongr y (a.domCoprod b) = domCoprod.summand (alternatization a) (alternatization b) σ


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{?u.75509, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{u_7, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
α : Type u_5
inst✝³ : AddRightCancelSemigroup α
inst✝² : One α
inst✝¹ : DecidableEq α
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X : α → W₁
d : (n : α) → X (n + 1) ⟶ X n
sq : ∀ (n : α), d (n + 1) ≫ d n = 0

∀ (i j : α), (ComplexShape.down α).Rel i j → ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down α)).obj (of X d sq)).d i j ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯ ≫ (of (fun n => F.obj (X n)) (fun n => F.map (d n)) ⋯).d i j


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty

Context: R : α → ℝ

Context: hR : ∀ x ∈ s, 0 < R x

Context: g : α → Set ℝ := fun x => f x ∩ Ioo 0 (R x)

Context: hg : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty

Context: r : α → ℝ

Context: t : Set α

Context: v_count : (graphOn r t).Countable

Context: vs : ∀ p ∈ graphOn r t, p.1 ∈ s

Context: vg : ∀ p ∈ graphOn r t, p.2 ∈ g p.1

Context: μv : μ (s \ ⋃ p ∈ graphOn r t, closedBall p.1 p.2) = 0

Context: v_disj : (graphOn r t).PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2

∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)) ∧ μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) = 0 ∧ t.PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r x)


Context:
R : Type u_1
Semiring R
f : R[X]
h : f.nextCoeff ≠ 0


Context: a b : String

Levenshtein.stringLengthCost.substitute a b = max a.length b.length


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsNoetherianRing R

{r | ∃ x, x ≠ 0 ∧ r ∈ (Submodule.span R {x}).annihilator} ⊆ ⋃ p ∈ associatedPrimes R M, ↑p


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y : C
inst✝¹ : HasTerminal C
P : C
inst✝ : HasBinaryProduct (⊤_ C) P

snd ≫ lift (terminal.from P) (𝟙 P) = 𝟙 ((⊤_ C) ⨯ P)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
n : R
hn : n ≠ 0
d : ↥R⁰
hd_ne_zero : (algebraMap R K) ↑d ≠ 0
h0 : spanSingleton R⁰ (mk' K n d) ≠ 0

∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {n})).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {↑d})).factors)) = spanSingleton R⁰ (mk' K n d)


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: M : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} M

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory M

Context: F : CategoryTheory.MonoidalFunctor M (CategoryTheory.Functor C C)

Context: m n m' : M

Context: f : m ⟶ m'

Context: X : C

CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.μIso m n).inv.app X) ((F.obj n).map ((F.map f).app X)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((F.map (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f n)).app X)
    ((F.μIso m' n).inv.app X)


Context: p x t : ℝ

Context: aux : ∀ {a b c : ℝ}, a ∈ zmultiples b → c * a ∈ zmultiples (c * b)

Context: ht : t ≠ 0

Context: ht' : |t| ≠ 0


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
H : μ.InnerRegularWRT p q
hU : q U

μ U = ⨆ K, ⨆ (_ : K ⊆ U), ⨆ (_ : p K), μ K


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: f g : α → β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : ι → Measure α

Context: h : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable f (μ i)

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β

Context: t : ι → Set β

Context: t_sep : ∀ (i : ι), IsSeparable (t i)

Context: ht : ∀ (i : ι), f ⁻¹' t i ∈ ae (μ i)

∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂sum μ, f x ∈ t


Context: α : Type u₁

Context: β : Type u₂

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: K : Set α

Context: V✝ : Set (β × β)

Context: f : C(α, β)

Context: ι : Type u₃

Context: p : Filter ι

Context: F : ι → C(α, β)

Context: inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace α

Context: h : ∀ (K : Set α), IsCompact K → TendstoUniformlyOn (fun i a => (F i) a) (⇑f) p K

Context: V : Set (β × β)

Context: hV : V ∈ 𝓤 β

Context: x : α

∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, (fun i a => (F i) a) n y) ∈ V


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P

Wbtw R x y z ↔ z = y ∨ x ∈ ⇑(AffineMap.lineMap z y) '' Set.Ici 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUVne : U ≠ V

Context: hUV : ¬G.IsUniform ε U V

Context: t : (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U) ⊆ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts

Context: hε : 0 ≤ ε

Context: sp : ∀ (a b : Finset (Finset α)), a.product b = a ×ˢ b

Context: this : ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 + ↑((star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U)).card / ↑((chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts).card * (3 / 4 * ε) ^ 2 ≤ (∑ i ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, (fun x => ↑(G.edgeDensity x.1 x.2)) i ^ 2) / ↑((chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts).card

↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 + ↑(star hP G ε hU V).card * ↑(star hP G ε hV U).card / 16 ^ P.parts.card * (9 / 16) * ε ^ 2 ≤ (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2) ^ 2) / 16 ^ P.parts.card


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
h : ↑S.topologicalClosure = univ
x : M
hker : x ∈ S.topologicalClosure


Context: C✝ : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C✝

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C✝ ⥤ ℰ

Context: inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A

Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: I : Type v₁

Context: inst✝ : SmallCategory I

Context: F : I ⥤ C

Context: c : Cocone (F ⋙ yoneda)

Context: hc : IsColimit c

Context: isc : IsColimit ((Over.forget c.pt).mapCocone (colimit.cocone ((c.toCostructuredArrow ⋙ CostructuredArrow.pre F yoneda c.pt) ⋙ CostructuredArrow.toOver yoneda c.pt))) := PreservesColimit.preserves (colimit.isColimit ((c.toCostructuredArrow ⋙ CostructuredArrow.pre F yoneda c.pt) ⋙ CostructuredArrow.toOver yoneda c.pt))

Over.mk (𝟙 c.pt) ≅ colimit ((c.toCostructuredArrow ⋙ CostructuredArrow.pre F yoneda c.pt) ⋙ CostructuredArrow.toOver yoneda c.pt)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsPrime

Context: p q : R[X]

Context: hfl : (p * q).leadingCoeff ∉ P

Context: hfP : ∀ (n : ℕ), ↑n < (p * q).degree → (p * q).coeff n ∈ P

Context: hfd0✝ : 0 < (p * q).degree

Context: h0 : (p * q).coeff 0 ∉ P ^ 2

Context: hu : (p * q).IsPrimitive

Context: hf0 : p * q ≠ 0

Context: hf : map (mk P) p * map (mk P) q = C ((mk P) (p * q).leadingCoeff) * X ^ (p * q).natDegree

Context: hfd0 : 0 < (p * q).natDegree

Context: m : ℕ

Context: b c : (R ⧸ P)[X]

Context: hbc : C ((mk P) (p * q).leadingCoeff) = b * c

Context: hp : map (mk P) p = b * X ^ m

Context: hpql0 : (mk P) (p * q).leadingCoeff ≠ 0

Context: hp0 : p ≠ 0

Context: hq0 : q ≠ 0

Context: hbc0 : b.degree = 0 ∧ c.degree = 0

Context: hmp : m ≤ p.natDegree

Context: hmnd : m + 0 = (p * q).natDegree

Context: hq : map (mk P) q = c * X ^ 0

Context: hmn : 0 < m → 0 < 0 → False

Context: hnq : 0 ≤ q.natDegree

Context: hpmqn : p.natDegree = m ∧ q.natDegree = 0


Context: α : Type u_1

Context: m : Set α → ℝ≥0∞

Context: m_empty : m ∅ = 0

Context: s t : Set α

Context: h : ∀ (u : Set α), (s ∩ u).Nonempty → (t ∩ u).Nonempty → m u = ⊤

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf : s ∪ t ⊆ ⋃ i, f i

Context: μ : OuterMeasure α := OuterMeasure.ofFunction m m_empty

Context: he : ¬∃ i, (s ∩ f i).Nonempty ∧ (t ∩ f i).Nonempty

Context: I : Set α → Set ℕ := fun s => {i | (s ∩ f i).Nonempty}

Context: hd : Disjoint (I s) (I t)

Context: hI : ∀ u ⊆ s ∪ t, μ u ≤ ∑' (i : ↑(I u)), μ (f ↑i)


Context: k G : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : Monoid G

Context: n : ℕ

Context: x : ((classifyingSpaceUniversalCover G).obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk (n + 1)))).V

Context: x✝¹ : Fin (n + 2)

Context: x✝ : x✝¹ ∈ Finset.univ

((-1) ^ ↑x✝¹ • Finsupp.lmapDomain k k ((classifyingSpaceUniversalCover G).map (SimplexCategory.δ x✝¹).op).hom) (Finsupp.single x 1) = Finsupp.single (x ∘ x✝¹.succAbove) ((-1) ^ ↑x✝¹)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
S : ConvexCone 𝕜 E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set α
t : Set β
x : α
y : β
hx : (x, y).1 ∈ s
hy : (x, y).2 ∈ t
hst : MeasurableSet (s ×ˢ t)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
f : ι → Filter α


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
D1 D2 : LieDerivation R L L


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: h : v ≠ 0

Context: hfm : AEStronglyMeasurable (gaussianPDFReal μ v) ℙ

Context: hf : 0 ≤ᶠ[ae ℙ] gaussianPDFReal μ v


Context:
Y : Type v
Z : Type u_1
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
ι : Type u_5
κ : Type u_6
f : ι → Y
g : κ → Z
hf : DenseRange f
hg : DenseRange g


Context:
x : ℝ≥0
z : ℝ
hx : 1 ≤ x
hz : z ≤ 0


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f g : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
h₁ : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0 ∨ g x ≠ ⊤
h₂ : ∀ x ∈ s, g x ≠ 0 ∨ f x ≠ ⊤


Context: α : Sort u_1

Context: γ : Sort u_4

Context: r : α → α → Prop

Context: f : α → γ

Context: h : ∀ (a₁ a₂ : α), r a₁ a₂ → f a₁ = f a₂

Context: a : α


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x✝ : P


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K

Context: U : LieSubalgebra K L

Context: x : L

Context: hxU : x ∈ U

Context: y : L

Context: hyU : y ∈ U

Context: Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩

Context: Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩

Context: hUle : U ≤ ↑Ex

Context: hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E

Context: E : LieSubmodule K (↥U) L := let __src := engel K x; { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }

Context: hx₀ : x ≠ 0


Context:
n : ℕ
n0 : n ≠ 0
g a' b' : ℕ
g0' : 0 < g
co : a'.Coprime b'
h : (a' * g) ^ n ∣ (b' * g) ^ n
g0 : (a' * g).gcd (b' * g) > 0


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: γ : kernel S.g ⟶ cokernel S.f := kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f

Context: f' : S.X₁ ⟶ kernel S.g := kernel.lift S.g S.f ⋯

Context: hf' : f' = kernel.lift γ f' ⋯ ≫ kernel.ι γ

Context: wπ : f' ≫ cokernel.π (kernel.ι γ) = 0

Context: e : Abelian.image S.f ≅ kernel γ := S.abelianImageToKernelIsKernel.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (parallelPair (kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f) 0))

Context: he : e.hom ≫ kernel.ι γ = S.abelianImageToKernel


Context:
G : Type u_3
InvolutiveNeg G
a b : G


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Abelian C

Context: Y Z : C

Context: f : Y ⟶ Z

Context: P : CategoryTheory.ProjectiveResolution Y

Context: Q : CategoryTheory.ProjectiveResolution Z

CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.ProjectiveResolution.lift f P Q).f 0) (Q.π.f 0) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (P.π.f 0) f


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R