Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝ : ChartedSpace H' M'

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f : H → H'

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I

Context: hx : x ∈ e.source

Context: h : DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) ((↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑e x)))

Context: this✝¹ : ↑I x = (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑e x))

Context: this✝ : ↑I (↑e x) ∈ ↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ range ↑I

Context: this : ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))

↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ range ↑I ∩ ↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm ⁻¹' (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) ∈ 𝓝[↑I.symm ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s) ∩ range ↑I] ↑I (↑e x)


Context:
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
x : R
hx : x ∈ I

I.cotangentEquivIdeal.symm ⟨(Submodule.mkQ (I ^ 2)) x, ⋯⟩ = I.toCotangent ⟨x, hx⟩


Context:
α : Type u_2
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
Distrib α
A : Matrix l m α
B₁ B₂ : Matrix n p α

Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A (B₁ + B₂) =
  Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B₁ + Matrix.kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B₂


Context:
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
c : PushoutCocone f g
hc : IsColimit c
h₁ : Function.Injective f
x₁ : X₁
x₂ : X₂
this : Mono f

(Pushout.cocone f g).inl x₁ = (Pushout.cocone f g).inr x₂ ↔ ∃ s, f s = x₁ ∧ g s = x₂


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: P Q : Fin 3 → F

Context: hPz : P z = 0

Context: hQz : Q z = 0

Context: hPx : IsUnit (P x)

Context: hPy : IsUnit (P y)

Context: hQx : IsUnit (Q x)

Context: hQy : IsUnit (Q y)

Context: hP : P y ^ 2 = P x ^ 3 ∧ (3 * P x ^ 2 ≠ 0 ∨ 2 * P y ≠ 0 ∨ W.a₁ * P x * P y ≠ 0)

Context: hQ : Q y ^ 2 = Q x ^ 3 ∧ (3 * Q x ^ 2 ≠ 0 ∨ 2 * Q y ≠ 0 ∨ W.a₁ * Q x * Q y ≠ 0)

(fun m => m • Q) (hPy.unit / hPx.unit * (hQx.unit / hQy.unit)) = P


Context: J : Type w

Context: K : Type u_1

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: f : J → C

Context: inst✝¹ : HasBiproduct f

Context: p : J → Prop

Context: inst✝ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)

Context: j j✝ : Subtype p

(if h : ↑j = ↑j✝ then eqToHom ⋯ else 0) = if h : j = j✝ then eqToHom ⋯ else 0


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b c x : α
u₁ u₂ : αˣ


Context:
L : Type u_1
CompleteLattice L
u : L

(Locale.openOfElementHom L) u = {x | x u}


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C

CategoryTheory.Square.arrowArrowEquivalence.unitIso =
  CategoryTheory.Iso.refl (CategoryTheory.Functor.id (CategoryTheory.Square C))


Context:
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
i : ℕ
h : i < (List.ofFn f).length


Context:
α : Sort u_4
β : α → Sort u_3

Nonempty (PSigma β) ↔ ∃ a, Nonempty (β a)


Context:
R : Type u_1
MonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R

f.IsMultiplicative ↔ f 1 = 1 ∧ ∀ {m n : ℕ}, m ≠ 0 → n ≠ 0 → m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: i : α → β

Context: di✝ : DenseInducing i

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : γ → α

Context: g : γ → δ

Context: h : δ → β

Context: d : δ

Context: a : α

Context: di : DenseInducing i

Context: H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))

Context: comm : h ∘ g = i ∘ f

Context: lim1 : map f (comap g (𝓝 d)) ≤ comap i (map h (𝓝 d))

Context: lim2 : comap i (map h (𝓝 d)) ≤ comap i (𝓝 (i a))


Context:
x y : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ

denom (x * y) z = (↑(↑↑x 1 0) * (num y z / denom y z) + ↑(↑↑x 1 1)) * denom y z


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
t : A
n : ℕ
hnp1 : IsUnit ↑(n + 1)!

∑ x ∈ range (n + 1), (PowerSeries.coeff A x) (PowerSeries.mk fun n => (aeval t) ((1 / ↑n !) • bernoulli n)) * (PowerSeries.coeff A (n + 1 - x)) (exp A - 1) = t ^ n * (algebraMap ℚ A) (1 / ↑n !)


Context:
X : Type u_1
EMetricSpace X
ι : Type u_2
I : Set ι
hI : I.Finite
s : Set X
t : ι → Set X

IsMetricSeparated s (⋃ i ∈ I, t i) ↔ ∀ i ∈ I, IsMetricSeparated s (t i)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
j : ι
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ (i : ι), i ≠ j → w₁ i = w₂ i

∑ i ∈ s, w₁ i • (p i -ᵥ p j) = ∑ i ∈ s, w₂ i • (p i -ᵥ p j)


Context:
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
ca : Computation α
b : β

Computation.LiftRel R ca (Computation.pure b) ↔ ∃ a, a ∈ ca ∧ R a b


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
h : Symmetric r


Context: ι : Type u_1

Context: I J : BoxIntegral.Box ι

Context: π : BoxIntegral.Prepartition I

Context: πi : (J : BoxIntegral.Box ι) → BoxIntegral.Prepartition J

Context: hJ : J ∈ π.biUnion πi


Context:
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
C : ℝ≥0
s : Set ℝ
hf : LipschitzOnWith C f s


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜


Context:
V✝ : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V✝
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
V : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0

∃ x, ‖x‖ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm_not : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)

¬(SigmaFinite (μ.trim hm) ∧ Integrable f μ)


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s✝ : Rel β β
s : RelSeries r
x : α
irrefl : Irreflexive r


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
f : X → Y
g : Z → W
hf : _root_.Embedding f
hg : _root_.Embedding g
x✝¹ x✝ : X × Z
x₁ : X
z₁ : Z
x₂ : X
z₂ : Z

Prod.map f g (x₁, z₁) = Prod.map f g (x₂, z₂) → (x₁, z₁) = (x₂, z₂)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: s✝ : Set α

Context: x✝ y z : α

Context: s : ℕ → Set α

Context: h0 : IsComplete (s 0)

Context: hs : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n)

Context: h's : ∀ (n : ℕ), IsBounded (s n)

Context: h : ∀ (N : ℕ), (⋂ n, ⋂ (_ : n ≤ N), s n).Nonempty

Context: h' : Tendsto (fun n => diam (s n)) atTop (𝓝 0)

Context: u : ℕ → α := fun N => ⋯.some

Context: I : ∀ (n N : ℕ), n ≤ N → u N ∈ s n

Context: this : CauchySeq u

Context: x : α

Context: xlim : Tendsto (fun n => u n) atTop (𝓝 x)

Context: n p : ℕ

Context: hp : p ∈ Ici n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
TopologicalSpace β
𝕜 : Type u_5
TopologicalSpace 𝕜
VAdd 𝕜 β
ContinuousVAdd 𝕜 β
f : α → 𝕜
hf : MeasureTheory.StronglyMeasurable f
c : β

MeasureTheory.StronglyMeasurable fun x => f x +ᵥ c


Context:
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : X → E
μ : MeasureTheory.Measure X
PartialOrder X
x : X
MeasureTheory.NoAtoms μ

∫ (t : X) in Set.Iic x, f t ∂μ = ∫ (t : X) in Set.Iio x, f t ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
L : CompleteSublattice α
a b : ↥L


Context:
R : Type u
Ring R
self : RingFilterBasis R
U : Set R

U ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets → ∃ V ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets, V * V ⊆ U


Context: J : Type w

Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: Unique J

Context: f : J → C

(CategoryTheory.Limits.limitBiconeOfUnique f).isBilimit.isLimit = (CategoryTheory.Limits.limitConeOfUnique f).isLimit


Context:
A : Type u_2
AddMonoid A
TopologicalSpace A
x : A


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_5

Context: ι' : Sort u_6

Context: κ : ι → Sort u_7

Context: κ' : ι' → Sort u_8

Context: CompleteLattice α

Context: f : (i : ι) → κ i → α

Context: g : (i' : ι') → κ' i' → α

Context: h : ∀ (i : ι') (j : κ' i), ∃ i' j', f i' j' ≤ g i j


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
x y : G
hy : y ∈ closure {x}
n : ℤ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: v w : F

Context: h : ‖v‖ = ‖w‖

Context: R : F ≃ₗᵢ[ℝ] F := reflection (Submodule.span ℝ {v - w})ᗮ


Context:
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
One β
f : BoundedContinuousFunction α β


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: n : ℕ

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field K

Context: μ : K

Context: inst✝ : NeZero ↑n

Context: hnpos : 0 < n

Context: hμn : orderOf μ ∣ n

Context: hnμ : orderOf μ ≠ n

Context: ho : 0 < orderOf μ

Context: i : ℕ

Context: hio : i ∣ orderOf μ

Context: key : i < n

Context: key' : i ∣ n

Context: hni : {i, n} ⊆ n.divisors

Context: k : K[X]

Context: hk : cyclotomic i K = (X - C μ) * k

Context: j : K[X]

Context: hj : cyclotomic n K = (X - C μ) * j

Context: this : (∏ x ∈ n.divisors \ {i, n}, cyclotomic x K) * ((X - C μ) * k * ((X - C μ) * j)) = X ^ n - 1

Context: hn : Squarefree (X ^ n - 1)


Context:
G : Type u_3
AddCommGroup G
a b c : G


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup E'
NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 E'
NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
MeasurableSpace G
μ : MeasureTheory.Measure G
NormedSpace ℝ F
AddGroup G
TopologicalSpace G
TopologicalAddGroup G
T2Space G
hcf : HasCompactSupport f
hcg : HasCompactSupport g

HasCompactSupport (MeasureTheory.convolution f g L μ)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁵ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{?u.306779, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{?u.306786, u_2} D

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → C

Context: c₁ : Cofan fun i => f i.succ

Context: c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt

Context: t₁ : IsVanKampenColimit c₁

Context: t₂ : IsVanKampenColimit c₂

Context: inst✝¹ : ∀ {Z : C} (i : Z ⟶ c₂.pt), HasPullback c₂.inr i

Context: inst✝ : HasFiniteCoproducts C

Context: F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: α : F ⟶ Discrete.functor f

Context: i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt

Context: e : α ≫ (extendCofan c₁ c₂).ι = c.ι ≫ (Functor.const (Discrete (Fin (n + 1)))).map i

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: Hc : IsColimit c

Context: j : Fin (n + 1)

IsColimit (BinaryCofan.mk (c.ι.app { as := 0 }) (Sigma.desc fun b => c.ι.app { as := b.succ }))


Context:
p k n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : k ≤ n

(p - 1) * padicValNat p (n.choose k) = (p.digits k).sum + (p.digits (n - k)).sum - (p.digits n).sum


Context:
a b : ℝ
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
s : Set α
Preorder α
NoMaxOrder α

Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s ↔ Set.Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s


Context:
ε : ℝ
hε : 0 < ε

‖log ↑0‖ ≤ ↑0 ^ ε / ε


Context:
α : Type u_1
Encodable α
a : α

Encodable.decode₂ α (Encodable.encode a) = some a


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N✝ N₁ N₂ P P₁ P₂ N : Submodule R M

Module.annihilator R (M ⧸ N) = N.colon ⊤


Context:
α : Type u_1
MonoidWithZero α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
LE β

(fun x x_1 => x ≤ x_1) = Filter.Germ.LiftRel fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: Preorder α

Context: Zero β

Context: Preorder β

Context: Zero γ

Context: Preorder γ

Context: SMul α β

Context: SMul α γ

Context: f : β → γ

Context: SMulPosReflectLT α γ

Context: hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, f b₁ ≤ f b₂ ↔ b₁ ≤ b₂

Context: smul : ∀ (a : α) (b : β), f (a • b) = a • f b

Context: zero : f 0 = 0


Context:
α : Type u_1
a : α
z : Sym2 α
h : a ∈ z


Context:
α : Type u
TopologicalSpace α
x : α


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: k : ℕ

Context: _h : 0 < k + 2

‖newton_seq (k + 2) - newton_seq (k + 1)‖ < ‖newton_seq (k + 1) - a‖


Context:
α : Type u_1
xs : List α
a b : α
h : s(a, b) ∈ xs.sym2


Context:
s : Finset ℕ
N : ℕ
hN : ¬Nat.Prime N

Nat.factoredNumbers (insert N s) = Nat.factoredNumbers s


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a h : G
hh : h ∈ ↑H
k : G
hk : k ∈ ↑K
hb : h * a * k ∈ doset a ↑H ↑K


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b✝ a b : α
ab : b ≤ a

mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1


Context: a b : Nat


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
h : Function.Injective f

Function.RightInverse (Set.rangeFactorization f) (Set.rangeSplitting f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k✝ N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
k n✝¹ n✝ : ℕ
x : Fin (n✝¹ + 1) → ℕ


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: I : CategoryTheory.Limits.MultispanIndex C

Context: K₁ K₂ : CategoryTheory.Limits.Multicofork I

Context: f : K₁ ⟶ K₂

Context: b : I.R

CategoryTheory.CategoryStruct.comp (K₁.π b) f.hom = K₂.π b


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
TopologicalSpace X
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
MeasureTheory.NoAtoms μ
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
s : X → ℝ
hs : Continuous s

Continuous fun x => ∫ (t : ℝ) in a₀..s x, f x t ∂μ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
s : Set β


Context: R : Type u_7

Context: A : Type u_8

Context: B : Type u_9

Context: CommSemiring R

Context: AddCommMonoid A

Context: AddCommMonoid B

Context: SemilatticeSup B

Context: OrderBot B

Context: CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: D : A → B

Context: hzero : D 0 = 0

Context: hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2

Context: ι : Type u_10

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → AddMonoidAlgebra R A

AddMonoidAlgebra.supDegree D (∏ i ∈ s, f i) ≤ ∑ i ∈ s, AddMonoidAlgebra.supDegree D (f i)


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
TopologicalSpace α
μ.IsOpenPosMeasure
f : α → ℝ
x : α
f_cont : Continuous f
f_int : MeasureTheory.Integrable f μ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_x : f x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
Preorder β
f : α → β
g₁ g₂ : β → α
h₁ : IsOrderRightAdjoint f g₁
h₂ : IsOrderRightAdjoint f g₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

MeasureTheory.SignedMeasure.someExistsOneDivLT s i ⊆ i ∧ MeasurableSet (MeasureTheory.SignedMeasure.someExistsOneDivLT s i) ∧ 1 / (↑(MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s i) + 1) < ↑s (MeasureTheory.SignedMeasure.someExistsOneDivLT s i)


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δ✝ ε : ℝ

Context: s✝ t : Set α

Context: x : α

Context: δ : ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: hsδ : s ⊆ Ioi δ

Context: hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty

Context: E : Set α

cthickening δ E = ⋂ ε ∈ s, cthickening ε E


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: h : minkowskiBound K 1 < volume (convexBodyLT K f)

Context: a : 𝓞 K

Context: h_mem : (algebraMap (𝓞 K) K) a ∈ ↑1

Context: h_nz : (algebraMap (𝓞 K) K) a ≠ 0

Context: h_bd : ∀ (w : InfinitePlace K), w ((algebraMap (𝓞 K) K) a) < ↑(f w)

∃ a, a ≠ 0 ∧ ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑a < ↑(f w)


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
i j : ι

(filter (fun x => x ≠ i) f) j = (erase i f) j


Context:
M : Type u_1
SubtractionMonoid M
a b : M
ha : a ∈ Set.addCenter M
hb : b ∈ Set.addCenter M


Context:
α : Type u_1
S T : Set (Set α)

⋂₀ (S ∪ T) = ⋂₀ S ∩ ⋂₀ T


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: OrderedCommRing R

Context: StarRing R

Context: MetricSpace R

Context: TopologicalRing R

Context: ContinuousStar R

Context: ∀ (α : Type u_1) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)

Context: TopologicalSpace A

Context: Ring A

Context: StarRing A

Context: PartialOrder A

Context: StarOrderedRing A

Context: Algebra R A

Context: ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: NonnegSpectrumClass R A

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: hf : ContinuousOn f (spectrum R a) := by cfc_cont_tac

Context: ha : p a := by cfc_tac

cfc f a ≤ 0 ↔ ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≤ 0


Context:
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype m
Fintype n
SeminormedAddCommGroup α
StarAddMonoid α
NormedStarGroup α
A : Matrix m n α

‖Aᴴ‖₊ = ‖A‖₊


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: c : F

Context: h : DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => f y + c) s x


Context:
α : Type u
s t u : Set α
h : s ⊆ u
d : Disjoint u t


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
I : Set ι
m : ι → MeasureTheory.OuterMeasure α
s : Set α
hs : s.Nonempty

(⨅ i ∈ I, m i) s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ Set.iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ i ∈ I, (m i) (t n)


Context:
ι : Type u_1
A : Type u_3
σ : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜
a : A

(GradedRing.projZeroRingHom 𝒜) a = ↑(((DirectSum.decompose 𝒜) a) 0)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : NoMaxOrder β
u : ℕ → β
hu : Tendsto u atTop atTop
N k : ℕ
hku : ∀ l ≤ N, u l ≤ u k
ex : ∃ n ≥ N, u k < u n


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
n : ℕ
F : Fin n → Karoubi C
j : Fin n

∑ j_1 : Fin n, biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ biproduct.π (fun j => (F j).X) j_1 ≫ (F j_1).p ≫ biproduct.ι (fun j => (F j).X) j_1 = (F j).p ≫ biproduct.ι (fun j => (F j).X) j


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

LSeriesHasSum (fun x => ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑x))) s (cosZeta (↑a) s)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_3
Monoid M
Monoid α
MulDistribMulAction α M
a : α
S : Submonoid M


Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'

Context: this✝³ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this✝² : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra

Context: f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯

Context: this✝¹ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra

Context: this✝ : IsScalarTower R R' S'

Context: n : ℕ

Context: g : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] S

Context: hgsurj : Function.Surjective ⇑g

Context: hgker : (ker g.toRingHom).FG

Context: MX : Submonoid (MvPolynomial (Fin n) R) := Algebra.algebraMapSubmonoid (MvPolynomial (Fin n) R) M

Context: this : IsLocalization MX (MvPolynomial (Fin n) R')

(IsLocalization.map S' f ⋯).FinitePresentation


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: I : Type u_1

Context: F : I → C

Context: c : CategoryTheory.Limits.Cofan F

Context: hc : CategoryTheory.Limits.IsColimit c

Context: A : C

Context: f g : c.pt ⟶ A

Context: h : ∀ (i : I), c.inj i ≫ f = c.inj i ≫ g


Context:
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop
DecidablePred p
LocallyFiniteOrderTop α
a : Subtype p

Finset.Ici a = Finset.subtype p (Finset.Ici ↑a)


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C
R : CategoryTheory.Presieve X
self : R.hasPullbacks
Y Z : C
f : Y ⟶ X

R f → ∀ {g : Z ⟶ X}, R g → CategoryTheory.Limits.HasPullback f g


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α

Eₘ[univ, t] = Fintype.card α * t.card ^ 2


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : Fintype τ
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : Nontrivial R

(esymm σ R n).support = (powersetCard n univ).biUnion fun t => (Finsupp.single (∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) 1).support


Context:
f g : ℝ → ℝ
h : f =ᶠ[Filter.atTop] g

AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially f ↔ AkraBazziRecurrence.GrowsPolynomially g


Context:
s : Set ℝ
h : BddAbove s
h' : s.Nonempty
a : ℝ

a ≤ sSup s ↔ ∀ ε < 0, ∃ x ∈ s, a + ε < x


Context:
α : Type u
β : Type v
DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
n : ℕ
ht : t.Nonempty
hn : s.card ≤ t.card * n

∃ y ∈ t, (Finset.filter (fun x => f x = y) s).card ≤ n


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : Type u_8
AddCommMonoid M
s : Finset ι
f : ι → M
a : α

Finsupp.single a (∑ b ∈ s, f b) = ∑ b ∈ s, Finsupp.single a (f b)


Context:
ι : Type u_1
F : Type u_6
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace ℝ F
Fintype ι
DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι ℝ F

a.toBasis.toMatrix ⇑b ∈ Matrix.orthogonalGroup ι ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f✝ : α → 𝕜
f : α → ℝ
hf : Memℒp f 1 μ


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
α : Type u_5
m : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablySeparated α

∃ τ, SecondCountableTopology α ∧ T4Space α ∧ OpensMeasurableSpace α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
k : ℕ
r' : ℝ≥0
h0 : 0 < r'
hr' : ↑r + ↑r' < p.radius

Summable fun s => ‖p (k + s.fst)‖₊ * r ^ s.fst


Context: R S Rₘ Sₘ : Type u

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹¹ : CommRing Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝³ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝² : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ

Context: Q : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing Q

Context: inst✝ : Algebra R Q

Context: I : Ideal Q

Context: e : I ^ 2 = ⊥

Context: f : Rₘ →ₐ[R] Q ⧸ I

∃ a, (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp a = f


Context: X Y : Type u

(CategoryTheory.Limits.Types.binaryProductFunctor.obj X).obj Y = (X × Y)


Context: C : Type u₁


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
a : α
l : List α
hl : (a :: l).Nodup


Context:
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_4
f : α → β
g : β → γ
m : MeasureTheory.OuterMeasure α

(MeasureTheory.OuterMeasure.map g) ((MeasureTheory.OuterMeasure.map f) m) = (MeasureTheory.OuterMeasure.map (g ∘ f)) m


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: CommRing R

Context: LieRing L

Context: LieAlgebra R L

Context: AddCommGroup M

Context: Module R M

Context: LieRingModule L M

Context: LieModule R L M

Context: LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: χ : L → R

Context: h : Nontrivial ↥↑(LieModule.shiftedWeightSpace R L M χ)


Context:
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F G : J ⥤ C
s : CategoryTheory.Limits.Cone F
t : CategoryTheory.Limits.Cone G
P : CategoryTheory.Limits.IsLimit s
Q : CategoryTheory.Limits.IsLimit t
w : F ≅ G

(P.conePointsIsoOfNatIso Q w).inv = CategoryTheory.Limits.IsLimit.map t P w.inv


Context:
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
x y : L
h : y ∈ I


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
x y : α
h : ClusterPt (x, y) (𝓤 α)


Context:
n m : ℕ
i j : Fin n


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂

LinearMap.ker f.rangeRestrict = LinearMap.ker f


Context:
x : ℝ
hx : 0 < x


Context:
α : Type ua
β : Type ub
UniformSpace α
UniformSpace β
c : α → β
h : ∀ (a b : α), c a = c b


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
a : α
s t : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
MeasurableSpace β
e : α → β
he : MeasurableEmbedding e
f : β → E
μ : MeasureTheory.Measure β
s : Set β
hs : s ⊆ Set.range e

MeasureTheory.IntegrableOn f s μ ↔ MeasureTheory.IntegrableOn (f ∘ e) (e ⁻¹' s) (MeasureTheory.Measure.comap e μ)


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
x : E


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p : α → Prop
q : β → Prop
e : α ≃ β
h : ∀ (a : α), p a ↔ q (e a)

(e.subtypeEquiv h).symm = e.symm.subtypeEquiv ⋯


Context:
R : Type u_4
CommRing R
IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n


Context:
α : Sort u_1
q : Prop
p : α → Prop
Decidable q

(∀ (x : α), p x ∨ q) ↔ (∀ (x : α), p x) ∨ q


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
F : C ⥤ Mon_ D

(CategoryTheory.Monoidal.MonFunctorCategoryEquivalence.inverseObj F).X = F ⋙ Mon_.forget D


Context:
α β : Type u
ι : Type v
f : ι → Cardinal.{w}
hf : BddAbove (range f)

lift.{u, w} (iSup f) = ⨆ i, lift.{u, w} (f i)


Context:
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂

LinearMap.snd R M M₂ ∘ₗ LinearMap.inl R M M₂ = 0


Context:
ι : Type u_6
Y₁ : ι → Type u_7
Y₂ : ι → Type u_8
(i : ι) → TopologicalSpace (Y₁ i)
(i : ι) → TopologicalSpace (Y₂ i)
F : (i : ι) → Y₁ i ≃ₜ Y₂ i

(Homeomorph.piCongrRight F).symm = Homeomorph.piCongrRight fun i => (F i).symm


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace γ

Context: K : ℝ≥0

Context: f : α → β

Context: hf : AntilipschitzWith K f

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: h₀ : 0 < ε

Context: x : α × α

Context: hx : x ∈ Prod.map f f ⁻¹' {p | edist p.1 p.2 < ε / ↑K}


Context:
E : Type u_1
SeminormedAddGroup E
s t : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
ht : Bornology.IsBounded t


Context:
α : Type u
P : α → Prop
a : α
s : Set α

(∀ x ∈ insert a s, P x) ↔ P a ∧ ∀ x ∈ s, P x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R
a : S
b : R
hb : b ≠ 0
dim_pos : 0 < Fintype.card ι

∃ q, ∃ r ∈ finsetApprox bS adm, abv ((Algebra.norm R) (r • a - b • q)) < abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b))


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
x y : V


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommSemigroup G
a b c : G


Context:
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s : Set (Submodule R M)

(sSup s).toAddSubmonoid = sSup (Submodule.toAddSubmonoid '' s)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Nonempty α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
inhabited_h : Inhabited α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

(fun a => (μ {a_1 | a < f a_1}).toReal) =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] fun a => (μ {a_1 | a ≤ f a_1}).toReal


Context:
m : ℕ
hx : ↑m ≠ ⊤
n : ℕ
h : ↑m + 1 ≤ ↑n


Context: ξ : ℚ


Context: p : ℕ

Context: a : ZMod p

Context: ha : a ^ (p - 1) = 1

Context: hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : T1Space α
inst✝ : Countable α


Context:
p b : ℝ
hb : 0 < b
hp : 1 < p

Tendsto (fun x => -x - -b * x ^ p) atTop atTop


∀ {X Y : SimplexCategory} (f : X ⟶ Y), SimplexCategory.skeletalFunctor.map f = SimplexCategory.Hom.toOrderHom f


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)


Context:
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
PseudoMetricSpace β
AddMonoid β
BoundedAdd β
ContinuousAdd β
CompactSpace α
f g : C(α, β)

BoundedContinuousFunction.mkOfCompact (f + g) =
  BoundedContinuousFunction.mkOfCompact f + BoundedContinuousFunction.mkOfCompact g


Context:
R : Type u_1
S : Type u_7
M : Type u_8
M₂ : Type u_10
Semiring R
Semiring S
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂
Module S M
Module S M₂
LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
h : s.Subsingleton


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R N
Module R P
Module R Q
g : N →ₗ[R] P

↑(TensorProduct.comm R P Q) ∘ₗ LinearMap.rTensor Q g ∘ₗ ↑(TensorProduct.comm R Q N) = LinearMap.lTensor Q g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

Context: h_mono : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f n a ≤ f n.succ a

Context: s : Set α

Context: hs : {a | ¬∀ (i : ℕ), f i a ≤ f i.succ a} ⊆ s ∧ MeasurableSet s ∧ μ s = 0

Context: g : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun n a => if a ∈ s then 0 else f n a

Context: g_eq_f : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), g n a = f n a

Context: n : ℕ

Context: a : α


Context:
x y : ℝ
hy : 0 < y


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p


Context: S : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : IsDomain S

Context: P : Ideal S

Context: P_prime : P.IsPrime

Context: hP : P ≠ ⊥

Context: inst✝ : IsDedekindDomain S

Context: i : ℕ

Context: ih : cardQuot (P ^ i) = cardQuot P ^ i

Context: this : P ^ (i + 1) < P ^ i

Context: a : S

Context: a_mem : a ∈ P ^ i

Context: a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)

Context: f g : (c : S) → c ∈ P ^ i → S

Context: hg : ∀ (c : S) (hc : c ∈ P ^ i), g c hc ∈ P ^ (i + 1)

Context: hf : ∀ (c : S) (hc : c ∈ P ^ i), a * f c hc + g c hc = c

↥(map (mkQ (P ^ i.succ)) (P ^ i)) ≃ S ⧸ P


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx1 : 0 < x
hx2 : x ≤ 1
hz : z ≤ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
Zero M
f : α ≃ β
a : α
b : M

Finsupp.equivMapDomain f (Finsupp.single a b) = Finsupp.single (f a) b


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0


Context:
α : Type u_1
OrderedSemiring α
a b : α
ha : 0 < a
hb : 0 ≤ b


Context:
R : Type u
EuclideanDomain R
p q : R
hpq : q ∣ p


Context:
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : I * ↑(1 / x) = -1 / (I * ↑x)
hx' : I * ↑x ≠ 0


Context:
X : Type u_1
MeasurableSpace X
s : Set X
μ : MeasureTheory.Measure X
f : X → ℝ
hf : 0 ≤ᵐ[μ.restrict s] f
hfi : MeasureTheory.IntegrableOn f s μ

∫ (x : X) in s, f x ∂μ = 0 ↔ f =ᵐ[μ.restrict s] 0


Context:
M : Type u_4
Monoid M
l₁ l₂ : List M


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : α → ℝ≥0∞
g : α → ℝ≥0∞
hg : Measurable g

μ.withDensity (f + g) = μ.withDensity f + μ.withDensity g


Context:
o : Ordinal.{u_2}
h : ω ≤ o


Context:
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_7
α : Type v
Semiring R
AddCommMonoid α
Module R α

∀ (a : Matrix m n α), (Matrix.transposeLinearEquiv m n R α) a = (Matrix.transposeAddEquiv m n α).toFun a


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
inst✝ : SecondCountableTopology X
s : Set X

⨆ x, limsup dimH (𝓝[s] x).smallSets = dimH s


Context:
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : Bornology G₀
inst✝ : MulAction G₀ α
s t u : Set α
S : Set (Set α)
a : G₀
ha : a ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i

(ContinuousMultilinearMap.compContinuousLinearMapL f) g = g.compContinuousLinearMap f


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
ι : Sort u_5
f : M →ₙ* N
s : ι → Subsemigroup M

Subsemigroup.map f (iSup s) = ⨆ i, Subsemigroup.map f (s i)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r


Context:
α : Type u_1
β : Type v
DecidableEq α
s : Multiset α
f : α → β
x : { x // x ∈ s }

Multiset.map (fun j => f ↑j) (s.attach.erase x) = Multiset.map f (s.erase ↑x)


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
Field L
Algebra K L
S : IntermediateField K L
x : L
hx : x ∈ S


Context: α : Type u_1

Context: m : Set α → ℝ≥0∞

Context: s : Set α

Context: h₀ : m ∅ = 0

Context: hs : ∀ (t : Set α), m (t ∩ s) + m (t \ s) ≤ m t

Context: t : Set α

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf : t ⊆ ⋃ i, f i

∑' (i : ℕ), m ((fun i => f i ∩ s) i) + ∑' (i : ℕ), m ((fun i => f i \ s) i) ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G

H.index = 2 ↔ ∃ a, ∀ (b : G), Xor' (b * a ∈ H) (b ∈ H)


Context:
N : ℕ
j : ℝ
hj : 0 < j
c : ℝ
hc : 1 < c

∑ i ∈ Finset.filter (fun x => j < c ^ x) (Finset.range N), 1 / (c ^ i) ^ 2 ≤ c ^ 3 * (c - 1)⁻¹ / j ^ 2


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u✝ v✝ s : Set α

Context: hs : ∀ (f : α → Bool), ContinuousOn f s → ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x = f y

Context: u v : Set α

Context: u_op : IsOpen u

Context: v_op : IsOpen v

Context: hsuv : s ⊆ u ∪ v

Context: x : α

Context: x_in_s : x ∈ s

Context: x_in_u : x ∈ u

Context: H : s ∩ (u ∩ v) = ∅

Context: y : α

Context: y_in_s : y ∈ s

Context: y_in_v : y ∈ v

Context: hy : y ∉ u

Context: this : ContinuousOn u.boolIndicator s


Context:
X Y : AddCommMonCat
f : X ⟶ Y

(CategoryTheory.forget AddCommMonCat).map f = ⇑f


Context:
α : Sort u_1
DecidableEq α
a b x : α
h : (Equiv.swap a b) x ≠ x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
f : α → G
inst✝ : T2Space G
a : G
hβ : Infinite β


Context:
R : Type u_3
M : Type u_4
TopologicalSpace R
TopologicalSpace M
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
x : tsze R M


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
PseudoEMetricSpace α
f : α → V
g : α → P
Kf Kg : ℝ≥0
hf : LipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg g


Context:
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ

↑↑g 0 0 * z.im * (↑↑g 1 0 * z.re + ↑↑g 1 1) / Complex.normSq (↑(↑↑g 1 0) * ↑z + ↑(↑↑g 1 1)) - (↑↑g 0 0 * z.re + ↑↑g 0 1) * (↑↑g 1 0 * z.im) / Complex.normSq (↑(↑↑g 1 0) * ↑z + ↑(↑↑g 1 1)) = (↑↑g).det * z.im / Complex.normSq (↑(↑↑g 1 0) * ↑z + ↑(↑↑g 1 1))


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
p q : ℝ
hq_pos : 0 < q
x : α

ENNReal.ofReal ‖‖f x‖ ^ q‖ ^ p = ENNReal.ofReal ‖f x‖ ^ (p * q)


Context: L : Language

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: T : L.Theory

Context: h : κ.Categorical T

Context: h1 : ℵ₀ ≤ κ

Context: h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ

Context: hS : T.IsSatisfiable

Context: hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M

Context: φ : L.Sentence

Context: w✝ : T.ModelType

Context: h✝ : #↑w✝ = κ

Context: MF : T.ModelType

Context: hMF : ¬↑MF ⊨ φ

Context: MT : T.ModelType

Context: hMT : ↑MT ⊨ φ

Context: this✝ : Infinite ↑MT

Context: this : Infinite ↑MF

Context: NT : Bundled L.Structure

Context: MNT : ↑MT ≅[L] ↑NT

Context: hNT : #↑NT = κ

Context: NF : Bundled L.Structure

Context: MNF : ↑MF ≅[L] ↑NF

Context: hNF : #↑NF = κ

Context: TF : ↑(ElementarilyEquivalent.toModel T MNT) ≃[L] ↑(ElementarilyEquivalent.toModel T MNF)


Context: α : Sort u_3

Context: p : α → Sort u_4

Context: ∀ (x : α), Subsingleton (p x)

Context: q : (x : α) → p x → Prop

Context: b : Prop

Context: h₂ : ∃! x, ∃! h, q x h

Context: h₁ : ∀ (x : α) (h : p x), q x h → (∀ (y : α) (hy : p y), q y hy → y = x) → b


Context:
α : Type u_2
Lattice α
s t : Set α
hs_sup : SupClosed s
hs_inf : InfClosed s
ht_sup : SupClosed t
ht_inf : InfClosed t

{ carrier := s, supClosed' := hs_sup, infClosed' := hs_inf } <
    { carrier := t, supClosed' := ht_sup, infClosed' := ht_inf } ↔
  s ⊂ t


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
LieAlgebra.IsSimple R L
I : LieIdeal R L


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : (nilradical R).IsPrime

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: φ : R →+* S

Context: f : R[X]

Context: hm : f.Monic

Context: R' : Type u_1 := R ⧸ nilradical R

Context: ψ : R' →+* S := Ideal.Quotient.lift (nilradical R) φ ⋯

Context: ι : R →+* R' := algebraMap R R'

Context: hi : Irreducible (Polynomial.map ψ (Polynomial.map ι f))


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
Finite ι
Ring 𝕜

(PiLp.basisFun p 𝕜 ι).map (WithLp.linearEquiv p 𝕜 (ι → 𝕜)) = Pi.basisFun 𝕜 ι


Context: R : Type w₁

Context: A : Type w₂

Context: B : Type w₃

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : CommRing B

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: inst✝ : FinitePresentation R A

Context: e : A ≃ₐ[R] B

Context: n : ℕ

Context: f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A

Context: hf : Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: a b : α

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: I : Ideal α

Context: s : Set α

Context: n : ℕ

Context: f : ↑s →₀ α

Context: hf✝ : (Finsupp.total (↑s) α α Subtype.val) f = 1

Context: hf : ∑ a ∈ f.support, f a * ↑a = 1


Context: a : Prop


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β


Context: V : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph V

Context: M M' : G.Subgraph

Context: v w : V

Context: inst✝ : (v : V) → Fintype ↑(M.neighborSet v)

M.IsMatching ↔ ∀ v ∈ M.verts, M.degree v = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
x : R
h : ‖x‖ < 1


Context:
α : Type u_1
𝒜 ℬ : Set (Set α)
h : 𝒜 ⊆ ℬ
hℬ : MeasureTheory.IsSetAlgebra ℬ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : StrongFEPair E

Context: r : ℝ

Context: this : (fun x => P.f x - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • 0) =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ r


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
h : ¬G.IsUniform ε s t


Context:
x : ℝ*
hi : x.Infinite


Context:
n : ℕ
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f g : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
hf : TorusIntegrable f c R
hg : TorusIntegrable g c R

(∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x + g x) = (∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x) + ∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), g x


Context:
α : Type u_1
EMetricSpace α
s : Set α
Finite ↑s


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
i j : n
k : ℕ
x : R

(polyEquivTensor R (Matrix n n R)).symm ((Algebra.TensorProduct.comm R R[X] (Matrix n n R)) ((monomial k) x ⊗ₜ[R] stdBasisMatrix i j 1)) = (monomial k) (stdBasisMatrix i j x)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
m : Multiset α
x : α
n : ℕ

(∃ a, a ::ₘ m ≤ replicate (n + 1) x) ↔ m ≤ replicate n x


Context: X : Type u_1

Context: E : Type u_3

Context: MeasurableSpace X

Context: TopologicalSpace X

Context: NormedAddCommGroup E

Context: f : X → E

Context: μ : MeasureTheory.Measure X

Context: hf : MeasureTheory.LocallyIntegrable f μ

Context: s : Set X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Injective f
u s : Set α

(fun x => ↑((Equiv.Set.image f s hf).symm x)) ⁻¹' u = Subtype.val ⁻¹' (f '' u)


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α

∀ (x : α), Levenshtein.defaultCost.delete x = 1


Context:
ι : Sort u_1
R : Type u_2
inst✝ : Ring R
s : Set R

sInf {a | s ⊆ MulOpposite.op ⁻¹' ↑a} = sInf {S | MulOpposite.unop ⁻¹' s ⊆ ↑S}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Filter α
g : Set α → Filter β
hg : Monotone g
s : Set β


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 3

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₁ : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact

Context: hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact

Context: hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₂✝ : Epi (app' φ 2 ⋯)

Context: h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)

Context: A : C

Context: g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A

Context: w✝¹ : Epi π₁

Context: f₂ : A₁ ⟶ R₁.obj' 2 ⋯

Context: h₁ : π₁ ≫ g₁ ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = f₂ ≫ app' φ 2 ⋯

Context: h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: A₂ : C

Context: π₂ : A₂ ⟶ A₁

Context: w✝ : Epi π₂

Context: f₁ : A₂ ⟶ R₁.obj 1

Context: h₃ : π₂ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)

∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x, π ≫ g₁ = x ≫ app' φ 1 ⋯


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: RCLike 𝕜

Context: NormedAddCommGroup E

Context: InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_4

Context: Fintype ι

Context: V : ι → Submodule 𝕜 E

Context: ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(V i)

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ

Context: x : E

Context: hx : x ∈ iSup V

∑ i : ι, ↑((orthogonalProjection (V i)) x) = x


Context: n : ℤ


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
StarRing A
CstarRing A
a : 𝓜(𝕜, A)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
Mul M
Mul N
S : Subsemigroup M
T : Subsemigroup N
f : M →ₙ* N

S ≤ Subsemigroup.comap f T → Subsemigroup.map f S ≤ T


Context:
A : Type u_1
Mul A
self : IsJordan A
a b : A


Context:
α : Type u_2
AddMonoid α
n : ℕ
a : α
s : Fin n → Set α

a ∈ (List.ofFn s).sum ↔ ∃ f, (List.ofFn fun i => ↑(f i)).sum = a


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
n : ℕ
X : CategoryTheory.SimplicialObject C

(AlgebraicTopology.DoldKan.natTransPInfty_f C n).app X = AlgebraicTopology.DoldKan.PInfty.f n


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
f : X → Y
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : Inducing f
h : IsClosed (Set.range f)


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
p.IsCartesian f φ

CategoryTheory.Functor.IsCartesian.map p f φ φ = 𝟙 a


Context: o : Ordinal.{u}

Ordinal.lsub (Ordinal.typein fun x x_1 => x < x_1) = o


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A✝
s : Set G
A B C : Subgroup G
h : A ≤ C
x✝ : G

(∃ x ∈ ↑A, ∃ y, (y ∈ ↑B ∧ y ∈ ↑C) ∧ x * y = x✝) ↔ (∃ x ∈ ↑A, ∃ y ∈ ↑B, x * y = x✝) ∧ x✝ ∈ ↑C


Context:
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hy : Odd y
d : ℕ

multiplicity 2 (x ^ (d + d) - y ^ (d + d)) + 1 = multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑(d + d)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x y : M
u : Rˣ
hu : ↑u < 0
v : Ray R M


Context:
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
x : ↥U
h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
g' : ↑(X.presheaf.stalk ↑x)
heq : (X.presheaf.germ x) f * g' = 1

∃ V i, ∃ (_ : ↑x ∈ V), IsUnit ((X.presheaf.map i.op) f)


Context: α : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: s t : Set α

Context: hs : MeasureTheory.NullMeasurableSet s μ

Context: hd : MeasureTheory.AEDisjoint μ s t


Tendsto (fun x => log (1 + 1 / x)) atTop (𝓝 0)


Context:
M : Type u_2
MonoidWithZero M
Nontrivial M


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C


Context:
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X

Bornology.IsBounded s ↔ ∃ t, IsCompact t ∧ s ⊆ t


Context:
M : Type u_4
AddMonoid M
l : List M
a : M


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: hI : I.IsMaximal

Context: hI' : I ≠ ⊥

Context: hx : comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤

Context: hx' : _root_.IsIntegral R x

Context: hf : Irreducible (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))

Context: mem_norm_factors : normalize (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x)) ∈ normalizedFactors (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))

Irreducible (Ideal.map (algebraMap R S) I)


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: P : C

Context: π : Y ⟶ P

Context: w : CategoryTheory.CategoryStruct.comp f π = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g π

∀ (X_1 : CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair),
  (CategoryTheory.Limits.Cofork.ofπ π w).ι.app X_1 =
    CategoryTheory.Limits.WalkingParallelPair.casesOn X_1 (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f π) π


Context:
α : Type u_1
MeasurableSpace α
s : Set α
s_mble : MeasurableSet s

MeasureTheory.Measure.count s = ⊤ ↔ s.Infinite


Context:
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
z : ℝ
hz : ∀ (x : ℝ), f x < x + z
x : ℝ
hx : ∀ y ∈ Icc 0 1, f y - y ≤ f x - x


Context:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₂ : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} D₂
inst✝² : Category.{?u.53917, u_4} H
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
inst✝ : Φ.HasLeftResolutions
X₂ : D₂
this : L₂.EssSurj


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : AddGroup R
inst✝² : Fintype R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ ≠ 1
b : R
hb : ψ b ≠ 1
h₁ : ∑ a : R, ψ (b + a) = ∑ a : R, ψ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : α → Finset β
DecidableEq β

(s.biUnion t).Nonempty ↔ ∃ x ∈ s, (t x).Nonempty


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hr : 0 < r

Context: hf : ∀ w ∈ sphere z r, ‖f w‖ ≤ M

Context: hM : 0 ≤ M

Context: h1 : ∀ w ∈ sphere z r, ‖((w - z) ^ 2)⁻¹ • f w‖ ≤ M / r ^ 2


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p * q ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0

p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree ≤ (p * q).natTrailingDegree


Context:
α : Type u_1
LE α
s : LowerSet α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
hf : Injective f


Context:
X : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Zero X
A : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module ℝ A
inst✝² : IsScalarTower ℝ A A
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A
f : C(X, ℝ)₀

{ toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯ }.toFun (star f) = star ({ toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯ }.toFun f)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
x✝² y z : α
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t✝ : Set α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
f : α → β
t : Set β
a : α
b : β
ε : ℝ≥0∞
x✝¹ : 0 < ε
δ : ℝ≥0∞
x✝ : 0 < δ
x : α

edist x a < δ → x ∈ s → edist (f x) b < ε ∧ f x ∈ t ↔ x ∈ s → edist x a < δ → f x ∈ t ∧ edist (f x) b < ε


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedRing 𝕜
NormedAddCommGroup E
MulActionWithZero 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
p q r : ℝ≥0∞
f : α → E
φ : α → 𝕜
hf : MeasureTheory.Memℒp f r μ
hφ : MeasureTheory.Memℒp φ q μ
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hμ : ¬μ univ = 0
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < g x


Context:
R₁ : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R₁
CommRing A
Algebra R₁ A
Semiring B
Algebra R₁ B
I : Ideal A
f : A →ₐ[R₁] B
hI : ∀ a ∈ I, f a = 0

(Ideal.Quotient.liftₐ I f hI).comp (Ideal.Quotient.mkₐ R₁ I) = f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f✝ g : α → E
s✝ t : Set α
μ✝ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
e : α → β
he : MeasurableEmbedding e
f : β → E
μ : Measure β
s : Set β
hs : s ⊆ range e

IntegrableOn f s μ ↔ IntegrableOn (f ∘ e) (e ⁻¹' s) (Measure.comap e μ)


Context:
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b : ℕ


Context:
ι : Type u_1
S : Type u_3
R : Type u_4
DecidableEq ι
AddMonoid ι
CommSemiring S
Semiring R
Algebra S R
A : ι → Submodule S R
SetLike.GradedMonoid A
s : S

↑(DirectSum.GAlgebra.toFun s) = (algebraMap S R) s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: f✝ g✝ : α → M

Context: a b✝ : α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: s : Finset α

Context: f : α → M

Context: g : α → β

Context: b : β

Context: h : b ∈ mulSupport fun b => (filter (fun a => g a = b) s).prod f


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f✝ g✝ f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hp : 1 ≤ p

eLpNorm (f - g) p μ ≤ eLpNorm f p μ + eLpNorm g p μ


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: NormedAddCommGroup V

Context: InnerProductSpace ℝ V

Context: MetricSpace P

Context: NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)

Context: Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: p₁ p₂ p₃ p₄ : P

Context: h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄

EuclideanGeometry.Concyclic {p₁, p₂, p₃, p₄} ∨ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
HasDerivedCategory C
S : CategoryTheory.ShortComplex C
hS : S.ShortExact

hS.singleTriangleIso.inv.hom₃ = ((DerivedCategory.singleFunctorsPostcompQIso C).inv.hom 0).app S.X₃


Context: G : Type u_1

Context: AddGroup G

Context: TopologicalSpace G

Context: TopologicalAddGroup G

Context: K₀ : TopologicalSpace.PositiveCompacts G

0 < (MeasureTheory.Measure.haar.addHaarContent K₀).outerMeasure (closure ↑K₀)


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
N : Type u_5
AddGroup N
H : AddSubgroup G
K : AddSubgroup N


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField R
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup N
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace R M
inst✝³ : NormedSpace R N
inst✝² : NormedSpace R G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup M'
inst✝ : NormedSpace R M'
c cf : R
hcf : cf ≠ 0
lif : M →ₗᵢ[R] N
cg : R
hcg : cg ≠ 0
lig : N →ₗᵢ[R] G

(cg • lig.toContinuousLinearMap).comp (cf • lif.toContinuousLinearMap) = (cg * cf) • (lig.comp lif).toContinuousLinearMap


Context:
α : Type u_1
M N : Matroid α
h : Disjoint M.E N.E
B : Set α

(M.disjointSum N h).Base B ↔ M.Base (B ∩ M.E) ∧ N.Base (B ∩ N.E) ∧ B ⊆ M.E ∪ N.E


Context:
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)

List.lookupAll a l = [] ↔ ∀ (b : β a), ⟨a, b⟩ ∉ l


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: S : CategoryTheory.ShortComplex C

(CategoryTheory.ShortComplex.Hom.id S).τ₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.id S.X₁


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: TopologicalSpace α

Context: TopologicalSpace β

Context: s : Set α

Context: p : α → Prop

Context: f g : α → β

Context: (a : α) → Decidable (p a)

Context: hpf : ∀ a ∈ s ∩ frontier {a | p a}, Filter.Tendsto f (𝓝[s ∩ {a | p a}] a) (𝓝 (if p a then f a else g a))

Context: hpg : ∀ a ∈ s ∩ frontier {a | p a}, Filter.Tendsto g (𝓝[s ∩ {a | ¬p a}] a) (𝓝 (if p a then f a else g a))

Context: hf : ContinuousOn f (s ∩ {a | p a})

Context: hg : ContinuousOn g (s ∩ {a | ¬p a})

ContinuousOn (fun a => if p a then f a else g a) s


Context:
ι : Type u_3
α : ι → Type u_1
β : ι → Type u_2

∀ (a : (i : ι) × α i ⊕ (i : ι) × β i),
  (Equiv.sigmaSumDistrib α β).symm a = Sum.elim (Sigma.map id fun x => Sum.inl) (Sigma.map id fun x => Sum.inr) a


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
n : ℕ

((↑s).drop n).head = Computation.pure (s.get? n)


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : TopologicalSpace B
b : B
v : F

(Trivialization.coordChangeL 𝕜 (trivialization B F) (trivialization B F) b) v = (ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 F) v


↑ArithmeticFunction.zeta * ArithmeticFunction.vonMangoldt = ArithmeticFunction.log


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : CategoryTheory.Functor C D
hZ : CategoryTheory.Limits.IsInitial Z
X Y : CategoryTheory.WithInitial C
f : X ⟶ Y

(CategoryTheory.WithInitial.liftToInitial F hZ).map f =
  match X, Y, f with
  | CategoryTheory.WithInitial.of x, CategoryTheory.WithInitial.of y, f => F.map (CategoryTheory.WithInitial.down f)
  | CategoryTheory.WithInitial.star, CategoryTheory.WithInitial.of x, x_1 => hZ.to (F.obj x)
  | CategoryTheory.WithInitial.star, CategoryTheory.WithInitial.star, x => CategoryTheory.CategoryStruct.id Z


Context:
α : Type u
n' : Type uₙ
NonUnitalNonAssocSemiring α
v : Fin 0 → α
w : n' → α


Context:
α : Type u_1
Preorder α
a : α


Context:
α : Type u
PseudoMetricSpace α
x : α


Context:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f f' : 𝕜 → F
h : ∀ (x : 𝕜), HasDerivAt f (f' x) x


Context:
s : ℂ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊ + 1
hn : 1 - s.re < ↑n


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
p : F[X]
K : IntermediateField F E
hp : Splits (algebraMap F ↥K) p

Algebra.adjoin F (p.rootSet E) = K.val.range ↔ K.toSubalgebra = Algebra.adjoin F (p.rootSet E)


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
a : α
hp : ∑ x ∈ s, f x = 0
h1 : ∀ x ∈ s, x ≠ a → f x = 0
x : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: ι₂ : Sort u_6

Context: κ : ι✝ → Sort u_7

Context: κ₁ : ι✝ → Sort u_8

Context: κ₂ : ι✝ → Sort u_9

Context: κ' : ι' → Sort u_10

Context: s t u : Set α

Context: f : α → β

Context: ι : Type u_11

Context: Es : ι → Set α

Context: Es_union : ⋃ i, Es i = univ

Context: Es_disj : Pairwise fun i j => Disjoint (Es i) (Es j)

Context: I : Set ι

Context: x : α

Context: i : ι

Context: hix : x ∈ Es i

Context: obs : ∀ (J : Set ι), x ∈ ⋃ j ∈ J, Es j ↔ i ∈ J

Context: obs' : ∀ (J : Set ι), x ∈ (⋃ j ∈ J, Es j)ᶜ ↔ i ∉ J

x ∈ (⋃ i ∈ I, Es i)ᶜ ↔ x ∈ ⋃ i ∈ Iᶜ, Es i


Context:
α : Type u_1
l₁ l₂ l₃ : List α


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj v w

p.concat h = p.append (SimpleGraph.Walk.cons h SimpleGraph.Walk.nil)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
a₁ a₂ : 𝕎 k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
h : frobeniusRotation p ha₁ ha₂ = 0


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁷ : MonoidalCategory C

Context: inst✝⁶ : BraidedCategory C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝⁴ : MonoidalCategory D

Context: inst✝³ : BraidedCategory D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} E

Context: inst✝¹ : MonoidalCategory E

Context: inst✝ : BraidedCategory E

Context: X₁ X₂ : C

Context: this : (X₁ ⊗ X₂) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (α_ X₁ X₂ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv = (α_ X₁ X₂ (𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (ρ_ X₂).inv ▷ 𝟙_ C

(ρ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom = (X₁ ⊗ X₂) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ ((α_ X₁ X₂ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ (𝟙_ C)).hom ▷ 𝟙_ C ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).hom ≫ (α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).inv) ≫ ((ρ_ X₁).hom ⊗ (ρ_ X₂).hom)


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
P : G.Partition
v : V


Context:
α : Type u
s : Set (Set α)
i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α

∅ ∈ let i := i; let S := ⋃ j, generateMeasurableRec s ↑j; s ∪ {∅} ∪ compl '' S ∪ range fun f => ⋃ n, ↑(f n)


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
x : M


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: TopologicalSpace M

Context: ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: NormedAddCommGroup E'

Context: NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: TopologicalSpace M'

Context: ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: NormedAddCommGroup E''

Context: NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: TopologicalSpace M''

Context: ChartedSpace H'' M''

Context: f : M → M'

Context: s : Set M

Context: n : ℕ∞

Context: t : Set M'

Context: g : M' → M''

Context: x : M

Context: hg : ContMDiffWithinAt I' I'' n g t (f x)

Context: hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x

Context: st : Set.MapsTo f s t


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M M' : Bimod W X

Context: f : M ⟶ M'

Context: N : Bimod X Y

Context: P : Bimod Y Z

M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) WalkingParallelPair.one = M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ (((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft M.X) (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P.X).inv ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) (TensorBimod.actRight M' N ▷ P.X) ((α_ (coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫ coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ Y.X ▷ P.X) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷ P.X) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M' N P) ⋯


Context:
A : Type u_1
M : Type u_3
AddMonoid A
Monoid M
ψ : AddChar A M

ψ ≠ 1 ↔ ∃ x, ψ x ≠ 1


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
NormedAddCommGroup E''
NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
TopologicalSpace M''
ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
s : Set M
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
hg : SmoothWithinAt I' I'' g t (f x)
hf : SmoothWithinAt I I' f s x

SmoothWithinAt I I'' (g ∘ f) (s ∩ f ⁻¹' t) x


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p : ℕ
x : R
hp : ¬1 < p

x ∈ pNilradical R p ↔ ∃ n, x ^ p ^ n = 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Bot α
inst✝² : Bot β
inst✝¹ : Bot γ
inst✝ : Bot δ
g : BotHom β γ
f₁ f₂ : BotHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
ι : Type u_3
l : Filter ι
f f' : ι → β → α
g g' : β → α
hf : TendstoUniformly f g l
hf' : TendstoUniformly f' g' l


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁷ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝³ : Gr.Full

Context: inst✝² : Gr.Faithful

Context: F : J ⥤ D

Context: c : Cocone (F ⋙ Gr)

Context: H : IsUniversalColimit c

Context: inst✝¹ : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)

Context: inst✝ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl

Context: this✝¹ : PreservesLimitsOfSize.{?u.164955, ?u.164954, u_3, v, u_2, u} Gr

Context: this✝ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl

Context: F' : J ⥤ D

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl

Context: f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt

Context: h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: hc' : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)

Context: this : HasPullback (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt))

Context: α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom

Context: hα' : NatTrans.Equifibered α'

Context: hadj : ∀ (X : C), Gl.map (adj.unit.app X) = inv (adj.counit.app (Gl.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj X)))


Context: b : Ordinal.{u_4}


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : Module ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormalSpace X

Context: inst✝³ : ParacompactSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousAdd E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: t : X → Set E

Context: ht : ∀ (x : X), Convex ℝ (t x)

Context: U : X → Set X

Context: hU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x

Context: g : X → X → E

Context: hgc : ∀ (x : X), ContinuousOn (g x) (U x)

Context: hgt : ∀ (x y : X), y ∈ U x → g x y ∈ t y

Context: f : PartitionOfUnity X X

Context: hf : f.IsSubordinate fun x => interior (U x)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hR : IsJacobson R


Context:
α : Type u
Preorder α
s : Set α
a : α
h : IsLeast s a


Context:
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c

(CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f g)).inv =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor g).inv)
    (CategoryTheory.Bicategory.associator f g (CategoryTheory.CategoryStruct.id c)).inv


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
f : Filter α
h : μ.FiniteAtFilter f


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing A
inst✝¹² : CommRing B
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra A K
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : Algebra B L
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra A L
inst✝³ : IsScalarTower A B L
inst✝² : IsScalarTower A K L
inst✝¹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝ : FiniteDimensional K L
σ : B →ₐ[A] B
x : B

((galRestrictHom A K L B).symm σ) ((algebraMap B L) x) = (algebraMap B L) (σ x)


Context:
α : Type u_1
SemilatticeSup α
s t : Finset α
a : α
DecidableEq α

a ∈ lowerClosure ↑(s ∪ t) ↔ a ∈ lowerClosure ↑s ∨ a ∈ lowerClosure ↑t


Context:
n : ℕ
h0 : n ≠ 0

IsPrimitiveRoot (Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I / ↑n)) n


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure X

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: μs : ι → Measure X

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)

Context: h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → ∫ (x : X), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: hL : L.NeBot

Context: obs : Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)

Context: bdd_above : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i

Context: bdd_below : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i

autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) _auto✝


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: h5 : 5 ≤ card α

Context: f : Perm α

Context: hf : f.IsThreeCycle

Context: hi : Function.Injective ⇑(alternatingGroup α).subtype

alternatingGroup α ≤ closure (⇑(alternatingGroup α).subtype '' Group.conjugatesOfSet {⟨f, ⋯⟩})


Context:
G : Type u_1
SubNegMonoid G
a b : G


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: NormedAddCommGroup V

Context: InnerProductSpace ℝ V

Context: MetricSpace P

Context: NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)

Context: Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: p₁ p₂ p₃ : P

Context: h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

∡ p₂ p₃ p₁ = ↑(Real.arcsin (dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace G₀
inst✝¹ : GroupWithZero G₀
inst✝ : ContinuousMul G₀
a : G₀
ha : a ≠ 0


Context:
K : Type u_1
Field K
Fintype K


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s t : Multiset α

s.Disjoint (ndinsert a t) ↔ a ∉ s ∧ s.Disjoint t


Context: x : ℝ*


Context:
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
i₁ i₁' : I₁
i₂ i₂' : I₂
h₁ : c₁.Rel i₁ i₁'
h₂ : c₂.Rel i₂ i₂'

c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) * c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂') = -c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) * c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁', i₂)


Context:
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
p : MvPolynomial σ k
hp : p ∈ I.jacobson
x : σ → k
hx : x ∈ zeroLocus I


Context:
M : Type u_4
N : Type u_5
MulOneClass M
MulOneClass N
f : M →* N


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
ha : #α ≠ 0
h' : (#α).IsStrongLimit
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
hr : (#α).ord = type r


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
OrderedSemiring 𝕜
AddCommMonoid E
AddCommMonoid F
Module 𝕜 E
Module 𝕜 F
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
f : E →ₗ[𝕜] F


Context:
α : Type u
a : α


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
inst✝ : HasKernel f'
p : X ≅ X'
q : Y ≅ Y'
w : f ≫ q.hom = p.hom ≫ f'


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
hf : IsProperMap f
hg : IsProperMap g
ℱ : Filter X
z : Z
h : MapClusterPt z ℱ (g ∘ f)


Context:
α β : Sort u
a : α
b : β
h : HEq a b


Context:
α : Type u_1
ms : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
CommSemiring R
StarRing R
TrivialStar R
AddCommMonoid A
StarAddMonoid A
Module R A
StarModule R A
TopologicalSpace A
ContinuousStar A


Context: N k n : ℕ

n ∈ N.smoothNumbersUpTo k ↔ n ≤ N ∧ n ∈ k.smoothNumbers


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹³ : Preadditive C

Context: inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝¹¹ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹⁰ : Category.{?u.108053, u_2} D

Context: inst✝⁹ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : Preadditive D

Context: inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A

Context: inst✝³ : Abelian A

Context: F : C ⥤ A

Context: inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological

Context: inst✝ : F.ShiftSequence ℤ

Context: T T' : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: φ : T ⟶ T'

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

F.homologicalKernel.W f ↔ ∀ (n : ℤ), IsIso ((F.shift n).map f)


Context:
F : Type u_1
Field F
E : Type u_2
Field E
Algebra F E
α : ↥(solvableByRad F E)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hα : solvableByRad.P (α ^ n)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasWideEqualizers C

Context: T : C

Context: hT : ∀ (X : C), Nonempty (T ⟶ X)

Context: endos : Type v := T ⟶ T

Context: i : wideEqualizer id ⟶ T := wideEqualizer.ι id

Context: this : Nonempty endos


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Countable ι

Context: f✝ g✝ : α✝ → β

Context: mα : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: α : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: x✝ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : AddGroup E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousAdd E

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace E

Context: g f : α → E

Context: hg : Measurable g

Context: φ : ℕ → α →ₛ E

Context: hφ : ∀ (x : α), Tendsto (fun n => ↑(φ n) x) atTop (𝓝 (f x))

Context: this : Tendsto (fun n x => ↑(φ n) x + g x) atTop (𝓝 (f + g))


Context: m n : Nat

Int.negSucc m + ↑n = Int.subNatNat n m.succ


Context:
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
t₁ : Set β₁
t₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
g₁ : β₁ → α₁
g₂ : β₂ → α₂
h₁ : Set.RightInvOn g₁ f₁ t₁
h₂ : Set.RightInvOn g₂ f₂ t₂

Set.RightInvOn (fun x => (g₁ x.1, g₂ x.2)) (fun x => (f₁ x.1, f₂ x.2)) (t₁ ×ˢ t₂)


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C

CategoryTheory.ShortComplex.Hom.τ₃ 0 = 0


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : C
inst✝ : HasRightDual X
f : Y ⟶ Xᘁ

(ρ_ Y).inv ≫ Y ◁ η_ X Xᘁ ≫ (α_ Y X Xᘁ).inv ≫ (f ▷ X ≫ ε_ X Xᘁ) ▷ Xᘁ = 𝟙 Y ⊗≫ (Y ◁ η_ X Xᘁ ≫ f ▷ (X ⊗ Xᘁ)) ⊗≫ ε_ X Xᘁ ▷ Xᘁ


Context:
R : Type u_3
CommRing R


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
LinearOrderedField k
OrderedAddCommGroup E
Module k E
OrderedSMul k E
a b : E


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C

(CategoryTheory.MonoidalFunctor.diag C).μ X Y =
  𝟙
    (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj ((CategoryTheory.Functor.diag C).obj X)
      ((CategoryTheory.Functor.diag C).obj Y))


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m n : ℕ
hn : n > 0
hn' : 0 < ↑n


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
α : Type u_12
DecidableEq l
DecidableEq m
Zero α
v : l ⊕ m → α


Context:
G : Type u_1
Group G
N : Type u_5
Group N
f : G →* N
g : N →* G
hl : Function.LeftInverse ⇑g ⇑f
hr : Function.RightInverse ⇑g ⇑f
H : Subgroup G


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: f : α → β → Option γ

Context: inst✝¹ : BEq α

Context: inst✝ : Hashable α

Context: m : Imp α β

Context: H : m.WF

Context: g₁ : AssocList α β → List (α × γ) := fun l => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList

Context: H1 : ∀ (l : AssocList α β) (n : ULift Nat) (acc : AssocList α γ), filterMap.go f acc l n = (((g₁ l).reverse ++ acc.toList).toAssocList, { down := n.down + (g₁ l).length })

Context: g : AssocList α β → AssocList α γ := fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList

Context: M : Type (max u_3 u_1) → Type (max u_3 u_1) := StateT (ULift Nat) Id

Context: H2 : ∀ (l : List (AssocList α β)) (n : ULift Nat), List.mapM (filterMap.go f AssocList.nil) l n = (List.map g l, { down := n.down + Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (List.map g l)) })

Context: H3 : ∀ (l : List (α × β)), (List.map (fun a => a.fst) (List.filterMap (fun x => match x with | (a, b) => Option.map (fun x => (a, x)) (f a b)) l)).Sublist (List.map (fun x => x.fst) l)

∀ (bk : List (AssocList α γ)) (sz : Nat) (h : 0 < bk.length), pure { data := List.map (fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data } { down := Nat.sum (List.map ((fun x => x.toList.length) ∘ fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data) } = ({ data := bk }, { down := sz }) → { size := sz, buckets := ⟨{ data := bk }, h⟩ }.WF


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N P Q : Bimod Y Z

Context: f : N ⟶ P

Context: g : P ⟶ Q

(M.whiskerLeft (f ≫ g)).hom = (M.whiskerLeft f ≫ M.whiskerLeft g).hom


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: D : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D

Context: CategoryTheory.Abelian C

Context: CategoryTheory.HasInjectiveResolutions C

Context: CategoryTheory.Abelian D

Context: F : CategoryTheory.Functor C D

Context: F.Additive

Context: CategoryTheory.Limits.PreservesFiniteLimits F


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a✝ : ℝ
α : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P

Context: X✝ : C

Context: G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: X : C

Context: x : P.obj (Opposite.op X)

yonedaEquiv (yonedaEquiv.symm x ≫ presheafHom φ P) = (G.map (yonedaEquiv.symm x)).app (Opposite.op (F.obj X)) ((φ.app X).app (Opposite.op (F.obj X)) (𝟙 (Opposite.unop (Opposite.op (F.obj X)))))


Context:
n : ℕ
h : ↑(n - 1)! = -1
h0 : n ≠ 0
h1 : 1 < n
h2 : ¬Prime n
m : ℕ
hm1 : m ∣ n
hm2 : 1 < m
hm3 : m < n
hm : m ∣ (n - 1)!


Context: α : Type u_1

Context: AddZeroClass α

Context: Preorder α

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b : α

Context: ha : 0 ≤ a

Context: hb : 0 < b


Context:
x : ZFSet
h : ∅ ∉ x
y : ZFSet
yx : y ∈ x


Context:
M : Type u_1
CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
x : ↥S


Context:
w n : Nat
x : BitVec w

x.shiftLeftZeroExtend n = BitVec.zeroExtend (w + n) x <<< n


Context:
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a < b


Context: n : ℕ

harmonic (n + 1) = harmonic n + (↑(n + 1))⁻¹


Context:
α : Type u
β : Type v
Mul α
Mul β
e : α ≃* β
a : WithOne α

e.withOneCongr a = (WithOne.map e.toMulHom) a


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring A
f : R →+* A
h : Function.Injective ⇑f
CharZero R


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: m : (i : ι) → M₁ i

Context: t✝ : Finset ι

Context: i : ι

Context: t : Finset ι

Context: hit : i ∉ t

Context: Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')

Context: m' : (i : ι) → M₁ i

f ((insert i t).piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ (insert i t).powerset, f (s.piecewise m m')


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
VAdd α β
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set β

(⋂ i, ⋂ j, s i j) +ᵥ t ⊆ ⋂ i, ⋂ j, s i j +ᵥ t


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
p.IsStronglyCartesian f φ
R' : 𝒮
a' : 𝒳
g : R' ⟶ R
f' : R' ⟶ S
hf' : f' = g ≫ f
φ' : a' ⟶ b
p.IsHomLift f' φ'

CategoryTheory.Functor.IsStronglyCartesian.map p f φ hf' φ' ≫ φ = φ'


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝¹ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
x : M
hx : x ∈ ⋃ i, ↑(p i)


Context: α : Type u_1

Context: k : Heap α → Heap α

Context: n : Nat

Context: le : α → α → Bool

Context: res : FindMin α

Context: s✝ : Heap α

Context: m : Nat

Context: hk : ∀ (s : Heap α), (k s).realSize = m + s.realSize

Context: hres : Batteries.BinomialHeap.Imp.FindMin.HasSize res n

Context: r : Nat

Context: a : α

Context: c : HeapNode α

Context: s : Heap α

Context: eq : n = m + (cons r a c s).realSize

Batteries.BinomialHeap.Imp.FindMin.HasSize (findMin le (k ∘ cons r a c) s (if le res.val a = true then res else { before := k, val := a, node := c, next := s })) n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : Finset α
f : α → ℚ
hf : ∀ a ∈ s, 0 ≤ f a

(∏ a ∈ s, f a).toNNRat = ∏ a ∈ s, (f a).toNNRat


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_nonempty : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_open : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
h_Union : ⋃ i, s i = univ
i : ι


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
𝕜 : Type u_5
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜 F
Fact (1 ≤ p)
L : E →L[𝕜] F
f : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)

↑↑((ContinuousLinearMap.compLpL p μ L) f) =ᵐ[μ] fun a => L (↑↑f a)


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
ι : Type u_9
s : Set ι
p : ι → Submodule R M
x✝¹ : ↥(⨆ i ∈ s, p i)
x : M
hx : x ∈ ⨆ i ∈ s, p i
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤
i : ι
hi : i ∈ s

map (⨆ i ∈ s, p i).subtype (comap (⨆ i ∈ s, p i).subtype (p i)) = p i


Context:
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
s : Set α


Context: q₁ q₂ : ℚ

(q₁ * q₂).num = q₁.num * q₂.num / ↑((q₁.num * q₂.num).natAbs.gcd (q₁.den * q₂.den))


Context:
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
CategoryTheory.Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
e : C ≌ D

(CategoryTheory.Limits.Cocones.functorialityEquivalence F e).counitIso =
  CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun c => CategoryTheory.Limits.Cocones.ext (e.counitIso.app c.pt) ⋯) ⋯


Context:
M : Type u_4
N : Type u_5
AddMonoid M
AddMonoid N
f : M →+ N
h : ∀ (x : M), IsAddUnit (f x)
x : M

↑(-(IsAddUnit.liftRight f h) x) + f x = 0


Context:
α : Type u
AddMonoid α
u : AddUnits α
a : α


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂✝ : Type w
V₂ : Type w'
M₃✝ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂✝
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₂✝
inst✝⁵ : Module R M₃✝
inst✝⁴ : Module R M₄
M₂ : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
M₃ : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M₃
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
hd : Disjoint (range f) (range g)
y : M
z : M₂
h : f y + g z = 0


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
hE : CompleteSpace E

∀ (f : α × β → E), Integrable f (μ.prod ν) → ∫ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α), ∫ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

HurwitzZeta.completedHurwitzZetaEven₀ a (1 - s) = HurwitzZeta.completedCosZeta₀ a s


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c c' : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hc' : IsColimit c'
hf : IsLimit f

∀ (j : Discrete α), c'.ι.app j ≫ ((opCoproductIsoProduct' hc hf).hom ≫ (opCoproductIsoProduct' hc' hf).inv).unop = c'.ι.app j ≫ (hc.coconePointUniqueUpToIso hc').op.inv.unop


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p

ENNReal.ofReal p * ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1)) = ENNReal.ofReal p * ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))


Context:
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
b : ℕ
x✝ : 2 ≤ b + 3


Context:
ι : Type u
r : ι → ι → Prop
IsWellOrder ι r
f : ι → Ordinal.{max u v}

(Ordinal.type r).blsub (Ordinal.bfamilyOfFamily' r f) = Ordinal.lsub f


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Category.{u, v} A

Context: inst✝² : G.LocallyCoverDense K

Context: inst✝¹ : G.IsLocallyFull K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFaithful K

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X

Context: S' : Sieve X

Context: H' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f S' ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) Y

∀ ⦃Y : D⦄ ⦃f : Y ⟶ G.obj X⦄, (Sieve.functorPushforward G S).arrows f → Sieve.pullback f (Sieve.functorPushforward G S') ∈ K.sieves Y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
e : α ≃o β
a : α


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
TopologicalSpace R
Star R
ContinuousStar R
TopologicalSpace α
f : α → R
hf : Continuous f


Context: ι : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹² : CommRing R✝

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R✝ M

Context: N : ι → Submodule R✝ M

Context: inst✝⁹ : DecidableEq ι

Context: h : IsInternal N

Context: R : Type u_4

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: N₁ : ι → Submodule R M₁

Context: h₁ : IsInternal N₁

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: N₂ : ι → Submodule R M₂

Context: h₂ : IsInternal N₂

Context: κ₁ : ι → Type u_7

Context: κ₂ : ι → Type u_8

Context: inst✝³ : (i : ι) → Fintype (κ₁ i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), Finite (κ₂ i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (κ₁ i)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b₁ : (i : ι) → Basis (κ₁ i) R ↥(N₁ i)

Context: b₂ : (i : ι) → Basis (κ₂ i) R ↥(N₂ i)

Context: f : M₁ →ₗ[R] M₂

Context: hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N₁ i) ↑(N₂ i)

Context: i : ι

Context: snd✝¹ : κ₂ i

Context: j : ι

Context: snd✝ : κ₁ j

(toMatrix (h₁.collectedBasis b₁) (h₂.collectedBasis b₂)) f ⟨i, snd✝¹⟩ ⟨j, snd✝⟩ = Matrix.blockDiagonal' (fun i => (toMatrix (b₁ i) (b₂ i)) (f.restrict ⋯)) ⟨i, snd✝¹⟩ ⟨j, snd✝⟩


Context:
M : Type u_3
G : Type u_6
H : Type u_7
AddZeroClass M
AddCommGroup G
AddCommGroup H
φ : G →+ H
ψ : M →+ G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
u : ι → UniformSpace γ

UniformFun.filter α γ (⨅ i, 𝓤 γ) = ⨅ i, 𝓤 (α →ᵤ γ)


Context:
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
M : Type u_1
AddCommGroup M
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
m : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M

∀ (a : S), ((KaehlerDifferential.linearMapEquivDerivation R S) m) a = m ((KaehlerDifferential.D R S) a)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: H : ∀ (f : ℕ → α → E), (∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ) → ∀ (B : ℕ → ℝ≥0∞), ∑' (i : ℕ), B i < ⊤ → (∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N) → ∃ f_lim, Memℒp f_lim p μ ∧ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)

Context: B : ℕ → ℝ := fun n => (1 / 2) ^ n

Context: hB_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n

Context: f : ℕ → ↥(Lp E p μ)

Context: hf : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (f n) (f m) < B N

Context: M : ℝ

Context: hB : HasSum B M

Context: B1 : ℕ → ℝ≥0∞ := fun n => ENNReal.ofReal (B n)

Context: hB1_has : HasSum B1 (ENNReal.ofReal M)

∃ f_lim, Memℒp f_lim p μ ∧ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂

Context: self : CategoryTheory.ShortComplex.Homotopy φ₁ φ₂

φ₁.τ₃ = self.h₃ + CategoryTheory.CategoryStruct.comp self.h₂ S₂.g + φ₂.τ₃


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: f : ℕ → M

Context: u : ℕ → ℕ

Context: hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: hu : Monotone u

Context: n : ℕ

Context: ihn : ∑ k ∈ Ico (u 0) (u n), f k ≤ ∑ k ∈ range n, (u (k + 1) - u k) • f (u k)

∑ k ∈ Ico (u n) (u (n + 1)), f k ≤ (u (n + 1) - u n) • f (u n)


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: X Y : R

Context: h : W'.toAffine.Nonsingular X Y

Context: h0 : fromAffine (Affine.Point.some h) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a₁ a₂ : α
b : β
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero β
SMulPosMono α β
SMulPosReflectLE α β
hb : 0 < b

a₁ • b ≤ a₂ • b ↔ a₁ ≤ a₂


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: m : Submodule R M

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: x✝ : Nontrivial R

Context: h : ∀ (x : R), x ≠ 0 → Function.Surjective ⇑(LinearMap.toSpanSingleton R R x)

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: y : R

Context: hyx : y * x = 1

Context: hy : y ≠ 0


Context:
α : Type u_1
LinearOrder α
l : List α
a : α


Context:
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
s : Set Rᵐᵒᵖ

(Subsemiring.closure s).unop = Subsemiring.closure (MulOpposite.op ⁻¹' s)


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
φ : MvPowerSeries σ R
s : σ


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Nonempty V
n : ℕ
hc : G.Colorable n
m : ℕ
hm : m ∈ {n | G.Colorable n}
h' : m < Nat.succ 0


Context: β : Type u_2

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: Ω : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → β

Context: μ : MeasureTheory.Measure Ω

Context: TopologicalSpace F

Context: f : Ω → F

Context: hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ

MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun x => f x.2) (MeasureTheory.Measure.map (fun ω => (X ω, ω)) μ)


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
inst✝ : Simple Y
i : X ≅ Y
Y✝ : C
f : Y✝ ⟶ X
m : Mono f
this : Mono (f ≫ i.hom)


Context:
J : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} J
CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty J

CategoryTheory.FinallySmall J ↔ ∃ s, ∃ (_ : Small.{v, u} ↑s), ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (i ⟶ j)


Context:
num : Int
den g : Nat
den_nz : den ≠ 0
e : g = num.natAbs.gcd den


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : DivisionMonoid α
inst✝ : HasDistribNeg α
a : α
n : ℤ
h : Even n


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x

Context: hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l

Context: sub : ∀ x ∈ Ioo a b, Ioo a x ⊆ Ioo a b

Context: hg : ∀ x ∈ Ioo a b, g x ≠ 0

Context: c : ℝ → ℝ

Context: hc : ∀ x ∈ Ioo a b, c x ∈ Ioo a x ∧ f x * g' (c x) = g x * f' (c x)

Context: this : ∀ x ∈ Ioo a b, ((fun x' => f' x' / g' x') ∘ c) x = f x / g x


Context:
α : Type u_1
l : Lists' α true


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → β
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ


Context: E : Type u

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace ℂ E

Context: CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: z w : ℂ

Context: Hd : DifferentiableOn ℝ f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])

Context:
Hi :
  MeasureTheory.IntegrableOn (fun z => Complex.I • (fderiv ℝ f z) 1 - (fderiv ℝ f z) Complex.I)
    ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) MeasureTheory.volume

(((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑z.im * Complex.I)) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑w.im * Complex.I)) +
      Complex.I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑w.re + ↑y * Complex.I)) -
    Complex.I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑z.re + ↑y * Complex.I) =
  ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re,
    ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im,
      Complex.I • (fderiv ℝ f (↑x + ↑y * Complex.I)) 1 - (fderiv ℝ f (↑x + ↑y * Complex.I)) Complex.I


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: a : α

Context: l r : List α

Context: h1 : (a :: l).length - 1 - 0 < ((a :: l).reverseAux r).length

Context: x✝ : 0 < (a :: l).length

Context: aux : ∀ (h1 : 0 + l.length < (l.reverseAux (a :: r)).length) (h2 : 0 < (a :: r).length), (l.reverseAux (a :: r)).get ⟨0 + l.length, h1⟩ = (a :: r).get ⟨0, h2⟩


Context:
T : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} T
X Y : T
i : X ≅ Y
p : CategoryTheory.Arrow T
sq : CategoryTheory.Arrow.mk i.hom ⟶ p

CategoryTheory.CategoryStruct.comp i.inv (CategoryTheory.CategoryStruct.comp sq.left p.hom) = sq.right


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
TopologicalSpace α
MeasurableSpace α
MeasurableSpace E
OpensMeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
CompleteSpace F
hf : Continuous (Function.uncurry f)

Measurable fun p => fderiv 𝕜 (f p.1) p.2


Context: R : Type u

Context: Ring R

Context: P : Type (max u v)

Context: AddCommGroup P

Context: Module R P

Context:
huniv :
  ∀ {M : Type (max v u)} {N : Type (max u v)} [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : AddCommGroup N] [inst_2 : Module R M]
    [inst_3 : Module R N] (f : M →ₗ[R] N) (g : P →ₗ[R] N), Function.Surjective ⇑f → ∃ h, f ∘ₗ h = g