Context: ι : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t : ι → Finset α

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: hn : Fintype.card ι = n.succ

Context: ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card

Context: ih : ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α), Fintype.card ι' ≤ n → (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: hns : s ≠ univ

Context: hus : s.card = (s.biUnion t).card

Context: this : DecidableEq ι

Context: card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n

Context: t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'

Context: f' : { x // x ∈ s } → α

Context: hf' : Function.Injective f'

Context: hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x

Context: ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ

Context: t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t

Context: card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n

Context: f'' : ↑ι'' → α

Context: hf'' : Function.Injective f''

Context: hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x

Context: f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t

Context: f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t

∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
ι : Sort u_5
f : AddHom M N
s : ι → AddSubsemigroup M

AddSubsemigroup.map f (iSup s) = ⨆ i, AddSubsemigroup.map f (s i)


Context:
α : Type u_1
SeminormedAddCommGroup α
r C : ℝ
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ C * r ^ n
n : ℕ

dist (∑ i ∈ Finset.range n, f i) (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), f i) ≤ C * r ^ n


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X

(∀ (J : Set α), M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ X → I = J) ∧ X ⊆ M.E ↔ ∀ e ∈ X \ I, M.Dep (insert e I)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α α
μ : Measure α
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hκ : κ.Invariant μ
hη : η.Invariant μ
h✝ : IsEmpty α


Context:
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a : α
b : β a
xs : List (Sigma β)

(⟨a, b⟩ :: xs).toFinmap = Finmap.insert a b xs.toFinmap


Context:
ι : Type u_2
i j : ι


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : UniformSpace K

Context: inst✝ : CompletableTopField K

Context: x : hat K

Context: h : x ≠ 0

Context: y : hat K

Context: y_ne : y ≠ 0

Context: this : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹

Cauchy (map (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 y)))


Context:
R : Type u
CommRing R
P Q : Fin 3 → R
hz : P z = Q z
mem : Q z ∈ nonZeroDivisors R


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e e' : PartialHomeomorph X Y
hs : Disjoint e.source e'.source
ht : Disjoint e.target e'.target


Context:
α : Type u_1
AddCommGroup α
p a b c : α

a ≡ b [PMOD p] → b ≡ c [PMOD p] → a ≡ c [PMOD p]


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
g : G


Context:
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h : x✝.Valid
e : x✝.toString.data = m₁ ++ c :: m₂

x✝.next { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m n R
i : m
j : n

((LinearMap.stdBasis R (fun x => R) i) 1 ᵥ* M) j = M i j


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasFiniteProducts C

Context: CategoryTheory.Limits.HasPullbacks C

Context: X Y : CategoryTheory.Dial C

(X.braiding Y).hom.F =
  CategoryTheory.Limits.prod.lift
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.snd)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.prod.snd CategoryTheory.Limits.prod.fst)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : Matrix α β (𝓞 K)

Context: ha : a ≠ 0

Context: p q : ℕ

Context: cardα : Fintype.card α = p

Context: cardβ : Fintype.card β = q

Context: h0p : 0 < p

Context: hpq : p < q

Context: x : β × (K →+* ℂ) → ℤ

Context: hxl : x ≠ 0

Context: hmulvec0 : NumberField.house.asiegel K a *ᵥ x = 0

Context: hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖NumberField.house.asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))

Context: k : α

Context: lin_0 : ∀ (u : K →+* ℂ), ∑ r : K →+* ℂ, ∑ l : β, ↑(NumberField.house.a' K a k l r u) * ↑(x (l, r)) = 0

Context: this✝ : 0 = ∑ u : K →+* ℂ, (∑ r : K →+* ℂ, ∑ l : β, ↑(NumberField.house.a' K a k l r u) * ↑(x (l, r))) * (NumberField.house.newBasis K) u

Context: this : 0 = ∑ y : β, ∑ x_1 : K →+* ℂ, ↑(x (y, x_1)) * ∑ u : K →+* ℂ, ↑(NumberField.house.a' K a k y x_1 u) * (NumberField.house.newBasis K) u

Context: l✝ : β

Context: l : K →+* ℂ

↑(x (l✝, l)) * ∑ u : K →+* ℂ, ↑(NumberField.house.a' K a k l✝ l u) * (NumberField.house.newBasis K) u = (fun j => a k j) l✝ * (↑(x (l✝, l)) * (NumberField.house.newBasis K) l)


Context:
a b c : Ordinal.{u}
h : c.IsLimit


Context:
α : Type u_3
Preorder α
NoMaxOrder α
a : α


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: K : Type v

Context: inst✝³ : Field K

Context: hK : Invertible 2

Context: d : ℕ

Context: ih : ∀ {V : Type u} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [inst_2 : FiniteDimensional K V] {B : BilinForm K V}, IsSymm B → finrank K V = d → ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v

Context: V : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: B : BilinForm K V

Context: hB₂ : IsSymm B

Context: this : Nontrivial V

Context: hB₁ : B ≠ 0

Context: x : V

Context: hd : finrank K ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) + 1 = d + 1

Context: hx : ¬IsOrtho B x x

Context: B' : ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) →ₗ[K] ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) →ₗ[K] K := domRestrict₁₂ B ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B)

Context: v' : Basis (Fin d) K ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B)

Context: hv₁ : (domRestrict₁₂ B ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B)).IsOrthoᵢ ⇑v'

Context: b : Basis (Fin (d + 1)) K V := Basis.mkFinCons x v' ⋯ ⋯

Context: j i : Fin (d + 1)

j ≠ i → (IsOrtho B on Fin.cons x (Subtype.val ∘ ⇑v')) j i


Context:
n m d : ℕ
hm : n ∣ m
hd : m ∣ d

(unitsMap hm).comp (unitsMap hd) = unitsMap ⋯


Context: E : Type u_1

Context: NormedAddCommGroup E

Context: f : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: h : Complex.HadamardThreeLines.sSupNormIm f 0 = 0 ∨ Complex.HadamardThreeLines.sSupNormIm f 1 = 0

Complex.HadamardThreeLines.interpStrip f z = 0


Context: a b : Prop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
CommMonoid α
TopologicalSpace α
e : γ ≃ β
f : β → α


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i : ι
hi : ¬c.Rel i (c.next i)
A : C
f g : A ⟶ X φ i
h : f ≫ sndX φ i = g ≫ sndX φ i


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝⁵ : NormedRing R
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 R
𝕜' : Type u_4
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f g : E → 𝕜
n : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 n f
hg : ContDiff 𝕜 n g
h0 : ∀ (x : E), g x ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
h : 2 ≤ (f.cycleOf x).support.card


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g

Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S * λ * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S * λ * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S = ↑S.u * λ ^ (3 * S.multiplicity) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S ^ 3


Context:
G : Type u_1
X : Type u_2
SMul G X


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)

Context: α : L

Context: hα : α ^ n = (algebraMap K L) a


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : Semiring R

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: ℳ : ι → Submodule R M

Context: inst✝² : Decomposition ℳ

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: inst✝ : Module R N

Context: f g : M →ₗ[R] N

Context: h : ∀ (i : ι), f ∘ₗ (ℳ i).subtype = g ∘ₗ (ℳ i).subtype

Context: i : ι

(f ∘ₗ ↑(decomposeLinearEquiv ℳ).symm) ∘ₗ lof R ι (fun i => ↥(ℳ i)) i = (g ∘ₗ ↑(decomposeLinearEquiv ℳ).symm) ∘ₗ lof R ι (fun i => ↥(ℳ i)) i


Context:
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
x : ℕ × ↑p.smoothNumbers

↑((Nat.equivProdNatSmoothNumbers hp) x) = p ^ x.1 * ↑x.2


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: Z X : C

Context: h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X

Context: Y' : C

Context: f' : (shiftFunctor C 1).obj X ⟶ Y'

Context: g' : Y' ⟶ (shiftFunctor C 1).obj Z

Context: mem : Triangle.mk h f' g' ∈ distinguishedTriangles

∃ Y f g, Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : AntivaryOn f g s
x : 𝕜
hx : x ∈ s
y : 𝕜
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

(a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) = (a • f x) • a • g x + (b • f y) • a • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y)


Context: α β : Type u

Cardinal.mk α ^ Cardinal.mk β = Cardinal.mk (β → α)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: a b : α

Context: m : ℕ

Context: h : Finite a b

Context: hm : (multiplicity a b).get h < m


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: N₁ : Type u_5

Context: N₂ : Type u_6

Context: P : Type u_7

Context: Mᵢ : ι → Type u_8

Context: Nᵢ : ι → Type u_9

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid N₁

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid N₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid P

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: inst✝⁵ : Module R M₂

Context: inst✝⁴ : Module R N₁

Context: inst✝³ : Module R N₂

Context: inst✝² : Module R P

Context: inst✝¹ : Preorder P

Context: inst✝ : CovariantClass P P (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: Q₁ : QuadraticMap R M₁ P

Context: Q₂ : QuadraticMap R M₂ P

(∀ (x : M₁ × M₂), 0 ≤ (Q₁.prod Q₂) x) ↔ (∀ (x : M₁), 0 ≤ Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ Q₂ x


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
inst✝ : DecidableEq ι
s : Set ((a : ι) → π a)
x y : (a : ι) → π a
I : Finset ι
t : (i : ι) → Set (π i)
htx : ∀ (i : ι), t i ∈ 𝓝 (x i)
hts : (↑I).pi t ⊆ s
i : ι
hi : i ∈ ↑I


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s


Context:
n k : ℕ
hk : k ≤ n

n.choose k = n.choose k * (k ! * (n - k)!) / (k ! * (n - k)!)


Context:
n m : Nat
h : n.succ ≤ m.succ


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
e : G.Adj u v

SimpleGraph.singletonFinsubgraph v ≤ SimpleGraph.finsubgraphOfAdj e


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: i : Fin (n + 1)

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E

Context: f' : (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E

Context: hfc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: x : Fin (n + 1) → ℝ

Context: hxI : x ∈ Box.Icc I

Context: a : E

Context: ε : ℝ

Context: h0 : 0 < ε

Context: hε : ∀ y ∈ Box.Icc I, ‖f y - a - f' (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖

Context: c : ℝ≥0

Context: hc : I.distortion ≤ c

Context: e : ℝ → (Fin n → ℝ) → Fin (n + 1) → ℝ := i.insertNth

Context: Hl : I.lower i ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)

‖(∏ j : Fin (n + 1), (I.upper j - I.lower j)) • f' (Pi.single i 1) - (integral (I.face i) ⊥ (f ∘ e (I.upper i)) BoxAdditiveMap.volume - integral (I.face i) ⊥ (f ∘ e (I.lower i)) BoxAdditiveMap.volume)‖ ≤ 2 * ε * ↑c * ∏ j : Fin (n + 1), (I.upper j - I.lower j)


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d φ ≠ 0

∑ a ∈ d.support, d a ≤ d.sum fun i c => c


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: this : StieltjesFunction.id.measure.IsAddLeftInvariant


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B

Context: S : NonUnitalStarSubalgebra R A

Context: s : Set A

Context: z : A

(∀ x ∈ s, x * z = z * x) → ((∀ x ∈ star s, x * z = z * x) ↔ ∀ x ∈ s, star x * z = z * star x)


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap φ) S₂.homologyι =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.homologyι (CategoryTheory.ShortComplex.opcyclesMap φ)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: _i : Valued R Γ₀

Context: s : Set R

Context: x : R


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Basis I X
hY : I ⊆ Y
h : M.closure X = M.closure Y
hYE : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝


Context:
α : Type u_1
LE α
s : Set α
hs : IsLowerSet s


Context:
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : Matrix.SpecialLinearGroup n R

↑(Matrix.SpecialLinearGroup.toLin' A) = Matrix.toLin' ↑A


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocRing R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
k : ℕ


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasColimits C

Context: X : TopCat

Context: CategoryTheory.ConcreteCategory C

Context: CategoryTheory.Limits.PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)

Context: CategoryTheory.Limits.HasLimits C

Context: CategoryTheory.Limits.PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)

Context: (CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: F G : TopCat.Sheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: ∀ (x : ↑X), CategoryTheory.IsIso ((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C x).map f.val)


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
x : M₂
y : M₁


Context:
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
h₁ : x₁.Numeric
h₂ : x₂.Numeric
h₁₂ : IH24 x₁ x₂ y
h₂₁ : IH24 x₂ x₁ y
he : x₁ ≈ x₂


Context:
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set X
t : Set Y
h1 : Set.MapsTo f s t
x : ↑s
h2 : ContinuousAt f ↑x

ContinuousAt (Set.MapsTo.restrict f s t h1) x


Context:
α : Type u
l : List α
k : Nat
hk : k < l.length
l' : List α

(l ++ l').eraseIdx k = l.eraseIdx k ++ l'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
c : α
AddGroup α
InvolutiveNeg β
h : Function.Antiperiodic f c
x : α


Context:
α : Type u_1
Monoid α
a b : α
u : αˣ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ⨆ m, ker (f ^ m) = ker (f ^ n)


∀ (a : Bool × ℕ), Equiv.boolProdNatEquivNat a = Function.uncurry Nat.bit a


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing A
inst✝¹² : CommRing B
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra A K
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : Algebra B L
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra A L
inst✝³ : IsScalarTower A B L
inst✝² : IsScalarTower A K L
inst✝¹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝ : FiniteDimensional K L
σ : B →ₐ[A] B
x : B
this : IsDomain A

((galRestrictHom A K L B).symm σ) ((algebraMap B L) x) = (algebraMap B L) (σ x)


Context:
R : Type u_1
CommMonoid R
R' : Type u_2
CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
a : Rˣ


Context:
F : Type u
E : Type v
Field F
Field E
Algebra F E
f : F[X]

(Polynomial.map (algebraMap F E) f).natSepDegree = f.natSepDegree


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
VSub α β
b c : β


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : F →L[𝕜] G
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
n : ℕ

‖‖f.compFormalMultilinearSeries p n‖‖ ≤ ‖f‖ * ‖‖p n‖‖


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y Z : C
f₁ f₂ : X ⟶ Z
g₁ g₂ : Y ⟶ Z
h₁ : f₁ = f₂
h₂ : g₁ = g₂
CategoryTheory.Limits.HasPullback f₁ g₁
CategoryTheory.Limits.HasPullback f₂ g₂

(CategoryTheory.Limits.pullback.congrHom h₁ h₂).inv =
  CategoryTheory.Limits.pullback.map f₂ g₂ f₁ g₁ (𝟙 X) (𝟙 Y) (𝟙 Z) ⋯ ⋯


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ 0

Context: hf : (mulSupport fun v => v.maxPowDividing I).Finite

Context: h_ne_zero : v.maxPowDividing I ≠ 0

¬v.asIdeal ^ ((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors + 1) ∣ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
W X X' : D
Y : C
f : W ⟶ X
g : X ⟶ G.obj Y
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ G.obj Y

f ≫ g ≫ α.inv.app Y = f' ≫ g' ≫ α.inv.app Y ↔ f ≫ g = f' ≫ g'


Context:
l : List ℕ
n : ℕ

List.Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (Denumerable.raise' l n)


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ
n : ℤ

(CochainComplex.mappingCone φ).d (n - 1) n ≫ (CochainComplex.mappingCone.snd φ).v n n ⋯ =
  (↑(CochainComplex.mappingCone.fst φ)).v (n - 1) n ⋯ ≫ φ.f n +
    (CochainComplex.mappingCone.snd φ).v (n - 1) (n - 1) ⋯ ≫ G.d (n - 1) n


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
x : ι → A
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
hx : AlgebraicIndependent R x


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: a p P : R[X]

Context: h : ∀ (r : R), r • P = 0 → r = 0

Context: Q : R[X]

Context: hQ : P * Q = 0

Context: l : ℕ

Context: IH : ∀ m > l, P.coeff m • Q = 0

Context: hl : (P.coeff l • Q).natDegree = Q.natDegree

Context: m : ℕ := Q.natDegree

Context: i j : ℕ

Context: hij : i + j = l + m

Context: H : i = l → ¬j = m

Context: hi : i < l


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : AddMonoid A
x y : A


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s s₁ s₂ t : Set α

Context: ι : Type u_8

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: As : ι → Set α

Context: As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) μ

Context: As_disj : Pairwise (AEDisjoint μ on As)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
hf : f 0 = 0


Context: α : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: xs : Mathlib.Vector α n

Context: σ₁ : Type

Context: β : Type u_1

Context: σ₂ : Type

Context: f₁ : α → σ₁ → σ₁ × β

Context: f₂ : α → σ₂ → σ₂ × β

Context: s₁ : σ₁

Context: s₂ : σ₂

Context: R : σ₁ → σ₂ → Prop

Context: h₀ : R s₁ s₂

Context: hR : ∀ {s : σ₁} {q : σ₂} (a : α), R s q → R (f₁ a s).1 (f₂ a q).1 ∧ (f₁ a s).2 = (f₂ a q).2

R (Mathlib.Vector.mapAccumr f₁ xs s₁).1 (Mathlib.Vector.mapAccumr f₂ xs s₂).1 ∧
  (Mathlib.Vector.mapAccumr f₁ xs s₁).2 = (Mathlib.Vector.mapAccumr f₂ xs s₂).2


Context: s : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l }

(FormalMultilinearSeries.changeOriginIndexEquiv s).fst = s.fst + s.snd.fst


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: S S' S'' : D

Context: Y Y' Y'' : C

Context: T T' : C ⥤ D

Context: f f' : StructuredArrow S T

Context: g : f.right ⟶ f'.right

Context: w : autoParam (f.hom ≫ T.map g = f'.hom) _auto✝


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
hp : p ≠ 0
f : R →+* S
z : S
hz : eval₂ f z p = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0
hlt : 0 ≥ p.natDegree
A : p = C (p.coeff 0)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
e : Basis ι R M
w : ι → Rˣ

SameRay R (e.unitsSMul w).det ((↑(∏ i : ι, w i)⁻¹ * ∏ i : ι, ↑(w i)) • (e.unitsSMul w).det)


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
x : σ →₀ ℕ


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C

Context: self : CategoryTheory.HasPullbacksOfInclusions C

Context: X Y Z : C

Context: f : Z ⟶ X ⨿ Y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
FiniteDimensional 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
x : E

0 ≤ RCLike.re ⟪x, (LinearMap.adjoint T * T) x⟫_𝕜


Context:
G : Type u
self : DivInvMonoid G
a b : G


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝¹ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
a✝ : ℕ


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: L : (J ⥤ C) ⥤ C

Context: adj : const J ⊣ L

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cone F

Context: j : J

Context: eq : ((L ⋙ const J).map s.π ≫ adj.counit.app F).app j = (adj.counit.app ((const J).obj s.pt) ≫ (𝟭 (J ⥤ C)).map s.π).app j

(fun s => (adj.homEquiv s.pt F) s.π) s ≫ (coneOfAdj adj F).π.app j = s.π.app j


Context:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
t : Set E
hst : 𝓝[s] x = 𝓝[t] x


Context: A : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{?u.8867, u_1} A

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: inst✝¹ : ReflectsFiniteLimits (CategoryTheory.forget A)

Context: F : LightProfiniteᵒᵖ ⥤ A

Context: inst✝ : PreservesFiniteProducts (F ⋙ CategoryTheory.forget A)

Context: hF : EqualizerCondition (F ⋙ CategoryTheory.forget A)

Nonempty (PreservesFiniteProducts (F ⋙ CategoryTheory.forget A)) ∧ EqualizerCondition (F ⋙ CategoryTheory.forget A)


Context:
R : Type u
Ring R
s t : Set R
h : s ⊆ t

Subring.centralizer t ≤ Subring.centralizer s


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D

Context: inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D

Context: S : ShortComplex C

Context: h₁✝ : S.LeftHomologyData

Context: h₂✝ : S.RightHomologyData

Context: F✝ : C ⥤ D

Context: inst✝⁴ : F✝.PreservesZeroMorphisms

Context: hl : S.LeftHomologyData

Context: hr : S.RightHomologyData

Context: S₁ S₂ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: hl₁ : S₁.LeftHomologyData

Context: hr₁ : S₁.RightHomologyData

Context: hl₂ : S₂.LeftHomologyData

Context: hr₂ : S₂.RightHomologyData

Context: h₁ : S₁.HomologyData

Context: h₂ : S₂.HomologyData

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝³ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: inst✝² : S.HasHomology

Context: inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S

Context: inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S

Context: γ : HomologyMapData (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData (S.homologyData.map F)

Context: eq : leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.left (S.homologyData.left.map F) ≫ F.map S.homologyData.iso.hom = (S.map F).homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.right (S.homologyData.right.map F)

(S.map F).homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.right (S.homologyData.right.map F) ≫ F.map S.homologyData.iso.inv = leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.left (S.homologyData.left.map F)


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ
y : E

p (y + -x) < r ↔ y ∈ {x_1 | (⇑p ∘ fun z => z + -x) x_1 < r}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α

(e.restr s).target = e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' s


Context:
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizationMonoid α
UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

DvdNotUnit x y ↔ UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors x < UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors y


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
VAdd α β
f : Filter α
g h : Filter β

h ≤ f +ᵥ g ↔ ∀ ⦃s : Set α⦄, s ∈ f → ∀ ⦃t : Set β⦄, t ∈ g → s +ᵥ t ∈ h


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
h₁ : ∀ y ∈ s, f₁ y = f y
hx : f₁ x = f x

ContMDiffWithinAt I I' n f₁ s x ↔ ContMDiffWithinAt I I' n f s x


Context: J : Type u_1

Context: C : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} J

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: F : CategoryTheory.Functor J (CategoryTheory.ShortComplex C)

((CategoryTheory.ShortComplex.FunctorEquivalence.inverse J C).obj F).X₁ = F.comp CategoryTheory.ShortComplex.π₁


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l₁ : List α
h : l₁.length ≤ [].length


Context:
ι : Type u_1
π : ι → Type u_4
(i : ι) → HImp (π i)
a b : (i : ι) → π i
i : ι


Context:
X : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ
c : ℝ

∫ (x : X), (f + const X c) x ∂μ = ∫ (x : X), f x ∂μ + (μ Set.univ).toReal • c


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
H : B.IsRefl
x y : M


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
h : a < b


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: TopologicalSpace H

Context: TopologicalSpace M

Context: ChartedSpace H M

Context: TopologicalSpace H'

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e e' : PartialHomeomorph M H

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: g : M → H'

Context: he : e ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas M G

Context: xe : x ∈ e.source

Context: he' : e' ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas M G

Context: xe' : x ∈ e'.source

P (g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x) ↔ P (g ∘ ↑e'.symm) (↑e'.symm ⁻¹' s) (↑e' x)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
n : ℕ
s : Affine.Simplex k P n

s.reindex (Equiv.refl (Fin (n + 1))) = s


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝ : MeasureSpace α
s✝ t s : Set α
hs : MeasurableSet s

Measure.map Subtype.val volume = volume.restrict s


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α : TypeVec.{u} n
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
i✝ : Fin2 n
u : α i✝

(∀ (a_1 : (P F).A) (f_1 : (P F).B a_1 ⟹ α), abs ⟨a_1, f_1⟩ = abs ⟨a, f⟩ → u ∈ f_1 i✝ '' univ) ↔ u ∈ f i✝ '' univ


Context: τ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : τ → α → β

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: c : Set β

Context: hc₁ : IsCompact c

Context: n : Set β

Context: hn₁ : IsOpen n

Context: hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n

Context: v : Set τ

Context: hv₁ : v ∈ f

Context: hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c

Context: k : Set β := closure (image2 ϕ v s)

Context: hk : IsCompact (k \ n)

Context: j : Set τ → Set β := fun u => (closure (image2 ϕ (u ∩ v) s))ᶜ


Context:
α : Type u_1
BooleanAlgebra α
a b : α

toBoolRing (a ∆ b) = toBoolRing a + toBoolRing b


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M

Context: w : σ → M

Context: φ : MvPolynomial σ R

Context: hw : NonTorsionWeight w

Context: m : σ →₀ ℕ

Context: x : σ


Context:
R : Type u_1
Semiring R
d df dg : ℕ
a b : R
f g : R[X]
h_mul_left : f.natDegree ≤ df
h_mul_right : g.natDegree ≤ dg

f.coeff df = a → g.coeff dg = b → df + dg ≤ d → (f * g).coeff d = if d = df + dg then a * b else 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
g : E → F
c : ℝ≥0
Fact (1 ≤ p)
hg : LipschitzWith c g
g0 : g 0 = 0


Context:
i : ℤ
j : ℤ
hj : j ≠ 0


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
LE α
LE β
e : α ≃o β


Context:
n m l : ℕ
hln : l ≤ n

filter (fun x => decide (l ≤ x)) (Ico n m) = Ico (max n l) m


Context:
α : Type u_1
CompleteLattice α
a : α
s : Set α


Context:
R : Type u_1
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
B₁₁ : Matrix m₁ n₁ R
B₁₂ : Matrix m₁ n₂ R
B₂₁ : Matrix m₂ n₁ R
B₂₂ : Matrix m₂ n₂ R

(B₁₁.fromColumns B₁₂).fromRows (B₂₁.fromColumns B₂₂) = Matrix.fromBlocks B₁₁ B₁₂ B₂₁ B₂₂


Context:
H : Type u_1
TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
ClosedUnderRestriction G


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
t : Set (α × α)
h : t ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
w_symm : SymmetricRel w
r : w ○ w ○ w ⊆ t


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
x : E

(c * gauge s x / (c * gauge t x) * c) • x = (c * (gauge s x / gauge t x)) • x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: p : α → Bool

Context: a b : α

Context: as : List α

Context: h✝ : filter p (a :: b :: as) ≠ []

Context: h' : p ((b :: as).getLast ⋯) = true

Context: h : (if p a = true then a :: filter p (b :: as) else filter p (b :: as)) ≠ []

(if p a = true then a :: filter p (b :: as) else filter p (b :: as)).getLast ⋯ = (b :: as).getLast ⋯


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: W X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : X ⟶ Z

Context: g' : Z ⟶ W

Context: CategoryTheory.Limits.HasPushout f g

Context: CategoryTheory.Limits.HasPushout (CategoryTheory.Limits.pushout.inr f g) g'

Context: CategoryTheory.Limits.HasPushout f (g ≫ g')

CategoryTheory.Limits.pushout.inl f g ≫
    CategoryTheory.Limits.pushout.inl (CategoryTheory.Limits.pushout.inr f g) g' ≫
      (CategoryTheory.Limits.pushoutLeftPushoutInrIso f g g').hom =
  CategoryTheory.Limits.pushout.inl f (g ≫ g')


Context: x y : Cardinal.{u_1}

Cardinal.toNat (x * y) = Cardinal.toNat x * Cardinal.toNat y


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: NormedAddCommGroup E

Context: β : Type u_5

Context: MeasurableSpace β

Context: μb : MeasureTheory.Measure β

Context: f : α → β

Context: g : ↥(MeasureTheory.Lp E p μb)

Context: hf : MeasureTheory.MeasurePreserving f μ μb

↑((MeasureTheory.Lp.compMeasurePreserving f hf) g) = (↑g).compMeasurePreserving f hf


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
inst✝ : M.RkPos
hB : M.Base B


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝
f : E →SL[σ] F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : IsClosed ↑g.graph


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: H : Type u_3

Context: TopologicalSpace H

Context: E : Type u_4

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace 𝕜 E

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: G : Type u_5

Context: AddCommMonoid G

Context: TopologicalSpace G

Context: ChartedSpace H G

Context: SmoothAdd I G

Context: E' : Type u_6

Context: NormedAddCommGroup E'

Context: NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_7

Context: TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_8

Context: TopologicalSpace M

Context: ChartedSpace H' M

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: t : Finset ι

Context: f : ι → M → G

Context: h : ∀ i ∈ t, SmoothWithinAt I' I (f i) s x

SmoothWithinAt I' I (fun x => ∑ i ∈ t, f i x) s x


Context: ι : Type u_1

Context: I✝ J✝ : Box ι

Context: p : Box ι → Prop

Context: I : Box ι

Context: H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J

Context: hpI : ¬p I

Context: s : Box ι → Set ι

Context: hs : ∀ J ≤ I, ¬p J → ¬p (J.splitCenterBox (s J))

Context: J : ℕ → Box ι := fun m => (fun J => J.splitCenterBox (s J))^[m] I


Context:
R : Type u₁
L : Type u₂
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
A : Type u₃
Ring A
Algebra R A
f : L →ₗ⁅R⁆ A
x : L

((UniversalEnvelopingAlgebra.lift R) f) ((UniversalEnvelopingAlgebra.mkAlgHom R L) (ιₜ x)) = f x


Context:
θ ψ : Real.Angle
h : 2 • θ = 2 • ψ


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
h✝ : IsEmpty ι

Fintype.card ι ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) + 1


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.IsEquivalence
X Y : C
f : X ⟶ Y

F.inv.map (F.map f) = (F.asEquivalence.functor ⋙ F.asEquivalence.inverse).map f


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
g : G
a : α

AddAction.stabilizer G (g +ᵥ a) = AddSubgroup.map (AddEquiv.toAddMonoidHom (AddAut.conj g)) (AddAction.stabilizer G a)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C

Context: W : MorphismProperty C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D

Context: D' : Type u₃

Context: inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D'

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝³ : L.IsLocalization W

Context: X Y Z : C

Context: inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y

Context: inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y Z

Context: inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Z

Context: this✝ : Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y) := small_of_hasSmallLocalizedHom W W.Q X Y

Context: this : Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z) := small_of_hasSmallLocalizedHom W W.Q Y Z

Context: α : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y

Context: β : W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z

(homEquiv W W.Q L) ((homEquiv W W.Q W.Q) ((homEquiv W W.Q W.Q) α ≫ (homEquiv W W.Q W.Q) β)) = (homEquiv W W.Q L) α ≫ (homEquiv W W.Q L) β


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A


Context:
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
K : Set α
hK : IsCompact K

(𝓝ˢ K).HasBasis (fun δ => 0 < δ) fun δ => Metric.thickening δ K


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
h : (μ.prod ν) s = 0

(fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) =ᶠ[ae μ] 0


Context: E : Type u_3

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace ℝ E

Context: a b : ℝ

Context: f g : ℝ → E

Context: μ : MeasureTheory.Measure ℝ

Context: h : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ Ι a b → f x = g x

∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..b, g x ∂μ


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Finset α

Finset.Ico s t = Finset.filter (fun x => s ⊆ x) t.ssubsets


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
r : R
n : ℕ

0 ∉ Finset.range (n + 1) → ↑p ^ 0 * (teichmullerFun p r).coeff 0 ^ p ^ (n - 0) = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: X✝ Y✝ : PartialFun

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: a : (𝟭 PartialFun).obj X✝

Context: b : (partialFunToPointed ⋙ pointedToPartialFun).obj Y✝

(b ∈ (f a).bind fun x => Part.some ⟨some x, ⋯⟩) ↔ b ∈ (PFun.toSubtype (fun x => ¬x = none) (Option.elim' none fun a => (f a).toOption) ∘ Subtype.val) ⟨some a, ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
Preorder α
a x : α
h : x ∈ Set.Iio a


Context:
S : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
CommSemiring S
Algebra S R
Module S M
IsScalarTower S R M
Module S N
IsScalarTower S R N
a : S
x y : M

QuadraticMap.polar (⇑Q) (a • x) y = a • QuadraticMap.polar (⇑Q) x y


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.25278, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.25282, u_2} D
F G : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
X : Grothendieck F

(eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
TopologicalSpace α
BorelSpace α
SecondCountableTopologyEither α E
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
f : α →ᵇ E

‖⟨ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap, ⋯⟩‖₊ ≤ MeasureTheory.measureUnivNNReal μ ^ p.toReal⁻¹ * ‖f‖₊


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α


Context:
R : Type u
ι : Type v
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
Semiring R
AddCommMonoid M₂
AddCommMonoid M₃
Module R M₂
Module R M₃
TopologicalSpace M₂
TopologicalSpace M₃
Subsingleton ι
i : ι
f : M₂ →L[R] M₃

((ContinuousMultilinearMap.ofSubsingleton R M₂ M₃ i) f).toMultilinearMap = (MultilinearMap.ofSubsingleton R M₂ M₃ i) ↑f


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
φ : MvPowerSeries σ R
s : σ


Context: a : Rat


Context: μ : YoungDiagram

Context: x : ℕ

Context: hx : ∃ a ∈ List.range (μ.colLen 0), μ.rowLen a = x


Context:
α : Type u_1
x y : List α
h : x <+: y
hx : x ≠ []


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
w : σ → M
m : M

MvPolynomial.weightedHomogeneousSubmodule R w m = Finsupp.supported R R {d | (Finsupp.weight w) d = m}


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 E
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace E
CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E

‖A x‖ = √(RCLike.re ⟪((ContinuousLinearMap.adjoint A).comp A) x, x⟫_𝕜)


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
AddGroup G
T : AddTorsor G P
p q : P


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
Group G
MulAction G α
g h : G
comm : Commute g h

(MulAction.fixedBy α g)ᶜ ∈ MulAction.fixedBy (Set α) h


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasTerminal C

Context: CategoryTheory.Limits.HasBinaryProducts C

comonEquiv.unitIso = CategoryTheory.NatIso.ofComponents (fun A => iso_cartesianComon_ A) ⋯


Context:
K : Type u_1
RCLike K
z : K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
g : β → α

TopologicalSpace.induced g (t₁ ⊓ t₂) = TopologicalSpace.induced g t₁ ⊓ TopologicalSpace.induced g t₂


Context:
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L' : LieSubalgebra R L


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → β
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
m : Imp α β
k : α
h : m.size = m.buckets.size

m.size = ((m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val AssocList.nil ⋯).update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val (AssocList.modify k f m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯).size


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
Countable ι
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x


Context:
M : Type u_5
N : Type u_6
AddZeroClass M
AddZeroClass N


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ : α
l l' : List α
h : l ~r l'
hn : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l


Context:
α β : Type u
f : α → β
x : FreeAddGroup α


Context:
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
One M
One N
f : α → M × N

Function.mulSupport f = (Function.mulSupport fun x => (f x).1) ∪ Function.mulSupport fun x => (f x).2


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: (i : ι) → Group (G i)

Context: Group H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: d : Monoid.PushoutI.NormalWord.Transversal φ

Context: DecidableEq ι

Context: (i : ι) → DecidableEq (G i)

Context: w : Monoid.CoprodI.Word G

Context: i : ι

Context: h : H

Context: hw : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w.toList → g ∈ d.set i

Context: hφw : ∀ (j : ι) (g : G j), ⟨j, g⟩ ∈ (Monoid.CoprodI.of ((φ i) h) • w).toList → g ∈ d.set j


Context:
G : Type u_1
Group G
S : Set G
hS : Subgroup.closure S = ⊤

Subgroup.center G = ⨅ g, Subgroup.centralizer ↑(Subgroup.zpowers ↑g)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s✝ s₁ t u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → E → F

Context: s : Finset ι

Context: h : ∀ i ∈ s, ContDiff 𝕜 n fun x => f i x


Context:
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 ≤ -1
hs' : -1 ≠ 0


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
a : α
n : ℕ
h : a ∉ s
m : { x // x ∈ (insert a s).sym n }

↑((Finset.symInsertEquiv h) m).snd = (Sym.filterNe a ↑m).snd


Context:
α : Type u
as : List α
a : α


Context:
A : Type u_4
CommRing A
IsDomain A
UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
Field K
Algebra A K
IsFractionRing A K
x : K

IsRelPrime (IsFractionRing.num A x) ↑(IsFractionRing.den A x)


Context:
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
f : α → E
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε

∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Integrable g μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n✝ m✝ l n m : ℕ


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f g : Perm (Fin n)

(∏ x ∈ finPairsLT n, if (f * g) x.fst ≤ (f * g) x.snd then -1 else 1) = (∏ x ∈ finPairsLT n, if f x.fst ≤ f x.snd then -1 else 1) * ∏ x ∈ finPairsLT n, if g⁻¹ x.fst ≤ g⁻¹ x.snd then -1 else 1


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: ha : Polynomial.eval a F = 0

Context: z' : ℤ_[p]

Context: hz' : Polynomial.eval z' F = 0

Context: hnormz' : ‖z' - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖

Context: h : ℤ_[p] := z' - a

Context: q : ℤ_[p]

Context: hq : Polynomial.eval (a + h) F = Polynomial.eval a F + Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) * h + q * h ^ 2

Context: this✝ : (Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) + q * h) * h = 0

Context: hne : ¬h = 0

Context: this : Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) + q * h = 0

Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) = -q * h


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C


Context:
a b d : Int
hda : d ∣ a
hdb : d ∣ b


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U : Opens ↑↑Z.toPresheafedSpace

((pullbackRestrictIsoRestrict (f ≫ g) U).inv ≫ (pullbackRightPullbackFstIso g (Scheme.Opens.ι U) f).inv) ≫ pullback.snd f (pullback.fst g (Scheme.Opens.ι U)) = ((pullbackRestrictIsoRestrict f (g ⁻¹ᵁ U)).inv ≫ pullback.snd f (g ⁻¹ᵁ U).ι) ≫ (pullbackRestrictIsoRestrict g U).inv


Context:
R : Type u
Ring R
p : R[X]


Context: α : Type u_1

Context: f : α → ℚ → ℝ

Context: a : α

Context: self : ProbabilityTheory.IsRatStieltjesPoint f a


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
TopologicalSpace G
NonarchimedeanAddGroup G
K : Type u_3
AddGroup K
TopologicalSpace K
NonarchimedeanAddGroup K
U : Set (G × K)
hU : U ∈ 𝓝 0

∃ V W, ↑V ×ˢ ↑W ⊆ U


Context:
α : Type u_1
E : Type u_4
𝕜 : Type u_6
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedRing 𝕜
Module 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
Fact (1 ≤ p)

BoundedSMul 𝕜 ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E p μ)


Context:
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x✝ : M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
hx : x ∈ tsupport ↑f


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E


Context:
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : 0 < x


Context:
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U : X.Opens
x : ↥U
y : ↑(X.presheaf.obj (op U))
hy : (X.presheaf.germ x) y = 0


Context: α : Type u_1

Context: MeasurableSpace α

Context: s : MeasureTheory.SignedMeasure α

Context: i : Set α

Context: n : ℕ

Context:
hn :
  ¬MeasureTheory.VectorMeasure.restrict s
        (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k) ≤
      MeasureTheory.VectorMeasure.restrict 0
        (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)

1 /
    (↑(MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s
          (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)) +
      1) <
  ↑s (MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i n.succ)


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
h : ¬G.IsUniform ε s t


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: CommRing R

Context: LieRing L

Context: LieAlgebra R L

Context: AddCommGroup M

Context: Module R M

Context: LieRingModule L M

Context: LieModule R L M

Context: Module.Free R M

Context: Module.Finite R M

Context: LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: IsDomain R

Context: IsPrincipalIdealRing R

Context: h : LinearMap.ker (LieModule.traceForm R L M) = ⊥


Context:
p : ℕ
q : ℚ
hq : ¬q = 0


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : Ω → ℝ

Context: hint : Integrable X ℙ

Context: hnonneg : 0 ≤ X

Context: K : ℕ

Context: A : Tendsto (fun N => ∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioc ↑j ↑N}) atTop (𝓝 (∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioi ↑j}))

Context: N : ℕ

Context: hN : N ∈ Set.Ici K

∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioc ↑j ↑N} ≤ ENNReal.ofReal ((∫ (a : Ω), X a) + 1)


Context: α : Type u_1

Context: Mul α

Context: LE α

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a : α

Context: b c : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : LT α
a✝ b : α
a : WithTop α


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → IsPrincipal P

Context: J : Ideal R

Context: hJ : J ∈ nonPrincipals R

Context: I : Ideal R

Context: Ibad : I ∈ nonPrincipals R

Context: Imax : ∀ z ∈ nonPrincipals R, I ≤ z → z = I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
X : α → β
Y : α → γ
μ : MeasureTheory.Measure α
hY : AEMeasurable Y μ

(MeasureTheory.Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).fst = MeasureTheory.Measure.map X μ


Context: V : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ V

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x : V

Context: h : x ≠ 0

Context: r : ℝ

Context: hr : ¬r = 0

Context: hx : x = r⁻¹ • (o.rotation ↑(π / 2)) (-(r • (o.rotation ↑(π / 2)) x))

o.oangle (-(r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) + r⁻¹ • (o.rotation ↑(π / 2)) (-(r • (o.rotation ↑(π / 2)) x))) (r⁻¹ • (o.rotation ↑(π / 2)) (-(r • (o.rotation ↑(π / 2)) x))) = ↑(Real.arctan r)


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : IsReduced B
n : ℕ
p : A[X]
dvd : (Polynomial.aeval x) (p ^ n) = 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : ℝ
h : y ∈ uIcc x z


Context:
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
x y : R

W.Equation x (W.negY x y) ↔ W.Equation x y


Context:
E : Type u_1
F : Type u_2
𝓕 : Type u_3
SeminormedAddGroup E
SeminormedAddCommGroup F
FunLike 𝓕 E F
ZeroAtInftyContinuousMapClass 𝓕 E F
f : 𝓕
ε : ℝ
hε : 0 < ε


Context:
K : Type u_3
L : Type u_4
Field K
Field L
Algebra K L
x : L
p : K[X]
aeval_eq : (Polynomial.aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0

x⁻¹ = -((Polynomial.aeval x) p.divX / (algebraMap K L) (p.coeff 0))


Context: a : Cardinal.{u_1}


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁹ : Category.{u_5, u_2} A

Context: inst✝⁸ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝⁷ : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝⁶ : (constantSheaf J A).Full

Context: t : C

Context: ht : IsTerminal t

Context: D : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_3} D

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝⁴ : HasWeakSheafify K A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝³ : ∀ (X : Dᵒᵖ), HasLimitsOfShape (StructuredArrow X G.op) A

Context: inst✝² : IsDenseSubsite J K G

Context: ht' : IsTerminal (G.obj t)

Context: inst✝¹ : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝ : (constantSheaf J A).Full

Context: F : Sheaf K A

Context: e : Sheaf J A ≌ Sheaf K A := sheafEquiv G J K A

Context: this✝ : (constantSheaf K A).Faithful

Context: this : (constantSheaf K A).Full

e.inverse.obj F ∈ (constantSheaf J A).essImage ↔ F ∈ (constantSheaf K A).essImage


Context:
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : Type u_6
n' : Type u_7
o' : Type u_8
R : Type u_11
A : Type u_12
Semiring R
Semiring A
Module R A
Fintype n
Fintype n'
eₘ : m ≃ m'
eₙ : n ≃ n'
eₒ : o ≃ o'
M : Matrix m n A
N : Matrix n o A

(Matrix.reindexLinearEquiv R A eₘ eₙ) M * (Matrix.reindexLinearEquiv R A eₙ eₒ) N =
  (Matrix.reindexLinearEquiv R A eₘ eₒ) (M * N)


Context: α : Type u_1

Context: AddCommGroup α

Context: l : ℤ

Context: r : α

Context: tl : ℤ

Context: tr t : α

Context: prl : l = tl

Context: prr : r = tr

Context: prt : Mathlib.Tactic.Abel.smulg tl tr = t


Context: α β : FinBddDistLat

Context: e : ↑α.toBddDistLat.toDistLat ≃o ↑β.toBddDistLat.toDistLat

Context: a : ↑β.toBddDistLat.toDistLat

(FinBddDistLat.Iso.mk e).inv.toSupHom a = e.symm a


Context:
R : Type u
CommSemiring R
A : Type v
CommSemiring A
Algebra R A
I : Submodule R A


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: inst✝³ : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝² : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝¹ : DecidableEq δ

Context: s✝ t : Finset δ

Context: f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x y : (i : δ) → π i

Context: i : δ

Context: inst✝ : Fintype δ

Context: s : Finset δ

Context: f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: hg : Measurable g

Context: hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ ≤ ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ

∫⁻ (x : (i : δ) → π i), f x ∂Measure.pi μ ≤ ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), g x ∂Measure.pi μ


Context: n✝ n : ℕ


Context:
X Y : Type u
f : X ⟶ Y

CategoryTheory.Mono f ↔ Function.Injective f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
a : α
b₁ b₂ : β
inst✝ : PosSMulMono α β
h : a < 0

a⁻¹ • b₁ ≤ b₂ ↔ a • b₂ ≤ b₁


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : Integrable g μ
v : E

∀ᶠ (n : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ᵐ (a : E) ∂μ, ‖n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a‖ ≤ ↑C * ‖v‖ * ‖g a‖


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
DecidableEq I₁₂
TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
K.HasTotal c₁₂
i₁ i₁' : I₁
h : c₁.Rel i₁ i₁'
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂

K.d₁ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ =
  c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.d i₁ i₁').f i₂ ≫ K.toGradedObject.ιMapObjOrZero (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁', i₂) i₁₂


Context:
c : Char
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor (c :: l) r it


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedField α
β : Type u_2
DivisionRing β
abv : β → α
IsAbsoluteValue abv


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: x y z : X

Context: ι : Type u_3

Context: F : Set X

Context: n : ℕ

Context: s : Set X

Context: h : IsPathConnected s

Context: p : Fin (n + 1) → X

Context: hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s

Context: p' : ℕ → X := fun k => if h : k < n + 1 then p ⟨k, h⟩ else p ⟨0, ⋯⟩

Context: γ : Path (p' 0) (p' n)

Context: hγ : (∀ i ≤ n, p' i ∈ range ⇑γ) ∧ range ⇑γ ⊆ s

Context: hpp' : ∀ k < n + 1, p ↑k = p' k

Context: i : ℕ

Context: hi : i < n + 1


Context:
V : Type u
G₁ G₂ : SimpleGraph V


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
OrderTop α
s : Finset β
f g : β → α
p : β → Prop
DecidablePred p

(s.inf fun i => if p i then f i else g i) = (Finset.filter p s).inf f ⊓ (Finset.filter (fun i => ¬p i) s).inf g


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω✝ : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hf0 : f 0 = 0

Context: hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R

Context: ht : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)

Context: ω : Ω

Context: hω : ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)

Context: hωb : BddAbove (Set.range fun n => f n ω)

∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : AddMonoid ι

Context: inst✝ : Semiring M

Context: f g : M[ι]

Context: to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }

(f * g).toDirectSum = f.toDirectSum * g.toDirectSum


Context: s : Set ℕ∞


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g✝ g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology G

Context: inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: inst✝³ : SFinite μ

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝ : CompleteSpace E'

Context: ι : Type u_1

Context: g : ι → G → E'

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : G

Context: z₀ : E'

Context: φ : ι → G → ℝ

Context: k : ι → G

Context: hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x

Context: hiφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1

Context: hmg : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (g i) μ

Context: hcg : Tendsto (uncurry g) (l ×ˢ 𝓝 x₀) (𝓝 z₀)

Context: hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)

Context: hφ : ∀ t ∈ 𝓝 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, support (φ x) ⊆ t

Tendsto (fun i => (φ i ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g i) (k i)) l (𝓝 z₀)


Context:
R : Type u_4
k : ℕ
CommRing R
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℕ

h.zmodEquivZPowers.symm (Additive.ofMul ⟨ζ ^ i, ⋯⟩) = ↑i


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ

(MvPolynomial.aeval fun i => (MvPolynomial.map (Int.castRingHom R)) (wittStructureInt p Φ i)) (W_ ℤ n) =
  (MvPolynomial.aeval fun i => (MvPolynomial.rename (Prod.mk i)) (W_ R n)) Φ


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
s : Multiset α
F : Type u_6
FunLike F α β
AddMonoidHomClass F α β
f : F


Context:
ι : Type uι
Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E' : ι → Type u_1
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

∀ (a : ⨂[𝕜] (i : ι), E i),
  ((PiTensorProduct.mapLMultilinear 𝕜 E E') f) a =
    (PiTensorProduct.liftAux ((PiTensorProduct.tprodL 𝕜).compContinuousLinearMap f).toMultilinearMap) a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
G : Type u_2
inst✝ : Group G
n : ℕ

vectorsProdEqOne G 1 = {1 ::ᵥ Vector.nil}


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
F F' : CategoryTheory.Functor C D
h : F ≅ F'
Y : D
hY : Y ∈ F.essImage


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β

f '' s = t → SurjOn f s t ∧ MapsTo f s t


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
AddCommMonoid ι
DecidableEq ι
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
y : HomogeneousLocalization 𝒜 x
n : ℕ


Context: n : Nat


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Finset ℕ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
s t : Finset ℕ
a : ℕ
hat : a ∈ t
has : a ∉ s
ha : ∀ b ∈ s, b ∉ t → b < a

(fun s => ∑ k ∈ s.ofColex, n ^ k) { ofColex := s } < (fun s => ∑ k ∈ s.ofColex, n ^ k) { ofColex := t }


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type u_2

Context: NormedAddCommGroup F

Context: NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type u_3

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace 𝕜 E

Context: v : E

Context: f : E → F

Context: f' : F

Context: x₀ : E

Context: hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖

‖f'‖ ≤ C * ‖v‖


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: e : S₁ ≅ S₂

(CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMapIso e).hom = CategoryTheory.ShortComplex.cyclesMap e.hom


Context:
R : Type u
CommRing R
x y : R


Context:
V : Type u_1
α : Type u_2
DecidableEq α
DecidableEq V
A : Matrix V V α
Zero α
One α
i : V


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f g : α → β
s : Set α
h' : Set.EqOn g f s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder β
f : α → β
l : List α
a m : α


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
Field K
CharZero K
LieRing L
LieAlgebra K L
LieAlgebra.IsKilling K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
α β : LieModule.Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : LieModule.Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β

↑(LieModule.chainTopCoeff (⇑α) β') = ↑(LieModule.chainTopCoeff (⇑α) β) - n


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TotallyDisconnectedSpace β
f✝ : α → β
T : Set β
inst✝ : DiscreteTopology ↑T
f : α → β
hne : T.Nonempty
hS : IsPreconnected ∅
hc : ContinuousOn f ∅
hTm : MapsTo f ∅ T


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_3

Context: β : Sort u_2

Context: S : ι → Set α

Context: f : (i : ι) → ↑(S i) → β

Context: hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩

Context: hS : Set.iUnion S = Set.univ

Context: i : ι

Context: x : ↑(S i)


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
e : E
x : 𝕜


Context:
L : FirstOrder.Language
L' : FirstOrder.Language
self : L ≃ᴸ L'

self.toLHom.comp self.invLHom = FirstOrder.Language.LHom.id L'


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : Module R N

Context: P : Type u

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: inst✝² : Module R P

Context: inst✝¹ : IsNoetherianRing R

Context: inst✝ : Module.Finite R N

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: k : ℕ

Context: hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)

Context: x : AdicCompletion I M

Context: a : AdicCauchySequence I M

Context: hx : (map I f) ((mk I M) a) = 0


Context:
α β : BddLat
e : ↑α.toLat ≃o ↑β.toLat
a : ↑β.toLat

(BddLat.Iso.mk e).inv.toSupHom a = e.symm a


Context:
n : ℕ
n1 : 1 ≤ n


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type x
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
TopologicalSpace δ
s : Set δ
g : δ → α
b : δ
hf : IsLocalMin f (g b)
hg : ContinuousOn g s
hb : b ∈ s


∀ {X Y : (CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape CategoryTheory.Limits.WalkingPair)ᵒᵖ} (f : X ⟶ Y),
  CategoryTheory.Limits.walkingCospanOpEquiv.functor.map f =
    (CategoryTheory.Limits.widePullbackShapeOpMap CategoryTheory.Limits.WalkingPair (Opposite.unop Y) (Opposite.unop X)
        f.unop).unop


Context:
α : Type u_1
Preorder α
s : LowerSet α
a : α


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive (⊤ • μ) T C

Context: f : α → E


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
hE : CompleteSpace E

IsClosed {f | ∫ (z : α × β), ↑↑f z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α), ∫ (y : β), ↑↑f (x, y) ∂ν ∂μ}


Context:
n : ℕ
a b : Fin n


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
c : 𝕜
f : ↥(Lp F p μ)
s : Set X

↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) ⋯) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f ⋯)


Context:
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x y : R
hx : x ∈ I


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: f : α → β

Context: g : β → α

Context: hf : Injective f

Context: hg : Injective g

Context: hβ : Nonempty β

Context: F : Set α →o Set α := { toFun := fun s => (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ, monotone' := ⋯ }

Context: s : Set α := OrderHom.lfp F

Context: hs : (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ = s

Context: hns : g '' (f '' s)ᶜ = sᶜ

Context: g' : α → β := invFun g

Context: g'g : LeftInverse g' g

Context: hg'ns : g' '' sᶜ = (f '' s)ᶜ


Context:
K : Type u_3
DivisionRing K
a b : K
hab : Commute a b
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0


Context:
n : Nat
i : Fin n


Context:
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module R A


Context: a b : ℤ

Fintype.card ↑(Set.Ioc a b) = (b - a).toNat


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: W X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: f' : W ⟶ X

Context: CategoryTheory.Limits.HasPullback f g

Context: CategoryTheory.Limits.HasPullback f' (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g)

Context: CategoryTheory.Limits.HasPullback (f' ≫ f) g

(CategoryTheory.Limits.pullbackRightPullbackFstIso f g f').hom ≫ CategoryTheory.Limits.pullback.snd (f' ≫ f) g =
  CategoryTheory.Limits.pullback.snd f' (CategoryTheory.Limits.pullback.fst f g) ≫
    CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g


Context:
α : Type u
Preorder α
k j : α
hkj : k ≤ j

Monotone fun x =>
  match x with
  | ⟨i, hi⟩ => ⟨i, ⋯⟩


Context:
a : ℝ≥0∞
h : a ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: TopologicalSpace β

Context: f g : α → β

Context: AddCommGroup β

Context: TopologicalAddGroup β

Context: hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ

MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (f + g) μ ↔ MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
DecidableEq β
s : Finset α
H : Function.Injective f


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
n : ℕ
x : ℤ_[p]

x ∈ RingHom.ker (toZModPow n) ↔ x ∈ Ideal.span {↑p ^ n}


Context: y : ℝ≥0∞


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} V

Context: CategoryTheory.Preadditive V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C D : HomologicalComplex V c

Context: W : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} W

Context: CategoryTheory.Preadditive W

Context: G : V ⥤ W

Context: G.Additive

Context: hom : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)

(G.mapHomologicalComplex c).map (Homotopy.nullHomotopicMap' hom) =
  Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij => G.map (hom i j hij)


Context:
C : Type v₁
inst✝² : Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
hF : F.Final

∀ {d : D} {c : C} (s s' : d ⟶ F.obj c), ∃ c' t, s ≫ F.map t = s' ≫ F.map t


Context:
J : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
F : J ⥤ C
inst✝² : HasLimit F
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimit (F ⋙ G)
E : Type u''
inst✝ : Category.{v'', u''} E
H : D ⥤ E
h : HasLimit ((F ⋙ G) ⋙ H)
this : HasLimit (F ⋙ G ⋙ H)
j✝ : J

(H.map (post F G) ≫ post (F ⋙ G) H) ≫ π ((F ⋙ G) ⋙ H) j✝ = post F (G ⋙ H) ≫ π ((F ⋙ G) ⋙ H) j✝


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
x : M
hx : ∀ (a : ↑s), ↑a • x = 0


Context: S : CategoryTheory.SheafOfTypes CategoryTheory.typesGrothendieckTopology

(CategoryTheory.equivYoneda' S).inv.val = (CategoryTheory.equivYoneda S.val ⋯).inv


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n := zeta_spec n K L

Context: hμ : ∀ (t : (ZMod ↑n)ˣ), IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑t).val) ↑n := fun t => IsPrimitiveRoot.pow_of_coprime hζ (↑t).val (ZMod.val_coe_unit_coprime t)

Context: x : (ZMod ↑n)ˣ

(IsPrimitiveRoot.autToPow K ⋯) ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) ⋯) = x


Context:
x : ℂ
n : ℕ
n.AtLeastTwo
hlt : -π < OfNat.ofNat n * x.arg
hle : OfNat.ofNat n * x.arg ≤ π
y : ℂ

x ^ (OfNat.ofNat n * y) = (x ^ OfNat.ofNat n) ^ y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : Fintype β

Context: A : Matrix α β ℤ

Context: v✝ : β → ℤ

Context: hn : m < n

Context: hm : 0 < m

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: v : β → ℤ

Context: hv : 0 ≤ v ∧ v ≤ B'

Context: mulVec_def : A *ᵥ v = fun i => ∑ j : β, A i j * v j

Context: i : α

Context: j : β

Context: a✝ : j ∈ univ

Context: hsign : 0 ≤ A i j


Context:
α : Sort u
r : α → α → Prop
q : Quot r


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : MulZeroClass α
s✝ t s : Set α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ


Context:
M : Type u_1
Zero M
l : List M
DecidablePred fun x => l.getD x 0 ≠ 0


Context:
α : Type u_2
LinearOrderedSemifield α
a : α
h₀ : 0 < a


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : Besicovitch.SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (Fin.last N) = 0
lastr : a.r (Fin.last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1

∃ c', (∀ (n : Fin N.succ), ‖c' n‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun i j => 1 - δ ≤ ‖c' i - c' j‖


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
f : α →ₛ F
x : F
x✝ : x ∈ f.range
hx0 : x = 0


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort x

Context: f : α → β

Context: x : ι → Filter α

Context: y : ι → Filter β

Context: h : ∀ (i : ι), Filter.Tendsto f (x i) (y i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
h : c ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : ↥(lp E p)

Context: s : Finset α

Context: F : α → ℝ := fun i => ‖↑f i‖ ^ p.toReal - ‖↑(f - ∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i)) i‖ ^ p.toReal

HasSum (fun b => ‖↑f b‖ ^ p.toReal - ‖↑(f - ∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i)) b‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal)


Context:
R : Type u
self : EuclideanDomain R
a b : R

b * EuclideanDomain.quotient a b + EuclideanDomain.remainder a b = a


Context:
α : Type u_1
s : Finset α


Context:
α : Type u
TopologicalSpace α


Context:
α : Type u_1
M : Type u_5
AddZeroClass M

∀ (a : α →₀ M) (a_1 : α), Finsupp.coeFnAddHom a a_1 = a a_1


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : Fintype τ
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : Nontrivial R

((powersetCard n univ).biUnion fun t => {∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1}) = image (fun t => ∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) (powersetCard n univ)


Context:
X✝ Y : LightCondSet
f : X✝ ⟶ Y
X : LightCondSet
x✝² x✝¹ : LightProfiniteᵒᵖ
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
a✝ : X.val.obj x✝²

(X.val.map x✝ ≫ (fun S x => { toFun := fun s => X.val.map (LightProfinite.const (Opposite.unop S) s).op x, continuous_toFun := ⋯ }) x✝¹) a✝ = ((fun S x => { toFun := fun s => X.val.map (LightProfinite.const (Opposite.unop S) s).op x, continuous_toFun := ⋯ }) x✝² ≫ X.toTopCat.toLightCondSet.val.map x✝) a✝


Context:
D : CategoryTheory.GlueData (Type v)
x : D.glued


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: LinearOrderedField K

Context: FloorRing K

Context: ifp_succ_n : GenContFract.IntFractPair K

Context: succ_nth_stream_eq : GenContFract.IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_succ_n


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁴ : MonoidalCategory C

Context: inst✝³ : BraidedCategory C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝¹ : MonoidalCategory D

Context: inst✝ : BraidedCategory D

Context: F : LaxBraidedFunctor C D

Context: A : CommMon_ C

Context: this : ∀ (X Y : C), F.μ X Y ≫ F.map (β_ X Y).hom = (β_ (F.obj X) (F.obj Y)).hom ≫ F.μ Y X

(F.μ A.X A.X ≫ F.map (β_ A.X A.X).hom) ≫ F.map A.mul = F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul


Context: x y : ℝ*

¬x.InfinitePos → y.InfiniteNeg → (x + y).InfiniteNeg


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
DivisionSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
CharZero R
f : α → α
x : α
h : Function.IsFixedPt f x
g : α → M
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
S : Type u
inst✝ : State S
s t✝ : S
m : t✝ ∈ r s
h : turnBound s = 0
t : turnBound t✝ < turnBound s


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
hg : Differentiable 𝕜 g

(Differentiable 𝕜 fun y => f y + g y) ↔ Differentiable 𝕜 f


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
f : Equiv.Perm α
x : α
h : f (f x) ≠ x

(Equiv.swap x (f x) * f).support = f.support \ {x}


Context:
α : Type u_1
E : Type u_3
G : Type u_5
F' : Type u_7
Norm E
Norm G
SeminormedAddCommGroup F'
l : Filter α
f : α → E
g : α → F'
k : α → G
h₁ : f =O[l] g
h₂ : g =Θ[l] k


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
z : S
i : ℕ
hi : f.natDegree ≤ i

{ toFun := Polynomial.coeff, map_add' := ⋯ } (h.modByMonicHom z) i = 0


Context:
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
self : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
i₁ i₁' : I₁
h : c₁.Rel i₁ i₁'
i₂ : I₂

c₁₂.Rel (TotalComplexShape.π c₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂)) (TotalComplexShape.π c₁ c₂ c₁₂ (i₁', i₂))


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α✝ → β → β
op : α✝ → α✝ → α✝
inst✝³ : Monoid α✝
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α✝ β
α : Type u_6
inst✝ : CommMonoid α
s : Multiset α


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
Field K
AddCommGroup V
Module K V
T : Projectivization.Subspace K V
v w : V
hv : v ≠ 0
hw : w ≠ 0
hvw : v + w ≠ 0

Projectivization.mk K v hv ∈ T → Projectivization.mk K w hw ∈ T → Projectivization.mk K (v + w) hvw ∈ T


Context: X : Type u_1

Context: E : Type u_3

Context: MeasurableSpace X

Context: TopologicalSpace X

Context: NormedAddCommGroup E

Context: f : X → E

Context: μ : MeasureTheory.Measure X

Context: OpensMeasurableSpace X

Context: a b : X

Context: MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ

Context: Preorder X

Context: CompactIccSpace X

Context: T2Space X

Context: hf : Continuous f

MeasureTheory.IntegrableOn f (Set.Icc a b) μ


Context:
P : ℕ∞ → Prop
a : ℕ∞
h0 : P 0
hsuc : ∀ (n : ℕ), P ↑n → P ↑n.succ
htop : (∀ (n : ℕ), P ↑n) → P ⊤


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D
CategoryTheory.Preadditive C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
φ : W.LeftFraction₂ X Y
F : CategoryTheory.Functor C D
hF : W.IsInvertedBy F
CategoryTheory.Preadditive D
F.Additive

φ.add.map F hF = φ.fst.map F hF + φ.snd.map F hF


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E
𝔸 : Type u_6
NormedRing 𝔸
NormedAlgebra 𝕜 𝔸
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
ha : HasFDerivAt a a' x
hb : HasFDerivAt b b' x

HasFDerivAt (fun y => a y * b y) (a x • b' + a'.smulRight (b x)) x


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Groupoid C

Context: S : Subgroupoid C

Context: c : C

Context: hc : c ∈ S.objs

Context: d : C

Context: hd : d ∈ S.objs

Context: hcd : S.hom.obj ⟨c, hc⟩ = S.hom.obj ⟨d, hd⟩


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}

∃ ι f, lsub f = o ∧ #ι = sInf {a | ∃ ι f, lsub f = o ∧ #ι = a}


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂


Context:
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
c : G.Coloring Bool
u v : α
p : G.Walk u v

Even p.length ↔ (c u = true ↔ c v = true)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C

Context: CategoryTheory.Category.{u_5, u_2} D

Context: CategoryTheory.Category.{u_7, u_3} A

Context: J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C

Context: K : CategoryTheory.GrothendieckTopology D

Context: H : C ⥤ D

Context: F G : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: f : F ⟶ G

Context: CategoryTheory.ConcreteCategory A

Context: H.IsCocontinuous J K

Context: CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective K f

CategoryTheory.Presheaf.IsLocallyInjective J (CategoryTheory.whiskerLeft H.op f)


Context:
α : Type u_1
UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
p : pkg.space → Prop
a : pkg.space
hp : IsClosed {a | p a}
ih : ∀ (a : α), p (pkg.coe a)


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
K : AddSubgroup G

AddSubgroup.map (AddMonoidHom.id G) K = K


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
a✝ : Nontrivial R
hR : IsField R[X]


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_4
f : ι → α
p : α → Prop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
SMul α β
Preorder α
LinearOrder β
Zero α

PosSMulStrictMono α β ↔ PosSMulReflectLE α β


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x y : G
i : ℤ


Context:
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
hf : LSeriesSummable f s
hg : LSeriesSummable g s


Context:
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
k l : ℕ
h : l ≤ k

LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L k I ≤ LieAlgebra.derivedSeriesOfIdeal R L l I


Context:
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
P : Type u_8
Zero M
Zero N
Zero P
f : ZeroHom N P
f₂ : ZeroHom M N

Finsupp.mapRange.zeroHom (f.comp f₂) = (Finsupp.mapRange.zeroHom f).comp (Finsupp.mapRange.zeroHom f₂)


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G


Context: b : ℕ

Context: b_ge_two : 2 ≤ b

Context: p : ℕ

Context: p_prime : Prime p

Context: p_gt_two : 2 < p

Context: not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)

Context: A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)

Context: B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)

Context: hi_A : 1 < A

Context: hi_B : 1 < B

Context: hi_AB : 1 < A * B

Context: hi_b : 0 < b

Context: hi_p : 1 ≤ p

Context: hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1

Context: hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)

Context: hi_bpowpsubone : 1 ≤ b ^ (p - 1)

Context: p_odd : Odd p

Context: AB_not_prime : ¬Prime (A * B)

Context: AB_id : A * B = (b ^ (2 * p) - 1) / (b ^ 2 - 1)

Context: hd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1

Context: ha₁ : (b ^ 2 - 1) * (A * B - 1) = b * (b ^ (p - 1) - 1) * (b ^ p + b)

Context: ha₂ : 2 ∣ b ^ p + b

Context: ha₃ : p ∣ b ^ (p - 1) - 1

Context: ha₄ : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (p - 1) - 1

Context: ha₅ : 2 * p * (b ^ 2 - 1) ∣ (b ^ 2 - 1) * (A * B - 1)

Context: ha₇ : A * B ∣ b ^ (2 * p) - 1

Context: q : ℕ

Context: hq : A * B - 1 = 2 * p * q

Context: ha₈ : b ^ (2 * p) - 1 ∣ b ^ (A * B - 1) - 1


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: κ : ι → Sort w'

Context: minAx : MinimalAxioms α

Context: f : (i : ι) → κ i → α

Context: x✝ : CompleteLattice α := minAx.toCompleteLattice

Context: g : ((i : ι) → κ i) → ι

Context: a : ι

Context: ha : ∀ (b : κ a), ∃ f, ∃ (h : a = g f), h ▸ b = f (g f)

⨅ i, f (g i) (i (g i)) ≤ ⨆ i, ⨅ j, f i j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
LinearOrder β
e : α ↪o β
x y : α


Context:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p₀ p₁ : P1
c : k


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m : Multiset α
a : α
b : δ a
f : (a' : α) → a' ∈ m → δ a'
δ' : α → Sort u_3
φ : ⦃a' : α⦄ → δ a' → δ' a'
a' : α
ha' : a' ∈ a ::ₘ m


Context:
x✝ x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x < π / 2
U : Set ℝ := Ico 0 (π / 2)
intU : interior U = Ioo 0 (π / 2)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: i : E ≃L[𝕜] F

Context: h : p 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F).symm ↑i

Context: h0 : p 0 = 0

(p.leftInv i).comp (p.comp (p.rightInv i)) = ((p.leftInv i).comp p).comp (p.rightInv i)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ

FreeAbelianGroup.map (g ∘ f) = (FreeAbelianGroup.map g).comp (FreeAbelianGroup.map f)


Context: α : Type u_1

Context: MeasurableSpace α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace ℝ E

Context: NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: NormedAddCommGroup H

Context: NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (F x) μ

Context: hF_int : MeasureTheory.Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable F' μ

Context: h_lip : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound a)) (fun x => F x a) (Metric.ball x₀ ε)

Context: bound_integrable : MeasureTheory.Integrable bound μ

Context: h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀

MeasureTheory.Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀


Context:
R : Type u
Semiring R
x : R


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: hs : IsClosed s

Context: ht : IsClosed t


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: G : Type u_5

Context: F' : Type u_6

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ≠ 0

Context: f : α →ₛ F

Context: s : Finset F

Context: hs : filter (fun x => x ≠ 0) f.range ⊆ s

Context: x : F

Context: hx✝ : x ∉ f.range ∨ x = 0

Context: hx : x ∉ f.range


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α

toIocDiv hp a (b - c) = toIocDiv hp (a + c) b


Context:
β : Type u_2
ι : Sort u_4
s : ι → Set β
i : ι


Context:
α : Type u_1
s : Finset α
a : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrder α
LinearOrder β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι


Context:
ι : Type u_1
R₂ : Type u_4
M : Type u_6
CommRing R₂
AddCommGroup M
Module R₂ M
e : Basis ι R₂ M
w : ι → R₂ˣ
v : M
i : ι

((e.unitsSMul w).repr v) i = (w i)⁻¹ • (e.repr v) i


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NonUnitalNormedRing A
NormedSpace 𝕜 A
SMulCommClass 𝕜 A A
IsScalarTower 𝕜 A A
StarRing A
CstarRing A
a : 𝓜(𝕜, A)


Context:
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
x : A


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: M✝ : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R'

Context: inst✝⁶ : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝⁵ : Algebra R R'

Context: inst✝⁴ : Algebra S S'

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R S'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S S'

Context: M : Submonoid S

Context: inst✝ : IsLocalization M S'

Context: x : S

Context: s : Finset S'

Context: A : Subalgebra R S

Context: hA₁ : ↑(finsetIntegerMultiple M s) ⊆ ↑A

Context: hA₂ : M ≤ A.toSubmonoid

Context: hx : (algebraMap S S') x ∈ Algebra.adjoin R ↑s

Context: g : S →ₐ[R] S' := IsScalarTower.toAlgHom R S S'

Context: y : ↥M := commonDenomOfFinset M s

Context: hx₁ : ↑y • ↑s = ⇑g '' ↑(finsetIntegerMultiple M s)


Context:
α : Type u_2
Preorder α
Zero α


Context:
α : Type u_1
R : Type u_3
SMul R ℝ≥0∞
IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
c : R
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
s : Set α


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
LinearOrderedField R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hxy : s.WOppSide x y
hyz : s.WSameSide y z
hy : y ∉ s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
u v : E

(reflection (Submodule.span 𝕜 {u})) v = 2 • (⟪u, v⟫_𝕜 / ↑‖u‖ ^ 2) • u - v


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V
this : Nontrivial K

Module.rank K V = 1 ↔ ∃ v₀, v₀ ≠ 0 ∧ ∀ (v : V), ∃ r, r • v₀ = v


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: l : Filter ℂ

Context: u : ℂ → ℝ

Context: this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → ∀ (z : ℂ), ‖expR (B₁ * expR (c₁ * |u z|))‖ ≤ ‖expR (B₂ * expR (c₂ * |u z|))‖

Context: cf : ℝ

Context: hcf : cf < a

Context: Bf : ℝ

Context: hOf : f =O[l] fun z => expR (Bf * expR (cf * |u z|))

Context: cg : ℝ

Context: hcg : cg < a

Context: Bg : ℝ

Context: hOg : g =O[l] fun z => expR (Bg * expR (cg * |u z|))


Context:
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
F : J ⥤ AddCommGrp
j j' : J
f : j ⟶ j'
x : ↑(F.obj j)

(coconeMorphism F j') ((F.map f) x) = (coconeMorphism F j) x


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : 0 < r
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop

Filter.Tendsto (fun x => r * f x) l Filter.atTop


Context:
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
h : IsPrimitiveRoot μ 0
hdiv : ¬p ∣ 0

minpoly ℤ μ ∣ (expand ℤ p) (minpoly ℤ (μ ^ p))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l₁ l₂ : ι →₀ 𝕜

⟪(Finsupp.total ι E 𝕜 v) l₁, (Finsupp.total ι E 𝕜 v) l₂⟫_𝕜 = l₂.sum fun i y => (starRingEnd 𝕜) (l₁ i) * y


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: a✝ a₁ a₂ b c : G

Context: inst✝ : Group G

Context: s✝ s : Set G

Context: a : G

Context: h : a ∈ closure s

Context: x : G

Context: x✝¹ : InClosure s x

Context: x✝ : ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s) ∧ l.prod = x

Context: L : List G

Context: HL1 : ∀ x ∈ L, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s

Context: HL2 : L.prod = x

Context: hd : G

Context: tl : List G

Context: ih : (List.map Inv.inv tl.reverse).prod = tl.prod⁻¹

(List.map Inv.inv (hd :: tl).reverse).prod = (hd :: tl).prod⁻¹


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X X' : C
f : X ⟶ X'
Y Z : C

CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Y) Z =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X Y Z).hom
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj Y Z))
      (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator X' Y Z).inv)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : Module R P

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Module.Free R M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R M

Context: inst✝³ : Module.Free R N

Context: inst✝² : Module.Finite R N

Context: inst✝¹ : Module.Free R P

Context: inst✝ : Module.Finite R P

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: g : N →ₗ[R] N

Context: h : (trace R (M × N) ∘ₗ prodMapLinear R M N M N R) (f, g) = (id.coprod id ∘ₗ (trace R M).prodMap (trace R N)) (f, g)

(trace R (M × N)) (f.prodMap g) = (trace R M) f + (trace R N) g


Context:
α : Type u_2
GeneralizedCoheytingAlgebra α
a : α


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y Z : C

Context: X' Y' Z' : D

Context: eX : L.obj X ≅ X'

Context: eY : L.obj Y ≅ Y'

Context: eZ : L.obj Z ≅ Z'

Context: X'' Y'' : C

Context: eX' : L.obj X'' ≅ X'

Context: eY' : L.obj Y'' ≅ Y'

Context: f₁ f₂ : X' ⟶ Y'

Context: h₁ : 𝟙 X' ≫ add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY (𝟙 X' ≫ f₁) (𝟙 X' ≫ f₂)


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : OplaxMonoidalFunctor C D
X✝ Y✝ : Comon_ C
f : X✝ ⟶ Y✝

F.map f.hom ≫ F.map Y✝.comul ≫ F.δ Y✝.X Y✝.X = (F.map X✝.comul ≫ F.δ X✝.X X✝.X) ≫ (F.map f.hom ⊗ F.map f.hom)


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.Abelian C

∀ {X Y : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C} (f : X ⟶ Y),
  (CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput.functorL₂'.map f).τ₂ = f.f₃.τ₁


Context:
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
L.Structure M
N : L.Substructure M

N.CG ↔ ∃ S, S.Countable ∧ (FirstOrder.Language.Substructure.closure L).toFun S = N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace β
g : α → β
γ : Type u_4

∀ {x : MeasurableSpace γ} {x_1 : MeasurableSpace α} {f : γ → α} {μ : MeasureTheory.Measure γ}
  {ν : MeasureTheory.Measure α},
  MeasureTheory.AEStronglyMeasurable g ν →
    MeasureTheory.MeasurePreserving f μ ν → MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (g ∘ f) μ


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
f' : E →L[ℝ] F
x : E
L : Filter E

Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ • (f x' - f x - f' (x' - x))) L (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - f' (x' - x)‖) L (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

Context: hB : B.Nonempty

Context: hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅

Context: U : Finset α

Context: hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B

Context: hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card

↑(A * C).card ≤ ↑(A * B).card * ↑(B * C).card / ↑B.card


Context:
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ₁ μ₂ : MeasureTheory.Measure α


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
K : AddSubgroup G


Context:
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
S : StarSubalgebra R A


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasImages C

Context: CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C

Context: CategoryTheory.Limits.HasInitial C

Context: CategoryTheory.Limits.InitialMonoClass C

Context: I : Type u_1

Context: A B : C

Context: s : Finset I

Context: P : I → CategoryTheory.Subobject B

Context: f : A ⟶ B

Context: h : ∃ i ∈ s, (P i).Factors f


Context:
a✝ b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a n : ℕ
hp : 1 < a.succ
hk : 1 < n.succ
h : a.succ ^ n.succ ∣ a.succ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q✝ p q : R[X]
h0 : q ≠ 0
hl : q.degree < p.degree
hcontra : p ∣ q


Context: k : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: V : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommSemiring k

Context: inst✝⁴ : Monoid G

Context: inst✝³ : AddCommMonoid V

Context: inst✝² : Module k V

Context: ρ : Representation k G V

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) M

Context: g : G

Context: x : RestrictScalars k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule

(RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule) ((RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule).symm (MonoidAlgebra.single g 1 • (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule) x)) = (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule) ((RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule).symm (ρ.asModuleEquiv.symm ((ρ g) (ρ.asModuleEquiv ((RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) ρ.asModule) x)))))


Context:
α : Type u
u : Ultrafilter (Ultrafilter α)
x : Ultrafilter α


Context:
α : Type u
b : ULift α


Context:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : Aˣ
k : 𝕜
hk : k ∈ σ ↑a⁻¹

k ∈ (σ ↑a)⁻¹