Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h : S₂.LeftHomologyData

Context: inst✝² : Epi φ.τ₁

Context: inst✝¹ : IsIso φ.τ₂

Context: inst✝ : Mono φ.τ₃

Context: i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂

Context: wi : i ≫ S₁.g = 0

Context: hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)

Context: hf' : f' ≫ i = S₁.f

Context: hf'' : f' = φ.τ₁ ≫ h.f'


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h : S₂.LeftHomologyData

Context: inst✝² : Epi φ.τ₁

Context: inst✝¹ : IsIso φ.τ₂

Context: inst✝ : Mono φ.τ₃

Context: i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂

Context: wi : i ≫ S₁.g = 0

Context: hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)

Context: f' : (KernelFork.ofι S₁.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι i wi).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S₁.f ⋯)

Context: hf' : f' ≫ i = S₁.f

Context: hf'' : f' = φ.τ₁ ≫ h.f'

Context: wπ : f' ≫ h.π = 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h : S₂.LeftHomologyData

Context: inst✝² : Epi φ.τ₁

Context: inst✝¹ : IsIso φ.τ₂

Context: inst✝ : Mono φ.τ₃

Context: i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂

Context: wi : i ≫ S₁.g = 0

Context: hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)

Context: hf' : f' ≫ i = S₁.f

Context: hf'' : f' = φ.τ₁ ≫ h.f'

Context: wπ : f' ≫ h.π = 0

Context: hπ : IsColimit (CokernelCofork.ofπ h.π wπ)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F : C ⥤ C

Context: V V₀ V₁ V₂ : Coalgebra F

Context: f : V₀ ⟶ V₁

Context: g : V₁ ⟶ V₂

Context: h : V₀.V ≅ V₁.V

Context: w : autoParam (V₀.str ≫ F.map h.hom = h.hom ≫ V₁.str) _auto✝


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F : C ⥤ C

Context: V V₀ V₁ V₂ : Coalgebra F

Context: f : V₀ ⟶ V₁

Context: g : V₁ ⟶ V₂

Context: h : V₀.V ≅ V₁.V


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i j : Fin (n + 1)
H : i ≤ j

X.map (SimplexCategory.σ i.castSucc) ≫ X.map (SimplexCategory.σ j) = X.map (SimplexCategory.σ j.succ) ≫ X.map (SimplexCategory.σ i)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
s : Set α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
hs : s.Finite


Context:
z : ℂ
h₀ : z ≠ ↑π / 2
h₁ : -(π / 2) < z.re
h₂ : z.re ≤ π / 2


Context:
z : ℂ
h₀ : z ≠ ↑π / 2
h₁ : -(π / 2) < z.re
h₂ : z.re ≤ π / 2
h : cos z ≠ 0


-I / 2 * log ((1 + sin z / cos z * I) / (1 - sin z / cos z * I)) = z


-I / 2 * log ((cos z + sin z * I) / (cos z - sin z * I)) = z


-I / 2 * log ((cos z + sin z * I) / (cos (-z) + sin (-z) * I)) = z


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
α β : F ⟶ G

F.a ≫ U.map (α.f + β.f) = (α.f + β.f) ≫ G.a


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
n : ℕ
α : F ⟶ G


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
α : F ⟶ G


F.a ≫ U.map (α.f - β.f) = (α.f - β.f) ≫ G.a


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
r : ℤ
α : F ⟶ G


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
a✝ b✝ c✝ : F ⟶ G


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
a✝ : F ⟶ G


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
x✝ : F ⟶ G

((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) 0 x✝).f = Coalgebra.Hom.f 0


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
n✝ : ℕ
x✝ : F ⟶ G

((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) (n✝ + 1) x✝).f = ((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) n✝ x✝ + x✝).f


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
a✝ b✝ : F ⟶ G


((fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) 0 a✝).f = Coalgebra.Hom.f 0


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
n✝ : ℕ
a✝ : F ⟶ G

↑(n✝ + 1) • a✝.f = ({ f := ↑n✝ • a✝.f, h := ⋯ } + a✝).f


n✝ • a✝.f + a✝.f = ({ f := n✝ • a✝.f, h := ⋯ } + a✝).f


((fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) (Int.negSucc n✝) a✝).f = (-(fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) (↑n✝.succ) a✝).f


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
P✝ Q✝ R✝ : U.Coalgebra
f✝ f'✝ : P✝ ⟶ Q✝
g✝ : Q✝ ⟶ R✝

((f✝ + f'✝) ≫ g✝).f = (f✝ ≫ g✝ + f'✝ ≫ g✝).f


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
P✝ Q✝ R✝ : U.Coalgebra
f✝ : P✝ ⟶ Q✝
g✝ g'✝ : Q✝ ⟶ R✝

(f✝ ≫ (g✝ + g'✝)).f = (f✝ ≫ g✝ + f✝ ≫ g'✝).f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α

(a ⊓ b) * (a ⊔ b) = (a ⊓ b) * (a * b * (b⁻¹ ⊔ a⁻¹))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: a b : α

(a ⊓ b) * (a * b * (b⁻¹ ⊔ a⁻¹)) = (a ⊓ b) * (a * b * (a ⊓ b)⁻¹)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: a b : α


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥

LinearMap.range f.inverse.toFun = f.domain


Submodule.map (LinearMap.snd R F E) (Submodule.map (LinearEquiv.prodComm R E F) f.graph) = Submodule.map (LinearMap.snd R F E) (Submodule.map (↑(LinearEquiv.prodComm R E F)) f.graph)


Context:
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝¹ : NormedRing 𝔹
inst✝ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α

(x.1 ∪ e • x.2).card + (x.2 ∩ e⁻¹ • x.1).card = x.1.card + x.2.card


Context:
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
S : L.Substructure M


Context:
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
S : L.Substructure M
h : S.CG


Context:
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
S : L.Substructure M
h : ⊤.CG


Context: G : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: α : Sort u_4

Context: β : Sort u_5

Context: ι : Sort u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α → M

Context: p : M → Prop

Context: hp₀ : p 1

Context: hp₁ : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)

Context: hp₂ : ∀ (i : α), p (f i)


Context: G : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: α : Sort u_4

Context: β : Sort u_5

Context: ι : Sort u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α → M

Context: p : M → Prop

Context: hp₀ : p 1

Context: hp₂ : ∀ (i : α), p (f i)

p (if h : (mulSupport ((fun i => f i) ∘ PLift.down)).Finite then ∏ i ∈ h.toFinset, f i.down else 1)


Context: G : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: α : Sort u_4

Context: β : Sort u_5

Context: ι : Sort u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α → M

Context: p : M → Prop

Context: hp₀ : p 1

Context: hp₂ : ∀ (i : α), p (f i)

Context: h✝ : (mulSupport ((fun i => f i) ∘ PLift.down)).Finite


Context: G : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: α : Sort u_4

Context: β : Sort u_5

Context: ι : Sort u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α → M

Context: p : M → Prop

Context: hp₀ : p 1

Context: hp₂ : ∀ (i : α), p (f i)

Context: h✝ : ¬(mulSupport ((fun i => f i) ∘ PLift.down)).Finite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝³ : DecidablePred p
inst✝² : DecidablePred q
s✝ t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset β
b x✝¹ : β
x✝ : x✝¹ ∈ s

x✝¹ ≠ b ↔ b ≠ x✝¹


Context:
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
p : K[X]

RatFunc.mk p 0 = { toFractionRing := 0 }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : (𝓝 1).IsCountablyGenerated


(comap (fun x => x.2 / x.1) (𝓝 1)).IsCountablyGenerated


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝²² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: F : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: V : M → Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)

Context: inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)

Context: inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)

Context: inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)

Context: inst✝² : FiberBundle F V

Context: inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V

Context: inst✝ : SmoothVectorBundle F V I

Context: s✝ t s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯

Context: k : ℕ

Context: ih : ⇑(k • s) = k • ⇑s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝²² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: F : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: V : M → Type u_12

Context: inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)

Context: inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)

Context: inst✝² : FiberBundle F V

Context: inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V

Context: inst✝ : SmoothVectorBundle F V I

Context: s✝ t s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯

Context: k : ℕ

Context: ih : ⇑(k • s) = k • ⇑s


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ f : α → ℝ

Context: hf : AEFinStronglyMeasurable f μ

Context: hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ

Context: hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ

Context: t : Set α := hf.sigmaFiniteSet


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ f : α → ℝ

Context: hf : AEFinStronglyMeasurable f μ

Context: t : Set α := hf.sigmaFiniteSet


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ f : α → ℝ

Context: hf : AEFinStronglyMeasurable f μ

Context: t : Set α := hf.sigmaFiniteSet

Context: this : SigmaFinite (μ.restrict t)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ f : α → ℝ

Context: hf : AEFinStronglyMeasurable f μ

Context: t : Set α := hf.sigmaFiniteSet

Context: this : SigmaFinite (μ.restrict t)

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμts : (μ.restrict t) s < ⊤


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 1

AffineIndependent k p ↔ n ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p))


finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) = n ↔ n ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p))


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
m : α → β
s : Set α
hm : UniformInducing m


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: m : α → β

Context: s : Set α

Context: hm : UniformInducing m

Context: fact1 : SurjOn (map m) (Iic (𝓟 s)) (Iic (𝓟 (m '' s)))


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: m : α → β

Context: s : Set α

Context: hm : UniformInducing m

Context: fact2 : MapsTo (map m) (Iic (𝓟 s)) (Iic (𝓟 (m '' s)))


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁹ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁸ : Semiring R

Context: inst✝⁷ : SetLike σ R

Context: inst✝⁶ : AddSubmonoidClass σ R

Context: A : ι → σ

Context: inst✝⁵ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι

Context: inst✝⁴ : SetLike.GradedMonoid A

Context: inst✝³ : Sub ι

Context: inst✝² : OrderedSub ι

Context: inst✝¹ : ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: r : ⨁ (i : ι), ↥(A i)

Context: i : ι

Context: r' : ↥(A i)

Context: n : ι

Context: inst✝ : Decidable (i ≤ n)

Context: h : i ≤ n


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁹ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁸ : Semiring R

Context: inst✝⁷ : SetLike σ R

Context: inst✝⁶ : AddSubmonoidClass σ R

Context: A : ι → σ

Context: inst✝⁴ : SetLike.GradedMonoid A

Context: inst✝³ : Sub ι

Context: inst✝² : OrderedSub ι

Context: r : ⨁ (i : ι), ↥(A i)

Context: i : ι

Context: r' : ↥(A i)

Context: n : ι

Context: inst✝ : Decidable (i ≤ n)

Context: h : ¬i ≤ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t s : Set α

μ s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), μ t


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} A

Context: inst✝² : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝¹ : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝ : (constantSheaf J A).Full

Context: t : C

Context: ht : IsTerminal t

Context: L : A ⥤ Sheaf J A

Context: adj : L ⊣ (sheafSections J A).obj (op t)

Context: F : Sheaf J A

IsDiscrete J ht F ↔ IsIso (adj.counit.app F)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} A

Context: inst✝² : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝¹ : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝ : (constantSheaf J A).Full

Context: t : C

Context: ht : IsTerminal t

Context: L : A ⥤ Sheaf J A

Context: F : Sheaf J A

Context: this : L.Faithful


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} A

Context: inst✝² : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝¹ : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝ : (constantSheaf J A).Full

Context: t : C

Context: ht : IsTerminal t

Context: L : A ⥤ Sheaf J A

Context: F : Sheaf J A

Context: this✝ : L.Faithful

Context: this : L.Full


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B

cs.IsRightDescent w⁻¹ i ↔ cs.IsLeftDescent w i


Context:
i j : ℤ
H : 0 < i.gcd j

(i / ↑(i.gcd j)).gcd (j / ↑(i.gcd j)) = 1


Context: X₀ : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X₀

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace Y

Context: f : X₀ → X

Context: hf : QuotientMap f

Context: g : X × Y → Z

Context: hg : Continuous fun p => g (f p.1, p.2)

Context: Gf : C(X₀, C(Y, Z)) := { toFun := fun p => g (f p.1, p.2), continuous_toFun := hg }.curry


Context: X₀ : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X₀

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace Y

Context: f : X₀ → X

Context: hf : QuotientMap f

Context: g : X × Y → Z

Context: hg : Continuous fun p => g (f p.1, p.2)

Context: h : ∀ (x : X), Continuous fun y => g (x, y)


Context: X₀ : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X₀

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace Y

Context: f : X₀ → X

Context: hf : QuotientMap f

Context: g : X × Y → Z

Context: hg : Continuous fun p => g (f p.1, p.2)

Context: G : X → C(Y, Z) := fun x => { toFun := fun y => g (x, y), continuous_toFun := ⋯ }


Context: X₀ : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X₀

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace Y

Context: f : X₀ → X

Context: hf : QuotientMap f

Context: g : X × Y → Z

Context: hg : Continuous fun p => g (f p.1, p.2)

Context: this : Continuous G


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Semigroup M
a b : M
h : ⊤ ≤ S.centralizer
x✝¹ : M
hx : x✝¹ ∈ S
x✝ : M


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
d : Aˣ
hd : ↑d = ↑(den A x)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x : K

Context: d : Aˣ

Context: hd : ↑d = ↑(den A x)

Context: d_ne_zero : (algebraMap A K) ↑(den A x) ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x : K

Context: d : Aˣ

Context: hd : ↑d = ↑(den A x)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x : K

Context: d : Aˣ

Context: hd : ↑d = ↑(den A x)

(algebraMap A K) (↑d⁻¹ * num A x) = mk' K (num A x) (den A x)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x : K

Context: d : Aˣ

Context: hd : ↑d = ↑(den A x)

((algebraMap A K) ↑(den A x))⁻¹ * (algebraMap A K) (num A x) = mk' K (num A x) (den A x)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x : K

Context: d : Aˣ

Context: hd : ↑d = ↑(den A x)

(algebraMap A K) ↑(den A x) * (((algebraMap A K) ↑(den A x))⁻¹ * (algebraMap A K) (num A x)) = (algebraMap A K) ↑(den A x) * mk' K (num A x) (den A x)


Context: xl xr : Type u

Context: x y : PGame

Context: k : (x + y).LeftMoves

Context: P : (x + y).LeftMoves → Prop

Context: hl : ∀ (i : x.LeftMoves), P (toLeftMovesAdd (Sum.inl i))

Context: hr : ∀ (i : y.LeftMoves), P (toLeftMovesAdd (Sum.inr i))


Context: xl xr : Type u

Context: x y : PGame

Context: k : (x + y).LeftMoves

Context: P : (x + y).LeftMoves → Prop

P (toLeftMovesAdd (toLeftMovesAdd.symm k))


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : (Cᵒᵖ ⥤ D)ᵒᵖ
η : F ⟶ G

η ≫ (unop G).rightOpLeftOpIso.hom.op = (unop F).rightOpLeftOpIso.hom.op ≫ (NatTrans.leftOp (NatTrans.rightOp η.unop)).op


((unop G).rightOpLeftOpIso.hom ≫ η.unop).op = (NatTrans.leftOp (NatTrans.rightOp η.unop.op.unop) ≫ (unop F).rightOpLeftOpIso.hom).op


Context:
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
h : Red (invRev L₁) (invRev L₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
m2 : Multiset α
r : α → α → Prop

∀ {m1 : Multiset α}, (∀ (a b : α), a ∈ m1 → b ∈ m2 → r a b) → card m1 = card m2 → Rel r m1 m2


∀ {m1 : Multiset α}, (∀ (a b : α), a ∈ m1 → b ∈ 0 → r a b) → card m1 = card 0 → Rel r m1 0


∀ (a : α) (s : Multiset α), (∀ {m1 : Multiset α}, (∀ (a b : α), a ∈ m1 → b ∈ s → r a b) → card m1 = card s → Rel r m1 s) → ∀ {m1 : Multiset α}, (∀ (a_2 b : α), a_2 ∈ m1 → b ∈ a ::ₘ s → r a_2 b) → card m1 = card (a ::ₘ s) → Rel r m1 (a ::ₘ s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝ : InvolutiveStar α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
hA : A.IsHermitian
hBC : Bᴴ = C
hD : D.IsHermitian


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝ : InvolutiveStar α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
hA : A.IsHermitian
hBC : Bᴴ = C
hD : D.IsHermitian
hCB : Cᴴ = B


(Matrix.fromBlocks A B C D)ᴴ = Matrix.fromBlocks A B C D


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: r C : ℝ

Context: hr : r < 1

Context: f : ℕ → α

Context: hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n

HasSum (fun n => C * r ^ n) (C / (1 - r))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: r : ℝ

Context: hr : r < 1

Context: f : ℕ → α

Context: hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ 0 * r ^ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: r C : ℝ

Context: hr : r < 1

Context: f : ℕ → α

Context: left✝ : 0 < C

Context: r₀ : 0 ≤ r


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: p a : α

Context: hp : Prime p

multiplicity p (a ^ 0) = 0 • multiplicity p a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p a : α

Context: hp : Prime p

Context: k : ℕ

multiplicity p (a ^ k.succ) = k.succ • multiplicity p a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CompleteLattice α

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Set α


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: P Q : Fin 3 → F

Context: hP : W.Nonsingular P

Context: hQ : W.Nonsingular Q

Context: hPz : P z ≠ 0

Context: hQz : Q z ≠ 0

Context: hxy : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2 → P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3

P x / P z ^ 2 = Q x / Q z ^ 2 → P y / P z ^ 3 ≠ W.toAffine.negY (Q x / Q z ^ 2) (Q y / Q z ^ 3)


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c : α


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.26952, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M✝ : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝

Context: inst✝³ : Mul M✝

Context: inst✝² : ContinuousMul M✝

Context: M : Type u

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : TopologicalSpace M

Context: hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)

Context: hleft : ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M✝ : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝

Context: inst✝³ : Mul M✝

Context: inst✝² : ContinuousMul M✝

Context: M : Type u

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : TopologicalSpace M

∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = map (fun x => x * x₀) (𝓝 1)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M✝ : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝

Context: inst✝³ : Mul M✝

Context: inst✝² : ContinuousMul M✝

Context: M : Type u

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : TopologicalSpace M

Context: x₀ : M


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: d : D

Context: X✝ Y✝ : (CostructuredArrow F.op (op d))ᵒᵖ

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

(unop X✝).hom.unop ≫ F.map f.unop.left.unop = (unop Y✝).hom.unop


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: d : D

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

((unop Y✝).hom ≫ 𝟙 (op d)).unop = (unop Y✝).hom.unop


Context:
R S : CommRingCat
f : R ≅ S
a : ↑R
ha : IsUnit (f.hom a)


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: n : ℕ


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: this : 2 ^ 1 ≤ 2 ^ (n + 1)


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: this : 2 ≤ 2 ^ (n + 1)

‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 1 = ‖Polynomial.eval a F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: this : 2 ≤ 2 ^ (n + 1)

‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * ‖Polynomial.eval a F‖ / (‖↑(Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F))‖ * ‖↑(Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F))‖) = ‖Polynomial.eval a F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: this : 2 ≤ 2 ^ (n + 1)

‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ≠ 0


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: this : 2 ≤ 2 ^ (n + 1)

‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α →ₛ ℝ≥0
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0

∃ g, (∀ (x : α), ↑f x ≤ g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(↑f x) ∂μ + ε


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
c : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0

∃ g, (∀ (x : α), ↑(piecewise s hs (const α c) (const α 0)) x ≤ g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(↑(piecewise s hs (const α c) (const α 0)) x) ∂μ + ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : μ.WeaklyRegular

Context: f₁ f₂ : α →ₛ ℝ≥0

Context: a✝ : Disjoint (Function.support ↑f₁) (Function.support ↑f₂)

Context: h₁ : ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, (∀ (x : α), ↑f₁ x ≤ g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(↑f₁ x) ∂μ + ε

Context: h₂ : ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, (∀ (x : α), ↑f₂ x ≤ g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(↑f₂ x) ∂μ + ε

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε ≠ 0

∃ g, (∀ (x : α), ↑(f₁ + f₂) x ≤ g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(↑(f₁ + f₂) x) ∂μ + ε


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpab : p ∣ S.a + S.b
hpaηsqb : p ∣ S.a + ↑η ^ 2 * S.b


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpab : p ∣ 1 * S.a + 1 * S.b
hpaηsqb : p ∣ S.a + ↑η ^ 2 * S.b


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpab : p ∣ 1 * S.a + 1 * S.b
hpaηsqb : p ∣ 1 * S.a + ↑η ^ 2 * S.b


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: p : 𝓞 K

Context: hp : Prime p

Context: hpab : p ∣ 1 * S.a + 1 * S.b

Context: hpaηsqb : p ∣ 1 * S.a + ↑η ^ 2 * S.b

Context: this : p ∣ (1 * ↑η ^ 2 - 1 * 1) * gcd S.a S.b


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpab : p ∣ 1 * S.a + 1 * S.b
hpaηsqb : p ∣ 1 * S.a + ↑η ^ 2 * S.b
this : p ∣ -(↑η ^ 2 - 1)


λ = 1 * hζ.toInteger - (-(-hζ.toInteger - 1) - 1 * hζ.toInteger)


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝ : AddCommMonoid γ
φ : (i : ι) → β i →+ γ
i : ι
x : β i


∑ i_1 ∈ {i}.toFinset, (φ i_1) (Pi.single i x i_1) = (φ i) x


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
n : ℕ

⇑(zsmulRec (fun x x_1 => x • x_1) (Int.ofNat n) f) = Int.ofNat n • ⇑f


⇑(zsmulRec (fun x x_1 => x • x_1) (Int.negSucc n) f) = Int.negSucc n • ⇑f


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Add R
inst✝⁴ : Mul R
inst✝³ : Neg R
inst✝² : One R
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : CompatibleRing R
x y : ring.Term α
v : α → R

Term.realize v (x * y) = Term.realize v x * Term.realize v y


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

completedCosZeta a s = completedCosZeta₀ a s - 1 / s - (if a = 0 then 1 else 0) / (1 - s)


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

(hurwitzEvenFEPair a).symm.Λ₀ (s / 2) / 2 - (1 / (s / 2)) • (hurwitzEvenFEPair a).symm.f₀ / 2 - ((hurwitzEvenFEPair a).symm.ε / (↑(hurwitzEvenFEPair a).symm.k - s / 2)) • (hurwitzEvenFEPair a).symm.g₀ / 2 = completedCosZeta₀ a s - 1 / s - (if a = 0 then 1 else 0) / (1 - s)


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j

Context: x : G i

(of L ι G f j) ((f i j hij) x) = (of L ι G f i) x


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j

Context: x : G i

Structure.Sigma.mk f j ((f i j hij) x) ≈ Structure.Sigma.mk f i x


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j

Context: x : G i

(f i j hij) x = (f j j ⋯) ((f i j hij) x)


Context: J : Type w

Context: K : Type u_1

Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: f : J → C

Context: inst✝² : HasBiproduct f

Context: p : J → Prop

Context: inst✝¹ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: j : J

Context: i : Subtype p

ι (Subtype.restrict p f) i ≫ fromSubtype f p ≫ π f j = ι (Subtype.restrict p f) i ≫ if h : p j then π (Subtype.restrict p f) ⟨j, h⟩ else 0


Context: J : Type w

Context: K : Type u_1

Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: f : J → C

Context: inst✝² : HasBiproduct f

Context: p : J → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: j : J

Context: i : Subtype p

(if h : ↑i = j then eqToHom ⋯ else 0) = ι (Subtype.restrict p f) i ≫ if h : p j then π (Subtype.restrict p f) ⟨j, h⟩ else 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset ℕ
n✝ n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C : Set α
hC : Preperfect C
x : α
hx : x ∈ closure C


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C : Set α
hC : Preperfect C
x : α
hx : x ∈ closure C
h : x ∈ C


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C : Set α
hC : Preperfect C
x : α
hx : x ∈ closure C
h : x ∉ C


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C : Set α
hC : Preperfect C
x : α
hx : x ∈ closure C
h : x ∉ C
this : {x}ᶜ ∩ C = C


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C : Set α
hC : Preperfect C
x : α
hx : x ∈ {a | ClusterPt a (𝓟 C)}
h : x ∉ C
this : {x}ᶜ ∩ C = C


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
x : σ →₀ ℕ
hx : x ∈ p.support


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
x : σ →₀ ℕ
hx : coeff x ((map f) p) = 0


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
x : σ →₀ ℕ
hx : f (coeff x p) = f 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid E

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid F

Context: inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f g : E → β

Context: hf : ConvexOn 𝕜 s f

Context: x y : E

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ s

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: hyz : f y < f (a • x + b • y)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype l
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
ι : Type u_5
inst✝ : Unique ι
A : Matrix m m α
hA : IsUnit A.det
u v : m → α

(A + col ι u * row ι v).det = A.det * (1 + row ι v * A⁻¹ * col ι u).det


(A * 1 + col ι u * row ι v).det = A.det * (1 + row ι v * A⁻¹ * col ι u).det


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddZeroClass M
a : α
f f' : α →₀ M
s : α
hs : ¬s = a

(erase a (f + f')) s = (erase a f + erase a f') s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : OrderedCommRing S
inst✝¹ : Ring R
abv : AbsoluteValue R S
inst✝ : NoZeroDivisors S
a b : R


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.19934, u_1} C
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
φ : A →+ B
inst✝ : HasShift C B
X : PullbackShift C φ
a₁ a₂ a₃ : A
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : B
h₁ : b₁ = φ a₁
h₂ : b₂ = φ a₂
h₃ : b₃ = φ a₃


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
φ : A →+ B
inst✝ : HasShift C B
X : PullbackShift C φ
a₁ a₂ a₃ : A
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : B
h₁ : b₁ = φ a₁
h₂ : b₂ = φ a₂
h₃ : b₃ = φ a₃

(shiftFunctorAdd' (PullbackShift C φ) a₁ a₂ a₃ h).hom.app X = (pullbackShiftIso C φ a₃ b₃ h₃).hom.app X ≫ (shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).hom.app X ≫ (pullbackShiftIso C φ a₂ b₂ h₂).inv.app ((shiftFunctor C b₁).obj X) ≫ (shiftFunctor (PullbackShift C φ) a₂).map ((pullbackShiftIso C φ a₁ b₁ h₁).inv.app X)


𝟙 ((shiftFunctor (PullbackShift C φ) a₁ ⋙ shiftFunctor (PullbackShift C φ) a₂).obj X) = 𝟙 ((shiftFunctor (PullbackShift C φ) a₂).obj ((shiftFunctor (PullbackShift C φ) a₁).obj X))


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : r < 0

Tendsto (fun x => f x * r) l atTop ↔ Tendsto f l atBot


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q
S : Set E

IsPurelyInseparable F ↥(adjoin F S) ↔ ∀ x ∈ S, ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ


Context:
V : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory V
G : MonCat
A : Action V G


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: r✝ : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsWellOrder α r

Context: a b : α

Context: x✝ : typein r a < typein r b

Context: f : Subrel r {b | r b a} ≺i Subrel r {b_1 | r b_1 b}


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: r✝ : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsWellOrder α r

Context: a b : α

Context: x✝ : typein r a < typein r b

Context: this : ↑f.top = a


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
F : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y z : α
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
h : s ⊆ closedBall x r
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s


Context:
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
z : ↥(selfAdjoint ℂ)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R → ℝ

Context: c : ℝ

Context: f_nonneg : 0 ≤ f

Context: f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y

Context: x : R


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R → ℝ

Context: c : ℝ

Context: f_nonneg : 0 ≤ f

Context: x y : R


Context:
n✝ m n k : ℕ
h : n ≤ k
i : Fin k
hi : i ∈ Set.range (castLE h)

↑((Equiv.ofInjective (castLE h) ⋯).symm ⟨i, hi⟩) = ↑i


↑(castLE h ((Equiv.ofInjective (castLE h) ⋯).symm ⟨i, hi⟩)) = ↑i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ∃ a b, 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∧ a + b = 1 ∧ ‖a • x + b • y‖ ≠ 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

(closedBall 0 1 \ interior (closedBall 0 1)).Pairwise fun x y => ([x-[ℝ]y] \ frontier (closedBall 0 1)).Nonempty


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ = 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ([x-[ℝ]y] \ sphere 0 1).Nonempty


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x : E

Context: hx : ‖x‖ = 1

Context: y : E

Context: hy : ‖y‖ = 1

Context: hne : x ≠ y

Context: a b : ℝ

Context: ha : 0 ≤ a

Context: hb : 0 ≤ b

Context: hab : a + b = 1

Context: hne' : ‖a • x + b • y‖ ≠ 1


Context:
σ : Type u_1
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : MvPolynomial σ (ZMod p)

(frobenius (MvPolynomial σ (ZMod p)) p) f = (expand p) f


∀ (a : ZMod p), (frobenius (MvPolynomial σ (ZMod p)) p) (C a) = (expand p) (C a)


∀ (p_1 q : MvPolynomial σ (ZMod p)), (frobenius (MvPolynomial σ (ZMod p)) p) p_1 = (expand p) p_1 → (frobenius (MvPolynomial σ (ZMod p)) p) q = (expand p) q → (frobenius (MvPolynomial σ (ZMod p)) p) (p_1 + q) = (expand p) (p_1 + q)


∀ (p_1 : MvPolynomial σ (ZMod p)) (n : σ), (frobenius (MvPolynomial σ (ZMod p)) p) p_1 = (expand p) p_1 → (frobenius (MvPolynomial σ (ZMod p)) p) (p_1 * X n) = (expand p) (p_1 * X n)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : MonoidHomClass F α β
inst✝ : Fintype ι
S : ι → Set α

(fun f => ∏ i : ι, f i) '' univ.pi S = ∏ i : ι, S i


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
d : D

L₂.map (((mateEquiv adj₁ adj₂) α).app d) ≫ adj₂.counit.app (H.obj d) = α.app (R₁.obj d) ≫ H.map (adj₁.counit.app d)


(L₂.map ((whiskerLeft (R₁ ⋙ G) adj₂.unit).app d) ≫ L₂.map ((whiskerRight (whiskerLeft R₁ α) R₂ ≫ whiskerRight adj₁.counit (H ⋙ R₂)).app d)) ≫ adj₂.counit.app (H.obj d) = α.app (R₁.obj d) ≫ H.map (adj₁.counit.app d)


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
S T : Submonoid M


Context:
R : Type u_1
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
n : ℕ

(if Squarefree n then (-1) ^ Ω n else 0) = 0 ∨ (if Squarefree n then (-1) ^ Ω n else 0) = 1 ∨ (if Squarefree n then (-1) ^ Ω n else 0) = -1


Context:
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M


IsOpen ((chartAt H c).source ∩ ↑(extChartAt I c) ⁻¹' ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
h : cokernel.π f = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f

Context: x y z : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: hz : z ∈ s

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z

Context: this : -(((-f) z - (-f) y) / (z - y)) < -(((-f) y - (-f) x) / (y - x))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f

Context: x y z : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: hz : z ∈ s

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z

Context: this : (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝ : LocallyCompactSpace E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace H

Context: I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace E

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: this : ∀ (x : H), (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 (↑I x) ∧ IsCompact s) fun s => ↑I.symm '' (s ∩ range ↑I)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace H

Context: I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace E

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

∀ (x : H) (i : Set E), i ∈ 𝓝 (↑I x) ∧ IsCompact i → IsCompact (↑I.symm '' (i ∩ range ↑I))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace H

Context: I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace E

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: x : H

Context: s : Set E

Context: hsc : IsCompact s


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: φ ψ : R⟦X⟧

Context: h : ∀ (n : ℕ), (coeff R n) φ = (coeff R n) ψ

Context: n : Unit →₀ ℕ

(MvPowerSeries.coeff R n) φ = (MvPowerSeries.coeff R n) ψ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: φ ψ : R⟦X⟧

Context: n : Unit →₀ ℕ


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
F : Type u_5
inst✝ : FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
g : N →* P
f : M →* N


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N N' : Bimod X Y

Context: f : N ⟶ N'

Context: P : Bimod Y Z

(whiskerRight (M.whiskerLeft f) P).hom = ((isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N P, inv := AssociatorBimod.inv M N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom ≫ M.whiskerLeft (whiskerRight f P) ≫ (isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N' P, inv := AssociatorBimod.inv M N' P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).inv).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N N' : Bimod X Y

Context: f : N ⟶ N'

Context: P : Bimod Y Z

coequalizer.π ({ X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actRight ▷ P.X) ((α_ { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X Y.X P.X).hom ≫ { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X ◁ P.actLeft) ≫ (whiskerRight (M.whiskerLeft f) P).hom = coequalizer.π ({ X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actRight ▷ P.X) ((α_ { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X Y.X P.X).hom ≫ { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X ◁ P.actLeft) ≫ ((isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N P, inv := AssociatorBimod.inv M N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom ≫ M.whiskerLeft (whiskerRight f P) ≫ (isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N' P, inv := AssociatorBimod.inv M N' P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).inv).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N N' : Bimod X Y

Context: f : N ⟶ N'

Context: P : Bimod Y Z

coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ((M.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷ Y.X ▷ P.X) (colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ((M.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷ P.X) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) ≫ AssociatorBimod.hom M N P ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P) ((M.X ⊗ X.X) ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯)) (M.X ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯)) ⋯ ⋯) ≫ AssociatorBimod.inv M N' P


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N N' : Bimod X Y

Context: f : N ⟶ N'

Context: P : Bimod Y Z

colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ((M.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷ P.X ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) ≫ AssociatorBimod.hom M N P ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P) ((M.X ⊗ X.X) ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯)) (M.X ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯)) ⋯ ⋯) ≫ AssociatorBimod.inv M N' P


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N N' : Bimod X Y

Context: f : N ⟶ N'

Context: P : Bimod Y Z

colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ((M.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷ P.X ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N P) ⋯ ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P) ((M.X ⊗ X.X) ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯)) (M.X ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯)) ⋯ ⋯) ≫ AssociatorBimod.inv M N' P


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N N' : Bimod X Y

Context: f : N ⟶ N'

Context: P : Bimod Y Z

colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ((M.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷ P.X ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (AssociatorBimod.homAux M N P ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P) ((M.X ⊗ X.X) ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯)) (M.X ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯)) ⋯ ⋯)) ≫ AssociatorBimod.inv M N' P


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N N' : Bimod X Y

Context: f : N ⟶ N'

Context: P : Bimod Y Z

colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ((M.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷ P.X ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P) ((M.X ⊗ X.X) ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯)) (M.X ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯)) ⋯ ⋯)) ≫ AssociatorBimod.inv M N' P


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N N' : Bimod X Y

Context: f : N ⟶ N'

Context: P : Bimod Y Z

(tensorRight P.X).map (coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ((M.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷ P.X ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (tensorRight P.X).map (coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) ≫ (((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P) ((M.X ⊗ X.X) ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯)) (M.X ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯)) ⋯ ⋯)) ≫ AssociatorBimod.inv M N' P


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N N' : Bimod X Y

Context: f : N ⟶ N'

Context: P : Bimod Y Z

coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ((M.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (M.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) ▷ P.X ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ (((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P) ((M.X ⊗ X.X) ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯)) (M.X ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯)) ⋯ ⋯)) ≫ AssociatorBimod.inv M N' P


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N N' : Bimod X Y

Context: f : N ⟶ N'

Context: P : Bimod Y Z

(M.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ▷ P.X ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫ (((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P) ((M.X ⊗ X.X) ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯)) (M.X ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯)) ⋯ ⋯)) ≫ AssociatorBimod.inv M N' P


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N N' : Bimod X Y

Context: f : N ⟶ N'

Context: P : Bimod Y Z

(M.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ▷ P.X ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (((α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P) ((M.X ⊗ X.X) ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯)) (M.X ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯)) ⋯ ⋯)) ≫ AssociatorBimod.inv M N' P


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N N' : Bimod X Y

Context: f : N ⟶ N'

Context: P : Bimod Y Z

(M.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ▷ P.X ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫ (M.X ◁ colimMap (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ P.X) (f.hom ▷ P.X) ⋯ ⋯) ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P)) WalkingParallelPair.one) ≫ AssociatorBimod.inv M N' P


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N N' : Bimod X Y

Context: f : N ⟶ N'

Context: P : Bimod Y Z

(M.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ▷ P.X ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).hom ≫ (M.X ◁ (f.hom ▷ P.X ≫ colimit.ι (parallelPair (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P)) WalkingParallelPair.one) ≫ AssociatorBimod.inv M N' P


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N N' : Bimod X Y

Context: f : N ⟶ N'

Context: P : Bimod Y Z

(M.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ▷ P.X ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).hom ≫ (M.X ◁ (f.hom ▷ P.X ≫ colimit.ι (parallelPair (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ TensorBimod.X N' P) ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N' P)) WalkingParallelPair.one) ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.invAux M N' P) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N N' : Bimod X Y

Context: f : N ⟶ N'

Context: P : Bimod Y Z

(M.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ▷ P.X ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ (f.hom ▷ P.X ≫ colimit.ι (parallelPair (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ≫ AssociatorBimod.invAux M N' P


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N N' : Bimod X Y

Context: f : N ⟶ N'

Context: P : Bimod Y Z

(M.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ▷ P.X ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ (f.hom ▷ P.X ≫ colimit.ι (parallelPair (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft M.X) (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N'.X P.X).inv ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ▷ P.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N N' : Bimod X Y

Context: f : N ⟶ N'

Context: P : Bimod Y Z

(M.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ▷ P.X ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).hom ≫ ((M.X ◁ f.hom ▷ P.X ≫ M.X ◁ colimit.ι (parallelPair (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft M.X) (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft)).inv) ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X N'.X P.X).inv ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ▷ P.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N N' : Bimod X Y

Context: f : N ⟶ N'

Context: P : Bimod Y Z

(M.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ▷ P.X ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).hom ≫ M.X ◁ f.hom ▷ P.X ≫ (α_ M.X N'.X P.X).inv ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ▷ P.X ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N N' : Bimod X Y

Context: f : N ⟶ N'

Context: P : Bimod Y Z

(M.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ▷ P.X ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (α_ M.X N.X P.X).hom ≫ (((α_ M.X N.X P.X).inv ≫ (M.X ◁ f.hom) ▷ P.X) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ▷ P.X) ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: W X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod W X

Context: N N' : Bimod X Y

Context: f : N ⟶ N'

Context: P : Bimod Y Z

(M.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft)) WalkingParallelPair.one) ▷ P.X ≫ colimit.ι (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)) WalkingParallelPair.one = ((M.X ◁ f.hom) ▷ P.X ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ▷ P.X) ≫ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X) ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Finset α

(∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑s ∪ ↑t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑s ∩ ↑t), f i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑t), f i


Context:
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Sort u_1
a b : α


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
b : ℤ√↑(Pell.d a1)
b1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
n : ℕ
h : b ≤ ↑n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a b c d : G


Context:
S : Set ℝ
a : ℝ
hS : ∀ x ∈ S, x ≤ a
ha : 0 ≤ a


Context:
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
hS : ∀ x ∈ ∅, x ≤ a


Context:
S : Set ℝ
a : ℝ
hS : ∀ x ∈ S, x ≤ a
ha : 0 ≤ a
hS₂ : S.Nonempty


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
n : ℕ

(fun t => inverse (↑x + t) - (∑ i ∈ range n, (-↑x⁻¹ * t) ^ i) * ↑x⁻¹) =O[𝓝 0] fun t => ‖t‖ ^ n


(fun x_1 => (∑ i ∈ range n, (-↑x⁻¹ * x_1) ^ i) * ↑x⁻¹ + (-↑x⁻¹ * x_1) ^ n * inverse (↑x + x_1) - (∑ i ∈ range n, (-↑x⁻¹ * x_1) ^ i) * ↑x⁻¹) =O[𝓝 0] fun t => ‖t‖ ^ n


(fun x_1 => (-↑x⁻¹ * x_1) ^ n * inverse (↑x + x_1)) =O[𝓝 0] fun t => ‖t‖ ^ n


(fun x_1 => ‖(-↑x⁻¹ * x_1) ^ n‖ * 1) =O[𝓝 0] fun t => ‖t‖ ^ n


(fun x_1 => (-↑x⁻¹ * x_1) ^ n) =O[𝓝 0] fun t => ‖t‖ ^ n


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝
f✝ : E →SL[σ] F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →L[𝕜] F
G : Submodule 𝕜 F
h : IsCompl (LinearMap.range f) G
hG : IsClosed ↑G
hker : LinearMap.ker f = ⊥


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝
f✝ : E →SL[σ] F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →L[𝕜] F
G : Submodule 𝕜 F
h : IsCompl (LinearMap.range f) G
hG : IsClosed ↑G
hker : LinearMap.ker f = ⊥
this : CompleteSpace ↥G


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F✝ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝

Context: f✝ : E →SL[σ] F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E →L[𝕜] F

Context: G : Submodule 𝕜 F

Context: h : IsCompl (LinearMap.range f) G

Context: hG : IsClosed ↑G

Context: hker : LinearMap.ker f = ⊥

Context: this : CompleteSpace ↥G

Context: g : (E × ↥G) ≃L[𝕜] F := f.coprodSubtypeLEquivOfIsCompl h hker


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F✝ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝

Context: f✝ : E →SL[σ] F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E →L[𝕜] F

Context: G : Submodule 𝕜 F

Context: h : IsCompl (LinearMap.range f) G

Context: hG : IsClosed ↑G

Context: hker : LinearMap.ker f = ⊥

Context: this : CompleteSpace ↥G

IsClosed ↑(Submodule.map (↑↑(f.coprodSubtypeLEquivOfIsCompl h hker)) (⊤.prod ⊥))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F✝ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝

Context: f✝ : E →SL[σ] F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E →L[𝕜] F

Context: G : Submodule 𝕜 F

Context: h : IsCompl (LinearMap.range f) G

Context: hG : IsClosed ↑G

Context: hker : LinearMap.ker f = ⊥

Context: this : CompleteSpace ↥G


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
i : ι
f : Π₀ (i : ι), β i


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
i : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
i' : ι
h : ¬i = i'


Context:
L : Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
inst✝ : LE M

M ⊨ Language.order.noBotOrderSentence ↔ NoBotOrder M


(∀ (a : M), ∃ a_1, ¬Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1 0 ≤ Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1 1) ↔ NoBotOrder M


Context:
L : Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
inst✝ : LE M
h : NoBotOrder M
a : M

∃ a_1, ¬Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1 0 ≤ Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1 1


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α

Context: f g : ι →₀ α

Disjoint f g ↔ Disjoint f.support g.support


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m : Multiset α
a✝ a : α
b : δ a
s : Multiset α
hs : a ∉ s
f₁ f₂ : (a : α) → a ∈ s → δ a
eq : cons s a b f₁ = cons s a b f₂
a' : α
h' : a' ∈ s
ne : a ≠ a'
this : a' ∈ a ::ₘ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
μ : Measure α
s : Set α


s ⊆ if h : ∃ t ⊇ s, MeasurableSet t ∧ t =ᶠ[ae μ] s then h.choose else if h' : ∃ t ⊇ s, MeasurableSet t ∧ ∀ (u : Set α), MeasurableSet u → μ (t ∩ u) = μ (s ∩ u) then h'.choose else ⋯.choose


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort u_5

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: s : Set α

Context: hs : ∃ t ⊇ s, MeasurableSet t ∧ t =ᶠ[ae μ] s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort u_5

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: s : Set α

Context: hs : ¬∃ t ⊇ s, MeasurableSet t ∧ t =ᶠ[ae μ] s

Context: h's : ∃ t ⊇ s, MeasurableSet t ∧ ∀ (u : Set α), MeasurableSet u → μ (t ∩ u) = μ (s ∩ u)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort u_5

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: s : Set α

Context: h's : ¬∃ t ⊇ s, MeasurableSet t ∧ ∀ (u : Set α), MeasurableSet u → μ (t ∩ u) = μ (s ∩ u)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
S S₁ S₂ : ShortComplex C

S.Exact ↔ ∀ ⦃A : C⦄ (x₂ : A ⟶ S.X₂), x₂ ≫ S.g = 0 → ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.f


(∀ ⦃A : C⦄ (y : A ⟶ S.cycles), ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x, π ≫ y = x ≫ S.toCycles) ↔ ∀ ⦃A : C⦄ (x₂ : A ⟶ S.X₂), x₂ ≫ S.g = 0 → ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.f


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f g : ℝ → E

Context: x : ℝ

Context: f_diff : ∀ (y : ℝ), y ≠ x → HasDerivAt f (g y) y

Context: hf : ContinuousAt f x

Context: hg : ContinuousAt g x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f g : ℝ → E

Context: x : ℝ

Context: hf : ContinuousAt f x

Context: hg : ContinuousAt g x

Context: A : HasDerivWithinAt f (g x) (Ici x) x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f g : ℝ → E

Context: x : ℝ

Context: hf : ContinuousAt f x

Context: hg : ContinuousAt g x

Context: A : HasDerivWithinAt f (g x) (Ici x) x

Context: B : HasDerivWithinAt f (g x) (Iic x) x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M✝ : Matrix n n R
i j : n
M : Matrix n n R
f : R →+* S

(M.map ⇑f).charpoly = Polynomial.map f M.charpoly


Context: F✝ : Type u → Type v

Context: α β γ : Type u

Context: inst✝¹ : Functor F✝

Context: inst✝ : LawfulFunctor F✝

Context: F : Type u_1 → Type u_2

Context: m : {α β : Type u_1} → (α → β) → F α → F β

Context: mc : {α β : Type u_1} → α → F β → F α

Context: m' : {α β : Type u_1} → (α → β) → F α → F β

Context: mc' : {α β : Type u_1} → α → F β → F α

Context: H1 : LawfulFunctor F

Context: H2 : LawfulFunctor F

Context: H : ∀ (α β : Type u_1) (f : α → β) (x : F α), f <$> x = f <$> x

{ map := m, mapConst := mc } = { map := m', mapConst := mc' }


Context: F✝ : Type u → Type v

Context: α β γ : Type u

Context: inst✝¹ : Functor F✝

Context: inst✝ : LawfulFunctor F✝

Context: F : Type u_1 → Type u_2

Context: mc mc' : {α β : Type u_1} → α → F β → F α

Context: H1 : LawfulFunctor F

Context: H2 : LawfulFunctor F

{ map := m, mapConst := mc } = { map := m, mapConst := mc' }


Context: F✝ : Type u → Type v

Context: α β γ : Type u

Context: inst✝¹ : Functor F✝

Context: inst✝ : LawfulFunctor F✝

Context: F : Type u_1 → Type u_2

Context: H1 : LawfulFunctor F

Context: H2 : LawfulFunctor F


Context: F✝ : Type u → Type v

Context: α✝ β✝ γ : Type u

Context: inst✝¹ : Functor F✝

Context: inst✝ : LawfulFunctor F✝

Context: F : Type u_1 → Type u_2

Context: H1 : LawfulFunctor F

Context: H2 : LawfulFunctor F

Context: α β : Type u_1


Context: F✝ : Type u → Type v

Context: α✝ β✝ γ : Type u

Context: inst✝¹ : Functor F✝

Context: inst✝ : LawfulFunctor F✝

Context: F : Type u_1 → Type u_2

Context: H1 : LawfulFunctor F

Context: H2 : LawfulFunctor F

Context: α β : Type u_1

Context: E1 : ∀ {α β : Type u_1}, mapConst = map ∘ Function.const β


Context: F✝ : Type u → Type v

Context: α✝ β✝ γ : Type u

Context: inst✝¹ : Functor F✝

Context: inst✝ : LawfulFunctor F✝

Context: F : Type u_1 → Type u_2

Context: H1 : LawfulFunctor F

Context: H2 : LawfulFunctor F

Context: α β : Type u_1

Context: E2 : ∀ {α β : Type u_1}, mapConst = map ∘ Function.const β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p✝ : Filter ι✝

Context: g : ι✝ → α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: t : ι → Set α

Context: p : ι' → Prop

Context: V : ι' → Set (β × β)

Context: ht : ∀ (i : ι), t i ∈ 𝔖

Context: hdir : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) t

Context: hex : ∀ s ∈ 𝔖, ∃ i, s ⊆ t i

Context: hb : (𝓤 β).HasBasis p V

(𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)).HasBasis (fun i => p i.2) fun i => UniformOnFun.gen 𝔖 (t i.1) (V i.2)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p✝ : Filter ι✝

Context: g : ι✝ → α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: t : ι → Set α

Context: p : ι' → Prop

Context: V : ι' → Set (β × β)

Context: ht : ∀ (i : ι), t i ∈ 𝔖

Context: hex : ∀ s ∈ 𝔖, ∃ i, s ⊆ t i

Context: hb : (𝓤 β).HasBasis p V

Context: hne : 𝔖.Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p✝ : Filter ι✝

Context: g : ι✝ → α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: t : ι → Set α

Context: p : ι' → Prop

Context: V : ι' → Set (β × β)

Context: ht : ∀ (i : ι), t i ∈ 𝔖

Context: hex : ∀ s ∈ 𝔖, ∃ i, s ⊆ t i

Context: hb : (𝓤 β).HasBasis p V

Context: hne : 𝔖.Nonempty

Context: hd : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: s✝ s' : Set α

Context: x : α

Context: p✝ : Filter ι✝

Context: g : ι✝ → α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: t : ι → Set α

Context: p : ι' → Prop

Context: V : ι' → Set (β × β)

Context: ht : ∀ (i : ι), t i ∈ 𝔖

Context: hex : ∀ s ∈ 𝔖, ∃ i, s ⊆ t i

Context: hb : (𝓤 β).HasBasis p V

Context: hne : 𝔖.Nonempty

Context: x✝¹ : Set α × ι'

Context: s : Set α

Context: i' : ι'

Context: x✝ : (s, i').1 ∈ 𝔖 ∧ p (s, i').2

Context: hs : (s, i').1 ∈ 𝔖

Context: hi' : p (s, i').2

∃ i'_1, p i'_1.2 ∧ UniformOnFun.gen 𝔖 (t i'_1.1) (V i'_1.2) ⊆ UniformOnFun.gen 𝔖 (s, i').1 (V (s, i').2)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: s✝ s' : Set α

Context: x : α

Context: p✝ : Filter ι✝

Context: g : ι✝ → α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: t : ι → Set α

Context: p : ι' → Prop

Context: V : ι' → Set (β × β)

Context: ht : ∀ (i : ι), t i ∈ 𝔖

Context: hex : ∀ s ∈ 𝔖, ∃ i, s ⊆ t i

Context: hb : (𝓤 β).HasBasis p V

Context: hne : 𝔖.Nonempty

Context: x✝¹ : Set α × ι'

Context: s : Set α

Context: i' : ι'

Context: x✝ : (s, i').1 ∈ 𝔖 ∧ p (s, i').2

Context: hs : (s, i').1 ∈ 𝔖

Context: hi' : p (s, i').2

Context: i : ι

Context: hi : s ⊆ t i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
G : Type u_5
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : BorelSpace G
inst✝¹ : SecondCountableTopology G
f : α → G
_m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ

AEFinStronglyMeasurable f μ ↔ AEMeasurable f μ


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α✝
s t u v : Set α✝
α : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TotallySeparatedSpace α
x y : α
hxy : x ≠ y


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α✝
s t u v : Set α✝
α : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TotallySeparatedSpace α
x y : α
hxy : x ≠ y
U V : Set α
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
Ux : x ∈ U
Vy : y ∈ V
f : univ ⊆ U ∪ V
disj : Disjoint U V


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α✝
s t u v : Set α✝
α : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TotallySeparatedSpace α
x y : α
hxy : x ≠ y
U V : Set α
hU✝ : IsOpen U
hV : IsOpen V
Ux : x ∈ U
Vy : y ∈ V
f : univ ⊆ U ∪ V
disj : Disjoint U V
hU : IsClopen (univ ∩ U)


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α✝
s t u v : Set α✝
α : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TotallySeparatedSpace α
x y : α
hxy : x ≠ y
U V : Set α
hU✝ : IsOpen U
hV : IsOpen V
Ux : x ∈ U
Vy : y ∈ V
f : univ ⊆ U ∪ V
disj : Disjoint U V
hU : IsClopen U


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α✝
s t u v : Set α✝
α : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TotallySeparatedSpace α
x y : α
hxy : x ≠ y
U V : Set α
hU✝ : IsOpen U
hV : IsOpen V
Ux : x ∈ U
Vy : y ∈ V
f : univ ⊆ U ∪ V
disj : V ⊆ Uᶜ
hU : IsClopen U


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Nontrivial G
inst✝ : Finite G


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
p : X → Prop
f : X → Y
hf : QuotientMap f
s : Set Y
hs : IsOpen s


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
p : X → Prop
f : X → Y
hf : QuotientMap f
s : Set Y
hs : IsOpen s
U : Set ↑s

IsOpen U ↔ IsOpen (s.restrictPreimage f ⁻¹' U)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b c : α

a ≤ aᶜ ↔ a = ⊥


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m✝ : Set X → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure X
s✝ : Set X
m : Set X → ℝ≥0∞
s : Set X

Tendsto (fun n => (pre m (↑n)⁻¹) s) atTop (𝓝 ((mkMetric' m) s))


Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹) atTop (𝓟 (Ioi 0))


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m✝ : Set X → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure X
s✝ : Set X
m : Set X → ℝ≥0∞
s : Set X
n : ℕ


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop

(∀ (x : X), RestrictGermPredicate P A x ↑f) ↔ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ A, P x ↑f


(∀ (x : X), RestrictGermPredicate P A x ↑f) ↔ ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑f


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : OrderTopology α

Context: inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : OrderTopology β

Context: inst✝⁴ : Nonempty γ

Context: inst✝³ : DenselyOrdered α

Context: a✝ b✝ : α

Context: δ : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder δ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : OrderClosedTopology δ

Context: s : Set α

Context: hs : s.OrdConnected

Context: f : α → δ

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: a b : α

Context: ha : a ∈ s

Context: hb : b ∈ s


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P

(s.weightedVSub p) w = ∑ i ∈ s, w i • (p i -ᵥ Classical.choice ⋯)


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
α : Type u_1
s : Set (Set α)
t : Set α
ht : GenerateOpen s t

generateFrom (insert t s) = generateFrom s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t✝ u : Finset α
f✝ : α → β
n : ℕ
t : Finset β
f : α → β
hf : Set.SurjOn f ↑s ↑t


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝² : HasAffineProperty P Q

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

Context: inst✝¹ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)

Context: 𝒰' : (i : 𝒰.J) → (pullback f (𝒰.map i)).OpenCover

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J) (j : (𝒰' i).J), IsAffine ((𝒰' i).obj j)

Context: h𝒰' : ∀ (i : 𝒰.J) (j k : (𝒰' i).J), Q (pullback.mapDesc ((𝒰' i).map j) ((𝒰' i).map k) (𝒰.pullbackHom f i))


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝² : HasAffineProperty P Q

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

Context: this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝² : HasAffineProperty P Q

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

Context: 𝒱 : (pullback f f).OpenCover := (Scheme.Pullback.openCoverOfBase 𝒰 f f).bind fun i => Scheme.Pullback.openCoverOfLeftRight (𝒰' i) (𝒰' i) (pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd f (𝒰.map i))

Context: i1 : ∀ (i : 𝒱.J), IsAffine (𝒱.obj i)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝² : HasAffineProperty P Q

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

Context: i1 : ∀ (i : 𝒱.J), IsAffine (𝒱.obj i)

∀ (i : (𝒱.pullbackCover (pullback.diagonal f)).J), Q (𝒱.pullbackHom (pullback.diagonal f) i)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝² : HasAffineProperty P Q

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

Context: i1 : ∀ (i : 𝒱.J), IsAffine (𝒱.obj i)

Context: i : (Scheme.Pullback.openCoverOfBase 𝒰 f f).J

Context: j k : (𝒰' i).J

Q (((Scheme.Pullback.openCoverOfBase 𝒰 f f).bind fun i => Scheme.Pullback.openCoverOfLeftRight (𝒰' i) (𝒰' i) (pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd f (𝒰.map i))).pullbackHom (pullback.diagonal f) ⟨i, (j, k)⟩)