Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Nonempty M

Context: inst✝³ : Semigroup M

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : CompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: continuous_mul_left : ∀ (r : M), Continuous fun x => x * r

Context: S : Set (Set M) := {N | IsClosed N ∧ N.Nonempty ∧ ∀ m ∈ N, ∀ m' ∈ N, m * m' ∈ N}

Context: c : Set (Set M)

Context: hcs : c ⊆ S

Context: hc : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c


Context:
ι : Type u_1
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
I : BoxIntegral.Box ι
c : ℝ≥0
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I
self : l.MemBaseSet I c r π


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
G : D ⥤ C
h : F.toFunctor ⊣ G
X Y : D

(monoidalAdjoint F h ⊗⋙ F.toLaxMonoidalFunctor).μ X Y ≫ h.counit.app (X ⊗ Y) = (h.counit.app X ⊗ h.counit.app Y) ≫ (LaxMonoidalFunctor.id D).μ X Y


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : BorelSpace α

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: g✝ : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ✝ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F

Context: inst✝² : MeasurableSpace F

Context: inst✝¹ : BorelSpace F

Context: μ : Measure F

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: φ : F → ℝ

Context: hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x

Context: h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1

Context: h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)

Context: g : F → E

Context: hg : Integrable g μ

Context: h'g : ContinuousAt g 0

Context: I : Integrable φ μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f : ↥(Lp E p μ)
hfi' : Memℒp (↑↑f) p μ

∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range Subtype.val) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 f)


Context:
R : Type u_1
Zero R
f : ArithmeticFunction R


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
A : Finset α
hA : A ∈ 𝒜
i : α
hi : i ∉ A
h : insert i A ∈ ↑(∂⁺ 𝒜)


Context:
α : Type ua
u v : UniformSpace α

UniformSpace.toTopologicalSpace = UniformSpace.toTopologicalSpace ⊓ UniformSpace.toTopologicalSpace


Context:
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
I J : Submodule R P

IsFractional S I → IsFractional S J → IsFractional S (I ⊔ J)


Context:
α : Type u
AddGroup α


Context:
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderBot α
LocallyFiniteOrder α
b : α

Finset.Ico ⊥ ↑b = Finset.insertNone (Finset.Iio b)


Context:
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f₁ : α₁ → β₁ → Finset γ₁
f₂ : α₂ → β₂ → Finset γ₂
g₁ : α₁ → β₂ → Finset γ₁
g₂ : α₁ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂

c ∈ Finset.sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ a b ↔
  (∃ a₁ b₁ c₁, a = Sum.inl a₁ ∧ b = Sum.inl b₁ ∧ c = Sum.inl c₁ ∧ c₁ ∈ f₁ a₁ b₁) ∨
    (∃ a₁ b₂ c₁, a = Sum.inl a₁ ∧ b = Sum.inr b₂ ∧ c = Sum.inl c₁ ∧ c₁ ∈ g₁ a₁ b₂) ∨
      (∃ a₁ b₂ c₂, a = Sum.inl a₁ ∧ b = Sum.inr b₂ ∧ c = Sum.inr c₂ ∧ c₂ ∈ g₂ a₁ b₂) ∨
        ∃ a₂ b₂ c₂, a = Sum.inr a₂ ∧ b = Sum.inr b₂ ∧ c = Sum.inr c₂ ∧ c₂ ∈ f₂ a₂ b₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : μ.WeaklyRegular

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ≥0

Context: fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ

Context: fmeas : AEMeasurable f μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ↑ε

Context: δ : ℝ≥0

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδε : δ < ε

Context: int_f_ne_top : ∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ ≠ ⊤

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: f_lt_g : ∀ (x : α), ↑(f x) < g x

Context: gcont : LowerSemicontinuous g

Context: gint : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ↑δ

Context: gint_ne : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤

Context: g_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤

∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤) ∧ Integrable (fun x => (g x).toReal) μ ∧ ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ↑ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : ℕ → β

Context: a : ℕ → α

Context: n : ℕ

Context: hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m

Context: hg : IsCauSeq abs fun n => ∑ i ∈ range n, a i

Context: ε : α

Context: ε0 : ε > 0

Context: i : ℕ

Context: hi : ∀ j ≥ i, |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2

∃ i, ∀ j ≥ i, abv ((fun n => ∑ i ∈ range n, f i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) i) < ε


Context:
α : Type u_1
m₁ m₂ : MeasurableSpace α
s : Set α

MeasurableSet s ↔ MeasurableSet s ∧ MeasurableSet s


Context:
η : Type u_12
Ms : η → Type u_13
Ns : η → Type u_14
(j : η) → Add (Ms j)
(j : η) → Add (Ns j)
es : (j : η) → Ms j ≃+ Ns j
x : (j : η) → Ms j
j : η

(AddEquiv.piCongrRight es) x j = (es j) (x j)


Context:
α : Type u_1
d : DynkinSystem α
s : Set (Set α)
hs : IsPiSystem s

generate s ≤ ofMeasurableSpace (generateFrom s)


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
m k : R


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_6
M' : Type u_7
AddCommGroup M
AddCommGroup M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s : ↥S

IsLocalizedModule.mk' f (m₁ - m₂) s = IsLocalizedModule.mk' f m₁ s - IsLocalizedModule.mk' f m₂ s


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory C

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory D

Context: F G H : CategoryTheory.MonoidalFunctor C D

Context: α : F ⟶ G

Context: β : G ⟶ H

(α ≫ β).toNatTrans = α.toNatTrans ≫ β.toNatTrans


Context: i₁ i₂ : String.Pos


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a c d : α

Context: ha : AddLECancellable a

Context: h : a < a


Context:
α : Type u_1
N : Type u_2
Zero N
LinearOrder α
Finite α
LT N
hwf : WellFoundedLT N


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
h1 : IsPurelyInseparable F E
h2 : IsPurelyInseparable E K
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x✝ : α
hl : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l


Context:
α : Type u_1
s : Finset α


Context:
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
hab : a.Coprime b
q : ℕ

(a * b).factorization q = (a.factorization + b.factorization) q


Context:
R : Type u_1
M : Type u_8
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
e₁ e₂ : M ≃ₗ[R] M


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} D

Context: i : CategoryTheory.Functor D C

Context: CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C

Context: CategoryTheory.CartesianClosed C

Context: h : ∀ (B : D) (A : C), (A ⟹ i.obj B) ∈ i.essImage


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
K : ProperCone ℝ E

ProperCone.map (ContinuousLinearMap.id ℝ E) K = K


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: f : X → Y

Context: hs : IsLindelof s

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: l : Filter Y

Context: lne : l.NeBot

Context: inst✝ : CountableInterFilter l

Context: ls : l ≤ 𝓟 (f '' s)

Context: this✝¹ : (comap f l ⊓ 𝓟 s).NeBot

Context: x : X

Context: hxs : x ∈ s

Context: hx : ClusterPt x (comap f l ⊓ 𝓟 s)

Context: this✝ : (𝓝 x ⊓ (comap f l ⊓ 𝓟 s)).NeBot

Context: this : Tendsto f (𝓝 x ⊓ (comap f l ⊓ 𝓟 s)) (𝓝 (f x) ⊓ l)


Context:
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
x : α
inst : Batteries.OrientedCmp cmp
t : Batteries.RBNode α

(Batteries.RBNode.insert cmp t x).reverse = Batteries.RBNode.insert (flip cmp) t.reverse x


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a c d : G₀
m n : ℕ
hc : c ≠ 0
h : 0⁻¹ * a = c


Context:
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
NoMinOrder α
a : α

Set.Ioi (Order.pred a) = insert a (Set.Ioi a)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q✝ : ℕ
p q : R[X]
hsep : p.Separable
hq : 1 < multiplicity q p


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIocDiv hp (a - p) b = toIocDiv hp a b + 1


Context:
K : Type u_1
CommRing K

∀ (x x_1 : RatFunc K),
  x.add x_1 =
    match x, x_1 with
    | { toFractionRing := p }, { toFractionRing := q } => { toFractionRing := p + q }


Context: F : PFunctor.{u}

Context: X : Type u_1

Context: f✝ : X → ↑F X

Context: R : F.M → F.M → Prop

Context: inst✝ : Inhabited F.M

Context: bisim : IsBisimulation R

Context: ps : List F.Idx

Context: ps_ih : ∀ (a : F.A) (f f' : F.B a → F.M), R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩) → IsPath ps (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath ps (M.mk ⟨a, f'⟩) → (isubtree ps (M.mk ⟨a, f⟩)).head = (isubtree ps (M.mk ⟨a, f'⟩)).head ∧ ∃ a_1 f_1 f'_1, isubtree ps (M.mk ⟨a, f⟩) = M.mk ⟨a_1, f_1⟩ ∧ isubtree ps (M.mk ⟨a, f'⟩) = M.mk ⟨a_1, f'_1⟩ ∧ ∀ (i : F.B a_1), R (f_1 i) (f'_1 i)

Context: a : F.A

Context: f f' : F.B a → F.M

Context: h₀ : R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩)

Context: i : F.B a

Context: hh : IsPath (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f'⟩)

Context: a₀ : F.A

Context: f₀ : F.B a₀ → F.M

Context: h : f i = M.mk ⟨a₀, f₀⟩

Context: f₁ : F.B a₀ → F.M

Context: h₁ : R (M.mk ⟨a₀, f₀⟩) (M.mk ⟨a₀, f₁⟩)

Context: h' : f' i = M.mk ⟨a₀, f₁⟩


Context: X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: ∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: i j : 𝒰.J

(AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.gluing 𝒰 f g).t i j = AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.t 𝒰 f g i j


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I✝ J : Ideal S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra.IsIntegral R S

Context: P : Ideal R

Context: inst✝¹ : P.IsPrime

Context: I : Ideal S

Context: inst✝ : I.IsPrime

Context: hIP : comap (algebraMap R S) I ≤ P

Context: Q' : Ideal (S ⧸ I)

Context: Q'_prime : Q'.IsPrime

Context: hQ' : comap (algebraMap (R ⧸ comap (algebraMap R S) I) (S ⧸ I)) Q' = map (Quotient.mk (comap (algebraMap R S) I)) P

comap (Quotient.mk (comap (algebraMap R S) I)) (map (Quotient.mk (comap (algebraMap R S) I)) P) = P


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C

Context: f : Y ⟶ X

Context: S R : CategoryTheory.Sieve X

Context: h : J.Covers S f

(∀ {Z : C} (g : Z ⟶ X), S.arrows g → J.Covers R g) → J.Covers R f


Context:
α : Type u
Neg α
x : Multiplicative α

Multiplicative.toAdd x⁻¹ = -Multiplicative.toAdd x


Context:
α : Type u_1
NonUnitalSeminormedRing α
a b : α

‖a * b‖₊ ≤ ‖a‖₊ * ‖b‖₊


Context:
S T : ℝ
hT : 0 < T
z τ : ℂ
hz : |z.im| ≤ S
hτ : T ≤ τ.im
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
e : α ↪o β
he : (Set.range ⇑e).OrdConnected
x y : α


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
s : Set M
A : Type u_2
inst✝ : AddMonoid A
t : Set A
S : Submonoid M


Context:
ι : Type w
DecidableEq ι
Fintype ι
K : Type u
L : Type v
Field K
Field L
Algebra K L
Module.Finite K L
R : Type z
CommRing R
Algebra R K
Algebra R L
IsScalarTower R K L
b : ι → L
h : ∀ (i : ι), IsIntegral R (b i)


Context:
α : Type u_1
Fintype α
s : Finset α


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Multiset α

s.Nodup ↔ ∀ (a : α), Multiset.count a s ≤ 1


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α

List.countP p l = 0 ↔ ∀ (a : α), a ∈ l → ¬p a = true


Context: a b c : Prop


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
S : Type
inst✝ : CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
hψ : ψ.Odd


Context: R : Type u_1

Context: η : Type u_2

Context: ιs : η → Type u_3

Context: Ms : η → Type u_4

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : (i : η) → AddCommGroup (Ms i)

Context: inst✝¹ : (i : η) → Module R (Ms i)

Context: inst✝ : DecidableEq η

Context: v : (j : η) → ιs j → Ms j

Context: hs : ∀ (i : η), LinearIndependent R (v i)

Context: hs' : ∀ (j : η), LinearIndependent R fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)

Context: j : η

Context: J : Set η

Context: a✝ : J.Finite

Context: hiJ : j ∉ J

Disjoint (span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i))) (⨆ i ∈ J, span R (Set.range fun i_1 => (stdBasis R Ms i) (v i i_1)))


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: f : X → ℝ

Context: hfi : Integrable f μ

Context: h_meas : NullMeasurableSet {x | 0 ≤ f x} μ

∫ (x : X) in {x | 0 ≤ f x}, ‖f x‖ ∂μ = ∫ (x : X) in {x | 0 ≤ f x}, f x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: MeasurableSpace Ω

Context: StandardBorelSpace Ω

Context: Nonempty Ω

Context: NormedAddCommGroup F

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ

Context: X : α → β

Context: Y : α → Ω

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : β × Ω → F

Context: NormedSpace ℝ F

Context: hY : AEMeasurable Y μ

Context: hf_int : MeasureTheory.Integrable f (MeasureTheory.Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)

MeasureTheory.Integrable (fun x => ∫ (y : Ω), f (x, y) ∂(ProbabilityTheory.condDistrib Y X μ) x)
  (MeasureTheory.Measure.map X μ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
f : α → β
x : β
h : Filter.Tendsto f l (pure x)


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E

DifferentiableWithinAt 𝕜 f Set.univ x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x


Context:
α : Type u
SemilatticeInf α
OrderTop α
x y : α


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: H : ∀ (i : ι) (a : R), a • v i ∈ span R (v '' (univ \ {i})) → a = 0

Context: l : ι →₀ R

Context: hl : (Finsupp.total ι M R v) l = 0

Context: i : ι

Context: hn : ¬l i = 0


Context:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜

HasDerivAt f f' x ↔ Filter.Tendsto (fun t => t⁻¹ • (f (x + t) - f x)) (𝓝[≠] 0) (𝓝 f')


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0

(p * q).coeff (p.natDegree + q.natDegree) ≠ 0


Context:
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
a : R

a ∈ Set.center R ↔
  AddMonoidHom.mulLeft a = AddMonoidHom.mulRight a ∧
    AddMonoidHom.mul.compr₂ (AddMonoidHom.mulLeft a) = AddMonoidHom.mul.comp (AddMonoidHom.mulLeft a) ∧
      AddMonoidHom.mul.comp (AddMonoidHom.mulRight a) = AddMonoidHom.mul.compl₂ (AddMonoidHom.mulLeft a) ∧
        AddMonoidHom.mul.compr₂ (AddMonoidHom.mulRight a) = AddMonoidHom.mul.compl₂ (AddMonoidHom.mulRight a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
T2Space M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
Countable β
f : β → Set α
hf₁ : ∀ (i : β), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y : C

Context: f f' : L.obj X ⟶ L.obj Y

Context: φ : W.LeftFraction X Y

Context: hφ : f = φ.map L ⋯

Context: φ' : W.LeftFraction X Y

Context: hφ' : f' = φ'.map L ⋯

Context: α : W.LeftFraction φ.Y' φ'.Y'

Context: hα : (RightFraction.mk φ.s ⋯ φ'.s).f ≫ α.s = (RightFraction.mk φ.s ⋯ φ'.s).s ≫ α.f

Context: ψ : W.LeftFraction₂ X Y := LeftFraction₂.mk (φ.f ≫ α.f) (φ'.f ≫ α.s) (φ'.s ≫ α.s) ⋯

∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: M : (i : ι) → Matroid (α i)

Context: I X : Set ((i : ι) × α i)

Context: hI : ∀ (i : ι), (M i).Indep (Sigma.mk i ⁻¹' I)

Context: x✝ : (∀ (x : ι), Sigma.mk x ⁻¹' I ⊆ Sigma.mk x ⁻¹' X) ∧ (∀ (x : ι) ⦃y : Set (α x)⦄, (M x).Indep y → y ⊆ Sigma.mk x ⁻¹' X → Sigma.mk x ⁻¹' I ⊆ y → Sigma.mk x ⁻¹' I = y) ∧ ∀ (x : ι), Sigma.mk x ⁻¹' X ⊆ (M x).E

Context: hIX : ∀ (x : ι), Sigma.mk x ⁻¹' I ⊆ Sigma.mk x ⁻¹' X

Context: h' : ∀ (x : ι) ⦃y : Set (α x)⦄, (M x).Indep y → y ⊆ Sigma.mk x ⁻¹' X → Sigma.mk x ⁻¹' I ⊆ y → Sigma.mk x ⁻¹' I = y

Context: h'' : ∀ (x : ι), Sigma.mk x ⁻¹' X ⊆ (M x).E


Context:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω

variance (fun ω => c * X ω) μ = c ^ 2 * variance X μ


∀ {X Y : SimplexCategory} (f : X ⟶ Y),
  SimplexCategory.toTop.map f = { toFun := SimplexCategory.toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ }


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
x : Π₀ (i : ι), β i
x✝ : x ∈ ⊤

0 ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, Set.range (single i))


Context:
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ
hφ : ¬ComplexEmbedding.IsReal φ


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
G : CategoryTheory.Functor D C
iso : e.inverse ≅ G
X : C

(e.changeInverse iso).unitIso.hom.app X =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (e.unitIso.hom.app X) (iso.hom.app (e.functor.obj X))


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
x : A
n : ℤ

(Polynomial.aeval x) (Polynomial.Chebyshev.U R n) = Polynomial.eval x (Polynomial.Chebyshev.U A n)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderTop α
s s₁ : Finset β
f✝ g✝ : β → α
a : α
f g : β → α
hfg : ∀ a ∈ s₁, f a = g a


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r✝ : R[X]
inst✝ : SMulZeroClass S R
r : S
p : R[X]
i : ℕ
hi : ¬r • p.coeff i = 0


Context:
G : Type u
AddGroup G
N : AddSubgroup G
nN : N.Normal
a b : G


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f : ℕ → R

Context: g : ℕ → M

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m < n

Context: h₁ : ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • ∑ i ∈ range i, g i = ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f (i + 1) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i

Context: h₂ : ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • ∑ i ∈ range (i + 1), g i = ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f i • ∑ i ∈ range (i + 1), g i + f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range (m + 1), g i

Context: h₃ : ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • g i = ∑ i ∈ Ico (m + 1) n, f i • ((range (i + 1)).sum g - (range i).sum g)

Context: h₄ : ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f i • ∑ i ∈ range (i + 1), g i + f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range (m + 1), g i - ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f (i + 1) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i = f (n - 1) • (range n).sum g - f m • (range (m + 1)).sum g + ∑ i ∈ Ico m (n - 1), (f i • (range (i + 1)).sum g - f (i + 1) • (range (i + 1)).sum g)

f m • g m + (∑ i ∈ Ico m (n - 1), f i • ∑ i ∈ range (i + 1), g i + f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range (m + 1), g i - ∑ i ∈ Ico m (n - 1), f (i + 1) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i) = f (n - 1) • ∑ i ∈ range n, g i - f m • ∑ i ∈ range m, g i - ∑ i ∈ Ico m (n - 1), (f (i + 1) - f i) • ∑ i ∈ range (i + 1), g i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : b * a = c


Context:
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ
hf : Measurable f

Measurable fun x => ENNReal.ofReal (f x)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: X : C

Context: f : T.obj₂ ⟶ X

Context: hf : T.mor₁ ≫ f = 0


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R

(convexHull R) (Set.range fun i j => if i = j then 1 else 0) = stdSimplex R ι


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s : x ⊓ y ⊔ z = x
i : x ⊓ y ⊓ z = ⊥


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α✝ : Type u_12
β : Type u_13
inst✝⁴ : DecidableEq o
inst✝³ : Zero α✝
inst✝² : Zero β
α : Type u_14
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : StarAddMonoid α
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α

(blockDiagonal' M)ᴴ = blockDiagonal' fun k => (M k)ᴴ


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_5

Context: δ : Type u_7

Context: f : Filter α

Context: g : Filter β

Context: m : α' → β → γ

Context: n : α → α'

Context: m' : β → α → δ

Context: n' : δ → γ

Context: h_left_anticomm : ∀ (a : α) (b : β), m (n a) b = n' (m' b a)

Filter.map₂ m (Filter.map n f) g = Filter.map n' (Filter.map₂ m' g f)


Context:
α : Type u
x : FreeCommRing α


Context:
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β

Icc (inlₗ a₁) (inlₗ a₂) = map (Embedding.inl.trans toLex.toEmbedding) (Icc a₁ a₂)


Context: X : (CategoryTheory.Limits.WidePushoutShape CategoryTheory.Limits.WalkingPair)ᵒᵖ

CategoryTheory.Limits.walkingSpanOpEquiv.functor.obj X = Opposite.unop X


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Zero α
s : Finset ι
f : (i : ι) → i ∈ s → α
i✝ i : ι
hi : i ∈ ↑(indicator s f).support


Context:
α : Type u_1
Lattice α
Group α
a : α

a⁻ᵐ ≤ 1 ↔ a⁻¹ ≤ 1


Context:
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
s : Set α
f g : α → β
a : α
heq : f =ᶠ[𝓝[s] a] g
hmem : a ∈ s

IsLocalExtrOn f s a ↔ IsLocalExtrOn g s a


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R

(algebraMap R S) (∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m) ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
β : ι → Type u_4
i : ι
f : (j : ι) → α j
a : α i
t : (j : ι) → α j → Set (β j)

(Set.univ.pi fun j => t j (Function.update f i a j)) = {x | x i ∈ t i a} ∩ {i}ᶜ.pi fun j => t j (f j)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
s : Finset P
w : P → k

(affineCombination k s.attach Subtype.val) (w ∘ Subtype.val) = (affineCombination k s id) w


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
m : Type u_4
n : Type u_5
Fintype m
M : Matrix m n R


Context:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
h : HasDerivWithinAt f f' t x
hst : t ∈ 𝓝[s] x


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
d : n → R

∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, diagonal d (σ i) i = ∏ i : n, d i


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
p : Submodule R M

(∃ N, ↑N = p) ↔ ∀ (x : L), ∀ m ∈ p, ⁅x, m⁆ ∈ p


Context:
α : Type u_1
a : α
l : List α


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁹ : Semiring A

Context: inst✝⁸ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁷ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι

Context: inst✝⁶ : SetLike σ A

Context: inst✝⁵ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝⁴ : GradedRing 𝒜

Context: a : A

Context: n✝ i : ι

Context: inst✝³ : Sub ι

Context: inst✝² : OrderedSub ι

Context: inst✝¹ : ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: n : ι

Context: inst✝ : Decidable (i ≤ n)

Context: b : ↥(𝒜 i)

↑(((decompose 𝒜) (a * ↑b)) n) = if i ≤ n then ↑(((decompose 𝒜) a) (n - i)) * ↑b else 0


Context:
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α
DenselyOrdered α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f g : α → E

Context: s t : Set α

Context: μ ν : Measure α

Context: hf : IntegrableOn f s μ

Context: ht : NullMeasurableSet t μ

Context: h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0

Context: u : Set α := {x | x ∈ s ∧ f x ≠ 0}

Context: hu : IntegrableOn f u μ

Context: v : Set α := toMeasurable μ u

Context: A : IntegrableOn f v μ

Context: B : IntegrableOn f (t \ v) μ


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝² : DecidableRel r
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : IsRefl α r
x : α
xs : List α
h : (decide ¬r x x) = true


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 1 < x
hyz : y < z


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x y z : α
H : IsRelPrime x (y * z)


Context:
α : Type u_2
LinearOrder α
s : Finset α
H : s.Nonempty
x : α
H2 : ∀ y ∈ s, y ≤ x


Context:
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p


Context:
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
x : X
hs : IsClosed (⋂ s, ↑s)
a b : Set X
ha : IsClosed a
hb : IsClosed b
hab : ⋂ s, ↑s ⊆ a ∪ b
ab_disj : Disjoint a b
u v : Set X
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
hau : a ⊆ u
hbv : b ⊆ v
huv : Disjoint u v


Context: o : Ordinal.{u_1}

let_fun this := ⋯; HEq (mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α (fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)).moveRight fun i => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) i)


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: iσ : RingHomIsometric σ

Context: B : Type u_3

Context: F₁ : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜₁ F₁

Context: E₁ : B → Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)

Context: inst✝¹⁷ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)

Context: F₂ : Type u_6

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F₂

Context: E₂ : B → Type u_7

Context: inst✝¹³ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)

Context: inst✝¹² : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace B

Context: e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj

Context: e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj

Context: inst✝⁹ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)

Context: inst✝⁸ : FiberBundle F₁ E₁

Context: inst✝⁷ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)

Context: ita : ∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)

Context: inst✝⁶ : FiberBundle F₂ E₂

Context: inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜₁ F₁ E₁

Context: inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜₂ F₂ E₂

Context: inst✝³ : MemTrivializationAtlas e₁

Context: inst✝² : MemTrivializationAtlas e₁'

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e₂

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e₂'

Context: h₁ : Continuous ⇑(compSL F₁ F₂ F₂ σ (RingHom.id 𝕜₂))

Context: h₂ : Continuous ⇑(compSL F₁ F₁ F₂ (RingHom.id 𝕜₁) σ).flip

ContinuousOn (continuousLinearMapCoordChange σ e₁ e₁' e₂ e₂') (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet ∩ (e₁'.baseSet ∩ e₂'.baseSet))


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
ε : ℝ
hε : ε > 0

DiffContOnCl ℂ (fun z => invInterpStrip f z ε) (verticalStrip 0 1)


Context: θ : Real.Angle

2 • θ ≠ 0 ↔ θ ≠ 0 ∧ θ ≠ ↑π


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: enc0 : enc default = Vector.replicate n false

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: R : ListBlank Γ

Context: a : Γ

Context: L : ListBlank Γ

∀ {L' R' : ListBlank Bool} {l₁ l₂ : List Bool}, (enc a).toList = l₁.reverseAux l₂ → (Tape.move Dir.left)^[l₁.length] (Tape.mk' (ListBlank.append l₁ L') (ListBlank.append l₂ R')) = Tape.mk' L' (ListBlank.append (enc a).toList R')


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
x : B

map (algebraMap A B) (minpoly A pb.gen) ≠ 0


Context:
X : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
inst✝¹ : Zero ↑s
h0 : ↑0 = 0
inst✝ : CompactSpace ↑s
h0' : 0 ∈ s

⇑toContinuousMapHom ⁻¹' ↑(RingHom.ker (ContinuousMap.evalStarAlgHom 𝕜 𝕜 ⟨0, h0'⟩)) = Set.univ


Context: n k m : ℕ


Context:
ι : Type u_1
M₀ : Type u_4
MulZeroClass M₀
s : Set ι
f g : ι → M₀

(s.indicator fun i => f i * g i) = fun i => s.indicator f i * s.indicator g i


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.41420, u_2} D
F G H : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
β : G ⟶ H

∀ (X : Grothendieck F), (map (α ≫ β)).obj X = (map α ⋙ map β).obj X


Context:
ι : Type u_1
F : Filter ι
f : ι → ℝ
h : Bornology.IsBounded (Set.range f)

Filter.IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Filter.map f F)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : Set P
h : FiniteDimensional.finrank k V = 2


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Zero α
s : Finset ι
f : ι →₀ α
t : ι →₀ Finset α
ht : t.support ⊆ s
i : ι
h : f i ∈ t i
hi : i ∈ f.support
H : t i = 0


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ

(AddOpposite.unop (HahnSeries.addOppositeEquiv x)).orderTop = x.orderTop


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
Y : CategoryTheory.Over X

(CategoryTheory.Sieve.overEquiv Y) ⊤ = ⊤


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: RCLike 𝕜

Context: NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: NormedAddCommGroup G

Context: NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: l.NeBot

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: hf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s

Context: hf : ∀ (n : ι), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x

Context: hfg : ∀ x ∈ s, Filter.Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))

Context: hx : x ∈ s


Context:
n m : ℕ
a b c : Fin n


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
Monoid R
Monoid S
Star A
Star B
NonUnitalNonAssocSemiring A
NonUnitalNonAssocSemiring B
MulAction R S
DistribMulAction S A
DistribMulAction S B
DistribMulAction R A
DistribMulAction R B
IsScalarTower R S A
IsScalarTower R S B
f : A →⋆ₙₐ[S] B
x : A

(NonUnitalStarAlgHom.restrictScalars R f) x = f x


Context:
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R


Context:
G : Type u_3
AddGroup G
a : G
m n : ℕ
h : n ≤ m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
x : Option α
f : (a : α) → a ∈ x → Option β
y : β

x.pbind f = some y ↔ ∃ z H, f z H = some y


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: h1s : K₁.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V

Context: h2s : s.card = index K₁.carrier V

Context: t : Finset G

Context: h1t : K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V

Context: h2t : t.card = index K₂.carrier V

K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s ∪ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: hcg : HasCompactSupport g

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiff 𝕜 1 g

Context: x₀ : G

Context: fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G

Context: this : ProperSpace G

Context: L' : E →L[𝕜] (G →L[𝕜] E') →L[𝕜] G →L[𝕜] F := precompR G L

Context: h1 : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun t => (L (f t)) (g (x - t))) μ

Context: h2 : ∀ (x : G), AEStronglyMeasurable (fun t => (L' (f t)) (fderiv 𝕜 g (x - t))) μ

Context: h3 : ∀ (x t : G), HasFDerivAt (fun x => g (x - t)) (fderiv 𝕜 g (x - t)) x

Context: K' : Set G := -tsupport (fderiv 𝕜 g) + closedBall x₀ 1

Context: hK' : IsCompact K'

HasFDerivAt (f ⋆[L, μ] g) ((f ⋆[L', μ] fderiv 𝕜 g) x₀) x₀


Context:
M : Type u_1
Monoid M
x : M


Context:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω

ProbabilityTheory.evariance (fun ω => c * X ω) μ = ENNReal.ofReal (c ^ 2) * ProbabilityTheory.evariance X μ


Context:
v : Sat.Valuation
l : Sat.Literal
a : Prop
c : Sat.Clause
b : Prop
h₁ : Sat.Literal.reify v l a
h₂ : Sat.Clause.reify v c b

Sat.Clause.reify v (Sat.Clause.cons l c) (a ∧ b)


Context: V : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} V

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroObject V

Context: X : V

HomologicalComplex.singleObjXSelf (ComplexShape.down ℕ) 0 X =
  CategoryTheory.Iso.refl (((HomologicalComplex.single V (ComplexShape.down ℕ) 0).obj X).X 0)


Context: x : ℂ

Complex.tan (x - ↑Real.pi) = Complex.tan x


Context:
F : Sort u_2
α : Sort u_3
β : Sort u_4
γ : Sort u_5
iF : EquivLike F β γ
f : α → β
e : F

Function.Injective (⇑e ∘ f) ↔ Function.Injective f


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
G : CategoryTheory.Functor D C

G.IsRightAdjoint ↔ ∀ (A : C), CategoryTheory.Limits.HasInitial (CategoryTheory.StructuredArrow A G)


Context: x : ℝ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u✝ t s s' u : Set α
x : α

x ∈ u → x ∈ t.ite s s' ↔ (x ∈ u ∩ t → x ∈ s) ∧ (x ∈ u \ t → x ∈ s')


Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: TopologicalSpace B

Context: TopologicalSpace F

Context: E : B → Type u_5

Context: TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)

Context: (b : B) → TopologicalSpace (E b)

Context: FiberBundle F E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulWithZero α β
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
ha✝ : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
h₂ : 0 < a₂
h₁ : 0 < b₁
h : a₁ • b₁ = a₂ • b₂
ha : a₁ < a₂

a₁ • b₁ < a₂ • b₂


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace α✝

Context: α : Type u_2

Context: f : Filter α

Context: u v : α → EReal

Context: a b : EReal

Context: h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤

Context: h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥

Context: u_nbot : ⊥ < limsup u f

Context: v_nbot : ⊥ < limsup v f

Context: v_ntop : limsup v f < ⊤

Context: limsup_v_real : ↑(limsup v f).toReal = limsup v f

Context: x : ℝ

Context: hx : limsup u f + limsup v f < ↑x

Context: y : ℝ

Context: sum_lt_y : limsup u f + limsup v f < ↑y

Context: y_lt_x : ↑y < ↑x


Context:
α : Type u
f : α → Option α
a : α
l : List α
h : f a = none

List.lookmap f (a :: l) = a :: List.lookmap f l


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: hdiam : VanishingDiam A

Context: hanti : ClosureAntitone A

Context: hnonempty : ∀ (l : List β), (A l).Nonempty

Context: x : ℕ → β

Context: u : ℕ → α

Context: hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ A (res x n)

Context: umem : ∀ (n m : ℕ), n ≤ m → u m ∈ A (res x n)

Context: this : CauchySeq u

Context: y : α

Context: hy : Tendsto u atTop (𝓝 y)

Context: n : ℕ

∀ᶠ (x_1 : ℕ) in atTop, u x_1 ∈ A (x n :: res x n)


Context: n : ℕ

Context: c : CompositionAsSet n

Context: this : take c.length c.blocks = c.blocks


Context:
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M


Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_7

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: AddCommGroup E

Context: Module 𝕜 E

Context: ι : Sort u_13

Context: p : ι → Seminorm 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: hs : Absorbent 𝕜 s

Context: h : ∀ x ∈ s, BddAbove (Set.range fun x_1 => (p x_1) x)


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
W : α → Sort w
Z : β → Sort z
h₁ : α ≃ β
h₂ : (b : β) → W (h₁.symm b) ≃ Z b
f : (b : β) → Z b
b : β

(h₁.piCongr' h₂).symm f (h₁.symm b) = (h₂ b).symm (f b)


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G

H.Characteristic ↔ ∀ (ϕ : G ≃* G), H ≤ map ϕ.toMonoidHom H


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
v : V
hv : v ∈ s.direction


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f : F
g : G
x y z : α
s✝ s : Set α

EMetric.diam s ≤ EMetric.diam (⇑f '' s) / ↑(ratio f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Part α
g : α → Part β
h : f.Dom


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SFinite μ


Context:
𝕜 : Type u_3
RCLike 𝕜
m : Type u_8
n : Type u_9
Fintype n
DecidableEq n
M : Matrix m n 𝕜
v : EuclideanSpace 𝕜 n

(Matrix.toEuclideanLin M) v = (WithLp.equiv 2 (m → 𝕜)).symm (M.mulVec ((WithLp.equiv 2 (n → 𝕜)) v))


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0

MeasureTheory.Integrable (ProbabilityTheory.gaussianPDFReal μ v) MeasureTheory.volume


Context:
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
SeminormedRing 𝕜
SeminormedRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
AddCommGroup E
AddCommGroup E₂
Module 𝕜 E
Module 𝕜₂ E₂
p : Seminorm 𝕜₂ E₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
x : E


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: e e' : PartialEquiv α β

Context: h : ∀ (x : α), ↑e x = ↑e' x

Context: hsymm : ∀ (x : β), ↑e.symm x = ↑e'.symm x

Context: hs : e.source = e'.source


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
x y : α
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
x' y' : β
h : cmp x y = cmp x' y'


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g : Ω → ℝ
hg : Integrable g μ
hgmeas : StronglyMeasurable g

∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (μ[g|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 (g x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β × γ → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)

Context: A : ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (z : β × γ), AEMeasurable.mk f hf z ∂(κ ⊗ₖ η) a

Context: B : ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), AEMeasurable.mk f hf (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
s : Set β

MeasurableSet (f ⁻¹' s) ↔ MeasurableSet (s ∩ Set.range f)


Context:
α : Sort u_1
a' : α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: n : ℕ∞

Context: h : HasMFDerivWithinAt I I' f univ x f'

Context: h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f


Context:
o : Ordinal.{u_1}
l : o.IsLimit
a : Ordinal.{u_1}

(ord ∘ aleph') o ≤ a ↔ ∀ b < o, (ord ∘ aleph') b ≤ a


Context:
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
IsPurelyInseparable F E

Field.finInsepDegree F E = FiniteDimensional.finrank F E


Context: E : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : Module ℝ E

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝² : OrderedAddCommGroup β

Context: inst✝¹ : Module ℝ β

Context: inst✝ : OrderedSMul ℝ β

Context: s : Set E

Context: f : ℝ → β

Context: a b : ℝ

Context: a_lt_b : a < b

Context: h_local_min : IsLocalMinOn f (Icc a b) a

Context: h_conv : ConvexOn ℝ (Icc a b) f

Context: c : ℝ

Context: hc : c ∈ Icc a b


Context:
α : Type u
Primcodable α
Inhabited α
β : Type v
Primcodable β
Inhabited β
p : α → Prop
q : β → Prop

ManyOneDegree.of p = ManyOneDegree.of q ↔ ManyOneEquiv p q


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
hs : s ⊆ f.source


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s✝ : Set E
hs✝ : Convex ℝ s✝
x : E
hx✝ : x ∈ interior s✝
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hx : x ∈ interior s
hb : μ (interior s) ≠ ⊤


Context:
β : Type u_2
CommMonoid β
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → β
x : Fin (n + 1)

∏ i : Fin (n + 1), f i = f x * ∏ i : Fin n, f (x.succAbove i)


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h₂ : CategoryTheory.IsIso φ.τ₂

Context: h₃ : CategoryTheory.Mono φ.τ₃


Context:
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l✝ l : Filter α

∀ (S : Set (Set α)), #↑S < ℵ₀ → (∀ s ∈ S, s ∈ l) → ⋂₀ S ∈ l


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ : C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : C
f : X ⟶ Y
x : Over X
y : Over Y
v : x ⟶ (pullback f).obj y

(v.left ≫ pullback.fst y.hom f) ≫ y.hom = ((map f).obj x).hom


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
f g : α →ₘ[μ] β
a✝ : α
ha : ↑(f ⊔ g) a✝ = ↑f a✝ ⊔ ↑g a✝


Context: G : Type u_6

Context: AddGroup G

Context: H : Type u_9

Context: AddGroup H

Context: f : G → H

Context: map_div : ∀ (a b : G), f (a + -b) = f a + -f b

⇑(AddMonoidHom.ofMapAddNeg f map_div) = f


Context:
α : Type u_1
BEq α
L : List (List α)
a : α

List.count a L.join = Nat.sum (List.map (List.count a) L)


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁶ : DivisionRing K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: A : Type u_1

Context: inst✝³ : Semiring A

Context: inst✝² : Module A V

Context: inst✝¹ : SMul K A

Context: inst✝ : IsScalarTower K A V

Context: h : finrank K V = 1

Context: this : Nontrivial V

Context: S : Submodule A V

Context: hn : ¬restrictScalars K S = restrictScalars K ⊥

restrictScalars K S = restrictScalars K ⊤


Context:
α : Type u_2
Zero α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α


Context:
a b : ℝ
n : ℕ


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{u₂, u₁} C

Context: I : Type v₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, v₁} I

Context: F : CategoryTheory.Functor I C

Context: CategoryTheory.Limits.HasColimit F

Context: CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape Iᵒᵖ (Type u₂)

Context: A : C

Context: i : I

CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.colimitHomIsoLimitYoneda F A).inv
    ((CategoryTheory.coyoneda.map (CategoryTheory.Limits.colimit.ι F i).op).app A) =
  CategoryTheory.Limits.limit.π (F.op.comp (CategoryTheory.yoneda.obj A)) (Opposite.op i)


Context:
α : Type u_2
GroupWithZero α


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X : C

(α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (β_ X (𝟙_ C)).inv ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).inv ≫ (λ_ X).hom ▷ 𝟙_ C =
  (λ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X ≫ (β_ X (𝟙_ C)).inv


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

Context: T : D

Context: Y' : C

Context: S : CategoryTheory.Functor C D

Context: f : CategoryTheory.CostructuredArrow S T

Context: g : Y' ⟶ f.left


Context: a : ℝ


Context:
α : Type u
DistribLattice α
a b c : α


Context:
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
a b : P₁
c : k

e ((AffineMap.lineMap a b) c) = (AffineMap.lineMap (e a) (e b)) c


Context:
k : Type u
Field k
n : ℕ

AlgebraicClosure.Step k (n + 1) = AlgebraicClosure.AdjoinMonic (AlgebraicClosure.Step k n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Primcodable α
Primcodable β
Primcodable γ
p : α → Prop
q : β → Prop
r : γ → Prop
h : OneOneEquiv p q

p ≤₁ r ↔ q ≤₁ r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : Bot α
a b : WithTop α


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
RingHomSurjective σ₁₂
f : F

GaloisConnection (Submodule.map f) (Submodule.comap f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
p : α × β → Prop

(∃ x ∈ s ×ˢ t, p x) ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ t, p (x, y)


Context:
G : Type u_1
Group G


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
x✝ : R

inverse (↑x + x✝) - ↑x⁻¹ + ↑x⁻¹ * x✝ * ↑x⁻¹ = inverse (↑x + x✝) - (∑ i ∈ range 2, (-↑x⁻¹ * x✝) ^ i) * ↑x⁻¹


Context:
M : Type u
Monoid M
C : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} C
X : C
f : M →* CategoryTheory.End X

∀ (x : CategoryTheory.SingleObj M), (CategoryTheory.SingleObj.functor f).obj x = X


Context:
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
s : Set ℝ≥0
hs : s.Nonempty


Context:
G : Type w
H : Type x
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
α : Type u_1
l : Filter α
x : G
u : α → G
A : Tendsto (fun x_1 => x) l (𝓝 x)
h : Tendsto u l (𝓝 x)


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a a' b b' : E
r r' : k
h : r < 1

(lineMap a b) r < b ↔ (lineMap a b) r < (lineMap a b) 1


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C

CategoryTheory.Square.arrowArrowEquivalence'.counitIso =
  CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.Square.fromArrowArrowFunctor'.comp CategoryTheory.Square.toArrowArrowFunctor')


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory C

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory D

Context: E : Type u₃

Context: CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory E

Context: B : Type u₀

Context: CategoryTheory.Category.{v₀, u₀} B

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory B

Context: F : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor B C

Context: G : CategoryTheory.LaxMonoidalFunctor D E

Context: X Y : B × D


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Preorder α
s t : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a < b
a✝ : ℕ
h : t.chainHeight = ↑a✝

(s ∪ t).chainHeight ≤ s.chainHeight + ↑a✝


Context: r : ℚ


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: S : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: S.HasHomology

Context: CategoryTheory.Limits.HasKernel S.g

Context: CategoryTheory.Limits.HasCokernel S.f

S.Exact ↔
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Limits.kernel.ι S.g) (CategoryTheory.Limits.cokernel.π S.f) = 0


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
s : Set X
f : X → Y
hf : Embedding f

IsLocallyClosed s ↔ ∃ s', IsLocallyClosed s' ∧ s' ∩ Set.range f = f '' s


Context:
ι : Type u_1
I : Box ι
inst✝ : Fintype ι


Context:
V : Type u
Quiver V
a b c : V
p : Quiver.Path a b
q₁ q₂ : Quiver.Path b c


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g

Context: X W : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : W ⟶ X

Context: x : ↑↑W.toPresheafedSpace

x ∈ Set.range ⇑((PreservesPullback.iso forgetToTop f (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))).hom ≫ pullback.fst (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))))


Context: G : Type u_1

Context: Group G

Context: tG : Monoid.IsTorsion G

Context: bounded : (Set.range fun g => orderOf g).Finite


Context:
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
s : ℕ → Set Ω
μ : MeasureTheory.Measure Ω
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
n : ℕ

MeasureTheory.Integrable (MeasureTheory.BorelCantelli.process s n) μ


Context:
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
hf : Differentiable ℂ f
hb : Bornology.IsBounded (range f)
c : ℂ
C : ℝ
C₀ : C > 0
hC : ∀ (z : ℂ), ‖f z‖ ≤ C
ε : ℝ
ε₀ : 0 < ε


Context: T : ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: hg : Function.Periodic g T

Context: h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable g MeasureTheory.volume t₁ t₂

Context: h₀ : 0 < ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x

Context: hT : 0 < T

Filter.Tendsto (fun t => ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x) Filter.atTop Filter.atTop


Context:
K : Type u_1
RCLike K
r : ℝ
n : ℤ


Context:
α : Type u
uniformSpace : UniformSpace α
CompleteSpace α
s : Set α
h : IsClosed s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α


∀ {α : Type u_1} {r : α → α → Prop} {β : Type u_2} {s : β → β → Prop} {b₁ b₂ : β},
  Sum.Lex r s (Sum.inr b₁) (Sum.inr b₂) ↔ s b₁ b₂


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
self : CompactSpace X


Context: a : ENNReal


Context:
α : Type u
inst✝¹ : Mul α
β : Type v
inst✝ : Semigroup β
f✝ f : α →ₙ* β
x : AssocQuotient α


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
t : MeasureTheory.SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure

(t.toJordanDecomposition.posPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)) ⟂ₘ
  t.toJordanDecomposition.negPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
Ring R
AddCommGroup A
Module R A
StarAddMonoid R
StarAddMonoid A
StarModule R A
r : R
hr : r ∈ skewAdjoint R
a : A
ha : a ∈ skewAdjoint A


Context:
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n : ?m.30699
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq (Finset α)
s : Finset α

s.powerset = (range (s.card + 1)).biUnion fun i => powersetCard i s


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n p : ℕ

Context: f : ℕ → ℚ := fun i => bernoulli i * ↑(p.succ.succ.choose i) * ↑n ^ (p.succ.succ - i) / ↑p.succ.succ

Context: f' : ℕ → ℚ := fun i => bernoulli' i * ↑(p.succ.succ.choose i) * ↑n ^ (p.succ.succ - i) / ↑p.succ.succ

Context: hle : 1 ≤ n + 1

Context: hne : ↑p + 1 + 1 ≠ 0

Context: h1 : ∀ (r : ℚ), r * (↑p + 1 + 1) * ↑n ^ p.succ / (↑p + 1 + 1) = r * ↑n ^ p.succ

∑ k ∈ Ico 1 n.succ, ↑k ^ p.succ = ∑ i ∈ range p.succ.succ, f' i


Context:
D : GlueData
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → Opens α
i : (ofOpenSubsets U).J
x : ↑(of α)
hx : x ∈ U i
j : (ofOpenSubsets U).J
hy : x ∈ U j

(ofOpenSubsets U).Rel ⟨i, ⟨x, hx⟩⟩ ⟨j, ⟨x, hy⟩⟩


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
s : Set α
γ : Type u_3
LinearOrder γ
TopologicalSpace γ
OrderTopology γ
δ : Type u_4
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderTopology δ
g : γ → δ
f : α → γ
hg : Continuous g
hf : LowerSemicontinuousOn f s
gmon : Antitone g


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s
V : Set α
hV : V ∈ l


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
W : α → Sort w
Z : β → Sort z
h₁ : α ≃ β
h₂ : (b : β) → W (h₁.symm b) ≃ Z b

⇑(h₁.piCongr' h₂) = fun f b => (h₂ b) (f (h₁.symm b))


Context: a b : Ordinal.{u_1}


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Ring S
inst✝⁹ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra K E
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
x : L

(L →ₐ[K] AlgebraicClosure L) → AlgebraicClosure L


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
a : α
b : Option β

Option.map₂ f (some a) b = Option.map (fun b => f a b) b


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: G : C

Context: ∀ (A : C), CategoryTheory.Limits.HasCoproduct fun x => G

CategoryTheory.IsSeparator G ↔ ∀ (A : C), CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.Limits.Sigma.desc fun f => f)


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
Ring 𝕜
AddCommGroup V
Module 𝕜 V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
s t : Set P
h : s ⊆ t

intrinsicClosure 𝕜 s ⊆ intrinsicClosure 𝕜 t


Context:
α : Type u
Infinite α
s : Set α
hf : s.Finite


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : BorelSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ✝ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MetrizableSpace α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hs : IsCompact s

Context: hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < μ (u ∩ s)

Context: c : α → ℝ

Context: hc : ContinuousOn c s

Context: h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀

Context: hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x

Context: hnc₀ : 0 < c x₀

Context: h₀ : x₀ ∈ s

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : ContinuousWithinAt g s x₀

Context: φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n

Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))


Context: E : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: hs : s ∈ 𝓝 0

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: cn_ne : ∀ (n : ℕ), c ^ n ≠ 0

Context: A : ∀ (x : E), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x ∈ c ^ n • s


Context:
n : ℕ+
h : n < 2


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: TopologicalSpace α

Context: LinearOrder α

Context: OrderClosedTopology α

Context: f g : β → α

Context: TopologicalSpace β

Context: TopologicalSpace γ

Context: (x : β) → Decidable (f x ≤ g x)

Context: f' g' : β → γ

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: hf' : ContinuousOn f' {x | f x ≤ g x}

Context: hg' : ContinuousOn g' {x | g x ≤ f x}

Context: hfg : ∀ (x : β), f x = g x → f' x = g' x

Continuous fun x => if f x ≤ g x then f' x else g' x


Context:
x : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hn : n ≠ 0


Context: a : UnitAddCircle

Tendsto (fun s => hurwitzZeta a s - 1 / (s - 1) / s.Gammaℝ) (𝓝 1) (𝓝 (hurwitzZeta a 1))


Context:
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
a : 𝕎 k
ha : a.coeff 0 ≠ 0
b : 𝕎 k
hb : b.coeff 0 ≠ 0
n✝ : ℕ
ha0 : (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a ≠ 0
n : ℕ
hb0 : (⇑verschiebung)^[n + 1] b ≠ 0
hab : 1 = 0

IsUnit ((⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a) ∨ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n + 1] b)


Context:
n : ℕ+
K : Type u
L : Type v
Field K
CommRing L
IsDomain L
Algebra K L
IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

(IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen ∈ Algebra.adjoin K {ζ - 1}


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → G
s✝ : Set α
x✝ : α
x : G
s : Set G

x ∈ closure s ↔ ∀ U ∈ 𝓝 1, ∃ y ∈ s, y / x ∈ U


Context:
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : NonUnitalSubsemiring R


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_4
NormedField 𝕜'
NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
CompleteSpace 𝕜'
n : ℕ∞


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
H : ∀ (a : α), a ∈ l → p a

pmap f l H = map (fun x => f ↑x ⋯) l.attach


Context: R : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring ι

Context: inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)

Context: inst✝⁹ : DecidableEq ι

Context: 𝒜 : ι → Type u_5

Context: ℬ : ι → Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)

Context: inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜

Context: inst✝² : DirectSum.GRing ℬ

Context: inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜

Context: inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ

Context: x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i

Context: r : R

Context: i✝¹ : ι

Context: x✝¹ : 𝒜 i✝¹

Context: i✝ : ι

Context: x✝ : ℬ i✝

((lof R ι 𝒜 i✝¹) x✝¹ * (lof R ι 𝒜 0) (DirectSum.GAlgebra.toFun r)) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ i✝) x✝ * 1) = (r • (lof R ι 𝒜 i✝¹) x✝¹) ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ i✝) x✝


Context: E : Type u_1

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace ℂ E

Context: f : ℝ → E

Context: T : Set ℝ

Context: hT : T ⊆ Set.Ioi 0

Context: hT' : MeasurableSet T

Context: hfc : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (MeasureTheory.volume.restrict (Set.Ioi 0))

Context: s : ℂ

MeasureTheory.IntegrableOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) T MeasureTheory.volume ↔
  MeasureTheory.IntegrableOn (fun t => t ^ (s.re - 1) * ‖f t‖) T MeasureTheory.volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: hx : I.IsInteriorPoint x₀

Context: left✝ : ContinuousAt (fun x => { proj := x, snd := v x }) x₀

Context: hv : ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent { proj := x₀, snd := v x₀ }) ∘ (fun x => { proj := x, snd := v x }) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)

∃ γ, γ t₀ = x₀ ∧ IsIntegralCurveAt γ v t₀


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
x : ↥S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
One β
f : α → β
s : Set α
hs : ∀ a ∈ frontier s, f a = 1
hf : ContinuousOn f (closure s)


Context:
R : Type u
EuclideanDomain R
DecidableEq R
x : R


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a✝¹ b✝¹ : α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a✝ b✝ c : α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α

Context: ba : b ≤ a


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
RingHomSurjective σ₁₂
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
p q : Submodule R₂ M₂

Submodule.map f (Submodule.comap f p ⊔ Submodule.comap f q) = p ⊔ q


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
W : Submodule R (Module.Dual R M)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B C : Finset α

Context: hAB : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card

Context: hA : A.Nonempty

Context: n : ℕ

Context: ih : ↑(A * B ^ n).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ n * ↑A.card

↑((A * B).card * (A * B ^ n).card) ≤ ↑(A * B).card * ((↑(A * B).card / ↑A.card) ^ n * ↑A.card)


Context:
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: I✝ : MultispanIndex C

Context: K : Multicofork I✝

Context: I : MultispanIndex C

Context: P : C

Context: π : (b : I.R) → I.right b ⟶ P

Context: w : ∀ (a : I.L), I.fst a ≫ π (I.fstFrom a) = I.snd a ≫ π (I.sndFrom a)

∀ ⦃X Y : WalkingMultispan I.fstFrom I.sndFrom⦄ (f : X ⟶ Y), I.multispan.map f ≫ (fun x => match x with | WalkingMultispan.left a => I.fst a ≫ π (I.fstFrom a) | WalkingMultispan.right b => π b) Y = (fun x => match x with | WalkingMultispan.left a => I.fst a ≫ π (I.fstFrom a) | WalkingMultispan.right b => π b) X ≫ ((Functor.const (WalkingMultispan I.fstFrom I.sndFrom)).obj P).map f


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set X
hs : IsSigmaCompact s
hf : ContinuousOn f s


Context:
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
NormedAddCommGroup V
NormedAddCommGroup W
NormedField R
NormedSpace R V
NormedSpace R W
f : V →ᴬ[R] W

⇑f = ⇑f.contLinear + Function.const V (f 0)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
fa : AnalyticOn 𝕜 f Set.univ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Fintype ι
DecidableEq ι
b : Basis ι R M
ij : ι × ι

b.end ij = (Matrix.toLin b b) ((Matrix.stdBasis R ι ι) ij)


Context: C : CategoryTheory.Cat

CategoryTheory.Quiv.forget.obj C = CategoryTheory.Quiv.of ↑C


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
h : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ
hs : μ s ≠ ⊤


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : Field R

Context: p✝ q : R[X]

Context: inst✝¹ : CommSemiring k

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: ϕ : R →+* k

Context: f g : R[X]

Context: α : k

Context: hα : eval₂ ϕ α (EuclideanDomain.gcd f g) = 0

Context: p : R[X]

Context: hp : f = EuclideanDomain.gcd f g * p


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f✝ : ℕ → Ω → ℝ

Context: N✝ n m : ℕ

Context: ω✝ : Ω

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N : ℕ

Context: ω : Ω

Context: hab : a < b

Context: h : ¬∃ n, upperCrossingTime a b f N n ω = N


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: ι₂ : Sort u_6

Context: κ : ι → Sort u_7

Context: κ₁ : ι → Sort u_8

Context: κ₂ : ι → Sort u_9

Context: κ' : ι' → Sort u_10

Context: π : α → Type u_11

Context: i : Set α

Context: s t : (a : α) → Set (π a)

Context: x : (i : α) → π i

Context: a : α

Context: ha : a ∈ i

Context: hx : (∀ i_1 ∈ i, x i_1 ∈ s i_1) ∧ ∀ x_1 ∈ i, eval x_1 x ∈ s x_1 → eval x_1 x ∈ t x_1


Context:
R : Type u
Semiring R
StrongRankCondition R
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
f : (α →₀ R) →ₗ[R] β →₀ R
i : Function.Injective ⇑f


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommSemiring S

Context: p q : ℕ

Context: inst✝ : ExpChar R p

Context: f : R[X]

Context: n✝ : ℕ

Context: n_ih : map (frobenius R p ^ n✝) ((expand R (p ^ n✝)) f) = f ^ p ^ n✝

f ^ p ^ (n✝ + 1) = map (frobenius R p ^ (n✝ + 1)) ((expand R (p ^ (n✝ + 1))) f)


Context: α : Type u_1

Context: Add α

Context: PartialOrder α

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c d : α

Context: hac : a ≤ c

Context: hbd : b ≤ d


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CancelMonoidWithZero M₀
a b c : M₀


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
Module R M
Module R N
Module R P
r : R
f : N →ₗ[R] P

LinearMap.lTensor M (r • f) = r • LinearMap.lTensor M f


Context:
α : Type u_1
NormedAddCommGroup α
Lattice α
self : HasSolidNorm α
x y : α


Context: B : Type u

Context: CategoryTheory.Bicategory B

Context: a b : B

Context: f g : a ⟶ b

Context: CategoryTheory.BicategoricalCoherence f g


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: P : Ideal R[X]

Context: Pb : P ≠ ⊥

Context: hP : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: m : ↥P

Context: hm : m ≠ 0

Context: pp0 : Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) ↑m = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
h₁ : a ≤ d
h₂ : c ≤ b

Ico a b ∪ Ico c d = Ico (min a c) (max b d)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
r : ℝ≥0∞
h : r < infEdist x s


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' : D
f : F.obj X ⟶ Y
g : Y ⟶ Y'

(adj.homEquiv X Y') (f ≫ g) = (adj.homEquiv X Y) f ≫ G.map g


Context:
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Mul β
f g : FreeMagma α →ₙ* β
h : ⇑f ∘ of = ⇑g ∘ of
x x✝ y✝ : FreeMagma α
a✝¹ : f x✝ = g x✝
a✝ : f y✝ = g y✝


Context:
α : Type u
TopologicalSpace α
x y : α

ConnectedComponents.mk x = ConnectedComponents.mk y ↔ x ∈ connectedComponent y


Context:
K : Type u
DivisionRing K
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subfield K
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C

Context: S : C

Context: E : CategoryTheory.PreOneHypercover S

Context: E.HasPullbacks

Context: mem₀ : E.sieve₀ ∈ J.sieves S

Context: mem₁' : ∀ (i₁ i₂ : E.I₀), E.sieve₁' i₁ i₂ ∈ J.sieves (CategoryTheory.Limits.pullback (E.f i₁) (E.f i₂))

(CategoryTheory.GrothendieckTopology.OneHypercover.mk' E mem₀ mem₁').toPreOneHypercover = E


Context:
J : Type v
CategoryTheory.Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
c : CategoryTheory.Limits.Cone F

Nonempty (CategoryTheory.Limits.IsLimit c) ↔ ∀ s ∈ F.sections, ∃! x, ∀ (j : J), c.π.app j x = s j


Context:
R : Type u_1
Semiring R

∀ (x x_1 : R[X]),
  Polynomial.mul x x_1 =
    match x, x_1 with
    | { toFinsupp := a }, { toFinsupp := b } => { toFinsupp := a * b }


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: h : s.totalVariation ≪ μ.toENNRealVectorMeasure.ennrealToMeasure


Context:
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
this : 0 < ↑n + 1


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : D
T : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : PreservesLimits T
A : StructuredArrow S T

∀ {a b : Subobject A}, { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } a ≤ { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } b ↔ a ≤ b


Context:
α : Type u_1
a : α
l : List α
h : a ∈ l


Context:
α : Type u_3
TopologicalSpace α
self : LocallyConnectedSpace α
x : α

(𝓝 x).HasBasis (fun s => IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ IsConnected s) id


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasCoproducts Cᵒᵖ


Context: V : Type u_1

Context: NormedAddCommGroup V

Context: InnerProductSpace ℝ V

Context: Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y : V

Context: h : o.oangle x y = 0


Context:
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s : Set α
x : α
hs : IsLUB s x
hx : ¬Order.IsSuccLimit x


Context: R : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R

Context: a✝ b x y : R

Context: p : ℕ

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: hp : Prime ↑p

Context: hp1 : Odd p

Context: hxy : ↑p ∣ x - y

Context: hx : ¬↑p ∣ x

Context: a : ℕ

Context: h_ind : multiplicity (↑p) (x ^ p ^ a - y ^ p ^ a) = multiplicity (↑p) (x - y) + ↑a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : LinearOrder α
h : M.BlockTriangular b
a : α
x✝ : a ∈ univ
ha : a ∉ image b univ


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
g : α → F α
x : α

(QPF.corecF g x).dest = (QPF.P F).map (QPF.corecF g) (QPF.repr (g x))


Context: α : Type u_1

Context: TopologicalSpace α

Context: s t : TopologicalSpace.PositiveCompacts α

Context: h : ↑s = ↑t


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
PartialOrder α
CommMonoid M
f : α → M
LocallyFiniteOrderTop α
a : α

(∏ x ∈ Finset.Ioi a, f x) * f a = ∏ x ∈ Finset.Ici a, f x


Context:
α : Type u_1
l : List α


Context: m : Type u_1

Context: n✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n✝

Context: inst✝³ : Fintype n✝

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: k✝ : Fin (n + 1)

Context: k : Fin n

Context: ih : ∀ (c : Fin n → R), (∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → c i = 0) → ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R}, (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) → (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det

Context: c : Fin n → R

Context: hc : ∀ (i : Fin n), k.succ < i.succ → c i = 0

Context: h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j

Context: hsucc : ∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j

Context: M' : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R := M.updateRow k.succ (N k.succ)

Context: hM' : M' = M.updateRow k.succ (N k.succ)

Context: hM : M = M'.updateRow k.succ (M' k.succ + c k • M k.castSucc)

Context: k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ

Context: M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc

Context: i : Fin n

Context: j : Fin n.succ

M' i.succ j = N i.succ j + update c k 0 i * M' i.castSucc j


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: F : CategoryTheory.Limits.MonoFactorisation f

Context: Y' : C

Context: g : Y ⟶ Y'

Context: CategoryTheory.Mono g


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory C

Context: CategoryTheory.Limits.HasCoequalizers C

Context:
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft X)

Context:
(X : C) →
    CategoryTheory.Limits.PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁}
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight X)

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N : Bimod Y Z

M.whiskerLeft (𝟙 N) = 𝟙 (M.tensorBimod N)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : TopologicalAddGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
x✝¹ : M →L[R] M
x✝ : M


Context: I : Type u

Context: inst✝²⁵ : AddMonoid I

Context: C : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝²³ : MonoidalCategory C

Context: X₁ X₂ X₃ X₄ : GradedObject I C

Context: inst✝²² : X₁.HasTensor X₂

Context: inst✝²¹ : X₂.HasTensor X₃

Context: inst✝²⁰ : X₃.HasTensor X₄

Context: inst✝¹⁹ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃

Context: inst✝¹⁸ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ X₃)

Context: inst✝¹⁷ : (tensorObj X₂ X₃).HasTensor X₄

Context: inst✝¹⁶ : X₂.HasTensor (tensorObj X₃ X₄)

Context: inst✝¹⁵ : (tensorObj (tensorObj X₁ X₂) X₃).HasTensor X₄

Context: inst✝¹⁴ : (tensorObj X₁ (tensorObj X₂ X₃)).HasTensor X₄

Context: inst✝¹³ : X₁.HasTensor (tensorObj (tensorObj X₂ X₃) X₄)

Context: inst✝¹² : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄))

Context: inst✝¹¹ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor (tensorObj X₃ X₄)

Context: inst✝¹⁰ : X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor X₂ X₃

Context: inst✝⁹ : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ X₃

Context: inst✝⁸ : X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor (tensorObj X₂ X₃) X₄

Context: inst✝⁷ : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ (tensorObj X₂ X₃) X₄

Context: inst✝⁶ : X₂.HasGoodTensor₁₂Tensor X₃ X₄

Context: inst✝⁵ : X₂.HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄

Context: inst✝⁴ : (tensorObj X₁ X₂).HasGoodTensor₁₂Tensor X₃ X₄

Context: inst✝³ : (tensorObj X₁ X₂).HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄

Context: inst✝² : X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor X₂ (tensorObj X₃ X₄)

Context: inst✝¹ : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ (tensorObj X₃ X₄)

Context: inst✝ : X₁.HasTensor₄ObjExt X₂ X₃ X₄

Context: j i₁ i₂ i₃ i₄ : I

Context: h : i₁ + i₂ + i₃ + i₄ = j

(α_ (X₁ i₁) (X₂ i₂) (X₃ i₃ ⊗ X₄ i₄)).inv ≫ (α_ (X₁ i₁ ⊗ X₂ i₂) (X₃ i₃) (X₄ i₄)).inv ≫ ιTensorObj₃' X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ (i₁ + i₂ + i₃) ⋯ ▷ X₄ i₄ ≫ ιTensorObj (tensorObj (tensorObj X₁ X₂) X₃) X₄ (i₁ + i₂ + i₃) i₄ j ⋯ = ιTensorObj₄ X₁ X₂ X₃ X₄ i₁ i₂ i₃ i₄ j h ≫ (associator X₁ X₂ (tensorObj X₃ X₄)).inv j ≫ (associator (tensorObj X₁ X₂) X₃ X₄).inv j


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr✝ : r ≠ 0
hr : 0 < r


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
M' : Type u_10
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
f : M' → M

Smooth I' (I.transDiffeomorph e) f ↔ Smooth I' I f


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J

∀ ⦃x : (i : ι) → φ i⦄, ((∀ i ∈ Iᶜ, x i = 0) ∧ ∀ i ∈ Jᶜ, x i = 0) → ∀ (a : ι), x a = 0 a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ ν μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν

Context: inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r ≠ ⊤

Context: h : (r.toNNReal • ν).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] r.toNNReal • ν.rnDeriv μ

(r • ν).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] r • ν.rnDeriv μ


Context:
α : Type u_1
s t : Finset α
h : t.card ≤ s.card


Context:
α : Type u_2
DecidableEq α
InvolutiveNeg α
s : Finset α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
f g : CauSeq β abv
h : ∀ (i : ℕ), ↑f i = ↑g i


Context: ι : Type u_1

(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).toEquiv = WithLp.equiv 2 ((i : ι) → (fun x => ℝ) i)


Context:
p : ℕ
hp : Prime p
this : p = p - 2 + 2


Context:
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul 𝕜 E
F' : Type x
AddCommGroup F'
Module 𝕜 F'
TopologicalSpace F'
TopologicalAddGroup F'
ContinuousSMul 𝕜 F'
CompleteSpace 𝕜
T2Space E
FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F'

LinearMap.ker (LinearMap.toContinuousLinearMap f) = LinearMap.ker f


Context:
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α

(l.node4R x m y r).dual = r.dual.node4L y m.dual x l.dual


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
π : ι → Set (Set α)
i : ι
s : Set α

s ∈ piiUnionInter π {i} ↔ s ∈ π i ∪ {univ}


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_2

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: μs_lim : Tendsto (ProbabilityMeasure.toFiniteMeasure ∘ fun i => (μs i).normalize) F (𝓝 μ.normalize.toFiniteMeasure)

Context: mass_lim : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass)

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: h_mass : ¬μ.mass = 0

Tendsto (fun i => (μs i).mass * (μs i).normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f) F (𝓝 (μ.mass * μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f))


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: f : M ↪[L] N

Context: s : L.Substructure M

Context: t : Finset N

Context: h : (closure L).toFun ↑t = Substructure.map f.toHom s

Context: hf : Function.Injective ⇑f.toHom

Context: x : N

Context: hx : x ∈ ↑t


Context:
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalSemiring α
Fintype n
StarRing α
A : Matrix m n α
x : n → α


Context:
n m : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
Q : Fin2 n → MvPFunctor.{u} m
α✝ β : TypeVec.{u} m
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
i : Fin2 n
x : α i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: h✝ : Nonempty α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: S : Set (Set α) := {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}

Context: T : Set (Set α)

Context: T_count : T.Countable

Context: TS : T ⊆ S

Context: hT : ⋃₀ T = univ

Context: T_ne : T.Nonempty

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf : T = range f

Context: fS : ∀ (n : ℕ), f n ∈ S


Context:
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x y : R


Context:
α : Type u
l : List α
n m : ℕ
hml : m < l.length
hm : m < (drop (n % l.length) l).length

(drop (n % l.length) l ++ take (n % l.length) l)[m]? = l[(m + n) % l.length]?


Context:
ι : Type v
β : ι → Type w
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
DecidableEq ι
(i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
x : DirectSum ι fun i => β i

∑ i ∈ DFinsupp.support x, (DirectSum.of β i) (x i) = x


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α

toIcoMod hp (-a) b = p - toIocMod hp a (-b)


Context:
D : GlueData
i j : D.J
U : Set ↑(D.U i)

Function.Bijective ((forget TopCat).map (D.t i j))


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing A

Context: inst✝⁸ : Ring B

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: f✝ : R →+* S

Context: M : Type u_5

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module A M

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A M

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A M

Context: N : Submodule R M

Context: hN : N ≠ ⊥

Context: hN' : N.FG

Context: x : A

Context: hx : ∀ n ∈ N, x • n ∈ N

Context: A' : Subalgebra R A := { carrier := {x | ∀ n ∈ N, x • n ∈ N}, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, algebraMap_mem' := ⋯ }

Context: f : ↥A' →ₐ[R] Module.End R ↥N := AlgHom.ofLinearMap { toFun := fun x => (DistribMulAction.toLinearMap R M x).restrict ⋯, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } ⋯ ⋯

Context: a : M

Context: ha₁ : a ∈ N

Context: ha₂ : a ≠ 0

Context: this : Function.Injective ⇑f


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSpace Ω'
ν : FiniteMeasure Ω
f : Ω → Ω'
f_aemble : AEMeasurable f ↑ν
A : Set Ω'
A_mble : MeasurableSet A
this : ↑(ν.map f) A = ↑ν (f ⁻¹' A)


Context:
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
h : a ⩿ b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α

Context: inst✝³ : PartialOrder α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : ZeroLEOneClass α

Context: inst✝ : CharZero α

Context: m n : ℕ

1 ≤ ↑n ↔ 1 ≤ n


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
R : Type u_4
Zero X
Zero Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace R
CommSemiring R
StarRing R
TopologicalSemiring R
ContinuousStar R
f : ContinuousMapZero X Y
g : ContinuousMapZero Y R

(ContinuousMapZero.nonUnitalStarAlgHom_precomp R f) g = g.comp f


Context:
X : Type u_1
LinearOrder X
TopologicalSpace X
OrderTopology X
a : X
s t : Set X
hd : Disjoint s (closure t)
ha : a ∈ s

(s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ ∈ 𝓝[≤] a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l : Filter α
f : α → β
lc : Filter γ
g : γ → α
hg : Filter.Tendsto g lc l


Context:
M : Type u_5
CommMonoid M
s : List M

(List.map (fun i => {i}) s).prod = {s.prod}


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : AddCancelMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
p q : A × A
n : A
hp : p ∈ antidiagonal n
hq : q ∈ antidiagonal n


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame


Context:
J : Type w
C : Type uC
inst✝³ : Category.{uC', uC} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
inst✝ : HasZeroMorphisms D
F f : J → C
t : Bicone f
ht : IsLimit t.toCone
j : J
j' : Discrete J

t.ι j ≫ t.toCone.π.app j' = (Fan.mk (f j) fun j' => if h : j = j' then eqToHom ⋯ else 0).π.app j'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Ring α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: a : ℕ

Context: b : ℤ

multiplicity a b.natAbs = multiplicity (↑a) b


Context:
R : Type u
Semiring R
a : R
m : ℕ

((Polynomial.monomial m) a).natDegree ≤ m


Context: n d k : ℕ


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
P : C → Prop
inst✝² : MonoidalPredicate P
P' : C → Prop
inst✝¹ : MonoidalPredicate P'
inst✝ : BraidedCategory C
X Y : FullSubcategory P

(fullMonoidalSubcategoryInclusion P).map (β_ X Y).hom = inv ((fullMonoidalSubcategoryInclusion P).μ X Y) ≫ (β_ ((fullMonoidalSubcategoryInclusion P).obj X) ((fullMonoidalSubcategoryInclusion P).obj Y)).hom ≫ (fullMonoidalSubcategoryInclusion P).μ Y X


Context:
a b m n k : ℕ
p : ℕ → Prop
H' : ¬p 0
H : ∃ n, p n


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
i : Fin2 n
x : F α

MvFunctor.supp x i = {u | ∀ (a : (MvQPF.P F).A) (f : (MvQPF.P F).B a ⟹ α), MvQPF.abs ⟨a, f⟩ = x → u ∈ f i '' Set.univ}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g✝ : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
g : α → β
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hg : Memℒp g p μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
hε_top : ¬↑ε = ⊤
s : Set α
left✝ : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
hgε : eLpNorm (sᶜ.indicator g) p μ < ↑ε

∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator ((fun x => g) i)) p μ ≤ ↑ε


Context:
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
C : CochainComplex V ℕ
i : ℕ


Context: I : Type u

Context: LinearOrder I

Context: IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Profinite.NobelingProof.Products I

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hl : ∀ i ∈ ↑l, Profinite.NobelingProof.ord I i < o

Profinite.NobelingProof.Products.eval C '' {m | m < l} =
  ⇑(Profinite.NobelingProof.πs C o) ''
    (Profinite.NobelingProof.Products.eval (Profinite.NobelingProof.π C fun x => Profinite.NobelingProof.ord I x < o) ''
      {m | m < l})


Context:
α : Type u_2
Preorder α
s : Set α
h : s.IsWF
a : α


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
NormedField 𝕜
(i : ι) → TopologicalSpace (E i)
(i : ι) → AddCommGroup (E i)
(i : ι) → Module 𝕜 (E i)
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
TopologicalSpace F
TopologicalAddGroup F

(𝓝 0).HasBasis (fun SV => Bornology.IsVonNBounded 𝕜 SV.1 ∧ SV.2 ∈ 𝓝 0) fun SV => {f | Set.MapsTo (⇑f) SV.1 SV.2}


Context: M : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module ℤ M

Context: inst✝ : Finite ℤ M

Context: hM : IsTorsion ℤ M

Context: ι : Type

Context: w✝ : Fintype ι

Context: p : ι → ℤ

Context: h : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)

Context: e : ι → ℕ

Context: l : M ≃ₗ[ℤ] ⨁ (i : ι), ℤ ⧸ Submodule.span ℤ {p i ^ e i}


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝¹ : CommMonoid C
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : AddChar (ZMod n) C
hψ : ψ.IsPrimitive
a : ZMod n
h : ψ a = 1


Context: n p : ℕ

p ∈ n.primeFactorsList ↔ Prime p ∧ p ∣ n ∧ n ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n

(f.pdiv g) (m * n) = (f.pdiv g) m * (f.pdiv g) n


Context:
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E
s : Set E
x : E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_4
s : ι → Set α
a : α
h : ∀ (i : ι), a ∈ s i


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
f g : CategoryTheory.Under X
h : f ⟶ g
CategoryTheory.Mono h


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: g : α → ι → ℝ

Context: K : ℝ≥0

Context: hg : ∀ (i : ι), LipschitzWith K fun x => g x i

Context: a₀ a : α

Context: M : ℝ

Context: hM : M ∈ upperBounds (Set.range fun i => ‖g a₀ i‖)


Context:
p q : ℚ
hq : 0 ≤ q
hp : 0 ≤ p


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
a✝ : x ∉ s
hy : y ∉ s

(y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)) ↔ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)


Context:
S : LightProfinite
n m : ℕ
h : n ≤ m

⇑(S.transitionMapLE h) ∘ ⇑(S.proj m) = ⇑(S.proj m ≫ S.diagram.map (Opposite.op (homOfLE h)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: X : Type u_5

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace X

Context: μ : Measure X

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: Es : ℕ → Set X

Context: Es_mble : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (Es i)

Context: Es_disj : Pairwise fun n m => Disjoint (Es n) (Es m)

Context: decr : Antitone fun n => ⋃ i, ⋃ (_ : i ≥ n), Es i

Tendsto (⇑μ ∘ fun n => ⋃ i, ⋃ (_ : i ≥ n), Es i) atTop (𝓝 0)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
n₁ n₂ : ℤ
K : CochainComplex C ℤ
x✝² x✝¹ : ℤ
x✝ : (ComplexShape.up ℤ).Rel x✝² x✝¹

(XIsoOfEq K ⋯).hom ≫ (n₂.negOnePow • n₁.negOnePow • K.d (x✝² + n₂ + n₁) (x✝¹ + n₂ + n₁)) = ((n₁ + n₂).negOnePow • K.d (x✝² + (n₁ + n₂)) (x✝¹ + (n₁ + n₂))) ≫ (XIsoOfEq K ⋯).hom


Context:
R : Type u
CommRing R
E : EllipticCurve R

E.variableChange WeierstrassCurve.VariableChange.id = E


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n✝ : ℕ

Context: P : ℕ → Prop

Context: this : IsPoly p fun {R} [CommRing R] x => select P x + select (fun i => ¬P i) x

Context: R : Type u_1

Context: R._inst : CommRing R

Context: x : 𝕎 R

Context: n m : ℕ

Context: x✝ : m ∈ Finset.range (n + 1)

(if P m then X m ^ p ^ (n - m) else 0) + (if ¬P m then X m else 0) ^ p ^ (n - m) = X m ^ p ^ (n - m)


Context:
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
k m n : ℕ
km : k ≤ m
mn : m ≤ n

FirstOrder.Language.BoundedFormula.castLE mn ∘ FirstOrder.Language.BoundedFormula.castLE km =
  FirstOrder.Language.BoundedFormula.castLE ⋯


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y : M₀
h : IsUnit x


Context:
v : ℤ
h : 1 * v = -1


Context:
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
s : Set A

(NonUnitalAlgebra.adjoin R s).toSubmodule = Submodule.span R ↑(Subsemigroup.closure s)


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
TopologicalSpace A
B : Type u_3
Semiring B
TopologicalSpace B
Algebra R A
Algebra R B

↑(ContinuousAlgHom.snd R A B) = AlgHom.snd R A B


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasColimit (CategoryTheory.Limits.Types.constPUnitFunctor C)

CategoryTheory.IsConnected C ↔
  Nonempty (CategoryTheory.Limits.colimit (CategoryTheory.Limits.Types.constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{w + 1})


Context:
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
CommRing R'
CommRing S'
Algebra R' S'
P' : Algebra.Generators R' S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
f : P.Hom P'

f.comp (Algebra.Generators.Hom.id P) = f


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_4

Context: MeasurableSpace α

Context: NormedAddCommGroup E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E p μ)

↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toSimpleFunc f) =ᵐ[μ] ↑↑↑f


Context:
p : Nat.Primes
s : ℂ
hs : 1 < s.re


Context:
α : Type u
β : Type v
Ring α
F : Type u_1
Ring β
FunLike F α β
RingHomClass F α β
f : F
u : αˣ


Context:
p : ℕ → Prop
DecidablePred p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
γ : Type u_5
f g : α → γ
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs_zero : μ s = 0

(fun x => if x ∈ s then f x else g x) =ᶠ[ae μ] g


Context:
α : Type u_1
Finite α
h : Nontrivial α


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: v : E → E

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hv : ContDiffAt ℝ 1 v x₀

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: w✝² : ℝ≥0

Context: w✝¹ w✝ : ℝ

Context: hpl : IsPicardLindelof (fun x => v) (t₀ - ε) t₀ (t₀ + ε) x₀ w✝² w✝¹ w✝

∃ f, f t₀ = x₀ ∧ ∃ ε > 0, ∀ t ∈ Ioo (t₀ - ε) (t₀ + ε), HasDerivAt f (v (f t)) t


Context:
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
h₁ : 0 < a
h₂ : a < 1


Context:
R : Type u_3
M : Type u_4
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : tsze R M


Context:
G : Type u_1
Mul G
self : UniqueProds G
A B : Finset G

A.Nonempty → B.Nonempty → ∃ a0 ∈ A, ∃ b0 ∈ B, UniqueMul A B a0 b0


(Sheaf.finestTopologySingle (yoneda.obj (ULift.{u, 0} Bool))).sieves = typesGrothendieckTopology.sieves


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
FiniteDimensional ℝ E

Besicovitch.multiplicity E ≤ 5 ^ FiniteDimensional.finrank ℝ E


Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: c : ContinuousOn f (Set.Icc a b)

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: f' : C(↑(Set.Icc a b), ℝ) := { toFun := fun x => f ↑x, continuous_toFun := ⋯ }

∃ p, ∀ x ∈ Set.Icc a b, |Polynomial.eval x p - f x| < ε


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
x : EReal
hx : x < ⊤
y : ℚ
hxy : x < ↑↑y


Context:
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
a : α
ha : 0 ≤ a


Context:
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a b : α
c : α
h : a ≡ b [PMOD p]


Context:
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
CompactSpace Y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
g : γ → α
s : Set γ
t : Set β

Set.MapsTo f (g '' s) t ↔ Set.MapsTo (f ∘ g) s t


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)

Context: mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯

Context: msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯

Context: m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂

Context: s : Set α

⨅ t, ⨅ (ht : P t), ⨅ (_ : s ⊆ t), m t ht ≤ (inducedOuterMeasure m P0 m0) s


Context:
K : Type u_1
Field K
t : ℕ
Invertible ↑t


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: I : CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex C

Context: CategoryTheory.Limits.HasProduct I.left

Context: CategoryTheory.Limits.HasProduct I.right

Context: K₁ K₂ : CategoryTheory.Limits.Multifork I

Context: f : K₁ ⟶ K₂


Context:
n : ℕ
self : Fin n


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → E
h : s =ᶠ[ae μ] t

⨍ (x : α) in s, f x ∂μ = ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ


Context:
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜₁
NormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
SeminormedAddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
NormedSpace 𝕜₁ M₁
Module 𝕜₂ M₂
UniformSpace M₂
UniformAddGroup M₂
ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
T2Space M₂
CompleteSpace M₂

(compactOperator σ₁₂ M₁ M₂).topologicalClosure = compactOperator σ₁₂ M₁ M₂


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : C
f : CategoryTheory.End X


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : SeminormedGroup E

Context: inst✝¹ : SeminormedGroup F

Context: inst✝ : SeminormedGroup G

Context: s : Set E

Context: a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E

Context: r r₁ r₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: l : Filter α

Context: hf : Tendsto f l (𝓝 1)

Context: op : E → F → G

Context: A : ℝ

Context: h_op : ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ A * ‖x‖ * ‖y‖

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ᶠ (x : ℝ) in map (Norm.norm ∘ g) l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x C

Tendsto (fun x => op (f x) (g x)) l (𝓝 1)