Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E

Context: x y : E

Context: x✝ : ι

Context: a✝ : x✝ ∈ Finset.univ

⟪x, b x✝⟫_𝕜 * ⟪b x✝, y⟫_𝕜 = ((innerSL 𝕜) x) (b.repr y x✝ • b x✝)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E

Context: x y : E

Context: this : ∑ x_1 : ι, ((innerSL 𝕜) x) (b.repr y x_1 • b x_1) = ((innerSL 𝕜) x) y

Context: x✝ : ι

Context: a✝ : x✝ ∈ Finset.univ

⟪b x✝, y⟫_𝕜 * ⟪x, b x✝⟫_𝕜 = ⟪b x✝, y⟫_𝕜 • ((innerSL 𝕜) x) (b x✝)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
p₁ p₁' : Path a₁ a₂
p₂ p₂' : Path b₁ b₂
q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃
c₁ c₂ : α × β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
p₁ p₁' : Path a₁ a₂
p₂ p₂' : Path b₁ b₂
q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃
c₁ c₂ : α × β
a✝ : Path a₁ a₂
b✝ : Path b₁ b₂


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : G → E
f'✝ g' : G →L[ℝ] E
s✝ : Set G
x✝ : G
n : ℕ∞
f : ℝ → F
f' : F
s : Set ℝ
x : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x

HasDerivWithinAt (fun x => ‖f x‖ ^ 2) (2 * ⟪f x, f'⟫_ℝ) s x


Context:
x : ℝ
hx0 : 0 < x
hx : x ≤ 2
this : x / 2 ≤ 1


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : x ∈ s


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

completedHurwitzZetaOdd a (1 - s) = completedSinZeta a s


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.85455, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasLeftHomology
hf : S.f = 0


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.85455, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasLeftHomology
hf : S.f = 0
this : IsIso S.leftHomologyπ


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
x : α
n : ℤ
h : -x < ↑n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
x : β
f : Fin n → β

∏ i : Fin n.succ, cons x f i = x * ∏ i : Fin n, f i


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s s' : ↥S
m : M


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
U✝ V : OpenSubgroup G
g : G
inst✝ : ContinuousMul G
U : OpenSubgroup G


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
U✝ V : OpenSubgroup G
g : G
inst✝ : ContinuousMul G
U : OpenSubgroup G
x : G
hx : x ∈ (↑U)ᶜ


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
h : I = 0
z : K


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f : Perm α
s : Set α
hf : f.IsCycleOn s
a b : α

(a, b) ∈ s ×ˢ s ↔ (a, b) ∈ ⋃ n, (fun a => (a, (f ^ n) a)) '' s


a ∈ s ∧ b ∈ s ↔ ∃ i, ∃ x ∈ s, (x, (f ^ i) x) = (a, b)


Context:
z : ℍ
N : ℕ
hn : 0 < N
n : ℤ := ⌊z.re / ↑N⌋

∃ n, ModularGroup.T ^ (↑N * n) • z ∈ verticalStrip (↑N) z.im


ModularGroup.T ^ (↑N * -n) • z ∈ verticalStrip (↑N) z.im


↑(↑N * -n) +ᵥ z ∈ verticalStrip (↑N) z.im


Context: z : ℍ

Context: N : ℕ

Context: hn : 0 < N

Context: n : ℤ := ⌊z.re / ↑N⌋

Context: h : (↑N * -↑n +ᵥ z).re = -↑N * ↑⌊z.re / ↑N⌋ + z.re


Context: z : ℍ

Context: N : ℕ

Context: hn : 0 < N

Context: n : ℤ := ⌊z.re / ↑N⌋

Context: h : (↑(↑N * -n) +ᵥ z).re = ↑(-↑N * ⌊z.re / ↑N⌋) + z.re


Context: z : ℍ

Context: N : ℕ

Context: hn : 0 < N

Context: n : ℤ := ⌊z.re / ↑N⌋


Context: z : ℍ

Context: N : ℕ

Context: hn : 0 < N

Context: n : ℤ := ⌊z.re / ↑N⌋

Context: hnn : 0 < ↑N

Context: h2 : z.re + -(↑N * ↑n) = z.re - ↑n * ↑N


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: X Y : Dial C

Context: e₁ : X.src ≅ Y.src

Context: e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt

Context: eq : X.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel

(Subobject.pullback π(π₁, π₂ ≫ e₂.inv)).obj X.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom (𝟙 Y.tgt))).obj Y.rel


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: X Y : Dial C

Context: e₁ : X.src ≅ Y.src

Context: e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt

(Subobject.pullback (π(π₁, π₂ ≫ e₂.inv) ≫ prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom (𝟙 Y.tgt))).obj Y.rel


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: X Y : Dial C

Context: e₁ : X.src ≅ Y.src

Context: e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt

(Subobject.pullback (π(π₁, π₂ ≫ e₂.inv) ≫ prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom (𝟙 Y.tgt))).obj Y.rel


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: X Y : Dial C

Context: e₁ : X.src ≅ Y.src

Context: e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt

(Subobject.pullback π(π₁, π₂ ≫ e₂.hom)).obj Y.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map e₁.inv (𝟙 X.tgt))).obj X.rel


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: X Y : Dial C

Context: e₁ : X.src ≅ Y.src

Context: e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt

(Subobject.pullback π(π₁, π₂ ≫ e₂.hom)).obj Y.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map e₁.inv (𝟙 X.tgt) ≫ prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: X Y : Dial C

Context: e₁ : X.src ≅ Y.src

Context: e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt

(Subobject.pullback π(π₁, π₂ ≫ e₂.hom)).obj Y.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.inv (𝟙 X.tgt) ≫ prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel


Context:
f : StieltjesFunction
c : ℝ


Context:
f : StieltjesFunction
c : ℝ
t : Set ℝ

f.length (t ∩ Ioi c) + f.length (t \ Ioi c) ≤ f.length t


Context:
f : StieltjesFunction
c : ℝ
t : Set ℝ
a b : ℝ
h : t ⊆ Ioc a b

f.length (t ∩ Ioi c) + f.length (t \ Ioi c) ≤ ofReal (↑f b - ↑f a)


f.length (Ioc a b ∩ Ioi c) + f.length (Ioc a b \ Ioi c) ≤ ofReal (↑f b - ↑f a)


Context:
f : StieltjesFunction
c : ℝ
t : Set ℝ
a b : ℝ
h : t ⊆ Ioc a b
hac : a ≤ c
hbc : b ≤ c


Context:
f : StieltjesFunction
c : ℝ
t : Set ℝ
a b : ℝ
h : t ⊆ Ioc a b
hac : a ≤ c
hbc : c ≤ b


Context:
f : StieltjesFunction
c : ℝ
t : Set ℝ
a b : ℝ
h : t ⊆ Ioc a b
hac : c ≤ a
hbc : b ≤ c


Context:
f : StieltjesFunction
c : ℝ
t : Set ℝ
a b : ℝ
h : t ⊆ Ioc a b
hac : c ≤ a
hbc : c ≤ b


Context:
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : ↥(skewAdjoint A)


Context:
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
a b : ↥(skewAdjoint A)

↑((fun a => ⟨-I • ↑a, ⋯⟩) (a + b)) = ↑((fun a => ⟨-I • ↑a, ⋯⟩) a + (fun a => ⟨-I • ↑a, ⋯⟩) b)


Context:
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : ℝ
b : ↥(skewAdjoint A)

↑({ toFun := fun a => ⟨-I • ↑a, ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun (a • b)) = ↑((RingHom.id ℝ) a • { toFun := fun a => ⟨-I • ↑a, ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun b)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
g✝ : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g✝ ↑y)
inst✝ : Algebra R P
f g : S →ₐ[R] P

(↑f).comp (algebraMap R S) = (↑g).comp (algebraMap R S)


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L : Filter 𝕜

Context: ι : Type u_1

Context: u : Finset ι

Context: A : ι → 𝕜 → F

Context: A' : ι → F

Context: h : ∀ i ∈ u, HasDerivAtFilter (A i) (A' i) x L

HasDerivAtFilter (fun y => ∑ i ∈ u, A i y) (∑ i ∈ u, A' i) x L


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cone G

Context: P : IsLimit s

Context: Q : IsLimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

Context: w' : e.inverse ⋙ F ≅ G := (isoWhiskerLeft e.inverse w).symm ≪≫ e.invFunIdAssoc G

Q.lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e.symm w').functor.obj s) ≫ P.lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e w).functor.obj t) = 𝟙 s.pt


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cone G

Context: P : IsLimit s

Context: Q : IsLimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

∀ (j : J), (Q.lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e.symm w').functor.obj s) ≫ P.lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e w).functor.obj t)) ≫ s.π.app j = 𝟙 s.pt ≫ s.π.app j


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cone G

Context: P : IsLimit s

Context: Q : IsLimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

Context: j : J

(Q.lift ((Cones.postcompose (whiskerLeft e.inverse w.inv ≫ (e.invFunIdAssoc G).hom)).obj (Cone.whisker e.inverse s)) ≫ P.lift ((Cones.postcompose w.hom).obj (Cone.whisker e.functor t))) ≫ s.π.app j = 𝟙 s.pt ≫ s.π.app j


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cone G

Context: P : IsLimit s

Context: Q : IsLimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

Context: j : J

s.π.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫ w.inv.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫ G.map (e.counit.app (e.functor.obj j)) ≫ w.hom.app j = s.π.app j


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cone G

Context: P : IsLimit s

Context: Q : IsLimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

Context: j : J

s.π.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫ w.inv.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫ (e.functor ⋙ G).map (e.unitInv.app j) ≫ w.hom.app j = s.π.app j


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cone G

Context: P : IsLimit s

Context: Q : IsLimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

Context: j : J

Context: l : w.hom.app j = w.hom.app ((𝟭 J).obj j)


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cone G

Context: P : IsLimit s

Context: Q : IsLimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

Context: j : J

s.π.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫ w.inv.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫ w.hom.app ((e.functor ⋙ e.inverse).obj j) ≫ F.map (e.unitInv.app j) = s.π.app j


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cone G

Context: P : IsLimit s

Context: Q : IsLimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

P.lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e w).functor.obj t) ≫ Q.lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e.symm w').functor.obj s) = 𝟙 t.pt


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cone G

Context: P : IsLimit s

Context: Q : IsLimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

∀ (j : K), (P.lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e w).functor.obj t) ≫ Q.lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e.symm w').functor.obj s)) ≫ t.π.app j = 𝟙 t.pt ≫ t.π.app j


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ : Type x

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s : Set α

Context: h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ s, x < y → y < z → False


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z m : ℤ
hm : b - a = m • p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
f : Filter β
u : β → α


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Martingale g ℱ μ


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Martingale g ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Mul G

Context: inst✝ : Mul H

Context: A B : Finset G

Context: a0 b0 : G

Context: h : UniqueMul A B a0 b0

Context: x1 y1 : G

Context: hx : x1 ∈ A ∧ y1 ∈ B ∧ x1 * y1 = a0 * b0

Context: x2 y2 : G

Context: hy : x2 ∈ A ∧ y2 ∈ B ∧ x2 * y2 = a0 * b0


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Mul G

Context: inst✝ : Mul H

Context: A B : Finset G

Context: x1 y1 x2 y2 : G

Context: h : UniqueMul A B x1 y1

Context: hx : x1 ∈ A ∧ y1 ∈ B ∧ x1 * y1 = x1 * y1

Context: hy : x2 ∈ A ∧ y2 ∈ B ∧ x2 * y2 = x1 * y1


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Mul G

Context: inst✝ : Mul H

Context: A B : Finset G

Context: x2 y2 : G

Context: h : UniqueMul A B x2 y2

Context: hx hy : x2 ∈ A ∧ y2 ∈ B ∧ x2 * y2 = x2 * y2


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring α

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝³ : PosMulStrictMono α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

0 ≤ a * b ↔ (0 < a → 0 ≤ b) ∧ (0 < b → 0 ≤ a)


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring α

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝³ : PosMulStrictMono α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α

0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0 ↔ (0 < a → 0 ≤ b) ∧ (0 < b → 0 ≤ a)


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring α

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝³ : PosMulStrictMono α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α

0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0 ↔ (a ≤ 0 ∨ 0 ≤ b) ∧ (b ≤ 0 ∨ 0 ≤ a)


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring α

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝³ : PosMulStrictMono α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α

Context: this : a ≤ 0 ∨ 0 ≤ a


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring α

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝³ : PosMulStrictMono α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α

Context: this✝ : a ≤ 0 ∨ 0 ≤ a

Context: this : b ≤ 0 ∨ 0 ≤ b


Context:
x y : ℝ
hx : 0 < x
hy : 0 < y


Context:
d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : 0 < a.x
hb : 0 < b.x


Context:
d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : 0 < a.x
hb : 0 < b.x
h : 0 ≤ d


Context:
d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : 0 < a.x
hb : 0 < b.x
h : d < 0


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MulAction G β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsScalarTower G α β
a : α
b : β
h : Injective fun x => x • b


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MulAction G β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsScalarTower G α β
a✝ : α
b : β
h : Injective fun x => x • b
a : G
ha : a ∈ stabilizer G (a✝ • b)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
s : Set α


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
g : G i
w : NormalWord d

(lift (fun i => MulAction.toEndHom) MulAction.toEndHom ⋯) ((of i) g) w = (equivPair i).symm { head := g * ((equivPair i) w).head, tail := ((equivPair i) w).tail, fstIdx_ne := ⋯, normalized := ⋯ }


MulAction.toEndHom g w = (equivPair i).symm { head := g * ((equivPair i) w).head, tail := ((equivPair i) w).tail, fstIdx_ne := ⋯, normalized := ⋯ }


Context: a b : ℤ

↑(range (a ⊔ b + 1 - a ⊓ b).toNat).card = ↑((b - a).natAbs + 1)


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)

Context: p : (Π₀ (i : ι), β i) → Prop

Context: h0 : p 0

Context: ha : ∀ (i : ι) (b : β i) (f : Π₀ (i : ι), β i), f i = 0 → b ≠ 0 → p f → p (single i b + f)

Context: f : (i : ι) → β i

Context: s : Trunc { s // ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0 }


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)

Context: p : (Π₀ (i : ι), β i) → Prop

Context: h0 : p 0

Context: f : (i : ι) → β i

Context: s : { s // ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0 }

p { toFun := f, support' := Trunc.mk s }


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)

Context: p : (Π₀ (i : ι), β i) → Prop

Context: h0 : p 0

Context: f : (i : ι) → β i

Context: s : Multiset ι

Context: H : ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0

p { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨s, H⟩ }


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)

Context: p : (Π₀ (i : ι), β i) → Prop

Context: h0 : p 0

Context: f : (i : ι) → β i

Context: H : ∀ (i : ι), i ∈ 0 ∨ f i = 0

p { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨0, H⟩ }


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)

Context: p : (Π₀ (i : ι), β i) → Prop

Context: h0 : p 0

Context: i : ι

Context: s : Multiset ι

Context: ih : ∀ (f : (i : ι) → β i) (H : ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0), p { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨s, H⟩ }

Context: f : (i : ι) → β i

Context: H : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ i ::ₘ s ∨ f i_1 = 0

p { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ }


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)

Context: p : (Π₀ (i : ι), β i) → Prop

Context: h0 : p 0

Context: i : ι

Context: s : Multiset ι

Context: f : (i : ι) → β i

Context: H2 : p (erase i { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ })


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)

Context: p : (Π₀ (i : ι), β i) → Prop

Context: h0 : p 0

Context: i : ι

Context: s : Multiset ι

Context: f : (i : ι) → β i

Context: H3 : single i ({ toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ } i) + erase i { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ } = { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ }


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)

Context: p : (Π₀ (i : ι), β i) → Prop

Context: h0 : p 0

Context: i : ι

Context: s : Multiset ι

Context: f : (i : ι) → β i

p (single i (f i) + erase i { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ })


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)

Context: p : (Π₀ (i : ι), β i) → Prop

Context: h0 : p 0

Context: i : ι

Context: s : Multiset ι

Context: f : (i : ι) → β i

Context: h : f i = 0


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)

Context: p : (Π₀ (i : ι), β i) → Prop

Context: h0 : p 0

Context: i : ι

Context: s : Multiset ι

Context: f : (i : ι) → β i

Context: h : ¬f i = 0


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)

Context: p : (Π₀ (i : ι), β i) → Prop

Context: h0 : p 0

Context: i : ι

Context: s : Multiset ι

Context: f : (i : ι) → β i

Context: h : ¬f i = 0

(erase i { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ }) i = 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: μ' : Measure β

Context: f : α →ₛ ℝ≥0∞

Context: g : β →ₛ ℝ≥0∞

Context: m' : α → β

Context: eq : ∀ (a : α), ↑f a = ↑g (m' a)

Context: h : ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → μ' s = μ (m' ⁻¹' s)

Context: y : ℝ≥0∞

μ {x | ↑g (m' x) ∈ {y}} = μ' {x | ↑g x ∈ {y}}


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁷ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : MetricSpace Q
inst✝⁴ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : Invertible 2
p₁ p₂ : P

dist p₁ (midpoint 𝕜 p₁ p₂) = ‖2‖⁻¹ * dist p₁ p₂


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: q : ℝ≥0∞


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: hp : 0 < p.toReal


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n

Context: hsum : Summable fun x => ‖f x‖

Context: hf₀ : f 0 = 0

HasProd ({p | Nat.Prime p}.mulIndicator fun p => ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)) (∑' (n : ℕ), f n)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: hsum : Summable fun x => ‖f x‖

Context: hf₀ : f 0 = 0

HasProd ((fun p => ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)) ∘ Subtype.val) (∑' (n : ℕ), f n)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.71408, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
n i i' : ℤ
hi : n + i = i'


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
a : R
n : ℕ


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a✝ b : R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: a : R

Context: n : ℕ

Context: this : rootMultiplicity a (C 1 * (X - C a) ^ n) = rootMultiplicity a (C 1) + n


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
i : ι


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: C : (i : ι) → Set (Set (α i))

Context: hC : ∀ (i : ι), generateFrom (C i) = inst✝ i

Context: h2C : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)

Context: h3C : (i : ι) → (μ i).FiniteSpanningSetsIn (C i)

Context: μν : Measure ((i : ι) → α i)

Context: h₁ : ∀ (s : (i : ι) → Set (α i)), (∀ (i : ι), s i ∈ C i) → μν (univ.pi s) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: C : (i : ι) → Set (Set (α i))

Context: h2C : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)

Context: μν : Measure ((i : ι) → α i)

Context: h4C : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ C i, MeasurableSet s


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: C : (i : ι) → Set (Set (α i))

Context: h2C : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)

Context: μν : Measure ((i : ι) → α i)

∀ s ∈ univ.pi '' univ.pi C, (Measure.pi μ) s = μν s


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: C : (i : ι) → Set (Set (α i))

Context: h2C : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)

Context: μν : Measure ((i : ι) → α i)

Context: s : (i : ι) → Set (α i)

Context: hs : s ∈ univ.pi C

(Measure.pi μ) (univ.pi s) = μν (univ.pi s)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: C : (i : ι) → Set (Set (α i))

Context: h2C : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)

Context: μν : Measure ((i : ι) → α i)

Context: s : (i : ι) → Set (α i)

Context: hs : ∀ (i : ι), s i ∈ C i


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: C : (i : ι) → Set (Set (α i))

Context: h2C : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)

Context: μν : Measure ((i : ι) → α i)

Context: s : (i : ι) → Set (α i)

Context: hs : ∀ (i : ι), s i ∈ C i

Context: this : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b : α
ha : IsRegular a
hb : IsRegular b


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ f : σ → MvPolynomial τ R
p : MvPolynomial σ R


Context:
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
c : R


Context: x y : ℂ


Context:
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X
hx : (𝓝[≠] x).NeBot
s : Set X
hs : s ∈ 𝓝 x


Context:
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X
hx : (𝓝[≠] x).NeBot
s : Set X
hs : s ∈ 𝓝 x
hsf : s.Finite


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : ZeroHomClass F α α₂
f : F


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsTrans α r
s t u : Multiset α
r1 : Rel r s t
r2 : Rel r t u


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsTrans α r
s u : Multiset α
r1 : Rel r s 0
r2 : Rel r 0 u


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: r✝ : α → β → Prop

Context: p : γ → δ → Prop

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsTrans α r

Context: x : α

Context: t : Multiset α

Context: ih : ∀ {s u : Multiset α}, Rel r s t → Rel r t u → Rel r s u

Context: s u : Multiset α

Context: r1 : Rel r s (x ::ₘ t)

Context: r2 : Rel r (x ::ₘ t) u


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)

Context: inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)

Context: f : (i : α) → E i

Context: hf : Memℓp f p


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: q : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)

Context: f : (i : α) → E i

Context: hf : Memℓp f 0


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: q : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)

Context: f : (i : α) → E i

Context: hf : Memℓp f ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)

Context: f : (i : α) → E i

Context: hf : Memℓp f p

Context: hp : 0 < p.toReal


Context:
α : Type u_1
n : ℕ

(↑(n + 1)).toZNum = ZNum.ofInt' ↑(n + 1)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Nontrivial B
x : σ → A
p : MvPolynomial σ R

(aeval (⇑(algebraMap A B) ∘ x)) p = 0 ↔ (aeval x) p = 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : GroupWithZero α
s t : Set α
hs : s.Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
b₁ b₂ : α
a d : β
hba : b₂ < b₁
hdc : d < a


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
a✝ b✝ : ℝ
h : dist a✝ b✝ < ε


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
a✝ b✝ : ℝ
h : dist b✝ a✝ < ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α

Context: a b c d : α

Context: m n : ℕ

Context: ha : 1 < a


Context: α : Type u_1

Context: a b c d : α

Context: m n : ℕ

Context: ha : 1 < a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β

Isometry f ↔ ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) = dist x y


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : OrderTopology α

Context: inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : OrderTopology β

Context: inst✝ : Nonempty γ

Context: s : Set α

Context: hs : s ∈ {s | IsPreconnected s}

s ∈ range (uncurry Icc) ∪ range (uncurry Ico) ∪ range (uncurry Ioc) ∪ range (uncurry Ioo) ∪ (range Ici ∪ range Ioi ∪ range Iic ∪ range Iio ∪ {univ, ∅})


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹¹ : Semifield R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : HasContinuousInv₀ R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A

Context: hf' : ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≠ 0

Context: n : ℤ

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

cfcUnits f a hf' hf ha ^ n = cfcUnits (f ^ n) a ⋯ ⋯ ha


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : DiscreteTopology β

Context: f : α × β → γ

Context: x : α × β

ContinuousAt f x ↔ ContinuousAt (fun x_1 => f (x_1, x.2)) x.1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : DiscreteTopology β

Context: f : α × β → γ

Context: x : α × β

ContinuousWithinAt f univ x ↔ ContinuousWithinAt (fun x_1 => f (x_1, x.2)) univ x.1


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)

(algebraMap (𝓞 K) K) hζ.integralPowerBasis.gen = ↑hζ.toInteger


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)

(algebraMap (𝓞 K) K) (hζ.adjoinEquivRingOfIntegers ⟨ζ, ⋯⟩) = ↑hζ.toInteger


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)

(algebraMap (↥(adjoin ℤ {ζ})) K) ⟨ζ, ⋯⟩ = ζ


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
Z : C
I : InjectiveResolution Z
n : ℕ

(ComplexShape.up ℕ).next (n + 1) = n + 2


Context:
K : Type u_1
n : ℕ
g : GenContFract K
s : Stream'.Seq (Pair K)
inst✝ : DivisionRing K

g.convs' (n + 1) = (g.squashGCF n).convs' n


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A B : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
a b c x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hA : A.Subsingleton
_x₁ _y₁ _x₂ _y₂ : G
hxyd : IsCorner A _x₁ _y₁ _x₂ _y₂


Context: p q r : ℕ+

sumInv {p, q, r} = (↑↑p)⁻¹ + (↑↑q)⁻¹ + (↑↑r)⁻¹


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c✝ d a b c : G


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E

‖x + y + z‖ * ‖x + y + z‖ - ‖x + y - z‖ * ‖x + y - z‖ = ‖x + z‖ * ‖x + z‖ - ‖x - z‖ * ‖x - z‖ + (‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ - ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖) / 2


(‖2 • x + y‖ * ‖2 • x + y‖ + ‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖) / 2 - ‖x - z‖ * ‖x - z‖ - ((‖2 • x + y‖ * ‖2 • x + y‖ + ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖) / 2 - ‖x + z‖ * ‖x + z‖) = ‖x + z‖ * ‖x + z‖ - ‖x - z‖ * ‖x - z‖ + (‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ - ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖) / 2


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: T₁ T₂ T₃ : Triangle C

Context: J : Type u_1

Context: T : J → Triangle C

Context: inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁

Context: inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂

Context: inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃

Context: inst✝ : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁

Context: T' : Triangle C

Context: φ : (j : J) → T' ⟶ T j

T'.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map (Pi.lift fun j => (φ j).hom₁) = (Pi.lift fun j => (φ j).hom₃) ≫ (Pi.map fun j => (T j).mor₃) ≫ inv (piComparison (shiftFunctor C 1) fun j => (T j).obj₁)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: T₁ T₂ T₃ : Triangle C

Context: J : Type u_1

Context: T : J → Triangle C

Context: inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁

Context: inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂

Context: inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃

Context: T' : Triangle C

Context: φ : (j : J) → T' ⟶ T j

(T'.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map (Pi.lift fun j => (φ j).hom₁) ≫ piComparison (shiftFunctor C 1) fun j => (T j).obj₁) = (Pi.lift fun j => (φ j).hom₃) ≫ Pi.map fun j => (T j).mor₃


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
c : ℝ
f : ℝ → E

∫ (x : ℝ) in Ioi c, f (-x) = ∫ (x : ℝ) in Iic (-c), f x


∫ (x : ℝ) in Iic (-c), f (- -x) = ∫ (x : ℝ) in Iic (- - -c), f x


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
f g : R[X]

{ toFun := ⇑derivative, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } (f * g) = f • { toFun := ⇑derivative, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } g + g • { toFun := ⇑derivative, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } f


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c : α


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : HasExt C

Context: X : C

Context: n : ℕ

Context: X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: f' : Y✝ ⟶ Z✝

Context: α : ↑({ obj := fun Y => AddCommGrp.of (Ext X Y n), map := fun {X_1 Y} f => AddCommGrp.ofHom ((Ext.mk₀ f).postcomp X ⋯) }.obj X✝)

Ext.comp α (Ext.mk₀ (f ≫ f')) ⋯ = (Ext.comp α (Ext.mk₀ f) ⋯).comp (Ext.mk₀ f') ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : HasExt C

Context: X : C

Context: n : ℕ

Context: X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: f' : Y✝ ⟶ Z✝

Ext.comp α ((Ext.mk₀ f).comp (Ext.mk₀ f') ⋯) ⋯ = (Ext.comp α (Ext.mk₀ f) ⋯).comp (Ext.mk₀ f') ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : HasExt C

Context: X : C

Context: n : ℕ

Context: X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: f' : Y✝ ⟶ Z✝

(Ext.comp α (Ext.mk₀ f) ⋯).comp (Ext.mk₀ f') ⋯ = Ext.comp α ((Ext.mk₀ f).comp (Ext.mk₀ f') ⋯) ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : HasExt C

Context: X : C

Context: n : ℕ

Context: X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: f' : Y✝ ⟶ Z✝


Context:
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ

a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p


Context:
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : ¬Prime p


Context:
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p


Context:
a✝ b m n p✝ a p : ℕ
pp : Prime p
hab : a ∣ 0

a / p ^ a.factorization p ∣ 0 / p ^ (factorization 0) p


Context:
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0


Context:
a b✝ m n p✝ b p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0
hab : 0 ∣ b

0 / p ^ (factorization 0) p ∣ b / p ^ b.factorization p


Context:
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0
ha0 : a ≠ 0


Context:
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
ha : a / p ^ a.factorization p ≠ 0


Context:
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
ha : a / p ^ a.factorization p ≠ 0
hb : b / p ^ b.factorization p ≠ 0


Finsupp.erase p a.factorization ≤ Finsupp.erase p b.factorization


Context:
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
ha : a / p ^ a.factorization p ≠ 0
hb : b / p ^ b.factorization p ≠ 0
q : ℕ

(Finsupp.erase p a.factorization) q ≤ (Finsupp.erase p b.factorization) q


Context:
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
hab : a ∣ b
hb0 : b ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
q : ℕ
pp : Prime q
ha : a / q ^ a.factorization q ≠ 0
hb : b / q ^ b.factorization q ≠ 0

(Finsupp.erase q a.factorization) q ≤ (Finsupp.erase q b.factorization) q


Context:
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
ha : a / p ^ a.factorization p ≠ 0
hb : b / p ^ b.factorization p ≠ 0
q : ℕ
hqp : q ≠ p


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: g : ℂ → E

Context: hfd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}

Context: hgd : DiffContOnCl ℂ g {z | 0 < z.re}

Context: hfexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)

Context: hgexp : ∃ c < 2, ∃ B, g =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)

Context: hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x - g ↑x‖

Context: hfim : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: hgim : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖g (↑x * I)‖ ≤ C


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: g : ℂ → E

Context: hfd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}

Context: hgd : DiffContOnCl ℂ g {z | 0 < z.re}

Context: hfim : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: hgim : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖g (↑x * I)‖ ≤ C


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: g : ℂ → E

Context: hfd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}

Context: hgd : DiffContOnCl ℂ g {z | 0 < z.re}

Context: hfim : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: hgim : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖g (↑x * I)‖ ≤ C

∃ c < 2, ∃ B, (f - g) =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: a✝ : α

Context: f g : α → List β

Context: a : α

Context: l : List α

Context: IH : l.bind f ++ l.bind g ~ l.bind fun x => f x ++ g x

(a :: l).bind f ++ (a :: l).bind g ~ (a :: l).bind fun x => f x ++ g x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: a✝ : α

Context: f g : α → List β

Context: a : α

Context: l : List α

f a ++ (l.bind f ++ (g a ++ l.bind g)) ~ f a ++ (g a ++ l.bind fun x => f x ++ g x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: a✝ : α

Context: f g : α → List β

Context: a : α

Context: l : List α

l.bind f ++ (g a ++ l.bind g) ~ g a ++ (l.bind f ++ l.bind g)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: a✝ : α

Context: f g : α → List β

Context: a : α

Context: l : List α

l.bind f ++ g a ++ l.bind g ~ g a ++ l.bind f ++ l.bind g


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
x : A
n : ℤ


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
n : ℕ
hx : orderOf x ≠ 0
hn : n ∣ orderOf x


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
n : ℕ
hx : orderOf x / n * n ≠ 0
hn : n ∣ orderOf x


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
T : C
f : X ⟶ T
g : Y ⟶ T


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}

Context: a : Ordinal.{max u v}

o.blsub f ≤ a ↔ ∀ (i : Ordinal.{u}) (h : i < o), f i h < a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: a : Ordinal.{max u v}

Context: a✝ : Ordinal.{u}

(∀ (h : a✝ < o), f a✝ h < a) ↔ ∀ (h : a✝ < o), succ (f a✝ h) ≤ a


Context: α : Type u_1

Context: β : α → Type u_2

Context: f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)

Context: i : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)

∃ C, ∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ C * (x - a) ^ (n + 1)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ a
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a a)

∃ C, ∀ x ∈ Icc a a, ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a a) a x‖ ≤ C * (x - a) ^ (n + 1)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)
h : a < b


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hab : a ≤ b

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)

Context: h : a < b

Context: g : ℝ → ℝ := fun y => ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hab : a ≤ b

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)

Context: h : a < b

∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ sSup (g '' Icc a b) / ↑n ! * (x - a) ^ (n + 1)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hab : a ≤ b

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)

Context: h : a < b

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Icc a b

‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ sSup (g '' Icc a b) / ↑n ! * (x - a) ^ (n + 1)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hab : a ≤ b

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)

Context: h : a < b

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Icc a b

‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ sSup (g '' Icc a b) * (x - a) ^ (n + 1) / ↑n !


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hab : a ≤ b

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)

Context: h : a < b

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Icc a b

Context: y : ℝ

y ∈ Icc a b → ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖ ≤ sSup (g '' Icc a b)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G

map (Prod.fst ∘ φ.prodFun) (𝓝 φ.pt) = 𝓝 (φ.prodFun φ.pt).1


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: b : β

Context: b₁ b₂ : α

Context: h : (fun a => (a, b)) b₁ = (fun a => (a, b)) b₂


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ


Cardinal.mk { k // k < n ∧ p k } ≤ Cardinal.mk ↑{k | p k}


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
x : R
B : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsLocalization.Away x B
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : WfDvdMonoid R
b : B
hb : b ≠ 0
hx : Irreducible x

∃ a n, ¬x ∣ a ∧ selfZPow x B n * (algebraMap R B) a = b


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: x : R

Context: B : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing B

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: inst✝² : IsLocalization.Away x B

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : WfDvdMonoid R

Context: b : B

Context: hb : b ≠ 0

Context: hx : Irreducible x

Context: a₀ : R

Context: y : ↥(Submonoid.powers x)

Context: H : b * (algebraMap R B) ↑(a₀, y).2 = (algebraMap R B) (a₀, y).1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: x : R

Context: B : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing B

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: inst✝² : IsLocalization.Away x B

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : WfDvdMonoid R

Context: b : B

Context: hb : b ≠ 0

Context: hx : Irreducible x

Context: a₀ : R

Context: y : ↥(Submonoid.powers x)

Context: d : ℕ

Context: hy : x ^ d = ↑y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: x : R

Context: B : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing B

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: inst✝² : IsLocalization.Away x B

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : WfDvdMonoid R

Context: b : B

Context: hb : b ≠ 0

Context: hx : Irreducible x

Context: a₀ : R

Context: y : ↥(Submonoid.powers x)

Context: d : ℕ

Context: hy : x ^ d = ↑y

Context: ha₀ : a₀ ≠ 0

Context: H : b * (algebraMap R B) (x ^ d) = (algebraMap R B) a₀


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: x : R

Context: B : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing B

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: inst✝² : IsLocalization.Away x B

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : WfDvdMonoid R

Context: b : B

Context: hb : b ≠ 0

Context: hx : Irreducible x

Context: a₀ : R

Context: y : ↥(Submonoid.powers x)

Context: d : ℕ

Context: hy : x ^ d = ↑y

Context: ha₀ : a₀ ≠ 0

Context: m : ℕ

Context: a : R

Context: hyp1 : ¬x ∣ a

Context: hyp2 : a₀ = x ^ m * a


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: x : R

Context: B : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing B

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: inst✝² : IsLocalization.Away x B

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : WfDvdMonoid R

Context: b : B

Context: hb : b ≠ 0

Context: hx : Irreducible x

Context: a₀ : R

Context: y : ↥(Submonoid.powers x)

Context: d : ℕ

Context: hy : x ^ d = ↑y

Context: ha₀ : a₀ ≠ 0

Context: m : ℕ

Context: a : R

Context: hyp1 : ¬x ∣ a

Context: hyp2 : a₀ = x ^ m * a

¬x ∣ a ∧ selfZPow x B (↑m - ↑d) * (algebraMap R B) a = b


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: x : R

Context: B : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing B

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: inst✝² : IsLocalization.Away x B

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : WfDvdMonoid R

Context: b : B

Context: hb : b ≠ 0

Context: hx : Irreducible x

Context: a₀ : R

Context: y : ↥(Submonoid.powers x)

Context: d : ℕ

Context: hy : x ^ d = ↑y

Context: ha₀ : a₀ ≠ 0

Context: m : ℕ

Context: a : R

Context: hyp1 : ¬x ∣ a

Context: hyp2 : a₀ = x ^ m * a

¬x ∣ a ∧ (algebraMap R B) x ^ m * mk' B a 1 = (algebraMap R B) x ^ m * (algebraMap R B) a


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
e : ι ≃ ι₂
x : ⨂[R] (i : ι₂), M

(reindex R (fun x => M) e).symm x = (reindex R (fun x => M) e.symm) x


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
S : Set α
f : α → Set X
ho : ∀ s ∈ S, IsOpen (f s)
hS : S.Countable
hd : ∀ s ∈ S, Dense (f s)


Context: n m k : ℕ


Context: n m k : ℕ

Context: this : n.dist m + m.dist k = n - m + (m - k) + (k - m + (m - n))


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
c : ℝ

mixedEmbedding.norm (fun x => c, fun x => ↑c) = |c| ^ finrank ℚ K


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

derivative (W.addPolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) = -((X - C x₁) * (X - C x₂) + (X - C x₁) * (X - C (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) + (X - C x₂) * (X - C (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))))


derivative (-((X - C x₁) * (X - C x₂) * (X - C (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))))) = -((X - C x₁) * (X - C x₂) + (X - C x₁) * (X - C (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) + (X - C x₂) * (X - C (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))))


-(((1 - 0) * (X - C x₂) + (X - C x₁) * (1 - 0)) * (X - C (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) + (X - C x₁) * (X - C x₂) * (1 - 0)) = -((X - C x₁) * (X - C x₂) + (X - C x₁) * (X - C (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) + (X - C x₂) * (X - C (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))))


Context:
m n a b c d : ℕ
hmc : m.gcd c = 1
h : c * a ≡ c * b [MOD m]


Context:
n a b c d : ℕ
hmc : gcd 0 c = 1
h : c * a ≡ c * b [MOD 0]


Context:
m n a b c d : ℕ
hmc : m.gcd c = 1
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
hm : m > 0


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c✝ d c : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ

t ∈ ∂ 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, t ⊆ s ∧ (s \ t).card = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f1 f2 g1 g2 : CauSeq β abv
hf : f1 ≈ f2
hg : g1 ≈ g2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝²³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝²² : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁸ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners IB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹¹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝⁶ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: inst✝⁵ : FiberBundle F E

Context: inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: inst✝³ : SmoothVectorBundle F E IB

Context: e✝ e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝² : MemTrivializationAtlas e✝

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e'

Context: e : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e

SmoothOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (↑e) e.source


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝²³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝²² : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁸ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹¹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : FiberBundle F E

Context: inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: inst✝³ : SmoothVectorBundle F E IB

Context: inst✝² : MemTrivializationAtlas e✝

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e'

Context: e : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e

Context: this : SmoothOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) id e.source


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝²³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝²² : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁸ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹¹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : FiberBundle F E

Context: inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: inst✝³ : SmoothVectorBundle F E IB

Context: inst✝² : MemTrivializationAtlas e✝

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e'

Context: e : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e

Context: this : SmoothOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) IB (fun x => (id x).proj) e.source ∧ SmoothOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) 𝓘(𝕜, F) (fun x => (↑e (id x)).2) e.source


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj

Odd (Nat.card V) ↔ Odd (Nat.card ↑{c | Odd (Nat.card ↑c.supp)})


Odd (Fintype.card V) ↔ Odd (Nat.card ↑{c | Odd (Nat.card ↑c.supp)})


Odd (Finset.univ.biUnion fun x => x.supp.toFinset).card ↔ Odd (Nat.card ↑{x | Odd (Nat.card ↑x.supp)})


Odd (∑ u : G.ConnectedComponent, u.supp.toFinset.card) ↔ Odd (Nat.card ↑{x | Odd (Nat.card ↑x.supp)})


Odd (∑ x : G.ConnectedComponent, Nat.card ↑x.supp) ↔ Odd (Nat.card ↑{x | Odd (Nat.card ↑x.supp)})


Odd (∑ x : G.ConnectedComponent, Nat.card ↑x.supp) ↔ Odd (Finset.filter (fun x => x ∈ {x | Odd (Nat.card ↑x.supp)}) Finset.univ).card


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y Z : C
q n : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
f : Z ⟶ Y
j : Fin (n + 1)
hj : n + 1 ≤ ↑j + q


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E

Context: ht : μ t ≠ ⊤

Context: h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, ‖f x‖ ≤ C

f =ᶠ[ae (μ.restrict t)] const α (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ∨ ‖∫ (x : α) in t, f x ∂μ‖ < (μ t).toReal * C


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E

Context: ht : μ t ≠ ⊤

Context: this : Fact (μ t < ⊤)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E

Context: ht : μ t ≠ ⊤

Context: this : Fact (μ t < ⊤)

f =ᶠ[ae (μ.restrict t)] const α (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ∨ ‖∫ (x : α) in t, f x ∂μ‖ < ((μ.restrict t) univ).toReal * C


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: I : MultispanIndex C

Context: inst✝¹ : HasCoproduct I.left

Context: inst✝ : HasCoproduct I.right

Context: K₁ K₂ : Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap

Context: f : K₁ ⟶ K₂

Context: a✝ : I.L

(Multicofork.ofSigmaCofork I K₁).ι.app (WalkingMultispan.left a✝) ≫ f.hom = (Multicofork.ofSigmaCofork I K₂).ι.app (WalkingMultispan.left a✝)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: I : MultispanIndex C

Context: inst✝¹ : HasCoproduct I.left

Context: inst✝ : HasCoproduct I.right

Context: f : K₁ ⟶ K₂

Context: a✝ : I.R

(Multicofork.ofSigmaCofork I K₁).ι.app (WalkingMultispan.right a✝) ≫ f.hom = (Multicofork.ofSigmaCofork I K₂).ι.app (WalkingMultispan.right a✝)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: inst✝ : MeasurableSpace.SeparatesPoints α

Context: x y : α

Context: x_ne_y : x ≠ y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: x y : α

Context: x_ne_y : x ≠ y

Context: A : Set α

Context: A_mble : MeasurableSet A

Context: x_in_A : x ∈ A

Context: y_notin_A : y ∉ A


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s : Set M
a : α

span R (single a '' s) = map (lsingle a) (span R s)


span R (single a '' s) = span R (⇑(lsingle a) '' s)


Context: R : Type u_1

Context: M M₁ M₂ M₃ : Type u

Context: M' : Type v

Context: inst✝¹¹ : Ring R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M₁

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R

Context: f : M →ₗ[R] M₁

Context: this : (p : Submodule R M) → DecidableEq (M ⧸ p)

Module.rank R ↥(LinearMap.range f) + Module.rank R ↥(LinearMap.ker f) = Module.rank R M


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s✝ t : Set G
ht : IsOpen t
s : Set G


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
this : Cardinal.mk (Emb F F) = 1


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ t : Set Ω
hA : MeasurableSet t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: a : α

Context: ha : Finite a 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: a : α

Context: ha : Finite a 1


Context:
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
A : Cone F
X✝ Y✝ : J
f✝ : X✝ ⟶ Y✝

((const J).obj (G.obj A.pt)).map f✝ ≫ (fun j => G.map (A.π.app j)) Y✝ = (fun j => G.map (A.π.app j)) X✝ ≫ (F ⋙ G).map f✝


((const J).obj (G.obj A.pt)).map f✝ ≫ (fun j => G.map (A.π.app j)) Y✝ = G.map (A.π.app X✝ ≫ F.map f✝)


Context:
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
X✝ Y✝ : Cone F
f : X✝ ⟶ Y✝
j : J

G.map f.hom ≫ ((fun A => { pt := G.obj A.pt, π := { app := fun j => G.map (A.π.app j), naturality := ⋯ } }) Y✝).π.app j = ((fun A => { pt := G.obj A.pt, π := { app := fun j => G.map (A.π.app j), naturality := ⋯ } }) X✝).π.app j


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : Module R S
x : S

(p + q).smeval x = p.smeval x + q.smeval x


(p + q).sum (smul_pow x) = p.sum (smul_pow x) + q.sum (smul_pow x)


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : Module R S
x : S
x✝ : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : Module R S
x : S
x✝² : ℕ
x✝¹ x✝ : R

smul_pow x x✝² (x✝¹ + x✝) = smul_pow x x✝² x✝¹ + smul_pow x x✝² x✝


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: ι : Sort x

Context: f✝ g : Filter α

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: f : β → Filter α

Context: s : Set β

Context: h : DirectedOn (f ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) s

Context: ne : s.Nonempty

Context: t : Set α

t ∈ (⨅ i ∈ s, f i).sets ↔ t ∈ ⋃ i ∈ s, (f i).sets


Context: u : ℕ → ℕ

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞

Context: C : ℕ

Context: hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n

Context: hu : Monotone u

Context: h_succ_diff : SuccDiffBounded C u


Context: u : ℕ → ℕ

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞

Context: C : ℕ

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n

Context: hu : Monotone u

Context: h_succ_diff : SuccDiffBounded C u

⨆ i, ∑ a ∈ range i.succ, (↑(u (a + 1)) - ↑(u a)) * f (u a) ≤ (↑(u 1) - ↑(u 0)) * f (u 0) + ↑C * ∑' (k : ℕ), f k


Context: u : ℕ → ℕ

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞

Context: C : ℕ

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n

Context: hu : Monotone u

Context: h_succ_diff : SuccDiffBounded C u

Context: n : ℕ

∑ a ∈ range n.succ, (↑(u (a + 1)) - ↑(u a)) * f (u a) ≤ (↑(u 1) - ↑(u 0)) * f (u 0) + ↑C * ∑ x ∈ Ico (u 0 + 1) (u n + 1), f x


Context: u : ℕ → ℕ

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞

Context: C : ℕ

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n

Context: hu : Monotone u

Context: h_succ_diff : SuccDiffBounded C u

Context: n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹¹ : EMetricSpace X
inst✝¹⁰ : EMetricSpace Y
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
inst✝⁸ : BorelSpace X
inst✝⁷ : MeasurableSpace Y
inst✝⁶ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace P
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor E P
inst✝ : BorelSpace P
x y : P
s : Set ℝ
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E

μH[1] (⇑(IsometryEquiv.vaddConst x) '' ((fun x_1 => x_1 • (y -ᵥ x)) '' s)) = nndist x y • μH[1] s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁷ : Monoid α
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : MulAction α β
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : SMulPosStrictMono α β
inst✝ : SMulPosReflectLT α β
hb : 0 < b


Context:
m n a✝ b✝ c d a b : ℤ
hb : 0 < b


Context:
m n a✝ b✝ c d a b : ℤ
hb : 0 < b
this : a % b < |b|


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MeasurableSpace M
inst✝¹ : MeasurableMul₂ M
μ : Measure M
inst✝ : SFinite μ

map (fun x => x.1 * x.2) (μ.prod (dirac 1)) = μ


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: assoc : Std.Associative op

Context: s : Multiset α

Context: a : α

Context: h : {x | x ∈ a ::ₘ s}.Pairwise fun x y => op x y = op y x

Context: h' : {x | x ∈ s}.Pairwise fun x y => op x y = op y x

Context: x : α

noncommFold op (a ::ₘ s) h x = op a (noncommFold op s h' x)


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: assoc : Std.Associative op

Context: a x : α

Context: a✝ : List α

Context: h : {x | x ∈ a ::ₘ ⟦a✝⟧}.Pairwise fun x y => op x y = op y x

Context: h' : {x | x ∈ ⟦a✝⟧}.Pairwise fun x y => op x y = op y x

noncommFold op (a ::ₘ ⟦a✝⟧) h x = op a (noncommFold op ⟦a✝⟧ h' x)


Context:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
z : ℂ
x : E
s : Set E
m : z ∈ slitPlane


∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z, DifferentiableAt ℂ log z


∀ a ∈ slitPlane, DifferentiableAt ℂ log a


Context:
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
z✝ : ℂ
x : E
s : Set E
m✝ : z✝ ∈ slitPlane
z : ℂ
m : z ∈ slitPlane


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V

G.IsBridge s(v, w) ↔ G.Adj v w ∧ ∀ ⦃u : V⦄ (p : G.Walk u u), p.IsCycle → s(v, w) ∉ p.edges


G.Adj v w → (¬(G \ fromEdgeSet {s(v, w)}).Reachable v w ↔ ∀ ⦃u : V⦄ (p : G.Walk u u), p.IsCycle → s(v, w) ∉ p.edges)


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V
h : G.Adj v w

¬(G \ fromEdgeSet {s(v, w)}).Reachable v w ↔ ∀ ⦃u : V⦄ (p : G.Walk u u), p.IsCycle → s(v, w) ∉ p.edges


¬¬(G \ fromEdgeSet {s(v, w)}).Reachable v w ↔ ¬∀ ⦃u : V⦄ (p : G.Walk u u), p.IsCycle → s(v, w) ∉ p.edges


(G \ fromEdgeSet {s(v, w)}).Reachable v w ↔ ∃ u p, p.IsCycle ∧ s(v, w) ∈ p.edges


(G \ fromEdgeSet {s(v, w)}).Reachable v w ↔ G.Adj v w ∧ (G \ fromEdgeSet {s(v, w)}).Reachable v w


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃

((∡ p₁ p₂ p₃).tan⁻¹ / 2) • (o.rotation ↑(π / 2)) (p₃ -ᵥ p₁) +ᵥ midpoint ℝ p₁ p₃ = s.center


(∡ p₁ p₂ p₃).tan⁻¹ = (∡ p₃ p₁ s.center).tan


2 • ∡ p₁ p₂ p₃ + 2 • ∡ p₃ p₁ s.center = ↑π