Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D

Context: G : C ⥤ D

Context: G.PreservesZeroMorphisms

Context: CategoryTheory.Limits.HasKernel f

Context: CategoryTheory.Limits.HasKernel (G.map f)

Context: Z : C

Context: h : Z ⟶ X

Context: w : h ≫ f = 0

G.map (CategoryTheory.Limits.kernel.lift f h w) ≫ CategoryTheory.Limits.kernelComparison f G =
  CategoryTheory.Limits.kernel.lift (G.map f) (G.map h) ⋯


Context:
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : CategoryTheory.Functor J C
CategoryTheory.Limits.HasLimit F
j : J

(CategoryTheory.Limits.limit.toStructuredArrow F).obj j =
  CategoryTheory.StructuredArrow.mk (CategoryTheory.Limits.limit.π F j)


Context:
α : Type u
s : Set (Set α)

#↑{t | GenerateMeasurable s t} ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a b : R
S : Type v
x✝ y✝ x y : R


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: Q : R[X]

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})

Context: this : Module.Finite K L := finite B

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: finrank_K_L : FiniteDimensional.finrank K L = B.dim

Context: deg_K_P : (minpoly K B.gen).natDegree = B.dim

Context: deg_R_P : P.natDegree = B.dim

Context: f : ℕ → L

Context: hf : ∀ (i : ℕ), B.dim ≤ i → f i ∈ adjoin R {B.gen} ∧ (algebraMap R L) p * f i = B.gen ^ i

Context: aux : ∀ i ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, B.dim ≤ i + n

Context: hintsum : IsIntegral R (z * B.gen ^ n - ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • f (x + n))

Context: r : R

Context: hr : (algebraMap R K) r = (Algebra.norm K) (z * B.gen ^ n - ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • f (x + n))

Q.coeff 0 ^ n.succ * ((-1) ^ (n.succ * n) * (minpoly R B.gen).coeff 0 ^ n) = p ^ n.succ * r


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_4
f : ι → α
p : ↑(Set.range f) → Prop

(∀ (a : ↑(Set.range f)), p a) ↔ ∀ (i : ι), p ⟨f i, ⋯⟩


Context:
α : Type u
i✝ : Nat
a b : Array α
i j : Nat
h : j ≤ a.size

((a ++ b).extract i j).size = (a.extract i j).size


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T T' : Set α → F →L[ℝ] F'
f : α →ₛ F

setToSimpleFunc (T + T') f = setToSimpleFunc T f + setToSimpleFunc T' f


Context:
x : ℝ
hx : 0 < x


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_5
M : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
e : Basis ι R M
v : ι' → M
j : ι'


Context:
s step m n : Nat
h : m + 1 < n + 1

(range' s (n + 1) step)[m + 1]? = some (s + step * (m + 1))


Context:
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
a b : α
h : a < Order.succ b

Set.Ioc a (Order.succ b) = insert (Order.succ b) (Set.Ioc a b)


Context:
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hPz : P z = 0


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
p : X → Prop

(∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ s, p x) ↔ ∃ t, IsOpen t ∧ s ⊆ t ∧ ∀ x ∈ t, p x


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
H : SimpleGraph V
s✝ s₁ s₂ s : Set (Sym2 V)
x✝¹ x✝ : V

(G.deleteEdges s).Adj x✝¹ x✝ ↔ (G.deleteEdges (s ∩ G.edgeSet)).Adj x✝¹ x✝


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜
inst✝ : SMul 𝕜 E
s✝ t✝ : Set E
x : E
s : Set E
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
t : Set E
ht1 : Balanced 𝕜 t
ht2 : t ⊆ s
hy : y ∈ t


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
M : Type u_4
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
X Y : C
CategoryTheory.Preadditive C
m₀ : M
hm₀ : m₀ = 0

CategoryTheory.ShiftedHom.mk₀ m₀ hm₀ 0 = 0


Context:
b x : ℝ
hb : 1 < b
hx_pos : 0 < x
hx : x ≠ 1


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
CommRing A
Algebra R A
IsLocalization S A
M : Type u_3
AddCommMonoid M
Module R M
M' : Type u_4
AddCommMonoid M'
Module R M'
Module A M'
IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'

IsLocalizedModule S f ↔ IsBaseChange A f


Context: α : Type u_4

Context: p : Finset α → Prop

Context: DecidableEq α

Context: S : Finset α

Context: h₁ : p ∅

Context: h₂ : ∀ {a : α} {s : Finset α}, a ∈ S → s ⊆ S → a ∉ s → p s → p (insert a s)


Context:
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
m : Type u_5
n : Type u_6
Fintype m
DecidableEq m
Fintype n
DecidableEq n
A : Matrix m n 𝕜

Matrix.toEuclideanLin A.conjTranspose = LinearMap.adjoint (Matrix.toEuclideanLin A)


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ

cs.wordProd ω * (cs.rightInvSeq ω).getD j 1 = cs.wordProd (ω.eraseIdx j)


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor C D
hF : F.FullyFaithful
X Y : C
e : F.obj X ≅ F.obj Y

(hF.preimageIso e).hom = hF.preimage e.hom


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : CompactIccSpace α
x✝ : Set α
hs : x✝ ∈ atBot
h✝ : Nonempty α


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : C → D
CategoryTheory.Functorial F
self : CategoryTheory.LaxMonoidal F
X Y Z : C

CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.LaxMonoidal.μ X Y) (F Z) ≫
    CategoryTheory.LaxMonoidal.μ (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X Y) Z ≫
      CategoryTheory.map F (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom =
  (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (F X) (F Y) (F Z)).hom ≫
    CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (F X) (CategoryTheory.LaxMonoidal.μ Y Z) ≫
      CategoryTheory.LaxMonoidal.μ X (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z)


Context: m : Type u

Context: n : Type v

Context: α : Type w

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : CommRing α

Context: A : Matrix n n α

Context: h : Fintype.card n ≠ 1

Context: n✝ : ℕ

Context: h_card : Fintype.card n = n✝ + 1 + 1

Context: A' : Matrix n n (MvPolynomial (n × n) ℤ) := mvPolynomialX n n ℤ

A.adjugate.adjugate = A.det ^ (Fintype.card n - 2) • A


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
hι : Nonempty ι
S : ι → Submonoid M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
hx : x ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))

∀ (x y : M), (∃ i, x ∈ S i) → (∃ i, y ∈ S i) → ∃ i, x * y ∈ S i


Context:
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
q : Submodule R M₂

Submodule.map (LinearMap.inr R M M₂) q = ⊥.prod q


Context:
R : Type u_2
AddZeroClass R
Mul R
c : RingCon R


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: haef : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hut : UnifTight f p μ

Context: hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))

Context: hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯)

Context: hff' : ∀ (n : ℕ), f n =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯

Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x : 𝓞 K


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : IsDomain R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra S L

Context: inst✝³ : Algebra R L

Context: inst✝² : IsScalarTower R S L

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)

Context: a b : S

Context: hb : b ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : BorelSpace α

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: g✝ : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ✝ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F

Context: inst✝² : MeasurableSpace F

Context: inst✝¹ : BorelSpace F

Context: μ : Measure F

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: φ : F → ℝ

Context: hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x

Context: h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1

Context: h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)

Context: g : F → E

Context: hg : Integrable g μ

Context: h'g : ContinuousAt g 0

Context: I : Integrable φ μ

∀ᶠ (i : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (fun x => i ^ finrank ℝ F * φ (i • x)) μ


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
IsSimpleAddGroup G
H : AddSubgroup G
Hn : H.Normal


Context:
b x : ℕ
hx : x ≠ 0
hxb : x < b


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: h : DifferentiableOn 𝕜 (fun y => -f y) s


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: S : CategoryTheory.ComposableArrows C 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_4
SemilatticeSup α
Preorder β
u : β → α
l : LowerAdjoint u
x y : α

u (l.toFun x) ⊔ u (l.toFun y) ≤ u (l.toFun (x ⊔ y))


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
p₁ : Submodule R M
p₂ : Submodule R M₂


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
f g : C(X, Y)
h : ⇑f ⤳ ⇑g


Context:
α : Type u
TopologicalSpace α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq E
s : Set E

(∀ (i j : { x // x ∈ s }), ⟪↑i, ↑j⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0) ↔ ∀ v ∈ s, ∀ w ∈ s, ⟪v, w⟫_𝕜 = if v = w then 1 else 0


Context:
R : Type u
S : Type v
CommSemiring R
CommSemiring S
S' : Type u_1
CommSemiring S'
f : R →+* S
g : S →+* S'
x : PrimeSpectrum S'

(PrimeSpectrum.comap (g.comp f)) x = (PrimeSpectrum.comap f) ((PrimeSpectrum.comap g) x)


Context:
α : Type u_1
a : α
o : Option α
h : o.isSome = true


Context:
n : Nat
x y : Nat

BitVec.ofNat n x - BitVec.ofNat n y = BitVec.ofNat n (2 ^ n - y % 2 ^ n + x)


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : C

∀ (X_1 : Cᴹᵒᵖ),
  ((CategoryTheory.MonoidalOpposite.tensorRightMopIso X).hom.app X_1).unmop =
    𝟙 (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj X X_1.unmop)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing R
CommRing A
CommRing B
Algebra R A
Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : f.FinitePresentation


Context: G : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : MulAction α β

Context: inst✝¹ : ContinuousInv α

Context: inst✝ : ContinuousSMul α β

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: ht : IsClosed t

Context: hs : IsCompact s

Context: this : ∀ x ∈ s • t, ∃ g ∈ s, g⁻¹ • x ∈ t


Context:
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
α' : Type u_1
f : α' → α
x : List α'

(DFA.comap f M).eval x = M.eval (List.map f x)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
Zero α
i : ι
b : α

Finsupp.single i b = Finsupp.indicator {i} fun x x => b


Context:
α : Type u₁
β : Type u₂
TopologicalSpace α
UniformSpace β
X : Set (C(α, β) × C(α, β))

X ∈ 𝓤 C(α, β) ↔ ∃ K V, IsCompact K ∧ V ∈ 𝓤 β ∧ {fg | ∀ x ∈ K, (fg.1 x, fg.2 x) ∈ V} ⊆ X


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
x : FreeGroup α

(FreeGroup.map g) ((FreeGroup.map f) x) = (FreeGroup.map (g ∘ f)) x


Context:
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
a b : α

⌊a⌋ + ⌊b⌋ ≤ ⌊a + b⌋


Context:
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
n : ℕ

∀ᶠ (x : ℂ) in l, ↑n * ‖Real.log (max x.re |x.im|)‖ ≤ ‖x.re‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t✝ u✝ : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: m✝ n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: m : ℕ

Context: h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x

Context: hmn : ↑m < n

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)

Context: u : Set E

Context: uo : IsOpen u

Context: xu : x ∈ u

Context: t : Set E := insert x s ∩ u

Context: hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t

Context: A : t =ᶠ[𝓝[≠] x] s

DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x


Context:
R : Type u_4
CommRing R
Ring.DimensionLEOne R
p : Ideal R
h : p.IsPrime
hp : p ≠ ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : CommSemiring β
inst✝¹ : ContinuousAdd β
inst✝ : ContinuousMul β
hf : SuperpolynomialDecay l k f
p : β[X]
n : ℕ
c : β

SuperpolynomialDecay l k fun x => eval (k x) ((monomial n) c) * f x


Context:
α : Type u_2
β : α → Type u_1
l₁ : List α
l₂ : (a : α) → List (β a)

∀ (acc : Array ((a : α) × β a)) (a : α), (foldl (fun acc b => acc.push ⟨a, b⟩) acc (l₂ a)).data = acc.data ++ ?h.h.h.h.G a


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: CategoryTheory.Category.{v', u'} A

Context: CategoryTheory.ConcreteCategory A

Context: F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: f₁ : F₁ ⟶ F₂

Context: f₂ : F₂ ⟶ F₃

Context: CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J f₁

Context: CategoryTheory.Presheaf.IsLocallySurjective J f₁

CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J (f₁ ≫ f₂) ↔ CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J f₂


Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ico 0 1

Context: p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: hp' : (fun t => F_nat 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)

∃ p, 0 < p ∧ (fun t => F_int 0 (↑a) t - if ↑a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)


StrictConvexOn ℝ (Set.Ici 0) fun x => x * Real.log x


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
Semiring α
AddCommMonoid β
Module α β
a b : α
s : Set β


Context: R : Type u_1

Context: CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: CommRing S

Context: Algebra R S

Context: Rₘ : Type u_4

Context: Sₘ : Type u_5

Context: CommRing Rₘ

Context: CommRing Sₘ

Context: Algebra R Rₘ

Context: IsLocalization M Rₘ

Context: Algebra S Sₘ

Context: i : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ

Context: Algebra Rₘ Sₘ

Context: Algebra R Sₘ

Context: IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: IsScalarTower R S Sₘ

Context: x : Rₘ

(algebraMap Rₘ Sₘ) x = (IsLocalization.map Sₘ (algebraMap R S) ⋯) x


((fun x x_1 => x ↔ x_1) ⇒ (fun x x_1 => x ↔ x_1) ⇒ fun x x_1 => x ↔ x_1) (fun x x_1 => x ∨ x_1) fun x x_1 => x ∨ x_1


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
Nontrivial M


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: self : CategoryTheory.Limits.HasImages C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
Field K
Field L
Field L'
Algebra K L
Algebra K L'
f : L →ₐ[K] L'


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
i : ι
t : (i : ι) → Set (α i)


Context:
α : Type u_1
Fintype α
Nonempty α
s : Set α
MeasurableSpace α
hs : MeasurableSet s

(PMF.uniformOfFintype α).toMeasure s = ↑(Fintype.card ↑s) / ↑(Fintype.card α)


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
s t u : Finset α
h : s ∪ t ⊆ u


Context: n : ℕ

image (Prod.snd ∘ ⇑(Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding) n.divisorsAntidiagonal = n.divisors


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : IsPurelyInseparable F E
L : Type w
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsReduced L
f g : E →+* L
x : E
q : ℕ := ringExpChar F
n : ℕ
y : F
h : (algebraMap F E) y = x ^ q ^ n
heq : f x ^ q ^ n = g x ^ q ^ n
a✝ : Nontrivial L
this : ExpChar L q


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
e₁ e₂ : R
he₁ : IsIdempotentElem e₁
he₂ : IsIdempotentElem e₂
H' : Commute e₁ e₂
this : (e₁ - e₂) ^ 3 = e₁ - e₂
n : ℕ
hn : (e₁ - e₂) ^ n = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra T S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S
p q : T[X]
hpq : p * q ≠ 0

(p * q).aroots S = p.aroots S + q.aroots S


Context:
a b : ℝ≥0∞
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0


Context:
G : Type u
H : Type v
Add G
Add H
f : G ≃+ H


Context:
b✝ x y : ℝ
b : ℕ
r : ℝ
hb : 1 < b
hr✝ : 0 ≤ r
hr : 0 < r
hb1' : 1 < ↑b


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
p : G.ConnectedComponent → Prop

(∀ (c : G.ConnectedComponent), p c) ↔ ∀ (v : V), p (G.connectedComponentMk v)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
x : α
hx : x ∈ closure (Set.range e)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
N : ℕ
hN : edist x (e N) < ε

∃ ia, True ∧ ∀ x_1 ∈ Set.Ici ia, ↑(nearestPt e x_1) x ∈ ball x ε


Context: self : CategoryTheory.FullSubcategory AlgebraicGeometry.Scheme.Spec.essImage

AlgebraicGeometry.AffineScheme.forgetToScheme.obj self = self.obj


Context:
k k' : Turing.ToPartrec.Cont
v : List ℕ

(k.then k').eval v = k.eval v >>= k'.eval


Context:
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ

(CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom (CochainComplex.mappingCone.inr φ)).comp ↑(CochainComplex.mappingCone.fst φ)
    ⋯ =
  0


Context:
𝕜 : Type u_4
F : Type u_5
RCLike 𝕜
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
self : InnerProductSpace.Core 𝕜 F
x : F


Context:
A : Type u_4
M₁ : Type u_5
SetLike A M₁
Zero M₁
hA : ZeroMemClass A M₁
S' : A


Context:
R : Type u
M : Type w
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
hpq : IsCoprime p q

Disjoint (LinearMap.ker ((Polynomial.aeval f) p)) (LinearMap.ker ((Polynomial.aeval f) q))


Context:
α : Type u_2
LinearOrder α
a b : α
h : ¬b ≤ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h₁ : SurjOn f s₁ t₁
h₂ : SurjOn f s₂ t₂
h : InjOn f (s₁ ∪ s₂)
x₁ : α
hx₁ : x₁ ∈ s₁
hy : f x₁ ∈ t₁ ∩ t₂


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝¹ : Monoid β

Context: inst✝ : Monoid γ

Context: s : Finset α

Context: f : α → β

Context: comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)

{x | ∃ a ∈ s.val, f a = x}.Pairwise Commute


Context:
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.TaggedPrepartition I


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G

s ∈ fixedBy (Set α) g ↔ ∀ (x : α), g • x ∈ s ↔ x ∈ s


Context:
G : Type u_1
Group G
s : Set G


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_3
CommSemiring R
DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
n : ℕ
d : σ →₀ ℕ

(MvPowerSeries.coeff R d) (f ^ n) =
  ∑ l ∈ (Finset.range n).finsuppAntidiag d, ∏ i ∈ Finset.range n, (MvPowerSeries.coeff R (l i)) f


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : Preorder β

Context: inst✝¹ : OrderTop β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: l : Filter α

Context: f g : α → β

Context: hg : f ≤ᶠ[l] g

Context: hf : ∀ i < ⊤, ∀ᶠ (a : α) in l, f a ∈ Ioi i

Context: x : β

Context: hx : x < ⊤


Context:
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
z : ℤ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: h : c ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: AddCommSemigroup α

Context: PartialOrder α

Context: ExistsAddOfLE α

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: Sub α

Context: OrderedSub α

Context: a b c : α

Context: hc : AddLECancellable c

Context: h : c ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
x : Option (α × β)

Option.map (Function.uncurry f) x = Option.map₂ f (Option.map Prod.fst x) (Option.map Prod.snd x)


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
𝒢 : Set C
Small.{v₁, u₁} ↑𝒢
h𝒢 : CategoryTheory.IsDetecting 𝒢


Context:
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
L₃ : Type w₁
CommRing R
LieRing L₁
LieRing L₂
LieRing L₃
LieAlgebra R L₁
LieAlgebra R L₂
LieAlgebra R L₃
e₁ : L₁ ≃ₗ⁅R⁆ L₂
e₂ : L₂ ≃ₗ⁅R⁆ L₃

(e₁.trans e₂).symm = e₂.symm.trans e₁.symm


Context:
G₁ : Type u_5
G₂ : Type u_6
G₃ : Type u_7
Group G₁
Group G₂
Group G₃
f : G₁ →* G₂
f_inv : G₂ → G₁
hf : Function.RightInverse f_inv ⇑f
g : G₁ →* G₃
hg : f.ker ≤ g.ker
h : G₂ →* G₃
hh : h.comp f = g

h = (f.liftOfRightInverse f_inv hf) ⟨g, hg⟩


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Zero α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : OrderTopology α

Context: a : α

Context: h : a < 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: CommRing R

Context: IsDomain R

Context: CommSemiring S

Context: Algebra R S

Context: f : R[X]

Context: z : S

Context: hz : (Polynomial.aeval z) f = 0

Context: inj : ∀ (x : R), (algebraMap R S) x = 0 → x = 0

(Polynomial.aeval (z * (algebraMap R S) f.leadingCoeff)) f.integralNormalization = 0


Context:
α : Type u_1
n : Type u_4
AddGroup α
StarAddMonoid α
A : Matrix n n α
h : A.IsHermitian


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
RegularSpace X
x : X
s : Set X


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ : G →* N
H : Subgroup G
f : G ≃* N
x : N
a✝ : G

(a✝ ∈ H ↔ f.symm x * a✝ * (f.symm x)⁻¹ ∈ H) ↔ (f.symm (f.toEquiv a✝) ∈ H ↔ f.symm (x * f.toEquiv a✝ * x⁻¹) ∈ H)


Context:
E : Sort u_1
α : Sort u_3
β : Sort u_4
γ : Sort u_5
iE : EquivLike E α β
e : E
f : β → γ

Function.Bijective (f ∘ ⇑e) ↔ Function.Bijective f


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

ContDiffAt 𝕜 ⊤ f x ↔ ∀ (n : ℕ), ContDiffAt 𝕜 (↑n) f x


Context:
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a : α


Context:
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : AEMeasurable f μ

AEMeasurable (fun x => ENNReal.ofReal (f x)) μ


Context:
𝕜 : Type u_8
RCLike 𝕜
n : Type u_9
Fintype n
x y : EuclideanSpace 𝕜 n

dist x y = √(∑ i : n, dist (x i) (y i) ^ 2)


Context:
α : Type u_1
AddGroup α
s : AddSubgroup α
x y : α


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : b ≤ a


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : Cᴹᵒᵖᴹᵒᵖ

((CategoryTheory.MonoidalOpposite.mopMopEquivalence C).unitIso.inv.app X).unmop.unmop = (𝟙 X.unmop).unmop


Context:
w : Nat
x y : BitVec w


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q✝ r : R[X]
hm : p.Monic
hpu : IsUnit p
a✝ : Nontrivial R
q : R[X]
h : p * q = 1


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B✝ I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B


Context: n : ℕ

∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Real.cos x ^ n = 1 / 2 * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, Real.sin x ^ n


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: CommSemiring R

Context: Semiring A

Context: Algebra R A

Context: Semiring B

Context: Algebra R B

Context: ι : Type u_4

Context: Nonempty ι

Context: K : ι → Subalgebra R A

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K

Context: f : (i : ι) → ↥(K i) →ₐ[R] B

Context: hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (Subalgebra.inclusion h)

Context: T : Subalgebra R A

Context: hT : T = iSup K

Context: i : ι

Context: h : K i ≤ T

(Subalgebra.iSupLift K dir f hf T hT).comp (Subalgebra.inclusion h) = f i


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.HasShift C ℤ

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: CategoryTheory.Pretriangulated C

Context: A : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} A

Context: CategoryTheory.Abelian A

Context: F : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ A

Context: F.IsHomological

Context: T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C

Context: hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles

((CategoryTheory.Pretriangulated.shortComplexOfDistTriangle T hT).op.map F).Exact


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

(α_ P.X Q.X (T.X ⊗ T.X)).hom ≫ (P.X ◁ (α_ Q.X T.X T.X).inv ≫ P.X ◁ Q.actRight ▷ T.X ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (α_ (P.X ⊗ Q.X) T.X T.X).inv ≫ (α_ P.X Q.X T.X).hom ▷ T.X ≫ (P.X ◁ Q.actRight) ▷ T.X ≫ (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actRight ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)


Context: x y : UInt16


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a
this : ↑g ≤ f
t : ℝ≥0∞
H : ¬t = 0
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝ : Zero β
f : α →ₛ β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
a : α


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hs : IsLindelof s
hf : ContinuousOn f s
l : Filter Y
lne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
ls : l ≤ 𝓟 (f '' s)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s✝ t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: iso : E ≃L[𝕜] F

Context: f : G → E

Context: s : Set G

Context: x : G

Context: f' : G →L[𝕜] E

Context: H : HasFDerivWithinAt (⇑iso ∘ f) ((↑iso).comp f') s x

Context: A : f = ⇑iso.symm ∘ ⇑iso ∘ f

Context: B : f' = (↑iso.symm).comp ((↑iso).comp f')

HasFDerivWithinAt (⇑iso.symm ∘ ⇑iso ∘ f) ((↑iso.symm).comp ((↑iso).comp f')) s x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : Module ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: mE : MeasurableSpace E

Context: tE : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁴ : BorelSpace E

Context: inst✝³ : T2Space E

Context: inst✝² : ContinuousSMul ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: g : E → ℝ

Context: h1 : g 0 = 0

Context: h2 : ∀ (x : E), g (-x) = g x

Context: h3 : ∀ (x y : E), g (x + y) ≤ g x + g y

Context: h4 : ∀ {x : E}, g x = 0 → x = 0

Context: h5 : ∀ (r : ℝ) (x : E), g (r • x) ≤ |r| * g x

Context: inst✝ : Nontrivial E

Context: r : ℝ

Context: F : Type u_1 := E

Context: this✝⁴ : NormedAddCommGroup F := NormedAddCommGroup.mk ⋯

Context: this✝³ : NormedSpace ℝ F := NormedSpace.mk ⋯

Context: this✝² : TopologicalSpace F := UniformSpace.toTopologicalSpace

Context: this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F

Context: this✝ : BorelSpace F

Context: φ : E ≃L[ℝ] F := (LinearEquiv.refl ℝ E).toContinuousLinearEquiv

Context: ν : Measure F := map (⇑φ) μ

Context: this : ν.IsAddHaarMeasure


Context:
n : ℕ
f✝ : Vector ℕ n → ℕ
f : ℕ → ℕ
hf : Nat.Primrec f


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p a : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
inst✝ : Archimedean 𝕜
f : 𝕜 → B
x : 𝕜
hx : x ∈ Ico 0 p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
μ' : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c • μ
f : α → β
hf : Integrable f μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
g : β → α
h₁ : Function.LeftInverse g f
h₂ : Function.RightInverse g f


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ z x y : E
a : 𝕜
h₀ : 0 < a
h₁ : a < 1

(lineMap x y) a ∈ insert ((lineMap x y) a) (⇑(lineMap x ((lineMap x y) a)) '' Ioo 0 1 ∪ ⇑(lineMap ((lineMap x y) a) y) '' Ioo 0 1)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b n✝ : ℤ
x : R
n : ℤ
hx : |x| ≤ 1


Context:
M₀ : Type u_2
CancelMonoidWithZero M₀
a b : M₀


Context:
α β : Type u
f : Cardinal.{u} → Cardinal.{max u v}
s : Set Cardinal.{u}
hs : BddAbove s


Context:
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
p : ℝ

MeasureTheory.eLpNormLESNormFDerivOneConst μ p = MeasureTheory.lintegralPowLePowLIntegralFDerivConst μ p ^ p⁻¹


Context: p : ℕ

Context: g : ⦃R : Type u_3⦄ → [inst : CommRing R] → WittVector p R → WittVector p R → WittVector p R

Context: f : ⦃R : Type u_3⦄ → [inst : CommRing R] → WittVector p R → WittVector p R

Context: WittVector.IsPoly₂ p g

Context: WittVector.IsPoly p f

WittVector.IsPoly₂ p fun _R _Rcr x y => g x (f y)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M

Submodule.comap involute.toLinearMap (LinearMap.range (ι Q)) = LinearMap.range (ι Q)


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: q r : ℚ

Context: hqr : q + r ≠ 0

Context: hq : q ≠ 0

Context: hr : r ≠ 0

Context: hval : padicValRat p q < padicValRat p r


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f : { f // ∀ (i : α), (f.2 i).isSome = true ↔ i ∈ f.1 }

Context: i : α

Context: x : β i

Context: left✝¹ : ⟨i, x⟩.fst ∈ (↑f).1

Context: hx : (↑f).2 ⟨i, x⟩.fst = some ⟨i, x⟩.snd

Context: y : β i

Context: left✝ : ⟨i, y⟩.fst ∈ (↑f).1

Context: hy : (↑f).2 ⟨i, y⟩.fst = some ⟨i, y⟩.snd


Context:
a b c d : Int
h₁ : a < c
h₂ : b ≤ d
h₃ : 0 < b
h₄ : 0 ≤ c


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : QuotientMap f


Context:
b : EReal
h : b ≤ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : RegularSpace β
f : α → β
a b : α
la lb : β
hab : a ≠ b
hf : ContinuousOn f (Ioo a b)
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 la)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lb)

ContinuousOn (extendFrom (Ioo a b) f) (Icc a b)


Context:
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set α
t : Set β


Context: α : Type u_1

Context: μ₁ μ₂ : MeasureTheory.OuterMeasure α

Context: h : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → μ₁ s = μ₂ s


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: X Y Z : C

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C ⥤ D

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: CategoryTheory.Limits.HasPullback f g

Context: CategoryTheory.Limits.HasPullback (G.map f) (G.map g)

CategoryTheory.Limits.pullbackComparison G f g ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.fst (G.map f) (G.map g) =
  G.map (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g)


Context: this : -(π / 2) < π / 2


Context:
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
T0Space E
a : E


Context:
n : ℕ
hn : Squarefree n

IsSquare (-1) ↔ ∀ {q : ℕ}, Nat.Prime q → q ∣ n → q % 4 ≠ 3


Context:
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
p : α → Bool
l : List α


Context:
ι : Type u
α : ι → Type v

Cardinal.mk ((i : ι) → α i) = Cardinal.prod fun i => Cardinal.mk (α i)


Context:
R : Type u_5
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Multiset R
t : Multiset M

s.sum • t.sum = (Multiset.map (fun p => p.1 • p.2) (s ×ˢ t)).sum


Context: p : Prop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : LinearOrder β
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : OrderTopology β
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : FirstCountableTopology α
x y : α
hy : y < x
u : ℕ → α
hu_mono : StrictMono u
hu_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo y x
hux : Tendsto u atTop (𝓝 x)

∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x)


Context:
x✝ y : ℂ
x : ℝ


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
Preorder ι
s : Set (MeasureTheory.Filtration ι m)
i : ι

↑(sSup s) i = sSup ((fun f => ↑f i) '' s)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝ : I.Boundaryless


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
h : adjoin R {x} = ⊤


Context:
α : Type u_1
Preorder α
TopologicalSpace α
CompactIccSpace α
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
a b : α


Context:
α : Type u_1
a b : α
as bs : Multiset α

a ::ₘ as = b ::ₘ bs ↔ a = b ∧ as = bs ∨ a ≠ b ∧ ∃ cs, as = b ::ₘ cs ∧ bs = a ::ₘ cs


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : MeasureTheory.Measure (α × ℝ)
MeasureTheory.IsFiniteMeasure ρ
r : ℝ


Context:
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
φ : Δ ⟶ Δ''
e : Δ ⟶ Δ'
inst✝¹ : Epi e
i : Δ' ⟶ Δ''
inst✝ : Mono i
fac : e ≫ i = φ


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X✝ Y✝ : Ω → ℝ

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: X Y : Ω → β

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: hXY : IndepFun X Y μ

Context: h'XY : Integrable (X * Y) μ

Context: hX : AEStronglyMeasurable X μ

Context: hY : AEStronglyMeasurable Y μ

Context: h'X : ¬X =ᶠ[ae μ] 0

Context: I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω‖₊ ∂μ ≠ 0

Context: H : ∫⁻ (a : Ω), ↑‖Y a‖₊ ∂μ = ⊤

Context: J : IndepFun (fun ω => ↑‖X ω‖₊) (fun ω => ↑‖Y ω‖₊) μ

Context: A : (∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω‖₊ ∂μ) * ⊤ < ⊤


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : p.NeBot

Context: hF : UniformCauchySeqOnFilter F p p'

Context: hF' : ∀ᶠ (x : α) in p', Tendsto (fun n => F n x) p (𝓝 (f x))

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: t : Set (β × β)

Context: ht : t ∈ 𝓤 β

Context: htsymm : ∀ {a b : β}, (a, b) ∈ t → (b, a) ∈ t

Context: htmem : t ○ t ⊆ u

Context: hmc : ∀ᶠ (x : (ι × ι) × α) in (p ×ˢ p) ×ˢ p', Tendsto (fun n => F n x.2) p (𝓝 (f x.2))

Context: this : ∀ᶠ (x : (α × ι) × ι) in (p' ×ˢ p) ×ˢ p, (F ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.1.1 ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2, F ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.1.2 ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2) ∈ t ∧ Tendsto (fun n => F n ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2) p (𝓝 (f ((Equiv.prodAssoc α ι ι) x).swap.2))

∀ᶠ (y : α × ι) in p' ×ˢ p, (f y.swap.2, F y.swap.1 y.swap.2) ∈ u


Context:
n : Nat
i : Nat
h : i < n


Context:
ι : Type w
s : Finset ι
S : Type u_1
Semiring S
f : ι → S[X]

(∑ i ∈ s, f i).natDegree ≤ Finset.fold max 0 (Polynomial.natDegree ∘ f) s


Context:
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalNonAssocSemiring α
Fintype n
A : Matrix m n α


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
f : (i : ι) → β i ≃+ β₁ i
f₂ : (i : ι) → β₁ i ≃+ β₂ i

(addEquiv fun i => (f i).trans (f₂ i)) = (addEquiv f).trans (addEquiv f₂)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
C : Type u_3
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : Module R A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : IsScalarTower R A A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring C
inst✝² : Algebra R C
inst✝¹ : StarRing C
inst✝ : StarModule R C
φ : A →⋆ₙₐ[R] C
r✝ : R
a✝ : A

(↑↑(lift φ.toNonUnitalAlgHom).toRingHom).toFun (star (inl r✝ + ↑a✝)) = star ((↑↑(lift φ.toNonUnitalAlgHom).toRingHom).toFun (inl r✝ + ↑a✝))


Context: 𝕜✝ : Type u

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜✝

Context: E✝ : Type v

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ E✝

Context: F : Type w

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : Module 𝕜✝ F'

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜✝ F'

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace 𝕜✝

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace E

Context: r : ℝ

Context: rpos : 0 < r

Context: hr : IsCompact (closedBall 0 r)

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: hC : ∀ (n : ℕ), IsCompact (closedBall 0 (‖c‖ ^ n * r))


Context: α : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f✝ g✝ : α → F'

Context: s : Set α

Context: fs gs : ℕ → α → F'

Context: f g : α → F'

Context: hfs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ

Context: hgs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (gs n) μ

Context: hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n x) atTop (𝓝 (f x))

Context: hgs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => gs n x) atTop (𝓝 (g x))

Context: bound_fs : α → ℝ

Context: h_int_bound_fs : Integrable bound_fs μ

Context: bound_gs : α → ℝ

Context: h_int_bound_gs : Integrable bound_gs μ

Context: hfs_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖fs n x‖ ≤ bound_fs x

Context: hgs_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖gs n x‖ ≤ bound_gs x

Context: hfg : ∀ (n : ℕ), μ[fs n|m] =ᶠ[ae μ] μ[gs n|m]

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_4
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
CommSemiring R
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
Module R α
Module R β
A : Matrix l m α
B : Matrix n p β
i₁ : l
i₂ : n
j₁ : m
j₂ : p

Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x ⊗ₜ[R] x_1) A B (i₁, i₂) (j₁, j₂) = A i₁ j₁ ⊗ₜ[R] B i₂ j₂


Context: r : ℚ

Context: p' : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime (0 + p' + 1))

Context: x : ℤ_[0 + p' + 1]


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
DecidableEq β
SMul α β
s : Finset α
t : Finset β


Context:
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
LieAlgebra.IsKilling K L
CharZero K
α : LieModule.Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero

α ((LieAlgebra.IsKilling.cartanEquivDual H).symm (LieModule.Weight.toLinear K (↥H) L α)) ≠ 0


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ Δ'' : SimplexCategory
i : Δ ⟶ Δ
inst✝ : Mono i
hi : Isδ₀ i


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
hu : u = u'
hv : v = v'


Context:
n : ℕ
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 ≤ n

∑ x ∈ Finset.Ioc 1 n, (↑x)⁻¹ ≤ Real.log ↑n


Context: x : ℤ

(∃ n, n * n = x) ↔ Int.sqrt x * Int.sqrt x = x


Context:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V₁
SeminormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂


Context:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
k : 𝕜


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
v : V


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ MonCatMax

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: j₁ : J

Context: x : ↑(F.obj j₁)

Context: j₂ : J

Context: y : ↑(F.obj j₂)

Context: j₃ : J

Context: x' : ↑(F.obj j₃)

Context: l : J

Context: f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ l

Context: g : ⟨j₃, x'⟩.fst ⟶ l

Context: hfg : (F.map f) x = (F.map g) x'

Context: s : J

Context: α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s

Context: β : l ⟶ s

Context: γ : IsFiltered.max j₃ j₂ ⟶ s

Context: h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β

Context: h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = IsFiltered.rightToMax j₃ j₂ ≫ γ

Context: h₃ : IsFiltered.leftToMax j₃ j₂ ≫ γ = g ≫ β

(F.map (IsFiltered.leftToMax j₁ j₂) ≫ F.map α) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₁ j₂) ≫ F.map α) y = (F.map (IsFiltered.leftToMax j₃ j₂) ≫ F.map γ) x' * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₃ j₂) ≫ F.map γ) y


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
Algebra R A

AlgebraicIndependent R x ↔ RingHom.ker (MvPolynomial.aeval x).toRingHom = ⊥


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f f₁ : E → F
x : E
s : Set E
h : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f

fderivWithin 𝕜 f₁ s x = fderivWithin 𝕜 f s x


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
k : ℕ+
hc : (↑k).Coprime ↑(torsionOrder K)
ζ : (𝓞 K)ˣ
h : ζ ^ ↑k = 1


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
x : G
h : IsOfFinAddOrder x
i : ℤ


Context: n : ℕ


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
s : S
n : ℕ
hl : (monomial n) s ∈ Set.range (map f)
hzero : ¬s = 0

∃ q, map f q = (monomial n) s ∧ q.degree = ((monomial n) s).degree


Context: f : ℝ → ℝ

Context: hfc : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f (MeasureTheory.volume.restrict (Set.Ioi 0))

Context: a s : ℝ

Context: hf : f =O[Filter.atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs : s < a

∃ c, 0 < c ∧ MeasureTheory.IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Set.Ioi c) MeasureTheory.volume


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: CategoryTheory.Category.{max v u, w} D

Context: CategoryTheory.ConcreteCategory D

Context: X : C

Context: P : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : CategoryTheory.Meq P S

Context: I : S.Relation

(P.map I.r.g₁.op) (↑x ((S.index P).fstTo I)) = (P.map I.r.g₂.op) (↑x ((S.index P).sndTo I))


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: b b₁ : Basis ι R M

Context: i : ι

Context: c : R

Context: x : M

Context: b' : Basis ι' R M'

Context: e : ι ≃ ι'

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: bi : M

Context: hbi : bi ∈ Finset.image (⇑b) Finset.univ

b.reindexFinsetRange ⟨bi, hbi⟩ = ↑⟨bi, hbi⟩


Context:
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
X_emp : ¬IsEmpty Ω

∃ As, (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (As n)) ∧ (∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (As n)) ∧ (∀ (n : ℕ), diam (As n) ≤ ε) ∧ ⋃ n, As n = univ ∧ Pairwise fun n m => Disjoint (As n) (As m)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: F : D ⥤ PresheafOfModules R

Context: inst✝¹ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Small.{v, max u₂ v} ↑((F ⋙ evaluation R X) ⋙ forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections

Context: c : Cone F

Context: hc : IsLimit c

Context: hF : ∀ (j : D), Presheaf.IsSheaf J (F.obj j).presheaf

Context: inst✝ : HasLimitsOfShape D AddCommGrp

Context: G : D ⥤ Sheaf J AddCommGrp := { obj := fun j => { val := (F.obj j).presheaf, cond := ⋯ }, map := fun {X Y} φ => { val := (toPresheaf R).map (F.map φ) }, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }


Context: m n₁ n₂ : ℕ


Context: s : ℂ


Context:
α : Type u
n : ℕ

map Fin.val (finRange n.succ) = map Fin.val ((map Fin.castSucc (finRange n)).concat (Fin.last n))


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
x : G


Context:
K : Type u
Field K
s : Subfield K
ι : Type u_1
t : Finset ι
f : ι → K
h : ∀ c ∈ t, f c ∈ s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T0Space α
s : Closeds α
hs : IsAtom s


Context:
α : Type u
CommSemiring α
x : α


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
h' : ι → κ
hh' : Function.LeftInverse h' h
k : κ
x : β (h k)
i : κ


Context: V W : SemiNormedGrp


Context:
R : Type u_1
p n : ℕ
CommSemiring R
ExpChar R p
PerfectRing R p

(iterateFrobeniusEquiv R p n).symm = (frobeniusEquiv R p).symm ^ n


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (π i)

Context: i : ι

Context: y : π i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
h : Ici x = {x}
y : α
H : x < y
this : y = x


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
s : Set E
iso : E ≃L[𝕜] F
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_3
CanonicallyOrderedCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
f : ι → α
a : α
hf : HasProd f a

IsLUB (Set.range fun s => ∏ i ∈ s, f i) a


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : Finite Rˣ
χ : MulChar R ℂ
a : R


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
g : G →₀ k
f : Fin n → G
r : k

(diagonalSucc k G n).inv.hom (0 ⊗ₜ[k] single f r) = ((Finsupp.lift ((Fin (n + 1) → G) →₀ k) k G) fun a => single (a • partialProd f) r) 0


Context: n : ℕ

Context: i : Fin (n + 2)

Context: S : SSet

Context: σ₁ σ₂ : Λ[n + 1, i] ⟶ S

Context: h : ∀ (j : Fin (n + 2)) (h : j ≠ i), σ₁.app (op [n]) (face i j h) = σ₂.app (op [n]) (face i j h)

Context: m : ℕ

Context: f : Λ[n + 1, i] _[m]

Context: f' : unop (op [m]) ⟶ [n + 1]

Context: hf : (standardSimplex.objEquiv [n + 1] (op [m])).symm f' = ↑f

Context: j : Fin (n + 2)

Context: hji : ¬j = i

Context: hfj : ∀ (k : Fin ((unop (op [m])).len + 1)), (Hom.toOrderHom f') k ≠ j


Context:
f : ℕ → ℝ≥0
hf : Summable f


Context:
R : Type u
Semiring R
p : R[X]


Context:
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
M' : Type u_3
AddCommGroup M'
Module R M'
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
b : Basis ι R M
f : M ≃ₗ[R] M'
v : ι → M'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: C : Levenshtein.Cost α β δ

Context: inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ

Context: xs : List α

Context: y : β

Context: ys : List β

Context: a : List α

Context: suff : a <:+ xs

Context: a' : List α

Context: suff' : a' <:+ a

(List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails).minimum ≤ ↑(levenshtein C a' ys)


Context: S : Finset Λ'

Context: W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q

Context: q : Option Γ' → Λ'

Context: q_ih : ∀ (a : Option Γ'), Λ'.Supports S (q a) → trStmts₁ (q a) ⊆ S → Supports (trStmts₁ (q a)) S

Context: H₁ : Λ'.Supports S (Λ'.read q)

Context: HS₁ : insert (Λ'.read q) (Finset.univ.biUnion fun s => trStmts₁ (q s)) ⊆ S

Context: h₁ : Λ'.read q ∈ S

Context: h₂ : ∀ ⦃x : Λ'⦄ (x_1 : Option Γ'), x ∈ trStmts₁ (q x_1) → x ∈ S

Supports (insert (Λ'.read q) (Finset.univ.biUnion fun s => trStmts₁ (q s))) S


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
NormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
x : E
s : Set E
f₂ : E → F × G
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f₂ s x

DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => (f₂ x).1) s x


Context: x : ZFSet


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f✝ g✝ f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hp1 : 1 ≤ p
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
hp1_real : 1 ≤ p.toReal

eLpNorm' (f + g) p.toReal μ ≤ eLpNorm' f p.toReal μ + eLpNorm' g p.toReal μ


Context:
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F G : J ⥤ C
s : CategoryTheory.Limits.Cocone F
t : CategoryTheory.Limits.Cocone G
P : CategoryTheory.Limits.IsColimit s
Q : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
w : F ≅ G
j : J

s.ι.app j ≫ (P.coconePointsIsoOfNatIso Q w).hom = w.hom.app j ≫ t.ι.app j


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
r : Rel Y X
l : Filter Y
x : X

∀ (s t : Set X), s ⊆ t → r.preimage s ⊆ r.preimage t


Context:
α : Type u_4
Finite α


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝ : H.Normal

Context: h : Group.IsNilpotent (G ⧸ center G)

Context: n : ℕ

Context: hn : upperCentralSeries (G ⧸ center G) n = ⊤


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral K L

Context: f g : L ≃ₐ[K] L

Context: hfg : f ≠ g

Context: φ : L ≃ₐ[K] L := f⁻¹ * g

Context: x : L

Context: hx : f x ≠ g x

Context: hφx : φ x ≠ x

Context: E : IntermediateField K L := K⟮x⟯

Context: h_findim : FiniteDimensional K ↥E := IntermediateField.adjoin.finiteDimensional (Algebra.IsIntegral.isIntegral x)

Context: H : Subgroup (L ≃ₐ[K] L) := E.fixingSubgroup

Context: h_basis : ↑H ∈ galGroupBasis K L

Context: W : Set (L ≃ₐ[K] L)

Context: hWH : W ⊆ ↑H

Context: hW_open : IsOpen W

Context: hW_1 : 1 ∈ W

Context: w1 : L ≃ₐ[K] L

Context: hw1 : w1 ∈ W

Context: w2 : L ≃ₐ[K] L

Context: hw2 : w2 ∈ W

Context: h : w1 * w2⁻¹ = f⁻¹ * g

Context: h_in_H : x ∈ E → φ x = x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobson R

∀ (P : Ideal S), P.IsPrime → P.jacobson = P


Context:
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
d₁ d₂ : ManyOneDegree

d₁ ≤ d₂ → d₂ ≤ d₁ → d₁ = d₂


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁✝ y₂✝ y₃ y' y₁ y₂ : PGame

Context: h : ∀ (i : x₂.LeftMoves), IH3 x₁ (x₂.moveLeft i) x₂ y₁ y₂

Context: hs : ∀ (i : (-x₁).LeftMoves), IH3 (-x₂) ((-x₁).moveLeft i) (-x₁) y₁ y₂

Context: hl : x₁ < x₂

Context: i : x₁.RightMoves

Context: hi : x₁.moveRight i ≤ x₂


Context:
α : Type u_2
Monoid α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
s : Set X
x : X

x ∈ closure s ↔ x ∈ f ⁻¹' closure (f '' s)


Context:
a b c : ℤ
h : a.gcd b = 1
heq : a * b = c ^ 2


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
T₁ T₂ : CategoryTheory.Monad C
f g : T₁ ⟶ T₂
h : f.app = g.app


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Zero (α i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → PartialOrder (α i)

Context: inst✝² : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)

Context: f g : Π₀ (i : ι), α i

Context: i : ι

Context: a : α i

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: x : ι

Context: hx : x ∈ (f.rangeIcc g).support

Context: h : x ∉ f.support ∪ g.support


Context:
α : Type u
a : α
inst✝³ : Group α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : IsCyclic α
n : ℕ
hn0 : 0 < n
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g

(↑(zpowers (g ^ (Fintype.card α / n.gcd (Fintype.card α))))).toFinset.card ≤ n


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn✝ : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)

Context: α : L

Context: hα : α ^ n = (algebraMap K L) a

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: m : ℤ

Context: hn : 0 < n

((autEquivZmod H L hζ).symm (Multiplicative.ofAdd ↑m)) α = ζ ^ m • α


∀ {α : Type u_1} {l₁ l l₂ : List α}, l₁ ⊆ l → l.Disjoint l₂ → l₁.Disjoint l₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)

dist s.circumcenter (s.points i) = s.circumradius


Context:
M : Type u_1
MulOneClass M
c : Con M


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifIntegrable f p μ

Context: hg : UnifIntegrable g p μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ

Context: hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hε2 : 0 < ε / 2

∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator ((f + g) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context:
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
s t : Set α
Fintype ↑s
Fintype ↑t
Fintype ↑(s + t)

(s + t).toFinset = s.toFinset + t.toFinset


Context:
u v m n : ℤ
h : n % 2 = 0


Context: M : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Monoid M

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : MulAction M α

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul M α

Context: H : ∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ

Context: x✝ : α


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : AddCommMonoid β

Context: T✝ T' T : Set α → β

Context: T_empty : T ∅ = 0

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: ι : Type u_8

Context: S : ι → Set α

Context: sι : Finset ι

Context: hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)

(∀ i ∈ sι, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ sι, ∀ j ∈ sι, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ sι, S i) = ∑ i ∈ sι, T (S i)


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
FunLike F G H
AddGroupWithOne G
AddGroupWithOne H
AddConstMapClass F G H 1 1
f : F
x : G
n : ℤ


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: CommSemiring R

Context: StarRing R

Context: MetricSpace R

Context: TopologicalSemiring R

Context: ContinuousStar R

Context: NonUnitalRing A

Context: StarRing A

Context: TopologicalSpace A

Context: Module R A

Context: IsScalarTower R A A

Context: SMulCommClass R A A

Context: self : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A

Context: a : A


Context:
R : Type u
S : Type v
CommRing R
Semiring S
f : R →+* S
g : S → R
hf : Function.RightInverse g ⇑f
x : S

(RingHom.quotientKerEquivOfRightInverse hf).symm x = (Ideal.Quotient.mk (RingHom.ker f)) (g x)


Context: x : ℝ


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
h : Disjoint s t
a₁ : α
h₁ : a₁ ∈ s

∀ ⦃x : M⦄, x ∈ ⊤ → ∀ i ∈ t, (lapply i ∘ₗ lsingle a₁) x = 0


Context:
R : Type u
EuclideanDomain R
a : R
b : R


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: f : ℕ → M

Context: u : ℕ → ℕ

Context: hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: hu : Monotone u

Context: n : ℕ

Context: ihn : ∑ k ∈ Ico (u 0) (u n), f k ≤ ∑ k ∈ range n, (u (k + 1) - u k) • f (u k)

Context: this : ∀ k ∈ Ico (u n) (u (n + 1)), f k ≤ f (u n)

∑ k ∈ Ico (u n) (u (n + 1)), f k ≤ (u (n + 1) - u n) • f (u n)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
s : Set F
hs : MeasurableSet s
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : AEMeasurable (⇑L) μ
c : ℝ≥0∞
c_pos : 0 < c
hc : map (⇑L) μ = c • ν

(∀ᵐ (y : F) ∂map (⇑L) μ, s y) ↔ ∀ᵐ (y : F) ∂ν, y ∈ s


Context:
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y Z : T
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

autoParam (∀ (X_1 Y_1 : Over X) (f_1 : X_1 ⟶ Y_1), (map (f ≫ g)).map f_1 = eqToHom ⋯ ≫ (map f ⋙ map g).map f_1 ≫ eqToHom ⋯) _auto✝


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
p : ι → Prop
s : ι → Set X
h : (𝓝 x).HasBasis p s

(∀ (i : ι), p i → (s i ∩ t).Nonempty) ↔ ∀ (i : ι), p i → ∃ y ∈ t, y ∈ s i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: CommMonoid α

Context: TopologicalSpace α

Context: f : β → α

Context: a : α

Context: g : γ → α

Context: i : ↑(Function.mulSupport g) → β

Context: hi : Function.Injective i

Context: hf : Function.mulSupport f ⊆ Set.range i

Context: hfg : ∀ (x : ↑(Function.mulSupport g)), f (i x) = g ↑x


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
m : M

m ∈ LieModule.maxTrivSubmodule R L M ↔ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = 0


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
f : β ↪o α
hbot : f ⊥ = ⊥
b : β
hb : ⊥ ⋖ f b


Context:
α : Type u_1
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : αᵒᵈ

Finset.Ioc (OrderDual.ofDual a) (OrderDual.ofDual b) = Finset.map OrderDual.ofDual.toEmbedding (Finset.Ico b a)


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ : Set α
ν : Measure α
hμν : μ ≪ ν
hm : m ≤ m0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hsν : (ν.trim hm) s = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : HasShift C ℤ

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: n : ℤ

Context: X✝ Y✝ : Triangle C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 n).hom.app X✝.obj₁ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.hom₁) = n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X✝.mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map f.hom₁) ≫ (shiftFunctorComm C 1 n).hom.app Y✝.obj₁


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
η₁ η₂ : R
hη₁ : η₁ ∈ nthRootsFinset n R
hη₂ : η₂ ∈ nthRootsFinset n R


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
self : RootPairing ι R M N
i j : ι

self.root j - (self.toLin (self.root j)) (self.coroot i) • self.root i = self.root ((self.reflection_perm i) j)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x

mfderivWithin I I' f s x = fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context: f : StieltjesFunction

Context: l : ℝ

Context: hf : Filter.Tendsto (↑f) Filter.atTop (𝓝 l)

Context: x : ℝ

f.measure (Set.Ici x) = ENNReal.ofReal (l - Function.leftLim (↑f) x)


Context:
r✝ : ℝ≥0
r : ℝ := ↑r✝

HasSum (fun n => rexp (-↑r✝) * ↑r✝ ^ n / ↑n !) 1


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ

(if h : ∀ (a : Γ), AddOpposite.unop (x.coeff a) = 0 a then 0 else AddOpposite.unop (x.coeff (⋯.min ⋯))) = AddOpposite.unop (if h : ∀ (a : Γ), x.coeff a = coeff 0 a then 0 else x.coeff (⋯.min ⋯))


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝³ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : IsCompact (closure s)

Context: ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ

Context: f : G → ℝ

Context: f_cont : Continuous f

Context: hf : EqOn (⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }) 1 (closure s)

Context: f_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }


Context:
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : Submartingale f 𝒢 μ
hτ : IsStoppingTime 𝒢 τ

∀ (i : ℕ), Integrable (stoppedProcess f τ i) μ


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing A
S : Submonoid A
hS : S ≤ A⁰
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsFractionRing A K
B : Type u_3
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsLocalization S B
x : K
x✝² x✝¹ : A
x✝ : x✝¹ ∈ S

(algebraMap A K) x✝² * ((algebraMap A K) x✝¹)⁻¹ = IsLocalization.mk' K x✝² ⟨x✝¹, ⋯⟩


Context:
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
hK : H ≤ K
hN : (H.addSubgroupOf K).Normal
a b : G
hb : b ∈ K
h : a + b ∈ H


Context:
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
h : a ∉ l
h' : l.Nodup


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
m : ℤ

toIocDiv hp a (m • p + b) = m + toIocDiv hp a b


Context: a : Int


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ⟪x, y⟫_ℝ = ‖x‖ * ‖y‖
h₁ : ‖x‖ * ‖y‖ ≠ 0


Context: R : Type u1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: n : ℕ

Context: f : Fin n → ↑↑(LinearMap.range (ι R))

Context: hu : (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod ∈ ↑(LinearMap.range (ι R)) ^ n

Context: i : Fin n

Context: v : M

Context: hv : (ι R) v = ↑(f i)


Context:
G : Type u_1
Group G
a b : G
h : Commute a b
m : ℤ


Context: n : ℕ


Context:
M : Type u_2
AddMonoid M
a : M
m n : ℕ


Context: u v : ZFSet


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a : α


Context: m k : ℕ+

Context: h₀ : ↑m % ↑k + ↑k * (↑m / ↑k) = ↑m := Nat.mod_add_div ↑m ↑k

Context: this✝ : ¬(↑m % ↑k = 0 ∧ ↑m / ↑k = 0)

Context: this : ↑(k.modDivAux (↑m % ↑k) (↑m / ↑k)).1 + ↑k * (k.modDivAux (↑m % ↑k) (↑m / ↑k)).2 = ↑m % ↑k + ↑k * (↑m / ↑k)


Context:
n : ℤ
d : ℤ
d_ne_zero : d ≠ 0

∃ c, n = c * (↑n / ↑d).num ∧ d = c * ↑(↑n / ↑d).den


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a : α

Context: f : Filter α

Context: x✝ : TopologicalSpace α := nhdsAdjoint a f


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction

Context: ps : Set P

Context: hnps : ps.Nonempty

Context: p : P

Context: hps : ps ⊆ ↑s

Context: hp : p ∉ s

Context: this : Nonempty ↥s

Context: cc : P

Context: cr : ℝ

Context: hcccru : ∀ (y : Sphere P), y.center ∈ s ∧ ps ⊆ Metric.sphere y.center y.radius → y = { center := cc, radius := cr }

Context: hcc : cc ∈ s

Context: hcr : ps ⊆ Metric.sphere cc cr

Context: x : ℝ := dist cc ↑((orthogonalProjection s) p)

Context: y : ℝ := dist p ↑((orthogonalProjection s) p)

Context: hy0 : y ≠ 0

∃! cs₂, cs₂.center ∈ affineSpan ℝ (insert p ↑s) ∧ insert p ps ⊆ Metric.sphere cs₂.center cs₂.radius


Context:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V1
Module k V1
AffineSpace V1 P1
NoZeroSMulDivisors k V1
p₀ p₁ : P1
c₁ c₂ : k

(AffineMap.lineMap p₀ p₁) c₁ = (AffineMap.lineMap p₀ p₁) c₂ ↔ p₀ = p₁ ∨ c₁ = c₂


Context:
α : Type u_2
Add α
DecidableEq α
s t u : Finset α

s + t ⊆ u ↔ ∀ b ∈ t, AddOpposite.op b +ᵥ s ⊆ u


Context:
R : Type u
M : Type v
M' : Type v'
Ring R
AddCommGroup M
AddCommGroup M'
Module R M
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'

Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank R ↥(LinearMap.range f)) ≤ Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R M)


Context:
E : Type u_1
AddCommGroup E
Module ℝ E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_2
AddCommGroup F
Module ℝ F
TopologicalSpace F
ContinuousSMul ℝ F
T2Space F
f : E →+ F
hf : Continuous ⇑f


Context: α : Type u_1

Context: CancelCommMonoidWithZero α

Context: UniqueFactorizationMonoid α

Context: DecidableEq (Associates α)

Context: (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)

Context: m p : Associates α

Context: h₁ : m ≠ 0

Context: h₂ : Irreducible p

Context: k : ℕ


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G
l : List ↥H


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hIX : M.Basis I X
hIY : M.Basis I Y


Context:
α : Type u_1
A : Type u_5
AddMonoid A
Monoid α
DistribMulAction α A
a : α
S T : AddSubmonoid A


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)

Context: inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: F : Sheaf C X

Context: U : Opens ↑X

Context: s t : (forget C).obj (F.val.obj (op U))

Context: h : ∀ (x : ↥U), (F.presheaf.germ x) s = (F.presheaf.germ x) t

Context: V : ↥U → Opens ↑X

Context: m : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x

Context: i₁ i₂ : (x : ↥U) → V x ⟶ U

Context: heq : ∀ (x : ↥U), (F.presheaf.map (i₁ x).op) s = (F.presheaf.map (i₂ x).op) t


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p q : Seminorm 𝕜 E
a b : ℝ≥0
hpq : p ≤ q
hab : a ≤ b


Context:
α : Type u_1
Finite α
DecidableEq α
f : Equiv.Perm α
hf : f.IsCycle


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: C : ℝ≥0∞

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≠ ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ C

Context: this : ∫⁻ (x : α) in univ, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ

Context: S : ℕ → Set α

Context: x✝ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (S n)

Context: hS_mono : Monotone S


Context:
J : Type w
f : J → AddCommGrp
s : CategoryTheory.Limits.Fan f

(AddCommGrp.HasLimit.productLimitCone f).isLimit.lift s = AddCommGrp.HasLimit.lift f s


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} D

Context: K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D

Context: A : Type u_4

Context: CategoryTheory.Category.{u_7, u_4} A

Context: G : CategoryTheory.Functor C D

Context: G.IsCoverDense K

Context: G.IsLocallyFull K

Context: ℱ ℱ' : CategoryTheory.Sheaf K A

Context: i : G.op.comp ℱ.val ≅ G.op.comp ℱ'.val

(CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.sheafIso i).hom.val = (CategoryTheory.Functor.IsCoverDense.presheafIso i).hom


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: CategoryTheory.Limits.HasFiniteCoproducts C

Context: K : ChainComplex C ℕ

AlgebraicTopology.DoldKan.N₂Γ₂.hom.app ((CategoryTheory.Idempotents.toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).obj K) =
  AlgebraicTopology.DoldKan.N₂Γ₂ToKaroubiIso.hom.app K ≫ AlgebraicTopology.DoldKan.N₁Γ₀.hom.app K


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α β : TypeVec.{u} n
g : α.Arrow β
x y : (MvQPF.P F).W α

MvQPF.WEquiv x y → MvQPF.WEquiv (MvFunctor.map g x) (MvFunctor.map g y)


Context:
x y z✝ : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
z : ℝ


Context:
b : ℕ
hb : 1 < b
x : ℕ


Context: α : Type u_1


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f : N →ₗ[R] P
Q : QuadraticMap R M N
b : R
x : M

(fun x => f (Q x)) (b • x) = (b * b) • (fun x => f (Q x)) x


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: F G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Discrete PEmpty.{w + 1}) C


Context:
α : Type u
s : Set α
hs : s.Infinite


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace β

Context: x y : α

Context: s t : Set α

Context: Φ : α → β

Context: U : Set α

Context: hU : IsOpen U

Context: a : ℝ≥0∞

Context: a_pos : 0 < a

Context: a_lt_one : a < 1

Context: F : ℕ → Set α := fun n => (fun x => infEdist x Uᶜ) ⁻¹' Ici (a ^ n)

Context: F_subset : ∀ (n : ℕ), F n ⊆ U

∃ F, (∀ (n : ℕ), IsClosed (F n)) ∧ (∀ (n : ℕ), F n ⊆ U) ∧ ⋃ n, F n = U ∧ Monotone F


Context:
a b c : ℕ
a1 : 1 < a
b1 : 1 < b
h : a ≡ b [MOD c]
n : ℕ

yn a1 (n + 2) + yn ⋯ n ≡ yn b1 (n + 2) + yn ⋯ n [MOD c]


Context: α : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: M : Type u_5

Context: AddMonoid M

Context: TopologicalSpace M

Context: ContinuousAdd M

Context: l : List (α → M)

Context: hl : ∀ f ∈ l, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
IsTrans α r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a b : α
s t : Finset α
h : s ⊂ t


Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)

Context: a : Ordinal.{max u v}

Context: h : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi a ≤ a

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < o


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
CommRing R
Ms : ι → Type u_3
(i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
(i : ι) → Module R (Ms i)
Fintype ι
DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)

∀ (a : (i : ι) → Ms i ⧸ p i),
  (Submodule.quotientPi p).symm a = (Submodule.piQuotientLift p (Submodule.pi Set.univ p) LinearMap.single ⋯) a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
a : α
inst✝ : IsStronglyAtomic α
ha : (Set.Ici a).Infinite
hfin : {x | a ⋖ x}.Finite


Context:
p n : ℕ
hp : 1 < p
hn : 0 < n
this : 0 < p


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_3

Context: A : ι → Type u_4

Context: CommSemiring R

Context: (i : ι) → Semiring (A i)

Context: (i : ι) → Algebra R (A i)

Context: κ : Type u_5

Context: s : Finset κ

Context: x : κ → (i : ι) → A i

Context: hx : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (x a) (x b)

(PiTensorProduct.tprod R) (s.noncommProd x hx) = s.noncommProd (fun k => (PiTensorProduct.tprod R) (x k)) ⋯


Context:
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocSemiring R


Context:
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
n.AtLeastTwo


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d' : D
c : C
g : φ.obj c ⟶ d'
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
this : d' ∈ (im φ hφ).objs

Groupoid.inv g ≫ (eqToHom ⋯ ≫ φ.map γ ≫ eqToHom cd') ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows d' d'


Context: M : Type u_1

Context: Monoid M

Context: ι : Type u_2

Context: DecidableEq ι

Context: Fintype ι

Context: N : ι → Type u_3

Context: (i : ι) → Monoid (N i)

Context: ϕ : (i : ι) → N i →* M

Context: hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)

Context: i : ι

Context: y : N i

(MonoidHom.noncommPiCoprod ϕ hcomm) (Pi.mulSingle i y) = (ϕ i) y


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: X Y Z : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : X ⟶ Z

Context: c : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f g


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring R₁
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₁
inst✝³ : TopologicalSpace M₂
inst✝² : TopologicalSpace M₃
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
f : M₁ → M₂
g : M₂ → M₃
hg : Continuous g
K : Set M₂
hK : IsCompact K
hKf : f ⁻¹' K ∈ 𝓝 0


Context:
K : Type u_3
Field K
R₁ : Type u_4
CommRing R₁
IsDomain R₁
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
x : K

(FractionalIdeal.spanSingleton R₁⁰ x)⁻¹ = FractionalIdeal.spanSingleton R₁⁰ x⁻¹


Context:
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
β : Type u_7
Group β
f g : α → β


Context:
X : Type u
TopologicalSpace X
p : X → Prop
s : Set { x // p x }

IsCompact s ↔ IsCompact (Subtype.val '' s)


Context:
α : Type u_1
RatCast α
q : ℚ


Context: E : Type u_3

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace ℝ E

Context: CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: c : E

Context: a b : ℝ

Context: hf : IntervalIntegrable f MeasureTheory.volume a b

Context: hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) MeasureTheory.volume

Context: hb : Filter.Tendsto f (𝓝 a ⊓ MeasureTheory.ae MeasureTheory.volume) (𝓝 c)

deriv (fun u => ∫ (x : ℝ) in u..b, f x) a = -c


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝² : EMetricSpace X

Context: inst✝¹ : EMetricSpace Y

Context: C✝ K r✝ : ℝ≥0

Context: f✝ : X → Y

Context: s✝ t✝ : Set X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: r : ℝ≥0

Context: f : X → Y

Context: hr : 0 < r

Context: s : Set X

Context: C : X → ℝ≥0

Context: t : X → Set X

Context: htn : ∀ x ∈ s, t x ∈ 𝓝[s] x

Context: hC : ∀ x ∈ s, HolderOnWith (C x) r f (t x)


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : Subsingleton ι
s : Finset ι
f' : (i : ι) → Set (β i)
hf' : ∀ i ∈ s, MeasurableSet (f' i)

∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i ∈ s, f i ⁻¹' f' i) = ∏ i ∈ s, (κ a) (f i ⁻¹' f' i)


Context: M : Type u_11

Context: N : Type u_12

Context: AddMonoid N

Context: VAdd M N

Context: h : ∀ (x : M) (y : N), x +ᵥ 0 + y = x +ᵥ y


Context:
M : Type u_1
AddZeroClass M

Subsingleton (AddSubmonoid M) ↔ Subsingleton M


Context:
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
x y : ↑s

Set.inclusion h x = Set.inclusion h y ↔ x = y


Context:
a b : Cardinal.{u_1}
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

a * b < Cardinal.aleph0 ↔ a < Cardinal.aleph0 ∧ b < Cardinal.aleph0


Context:
n : Nat
x : BitVec n
y : Fin (2 ^ n)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R M
Module R N
Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
AddCommGroup Q
Module R Q
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g

lTensor.inverse_of_rightInverse Q hfg hgh ∘ₗ LinearMap.lTensor Q g = (LinearMap.range (LinearMap.lTensor Q f)).mkQ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x : ℝ
n : ℕ
s : Set ℝ
hs : UniqueDiffOn ℝ s
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f s

ContinuousOn (fun t => ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ((↑k !)⁻¹ * (x - t) ^ k) • iteratedDerivWithin k f s t) s


Context:
R : Type u_2
M : Type u_5
Zero R
Zero M
SMulWithZero R M
NoZeroSMulDivisors R M
c : R
x : M
hc : c ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
t : Set ι
s : ι → Set β
w : ⋃ i ∈ t, s i = ⊤
x : β
p : ∃ i, x ∈ ⋃ (_ : i ∈ t), s i


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝ : Set X

Context: t : Set Y

Context: hs : ∀ (f : Ultrafilter X), s ∈ f → ∃ x ∈ s, ↑f ≤ 𝓝 x

Context: ht : ∀ (f : Ultrafilter Y), t ∈ f → ∃ x ∈ t, ↑f ≤ 𝓝 x

Context: f : Ultrafilter (X × Y)

Context: hfs : s ×ˢ t ∈ f

∃ x ∈ s ×ˢ t, ↑f ≤ 𝓝 x


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
v1 v3 : ℕ


Context:
α : Type u_1
LT α
x : WithBot α

⊥ < x ↔ x ≠ ⊥


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: K : HomologicalComplex₂ C (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)

Context: x y : ℤ

Context: K.HasTotal (ComplexShape.up ℤ)

((HomologicalComplex₂.shiftFunctor₂ C y).obj K).totalShift₁Iso x ≪≫
    (CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) x).mapIso (K.totalShift₂Iso y) =
  (x * y).negOnePow •
    HomologicalComplex₂.total.mapIso ((HomologicalComplex₂.shiftFunctor₁₂CommIso C x y).app K) (ComplexShape.up ℤ) ≪≫
      ((HomologicalComplex₂.shiftFunctor₁ C x).obj K).totalShift₂Iso y ≪≫
        (CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (ComplexShape.up ℤ)) y).mapIso (K.totalShift₁Iso x) ≪≫
          (CategoryTheory.shiftFunctorComm (CochainComplex C ℤ) x y).app (K.total (ComplexShape.up ℤ))


Context: m n : ℕ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x : E
s : Set E
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt ℝ n f s x

ContDiffWithinAt ℝ n (fun x => Real.sin (f x)) s x


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C

Context: g₁ : Z₁ ⟶ X₁

Context: g₂ : Z₁ ⟶ X₂

Context: g₃ : Z₂ ⟶ X₂

Context: g₄ : Z₂ ⟶ X₃

Context: inst✝³ : HasPushout g₁ g₂

Context: inst✝² : HasPushout g₃ g₄

Context: inst✝¹ : HasPushout (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄

Context: inst✝ : HasPushout g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)

pushout.inr g₃ g₄ ≫ pushout.inr g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄) ≫ (pushoutAssoc g₁ g₂ g₃ g₄).inv = pushout.inr (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄


Context:
α β : Type u
f g : FreeAddMagma (α → β)
x : FreeAddMagma α

(Seq.seq (f + g) fun x_1 => x) = (Seq.seq f fun x_1 => x) + Seq.seq g fun x_1 => x


Context:
R : Type u
S : Type v
Semiring R
p q : R[X]
CommSemiring S
f : R →+* S
k : ℕ
t : S

Polynomial.eval₂ f t (p.comp^[k] q) = (fun x => Polynomial.eval₂ f x p)^[k] (Polynomial.eval₂ f t q)


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → ℂ
s : Set α
x : α
h : ContinuousWithinAt f s x

ContinuousWithinAt (fun y => Complex.exp (f y)) s x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t : ι → α
a b : α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α ≃o β
s : Set α


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : Cᵒᵖ
s : Cocone (coyoneda.obj X)
Y : C

(colimitCocone X).ι.app Y ≫ (fun s x => s.ι.app (unop X) (𝟙 (unop X))) s = s.ι.app Y


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: p : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hp : ∀ (i : ι), 0 ≤ p i

Context: hs : 0 < s.re

Context: hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => if p i = 0 then 0 else a i * ↑(rexp (-π * p i * t))) (F t)

Context: h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / p i ^ s.re

Context: hs' : s ≠ 0

Context: a' : ι → ℂ := fun i => if p i = 0 then 0 else a i

Context: hp' : ∀ (i : ι), a' i = 0 ∨ 0 < p i

HasSum (fun i => ↑π ^ (-s) * Complex.Gamma s * a i / ↑(p i) ^ s) (mellin F s)


Context: n k : ℕ

(ascPochhammer ℕ (n + k + 1)).smeval (-↑n) = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F

Context: f : 𝓢(E, F)

Context: n : ℕ

Context: IH : ∀ (m : Fin (n + 1) → E), (iteratedPDeriv 𝕜 m) f = (iteratedPDeriv 𝕜 (Fin.init m)) ((pderivCLM 𝕜 (m (Fin.last n))) f)

Context: m : Fin (n + 1 + 1) → E

Context: hmzero : Fin.init m 0 = m 0

Context: hmtail : Fin.tail m (Fin.last n) = m (Fin.last n.succ)

(iteratedPDeriv 𝕜 m) f = (iteratedPDeriv 𝕜 (Fin.init m)) ((pderivCLM 𝕜 (m (Fin.last (n + 1)))) f)


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
DecidableEq α
a : α
x : β
s : Finset α

∑ a' ∈ s, Pi.single a x a' = if a ∈ s then x else 0


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
X Y S X' Y' S' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S'
g' : Y' ⟶ S'
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
i₃ : S ⟶ S'
e₁ : f ≫ i₃ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₂ ≫ g'
CategoryTheory.Mono i₃

(CategoryTheory.Limits.pullbackFstFstIso f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂).inv =
  CategoryTheory.Limits.pullback.lift
    (CategoryTheory.Limits.pullback.lift (CategoryTheory.Limits.pullback.map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂)
      (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g) ⋯)
    (CategoryTheory.Limits.pullback.lift (CategoryTheory.Limits.pullback.map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂)
      (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g) ⋯)
    ⋯


Context:
a b : ℤ
b0 : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a * ↑d = n * b


Context: n : ℕ


Context:
p : ℕ
hp : Prime p
this : p = p - 2 + 2

p.minFac :: (p / p.minFac).primeFactorsList = [p]


Context:
K : Type u_3
Field K
R₁ : Type u_6
CommRing R₁
Algebra R₁ K
IsLocalization R₁⁰ K
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
(↑I).IsPrincipal
h : I ≠ 0

I * FractionalIdeal.spanSingleton R₁⁰ (Submodule.IsPrincipal.generator ↑I)⁻¹ = 1


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : C
CategoryTheory.Simple X
f : X ⟶ Y
CategoryTheory.Epi f
w : f ≠ 0


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: X : CategoryTheory.SimplicialObject C

Context: Y : C

Context: n q : ℕ

Context: φ : Y ⟶ X _[n + 1]

Context: v : AlgebraicTopology.DoldKan.HigherFacesVanish q φ

Context: hqn : n < q

φ ≫ (AlgebraicTopology.DoldKan.Hσ q).f (n + 1) = 0


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝²² : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝²¹ : Category.{u_6, u_2} D

Context: inst✝²⁰ : Category.{u_5, u_3} E

Context: inst✝¹⁹ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝¹⁷ : HasShift E ℤ

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹⁶ : F.CommShift ℤ

Context: G : D ⥤ E

Context: inst✝¹⁵ : G.CommShift ℤ

Context: inst✝¹⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹³ : HasZeroObject D

Context: inst✝¹² : HasZeroObject E

Context: inst✝¹¹ : Preadditive C

Context: inst✝¹⁰ : Preadditive D

Context: inst✝⁹ : Preadditive E

Context: inst✝⁸ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive

Context: inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor E n).Additive

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁴ : Pretriangulated D

Context: inst✝³ : Pretriangulated E

Context: inst✝² : (F ⋙ G).IsTriangulated

Context: inst✝¹ : F.IsTriangulated

Context: inst✝ : F.mapArrow.EssSurj

Context: T : Triangle D

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: T' : Triangle C

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: e : F.mapTriangle.obj T' ≅ T

G.mapTriangle.obj T ∈ distinguishedTriangles


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
m n : ℕ
h : 1 = (Int.castRingHom R) 1

(2 * Chebyshev.T ℚ ↑m).comp (Chebyshev.T ℚ ↑n) = (2 * Chebyshev.T ℚ ↑m).comp ((C ⅟2 * X).comp (2 * Chebyshev.T ℚ ↑n))


Context: α : Type u_1


Context:
D : GlueData
U : Set ↑↑D.glued.toPresheafedSpace

∀ (a : D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.J), IsOpen (⇑(D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι a) ⁻¹' (⇑(TopCat.homeoOfIso D.isoCarrier.symm) ⁻¹' U)) ↔ IsOpen (⇑(D.ι a).val.base ⁻¹' U)


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: S : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: h₁ : S.LeftHomologyData

Context: h₂ : S.RightHomologyData

Context: CategoryTheory.IsIso (CategoryTheory.ShortComplex.leftRightHomologyComparison' h₁ h₂)

(CategoryTheory.ShortComplex.HomologyData.ofIsIsoLeftRightHomologyComparison' h₁ h₂).iso =
  CategoryTheory.asIso (CategoryTheory.ShortComplex.leftRightHomologyComparison' h₁ h₂)


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
f : R[X]


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.SigmaFinite μ
μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ.AbsolutelyContinuous ν

(fun x => rexp (MeasureTheory.llr μ ν x)) =ᵐ[μ] fun x => (μ.rnDeriv ν x).toReal


Context:
α : Type u_1
p : PosNum


Context: a✝ b n✝ n a : ℕ

(n.floorRoot a).factorization = a.factorization ⌊/⌋ n


Context:
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
f : ↥(groupCohomology.twoCocycles A)
g : G


Context:
R : Type u
CommRing R
IsDedekindDomain R
K : Type v
Field K
Algebra R K
IsFractionRing R K
n : ℕ
hn : Fact (0 < n)

IsDedekindDomain.selmerGroup.fromUnit.ker = (powMonoidHom n).range


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝² : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_6

Context: f : α → G

Context: hfi : Integrable f μ

Context: F : ι → α → G

Context: l : Filter ι

Context: hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ

Context: hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)

Context: s : Set α

∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) (μ.restrict s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
hs : s ∈ 𝔖
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β

UniformOnFun.gen 𝔖 s V ∈ ⨅ s ∈ 𝔖, ⨅ V ∈ 𝓤 β, 𝓟 (UniformOnFun.gen 𝔖 s V)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List (Option α)

(¬∀ (x : Option α), x ∈ l → x.isSome = true) ↔ none ∈ l


Context:
l : List ℕ
k : ℕ


Context:
α : Type u
Inhabited α
l₁ l₂ : List α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : min a b ≤ max c d
h₂ : min c d ≤ max a b

Ioc a b ∪ Ioc c d = Ioc (min a c) (max b d)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α


Context:
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
t : TransvectionStruct ι ℝ

MeasurePreserving (⇑(toLin' t.toMatrix)) volume volume


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w

∀ {s t : WSeq α}, s ~ʷ t → s.head ~ t.head


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: x y : R

Context: x✝ : ∃ c, ↑c * x = ↑c * y

Context: c : ↥M

Context: h : (algebraMap R S) ↑c * (algebraMap R S) x = (algebraMap R S) ↑c * (algebraMap R S) y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
S T : ConvexCone 𝕜 E


Context:
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B

((Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.h f) x) (Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.XWithInfinity.fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) =
  Grp.SurjectiveOfEpiAuxs.XWithInfinity.fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩


Context: c : Cardinal.{u_1}


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
x : L'
y : L
hy₂ : ↑f y = x
z₁ : L
hz₁ : z₁ ∈ I
z₂ : L
hz₂ : z₂ ∈ f.ker
hy : z₁ + z₂ = y

↑f (z₁ + z₂) ∈ ↑(Submodule.map (↑f) (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule)


Context:
α β : Type u
f : α → β
x : FreeAddMagma α

(Seq.seq (pure f) fun x_1 => x) = f <$> x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x : E
a✝ : ℝ
α : Type u_4
inst✝⁶ : LinearOrderedField α
inst✝⁵ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝⁴ : OrderedSMul α ℝ
inst✝³ : Module α E
inst✝² : SMulCommClass α ℝ ℝ
inst✝¹ : IsScalarTower α ℝ ℝ
inst✝ : IsScalarTower α ℝ E
s : Set E
symmetric : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
a : α


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: CommSemiring R

Context: AddCommMonoid A

Context: Module R A

Context: AddCommMonoid B

Context: Module R B

Context: CoalgebraStruct R A

Context: CoalgebraStruct R B

Context: f : A → B

Context: h₁ : ∀ (x y : A), f (x + y) = f x + f y

Context:
h₂ :
  ∀ (m : R) (x : A),
    { toFun := f, map_add' := h₁ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := f, map_add' := h₁ }.toFun x

Context: h₃ : Coalgebra.counit ∘ₗ { toFun := f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂ } = Coalgebra.counit

Context:
h₄ :
  TensorProduct.map { toFun := f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂ } { toFun := f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂ } ∘ₗ
      Coalgebra.comul =
    Coalgebra.comul ∘ₗ { toFun := f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂ }

⇑{ toFun := f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂, counit_comp := h₃, map_comp_comul := h₄ } = f


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: B : ℝ

Context: h : minkowskiBound K I ≤ volume (convexBodySum K B)

∃ a ∈ ↑I, a ≠ 0 ∧ ↑|(Algebra.norm ℚ) a| ≤ (B / ↑(finrank ℚ K)) ^ finrank ℚ K


Context:
R : Type u
CommRing R
I J : Ideal R
hIJ : I ≤ J
x : R

(Ideal.Quotient.mk I) x ∈ Ideal.map (Ideal.Quotient.mk I) J ↔ x ∈ J


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α

SigmaFinite (μ.trim ⋯) ↔ IsFiniteMeasure μ


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup N
Module R N
P : RootPairing ι R M N
i : ι

Set.MapsTo (⇑(P.coreflection i)) (Set.range ⇑P.coroot) (Set.range ⇑P.coroot)


Context:
α : Type u
Infinite α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
S : F →L[𝕜] E

((adjoint S).comp (T.comp S)).IsPositive