Context: R : Type u_1

Context: CommRing R

Context: IsDedekindDomain R

Context: v : IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum R

Context: r : R

v.intValuationDef r < 1 ↔ v.asIdeal ∣ Ideal.span {r}


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f g : (i : ι) → H i

Context: hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)

Context: hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))

Context: val✝ : Fintype ι

Context: this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι

Context: i : ι

(fun i => (ϕ i).range) i ⊓ ⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), (fun i => (ϕ i).range) j ≤ ⊥


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G


Context:
R : Type u_1
Semiring R
f : PowerSeries R
n : ℕ

(HahnSeries.ofPowerSeries ℤ R) (f ^ n) = (HahnSeries.ofPowerSeries ℤ R) f ^ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : CompleteSpace α

Multipliable f ↔ ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∏ b ∈ t, f b ∈ e


Context: α : Type u_4

Nat.card α = if h : Finite α then Fintype.card α else 0


Context:
m : Type u_2
α : Type v
NonAssocSemiring α
Fintype m
DecidableEq m
x : ℕ
x.AtLeastTwo
v : m → α

v ᵥ* OfNat.ofNat x = MulOpposite.op (OfNat.ofNat x) • v


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E✝ : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ι → α → E✝

Context: g✝ : α → E✝

Context: E : Type u_4

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : ι → α → E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: hfg : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, essSup (fun x_1 => ↑‖(f x - g) x_1‖₊) μ ≤ ε

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

∀ᶠ (x : ι) in l, μ {x_1 | δ ≤ dist (f x x_1) (g x_1)} ≤ ε


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
UniformSpace α
AddGroup α
UniformAddGroup α
UniformSpace β
AddGroup β
UniformAddGroup β
f : α →+ β
hf : Continuous ⇑f
a : α


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' insert x s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x = 𝓝[insert (↑(extChartAt I x) x) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)] ↑(extChartAt I x) x


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: t : CategoryTheory.Limits.Fork f g

Context: ht : CategoryTheory.Limits.IsLimit t

Context: Z : C

Context: h : { h // CategoryTheory.CategoryStruct.comp h f = CategoryTheory.CategoryStruct.comp h g }

(CategoryTheory.Limits.Fork.IsLimit.homIso ht Z).symm h = ↑(CategoryTheory.Limits.Fork.IsLimit.lift' ht ↑h ⋯)


Context: a b : Int


Context:
M : Type u
X : Type w
PseudoEMetricSpace X
SMul M X
IsometricSMul M X
c : M
s : Set X


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: Q : R[X]

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})

Context: this : Module.Finite K L := finite B

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: finrank_K_L : FiniteDimensional.finrank K L = B.dim

Context: deg_K_P : (minpoly K B.gen).natDegree = B.dim

Context: deg_R_P : P.natDegree = B.dim


Context:
R : Type u
Semiring R
x : R


Context:
α : Type u_1
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s : Set α

μ s = (MeasureTheory.inducedOuterMeasure (fun s x => μ s) ⋯ ⋯) s


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x✝ y : R
inst✝⁴ : MonoidWithZero R
inst✝³ : MonoidWithZero S
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F R S
inst✝¹ : MonoidWithZeroHomClass F R S
f : F
hf : Injective ⇑f
inst✝ : IsReduced S
x : R
hx : IsNilpotent x


Context:
b c : Int
a : Int


Context:
C : ℝ → Prop
x : ℝ
h : ∀ (y : CauSeq ℚ abs), C (Real.mk y)


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
μ : K
n : ℕ

LinearMap.range (f * (f - (algebraMap K (End K V)) μ) ^ n) = LinearMap.range ((f - (algebraMap K (End K V)) μ) ^ n * f)


Context:
n a : ℕ
ha : n / 2 < a
ha' : a < n


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M✝ : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝ : Module R M✝

Context: inst : IsNoetherianRing R

Context: I : Ideal R[X]

Context: M : Submodule R R := ⋯.min (Set.range I.leadingCoeffNth) ⋯

Context: hm : M ∈ Set.range I.leadingCoeffNth

Context: N : ℕ

Context: HN : I.leadingCoeffNth N = M

Context: s : Finset R[X]

Context: hs : Submodule.span R ↑s = I.degreeLE ↑N

Context: hm2 : ∀ (k : ℕ), I.leadingCoeffNth k ≤ M

Context: hs2 : ∀ {x : R[X]}, x ∈ I.degreeLE ↑N → x ∈ Ideal.span ↑s

Context: this : Submodule.span R[X] ↑s = Ideal.span ↑s

Context: p : R[X]

Context: hp : p ∈ I

Context: k : ℕ

Context: hn : p.natDegree = k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x✝ : α

x✝ ∈ Ioo a b ∩ Iio c ↔ x✝ ∈ Ioo a (min b c)


Context:
ι : Type v
β : ι → Type w
(i : ι) → AddCommGroup (β i)
g₁ g₂ : DirectSum ι fun i => β i
i : ι


Context:
X : TwoP
a : ((𝟭 TwoP).obj X).toBipointed.X

(TwoP.swapEquiv.counitIso.inv.app X).toFun a = a


Context:
α : Type u_1
a : α
p : α → Bool
l : List α


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
a✝ : Nontrivial R

∃ ε > 0, ∀ ⦃y : R⦄, dist y 0 < ε → inverse (↑x + y) = inverse (1 + ↑x⁻¹ * y) * ↑x⁻¹


Context:
ι : Type u_1
I J : BoxIntegral.Box ι
h : J ≤ I

(BoxIntegral.Prepartition.single I J h).IsPartition ↔ J = I


Context:
α : Sort u
r : α → α → Prop
x y : α
h₁ : Acc r x
h₂ : r y x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ENNReal

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: NormedAddCommGroup E

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : α → E

Context: hf : MeasureTheory.Memℒp f p (μ.trim hm)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: c : Set (E →ₗ.[R] F)

Context: hc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c

∃ f, { domain := sSup (domain '' c), toFun := f } ∈ upperBounds c


Context: C : Type u

Context: n : CategoryTheory.FreeMonoidalCategory.NormalMonoidalObject C

(𝟙_ (CategoryTheory.FreeMonoidalCategory C)).normalizeObj n = n


Context:
a b : ℝ
n : ℕ

∀ x ∈ [[a, b]], DifferentiableAt ℝ sin x


Context:
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
f : K[X]
hf : f.natDegree ≠ 0
g : K[X]
hg : f = f.factor * g

(map (AdjoinRoot.of f.factor) f).IsRoot (AdjoinRoot.root f.factor)


Context:
α : Type u_2
LE α
OrderTop α

TopHom.dual.symm (BotHom.id αᵒᵈ) = TopHom.id α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.Nodup
hl' : l'.Nodup
hn : 2 ≤ l.length
hn' : 2 ≤ l'.length

(∀ (x : α), l.formPerm x = x ∨ l'.formPerm x = x) ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ l → a ∈ l' → False


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_clopen : ∀ (i : ι), IsClopen (s i)
h_nonempty : ∀ (i : ι), s i ≠ ∅
i j : ι
h_ne : s i ∩ s j = ∅


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u : Set α
x : α
s t : Set α


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
Semiring R
StarMul R
TrivialStar R
AddCommGroup A
Module R A
StarAddMonoid A
StarModule R A
Invertible 2
x : A
hx : IsSelfAdjoint x


Context:
R : Type u_3
S : Type u_5
T : Type u_7
NonUnitalNonAssocSemiring R
NonUnitalNonAssocSemiring S
NonUnitalNonAssocSemiring T
f : R →ₙ+* S
g : R →ₙ+* T

(NonUnitalRingHom.snd S T).comp (f.prod g) = g


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B

(image.ι g.unop).op ≫ (imageUnopOp g).hom = factorThruImage g


Context:
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocRing R
x : R
S : NonUnitalSubring R

x ∈ nonUnitalSubalgebraOfNonUnitalSubring S ↔ x ∈ S


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
l : Filter ι
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
OpensMeasurableSpace α
a b : ι → α
A B : α
MeasureTheory.NoAtoms μ
ha : Filter.Tendsto a l (𝓝 A)
hb : Filter.Tendsto b l (𝓝 B)

MeasureTheory.AECover (μ.restrict (Set.Ico A B)) l fun i => Set.Ico (a i) (b i)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
X : Set R
x✝ : R
a✝ : ↑X

((↑↑{ toFun := fun p => p.toContinuousMapOn X, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }).toFun ((algebraMap R R[X]) x✝)) a✝ = ((algebraMap R C(↑X, R)) x✝) a✝


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.17202, u_1} C

Context: F G : ℕ ⥤ C

Context: app : (n : ℕ) → F.obj n ⟶ G.obj n

Context: naturality : ∀ (n : ℕ), F.map (homOfLE ⋯) ≫ app (n + 1) = app n ≫ G.map (homOfLE ⋯)

Context: k : ℕ

∀ ⦃i j : ℕ⦄ (hk : j = i + k), F.map (homOfLE ⋯) ≫ app j = app i ≫ G.map (homOfLE ⋯)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: s✝ s' : Set α

Context: x : α

Context: p✝ : Filter ι

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: h : 𝔖.Nonempty

Context: h' : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖

Context: p : ι → Prop

Context: s : ι → Set (β × β)

Context: hb : (𝓤 β).HasBasis p s

(⨅ i ∈ 𝔖, 𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)).HasBasis (fun Si => Si.1 ∈ 𝔖 ∧ p Si.2) fun Si => UniformOnFun.gen 𝔖 Si.1 (s Si.2)


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
v : V
Fintype ↑(G.neighborSet v)
w : V


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
j : ℕ
hj : j ≠ 0

num A r ∣ (p.scaleRoots ↑(den A r)).coeff j * num A r ^ j


Context:
α : Type u_1
E : Type u_3
F' : Type u_7
Norm E
SeminormedAddCommGroup F'
c : ℝ
f : α → E
g' : α → F'
l : Filter α

(Asymptotics.IsBigOWith c l f fun x => ‖g' x‖) ↔ Asymptotics.IsBigOWith c l f g'


Context: k : ℕ

Context: hk : k ≠ 0

Context: this : 2 ^ (2 * k - 1) = 2 ^ (2 * k) / 2


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
i✝ : Fin (0 + 1)

s.points (({i}.orderEmbOfFin ⋯) i✝) = s.points i


Context: α : Type u_1

Context: MeasurableSpace α

Context: f : α → ℚ → ℝ

Context: hf : ProbabilityTheory.IsMeasurableRatCDF f

Context: a : α

(hf.stieltjesFunction a).measure Set.univ = 1


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : AddGroup N
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : α →₀ N


Context:
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
CoalgebraStruct R A

↑(BialgEquiv.refl R A) = CoalgEquiv.refl R A


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s μ
hint : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
hμ₁ : μ s = ⊤

0 < μ {x | x ∈ s ∧ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: MeasurableSpace α

Context: MeasurableSpace β

Context: MeasurableSpace γ

Context: f : α → γ

Context: g : β → γ

Context: μ : autoParam (MeasureTheory.Measure α) _auto✝

Context: ν : autoParam (MeasureTheory.Measure β) _auto✝¹

Context: self : ProbabilityTheory.IdentDistrib f g μ ν


Context:
α : Type u_1
I : Set α
M : Matroid α
M.Finitary

M.Indep I ↔ ∀ J ⊆ I, J.Finite → M.Indep J


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
v : V
x : k
s : Set ι
p : ι → P
b : P

(∃ fs, ↑fs ⊆ s ∧ ∃ w, ∑ i ∈ fs, w i = x ∧ v = (fs.weightedVSubOfPoint p b) w) ↔
  ∃ fs w, ∑ i ∈ fs, w i = x ∧ v = (fs.weightedVSubOfPoint (fun i => p ↑i) b) w


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f f' : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hf' : IsLimit f'
hc : IsColimit c
j : α

((opProductIsoCoproduct' hf hc).hom ≫ (opProductIsoCoproduct' hf' hc).inv).unop ≫ f.proj j = (hf.conePointUniqueUpToIso hf').op.inv.unop ≫ f.π.app { as := j }


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: X Y Z : C

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C ⥤ D

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: CategoryTheory.Limits.HasPullback f g

Context: CategoryTheory.Limits.HasPullback (G.map f) (G.map g)

Context: W : C

Context: h : W ⟶ X

Context: k : W ⟶ Y

Context: w : h ≫ f = k ≫ g

G.map (CategoryTheory.Limits.pullback.lift h k w) ≫ CategoryTheory.Limits.pullbackComparison G f g =
  CategoryTheory.Limits.pullback.lift (G.map h) (G.map k) ⋯


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommSemiring R

Context: inst✝⁴ : Semiring A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Semiring B

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: S : Subalgebra R A

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: K : ι → Subalgebra R A

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K

Context: f : (i : ι) → ↥(K i) →ₐ[R] B

Context: hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)

Context: T : Subalgebra R A

Context: hT : T = iSup K

Context: i : ι

Context: x : ↥(K i)

Context: hx : ↑x ∈ T

Set.iUnionLift (fun i => ↑(K i)) (fun i x => (f i) x) ⋯ ↑T ⋯ ⟨↑x, hx⟩ = (f i) x


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: α : Type u_4

Context: TopologicalSpace X

Context: UniformSpace α

Context: F : ι → X → α

Context: TopologicalSpace ι

Context: T2Space α

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: F_clemb : ClosedEmbedding (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F)

Context: s : Set ι

Context: s_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn (F ∘ Subtype.val) K

Context: s_pointwiseCompact : ∀ K ∈ 𝔖, ∀ x ∈ K, ∃ Q, IsCompact Q ∧ ∀ i ∈ s, F i x ∈ Q


Context: X : Grp

Grp.uliftFunctor.obj X = Grp.of (ULift.{v, u} ↑X)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: q : Associates M

Context: n : ℕ

Context: c : Fin (n + 1) → Associates M

Context: h₁ : StrictMono c

Context: h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i

Context: i : Fin (n + 1)

Context: hr : 1 = c i


Context:
R : Type u
inst✝² : Ring R
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
r s : R
x : ↑(M F)

∀ (a : (j : J) × ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat).obj j), (r + s) • Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) a = r • Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) a + s • Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) a


Context: α : Type u

Context: CommGroup α

Context: LE α

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c : α


Context:
x y : ℝ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0


Context:
R : Type u
CommRing R
W' : WeierstrassCurve.Jacobian R
P : Fin 3 → R
u : R


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: F G : CategoryTheory.ComposableArrows C 1

Context: left : F.left = G.left

Context: right : F.right = G.right

Context:
w :
  F.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom left)
      (CategoryTheory.CategoryStruct.comp G.hom (CategoryTheory.eqToHom ⋯))


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_5
CompleteLattice α
p : ι → Prop
f : Subtype p → α


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
M' : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : LieRingModule L M'
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M'


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t✝ u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α
ht : t ∈ P.parts
ht' : a ∈ t


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
hR : 0 ≤ R
hf : ContinuousOn f (Metric.sphere c R)


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
hs : s.Finite
g : G
this✝ : Fintype ↑s
this : Fintype ↑(g • s)


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α

Multiset.toDFinsupp s = Multiset.toDFinsupp t ↔ s = t


Context:
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)

(Spec Γ(X, U)).basicOpen ((Scheme.Hom.app hU.fromSpec U) f) = PrimeSpectrum.basicOpen f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq β
x : β
e : α ≃ { y // y ≠ x }
b : { y // y ≠ x }

(↑((Equiv.optionSubtype x).symm e)).symm ↑b = some (e.symm b)


Context:
R : Type u
CommRing R
W : WeierstrassCurve.Projective R
P : Fin 3 → R

(MvPolynomial.eval P) W.polynomialX = W.a₁ * P 1 * P 2 - (3 * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₂ * P 0 * P 2 + W.a₄ * P 2 ^ 2)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : CommSemiring A'
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R A'
inst✝⁴ : Algebra R B
p q : R[X]
x : A
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Algebra S A'
inst✝ : Algebra S B
g : R →ₐ[S] A'
y x✝ : A'

(aevalTower (Algebra.ofId S A') x✝) X = (aeval x✝) X


Context:
α : Type v
M : Type u
AddMonoid M
AddAction M α
m : M
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s t : Set α
h : Semiconj f fa fb
ha : InjOn fa s
hf : InjOn f (fa '' s)
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
H : f (fa x) = f (fa y)


Context: ι : Type u_1

Context: M : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: N : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid N

Context: inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: C : Word M → Prop

Context: h_empty : C empty

Context: h_smul : ∀ (i : ι) (m : M i) (w : Word M), C w → C (of m • w)

Context: w : Word M


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H : IsCoprime (y * z) x


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
unop : C

(CategoryTheory.Groupoid.invFunctor C).obj unop = Opposite.op unop


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_4
Semiring A
DecidableEq ι
AddMonoid ι
SetLike σ A
AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
GradedRing 𝒜


Context:
L : FirstOrder.Language
T : L.Theory
α : Type w
p : T.CompleteType α


Context:
M : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
SMul M α
SMul M β
a : M
c : β


Context:
K : Type u_7
L : Type u_8
Field K
LieRing L
LieAlgebra K L
Module.Finite K L
x : L

LieAlgebra.rank K L ≤ FiniteDimensional.finrank K ↥(LieSubalgebra.engel K x)


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace ℝ E
v : E

ContinuousOn (stereoToFun v) {x | ((innerSL ℝ) v) x ≠ 1}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝³ : ProperSpace α

Context: x : α

Context: r✝ : ℝ

Context: s : Set α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: a z : α

Context: r : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (closedBall a r)

Context: hz : z ∈ closedBall a r

Context: hf1 : ∀ z' ∈ closedBall a r \ ball a r, f z < f z'


Context:
R : Type x
MulOneClass R
HasDistribNeg R
a : R


Context: x : ℝ


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)

(affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) ((↑(n + 2 + 1) / ↑(n + 2 - 1)) • (centroidWeightsWithCircumcenter univ - circumcenterWeightsWithCircumcenter (n + 2)) + circumcenterWeightsWithCircumcenter (n + 2)) = (affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (mongePointWeightsWithCircumcenter n)


Context:
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
LieAlgebra.IsKilling K L
CharZero K
α : LieModule.Weight K (↥H) L

(LieModule.traceForm K (↥H) L).orthogonal (Submodule.span K {LieAlgebra.IsKilling.coroot α}) = LieModule.Weight.ker


Context:
α : Type u_1
PseudoMetricSpace α
MeasurableSpace α
OpensMeasurableSpace α
x : α
ε : ℝ


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M


Context:
m : Type u_1 → Type u_2
α ε β : Type u_1
Monad m
x : m α
f : α → ExceptCpsT ε m β

(ExceptCpsT.lift x >>= f).run = do
  let a ← x
  (f a).run


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
Group G
LieGroup I G
E' : Type u_6
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
TopologicalSpace M
ChartedSpace H' M
f : M → G
x₀ : M
hf : SmoothAt I' I f x₀


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Abelian C

Context: X : C

Context: h : ∀ {Z : C} (f : X ⟶ Z) [inst : CategoryTheory.Epi f], CategoryTheory.IsIso f ↔ f ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : TopologicalSemiring R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : ContinuousStar R
s : Set R

(polynomialFunctions s).starClosure = adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α

b - toIcoDiv hp a b • p = toIcoMod hp a b


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x✝ : 𝕜

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: hf' : TendstoUniformly f' g' l

Context: hf : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ (x : 𝕜), HasDerivAt (f n) (f' n x) x

Context: hfg : ∀ (x : 𝕜), Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))

Context: x : 𝕜


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: this : HasSum (fun n => -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s / 2 + -(-I * ↑(↑n).sign) * cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑n)) / ↑n ^ s / 2) (sinZeta (↑a) s)

Context: n : ℕ

Context: h : n ≠ 0

(cexp (-(2 * ↑π * ↑a * ↑n) * I) - cexp (2 * ↑π * ↑a * ↑n * I)) * I / 2 / ↑n ^ s = -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s / 2 + -(-I * ↑(↑n).sign) * cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑n)) / ↑n ^ s / 2


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V

(∀ (x : V), G.Reachable x v ↔ G.Reachable x w) → G.Reachable v w


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b

∫ (x : ℝ) in a..b, f x + g x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in a..b, g x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α × β → ℚ → ℝ

Context: κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : ProbabilityTheory.Kernel α β

Context: self : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDFAux f κ ν

Context: a : α

Context: A : Set β

Context: _hA : MeasurableSet A

Context: q : ℚ

∫ (c : β) in A, f (a, c) q ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ Set.Iic ↑q)).toReal


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : Ring A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : NoZeroDivisors A

Context: x : A

Context: hx : x ≠ 0

Context: this : Nontrivial A := { exists_pair_ne := Exists.intro x (Exists.intro 0 hx) }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : Finset (α × β × γ)
b : β
c : γ

(SimpleGraph.TripartiteFromTriangles.graph t).Adj (Sum3.in₂ c) (Sum3.in₁ b) ↔ ∃ a, (a, b, c) ∈ t


Context:
a x✝ y✝ : ℂ
ha : a ≠ 0
x y : ℂ


Context: n : ℕ

List.Nat.antidiagonalTuple 2 n = List.map (fun i => ![i.1, i.2]) (List.Nat.antidiagonal n)


Context: b : ℂ

Context: hb : 0 < b.re

Context: c T : ℝ

Context: hT : 0 ≤ T

Context: vert_norm_bound : ∀ {T : ℝ}, 0 ≤ T → ∀ {c y : ℝ}, |y| ≤ |c| → ‖cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)‖ ≤ rexp (-(b.re * T ^ 2 - 2 * |b.im| * |c| * T - b.re * c ^ 2))


Context:
α : Type u_1
ms : MeasurableSpace α
m : MeasureTheory.OuterMeasure α
h : ms ≤ m.caratheodory


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
f✝ : Π₀ (i : ι), β✝ i
b✝ : β✝ i✝
j✝ : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i
j : ι
h : i ≠ j

(update i f b) j = (erase i f + single i b) j


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
g : Filter β
s : Set (β → α × β)
hs : s ∈ map Prod.mk f
t : Set β
ht : t ∈ g

s.seq t ∈ (map (fun b a => (a, b)) g).seq f


Context:
m n : ℕ
h : m ≤ n
this : n - m + m = n

(n - m + m - m).gcd (n - m + m) = (n - m).gcd m


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
h2 : Function.Involutive ⇑φ
g h : G


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝² : Field K
S' : Type u_7
inst✝¹ : Semiring S'
inst✝ : Algebra R S'
pb : PowerBasis R S
f✝ g : S →ₐ[R] S'
h : f✝ pb.gen = g pb.gen
f : R[X]

f✝ ((aeval pb.gen) f) = g ((aeval pb.gen) f)


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l : List (Sigma β)
DecidableEq α
a : α

l.NodupKeys → (List.kerase a l).NodupKeys


Context:
X : Type u
x : X
TopologicalSpace X
ιX : Sort u_3
ιF : Sort u_4
pX : ιX → Prop
sX : ιX → Set X
pF : ιF → Prop
sF : ιF → Set X
F : Filter X
hX : (𝓝 x).HasBasis pX sX
hF : F.HasBasis pF sF

ClusterPt x F ↔ ∀ ⦃i : ιX⦄, pX i → ∀ ⦃j : ιF⦄, pF j → (sX i ∩ sF j).Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
R : Type u_4
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
c : R


Context:
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a : ℕ × ℕ
ha : a ∈ antidiagonal k

∑ y : σ, ∑ x ∈ powersetCard a.1 univ, ((-1) ^ x.card * ∏ a ∈ x, X a) * X y ^ (k - x.card) = ∑ i : σ, (∑ i ∈ powersetCard a.1 univ, (-1) ^ a.1 * ∏ a ∈ i, X a) * X i ^ a.2


Context: θ ψ : ℝ

Real.cos θ = Real.cos ψ ↔ ↑θ = ↑ψ ∨ ↑θ = -↑ψ


Context:
X : Type u
Y : Type v
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : NumberField L

Context: f : K ≃ₐ[ℚ] L

Context: f₀ : 𝓞 K ≃ₗ[ℤ] 𝓞 L := (AlgEquiv.restrictScalars ℤ f).mapIntegralClosure.toLinearEquiv

Context: x✝ : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)

f ((algebraMap (𝓞 K) K) ((RingOfIntegers.basis K) x✝)) = (algebraMap (𝓞 L) L) (f₀ ((RingOfIntegers.basis K) x✝))


Context:
X : Type u_7
Y : Type u_8
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
self : PartialHomeomorph X Y


Context:
n : ℕ
j : Fin n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ 0


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
T : D
Y : C
S : CategoryTheory.Functor C D
f : S.obj Y ⟶ T

(CategoryTheory.CostructuredArrow.mk f).hom = f


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ

(truncate n).comp ((fromPadicInt p).comp (toPadicInt p)) = (truncate n).comp (RingHom.id (𝕎 (ZMod p)))


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
i : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso i
S : Sieve Y
H : Sieve.pullback i S ∈ J.sieves X

S = Sieve.pullback (inv i) (Sieve.pullback i S)


Cardinal.lift.{max v u, u} = Cardinal.lift.{v, u}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α × β → ℚ → ℝ

Context: κ : ProbabilityTheory.Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : ProbabilityTheory.Kernel α β

Context: self : ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDF f κ ν


Context:
x : ℝ
n : ℤ

Real.tan (x + ↑n * Real.pi) = Real.tan x


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : Set V

Context: p : P

Context: h : Submodule.span k (range Subtype.val) = ⊤

(affineSpan k ({p} ∪ (fun v => v +ᵥ p) '' s)).direction = ⊤.direction


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: a : α

Context: h : Summable fun n => dist (f n) (f n.succ)

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)

dist (f 0) a ≤ ∑' (n : ℕ), dist (f n) (f n.succ)


Context:
R : Type u_1
CommRing R
M : Type u_2
AddCommGroup M
Module R M
N : Type u_3
AddCommGroup N
Module R N
Module.Free R M
Module.Finite R M
Module.Free R N
Module.Finite R N

(LinearMap.llcomp R M N M).compr₂ (LinearMap.trace R M) = (LinearMap.llcomp R N M N).flip.compr₂ (LinearMap.trace R N)


Context:
f : ℝ → ℝ
f' x : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x

HasDerivWithinAt (fun x => Real.cos (f x)) (-Real.sin (f x) * f') s x


Context:
β : Type u_2
PseudoMetricSpace β
x y : β

nndist { down := x } { down := y } = nndist x y


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End R M
h : IsNilpotent φ

IsNilpotent ((LinearMap.toMatrix (chooseBasis R M) (chooseBasis R M)) φ)


Context:
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Sort u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
a : α

(ofInjective f hf) ((ofInjective f hf).symm ⟨f a, ⋯⟩) = (ofInjective f hf) a


Context:
V : Type u_1
Fintype V
G : SimpleGraph V
DecidableRel G.Adj
r : ℕ
hr : 0 < r
hn : r ≤ Fintype.card V
hG : G.IsTuranMaximal r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g✝ : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝¹ : Add α
inst✝ : Add γ
h : Periodic f c
g : AddHom γ α
g_inv : α → γ
hg : RightInverse g_inv ⇑g
x : γ


Context:
G : Type u_1
AddLeftCancelMonoid G
Finite G
n : ℕ
x : G

addOrderOf (n • x) = addOrderOf x / (addOrderOf x).gcd n


Context:
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M

(FirstOrder.Language.Formula.iExs f φ).Realize v ↔ ∃ i, φ.Realize fun a => Sum.elim v i (f a)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm_not : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)


Context:
U : Type u_1
Quiver U
Quiver.HasInvolutiveReverse U
u : U
e : Quiver.Star u

((Quiver.starEquivCostar u) e).fst = e.fst


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: s : E

Context: p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E

Context: f g✝ : 𝕜 → E

Context: n✝ : ℕ

Context: z z₀ : 𝕜

Context: m n : ℤ

Context: hm : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z

Context: hn : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • g z

Context: h_le : n ≤ m

Context: g : 𝕜 → E

Context: hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z₀

Context: left✝ : g z₀ ≠ 0

Context: hg_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z

Context: j : 𝕜 → E

Context: hj_an : AnalyticAt 𝕜 j z₀

Context: hj_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • j z

Context: hj_ne : m ≠ n

Context: this : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, j z = (z - z₀) ^ (m - n) • g z

AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - z₀) ^ (m - n).toNat • g z) z₀


Context:
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
P : Finpartition Finset.univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : ℝ

(SzemerediRegularity.increment hP G ε).IsEquipartition


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : ↥(Lp E 2 μ)

Context: c : E

Context: h_mem_Lp : Memℒp (fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜) 2 μ

↑↑↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) (Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑f a⟫_𝕜) ⋯)) =ᶠ[ae μ] fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜


Context: a : SetTheory.PGame


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: CategoryTheory.Category.{v', u'} A

Context: CategoryTheory.ConcreteCategory A

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: f : F ⟶ G

Context: H : ∀ (U : Cᵒᵖ), Function.Surjective ⇑(f.app U)


Context:
R : Type u
CommRing R
IsPrincipalIdealRing R
IsDomain R
r : R

Associated (Submodule.IsPrincipal.generator (Ideal.span {r})) r


Context:
L : FirstOrder.Language
M : Type u_1
N : Type u_2
L.Structure M
L.Structure N
f : M ↪ₑ[L] N


Context:
α : Type u_1
p q : α → Prop
h : ∀ {x : α}, q x → p x

∀ (a : Subtype q), ↑↑((Equiv.subtypeSubtypeEquivSubtype h).symm a) = ↑a


Context:
α : Type u_1
UniformSpace α
Group α
UniformGroup α

𝓤 α = Filter.comap (fun x => x.1 / x.2) (𝓝 1)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : 0 < 1 + ε ↑n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_3
A : ι → Type u_2
(i : ι) → SMul α (A i)
a : α
x : GradedMonoid A


Context:
A : Type u_1
AddCommGroup A
Module ℂ A
StarAddMonoid A
StarModule ℂ A
z : ℂ
a : A

realPart (z • a) = z.re • realPart a - z.im • imaginaryPart a


Context: X : Type u_1

Finsupp.toFreeAbelianGroup.comp FreeAbelianGroup.toFinsupp = AddMonoidHom.id (FreeAbelianGroup X)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
hf : MapsTo f s t
f_inj : InjOn f s


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : StrongRankCondition R
this : Nontrivial R
h : ∀ (w : M), ∃ c, c • 0 = w


Context:
α : Type u_1
a : α
Subsingleton α


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder R

Context: f : S → Tropical (WithTop R)

untrop (∑ i ∈ ∅, f i) = sInf (untrop ∘ f '' ↑∅)


Context:
α : Type u_1
f : Filter α
f.NeBot
m : α → NNReal
x : ℝ

Filter.Tendsto (fun a => ↑(m a)) f (𝓝 x) ↔ ∃ (hx : 0 ≤ x), Filter.Tendsto m f (𝓝 ⟨x, hx⟩)


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)

Context: mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯

Context: msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯

Context: m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂

Context: s : Set α

Context: hs : (inducedOuterMeasure m P0 m0) s ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

∃ t, P t ∧ s ⊆ t ∧ (inducedOuterMeasure m P0 m0) t ≤ (inducedOuterMeasure m P0 m0) s + ε


Context:
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
Semiring B
StarRing B
Algebra R B
StarModule R B
f : A →⋆ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedRing k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: p : ι → P

Context: h : AffineIndependent k p

Context: w w₁ w₂ : ι → k

Context: s : Finset ι

Context: hw : ∑ i ∈ s, w i = 1

Context: hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1

Context: hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1

Context: hs : (affineCombination k s p) w ∈ affineSpan k {(affineCombination k s p) w₁, (affineCombination k s p) w₂}

Context: i j : ι

Context: hi : i ∈ s

Context: hj : j ∈ s

Context: hi0 : w₁ i = 0

Context: hj0 : w₁ j = 0

Context: hij : SignType.sign (w₂ i) = SignType.sign (w₂ j)

SignType.sign (w i) = SignType.sign (w j)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ = 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0

dist p₁ p₂ / Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₃


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
a : α
s : Finset α
h : a ∉ s

(insert a s).toList.Perm (a :: s.toList)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
AddCommMonoid M
f : α → M
s : Set β
g : β → α
hg : Set.InjOn g s


Context:
R : Type u_3
M : Type u_4
SeminormedRing R
SeminormedAddCommGroup M
x : tsze R M


Context: p : ℝ

Context: hp₀ : 0 < p

Context: hp₁ : p < 1

Context: hp₀' : 0 < 1 / p

Context: hp₁' : 1 < 1 / p

Context: f : ℝ≥0 ≃o ℝ≥0 := orderIsoRpow (1 / p) hp₀'

Context: h₁ : StrictConvexOn ℝ≥0 univ ⇑f

Context: h₂ : ∀ (x : ℝ≥0), f.symm x = x ^ p

Context: x : ℝ≥0

Context: mx : x ∈ univ

Context: y : ℝ≥0

Context: my : y ∈ univ

Context: hxy : x ≠ y

Context: a b : ℝ≥0

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

a • f.symm x + b • f.symm y < f.symm (a • x + b • y)


Context:
R : Type u
CommRing R
X : Type v
Ring X
Bialgebra R X


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type ?u.323650
S' : Type ?u.323653
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.326084
S'' : Type ?u.326087
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P'.Hom P''
g : P.Hom P'
x : P.vars

(aeval P''.val) ((aeval f.val) (g.val x)) = (algebraMap S' S'') ((aeval P'.val) (g.val x))


Context:
α : Type u_7
β : Type u_8
SMul α β
a : Additive α
b : β


Context:
R : Type u
CommRing R
f : R[X]

(AdjoinRoot.isAdjoinRoot f).map = AdjoinRoot.mk f


Context:
m : Type u_2
α : Type v
Fintype m
NonUnitalNonAssocSemiring α
v : m → α


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s t : Set A


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ
h : NeZero μ
c : ℝ≥0∞


Context:
α : Type u_1
l m : Language α


Context: F : Type u

Context: E✝ : Type v

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : Field E✝

Context: inst✝⁵ : Algebra F E✝

Context: K : Type w

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra F K

Context: E : Type v

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable F E

Context: hfd : FiniteDimensional F E

Context: L : IntermediateField F E

Context: x : E

Context: h : finSepDegree F ↥L = finrank F ↥L

Context: M : IntermediateField (↥L) E := (↥L)⟮x⟯

Context: heq : finSepDegree F ↥L * finSepDegree ↥L ↥M = finrank F ↥L * finrank ↥L ↥M

Context: this : Algebra.IsAlgebraic ↥L ↥M

finSepDegree F ↥(restrictScalars F M) = finrank F ↥(restrictScalars F M)


Context: n : ℕ


Context: R : Type u

Context: CommRing R

Context: X Y : Type u

Context: Ring X

Context: Ring Y

Context: Algebra R X

Context: Algebra R Y

Context: i : AlgebraCat.of R X ≅ AlgebraCat.of R Y

algEquivIsoAlgebraIso.inv i = i.toAlgEquiv


Context:
M : Type u_1
m₁ m₂ : CancelMonoid M
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: NontriviallyNormedField 𝕂

Context: NormedCommRing 𝔸

Context: NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: CompleteSpace 𝔸

Context: CharZero 𝕂

Context: x : 𝔸

Context: hx : x ∈ EMetric.ball 0 (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius

HasFDerivAt (NormedSpace.exp 𝕂) (NormedSpace.exp 𝕂 x • 1) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: hL : L ≤ 𝓝 x

Context: h : HasFDerivAtFilter f f' x L

Context: this✝ : Tendsto (fun x' => f x' - f x) L (𝓝 0)

Context: this : Tendsto (fun x_1 => f x_1 - f x + f x) L (𝓝 (0 + f x))


Context:
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
NonUnitalNonAssocRing α
Fintype n
v : n → α
A : Matrix m n α


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Semiring R

Context: TopologicalSpace F

Context: TopologicalSpace B

Context: TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)

Context: AddCommMonoid F

Context: Module R F

Context: (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: (x : B) → Module R (E x)

Context: e : Trivialization F Bundle.TotalSpace.proj

Context: Trivialization.IsLinear R e

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet

Trivialization.linearMapAt R e b = ↑(Trivialization.linearEquivAt R e b hb)


Context:
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
a : Stream' M
s : Finset ℕ
hs : s.Nonempty


Context:
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α
DenselyOrdered α


Context: S : Set ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: x y : ℝ

Context: hfc : StrictConcaveOn ℝ S f

Context: hx : x ∈ S

Context: hy : y ∈ S

Context: hxy : x < y

Context: hfd : DifferentiableWithinAt ℝ f (Set.Iio y) y

derivWithin f (Set.Iio y) y < slope f x y


Context:
G : Type u_1
GroupWithZero G
a : G
ha : a ≠ 0

⇑(Equiv.mulRight₀ a ha) = fun x => x * a


Context:
R : Type u_1
Mul R
Add R
self : RightDistribClass R
a b c : R


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b✝ c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x✝¹ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: b : ℝ≥0

Context: x✝ : ⊤ ≠ ⊤ ∨ ↑b ≠ ⊤

Context: x : ℝ≥0

Context: y : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞

Context: hy : ↑(b + 1 + x) < y.1 ∧ y.2 ≤ ↑(b + 1)


Context: α : Type u

Context: Semiring α

Context: LinearOrder α

Context: a b : α

Context: IsRightCancelAdd α

Context: NoZeroDivisors α

Context: ZeroLEOneClass α

Context: ExistsAddOfLE α

Context: PosMulMono α

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f✝ : ℕ → Ω → ℝ

Context: N✝ n m : ℕ

Context: ω✝ : Ω

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N : ℕ

Context: ω : Ω

Context: hab : a < b

Context: h : ∀ (n : ℕ), upperCrossingTime a b f N n ω ≠ N

Context: this : StrictMono fun n => upperCrossingTime a b f N n ω

Context: k : ℕ

Context: hk : N < (fun n => upperCrossingTime a b f N n ω) k


Context:
α : Type u_1
LinearOrder α
E : Type u_2
PseudoEMetricSpace E
s : Set α

LowerSemicontinuous fun f => eVariationOn f s


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
ι : Type u_6
u : Finset ι
A : ι → E → F
h : ∀ i ∈ u, DifferentiableOn 𝕜 (A i) s

DifferentiableOn 𝕜 (fun y => ∑ i ∈ u, A i y) s


Context:
K : Type u_2
L : Type u_3
LieRing L
Field K
LieAlgebra K L
FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
H.IsCartanSubalgebra
LieModule.IsTriangularizable K (↥H) L
LieAlgebra.IsKilling K L
PerfectField K
α : LieModule.Weight K (↥H) L

↑(LieAlgebra.corootSpace ⇑α) =
  Submodule.span K {(LieAlgebra.IsKilling.cartanEquivDual H).symm (LieModule.Weight.toLinear K (↥H) L α)}


Context:
M : Type u_1
AddZeroClass M
S : AddSubmonoid M


Context:
β : Type u_2
ι : Sort u_4
f : ι → Set β


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: C✝ : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 < C

Context: a b : ℝ

Context: hza : a - b < z.im

Context: hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C

Context: hzb : z.im < a + b

Context: hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C

Context: hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))

Context: hab : a - b < a + b

Context: hb : 0 < b

Context: hπb : 0 < π / 2 / b

Context: c : ℝ

Context: hc : c < π / 2 / b

Context: B : ℝ

Context: hO : f =O[comap (_root_.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * |z.re|))

Context: d : ℝ

Context: hd : d < π / 2 / b

Context: hcd : c < d

Context: hd₀ : 0 < d

Context: hb' : d * b < π / 2

Context: aff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)

Context: g : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => cexp (↑ε * (cexp (aff w) + cexp (-aff w)))

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : ε < 0

‖g ε z • f z‖ ≤ C


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β

(∀ s ∈ l₂, r.core s ∈ l₁) ↔ l₁ ≤ rcomap r l₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α

liminf s cofinite = {x | {n | x ∉ s n}.Finite}


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: c : ℝ

Context: hv : ¬v = 0

Context: hc : ¬c = 0

Context: e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.mulLeft₀ c hc).symm.toMeasurableEquiv

Context: he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => c⁻¹) x) x

Context: s' : Set ℝ

Context: hs' : MeasurableSet s'

Context: x : ℝ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₀.toCompacts

Context: this : Continuous eval


Context:
α : Type u_1
a : α
Preorder α
x : ↑(Set.Iic a)


Context:
α : Type u
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : FinCategory J
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderTop α
x y : α

limit (pair x y) = Finset.univ.inf (pair x y).obj


Context:
x✝ y x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
this : log (1 / x) < 1 / x


Context: x y : UInt8

(x * y).toNat = x.toNat * y.toNat % UInt8.size


Context: w : List ℕ

Context: hw : List.Sorted (fun x x_1 => x ≥ x_1) w

Context: hpos : ∀ x ∈ w, 0 < x

¬False ∧ ∀ n < w.length, ∃ (h : n < w.length), 0 < w.get ⟨n, ⋯⟩


Context:
α : Type u
EMetricSpace α
CompleteSpace α


Context:
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
UniformSpace β
f : α → β
self : UniformEmbedding f


Context:
R : CommRingCat
f : ↑R
x : ↑↑(Spec R).toPresheafedSpace

IsUnit (((Spec R).presheaf.germ ⟨x, _root_.trivial⟩) ((Scheme.ΓSpecIso R).inv f)) ↔ x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen f


Context: n p : ℕ

p ∈ n.primeFactorsList ↔ Nat.Prime p ∧ p ∣ n ∧ n ≠ 0


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
norm_denom_lt : ‖↑r.den‖ < 1


Context:
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
f : (i : Fin (n + 1)) → α i


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
V : Set (α × α)
V_in : V ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
w_symm : SymmetricRel w
w_sub : w ○ w ⊆ V
this : ball x w ×ˢ ball x w ∈ 𝓝 (x, x)
u v : α
u_in : (u, v).1 ∈ ball x w
v_in : (u, v).2 ∈ ball x w


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : DenselyOrdered α
inst✝ : FirstCountableTopology α
x y : α
h : x < y
u : ℕ → α
hu_anti : StrictAnti u
hu_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo x y
hux : Tendsto u atTop (𝓝 x)
v : ℕ → α
hv_mono : StrictMono v
hv_mem : ∀ (n : ℕ), v n ∈ Ioo (u 0) y
hvy : Tendsto v atTop (𝓝 y)

∃ u v, StrictAnti u ∧ StrictMono v ∧ (∀ (k : ℕ), u k ∈ Ioo x y) ∧ (∀ (l : ℕ), v l ∈ Ioo x y) ∧ (∀ (k l : ℕ), u k < v l) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ Tendsto v atTop (𝓝 y)


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk v u
h : G.Adj u v

(SimpleGraph.Walk.cons h p).IsCycle ↔ p.IsPath ∧ s(u, v) ∉ p.edges


Context:
x y a : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < 1 - a
hab : a + (1 - a) = 1
hx : 0 < x
hy : 0 < y


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α

[TopologicalSpace.NoetherianSpace α, WellFounded fun s t => s < t, ∀ (s : Set α), IsCompact s,
    ∀ (s : TopologicalSpace.Opens α), IsCompact ↑s].TFAE


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
s : Set E
hc : DifferentiableOn ℝ f s

DifferentiableOn ℝ (fun x => Real.cos (f x)) s


Context:
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
Q' : M → N
h : Q' = ⇑Q


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
h : ∀ (x : α), {x}ᶜ ∈ l
s : Set α
hs : sᶜ.Finite


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
Field K
AddCommGroup V
Module K V
A : Projectivization.Subspace K V
x : Projectivization K V


Context: α : Type u

Context: Group α

Context: LE α

Context: CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a : α

(OrderIso.mulRight a).toEquiv = Equiv.mulRight a


Context: a b : Nat


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: S : Finset R

Context: hS : Ideal.span ↑S = ⊤

Context: hN✝ : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)

Context: I : ℕ →o Submodule R R

Context: floc : (s : R) → R →+* Localization.Away s := fun s => algebraMap R (Localization.Away s)

Context: suitableN : R → Set ℕ := fun s => {n | ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Ideal.map (floc s) (I n) = Ideal.map (floc s) (I m)}

Context: minN : R → ℕ := fun s => sInf (suitableN s)

Context: hSuit : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ∈ suitableN ↑s

Context: N : ℕ := S.sup minN

Context: hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ≤ N

Context: n : ℕ

Context: hn : N ≤ n

⨅ x, Ideal.comap (algebraMap R (Localization.Away ↑x)) (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away ↑x)) (I N)) = ⨅ x, Ideal.comap (algebraMap R (Localization.Away ↑x)) (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away ↑x)) (I n))


Context:
α : Type u_1
Group α
LinearOrder α
a b : α
h : mabs a = b


Context:
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝ : Monad m
as : Array α
b : β
f : α → β → m (ForInStep β)

forIn (List.drop 0 as.data) b f = forIn as.data b f


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_3
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
e : PartialHomeomorph X Y
x : Y
h : x ∈ e.target


Context:
α : Type u
β : Type v
Monoid α
Monoid β
f : α →* β
hf : Function.Surjective ⇑f


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPushout f.op g.op

(pushout.inl f.op g.op ≫ (pullbackIsoUnopPushout f g).hom.op).unop = (pullback.fst f g).op.unop


Context: E : Type u_1

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: g : ℝ → E

Context: fdiff : DifferentiableOn ℝ f (Set.Icc a b)

Context: gdiff : DifferentiableOn ℝ g (Set.Icc a b)

Context: hderiv : Set.EqOn (derivWithin f (Set.Icc a b)) (derivWithin g (Set.Icc a b)) (Set.Ico a b)

Context: hi : f a = g a

Context: y : ℝ


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂

Context: inst✝⁴ : UniformSpace M₂

Context: inst✝³ : UniformAddGroup M₂

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂

Context: inst✝¹ : T2Space M₂

Context: inst✝ : CompleteSpace M₂

Context: u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂

Context: hu : u ∈ closure {f | IsCompactOperator ⇑f}


Context:
G : Type u
Group G
F : Type v
Field F
MulSemiringAction G F
Fintype G
x : F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t m : Multiset α


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)

Context: msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯

Context: m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂

Context: f : α ≃ α

Context: Pm : ∀ (s : Set α), P (⇑f ⁻¹' s) ↔ P s

Context: mm : ∀ (s : Set α) (hs : P s), m (⇑f ⁻¹' s) ⋯ = m s hs

Context: A : Set α

(MeasureTheory.inducedOuterMeasure m P0 m0) (⇑f ⁻¹' A) = (MeasureTheory.inducedOuterMeasure m P0 m0) A


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: B : C

Context: α : Type u_2

Context: X : α → C

Context: π : (a : α) → X a ⟶ B

Context: self : CategoryTheory.EffectiveEpiFamilyStruct X π

Context: W : C

Context: e : (a : α) → X a ⟶ W

Context:
h :
  ∀ {Z : C} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ X a₁) (g₂ : Z ⟶ X a₂),
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₁ (π a₁) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₂ (π a₂) →
      CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₁ (e a₁) = CategoryTheory.CategoryStruct.comp g₂ (e a₂)

Context: m : B ⟶ W

(∀ (a : α), CategoryTheory.CategoryStruct.comp (π a) m = e a) → m = self.desc e ⋯


Context: σ K : Type u

Context: Fintype K

Context: Field K

Context: Finite σ

Context: p : MvPolynomial σ K

Context: h : ∀ (v : σ → K), (MvPolynomial.eval v) p = 0

Context: hp : p ∈ MvPolynomial.restrictDegree σ K (Fintype.card K - 1)


Context:
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ

(p * Polynomial.X).coeff (n + 1) = p.coeff n


Context:
f : ℝ → ℝ
f' x p : ℝ
hf : HasDerivAt f f' x
hx : f x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p

HasDerivAt (fun y => f y ^ p) (f' * p * f x ^ (p - 1)) x


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : Fintype n

Context: inst✝⁷ : Fintype o

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : Finite m

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : AddCommGroup M₂

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: A : Matrix m n R

Context: v₁ : Basis m R M₁

Context: v₂ : Basis n R M₂

Context: val✝ : Fintype m

Context: e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)

Context: e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)

Context: range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤

Context: i : n

Context: aux₁ : ((toLin (Pi.basisFun R n) (Pi.basisFun R m)) A) ((Pi.basisFun R n) i) = ∑ j : m, A j i • (Pi.basisFun R m) j

Context: aux₂ : ∀ (e : n ≃ n), ((Pi.basisFun R n).equiv v₂ e) ((Pi.basisFun R n) i) = v₂ (e i)

((↑e₁ ∘ₗ A.mulVecLin) ∘ₗ LinearMap.single i) 1 = (((toLin v₂ v₁) A ∘ₗ ↑e₂) ∘ₗ LinearMap.single i) 1


Context:
M : Type u_2
AddZeroClass M
H : AddSubmonoid M
b : { b // (fun x => x ∈ H.op) b }

↑(H.equivOp.symm b) = AddOpposite.unop ↑b


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: inst✝³ : DecidableEq m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : Fintype n

Context: M₁₁ : Matrix m m R

Context: M₁₂ : Matrix m n R

Context: M₂₁ : Matrix n m R

Context: M₂₂ M✝ : Matrix n n R

Context: i j : n

Context: M : Matrix n n R

Context: h : matPolyEquiv (M.charpoly • 1) = matPolyEquiv M.charmatrix.adjugate * (X - C M)


Context:
α : Type u_2
LinearOrderedSemiring α
FloorSemiring α
Sub α
OrderedSub α
ExistsAddOfLE α
a : α
n : ℕ

⌊a - ↑n⌋₊ = ⌊a⌋₊ - n


Context:
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q : C
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X✝ Y✝ : BinaryBicone P Q
f : X✝ ⟶ Y✝

((fun A => { pt := F.obj A.pt, fst := F.map A.fst, snd := F.map A.snd, inl := F.map A.inl, inr := F.map A.inr, inl_fst := ⋯, inl_snd := ⋯, inr_fst := ⋯, inr_snd := ⋯ }) X✝).inl ≫ F.map f.hom = ((fun A => { pt := F.obj A.pt, fst := F.map A.fst, snd := F.map A.snd, inl := F.map A.inl, inr := F.map A.inr, inl_fst := ⋯, inl_snd := ⋯, inr_fst := ⋯, inr_snd := ⋯ }) Y✝).inl


Context:
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
s : AffineSubspace k P₁

AffineSubspace.map (AffineMap.id k P₁) s = s


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
a : α


Context:
E : ℕ → Type u_1
x : (n : ℕ) → E n
m n : ℕ
h : m ≤ n


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B : Set α
h : M✶.RkPos
hB : M.Base B


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
ι₁ : Type u_5
ι₂ : Type u_6
b₁ : Basis ι₁ 𝕜 E
b₂ : Basis ι₂ 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E

A = adjoint B ↔ ∀ (i₁ : ι₁) (i₂ : ι₂), ⟪A (b₁ i₁), b₂ i₂⟫_𝕜 = ⟪b₁ i₁, B (b₂ i₂)⟫_𝕜


Context:
R : Type u_1
CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
CommRing P
Algebra R P
J : FractionalIdeal S P


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: r : R

Context: x : M

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → LinearMap.range (r ^ n • LinearMap.id) = LinearMap.range (r ^ m • LinearMap.id)


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
x : L

x ∈ dual A K I ↔ ∀ a ∈ I, ((traceForm K L) x) a ∈ (algebraMap A K).range


Context:
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
h : p.degree = 1

p = Polynomial.C p.leadingCoeff * Polynomial.X + Polynomial.C (p.coeff 0)


Context:
α : Sort u_1
p : α → Prop


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
l : Filter X
hs : IsCompact s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
U : X → Set X
hUl : ∀ x ∈ s, (U x)ᶜ ∈ l
hxU : ∀ x ∈ s, x ∈ U x
hUo : ∀ x ∈ s, IsOpen (U x)
t : Finset X
hts : ∀ x ∈ t, x ∈ s
hst : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
a b c : α

(∀ ⦃c : α⦄, a < c → ¬c < b) ↔ Ioo a b = ∅


Context:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)

DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x


Context: α : Type u_1

Context: m : Set α → ℝ≥0∞

Context: s t : Set α

Context: h : ∀ (u : Set α), (s ∩ u).Nonempty → (t ∩ u).Nonempty → m u = ⊤

(MeasureTheory.OuterMeasure.boundedBy m) (s ∪ t) =
  (MeasureTheory.OuterMeasure.boundedBy m) s + (MeasureTheory.OuterMeasure.boundedBy m) t


Context:
G : Type u
AddGroup G
N : AddSubgroup G
nN : N.Normal
x : G


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddGroupWithOne G
inst✝¹ : AddGroup H
inst✝ : AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
x : G
n : ℕ


Context:
f : StieltjesFunction
hf0 : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 0)
hf1 : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 1)


Context:
ι : Type u_1
I : BoxIntegral.Box ι
s t : Set ι
h : s ≠ t

Disjoint ↑(I.splitCenterBox s) ↑(I.splitCenterBox t)


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁹ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι

Context: inst✝⁸ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝⁷ : Countable ι

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁵ : OrderTopology ι

Context: inst✝⁴ : FirstCountableTopology ι

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: f : Filtration ι m

Context: u : ι → Ω → β

Context: τ : Ω → ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: N : ι

Context: hτbdd : ∀ (x : Ω), τ x ≤ N

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : Adapted f u

Context: n : ι

MeasurableSet {ω | (fun x => hitting u s (τ x) N x) ω ≤ n}


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
X✝ : Type u

{ obj := fun X => of R (X →₀ R), map := fun {X Y} f => Finsupp.lmapDomain R R f }.map (𝟙 X✝) = 𝟙 ({ obj := fun X => of R (X →₀ R), map := fun {X Y} f => Finsupp.lmapDomain R R f }.obj X✝)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f


Context:
α : Type u_1
n : Type u_3
A B : Matrix n n α
Sub α
hA : A.IsSymm
hB : B.IsSymm


Context: n : ℕ


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
s : Subgroup Gᵐᵒᵖ
a : G
h : ∀ (b : Gᵐᵒᵖ), a • b ∈ ↑s ↔ b ∈ ↑s


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: OrderedCommSemiring R

Context: Nontrivial R

Context: StarRing R

Context: MetricSpace R

Context: TopologicalSemiring R

Context: ContinuousStar R

Context: ∀ (α : Type u_1) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀

Context: TopologicalSpace A

Context: NonUnitalRing A

Context: StarRing A

Context: PartialOrder A

Context: StarOrderedRing A

Context: Module R A

Context: IsScalarTower R A A

Context: SMulCommClass R A A

Context: NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: f g : C(↑(σₙ R a), R)₀

Context: hfg : f ≤ g


Context: R : Type u

Context: CommRing R

Context: U : (TopologicalSpace.Opens (PrimeSpectrum R))ᵒᵖ

Context: r : R

(algebraMap R ↑((AlgebraicGeometry.Spec.structureSheaf R).val.obj U)) r =
  (AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toOpen R (Opposite.unop U)) r


Context: L : FirstOrder.Language

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: T : L.Theory

Context: h : κ.Categorical T

Context: h1 : ℵ₀ ≤ κ

Context: h2 : Cardinal.lift.{w, max u v} L.card ≤ Cardinal.lift.{max u v, w} κ

Context: hS : T.IsSatisfiable

Context: hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝³ : GaloisCategory C

Context: F✝ : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝² : FiberFunctor F✝

Context: A B : C

Context: inst✝¹ : IsConnected A

Context: inst✝ : IsGalois B

Context: f : A ⟶ B

Context: σ τ : Aut A

Context: F : C ⥤ FintypeCat := GaloisCategory.getFiberFunctor C

Context: a : ↑(F.obj A)

autMap f (σ * τ) = autMap f σ * autMap f τ


Context:
R : Type u
S : Type v
Semiring R
Semiring S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : R[X]

(Polynomial.map f p).nextCoeff = f p.nextCoeff


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : α → β
x : α
y : β
s t : Set β
h : ContinuousWithinAt f (f ⁻¹' s) x
ht : t ∈ 𝓝[s] y
hxy : y = f x


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
x y : γ


Context:
P : ℕ → Prop
DecidablePred P
n : ℕ
h : P n


Context:
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r✝ r : R → R → Prop

∀ (x y : R), { toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }, map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }, map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }, map_one' := ⋯ }.toFun y


Context:
α : Type u_1
Preorder α
self : LocallyFiniteOrder α
a b x : α

x ∈ LocallyFiniteOrder.finsetIoc a b ↔ a < x ∧ x ≤ b


Context: X Y : Type u

(CategoryTheory.Limits.Types.binaryProductIso X Y).hom ≫ Prod.fst = CategoryTheory.Limits.prod.fst


Context:
R : Type u
self : EuclideanDomain R
a : R
b : R


Context: α : Sort u


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
X : C

(CategoryTheory.MonoidalOpposite.mopMopEquivalence C).counitIso.inv.app X = 𝟙 X


Context:
ι : Type u_1
M₀ : Type u_4
MulZeroOneClass M₀
s t : Set ι
Nontrivial M₀
h : s.indicator 1 = t.indicator 1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
f : ι → α
g : ι → β
h : Antivary f g
s : Set ι


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1

Context: r : R

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: ε' : ℚ

Context: hε' : ↑ε' < ε

Context: hε'0 : 0 < ε'

∃ N, ∀ n ≥ N, ‖limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r n)‖ < ε


Context:
α : Type u_1
R : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel R
l : List α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → β

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ

Context: h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Context: g : ι → α → β := fun i => Exists.choose ⋯

Context: hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i)


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: i : α → ℕ

Context: p : α

Context: hps : p ∉ s

Context: is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q

Context: is_coprime : ∀ q ∈ insert p s, ∀ q' ∈ insert p s, q ∣ q' → q = q'

Context: hp : Prime p

Context: d : α

Context: hdprod : d ∣ ∏ p' ∈ s, p' ^ i p'

Context: hd : Prime d

Context: hdp : d ∣ p

Context: q : α

Context: q_mem : q ∈ s.val

Context: q_mem' : q ^ i q ∈ Multiset.map (fun p' => p' ^ i p') s.val

Context: hdq : d ∣ q ^ i q


Context:
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n
q : ℚ
hxq : max 0 x ^ (↑n)⁻¹ < ↑q
hqy : ↑q < y ^ (↑n)⁻¹
this : 0 ≤ max 0 x ^ (↑n)⁻¹


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Ring α
a b : α
n : ℕ
ha : Even a
hb : Odd b


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
x : E

fderiv 𝕜 id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 E


Context:
x : ℝ≥0
h : x ≠ 0
y : ℝ


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: NormedAddCommGroup V

Context: InnerProductSpace ℝ V

Context: MetricSpace P

Context: NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)

Context: Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: p₁ p₂ p₃ : P


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → β

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
LE α


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ

CochainComplex.HomComplex.δ 0 1 (CochainComplex.mappingCone.snd φ) =
  -(↑(CochainComplex.mappingCone.fst φ)).comp (CochainComplex.HomComplex.Cochain.ofHom φ) ⋯


Context: X : TwoP

∀ (a : ((TwoP.swap ⋙ TwoP.swap).obj X).toBipointed.X),
  (TwoP.swapEquiv.unitIso.inv.app X).toFun a =
    (TwoP.swap.map (TwoP.swap.map { toFun := id, map_fst := ⋯, map_snd := ⋯ }) ≫
          TwoP.swap.map { toFun := id, map_fst := ⋯, map_snd := ⋯ } ≫ { toFun := id, map_fst := ⋯, map_snd := ⋯ }).toFun
      ((𝟙 (TwoP.swap.obj (TwoP.swap.obj X))).toFun a)


Context:
K : Type u_1
DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
M : Λ → Turing.TM2.Stmt Γ Λ σ

Turing.Respects (Turing.TM2.step M) (Turing.TM1.step (Turing.TM2to1.tr M)) Turing.TM2to1.TrCfg


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
emb : Fintype (α ↪ β)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X✝¹ : C

Context: R✝ : Presieve X✝¹

Context: S✝ : Sieve X✝¹

Context: inst✝¹ : R✝.hasPullbacks

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X✝ : C

Context: R : Presieve X✝

Context: S : Sieve X✝

Context: B : C

Context: I : Type

Context: X : I → C

Context: π : (i : I) → X i ⟶ B

Context: inst✝ : (Presieve.ofArrows X π).hasPullbacks

Context: z₁ z₂ : SecondObj P X π

Context: h : ∀ (ij : I × I), Pi.π (fun ij => P.obj (op (Limits.pullback (π ij.1) (π ij.2)))) ij z₁ = Pi.π (fun ij => P.obj (op (Limits.pullback (π ij.1) (π ij.2)))) ij z₂

∀ (j : Discrete (I × I)), limit.π (Discrete.functor fun ij => P.obj (op (Limits.pullback (π ij.1) (π ij.2)))) j z₁ = limit.π (Discrete.functor fun ij => P.obj (op (Limits.pullback (π ij.1) (π ij.2)))) j z₂


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E F := B.toSeminormFamily

Context: h : (𝓝 0).HasBasis (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)

Context: h' : (Filter.pi fun x => 𝓝 0).HasBasis (fun If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, 0 < If.2 i) fun If => If.1.pi fun i => Metric.ball 0 (If.2 i)

Context: h'' : (Filter.comap (fun x y => (B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0)).HasBasis (fun If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, 0 < If.2 i) fun i => (fun x y => (B x) y) ⁻¹' i.1.pi fun i_1 => Metric.ball 0 (i.2 i_1)

∀ (i' : Set E), B.toSeminormFamily.basisSets i' → ∃ i, (i.1.Finite ∧ ∀ i_1 ∈ i.1, 0 < i.2 i_1) ∧ ((fun x y => (B x) y) ⁻¹' i.1.pi fun i_1 => Metric.ball 0 (i.2 i_1)) ⊆ _root_.id i'


Context:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
c : ℂ
hs : s ∈ 𝓝 c
hd : DifferentiableOn ℂ f (s \ {c})
hc : ContinuousAt f c
x : ℂ
hx : x ∈ s
hne : x ≠ c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : b ≤ a
hcd : c ≤ d
h₁ : b ≤ d
h₂ : c ≤ a

Ico a b ∪ Ico c d = Ico (min a c) (max b d)


Context:
n : Type u_2
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
A : Matrix n n R
i j : n
hij : i ≠ j


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p₁ p₂ p₃ : P
l₁ l₂ l₃ : L
h₂₁ : p₂ ∉ l₁
h₂₂ : p₂ ∈ l₂
h₂₃ : p₂ ∈ l₃
h₃₁ : p₃ ∉ l₁
h₃₂ : p₃ ∈ l₂
h₃₃ : p₃ ∉ l₃
val✝ : Fintype { p // p ∈ l₂ }
h : mkPoint ⋯ ∈ l₁ ∧ mkPoint ⋯ ∈ l₂


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
s t : Multiset α
l₁ l₂ : List α

↑(List.foldl List.erase l₁ l₂) = foldl erase ⋯ ↑l₁ ↑l₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
a : α
h : p a = 1
a' : α
ha' : a' ∈ p.support
ha : a' ∉ {a}


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
p : κ → Prop
s : κ → Set (α × α)
F : ι → X → α
x₀ : X
hα : (uniformity α).HasBasis p s

EquicontinuousAt F x₀ ↔ ∀ (k : κ), p k → ∀ᶠ (x : X) in nhds x₀, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ s k


Context:
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
Preorder β
f : α → β
s : Set α
a : α
TopologicalSpace β
hf : IsLocalMaxOn f s a
(𝓝[>] f a).NeBot


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Preorder α
Preorder β
LocallyFiniteOrder α
LocallyFiniteOrder β
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
p q : α × β

Finset.Icc p q = Finset.Icc p.1 q.1 ×ˢ Finset.Icc p.2 q.2


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E


Context: X : Scheme

Context: inst✝ : IsIntegral X

Context: U : X.Opens

Context: x : ↥U

Context: y : ↑(X.presheaf.obj (op U))

Context: hy : (X.presheaf.germ x) y = (X.presheaf.germ x) 0

Context: W : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hW : ↑x ∈ W

Context: iU : W ⟶ U

Context: e : (X.presheaf.map iU.op) y = (X.presheaf.map iU.op) 0


Context: α : Type u_1

Context: Preorder α

Context: a b : α

Context: h : AntisymmRel (fun x x_1 => x ≤ x_1) a b


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
x : P.Cotangent

((map f - map g) x).val = ((f.sub g ∘ₗ P.cotangentComplex) x).val


Context:
R : Type u
Semiring R
n : ℕ


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsNoetherianRing R

Context: A : Type u

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : IsNoetherianRing A

Context: I M : Ideal R

Context: hgt : ∀ J > M, (fun I => ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I) J

Context: h_prM : ¬M.IsPrime

Context: htop : ¬M = ⊤

Context: lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span R {z}

Context: x : R

Context: hx : x ∉ M

Context: y : R

Context: hy : y ∉ M

Context: hxy : x * y ∈ M

(fun I => ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I) M


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
hs' : a ≠ 0 ∨ s ≠ 1

HurwitzZeta.hurwitzZeta a (1 - s) =
  (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s *
    (cexp (-↑π * Complex.I * s / 2) * HurwitzZeta.expZeta a s +
      cexp (↑π * Complex.I * s / 2) * HurwitzZeta.expZeta (-a) s)


Context:
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : Pseudofunctor B C
a✝ b✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝

(ρ_ (F.map f)).hom = (F.map f ◁ (fun a => (F.mapId a).inv) b✝ ≫ (fun {a b c} f g => (F.mapComp f g).inv) f (𝟙 b✝)) ≫ (F.map₂Iso (ρ_ f)).hom


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X Y : AlgebraicGeometry.PresheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Y


Context: α : Type u

Context: PseudoMetricSpace α

Context: β : Type u_3

Context: l : Filter β

Context: l.NeBot

Context: x : α

Context: r : β → ℝ

Context: hr : Filter.Tendsto r l Filter.atTop

Context: hc : ∀ᶠ (i : β) in l, IsCompact (Metric.closedBall x (r i))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞

Context: inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: f g : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: le_dist : ∀ (ω : Ω), dist (f ω) (g ω) ≤ ↑(nndist f g)

Context: ω : Ω

(fun a => ↑(f a)) ω ≤ (fun a => ↑(g a) + edist f g) ω


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R

(aeval (Function.uncurry fun i => (![] i).coeff)) (wittOne p 0) = 1


Context:
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f₁ : α₁ → β₁ → Finset γ₁
f₂ : α₂ → β₂ → Finset γ₂
g₁ : α₁ → β₂ → Finset γ₁
g₂ : α₁ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c₂ : γ₂

Sum.inr c₂ ∈ Finset.sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ a b ↔
  (∃ a₁ b₂, a = Sum.inl a₁ ∧ b = Sum.inr b₂ ∧ c₂ ∈ g₂ a₁ b₂) ∨ ∃ a₂ b₂, a = Sum.inr a₂ ∧ b = Sum.inr b₂ ∧ c₂ ∈ f₂ a₂ b₂


Context:
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (last n)
q✝ : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i✝ : Fin n
y : α i✝.castSucc
z : α (last n)
β : Type u_1
a : β
q : Fin n → β
b : β
i : Fin (n.succ + 1)
h : ¬i = 0
j : Fin (n + 1) := i.pred h
ji : j = i.pred h
this : i = j.succ

cons a (snoc q b) i = snoc (cons a q) b i


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
inst✝ : DecidableRel Dvd.dvd
r a : R

a * a ∣ r → IsUnit a ↔ multiplicity a r ≤ 1 ∨ IsUnit a


Context:
m : Type u_2
α : Type v
AddCommMonoid α
CommSemigroup α
Fintype m
M : (Matrix m m α)ᵐᵒᵖ

(Matrix.transposeRingEquiv m α).symm M = (MulOpposite.unop M)ᵀ


Context:
R : Type u_1
S : Type ?u.122514
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : LocalRing R
M : Type u_2
N : Type ?u.122979
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : Type ?u.124119
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
inst✝ : Module.Finite R M

Subsingleton (k ⊗[R] M) ↔ Subsingleton M


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
PseudoEMetricSpace Y
C : ℝ≥0
f : X → Y


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : MeasureTheory.Measure α
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
p : α → (ι → β) → Prop
i : ι


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: h : ↑K₁ ⊆ ↑K₂

Context: eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₂ - f K₁

Context: this : Continuous eval


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: D : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D

Context: Z : D

Context: F : CategoryTheory.Functor C D

Context: hZ : CategoryTheory.Limits.IsInitial Z

Context: G : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.WithInitial C) D

Context: h : CategoryTheory.WithInitial.incl.comp G ≅ F

Context: hG : G.obj CategoryTheory.WithInitial.star ≅ Z

Context: X : CategoryTheory.WithInitial C

(CategoryTheory.WithInitial.liftToInitialUnique F hZ G h hG).inv.app X =
  (match X with
    | CategoryTheory.WithInitial.of x => h.app x
    | CategoryTheory.WithInitial.star => hG).inv


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
f g : X → Y
h : ∀ (x : X), f x ~ᵢ g x


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
P : C → Prop

CategoryTheory.Localization.LeftBousfield.W (CategoryTheory.isoClosure P) =
  CategoryTheory.Localization.LeftBousfield.W P


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝¹ : OrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderedAddCommMonoid β
i : FunLike F α β
f : F
iamhc : AddMonoidHomClass F α β
h : Monotone ⇑f
a : α


Context:
U : Type u_1
Quiver U
V : Type u_2
Quiver V
φ : U ⥤q V
u : U

∀ (a : Quiver.Star u), (φ.star u a).fst = φ.obj a.fst


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε / 2

∃ ia, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (ia c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π} ×ˢ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π} ∩ {π | π.1.iUnion = π.2.iUnion}, (integralSum f vol x.1, integralSum f vol x.2) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε}


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁹ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝⁴ : Gr.Full

Context: inst✝³ : Gr.Faithful

Context: F : J ⥤ D

Context: c : Cocone (F ⋙ Gr)

Context: H : IsVanKampenColimit c

Context: inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)

Context: inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl

Context: inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl

Context: this✝³ : PreservesLimitsOfSize.{0, 0, u_3, v, u_2, u} Gr

Context: this✝² : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl

Context: F' : J ⥤ D

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl

Context: f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt

Context: h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: hc' : IsColimit c'

Context: j : J

Context: α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom

Context: hα' : NatTrans.Equifibered α'

Context: hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j

Context: β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := isoWhiskerLeft F' (asIso adj.counit) ≪≫ F'.rightUnitor

Context: hl : IsColimit ((Cocones.precompose β.hom).obj c') := (IsColimit.precomposeHomEquiv β c').symm hc'

Context: hr : IsColimit (Gl.mapCocone (colimit.cocone (F' ⋙ Gr))) := isColimitOfPreserves Gl (colimit.isColimit (F' ⋙ Gr))

Context: this✝¹ : α.app j = β.inv.app j ≫ Gl.map (Gr.map (α'.app j))

Context: this✝ : f = (hl.coconePointUniqueUpToIso hr).hom ≫ Gl.map (colimit.desc (F' ⋙ Gr) { pt := c.pt, ι := whiskerRight α' Gr ≫ c.ι })

Context: this : IsPullback (Gl.map ((colimit.cocone (F' ⋙ Gr)).ι.app j)) (Gl.map ((whiskerRight α' Gr).app j)) (Gl.map (colimit.desc (F' ⋙ Gr) { pt := c.pt, ι := whiskerRight α' Gr ≫ c.ι })) (Gl.map (c.ι.app j))

IsPullback (c'.ι.app j) (β.inv.app j ≫ Gl.map (Gr.map (α'.app j))) ((hl.coconePointUniqueUpToIso hr).hom ≫ Gl.map (colimit.desc (F' ⋙ Gr) { pt := c.pt, ι := whiskerRight α' Gr ≫ c.ι })) ((Gl.mapCocone c).ι.app j)


Context:
α : Type u_2
β : α → Type u_1
(a : α) → Unique (β a)
x : α

(Equiv.sigmaUnique α β).symm x = ⟨x, default⟩


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : DecidableRel LE.le
m : ℕ
f : Fin m → α
a : α
h_sorted : Monotone f
j k✝ : Fin m
h : ¬f k✝ ≤ a
i : Fin m
hij : ¬i < k✝
hia : f i ≤ a


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedCommGroupWithZero α
a : α
ha : a ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass M₀
f g : ι → M₀
x : ι
hfg : x ∈ support fun x => f x * g x
hf : f x = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → Bool
h : MeasurableSet (f ⁻¹' {true})


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u v : Set α

Context: inst✝² : LinearOrder β

Context: inst✝¹ : SuccOrder β

Context: inst✝ : IsSuccArchimedean β

Context: s : β → Set α

Context: H : ∀ (n : β), IsPreconnected (s n)

Context: K : ∀ (n : β), (s n ∩ s (succ n)).Nonempty

Context: i✝ j i : β

Context: x✝ : i ∈ Ico j i✝


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
this : I ⊆ M.E

¬M.Indep (insert x I) ∧ x ∈ M.E ∨ x ∈ I ↔ x ∈ M.E ∧ (¬M.Indep (insert x I) ∨ x ∈ I)


Context:
S : Type uS
CommSemiring S
A : Type uA
Semiring A
Algebra S A
s : A → A → Prop

Function.Surjective ⇑(RingQuot.mkAlgHom S s)


Context:
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hl : l.Sized
hr : r.Sized


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
μ : MeasureTheory.Measure α
a : α

(κ ∘ₖ ProbabilityTheory.Kernel.const α μ) a = μ.bind ⇑κ


Context:
α : Type u_2
f : Equiv.Perm α
a : α


Context:
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
Field 𝕂
Ring 𝔸
Algebra 𝕂 𝔸
TopologicalSpace 𝔸
TopologicalRing 𝔸
T2Space 𝔸
x : 𝔸ᵐᵒᵖ

NormedSpace.exp 𝕂 (MulOpposite.unop x) = MulOpposite.unop (NormedSpace.exp 𝕂 x)


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
CategoryTheory.BraidedCategory C
X : Mon_ C


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: NontriviallyNormedField 𝕂

Context: NormedRing 𝔸

Context: NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: CompleteSpace 𝔸

Context: x : 𝔸

Context: hx : x ∈ EMetric.ball 0 (NormedSpace.expSeries 𝕂 𝔸).radius

Summable fun n => (↑n.factorial)⁻¹ • x ^ n


Context:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty

Measure.count s * (Measure.count s)⁻¹ * Measure.count (s ∩ u) * (Measure.count (s ∪ t))⁻¹ + Measure.count t * (Measure.count t)⁻¹ * Measure.count (t ∩ u) * (Measure.count (s ∪ t))⁻¹ = (Measure.count (s ∪ t))⁻¹ * Measure.count ((s ∪ t) ∩ u)


CategoryTheory.Limits.WalkingPair.swap CategoryTheory.Limits.WalkingPair.right = CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left


Context:
m : Type u
n : Type u'
DecidableEq m
R : Type u_2
Semiring R
Finite m
Fintype n
A : Matrix m n R

Function.Surjective A.mulVec ↔ ∃ B, A * B = 1


Context:
R : Type u_1
C : Type u_2
Semiring R
CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Linear R C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
a : R
φ : S₁ ⟶ S₂

(a • φ).τ₃ = a • φ.τ₃


Context:
α : Type u_3
TopologicalSpace α


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: A B A' B' : C

Context: f : A ⟶ B

Context: g : A' ⟶ B'

Context: e : CategoryTheory.Arrow.mk f ≅ CategoryTheory.Arrow.mk g

Context: h : CategoryTheory.StrongMono f


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝ : NormedSpace ℝ F✝
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F

∃ x₀, ‖x₀‖ ≤ R ∧ ∀ y ∈ F, 1 ≤ ‖x₀ - y‖


Context:
A B : AddGrp
f : A ⟶ B

CategoryTheory.Epi f ↔ AddMonoidHom.range f = ⊤


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
NonAssocSemiring α
Preorder α
NonAssocSemiring β
Preorder β


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ

setToFun μ T hT (f + g) = setToFun μ T hT f + setToFun μ T hT g


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f g : Perm α

Context: x y z : α

Context: h : (x ≠ y ∧ x ≠ z ∧ ¬False) ∧ y ≠ z ∧ ¬False

{x, y, z} ≤ (swap x y * swap y z).support


Context:
α : Type u_1
f g : α → ℝ
s : Set α


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
Preorder α
Preorder β
AddZeroClass α
AddZeroClass β
f : α →+ β
h : Monotone (↑f).toFun

⇑{ toAddMonoidHom := f, monotone' := h } = ⇑f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Finite α
f : α → β
e : α ≃ β

Function.Injective f ↔ Function.Surjective f


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: c' : ComplexShape ι'

Context: C : Type u_3

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_3} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: K : HomologicalComplex C c

Context: e : c.Embedding c'

Context: i' : ι'

Context: hi' : e.r i' = none

CategoryTheory.Limits.IsZero ((K.extend e).X i')


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
NormedAddCommGroup E
h : MeasureTheory.Memℒp 0 p μ


Context:
α : Type u_1
CommMonoidWithZero α
WfDvdMonoid α
a : α
ha : ¬IsUnit a
ha0 : a ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
(i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ

iteratedFDeriv 𝕜 n ⇑f = f.iteratedFDeriv n


Context:
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b₁ b₂ : α
h : b₁ ≤ b₂


Context:
α : Type u
β : Type v
M : Type w
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
w : α → M
b : M
n : ℕ
inst✝ : LinearOrderedCommSemiring M
ht : t.Nonempty
hb : ↑s.card ≤ t.card • b

∃ y ∈ t, ↑(filter (fun x => f x = y) s).card ≤ b


Context:
α : Type u_1
n : ℕ


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A

⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L a, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L a, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L a, 2 • L (b * c)⁆ + (⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L b, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L b, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L b, 2 • L (b * c)⁆) + (⁅L c, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + ⁅L c, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L c, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L c, 2 • L (b * c)⁆) = ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (c * a)⁆ + ⁅L c, L (c * a)⁆)) + (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + 2 • (⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆)) + (2 • ⁅L a, L (b * c)⁆ + 2 • ⁅L b, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L c, L (a * b)⁆)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p : ℝ≥0∞

Context: (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: l.NeBot

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: F : ι → ↥(lp E p)

Context: hF : Bornology.IsBounded (Set.range F)

Context: f : (a : α) → E a

Context: hf : Filter.Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (nhds f)


Context:
a b m n✝ p n d : ℕ
hn : n ≠ 0
hd : d ≠ 0

(∀ (p k : ℕ), Prime p → p ^ k ∣ d → p ^ k ∣ n) → ∀ (p : ℕ), Prime p → d.factorization p ≤ n.factorization p


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hpi : Prime ↑p

Context: hp2 : p = 2

Context: x✝ : Irreducible ↑p

Context: not_unit✝ : ¬IsUnit ↑p

Context: h : ∀ (a b : ℤ[i]), ↑p = a * b → IsUnit a ∨ IsUnit b

Context: this : { re := 1, im := 1 }.norm.natAbs = 1 ∨ { re := 1, im := -1 }.norm.natAbs = 1


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
Zero R
Zero M
SMulWithZero R M
s : Set α
r : α → R
f : α → M
a : α

s.indicator (fun a => r a • f a) a = s.indicator r a • f a


Context:
α : Type u
x : α
a b : Set α


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : GCDMonoid R
p✝ q✝ p q : R
hp : p ≠ 0
r : R
hr : p = GCDMonoid.gcd p q * r
pq0 : GCDMonoid.gcd p q ≠ 0
r0 : r ≠ 0


Context:
C : Type u
CategoryTheory.CategoryStruct.{v, u} C
a b : C
f : a ⟶ b


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
AddCommMonoid M
AddCommMonoid N
AddCommMonoid P
AddCommMonoid Q
Module R M
Module R N
Module R P
Module R Q
m : M
n : N
p : P
q : Q

(TensorProduct.tensorTensorTensorAssoc R M N P Q) ((m ⊗ₜ[R] n) ⊗ₜ[R] p ⊗ₜ[R] q) = (m ⊗ₜ[R] n ⊗ₜ[R] p) ⊗ₜ[R] q


Context:
R : Type u_1
c₁ c₂ : R
a : Fin 4 → R

(QuaternionAlgebra.equivTuple c₁ c₂).symm a = { re := a 0, imI := a 1, imJ := a 2, imK := a 3 }


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹² : MeasurableSpace X

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace Y

Context: μ : Measure Y

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: L : F →L[𝕜] G →L[𝕜] E

Context: f : X → Y → G

Context: s : Set X

Context: k : Set Y

Context: g : Y → F

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ univ)

Context: hfs : ∀ (p : X) (x : Y), p ∈ s → x ∉ k → f p x = 0

Context: hg : IntegrableOn g k μ

Context: A : ∀ p ∈ s, Continuous (f p)

Context: q : X

Context: hq : q ∈ s

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : ∫ (x : Y) in k, ‖L‖ * ‖g x‖ * δ ∂μ < ε

Context: v : Set X

Context: v_mem : v ∈ 𝓝[s] q

Context: hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ k, ‖f p x - f q x‖ < δ

Context: I : ∀ p ∈ s, IntegrableOn (fun y => (L (g y)) (f p y)) k μ

Context: p : X

Context: hp : p ∈ v

Context: h'p : p ∈ s

‖∫ (y : Y), (L (g y)) (f p y) ∂μ - ∫ (y : Y), (L (g y)) (f q y) ∂μ‖ < ε