Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: hA : Presheaf.IsSeparated J A

Context: X : C

Context: r : ↑(R.obj (Opposite.op X))

Context: m : ↑(A.obj (Opposite.op X))

Context: P : Presieve X

Context: Y₁ Y₂ Z : C

Context: g₁ : Z ⟶ Y₁

Context: g₂ : Z ⟶ Y₂

Context: f₁ : Y₁ ⟶ X

Context: f₂ : Y₂ ⟶ X

Context: h₁ : P f₁

Context: h₂ : P f₂

Context: fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

Context: hb₁ : (φ.app (Opposite.op Y₁)) b₁ = (A.map f₁.op) m


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R

Context: inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J α

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A

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Context: hA : Presheaf.IsSeparated J A

Context: X : C

Context: r : ↑(R.obj (Opposite.op X))

Context: m : ↑(A.obj (Opposite.op X))

Context: P : Presieve X

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Context: m₀ : FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp) P

Context: hr₀ : (r₀.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r

Context: hm₀ : (m₀.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m

Context: Y₁ Y₂ Z : C

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Context: f₁ : Y₁ ⟶ X

Context: f₂ : Y₂ ⟶ X

Context: h₁ : P f₁

Context: h₂ : P f₂

Context: fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

Context: a₁ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₁) := r₀ f₁ h₁

Context: b₁ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₁) := m₀ f₁ h₁

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Context: b₂ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₂) := m₀ f₂ h₂

Context: a₀ : ↑(R₀.obj (Opposite.op Z)) := (R₀.map g₁.op) a₁

Context: b₀ : ↑(M₀.obj (Opposite.op Z)) := (M₀.map g₁.op) b₁

Context: ha₁ : (α.app (Opposite.op Y₁)) a₁ = (R.map f₁.op) r

Context: ha₂ : (α.app (Opposite.op Y₂)) a₂ = (R.map f₂.op) r

Context: hb₂ : (φ.app (Opposite.op Y₂)) b₂ = (A.map f₂.op) m

(A ⋙ forget AddCommGrp).map g₁.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₁ h₁) = (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₂.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₂ h₂)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: hA : Presheaf.IsSeparated J A

Context: X : C

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Context: P : Presieve X

Context: Y₁ Y₂ Z : C

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Context: fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

Context: ha₀ : (α.app (Opposite.op Z)) a₀ = (R.map (f₁.op ≫ g₁.op)) r


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R

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Context: A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp

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Context: X : C

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Context: P : Presieve X

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Context: fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

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Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: hA : Presheaf.IsSeparated J A

Context: X : C

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Context: m : ↑(A.obj (Opposite.op X))

Context: P : Presieve X

Context: Y₁ Y₂ Z : C

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Context: g₂ : Z ⟶ Y₂

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Context: f₂ : Y₂ ⟶ X

Context: h₁ : P f₁

Context: h₂ : P f₂

Context: fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

Context: hb₁ : (φ.app (Opposite.op Y₁)) b₁ = (A.map f₁.op) m

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Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R

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Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: hA : Presheaf.IsSeparated J A

Context: X : C

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Context: m : ↑(A.obj (Opposite.op X))

Context: P : Presieve X

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Context: hm₀ : (m₀.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m

Context: Y₁ Y₂ Z : C

Context: g₁ : Z ⟶ Y₁

Context: g₂ : Z ⟶ Y₂

Context: f₁ : Y₁ ⟶ X

Context: f₂ : Y₂ ⟶ X

Context: h₁ : P f₁

Context: h₂ : P f₂

Context: fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

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Context: b₂ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₂) := m₀ f₂ h₂

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Context: ha₀ : (α.app (Opposite.op Z)) a₀ = (R.map (f₁.op ≫ g₁.op)) r

Context: hb₀ : (φ.app (Opposite.op Z)) b₀ = (A.map (f₁.op ≫ g₁.op)) m

Context: ha₀' : (α.app (Opposite.op Z)) a₀ = (R.map (f₂.op ≫ g₂.op)) r

Context: hb₀' : (φ.app (Opposite.op Z)) b₀ = (A.map (f₂.op ≫ g₂.op)) m


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R

Context: inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J α

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: hA : Presheaf.IsSeparated J A

Context: X : C

Context: r : ↑(R.obj (Opposite.op X))

Context: m : ↑(A.obj (Opposite.op X))

Context: P : Presieve X

Context: r₀ : FamilyOfElements (R₀ ⋙ forget RingCat) P

Context: m₀ : FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp) P

Context: hr₀ : (r₀.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r

Context: hm₀ : (m₀.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m

Context: Y₁ Y₂ Z : C

Context: g₁ : Z ⟶ Y₁

Context: g₂ : Z ⟶ Y₂

Context: f₁ : Y₁ ⟶ X

Context: f₂ : Y₂ ⟶ X

Context: h₁ : P f₁

Context: h₂ : P f₂

Context: fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

Context: a₁ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₁) := r₀ f₁ h₁

Context: b₁ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₁) := m₀ f₁ h₁

Context: a₂ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₂) := r₀ f₂ h₂

Context: b₂ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₂) := m₀ f₂ h₂

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Context: hb₂ : (φ.app (Opposite.op Y₂)) b₂ = (A.map f₂.op) m

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Context: hb₀ : (φ.app (Opposite.op Z)) b₀ = (A.map (f₁.op ≫ g₁.op)) m

Context: ha₀' : (α.app (Opposite.op Z)) a₀ = (R.map (f₂.op ≫ g₂.op)) r

Context: hb₀' : (φ.app (Opposite.op Z)) b₀ = (A.map (f₂.op ≫ g₂.op)) m

(A.map g₁.op) ((φ.app (Opposite.op Y₁)) (r₀.smul m₀ f₁ h₁)) = (A.map g₂.op) ((φ.app (Opposite.op Y₂)) (r₀.smul m₀ f₂ h₂))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R

Context: inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J α

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: hA : Presheaf.IsSeparated J A

Context: X : C

Context: r : ↑(R.obj (Opposite.op X))

Context: m : ↑(A.obj (Opposite.op X))

Context: P : Presieve X

Context: r₀ : FamilyOfElements (R₀ ⋙ forget RingCat) P

Context: m₀ : FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp) P

Context: hr₀ : (r₀.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r

Context: hm₀ : (m₀.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m

Context: Y₁ Y₂ Z : C

Context: g₁ : Z ⟶ Y₁

Context: g₂ : Z ⟶ Y₂

Context: f₁ : Y₁ ⟶ X

Context: f₂ : Y₂ ⟶ X

Context: h₁ : P f₁

Context: h₂ : P f₂

Context: fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

Context: a₁ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₁) := r₀ f₁ h₁

Context: b₁ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₁) := m₀ f₁ h₁

Context: a₂ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₂) := r₀ f₂ h₂

Context: b₂ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₂) := m₀ f₂ h₂

Context: a₀ : ↑(R₀.obj (Opposite.op Z)) := (R₀.map g₁.op) a₁

Context: b₀ : ↑(M₀.obj (Opposite.op Z)) := (M₀.map g₁.op) b₁

Context: ha₁ : (α.app (Opposite.op Y₁)) a₁ = (R.map f₁.op) r

Context: ha₂ : (α.app (Opposite.op Y₂)) a₂ = (R.map f₂.op) r

Context: hb₁ : (φ.app (Opposite.op Y₁)) b₁ = (A.map f₁.op) m

Context: hb₂ : (φ.app (Opposite.op Y₂)) b₂ = (A.map f₂.op) m

Context: ha₀ : (α.app (Opposite.op Z)) a₀ = (R.map (f₁.op ≫ g₁.op)) r

Context: hb₀ : (φ.app (Opposite.op Z)) b₀ = (A.map (f₁.op ≫ g₁.op)) m

Context: ha₀' : (α.app (Opposite.op Z)) a₀ = (R.map (f₂.op ≫ g₂.op)) r

Context: hb₀' : (φ.app (Opposite.op Z)) b₀ = (A.map (f₂.op ≫ g₂.op)) m

(φ.app (Opposite.op Z)) ((M₀.presheaf.map g₁.op) (r₀.smul m₀ f₁ h₁)) = (φ.app (Opposite.op Z)) ((M₀.presheaf.map g₂.op) (r₀.smul m₀ f₂ h₂))


Context:
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
K : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

∃! P, map (Int.castRingHom K) P = cyclotomic' (↑n) K


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K✝

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : IsDomain K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: n : ℕ+

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: P : ℤ[X]

Context: hP : map (Int.castRingHom K) P = cyclotomic' (↑n) K ∧ P.degree = (cyclotomic' (↑n) K).degree ∧ P.Monic


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K✝

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : IsDomain K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: n : ℕ+

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: P : ℤ[X]

Context: Q : ℤ[X]

Context: hQ : (fun P => map (Int.castRingHom K) P = cyclotomic' (↑n) K) Q


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K✝

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : IsDomain K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: n : ℕ+

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: P : ℤ[X]

Context: Q : ℤ[X]

map (Int.castRingHom K) Q = map (Int.castRingHom K) P


Context:
x : EReal
h : x < 0


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : TaggedPrepartition I

integralSum (-f) vol π = -integralSum f vol π


Context: R : Type uR

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: S : Type uS

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: T : Type uT

Context: A : Type uA

Context: inst✝⁴ : Semiring A

Context: inst✝³ : Algebra S A

Context: r : R → R → Prop

Context: inst✝² : Semiring T

Context: B : Type u₄

Context: inst✝¹ : Semiring B

Context: inst✝ : Algebra S B

Context: s : A → A → Prop

Context: f : { f // ∀ ⦃x y : A⦄, s x y → f x = f y }

Context: x✝ : A

↑((fun F => ⟨F.comp (mkAlgHom S s), ⋯⟩) ((fun f' => preLiftAlgHom S ⋯) f)) x✝ = ↑f x✝


Context:
R : Type uR
inst✝⁶ : Semiring R
S : Type uS
inst✝⁵ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝² : Semiring T
B : Type u₄
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra S B
s : A → A → Prop
F : RingQuot s →ₐ[S] B
x✝ : A

(((fun f' => preLiftAlgHom S ⋯) ((fun F => ⟨F.comp (mkAlgHom S s), ⋯⟩) F)).comp (mkAlgHom S s)) x✝ = (F.comp (mkAlgHom S s)) x✝


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m K

(LinearIndependent K fun i => A i) ↔ IsUnit A


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Ring α

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: a b : α

Context: inst✝³ : PosMulStrictMono α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α

Context: inst✝¹ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
n : ℕ
_l : List α

n ≤ count a (Quot.mk Setoid.r _l) ↔ replicate n a ≤ Quot.mk Setoid.r _l


n ≤ List.count a _l ↔ replicate n a ≤ ↑_l


Context:
V : Type u_1
G✝ : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝³ : G✝.LocallyFinite
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
k : ℕ
h : G.IsRegularOfDegree k
v : V


Context:
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x y : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
f g : Filter α

(f ⊓ g).NeBot ↔ ∀ {p : α → Prop}, (∀ᶠ (x : α) in g, p x) → ∃ᶠ (x : α) in f, p x


(g ⊓ f).NeBot ↔ ∀ {p : α → Prop}, (∀ᶠ (x : α) in g, p x) → ∃ᶠ (x : α) in f, p x


Context:
a : UnitAddCircle
r : ℝ

(fun x => (ofReal' ∘ oddKernel a) x - 0) =O[atTop] fun x => x ^ r


Context: a : UnitAddCircle

Context: r v : ℝ

Context: hv : 0 < v

Context: hv' : oddKernel a =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)


Context: a : UnitAddCircle

Context: r v : ℝ

Context: hv : 0 < v

Context: hv' : (fun x => ‖oddKernel a x‖) =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)

(fun x => ‖(ofReal' ∘ oddKernel a) x - 0‖) =O[atTop] fun x => x ^ r


Context: a : UnitAddCircle

Context: r v : ℝ

Context: hv : 0 < v

(fun x => ‖oddKernel a x‖) =O[atTop] fun x => x ^ r


Context:
a : UnitAddCircle
r : ℝ

(fun x => (ofReal' ∘ sinKernel a) x - 0) =O[atTop] fun x => x ^ r


Context: a : UnitAddCircle

Context: r v : ℝ

Context: hv : 0 < v

Context: hv' : sinKernel a =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)


Context: a : UnitAddCircle

Context: r v : ℝ

Context: hv : 0 < v

Context: hv' : (fun x => ‖sinKernel a x‖) =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)

(fun x => ‖(ofReal' ∘ sinKernel a) x - 0‖) =O[atTop] fun x => x ^ r


Context: a : UnitAddCircle

Context: r v : ℝ

Context: hv : 0 < v

(fun x => ‖sinKernel a x‖) =O[atTop] fun x => x ^ r


Context:
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0

(ofReal' ∘ oddKernel a) (1 / x) = (1 * ↑(x ^ (3 / 2))) • (ofReal' ∘ sinKernel a) x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
a b : Complementeds α


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A

Polynomial.map (↑(bind₁ (toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ)))) (charpoly.univ A ιM) = Polynomial.map (MvPolynomial.map (algebraMap R A)) (Polynomial.map (↑(bind₁ (toMvPolynomial b bₘ.end φ))) (charpoly.univ R ιM))


Polynomial.map (↑(bind₁ (toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ)))) (Polynomial.map (MvPolynomial.map (algebraMap R A)) (charpoly.univ R ιM)) = Polynomial.map (MvPolynomial.map (algebraMap R A)) (Polynomial.map (↑(bind₁ (toMvPolynomial b bₘ.end φ))) (charpoly.univ R ιM))


Polynomial.map ((↑(bind₁ (toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ)))).comp (MvPolynomial.map (algebraMap R A))) (charpoly.univ R ιM) = Polynomial.map ((MvPolynomial.map (algebraMap R A)).comp ↑(bind₁ (toMvPolynomial b bₘ.end φ))) (charpoly.univ R ιM)


(↑(bind₁ (toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ)))).comp (MvPolynomial.map (algebraMap R A)) = (MvPolynomial.map (algebraMap R A)).comp ↑(bind₁ (toMvPolynomial b bₘ.end φ))


∀ (r : R), ((↑(bind₁ (toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ)))).comp (MvPolynomial.map (algebraMap R A))) (C r) = ((MvPolynomial.map (algebraMap R A)).comp ↑(bind₁ (toMvPolynomial b bₘ.end φ))) (C r)


∀ (i : ιM × ιM), ((↑(bind₁ (toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ)))).comp (MvPolynomial.map (algebraMap R A))) (X i) = ((MvPolynomial.map (algebraMap R A)).comp ↑(bind₁ (toMvPolynomial b bₘ.end φ))) (X i)


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: hb : b < 0

Context: h : a < 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
hf : IsBigOWith c l f' k'
hg : IsBigOWith c l g' k'

IsBigOWith c l (fun x => (f' x, g' x)) k'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: hf : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f' x‖ ≤ c * ‖k' x‖

Context: hg : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖g' x‖ ≤ c * ‖k' x‖

∀ᶠ (x : α) in l, ‖(f' x, g' x)‖ ≤ c * ‖k' x‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
inst✝ : Nonempty β
hs : s.Finite
h : s.encard = t.encard


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f✝ : α → β
inst✝ : Nonempty β
hs : s.Finite
h : s.encard = t.encard
f : α → β
hf : s ⊆ f ⁻¹' t
hinj : InjOn f s


Context:
K : Type u_1
n : ℕ
g : GenContFract K
s : Stream'.Seq (Pair K)
inst✝ : DivisionRing K
m : ℕ
m_lt_n : m < n

(g.squashGCF (n + 1)).s.get? m = g.s.get? m


Context: x y : ℕ∞


Context:
a b : ℤ
n : ℕ
m x : ℤ
h1 : m ∣ x
h2 : |x| < m


Context:
a b : ℤ
n : ℕ
x : ℤ
h1 : 0 ∣ x
h2 : |x| < 0


Context:
a b : ℤ
n : ℕ
m x : ℤ
h1 : m ∣ x
h2 : |x| < m
hm : m ≠ 0


Context:
a b : ℤ
n : ℕ
m : ℤ
hm : m ≠ 0
d : ℤ
h2 : |m * d| < m


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : SFinite μ

Context: s : Set G

Context: inst✝² : MeasurableInv G

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: f : G → G → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable (uncurry f) (μ.prod ν)

∫⁻ (x : G), ∫⁻ (y : G), f (y * x) x⁻¹ ∂ν ∂μ = ∫⁻ (x : G), ∫⁻ (y : G), f x y ∂ν ∂μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : SFinite μ

Context: s : Set G

Context: inst✝² : MeasurableInv G

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: f : G → G → ℝ≥0∞

Context: h : Measurable fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : SFinite μ

Context: s : Set G

Context: inst✝² : MeasurableInv G

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: f : G → G → ℝ≥0∞

Context: h2f : AEMeasurable (uncurry fun x y => f (y * x) x⁻¹) (μ.prod ν)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : SFinite μ

Context: s : Set G

Context: inst✝² : MeasurableInv G

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: f : G → G → ℝ≥0∞

∫⁻ (z : G × G), f (z.2 * z.1) z.1⁻¹ ∂μ.prod ν = ∫⁻ (z : G × G), f z.1 z.2 ∂μ.prod ν


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : SFinite μ

Context: s : Set G

Context: inst✝² : MeasurableInv G

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: f : G → G → ℝ≥0∞

∫⁻ (z : G × G), f (z.2 * z.1) z.1⁻¹ ∂μ.prod ν = ∫⁻ (z : G × G), f z.1 z.2 ∂map (fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)) (μ.prod ν)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : SFinite μ

Context: s : Set G

Context: inst✝² : MeasurableInv G

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: f : G → G → ℝ≥0∞

∫⁻ (z : G × G), f z.1 z.2 ∂map (fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)) (μ.prod ν) = ∫⁻ (z : G × G), f (z.2 * z.1) z.1⁻¹ ∂μ.prod ν


Context:
M : Type u_1
inst✝¹⁵ : Monoid M
N : Type u_2
inst✝¹⁴ : Monoid N
P : Type u_3
inst✝¹³ : Monoid P
φ : M →* N
φ' : N →* M
ψ : N →* P
χ : M →* P
A : Type u_4
inst✝¹² : AddMonoid A
inst✝¹¹ : DistribMulAction M A
B : Type u_5
inst✝¹⁰ : AddMonoid B
inst✝⁹ : DistribMulAction N B
B₁ : Type u_6
inst✝⁸ : AddMonoid B₁
inst✝⁷ : DistribMulAction M B₁
C : Type u_7
inst✝⁶ : AddMonoid C
inst✝⁵ : DistribMulAction P C
A' : Type u_8
inst✝⁴ : AddGroup A'
inst✝³ : DistribMulAction M A'
B' : Type u_9
inst✝² : AddGroup B'
inst✝¹ : DistribMulAction N B'
F : Type u_10
inst✝ : FunLike F A B
f : A →ₑ+[φ] B
x : A

((DistribMulActionHom.id N).comp f) x = f x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : Perm α
h : ∀ (x : α), x ∈ s ↔ f x ∈ s
a✝ : { x // x ∈ s }

a✝ ∈ (f.subtypePerm h).support ↔ a✝ ∈ filter (fun x => decide (f ↑x ≠ ↑x) = true) s.attach


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
hf : lsub f = o
hι : #ι = o.cof


Context:
α : Type u_1
r✝ : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
hf : lsub f = o
hι : #ι = o.cof
r : ι → ι → Prop
hr : IsWellOrder ι r
hι' : (#ι).ord = type r


Context: α : Type u_1

Context: r✝ : α → α → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: ι : Type u

Context: f : ι → Ordinal.{u}

Context: hι : #ι = o.cof

Context: r : ι → ι → Prop

Context: hr : IsWellOrder ι r

Context: hf : (type r).blsub (bfamilyOfFamily' r f) = o

Context: hι' : (#ι).ord = type r


Context:
R✝ : Type u
inst✝²³ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝²² : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝²¹ : CommRing S
inst✝²⁰ : Algebra R S
A : Type u
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Algebra R A
inst✝¹⁷ : Algebra S A
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing B
inst✝¹⁴ : Algebra R B
inst✝¹³ : Algebra S B
inst✝¹² : IsScalarTower R S B
f✝ : A →ₐ[S] B
F : Type u
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R F
inst✝⁹ : Algebra S F
inst✝⁸ : IsScalarTower R S F
K : Type v
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : Algebra S K
inst✝⁴ : IsScalarTower R S K
f : F →ₐ[S] K
L : Type w
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : Algebra S L
inst✝ : IsScalarTower R S L
g : K →ₐ[S] L
x₁ x₂ y₁ y₂ : F

(baseChange W K).toAffine.slope (f x₁) (f x₂) (f y₁) (f y₂) = f ((baseChange W F).toAffine.slope x₁ x₂ y₁ y₂)


(baseChange W K).toAffine.slope (f x₁) (f x₂) (f y₁) (f y₂) = (baseChange W K).toAffine.slope (f.toRingHom x₁) (f.toRingHom x₂) (f.toRingHom y₁) (f.toRingHom y₂)


Context: K : Type u_1

Context: g : GenContFract K

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: gp ppred pred : Pair K

Context: nth_s_eq : g.s.get? n = some gp

Context: nth_contsAux_eq : g.contsAux n = ppred

Context: succ_nth_contsAux_eq : g.contsAux (n + 1) = pred

g.conts (n + 1) = { a := gp.b * pred.a + gp.a * ppred.a, b := gp.b * pred.b + gp.a * ppred.b }


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: k f g g' : α → β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : Field β

Context: inst✝ : ContinuousMul β

Context: c : β

Context: hc0 : c ≠ 0

Context: h : SuperpolynomialDecay l k fun n => f n * c

Context: x : α


Context:
o₁ o₂ : Ordering
h : o₁.swap = o₂.swap


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
x y : n → α
e : m ≃ n
x✝¹ : m
x✝ : x✝¹ ∈ Finset.univ

(u ∘ ⇑e.symm) (e x✝¹) * x (e x✝¹) = u x✝¹ * (x ∘ ⇑e) x✝¹


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing P

Context: Rₘ : Type u_4

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁶ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁵ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁴ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝³ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝² : Algebra S Sₘ

Context: inst✝¹ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral R S

Context: x : Sₘ

(IsLocalization.map Sₘ (algebraMap R S) ⋯).IsIntegralElem x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing P

Context: Rₘ : Type u_4

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁶ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁵ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁴ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝³ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝² : Algebra S Sₘ

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral R S

Context: x : Sₘ

Context: s u : S

Context: hu : u ∈ Algebra.algebraMapSubmonoid S M

Context: hx : x * (algebraMap S Sₘ) ↑(s, ⟨u, hu⟩).2 = (algebraMap S Sₘ) (s, ⟨u, hu⟩).1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing P

Context: Rₘ : Type u_4

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁶ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁵ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁴ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝³ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝² : Algebra S Sₘ

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral R S

Context: x : Sₘ

Context: s u : S

Context: v : R

Context: hv : v ∈ ↑M ∧ (algebraMap R S) v = u

Context: hx : x * (algebraMap S Sₘ) ↑(s, ⟨u, ⋯⟩).2 = (algebraMap S Sₘ) (s, ⟨u, ⋯⟩).1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing P

Context: Rₘ : Type u_4

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁶ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁵ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁴ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝³ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝² : Algebra S Sₘ

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral R S

Context: x : Sₘ

Context: s u : S

Context: v : R

Context: hv : v ∈ ↑M ∧ (algebraMap R S) v = u

Context: v' : Rₘ

Context: hv' : v' * (algebraMap R Rₘ) ↑⟨v, ⋯⟩ = 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing P

Context: Rₘ : Type u_4

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁶ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁵ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁴ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝³ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝² : Algebra S Sₘ

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral R S

Context: x : Sₘ

Context: s u : S

Context: v : R

Context: hv : v ∈ ↑M ∧ (algebraMap R S) v = u

Context: v' : Rₘ

(algebraMap Rₘ Sₘ) v' * (algebraMap S Sₘ) u = 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing P

Context: Rₘ : Type u_4

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁶ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁵ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁴ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝³ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝² : Algebra S Sₘ

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral R S

Context: x : Sₘ

Context: s u : S

Context: v : R

Context: hv : v ∈ ↑M ∧ (algebraMap R S) v = u

Context: v' : Rₘ


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
x✝ : G
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq G
x : G

x ∈ Finset.image (fun i => x✝ ^ i) (Finset.range (orderOf x✝)) ↔ x ∈ (↑(zpowers x✝)).toFinset


Context:
a x✝ y✝ : ℂ
ha : a ≠ 0
x y : ℂ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s

s.OrdConnected ↔ ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → [[y, x]] ⊆ s


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²⁴ : Semiring R₁
inst✝²³ : Semiring R₂
inst✝²² : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝¹⁷ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝¹⁶ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
M₁ : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : Module R₁ M'₁
inst✝¹ : Module R₂ M₂
inst✝ : Module R₃ M₃
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
s : Set M₂


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ

IsPrimePow n ↔ ∃ p k, 0 < k ∧ n.factorization = Finsupp.single p k


(∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n) ↔ ∃ p k, 0 < k ∧ n.factorization = Finsupp.single p k


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k✝ n p k : ℕ

Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n ↔ 0 < k ∧ n.factorization = Finsupp.single p k


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : InvolutiveInv α
s t : Set α
a✝ a : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝³ : Nonempty Ω

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: X : α → β

Context: Y : α → Ω

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: s : Set Ω

Context: t : Set β

Context: f : β × Ω → F

Context: hX : Measurable X

Context: hY : Measurable Y

Context: κ : Kernel β Ω

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hκ : Measure.map (fun x => (X x, Y x)) μ = Measure.map X μ ⊗ₘ κ

∀ᵐ (x : β) ∂Measure.map X μ, κ x = (condDistrib Y X μ) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝³ : Nonempty Ω

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: X : α → β

Context: Y : α → Ω

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: s : Set Ω

Context: t : Set β

Context: f : β × Ω → F

Context: hX : Measurable X

Context: hY : Measurable Y

Context: κ : Kernel β Ω

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: heq : Measure.map X μ = (Measure.map (fun x => (X x, Y x)) μ).fst


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝³ : Nonempty Ω

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: X : α → β

Context: Y : α → Ω

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: s : Set Ω

Context: t : Set β

Context: f : β × Ω → F

Context: hX : Measurable X

Context: hY : Measurable Y

Context: κ : Kernel β Ω

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

∀ᵐ (x : β) ∂(Measure.map (fun x => (X x, Y x)) μ).fst, κ x = (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).condKernel x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝³ : Nonempty Ω

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: X : α → β

Context: Y : α → Ω

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: s : Set Ω

Context: t : Set β

Context: f : β × Ω → F

Context: hX : Measurable X

Context: hY : Measurable Y

Context: κ : Kernel β Ω

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ = (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).fst ⊗ₘ κ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝³ : Nonempty Ω

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: X : α → β

Context: Y : α → Ω

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: s : Set Ω

Context: t : Set β

Context: f : β × Ω → F

Context: hX : Measurable X

Context: hY : Measurable Y

Context: κ : Kernel β Ω

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

(Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).fst = Measure.map X μ


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Group G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
x : MonoidAlgebra k G
y : (ofMulAction k G G).asModule
g a✝ : G

(((ofMulAction k G G).asAlgebraHom ((of k G) g)) y) a✝ = ((of k G) g * y) a✝


y (g⁻¹ * a✝) = (MonoidAlgebra.single g 1 * y) a✝


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Group G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
x✝ : MonoidAlgebra k G
y✝ : (ofMulAction k G G).asModule
x y : MonoidAlgebra k G
hx : (fun z => z • y✝ = z * y✝) x
hy : (fun z => z • y✝ = z * y✝) y


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Group G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
x✝ : MonoidAlgebra k G
y : (ofMulAction k G G).asModule
r : k
x : MonoidAlgebra k G
hx : (fun z => z • y = z * y) x

((ofMulAction k G G).asAlgebraHom (r • x)) y = r • x * y


r • ((ofMulAction k G G).asAlgebraHom x) y = r • (x * y)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
ι : Type u_2
I : ι → TwoSidedIdeal R


sSup (ringCon '' Set.range fun i => I i) = sSup (Set.range fun i => (I i).ringCon)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
s : Finset R


(s.val.bind fun i => (X - C i).roots) = s.val


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: n : ℕ∞

Context: x : (i : ι) → E i

Context: inst✝ : DecidableEq ι


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: n : ℕ∞

Context: x : (i : ι) → E i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

HasFDerivAt (⇑f) ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 ((i : ι) → E i) F) (f.toFormalMultilinearSeries.changeOrigin x 1)) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: n : ℕ∞

Context: x : (i : ι) → E i

Context: inst✝ : DecidableEq ι


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : SuccOrder α

Context: a b : α

Context: C : α → Sort u_2

Context: inst✝ : WellFoundedLT α

Context: H_succ : (a : α) → ¬IsMax a → C a → C (succ a)

Context: H_lim : (a : α) → IsSuccLimit a → ((b : α) → b < a → C b) → C a

Context: ha : ¬IsMax a

SuccOrder.limitRecOn (succ a) H_succ H_lim = H_succ a ha (SuccOrder.limitRecOn a H_succ H_lim)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : SuccOrder α

Context: a b : α

Context: C : α → Sort u_2

Context: inst✝ : WellFoundedLT α

Context: ha : ¬IsMax a

Context: h : ¬IsSuccLimit (succ a)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : SuccOrder α

Context: a b : α

Context: C : α → Sort u_2

Context: inst✝ : WellFoundedLT α

Context: ha : ¬IsMax a

Context: h : ¬IsSuccLimit (succ a)

(let x := Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬IsMax x ∧ succ x = succ a) ⋯; ⋯ ▸ H_succ ↑x ⋯ ((fun y x => ⋯.fix (fun a IH => if h : IsSuccLimit a then H_lim a h IH else let x := Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬IsMax x ∧ succ x = a) ⋯; ⋯ ▸ H_succ ↑x ⋯ (IH ↑x ⋯)) y) ↑x ⋯)) = H_succ a ha (SuccOrder.limitRecOn a H_succ H_lim)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : SuccOrder α

Context: a b : α

Context: C : α → Sort u_2

Context: inst✝ : WellFoundedLT α

Context: ha : ¬IsMax a

Context: h : ¬IsSuccLimit (succ a)

Context: this : ∀ {b c : α} {hb : ¬IsMax b} {hc : ¬IsMax c} {x : (a : α) → C a} (h : b = c), ⋯ ▸ H_succ b hb (x b) = H_succ c hc (x c)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : SuccOrder α

Context: a b : α

Context: C : α → Sort u_2

Context: inst✝ : WellFoundedLT α

Context: ha : ¬IsMax a

Context: h : ¬IsSuccLimit (succ a)

Context: x : { x // ¬IsMax x ∧ succ x = succ a } := Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬IsMax x ∧ succ x = succ a) ⋯


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
f : L →ₐ[K] L'
S : IntermediateField K L'
h : S ≤ f.fieldRange


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
c : E


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
c : E
hμ : μ univ < ⊤


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
c : E
hμ : μ univ = ⊤


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

ContDiffAt 𝕜 0 f x ↔ ∃ u ∈ 𝓝 x, ContinuousOn f u


ContDiffWithinAt 𝕜 0 f univ x ↔ ∃ u ∈ 𝓝 x, ContinuousOn f u


Context:
ι : Sort u_1
G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G

(closure s).op = closure (MulOpposite.unop ⁻¹' s)


sInf {a | s ⊆ MulOpposite.op ⁻¹' ↑a} = sInf {K | MulOpposite.unop ⁻¹' s ⊆ ↑K}


Context:
ι : Sort u_1
G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G
a : Subgroup Gᵐᵒᵖ

a ∈ {a | s ⊆ MulOpposite.op ⁻¹' ↑a} ↔ a ∈ {K | MulOpposite.unop ⁻¹' s ⊆ ↑K}


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x y : L
hx : IsAlgebraic K x
h_mp : minpoly K x = minpoly K y

(algEquiv hx h_mp) (AdjoinSimple.gen K x) = AdjoinSimple.gen K y


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x y : L
hx : IsAlgebraic K x
h_mp : minpoly K x = minpoly K y
hy : IsAlgebraic K y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
p : α → Prop
x✝ y✝ x y : α


(if ¬y ≤ x then x else y) = if x < y then x else y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: f : Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u w}

Context: H : IsNormal f

Context: ι : Type u

Context: g : ι → Ordinal.{max u v}

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: a : Ordinal.{max u w}

f (Ordinal.sup g) ≤ a ↔ Ordinal.sup (f ∘ g) ≤ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: H : IsNormal f

Context: ι : Type u

Context: g : ι → Ordinal.{max u v}

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: a : Ordinal.{max u w}

f (Ordinal.sup g) ≤ a ↔ ∀ (i : ι), (f ∘ g) i ≤ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: H : IsNormal f

Context: ι : Type u

Context: g : ι → Ordinal.{max u v}

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: a : Ordinal.{max u w}

f (Ordinal.sup g) ≤ a ↔ ∀ (i : ι), f (g i) ≤ a


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
hf : Injective fun a => f a b


Context:
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{?u.24683, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_9, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.24691, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.24695, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{?u.24703, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.24707, u_7} D₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₃ : MorphismProperty C₃
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
Ψ : LocalizerMorphism W₂ W₃
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
L₃ : C₃ ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W₃
X Y Z : C₁
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
x y : E
h : x < y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
x y : E
h : x < y
z : E
hz : z ∈ (Iic x)ᶜ
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
x y : E
h : x < y
z : E
hz : ¬z ≤ x
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
x y : E
h : x < y
z : E
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hz : a • y + b • z ≤ x


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
u : Rˣ
v : Module.Ray R M


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A✝
s : Set G
A B C : Subgroup G
h : A ≤ C
x✝ : G

x✝ ∈ ↑A * ↑(B ⊓ C) ↔ x✝ ∈ ↑A * ↑B ∩ ↑C


(∃ x ∈ ↑A, ∃ y, (y ∈ ↑B ∧ y ∈ ↑C) ∧ x * y = x✝) ↔ (∃ x ∈ ↑A, ∃ y ∈ ↑B, x * y = x✝) ∧ x✝ ∈ ↑C


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A✝
s : Set G
A B C : Subgroup G
h : A ≤ C
y : G
hy : y ∈ ↑A
z : G
hz : z ∈ ↑B
hyz : y * z ∈ ↑C


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
A✝ B X✝ X' Y Y' Z : C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : Exponentiable A✝
A X : C
inst✝ : Exponentiable A


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f : X → ℝ
s : Set X
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: a b : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: a b : ℕ


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
φ : MvPowerSeries σ k
u : kˣ
h : (constantCoeff σ k) φ = ↑u


φ.invOfUnit u = φ.invOfUnit (Units.mk0 ((constantCoeff σ k) φ) ⋯)


↑u = ↑(Units.mk0 ((constantCoeff σ k) φ) ⋯)


Context:
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
η : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
l : Subspace η α ι
x : η → α
i : ι
a : α
e : η
h : l.idxFun i = Sum.inr e


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3

W.negDblY P / W.dblZ P ^ 3 = W.toAffine.negAddY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3))


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b✝ : α
s : Set α
b : α

sSup {c | CompleteLattice.IsCompactElement c ∧ c ≤ b} = b


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : CompleteLattice α

Context: f : ι → α

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α

Context: inst✝ : IsCompactlyGenerated α

Context: a b : α

Context: s✝ s : Set α

Context: hs : ∀ x ∈ s, CompleteLattice.IsCompactElement x

sSup {c | CompleteLattice.IsCompactElement c ∧ c ≤ sSup s} = sSup s


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a a' b b' : E
r r' : k
hb : b ≤ b'
hr : 0 ≤ r


(1 - r) • a + r • b ≤ (1 - r) • a + r • b'


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β


Context: R : Type u_1

Context: p n : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : CharP R p

Context: hn : p ∣ n

Context: this : Algebra (ZMod p) R := ZMod.algebra R p

cyclotomic (n * p) R = cyclotomic n R ^ p


Context: R : Type u_1

Context: p n : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : CharP R p

Context: hn : p ∣ n

cyclotomic (n * p) (ZMod p) = cyclotomic n (ZMod p) ^ p


Context:
u : Level
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
k : ℤ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅

eVariationOn f s + eVariationOn f t ≤ eVariationOn f (s ∪ t)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f : α → E

Context: s t : Set α

Context: h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y

Context: hs : ¬s = ∅

Context: this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f : α → E

Context: s t : Set α

Context: h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y

Context: hs : ¬s = ∅

Context: ht : ¬t = ∅


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f : α → E

Context: s t : Set α

Context: h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y

Context: hs : ¬s = ∅

Context: this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }

Context: ht : ¬t = ∅

Context: this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f : α → E

Context: s t : Set α

Context: h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y

Context: hs : ¬s = ∅

Context: ht : ¬t = ∅

∀ (i : ℕ × { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }) (j : ℕ × { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }), ∑ i_1 ∈ Finset.range i.1, edist (f (↑i.2 (i_1 + 1))) (f (↑i.2 i_1)) + ∑ i ∈ Finset.range j.1, edist (f (↑j.2 (i + 1))) (f (↑j.2 i)) ≤ eVariationOn f (s ∪ t)


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : IsModularLattice α
x y z : α
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : Preorder γ
h₁ : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
h₂ : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
K : α
f₁ : β → α
f₂ : α → β
g₁ : γ → α
g₂ : α → γ
gci : GaloisCoinsertion f₁ f₂
gi : GaloisInsertion g₂ g₁
hf : ∀ (a : α), f₁ (f₂ a) = a ⊓ K
hg : ∀ (a : α), g₁ (g₂ a) = a ⊔ K
A B : α
hAB : A < B

Prod.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (fun x x_1 => x < x_1) (f₂ A, g₂ A) (f₂ B, g₂ B)


A ⊓ K ≤ B ⊓ K ∧ ¬B ⊓ K ≤ A ⊓ K ∨ (A ⊓ K ≤ B ⊓ K ∧ B ⊓ K ≤ A ⊓ K) ∧ A ⊔ K ≤ B ⊔ K ∧ ¬B ⊔ K ≤ A ⊔ K


A ⊓ K < B ⊓ K ∨ A ⊓ K = B ⊓ K ∧ A ⊔ K < B ⊔ K


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : IsModularLattice α
x y z : α
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : Preorder γ
h₁ : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
h₂ : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
K : α
f₁ : β → α
f₂ : α → β
g₁ : γ → α
g₂ : α → γ
gci : GaloisCoinsertion f₁ f₂
gi : GaloisInsertion g₂ g₁
hf : ∀ (a : α), f₁ (f₂ a) = a ⊓ K
hg : ∀ (a : α), g₁ (g₂ a) = a ⊔ K
A B : α
hAB : A < B
h : A ⊓ K < B ⊓ K


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : IsModularLattice α
x y z : α
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : Preorder γ
h₁ : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
h₂ : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
K : α
f₁ : β → α
f₂ : α → β
g₁ : γ → α
g₂ : α → γ
gci : GaloisCoinsertion f₁ f₂
gi : GaloisInsertion g₂ g₁
hf : ∀ (a : α), f₁ (f₂ a) = a ⊓ K
hg : ∀ (a : α), g₁ (g₂ a) = a ⊔ K
A B : α
hAB : A < B
h : A ⊓ K = B ⊓ K


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ : C
inst✝ : HasPushouts C
X Y : C
f : X ⟶ Y
x : Under X
y : Under Y
u : (pushout f).obj x ⟶ y

x.hom ≫ pushout.inl x.hom f ≫ u.right = ((map f).obj y).hom


x.hom ≫ pushout.inl x.hom f ≫ u.right = f ≫ y.hom


x.hom ≫ pushout.inl x.hom f ≫ u.right = f ≫ ((pushout f).obj x).hom ≫ u.right


x.hom ≫ pushout.inl x.hom f ≫ u.right = f ≫ pushout.inr x.hom f ≫ u.right


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: motive : (x : CliffordAlgebra Q) → x ∈ evenOdd Q 0 → Prop

Context: algebraMap : ∀ (r : R), motive ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r) ⋯

Context: add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q 0) (hy : y ∈ evenOdd Q 0), motive x hx → motive y hy → motive (x + y) ⋯

Context: ι_mul_ι_mul : ∀ (m₁ m₂ : M) (x : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q 0), motive x hx → motive ((ι Q) m₁ * (ι Q) m₂ * x) ⋯

Context: x : CliffordAlgebra Q

Context: hx : x ∈ evenOdd Q 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: x : CliffordAlgebra Q

Context: hx : x ∈ evenOdd Q 0

Context: rx : CliffordAlgebra Q

∀ (h : rx ∈ LinearMap.range (ι Q) ^ ZMod.val 0), motive rx ⋯


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G
eq_one : exponent G = 1
a b : G


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G
h : Subsingleton G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c d : G
n : ℤ
a b : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b c d : α
n : ℕ


(a * b) ^ Int.negSucc n = a ^ Int.negSucc n * b ^ Int.negSucc n


Context:
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
c : G
s : Set α


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
V : OpenNhdsOf 1


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: V : OpenNhdsOf 1

Context: this : Classical.choose ⋯ ∈ ⋂ V, clPrehaar (↑K₀) V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: V : OpenNhdsOf 1

Context: this : ∀ (i : OpenNhdsOf 1), Classical.choose ⋯ ∈ clPrehaar (↑K₀) i


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial R
M : Matrix n n R
h : ¬Fintype.card n = 0


(M.charpoly - ∏ i : n, (X - C (M i i)) + ∏ i : n, (X - C (M i i))).degree = ↑(Fintype.card n)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: n G : Type v

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: α β : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: M✝ : Matrix n n R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: M : Matrix n n R

Context: h : ¬Fintype.card n = 0

Context: h1 : (∏ i : n, (X - C (M i i))).degree = ↑(Fintype.card n)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: n G : Type v

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: α β : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: M✝ : Matrix n n R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: M : Matrix n n R

Context: h : ¬Fintype.card n = 0

(∏ i : n, (X - C (M i i))).degree = ↑(Fintype.card n)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: n G : Type v

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: α β : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: M✝ : Matrix n n R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: M : Matrix n n R

Context: h : ¬Fintype.card n = 0

(M.charpoly - ∏ i : n, (X - C (M i i))).degree < (∏ i : n, (X - C (M i i))).degree


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: n G : Type v

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: α β : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: M✝ : Matrix n n R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: M : Matrix n n R

Context: h : ¬Fintype.card n = 0

(M.charpoly - ∏ i : n, (X - C (M i i))).degree < ↑(Fintype.card n)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: n G : Type v

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: α β : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: M✝ : Matrix n n R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: M : Matrix n n R

Context: h : ¬Fintype.card n = 0

↑(Fintype.card n - 1) < ↑(Fintype.card n)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: n G : Type v

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: α β : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: M✝ : Matrix n n R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: M : Matrix n n R

Context: h : ¬Fintype.card n = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E

x ∈ cthickening (ε + δ) s → x ∈ cthickening ε (thickening δ s)


infEdist x s ≤ ENNReal.ofReal ε + ENNReal.ofReal δ → infEdist x s - ENNReal.ofReal δ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context:
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E

∃ p, p.Separable ∧ Polynomial.IsSplittingField F E p


Context:
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E
α : E
h1 : F⟮α⟯ = ⊤


Algebra.adjoin F ((minpoly F α).rootSet E) = ⊤


F⟮α⟯.toSubalgebra ≤ Algebra.adjoin F ((minpoly F α).rootSet E)


Algebra.adjoin F {α} ≤ Algebra.adjoin F ((minpoly F α).rootSet E)


minpoly F α ≠ 0 ∧ (Polynomial.aeval α) (minpoly F α) = 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : F
hq_pos : 0 < q

eLpNorm' (fun x => c) q μ = ↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / q)


(↑‖c‖₊ ^ q) ^ (1 / q) * μ Set.univ ^ (1 / q) = ↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / q)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
W X X' Y : D
f : W ⟶ X
g : X ⟶ Y
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ Y

f ≫ g ≫ e.counitInv.app Y = f' ≫ g' ≫ e.counitInv.app Y ↔ f ≫ g = f' ≫ g'


Context:
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝¹ g✝¹ : α✝ → β
inst✝² : CommMonoid β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f✝ : ι → α
g✝ : κ → α
inst✝ : DecidableEq κ
g : ι → κ
h : ∀ i ∈ s, g i ∈ t
f : ι → α

∏ j ∈ t, ∏ i ∈ filter (fun i => g i = j) s, f i = ∏ i ∈ s, f i


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
x✝ : γ

x✝ ∈ (fun x => f x.1 x.2) '' s ×ˢ t ↔ x✝ ∈ image2 f s t


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius

(p.changeOrigin x).sum y = p.sum (x + y)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius

Context: radius_pos : 0 < p.radius

Context: x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius

Context: radius_pos : 0 < p.radius

Context: y_mem_ball : y ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin x).radius


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius

Context: radius_pos : 0 < p.radius

Context: x_add_y_mem_ball : x + y ∈ EMetric.ball 0 p.radius


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius

Context: radius_pos : 0 < p.radius

Context: f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F := fun s => ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius

Context: radius_pos : 0 < p.radius

Context: hsf : Summable f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius

Context: radius_pos : 0 < p.radius

Context: hsf : Summable f

Context: hf : HasSum f ((p.changeOrigin x).sum y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius

Context: radius_pos : 0 < p.radius

Context: hsf : Summable f

HasSum (f ∘ ⇑changeOriginIndexEquiv.symm) (p.sum (x + y))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius

Context: radius_pos : 0 < p.radius

Context: hsf : Summable f

Context: n : ℕ

HasSum (fun c => (f ∘ ⇑changeOriginIndexEquiv.symm) ⟨n, c⟩) ((p n) fun x_1 => x + y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius

Context: radius_pos : 0 < p.radius

Context: hsf : Summable f

Context: n : ℕ

HasSum (fun c => (f ∘ ⇑changeOriginIndexEquiv.symm) ⟨n, c⟩) (∑ s : Finset (Fin n), (p n) (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius

Context: radius_pos : 0 < p.radius

Context: hsf : Summable f

Context: n : ℕ

HasSum (fun c => (f ∘ ⇑changeOriginIndexEquiv.symm) ⟨n, c⟩) (∑ x_1 : Finset (Fin n), ((p.changeOriginSeriesTerm (changeOriginIndexEquiv.symm ⟨n, x_1⟩).fst (changeOriginIndexEquiv.symm ⟨n, x_1⟩).snd.fst ↑(changeOriginIndexEquiv.symm ⟨n, x_1⟩).snd.snd ⋯) fun x_2 => x) fun x => y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
c : Set (Set α)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f✝ : R →+* S
x✝ : S
inst✝ : Semiring T
f : R →+* S
x : S
p : R[ℕ]

eval₂ f x { toFinsupp := p } = (liftNC ↑f ⇑((powersHom S) x)) p


∑ x_1 ∈ p.support, f (p x_1) * x ^ x_1 = (liftNC ↑f ⇑((powersHom S) x)) p


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : α → Filter β
hf : f₁ ≤ f₂
hg : g₁ ≤ᶠ[f₁] g₂


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : α → Filter β
hf : f₁ ≤ f₂
hg : g₁ ≤ᶠ[f₁] g₂
s : Set β
hs : s ∈ (map g₂ f₁).join


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : α → Filter β
hf : f₁ ≤ f₂
hg : g₁ ≤ᶠ[f₁] g₂
s : Set β
hs : g₂ ⁻¹' {t | s ∈ t} ∈ f₁


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
hy : y ∈ Icc 0 1


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero ↑n
μ : R

(cyclotomic n R).IsRoot μ ↔ IsPrimitiveRoot μ n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NeZero ↑n

Context: μ : R

Context: hf : Function.Injective ⇑(algebraMap R (FractionRing R))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NeZero ↑n

Context: μ : R

Context: this : NeZero ↑n


Context: R : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring ι

Context: inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)

Context: inst✝⁹ : DecidableEq ι

Context: 𝒜 : ι → Type u_5

Context: ℬ : ι → Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)

Context: inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜

Context: inst✝² : DirectSum.GRing ℬ

Context: inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜

Context: inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ

Context: x y z : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ

Context: mA : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ := gradedMul R 𝒜 ℬ

((gradedMul R 𝒜 ℬ) (((gradedMul R 𝒜 ℬ) x) y)) z = ((gradedMul R 𝒜 ℬ) x) (((gradedMul R 𝒜 ℬ) y) z)


Context: R : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring ι

Context: inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)

Context: inst✝⁹ : DecidableEq ι

Context: 𝒜 : ι → Type u_5

Context: ℬ : ι → Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)

Context: inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜

Context: inst✝² : DirectSum.GRing ℬ

Context: inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜

Context: inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ

(LinearMap.llcomp R (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)) mA ∘ₗ mA = (((LinearMap.llcomp R (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)) LinearMap.lflip) ((LinearMap.llcomp R (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)) mA.flip ∘ₗ mA)).flip


Context: R : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring ι

Context: inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)

Context: inst✝⁹ : DecidableEq ι

Context: 𝒜 : ι → Type u_5

Context: ℬ : ι → Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)

Context: inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜

Context: inst✝² : DirectSum.GRing ℬ

Context: inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜

Context: inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ

Context: ixa : ι

Context: xa : 𝒜 ixa

Context: ixb : ι

Context: xb : ℬ ixb

Context: iya : ι

Context: ya : 𝒜 iya

Context: iyb : ι

Context: yb : ℬ iyb

Context: iza : ι

Context: za : 𝒜 iza

Context: izb : ι

Context: zb : ℬ izb

((gradedMul R 𝒜 ℬ) (((gradedMul R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 ixa) xa ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ ixb) xb)) ((lof R ι 𝒜 iya) ya ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ iyb) yb))) ((lof R ι 𝒜 iza) za ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ izb) zb) = ((gradedMul R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 ixa) xa ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ ixb) xb)) (((gradedMul R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 iya) ya ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ iyb) yb)) ((lof R ι 𝒜 iza) za ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ izb) zb))


Context: R : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring ι

Context: inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)

Context: inst✝⁹ : DecidableEq ι

Context: 𝒜 : ι → Type u_5

Context: ℬ : ι → Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)

Context: inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜

Context: inst✝² : DirectSum.GRing ℬ

Context: inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜

Context: inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ

Context: ixa : ι

Context: xa : 𝒜 ixa

Context: ixb : ι

Context: xb : ℬ ixb

Context: iya : ι

Context: ya : 𝒜 iya

Context: iyb : ι

Context: yb : ℬ iyb

Context: iza : ι

Context: za : 𝒜 iza

Context: izb : ι

Context: zb : ℬ izb

↑↑((-1) ^ (ixb * iya)) • (-1) ^ ((ixb + iyb) * iza) • ((lof R ι 𝒜 ixa) xa * ((lof R ι 𝒜 iya) ya * (lof R ι 𝒜 iza) za)) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ ixb) xb * ((lof R ι ℬ iyb) yb * (lof R ι ℬ izb) zb)) = ↑↑((-1) ^ (iyb * iza)) • (-1) ^ (ixb * (iya + iza)) • ((lof R ι 𝒜 ixa) xa * ((lof R ι 𝒜 iya) ya * (lof R ι 𝒜 iza) za)) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ ixb) xb * ((lof R ι ℬ iyb) yb * (lof R ι ℬ izb) zb))


Context: R : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring ι

Context: inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)

Context: inst✝⁹ : DecidableEq ι

Context: 𝒜 : ι → Type u_5

Context: ℬ : ι → Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)

Context: inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜

Context: inst✝² : DirectSum.GRing ℬ

Context: inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜

Context: inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ

Context: ixa : ι

Context: xa : 𝒜 ixa

Context: ixb : ι

Context: xb : ℬ ixb

Context: iya : ι

Context: ya : 𝒜 iya

Context: iyb : ι

Context: yb : ℬ iyb

Context: iza : ι

Context: za : 𝒜 iza

Context: izb : ι

Context: zb : ℬ izb

(-1) ^ (ixb * iya + (ixb * iza + iyb * iza)) • ((lof R ι 𝒜 ixa) xa * ((lof R ι 𝒜 iya) ya * (lof R ι 𝒜 iza) za)) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ ixb) xb * ((lof R ι ℬ iyb) yb * (lof R ι ℬ izb) zb)) = (-1) ^ (iyb * iza + (ixb * iya + ixb * iza)) • ((lof R ι 𝒜 ixa) xa * ((lof R ι 𝒜 iya) ya * (lof R ι 𝒜 iza) za)) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ ixb) xb * ((lof R ι ℬ iyb) yb * (lof R ι ℬ izb) zb))


Context:
k : Type u
inst✝¹ : Field k
G : Type u
inst✝ : Monoid G
V W : FDRep k G
i : V ≅ W
g : G


(trace k (CoeSort.coe V)) (V.ρ g) = (trace k (CoeSort.coe W)) ((isoToLinearEquiv i).conj (V.ρ g))


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: inst✝⁸ : LinearOrderedField R

Context: inst✝⁷ : LinearOrderedField R'

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: inst✝³ : Module R E

Context: inst✝² : Module R F

Context: inst✝¹ : Module R α

Context: inst✝ : OrderedSMul R α

Context: s✝ : Set E

Context: i j : ι

Context: c : R

Context: t✝ : Finset ι

Context: w : ι → R

Context: z : ι → E

Context: s t : Finset ι

Context: hw : ∑ i ∈ s, w i + ∑ i ∈ t, w i = 0

Context: hz : ∑ i ∈ s, w i • z i + ∑ i ∈ t, w i • z i = 0


Context:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X✝ Y✝ : C × C
f : X✝ ⟶ Y✝
Z : C × C

__src✝.map f ▷ __src✝.obj Z ≫ tensor_μ C Y✝ Z = tensor_μ C X✝ Z ≫ __src✝.map (f ▷ Z)


Context:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X✝ Y✝ Z : C × C
f : X✝ ⟶ Y✝

__src✝.obj Z ◁ __src✝.map f ≫ tensor_μ C Z Y✝ = tensor_μ C Z X✝ ≫ __src✝.map (Z ◁ f)


Context:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X Y Z : C × C

tensor_μ C X Y ▷ __src✝.obj Z ≫ tensor_μ C (X ⊗ Y) Z ≫ __src✝.map (α_ X Y Z).hom = (α_ (__src✝.obj X) (__src✝.obj Y) (__src✝.obj Z)).hom ≫ __src✝.obj X ◁ tensor_μ C Y Z ≫ tensor_μ C X (Y ⊗ Z)


Context:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
x✝ : C × C
X₁ X₂ : C

(λ_ (__src✝.obj (X₁, X₂))).hom = (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ __src✝.obj (X₁, X₂) ≫ tensor_μ C (𝟙_ (C × C)) (X₁, X₂) ≫ __src✝.map (λ_ (X₁, X₂)).hom


(ρ_ (__src✝.obj (X₁, X₂))).hom = __src✝.obj (X₁, X₂) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ tensor_μ C (X₁, X₂) (𝟙_ (C × C)) ≫ __src✝.map (ρ_ (X₁, X₂)).hom


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
z : ℤ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
n : ℕ


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
m : M


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂


∀ (m : R) (x : ↥(fst R M M₂)), { toFun := fun x => (↑x).1, map_add' := ⋯ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := fun x => (↑x).1, map_add' := ⋯ }.toFun x


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M
y : M₂
hy : (x, y) ∈ fst R M M₂

(fun m => ⟨(m, 0), ⋯⟩) ({ toFun := fun x => (↑x).1, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ⟨(x, y), hy⟩) = ⟨(x, y), hy⟩


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M
y : M₂
hy✝ : (x, y) ∈ fst R M M₂
hy : y = 0

(fun m => ⟨(m, 0), ⋯⟩) ({ toFun := fun x => (↑x).1, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ⟨(x, y), hy✝⟩) = ⟨(x, y), hy✝⟩


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelCommMonoid α✝
s✝ t✝ : Set α✝
hs✝ : s✝.IsPWO
ht✝ : t✝.IsPWO
a✝ : α✝
u : Set α✝
hu : u.IsPWO
x : α✝ × α✝
α : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hns : s.Nonempty
hnt : t.Nonempty
a b : α

(a, b) ∈ mulAntidiagonal ⋯ ⋯ (hs.min hns * ht.min hnt) ↔ (a, b) ∈ {(hs.min hns, ht.min hnt)}


a ∈ s ∧ b ∈ t ∧ a * b = hs.min hns * ht.min hnt ↔ a = hs.min hns ∧ b = ht.min hnt


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: Mₗ₁ : Type u_9

Context: Mₗ₁' : Type u_10

Context: Mₗ₂ : Type u_11

Context: Mₗ₂' : Type u_12

Context: K : Type u_13

Context: K₁ : Type u_14

Context: K₂ : Type u_15

Context: V : Type u_16

Context: V₁ : Type u_17

Context: V₂ : Type u_18

Context: n : Type u_19

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁴ : Module R M

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R₁

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝¹¹ : Module R₁ M₁

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : Module R₂ M₂

Context: I₁ : R₁ →+* R

Context: I₂ : R₂ →+* R

Context: I₁' : R₁ →+* R

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid Mₗ₁

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid Mₗ₂

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₗ₁'

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid Mₗ₂'

Context: inst✝³ : Module R Mₗ₁

Context: inst✝² : Module R Mₗ₂

Context: inst✝¹ : Module R Mₗ₁'

Context: inst✝ : Module R Mₗ₂'

Context: B : Mₗ₁ →ₗ[R] Mₗ₂ →ₗ[R] M

Context: e₁ : Mₗ₁ ≃ₗ[R] Mₗ₁'

Context: e₂ : Mₗ₂ ≃ₗ[R] Mₗ₂'

Context: h : ((e₁.arrowCongr (e₂.arrowCongr (LinearEquiv.refl R M))) B).SeparatingLeft


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: Mₗ₁ : Type u_9

Context: Mₗ₁' : Type u_10

Context: Mₗ₂ : Type u_11

Context: Mₗ₂' : Type u_12

Context: K : Type u_13

Context: K₁ : Type u_14

Context: K₂ : Type u_15

Context: V : Type u_16

Context: V₁ : Type u_17

Context: V₂ : Type u_18

Context: n : Type u_19

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁴ : Module R M

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R₁

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝¹¹ : Module R₁ M₁

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : Module R₂ M₂

Context: I₁ : R₁ →+* R

Context: I₂ : R₂ →+* R

Context: I₁' : R₁ →+* R

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid Mₗ₁

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid Mₗ₂

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₗ₁'

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid Mₗ₂'

Context: inst✝³ : Module R Mₗ₁

Context: inst✝² : Module R Mₗ₂

Context: inst✝¹ : Module R Mₗ₁'

Context: inst✝ : Module R Mₗ₂'

Context: B : Mₗ₁ →ₗ[R] Mₗ₂ →ₗ[R] M

Context: e₁ : Mₗ₁ ≃ₗ[R] Mₗ₁'

Context: e₂ : Mₗ₂ ≃ₗ[R] Mₗ₂'

B = (e₁.symm.arrowCongr (e₂.symm.arrowCongr (LinearEquiv.refl R M))) ((e₁.arrowCongr (e₂.arrowCongr (LinearEquiv.refl R M))) B)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b : α
h : ￢a = ⊤


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
b✝ b : α


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε

∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ f x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ Integrable (fun x => ↑(g x)) μ ∧ ∫ (x : α), ↑(f x) ∂μ - ↑ε ≤ ∫ (x : α), ↑(g x) ∂μ


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε
If : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : μ.WeaklyRegular

Context: f : α → ℝ≥0

Context: fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ↑ε

Context: If : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ < ⊤

Context: g : α → ℝ≥0

Context: gf : ∀ (x : α), g x ≤ f x

Context: gcont : UpperSemicontinuous g

Context: gint : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ↑ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : μ.WeaklyRegular

Context: f : α → ℝ≥0

Context: fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ↑ε

Context: If : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ < ⊤

Context: g : α → ℝ≥0

Context: gf : ∀ (x : α), g x ≤ f x

Context: gcont : UpperSemicontinuous g

Context: Ig : ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ⊤


Context:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_3
D₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{u_7, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_3} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_4} D₂
G : C₁ ⥤ C₂
F : C₂ ⥤ C₁
adj : G ⊣ F
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝² : L₂.IsLocalization W₂
G' : D₁ ⥤ D₂
F' : D₂ ⥤ D₁
inst✝¹ : CatCommSq G L₁ L₂ G'
inst✝ : CatCommSq F L₂ L₁ F'
X₂ : C₂

(adj.localization L₁ W₁ L₂ W₂ G' F').counit.app (L₂.obj X₂) = G'.map ((CatCommSq.iso F L₂ L₁ F').inv.app X₂) ≫ (CatCommSq.iso G L₁ L₂ G').inv.app (F.obj X₂) ≫ L₂.map (adj.counit.app X₂)


Context:
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
hs : Summable f


Context: f : ℕ → ℝ

Context: hf : Antitone f

Context: n : ℕ

Context: hn : f n < 0

Context: hs : Summable f

Context: this : Filter.Tendsto f Filter.atTop (nhds 0)


Context:
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
hs : Summable f
this : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |f n| < ε


Context:
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
hs : Summable f
this : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |f n| < ε
N : ℕ
hN : ∀ n_1 ≥ N, |f n_1| < |f n|


Context:
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
hs : Summable f
this : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |f n| < ε
N : ℕ
hN : |f (max n N)| < |f n|


Context:
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
hs : Summable f
this : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |f n| < ε
N : ℕ
hN : ¬False


Context:
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
hs : Summable f
this : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |f n| < ε
N : ℕ


Context:
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
hs : Summable f
this : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |f n| < ε
N : ℕ
H : f (max n N) ≤ f n


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C

IsDetector G ↔ (coyoneda.obj (op G)).ReflectsIsomorphisms


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C

Context: hG : IsDetector G

Context: A✝ B✝ : C

Context: f : A✝ ⟶ B✝

Context: hf : IsIso ((coyoneda.obj (op G)).map f)

Context: h : G ⟶ B✝


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C

Context: h : (coyoneda.obj (op G)).ReflectsIsomorphisms

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: hf : ∀ (h : G ⟶ Y), ∃! h', h' ≫ f = h


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R
f : R →+* S
H : I ≤ ker f

ker (Quotient.lift I f H) = map (Quotient.mk I) (ker f)


∀ (x : R ⧸ I), x ∈ ker (Quotient.lift I f H) ↔ x ∈ map (Quotient.mk I) (ker f)


Context:
n✝ n p : ℕ
hp : Prime p


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x₁ x₂ : M
y : ↥S

f.mk' x₂ y * f.toMap x₁ = f.mk' (x₁ * x₂) y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
h : α ≃ᵢ β
s : Set β

EMetric.diam (⇑h ⁻¹' s) = EMetric.diam s


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.1672, u_1} C
P : Karoubi (Karoubi C)


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.1672, u_1} C
X✝ Y✝ : Karoubi (Karoubi C)
f : X✝ ⟶ Y✝

f.f.f = ((fun P => { X := P.X.X, p := P.p.f, idem := ⋯ }) X✝).p ≫ f.f.f ≫ ((fun P => { X := P.X.X, p := P.p.f, idem := ⋯ }) Y✝).p


Context:
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
f : MvPolynomial σ (R ⧸ I)

(Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) (eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) f) = f


∀ (a : R ⧸ I), (Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) (eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) (C a)) = C a


∀ (p q : MvPolynomial σ (R ⧸ I)), (Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) (eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) p) = p → (Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) (eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) q) = q → (Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) (eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) (p + q)) = p + q


∀ (p : MvPolynomial σ (R ⧸ I)) (n : σ), (Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) (eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) p) = p → (Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) (eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) (p * X n)) = p * X n


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : CommRing B

Context: inst✝⁴ : Algebra R B

Context: inst✝³ : Algebra A B

Context: inst✝² : IsIntegralClosure A R B

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: x : R

Context: h : optParam (IsIntegral R ((algebraMap R B) x)) ⋯

(algebraMap A B) (mk' A ((algebraMap R B) x) h) = (algebraMap A B) ((algebraMap R A) x)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Linear R C

Context: K L M : CochainComplex C ℤ

Context: n✝ : ℤ

Context: γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝

Context: a n' : ℤ

Context: γ : Cochain ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj K) L n'

Context: n : ℤ

Context: hn' : n + a = n'

Context: p q : ℤ

Context: hpq : p + n' = q

((γ.leftUnshift n hn').leftShift a n' hn').v p q hpq = γ.v p q hpq


Context: this : 1 ≤ 2 ^ System.Platform.numBits


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ✝ Δ'✝ Δ''✝ : SimplexCategory
inst✝² : HasFiniteCoproducts C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
A : Splitting.IndexSet Δ
θ : Δ ⟶ Δ'
Δ'' : SimplexCategory
e : unop Δ' ⟶ Δ''
i : Δ'' ⟶ unop A.fst
inst✝¹ : Epi e
inst✝ : Mono i
fac : e ≫ i = θ.unop ≫ A.e

Sigma.ι (summand K Δ) A ≫ map K θ = Termwise.mapMono K i ≫ Sigma.ι (summand K Δ') (Splitting.IndexSet.mk e)


Termwise.mapMono K (image.ι (θ.unop ≫ A.e)) ≫ Sigma.ι (summand K Δ') (A.pull θ) = Termwise.mapMono K i ≫ Sigma.ι (summand K Δ') (Splitting.IndexSet.mk e)


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ✝ Δ'✝ Δ''✝ : SimplexCategory
inst✝² : HasFiniteCoproducts C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
A : Splitting.IndexSet Δ
θ : Δ ⟶ Δ'
Δ'' : SimplexCategory
e : unop Δ' ⟶ Δ''
i : Δ'' ⟶ unop A.fst
inst✝¹ : Epi e
inst✝ : Mono i
fac : e ≫ i = θ.unop ≫ A.e
h : image (θ.unop ≫ A.e) = Δ''


Context:
G✝ : Type u_1
H✝ : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : Group G✝
inst✝² : Fintype G✝
x : G✝
n : ℕ
G : Type u_6
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
g : G


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
hf : Injective ⇑f


Context: K : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra K S

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K S

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: B : PowerBasis S A

Context: hB : IsIntegral R B.gen

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)

Context: n : ℕ

Context: i : Fin B.dim

Context: Q : R[X] := X ^ n %ₘ minpoly R B.gen

IsIntegral R ((B.basis.repr (B.gen ^ n)) i)


Context: K : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra K S

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K S

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: B : PowerBasis S A

Context: hB : IsIntegral R B.gen

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: n : ℕ

Context: i : Fin B.dim

Context: Q : R[X] := X ^ n %ₘ minpoly R B.gen

Context: this : B.gen ^ n = (aeval B.gen) Q


Context: K : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra K S

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K S

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: B : PowerBasis S A

Context: hB : IsIntegral R B.gen

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: n : ℕ

Context: i : Fin B.dim

Context: Q : R[X] := X ^ n %ₘ minpoly R B.gen

Context: this : B.gen ^ n = (aeval B.gen) Q

Context: hQ : ¬Q = 0


Context: K : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra K S

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K S

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: B : PowerBasis S A

Context: hB : IsIntegral R B.gen

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: n : ℕ

Context: i : Fin B.dim

Context: Q : R[X] := X ^ n %ₘ minpoly R B.gen

Context: this : B.gen ^ n = (aeval B.gen) Q

Context: hQ : ¬Q = 0

Context: hlt : Q.natDegree < B.dim


Context: K : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra K S

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K S

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: B : PowerBasis S A

Context: hB : IsIntegral R B.gen

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: n : ℕ

Context: i : Fin B.dim

Context: Q : R[X] := X ^ n %ₘ minpoly R B.gen

Context: this : B.gen ^ n = (aeval B.gen) Q

Context: hQ : ¬Q = 0

Context: hlt : Q.natDegree < B.dim

IsIntegral R ((B.basis.repr (∑ i ∈ Finset.range B.dim, Q.coeff i • B.gen ^ i)) i)