Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : s ∩ ⋂ i, t i = ∅
U : ι → Set X := tᶜ
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
u : Set ι
hucount : u.Countable
husub : Disjoint (⋃ i ∈ u, U i)ᶜ s


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasStrictFDerivAt c c' x
hd : HasStrictFDerivAt d d' x
z : E


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
s : σ →₀ ℕ
x : MvPolynomial σ R
s' : σ →₀ ℕ

MvPolynomial.coeff s' (x.divMonomial s) = MvPolynomial.coeff (s + s') x


Context:
n k : ℕ
h : n ∈ k.smoothNumbers

∃ s ∈ k.primesBelow.powerset, ∃ m, n = m ^ 2 * s.prod id


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: S : IntermediateField F E

Context: t : Finset E

Context: ht : Algebra.adjoin F ↑t = S.toSubalgebra


Context:
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
DecidableEq α
a : α
s : Multiset α

(Multiset.ndinsert a s).gcd = gcd a s.gcd


Context:
s : Set ℤ
h : ¬BddAbove s


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
y : M
h : x ∈ span R {y}


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M

(weightSpace M 0).normalizer ≤ weightSpace M 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Module.Flat R M₂
rs : List R
h : IsWeaklyRegular M rs


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C

Context: K : CategoryTheory.Limits.Multicofork I

Context: desc : (E : CategoryTheory.Limits.Multicofork I) → K.pt ⟶ E.pt

Context:
fac :
  ∀ (E : CategoryTheory.Limits.Multicofork I) (i : I.R), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (K.π i) (desc E) = E.π i

Context:
uniq :
  ∀ (E : CategoryTheory.Limits.Multicofork I) (m : K.pt ⟶ E.pt),
    (∀ (i : I.R), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (K.π i) m = E.π i) → m = desc E

Context: E : CategoryTheory.Limits.Multicofork I

(CategoryTheory.Limits.Multicofork.IsColimit.mk K desc fac uniq).desc E = desc E


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s : Multiset α
f : α → β
x : { x // x ∈ s }

map (fun x => (f ∘ val) x) (s.attach.erase x) = map f (s.erase ↑x)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X : C

Context: R : Presieve X

Context: S : Sieve X

Context: z₁ z₂ : FirstObj P R

Context: h : ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : R f), Pi.π (fun f => P.obj (op f.fst)) ⟨Y, ⟨f, hf⟩⟩ z₁ = Pi.π (fun f => P.obj (op f.fst)) ⟨Y, ⟨f, hf⟩⟩ z₂

∀ (j : Discrete ((Y : C) × { f // R f })), limit.π (Discrete.functor fun f => P.obj (op f.fst)) j z₁ = limit.π (Discrete.functor fun f => P.obj (op f.fst)) j z₂


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
hμst : μ (symmDiff s t) ≠ ⊤

μ s = ⊤ ↔ μ t = ⊤


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: V W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod V W

Context: N : Bimod W X

Context: P : Bimod X Y

Context: Q : Bimod Y Z

coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) ⋯) ⋯ ▷ Q.X ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X (TensorBimod.X N P) Q.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (TensorBimod.actRight N P ▷ Q.X) ((α_ (TensorBimod.X N P) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X N P ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q)) ((M.X ⊗ W.X) ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) (M.X ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫ N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ⋯) ⋯ ⋯) = ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) X.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ (TensorBimod.X M N) P.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ (TensorBimod.X M N) X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ TensorBimod.actLeft P Q)) ⋯) ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight (TensorBimod.X P Q)) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q) ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q)) ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))) ⋯) ⋯


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Group α
e : α
x : Finset α × Finset α

x.2.card + (e⁻¹ • x.2).card = 2 * x.2.card


Context:
g : ℝ → ℝ
g' u : ℝ
L' : Filter ℝ
h : HasGradientAtFilter g g' u L'


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
G₀ : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
inst✝ : Monoid M
x : Mˣ
u : (↥(Submonoid.centralizer {↑x}))ˣ

(Units.map (Submonoid.centralizer {↑x}).subtype) u * x = x * (Units.map (Submonoid.centralizer {↑x}).subtype) u


Context: R : Type u_2

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: P : Type u_7

Context: CommSemiring R

Context: AddCommMonoid M₁

Context: AddCommMonoid M₂

Context: AddCommMonoid P

Context: Module R M₁

Context: Module R M₂

Context: Module R P

Context: PartialOrder P

Context: CovariantClass P P (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: Q₁ : QuadraticMap R M₁ P

Context: Q₂ : QuadraticMap R M₂ P

Context: h₁ : Q₁.PosDef

Context: h₂ : Q₂.PosDef


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : F
h : ‖x‖ = ‖0‖


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommMonoid N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid P

Context: inst✝ : Module R P

Context: f : N →ₗ[R] P

Context: Q : QuadraticMap R M N

Context: B : BilinMap R M N

Context: h : ∀ (x y : M), Q (x + y) = Q x + Q y + (B x) y

Context: x y : M

(fun x => f (Q x)) (x + y) = (fun x => f (Q x)) x + (fun x => f (Q x)) y + ((LinearMap.compr₂ B f) x) y


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
SMul α β
s₁ s₂ : Set α
t₁ t₂ : Set β

(s₁ ∩ s₂) • (t₁ ∪ t₂) ⊆ s₁ • t₁ ∪ s₂ • t₂


Context:
α : Type u_1
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
s : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
hf : (Function.support f).Finite

∑ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => x ∈ s) hf.toFinset, f i


Context:
α : Type u
l : List α
a : α


Context:
α : Type u_1
s t : Set α
hs : s.Finite := by toFinite_tac
ht : t.Finite := by toFinite_tac

s.ncard < t.ncard ↔ (s \ t).ncard < (t \ s).ncard


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: f₁ : α → Option β

Context: f₂ : β → Option α

Context: h : ∀ (a : α) (b : β), a ∈ f₂ b ↔ b ∈ f₁ a

Context: x : α

{ toFun := f₁, invFun := f₂, inv := h } x = f₁ x


Context:
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
P' : Type u_3
CommRing P'
Algebra R P'
I : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
y : P'

y ∈ FractionalIdeal.map g I ↔ ∃ x ∈ I, g x = y


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
c : RingCon R


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C₁

Context: CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} C₂

Context: W₁ : CategoryTheory.MorphismProperty C₁

Context: W₂ : CategoryTheory.MorphismProperty C₂

Context: Φ : CategoryTheory.LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: X₂ : C₂

Context: L L' : Φ.LeftResolution X₂

Context: φ₁ φ₂ : L ⟶ L'

Context: h : φ₁.f = φ₂.f


Context:
α : Type u_1
a : α
as : List α
i : Fin (as ++ [a]).length
h : ¬↑i < as.length


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsDomain S

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝² : Module.Finite R S

Context: inst✝¹ : Module.Free R S

Context: I J : Ideal S

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: h✝ : Nontrivial S

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsMaximal

Context: hP0 : ¬P = ⊥

Context: P' : Submonoid S := Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl

Context: this✝⁴ : Algebra (Localization.AtPrime P) (Localization P') := localizationAlgebra P.primeCompl S

Context: this✝³ : IsScalarTower R (Localization.AtPrime P) (Localization P')

Context: h : P' ≤ S⁰

Context: this✝² : IsDomain (Localization P')

Context: this✝¹ : IsDedekindDomain (Localization P')

Context: this✝ : DecidableEq (Ideal (Localization P')) := Classical.decEq (Ideal (Localization P'))

Context: this : IsPrincipalIdealRing (Localization P')

map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R (I * J)) = map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R I * spanNorm R J)


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ J : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ


Context:
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Finite
n : ℕ
hn : hf.toFinset.card ≤ n


Context: F : Type u_1

Context: CommSemiring F

Context: q : ℕ

Context: f : Polynomial F

Context: hf : Polynomial.HasSeparableContraction q f


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → Set (Set Ω)
s' : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
hyp : ∀ (n : ι), IndepSets (s n) s' κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : ∃ i, t1 ∈ s i
ht2 : t2 ∈ s'


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁹ : Field F
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁶ : Field F
inst✝¹⁵ : Field K₁
inst✝¹⁴ : Field K₂
inst✝¹³ : Field K₃
inst✝¹² : Algebra F K₁
inst✝¹¹ : Algebra F K₂
inst✝¹⁰ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E✝ : Type u_6
inst✝⁹ : Field E✝
inst✝⁸ : Algebra F E✝
inst✝⁷ : Algebra E✝ K₁
inst✝⁶ : Algebra E✝ K₂
inst✝⁵ : Algebra E✝ K₃
inst✝⁴ : IsScalarTower F E✝ K₁
inst✝³ : IsScalarTower F E✝ K₂
inst✝² : IsScalarTower F E✝ K₃
inst✝¹ : Algebra F K
E : IntermediateField F K
inst✝ : Normal F ↥E
f : ↥E →ₐ[F] K
this : Algebra ↥E ↥E := Algebra.id ↥E
g : ↥E ≃ₐ[F] ↥E := f.restrictNormal' ↥E


Context: α : Sort u_1

Context: β : Sort u_2

Context: γ : Sort u_3

Context: s : Setoid α

Context: t : Setoid β

Context: f : α → β → γ

Context: h : ∀ (a₁ : α) (a₂ : β) (b₁ : α) (b₂ : β), Setoid.r a₁ b₁ → Setoid.r a₂ b₂ → f a₁ a₂ = f b₁ b₂

Context: a : α

Context: b : β


Context: α : Type u_1

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: NormedAddCommGroup F

Context: NormedSpace ℝ F

Context: NormedAddCommGroup F'

Context: NormedSpace ℝ F'

Context: NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: T : Set α → F →L[ℝ] F'

Context: h_add : MeasureTheory.FinMeasAdditive μ T

Context: f : MeasureTheory.SimpleFunc α G

Context: hf : MeasureTheory.Integrable (↑f) μ

Context: g : G → F

Context: hg : g 0 = 0

MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc T (MeasureTheory.SimpleFunc.map g f) = ∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)


Context:
𝕜 : Type u_1
β : Type u_5
OrderedSemiring 𝕜
TopologicalSpace β
LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
OrderTopology β
Module 𝕜 β
OrderedSMul 𝕜 β
r s : β


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
ht : t₀ ∈ s


Context:
S : Type u_3
AddSemigroup S
a b c : S
hab : AddCommute a b
hac : AddCommute a c


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
hp : 0 < p
hq : q < ⊤

p = 0 ∧ q = 0 ∨ p = 0 ∧ q = ⊤ ∨ p = 0 ∧ 0 < q.toReal ∨ p = ⊤ ∧ q = ⊤ ∨ 0 < p.toReal ∧ q = ⊤ ∨ 0 < p.toReal ∧ 0 < q.toReal ∧ p.toReal ≤ q.toReal


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: f : β → α

Context: a : α

Context: s : Set α

Context: l : Filter β

Context: h : ∀ (i : Set α), a ∈ i ∧ IsOpen i → (∀ᶠ (x : β) in l, f x ∈ i) ∧ ∀ᶠ (x : β) in l, f x ∈ s


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V

∀ {X Y : (Finset V)ᵒᵖ} (f : X ⟶ Y) (C : G.ComponentCompl ↑(Opposite.unop X)),
  G.componentComplFunctor.map f C = SimpleGraph.ComponentCompl.hom ⋯ C


Context:
b p : ℕ
hb : 0 < b
hp : 1 ≤ p


Context:
E : ℕ → Type u_1
x : (n : ℕ) → E n
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
a✝ : α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α
s : Set α


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
m d : ℕ
hm : n ∣ m
hd : m ∣ d

(changeLevel ⋯) χ = (changeLevel hd) ((changeLevel hm) χ)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
hs : Cospherical s
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p


Context:
n m a b : ℕ
han : a < n.succ
hbn : b < n.succ


Context:
R : Type x
NonUnitalNonAssocRing R
x y : R


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
A : Type u_7
Semiring A
SMul R A
Module A M
Module A N
IsScalarTower R A M
IsScalarTower R A N
f : M [⋀^ι]→L[A] N

⇑(ContinuousAlternatingMap.restrictScalars R f) = ⇑f


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ

rootSpace H (n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥ ↔ n ∈ Finset.Icc (-↑(chainBotCoeff (⇑α) β)) ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p.toList x).nthLe k ⋯ = y


Context:
α : Type u_1
M : Type u_5
AddZeroClass M
a : α
b : M

(Finsupp.singleAddHom a) b = Finsupp.single a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l₁ l₂ : List α
f : α → β
H : l₁ ⊆ l₂


Context:
α : Type u_1
p : α → Prop
DecidablePred p
x : α

(FreeAddMonoid.countP p) (FreeAddMonoid.of x) = if p x = (true = true) then 1 else 0


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
F : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³³ : Semiring R
inst✝³² : Semiring R₂
inst✝³¹ : Semiring R₃
inst✝³⁰ : Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝²⁹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
inst✝²² : RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
inst✝¹² : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E₃
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E₄
inst✝⁵ : Module R E
inst✝⁴ : Module R₂ E₂
inst✝³ : Module R₃ E₃
inst✝² : Module R₄ E₄
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : Module R F
e✝ e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂


Context:
α : Type u_1
Append α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hαβ : s.IsPWO


Context:
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
self : StarSubalgebra R A
a : A

a ∈ self.carrier → star a ∈ self.carrier


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF : Integrable F μ

Context: h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x

Context: h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))

Context: f' : ℕ → α → ℝ := fun n x => f n x - f 0 x

Context: hf'_nonneg : ∀ (i : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, 0 ≤ f' i a

Context: hf'_meas : ∀ (n : ℕ), Integrable (f' n) μ

Context: hF_ge : 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => (F - f 0) x

Context: h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ((F - f 0) a) ∂μ)

Tendsto (fun n => ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f' n a) ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ((F - f 0) a) ∂μ))


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: g : G

Context: K : Compacts G

Context: eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) - f K

Context: this : Continuous eval

prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U} ⊆ eval ⁻¹' {0}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M
hf : Set.InjOn f ↑s.support
x : β
hx : x ∈ image f s.support


Context: R : Type u_1

Context: CommRing R

Context: h : Fact (∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊤ → CharZero (R ⧸ I))

Context: n : ℕ+


Context:
α : Type u
l l' : List α
h : l ~r l'


Context: α : Sort u_1

Context: β : Sort u_2

Context: γ : Sort u_4

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: f : α → β → γ

Context: hr : ∀ (a : α) (b₁ b₂ : β), s b₁ b₂ → t (f a b₁) (f a b₂)

Context: hs : ∀ (a₁ a₂ : α) (b : β), r a₁ a₂ → t (f a₁ b) (f a₂ b)

Context: a : α

Context: b : β

Quot.map₂ f hr hs (Quot.mk r a) (Quot.mk s b) = Quot.mk t (f a b)


Context: p' : ℕ

Context: k : ℤ

Context: h : ω ^ 2 ^ p' * (ω ^ 2 ^ p' + ωb ^ 2 ^ p') = ω ^ 2 ^ p' * ↑((2 ^ (p' + 2) - 1) * k)

Context: t : 2 ^ p' + 2 ^ p' = 2 ^ (p' + 1)


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq R
n : ℕ

degreeLT R n ≤ Submodule.span R ↑(image (fun n => X ^ n) (range n))


Context:
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : α → Set α
hf : ∀ (x : α), f x ∈ 𝓝 x


Context:
R : Type u
a : R
Ring R


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m' _mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
s t : Set Ω
a✝ : s ∈ {s | MeasurableSet s}
ht : t = ∅ ∨ t = Set.univ
a : α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hx : x ∈ s

StarConvex 𝕜 x s ↔ ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → openSegment 𝕜 x y ⊆ s


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Add G
a₁ a₂ : G
b₁ b₂ : k
ha : AddCommute a₁ a₂
hb : Commute b₁ b₂

Commute (AddMonoidAlgebra.single a₁ b₁) (AddMonoidAlgebra.single a₂ b₂)


Context:
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A

algebraMap R (Unitization R A) = Unitization.inlRingHom R A


Context:
X : Type u
Lattice X
JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
h : s₁.Equivalent s₂


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : CommRing M
inst✝⁶ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁵ : ExpChar K p
inst✝⁴ : ExpChar L p
inst✝³ : ExpChar M p
inst✝² : ExpChar N p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
s : Finset β
f : β → α


Context:
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.IsProbabilityMeasure μ
x : ℝ

ENNReal.ofReal (↑(ProbabilityTheory.cdf μ) x) = μ (Set.Iic x)


Context:
A : Type u_1
M : Type u_3
AddMonoid A
Monoid M
ψ : A →+ Additive M

⇑(AddChar.toAddMonoidHomEquiv.symm ψ) = ⇑Additive.toMul ∘ ⇑ψ


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T₁ T₂ : CategoryTheory.Monad C
h : T₁ ≅ T₂

(CategoryTheory.Monad.algebraEquivOfIsoMonads h).unitIso =
  CategoryTheory.Monad.algebraFunctorOfMonadHomId.symm ≪≫
    CategoryTheory.Monad.algebraFunctorOfMonadHomEq ⋯ ≪≫ CategoryTheory.Monad.algebraFunctorOfMonadHomComp h.hom h.inv


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h₀ : 0 < a
h₁ : a ≠ 1
H : 1 < a


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → Real.Angle
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
hs : ∀ z ∈ s, f z ≠ 0 ∧ f z ≠ ↑π


Context:
R : Type u
CommSemiring R
p q : R[X]

Polynomial.derivative (p.comp q) = Polynomial.derivative q * (Polynomial.derivative p).comp q


Context:
E : Type u_9
self : SeminormedGroup E
x y : E


Context:
α : Type u_3
E : Type u_6
SeminormedGroup E
f : α → E
a : α → ℝ
t₀ : Filter α
h : ∀ᶠ (n : α) in t₀, ‖f n‖ ≤ a n
h' : Filter.Tendsto a t₀ (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: LinearOrder α

Context: TopologicalSpace α

Context: OrderTopology α

Context: LinearOrder β

Context: TopologicalSpace β

Context: OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: h_mono : MonotoneOn f s

Context: hs : s ∈ 𝓝[≥] a

Context: hfs : ∀ b > f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Set.Ioo (f a) b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Sort u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞

⨆ i, ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), (⨆ i, f i) a ∂μ


Context:
n : ℕ
NeZero n


Context:
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
z : ℍ
hk' : 2 < ↑k
b : Fin 2 → ℤ

Complex.abs (↑(b 0) * ↑z + ↑(b 1)) ^ (-k) ≤ r z ^ (-↑k) * ‖b‖ ^ (-↑k)


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S F E : IntermediateField K L

(∀ (x : L), x ∈ F.toSubalgebra ↔ x ∈ E.toSubalgebra) ↔ ∀ (x : L), x ∈ ↑F ↔ x ∈ ↑E


Context:
α : Type u_3
SemilatticeInf α
Nonempty α
p : α → Prop
h : ∃ᶠ (x : α) in Filter.atBot, p x
a : α


Context:
R : Type u_1
NonAssocSemiring R
Nontrivial R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p


Context: X : Type w

Context: TopologicalSpace X

Context: UCompactlyGeneratedSpace X

Context: Y : Type u_1

Context: TopologicalSpace Y

Context: f : X → Y

Context: h : ∀ (S : CompHaus) (g : C(↑S.toTop, X)), Continuous (f ∘ ⇑g)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁ : na * nb = ↑k * nc
h₂ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc


Context:
α : Type u
Preorder α
s : Set α

¬BddAbove s ↔ ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, ¬y ≤ x


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R


Context:
α : Type u
β : Type v
Preorder β
l : Filter α
f : α → β


Context:
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
Semiring R
(i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
AddCommMonoid M₂
(i : ι) → Module R (M₁ i)
Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
P : ι → Prop
DecidablePred P
x : (i : { a // P a }) → M₁ ↑i
z : (i : { a // ¬P a }) → M₁ ↑i

(f.domDomRestrict P z) x = f fun j => if h : P j then x ⟨j, h⟩ else z ⟨j, h⟩


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
m : ℤ
h : Irrational (↑↑m + x)


Context: G : Type u_1

Context: Group G

Context: ι : Type u_2

Context: H : ι → Subgroup G

Context: g : ι → G

Context: s : Finset ι

Context: hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑(H i) = Set.univ


Context: α : Sort u_4

Context: r : α → α → Prop

Context: a bot : α

Context: ha : Acc r a

Context: C : α → Prop

Context: ih : ∀ (b : α), b ≠ bot → C b → ∃ c, r c b ∧ C c


Context:
R : Type u_1
CommRing R
a b c : R
h : ∀ (s : R), discrim a b c ≠ s ^ 2
x : R


Context:
p i : ℕ
hp : Nat.Prime p

(ArithmeticFunction.sigma 0) (p ^ i) = i + 1


Context: m : Type u → Type u

Context: inst✝¹ : _root_.Monad m

Context: inst✝ : LawfulMonad m

Context: X✝ Y✝ Z✝ : KleisliCat m

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: g : Y✝ ⟶ Z✝

Context: t : { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.obj X✝

{ obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map (f ≫ g) t = joinM (g <$> f t)


Context:
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : Set R
t : NonUnitalSubsemiring R
h₁ : s ⊆ ↑t
h₂ : t ≤ NonUnitalSubsemiring.closure s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: RCLike 𝕜

Context: NormedAddCommGroup E

Context: InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: LinearOrder ι

Context: LocallyFiniteOrderBot ι

Context: IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: Fintype ι

Context: FiniteDimensional 𝕜 E

Context: h : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = Fintype.card ι

Context: f : ι → E

Context: hf : Pairwise fun i j => ⟪f i, f j⟫_𝕜 = 0

Context: i : ι

Context: hi : f i ≠ 0

(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i = (↑‖f i‖)⁻¹ • f i


Context: α : Type u_1

∀ {x : Setoid α} {r : α → α → Prop} (H : ∀ (a₁ b₁ a₂ b₂ : α), a₁ ≈ a₂ → b₁ ≈ b₂ → r a₁ b₁ = r a₂ b₂) (a : Quotient x),
  (Quotient.out'RelEmbedding H) a = a.out'


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
w : Set M
x : ↥(span R w)

(Finsupp.total (↑w) M R Subtype.val) ⋯.choose = ↑x


Context:
α : Type u_1
Mul α
Small.{u_2, u_1} α
x y : α

(equivShrink α) (x * y) = (equivShrink α) x * (equivShrink α) y


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasColimits C

Context: X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Y

Context: x y : ↑↑X

Context: h : x ⤳ y

Y.presheaf.stalkSpecializes ⋯ ≫ AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap f x =
  AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap f y ≫ X.presheaf.stalkSpecializes h


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
S : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
i : ι
m : M

(finsuppScalarRight R M ι).symm (Finsupp.single i m) = m ⊗ₜ[R] Finsupp.single i 1


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: c : ℤ → ℂ := fun n => -I * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / 2

Context: hc : ∀ (n : ℤ), ‖c n‖ = 1 / 2

Context: hF : ∀ (t : ℝ), 0 < t → HasSum (fun n => c n * ↑n * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) (↑(sinKernel (↑a) t) / 2)

Context: h_sum : Summable fun i => ‖c i‖ / |↑i| ^ s.re

HasSum (fun n => (s + 1).Gammaℝ * -I * ↑n.sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2) (completedSinZeta (↑a) s)


Context:
R : Type u_1
CommRing R
A : Type u_2
CommRing A
Algebra R A
M : Type u_3
AddCommGroup M
Module A M
Module R M
D1 D2 : Derivation R A M
a : A


Context:
α : Type u
l : List α
n m : ℕ
hml : m < l.length

(drop (n % l.length) l ++ take (n % l.length) l)[m]? = l[(m + n) % l.length]?


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
Bornology α
Bornology β
Bornology γ
Bornology δ
f : LocallyBoundedMap γ δ
g : LocallyBoundedMap β γ
h : LocallyBoundedMap α β


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ : C
f g h : j₁ ⟶ j₂

CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.IsFiltered.coeq₃Hom f g h) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp h (CategoryTheory.IsFiltered.coeq₃Hom f g h)


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: s₁ s₂ : AList β

Context: h : s₁.entries ⊆ s₂.entries

Context: k : α

Context: hk : k ∈ s₁.keys

Context: this✝ : DecidableEq α := Classical.decEq α

Context: this : lookup k s₂ = some ((lookup k s₁).get ⋯)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: x✝ : Cᵒᵖ

colimMap (𝟙 (J.diagram P (unop x✝))) = 𝟙 ({ obj := fun X => colimit (J.diagram P (unop X)), map := fun {X Y} f => colimMap (J.diagramPullback P f.unop) ≫ colimit.pre (J.diagram P (unop Y)) (J.pullback f.unop).op, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj x✝)


Context:
α : Type u
Preorder α


Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: MulZeroOneClass α

Context: MulZeroOneClass β

Context: f : α →*₀ β

Context: h1 : (↑f).toFun 1 = 1

Context: hmul : ∀ (x y : α), (↑f).toFun (x * y) = (↑f).toFun x * (↑f).toFun y

{ toZeroHom := ↑f, map_one' := h1, map_mul' := hmul } = f


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
f : G →+ N
H K : AddSubgroup G

AddSubgroup.map f H ≤ AddSubgroup.map f K ↔ H ≤ K ⊔ f.ker


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: CategoryTheory.Category.{u_6, u_3} E

Context: G : C ⥤ D

Context: G' : D ⥤ E

Context: J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C

Context: K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D

Context: L : CategoryTheory.GrothendieckTopology E

Context: G.IsCocontinuous J K

Context: G'.IsCocontinuous K L


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
s : Finset ι
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α

∫⁻ (a : α), f a ∂∑ i ∈ s, μ i = ∑ i ∈ s, ∫⁻ (a : α), f a ∂μ i


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: inst✝¹ : UniformSpace γ

Context: l : Filter β

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: f g : β → α

Context: a b : α

Context: ha : Tendsto f l (𝓝 a)

Context: hb : Tendsto g l (𝓝 b)

Context: h : Tendsto (fun x => (f x, g x)) l (𝓤 α)


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
f g : Equiv.Perm α
h : f.support ⊆ g.support
h' : ∀ x ∈ g.support, f x = g x


Context:
α : Type u_1
a : Part α
Decidable a.Dom


Context: α : Type u_1

Context: AddCommSemigroup α

Context: PartialOrder α

Context: ExistsAddOfLE α

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: Sub α

Context: OrderedSub α

Context: a b c : α

Context: ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: h₁ : b ≤ a

Context: h₂ : c ≤ a


Context:
α : Type u_1
x y : List α
h : x <+: y
hl : x.length < y.length


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V


Context:
G : Type u_1
Group G


Context:
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha : ↑a ≠ 0
x y : ZMod p
hx : x ≠ 0
hxy : x ^ 2 - ↑a * y ^ 2 = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : AddCommGroup α
h : Periodic f c
a : α


Context:
n p : ℕ
hp : Prime p
h_two : p ≠ 2
h_three : p ≠ 3


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝² : L.Structure M

Context: inst✝¹ : L.Structure N

Context: inst✝ : L.Structure P

Context: S✝ : L.Substructure M

Context: s : Set M

Context: S : L.Substructure M := { carrier := range (Term.realize Subtype.val), fun_mem := ⋯ }

↑((closure L).toFun s) = range (Term.realize Subtype.val)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]


Context: α : Type u_1

Context: Lattice α

Context: Group α

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a : α


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R

1 ∈ primitiveRoots 1 R ∧ ∀ x ∈ primitiveRoots 1 R, x = 1


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
this : ↑p ≠ 0

padicNorm p (q * r) = padicNorm p q * padicNorm p r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
Sub γ
ContinuousSub γ
f g : C(β, γ)
h : C(α, β)


Context:
α : Type u_2
LinearOrder α
LocallyFiniteOrderBot α
s : Set α
hs : s.Infinite
a : α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x y : X
s : Set X
hxy : x ≠ y


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
hc : ∀ (m : ↥M) (n : ↥N), Commute ↑m ↑n
n : ↥N
m : ↥M

(N.mulMap M) (n ⊗ₜ[R] m) = (M.mulMap N ∘ₗ ↑(TensorProduct.comm R ↥N ↥M)) (n ⊗ₜ[R] m)


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z

∀ (X_1 : CategoryTheory.Limits.WalkingSpan),
  (CategoryTheory.Limits.spanOp f g).hom.app X_1 =
    (Option.rec (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op Z))
        (fun val =>
          CategoryTheory.Limits.WalkingPair.rec (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op X))
            (CategoryTheory.Iso.refl (Opposite.op Y)) val)
        X_1).hom


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P✝

Context: P : Ideal R

Context: hp : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P

Context: hze : (algebraMap R S) 0 = (algebraMap R S) 1

Context: t : ↥P.primeCompl

Context: ht : ↑t * 0 = ↑t * 1


Context:
α : Type u_2
SubtractionMonoid α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6


Context:
s : ℝ
hs : 0 < s


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
L : IntermediateField F E
h : IsPurelyInseparable (↥L) E
x : E
hx : x ∈ separableClosure F E


Context:
α : Type u
PartialOrder α
OrderTop α
a : α

¬a < ⊤ ↔ a = ⊤


Context:
n : ℕ
a : Fin n


Context:
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α

(X • A.map ⇑C + B.map ⇑C).det.coeff 0 = B.det


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
c : R
x : E


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R

(1 + X • M.map ⇑C).det.coeff 1 = M.trace


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ -y ≠ 0

angle x (x - y) = Real.arcsin (‖y‖ / ‖x - y‖)


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
CommRing A
Field K
CommRing B
Field L
Algebra A K
Algebra B L
Algebra A B
Algebra K L
Algebra A L
IsScalarTower A K L
IsScalarTower A B L
IsDomain A
IsFractionRing A K
IsFractionRing B L
IsDomain B
NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)

Submodule.map (FractionRing.algEquiv B L) (Submodule.traceDual A (FractionRing A) I) =
  Submodule.traceDual A K (Submodule.map (FractionRing.algEquiv B L) I)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
inst✝ : DenselyOrdered α


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
hs : Convex ℝ s
δ : ℝ
hδ : δ ≤ 0


Context:
α : Type u_1
s : Set α
Preorder α
NoMaxOrder α

Set.Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s ↔ Set.Bounded (fun x x_1 => x < x_1) s


Context:
R : Type u
NonUnitalNonAssocRing R
x : R
s : Set R

x ∈ NonUnitalSubring.closure s ↔ ∀ (S : NonUnitalSubring R), s ⊆ ↑S → x ∈ S


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
hG : IsCoseparator G
X Y : C
f g : X ⟶ Y
hfg : ∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = g ≫ h
H : C
hH : H ∈ {G}
h : Y ⟶ H


Context:
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
p : R[X]
hp : p ≠ 0
f : R →+* S
z : S
hz : Polynomial.eval₂ f z p = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
LinearOrderedField 𝕜
DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
a b : α

(SimpleGraph.regularityReduced P G ε δ).Adj a b =
  (G.Adj a b ∧ ∃ U ∈ P.parts, ∃ V ∈ P.parts, a ∈ U ∧ b ∈ V ∧ U ≠ V ∧ G.IsUniform ε U V ∧ δ ≤ ↑(G.edgeDensity U V))


Context:
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : rexp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : rexp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y


Context:
x₁ y₁ x₂ y₂ : SetTheory.PGame
hx : x₁ ≈ x₂
hy : y₁ ≈ y₂


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝² : MetricSpace X

Context: inst✝¹ : MetricSpace Y

Context: Φ✝ : Z → X

Context: Ψ✝ : Z → Y

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty Z

Context: Φ : Z → X

Context: Ψ : Z → Y

Context: ε : ℝ

Context: H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε

Context: x : X

Context: y : Y

Context: z : X

Context: p : Z

dist x z ≤ (⨅ p, dist z (Φ p) + dist y (Ψ p)) + (dist x (Φ p) + (dist y (Ψ p) + 2 * ε))


Context: z : ℤ


Context:
M : Type u_1
CommMonoid M
k : ℕ
ζ : Mˣ

IsPrimitiveRoot (↑ζ) k ↔ IsPrimitiveRoot ζ k


Context:
n n' m : Nat
i : Fin n'
h : m + n' = m + n

Fin.cast h (Fin.natAdd m i) = Fin.natAdd m (Fin.cast ⋯ i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Ring α
AddCommGroup β
Module α β
NoZeroSMulDivisors α β
PartialOrder α
PartialOrder β

SMulPosReflectLE α β ↔ SMulPosReflectLT α β


Context: k : Type u

Context: Field k

Context: R : Type u_1

Context: CommRing R

Context: IsAlgClosed k

Context: Algebra R k

Context: hinj : Function.Injective ⇑(algebraMap R k)

Context: p : R[X]

Context: hp : p.degree ≠ 0


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: S S' S'' : D

Context: Y Y' Y'' : C

Context: T T' : C ⥤ D

Context: A B : StructuredArrow S T

Context: f : A ⟶ B

Context: this : (Functor.fromPUnit S).map f.left ≫ B.hom = A.hom ≫ T.map f.right


Context:
α : Type u_1
s : Finset α


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
y z✝ : V
a : K
z : V
hz : z ∈ span K s
h : a • y + z ∉ span K s
a0 : a ≠ 0


Context:
R : Type u_1
N : Type u_9
N₂ : Type u_10
CommSemiring R
AddCommMonoid N
AddCommMonoid N₂
Module R N
Module R N₂
qₗ : Submodule R N₂
fₗ : N →ₗ[R] N₂
c : R

Submodule.comap fₗ qₗ ≤ Submodule.comap (c • fₗ) qₗ


Context:
p : ℕ → Prop
k a : ℕ
h : a < nth p (k + 1)
ha : p a
hf : (setOf p).Finite


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R
a0 : a ≠ 0


Context:
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
Finite ↥H


Context:
α : Type u_2
LinearOrder α
x y : α
h : x < y
z : α


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
r : R


Context:
a b c : Ordinal.{u_1}
a1 : 1 < a


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: v : ι → E

Context: hz : ∀ (i : ι), v i ≠ 0

Context: ho : Pairwise fun i j => ⟪v i, v j⟫_𝕜 = 0


Context: V : Type u_1

Context: NormedAddCommGroup V

Context: InnerProductSpace ℝ V

Context: Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y : V

Context: h : (o.oangle x y).sign = -1

o.oangle x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b c : X ⟶ Y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
p : β → Prop
DecidablePred p

Finset.filter p (Finset.image f s) = Finset.image f (Finset.filter (fun a => p (f a)) s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
CompleteLattice α
κ : β → Type u_9
f : (i : β) → κ i → α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α → β → Bool
l : AssocList α β

findEntryP? p l = List.find? (fun x => match x with | (a, b) => p a b) l.toList


Context:
x : ℝ
n : ℕ∞
hx : x ≠ 0


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace γ

Context: K : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: f : α → β

Context: hf : LipschitzOnWith K f s

Context: u : ℕ → α

Context: hu : CauchySeq u

Context: h'u : range u ⊆ s

Context: b : ℕ → ℝ

Context: b_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n

Context: hb : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) ≤ b N

Context: blim : Tendsto b atTop (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hP : P.IsEquipartition
hε : 0 ≤ ε

∑ UV ∈ P.sparsePairs G ε, ↑(G.interedges UV.1 UV.2).card ≤ ∑ UV ∈ P.sparsePairs G ε, ε * (↑UV.1.card * ↑UV.2.card)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : NoAtoms μ
b : ℝ

Tendsto (fun δ => μ (Icc (b - δ) (b + δ))) (𝓝[<] 0) (𝓝 0) ∧ Tendsto (fun δ => μ (Icc (b - δ) (b + δ))) (𝓝[≥] 0) (𝓝 0)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DivisionMonoid α
s t : Finset α


Context: α : Type u_1

Context: MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: NormedAddCommGroup E

Context: SecondCountableTopology α

Context: BorelSpace α

Context: MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: f : α → E

Context: hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ

∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
DecidableRel r


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
B : C
X Y : CategoryTheory.Subobject B


Context:
α : Type u
Add α
a b : WithBot α

a + b ≠ ⊥ ↔ a ≠ ⊥ ∧ b ≠ ⊥


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
s t : Set E
hs : Balanced 𝕜 s
ht : Balanced 𝕜 t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: G : Type u_7

Context: inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: g : { g // 0 ≤ g }

Context: this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G

Context: this✝ : BorelSpace G

Context: hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ

Context: zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}

Context: this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})

Context: g_meas : Measurable ↑↑↑g

Context: x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n

Context: hx_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ x n

Context: hx_memℒp : ∀ (n : ℕ), Memℒp (↑(x n)) p μ

Context: h_toLp : ∀ (n : ℕ), ↑↑(Memℒp.toLp ↑(x n) ⋯) =ᶠ[ae μ] ↑(x n)

Context: hx_nonneg_Lp : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ toLp (x n) ⋯

Context: hx_tendsto : Tendsto (fun n => eLpNorm (↑(x n) - ↑↑↑g) p μ) atTop (𝓝 0)

Context: n : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : Injective m
h : m '' s ∈ map m f


Context:
R : Type u
Semiring R
S : Type u_1
SMulZeroClass S R
a : S
b : R[ℕ]

{ toFinsupp := a • b } = a • { toFinsupp := b }


Context: n : Nat


Context:
m₂ m₁ : List Char
s : Substring

s.Valid →
  s.toString.data = m₁.reverse ++ m₂ →
    ∀ (n : Nat), s.prevn n { byteIdx := String.utf8Len m₁ } = { byteIdx := String.utf8Len (List.drop n m₁) }


Context:
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
h : a ≤ b

∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in Set.Ioc a b, f x ∂μ


Context:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f : V1 →ᵃ[k] V2


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y z : E


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y
g : L.obj Y ⟶ L.obj Z
α : W.LeftFraction₂ X Y
h₁ : f₁ = α.fst.map L ⋯
h₂ : f₂ = α.snd.map L ⋯
β : W.LeftFraction Y Z
hβ : g = β.map L ⋯
γ : W.LeftFraction α.Y' β.Y'
hγ : β.f ≫ γ.s = α.s ≫ γ.f

(LeftFraction.mk ((α.f + α.f') ≫ γ.f) (β.s ≫ γ.s) ⋯).map L ⋯ = (LeftFraction.mk (α.f ≫ γ.f + α.f' ≫ γ.f) (β.s ≫ γ.s) ⋯).map L ⋯


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
hJI : J ⊆ I
hJ : M.Indep J


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Multiset α
a b : α


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
DivisionRing k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∉ s


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: X Y W : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: CategoryTheory.EffectiveEpi f

Context: e : Y ⟶ W

Context:
h :
  ∀ {Z : C} (g₁ g₂ : Z ⟶ Y),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₁ f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₂ f →
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₁ e = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₂ e

CategoryTheory.CategoryStruct.comp f (CategoryTheory.EffectiveEpi.desc f e ⋯) = e


Context: X Y : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f✝ : ↑Γ(X, U)

Context: V : X.Opens

Context: hV : IsAffineOpen V

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hx : x ∈ U ⊓ V

Context: f : ↑Γ(X, U)

Context: hf₁ : X.basicOpen f ≤ V

Context: hf₂ : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ X.basicOpen f

Context: g : ↑Γ(X, V)

Context: hg₁ : X.basicOpen g ≤ X.basicOpen f

Context: hg₂ : ↑⟨x, hf₂⟩ ∈ X.basicOpen g

Context: f' : ↑Γ(X, U)

Context: hf' : X.basicOpen f' = X.toRingedSpace.basicOpen g

∃ f g, X.basicOpen f = X.basicOpen g ∧ x ∈ X.basicOpen f


Context:
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a b : E
r : ℝ
h : b ∈ Metric.ball a r


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁶ : EMetricSpace X
inst✝⁵ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
e : E ≃L[𝕜] F
s : Set E


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
v : ι → R
inst✝ : Nontrivial R


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E
h : ‖a / b‖ ≤ 0


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_4
s : Set ι
LinearOrder ι
f : ι → Set α
h : ¬s.PairwiseDisjoint f

∃ i ∈ s, ∃ j ∈ s, i < j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j


Context:
P : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ


Context:
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : AffineSubspace k P₂


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: C : ℝ

Context: hs : (μ.restrict s) univ < ⊤

Context: hC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ C

‖∫ (x : X) in s, f x ∂μ‖ ≤ C * ((μ.restrict s) univ).toReal


Context:
E : Type u_3
SeminormedAddGroup E
a b : E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
U : ι → Set α
h : (𝓝 1).HasBasis p U

(Filter.comap (fun x => x.1 / x.2) (𝓝 1)).HasBasis p fun i => {x | x.1 / x.2 ∈ U i}


Context:
m : Type u_2
n : Type u_3
𝕜 : Type u_5
CommRing 𝕜
PartialOrder 𝕜
StarRing 𝕜
StarOrderedRing 𝕜
Fintype m
Fintype n
DecidableEq n
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
x : m → 𝕜
y : n → 𝕜
Invertible D
hD : D.IsHermitian

Matrix.dotProduct (Matrix.vecMul (star (Sum.elim x y)) (Matrix.fromBlocks A B B.conjTranspose D)) (Sum.elim x y) =
  Matrix.dotProduct (Matrix.vecMul (star ((D⁻¹ * B.conjTranspose).mulVec x + y)) D)
      ((D⁻¹ * B.conjTranspose).mulVec x + y) +
    Matrix.dotProduct (Matrix.vecMul (star x) (A - B * D⁻¹ * B.conjTranspose)) x


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} V

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C : HomologicalComplex V c

Context: CategoryTheory.Limits.HasKernels V

Context: i j j' : ι

Context: r : c.Rel i j

Context: r' : c.Rel i j'

CategoryTheory.Limits.kernelSubobject (C.d i j) = CategoryTheory.Limits.kernelSubobject (C.d i j')


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: MeasurableSpace α

Context: MeasurableSpace β

Context: MeasurableSpace γ

Context: MeasurableSpace δ

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: ν : MeasureTheory.Measure β

Context: f : α → γ

Context: g : β → γ

Context: ρ : MeasureTheory.Measure δ

Context: h : δ → γ

Context: h₁ : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν

Context: h₂ : ProbabilityTheory.IdentDistrib g h ν ρ


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C

Context: CategoryTheory.HasShift C ℤ

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : CategoryTheory.Pretriangulated C

Context: T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C

Context: hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles

Context: X : C

Context: f : X ⟶ T.obj₃

Context: hf : f ≫ T.mor₃ = 0


Context:
M : Type u_1
R : Type u_2
GroupWithZero M
Ring R
MulSemiringAction M R
a : M
ha : a ≠ 0
S T : Subring R


Context:
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V

‖x - y‖ * ‖x - y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ ↔ InnerProductGeometry.angle x y = π / 2


Context:
α : Fin 2 → Type u_8
(i : Fin 2) → MeasurableSpace (α i)

⇑(MeasurableEquiv.piFinTwo α) = fun f => (f 0, f 1)


Context: n i j : ℕ

(n &&& 2 ^ i).testBit j = ((n.testBit i).toNat * 2 ^ i).testBit j


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
h : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
x✝¹ : x ∈ univ
y : X
x✝ : y ∈ univ

(¬∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v) → x = y


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
I : Set ι
p q : (i : ι) → Submodule R (φ i)
x : (i : ι) → φ i
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
i : ι


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α


Context:
o : Ordinal.{u_1}
ho : o.card.ord = o
ho' : ω ≤ o
a : Ordinal.{u_1}
ha : (aleph' a).ord = o


Context:
R : Type u
CommRing R
X : BialgebraCat R

(CategoryTheory.Iso.refl X).toBialgEquiv = BialgEquiv.refl R ↑X.toBundled


Context:
R : Type u
A : Type v
CommRing R
Ring A
Algebra R A
Nontrivial R
n : ℤ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing P

Context: inst✝⁴ : Algebra R P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: P' : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing P'

Context: inst✝² : Algebra R P'

Context: loc' : IsLocalization S P'

Context: P'' : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing P''

Context: inst✝ : Algebra R P''

Context: loc'' : IsLocalization S P''

Context: I J : FractionalIdeal S P

Context: g : P →ₐ[R] P'

Context: s✝ : Set P

Context: x✝ : ∃ a ∈ S, ∀ b ∈ s✝, IsInteger R (a • b)

Context: a : R

Context: a_mem : a ∈ S

Context: h : ∀ b ∈ s✝, IsInteger R (a • b)

Context: b : P

Context: hb : b ∈ span R s✝

Context: s : R

Context: x : P

Context: hx : IsInteger R (a • x)


Context:
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
K : LieSubalgebra R L


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ι₂ : Sort u_6
s : ι → Set α
t : ι₂ → Set α
h : ∀ (i : ι), ∃ j, s i ⊆ t j


Context:
α : Type u_1
MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
v : VitaliFamily μ
SecondCountableTopology α
BorelSpace α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure ρ

∀ᵐ (x : α) ∂μ, Filter.Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))


Context:
α : Type u_1
Lattice α
OrderBot α
DecidableEq α
a : α
parts : Finset α
sup_indep : parts.SupIndep id
sup_parts : parts.sup id = a

(Finpartition.ofErase parts sup_indep sup_parts).parts = parts.erase ⊥


Context:
α : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
CardinalInterFilter l c
hc : ℵ₀ < c


Context:
G : Type u_2
α : Type u_3
Inv G
MeasurableSpace G
MeasurableInv G
m : MeasurableSpace α
f : α → G
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : AEMeasurable f μ


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
e : F ≃L[𝕜] G

ContDiffAt 𝕜 n (⇑e ∘ f) x ↔ ContDiffAt 𝕜 n f x


Context:
z : ℂ
i j : Fin 2

(leftMulMatrix basisOneI) z i j = !![z.re, -z.im; z.im, z.re] i j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
f : α → β → γ
s s' : Set α
t t' : Set β

Set.image2 f (s ∩ s') (t ∪ t') ⊆ Set.image2 f s t ∪ Set.image2 f s' t'


Context:
X : Type u_1
R : Type u_2
Zero X
TopologicalSpace X
TopologicalSpace R
CommSemiring R
TopologicalSemiring R
StarRing R
ContinuousStar R
f : ContinuousMapZero X R

ContinuousMapZero.toContinuousMapHom f = ↑f


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊
p : ℝ
hp : 0 < p

∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ p) ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ↑(c ^ p * ‖g a‖₊ ^ p) ∂μ


Context: I : Type u

Context: inst✝⁶ : AddMonoid I

Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : MonoidalCategory C

Context: X₁ X₂ X₃ X₄ : GradedObject I C

Context: inst✝³ : X₃.HasTensor X₄

Context: inst✝² : X₂.HasTensor (tensorObj X₃ X₄)

Context: inst✝¹ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄))

Context: j : I

Context: A : C

Context: f g : tensorObj X₁ (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄)) j ⟶ A

Context: inst✝ : X₂.HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄

Context: H : X₁.HasTensor₄ObjExt X₂ X₃ X₄

Context: h : ∀ (i₁ i₂ i₃ i₄ : I) (h : i₁ + i₂ + i₃ + i₄ = j), ιTensorObj₄ X₁ X₂ X₃ X₄ i₁ i₂ i₃ i₄ j h ≫ f = ιTensorObj₄ X₁ X₂ X₃ X₄ i₁ i₂ i₃ i₄ j h ≫ g

Context: i₁ i₂₃₄ : I

Context: h' : i₁ + i₂₃₄ = j

ιTensorObj X₁ (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄)) i₁ i₂₃₄ j h' ≫ f = ιTensorObj X₁ (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄)) i₁ i₂₃₄ j h' ≫ g


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α

(insert a s).val = Multiset.ndinsert a s.val


Context: x : EReal


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: haef : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))

Context: hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯)

Context: hff' : ∀ (n : ℕ), f n =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯

Context: hui' : UnifIntegrable (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯) p μ

Context: hut' : UnifTight (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯) p μ

Context: hg : StronglyMeasurable (AEStronglyMeasurable.mk g ⋯)

Context: hgg' : g =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable.mk g ⋯

Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)


Context:
x y : ZFSet
h : x.Nonempty

y ∈ ⋂₀ x ↔ ∀ z ∈ x, y ∈ z


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
H1 : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, dist x y ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ s, dist x y ≤ r


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : x < z \ y
hyz : y ≤ z
h' : z \ y ⊔ y ≤ x ⊔ y


Context:
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n
q : ℚ
hqy : ↑q < y ^ (↑n)⁻¹
this : 0 ≤ max 0 x ^ (↑n)⁻¹
hq : 0 < ↑q
hxq : (max 0 x ^ (↑n)⁻¹) ^ ↑n < ↑q ^ ↑n


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
StrictOrderedCommRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.SOppSide x y


Context:
α : Type u_1
CommMonoid α
x y z : α
DecompositionMonoid α
H1 : IsRelPrime x y
H2 : x ∣ y * z


Context: σ : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype σ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: h : 0 < k

Context: hesymm : ↑k * esymm σ R k = (-1) ^ (k + 1) * (∑ x ∈ filter (fun a => 0 < a.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ x.1 * esymm σ R x.1 * psum σ R x.2 + ∑ x ∈ filter (fun x => ¬0 < x.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ x.1 * esymm σ R x.1 * psum σ R x.2)

Context: sub_both_sides✝ : ↑k * esymm σ R k - (-1) ^ (k + 1) * ∑ a ∈ filter (fun a => 0 < a.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2 = (-1) ^ (k + 1) * ∑ a ∈ filter (fun x => ¬0 < x.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2

Context: sub_both_sides : (fun x => (-1) ^ (k + 1) * x) (↑k * esymm σ R k - (-1) ^ (k + 1) * ∑ a ∈ filter (fun a => 0 < a.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2) = (fun x => (-1) ^ (k + 1) * x) ((-1) ^ (k + 1) * ∑ a ∈ filter (fun x => ¬0 < x.1) (filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)), (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2)

psum σ R k = (-1) ^ (k + 1) * ↑k * esymm σ R k - ∑ x ∈ filter (fun a => a.1 < k ∧ 0 < a.1) (antidiagonal k), (-1) ^ x.1 * esymm σ R x.1 * psum σ R x.2


Context:
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
sz : ℕ
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α

l.rotateL x (Ordnode.node sz m y r) = if m.size < Ordnode.ratio * r.size then l.node3L x m y r else l.node4L x m y r


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Limits.HasColimits C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X
U : TopologicalSpace.Opens ↑X
x y : ↑X
h : x ⤳ y
hy : y ∈ U

F.germ ⟨y, hy⟩ ≫ F.stalkSpecializes h = F.germ ⟨x, ⋯⟩


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K✝ : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing A'
inst✝⁷ : CommRing A''
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R A'
inst✝⁴ : Algebra R A''
a b : R
K : Type u_9
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : Algebra K A
inst✝ : IsScalarTower R K A
hinj : Injective ⇑(algebraMap R K)
ai : AlgebraicIndependent K x


Context:
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_12
AddZeroClass α
M : Matrix (m × o) (n × o) α
k : o

(Matrix.blockDiagAddMonoidHom m n o α) M k = M.blockDiag k


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : Mul M
M' : Type u_2
inst✝ : Mul M'

commProb (M × M') = commProb M * commProb M'


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
a : α

Finset.image (insert a) (Finset.memberSubfamily a 𝒜) = Finset.filter (fun x => a ∈ x) 𝒜


Context: c : ℝ


Context:
x✝ y✝ z x y : ℝ
hx : x < 0


Context:
R : Type u_1
NonUnitalSemiring R


Context:
R' : Type u_10
M'' : Type u_11
N'' : Type u_13
CommSemiring R'
AddCommMonoid M''
AddCommMonoid N''
Module R' M''
Module R' N''
n : ℕ
f g : M'' [⋀^Fin n.succ]→ₗ[R'] N''

(f + g).curryLeft = f.curryLeft + g.curryLeft


Context: m : Type u_1

Context: n✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n✝

Context: inst✝³ : Fintype n✝

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R

Context: i : Fin n.succ

Context: this : A.det = (-1) ^ ↑i * ↑↑(sign i.cycleRange⁻¹) * A.det

Context: j : Fin n.succ

Context: x✝ : j ∈ univ

(-1) ^ ↑j * A.submatrix (⇑i.cycleRange⁻¹) id 0 j * ((A.submatrix (⇑i.cycleRange⁻¹) id).submatrix Fin.succ j.succAbove).det = (-1) ^ ↑j * (A i j * (A.submatrix i.succAbove j.succAbove).det)


Context:
α : Type u_2
LinearOrder α
P : Sort u_5
x y : α
h₁ : x < y → P
h₂ : x = y → P
h₃ : y < x → P
p : P
hlt : ∀ (h : x < y), h₁ h = p
heq : ∀ (h : x = y), h₂ h = p
hgt : ∀ (h : y < x), h₃ h = p


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f g : A


Context:
ι : Type u_1
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : GroupNormClass F α β
f : F


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞


Context:
B : Type u₁
CategoryTheory.Bicategory B
C : Type u₂
CategoryTheory.Bicategory C
F : CategoryTheory.PrelaxFunctor B C
a b : B
f g : a ⟶ b
η : f ⟶ g
CategoryTheory.IsIso η

CategoryTheory.CategoryStruct.comp (F.map₂ (CategoryTheory.inv η)) (F.map₂ η) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id (F.map g)


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C

Context: g₁ : Z₁ ⟶ X₁

Context: g₂ : Z₁ ⟶ X₂

Context: g₃ : Z₂ ⟶ X₂

Context: g₄ : Z₂ ⟶ X₃

Context: CategoryTheory.Limits.HasPushout g₁ g₂

Context: CategoryTheory.Limits.HasPushout g₃ g₄

Context: CategoryTheory.Limits.HasPushout (g₃ ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.inr g₁ g₂) g₄

CategoryTheory.Limits.HasPushout g₁ (g₂ ≫ CategoryTheory.Limits.pushout.inl g₃ g₄)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
Countable ι
κ : ι → ProbabilityTheory.Kernel α β
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

((ProbabilityTheory.Kernel.sum κ) a) s = ∑' (n : ι), ((κ n) a) s


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
cmp : α → α → Ordering
self : Lake.EqOfCmpWrt α f cmp
a a' : α


Context: xs : Lean.Omega.IntList


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B

Context: x : A

x ∈ NonUnitalAlgebra.adjoin R (∅ ∪ star ∅) ↔ x = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
ContinuousMul α
s : Set β
hs : Multipliable (f ∘ Subtype.val)
hsc : Multipliable (f ∘ Subtype.val)


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞
f : E → F
g : E → G
hf : ContDiff 𝕜 n f
hg : ContDiff 𝕜 n g


Context: α : Type u


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
DecidableEq α
Fintype α
a : α
f : α → β


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E

𝓚 ‖-x + y‖ * 𝓚 ‖-x + y‖ - 𝓚 ‖-x - y‖ * 𝓚 ‖-x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • -x + y‖ * 𝓚 ‖I • -x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • -x - y‖ * 𝓚 ‖I • -x - y‖ = -(𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)


Context:
α : Type u
Preorder α
OrderBot α


Context:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
h : ContDiffAt 𝕜 n f x
hn : 1 ≤ n


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : IsModularLattice α
inst✝¹ : ComplementedLattice α
inst✝ : IsAtomic α
x y : α
xy : IsCompl x y

(∃ a, IsAtom a ∧ a ≤ y) → ∃ a, IsCoatom a ∧ x ≤ a


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a✝ a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s✝ : σ →₀ ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S₁

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: M : MvPolynomial σ R → Prop

Context: h_C : ∀ (a : R), M (C a)

Context: h_X : ∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ), M p → M (p * X n)

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: a : R


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α


Context:
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J


Context:
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R

algebraMap R (MvPolynomial σ R) = MvPolynomial.C


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I : Ideal R
x : R
hx : x ∈ I.jacobson
y : R
hxy : I ⊔ span {y * x + 1} = ⊤
p : R
hpi : p ∈ I
q : R
hq : q ∈ span {y * x + 1}
hpq : p + q = 1
r : R
hr : r * (y * x + 1) = q


Context: a b c : Prop


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
p : ℕ
f : σ → MvPolynomial τ R

∀ (i : σ), ((expand p).comp (bind₁ f)) (X i) = (bind₁ fun i => (expand p) (f i)) (X i)


Context:
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hf : MonotoneOn f (Icc x₀ (x₀ + ↑a))

∑ x ∈ Finset.range a, -f (x₀ + ↑(x + 1)) ≤ ∫ (x : ℝ) in x₀..x₀ + ↑a, -f x


Context:
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
a : α
ha : a ≠ 0

Filter.map (fun x => x * a) (Bornology.cobounded α) = Bornology.cobounded α


Context:
R : Type u
CommSemiring R
a : R

(Polynomial.X + Polynomial.C a).Separable


Context:
α : Type u_1
SeminormedAddCommGroup α
r C : ℝ
f : ℕ → α
hr : r < 1
hf : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ C * r ^ n
a : α
ha : HasSum f a
n : ℕ

‖∑ x ∈ Finset.range n, f x - a‖ ≤ C * r ^ n / (1 - r)


Context:
R : Type u
S : Type v
A' : Type u_1
CommSemiring R
CommSemiring A'
CommSemiring S
Algebra S R
Algebra S A'
g : R →ₐ[S] A'
y : A'
x : R

(Polynomial.aevalTower g y) ((algebraMap R R[X]) x) = g x


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
this : Fact (m ≤ m0)

↑((orthogonalProjection (lpMeas E 𝕜 m 2 μ)) (indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c)) = indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)

Context: inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: hne : s.Nonempty

Context: x : (n : ℕ) → E n

Context: hx : x ∉ s

Context: A : ∃ n, Disjoint s (cylinder x n)

Context: B : Nat.find A - 1 < Nat.find A

(s ∩ cylinder x (Nat.find A - 1)).Nonempty


Context:
α : Type u_1
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b : α

Booleanisation.lift a ≤ Booleanisation.lift b ↔ a ≤ b


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
Monoid R
NonUnitalNonAssocSemiring A
DistribMulAction R A
StarAddMonoid A
NonUnitalNonAssocSemiring B
DistribMulAction R B
StarAddMonoid B


Context:
R : Type u
n : ℕ
Semiring R
p : R[X]

p.natDegree ≤ n ↔ ∀ (N : ℕ), n < N → p.coeff N = 0


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
w : #α < #β
w' : Infinite α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
t : Set β

(f '' s ∩ t).Nonempty ↔ (s ∩ f ⁻¹' t).Nonempty


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : 0 ≤ ε


Context: a b : Int


Context:
α : Type u_1
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
a : α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EM : Type u_2

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_5

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E H'

Context: M : Type u

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace HM M

Context: N G A A' R : Type u

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H N

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H' A'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace R

Context: inst✝² : ChartedSpace H R

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : SmoothRing I R

Context: x : M

Context: y : (smoothSheaf IM I M R).presheaf.stalk x

∃ a, (eval IM I M R x) a = smoothSheaf.eval IM I R x y


Context:
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype l


Context:
α : Type u_1
Nonempty α
s : Set (Set α)
h : ⋃₀ s = Set.univ


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
s : Set (α → β → Prop)
a : α
b : β


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hf : HasFiniteIntegral f μ
l : Filter ι
s : ι → Set α
hs : Tendsto (⇑μ ∘ s) l (𝓝 0)

Tendsto (fun x => ‖∫ (x : α) in s x, f x ∂μ‖) l (𝓝 0)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H1 : IsCoprime x z
H2 : x ∣ y * z
a b : R
H : a * x + b * z = 1


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
AddCommMonoid A
StarAddMonoid A
Module R A
StarModule R A

∀ (a : A), (starLinearEquiv R) a = star a


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G✝ : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : MulAction M α
E : Type u_11
F : Type u_12
G : Type u_13
inst✝³ : Monoid E
inst✝² : Monoid F
inst✝¹ : MulAction F G
inst✝ : IsPretransitive F G
f : E →* F
hf : Surjective ⇑f
x✝ : MulAction E G := compHom G f
x : G
m : F


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
g : α

Quotient.out' ↑g = g * ↑⟨g⁻¹ * Quotient.out' ↑g, ⋯⟩


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
f g h : M →ₗ[R] M

(trace R M) (f * g * h) = (trace R M) (h * f * g)


Context: R : Type u

Context: inst✝²⁶ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝²⁵ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝²⁴ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: inst✝²³ : Field K

Context: inst✝²² : Algebra R K

Context: hRK : IsFractionRing R K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝²¹ : Field L

Context: inst✝²⁰ : Algebra S L

Context: inst✝¹⁹ : IsFractionRing S L

Context: V : Type u_3

Context: V' : Type u_4

Context: V'' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁷ : Module R V

Context: inst✝¹⁶ : Module K V

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower R K V

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹³ : Module R V'

Context: inst✝¹² : Module S V'

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S V'

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V''

Context: inst✝⁹ : Module R V''

Context: inst✝⁸ : IsDomain R

Context: inst✝⁷ : IsDomain S

Context: inst✝⁶ : Algebra K L

Context: inst✝⁵ : IsNoetherian R S

Context: inst✝⁴ : Algebra R L

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S L

Context: inst✝² : IsScalarTower R K L

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R K

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: b : Set S

Context: hb' : Submodule.span R b ⊔ Submodule.restrictScalars R (map (algebraMap R S) p) = ⊤

Context: hRL : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)

Context: M : Submodule R S := Submodule.span R b

Context: h : Module.Finite R (S ⧸ M) := Module.Finite.of_surjective M.mkQ (Submodule.Quotient.mk_surjective M)

Context: n : ℕ

Context: a : Fin n → S ⧸ M

Context: ha : Submodule.span R (Set.range a) = ⊤

Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b) = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ g✝ : α → E

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: g : α → E

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hflt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤

Context: hfg : Integrable (fun x => (f x).toReal • g x) μ

(μ.withDensityᵥ fun x => (f x).toReal • g x) = (μ.withDensity f).withDensityᵥ g


Context:
α : Type u_1
Preorder α
f : α → α
h : id ≤ f


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Rel α β


Context: R : Type u

Context: CommRing R

Context: S : Type v

Context: CommRing S

Context: Algebra R S

Context: P : Algebra.PreSubmersivePresentation R S

Context: Fintype P.rels

Context: DecidableEq P.rels

P.jacobian = (algebraMap P.Ring S) P.jacobiMatrix.det


Context:
α : Type u_1
l : List α


Context:
α : Type u
Preorder α
s : Set α

BddAbove (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s) ↔ BddBelow s


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: f : ↥(lp E ⊤)


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra F L
ne : Nonempty (K →ₐ[F] L)
h : Normal F L
φ : K →ₐ[F] L
x : K

Splits (algebraMap F L) (minpoly F (φ x))


Context:
α : Type u_1
Semifield α
b d : α
a c : α
hb : b ≠ 0
hd : d ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: f✝ f₁ f₂ : Filter α

Context: g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β✝

Context: ι : Sort u_6

Context: p : ι → Prop

Context: s✝ : ι → Set α

Context: f : Filter α

Context: hf : f.HasBasis p s✝

Context: β : ι → Type u_5

Context: pg : (i : ι) → β i → Prop

Context: sg : (i : ι) → β i → Set γ

Context: g : Set α → Filter γ

Context: hg : ∀ (i : ι), (g (s✝ i)).HasBasis (pg i) (sg i)

Context: gm : Monotone g

Context: s : Set γ

s ∈ f.lift g ↔ ∃ i, p i ∧ ∃ x, pg i x ∧ sg i x ⊆ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b₁ b₂ : β
OrderedRing α
OrderedAddCommGroup β
Module α β
PosSMulStrictMono α β
PosSMulReflectLT α β
ha : a < 0


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c x : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0

c = EuclideanGeometry.inversion c R x ↔ x = c


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hderiv : ∀ x ∈ Ici a, HasDerivAt g (g' x) x

Context: g'neg : ∀ x ∈ Ioi a, g' x ≤ 0

Context: hg : Tendsto g atTop (𝓝 l)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: s : Set E

Context: hs : s.Countable

Context: B : Basis ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E) ℝ E

Context: I1 : ∀ᵐ (x : E) ∂μ, ∀ v ∈ s, lineDeriv ℝ f x (∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E), (B.repr v) i • B i) = ∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E), (B.repr v) i • lineDeriv ℝ f x (B i)

Context: I2 : ∀ᵐ (x : E) ∂μ, ∀ v ∈ s, LineDifferentiableAt ℝ f x v

Context: x : E

Context: hx : ∀ v ∈ s, lineDeriv ℝ f x (∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E), (B.repr v) i • B i) = ∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E), (B.repr v) i • lineDeriv ℝ f x (B i)

Context: h'x : ∀ v ∈ s, LineDifferentiableAt ℝ f x v

Context: L : E →L[ℝ] ℝ := LinearMap.toContinuousLinearMap ((B.constr ℝ) fun i => lineDeriv ℝ f x (B i))

Context: v : E

Context: hv : v ∈ s

Context: J : L v = lineDeriv ℝ f x v


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieRing L'
LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
J : LieIdeal R L'

↑(LieIdeal.comap f J) = Submodule.comap ↑f ↑J


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B

Context: S T : NonUnitalStarSubalgebra R A


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq R
n i : ℕ


Context: w x y z r : ℝ

Context: l : List ℝ≥0

Context: this : ↑(List.map (fun x => x ^ r) l).prod = ↑(l.prod ^ r)

(List.map (fun x => x ^ r) (List.map toReal l)).prod = (List.map toReal l).prod ^ r


Context:
R : Type u_1
M : Type u_3
X : Type u_4
AddMonoid M
S : AddSubmonoid M
AddOreLocalization.AddOreSet S
AddAction M X
VAdd R X
VAdd R M
VAddAssocClass R M M
VAddAssocClass R M X
r : R
x : AddOreLocalization S X


Context: T : ℝ

Context: hT : T ≠ 0

Context: z✝¹ z✝ : ℝ

Context: h : expMapCircle (2 * π / T * z✝¹) = expMapCircle (2 * π / T * z✝)

Context: m : ℤ

Context: hm : 2 * π * z✝ = 2 * π * z✝¹ + ↑m * (2 * π) * T


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u✝ v✝ : Finset α
hε : 0 < ε
u v : Finset α


Context: x : ℝ


Context: a : Ordinal.{u_1}


Context:
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor A B
G : CategoryTheory.Functor A C
X : A

(F.prod'CompSnd G).hom.app X = CategoryTheory.CategoryStruct.id (G.obj X)


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Abelian C

Context: S : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: hS : S.Exact

Context: J : C

Context: f : S.X₂ ⟶ J

Context: CategoryTheory.Injective J

Context: hf : CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.f f = 0

CategoryTheory.CategoryStruct.comp S.g (hS.descToInjective f hf) = f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α

{ ofColex := s } < { ofColex := {a} } ↔ ∀ b ∈ s, b < a


Context:
𝕂 : Type u_1
𝕂' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
Field 𝕂
Field 𝕂'
Ring 𝔸
Algebra 𝕂 𝔸
Algebra 𝕂' 𝔸
TopologicalSpace 𝔸
TopologicalRing 𝔸
n : ℕ
x : 𝔸

((NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x_1 => x) = (NormedSpace.expSeries 𝕂' 𝔸 n) fun x_1 => x


Context:
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
this : NeZero n


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : AddCancelCommMonoid E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
z : E


Context: m n : ℤ

Context: h : m.gcd n = 1

Context: hm : m % 2 = 0

Context: hn : n % 2 = 1

Context: H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2

Context: hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2

Context: h2m : ↑p ∣ 2 * m ^ 2

Context: h2n : ↑p ∣ 2 * n ^ 2

Context: hmc : p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs

Context: hnc : p = 2 ∨ p ∣ n.natAbs


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
AddMonoid M
AddMonoid N


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : Field 𝕜
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : DecidableEq p
inst✝² : CommRing R
i j : n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype p
e : n ≃ p
t_i t_j : n
hij✝ : t_i ≠ t_j
c✝ : R
a b : p

(1 + stdBasisMatrix (e t_i) (e t_j) c✝) a b = (1 + stdBasisMatrix t_i t_j c✝) (e.symm a) (e.symm b)


Context:
ι : Type u
β : ι → Type v
α : Type u_1
(i : ι) → AddCommMonoid (β i)
s : Finset α
g : α → Π₀ (i : ι), β i


Context:
R : Type u
Semiring R
InvariantBasisNumber R
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
f : (α → R) ≃ₗ[R] β → R


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Infinite β
f : α → Finset β
w : ⋃ a, ↑(f a) = ⊤
k : Infinite ↑(range f)
h : #↑(range f) < #β


Context:
α : Type u
Monoid α
a b : α


Context:
α : Type u
Semiring α
Preorder α
a : α
MulPosMono α
ha : 0 ≤ a


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
I J : HasZeroMorphisms C


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ (padicNorm p)

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: this✝² : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: N1 : ℕ

Context: hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)

Context: N2 : ℕ

Context: hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε

Context: n m : ℕ

Context: hn : max N1 N2 ≤ n

Context: hm : max N1 N2 ≤ m

Context: this✝¹ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε

Context: this✝ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < padicNorm p (↑f n)

Context: this : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < max (padicNorm p (↑f n)) (padicNorm p (↑f m))

Context: hne : ¬padicNorm p (↑f m) = padicNorm p (↑f n)


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hn : 1 ≤ n

ContinuousOn (fun p => (fderivWithin 𝕜 f s p.1) p.2) (s ×ˢ Set.univ)


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : CategoryTheory.IsIso f
Z : C
g : Y ⟶ Z

CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.inv f) (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g) = g


Context:
R : Type u
CommSemiring R


Context:
α : Type u_2
Fintype α
Encodable α
x : α


Context: x✝ y x : ℝ


Context:
α : Type u
β : α → Type v
self : AList β


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type x
Preorder β
f : α → β
l : Filter α
g : δ → α
l' : Filter δ
b : δ
hf : IsMinFilter f l (g b)
hg : Filter.Tendsto g l' l


Context:
α : Type u_2
Ring α
a b : α
ha : Odd a
hb : Even b


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)

vanishingIdeal (closure t) = vanishingIdeal t


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x✝ y : E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ
x : E

x ∈ s * closedBall 1 δ ↔ x ∈ ⋃ x ∈ s, closedBall x δ


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : Archimedean G
H : AddSubgroup G
a : G
h₀ : 0 < a
hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)
hbot : H ≠ ⊥


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D
M : Type u_4
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
CategoryTheory.HasShift D M
X Y Z : C
a b c : M
f : CategoryTheory.ShiftedHom X Y a
g : CategoryTheory.ShiftedHom Y Z b
h : b + a = c
F : CategoryTheory.Functor C D
F.CommShift M

(f.comp g h).map F = (f.map F).comp (g.map F) h


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: p q : Set α → Prop

Context: U s✝ : Set α

Context: ε r✝ : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).InnerRegularWRT p MeasurableSet

Context: hs : univ ⊆ ⋃ n, s n

Context: hmono : Monotone s

Context: F : Set α

Context: hF : MeasurableSet F

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r < ⨆ n, μ (F ∩ s n)

Context: hBU : ⋃ n, F ∩ s n = F

Context: this : μ F = ⨆ n, μ (F ∩ s n)

Context: n : ℕ

Context: hn : r < (μ.restrict (s n)) F

Context: K : Set α

Context: KF : K ⊆ F

Context: hKp : p K

Context: hK : r < (μ.restrict (s n)) K


Context:
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n

TypeVec.comp TypeVec.prod.fst TypeVec.prod.diag = TypeVec.id


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set β


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : IsFundamentalDomain G s μ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (γ : G) (x : α), f (γ • x) = f x
a : ℝ≥0∞
ha : μ ({x | a < f x} ∩ s) = 0
γ : G
x : α

γ⁻¹ • x ∈ {x | a < f x} ↔ x ∈ {x | a < f x}


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
𝒜 : Finset (Finset α)


Context:
α : Sort u_4
β : Sort u_5

IsEmpty (α ⊕' β) ↔ IsEmpty α ∧ IsEmpty β


Context:
R : Type u
CommRing R
p : R[X]
p0 : p ≠ 0
a : R

¬(Polynomial.X - Polynomial.C a) ^ (Polynomial.rootMultiplicity a p + 1) ∣ p


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3

W.dblXYZ P = W.dblZ P • ![W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)), W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)), 1]


Context:
R : Type u_1
M : Type u_4
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set M

(Submodule.span R s).toAddSubmonoid = AddSubmonoid.closure (Set.univ • s)


Context:
α : Type u_1
MeasurableSpace α
M : Type u_3
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M
N : Type u_4
AddCommMonoid N
TopologicalSpace N
f : M →+ N
hf : Continuous ⇑f
s : Set α


Context: z τ J J' : ℂ


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: α : Type u

Context: g₁ g₂ : Fix F → α

Context: h : ∀ (x : F (Fix F)), g₁ <$> x = g₂ <$> x → g₁ (mk x) = g₂ (mk x)

Context: x✝ : Fix F

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a → WType (P F).B

Context: ih : ∀ (a : (P F).B a), g₁ (Quot.mk Setoid.r (f a)) = g₂ (Quot.mk Setoid.r (f a))

g₁ <$> abs ⟨a, fun x => ⟦f x⟧⟩ = g₂ <$> abs ⟨a, fun x => ⟦f x⟧⟩


Context:
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p

Associates.mk p ∈ (Associates.mk a).factors ↔ p ∣ a


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a r : ℝ

volume (Metric.ball a r) = ofReal (2 * r)


Context: P : TopCat → Prop

Context: α : Type w

Context: Finite α

Context: X : α → CompHausLike P

Context: CompHausLike.HasExplicitFiniteCoproduct X

Context: R : ↑(CompHausLike.finiteCoproduct X).toTop

∃ a r, R = (CompHausLike.finiteCoproduct.ι X a) r


Context:
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
n✝¹ p : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime p)
n✝ n : ℕ
h : n ≠ 0
g_poly : (ZMod p)[X] := X ^ p ^ n - X
hp : 1 < p

FiniteDimensional.finrank (ZMod p) (GaloisField p n) = n


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : T1Space X
x : X
h : {x}.Subsingleton


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type x
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
t : Set δ
g : δ → α
b : δ
hf : IsMinOn f s a
hg : Set.MapsTo g t s
ha : g b = a


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x : ℝ
n : ℕ
s : Set ℝ
hs : UniqueDiffOn ℝ s
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f s
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (n + 1)

ContinuousOn (iteratedDerivWithin i f s) s


Context:
x✝ y✝ x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ
hy : y < 0
hxy : x < y


Context:
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0

(r • ν).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] r • ν.rnDeriv μ


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f g₁ g₂ : R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hu₁ : ∀ x ∈ U, g₁ ∈ x.asIdeal.primeCompl

Context: hu₂ : ∀ x ∈ U, g₂ ∈ x.asIdeal.primeCompl


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: D : Type u_4

Context: I₁ : Type u_5

Context: I₂ : Type u_6

Context: I₃ : Type u_7

Context: J : Type u_8

Context: CategoryTheory.Category.{u_10, u_1} C₁

Context: CategoryTheory.Category.{u_12, u_2} C₂

Context: CategoryTheory.Category.{u_11, u_3} C₃

Context: CategoryTheory.Category.{u_9, u_4} D

Context: Zero I₂

Context: DecidableEq I₂

Context: CategoryTheory.Limits.HasInitial C₂

Context: F₁ : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₂ C₁)

Context: F₂ : CategoryTheory.Functor C₂ (CategoryTheory.Functor C₃ C₃)

Context: G : CategoryTheory.Functor C₁ (CategoryTheory.Functor C₃ D)

Context: associator : CategoryTheory.bifunctorComp₁₂ F₁ G ≅ CategoryTheory.bifunctorComp₂₃ G F₂

Context: X₂ : C₂

Context: e₁ : F₁.flip.obj X₂ ≅ CategoryTheory.Functor.id C₁

Context: e₂ : F₂.obj X₂ ≅ CategoryTheory.Functor.id C₃

Context: (X₁ : C₁) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Functor.empty C₂) (F₁.obj X₁)

Context: (X₃ : C₃) → CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (CategoryTheory.Functor.empty C₂) (F₂.flip.obj X₃)

Context: r : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: π : I₁ × I₃ → J

Context: τ : CategoryTheory.GradedObject.TriangleIndexData r π

Context: X₁ : CategoryTheory.GradedObject I₁ C₁

Context: X₃ : CategoryTheory.GradedObject I₃ C₃

Context:
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F₁ I₁ I₂).obj X₁).obj
        ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I₂).obj X₂)).HasMap
    τ.p₁₂

Context:
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor G I₁ I₃).obj
            (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapObj F₁ τ.p₁₂ X₁
              ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I₂).obj X₂))).obj
        X₃).HasMap
    π

Context:
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor F₂ I₂ I₃).obj ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I₂).obj X₂)).obj
        X₃).HasMap
    τ.p₂₃

Context:
(((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor G I₁ I₃).obj X₁).obj
        (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapObj F₂ τ.p₂₃ ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I₂).obj X₂)
          X₃)).HasMap
    π

Context: CategoryTheory.GradedObject.HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁ G τ.ρ₁₂ X₁ ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I₂).obj X₂) X₃

Context: CategoryTheory.GradedObject.HasGoodTrifunctor₂₃Obj G F₂ τ.ρ₂₃ X₁ ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I₂).obj X₂) X₃

Context: (((CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctor G I₁ I₃).obj X₁).obj X₃).HasMap π

Context:
triangle :
  ∀ (X₁ : C₁) (X₃ : C₃),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (((associator.hom.app X₁).app X₂).app X₃) ((G.obj X₁).map (e₂.hom.app X₃)) =
      (G.map (e₁.hom.app X₁)).app X₃

CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorAssociator associator τ.ρ₁₂ τ.ρ₂₃ X₁
        ((CategoryTheory.GradedObject.single₀ I₂).obj X₂) X₃).hom
    (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapMap G π (CategoryTheory.CategoryStruct.id X₁)
      (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorLeftUnitor F₂ X₂ e₂ τ.p₂₃ ⋯ X₃).hom) =
  CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorMapMap G π
    (CategoryTheory.GradedObject.mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).hom (CategoryTheory.CategoryStruct.id X₃)