Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
supp : Set α
fin : supp.Finite

∀ {f : Equiv.Perm α}, (∀ (x : α), f x ∈ orbit (↥(closure S)) x) → (fixedBy α f)ᶜ ⊆ supp → f ∈ closure S


Context:
x : PGame
h : x ⧏ 0


Context:
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Affine R
Nontrivial R


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α ≃. β

f.symm.trans f = PEquiv.ofSet {b | (f.symm b).isSome = true}


Context:
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
ι : Type w
b : Finset ι
h : Basis { x // x ∈ b } R M


Context:
α : Type u_2
AddZeroClass α
a : α


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
f g : M[ι]

(f * g).toDirectSum = f.toDirectSum * g.toDirectSum


Context:
α : Type u_1
MeasurableSpace α
f : Unit → α


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
Group α
a : α
MulAction α β
b : β
k : ℤ

(MulAction.orbitZPowersEquiv a b).symm ↑k = ⟨a, ⋯⟩ ^ k • ⟨b, ⋯⟩


Context:
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F G : J ⥤ C
s : CategoryTheory.Limits.Cocone G
r t : CategoryTheory.Limits.Cocone F
P : CategoryTheory.Limits.IsColimit t
Q : CategoryTheory.Limits.IsColimit s
w : F ≅ G

(P.coconePointsIsoOfNatIso Q w).inv ≫ P.desc r = Q.map r w.inv


Context:
α : Type u_1
a b c : α
MulOneClass α
Zero α
Preorder α
MulPosMono α
h : a < b * c
hb : b ≤ 1
hc : 0 ≤ c


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ⁻¹ k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s t : SignedMeasure α

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Measurable f

Context: hfi : Integrable f μ

Context: htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure

Context: hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f

Context: this✝ : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))

Context: this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal ((-f) x))

s = (JordanDecomposition.mk (t.toJordanDecomposition.posPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)) (t.toJordanDecomposition.negPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)) ⋯).toSignedMeasure


Context:
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → β → Prop
(a : α) → DecidablePred (r a)
s₁ s₂ : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁

Rel.interedges r s₂ t₂ ⊆ Rel.interedges r s₁ t₁


Context: R : Type u_1

Context: M M₁ M₂ M₃ : Type u

Context: M' : Type v

Context: inst✝¹¹ : Ring R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M₁

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R

Context: N : Submodule R M

Context: h : Module.rank R ↥N < Module.rank R M

Context: this : ∃ x, ∀ (a : R), ¬a = 0 → a • x ∉ N


Context: R : Type u_1

Context: LinearOrderedField R

Context: M : Type u_2

Context: AddCommGroup M

Context: Module R M

Context: ι : Type u_3

Context: Fintype ι

Context: _i : FiniteDimensional R M

Context: x : Orientation R M ι

Context: f : M ≃ₗ[R] M

Context: h : Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank R M

(Orientation.map ι f) x = (LinearEquiv.det f)⁻¹ • x


Context: E : Type u_1

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace ℝ E

Context: FiniteDimensional ℝ E

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: MeasurableSpace E

Context: BorelSpace E

Context: μ : MeasureTheory.Measure E

Context: μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: R : ℝ

Context: hs : s ⊆ Metric.closedBall 0 R

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0

μ (f '' s) ≤ ↑ε * μ (Metric.closedBall 0 R)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝² : Primcodable α

Context: inst✝¹ : Primcodable β

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: H : Nat.Primrec fun n => encode (decode n)

Context: f : α → List β

Context: g : α → σ

Context: h : α → σ × β → σ

Context: hf : Primrec f

Context: hg : Primrec g

Context: hh : Primrec₂ h

Context: this : Primcodable (List β) := prim H

Context: G : α → σ × List β → σ × List β := fun a IH => List.casesOn IH.2 IH fun b l => (h a (IH.1, b), l)

Context: hG : Primrec₂ G

Context: F : α → ℕ → σ × List β := fun a n => (G a)^[n] (g a, f a)

Primrec fun a => List.foldl (fun s b => h a (s, b)) (g a) (f a)


Context: a b c : Nat


Context:
R : Type u_1
P Q : Cubic R
Semiring R
h : P.toPoly = Q.toPoly


Context:
R : Type u
Ring R
s t : Set R
h : s ⊆ t


Context:
n m l : ℕ
hln : l ≤ n

List.filter (fun x => decide (l ≤ x)) (List.Ico n m) = List.Ico n m


Context:
A : Type u_1
CommMagma A
self : IsCommJordan A
a b : A


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁸ : DivisionRing K

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : Module K V

Context: W : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : Module A V

Context: inst✝³ : AddCommGroup W

Context: inst✝² : Module K W

Context: inst✝¹ : Module A W

Context: inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul V W K A

Context: h : finrank K W = 1

Context: f : V →ₗ[A] W

Context: w : f ≠ 0

Context: v : V

Context: n : f v ≠ 0 v

Context: c : K


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁷ : NormalSpace α

Context: inst✝⁶ : R1Space α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α

Context: inst✝ : μ.Regular

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f✝ : α → E

Context: hf : Memℒp f✝ p μ

Context: ε✝ : ℝ≥0∞

Context: hε✝ : ε✝ ≠ 0

Context: c : E

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: htμ : μ t < ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε

Context: η : ℝ≥0

Context: ηpos : 0 < η

Context: hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ

Context: hη_pos' : 0 < ↑η

Context: s : Set α

Context: st : s ⊆ t

Context: s_compact : IsCompact s

Context: s_closed : IsClosed s

Context: μs : μ (t \ s) < ↑η

Context: hsμ : μ s < ⊤

Context: I1 : eLpNorm ((s.indicator fun _y => c) - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ δ

Context: k : Set α

Context: k_compact : IsCompact k

Context: sk : s ⊆ interior k

Context: f : α → E

Context: f_cont : Continuous f

Context: I2 : eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ δ

Context: _f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖

Context: f_support : Function.support f ⊆ interior k

Context: f_mem : Memℒp f p μ

Context: I3 : eLpNorm (f - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ ε

Context: x : α

Context: hx : x ∉ k


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η γ : J.plusObj P ⟶ Q

Context: hQ : Presheaf.IsSheaf J Q

Context: h : J.toPlus P ≫ η = J.toPlus P ≫ γ

Context: this : γ = J.plusLift (J.toPlus P ≫ γ) hQ


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithTriangulation

Context: inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive

Context: inst✝ : L.Additive

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁

Context: b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂

Context: fac✝ : L.map T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂.mor₁

Context: α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁

Context: hα : a = α.map L ⋯

Context: β : W.LeftFraction α.Y' T₂.obj₂

Context: hβ : T₂.mor₁ ≫ β.s = α.s ≫ β.f

Context: γ : W.LeftFraction T₁.obj₂ β.Y'

Context: hγ : b ≫ L.map β.s = γ.map L ⋯

Context: this✝¹ : IsIso (L.map β.s)

Context: this✝ : IsIso (L.map γ.s)

Context: Z₂ : C

Context: σ : γ.Y' ⟶ Z₂

Context: hσ : W σ

Context: fac : α.f ≫ β.f ≫ γ.s ≫ σ = T₁.mor₁ ≫ γ.f ≫ σ

Context: Y₃ : C

Context: g : Z₂ ⟶ Y₃

Context: h : Y₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj α.Y'

Context: T₃ : Triangle C := Triangle.mk (β.f ≫ γ.s ≫ σ) g h

Context: hT₃ : T₃ ∈ distinguishedTriangles

Context: hβγσ : W (β.s ≫ γ.s ≫ σ)

Context: ψ₃ : T₂.obj₃ ⟶ T₃.obj₃

Context: hψ₃ : W ψ₃

Context: hψ₁ : T₂.mor₂ ≫ ψ₃ = (β.s ≫ γ.s ≫ σ) ≫ T₃.mor₂

Context: hψ₂ : T₂.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map α.s = ψ₃ ≫ T₃.mor₃

Context: ψ : T₂ ⟶ T₃ := T₂.homMk T₃ α.s (β.s ≫ γ.s ≫ σ) ψ₃ ⋯ hψ₁ hψ₂

Context: this : IsIso (L.mapTriangle.map ψ)

(L.mapTriangle.map (completeDistinguishedTriangleMorphism T₁ T₃ hT₁ hT₃ α.f (γ.f ≫ σ) ⋯) ≫ inv (L.mapTriangle.map ψ)).hom₂ = b


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Abelian C

Context: R₁ R₂ : CategoryTheory.ComposableArrows C 2

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₁ : R₁.Exact

Context: hR₂ : R₂.Exact

Context: hR₁' : CategoryTheory.Epi (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)

Context: h₀ : CategoryTheory.Epi (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 0 ⋯)

Context: h₁ : CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 1 ⋯)

CategoryTheory.Mono (CategoryTheory.ComposableArrows.app' φ 2 ⋯)


Context:
z : ℤ
hz : 0 ≤ z


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)

Context: card_K : ℵ₀ < #K

Context: this✝ : Module.rank K (ℕ → K) < #K

Context: ιK : Type u

Context: bK : Basis ιK K (ℕ → K)

Context: L : Subfield K := Subfield.closure (range fun i => bK i.1 i.2)

Context: hLK : #↥L < #K

Context: this : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom K (RingHom.op L.subtype)

Context: ιL : Type u

Context: bL : Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K

Context: card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL

Context: e : ℕ ↪ ιL

Context: c : ιK →₀ K := bK.repr (⇑bL ∘ ⇑e)

Context: s : Finset ιK := c.support

Context: rep_e : ∑ a ∈ s, c a • bK a = ⇑bL ∘ ⇑e


Context:
M : Type u_1
S : Set M
AddCommSemigroup M


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
(i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
(i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
f : ↥(lp G 2)

hV.linearIsometry f = ∑' (i : ι), (V i) (↑f i)


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field k

Context: inst✝ : IsAlgClosed k

Context: a₁ : 𝕎 k

Context: ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0

Context: a₂ : 𝕎 k

Context: this : solution p a₁ a₂ ^ (p - 1) = a₂.coeff 0 / a₁.coeff 0

Context: q : ℕ

Context: hq : p = q.succ

solution p a₁ a₂ ^ p * a₁.coeff 0 = solution p a₁ a₂ * a₂.coeff 0


Context: F : Type u

Context: inst✝¹ : Field F

Context: K : Type v

Context: inst✝ : Field K

Context: n : ℕ

Context: h : IsCoprime (X ^ n - 1) (C ↑n * X ^ (n - 1))

Context: hn' : ↑n = 0


Context:
α : Type u_1
Div α
a b : Lex α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : α → β


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s

Submodule.span k (s -ᵥ s) = Submodule.span k ((fun x => p -ᵥ x) '' s)


Context:
B : Type u_1
F : Type u_2
E : B → Type u_3
z : Bundle.TotalSpace F E


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: r : O

Context: h : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r ≠ 0

Context: hp : ↑p ∣ r

(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: x y : Finset α × Finset α

Context: s t : Finset α

Context: hs : s.Nonempty

Context: ht : t.Nonempty

Context: ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1

Context: hst : s.card ≤ t.card

Context: a : α

Context: ha : a ∈ ↑s

Context: b : α

Context: hb : b ∈ ↑s

Context: hab : a ≠ b

minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : NormalSpace α

Context: inst✝⁵ : R1Space α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: s u : Set α

Context: s_closed : IsClosed s

Context: u_open : IsOpen u

Context: hsu : s ⊆ u

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: c : E

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: η : ℝ≥0

Context: η_pos : 0 < η

Context: hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ ε

Context: ηpos : 0 < ↑η

Context: V : Set α

Context: sV : V ⊇ s

Context: V_open : IsOpen V

Context: h'V : μ V < ⊤

Context: hV : μ (V \ s) < ↑η

Context: v : Set α := u ∩ V

Context: hsv : s ⊆ v

Context: hμv : μ v < ⊤

Context: g : C(α, ℝ)

Context: hgv : EqOn (⇑g) 0 (u ∩ V)ᶜ

Context: hgs : EqOn (⇑g) 1 s

Context: hg_range : ∀ (x : α), g x ∈ Icc 0 1

Context: g_norm : ∀ (x : α), ‖g x‖ = g x

Context: gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖g x • c‖ ≤ ‖c‖

Context: gc_bd : ∀ (x : α), ‖g x • c - s.indicator (fun _x => c) x‖ ≤ ‖(v \ s).indicator (fun _x => c) x‖

Context: gc_support : (Function.support fun x => g x • c) ⊆ v

Context: gc_mem : Memℒp (fun x => g x • c) p μ

∃ f, Continuous f ∧ eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧ (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ Memℒp f p μ


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
J : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} K
F : J ⥤ K ⥤ C
c : (k : K) → LimitCone (F.flip.obj k)
j₁ j₂ : J
g : j₁ ⟶ j₂
k : K

(((const J).obj { obj := fun k => (c k).cone.pt, map := fun {k₁ k₂} f => (c k₂).isLimit.lift { pt := (c k₁).cone.pt, π := (c k₁).cone.π ≫ F.flip.map f }, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).map g ≫ (fun j => { app := fun k => (c k).cone.π.app j, naturality := ⋯ }) j₂).app k = ((fun j => { app := fun k => (c k).cone.π.app j, naturality := ⋯ }) j₁ ≫ F.map g).app k


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι✝ : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι✝
inst✝⁵ : Fintype ι✝
e : Basis ι✝ R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
ι : Type u_7
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Nonempty ι
b : Basis ι A M
this : DecidableEq ι
val✝ : Fintype ι


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re

Tendsto (fun n => ∏ p ∈ n.primesBelow, (1 - ↑p ^ (-s))⁻¹) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), (riemannZetaSummandHom ⋯) n))


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: q r : Associates M

Context: hr : r ∣ q

Context: n : ℕ

Context: hn : n + 1 ≠ 0

Context: c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M

Context: h₁ : StrictMono c

Context: h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i

Context: i : Fin (n + 1 + 1)

Context: hp : Prime (c i)

Context: hp' : c i ∣ r

Context: hi : 1 < i


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
n : ℕ
hn : ((ad R L) x ^ n) ⁅x, y⁆ = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
h : s.Disjoint t


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
l : Filter α
m : Filter β
s : Set α
t : Set β
x✝ : sᶜ ∉ l ∧ tᶜ ∉ m
hs : sᶜ ∉ l
ht : tᶜ ∉ m

∃ᶠ (x : α) in l, ∃ᶠ (y : β) in m, (x, y) ∈ s ×ˢ t


Context:
𝕜 : Type u_1
NormedField 𝕜
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E

egauge 𝕜 (Metric.ball 0 1) x ≤ ↑‖c‖₊ * ↑‖x‖₊


Context:
M : Type u_2
AddCommGroup M
A : Type u_7
CommRing A
Module A M
f : M →ₗ[A] M
hf : IsUnit f


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
ι : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
TopologicalSpace M
AddCommMonoid N
Module R N
TopologicalSpace N
f : M [⋀^ι]→L[R] N
DecidableEq ι
m : ι → M
i : ι
x : M

(f.toContinuousLinearMap m i) x = f (Function.update m i x)


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivAt f f' y


Context: X : AlgebraicGeometry.Scheme

QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace ↔ AlgebraicGeometry.QuasiSeparated (CategoryTheory.Limits.terminal.from X)


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
α β : X ≅ Y


Context:
M : Type u_1
MulOneClass M
S : Submonoid M
x y : M


Context: X : AlgebraicGeometry.Scheme

Context: s : Set ↑(X.presheaf.obj (Opposite.op ⊤))

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: hs₂ : ∀ i ∈ s, AlgebraicGeometry.IsAffineOpen (X.basicOpen i)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 3

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₁ : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact

Context: hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact

Context: hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₂✝ : Epi (app' φ 2 ⋯)

Context: h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)

Context: A : C

Context: g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A

Context: w✝¹ : Epi π₁

Context: f₂ : A₁ ⟶ R₁.obj' 2 ⋯

Context: h₁ : π₁ ≫ g₁ ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = f₂ ≫ app' φ 2 ⋯

Context: h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: A₂ : C

Context: π₂ : A₂ ⟶ A₁

Context: w✝ : Epi π₂

Context: f₁ : A₂ ⟶ ((mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).X₁

Context: h₃ : π₂ ≫ f₂ = f₁ ≫ ((mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).f

∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x, π ≫ g₁ = x ≫ app' φ 1 ⋯


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ

(↑n + 1) * T R (n + 1) = X * U R n - (1 - X ^ 2) * derivative (U R n)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
σ : Type u_3
n : ℕ
x : Fin n → R
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
q : MvPolynomial (Fin n) R

(eval x) (Polynomial.eval q ((finSuccEquiv R n) f)) = (eval fun i => Fin.cases ((eval x) q) x i) f


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
φ : ι → Type u_4
b : (i : ι) → Basis (φ i) R M

⇑(Finsupp.basis b) = fun ix => Finsupp.single ix.fst ((b ix.fst) ix.snd)


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
r : Rˣ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x y : M
hy : y ∈ (extChartAt I x).source


Context: M : Type u_3

Context: Monoid M

Context: Preorder M

Context: CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0


Context: q : ℚ

Context: q_pos : 0 < q

Context: q_num_pos : 0 < q.num

Context: q_num_abs_eq_q_num : ↑q.num.natAbs = q.num

Context: q_inv : ℚ := ↑q.den / ↑q.num

Context: q_inv_def : q_inv = ↑q.den / ↑q.num


Context:
α : Type u
β : Type v
OrderedAddCommMonoid β
f g : α → β
a : α
l : Filter α
hf : IsMaxFilter f l a
hg : IsMaxFilter g l a


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
inst✝¹ : IsIso a
inst✝ : Mono f


Context:
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
T : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring T
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : IsLocalization S T
A : Type u_2
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : T
a₁ s₁ : A
a₂ s₂ : ↥S

x • mk a₁ a₂ * mk s₁ s₂ = x • (mk a₁ a₂ * mk s₁ s₂)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝ : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S

(ρ_ (P.X ⊗ S.X)).inv ≫ (((α_ P.X S.X (𝟙_ C)).hom ≫ P.X ◁ S.X ◁ S.one) ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) = coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ 𝟙 (coequalizer (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
n✝ : ℕ
f : Fin (n✝ + 1) → α
a : α
n : ℕ
x : { x // x ≠ last n }

some ((finSuccAboveOrderIso (last n)).symm x) = some ((↑x).castLT ⋯)


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
K : TopologicalSpace.PositiveCompacts α

TopologicalSpace.PositiveCompacts.map id ⋯ ⋯ K = K


Context:
α : Type u_1
s : Set α
Preorder α

s.chainHeight = ⨆ i ∈ s, (s ∩ Set.Ici i).chainHeight


Context:
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
DecidableEq σ
s s' : σ
n n' : ℕ

MvPolynomial.coeff (Finsupp.single s' n') (MvPolynomial.X s ^ n) = if s = s' ∧ n = n' ∨ n = 0 ∧ n' = 0 then 1 else 0


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁

Context: h₀_f : CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₀ S₂.f = 0

Context: h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁

Context: h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂

Context: h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃

Context: g_h₃ : CategoryTheory.CategoryStruct.comp S₁.g h₃ = 0

(S₁.nullHomotopic S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃).τ₃ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp h₂ S₂.g + h₃


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
AddCommGroup F
Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜


Context:
G : Type u_2
MeasurableSpace G
Neg G
MeasurableNeg G
μ : MeasureTheory.Measure G
μ.IsNegInvariant

MeasureTheory.MeasurePreserving Neg.neg μ μ


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasBinaryCoproducts C

Context: A : C

Context: f : CategoryTheory.Over A

CategoryTheory.Over.coprod.obj f = f.coprodObj


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
l : List (Perm α)
x : α
hx : ∀ f ∈ l, x ∉ f.support


Context:
x y✝ z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
Ring R₂
AddCommGroup M₂
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
f g : M ⧸ p →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : f.comp p.mkQ = g.comp p.mkQ


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module K M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: Φ : LinearMap.BilinForm K L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ

Context: hΦ_refl : Φ.IsRefl

Context: hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I

Context: I : LieIdeal K L

Context: hI : I ∈ {I | IsAtom I}

sSup ({I | IsAtom I} \ {I}) ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure ℝ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: a b ε : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: F : H → ℝ → E

Context: F' : H → ℝ → H →L[𝕜] E

Context: x₀ : H

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) (μ.restrict (Ι a b))

Context: h_bound : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, ‖F' x_1 x‖ ≤ bound x

Context: h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, HasFDerivAt (fun x_2 => F x_2 x) (F' x_1 x) x_1

Context: hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ

Context: bound_integrable : IntegrableOn bound (Ι a b) μ

HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' x₀ t ∂μ) x₀


Context: G : Type u_2

Context: AddGroup G

Context: s : Set G

Context: p : (g : G) → g ∈ AddSubgroup.closure s → Prop

Context: mem : ∀ (x : G) (hx : x ∈ s), p x ⋯

Context: inv_mem : ∀ (x : G) (hx : x ∈ s), p (-x) ⋯

Context: one : p 0 ⋯

Context: mul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ AddSubgroup.closure s) (hy : y ∈ AddSubgroup.closure s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯

Context: x : G

Context: h : x ∈ AddSubgroup.closure s


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Ring R

Context: n : ℕ

Context: h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: S : L.Substructure (DirectLimit G f)

Context: S_fg : S.FG

Context: A : Finset (DirectLimit G f)

Context: A_closure : (Substructure.closure L).toFun ↑A = S

∃ i T, Substructure.map (of L ι G f i).toHom T = S


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_4
m : Type u_9
n : Type u_10
CommSemiring R
AddCommMonoid α
AddCommMonoid β
Module R α
Module R β
Fintype m
Fintype n
A : Matrix m m α
B : Matrix n n β

(Matrix.kroneckerMap (TensorProduct.tmul R) A B).trace = A.trace ⊗ₜ[R] B.trace


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ = x₂
hy : y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

(3 * x₁ ^ 2 + 2 * W.a₂ * x₁ + W.a₄ - W.a₁ * y₁) / (y₁ - W.negY x₁ y₁) = (3 * x₁ ^ 2 + 2 * W.a₂ * x₁ + W.a₄ - W.a₁ * y₁) / evalEval x₁ y₁ W.polynomialY


Context: α : Type u_2

Context: f g : Equiv.Perm α

Context: x : α

Context: DecidableEq α

Context: Fintype α

Context: hf : f.IsCycle

Context: hg : g.IsCycle

Context: h : ∀ x ∈ f.support ∩ g.support, f x = g x

Context: hx : f x = g x

Context: hx' : x ∈ f.support


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
FloorRing α
TopologicalSpace α
n : ℤ

ContinuousOn (fun x => ↑⌊x⌋) (Set.Ico (↑n) (↑n + 1))


Context:
M : Type u_1
AddCommMonoid M
S : AddSubmonoid M
N : Type u_2
AddCommMonoid N
P : Type u_3
AddCommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →+ P
hg : ∀ (y : ↥S), IsAddUnit (g ↑y)
x : M
y : ↥S

(f.lift hg) (f.mk' x y) = g x + ↑(-(IsAddUnit.liftRight (g.restrict S) hg) y)


Context:
η : Type u_12
Ms : η → Type u_13
(j : η) → Add (Ms j)

(AddEquiv.piCongrRight fun j => AddEquiv.refl (Ms j)) = AddEquiv.refl ((j : η) → Ms j)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: eif : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Irreducible b) ∧ f.prod ~ᵤ a

Context: uif : ∀ (f g : Multiset α), (∀ x ∈ f, Irreducible x) → (∀ x ∈ g, Irreducible x) → f.prod ~ᵤ g.prod → Multiset.Rel Associated f g

Context: p : α

Context: this : DecidableEq α := Classical.decEq α

Context: hpi : Irreducible p

Context: a b : α

Context: x✝ : p ∣ a * b

Context: x : α

Context: hx : a * b = p * x

Context: hab0 : ¬a * b = 0

Context: hx0 : x ≠ 0

Context: ha0 : a ≠ 0

Context: hb0 : b ≠ 0

Context: fx : Multiset α

Context: hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ fx.prod ~ᵤ x

Context: fa : Multiset α

Context: hfa : (∀ b ∈ fa, Irreducible b) ∧ fa.prod ~ᵤ a

Context: fb : Multiset α

Context: hfb : (∀ b ∈ fb, Irreducible b) ∧ fb.prod ~ᵤ b

Context: h : Multiset.Rel Associated (p ::ₘ fx) (fa + fb)


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
X Y : C
f : X ⟶ Y
W.ContainsIdentities

(CategoryTheory.MorphismProperty.RightFraction.ofHom W f).f = f


Context:
M : Type u
Monoid M
x : Mˣ

((Units.toAut M) x).inv = (CategoryTheory.SingleObj.toEnd M) ↑x⁻¹


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
s t : Submodule K V
inst✝¹ : FiniteDimensional K ↥s
inst✝ : FiniteDimensional K ↥t

finrank K ↥(s ⊔ t) ≤ finrank K ↥s + finrank K ↥t


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ f : G →* N
H : Subgroup G
h : f.ker ≤ H


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : ℕ → β

Context: a : ℕ → α

Context: ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)

Context: hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n

Context: ε : α

Context: ε0 : 0 < ε

∃ i, ∀ j ≥ i, abv ((∑ k ∈ range j, f k) * ∑ k ∈ range j, g k - ∑ n ∈ range j, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n p : ℕ

Context: f : ℕ → ℚ := fun i => bernoulli i * ↑(p.succ.succ.choose i) * ↑n ^ (p.succ.succ - i) / ↑p.succ.succ

Context: f' : ℕ → ℚ := fun i => bernoulli' i * ↑(p.succ.succ.choose i) * ↑n ^ (p.succ.succ - i) / ↑p.succ.succ

Context: hle : 1 ≤ n + 1

∑ k ∈ Ico 1 n.succ, ↑k ^ p.succ = ∑ i ∈ range p.succ.succ, f' i


Context:
M : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
MeasurableSpace M
MeasurableSpace β
AddMonoid M
AddAction M β
MeasurableVAdd M β
MeasurableSpace α
f : α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
c : M
hc : IsAddUnit c

AEMeasurable (fun x => c +ᵥ f x) μ ↔ AEMeasurable f μ


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
CategoryTheory.MonoidalCategory D
CategoryTheory.BraidedCategory D

(CategoryTheory.Monoidal.commMonFunctorCategoryEquivalence C D).functor =
  CategoryTheory.Monoidal.CommMonFunctorCategoryEquivalence.functor


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
MulOneClass M
MulOneClass N
Monoid P
f : M →* P
g : N →* P
x : N

(Monoid.Coprod.lift f g) (Monoid.Coprod.inr x) = g x


Context:
ι : Type u_1
Finite ι
μ : MeasureTheory.Measure (ι → ℝ)
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
J : BoxIntegral.Box ι


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
i : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso i
S : Sieve Y

Sieve.pullback i S ∈ J.sieves X ↔ S ∈ J.sieves Y


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
t : PushoutCocone f g


Context: n : ℕ


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
Semiring k
Add G
A : Type u₃
NonUnitalNonAssocSemiring A
Module k A
IsScalarTower k A A
SMulCommClass k A A
f : Multiplicative G →ₙ* A
a : AddMonoidAlgebra k G

((AddMonoidAlgebra.liftMagma k) f) a = Finsupp.sum a fun m t => t • f (Multiplicative.ofAdd m)


Context:
t : Type u → Type u → Type u
inst✝⁵ : Bitraversable t
β : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Applicative F
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : LawfulBitraversable t
inst✝¹ : LawfulApplicative F
inst✝ : LawfulApplicative G
α₀ α₁ β₀ β₁ : Type u
f : α₀ → F α₁
f' : β₀ → G β₁
x : t α₀ β₀

bitraverse (Comp.mk ∘ map pure ∘ f) (Comp.mk ∘ map f' ∘ pure) x = bitraverse (Comp.mk ∘ map pure ∘ f) (Comp.mk ∘ pure ∘ f') x


Context: α : Type u

Context: Group α

Context: LT α

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b : α


Context:
α : Type u_5
f : α → α
n : ℕ
hf : Function.Involutive f
hn : Odd n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m₁ m₂ : MeasurableSpace α
f : α → β

MeasurableSpace.map f (m₁ ⊓ m₂) = MeasurableSpace.map f m₁ ⊓ MeasurableSpace.map f m₂


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i✝ j✝ : ι

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: p : PerfectPairing R M N

Context: root : ι ↪ M

Context: coroot : ι ↪ N

Context: hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2

Context: hr : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)

Context: hc : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (coroot i) (p.toLin (root i)))) (range ⇑coroot) (range ⇑coroot)

Context: i j k : ι

Context: α : M := root i

Context: β : M := root j

Context: α' : N := coroot i

Context: β' : N := coroot j

Context: sα : End R M := preReflection α (p.toLin.flip α')

Context: hk : root k = sα β

Context: sβ : End R M := preReflection β (p.toLin.flip β')

Context: sα' : End R N := preReflection α' (p.toLin α)

Context: hij : preReflection (sα β) (p.toLin.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα

Context: hk₀ : root k ≠ 0

Context: l : ι

Context: hl : coroot l = (preReflection (coroot i) (p.toLin (root i))) (coroot j)

Context: hkl : (p.toLin.flip (coroot l)) (root k) = 2

Context: _i : NoZeroSMulDivisors ℤ M

Context: this : InjOn (⇑(span R (range ⇑root)).subtype.dualMap) (range (⇑p.toLin.flip ∘ ⇑coroot))

MapsTo (⇑(preReflection (root k) ((⇑p.toLin.flip ∘ ⇑coroot) l))) (range ⇑root) (range ⇑root)


Context:
ι : Sort u_1
f : ι → ℕ
IsEmpty ι


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
S : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid S
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N✝ : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass S R M
s : Set S
N : Submodule R M


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: F G : CochainComplex C ℤ

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝² : HasHomotopyCofiber φ

Context: H : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : H.Additive

Context: inst✝ : HasHomotopyCofiber ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)

Context: n m : ℤ

Context: hnm : n + 1 = m

((↑(fst ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ))).v n m ⋯ ≫ H.map ((inl φ).v m n ⋯) + (snd ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v n n ⋯ ≫ H.map ((inr φ).f n)) ≫ (H.map ((↑(fst φ)).v n m ⋯) ≫ (inl ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v m n ⋯ + H.map ((snd φ).v n n ⋯) ≫ (inr ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).f n) = 𝟙 ((mappingCone ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).X n)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
MulOneClass M
MulOneClass N
S : Submonoid M
F : Type u_4
FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
T : Submonoid N
f : F

S ≤ Submonoid.comap f T → Submonoid.map f S ≤ T


Context:
X : Type u
x : X
TopologicalSpace X
f : Filter X
H : f ≤ 𝓝 x
_hf : f.NeBot


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: s✝ t✝ s t : SignedMeasure α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : s.HaveLebesgueDecomposition μ

Context: inst✝ : t.HaveLebesgueDecomposition μ

Context: hst : (s + -t).HaveLebesgueDecomposition μ

(s - t).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] s.rnDeriv μ - t.rnDeriv μ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s : WSeq α

Computation.corec (fun x => match Seq.destruct x.2 with | none => Sum.inl x.1.reverse | some (none, s') => Sum.inr (x.1, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: x.1, s')) ([a], s) = List.cons a <$> Computation.corec (fun x => match Seq.destruct x.2 with | none => Sum.inl x.1.reverse | some (none, s') => Sum.inr (x.1, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: x.1, s')) ([], s)


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
self : Comon_ C

self.comul ≫ self.X ◁ self.counit = (ρ_ self.X).inv


Context: α : Type u_1

Context: MulOneClass α

Context: LE α

Context: CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α

Context: h : 1 ≤ b


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
r : ℂ
h : -1 < r.re ∨ r ≠ -1 ∧ 0 ∉ [[a, b]]


Context:
V : Type u_1
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0

‖y‖ / Real.tan (InnerProductGeometry.angle x (x + y)) = ‖x‖


Context:
R : Type u_1
Semiring R
C : Type u_2
D : Type u_3
CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} C
CategoryTheory.Category.{u_5, u_3} D
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Preadditive D
CategoryTheory.Linear R C
CategoryTheory.Linear R D
F : CategoryTheory.Functor C D
F.Additive
CategoryTheory.Functor.Linear R F
X Y : C

∀ (a : X ⟶ Y), (CategoryTheory.Functor.mapLinearMap R F) a = (↑F.mapAddHom).toFun a


Context: m : ℤ


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.HasShift C ℤ

Context: X₁ X₂ : C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproduct X₁ X₂

(CategoryTheory.Pretriangulated.binaryProductTriangleIsoBinaryBiproductTriangle X₁ X₂).hom.hom₁ = 𝟙 X₁


Context:
α : Type u_2
ConditionallyCompleteLattice α
a b : α
h : a ≤ b
S : Set ↑(Set.Icc a b)
hS : S.Nonempty


Context:
ι : Type u
f : ι → AlgebraicGeometry.Scheme

∀ (a : ι), (AlgebraicGeometry.disjointGlueData' f).U a = f a


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
CommRing R
Ring S
Algebra R S
B : PowerBasis R S


Context:
R : Type u_1
M : Type u_3
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
S T : Submodule R M
x : M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : α → Set β
Preorder α
x : α

⋃ y, ⋃ (_ : y ≤ x), Set.Accumulate s y = ⋃ y, ⋃ (_ : y ≤ x), s y


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x✝ y✝ z : X

Context: s✝ : Set X

Context: f✝ g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)

Context: f : X → Y → α

Context: hf : ∀ (a : X) (b : Y) (c : X) (d : Y), (a ~ᵢ c) → (b ~ᵢ d) → f a b = f c d

Context: x : X

Context: y : Y

Context: s : Set (SeparationQuotient X × SeparationQuotient Y)

Context: l : Filter α

Tendsto (uncurry (lift₂ f hf)) (𝓝[s] (mk x, mk y)) l ↔ Tendsto (uncurry f) (𝓝[Prod.map mk mk ⁻¹' s] (x, y)) l


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
c x : P
R : ℝ

dist (EuclideanGeometry.inversion c R x) c = R ^ 2 / dist x c


Context:
α β : Type u
n : ℕ


Context:
M : Type u_1
TopologicalSpace M

∀ (a : M), MulOpposite.opHomeomorph a = MulOpposite.op a


Context:
a m n p : ℕ
ha : a ≠ 0


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
f : E → ℂ
x : E
s : Set E
hf : DifferentiableWithinAt ℂ f s x
hxs : UniqueDiffWithinAt ℂ s x

fderivWithin ℂ (fun x => Complex.cosh (f x)) s x = Complex.sinh (f x) • fderivWithin ℂ f s x


Context:
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
s t : UpperSet α


Context:
α : Type u
s t u : Set α

s ∩ symmDiff t u = symmDiff (s ∩ t) (s ∩ u)


Context:
E : Type u_1
AddCommGroup E
TopologicalSpace E
TopologicalAddGroup E
T2Space E
Module ℝ E
ContinuousSMul ℝ E
FiniteDimensional ℝ E
x : E

(𝓝 x).HasBasis (fun r => 0 < r) (Euclidean.ball x)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
hn : n ∈ (p * q).support

p.trailingDegree + q.trailingDegree ≤ ↑n


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring C
inst✝⁵ : CommSemiring D
inst✝⁴ : CommSemiring E
inst✝³ : Algebra C D
inst✝² : Algebra C E
inst✝¹ : Algebra D E
inst✝ : IsScalarTower C D E
S : Set E

Subalgebra.restrictScalars C (adjoin D S) = Subalgebra.restrictScalars C (adjoin (↥(Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom C D E) ⊤)) S)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : β → α
hf : Measurable f
s : Set α

Measurable fun x => Metric.infNndist (f x) s


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
b : Basis ι R M


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
ι₁ : Sort u_6
f : ι₁ → Submodule R M
ι₂ : Sort u_7
g : ι₂ → Submodule R M

(⨅ i, f i).colon (⨆ j, g j) = ⨅ i, ⨅ j, (f i).colon (g j)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n✝ n a : ℕ

⌈↑n⌉₊ ≤ a ↔ n ≤ a


Context: x y : ℝ


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: S S' S'' : D

Context: Y Y' Y'' : C

Context: T T' : C ⥤ D

Context: f f' : StructuredArrow S T

Context: g : f.right ≅ f'.right

Context: w : autoParam (f.hom ≫ T.map g.hom = f'.hom) _auto✝

(Functor.fromPUnit S).map (eqToIso ⋯).hom ≫ f'.hom = f.hom ≫ T.map g.hom


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
E : Set α
x : α
h : x ∉ closure E
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E
δ : ℝ
hδ : δ < ε


Context:
α : Type u_1
m : Type u_3
R : Type v
CommRing R
M : Matrix m m R
b : m → α
DecidableEq m
Fintype m
LinearOrder α
Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α

(M.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k)⁻¹ = M⁻¹.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k


Context: cs : List Char

{ data := cs }.utf8ByteSize = String.utf8Len cs


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f g : ι → N
s t : Finset ι
i j : ι
hf : ∀ i ∈ s, 1 ≤ f i
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
hne : i ≠ j


Context: α : Type u


Context:
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
RCLike 𝕜
Fintype n
DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
f : ℝ → ℝ


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: f g : ι → ℝ≥0

Context: A B : ℝ≥0

Context: hf_sum : HasSum (fun a => f a ^ p) (A ^ p)

Context: hg_sum : HasSum (fun a => g a ^ q) (B ^ q)

Context: C : ℝ≥0

Context: hC : C ≤ A * B

Context: H : HasSum (fun i => f i * g i) C

∃ C, 0 ≤ C ∧ C ≤ ↑A * ↑B ∧ HasSum (fun i => ↑(f i) * ↑(g i)) C


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
Semiring R
s : σ

(MvPowerSeries.constantCoeff σ R) (MvPowerSeries.X s) = 0


Context: R : Type w₁

Context: A : Type w₂

Context: B : Type w₃

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : CommRing B

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: I : Ideal A

Context: h : I.FG

Context: inst✝ : FinitePresentation R A

Context: n : ℕ

Context: f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A

Context: hf : Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG

∃ n f, Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: L L' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: l : List ((k : K) → Option (Γ k))

ListBlank.map { f := Prod.snd, map_pt' := ⋯ } (ListBlank.map { f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ } (ListBlank.mk l)) = ListBlank.mk l


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
c : F

HasStrictFDerivAt (fun y => c + f y) f' x


Context:
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
h : φ.IsQF


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c


Context:
a b c : Cardinal.{u_1}
h : a + b = c + b
hb : b < ℵ₀


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s : Set G
hs : IsSubgroup s

(∀ (x : G), x ∈ s ↔ x = 1) ↔ ∀ x ∈ s, x = 1


Context: V : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} V

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V

Context: X₀ X₁ X₂ : V

Context: d₀ : X₀ ⟶ X₁

Context: d₁ : X₁ ⟶ X₂

Context: s : d₀ ≫ d₁ = 0

Context: succ : (S : CategoryTheory.ShortComplex V) → (X₄ : V) ×' (d₂ : S.X₃ ⟶ X₄) ×' S.g ≫ d₂ = 0

(CochainComplex.mk X₀ X₁ X₂ d₀ d₁ s succ).X 1 = X₁


Context: ι : Sort u_1

Context: M : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝ : Mul M

Context: S : Set (Subsemigroup M)

Context: hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: x : M


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: this✝ : ∀ (x : ℝ), x = x / ↑n * ↑n

Context: this : ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑(x / ↑n * ↑n) ^ (s - 1) = ↑n • ∫ (x : ℝ) in 0 / ↑n..↑n / ↑n, ↑((1 - x) ^ n) * ↑(x * ↑n) ^ (s - 1)

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Ioc 0 1


Context:
α : Type u_1
Preorder α
a : α


Context:
ι : Type u_2
V : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} V
CategoryTheory.Preadditive V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c

CategoryTheory.Limits.IsZero ((HomotopyCategory.quotient V c).obj C) ↔ Nonempty (Homotopy (𝟙 C) 0)


Context:
α : Type u
n : ℕ
s : Stream' α

Stream'.take n s ++ [s.get n] = Stream'.take (n + 1) s


Context: M : Type u_1

Context: AddZeroClass M

Context: s : Set M

Context: p : M → Prop

Context: x : M

Context: h : x ∈ AddSubmonoid.closure s

Context: mem : ∀ x ∈ s, p x

Context: one : p 0

Context: mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x + y)


Context:
X : Type u_2
Y : Sort u_3
Z : Type u_1
f : X → Y
g : Z → Y
p₁ p₂ : Pullback f g
he : (p₁, p₂).1.snd = (p₁, p₂).2.snd

⟨(p₁, p₂), he⟩ ∈ map_fst ⁻¹' pullbackDiagonal f ↔ ⟨(p₁, p₂), he⟩ ∈ pullbackDiagonal snd


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
o : Part α
h : o.Dom
f : α → Part β
b : β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β

Ioc (inrₗ b₁) (inrₗ b₂) = map (Embedding.inr.trans toLex.toEmbedding) (Ioc b₁ b₂)


Context:
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h₂ : ∀ (z : ℂ), (f z).re = z.re
z : ℂ


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.34532, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.34536, u_3} E
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4
X B : C
π : X ⟶ B
inst✝ : HasPullback π π

MapToEqualizer P π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯ ≫ (Types.equalizerIso (P.map (pullback.fst π π).op) (P.map (pullback.snd π π).op)).inv = equalizer.lift (P.map π.op) ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Primcodable α
Primcodable β
p : β → Prop
DecidablePred p
hp : PrimrecPred p
f : α → β
h : ∀ (a : α), p (f a)
hf : Primrec f


Context:
R : Type u_1
StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
x y : M


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a : ℝ
h : 0 < a

ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (⊤, ↑a)


Context:
k : Type u
CommRing k
G : Type u
Group G
A : Rep k G
g : G
x : CoeSort.coe A


Context: k G : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Monoid G

Context: h : QuasiIso (((forget₂ (Rep k G) (ModuleCat k)).mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map (εToSingle₀ k G) ≫ (HomologicalComplex.singleMapHomologicalComplex (forget₂ (Rep k G) (ModuleCat k)) (ComplexShape.down ℕ) 0).hom.app (Rep.trivial k G k))

QuasiIso (((forget₂ (Rep k G) (ModuleCat k)).mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map (εToSingle₀ k G))


Context: α β : Type u

Context: c : Cardinal.{u}

Context: f : α → β

Context: hf : ∀ (b : β), Cardinal.mk ↑(f ⁻¹' {b}) ≤ c


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableEq V
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.IsEulerian


Context:
α : Type u_3
AddMonoid α
s : Multiset α
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise AddCommute
m : α
h : ∀ x ∈ s, x = m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
g : α → γ
l : List α

(List.map f l).zip (List.map g l) = List.map (fun a => (f a, g a)) l


Context: R S Rₘ Sₘ : Type u

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹² : CommRing Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹¹ : Algebra R S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁹ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝³ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ

Context: inst✝² : FormallySmooth R Sₘ

Context: Q : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing Q

Context: inst✝ : Algebra Rₘ Q

Context: I : Ideal Q

Context: e : I ^ 2 = ⊥

Context: f : Sₘ →ₐ[Rₘ] Q ⧸ I

Context: this✝ : Algebra R Q := ((algebraMap Rₘ Q).comp (algebraMap R Rₘ)).toAlgebra

Context: this : IsScalarTower R Rₘ Q := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' rfl

∃ a, (Ideal.Quotient.mkₐ Rₘ I).comp a = f


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: CategoryTheory.Limits.InitialMonoClass C

Context: I X : C

Context: hI : CategoryTheory.Limits.IsInitial I

Context: f : I ⟶ X


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field F

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: s t : Finset ι

Context: i j : ι

Context: v r r' : ι → F

Context: hvs : Set.InjOn v ↑s

Context: hrr' : (interpolate s v) r = (interpolate s v) r'

Context: x✝ : ι

Context: hi : x✝ ∈ s


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
b₁ b₂ : P

b₁ -ᵥ b₂ + ∑ x ∈ s, (w x • (p x -ᵥ b₁) - w x • (p x -ᵥ b₂)) = 0


Context:
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_7
Zero M
Zero N
f : M → N
hf : f 0 = 0


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁✝ l₂✝ : List α

Context: p : α → Bool

Context: l : List α

Context: a : α

Context: al : a ∈ l

Context: pa : p a = true

Context: w✝ : α

Context: l₁ l₂ : List α

Context: left✝¹ : ∀ (b : α), b ∈ l₁ → ¬p b = true

Context: left✝ : p w✝ = true

Context: h₁ : l = l₁ ++ w✝ :: l₂

Context: h₂ : eraseP p l = l₁ ++ l₂

l₁.length + l₂.length + 1 = l₁.length + (w✝ :: l₂).length


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
q : ℕ

𝟙 K[X] - (P q + P q ≫ Hσ q) = 𝟙 K[X] - P q - P q ≫ Hσ q


Context:
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
L.Structure M
L.Structure N

L.ElementarilyEquivalent M N ↔ ∀ (φ : L.Sentence), M ⊨ φ ↔ N ⊨ φ


Context: x n : ℂ

(if x = 0 then if n = 0 then 1 else 0 else if x.arg = π then (cexp ((starRingEnd ℂ) (log x) * n))⁻¹ else (cexp (log x * n))⁻¹) = if x.arg = π then if x = 0 then if n = 0 then 1 else 0 else (cexp ((starRingEnd ℂ) (log x) * n))⁻¹ else if x = 0 then if n = 0 then 1 else 0 else (cexp (log x * n))⁻¹


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x✝ : E

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : IsPreconnected s

Context: hf' : UniformCauchySeqOn f' l s

Context: hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n y) y

Context: x₀ x : E

Context: hx₀ : x₀ ∈ s

Context: hx : x ∈ s

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x₀) l)

Context: this : l.NeBot

Context: t : Set E := {y | y ∈ s ∧ Cauchy (map (fun n => f n y) l)}

Context: A : ∀ (x : E) (ε : ℝ), x ∈ t → Metric.ball x ε ⊆ s → Metric.ball x ε ⊆ t


Context:
α : Type u
PseudoMetricSpace α
s : Set α
h : Bornology.IsBounded s
a : ℝ
c : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r r₁ r₂ : α → α → Prop

Context: s t : Set α

Context: a✝ b✝ x : α

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s

Context: b : α

Context: x✝ : b ∈ ↑(upperClosure s)

Context: hba : (fun x x_1 => x ≤ x_1) b a

Context: c : α

Context: hc : c ∈ s

Context: hcb : c ≤ b


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hR : IsJacobson R

Context: hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: pX : R[X]

Context: hpX : pX ∈ P

Context: hp0 : Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX ≠ 0

Context: a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') pX).leadingCoeff

Context: M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a

Context: φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯

Context: hP'_prime : P'.IsPrime

Context: hM : 0 ∉ M

Context: M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map φ M


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hcont✝ : ContinuousWithinAt g (Ici a) a

Context: hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt g (g' x) x

Context: g'pos : ∀ x ∈ Ioi a, 0 ≤ g' x

Context: hg : Tendsto g atTop (𝓝 l)

Context: hcont : ContinuousOn g (Ici a)

Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..id i, ‖g' x‖) atTop (𝓝 (l - g a))


Context:
α : Type u_4
s : Multiset α

s.Nodup ↔ Multiset.Pairwise (fun x x_1 => x ≠ x_1) s


Context:
R : Type u_1
Semiring R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
l₁ : List α
l₂ : List β

List.Forall₂ R l₁ l₂ ↔
  l₁.length = l₂.length ∧ ∀ (i : ℕ) (h₁ : i < l₁.length) (h₂ : i < l₂.length), R (l₁.get ⟨i, h₁⟩) (l₂.get ⟨i, h₂⟩)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_3
OrderedAddCommMonoid α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
g : ι → α
a : α
h : ∀ (i : ι), g i ≤ 0
ha : HasSum g a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrderedField α
Ring β
abv : β → α
f : CauSeq β abv


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α

s * ↑(upperClosure t) = ↑(upperClosure (s * t))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β

Set.SurjOn f s t ↔ ∃ t' g, t ⊆ t' ∧ Function.Surjective g ∧ ∀ (x : ↑s), f ↑x = ↑(g x)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g✝ : Filter α
s t : Set α
f g : Filter α


Context:
α : Type u_2
LinearOrderedRing α
FloorRing α
z : ℤ
a : α


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
Semiring A
Algebra R A
M : Type u_3
AddCommMonoid M
Module A M
Module R M
IsScalarTower R A M
r : R
a : A
m : M


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : Group G

Context: f₁ f₂ : G →* α ≃o α

Context: h : α → α

Context: H : ∀ (x : α), IsLUB (range fun g' => (f₁ g')⁻¹ ((f₂ g') x)) (h x)

Context: g : G

Context: y : α

Context: this : IsLUB (range ((⇑(f₁ g) ∘ fun g' => (f₁ g')⁻¹ ((f₂ g') y)) ∘ ⇑(Equiv.mulRight g))) ((f₁ g) (h y))

IsLUB (range fun g' => (f₁ g')⁻¹ ((f₂ g') ((f₂ g) y))) ((f₁ g) (h y))


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort x
CompleteLattice α
CompleteLattice β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
f : ι → β


Context:
G : Type u_1
Group G
H : Subgroup G
nH : H.Normal
a b : G
h : a * b ∈ H


Context:
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h₁ : decide (0 < ↑n / ↑d) = true
h₂ : decide (↑n / ↑d < 1) = true
h₁' : 0 < ↑n / ↑d


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: inst✝ : IsPreconnected J

Context: p : Set J

Context: j₀ : J

Context: h0 : j₀ ∈ p

Context: h1 : ∀ {j₁ j₂ : J}, (j₁ ⟶ j₂) → (j₁ ∈ p ↔ j₂ ∈ p)

Context: j : J

Context: aux : ∀ (j₁ j₂ : J), (j₁ ⟶ j₂) → { down := j₁ ∈ p } = { down := j₂ ∈ p } := fun j₁ j₂ f => congrArg ULift.up (Iff.eq (h1 f))


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: A : Set α

Context: ι : Type u_6

Context: L : Filter ι

Context: inst✝ : L.IsCountablyGenerated

Context: As : ι → Set α

Context: μ : Measure α

Context: A_mble : MeasurableSet A

Context: As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)

Context: B : Set α

Context: B_mble : MeasurableSet B

Context: B_finmeas : μ B ≠ ⊤

Context: As_le_B : ∀ᶠ (i : ι) in L, As i ⊆ B

Context: h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A

∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => (As n).indicator 1 a) L (𝓝 (A.indicator 1 a))


Context: n : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a✝ b✝ c d a b : α


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M₂

x ∈ map (LinearMap.snd R M M₂) (snd R M M₂)


Context: b x : Ordinal.{u_1}

Context: hb : 1 < b

Context: hx : x ≠ 0

Context: t : Ordinal.{u_1} := sInf {o | x < b ^ o}

Context: this : x < b ^ t

Context: h : t = 0


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_4
Fintype ι
OrderedAddCommMonoid M


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f : Perm (Fin n)
x✝ : (_ : Fin n) × Fin n
a b : Fin n
hab : ⟨a, b⟩ ∈ finPairsLT n
h : ¬f⁻¹ b < f⁻¹ a

(if f⁻¹ ⟨a, b⟩.fst ≤ f⁻¹ ⟨a, b⟩.snd then -1 else 1) = if f (f⁻¹.signBijAux ⟨a, b⟩).fst ≤ f (f⁻¹.signBijAux ⟨a, b⟩).snd then -1 else 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_4
s : Set α
t : Set β
g : δ → β

s ×ˢ (g ⁻¹' t) = (fun p => (p.1, g p.2)) ⁻¹' s ×ˢ t


Context: n : ℤ


Context:
α : Type u_1
Inv α
a : α


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f g : E → ℝ
hf : Differentiable ℝ f
hg : Differentiable ℝ g
h : ∀ (x : E), f x ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
Preorder α
LinearOrder β
f g : α → β
hf : Monotone f
hg : Monotone g


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α

maximals r (s ∪ t) ⊆ maximals r s ∪ maximals r t


Context:
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
N : Type u_2
L.Structure M
L.Structure N
f : M ≃[L] N


Context:
R : Type u
CommSemiring R
p q : ℕ
f : R[X]

(Polynomial.expand R (p * q)) f = (Polynomial.expand R p) ((Polynomial.expand R q) f)


Context:
α : Type u_3
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α

∀ (a : α), UniformSpace.Completion.toCompl a = ↑α a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
Fintype β
A : Matrix α β ℤ
hn : Fintype.card α < Fintype.card β
hm : 0 < Fintype.card α
hA : A ≠ 0

∃ t,
  t ≠ 0 ∧ A *ᵥ t = 0 ∧ ‖t‖ ≤ (↑(Fintype.card β) * ‖A‖) ^ (↑(Fintype.card α) / (↑(Fintype.card β) - ↑(Fintype.card α)))


Context:
α : Type u_1
s : Multiset α
p q : α → Prop
DecidablePred p
DecidablePred q
h : ∀ (b : α), p b → q b

Multiset.filter p s ≤ Multiset.filter q s


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: f g : α → β

Context: m m' : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: h_mono : m' ≤ m

Context: f_approx : ℕ → α →ₛ β := fun n => { toFun := ↑(hf.approx n), measurableSet_fiber' := ⋯, finite_range' := ⋯ }


Context:
n : ℕ
p : Fin n → Prop
DecidablePred p
i : Fin n

i ∈ Fin.find p → ∀ {j : Fin n}, j < i → ¬p j


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: hfg : Integrable (f * g) μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: this✝ : μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m]

Context: this : f * μ[g|m] =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g|m]

μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]


Context:
α : Type u_2
Lattice α
s t : Set α
hs_sup : SupClosed s
hs_inf : InfClosed s
ht_sup : SupClosed t
ht_inf : InfClosed t

{ carrier := s, supClosed' := hs_sup, infClosed' := hs_inf } ≤
    { carrier := t, supClosed' := ht_sup, infClosed' := ht_inf } ↔
  s ⊆ t


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)

Context: inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)

Context: x y : (n : ℕ) → E n

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: hne : s.Nonempty

Context: H : longestPrefix x s < firstDiff x y

Context: xs : x ∉ s

Context: ys : y ∉ s

Context: l_eq : longestPrefix y s = longestPrefix x s


Context:
α : Type u_1
Monoid α
Preorder α
a b : αˣ


Context:
E : Type u_6
SeminormedAddGroup E
a b : E
r : ℝ
h : b ∈ Metric.ball a r


Context: x : ℝ


Context: x : ℝ

Context: x_large : 512 ≤ x

Context: f : ℝ → ℝ := fun x => log x + √(2 * x) * log (2 * x) - log 4 / 3 * x

Context: hf' : ∀ (x : ℝ), 0 < x → 0 < x * (2 * x) ^ √(2 * x) / 4 ^ (x / 3)


Context:
α : Type u_2
Semiring α
a b : α
ha : Even a
hab : a ∣ b


Context:
α : Type u_1
Preorder α
s : Set (Topology.WithLowerSet α)

IsLowerSet (⇑Topology.WithLowerSet.toLowerSet ⁻¹' s) ↔ IsOpen s


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
hd₁ : α
tl₁ : Mathlib.Vector α n
hd₂ : β
tl₂ : Mathlib.Vector β n
f : α → β → γ

Mathlib.Vector.map₂ f (hd₁ ::ᵥ tl₁) (hd₂ ::ᵥ tl₂) = f hd₁ hd₂ ::ᵥ Mathlib.Vector.map₂ f tl₁ tl₂


Context:
α : Type u
β : α → Type v
s t : Finmap β


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : Group H

Context: inst✝⁴ : MulAction G α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MulAction H β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: s t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: ν : Measure β

Context: h : IsFundamentalDomain G s μ

Context: f : α ≃ β

Context: hf : QuasiMeasurePreserving (⇑f.symm) ν μ

Context: e : H ≃ G

Context: hef : ∀ (g : H), Semiconj (⇑f) (fun x => e g • x) fun x => g • x

Context: g : G

Context: x : β

f.symm ((fun x => e.symm g • x) x) = (fun x => g • x) (f.symm x)


Context:
α : Type u
β : Type v
l : α → β
u : β → α
SemilatticeSup α
SemilatticeSup β
gi : GaloisInsertion l u
a b : β


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: f : ι → α → ℝ≥0∞

Context: s : Finset α

Context: Nonempty ι

Context: h : ∀ (t : Finset α) (i j : ι), ∃ k, ∀ a ∈ t, f k a ≤ f i a ∧ f k a ≤ f j a

⨅ i, ∑ a ∈ s, f i a = ∑ a ∈ s, ⨅ i, f i a


Context: n c d : ℕ

Context: hn : 2 * (c ^ 2 + 1) + d ≥ 2 * (c ^ 2 + 1)

Context: c0 : c > 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α


Context:
α : Sort u_2
β : α → Sort u_1
a : (i : α) ×' β i

(Equiv.psigmaEquivSigmaPLift β) a = ⟨{ down := a.fst }, { down := a.snd }⟩


Context:
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
𝕜 : Type u_4
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedRing A
NormedAlgebra 𝕜 A
CompleteSpace A
StarRing A
NormedRing B
NormedAlgebra 𝕜 B
CompleteSpace B
StarRing B
ψ : A →⋆ₐ[𝕜] B
φ : ↑(WeakDual.characterSpace 𝕜 B)

(WeakDual.CharacterSpace.compContinuousMap ψ) φ =
  WeakDual.CharacterSpace.equivAlgHom.symm ((WeakDual.CharacterSpace.equivAlgHom φ).comp ψ.toAlgHom)


Context: α : Type u_1

Context: CancelCommMonoidWithZero α

Context: pf : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Fintype α
DecidableEq β
f : α ↪ β
a : α


Context:
f : Type u₀ → Type u₁
EquivFunctor f
α : Type u₀

EquivFunctor.mapEquiv f (Equiv.refl α) = Equiv.refl (f α)


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
t₁ : UniformSpace α
t₂ : UniformSpace β
a : Set (α × α)
b : Set (β × β)
ha : a ∈ 𝓤 α
hb : b ∈ 𝓤 β


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Fintype G

Context: S : Set G

Context: inst✝ : (k : ℕ) → DecidablePred fun x => x ∈ S ^ k

∀ (k : ℕ), Fintype.card G ≤ k → Fintype.card ↑(S ^ k) = Fintype.card ↑(S ^ Fintype.card G)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
TopologicalSpace γ
TopologicalSpace δ
f : C(γ, δ)
g : C(β, γ)
h : C(α, β)


Context:
R : Type u_2
NonAssocSemiring R
S : Subsemiring R


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
ε : ℝ
hs : ε • s ∈ 𝓝 0
hε : 0 < ε


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
G : SimpleGraph α
a b : α
p : G.Walk a b
hp : p.IsHamiltonian


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y✝ z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 ≤ ε
h : dist x z < ε + δ
y : E
yz : dist z y ≤ ε
xy : dist y x < δ


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R✝ : Sheaf J RingCat

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: M₁ M₂ : PresheafOfModules R

Context: f : M₁ ⟶ M₂

Context: N : PresheafOfModules R

Context: hN : Presheaf.IsSheaf J N.presheaf

Context: inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp

Context: inst✝¹ : Presheaf.IsLocallySurjective J f.hom

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J f.hom

Context: ψ : M₁ ⟶ N

Context: φ : M₂.presheaf ⟶ N.presheaf

Context: hφ : f.hom ≫ φ = ψ.hom

Context: X : Cᵒᵖ

Context: r : ↑(R.obj X)

Context: y : ↑(M₂.presheaf.obj X)

Context: Y : C

Context: p : Y ⟶ Opposite.unop X

Context: x : (forget AddCommGrp).obj (M₁.presheaf.obj (Opposite.op Y))

Context: hx : (f.hom.app (Opposite.op Y)) x = (M₂.presheaf.map p.op) y

Context: eq : (ψ.hom.app (Opposite.op Y)) ((R.map p.op) r • x) = (R.map p.op) r • (ψ.hom.app (Opposite.op Y)) x

(N.presheaf.map p.op) ((φ.app X) (r • y)) = (N.presheaf.map p.op) (r • (φ.app X) y)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
s : Set α
x : α
m : ℤ
hms : x - ↑m ∈ s
hm0 : 0 ≤ x - ↑m
hm1 : x - ↑m < 1


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f g : α → ℝ

∫ (x : α), rexp (g x) ∂μ.tilted f = (∫ (x : α), rexp ((f + g) x) ∂μ) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ


Context: G : Type u_1

Context: Group G

Context: A B : Subgroup G

Context: d : HNNExtension.NormalWord.TransversalPair G A B

Context: g : G

(HNNExtension.NormalWord.ofGroup g).toList = []


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

Context: S : D

Context: T : CategoryTheory.Functor C D

Context: X Y : CategoryTheory.StructuredArrow S T

Context: h : X = Y

(CategoryTheory.eqToHom h).right = CategoryTheory.eqToHom ⋯


Context:
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
CommRing R'
CommRing S'
Algebra R' S'
P' : Algebra.Generators R' S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
f g : P.Hom P'
c : P.Ring

↑((f.subToKer g) c) = f.toAlgHom c - g.toAlgHom c


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: p : ι → P

Context: j : ι

Context: hp : LinearIndependent k fun i => p ↑i -ᵥ p j

Context: w : ι → kˣ

LinearIndependent k fun i => ↑(w ↑i) • (p ↑i -ᵥ p j)


Context:
R : Type u
M : Type v
M₂ : Type w
Semiring R
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R M₂

LinearMap.fst R M M₂ ∘ₗ LinearMap.inl R M M₂ = LinearMap.id


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
f' g' : E →L[𝕜] F
x : E
L : Filter E
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
hg : HasFDerivAtFilter g g' x L

HasFDerivAtFilter (fun x => f x - g x) (f' - g') x L


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f g : α → β
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s

s.piecewise f g =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] g


Context: n : ℤ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
f : R[X]
n✝¹ n✝ : ℕ

((taylor 0 ∘ₗ monomial n✝¹) 1).coeff n✝ = ((LinearMap.id ∘ₗ monomial n✝¹) 1).coeff n✝


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y : C

Context: E : MorphismProperty.LeftFraction.Localization W ≌ D := uniq (MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W) L W

Context: e : MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W ⋙ E.functor ≅ L := compUniqFunctor (MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W) L W

Context: g : W.LeftFraction X Y

e.inv.app X ≫ E.functor.map (MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Hom.mk g) ≫ e.hom.app Y = g.map L ⋯


Context:
M : Type u_1
Mul M
s : Set M

Subsemigroup.closure (Subtype.val ⁻¹' s) = ⊤


Context:
b : Prop
p : b → Prop


Context:
G : Type u_1
AddGroup G


Context: X : RingCat


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 0
i : Fin 1


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
One α
One β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: NormedAddCommGroup β

Context: f : α → β

Context: hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ

MeasureTheory.Integrable (fun a => ‖f a‖) μ ↔ MeasureTheory.Integrable f μ


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a b : ℝ
φ : ℝ → F →L[𝕜] E
hφ : IntervalIntegrable φ μ a b
v : F

(∫ (x : ℝ) in a..b, φ x ∂μ) v = ∫ (x : ℝ) in a..b, (φ x) v ∂μ


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: aux : ∀ (a b c d : ℂ), a * b * (c * d) = a * c * (b * d)

Context: this✝ : ↑n ^ z * ↑n ^ (1 - z) = ↑n

Context: this : ∀ (j : ℕ), (z + ↑(j + 1)) * (1 - z + ↑j) = ↑((j + 1) ^ 2) * (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: CategoryTheory.WellPowered C

Context: CategoryTheory.Limits.HasWidePullbacks C

Context: A : C

Context: s : Set (CategoryTheory.Subobject A)

Context: f : CategoryTheory.Subobject A

Context: k : ∀ g ∈ s, f ≤ g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
i : Fin n

Iio ↑i.castSucc = map (castSuccEmb.trans valEmbedding) (Iio i)


Context:
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
c : CategoryTheory.Limits.Cone F.unop

(CategoryTheory.Limits.coconeOfConeUnop c).ι = CategoryTheory.NatTrans.removeUnop c.π


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
a : R


Context:
L : FirstOrder.Language
α : Type u'
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
h : φ.IsAtomic


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f : M ≃ₗ[R] M
g : N ≃ₗ[R] N
n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: p q : α → Bool

Context: l : List α

Context: h : ∀ (x : α), x ∈ l → p x = true → q x = true


Context:
α : Type u_1
KleeneAlgebra α
a : α


Context: I : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: X : I → Type u_3

Context: inst✝¹ : (i : I) → TopologicalSpace (X i)

Context: inst✝ : TopologicalSpace A

Context: f g : (i : I) → C(A, X i)

Context: S : Set A

Context: homotopies : (i : I) → (f i).HomotopyRel (g i) S

Context: t : ↑unitInterval

Context: x : A

Context: hx : x ∈ S

{ toFun := fun x => __src✝.toFun (t, x), continuous_toFun := ⋯ } x = (ContinuousMap.pi f) x


Context:
R : Type u
CommSemiring R
A : Type u
Semiring A
Algebra R A
B : Type u
CommRing B
Algebra R B
Algebra.FormallySmooth R A
I : Ideal B
hI : IsNilpotent I
g : A →ₐ[R] B ⧸ I

(Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp (Algebra.FormallySmooth.lift I hI g) = g


Context:
α : Type u_1
s : Set (Set α)


Context: g' g : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hcont : ContinuousOn g (Set.Icc a b)

Context: hderiv : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x

Context: g'pos : ∀ x ∈ Set.Ioo a b, 0 ≤ g' x

MeasureTheory.IntegrableOn g' (Set.Ioc a b) MeasureTheory.volume


Context:
α : Type u
ι : Sort x
f : ι → Filter α


Context:
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : SMulCommClass S R M
inst✝¹ : SMul R S
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : R
h : IsUnit ((algebraMap R (End S M)) x)
m m' : M
H : m = x • m'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω✝ : Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω✝
inst✝³ : Nonempty Ω✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F✝
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ✝
X✝ : α → β
Y : α → Ω✝
mβ : MeasurableSpace β
s✝ : Set Ω✝
t : Set β
f✝ : β × Ω✝ → F✝
Ω : Type u_5
F : Type u_6
mΩ : MeasurableSpace Ω
X : Ω → β
μ : Measure Ω
inst✝ : TopologicalSpace F
f : Ω → F
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s = 0

(Measure.map (fun ω => (X ω, ω)) μ) (Prod.snd ⁻¹' s) = 0


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
hG : IsCodetector G
A✝ B✝ : Cᵒᵖ
f : A✝ ⟶ B✝
hf : IsIso ((yoneda.obj G).map f)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

(A * C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B / C).card


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : α → Set β


Context: ι : Type u_1

Context: c : ComplexShape ι

Context: C : Type u_3

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: K : HomologicalComplex C c

Context: i : Option ι

Context: hi : i = none

CategoryTheory.Limits.IsZero (HomologicalComplex.extend.X K i)


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
a b c : α


Context:
m n : ℕ
h : m ≤ n


Context:
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C C' : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith K C
H : C ≤ C'
g : V₁
k_in : f g ∈ K
hg : ‖g‖ ≤ C * ‖f g‖


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: H : ∀ (s : Finset A), (AlgebraicIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n

Context: s : Set A

Context: li : AlgebraicIndependent R Subtype.val

Context: t : Finset ↑s


Context:
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
u v w : List (Symbol T g.NT)
huv : g.Derives u v
hvw : g.Produces v w


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE

Context: q : ℚ_[p]

Context: ε : ℚ

Context: hε : 0 < ε

Context: q' : CauSeq ℚ (padicNorm p)

Context: this : ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, padicNorm p (↑q' m - ↑q' n) < ε

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, padicNorm p (↑q' m - ↑q' n) < ε

Context: heq : q' - const (padicNorm p) (↑q' N) ≈ 0

(q' - const (padicNorm p) (↑q' N)).norm < ε


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

Context: IH : ∀ m < n + 1, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m

Context: i : ℕ

Context: hi : i ∈ (W_ ℚ n).vars

(expand p) (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i) = (expand p) ((map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ i))


Context:
α : Type u
β : Type v
Preorder α
Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
a : α
b : β


Context:
R : Type u
Semiring R
n m : ℕ
r s : R

(Polynomial.monomial n) r * (Polynomial.monomial m) s = (Polynomial.monomial (n + m)) (r * s)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
x : M
f : Module.Dual R M
y : M

(Module.preReflection x f) y = y - f y • x


Context:
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝² : Category.{v₄, u₄} D
inst✝¹ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝ : Category.{v₆, u₆} F
G₁ : A ⥤ C
G₂ : C ⥤ E
H₁ : B ⥤ D
H₂ : D ⥤ F
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
L₃ : E ⥤ F
R₃ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : G₁ ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : G₂ ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H₂
b : B

adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))) = adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (L₂.map (adj₂.unit.app (G₁.obj (R₁.obj b))))) ≫ R₃.map (H₂.map (adj₂.counit.app (L₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b)))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.123995, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.123999, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.124003, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: inst✝ : L.HasPointwiseRightKanExtension F

Context: Y : D

Context: j : StructuredArrow Y L

limit.π (StructuredArrow.proj Y L ⋙ F) ((StructuredArrow.map (𝟙 Y)).obj j) = limit.π (StructuredArrow.proj Y L ⋙ F) j


Context:
α : Type u_2
One α
f : Filter α


Context:
a b : ℕ+
d : ℕ+ := a.gcdD b
w : ℕ+ := a.gcdW b
x : ℕ := a.gcdX b
y : ℕ := a.gcdY b
z : ℕ+ := a.gcdZ b
a' : ℕ+ := a.gcdA' b
b' : ℕ+ := a.gcdB' b
u : XgcdType := XgcdType.start a b
ur : XgcdType := u.reduce
x✝¹ : d = ur.a
hb : d = ur.b
ha' : ↑a' = ↑w + x
hb' : ↑b' = y + ↑z
hdet : w * z = (x * y).succPNat
hdet' : ↑w * ↑z = x * y + 1
x✝ : u.v = (↑a, ↑b)
hv : (↑a' * ↑d, ↑b' * ↑d) = (↑a, ↑b)
ha'' : ↑a = ↑a' * ↑d
hb'' : ↑b = ↑b' * ↑d

z * a' = (x * ↑b').succPNat ∧ w * b' = (y * ↑a').succPNat ∧ ↑z * ↑a = x * ↑b + ↑d ∧ ↑w * ↑b = y * ↑a + ↑d


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
α : ι → Type u_4
(i : ι) → SMul M (α i)
i : ι
FaithfulSMul M (α i)


Context:
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁✝ a₂✝ b b₁✝ b₂✝ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a₁ a₂ b₁ b₂ : E

nndist (a₁ * a₂) (b₁ * b₂) ≤ nndist a₁ b₁ + nndist a₂ b₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : ℕ → α
k : ℕ

⨆ n, ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n), f (i + k) = ⨆ n, ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n), f i


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hn : 2 ≤ n

Context: hz : z ≠ 0

Context: der1 : ∀ x ∈ uIcc 0 (π / 2), HasDerivAt (fun y => ↑(cos y) ^ n) (-↑n * ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1)) x

∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n = ↑n / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.sin (2 * z * ↑x) * ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1)


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝¹ : NormalizationMonoid R
inst✝ : DecidableRel Dvd.dvd
a b : R
n : ℕ
ha : Irreducible a
hb : b ≠ 0

a ^ n ∣ b ↔ replicate n (normalize a) ≤ normalizedFactors b


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
h : (yoneda.obj G).ReflectsIsomorphisms
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (h : X ⟶ G), ∃! h', f ≫ h' = h


Context: Ω : Type u_1

Context: MeasureTheory.MeasureSpace Ω

Context: MeasureTheory.IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : Ω → ℝ

Context: hX : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable X ℙ

ProbabilityTheory.evariance X ℙ = (∫⁻ (ω : Ω), ↑(‖X ω‖₊ ^ 2)) - ENNReal.ofReal ((∫ (a : Ω), X a) ^ 2)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
l r : M →ₗ[R] M


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
hN : ¬N = 0

upcrossingsBefore a b f N ω = ∑ i ∈ Finset.Ico 1 (N + 1), {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 i


Context: P : Type u_2

Context: MetricSpace P

Context: p c : P

Context: ps : Set P

Context: r : ℝ

Context: hp : p ∈ ps

Context: hps : ps ⊆ Metric.sphere { center := c, radius := r }.center { center := c, radius := r }.radius


Context:
β : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : β → C
P : C
p : (b : β) → P ⟶ f b
j : β

(CategoryTheory.Limits.Fan.mk P p).proj j = p j


Context:
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
hn : n ≤ firstDiff x y


Context:
N : ℕ
x✝ : SL(2, ℤ)


Context:
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
M : Type w'
L.Structure M
Nonempty M
M ⊨ T
v : α → M
φ : L.Formula α

FirstOrder.Language.Formula.equivSentence φ ∈ T.typeOf v ↔ φ.Realize v


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hz : z ≠ 0

Context: x : ℝ

Context: a : HasDerivAt (fun y => y * (2 * z)) (2 * z) ↑x

Context: b : HasDerivAt (fun y => Complex.cos (y * (2 * z))) (-Complex.sin (↑x * (2 * z)) * (2 * z)) ↑x

Context: c : HasDerivAt (fun x => -Complex.cos (2 * z * ↑x) / (2 * z)) (Complex.sin (2 * z * ↑x)) x

HasDerivAt (fun y => -Complex.cos (2 * z * ↑y) / (2 * z)) (Complex.sin (2 * z * ↑x)) x


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
LinearOrderedSemiring R
Archimedean R
hr : 0 < r
hf : Filter.Tendsto f l Filter.atTop

Filter.Tendsto (fun x => f x * r) l Filter.atTop


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n k : ℕ

(n + k).choose k • choose (r + ↑k) (n + k) = choose (r + ↑k) k * choose r n


Context: α : Type u_3

Context: s : Finset α

Context: M : Type u_6

Context: CommMonoid M

Context: f : α → M

Context: p : M → Prop

Context: hom : ∀ (a b : M), p a → p b → p (a * b)

Context: nonempty : s.Nonempty

Context: base : ∀ x ∈ s, p (f x)


Context:
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
S : Type u_5
R : Type u_6
N : Type u_7
M : Type u_8
SetLike S R
SetLike N M
SMul R M
VAdd ιA ιB
A : ιA → S
B : ιB → N
SetLike.GradedSMul A B
i : ιA
j : ιB
x : ↥(A i)
y : ↥(B j)

↑(GradedMonoid.GSMul.smul x y) = ↑x • ↑y


Context: z w : ℂ


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C
Sw : S.IsWide
c : C

CategoryTheory.CategoryStruct.id c ∈ S.arrows c c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c x : α


Context:
M : Type u_4
Add M
c : AddCon M
x : M


Context:
x : ℝ
hx : x ∈ Icc (-(π / 2)) (π / 2)


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
r : ℕ
hr : x = (-ζ) ^ r


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
i j : σ →₀ ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
RCLike 𝕜
F : Type u_2
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
fr : RestrictScalars ℝ 𝕜 F →ₗ[ℝ] ℝ
x : F

fr.extendTo𝕜 x = ↑(fr x) - RCLike.I * ↑(fr (RCLike.I • x))


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace ℝ E

Context: NormedAddCommGroup F

Context: NormedSpace ℝ F

Context: I : BoxIntegral.Box ι

Context: Fintype ι

Context: l : BoxIntegral.IntegrationParams

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y : F

Context: hf : BoxIntegral.HasIntegral I l f vol y

Context: c : ℝ

BoxIntegral.HasIntegral I l (c • f) vol (c • y)


Context:
n : ℕ
NeZero n
k : Fin n


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_2
AddCommMonoid M
Module R M

Function.LeftInverse ⇑TensorAlgebra.ιInv ⇑(TensorAlgebra.ι R)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : CountablyGenerated α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
x y : α
hxy : mapNatBool α x = mapNatBool α y


Context:
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
i : ι


Context:
α : Type u_1
CommMonoid α
x : α


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: s : Set ℝ

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: hf : InjOn f s

Context: g : ℝ → F

IntegrableOn g (f '' s) volume ↔ IntegrableOn (fun x => |f' x| • g (f x)) s volume


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ
hfint : Integrable f μ
hfint' : 0 ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ r

eLpNorm f 1 μ ≤ 2 * μ univ * ENNReal.ofReal r


Context:
n d : ℕ
hnd : d ∣ n

(n / d).totient = (Finset.filter (fun k => n.gcd k = d) (Finset.range n)).card


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
e.IsTruncGE
j : ι
k' : ι'
h : c'.Rel (e.f j) k'


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: X : CategoryTheory.SimplicialObject C

Context: Y Z : C

Context: q n : ℕ

Context: φ : Y ⟶ X _[n + 1]

Context: v : AlgebraicTopology.DoldKan.HigherFacesVanish q φ

Context: f : Z ⟶ Y

AlgebraicTopology.DoldKan.HigherFacesVanish q (f ≫ φ)


Context: x : ℝ

↑x ≠ 0 ↔ x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoEMetricSpace α
PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
s : Set α

EMetric.diam s ≤ ↑K * EMetric.diam (f '' s)


Context: h : IsSquare (-1)


Context:
α : Type u_2
DecidableEq α
GroupWithZero α
s : Finset α
hs : s.Nonempty


Context:
P : Type u_1
LE P
IsDirected P fun x x_1 => x ≤ x_1
Nonempty P
I : Order.Ideal P
I.IsMaximal


Context: n : ℕ

Context: n.AtLeastTwo


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y : C
f f' : X ⟶ Y
inst✝² : HasImage f
inst✝¹ : HasImage f'
inst✝ : HasEqualizers C
h : f = f'

factorThruImage f ≫ ι f = factorThruImage f ≫ lift (MonoFactorisation.mk (image f') (ι f') (factorThruImage f') ⋯) ≫ ι f'


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
X Y S : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
CategoryTheory.Limits.HasPullback f g
H : P f

P (CategoryTheory.Limits.pullback.snd f g)


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
f : V ↪ W


Context:
α : Type u
s : Computation α
a : α
n : ℕ
h : s.think.Results a n


Context:
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring S
CommSemiring R
NonUnitalSemiring A
Module R A
IsScalarTower R A A
SMulCommClass R A A
Algebra S R
DistribMulAction S A
IsScalarTower S R A

algebraMap S (Unitization R A) = (Unitization.inlRingHom R A).comp (algebraMap S R)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: V : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: x✝ : M

Context: p✝ p' : Submodule R M

Context: inst✝⁴ : Semiring R₂

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : FunLike F M M₂

Context: inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂

Context: s t : Set M

Context: p : (x : M) → x ∈ span R s → Prop

Context: zero : p 0 ⋯

Context: add : ∀ (x : M) (hx : x ∈ span R s) (y : M) (hy : y ∈ span R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯

Context: smul_mem : ∀ (r : R) (x : M) (h : x ∈ s), p (r • x) ⋯

Context: x : M

Context: hx : x ∈ span R s


Context:
α : Sort v
β : α → Sort u
a₁ a₂ : α
b : (x : α) → β x
h : a₁ = a₂

HEq
  (let x := a₁;
  b x)
  (let x := a₂;
  b x)


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
n : ℕ

x ^ (n % orderOf x) = x ^ (n % orderOf x + orderOf x * (n / orderOf x))


Context:
f : CircleDeg1Lift
x : ℝ


Context:
E : Type u_6
SeminormedGroup E
a : E


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
MulZeroClass α
a : WithBot α


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝

Context: μ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: β : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : T1Space β

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: f : α → β

Context: m : OuterMeasure β := (OuterMeasure.map f) μ.toOuterMeasure

Context: h : ∀ (b : β), m {b}ᶜ ≠ 0

Context: inhabited_h : Inhabited β

Context: this : m univ ≠ 0

Context: b : β

Context: hb : ∀ t ∈ 𝓝 b, 0 < m t

Context: a : β

Context: hab : a ≠ b

Context: ha : ∀ t ∈ 𝓝 a, 0 < m t

∃ a b, a ≠ b ∧ (∀ s ∈ 𝓝 a, 0 < μ (f ⁻¹' s)) ∧ ∀ t ∈ 𝓝 b, 0 < μ (f ⁻¹' t)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
h : 2 ≤ n
this : 1 ≤ n / 2
m : ℕ
e : n / 2 = m.succ

(match (n.bodd, n / 2) with | (false, m) => Option.map Sum.inl (decode m) | (fst, m) => Option.map Sum.inr (decode m)) = none


Context:
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α
p : α → Prop
hs : MeasurableSet s

(∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → p x


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝ : Balanced C

Context: 𝒢 : Set C

Context: h𝒢 : IsSeparating 𝒢

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: hf : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : G ⟶ Y), ∃! h', h' ≫ f = h


Context: n : ℕ

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf' : ∀ k < n, Squarefree (f k)

Context: hn : n ≠ 0

Context: hf : StrictMonoOn f (Set.Iio n)

Context: this : ∀ i < n, ∀ j < n, f i < (f i).gcd (f j) * n

Context: 𝒜 : Finset (Finset ℕ) := image (fun n => (f n).primeFactors) (Iio n)

Context: hf'' : ∀ i < n, ∀ (j : ℕ), Squarefree (f i / (f i).gcd (f j))

Set.InjOn (fun s => ∏ p ∈ s, p) ↑(𝒜 \\ 𝒜)


Filter.Tendsto (fun n => ↑n ! / ↑n ^ n) Filter.atTop (𝓝 0)


Context: G : Type u

Context: AddGroup G

Context: N : AddSubgroup G

Context: nN : N.Normal

Context: M : Type x

Context: AddMonoid M

Context: f g : G ⧸ N →+ M

Context: h : f.comp (QuotientAddGroup.mk' N) = g.comp (QuotientAddGroup.mk' N)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
p : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
Ring R₂
AddCommGroup M₂
Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : p ≤ Submodule.comap f q
x : M

(p.mapQ q f h) (Submodule.Quotient.mk x) = Submodule.Quotient.mk (f x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s t : SignedMeasure α

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Measurable f

Context: hfi : Integrable f μ

Context: htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure

Context: hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f

Context: this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal ((-f) x))

IsFiniteMeasure (t.toJordanDecomposition.negPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x))


Context:
K : Type u₁
Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
CommRing O
Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
x y : ModP K v O hv p

ModP.preVal K v O hv p (x + y) ≤ max (ModP.preVal K v O hv p x) (ModP.preVal K v O hv p y)


Context:
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a : G₀


Context: x y : USize


Context: x : ℝ

Context: hx : Liouville x

Context: n : ℕ

Context: H : ¬∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a, x ≠ ↑a / ↑b ∧ |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ n


Context:
X : Type u
TopologicalSpace X


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
CommSemiring R
σ : Type u_3
AddCommMonoid M
SemilatticeSup M
OrderBot M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support

(Finsupp.weight w) d ≤ MvPolynomial.weightedTotalDegree w φ


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
Group G
Group G'
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
n : ℕ

Subgroup.map f (derivedSeries G n) = derivedSeries G' n


Context: α : Sort u_1

Context: β : α → Sort u_2

Context: γ : (a : α) → β a → Sort u_3

Context: δ : (a : α) → (b : β a) → γ a b → Sort u_4

Context: ε : (a : α) → (b : β a) → (c : γ a b) → δ a b c → Sort u_5

Context: p q : (a : α) → (b : β a) → (c : γ a b) → (d : δ a b c) → ε a b c d → Prop

Context: h : ∀ (a : α) (b : β a) (c : γ a b) (d : δ a b c) (e : ε a b c d), p a b c d e ↔ q a b c d e

(∃ a b c d e, p a b c d e) ↔ ∃ a b c d e, q a b c d e


Context:
α : Type u_1
f : α → α
a : α
m n : ℕ

iterate f a (m + n) = iterate f a m ++ iterate f (f^[m] a) n


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f g : α → β
a : Multiset α
i : Multiset (Multiset α)
l : List (Multiset α)

(sum ⟦l⟧).Disjoint a ↔ ∀ b ∈ ⟦l⟧, b.Disjoint a


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: β : Type u_4

Context: u : ι ⊕ β → ↑S.X₂

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

Context: hv : ⊤ ≤ span R (range v)

Context: hw : ⊤ ≤ span R (range (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr))

Context: m : ↑S.X₂

Context: a✝ : m ∈ ⊤

Context: cm : β →₀ R

Context: hm : (cm.sum fun i a => a • (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr) i) = S.g m

Context: m' : ↑S.X₂ := cm.sum fun j a => a • u (Sum.inr j)

Context: n : ↑S.X₁

Context: cn : ι →₀ R

Context: hnm : (cn.sum fun a b => S.f (b • v a)) = m - m'

Context: hn : (cn.sum fun i a => a • v i) = n

Context: hn' : (cn.sum fun a b => b • S.f (v a)) = cn.sum fun a b => b • u (Sum.inl a)


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
f : α → ℝ
s : Set α
a : α
hf : ContinuousWithinAt f s a
h₀ : f a ≠ 0

ContinuousWithinAt (fun x => Real.log (f x)) s a


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
NormedAddCommGroup V
InnerProductSpace ℝ V
MetricSpace P
NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P

EuclideanGeometry.angle p₁ p₂ p₃ = 0 ↔ p₁ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ p₃ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁


Context:
M : Type u_1
AddMonoid M
x : M


Context:
G : Type u_1
TopologicalSpace G
InvolutiveNeg G
ContinuousNeg G


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
S : Submonoid R
H : ⊤ ≤ LinearMap.ker (mkLinearMap S M)
x : M
s : ↥S

Function.uncurry (IsLocalizedModule.mk' (mkLinearMap S M)) (x, s) = 0


Context:
l : List ℤ
n : ℕ

jacobiSym l.prod n = (List.map (fun a => jacobiSym a n) l).prod


Context:
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
t : Batteries.RBNode α

Batteries.RBNode.Ordered cmp t.setRed ↔ Batteries.RBNode.Ordered cmp t


Context:
α : Type u
x y : α
L1 L2 : List α

{ head := x, tail := L1 } * { head := y, tail := L2 } = { head := x, tail := L1 ++ y :: L2 }


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.MonoidalPreadditive C
P : C
Q R : C
J : Type u_2
s : Finset J
g : J → (Q ⟶ R)

CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft P (∑ j ∈ s, g j) =
  ∑ j ∈ s, CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft P (g j)


Context: n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass M₀
s✝ t : Set ι
f✝ g✝ : ι → M₀
i : ι
s : Set ι
f g : ι → M₀
x✝ : ι
h✝ : x✝ ∉ s