Context: K : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra K S

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K S

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: B : PowerBasis S A

Context: hB : IsIntegral R B.gen

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: n : ℕ

Context: i : Fin B.dim

Context: Q : R[X] := X ^ n %ₘ minpoly R B.gen

Context: this : B.gen ^ n = (aeval B.gen) Q

Context: hQ : ¬Q = 0

Context: hlt : Q.natDegree < B.dim

IsIntegral R (∑ k ∈ Finset.range B.dim, (B.basis.repr (Q.coeff k • B.gen ^ k)) i)


Context: K : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra K S

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K S

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: B : PowerBasis S A

Context: hB : IsIntegral R B.gen

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)

Context: n : ℕ

Context: i : Fin B.dim

Context: Q : R[X] := X ^ n %ₘ minpoly R B.gen

Context: this : B.gen ^ n = (aeval B.gen) Q

Context: hQ : ¬Q = 0

Context: hlt : Q.natDegree < B.dim

Context: j : ℕ

Context: hj : j ∈ Finset.range B.dim

IsIntegral R ((B.basis.repr (Q.coeff j • B.gen ^ j)) i)


Context: K : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra K S

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K S

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: B : PowerBasis S A

Context: hB : IsIntegral R B.gen

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: n : ℕ

Context: i : Fin B.dim

Context: Q : R[X] := X ^ n %ₘ minpoly R B.gen

Context: this : B.gen ^ n = (aeval B.gen) Q

Context: hQ : ¬Q = 0

Context: hlt : Q.natDegree < B.dim

Context: j : ℕ

Context: hj : j < B.dim


Context: K : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra K S

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K S

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: B : PowerBasis S A

Context: hB : IsIntegral R B.gen

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: n : ℕ

Context: i : Fin B.dim

Context: Q : R[X] := X ^ n %ₘ minpoly R B.gen

Context: this : B.gen ^ n = (aeval B.gen) Q

Context: hQ : ¬Q = 0

Context: hlt : Q.natDegree < B.dim

Context: j : ℕ

Context: hj : j < B.dim

IsIntegral R (((algebraMap R S) (Q.coeff ↑⟨j, hj⟩) • B.basis.repr (B.basis ⟨j, hj⟩)) i)


Context: K : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra K S

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K S

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: B : PowerBasis S A

Context: hB : IsIntegral R B.gen

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: n : ℕ

Context: i : Fin B.dim

Context: Q : R[X] := X ^ n %ₘ minpoly R B.gen

Context: this : B.gen ^ n = (aeval B.gen) Q

Context: hQ : ¬Q = 0

Context: hlt : Q.natDegree < B.dim

Context: j : ℕ

Context: hj : j < B.dim

IsIntegral R (Q.coeff j • if ⟨j, hj⟩ = i then 1 else 0)


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
h : Subsingleton α


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
h : Nontrivial α


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i j : ι
r : c.Rel i j

C.dFrom i ≫ (C.xNextIso r).hom = C.d i j


Context:
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
w : List T

w ∈ g.reverse.language ↔ w.reverse ∈ g.language


Context:
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
w : List T
hw : w.reverse ∈ g.language


Context: T : Type uT

Context: g : ContextFreeGrammar T

Context: w : List T

Context: hw : w.reverse ∈ g.reverse.reverse.language


Context: T : Type uT

Context: g : ContextFreeGrammar T

Context: w : List T


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Mul M
x : M
hx : x ∈ S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : UpperSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → UpperSet α

(⨆ i, ⨆ j, f i j).compl = ⨆ i, ⨆ j, (f i j).compl


Context:
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
L R : ListBlank Γ

move Dir.right (mk' L R) = mk' (ListBlank.cons R.head L) R.tail


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Ring S
inst✝⁹ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra K E
inst✝¹ : Ring T
inst✝ : Algebra R T
e : S ≃ₐ[R] T
x : S


LinearMap.det ((lmul R T) (e x)) = LinearMap.det (↑e.toLinearEquiv ∘ₗ (lmul R S) x ∘ₗ ↑e.toLinearEquiv.symm)


Context:
u✝ v : ℤ
u : ℤˣ


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group H
inst✝¹ : MulAction G α
a : G
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x✝ : G

x✝ ∈ stabilizer G ↑s ↔ x✝ ∈ stabilizer G s


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
hf : HasCompactMulSupport f
hf₂ : HasCompactMulSupport f₂
hm : m 1 1 = 1

HasCompactMulSupport fun x => m (f x) (f₂ x)


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
hf : f =ᶠ[coclosedCompact α] 1
hf₂ : f₂ =ᶠ[coclosedCompact α] 1
hm : m 1 1 = 1

(fun x => m (f x) (f₂ x)) =ᶠ[coclosedCompact α] 1


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p₁ p₂ : ι → P
b : P

∑ i ∈ s, w i • (p₁ i -ᵥ p₂ i) = (s.weightedVSubOfPoint p₁ b) w - (s.weightedVSubOfPoint p₂ b) w


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F
A B : C
inst✝¹ : IsConnected A
inst✝ : IsGalois B
f : A ⟶ B
σ : Aut A
a : ↑(F.obj A)

F.map (autMap f σ).hom (F.map f a) = F.map f (F.map σ.hom a)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t s : Set α
hs : IsCompact s


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t s : Set α
hs : IsCompact s
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0

∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t✝ s : Set α
hs : IsCompact s
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
t : Set α
htf : t.Finite
hst : s ⊆ ⋃ y ∈ t, ball y ε


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z X' Y' Z' : C
f : X ⟶ X'
g : Y ⟶ Y'
h : Z ⟶ Z'

(f ⊗ g ⊗ h) ≫ (α_ X' Y' Z').inv = (α_ X Y Z).inv ≫ ((f ⊗ g) ⊗ h)


Context: R✝ : Type u_1

Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: h₁ : ∃ p, Irreducible p

Context: h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q

Context: I : Ideal R

Context: I0 : ¬I = ⊥


Context: R✝ : Type u_1

Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: h₁ : ∃ p, Irreducible p

Context: I : Ideal R

Context: I0 : ¬I = ⊥

Context: x : R

Context: hxI : x ∈ I

Context: hx0 : x ≠ 0


Context: R✝ : Type u_1

Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: h₁ : ∃ p, Irreducible p

Context: I : Ideal R

Context: I0 : ¬I = ⊥

Context: x : R

Context: hxI : x ∈ I

Context: hx0 : x ≠ 0

Context: p : R

Context: left✝ : Irreducible p

Context: H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x


Context: R✝ : Type u_1

Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: h₁ : ∃ p, Irreducible p

Context: I : Ideal R

Context: I0 : ¬I = ⊥

Context: x : R

Context: hxI : x ∈ I

Context: hx0 : x ≠ 0

Context: p : R

Context: left✝ : Irreducible p

Context: ex : ∃ n, p ^ n ∈ I


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
B : C
X : Subobject B


X.ofLE X ⋯ ≫ X.arrow = 𝟙 (underlying.obj X) ≫ X.arrow


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ : α → β
g : β → γ
f : α → β
hg : Measurable g
hf : Measurable f
s : Set γ
hs : MeasurableSet s


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
G : SimpleGraph V


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
G : SimpleGraph V
v : V

(↑(G.connectedComponentMk v) ∈ Set.range fun c => c.supp) ∧ v ∈ ↑(G.connectedComponentMk v)


(∃ y, y.supp = ↑(G.connectedComponentMk v)) ∧ v ∈ G.connectedComponentMk v


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Subgroup G


∀ (x : Gᵐᵒᵖ), (∀ (b : G), x • b ∈ ↑s ↔ b ∈ ↑s) ↔ x ∈ s.op


∀ (x : Gᵐᵒᵖ), (∀ (b : G), b * unop x ∈ s ↔ b ∈ s) ↔ unop x ∈ s


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
s : Subgroup G
a : Gᵐᵒᵖ
h : ∀ (b : G), b * unop a ∈ s ↔ b ∈ s


Context:
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
a b : Fin (n + 1)

↑↑(a + b) = if ↑(n + 1) ≤ ↑↑a + ↑↑b then cast a + cast b - ↑(n + 1) else cast a + cast b


↑(if n + 1 ≤ ↑a + ↑b then ↑a + ↑b - (n + 1) else ↑a + ↑b) = if ↑n + 1 ≤ ↑↑a + ↑↑b then cast a + cast b - (↑n + 1) else cast a + cast b


Context:
a✝ b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hn : n ≠ 0
a : ℕ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int : Integrable (↑f) μ

∫ (x : β), ↑f x ∂μ = ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x


∫ (x : β), ↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) x ∂μ = ∑ x ∈ f.range, (μ (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) ⁻¹' {x})).toReal • x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: H : Type u_6

Context: β : Type u_7

Context: γ : Type u_8

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup H

Context: m m0 : MeasurableSpace β

Context: μ : Measure β

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : β →ₛ F

Context: hf_int✝ : Integrable (↑f) μ

Context: hf_int : Integrable (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f)) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: H : Type u_6

Context: β : Type u_7

Context: γ : Type u_8

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup H

Context: m m0 : MeasurableSpace β

Context: μ : Measure β

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : β →ₛ F

Context: hf_int✝ : Integrable (↑f) μ

∑ x ∈ (SimpleFunc.toLargerSpace hm f).range, (μ (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) ⁻¹' {x})).toReal • x = ∑ x ∈ f.range, (μ (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) ⁻¹' {x})).toReal • x


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : IsTriangularizable R L M
z x y : L

((traceForm R L M) x) y = ((∑ χ ∈ ⋯.toFinset, traceForm R L ↥↑(weightSpaceOf M χ z)) x) y


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : LieRing L

Context: inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: inst✝⁷ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁶ : LieModule R L M

Context: inst✝⁵ : Module.Free R M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R M

Context: inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝ : IsTriangularizable R L M

Context: z x y : L

Context: hxy : ∀ (χ : R), MapsTo ⇑(φ x ∘ₗ φ y) ↑(weightSpaceOf M χ z) ↑(weightSpaceOf M χ z)


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : LieRing L

Context: inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: inst✝⁷ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁶ : LieModule R L M

Context: inst✝⁵ : Module.Free R M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R M

Context: inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝ : IsTriangularizable R L M

Context: z x y : L

Context: hfin : {χ | ↑(weightSpaceOf M χ z) ≠ ⊥}.Finite


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x : M

Context: he : e ∈ maximalAtlas I M

Context: he' : e' ∈ maximalAtlas I' M'

Context: hs : s ⊆ e.source

Context: hx : x ∈ e.source

Context: hy : f x ∈ e'.source

ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(e'.extend I') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I) '' s) (↑(e.extend I) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x : M

Context: he : e ∈ maximalAtlas I M

Context: he' : e' ∈ maximalAtlas I' M'

Context: hs : s ⊆ e.source

Context: hx : x ∈ e.source

Context: hy : f x ∈ e'.source

ContinuousWithinAt f s x → (ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(e'.extend I') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(e.extend I) x) ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(e'.extend I') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I) '' s) (↑(e.extend I) x))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝¹ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x : M

Context: he : e ∈ maximalAtlas I M

Context: he' : e' ∈ maximalAtlas I' M'

Context: hs : s ⊆ e.source

Context: hx : x ∈ e.source

Context: hy : f x ∈ e'.source

Context: x✝ : ContinuousWithinAt f s x

𝓝[↑(e.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(e.extend I) x = 𝓝[↑(e.extend I) '' s] ↑(e.extend I) x


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: K L : HomologicalComplex₂ C (up ℤ) (up ℤ)

Context: f : K ⟶ L

Context: x y : ℤ

Context: inst✝¹ : K.HasTotal (up ℤ)

Context: inst✝ : L.HasTotal (up ℤ)

Context: n i₁ i₂ : ℤ

Context: h : i₁ + i₂ = n

((shiftFunctor₁ C x).obj K).ιTotal (up ℤ) i₁ i₂ n h ≫ (total.map ((shiftFunctor₁ C x).map f) (up ℤ)).f n ≫ (L.totalShift₁Iso x).hom.f n = ((shiftFunctor₁ C x).obj K).ιTotal (up ℤ) i₁ i₂ n h ≫ (K.totalShift₁Iso x).hom.f n ≫ (total.map f (up ℤ)).f (n + x)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: f : K ⟶ L

Context: x y : ℤ

Context: inst✝¹ : K.HasTotal (up ℤ)

Context: inst✝ : L.HasTotal (up ℤ)

Context: n i₁ i₂ : ℤ

Context: h : i₁ + i₂ = n

(((shiftFunctor₁ C x).map f).f i₁).f i₂ ≫ (L.shiftFunctor₁XXIso i₁ x (i₁ + x) ⋯ i₂).hom ≫ L.ιTotal (up ℤ) (i₁ + x) i₂ (n + x) ⋯ ≫ (CochainComplex.shiftFunctorObjXIso (L.total (up ℤ)) x n (n + x) ⋯).inv = (K.shiftFunctor₁XXIso i₁ x (i₁ + x) ⋯ i₂).hom ≫ K.ιTotal (up ℤ) (i₁ + x) i₂ (n + x) ⋯ ≫ (CochainComplex.shiftFunctorObjXIso (K.total (up ℤ)) x n (n + x) ⋯).inv ≫ (total.map f (up ℤ)).f (n + x)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: f : K ⟶ L

Context: x y : ℤ

Context: inst✝¹ : K.HasTotal (up ℤ)

Context: inst✝ : L.HasTotal (up ℤ)

Context: n i₁ i₂ : ℤ

Context: h : i₁ + i₂ = n

(f.f (i₁ + x)).f i₂ ≫ 𝟙 ((L.X (i₁ + x)).X i₂) ≫ L.ιTotal (up ℤ) (i₁ + x) i₂ (n + x) ⋯ ≫ 𝟙 ((L.total (up ℤ)).X (n + x)) = 𝟙 ((K.X (i₁ + x)).X i₂) ≫ K.ιTotal (up ℤ) (i₁ + x) i₂ (n + x) ⋯ ≫ 𝟙 ((K.total (up ℤ)).X (n + x)) ≫ (total.map f (up ℤ)).f (n + x)


Context: K : Type u

Context: inst✝² : CommRing K

Context: p : ℕ

Context: inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : CharP K p

Context: n : ℕ

Context: x : K

Context: m : ℕ

Context: ih : mk K p (n, x) = mk K p (m + n, (⇑(frobenius K p))^[m] x)

mk K p (n, x) = mk K p (m + 1 + n, (⇑(frobenius K p))^[m + 1] x)


Context: K : Type u

Context: inst✝² : CommRing K

Context: p : ℕ

Context: inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : CharP K p

Context: n : ℕ

Context: x : K

Context: m : ℕ

mk K p (m + n, (⇑(frobenius K p))^[m] x) = mk K p ((m + n).succ, (⇑(frobenius K p) ∘ (⇑(frobenius K p))^[m]) x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : MulActionWithZero 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
f : α → β
c : 𝕜ˣ

HasFiniteIntegral f μ → HasFiniteIntegral (↑c • f) μ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : IsDedekindDomain R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Module.Free R S

Context: inst✝⁸ : Module.Finite R S

Context: p : Ideal R

Context: hp0 : p ≠ ⊥

Context: inst✝⁷ : p.IsPrime

Context: Sₚ : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing Sₚ

Context: inst✝⁵ : Algebra S Sₚ

Context: inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ

Context: inst✝³ : Algebra R Sₚ

Context: inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: this✝ : DecidableEq (Ideal Sₚ) := Classical.decEq (Ideal Sₚ)

Context: this : DecidablePred fun P => P.IsPrime := Classical.decPred fun P => P.IsPrime


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : IsDedekindDomain R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Module.Free R S

Context: inst✝⁸ : Module.Finite R S

Context: p : Ideal R

Context: hp0 : p ≠ ⊥

Context: inst✝⁷ : p.IsPrime

Context: Sₚ : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing Sₚ

Context: inst✝⁵ : Algebra S Sₚ

Context: inst✝³ : Algebra R Sₚ

Context: inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: P : Ideal Sₚ

P ∈ Finset.filter (fun P => P.IsPrime) ({⊥} ∪ (normalizedFactors (map (algebraMap R Sₚ) p)).toFinset) ↔ P ∈ {I | I.IsPrime}


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : IsDedekindDomain R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Module.Free R S

Context: inst✝⁸ : Module.Finite R S

Context: p : Ideal R

Context: hp0 : p ≠ ⊥

Context: inst✝⁷ : p.IsPrime

Context: Sₚ : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing Sₚ

Context: inst✝⁵ : Algebra S Sₚ

Context: inst✝³ : Algebra R Sₚ

Context: inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: P : Ideal Sₚ

(P = ⊥ ∨ P ∈ normalizedFactors (map (algebraMap R Sₚ) p)) ∧ P.IsPrime ↔ P.IsPrime


Context:
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
m n : ℕ
hn : n ≠ 0

map { toFun := fun x => n • x, inj' := ⋯ } (s.piAntidiag m) = filter (fun f => ∀ i ∈ s, n ∣ f i) (s.piAntidiag (n * m))


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
A : C
X✝ Y✝ : MonoOver A
k : X✝ ⟶ Y✝
g : MonoOver A

pullback.lift (pullback.fst g.arrow X✝.arrow) (pullback.snd g.arrow X✝.arrow ≫ k.left) ⋯ ≫ pullback.snd g.arrow Y✝.arrow ≫ Y✝.arrow = pullback.snd g.arrow X✝.arrow ≫ X✝.arrow


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
l : List α
l₁ l₂ : List β
h : Forall₂ R l (l₁ ++ l₂)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: R S : α → β → Prop

Context: P : γ → δ → Prop

Context: Rₐ : α → α → Prop

Context: l : List α

Context: l₁ l₂ : List β

Context: h : Forall₂ R l (l₁ ++ l₂)

Context: h' : Forall₂ R (drop l₁.length l) (drop l₁.length (l₁ ++ l₂))


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ

padicNorm p (q - r) ≤ max (padicNorm p q) (padicNorm p r)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ

padicNorm p (q + -r) ≤ max (padicNorm p q) (padicNorm p (-r))


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hzpos : 0 < z


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hzpos : 0 < z
h1 : x % 2 = 0 ∧ y % 2 = 1


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hzpos : 0 < z
h2 : x % 2 = 1 ∧ y % 2 = 0


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : y.gcd x = 1
hzpos : 0 < z
h2 : x % 2 = 1 ∧ y % 2 = 0


Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: hc : y.gcd x = 1

Context: hzpos : 0 < z

Context: h2 : x % 2 = 1 ∧ y % 2 = 0

Context: m n : ℤ

Context: H : (y = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ x = 2 * m * n ∨ y = 2 * m * n ∧ x = m ^ 2 - n ^ 2) ∧ m.gcd n = 1 ∧ (m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0)


Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: hc : y.gcd x = 1

Context: hzpos : 0 < z

Context: h2 : x % 2 = 1 ∧ y % 2 = 0

Context: m n : ℤ


Context:
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.130934, u_1} C
inst✝⁵ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝⁴ : DecidableEq I₁₂
inst✝³ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝² : K.HasTotal c₁₂
inst✝¹ : L.HasTotal c₁₂
inst✝ : M.HasTotal c₁₂

map e.hom c₁₂ ≫ map e.inv c₁₂ = 𝟙 (K.total c₁₂)


map e.inv c₁₂ ≫ map e.hom c₁₂ = 𝟙 (L.total c₁₂)


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x y : T
m : M
s : ↥S

(x + y) • mk m s = x • mk m s + y • mk m s


mk ((((IsLocalization.sec S x).1 * ↑(IsLocalization.sec S y).2 + (IsLocalization.sec S y).1 * ↑(IsLocalization.sec S x).2) * ↑s) • m) ((IsLocalization.sec S x).2 * (IsLocalization.sec S y).2 * s * s) = mk ((((IsLocalization.sec S y).2 * s) • (IsLocalization.sec S x).1 + ((IsLocalization.sec S x).2 * s) • (IsLocalization.sec S y).1) • m) ((IsLocalization.sec S x).2 * s * ((IsLocalization.sec S y).2 * s))


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: R' : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: inst✝² : AddGroup E

Context: inst✝¹ : FunLike F E ℝ

Context: inst✝ : NonarchAddGroupSeminormClass F E

Context: f : F

Context: x y : E


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: R' : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: inst✝² : AddGroup E

Context: inst✝¹ : FunLike F E ℝ

Context: f : F

Context: x y : E


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: c✝ : Set α

Context: inst✝ : Preorder α

Context: s : Set α

Context: ih : ∀ c ⊆ s, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∃ ub ∈ s, ∀ z ∈ c, z ≤ ub

Context: c : Set ↑s

Context: hc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c

Context: p : { x // x ∈ s }

Context: hpc : p ∈ c

Context: q : { x // x ∈ s }

Context: hqc : q ∈ c

Context: hpq : ↑p ≠ ↑q

(fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑p ↑q ∨ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑q ↑p


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace E
A : E →ₗ.[𝕜] E
hA : IsSelfAdjoint A


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace E
A : E →ₗ.[𝕜] E
hA : IsSelfAdjoint A
h : ¬Dense ↑A.domain


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace E
A : E →ₗ.[𝕜] E
hA : A† = A
h : ¬Dense ↑A.domain


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace E
A : E →ₗ.[𝕜] E
hA : A† = A
h : ¬Dense ↑A.domain
h' : A.domain = ⊤


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝ : CharZero R
h : P.coroot i = 0


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
x x' : α


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
ι : Type u_1
I J : Ideal R
coprime : IsCoprime I J

(fst (R ⧸ I) (R ⧸ J)).comp ↑(I.quotientMulEquivQuotientProd J coprime) = factor (I * J) I ⋯


((fst (R ⧸ I) (R ⧸ J)).comp ↑(I.quotientMulEquivQuotientProd J coprime)).comp (Quotient.mk (I * J)) = (factor (I * J) I ⋯).comp (Quotient.mk (I * J))


Context: R : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: k : ℕ

Context: h : k ≤ Fintype.card σ

Context: s : Multiset (MvPolynomial σ R) := Multiset.map (fun i => X i) univ.val

(∏ i : σ, (Polynomial.X + Polynomial.C (X i))).coeff k = esymm σ R (Fintype.card σ - k)


Context: R : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: k : ℕ

Context: h : k ≤ Fintype.card σ

Context: this : Fintype.card σ = Multiset.card s


Context: R : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: k : ℕ

Context: h : k ≤ Multiset.card s

Context: this : Fintype.card σ = Multiset.card s

(∏ i : σ, (Polynomial.X + Polynomial.C (X i))).coeff k = esymm σ R (Multiset.card s - k)


Context: R : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: k : ℕ

Context: h : k ≤ Multiset.card s

Context: this : Fintype.card σ = Multiset.card s

(Multiset.map (fun i => Polynomial.X + Polynomial.C (X i)) univ.val).prod.coeff k = (Multiset.map X univ.val).esymm (Multiset.card s - k)


Context: R : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: k : ℕ

Context: h : k ≤ Multiset.card s

Context: this : Fintype.card σ = Multiset.card s

Multiset.map (fun i => Polynomial.X + Polynomial.C (X i)) univ.val = Multiset.map (fun r => Polynomial.X + Polynomial.C r) s


Context:
x : EReal
y : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
S : Multiset (Multiset α)

∀ (a_1 : Multiset α) (s : Multiset (Multiset α)), (a ∈ s.join ↔ ∃ s_1 ∈ s, a ∈ s_1) → (a ∈ (a_1 ::ₘ s).join ↔ ∃ s_1 ∈ a_1 ::ₘ s, a ∈ s_1)


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f✝ : SmoothBumpCovering ι I M s
inst✝ : Finite ι
f : SmoothBumpCovering ι I M

∃ n e, Smooth I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e ∧ Injective e ∧ ∀ (x : M), Injective ⇑(mfderiv I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e x)


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f✝ : SmoothBumpCovering ι I M s
inst✝ : Finite ι
f : SmoothBumpCovering ι I M
val✝ : Fintype ι


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: hi : Fintype ι

Context: s : Set M

Context: f✝ : SmoothBumpCovering ι I M s

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M

Context: val✝ : Fintype ι

Context: F : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ (ι → E × ℝ)))


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: hi : Fintype ι

Context: s : Set M

Context: f✝ : SmoothBumpCovering ι I M s

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M

Context: val✝ : Fintype ι

Context: this : IsNoetherian ℝ (E × ℝ) := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: hi : Fintype ι

Context: s : Set M

Context: f✝ : SmoothBumpCovering ι I M s

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M

Context: val✝ : Fintype ι

Context: this✝ : IsNoetherian ℝ (E × ℝ) := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance

Context: this : FiniteDimensional ℝ (ι → E × ℝ) := IsNoetherian.iff_fg.mp inferInstance


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: hi : Fintype ι

Context: s : Set M

Context: f✝ : SmoothBumpCovering ι I M s

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M

Context: val✝ : Fintype ι

Context: eEF : (ι → E × ℝ) ≃L[ℝ] F := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq ⋯


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: hi : Fintype ι

Context: s : Set M

Context: f✝ : SmoothBumpCovering ι I M s

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M

Context: val✝ : Fintype ι

Context: x : M

Injective ⇑(mfderiv I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ (ι → E × ℝ)))) (⇑eEF ∘ ⇑f.embeddingPiTangent) x)


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: hi : Fintype ι

Context: s : Set M

Context: f✝ : SmoothBumpCovering ι I M s

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M

Context: val✝ : Fintype ι

Context: x : M

Injective ⇑((↑eEF).comp (mfderiv I 𝓘(ℝ, ι → E × ℝ) (⇑f.embeddingPiTangent) x))


Context: n : ℕ

Context: hpos : 0 < n

Context: p : ℕ

Context: hprime : Fact (Nat.Prime p)

Context: a : ℕ

Context: hroot : (cyclotomic n (ZMod p)).IsRoot ((Nat.castRingHom (ZMod p)) a)


Context: n : ℕ

Context: hpos : 0 < n

Context: p : ℕ

Context: hprime : Fact (Nat.Prime p)

Context: a : ℕ


Context: n : ℕ

Context: hpos : 0 < n

Context: p : ℕ

Context: hprime : Fact (Nat.Prime p)

Context: a : ℕ

Context: h : p ∣ a


Context: n : ℕ

Context: hpos : 0 < n

Context: p : ℕ

Context: hprime : Fact (Nat.Prime p)

Context: a : ℕ

Context: h : ↑a = 0


Context: n : ℕ

Context: hpos : 0 < n

Context: p : ℕ

Context: hprime : Fact (Nat.Prime p)

Context: a : ℕ

Context: hroot : (cyclotomic n (ZMod p)).coeff 0 = 0

Context: h : ↑a = 0


Context: n : ℕ

Context: hpos : 0 < n

Context: p : ℕ

Context: hprime : Fact (Nat.Prime p)

Context: a : ℕ

Context: h : ↑a = 0

Context: hone : ¬n = 1


Context:
n : ℕ
hpos : 0 < n
p : ℕ
hprime : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
hroot : 1 = 0
h : ↑a = 0
hone : ¬n = 1


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : M
x : OreLocalization S X


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : M
r' : X
s : ↥S


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: C : ℝ := cos b ^ (n + 1) * sin b - cos a ^ (n + 1) * sin a

Context: h : ∀ (α β γ : ℝ), β * α * γ * α = β * (α * α * γ)

∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ (n + 2) = (cos b ^ (n + 1) * sin b - cos a ^ (n + 1) * sin a + (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ n) - (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ (n + 2)


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hu : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt (fun y => cos y ^ (n + 1)) (-↑(n + 1) * sin x * cos x ^ n) x


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hv : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt sin (cos x) x


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: H : ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ (n + 1) * cos x = cos b ^ (n + 1) * sin b - cos a ^ (n + 1) * sin a - ∫ (x : ℝ) in a..b, -↑(n + 1) * sin x * cos x ^ n * sin x


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

IntervalIntegrable (fun x => -↑(n + 1) * sin x * cos x ^ n) MeasureTheory.volume a b


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

IntervalIntegrable cos MeasureTheory.volume a b


Context: m n : ℕ

(subNatNat m n).bodd = xor m.bodd n.bodd


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
h : b₁ ≤ b₂
ha : a ≤ 0

a • b₂ ≤ a • b₁


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : C
inst✝ : HasTerminal C
X : MonoOver (⊤_ C)
Z : C
f g : Z ⟶ X.obj.left


Context:
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
hs : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re


Context: f : ℕ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hs : ∃ a, LSeriesSummable f ↑a ∧ a < s.re


Context:
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
y : ℝ
hy : LSeriesSummable f ↑y
hys : y < s.re


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTop α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : Nontrivial α

(𝓝 ⊤).HasBasis (fun a => a < ⊤) fun a => Ioi a


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTop α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : Nontrivial α
this : ∃ x, x < ⊤


Context:
X : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring M
inst✝ : Module M X
P : M
h : IsLprojection X P
x : X


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
a : α
l✝ : List α
inst✝ : PartialOrder α
l : List α
h₁ : Sorted (fun x x_1 => x ≥ x_1) l
h₂ : l.Nodup


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w₁ w₂ : ι → k
p : ι → P

(affineCombination k s p) w₁ -ᵥ (affineCombination k s p) w₂ = (s.weightedVSub p) (w₁ - w₂)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : μ'.IsHaarMeasure

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ.IsEverywherePos s

Context: ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : μ'.IsHaarMeasure

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ.IsEverywherePos s

Context: k : Set G

Context: k_comp : IsCompact k

Context: k_closed : IsClosed k

Context: k_mem : k ∈ 𝓝 1


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : μ'.IsHaarMeasure

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ.IsEverywherePos s

Context: k : Set G

Context: k_comp : IsCompact k

Context: k_closed : IsClosed k

Context: k_mem : k ∈ 𝓝 1

Context: one_k : 1 ∈ k


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : μ'.IsHaarMeasure

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ.IsEverywherePos s

Context: k : Set G

Context: k_comp : IsCompact k

Context: k_closed : IsClosed k

Context: k_mem : k ∈ 𝓝 1

Context: one_k : 1 ∈ k

Context: A : Set (Set G) := {t | t ⊆ s ∧ t.PairwiseDisjoint fun x => x • k}

Context: m : Set G

Context: m_max : ∀ a ∈ A, m ⊆ a → a = m

Context: mA : m ⊆ s ∧ m.PairwiseDisjoint fun x => x • k

Context: sm : s ⊆ ⋃ x ∈ m, x • (k * k⁻¹)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : μ'.IsHaarMeasure

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ.IsEverywherePos s

Context: k : Set G

Context: k_comp : IsCompact k

Context: k_closed : IsClosed k

Context: k_mem : k ∈ 𝓝 1

Context: one_k : 1 ∈ k

Context: m_max : ∀ a ∈ A, ∅ ⊆ a → a = ∅

Context: mA : ∅ ⊆ s ∧ ∅.PairwiseDisjoint fun x => x • k

Context: sm : s ⊆ ⋃ x ∈ ∅, x • (k * k⁻¹)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : μ'.IsHaarMeasure

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ.IsEverywherePos s

Context: k : Set G

Context: k_comp : IsCompact k

Context: k_closed : IsClosed k

Context: k_mem : k ∈ 𝓝 1

Context: one_k : 1 ∈ k

Context: m : Set G

Context: m_max : ∀ a ∈ A, m ⊆ a → a = m

Context: sm : s ⊆ ⋃ x ∈ m, x • (k * k⁻¹)

Context: hm : m.Nonempty


Context:
R : Type v
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : StarRing R
S T : StarSubsemiring R
h : S.toSubsemiring = T.toSubsemiring
x : R


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
f : α →o β
g : β →o γ
c : Chain α

OrderHom.id (ωSup c) = ωSup (c.map OrderHom.id)


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M × N →ₗ[R] M
i : Injective ⇑f
n : ℕ

Submodule.map (((f.tunnel' i n).fst.subtype ∘ₗ ↑(f.tunnel' i n).snd.symm) ∘ₗ f) (Submodule.snd R M N) ⊔ Submodule.map (((f.tunnel' i n).fst.subtype ∘ₗ ↑(f.tunnel' i n).snd.symm) ∘ₗ f) (Submodule.fst R M N) ≤ (f.tunnel' i n).fst


Submodule.map (f.tunnel' i n).fst.subtype (Submodule.map (↑(f.tunnel' i n).snd.symm) (Submodule.map f ⊤)) ≤ (f.tunnel' i n).fst


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
x y : M

(fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m)) (x + y) = (fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m)) x + (fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m)) y


(fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m)) (x + y) = (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R x + FreeAlgebra.ι R y)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r : R
x : M

{ toFun := fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m), map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) = (RingHom.id R) r • { toFun := fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m), map_add' := ⋯ }.toFun x


{ toFun := fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m), map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) = (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) ((RingHom.id R) r • FreeAlgebra.ι R x)


Context:
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x✝ x : M
hx : ↑f x = 1 x


Context:
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
n : α →₀ ℕ
f : (α →₀ ℕ) → (α →₀ ℕ) → M

∀ (i : (α →₀ ℕ) × (α →₀ ℕ)), i ∈ antidiagonal n ↔ (Equiv.prodComm (α →₀ ℕ) (α →₀ ℕ)) i ∈ antidiagonal n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : Monoid N
inst✝² : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a : M
l : List M
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
f : F


foldl (fun x y => x * f y) (f 1) l = f (foldl (fun x x_1 => x * x_1) 1 l)


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp2✝ : Fact (p % 2 = 1)
a : ℕ
hap : ↑a ≠ 0
hp2 : ↑p = ↑1

↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * x) = ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (a * x % p + p * (a * x / p)))


↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (a * x % p + p * (a * x / p))) = ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (↑(a * x)).val) + ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * x / p)


↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (a * x % p + p * (a * x / p))) = ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * x % p) + ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * x / p)


↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (↑(a * x)).val) = ∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, ↑((↑a * ↑x).valMinAbs + ↑(if (↑a * ↑x).val ≤ p / 2 then 0 else p))


↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (↑(a * x)).val) = ∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, ↑↑(↑a * ↑x).val


∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, ↑((↑a * ↑x).valMinAbs + ↑(if (↑a * ↑x).val ≤ p / 2 then 0 else p)) = ↑(filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Ico 1 (p / 2).succ)).card + ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (↑a * ↑x).valMinAbs.natAbs)


↑(filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Ico 1 (p / 2).succ)).card + ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (↑a * ↑x).valMinAbs.natAbs) = ↑(filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Ico 1 (p / 2).succ)).card + ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, x)


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α

a⁻¹ ≤ a ↔ 1 ≤ a


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
x : (𝓞 K)ˣ
inst✝ : NumberField K

x ∈ torsion K ↔ ∀ (w : InfinitePlace K), w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x) = 1


IsOfFinOrder x ↔ ∀ (φ : K →+* ℂ), ‖φ ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x)‖ = 1


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: x : (𝓞 K)ˣ

Context: inst✝ : NumberField K

Context: h : ∀ (φ : K →+* ℂ), ‖φ ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x)‖ = 1


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: x : (𝓞 K)ˣ

Context: inst✝ : NumberField K

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: hx : (algebraMap (𝓞 K) K) ↑x ^ n = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ✝ : Type u_5
mγ✝ : MeasurableSpace γ✝
f✝ : β → γ✝
g : γ✝ → α
κ : Kernel α β
γ : Type u_6
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
hf : Measurable f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
s : ℕ → Set α
t : Set α
h : ∀ (n : ℕ), s n =ᶠ[ae μ] t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α

Context: s : ℕ → Set α

Context: t : Set α

Context: h : ∀ (n : ℕ), μ (s n \ t) = 0 ∧ μ (t \ s n) = 0

μ (liminf s atTop \ t) = 0 ∧ μ (t \ liminf s atTop) = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
p : Associates α
hp : Irreducible p
hz : a ≠ 0
h_mem : ⟨p, hp⟩ ∈ factors' a
this : DecidableEq (Associates α)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
n : ℕ
hst : 2 * n < (s ∪ t).ncard


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : InvolutiveInv α
s✝ : Finset α
a : α
s : Finset α


Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁹ : Category.{w, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝⁸ : Category.{w', u₃} E

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: A A' B B' : C

Context: inst✝⁷ : HasBinaryProduct A B

Context: inst✝⁶ : HasBinaryProduct A' B'

Context: inst✝⁵ : HasBinaryProduct (F.obj A) (F.obj B)

Context: inst✝⁴ : HasBinaryProduct (F.obj A') (F.obj B')

Context: inst✝³ : HasBinaryProduct (G.obj (F.obj A)) (G.obj (F.obj B))

Context: inst✝² : HasBinaryProduct ((F ⋙ G).obj A) ((F ⋙ G).obj B)

Context: f : A ⟶ A'

Context: g : B ⟶ B'

Context: inst✝¹ : IsIso (prodComparison F A B)

Context: inst✝ : IsIso (prodComparison F A' B')

inv (prodComparison F A B) ≫ F.map (prod.map f g) = prod.map (F.map f) (F.map g) ≫ inv (prodComparison F A' B')


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Ring B
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
x : B
hx : IsIntegral R x
p : R[X]
hp : p.Monic
hpx : eval₂ (algebraMap R B) x p = 0

eval₂ (algebraMap A B) x (Polynomial.map (algebraMap R A) p) = 0


Context:
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cocone F
h : IsColimit t
W : C
m : t.pt ⟶ W
X✝ Y✝ : J
f✝ : X✝ ⟶ Y✝

F.map f✝ ≫ (fun b => t.ι.app b ≫ m) Y✝ = (fun b => t.ι.app b ≫ m) X✝ ≫ ((const J).obj W).map f✝


Context:
m x y : ℤ
h : 2 * m = x ^ 2 + y ^ 2


Context:
m x y : ℤ
h : 2 * m = x ^ 2 + y ^ 2
this : Even (x ^ 2 + y ^ 2)
hxaddy : Even (x + y)
hxsuby : Even (x - y)


Context:
m x y : ℤ
h : 2 * m = x ^ 2 + y ^ 2
this : Even (x ^ 2 + y ^ 2)
hxaddy : 2 ∣ x + y
hxsuby : 2 ∣ x - y


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : SetLike σ M
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
inst✝ : Decomposition ℳ
x : M
i j : ι
hx : x ∈ ℳ i
hij : i ≠ j


Context:
F : Type u_1
K✝¹ : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K✝¹
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K✝¹
inst✝¹ : Algebra F L
K✝ K' : IntermediateField F L
inst✝ : Normal F L
K : IntermediateField F L

Normal F ↥K ↔ ∀ (σ : L ≃ₐ[F] L), map (↑σ) K ≤ K


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A

Algebra.Transcendental R A ↔ ¬Algebra.IsAlgebraic R A


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: f : ι → E

Context: n : ι

f n = gramSchmidt 𝕜 f n + ∑ i ∈ Iio n, ↑((orthogonalProjection (span 𝕜 {gramSchmidt 𝕜 f i})) (f n))


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C

(β_ X (𝟙_ C)).hom = (ρ_ X).hom ≫ (λ_ X).inv


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: b : K

Context: nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some b

|v - (of v).convs n| ≤ 1 / (b * (of v).dens n * (of v).dens n)


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: b : K

Context: not_terminatedAt_n : ¬(of v).TerminatedAt n


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: b : K

1 / ((of v).dens n * (of v).dens (n + 1)) ≤ 1 / (b * (of v).dens n * (of v).dens n)


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: b : K

Context: hB : (of v).dens n = 0


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: b : K

Context: hB : 0 < (of v).dens n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
R✝ : Type u_3
S✝ : Type u_4
S : Type u_5
inst✝² : OrderedRing S
R : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
abv : R → S
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
a b c : R


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: s t : Multiset α

Context: a : α

Context: m : Multiset ι

Context: f g : ι → α

Context: p : α → Prop

Context: p_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)

Context: hs : s ≠ ∅

Context: p_s : ∀ a ∈ s, p a


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: s t : Multiset α

Context: a : α

Context: m : Multiset ι

Context: f g : ι → α

Context: p : α → Prop

Context: hs : 0 ≠ ∅

Context: p_s : ∀ a ∈ 0, p a


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: s✝ t : Multiset α

Context: a✝ : α

Context: m : Multiset ι

Context: f g : ι → α

Context: p : α → Prop

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hsa : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → p s.prod

Context: hs : a ::ₘ s ≠ ∅

Context: p_s : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: s✝ t : Multiset α

Context: a✝ : α

Context: m : Multiset ι

Context: f g : ι → α

Context: p : α → Prop

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hsa : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → p s.prod

Context: hs : a ::ₘ s ≠ ∅

Context: p_s : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1

Context: hs_empty : ¬s = ∅


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: s✝ t : Multiset α

Context: a✝ : α

Context: m : Multiset ι

Context: f g : ι → α

Context: p : α → Prop

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hsa : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → p s.prod

Context: hs : a ::ₘ s ≠ ∅

Context: p_s : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1

Context: hs_empty : ¬s = ∅

Context: hps : ∀ x ∈ s, p x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid E

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid F

Context: inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β

Context: inst✝² : SMul 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f g : E → β

Context: hf : ConvexOn 𝕜 s f

Context: x y : E

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ s

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: hyz : f y ≤ f (a • x + b • y)


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N


Context: F : Type w

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T

Context: inst✝¹ : FunLike F R S

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S

Context: g : S →ₙ+* T

Context: f : R →ₙ+* S

Context: s : Set R

Context: p : R → R → Prop

Context: a b : R

Context: ha : a ∈ closure s

Context: hb : b ∈ closure s

Context: Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y

Context: H0_left : ∀ (x : R), p 0 x

Context: H0_right : ∀ (x : R), p x 0

Context: Hneg_left : ∀ (x y : R), p x y → p (-x) y

Context: Hneg_right : ∀ (x y : R), p x y → p x (-y)

Context: Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y

Context: Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)

Context: Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y

Context: Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)


Context: F : Type w

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T

Context: inst✝¹ : FunLike F R S

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S

Context: g : S →ₙ+* T

Context: f : R →ₙ+* S

Context: s : Set R

Context: p : R → R → Prop

Context: a b : R

Context: ha : a ∈ closure s

Context: hb : b ∈ closure s

Context: Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y

Context: H0_left : ∀ (x : R), p 0 x

Context: H0_right : ∀ (x : R), p x 0


Context: F : Type w

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T

Context: inst✝¹ : FunLike F R S

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S

Context: g : S →ₙ+* T

Context: f : R →ₙ+* S

Context: s : Set R

Context: p : R → R → Prop

Context: a b : R

Context: ha : a ∈ closure s

Context: hb : b ∈ closure s

Context: Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y

Context: H0_left : ∀ (x : R), p 0 x

Context: H0_right : ∀ (x : R), p x 0

∀ (x y : R), (∀ x_1 ∈ s, p x x_1) → (∀ x ∈ s, p y x) → ∀ x_1 ∈ s, p (x + y) x_1


Context: F : Type w

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T

Context: inst✝¹ : FunLike F R S

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S

Context: g : S →ₙ+* T

Context: f : R →ₙ+* S

Context: s : Set R

Context: p : R → R → Prop

Context: a b : R

Context: ha : a ∈ closure s

Context: hb : b ∈ closure s

Context: Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y

Context: H0_left : ∀ (x : R), p 0 x

Context: H0_right : ∀ (x : R), p x 0

∀ (x y : R), (∀ x_1 ∈ s, p x x_1) → (∀ x ∈ s, p y x) → ∀ x_1 ∈ s, p (x * y) x_1


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : Field R
p q : R[X]
inst✝¹ : CommSemiring k
inst✝ : DecidableEq R
ϕ : R →+* k
f g : R[X]
α : k
hf : eval₂ ϕ α f = 0
hg : eval₂ ϕ α g = 0


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g

Context: X W : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : W ⟶ X

Context: x : ↑↑W.toPresheafedSpace

x ∈ Set.range ⇑((fun x => pullback.fst f (𝒰.map x)) ((fun x => 𝒰.f (f.val.base x)) x)).val.base


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X W : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : W ⟶ X

Context: x : ↑↑W.toPresheafedSpace

x ∈ Set.range ⇑((PreservesPullback.iso forgetToTop f (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))).hom ≫ pullback.fst (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))))


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X W : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : W ⟶ X

Context: x : ↑↑W.toPresheafedSpace

x ∈ {x_1 | ∃ y, (forgetToTop.map f) x_1 = (forgetToTop.map (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))) y}


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X W : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : W ⟶ X

Context: x : ↑↑W.toPresheafedSpace

Function.Surjective ⇑(PreservesPullback.iso forgetToTop f (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))).hom


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.97943
inst✝ : MulAction R X
s s' : ↥S


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
x✝² : NonAssocSemiring α
x✝¹ : NonAssocSemiring β
x✝ : NonAssocSemiring γ
g : β →+* γ
f₁ f₂ : α →+* β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
x : α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

(A * C).card * B.card ≤ (A / B).card * (B / C).card


(A * C).card * B⁻¹.card ≤ (A * B⁻¹).card * (B⁻¹ * C).card


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.228574}
f : α → β
s : Set β
h : Injective f
h2 : s ⊆ range f


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
hp : p ∈ normalizedFactors a
q : α
hq : q ∈ normalizedFactors a
hdvd : p ∣ q


Context:
k m n : Nat
H1 : k.Coprime m
H2 : k ∣ m * n


Context:
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint ↑K₁ ↑K₂
h₁ : IsClosed ↑K₁
h₂ : IsClosed ↑K₂

(fun s => ↑(μ.toFun s)) (K₁ ⊔ K₂) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K₁ + (fun s => ↑(μ.toFun s)) K₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t s₁ s₂ : Finset α

↑s₁ ⊂ ↑s₂ ↔ s₁ ⊆ s₂ ∧ ¬s₂ ⊆ s₁


Context:
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w✝ : InfinitePlace K
inst✝¹ : IsGalois k K
inst✝ : FiniteDimensional k K
w : InfinitePlace k
hw : ¬IsUnramifiedIn K w


Context: k : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : NumberField K

Context: inst✝⁵ : Algebra k K

Context: inst✝⁴ : Algebra k F

Context: inst✝³ : Algebra K F

Context: inst✝² : IsScalarTower k K F

Context: σ : K ≃ₐ[k] K

Context: w : InfinitePlace K

Context: inst✝¹ : IsGalois k K

Context: inst✝ : FiniteDimensional k K

Context: v : InfinitePlace K

Context: hw : ¬IsUnramifiedIn K ((fun x => x.comap (algebraMap k K)) v)


Context:
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : IsGalois k K
inst✝ : FiniteDimensional k K
v : InfinitePlace K
hw : ¬IsUnramified k v


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
h : ¬Module.Finite R S
x : S


(∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } R S)) → Module.Finite R S


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
h : ¬Module.Finite R S
x : S
s : Finset S
b : Basis { x // x ∈ s } R S


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁶ : AddCommGroup V
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommGroup W
inst✝¹² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalRing 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f g : V → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
w : W

(fourierIntegral e μ L f + fourierIntegral e μ L g) w = fourierIntegral e μ L (f + g) w


∫ (v : V), e (-(L v) w) • f v ∂μ + ∫ (v : V), e (-(L v) w) • g v ∂μ = ∫ (v : V), e (-(L v) w) • (f v + g v) ∂μ


∫ (v : V), e (-(L v) w) • f v ∂μ + ∫ (v : V), e (-(L v) w) • g v ∂μ = ∫ (v : V), e (-(L v) w) • f v + e (-(L v) w) • g v ∂μ


Integrable (fun v => e (-(L v) w) • f v) μ


Integrable (fun v => e (-(L v) w) • g v) μ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : N →ₗ[R] N
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : N →ₗ[R] N
n : ℕ
h : map id f ^ n = map (id ^ n) (f ^ n)


Context:
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ι → ℂ

Integrable (fun v => cexp (-b * ∑ i : ι, ↑(v i) ^ 2 + ∑ i : ι, c i * ↑(v i))) volume


Integrable (fun v => cexp (-∑ i : ι, b * ↑(v i) ^ 2 + ∑ i : ι, c i * ↑(v i))) volume


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
E : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : One β
s : ι → Set α
hs : Monotone s
f : α → β
a : α

(fun i => (s i).mulIndicator f a) =ᶠ[atTop] fun x => (⋃ i, s i).mulIndicator f a


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: x : ↑↑(Proj.restrict ⋯).toPresheafedSpace

awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.Γgerm x = HomogeneousLocalization.mapId 𝒜 ⋯ ≫ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv ≫ (Proj.restrictStalkIso ⋯ x).inv


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

awayToSection 𝒜 f ≫ (structureSheaf 𝒜).val.map (homOfLE ⋯).op ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩ ≫ (Proj.restrictStalkIso ⋯ x).hom = HomogeneousLocalization.mapId 𝒜 ⋯ ≫ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

awayToSection 𝒜 f ≫ (structureSheaf 𝒜).val.map (homOfLE ⋯).op ≫ Proj.presheaf.germ ⟨(pbo f).inclusion x, ⋯⟩ = HomogeneousLocalization.mapId 𝒜 ⋯ ≫ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

awayToSection 𝒜 f ≫ (structureSheaf 𝒜).val.map (homOfLE ⋯).op ≫ Presheaf.germ (structureSheaf 𝒜).val ⟨(pbo f).inclusion x, ⋯⟩ = HomogeneousLocalization.mapId 𝒜 ⋯ ≫ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

HomogeneousLocalization.mapId 𝒜 ⋯ ≫ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) ⟨(pbo f).inclusion x, ⋯⟩)).toCommRingCatIso.inv = HomogeneousLocalization.mapId 𝒜 ⋯ ≫ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: K L : HomologicalComplex₂ C (up ℤ) (up ℤ)

Context: f : K ⟶ L

Context: x y : ℤ

Context: inst✝ : K.HasTotal (up ℤ)

Context: a n b' : ℤ

Context: hb' : a + b' = n + y

Context: h : a + (b' - y) = n

(K.ιTotal (up ℤ) a b' (n + y) hb' ≫ 𝟙 ((K.total (up ℤ)).X (n + y)) ≫ K.totalDesc fun p q hpq => (p * y).negOnePow • eqToHom ⋯ ≫ ((shiftFunctor₂ C y).obj K).ιTotal (up ℤ) p (q - y) n ⋯) = (a * y).negOnePow • eqToHom ⋯ ≫ ((shiftFunctor₂ C y).obj K).ιTotal (up ℤ) a (b' - y) n h


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q✝ : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
U : Opens M
x : ↥U


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R✝
R : Type u_2
inst✝ : Fintype R

Fintype.card (TruncatedWittVector p n R) = Fintype.card R ^ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass α
A : Matrix m m α
B : Matrix n n α
hA : A.IsDiag
hB : B.IsDiag
a : m
b : n
c : m
d : n
h : (a, b) ≠ (c, d)

kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B (a, b) (c, d) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass α
A : Matrix m m α
B : Matrix n n α
hA : A.IsDiag
hB : B.IsDiag
a : m
b : n
c : m
d : n
h : ¬a = c ∨ ¬b = d


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : PseudoMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderWith C r f
x y : X
d : ℝ
hd : dist x y ≤ d


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : PseudoMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderWith C r f
x y : X
d : ℝ≥0
hd : dist x y ≤ ↑d


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : PseudoMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderWith C r f
x y : X
d : ℝ≥0
hd : ↑(nndist x y) ≤ ↑d


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : PseudoMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderWith C r f
x y : X
d : ℝ≥0
hd : nndist x y ≤ d


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g✝ : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
N : Submodule R M
g : Module.End R ↥N
G : Module.End R M
h : G ∘ₗ N.subtype = N.subtype ∘ₗ g
k : ℕ
hG : G ^ k = 0
m : ↥N


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g✝ : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
N : Submodule R M
g : Module.End R ↥N
G : Module.End R M
h : G ∘ₗ N.subtype = N.subtype ∘ₗ g
k : ℕ
hG : G ^ k = 0
m : ↥N
hg : (N.subtype ∘ₗ g ^ k) m = 0


Context:
a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g
den : Nat := ad * b.den
num : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad


Context:
a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g
den : Nat := ad * b.den
num : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad
ae : ad * g = a.den


Context:
a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g
den : Nat := ad * b.den
num : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad
ae : ad * g = a.den
be : bd * g = b.den


Context:
a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g
den : Nat := ad * b.den
num : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad
ae : ad * g = a.den
be : bd * g = b.den
hden : den = ad * bd * g


Context:
a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g
den : Nat := ad * b.den
num : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad
ae : ad * g = a.den
be : bd * g = b.den
hden : den = ad * bd * g
cop : ad.Coprime bd


Context: a b : Rat

Context: g ad bd : Nat

Context: hg : g = a.den.gcd b.den

Context: had : ad = a.den / g

Context: hbd : bd = b.den / g

Context: den : Nat := ad * b.den

Context: num : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad

Context: ae : ad * g = a.den

Context: be : bd * g = b.den

Context: hden : den = ad * bd * g

Context: cop : ad.Coprime bd

Context: H1 : ∀ (d : Nat), d.gcd num.natAbs ∣ a.num.natAbs * bd ↔ d.gcd num.natAbs ∣ b.num.natAbs * ad


Context: a b : Rat

Context: g ad bd : Nat

Context: hg : g = a.den.gcd b.den

Context: had : ad = a.den / g

Context: hbd : bd = b.den / g

Context: den : Nat := ad * b.den

Context: num : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad

Context: ae : ad * g = a.den

Context: be : bd * g = b.den

Context: hden : den = ad * bd * g

Context: cop : ad.Coprime bd


Context:
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
p : PrimeSpectrum ↑S

toStalk (↑R) ((PrimeSpectrum.comap f) p) ≫ PresheafedSpace.Hom.stalkMap (Spec.sheafedSpaceMap f) p = f ≫ toStalk (↑S) p


CommRingCat.ofHom f ≫ toOpen (↑S) ((TopologicalSpace.Opens.comap (PrimeSpectrum.comap f)) ⊤) ≫ (Spec.sheafedSpaceObj S).presheaf.germ ⟨p, trivial⟩ = f ≫ toOpen ↑S ⊤ ≫ (structureSheaf ↑S).presheaf.germ ⟨p, trivial⟩


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
hHK : H ≤ K
hKL : K ≤ L

H.relindex K * K.relindex L = H.relindex L


(H.subgroupOf L).relindex (K.subgroupOf L) * K.relindex L = H.relindex L


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : ¬x = 0


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c : α


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝¹ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝ : PreservesLimit F G
c₁ c₂ : Cone F
t : IsLimit c₁

∀ (j : J), G.map (t.lift c₂) ≫ (G.mapCone c₁).π.app j = (G.mapCone c₂).π.app j


Context:
α : Type u_1
a : α
m n : Nat
l : List α
h : m < l.length

(l.set m a).get? n = if m = n then some a else l.get? n


(if m = n then if m < l.length then some a else none else l[n]?) = if m = n then some a else l[n]?


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x✝ : L ≃ₐ[K] L


Context:
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : ContinuousStar A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : StarModule ℂ A
a b : ↥(selfAdjoint A)
h : Commute ↑a ↑b

selfAdjoint.expUnitary a * selfAdjoint.expUnitary b = selfAdjoint.expUnitary b * selfAdjoint.expUnitary a


Context:
ι : Type u
α : ι → Type v
i j : ι
l✝ : List ι
f : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
l : List ι
hnd : l.Nodup
h : ∀ (i : ι), i ∈ l
t : (i : ι) → Set (α i)
h2 : {i | i ∈ l} = univ

TProd.elim' h ⁻¹' univ.pi t = Set.tprod l t


(fun x => TProd.mk l (TProd.elim' h x)) ⁻¹' Set.tprod l t = Set.tprod l t


(fun x => x) ⁻¹' Set.tprod l t = Set.tprod l t


Context:
n : ℕ
x : ℚ

eval (1 + x) (bernoulli n) = eval x (bernoulli n) + ↑n * x ^ (n - 1)


Context: n : ℕ

Context: x : ℚ

Context: d : ℕ

Context: hd : ∀ m < d, eval (1 + x) (bernoulli m) = eval x (bernoulli m) + ↑m * x ^ (m - 1)

eval (1 + x) (bernoulli d) = eval x (bernoulli d) + ↑d * x ^ (d - 1)


Context: n : ℕ

Context: x : ℚ

Context: d : ℕ

Context: nz : ↑d.succ ≠ 0


Context: n : ℕ

Context: x : ℚ

Context: d : ℕ

Context: nz : ↑d.succ ≠ 0

↑d.succ * eval (1 + x) (bernoulli d) = ↑d.succ * (eval x (bernoulli d) + ↑d * x ^ (d - 1))


Context: n : ℕ

Context: x : ℚ

Context: d : ℕ

Context: nz : ↑d.succ ≠ 0

eval (1 + x) ((monomial d) ↑d.succ) - ∑ i ∈ range d, eval (1 + x) (↑((d + 1).choose i) • bernoulli i) = eval x ((monomial d) ↑d.succ - ∑ k ∈ range d, ↑((d + 1).choose k) • bernoulli k) + ↑d.succ * (↑d * x ^ (d - 1))


Context: n : ℕ

Context: x : ℚ

Context: d : ℕ

Context: nz : ↑d.succ ≠ 0

eval (1 + x) ((monomial d) ↑d.succ) - ∑ x_1 ∈ range d, ↑((d + 1).choose x_1) • (eval x (bernoulli x_1) + ↑x_1 * x ^ (x_1 - 1)) = eval x ((monomial d) ↑d.succ - ∑ k ∈ range d, ↑((d + 1).choose k) • bernoulli k) + ↑d.succ * (↑d * x ^ (d - 1))


Context: n : ℕ

Context: x : ℚ

Context: d : ℕ

Context: nz : ↑d.succ ≠ 0

eval (1 + x) ((monomial d) ↑d.succ) - ∑ x_1 ∈ range d, ↑((d + 1).choose x_1) • (eval x (bernoulli x_1) + ↑x_1 * x ^ (x_1 - 1)) = eval x ((monomial d) ↑d.succ) - ∑ i ∈ range d, eval x (↑((d + 1).choose i) • bernoulli i) + ↑d.succ * (↑d * x ^ (d - 1))


Context: n : ℕ

Context: x : ℚ

Context: d : ℕ

Context: nz : ↑d.succ ≠ 0

eval (1 + x) ((monomial d) ↑d.succ) - ∑ x_1 ∈ range d, (↑((d + 1).choose x_1) • eval x (bernoulli x_1) + ↑((d + 1).choose x_1) • (↑x_1 * x ^ (x_1 - 1))) = eval x ((monomial d) ↑d.succ) - ∑ x_1 ∈ range d, ↑((d + 1).choose x_1) • eval x (bernoulli x_1) + ↑d.succ * (↑d * x ^ (d - 1))


Context: n : ℕ

Context: x : ℚ

Context: d : ℕ

Context: nz : ↑d.succ ≠ 0

eval (1 + x) ((monomial d) ↑d.succ) - eval x ((monomial d) ↑d.succ) = ∑ x_1 ∈ range d, ↑((d + 1).choose x_1) • (↑x_1 * x ^ (x_1 - 1)) + ↑d.succ * (↑d * x ^ (d - 1))


Context: n : ℕ

Context: x : ℚ

Context: d : ℕ

Context: nz : ↑d.succ ≠ 0

eval (1 + x) ((monomial d) ↑d.succ) - eval x ((monomial d) ↑d.succ) = ∑ x_1 ∈ range d, ↑((d + 1).choose x_1) • (↑x_1 * x ^ (x_1 - 1)) + ↑((d + 1).choose d) * (↑d * x ^ (d - 1))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: I : Ideal S

Context: P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop

Context: h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I

Context: h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J

Context: n : ℕ

Context: hI : I ^ n = ⊥


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: n : ℕ

Context: H : ∀ m < n, ∀ {S : Type u_2} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: I : Ideal S

Context: hI : I ^ n = ⊥


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: I : Ideal S

Context: hI' : ¬I = ⊥

Context: n : ℕ

Context: H : ∀ m < n + 1 + 1, ∀ {S : Type u_2} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I

Context: hI : I ^ (n + 1 + 1) = ⊥


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: I : Ideal S

Context: hI' : ¬I = ⊥

Context: n : ℕ

Context: hI : I ^ (n + 1 + 1) = ⊥


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
V : (↑U).Opens

Hom.app (f ∣_ U) V = Hom.app f (U.ι ''ᵁ V) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} C

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Y.Opens

Context: V : (↑U).Opens

Context: this : Hom.app (f ∣_ U ≫ U.ι) (U.ι ''ᵁ V) = Hom.app ((f ⁻¹ᵁ U).ι ≫ f) (U.ι ''ᵁ V) ≫ (↑(f ⁻¹ᵁ U)).presheaf.map (eqToHom ⋯).op


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} C

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Y.Opens

Context: V : (↑U).Opens

Context: this : Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ Hom.appLE (f ∣_ U) (U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V) ((f ∣_ U) ⁻¹ᵁ U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V) ⋯ = (Hom.appLE f (U.ι ''ᵁ V) (f ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V) ⋯ ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) ≫ X.presheaf.map ((Hom.opensFunctor (f ⁻¹ᵁ U).ι).map (eqToHom ⋯)).op


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} C

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Y.Opens

Context: V : (↑U).Opens

Context: e : U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V = V


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} C

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Y.Opens

Context: V : (↑U).Opens

Context: e : U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V = V

Context: e' : (f ∣_ U) ⁻¹ᵁ V = (f ∣_ U) ⁻¹ᵁ U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} C

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Y.Opens

Context: V : (↑U).Opens

Context: e : U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V = V

Hom.appLE (f ∣_ U) V ((f ∣_ U) ⁻¹ᵁ V) ⋯ = Hom.appLE f (U.ι ''ᵁ V) ((f ⁻¹ᵁ U).ι ''ᵁ (f ∣_ U) ⁻¹ᵁ V) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} C

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Y.Opens

Context: V : (↑U).Opens

Context: e : U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V = V

((↑U).presheaf.map (eqToHom e).op ≫ Hom.appLE (f ∣_ U) (U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V) ((f ∣_ U) ⁻¹ᵁ U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V) ⋯) ≫ (↑(f ⁻¹ᵁ U)).presheaf.map (eqToHom e').op = Hom.appLE f (U.ι ''ᵁ V) ((f ⁻¹ᵁ U).ι ''ᵁ (f ∣_ U) ⁻¹ᵁ V) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} C

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Y.Opens

Context: V : (↑U).Opens

Context: e : U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V = V

(Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ Hom.appLE (f ∣_ U) (U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V) ((f ∣_ U) ⁻¹ᵁ U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V) ⋯) ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op = Hom.appLE f (U.ι ''ᵁ V) ((f ⁻¹ᵁ U).ι ''ᵁ (f ∣_ U) ⁻¹ᵁ V) ⋯


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
hcs : μ s ≠ 0
hs : μ s ≠ ⊤


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid R
m : ℕ
inst✝ : NeZero m
f : ℕ → R
n : ℕ

f n = (∑ a : ZMod m, {n | ↑n = a}.indicator f) n


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: hp : p ≠ 0

Context: f : ↥(lp E p)

Context: i : α

‖↑f i‖ ≤ ‖f‖


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: q : ℝ≥0∞

Context: i : α

Context: hp : ⊤ ≠ 0

Context: f : ↥(lp E ⊤)

‖↑f i‖ ≤ ‖f‖


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: hp : p ≠ 0

Context: f : ↥(lp E p)

Context: i : α

Context: hp' : p ≠ ⊤

‖↑f i‖ ≤ ‖f‖


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: hp : p ≠ 0

Context: f : ↥(lp E p)

Context: i : α

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hp'' : 0 < p.toReal

‖↑f i‖ ≤ ‖f‖


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: hp : p ≠ 0

Context: f : ↥(lp E p)

Context: i : α

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hp'' : 0 < p.toReal

Context: this : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖ ^ p.toReal

‖↑f i‖ ≤ ‖f‖


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: hp : p ≠ 0

Context: f : ↥(lp E p)

Context: i : α

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hp'' : 0 < p.toReal

Context: this : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖ ^ p.toReal


Context: θ : Angle


Context: x✝ : ℝ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' : Submodule R M


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)

Context: inst✝² : AddMonoid ι

Context: inst✝¹ : GSemiring A

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : A i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: a a' : ⨁ (i : ι), A i

a * a' = ∑ ij ∈ DFinsupp.support a ×ˢ DFinsupp.support a', (of A (ij.1 + ij.2)) (GradedMonoid.GMul.mul (a ij.1) (a' ij.2))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α

mulETransformLeft e⁻¹ x = (mulETransformRight e x.swap).swap


Context: a : Rat


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
op : α → α → α
ha : Std.Associative op
hc : Std.Commutative op
a : α
l : List α
a₁ a₂ : α

((a :: l) <*> op a₁ a₂) = l <*> op a₁ (op a₂ a)


(l <*> op a₁ (op a₂ a)) = op a₁ ((a :: l) <*> a₂)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : SFinite ν

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : NeZero ν

Context: s : Set α

Context: h : NullMeasurableSet (Prod.fst ⁻¹' s) (μ.prod ν)

NullMeasurableSet (s ×ˢ ?m.137705) (μ.prod ?m.137701)


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f : α → ℝ

((fun x => 1) =o[l] fun x => rexp (f x)) ↔ Tendsto f l atTop


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
i : ι
j : ι'

(b'.repr ((b.prod b') (Sum.inl i)).2) j = (b'.repr 0) j


(Finsupp.single (Sum.inl i) 1) (Sum.inr j) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α →. σ
hf : ∀ (i : Fin (n + 1)), Partrec (f i)

Partrec fun a => Vector.mOfFn fun i => f i a


Partrec fun a => (f 0 a).bind fun a_1 => (Vector.mOfFn fun i => f i.succ a).bind fun v => Part.some (a_1 ::ᵥ v)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : SetLike σ M

Context: inst✝² : AddSubmonoidClass σ M

Context: ℳ : ι → σ

Context: inst✝¹ : Decomposition ℳ

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(ℳ i)) → Decidable (x ≠ 0)

Context: r : M

∑ i ∈ DFinsupp.support ((decompose ℳ) r), ↑(((decompose ℳ) r) i) = r


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : SetLike σ M

Context: inst✝² : AddSubmonoidClass σ M

Context: ℳ : ι → σ

Context: inst✝¹ : Decomposition ℳ

Context: r : M

∑ i ∈ DFinsupp.support ((decompose ℳ) r), ↑(((decompose ℳ) r) i) = (decompose ℳ).symm (∑ i ∈ DFinsupp.support ((decompose ℳ) r), (of (fun i => ↥(ℳ i)) i) (((decompose ℳ) r) i))


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : SetLike σ M

Context: inst✝² : AddSubmonoidClass σ M

Context: ℳ : ι → σ

Context: inst✝¹ : Decomposition ℳ

Context: r : M

∑ i ∈ DFinsupp.support ((decompose ℳ) r), ↑(((decompose ℳ) r) i) = ∑ i ∈ DFinsupp.support ((decompose ℳ) r), (decompose ℳ).symm ((of (fun i => ↥(ℳ i)) i) (((decompose ℳ) r) i))


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MulticospanIndex C
K : Multifork I
b : I.R

K.ι (I.fstTo b) ≫ I.fst b = K.ι (I.sndTo b) ≫ I.snd b


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p✝ q✝ p q : R[X]

Context: hpq : p ∣ q

Context: h₁ : q.natDegree ≤ p.natDegree

Context: h₂ : q.leadingCoeff ∣ p.leadingCoeff

Context: r : R[X]

Context: hr : q = p * r

Context: u : Rˣ

Context: hu : p.leadingCoeff * ↑u = q.leadingCoeff


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p✝ q✝ p q : R[X]

Context: hpq : p ∣ q

Context: h₁ : q.natDegree ≤ p.natDegree

Context: h₂ : q.leadingCoeff ∣ p.leadingCoeff

Context: r : R[X]

Context: hr : q = p * r

Context: u : Rˣ

q.natDegree ≤ (p * ↑((Units.map ↑C) u)).natDegree


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : MetrizableSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ closure (interior s)
hmg : ContinuousOn g s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hf : IsMulFreimanHom 2 A B f
a b c d : α
ha : a ∈ A
hb : b ∈ A
hc : c ∈ A
hd : d ∈ A
h : a * b = c * d


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hf : IsMulFreimanHom 2 A B f
a b c d : α
ha : a ∈ A
hb : b ∈ A
hc : c ∈ A
hd : d ∈ A
h : {a, b}.prod = {c, d}.prod


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ : α → β
f : ι → Measure α
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s (sum f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
f✝ : α → β
f : ι → Measure α
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s (sum f)
t : Set α
ts : t ⊆ s
t_meas : MeasurableSet t
ht : t =ᶠ[ae (sum f)] s


Context:
x✝ y : ℂ
x : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
S : Set (Set α)
hS : S.Finite
a : α


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)


(∀ u ∈ Submodule.span ℝ {s.points i₁ -ᵥ s.points i₂}, ⟪s.mongePoint -ᵥ centroid ℝ {i₁, i₂}ᶜ s.points, u⟫_ℝ = 0) ∧ s.mongePoint ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)