Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: this : ∀ (r : ℝ≥0) {n : ℕ}, 0 < n → (↑r ≤ 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n)) ↔ ‖p n‖₊ * r ^ n ≤ 1)

Context: r : ℝ≥0

Context: hr : ↑r < p.radius

↑r ≤ liminf (fun n => 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n))) atTop


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Final
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
G : CategoryTheory.Functor D E

(CategoryTheory.Functor.Final.coconesEquiv F G).counitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun c =>
      CategoryTheory.Limits.Cocones.ext
        (CategoryTheory.Iso.refl
          (((CategoryTheory.Limits.Cocones.whiskering F).comp CategoryTheory.Functor.Final.extendCocone).obj c).pt)
        ⋯)
    ⋯


Context:
X Y : Type u_1
Add X
Add Y
e : X ≃+ Y


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: f : α → β

Context: s : Stream' (Option α)

Context: al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, s n = some a → s (n + 1) = some a

↑(map f (think ⟨s, al⟩)) = ↑(map f ⟨s, al⟩).think


Context: X Y Z : AlgebraicGeometry.Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: ∀ (i : 𝒰.J), CategoryTheory.Limits.HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: i j k : 𝒰.J

AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.t' 𝒰 f g i j k ≫
    AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.t' 𝒰 f g j k i ≫
      AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.t' 𝒰 f g k i j ≫
        CategoryTheory.Limits.pullback.fst (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g i j)
            (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g i k) ≫
          CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫
            CategoryTheory.Limits.pullback.snd (𝒰.map i ≫ f) g =
  CategoryTheory.Limits.pullback.fst (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g i j)
      (AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.fV 𝒰 f g i k) ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.fst (CategoryTheory.Limits.pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫
      CategoryTheory.Limits.pullback.snd (𝒰.map i ≫ f) g


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f g : ↥A


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α


Context: σ : Type u_1


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
m : M
i : ℕ
a : R
a_in : a ∈ I ^ i


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : X ≃ₜ Y
s : Set X
hs : IsOpen s
t : Set Y
h : ⇑e '' s = t

↑(e.toPartialHomeomorphOfImageEq s hs t h).symm = ⇑e.symm


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} A

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} B

Context: F : CategoryTheory.Functor A B

Context: CategoryTheory.HasWeakSheafify J A

Context: CategoryTheory.HasWeakSheafify J B

Context: J.HasSheafCompose F

Context: J.PreservesSheafification F

Context: P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A

CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.whiskerRight (CategoryTheory.toSheafify J P) F)
    (CategoryTheory.sheafifyComposeIso J F P).inv =
  CategoryTheory.toSheafify J (P.comp F)


Context: R : Type uR

Context: CommRing R

Context: A : Type uA

Context: AddCommGroup A

Context: B : Type uB

Context: AddCommGroup B

Context: Module R A

Context: Module R B

Context: c : CharacterModule (TensorProduct R A B)

∀ (x : A), (CharacterModule.curry c) x = AddMonoidHom.comp c ↑((TensorProduct.mk R A B) x)


Context: x y : Bool


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'

Context: hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''

Context: h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s

Context: f✝ : ↥(Lp E 1 μ)

Context: f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

(setToL1 hT) ↑f + (setToL1 hT') ↑f = (setToL1SCLM α E μ hT'') f


Context:
α : Type u_1
NormedLatticeAddCommGroup α
a b c d : α


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h : S₁.RightHomologyData

Context: CategoryTheory.Epi φ.τ₁

Context: CategoryTheory.IsIso φ.τ₂

Context: CategoryTheory.Mono φ.τ₃

(CategoryTheory.ShortComplex.RightHomologyData.ofEpiOfIsIsoOfMono φ h).H = h.H


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
p : Y → Prop
s : Set X
hx : x ∈ e.source

(∀ᶠ (y : Y) in 𝓝[↑e.symm ⁻¹' s] ↑e x, p y) ↔ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, p (↑e x)


Context:
n m : Nat
h₁ : n ≤ m
h₂ : m < n + 1


Context:
α : Type u
Small.{v, u} α

Cardinal.lift.{max u w, v} (Cardinal.mk (Shrink.{v, u} α)) = Cardinal.lift.{max v w, u} (Cardinal.mk α)


Context:
a b r q : Int
h : 0 < b

a / b = q ∧ a % b = r ↔ r + b * q = a ∧ 0 ≤ r ∧ r < b


Context:
α : Type u_1
MeasurableSpace α
β : Type u_2
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure α
ν : MeasureTheory.FiniteMeasure β

(μ.prod ν).map Prod.fst = ν Set.univ • μ


Context: G : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: s : Set G

Context: t : Set P

Context: a✝ : P

Context: inst✝³ : PartialOrder G

Context: inst✝² : PartialOrder P

Context: inst✝¹ : SMul G P

Context: inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P

Context: x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a✝)

Context: hs : s.IsPWO

Context: ht : t.IsPWO

Context: a : P

Context: h : (s.smulAntidiagonal t a).Infinite

Context: h1 : (s.smulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)

Context: h2 : (s.smulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)


Context:
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
PredOrder α
a : α


Context:
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
v v' : V
p p' : P

edist (v +ᵥ p) (v' +ᵥ p') ≤ edist v v' + edist p p'


Context:
R : Type u
M₁ : Type v
M₂ : Type w
CommRing R
AddCommGroup M₁
Module R M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₂
e : M₁ ≃ₗ[R] M₂
f : Module.End R M₁


Context:
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A


Context:
a b m n✝ p : ℕ
β : Type u_1
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
f : ℕ → β

(gcd 0 n).primeFactors.prod f * (0 * n).primeFactors.prod f = (primeFactors 0).prod f * n.primeFactors.prod f


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³¹ : CommRing A

Context: inst✝³⁰ : CommRing B

Context: inst✝²⁹ : Algebra A B

Context: inst✝²⁸ : Field K

Context: inst✝²⁷ : Field L

Context: inst✝²⁶ : Algebra A K

Context: inst✝²⁵ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²⁴ : Algebra B L

Context: inst✝²³ : Algebra K L

Context: inst✝²² : Algebra A L

Context: inst✝²¹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.592608

Context: Bₘ : Type ?u.592611

Context: inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ

Context: inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)

Context: this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

Context: this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)


Context:
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F

(CategoryTheory.Limits.Cones.eta c).inv.hom = 𝟙 c.pt


Context: a x z✝ z : ℂ


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: N : ι → Type u_3

Context: inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)

Context: ϕ : (i : ι) → N i →* M

Context: hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)

Context: f g : (i : ι) → N i

Context: i : ι

Context: y : N i

(ϕ i) y * ?m ^ (Finset.univ.erase i).card = (ϕ i) y


Context:
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂✝ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l₂ : List β
d₁ : l₁.Nodup
d₂ : l₂.Nodup
a₁ : α
b₁ : β
left✝ : b₁ ∈ l₂
h₁ : (a₁, b₁) ∈ map (Prod.mk a₁) l₂
n : a₁ ≠ a₁
h₂ : (a₁, b₁) ∈ map (Prod.mk a₁) l₂
mb₂ : b₁ ∈ l₂


Context:
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
p : Associates α
s : Associates.FactorSet α
h : p ∈ s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hspan : (interior s).Nonempty


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
LinearOrder ι
f : MeasureTheory.Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : MeasureTheory.IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
i : ι

MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i}) ↔ MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: x✝² : (p : R[X]) ×' p ≠ 0

Context: a✝¹ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y x✝² → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1

Context: p✝ : R[X]

Context: x✝¹ : p✝ ≠ 0

Context: a✝ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨p✝, x✝¹⟩ → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1

Context: p : R[X]

Context: hp : p ≠ 0

Context: x✝ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨p, hp⟩ → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1

Context: h : ∃ x, p.IsRoot x

Context: x : R

Context: hx : p.IsRoot x

Context: hpd : 0 < p.degree

Context: hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0

Context: wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree

↑(p /ₘ (X - C x)).natDegree < ↑p.natDegree


Context:
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f₀ f₁ : C(X, Y)
P : C(X, Y) → Prop
F : f₀.HomotopyWith f₁ P
x : X


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_3
NonUnitalNormedRing 𝕜'
NormedSpace 𝕜 𝕜'
IsScalarTower 𝕜 𝕜' 𝕜'
SMulCommClass 𝕜 𝕜' 𝕜'
RegularNormedAlgebra 𝕜 𝕜'
Nontrivial 𝕜'


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: p : ℕ → Prop

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: N : ℕ → ℕ

Context: hN : ∀ k < n, ∀ b ≥ N k, p (n * b + k)

Context: b : ℕ

Context: hb : b ≥ (Finset.range n).sup fun x => n * N x

Context: hlt : b % n < n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a : α
s : Set α


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
s : Multiset α
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
f : F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
a : α
b₁ b₂ : β

(G □ H).Adj (a, b₁) (a, b₂) ↔ H.Adj b₁ b₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → β → γ
hf : Measurable (Function.uncurry f)
y : β


Context:
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
M✝ M : ModuleCat R
x : ↑(obj' f M)


Context:
α : Type u
σ : Type v
M : NFA α σ
S : Set σ
a : α


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
M' : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : LieRingModule L M'
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M'


Context:
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
F : C ⥤ D ⥤ E
X✝ Y✝ Z✝ : C × D
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝

(F.map f.1).app X✝.2 ≫ ((F.obj Y✝.1).map f.2 ≫ (F.map g.1).app Y✝.2) ≫ (F.obj Z✝.1).map g.2 = (F.map f.1).app X✝.2 ≫ (F.obj Y✝.1).map f.2 ≫ (F.map g.1).app Y✝.2 ≫ (F.obj Z✝.1).map g.2


Context:
G : Type u
α : Type w
m : MeasurableSpace α
Group G
MulAction G α
MeasurableSpace G
MeasurableSMul G α
μ : MeasureTheory.Measure α

[MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G α μ, ∀ (c : G) (s : Set α), MeasurableSet s → μ ((fun x => c • x) ⁻¹' s) = μ s,
    ∀ (c : G) (s : Set α), MeasurableSet s → μ (c • s) = μ s, ∀ (c : G) (s : Set α), μ ((fun x => c • x) ⁻¹' s) = μ s,
    ∀ (c : G) (s : Set α), μ (c • s) = μ s, ∀ (c : G), MeasureTheory.Measure.map (fun x => c • x) μ = μ,
    ∀ (c : G), MeasureTheory.MeasurePreserving (fun x => c • x) μ μ].TFAE


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_6
AddGroup N
H : AddSubgroup G
f : N →+ G
hf : Function.Injective ⇑f
h : H.normalizer ≤ f.range

AddSubgroup.comap f H.normalizer = (AddSubgroup.comap f H).normalizer


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
FiniteDimensional ℝ V
hd : FiniteDimensional.finrank ℝ V = n
hc : EuclideanGeometry.Cospherical ps

∃ c, ∀ (sx : Affine.Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumcenter = c


Context:
F : Type u
Field F
f g : F[X]
h1 : f ∣ g
h2 : g ≠ 0


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V


Context:
p : ℕ
hp : Nat.Prime p


Context:
α : Type u_1
s : Finset α


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s

(μ.prod ν) s = ∫⁻ (y : β), μ ((fun x => (x, y)) ⁻¹' s) ∂ν


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C

Epi (imageToKernel' S.f S.g ⋯) ↔ Epi (imageToKernel S.f S.g ⋯)


Context:
p : ℕ+
K : Type u
Field K
CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
F.ReflectsMonomorphisms
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : CategoryTheory.Mono (F.map f)


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: s✝ t u : Set H

Context: x✝ : H

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f : H → H'

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: he : e ∈ G

Context: hxe : x ∈ e.source

Context: h : P (f ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)

Context: this : P ((f ∘ ↑e.symm) ∘ ↑e) (↑e ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s)) x


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D

Context: F : C ⥤ D

Context: F.PreservesZeroMorphisms

Context: J : Type w₁

Context: f : J → C

Context: CategoryTheory.Limits.HasBiproduct f

Context: CategoryTheory.Limits.PreservesBiproduct f F

Context: W : C

Context: g : (j : J) → f j ⟶ W

(F.mapBiproduct f).inv ≫ F.map (CategoryTheory.Limits.biproduct.desc g) =
  CategoryTheory.Limits.biproduct.desc fun j => F.map (g j)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set α
t : Set β
h : ⇑e '' s = t

(e.toPartialEquivOfImageEq s t h).source = s


Context:
x : ZFSet
h : x.IsTransitive


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Finite ι

Context: s t : Set (ι → ℝ)

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: hs : IsClosed s

Context: hs' : BddBelow s

Context: val✝ : Fintype ι

Context: f : ℕ → ι → ℝ

Context: x : ι → ℝ

Context: hx : Filter.Tendsto f Filter.atTop (nhds x)

Context: g : ℕ → ι → ℝ

Context: hg : ∀ (n : ℕ), g n ∈ s

Context: hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f n

Context: a : ι → ℝ

Context: ha : a ∈ upperBounds (range f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
xs : LazyList α
ys : Thunk (LazyList α)
f : α → LazyList β

(xs.append ys).bind f = (xs.bind f).append { fn := fun x => ys.get.bind f }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
h : (s ∪ t).Finite


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: inst✝¹³ : CommRing A

Context: inst✝¹² : IsDomain A

Context: L : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : Field L

Context: inst✝⁹ : Algebra A K

Context: inst✝⁸ : Algebra A L

Context: inst✝⁷ : IsFractionRing A K

Context: C : Type u_7

Context: inst✝⁶ : CommRing C

Context: inst✝⁵ : IsDomain C

Context: inst✝⁴ : Algebra C L

Context: inst✝³ : IsIntegralClosure C A L

Context: inst✝² : Algebra A C

Context: inst✝¹ : IsScalarTower A C L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic A L

Context: inj : ∀ (x : A), (algebraMap A L) x = 0 → x = 0

Context: z : L

Context: x : ↥(integralClosure A L)

Context: y : A

Context: hy : y ≠ 0

Context: hxy : z * (algebraMap A L) y = ↑x

Context: h : (algebraMap A C) y = 0


Context:
α : Type u_1
Mul α
AddMonoidWithOne α
Invertible 2
a : α
Invertible a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s✝ t : Set α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α

(↑s).infsep = if hs : s.offDiag.Nonempty then s.offDiag.inf' hs (uncurry dist) else 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: l l' : Filter α

Context: p : ι → Prop

Context: s✝ : ι → Set α

Context: t✝ : Set α

Context: i : ι

Context: p' : ι' → Prop

Context: s' : ι' → Set α

Context: i' : ι'

Context: s : β → Set α

Context: S : Set β

Context: h : DirectedOn (s ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) S

Context: ne : S.Nonempty

Context: t : Set α


Context:
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α

EMetric.diam s = ⊤ ↔ ¬Bornology.IsBounded s


Context:
α : Type u
s : Set α
inst✝ : DivisionRing α
a : ↥(closure s)
x✝ : a ∈ ⊤

↑a ∈ Subtype.val '' ↑(Subfield.rangeOfWType s)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CommSemiring α
s : Multiset ι
f g : ι → α

(map (fun i => f i + g i) 0).prod = (map (fun p => (map f p.1).prod * (map g p.2).prod) (antidiagonal 0)).sum


Context:
X : TopCat
T : Type v
U V : (TopologicalSpace.Opens ↑X)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
f : (X.presheafToType T).obj U

(X.presheafToType T).map i f = f ∘ fun x => ⟨↑x, ⋯⟩


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: ϖ : R

Context: hϖ : Irreducible ϖ

Context: hR : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (ϖ ^ n) x

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p


Context:
α : Type u_2
LinearOrder α
p : α → Prop
x y : α
hx : y ≤ x → p x
hy : x ≤ y → p y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: la : Filter α

Context: lb : Filter β

Context: p : α → β → Prop

Context: h : ∃ᶠ (x : α) in la, ∃ᶠ (y : β) in lb, p x y

∃ᶠ (xy : α × β) in la ×ˢ lb, p xy.1 xy.2


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹² : MeasurableSpace X

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace Y

Context: μ : Measure Y

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: L : F →L[𝕜] G →L[𝕜] E

Context: f : X → Y → G

Context: s : Set X

Context: k : Set Y

Context: g : Y → F

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ univ)

Context: hfs : ∀ (p : X) (x : Y), p ∈ s → x ∉ k → f p x = 0

Context: hg : IntegrableOn g k μ

ContinuousOn (fun x => ∫ (y : Y), (L (g y)) (f x y) ∂μ) s


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝³ : CommRing R₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
x : M
i' : ι
k : ι'

e.toMatrix (update v j x) i' k = (e.toMatrix v).updateColumn j (⇑(e.repr x)) i' k


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : RCLike 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤

∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊ * ↑‖x‖₊ ∂μ = (∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊ ∂μ) * ↑‖x‖₊


Context:
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
x : ↑(Metric.sphere 0 r)


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
DivisionRing β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv


Context: R : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : Module R E

Context: inst✝⁷ : Module R F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁴ : ContinuousAdd E

Context: inst✝³ : ContinuousAdd F

Context: inst✝² : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R E

Context: inst✝ : ContinuousSMul R F

Context: f : E →ₗ.[R] F

Context: hf : f.IsClosable

Context: x✝¹ x✝ : E →ₗ.[R] F

Context: hy₁ : f.graph.topologicalClosure = x✝¹.graph

Context: hy₂ : f.graph.topologicalClosure = x✝.graph


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Finite β


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N✝ : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N✝

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N✝

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N✝

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x : M

Context: v : TangentSpace I x

Context: N : ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target ∈ 𝓝 (↑I (↑(chartAt H x) x))

Context: A : MDifferentiableAt I I.tangent (fun x => { proj := x, snd := 0 }) x

Context: B : (fderivWithin 𝕜 (fun x' => (x', 0)) (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target) (↑I (↑(chartAt H x) x))) v = (v, 0)

(fderivWithin 𝕜 (fun x_1 => (↑I (↑(ChartedSpace.chartAt x) (↑(ChartedSpace.chartAt x).symm (↑I.symm x_1))), 0)) (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target) (↑I (↑(chartAt H x) x))) v = (fderivWithin 𝕜 (fun x' => (x', 0)) (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target) (↑I (↑(chartAt H x) x))) v


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUVne : U ≠ V

Context: hUV : ¬G.IsUniform ε U V

3 / 4 * ε ≤ |(∑ ab ∈ (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U), ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(star hP G ε hU V).card * ↑(star hP G ε hV U).card) - (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card|


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S = ↑S.u * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S ^ 3


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: r : α → α → Prop

Context: a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f : α → β

Context: x : α

Context: y : β

Context: hd : α

Context: tl : List α

Context: ihl : tl.Nodup → map (update f x y) tl = if x ∈ tl then (map f tl).set (indexOf x tl) y else map f tl

Context: hl : hd ∉ tl ∧ tl.Nodup

(update f x y hd :: if x ∈ tl then (map f tl).set (indexOf x tl) y else map f tl) = if x = hd ∨ x ∈ tl then (f hd :: map f tl).set (indexOf x (hd :: tl)) y else f hd :: map f tl


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s t : Finset ι
f : ι → α
i : ι
hs : s.SupIndep f
hts : t ⊆ s
hi : i ∈ s
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ ⊥
h : f i ≤ t.sup f


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
M : (i : ι) → Matroid (α i)

(Matroid.sigma M).E = Set.univ.sigma fun i => (M i).E


Context: α : Type u_1

Context: s : Set α

Context: Preorder α

Context: h : Set.Unbounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) s


Context:
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α


Context:
α : Type u_7
β : Type u_8
Lattice α
Lattice β
self : LatticeHom α β
a b : α

self.toFun (a ⊓ b) = self.toFun a ⊓ self.toFun b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
u : Finset α


Context:
α : Type u_1
CompleteLattice α
One α


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: s : ι → Set α

Context: hs : IndexedPartition s

Context: β : Type u_3

Context: f : ι → α → β

Context: h_injOn : ∀ (i : ι), InjOn (f i) (s i)

Context: h_disjoint : univ.PairwiseDisjoint fun i => f i '' s i

Context: x y : α

Context: h : Disjoint (f (hs.index x) '' s (hs.index x)) (f (hs.index y) '' s (hs.index y))


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂


Context:
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
z : ℤ


Context:
d : ℕ
a : ℤ√↑d
n : ℕ
ha : a.Nonneg


Context: x y : ℤ

toComplex { re := x, im := y } = ↑x + ↑y * I


Context:
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
Algebra.IsAlgebraic F E
hdeg : Field.finSepDegree F E = 1


Context:
m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD n.gcd m]
hn : n ≠ 0
hm : m ≠ 0

↑(if hn : n = 0 then ⟨a, ⋯⟩ else if hm : m = 0 then ⟨b, ⋯⟩ else ⟨((↑n * (n.xgcd m).1 * ↑b + ↑m * (n.xgcd m).2 * ↑a) / ↑(n.gcd m) % ↑(n.lcm m)).toNat, ⋯⟩) < n.lcm m


Context:
X W : AlgebraicGeometry.Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : W ⟶ X
x : ↑↑W.toPresheafedSpace

(𝒰.pullbackCover' f).f x = 𝒰.f (f.val.base x)


Context:
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup E
AddCommGroup F
Module R E
Module R F
TopologicalSpace E
TopologicalSpace F
ContinuousAdd E
ContinuousAdd F
TopologicalSpace R
ContinuousSMul R E
ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : f.IsClosable


Context:
n : ℕ
p i : Fin n
h : p < i
hi : i.castSucc ≠ 0 := ⋯

p.predAbove i.castSucc = i.castSucc.pred hi


Context:
α : Type u_1
M : Type u_4
Zero M
t : Set α
s : Set M


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K : Set F

Context: L : F

Context: r ε δ : ℝ

Context: h : ε ≤ δ

Context: x r' : ℝ

Context: r'r : r' ∈ Ioc (r / 2) r

Context: hr' : ∀ y ∈ Icc x (x + r'), ∀ z ∈ Icc x (x + r'), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
DecidableEq α
s : Finset ι
f : ι → Finset α
hs : (↑s).PairwiseDisjoint f

s.card ≤ (s.biUnion f).card + (Finset.filter (fun i => f i = ∅) s).card


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : IsArtinian R M

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: k : ℕ

Context: hk : ∀ b ≥ k, IsCompl (ker (f ^ b)) (range (f ^ b)) ∧ ⨅ m, range (f ^ m) = range (f ^ b) ∧ ⨆ m, ker (f ^ m) = ker (f ^ b)

Context: h₁ : IsCompl (ker (f ^ k)) (range (f ^ k))

Context: h₂ : ⨅ m, range (f ^ m) = range (f ^ k)

Context: h₃ : ⨆ m, ker (f ^ m) = ker (f ^ k)

IsCompl (⨆ n, ker (f ^ n)) (⨅ n, range (f ^ n))


Context:
G : Type u_1
Add G
IsRightCancelAdd G
g h : G


Context:
α : Type u_1
One α
a : α


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n : ℕ


Context:
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b : α


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
f g : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂

f.toContinuousLinearMap = g.toContinuousLinearMap ↔ f = g


StrictMonoOn Real.arcsin (Set.Icc (-1) 1)


Context:
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y : E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ s
y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ s
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ t
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
p q : 𝕜
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1

∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), ∃ i_1, ∃ (_ : i_1 ∈ t), p • (a₁ • x₁ + b₁ • y₁) + q • (a₂ • x₂ + b₂ • y₂) ∈ [i-[𝕜]i_1]


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : IsDomain R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra S L

Context: inst✝³ : Algebra R L

Context: inst✝² : IsScalarTower R S L

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)

Context: a b : S

Context: hb : b ≠ 0

Context: c : ↥(integralClosure R L)

Context: d : R

Context: d_ne : d ≠ 0

Context: hx : (algebraMap S L) a / (algebraMap S L) b * (algebraMap R L) d = ↑c


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
Group G
MulAction G α
a b : α


Context:
α : Type u_2
GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c : α


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M

MDifferentiableAt I I' f x ↔
  ContinuousAt f x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (Set.range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context:
α : Type u_1
Preorder α
b x : α


Context:
x y : PGame
i : x.LeftMoves
j : y.LeftMoves

⟦x.moveLeft i * y.moveLeft j⟧ = ⟦y.moveLeft j * x.moveLeft i⟧


Context:
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
CommRing R₁
AddCommGroup M₁
Module R₁ M₁
B : LinearMap.BilinForm R₁ M₁


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
n : ℕ
EquivLike F α β
AddEquivClass F α β
f : F
hfAB : Set.BijOn (⇑f) A B


Context:
α : Type u_1
R : Type u_6
SMul R ENNReal
IsScalarTower R ENNReal ENNReal
_m : MeasurableSpace α
c : R
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α


Context:
G : Type u_1
A : Type u_2
H : Type u_3
Group G
MulAction G A
Monoid H
x : G

∀ (a : A → H) (a_1 : A), (MulEquiv.symm (mulAutArrow x)) a a_1 = (x⁻¹ • a) a_1


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P Q R : C
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
inst✝¹ : StrongMono (f ≫ g)
X Y : C
z : X ⟶ Y
inst✝ : Epi z
u : X ⟶ P
v : Y ⟶ Q
sq : CommSq u z f v


Context:
α : Type u_1
Preorder α
a b₁ b₂ : α
h : b₁ ≤ b₂


Context: p : ℕ

Context: Fact (Nat.Prime p)

Context: ncs : CauSeq ℤ_[p] norm

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: hnorm : Filter.Tendsto (fun i => ‖Polynomial.eval (↑ncs i) F‖) Filter.atTop (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ

δ / 4 + dist (x - const ι (3 / 4 * δ)) x ≤ δ


Context:
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ


Context:
N : Type u_2
Monoid N
p : N
n : ℕ
h : IsIdempotentElem p


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : WittVector p (ZMod p)


Context:
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
s : σ
x : List α
a : α

M.evalFrom s (x ++ [a]) = M.step (M.evalFrom s x) a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : Filter α
g : Set α → Set β
h : Set β → Filter γ
hg : Monotone g
hh : Monotone h

(f.lift' g).lift h = f.lift fun s => h (g s)


Context: C : Type u₁


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : AddMonoidHomClass F M N
f : F
S : AddSubmonoid M
x : M
hx : x ∈ S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace β
f : α →ₘ[μ] β


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type u_4
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup P
AddCommGroup N
Module R M
Module R P
Module R N
IsArtinian R M
IsArtinian R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
h : LinearMap.range f = LinearMap.ker g


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
k : A ⟶ S.X₂
x : A ⟶ S.X₁
hx : k = x ≫ S.f

S.liftCycles k ⋯ ≫ S.leftHomologyπ ≫ S.leftHomologyIso.hom = 0


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: I : Box ι

Context: y : E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤

Context: B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤

Context: F : Set (ι → ℝ)

Context: hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I

Context: hFc : IsClosed F

Context: hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U

Context: hUo : IsOpen U

Context: hUt : μ U < ⊤

Context: hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε

Context: rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: hrsU : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, closedBall x ↑(rs x) ⊆ U

Context: rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: hrs'F : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, closedBall x ↑(rs' x) ⊆ Fᶜ

Context: r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := s.piecewise rs rs'

Context: c : ℝ≥0

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π

Context: hπp : π.IsPartition

|(μ (π.filter fun i => π.tag i ∈ s).iUnion).toReal - (μ (s ∩ ↑I)).toReal| * ‖y‖ ≤ ↑ε * ‖y‖


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C

Context: CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D

Context: CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} E

Context: CategoryTheory.HasShift C ℤ

Context: CategoryTheory.HasShift D ℤ

Context: CategoryTheory.HasShift E ℤ

Context: F : CategoryTheory.Functor C D

Context: F.CommShift ℤ

Context: G : CategoryTheory.Functor D E

Context: G.CommShift ℤ

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroObject D

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroObject E

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: CategoryTheory.Preadditive D

Context: CategoryTheory.Preadditive E

Context: ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor D n).Additive

Context: ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor E n).Additive

Context: CategoryTheory.Pretriangulated C

Context: CategoryTheory.Pretriangulated D

Context: CategoryTheory.Pretriangulated E

Context: H : CategoryTheory.Functor C E

Context: e : F.comp G ≅ H

Context: H.CommShift ℤ

Context: H.IsTriangulated

Context: F.IsTriangulated

Context: F.mapArrow.EssSurj

Context: CategoryTheory.NatTrans.CommShift e.hom ℤ


Context: α : Type u_1

Context: Mul α

Context: LinearOrder α

Context: a b c d : α

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: h : a * b < c * d


Context:
α : Type u_2
β : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
Topology.IsLower α
TopologicalSpace β
f : β → α

Continuous f ↔ ∀ (a : α), IsClosed (f ⁻¹' Set.Ici a)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.83140, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s s' : S.Splitting
h : s.s = s'.s
this : Mono S.f
eq : s.r ≫ S.f + S.g ≫ s.s = 𝟙 S.X₂


Context: J : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} K

Context: h : ∀ (j₁ j₂ : J), ∃ l, List.Chain Zag j₁ l ∧ (j₁ :: l).getLast ⋯ = j₂


Context: G : Type u_1

Context: AddGroup G

Context: ι : Type u_2

Context: H : ι → AddSubgroup G

Context: g : ι → G

Context: s : Finset ι

Context: hcovers : ⋃ i ∈ s, g i +ᵥ ↑(H i) = Set.univ

Context: DecidablePred AddSubgroup.FiniteIndex

⋃ k ∈ Finset.filter (fun i => (H i).FiniteIndex) s, g k +ᵥ ↑(H k) = Set.univ


Context:
α : Type u
β : Type v
Fintype β
r : α → β → Prop
(a : α) → DecidablePred (r a)

(∀ (A : Finset α), A.card ≤ (Finset.filter (fun b => ∃ a ∈ A, r a b) Finset.univ).card) ↔
  ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : α), r x (f x)


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R✝
m n✝ : ℕ
inst✝² : CommSemiring R✝
p q : R✝[X]
x✝ : R✝
inst✝¹ : CommSemiring S
f : R✝ →+* S
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
x : R

eval x (∑ i ∈ range n, X ^ i) = ∑ i ∈ range n, x ^ i


Context:
α : Type
Finite α
Z : α → Stonean
a : α

OpenEmbedding ⇑(CategoryTheory.Limits.Sigma.ι Z a)


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: P : α → Prop

Context: a : α

Context: h0 : P 0

Context: h1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x

Context: hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)

Context: hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → P x → P y → P (x * y)

Context: this✝¹ : DecidableEq α := Classical.decEq α

Context: P_of_associated : ∀ {x y : α}, x ~ᵤ y → P x → P y

Context: ha0 : ¬a = 0

Context: this✝ : Nontrivial α

Context: this : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid


Context:
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕝
AddCommGroup E
Module 𝕝 E
TopologicalSpace E
p : Seminorm 𝕝 E
hp : Continuous ⇑p
r : ℝ
hr : 0 < r


Context:
𝕜 : Type u_1
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
W₂ : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
Q₂ : Type u_8
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁵ : MetricSpace P
inst✝¹⁴ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : MetricSpace Q
inst✝¹¹ : NormedAddTorsor W Q
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup W₂
inst✝⁹ : MetricSpace Q₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor W₂ Q₂
inst✝⁷ : NormedField R
inst✝⁶ : NormedSpace R V
inst✝⁵ : NormedSpace R W
inst✝⁴ : NormedSpace R W₂
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W₂
f : V →ᵃ[R] W
h : Continuous f.toFun

⇑{ toAffineMap := f, cont := h } = ⇑{ toAffineMap := f, cont := h }.contLinear + Function.const V ({ toAffineMap := f, cont := h } 0)


Context:
R : Type u_1
Semiring R
f : Polynomial R
n : ℕ

f.reverse.coeff n = f.coeff ((Polynomial.revAt f.natDegree) n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)

Context: h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f

Context: val✝ : Encodable β

Context: h✝ : Nonempty β

Context: inhabited_h : Inhabited β

Context: this : ∀ (a : α), ⨆ b, f b a = ⨆ n, f (Directed.sequence f h_directed n) a

∫⁻ (a : α), ⨆ b, f b a ∂μ = ⨆ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
CommRing S
f : R →+* S
n : ℤ

Polynomial.map f (Polynomial.Chebyshev.T R n) = Polynomial.Chebyshev.T S n


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p.natDegree = 0

(map f p).natDegree = p.natDegree ↔ f p.leadingCoeff ≠ 0 ∨ p.natDegree = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W✝ : Affine R

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Affine F

Context: x₁ x₂ y₁ y₂ : F

Context: h₁ : y₁ ^ 2 + W.a₁ * x₁ * y₁ + W.a₃ * y₁ = x₁ ^ 3 + W.a₂ * x₁ ^ 2 + W.a₄ * x₁ + W.a₆

Context: h₂ : y₂ ^ 2 + W.a₁ * x₂ * y₂ + W.a₃ * y₂ = x₂ ^ 3 + W.a₂ * x₂ ^ 2 + W.a₄ * x₂ + W.a₆

Context: hx : x₁ = x₂


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K₁ K₂ : Multicofork I
f : K₁ ⟶ K₂

K₁.toSigmaCofork.ι.app WalkingParallelPair.one ≫ f.hom = K₂.toSigmaCofork.ι.app WalkingParallelPair.one


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
Add G
Add H
a : G
b : H
f : AddConstMap G H a b
a' : G
b' : H
ha : a = a'
hb : b = b'


Context:
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
h : f n = g n

Cardinal.cantorFunctionAux c f n = Cardinal.cantorFunctionAux c g n


Context:
R : Type u_1
CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommRing S
Algebra R S
IsLocalization M S

Submodule.span R ↑(IsLocalization.invSubmonoid M S) = ⊤


Context:
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
ha : G.Adj s t
e : Sym2 V

∀ (x y : V), s(x, y) ∈ (G.replaceVertex s t).edgeSet ↔ s(x, y) ∈ (G.edgeSet \ G.incidenceSet t ∪ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s) \ {s(t, t)}


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
F : Ctop.Realizer α
s : Set α
a : α

a ∈ interior s ↔ ∃ b, a ∈ F.F.f b ∧ F.F.f b ⊆ s


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
P : Type u_3
CommSemiring P
IsLocalization M S
T : Submonoid P
Q : Type u_4
CommSemiring Q
Algebra P Q
IsLocalization T Q
j : R ≃+* P
H : Submonoid.map j.toMonoidHom M = T
x : R
y : ↥M

(IsLocalization.ringEquivOfRingEquiv S Q j H) (IsLocalization.mk' S x y) = IsLocalization.mk' Q (j x) ⟨j ↑y, ⋯⟩


Context:
α : Type
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : Dioph.DiophFn f
dg : Dioph.DiophFn g


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R

Context: M : Subsemigroup R

Context: inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S

Context: inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T

Context: s : Set R

Context: x : R

Context: hx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
H : IsQuasiSeparated s
h : Embedding f
U V : Set β
hU : U ⊆ f '' s
hU' : IsOpen U
hU'' : IsCompact U
hV : V ⊆ f '' s
hV' : IsOpen V
hV'' : IsCompact V


Context:
ι : Type u_1
Fintype ι
I : BoxIntegral.Box ι

(MeasureTheory.volume ↑I).toReal = ∏ i : ι, (I.upper i - I.lower i)


Context:
R : Type u
CommSemiring R
t t' : Set (PrimeSpectrum R)

PrimeSpectrum.vanishingIdeal t ⊔ PrimeSpectrum.vanishingIdeal t' ≤ PrimeSpectrum.vanishingIdeal (t ∩ t')


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re

Filter.Tendsto (fun n => ∏ p ∈ n.primesBelow, (1 - ↑p ^ (-s))⁻¹) Filter.atTop (𝓝 (riemannZeta s))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
f : α → β
hf : Antitone f


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
E : EllipticCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R


Context:
α : Type u_1
a b : α
n : ℕ

b ∈ Multiset.replicate n a ↔ n ≠ 0 ∧ b = a


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
a✝ b✝ : A₁ ⟶ A₂


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Mul G

Context: inst✝ : Mul H

Context: A B : Finset G

Context: a0 b0 : G

Context: x✝ : ∃ g, ∃! ab, ab ∈ A ×ˢ B ∧ ab.1 * ab.2 = g

Context: a b : G

Context: hab : (a, b) ∈ A ×ˢ B

Context: h : ∃! ab, ab ∈ A ×ˢ B ∧ ab.1 * ab.2 = (a, b).1 * (a, b).2

Context: ha : (a, b).1 ∈ A

Context: hb : (a, b).2 ∈ B

∃ a0 b0, a0 ∈ A ∧ b0 ∈ B ∧ UniqueMul A B a0 b0


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: I₁ : Type u_2

Context: I₂ : Type u_3

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: X : HomologicalComplex₂ C c₂ c₁

Context: i : I₂

∀ (i_1 : I₁), (((HomologicalComplex₂.flipEquivalenceCounitIso C c₁ c₂).inv.app X).f i).f i_1 = 𝟙 ((X.X i).X i_1)


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
γ : Type u_3
SMul γ β
IsScalarTower γ β β
c : γ
f : CauSeq β abv

c • CauSeq.Completion.mk f = CauSeq.Completion.mk (c • f)


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : LocalRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommSemiring S

Context: inst✝ : LocalRing S

Context: f : R →+* S

Context: this : IsLocalRingHom f ↔ Ideal.comap f (maximalIdeal S) = maximalIdeal R

Ideal.comap f (maximalIdeal S) = maximalIdeal R ↔ ((PrimeSpectrum.comap f) (closedPoint S)).asIdeal = (closedPoint R).asIdeal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : BooleanRing α
inst✝¹ : BooleanRing β
inst✝ : BooleanRing γ
f : α →+* β
a b : AsBoolAlg α

toBoolAlg (f (ofBoolAlg a + ofBoolAlg b + ofBoolAlg a * ofBoolAlg b)) = toBoolAlg (f (ofBoolAlg a)) ⊔ toBoolAlg (f (ofBoolAlg b))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝⁴ : Module.Free ℤ R

Context: inst✝³ : Module.Finite ℤ R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: a : ↥R⁰

Context: I₀ : Ideal R

Context: h : a • ↑I = Submodule.map (Algebra.linearMap R K) I₀

↑(Ideal.absNorm I.num) * ↑|(Algebra.norm ℤ) ↑a| = ↑(Ideal.absNorm I₀) * ↑|(Algebra.norm ℤ) ↑I.den|


Context: V : Type u_1

Context: NormedAddCommGroup V

Context: InnerProductSpace ℝ V

Context: Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y : V

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r


Context:
F : Type u_1
K✝ : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K✝
inst✝¹ : Algebra F L
K K' : IntermediateField F L
inst✝ : Normal F L
h : K ≤ K'


Context: a b : ℕ+

Fintype.card ↑(Set.Icc a b) = ↑b + 1 - ↑a


Context:
R : Type u_1
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
SeminormedRing 𝕜
SeminormedRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
AddCommGroup E
AddCommGroup E₂
Module 𝕜 E
Module 𝕜₂ E₂
SMul R ℝ
SMul R ℝ≥0
IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : Seminorm 𝕜₂ E₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
c : R


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s✝ t : Set α
a b x y : α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
ha : a ∈ s
n : ℕ
hs : s.Nontrivial


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α β

Context: f✝ : α → β → ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel κ

Context: f : ι → α → β → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (Function.uncurry (f i))

κ.withDensity (∑' (n : ι), f n) = Kernel.sum fun n => κ.withDensity (f n)


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: s : Set γ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hm : MeasurableSet (κ.mutuallySingularSetSlice η a)

((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) (s ∩ κ.mutuallySingularSetSlice η a) + ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) (s \ κ.mutuallySingularSetSlice η a) + (((κ.singularPart η) a) (s ∩ κ.mutuallySingularSetSlice η a) + ((κ.singularPart η) a) (s \ κ.mutuallySingularSetSlice η a)) = (κ a) (s ∩ κ.mutuallySingularSetSlice η a) + (κ a) (s \ κ.mutuallySingularSetSlice η a)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : ℕ →o (Submodule R M)ᵒᵈ


Context:
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'


Context:
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive D
F G : CategoryTheory.Functor C D
X : C
α : F ⟶ G
n : ℤ


Context:
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : s.Subsingleton


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: z✝ : ℂ

Context: f✝ : ℂ → E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: z : ℂ

Context: h : fderiv ℝ f z ≠ 0

Context: h_diff : DifferentiableAt ℝ f ((starRingEnd ℂ) ((starRingEnd ℂ) z))

Context: g : ℂ →L[ℂ] ℂ

Context: this : fderiv ℝ (⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z) = ↑conjCLE

(fderiv ℝ f z).comp ↑conjCLE = fderiv ℝ (f ∘ ⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z)


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
hp : 0 < p
hq : q < ⊤

0 < p.toReal ∧ 0 < q.toReal ∧ p.toReal ≤ q.toReal


Context:
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
f : α → E
g : α → F

f =O[⊤] g ↔ ∃ C, ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C * ‖g x‖


Context: α : Type u_1

Context: Preorder α

Context: a b c : α

Context: hab : a ⋖ b

Context: hbc : AntisymmRel (fun x x_1 => x ≤ x_1) b c


Context: a b : Int


Context:
α : Type u_1
G : Type u_5
NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G

MeasureTheory.AEStronglyMeasurable' m (↑↑(MeasureTheory.condexpIndSMul hm hs hμs x)) μ


Context: F : Type u_1

Context: R : outParam (Type u_2)

Context: S : outParam (Type u_3)

Context: Semiring R

Context: Semiring S

Context: σ : outParam (R →+* S)

Context: σ' : outParam (S →+* R)

Context: RingHomInvPair σ σ'

Context: RingHomInvPair σ' σ

Context: M : outParam (Type u_4)

Context: TopologicalSpace M

Context: AddCommMonoid M

Context: M₂ : outParam (Type u_5)

Context: TopologicalSpace M₂

Context: AddCommMonoid M₂

Context: Module R M

Context: Module S M₂

Context: EquivLike F M M₂

Context: self : ContinuousSemilinearEquivClass F σ M M₂

Context: f : F


Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf' : Differentiable ℝ f

Context: hf'' : Differentiable ℝ (deriv f)

Context: hf''_nonpos : ∀ (x : ℝ), deriv^[2] f x ≤ 0


Context:
α : Type u_5
E : Type u_6
R : Type u_7
AddCommMonoid E
DivisionSemiring R
Monoid α
Module R E
DistribMulAction α E
n : ℕ
s : α
x : E


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
n : ℕ
hp : p ≠ 0


Context:
I : Type u
C : Set (I → Bool)
J : I → Prop
(i : I) → Decidable (J i)

Function.Bijective ⇑(Profinite.NobelingProof.iso_map C J)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Set α
t₁ t₂ : Set β
f : α → β
h₁ : Set.SurjOn f s₁ t₁
h₂ : Set.SurjOn f s₂ t₂


Context:
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ≤ 0


Context:
G : Type u_3
DivInvMonoid G
g : ConjAct G
h : G

g • h = ConjAct.ofConjAct g * h * (ConjAct.ofConjAct g)⁻¹


Context: z : ℂ


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: E : Type u₃

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E

Context: i : D ⥤ C

Context: inst✝ : Reflective i

Context: X Y : i.EssImageSubcategory

Context: f : X ⟶ Y

Context: h : (reflectorAdjunction i).unit.app X.obj ≫ (reflector i ⋙ i).map f = (𝟭 C).map f ≫ (reflectorAdjunction i).unit.app Y.obj

i.essImageInclusion.map (((i.essImageInclusion ⋙ reflector i) ⋙ i.toEssImage).map f ≫ (equivEssImageOfReflective_counitIso_app Y).hom) = i.essImageInclusion.map ((equivEssImageOfReflective_counitIso_app X).hom ≫ (𝟭 i.EssImageSubcategory).map f)


Context:
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
a : P.mp.A
f : P.mp.B a ⟹ α

dest P (g <$$> ⟨a, f⟩) = (g ::: fun x => g <$$> x) <$$> dest P ⟨a, f⟩


Context:
α : Type u_3
Monoid α
s : List (Additive α)

Additive.toMul s.sum = (List.map (⇑Additive.toMul) s).prod


Context:
n : Type v
α : Type w
DecidableEq n
Fintype n
CommRing α
A : Matrix n n α

A.adjugate.det = A.det ^ (Fintype.card n - 1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: p : TauPackage β α

Context: N : ℕ

Context: hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)

Context: i : Ordinal.{u}

Context: IH : ∀ k < i, k < p.lastStep → p.color k < N

Context: hi : i < p.lastStep

Context: A : Set ℕ := ⋃ j, ⋃ (_ : (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty), {p.color ↑j}

Context: color_i : p.color i = sInf (univ \ A)

Context: N_mem : N ∈ univ \ A

Context: Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N

Context: g : ℕ → Ordinal.{u}

Context: hg : ∀ k < N, g k < i ∧ (closedBall (p.c (p.index (g k))) (p.r (p.index (g k))) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧ k = p.color (g k)

Context: G : ℕ → Ordinal.{u} := fun n => if n = N then i else g n

Context: color_G : ∀ n ≤ N, p.color (G n) = n

Context: G_lt_last : ∀ n ≤ N, G n < p.lastStep

Context: fGn : ∀ n ≤ N, p.c (p.index (G n)) ∉ p.iUnionUpTo (G n) ∧ p.R (G n) ≤ p.τ * p.r (p.index (G n))

Context: Gab : ∀ (a b : Fin N.succ), G ↑a < G ↑b → p.r (p.index (G ↑a)) ≤ dist (p.c (p.index (G ↑a))) (p.c (p.index (G ↑b))) ∧ p.r (p.index (G ↑b)) ≤ p.τ * p.r (p.index (G ↑a))

Context: sc : SatelliteConfig α N p.τ := { c := fun k => p.c (p.index (G ↑k)), r := fun k => p.r (p.index (G ↑k)), rpos := ⋯, h := ⋯, hlast := ⋯, inter := ⋯ }


Context:
α : Type u_1
F : Type u_3
p : ℝ≥0∞
NormedAddCommGroup F
m m0 : MeasurableSpace α
one_le_p : Fact (1 ≤ p)
NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ.trim hm) s ≠ ⊤
c : F

↑((MeasureTheory.lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm).symm (MeasureTheory.indicatorConstLp p hs hμs c)) =
  MeasureTheory.indicatorConstLp p ⋯ ⋯ c


Context:
x : Int
m : Nat
p : x % ↑m < (↑m + 1) / 2


Context:
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
hs : IsCompact s


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
NormedField 𝕜
SeminormedAddCommGroup V
NormedSpace 𝕜 V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
SeminormedAddCommGroup V₂
NormedSpace 𝕜 V₂
PseudoMetricSpace P₂
NormedAddTorsor V₂ P₂
SeminormedAddCommGroup V₃
NormedSpace 𝕜 V₃
PseudoMetricSpace P₃
NormedAddTorsor V₃ P₃
e₁ : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
e₂ : P₂ ≃ᵃⁱ[𝕜] P₃


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : Completion α


Context: K : Type u_1

Context: Field K

Context: NumberField K

Context: IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution hζ

Context: DecidableRel fun a b => a ∣ b

IsCoprime (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x a b : α
l : List α

(a :: b :: l).reverse.formPerm = (a :: b :: l).formPerm⁻¹


Context:
R : Type u_3
LinearOrderedSemiring R
a b : R
ExistsAddOfLE R
h : a ^ 2 ≤ b


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : Field R

Context: inst✝¹⁸ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace V

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalRing R

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup V

Context: inst✝¹³ : Module R V

Context: inst✝¹² : SeparatingDual R V

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : SeparatingDual 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : Nontrivial E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Finite ι

Context: M : ι → Type u_7

Context: inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SeparatingDual 𝕜 (M i)

Context: inst✝ : CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 M F)

Context: m : (i : ι) → M i

Context: hm : ∀ (i : ι), m i ≠ 0

Context: f : ℕ → F

Context: hf : CauchySeq f

Context: φ : (i : ι) → M i →L[𝕜] 𝕜

Context: hφ : ∀ (i : ι), (φ i) (m i) = 1

Context: val✝ : Fintype ι

Context: g : ℕ → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M F := fun n => (compContinuousLinearMapL φ) (((smulRightL 𝕜 (fun x => 𝕜) F) (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι 𝕜)) (f n))

Context: this : CauchySeq g

Context: a : ContinuousMultilinearMap 𝕜 M F

Context: ha : Tendsto g atTop (𝓝 a)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
c : ℝ≥0∞
hG : CompleteSpace G
hc : c ≠ ⊤

setToFun (c • μ) (weightedSMul (c • μ)) ⋯ f = setToFun μ (fun s => c.toReal • weightedSMul μ s) ⋯ f


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: hg : LipschitzWith D g

Context: h'g : HasCompactSupport g

Context: v : E

Context: A : Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x) * g x ∂μ) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x v * g x ∂μ))

Context: B : Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (g (x + t • -v) - g x) * f x ∂μ) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ g x (-v) * f x ∂μ))

Context: t : ℝ

Context: S3 : ∫ (x : E), f (x + t • v) * g x ∂μ = ∫ (x : E), f x * g (x + t • -v) ∂μ

Integrable (fun x => f (x + t • v) * g x) μ


Context:
F : Type u
E✝ : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E✝
inst✝⁵ : Algebra F E✝
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
E : Type v
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
hfd : FiniteDimensional F E


Context:
α : Type u
β : Type v
Group α
AddMonoid β
DistribMulAction α β
a : α
x : β


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
a : α
inst✝ : (𝓝[>] a).NeBot
this : Nonempty ↑(Ioi a)
c : α
hc : a < c


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (Set X)
hs : s.Finite
x✝ : ∀ t ∈ ∅, IsOpen t


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: W : CategoryTheory.MorphismProperty C

Context: W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y Z : C

Context: z₁ : W.LeftFraction X Y

Context: z₂ : W.LeftFraction Y Z

Context: z₃ : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'

Context: h₃ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp z₂.f z₃.s = CategoryTheory.CategoryStruct.comp z₁.s z₃.f

z₁.comp z₂ = CategoryTheory.MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Hom.mk (z₁.comp₀ z₂ z₃)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
x✝ : ℝ


Context:
x : ℝ
hc : ContinuousAt tan x
h₀ : cos x = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: hS : S.Exact

Context: b' : Pseudoelement S.X₂

Context: b : Over S.X₂

Context: hb : pseudoApply S.g ⟦b⟧ = 0

Context: hb' : b.hom ≫ S.g = 0

Context: c : (𝟭 C).obj b.left ⟶ (KernelFork.ofι (image.ι S.f) ⋯).pt

Context: hc : c ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (image.ι S.f) ⋯) = b.hom

pseudoApply S.f (Quot.mk (PseudoEqual S.X₁) (Over.mk (pullback.fst (Abelian.factorThruImage S.f) c))) = ⟦b⟧


Context:
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Finite
n : ℕ
hn : n < hf.toFinset.card

nth p n = (hf.toFinset.orderEmbOfFin ⋯) ⟨n, hn⟩


Context: a b : Bool

((a || b) = true) = (a = true ∨ b = true)


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
h : (C 0).degree = 0
this : p.degree ≤ 0
hc : p.coeff 0 = 0


Context:
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a : α


Context:
R : Type u_2
Ring R


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : Presieve.IsSheaf J F


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
e : X ≃ᵈ Y


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: NormedAddCommGroup V

Context: InnerProductSpace ℝ V

Context: MetricSpace P

Context: NormedAddTorsor V P

Context: p1 p2 p3 : P

Context: h : EuclideanGeometry.angle p1 p2 p3 = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : BoundedOrder α

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → α

Context: h0 : f 0 = ⊥

Context: hlast : f (Fin.last n) = ⊤

Context: hcovBy : ∀ (k : Fin n), f k.castSucc ⩿ f k.succ

Context: hmono : Monotone f

Context: t : Set α

Context: htc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) t

Context: hbt : range f ⊆ t

Context: x : α

Context: hx : x ∈ t

Context: h : ∀ (y : Fin (n + 1)), f y ≠ x

Context: k : Fin (n + 1)


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
Archimedean α


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring R'
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : SemilatticeSup B
inst✝¹ : Add B
inst✝ : OrderBot B
D : A → B
f g : R'[A]

supDegree D (f - g) ≤ supDegree D f ⊔ supDegree D g


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr✝ : r ≠ 0
hr : 0 < r


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Faithful
X Y : C
f g : X ⟶ Y


Context:
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_5
CategoryTheory.Category.{u_7, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_8, u_3} H
CategoryTheory.Category.{u_9, u_5} D
L : CategoryTheory.Functor C D
F F' : CategoryTheory.Functor C H
iso₂ : F ≅ F'

L.HasLeftKanExtension F ↔ L.HasLeftKanExtension F'


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M

span R {x} = ⊤ ↔ ∀ (v : M), ∃ r, r • x = v


Context:
R : Type u_1
CommRing R
x y : R
h : IsRelPrime x y
z : R


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
PartialOrder Γ
Zero R
Zero Γ
x : HahnSeries Γ R


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
p₁ p₂ : P
c : 𝕜

dist p₂ ((homothety p₁ c) p₂) = ‖1 - c‖ * dist p₁ p₂


Context:
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f : α₁ → β₁ → Finset γ₁
g : α₂ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂

Finset.sumLift₂ f g a b = ∅ ↔
  (∀ (a₁ : α₁) (b₁ : β₁), a = Sum.inl a₁ → b = Sum.inl b₁ → f a₁ b₁ = ∅) ∧
    ∀ (a₂ : α₂) (b₂ : β₂), a = Sum.inr a₂ → b = Sum.inr b₂ → g a₂ b₂ = ∅


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: q : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: f : (i : α) → E i

Context: hf : Summable fun i => ‖f i‖ ^ ENNReal.toReal 0


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
Ring R
DecidableEq σ
n : σ →₀ ℕ
a : R
φ : MvPowerSeries σ R

(MvPowerSeries.coeff R n) (MvPowerSeries.inv.aux a φ) =
  if n = 0 then a
  else
    -a *
      ∑ x ∈ Finset.antidiagonal n,
        if x.2 < n then (MvPowerSeries.coeff R x.1) φ * (MvPowerSeries.coeff R x.2) (MvPowerSeries.inv.aux a φ) else 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
r : ℝ≥0

HasSum f r ↔ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r)


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝¹ : IsStrictTotalOrder ι r
inst✝ : Finite ι
hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)


Context:
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
ha : a ∈ s
hb : b ∉ s
x : α
hx : x ∈ insert b (s \ {a})


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
h : IsPreirreducible s
u : Set X
hu : IsOpen u
v : Set X
hv : IsOpen v
x✝ : X
hxs✝ : x✝ ∈ s
hxu✝ : ⟨x✝, hxs✝⟩ ∈ val ⁻¹' u
y : X
hys : y ∈ s
hyv : ⟨y, hys⟩ ∈ val ⁻¹' v
x : X
hxs : x ∈ s
hxu : x ∈ u
hxv : x ∈ v

(univ ∩ (val ⁻¹' u ∩ val ⁻¹' v)).Nonempty


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module S M

Context: inst✝ : IsScalarTower R S M

Context: x : S ⊗[R] S

Context: hx : x ∈ ideal R S

Context: this : x ∈ Submodule.span S (Set.range fun s => 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1)

∀ (x y : S ⊗[R] S), (∃ (hx : x ∈ ideal R S), (ideal R S).toCotangent ⟨x, hx⟩ ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(D R S))) → (∃ (hx : y ∈ ideal R S), (ideal R S).toCotangent ⟨y, hx⟩ ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(D R S))) → ∃ (hx : x + y ∈ ideal R S), (ideal R S).toCotangent ⟨x + y, hx⟩ ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(D R S))


Context:
𝕜 : Type u_1
LinearOrderedField 𝕜
x y z : 𝕜
h : x < y

z ∈ Set.Ioc x y ↔ ∃ a b, 0 ≤ a ∧ 0 < b ∧ a + b = 1 ∧ a * x + b * y = z


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
AddZeroClass G
f : AddMonoidAlgebra k G
r : k
x : G

(AddMonoidAlgebra.single 0 r * f) x = r * f x


Context:
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
p : Polynomial R

(Multiset.map (fun a => Polynomial.X - Polynomial.C a) p.roots).prod.Monic


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
Preorder β
u : β → α
h : CauchySeq u

Filter.Tendsto (Prod.map u u) Filter.atTop (𝓤 α)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b : α
s t : Finset α
a : α


Context:
α : Type u_1
n : ℕ
s t : Finset α
h : s ⊆ t

Finset.powersetCard n s ⊆ Finset.powersetCard n t


Context: f : StieltjesFunction

Context: a : ℝ

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_mono : StrictMono u

Context: u_lt_a : ∀ (n : ℕ), u n < a

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)

Context: A : {a} = ⋂ n, Ioc (u n) a

Context: L1 : Tendsto (fun n => f.measure (Ioc (u n) a)) atTop (𝓝 (f.measure {a}))

Context: L2 : Tendsto (fun n => f.measure (Ioc (u n) a)) atTop (𝓝 (ofReal (↑f a - leftLim (↑f) a)))

f.measure {a} = ofReal (↑f a - leftLim (↑f) a)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i

∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ t, U i_1


Context: α : Type u_1

Context: C : Set (Set α)

Context: s t : Set α

Context: hC : IsSetSemiring C

Context: hs : s ∈ C

Context: ht : t ∈ C

Context: h : (↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id

Context: u : Set α

Context: hu : u ∈ ↑(hC.diffFinset hs ht)


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
DecidableEq ι
(i : ι) → PartialOrder (α i)
(i : ι) → Zero (α i)
i : ι
b : α i

Pi.single i '' Set.Ico 0 b = Set.Ico 0 (Pi.single i b)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : NoZeroDivisors α

Context: m n✝ n : ℕ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: hn : ∀ (a b c : R), a ≠ 0 → b ≠ 0 → c ≠ 0 → {a, b, c}.gcd id = 1 → a ^ n + b ^ n ≠ c ^ n

Context: a b c : R

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b ≠ 0

Context: hc : c ≠ 0

Context: habc : a ^ n + b ^ n = c ^ n

Context: s : Finset R := {a, b, c}

Context: d : R := s.gcd id

Context: A : R

Context: hA : a = d * A

Context: B : R

Context: hB : b = d * B

Context: C : R

Context: hC : c = d * C


Context:
U : TopCat
X : AlgebraicGeometry.Scheme
f : U ⟶ TopCat.of ↑↑X.toPresheafedSpace
h : OpenEmbedding ⇑f


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p q : R[X]

Context: x : R

Context: hpq : (p.comp (X + C x)).trailingCoeff * (q.comp (X + C x)).trailingCoeff ≠ 0

rootMultiplicity x (p * q) = rootMultiplicity x p + rootMultiplicity x q


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{w, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: A A' B B' : C

Context: CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct A B

Context: CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct A' B'

Context: CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct (F.obj A) (F.obj B)

Context: CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproduct (F.obj A') (F.obj B')

Context: f : A ⟶ A'

Context: g : B ⟶ B'

Context: CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.coprodComparison F A B)

Context: CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.Limits.coprodComparison F A' B')

CategoryTheory.inv (CategoryTheory.Limits.coprodComparison F A B) ≫
    CategoryTheory.Limits.coprod.map (F.map f) (F.map g) =
  F.map (CategoryTheory.Limits.coprod.map f g) ≫ CategoryTheory.inv (CategoryTheory.Limits.coprodComparison F A' B')


Context:
f : ℝ → ℝ
x f' : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' Set.univ x
hx : f x ≠ 0

HasDerivWithinAt (fun y => Real.log (f y)) (f' / f x) Set.univ x


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α
S Z : Set α
h : IsGenericPoint x S
hZ : IsClosed Z


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝ : Category.{v', u'} A

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hG : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → IsLimit (G.mapCone (Sieve.pullback f S).arrows.cocone.op)

Context: x : Presieve.FamilyOfElements (presheafHom F G) S.arrows

Context: hx : x.Compatible


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
a : α
s : Set β
Fintype ↑s
Fintype ↑(a • s)


Context:
α : Type u
β : Type v
s : Set α
Fintype ↑s
f : α → β
Fintype ↑(f '' s)
H : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x = f y → x = y

Fintype.card ↑(f '' s) = Fintype.card ↑s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
c : E''
hc : c ≠ 0


Context:
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree

p.natDegree ∣ finrank F p.SplittingField


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α

s ∈ Down.compression a 𝒜 ↔ s ∈ 𝒜 ∧ s.erase a ∈ 𝒜 ∨ s ∉ 𝒜 ∧ insert a s ∈ 𝒜


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : DenselyOrdered α
a : α
s : Set α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝³ : Mul β

Context: inst✝² : Preorder β

Context: inst✝¹ : CovariantClass β β (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass β β (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: l : Filter α

Context: f₁ f₂ g₁ g₂ : α → β

Context: hf : f₁ ≤ᶠ[l] f₂

Context: hg : g₁ ≤ᶠ[l] g₂


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
n : ℕ
r : R

eval₂ f x ((monomial n) r) = f r * x ^ n


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
m n : ℕ∞
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
hf : ContDiffOn 𝕜 n f₂ s₂
hs : IsOpen s₂
hmn : m + 1 ≤ n


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing A

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : IsDomain A

Context: inst✝¹¹ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K

Context: L : Type u_4

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: C : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing C

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra A L

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝⁴ : Algebra C L

Context: inst✝³ : IsIntegralClosure C A L

Context: inst✝² : Algebra A C

Context: inst✝¹ : IsScalarTower A C L

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: this✝ : DecidableEq L := Classical.decEq L

Context: this : IsNoetherian K L := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance

Context: s' : Finset L := IsNoetherian.finsetBasisIndex K L

Context: bs' : Basis { x // x ∈ IsNoetherian.finsetBasisIndex K L } K L := IsNoetherian.finsetBasis K L

Context: y : A

Context: hy : y ≠ 0

Context: his' : ∀ x ∈ Finset.image (⇑bs') Finset.univ, IsIntegral A (y • x)

Context: hy' : (algebraMap A L) y ≠ 0

∃ s b, ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)


Context:
α : Type u_2
LT α
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
s : Set α


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: X : C

Context: CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C

(CategoryTheory.coalgebraEquivOver X).counitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents
    (fun f =>
      CategoryTheory.Over.isoMk
        (CategoryTheory.Iso.refl
          (((CategoryTheory.overToCoalgebra X).comp (CategoryTheory.coalgebraToOver X)).obj f).left)
        ⋯)
    ⋯


Context: p : Prop

Context: a b c : ℕ

Context: self : Mathlib.Meta.NormNum.IsNatPowT p a b c


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: hab : a < b

Context: hω : ∃ k, ∀ (N : ℕ), upcrossingsBefore a b f N ω < k

¬((∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ω < a) ∧ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, b < f n ω)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
n : ℤ

preNormEDS b c d (-n) = -preNormEDS b c d n


Context:
α : Type u
Preorder α
a : α


Context:
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S : Set (Subsemiring Rᵐᵒᵖ)

(sInf S).unop = sInf (Subsemiring.op ⁻¹' S)


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
f₁ g₁ f₂ g₂ : C ⟶ D
h₁ : Homotopy f₁ g₁
h₂ : Homotopy f₂ g₂
i : ι

(dNext i) h₁.hom + (prevD i) h₁.hom + g₁.f i + ((dNext i) h₂.hom + (prevD i) h₂.hom + g₂.f i) = (dNext i) h₁.hom + (dNext i) h₂.hom + ((prevD i) h₁.hom + (prevD i) h₂.hom) + (g₁.f i + g₂.f i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
x✝ : ℝ≥0∞

x✝ ≤ s.einfsep ↔ x✝ ≤ ⨅ d, uncurry edist ↑d


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
a : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N

ExteriorAlgebra.liftAlternatingEquiv a = ExteriorAlgebra.liftAlternating a


Context:
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ


Context:
α : Type u_2
DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α

s ∈ 𝒜 → t ∈ ℬ → s ∩ t ∈ 𝒜 ⊼ ℬ


Context: a b : UInt8


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: N' : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: P' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : AddGroup M

Context: inst✝⁷ : AddGroup N

Context: inst✝⁶ : AddGroup P

Context: f : M →+ N

Context: g : N →+ P

Context: X₁ : Type u_8

Context: X₂ : Type u_9

Context: X₃ : Type u_10

Context: Y₁ : Type u_11

Context: Y₂ : Type u_12

Context: Y₃ : Type u_13

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid X₁

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid X₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid X₃

Context: inst✝² : AddCommMonoid Y₁

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid Y₂

Context: inst✝ : AddCommMonoid Y₃

Context: e₁ : X₁ ≃+ Y₁

Context: e₂ : X₂ ≃+ Y₂

Context: e₃ : X₃ ≃+ Y₃

Context: f₁₂ : X₁ →+ X₂

Context: f₂₃ : X₂ →+ X₃

Context: g₁₂ : Y₁ →+ Y₂

Context: g₂₃ : Y₂ →+ Y₃

Context: comm₁₂ : g₁₂.comp ↑e₁ = (↑e₂).comp f₁₂

Context: comm₂₃ : g₂₃.comp ↑e₂ = (↑e₃).comp f₂₃

Context: H : Exact ⇑f₁₂ ⇑f₂₃

Context: h₁₂ : ∀ (x : X₁), g₁₂ (e₁ x) = e₂ (f₁₂ x)

Context: h₂₃ : ∀ (x : X₂), g₂₃ (e₂ x) = e₃ (f₂₃ x)

⇑g₂₃ ∘ ⇑g₁₂ = 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_4
RCLike 𝕜
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
f : ↥(MeasureTheory.Lp E 2 μ)

∫ (a : α), ⟪↑↑f a, ↑↑f a⟫_𝕜 ∂μ = ↑(∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ^ 2 ∂μ).toReal


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifTight f p μ

Context: hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: s : Set α

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: hfε : ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε

Context: n : ι

sᶜ.indicator (g n) =ᶠ[ae μ] sᶜ.indicator (f n)


Context:
n : ℕ
p : Fin n → Prop
DecidablePred p
i : Fin n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
AddCommGroup α
UniformSpace α
UniformAddGroup α
f : β → α
CompleteSpace α

Summable f ↔ ∀ e ∈ 𝓝 0, ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b ∈ t, f b ∈ e


Context:
R : Type u_1
Semiring R


Context: p : ℝ≥0


Context:
X : Type u_1
MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
f : X → ℝ
s : Set X
hs : ∀ x ∈ s, f x ≤ 1
h's : ∀ x ∈ sᶜ, f x ≤ 0

ENNReal.ofReal (∫ (x : X), f x ∂μ) ≤ μ s


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M N P : Mon_ C

((λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (M.one ⊗ N.one) ⊗ P.one) ≫ (α_ M.X N.X P.X).hom = M.one ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (N.one ⊗ P.one)


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hA : A.Nonempty
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hG : P.IsUniform G ε

↑((P.nonUniforms G ε).biUnion fun x => match x with | (U, V) => U ×ˢ V).card < 4 * ε * ↑A.card ^ 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : min a b < max c d
h₂ : min c d < max a b

Icc a b ∪ Icc c d = Icc (min a c) (max b d)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : q.degree < p.degree


Context:
α : Type u_1
s : Multiset α
a : α


Context: n k : ℕ

n.ascFactorial k.succ = (n + k) * n.ascFactorial k


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
hs : Convex ℝ s

(interior s).Nonempty ↔ affineSpan ℝ s = ⊤


Context:
α : Type u_1
M : Type u_4
AddCommMonoid M
TopologicalSpace M
n : MeasurableSpace α
v : MeasureTheory.VectorMeasure α M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : CountablyGenerated γ
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
κ : Kernel α (γ × ℝ)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
s : ℕ → ℚ
hs_anti : Antitone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atBot
s' : ℕ → Set ℝ := fun n => Iic ↑(s n)


Context: P : Type u_1

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup P

Context: inst✝ : IsDirected P fun x x_1 => x ≥ x_1

Context: x : P

Context: I J K s t : Ideal P

Context: hx : x ∉ I

Context: h : I = I ⊔ principal x


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
h : 0 ∉ [[a, b]]

∫ (x : ℝ) in a..b, 1 / x = Real.log (b / a)


Context:
Γ : Type u_1
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
S : Finset Λ
q₁ q₂ : Turing.TM1.Stmt Γ Λ σ
h : q₁ ∈ Turing.TM1.stmts₁ q₂
hs : Turing.TM1.SupportsStmt S q₂


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C

Context: CategoryTheory.HasShift C ℤ

Context: X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C

((CategoryTheory.Functor.mapTriangleIdIso C).hom.app X).hom₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.obj₁


Context:
α : Type u_1
OrderedCommGroup α
a c d : α


Context:
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
g : G
h₀ : f g = 0

(toCompl.comp (incl f.ker)).toAddMonoidHom ⟨g, h₀⟩ ∈ f.completion.ker


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R
this : (a : Prop) → Decidable a
hp : ¬p = 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
a : α
s : Finset ι
hs : ∀ i ∉ s, 1 ≤ f i
hf : HasProd f a


Context:
X : Type u_2
EMetricSpace X
s : Set X
h : s.Subsingleton


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
s s' : Finset α
P : Prop
Decidable P


Context:
δ : Type u_3
AddCommMonoid δ
f : ℕ → δ
k : ℕ
m n : ℕ
h : m ≤ n + 1

∑ j ∈ Finset.Ico k m, f (n - j) = ∑ j ∈ Finset.Ico (n + 1 - m) (n + 1 - k), f j


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: s : Set ℝ

Context: l : ℝ≥0

Context: h : ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s → x ≤ y → eVariationOn f (s ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))

Context: x : ℝ

Context: xs : x ∈ s

Context: y : ℝ

Context: ys : y ∈ s

Context: xy : x ≤ y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
s : Set α


Context:
α : Type u_1
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: p : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: h : s ⊆ {x | v.limRatioMeas hρ x < ↑p}

Context: t : Set α := {x | Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ x))}

Context: A : μ tᶜ = 0

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s ∩ t

Context: I : ∀ᶠ (b : Set α) in v.filterAt x, ρ b / μ b < ↑p

Context: a : Set α

Context: ha : ρ a / μ a < ↑p

ρ a ≤ ↑p * μ a


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: TopologicalSpace α

Context: LinearOrder α

Context: OrderClosedTopology α

Context: f g : β → α

Context: TopologicalSpace β

Context: TopologicalSpace γ

Context: (x : β) → Decidable (f x ≤ g x)

Context: f' g' : β → γ

Context: hf' : Continuous f'

Context: hg' : Continuous g'

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: hfg : ∀ (x : β), f x = g x → f' x = g' x

Continuous fun x => if f x ≤ g x then f' x else g' x


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
e : K ≃ₐ[F] E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F K
x✝ : E


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D

Context: CategoryTheory.ConcreteCategory D

Context: CategoryTheory.Preregular C

Context: CategoryTheory.FinitaryExtensive C

Context: F G : CategoryTheory.Sheaf (CategoryTheory.coherentTopology C) D

Context: f : F ⟶ G

Context: CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteProducts (CategoryTheory.forget D)

CategoryTheory.Sheaf.IsLocallySurjective f ↔
  CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective (CategoryTheory.regularTopology C) f.val


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
T2Space X
S : Set X
h : IsPreirreducible S


Context:
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ L1 L2 : List (α × Bool)
x : α
b : Bool

L1.length + L2.length + 2 = L1.length + ((x, b) :: (x, !b) :: L2).length


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : DecidableEq β
i : β


Context:
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ


Context:
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i✝ j✝ : Fin n✝
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
h : i < j.succ

i.succ.succAbove j.succ = (i.succAbove j).succ


Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁹ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁸ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F✝ : D ⥤ E

Context: inst✝⁷ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D

Context: inst✝⁶ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E

Context: inst✝⁵ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝⁴ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E

Context: inst✝³ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F✝

Context: inst✝² : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F✝

Context: P✝ P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: F : D ⥤ E

Context: inst✝¹ : (F : D ⥤ E) → (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F

Context: inst✝ : (F : D ⥤ E) → (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F

(𝟙 (J.plusObj (J.plusObj (P ⋙ F))) ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).inv) ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).inv = J.plusMap (J.plusCompIso F P).inv ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).inv


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y z : M₀
h : IsUnit z
h1 : x * z = y


Context: z : ℂ

HasSum (fun n => (z * I) ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)


Context:
a b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: Mul α

Context: PartialOrder α

Context: ContravariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c : α

Context: h : a * b = c * b


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2

A ≃ₗ[R] ↥(selfAdjoint A) × ↥(skewAdjoint A)


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: 𝔹 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝³ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝² : NormedRing 𝔹

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹

Context: x : 𝔸

Context: hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius

Summable (norm ∘ fun n => (↑n !)⁻¹ • x ^ n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
m n : ℕ
h : m < n


Context:
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b

∫ (x : ℝ) in a..b, f x - g x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in a..b, g x ∂μ


Context: α : Type u

Context: Group α

Context: LT α

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c : α


Context:
α : Type u_2
SemilatticeSup α
s t : Set α

Set.image2 (fun x x_1 => x ⊔ x_1) s t = s ⊻ t


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
H : Type u_2
Group H
P : Sylow p H
f : H →* G
hf : IsPGroup p ↥f.ker


Context:
m : ℕ
hx : ↑m ≠ ⊤
n : ℕ
h : ↑m + 1 ≤ ↑n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ✝ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : Monoid γ✝

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid α

Context: inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α

Context: inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α

Context: f : β → α

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝³ : Group γ

Context: inst✝² : DistribMulAction γ α

Context: inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α

Context: inst✝ : T2Space α

Context: g : γ

Context: hf : ¬Summable f

Context: mul_g : α ≃+ α := DistribMulAction.toAddEquiv α g


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LT α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c : α


Context:
Ω : Type u_1
f : ℕ → Ω → ℝ
i : ℕ
r : ℝ
ω : Ω


Context:
R : Type u_1
P : Cubic R
Semiring R


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedCommGroup α
m : ℤ
a b : α
ha : 1 < a
n : ℕ
hn : 0 < ↑n


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F

derivWithin (fun y => f y - c) s x = derivWithin f s x


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: x✝ : Cᵒᵖ

η.app x✝ ≫ Multiequalizer.lift (⊤.index Q) (Q.obj (op (unop x✝))) (fun I => Q.map I.f.op) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram Q (unop x✝)) (op ⊤) = Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op (unop x✝))) (fun I => P.map I.f.op) ⋯ ≫ (J.diagramNatTrans η (unop x✝)).app (op ⊤) ≫ colimit.ι (J.diagram Q (unop x✝)) (op ⊤)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
n : ℕ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
x : α


Context: x : ℝ


Context:
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.214930}
α : Type u
s : Set α
a : α
h : a ∉ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: f_mble : AEMeasurable f μ

Context: cst : ℝ → ℝ := fun x => 1

Context: cst_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable cst volume 0 t

Context: key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, cst t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (cst t)

∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a}


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
a b : α

AddAction.orbit G a = AddAction.orbit G b ↔ a ∈ AddAction.orbit G b


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K : Set G

Context: hK : IsCompact K

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: g : G

Context: s : Finset G

Context: h1s : K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V

Context: h2s : s.card = index K V

(fun h => g * h) '' ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V ⊆ ⋃ g_1 ∈ Finset.map (Equiv.toEmbedding (Equiv.mulRight g⁻¹)) s, (fun h => g_1 * h) ⁻¹' V


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace N
inst✝¹ : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners J N
x : M
y : N

(I.prod J).boundary (M × N) = univ.prod (J.boundary N) ∪ (I.boundary M).prod univ


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsFiltered Cᵒᵖ


Context: R : Type u_1

Context: CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: CommRing S

Context: Algebra R S

Context: K : Type u_5

Context: L : Type u_6

Context: IsDomain R

Context: IsDomain S

Context: Field K

Context: Field L

Context: Algebra R K

Context: Algebra R L

Context: Algebra S L

Context: IsIntegralClosure S R L

Context: IsFractionRing S L

Context: Algebra K L

Context: IsScalarTower R S L

Context: IsScalarTower R K L

Context: a : S

Context: b : Set S

Context: Algebra.IsAlgebraic R L

Context: inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)

Context: h : ↑(Ideal.span {a}) ⊆ ↑(Submodule.span R b)

↑(Ideal.span {(algebraMap S L) a}) ⊆ ↑(Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : Ring R

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: inst✝ : v.RankOne

Context: x : Γ₀

Context: hx : (hom v) x = 0

Context: h_lt : 0 < x


Context:
m n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid α
n : ℕ
a : Fin (n + 2) → α


Context:
m n : Nat
k : Nat
hmn : m.Coprime n