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Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: u : E → F'

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp✝ : 1 ≤ p

Context: hp'0 : ¬p' = 0

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: hn✝ : 0 < n

Context: hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Context: n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent

Context: h2p : ↑p < ↑n

Context: h0n : 2 ≤ n

Context: hn : (↑n).IsConjExponent n'

Context: h1n : 1 ≤ ↑n

Context: h2n : 0 < ↑n - 1

Context: hnp : 0 < ↑n - ↑p

Context: hp : 1 < p

Context: q : ℝ := (↑p).conjExponent

Context: hq : (↑p).IsConjExponent q

Context: h0p : p ≠ 0

Context: h1p : ↑p ≠ 1

Context: h3p : ↑p - 1 ≠ 0

Context: h0p' : p' ≠ 0

Context: h2q : 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'

Context: h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)

Context: h1γ : 1 < ↑γ

Context: h2γ : γ * n' = p'

Context: h3γ : (↑γ - 1) * q = ↑p'

Context: h4γ : ↑γ ≠ 0

Context: h3u : ¬∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ = 0

Context: h4u : ∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ ≠ ⊤

Context: h7u : Continuous u

Context: h8u : Continuous (fderiv ℝ u)

Context: v : E → ℝ := fun x => ‖u x‖ ^ ↑γ

Context: hv : ContDiff ℝ 1 v

Context: h2v : HasCompactSupport v

Context: C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOneConst μ ↑n'

Context: this : (∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / ↑n') ≤ ↑C * ↑γ * (∫⁻ (x : E), ↑‖fderiv ℝ u x‖₊ ^ ↑p ∂μ) ^ (1 / ↑p) * (∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q)


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
x : V

-(o.rotation θ) x = (o.rotation (↑π + θ)) x


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝² : SMul αᵐᵒᵖ β

Context: inst✝¹ : SMul β γ

Context: inst✝ : SMul α γ

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: t : Set γ

Context: h : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), (op a • b) • c = b • a • c

Context: x✝ : γ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: n : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder n

Context: inst✝² : IsWellOrder n fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n

Context: S : Matrix n n 𝕜

Context: inst✝ : Fintype n

Context: hS : S.PosDef

lowerInv hS = ((Pi.basisFun 𝕜 n).toMatrix ⇑(gramSchmidtBasis (Pi.basisFun 𝕜 n)))ᵀ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: n : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder n

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n

Context: S : Matrix n n 𝕜

Context: inst✝ : Fintype n

Context: hS : S.PosDef

Context: this : NormedAddCommGroup (n → 𝕜) := NormedAddCommGroup.ofMatrix ⋯


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: n : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder n

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n

Context: S : Matrix n n 𝕜

Context: inst✝ : Fintype n

Context: hS : S.PosDef

Context: this✝ : NormedAddCommGroup (n → 𝕜) := NormedAddCommGroup.ofMatrix ⋯

Context: this : InnerProductSpace 𝕜 (n → 𝕜) := InnerProductSpace.ofMatrix ⋯


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: n : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder n

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n

Context: S : Matrix n n 𝕜

Context: inst✝ : Fintype n

Context: hS : S.PosDef

Context: i j : n

lowerInv hS i j = ((Pi.basisFun 𝕜 n).toMatrix ⇑(gramSchmidtBasis (Pi.basisFun 𝕜 n)))ᵀ i j


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: n : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder n

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n

Context: S : Matrix n n 𝕜

Context: inst✝ : Fintype n

Context: hS : S.PosDef

Context: i j : n

gramSchmidt 𝕜 (⇑(Pi.basisFun 𝕜 n)) i j = (gramSchmidt 𝕜 ⇑(Pi.basisFun 𝕜 n))ᵀᵀ i j


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P z = 0
hQz : Q z = 0


Context:
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Γ : Type u_4
inst✝⁶ : Group Γ
T : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace T
inst✝⁴ : MulAction Γ T
G₀ : Type u_6
inst✝³ : GroupWithZero G₀
inst✝² : MulAction G₀ α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ α
c : G₀
s : Set α
x : α
hc : c ≠ 0


Context:
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Γ : Type u_4
inst✝⁶ : Group Γ
T : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace T
inst✝⁴ : MulAction Γ T
G₀ : Type u_6
inst✝³ : GroupWithZero G₀
inst✝² : MulAction G₀ α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ α
c : G₀
s : Set α
x : α
hc : c ≠ 0
h : c • s ∈ 𝓝 (c • x)


c⁻¹ • c • s ∈ 𝓝 (c⁻¹ • c • x)


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) ∣ S.a + S.b


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ^ S.multiplicity ∣ S.c


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h : (λ ^ S.multiplicity) ^ 3 ∣ ↑S.u * S.c ^ 3


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h : λ ^ (3 * S.multiplicity) ∣ (S.a + S.b) * (λ * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S) * (λ * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) ∣ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S * (S.a + S.b)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) ∣ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S * (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S * (S.a + S.b))


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: this : 2 ≤ S.multiplicity


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h : λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) * λ * λ ∣ (S.a + S.b) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S * λ * λ

Context: this : 2 ≤ S.multiplicity


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: this : 2 ≤ S.multiplicity

Context: h : λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) ∣ (S.a + S.b) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

(fun n => (1 + ε ↑n) * asympBound g a b n) =O[atTop] T


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'


∀ᶠ (n₀ : ℕ) in atTop, ∃ c > 0, ∀ n ≥ n₀, c * ‖(1 + ε ↑n) * asympBound g a b n‖ ≤ ‖T n‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁ : c₁ > 0

Context: h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c₁ * g ↑n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁ : c₁ > 0

Context: n₀ : ℕ

Context: n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀

Context: h_b_floor : 0 < ⌊b' * ↑n₀⌋₊

Context: h_smoothing_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y

Context: h_smoothing_pos' : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y

Context: h_asympBound_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < asympBound g a b y

Context: h_asympBound_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < asympBound g a b (r i y)

Context: h_asympBound_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < asympBound g a b y

Context: n₀_pos : 0 < n₀

Context: h_smoothing_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < 1 + ε ↑(r i y)

Context: bound2 : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b i ^ p a b * ↑y ^ p a b * (1 + ε ↑y) ≤ ↑(r i y) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i y))

Context: h_smoothingFn_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y

Context: h_sumTransform : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i y) y ≤ c₁ * g ↑y

Context: h_bi_le_r : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑y ≤ ↑(r i y)

Context: h_exp : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ⌈rexp 1⌉₊ ≤ y

∃ c > 0, ∀ n ≥ n₀, c * ‖(1 + ε ↑n) * asympBound g a b n‖ ≤ ‖T n‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁ : c₁ > 0

Context: n₀ : ℕ

Context: n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀

Context: h_b_floor : 0 < ⌊b' * ↑n₀⌋₊

Context: n₀_pos : 0 < n₀

Context: h_base_nonempty : (Ico ⌊b (min_bi b) / 2 * ↑n₀⌋₊ n₀).Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁ : c₁ > 0

Context: n₀ : ℕ

Context: n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀

Context: h_b_floor : 0 < ⌊b' * ↑n₀⌋₊

Context: n₀_pos : 0 < n₀

Context: base_min : ℝ := (Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀).inf' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n)

Context: base_min_def : base_min = (Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀).inf' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n)

Context: C : ℝ := min (2 * c₁)⁻¹ base_min


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁ : c₁ > 0

Context: n₀ : ℕ

Context: n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀

Context: h_b_floor : 0 < ⌊b' * ↑n₀⌋₊

Context: n₀_pos : 0 < n₀

Context: C : ℝ := min (2 * c₁)⁻¹ base_min

Context: hC_pos : 0 < C


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁ : c₁ > 0

Context: n₀ : ℕ

Context: n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀

Context: h_b_floor : 0 < ⌊b' * ↑n₀⌋₊

Context: n₀_pos : 0 < n₀

Context: C : ℝ := min (2 * c₁)⁻¹ base_min

Context: hC_pos : 0 < C

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ n₀

C * ‖(1 + ε ↑n) * asympBound g a b n‖ ≤ ‖T n‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁ : c₁ > 0

Context: n₀ : ℕ

Context: n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀

Context: h_b_floor : 0 < ⌊b' * ↑n₀⌋₊

Context: n₀_pos : 0 < n₀

Context: C : ℝ := min (2 * c₁)⁻¹ base_min

Context: hC_pos : 0 < C

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ n₀

Context: h_base : ∀ n ∈ Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀, C * ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n) ≤ T n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁ : c₁ > 0

Context: n₀ : ℕ

Context: n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀

Context: h_b_floor : 0 < ⌊b' * ↑n₀⌋₊

Context: n₀_pos : 0 < n₀

Context: C : ℝ := min (2 * c₁)⁻¹ base_min

Context: hC_pos : 0 < C

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ n₀

Context: h_asympBound_pos' : 0 < asympBound g a b n

Context: h_one_sub_smoothingFn_pos' : 0 < 1 + ε ↑n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁ : c₁ > 0

Context: h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c₁ * g ↑n

Context: n₀ : ℕ

Context: n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀

Context: h_b_floor : 0 < ⌊b' * ↑n₀⌋₊

Context: h_smoothing_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y

Context: h_smoothing_pos' : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y

Context: h_asympBound_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < asympBound g a b y

Context: h_asympBound_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < asympBound g a b (r i y)

Context: h_asympBound_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < asympBound g a b y

Context: n₀_pos : 0 < n₀

Context: h_smoothing_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < 1 + ε ↑(r i y)

Context: bound2 : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b i ^ p a b * ↑y ^ p a b * (1 + ε ↑y) ≤ ↑(r i y) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i y))

Context: h_smoothingFn_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y

Context: h_sumTransform : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i y) y ≤ c₁ * g ↑y

Context: h_bi_le_r : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑y ≤ ↑(r i y)

Context: h_exp : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ⌈rexp 1⌉₊ ≤ y

Context: h_base_nonempty : (Ico ⌊b (min_bi b) / 2 * ↑n₀⌋₊ n₀).Nonempty

Context: base_min : ℝ := (Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀).inf' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n)

Context: base_min_def : base_min = (Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀).inf' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n)

Context: C : ℝ := min (2 * c₁)⁻¹ base_min

Context: hC_pos : 0 < C

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ n₀

Context: h_base : ∀ n ∈ Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀, C * ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n) ≤ T n

Context: h_asympBound_pos' : 0 < asympBound g a b n

Context: h_one_sub_smoothingFn_pos' : 0 < 1 + ε ↑n


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDedekindDomain R
inst✝⁵ : Module.Free ℤ R
inst✝⁴ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : NoZeroDivisors K
I : FractionalIdeal R⁰ K


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDedekindDomain R
inst✝⁵ : Module.Free ℤ R
inst✝⁴ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : NoZeroDivisors K
I : FractionalIdeal R⁰ K
h : absNorm I = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝⁵ : Module.Free ℤ R

Context: inst✝⁴ : Module.Finite ℤ R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : NoZeroDivisors K

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: h : ↑(Ideal.absNorm I.num) = 0 ∨ ↑|(Algebra.norm ℤ) ↑I.den| = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝⁵ : Module.Free ℤ R

Context: inst✝⁴ : Module.Finite ℤ R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : NoZeroDivisors K

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝³ : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
x : α

∀ (a : α), f a ∈ ↑(f.cycleOf x).support ↔ a ∈ ↑(f.cycleOf x).support


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝¹ y : α
inst✝³ : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
x x✝ : α
h : f x✝ ∈ ↑(f.cycleOf x).support


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝¹ y : α
inst✝³ : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
x x✝ : α
h : x✝ ∈ ↑(f.cycleOf x).support


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝³ : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
x a : α
ha : a ∈ ↑(f.cycleOf x).support
b : α
hb : b ∈ ↑(f.cycleOf x).support


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝³ : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
x a : α
ha : f.SameCycle x a ∧ x ∈ f.support
b : α
hb : f.SameCycle x b ∧ x ∈ f.support


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommMonoid G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommMonoid G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a✝ b✝ : G
hg₁ : a✝ ∈ {g | ∃ n, orderOf g = p ^ n}
hg₂ : b✝ ∈ {g | ∃ n, orderOf g = p ^ n}


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommMonoid G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a✝ b✝ : G
hg₁ : a✝ ∈ {g | ∃ n, orderOf g = p ^ n}
hg₂ : b✝ ∈ {g | ∃ n, orderOf g = p ^ n}
m : ℕ
hm : a✝ ^ p ^ m = 1


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommMonoid G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a✝ b✝ : G
hg₁ : a✝ ∈ {g | ∃ n, orderOf g = p ^ n}
hg₂ : b✝ ∈ {g | ∃ n, orderOf g = p ^ n}
m : ℕ
hm : a✝ ^ p ^ m = 1
n : ℕ
hn : b✝ ^ p ^ n = 1


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : Nonempty α
F : Filter β
u : α → β

(F ⊓ map u atTop).NeBot ↔ ∀ U ∈ F, ∀ (N : α), ∃ n ≥ N, u n ∈ U


(∀ {p : β → Prop}, (∀ᶠ (x : β) in F, p x) → ∀ (a : α), ∃ b ≥ a, p (u b)) ↔ ∀ U ∈ F, ∀ (N : α), ∃ n ≥ N, u n ∈ U


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α

(∃ b, (f ^ (Equiv.symm (Equiv.addRight 1)) b) (f x) = y) ↔ f.SameCycle x y


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
f : R →+* S
s : Subring R
h : ⇑f ⁻¹' {0} ⊆ ↑s


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α✝

Context: α : Type u_3

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: A : Set α

Context: ι : Type u_4

Context: L : Filter ι

Context: inst✝¹ : L.IsCountablyGenerated

Context: As : ι → Set α

Context: inst✝ : L.NeBot

Context: As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)

Context: h_lim : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α✝

Context: α : Type u_3

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: A : Set α

Context: ι : Type u_4

Context: L : Filter ι

Context: inst✝¹ : L.IsCountablyGenerated

Context: As : ι → Set α

Context: inst✝ : L.NeBot

Context: As_mble : ∀ (i : ι), Measurable ((As i).indicator fun x => 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MulOneClass α

Context: inst✝² : LT α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
a : α
l : List α

(map f (a :: l)).sublists = map (map f) (a :: l).sublists


((l.sublists.bind fun x => [map f x]).bind fun x => [x, f a :: x]) = (l.sublists.bind fun x => [x, a :: x]).bind fun x => [map f x]


Context:
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
n✝ k n : ℕ

(fslope^[k] p).coeff n = p.coeff (n + k)


Context:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ

ENNReal.ofReal (variance X μ) = evariance X μ


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : ℝ → E
s : ℂ
hf : MellinConvergent f s
hg : MellinConvergent g s


mellin (fun t => f t - g t) s = mellin f s - mellin g s


Context: A B : Grp

Context: f : A ⟶ B

Context: x : ↑B

Context: y : ↑(Set.range fun x => x • ↑(MonoidHom.range f))

x • ↑y ∈ Set.range fun x => x • ↑(MonoidHom.range f)


Context: A B : Grp

Context: f : A ⟶ B

Context: x : ↑B

Context: z : ↑B

Context: hz : (fun x => x • ↑(MonoidHom.range f)) z = ↑y


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
t : κ → TopologicalSpace X'
F : ι → X' → α
S : Set X'
x₀ : X'
k : κ
hk : EquicontinuousWithinAt F S x₀


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: t : κ → TopologicalSpace X'

Context: F : ι → X' → α

Context: S : Set X'

Context: x₀ : X'

Context: k : κ

Context: hk : ContinuousWithinAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) S x₀


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: t : κ → TopologicalSpace X'

Context: F : ι → X' → α

Context: S : Set X'

Context: x₀ : X'

Context: k : κ

Context: hk : Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) (𝓝 x₀ ⊓ 𝓟 S) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀))


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: t : κ → TopologicalSpace X'

Context: F : ι → X' → α

Context: S : Set X'

Context: x₀ : X'

Context: k : κ

Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) ((⨅ i, 𝓝 x₀) ⊓ 𝓟 S) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀))


Context:
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G
A : Set G

(Measure.map (fun h => h * g) μ) A = μ A


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


a < c → b < c → ¬(a ⊓ b ≤ c ∧ c ≤ a ⊔ b)


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
hc : p.IsTrail
h : u ∈ p.support

((p.takeUntil u h).append (p.dropUntil u h)).IsTrail


Context:
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} D'
X Y Z T : C
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y X
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W Y Y
f : Y ⟶ X
hf : W f

(equiv W W.Q) ((mk W f).comp (mkInv f hf)) = (equiv W W.Q) (mk W (𝟙 Y))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ t p : Set α
s : Finset α
H : ∀ (x : α), x ∈ s ↔ x ∈ p
x : α


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: r : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => if r i = 0 then 0 else a i * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))) (F t)

Context: h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / |r i| ^ s.re

HasSum (fun i => s.Gammaℝ * a i / ↑|r i| ^ s) (mellin F (s / 2))


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: r : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: hs' : 0 < (s / 2).re


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: r : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: hs' : 0 < (s / 2).re

Context: hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => if r i ^ 2 = 0 then 0 else a i * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))) (F t)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: r : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: hs' : 0 < (s / 2).re

Context: i : ι

s.Gammaℝ * a i = ↑π ^ (-(s / 2)) * Complex.Gamma (s / 2) * a i


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: r : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: hs' : 0 < (s / 2).re

Context: i : ι


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: r : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: hs' : 0 < (s / 2).re

Summable fun i => ‖a i‖ / (r i ^ 2) ^ (s / 2).re


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: N₁ : Type u_5

Context: N₂ : Type u_6

Context: P : Type u_7

Context: Mᵢ : ι → Type u_8

Context: Nᵢ : ι → Type u_9

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid P

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P

Context: Q' : (i : ι) → QuadraticMap R (Nᵢ i) P

Context: e : (i : ι) → (Q i).IsometryEquiv (Q' i)

Context: x : (i : ι) → Mᵢ i

(QuadraticMap.pi Q') ((↑(LinearEquiv.piCongrRight fun i => (e i).toLinearEquiv)).toFun x) = (QuadraticMap.pi Q) x


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center ≤ s.radius
h : ¬p' = p


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center ≤ s.radius
h : ¬p' = p
he : p = s.secondInter p (p' -ᵥ p)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center ≤ s.radius
h : ¬p' = p
he : 0 = ⟪p -ᵥ p', p -ᵥ s.center⟫_ℝ


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s : Multiset ℤ
n : ℤ

s.sum % n = (map (fun x => x % n) s).sum % n


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α


Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝² : DivisionRing K

Context: inst✝¹ : DivisionRing L

Context: inst✝ : DivisionRing M

Context: S : Set (Subfield K)

Context: Sne : S.Nonempty

Context: hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: x : K


Context:
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} (n + 1)
β : TypeVec.{u_2} (n + 1)
f g : α ⟹ β
h₀ : dropFun f = dropFun g
h₁ : lastFun f = lastFun g


Context:
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} (n + 1)
β : TypeVec.{u_2} (n + 1)
f g : α ⟹ β
h₀ : dropFun f = dropFun g
h₁ : lastFun f = lastFun g
x : Fin2 (n + 1)


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : ⊥ = ⊤


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: q : Stmt₂

Context: v : σ

Context: T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))

Context: k : K

Context: S : (k : K) → List (Γ k)

Context: hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse

Context: o : StAct k

Context: IH : ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} {T : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))}, (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) → ∃ b, TrCfg (TM2.stepAux q v S) b ∧ Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b

∃ b, TrCfg (TM2.stepAux (stRun o q) v S) b ∧ Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal (stRun o q)) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: q : Stmt₂

Context: v : σ

Context: T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))

Context: k : K

Context: S : (k : K) → List (Γ k)

Context: o : StAct k

∃ b, TrCfg (TM2.stepAux q (stVar v (S k) o) (update S k (stWrite v (S k) o))) b ∧ Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (goto fun x x => go k o q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: q : Stmt₂

Context: v : σ

Context: T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))

Context: k : K

Context: S : (k : K) → List (Γ k)

Context: o : StAct k

Context: hgo : Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) } { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T)) }


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: q : Stmt₂

Context: v : σ

Context: T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))

Context: k : K

Context: S : (k : K) → List (Γ k)

Context: o : StAct k

Context: T' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: hT' : ∀ (k_1 : K), ListBlank.map (proj k_1) T' = ListBlank.mk (List.map some (update S k (stWrite ?m.379536 (S k) o) k_1)).reverse

Context: hrun : TM1.stepAux (trStAct ?m.379535 o) ?m.379536 ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) = TM1.stepAux ?m.379535 (stVar ?m.379536 (S k) o) ((Tape.move Dir.right)^[(update S k (stWrite ?m.379536 (S k) o) k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T')))


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: q : Stmt₂

Context: v : σ

Context: T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))

Context: k : K

Context: S : (k : K) → List (Γ k)

Context: o : StAct k

Context: T' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: this : Reaches₁ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) } (TM1.stepAux (tr M (go k o q)) v ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T))))


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: q : Stmt₂

Context: v : σ

Context: T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))

Context: k : K

Context: S : (k : K) → List (Γ k)

Context: o : StAct k

Context: T' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: hT' : ∀ (k_1 : K), ListBlank.map (proj k_1) T' = ListBlank.mk (List.map some (update S k (stWrite v (S k) o) k_1)).reverse

Context: hrun : TM1.stepAux (trStAct (goto fun x x => ret q) o) v ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) = TM1.stepAux (goto fun x x => ret q) (stVar v (S k) o) ((Tape.move Dir.right)^[(update S k (stWrite v (S k) o) k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T')))

Context: this : Reaches₁ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) } (match match none with | some val => false | none => true with | true => TM1.stepAux (goto fun x x => ret q) (stVar v (S k) o) ((Tape.move Dir.right)^[(update S k (stWrite v (S k) o) k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T'))) | false => TM1.stepAux (goto fun x x => go k o q) v (Tape.move Dir.right ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T)))))


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: q : Stmt₂

Context: v : σ

Context: T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))

Context: k : K

Context: S : (k : K) → List (Γ k)

Context: o : StAct k

Context: T' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: c : TM1.Cfg Γ' Λ' σ

Context: gc : TrCfg (TM2.stepAux q ?m.383145 (update S k (stWrite v (S k) o))) c

Context: rc : Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) ?m.383145 (Tape.mk' ∅ (addBottom T'))) c


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: q : Stmt₂

Context: v : σ

Context: T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))

Context: k : K

Context: S : (k : K) → List (Γ k)

Context: o : StAct k

Context: T' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: c : TM1.Cfg Γ' Λ' σ

Context: gc : TrCfg (TM2.stepAux q (stVar v (S k) o) (update S k (stWrite v (S k) o))) c

Context: rc : Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) (stVar v (S k) o) (Tape.mk' ∅ (addBottom T'))) c

ReflTransGen (fun a b => b ∈ TM1.step (tr M) a) (TM1.stepAux (tr M (ret q)) (stVar v (S k) o) (Tape.mk' ∅ (addBottom T'))) c


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: q : Stmt₂

Context: v : σ

Context: T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))

Context: k : K

Context: S : (k : K) → List (Γ k)

Context: o : StAct k

Context: T' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: c : TM1.Cfg Γ' Λ' σ

ReflTransGen (fun a b => b ∈ TM1.step (tr M) a) (bif true then TM1.stepAux (trNormal q) (stVar v (S k) o) (Tape.mk' ∅ (addBottom T')) else TM1.stepAux (move Dir.left (goto fun x x => ret q)) (stVar v (S k) o) (Tape.mk' ∅ (addBottom T'))) c


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y z : (i : ι) → β i

hammingDist x y ≤ hammingDist x z + hammingDist y z


hammingDist x y ≤ hammingDist x z + hammingDist z y


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
v : M
hv : f.HasEigenvector μ v
n : ℕ


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c a : M
h : IsUnit a
y : M


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
h0 : ¬x.gcd y = 0


Context: z : ℤ

Context: k : ℕ

Context: x0 y0 : ℤ

Context: left✝ : 0 < k

Context: h2 : x0.gcd y0 = 1

Context: h : PythagoreanTriple (x0 * ↑k) (y0 * ↑k) z

Context: h0 : ¬(x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k) = 0


Context: z : ℤ

Context: k : ℕ

Context: x0 y0 : ℤ

Context: left✝ : 0 < k

Context: h2 : x0.gcd y0 = 1

Context: h0 : ¬(x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k) = 0


Context:
α : Sort u_2
inst✝ : DecidableEq α
β : Sort u_1
f : α ≃ β
a : α
b : β


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
s : Finset ι
p : ι → V
w : ι → k
hw : ∑ i ∈ s, w i = 1

(affineCombination k s p) w = ∑ i ∈ s, w i • p i


Context:
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.203972}
α : Type u
ι : Type v
A : ι → Set α
s : Set ι

lift.{v, u} #↑(⋃ x ∈ s, A x) ≤ lift.{u, v} #↑s * ⨆ x, lift.{v, u} #↑(A ↑x)


lift.{v, u} #↑(⋃ x, A ↑x) ≤ lift.{u, v} #↑s * ⨆ x, lift.{v, u} #↑(A ↑x)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
x y : 𝕜


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
z : M
n : ℕ

(φ x ^ n) ⁅y, z⁆ = ∑ ij ∈ antidiagonal n, n.choose ij.1 • ⁅((ad R L) x ^ ij.1) y, (φ x ^ ij.2) z⁆


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β
p : Set β → Prop


(∃ s ⊆ range f, p s) ↔ ∃ a ∈ 𝒫 range f, p a


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq p
inst✝³ : DecidableEq q
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype n
A : Matrix n n R


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.51683, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.51687, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.51691, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E✝ E'✝ : L.RightExtension F
Y : D
E E' : L.RightExtension F
φ : E ⟶ E'
G : StructuredArrow Y L

φ.left.app Y ≫ E'.left.map G.hom ≫ E'.hom.app G.right = E.left.map G.hom ≫ E.hom.app G.right


φ.left.app Y ≫ E'.left.map G.hom ≫ E'.hom.app G.right = E.left.map G.hom ≫ (((whiskeringLeft C D H).obj L).map φ.left ≫ E'.hom).app G.right


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
S : Set (Set X)
hf : S.Countable
hc : ∀ s ∈ S, IsLindelof s


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s

((interpolate (s.erase i) v) r).degree < ↑(s.card - 1)


((interpolate (s.erase i) v) r).degree < ↑(s.erase i).card


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
h : EssFiniteType R T


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : CommRing T

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: h : ∃ σ, ∀ (s : T), ∃ t ∈ adjoin R ↑σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ adjoin R ↑σ

∃ σ, ∀ (s : T), ∃ t ∈ adjoin S ↑σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ adjoin S ↑σ


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU : U ∈ p.basisSets


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι'✝ : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
ι' : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (ι'.sup p).ball 0 r


Context: m n : ℤ


Context: R : Type u1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q Q' Q'' : QuadraticForm R M

Context: B B' : BilinForm R M

Context: h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q

Context: h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'

Context: x : CliffordAlgebra Q


Context: R : Type u1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q Q' Q'' : QuadraticForm R M

Context: B B' : BilinForm R M

Context: h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q

Context: r : R

(changeForm ⋯) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r) = (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r


Context: R : Type u1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q Q' Q'' : QuadraticForm R M

Context: B B' : BilinForm R M

Context: h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q

Context: x y : CliffordAlgebra Q

Context: hx : (changeForm ⋯) x = x

Context: hy : (changeForm ⋯) y = y


Context: R : Type u1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q Q' Q'' : QuadraticForm R M

Context: B B' : BilinForm R M

Context: h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q

Context: m : CliffordAlgebra Q

Context: x : M

Context: hx : (changeForm ⋯) m = m

(changeForm ⋯) ((ι Q) x * m) = (ι Q) x * m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : AddMonoidWithOne α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : ZeroLEOneClass α

Context: n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : AddMonoidWithOne α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝ : ZeroLEOneClass α

Context: n : ℕ


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
G₁ : Type u_5
G₂ : Type u_6
G₃ : Type u_7
inst✝² : Group G₁
inst✝¹ : Group G₂
inst✝ : Group G₃
f : G₁ →* G₂
f_inv : G₂ → G₁
hf : Function.RightInverse f_inv ⇑f
g : G₁ →* G₃
hg : f.ker ≤ g.ker
h : G₂ →* G₃
hh : h.comp f = g

h = (f.liftOfRightInverse f_inv hf) ⟨h.comp f, ⋯⟩


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : DistribMulAction 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

a • f x + b • f y + (a • g x + b • g y) = a • (f x + g x) + b • (f y + g y)


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁴ : DivisionRing k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: s : Set P

Context: inst✝ : FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k s)

Coplanar k s ↔ finrank k ↥(vectorSpan k s) ≤ 2


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁴ : DivisionRing k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: s : Set P

Context: h : Coplanar k s ↔ Module.rank k ↥(vectorSpan k s) ≤ 2


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁴ : DivisionRing k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: s : Set P

Context: h : Coplanar k s ↔ ↑(finrank k ↥(vectorSpan k s)) ≤ 2


Context: Γ✝ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝

Context: Γ : Type u_5

Context: inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: x : HahnSeries Γ R

Context: h : ℕ

Context: IH : (x ^ h).order = h • x.order


Context: Γ✝ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝

Context: Γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: h : ℕ

Context: IH : (0 ^ h).order = h • order 0


Context: Γ✝ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝

Context: Γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: x : HahnSeries Γ R

Context: h : ℕ

Context: IH : (x ^ h).order = h • x.order

Context: hx : x ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝⁴ : DecidableEq R

Context: inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)

Context: inst✝² : NormalizationMonoid R

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: r d : R

Context: hr : r ≠ 0

Context: hd : d ∈ normalizedFactors r

multiplicity d r = multiplicity (↑((normalizedFactorsEquivSpanNormalizedFactors hr) ⟨d, hd⟩)) (span {r})


Context:
μ : Measure ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ


Context:
μ : Measure ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
a : ℝ


Context: σ : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype σ

Context: inst✝¹ : DecidableEq σ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: t : Finset σ × σ

Context: h : t ∈ MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k

(-1) ^ t.1.card * ((∏ a ∈ t.1, X a) * X t.2 ^ (k - t.1.card)) + (-1) ^ (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t).1.card * ((∏ a ∈ (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t).1, X a) * X (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t).2 ^ (k - (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t).1.card)) = 0


Context: σ : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype σ

Context: inst✝¹ : DecidableEq σ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: t : Finset σ × σ

Context: h : t.1.card ≤ k ∧ (t.1.card = k → t.2 ∈ t.1)


Context: σ : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype σ

Context: inst✝¹ : DecidableEq σ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: t : Finset σ × σ

Context: h2 : ∀ (n : ℕ), -(-1) ^ n = (-1) ^ (n + 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

(fun a => r * f a) = fun a => ⨆ n, ↑(const α r * eapprox f n) a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α

r * f a = ⨆ n, ↑(const α r * eapprox f n) a


⨆ i, r * ↑(eapprox f i) a = ⨆ n, ↑(const α r * eapprox f n) a


∫⁻ (a : α), ⨆ n, ↑(const α r * eapprox f n) a ∂μ = ⨆ n, r * (eapprox f n).lintegral μ


⨆ n, ∫⁻ (a : α), ↑(const α r * eapprox f n) a ∂μ = ⨆ n, r * (eapprox f n).lintegral μ


∀ (n : ℕ), Measurable ↑(const α r * eapprox f n)


Monotone fun n => ↑(const α r * eapprox f n)


⨆ n, r * (eapprox f n).lintegral μ = r * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: ι₂ : Sort u_6

Context: κ : ι → Sort u_7

Context: κ₁ : ι → Sort u_8

Context: κ₂ : ι → Sort u_9

Context: κ' : ι' → Sort u_10

Context: p : ι' → Prop

Context: q : ι → ι' → Prop

Context: s : (x : ι) → (y : ι') → p y ∧ q x y → Set α

⋂ x, ⋂ y, ⋂ (h : p y ∧ q x y), s x y h = ⋂ y, ⋂ (hy : p y), ⋂ x, ⋂ (hx : q x y), s x y ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s✝ t : Set α
f✝ g✝ : α → M
a : α
s : Set α
f : β → M
g : α → β
hg : Injective g
x : α

(g '' s).mulIndicator f (g x) = s.mulIndicator (f ∘ g) x


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
B F : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₂
B' : M₁ →ₗ[R] M₁ →ₗ[R] M₂
f f' : M →ₗ[R] M₁
g g' : M₁ →ₗ[R] M
h : B.IsAdjointPair B' f g
h' : B.IsAdjointPair B' f' g'
x : M
x✝ : M₁


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (t : ι), CompleteSpace ↥(U t)
hU : Monotone U
x : E
hU' : ⊤ ≤ (⨆ t, U t).topologicalClosure

Tendsto (fun t => ↑((orthogonalProjection (U t)) x)) atTop (𝓝 x)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (t : ι), CompleteSpace ↥(U t)
hU : Monotone U
x : E
hU' : (⨆ t, U t).topologicalClosure = ⊤


x = ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x)


Context:
R : Type u_4
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι S M

B.dualSubmodule (Submodule.span R (Set.range ⇑b)) = Submodule.span R (Set.range ⇑(B.dualBasis hB b))


Context:
R : Type u_4
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι S M
val✝ : Fintype ι


B.dualSubmodule (Submodule.span R (Set.range ⇑b)) ≤ Submodule.span R (Set.range ⇑(B.dualBasis hB b))


Submodule.span R (Set.range ⇑(B.dualBasis hB b)) ≤ B.dualSubmodule (Submodule.span R (Set.range ⇑b))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ℝ≥0∞


∫⁻ (x : α), c ∂μ = ∫⁻ (a : α), Function.const α c a ∂μ


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f : GromovHausdorff.Cb X Y
C : ℝ

BddAbove (range fun x => ⨅ y, f (inl x, inr y) + C)


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f : GromovHausdorff.Cb X Y
C Cf : ℝ
hCf : Cf ∈ upperBounds (range ⇑f)


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x✝ y z t : X ⊕ Y
f : GromovHausdorff.Cb X Y
C Cf : ℝ
hCf : Cf ∈ upperBounds (range ⇑f)
x : X


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
h₁ : c ≤ a
h₂ : c ≤ b


Context: ι✝ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: b✝ : ι✝ → M

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Finite ι

Context: b : Basis ι R M

Context: n : ℕ

Context: b' : Basis (Fin n) R ↥⊥

Context: e : Fin n ≃ Fin 0 := b'.indexEquiv (Basis.empty ↥⊥)


Context: ι✝ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: b✝ : ι✝ → M

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Finite ι

Context: b : Basis ι R M

Context: b' : Basis (Fin 0) R ↥⊥

Context: e : Fin 0 ≃ Fin 0 := b'.indexEquiv (Basis.empty ↥⊥)


Context: α : Type u_1

Context: p : Set α → Prop

Context: t : Set α

Context: q : Set ↑t → Prop

Context: h : HasCountableSeparatingOn (↑t) q univ

Context: hpq : ∀ (U : Set ↑t), q U → ∃ V, p V ∧ Subtype.val ⁻¹' V = U


Context: α : Type u_1

Context: p : Set α → Prop

Context: t : Set α

Context: q : Set ↑t → Prop

Context: S : Set (Set ↑t)

Context: hSc : S.Countable

Context: hSq : ∀ s ∈ S, q s

Context: hS : ∀ x ∈ univ, ∀ y ∈ univ, (∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y


Context: α : Type u_1

Context: p : Set α → Prop

Context: t : Set α

Context: q : Set ↑t → Prop

Context: S : Set (Set ↑t)

Context: hSc : S.Countable

Context: hSq : ∀ s ∈ S, q s

Context: V : Set ↑t → Set α

Context: hpV : ∀ s ∈ S, p (V s)

Context: hV : ∀ s ∈ S, Subtype.val ⁻¹' V s = s


Context: α : Type u_1

Context: p : Set α → Prop

Context: t : Set α

Context: q : Set ↑t → Prop

Context: h✝ : HasCountableSeparatingOn (↑t) q univ

Context: S : Set (Set ↑t)

Context: hSc : S.Countable

Context: hSq : ∀ s ∈ S, q s

Context: V : Set ↑t → Set α

Context: hpV : ∀ s ∈ S, p (V s)

Context: hV : ∀ s ∈ S, Subtype.val ⁻¹' V s = s

Context: x : α

Context: hx : x ∈ t

Context: y : α

Context: hy : y ∈ t

Context: h : ∀ s ∈ V '' S, x ∈ s ↔ y ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: p : Set α → Prop

Context: t : Set α

Context: q : Set ↑t → Prop

Context: S : Set (Set ↑t)

Context: hSc : S.Countable

Context: hSq : ∀ s ∈ S, q s

Context: V : Set ↑t → Set α

Context: hpV : ∀ s ∈ S, p (V s)

Context: hV : ∀ s ∈ S, Subtype.val ⁻¹' V s = s

Context: x : α

Context: hx : x ∈ t

Context: y : α

Context: hy : y ∈ t

Context: h : ∀ s ∈ V '' S, x ∈ s ↔ y ∈ s

Context: U : Set ↑t

Context: hU : U ∈ S


Context: α : Type u_1

Context: p : Set α → Prop

Context: t : Set α

Context: q : Set ↑t → Prop

Context: S : Set (Set ↑t)

Context: hSc : S.Countable

Context: hSq : ∀ s ∈ S, q s

Context: V : Set ↑t → Set α

Context: hpV : ∀ s ∈ S, p (V s)

Context: hV : ∀ s ∈ S, Subtype.val ⁻¹' V s = s

Context: x : α

Context: hx : x ∈ t

Context: y : α

Context: hy : y ∈ t

Context: h : ∀ s ∈ V '' S, x ∈ s ↔ y ∈ s

Context: U : Set ↑t

Context: hU : U ∈ S

⟨x, hx⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' V U ↔ ⟨y, hy⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' V U


Context:
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞
h : a ≠ 0

∃ n, (↑n)⁻¹ < a⁻¹⁻¹


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x y : α


(∀ (x_1 : α), x_1 ∈ x • ↑s ↔ x_1 ∈ y • ↑s) ↔ x⁻¹ * y ∈ s


(∀ (x_1 : α), x⁻¹ * x_1 ∈ s ↔ y⁻¹ * x_1 ∈ s) ↔ x⁻¹ * y ∈ s


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
f : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
j j' : ι
w : c.Rel j' j


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
f : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
j : ι
w : c.Rel (c.prev j) j

(prevD j) f = f j (c.prev j) ≫ D.d (c.prev j) j


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Finite ι
s : ι → Set X
h : ∀ (i : ι), IsClosed (s i)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Finite ι
s : ι → Set X
h : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)ᶜ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : Nontrivial α
h : IsRelPrime 0 0


Context:
p : ℝ × ℝ
hp : p.1 ≠ 0


Context:
p : ℝ × ℝ
hp : p.1 < 0 ∨ p.1 > 0


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ
hr : 0 < r

Tendsto (fun x => f x / r) l atTop ↔ Tendsto f l atTop


Context: n : ℕ

antidiagonal (n + 1) = (0, n + 1) ::ₘ map (Prod.map Nat.succ id) (antidiagonal n)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ

(∃ b_1, b - a = (Equiv.symm (Equiv.neg ℤ)) b_1 • p) ↔ b ≡ a [PMOD p]


Context:
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
t' : Set M
h : t'.Finite


Context:
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
t : Finset M
h : (↑t).Finite


Context:
J : Type w
C : Type uC
inst✝³ : Category.{uC', uC} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
inst✝ : HasZeroMorphisms D
F : J → C
B : Bicone F
j : J


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X✝ : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

Context: X : ι → Ω → ℝ

Context: h_indep : iIndepFun (fun i => inferInstance) X μ

Context: h_meas : ∀ (i : ι), Measurable (X i)

Context: s : Finset ι

Context: h_int : ∀ i ∈ s, Integrable (fun ω => rexp (t * X i ω)) μ

log (mgf (∑ i ∈ s, X i) μ t) = ∑ x ∈ s, log (mgf (X x) μ t)


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X✝ : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

Context: X : ι → Ω → ℝ

Context: h_meas : ∀ (i : ι), Measurable (X i)

Context: s : Finset ι

log (mgf (∑ i ∈ s, X i) μ t) = log (∏ i ∈ s, mgf (X i) μ t)


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X✝ : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

Context: X : ι → Ω → ℝ

Context: h_meas : ∀ (i : ι), Measurable (X i)

Context: s : Finset ι

Context: j : ι

Context: hj : j ∈ s


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s t : Set A

Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) = span R ↑(Submonoid.closure s)


Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) ≤ span R ↑(Submonoid.closure s)


span R ↑(Submonoid.closure s) ≤ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)


↑(Submonoid.closure s) ⊆ ↑(Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))


Submonoid.closure s ≤ (adjoin R s).toSubmonoid


Context:
α : Type u_1
n : PosNum


Context:
α : Type u_1
n : PosNum
this : (↑n.pred').succ = ↑n
h : ↑1 = ↑n

↑(Num.casesOn 0 1 bit1) = (↑n + ↑n).pred


↑(Num.casesOn 0 1 bit1) = (↑1 + ↑1).pred


Context:
α : Type u_1
n : PosNum
this : (↑n.pred').succ = ↑n
p : PosNum
h : (↑p).succ = ↑n

↑(Num.casesOn (pos p) 1 bit1) = ((↑p).succ + (↑p).succ).pred


Context:
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : LaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a✝ b✝ c✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝
g h : b✝ ⟶ c✝
η : g ⟶ h

F.map₂ (f ◁ η) = ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f g).hom ≫ F.map f ◁ F.map₂ η ≫ ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f h).inv


Context:
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : LaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a✝ b✝ c✝ : B
f✝ g✝ : a✝ ⟶ b✝
η : f✝ ⟶ g✝
h : b✝ ⟶ c✝

F.map₂ (η ▷ h) = ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f✝ h).hom ≫ F.map₂ η ▷ F.map h ≫ ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) g✝ h).inv


Context:
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : LaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a b c d : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d

F.map₂ (α_ f g h).hom = ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) (f ≫ g) h).hom ≫ ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f g).hom ▷ F.map h ≫ (α_ (F.map f) (F.map g) (F.map h)).hom ≫ F.map f ◁ ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) g h).inv ≫ ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f (g ≫ h)).inv


inv (((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f g).hom ▷ F.map h) ≫ ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) (f ≫ g) h).inv ≫ F.map₂ (α_ f g h).hom = (α_ (F.map f) (F.map g) (F.map h)).hom ≫ F.map f ◁ F.mapComp g h ≫ F.mapComp f (g ≫ h)


Context:
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : LaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a b : B
f : a ⟶ b

F.map₂ (λ_ f).hom = ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) (𝟙 a) f).hom ≫ (F'.mapIdIso a).hom ▷ F.map f ≫ (λ_ (F.map f)).hom


F.map₂ (inv (λ_ f).hom) = inv (((fun {a b c} => F'.mapCompIso) (𝟙 a) f).hom ≫ (F'.mapIdIso a).hom ▷ F.map f ≫ (λ_ (F.map f)).hom)


F.map₂ (ρ_ f).hom = ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f (𝟙 b)).hom ≫ F.map f ◁ (F'.mapIdIso b).hom ≫ (ρ_ (F.map f)).hom


F.map₂ (inv (ρ_ f).hom) = inv (((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f (𝟙 b)).hom ≫ F.map f ◁ (F'.mapIdIso b).hom ≫ (ρ_ (F.map f)).hom)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : ℚ
this : ↑(x + 1 / 2) = ↑x + 1 / 2


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

Context: hn : eLpNorm' (fun x => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i

∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

Context: hp_pos : 0 < p


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

Context: hp_pos : 0 < p

(∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ ≤ ∑' (i : ℕ), B i


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

Context: hp_pos : 0 < p

Context: hn : (∫⁻ (a : α), ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ ≤ ∑' (i : ℕ), B i


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α

μ.restrict (s ∪ t) + μ.restrict (s ∩ t) = μ.restrict s + μ.restrict t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → ℝ≥0∞

∫⁻ (a : α), f a ∂count = ∑' (a : α), f a


∑' (i : α), ∫⁻ (a : α), f a ∂dirac i = ∑' (a : α), f a


(fun i => ∫⁻ (a : α), f a ∂dirac i) = fun a => f a


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : DecidableEq α

image2 f (↑s ∪ ↑s') ↑t = image2 f ↑s ↑t ∪ image2 f ↑s' ↑t


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Fintype.card G


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Fintype.card G
hp' : p - 1 ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: G✝ : Type u_2

Context: inst✝² : Group G✝

Context: n : ℕ

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ∣ Fintype.card G

Context: hp' : p - 1 ≠ 0

Context: Scard : p ∣ Fintype.card ↑(vectorsProdEqOne G p)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: G✝ : Type u_2

Context: inst✝² : Group G✝

Context: n : ℕ

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ∣ Fintype.card G

Context: hp' : p - 1 ≠ 0

Context: f : ℕ → ↑(vectorsProdEqOne G p) → ↑(vectorsProdEqOne G p) := fun k v => VectorsProdEqOne.rotate v k


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: G✝ : Type u_2

Context: inst✝² : Group G✝

Context: n : ℕ

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ∣ Fintype.card G

Context: hp' : p - 1 ≠ 0

Context: hf1 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f 0 v = v


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: G✝ : Type u_2

Context: inst✝² : Group G✝

Context: n : ℕ

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ∣ Fintype.card G

Context: hp' : p - 1 ≠ 0

Context: hf2 : ∀ (j k : ℕ) (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f k (f j v) = f (j + k) v


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: G✝ : Type u_2

Context: inst✝² : Group G✝

Context: n : ℕ

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ∣ Fintype.card G

Context: hp' : p - 1 ≠ 0

Context: hf3 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f p v = v


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: G✝ : Type u_2

Context: inst✝² : Group G✝

Context: n : ℕ

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ∣ Fintype.card G

Context: hp' : p - 1 ≠ 0

Context: σ : ↑(vectorsProdEqOne G p) ≃ ↑(vectorsProdEqOne G p) := { toFun := f 1, invFun := f (p - 1), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: G✝ : Type u_2

Context: inst✝² : Group G✝

Context: n : ℕ

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ∣ Fintype.card G

Context: hp' : p - 1 ≠ 0

Context: hσ : ∀ (k : ℕ) (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), (σ ^ k) v = f k v


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: G✝ : Type u_2

Context: inst✝² : Group G✝

Context: n : ℕ

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ∣ Fintype.card G

Context: hp' : p - 1 ≠ 0

Context: hσ : σ ^ p ^ 1 = 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: G✝ : Type u_2

Context: inst✝² : Group G✝

Context: n : ℕ

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ∣ Fintype.card G

Context: hp' : p - 1 ≠ 0

Context: hσ : σ ^ p ^ 1 = 1

Context: v₀ : ↑(vectorsProdEqOne G p) := ⟨Vector.replicate p 1, ⋯⟩


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: G✝ : Type u_2

Context: inst✝² : Group G✝

Context: n : ℕ

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ∣ Fintype.card G

Context: hp' : p - 1 ≠ 0

Context: hσ : σ ^ p ^ 1 = 1

Context: hv₀ : σ v₀ = v₀


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: G✝ : Type u_2

Context: inst✝² : Group G✝

Context: n : ℕ

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ∣ Fintype.card G

Context: hp' : p - 1 ≠ 0

Context: hσ : σ ^ p ^ 1 = 1

Context: hv₀ : σ v₀ = v₀

Context: v : ↑(vectorsProdEqOne G p)

Context: hv1 : σ v = v

Context: hv2 : v ≠ v₀


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: G✝ : Type u_2

Context: inst✝² : Group G✝

Context: n : ℕ

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ∣ Fintype.card G

Context: hp' : p - 1 ≠ 0

Context: hσ : σ ^ p ^ 1 = 1

Context: hv₀ : σ v₀ = v₀

Context: v : ↑(vectorsProdEqOne G p)

Context: hv1 : σ v = v

Context: hv2 : v ≠ v₀

Context: g : G

Context: hg : ↑↑v = List.replicate (↑↑v).length g


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: G✝ : Type u_2

Context: inst✝² : Group G✝

Context: n : ℕ

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ∣ Fintype.card G

Context: hp' : p - 1 ≠ 0

Context: hσ : σ ^ p ^ 1 = 1

Context: hv₀ : σ v₀ = v₀

Context: v : ↑(vectorsProdEqOne G p)

Context: hv1 : σ v = v

Context: hv2 : v ≠ v₀

Context: g : G

Context: hg' : g = 1


Context: θ : Angle

(2 • θ).toReal = 2 * θ.toReal - 2 * π ↔ π / 2 < θ.toReal


Context: θ : Angle

(2 • ↑θ.toReal).toReal = 2 * θ.toReal - 2 * π ↔ π / 2 < θ.toReal


Context: θ : Angle

π < 2 * θ.toReal ∧ 2 * θ.toReal ≤ 3 * π ↔ π / 2 < θ.toReal


Context: n✝ n : ℕ

Context: h1 : 1 < n

Context: h : ∀ (m : ℕ), m < n → m ≠ 0 → n.Coprime m


Context: n✝ n : ℕ

Context: h1 : 1 < n

Context: m : ℕ

Context: mlt : m < n

Context: mdvd : m ∣ n


Context: n✝ n : ℕ

Context: h1 : 1 < n

Context: m : ℕ

Context: mlt : m < n

Context: mdvd : m ∣ n

Context: hm : m ≠ 0


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ (2 ^ (k + 1))

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} K L

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (2 ^ (k + 1)) K)


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ (2 ^ (k + 1))

Context: this : IsPrimitiveRoot (ζ ^ 2 ^ k) (2 ^ (k + 1) / 2 ^ k)


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ (2 ^ (k + 1))

Context: this : IsPrimitiveRoot (ζ ^ 2 ^ k) 2


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ (2 ^ (k + 1))

Context: this : IsPrimitiveRoot (ζ ^ 2 ^ k) 2

Context: H : -1 - 1 = (algebraMap K L) (-2)


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ (2 ^ (k + 1))

Context: this : IsPrimitiveRoot (ζ ^ 2 ^ k) 2

Context: H : -1 - 1 = (algebraMap K L) (-2)

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(2 ^ (k + 1))) K)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f : α → M
s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s

s ∩ mulSupport f = ↑s.toFinset ∩ mulSupport f


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
s : Set ι
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
t : (i : ι) → Set (α i)
x✝ : (i : ι) → α i

(x✝ ∈ univ.pi fun i => if i ∈ s then t i else univ) ↔ x✝ ∈ s.pi t


(∀ (i : ι), x✝ i ∈ if i ∈ s then t i else univ) ↔ x✝ ∈ s.pi t


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i✝ : ι
s : Set ι
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
t : (i : ι) → Set (α i)
x✝ : (i : ι) → α i
i : ι

(x✝ i ∈ if i ∈ s then t i else univ) ↔ i ∈ s → x✝ i ∈ t i


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g

inverse Q hfg hg ∘ₗ lTensor Q g = (range (lTensor Q f)).mkQ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
h : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
st : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: x y : E

Context: s t : Set E

Context: st : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x

Context: h : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ∧ x ∈ closure s

Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t x)) ∧ x ∈ closure t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: x y : E

Context: s t : Set E

Context: st : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x

Context: h : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ∧ (𝓝[s] x).NeBot

Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t x)) ∧ (𝓝[t] x).NeBot


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
f : α → β
l : Filter β
p : α → Prop
s : Set α


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Free R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Free R M'
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Free R M₁


_root_.Finite (ChooseBasisIndex R M) ↔ Finite R M


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α
c₀ c₁ : Chain α
h✝ : c₀ ≤ c₁
i w✝ : ℕ
h : c₀ i ≤ c₁ w✝


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : R₁ ⟶ R₂
d : D

L₂.map (α.app d) ≫ adj₂.counit.app d = ((conjugateEquiv adj₁ adj₂).symm α).app (R₁.obj d) ≫ adj₁.counit.app d


L₂.map (((conjugateEquiv adj₁ adj₂).toFun ((conjugateEquiv adj₁ adj₂).invFun α)).app d) ≫ adj₂.counit.app d = ((conjugateEquiv adj₁ adj₂).symm α).app (R₁.obj d) ≫ adj₁.counit.app d


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ

J ∈ split I i x ↔ ↑J = ↑I ∩ {y | y i ≤ x} ∨ ↑J = ↑I ∩ {y | x < y i}


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x y : E

∑ i : ι, ⟪x, b i⟫_𝕜 * ⟪b i, y⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E

Context: x y : E

Context: this : ((innerSL 𝕜) x) (∑ i : ι, b.repr y i • b i) = ((innerSL 𝕜) x) y


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E

Context: x y : E

Context: this : ∑ x_1 : ι, ((innerSL 𝕜) x) (b.repr y x_1 • b x_1) = ((innerSL 𝕜) x) y