Context:
G : Type u_3
AddGroup G

AddGroup.FG G ↔ ∃ n S, S.card = n ∧ AddSubgroup.closure ↑S = ⊤


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s u : Set P
hu : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
h : AffineIndependent ℝ Subtype.val
q : P
hq : q ∈ s
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hεu : Metric.closedBall q ε ⊆ u

∃ t, s ⊆ t ∧ t ⊆ u ∧ AffineIndependent ℝ Subtype.val ∧ affineSpan ℝ t = ⊤


Context:
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t

‖HurwitzKernelBounds.F_nat 1 a t‖ ≤
  rexp (-π * (a ^ 2 + 1) * t) / (1 - rexp (-π * t)) ^ 2 + a * rexp (-π * a ^ 2 * t) / (1 - rexp (-π * t))


Context:
G : Type u_1
Group G
self : IsKleinFour G


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}

Context: y : α → α

Context: hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x

Context: Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x


Context:
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
h : f =Θ[l] g


Context:
R : Type u
Semiring R
f g : R[X]

Polynomial.derivative (f + g) = Polynomial.derivative f + Polynomial.derivative g


Context:
α : Type ua
UniformSpace α
K : Set α
S : Set (Set α)
hK : IsCompact K
hopen : ∀ s ∈ S, IsOpen s
hcover : K ⊆ ⋃₀ S

∃ V ∈ 𝓤 α, ∀ x ∈ K, ∃ s ∈ S, UniformSpace.ball x V ⊆ s


Context: R : Type u_1

Context: CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: CommRing S

Context: Algebra R S

Context: Sₘ : Type u_5

Context: CommRing Sₘ

Context: Algebra S Sₘ

Context: Algebra R Sₘ

Context: IsScalarTower R S Sₘ

Context: IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ

Context: y : ↥M


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : CommSemiring S₁

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: f✝ : R →+* S₁

Context: inst✝² : CommSemiring S₂

Context: inst✝¹ : Algebra R S₁

Context: inst✝ : Algebra R S₂

Context: f : S₁ →ₐ[R] S₂

Context: r : R

Context: h₁ : (algebraMap R (MvPolynomial σ S₁)) r = C ((algebraMap R S₁) r)

Context: h₂ : (algebraMap R (MvPolynomial σ S₂)) r = C ((algebraMap R S₂) r)

↑↑(map ↑f) ((algebraMap R (MvPolynomial σ S₁)) r) = (algebraMap R (MvPolynomial σ S₂)) r


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : Nonempty β

Context: inst✝ : SemilatticeSup β

Context: u : ℕ → α

Context: hu : CauchySeq u

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1

Context: R : NNReal := (Finset.range N).sup fun n => nndist (u n) (u N)

∃ R > 0, ∀ (n : ℕ), dist (u n) (u N) < R


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x : (K →+* ℂ) → ℂ

Context: h_zero : (commMap K) x = 0

Context: h_mem : x ∈ Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(canonicalEmbedding K))


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: hyp : n = 0 ∨ ¬(of v).TerminatedAt (n - 1)

↑(fib (n + 1)) ≤ ((of v).contsAux (n + 1)).b


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Ring B

Context: inst✝² : Ring B'

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : Algebra A B'

Context: x : B

Context: hx : (minpoly A x).degree = 1

Context: h : IsIntegral A x

Context: key : (Polynomial.aeval x) (minpoly A x) = 0


Context:
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b : G₀
h : a * b = 1


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} 𝒳
CategoryTheory.Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
self : p.IsHomLift f φ


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
h : 0 < ε


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
f✝ : R[X]
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring S
i : R →+* S
x : S
inst✝ : Invertible x
N : ℕ
f : R[X]
hf : f.natDegree ≤ N

eval₂ i (⅟x) (reflect N f) = 0 ↔ eval₂ i (⅟x) (reflect N f) * x ^ N = 0


Context:
α : Type ua
UniformSpace α


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X : C

(β_ X (𝟙_ C)).hom = (ρ_ X).hom ≫ (λ_ X).inv


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G
x : D

(whiskerLeft G (adj1.leftAdjointUniq adj2).hom ≫ adj2.counit).app x = adj1.counit.app x


Context:
n m : ℕ
hnm : n < m

filter (fun x => decide (x ≤ n)) (Ico n m) = [n]


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : Sieve X

J₁.close (Sieve.pullback f S) ≤ Sieve.pullback f (J₁.close S)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: f : ι → α

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: hne : s.Nonempty

Context: hbdd : BddAbove s

Context: hlim : ¬IsSuccLimit (sSup s)

Context: y : α

Context: hy : y ⋖ sSup s


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
p : Submodule R M
x y : M
hy : y ∈ ↑p
e : f y = f x


Context: M : Type u_1

Context: CancelCommMonoidWithZero M

Context: q : Associates M

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: c : Fin (n + 1) → Associates M

Context: h₁ : StrictMono c

Context: h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i

Context: hq : q ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
x : M
hy : x ∈ f.source

map (↑(f.extend I)) (𝓝 x) = 𝓝[range ↑I] ↑(f.extend I) x


Context:
K : Type u_1
RCLike K
z : K


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Y

(F.mapPresheaf.map f).c = CategoryTheory.whiskerRight f.c F


Context:
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
ContinuousAdd E
ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
x : E


Context:
K : Type u
inst✝⁶ : CommRing K
G₀ : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]
inst✝ : MonoidHomClass F R[X] S[X]
φ : F
hφ : R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ S[X]⁰
n : R[X]
d : ↥R[X]⁰

(if h : φ ↑d ∈ S[X]⁰ then { toFractionRing := Localization.mk (φ n) ⟨φ ↑d, h⟩ } else 0) = { toFractionRing := Localization.mk (φ n) ⟨φ ↑d, ⋯⟩ }


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : s.Nonempty

Context: ι : Type u_1 := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }

Context: T : Set ι

Context: T_count : T.Countable

Context: hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s

Context: g0 : ℕ → ι

Context: hg : T = range g0

Context: g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)

Context: g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s

Context: s_g : ∀ x ∈ s, ∃ n, x ∈ support (g n)

∃ f, support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: CommRing R

Context: Ring S

Context: f : R →+* S

Context: I : Type u_3

Context: Fintype I

Context: e : I → R

Context: h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x

Context: he : ∀ (i : I), IsIdempotentElem (e i)

Context: he' : CompleteOrthogonalIdempotents (⇑f ∘ e)


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha : ↑a ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁸ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : TopologicalSpace F
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
s t : Set E
x y : E
inst✝¹ : Nontrivial 𝕜
inst✝ : DenselyOrdered 𝕜
hs : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
h : openSegment 𝕜 x y ⊆ frontier s
a : 𝕜
ha₀ : 0 < a
ha₁ : a < 1


Context:
R : Type u
CommSemiring R
s : Set (PrimeSpectrum R)


Context: ι : Type uι

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: u : E i →L[𝕜] E' i

update (fun j => ↑(f j)) i ↑u = fun j => ↑(update f i u j)


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
L : CategoryTheory.Functor C D
R : CategoryTheory.Functor D C
h : L ⊣ R


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
h : B.SeparatingRight
y : F
hy : y ∈ B.polar Set.univ
x : E


Context:
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
s : Set α
h : s.OrdConnected


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P

dist p1 p3 * dist p1 p3 = dist p1 p2 * dist p1 p2 + dist p3 p2 * dist p3 p2 - 2 * dist p1 p2 * dist p3 p2 * Real.cos (∠ p1 p2 p3)


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
z : G


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommSemiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
p : Submodule R M
q : Submodule R N

Submodule.map₂ f p q = Submodule.span R (Set.image2 (fun m n => (f m) n) ↑p ↑q)


Context:
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
w : E
hw : dist z w ≤ r
hne : z ≠ w
e : ℂ → E := ⇑(lineMap z w)


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
a b c d : G₀
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
s : ι → Set α
S : Set ι

generateFrom (piiUnionInter (fun k => {s k}) S) = generateFrom {t | ∃ k ∈ S, s k = t}


Context:
R : Type u
M : Type v
ι : Type u_3
AddCommMonoid R
AddCommMonoid M
s : Finset ι
f : ι → R

TrivSqZeroExt.inl (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, TrivSqZeroExt.inl (f i)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Ring S

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing B

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : Algebra A B

Context: K : Type u_6

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra K S

Context: x : S

Context: h : IsIntegral K x

Context: g : Fin (minpoly K x).natDegree → K

Context: i : Fin (minpoly K x).natDegree

Context: hg : (aeval x) (∑ x_1 : Fin (minpoly K x).natDegree, (monomial ↑x_1) (g x_1)) = 0


Context:
a b r : ℤ
hr : 0 < r
x : ℤ

((a ≤ x ∧ x < b) ∧ ∃ c, x = c * r) ↔ ∃ a_1, (a ≤ a_1 * r ∧ a_1 * r < b) ∧ { toFun := fun x => x * r, inj' := ⋯ } a_1 = x


Context: d : ℤ

Context: h₀ : 0 < d

Context: hd : ¬IsSquare d

Context: ξ : ℝ := √↑d

Context: hξ : Irrational ξ

Context: M : ℤ

Context: hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M

Context: hM : {q | |q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2| < M}.Infinite

Context: m : ℤ

Context: hm : {q | q.num ^ 2 - d * ↑q.den ^ 2 = m}.Infinite

Context: hm₀ : m ≠ 0

Context: this : NeZero m.natAbs

Context: f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun q => (↑q.num, ↑q.den)

Context: q₁ : ℚ

Context: h₁ : q₁.num ^ 2 - d * ↑q₁.den ^ 2 = m

Context: q₂ : ℚ

Context: h₂ : q₂.num ^ 2 - d * ↑q₂.den ^ 2 = m

Context: hne : q₁ ≠ q₂

Context: hqf : f q₁ = f q₂


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: f : R[X]

Context: hf : f.Monic

Context: g : K[X]

Context: hg : g ∣ map (algebraMap R K) f

Context: g_ne_0 : g ≠ 0

Context: g_mul_dvd : g * C g.leadingCoeff⁻¹ ∣ map (algebraMap R K) f

Context: algeq : ↥(integralClosure R K) ≃ₐ[R] R := ((integralClosure R K).equivOfEq ⊥ ⋯).trans (Algebra.botEquivOfInjective ⋯)

Context: this : (algebraMap R K).comp (↑algeq).toRingHom = (integralClosure R K).toSubring.subtype

Context: H : ∃ q, map (algebraMap (↥(integralClosure R K)) K) q = g * C g.leadingCoeff⁻¹

∃ g', map (algebraMap R K) g' = g * C g.leadingCoeff⁻¹


Context:
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p : R[X]
Semiring S
n : ℕ
f : ℕ → R → S[X]

(p.sum f).coeff n = p.sum fun a b => (f a b).coeff n


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
hf : UniformInducing f


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
I : BoxIntegral.Box ι
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y : F
h : BoxIntegral.HasIntegral I l f vol y


Context:
m : Type u_1
A : Type u_3
Fintype m
CommRing A
IsDomain A
DecidableEq m
M : Matrix m m A
hM : M.det ≠ 0
v : m → A
hv : Matrix.vecMul v M = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: p : TauPackage β α

Context: h : ¬{i | ¬∃ b, p.c b ∉ p.iUnionUpTo i ∧ p.R i ≤ p.τ * p.r b}.Nonempty

Context: x : Ordinal.{u}

Context: hxy : p.index x = p.index x

Context: x_le_y : x ≤ x


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝ : Category.{v', u'} A

Context: I : Type u_1

Context: Y : I → C

Context: hY : J.CoversTop Y

Context: F : Sheaf J (Type u_2)

Context: x y : ↑F.val.sections

Context: h : ∀ (i : I), ↑x (Opposite.op (Y i)) = ↑y (Opposite.op (Y i))

Context: W : Cᵒᵖ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
u : Set γ

⇑(Equiv.prodAssoc α β γ).symm ⁻¹' (s ×ˢ t) ×ˢ u = s ×ˢ t ×ˢ u


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2


Context:
M : Type u
AddMonoid M
α : Type v
AddAction M α
a₁ a₂ : α

a₂ ∈ AddAction.orbit M a₁ ↔ ∃ x, x +ᵥ a₁ = a₂


Context:
α : Type u_1
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
TopologicalSpace G₀
HasContinuousInv₀ G₀
x : G₀
l : Filter α
f : α → G₀
hx : x ≠ 0

Filter.Tendsto (fun x => (f x)⁻¹) l (𝓝 x⁻¹) ↔ Filter.Tendsto f l (𝓝 x)


Context:
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.78, u_2} T
C : HomologicalComplex (T ⥤ V) c
t : T
i j k : ι
x✝¹ : c.Rel i j
x✝ : c.Rel j k

(fun i j => (C.d i j).app t) i j ≫ (fun i j => (C.d i j).app t) j k = 0


Context:
α : Sort u
b c : Prop
Decidable b
Decidable c
x y u v : α
h_c : b ↔ c
h_t : x = u
h_e : y = v

(if b then x else y) = if c then u else v


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)

D.diagramOverOpenπ U i ≫ (D.f i j).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι D.diagram.multispan (unop (op (WalkingMultispan.right i)))).base).obj (⋯.functor.obj U))) ≫ (D.V (i, j)).presheaf.map ((Opens.map (D.f i j).base).op.map ((((eqToIso ⋯).inv ≫ (homOfLE ⋯).op) ≫ (opensFunctor (D.f i i)).op.map (𝟙 ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)) ≫ eqToHom ⋯)) ≫ (eqToHom ⋯).op) ≫ eqToHom ⋯) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j)))


Context: w z : ℂ

(Complex.orientation.kahler w) z = (starRingEnd ℂ) w * z


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : CharZero α
n✝¹ n✝ : ℤ
h : decide (n✝¹ = n✝) = false


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t : Set A
f : A →ₐ[R] B
s : Set A

(fun x => x) '' s ⊆ (Subalgebra.comap f (adjoin R (⇑f '' s))).carrier


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D
CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
L.HasPointwiseRightKanExtension F
Y₁ Y₂ : D
f : Y₁ ⟶ Y₂

(L.pointwiseRightKanExtension F).map f =
  CategoryTheory.Limits.limit.lift ((CategoryTheory.StructuredArrow.proj Y₂ L).comp F)
    { pt := CategoryTheory.Limits.limit ((CategoryTheory.StructuredArrow.proj Y₁ L).comp F),
      π :=
        {
          app := fun g =>
            CategoryTheory.Limits.limit.π ((CategoryTheory.StructuredArrow.proj Y₁ L).comp F)
              ((CategoryTheory.StructuredArrow.map f).obj g),
          naturality := ⋯ } }


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: f : X → Y

Context: f_cont : SeqContinuous f

Context: K : Set X

Context: K_cpt : IsSeqCompact K

Context: ys : ℕ → Y

Context: xs : ℕ → X

Context: xs_in_K : ∀ (n : ℕ), xs n ∈ K

Context: fxs_eq_ys : ∀ (n : ℕ), f (xs n) = ys n

Context: a : X

Context: a_in_K : a ∈ K

Context: phi : ℕ → ℕ

Context: phi_mono : StrictMono phi

Context: xs_phi_lim : Tendsto (xs ∘ phi) atTop (𝓝 a)


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: CategoryTheory.CategoryWithHomology C

Context: (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization

Context: c.QFactorsThroughHomotopy C

(HomotopyCategory.quasiIso C c).IsInvertedBy HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
x : L
m : M
f : M →ₗ[R] R


Context:
n : ℕ
x✝ : Fin (n + 1)
i : ℕ
h : i < n + 1


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q✝ p q : R[X]
h2 : p ≠ 0 ∧ q ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
Zero M
f : α × β → M

(Function.support fun a b => f (a, b)) = Prod.fst '' Function.support f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: s t : Set E

Context: x : E

Context: a : ℝ

Context: hs₀ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : ℝ⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s

Context: hs₂ : Absorbs ℝ s {x}

Context: hx : x ∉ a • s

Context: r : ℝ

Context: hr : r > 0

Context: h : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → {x} ⊆ c • s


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : Matrix α β (𝓞 K)

Context: ha : a ≠ 0

Context: hs : ∀ (a_1 : α × (K →+* ℂ)), (fun l => ((NumberField.house.newBasis K).repr (a a_1.1 l.1 * (NumberField.house.newBasis K) l.2)) a_1.2) = 0 a_1


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
h : x ∈ span R (↑p ∪ ↑p')

∀ x ∈ ↑p ∪ ↑p', ∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = x


Context:
X : Type u_1
n : Type u_5
R : Type u_8
AddCommMonoid R
TopologicalSpace R
f : X → Matrix n n R
hf : Summable f


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
DecidableRel r
a : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝ : MulOneClass M

Context: s t : Set α

Context: f✝ g✝ : α → M

Context: a : α

Context: f g : α → M

Context: h : Disjoint (mulSupport f) (mulSupport g)

Context: x : α

Context: hx : x ∈ mulSupport g

Context: this : f x = 1


Context: L : FirstOrder.Language

Context: ι : Type v

Context: Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

Context: Nonempty ι

Context: C : FirstOrder.Language.DirectLimit G f → Prop

Context: z : FirstOrder.Language.DirectLimit G f

Context: ih : ∀ (i : ι) (x : G i), C ((FirstOrder.Language.DirectLimit.of L ι G f i) x)


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
C : ℝ≥0
f : E → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
v : E

MeasureTheory.LocallyIntegrable (fun x => lineDeriv ℝ f x v) μ


Context:
α : Type u_2
CompleteLattice α
IsCompactlyGenerated α
a : α
s : Set α
h : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
Preorder α
Preorder β
h : StrictAntiOn f s


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
hf : ↑↑f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0


Context:
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D
F' : CategoryTheory.Functor D H
L : CategoryTheory.Functor C D
F : CategoryTheory.Functor C H
α : F ⟶ L.comp F'
F'.IsLeftKanExtension α
G : CategoryTheory.Functor C H
i : F ≅ G
G' : CategoryTheory.Functor D H
β : G ⟶ L.comp G'
G'.IsLeftKanExtension β

(F'.leftKanExtensionUniqueOfIso α i G' β).inv =
  G'.descOfIsLeftKanExtension β F' (CategoryTheory.CategoryStruct.comp i.inv α)


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: this : FiniteDimensional F E

Context: α : E

Context: hprim : F⟮α⟯ = ⊤

Context: f : F[X] := minpoly F α

Context: G : Type u_2 := { g // g.Monic ∧ g ∣ Polynomial.map (algebraMap F E) f }

Context: hfin : Finite G


Context:
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂

LinearMap.fst R M₂ M ∘ₗ ↑(LinearEquiv.prodComm R M M₂) = LinearMap.snd R M M₂


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedRing α

Context: inst✝² : FloorRing α

Context: z : ℤ

Context: a : α

Context: k : Type u_4

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField k

Context: inst✝ : FloorRing k

Context: b : k

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < ↑n

Context: this : ∀ {l : ℤ}, 0 ≤ l → fract (↑l / ↑n) = ↑(l % ↑n) / ↑n

Context: m₀ : ℕ

Context: q : ℤ := ⌈↑m₀ / ↑n⌉

Context: m₁ : ℤ := q * ↑n - ↑m₀

Context: hm₁ : 0 ≤ m₁

fract (↑(-↑m₀) / ↑n) = ↑(-↑m₀ % ↑n) / ↑n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: CommMonoid α

Context: TopologicalSpace α

Context: f : β → γ → α

Context: b : β

Context: c : γ

Context: hfb : ∀ (b' : β), b' ≠ b → f b' c = 1

Context: hfc : ∀ (b' : β) (c' : γ), c' ≠ c → f b' c' = 1


Context:
R : Type u₁
Ring R
f : R →+* R
hf : f = RingHom.id R
M : ModuleCat R
x : ↑M

(ModuleCat.restrictScalarsId'App f hf M).hom x = x


Context:
n✝ m n : ℕ
a b : Fin n

↑(a + b) = if n ≤ ↑a + ↑b then ↑a + ↑b - n else ↑a + ↑b


Context: R : Type u_1

Context: Rₛ : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ

Context: inst✝⁹ : Algebra R Rₛ

Context: hT : IsLocalization S Rₛ

Context: M : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module Rₛ M

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module Rₛ M'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S f

Context: ι : Type u_5

Context: v : ι → M

Context: hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0

Context: t : Finset ι

Context: g : ι → Rₛ

Context: hg : ∑ i ∈ t, g i • (⇑f ∘ v) i = 0

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ t


Context: F A : Class


Context:
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
S : Type v
CommRing S
f : R →+* S
x₁ x₂ y₁ L : R

(WeierstrassCurve.map W f).toAffine.negAddY (f x₁) (f x₂) (f y₁) (f L) = f (W.negAddY x₁ x₂ y₁ L)


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: self : CategoryTheory.CategoryWithHomology C

Context: S : CategoryTheory.ShortComplex C


Context:
n : ℕ
f : Mathlib.Vector ℕ n →. ℕ
g : Mathlib.Vector ℕ (n + 1) →. ℕ
hf : Nat.Partrec' f
hg : Nat.Partrec' g

Nat.Partrec' fun v => (f v).bind fun a => g (a ::ᵥ v)


Context: z τ : ℂ

jacobiTheta₂' (z + τ) τ =
  cexp (-↑π * Complex.I * (τ + 2 * z)) * (jacobiTheta₂' z τ - 2 * ↑π * Complex.I * jacobiTheta₂ z τ)


Context:
r : ℝ
n : ℕ
n.AtLeastTwo


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
CommRing R
CommRing R₁
AddCommGroup M₁
Module R₁ M₁
AddCommGroup M
Module R M
I₁ I₂ : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
N : Submodule R₁ M₁
m : M₁

m ∈ N.orthogonalBilin B ↔ ∀ n ∈ N, B.IsOrtho n m


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_5

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace HB

Context: inst✝ : ChartedSpace HB B

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: e : PartialHomeomorph (B × F) (B × F)

Context: s : ↑e.source → Set (B × F)

Context: hs : ∀ (x : ↑e.source), IsOpen (s x)

Context: hsp : ∀ (x : ↑e.source), ↑x ∈ s x

Context: φ : ↑e.source → B → F ≃L[𝕜] F

Context: u : ↑e.source → Set B

Context: hu : ∀ (x : ↑e.source), IsOpen (u x)

Context: hφ : ∀ (x : ↑e.source), SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x_1 => ↑(φ x x_1)) (u x)

Context: h2φ : ∀ (x : ↑e.source), SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x_1 => ↑(φ x x_1).symm) (u x)

Context: heφ : ∀ (x : ↑e.source), (e.restr (s x)).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph (φ x) ⋯ ⋯ ⋯)

Context: hesu : ∀ (p : ↑e.source), e.source ∩ s p = u p ×ˢ univ

Context: hu' : ∀ (p : ↑e.source), (↑p).1 ∈ u p

Context: heu : ∀ (p : ↑e.source) (q : B × F), q.1 ∈ u p → q ∈ e.source

∃ U, e.source = U ×ˢ univ ∧ ∀ x ∈ U, ∃ φ u, ∃ (hu : IsOpen u) (_ : u ⊆ U) (_ : x ∈ u) (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) u) (h2φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) u), (e.restr (u ×ˢ univ)).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hu ⋯ ⋯)


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: f : R[X] →+* MvPolynomial PUnit.{?u.2149 + 1} R := eval₂RingHom C (X PUnit.unit)

Context: g : MvPolynomial PUnit.{?u.2149 + 1} R →+* R[X] := eval₂Hom Polynomial.C fun x => Polynomial.X

∀ (p : MvPolynomial PUnit.{?u.2149 + 1} R), (f.comp g) p = p


Context:
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ CommGrp

CategoryTheory.Limits.HasLimit F ↔ Small.{u, max u v} ↑(F ⋙ CategoryTheory.forget CommGrp).sections


Context: q : Turing.PartrecToTM2.Λ'

Turing.PartrecToTM2.tr q.copy =
  Turing.PartrecToTM2.pop' Turing.PartrecToTM2.K'.rev
    (Turing.TM2.Stmt.branch Option.isSome
      (Turing.PartrecToTM2.push' Turing.PartrecToTM2.K'.main
        (Turing.PartrecToTM2.push' Turing.PartrecToTM2.K'.stack (Turing.TM2.Stmt.goto fun x => q.copy)))
      (Turing.TM2.Stmt.goto fun x => q))


Context:
J : Type v
F : J → TypeMax
j : J

(↾fun x => ⟨j, x⟩) ≫ (CategoryTheory.Limits.Types.coproductIso F).inv = CategoryTheory.Limits.Sigma.ι F j


Context:
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m : Language α
a b x : List α
f : α → β
l : Language α


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
Group α
MulAction α β
s t : Set β
a : α


Context:
R : Type u_1
CommRing R
c₁ c₂ : R

(CliffordAlgebraQuaternion.quaternionBasis c₁ c₂).j = (CliffordAlgebra.ι (CliffordAlgebraQuaternion.Q c₁ c₂)) (0, 1)


Context:
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S.leftInv

(S.leftInvEquiv hS).symm (S.fromLeftInv x) = x


Context:
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p : ℝ≥0∞
(i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
i : α


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
f : R[X]

(∀ i ≥ n, f ∈ LinearMap.ker (lcoeff R i)) ↔ f.support.sup WithBot.some < ↑n


Context:
M : Type u_1
Add M
c d : AddCon M

c ⊔ d = addConGen fun x y => c x y ∨ d x y


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → F →L[ℝ] F'

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f : α →ₛ G

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: g : G → F

Context: hg : g 0 = 0

Context: T_empty : T ∅ = 0

Context: hfp : ∀ x ∈ f.range, x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤

Context: a : α

Context: hb : ↑f a ∈ f.range

Context: h0 : ¬g (↑f a) = 0

Context: h_left_eq : (T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) = (T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range))) (g (↑f a))

Context: h_left_eq' : (T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range))) (g (↑f a)) = (T (⋃ y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range, ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a))

∀ i ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range, μ (↑f ⁻¹' {i}) ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a : Subtype p
hp : ∀ ⦃a x : α⦄, x ≤ a → p a → p x

map (Embedding.subtype p) (Iio a) = Iio ↑a


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
s : SummableFamily Γ R α
g : Γ
hg : g ∈ s.hsum.support


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
M : Type u_4
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
X Y : C
m₀ : M
hm₀ : m₀ = 0
f : X ⟶ Y

(CategoryTheory.ShiftedHom.homEquiv m₀ hm₀) f = CategoryTheory.ShiftedHom.mk₀ m₀ hm₀ f


Context: α : Type u

Context: m : OuterMeasure α

Context: s✝ s₁ s₂ : Set α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)

Context: hd : Pairwise (Disjoint on s)

Context: n : ℕ

Context: this : ∑ x ∈ Finset.range n, m (s x) = m (⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)

∑ a ∈ Finset.range n, m (s a) ≤ m (⋃ i, s i)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν : ℕ
h : n < ν


Context: x : ℝ


Context:
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a : α
NoMaxOrder α

¬Order.IsSuccLimit a ↔ a ∈ Set.range Order.succ


Context:
α : Type u_1
t : ℕ → Set α
n : ℕ
s : Set α
hs : s ∈ memPartition t n


Context:
α : Type u_1
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_7
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace 𝕜 F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
c : 𝕜
f : α → F'

MeasureTheory.condexpL1 hm μ (c • f) = c • MeasureTheory.condexpL1 hm μ f


Context: s : Set ℝ

frontier (Complex.re ⁻¹' s) = Complex.re ⁻¹' frontier s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure X

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: s : Set X

Context: this : Fact (1 ≤ 1)

Context: h_comp : (fun f => ∫ (x : X) in s, ↑↑f x ∂μ) = integral (μ.restrict s) ∘ fun f => ↑↑((LpToLpRestrictCLM X E ℝ μ 1 s) f)

Continuous fun f => ∫ (x : X) in s, ↑↑f x ∂μ


Context:
k G : Type u
Field k
Monoid G
V : FDRep k G

((CategoryTheory.forget₂ (FDRep k G) (Rep k G)).obj V).ρ = V.ρ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
f : α →ᵤ[𝔖] β

𝓝 f = ⨅ s ∈ 𝔖, ⨅ V ∈ 𝓤 β, 𝓟 {g | ∀ x ∈ s, ((UniformOnFun.toFun 𝔖) f x, (UniformOnFun.toFun 𝔖) g x) ∈ V}


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝¹ : EMetricSpace X

Context: inst✝ : EMetricSpace Y

Context: μ : OuterMeasure X

Context: hm : μ.IsMetric

Context: t : Set X

Context: ht : t ∈ {s | IsClosed s}

Context: s : Set X

Context: S : ℕ → Set X := fun n => {x | x ∈ s ∧ (↑n)⁻¹ ≤ infEdist x t}

Context: Ssep : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) t

Context: Ssep' : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) (s ∩ t)


Context: n : Nat


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: W : MorphismProperty C

Context: J : Type u_1

Context: inst✝¹ : W.RespectsIso

Context: inst✝ : HasProductsOfShape J C

Context: hW : ∀ (X₁ X₂ : J → C) (f : (j : J) → X₁ j ⟶ X₂ j), (∀ (j : J), W (f j)) → W (Pi.map f)

Context: X₁ X₂ : Discrete J ⥤ C

Context: c₁ : Cone X₁

Context: c₂ : Cone X₂

Context: hc₁ : IsLimit c₁

Context: hc₂ : IsLimit c₂

Context: f : X₁ ⟶ X₂

Context: hf : W.functorCategory (Discrete J) f

Context: φ : (j : J) → X₁.obj { as := j } ⟶ X₂.obj { as := j } := fun j => f.app { as := j }

Context: hf' : W (Pi.map φ)

W (hc₂.lift { pt := c₁.pt, π := c₁.π ≫ f })


Context: k n : ℕ

(∀ a ∈ antidiagonal n, Pairwise (fun a_2 b => Pi.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (fun x x x_1 => x < x_1) (Fin.cons a.1 a_2) (Fin.cons a.1 b)) (antidiagonalTuple k a.2)) ∧ Pairwise (fun a₁ a₂ => ∀ a ∈ antidiagonalTuple k a₁.2, ∀ a_2 ∈ antidiagonalTuple k a₂.2, Pi.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (fun x x x_1 => x < x_1) (Fin.cons a₁.1 a) (Fin.cons a₂.1 a_2)) (antidiagonal n)


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
h : 0 < q

ENNReal.ofReal p < ENNReal.ofReal q ↔ p < q


Context:
R : Type u
Semiring R
p : R[X]

Polynomial.X * p.divX + Polynomial.C (p.coeff 0) = p


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type x

Context: UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: l : Filter ι

Context: l.IsCountablyGenerated

Context: h : ∀ (u : ℕ → ι), Filter.Tendsto u Filter.atTop l → TendstoUniformlyOn (fun n => F (u n)) f Filter.atTop s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: r : ℝ

Context: hnr : ↑(finrank ℝ E) < r

Context: hr : 0 < r

Context: h_meas : Measurable fun ω => (1 + ‖ω‖) ^ (-r)

Context: h_pos : ∀ (x : E), 0 ≤ (1 + ‖x‖) ^ (-r)

Context: h_int : ∀ (t : ℝ), 0 < t → μ {a | t ≤ (1 + ‖a‖) ^ (-r)} = μ (Metric.closedBall 0 (t ^ (-r⁻¹) - 1))

Context: f : ℝ → ℝ≥0∞ := fun t => μ (Metric.closedBall 0 (t ^ (-r⁻¹) - 1))

Context: mB : ℝ≥0∞ := μ (Metric.ball 0 1)

lintegral (volume.restrict (Ioi 0)) f < ⊤


Context:
a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g

let den := ad * b.den;
let num := a.num * ↑bd - b.num * ↑ad;
num.natAbs.gcd g = num.natAbs.gcd den


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: m m' : M

Context: G : Type u_2

Context: inst✝ : CommGroup G

Context: g g' : G

Context: f : ℤ → M

Context: hf : HasProd f m

Context: this : Injective Int.negSucc

Context: u : Finset ℤ

Context: v' : Finset ℕ

Context: hv' : u.preimage Nat.cast ⋯ ∪ u.preimage Int.negSucc ⋯ ⊆ v'

∏ x ∈ image Nat.cast v' ∪ image Int.negSucc v', f x = ∏ b ∈ v', f ↑b * f (Int.negSucc b)


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory C

Context: CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context:
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁}
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X)

Bimod.TensorBimod.X P Q ◁ T.one ≫ Bimod.TensorBimod.actRight P Q = (ρ_ (Bimod.TensorBimod.X P Q)).hom


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
A : Mon_ C

F.obj A.X ◁ (F.ε ≫ F.map A.one) ≫ F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul = (ρ_ (F.obj A.X)).hom


Context:
α : Type u₁
β : Type u₂
TopologicalSpace α
UniformSpace β

(𝓤 C(α, β)).HasBasis (fun p => IsCompact p.1 ∧ p.2 ∈ 𝓤 β) fun p => {fg | ∀ x ∈ p.1, (fg.1 x, fg.2 x) ∈ p.2}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : β → β → Prop
r : α → α → Prop
b : β
h : ¬s b b
a : α

(RelEmbedding.prodLexMkRight r h) a = (a, b)


Context: z : ℂ


Context: G : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K V : Set G

Context: hK : IsCompact K

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: t : Finset G

Context: ht : K ⊆ ⋃ x ∈ t, interior ((fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' V)

∃ t, K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun x => g * x) ⁻¹' V


Context:
G : Type u_2
MeasurableSpace G
TopologicalSpace G
BorelSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
AddGroup G
TopologicalAddGroup G
μ.IsAddLeftInvariant
μ.Regular
hμ : μ ≠ 0
s : Set G
hs : IsOpen s


Context:
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
x : ↥S.leftInv


Context: J : Type w

Context: K : Type u_1

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: f : J → C

Context: inst✝¹ : HasBiproduct f

Context: p : J → Prop

Context: inst✝ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)

Context: j j✝ : Subtype p

(ι f ↑j ≫ toSubtype f p) ≫ π (Subtype.restrict p f) j✝ = ι (Subtype.restrict p f) j ≫ π (Subtype.restrict p f) j✝


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X X' : C
f : X ⟶ X'

f =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).inv
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (𝟙_ C) f)
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X').hom)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K

(∀ (i : MaximalSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) → ∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯


Context:
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
CommRing R
LieRing L₁
LieRing L₂
LieAlgebra R L₁
LieAlgebra R L₂
e : L₁ ≃ₗ⁅R⁆ L₂
x : L₁


Context: X : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: α' : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: δ : Type u_6

Context: M : Type u_7

Context: E : Type u_8

Context: R : Type u_9

Context: ι : Type u_10

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : Zero R

Context: inst✝¹ : Zero M

Context: inst✝ : SMulWithZero R M

Context: s : ι → X → R

Context: h✝ : LocallyFinite fun i => support (s i)

Context: f : ι → X → M

Context: i : ι

Context: x : X

Context: h : s i x = 0


Context:
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : InnerProductGeometry.angle x y = π


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
I I' : Set β
h : I' ∈ R.rightFixedPoints
h₁ : I ≤ I'


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: D : GlueData C

Context: i j k : D.J

Context: U : Opens ↑↑(pullback (D.f i j) (D.f i k))

Context: e : ∀ {Z : C} (h : (D.V (k, i)).presheaf.obj (op ((opensFunctor (pullback.fst (D.f k i) (D.f k j))).obj { carrier := ⇑(D.t' k i j).base ⁻¹' ↑U, is_open' := ⋯ })) ⟶ Z), invApp (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)) U ≫ (D.t k i).c.app (op ((opensFunctor (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k))).obj U)) ≫ (D.V (k, i)).presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ h = (D.t' k i j).c.app (op U) ≫ invApp (pullback.fst (D.f k i) (D.f k j)) { carrier := ⇑(D.t' k i j).base ⁻¹' ↑U, is_open' := ⋯ } ≫ h

invApp (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)) U ≫ (D.t k i).c.app (op ((opensFunctor (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k))).obj U)) = invApp (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)) U ≫ (D.t k i).c.app (op ((opensFunctor (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k))).obj U)) ≫ (D.V (k, i)).presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ (D.V (k, i)).presheaf.map (eqToHom ⋯)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
x : E

sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ 0} = 0 x


Context:
ι : Sort u_1
f : ι → ℕ


Context:
α : Type u_1
g : GenContFract α
n : ℕ
gp : GenContFract.Pair α
s_nth_eq : g.s.get? n = some gp


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)
x : L

x ∈ comap (↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv.symm) (traceDual A (FractionRing A) I) ↔ x ∈ (comap (↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv.symm) I)ᵛ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_3
f : α → β
hf : Function.Surjective f
m : MeasureTheory.OuterMeasure β

(MeasureTheory.OuterMeasure.map f) ((MeasureTheory.OuterMeasure.comap f) m) = m


Context:
xl xr : Type u
x : PGame


Context:
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α

Set.Ioo a b ∩ Set.Ioi c = Set.Ioo (max a c) b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ

ThreeAPFree (⇑(map (2 * d - 1)) '' ↑(sphere n d k))


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_3
Fintype ι
AddCommGroup E
Module ℝ E
b : Basis ι ℝ E

parallelepiped ⇑b = {x | ∀ (i : ι), (b.repr x) i ∈ Set.Icc 0 1}


Context:
n : ℕ
n_large : 512 ≤ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: inst✝² : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv

Context: f✝ g : ℕ → β

Context: a : ℕ → α

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: f : ℕ → β

Context: n : ℕ

Context: r : α

Context: hr0 : 0 ≤ r

Context: hr1 : r < 1

Context: h : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m.succ) ≤ r * abv (f m)

IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, f n


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
f : M → M'

ContinuousWithinAt f s x ∧ P (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ P (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) ((chartAt H x).target ∩ ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (chartAt H' (f x)).source)) (↑(chartAt H x) x)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x₁ x₂ y₁ L : R

evalEval (W.addX x₁ x₂ L) (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)) = 0 ↔ eval (W.addX x₁ x₂ L) (eval (C L * (X - C x₁) + C y₁) (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆))) = 0


Context:
α : Type u
op : α → α → α
ha : Std.Associative op
l : List α
a₁ a₂ : α

op (List.foldl op a₁ l) a₂ = op a₁ (List.foldr (fun x x_1 => op x x_1) a₂ l)


Context:
R' : Type u_6
CommRing R'
x y r : R'
hr : r ∈ R'⁰


Context: J : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J

Context: C : Type u₃

Context: CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C

Context: F : J ⥤ C

Context: X : C

Context: h : CategoryTheory.yoneda.obj X ⋙ CategoryTheory.uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cones

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ X

CategoryTheory.Limits.IsLimit.OfNatIso.coneOfHom h f = (CategoryTheory.Limits.IsLimit.OfNatIso.limitCone h).extend f


(LinearMap.toMatrix Complex.basisOneI Complex.basisOneI) Complex.conjAe.toLinearMap = !![1, 0; 0, -1]


Context:
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
p : β → Prop
hf : Set.SurjOn f s t
hf' : Set.MapsTo f s t


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
s : Finset α


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
IsLocalization M S
Q : Type u_4
CommSemiring Q
Algebra R Q
IsLocalization M Q
x : R
y : ↥M

(IsLocalization.algEquiv M S Q).symm (IsLocalization.mk' Q x y) = IsLocalization.mk' S x y


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a✝ a b : R
dvd : a ∣ b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α × β → StieltjesFunction

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf : IsCondKernelCDF f κ ν

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h_dir : Directed (fun x y => x ⊆ y) fun q => Iic ↑q

∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) (⋃ r, Iic ↑r) ∂ν a = (κ a) (⋃ i, s ×ˢ Iic ↑i)


Context:
α : Type u
l : List α


Context:
R : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : DecidableEq G
f : G →* R
hf : Injective ⇑f
n : ℕ
hn : 0 < n
g₀ : G
this : DecidableEq R

(filter (fun g => g ^ n = g₀) univ).card ≤ Multiset.card (nthRoots n (f g₀))


Context:
M : Type u_1
TopologicalSpace M


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_10
inst✝³ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝ : IsEmpty ι
x : ⨂[R] (i : ι), s i

∀ (r : R) (f : (i : ι) → s i), (fun r => r • (tprod R) isEmptyElim) ({ toFun := ⇑(lift (constOfIsEmpty R s 1)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun (r • (tprod R) f)) = r • (tprod R) f


Context:
X Y : CommSemiRingCat
f g : X ⟶ Y
w : ∀ (x : ↑X), f x = g x


Context:
α : Type u_1
E' : Type u_6
F'' : Type u_10
SeminormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F''
g'' : α → F''
l : Filter α


Context:
m n✝ a✝ b✝ c d : ℤ
a b n : ℕ


Context:
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
Inv β
f : MeasureTheory.SimpleFunc α β
x : α


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_3

Context: β : Sort u_2

Context: S : ι → Set α

Context: f : (i : ι) → ↑(S i) → β

Context: hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩

Context: hS : Set.iUnion S = Set.univ

Context: i : ι

Context: x : α

Context: hx : x ∈ S i


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Group M
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
c : Con M
n : ℕ
w x : M
h : c w x


Context:
q : ℚ
n : ℤ
hn : n ≠ 0


Context:
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1


Context:
a b : Ordinal.{u}
hab : a * b = b
ha : 0 < a
hb : ¬b = 0


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.HasShift C ℤ

Context: A B : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C

Context: h : A = B

(CategoryTheory.eqToHom h).hom₂ = CategoryTheory.eqToHom ⋯


Context:
R : Type u_3
CommRing R

Ideal.IsJacobson R → ∀ {I : Ideal R}, I.IsRadical → I.jacobson = I


Context:
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
leq : lift.{v, u} #α = lift.{u, v} #β'

↑2 ^ lift.{v, u} #α = 2 ^ lift.{v, u} #α


Context:
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
H H' : C ⥤ D
α : H ≅ H'
X : CategoryTheory.Limits.Cone F

((CategoryTheory.Functor.functorialityCompPostcompose α).inv.app X).hom = α.inv.app X.pt


Context:
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
CommSemiring R
CharP R p
S : Type u₂
CommSemiring S
CharP S p
φ : R →+* S

PerfectionMap.map p ⋯ ⋯ φ = Perfection.map p φ


Context:
k : ℕ
n : ℕ
hk : k ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
f : ι → UpperSet α


Context:
α : Type u_1
Primcodable α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hGε : ↑(G.edgeDensity U V) ≤ ε ^ 5 / 50

↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤ ((∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card) ^ 2


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ g : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: r : R

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

cfc (fun x => r + f x) a = (algebraMap R A) r + cfc f a


Context:
ι : Type u
β : ι → Type v
(i : ι) → AddGroup (β i)
b : ℤ
v : Π₀ (i : ι), β i
i : ι


Context: β₁ : Type u_1

Context: β₂ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: f : β₁ → β₂

Context: g₁ : α → β₁ → β₁

Context: g₂ : α → β₂ → β₂

Context: l : List α

Context: init : β₁

Context: H : ∀ (x : α) (y : β₁), g₂ x (f y) = f (g₁ x y)

List.foldr g₂ (f init) l = f (List.foldr g₁ init l)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
s : Finset ι
f : ι → α
hs : 0 < ↑s.card

(∑ i ∈ s, f i) ^ 2 * ↑s.card ≤ (↑s.card * ∑ i ∈ s, f i ^ 2) * ↑s.card


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
Ring R
AddCommGroup V
TopologicalSpace V
TopologicalSpace R
Module R V

SeparatingDual R V ↔ ∀ (x : V), x ≠ 0 → ∃ f, f x ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p : Submodule R E
f : E →ₗ[R] E
h : IsProj p f

f = (p.prodEquivOfIsCompl (ker f) ⋯).conj (id.prodMap 0)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.WOppSide x y


Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: MeasurableSpace β

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: ν : MeasureTheory.Measure β

Context: f : α → β

Context: g g' : β → δ

Context: hf : MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving f μ ν

Context: h : g =ᵐ[ν] g'


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j

Context: P : Type u₁

Context: inst✝¹ : AddCommGroup P

Context: g : (i : ι) → G i →+ P

Context: Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: injective : ∀ (i : ι) (a : G i), (g i) a = 0 → a = 0

Context: z : DirectLimit G f

Context: hz : (lift G f P g Hg) z = 0


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
DecidableEq ι
Semiring R
SetLike σ R
AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
AddRightCancelMonoid ι
SetLike.GradedMonoid A
r : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
i : ι
r' : ↥(A i)
j : ι

↑((r * (DirectSum.of (fun i => ↥(A i)) i) r') (j + i)) = ↑(r j) * ↑r'


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: NontriviallyNormedField R

Context: (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: (x : B) → Module R (E x)

Context: NormedAddCommGroup F

Context: NormedSpace R F

Context: TopologicalSpace B

Context: TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)

Context: (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: FiberBundle F E

Context: e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj

Context: Trivialization.IsLinear R e

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet

⇑(Trivialization.continuousLinearEquivAt R e b hb).symm = e.symm b


Context: B : Type u_1

Context: TopologicalSpace B

Context: F₁ : Type u_2

Context: TopologicalSpace F₁

Context: E₁ : B → Type u_3

Context: TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₁ E₁)

Context: F₂ : Type u_4

Context: TopologicalSpace F₂

Context: E₂ : B → Type u_5

Context: TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F₂ E₂)

Context: e₁ : Trivialization F₁ Bundle.TotalSpace.proj

Context: e₂ : Trivialization F₂ Bundle.TotalSpace.proj

Context: (x : B) → Zero (E₁ x)

Context: (x : B) → Zero (E₂ x)

(e₁.prod e₂).baseSet = e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: A : Finset α

Context: hA : ∃ A_1, ∃ (hA : A_1 ∈ P.parts), A ∈ (chunk hP G ε hA).parts


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u

Context: CommRing R

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → Ideal R

Context: a b : ι

Context: hp : ∀ i ∈ s, i ≠ a → i ≠ b → (f i).IsPrime

Context: I : Ideal R

↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) ↔ ∃ i ∈ s, I ≤ f i


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
hx : AlgebraicIndependent R x
b : ↥(Algebra.adjoin R (Set.range x))

hx.aevalEquiv.symm b = Function.surjInv ⋯ b


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
NormedField 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
e₁ e₂ : ENorm 𝕜 V


Context:
α : Type u_2
Group α
s t : Set α
x : α

x • s ∩ t ≠ ∅ ↔ ∃ a b, (a ∈ t ∧ b ∈ s) ∧ a * b⁻¹ = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
x : α × β


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Ring R

Context: n : ℕ

Context: h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n

Context: hn' : n > 0

Context: hn : 1 < n

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hpe : p ∣ (eval 1 (cyclotomic n ℤ)).natAbs

Context: this✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: this : ↑n = (∏ x ∈ n.divisors.erase 1 \ image (fun t => p ^ (t + 1)) (range (padicValNat p n)), eval 1 (cyclotomic x ℤ)) * ∏ x ∈ image (fun t => p ^ (t + 1)) (range (padicValNat p n)), eval 1 (cyclotomic x ℤ)

∀ x ∈ range (padicValNat p n), ∀ y ∈ range (padicValNat p n), p ^ (x + 1) = p ^ (y + 1) → x = y


Context:
M : Type u_1
Add M
x : M


Context:
x y : ℝ
h : x * y < 1
hy : 0 < y


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: Y : C

Context: X : CategoryTheory.SimplicialObject C

Context: n b q : ℕ

Context: φ : Y ⟶ X _[n + 1]

Context: v : AlgebraicTopology.DoldKan.HigherFacesVanish q φ

Context: hnbq : n + 1 = b + q

AlgebraicTopology.DoldKan.HigherFacesVanish q (φ ≫ X.σ ⟨b, ⋯⟩)


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
TopologicalSpace H
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
TopologicalSpace H'
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g : M → M'
s t : Set M
x : M
hG : G.LocalInvariantProp G' P
ht : t ∈ 𝓝[s] x

ChartedSpace.LiftPropWithinAt P g (s ∩ t) x ↔ ChartedSpace.LiftPropWithinAt P g s x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → ℝ

Context: x x₀ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hx : x₀ < x

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc x₀ x)) (Ioo x₀ x)

Context: gcont : ContinuousOn id (Icc x₀ x)

Context: gdiff : ∀ x_1 ∈ Ioo x₀ x, HasDerivAt id ((fun x => 1) x_1) x_1

∃ x' ∈ Ioo x₀ x, f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) x' * (x - x') ^ n / ↑n ! * (x - x₀)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
p : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
c : E
hμsc : c = 0 ∨ μ s ≠ ⊤


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : dist p3 p1 = dist p3 p2


Context:
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ

LSeries.term (f - g) s = LSeries.term f s - LSeries.term g s


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝¹ f✝ : ℂ → E
hf✝ : Differentiable ℂ f✝
c z : ℂ
f : ℂ → ℂ
hf : Differentiable ℂ f
n : ℕ

(↑n !)⁻¹ * iteratedDeriv n f c * (z - c) ^ n = (↑n !)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso f
inst✝ : IsIso h


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : LiftPropWithinAt P g s x
hs : s ∈ 𝓝 x


Context:
R : Type u
CommRing R
r : R

(AdjoinRoot.of (Polynomial.C r * Polynomial.X - 1)) r * AdjoinRoot.root (Polynomial.C r * Polynomial.X - 1) = 1


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : CategoryTheory.Center C


Context:
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s✝ s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hx : I.IsInteriorPoint x₀

Context: left✝ : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) x₀

Context: hv : ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)

Context: f : ℝ → E

Context: hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀

Context: hf2 : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y

Context: a : ℝ

Context: ha : a > 0

Context: hf2' : ∀ y ∈ Metric.ball t₀ a, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y

Context: hcont : ∀ A ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x₀) x₀), f ⁻¹' A ∈ 𝓝 t₀

Context: hnhds : ∀ᶠ (x' : ℝ) in 𝓝 t₀, f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 x'

Context: s : Set ℝ

Context: hs : s ∈ 𝓝 t₀

Context: haux : ∀ y ∈ s, HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y ∧ f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 y

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ s

Context: xₜ : M := ↑(extChartAt I x₀).symm (f t)

Context: h : HasDerivAt f ((tangentCoordChange I xₜ x₀ xₜ) (v xₜ)) t

Context: hf3 : f t ∈ interior (extChartAt I x₀).target

Context: hf3' : f t ∈ (extChartAt I x₀).target

Context: hft1 : ↑(extChartAt I x₀).symm (f t) ∈ (extChartAt I x₀).source

HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I (↑(extChartAt I x₀).symm ∘ f) t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v ((↑(extChartAt I x₀).symm ∘ f) t)))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a✝ b✝ : α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c : α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1


Context:
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
x : ι
f : ι →₀ R
h : x ∉ f.support


Context:
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
x y : R[X]

x ∣ y → Polynomial.map f x ∣ Polynomial.map f y


Context:
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasColimits C
j : J
k : K

colimit.ι ((curry.obj G).obj j) k ≫ colimit.ι (curry.obj G ⋙ colim) j ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim G).inv ≫ (HasColimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (Iso.refl ((Prod.braiding K J).functor ⋙ G))).inv ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim (Prod.swap K J ⋙ G)).hom = colimit.ι ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j ≫ colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ colim) k


Context:
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0

Tendsto (fun x => Real.arcsin ((-x).im / abs x) - π) (𝓝[{z | z.im < 0}] z) (𝓝 (-π))


Context:
G : Type u
Group G
F : Type v
Field F
MulSemiringAction G F
Fintype G
x : F

FixedPoints.minpoly G F x = minpoly (↥(FixedPoints.subfield G F)) x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h't : μ t ≠ 0

∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[>] 0, (s ∩ ({x} + r • t)).Nonempty


Context:
M : Type u_3
Monoid M
s : Submonoid M


Context:
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
self : CategoryTheory.OplaxFunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b

self.map₂ (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor f).hom =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (self.mapComp (CategoryTheory.CategoryStruct.id a) f)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (self.mapId a) (self.map f))
      (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor (self.map f)).hom)


Context: μ : YoungDiagram


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
h : x.orderTop ≠ ⊤
hx : x ≠ 0
hg : ⋯.min ⋯ = g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β


Context: a b : Int


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x✝ y✝ z x y : R

Context: g : Γ₀

Context: hx : v x ≤ g

Context: hy : v y ≤ g


Context:
X : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Zero X
A : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module ℝ A
inst✝² : IsScalarTower ℝ A A
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A
r : ℝ
f : C(X, ℝ)₀

φ (r • f).toNNReal - φ (-(r • f)).toNNReal = r • (φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal)


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
a b c : R
x : R
e : ℕ
pq_pf : a + b = c


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring S✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid A
inst✝⁹ : Algebra R S✝
inst✝⁸ : Module S✝ A
inst✝⁷ : Module R A
inst✝⁶ : IsScalarTower R S✝ A
S : Type u_1
T : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
x : S
a : Set S
hx : x ∈ span R a

∃ y ∈ span R a, (↑R (Algebra.linearMap S T)) y = (algebraMap S T) x


Context:
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_localmin : IsLocalMinOn f s a
h_conv : ConvexOn ℝ s f
x : E
x_in_s : x ∈ s
g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x
hg0 : g 0 = a


Context: ι : Type u_1

Context: I J : BoxIntegral.Box ι

Context: π₁ π₂ : BoxIntegral.TaggedPrepartition I

J ∈ π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition ↔ J ∈ π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition


Context:
α β : Type u
ι : Type u_1
f : ι → Type u

(prod fun i => #(f i)) = 0 ↔ ∃ i, (fun i => #(f i)) i = 0


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
NormedDivisionRing 𝕜
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
f : α → 𝕜
l : Filter α

Asymptotics.IsBigOWith ‖c‖⁻¹ l f fun x => c * f x


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

∀ {X Y : CategoryTheory.ShortComplex C} (f : X ⟶ Y), CategoryTheory.ShortComplex.π₂.map f = f.τ₂


Context:
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a b : α
ha : 0 < a
hb : 0 < b


Context:
r : ℝ
f : ℕ → ℝ

(ofSeq f).IsSt r ↔ Germ.Tendsto (ofSeq f) (𝓝 r)


Context:
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
self : AlgebraicGeometry.Surjective f


Context:
ι : Sort u_4
f : ι → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞


Context:
F : Type u
Field F


Context:
x : ℝ
hx : x ≠ 0

HasDerivAt (fun x => √x * log x) ((2 + log x) / (2 * √x)) x


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: e : S₁ ≅ S₂

Context: h₁ : S₁.LeftHomologyData

Context: h₂ : S₂.LeftHomologyData

(CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMapIso' e h₁ h₂).hom = CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap' e.hom h₁ h₂


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X

IsIrreducible s ↔ ∀ (t : Finset (Set X)), (∀ z ∈ t, IsClosed z) → s ⊆ ⋃₀ ↑t → ∃ z ∈ t, s ⊆ z


Context:
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0∞


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : T0Space X

Context: inst✝ : CompletelyRegularSpace X

Context: μ : ↑(range diracProba)

Context: F : Filter ↑(range diracProba)

Context: key : Tendsto (diracProba ∘ ⇑diracProbaEquiv.symm) F (𝓝 (diracProba (diracProbaEquiv.symm μ))) ↔ Tendsto (⇑diracProbaEquiv.symm) F (𝓝 (diracProbaEquiv.symm μ))

diracProba (diracProbaEquiv.symm μ) = ↑μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : ∑ i ∈ s, f i ^ p ≤ 1
hg : ∑ i ∈ s, g i ^ q ≤ 1
hp_ne_zero : p.toNNReal ≠ 0


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D

Context: F : C ⥤ D

Context: F.PreservesZeroMorphisms

Context: X Y : C

Context: CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X Y

Context: CategoryTheory.Limits.PreservesBinaryBiproduct X Y F

Context: W : C

Context: f : W ⟶ X

Context: g : W ⟶ Y

CategoryTheory.Limits.biprod.lift (F.map f) (F.map g) ≫ (F.mapBiprod X Y).inv =
  F.map (CategoryTheory.Limits.biprod.lift f g)


Context:
M : Type u_2
α : Type u_3
SMul M α
MeasurableSpace M
MeasurableSpace α
self : MeasurableSMul M α
x : α


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G

(∀ (g : G), ∃! s, ↑↑s = ↑g) ↔ ∀ (q : Quotient (QuotientGroup.leftRel H)), ∃! s, Quotient.mk'' ↑s = q


Context:
R : Type u
CommRing R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R

C.comp WeierstrassCurve.VariableChange.id = C


Context:
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
x : ℕ
ha : n * x ≠ 0
y : ℕ
hb : m * y ≠ 0
h : n * x * m + m * y * n = m * n


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
ι : Type u_7
f : ι → α
h : DenseRange f
x : α


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p✝ q✝ p q : R[X]

Context: this✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: hp0 : ¬p = 0

Context: hq : q.Monic

Context: h : q.degree ≤ p.degree

Context: this : Nontrivial R


Context:
α : Type u_1
Unique α
s : Finset α


Context:
B : Type u_3
S : B
M : Type u_4
AddCommMonoid M
SetLike B M
AddSubmonoidClass B M
ι : Type u_5
t : Finset ι
f : ι → M
h : ∀ c ∈ t, f c ∈ S


Context:
A : Type u_2
CommRing A
IsDomain A
h : IsDedekindDomainInv A


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : MeasureTheory.Measure Ω
μ : MeasureTheory.Measure E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → E

(fun x => ENNReal.ofReal (MeasureTheory.pdf X ℙ μ x).toReal) =ᵐ[μ] MeasureTheory.pdf X ℙ μ


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: υ : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: CommSemiring R

Context: f : MvPolynomial σ R →ₐ[R] MvPolynomial τ R

Context: g : MvPolynomial τ R →ₐ[R] MvPolynomial υ R

MvPolynomial.comap (g.comp f) = MvPolynomial.comap f ∘ MvPolynomial.comap g


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E

U ∈ p.basisSets ↔ ∃ i r, 0 < r ∧ U = (i.sup p).ball 0 r


Context: n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : b₁ < b₂
x : α

x ∈ Ioc a₁ b₁ ∩ Ioo a₂ b₂ ↔ x ∈ Ioc (max a₁ a₂) b₁


Context:
α : Type u
x y z : α
GeneralizedBooleanAlgebra α
hz : z ≤ y
hx : x ≤ y


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : K[X]
hp : p ≠ 0

factors (span {p}) = Multiset.map (fun q => span {q}) (factors p)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: R : ℝ≥0

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → α → E

Context: hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

Context: hp0 : ¬p.toReal = 0

Context: hp : p ≠ 0

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hbdd : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑‖f n x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹ ≤ ↑R

liminf (fun n => ∫⁻ (a : α), ↑‖f n a‖₊ ^ p.toReal ∂μ) atTop ≤ ↑R ^ p.toReal


Context: R : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: Rₚ : Type v

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ

Context: inst✝⁹ : Algebra R Rₚ

Context: inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ

Context: M : Type w

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: Mₚ : Type t

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ

Context: inst✝⁴ : Module R Mₚ

Context: inst✝³ : Module Rₚ Mₚ

Context: inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ

Context: f : M →ₗ[R] Mₚ

Context: inst✝¹ : IsLocalizedModule S f

Context: inst✝ : Finite R M

Context: T : Finset M

Context: hT : Submodule.span R ↑T = ⊤

Context: x : Mₚ

Context: y : M

Context: m : ↥S

Context: hyx : IsLocalizedModule.mk' f y m = x

Context: hy : y ∈ Submodule.span R ↑T

Context: this : f y ∈ Submodule.map f (Submodule.span R ↑T)

x ∈ Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T)


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
n : ℕ

(algebraMap R[X] R[T;T⁻¹]) (Polynomial.X ^ n) = LaurentPolynomial.T ↑n


Context: x : SetTheory.PGame


Context:
R : Type u1
CommRing R
M : Type u2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u4
AddCommGroup N
Module R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] M

Function.LeftInverse ⇑(ExteriorAlgebra.map g) ⇑(ExteriorAlgebra.map f) ↔ Function.LeftInverse ⇑g ⇑f


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1

Context: r : R

Context: n : ℕ

(lift f_compat) r - ↑((f n) r).val ∈ Ideal.span {↑p ^ n}


Context: R✝ : Type u

Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NonUnitalSemiring R

Context: inst✝⁶ : PartialOrder R

Context: inst✝⁵ : StarRing R

Context: inst✝⁴ : StarOrderedRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalSemiring S

Context: inst✝² : PartialOrder S

Context: inst✝¹ : StarRing S

Context: inst✝ : StarOrderedRing S

Context: f : R →⋆ₙ+* S

Context: x p : R

Context: hp : p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)

∃ p_1 ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), f (x + p) = f x + p_1


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
Y : TopologicalSpace.Opens ↑X
hY : Y = iSup U

(F.whiskerIsoMapGenerateCocone U hY).hom.hom = F.map (CategoryTheory.eqToHom ⋯)


Context:
n : ℕ
i : ZMod (2 * n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ : Set ℕ
inst✝² : Infinite ↑s✝
inst✝¹ : DecidablePred fun x => x ∈ s✝
s : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : ↑s

(List.filter (fun x => decide (x ∈ s)) (List.range ↑x)).length = (Finset.filter (fun x => x ∈ s) (Finset.range ↑x)).card


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E

(convexHull 𝕜) s = ⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ s), ⋃ (_ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val), (convexHull 𝕜) ↑t


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T2Space X
f : X → Y
g : Y → X
h : Function.LeftInverse f g
hf : Continuous f
hg : Continuous g


Context:
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Ring R
i : V


Context:
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : CategoryTheory.Limits.Cone F.leftOp
j : J

(CategoryTheory.Limits.coconeOfConeLeftOp c).ι.app j = (c.π.app (Opposite.op j)).op


Context:
α : Type u_2
Add α
IsRightCancelAdd α
DecidableEq α
s : Finset α
a : α


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
DecidableEq m
Fintype m
R : Type v
CommRing R
A : Matrix m m R
C : Matrix n m R
D : Matrix n n R

(Matrix.fromBlocks A 0 C D).det = A.det * D.det


Context:
R : Type u_3
CommRing R
a : ℍ[R]


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
Star A


Context:
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing M
n✝ : ℤ
x✝¹ x✝ : M
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
Semiring R
r : R
n : ℕ

(Polynomial.opRingEquiv R) (MulOpposite.op (Polynomial.C r * Polynomial.X ^ n)) =
  Polynomial.C (MulOpposite.op r) * Polynomial.X ^ n


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: CategoryTheory.HasShift C ℤ

Context: T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C

T.rotate.mor₃ = -(CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map T.mor₁


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
g : α → β
hg : MeasurableEmbedding g
f : β → ℝ≥0∞
f₀ : α →ₛ ℝ≥0∞
hf₀ : ↑f₀ ≤ fun a => f (g a)

f₀.lintegral μ ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : ↑g_1 ≤ fun a => f a), g_1.lintegral (Measure.map g μ)


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
x : α
h : x ∉ l


Context:
a : Int
H : a ≤ 0


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hfd : ∀ x ∈ S, DifferentiableAt ℝ f x


Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : R1Space G

Context: S : MeasurableSpace G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ {s | IsOpen s}

Context: U' : Opens G

Context: this✝¹ : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }

Context: L : Compacts G

Context: L' : Compacts G := { carrier := closure ↑L, isCompact' := ⋯ }

Context: hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U

Context: hL'U : ↑L' ⊆ U

Context: hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'

Context: this✝ : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'

Context: this : Nonempty { M // ↑M ⊆ ↑U' \ closure ↑L }

↑(μ.toFun L') + ⨆ x, ↑(μ.toFun ↑x) ≤ μ.outerMeasure ↑U'


Context:
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p

⇑(Multiset.countPAddMonoidHom p) = Multiset.countP p


Context:
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
h : Measurable f


Context:
R : Type u_3
OrderedSemiring R
x y : R
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hn : n ≠ 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson


Context:
M : Type u_1
Monoid M
u₁ u₂ : Mˣ


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : M.Base B
hBX : M.Basis (B ∩ X) X
e : α
he : (e ∈ M.E ∧ e ∉ X) ∧ e ∈ B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hem : B' ⊆ B ∪ X ∧ e ∉ B'
f : α
hfb : f ∈ B' \ B
hBf : M.Base (insert f (B \ {e}))
hi : M.Indep (insert f (B ∩ X))


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
x y : R

eval₂ (RingHom.id R) (x + y) f = f.sum fun e a => a * (x ^ e + ↑e * x ^ (e - 1) * y + ↑(Polynomial.polyBinomAux1 x y e a) * y ^ 2)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: f g : R[X]

Context: h : (f * g).Separable

Context: this : IsCoprime f (derivative f * g + f * derivative g)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: r : ℕ

Context: hr : r ≠ 0

Context: hr' : r ≤ Fintype.card α

Context: h𝒜 : 𝒜.card * r ≤ (∂ 𝒜).card * (Fintype.card α - r + 1)

↑𝒜.card / ↑((Fintype.card α).choose r) ≤ ↑(∂ 𝒜).card / ↑((Fintype.card α).choose (r - 1))


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
S : Type u_3
SMul S R
SMul S M
IsScalarTower S R M
r : S
x : M

Submodule.Quotient.mk (r • x) = r • Submodule.Quotient.mk x


Context:
K : Type u_2
Field K
w : NumberField.InfinitePlace K


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
Inhabited Γ
Inhabited Γ'
f : Turing.PointedMap Γ Γ'
l : List Γ

Turing.Tape.map f (Turing.Tape.mk₁ l) = Turing.Tape.mk₁ (List.map f.f l)


Context: C : CategoryTheory.Cat

CategoryTheory.nerveFunctor.obj C = CategoryTheory.nerve ↑C


∀ {α α_1 : Type u_1} {f : α → α_1}, f <$> none = none


Context: p : Prop


Context:
X : Type u_1
MeasurableSpace X
TopologicalSpace X
OpensMeasurableSpace X
T0Space X
CompletelyRegularSpace X


Context:
R : Type u_2
NonUnitalRing R
p : RingSeminorm R


Context:
α : Type u_1
n : Type u_4
AddCommMonoid α
StarAddMonoid α
A : Matrix n n α


Context: C : Type u

Context: inst✝⁹ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁸ : Category.{w, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝⁷ : Category.{w', u₃} E

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: A A' B B' : C

Context: inst✝⁶ : HasBinaryProduct A B

Context: inst✝⁵ : HasBinaryProduct A' B'

Context: inst✝⁴ : HasBinaryProduct (F.obj A) (F.obj B)

Context: inst✝³ : HasBinaryProduct (F.obj A') (F.obj B')

Context: inst✝² : HasBinaryProduct (G.obj (F.obj A)) (G.obj (F.obj B))

Context: inst✝¹ : HasBinaryProduct ((F ⋙ G).obj A) ((F ⋙ G).obj B)

Context: inst✝ : IsIso (prodComparison F A B)

inv (prodComparison F A B) ≫ F.map prod.fst = prod.fst


Context:
x : ℝ
hx : 0 ≤ x


Context:
R : Type u_3
CommRing R
c₁ c₂ : R


Context: α : Type u_1

Context: M₀ : Type u_2

Context: G₀ : Type u_3

Context: M₀' : Type u_4

Context: G₀' : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : MonoidWithZero M₀

Context: inst✝⁶ : GroupWithZero G₀

Context: inst✝⁵ : Nontrivial M₀

Context: inst✝⁴ : MonoidWithZero M₀'

Context: inst✝³ : FunLike F G₀ M₀

Context: inst✝² : MonoidWithZeroHomClass F G₀ M₀

Context: inst✝¹ : FunLike F' G₀ M₀'

Context: f✝ : F

Context: a : G₀

Context: inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F' G₀ M₀'

Context: f g : F'

Context: h : f a = g a

Context: ha : a ≠ 0


Context:
α : Type u_2
DivisionRing α
CharZero α
s : List ℚ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
LinearOrder ι
LocallyFiniteOrderBot ι
IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
c : ι

Submodule.span 𝕜 (gramSchmidt 𝕜 f '' Set.Iic c) = Submodule.span 𝕜 (f '' Set.Iic c)


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Cardinal.lift.{w, v} (sepDegree F E) * Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree E K) = Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree F K)


Context:
R : Type u
Semiring R
n : ℕ
a : R
ha : a ≠ 0

(Polynomial.C a * Polynomial.X ^ n).natDegree = n


Context: n : ℕ


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
self : Cᴹᵒᵖ

(CategoryTheory.MonoidalOpposite.unmopBraidedFunctor C).obj self = self.unmop


Context:
α : Type u_1
LinearOrder α
𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
r : ℕ
h₁ : Finset.Colex.IsInitSeg 𝒜₁ r
h₂ : Finset.Colex.IsInitSeg 𝒜₂ r

𝒜₁ ⊆ 𝒜₂ ∨ 𝒜₂ ⊆ 𝒜₁


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
CommRing R
x : WittVector p R


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: X : CategoryTheory.Comma (𝟭 (CategoryTheory.SimplicialObject C)) (CategoryTheory.SimplicialObject.const C)


Context:
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
Semiring S
Algebra R S
M N : Submodule R S
hc : ∀ (m : ↥M) (n : ↥N), Commute ↑m ↑n

N.mulMap M = M.mulMap N ∘ₗ ↑(TensorProduct.comm R ↥N ↥M)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hf' : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Iic t) t

Context: hfs : ∀ t ∈ Ioc a b, f t ∈ s t

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hg' : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Iic t) t

Context: hgs : ∀ t ∈ Ioc a b, g t ∈ s t

Context: hb : f b = g b

Context: hv' : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (Neg.neg ∘ v (-t)) (s (-t))

Context: hmt1 : MapsTo Neg.neg (Icc (-b) (-a)) (Icc a b)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : X - C μ ∣ cyclotomic n K
hμn : orderOf μ ∣ n
hnμ : orderOf μ ≠ n
ho : 0 < orderOf μ
i : ℕ
hiμ : X - C μ ∣ cyclotomic i K
hio : i ∣ orderOf μ
key : i < n
key' : i ∣ n
hni : {i, n} ⊆ n.divisors


Context:
n p : ℕ
pp : Prime p
k a : ℕ

a ∈ (p ^ k).divisors ↔ a ∈ map { toFun := fun x => p ^ x, inj' := ⋯ } (range (k + 1))


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
DecidableEq ι
Semiring R
SetLike σ R
AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
h : ¬i ≤ n

↑(((DirectSum.of (fun i => ↥(A i)) i) r * r') n) = 0


Context: F : Type w

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T

Context: inst✝¹ : FunLike F R S

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S

Context: g : S →ₙ+* T

Context: f : R →ₙ+* S

Context: s : Set R

Context: p : ↥(closure s) → Prop

Context: a : ↥(closure s)

Context: mem : ∀ (x : R) (hx : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩

Context: zero : p 0

Context: add : ∀ (x y : ↥(closure s)), p x → p y → p (x + y)

Context: neg : ∀ (x : ↥(closure s)), p x → p (-x)

Context: mul : ∀ (x y : ↥(closure s)), p x → p y → p (x * y)

Context: b : R

Context: hb : b ∈ closure s


Context:
ι : Type u_1
s : Finset ι
(j : ι) → Decidable (j ∈ s)
π : ι → Type u_3
t : Set ι
t' : (i : ι) → Set (π i)
f g : (i : ι) → π i
hf : f ∈ t.pi t'
hg : g ∈ t.pi t'


Context: v i : Nat

(BitVec.allOnes v).getLsb i = decide (i < v)


Context:
G : Type u_1
Monoid G
x : G
h : IsOfFinOrder x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
CompactSpace Y
CompactSpace X
W : TopologicalSpace.Clopens (X × Y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n α
h : A.IsDiag
i j : n
hij : i ≠ j


Context:
X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : Z.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
i : 𝒰.J

(AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.openCoverOfBase 𝒰 f g).map i =
  CategoryTheory.Limits.pullback.map (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f (𝒰.map i))
    (CategoryTheory.Limits.pullback.snd g (𝒰.map i)) f g (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f (𝒰.map i))
    (CategoryTheory.Limits.pullback.fst g (𝒰.map i)) (𝒰.map i) ⋯ ⋯


Context:
E : Type u_4
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
K : Submodule ℝ E

K.orthogonalBilin bilinFormOfRealInner = Kᗮ


Context:
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R : CategoryTheory.Functor B T
X : CategoryTheory.Comma L R

(CategoryTheory.CategoryStruct.id X).right = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.right


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
LE α
f : (i : ι) → κ i → LowerSet α


Context:
α : Type u
AddMonoidWithOne α
n : ℕ
n.AtLeastTwo


Context:
α✝ : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α✝ × Bool)
β✝ : Type v
f : α✝ → β✝
x✝ y : FreeGroup α✝
α : Type ?u.60273
β : Type ?u.60274
e : α ≃ β
x : FreeGroup β


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)

Context: hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2

Context: hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))

Context: A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E

Context: hl : l ≠ ⊥

Context: this : l.NeBot

Context: hfg' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ε

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: f : Arrow C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℕ), HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom

Context: S : SplitEpi f.hom

Context: n : ℕ

(s f S n ≫ WidePullback.base fun x => f.hom) = WidePullback.base fun x => f.hom


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
m : Multiset α

m.coeEquiv.toEmbedding.trans (Function.Embedding.subtype fun x => x ∈ m.toEnumFinset) = m.coeEmbedding


Context:
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
x : (i : ι) → β i
i : ι


Context:
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π₁ π₂ : BoxIntegral.Prepartition I
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion

(π₁.disjUnion π₂ h).iUnion = π₁.iUnion ∪ π₂.iUnion


Context:
α : Type u_3
Preorder α
self : SuccOrder α
a : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)

Context: m p : Associates α

Context: h0 : m ≠ 0

Context: hp : Irreducible p

Context: a✝ : Nontrivial α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
s : Set α

∫⁻ (x : α) in s, max (f x) (g x) ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s ∩ {x | f x ≤ g x}, g x ∂μ + ∫⁻ (x : α) in s ∩ {x | g x < f x}, f x ∂μ


Context:
K : Type u
Field K
A : ValuationSubring K


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: a b : α

Context: h : 0 < multiplicity a b


Context:
a : Nat
b : Nat
h : 0 < a


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
b : OrthonormalBasis ι ℝ ℝ
this✝ : Unique ι
this : b default = 1 ∨ b default = -1


Context:
R : Type u_1
EuclideanDomain R
GCDMonoid R
p q : R
hp : p ≠ 0


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: P Q R : C

Context: f : P ⟶ Q

Context: g : Q ⟶ R

Context: CategoryTheory.StrongMono (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: Add β

Context: ContinuousAdd β

Context: hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ

Context: c : β

MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => c + f x) μ


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : IsDomain R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra S L

Context: inst✝³ : Algebra R L

Context: inst✝² : IsScalarTower R S L

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)

Context: a b : S

Context: hb : b ≠ 0

Context: c : ↥(integralClosure R L)

Context: d : R

Context: d_ne : d ≠ 0

Context: hx : (algebraMap S L) a / (algebraMap S L) b * (algebraMap R L) d = ↑c

(algebraMap S L) (d • a) = (algebraMap S L) (b * mk' S ↑c ⋯)


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
CommSemiring R
CommSemiring S
Semiring A
Algebra R S
Algebra R A
Algebra S A
IsScalarTower R S A
s : Set A

Algebra.adjoin S ↑(Algebra.adjoin R s) = Algebra.adjoin S s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
h : x ∉ tsupport f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
c : E
hc : c ≠ 0
a✝ : AEStronglyMeasurable f μ

∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤ ∧ ↑‖c‖₊ < ⊤ ∨ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ = 0 ∨ ↑‖c‖₊ = 0 ↔ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤


Context:
ι : Type u
X : Type v
TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X

∃ t, ⇑(f.toPartitionOfUnity i) =ᶠ[𝓝 x] ⇑(f i) * ⇑(∏ j ∈ Finset.filter (fun j => WellOrderingRel j i) t, (1 - f j))


Context:
P : Type u_1
inst✝¹ : Preorder P
p : P
ι : Type u_2
inst✝ : Encodable ι
𝒟 : ι → Cofinal P
i : ι

(match Encodable.decode (Encodable.encode i) with | none => sequenceOfCofinals p 𝒟 (Encodable.encode i) | some i_1 => (𝒟 i_1).above (sequenceOfCofinals p 𝒟 (Encodable.encode i))) ∈ 𝒟 i


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
x : ↥P.ker

↑(P'.ker.cotangentEquivIdeal (mk ⟨f.toAlgHom ↑x, ⋯⟩ - mk ⟨g.toAlgHom ↑x, ⋯⟩).val) = ↑(P'.ker.cotangentEquivIdeal (P'.ker.toCotangent ((f.subToKer g) ↑x)))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
h : HasFiniteIntegral f μ
s : Set α


Context:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C₁
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} C₂
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C₃
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} C₄
T : CategoryTheory.Functor C₁ C₂
L : CategoryTheory.Functor C₁ C₃
R : CategoryTheory.Functor C₂ C₄
B : CategoryTheory.Functor C₃ C₄
w : CategoryTheory.TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f : w.StructuredArrowRightwards g

(CategoryTheory.TwoSquare.EquivalenceJ.functor w g).obj f =
  CategoryTheory.CostructuredArrow.mk (CategoryTheory.StructuredArrow.homMk f.right.hom ⋯)


Context: n : ℕ


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
Finite ι
MeasurableSpace E
OpensMeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E

MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain (↥(Submodule.span ℤ (Set.range ⇑b)).toAddSubgroup) (Zspan.fundamentalDomain b) μ


Context:
R : Type u
Ring R
p q : R[X]
h : q.natDegree < p.natDegree


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : T2Space X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: h : TotallyDisconnectedSpace X

Context: x : X

Context: x✝¹ : x ∈ univ

Context: y : X

Context: x✝ : y ∈ univ

Context: hyp : ¬∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v

Context: w : Set X

Context: hw : IsClopen w

Context: hy : y ∈ w


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set β
t : Set γ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t

∫⁻ (z : β × γ) in s ×ˢ t, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β) in s, ∫⁻ (y : γ) in t, f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a