Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: S₁ S₂ S₃ : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: φ₁₂ : S₁ ⟶ S₂

Context: φ₂₃ : S₂ ⟶ S₃

(CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ₁₂ φ₂₃).τ₁ = CategoryTheory.CategoryStruct.comp φ₁₂.τ₁ φ₂₃.τ₁


Context:
R : Type u_1
Ring R
n : ℕ
a : R
φ : PowerSeries R

(PowerSeries.coeff R n) (PowerSeries.inv.aux a φ) =
  if n = 0 then a
  else
    -a *
      ∑ x ∈ Finset.antidiagonal n,
        if x.2 < n then (PowerSeries.coeff R x.1) φ * (PowerSeries.coeff R x.2) (PowerSeries.inv.aux a φ) else 0


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
NormedAddCommGroup F
NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
TopologicalSpace H
G : Type u_7
TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_9
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
N : Type u_11
TopologicalSpace N
ChartedSpace G N
n : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
x : N


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X'
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y'
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace Z'
f : X → Y
h : OpenEmbedding f
inst✝ : Nonempty X
x : Y
hx : x ∈ range f

f (↑(toPartialHomeomorph f h).symm x) = x


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ

(fun t => inverse (↑x + t) - ↑x⁻¹ + ↑x⁻¹ * t * ↑x⁻¹) =O[𝓝 0] fun t => ‖t‖ ^ 2


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : TopologicalSemiring A
s : Subalgebra R A
B : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : TopologicalRing B
inst✝ : Algebra R B
f : B →ₐ[R] A
f' : B ≃ₜ A
w : ⇑f = ⇑f'

↑(comap f s.topologicalClosure) = ↑(comap f s).topologicalClosure


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
P✝ : Generators R S
T✝ : Type ?u.93774
inst✝⁵ : CommRing T✝
inst✝⁴ : Algebra R T✝
inst✝³ : Algebra S T✝
inst✝² : IsScalarTower R S T✝
T : Type ?u.94985
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
P : Generators R S
x : T ⊗[R] S

∃ a, (aeval fun x => 1 ⊗ₜ[R] P.val x) a = x


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: CategoryTheory.Abelian C

Context: S : CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput C

CategoryTheory.ShortComplex.SnakeInput.functorL₁'.obj S = S.L₁'


Context:
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1

HasSum (fun n => (-1) ^ (n + 1) * z ^ n / ↑n) (Complex.log (1 + z))


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
x : E
r : ℝ


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommSemiring S

Context: P A : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : Algebra R A

Context: inst✝⁴ : CommRing P

Context: inst✝³ : Algebra R P

Context: I✝ : Ideal P

Context: f : P →ₐ[R] A

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: inst✝² : FormallySmooth R P

Context: g : A →ₐ[R] P ⧸ RingHom.ker f.toRingHom ^ 2

Context: hg : f.kerSquareLift.comp g = AlgHom.id R A

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing C

Context: inst✝ : Algebra R C

Context: I : Ideal C

Context: hI : I ^ 2 = ⊥

Context: i : A →ₐ[R] C ⧸ I

Context: l : P ⧸ RingHom.ker f.toRingHom ^ 2 →ₐ[R] C := Ideal.Quotient.liftₐ (RingHom.ker f.toRingHom ^ 2) (lift I ⋯ (i.comp f)) ⋯

∃ a, (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp a = i


Context:
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
(i : ι) → Bornology (π i)
s : Set ((i : ι) → π i)
hs : Bornology.IsBounded s
i : ι

Bornology.IsBounded (Function.eval i '' s)


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: τ π : Ω → ℕ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hsub : Submartingale f 𝒢 μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: n : ℕ

Context: hn : Set.Icc 0 n = {k | k ≤ n}

Context: this : ∀ (ω : Ω), (↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω) → ↑ε ≤ stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω

ε • μ {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω} ≤ ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω) in {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω ∂μ)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
AddGroup α
SubtractionMonoid β
FunLike F α β
AddMonoidHomClass F α β
m : F
s t : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : SeminormedRing α
l : List α
hl : l ≠ []

(map norm l).prod = (fun a => ↑a) (map nnnorm l).prod


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: CommRing R

Context: Field K

Context: Field L

Context: CommRing M

Context: Algebra R K

Context: Algebra R M

Context: Algebra K M

Context: IsScalarTower R K M

Context: x : M

Context: int : IsIntegral R x

Context: f : K →+* L

Context: h : Polynomial.Splits (f.comp (algebraMap R K)) (minpoly R x)


Context:
α : Type u_2
Ring α
a b : α
ha : Odd a
hb : Odd b


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝ : IsDedekindDomain S
hp0 : map f p ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
le : map f p ≤ P
hP0 : P ≠ ⊥
hPirr : Irreducible P

Multiset.count P (normalizedFactors (map f p)) ≠ 0


Context:
α : Type u
l l' : List α
β : Type u_1
l₁ : List α
f : α → β
n : ℕ

List.map f l₁ ~r List.map f (l₁.rotate n)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
h : Sbtw R x y z
hx : x ∉ s
hy : y ∈ s


Context:
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝ : StrongRankCondition R
n : ℕ
v : Fin n → M
hv : LinearIndependent R v
h : ↑n < Module.rank R M
x : M
hx : LinearIndependent R (Fin.cons x v)

∃ x, LinearIndependent R fun i => Fin.cons x v ((finRotate (n + 1)) i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq α
DecidableEq β
f : α → β
s : Multiset α

(Multiset.map f s.dedup).dedup = (Multiset.map f s).dedup


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : C
hA : IsSubterminal A
inst✝ : HasBinaryProduct A A


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
v : V
h : ∀ p ∈ s, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₁
r₂ : k
hp₂ : r₂ • v +ᵥ p₁ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ r₂ • v +ᵥ p₁
r₃ : k
hp₃ : r₃ • v +ᵥ p₁ ∈ s
h₂ : r₂ ≠ 0

(r₃ / r₂) • (r₂ • v +ᵥ p₁ -ᵥ p₁) = r₃ • v


Context:
α : Type u_2
DecidableEq α
AddZeroClass α
s : Finset α


Context: α : Type u_1


Context:
G : Type v
X : Type w
PseudoMetricSpace X
Group G
MulAction G X
IsometricSMul G X
c : G
x : X
r : ℝ

(fun x => c • x) ⁻¹' Metric.ball x r = Metric.ball (c⁻¹ • x) r


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s t : Multiset α
h : s ≤ t


Context: G : Type u_1

Context: TopologicalSpace G

Context: Group G

Context: TopologicalGroup G

Context: MeasurableSpace G

Context: BorelSpace G

Context: LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : MeasureTheory.Measure G

Context: μ.IsHaarMeasure

Context: MeasureTheory.IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: μ'.IsMulLeftInvariant

Context: μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : IsCompact (closure s)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: SemilatticeSup α

Context: SemilatticeInf β

Context: h : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → f (x ⊔ y) = f x ⊓ f y


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
ι✝ : Type w
ι'✝ : Type w'
inst✝² : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
b : Basis ι R M
ι' : Type u_2
inst✝ : Fintype ι'
v : ι' → M
hv : LinearIndependent R v


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
v : Fin 2 → R
hab : IsCoprime (v 0) (v 1)
A : SL(2, R)


Context:
α : Type u
β : α → Type v
DecidableEq α
a a' : α
b' : β a'
s : AList β

a ∈ AList.insert a' b' s ↔ a = a' ∨ a ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: RCLike 𝕜

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace 𝕜 E

Context: NormedAddCommGroup F

Context: CompleteSpace F

Context: u : α → ℝ

Context: NormedSpace 𝕜 F

Context: f : α → E → F

Context: f' : α → E → E →L[𝕜] F

Context: s : Set E

Context: x₀ x : E

Context: hu : Summable u

Context: hs : IsOpen s

Context: h's : IsPreconnected s

Context: hf : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x

Context: hf' : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f' n x‖ ≤ u n

Context: hx₀ : x₀ ∈ s

Context: hf0 : Summable fun n => f n x₀

Context: hx : x ∈ s

HasFDerivAt (fun y => ∑' (n : α), f n y) (∑' (n : α), f' n x) x


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1

Context: r s : R

PadicInt.limNthHom f_compat (r * s) = PadicInt.limNthHom f_compat r * PadicInt.limNthHom f_compat s


Context:
α : Type u
p q : α → Prop

{a | p a} ⊆ {a | q a} ↔ ∀ (a : α), p a → q a


Context:
α : Type u_3
β : Type u_4
CommMonoid β
σ : Equiv.Perm α
s : Finset α
f : α → β
hs : {a | σ a ≠ a} ⊆ ↑s


Context: m n : Nat

Int.negSucc m * Int.negSucc n = Int.ofNat (m.succ * n.succ)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : OrthonormalBasis (Fin 2) ℝ F
f : F ≃ₗᵢ[ℝ] F'

orthonormalBasisOneI.repr.trans (v.repr.symm.trans f) = (orthonormalBasisOneI.repr.trans v.repr.symm).trans f


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context:
h :
  ∀ (J : Type w) {𝒥 : CategoryTheory.SmallCategory J},
    CategoryTheory.FinCategory J → CategoryTheory.Limits.HasLimitsOfShape J C


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : Subsingleton E'
c : ℝ
hc : 0 < c


Context:
𝕜 : Type u
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
LocallyCompactSpace 𝕜
FiniteDimensional 𝕜 E


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: μ' : Measure α

Context: c' : ℝ≥0∞

Context: hc' : c' ≠ ⊤

Context: hμ'_le : μ' ≤ c' • μ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'

Context: f : α → E

Context: hfμ : Integrable f μ

Context: h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g μ → Integrable g μ'

∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) (s.indicator fun x => c)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
f : α → β → F
hu : Summable u
s : Set β
hfu : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f n x‖ ≤ u n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
t : Finset α
ht : ∑' (a : { x // x ∉ t }), u ↑a < ε
x : β
hx : x ∈ s

dist (∑' (n : α), f n x) (∑ n ∈ t, f n x) < ε


Context:
α : Type u_1
SubtractionCommMonoid α
a b c : α


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

Context: ih' : ∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P24 x₁ x₂ y) → P124 a

Context: z w : PGame

Context: h : w.IsOption y


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α

Context: a b c d : α

Context: m n : ℕ

Context: h : a < c * b


Context:
α : Type u
Preorder α
a : α


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : ProbabilityTheory.Kernel α Ω
ProbabilityTheory.IsMarkovKernel κ
μ : MeasureTheory.Measure α
f : ι → Set Ω
hf : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)

ProbabilityTheory.Kernel.iIndepSet f κ μ ↔ ProbabilityTheory.Kernel.iIndepSets (fun i => {f i}) κ μ


Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: a b : Ordinal.{max v u}

o.nfpBFamily f a ≤ b ↔ ∀ (l : List (Quotient.out o).α), List.foldr (o.familyOfBFamily f) a l ≤ b


Context:
α : Type u
Sup α
a b : αᵒᵈ

OrderDual.ofDual (a ⊓ b) = OrderDual.ofDual a ⊔ OrderDual.ofDual b


Context: q : ℚ


Context: o : Type u_4

Context: m' : o → Type u_7

Context: n' : o → Type u_8

Context: α : Type u_12

Context: AddZeroClass α

Context: M N : Matrix ((i : o) × m' i) ((i : o) × n' i) α

(M + N).blockDiag' = M.blockDiag' + N.blockDiag'


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.288379, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.288386, u_2} D

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → C

Context: c₁ : Cofan fun i => f i.succ

Context: c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt

Context: t₁ : IsUniversalColimit c₁

Context: t₂ : IsUniversalColimit c₂

Context: inst✝ : ∀ {Z : C} (i : Z ⟶ c₂.pt), HasPullback c₂.inr i

Context: F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: α : F ⟶ Discrete.functor f

Context: i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt

Context: e : α ≫ (extendCofan c₁ c₂).ι = c.ι ≫ (Functor.const (Discrete (Fin (n + 1)))).map i

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: H : ∀ (j : Discrete (Fin (n + 1))), IsPullback (c.ι.app j) (α.app j) i ((extendCofan c₁ c₂).ι.app j)

Context: F' : Fin (n + 1) → C := F.obj ∘ Discrete.mk

Context: this : F = Discrete.functor F'

Context: H₁ : IsColimit (Cofan.mk (pullback c₂.inr i) fun j => pullback.lift (α.app { as := j.succ } ≫ c₁.inj j) (c.ι.app { as := j.succ }) ⋯)

Context: t₂' : Nonempty (IsColimit (BinaryCofan.mk (c.ι.app { as := 0 }) (pullback.snd c₂.inr i)))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α

Set.uIcc a b = Set.Icc a b ∪ Set.Icc b a


Context: x y z : ℝ


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_4
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
hl : l.HasBasis p s


Context:
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
hn : Even n

AddSubmonoid.closure (Set.range fun x => x ^ n) = AddSubmonoid.nonneg ℚ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x : F

I * ((starRingEnd 𝕜) ⟪x, x⟫_𝕜 - ⟪x, x⟫_𝕜) / 2 = ↑0


Context: f : ℕ →. ℕ


Context:
p : Bool → Prop
b : Bool


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β → γ → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable (Function.uncurry f)

Context: F : ℕ → SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞ := SimpleFunc.eapprox (Function.uncurry f)

Context: h : ∀ (a : β) (b : γ), ⨆ n, ↑(F n) (a, b) = f a b

Context: h_mono : Monotone F

Context: this : ∀ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ⨆ n, ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b) = ⨆ n, ∫⁻ (c : γ), ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b)

Context: h_some_meas_integral : ∀ (f' : SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞), Measurable fun b => ∫⁻ (c : γ), ↑f' (b, c) ∂η (a, b)

∀ (n : ℕ), Measurable fun b => ∫⁻ (c : γ), ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Fintype α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : CommMonoid β
f : (a : α) → p a → β
g : (a : α) → ¬p a → β

(∏ x : { x // x ∈ filter p univ }, f ↑x ⋯) * ∏ x : { x // x ∈ filter (fun x => ¬p x) univ }, g ↑x ⋯ = (∏ a : { a // p a }, f ↑a ⋯) * ∏ a : { a // ¬p a }, g ↑a ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: σ τ : Type

Context: inst✝³ : Finite τ

Context: S : σ → C

Context: inst✝² : HasBiproduct S

Context: T : τ → C

Context: inst✝¹ : HasBiproduct T

Context: s : σ

Context: f : ⨁ S ⟶ ⨁ T

Context: inst✝ : IsIso f

Context: val✝ : Fintype τ

Context: z : ∀ (t : τ), biproduct.ι S s ≫ f ≫ biproduct.π T t = 0

Context: reassoced : ∀ {t : τ} {W : C} (h : T t ⟶ W), biproduct.ι S s ≫ f ≫ biproduct.π T t ≫ h = 0 ≫ h


Context: α : Type u

Context: Group α

Context: LE α

Context: CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a : α

(OrderIso.mulRight a).symm = OrderIso.mulRight a⁻¹


Context: p : Polynomial ℤ

Context: hp : p.IsUnitTrinomial

Context: h : ∀ (z : ℂ), ¬((Polynomial.aeval z) p = 0 ∧ (Polynomial.aeval z) p.mirror = 0)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

∀ (i : I), Continuous fun a => if ord I i = o then true else a i


Context:
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
this : {x | 0 ≤ x} = negPart ⁻¹' {0}


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m₂ m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : Zero E

Context: hm : m ≤ m0

Context: s : Set α

Context: f : α → E

Context: hs_m : MeasurableSet s

Context: hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) → MeasurableSet (s ∩ t)

Context: hf : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: hf_zero : f =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] 0

Context: h_ind_eq : s.indicator (mk f hf) =ᶠ[ae μ] f

Context: hf_ind : StronglyMeasurable (s.indicator (mk f hf))


Context:
α✝ β α : Type u
h : #α = ℵ₀


Context:
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasColimits C
j : J
k : K

((colimit.ι ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j ≫ colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ colim) k ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim (Prod.swap K J ⋙ G)).inv) ≫ (HasColimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (Iso.refl ((Prod.braiding K J).functor ⋙ G))).hom) ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim G).hom = colimit.ι ((curry.obj G).obj j) k ≫ colimit.ι (curry.obj G ⋙ colim) j


Context: n : ℕ


Context: q r : ℚ

q + r = (q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) /. (↑q.den * ↑r.den)


Context:
α : Type u
β : Type v
R : Type u_1
CommSemiring R
e : α ≃ β
Semiring β
Algebra R β
b : β

(AlgEquiv.symm (Equiv.algEquiv R e)) b = e.symm b


Context:
z : ℂ
n✝ n : ℕ
hz : z ≠ 0


Context:
α : Type u
Fintype α
p : α → Prop
DecidablePred p
h : {x | p x}.Finite

h.toFinset = Finset.filter p Finset.univ


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: S₁ S₂ : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: h₁ : S₁.HomologyData

Context: h₂ : S₂.HomologyData

(CategoryTheory.ShortComplex.HomologyMapData.zero h₁ h₂).left =
  CategoryTheory.ShortComplex.LeftHomologyMapData.zero h₁.left h₂.left


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
MeasurableSpace E
BorelSpace E
FiniteDimensional ℝ E
μ : MeasureTheory.Measure E
μ.IsAddHaarMeasure
f : E →L[ℝ] E
hf : LinearMap.det ↑f ≠ 0
s : Set E

μ (⇑f ⁻¹' s) = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det ↑f)⁻¹| * μ s


Context:
R : Type u_1
S : Type u_3
M : Type u_2
CommRing R
Field S
AddCommGroup M
Algebra R S
Module R M
Module S M
IsScalarTower R S M
B : LinearMap.BilinForm S M
N : Submodule R M
x : M

x ∈ B.dualSubmodule N ↔ ∀ y ∈ N, (B x) y ∈ 1


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝²⁰ : CommRing A

Context: inst✝¹⁹ : Field K

Context: inst✝¹⁸ : CommRing B

Context: inst✝¹⁷ : Field L

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁵ : Algebra B L

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A B

Context: inst✝¹³ : Algebra K L

Context: inst✝¹² : Algebra A L

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝⁹ : IsDomain A

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁶ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed A

Context: I : Submodule B L

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b : Basis ι K L

Context: hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)

Context: a x : L

Context: ha : a ∈ I

Context: hx : x ∈ Iᵛ

Context: hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det

Context: H : (traceMatrix K ⇑b *ᵥ (traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)

Context: this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_7
s t : (i : ι) → κ i → Set α
h : ∀ (i : ι) (j : κ i), s i j ⊆ t i j


Context:
E : Type u_1
NormedAddCommGroup E
NormedSpace ℝ E
Nontrivial E


Context:
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx1 : x ≠ 1
hx0 : x ≠ 0
n : ℕ
h₁ : x⁻¹ ≠ 1
h₂ : x⁻¹ - 1 ≠ 0
h₃ : x - 1 ≠ 0

∑ i ∈ range n, x⁻¹ ^ i = (x - 1)⁻¹ * (x - x⁻¹ ^ n * x)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
CommSemiring R
AddCommMonoid M
Module R M
AddCommMonoid N
Module R N
Semiring S
Algebra R S
Module S M
IsScalarTower R S M
f : ι →₀ M
g : κ →₀ N
i : ι
k : κ

((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (f ⊗ₜ[R] g)) (i, k) = f i ⊗ₜ[R] g k


Context:
α : Type u_1
TopologicalSpace α
x : α


Context:
E : Type u_6
SeminormedGroup E


Context: z : ℂ


Context:
ι : Type u_1
I J₁ J₂ : BoxIntegral.Box ι
π : BoxIntegral.Prepartition I
h₁ : J₁ ∈ π
h₂ : J₂ ∈ π
hle : J₁ ≤ J₂


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: c : CategoryTheory.Limits.PullbackCone f g


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: h : Injective ⇑(algebraMap R A)

Context: s : Set A

Context: hs : AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ ∅ ⊆ s ∧ s ⊆ univ ∧ ∀ (x : Set A), AlgebraicIndependent R Subtype.val → s ⊆ x → x ⊆ univ → x = s

Context: t : Set A

Context: ht : AlgebraicIndependent R Subtype.val

Context: hr : s ≤ t


Context: G : Type u_1

Context: AddGroup G

Context: k : Set G

Context: p : G → Prop

Context: x : G

Context: h : x ∈ AddSubgroup.closure k

Context: mem : ∀ x ∈ k, p x

Context: one : p 0

Context: mul : ∀ (x y : G), p x → p y → p (x + y)

Context: inv : ∀ (x : G), p x → p (-x)


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
LinearOrder α
m n : ℕ
s : Finset α
hm : s.card = m
hn : sᶜ.card = n
i : Fin n

(finSumEquivOfFinset hm hn) (Sum.inr i) = (sᶜ.orderEmbOfFin hn) i


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: S : L.Substructure (DirectLimit G f)

Context: S_fg : S.FG

Context: A : Finset (DirectLimit G f)

Context: A_closure : (Substructure.closure L).toFun ↑A = S

Context: i : ι

Context: y : { x // x ∈ A } → G i

Context: eq_y : (fun a => ↑a) = fun a => ⟦Structure.Sigma.mk f i (y a)⟧

∃ T, Substructure.map (of L ι G f i).toHom T = S


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
Fintype α
G : SimpleGraph α
DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε

SimpleGraph.triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.encard = 1


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ

(r + 1 + (↑k).smeval (r + 1)) * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) = k.succ • (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + r * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1)


Context:
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
Field K
AddCommGroup V
Module K V
Field K₁
AddCommGroup V₁
Module K₁ V₁
Field K₂
AddCommGroup V₂
Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] V
x : V₁
y : V₂
a : K₁
ha : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : RCLike 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G

AEStronglyMeasurable (↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)) μ


Context:
n : ℕ
c : Fin n → ℂ

torusMap c 0 = Function.const (Fin n → ℝ) c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Group α
MulAction α β
a : α
x : β


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l : ι →₀ 𝕜
i : ι

⟪(Finsupp.total ι E 𝕜 v) l, v i⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) (l i)


Context:
m n : ℕ
h : m.Coprime n


Context:
c : ℂ
R : ℝ


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
α β : A₁ ⟶ A₂

F.map (α.f + β.f) ≫ A₂.str = A₁.str ≫ (α.f + β.f)


Context: motive : Nat → Sort u_1

Context: zero : motive 0

Context: succ : (n : Nat) → motive n → motive (n + 1)

Context: n : Nat

Nat.recAux zero succ (n + 1) = succ n (Nat.recAux zero succ n)


Context:
R : Type u_1
CommRing R
K : Type u_5
CommRing K
Algebra R K
IsFractionRing R K
I J : Ideal R

IsLocalization.coeSubmodule K I ≤ IsLocalization.coeSubmodule K J ↔ I ≤ J


Context:
x : Cardinal.{v}
m : ℕ∞


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
ht : IsLowerSet t

Disjoint (↑(upperClosure s)) t ↔ Disjoint s t


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_2} D

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms D

Context: S : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: h : S.ShortExact

Context: F : CategoryTheory.Functor C D

Context: F.PreservesZeroMorphisms

Context: F.PreservesLeftHomologyOf S

Context: F.PreservesRightHomologyOf S

Context: CategoryTheory.Mono (F.map S.f)

Context: CategoryTheory.Epi (F.map S.g)


Context:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
m : τ → τ
f₁ f₂ : Filter τ
hf : Tendsto m f₁ f₂

ω f₁ (fun t x => ϕ (m t) x) s ⊆ ω f₂ ϕ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a✝ b : α
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α
a : α
h : ∃ i, p i

a ⊔ ⨆ i, ⨆ (h : p i), f i h = ⨆ i, ⨆ (h : p i), a ⊔ f i h


Context:
A : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
CategoryTheory.Category.{v₃, u₃} T
L : CategoryTheory.Functor A T
R₁ R₂ : CategoryTheory.Functor B T
r r' : R₁ ⟶ R₂
h : r = r'
X : CategoryTheory.Comma L R₁

((CategoryTheory.Comma.mapRightEq L r r' h).inv.app X).left = CategoryTheory.CategoryStruct.id X.left


Context:
α : Type u_1
Preorder α
a b : α


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier

Context: h₂ : IsClosed K₂.carrier

Context: U₁ U₂ : Set G

Context: h1U₁ : IsOpen U₁

Context: h1U₂ : IsOpen U₂

Context: h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁

Context: h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂

Context: hU : Disjoint U₁ U₂

Context: L₁ : Set G

Context: h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1

Context: V₁ : Set G

Context: h1V₁ : V₁ ⊆ L₁

Context: h2V₁ : IsOpen V₁

Context: h3V₁ : 1 ∈ V₁

Context: h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁

Context: L₂ : Set G

Context: h1L₂ : L₂ ∈ 𝓝 1

Context: V₂ : Set G

Context: h1V₂ : V₂ ⊆ L₂

Context: h2V₂ : IsOpen V₂

Context: h3V₂ : 1 ∈ V₂

Context: h2L₂ : K₂.carrier * V₂ ⊆ U₂

Context: eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₁ + f K₂ - f (K₁ ⊔ K₂)

chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) = chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂


Context:
m : Type u_2
n : Type u_3
α : m → n → Type v
(i : m) → (j : n) → Neg (α i j)
M : DMatrix m n α
i : m
j : n


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_4
s : ι → Set α

⋂ i, s i = Set.univ ↔ ∀ (i : ι), s i = Set.univ


Context: A : Type u_1

Context: inst✝ : SeminormedCommGroup A

Context: a : A

Context: m n : ℕ

Context: δ : ℝ

Context: hn : 0 < n

Context: han : ∀ {b : A}, orderOf b = n → orderOf (a * b) = n

⋃ i, ⋃ (_ : orderOf i = n), ball (a * i) δ = ⋃ x, ⋃ (_ : orderOf x = n), ball x δ


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid M₂
f g : M →+ M₂
h : f.toNatLinearMap = g.toNatLinearMap
x : M


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝² : MetricSpace X

Context: inst✝¹ : MetricSpace Y

Context: Φ✝ : Z → X

Context: Ψ✝ : Z → Y

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty Z

Context: Φ : Z → X

Context: Ψ : Z → Y

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: x y : Y

Context: h : glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inr y) = 0


Context:
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
SeminormedAddCommGroup G
NormedSpace 𝕜 G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
𝕜' : Type u_1
NormedField 𝕜'
NormedSpace 𝕜' G
SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
c : 𝕜'

‖c • f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖


Context:
E : Type u_1
SeminormedAddCommGroup E
δ : ℝ
x : E

-Metric.closedBall x δ = Metric.closedBall (-x) δ


Context:
α : Type u_1
LinearOrderedField α
a : α


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
D : Type u_1
CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} D
P : CategoryTheory.MorphismProperty C
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : P f


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : HasExt C

Context: X Y Z T : C

Context: n : ℕ

Context: α : Ext X Y n

Context: m : ℕ

Context: β₁ β₂ : Ext Y Z m

Context: p : ℕ

Context: h : n + m = p

Context: this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C

(α.comp (β₁ + β₂) h).hom = (α.comp β₁ h + α.comp β₂ h).hom


Context:
R : Type u
CommRing R
b c d : R


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x✝ : 𝕜

Context: s✝ t✝ : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: f : 𝕜 → F

Context: s t : Set 𝕜

Context: h : s ⊆ closure (s ∩ t)

Context: x : 𝕜

Context: H : (𝓝[s \ {x}] x).NeBot

Context: H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x

Context: I : (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x).NeBot

Context: this : Tendsto (slope f x) (𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x) (𝓝 (derivWithin f s x))

Context: y : 𝕜

Context: hy : y ∈ (s ∩ t) \ {x}

(y - x)⁻¹ • (f y - f x) ∈ (Submodule.span 𝕜 (f '' t)).topologicalClosure


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
DecidableEq α
Fintype β
f : β → α
Fintype ↑(Set.range f)

(Set.range f).toFinset = Finset.image f Finset.univ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : BiheytingAlgebra α
inst✝² : BiheytingAlgebra β
inst✝¹ : BiheytingAlgebra γ
inst✝ : BiheytingAlgebra δ
f f₁ f₂ : BiheytingHom α β
g g₁ g₂ : BiheytingHom β γ
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α


Context:
L : FirstOrder.Language
ι : Type v
Preorder ι
Nonempty ι
IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
M : Type u_1
L.Structure M
S : ι →o L.Substructure M
i : ι
x : ↥(S i)

(FirstOrder.Language.DirectLimit.Equiv_iSup S)
    ((FirstOrder.Language.DirectLimit.of L ι (fun x => ↥(S x))
        (fun x x_1 h => FirstOrder.Language.Substructure.inclusion ⋯) i)
      x) =
  (FirstOrder.Language.Substructure.inclusion ⋯) x


Context:
k : Type u_2
Field k
φ : PowerSeries k

φ⁻¹ = PowerSeries.inv.aux ((PowerSeries.constantCoeff k) φ)⁻¹ φ


Context: μ ν : YoungDiagram


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
a : R
n : ℕ
h : p ≠ 0
h2 : p * (X - C a) ^ n ≠ 0

rootMultiplicity a (p * (X - C a) ^ n) = rootMultiplicity a p + n


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
DecidableEq ι
Fintype ι
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type u_3
(i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
y : E i

HasFDerivAt (Function.update x i) (ContinuousLinearMap.pi (Pi.single i (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (E i)))) y


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
Ring R
CommMonoid M
ψ : AddChar R M
r x : R


Context:
k : Type u
inst✝ : CommRing k
G : Grp
X Y : Rep k ↑G
f : ↑X.V →ₗ[k] ↑Y.V
g : ↑G

Y.ρ g ∘ₗ f ∘ₗ X.ρ g⁻¹ = f ↔ f ∘ₗ X.ρ g = Y.ρ g ∘ₗ f


Context:
α : Type u
s : Set α

Cardinal.mk ↑s ≤ Cardinal.aleph0 ↔ s.Countable


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic R
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
φ : R →+* S
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableEq R


Context:
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
Norm E
Norm F
l : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
h : f₂ =O[l] g


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hq : 0 < q.radius
hp : 0 < p.radius
rq rp : ℝ≥0
hrp : rp < 1 ∧ ↑rp < p.radius
hrq : rq < 1 ∧ ↑rq < q.radius
rp_pos : 0 < rp
rq_pos : 0 < rq
Cq : ℝ≥0
_hCq0 : Cq > 0
hCq : ∀ (n : ℕ), ‖q n‖₊ * rq ^ n ≤ Cq
Cp : ℝ≥0
hCp1 : Cp ≥ 1
hCp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖₊ * rp ^ n ≤ Cp
r0 : ℝ≥0 := (4 * Cp)⁻¹
r0_pos : 0 < r0
r : ℝ≥0 := rp * rq * r0
r_pos : 0 < r

∃ r > 0, Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁶ : LinearOrder ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : SecondCountableTopology ι
inst✝¹ : BorelSpace ι
inst✝ : TopologicalSpace β
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
h : ProgMeasurable f u
hτ : IsStoppingTime f τ
n : ι
hτ_le : ∀ (ω : Ω), τ ω ≤ n


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
NormedField 𝕜
AddCommGroup E
Module 𝕜 E
TopologicalSpace E
ContinuousSMul 𝕜 E
x : E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : a ∉ s → f a = 1
x : α
hx : x ∈ mulSupport f
hxs : x ∈ s


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : β → β → γ
g : α → β
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
fab : α → β
fbc : β → γ
ga : α → α
gb : β → β
gc : γ → γ
hbc : Function.Semiconj fbc gb gc
hab : Function.Semiconj fab ga gb


Context:
a x z✝ z : ℂ
hz : z = 0

0 < z.re ∨ 0 ≤ z.im ∧ (z.im < 0 ∨ z = 0) ↔ 0 < z.re ∨ z = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁✝ s₂✝ t✝ t₁ t₂ u t s₁ s₂ : Set α
h : s₁ ⊆ s₂
x : α


∀ {α : Type u_1} {a : α} {l : List α}, (a :: l).get 0 = a


Context: M : Type u_1

Context: CommMonoid M

Context: TopologicalSpace M

Context: m m' : M

Context: ContinuousMul M

Context: f : ℤ → M

Context: hf₁ : HasProd (fun n => f ↑n) m

Context: hf₂ : HasProd (fun n => f (-(↑n + 1))) m'


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R S : Set G

Context: inst✝ : Finite ↑(commutatorSet G)

Context: hG : ¬(center G).index = 0

Context: this✝ : (center G).FiniteIndex

Context: h1 : (center G).relindex (_root_.commutator G) ∣ (center G).index

Context: this : ((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)).FiniteIndex

Context: h2 : Group.rank ↥((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)) ≤ ((center G).subgroupOf (_root_.commutator G)).index * Group.rank ↥(_root_.commutator G)

Context: h3 : (center G).relindex (_root_.commutator G) * Group.rank ↥(_root_.commutator G) ≤ (center G).index * Nat.card ↑(commutatorSet G)

∀ (g : ↥((center G).subgroupOf (_root_.commutator G))), g ^ (center G).index = 1


Context:
R : Type u
Semiring R


Context:
α : Type u_2
DecidableEq α
Add α
s t : Finset α

Finset.image (fun x => x.1 + x.2) (s ×ˢ t) = s + t


Context:
p q y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
hp : 1 < p
M : ℤ
h : LiouvilleWith p ↑M


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s : z ⊔ x ⊓ y = x \ y ⊔ x ⊓ y
i : x ⊓ y ⊓ z = x \ y ⊓ (x ⊓ y)


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a x y : M


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
s t : Set α
h : Disjoint s t

⨆ a ∈ s, LinearMap.range (Finsupp.lsingle a) ≤ ⨅ a ∈ t, LinearMap.ker (Finsupp.lapply a)


Context:
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
E : Set α


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : MeasureTheory.SimpleFunc α ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure α


Context: C : Type u_3

Context: CategoryTheory.Category.{u_1, u_3} C

Context: r : HomRel C

Context: D : Type u_4

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_4} D

Context: F : CategoryTheory.Functor (CategoryTheory.Quotient r) D

CategoryTheory.Quotient.natTransLift r (CategoryTheory.CategoryStruct.id ((CategoryTheory.Quotient.functor r).comp F)) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id F


Context:
N : Type u_1
G : Type u_2
Group N
Group G
φ : G →* MulAut N
a : N ⋊[φ] G


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
E : EllipticCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R
hu : (↑C.u * ↑C.u⁻¹) ^ 12 = 1


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : Zero β✝
inst✝¹ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β✝
β : Type u_5
inst✝ : MonoidWithZero β
f g : α →ₛ β
hf : f.FinMeasSupp μ
hg : g.FinMeasSupp μ

(map (fun p => p.1 * p.2) (f.pair g)).FinMeasSupp μ


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_2, u_1} C

Context: f g : CategoryTheory.ComposableArrows C 2

Context: app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯

Context: app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯

Context: app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯

Context:
w₀ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 0 1 ⋯ ⋯) app₁.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₀.hom (g.map' 0 1 ⋯ ⋯)

Context:
w₁ :
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp (f.map' 1 2 ⋯ ⋯) app₂.hom =
    CategoryTheory.CategoryStruct.comp app₁.hom (g.map' 1 2 ⋯ ⋯)

(CategoryTheory.ComposableArrows.isoMk₂ app₀ app₁ app₂ w₀ w₁).hom =
  CategoryTheory.ComposableArrows.homMk₂ app₀.hom app₁.hom app₂.hom w₀ w₁


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
s✝ t✝ r s t : Set α
h : Disjoint s t


Context:
α : Type u_1
f : α → ℕ
a b : α
DecidableEq α
h : a ≠ b
h₁ : f a = 1


Context:
G : Type v
Group G
PseudoEMetricSpace G
IsometricSMul G G
IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G

∀ (a : G), (IsometryEquiv.inv G) a = a⁻¹


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.2010, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
p q : ℤ
hpq : p + -1 = q

(inl φ).v p q hpq ≫ (triangle φ).mor₃.f q = -(K.shiftFunctorObjXIso 1 q p ⋯).inv


Context:
n : ℕ
R : Type u_1
Semiring R


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
Ring R
Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: h : Integrable I l f vol

Context: h0 : 0 < ε

Context: hπ : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π

Context: π₀ : Prepartition I

Context: hU : π.iUnion = π₀.iUnion

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : 0 < δ

Context: δ' : ℝ := δ / (↑π₀.boxes.card + 1)

dist (integralSum f vol π) (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ≤ ε + δ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_3
E' : Type u_6
F' : Type u_7
Norm E
SeminormedAddCommGroup E'
SeminormedAddCommGroup F'
f : α → E
f' : α → E'
g' : α → F'
l : Filter α
h : f =O[l] g'


Context:
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
Preorder β
OrderTop β
f : α → β
H : StrictMono f
a : α
h_top : f a = ⊤
x : α


Context:
X Y : Type u
x : X
y : Y


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_7
Semiring R
Semiring R₂
AddCommMonoid M
AddCommMonoid M₂
Module R M
Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_9
FunLike F M M₂
SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
f : F
q q' : Submodule R₂ M₂

q ≤ q' → Submodule.comap f q ≤ Submodule.comap f q'


Context: α : Type u_1

Context: AddCommSemigroup α

Context: PartialOrder α

Context: ExistsAddOfLE α

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: Sub α

Context: OrderedSub α

Context: a b c : α

Context: ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: h₁ : a ≤ b

Context: h₂ : c ≤ b


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a : α
l : List α

Cycle.Chain r ↑(a :: l) ↔ List.Chain r a (l ++ [a])


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : LinearOrder β

Context: f : α → β

Context: 𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)

Context: s t u : Finset α

Context: a b : α

Context: r : ℕ

Context: inst✝ : Fintype α

Context: t₁ t₂ : Finset α

Context: ht₁ : s.card = t₁.card ∧ { ofColex := t₁ } ≤ { ofColex := s }

Context: ht₂ : { ofColex := t₂ } < { ofColex := t₁ } ∧ t₂.card = s.card


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
n : ℕ

UniformContinuous fun x => f x ^ Int.negSucc n


Context:
x : ℝ
hx : x ≠ 0


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R✝
S✝ : Submonoid R✝
P✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing P✝
inst✝⁶ : Algebra R✝ P✝
loc : IsLocalization S✝ P✝
R : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
S : Submonoid R
P : Type u_4
inst✝³ : Nontrivial P
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R P
hR : IsNoetherianRing R
hS : S ≤ R⁰
I : FractionalIdeal S P
this : FG I.num


Context:
R : Type u_1
CommRing R
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
AddCommGroup M₁
AddCommGroup M₂
AddCommGroup M₃
Module R M₁
Module R M₂
Module R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
e₁₂ : QuadraticMap.IsometryEquiv Q₁ Q₂
e₂₃ : QuadraticMap.IsometryEquiv Q₂ Q₃

(CliffordAlgebra.equivOfIsometry e₁₂).trans (CliffordAlgebra.equivOfIsometry e₂₃) =
  CliffordAlgebra.equivOfIsometry (e₁₂.trans e₂₃)


Context:
k G : Type u
Field k
Monoid G
V : Type u
AddCommGroup V
Module k V
FiniteDimensional k V
ρ : Representation k G V


Context:
X : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring M
inst✝ : Module M X
P : { P // IsLprojection X P }


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: a : A

Context: t : ℝ≥0

Context: ha : IsSelfAdjoint a

Context: ht : ‖a‖₊ ≤ t

Context: this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)

SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal ↔ ‖(algebraMap ℝ A) ↑t - a‖₊ ≤ t


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
AddGroup G
AddAction G α
g h : G
comm : AddCommute g h
j : ℤ

j • h +ᵥ AddAction.fixedBy α g = AddAction.fixedBy α g


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
gt_zero : 0 < b (min_bi b)


Context:
R : Type u
M : Type v
Ring R
AddCommGroup M
Module R M
StrongRankCondition R
Module.Finite R M
ι : Type u_1
Fintype ι
b : ι → M
h : LinearIndependent R b

Fintype.card ι ≤ FiniteDimensional.finrank R M


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: Preorder α

Context: Zero β

Context: Preorder β

Context: Zero γ

Context: Preorder γ

Context: SMul α β

Context: SMul α γ

Context: f : β → γ

Context: SMulPosMono α γ

Context: hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, f b₁ ≤ f b₂ ↔ b₁ ≤ b₂

Context: smul : ∀ (a : α) (b : β), f (a • b) = a • f b

Context: zero : f 0 = 0


Context:
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
Fintype ι
DecidableEq ι
i : ι
f g : (i : ι) → π i

(Finset.univ.erase i).piecewise f g = Function.update f i (g i)


Context:
R : Type u_1
NonUnitalNonAssocSemiring R
r : R

⇑(AddMonoidHom.mulRight r) = fun x => x * r


Context:
α : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : MeasureTheory.Measure α
m : MeasurableSpace α
hm : m ≤ m0


Context:
t : ℝ≥0∞
t_ne_top : t ≠ ⊤


Context:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
p : ℕ × Fin n


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W : Submodule R M
v : Module.Dual R M


Context:
u : ℤˣ
n : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
LinearOrder α
PartialOrder β
f : α → β
hf : Antitone f


Context:
α : Type u_1
s : Set α
a : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ι → E
g : ι → ℝ
hg : Summable g
h : ∀ᶠ (i : ι) in cofinite, ‖f i‖ ≤ g i


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E
hAB : IsExtreme 𝕜 A B
hBC : IsExtreme 𝕜 B C


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H

(∀ (i : ι), DifferentiableAt 𝕜 (fun x => (⇑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜) ∘ f) x i) y) ↔ ∀ (i : ι), DifferentiableAt 𝕜 (fun x => f x i) y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x

HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) (mfderivWithin I I' f s x) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context:
α : Type u
CompleteLattice α
f : α →o α
x : α

∃ a < (Order.succ (Cardinal.mk α)).ord,
  ∃ b < (Order.succ (Cardinal.mk α)).ord, a ≠ b ∧ OrdinalApprox.lfpApprox f x a = OrdinalApprox.lfpApprox f x b


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F

Context: A : nhds 0 = ⨅ i, Filter.comap (⇑(schwartzSeminormFamily ℝ E F i)) (nhds 0)

nhds 0 = ⨅ i, Filter.comap (⇑(schwartzSeminormFamily 𝕜 E F i)) (nhds 0)


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x

∃ f, tsupport f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 ∧ f x = 1


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
a : α
s : Set α

ContinuousWithinAt f s a ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : α}, x ∈ s → dist x a < δ → dist (f x) (f a) < ε


Context:
α : Type u_1
Preorder α
DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x : α
t : Ordset α
h_mem : x ∈ t


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: q : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: f : ↥(lp E ⊤)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
h : ↑p ^ (-padicValRat p q) = 0
hq : ¬q = 0


Context: G : Type u

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Finite G

Context: p n : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G

Context: H : Subgroup G

Context: hH : Nat.card ↥H = p ^ n

Context: s : ℕ

Context: hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)

Context: hcard : Nat.card (G ⧸ H) = s * p

Context: hm : s * p % p = Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer) % p

Context: hm' : p ∣ Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer)

Context: x : ↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer

Context: hx : orderOf x = p

Context: hequiv : ↥H ≃ ↥(H.subgroupOf H.normalizer)

Context: y : G

Context: hy : y ∈ H


Context: R : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: inst✝ : HasColimit (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)

Context: j : J

Context: r : R

colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j ≫ (mkOfSMul (coconePointSMul F)).smul r = (F.obj j).smul r ≫ colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x

Context: v w : E

Context: hv : x + v ∈ interior s

Context: hw : x + v + w ∈ interior s


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid α

Context: inst✝³ : Nontrivial α

Context: inst✝² : DenselyOrdered α

Context: inst✝¹ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝ : Finite ι

Context: x : ι → α

Context: val✝ : Fintype ι

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: ε : ι → α

Context: hε✝ : ∀ (i : ι), 0 < ε i

Context: h : ∀ (i : ι), x i < (x + ε) i

Context: hxε : ∀ (i : ι), x i + ε i = (x + ε) i

Context: hε : 0 < Finset.univ.inf' ⋯ ε

Context: δ : α

Context: hδ : 0 < δ

Context: hδε : δ < Finset.univ.inf' ⋯ ε


Context:
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
Traversable t
m : Type u → Type u
Applicative m
α β : Type u
f : α → m β
x : t' α

Equiv.traverse eqv f x = ⇑(eqv β) <$> traverse f ((eqv α).symm x)


Context: p : ℝ[X]

Tendsto (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * rexp (-x⁻¹)) (𝓝 0 ⊓ 𝓟 {x | ¬x ≤ 0}) (𝓝 0)


Context:
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.45742, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.45746, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C


Context:
α : Type u
β : Type v
R : α → α → Prop
f : β → α
b : β
l : List β

List.Chain R (f b) (List.map f l) ↔ List.Chain (fun a b => R (f a) (f b)) b l


Context:
X : Type u
TopologicalSpace X
s : Set X


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
f : X → Y
g : Y → Z
TopologicalSpace X
TopologicalSpace Y
hf : OpenEmbedding f
l : Filter Z
x : X

Filter.Tendsto (g ∘ f) (𝓝 x) l ↔ Filter.Tendsto g (𝓝 (f x)) l


Context:
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
x z : ℂ


Context:
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n✝ : ℕ
hx : x ∈ periodicPts f
n : ℕ

((List.map (fun n => f^[n] x) (List.range (minimalPeriod f x))).rotate n).length = (List.map (fun n_1 => f^[n_1] (f^[n] x)) (List.range (minimalPeriod f (f^[n] x)))).length


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
C : Type u_6
inst✝ : CommGroup C
s t : Subgroup C
x✝ x y z : C

z ∈ closure {x, y} ↔ ∃ m n, x ^ m * y ^ n = z


Context: G : Type u_1

Context: α : Type u_3

Context: Group G

Context: MulAction G α

Context: MeasurableSpace α

Context: s : Set α

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: G' : Type u_6

Context: Group G'

Context: MulAction G' α

Context: MeasurableSpace G'

Context: MeasurableSMul G' α

Context: MeasureTheory.SMulInvariantMeasure G' α μ

Context: SMulCommClass G' G α

Context: h : MeasureTheory.IsFundamentalDomain G s μ

Context: g : G'

MeasureTheory.IsFundamentalDomain G (g • s) μ


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: w₁✝ : InfinitePlace K

Context: B : ℕ

Context: hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B

Context: w₁ : InfinitePlace K

∃ u, ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → Real.log (w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑u)) < 0


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : Semiring R✝

Context: r✝ : R✝

Context: f✝ : R✝[X]

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R[X]

Context: r : R

Context: h : ∀ (k : ℕ), eval r ((hasseDeriv k) f) = 0


Context: C : Type u₁

Context: CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context:
{X Y : Cᵒᵖ} →
    (f : X ⟶ Y) →
      CategoryTheory.Limits.PreservesColimit (F ⋙ PresheafOfModules.evaluation R Y)
        (ModuleCat.restrictScalars (R.map f))

Context: ∀ (X : Cᵒᵖ), CategoryTheory.Limits.HasColimit (F ⋙ PresheafOfModules.evaluation R X)

Context: X : Cᵒᵖ

(PresheafOfModules.colimitBundledCore F).obj X = CategoryTheory.Limits.colimit (F ⋙ PresheafOfModules.evaluation R X)


Context: a b : ℝ

∫ (x : ℝ) in a..b, rexp x = rexp b - rexp a


Context: k : Turing.PartrecToTM2.Cont'

Turing.PartrecToTM2.codeSupp Turing.ToPartrec.Code.succ k =
  Turing.PartrecToTM2.trStmts₁ (Turing.PartrecToTM2.trNormal Turing.ToPartrec.Code.succ k) ∪
    Turing.PartrecToTM2.contSupp k


Context: X : PartialFun

partialFunEquivPointed.unitIso.inv.app X =
  pointedToPartialFun.map { toFun := Option.elim' none fun a => some ⟨some a, ⋯⟩, map_point := ⋯ } ≫
    pointedToPartialFun.map (Pointed.Iso.mk (Equiv.optionSubtypeNe none) ⋯).hom ≫
      (PartialFun.Iso.mk
          { toFun := fun a => ⟨some a, ⋯⟩, invFun := fun a => (↑a).get ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }).inv


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: f : Filter α

Context: u v : α → β

Context: h₁ : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝

Context: h₂ : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v) _auto✝

Context: h₃ : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝

Context: h₄ : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v) _auto✝

Context: bddmax : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => u a ⊔ v a

Context: cobddmax : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => max (u a) (v a)

limsup (fun a => max (u a) (v a)) f ≤ max (limsup u f) (limsup v f)


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: z : ℤ_[p]

Context: hev : Polynomial.eval z F = 0

Context: hnlt : ‖z - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖

Context: soln_dist : ‖z - soln‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖

Context: h : ℤ_[p] := z - soln

Context: q : ℤ_[p]

Context: hq : Polynomial.eval (soln + h) F = Polynomial.eval soln F + Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) * h + q * h ^ 2

Polynomial.eval (soln + h) F = Polynomial.eval soln (Polynomial.derivative F) * h + q * h ^ 2


Context:
α : Type u_1
s : Set αᵒᵖ
a : αᵒᵖ


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalSpace G
K₀ : Set G
f : Compacts G → ℝ

f ∈ haarProduct K₀ ↔ ∀ (K : Compacts G), f K ∈ Icc 0 ↑(index (↑K) K₀)


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor C (Type w)

CategoryTheory.CategoryStruct.comp CategoryTheory.Limits.coprod.inr
    (CategoryTheory.FunctorToTypes.binaryCoproductIso F G).hom =
  CategoryTheory.FunctorToTypes.coprod.inr


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : SupSet α
inst✝¹ : SupSet β
inst✝ : sSupHomClass F α β
f : F
g : ι → α


Context:
c : Prop
Decidable c
a b : Ordering

((if c then a else b) = Ordering.eq) = if c then a = Ordering.eq else b = Ordering.eq


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.30268, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C

Context: u₁₂ : X₁ ⟶ X₂

Context: u₂₃ : X₂ ⟶ X₃

Context: u₁₃ : X₁ ⟶ X₃

Context: comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃

Context: v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂

Context: w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁

Context: h₁₂ : Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃

Context: w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₂

Context: h₂₃ : Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ distinguishedTriangles

Context: v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃

Context: w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁

Context: h₁₃ : Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ distinguishedTriangles

Context: h : Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃

u₁₃ ≫ 𝟙 X₃ = u₁₂ ≫ u₂₃


Context:
R : Type u
A : Type u_1
CommSemiring R
CommRing A
Algebra R A
I J : Ideal A
h : I ≤ J

(↑(DoubleQuot.quotQuotEquivQuotOfLEₐ R h).symm).comp (Ideal.Quotient.mkₐ R J) = DoubleQuot.quotQuotMkₐ R I J


Context:
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ F.support

(Polynomial.C (F d) * d.prod fun n e => f n ^ e).natDegree ≤ m * n


Context:
𝕜 : Type u_1
NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
TopologicalSpace M
ChartedSpace H M
E' : Type u_5
NormedAddCommGroup E'
NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
TopologicalSpace H'
N : Type u_7
TopologicalSpace N
ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
I.Boundaryless

(I.prod J).boundary (M × N) = Set.univ.prod (J.boundary N)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_4
s : Set α
t : ι → Set β
f : α → β
H : ∀ (i : ι), Set.SurjOn f s (t i)


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : ℕ
hk : 1 - X • M.map ⇑C ∣ 1


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : BooleanAlgebra α
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
f : ι → α
a : α


Context:
G : Type u
inst✝ : Group G

commutator G = Subgroup.normalClosure (commutatorSet G)


Context:
α : Type u_2
Div α
f g₁ g₂ : Filter α


Context: L : FirstOrder.Language

Context: L' : FirstOrder.Language

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: ft : (n : ℕ) → L.Term (α ⊕ Fin n) ≃ L'.Term (β ⊕ Fin n)

Context: fr : (n : ℕ) → L.Relations n ≃ L'.Relations n

Context: n : ℕ

∀ (a : L'.BoundedFormula β n),
  (FirstOrder.Language.BoundedFormula.mapTermRelEquiv ft fr).symm a =
    FirstOrder.Language.BoundedFormula.mapTermRel (fun n => ⇑(ft n).symm) (fun n => ⇑(fr n).symm) (fun x => id) a


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_4
DecidableEq ι
Fintype ι
AddCommMonoid α
s : Finset ι
f : ι → α

(∑ i : ι, if i ∈ s then f i else 0) = ∑ i ∈ s, f i


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
a : F
ha : a ≠ 0


Context:
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s

{x | ∃ k > 0, beattySeq r k = x} ∆ {x | ∃ k > 0, beattySeq' s k = x} ⊆ {n | 0 < n}


Context:
M : Type u_4
N : Type u_5
F : Type u_9
Mul M
Mul N
FunLike F M N
MulHomClass F M N
f : F
x y : M


Context:
α : Type u
l : List α
n m : ℕ
hml : m < l.length
hm : (drop (n % l.length) l).length ≤ m

(drop (n % l.length) l ++ take (n % l.length) l)[m]? = l[(m + n) % l.length]?


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
v : V

(toBaseChange A Q) (involute ((ι (QuadraticForm.baseChange A Q)) (1 ⊗ₜ[R] v))) = (Algebra.TensorProduct.map (AlgHom.id A A) involute) ((toBaseChange A Q) ((ι (QuadraticForm.baseChange A Q)) (1 ⊗ₜ[R] v)))


Context:
x✝ y✝ x : ℝ
hex : 1 ≤ x
y : ℝ
hey : 1 ≤ y
hxy : x ≤ y


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a ≤ b - toIcoDiv hp a b • p
hr : b - toIcoDiv hp a b • p < a + p

a + toIcoDiv hp a b • p + p = a + p + toIcoDiv hp a b • p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → ℝ≥0∞

∑' (i : α), ∫⁻ (a : α), f a ∂μ {i} • dirac i = ∑' (a : α), f a * μ {a}


Context:
α : Type u_2
Preorder α
LocallyFiniteOrder α
a b : α


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
Lattice α
Lattice β
f : LatticeHom α β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α (γ × β)
ν : ProbabilityTheory.Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s s' : Set β
h : s ⊆ s'

κ.densityProcess ν n a x s ≤ κ.densityProcess ν n a x s'


Context:
γ : Type u_3
α₁ : Type u_4
α₂ : Type u_5
Fintype α₁
Fintype α₂
AddCommMonoid γ
f : α₁ × α₂ → γ

∑ x : α₁ × α₂, f x = ∑ y : α₂, ∑ x : α₁, f (x, y)


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a x y x' y' : G₀
h : SemiconjBy a x y
h' : SemiconjBy a x' y'


Context: E : Type u_1

Context: AddCommGroup E

Context: Module ℝ E

Context: FiniteDimensional ℝ E

Context: mE : MeasurableSpace E

Context: tE : TopologicalSpace E

Context: TopologicalAddGroup E

Context: BorelSpace E

Context: T2Space E

Context: ContinuousSMul ℝ E

Context: μ : MeasureTheory.Measure E

Context: μ.IsAddHaarMeasure

Context: g : E → ℝ

Context: h1 : g 0 = 0

Context: h2 : ∀ (x : E), g (-x) = g x

Context: h3 : ∀ (x y : E), g (x + y) ≤ g x + g y

Context: h4 : ∀ {x : E}, g x = 0 → x = 0

Context: h5 : ∀ (r : ℝ) (x : E), g (r • x) ≤ |r| * g x

Context: Nontrivial E

Context: r : ℝ


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: p : F[X]

Context: sp : Polynomial.IsSplittingField F E p

Context: hp : p.Separable

Context: hFE : FiniteDimensional F E

Context: this✝¹ : DecidableEq E := Classical.decEq E

Context: s : Set E := p.rootSet E

Context: adjoin_root : IntermediateField.adjoin F s = ⊤

Context: P : IntermediateField F E → Prop := fun K => Fintype.card (↥K →ₐ[F] E) = finrank F ↥K

Context: K : IntermediateField F E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ (p.aroots E).toFinset

Context: hK : Fintype.card (↥K →ₐ[F] E) = finrank F ↥K

Context: this✝ : Module ↥K ↥(↥K)⟮x⟯ := (↥K)⟮x⟯.module

Context: this : IsScalarTower F ↥K ↥(↥K)⟮x⟯ := IntermediateField.isScalarTower (↥K)⟮x⟯

finrank F ↥(IntermediateField.restrictScalars F (↥K)⟮x⟯) = finrank F ↥(↥K)⟮x⟯


Context:
α : Sort u_2
β : Sort u_1
p : α → β → Prop

(∀ (a : α) (b : β), p a b) ↔ ∀ (b : β) (a : α), p a b


Context:
x : ℝ
n : ℤ
h : -1 = 1
hn : ↑(n / 2) * (2 * π) + π = x
hn1 : n % 2 = 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: CommMonoid α

Context: TopologicalSpace α

Context: α' : Type u_5

Context: CommMonoid α'

Context: TopologicalSpace α'

Context: e : α' → α

Context: hes : Function.Surjective e

Context: f : β → α

Context: g : γ → α'

Context: he : ∀ {a : α'}, HasProd f (e a) ↔ HasProd g a


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: CategoryTheory.Category.{u_4, u_1} C

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_2} D

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: CategoryTheory.Preadditive D

Context: F G : CochainComplex C ℤ

Context: φ : F ⟶ G

Context: HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber φ

Context: H : C ⥤ D

Context: H.Additive

Context: HomologicalComplex.HasHomotopyCofiber ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)

(H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map (CochainComplex.mappingCone.inr φ) ≫
    (CochainComplex.mappingCone.mapHomologicalComplexIso φ H).hom =
  CochainComplex.mappingCone.inr ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
u : Set α
hu : u ∈ ↑I
v : Set α
hv : v ∈ ↑(hC.diffFinset₀ hs hI)
x✝ : u ≠ v


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)

↑hx.unit⁻¹ - 1 + x + x * (↑hx.unit⁻¹ - 1) = 0 ∧ x + (↑hx.unit⁻¹ - 1) + (↑hx.unit⁻¹ - 1) * x = 0


Context:
K : Type u_4
L : Type u_5
Field K
Field L
Algebra K L
IsFractionRing K L
I : FractionalIdeal K⁰ L


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j

((of j).comp (φ j)).range ≤ (of j).range


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Setoid α

(∀ (x y : Quotient s), x = y) ↔ ∀ {x y : α}, ⊤ → s.Rel x y


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → ℝ

Context: s : Set α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f_int : IntegrableOn f s μ

Context: g_int : IntegrableOn g s μ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hfg : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] g

Context: h : g - f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => ↑(g x - f x).toNNReal

(μ.prod volume) (regionBetween f g s) = ENNReal.ofReal (∫ (y : α) in s, (g - f) y ∂μ)


Context:
n m : ℕ
j : Fin n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ 0


Context: α : Type u

Context: CommGroup α

Context: LT α

Context: CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c : α


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: s : ℕ

Context: hs : s ≤ k

Context: hodd : p ≠ 2

(Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger ^ ↑p ^ s - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ s


Context: ι : Type u

Context: f✝ : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: f : ι → Ordinal.{max u u_1} → Ordinal.{max u u_1}

Context: o : Ordinal.{max u_1 u}

derivFamily f o < derivFamily f (succ o)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
f : ι → ℝ≥0∞
g : ι' → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι) (j : ι'), f i + g j ≤ a


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
l : List α
f : Equiv.Perm α

f ∈ permsOfList l → ∀ (x : α), f x ≠ x → x ∈ l


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
NormedAddCommGroup E
NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)

Context: hf : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt f (v t (f t)) t ∧ f t ∈ s t

Context: hg : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt g (v t (g t)) t ∧ g t ∈ s t

Context: heq : f t₀ = g t₀

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: h : ∀ y ∈ ball t₀ ε, (HasDerivAt f (v y (f y)) y ∧ f y ∈ s y) ∧ HasDerivAt g (v y (g y)) y ∧ g y ∈ s y


Context:
α : Type u
β : Type v
CompleteLattice α
CompleteLattice β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set β


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
CommRing R
CommRing A
Algebra R A
Algebra.IsIntegral R A
h' : Algebra.FiniteType R A


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
x y : V


Context:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
c d : ℕ → ℝ
ss : Icc a b ⊆ ⋃ i, Ioo (c i) (d i)

ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑' (i : ℕ), ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: s t : Set E

Context: a : ℝ

Context: hs₀ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : ℝ⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s

Context: r : ℝ

Context: hr : r > 0

Context: b : ℝ

Context: hb : 0 < b

Context: x : E

Context: hx' : x ∈ s

Context: hs₂ : Absorbs ℝ s {(fun x => b • x) x}

Context: hx : (fun x => b • x) x ∉ a • s

Context: h : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → {(fun x => b • x) x} ⊆ c • s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
g : β → γ
b : β
s : Set β
inst✝ : Decidable (b ∈ s)
hb : b ∈ s


Context: α : Type u

Context: AddGroup α

Context: Preorder α

Context: CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a : α

Context: h : a < 0


Context:
b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : IsUnit 0


Context:
ι : Type u_1
Fintype ι
𝕜 : Type u_2
NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type u_3
(i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
(i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

PiTensorProduct.injectiveSeminorm =
  sSup
    {p |
      ∃ G x x_1,
        p =
          (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp
            (PiTensorProduct.toDualContinuousMultilinearMap G)}


Context:
R : Type u_1
Ring R
E : Type u_2
AddCommGroup E
Module R E
F : Type u_3
AddCommGroup F
Module R F
f : E →ₗ.[R] F


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
S : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
r : R

(algebraMap R S) r ∈ quasispectrum S a ↔ r ∈ quasispectrum R a


Context:
R : Type u
S : Type v
CommRing R
CommRing S
Algebra R S
P : Algebra.Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
CommRing R'
CommRing S'
Algebra R' S'
P' : Algebra.Generators R' S'
Algebra R R'
Algebra S S'
Algebra R S'
IsScalarTower R R' S'
IsScalarTower R S S'
f : P.Hom P'
x : ↥P.ker

(Algebra.Generators.Cotangent.map f) (Algebra.Generators.Cotangent.mk x) =
  Algebra.Generators.Cotangent.mk ⟨f.toAlgHom ↑x, ⋯⟩


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a : R

(if a0 : a = 0 then 0 else let_fun x := ⋯; gcd (0 % a) a) = a


Context:
R : Type u
Semiring R
p : R[X]
n : ℕ

(Polynomial.erase n p).toFinsupp = Finsupp.erase n p.toFinsupp


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
x : A ⊗[R] M

x ∈ span A ↑(LinearMap.range ((TensorProduct.mk R A M) 1))


Context:
R : Type uR
M₂ : Type uM₂
CommRing R
AddCommGroup M₂
Module R M₂
Invertible 2
Q₂ : QuadraticForm R M₂

QuadraticMap.comp Q₂ ↑(TensorProduct.lid R M₂) = QuadraticForm.tmul QuadraticMap.sq Q₂


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : 2 * n < j


Context: m n : ℕ+


Context: n : Nat


Context:
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
NonAssocSemiring α
Preorder α
NonAssocSemiring β
Preorder β
NonAssocSemiring γ
Preorder γ
NonAssocSemiring δ
Preorder δ
f : γ →+*o δ
g : β →+*o γ
h : α →+*o β


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
m n : ℕ
hmn : m ≤ n

f (x * c ^ n) / f c ^ n ≤ f (x * c ^ m) / f c ^ m


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v : V
d : G.Dart
p : G.Walk u v


Context:
E : Type u_6
SeminormedGroup E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
Countable ι
μ : ι → MeasureTheory.Measure β

(ProbabilityTheory.Kernel.sum fun n => ProbabilityTheory.Kernel.const α (μ n)) =
  ProbabilityTheory.Kernel.const α (MeasureTheory.Measure.sum μ)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C : ℝ

Context: hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal

Context: f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

‖SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f)‖ ≤ C * ∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖


Context:
F : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
x y : R✝
r : ℝ
inst✝⁴ : NonAssocRing R✝
inst✝³ : DecidableEq R✝
inst✝² : NoZeroDivisors R✝
inst✝¹ : Nontrivial R✝
R : Type u_4
inst✝ : Ring R
f g : MulRingNorm R
c : ℝ
hcpos : 0 < c
h : (fun x => f x ^ c) = ⇑g


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_1} C

Context: X Y : SimplicialObject C

Context: s : Splitting X

Context: Z : C

Context: Δ : SimplexCategoryᵒᵖ

Context: F : (A : IndexSet Δ) → s.N (unop A.fst).len ⟶ Z

Context: A : IndexSet Δ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f


Context:
α : Type w₂
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
f : α → C
CategoryTheory.Limits.HasCoproduct f

(CategoryTheory.Limits.Sigma.map fun a => 𝟙 (f a)) = 𝟙 (∐ f)


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
f : L.Functions 2
t₁ t₂ : L.Term α
v : α → M

(funMap f fun i => realize v (![t₁, t₂] i)) = funMap f ![realize v t₁, realize v t₂]


Context:
a b : UInt64
h : a = b


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : X ⟶ Z

Context: t : CategoryTheory.Limits.PushoutCocone f g


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
OrderedRing R
AddCommGroup V
Module R V
AddTorsor V P
NoZeroSMulDivisors R V
w x y z : P
h₁ : Sbtw R w x z
h₂ : Sbtw R x y z


Context:
α : Type u_2
GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
PartialOrder α
PartialOrder β
x y : α × β


Context: L : FirstOrder.Language

Context: ι : Type v

Context: Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

Context: Nonempty ι

Context: P : Type u₁

Context: L.Structure P

Context: g : (i : ι) → G i ↪[L] P

Context: Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x

(FirstOrder.Language.DirectLimit.lift L ι G f g Hg).toHom.range = ⨆ i, (g i).toHom.range


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
hμν : μ ≪ ν
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
s : Set α
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : ν s < ⊤
hs_eq : s = f ⁻¹' (f '' s)

∫⁻ (a : β), (map f μ).rnDeriv (map f ν) a ∂map f (ν.restrict s) = μ s


Context:
α : Type u_2
DecidableEq α
Mul α
s t : Finset α

(s * t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: B : C

Context: α : Type u_2

Context: X : α → C

Context: π : (a : α) → X a ⟶ B

Context: inst✝³ : HasCoproduct X

Context: inst✝² : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X) (a : α), HasPullback g (Sigma.ι X a)

Context: inst✝¹ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), HasCoproduct fun a => pullback g (Sigma.ι X a)

Context: inst✝ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), Epi (Sigma.desc fun a => pullback.fst g (Sigma.ι X a))

Context: W : C

Context: e : (a : α) → X a ⟶ W

Context: h : ∀ {Z : C} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ X a₁) (g₂ : Z ⟶ X a₂), g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂ → g₁ ≫ e a₁ = g₂ ≫ e a₂

Context: Z : C

Context: g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b

Context: hg : g₁ ≫ Sigma.desc π = g₂ ≫ Sigma.desc π

Context: a b : α

pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.snd g₁ (Sigma.ι X a) ≫ e a = pullback.fst (pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂) (Sigma.ι X b) ≫ pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂ ≫ Sigma.desc e


Context: r : ℝ


Context:
C : Type u
A : Type u_1
CategoryTheory.Category.{v, u} C
AddGroup A
CategoryTheory.HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : A

(CategoryTheory.shiftFunctor C i).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C (-i)).map f) =
  CategoryTheory.CategoryStruct.comp ((CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId C (-i) i ⋯).hom.app X)
    (CategoryTheory.CategoryStruct.comp f ((CategoryTheory.shiftFunctorCompIsoId C (-i) i ⋯).inv.app Y))


Context:
M : Type u_1
AddZeroClass M
S : AddSubmonoid M


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type x
UniformSpace β
F : ι → α → β
s : Set α
p : Filter ι
s' : Set α
hf : UniformCauchySeqOn F p s
hss' : s' ⊆ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
h : b.IsLimit
H : ∀ b' < b, a * b' ≤ c


Context:
G : Type u_1
AddGroup G
S : Type u_6
H K : S
SetLike S G
AddSubgroupClass S G
h : H ≤ K
x : G
hx : x ∈ H

(AddSubgroupClass.inclusion h) ⟨x, hx⟩ = ⟨x, ⋯⟩


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ s
B : ℕ → Set α := spanningSets μ

∃ K ⊆ s, (fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤) K ∧ r < μ K


Context: α : Type u_1

Context: CancelCommMonoidWithZero α

Context: DecidableEq (Associates α)

Context: (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)

Context: p : Associates α

Context: hp : ¬Irreducible p


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Limits.HasZeroMorphisms C

Context: S : CategoryTheory.ShortComplex C

Context: h : S.HomologyData

CategoryTheory.ShortComplex.homologyMap' (CategoryTheory.CategoryStruct.id S) h h =
  CategoryTheory.CategoryStruct.id h.left.H


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
ρ : Measure (α × β)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
i : Fin (n + 1)
hj₁ : i.succ ≠ 0
hj₂ : n + 2 ≤ ↑i.succ + q


Context:
C : Type u₁
CategoryTheory.Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
CategoryTheory.Category.{v₂, u₂} D
P Q : C
S T : D
f : (P, S) ⟶ (Q, T)

CategoryTheory.IsIso f ↔ CategoryTheory.IsIso f.1 ∧ CategoryTheory.IsIso f.2


Context:
X : Type u_1
E : Type u_3
MeasurableSpace X
NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : MeasureTheory.Measure X
f g : ↥(MeasureTheory.Lp E p μ)
s : Set X

MeasureTheory.Memℒp.toLp ↑↑(f + g) ⋯ = MeasureTheory.Memℒp.toLp ↑↑f ⋯ + MeasureTheory.Memℒp.toLp ↑↑g ⋯


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

Context: hB : B.Nonempty

Context: hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅

Context: U : Finset α

Context: hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B

Context: hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card

↑((A * C).card * B.card) ≤ ↑((A * B).card * (B * C).card)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_5
Semiring R
AddCommMonoid M
Module R M
f : Module.End R M
h : IsUnit f
x : M


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∑' (i : ℕ), μ (s i) ≠ ⊤

Context: t : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable μ (s n)

Context: ht : ∑' (i : ℕ), μ (t i) ≠ ⊤

Context: n m : ℕ

Context: hnm : n ≤ m

Context: x : α

(∃ i, x ∈ t (i + m)) → ∃ i, x ∈ t (i + n)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: CommRing R

Context: CommRing A

Context: Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: hm : 0 < m

Context:
q :
  ↑↑(AlgebraicGeometry.Spec.locallyRingedSpaceObj
          (CommRingCat.of (HomogeneousLocalization.Away 𝒜 f))).toPresheafedSpace

Context: c x : A

Context: hx : x ∈ AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.FromSpec.carrier f_deg q

c • x ∈ AlgebraicGeometry.ProjIsoSpecTopComponent.FromSpec.carrier f_deg q


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → G
le_ae : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, 0 ≤ ‖f a‖

‖∫ (a : α), f a ∂μ‖ ≤ ∫ (a : α), ‖f a‖ ∂μ


Context:
α : Type u_2
DecidableEq α
Div α
s : Finset α


Context:
pqr : Multiset ℕ+
H : E' 3 = pqr


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M

BijOn (fun x => x + d) (Ioi a ∩ Iio b) (Ioi (a + d) ∩ Iio (b + d))


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A B X Y : C
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CommSq f i p g


Context: n d : ℤ

(n /. d).den = if d = 0 then 1 else d.natAbs / n.gcd d


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
x : E

x ∈ adjoin F S ↔ ∃ r s, x = (MvPolynomial.aeval Subtype.val) r / (MvPolynomial.aeval Subtype.val) s


Context:
κ : Cardinal.{w}
T : FirstOrder.Language.empty.Theory


Context: α : Type u

Context: AddGroup α

Context: LT α

Context: CovariantClass α α (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b : α

Context: h : a < b

Context: c : α


Context:
c : ℂ
R θ : ℝ


Context:
k p : ℕ
hk : k ≠ 0
hp : Nat.Prime p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β
SMul α β
Preorder α
Preorder β
Zero α
Zero β
PosSMulStrictMono α β
SMulPosStrictMono α β
ha : a₁ < a₂
hb : b₁ < b₂
h₁ : 0 < a₁
h₂ : 0 < b₂

a₁ • b₁ < a₂ • b₂


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: c : ℂ

Context: R : ℝ

Context: h0 : 0 < R

Context: f : ℂ → E

Context: y : E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R \ {c})

Context: hd : ∀ z ∈ (ball c R \ {c}) \ s, DifferentiableAt ℂ f z

Context: hy : Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 y)

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

‖(∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹ • f z) - (2 * ↑π * I) • y‖ ≤ ε


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : UniformSpace E

Context: inst✝⁹ : UniformAddGroup E

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : UniformSpace F

Context: inst✝⁶ : FirstCountableTopology E

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: inst✝² : RCLike 𝕜'

Context: inst✝¹ : Module 𝕜' F

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: f : E →ₛₗ[σ] F

Context: hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)

Context: b : ℕ → Set E

Context: bE1 : ∀ (i : ℕ), b i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (b i)

Context: bE : (𝓝 0).HasAntitoneBasis fun i => b i

Context: bE' : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun n => (↑n)⁻¹ • b n

Context: V : Set F

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: u : ℕ → E

Context: hu : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → u ia ∈ (↑ia)⁻¹ • b ia

Context: hu' : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → f (u ia) ∉ V

Context: h_tendsto : Tendsto (fun n => ↑n • u n) atTop (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Encodable β
f : β → Set α
C : Set α → Prop
H0 : C ∅
H1 : ∀ (b : β), C (f b)
n : ℕ


Context:
R : Type u
A : Type z
CommSemiring R
Semiring A
Algebra R A
x : A


Context: C : Type u_1

Context: CategoryTheory.Category.{u_3, u_1} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: CategoryTheory.Limits.HasBinaryBiproducts C

Context: K₁ L₁ K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ

Context: φ₁ : K₁ ⟶ L₁

Context: φ₂ : K₂ ⟶ L₂

Context: a : K₁ ⟶ K₂

Context: b : L₁ ⟶ L₂

Context: comm : φ₁ ≫ b = a ≫ φ₂

(CochainComplex.mappingCone.triangleMap φ₁ φ₂ a b comm).hom₁ = a


Context:
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F✝ F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
G : K ⥤ C
inst✝ : HasColimit G
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
j : J

colimit.ι F j ≫ (isoOfEquivalence e w).hom = F.map (e.unit.app j) ≫ w.inv.app ((e.functor ⋙ e.inverse).obj j) ≫ colimit.ι G (e.functor.obj ((e.functor ⋙ e.inverse).obj j))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
h : 𝒜.Shatters s

∃ a ∈ 𝒜, s ⊆ a


Context: f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < 0 → Ordinal.{max u_4 u_5}


Context:
B : Type u
CategoryTheory.Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c

CategoryTheory.CategoryStruct.comp (CategoryTheory.Bicategory.associator f (CategoryTheory.CategoryStruct.id b) g).hom
    (CategoryTheory.Bicategory.whiskerLeft f (CategoryTheory.Bicategory.leftUnitor g).hom) =
  CategoryTheory.Bicategory.whiskerRight (CategoryTheory.Bicategory.rightUnitor f).hom g


Context:
α : Type u
PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
hδ : δ ≤ 0
s : Set α


Context:
X : Type u_2
PseudoEMetricSpace X
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
F : Set X
x : X
hxF : x ∈ F


Context:
C : Type u
CategoryTheory.Groupoid C
S : CategoryTheory.Subgroupoid C


Context:
J : Type w
C : Type u
CategoryTheory.Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)

(CategoryTheory.Limits.parallelFamily f).obj CategoryTheory.Limits.WalkingParallelFamily.zero = X


Context: C : Type u

Context: CategoryTheory.Category.{v, u} C

Context: CategoryTheory.Preadditive C

Context: K L : CochainComplex C ℤ

Context: n : ℤ

Context: γ : CochainComplex.HomComplex.Cochain K L n

Context: a n' m' : ℤ

Context: hn' : n' + a = n

Context: m : ℤ

Context: hm' : m' + a = m

CochainComplex.HomComplex.δ n' m' (γ.rightShift a n' hn') =
  a.negOnePow • (CochainComplex.HomComplex.δ n m γ).rightShift a m' hm'


Context:
α : Type u_1
DecidableEq α
s t : Multiset α


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hroots : card p.roots = p.natDegree
k : ℕ
h : k ≤ p.natDegree

p.leadingCoeff * (map (fun a => X - C a) p.roots).prod.coeff k = p.leadingCoeff * ((-1) ^ (p.natDegree - k) * p.roots.esymm (p.natDegree - k))


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I J : Set α
hI : M.Indep I
hJ : M.Basis J I


Set.MapsTo Real.sin (Set.Ioo (-(π / 2)) (π / 2)) (Set.Ioo (-1) 1)


Context:
R : Type u_1
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
Fintype m
Fintype n
SeminormedRing R
SeminormedAddCommGroup α
Module R α
BoundedSMul R α


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: NormedAddCommGroup E

Context: NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: TopologicalSpace M

Context: ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: NormedAddCommGroup E'

Context: NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: TopologicalSpace M'

Context: ChartedSpace H' M'

Context: e : PartialHomeomorph M M'

Context: he : PartialHomeomorph.MDifferentiable I I' e

Context: SmoothManifoldWithCorners I M

Context: SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: x : M

Context: hx : x ∈ e.source

Function.Surjective ⇑(mfderiv I I' (↑e) x)


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : α

Relation.ReflTransGen r a b ↔ b = a ∨ Relation.TransGen r a b


Context: τ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : Filter τ

Context: ϕ : τ → α → β

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: u : Set τ

Context: hu : u ∈ f

Context: a✝ : β

Context: hx : ∀ (i : ↑f.sets), a✝ ∈ closure (image2 ϕ (↑i) s)


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u✝ : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x✝ x₀ : E

Context: c : F

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: H : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: u : Set E

Context: hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x

Context: f' : E → E →L[𝕜] F

Context: hff' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x

Context: hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x

Context: o : Set E

Context: o_open : IsOpen o

Context: xo : x ∈ o

Context: ho : s ∩ o ⊆ u

Context: this : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' s x

(fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) =ᶠ[𝓝[s] x] f'


Context:
R✝ : Type u₁
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝⁵ : CharP R✝ p
R : Type u₁
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CharP R p
inst✝² : PerfectRing R p
S : Type u₂
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CharP S p
f : R →+* S
r : R
n : ℕ

(fun n => f ((⇑↑(frobeniusEquiv R p).symm)^[n] r)) (n + 1) ^ p = (fun n => f ((⇑↑(frobeniusEquiv R p).symm)^[n] r)) n


Context:
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
β : ι' → Type u_6
(j : ι') → UniformSpace (β j)
e : ι ≃ ι'

∀ (a : (b : ι) → β (e.symm.symm b)) (a_1 : ι'),
  (UniformEquiv.piCongrLeft e) a a_1 = (Equiv.piCongrLeft' β e.symm).symm a a_1


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝ : IsDedekindDomain S
hp0 : map f p ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
le : map f p ≤ P
hP0 : P ≠ ⊥
hPirr : Irreducible P
P' : Ideal S
hP' : P' ∈ normalizedFactors (map f p)
P'_eq : Associated P P'

Multiset.count P (normalizedFactors (map f p)) ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : ProbabilityTheory.Kernel α β
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel κ
η : ProbabilityTheory.Kernel α γ
ProbabilityTheory.IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s

((κ.prod η) a) s = ∫⁻ (b : β), (η a) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁷ : NormalSpace α

Context: inst✝⁶ : R1Space α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α

Context: inst✝ : μ.Regular

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: f : α → E

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: ε✝ : ℝ≥0∞

Context: hε✝ : ε✝ ≠ 0

Context: c : E

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: htμ : μ t < ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε

Context: η : ℝ≥0

Context: ηpos : 0 < η

Context: hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ

Context: hη_pos' : 0 < ↑η

Context: s : Set α

Context: st : s ⊆ t

Context: s_compact : IsCompact s

Context: s_closed : IsClosed s

Context: μs : μ (t \ s) < ↑η

Context: hsμ : μ s < ⊤

Context: I1 : eLpNorm ((s.indicator fun _y => c) - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ δ

Context: k : Set α

Context: k_compact : IsCompact k

Context: sk : s ⊆ interior k

∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ HasCompactSupport g


Context:
X : Type u
Preorder X
x : Xᵒᵖ

(CategoryTheory.orderDualEquivalence X).inverse.obj x = OrderDual.toDual (Opposite.unop x)


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: e : B ≃ B'

Context: W : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group W

Context: inst✝ : Group H

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: p : W → Prop

Context: w : W

Context: one : p 1

Context: mul_simple_left : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (cs.simple i * w)

Context: p' : (w : W) → w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) → Prop := fun w x => p w

Context: this : w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁷ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f✝ : W✝ ⟶ X✝

Context: g✝ : W✝ ⟶ Y✝

Context: h✝ : X✝ ⟶ Z✝

Context: i✝ : Y✝ ⟶ Z✝

Context: D : Type u''

Context: inst✝⁵ : Category.{v'', u''} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁴ : Adhesive D

Context: H₁ : ∀ {X Y S : C} (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S) [inst : Mono f], HasPullback f g

Context: H₂ : ∀ {X Y S : C} (f : S ⟶ X) (g : S ⟶ Y) [inst : Mono f], HasPushout f g

Context: inst✝³ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan F

Context: inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F

Context: inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape WalkingSpan F

Context: inst✝ : ReflectsColimitsOfShape WalkingSpan F

Context: W X Y Z : C

Context: f : W ⟶ X

Context: g : W ⟶ Y

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : Y ⟶ Z

Context: hf : Mono f

Context: H : IsPushout f g h i

IsVanKampenColimit ((Cocones.precompose (diagramIsoSpan (span f g ⋙ F)).inv).obj (F.mapCocone (PushoutCocone.mk h i ⋯)))


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y X₁ Y₁ : C
α : X ≅ X₁
β : Y ≅ Y₁
f : X₁ ⟶ Y₁