Context: a b : ℝ

Context: G : Type u_6

Context: NormedAddCommGroup G

Context: NormedSpace ℝ G

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: g : ℝ → G

Context: hf : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hff' : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Set.Ioi x) x

Context: hg_cont : ContinuousOn g (f '' Set.Ioo (min a b) (max a b))

Context: hg1 : MeasureTheory.IntegrableOn g (f '' [[a, b]]) MeasureTheory.volume

Context: hg2 : MeasureTheory.IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]] MeasureTheory.volume

∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u


Context:
G : Type u_1
MeasurableSpace G
Group G
MeasurableMul₂ G
μ ν : MeasureTheory.Measure G
MeasureTheory.SFinite ν
MeasureTheory.SFinite μ
MeasurableInv G
μ.IsMulLeftInvariant

MeasureTheory.MeasurePreserving (fun z => (z.2, z.2⁻¹ * z.1)) (μ.prod ν) (ν.prod μ)


Context: R✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R✝

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R✝ M

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Module K M

Context: f g : End K M

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K M

Context: inst✝ : PerfectField K

Context: comm : Commute f g

Context: hf : f.IsSemisimple

Context: hg : g.IsSemisimple

Context: a : End K M

Context: ha : a ∈ Algebra.adjoin K {f, g}

Context: R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {minpoly K f}

Context: S : Type u_3 := AdjoinRoot (map (algebraMap K R) (minpoly K g))


Context:
x : ℝ
hx : |x| ≤ Real.pi

Real.cos x ≤ 1 - 2 / Real.pi ^ 2 * x ^ 2


Context:
L : Type u_2
Field L
F E : Subfield L
h : F ≤ E
x : L


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x : E

Context: r : ℝ

Context: hr : r ≠ 0

Context: y : E

Context: hy : y ∈ closedBall x r

Context: this : ContinuousWithinAt (fun c => c • (y - x) + x) (Ico 0 1) 1

MapsTo (fun c => c • (y - x) + x) (Ico 0 1) (ball x r)


Context:
R : Type u
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝ : DivisionRing R
a : ℚ
f : R[X]


Context:
Γ : Type u_1
Inhabited Γ
L R : Turing.ListBlank Γ

Turing.Tape.move Turing.Dir.left (Turing.Tape.mk' L R) = Turing.Tape.mk' L.tail (Turing.ListBlank.cons L.head R)


Context: G : Type w

Context: inst✝ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: H : μ.ContentRegular

Context: K : Compacts G

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : ε ≠ 0

Context: hc : ∀ (x : Compacts G), K.carrier ⊆ interior x.carrier → ↑(μ.toFun K) + ↑ε < ↑(μ.toFun x)


Context:
α : Type u
LinearOrder α
a b c : α


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t K : Set X
l : Filter Y
s : Set (X × Y)
hK : IsCompact K
hs : ∀ x ∈ K, s ∈ 𝓝 x ×ˢ l
x : X
hx : x ∈ K


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
inst✝ : S.HasRightHomology

h.rightHomologyIso.hom ≫ h.ι = S.rightHomologyι ≫ h.opcyclesIso.hom


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n j : ℕ
hj : j < p ^ n

p ^ (n - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) ∣ (p ^ n).choose (j + 1)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_3
MonoidWithZero R
Zero M
self : MulActionWithZero R M
m : M


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hu : ∀ x ∈ U, f ∈ x.asIdeal.primeCompl
x : ↥(unop (op U))

(algebraMap R (Localizations R ↑x)) 0 = ↑0 x * (algebraMap R (Localizations R ↑x)) ↑⟨f, ⋯⟩


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : OrderedRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : Module R V

Context: inst✝⁵ : AddTorsor V P

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V'

Context: inst✝³ : Module R V'

Context: inst✝² : AddTorsor V' P'

Context: inst✝¹ : NoZeroDivisors R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V

Context: ι : Type u_6

Context: p : ι → P

Context: ha : AffineIndependent R p

Context: w w₁ w₂ : ι → R

Context: s : Finset ι

Context: hw : ∑ i ∈ s, w i = 1

Context: hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1

Context: hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1

Context: i : ι

Context: his : i ∈ s

Context: r : R

Context: hs : w₁ i ≠ w₂ i ∧ r ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hr : ∀ i ∈ s, w i = (r • (w₂ - w₁) + w₁) i

Context: hz : (s.weightedVSub p) (w₁ - w₂) = 0

Context: hw₁w₂ : ∑ i ∈ s, (w₁ - w₂) i = 0

Context: ha' : (w₁ - w₂) i = 0


Context:
n : ℕ
a : Fin (n + 1)

a.succ ≠ Fin.last (n + 1) ↔ a ≠ Fin.last n


Context: p : ℝ × ℝ

Complex.equivRealProdCLM.symm p = ↑p.1 + ↑p.2 * Complex.I


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : CategoryWithHomology C

Context: inst✝ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization

Context: K L : HomologicalComplex C c

Context: f : { as := K } ⟶ { as := L }

quasiIso C c f ↔ (HomologicalComplex.quasiIso C c).map (quotient C c) f


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
n e1 e2 t1 t2 : α
h1 : n * e1 = t1
h2 : n * e2 = t2


Context:
i : Nat
xs : Lean.Omega.Coeffs
h : xs.length ≤ i


Context:
F : Type v
Field F
W : WeierstrassCurve.Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ Q y * P z ^ 3


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t s : Set α
ht : NullMeasurableSet t μ
s' : Set α
hsub : s ⊆ s'
hs'm : MeasurableSet s'
hs' : μ s' = μ s


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
f : ι' ≃ ι
s : Set ι'
t : (i : ι) → Set (α i)

∀ (x : (a : ι') → α (f a)), x ∈ ⇑(piCongrLeft α f) ⁻¹' (⇑f '' s).pi t ↔ x ∈ s.pi fun i => t (f i)


Context:
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
StarRing A
Algebra R A
StarModule R A
S : StarSubalgebra R A


Context:
α : Type u
AddMonoidWithOne α
n : ℕ


Context:
ι : Type u
β : ι → Type v
DecidableEq ι
(i : ι) → Zero (β i)
p : ι → Prop
DecidablePred p
i : ι
x : β i
h : p i

DFinsupp.filter p (DFinsupp.single i x) = DFinsupp.single i x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: AddCommGroup E

Context: UniformSpace E

Context: UniformAddGroup E

Context: AddCommGroup F

Context: UniformSpace F

Context: UniformAddGroup F

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: Module 𝕜 E

Context: Module 𝕜 F

Context: ContinuousSMul 𝕜 E

Context: f : E →ₗ[𝕜] F

Context: h : ∃ V ∈ 𝓝 0, Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (⇑f '' V)

Context: x : E


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : CommRing T

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra R T

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: b : Basis ι R S

Context: inst✝³ : Module.Free R S

Context: inst✝² : Module.Free R T

Context: inst✝¹ : Module.Finite R S

Context: inst✝ : Module.Finite R T

Context: x : S × T

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: f : S × T →ₗ[R] Module.End R S × Module.End R T := (lmul R S).toLinearMap.prodMap (lmul R T).toLinearMap

Context: this : (lmul R (S × T)).toLinearMap = prodMapLinear R S T S T R ∘ₗ f

(LinearMap.trace R (S × T) ∘ₗ prodMapLinear R S T S T R ∘ₗ f) x = (LinearMap.trace R S ∘ₗ (lmul R S).toLinearMap) x.1 + (LinearMap.trace R T ∘ₗ (lmul R T).toLinearMap) x.2


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
TopologicalSpace α

TendstoLocallyUniformly F f p ↔ ∀ (x : α), Filter.Tendsto (fun y => (f y.2, F y.1 y.2)) (p ×ˢ 𝓝 x) (𝓤 β)


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: gp_n : Pair K

Context: nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp_n

Context: nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some gp_n.b

Context: ifp_n : IntFractPair K

Context: succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_n

Context: ifp_n_b_eq_gp_n_b : ↑ifp_n.b = gp_n.b


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: T : Monad C

Context: J✝ : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} J✝

Context: D : J✝ ⥤ T.Algebra

Context: c : Cone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsLimit c

Context: s : Cone D

Context: m : s.pt ⟶ (liftedCone D c t).pt

Context: J : ∀ (j : J✝), m ≫ (liftedCone D c t).π.app j = s.π.app j

Context: j : J✝

m.f ≫ c.π.app j = ((fun s => { f := t.lift (T.forget.mapCone s), h := ⋯ }) s).f ≫ c.π.app j


Context:
R : Type u_2
A : Type u_3
CommSemiring R
StarRing R
Semiring A
Algebra R A
StarRing A
StarModule R A
x : A


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
p q : Set α → Prop
H : μ.InnerRegularWRT p q
c : ℝ≥0∞


Context: x y : SetTheory.PGame


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.Nonempty → ∃ x, s = {x}
a b : α
has : a ∈ s
hbs : b ∈ s


Context:
k : Type u
CommRing k
G : Type u
Group G
V : Type v
AddCommGroup V
Module k V
Module (MonoidAlgebra k G) V
IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) V
W : Type w
AddCommGroup W
Module k W
Module (MonoidAlgebra k G) W
IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) W
π : W →ₗ[k] V
Fintype G
v : W

(LinearMap.sumOfConjugatesEquivariant G π) v = ∑ g : G, (π.conjugate g) v


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: B : Set (Set X)

Context: hBc : B.Countable

Context: hB : IsTopologicalBasis B

Context: s : Set (Set X × Set X) := {UV | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure UV.1 ⊆ UV.2}

Context: this✝¹ : Encodable ↑s

Context: this✝ : TopologicalSpace ↑s := ⊥

Context: this : DiscreteTopology ↑s

Context: hd : ∀ (UV : ↑s), Disjoint (closure (↑UV).1) (↑UV).2ᶜ

Context: ε : ↑s → ℝ

Context: ε01 : ∀ (UV : ↑s), ε UV ∈ Ioc 0 1

Context: hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)

Context: f : ↑s → C(X, ℝ)

Context: hf0 : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) 0 (↑UV).1

Context: hfε : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) (fun x => ε UV) (↑UV).2ᶜ

Context: hf0ε : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 (ε UV)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra K F
ι : Type w
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R S
x : R
this : DecidableEq ι

((toMatrix b b) ((lsmul R R S) x)).det = x ^ Fintype.card ι


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_4

Context: MeasurableSpace α

Context: NormedAddCommGroup E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: Fact (1 ≤ p)

Context: f : ↥(MeasureTheory.Lp.simpleFunc E p μ)

‖f‖ = (MeasureTheory.eLpNorm (↑(MeasureTheory.Lp.simpleFunc.toSimpleFunc f)) p μ).toReal


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : σ.support.card = τ.support.card
x : α
hx : x ∈ ↑σ.support

↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) (hσ.zpowersEquivSupport.symm ⟨σ x, ⋯⟩))) = τ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) (hσ.zpowersEquivSupport.symm ⟨x, hx⟩)))


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
hq0 : q ≠ 0
h : p / q = 0
this : q * (p / q) + p % q = p


Context:
m : Type u_1 → Type u_2
σ α : Type u_1
Monad m
f : σ → α × σ
s : σ

(modifyGet f).run s = pure ((f s).fst, (f s).snd)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n✝ : ℕ
hst : s ⊆ t
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
SeminormedAddCommGroup α
n : ℤ
a : α

‖n • a‖₊ ≤ ‖n‖₊ * ‖a‖₊


Context:
x : SetTheory.PGame
hx : x.Numeric


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s


Context:
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y : E
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty

(convexHull 𝕜) (s ∪ t) = convexJoin 𝕜 ((convexHull 𝕜) s) ((convexHull 𝕜) t)


Context:
G : Type u_3
Group G
a : G
n : ℤ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: r : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)

Context: hr' : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, p i → 0 < r i

blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
μs : ι → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
hne : L.NeBot

∀ (ε : ℝ≥0), 0 < ε → ↑μ F < ⊤ → limsup (fun i => ↑(μs i) F) L ≤ ↑μ F + ↑ε


Context:
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
frechet : F →L[𝕜] 𝕜

HasFDerivAt f frechet x ↔ HasGradientAt f ((toDual 𝕜 F).symm frechet) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
b : β
p : β → Prop
s : (x : β) → x = b ∨ p x → Set α

⋂ x, ⋂ (h : x = b ∨ p x), s x h = s b ⋯ ∩ ⋂ x, ⋂ (h : p x), s x ⋯


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t s : Set X
H : s ∈ irreducibleComponents X


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
ι₁ : Type u_3
s₁ : Finset ι₁
w₁ : ι₁ → ℝ
p₁ : ι₁ → P
h₁ : ∑ i ∈ s₁, w₁ i = 0
ι₂ : Type u_4
s₂ : Finset ι₂
w₂ : ι₂ → ℝ
p₂ : ι₂ → P
h₂ : ∑ i ∈ s₂, w₂ i = 0

⟪(s₁.weightedVSub p₁) w₁, (s₂.weightedVSub p₂) w₂⟫_ℝ = (-∑ i₁ ∈ s₁, ∑ i₂ ∈ s₂, w₁ i₁ * w₂ i₂ * (dist (p₁ i₁) (p₂ i₂) * dist (p₁ i₁) (p₂ i₂))) / 2


Context:
R : Type u_1
Semiring R
n : ℕ

(PowerSeries.coeff R n) PowerSeries.X = if n = 1 then 1 else 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: OmegaCompletePartialOrder α

Context: CompleteLinearOrder β

Context: f g : α →o β

Context: hf : OmegaCompletePartialOrder.Continuous f

Context: hg : OmegaCompletePartialOrder.Continuous g

OmegaCompletePartialOrder.Continuous (f ⊓ g)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
P : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
M' : Submodule R M
N : ℕ →o Submodule R M
H : iSup ⇑N = M'
S : Finset M
hS : span R ↑S = M'


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Nontrivial R
h : 1 < Fintype.card n
j i : n
hij : j ≠ i
A : ↥(sl n R) := Eb R i j hij
B : ↥(sl n R) := Eb R j i ⋯


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
Ring k
AddCommGroup V
Module k V
AffineSpace V P
s₁ s₂ : Set P
h : affineSpan k s₁ ∥ affineSpan k s₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
e e' : PartialEquiv α β
h : e ≈ e'
s : e.source = Set.univ
t : e.target = Set.univ


Context: X : CategoryTheory.Limits.WidePullbackShape CategoryTheory.Limits.WalkingPair

CategoryTheory.Limits.walkingSpanOpEquiv.inverse.obj X = Opposite.op X


Context:
α : Type u_1
Preorder α
p : α → Prop


Context:
G : Type u_1
LeftCancelMonoid G
x : G
n m : ℕ

x ^ n = x ^ m ↔ n % orderOf x = m % orderOf x


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α

∀ (x : α), Levenshtein.defaultCost.insert x = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
PseudoMetricSpace α
PseudoMetricSpace β
x : α
y : β
r : ℝ

Metric.ball x r ×ˢ Metric.ball y r = Metric.ball (x, y) r


Context: q r : ℚ

Context: s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)

(q + r).num * ↑q.den * ↑r.den = (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) * ↑(q + r).den


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : α → γ → δ
n : β → γ

map₂ m f (map n g) = map₂ (fun a b => m a (n b)) f g


Context:
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
Add α

(Matrix.transposeAddEquiv m n α).symm = Matrix.transposeAddEquiv n m α


Context:
n : Type u
DecidableEq n
Fintype n
R : Type v
CommRing R
Nontrivial R
g : Matrix.SpecialLinearGroup n R
i : n


Context:
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
GroupWithZero G₀
Bornology G₀
MulAction G₀ α
s t u : Set α
hs : Absorbs G₀ s u
ht : Absorbs G₀ t u


Context:
α : Type u_1
f : α → α
x : α
m : ℕ
hm : Function.IsPeriodicPt f m x
n : ℕ


Context: a : ℝ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
hg : LipschitzWith c g
g0 : g 0 = 0
f f' : ↥(Lp E p μ)

∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑(hg.compLp g0 f - hg.compLp g0 f') x‖ ≤ ↑c * ‖↑↑(f - f') x‖


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α✝ β✝ : Weight K (↥H) L

Context: hα : α✝.IsNonZero

Context: α β : { α // α.IsNonZero }

Context: e : ∃ x, x • Weight.toLinear K (↥H) L ↑α = Weight.toLinear K (↥H) L ↑β

(rootSystem H).root α = (rootSystem H).root β ∨ (rootSystem H).root α = -(rootSystem H).root β


Context:
α : Type u
EMetricSpace α
s : Set α
hs : IsClosed s


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
s : Finset α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: S : Set (Set α)

Context: hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s

Context: hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s

Context: hS'' : ⋃₀ S = ⊤

Context: t : Set α

Context: h : IsIrreducible t

Context: h' : IsClosed t

Context: x : α

Context: hx : x ∈ t

Context: U : Set α

Context: hU : U ∈ S

Context: hU' : x ∈ U

Context: this✝ : QuasiSober ↑U

Context: H : IsIrreducible (Subtype.val ⁻¹' t)

Context: this : H.genericPoint ∈ Subtype.val ⁻¹' t

t ∩ ↑⟨U, hU⟩ ⊆ Subtype.val '' closure (Subtype.val ⁻¹' t)


Context:
k G : Type u
CommRing k
Monoid G
M : ModuleCat (MonoidAlgebra k G)

CoeSort.coe (Rep.ofModuleMonoidAlgebra.obj M) = RestrictScalars k (MonoidAlgebra k G) ↑M


Context:
α : Type u_1
Preorder α
SuccOrder α
a b : α
hb : ¬IsMax b


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : Fintype n

Context: inst✝⁷ : Fintype o

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : Finite m

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝² : AddCommGroup M₂

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: A : Matrix m n R

Context: v₁ : Basis m R M₁

Context: v₂ : Basis n R M₂

Context: val✝ : Fintype m

Context: e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)

Context: e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)

Context: range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤

LinearMap.range (↑e₁ ∘ₗ A.mulVecLin) = LinearMap.range ((toLin v₂ v₁) A ∘ₗ ↑e₂)


Context:
K : Type u
inst✝¹ : Field K
A✝ A : ValuationSubring K
P : Ideal ↥A
inst✝ : P.IsPrime
x : ↥A


Context:
α : Type u_1
F' : Type u_4
NormedAddCommGroup F'
NormedSpace ℝ F'
CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
hm : m ≤ m0
MeasureTheory.SigmaFinite (μ.trim hm)
f : ↥(MeasureTheory.lpMeas F' ℝ m 1 μ)

(MeasureTheory.condexpL1CLM F' hm μ) ↑f = ↑f


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Abelian C
CategoryTheory.EnoughProjectives C
X Y : C
f : X ⟶ Y

(CategoryTheory.ShortComplex.mk (CategoryTheory.Projective.d f) f ⋯).Exact


Context:
α : Type u
Add α
β : Type v
AddSemigroup β
f : AddHom α β

(AddMagma.FreeAddSemigroup.lift f).comp AddMagma.FreeAddSemigroup.of = f


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
X : Type u_2
inst✝² : MulAction G X
H : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction H Y
φ : G →* H
j : X →ₑ[⇑φ] Y
hφ : Function.Surjective ⇑φ
hj : Function.Injective ⇑j
B : Set X
hB : IsBlock G B
g g' : G
h : g • B = g' • B

⇑j '' (g • B) = ⇑j '' (g' • B) ∨ Disjoint (⇑j '' (g • B)) (⇑j '' (g' • B))


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : CategoryTheory.Arrow C
CategoryTheory.Limits.HasImage f.hom
CategoryTheory.Limits.HasImageMap (𝟙 f)

CategoryTheory.Limits.image.map (𝟙 f) = 𝟙 (CategoryTheory.Limits.image f.hom)


Context:
X : Type u
α : Type v
TopologicalSpace X
LinearOrder α
TopologicalSpace α
OrderClosedTopology α
s : Set X
hs : IsPreconnected s
l₁ l₂ : Filter X
l₁.NeBot
l₂.NeBot
hl₁ : l₁ ≤ 𝓟 s
hl₂ : l₂ ≤ 𝓟 s
f g : X → α
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
he₁ : f ≤ᶠ[l₁] g
he₂ : g ≤ᶠ[l₂] f


Context:
R : Type u_1
NormedRing R
CompleteSpace R
f g : ℕ → R
hf : Summable fun x => ‖f x‖
hg : Summable fun x => ‖g x‖

(∑' (n : ℕ), f n) * ∑' (n : ℕ), g n = ∑' (n : ℕ), ∑ kl ∈ Finset.antidiagonal n, f kl.1 * g kl.2


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
R X Y : C
f : X ⟶ Y
a : R ⟶ X
CategoryTheory.IsIso a
CategoryTheory.Mono f


Context: m n : ℕ

Context: α : Fin (n + 1) → Type u

Context: x✝ : α 0

Context: q : (i : Fin (n + 1)) → α i

Context: p : (i : Fin n) → α i.succ

Context: i : Fin n

Context: y : α i.succ

Context: z : α 0

Context: P : ((i : Fin n.succ) → α i) → Sort v

Context: h : (x₀ : α 0) → (x : (i : Fin n) → α i.succ) → P (cons x₀ x)

Context: x₀ : α 0

Context: x : (i : Fin n) → α i.succ

h (cons x₀ x 0) (tail (cons x₀ x)) = h x₀ x


Context:
α : Type u_1
PartialOrder α
OrderBot α
a b : α
hab : Disjoint a b


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
𝓕 : Type u_10
Semiring R
Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
SeminormedAddCommGroup E
SeminormedAddCommGroup E₂
Module R E
Module R₂ E₂
FunLike 𝓕 E E₂
SemilinearIsometryClass 𝓕 σ₁₂ E E₂
f : 𝓕

EMetric.diam (Set.range ⇑f) = EMetric.diam Set.univ


Context:
R : Type u
CommRing R
IsDomain R
self : DiscreteValuationRing R


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
y : NumDenSameDeg 𝒜 x
n : ℕ

(Quotient.mk'' y ^ n).val = val (Quotient.mk'' y) ^ n


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: R S T U : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: L : Bimod T U

(α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) L.X).inv ≫ (α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ L.X ≫ (((α_ (R.X ⊗ P.X) Q.X L.X).hom ≫ P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ L.X)) ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = R.X ◁ (α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ (((α_ R.X P.X (Q.X ⊗ L.X)).inv ≫ (R.X ⊗ P.X) ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ P.actLeft ▷ (Q.tensorBimod L).X) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft)


Context:
α : Type u_1
MeasurableSpace α
t : ℕ → Set α
ht : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
n : ℕ
s : Set α
hs : s ∈ memPartition t n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
hxy : x ≠ y


Context: α : Type u_1

Context: n : Nat

Context: a b : Array α

Context: hsz₁ : a.size = n

Context: hsz₂ : b.size = n

Context: h : ∀ (i : Nat) (hi : i < n), a.getLit i hsz₁ hi = b.getLit i hsz₂ hi


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E

(∀ (t : Finset E) (w : E → R), (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → ∑ i ∈ t, w i = 1 → (∀ x ∈ t, x ∈ s) → ∑ x ∈ t, w x • x ∈ s) → Convex R s


Context:
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.44478, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : (HomologicalComplex V c)ᵒᵖ
i✝ : ι

((opFunctor V c).map ((opUnitIso V c).hom.app X) ≫ (opCounitIso V c).hom.app ((opFunctor V c).obj X)).f i✝ = (𝟙 ((opFunctor V c).obj X)).f i✝


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hij : i ≠ j

Lagrange.basis {i, j} v i = basisDivisor (v i) (v j)


Context:
α : Type u
β : Type v
UniformSpace α
l : Filter β
l.NeBot
f g : β → α
a b : α
ha : Filter.Tendsto f l (𝓝 a)
hb : Filter.Tendsto g l (𝓝 b)

Inseparable a b ↔ Filter.Tendsto (fun x => (f x, g x)) l (𝓤 α)


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
h : m ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)
i : ι


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_2

Context: β : Sort u_3

Context: S : ι → Set α

Context: f : (i : ι) → ↑(S i) → β

Context: hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩

Context: T : Set α

Context: hT' : T = Set.iUnion S

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: op : ↑T → ↑T → ↑T

Context: opi : (i : ι) → ↑(S i) → ↑(S i) → ↑(S i)

Context: hopi : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), Set.inclusion ⋯ (opi i x y) = op (Set.inclusion ⋯ x) (Set.inclusion ⋯ y)

Context: opβ : β → β → β

Context: h : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), f i (opi i x y) = opβ (f i x) (f i y)

Context: x y : ↑T

Set.iUnionLift S f hf T ⋯ (op x y) = opβ (Set.iUnionLift S f hf T ⋯ x) (Set.iUnionLift S f hf T ⋯ y)


Context: z : ℂ

Context: A : Tendsto (fun n => ((↑π * z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (2 * n)) / ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ (2 * n))) atTop (𝓝 (Complex.sin (↑π * z)))

Context: this : 𝓝 (Complex.sin (↑π * z)) = 𝓝 (Complex.sin (↑π * z) * 1)

Tendsto (fun n => ↑π * z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) atTop (𝓝 (Complex.sin (↑π * z)))


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Set.range (sum_to C ho) = GoodProducts (π C fun x => ord I x < o) ∪ MaxProducts C ho


Context:
R : Type u
L : Type v
CommRing R
LieRing L
LieAlgebra R L
L₂ : Type w
LieRing L₂
LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
t : Ordnode α
h : t.Valid


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: inst✝¹ : Algebra F L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K

Context: splits : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)

Context: x : ↥(⨆ f, f.fieldRange)

Context: x✝ : x ∈ ⊤

Context: f : K →ₐ[F] L

f.fieldRange ≤ ⨆ i, IntermediateField.map (⨆ f, f.fieldRange).val i.fieldRange


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y

CategoryTheory.Limits.prod.lift (𝟙 X) 0 ≫ CategoryTheory.Limits.prod.map f f =
  f ≫ CategoryTheory.Limits.prod.lift (𝟙 Y) 0


Context:
R : Type u_1
n✝ x y p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hyx : y < x
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : n ≠ 0

padicValNat p (x ^ n - y ^ n) = padicValNat p (x - y) + padicValNat p n


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
i₂ : ι
a₁ : A
a₂ : ↥(𝒜 i₂)
b₂ : B


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R


Context: a b c : ℤ

Context: ha : a ≠ 0

Context: Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1

Context: h3a : 3 ∣ a

Context: HF : a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = 0

Context: H : ∀ (a b c : ℤ), c ≠ 0 → ¬3 ∣ a → ¬3 ∣ b → 3 ∣ c → IsCoprime a b → a ^ 3 + b ^ 3 ≠ c ^ 3


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H K : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
hK : IsPGroup p ↥K
inst✝ : K.Normal


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i j : ι

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: P₁ P₂ : RootPairing ι R M N

Context: he : P₁.toLin = P₂.toLin

Context: hr : P₁.root = P₂.root

Context: hc : range ⇑P₁.coroot = range ⇑P₂.coroot

Context: hp : P₁.coroot = P₂.coroot → P₁.reflection_perm = P₂.reflection_perm


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hF : Presheaf.IsSheaf J F

Context: R : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: α : G.op ⋙ R ⟶ F

Context: hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension

Context: X : D

Context: S : K.Cover X

Context: s : Multifork (S.index R)

Context: i : S.Arrow

Context: j : StructuredArrow (op i.Y) G.op

Context: eq : lift hF hR s ≫ R.map (i.f.op ≫ j.hom) ≫ α.app j.right = liftAux hF α s (j.hom.unop ≫ i.f)

(lift hF hR s ≫ R.map i.f.op) ≫ R.map j.hom ≫ α.app j.right = s.ι i ≫ R.map j.hom ≫ α.app j.right


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type w
b : Basis ι R M
inst✝ : Infinite ι
κ : Type w
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : i.Maximal


Context:
M : Type u
X : Type w
PseudoMetricSpace X
VAdd M X
IsometricVAdd M X
c : M
x y : X


Context:
w x✝ y✝ z✝ : ℝ
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : 0 < z


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : ι → Submodule R M

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: h✝ : IsInternal N

Context: κ : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Fintype (κ i)

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (κ i)

Context: s : Finset ι

Context: h : IsInternal fun i => N ↑i

Context: b : (i : { x // x ∈ s }) → Basis (κ ↑i) R ↥(N ↑i)

Context: σ : ι → ι

Context: hσ : ∀ (i : ι), σ i ≠ i

Context: f : Module.End R M

Context: hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N (σ i))

Context: hN : ∀ i ∉ s, N i = ⊥

Context: i : { x // x ∈ s }

Context: k : κ ↑i

((h.collectedBasis b).repr (f ↑((b i) k))) ⟨i, k⟩ = 0


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace X
s : Set X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
hs : IsSeqCompact s
l : Filter X
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 s
this : l.NeBot
V : ℕ → Set (X × X)
hV : (𝓤 X).HasAntitoneBasis V
W : ℕ → Set (X × X)
hW : ∀ (n : ℕ), W n ∈ 𝓤 X
hWV : ∀ (n : ℕ), W n ○ W n ⊆ V n
hWV' : ∀ (n : ℕ), W n ⊆ V n
t : ℕ → Set X
ht_anti : Antitone t
htl : ∀ (n : ℕ), t n ∈ l
htW : ∀ (n : ℕ), t n ×ˢ t n ⊆ W n
hts : ∀ (n : ℕ), t n ⊆ s
u : ℕ → X
hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ t n


Context:
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
h : i < Fin.last n
h' : ¬i = Fin.last n := ⋯


Context:
α : Type u_1
Primcodable α
p : α → Prop
DecidablePred p

ComputablePred p ↔ RePred p ∧ RePred fun a => ¬p a


Context:
S : Type u
Semiring S
n : ℕ

ascPochhammer S (n + 1) = Polynomial.X * (ascPochhammer S n).comp (Polynomial.X + 1)


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
κ : ι → Type u_5

∀ {x : MeasurableSpace Ω} {μ : MeasureTheory.Measure Ω} {m : (i : ι) → MeasurableSpace (κ i)} {f : (x : ι) → Ω → κ x},
  ProbabilityTheory.iIndepFun m f μ → ProbabilityTheory.iIndep (fun x => MeasurableSpace.comap (f x) (m x)) μ


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: F : ι → X → α

Context: x₀ : X

Context: u : α → β

Context: hu : UniformInducing u

Context: this : Inducing (⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => u ∘ x) ∘ ⇑toFun)

EquicontinuousAt F x₀ ↔ EquicontinuousAt ((fun x => u ∘ x) ∘ F) x₀


Context:
α : Type u_1
OrderedAddCommMonoid α
s : Set α
x : α
hs : IsUpperSet s
hx : 0 ≤ x


Context: C : Type u'

Context: CategoryTheory.Category.{v', u'} C

Context: J : CategoryTheory.GrothendieckTopology C

Context: R : CategoryTheory.Sheaf J RingCat

Context: CategoryTheory.HasWeakSheafify J AddCommGrp

Context: J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp

Context: J.HasSheafCompose (CategoryTheory.forget₂ RingCat AddCommGrp)

Context: M N P : SheafOfModules R

Context: σ : M.GeneratingSections

Context: p : M ⟶ N

Context: q : N ⟶ P

Context: CategoryTheory.Epi p

Context: CategoryTheory.Epi q


Context:
R : Type u
Ring R

Function.Injective fun s => s.toSubmonoid


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
N : Matroid α
hI : N.Basis I X
hNM : N.Restriction M


Context:
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
(i : ι) → Bornology (π i)

Bornology.cobounded ((i : ι) → π i) = Filter.coprodᵢ fun i => Bornology.cobounded (π i)


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
X Y : C

∀ (a : X ⟶ Y), CategoryTheory.Groupoid.invEquiv a = CategoryTheory.Groupoid.inv a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ l₃ : List α

Context: a✝ b : α

Context: m n : ℕ

Context: s✝¹ : List α

Context: a : α

Context: t : List α

Context: o : s✝¹ = [] ∨ ∃ l, l ∈ t.inits ∧ a :: l = s✝¹

Context: s✝ r : List α

Context: hr : r ∈ t.inits

Context: hs : a :: r = s✝

Context: s : List α

Context: ht : r ++ s = t


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R

(laurent r) ((laurent s) f) = (laurent (r + s)) f


Context: G : Type u_1

Context: AddGroup G

Context: Preorder G

Context: CovariantClass G G (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s : Set G

Context: h : BddBelow s


Context:
X : Type u_1
TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsOpen s
s' : Set X
hs' : IsOpen s'

(PartialHomeomorph.ofSet s hs).trans (PartialHomeomorph.ofSet s' hs') = PartialHomeomorph.ofSet (s ∩ s') ⋯


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedRing α
a b : α
h1 : -b ≤ a
h2 : a ≤ b


Context:
R✝ : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R✝
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
R : Type uR
inst✝ : Ring R
r : R → R → Prop
a b : R
h : Rel r a b


Context:
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
A : Matrix ι ι R
j : ι

((fromMatrix R b) A) (Pi.single j 1) = ∑ i : ι, A i j • b i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g✝ g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
hf : SurjOn f s t
g : β → γ


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
NormedDivisionRing 𝕜
NormedDivisionRing 𝕜'
c : ℝ
l : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → 𝕜'
h : Asymptotics.IsBigOWith c l f g
h₀ : ∀ᶠ (x : α) in l, f x = 0 → g x = 0

Asymptotics.IsBigOWith c l (fun x => (g x)⁻¹) fun x => (f x)⁻¹


Context:
o e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
h : o.split = (e.oadd n a, m)
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.repr = (e.oadd n a).repr + ↑m
e0 : e.repr ≠ 0
d : ω ∣ a.repr


Context:
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : m = n✝
n : ℕ

m ∣ n ↔ n✝ ∣ n


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
Ring R
Invertible 2
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
x y : P

(Equiv.pointReflection (midpoint R x y)) y = x


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: L : Filter ι

Context: inst✝⁴ : L.NeBot

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: ex : ∃ rs, Tendsto rs atTop (𝓝 0) ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < rs n ∧ μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0

Context: rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex

Context: rs_lim : Tendsto rs atTop (𝓝 0)

Context: rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n

Context: rs_null : ∀ (n : ℕ), μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_3
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: n : ℕ∞

Context: h : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'

Context: h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f

Context: hx : f₁ x = f x

writtenInExtChartAt I I' x f₁ =ᶠ[𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x] writtenInExtChartAt I I' x f


Context:
R : Type u
CommRing R
E : EllipticCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R

(E.variableChange C).a₃ = ↑C.u⁻¹ ^ 3 * (E.a₃ + C.r * E.a₁ + 2 * C.t)


Context:
V : Type u_2
P : Type u_3
SeminormedAddCommGroup V
PseudoMetricSpace P
NormedAddTorsor V P
𝕜 : Type u_6
NormedField 𝕜
NormedSpace 𝕜 V
Invertible 2
p₁ p₂ : P

dist (midpoint 𝕜 p₁ p₂) p₂ = ‖2‖⁻¹ * dist p₁ p₂


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
c : ℝ≥0∞


Context: n p : ℕ

eval (↑n) (bernoulli p.succ) - _root_.bernoulli p.succ = (↑p + 1) * ∑ k ∈ range n, ↑k ^ p


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ s t : Set E
hsc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
hsb : IsVonNBounded ℝ s
htc : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t

⇑(gaugeRescaleHomeomorph s t hsc hs₀ hsb htc ht₀ htb) '' closure s = closure t


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
n : ℕ∞
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiff 𝕜 n g
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : ∀ x ∉ k, g x = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
TopologicalSpace H
E : Type u_3
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
Mul G
TopologicalSpace G
ChartedSpace H G
SmoothMul I G
g h : G


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
a✝ : Nontrivial R
hR : IsField R[X]
p : R[X]
hp : X * p = 1
hp0 : p ≠ 0
this : p = 0


Context:
M : Type u
inst✝ : Monoid M
X x✝¹ x✝ : Discrete M
f : x✝¹ ⟶ x✝

{ as := X.as * x✝¹.as } = { as := X.as * x✝.as }


Context: V : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} V

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms V

Context: C : CochainComplex V ℕ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set ℝ

Context: e : E

Context: a : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: f_diff : DifferentiableOn ℝ f s

Context: f_lim : ContinuousWithinAt f s a

Context: hs : s ∈ 𝓝[<] a

Context: f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[<] a) (𝓝 e)

Context: b : ℝ

Context: ba : b ∈ Iio a

Context: sab : Ico b a ⊆ s

Context: t : Set ℝ := Ioo b a

Context: ts : t ⊆ s

Context: t_diff : DifferentiableOn ℝ f t

Context: t_conv : Convex ℝ t

Context: t_open : IsOpen t

Context: t_closure : closure t = Icc b a

Context: t_cont : ∀ y ∈ closure t, ContinuousWithinAt f t y

Context: t_diff' : Tendsto (fun x => fderiv ℝ f x) (𝓝[t] a) (𝓝 (smulRight 1 e))


Context:
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝² : CommGroup G
g g' : G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
f : ℕ → G
k : ℕ

HasProd (fun n => f (n + k)) g ↔ HasProd f (g * ∏ i ∈ range k, f i)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
s : Finset ι
w₁ w₂ : ι → ℝ
p : ι → P
h₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
h₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1

RCLike.re ⟪(s.weightedVSub p) (w₁ - w₂), (s.weightedVSub p) (w₁ - w₂)⟫_ℝ = (-∑ i₁ ∈ s, ∑ i₂ ∈ s, (w₁ - w₂) i₁ * (w₁ - w₂) i₂ * (dist (p i₁) (p i₂) * dist (p i₁) (p i₂))) / 2


Context:
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
Mul M
Mul N
Mul P
f : M →ₙ* N
g : M →ₙ* P


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
EuclideanDomain R
CommRing S
IsDomain S
Algebra R S
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
DecidableEq ι
Fintype ι
bS : Basis ι R S
a : S
y : ℤ
hy : ∀ (k : ι), abv ((bS.repr a) k) ≤ y

abv ((Algebra.norm R) a) ≤ ClassGroup.normBound abv bS * y ^ Fintype.card ι


Context:
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
a0 b0 c0 : ℤ
hf : Minimal a0 b0 c0

∃ a0 b0 c0, Minimal a0 b0 c0 ∧ a0 % 2 = 1


Context:
x : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤


Context:
J : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} J
C : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
c : CategoryTheory.Limits.Cone F
X : C
f : X ⟶ c.pt


Context:
L : FirstOrder.Language
M : Type w
L.Structure M
α : Type u'
v : α → M
R : L.Relations 2
t₁ t₂ : L.Term α

(R.formula₂ t₁ t₂).Realize v ↔
  FirstOrder.Language.Structure.RelMap R ![FirstOrder.Language.Term.realize v t₁, FirstOrder.Language.Term.realize v t₂]


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g'✝ g✝ φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x

Context: hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]

Context: hg : ContinuousOn g [[f a, f b]]

Context: hgg' : ∀ x ∈ Ioo (min (f a) (f b)) (max (f a) (f b)), HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x

Context: hg' : ContinuousOn g' (f '' [[a, b]])

∫ (x : ℝ) in a..b, (g' ∘ f) x * f' x = (g ∘ f) b - (g ∘ f) a


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
SemilatticeInf α
OrderTop α
s : Finset β
h : s.Nonempty
c : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f : α → β

Context: E I✝ s : Set α

Context: M : Matroid α

Context: N : Matroid β

Context: I X : Set α

Context: h : N.Basis (f '' I) (f '' X) ∧ InjOn f I ∧ I ⊆ X

Context: e : α

Context: x✝ : e ∈ X \ I

Context: heX : e ∈ X

Context: heI : e ∉ I

Context: hIE : insert e I ⊆ (N.comap f).E

N.Indep (insert (f e) (f '' I)) → ∃ x ∈ I, f x = f e


Context:
r : ℝ
hp : 0 < r


Context:
K : Type u_2
Field K
φ : K →+* ℂ

NumberField.InfinitePlace.mk (NumberField.ComplexEmbedding.conjugate φ) = NumberField.InfinitePlace.mk φ


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
e : E
f : E → F
g : E → G
r s : ℝ≥0∞
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p e r
hg : HasFPowerSeriesOnBall g q e s


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: i : α → ℕ

Context: p : α

Context: hps : p ∉ s

Context: is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q

Context: is_coprime : ∀ q ∈ insert p s, ∀ q' ∈ insert p s, q ∣ q' → q = q'

Context: hp : Prime p

Context: d : α

Context: hdprod : d ∣ ∏ p' ∈ s, p' ^ i p'

Context: hd : Prime d

Context: hdp : d ∣ p

Context: q : α

Context: q_mem : q ∈ s.val

Context: q_mem' : q ^ i q ∈ Multiset.map (fun p' => p' ^ i p') s.val

Context: hdq : d ∣ q


Context:
x : Cardinal.{v}
m : ℕ∞


Context:
S : Type u_1
Semiring S
a b : ℕ

↑(a.descFactorial b) = Polynomial.eval (↑(a - (b - 1))) (ascPochhammer S b)


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E
F : CategoryTheory.Functor C D
G : CategoryTheory.Functor D E
G.Final
G.Full
G.Faithful


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: P : CategoryTheory.Idempotents.Karoubi C

(CategoryTheory.Idempotents.toKaroubi C).map P.p = CategoryTheory.CategoryStruct.comp P.decompId_p P.decompId_i


Context:
α : Type u_1
σ : Type u_5
Primcodable α
Primcodable σ
f : α → σ
hf : Primrec f


Context:
r : ℝ
hr : r ≤ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b c : α


Context:
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
φ' : S₂ ⟶ S₃
hφ : IsIso (homologyMap φ)
hφφ' : IsIso (homologyMap (φ ≫ φ'))


Context:
α : Type u_1
Fintype α
DecidableEq α
p : Equiv.Perm α
x : α
n : ℕ
hn : n < (p.toList x).length


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
TopologicalSpace α
TopologicalSpace β
f : SpectralMap α β


Context:
L : Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
inst✝³ : L.IsOrdered
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : L.OrderedStructure M
t₁ t₂ : L.Term (α ⊕ Fin n)
v : α → M
xs : Fin n → M

(t₁.lt t₂).Realize v xs ↔ realize (Sum.elim v xs) t₁ < realize (Sum.elim v xs) t₂


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
hf : AnalyticAt 𝕜 f x


Context:
α : Type u_2
LinearOrder α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ

{ ofColex := s } < { ofColex := t } ↔ ∃ w ∈ t \ s, filter (fun x => w < x) s = filter (fun x => w < x) t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ : E → F

Context: f'✝ : F

Context: s t : Set E

Context: x v : E

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: f : E → F

Context: f' : F

Context: x₀ : E

Context: hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖

‖f'‖ ≤ C * ‖v‖


Context: a t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: this : HasSum (fun n => (cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(n + 1)) + cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑(n + 1)))) * ↑(rexp (-π * ↑(n + 1) ^ 2 * t))) (↑(cosKernel (↑a) t) - 1)

Context: n : ℕ


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
r : ℝ
hr : 1 < r
hf : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖f n‖ ≠ 0
N₀ : ℕ
hN₀ : ∀ b ≥ N₀, r * ‖f b‖ ≤ ‖f (b + 1)‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_6

Context: TopologicalSpace M

Context: ChartedSpace H M

Context: F : Type u_11

Context: NormedAddCommGroup F

Context: NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: V : M → Type u_12

Context: TopologicalSpace (Bundle.TotalSpace F V)

Context: (x : M) → AddCommGroup (V x)

Context: (x : M) → Module 𝕜 (V x)

Context: (x : M) → TopologicalSpace (V x)

Context: FiberBundle F V

Context: VectorBundle 𝕜 F V

Context: s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯

Context: z : ℤ


Context:
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ V
W : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace W
inst✝¹ : BorelSpace W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ W
f : V → E
w : V

𝓕⁻ f w = ∫ (v : V), Complex.exp (↑(2 * π * ⟪v, w⟫_ℝ) * Complex.I) • f v


Context:
α : Type u
e : Equiv.Perm α


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
Field k
IsAlgClosed k
a₁ a₂ : WittVector p k

∃ x, x ^ (p - 1) = a₂.coeff 0 / a₁.coeff 0


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: X : C

(CategoryTheory.Limits.zeroProdIso X).hom = CategoryTheory.Limits.prod.snd


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2

Context: c₁ c₂ p₁ p₂ : P

Context: hc₁s : c₁ ∈ s

Context: hc₂s : c₂ ∈ s

Context: hp₁s : p₁ ∈ s

Context: hp₂s : p₂ ∈ s

Context: r₁ r₂ : ℝ

Context: hc : c₁ ≠ c₂

Context: hp : p₁ ≠ p₂

Context: hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁

Context: hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁

Context: hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂

Context: hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂

Context: ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0

Context: b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]

Context: hb : LinearIndependent ℝ b

Context: hbs : Submodule.span ℝ (Set.range b) = s.direction

Context: hv : ∀ v ∈ s.direction, ∃ t₁ t₂, v = t₁ • (c₂ -ᵥ c₁) + t₂ • (p₂ -ᵥ p₁)

Context: t₁ t₂ : ℝ

Context: hop : t₁ = 0

Context: hps : t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁ ∈ s

Context: hpc₁ : dist (t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁) c₁ = r₁

Context: hpc₂ : dist (t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁) c₂ = r₂

Context: hp' : p₂ -ᵥ p₁ ≠ 0

Context: hp₂ : dist (1 • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁) c₁ = r₁

t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁ = p₁ ∨ t₂ • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₁ = p₂


Context:
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁵ : SMul M X
inst✝⁴ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝³ : SMul N Y
inst✝² : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝¹ : SMul P Z
φ' : N → M
Y₁ : Type u_8
inst✝ : SMul M Y₁
f : X →ₑ[φ] Y
g : Y → X
k₂ : Function.RightInverse φ' φ
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
x : Y


Context:
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (restrictScalars f).obj Y ⟶ X
y : ↑Y
r : R
s : S


Context: a b c d : Ordinal.{u}

d < a ⨳ b ⨳ c ↔
  ∃ a' < a,
    ∃ b' < b,
      ∃ c' < c, d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'


Context:
ι : Type u_2
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → β → Prop
(a : α) → DecidablePred (r a)
DecidableEq α
DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset ι
f : ι → Finset β

Rel.interedges r s (t.biUnion f) = t.biUnion fun b => Rel.interedges r s (f b)


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D

Context: F : CategoryTheory.Functor C D

Context: F.Final

Context: E : Type u₃

Context: CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} E

Context: G : CategoryTheory.Functor D E

Context: t : CategoryTheory.Limits.ColimitCocone (F.comp G)

(CategoryTheory.Functor.Final.colimitCoconeOfComp F t).cocone = CategoryTheory.Functor.Final.extendCocone.obj t.cocone


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : Cocycle K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'

δ n' (n' + 1) ((↑γ).leftShift a n' hn') = 0


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: hC : IsLimit C

Context: f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) (Fin 2)

Context: U : Set ↑C.pt.toTop := ⇑f ⁻¹' {0}

Context: hU : IsClopen U

Context: j : J

Context: V : Set ↑(F.obj j).toTop

Context: hV : IsClopen V

Context: h : U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u'
CategoryTheory.Category.{v', u'} D

∀ {X Y : C ⥤ D} (η : X ⟶ Y) (A : CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented C),
  (((CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented.whiskering C D).map η).app A).right =
    η.app (CategoryTheory.SimplicialObject.Augmented.point.obj A)


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
H : AddSubgroup G

H.Characteristic ↔ ∀ (ϕ : G ≃+ G), AddSubgroup.map ϕ.toAddMonoidHom H ≤ H


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
h : s ~ʷ t

Computation.LiftRel Equiv (s.destruct.bind (Computation.pure ∘ fun o => Option.rec nil Prod.snd o)) (t.destruct.bind (Computation.pure ∘ fun o => Option.rec nil Prod.snd o))


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
Inf α
Top α
Inf β
Top β
f g : InfTopHom α β
h : ∀ (a : α), f a = g a


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup G
g g' : G
inst✝ : ContinuousMul M
f : ℕ → M
k : ℕ
h : HasProd (fun n => f (n + k)) m


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
CommRing R
Ring A
Ring B
Algebra R A
Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : QuaternionAlgebra.Basis A c₁ c₂
F : A →ₐ[R] B


Context:
ι₁ : Type u_6
ι₂ : Type u_7
Y₁ : ι₁ → Type u_8
Y₂ : ι₂ → Type u_9
(i₁ : ι₁) → TopologicalSpace (Y₁ i₁)
(i₂ : ι₂) → TopologicalSpace (Y₂ i₂)
e : ι₁ ≃ ι₂
F : (i₁ : ι₁) → Y₁ i₁ ≃ₜ Y₂ (e i₁)

(Homeomorph.piCongr e F).toEquiv = (Equiv.piCongrRight fun i => (F i).toEquiv).trans (Equiv.piCongrLeft Y₂ e)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_4
MeasurableSpace α
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α
Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
CommMonoid α
m : Multiset α


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
CategoryTheory.Preadditive C
n i i' : ℤ
hi : n + i = i'
X : CochainComplex C ℤ

(CochainComplex.shiftEval C n i i' hi).inv.app X = (HomologicalComplex.XIsoOfEq X ⋯).inv


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: r : ℚ

Context: x : ℤ_[p]

Context: m n : ℕ

Context: hm : x - ↑m ∈ Ideal.span {↑p}

Context: hn : x - ↑n ∈ Ideal.span {↑p}

Context: this : (ZMod.castHom ⋯ (ZMod p)) ↑↑m = (ZMod.castHom ⋯ (ZMod p)) ↑↑n


Context: α : Type u_1

Context: TopologicalSpace α

Context: x : α

Context: ι : Sort u_3

Context: δ : Type u_4

Context: CompleteLinearOrder δ

Context: p : ι → Prop

Context: f : (i : ι) → p i → α → δ

Context: h : ∀ (i : ι) (hi : p i), UpperSemicontinuousAt (f i hi) x

UpperSemicontinuousAt (fun x' => ⨅ i, ⨅ (hi : p i), f i hi x') x


Context:
K : Type u_1
NormedLinearOrderedField K
HasSolidNorm K
FloorRing K
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace K E
FiniteDimensional K E
ProperSpace E
L : AddSubgroup E
DiscreteTopology ↥L
ι : Type u_3
hs : IsZlattice K L
b : Basis ι ℤ ↥L

(Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(Basis.ofZlatticeBasis K L b))).toAddSubgroup = L


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℤ

(W.baseChange B).Ψ n = Polynomial.map (mapRingHom ↑f) ((W.baseChange A).Ψ n)


Context:
R : Type u
σ : Type u_1
CommSemiring R
A : Type u_2
AddCommMonoid A
u : σ →₀ ℕ
r : R
b : (σ →₀ ℕ) → R → A
w : b u 0 = 0

Finsupp.sum ((MvPolynomial.monomial u) r) b = b u r


Context: I : Type u

Context: AddMonoid I

Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory C

Context: X₁ X₂ : CategoryTheory.GradedObject I C

Context: X₁.HasTensor X₂

Context: A : C

Context: k : I

Context: f : (i₁ i₂ : I) → i₁ + i₂ = k → (CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorObj (X₁ i₁) (X₂ i₂) ⟶ A)

Context: i₁ i₂ : I

Context: hi : i₁ + i₂ = k

CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.ιTensorObj X₁ X₂ i₁ i₂ k hi)
    (CategoryTheory.GradedObject.Monoidal.tensorObjDesc f) =
  f i₁ i₂ hi


Context:
α : Type v
Small.{u, v} α
f : Ordinal.{u} → α


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D


Context: a : UnitAddCircle

Context: s : ℂ

Context: hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ 1 - ↑n

Context: this : cosZeta a (1 - s) = completedCosZeta a (1 - s) * (1 - s).Gammaℝ⁻¹

completedHurwitzZetaEven a s * (s.Gammaℂ * Complex.cos (↑π * s / 2) * s.Gammaℝ⁻¹) = s.Gammaℂ * Complex.cos (↑π * s / 2) * (completedHurwitzZetaEven a s / s.Gammaℝ)


Context:
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Fintype α
s : Perm α →* ℤˣ
hs : Surjective ⇑s
f : Perm α
x✝ : f.IsSwap
x y : α
hxy : x ≠ y
hxy' : f = swap x y
h : ¬s (swap x y) = -1


Context: α : Type u_1


Context: x : ℝ


Context:
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g✝ : γ → α
η : Kernel β γ
κ : Kernel α β
a : α
g : γ → ℝ≥0∞
hg : Measurable g

∫⁻ (c : γ), g c ∂(η ∘ₖ κ) a = ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), g c ∂η b ∂κ a


Context: B : Type u

Context: CategoryTheory.Bicategory B

Context: a b c : B

Context: f : a ⟶ b

Context: g : a ⟶ c

Context:
t :
  CategoryTheory.Bicategory.LeftExtension f (CategoryTheory.CategoryStruct.comp g (CategoryTheory.CategoryStruct.id c))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
t : Set β


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁹ : Module R✝ A✝
inst✝⁸ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁷ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : Semifield R
inst✝⁵ : Semifield S
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
a✝ : A
f✝ : S → R
inst✝ : IsScalarTower R S A
h✝ : SpectrumRestricts a✝ f✝
a b : A
f : S → R
ha : SpectrumRestricts a f
h : spectrum S a = spectrum S b

Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (quasispectrum S a)


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
PartialOrder α
PartialOrder β
OrderBot α
OrderBot β
l : α → β
u : β → α
gi : GaloisCoinsertion l u
a : α
hb : IsAtom (l a)


Context:
R : Type u
Semiring R
r : R

Polynomial.X * Polynomial.C r = Polynomial.C r * Polynomial.X


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M

(map R' f) (p • q) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) q


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NormedDivisionRing 𝕜
SeminormedAddCommGroup E
Module 𝕜 E
BoundedSMul 𝕜 E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
s : Set E
x : E

Metric.infDist (c • x) (c • s) = ‖c‖ * Metric.infDist x s


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
f g : End F
A : PointedGaloisObject F

f.app A.obj (g.app A.obj A.pt) = (f.app A.obj ≫ F.map ((AutGalois.π F A) ((endEquivAutGalois F) g)).hom) A.pt


Context:
M : Type u_1
M₂ : Type u_2
AddCommGroup M
Module ℚ M
AddCommGroup M₂
Module ℚ M₂


Context:
n : ℕ
n_pos : 0 < n


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup G

Context: inst✝³ : MeasurableNeg G

Context: inst✝² : μ.IsAddLeftInvariant

Context: inst✝¹ : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: x₀ : G

Context: s : Set G

Context: hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => x₀ - t) ⁻¹' s))

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h2s : (support fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s

Context: hf : IntegrableOn f s μ

Context: hmg : AEStronglyMeasurable g μ

BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => -t + x₀) ⁻¹' s))


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: P Q : C

Context: c : CategoryTheory.Limits.BinaryBicone P Q

c.toCocone.ι.app { as := CategoryTheory.Limits.WalkingPair.left } = c.inl


Context: x : ℝ*

x⁻¹⁻¹.Infinitesimal ∧ x⁻¹⁻¹ < 0 ↔ x.Infinitesimal ∧ x < 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
h : s.Countable
default : α
n : ℕ

enumerateCountable h default n ∈ insert default s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : UniformSpace E

Context: inst✝⁹ : UniformAddGroup E

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : UniformSpace F

Context: inst✝⁶ : FirstCountableTopology E

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: inst✝² : RCLike 𝕜'

Context: inst✝¹ : Module 𝕜' F

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: f : E →ₛₗ[σ] F

Context: hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)

Context: b : ℕ → Set E

Context: bE1 : ∀ (i : ℕ), b i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (b i)

Context: bE : (𝓝 0).HasAntitoneBasis fun i => b i

Context: bE' : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun n => (↑n)⁻¹ • b n

Context: V : Set F

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: u : ℕ → E

Context: hu : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → u ia ∈ (↑ia)⁻¹ • b ia

Context: hu' : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → f (u ia) ∉ V

Context: h_tendsto : Tendsto (fun n => ↑n • u n) atTop (𝓝 0)

Context: h_bounded : IsVonNBounded 𝕜 (Set.range fun n => ↑n • u n)

Context: r : ℝ

Context: hr : r > 0

Context: h' : ∀ (c : 𝕜'), r ≤ ‖c‖ → (⇑f '' Set.range fun n => ↑n • u n) ⊆ c • V

Context: n : ℕ

Context: hn : r < ↑n

Context: h1 : r ≤ ‖↑n‖

Context: hn' : ¬n = 0


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : ↥R⁰
m n : R_hat R K

∃ a, a • ↑↑r = m • ↑↑r * n • ↑↑r


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
h : p.natDegree = 0
this : p = C (p.coeff 0)


Context:
α : Sort u_1
a' : α
motive : (a : α) → a' = a → Sort u_2
p : motive a' ⋯
a : α
t : a' = a


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: h₂ : ∀ (x : ι → ℂ), 0 ≤ ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p

Context: eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: nm_zero : ‖0‖ = 0

volume {x | ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))


Context:
X✝ : Scheme
X : Scheme
hX : IsReduced X
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
hs : X.basicOpen s = ⊥

∀ (x : ↥U), (X.sheaf.presheaf.germ x) s = (X.sheaf.presheaf.germ x) 0


Context:
n : ℕ
G : Type u_3
Group G
f : Fin (n + 1) → G

(f 0 • Fin.partialProd fun i => (f ↑↑i)⁻¹ * f i.succ) = f


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M A : Comon_ C

A.comul.op ▷ op A.X ≫ A.comul.op = (α_ (op A.X) (op A.X) (op A.X)).hom ≫ op A.X ◁ A.comul.op ≫ A.comul.op


Context:
α : Type u
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set α
h₁ : s₁ ⊆ s₂
h₂ : t₁ ⊆ t₂

s₁ ∪ t₁ ⊆ s₂ ∪ t₂


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C
CategoryTheory.Preadditive C
CategoryTheory.Balanced C
S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₂ : S₂.Exact
CategoryTheory.Epi S₁.g
CategoryTheory.Epi S₂.g
CategoryTheory.Epi φ.τ₁
CategoryTheory.Epi φ.τ₃


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
H₁ H₂ : AddSubgroup G
h : Disjoint H₁ H₂


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: f : α → β → E

Context: hf : StronglyMeasurable (uncurry f)

Context: hE : CompleteSpace E

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: this : SeparableSpace ↑(range (uncurry f) ∪ {0})

StronglyMeasurable fun x => ∫ (y : β), f x y ∂ν


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (spectralRadius 𝕜 a)⁻¹
z : 𝕜
z_mem : z ∈ Metric.closedBall 0 ↑r

DifferentiableAt 𝕜 (fun z => Ring.inverse (1 - z • a)) z


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
Fintype ι
(i : ι) → DecidableEq (β i)
(i : ι) → SMul α (β i)
k : α
x y : (i : ι) → β i
hk : ∀ (i : ι), IsSMulRegular (β i) k

hammingDist (k • x) (k • y) = hammingDist x y


Context:
α β : Type u
t : Type u → Type u
Traversable t
LawfulTraversable t
f : α → β
xs : t α

Traversable.toList (f <$> xs) = f <$> Traversable.toList xs


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝⁴ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
α : Type u_4
inst✝³ : SMul α R
inst✝² : SMul α A
inst✝¹ : IsScalarTower α R A
inst✝ : IsScalarTower α A A
n : ℕ
y : HomogeneousLocalization 𝒜 x


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M

∀ (a : α →₀ M) (a_1 : α), Finsupp.lcoeFun a a_1 = a a_1


Context:
X Y : AlgebraicGeometry.Scheme
f : X.Hom Y
H : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f


Context:
α : Type u_1
DistribLattice α
OrderBot α
Fintype α
DecidablePred SupIrred
a : α

OrderEmbedding.birkhoffSet a = ↑(OrderIso.lowerSetSupIrred a)


Context:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₅ : Type u_5
C₆ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_10, u_3} C₃
inst✝² : Category.{u_7, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.29733, u_5} C₅
inst✝ : Category.{?u.29737, u_6} C₆
T✝ : C₁ ⥤ C₂
L✝ : C₁ ⥤ C₃
R✝ : C₂ ⥤ C₄
B✝ : C₃ ⥤ C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ≌ C₃
R : C₂ ≌ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
h : CatCommSq T L.functor R.functor B
X : C₁


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_9
Preorder α
CompleteLattice β
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Monotone (f i)


Context:
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
m : α
L : List α
ih : IsUnit L.prod → ∀ m ∈ L, IsUnit m
h : IsUnit m ∧ IsUnit L.prod


Context:
G : Type u_2
Group G
n : ℕ
v : ↑(Equiv.Perm.vectorsProdEqOne G n)

Equiv.Perm.VectorsProdEqOne.rotate v n = v


Context:
α : Type u_1
σ : Type u_4
Primcodable α
Primcodable σ
s : Part σ
Decidable s.Dom


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : BorelSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ

MeasurableSpace.comap Prod.snd (borel β) ≤ borel (α × β)


Context: a b : Ordinal.{u}

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : Ordinal.Principal (fun x x_1 => x * x_1) b

Context: hb₂ : 2 < b

a * b = b ^ Order.succ (Ordinal.log b a)


Context:
S : Type u_1
Ring S
a : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: E : Set α

Context: hE : E.Finite

Context: f : Matroid α → Set α × Set (Set α) := fun M => (M.E, {B | M.Base B})

Context: hf : Function.Injective f


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF : Integrable F μ

Context: h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x

Context: h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))

Context: f' : ℕ → α → ℝ := fun n x => f n x - f 0 x

Context: hf'_nonneg : ∀ (i : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, 0 ≤ f' i a

Context: hf'_meas : ∀ (n : ℕ), Integrable (f' n) μ

Context: hF_ge : 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => (F - f 0) x

Context: h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ((F - f 0) a) ∂μ)

∀ (n : ℕ), AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (f' n a)) μ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
h : X ≃ₜ Y
s : Set Y


Context:
R : Type u
EuclideanDomain R
DecidableEq R
x y : R

EuclideanDomain.xgcd x y = (EuclideanDomain.gcdA x y, EuclideanDomain.gcdB x y)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: a b : ℝ

Context: f✝ : ℝ → E

Context: μ : Measure ℝ

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → C(ℝ, E)

Context: hf_sum : Summable fun i => ‖ContinuousMap.restrict (↑{ carrier := uIcc a b, isCompact' := ⋯ }) (f i)‖

Context: hE : CompleteSpace E

HasSum (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..b, (f i) x) (∫ (x : ℝ) in a..b, ∑' (i : ι), (f i) x)


Context: a b : ℝ

frontier {z | a ≤ z.re ∧ b ≤ z.im} = {z | a ≤ z.re ∧ z.im = b ∨ z.re = a ∧ b ≤ z.im}


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n j : ℕ
hj : j < p ^ n

↑(n - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) ≤ ↑(n - (multiplicity p j.succ).get ⋯)


Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : MeasureTheory.Measure Ω

Context: SemilatticeInf ι

Context: NoMinOrder ι

Context: Nonempty ι

Context: StandardBorelSpace Ω

Context: Nonempty Ω

Context: hm : m ≤ m0

Context: MeasureTheory.IsFiniteMeasure μ

Context: h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0

Context: h_indep : ProbabilityTheory.iCondIndep m hm s μ

Context: t : Set Ω

Context: ht_tail : MeasurableSet t

∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 0 ∨ (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 1


Context:
R₁ : Type u_3
CommRing R₁
K : Type u_4
Field K
Algebra R₁ K
IsFractionRing R₁ K
IsDomain R₁
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
d : K

J / FractionalIdeal.spanSingleton R₁⁰ d = FractionalIdeal.spanSingleton R₁⁰ d⁻¹ * J


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : OrderBot β
f : α → β
H : StrictMono f
a : α
h_bot : f a = ⊥
x : α
p : β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Nonempty α
f : α → β
hf : Function.Injective f
h : Nat.card α = 0


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory C

Context: P : C → Prop

Context: CategoryTheory.MonoidalCategory.MonoidalPredicate P

Context: X : CategoryTheory.FullSubcategory P

(CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X).hom = (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor X.obj).hom


Context: β : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: t : ι → TopologicalSpace β

Context: T : ι → Set (Set β)

Context: h_basis : ∀ (i : ι), TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (T i)

TopologicalSpace.IsTopologicalBasis {S | ∃ U F, (∀ i ∈ F, U i ∈ T i) ∧ S = ⋂ i ∈ F, U i}


Context: I : Type u

Context: f : I → Type v₁

Context: g : I → Type v₂

Context: F : (i : I) → f i → g i

Context: hF : ∀ (i : I), Function.Bijective (F i)


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
TopologicalSpace M'
ChartedSpace H' M'
T2Space M
Zero M'
n : ℕ∞
U : TopologicalSpace.Opens M
f : ↥U → M'
supp : HasCompactSupport f
diff : ContMDiff I I' n f

ContMDiff I I' n (Function.extend Subtype.val f 0)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)
this : (1 + x) * ↑hx.unit⁻¹ - 1 = 1 - 1

↑hx.unit⁻¹ - 1 + x + x * (↑hx.unit⁻¹ - 1) = 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f g : ι → N
s t : Finset ι
i j : ι
hf : ∀ i ∈ s, 1 ≤ f i
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
hne : i ≠ j


Context: n : ℕ

Context: n.AtLeastTwo


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
OrderedAddCommGroup α
LinearOrderedAddCommGroup β
f : ι → α
g₁ g₂ : ι → β
h₁ : Monovary f g₁
h₂ : Monovary f g₂


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finmap β


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
Nonempty α

AddAction.IsPretransitive G α ↔ Nonempty (Unique (AddAction.orbitRel.Quotient G α))


Context:
α : Type u
p : α → Prop
x : α


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs


Context: α : Type u

Context: Group α

Context: LT α

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a : α


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CommSemiring K
i : R →+* K
a✝ b : R
bi : K
N : ℕ
a : R
bu : bi * i b = 1
n : ℕ
r : R
nN : n ≤ N

i (r * a ^ n * b ^ (N - n)) = i b ^ N * (i r * eval (i a * bi) X ^ n)


Context:
a : ℤ
n : ℕ
h : jacobiSym a n = -1

∃ p, Nat.Prime p ∧ p ∣ n ∧ jacobiSym a p = -1


Context:
x✝ y x : ℂ
hx : cos x ≠ 0

(1 + sin x ^ 2 / cos x ^ 2)⁻¹ = cos x ^ 2


Context:
x✝ y x : ℝ
h : 0 ≤ x


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: a✝ b✝ c✝ d✝ x y z : P

Context: r R : ℝ

Context: a b c d : P

Context: hb : b ≠ a

Context: hc : c ≠ a

Context: hd : d ≠ a

Context: H : 1 / (dist b a * dist d a) * dist b d ≤ 1 / (dist b a * dist c a) * dist b c + 1 / (dist c a * dist d a) * dist c d

dist a c * dist b d ≤ dist a b * dist c d + dist b c * dist a d


Context: V : SemiNormedGrp


Context:
x : ℝ≥0∞
z : ℝ


Context:
X : TopCat
ι : Type w
U : ι → TopologicalSpace.Opens ↑X
Y : TopologicalSpace.Opens ↑X
hY : Y = iSup U

∀ {x x_1 : TopCat.Presheaf.SheafCondition.OpensLeCover U} (g : x ⟶ x_1),
  (TopCat.Presheaf.generateEquivalenceOpensLe_inverse' U hY).map g = CategoryTheory.Over.homMk g ⋯


Context:
α : Type u_1
CancelCommMonoidWithZero α
NormalizedGCDMonoid α
a : α


Context:
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
self : Bialgebra R A


Context:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : MeasureTheory.Measure Ω


Context:
R : Type uR
M : Type uM
CommRing R
AddCommGroup M
Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
Ring A
Algebra R A
f : CliffordAlgebra.EvenHom Q A
m₁ m₂ : M

(CliffordAlgebra.even.lift.aux f) (((CliffordAlgebra.even.ι Q).bilin m₁) m₂) = (f.bilin m₁) m₂


Context:
α : Type u
a : α


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g✝ : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
ι : Type u_3
s : Finset ι
a : ι → ℝ
v : ι → E
g : E → ℝ
g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g
g_comp : HasCompactSupport g

∫ (x : E), g x • lineDeriv ℝ f x (∑ i ∈ s, a i • v i) ∂μ = ∫ (x : E), ∑ x_1 ∈ s, g x • (a x_1 • fun x => lineDeriv ℝ f x (v x_1)) x ∂μ


Context:
ι : Type u
E : Type v
Fintype ι
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
f : MeasureTheory.SimpleFunc (ι → ℝ) E
μ : MeasureTheory.Measure (ι → ℝ)
MeasureTheory.IsLocallyFiniteMeasure μ
I : BoxIntegral.Box ι
l : BoxIntegral.IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false

BoxIntegral.HasIntegral I l (↑f) μ.toBoxAdditive.toSMul (MeasureTheory.SimpleFunc.integral (μ.restrict ↑I) f)


Context: x : ZFSet


Context: ι : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: Group G

Context: ConditionallyCompleteLattice G

Context: CovariantClass G G (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: Nonempty ι

Context: f : ι → G

Context: hf : BddAbove (Set.range f)

Context: a : G


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroObject C

Context: CategoryTheory.HasShift C ℤ

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : CategoryTheory.Pretriangulated C

Context: T : CategoryTheory.Pretriangulated.Triangle C

Context: hT : T ∈ CategoryTheory.Pretriangulated.distinguishedTriangles

Context: h : T.mor₂ = 0


Context:
α : Type u
Semiring α
LinearOrder α
a b : α
PosMulStrictMono α
ha : 0 < a


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → F
hf_int : Integrable f ρ

Integrable (fun x => ∫ (y : Ω), ‖f (x, y)‖ ∂ρ.condKernel x) ρ.fst


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N


Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: x : (i : ι) → π i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: s t : Finset ι

Context: hst : Disjoint s t

Context: y : (i : { x // x ∈ s }) → π ↑i

Context: z : (i : { x // x ∈ t }) → π ↑i

Context: e : { x // x ∈ s } ⊕ { x // x ∈ t } ≃ { x // x ∈ s ∪ t } := Finset.union s t hst

Context: i : ι

Context: his : i ∉ s

Context: hit : i ∈ t

z ⟨i, ⋯⟩ = (piFinsetUnion π hst) (y, z) ⟨i, ⋯⟩


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F

fderivWithin 𝕜 (fun y => c - f y) s x = -fderivWithin 𝕜 f s x


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
h : H
w : NormalWord d

MulAction.toEndHom h w = { toWord := w.toWord, head := h * w.head, normalized := ⋯ }


Context:
α : Type u_1
M : Type u_5
CommMonoid M
f : α → M
s : Set α
hs : s.Finite

∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∏ i ∈ hs.toFinset, f i


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ

((IntFractPair.stream v n).bind fun ap_n => if ap_n.fr = 0 then none else some (IntFractPair.of ap_n.fr⁻¹)) = none ↔ IntFractPair.stream v n = none ∨ ∃ ifp, IntFractPair.stream v n = some ifp ∧ ifp.fr = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: f_mble : Measurable f

Context: g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t

Context: g_mble : Measurable g

Context: g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t

Context: f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω

Context: H1 : ¬g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] 0

Context: H2 : ∀ s > 0, 0 < ∫ (t : ℝ) in 0 ..s, g t → μ {a | s < f a} ≠ ⊤

Context: M_bdd : BddAbove {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}

Context: M : ℝ := sSup {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}

Context: zero_mem : 0 ∈ {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}

Context: M_nonneg : 0 ≤ M

Context: hgM : g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 M))] 0

Context: ν : Measure α := μ.restrict {a | M < f a}

Context: this : SigmaFinite ν

∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: s : Meq (J.plusObj P) S

Context: inj : ∀ (X : C), Function.Injective ⇑((J.toPlus P).app (op X))

Context: T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y

Context: t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)

Context: ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)

Context: B : J.Cover X := S.bind T

Context: Z : B.Arrow → C

Context: e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I

Context: e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X

Context: he2 : ∀ (I : B.Arrow), S.sieve.arrows (e2 I)

Context: h✝ : ∀ (I : B.Arrow), (fun Y f h => ((fun Y f hf => (T { Y := Y, f := f, hf := hf }).sieve) Y f h).arrows) (Z I) (e2 I) ⋯ (e1 I)

Context: a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f

Context: w : Meq P B := meqOfSep P hsep X S s T t ht

Context: I : S.Arrow

Context: II : (T I).Arrow

∃ W h1 h2, ((w.pullback I.f).pullback II.f).refine h1 = ((t I).pullback II.f).refine h2


Context: x✝ x : ℝ

Context: h1 : 0 < x

Context: h2 : x < π / 2

Context: U : Set ℝ := Ico 0 (π / 2)

Context: intU : interior U = Ioo 0 (π / 2)

Context: half_pi_pos : 0 < π / 2

Context: cos_pos : ∀ {y : ℝ}, y ∈ U → 0 < cos y

Context: sin_pos : ∀ {y : ℝ}, y ∈ interior U → 0 < sin y

Context: tan_cts_U : ContinuousOn tan U

Context: tan_minus_id_cts : ContinuousOn (fun y => tan y - y) U

Context: deriv_pos : ∀ y ∈ interior U, 0 < deriv (fun y' => tan y' - y') y


Context:
a b : ℕ
hab : a.Coprime b

(a * b).primeFactorsList.Perm (a.primeFactorsList ++ b.primeFactorsList)


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: h_eq_add : ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ

(η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a = 0 ↔ (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = 0


Context:
n : ℕ
hn : n ≠ 0

∑ i ∈ n.divisors, i = ∑ i ∈ n.properDivisors, i + n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : LinearOrder β

Context: inst✝³ : DenselyOrdered β

Context: inst✝² : NoMinOrder β

Context: inst✝¹ : NoMaxOrder β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: f : PartialIso α β

Context: a : α

Context: h : ¬∃ b, (a, b) ∈ ↑f

Context: this : ∀ x ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => p.1 < a) ↑f), ∀ y ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => a < p.1) ↑f), x < y

Context: b : β

Context: hb : (∀ x ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => p.1 < a) ↑f), x < b) ∧ ∀ y ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => a < p.1) ↑f), b < y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g h : CauSeq α abs
fg : f ≈ g
gh : g < h


Context:
β : Type u_2
AddCommMonoid β
f : Fin 7 → β


Context:
n m k : ℕ
h : m ∈ n.smoothNumbers
h' : k ∣ m


Context:
a b c : Cardinal.{u_1}
h : a + b = c + b
hb : b < ℵ₀


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: CommRing R

Context: CommRing A

Context: Algebra R A

Context: 𝒜 : ι → Submodule R A

Context: x : Submonoid A

Context: i : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x

HomogeneousLocalization.mk (-i) = -HomogeneousLocalization.mk i


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : Field R

Context: inst✝¹⁸ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace R

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace V

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalRing R

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup V

Context: inst✝¹³ : Module R V

Context: inst✝¹² : SeparatingDual R V

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : SeparatingDual 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : Nontrivial E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Finite ι

Context: M : ι → Type u_7

Context: inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SeparatingDual 𝕜 (M i)

Context: inst✝ : CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 M F)

Context: m : (i : ι) → M i

Context: hm : ∀ (i : ι), m i ≠ 0

Context: f : ℕ → F

Context: hf : CauchySeq f

Context: this : ∀ (i : ι), ∃ φ, φ (m i) = 1


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n i : ι

Context: ω : Ω

Context: inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: m : ι

Context: h_exists : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s

Context: h_nonempty : (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}).Nonempty

u (sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s})) ω ∈ s


Context:
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
a : α
ha : OrderHom.lfp f ≤ a


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring α
a✝ b✝ a b : α
u : αˣ


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℂ E
P : WeakFEPair E

Set.EqOn (fun x => P.f_modif x - P.f x + P.f₀)
  (((Set.Ioo 0 1).indicator fun x => P.f₀ - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) + {1}.indicator fun x => P.f₀ - P.f 1)
  (Set.Ioi 0)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: m : (i : ι) → M₁ i

Context: t : Finset ι

∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι}, a ∉ s → (∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (s.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ s.powerset, f (s.piecewise m m')) → ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f ((insert a s).piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ (insert a s).powerset, f (s.piecewise m m')


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : ConcreteCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁸ : DivisionRing K

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : Module K V

Context: W : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : Module A V

Context: inst✝³ : AddCommGroup W

Context: inst✝² : Module K W

Context: inst✝¹ : Module A W

Context: inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul V W K A

Context: h : finrank K W = 1

Context: f : V →ₗ[A] W

Context: w : f ≠ 0

Context: v : V

Context: n : f v ≠ 0 v

Context: z : W


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NonUnitalSeminormedRing α
x y : α

‖(AddMonoidHom.mulRight x) y‖ ≤ ‖x‖ * ‖y‖


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
x z : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

∃ y, dist x y = b * dist x z ∧ dist y z = a * dist x z


Context:
α : Type u
DecidableEq α
β : Type v
Fintype α
DecidableEq β
Fintype β
e : α ≃ β
p : Equiv.Perm α

Equiv.Perm.sign (e.permCongr p) = Equiv.Perm.sign p


Context:
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0

LinearMap.range g.toLinearPMap.toFun = Submodule.map (LinearMap.snd R E F) g


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
Semiring R₁
Semiring R₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
M₁ : Type u_4
TopologicalSpace M₁
AddCommMonoid M₁
M₂ : Type u_6
TopologicalSpace M₂
AddCommMonoid M₂
Module R₁ M₁
Module R₂ M₂
α : Type u_9
TopologicalSpace α
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
f : α → M₁


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_5
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
NormedAddCommGroup F
NormedSpace ℝ F
RCLike 𝕜
NormedSpace 𝕜 F
SMulCommClass ℝ 𝕜 F
n : ℕ
m : Fin (n + 1) → E
f : SchwartzMap E F

(SchwartzMap.iteratedPDeriv 𝕜 m) f =
  (SchwartzMap.iteratedPDeriv 𝕜 (Fin.init m)) ((SchwartzMap.pderivCLM 𝕜 (m (Fin.last n))) f)


Context:
C : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C
CategoryTheory.HasShift C ℤ
X : Cᵒᵖ
n : ℤ

(CategoryTheory.shiftFunctor C n).map
    ((CategoryTheory.Pretriangulated.opShiftFunctorEquivalence C n).counitIso.inv.app X).unop =
  ((CategoryTheory.Pretriangulated.opShiftFunctorEquivalence C n).unitIso.hom.app
      (Opposite.op ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).obj (Opposite.unop X)))).unop


Context:
L : FirstOrder.Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
L.Structure M
L.Structure N
L.Structure P
MN : L.ElementarilyEquivalent M N
NP : L.ElementarilyEquivalent N P


Context:
α : Type u_1
PartialOrder α
a b : α
s : Set α
ho : Set.Ioo a b ⊆ s
hc : s ⊆ Set.Icc a b

s ∈ {Set.Icc a b, Set.Ico a b, Set.Ioc a b, Set.Ioo a b}


Context:
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)

↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (-f)) =ᶠ[ae μ] -↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f)


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
TopologicalSpace α
f : α → β
a : α
s : Set α
l : Filter β
h : Filter.Tendsto f (𝓝 a) l


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁶ : Zero X
inst✝⁵ : Zero Y
inst✝⁴ : Zero R
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : T1Space R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
a : α


Context:
S : Type u
inst✝ : Semiring S
n : ℕ

ascPochhammer S (n + 1) = ascPochhammer S n * (X + ↑n)


Context:
R : Type u
A : Type v
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A

GaloisConnection (Algebra.adjoin R) SetLike.coe


Context: G✝ : Type u

Context: H : Type v

Context: inst✝³ : Mul G✝

Context: inst✝² : Mul H

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : UniqueProds G

Context: A B : Finset G

Context: hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < A.card ∨ 1 < B.card)

Context: a : G

Context: ha : a ∈ A

Context: b : G

Context: hb : b ∈ B

Context: hu : UniqueMul A B a b

∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
s : Finset E
x : E
w : E → R
hw : ∑ y ∈ s, w y = 1

s.centerMass w id = x ↔ ∑ y ∈ s, w y • y = x


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
d : G.Dart


Context:
K : Type u
DivisionRing K
S : Type u_1
SetLike S K
h : SubfieldClass S K
s : S
q : ℚ≥0
x : ↥s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G

∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G)) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 g)


Context:
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
y : ℝ
hy : y ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
hlt : x < y


Context:
f : ℕ → ℂ
h : ∃ C, ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C

∃ C, ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ 0


Context:
s : ℂ
hs : 0 < s.re

Filter.Tendsto (fun X => s.partialGamma X) Filter.atTop (𝓝 s.GammaIntegral)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: G G' : Subpresheaf F

Context: h : G ≤ G'

Context: hF : Presieve.IsSheaf J F

Context: hG' : Presieve.IsSheaf J G'.toPresheaf

Context: U : Cᵒᵖ

Context: x : F.obj U

Context: hx : x ∈ (sheafify J G).obj U

Context: V : C

Context: i : V ⟶ unop U

Context: hi : (G.sieveOfSection x).arrows i

Context: this : (fun f => ↑(f.app (op V) ⟨F.map i.op x, hi⟩)) (homOfLe ⋯ ≫ G.sheafifyLift (homOfLe h) hG') = (fun f => ↑(f.app (op V) ⟨F.map i.op x, hi⟩)) (homOfLe h)

↑((G.sheafifyLift (homOfLe h) hG').app (op V) ((sheafify J G).toPresheaf.map i.op ⟨x, hx⟩)) = (fun f => ↑(f.app (op V) ⟨F.map i.op x, hi⟩)) (homOfLe ⋯ ≫ G.sheafifyLift (homOfLe h) hG')