Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
s✝ : Set M
x : M
s : Set M
hf : IsLocalDiffeomorphOn I J n f s

∀ x ∈ s, ∃ e, x ∈ e.source ∧ EqOn f (↑e) e.source


Context:
m : Type u
DecidableEq m
K : Type u_3
Field K
Fintype m
A : Matrix m m K


Context:
a b : ℕ
hb₀ : (b / 2).beq 0 = false
ha : a % 2 = 0
hb₁ : b % 2 = 0
hf : (↑a).gcd ↑b = 1


Context: P Q : Prop


Context:
α : Type u_2
DecidableEq α
Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
n : ℕ
hn : n ≤ Fintype.card α

Set.Sized n ↑𝒜.compls ↔ Set.Sized (Fintype.card α - n) ↑𝒜


Context:
α : Type u
l : List (Set (α → ℕ))
d : List.Forall Dioph l

Dioph {v | List.Forall (fun S => v ∈ S) l}


Context:
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
AddMonoid α
l : List (Matrix m n α)

l.sumᵀ = (List.map Matrix.transpose l).sum


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝² : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: δ : Type u_5

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : β × γ → δ

Context: hf : AEStronglyMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)

∀ᵐ (x : β) ∂κ a, AEStronglyMeasurable (fun y => f (x, y)) (η (a, x))


Context:
α : Type u_6
Zero α
One α
n : ℕ

(Matrix.circulant fun i => if ↑i = 0 then 1 else 0) = 1


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝ : IsRefl β s
f : r ≃r s

Cardinal.lift.{max u v, u} (cof r) ≤ Cardinal.lift.{max u v, v} (cof s)


Context: θ : Angle


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g✝ : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : Zero M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: v : α →₀ M

Context: f : α ↪ β

Context: g : β → M → N

∏ x ∈ v.support, g (f x) ((embDomain f v) (f x)) = ∏ a ∈ v.support, g (f a) (v a)


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δ ε : ℝ

Context: s t : Set α

Context: x : α

Context: hst : Disjoint s t

Context: hs : IsCompact s

Context: ht : IsClosed t

Context: r : ℝ≥0

Context: hr : 0 < r

Context: h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y

Context: z : α

Context: hzs : ∃ z_1 ∈ s, edist z z_1 < ENNReal.ofReal (↑r / 2)

Context: hzt : ∃ z_1 ∈ t, edist z z_1 < ENNReal.ofReal (↑r / 2)


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: A : CategoryTheory.Functor Cᵒᵖ (Type v)

Context: P : CategoryTheory.Limits.IndObjectPresentation A

Context: X : P.I

(P.toCostructuredArrow.obj X).hom = P.cocone.ι.app X


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
hpq : p ∣ q
hq : q ≠ 0


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝³ : Monoid β

Context: inst✝² : Monoid γ

Context: inst✝¹ : FunLike F β γ

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f : α → β

Context: sl : List α

Context: sl' : sl.Nodup

Context: tl : List α

Context: tl' : tl.Nodup

Context: h : sl.Disjoint tl

Context: comm : {x | x ∈ sl.toFinset ∪ tl.toFinset}.Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)

(sl.toFinset ∪ tl.toFinset).noncommProd f comm = sl.toFinset.noncommProd f ⋯ * tl.toFinset.noncommProd f ⋯


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X : TopCat
F : TopCat.Presheaf C X


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
d₁ d₂ : G.Dart


Context: α : Type u_1

Context: l : List (α → Prop)

Context: H : ∀ (a : α), (map (fun p => p a) l).TFAE


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
n : ℕ


Context:
ι : Type u_5
Fintype ι


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

Context: A : Type u₃

Context: CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} A

Context: J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C

Context: K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D

Context: L : CategoryTheory.GrothendieckTopology A

Context: F : C ⥤ D

Context: hF : CategoryTheory.CoverPreserving J K F

Context: G : D ⥤ A

Context: hG : CategoryTheory.CoverPreserving K L G

CategoryTheory.CoverPreserving J L (F ⋙ G)


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
k : ℕ

(descPochhammer ℤ (k + 1)).smeval (r + 1) = (k + 1).factorial • choose r k + (descPochhammer ℤ (k + 1)).smeval r


Context:
e : ℝ
d n : ℕ
h : NormNum.IsInt e (Int.negOfNat n)
w : Nat.blt 1 n = true


Context:
R Rₘ Sₘ : Type u
CommRing R
CommRing Rₘ
CommRing Sₘ
M : Submonoid R
Algebra R Sₘ
Algebra R Rₘ
Algebra Rₘ Sₘ
IsScalarTower R Rₘ Sₘ
IsLocalization M Rₘ
Algebra.FormallyEtale R Sₘ


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝¹ : SetLike M R
inst✝ : MulMemClass M R
S : M
b : R
hb : b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S

∀ {a : R}, a ∈ AddSubmonoid.closure ↑S → a * b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S


Context:
α : Type u_2
MulOneClass α


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f g : ↥(simpleFunc E 1 μ)

setToL1S T (f - g) = setToL1S T f - setToL1S T g


Context:
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
S : Type u_12
Semiring S
Module S N
SMulCommClass R S N
σ : ι ≃ ι'
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N

(AlternatingMap.domDomCongrₗ S σ) f = AlternatingMap.domDomCongr σ f


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
f : E →ᵃ[𝕜] F
hs : Convex 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁷ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : MetricSpace Q
inst✝⁴ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : Invertible 2
p₁ p₂ p₃ p₄ : P

‖midpoint 𝕜 (p₁ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₄)‖ ≤ (‖p₁ -ᵥ p₃‖ + ‖p₂ -ᵥ p₄‖) / ‖2‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder β
f : α → β
l : List α
a m : α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Group α
e : α
x : Finset α × Finset α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α


Context:
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
K : Subgroup G
y : N


Context:
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
UniqueFactorizationMonoid α
a : Associates α


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: Z X : C

Context: h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X

Context: Y' : C

Context: f' : (shiftFunctor C 1).obj X ⟶ Y'

Context: g' : Y' ⟶ (shiftFunctor C 1).obj Z

Context: mem : Triangle.mk h f' g' ∈ distinguishedTriangles

Context: T' : Triangle C := (Triangle.mk h f' g').invRotate.invRotate

∃ Y f g, Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t s : Set α


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
m n : σ →₀ ℕ
a b : R

(MvPowerSeries.monomial R m) a * (MvPowerSeries.monomial R n) b = (MvPowerSeries.monomial R (m + n)) (a * b)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: T₁ T₂ : Triangle Cᵒᵖ

Context: hT₁ : Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₁) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles

Context: hT₂ : Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₂) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: comm : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

Context: c : Opposite.unop T₂.obj₃ ⟶ Opposite.unop T₁.obj₃

Context: hc₁ : T₂.mor₂.unop ≫ b.unop = c ≫ T₁.mor₂.unop

Context: hc₂ : (shiftFunctor C 1).map T₂.mor₃.unop ≫ (shiftFunctor C 1).map c = ((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.hom.app T₂.obj₁).unop ≫ a.unop ≫ ((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app T₁.obj₁).unop ≫ (shiftFunctor C 1).map T₁.mor₃.unop

∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map a = c ≫ T₂.mor₃


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: C₀ C₁ C₂ : Set X

Context: h₀ : C₀ ⊆ C₁ ∪ C₂

Context: h₁ : IsClosed C₁

Context: h₂ : IsClosed C₂

Context: f₁ : LocallyConstant (↑C₁) Z

Context: f₂ : LocallyConstant (↑C₂) Z

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ C₁

Context: hf : ∀ (x : X) (hx : x ∈ C₁ ∩ C₂), f₁ ⟨x, ⋯⟩ = f₂ ⟨x, ⋯⟩

Context: x : ↑C₀

Context: hx : ↑x ∈ C₁

(piecewise' h₀ h₁ h₂ f₁ f₂ hf) x = f₁ ⟨↑x, hx⟩


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)


Context:
m n : ℕ
h : m ≤ n


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ' : Measure α

Context: ν✝ ν' : Measure β

Context: τ✝ : Measure γ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: f : α × β → γ

Context: μ : Measure α

Context: ν : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: hf : Measurable f

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: h2f : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, QuasiMeasurePreserving (fun y => f (x, y)) ν τ

Context: s : Set γ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h2s : τ s = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : (α × β) × γ

(Equiv.prodAssoc α β γ) p = (p.1.1, p.1.2, p.2)


Context: β : Type w

Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: Unique β

Context: f : β → C

Context: s : CategoryTheory.Limits.Cocone (CategoryTheory.Discrete.functor f)

(CategoryTheory.Limits.colimitCoconeOfUnique f).isColimit.desc s = s.ι.app default


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
w : Set M
x : ↥(span R w)

(Finsupp.total (↑w) M R Subtype.val) (repr R w x) = ↑x


Context:
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Group α
MulAction α β
ContinuousInv α
ContinuousSMul α β
s : Set α
t : Set β
ht : IsClosed t
hs : IsCompact s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: s✝ : Set M

Context: x✝ : M

Context: s : Set (M × M')

Context: x : M × M'

Context: hxs : UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') s x

mfderiv (I.prod I') I Prod.fst x = ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2)


Context:
𝕂 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕂
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕂 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕂 F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕂] F
a : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt 𝕂 n f a
hf' : HasFDerivAt f (↑f') a
hn : 1 ≤ n
this : hf.localInverse hf' hn (f a) = a

ContDiffAt 𝕂 n (↑(toPartialHomeomorph f hf hf' hn)) (↑(toPartialHomeomorph f hf hf' hn).symm (f a))


Context: q r : ℚ

Context: s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)

Context: hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0

Context: c : ℤ

Context: c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num

Context: c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den

Context: a✝ : ¬c = 0

Context: h : q * r = s

↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q * r).num = (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Mod α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)

∀ (a : β), automorphize (g ∘ Quotient.mk' • f) (Quotient.mk'' a) = (g • automorphize f) (Quotient.mk'' a)


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y

(CategoryTheory.kernelOpUnop f).hom =
  (CategoryTheory.Limits.kernel.lift f.op (CategoryTheory.Limits.cokernel.π f).op ⋯).unop


Context:
R : Type u
Ring R
p q : R[X]


Context:
R : Type u_2
Ring R
S : Subring Rᵐᵒᵖ


∀ {x : Sort u_1} {cmp : x → x → Ordering} [inst : Batteries.TransCmp cmp] {x_1 y : x},
  cmp x_1 y = Ordering.gt → cmp y x_1 ≠ Ordering.gt


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
n : ℕ
b : Basis (Fin n) K V
i : Fin n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_4
One M
s : Set α
f : β → α
g : α → M
x : β

(f ⁻¹' s).mulIndicator (g ∘ f) x = s.mulIndicator g (f x)


Context: a : ℕ

Context: IH : ∀ m < a, ∀ {b : ℕ} {flip : Bool} {ha0 : m > 0}, b % 2 = 1 → b > 1 → fastJacobiSymAux m b flip ha0 = if flip = true then -J(↑m | b) else J(↑m | b)

Context: b : ℕ

Context: flip : Bool

Context: ha0 : a > 0

Context: hb2 : b % 2 = 1

Context: hb1 : b > 1

Context: ha4 : ¬a % 4 = 0

Context: ha2 : ¬a % 2 = 0

Context: ha1 : ¬a = 1

Context: hba : ¬b % a = 0

(if xor (decide (a % 4 = 3 ∧ b % 4 = 3)) flip = true then -J(↑b | a) else J(↑b | a)) = if flip = true then -if a % 4 = 3 ∧ b % 4 = 3 then -J(↑b | a) else J(↑b | a) else if a % 4 = 3 ∧ b % 4 = 3 then -J(↑b | a) else J(↑b | a)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s1 : WSeq α
s2 : WSeq β
h✝ : LiftRel R s1 s2
s : WSeq β
t : WSeq α
h : LiftRel R t s

Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) t.destruct s.destruct


Context: G : Type u

Context: Group G

Context: TopologicalSpace G

Context: hmul : Filter.Tendsto (Function.uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)

Context: hinv : Filter.Tendsto (fun x => x⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)

Context: hleft : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = Filter.map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)

Context: hconj : ∀ (x₀ : G), Filter.Tendsto (fun x => x₀ * x * x₀⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)


Context:
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
s : NonUnitalSubsemiring R
x : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Option α ≃ Option β
x : α
h : e (some x) = none


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y z : P

midpoint R x y = z ↔ (AffineEquiv.pointReflection R z) x = y


Context:
α : Type u
s : Computation α
a : α


Path.Homotopy.transAssocReparamAux 1 = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
f : α → β → δ
l : Batteries.AssocList α β

(Batteries.AssocList.mapVal f l).toList =
  List.map
    (fun x =>
      match x with
      | (a, b) => (a, f a b))
    l.toList


Context:
α : Type u
s t : Set α


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
f : LatticeHom α β


Context:
α : Type u_3
DecidableEq α
AddCommMonoid α
m : Multiset α
s : Finset α
hs : m.toFinset ⊆ s


Context:
a b : ℝ
n : ℕ


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝¹ : MonoidalCategory C

Context: inst✝ : BraidedCategory C

Context: tensorObj : Mon_ C → Mon_ C → Mon_ C := fun M N => { X := M.X ⊗ N.X, one := (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (M.one ⊗ N.one), mul := tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul), one_mul := ⋯, mul_one := ⋯, mul_assoc := ⋯ }

Context: X₁ Y₁ X₂ Y₂ : Mon_ C

Context: f : X₁ ⟶ Y₁

Context: g : X₂ ⟶ Y₂

(tensor_μ C (X₁.X, X₂.X) (X₁.X, X₂.X) ≫ (X₁.mul ⊗ X₂.mul)) ≫ (f.hom ⊗ g.hom) = ((f.hom ⊗ g.hom) ⊗ f.hom ⊗ g.hom) ≫ tensor_μ C (Y₁.X, Y₂.X) (Y₁.X, Y₂.X) ≫ (Y₁.mul ⊗ Y₂.mul)


Context:
ι : Type (max u_2 u_3)
f : ι → Ordinal.{max u_2 u_3}
c : Cardinal.{max u_2 u_3}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c

(∀ (i : ι), f i < c.ord) → Ordinal.sup f < c.ord


Context:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
SeminormedRing 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ


Context:
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
f : α → E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal 1) μ

∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g (ENNReal.ofReal 1) μ


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.HasShift C ℤ

Context: T₁ T₂ : (CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C)ᵒᵖ

Context: φ : T₁ ⟶ T₂

((CategoryTheory.Pretriangulated.TriangleOpEquivalence.functor C).map φ).hom₃ = φ.unop.hom₁.op


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: m : Submodule R M

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: A B : Submodule R M

Context: hAB : A ≤ B

Context: f : Submodule R ↥B ≃o ↑(Set.Iic B) := B.mapIic

Context: hf : f = B.mapIic

IsCoatom ⟨A, hAB⟩ ↔ IsCoatom (B.mapIic (Submodule.comap B.subtype A))


Context:
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
Module R M₁
Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂

(CliffordAlgebra.toProd Q₁ Q₂).comp (CliffordAlgebra.ofProd Q₁ Q₂) =
  AlgHom.id R (CliffordAlgebra (QuadraticMap.prod Q₁ Q₂))


Context:
F✝ : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
f₀ f₁ f₂ : C(X, Y)
F : f₀.Homotopy f₁
G : f₁.Homotopy f₂
t : ↑I
snd✝ : X


Context:
R : Type u
CommRing R
P : Polynomial R

(KaehlerDifferential.D R (Polynomial R)) P =
  Polynomial.derivative P • (KaehlerDifferential.D R (Polynomial R)) Polynomial.X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β
g : α → ℕ × β → β
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
n : ℕ

Nat.unpaired (fun z n => Nat.casesOn n 0 fun y => Nat.unpaired (fun z n => Nat.rec (encode (Option.map f (decode z))) (fun y IH => encode (Option.map (fun p => g p.1 p.2) (decode (Nat.pair (Nat.unpair (Nat.pair z (Nat.pair y IH))).1 (Nat.pair (Nat.unpair (Nat.unpair (Nat.pair z (Nat.pair y IH))).2).1 (Nat.unpair (Nat.unpair (Nat.pair z (Nat.pair y IH))).2).2.pred))))) n) (Nat.pair (Nat.unpair (Nat.pair z y)).2 (Nat.unpair (Nat.unpair (Nat.pair z y)).1).2)) (Nat.pair (id n) (encode (decode (Nat.unpair n).1))) = Nat.unpaired (fun m n => encode ((decode m).bind fun a => Option.map (fun n => Nat.rec (f a) (fun n IH => g a (n, IH)) n) (decode n))) n


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b✝ c✝ d✝ x y z : P
r R : ℝ
b c d : P
hb : b ≠ d
hc : c ≠ d

dist d c * dist b d ≤ dist d b * dist c d + dist b c * dist d d


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
c : n ≃ n
hc : c ∈ univ.erase (Equiv.refl n)

(∏ i : n, M.charmatrix (c i) i).natDegree < Fintype.card n - 1


Context: X Y : TopCat

Context: f g : C(↑X, ↑Y)

Context: H : f.Homotopy g

Context: x₀ x₁ : ↑X

Context: p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁

Context: p' : Path (fromTop x₀).as (fromTop x₁).as

∀ (t : ↑I), g (p' t) = H.uliftMap (((Path.refl { down := 1 }).prod p') t)


Context: o o' : Ordinal.{max u v}

Context: f : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o → Ordinal.{max u v w}

Context: hf : ∀ {i j : Ordinal.{max u v}} (hi : i < o) (hj : j < o), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj

Context: g : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o' → Ordinal.{max u v}

Context: hg : o'.blsub g = o

(o'.bsup fun a ha => f (g a ha) ⋯) = o.bsup f


Context:
k G : Type u
CommRing k
n : ℕ
Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
x : Fin (n + 1) → G

((Rep.diagonalHomEquiv n A).symm f).hom (Finsupp.single x 1) = (A.ρ (x 0)) (f fun i => (x i.castSucc)⁻¹ * x i.succ)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o o' : Ordinal.{max u v}

Context: hg : o'.blsub g = o

Context: i : Ordinal.{max u v}

Context: hi : i < o'


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
SMul 𝕜 E
A B C : Set E
hAC : IsExtreme 𝕜 A C
hBA : B ⊆ A
hCB : C ⊆ B


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
s : Submonoid M
t : Submonoid N
u : Submonoid (M × N)

u ≤ s.prod t ↔ Submonoid.map (MonoidHom.fst M N) u ≤ s ∧ Submonoid.map (MonoidHom.snd M N) u ≤ t


Context:
a✝ b c a : Ordinal.{u}
IH : ∀ k < a, k ♯ 1 = succ k
i : Ordinal.{u}
hi : i < a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
LinearOrderedAddCommGroup α
OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
C : α
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 C)
hg : Filter.Tendsto g l Filter.atTop

Filter.Tendsto (fun x => f x + g x) l Filter.atTop


Context: a : ℤ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: χ : R →* ℤ

Context: hp : ∀ (p : ℕ) (pp : Nat.Prime p), p ≠ 2 → legendreSym p a = χ ↑p

Context: b : ℕ

Context: hb : Odd b

List.pmap (fun p pp => legendreSym p a) b.primeFactorsList ⋯ = List.pmap (fun a x => (⇑χ ∘ Nat.cast) a) b.primeFactorsList ⋯


Context: n : ℕ


Context: x : ℝ


Context:
R : Type u_1
CommRing R
LocalRing R
x : R


Context: n m : ℕ

m ∈ n.smoothNumbers ↔ ∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ m → p < n


Context:
B : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F

topologicalSpace B F = induced (Prod.fst ∘ ⇑(TotalSpace.toProd B F)) inst✝¹ ⊓ induced (Prod.snd ∘ ⇑(TotalSpace.toProd B F)) inst✝


Context:
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Fintype m
Fintype n
NonUnitalNonAssocSemiring α
u v : m → α
x y : n → α

Sum.elim u x ⬝ᵥ Sum.elim v y = u ⬝ᵥ v + x ⬝ᵥ y


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g✝ : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
f g : ι → Ω → ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hg : Submartingale g ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: f : ↥(lp E p)


Context: x y : ℝ


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s : Finset α


Context:
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
Semiring B
Algebra R B
Semiring C
Algebra R C
Semiring D
Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D

(Algebra.TensorProduct.map f g).range =
  (Algebra.TensorProduct.includeLeft.comp f).range ⊔ (Algebra.TensorProduct.includeRight.comp g).range


Context:
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_1
I : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ I, IsOpen (s i)
T : Set ↑I
hTc : T.Countable
hU : ⋃ i ∈ T, s ↑i = ⋃ i, s ↑i

∃ s_1, (Subtype.val '' s_1).Countable ∧ ⋃ y ∈ s_1, s ↑y = ⋃ i ∈ I, s i


Context:
x✝ x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x < π / 2
U : Set ℝ := Ico 0 (π / 2)
intU : interior U = Ioo 0 (π / 2)
half_pi_pos : 0 < π / 2


Context:
α : Type u_2
M : Matroid α
X I : Set α

M.Basis I (I ∪ X) ↔ M.Indep I ∧ X ⊆ M.closure I


Context:
α : Type u_1
Preorder α
s : Set α
s.OrdConnected
x y : ↑s

Subtype.val '' Set.Ico x y = Set.Ico ↑x ↑y


Context:
f : ℕ → NNReal
hf : Summable f
k : ℕ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_3
R : Type u_13
Norm E
SeminormedRing R
f : α → E
l : Filter α
g : α → R
c : R
hc : IsUnit c
h : f =o[l] g


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)

Context: x : K

Context: h : IsIntegral ℤ x

Context: B : PowerBasis ℚ K := IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ

Context: hint : IsIntegral ℤ B.gen

Context: this : FiniteDimensional ℚ K := finiteDimensional {p ^ k} ℚ K

Context: u : ℤˣ

Context: n : ℕ

Context: hun : Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis = ↑↑u * ↑↑p ^ n

Context: H : u.inv • (↑↑u * ↑↑p ^ n) • x ∈ adjoin ℤ {B.gen}


Context:
α : Type u
β : Type u_1
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
h : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ a * b ^ n
this : 0 ≤ a


Context:
R : Type u
Ring R
Nontrivial R
a : R

(Polynomial.X - Polynomial.C a).degree = 1


Context:
G : Type u_3
α : Type u_7
Group G
MulAction G α
g : G
a b : α


Context:
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
f : MvPolynomial σ R

∀ (a : R), eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) ((Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (C a))) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (C a)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ b c d : α
n : ℤ
a : α


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b : V
s : Set G.Subgraph

(sSup s).Adj a b ↔ ∃ G_1 ∈ s, G_1.Adj a b


Context:
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0

∑ i ∈ n.divisorsAntidiagonal, f i.1 * g i.2 / ↑n ^ s = ∑ p ∈ n.divisorsAntidiagonal, term f s p.1 * term g s p.2


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
x y : 𝕎 R
h : ∀ (n : ℕ), x.coeff n = y.coeff n


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hxz' : 0 < z - x


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ⇑e
N : ℝ≥0
h_e : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑N * ‖e x‖
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂

Continuous fun x => ‖(f.extend e h_dense ⋯) x‖


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
K : Type u_2
Group K
ϕ : K →* G
hϕ : Function.Injective ⇑ϕ


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : SemilatticeSup B

Context: inst✝¹⁰ : OrderBot B

Context: inst✝⁹ : SemilatticeInf T

Context: inst✝⁸ : OrderTop T

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddMonoid B

Context: inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : AddMonoid T

Context: inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: degb : A → B

Context: degt : A → T

Context: degt0 : 0 ≤ degt 0

Context: degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)

Context: n : ℕ

Context: f : R[A]

n • f.support.inf degt ≤ (f ^ n).support.inf degt


Context:
α : Type u_2
x y : α


Context:
α : Type u_2
InvolutiveInv α
s : Set α


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_8

Context: M₂ : Type u_10

Context: Semiring R

Context: AddCommMonoid M

Context: AddCommMonoid M₂

Context: Module R M

Context: Module R M₂

Context: to_fun : M → M₂

Context: inv_fun : M₂ → M

Context: map_add : ∀ (x y : M), to_fun (x + y) = to_fun x + to_fun y

Context:
map_smul :
  ∀ (m : R) (x : M),
    { toFun := to_fun, map_add' := map_add }.toFun (m • x) =
      (RingHom.id R) m • { toFun := to_fun, map_add' := map_add }.toFun x

Context: left_inv : Function.LeftInverse inv_fun { toFun := to_fun, map_add' := map_add, map_smul' := map_smul }.toFun

Context: right_inv : Function.RightInverse inv_fun { toFun := to_fun, map_add' := map_add, map_smul' := map_smul }.toFun

⇑{ toFun := to_fun, map_add' := map_add, map_smul' := map_smul, invFun := inv_fun, left_inv := left_inv,
        right_inv := right_inv }.symm =
  inv_fun


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
γ : HomologyMapData φ h₁ h₂

homologyMap' φ h₁ h₂ = (h₁.iso.hom ≫ (homologyMap' (opMap φ) h₂.op h₁.op).unop) ≫ h₂.iso.inv


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c : α


Context:
n : Nat
a b : Fin n


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x : α
δ : ℝ
E : Set α


Context:
R : Type u_1
MonoidWithZero R
Nontrivial R


Context:
R : Type u_1
CommRing R
I : Ideal R
f : R[X]

f ∈ Ideal.map Polynomial.C I → (Polynomial.eval₂RingHom (Polynomial.C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) Polynomial.X) f = 0


Context:
α : Type u_2
DecidableEq α
Monoid α
s t : Finset α
hst : s ⊆ t
n : ℕ


Context: n✝ p n : ℕ

(p - 1) * ∑ i ∈ range (log p n).succ, n / p ^ i.succ = n - (p.digits n).sum


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a x : G

x ∈ ⋃ h, (↑h * a) • ↑K ↔ x ∈ doset a ↑H ↑K


Context:
x : ℝ
hx : x ≠ 0
r : ℂ
hr : r ≠ -1

HasDerivAt (fun y => ↑y ^ (r + 1) / (r + 1)) (↑x ^ r) x


Context:
c : Code
h : c.Ok
v✝ v : List ℕ

Turing.eval step (Cfg.ret Cont.halt v) = pure (Cfg.halt v)


Context: n : ℕ


Context: Λ : ℂ → ℂ

Context: hf : ∀ (s : ℂ), s ≠ 0 → s ≠ 1 → DifferentiableAt ℂ Λ s

Context: L : ℂ

Context: h_lim : Filter.Tendsto (fun s => s * Λ s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 L)

Context: s : ℂ

Context: hs' : s ≠ 1

DifferentiableAt ℂ (Function.update (fun s => Λ s / s.Gammaℝ) 0 (L / 2)) s


Context:
α : Type u_3
TopologicalSpace α
s t : Set α

s ⊆ exterior t ↔ ∀ (U : Set α), IsOpen U → t ⊆ U → s ⊆ U


Context: n x y : ℤ

Context: h : n = x ^ 2 + y ^ 2

Context: hc : IsCoprime x y

Context: u v : ℤ

Context: huv : u * x + v * n = 1

Context: H : u * y * (u * y) - -1 = n * (-v ^ 2 * n + u ^ 2 + 2 * v)


Context:
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : Splits (RingHom.id K) f

↑(Multiset.map (⇑(algebraMap K L)) f.roots).toFinset ⊆ ↑⊥


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a


Context:
α : Type u_1
self : Filter α


Context:
N : Type u_2
r : N → N → Prop
AddGroup N

Covariant N N (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) r ↔ Contravariant N N (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) r


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x y : M
c : ↥S
h : f.toMap (↑c * x) = f.toMap (↑c * y)


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : Module R M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : Module R M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹² : Module R N₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁✝ : Basis n R M₁
b₂✝ : Basis m R M₂
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
f : M₁' →ₗ[R] M₁

((toMatrix b₁' b₁) f)ᵀ * (toMatrix₂ b₁ b₂) B * (toMatrix b₂ b₂) id = ((toMatrix b₁' b₁) f)ᵀ * (toMatrix₂ b₁ b₂) B


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
e₀ : E
f₀ : F

HasFDerivAt (fun e => (e, f₀)) (ContinuousLinearMap.inl 𝕜 E F) e₀


Context:
α : Type u_1
R : Type u_7
Semiring R
f : α → R
r : R
h : (Function.support f).Finite

(∑ᶠ (a : α), f a) * r = ∑ᶠ (a : α), f a * r


Context:
z : ℤ
hz : z ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_3
f : Filter α
g : Filter β


Context:
α : Type u_1
CancelCommMonoid α
s : Submonoid α
a₁ b₁ : α
a₂ b₂ : ↥s

Localization.mk a₁ a₂ = Localization.mk b₁ b₂ ↔ ↑b₂ * a₁ = ↑a₂ * b₁


Context:
α : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s : Set α
inst✝ : TopologicalSpace α

DiscreteTopology α ↔ ∀ (x : α), 𝓝[≠] x = ⊥


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c c' : Cardinal.{u_3}
h : c.ord = c'.ord


Context:
E : Type u_3
SeminormedAddGroup E
ι : Sort u_6
p : ι → Prop
s : ι → Set ℝ
h : Filter.atTop.HasBasis p s

(Bornology.cobounded E).HasBasis p fun i => norm ⁻¹' s i


Context:
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
t : Batteries.RBNode α

Batteries.RBNode.Ordered cmp t.setBlack ↔ Batteries.RBNode.Ordered cmp t


Context: k : Type u₁

Context: G : Type u₂

Context: H : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Semiring k

Context: inst✝⁵ : DistribSMul R k

Context: inst✝⁴ : Mul G

Context: A : Type u₃

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A

Context: inst✝² : Module k A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower k A A

Context: inst✝ : SMulCommClass k A A

Context: f : G →ₙ* A

Context: a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G

Context: g : G → k → A := fun m t => t • f m

Context: h₁ : ∀ (m : G), g m 0 = 0

Context: h₂ : ∀ (m : G) (t₁ t₂ : k), g m (t₁ + t₂) = g m t₁ + g m t₂

(sum (sum a₁ fun a₁ b₁ => sum a₂ fun a₂ b₂ => single (a₁ * a₂) (b₁ * b₂)) fun m t => t • f m) = sum a₁ fun x' v' => sum a₂ fun x v => (v' * v) • f (x' * x)


Context:
ι : Type u_1
Fintype ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
I : BoxIntegral.Box ι
π₀ : BoxIntegral.Prepartition I

(l.toFilteriUnion I π₀).HasBasis (fun r => ∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) fun r =>
  {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (r c) π ∧ π.iUnion = π₀.iUnion}


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
CommSemiring A
Algebra R A
S : Subalgebra R A
x : ↥S
p : R[X]

(Polynomial.aeval ↑x) p = ↑((Polynomial.aeval x) p)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: inst✝⁶ : BorelSpace X

Context: inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder X

Context: inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder E

Context: inst✝³ : OrderTopology X

Context: inst✝² : OrderTopology E

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology E

Context: inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ

Context: hs : IsCompact ∅

Context: hmono : MonotoneOn f ∅


Context:
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
s : Finset α
a : α


Context:
α : Type u_1
s : Set α
hs : s.Finite := by toFinite_tac


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y x : V


Context:
Ω : Type u_1
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n : ℕ
ω : Ω

0 ≤ MeasureTheory.upcrossingStrat a b f N n ω


Context: x : ℝ

Real.cos x = -1 ↔ ∃ k, Real.pi + ↑k * (2 * Real.pi) = x


Context:
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
x : E

Filter.Tendsto (fun a => ‖a‖) (𝓝 x) (𝓝 ‖x‖)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M₂
Module R M₂
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₂
f : Module.End R M

B.IsSkewAdjoint f ↔ (-B).IsAdjointPair B f f


Context:
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul G
g : G

(MeasurableEquiv.mulRight g).toEquiv = Equiv.mulRight g


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I : Set α
M.FiniteRk
hI : M.Indep I


Context:
A : Type u_3
Ring A
Algebra ℝ A
a : A
t : ℝ≥0
ht : spectralRadius ℝ a ≤ ↑t

SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal ↔ spectralRadius ℝ ((algebraMap ℝ A) ↑t - a) ≤ ↑t


Context:
R : Type u
CommRing R
I : Ideal R
hqf : IsField (R ⧸ I)


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hmt : MeasurableSet t
hcs : μ s ≠ ⊤
u : Set Ω
a✝ : MeasurableSet u
hst : μ (s ∩ t) = 0

((μ s)⁻¹ * μ (s ∩ t))⁻¹ * ((μ s)⁻¹ * μ (s ∩ (t ∩ u))) = (μ (s ∩ t))⁻¹ * μ (s ∩ t ∩ u)


Context:
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsNilpotent R L

∃ k, ∀ (x : L), (LieAlgebra.ad R L) x ^ k = 0


Context:
M : Type u_3
TopologicalSpace M
Monoid M
ContinuousMul M
s : Submonoid M


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
h₁ : p₁ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
h₂ : p₂ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
h₃ : p₃ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: f : S₁ ⟶ S₂

Context: CategoryTheory.IsIso f.τ₁

Context: CategoryTheory.IsIso f.τ₂

Context: CategoryTheory.IsIso f.τ₃


Context:
R : Type u
n : ℕ
Semiring R
p : R[X]
pn : p.degree ≤ ↑n
p1 : p.coeff n ≠ 0


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
n : ℕ

Option.map (Pair.map Rat.cast) (Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) (IntFractPair.stream q (n + 1))) = Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) (IntFractPair.stream v (n + 1))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2

∀ {x : MeasurableSpace α} {x_1 : MeasurableSpace β}, Measurable Prod.snd


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: h₂ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ ∑ i : ι, |x i| ^ p

Context: eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: eq_zero : ∀ (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0

Context: nm_zero : (∑ x : ι, |0 x| ^ p) ^ (1 / p) = 0

Context: nm_neg : ∀ (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(-x) x_1| ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)

Context: nm_add : ∀ (x y : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(x + y) x_1| ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, |y x| ^ p) ^ (1 / p)

Context: nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(r • x) x_1| ^ p) ^ (1 / p) ≤ |r| * (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)

volume {x | ∑ i : ι, |x i| ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))


Context:
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
E : Type u_5
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E

MeasureTheory.Integrable (↑↑(MeasureTheory.indicatorConstLp p hs hμs c)) μ


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: s t : Finset V

Context: hs : AffineIndependent k Subtype.val

Context: hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑t)

Context: hs' : s.Nonempty

Context: ht' : t.Nonempty

Context: this✝ : Nonempty { x // x ∈ s }

Context: this : Nonempty ↑↑t

Context: direction_le : (affineSpan k ↑s).direction ≤ (affineSpan k ↑(affineSpan k ↑t)).direction


Context:
n : Nat
i : Fin n


Context:
K : Type u_1
RCLike K


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: R : α → β → Prop

Context: C : Computation α → Computation β → Prop

Context: ca : Computation α

Context: cb : Computation β

Computation.LiftRelAux R C (Sum.inr ca) (Sum.inr cb) = C ca cb


Context:
Ω : Type u_1
Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : MeasureTheory.FiniteMeasure Ω
s : Set Ω


Context:
α : Type u_1
Lattice α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₁ ∈ Set.Icc a₂ b₂
hb : b₁ ∈ Set.Icc a₂ b₂


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
a b c✝ d e : α
m n : ℤ
β : Type u_4
inst✝ : Preorder β
f : β → α
hf : StrictMono f
c : α
hc : 0 < c


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a✝ b✝ : R
s : S
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : MulAction R M
a b : M
ab : a = b


Context: p : Prop

∀ {x : Decidable p}, decide p = false → p = False


Context:
z : ℂ
hz : 0 < z.re
hz₀ : z ≠ 0

Tendsto (fun x => ‖x.1 ^ x.2‖) (𝓝 (0, z)) (𝓝 0)


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f

Context: hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y

Context: hn : 2 ≤ n

Context: hx : 0 < x


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : ℕ → α
m n : ℕ
h : m ≤ n

dist (f m) (f n) ≤ ∑ i ∈ Finset.Ico m n, dist (f i) (f (i + 1))


Context:
α : Sort u
r : α → α → Prop
self : Equivalence r
x : α


Context: F : Type u

Context: K✝¹ : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝³ : Field K✝¹

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Field F

Context: n✝ : ℕ

Context: K✝ : Type u

Context: inst✝ : Field K✝

Context: n : ℕ

Context: ih : (fun n => ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]), f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤) n

Context: K : Type u

Context: x✝ : Field K

Context: f : K[X]

Context: hfn : f.natDegree = n.succ

Context: hndf : f.natDegree ≠ 0

Context: hfn0 : f ≠ 0

Context: hmf0 : map (algebraMap K (SplittingFieldAux n.succ f)) f ≠ 0

Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n.succ f)) = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hp_top : p ≠ ⊤

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: M : ℝ

Context: hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M

Context: hM : 0 < M

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμ : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ p.toReal)

eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
l : Filter α
f g : α → P
x y : P
hf : Filter.Tendsto f l (𝓝 x)
hg : Filter.Tendsto g l (𝓝 y)


Context:
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
f : M ≃ₗ[R] M

↑(LinearEquiv.det f)⁻¹ = LinearMap.det ↑f.symm


Context: f✝ f g : ℝ → ℝ

Context: hf : GrowsPolynomially f

Context: hg : GrowsPolynomially g

Context: this : (fun x => f x / g x) = fun x => f x * (g x)⁻¹


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} A

Context: A' : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'

Context: B : Type u₃

Context: inst✝³ : Category.{v₃, u₃} B

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: U : C

Context: R : Presieve U

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: P' : Cᵒᵖ ⥤ A'

Context: s : A' ⥤ Type (max v₁ u₁)

Context: inst✝² : HasLimits A'

Context: inst✝¹ : PreservesLimits s

Context: inst✝ : s.ReflectsIsomorphisms

Context: this✝ : HasLimitsOfSize.{v₁, max v₁ u₁, max u₁ v₁, u₂} A'

Context: this : PreservesLimitsOfSize.{v₁, max v₁ u₁, max u₁ v₁, max u₁ v₁, u₂, max (u₁ + 1) (v₁ + 1)} s


Context:
R : Type u
CommRing R
S : Type v
CommRing S
I : Ideal R
J : Ideal S
f : R ≃+* S
hIJ : J = Ideal.map (↑f) I
a : S ⧸ J

(I.quotientEquiv J f hIJ).symm a = (Ideal.quotientMap I ↑f.symm ⋯) a


Context:
R : Type u₁
L : Type u₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
A : Type u₃
Ring A
Algebra R A
f : L →ₗ⁅R⁆ A

⇑((UniversalEnvelopingAlgebra.lift R) f) ∘ ⇑(UniversalEnvelopingAlgebra.ι R) = ⇑f


Context:
α : Type u_2
s : Set α
Preorder α
InfSet α
Inhabited ↑s

sInf = fun t =>
  if ht : t.Nonempty ∧ BddBelow t ∧ sInf (Subtype.val '' t) ∈ s then ⟨sInf (Subtype.val '' t), ⋯⟩ else default


Context:
a : Bool
x : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜

Context: G H : SimpleGraph α

Context: ε δ : 𝕜

Context: n : ℕ

Context: s : Finset α

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝¹ : DecidableRel H.Adj

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: tris : Finset (Finset α)

Context: htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3

Context: pd : (↑tris).Pairwise fun x y => (↑x ∩ ↑y).Subsingleton

Context: hHG : H ≤ G

Context: hH : H.CliqueFree 3

Context: hG : (G.edgeFinset \ H.edgeFinset).card < tris.attach.card

Context: fx fy : ⦃t : Finset α⦄ → t ∈ tris → α

Context: hfx : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), fx ht ∈ t

Context: hfy : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), fy ht ∈ t

Context: hfne : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), fx ht ≠ fy ht

Context: fmem : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), s(fx ht, fy ht) ∈ G.edgeFinset \ H.edgeFinset

Context: f : { x // x ∈ tris } → Sym2 α := fun t => s(fx ⋯, fy ⋯)

Context: hf : ∀ x ∈ tris.attach, f x ∈ G.edgeFinset \ H.edgeFinset

Context: t₁ : Finset α

Context: ht₁ : t₁ ∈ tris

Context: t₂ : Finset α

Context: ht₂ : t₂ ∈ tris

Context: tne : ⟨t₁, ht₁⟩ ≠ ⟨t₂, ht₂⟩

Context: t : fx ⋯ = fx ⋯ ∧ fy ⋯ = fy ⋯ ∨ fx ⋯ = fy ⋯ ∧ fy ⋯ = fx ⋯

Context: i : (↑t₁ ∩ ↑t₂).Subsingleton


Context:
α : Type u_1
l : List α


Context:
α : Type u_5
LinearOrderedSemiring α
a b c : α
ha : 0 ≤ a
hb : b < 0
hc : 0 ≤ c


Context:
K : Type u
Field K
A B : ValuationSubring K

B.principalUnitGroup ≤ A.principalUnitGroup ↔ A ≤ B


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → ℝ

∫ (x : α), rexp (g x) ∂μ.tilted f = (∫ (x : α), rexp ((f + g) x) ∂μ) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ


Context: x y : ℂ

sin (x - y) = sin x * cos y - cos x * sin y


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)

↑((Opens.map (D.ι j).base).obj (⋯.functor.obj U)) = ↑((opensFunctor (D.f j i)).obj ((Opens.map (D.t j i).base).obj ((Opens.map (D.f i j).base).obj U)))


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝ : HasLimitsOfShape J C
i j : K
F : J ⥤ K ⥤ C
f : i ⟶ j

(limitObjIsoLimitCompEvaluation F i).inv ≫ (limit F).map f = limMap (whiskerLeft F ((evaluation K C).map f)) ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation F j).inv


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: f : α → β → E

Context: hf : StronglyMeasurable (uncurry f)

Context: hE : CompleteSpace E

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: this : SeparableSpace ↑(range (uncurry f) ∪ {0})

Context: s : ℕ → SimpleFunc (α × β) E := SimpleFunc.approxOn (uncurry f) ⋯ (range (uncurry f) ∪ {0}) 0 ⋯

Context: s' : ℕ → α → SimpleFunc β E := fun n x => (s n).comp (Prod.mk x) ⋯

Context: f' : ℕ → α → E := fun n => {x | Integrable (f x) ν}.indicator fun x => SimpleFunc.integral ν (s' n x)

StronglyMeasurable fun x => ∫ (y : β), f x y ∂ν


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
Aₙ : ℚ
nth_num_eq : (of v).nums n = ↑Aₙ


Context:
α : Type u_1
SemilatticeSup α
c : ClosureOperator α
x y : α


Context: f : StieltjesFunction

Context: s : Set ℝ

Context: t : ℕ → Set ℝ

Context: ht : s ⊆ ⋃ i, t i

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: h : ∑' (i : ℕ), f.length (t i) < ⊤

Context: ε' : ℕ → ℝ≥0

Context: ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i

Context: hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑ε

Context: g : ℕ → Set ℝ

Context: hg : ∀ (i : ℕ), t i ⊆ g i ∧ MeasurableSet (g i) ∧ f.outer (g i) ≤ f.length (t i) + ↑(ε' i)

f.outer (iUnion g) ≤ ∑' (a : ℕ), (f.length (t a) + ↑(ε' a))


Context:
A B : AddCommGrp
f : A ⟶ B
CategoryTheory.Epi f


Context: V : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} V

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V

Context: X₀ X₁ X₂ : V

Context: d₀ : X₁ ⟶ X₀

Context: d₁ : X₂ ⟶ X₁

Context: s : d₁ ≫ d₀ = 0

Context: succ : (S : CategoryTheory.ShortComplex V) → (X₃ : V) ×' (d₂ : X₃ ⟶ S.X₁) ×' d₂ ≫ S.f = 0

(ChainComplex.mk X₀ X₁ X₂ d₀ d₁ s succ).X 0 = X₀


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace X

Context: inst✝ : CompleteSpace X

Context: x : X

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: ϕ : X → ℝ

Context: cont : Continuous ϕ

Context: nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y

Context: H : ¬∃ ε' > 0, ∃ x', ε' ≤ ε ∧ d x' x ≤ 2 * ε ∧ ε * ϕ x ≤ ε' * ϕ x' ∧ ∀ (y : X), d x' y ≤ ε' → ϕ y ≤ 2 * ϕ x'


Context:
K : Type u
DivisionRing K
s t : Set K

Subfield.closure (s ∪ t) = Subfield.closure s ⊔ Subfield.closure t


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: Z X Y P : C

Context: f : Z ⟶ X

Context: g : Z ⟶ Y

Context: inl : X ⟶ P

Context: inr : Y ⟶ P

Context: h : CategoryTheory.IsPushout f g inl inr

Context: Z' X' Y' P' : C

Context: f' : Z' ⟶ X'

Context: g' : Z' ⟶ Y'

Context: inl' : X' ⟶ P'

Context: inr' : Y' ⟶ P'

Context: e₁ : Z ≅ Z'

Context: e₂ : X ≅ X'

Context: e₃ : Y ≅ Y'

Context: e₄ : P ≅ P'

Context: commf : f ≫ e₂.hom = e₁.hom ≫ f'

Context: commg : g ≫ e₃.hom = e₁.hom ≫ g'

Context: comminl : inl ≫ e₄.hom = e₂.hom ≫ inl'

Context: comminr : inr ≫ e₄.hom = e₃.hom ≫ inr'

CategoryTheory.IsPushout f' g' inl' inr'


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
n : ℕ∞

ContMDiffOn I I n (↑(chartAt H x).symm) (chartAt H x).target


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

(x ⊓ y ⊔ x \ y) ⊓ y \ x = x ⊓ y ⊓ y \ x ⊔ x \ y ⊓ y \ x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
e e' : PartialEquiv α β
h : e ≈ e'


Context:
α : Type u
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
A : Matrix m' n' α
row : Fin 0 → m'
col : o' → n'


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁹ : Module R✝ A✝
inst✝⁸ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁷ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : Semifield R
inst✝⁵ : Semifield S
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
a✝ : A
f✝ : S → R
inst✝ : IsScalarTower R S A
h✝ : SpectrumRestricts a✝ f✝
a b : A
f : S → R
ha : SpectrumRestricts a f
h : spectrum S a = spectrum S b

Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (quasispectrum S b)


Context:
α : Type u_1
LE α
s : UpperSet α


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C

∀ (n : ℕ), (Γ₀.splitting K[X]).φ { app := fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op, naturality := ⋯ } n = (Γ₀.splitting K[X]).φ (((N₁ ⋙ Γ₂).obj X).p ≫ { app := fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op, naturality := ⋯ } ≫ ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).p) n


Context:
H : Type u_5
NormedAddCommGroup H
InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H

(s ∪ t).innerDualCone = s.innerDualCone ⊓ t.innerDualCone


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Set α
a : α
hr : Symmetric r

(insert a s).Pairwise r ↔ s.Pairwise r ∧ ∀ b ∈ s, a ≠ b → r a b


Context: n✝ n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : GCDMonoid α

Context: a b c : α

Context: hab : IsUnit (gcd b a)

Context: k : ℕ

Context: h✝ : Nontrivial α

Context: ha : ¬a = 0

Context: hb : ¬b = 0

Context: hk : k > 0

Context: hc✝ : c ∣ a * b

Context: d₁ d₂ : α

Context: hd₁ : d₁ ∣ a

Context: hd₂ : d₂ ∣ b

Context: hc : c = d₂ * d₁

Context: h0₁ : d₁ ^ k ≠ 0

Context: a' : α

Context: ha' : a = d₁ ^ k * a'

Context: h0₂ : d₂ ^ k ≠ 0

Context: b' : α

Context: h : d₂ ^ k * b' * (d₁ ^ k * a') = d₂ ^ k * d₁ ^ k

Context: hb' : b = d₂ ^ k * b'

Context: h' : a' * b' = 1

d₁ ^ k * ↑(Units.mkOfMulEqOne a' b' h') = a


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β

TendstoUniformlyOn F f p s ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, dist (f x) (F n x) < ε


Context:
α : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
l : Filter α
f : α → Γ₀

Filter.Tendsto f l (𝓝 0) ↔ ∀ (γ₀ : Γ₀), γ₀ ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, f x < γ₀


Context:
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
TopologicalSpace Z
LocallyCompactSpace Y
f : C(X, C(Y, Z))

Continuous (Function.uncurry fun x y => (f x) y)


Context:
A : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : DivisibleBy A ℤ
m : ℤ
g : ↥(Submodule.span ℤ {m}) →ₗ[ℤ] A
h0 : m ≠ 0
gₘ : A := g ⟨m, ⋯⟩
n : ℤ
hn : n • m ∈ Submodule.span ℤ {m}

(LinearMap.toSpanSingleton ℤ A (DivisibleBy.div gₘ m)) (n • m) = g ⟨n • m, hn⟩


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m : ℤ


Context: R : Type u_1

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: CommRing R

Context: Field K

Context: Field L

Context: Algebra R K

Context: Algebra R L

Context: f : R[X]

Context: h : Polynomial.Splits (algebraMap R K) f

Context: e : K →ₐ[R] L


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace 𝕜 E

Context: Fu Gu : Type u

Context: NormedAddCommGroup Fu

Context: NormedSpace 𝕜 Fu

Context: NormedAddCommGroup Gu

Context: NormedSpace 𝕜 Gu

Context: g : Fu → Gu

Context: f : E → Fu

Context: n : ℕ

Context: s : Set E

Context: t : Set Fu

Context: x : E

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s

Context: ht : UniqueDiffOn 𝕜 t

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hst : Set.MapsTo f s t

Context: hx : x ∈ s

Context: C D : ℝ

Context: hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C

Context: hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i

‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n


Context: n : ℕ


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α


Context: x✝ x : ℝ

Context: h1 : 0 < x

Context: h2 : x < π / 2

Context: U : Set ℝ := Ico 0 (π / 2)

Context: intU : interior U = Ioo 0 (π / 2)

Context: half_pi_pos : 0 < π / 2

Context: cos_pos : ∀ {y : ℝ}, y ∈ U → 0 < cos y

Context: sin_pos : ∀ {y : ℝ}, y ∈ interior U → 0 < sin y

Context: tan_cts_U : ContinuousOn tan U

Context: tan_minus_id_cts : ContinuousOn (fun y => tan y - y) U

Context: deriv_pos : ∀ y ∈ interior U, 0 < deriv (fun y' => tan y' - y') y

Context: mono : StrictMonoOn (fun y => tan y - y) (Ico 0 (π / 2))

Context: zero_in_U : 0 ∈ U


Context:
α : Sort u_1
p : α → Prop
P Q : (x : α) → p x → Prop

(∀ (x : α) (h : p x), P x h ∧ Q x h) ↔ (∀ (x : α) (h : p x), P x h) ∧ ∀ (x : α) (h : p x), Q x h


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
AddCommMonoid M
Module R M
p : Submodule R M
a : A
m : M
hm : m ∈ p


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
f : X → 𝕜
hf : Integrable f μ

∫ (a : X), ↑(re (f a)) + I • ↑(im (f a)) ∂μ = ∫ (x : X), f x ∂μ


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: β : Sort u_1

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F G : C ⥤ D

Context: e : F ≅ G

Context: hobj : ∀ (X : C), F.obj X = G.obj X

Context: happ : ∀ (X : C), e.hom.app X = eqToHom ⋯

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

F.map f = eqToHom ⋯ ≫ G.map f ≫ eqToHom ⋯


Context:
p n : ℕ
hp : Prime p
h : p ∣ n
h1 : φ p * φ (p * n) = φ p * (φ n * p)


Context:
α : Type u_1
CoheytingAlgebra α
a : α

∂ (￢a) ≤ ∂ a


Context:
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
S : Set (L.Substructure M)
x : M


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁴ : PolishSpace γ

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : T2Space β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace β

Context: f : γ → β

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_inj : Injective f

Context: this : UpgradedPolishSpace γ := upgradePolishSpace γ


Context:
n : ℕ
hn : Even n
x : ℤ
hx : x ∈ nonneg ℤ
this : x = x.natAbs • 1 ^ n


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: N : Type w

Context: Ring R

Context: AddCommGroup M

Context: Module R M

Context: AddCommGroup N

Context: Module R N

Context: h : Cardinal.lift.{w, v} (Module.rank R M) ≤ Cardinal.lift.{v, w} (Module.rank R N)

Context: h' : Module.rank R N < ℵ₀

FiniteDimensional.finrank R M ≤ FiniteDimensional.finrank R N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop

(List.Forall₂ R ⇒ List.Forall₂ R ⇒ List.Forall₂ R) (fun x x_1 => x ++ x_1) fun x x_1 => x ++ x_1


Context:
a b : ℝ
n : ℕ

(∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ (n + 2)) * (↑n + 2) = sin a ^ (n + 1) * cos a - sin b ^ (n + 1) * cos b + (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ n


Context:
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
n : ℕ
a : α


Context:
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e₁ : α ↪ β
e₂ : γ ↪ δ


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
S : D
Y' : C
T : CategoryTheory.Functor C D
f : CategoryTheory.StructuredArrow S T
g : f.right ⟶ Y'

(f.homMk' g).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id f.left


Context:
α : Type u_1
PartialOrder α
PredOrder α
a : α

¬Order.IsPredLimit a ↔ ∃ b, ¬IsMin b ∧ Order.pred b = a


Context:
X : AlgebraicGeometry.Scheme
self : AlgebraicGeometry.IsAffine X


Context:
p : ℕ
Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

(κ.singularPart η) a = 0 ↔ ((κ.singularPart η) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0


Context:
b n : ℕ
hb : 1 < b
hn : 2 ≤ n


Context:
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
f : Equiv.Perm α
x : α


Context:
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
r : ℝ

↑hA.eigenvectorUnitary * ((diagonal fun x => ↑r) * star ↑hA.eigenvectorUnitary) = ↑hA.eigenvectorUnitary * ((algebraMap ℝ (Matrix n n 𝕜)) r * star ↑hA.eigenvectorUnitary)


Context:
α : Type u_1
CommMonoid α
a b c d : Associates α
h₁ : a ≤ b
h₂ : c ≤ d


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
p : γ → Prop
a : α
l₁ : List α
b : β
l₂ : List β
h : (a :: l₁).length = (b :: l₂).length

Forall p (zipWith f (a :: l₁) (b :: l₂)) ↔ Forall₂ (fun x y => p (f x y)) (a :: l₁) (b :: l₂)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
Field R
AddCommGroup V
TopologicalSpace R
TopologicalSpace V
TopologicalRing R
Module R V
SeparatingDual R V
x : V
hx : x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
m n : ℕ
f : Vector3 α 0 → Prop
x✝ : Exists f
v : Vector3 α 0
fv : f v


Context: x y : ℝ


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
s : Set (Sym2 V)

G.deleteEdges s = G ↔ Disjoint G.edgeSet s


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: R S T U : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: L : Bimod T U

TensorBimod.actLeft (P.tensorBimod Q) L ≫ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ = R.X ◁ coequalizer.desc ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L) ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ⋯ ≫ TensorBimod.actLeft P (Q.tensorBimod L)


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

(o.oangle (x + y) y).sign = (o.oangle x y).sign


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h2 : p2 ≠ p1
h3 : p3 ≠ p1

EuclideanGeometry.angle p1 p2 p3 + EuclideanGeometry.angle p2 p3 p1 + EuclideanGeometry.angle p3 p1 p2 = π


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
ι'' : Type u_6
E' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E'
E'' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E''
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
i : ι

(hv.equiv hv (Equiv.refl ι)) (v i) = (LinearIsometryEquiv.refl 𝕜 E) (v i)


Context:
α : Type u_2
MulZeroClass α
g : Filter α
hg : g.NeBot


Context:
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
AddCommGroup V
AffineSpace V P
CommRing k
Module k V
DecidableEq ι
Fintype ι
b b₂ : AffineBasis ι k P
x : P

b.coords x ᵥ* (b.toMatrix ⇑b₂)⁻¹ = b₂.coords x


Context:
R : Type u_1
Monoid R
S : Submonoid R
OreLocalization.OreSet S


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C
g : Z ⟶ X

CategoryTheory.Presieve.pullbackArrows f (CategoryTheory.Presieve.singleton g) =
  CategoryTheory.Presieve.singleton (CategoryTheory.Limits.pullback.snd g f)


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : CategoryTheory.Functor C D
hZ : CategoryTheory.Limits.IsTerminal Z
X Y : CategoryTheory.WithTerminal C
f : X ⟶ Y

(CategoryTheory.WithTerminal.liftToTerminal F hZ).map f =
  match X, Y, f with
  | CategoryTheory.WithTerminal.of x, CategoryTheory.WithTerminal.of y, f => F.map (CategoryTheory.WithTerminal.down f)
  | CategoryTheory.WithTerminal.of x, CategoryTheory.WithTerminal.star, x_1 => hZ.from (F.obj x)
  | CategoryTheory.WithTerminal.star, CategoryTheory.WithTerminal.star, x => CategoryTheory.CategoryStruct.id Z


Context:
α : Type u₁
β : Type u₂
R : α → β → Prop
h : Relator.LeftTotal R

((R ⇒ fun x x_1 => x → x_1) ⇒ fun x x_1 => x → x_1) (fun p => ∃ i, p i) fun q => ∃ i, q i


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.IsFiltered C
J : Type w
CategoryTheory.SmallCategory J
CategoryTheory.FinCategory J
F : CategoryTheory.Functor J C


Context:
m n a✝ b✝ c d : ℕ
co : n.Coprime m
a b z : ℕ
hzan : z ≡ a [MOD n]
hzbm : z ≡ b [MOD m]

z ≡ ↑(chineseRemainder co a b) [MOD n * m]


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
i : ι


Context:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
CompleteSpace 𝕜
r : ℝ
rpos : 0 < r
c : E
h : IsCompact (Metric.closedBall c r)


Context:
R : Type u
CommRing R
X Y Z : AlgebraCat R

(CategoryTheory.forget₂ (AlgebraCat R) (ModuleCat R)).map (α_ X Y Z).inv =
  (α_ ((CategoryTheory.forget₂ (AlgebraCat R) (ModuleCat R)).obj X)
      ((CategoryTheory.forget₂ (AlgebraCat R) (ModuleCat R)).obj Y)
      ((CategoryTheory.forget₂ (AlgebraCat R) (ModuleCat R)).obj Z)).inv


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_3

Context: MeasurableSpace α

Context: NormedAddCommGroup E

Context: f : α → E

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: l l' : Filter α

Context: hl : MeasureTheory.IntegrableAtFilter f l μ

MeasureTheory.IntegrableAtFilter f (l ⊓ l') μ


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
f' : G' →g G''
u✝ v✝ u' v' : V
p✝ : G.Walk u✝ v✝
u v : V
p : G.Walk u v
H : SimpleGraph V
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∈ H.edgeSet


Context:
F : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
Monoid M₁
Monoid M₂
FunLike F M₁ M₂
MonoidHomClass F M₁ M₂
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f


Context:
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite R M
f : End R M
h : ∀ (m : M), ∃ n, (f ^ n) m = 0
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤


Context:
n m l : ℕ
hnm : n ≤ m
hml : m ≤ l

range' m (l - m) = range' (n + 1 * (m - n)) (l - m)


∀ {X Y : CondensedSet} (f : X ⟶ Y), condensedSetToTopCat.map f = CondensedSet.toTopCatMap f


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
L : Type v
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
K : LieSubalgebra R L
x : ↥K
n : ℕ
hn : (LieAlgebra.ad R L) ↑x ^ n = 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
M' : Type u_9
AddCommMonoid M'
Module R M'
B' : LinearMap.BilinForm R M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M' →ₗ[R] M
M'' : Type u_11
AddCommMonoid M''
Module R M''
B'' : LinearMap.BilinForm R M''
f' : M' →ₗ[R] M''
g' : M'' →ₗ[R] M'
h : B.IsAdjointPair B' f g
h' : B'.IsAdjointPair B'' f' g'


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
SmoothManifoldWithCorners I M
i j : ↑(atlas H M)
x : M

(tangentBundleCore I M).coordChange i j x =
  fderivWithin 𝕜 (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (Set.range ↑I) (↑((↑i).extend I) x)


Context:
R : Type u_1
NonAssocRing R
Pow R ℕ
BinomialRing R
NatPowAssoc R
n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f s


Context:
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}
U' : Opens G
this : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }

∀ (i : { i // ↑i ⊆ ↑U' ∩ U }), ↑(μ.toFun ↑i) + μ.outerMeasure (↑U' \ U) ≤ μ.outerMeasure ↑U'


Context:
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedGroup E
inst✝ : SeminormedGroup F
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b c : E


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData

homologyMap' e.inv h₂ h₁ ≫ homologyMap' e.hom h₁ h₂ = 𝟙 h₂.left.H


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : ContinuousOn f s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
this : ↑m = 0

∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn 0 f p u


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : DecidableEq L

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝² : Algebra R L

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ

Context: I' : Ideal R

Context: hI : ↑I = ↑I'

(∃ x y, x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ Ideal.span {x} * I' = Ideal.span {y} * ⊤) ↔ ∃ x, x ≠ 0 ∧ I' = Ideal.span {x}


Context:
α : Type u_1
a b : α
s : Multiset α


Context:
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : MulZeroClass M₀
s : Set M₀


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z X' : C
f : X ⟶ X'

(f ⊗ 𝟙 (Y ⊗ Z)) ≫ (α_ X' Y Z).inv = (α_ X Y Z).inv ≫ ((f ⊗ 𝟙 Y) ⊗ 𝟙 Z)


Context:
α : Type u_1
AddCommMonoid α
n : ℕ
f : Fin n → α
i : ℕ

(List.take i (List.ofFn f)).sum = ∑ j ∈ Finset.filter (fun j => ↑j < i) Finset.univ, f j


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : E
i : ℕ
f g : E → F
hf : ContDiff 𝕜 (↑i) f
hg : ContDiff 𝕜 (↑i) g

iteratedFDeriv 𝕜 i (f + g) x = iteratedFDeriv 𝕜 i f x + iteratedFDeriv 𝕜 i g x


Context:
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
inst✝⁶ : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive D
z z' : Cochain K L n
f : K ⟶ L
Φ✝ : C ⥤ D
inst✝¹ : Φ✝.Additive
n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
Φ : C ⥤ D
inst✝ : Φ.Additive
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q

Φ.map ((z₁.comp z₂ h).v p q hpq) = ((z₁.map Φ).comp (z₂.map Φ) h).v p q hpq


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ fa : α → α
fb : β → β
x✝ y : α
m n : ℕ
r : α → α → Prop
f : α → α
x : α
hx : x ∈ periodicPts f

(∀ n < minimalPeriod f x, r (f^[n] x) (f^[n + 1] x)) ↔ ∀ (n : ℕ), r (f^[n] x) (f^[n + 1] x)


Context:
ι : Type v
Preorder ι
G : ι → Type w
(i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
Nonempty ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Ring.DirectLimit.map (fun i => RingHom.id (G i)) ⋯ = RingHom.id (Ring.DirectLimit G fun x x_1 h => ⇑(f x x_1 h))


Context: n : Nat


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: hc : 0 ≤ c

Context: hfg : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖

Context: hgk : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖g x‖ ≤ c' * ‖k x‖

Context: x : α

Context: hx : ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖

Context: hx' : ‖g x‖ ≤ c' * ‖k x‖


Context: a b : Bool


Context:
α : Type u_1
LinearOrder α
f g : α → α
h : Function.Commute f g
hf : StrictMono f
hg : Monotone g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedCommGroup α
LinearOrderedCommGroup β
s : Set ι
f : ι → α
g₁ g₂ : ι → β
h₁ : MonovaryOn f g₁ s
h₂ : MonovaryOn f g₂ s


Context: m0 n0 : ℤ

Context: hm : (m0 * 2 + 1) % 2 = 1

Context: hn : (n0 * 2 + 1) % 2 = 1

Context: h : (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1) = 1

Context: h1 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1)

Context: h2 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0))

Context: h3 : ((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2 % 2 = 0

Context: h20 : 2 ≠ 0

Context: h4 : ¬(2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)).gcd (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1) = 1

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hp1 : p ∣ (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)).natAbs

Context: hp2 : p ∣ (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1).natAbs


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
h : 𝓝[s \ {x}] x = ⊥


Context:
m n k : Nat
h : m < n * k


Context:
α : Type u
Inv α
a : α

↑a⁻¹ = (↑a)⁻¹


Context:
K : Type u_1
Field K
f : K[X]
a : K

f /ₘ (Polynomial.X - Polynomial.C a) +
    (Polynomial.X - Polynomial.C a) * Polynomial.derivative (f /ₘ (Polynomial.X - Polynomial.C a)) =
  Polynomial.derivative f


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : StarMul A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : StarModule R A
r : R
hr : IsSelfAdjoint r


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: this : IsLocallyFiniteMeasure (μ.restrict s)

∀ (a : α), Tendsto (fun a => (μ.restrict s) a / μ a) (v.filterAt a) (𝓝 ((μ.restrict s).rnDeriv μ a)) → (μ.restrict s).rnDeriv μ a = s.indicator 1 a → Tendsto (fun a => μ (s ∩ a) / μ a) (v.filterAt a) (𝓝 (s.indicator 1 a))


Context:
α : Type u_1
Lattice α
BoundedOrder α
x y : α
h : IsCompl x y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hκ : IsSFiniteKernel κ

(Kernel.sum fun n => Kernel.sum fun m => κ.seq n ⊗ₖ η.seq m) = Kernel.sum fun n => κ ⊗ₖ η.seq n


Context: G : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: Group G

Context: MulAction G α

Context: x : MulAction.orbitRel.Quotient G α

Context: φ : MulAction.orbitRel.Quotient G α → α

Context: hφ : Function.RightInverse φ Quotient.mk'


Context: B : Type u

Context: CategoryTheory.Bicategory B

Context: a b c : B

Context: f : a ⟶ b

Context: g : a ⟶ c

Context: t : CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension f g

t.whiskerOfCompIdIsoSelf.inv.right = (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor t.extension).inv


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
c : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞

∫⁻ (a : α), f a ∂c • μ = c * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
h : s.Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: F : Type u_5

Context: RCLike 𝕜

Context: NormedAddCommGroup F

Context: CompleteSpace F

Context: u : α → ℝ

Context: NormedSpace 𝕜 F

Context: g g' : α → 𝕜 → F

Context: hu : Summable u

Context: hg : ∀ (n : α) (y : 𝕜), HasDerivAt (g n) (g' n y) y

Context: hg' : ∀ (n : α) (y : 𝕜), ‖g' n y‖ ≤ u n

Differentiable 𝕜 fun z => ∑' (n : α), g n z


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: h : b ≤ a


Context:
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
l : List (Sigma β)
a : α
b : β a


Context:
C : Type u
X Y X✝ Y✝ Z✝ : F C

∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ (α_ X✝ Y✝ Z✝).inv ≫ (normalizeIsoApp' C ((X✝ ⊗ Y✝) ⊗ Z✝) n).hom = (normalizeIsoApp' C (X✝ ⊗ Y✝ ⊗ Z✝) n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)


Context:
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R

⇑MvPolynomial.constantCoeff = MvPolynomial.coeff 0


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
a : E
n : ℕ∞
h : ContDiffWithinAt ℝ n f s a

ContDiffWithinAt ℝ n (fun x => Real.arsinh (f x)) s a


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
xs : List α
h : ∃ x, x ∈ xs ∧ p x = true


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedRing α
inst✝ : NormOneClass α
l : List α

(map norm l).prod = (fun a => ↑a) (map nnnorm l).prod


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
Lattice α
Lattice β
f : LatticeHom α β


Context: a : ℤ


Context:
ε : Type u_1
p : ε → Prop
DecidablePred p
ep : Equiv.Perm { a // p a }
en : Equiv.Perm { a // ¬p a }

Equiv.symm (ep.subtypeCongr en) = Equiv.Perm.subtypeCongr (Equiv.symm ep) (Equiv.symm en)


Context: G : Type u_1

Context: Group G

Context: p : ℕ

Context: P : Sylow p G

Context: hP : (↑P).normalizer ≤ Subgroup.centralizer ↑P

Context: Fact (Nat.Prime p)

Context: Finite (Sylow p G)

Context: (↑P).FiniteIndex

Context: Q : Subgroup G

Context: hQ : IsPGroup p ↥Q

Disjoint (MonoidHom.transferSylow P hP).ker Q


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Ring R
AddCommGroup V
Module R V
TopologicalSpace P
AddTorsor V P
AddCommGroup W
Module R W
TopologicalSpace W
TopologicalAddGroup W
f g : P →ᴬ[R] W


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: r : α → β → Prop

Context: f : α →ₛ β

Context: h : ∀ (b : β), MeasurableSet {a | r a b}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: p : TauPackage β α

Context: N : ℕ

Context: hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)

Context: i : Ordinal.{u}

Context: IH : ∀ k < i, k < p.lastStep → p.color k < N

Context: hi : i < p.lastStep

Context: A : Set ℕ := ⋃ j, ⋃ (_ : (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty), {p.color ↑j}

Context: color_i : p.color i = sInf (univ \ A)

Context: N_mem : N ∈ univ \ A

Context: Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N

Context: this : ∀ k < N, ∃ j < i, (closedBall (p.c (p.index j)) (p.r (p.index j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧ k = p.color j


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace R F

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: ι : Type u_5

Context: Z : VectorBundleCore R B F ι

Context: b✝ : B

Context: a : F

Context: i j : ι

Context: b : B

Context: hb : b ∈ Z.baseSet i

Context: v : F

(Z.localTriv i).symm b v = (Z.coordChange i (Z.indexAt b) b) v


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
Fintype ι
Fintype ι'
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
b : Basis ι ℝ E
e : ι ≃ ι'


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
s : Set (Sym2 V)
v w : V

(fromEdgeSet Set.univ).Adj v w ↔ ⊤.Adj v w


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : StrictConvexSpace 𝕜 E
x : E
r : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
TopologicalSpace β

∀ {x : MeasurableSpace α} {x_1 : MeasurableSpace γ} {f : α → β} {g : γ → α},
  MeasureTheory.StronglyMeasurable f → Measurable g → MeasureTheory.StronglyMeasurable (f ∘ g)


Context:
X Y : Compactum
f : X ⟶ Y

∀ (x : X.A) (g : Ultrafilter X.A), ↑g ≤ 𝓝 x → Tendsto f.f (↑g) (𝓝 (f.f x))


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C

Context: CategoryTheory.HasShift C ℤ

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : CategoryTheory.Pretriangulated C

Context: T₁ T₂ : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: comm : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

(CategoryTheory.Pretriangulated.completeDistinguishedTriangleMorphism T₁ T₂ hT₁ hT₂ a b comm).hom₂ = b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
h₁ : a₁ < a₂
h₂ : b₁ ≤ b₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f g : α → β
h : f =ᶠ[l] g

EventuallyConst f l ↔ EventuallyConst g l


Context:
α : Type u_1
NormedDivisionRing α
a b : α

‖a * b‖₊ = ‖a‖₊ * ‖b‖₊


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f : Perm α
x : α

f.cycleOf x ∈ f.cycleFactorsFinset ↔ x ∈ f.support


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝¹ l✝ : List α

Context: x : α

Context: l : List α

Context: y : α

Context: hp : l.reverse = l → l.Palindrome

Context: hr : (x :: (l ++ [y])).reverse = x :: (l ++ [y])


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X : CategoryTheory.Center C


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f

∃ a, ∀ (b : ℕ), a ≤ b → seminormFromConst_seq c f 1 b = 1


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: CommSemiring R

Context: StarRing R

Context: MetricSpace R

Context: TopologicalSemiring R

Context: ContinuousStar R

Context: Ring A

Context: StarRing A

Context: TopologicalSpace A

Context: Algebra R A

Context: self : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A

Context: s : Set R

Context: CompactSpace ↑s

Context: φ ψ : C(↑s, R) →⋆ₐ[R] A

Context: hφ : Continuous ⇑φ

Context: hψ : Continuous ⇑ψ

Context: h : φ (ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id R)) = ψ (ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id R))


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
t : Cofork f g


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : DecidableEq p

Context: inst✝ : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: M✝ : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜

Context: IH : ∀ (M : Matrix (Fin r) (Fin r) 𝕜), ∃ L₀ L₀' D₀, (List.map toMatrix L₀).prod * M * (List.map toMatrix L₀').prod = diagonal D₀

Context: M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜

Context: L₁ L₁' : List (TransvectionStruct (Fin r ⊕ Unit) 𝕜)

Context: hM : ((List.map toMatrix L₁).prod * M * (List.map toMatrix L₁').prod).IsTwoBlockDiagonal

Context: M' : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜 := (List.map toMatrix L₁).prod * M * (List.map toMatrix L₁').prod

Context: M'' : Matrix (Fin r) (Fin r) 𝕜 := M'.toBlocks₁₁

Context: L₀ L₀' : List (TransvectionStruct (Fin r) 𝕜)

Context: D₀ : Fin r → 𝕜

Context: h₀ : (List.map toMatrix L₀).prod * M'' * (List.map toMatrix L₀').prod = diagonal D₀

Context: c : 𝕜 := M' (inr ()) (inr ())

Context: this : M' = fromBlocks M'' 0 0 (diagonal fun x => c)

(List.map (toMatrix ∘ sumInl Unit) L₀).prod * M' * (List.map (toMatrix ∘ sumInl Unit) L₀').prod = diagonal (Sum.elim D₀ fun x => c)


Context: P : TopCat → Prop

Context: α : Type w

Context: Finite α

Context: X : α → CompHausLike P

Context: CompHausLike.HasExplicitFiniteCoproduct X

Context: a : α

OpenEmbedding ⇑(CompHausLike.finiteCoproduct.ι X a)


Context:
R : Type u_1
Semiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M
N : Type u_3
AddCommMonoid N
Module R N
ι : Type u_7
v : ι → M


Context:
α : Type u
s : Set α
DecidablePred fun x => x ∈ s
a : α
H : a ∉ s
b : ↑s

(Equiv.Set.insert H).symm (Sum.inl b) = ⟨↑b, ⋯⟩


Context:
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n i : ℕ
toFinsupp✝ : R[ℕ]

(erase n { toFinsupp := toFinsupp✝ }).coeff i = if i = n then 0 else { toFinsupp := toFinsupp✝ }.coeff i


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³¹ : CommRing A

Context: inst✝³⁰ : CommRing B

Context: inst✝²⁹ : Algebra A B

Context: inst✝²⁸ : Field K

Context: inst✝²⁷ : Field L

Context: inst✝²⁶ : Algebra A K

Context: inst✝²⁵ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²⁴ : Algebra B L

Context: inst✝²³ : Algebra K L

Context: inst✝²² : Algebra A L

Context: inst✝²¹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.542637

Context: Bₘ : Type ?u.542640

Context: inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ

Context: inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)

Context: x : B

Context: this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

Context: this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)

(algebraMap A (FractionRing A)) ((intNorm A B) x) = (norm (FractionRing A)) ((algebraMap B (FractionRing B)) x)


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
G'' : G'.coe.Subgraph

(SimpleGraph.Subgraph.coeSubgraph G'').verts = Subtype.val '' G''.verts


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedCommGroup α
TopologicalSpace α
TopologicalGroup α
OrderClosedTopology α
f g : ι → α
a₁ a₂ : α
hf : HasProd f a₁
hg : HasProd g a₂
h : f < g


Context:
α : Sort u
r : α → α → Prop
wf : WellFounded r
a : α


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hp : p.Monic
r : R
ha : (X + C r).natDegree = 0


Context:
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P


Context:
k G : Type u
CommRing k
Group G
A : Rep k G
f : ↥(groupCohomology.twoCocycles A)
g : G


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : E → F

Context: hf_temperate : Function.HasTemperateGrowth f

Context: n : ℕ

∃ k C, 0 ≤ C ∧ ∀ N ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ N f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
AddCommGroup α
UniformSpace α
UniformAddGroup α
f : β → α
CompleteSpace α
i : γ → β
hf : Summable f
hi : Function.Injective i


Context:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
NonUnitalNonAssocSemiring B
Module R B
IsScalarTower R B B
SMulCommClass R B B
f : A →ₙₐ[R] B


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
a : α

∀ᵐ (t : β) ∂ν a, ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r => f (a, t) ↑r)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N₁ N₂ : Bimod Y Z

Context: f : N₁ ⟶ N₂

((α_ M.X Y.X N₁.X).hom ≫ M.X ◁ N₁.actLeft) ≫ M.X ◁ f.hom = (M.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom ≫ (α_ M.X Y.X N₂.X).hom ≫ M.X ◁ N₂.actLeft


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
N : Type u_2
AddGroup N
TopologicalSpace N
H : OpenAddSubgroup N
f : G →+ N
hf : Continuous ⇑f
x : G

x ∈ OpenAddSubgroup.comap f hf H ↔ f x ∈ H


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: r : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s✝ : σ →₀ ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → MvPolynomial σ R

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s

Context: hind : (s.sum f).totalDegree ≤ s.sup fun i => (f i).totalDegree

((Finset.cons a s has).sum f).totalDegree ≤ (Finset.cons a s has).sup fun i => (f i).totalDegree


Context:
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
self : T.CompleteType α


Context:
b✝ : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
b : ℝ
hb : 0 < b

↑((π / b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2)) = (↑π / ↑b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2)


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X : C

(α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv ▷ 𝟙_ C ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom =
  X ◁ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g : α → ℝ

Context: hint : Integrable g μ

Context: ℱ : ι → MeasurableSpace α

Context: hℱ : ∀ (i : ι), ℱ i ≤ m0

Context: A : MeasurableSpace α := m0

Context: hmeas : ∀ (n : ι) (C : ℝ≥0), MeasurableSet {x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ n]) x‖₊}

Context: hg : Memℒp g 1 μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hne : ¬eLpNorm g 1 μ = 0

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator g) 1 μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Context: C : ℝ≥0 := ⟨δ, ⋯⟩⁻¹ * (eLpNorm g 1 μ).toNNReal

Context: hC : C = ⟨δ, ⋯⟩⁻¹ * (eLpNorm g 1 μ).toNNReal

Context: hCpos : 0 < C

Context: this : ∀ (n : ι), μ {x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ n]) x‖₊} ≤ ENNReal.ofReal δ

Context: n : ι

Context: hmeasℱ : MeasurableSet {x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ n]) x‖₊}

eLpNorm (μ[{x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ n]) x‖₊}.indicator g|ℱ n]) 1 μ ≤ eLpNorm ({x | C ≤ ‖(μ[g|ℱ n]) x‖₊}.indicator g) 1 μ


Context:
R : Type u
inst✝ : AddGroupWithOne R


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
L : E →L[𝕜] F
φ : X → E
φ_int : Integrable φ μ

∀ ⦃f g : X → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Integrable f μ → Integrable g μ → (fun φ => ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)) f → (fun φ => ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)) g → (fun φ => ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)) (f + g)


Context: ι : Type u_1

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: rι : ι → ι → Prop

Context: rπ : (i : ι) → π i → π i → Prop

Context: f : γ → ι

Context: g : (i : ι) → γ → π i

Context: s : Set γ

Context: hι : s.WellFoundedOn (rι on f)

Context: hπ : ∀ (i : ι), (s ∩ f ⁻¹' {i}).WellFoundedOn (rπ i on g i)

s.WellFoundedOn (Sigma.Lex rι rπ on fun c => ⟨f c, g (f c) c⟩)


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
x : G


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f✝ g : Perm α

Context: x✝ y : α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f : Perm α

Context: hf : f.IsCycle

Context: x : α

Context: hx : f x ≠ x ∧ ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle x y

Perm.sign f = Perm.sign (swap x (f x) * (swap x (f x) * f))


Context:
ι : Type u_1
η : ι → Type u_4
N : Type u_5
R : Type u_6
Monoid R
AddMonoid N
DistribMulAction R N
r : R
f : (i : ι) × η i →₀ N

sigmaFinsuppEquivDFinsupp (r • f) = r • sigmaFinsuppEquivDFinsupp f


Context:
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁷ : Ring K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V'
inst✝ : Nontrivial K


Context: α : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: G' : Type u_7

Context: G'' : Type u_8

Context: NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: NormedSpace ℝ G''

Context: CompleteSpace G''

Context: NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: NormedSpace ℝ G'

Context: T : Set α → G' →L[ℝ] G''

Context: C : ℝ

Context: hT : MeasureTheory.DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x

Context: f g : α → G'

Context: hf : MeasureTheory.Integrable f μ

Context: hg : MeasureTheory.Integrable g μ

Context: hfg : f ≤ᵐ[μ] g

MeasureTheory.setToFun μ T hT f ≤ MeasureTheory.setToFun μ T hT g


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P : Karoubi (Karoubi C)


Context:
α : Type u_1
NonAssocSemiring α
n : ℕ
n.AtLeastTwo
x : α


Context:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
F G : Ultrafilter α
x : α
hF : map g ↑F ≤ 𝓝 (g x)
hG : map g ↑G ≤ 𝓝 (g x)

Ultrafilter.extend g F = Ultrafilter.extend g G


Context:
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
p : α → Prop
x y : Subtype p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
x : ℕ × α
n : ℕ
l : List α
h : x ∈ enumFrom n l


Context:
F : Type u_1
Field F
x y : F
hxy : x ≠ y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β