Context:
n : ℕ
α β γ : TypeVec.{u} n
F : TypeVec.{u} n → Type v
inst✝¹ : MvFunctor F
P : α ⟹ TypeVec.repeat n Prop
R : α ⊗ α ⟹ TypeVec.repeat n Prop
inst✝ : LawfulMvFunctor F
x y : F α

∀ (u : F fun i => { p // (fun i x y => ofRepeat (R i (prod.mk i x y))) i p.1 p.2 }), (fun i t => (↑t).1) <$$> u = x ∧ (fun i t => (↑t).2) <$$> u = y ↔ (prod.fst ⊚ subtypeVal R) <$$> toSubtype' R <$$> u = x ∧ (prod.snd ⊚ subtypeVal R) <$$> toSubtype' R <$$> u = y


∀ (u : F fun i => { p // ofRepeat (R i (prod.mk i p.1 p.2)) }), (fun i t => (↑t).1) <$$> u = x ∧ (fun i t => (↑t).2) <$$> u = y ↔ (prod.fst ⊚ fun i x => prod.mk i (↑x).1 (↑x).2) <$$> u = x ∧ (prod.snd ⊚ fun i x => prod.mk i (↑x).1 (↑x).2) <$$> u = y


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A F : Cᵒᵖ ⥤ Type v
η : F ⟶ A
X Y : C
f : X ⟶ Y
s : yoneda.obj X ⟶ A
t : yoneda.obj Y ⟶ A
hst : yoneda.map f ≫ t = s
u : F.obj (op Y)
h : MakesOverArrow η t u

η.app (op X) (F.map f.op u) = yonedaEquiv s


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
r : R
p : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : MulActionWithZero R S
x : S
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α

toIocMod hp a (b - c) = toIocMod hp (a + c) b - c


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α

rdropWhile p (l ++ [x]) = if p x = true then rdropWhile p l else l ++ [x]


(match p x with | true => dropWhile p l.reverse | false => x :: l.reverse).reverse = if p x = true then (dropWhile p l.reverse).reverse else l ++ [x]


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: e : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) ≃ Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥↑↑I

|(integralBasis K).det ⇑((basisOfFractionalIdeal K I).reindex e.symm)| = FractionalIdeal.absNorm ↑I


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

|(integralBasis K).det ⇑((basisOfFractionalIdeal K I).reindex e.symm)| = |(Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K (RingOfIntegers.basis K)).det (Subtype.val ∘ ⇑((fractionalIdealBasis K ↑I).reindex e.symm))|


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: x✝ : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)

((basisOfFractionalIdeal K I).reindex e.symm) x✝ = (Subtype.val ∘ ⇑((fractionalIdealBasis K ↑I).reindex e.symm)) x✝


Context:
R : Type u_1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p


Context:
α : Type u
n : ℕ
f g : Fin n → α
h : ofFn f = ofFn g


Context:
α : Type u
n : ℕ
f g : Fin n → α
h : ⟨n, f⟩ = ⟨n, g⟩


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α

↑(upperClosure (s * t)) = ↑(upperClosure s * upperClosure t)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
hx : AlgebraicIndependent R x

hx.mvPolynomialOptionEquivPolynomialAdjoin (X none) = Polynomial.X


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: n : ℕ

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: Ei : Fin n.succ → Type wEi

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)

Context: inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => Ei i.castSucc) (Ei (last n) →L[𝕜] G)

Context: m : (i : Fin n.succ) → Ei i

‖f‖ * ((∏ i : Fin n, ‖init m i‖) * ‖m (last n)‖) = ‖f‖ * ∏ i : Fin n.succ, ‖m i‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: n : ℕ

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: Ei : Fin n.succ → Type wEi

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: m : (i : Fin n.succ) → Ei i

‖f‖ * ((∏ i : Fin n, ‖init m i‖) * ‖m (last n)‖) = ‖f‖ * ((∏ i : Fin n, ‖m i.castSucc‖) * ‖m (last n)‖)


Context:
Fq F : Type
inst✝² : Field Fq
inst✝¹ : Field F
inst✝ : DecidableEq (RatFunc Fq)
k : Fq
hk : k ≠ 0

inftyValuationDef Fq (RatFunc.C k) = ↑(Multiplicative.ofAdd 0)


Context:
Fq F : Type
inst✝² : Field Fq
inst✝¹ : Field F
inst✝ : DecidableEq (RatFunc Fq)
k : Fq
hk : k ≠ 0
hCk : RatFunc.C k ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: f : R →+* S

Context: I : Type u_3

Context: e : I → R

Context: he✝¹ : OrthogonalIdempotents e

Context: inst✝ : Fintype I

Context: he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e

Context: h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x

Context: he : ∀ (i : I), IsIdempotentElem (e i)

Context: he' : ∀ (i : I), IsMulCentral (e i)

Context: he'' : CompleteOrthogonalIdempotents (⇑f ∘ e)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: f : R →+* S

Context: I : Type u_3

Context: e : I → R

Context: he✝¹ : OrthogonalIdempotents e

Context: inst✝ : Fintype I

Context: he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e

Context: h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x

Context: he : ∀ (i : I), IsIdempotentElem (e i)

Context: he' : ∀ (i : I), IsMulCentral (e i)

Context: e' : I → R

Context: h₁ : CompleteOrthogonalIdempotents e'

Context: h₂ : ⇑f ∘ e' = ⇑f ∘ e


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: f : R →+* S

Context: I : Type u_3

Context: e : I → R

Context: he✝¹ : OrthogonalIdempotents e

Context: inst✝ : Fintype I

Context: he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e

Context: h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x

Context: he : ∀ (i : I), IsIdempotentElem (e i)

Context: he' : ∀ (i : I), IsMulCentral (e i)

Context: h₁ : CompleteOrthogonalIdempotents e

Context: h₂ : ⇑f ∘ e = ⇑f ∘ e


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
n : ℕ

∃ N, ∀ m_1 ≥ N, μ {x | 2⁻¹ ^ n ≤ dist (f m_1 x) (g x)} ≤ 2⁻¹ ^ n


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: n : ℕ

Context: hfg : Tendsto (fun i => μ {x | 2⁻¹ ^ n ≤ dist (f i x) (g x)}) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: n : ℕ

Context: hfg : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n_1 ≥ N, μ {x | 2⁻¹ ^ n ≤ dist (f n_1 x) (g x)} ≤ ε


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M × N →ₗ[R] M
i : Injective ⇑f
n : ℕ

Disjoint (f.tailing i n) (OrderDual.ofDual ((f.tunnel i) (n + 1)))


f.tailing i n ⊓ OrderDual.ofDual ((f.tunnel i) (n + 1)) = ⊥


Submodule.map (f.tunnelAux (f.tunnel' i n)) (Submodule.snd R M N) ⊓ Submodule.map (f.tunnelAux (f.tunnel' i n)) (Submodule.fst R M N) = ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
H : a / b = c / d


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : AddCommGroupWithOne R

Context: inst✝³ : PartialOrder R

Context: inst✝² : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : ZeroLEOneClass R

Context: inst✝ : NeZero 1

Context: m n : ℤ

Context: h : m ≤ n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : AddCommGroupWithOne R

Context: inst✝³ : PartialOrder R

Context: inst✝¹ : ZeroLEOneClass R

Context: inst✝ : NeZero 1

Context: m n : ℤ

Context: h : 0 ≤ n - m


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : AddCommGroupWithOne R

Context: inst✝³ : PartialOrder R

Context: inst✝¹ : ZeroLEOneClass R

Context: inst✝ : NeZero 1

Context: m n : ℤ

Context: k : ℕ

Context: hk : ↑k = n - m


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type v

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: T : Type u_1

Context: inst✝² : CommSemiring T

Context: inst✝¹ : Algebra R T

Context: inst✝ : IsLocalization S T

Context: s : ↥S

Context: p : LocalizedModule S M

Context: x✝² x✝¹ : M × ↥S

Context: a : M

Context: b : ↥S

Context: a' : M

Context: b' : ↥S

Context: x✝ : (a, b) ≈ (a', b')

Context: c : ↥S

Context: eq1 : c • (a', b').2 • (a, b).1 = c • (a, b).2 • (a', b').1


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S
x y : LocalizedModule S M

(fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯) (x + y) = (fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯) x + (fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯) y


∀ (m m' : M) (s_1 s' : ↥S), (fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯) (mk m s_1 + mk m' s') = (fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯) (mk m s_1) + (fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯) (mk m' s')


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S
x y : LocalizedModule S M
m₁ m₂ : M
t₁ t₂ : ↥S

(fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯) (mk m₁ t₁ + mk m₂ t₂) = (fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯) (mk m₁ t₁) + (fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯) (mk m₂ t₂)


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S
r : R
x : LocalizedModule S M

{ toFun := fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) = (RingHom.id R) r • { toFun := fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun x


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S
r : R
x : LocalizedModule S M
x✝¹ : M
x✝ : ↥S

{ toFun := fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (r • mk x✝¹ x✝) = (RingHom.id R) r • { toFun := fun p => p.liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (mk x✝¹ x✝)


(mk ((IsLocalization.sec S (↑(algebraMap R (Localization S)).toMonoidWithZeroHom r)).1 • (x✝¹, x✝).1) ((IsLocalization.sec S (↑(algebraMap R (Localization S)).toMonoidWithZeroHom r)).2 * (x✝¹, x✝).2)).liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯ = r • (mk x✝¹ x✝).liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯


{ toFun := (↑↑(algebraMap R (Localization S))).toFun, map_zero' := ⋯ } r • mk x✝¹ (x✝ * s) = r • mk x✝¹ (x✝ * s)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: i j k : 𝒰.J

(fun i j k => t' 𝒰 f g i j k) i j k ≫ pullback.snd ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j k) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j i) = pullback.fst ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i j) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i k) ≫ (fun i j => t 𝒰 f g i j) i j


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: i j k : 𝒰.J

((fun i j k => t' 𝒰 f g i j k) i j k ≫ pullback.snd ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j k) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j i)) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i) = (pullback.fst ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i j) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i k) ≫ (fun i j => t 𝒰 f g i j) i j) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: i j k : 𝒰.J

((fun i j k => t' 𝒰 f g i j k) i j k ≫ pullback.snd ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j k) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j i)) ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i) = (pullback.fst ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i j) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i k) ≫ (fun i j => t 𝒰 f g i j) i j) ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: i j k : 𝒰.J

(((fun i j k => t' 𝒰 f g i j k) i j k ≫ pullback.snd ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j k) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j i)) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i)) ≫ pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g = ((pullback.fst ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i j) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i k) ≫ (fun i j => t 𝒰 f g i j) i j) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i)) ≫ pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: i j k : 𝒰.J

(((fun i j k => t' 𝒰 f g i j k) i j k ≫ pullback.snd ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j k) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) j i)) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i)) ≫ pullback.snd (𝒰.map j ≫ f) g = ((pullback.fst ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i j) ((fun i j => pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)) i k) ≫ (fun i j => t 𝒰 f g i j) i j) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i)) ≫ pullback.snd (𝒰.map j ≫ f) g


Context:
n : ℕ
i a b : Fin (n + 1)
hab : a ≤ b
H : {i, a, b}.card ≤ n

Set.range ⇑(asOrderHom (standardSimplex.edge n a b hab)) ∪ {i} ≠ Set.univ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝ : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f g : (i : ι) → H i

Context: hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)

Context: hind : CompleteLattice.Independent fun i => (ϕ i).range

Context: hinj : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(ϕ i)

Function.Injective ⇑(noncommPiCoprod ϕ hcomm)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s✝ t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
inst✝ : SeparableSpace 𝕜
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
inst✝ : SeparableSpace 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
ts : t ⊆ s
t_count : t.Countable
ht : s ⊆ closure t


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
inst✝ : SeparableSpace 𝕜
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
ts : t ⊆ s
t_count : t.Countable
ht : s ⊆ closure t
this : s ⊆ closure (s ∩ t)


IsSeparable (closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t)))


Context:
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hm : m ≤ mΩ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s

(fun ω => (((condexpKernel μ m) ω) s).toReal) =ᶠ[ae (μ.trim hm)] μ[s.indicator fun ω => 1|m]


(fun ω => (((condexpKernel μ m) ω) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m]


StronglyMeasurable fun ω => (((condexpKernel μ m) ω) s).toReal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
p : α → Prop
f✝ : (a : α) → p a → β
x✝ : Option α
f : β → γ
x : Option α
g : (a : α) → a ∈ x → Option β

Option.map f (x.pbind g) = x.pbind fun a H => Option.map f (g a H)


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)

∃ u n, Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis = ↑↑u * ↑↑p ^ n


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)

∃ u n, Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).basis = ↑↑u * ↑↑p ^ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : OuterMeasure α
f : α → β
s : Set β

((map f) ⊤) s = ((restrict (range f)) ⊤) s


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
hc_ne_top : c ≠ ⊤

llr (c • μ) ν =ᶠ[ae μ] fun x => llr μ ν x + log c.toReal


(fun x => log ((c • μ).rnDeriv ν x).toReal) =ᶠ[ae μ] fun x => log (μ.rnDeriv ν x).toReal + log c.toReal


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

Context: hμν : μ ≪ ν

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc : c ≠ 0

Context: hc_ne_top : c ≠ ⊤

Context: h : (c • μ).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] c • μ.rnDeriv ν


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

Context: hμν : μ ≪ ν

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc : c ≠ 0

Context: hc_ne_top : c ≠ ⊤

Context: x : α

Context: hx_eq : (c • μ).rnDeriv ν x = (c • μ.rnDeriv ν) x

Context: hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x

Context: hx_ne_top : μ.rnDeriv ν x < ⊤

log ((c • μ).rnDeriv ν x).toReal = log (μ.rnDeriv ν x).toReal + log c.toReal


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

Context: hμν : μ ≪ ν

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc : c ≠ 0

Context: hc_ne_top : c ≠ ⊤

Context: x : α

Context: hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x

Context: hx_ne_top : μ.rnDeriv ν x < ⊤

log ((c • μ.rnDeriv ν) x).toReal = log (μ.rnDeriv ν x).toReal + log c.toReal


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

Context: hμν : μ ≪ ν

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc : c ≠ 0

Context: hc_ne_top : c ≠ ⊤

Context: x : α

Context: hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x

Context: hx_ne_top : μ.rnDeriv ν x < ⊤

log (c.toReal * (μ.rnDeriv ν x).toReal) = log (μ.rnDeriv ν x).toReal + log c.toReal


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

Context: hμν : μ ≪ ν

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc : c ≠ 0

Context: hc_ne_top : c ≠ ⊤

Context: x : α

Context: hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x

Context: hx_ne_top : μ.rnDeriv ν x < ⊤

log c.toReal + log (μ.rnDeriv ν x).toReal = log (μ.rnDeriv ν x).toReal + log c.toReal


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

Context: hμν : μ ≪ ν

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc : c ≠ 0

Context: hc_ne_top : c ≠ ⊤

Context: x : α

Context: hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x

Context: hx_ne_top : μ.rnDeriv ν x < ⊤


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: A B : Subalgebra R S

Context: inst✝³ : Module.Free R ↥A

Context: inst✝² : Module.Free R ↥B

Context: inst✝¹ : Module.Free ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)

Context: inst✝ : Module.Free ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)

finrank R ↥(A ⊔ B) = finrank R ↥B * finrank ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
hf : Injective f
x : α
s : Multiset α

map f (s.erase x) = (map f s).erase (f x)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
hf : Injective f
x : α

map f (erase 0 x) = (map f 0).erase (f x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: f : α → β

Context: hf : Injective f

Context: x y : α

Context: s : Multiset α

Context: ih : map f (s.erase x) = (map f s).erase (f x)

map f ((y ::ₘ s).erase x) = (map f (y ::ₘ s)).erase (f x)


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : CompleteLattice α✝
s✝ : Set α✝
hs : SetIndependent s✝
α : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α

SetIndependent s ↔ Independent Subtype.val


(∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → Disjoint a (⨆ a_2 ∈ s \ {a}, a_2)) ↔ ∀ (x : α) (h : x ∈ s), Disjoint x (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ ⟨x, h⟩), ↑j)


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : CompleteLattice α✝
s✝ : Set α✝
hs : SetIndependent s✝
α : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
a : α
ha : a ∈ s

Disjoint a (⨆ a_1 ∈ s \ {a}, a_1) ↔ Disjoint a (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ ⟨a, ha⟩), ↑j)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : IsClosed t


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
f : R[X]
hp : 0 < p


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hnot : ¬x ^ p ^ n = 1
hfin : x ^ p ^ (n + 1) = 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α

Context: f : ι → α


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure Ω

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)

Context: E : Set Ω

Context: E_mble : MeasurableSet E

Context: h : μ E ≤ liminf (fun i => (μs i) E) L


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: μ : Measure Ω

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: E : Set Ω

Context: E_mble : MeasurableSet E

Context: h : μ E ≤ liminf (fun i => (μs i) E) ⊥


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure Ω

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: E : Set Ω

Context: E_mble : MeasurableSet E

Context: h : μ E ≤ liminf (fun i => (μs i) E) L

Context: hne : L.NeBot


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure Ω

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: E : Set Ω

Context: E_mble : MeasurableSet E

Context: h : μ E ≤ liminf (fun i => (μs i) E) L

Context: hne : L.NeBot

Context: meas_Ec : μ Eᶜ = 1 - μ E


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure Ω

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: E : Set Ω

Context: E_mble : MeasurableSet E

Context: h : μ E ≤ liminf (fun i => (μs i) E) L

Context: hne : L.NeBot

Context: meas_Ec : μ Eᶜ = 1 - μ E

Context: meas_i_Ec : ∀ (i : ι), (μs i) Eᶜ = 1 - (μs i) E


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure Ω

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: E : Set Ω

Context: E_mble : MeasurableSet E

Context: h : μ E ≤ liminf (fun i => (μs i) E) L

Context: hne : L.NeBot

Context: meas_Ec : μ Eᶜ = 1 - μ E

Context: obs : limsup (fun i => 1 - (μs i) E) L = limsup ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L

limsup ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L ≤ 1 - μ E


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure Ω

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: E : Set Ω

Context: E_mble : MeasurableSet E

Context: h : μ E ≤ liminf (fun i => (μs i) E) L

Context: hne : L.NeBot

Context: meas_Ec : μ Eᶜ = 1 - μ E

Context: this : 1 - liminf (fun i => (μs i) E) L = limsup ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure Ω

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: E : Set Ω

Context: E_mble : MeasurableSet E

Context: h : μ E ≤ liminf (fun i => (μs i) E) L

Context: hne : L.NeBot

Context: meas_Ec : μ Eᶜ = 1 - μ E

1 - liminf (fun i => (μs i) E) L ≤ 1 - μ E


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
i j : ι

(b.dualBasis i) (b j) = if j = i then 1 else 0


Context:
X : ℕ → Type u
inst✝ : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)
f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)
I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)
n : ℕ
x y : X n

inductiveLimitDist f ⟨n, x⟩ ⟨n, y⟩ = dist x y


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: f' g : ℝ → E

Context: derivf : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ici x) x

Context: derivg : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (f' x) (Ici x) x

Context: fcont : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: gcont : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hi : f a = g a


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: f' g : ℝ → E

Context: fcont : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: gcont : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hi : f a - g a = 0


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]
a : R


Context: σ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: φ ψ : R[X]

Context: a : R

Context: this : ↑((monomial 0) a) = (PowerSeries.monomial R 0) a


Context:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ

f.length (Ioc a b) = ofReal (↑f b - ↑f a)


Context:
f : StieltjesFunction
a b a' b' : ℝ
h : Ioc a b ⊆ Ioc a' b'

(↑f b - ↑f a).toNNReal ≤ (↑f b' - ↑f a').toNNReal


Context:
f : StieltjesFunction
a b a' b' : ℝ
h : Ioc a b ⊆ Ioc a' b'
ab : b ≤ a


Context:
f : StieltjesFunction
a b a' b' : ℝ
h : Ioc a b ⊆ Ioc a' b'
ab : a < b


Context:
f : StieltjesFunction
a b a' b' : ℝ
h : Ioc a b ⊆ Ioc a' b'
ab : a < b
h₁ : b ≤ b'
h₂ : a' ≤ a


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
S : Submonoid R
inst✝ : OreSet S
r₁ r₂ : R
s₁ s₂ : ↥S

r₁ /ₒ s₁ * (r₂ /ₒ s₂) = r₁ * r₂ /ₒ (s₁ * s₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
s : Set α

MeasurableSet (Sum.inl '' s) ↔ MeasurableSet s


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
ι : Type v
α : ι → TopCat
i : ι
x : ↑(∏ᶜ α)


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: ι : Type v

Context: α : ι → TopCat

Context: i : ι

Context: x : ↑(∏ᶜ α)

Context: this : (piIsoPi α).inv ≫ Pi.π α i = piπ α i


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: ι : Type v

Context: α : ι → TopCat

Context: i : ι

Context: x : ↑(∏ᶜ α)

Context: this : Pi.π α i = (piIsoPi α).hom ≫ piπ α i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ∞
hst : s ⊆ t
hsk : s.encard ≤ k
hkt : k ≤ t.encard


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ∞
hst : s ⊆ t
hsk : s.encard ≤ k
hkt : k ≤ t.encard
hs : s.encard = ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ∞
hst : s ⊆ t
hsk : s.encard ≤ k
hkt : k ≤ t.encard
hs : s.encard ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hst : s ⊆ t
hs : s.encard ≠ ⊤
k : ℕ∞
hsk : s.encard ≤ s.encard + k
hkt : s.encard + k ≤ t.encard

∃ r, s ⊆ r ∧ r ⊆ t ∧ r.encard = s.encard + k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hst : s ⊆ t
hs : s.encard ≠ ⊤
k : ℕ∞
hsk : s.encard ≤ s.encard + k
hkt : s.encard + k ≤ t.encard
k' : ℕ∞
hk' : t.encard = s.encard + k + k'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hst : s ⊆ t
hs : s.encard ≠ ⊤
k : ℕ∞
hsk : s.encard ≤ s.encard + k
hkt : s.encard + k ≤ t.encard
k' : ℕ∞
hk' : t.encard = s.encard + k + k'
hk : k ≤ (t \ s).encard


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t : Set α

Context: hst : s ⊆ t

Context: hs : s.encard ≠ ⊤

Context: k' : ℕ∞

Context: r' : Set α

Context: hr' : r' ⊆ t \ s

Context: hsk : s.encard ≤ s.encard + r'.encard

Context: hkt : s.encard + r'.encard ≤ t.encard

Context: hk' : t.encard = s.encard + r'.encard + k'

Context: hk : r'.encard ≤ (t \ s).encard

∃ r, s ⊆ r ∧ r ⊆ t ∧ r.encard = s.encard + r'.encard


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t : Set α

Context: hst : s ⊆ t

Context: hs : s.encard ≠ ⊤

Context: k' : ℕ∞

Context: r' : Set α

Context: hr' : r' ⊆ t \ s

Context: hsk : s.encard ≤ s.encard + r'.encard

Context: hkt : s.encard + r'.encard ≤ t.encard

Context: hk : r'.encard ≤ (t \ s).encard


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
b : R
hb : b ≠ 0
g : α →₀ M
a : α


Context:
n : ℕ
x : PartENat


Context:
n : ℕ
x : PartENat

(∀ (hy : x.Dom), (↑n).get ⋯ < x.get hy) ↔ ∀ (h : x.Dom), n < x.get h


Context: L : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace L

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : SemilatticeInf L

Context: inst✝¹ : OrderTop L

Context: inst✝ : ContinuousInf L

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → X → L

Context: t : Set X

Context: x : X

Context: hs : ∀ i ∈ s, ContinuousWithinAt (f i) t x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → β
hf : Integrable f μ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Set ℕ

ThreeAPFree s ↔ ∀ ⦃a : ℕ⦄, a ∈ s → ∀ ⦃b : ℕ⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : ℕ⦄, c ∈ s → a + c = b + b → a = c


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Set ℕ
a : ℕ
_ha : a ∈ s
b : ℕ
hb : b ∈ s
c : ℕ
hc : c ∈ s
habc : a + c = b + b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort u_5

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: f✝ : Filter α

Context: g✝ : Filter β

Context: f : Filter α

Context: g : Filter γ

Context: p : (α × α) × γ → Prop

Context: h : ∀ᶠ (x : (α × α) × γ) in (f ×ˢ f) ×ˢ g, p x

∀ᶠ (x : α × γ) in f ×ˢ g, p ((x.1, x.1), x.2)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort u_5

Context: s✝ : Set α

Context: t✝ : Set β

Context: f✝ : Filter α

Context: g✝ : Filter β

Context: f : Filter α

Context: g : Filter γ

Context: p : (α × α) × γ → Prop

Context: t : α × α → Prop

Context: ht : ∀ᶠ (x : α × α) in f ×ˢ f, t x

Context: s : γ → Prop

Context: hs : ∀ᶠ (y : γ) in g, s y

Context: hst : ∀ {x : α × α}, t x → ∀ {y : γ}, s y → p (x, y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
hs : b ∈ s
hsa : b ∉ s.erase a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
hs : b ∈ s
hsa : b ≠ a → b ∉ s


Context:
α : Type u
β : Type v
x : α
x✝ : Nat

x ∈ [].eraseIdx x✝ ↔ ∃ i, ↑i ≠ x✝ ∧ [][↑i] = x


Context:
α : Type u
β : Type v
x : α
x✝ : Nat


Context:
α : Type u
β : Type v
x : α
x✝ i : Nat
h : i < [].length


Context:
α : Type u
β : Type v
x a : α
l : List α

x ∈ (a :: l).eraseIdx 0 ↔ ∃ i, ↑i ≠ 0 ∧ (a :: l)[↑i] = x


Context:
α : Type u
β : Type v
x a : α
l : List α
k : Nat

x ∈ (a :: l).eraseIdx (k + 1) ↔ ∃ i, ↑i ≠ k + 1 ∧ (a :: l)[↑i] = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
R' : Type u_4
S : Type u_5
S' : Type u_6
T : Type u_7
T' : Type u_8
inst✝⁴ : NonAssocSemiring R
inst✝³ : NonAssocSemiring S
inst✝² : NonAssocSemiring R'
inst✝¹ : NonAssocSemiring S'
inst✝ : Subsingleton S
fst✝ : S
snd✝ : R

(fun x => (0, x)) (fst✝, snd✝).2 = (fst✝, snd✝)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁷ : LinearOrderedField 𝕜

Context: t : Finset (α × β × γ)

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c c' : γ

Context: x✝ : α × β × γ

Context: ε✝ : 𝕜

Context: inst✝⁶ : DecidableEq α

Context: inst✝⁵ : DecidableEq β

Context: inst✝⁴ : DecidableEq γ

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : Fintype β

Context: inst✝¹ : Fintype γ

Context: inst✝ : ExplicitDisjoint t

Context: ε : 𝕜

Context: ht : ε * ↑((Fintype.card α + Fintype.card β + Fintype.card γ) ^ 2) ≤ ↑t.card

Context: x : α × β × γ

Context: hx : x ∈ t

x ∈ ((graph t).cliqueFinset 3).preimage ⇑toTriangle ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁷ : LinearOrderedField 𝕜

Context: t : Finset (α × β × γ)

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c c' : γ

Context: x : α × β × γ

Context: ε✝ : 𝕜

Context: inst✝⁶ : DecidableEq α

Context: inst✝⁵ : DecidableEq β

Context: inst✝⁴ : DecidableEq γ

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : Fintype β

Context: inst✝¹ : Fintype γ

Context: inst✝ : ExplicitDisjoint t

Context: ε : 𝕜

ε * ↑(Fintype.card (α ⊕ β ⊕ γ) ^ 2) ≤ ↑(map toTriangle t).card


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hg : Inducing g
hf : Inducing f

inst✝² = TopologicalSpace.induced (g ∘ f) inst✝


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝³ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : hr₁.IsPreservedBy F
inst✝ : hr₂.IsPreservedBy F
γ : RightHomologyMapData φ hr₁ hr₂

F.map (opcyclesMap' φ hr₁ hr₂) = opcyclesMap' (F.mapShortComplex.map φ) (hr₁.map F) (hr₂.map F)


Context:
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
h : IsUnit ↑(den A x)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x : K

Context: h : IsUnit ↑(IsFractionRing.den A x)

Context: den : A

Context: hd : ↑(IsFractionRing.den A x) * den = 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x : K

Context: h : IsUnit ↑(IsFractionRing.den A x)

Context: den : A


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x : K

Context: h : IsUnit ↑(IsFractionRing.den A x)

Context: den : A

(algebraMap A K) (num A x * den) = (algebraMap A K) (num A x) / (algebraMap A K) ↑(IsFractionRing.den A x)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x : K

Context: h : IsUnit ↑(IsFractionRing.den A x)

Context: den : A

(algebraMap A K) (num A x) * (algebraMap A K) den = (algebraMap A K) (num A x) * ((algebraMap A K) ↑(IsFractionRing.den A x))⁻¹


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x : K

Context: h : IsUnit ↑(IsFractionRing.den A x)

Context: den : A

(algebraMap A K) den = ((algebraMap A K) ↑(IsFractionRing.den A x))⁻¹


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x : K

Context: h : IsUnit ↑(IsFractionRing.den A x)

Context: den : A

(algebraMap A K) ↑(IsFractionRing.den A x) * (algebraMap A K) den = 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x : K

Context: h : IsUnit ↑(IsFractionRing.den A x)

Context: den : A

(algebraMap A K) (↑(IsFractionRing.den A x) * den) = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
h✝ : IsInteger A x
v : A
h : (algebraMap A K) v = x


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1

(C a * X ^ 2 + C b * X + C c).degree ≤ 2


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : PushoutCocone f f
hc : IsColimit c


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
u : κ → UniformSpace α'
F : ι → X → α'
S : Set X
x₀ : X

EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ ∀ (k : κ), EquicontinuousWithinAt F S x₀


ContinuousWithinAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) S x₀ ↔ ∀ (k : κ), ContinuousWithinAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) S x₀


Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) (𝓝[S] x₀) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀)) ↔ ∀ (k : κ), Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) (𝓝[S] x₀) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀))


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H : Subgroup G
K : Subgroup N


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx0 : 0 < x
hx1 : x < 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b : α
s t : Finset α
a : α
h : a ∉ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b : α
s t : Finset α
a : α
h : s = insert a t


Context: x y : ℝ*

x.InfiniteNeg → ¬y.Infinitesimal → 0 < y → (x * y).InfiniteNeg


Context: x y : ℝ*

(-x).InfinitePos → ¬y.Infinitesimal → 0 < y → (-x * y).InfinitePos


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁷ : LinearOrder α✝

Context: inst✝⁶ : LinearOrder β

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α✝

Context: inst✝⁴ : OrderTopology β

Context: α : Type u_4

Context: inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : FirstCountableTopology α

Context: S : Set α

Context: hS : S.Nonempty

Context: hS' : BddAbove S

∃ u, Monotone u ∧ Tendsto u atTop (𝓝 (sSup S)) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ S


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁷ : LinearOrder α✝

Context: inst✝⁶ : LinearOrder β

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α✝

Context: inst✝⁴ : OrderTopology β

Context: α : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : FirstCountableTopology α

Context: S : Set α

Context: hS : S.Nonempty

Context: hS' : BddAbove S

Context: u : ℕ → α

Context: hu : Monotone u ∧ (∀ (n : ℕ), u n ≤ sSup S) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 (sSup S)) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ S


Context:
F : Type u
K : Type v
A : Type w
inst✝⁶ : DivisionRing F
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module F K
inst✝² : Module K A
inst✝¹ : Module F A
inst✝ : IsScalarTower F K A
hf : FiniteDimensional F A
b : Finset A
hb : span F ↑b = ⊤

restrictScalars F (span K ↑b) = restrictScalars F ⊤


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
ha : a ≠ 0
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
ha : a ≠ 0

a ^ (Int.negSucc 0 + 1) = a ^ Int.negSucc 0 * a


a ^ (Int.negSucc (n + 1) + 1) = a ^ Int.negSucc (n + 1) * a


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
p : Submodule R₂ M₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
x : M
hx : x ∈ ker f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
x : α
xs : List α

enumFrom n (x :: xs) = (n, x) :: map (Prod.map Nat.succ id) (enumFrom n xs)


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
a₁ b₁ : M
a₂ b₂ : ↥S

f.mk' a₁ a₂ = f.mk' b₁ b₂ ↔ (Localization.r S) (a₁, a₂) (b₁, b₂)


Context:
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
inst✝¹ : UniformSpace F
inst✝ : UniformAddGroup F
𝔖 : Set (Set E)

TopologicalAddGroup.toUniformSpace F = inst✝¹


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
h : p ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: s : E

Context: p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E

Context: f g : 𝕜 → E

Context: n : ℕ

Context: z z₀ : 𝕜

Context: hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀

Context: h : p ≠ 0

Context: h2 : ContinuousAt ((swap dslope z₀)^[p.order] f) z₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: s : E

Context: p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E

Context: f g : 𝕜 → E

Context: n : ℕ

Context: z z₀ : 𝕜

Context: hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀

Context: h : p ≠ 0

Context: h3 : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, (swap dslope z₀)^[p.order] f z ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: s : E

Context: p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E

Context: f g : 𝕜 → E

Context: n : ℕ

Context: z✝ z₀ : 𝕜

Context: hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀

Context: h : p ≠ 0

Context: z : 𝕜

Context: e1 : f z = (z - z₀) ^ p.order • (swap dslope z₀)^[p.order] f z

Context: e2 : (swap dslope z₀)^[p.order] f z ≠ 0

Context: e3 : z ∈ {z₀}ᶜ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
f : E →ᵃ[𝕜] F
s : Set E

⇑f '' (convexHull 𝕜) s = (convexHull 𝕜) (⇑f '' s)


⇑f '' (convexHull 𝕜) s ⊆ (convexHull 𝕜) (⇑f '' s)


(convexHull 𝕜) (⇑f '' s) ⊆ ⇑f '' (convexHull 𝕜) s


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : CommSemiring R

Context: M₁ : Type u_2

Context: M₂ : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁹ : Module R M₁

Context: inst✝⁸ : Module R M₂

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module R M'

Context: f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M

Context: N₁ : Type u_6

Context: N₂ : Type u_7

Context: N : Type u_8

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid N

Context: inst✝² : Module R N₁

Context: inst✝¹ : Module R N₂

Context: inst✝ : Module R N

Context: g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N

Context: h : IsTensorProduct f

Context: C : M → Prop

Context: m : M

Context: h0 : C 0

Context: htmul : ∀ (x : M₁) (y : M₂), C ((f x) y)

Context: hadd : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x + y)

Context: y : M₁ ⊗[R] M₂


Context:
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
a : Fin (n + 2)
b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hk : optParam (a.succAbove b ≠ 0) ⋯

(a.pred ha).succAbove (b.pred hb) = (a.succAbove b).pred hk


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : Group α
a : α
ha : 1 < a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s : Finset α


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
s₁ s₂ : Stream' α
x✝ : a ∈ s₁
n : ℕ
h : (fun b => a = b) (s₁.get n)

(fun b => a = b) ((s₁ ⋈ s₂).get (2 * n))


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: h : minkowskiBound K I < volume (convexBodyLT K f)

∃ a ∈ ↑I, a ≠ 0 ∧ ∀ (w : InfinitePlace K), w a < ↑(f w)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: h_fund : IsAddFundamentalDomain (↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup) (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) volume


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: this : Countable ↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

Context: hx : x ∈ (span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup

Context: h_nz : ⟨x, hx⟩ ≠ 0

Context: h_mem : ↑⟨x, hx⟩ ∈ convexBodyLT K f


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: hx✝ : x ∈ (span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup

Context: hx : x ∈ ⇑(mixedEmbedding K) '' ↑↑I

Context: h_nz : ⟨x, hx✝⟩ ≠ 0

Context: h_mem : ↑⟨x, hx✝⟩ ∈ convexBodyLT K f


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: a : K

Context: ha : a ∈ ↑↑I

Context: hx : (mixedEmbedding K) a ∈ (span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup

Context: h_nz : ⟨(mixedEmbedding K) a, hx⟩ ≠ 0

Context: h_mem : ↑⟨(mixedEmbedding K) a, hx⟩ ∈ convexBodyLT K f


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : CommRing C
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : Fintype κ
inst✝ : DecidableEq κ
b : Basis κ A B
i j : κ

traceMatrix A (⇑b) i j = (BilinForm.toMatrix b) (traceForm A B) i j


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommMonoid M

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: m✝ m' : M

Context: G : Type u_2

Context: inst✝³ : CommGroup G

Context: g g' : G

Context: inst✝² : T2Space M

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable β

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: m : α → M

Context: m0 : m ⊥ = 1

Context: R : M → M → Prop

Context: m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∏' (i : ℕ), m (s i))

Context: s : γ → α

Context: t : Finset γ


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommMonoid M

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: m✝ m' : M

Context: G : Type u_2

Context: inst✝³ : CommGroup G

Context: g g' : G

Context: inst✝² : T2Space M

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable β

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: m : α → M

Context: m0 : m ⊥ = 1

Context: R : M → M → Prop

Context: s : γ → α

Context: t : Finset γ


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
p₁ p₂ p₃ p₄ : P

nndist (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₄) ≤ nndist p₁ p₃ + nndist p₂ p₄


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
x y : α

s ⊆ {x, y} ↔ s = ∅ ∨ s = {x} ∨ s = {y} ∨ s = {x, y}


s ⊆ {x, y} → s = ∅ ∨ s = {x} ∨ s = {y} ∨ s = {x, y}


(s = ∅ ∨ s = {y}) ∨ x ∈ s ∧ ((s = ∅ ∨ s = {x}) ∨ s \ {x} = {y}) → s = ∅ ∨ s = {x} ∨ s = {y} ∨ s = {x, y}


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
x y : α
h : x ∈ s → {y} = s \ {x} → s = {x, y}


Context: p : ZFSet → Prop

Context: x y✝ : ZFSet

Context: x✝¹ y : PSet

Context: α : Type u

Context: A : α → PSet

Context: x✝ : ⟦y⟧ ∈ ZFSet.sep p ⟦PSet.mk α A⟧

Context: a : (PSet.mk α A).Type

Context: pa : (fun y => p (mk y)) ((PSet.mk α A).Func a)

Context: h : y.Equiv (Func ↑(Resp.f ⟨PSet.sep fun y => p (mk y), ⋯⟩ (PSet.mk α A)) ⟨a, pa⟩)


Context:
p : ZFSet → Prop
x y✝ : ZFSet
x✝¹ y : PSet
α : Type u
A : α → PSet
x✝ : ⟦y⟧ ∈ ⟦PSet.mk α A⟧ ∧ p ⟦y⟧
a : (PSet.mk α A).Type
h : y.Equiv ((PSet.mk α A).Func a)
pa : p ⟦y⟧

(fun y => p (mk y)) ((PSet.mk α A).Func a)


Context:
p : ZFSet → Prop
x y✝ : ZFSet
x✝¹ y : PSet
α : Type u
A : α → PSet
x✝ : ⟦y⟧ ∈ ⟦PSet.mk α A⟧ ∧ p ⟦y⟧
a : (PSet.mk α A).Type
h : y.Equiv (A a)
pa : p ⟦y⟧


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x y : M ⧸ S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Finite β
f : α → β

Bijective f ↔ Injective f ∧ Nat.card α = Nat.card β


Injective f → (Surjective f ↔ Nat.card α = Nat.card β)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Finite β
f : α → β
this✝ : Fintype β
this : Fintype α


Context:
α : Type u_1
R : α → α → Prop
l : List α

Pairwise R l.reverse ↔ Pairwise (fun a b => R b a) l


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f g : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: c : ℝ

Context: hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c

Context: this : μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m]


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: c : ℝ

Context: hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c

μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: c : ℝ

Context: hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c

Context: this✝ : μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m]

Context: this : f * μ[g|m] =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g|m]


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: c : ℝ

Context: hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c

μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m] =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g|m]


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: c : ℝ

Context: hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c

∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖AEStronglyMeasurable'.mk f hf x‖ ≤ c


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : AEStronglyMeasurable' m f μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: c : ℝ

Context: hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c

Context: x : α

Context: hxc : ‖f x‖ ≤ c

Context: hx_eq : f x = AEStronglyMeasurable'.mk f hf x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Lattice α

Context: inst✝² : Group α

Context: a✝ : α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Lattice α

Context: inst✝² : Group α

Context: a✝ : α

Context: a : α


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_4
inst✝ : Finite ι
g : ι → M'


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_4
inst✝ : Finite ι
g : ι → M'
val✝ : Fintype ι


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: inst✝¹ : IsLocalizedModule S f

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Finite ι

Context: g : ι → M'

Context: val✝ : Fintype ι

Context: b : ↥S

Context: hb : ∀ i ∈ Finset.univ, IsInteger f (↑b • g i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : HasFiniteIntegral f μ
x : α


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
S : Type u_10
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M'
inst✝ : SMulCommClass R S M'
f : ι → M'
x : M

((b.constr S) f) x = (b.repr x).sum fun b a => a • f b


((Finsupp.mapDomain f (↑b.repr x)).sum fun i a => a • id i) = (b.repr x).sum fun b a => a • f b


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: x✝ : X


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hI : (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹ ≤ 1


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hI : (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹ ≤ 1
J : Ideal A
hJ : ↑J = ↑I * (↑I)⁻¹


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hI : (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹ ≤ 1
J : Ideal A
hJ : ↑J = ↑I * (↑I)⁻¹
hJ0 : ¬J = ⊥
hJ1 : ¬J = ⊤


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a : α
ha : 0 ≤ a
x✝ : ℕ


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
ht : IsLindelof t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
μ : Measure α
s : Set α


MeasurableSet (if h : ∃ t ⊇ s, MeasurableSet t ∧ t =ᶠ[ae μ] s then h.choose else if h' : ∃ t ⊇ s, MeasurableSet t ∧ ∀ (u : Set α), MeasurableSet u → μ (t ∩ u) = μ (s ∩ u) then h'.choose else ⋯.choose)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort u_5

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: s : Set α

Context: hs : ∃ t ⊇ s, MeasurableSet t ∧ t =ᶠ[ae μ] s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort u_5

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: s : Set α

Context: hs : ¬∃ t ⊇ s, MeasurableSet t ∧ t =ᶠ[ae μ] s

Context: h's : ∃ t ⊇ s, MeasurableSet t ∧ ∀ (u : Set α), MeasurableSet u → μ (t ∩ u) = μ (s ∩ u)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort u_5

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: s : Set α

Context: h's : ¬∃ t ⊇ s, MeasurableSet t ∧ ∀ (u : Set α), MeasurableSet u → μ (t ∩ u) = μ (s ∩ u)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
x : α


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
x : R
hx : ∀ i ∈ s, x ≠ v i


Context: θ : Angle

θ ≠ -θ ↔ θ ≠ 0 ∧ θ ≠ ↑π


Context: a : ℍ


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re

completedRiemannZeta s = ↑π ^ (-s / 2) * Complex.Gamma (s / 2) * ∑' (n : ℕ), 1 / ↑n ^ s


Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: this : completedCosZeta (↑0) s = ∑' (b : ℕ), if b = 0 then 0 else s.Gammaℝ * ↑(Real.cos (2 * π * 0 * ↑b)) / ↑b ^ s


Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: this : completedRiemannZeta s = ∑' (b : ℕ), if b = 0 then 0 else s.Gammaℝ * ↑(Real.cos (2 * π * 0 * ↑b)) / ↑b ^ s


Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

(∑' (b : ℕ), if b = 0 then 0 else ↑π ^ (-s / 2) * Complex.Gamma (s / 2) / ↑b ^ s) = ∑' (x : ℕ), ↑π ^ (-s / 2) * Complex.Gamma (s / 2) / ↑x ^ s


Context: x✝ y x : ℝ

HasStrictDerivAt arsinh (√(1 + x ^ 2))⁻¹ x


Context: x✝ y x : ℝ

√(1 + x ^ 2) = cosh (↑sinhHomeomorph.toPartialHomeomorph.symm x)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

∃ c ∈ Set.Ioo 0 1, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c * ↑n ≤ ↑(r i n)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
gt_zero : 0 < b (min_bi b)


Context:
x✝ y✝ x y : ℝ
h : -1 ≤ x


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
f : ℕ → M
m n k : ℕ
hmn : m ≤ n
hnk : n ≤ k

(∏ i ∈ Ioc m n, f i) * ∏ i ∈ Ioc n k, f i = ∏ i ∈ Ioc m k, f i


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
f : ℕ → M
m n k : ℕ
hmn : m ≤ n
hnk : n ≤ k
x : ℕ
hx : x ∈ Ioc m n
h'x : x ∈ Ioc n k


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{?u.259403, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : Preadditive D

Context: F G : CochainComplex C ℤ

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝ : HasHomotopyCofiber φ

Context: K L : CochainComplex C ℤ

Context: α : Cocycle K F 1

Context: β : Cochain K G 0

Context: eq : δ 0 1 β + (↑α).comp (Cochain.ofHom φ) ⋯ = 0

Context: α' : Cochain F L (-1)

Context: β' : G ⟶ L

Context: eq' : δ (-1) 0 α' = Cochain.ofHom (φ ≫ β')

Context: n n' : ℤ

Context: hnn' : n + 1 = n'

(lift φ α β eq).f n ≫ (desc φ α' β' eq').f n = (↑α).v n n' hnn' ≫ α'.v n' n ⋯ + β.v n n ⋯ ≫ β'.f n


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atTop

Tendsto (fun x => f x * r) l atTop ↔ 0 < r


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: n : ℕ

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: Ei : Fin n.succ → Type wEi

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)

Context: inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: k l : ℕ

Context: s : Finset (Fin n)

Context: hk : s.card = k

Context: hl : sᶜ.card = l

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G'

Context: x y : G

((((curryFinFinset 𝕜 G G' hk hl) f) fun x_1 => x) fun x => y) = f (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y)


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: n : ℕ

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: Ei : Fin n.succ → Type wEi

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: k l : ℕ

Context: s : Finset (Fin n)

Context: hk : s.card = k

Context: hl : sᶜ.card = l

Context: x y : G

((curryFinFinset 𝕜 G G' hk hl).symm ((curryFinFinset 𝕜 G G' hk hl) f)) (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y) = f (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝ : CommRing R
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℤ

h.zmodEquivZPowers.symm (Additive.ofMul ⟨ζ ^ i, ⋯⟩) = ↑i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: R S T : α → α → Prop

Context: a : α

Context: l✝ l : List α

Context: r : α → α → Prop

Context: hr : Reflexive r

Context: h : ∀ (a : α), a ∈ l → ∀ (b : α), b ∈ l → a ≠ b → r a b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: R S T : α → α → Prop

Context: a : α

Context: l✝ l : List α

Context: r : α → α → Prop

Context: hr : Reflexive r


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: R S T : α → α → Prop

Context: a✝ : α

Context: l✝ l : List α

Context: r : α → α → Prop

Context: hr : Reflexive r

Context: a b : α

Context: hab : [a, b] <+ l


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
k : ℕ

(map Neg.neg s).esymm k = (-1) ^ k * s.esymm k


∀ x ∈ powersetCard k s, (prod ∘ map Neg.neg) x = (-1) ^ k * x.prod


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
k : ℕ
x : Multiset R
hx : x ∈ powersetCard k s

(prod ∘ map Neg.neg) x = (-1) ^ k * x.prod


(prod ∘ map Neg.neg) x = (map (Function.const R (-1)) x).prod * x.prod


(prod ∘ map Neg.neg) x = (map (Function.const R (-1)) x).prod * (map (fun x => x) x).prod


∀ x_1 ∈ x, Function.const R (-1) x_1 * x_1 = -x_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
ht : t.Nonempty


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
k : α
h : IsCompactElement k
b : α
hbk : b ∈ Iic k

⟨b, hbk⟩ = ⊤ ∨ ∃ a, IsCoatom a ∧ ⟨b, hbk⟩ ≤ a


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
b : α
h : IsCompactElement b
hbk : b ∈ Iic b


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
k : α
h : IsCompactElement k
b : α
hbk : b ∈ Iic k
H : b ≠ k


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
k : α
h✝ : IsCompactElement k
b : α
hbk : b ∈ Iic k
H : b ≠ k
a : α
a₀ : a ∈ Iio k
ba : b ≤ a
h : ∀ z ∈ Iio k, a ≤ z → z = a


∀ c ⊆ Iio k, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ Iio k, ∀ z ∈ c, z ≤ ub


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
E : EllipticCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A


↑φ E.Δ = φ E.Δ


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
z : A
v : V

(algebraMap A (CliffordAlgebra (QuadraticForm.baseChange A Q))) z * (ofBaseChangeAux A Q) ((ι Q) v) = (ι (QuadraticForm.baseChange A Q)) (z ⊗ₜ[R] v)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_3
inst✝² : CommMonoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass S R M
s : S
x : M
a : S
h : a • x = 0


a • s • ↑⟨x, ⋯⟩ = 0


Context:
x : ℝ≥0∞
y : ℝ


Context: x : ℝ≥0∞


Context:
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
hy : y ≠ 0


Context:
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
hy : y < 0 ∨ 0 < y


Context:
y : ℝ
hy : y < 0 ∨ 0 < y


Context:
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
hy : y < 0 ∨ 0 < y
h0 : x ≠ 0


Context:
y : ℝ
hy : y < 0 ∨ 0 < y
h0 : ⊤ ≠ 0


Context:
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
hy : y < 0 ∨ 0 < y
h0 : x ≠ 0
h_top : x ≠ ⊤


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: a : FiberPrebundle F E

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: b : B

Context: x : E b

{ proj := b, snd := x } ∈ (a.pretrivializationAt b).source


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: a : FiberPrebundle F E

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: b : B

Context: x : E b


Context:
X : Type u_1
t : TopologicalSpace X

t = ⨅ u, induced (fun x => x ∈ u) sierpinskiSpace


Context:
X : Type u_1
t : TopologicalSpace X

t ≤ ⨅ u, induced (fun x => x ∈ u) sierpinskiSpace


Context:
X : Type u_1
t : TopologicalSpace X

⨅ u, induced (fun x => x ∈ u) sierpinskiSpace ≤ t


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hg : S.g = 0
c : CokernelCofork S.f
hc : IsColimit c

(ofIsColimitCokernelCofork S hg c hc).f' = S.f


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Mul α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : Shrink.{u_2, u_1} α

(equivShrink α).symm (x * y) = (equivShrink α).symm x * (equivShrink α).symm y


(equivShrink α).symm ((equivShrink α).symm.symm ((equivShrink α).symm x * (equivShrink α).symm y)) = (equivShrink α).symm x * (equivShrink α).symm y


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
x : E


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Algebra R S
A B : Subalgebra R S


Context:
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝² : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
L' : Language
inst✝¹ : L'.Structure M
φ : L →ᴸ L'
inst✝ : φ.IsExpansionOn M
ψ : L[[↑A]].Formula α
x : α → M

x ∈ setOf ψ.Realize ↔ x ∈ setOf ((LHom.addConstants (↑A) φ).onFormula ψ).Realize


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
y : F
x : E
h : (x, y) ∈ f.graph


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup G

Context: inst✝³ : Module R G

Context: M : Type u_5

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : DistribMulAction M F

Context: inst✝ : SMulCommClass R M F

Context: y✝ : M

Context: f : E →ₗ.[R] F

Context: y : F

Context: x : E

Context: h : ∃ y_1, ↑y_1 = (x, y).1 ∧ ↑f y_1 = (x, y).2


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
y : F
x✝ : E
x : ↥f.domain
h : ↑x = (x✝, y).1 ∧ ↑f x = (x✝, y).2


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
y : F
x✝ : E
x : ↥f.domain
h : ↑x = x✝ ∧ ↑f x = y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: f : R[T;T⁻¹]

Context: Q : R[T;T⁻¹] → Prop

Context: Qf : ∀ (f : R[X]), Q (toLaurent f)

Context: QT : ∀ (f : R[T;T⁻¹]), Q (f * T 1) → Q f


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: Q : R[T;T⁻¹] → Prop

Context: Qf : ∀ (f : R[X]), Q (toLaurent f)

Context: f : R[X]

Context: n : ℕ


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: f : α → β → α

Context: hf : ∀ (a : α) (b c : β), f (f a b) c = f (f a c) b

Context: a : α

Context: b : β

Context: l : List β

foldl f a (b :: l) = foldr (flip f) a (b :: l)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: f : α → β → α

Context: a : α

Context: b : β

Context: l : List β

f (foldr (flip f) a l) b = flip f b (foldr (flip f) a l)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝¹ t : Set α
f : ι → Filter α
s s✝ : Set α

s✝ ∈ ⨆ i, f i ⊓ 𝓟 s ↔ s✝ ∈ (⨆ i, f i) ⊓ 𝓟 s


Context:
q : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
x : ℝ

Irrational (↑n / x) ↔ n ≠ 0 ∧ Irrational x


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G✝ : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : MulAction M α
E : Type u_11
F : Type u_12
G : Type u_13
inst✝³ : Monoid E
inst✝² : Monoid F
inst✝¹ : MulAction F G
inst✝ : IsPretransitive F G
f : E →* F
hf : Surjective ⇑f
x✝ : MulAction E G := compHom G f
x y : G


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G✝ : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : MulAction M α
E : Type u_11
F : Type u_12
G : Type u_13
inst✝³ : Monoid E
inst✝² : Monoid F
inst✝¹ : MulAction F G
inst✝ : IsPretransitive F G
f : E →* F
hf : Surjective ⇑f
x✝ : MulAction E G := compHom G f
x : G
m : F


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
l : List α

span p l = (takeWhile p l, dropWhile p l)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : SeminormedAddCommGroup R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure α
s : Set α

∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ ∀ (i : ι), (μ i) t = (μ i) s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a✝ a'✝ : α
b✝ b'✝ : β
c✝ c'✝ : γ
x : α × β × γ
ε : 𝕜
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
x✝¹ x✝ : α × β × γ
a : α
b : β
c : γ
a' : α
b' : β
c' : γ


Context:
S : ShortComplex Ab
x : ↥(AddMonoidHom.ker S.g)

S.iCycles (S.abLeftHomologyData.cyclesIso.inv x) = ↑x


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : Group G
inst✝² : AddGroup A
s : Set G
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : MulDistribMulAction α G
P H : Subgroup G
hP : P ≤ H
h : ↥H
g : G
hg : g ∈ ↑P

((MulDistribMulAction.toMonoidEnd (MulAut G) G) (MulAut.conj ↑h)) g ∈ H


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : DivisionSemiring α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSemiring α
f g : ι → α
a a₁ a₂ : α
h : a ≠ 0
H : Summable fun i => f i * a


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : R
x : OreLocalization S X


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : R
r' : X
s : ↥S


Context:
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
m : M
a : α
n : ℕ

IsPeriodicPt (fun x => m • x) n a ↔ m ^ n • a = a


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
x y : R
h : Commute x y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : CharP R p

Context: x y : R

Context: h : Commute x y

Context: r : R

Context: hr : (x + y) ^ p = x ^ p + y ^ p + ↑p * r


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c w : ℂ
R : ℝ

CircleIntegrable (fun z => (z - w)⁻¹) c R ↔ R = 0 ∨ w ∉ sphere c |R|


R = 0 ∨ 0 ≤ -1 ∨ w ∉ sphere c |R| ↔ R = 0 ∨ w ∉ sphere c |R|


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → β

HasFiniteIntegral f Measure.count ↔ Summable fun x => ‖f x‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.28, u_1} V
inst✝ : Abelian V
X Y Z : V
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} V
inst✝ : Abelian V
X Y Z : V
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0

imageToKernel g.op f.op ⋯ ≫ (kernelSubobject f.op).arrow = ((imageSubobjectIso g.op ≪≫ (imageOpOp g).symm).hom ≫ (cokernel.desc f (factorThruImage g) ⋯).op ≫ (kernelSubobjectIso f.op ≪≫ kernelOpOp f).inv) ≫ (kernelSubobject f.op).arrow


(imageSubobjectIso g.op).hom ≫ (imageUnopOp g.op).inv ≫ (factorThruImage g.op.unop).op = (imageSubobjectIso g.op).hom ≫ (imageOpOp g).inv ≫ (factorThruImage g).op


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : CommRing T
inst✝¹⁶ : Algebra R S
inst✝¹⁵ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹¹ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Algebra R L
inst✝⁸ : Algebra L F
inst✝⁷ : Algebra R F
inst✝⁶ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Fintype κ
b : κ → B
P : Matrix κ κ A

traceMatrix A (P.map ⇑(algebraMap A B) *ᵥ b) = P * traceMatrix A b * Pᵀ


(transposeAddEquiv κ κ A) (traceMatrix A (P.map ⇑(algebraMap A B) *ᵥ b)) = (transposeAddEquiv κ κ A) (P * traceMatrix A b * Pᵀ)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]

(p * q).coeff (p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree) = p.trailingCoeff * q.trailingCoeff


∑ x ∈ antidiagonal (p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree), p.coeff x.1 * q.coeff x.2 = p.trailingCoeff * q.trailingCoeff


∀ b ∈ antidiagonal (p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree), b ≠ (p.natTrailingDegree, q.natTrailingDegree) → p.coeff b.1 * q.coeff b.2 = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: i j : ℕ

Context: h₁ : (i, j) ∈ antidiagonal (p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree)

Context: h₂ : (i, j) ≠ (p.natTrailingDegree, q.natTrailingDegree)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: i j : ℕ

Context: h₁ : (i, j).1 + (i, j).2 = p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: i j : ℕ

Context: hi : ¬i < p.natTrailingDegree

Context: hj : ¬j < q.natTrailingDegree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: i j : ℕ

Context: hi : p.natTrailingDegree ≤ i

Context: hj : q.natTrailingDegree ≤ j


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: i j : ℕ

Context: hi : p.natTrailingDegree ≤ i

Context: hj : q.natTrailingDegree ≤ j

(p.natTrailingDegree, q.natTrailingDegree).1 = (i, j).1 ∧ (p.natTrailingDegree, q.natTrailingDegree).2 = (i, j).2


Context:
R : Type u_1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
p q : α → Prop
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
f : Fin 7 → β


f (castSucc 0) * f (castSucc 1) * f (castSucc 2) * f (castSucc 3) * f (castSucc 4) * f (castSucc 5) * f (last 6) = f 0 * f 1 * f 2 * f 3 * f 4 * f 5 * f 6


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: κ : Sort u_6

Context: r p q : α → α → Prop

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: s✝ : Set ι

Context: t s : Set ι'

Context: g : ι' → Set ι

Context: f : ι → α

Context: hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ g i', f i

Context: hg : ∀ i ∈ s, (g i).PairwiseDisjoint f

Context: a : ι

Context: ha : a ∈ ⋃ i ∈ s, g i

Context: b : ι

Context: hb : b ∈ ⋃ i ∈ s, g i

Context: hab : a ≠ b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: κ : Sort u_6

Context: r p q : α → α → Prop

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: s✝ : Set ι

Context: t s : Set ι'

Context: g : ι' → Set ι

Context: f : ι → α

Context: hg : ∀ i ∈ s, (g i).PairwiseDisjoint f

Context: a b : ι

Context: hab : a ≠ b

Context: ha : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), a ∈ g i

Context: hb : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), b ∈ g i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: κ : Sort u_6

Context: r p q : α → α → Prop

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: s✝ : Set ι

Context: t s : Set ι'

Context: g : ι' → Set ι

Context: f : ι → α

Context: hg : ∀ i ∈ s, (g i).PairwiseDisjoint f

Context: a b : ι

Context: hab : a ≠ b

Context: c : ι'

Context: hc : c ∈ s

Context: ha : a ∈ g c

Context: d : ι'

Context: hd : d ∈ s

Context: hb : b ∈ g d


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: κ : Sort u_6

Context: r p q : α → α → Prop

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: s✝ : Set ι

Context: t s : Set ι'

Context: g : ι' → Set ι

Context: f : ι → α

Context: hg : ∀ i ∈ s, (g i).PairwiseDisjoint f

Context: a b : ι

Context: hab : a ≠ b

Context: c : ι'

Context: hc : c ∈ s

Context: ha : a ∈ g c

Context: d : ι'

Context: hd : d ∈ s

Context: hb : b ∈ g d

Context: hcd : g c = g d


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: κ : Sort u_6

Context: r p q : α → α → Prop

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: s✝ : Set ι

Context: t s : Set ι'

Context: g : ι' → Set ι

Context: f : ι → α

Context: hg : ∀ i ∈ s, (g i).PairwiseDisjoint f

Context: a b : ι

Context: hab : a ≠ b

Context: c : ι'

Context: hc : c ∈ s

Context: ha : a ∈ g c

Context: d : ι'

Context: hd : d ∈ s

Context: hb : b ∈ g d

Context: hcd : g c ≠ g d


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef


(diagonal (RCLike.ofReal ∘ Real.sqrt ∘ ⋯.eigenvalues)).PosSemidef


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
i : n

0 ≤ (RCLike.ofReal ∘ Real.sqrt ∘ ⋯.eigenvalues) i


0 ≤ RCLike.re ↑((Real.sqrt ∘ ⋯.eigenvalues) i) ∧ RCLike.im ↑((Real.sqrt ∘ ⋯.eigenvalues) i) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivInvMonoid G
a✝ b✝ c✝ a b c : G


Context: m n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ t✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a✝ : α

a✝ ∈ filter p (s ∩ t) ↔ a✝ ∈ filter p s ∩ filter p t


Context:
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a b : R
hab : a < b
c : R
hc : IsRegular c


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
a b : M
inst✝ : Unique Mˣ
x : M
x✝ : IsUnit x
u : Mˣ
hu : ↑u = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : AddGroup n
v w : n → α
h : circulant v = circulant w
k : n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
d n : ℕ
hdn : d ∣ n
hd : d ≠ 1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
d : ℕ
hd : d ≠ 1
hdn : d ∣ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
d n : ℕ
hdn : d ∣ n
hd : d ≠ 1
hn : n > 0


cyclotomic d ℤ ∣ ∏ i ∈ n.divisors.erase 1, cyclotomic i ℤ


Context:
z : ℝ
h : 0 < z
x y : ℝ≥0∞
hxy : x < y


Context:
z : ℝ
h : 0 < z
y : ℝ≥0∞
x : ℝ≥0
hxy : ↑x < y

(fun x => x ^ z) ↑x < (fun x => x ^ z) y


Context:
z : ℝ
h : 0 < z
x : ℝ≥0
hxy : ↑x < ⊤

(fun x => x ^ z) ↑x < (fun x => x ^ z) ⊤


Context:
z : ℝ
h : 0 < z
y : ℝ≥0∞
x : ℝ≥0
hxy : ↑x < y
hy : y ≠ ⊤


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f✝² : X → Y
s✝ : Set X
x : X
y : Y
α : Type u_4
ι : Type u_5
f✝¹ : α → X
g : X → Y
f✝ : α → X
s : Set X
f : X → Y
hf : Continuous f
hs : Dense s


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
ι : Type u_2
s : Finset ι
α : ι → K

house (∑ i ∈ s, α i) ≤ ∑ i ∈ s, house (α i)


‖∑ x ∈ s, (canonicalEmbedding K) (α x)‖ ≤ ∑ x ∈ s, ‖(canonicalEmbedding K) (α x)‖


∀ b ∈ s, ‖(canonicalEmbedding K) (α b)‖ ≤ ‖(canonicalEmbedding K) (α b)‖


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∈ s

nodal s v = (X - C (v i)) * nodal (s.erase i) v


Context:
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y

QuasiCompact f ↔ ∀ (U : Y.Opens), IsAffineOpen U → IsCompact ↑(f ⁻¹ᵁ U)


Context:
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y

(∀ (U : Set ↑↑Y.toPresheafedSpace), IsOpen U → IsCompact U → IsCompact (⇑f.val.base ⁻¹' U)) ↔ ∀ (U : Y.Opens), IsAffineOpen U → IsCompact ↑(f ⁻¹ᵁ U)


Context:
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y

(∀ (U : Y.Opens), IsAffineOpen U → IsCompact ↑(f ⁻¹ᵁ U)) → ∀ (U : Set ↑↑Y.toPresheafedSpace), IsOpen U → IsCompact U → IsCompact (⇑f.val.base ⁻¹' U)


Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: H : ∀ (U : Y.Opens), IsAffineOpen U → IsCompact ↑(f ⁻¹ᵁ U)

Context: U : Set ↑↑Y.toPresheafedSpace

Context: hU : IsOpen U

Context: hU' : IsCompact U


Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: S : Set ↑Y.affineOpens

Context: hS : S.Finite

Context: hU : IsOpen (⋃ i ∈ S, ↑↑i)

Context: hU' : IsCompact (⋃ i ∈ S, ↑↑i)

IsCompact (⇑f.val.base ⁻¹' ⋃ i ∈ S, ↑↑i)


Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: S : Set ↑Y.affineOpens

Context: hS : S.Finite

Context: hU : IsOpen (⋃ i ∈ S, ↑↑i)

Context: hU' : IsCompact (⋃ i ∈ S, ↑↑i)

IsCompact (⋃ i ∈ S, ⇑f.val.base ⁻¹' ↑↑i)


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: h : Integrable I l f vol

Context: h₀ : 0 < ε

Context: hπ : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π

Context: hπp : π.IsPartition

dist (integralSum f vol π) (integral I l f vol) ≤ ε


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
h₀ : 0 < ε
hπ : l.MemBaseSet I c (⋯.choose c) π
hπp : π.IsPartition


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : Module.Free R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : IsKilling R L


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
h : [[c, d]] ⊆ [[a, b]]


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: a b c d : α

Context: h : min a b ≤ min c d ∧ max c d ≤ max a b


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NeZero 2
a b c x : K
ha : a ≠ 0
s : K
hs : discrim a b c = s * s


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
ι : Type u_2
s : Finset ι
H : Subgroup G
g : ι → G

⋃ i ∈ s, g i • ↑H = Set.univ ↔ Set.SurjOn (fun x => ↑(g x)) (↑s) Set.univ


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
h : a ∉ l.keys


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a✝ a : α
𝒜 : Finset (Finset α)


(filter (fun s => s.erase a ∈ 𝒜) 𝒜 ∪ filter (fun a_1 => a_1.erase a ∉ 𝒜) 𝒜).card = 𝒜.card


Disjoint (filter (fun s => s.erase a ∈ 𝒜) 𝒜) (filter (fun a_1 => a_1.erase a ∉ 𝒜) 𝒜)


∀ s ∈ ↑(filter (fun a_1 => a_1.erase a ∉ 𝒜) 𝒜), s ∈ {s | a ∈ s}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)

Context: s✝ : Finset α

Context: a✝ a : α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: hs : s ∈ ↑(filter (fun a_1 => a_1.erase a ∉ 𝒜) 𝒜)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a✝ a : α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
hs : s ∈ 𝒜 ∧ s.erase a ∉ 𝒜


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α✝

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝⁷ : LinearOrder α✝

Context: inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝

Context: a b x : α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: inst✝ : NoMinOrder α

Context: μ ν : Measure α

Context: hμ : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ioc a b) ≠ ⊤

Context: h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ioc a b) = ν (Ioc a b)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α✝

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝⁷ : LinearOrder α✝

Context: inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝

Context: a✝ b✝ x : α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: inst✝ : NoMinOrder α

Context: μ ν : Measure α

Context: a b : αᵒᵈ

Context: hab : a < b


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α✝

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝⁷ : LinearOrder α✝

Context: inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝

Context: a✝ b✝ x : α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: inst✝ : NoMinOrder α

Context: μ ν : Measure α

Context: a b : αᵒᵈ

Context: hab : a < b

μ (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' Ioc b a) = ν (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' Ioc b a)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
b : AffineBasis ι ℝ V

Finset.centroid ℝ Finset.univ ⇑b ∈ interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b))


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
b : AffineBasis ι ℝ V
this : Nonempty ι