Context:
α : Type u
β : α → Type v

#((a : α) × (β a → WType β)) = sum fun a => #(WType β) ^ lift.{u, v} #(β a)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
h : HasFPowerSeriesAt 0 p x
n : ℕ


Context:
R : Type u_2
CommRing R
r : R
M : Type u_1
M' : Type u_3
AddCommGroup M
Module R M
AddCommGroup M'
Module R M'
f : M →ₗ[R] M'

(QuotSMulTop.map r) f ∘ₗ (r • ⊤).mkQ = (r • ⊤).mkQ ∘ₗ f


Context:
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
s t : Finset α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
a a' : α
i : Fin n
v : Vector α n


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: F G : CochainComplex C ℤ

Context: n : ℤ

Context: z₁ z₂ : CochainComplex.HomComplex.Cochain F G n

Context: p q : ℤ

Context: hpq : p + n = q

(z₁ - z₂).v p q hpq = z₁.v p q hpq - z₂.v p q hpq


Context:
R₁ : Type u_1
Semiring R₁
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
TopologicalSpace M₃
AddCommMonoid M₃
Module R₁ M₁
Module R₁ M₂
Module R₁ M₃
ContinuousAdd M₃
f₁ : M₁ →L[R₁] M₃
f₂ : M₂ →L[R₁] M₃
x : M₁ × M₂


Context:
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s : Set α
hs : InfClosed s


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t

μ (symmDiff s t) = μ (s \ t) + μ (t \ s)


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: n : ℕ

Context: F G : CategoryTheory.ComposableArrows C (n + 1)

Context: f g : F ⟶ G

Context: h₀ : CategoryTheory.ComposableArrows.app' f 0 ⋯ = CategoryTheory.ComposableArrows.app' g 0 ⋯

Context: h₁ : CategoryTheory.ComposableArrows.δ₀Functor.map f = CategoryTheory.ComposableArrows.δ₀Functor.map g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : (i : Fin (n + 1)) × Sym α (n - ↑i)
h : a ∉ m.snd

∀ (a_1 : α), a_1 ∉ filter (fun x => a ≠ x) ↑(replicate (↑m.fst) a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
t : Set α := toMeasurable μ s
ht : t = toMeasurable μ s

∫ (x : α) in s, (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν ≤ (μ s).toReal


Context:
w x✝ y z✝ : ℝ
x : ℝ≥0
z : ℝ
hx : x ≤ 1
h_one_le : 1 ≤ z
h : 0 < x


Context:
a b : ℤ
h : a < b
P : Prop
h' : ∀ (n : ℕ), a + ↑n.succ = b → P


Context: R : Type u


Context: a : ℝ

frontier {z | z.re < a} = {z | z.re = a}


Context:
X : Type u_3
Y : Type u_4
TopologicalSpace X
f : X → Y
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup γ

Context: f : α → δ

Context: g : δ → β

Context: hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)

Context: hf : AEMeasurable f μ

Memℒp g 1 (Measure.map f μ) ↔ Memℒp (g ∘ f) 1 μ


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : StandardBorelSpace α

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: this : UpgradedStandardBorel α := upgradeStandardBorel α

Context: t : TopologicalSpace α

Context: hle : t ≤ UpgradedStandardBorel.toTopologicalSpace

Context: ht : PolishSpace α

Context: s_clopen : IsClosed s ∧ IsOpen s


Context:
α : Type u
s : Set α


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
MeasurableSpace Ω
MeasurableSpace Ω'
ν : MeasureTheory.ProbabilityMeasure Ω
f : Ω → Ω'
hf : AEMeasurable f ↑ν

↑(ν.map hf) = MeasureTheory.Measure.map f ↑ν


Context: α : Type u

Context: Group α

Context: LT α

Context: CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b : α


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
l : List α
h : List.Sorted r l


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: C₄ : Type u_4

Context: C₁₂ : Type u_5

Context: C₂₃ : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.66927, u_1} C₁

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.66931, u_2} C₂

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.66935, u_3} C₃

Context: inst✝³ : Category.{?u.66939, u_4} C₄

Context: inst✝² : Category.{?u.66943, u_5} C₁₂

Context: inst✝¹ : Category.{?u.66947, u_6} C₂₃

Context: F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: I₁ : Type u_7

Context: I₂ : Type u_8

Context: I₃ : Type u_9

Context: J : Type u_10

Context: p : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: inst✝ : ∀ (X₂ : GradedObject I₂ C₂) (X₃ : GradedObject I₃ C₃), ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p

Context: X₂ Y₂ Z₂ : GradedObject I₂ C₂

Context: φ : X₂ ⟶ Y₂

Context: ψ : Y₂ ⟶ Z₂

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: j : J

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: i₃ : I₃

Context: h✝ : p (i₁, i₂, i₃) = j

ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h✝ ≫ { app := fun X₃ => mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) (φ ≫ ψ) (𝟙 X₃), naturality := ⋯ }.app X₃ j = ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h✝ ≫ ({ app := fun X₃ => mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) φ (𝟙 X₃), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X₃ => mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) ψ (𝟙 X₃), naturality := ⋯ }).app X₃ j


Context:
G : Type u_1
Group G
X : Type u_2
MulAction G X
B : Set X
H : Subgroup G
hB : MulAction.IsBlock (↥H) B
g : G

MulAction.IsBlock (↥(Subgroup.map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) H)) (g • B)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → UpperSet α


Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: TopologicalSpace α

Context: CommMonoid α

Context: T2Space α

Context: ContinuousMul α

Context: DecidableEq β

Context: f : β → α

Context: a a' : α

Context: hf : HasProd f a

Context: b : β

Context: x : α

Context: hf' : HasProd (Function.update f b x) a'


Context:
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n : ℕ
ℱ : MeasureTheory.Filtration ℕ m0
hf : MeasureTheory.Adapted ℱ f

MeasureTheory.IsStoppingTime ℱ (MeasureTheory.upperCrossingTime a b f N n)


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d φ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : InjOn f s
h₁ : s₁ ⊆ s
h₂ : s₂ ⊆ s


Context:
α : Type u_1
StrictOrderedSemiring α
t : ↑(Set.Ioc 0 1)


Context:
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
x y : αᵃᵒᵖ

edist (AddOpposite.unop x) (AddOpposite.unop y) = edist x y


Context:
E : Type u_4
F : Type u_5
AddGroup E
AddGroup F
p : AddGroupSeminorm E
f : F →+ E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N✝ : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N✝

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N✝

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N✝

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x : M

Context: v : TangentSpace I x

Context: N : ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target ∈ 𝓝 (↑I (↑(chartAt H x) x))

Context: A : MDifferentiableAt I I.tangent (fun x => { proj := x, snd := 0 }) x

Context: B : (fderivWithin 𝕜 (fun x' => (x', 0)) (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target) (↑I (↑(chartAt H x) x))) v = (v, 0)

fderivWithin 𝕜 (fun x_1 => (↑I (↑(ChartedSpace.chartAt x) (↑(ChartedSpace.chartAt x).symm (↑I.symm x_1))), 0)) (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target) (↑I (↑(chartAt H x) x)) = fderivWithin 𝕜 (fun x' => (x', 0)) (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target) (↑I (↑(chartAt H x) x))


Context: α : Type u_1


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
k : ℕ
h : Fintype.card n - 1 ≤ k


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M✝ : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝² : Module R M✝

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M✝

Context: inst✝ : LieModule R L M✝

Context: K : LieSubalgebra R L

Context: hK₁ : IsEngelian R ↥K

Context: hK₂ : K < K.normalizer

Context: x : L

Context: hx₁ : x ∈ K.normalizer

Context: hx₂ : x ∉ K

Context: K' : LieSubalgebra R L := let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule; { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }

Context: hxK' : x ∈ K'

Context: hKK' : K ≤ K'

Context: hK' : K' ≤ K.normalizer

Context: M : Type u₄

Context: _i1 : AddCommGroup M

Context: _i2 : Module R M

Context: _i3 : LieRingModule (↥K') M

Context: _i4 : LieModule R (↥K') M

Context: h : ∀ (x : ↥K'), _root_.IsNilpotent ((toEnd R (↥K') M) x)

Context: I : LieIdeal R ↥K'

Context: hI₁ : lieIdealSubalgebra R (↥K') I = LieSubalgebra.ofLe hKK'

Context: hI₂ : Submodule.span R {⟨x, hxK'⟩} ⊔ ↑I = ⊤


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: x y✝ : E

Context: s t✝ : Set E

Context: t : Set F

Context: y : F

Context: hs : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ∧ x ∈ closure s

Context: ht : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t y)) ∧ y ∈ closure t

Context: this : ∀ ⦃x_1 : E × F⦄, x_1 ∈ (Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)).prod (Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t y)) → x_1 ∈ Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y))

Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)))


Context:
α : Type u
β : Type v
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
Zero β
f : α →C₀ β
f' : α → β
h : f' = ⇑f


Context: n : ℕ


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V
h : f.comp φ = g.comp φ
C : ℝ
_C_pos : 0 < C
hC : ∀ (x : V₁), ‖φ x‖ ≤ C * ‖x‖

∃ C, ∀ (v : V₁), ‖(fun v => ⟨φ v, ⋯⟩) v‖ ≤ C * ‖v‖


Context: x y z : SetTheory.PGame


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝ : LieModule R L M₂

Context: N N' : LieSubmodule R L M

Context: I J : LieIdeal R L

Context: N₂ : LieSubmodule R L M₂

Context: h₁ : I ≤ J

Context: h₂ : N ≤ N'

Context: m : M

Context: h : ∀ (N_1 : LieSubmodule R L M), {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N_1 → m ∈ N_1


Context:
α : Type u_2
DecidableEq α
SemilatticeSup α
u : Finset α
s t : Set α

↑u ⊆ s ⊻ t → ∃ s' t', ↑s' ⊆ s ∧ ↑t' ⊆ t ∧ u ⊆ s' ⊻ t'


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: hs : IsLindelof s

Context: U : (x : X) → x ∈ s → Set X

Context: hU : ∀ (x : X) (hx : x ∈ s), U x hx ∈ 𝓝 x


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
AddMonoid M
AddMonoid N

AddMonoid.Coprod.fst.prod AddMonoid.Coprod.snd = AddMonoid.Coprod.toSum


Context:
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
s : ℂ
hs : 1 < s.re
H : 1 = ↑p ^ (-s)
this : ‖↑p ^ (-s)‖ ≤ 1 / 2


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z✝ : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X ≃ Y
hf : Inducing ⇑f


Context:
M : Type u_3
A : Type u_4
AddCommMonoid M
s : Set M
hs : IsAddSubmonoid s
f : A → M
t : Finset A


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup α

Context: f : ℕ → α

Context: r : ℝ

Context: hr : 1 < r

Context: hf : ∀ (a : ℕ), ∃ b ≥ a, ‖f b‖ ≠ 0

Context: N₀ : ℕ

Context: hN₀ : ∀ b ≥ N₀, r * ‖f b‖ ≤ ‖f (b + 1)‖

Context: N : ℕ

Context: hNN₀ : N₀ ≤ N

Context: hN : ‖f N‖ ≠ 0

Context: h' : Tendsto (fun n => f (n + N)) atTop (𝓝 0)

0 < ((fun a => ‖a‖) ∘ fun n => f (n + N)) 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup F

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)

Context: A B : Set E

Context: x✝ : E

Context: s : (i : ι) → Set (π i)

Context: x : (i : ι) → π i

Context: hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i

Context: h : ∀ (x₁ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) → ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x

Context: i : ι

∀ x₁ ∈ s i, ∀ x₂ ∈ s i, x i ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x i ∧ x₂ = x i


Context: n : Nat


Context:
S : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
CommRing R
AddCommGroup M
AddCommGroup N
Module R M
Module R N
Q : QuadraticMap R M N
CommSemiring S
Algebra S R
Module S M
IsScalarTower S R M
Module S N
IsScalarTower S R N
a : S
x y : M

QuadraticMap.polar (⇑Q) x (a • y) = a • QuadraticMap.polar (⇑Q) x y


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α✝
g g₁ g₂ : Filter β
m : α✝ → β
m' : β → γ
s✝ : Set α✝
t✝ : Set β
α : Type u_2
s : Set α
t : Set ↑s

𝓟 t = comap Subtype.val (𝓟 (Subtype.val '' t))


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
CompleteLattice α
f : (i : ι) → κ i → α

UpperSet.Ici (⨆ i, ⨆ j, f i j) = ⨆ i, ⨆ j, UpperSet.Ici (f i j)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: inst✝⁷ : Preorder α

Context: inst✝⁶ : Preorder β

Context: inst✝⁵ : Preorder γ

Context: inst✝⁴ : Preorder δ

Context: inst✝³ : MulZeroOneClass α

Context: inst✝² : MulZeroOneClass β

Context: inst✝¹ : MulZeroOneClass γ

Context: inst✝ : MulZeroOneClass δ

Context: f✝ g✝ f g : α →*₀o β

Context: h : f.toMonoidWithZeroHom = g.toMonoidWithZeroHom


Context: num : Int

Context: den g : Nat

Context: den_nz : den / g ≠ 0

Context: reduced : (num.div ↑g).natAbs.Coprime (den / g)

Context: hn : ↑g ∣ num

Context: hd : g ∣ den

maybeNormalize num den g den_nz reduced = normalize num den ⋯


Context: E : Type u_1

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: NormedAddCommGroup V

Context: NormedSpace ℝ V

Context: NormedAddCommGroup W

Context: NormedSpace ℝ W

Context: SecondCountableTopologyEither V (W →L[ℝ] ℝ)

Context: MeasurableSpace V

Context: BorelSpace V

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: μ : MeasureTheory.Measure V

Context: hf : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ

MeasureTheory.AEStronglyMeasurable (fun v => VectorFourier.fourierSMulRight L f v) μ


Context: α : Type u_1

Context: AddZeroClass α

Context: LT α

Context: ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b : α

Context: h : a + b < a


Context: o₁ o₂ : Ordering

(o₁.then o₂).swap = o₁.swap.then o₂.swap


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.65549, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Y' : C
f : X ⟶ Y'
s : Y ⟶ Y'
hs : W s

(Q W).map f ≫ Qinv s hs = homMk (mk f s hs)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
f' : F
x₀ : 𝕜
hf : HasDerivAt f f' x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzWith C f


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DistribLattice α
x y z a b c : α

(a ⊔ a ⊓ b) ⊓ (a ⊓ b ⊔ c) = (a ⊓ b ⊔ a) ⊓ (a ⊓ b ⊔ c)


Context:
α : Type u_1
G₀ : Type u_3
Zero G₀
Inv G₀
TopologicalSpace G₀
HasContinuousInv₀ G₀
f : α → G₀
TopologicalSpace α
hf : Continuous f
h0 : ∀ (x : α), f x ≠ 0


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

o.oangle x y = ↑π ↔ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ o.oangle x (-y) = 0


Context: G : Type u_1

Context: α : Type u_3

Context: AddGroup G

Context: AddAction G α

Context: MeasurableSpace α

Context: s : Set α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: MeasurableSpace G

Context: MeasurableVAdd G α

Context: MeasureTheory.VAddInvariantMeasure G α μ

Context: Countable G

Context: h : MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain G s μ

Context: t : Set α

Context: ht : ∀ (g : G), g +ᵥ t = t

Context: hts : μ (t ∩ s) = 0


Context:
R : Type r
CommRing R
W : WeierstrassCurve R


Context:
M : Type u_1
CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
CommMonoid N
f : S.LocalizationMap N
a₁ b₁ : M
a₂ b₂ : ↥S

f.mk' a₁ a₂ = f.mk' b₁ b₂ ↔ (Localization.r S) (a₁, a₂) (b₁, b₂)


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α

Codisjoint s t ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∉ s → a ∈ t


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ φ' ψ' : L.BoundedFormula α n
h : T.SemanticallyEquivalent φ ψ
h' : T.SemanticallyEquivalent φ' ψ'

T.SemanticallyEquivalent (φ ⟹ φ') (ψ ⟹ ψ')


Context:
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup F
InnerProductSpace 𝕜 F
CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s t : Set F
y : F
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t

HasGradientWithinAt f f' s x ↔ HasGradientWithinAt f f' t x


Context:
x : ℝ
n : ℕ


Context:
α : Type u
Semiring α
I : Ideal α

¬I.IsPrime ↔ I = ⊤ ∨ ∃ x, ∃ (_ : x ∉ I), ∃ y, ∃ (_ : y ∉ I), x * y ∈ I


Context:
R : Type u
S : Type v
NonAssocSemiring R
NonAssocSemiring S
g : S → R
f : R →+* S
h : Function.LeftInverse g ⇑f
x : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f : ℕ → Set α
A B : Set α
hA : MeasurableSet A
hB : MeasurableSet B
h : A ⊆ B


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α

μ.restrict (⋃ i, s i) = ν.restrict (⋃ i, s i) ↔ ∀ (i : ι), μ.restrict (s i) = ν.restrict (s i)


Context:
G : Type u_3
Group G
b : G


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α

(∀ (x : α), ∃ n, x < ↑n) → Archimedean α


Context:
F : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup F
g : ℝ → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0

Integrable (fun x => g (R * x)) volume ↔ Integrable g volume


Context: α : Type u_1


Context:
G₀ : Type u_3
GroupWithZero G₀
a b : G₀
h : Commute a b


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
CommRing R
CommRing S
CommRing T
Algebra R S
Algebra R T
Algebra S T
IsScalarTower R S T
Algebra.EssFiniteType R S

Algebra.EssFiniteType R T ↔ Algebra.EssFiniteType S T


Context:
α : Type u_1
Group α
s : Subgroup α
x y : α


Context: f g : MulRingNorm ℚ

Context: hf_nontriv : f ≠ 1

Context: bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1

Context: p : ℕ

Context: hp0 : 0 < f ↑p

Context: hp1 : f ↑p < 1

Context: hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν✝ ν₁ ν₂ : Measure α✝
s✝ t : Set α✝
α : Type u_5
m₀ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
hμν : ∀ s ∈ C, μ s = ν s
m : MeasurableSpace α
h : m ≤ m₀
hA : m = generateFrom C
hC : IsPiSystem C
h_univ : μ univ = ν univ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
this : IsFiniteMeasure ν

∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t = ν t → μ tᶜ = ν tᶜ


Context:
F : Type w
R : Type u
S : Type v
NonUnitalNonAssocRing R
NonUnitalNonAssocRing S
FunLike F R S
NonUnitalRingHomClass F R S
s : NonUnitalSubring S
f : F

↑(NonUnitalSubring.comap f s) = ⇑f ⁻¹' ↑s


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: Group G

Context: MulAction G α

Context: s : Set α

Context: g : G

Context: s_ss_fixedBy : s ⊆ MulAction.fixedBy α g


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
x : ℝ

∀ x_1 ∈ norm ∘ f '' (re ⁻¹' {x}), 0 ≤ x_1


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
h : a - ↑⌊a⌋ = b - ↑⌊b⌋


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G

(H ⊓ K).addSubgroupOf K = H.addSubgroupOf K


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: s✝ t u : Set H

Context: x✝ : H

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f : H → H'

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: he : e ∈ G

Context: hxe : x ∈ e.source

Context: h : P (f ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)


Context:
R : Type u
CommSemiring R
I : Ideal R


Context:
α : Type u
β : Type v
l l' : Filter α
f g : α → β
h₁ : f =ᶠ[l] g
h₂ : l' ≤ l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : E → X

Context: s : Set X

Context: hf : IsCoveringMap f

Context: e₁ e₂ : E

Context: he : f e₁ = f e₂

Context: hne : e₁ ≠ e₂

Context: left✝ : DiscreteTopology ↑(f ⁻¹' {f e₁})

Context: t : Trivialization (↑(f ⁻¹' {f e₁})) f

Context: he₁ : e₁ ∈ t.source

Context: he₂ : e₂ ∈ t.source

Context: x : E

Context: h₁ : x ∈ t.source ∩ Prod.snd ∘ ↑t ⁻¹' {(↑t e₁).2}

Context: h₂ : x ∈ t.source ∩ Prod.snd ∘ ↑t ⁻¹' {(↑t e₂).2}

↑t.toPartialHomeomorph e₁ = ↑t.toPartialHomeomorph e₂


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X : C

F.map (ρ_ X).hom = inv (F.μ X (𝟙_ C)) ≫ F.obj X ◁ inv F.ε ≫ (ρ_ (F.obj X)).hom


Context:
α β : Type u
Infinite α
le : #β ≤ #α

#↑{f | Function.Surjective f} = #(α → β)


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s : R
x y : M
zero_eq_one : 0 = 1


Context:
M : Type u_1
AddZeroClass M
S : AddSubmonoid M
x y : M
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
e : PartialEquiv α β
s : Set α
t : Set β


Context:
α : Type u_1
s : Finset α
p : α → Prop
DecidablePred p
h : (Finset.filter p s).card = s.card
x : α
hx : x ∈ s


Context:
x : ℝ≥0
z : ℝ
hx : 1 < x
hz : 0 < z


Bipointed.swap ⋙ bipointedToPointedSnd = bipointedToPointedFst


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
x : X
M₀ : Type u_4
Zero M₀
f : X → M₀

f =ᶠ[𝓝 x] 0 ↔ x ∉ closure (Function.support f)


Context:
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
a z : ℂ
hz : z ≠ 0

(fun z => abs z ^ a.re) z = (fun z => Real.exp (a.re * Real.log (abs z))) z


Context:
α : Type u
s t : Set α
hs : s.Infinite
ht : t.Finite


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
A : Set P
inst✝ : Nonempty ↑A
x : P
hx : x ∈ ↑(affineSpan k A)
c : k
u : P
hu : u ∈ affineSpan k A
v : P
hv : v ∈ affineSpan k A
w : P
hw : w ∈ affineSpan k A

⟨u, hu⟩ ∈ ↑(affineSpan k (Subtype.val ⁻¹' A)) → ⟨v, hv⟩ ∈ ↑(affineSpan k (Subtype.val ⁻¹' A)) → ⟨w, hw⟩ ∈ ↑(affineSpan k (Subtype.val ⁻¹' A)) → ⟨c • (u -ᵥ v) +ᵥ w, ⋯⟩ ∈ ↑(affineSpan k (Subtype.val ⁻¹' A))


Context:
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace α

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝² : Fintype β

Context: inst✝¹ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: a b : α

(dist (fun x => a) fun x => b) = dist a b


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{u_6, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E E' : L.RightExtension F
h✝ h : E.IsPointwiseRightKanExtension
G : L.RightExtension F
f₁ f₂ : G ⟶ E
Y : D
X : StructuredArrow Y L

f₁.left.app Y ≫ (E.coneAt Y).π.app X = f₂.left.app Y ≫ (E.coneAt Y).π.app X


Context: α : Type u_1

Context: α₁ : Type u_2

Context: α₂ : Type u_3

Context: β : α → Type u_4

Context: β₁ : α₁ → Type u_5

Context: β₂ : α₂ → Type u_6

Context: f₁ : α₁ → α₂

Context: f₂ : (a : α₁) → β₁ a → β₂ (f₁ a)

Context: h₁ : Injective f₁

Context: h₂ : ∀ (a : α₁), Injective (f₂ a)

Context: i : α₁

Context: x : β₁ i

Context: j : α₁

Context: y : β₁ j

Context: h : Sigma.map f₁ f₂ ⟨i, x⟩ = Sigma.map f₁ f₂ ⟨j, y⟩


Context:
M : Type u_1
OrderedCancelAddCommMonoid M
ExistsAddOfLE M
a b c : M

(fun x => x + a) '' Set.Ioc b c = Set.Ioc (b + a) (c + a)


Context:
a b n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
PartialOrder α
SuccOrder α
PredOrder α
NoMaxOrder α
a : α


Context:
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type w'
L.Structure M
L.Structure N
P : Type u_1
L.Structure P
Q : Type u_2
L.Structure Q
f : L.Hom M N
g : L.Hom N P
h : L.Hom P Q


Context: J : Type v'

Context: inst✝³ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: W✝ X✝ Y Z✝ : C

Context: f✝ : W✝ ⟶ X✝

Context: g : W✝ ⟶ Y

Context: h✝ : X✝ ⟶ Z✝

Context: i✝ : Y ⟶ Z✝

Context: W E X Z : C

Context: c : BinaryCofan W E

Context: inst✝¹ : FinitaryExtensive C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: hc : IsColimit c

Context: f : W ⟶ X

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : c.pt ⟶ Z

Context: H : IsPushout f c.inl h i

Context: hc₁ : IsColimit (BinaryCofan.mk (c.inr ≫ i) h)

Context: W' X' Y' Z' : C

Context: f' : W' ⟶ X'

Context: g' : W' ⟶ Y'

Context: h' : X' ⟶ Z'

Context: i' : Y' ⟶ Z'

Context: αW : W' ⟶ W

Context: αX : X' ⟶ X

Context: αY : Y' ⟶ ((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj c.pt).obj { as := WalkingPair.left }

Context: αZ : Z' ⟶ Z

Context: hf : IsPullback f' αW αX f

Context: hg : IsPullback g' αW αY c.inl

Context: hh : CommSq h' αX αZ h

Context: hi : CommSq i' αY αZ i

Context: w : CommSq f' g' h' i'

Context: hc₂ : IsColimit (BinaryCofan.mk g' (pullback.fst αY c.inr))

Nonempty (IsColimit (BinaryCofan.mk ((BinaryCofan.mk g' (pullback.fst αY c.inr)).inr ≫ i') h')) ↔ IsPullback h' αX αZ h ∧ IsPullback i' αY αZ i


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι✝ : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: ι : Type v

Context: hι : Infinite ι

Context: ιK : Type (max u v)

Context: bK : Basis ιK K (ι → K)

Context: e : ℕ ↪ ι

Context: this : lift.{max u v, u} (Module.rank K (ℕ → K)) ≤ lift.{u, max u v} (Module.rank K (ι → K))


Context: α : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s t u : Finset α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)

Context: dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)

Context: dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)

Context: utu : G.IsUniform ε t u

Context: x : α

Context: hxY : ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card

Context: hsu : ↑u.card * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card

Context: hY : ↑t.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card

Context: hZ : ↑u.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card

Context: this✝ : |↑(G.edgeDensity (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u)) - ↑(G.edgeDensity t u)| < ε

Context: this : ε ≤ ↑(↑(G.interedges (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u)).card / (↑(filter (G.Adj x) t).card * ↑(filter (G.Adj x) u).card))

ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(filter (fun x => match x with | (y, z) => G.Adj y z) (filter (G.Adj x) t ×ˢ filter (G.Adj x) u)).card


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s✝ t s : Set α

Context: hs : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: h : ε < ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε.toReal / 3


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : MeasurableMul₂ G
inst✝ : MeasurableInv G
μ : Measure α
f g : α → G
hf : AEMeasurable f μ
h : AEMeasurable (f * g) μ


Context:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
ι : Type u_1
u : Finset ι
A : ι → 𝕜 → F
h : ∀ i ∈ u, DifferentiableAt 𝕜 (A i) x

deriv (fun y => ∑ i ∈ u, A i y) x = ∑ i ∈ u, deriv (A i) x


Context:
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
f : k ≃+* K
w : InfinitePlace K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Option α → β

Set.range f = insert (f none) (Set.range (f ∘ some))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_3
β : Type u_4
Preorder α
Preorder β
Subsingleton ι
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: S : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: self : S.ShortExact


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: e : S₁ ≅ S₂

(CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMapIso e).hom = CategoryTheory.ShortComplex.leftHomologyMap e.hom


Context:
β : Type u_1
o : Ordinal.{u_1}
c : Cardinal.{u_1}
ho : o.card ≤ c
hc : ℵ₀ ≤ c
A : Ordinal.{u_1} → Set β
hA : ∀ j < o, #↑(A j) ≤ c

#(Quotient.out o).α * ⨆ i, #↑(((fun x => A ↑x) ∘ ⇑o.enumIsoOut.symm) i) ≤ c * c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
MeasurableSpace γ
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
g : α → γ
hg : Measurable g
hne : β → Nonempty γ


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.24208, u_2} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : Preregular C

Context: inst✝² : FinitaryPreExtensive C

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F

Context: inst✝ : PreservesFiniteProducts G

Context: U✝ : C

Context: y : (forget (Type w)).obj (G.obj (op U✝))

Context: α : Type

Context: w✝ : Finite α

Context: Z : α → C

Context: π : (a : α) → Z a ⟶ U✝

Context: h : EffectiveEpiFamily Z π

Context: h' : ∀ (a : α), (Presheaf.imageSieve f y).arrows (π a)

Context: x : (a : α) → F.obj (op (Z a)) := fun a => Exists.choose ⋯

Context: x✝ : Fintype α := Fintype.ofFinite α

Context: i' : ((a : α) → F.obj (op (Z a))) ≅ F.obj (op (∐ Z)) := (Types.productIso fun a => F.obj (op (Z a))).symm ≪≫ (PreservesProduct.iso F fun a => op (Z a)).symm ≪≫ F.mapIso (opCoproductIsoProduct Z).symm

Context: this : PreservesLimitsOfShape (Discrete α)ᵒᵖ G

Context: a : α

((G.mapCone (Cocone.op (Cofan.mk (∐ Z) (Sigma.ι Z)))).π.app (op { as := a })) ((f.app (op (∐ Z))) (i'.hom x)) = ((G.mapCone (Cocone.op (Cofan.mk (∐ Z) (Sigma.ι Z)))).π.app (op { as := a })) ((G.map (Sigma.desc π).op) y)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction₂ X Y
h₁ : f₁ = α.fst.map L ⋯
h₂ : f₂ = α.snd.map L ⋯


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

(deriv fun x => 1 - ε x) =ᶠ[atTop] -deriv ε


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: a : Products I

Context: ha : Products.isGood C a

Context: b : Products I

Context: hb : Products.isGood C b

Context: h : Products.eval C a = Products.eval C b

Context: h' : b < a


Context:
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddMonoid A
CategoryTheory.HasShift C A
a : A
X : C

(CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a 0 a ⋯).hom.app X =
  (CategoryTheory.shiftFunctorZero C A).inv.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj X)


Context:
α : Type u_2
BooleanAlgebra α
a b : α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
s : Set α
μ : MeasureTheory.Measure α
h1s : Function.support f ⊆ s

MeasureTheory.IntegrableOn f s μ ↔ MeasureTheory.Integrable f μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
LinearOrder α
Preorder β
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : StrictMonoOn f s
h₂ : StrictMonoOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c


Context:
a b c : Prop
h : a ↔ b


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
β : Sort u_1
f g : β → C
z : (b : β) → f b ⟶ g b
j j' : β
w : j = j'

CategoryTheory.CategoryStruct.comp (z j) (CategoryTheory.eqToHom ⋯) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.eqToHom ⋯) (z j')


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
f g : Arrow C
F : MonoFactorisation f.hom
sq : f ⟶ g
inst✝ : IsIso sq

(inv sq.left ≫ F.e) ≫ F.m ≫ sq.right = g.hom


Context:
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
hx : f x ≤ x
y : ↑(Function.fixedPoints ⇑f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α


Context:
R : Type u_2
Semiring R
f : RingInvo R
a : R


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
Ring R
Ring S
FunLike F R S
RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
I J : Ideal S

Ideal.comap f I ≤ Ideal.comap f J ↔ I ≤ J


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
h2s : (μ.prod ν) s ≠ ⊤

∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (ν (Prod.mk a ⁻¹' s)).toReal ∂μ < ⊤


Context:
α : Type u
β : Type v
GroupWithZero α
MulAction α β
c : α
hc : c ≠ 0
x : β


Context:
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
Ring k
AddCommGroup V₁
Module k V₁
AffineSpace V₁ P₁
AddCommGroup V₂
Module k V₂
AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
s : Set P₂


Context:
α : Type u_1
LinearOrder α
Group α
a : α
ha : 1 < a⁺ᵐ


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₁, u₂} 𝒳
CategoryTheory.Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a b : 𝒳
hab : a = b
S : 𝒮
hS : p.obj b = S

p.IsHomLift (𝟙 S) (CategoryTheory.eqToHom hab)


Context: R : Type u_1

Context: M M₁ M₂ M₃ : Type u

Context: M' : Type v

Context: inst✝¹² : Ring R

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : Module R M₁

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Module R M₃

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R

Context: inst✝ : StrongRankCondition R

Context: s : Set M

Context: hs : LinearIndependent (ι := ↑s) R Subtype.val

∃ t, s ⊆ t ∧ #↑t = Module.rank R M ∧ LinearIndependent (ι := ↑t) R Subtype.val


Context: f : ℕ → ℕ

(Nat.Primrec' fun v => f v.head) ↔ Primrec f


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
t₁ t₂ : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
x : α
h₁ : t₁.Bounded o₁ ↑x
h₂ : t₂.Bounded (↑x) o₂
y : α
yx : y < x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
x : α

UniformContinuous fun x_1 => toFun x_1 x


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
HasOuterApproxClosed X
F : Set X
hF : IsClosed F

Filter.Tendsto (fun n x => (hF.apprSeq n) x) Filter.atTop (𝓝 (F.indicator fun x => 1))


Context:
R : Type u_1
Semiring R


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
n : Type w
inst✝ : Nontrivial R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
h : B.iIsOrtho ⇑v
hB : B.Nondegenerate
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
j : n


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
RCLike 𝕜
NormedAddCommGroup E
InnerProductSpace 𝕜 E
CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
U : Submodule 𝕜 E
CompleteSpace ↥U

((orthogonalProjection U).comp (T.comp U.subtypeL)).IsPositive


Context: P : AlgebraicGeometry.AffineTargetMorphismProperty

Context: P.toProperty.RespectsIso

Context: X Y X' Y' : AlgebraicGeometry.Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: f' : X' ⟶ Y'

Context: e : CategoryTheory.Arrow.mk f ≅ CategoryTheory.Arrow.mk f'

Context: h : AlgebraicGeometry.IsAffine Y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Function.Surjective f
s : Set β


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω'
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω'
inst✝ : BorelSpace Ω'
ι : Type u_3
L : Filter ι
νs : ι → ProbabilityMeasure Ω
ν : ProbabilityMeasure Ω
lim : Tendsto νs L (𝓝 ν)
f : Ω → Ω'
f_cont : Continuous f

Tendsto (fun i => (νs i).map ⋯) L (𝓝 (ν.map ⋯))


Context:
G : Type u_1
Add G
A B : Finset G
a0 b0 : G
aA : a0 ∈ A
bB : b0 ∈ B

UniqueAdd A B a0 b0 ↔ ∃! ab, ab ∈ A ×ˢ B ∧ ab.1 + ab.2 = a0 + b0


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
WeaklyLocallyCompactSpace X
x : X


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
b✝ : α
C : α → Sort u_2
b : α
h : ¬IsMax b


Context:
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type u_1
f : α → Option β → γ
as : List α
bs : List β
acc : Array γ
head✝ : α
tail✝ : List α

zipWithLeft'TR.go f (head✝ :: tail✝) [] acc = match zipWithLeft' f (head✝ :: tail✝) [] with | (l, r) => (acc.toList ++ l, r)


Context:
u : XgcdType
hr : u.r = 0
ha : ↑u.b * u.q = ↑u.a


Context:
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module ℝ E


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
p : ℕ
f : σ → MvPolynomial τ R
i : σ

((expand p).comp (bind₁ f)) (X i) = (bind₁ fun i => (expand p) (f i)) (X i)


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p' s'

Disjoint l l' ↔ ∃ i, p i ∧ ∃ i', p' i' ∧ Disjoint (s i) (s' i')


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: X : C

Context: F G : CategoryTheory.Functor C (Type v₁)

Context: α : CategoryTheory.coyoneda.obj (Opposite.op X) ⟶ F

Context: β : F ⟶ G

CategoryTheory.coyonedaEquiv (CategoryTheory.CategoryStruct.comp α β) = β.app X (CategoryTheory.coyonedaEquiv α)


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: TopologicalSpace H

Context: TopologicalSpace M

Context: ChartedSpace H M

Context: TopologicalSpace H'

Context: TopologicalSpace M'

Context: ChartedSpace H' M'

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: f : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g : M → M'

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: HasGroupoid M G

Context: HasGroupoid M' G'

Context: he : e ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas M G

Context: xe : x ∈ e.source

Context: hf : f ∈ StructureGroupoid.maximalAtlas M' G'

Context: xf : g x ∈ f.source

ChartedSpace.LiftPropWithinAt P g s x ↔ ContinuousWithinAt g s x ∧ P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)


Context:
l : Filter ℂ
hl : Complex.IsExpCmpFilter l
a : ℂ

(fun x => x ^ a) =Θ[l] fun z => Real.exp (a.re * Real.log (Complex.abs z))


Context:
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
p : Submodule R L

(LieSubalgebra.lieSpan R L ↑p).toSubmodule = p ↔ ∃ K, K.toSubmodule = p


Context: α : Type u_1

Context: I B✝ X✝ E : Set α

Context: Base : Set α → Prop

Context: base_exchange : ExchangeProperty Base

Context: subset_ground : ∀ (B : Set α), Base B → B ⊆ E

Context: B : Set α

Context: hB : Base B

Context: hfin : B.Finite

Context: X : Set α

Context: x✝¹ : X ⊆ E

Context: Y : Set α

Context: x✝ : ∃ B, Base B ∧ Y ⊆ B

Context: B' : Set α

Context: hB' : Base B'

Context: hYB' : Y ⊆ B'


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P

∡ p₁ p₂ p₃ ≠ 0 ∧ ∡ p₁ p₂ p₃ ≠ ↑π ↔ AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]


Context:
F : PFunctor.{u}
R : F.M → F.M → Prop
self : PFunctor.M.IsBisimulation R
a : F.A
f f' : F.B a → F.M

R (PFunctor.M.mk ⟨a, f⟩) (PFunctor.M.mk ⟨a, f'⟩) → ∀ (i : F.B a), R (f i) (f' i)


Context:
P : TopCat → Prop
X Y : CompHausLike P
f : X ⟶ Y
hf : Function.Surjective ⇑f


Context: x : ℂ

Complex.cos (2 * ↑Real.pi - x) = Complex.cos x


Context:
R : Type u_3
S : Type u_4
OrderedCommRing S
NoZeroDivisors S
Ring R
abv : R → S
IsAbsoluteValue abv
a b : R


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
LinearOrder R
OrderTop R
s : Finset S
f : S → R

Tropical.trop (s.inf f) = ∑ i ∈ s, Tropical.trop (f i)


Context: a b m n p✝ p : ℕ

Context: hp : p ∈ (a.lcm b).factorization.support

Context: q : ℕ

Context: hq : q ∈ (a.lcm b).factorization.support

Context: h : ¬b.factorization p ≤ a.factorization p

Context: h✝ : ¬b.factorization q ≤ a.factorization q

Coprime 1 (q ^ (a.lcm b).factorization q)


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
n : ℕ
hn : ((ad R L) x ^ n) ⁅x, y⁆ = 0


Context:
M : Type u_2
N : Type u_4
P : Type u_6
AddGroup M
AddGroup N
AddGroup P
f : M →+ N
g : N →+ P
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g


Context:
α : Type u_1
CircularOrder α
a b c : α


Context:
R : Type u_2
Ring R
S₁ S₂ : Subring Rᵐᵒᵖ


Context:
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X ⟶ Y
AlgebraicGeometry.IsPreimmersion f
hf : IsClosed (Set.range ⇑f.val.base)


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
CompleteSpace F
n : ℕ

(n.factorial • (p n) fun x => y) = (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) fun x => y


Context:
G : Type u_1
Group G
TopologicalSpace G
U : OpenSubgroup G


Context: ι : Type u_1

Context: M : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: N : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid N

Context: inst✝² : Nontrivial ι

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: a : ι → G

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : MulAction G α

Context: X Y : ι → Set α

Context: hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty

Context: hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)

Context: hYdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (Y i) (Y j)

Context: hXYdisj : ∀ (i j : ι), Disjoint (X i) (Y j)

Context: hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i

Context: hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i

Context: H : ι → Type := fun _i => FreeGroup Unit

Context: f : (i : ι) → H i →* G := fun i => FreeGroup.lift fun x => a i

Context: X' : ι → Set α := fun i => X i ∪ Y i

Context: inhabited_h : Inhabited ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
h : G.IsNClique n s
f : α ↪ β

(SimpleGraph.map f G).IsClique ↑(map f s)


Context: ι : Type u_1

Context: X : ι → Type u_2

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)

Context: as bs cs : (i : ι) → X i

Context: i : ι

Context: paths : (i : ι) → Homotopic.Quotient (as i) (bs i)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x : F


Context:
X : Type u
inst✝¹² : TopologicalSpace X
A D✝ E : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace A
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : ExtremallyDisconnected A
inst✝⁷ : CompactSpace A
inst✝⁶ : T2Space A
B C : Type u
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : TopologicalSpace C
inst✝³ : CompactSpace B
inst✝² : T2Space B
inst✝¹ : CompactSpace C
inst✝ : T2Space C
φ : A → C
f : B → C
φ_cont : Continuous φ
f_cont : Continuous f
f_surj : Surjective f
D : Set (A × B) := {x | φ x.1 = f x.2}
D_comp : CompactSpace ↑D
π₁ : ↑D → A := Prod.fst ∘ Subtype.val
π₁_cont : Continuous π₁
π₁_surj : Surjective π₁


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
AddCommGroup M
Module R M
LieRingModule L M
LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M

LieModule.lowerCentralSeries R L (↥↑N) k = LieSubmodule.comap N.incl (LieSubmodule.lcs k N)


Context:
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
r : L.Relations 2

M ⊨ r.total ↔ Total fun x y => FirstOrder.Language.Structure.RelMap r ![x, y]


Context:
M : Type u_1
AddMonoid M
z : M

z ∈ AddSubmonoid.center M ↔ ∀ (g : M), g + z = z + g


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
s : Set α


Context:
x : ℝ
n : ℤ

Real.cos (x + ↑n * Real.pi) = (-1) ^ n * Real.cos x


Context:
R : Type u
NonUnitalNonAssocSemiring R
S : NonUnitalSubsemiring R
s : Set R
hs : s = ↑S


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
s : Ideal R
hs : s ≠ ⊥
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
gen_ne_zero : generator s ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace E

Context: m μ : Measure E

Context: Ω : Type u_2

Context: x✝ : MeasurableSpace Ω

Context: ℙ : Measure Ω

Context: X : Ω → E

Context: s : Set E

Context: hns : μ s ≠ 0

Context: hnt : μ s ≠ ⊤

Context: hu : Measure.map X ℙ = (μ s)⁻¹ • μ.restrict s

Context: h : ¬AEMeasurable X ℙ


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
CoheytingAlgebra α
CoheytingAlgebra β
f : CoheytingHom α β
f' : α → β
h : f' = ⇑f


Context:
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
h₀ : 0 < ↑i
hₙ : ↑i < n


Context:
M : Type u
inst✝² : Monoid M
α : Type v
inst✝¹ : MulAction M α
β : Type u_1
inst✝ : MulAction M β
a : α


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
r : k
p₁ p₂ : P


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : (i : ι) → α i → α i → Prop

Context: inst✝¹ : IsStrictTotalOrder ι r

Context: inst✝ : Finite ι

Context: hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)

Context: x : (i : ι) → α i

Context: this✝² : (i : ι) → Zero (α i) := fun i => { zero := ⋯.min ⊤ ⋯ }

Context: this✝¹ : IsTrans ι (Function.swap r)

Context: this✝ : IsIrrefl ι (Function.swap r)

Context: this : Fintype ι


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MulAction G β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : SMulCommClass G α β
a : α
b : β


Context: x : ℂ

Complex.sinh x ^ 2 = Complex.cosh x ^ 2 - 1


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x y z : P


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R✝

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝¹⁶ : CommRing R'

Context: inst✝¹⁵ : CommRing S'

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: inst✝¹⁴ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝¹³ : Algebra S✝ S'

Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: Rₚ : Type u_3

Context: Sₚ : Type u_4

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : CommRing Rₚ

Context: inst✝⁹ : CommRing Sₚ

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: inst✝⁷ : Algebra R Rₚ

Context: inst✝⁶ : Algebra R Sₚ

Context: inst✝⁵ : Algebra S Sₚ

Context: inst✝⁴ : Algebra Rₚ Sₚ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S Sₚ

Context: inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Sₚ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹ : IsLocalization M Rₚ

Context: inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₚ

Context: hRS : Finite R S


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Cardinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hc : c.IsRegular
hι : lift.{v, u} #ι < c


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
p : P
ps : Set P
h : p ∈ affineSpan k ps

vectorSpan k (insert p ps) = vectorSpan k ps


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
e : α
he : e ∈ X
he' : f e ∉ f '' I
hss : insert e I ⊆ M.E
J : Set α
hJ : M.Indep J
hins : insert e I = J


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j✝ : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
j : ι
hij : j ≠ i
hj : j ∈ s


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
x : C(↑s, 𝕜)

(∃ y ∈ span 𝕜 {1}, ∃ z ∈ (adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)}).toSubmodule, y + z = x) ↔ x ∈ ↑(span 𝕜 {1}) + ↑(adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)})


Context:
M : Type u_1
Monoid M
R : Type u_10
Semiring R
MulSemiringAction M R
x : R


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q✝ : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: c : E

Context: f✝ : α → E

Context: hf✝ : AEStronglyMeasurable f✝ μ

Context: s✝ : Set α

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hfq : Memℒp f q (μ.restrict (toMeasurable μ s))

Context: hf : ∀ x ∉ s, f x = 0

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: hpq : p ≤ q

Context: this : (toMeasurable μ s).indicator f = f

Memℒp f p (μ.restrict (toMeasurable μ s))


Context:
d : ℤ
a : Solution₁ d
hax : 0 < a.x
hay : 0 < a.y
n : ℕ
hn : 0 < n


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module.Finite R M

Context: inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: χ : L → R

Context: x : L

Context: n : Module.End R ↥↑(weightSpace M χ) := (toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - χ x • LinearMap.id

Context: h₁ : (toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x = n + χ x • LinearMap.id

(LinearMap.trace R ↥↑(weightSpace M χ) ∘ₗ ↑(toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ))) x = (finrank R ↥↑(weightSpace M χ) • χ) x


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ f.hom ≫ (λ_ (X.X ⊗ N.X)).inv ≫ (((α_ (𝟙_ C) X.X N.X).inv ≫ X.one ▷ X.X ▷ N.X) ≫ X.mul ▷ N.X) ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)


IsGδ {x | (fun x => x ∈ ⋂ n, ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : 1 < b), ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n)) x}


Context: J : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: F : J ⥤ C

Context: CategoryTheory.Limits.HasColimit F

Context: E : K ⥤ J

Context: CategoryTheory.Limits.HasColimit (E ⋙ F)

Context: c : CategoryTheory.Limits.Cocone F

CategoryTheory.Limits.colimit.pre F E ≫ CategoryTheory.Limits.colimit.desc F c =
  CategoryTheory.Limits.colimit.desc (E ⋙ F) (CategoryTheory.Limits.Cocone.whisker E c)


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C

Context: R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat

Context: M : SheafOfModules R

((SheafOfModules.toSheaf R).obj M).val = M.val.presheaf


Context:
G : Type w
H : Type x
TopologicalSpace G
Group G
TopologicalGroup G
Group H
TopologicalSpace H
TopologicalGroup H
f : G →* H
hf : Continuous ⇑f
hf' : DenseRange ⇑f
s : Subgroup G
hs : s.topologicalClosure = ⊤

(Subgroup.map f s).topologicalClosure = ⊤


Context:
R : Type u
M : Type v
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
p q : Submodule R M
h : ∀ (x : M), x ∈ p ↔ x ∈ q


Context:
α : Type u_1
LinearOrder α
a b c : α

a ∈ Ι b c ↔ b < a ∧ a ≤ c ∨ c < a ∧ a ≤ b


Context:
α : Type u_6
n : Type u_7
Zero α
One α
DecidableEq n
AddGroup n


Context: b : Bool


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
μ : MeasureTheory.Measure X
μ.IsOpenPosMeasure
U : Set X
hU : IsOpen U


Context:
E : Type u_4
AddGroup E
p q : NonarchAddGroupNorm E


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
ι : Type u_11
NontriviallyNormedField 𝕜
NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
RingHomIsometric σ₁₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 E
NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F

[EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0, Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f), UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f),
    ∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖, ∃ C ≥ 0, ∀ (i : ι) (x : E), ‖(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖,
    ∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C, ∃ C ≥ 0, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C, BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖),
    ⨆ i, ↑‖f i‖₊ < ⊤].TFAE


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
p : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
h : Function.Injective ⇑(frobenius R p)
x : R


Context:
α : Type u
ConditionallyCompleteLinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderTopology α
DenselyOrdered α
δ : Type u_1
LinearOrder δ
TopologicalSpace δ
OrderClosedTopology δ
a b : α
hab : a ≤ b
f : α → δ
hf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)

Context: a : I

Context: ha : ↑y a = true

Context: hx : ↑x a = false

a ∈ s ∧ (if ↑x a = true then e (π C fun x => x ∈ s) a else 1 - e (π C fun x => x ∈ s) a) = 1 - e (π C fun x => x ∈ s) a


Context:
G : PGame
inst✝ : G.Impartial


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a✝ : Nontrivial M₀


Context:
F : Type u
Field F
f : F[X]
hf : Irreducible f

f.Separable ↔ Polynomial.derivative f ≠ 0


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D
W : CategoryTheory.MorphismProperty C
L : CategoryTheory.Functor C D
h : W.IsInvertedBy L


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
P : Finpartition Finset.univ
ε : ℝ
Nonempty α
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hPε : P.IsUniform G (ε / 8)
hP' : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card

2 * (↑G.edgeFinset.card - ↑(SimpleGraph.regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).edgeFinset.card) <
  2 * ε * ↑(Fintype.card α ^ 2)


Context:
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
S : Set L
hS : ∀ x ∈ S, IsIntegral K x


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: L : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : Add L

Context: inst✝¹ : FunLike F L (End R M)

Context: inst✝ : AddHomClass F L (End R M)

Context: f : F

Context: μ : L → R

Context: h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥

Context: h : ∀ (x y : L), Commute (f x) (f y)

Context: x y : L

Context: contra : ¬μ (x + y) = μ x + μ y

Context: g : L → Submodule R M := fun x => ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k

Context: this : ⨅ x, g x ≤ g x ⊓ g y ⊓ g (x + y)

Disjoint (⨆ k, ((f x + f y).genEigenspace (μ x + μ y)) k) (⨆ k, ((f x + f y).genEigenspace (μ (x + y))) k)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
AddZeroClass M
AddZeroClass N
s : AddSubmonoid M

AddSubmonoid.map (AddMonoidHom.inl M N) s = s.prod ⊥


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: Fintype ι

Context: Fintype ι'

Context: π : ι ⊕ ι' → Type u_4

Context: m : (i : ι ⊕ ι') → MeasurableSpace (π i)

Context: μ : (i : ι ⊕ ι') → MeasureTheory.Measure (π i)

Context: ∀ (i : ι ⊕ ι'), MeasureTheory.SigmaFinite (μ i)

MeasureTheory.MeasurePreserving (⇑(MeasurableEquiv.sumPiEquivProdPi π).symm)
  ((MeasureTheory.Measure.pi fun i => μ (Sum.inl i)).prod (MeasureTheory.Measure.pi fun i => μ (Sum.inr i)))
  (MeasureTheory.Measure.pi μ)


Context:
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
a b : Associates.FactorSet α


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
a₁ a₂ : Fin (n + 2)
ha₂ : ⟨a₁, a₂⟩ ∉ {⟨1, 0⟩}
ha₁ : a₂ < a₁
H : 0 < a₁

(if (swap 0 1) a₁ ≤ (swap 0 1) a₂ then -1 else 1) = 1


Context: R : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: CommSemiring R

Context: ι : Type u_3

Context: t : Finset ι

Context: φ : ι → MvPolynomial σ R

Context: DecidableEq σ

Context: h : Pairwise (Disjoint on fun i => (φ i).vars)

(∑ i ∈ t, φ i).vars = t.biUnion fun i => (φ i).vars


Context:
α : Type u_2
AddZeroClass α


Context:
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (Fin.last n)
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i : Fin n
y : α i.castSucc

Fin.snoc (Function.update p i y) x = Function.update (Fin.snoc p x) i.castSucc y


Context:
E : Type u
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
F : Type v
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℂ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DifferentiableOn ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c

Set.EqOn (norm ∘ f) (Function.const E ‖f c‖) U


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
Zero β
TopologicalSpace β
G : Type u_5
FunLike G α β
ContinuousMapClass G α β
CompactSpace α

CompactlySupportedContinuousMapClass G α β


Context:
α : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
f : α → E
s : Set α
μ ν : MeasureTheory.Measure α
h : MeasureTheory.IntegrableOn f s ν
hμ : μ ≤ ν


Context:
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
h : ↑f x = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: hb : AddLECancellable b

Context: h : b ≤ a


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_3
α : Type u_7
tX : TopologicalSpace X
uα : UniformSpace α
l : Filter ι
F : ι → X → α
f : X → α
hF : Equicontinuous F
hf : Continuous f

IsClosed {x | Filter.Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (nhds (f x))}


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M N P : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

Context: g : N ⟶ P

Context: Q : Bimod Y Z

coequalizer.π (M.actRight ▷ Q.X) ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ M.X ◁ Q.actLeft) ≫ (whiskerRight (f ≫ g) Q).hom = coequalizer.π (M.actRight ▷ Q.X) ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ M.X ◁ Q.actLeft) ≫ (whiskerRight f Q ≫ whiskerRight g Q).hom


Context:
C : Type u_1
A : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_5, u_1} C
CategoryTheory.Category.{u_6, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
AddMonoid M
CategoryTheory.HasShift C M
F.ShiftSequence M
X Y : C
n a a' : M
ha' : n + a = a'
f : X ⟶ Y

(F.shift a).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f) ≫ (F.shiftIso n a a' ha').hom.app Y =
  (F.shiftIso n a a' ha').hom.app X ≫ (F.shift a').map f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
h₁ : a < d
h₂ : c < b

Ioo a b ∪ Ioo c d = Ioo (min a c) (max b d)


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
NormalSpace X
s t : Set X
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
a b : ℝ
hle : a ≤ b

∃ f, Set.EqOn (⇑f) (Function.const X a) s ∧ Set.EqOn (⇑f) (Function.const X b) t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Set.Icc a b


Context:
α : Type u_1
l : Filter α
hl : l.Subsingleton


Context:
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
NormedField 𝕜₁
NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
AddCommGroup E
Module 𝕜₁ E
TopologicalSpace E
AddCommGroup F
Module 𝕜₂ F
UniformSpace F
UniformAddGroup F
𝔖 : Set (Set E)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
T0Space X
h : X ≃ₜ Y


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p' s'

(l ⊓ l').HasBasis (fun i => p i.fst ∧ p' i.snd) fun i => s i.fst ∩ s' i.snd


Context: α : Type u_1

Context: Fintype α

Context: DecidableEq α

Context: P : Finpartition Finset.univ

Context: G : SimpleGraph α

Context: DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: Nonempty α

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: hP₇ : 7 ≤ P.parts.card

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α

Context: hPG : ¬P.IsUniform G ε

Context: hε₀ : 0 ≤ ε

Context: hε₁ : ε ≤ 1

↑(P.energy G) + ε ^ 5 / 4 ≤ ↑((SzemerediRegularity.increment hP G ε).energy G)


Context: R : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: CommSemiring R

Context: M : MvPolynomial σ R → Prop

Context: p : MvPolynomial σ R

Context: h_C : ∀ (a : R), M (MvPolynomial.C a)

Context:
h_add_weak :
  ∀ (a : σ →₀ ℕ) (b : R) (f : (σ →₀ ℕ) →₀ R),
    a ∉ f.support →
      b ≠ 0 →
        M f →
          M ((MvPolynomial.monomial a) b) →
            M
              ((let_fun this := (MvPolynomial.monomial a) b;
                this) +
                f)

Context: h_X : ∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ), M p → M (p * MvPolynomial.X n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
x : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
this : (x • μ).OuterRegular


Context:
α : Type u_2
CancelCommMonoidWithZero α
self : GCDMonoid α
a b : α


Context: G : Type u_1

Context: Group G

Context: p : ℕ

Context: P : Sylow p G

Context: hP : (↑P).normalizer ≤ Subgroup.centralizer ↑P

Context: Fact (Nat.Prime p)

Context: Finite (Sylow p G)

Context: (↑P).FiniteIndex

⇑((MonoidHom.transferSylow P hP).restrict ↑P) = fun x => x ^ (↑P).index


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder β

Context: f✝ g : α → β

Context: x : α

Context: s t : Set α

Context: y z : β

Context: ι : Sort u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: inst✝¹ : CompleteLinearOrder δ

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder δ'

Context: f : ι → α → δ'

Context: bdd : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, BddAbove (range fun i => f i y)

Context: h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousWithinAt (f i) s x

Context: h✝ : IsEmpty ι

LowerSemicontinuousWithinAt (fun x' => ⨆ i, f i x') s x


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: c ca cb : E

Context: l l' la la' lb lb' : Filter ℝ

Context: lt : Filter ι

Context: a b z : ℝ

Context: u v ua ub va vb : ι → ℝ

Context: inst✝¹ : FTCFilter a la la'

Context: inst✝ : FTCFilter b lb lb'

Context: hab : IntervalIntegrable f volume a b

Context: hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f la' volume

Context: hf : Tendsto f (la' ⊓ ae volume) (𝓝 c)

Context: hu : Tendsto u lt la

Context: hv : Tendsto v lt la

(fun t => ((∫ (x : ℝ) in v t..b, f x) - ∫ (x : ℝ) in u t..b, f x) + (v t - u t) • c) =o[lt] (v - u)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

(α_ (𝟙_ C) P.X Q.X).inv ≫ (λ_ P.X).hom ▷ Q.X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (λ_ (P.X ⊗ Q.X)).hom ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: x y : F

Context: h : ‖x + y‖ ^ 2 = ‖x‖ ^ 2 + 2 * re ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ ^ 2

‖x + y‖ ^ 2 = ‖x‖ ^ 2 + 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ ^ 2


Context:
α : Type u_1
R : Type u_5
Semiring R
α' : Type u_7
M' : Type u_8
AddCommMonoid M'
Module R M'
v' : α' → M'
f : α → α'

Finsupp.total α' M' R v' ∘ₗ Finsupp.lmapDomain R R f = Finsupp.total α M' R (v' ∘ f)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: p q : Multiset (Associates α)

Context: s t : Multiset α

Context: hs : ∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) t, Irreducible a

Context: ht : ∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s, Irreducible a

Context: eq : (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) t).prod = (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s).prod

Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) t = Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s


Context:
G : Type u_1
Group G

∀ {x : Fintype G} {p : ℕ} [hp : Fact (Nat.Prime p)], Fintype.card G = p → ∀ {g : G}, g ≠ 1 → Submonoid.powers g = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: hf : 0 ≤ᵐ[μ] f

Context: hfm : MeasureTheory.AEStronglyMeasurable f μ

∫ (a : α), f a ∂μ = (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ).toReal


Context:
R : Type u
CommRing R
s f : R

(AlgebraicGeometry.StructureSheaf.toBasicOpen R s) ((algebraMap R (Localization.Away s)) f) =
  AlgebraicGeometry.StructureSheaf.const R f 1 (PrimeSpectrum.basicOpen s) ⋯


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
SeminormedAddCommGroup α
SeminormedAddCommGroup β
x y : WithLp 2 (α × β)

nndist x y = NNReal.sqrt (nndist x.1 y.1 ^ 2 + nndist x.2 y.2 ^ 2)


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Nontrivial R
h : 1 < Fintype.card n
j i : n
hij : j ≠ i


Context:
n : ℕ
i : ZMod n


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: α : Type u_3

Context: AddRightCancelSemigroup α

Context: One α

Context: K : HomologicalComplex (CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C) (ComplexShape.up α)

Context: n : α

((CategoryTheory.Idempotents.karoubiCochainComplexEquivalence C α).inverse.obj K).X.X n = (K.X n).X


Context:
s : List Char
i b e n : Nat

∀ (c : Char) (cs : List Char), go₂ (c :: cs) { byteIdx := b + n } { byteIdx := e + n } = go₂ (c :: cs) { byteIdx := b } { byteIdx := e }


Context:
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x y z : 𝒰.J

(fun x y z => 𝒰.gluedCoverT' x y z) x y z ≫ pullback.snd ((fun x y => pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) y z) ((fun x y => pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) y x) = pullback.fst ((fun x y => pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) x y) ((fun x y => pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) x z) ≫ (fun x y => (pullbackSymmetry (𝒰.map x) (𝒰.map y)).hom) x y


Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: AddCommMonoid α

Context: AddCommMonoid β

Context: s : Multiset ι

Context: r : α → β → Prop

Context: f : ι → α

Context: g : ι → β

Context: h₁ : r 0 0

Context: h₂ : ∀ ⦃a : ι⦄ ⦃b : α⦄ ⦃c : β⦄, r b c → r (f a + b) (g a + c)

r (Multiset.map f s).sum (Multiset.map g s).sum


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: x : (forget D).obj (P.obj (op X))

(Meq.equiv P ⊤) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯) x) = (Meq.equiv P ⊤) ((Meq.equiv P ⊤).symm (Meq.mk ⊤ x))


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
M : Type uM
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : Basis ι R M
a : A
i : ι

(basis A b).repr.symm (Finsupp.single i a) = a ⊗ₜ[R] b.repr.symm (Finsupp.single i 1)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
p : A[X]
ne_zero : p ≠ 0
root : (aeval pb.gen) p = 0
hlt : p.natDegree < pb.dim

∑ i : Fin pb.dim, (monomial ↑i) (p.coeff ↑i) = 0


Context:
K : Type u
Field K
L : Type u_1
J : Type u_2
Field L
Field J
A : ValuationSubring J
g : L →+* J
f : K →+* L

(A.comap g).comap f = A.comap (g.comp f)


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
p q : R[X]
r : R

(p.comp q).IsRoot r ↔ p.IsRoot (Polynomial.eval r q)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f : ℕ → β

Context: g : CauSeq β abv

Context: h : ∀ ε > 0, ∃ i, ∀ j ≥ i, abv (f j - ↑g j) < ε

Context: ε : α

Context: ε0 : ε > 0

Context: i : ℕ

Context: hi : ∀ j ≥ i, abv (f j - ↑g j) < ε / 2 / 2 ∧ ∀ k ≥ j, abv (↑g k - ↑g j) < ε / 2

Context: j : ℕ

Context: ij : j ≥ i


Context:
α : Type u
Preorder α
a b : α
h : a < b


Context: F : Type u

Context: K✝¹ : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝³ : Field K✝¹

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Field F

Context: n✝ : ℕ

Context: K✝ : Type u

Context: inst✝ : Field K✝

Context: n : ℕ

Context: ih : (fun n => ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]), f.natDegree = n → Splits (algebraMap K (SplittingFieldAux n f)) f) n

Context: K : Type u

Context: x✝ : Field K

Context: f : K[X]

Context: hf : f.natDegree = n.succ

Splits (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) ((X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) * f.removeFactor)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: ι : Type u_1

Context: f : ι → R

Context: s : Finset ι

Context: x y : ι

Context: hfs : ((X - C (f y)) ^ 2 * ∏ x ∈ (s.erase x).erase y, (X - C (f x))).Separable

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ s

Context: hfxy : f x = f y

Context: hxy : ¬x = y


Context:
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
x : k


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hμ : μ ≠ 0


Context:
R : Type u
CommRing R
M N P : Type u
AddCommGroup M
AddCommGroup N
AddCommGroup P
Module R M
Module R N
Module R P
Coalgebra R M
Coalgebra R N
Coalgebra R P


Context: a x : ℝ

↑(HurwitzZeta.oddKernel (↑a) x) = HurwitzZeta.jacobiTheta₂'' (↑a) (Complex.I * ↑x)


Context:
F : Type u_2
E : Type u_3
CommRing F
Ring E
Algebra F E


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E


Context:
α : Type u_1
Neg α
Small.{u_2, u_1} α
x : α

(equivShrink α) (-x) = -(equivShrink α) x


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

∀ {X Y : CategoryTheory.Functor C D} (τ : X ⟶ Y) (f : CategoryTheory.Arrow C),
  (((CategoryTheory.Functor.mapArrowFunctor C D).map τ).app f).right = τ.app f.right


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: M₁ M₂ : Submodule R M

Context: N₁ N₂ : Submodule R N

Context: s : Set (M ⊗[R] N)

Context: hs : s.Finite

Context: w✝ : Submodule R M

Context: N' : Submodule R N

Context: left✝ : Module.Finite R ↥w✝

Context: hfin : Module.Finite R ↥N'

Context: h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl w✝ N'))

∃ N', Module.Finite R ↥N' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor M N'.subtype))


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
CategoryTheory.MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C

(CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight f Z).mop =
  CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft { unmop := Z } f.mop


Context: α : Type u_1

Context: p : Multiset α → Prop

Context: S : Multiset α

Context: h₁ : p 0

Context: h₂ : ∀ {a : α} {s : Multiset α}, a ∈ S → s ⊆ S → p s → p (insert a s)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: p q : R[X]

Context: hp : p.Monic

Context: hq : q.Monic

Context: r : K[X]

Context: hr : Polynomial.map (algebraMap R K) p = Polynomial.map (algebraMap R K) q * r

Context: d' : R[X]

Context: hr' : Polynomial.map (algebraMap R K) d' = r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_4

Context: E : B → Type u_6

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: NormedAddCommGroup F

Context: NormedSpace 𝕜 F

Context: TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F E)

Context: (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: EB : Type u_7

Context: NormedAddCommGroup EB

Context: NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: TopologicalSpace B

Context: ChartedSpace HB B

Context: FiberBundle F E

Context: x : Bundle.TotalSpace F E

Context: y : EB × F

Context: hy : y ∈ (extChartAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) x).target

writtenInExtChartAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) x (↑(trivializationAt F E x.proj)) y = y


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
a₃ b c : R
a₁ : R
a₂ : ℕ

a₃ * b = c → a₁ ^ a₂ * a₃ * b = a₁ ^ a₂ * c


Context:
R : Type u
Ring R
s : Subring R
x y : R


Context:
α : Type u_1
Lattice α
IsModularLattice α
x : α
y : α
z : α
h : x ≤ z


Context: n : Int

Context: d : Nat

Context: z : d ≠ 0

Context: n' : Int

Context: d' : Nat

Context: z' : d' ≠ 0

Context: c : n'.natAbs.Coprime d'

Context: h : Rat.normalize n d z = { num := n', den := d', den_nz := z', reduced := c }


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
h₁ : α = α := ⋯
h₂ : HEq r r := ⋯


Context: x y : ℝ≥0

↑x ≠ ↑y ↔ x ≠ y


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
hl : l.HasBasis p s
hi : p i
ht : s i ⊆ t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: TopologicalSpace M

Context: ChartedSpace H M

Context: SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: NormedAddCommGroup E'

Context: NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: TopologicalSpace M'

Context: ChartedSpace H' M'

Context: SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: s : Set M

Context: hs : UniqueMDiffOn I s

Context: e : PartialHomeomorph M M'

Context: he : PartialHomeomorph.MDifferentiable I I' e

UniqueMDiffOn I' (e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' s)


Context: Δ₁ Δ₂ : SimplexCategoryᵒᵖ

Context: A : SimplicialObject.Splitting.IndexSet Δ₁

Context: p : Δ₁ ⟶ Δ₂

Context: CategoryTheory.Epi p.unop


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n

bernsteinPolynomial R n ν = (bernsteinPolynomial R n (n - ν)).comp (1 - X)


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
CommRing R
x : WittVector p R

WittVector.frobenius (WittVector.verschiebung x) = x * ↑p


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0

padicValRat p (q / r) = padicValRat p q - padicValRat p r


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : AddMonoid A
s✝ t u : Set M
s : Submonoid M
x : M

x ∈ ↑s * ↑s → x ∈ ↑s


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Ring S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra K F

Context: ι : Type w

Context: E : Type u_7

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra K E

Context: inst✝ : Algebra R F

Context: pb : PowerBasis R S

Context: hE : Splits (algebraMap R F) (minpoly R pb.gen)

Context: hfx : IsSeparable R pb.gen

Context: this : DecidableEq F := Classical.decEq F

(algebraMap R F) ((norm R) pb.gen) = ∏ σ : S →ₐ[R] F, σ pb.gen


Context:
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
x : α × β

((WithLp.equiv p (α × β)).symm x).1 = x.1


Context:
α : Type u
CancelMonoid α
a : α


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ

Real.cosh (dist z w) = ((z.re - w.re) ^ 2 + z.im ^ 2 + w.im ^ 2) / (2 * z.im * w.im)


Context:
C : Type u_1
ι : Type u_2
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j : ι
hij : c.Rel i j
CategoryTheory.CategoryWithHomology C

(HomologicalComplex.HomologySequence.composableArrows₃ K i j).Exact


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h : λ ^ (3 * S.multiplicity - 2 + 1 + 1) * λ ∣ (λ ^ S.multiplicity * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S) ^ 3


Context:
F : Type u_1
Field F
x y : F
hxy : x ≠ y

Lagrange.basisDivisor x y + Lagrange.basisDivisor y x = 1


Context:
α : Type u
PseudoEMetricSpace α

(𝓤 α).HasBasis (fun x => True) fun n => {p | edist p.1 p.2 < 2⁻¹ ^ n}


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
SemilatticeInf α
s : Finset β
t : Finset γ
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
f : β → γ → α

(s.inf' hs fun b => t.inf' ht (f b)) = t.inf' ht fun c => s.inf' hs fun b => f b c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
x : α
hx : x ∈ s
y : α
h : s \ {x} = {y}


Context:
α : Type u_6
AddCommGroup α
f : ℕ → α
n m : ℕ

∑ k ∈ Finset.range (n + m), f k - ∑ k ∈ Finset.range n, f k = ∑ k ∈ Finset.range m, f (n + k)


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: CategoryTheory.HasShift C ℤ

Context: ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: X : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C

(CategoryTheory.Pretriangulated.invRotCompRot.inv.app X).hom₃ =
  (CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId C (-1) 1 ⋯).inv.app X.obj₃


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : OpenEmbedding f

Context: inst✝ : QuasiSober β

Context: T : Set β

Context: hT : IsClosed T

Context: hS : IsIrreducible (f ⁻¹' T)

Context: hS' : IsClosed (f ⁻¹' T)

Context: hS'' : IsIrreducible (T ∩ range f)

Context: y : α

Context: hx : IsGenericPoint (f y) (closure (T ∩ range f))

Context: hxT : f y ∈ T


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
x : α
xs : x ∈ s


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁶ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j

Context: P : Type u₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: g : (i : ι) → G i →+ P

Context: Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x

Context: G' : ι → Type v'

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G' i)

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →+ G' j

Context: G'' : ι → Type v''

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (G'' i)

Context: f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →+ G'' j

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: g₁ : (i : ι) → G i →+ G' i

Context: g₂ : (i : ι) → G' i →+ G'' i

Context: hg₁ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g₁ j).comp (f i j h) = (f' i j h).comp (g₁ i)

Context: hg₂ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g₂ j).comp (f' i j h) = (f'' i j h).comp (g₂ i)

Context: i j : ι

Context: h : i ≤ j

((fun i => (g₂ i).comp (g₁ i)) j).comp (f i j h) = (f'' i j h).comp ((fun i => (g₂ i).comp (g₁ i)) i)


Context:
n' : Type u_1
DecidableEq n'
Fintype n'
R : Type u_2
CommRing R
A : Matrix n' n' R
h : IsUnit A.det
n : ℤ


Context: K : Type u_1

Context: Field K

Context: k : Type u_2

Context: Field k

Context: Algebra k K

Context: φ : K →+* ℂ

Context: σ₁ σ₂ : K ≃ₐ[k] K

Context: h₁ : NumberField.ComplexEmbedding.IsConj φ σ₁

σ₁ = σ₂ ↔ NumberField.ComplexEmbedding.IsConj φ σ₂


Context: n : ℕ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤

∫⁻ (x_1 : α) in t, ↑‖↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) x_1‖₊ ∂μ ≤ μ s * ↑‖x‖₊


Context:
α : Type u
s t : Set α


Context:
α : Type u_1
LinearOrder α
a b : α


Context:
α : Type u_1
OrderedAddCommGroup α
a b : α


Context:
T : ℝ
m n : ℤ
x : AddCircle T

↑((m + n) • x).toCircle = (fourier m) x * (fourier n) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
e : Option α ≃ Option β
x : α

some (e.removeNone x) = e none ↔ e.symm none = some x


Context:
b : Bool
n : ℤ


Context: D : GlueData

Context: i₁ i₂ : { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.I₀

Context: W : Scheme

Context: p₁ : W ⟶ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.X i₁

Context: p₂ : W ⟶ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.X i₂

Context: fac : p₁ ≫ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.f i₁ = p₂ ≫ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.f i₂

Context: T : Scheme

Context: g : T ⟶ W

Context: x✝ : ⊤.arrows g

Context: φ : T ⟶ (D.vPullbackCone i₁ i₂).pt

Context: h₁ : φ ≫ (D.vPullbackCone i₁ i₂).fst = g ≫ p₁

Context: h₂ : φ ≫ (D.vPullbackCone i₁ i₂).snd = g ≫ p₂

({ I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.sieve₁ p₁ p₂).arrows g


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: s t : Finset α

Context: f : α × α × α → (α × α) × α × α := fun x => ((x.1 * x.2.2, x.1 * x.2.1), x.2)

(filter (fun x => x.1.1 * x.2.1 = x.1.2 * x.2.2) (univ ×ˢ t ×ˢ t)).card = (univ ×ˢ t ×ˢ t).card


Context:
α : Type u_1
l : List α

(↑l).antidiagonal = ↑(Multiset.powersetAux' l).revzip


Context: k : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : NumberField K

Context: inst✝⁴ : Algebra k K

Context: inst✝³ : Algebra k F

Context: inst✝² : Algebra K F

Context: inst✝¹ : IsScalarTower k K F

Context: σ : K ≃ₐ[k] K

Context: w : InfinitePlace K

Context: inst✝ : IsGalois k K

Context: φ : K →+* ℂ

Context: H : ∀ (σ : K ≃ₐ[k] K), ComplexEmbedding.IsConj φ σ → σ = 1

Context: hφ : (mk φ).IsComplex ∧ ((mk φ).comap (algebraMap k K)).IsReal


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a ≤ b

Context: hcont : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hderiv : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x

Context: φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume

Context: hφg : ∀ x ∈ Ico a b, g' x ≤ φ x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f✝ f g : β → α
hs : ∃ x ∈ s, f x ≠ 0
hg : ∀ b ∈ s, f b = s.gcd f * g b


Context: a x : ℝ

Context: hx : x ∈ Ioi 0

Context: h : ContinuousAt (fun p => jacobiTheta₂' p.1 p.2) (↑a, I * ↑x)

ContinuousAt (fun x => jacobiTheta₂' (↑a) (I * ↑x)) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
CommMonoid α
TopologicalSpace α
f : β → α
a : α
s : Set β
hf : Function.mulSupport f ⊆ s

HasProd (f ∘ Subtype.val) a ↔ HasProd f a


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
Add M
Add N
f : M → N
H : ∀ (x y : M), f (x + y) = f x + f y
c : AddCon N
x y : M

(AddCon.comap f H c) x y ↔ c (f x) (f y)


Context: e a : ONote

Context: Ne : e.NF

Context: Na : a.NF

Context: e0 : e.repr ≠ 0

Context: n : ℕ+

Context: h : a.repr < ω ^ e.repr

Context: No : (e.oadd n a).NF

Context: this✝ : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr

Context: b : Ordinal.{0}

Context: l : b < ω

Context: this : (e.oadd n a).repr < ω ^ succ e.repr

(ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr) ^ b ≤ (ω ^ e.repr) ^ ω


Context:
R✝ : Type u
S✝ : Type v
F : Type u_1
inst✝¹⁰ : Semiring R✝
inst✝⁹ : Semiring S✝
inst✝⁸ : FunLike F R✝ S✝
rc : RingHomClass F R✝ S✝
f : F
I✝ J : Ideal R✝
K L : Ideal S✝
G : Type u_2
inst✝⁷ : FunLike G S✝ R✝
rcg : RingHomClass G S✝ R✝
ι : Sort u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
I : Ideal R
N : Submodule S M

Submodule.restrictScalars R (map (algebraMap R S) I • N) = I • Submodule.restrictScalars R N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
h : t ⊆ s


Context:
α : Type u_3
Preorder α
a : α
ha : IsBot a


Context: a : Int


Context:
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i : Fin n.succ
x✝ : i ∈ univ

(-1) ^ ↑i * Aᵀ i 0 * (Aᵀ.submatrix i.succAbove Fin.succ)ᵀ.det = (-1) ^ ↑i * A 0 i * (A.submatrix Fin.succ i.succAbove).det


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ f.fix a

Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'


Context:
α : Type u_1
β : Type v
f : α → β
t : α

Multiset.map f ∘ Multiset.cons t = Multiset.cons (f t) ∘ Multiset.map f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: I : Set ι

Context: hI : I.Finite

Context: s : (i : ι) → Set (π i)

Context: x : (i : ι) → π i

𝓝[I.pi s] x = ⨅ i, comap (fun x => x i) (𝓝 (x i) ⊓ ⨅ (_ : i ∈ I), 𝓟 (s i))


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : StarRing R
x : R
hx : star x = -x


Context:
α : Type u_1
Preorder α
PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin a


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t s : Set M
x : M
hx : x ∈ f.source

↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I =ᶠ[𝓝 (↑(f.extend I) x)] ↑I.symm ⁻¹' f.target ∩ (↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsOpen s

SeparationQuotient.mk ⁻¹' (SeparationQuotient.mk '' s) = s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
SeminormedRing 𝕜
SMul 𝕜 E
s : Set E


Context:
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
GCDMonoid α
a b c : α


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : Ideal R
isPrime✝ : x.IsPrime

{ asIdeal := x, isPrime := isPrime✝ } ∈ range toPrimeSpectrum ↔ { asIdeal := x, isPrime := isPrime✝ } ∈ {x | x.asIdeal.IsMaximal}


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Distrib R
a x y x' y' : R
h : SemiconjBy a x y
h' : SemiconjBy a x' y'


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
h : Dense s


Context:
K : Type u
V : Type v
V' : Type v'
V'' : Type v''
Ring K
AddCommGroup V
Module K V
AddCommGroup V'
Module K V'
AddCommGroup V''
Module K V''
g : V →ₗ[K] V'
f : V' →ₗ[K] V''

Cardinal.lift.{v', v''} (f ∘ₗ g).rank ≤ Cardinal.lift.{v'', v'} g.rank


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : LieRing L

Context: inst✝³ : LieAlgebra R L

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : LieRingModule L M

Context: Φ✝ : LinearMap.BilinForm R M

Context: hΦ_nondeg✝ : Φ✝.Nondegenerate

Context: hΦ_inv✝ : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ✝

Context: Φ : LinearMap.BilinForm R L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ

Context: hL : ∀ (I : LieIdeal R L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I

Context: I : LieIdeal R L

Context: hI : IsAtom I

Context: contra : I ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I

Context: x : ↥I

Context: y : ↥I

⁅↑x, ↑y⁆ ∈ ↑⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type u_3
MeasurableSpace α
MeasurableSpace β
μ : MeasureTheory.Measure α
ν : MeasureTheory.Measure β
MeasureTheory.SFinite ν
NeZero μ
t : Set β

MeasureTheory.NullMeasurableSet (Prod.snd ⁻¹' t) (μ.prod ν) ↔ MeasureTheory.NullMeasurableSet t ν


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
H K : AddSubgroup G
h : H ≤ K


Context:
α : Type u_2
SemilatticeInf α
s : Set α
hs : IsLowerSet s


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: T : Type u_5

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : Ring B

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: inst✝⁵ : CommRing T

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: f : R →+* S✝

Context: g : S✝ →+* T

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A B

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral R A

Context: x : B

Context: p : A[X]

Context: pmonic : p.Monic

Context: hp : eval₂ (algebraMap A B) x p = 0

Context: S : Subalgebra R A := adjoin R ↑p.coeffs

Context: this : Module.Finite R ↥S

Context: p' : (↥S)[X] := p.toSubring S.toSubring ⋯

Context: hSx : IsIntegral (↥S) x

Context: Sx : Submodule (↥S) B := Subalgebra.toSubmodule (adjoin ↥S {x})

Context: MSx : Module ↥S ↥Sx := SMulMemClass.toModule Sx


Context:
α : Type u_1
EDist α
s : Set α
Finite ↑s
hs : s.Nontrivial

∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ s.einfsep = edist x y


Context:
𝒮 : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
𝒴 : CategoryTheory.BasedCategory 𝒮
F : CategoryTheory.BasedFunctor 𝒳 𝒴

CategoryTheory.CategoryStruct.id F = CategoryTheory.BasedNatTrans.id F


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
SeminormedAddCommGroup α
SeminormedAddCommGroup β
x y : WithLp 2 (α × β)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
f : ↥(Lp ℝ p μ)
a : α
h : ↑↑(negPart f) a = max (-↑↑f a) 0


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace X

Context: μ : Measure X

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : X → ℝ≥0

Context: f_meas : Measurable f

Context: g : X → E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: hg : Integrable g (μ.withDensity fun x => ↑(f x))

∀ (c : E) ⦃s : Set X⦄, MeasurableSet s → (μ.withDensity fun x => ↑(f x)) s < ⊤ → (fun g => (∫ (x : X), g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X), f x • g x ∂μ) (s.indicator fun x => c)


Context:
R : Type u_1
CommSemiring R
S : Type u_2
CommSemiring S
Algebra R S
x : R
IsLocalization.Away x S

(algebraMap R S) x * IsLocalization.Away.invSelf x = 1


Context:
a b : ℤ
h : a ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
f : α → β
lb : Filter β


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α


Context:
R : Type u_1
LinearOrderedSemifield R
FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
x : ℤ
r : R
hr : 0 < r