Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝² : HasAffineProperty P Q

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

Context: i1 : ∀ (i : 𝒱.J), IsAffine (𝒱.obj i)

Context: j k : (𝒰' i).J

pullback.diagonal f ≫ 𝟙 (pullback.diagonalObj f) = 𝟙 X ≫ pullback.diagonal f


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝² : HasAffineProperty P Q

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

Context: inst✝¹ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)

Context: 𝒰' : (i : 𝒰.J) → (pullback f (𝒰.map i)).OpenCover

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J) (j : (𝒰' i).J), IsAffine ((𝒰' i).obj j)

Context: h𝒰' : ∀ (i : 𝒰.J) (j k : (𝒰' i).J), Q (pullback.mapDesc ((𝒰' i).map j) ((𝒰' i).map k) (𝒰.pullbackHom f i))

Context: this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P

Context: 𝒱 : (pullback f f).OpenCover := (Scheme.Pullback.openCoverOfBase 𝒰 f f).bind fun i => Scheme.Pullback.openCoverOfLeftRight (𝒰' i) (𝒰' i) (pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd f (𝒰.map i))

Context: i1 : ∀ (i : 𝒱.J), IsAffine (𝒱.obj i)

Context: i : (Scheme.Pullback.openCoverOfBase 𝒰 f f).J

Context: j k : (𝒰' i).J

pullback.map ((𝒰' i).map j ≫ pullback.snd f (𝒰.map i)) ((𝒰' i).map k ≫ pullback.snd f (𝒰.map i)) f f ((𝒰' i).map j ≫ pullback.fst f (𝒰.map i)) ((𝒰' i).map k ≫ pullback.fst f (𝒰.map i)) (𝒰.map i) ⋯ ⋯ ≫ 𝟙 (pullback.diagonalObj f) = 𝟙 (pullback ((𝒰' i).map j ≫ pullback.snd f (𝒰.map i)) ((𝒰' i).map k ≫ pullback.snd f (𝒰.map i))) ≫ pullback.map ((𝒰' i).map j ≫ pullback.snd f (𝒰.map i)) ((𝒰' i).map k ≫ pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd f (𝒰.map i)) ((𝒰' i).map j) ((𝒰' i).map k) (𝟙 (𝒰.obj i)) ⋯ ⋯ ≫ pullback.map (pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd f (𝒰.map i)) f f (pullback.fst f (𝒰.map i)) (pullback.fst f (𝒰.map i)) (𝒰.map i) ⋯ ⋯


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝² : HasAffineProperty P Q

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

Context: i1 : ∀ (i : 𝒱.J), IsAffine (𝒱.obj i)

Context: j k : (𝒰' i).J

Q (((pullbackDiagonalMapIso f (𝒰.map i) ((𝒰' i).map j) ((𝒰' i).map k)).inv ≫ pullback.map (pullback.diagonal f) (pullback.map ((𝒰' i).map j ≫ pullback.snd f (𝒰.map i)) ((𝒰' i).map k ≫ pullback.snd f (𝒰.map i)) f f ((𝒰' i).map j ≫ pullback.fst f (𝒰.map i)) ((𝒰' i).map k ≫ pullback.fst f (𝒰.map i)) (𝒰.map i) ⋯ ⋯) (pullback.diagonal f) (pullback.map ((𝒰' i).map j ≫ pullback.snd f (𝒰.map i)) ((𝒰' i).map k ≫ pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd f (𝒰.map i)) ((𝒰' i).map j) ((𝒰' i).map k) (𝟙 (𝒰.obj i)) ⋯ ⋯ ≫ pullback.map (pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd f (𝒰.map i)) f f (pullback.fst f (𝒰.map i)) (pullback.fst f (𝒰.map i)) (𝒰.map i) ⋯ ⋯) (𝟙 X) (𝟙 (pullback ((𝒰' i).map j ≫ pullback.snd f (𝒰.map i)) ((𝒰' i).map k ≫ pullback.snd f (𝒰.map i)))) (𝟙 (pullback.diagonalObj f)) ?mk.mk.convert_1 ?mk.mk.convert_2) ≫ pullback.snd (pullback.diagonal f) (pullback.map ((𝒰' i).map j ≫ pullback.snd f (𝒰.map i)) ((𝒰' i).map k ≫ pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd f (𝒰.map i)) ((𝒰' i).map j) ((𝒰' i).map k) (𝟙 (𝒰.obj i)) ⋯ ⋯ ≫ pullback.map (pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd f (𝒰.map i)) f f (pullback.fst f (𝒰.map i)) (pullback.fst f (𝒰.map i)) (𝒰.map i) ⋯ ⋯))


Context:
X : Scheme
r : ↑Γ(X, ⊤)

adjunction.unit.app X ⁻¹ᵁ basicOpen r = X.basicOpen r


Context:
X : Scheme
r : ↑Γ(X, ⊤)

adjunction.unit.app X ⁻¹ᵁ (Spec Γ(X, ⊤)).basicOpen ((Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).inv r) = X.basicOpen r


Context:
X : Scheme
r : ↑Γ(X, ⊤)

((𝟭 Scheme).obj X).basicOpen ((Scheme.Hom.app (adjunction.unit.app X) ⊤) ((Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).inv r)) = X.basicOpen r


Context:
X : Scheme
r : ↑Γ(X, ⊤)

(Scheme.Hom.app (adjunction.unit.app X) ⊤) ((Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).inv r) = r


Context:
X : Scheme
r : ↑Γ(X, ⊤)

(Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).hom ((Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).inv r) = r


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational (x ^ 0)


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational 1


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
n : ℕ
h : Irrational (x ^ (n + 1))


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
n : ℕ
h : Irrational (x ^ n * x)


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ z₂' : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q

(z₁.comp (z₂ + z₂') h).v p q hpq = (z₁.comp z₂ h + z₁.comp z₂' h).v p q hpq


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝¹ : TopologicalSpace X
f : Filter X
H : f ≤ 𝓝 x
inst✝ : f.NeBot


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: X Y Z : C

Context: inst✝⁴ : HasPullbacks C

Context: S T : C

Context: f : X ⟶ T

Context: g : Y ⟶ T

Context: i : T ⟶ S

Context: inst✝³ : HasPullback i i

Context: inst✝² : HasPullback f g

Context: inst✝¹ : HasPullback (f ≫ i) (g ≫ i)

Context: inst✝ : HasPullback (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯)

IsPullback (fst f g ≫ f) (map f g (f ≫ i) (g ≫ i) (𝟙 X) (𝟙 Y) i ⋯ ⋯) (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: X Y Z : C

Context: inst✝⁴ : HasPullbacks C

Context: S T : C

Context: f : X ⟶ T

Context: g : Y ⟶ T

Context: i : T ⟶ S

Context: inst✝³ : HasPullback i i

Context: inst✝² : HasPullback f g

Context: inst✝¹ : HasPullback (f ≫ i) (g ≫ i)

(pullbackDiagonalMapIdIso f g i).symm.hom ≫ fst (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯) = fst f g ≫ f


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: X Y Z : C

Context: inst✝⁴ : HasPullbacks C

Context: S T : C

Context: f : X ⟶ T

Context: g : Y ⟶ T

Context: i : T ⟶ S

Context: inst✝³ : HasPullback i i

Context: inst✝² : HasPullback f g

Context: inst✝¹ : HasPullback (f ≫ i) (g ≫ i)

(pullbackDiagonalMapIdIso f g i).symm.hom ≫ snd (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯) = map f g (f ≫ i) (g ≫ i) (𝟙 X) (𝟙 Y) i ⋯ ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: X Y Z : C

Context: inst✝⁴ : HasPullbacks C

Context: S T : C

Context: f : X ⟶ T

Context: g : Y ⟶ T

Context: i : T ⟶ S

Context: inst✝³ : HasPullback i i

Context: inst✝² : HasPullback f g

Context: inst✝¹ : HasPullback (f ≫ i) (g ≫ i)

CommSq (fst f g ≫ f) (map f g (f ≫ i) (g ≫ i) (𝟙 X) (𝟙 Y) i ⋯ ⋯) (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯)


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Mul G

Context: inst✝ : Mul H

Context: A B : Finset G

Context: a0 b0 : G

Context: f : G ↪ H

Context: mul : ∀ (x y : G), f (x * y) = f x * f y

UniqueMul (Finset.map f A) (Finset.map f B) (f a0) (f b0) ↔ UniqueMul A B a0 b0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r : X
s t : ↥S


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Ring R
p : R[X]
n : ℕ
H : p.degree ≤ ↑n


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Group α
e : α
x : Finset α × Finset α

(mulETransformLeft e x).1 * (mulETransformLeft e x).2 ⊆ x.1 * x.2


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
s✝ : Finmap β
s : AList β
h : a ∉ ⟦s⟧

(insert a b ⟦s⟧).entries = ⟨a, b⟩ ::ₘ ⟦s⟧.entries


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f : α → PMF β
g : β → PMF γ
p : PMF α
q : PMF β
x : β


Context:
x✝ y✝ z : ℝ
n✝ : ℕ
x : ℝ
hx : x ≠ 0
y : ℝ
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Countable α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
p : PMF α
μ : Measure α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
x : α


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X : Dial C

(tensorUnit.tensorObj X).rel = (Subobject.pullback (prod.map (prod.leftUnitor X.src).hom (prod.leftUnitor X.tgt).hom)).obj X.rel


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hs0 : (Measure.sum (sFiniteSeq μ)) s = 0


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : ∀ (i : ℕ), (sFiniteSeq μ i) s = 0


Context:
l m✝ n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
m n : ℕ
A : Matrix (Fin m) (Fin n) α


((Equiv.refl (Fin m → Fin n → α)) fun i j => A i j) = A


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
u : Rˣ
hu : 0 < ↑u
v : Ray R M


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
u : Rˣ
hu : 0 < ↑u
v✝ : M
hv✝ : v✝ ≠ 0

u • rayOfNeZero R v✝ hv✝ = rayOfNeZero R v✝ hv✝


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G

Context: inst✝ : Archimedean G

Context: H : AddSubgroup G

Context: hbot : H ≠ ⊥

Context: a : G

Context: h₀ : 0 < a

Context: hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)

Context: hex : ∀ g > 0, ∃ n, g ∈ Ioc (n • a) ((n + 1) • a)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G

Context: inst✝ : Archimedean G

Context: H : AddSubgroup G

Context: hbot : H ≠ ⊥

Context: a : G

Context: h₀ : 0 < a

Context: hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)

Context: this : ∃ n, (↑H ∩ Ioc (n • a) ((n + 1) • a)).Nonempty


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G

Context: inst✝ : Archimedean G

Context: H : AddSubgroup G

Context: hbot : H ≠ ⊥

Context: a : G

Context: h₀ : 0 < a

Context: hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)

Context: n : ℕ

Context: hmin : ∀ m < n, ¬(↑H ∩ Ioc (m • a) ((m + 1) • a)).Nonempty

Context: x : G

Context: hxH : x ∈ ↑H

Context: hnx : n • a < x

Context: hxn : x ≤ (n + 1) • a


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G

Context: inst✝ : Archimedean G

Context: H : AddSubgroup G

Context: hbot : H ≠ ⊥

Context: a : G

Context: h₀ : 0 < a

Context: hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)

Context: n : ℕ

Context: x : G

Context: hxH : x ∈ ↑H

Context: hnx : n • a < x

Context: hxn : x ≤ (n + 1) • a

Context: hxmin : ¬∃ b, IsLeast {g | g ∈ H ∧ 0 < g} b


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G

Context: inst✝ : Archimedean G

Context: H : AddSubgroup G

Context: hbot : H ≠ ⊥

Context: a : G

Context: h₀ : 0 < a

Context: hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)

Context: n : ℕ

Context: x : G

Context: hxH : x ∈ ↑H

Context: hnx : n • a < x

Context: hxn : x ≤ (n + 1) • a

Context: hxmin : ∀ (x : G), x ∈ H ∧ 0 < x → ∃ x_1, ∃ (_ : x_1 ∈ H ∧ 0 < x_1), x_1 < x


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G

Context: inst✝ : Archimedean G

Context: H : AddSubgroup G

Context: hbot : H ≠ ⊥

Context: a : G

Context: h₀ : 0 < a

Context: hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)

Context: n : ℕ

Context: x : G

Context: hxH : x ∈ ↑H

Context: hnx : n • a < x

Context: hxn : x ≤ (n + 1) • a

Context: y : G

Context: hxy : y < x

Context: hyH : y ∈ H

Context: hy₀ : 0 < y


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G

Context: inst✝ : Archimedean G

Context: H : AddSubgroup G

Context: hbot : H ≠ ⊥

Context: a : G

Context: h₀ : 0 < a

Context: hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)

Context: n : ℕ

Context: x : G

Context: hxH : x ∈ ↑H

Context: hnx : n • a < x

Context: hxn : x ≤ (n + 1) • a

Context: y : G

Context: hxy : y < x

Context: hyH : y ∈ H

Context: hy₀ : 0 < y

Context: m : ℕ

Context: hm : y ∈ Ioc (m • a) ((m + 1) • a)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G

Context: inst✝ : Archimedean G

Context: H : AddSubgroup G

Context: hbot : H ≠ ⊥

Context: a : G

Context: h₀ : 0 < a

Context: hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)

Context: n : ℕ

Context: x : G

Context: hxH : x ∈ ↑H

Context: hnx : n • a < x

Context: hxn : x ≤ (n + 1) • a

Context: y : G

Context: hxy : y < x

Context: hyH : y ∈ H

Context: hy₀ : 0 < y

Context: m : ℕ

Context: hm : y ∈ Ioc (m • a) ((m + 1) • a)

Context: hmn : m < n


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G

Context: inst✝ : Archimedean G

Context: H : AddSubgroup G

Context: hbot : H ≠ ⊥

Context: a : G

Context: h₀ : 0 < a

Context: hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)

Context: n : ℕ

Context: x : G

Context: hxH : x ∈ ↑H

Context: hnx : n • a < x

Context: hxn : x ≤ (n + 1) • a

Context: y : G

Context: hxy : y < x

Context: hyH : y ∈ H

Context: hy₀ : 0 < y

Context: m : ℕ

Context: hm : y ∈ Ioc (m • a) ((m + 1) • a)

Context: hnm : n ≤ m


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)

Context: h : y = x

(List.map (⇑(LocallyConstant.evalMonoidHom y)) (factors C s x)).prod = 1


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)

Context: h : y = x

∀ x_1 ∈ List.map (⇑(LocallyConstant.evalMonoidHom y)) (factors C s x), x_1 = 1


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)

Context: h : y = x

∀ (x_1 : ℤ), (∃ a, (∃ a_1 ∈ Finset.sort (fun x x_2 => x ≥ x_2) s, (if ↑x a_1 = true then e (π C fun x => x ∈ s) a_1 else 1 - e (π C fun x => x ∈ s) a_1) = a) ∧ ((Pi.evalMonoidHom (fun a => ℤ) x).comp LocallyConstant.coeFnMonoidHom) a = x_1) → x_1 = 1


Context:
lo hi a : ℕ
h : lo.succ ≤ a ∧ a ≤ hi


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∈ s


Context:
X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
cond : f ≫ g = 0
hg : NormedAddGroupHom.NormNoninc g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: β₂ : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Sort u_5

Context: ι' : Sort u_6

Context: κ : ι → Sort u_7

Context: κ' : ι' → Sort u_8

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f✝ g s t : ι → α

Context: a b : α

Context: ι₁ : Sort u_9

Context: ι₂ : Sort u_10

Context: κ₁ : ι₁ → Sort u_11

Context: κ₂ : ι₂ → Sort u_12

Context: f : (i₁ : ι₁) → κ₁ i₁ → (i₂ : ι₂) → κ₂ i₂ → α

⨆ i₁, ⨆ j₁, ⨆ i₂, ⨆ j₂, f i₁ j₁ i₂ j₂ = ⨆ i₂, ⨆ j₂, ⨆ i₁, ⨆ j₁, f i₁ j₁ i₂ j₂


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K

z + (starRingEnd K) z = ↑(re z) + ↑(im z) * I + (↑(re z) - ↑(im z) * I)


↑(re z) + ↑(im z) * I + (↑(re z) - ↑(im z) * I) = 2 * ↑(re z)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
H1 : p.degree ≤ ↑n
H2 : p.coeff n = 1
H : ¬p.degree < ↑n


Context:
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
A : Type u
inst✝² : Category.{t, u} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : F.PreservesOneHypercovers J K
inst✝ : J.IsGeneratedByOneHypercovers
P : Dᵒᵖ ⥤ A
hP : Presheaf.IsSheaf K P


∀ ⦃X : C⦄ (E : J.OneHypercover X), Nonempty (IsLimit (E.multifork (F.op ⋙ P)))


Context: P : Type u_1

Context: inst✝² : LE P

Context: inst✝¹ : IsDirected P fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : Nonempty P

Context: I : Ideal P

Context: hI : IsCoatom I

Context: x✝ : Ideal P

Context: hJ : I < x✝


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) μ

(μ.tilted f).tilted (-f) = (μ Set.univ)⁻¹ • μ


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: f : E → F

Context: U : Set E

Context: c : E

Context: hc : IsPreconnected U

Context: ho : IsOpen U

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f U

Context: hcU : c ∈ U

Context: hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c

Context: V : Set E := U ∩ {z | IsMaxOn (norm ∘ f) U z}

EqOn (norm ∘ f) (Function.const E ‖f c‖) U


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: f : E → F

Context: U : Set E

Context: c : E

Context: hc : IsPreconnected U

Context: ho : IsOpen U

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f U

Context: hcU : c ∈ U

Context: hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c

Context: hV : ∀ x ∈ V, ‖f x‖ = ‖f c‖


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: f : E → F

Context: U : Set E

Context: c : E

Context: hc : IsPreconnected U

Context: ho : IsOpen U

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f U

Context: hcU : c ∈ U

Context: hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c

Context: hV : ∀ x ∈ V, ‖f x‖ = ‖f c‖

Context: hVo : IsOpen V


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: f : E → F

Context: U : Set E

Context: c : E

Context: hc : IsPreconnected U

Context: ho : IsOpen U

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f U

Context: hcU : c ∈ U

Context: hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c

Context: hV : ∀ x ∈ V, ‖f x‖ = ‖f c‖

Context: hVo : IsOpen V

Context: hVne : (U ∩ V).Nonempty

Context: W : Set E := U ∩ {z | ‖f z‖ ≠ ‖f c‖}


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: f : E → F

Context: U : Set E

Context: c : E

Context: hc : IsPreconnected U

Context: ho : IsOpen U

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f U

Context: hcU : c ∈ U

Context: hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c

Context: hV : ∀ x ∈ V, ‖f x‖ = ‖f c‖

Context: hVo : IsOpen V

Context: hVne : (U ∩ V).Nonempty

Context: W : Set E := U ∩ {z | ‖f z‖ ≠ ‖f c‖}

Context: hWo : IsOpen W


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: f : E → F

Context: U : Set E

Context: c : E

Context: hc : IsPreconnected U

Context: ho : IsOpen U

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f U

Context: hcU : c ∈ U

Context: hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c

Context: hV : ∀ x ∈ V, ‖f x‖ = ‖f c‖

Context: hVo : IsOpen V

Context: hVne : (U ∩ V).Nonempty

Context: W : Set E := U ∩ {z | ‖f z‖ ≠ ‖f c‖}

Context: hWo : IsOpen W

Context: hdVW : Disjoint V W


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: f : E → F

Context: U : Set E

Context: c : E

Context: hc : IsPreconnected U

Context: ho : IsOpen U

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f U

Context: hcU : c ∈ U

Context: hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c

Context: hV : ∀ x ∈ V, ‖f x‖ = ‖f c‖

Context: hVo : IsOpen V

Context: hVne : (U ∩ V).Nonempty

Context: W : Set E := U ∩ {z | ‖f z‖ ≠ ‖f c‖}

Context: hWo : IsOpen W

Context: hdVW : Disjoint V W

Context: hUVW : U ⊆ V ∪ W


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
f : G →* H
s : Set G
a : H

a ∈ Subgroup.map f (stabilizer G s) → a ∈ stabilizer H (⇑f '' s)


∀ (x : G), x • s = s → f x = a → a • ⇑f '' s = ⇑f '' s


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
f : G →* H
s : Set G
a : G
ha : a • s = s


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : ConcreteCategory A
K : GrothendieckTopology C
hJK : J ≤ K
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
h : IsLocallySurjective J f
U✝ : C
s : (forget A).obj (G.obj (op U✝))


Context: ι : Sort uι

Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: A : Type v

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: S T : Set A

Context: M✝ N✝ P Q : Submodule R A

Context: m n : A

Context: M N : Submodule R Aᵐᵒᵖ

Context: this : Function.Injective ⇑↑(opLinearEquiv R)

map (↑(opLinearEquiv R)) (map (↑(opLinearEquiv R).symm) (M * N)) = map (↑(opLinearEquiv R)) (map (↑(opLinearEquiv R).symm) N * map (↑(opLinearEquiv R).symm) M)


Context: q : ℚ


Context:
q : ℚ
hq : 0 ≤ q


Context:
q : ℚ
hq : q < 0


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
hf : LinearMap.det f ≠ 0
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
this✝ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)
this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)
e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ
g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ
hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm

map (⇑f) μ = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det f)⁻¹| • μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E →ₗ[ℝ] E

Context: hf : LinearMap.det f ≠ 0

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: this✝ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)

Context: this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm

Context: gdet : LinearMap.det g = LinearMap.det f


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E →ₗ[ℝ] E

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: this✝ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)

Context: this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: hf : LinearMap.det g ≠ 0

Context: hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm

map (⇑f) μ = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det g)⁻¹| • μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E →ₗ[ℝ] E

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: this✝ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)

Context: this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: hf : LinearMap.det g ≠ 0

Context: hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm

Context: fg : f = ↑e.symm ∘ₗ g ∘ₗ ↑e


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E →ₗ[ℝ] E

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: this✝ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)

Context: this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: hf : LinearMap.det g ≠ 0

Context: hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm

Context: fg : f = ↑e.symm ∘ₗ g ∘ₗ ↑e

map (⇑e.symm ∘ ⇑g ∘ ⇑e) μ = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det g)⁻¹| • μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E →ₗ[ℝ] E

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: this✝ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)

Context: this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: hf : LinearMap.det g ≠ 0

Context: hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm

Context: fg : f = ↑e.symm ∘ₗ g ∘ₗ ↑e

Context: Ce : Continuous ⇑e


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E →ₗ[ℝ] E

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: this✝ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)

Context: this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: hf : LinearMap.det g ≠ 0

Context: hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm

Context: fg : f = ↑e.symm ∘ₗ g ∘ₗ ↑e

Context: Ce : Continuous ⇑e

Context: Cg : Continuous ⇑g


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E →ₗ[ℝ] E

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: this✝ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)

Context: this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: hf : LinearMap.det g ≠ 0

Context: hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm

Context: fg : f = ↑e.symm ∘ₗ g ∘ₗ ↑e

Context: Ce : Continuous ⇑e

Context: Cg : Continuous ⇑g

Context: Cesymm : Continuous ⇑e.symm


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E →ₗ[ℝ] E

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: this✝ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)

Context: this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: hf : LinearMap.det g ≠ 0

Context: hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm

Context: fg : f = ↑e.symm ∘ₗ g ∘ₗ ↑e

Context: Ce : Continuous ⇑e

Context: Cg : Continuous ⇑g

Context: Cesymm : Continuous ⇑e.symm

map (⇑e.symm) (map (⇑g) (map (⇑e) μ)) = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det g)⁻¹| • μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E →ₗ[ℝ] E

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: this✝¹ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)

Context: this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: hf : LinearMap.det g ≠ 0

Context: hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm

Context: fg : f = ↑e.symm ∘ₗ g ∘ₗ ↑e

Context: Ce : Continuous ⇑e

Context: Cg : Continuous ⇑g

Context: Cesymm : Continuous ⇑e.symm

Context: this : (map (⇑e) μ).IsAddHaarMeasure


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E →ₗ[ℝ] E

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: this✝¹ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)

Context: this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: hf : LinearMap.det g ≠ 0

Context: hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm

Context: fg : f = ↑e.symm ∘ₗ g ∘ₗ ↑e

Context: Ce : Continuous ⇑e

Context: Cg : Continuous ⇑g

Context: Cesymm : Continuous ⇑e.symm

Context: this : (map (⇑e) μ).IsAddHaarMeasure

Context: ecomp : ⇑e.symm ∘ ⇑e = id


Context:
R : Type u_1
k x✝ : ℕ


Context:
R : Type u_1
k x✝ : ℕ

∑ i ∈ x✝.divisors, (pow k) i = { toFun := fun n => ∑ d ∈ n.divisors, d ^ k, map_zero' := ⋯ } x✝


Context:
R : Type u_1
k x✝ x : ℕ
hx : x ∈ x✝.divisors


Context:
R : Type u_1
k x✝ x : ℕ
hx : x = 0


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
p : G.Walk u v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
ι : Sort u_3
inst✝ : CompleteLattice β
f : ι → α →o β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
ι : Sort u_3
inst✝ : CompleteLattice β
f : ι → α →o β
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ≤ b


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
f : α → F'


(fun x => (μ Set.univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂μ) = fun x => ∫ (x : α), f x ∂μ


Context:
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
ι : Sort u_1
s : ι → ℝ≥0


sSup (Set.range (toReal ∘ fun i => s i)) = sSup (Set.range fun i => ↑(s i))


Context:
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b : ℕ


Context:
R✝ : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹⁵ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁴ : Semiring A₁
inst✝¹³ : Semiring A₂
inst✝¹² : Semiring A₃
inst✝¹¹ : Semiring A₁'
inst✝¹⁰ : Semiring A₂'
inst✝⁹ : Semiring A₃'
inst✝⁸ : Algebra R✝ A₁
inst✝⁷ : Algebra R✝ A₂
inst✝⁶ : Algebra R✝ A₃
inst✝⁵ : Algebra R✝ A₁'
inst✝⁴ : Algebra R✝ A₂'
inst✝³ : Algebra R✝ A₃'
e : A₁ ≃ₐ[R✝] A₂
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
f : (S →ₐ[R] S)ˣ
x : S


Context:
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
S : L.Substructure M


Context:
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
S : L.Substructure M
h : S.FG


Context:
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
S : L.Substructure M
h : ⊤.FG


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a✝ b✝ c✝ d e : α
m n : ℤ
x : α
hx : 1 < x
a b c : ℤ

x ^ (-c) ≤ max (x ^ (-a)) (x ^ (-b)) ↔ min a b ≤ c


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.254173, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.254180, u_2} D

Context: inst✝ : HasInitial C

Context: H : IsUniversalColimit (BinaryCofan.mk (𝟙 (⊥_ C)) (𝟙 (⊥_ C)))

Context: A : C

Context: f : A ⟶ ⊥_ C


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.254173, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.254180, u_2} D

Context: inst✝ : HasInitial C

Context: A : C

Context: f : A ⟶ ⊥_ C


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.254173, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.254180, u_2} D

Context: inst✝ : HasInitial C

Context: A : C

Context: f : A ⟶ ⊥_ C

∀ (j : Discrete WalkingPair), IsPullback ((BinaryCofan.mk (𝟙 A) (𝟙 A)).ι.app j) ((mapPair f f).app j) f ((BinaryCofan.mk (𝟙 (⊥_ C)) (𝟙 (⊥_ C))).ι.app j)


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hP : P.IsEquipartition

↑(P.parts.biUnion offDiag).card ≤ ↑A.card * (↑A.card + ↑P.parts.card) / ↑P.parts.card


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hP : P.IsEquipartition
h : P.parts = ∅


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hP : P.IsEquipartition
h : P.parts.Nonempty


↑(A.card / P.parts.card + 1) ≤ ↑A.card / ↑P.parts.card + 1


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hP : P.IsEquipartition
h : P.parts.Nonempty
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts

U.offDiag.card ≤ A.card / P.parts.card * (A.card / P.parts.card + 1)


(U.card - 1) * U.card ≤ A.card / P.parts.card * (A.card / P.parts.card + 1)


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: A : Finset α

Context: P : Finpartition A

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε δ : 𝕜

Context: u v s t : Finset α

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: h : P.parts.Nonempty

Context: U : Finset α

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: this : U.card ≤ A.card / P.parts.card + 1


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: A : Finset α

Context: P : Finpartition A

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε δ : 𝕜

Context: u v s t : Finset α

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: h : P.parts.Nonempty

Context: U : Finset α

Context: hU : U ∈ P.parts

A.card / P.parts.card + 1 - 1 ≤ A.card / P.parts.card


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
a : Vector α n × Fin n

a.1.toList.get? ↑a.2 = some (a.1.get a.2)


a.1.toList.get? ↑a.2 = a.1.toList.get? ↑(Fin.cast ⋯ a.2)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
df dg : ℕ
f g : R[X]
hdf : f.natDegree ≤ df
hdg : g.natDegree ≤ dg

(f * g).coeff (df + dg) = f.coeff df * g.coeff dg


∀ b ∈ antidiagonal (df + dg), b ≠ (df, dg) → f.coeff b.1 * g.coeff b.2 = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: df dg : ℕ

Context: f g : R[X]

Context: hdf : f.natDegree ≤ df

Context: hdg : g.natDegree ≤ dg

Context: df' dg' : ℕ

Context: hmem : (df', dg') ∈ antidiagonal (df + dg)

Context: hne : (df', dg') ≠ (df, dg)

f.coeff (df', dg').1 * g.coeff (df', dg').2 = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: df dg : ℕ

Context: f g : R[X]

Context: hdf : f.natDegree ≤ df

Context: hdg : g.natDegree ≤ dg

Context: df' dg' : ℕ

Context: hne : (df', dg') ≠ (df, dg)

Context: h : df < df'


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: df dg : ℕ

Context: f g : R[X]

Context: hdf : f.natDegree ≤ df

Context: hdg : g.natDegree ≤ dg

Context: df' dg' : ℕ

Context: hne : (df', dg') ≠ (df, dg)

Context: hdf' : df' ≤ df


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: df dg : ℕ

Context: f g : R[X]

Context: hdf : f.natDegree ≤ df

Context: hdg : g.natDegree ≤ dg

Context: df' dg' : ℕ

Context: hne : (df', dg') ≠ (df, dg)

Context: hdf' : df' ≤ df

Context: h : dg < dg'


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: df dg : ℕ

Context: f g : R[X]

Context: hdf : f.natDegree ≤ df

Context: hdg : g.natDegree ≤ dg

Context: df' dg' : ℕ

Context: hne : (df', dg') ≠ (df, dg)

Context: hdf' : df' ≤ df

Context: hdg' : dg' ≤ dg


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: f g : R[X]

Context: df' dg' : ℕ

Context: hdf : f.natDegree ≤ df'

Context: hdf' : df' ≤ df'

Context: hdg : g.natDegree ≤ dg'

Context: hdg' : dg' ≤ dg'

Context: hmem : (df', dg') ∈ antidiagonal (df' + dg')

Context: hne : (df', dg') ≠ (df', dg')


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
f : α → β
l : Filter β
p : α → Prop
s✝ : Set α
x : α
s : Set β
F : Filter (α × β)

s ∈ comap (Prod.mk x) F ↔ {p | p.1 = x → p.2 ∈ s} ∈ F


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ : C
inst✝ : HasPushouts C
X Y : C
f : X ⟶ Y
x x' : Under X
u : x ⟶ x'

x.hom ≫ u.right ≫ pushout.inl x'.hom f = f ≫ pushout.inr x'.hom f


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
h : T ⊨ᵇ φ
M : Type u_1
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Nonempty M


Context: L : Language

Context: T : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: φ : L.Sentence

Context: h : ¬(T ∪ {Formula.not φ}).IsSatisfiable

Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : L.Structure M

Context: inst✝¹ : M ⊨ T

Context: inst✝ : Nonempty M


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
M : Type u_1
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Nonempty M
h : ¬M ⊨ φ


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
M : Type u_1
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Nonempty M
h : ¬M ⊨ φ
this : M ⊨ T ∪ {Formula.not φ}


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]
hp : p.Monic


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
p : R[X]
hp : p.Monic


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]
hp : p.Monic
H : q ≠ 0


Context:
f : Bool → Bool → Bool
a : Bool
x : ℕ


Context:
f : Bool → Bool → Bool
a : Bool
x : ℕ

(if a = true then 1 else 0) = 1 ↔ a = true


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : MulAction R M
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : IsScalarTower R M M
inst✝ : SMulCommClass R M M
p : SubMulAction R M
x✝ : 1 ≠ 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : MulAction R M
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : IsScalarTower R M M
inst✝ : SMulCommClass R M M
p : SubMulAction R M
n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
v : M
p : R[X]

((aeval f) p) v = p.sum fun n b => b • (f ^ n) v


(p.sum fun e a => (algebraMap R (M →ₗ[R] M)) a * f ^ e) v = p.sum fun n b => b • (f ^ n) v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
mα : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : CommGroup β
inst✝ : TopologicalGroup β
hf : StronglyMeasurable f
h : StronglyMeasurable (f * g)


Context:
R : Type u_1
f : ArithmeticFunction ℕ
inst✝ : Semiring R
h : f.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
p : α → Prop
f : Filter α

(¬∃ᶠ (x : α) in f, p x) ↔ ∀ᶠ (x : α) in f, ¬p x


Context:
R : Type u₁
inst✝¹ : CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
x : Ring.Perfection R p
n : ℕ

(coeff R p n) (((pthRoot R p).comp (frobenius (Ring.Perfection R p) p)) x) = (coeff R p n) ((RingHom.id (Ring.Perfection R p)) x)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)

X.σ i ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [n + 1])) = 0


∀ (A : IndexSet (op [n])), (s.cofan (op [n])).inj A ≫ X.σ i ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [n + 1])) = (s.cofan (op [n])).inj A ≫ 0


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
A : IndexSet (op [n])

(s.cofan (op [n])).inj A ≫ X.map (SimplexCategory.σ i).op ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [n + 1])) = (s.cofan (op [n])).inj A ≫ 0


IndexSet.id (op [n + 1]) ≠ A.epiComp (SimplexCategory.σ i).op


A.epiComp (SimplexCategory.σ i).op ≠ IndexSet.id (op [n + 1])


¬(unop (A.epiComp (SimplexCategory.σ i).op).fst).len = (unop (op [n + 1])).len


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: X : SimplicialObject C

Context: s : Splitting X

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: n : ℕ

Context: i : Fin (n + 1)

Context: A : IndexSet (op [n])

Context: h : (unop A.fst).len ≤ (unop (op [n])).len


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
r : AdicCompletion I R
x : M ⧸ I ^ n • ⊤


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
r✝ : AdicCompletion I R
x : M ⧸ I ^ n • ⊤
r : AdicCauchySequence I R

↑((mk I R) r) n • x = (evalₐ I n) ((mk I R) r) • x


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: b : HilbertBasis ι 𝕜 E

Context: v : E

Context: i : ι

↑(b.repr v) i = ⟪(fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i, v⟫_𝕜


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: b : HilbertBasis ι 𝕜 E

Context: v : E

Context: i : ι


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace X
s : Set X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated


Context:
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x n : ℕ
ih : ↑x = mk K p (n, ↑x)


R K p (n, ↑x) (n.succ, (frobenius K p) ↑x)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l l₁ l₂ ys : List M

[].prod * ys.prod = (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) [] ys).prod * (drop ys.length []).prod * (drop [].length ys).prod


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l l₁ l₂ xs : List M

xs.prod * [].prod = (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) xs []).prod * (drop [].length xs).prod * (drop xs.length []).prod


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l l₁ l₂ : List M
x : M
xs : List M
y : M
ys : List M

(x :: xs).prod * (y :: ys).prod = (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) (x :: xs) (y :: ys)).prod * (drop (y :: ys).length (x :: xs)).prod * (drop (x :: xs).length (y :: ys)).prod


x * xs.prod * (y * ys.prod) = x * y * (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) xs ys).prod * (drop ys.length xs).prod * (drop xs.length ys).prod


x * (y * ((zipWith (fun x x_1 => x * x_1) xs ys).prod * (drop ys.length xs).prod * (drop xs.length ys).prod)) = x * y * (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) xs ys).prod * (drop ys.length xs).prod * (drop xs.length ys).prod


Context:
α : Type u_1
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α

map (fun x => c + x) (Ioo a b) = Ioo (c + a) (c + b)


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α✝
f✝ : ι → α✝
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
f : β → α
s : Finset β
h : ∀ x ∈ s, IsCompactElement (f x)


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ

rtakeWhile p l = l ↔ ∀ (x : α), x ∈ l → p x = true


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 2 ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
h : s.Finite

range ⇑(Fintype.equivFin ↑↑h.toFinset).symm.asEmbedding = s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ bound a * ‖x - x₀‖

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀

Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε

Context: nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε

Context: nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹

Context: b : α → ℝ := fun a => |bound a|


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε

Context: nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹

Context: b : α → ℝ := fun a => |bound a|

Context: b_int : Integrable b μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε

Context: nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹

Context: b : α → ℝ := fun a => |bound a|

Context: b_int : Integrable b μ

Context: b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε

Context: nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹

Context: b : α → ℝ := fun a => |bound a|

Context: b_int : Integrable b μ

Context: b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a

Context: h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε

Context: nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹

Context: b : α → ℝ := fun a => |bound a|

Context: b_int : Integrable b μ

Context: b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a

Context: hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε

Context: nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹

Context: b : α → ℝ := fun a => |bound a|

Context: b_int : Integrable b μ

Context: b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a

Context: hF'_int : Integrable F' μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε

Context: nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹

Context: b : α → ℝ := fun a => |bound a|

Context: b_int : Integrable b μ

Context: b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a

Context: hF'_int : Integrable F' μ

Context: hE : CompleteSpace E

HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε

Context: nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹

Context: b : α → ℝ := fun a => |bound a|

Context: b_int : Integrable b μ

Context: b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a

Context: hF'_int : Integrable F' μ

Context: hE : CompleteSpace E

Context: h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε

Context: nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹

Context: b : α → ℝ := fun a => |bound a|

Context: b_int : Integrable b μ

Context: b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a

Context: hF'_int : Integrable F' μ

Context: hE : CompleteSpace E

Context: h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀

Context: this : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, ‖x - x₀‖⁻¹ * ‖∫ (a : α), F x a ∂μ - ∫ (a : α), F x₀ a ∂μ - (∫ (a : α), F' a ∂μ) (x - x₀)‖ = ‖∫ (a : α), ‖x - x₀‖⁻¹ • (F x a - F x₀ a - (F' a) (x - x₀)) ∂μ‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε

Context: nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹

Context: b : α → ℝ := fun a => |bound a|

Context: b_int : Integrable b μ

Context: b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a

Context: hF'_int : Integrable F' μ

Context: hE : CompleteSpace E

Context: h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀

Tendsto (fun x => ∫ (a : α), ‖x - x₀‖⁻¹ • (F x a - F x₀ a - (F' a) (x - x₀)) ∂μ) (𝓝 x₀) (𝓝 (∫ (a : α), ‖x₀ - x₀‖⁻¹ • (F x₀ a - F x₀ a - (F' a) (x₀ - x₀)) ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε

Context: nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹

Context: b : α → ℝ := fun a => |bound a|

Context: b_int : Integrable b μ

Context: b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a

Context: hF'_int : Integrable F' μ

Context: hE : CompleteSpace E

Context: h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀

∀ᶠ (n : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun a => ‖n - x₀‖⁻¹ • (F n a - F x₀ a - (F' a) (n - x₀))) μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε

Context: nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹

Context: b : α → ℝ := fun a => |bound a|

Context: b_int : Integrable b μ

Context: b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a

Context: hF'_int : Integrable F' μ

Context: hE : CompleteSpace E

Context: h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀

∀ᶠ (n : H) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖‖n - x₀‖⁻¹ • (F n a - F x₀ a - (F' a) (n - x₀))‖ ≤ ?pos.bound✝ a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε

Context: nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹

Context: b : α → ℝ := fun a => |bound a|

Context: b_int : Integrable b μ

Context: b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a

Context: hF'_int : Integrable F' μ

Context: hE : CompleteSpace E

Context: h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀

∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => ‖n - x₀‖⁻¹ • (F n a - F x₀ a - (F' a) (n - x₀))) (𝓝 x₀) (𝓝 (‖x₀ - x₀‖⁻¹ • (F x₀ a - F x₀ a - (F' a) (x₀ - x₀))))


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : WellPowered C
inst✝¹ : HasCoproducts C
inst✝ : HasImages C
A : C
s : Set (Subobject A)
f : Subobject A
hf : f ∈ s


underlying.obj f ⟶ underlying.obj (sSup s)


Context:
A : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : DivisionMonoid M
ψ : AddChar A M
a : A


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
hs : (a : α) → ¬IsMax a → C (succ a)
hl : (a : α) → IsSuccLimit a → C a
hb : IsSuccLimit b


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x y : M
c : ↥S
h : f.toMap (x * ↑c) = f.toMap (y * ↑c)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
c : ℝ≥0∞
h₁ : c ≠ 0
h₂ : c ≠ ⊤
h : Integrable f (c • μ)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]


(∀ x ∈ p.support, p.coeff x = 0) ↔ p = 0


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
t : Finset ι
h : t.Nonempty
I : ι → Ideal R
this : DecidableEq ι

⨆ i ∈ t, ⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j = ⊤ ↔ (↑t).Pairwise fun i j => I i ⊔ I j = ⊤


(∃ μ, ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1) ↔ (↑t).Pairwise fun i j => I i ⊔ I j = ⊤


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this : DecidableEq ι

∀ (a : ι), (∃ μ, ∑ i ∈ {a}, ↑(μ i) = 1) ↔ (↑{a}).Pairwise fun i j => I i ⊔ I j = ⊤


∀ (a : ι) (s : Finset ι) (h : a ∉ s), s.Nonempty → ((∃ μ, ∑ i ∈ s, ↑(μ i) = 1) ↔ (↑s).Pairwise fun i j => I i ⊔ I j = ⊤) → ((∃ μ, ∑ i ∈ Finset.cons a s h, ↑(μ i) = 1) ↔ (↑(Finset.cons a s h)).Pairwise fun i j => I i ⊔ I j = ⊤)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: I : ι → Ideal R

Context: this : DecidableEq ι

Context: a : ι

Context: t : Finset ι

Context: hat : a ∉ t

Context: h : t.Nonempty

Context: ih : (∃ μ, ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1) ↔ (↑t).Pairwise fun i j => I i ⊔ I j = ⊤

(∃ μ, ∑ i ∈ Finset.cons a t hat, ↑(μ i) = 1) ↔ (↑(Finset.cons a t hat)).Pairwise fun i j => I i ⊔ I j = ⊤


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: I : ι → Ideal R

Context: this : DecidableEq ι

Context: a : ι

Context: t : Finset ι

Context: hat : a ∉ t

Context: h : t.Nonempty

(∃ μ, ∑ i ∈ Finset.cons a t hat, ↑(μ i) = 1) ↔ ((↑t).Pairwise fun i j => I i ⊔ I j = ⊤) ∧ ∀ b ∈ ↑t, a ≠ b → I a ⊔ I b = ⊤


Context:
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K

card { φ // ¬ComplexEmbedding.IsReal φ } = 2 * NrComplexPlaces K


∀ (w : { w // w.IsComplex }), (Finset.filter (fun φ => mkComplex φ = w) Finset.univ).card = 2


Context:
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
w : InfinitePlace K
hw : w.IsComplex

(Finset.filter (fun φ => mkComplex φ = ⟨w, hw⟩) Finset.univ).card = 2


(Finset.filter (fun φ => mkComplex φ = ⟨w, hw⟩) Finset.univ).card = (Finset.filter (fun φ => mk φ = w) Finset.univ).card


Context: p✝ : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)

Context: n✝ p : ℕ

Context: h_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℕ

Context: h : n ≠ 0

Context: b : Basis { x // x ∈ IsNoetherian.finsetBasisIndex (ZMod p) (GaloisField p n) } (ZMod p) (GaloisField p n) := IsNoetherian.finsetBasis (ZMod p) (GaloisField p n)


Context:
α : Sort u_2
β : Sort u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
P : α → Sort u_1
e : α ≃ β
f : (b : β) → P (e.symm b)
b : β
x : P (e.symm b)

(Equiv.piCongrLeft' P e).symm (update f b x) = update ((Equiv.piCongrLeft' P e).symm f) (e.symm b) x


Context:
xl xr : Type u
x x' : PGame


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P✝

Context: P : Ideal R

Context: hp : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P

Context: this : _root_.Nontrivial S := Nontrivial S P

Context: x y : S

Context: hx : x ∈ nonunits S

Context: hy : y ∈ nonunits S

Context: hu : IsUnit (x + y)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P✝

Context: P : Ideal R

Context: hp : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P

Context: x y : S

Context: hx : x ∈ nonunits S

Context: hy : y ∈ nonunits S

Context: hu : IsUnit (x + y)

Context: z : S

Context: hxyz : (x + y) * z = 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P✝

Context: P : Ideal R

Context: hp : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P

Context: this✝ : _root_.Nontrivial S := Nontrivial S P

Context: x y : S

Context: hx : x ∈ nonunits S

Context: hy : y ∈ nonunits S

Context: hu : IsUnit (x + y)

Context: z : S

Context: hxyz : (x + y) * z = 1

Context: this : ∀ {r : R} {s : ↥P.primeCompl}, mk' S r s ∈ nonunits S → r ∈ P


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P✝

Context: P : Ideal R

Context: hp : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P

Context: x y : S

Context: hx : x ∈ nonunits S

Context: hy : y ∈ nonunits S

Context: hu : IsUnit (x + y)

Context: z : S

Context: hxyz : (x + y) * z = 1

Context: rx : R

Context: sx : ↥P.primeCompl

Context: hrx : mk' S rx sx = x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P✝

Context: P : Ideal R

Context: hp : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P

Context: x y : S

Context: hx : x ∈ nonunits S

Context: hy : y ∈ nonunits S

Context: hu : IsUnit (x + y)

Context: z : S

Context: hxyz : (x + y) * z = 1

Context: rx : R

Context: sx : ↥P.primeCompl

Context: hrx : mk' S rx sx = x

Context: ry : R

Context: sy : ↥P.primeCompl

Context: hry : mk' S ry sy = y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P✝

Context: P : Ideal R

Context: hp : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P

Context: x y : S

Context: hx : x ∈ nonunits S

Context: hy : y ∈ nonunits S

Context: hu : IsUnit (x + y)

Context: z : S

Context: hxyz : (x + y) * z = 1

Context: rx : R

Context: sx : ↥P.primeCompl

Context: hrx : mk' S rx sx = x

Context: ry : R

Context: sy : ↥P.primeCompl

Context: hry : mk' S ry sy = y

Context: rz : R

Context: sz : ↥P.primeCompl

Context: hrz : mk' S rz sz = z


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P✝

Context: P : Ideal R

Context: hp : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P

Context: x y : S

Context: hx : x ∈ nonunits S

Context: hy : y ∈ nonunits S

Context: hu : IsUnit (x + y)

Context: z : S

Context: rx : R

Context: sx : ↥P.primeCompl

Context: hrx : mk' S rx sx = x

Context: ry : R

Context: sy : ↥P.primeCompl

Context: hry : mk' S ry sy = y

Context: rz : R

Context: sz : ↥P.primeCompl

Context: hxyz : mk' S ((rx * ↑sy + ry * ↑sx) * rz) (sx * sy * sz) = mk' S 1 ⟨1, ⋯⟩

Context: hrz : mk' S rz sz = z


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P✝

Context: P : Ideal R

Context: hp : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P

Context: x y : S

Context: hu : IsUnit (x + y)

Context: z : S

Context: rx : R

Context: sx : ↥P.primeCompl

Context: hx : mk' S rx sx ∈ nonunits S

Context: hrx : mk' S rx sx = x

Context: ry : R

Context: sy : ↥P.primeCompl

Context: hy : mk' S ry sy ∈ nonunits S

Context: hry : mk' S ry sy = y

Context: rz : R

Context: sz : ↥P.primeCompl

Context: hrz : mk' S rz sz = z


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P✝

Context: P : Ideal R

Context: hp : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P

Context: x y : S

Context: hu : IsUnit (x + y)

Context: z : S

Context: rx : R

Context: sx : ↥P.primeCompl

Context: hx : mk' S rx sx ∈ nonunits S

Context: hrx : mk' S rx sx = x

Context: ry : R

Context: sy : ↥P.primeCompl

Context: hy : mk' S ry sy ∈ nonunits S

Context: hry : mk' S ry sy = y

Context: rz : R

Context: sz : ↥P.primeCompl

Context: hrz : mk' S rz sz = z

Context: t : ↥P.primeCompl

Context: ht : ↑t * (↑⟨1, ⋯⟩ * ((rx * ↑sy + ry * ↑sx) * rz)) = ↑t * (↑(sx * sy * sz) * 1)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P✝

Context: P : Ideal R

Context: hp : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P

Context: x y : S

Context: hu : IsUnit (x + y)

Context: z : S

Context: rx : R

Context: sx : ↥P.primeCompl

Context: hx : mk' S rx sx ∈ nonunits S

Context: hrx : mk' S rx sx = x

Context: ry : R

Context: sy : ↥P.primeCompl

Context: hy : mk' S ry sy ∈ nonunits S

Context: hry : mk' S ry sy = y

Context: rz : R

Context: sz : ↥P.primeCompl

Context: hrz : mk' S rz sz = z

Context: t : ↥P.primeCompl

Context: ht : ↑t * ((rx * ↑sy + ry * ↑sx) * rz) = ↑t * (↑sx * ↑sy * ↑sz)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P✝

Context: P : Ideal R

Context: hp : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P

Context: x y : S

Context: hu : IsUnit (x + y)

Context: z : S

Context: rx : R

Context: sx : ↥P.primeCompl

Context: hx : mk' S rx sx ∈ nonunits S

Context: hrx : mk' S rx sx = x

Context: ry : R

Context: sy : ↥P.primeCompl

Context: hy : mk' S ry sy ∈ nonunits S

Context: hry : mk' S ry sy = y

Context: rz : R

Context: sz : ↥P.primeCompl

Context: hrz : mk' S rz sz = z

Context: t : ↥P.primeCompl


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F F₁ F₂ : C ⥤ Type w
α : F₁ ⟶ F₂
t₁ t₂ : F₁.Elements
k : t₁ ⟶ t₂

F₂.map (↑k) ((fun t => ⟨t.fst, α.app t.fst t.snd⟩) t₁).snd = ((fun t => ⟨t.fst, α.app t.fst t.snd⟩) t₂).snd


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
inst✝ : Monoid H
f : G →* H
hf : Injective ⇑f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
mα : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hg : MeasurableEmbedding g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
mα : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hg : MeasurableEmbedding g
H : Measurable (g ∘ f)


Measurable ((rangeSplitting g ∘ rangeFactorization g) ∘ f)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module A M
inst✝³ : Module R M
D✝ D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b : A
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Algebra R K
D : Derivation R K M
a : K


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module A M
inst✝³ : Module R M
D✝ D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a b : A
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Algebra R K
D : Derivation R K M


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module A M
inst✝³ : Module R M
D✝ D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b : A
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Algebra R K
D : Derivation R K M
a : K
ha : a ≠ 0


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S✝ : Type u_5
F✝ : Type u_6
inst✝⁸ : CommMonoid M
inst✝⁷ : CommMonoid N
inst✝⁶ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝⁴ : IsDomain R
S : Type u_7
F : Type u_8
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : MonoidHomClass F R S
ζ : R
n : ℕ+
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
this : CommMonoid Sˣ := inferInstance

Subgroup.map (Units.map ↑f) (rootsOfUnity n R) = rootsOfUnity n S


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S✝ : Type u_5
F✝ : Type u_6
inst✝⁸ : CommMonoid M
inst✝⁷ : CommMonoid N
inst✝⁶ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝⁴ : IsDomain R
S : Type u_7
F : Type u_8
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : MonoidHomClass F R S
ζ : R
n : ℕ+
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
this : CommMonoid Sˣ := inferInstance
hζ : IsPrimitiveRoot ⋯.unit ↑n


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R

Context: inst✝¹⁴ : StarRing R

Context: inst✝¹³ : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹² : MetricSpace R

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.777615) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : PartialOrder A

Context: inst✝⁴ : StarOrderedRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: r : R

Context: a : A

Context: h : ∀ x ∈ spectrum R a, r ≤ x

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R

Context: inst✝¹⁴ : StarRing R

Context: inst✝¹³ : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹² : MetricSpace R

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : PartialOrder A

Context: inst✝⁴ : StarOrderedRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: r : R

Context: a : A

Context: h : ∀ x ∈ spectrum R a, r ≤ x

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : ComplementedLattice α
h : IsAtomic α


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : ComplementedLattice α
h : IsCoatomic α


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: inst✝¹² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: u : E → F'

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp'0 : ¬p' = 0

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: hn : 0 < n

Context: hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Context: n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent

eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: u : E → F'

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp'0 : ¬p' = 0

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: hn : 0 < n

Context: hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Context: n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent

Context: h2p : ↑p < ↑n


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: u : E → F'

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp'0 : ¬p' = 0

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: hn : 0 < n

Context: hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Context: n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent

Context: h2p : ↑p < ↑n

Context: h0n : 2 ≤ n


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: u : E → F'

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp'0 : ¬p' = 0

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: hn✝ : 0 < n

Context: hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Context: n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent

Context: h2p : ↑p < ↑n

Context: h0n : 2 ≤ n

Context: hn : (↑n).IsConjExponent n'


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: u : E → F'

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp'0 : ¬p' = 0

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: hn✝ : 0 < n

Context: hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Context: n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent

Context: h2p : ↑p < ↑n

Context: h0n : 2 ≤ n

Context: hn : (↑n).IsConjExponent n'

Context: h1n : 1 ≤ ↑n


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: u : E → F'

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp'0 : ¬p' = 0

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: hn✝ : 0 < n

Context: hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Context: n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent

Context: h2p : ↑p < ↑n

Context: h0n : 2 ≤ n

Context: hn : (↑n).IsConjExponent n'

Context: h1n : 1 ≤ ↑n

Context: h2n : 0 < ↑n - 1


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: u : E → F'

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp'0 : ¬p' = 0

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: hn✝ : 0 < n

Context: hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Context: n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent

Context: h2p : ↑p < ↑n

Context: h0n : 2 ≤ n

Context: hn : (↑n).IsConjExponent n'

Context: h1n : 1 ≤ ↑n

Context: h2n : 0 < ↑n - 1

Context: hnp : 0 < ↑n - ↑p


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: u : E → F'

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp✝ : 1 ≤ p

Context: hp'0 : ¬p' = 0

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: hn✝ : 0 < n

Context: hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Context: n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent

Context: h2p : ↑p < ↑n

Context: h0n : 2 ≤ n

Context: hn : (↑n).IsConjExponent n'

Context: h1n : 1 ≤ ↑n

Context: h2n : 0 < ↑n - 1

Context: hnp : 0 < ↑n - ↑p

Context: hp : 1 < p

Context: q : ℝ := (↑p).conjExponent


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: u : E → F'

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp✝ : 1 ≤ p

Context: hp'0 : ¬p' = 0

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: hn✝ : 0 < n

Context: hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Context: n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent

Context: h2p : ↑p < ↑n

Context: h0n : 2 ≤ n

Context: hn : (↑n).IsConjExponent n'

Context: h1n : 1 ≤ ↑n

Context: h2n : 0 < ↑n - 1

Context: hnp : 0 < ↑n - ↑p

Context: hp : 1 < p

Context: q : ℝ := (↑p).conjExponent

Context: hq : (↑p).IsConjExponent q


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: u : E → F'

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp✝ : 1 ≤ p

Context: hp'0 : ¬p' = 0

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: hn✝ : 0 < n

Context: hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Context: n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent

Context: h2p : ↑p < ↑n

Context: h0n : 2 ≤ n

Context: hn : (↑n).IsConjExponent n'

Context: h1n : 1 ≤ ↑n

Context: h2n : 0 < ↑n - 1

Context: hnp : 0 < ↑n - ↑p

Context: hp : 1 < p

Context: q : ℝ := (↑p).conjExponent

Context: hq : (↑p).IsConjExponent q

Context: h0p : p ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: u : E → F'

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp✝ : 1 ≤ p

Context: hp'0 : ¬p' = 0

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: hn✝ : 0 < n

Context: hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Context: n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent

Context: h2p : ↑p < ↑n

Context: h0n : 2 ≤ n

Context: hn : (↑n).IsConjExponent n'

Context: h1n : 1 ≤ ↑n

Context: h2n : 0 < ↑n - 1

Context: hnp : 0 < ↑n - ↑p

Context: hp : 1 < p

Context: q : ℝ := (↑p).conjExponent

Context: hq : (↑p).IsConjExponent q

Context: h0p : p ≠ 0

Context: h1p : ↑p ≠ 1


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: u : E → F'

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp✝ : 1 ≤ p

Context: hp'0 : ¬p' = 0

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: hn✝ : 0 < n

Context: hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Context: n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent

Context: h2p : ↑p < ↑n

Context: h0n : 2 ≤ n

Context: hn : (↑n).IsConjExponent n'

Context: h1n : 1 ≤ ↑n

Context: h2n : 0 < ↑n - 1

Context: hnp : 0 < ↑n - ↑p

Context: hp : 1 < p

Context: q : ℝ := (↑p).conjExponent

Context: hq : (↑p).IsConjExponent q

Context: h0p : p ≠ 0

Context: h1p : ↑p ≠ 1

Context: h3p : ↑p - 1 ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: u : E → F'

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp✝ : 1 ≤ p

Context: hp'0 : ¬p' = 0

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: hn✝ : 0 < n

Context: hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Context: n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent

Context: h2p : ↑p < ↑n

Context: h0n : 2 ≤ n

Context: hn : (↑n).IsConjExponent n'

Context: h1n : 1 ≤ ↑n

Context: h2n : 0 < ↑n - 1

Context: hnp : 0 < ↑n - ↑p

Context: hp : 1 < p

Context: q : ℝ := (↑p).conjExponent

Context: hq : (↑p).IsConjExponent q

Context: h0p : p ≠ 0

Context: h1p : ↑p ≠ 1

Context: h3p : ↑p - 1 ≠ 0

Context: h0p' : p' ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

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Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: u : E → F'

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

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Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp✝ : 1 ≤ p

Context: hp'0 : ¬p' = 0

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: hn✝ : 0 < n

Context: hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Context: n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent

Context: h2p : ↑p < ↑n

Context: h0n : 2 ≤ n

Context: hn : (↑n).IsConjExponent n'

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Context: ι : Type u_1

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Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

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Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

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Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

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Context: ι : Type u_1

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Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

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Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

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Context: h0p : p ≠ 0

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Context: h3p : ↑p - 1 ≠ 0

Context: h0p' : p' ≠ 0

Context: h2q : 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'

Context: h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)

Context: h1γ : 1 < ↑γ

Context: h2γ : γ * n' = p'

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