Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : CommSemiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: s✝ t : Set A

Context: inst✝³ : CommSemiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: r : A

Context: s : Set B

Context: B' : Subalgebra R B

Context: hs : r • s ⊆ ↑B'

Context: hr : (algebraMap A B) r ∈ B'

Context: l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R

Context: n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ l.support.sup n₁

Context: a : ↑↑(Submonoid.closure s)

Context: ha : a ∈ l.support

(fun a b => r ^ n • b • ↑a) a (l a) ∈ Subalgebra.toSubmodule B'


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : CommSemiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: s✝ t : Set A

Context: inst✝³ : CommSemiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: r : A

Context: s : Set B

Context: B' : Subalgebra R B

Context: hs : r • s ⊆ ↑B'

Context: hr : (algebraMap A B) r ∈ B'

Context: l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R

Context: n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ

Context: n₂ : ∀ (x : ↥(Submonoid.closure s)), r ^ n₁ x • ↑x ∈ Submonoid.closure (r • s)

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ l.support.sup n₁

Context: a : ↑↑(Submonoid.closure s)

Context: ha : a ∈ l.support

Context: this : n ≥ n₁ a


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : CommSemiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: s✝ t : Set A

Context: inst✝³ : CommSemiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: r : A

Context: s : Set B

Context: B' : Subalgebra R B

Context: hs : r • s ⊆ ↑B'

Context: hr : (algebraMap A B) r ∈ B'

Context: l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R

Context: n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ l.support.sup n₁

Context: a : ↑↑(Submonoid.closure s)

Context: ha : a ∈ l.support

Context: this : n ≥ n₁ a

r ^ n • l a • ↑a ∈ Subalgebra.toSubmodule B'


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : CommSemiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: s✝ t : Set A

Context: inst✝³ : CommSemiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: r : A

Context: s : Set B

Context: B' : Subalgebra R B

Context: hs : r • s ⊆ ↑B'

Context: hr : (algebraMap A B) r ∈ B'

Context: l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R

Context: n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ l.support.sup n₁

Context: a : ↑↑(Submonoid.closure s)

Context: ha : a ∈ l.support

Context: this : n ≥ n₁ a

(algebraMap A B) r ^ (n - n₁ a) * l a • r ^ n₁ a • ↑a ∈ Subalgebra.toSubmodule B'


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : CommSemiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: s✝ t : Set A

Context: inst✝³ : CommSemiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: r : A

Context: s : Set B

Context: B' : Subalgebra R B

Context: hs : r • s ⊆ ↑B'

Context: hr : (algebraMap A B) r ∈ B'

Context: l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R

Context: n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ l.support.sup n₁

Context: a : ↑↑(Submonoid.closure s)

Context: ha : a ∈ l.support

Context: this : n ≥ n₁ a


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : CommSemiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: s✝ t : Set A

Context: inst✝³ : CommSemiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: r : A

Context: s : Set B

Context: B' : Subalgebra R B

Context: hs : r • s ⊆ ↑B'

Context: hr : (algebraMap A B) r ∈ B'

Context: l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R

Context: n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ l.support.sup n₁

Context: a : ↑↑(Submonoid.closure s)

Context: ha : a ∈ l.support

Context: this : n ≥ n₁ a

r ^ n₁ a • ↑a ∈ Submonoid.closure ↑B'.toSubmonoid


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : FiniteDimensional F E
heq : finSepDegree F E = finrank F E
x : E


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : FiniteDimensional F E
heq : finSepDegree F E = finrank F E
x : E
halg : IsAlgebraic F x


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : FiniteDimensional F E

Context: heq : finSepDegree F E = finrank F E

Context: x : E

Context: halg : IsAlgebraic F x

Context: h : finSepDegree F ↥F⟮x⟯ < finrank F ↥F⟮x⟯


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : FiniteDimensional F E

Context: heq : finSepDegree F E = finrank F E

Context: x : E

Context: halg : IsAlgebraic F x

Context: this : finSepDegree F ↥F⟮x⟯ * finSepDegree (↥F⟮x⟯) E < finrank F ↥F⟮x⟯ * finrank (↥F⟮x⟯) E


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : FiniteDimensional F E

Context: heq : finSepDegree F E = finrank F E

Context: x : E

Context: halg : IsAlgebraic F x

Context: this : finSepDegree F E < finrank F E


Context: a b : ℤ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsArtinianRing R
S : Submonoid R
L : Type u_2
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsLocalization S L
r' : L


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsArtinianRing R
S : Submonoid R
L : Type u_2
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsLocalization S L
r₁ : R
s : ↥S

∃ a, (algebraMap R L) a = IsLocalization.mk' L r₁ s


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsArtinianRing R

Context: S : Submonoid R

Context: L : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing L

Context: inst✝¹ : Algebra R L

Context: inst✝ : IsLocalization S L

Context: r₁ : R

Context: s : ↥S

Context: r₂ : R

Context: h : IsLocalization.mk' L 1 s = (algebraMap R L) r₂


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x y : M

(fun m => mk m 1) (x + y) = (fun m => mk m 1) x + (fun m => mk m 1) y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Nonempty β
a b : α


Context:
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
hprime : Fact (Nat.Prime p)
hdiv : ¬p ∣ n
Q : ℤ[X] := minpoly ℤ (μ ^ p)

map (Int.castRingHom (ZMod p)) (minpoly ℤ μ) ∣ map (Int.castRingHom (ZMod p)) Q ^ p


Context: n : ℕ

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing K

Context: μ : K

Context: h : IsPrimitiveRoot μ n

Context: inst✝¹ : IsDomain K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: p : ℕ

Context: hprime : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdiv : ¬p ∣ n

Context: Q : ℤ[X] := minpoly ℤ (μ ^ p)

Context: hfrob : map (Int.castRingHom (ZMod p)) Q ^ p = map (Int.castRingHom (ZMod p)) ((expand ℤ p) Q)


Context: n : ℕ

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing K

Context: μ : K

Context: h : IsPrimitiveRoot μ n

Context: inst✝¹ : IsDomain K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: p : ℕ

Context: hprime : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdiv : ¬p ∣ n

Context: Q : ℤ[X] := minpoly ℤ (μ ^ p)

map (Int.castRingHom (ZMod p)) (minpoly ℤ μ) ∣ map (Int.castRingHom (ZMod p)) ((expand ℤ p) Q)


Context: n : ℕ

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing K

Context: μ : K

Context: h : IsPrimitiveRoot μ n

Context: inst✝¹ : IsDomain K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: p : ℕ

Context: hprime : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdiv : ¬p ∣ n

Context: Q : ℤ[X] := minpoly ℤ (μ ^ p)


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f : α → ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) ν

(fun x => (μ.rnDeriv (ν.tilted f) x).toReal) =ᶠ[ae ν] fun x => (rexp (-f x) * ∫ (x : α), rexp (f x) ∂ν) * (μ.rnDeriv ν x).toReal


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) ν

Context: x : α

Context: hx : μ.rnDeriv (ν.tilted f) x = ENNReal.ofReal (rexp (-f x) * ∫ (x : α), rexp (f x) ∂ν) * μ.rnDeriv ν x

(μ.rnDeriv (ν.tilted f) x).toReal = (rexp (-f x) * ∫ (x : α), rexp (f x) ∂ν) * (μ.rnDeriv ν x).toReal


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) ν

Context: x : α

(ENNReal.ofReal (rexp (-f x) * ∫ (x : α), rexp (f x) ∂ν) * μ.rnDeriv ν x).toReal = (rexp (-f x) * ∫ (x : α), rexp (f x) ∂ν) * (μ.rnDeriv ν x).toReal


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) ν

Context: x : α

0 ≤ rexp (-f x) * ∫ (x : α), rexp (f x) ∂ν ∨ (μ.rnDeriv ν x).toReal = 0


Context: n✝ : ZFSet

Context: x : PSet

Context: x✝ : ⟦x⟧ ∈ omega

Context: n : ℕ

Context: h : x.Equiv (PSet.omega.Func { down := n })

insert (mk x) (mk x) = insert (mk (ofNat n)) (mk (ofNat n))


Context: n✝ : ZFSet

Context: x : PSet

Context: x✝ : ⟦x⟧ ∈ omega

Context: n : ℕ

insert (mk (PSet.omega.Func { down := n })) (mk (PSet.omega.Func { down := n })) = insert (mk (ofNat n)) (mk (ofNat n))


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : Filter α
s : Set α
a : α
hf : f.NeBot
x : α


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m n α
x y : m → α
x✝ : n

((x + y) ᵥ* A) x✝ = (x ᵥ* A + y ᵥ* A) x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Set β
ht : t.Nontrivial

(SimpleGraph.map f G).IsClique t ↔ ∃ s, G.IsClique s ∧ ⇑f '' s = t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Set β
ht : t.Nontrivial
h : (SimpleGraph.map f G).IsClique t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Set β
ht : t.Nontrivial
h : (SimpleGraph.map f G).IsClique t
x : β
hxt : x ∈ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Set β
ht : t.Nontrivial
h : (SimpleGraph.map f G).IsClique t
x : β
hxt : x ∈ t
y : β
hyt : y ∈ t
hyne : y ≠ x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Set β
ht : t.Nontrivial
h : (SimpleGraph.map f G).IsClique t
u v : α
hyt : f u ∈ t
hxt : f v ∈ t
hyne : f u ≠ f v


Context:
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
i : K →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : Algebra R L
f : R[X]
h : Splits (algebraMap R K) f
e : K →ₐ[R] L


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: E : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x

Context: c : 𝕜

Context: f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (c • f)) = c • SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f)


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: E : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: c : 𝕜

Context: f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (c • f)) = SimpleFunc.setToSimpleFunc T (c • toSimpleFunc f)


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: E : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: c : 𝕜

Context: f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

↑(toSimpleFunc (c • f)) =ᶠ[ae μ] ↑(c • toSimpleFunc f)


Context:
M : Type u
N : Type v
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
e : M ≃* N

𝟭 (SingleObj M) = e.toMonoidHom.toFunctor ⋙ e.symm.toMonoidHom.toFunctor


(MonoidHom.id M).toFunctor = (e.symm.toMonoidHom.comp e.toMonoidHom).toFunctor


e.symm.toMonoidHom.toFunctor ⋙ e.toMonoidHom.toFunctor = 𝟭 (SingleObj N)


(e.toMonoidHom.comp e.symm.toMonoidHom).toFunctor = (MonoidHom.id N).toFunctor


Context:
X✝ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : UCompactlyGeneratedSpace X✝
X Y : CompactlyGenerated
f : ↑X.toTop ≃ₜ ↑Y.toTop
x : (forget CompactlyGenerated).obj X

({ toFun := ⇑f, continuous_toFun := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑f.symm, continuous_toFun := ⋯ }) x = (𝟙 X) x


Context:
X✝ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : UCompactlyGeneratedSpace X✝
X Y : CompactlyGenerated
f : ↑X.toTop ≃ₜ ↑Y.toTop
x : (forget CompactlyGenerated).obj Y

({ toFun := ⇑f.symm, continuous_toFun := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑f, continuous_toFun := ⋯ }) x = (𝟙 Y) x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x✝ x : 𝕜
hxs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s

iteratedDerivWithin (n + 1) f s x = iteratedDerivWithin n (derivWithin f s) s x


(fun g => derivWithin g s)^[n + 1] f x = (fun g => derivWithin g s)^[n] (derivWithin f s) x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
l : Filter β
a : α
h : Tendsto f l (𝓝 a)


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x y : M
c : ↥S
h : f.toMap (↑c * x) = f.toMap (↑c * y)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommMonoid P

Context: f : S.LocalizationMap N

Context: x y : M

Context: c : ↥S

Context: h : f.toMap ↑c * f.toMap x = f.toMap ↑c * f.toMap y


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommMonoid P

Context: f : S.LocalizationMap N

Context: x y : M

Context: c : ↥S

Context: u : Nˣ

Context: hu : ↑u = f.toMap ↑c


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x y : M
c : ↥S
u : Nˣ
h : ↑u * f.toMap x = ↑u * f.toMap y
hu : ↑u = f.toMap ↑c


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: n : ℕ

Context: R : L.Relations n

Context: i : ι

Context: x : Fin n → G i

(RelMap R fun a => ⟦Structure.Sigma.mk f i (x a)⟧) = RelMap R x


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: n : ℕ

Context: R : L.Relations n

Context: i : ι

Context: x : Fin n → G i

(RelMap R fun a => Structure.Sigma.mk f i (x a)) = RelMap R x


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: n : ℕ

Context: R : L.Relations n

Context: i : ι

Context: x : Fin n → G i

Context: k : ι

Context: left✝ : i ≤ k

Context: right✝ : Classical.choose ⋯ ≤ k


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: n : ℕ

Context: R : L.Relations n

Context: i : ι

Context: x : Fin n → G i

Context: k : ι

Context: left✝ : i ≤ k

Context: right✝ : Classical.choose ⋯ ≤ k

RelMap R (unify f (fun a => Structure.Sigma.mk f i (x a)) i ?intro.intro) = RelMap R x


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: n : ℕ

Context: R : L.Relations n

Context: i : ι

Context: x : Fin n → G i

Context: k : ι

Context: left✝ : i ≤ k

Context: right✝ : Classical.choose ⋯ ≤ k

i ∈ upperBounds (range (Sigma.fst ∘ fun a => Structure.Sigma.mk f i (x a)))


Context: A✝ : Type u_1

Context: ι✝ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Ring A✝

Context: A : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : CommRing A

Context: B : ι → AddSubgroup A

Context: inter : ∀ (i j : ι), ∃ k, B k ≤ B i ⊓ B j

Context: mul : ∀ (i : ι), ∃ j, ↑(B j) * ↑(B j) ⊆ ↑(B i)

Context: leftMul : ∀ (x : A) (i : ι), ∃ j, ↑(B j) ⊆ (fun y => x * y) ⁻¹' ↑(B i)

Context: x : A

Context: i j : ι

Context: hj : ↑(B j) ⊆ (fun y => x * y) ⁻¹' ↑(B i)

↑(B j) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(B i)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p : R[X]
hp : p.Monic
ha : ¬IsUnit a
hap : a ∣ p


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p : R[X]
hp : p.Monic
hap : a ∣ p
h : a.degree ≤ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p : R[X]
hp : p.Monic
hap : C (a.coeff 0) ∣ p
h : a.degree ≤ 0


Context:
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X : T
A B : Over X
f : A ⟶ B


Context: T : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} T

Context: X : T

Context: A B : Over X

Context: f : A ⟶ B

Context: this : (𝟭 T).map f.left ≫ B.hom = A.hom ≫ (Functor.fromPUnit X).map f.right


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: h : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'

Context: hs : s ∈ 𝓝 x


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G✝ : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E'✝ : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F✝ : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P✝ : Type uP

Context: inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E'✝

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F✝

Context: f✝ f' : G✝ → E

Context: g✝ g' : G✝ → E'✝

Context: x x' : G✝

Context: y y' : E

Context: inst✝²⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E'✝

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 F✝

Context: inst✝¹⁸ : CompleteSpace F✝

Context: inst✝¹⁷ : MeasurableSpace G✝

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup G✝

Context: inst✝¹⁵ : BorelSpace G✝

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G✝

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup P✝

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 P✝

Context: μ✝ : Measure G✝

Context: L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝

Context: G E' F P : Type uP

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup P

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 P

Context: f : G → E

Context: n : ℕ∞

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: g : P → G → E'

Context: s : Set P

Context: k : Set G

Context: hs : IsOpen s

Context: hk : IsCompact k

Context: hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)

ContDiffOn 𝕜 n (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ)


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G✝ : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E'✝ : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F✝ : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P✝ : Type uP

Context: inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E'✝

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F✝

Context: f✝ f' : G✝ → E

Context: g✝ g' : G✝ → E'✝

Context: x x' : G✝

Context: y y' : E

Context: inst✝²⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E'✝

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 F✝

Context: inst✝¹⁸ : CompleteSpace F✝

Context: inst✝¹⁷ : MeasurableSpace G✝

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup G✝

Context: inst✝¹⁵ : BorelSpace G✝

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G✝

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup P✝

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 P✝

Context: μ✝ : Measure G✝

Context: L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝

Context: G P : Type uP

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁹ : BorelSpace G

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P

Context: f : G → E

Context: s : Set P

Context: k : Set G

Context: hs : IsOpen s

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: E' F : Type uP

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: g : P → G → E'

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 0 (↿g) (s ×ˢ univ)

ContDiffOn 𝕜 0 (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ)


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G✝ : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E'✝ : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F✝ : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P✝ : Type uP

Context: inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E'✝

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F✝

Context: f✝ f' : G✝ → E

Context: g✝ g' : G✝ → E'✝

Context: x x' : G✝

Context: y y' : E

Context: inst✝²⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E'✝

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 F✝

Context: inst✝¹⁸ : CompleteSpace F✝

Context: inst✝¹⁷ : MeasurableSpace G✝

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup G✝

Context: inst✝¹⁵ : BorelSpace G✝

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G✝

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup P✝

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 P✝

Context: μ✝ : Measure G✝

Context: L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝

Context: G P : Type uP

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁹ : BorelSpace G

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P

Context: f : G → E

Context: s : Set P

Context: k : Set G

Context: hs : IsOpen s

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: n : ℕ

Context: ih : ∀ {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E'] [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] [inst_5 : CompleteSpace F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F) {g : P → G → E'}, (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ)

Context: E' F : Type uP

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: g : P → G → E'

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n.succ) (↿g) (s ×ˢ univ)

ContDiffOn 𝕜 (↑n.succ) (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ)


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G✝ : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E'✝ : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F✝ : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P✝ : Type uP

Context: inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E'✝

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F✝

Context: f✝ f' : G✝ → E

Context: g✝ g' : G✝ → E'✝

Context: x x' : G✝

Context: y y' : E

Context: inst✝²⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E'✝

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 F✝

Context: inst✝¹⁸ : CompleteSpace F✝

Context: inst✝¹⁷ : MeasurableSpace G✝

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup G✝

Context: inst✝¹⁵ : BorelSpace G✝

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G✝

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup P✝

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 P✝

Context: μ✝ : Measure G✝

Context: L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝

Context: G P : Type uP

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁹ : BorelSpace G

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 P

Context: f : G → E

Context: s : Set P

Context: k : Set G

Context: hs : IsOpen s

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: ih : ∀ (n : ℕ) {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E'] [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] [inst_5 : CompleteSpace F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F) {g : P → G → E'}, (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ)

Context: E' F : Type uP

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: g : P → G → E'

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↿g) (s ×ˢ univ)

ContDiffOn 𝕜 ⊤ (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ)


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: o : Ordinal.{max u_2 u_3}

Context: f : (a : Ordinal.{max u_2 u_3}) → a < o → Ordinal.{max u_2 u_3}

Context: c : Cardinal.{max u_2 u_3}

Context: hc : c.IsRegular

Context: ho : o.card < c


Context: X : Compactum

Context: F : Ultrafilter X.A

Context: x : X.A

Context: fsu : Type u_1 := Finset (Set (Ultrafilter X.A))

Context: ssu : Type u_1 := Set (Set (Ultrafilter X.A))

Context: ι : fsu → ssu := fun x => ↑x

Context: T0 : ssu := {S | ∃ A ∈ F, S = Compactum.basic A}

Context: AA : Set (Ultrafilter X.A) := X.str ⁻¹' {x}

Context: T1 : ssu := insert AA T0

Context: T2 : Set (Set (Ultrafilter X.A)) := finiteInterClosure T1

Context: cond : ↑F ≤ 𝓝 x


Context: X : Compactum

Context: F : Ultrafilter X.A

Context: x : X.A

Context: ι : fsu → ssu := fun x => ↑x

Context: T1 : ssu := insert AA T0

Context: cond : ↑F ≤ 𝓝 x

Context: claim1 : ∀ (A : Set X.A), IsClosed A → A ∈ F → x ∈ A


Context: X : Compactum

Context: F : Ultrafilter X.A

Context: x : X.A

Context: ι : fsu → ssu := fun x => ↑x

Context: T1 : ssu := insert AA T0

Context: cond : ↑F ≤ 𝓝 x

Context: claim2 : ∀ A ∈ F, x ∈ Compactum.cl A


Context: X : Compactum

Context: F : Ultrafilter X.A

Context: x : X.A

Context: ι : fsu → ssu := fun x => ↑x

Context: T1 : ssu := insert AA T0

Context: cond : ↑F ≤ 𝓝 x

Context: claim2 : ∀ A ∈ F, x ∈ Compactum.cl A

Context: claim3 : ∀ S1 ∈ T0, ∀ S2 ∈ T0, S1 ∩ S2 ∈ T0


Context: X : Compactum

Context: F : Ultrafilter X.A

Context: x : X.A

Context: ι : fsu → ssu := fun x => ↑x

Context: T1 : ssu := insert AA T0

Context: cond : ↑F ≤ 𝓝 x

Context: claim2 : ∀ A ∈ F, x ∈ Compactum.cl A

Context: claim4 : ∀ S ∈ T0, (AA ∩ S).Nonempty

Context: claim5 : ∀ S ∈ T0, S.Nonempty

Context: claim6 : ∀ S ∈ T2, S.Nonempty


Context: X : Compactum

Context: F : Ultrafilter X.A

Context: x : X.A

Context: ι : fsu → ssu := fun x => ↑x

Context: T1 : ssu := insert AA T0

Context: cond : ↑F ≤ 𝓝 x

Context: claim2 : ∀ A ∈ F, x ∈ Compactum.cl A

Context: claim4 : ∀ S ∈ T0, (AA ∩ S).Nonempty

Context: claim5 : ∀ S ∈ T0, S.Nonempty

Context: claim6 : ∀ S ∈ T2, S.Nonempty

∀ (F : fsu), ↑F ⊆ T1 → (⋂₀ ι F).Nonempty


Context: X : Compactum

Context: F : Ultrafilter X.A

Context: x : X.A

Context: ι : fsu → ssu := fun x => ↑x

Context: T1 : ssu := insert AA T0

Context: cond : ↑F ≤ 𝓝 x

Context: claim2 : ∀ A ∈ F, x ∈ Compactum.cl A

Context: claim4 : ∀ S ∈ T0, (AA ∩ S).Nonempty

Context: claim5 : ∀ S ∈ T0, S.Nonempty

Context: claim6 : ∀ S ∈ T2, S.Nonempty

Context: T : fsu

Context: hT : ↑T ⊆ T1


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X

SimplyConnectedSpace X ↔ Nonempty X ∧ ∀ (x y : X), Nonempty (Unique (Path.Homotopic.Quotient x y))


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X

X → ((∀ (x y : FundamentalGroupoid X), Nonempty (Unique (x ⟶ y))) ↔ ∀ (x y : X), Nonempty (Unique (Path.Homotopic.Quotient x y)))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasColimits C

Context: inst✝³ : HasLimits C

Context: inst✝² : PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)

Context: inst✝¹ : PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)

Context: inst✝ : (CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: X Y : SheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Y

Context: h₁ : Function.Injective ⇑f.base

Context: h₂ : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), Epi (PresheafedSpace.Hom.stalkMap f x)

Context: Z : SheafedSpace C

Context: g : ↑Z.toPresheafedSpace ⟶ ↑X.toPresheafedSpace

Context: gc : X.presheaf ⟶ (pushforward C g).obj Z.presheaf

Context: h : ↑Z.toPresheafedSpace ⟶ ↑X.toPresheafedSpace

Context: hc : X.presheaf ⟶ (pushforward C h).obj Z.presheaf

Context: e : { base := g, c := gc } ≫ f = { base := h, c := hc } ≫ f

{ base := g, c := gc } = { base := h, c := hc }


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasColimits C

Context: inst✝³ : HasLimits C

Context: X Y : SheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Y

Context: h₁ : Function.Injective ⇑f.base

Context: Z : SheafedSpace C

Context: gc hc : X.presheaf ⟶ (pushforward C g).obj Z.presheaf

Context: e : { base := g, c := gc } ≫ f = { base := g, c := hc } ≫ f

{ base := g, c := gc } = { base := g, c := hc }


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasColimits C

Context: inst✝³ : HasLimits C

Context: X Y : SheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Y

Context: h₁ : Function.Injective ⇑f.base

Context: Z : SheafedSpace C

Context: x : ↑↑Z.toPresheafedSpace

{ base := g, c := gc }.stalkMap x = (X.presheaf.stalkCongr ⋯).hom ≫ { base := g, c := hc }.stalkMap x


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasColimits C

Context: inst✝³ : HasLimits C

Context: X Y : SheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Y

Context: h₁ : Function.Injective ⇑f.base

Context: Z : SheafedSpace C

Context: x : ↑↑Z.toPresheafedSpace

PresheafedSpace.Hom.stalkMap ({ base := g, c := gc } ≫ f) x = PresheafedSpace.Hom.stalkMap ({ base := g, c := hc } ≫ f) x


Context: α : Type u


Context:
α : Type u
a : α
l : List α


Context:
α : Type u
a : α
l : List α

((a :: l).get 0 :: ofFn fun i => (a :: l).get i.succ) = a :: l


Context:
p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq : Fact (Nat.Prime q)
n : ℕ
neq : p ≠ q


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : x ∈ closure (s₁ ∪ s₂)
h₁ : s₁ᶜ ∈ 𝓝 x


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : 𝓝 x ⊓ 𝓟 (s₁ ∪ s₂) ≠ ⊥
h₁ : s₁ᶜ ∈ 𝓝 x

𝓝 x ⊓ 𝓟 s₂ ≠ ⊥


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t : Set β
s : Set (Filter β)
m : α → β


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a b : α


Context:
α : Type u
l : List ℕ


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

ContDiff 𝕜 n f ↔ (∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → Continuous fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m f x) ∧ ∀ (m : ℕ), ↑m < n → Differentiable 𝕜 fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m f x


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
M : Type u_6
inst✝ : CommGroup M
f : ℕ → M
n : ℕ

f n = ∏ i ∈ range (n + 1), if i = 0 then f 0 else f i / f (i - 1)


f 0 * ∏ i ∈ range n, f (i + 1) / f i = ∏ i ∈ range (n + 1), if i = 0 then f 0 else f i / f (i - 1)


Context: a : ↥circle

LinearMap.det ↑(rotation a).toLinearEquiv = 1


Context: a : ↥circle

↑(Matrix.planeConformalMatrix (↑a).re (↑a).im ⋯) 0 0 * ↑(Matrix.planeConformalMatrix (↑a).re (↑a).im ⋯) 1 1 - ↑(Matrix.planeConformalMatrix (↑a).re (↑a).im ⋯) 0 1 * ↑(Matrix.planeConformalMatrix (↑a).re (↑a).im ⋯) 1 0 = 1


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

∫⁻ (b : γ) in κ.mutuallySingularSetSlice η a, κ.rnDeriv η a b ∂η a = 0


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Measurable (Function.uncurry (κ.rnDeriv η))


Context:
𝕜 : Type v
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E


(∀ (g : Dual 𝕜 E), g (x - y) = 0) ↔ ∀ (g : Dual 𝕜 E), g x = g y


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
U : Set (Quotient α_mod_G)
meas_U : MeasurableSet U

(Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (μ.restrict s)) U = μ (Quotient.mk α_mod_G ⁻¹' U ∩ s)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.209500, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.209504, u_2} D
inst✝ : Abelian C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hg₁ : S₁.g = 0
hf₂ : S₂.f = 0
hg₂ : S₂.g = 0


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.209504, u_2} D
inst✝ : Abelian C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hg₁ : S₁.g = 0
hf₂ : S₂.f = 0
hg₂ : S₂.g = 0

QuasiIso φ ↔ (mk S₁.f φ.τ₂ ⋯).Exact ∧ Epi φ.τ₂


(mk (opMap φ).τ₂ S₁.op.g ⋯).Exact ∧ Mono (opMap φ).τ₂ ↔ (mk S₁.f φ.τ₂ ⋯).Exact ∧ Epi φ.τ₂


(mk (opMap φ).τ₂ S₁.op.g ⋯).unop.Exact ∧ Mono (opMap φ).τ₂ ↔ (mk S₁.f φ.τ₂ ⋯).Exact ∧ Epi φ.τ₂


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.209504, u_2} D
inst✝ : Abelian C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hg₁ : S₁.g = 0
hf₂ : S₂.f = 0
hg₂ : S₂.g = 0
this : Mono φ.τ₂.op ↔ Epi φ.τ₂


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
x y : R
h : Commute x y
n : ℕ

(x + y) ^ n = ∑ m ∈ antidiagonal n, n.choose m.1 • (x ^ m.1 * y ^ m.2)


Context: V : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: V₁ : Type u_3

Context: V₂ : Type u_4

Context: V₃ : Type u_5

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃

Context: f : NormedAddGroupHom V W

Context: W₁ : Type u_6

Context: W₂ : Type u_7

Context: W₃ : Type u_8

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃

Context: g : NormedAddGroupHom V W

Context: f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁

Context: f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂

Context: f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃

Context: ψ : NormedAddGroupHom V₁ ↥(f.equalizer g)

f.comp ((ι f g).comp ψ) = g.comp ((ι f g).comp ψ)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
hw : w ≠ 0

(trinomial k m n u v w).leadingCoeff = w


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
g : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, f x < ⊤

∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α) in s, (f * g) a ∂μ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g

inverse Q hfg hg ∘ₗ rTensor Q g = (range (rTensor Q f)).mkQ


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a b : R
S : Type v
x✝ y : R
I : Ideal R
s : Set R
x : R

x ∈ ⇑(mk I) ⁻¹' (⇑(mk I) '' s) ↔ x ∈ ⋃ x, (fun y => ↑x + y) '' s


(∃ x_1 ∈ s, x_1 - x ∈ I) ↔ ∃ i, ∃ x_1 ∈ s, ↑i + x_1 = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝¹ s₁ s₂ : Finset α
t✝¹ t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
s✝ : Finset α
t✝ : Finset β
f✝ : α → β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
b : α

b ∈ t.disjiUnion (fun a => filter (fun x => f x = a) s) ⋯ ↔ b ∈ filter (fun c => f c ∈ t) s


Context:
R : Type uR
S✝ : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring E
inst✝⁵ : Semiring K
inst✝⁴ : SMul F E
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : Semiring F
inst✝¹ : Module F K
inst✝ : IsScalarTower F E K
L : Submonoid K
S : Set K
h : ↑L = ↑(span F S)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝¹ μ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hf : AEMeasurable f ν
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤

μ.rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae ν] fun x => (f x)⁻¹ * μ.rnDeriv ν x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝¹ μ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hf : AEMeasurable f ν
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤
this : SigmaFinite (ν.withDensity f)


μ.rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae (ν.withDensity f)] fun x => (f x)⁻¹ * μ.rnDeriv ν x


AEMeasurable (fun x => (f x)⁻¹ * μ.rnDeriv ν x) (ν.withDensity f)


μ = 0 + (ν.withDensity f).withDensity fun x => (f x)⁻¹ * μ.rnDeriv ν x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
a : α
μ : Measure α
c : β
s : Set β
hs : MeasurableSet s

(map (fun x => c) μ) s = (μ univ • dirac c) s


(map (fun x => c) μ) s = μ univ * s.indicator 1 c


Context:
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
s : Set c.pt
ls : Set lc.pt

descSet hc ls = s ↔ ∀ (j : J) (x : K.obj j), lc.ι.app j { down := x } ∈ ls ↔ c.ι.app j x ∈ s


descSet hc ls = s → ∀ (j : J) (x : K.obj j), lc.ι.app j { down := x } ∈ ls ↔ c.ι.app j x ∈ s


Context: J : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_1} J

Context: K : J ⥤ Type u

Context: c : Cocone K

Context: hc : IsColimit c

Context: lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})

Context: s : Set c.pt

Context: ls : Set lc.pt

Context: he : ∀ (j : J) (x : K.obj j), lc.ι.app j { down := x } ∈ ls ↔ c.ι.app j x ∈ s

Context: x : c.pt


Context:
F✝ : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f✝ g : ι → α
inst✝² : CommMonoid β
s : Multiset α
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : F
l : List α


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: p : R → R → Prop

Context: a b : R

Context: ha : a ∈ closure s

Context: hb : b ∈ closure s

Context: Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y

Context: H0_left : ∀ (x : R), p 0 x

Context: H0_right : ∀ (x : R), p x 0

Context: H1_left : ∀ (x : R), p 1 x

Context: H1_right : ∀ (x : R), p x 1

Context: Hneg_left : ∀ (x y : R), p x y → p (-x) y

Context: Hneg_right : ∀ (x y : R), p x y → p x (-y)

Context: Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y

Context: Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)

Context: Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y

Context: Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: p : R → R → Prop

Context: a b : R

Context: ha : a ∈ closure s

Context: hb : b ∈ closure s

Context: Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y

Context: H0_left : ∀ (x : R), p 0 x

Context: H0_right : ∀ (x : R), p x 0

Context: H1_left : ∀ (x : R), p 1 x

Context: H1_right : ∀ (x : R), p x 1


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: p : R → R → Prop

Context: a b : R

Context: ha : a ∈ closure s

Context: hb : b ∈ closure s

Context: Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y

Context: H0_left : ∀ (x : R), p 0 x

Context: H0_right : ∀ (x : R), p x 0

Context: H1_left : ∀ (x : R), p 1 x

Context: H1_right : ∀ (x : R), p x 1

∀ (x y : R), (∀ x_1 ∈ s, p x x_1) → (∀ x ∈ s, p y x) → ∀ x_1 ∈ s, p (x + y) x_1


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: p : R → R → Prop

Context: a b : R

Context: ha : a ∈ closure s

Context: hb : b ∈ closure s

Context: Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y

Context: H0_left : ∀ (x : R), p 0 x

Context: H0_right : ∀ (x : R), p x 0

Context: H1_left : ∀ (x : R), p 1 x

Context: H1_right : ∀ (x : R), p x 1

∀ (x y : R), (∀ x_1 ∈ s, p x x_1) → (∀ x ∈ s, p y x) → ∀ x_1 ∈ s, p (x * y) x_1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a✝ : α

Context: ha✝ : IsWellOrderLimitElement a✝

Context: inst✝¹ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1

Context: a : α

Context: ha : a < wellOrderSucc a

Context: inst✝ : IsWellOrderLimitElement (wellOrderSucc a)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ : R →+* S
x✝ : S
f : R →+* S
x : S

eval₂ f x p = p.sum fun e a => f a * x ^ e


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: hf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s

Context: hf : ∀ (n : ι), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x

Context: hfg : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))

Context: hx : x ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: hx : x ∈ s

Context: h1 : s ∈ 𝓝 x


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: hx : x ∈ s

Context: h1 : s ∈ 𝓝 x

Context: h3 : Set.univ ×ˢ s ∈ l ×ˢ 𝓝 x


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: hx : x ∈ s

Context: h1 : s ∈ 𝓝 x

Context: h3 : Set.univ ×ˢ s ∈ l ×ˢ 𝓝 x

Context: h4 : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2


Context:
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
I : Box ι
π : Prepartition I
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

(μ π.iUnion).toReal = ∑ J ∈ π.boxes, (μ ↑J).toReal


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t u v : Set α

AEDisjoint μ s (t ∪ u) ↔ AEDisjoint μ s t ∧ AEDisjoint μ s u


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsUpperSet s


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsUpperSet s
x : ι → ℝ
hx : x ∈ frontier s

x ∈ {x | (fun x => Tendsto (fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 ((closure s).indicator 1 x))) x}ᶜ


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsUpperSet s
x : ι → ℝ
hx : x ∈ frontier s
h : x ∈ closure s

¬Tendsto (fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsUpperSet s
x : ι → ℝ
hx : x ∈ frontier s
h : x ∉ closure s

¬Tendsto (fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)


Context:
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'
p : Submodule R M

lift.{v, v'} (Module.rank R ↥(Submodule.map f p)) ≤ lift.{v', v} (Module.rank R ↥p)


Context: R : Type u

Context: R' : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : Ring R'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : Module R' M'

Context: inst✝ : Module R' M₁

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: p : Submodule R M

Context: h : lift.{v, v'} (Module.rank R ↥(LinearMap.range (f ∘ₗ p.subtype))) ≤ lift.{v', v} (Module.rank R ↥p)


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
s t : Set α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

μ.InnerRegularWRT (fun s => ∃ f, Continuous f ∧ HasCompactSupport f ∧ s = f ⁻¹' {1}) fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤


μ.InnerRegularWRT (fun s => ∃ f, Continuous f ∧ HasCompactSupport f ∧ s = f ⁻¹' {1}) fun s => IsCompact s ∧ IsClosed s


Context:
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
K : Set G
K_comp : IsCompact K
K_closed : IsClosed K
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ K
L : Set G := μ.everywherePosSubset K

∃ K_1 ⊆ K, (fun s => ∃ f, Continuous f ∧ HasCompactSupport f ∧ s = f ⁻¹' {1}) K_1 ∧ r < μ K_1


Context:
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
K : Set G
K_comp : IsCompact K
K_closed : IsClosed K
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ K
L : Set G := μ.everywherePosSubset K
L_comp : IsCompact L


Context:
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
K : Set G
K_comp : IsCompact K
K_closed : IsClosed K
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ K
L : Set G := μ.everywherePosSubset K
L_comp : IsCompact L
L_closed : IsClosed L


(fun s => ∃ f, Continuous f ∧ HasCompactSupport f ∧ s = f ⁻¹' {1}) L


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
x✝ : E

x✝ ∈ LinearMap.ker (orthogonalProjection K) ↔ x✝ ∈ Kᗮ


Context:
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N

map₂ f (span R s) (span R t) = span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)


map₂ f (span R s) (span R t) ≤ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)


span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t) ≤ map₂ f (span R s) (span R t)


Context:
F✝ : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F✝ E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F✝ K
F : Type u_1
inst✝ : Field F

PerfectField F ↔ ∀ (f : F[X]), f.natSepDegree = 1 → Splits (RingHom.id F) f


Context: F✝ : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F✝

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F✝ E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F✝ K

Context: F : Type u_1

Context: inst✝ : Field F

Context: x✝ : PerfectField F

Context: f : F[X]

Context: hf : f.natSepDegree = 1

Context: h : ∀ {f : F[X]}, Irreducible f → f.Separable

Context: hn : ¬Polynomial.map (RingHom.id F) f = 0

Context: g : F[X]

Context: hg : Irreducible g

Context: hd : g ∣ Polynomial.map (RingHom.id F) f


Context: F✝ : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F✝

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F✝ E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F✝ K

Context: F : Type u_1

Context: inst✝ : Field F

Context: h : ∀ (f : F[X]), f.natSepDegree = 1 → Splits (RingHom.id F) f


Context: F✝ : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F✝

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F✝ E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F✝ K

Context: F : Type u_1

Context: inst✝ : Field F

Context: p : ℕ

Context: h✝ : ExpChar F p


Context: F✝ : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F✝

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F✝ E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F✝ K

Context: F : Type u_1

Context: inst✝ : Field F

Context: p : ℕ

Context: h✝ : ExpChar F p

Context: this : PerfectRing F p


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : RCLike α
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α

‖A * B‖₊ ≤ ‖A‖₊ * ‖B‖₊


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : RCLike α
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α
i : l
a✝¹ : i ∈ Finset.univ
j : n
a✝ : j ∈ Finset.univ

‖∑ j_1 : m, A i j_1 * B j_1 j‖₊ ^ 2 ≤ (∑ j : m, ‖A i j‖₊ ^ 2) * ∑ x : m, ‖B x j‖₊ ^ 2


Context: R : Type u_1

Context: l : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: ι : Type u_7

Context: inst✝⁴ : Fintype l

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: inst✝² : Fintype n

Context: inst✝¹ : Unique ι

Context: inst✝ : RCLike α

Context: A : Matrix l m α

Context: B : Matrix m n α

Context: i : l

Context: a✝¹ : i ∈ Finset.univ

Context: j : n

Context: a✝ : j ∈ Finset.univ

Context: this : ‖⟪(WithLp.equiv 2 (m → α)).symm fun j => star (A i j), (WithLp.equiv 2 (m → α)).symm fun k => B k j⟫_α‖₊ ≤ ‖(WithLp.equiv 2 (m → α)).symm fun j => star (A i j)‖₊ * ‖(WithLp.equiv 2 (m → α)).symm fun k => B k j‖₊


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
e : Basis ι R M
inst✝ : Nontrivial R
h : e.det = 0


Context:
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n : ?m.14608
s✝ t s a✝ : Finset α


a✝ ⊆ s ∧ a✝ = ∅ ↔ a✝ = ∅


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
I : Set α
hI : I ⊆ M.E


(∃ I₀, M.Indep I₀ ∧ f '' I = f '' I₀) ↔ M.Indep I


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f : α → β

Context: E I✝ s : Set α

Context: M : Matroid α

Context: N : Matroid β

Context: hf : InjOn f M.E

Context: I : Set α

Context: hI : I ⊆ M.E

Context: x✝ : ∃ I₀, M.Indep I₀ ∧ f '' I = f '' I₀

Context: J : Set α

Context: hJ : M.Indep J

Context: hIJ : f '' I = f '' J


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f : α → β

Context: E I✝ s : Set α

Context: M : Matroid α

Context: N : Matroid β

Context: hf : InjOn f M.E

Context: I : Set α

Context: hI : I ⊆ M.E

Context: J : Set α

Context: hJ : M.Indep J

Context: hIJ : I = J


Context:
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : ℕ → ℕ → R
n : ℕ

∑ i ∈ range (n + 2), ↑((n + 1).choose i) * f i (n + 1 - i) = ∑ i ∈ range (n + 1), ↑(n.choose i) * f i (n + 1 - i) + ∑ i ∈ range (n + 1), ↑(n.choose i) * f (i + 1) (n - i)


Context:
ι : Type u_1
I : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : I → Type u_6
x y : (i : I) → f✝ i
i : I
inst✝¹ : One γ
inst✝ : LE γ
f : α → β
g : α → γ
e : β → γ
hg : g ≤ 1
he : e ≤ 1
_b : β


Context: x y : ℝ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
x : AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j)
j : ι

(component (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) ((sumInv I M) x) = (map I (component R ι M j)) x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝¹⁰ : Module R M✝

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : Module R P

Context: T : Type u_5

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup T

Context: inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: M : ι → Type u_7

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: x✝ : AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j)

Context: j : ι

Context: x : AdicCauchySequence I (⨁ (j : ι), M j)

(component (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) ((sumInv I M) ((mk I (⨁ (j : ι), M j)) x)) = (map I (component R ι M j)) ((mk I (⨁ (j : ι), M j)) x)


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
ι : Sort u_6
f : ι → Set H

(⋃ i, f i).innerDualCone = ⨅ i, (f i).innerDualCone


⨅ i, (f i).innerDualCone ≤ (⋃ i, f i).innerDualCone


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
ι : Sort u_6
f : ι → Set H
x : H
hx : x ∈ ⨅ i, (f i).innerDualCone
y : H
hy : y ∈ ⋃ i, f i


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
ι : Sort u_6
f : ι → Set H
x : H
hx : ∀ (i : ι), x ∈ (f i).innerDualCone
y : H
hy : y ∈ ⋃ i, f i


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
ι : Sort u_6
f : ι → Set H
x : H
hx : ∀ (i : ι), x ∈ (f i).innerDualCone
y : H
hy : y ∈ ⋃ i, f i
j : ι
hj : y ∈ f j


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
x : E

(𝓝 x).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {y | ‖y / x‖ < ε}


(𝓝 x).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => ball x ε


Context: V : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace V

Context: inst✝⁴ : BorelSpace V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf : Integrable f volume

Context: h'f : Integrable (𝓕 f) volume

Context: v : V

Context: A : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ) • 𝓕 f w) atTop (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))

Tendsto (fun c => ∫ (w : V), ((↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w) atTop (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))


Context: V : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace V

Context: inst✝⁴ : BorelSpace V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf : Integrable f volume

Context: h'f : Integrable (𝓕 f) volume

Context: v : V

Context: B : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), 𝓕 (fun w => cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ)) w • f w) atTop (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))


Context: V : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace V

Context: inst✝⁴ : BorelSpace V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf : Integrable f volume

Context: h'f : Integrable (𝓕 f) volume

Context: v : V

(fun c => ∫ (w : V), 𝓕 (fun w => cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ)) w • f w) =ᶠ[atTop] fun c => ∫ (w : V), ((↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w


Context: V : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace V

Context: inst✝⁴ : BorelSpace V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf : Integrable f volume

Context: h'f : Integrable (𝓕 f) volume

Context: v : V

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 < c

∫ (w : V), 𝓕 (fun w => cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ)) w • f w = ∫ (w : V), ((↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w


Context: V : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace V

Context: inst✝⁴ : BorelSpace V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf : Integrable f volume

Context: h'f : Integrable (𝓕 f) volume

Context: v : V

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 < c

Context: w : V

𝓕 (fun w => cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ)) w • f w = ((↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w


Context: V : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace V

Context: inst✝⁴ : BorelSpace V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf : Integrable f volume

Context: h'f : Integrable (𝓕 f) volume

Context: v : V

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 < c

Context: w : V

((↑π / ↑c⁻¹) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑‖v - w‖ ^ 2 / ↑c⁻¹)) • f w = ((↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w


Context: G : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K V : Set G

Context: hK : IsCompact K

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: t : Finset G

Context: ht : K ⊆ ⋃ x ∈ t, interior ((fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' V)

∃ t, K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun x => g * x) ⁻¹' V


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
ι : Type w
b : Finset ι
h : Basis { x // x ∈ b } R M


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
j : n

A *ᵥ (WithLp.equiv 2 ((i : n) → (fun x => 𝕜) i)) (hA.eigenvectorBasis j) = hA.eigenvalues j • (WithLp.equiv 2 ((i : n) → (fun x => 𝕜) i)) (hA.eigenvectorBasis j)


Context:
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁷ : CommRing R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Module S N
inst✝⁹ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝⁸ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁷ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
M' : Submodule R M
P : Type w
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R P
Q : Type w'
inst✝⁴ : AddCommGroup Q
inst✝³ : Module R Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : IsScalarTower R S Q
f' : P →ₗ[R] Q
inst✝ : IsLocalizedModule p f'
g : M →ₗ[R] P
x : M
hx : x ∈ ker g

f x ∈ ker ((IsLocalizedModule.map p f f') g)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: a : α

Context: ha : IsWellOrderLimitElement a

Context: inst✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1

Context: b : α

Context: hb : b < a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: a : α

Context: ha : IsWellOrderLimitElement a

Context: b : α

Context: hb : b < a

Context: c : α

Context: hc₁ : b < c

Context: hc₂ : c < a


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
f : ι → E → F
u : Finset ι
i : ℕ
h : ∀ j ∈ u, ContDiff 𝕜 (↑i) (f j)
x : E

iteratedFDeriv 𝕜 i (fun x => ∑ j ∈ u, f j x) x = (∑ j ∈ u, iteratedFDeriv 𝕜 i (f j)) x


Context:
μ : YoungDiagram
i j : ℕ


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

⟦x₁ * y₂⟧ + ⟦x₂ * y₁⟧ < ⟦x₁ * y₁⟧ + ⟦x₂ * y₂⟧ ↔ -⟦x₂ * y₂⟧ + -⟦x₁ * y₁⟧ < -⟦x₂ * y₁⟧ + -⟦x₁ * y₂⟧


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

-(⟦x₁ * y₁⟧ + ⟦x₂ * y₂⟧) < -(⟦x₁ * y₂⟧ + ⟦x₂ * y₁⟧) ↔ -⟦x₂ * y₂⟧ + -⟦x₁ * y₁⟧ < -⟦x₂ * y₁⟧ + -⟦x₁ * y₂⟧


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type ?u.888157
S' : Type ?u.888160
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.890591
S'' : Type ?u.890594
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
x : ↥P.ker


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
ha : a ≠ 0
h : n ≤ m


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsBezout R
p n : R
hp : Irreducible p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
e' : PartialEquiv α β
hs : Disjoint e.source e'.source
ht : Disjoint e.target e'.target

↑e '' (e.source ∩ e'.source) = e.target ∩ e'.target


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α Ω
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s

∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, (κ x) s = (ρ.condKernel x) s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α Ω
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
x✝ : ρ.fst t < ⊤

∫⁻ (x : α) in t, (κ x) s ∂ρ.fst = ∫⁻ (x : α) in t, (ρ.condKernel x) s ∂ρ.fst


∫⁻ (x : α) in t, (κ x) s ∂ρ.fst = (ρ.fst ⊗ₘ κ) (t ×ˢ s)


∫⁻ (a : α), t.indicator (fun x => (κ x) s) a ∂ρ.fst = ∫⁻ (a : α), (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' t ×ˢ s) ∂ρ.fst


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
n : Type w
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Invertible 2
m : Type w
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
Q : QuadraticMap R (n → R) R
a : R

(a • Q).discr = a ^ Fintype.card n * Q.discr


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.147899, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
ψ : S₃ ⟶ S₁


(ψ ≫ φ₁).τ₁ = S₃.f ≫ ψ.τ₂ ≫ h.h₁ + ψ.τ₁ ≫ h.h₀ + (ψ ≫ φ₂).τ₁


(ψ ≫ φ₁).τ₂ = S₃.g ≫ ψ.τ₃ ≫ h.h₂ + (ψ.τ₂ ≫ h.h₁) ≫ S₂.f + (ψ ≫ φ₂).τ₂


(ψ ≫ φ₁).τ₃ = ψ.τ₃ ≫ h.h₃ + (ψ.τ₃ ≫ h.h₂) ≫ S₂.g + (ψ ≫ φ₂).τ₃


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f g : α → E

Context: X : Type u_7

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: fs : X → α → E

Context: bound : α → ℝ

Context: s : Set X

Context: hfs_meas : ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (fs x) μ

Context: h_bound : ∀ x ∈ s, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs x a‖ ≤ bound a

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousOn (fun x => fs x a) s

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s

ContinuousWithinAt (fun x => setToFun μ T hT (fs x)) s x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f g : α → E

Context: X : Type u_7

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: fs : X → α → E

Context: bound : α → ℝ

Context: s : Set X

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s

∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, AEStronglyMeasurable (fs x) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f g : α → E

Context: X : Type u_7

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: fs : X → α → E

Context: bound : α → ℝ

Context: s : Set X

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s

∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs x a‖ ≤ bound a


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f g : α → E

Context: X : Type u_7

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: fs : X → α → E

Context: bound : α → ℝ

Context: s : Set X

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s

∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousWithinAt (fun x => fs x a) s x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t✝ : Set α
f : Filter α
s t : Set α


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : LeftCancelMonoid G

Context: x✝ y a : G

Context: m n : ℕ

Context: x : G

Context: h : ¬IsOfFinOrder x

Context: s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : LeftCancelMonoid G

Context: x✝ y a : G

Context: m n : ℕ

Context: x : G

Context: h : ¬IsOfFinOrder x

Context: hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : LeftCancelMonoid G

Context: x✝ y a : G

Context: m n : ℕ

Context: x : G

Context: hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}

Context: h : ¬s.Infinite


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : LeftCancelMonoid G

Context: x✝ y a : G

Context: m n : ℕ

Context: x : G

Context: hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}

Context: h : ¬s.Infinite

Context: this : ¬Injective fun n => x ^ n


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A✝
s : Set G
A B C : Subgroup G
h : C ≤ A
x✝ : G

x✝ ∈ ↑(A ⊓ B) * ↑C ↔ x✝ ∈ ↑A ∩ (↑B * ↑C)


(∃ x, (x ∈ ↑A ∧ x ∈ ↑B) ∧ ∃ y ∈ ↑C, x * y = x✝) ↔ x✝ ∈ ↑A ∧ ∃ x ∈ ↑B, ∃ y ∈ ↑C, x * y = x✝


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A✝
s : Set G
A B C : Subgroup G
h : C ≤ A
y : G
hy : y ∈ ↑B
z : G
hz : z ∈ ↑C
hyz : y * z ∈ ↑A


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x : (i : ι) × α i
i j : ι
a✝ : α i
a : (i : ι) → α i


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: k : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : LieRingModule L M₂

Context: inst✝¹ : LieModule R L M₂

Context: inst✝ : IsNilpotent R L M

Context: h : Disjoint (lowerCentralSeries R L M 1) (maxTrivSubmodule R L M)

Context: a✝ : Nontrivial M


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: k : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : LieRingModule L M₂

Context: inst✝¹ : LieModule R L M₂

Context: inst✝ : IsNilpotent R L M

Context: a✝ : Nontrivial M

Context: contra : ¬IsTrivial L M


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: k : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : LieRingModule L M₂

Context: inst✝¹ : LieModule R L M₂

Context: inst✝ : IsNilpotent R L M

Context: a✝ : Nontrivial M

Context: contra : ¬IsTrivial L M

Context: this : lowerCentralSeriesLast R L M ≤ lowerCentralSeries R L M 1 ⊓ maxTrivSubmodule R L M


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: k : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : LieRingModule L M₂

Context: inst✝¹ : LieModule R L M₂

Context: inst✝ : IsNilpotent R L M

Context: a✝ : Nontrivial M

Context: contra : ¬IsTrivial L M

¬Nontrivial ↥↑(lowerCentralSeriesLast R L M)


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: k : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : LieRingModule L M₂

Context: inst✝¹ : LieModule R L M₂

Context: inst✝ : IsNilpotent R L M

Context: a✝ : Nontrivial M

Context: contra : ¬IsTrivial L M

Context: this : lowerCentralSeriesLast R L M = ⊥


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p : R[X]

Context: t : R

Context: hpt : p.IsRoot t

Context: hnzd : ↑(rootMultiplicity t p) ∈ nonZeroDivisors R

Context: h : ¬p = 0

rootMultiplicity t (derivative p) = rootMultiplicity t p - 1


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p : R[X]

Context: t : R

Context: hpt : p.IsRoot t

Context: h : ¬p = 0

Context: g : R[X]

Context: hp : p = (X - C t) ^ rootMultiplicity t p * g

Context: hndvd : ¬X - C t ∣ g


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
hpt : p.IsRoot t
h : ¬p = 0
g : R[X]
hndvd : ¬X - C t ∣ g
m : ℕ := rootMultiplicity t p
hnzd : ↑m ∈ nonZeroDivisors R
hp : p = (X - C t) ^ m * g

rootMultiplicity t (derivative p) = m - 1


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
hpt : p.IsRoot t
h : ¬p = 0
g : R[X]
hndvd : ¬X - C t ∣ g
m : ℕ := rootMultiplicity t p
hnzd : ↑m ∈ nonZeroDivisors R
hp : p = (X - C t) ^ m * g
hm : m - 1 + 1 = m


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
hpt : p.IsRoot t
h : ¬p = 0
g : R[X]
hndvd✝ : ¬X - C t ∣ g
m : ℕ := rootMultiplicity t p
hnzd : ↑m ∈ nonZeroDivisors R
hp : p = (X - C t) ^ m * g
hm : m - 1 + 1 = m
hndvd : ¬(X - C t) ^ m ∣ derivative p


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
hpt : p.IsRoot t
h : ¬p = 0
g : R[X]
hndvd✝ : ¬X - C t ∣ g
m : ℕ := rootMultiplicity t p
hnzd : ↑m ∈ nonZeroDivisors R
hp : p = (X - C t) ^ m * g
hm : m - 1 + 1 = m
hndvd : ¬(X - C t) ^ m ∣ derivative p
hnezero : derivative p ≠ 0


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w x y : V
p : G.Walk v v
hp : ¬p.Nil


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
a : α
x : ℝ

↑(condCDF ρ a) x = ↑(stieltjesOfMeasurableRat (fun p r => (preCDF ρ r p.2).toReal) ⋯ ((), a)) x


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0

∀ᶠ (v : HeightOneSpectrum R) in Filter.cofinite, ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ 0

Context: h_supp : {v | ¬↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) = 0} = {v | v.asIdeal ∣ I}


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ 0


Context:
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
x : K[X]

{ toFractionRing := (algebraMap K[X] (FractionRing K[X])) x } = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x


Context:
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r : R → R → Prop
n : ℕ
a✝ : Quot (Rel r)
a b : R
h : Rel r a b

Quot.mk (Rel r) (a ^ n) = Quot.mk (Rel r) (b ^ n)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
t : Multiset ι
f₁ f₂ : ι → Set α
hf : ∀ i ∈ t, f₁ i ⊆ f₂ i

(Multiset.map f₁ t).prod ⊆ (Multiset.map f₂ t).prod


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f₁ f₂ : ι → Set α
a✝ : List ι
hf : ∀ i ∈ ⟦a✝⟧, f₁ i ⊆ f₂ i

(Multiset.map f₁ ⟦a✝⟧).prod ⊆ (Multiset.map f₂ ⟦a✝⟧).prod


(List.map f₁ a✝).prod ⊆ (List.map f₂ a✝).prod


Context:
S✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring S✝
r✝ n✝ : ℕ
S : Type u_2
inst✝ : Semiring S
r n : ℕ

↑r ! * eval (↑r + 1) (ascPochhammer S n) = ↑(r + n)!


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Subspace K V
x✝ : V

x✝ ∈ comap (Module.Dual.eval K V) (dualAnnihilator W).dualAnnihilator ↔ x✝ ∈ W


(∀ φ ∈ dualAnnihilator W, φ x✝ = 0) ↔ x✝ ∈ comap (Module.Dual.eval K V) (dualAnnihilator W).dualAnnihilator


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s

∑ i ∈ s, f i • g (σ i) < ∑ i ∈ s, f i • g i ↔ ¬MonovaryOn f (g ∘ ⇑σ) ↑s


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: ha✝ : autoParam (p a) _auto✝

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ

cosh (dist z w / 2) = dist (↑z) ((starRingEnd ℂ) ↑w) / (2 * √(z.im * w.im))


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ

0 ≤ dist (↑z) ((starRingEnd ℂ) ↑w) / (2 * √(z.im * w.im))


Context:
ι : Sort u_1
f✝ f : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0


Context:
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : Integrable f μ
h'f : Differentiable ℝ f
hf' : Integrable (fderiv ℝ f) μ
w : W
y : V
g : V → ℂ := fun v => ↑(𝐞 (-(L v) w))

(fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (fderiv ℝ f) w) y = (fourierSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) w) y


∫ (x : V), g x • (fderiv ℝ f x) y ∂μ = ∫ (x : V), (2 * ↑π * I * ↑((L y) w) * g x) • f x ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace V

Context: inst✝² : BorelSpace V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : Integrable f μ

Context: h'f : Differentiable ℝ f

Context: hf' : Integrable (fderiv ℝ f) μ

Context: w : W

Context: y : V

Context: g : V → ℂ := fun v => ↑(𝐞 (-(L v) w))

Context: A : ∀ (x : V), (fderiv ℝ g x) y = -2 * ↑π * I * ↑((L y) w) * g x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace V

Context: inst✝² : BorelSpace V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : Integrable f μ

Context: h'f : Differentiable ℝ f

Context: hf' : Integrable (fderiv ℝ f) μ

Context: w : W

Context: y : V

Context: g : V → ℂ := fun v => ↑(𝐞 (-(L v) w))

∫ (a : V), -((fderiv ℝ g a) y • f a) ∂μ = ∫ (x : V), (2 * ↑π * I * ↑((L y) w) * g x) • f x ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace V

Context: inst✝² : BorelSpace V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : Integrable f μ

Context: h'f : Differentiable ℝ f

Context: hf' : Integrable (fderiv ℝ f) μ

Context: w : W

Context: y : V

Context: g : V → ℂ := fun v => ↑(𝐞 (-(L v) w))

Integrable (fun x => (fderiv ℝ g x) y • f x) μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace V

Context: inst✝² : BorelSpace V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : Integrable f μ

Context: h'f : Differentiable ℝ f

Context: hf' : Integrable (fderiv ℝ f) μ

Context: w : W

Context: y : V

Context: g : V → ℂ := fun v => ↑(𝐞 (-(L v) w))

Integrable (fun x => g x • (fderiv ℝ f x) y) μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace V

Context: inst✝² : BorelSpace V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : Integrable f μ

Context: h'f : Differentiable ℝ f

Context: hf' : Integrable (fderiv ℝ f) μ

Context: w : W

Context: y : V

Context: g : V → ℂ := fun v => ↑(𝐞 (-(L v) w))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : c < max a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
h : c < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : b ≤ a
h : c < a


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : Isometry Φ

hausdorffDist (Φ '' s) (Φ '' t) = hausdorffDist s t


Context:
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
h : ∀ (a : α), Subsingleton (β a)
a₁ : α
b₁ b₂ : β a₁

⟨a₁, b₁⟩ = ⟨a₁, b₂⟩


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
n : ℕ
h : x.snd <• x.fst = x.fst •> x.snd

(x ^ n).snd = n •> x.fst ^ n.pred •> x.snd


(List.map (fun i => x.fst ^ (n.pred - i + i) •> x.snd) (List.range n)).sum = n •> x.fst ^ n.pred •> x.snd


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: E' : B → Type u_9

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: f : M → TotalSpace F E

Context: x₀ : M

ContMDiffAt IM (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n f x₀ ↔ ContMDiffAt IM IB n (fun x => (f x).proj) x₀ ∧ ContMDiffAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x)).2) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: E' : B → Type u_9

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: f : M → TotalSpace F E

Context: x₀ : M

ContMDiffWithinAt IM (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n f univ x₀ ↔ ContMDiffWithinAt IM IB n (fun x => (f x).proj) univ x₀ ∧ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x)).2) univ x₀


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : LinearOrderedSemifield β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β
hf : ∀ i ∈ s, 0 < f i
hg : ∀ i ∈ s, 0 < g i


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂
wi : i ≫ S₁.g = 0


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂
wi : i ≫ S₁.g = 0
hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h : S₂.LeftHomologyData

Context: inst✝² : Epi φ.τ₁

Context: inst✝¹ : IsIso φ.τ₂

Context: inst✝ : Mono φ.τ₃

Context: i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂

Context: wi : i ≫ S₁.g = 0

Context: hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)

Context: f' : (KernelFork.ofι S₁.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι i wi).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S₁.f ⋯)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h : S₂.LeftHomologyData

Context: inst✝² : Epi φ.τ₁

Context: inst✝¹ : IsIso φ.τ₂

Context: inst✝ : Mono φ.τ₃

Context: i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂

Context: wi : i ≫ S₁.g = 0

Context: hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)

Context: hf' : f' ≫ i = S₁.f