Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi : VectorMeasure.restrict 0 i ≤ VectorMeasure.restrict s i

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: hj₁ : MeasurableSet j

(s.toMeasureOfZeroLE i hi₁ hi) j = ↑⟨↑s (i ∩ j), ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
n m : ℕ
h_eq : succ^[n] a = succ^[m] a
h_ne : n ≠ m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
n m : ℕ
h_eq : succ^[n] a = succ^[m] a
h_ne : n ≠ m
h : n ≤ m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
n m : ℕ
h_eq : succ^[n] a = succ^[m] a
h_ne : n ≠ m
h : m ≤ n


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
ι : Sort w
inst✝ : Finite ι
f : ι → Set α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
ι : Sort w
inst✝ : Finite ι
f : ι → Set α
val✝ : Fintype (PLift ι)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m : Language α
a b x : List α
l : Language α


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
R₁ : Type u_10
inst✝⁴ : Semiring R₁
σ : R →+* R₁
σ' : R₁ →+* R
inst✝³ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝² : RingHomInvPair σ' σ
M₁ : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
f₁ f₂ : M ≃ₛₗ[σ] M₁
h : ∀ (i : ι), f₁ (b i) = f₂ (b i)
x : M


f₁ (∑ a ∈ (b.repr x).support, (b.repr x) a • b a) = f₂ (∑ a ∈ (b.repr x).support, (b.repr x) a • b a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
s : Set Cardinal.{u}
hs : BddAbove s
a : Ordinal.{u}


(∀ x ∈ s, x ≤ a.card) ↔ ∀ x ∈ ord '' s, x ≤ a


Context: R : Type u_1

Context: 𝕜₁ : Type u_2

Context: 𝕜₂ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝⁸ : OrderedSemiring R

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: inst✝³ : Module R F

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul R F

Context: inst✝¹ : LocallyConvexSpace R F

Context: inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F

Context: 𝔖 : Set (Set E)

Context: h𝔖₁ : 𝔖.Nonempty

Context: h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖

LocallyConvexSpace R (UniformConvergenceCLM σ F 𝔖)


Context: R : Type u_1

Context: 𝕜₁ : Type u_2

Context: 𝕜₂ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝⁸ : OrderedSemiring R

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: inst✝³ : Module R F

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul R F

Context: inst✝¹ : LocallyConvexSpace R F

Context: inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F

Context: 𝔖 : Set (Set E)

Context: h𝔖₁ : 𝔖.Nonempty

∀ (i : Set E × Set F), i.1 ∈ 𝔖 ∧ i.2 ∈ 𝓝 0 ∧ Convex R i.2 → Convex R {f | ∀ x ∈ i.1, f x ∈ id i.2}


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s✝ s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: a b : ℝ

Context: ht₀ : t₀ ∈ Ioo a b

Context: hγt : ∀ t ∈ Ioo a b, I.IsInteriorPoint (γ t)

Context: hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }

Context: hγ : IsIntegralCurveOn γ v (Ioo a b)

Context: hγ' : IsIntegralCurveOn γ' v (Ioo a b)

Context: h : γ t₀ = γ' t₀

Context: s : Set ℝ := {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b

Context: hs : s = {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s✝ s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: a b : ℝ

Context: ht₀ : t₀ ∈ Ioo a b

Context: hγ : IsIntegralCurveOn γ v (Ioo a b)

Context: hγ' : IsIntegralCurveOn γ' v (Ioo a b)

Context: h : γ t₀ = γ' t₀

Context: s : Set ℝ := {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b

Context: hs : s = {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b


Context: a : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
p q : Multiset (Associates α)
h : p ≤ q
this✝ : DecidableEq (Associates α)
this : DecidableEq α


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s : Set Q
y : Q
hy : y ∈ interior s

∀ᶠ (δ : 𝕜) in 𝓝 1, (homothety x δ) y ∈ s


∃ i, 0 < i ∧ ∀ ⦃x_1 : 𝕜⦄, x_1 ∈ {y | ‖y - 1‖ < i} → (homothety x x_1) y ∈ s


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s : Set Q
y : Q
hy : y ∈ interior s
h : y = x


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s : Set Q
y : Q
hy : y ∈ interior s
h : y ≠ x


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s : Set Q
y : Q
hy : y ∈ interior s
h : y ≠ x
hxy : 0 < ‖y -ᵥ x‖


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s : Set Q
y : Q
hy : y ∈ interior s
h : y ≠ x
hxy : 0 < ‖y -ᵥ x‖
u : Set Q
hu₁ : u ⊆ s
hu₂ : IsOpen u
hu₃ : y ∈ u


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s : Set Q
y : Q
hy : y ∈ interior s
h : y ≠ x
hxy : 0 < ‖y -ᵥ x‖
u : Set Q
hu₁ : u ⊆ s
hu₂ : IsOpen u
hu₃ : y ∈ u
ε : ℝ
hε : ε > 0
hyε : Metric.ball y ε ⊆ u


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s : Set Q
y : Q
hy : y ∈ interior s
h : y ≠ x
hxy : 0 < ‖y -ᵥ x‖
u : Set Q
hu₁ : u ⊆ s
hu₂ : IsOpen u
hu₃ : y ∈ u
ε : ℝ
hε : ε > 0
hyε : Metric.ball y ε ⊆ u
δ : 𝕜
hδ : ‖δ - 1‖ < ε / ‖y -ᵥ x‖


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s : Set Q
y : Q
hy : y ∈ interior s
h : y ≠ x
hxy : 0 < ‖y -ᵥ x‖
u : Set Q
hu₁ : u ⊆ s
hu₂ : IsOpen u
hu₃ : y ∈ u
ε : ℝ
hε : ε > 0
hyε : Metric.ball y ε ⊆ u
δ : 𝕜
hδ : ‖δ • (y -ᵥ x) - (y -ᵥ x)‖ < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
s : Finset α
hsn : s.card ≤ n
hnα : n ≤ Fintype.card α


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : IsDomain R
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : IsDomain R
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
this : Nontrivial T


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : IsDomain R
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
this✝ : Nontrivial T
this : Nontrivial S


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : IsDomain R
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
this✝ : Nontrivial T
this : Nontrivial S
x : R
hx : x ∈ M


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : IsDomain R
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
this✝ : Nontrivial T
this : Nontrivial S
x : R
hx : x ∈ M
hx' : x = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s

Disjoint (map (Sym2.mkEmbedding a) (cons a s ha)) s.sym2


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
P : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup P
f : α → P
hf : AEStronglyMeasurable f μ

∫ (x : α), ‖f x‖ ∂μ = (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ).toReal


(∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ).toReal = (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ).toReal


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x : 𝓞 K


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x : 𝓞 K
h : λ ∣ x


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x : 𝓞 K
h : λ ∣ x - 1


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x : 𝓞 K
h : λ ∣ x + 1


Context:
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
x : M →ₗ[R] N

(dualTensorHom R M N) ((dualTensorHomEquivOfBasis b).symm x) = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s : Set α


Context: a b c d m n✝ k✝ : ℕ

Context: p q : ℕ → Prop

Context: n k : ℕ

Context: iter_next : ℕ → ℕ → ℕ := fun n guess => (guess + n / guess) / 2

(let next := (k + n / k) / 2; if _h : next < k then sqrt.iter n next else k) ≤ iter_next n (let next := (k + n / k) / 2; if _h : next < k then sqrt.iter n next else k)


Context: G : Type u

Context: inst✝⁵ : Group G

Context: N : Subgroup G

Context: nN : N.Normal

Context: H : Type v

Context: inst✝⁴ : Group H

Context: M✝ : Type x

Context: inst✝³ : Monoid M✝

Context: I : Type u_1

Context: inst✝² : Group I

Context: M : Subgroup H

Context: O : Subgroup I

Context: inst✝¹ : M.Normal

Context: inst✝ : O.Normal

Context: f : G →* H

Context: g : H →* I

Context: hf : N ≤ Subgroup.comap f M

Context: hg : M ≤ Subgroup.comap g O

Context: hgf : optParam (N ≤ Subgroup.comap (g.comp f) O) ⋯

Context: x : G ⧸ N

(map M O g hg) ((map N M f hf) x) = (map N O (g.comp f) hgf) x


Context: G : Type u

Context: inst✝⁵ : Group G

Context: N : Subgroup G

Context: nN : N.Normal

Context: H : Type v

Context: inst✝⁴ : Group H

Context: M✝ : Type x

Context: inst✝³ : Monoid M✝

Context: I : Type u_1

Context: inst✝² : Group I

Context: M : Subgroup H

Context: O : Subgroup I

Context: inst✝¹ : M.Normal

Context: inst✝ : O.Normal

Context: f : G →* H

Context: g : H →* I

Context: hf : N ≤ Subgroup.comap f M

Context: hg : M ≤ Subgroup.comap g O

Context: x✝ : G ⧸ N

Context: x : G

(map M O g hg) ((map N M f hf) ↑x) = (map N O (g.comp f) hgf) ↑x


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
a b : α

𝓝 (a, b) = (𝓤 α).lift' fun s => {y | (y, a) ∈ s} ×ˢ {y | (b, y) ∈ s}


∀ (s : Set (α × α)), Monotone fun t => {y | (y, a) ∈ s} ×ˢ {y | (b, y) ∈ t}


∀ (t : Set (α × α)), Monotone fun s => {y | (y, a) ∈ s} ×ˢ {y | (b, y) ∈ t}


Context:
α : Type u_1
G✝ : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
G : Type u_6
inst✝ : Group G
S : Set G
x : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
a b : α


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort u_5
f : Filter α✝
g : Filter β✝
α : Type u_6
β : Type u_7
ι : Type u_8
a : α
b : β
i : ι

map (Prod.map (fun x => b) id) ((𝓟 {a}).coprod (𝓟 {i})) = 𝓟 ({b} ×ˢ univ)


𝓟 (Prod.map (fun x => b) id '' ({a}ᶜ ×ˢ {i}ᶜ)ᶜ) = 𝓟 ({b} ×ˢ univ)


Context:
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X


∀ (t : F.stalk x), ∃ U f, ∃ (_ : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred f), f ⟨x, ⋯⟩ = t


Context:
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
t : F.stalk x

∃ U f, ∃ (_ : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred f), f ⟨x, ⋯⟩ = t


Context: X : TopCat

Context: F : Presheaf (Type v) X

Context: x : ↑X

Context: U : Opens ↑X

Context: m : x ∈ U

Context: s : (forget (Type v)).obj (F.obj (op U))

∃ U_1 f, ∃ (_ : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred f), f ⟨x, ⋯⟩ = (F.germ ⟨x, m⟩) s


Context: X : TopCat

Context: F : Presheaf (Type v) X

Context: x : ↑X

Context: U : Opens ↑X

Context: m : x ∈ U

∃ f, ∃ (_ : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred f), f ⟨x, ⋯⟩ = (F.germ ⟨x, m⟩) s


Context:
I : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : I → Type v₁
g : I → Type v₂
h : I → Type v₃
x y : (i : I) → f i
i✝ : I
a a' : α → γ
b b' : β → γ
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : One γ
i : α
c : γ

Sum.elim (Pi.mulSingle i c) 1 = Pi.mulSingle (inl i) c


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: μ : Measure β

Context: f : β → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: h'f : ∀ (s : Set β), IsClosed s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: μ : Measure β

Context: f : β → E

Context: hf : Integrable f μ

∀ (s : Set β), MeasurableSet s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: μ : Measure β

Context: f : β → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: A : ∀ (t : Set β), MeasurableSet t → ∫ (x : β) in t, f x ∂μ = 0 → ∫ (x : β) in tᶜ, f x ∂μ = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: μ : Measure β

Context: f : β → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: μ : Measure β

Context: f : β → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: U : Set β

Context: hU : IsOpen U


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: μ : Measure β

Context: f : β → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: g : ℕ → Set β

Context: g_disj : Pairwise (Disjoint on g)

Context: g_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (g i)

Context: hg : ∀ (i : ℕ), ∫ (x : β) in g i, f x ∂μ = 0


Context:
𝔽 : Type u_1
inst✝¹ : Field 𝔽
inst✝ : Fintype 𝔽
n : ℕ

Nat.card (GL (Fin n) 𝔽) = ∏ i : Fin n, (q ^ n - q ^ ↑i)


Context:
𝔽 : Type u_1
inst✝¹ : Field 𝔽
inst✝ : Fintype 𝔽

Nat.card (GL (Fin 0) 𝔽) = ∏ i : Fin 0, (q ^ 0 - q ^ ↑i)


Context:
𝔽 : Type u_1
inst✝¹ : Field 𝔽
inst✝ : Fintype 𝔽
n : ℕ
hn : n > 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
p q : Submodule R (CliffordAlgebra Q)

Submodule.comap reverse (p * q) = Submodule.comap reverse q * Submodule.comap reverse p


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁶ : StarRing R

Context: inst✝¹⁵ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹⁴ : StarRing A

Context: inst✝¹³ : Module R A

Context: inst✝¹² : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹¹ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝¹⁰ : StarModule R A

Context: inst✝⁹ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁸ : StarRing B

Context: inst✝⁷ : Module R B

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝⁴ : StarModule R B

Context: inst✝³ : FunLike F A B

Context: inst✝² : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B

Context: S : NonUnitalStarSubalgebra R A

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: K : ι → NonUnitalStarSubalgebra R A

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K

Context: f : (i : ι) → ↥(K i) →⋆ₙₐ[R] B

Context: hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)

Context: i : ι

Context: x : ↥(K i)

Context: hx : ↑x ∈ iSup K

Set.iUnionLift (fun i => ↑(K i)) (fun i x => (f i) x) ⋯ ↑(iSup K) ⋯ ⟨↑x, hx⟩ = (f i) x


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: v : Set E

Context: A : ι → Submodule 𝕜 E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: n : ℕ

Context: hn : finrank 𝕜 E = n

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: V : ι → Submodule 𝕜 E

Context: hV : IsInternal V

Context: a : Fin n

Context: hV' : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ

(subordinateOrthonormalBasis hn hV hV') a ∈ V (subordinateOrthonormalBasisIndex hn hV a hV')


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: s : ℕ → Set α

Context: p : ℕ → Prop

Context: h : ∀ (n : ℕ), p n → MeasurableSet (s n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: s : ℕ → Set α

Context: p : ℕ → Prop

MeasurableSet (⋂ i, ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), s j)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : StarMul A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : StarModule R A
r : R

(algebraMap R A) (star r) = star ((algebraMap R A) r)


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂


⁅I ⊓ J, N⁆ ≤ ⁅I, N⁆ ∧ ⁅I ⊓ J, N⁆ ≤ ⁅J, N⁆


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
A : Type u_2
inst✝ : Semiring A
f g : MvPolynomial σ R →+* A
hC : ∀ (r : R), f (C r) = g (C r)
hX : ∀ (i : σ), f (X i) = g (X i)


f.comp singleZeroRingHom = g.comp singleZeroRingHom


(↑f).comp (of R (σ →₀ ℕ)) = (↑g).comp (of R (σ →₀ ℕ))


Context: R : Type u1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q Q' Q'' : QuadraticForm R M

Context: B B' : BilinForm R M

Context: h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q

Context: h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'

Context: m₁ m₂ : M

(changeForm h) ((ι Q) m₁ * (ι Q) m₂) = (ι Q') m₁ * (ι Q') m₂ - (algebraMap R (CliffordAlgebra Q')) ((B m₁) m₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β

IsOpen s ↔ ∀ (i : ι), IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s)


(∀ (i : ι), IsOpen (s ∩ ↑(U i))) ↔ ∀ (i : ι), IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β
i : ι

IsOpen (s ∩ ↑(U i)) ↔ IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s)


IsOpen (s ∩ ↑(U i)) ↔ IsOpen (Subtype.val '' (Subtype.val ⁻¹' s))


IsOpen (s ∩ ↑(U i)) ↔ IsOpen (s ∩ range Subtype.val)


Context:
α β : HeytAlg
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget HeytAlg).obj α

({ toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_bot' := ⋯, map_himp' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_bot' := ⋯, map_himp' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝


Context:
α β : HeytAlg
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget HeytAlg).obj β

({ toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_bot' := ⋯, map_himp' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_bot' := ⋯, map_himp' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁸ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.52489, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: F : J ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: inst✝⁴ : (i j : J) → (X : C) → (f : X ⟶ F.obj j) → (g : i ⟶ j) → PreservesLimit (cospan f (F.map g)) G

Context: inst✝³ : (i : J) → (X : C) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) G

Context: inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan G

Context: inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape J G

Context: inst✝ : ReflectsColimitsOfShape J G

Context: H : IsVanKampenColimit (G.mapCocone c)

Context: F' : J ⥤ C

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ F

Context: f : c'.pt ⟶ c.pt

Context: h : α ≫ c.ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Nonempty (IsColimit c') ↔ ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f (c.ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁸ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.52489, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: F : J ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape J G

Context: inst✝ : ReflectsColimitsOfShape J G

Context: H : IsVanKampenColimit (G.mapCocone c)

Context: F' : J ⥤ C

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ F

Context: f : c'.pt ⟶ c.pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Nonempty (IsColimit c') ↔ Nonempty (IsColimit (G.mapCocone c'))


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁸ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.52489, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: F : J ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape J G

Context: inst✝ : ReflectsColimitsOfShape J G

Context: H : IsVanKampenColimit (G.mapCocone c)

Context: F' : J ⥤ C

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ F

Context: f : c'.pt ⟶ c.pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: j : J

IsPullback ((G.mapCocone c').ι.app j) ((whiskerRight α G).app j) (G.map f) ((G.mapCocone c).ι.app j) ↔ IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f (c.ι.app j)


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y


Context:
s b : ℝ
hb : 0 < b

Tendsto (fun x => x ^ s * rexp (-b * x)) atTop (𝓝 0)


Context:
s b : ℝ
hb : 0 < b

(fun x => rexp (b * x) / x ^ s)⁻¹ =ᶠ[atTop] fun x => x ^ s * rexp (-b * x)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
p q : R[X]
inst✝ : NoZeroDivisors R
a : R


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hd : HasDerivWithinAt d d' s x

HasDerivWithinAt (fun y => (c y).comp (d y)) (c'.comp (d x) + (c x).comp d') s x


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G✝ : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝

Context: f f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: G : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: c : 𝕜 → F →L[𝕜] G

Context: c' : F →L[𝕜] G

Context: d : 𝕜 → E →L[𝕜] F

Context: d' : E →L[𝕜] F

Context: u : 𝕜 → F

Context: u' : F

Context: hc : HasDerivWithinAt c c' s x

Context: hd : HasDerivWithinAt d d' s x

Context: this : HasDerivWithinAt (fun y => (c y).comp (d y)) ((((compL 𝕜 E F G) (c x)).comp (smulRight 1 d') + ((compL 𝕜 E F G).flip (d x)).comp (smulRight 1 c')) 1) s x


Context:
m n : ℕ
α : Fin 2 → Type u
s : Set (α 0)
t : Set (α 1)
f : (i : Fin 2) → α i

f ∈ (fun f => (f 0, f 1)) ⁻¹' s ×ˢ t ↔ f ∈ Set.univ.pi (cons s (cons t finZeroElim))


Context:
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ✝ : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R✝
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u
σ : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Finite σ
inst✝ : NoZeroDivisors R


Context:
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ✝ : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R✝
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u
σ : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Finite σ
inst✝ : NoZeroDivisors R
val✝ : Fintype σ


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ✝ : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R✝

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R✝ M

Context: R : Type u

Context: σ : Type v

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : Finite σ

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: val✝ : Fintype σ

Context: this : NoZeroDivisors (MvPolynomial (Fin (Fintype.card σ)) R)


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : OrderedCommGroup H
inst✝ : ContinuousInv H
a : H

Tendsto (fun a => a⁻¹) (𝓟 (Ici a)) (𝓟 (Iic a⁻¹))


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s

(𝓝 l).HasBasis p fun i => {l' | s i ∈ l'}


Context: α : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s : Set α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: h₁ : MeasurableSet s

Context: h₂ : ν ≤ μ

Context: measure_sub : Measure α := ofMeasurable (fun t x => μ t - ν t) ⋯ ⋯


Context: α : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s : Set α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: h₁ : MeasurableSet s

Context: h₂ : ν ≤ μ

Context: h_measure_sub_add : ν + measure_sub = μ


Context: α : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s : Set α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: h₁ : MeasurableSet s

Context: h₂ : ν ≤ μ

Context: h_measure_sub_add : ν + measure_sub = μ

Context: h_measure_sub_eq : μ - ν = measure_sub


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g' g✝ φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: f f' g : ℝ → ℝ

Context: h : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt f (f' x) x

Context: h' : ContinuousOn f' [[a, b]]

Context: hg : ContinuousOn g (f '' [[a, b]])

∫ (x : ℝ) in a..b, (g ∘ f) x * f' x = ∫ (x : ℝ) in f a..f b, g x


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
s : Multiset α
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M

(Multiset.map f s).prod = ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ Multiset.count m s


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
s : Multiset α
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
l : List α

(Multiset.map f (Quot.mk Setoid.r l)).prod = ∏ m ∈ Multiset.toFinset (Quot.mk Setoid.r l), f m ^ Multiset.count m (Quot.mk Setoid.r l)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
α : Type u_4
f : M →ₗ[R] α →₀ R
s : Surjective ⇑f

f ∘ₗ f.splittingOfFinsuppSurjective s = id


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
α : Type u_4
f : M →ₗ[R] α →₀ R
s : Surjective ⇑f
x y : α

(((f ∘ₗ f.splittingOfFinsuppSurjective s) ∘ₗ lsingle x) 1) y = ((id ∘ₗ lsingle x) 1) y


f ((Finsupp.single x 1).sum fun x r => r • ⋯.choose) = Finsupp.single x 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0

Tendsto (fun i => ∑' (k : ℕ), f (k + i)) atTop (𝓝 0)


Tendsto (fun a => ↑(∑' (k : ℕ), f (k + a))) atTop (𝓝 ↑0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
x✝ : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: s : Set α

Context: a : { x // x ∈ s }

Context: t u : Set { x // x ∈ s }

t ∈ 𝓝[u] a ↔ t ∈ comap Subtype.val (𝓝[Subtype.val '' u] ↑a)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: C : ℝ

Context: f : (i : α) → E i

Context: hf : ∀ (s : Finset α), ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ C


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: C : ℝ

Context: f : (i : α) → E i


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: C : ℝ

Context: f : (i : α) → E i

HasSum (fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal) (⨆ s, ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: C : ℝ

Context: f : (i : α) → E i

IsLUB (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal) (⨆ s, ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: C : ℝ

Context: f : (i : α) → E i

BddAbove (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: C : ℝ

Context: f : (i : α) → E i

C ∈ upperBounds (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

(∡ p₂ p₃ p₁).tan = dist p₁ p₂ / dist p₃ p₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
hs : s.IsWF
f : ℕ → ↑s

∃ m n, m < n ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((fun i => ↑(f i)) m) ((fun i => ↑(f i)) n)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s : Set α

Context: hs : s.IsWF

Context: f : ℕ → ↑s

Context: m : ℕ

Context: hm : ∀ x ∈ range f, ¬(fun x x_1 => x < x_1) ↑x ↑(f m)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
hs : s.IsWF
f : ℕ → ↑s
m : ℕ
hm : ∀ (i : ℕ), ↑(f m) ≤ ↑(f i)


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b c d : α
h : IsUnit a


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
a b p q : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hpq : p.IsConjExponent q


Context: R✝ : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing R✝

Context: inst✝¹⁰ : CommRing A

Context: inst✝⁹ : Ring B

Context: inst✝⁸ : CommRing S✝

Context: inst✝⁷ : Algebra R✝ A

Context: inst✝⁶ : Algebra R✝ B

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u_5

Context: S : Type u_6

Context: T : Type u_7

Context: U : Type u_8

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Ring U

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra T U

Context: φ : R →+* T

Context: ψ : S →+* U

Context: h : (algebraMap T U).comp φ = ψ.comp (algebraMap R S)

Context: a : S

Context: ha : IsIntegral R a

Context: p : R[X]

Context: hp : p.Monic ∧ eval₂ (algebraMap R S) a p = 0

eval₂ (algebraMap T U) (ψ a) (Polynomial.map φ p) = 0


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ

image2 f s (insert b t) = (fun a => f a b) '' s ∪ image2 f s t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h : ((κ ⊗ₖ η) a) s = 0

(fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)) =ᶠ[ae (κ a)] 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h : ((κ ⊗ₖ η) a) s = 0
t : Set (β × γ)
hst : s ⊆ t
mt : MeasurableSet t
ht : ((κ ⊗ₖ η) a) t = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: h : ((κ ⊗ₖ η) a) s = 0

Context: t : Set (β × γ)

Context: hst : s ⊆ t

Context: mt : MeasurableSet t

Context: ht : (fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' t)) =ᶠ[ae (κ a)] 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: h : ((κ ⊗ₖ η) a) s = 0

Context: t : Set (β × γ)

Context: hst : s ⊆ t

Context: mt : MeasurableSet t

(fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)) ≤ᶠ[ae (κ a)] 0 ∧ 0 ≤ᶠ[ae (κ a)] fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x y z : α


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
f : M →ₗ[R] M

(trace R M) f = ((toMatrix b b) f).trace


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring α
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : MulActionWithZero α β
inst✝¹ : CeilDiv α β
a : α
inst✝ : Nontrivial α
b c : β


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : c < 0

(fun x => x * c) ⁻¹' Icc a b = Icc (b / c) (a / c)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: p : α → Prop

Context: f : (a : α) → p a → β

Context: s t : List α

Context: hs : ∀ (a : α), a ∈ s → p a

Context: ht : ∀ (a : α), a ∈ t → p a

Context: hf : ∀ (a a' : α) (ha : p a) (ha' : p a'), f a ha = f a' ha' → a = a'

Context: h : s.Disjoint t


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: p : α → Prop

Context: f : (a : α) → p a → β

Context: s t : List α

Context: hs : ∀ (a : α), a ∈ s → p a

Context: ht : ∀ (a : α), a ∈ t → p a

Context: h : s.Disjoint t

∀ ⦃a : β⦄, (∃ a_1 h, f a_1 ⋯ = a) → (∃ a_2 h, f a_2 ⋯ = a) → False


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: p : α → Prop

Context: f : (a : α) → p a → β

Context: s t : List α

Context: hs : ∀ (a : α), a ∈ s → p a

Context: ht : ∀ (a : α), a ∈ t → p a

Context: h : s.Disjoint t

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s

Context: a' : α

Context: ha' : a' ∈ t

Context: ha'' : f a' ⋯ = f a ⋯


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
c : Con M
x✝ y : M
f✝ f : M →* P
g : P → M
hf : Function.RightInverse g ⇑f
x : (ker f).Quotient

(kerLift f) ((toQuotient ∘ g) ((kerLift f) x)) = (kerLift f) x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
p q : ℕ

(fun x => x ^ p / x ^ q) =ᶠ[atBot] fun x => x ^ (↑p - ↑q)


∀ x < 0, (fun x => x ^ p / x ^ q) x = (fun x => x ^ (↑p - ↑q)) x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
p q : ℕ
x : 𝕜
hx : x < 0

(fun x => x ^ p / x ^ q) x = (fun x => x ^ (↑p - ↑q)) x


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.Additive
inst✝² : F.Full
inst✝¹ : F.EssSurj
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).Additive
X Y : D
f g : X ⟶ Y


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E

Context: inst✝⁶ : Preadditive C

Context: inst✝⁵ : Preadditive D

Context: inst✝⁴ : Preadditive E

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝³ : F.Additive

Context: inst✝² : F.Full

Context: inst✝¹ : F.EssSurj

Context: G : D ⥤ E

Context: inst✝ : (F ⋙ G).Additive

Context: X Y : D

Context: f g : X ⟶ Y

Context: f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y

Context: hf' : F.map f' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E

Context: inst✝⁶ : Preadditive C

Context: inst✝⁵ : Preadditive D

Context: inst✝⁴ : Preadditive E

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝³ : F.Additive

Context: inst✝² : F.Full

Context: inst✝¹ : F.EssSurj

Context: G : D ⥤ E

Context: inst✝ : (F ⋙ G).Additive

Context: X Y : D

Context: f g : X ⟶ Y

Context: f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y

Context: g' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y

Context: hg' : F.map g' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E

Context: inst✝⁶ : Preadditive C

Context: inst✝⁵ : Preadditive D

Context: inst✝⁴ : Preadditive E

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝³ : F.Additive

Context: inst✝² : F.Full

Context: inst✝¹ : F.EssSurj

Context: G : D ⥤ E

Context: inst✝ : (F ⋙ G).Additive

Context: X Y : D

Context: f g : X ⟶ Y

Context: f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y

Context: g' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y

G.map ((F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv + (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv) = G.map ((F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv) + G.map ((F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E

Context: inst✝⁶ : Preadditive C

Context: inst✝⁵ : Preadditive D

Context: inst✝⁴ : Preadditive E

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝³ : F.Additive

Context: inst✝² : F.Full

Context: inst✝¹ : F.EssSurj

Context: G : D ⥤ E

Context: inst✝ : (F ⋙ G).Additive

Context: X Y : D

Context: f g : X ⟶ Y

Context: f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y

Context: g' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y

G.map (F.map f' + F.map g') = (F ⋙ G).map (f' + g')


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E

Context: inst✝⁶ : Preadditive C

Context: inst✝⁵ : Preadditive D

Context: inst✝⁴ : Preadditive E

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝³ : F.Additive

Context: inst✝² : F.Full

Context: inst✝¹ : F.EssSurj

Context: G : D ⥤ E

Context: inst✝ : (F ⋙ G).Additive

Context: X Y : D

Context: f g : X ⟶ Y

Context: f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y

Context: g' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y

G.map (F.map f' + F.map g') = G.map (F.map (f' + g'))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: H : T ∈ distinguishedTriangles


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: H : T ∈ distinguishedTriangles

Context: c : (contractibleTriangle T.obj₁).obj₃ ⟶ T.obj₃

Context: hc : (contractibleTriangle T.obj₁).mor₂ ≫ c = T.mor₁ ≫ T.mor₂ ∧ (contractibleTriangle T.obj₁).mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map (𝟙 T.obj₁) = c ≫ T.mor₃


Context:
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝ : Inhabited Λ
M : TM0.Machine Γ Λ
x✝ : Cfg₀
q : Λ
T : Tape Γ
q' : Λ
s : TM0.Stmt Γ
e : M q T.head = some (q', s)

FRespects (TM1.step (tr M)) (trCfg M) (trCfg M { q := q, Tape := T }) (TM0.step M { q := q, Tape := T })


Reaches₁ (TM1.step (tr M)) { l := some (Λ'.normal q), var := (), Tape := T } { l := match match M q' (match s with | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T).head with | some val => true | none => false with | true => some (Λ'.normal q') | false => none, var := (), Tape := match s with | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T }


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝¹ : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝ : Inhabited Λ

Context: M : TM0.Machine Γ Λ

Context: x✝ : Cfg₀

Context: q : Λ

Context: T : Tape Γ

Context: q' : Λ

Context: s : TM0.Stmt Γ

Context: this : TM1.step (tr M) { l := some (Λ'.act s q'), var := (), Tape := T } = some { l := some (Λ'.normal q'), var := (), Tape := match s with | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T }

Context: e : M q T.head = some (q', s)


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝¹ : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝ : Inhabited Λ

Context: M : TM0.Machine Γ Λ

Context: x✝ : Cfg₀

Context: q : Λ

Context: T : Tape Γ

Context: q' : Λ

Context: s : TM0.Stmt Γ

Context: e : M q T.head = some (q', s)

{ l := some (Λ'.act s q'), var := (), Tape := T } ∈ TM1.step (tr M) { l := some (Λ'.normal q), var := (), Tape := T }


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝¹ : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝ : Inhabited Λ

Context: M : TM0.Machine Γ Λ

Context: x✝ : Cfg₀

Context: q : Λ

Context: T : Tape Γ

Context: q' : Λ

Context: s : TM0.Stmt Γ

Context: e : M q T.head = some (q', s)

ReflTransGen (fun a b => b ∈ TM1.step (tr M) a) { l := some (Λ'.normal q'), var := (), Tape := match s with | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T } { l := match match M q' (match s with | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T).head with | some val => true | none => false with | true => some (Λ'.normal q') | false => none, var := (), Tape := match s with | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n✝ : ℤ
a : G
m n : ℕ
h : n ≤ m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : MetricSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : C(α, β)
C : ℝ
x : α


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x m : M

b.sumCoords m = ∑ᶠ (i : ι), (b.coord i) m


Context:
G : PGame
inst✝ : G.Impartial


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.40009, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift A
a b : A

F.commShiftIso (a + b) = CommShift.isoAdd' ⋯ (F.commShiftIso a) (F.commShiftIso b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M✝
M : Type u_13
inst✝ : AddZeroClass M
d : M

AddEquiv.finsuppUnique.symm d = single () d


(AddEquiv.finsuppUnique.symm d) default = d


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
hf : LinearMap.det f ≠ 0


ENNReal.ofReal |(LinearMap.det f)⁻¹| • μ ≪ μ


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
M : Submonoid A
inst✝⁵ : Algebra A S
inst✝⁴ : IsLocalization M S
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsFractionRing A K
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid A
p : A[X]
x : K
hr : (aeval x) p = 0

(p.scaleRoots ↑(den A x)).IsRoot (num A x)


eval₂ (algebraMap A K) ((algebraMap A K) (num A x)) (p.scaleRoots ↑(den A x)) = 0


(aeval (mk' K (num A x) (den A x))) p = 0


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι

(s.pi t).Nonempty ↔ ∀ (i : ι), ∃ x, i ∈ s → x ∈ t i


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: fx : Multiset R

Context: hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: fx : Multiset R


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: fx : Multiset R

Context: H : Associated fx.prod x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: fx : Multiset R

Context: H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x

Associates.mk (p ^ Multiset.card fx) = Associates.mk x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: fx : Multiset R

(Multiset.replicate (Multiset.card fx) (Associates.mk p)).prod = (Multiset.map Associates.mk fx).prod


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: fx : Multiset R

Multiset.map Associates.mk fx = Multiset.replicate (Multiset.card fx) (Associates.mk p)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: fx : Multiset R

Multiset.card (Multiset.map Associates.mk fx) = Multiset.card fx ∧ ∀ b ∈ Multiset.map Associates.mk fx, b = Associates.mk p


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: fx : Multiset R

∀ (b : Associates R), ∀ x ∈ fx, Associates.mk x = b → b = Associates.mk p


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: fx : Multiset R

Context: q : R

Context: hq : q ∈ fx


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : SeminormedRing α
a : α
x✝ : 0 < 1

‖a ^ 1‖₊ ≤ ‖a‖₊ ^ 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : SeminormedRing α
a : α
n : ℕ
x✝ : 0 < n + 2


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: i : K →+* L

Context: f : K[X]

Context: hf : (map i f).degree = 1

Context: g✝ : L[X]

Context: hg : Irreducible g✝

Context: x✝ : g✝ ∣ map i f

Context: p : L[X]

Context: hp : map i f = g✝ * p

Context: this : (map i f).degree = (g✝ * p).degree


Context:
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
hf : (map i f).degree = 1
g✝ : L[X]
hg : Irreducible g✝
x✝ : g✝ ∣ map i f
p : L[X]
hp : map i f = g✝ * p
this : g✝.degree = 1 ∧ p.degree = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s t : Set α
f g : α → M
a : α
h1 : s.mulIndicator f = f
h2 : s ⊆ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s t : Set α
f g : α → M
a : α
h1 : mulSupport f ⊆ s
h2 : s ⊆ t


Context:
G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G
x₀ : G

(𝓝 x₀).HasBasis (fun V => V ∈ B) fun V => (fun y => x₀ * y) '' V


(B.N x₀).HasBasis (fun V => V ∈ B) fun V => (fun y => x₀ * y) '' V


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasProducts C

Context: X : TopCat

Context: F : Presheaf C X

Context: ι : Type v'

Context: U : ι → Opens ↑X

Context: c d : Cone (SheafConditionEqualizerProducts.diagram F U)

Context: f : c ⟶ d


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsLowerModularLattice α
inst✝ : IsCoatomistic α


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
l : α →₀ M
h : l ∈ supported M R ∅
a✝ : α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : InvolutiveInv α
s✝ t : Set α
a✝ a : α
s : Set α


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: A : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.32278, u_1} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: f₁ f₂ : S.preOneHypercover.I₀

Context: x✝ : C

Context: p₁ : x✝ ⟶ S.preOneHypercover.X f₁

Context: p₂ : x✝ ⟶ S.preOneHypercover.X f₂

Context: w : p₁ ≫ S.preOneHypercover.f f₁ = p₂ ≫ S.preOneHypercover.f f₂

S.preOneHypercover.sieve₁ p₁ p₂ ∈ J.sieves x✝


Context:
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
S : Set ι
hS : #↑S < c
p : α → (i : ι) → i ∈ S → Prop

(∀ᶠ (x : α) in l, ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), p x i hi) ↔ ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), ∀ᶠ (x : α) in l, p x i hi


⋂ i, ⋂ (i_1 : i ∈ S), {x | p x i i_1} ∈ l ↔ ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), {x | p x i hi} ∈ l


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C C₁ C₂ C₃ : HomologicalComplex V c

Context: f : (i : ι) → C₁.X i ≅ C₂.X i

Context: hf : autoParam (∀ (i j : ι), c.Rel i j → (f i).hom ≫ C₂.d i j = C₁.d i j ≫ (f j).hom) _auto✝

Context: i : ι

({ f := fun i => (f i).hom, comm' := hf } ≫ { f := fun i => (f i).inv, comm' := ⋯ }).f i = (𝟙 C₁).f i


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C C₁ C₂ C₃ : HomologicalComplex V c

Context: f : (i : ι) → C₁.X i ≅ C₂.X i

Context: i : ι

({ f := fun i => (f i).inv, comm' := ⋯ } ≫ { f := fun i => (f i).hom, comm' := hf }).f i = (𝟙 C₂).f i


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s₁ s₂ : Stream' α
t : Stream' α := s₁.tail ⋈ s₂.tail

corec (fun x => match x with | (s₁, snd) => s₁.head) (fun x => match x with | (s₁, s₂) => (s₂, s₁.tail)) (s₁, s₂) = s₁.head :: s₂.head :: t


(match (s₁, s₂) with | (s₁, snd) => s₁.head) :: corec (fun x => match x with | (s₁, snd) => s₁.head) (fun x => match x with | (s₁, s₂) => (s₂, s₁.tail)) (match (s₁, s₂) with | (s₁, s₂) => (s₂, s₁.tail)) = s₁.head :: s₂.head :: t


s₁.head :: corec (fun x => x.1.head) (fun x => (x.2, x.1.tail)) (s₂, s₁.tail) = s₁.head :: s₂.head :: t


s₁.head :: (s₂, s₁.tail).1.head :: corec (fun x => x.1.head) (fun x => (x.2, x.1.tail)) ((s₂, s₁.tail).2, (s₂, s₁.tail).1.tail) = s₁.head :: s₂.head :: t


Context:
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x : ℕ × K
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h₁ : a₁ ≤ b₁

Icc a₁ b₁ ⊆ Ioo a₂ b₂ ↔ a₂ < a₁ ∧ b₁ < b₂


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.58352, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.58356, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroMorphisms D


Context:
α : Type u
n : ℕ

Pairwise (fun x x_1 => x > x_1) (iota n)


Context:
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : AffineSubspace k P₁

(map f s).direction = Submodule.map f.linear s.direction


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
G : D ⥤ C
iso : e.inverse ≅ G
X : C

e.functor.map (e.unitIso.hom.app X ≫ iso.hom.app (e.functor.obj X)) ≫ e.functor.map (iso.inv.app (e.functor.obj X)) ≫ e.counitIso.hom.app (e.functor.obj X) = 𝟙 (e.functor.obj X)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ

∑ i : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2), mongePointWeightsWithCircumcenter n i = 1


Context:
o o' : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
h : o.split = (o', m)
a : ONote
n : ℕ
e : o.split' = (a, n)


Context:
o o' : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
a : ONote
n : ℕ
h : (scale 1 a, n) = (o', m)
e : o.split' = (a, n)


Context:
o : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
a : ONote
n : ℕ
e : o.split' = (a, n)
snd_eq✝ : n = m


Context:
o : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
a : ONote
n : ℕ
e : o.split' = (a, n)
snd_eq✝ : n = m
left✝ : a.NF
right✝ : o.repr = ω * a.repr + ↑n


Context: s : ℕ


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α✝ α : TypeVec.{u} n

Context: p : Fix F α → Prop

Context: h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), LiftP (α.PredLast p) x → p (mk x)

Context: x : (P F).W α


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α✝ α : TypeVec.{u} n

Context: p : Fix F α → Prop

Context: x : (P F).W α

∀ (a : (P F).A) (f' : (P F).drop.B a ⟹ α) (f : (P F).last.B a → (P F).W α), (∀ (i : (P F).last.B a), p (Quot.mk Setoid.r (f i))) → p (Quot.mk Setoid.r ((P F).wMk a f' f))


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α✝ α : TypeVec.{u} n

Context: p : Fix F α → Prop

Context: x : (P F).W α

Context: a : (P F).A

Context: f' : (P F).drop.B a ⟹ α

Context: f : (P F).last.B a → (P F).W α

Context: ih : ∀ (i : (P F).last.B a), p (Quot.mk Setoid.r (f i))


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α✝ α : TypeVec.{u} n

Context: p : Fix F α → Prop

Context: x : (P F).W α

Context: a : (P F).A

Context: f' : (P F).drop.B a ⟹ α

Context: f : (P F).last.B a → (P F).W α

p (mk (abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩))


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α✝ α : TypeVec.{u} n

Context: p : Fix F α → Prop

Context: x : (P F).W α

Context: a : (P F).A

Context: f' : (P F).drop.B a ⟹ α

Context: f : (P F).last.B a → (P F).W α

LiftP (α.PredLast p) (abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩)


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α✝ α : TypeVec.{u} n

Context: p : Fix F α → Prop

Context: x : (P F).W α

Context: a : (P F).A

Context: f' : (P F).drop.B a ⟹ α

Context: f : (P F).last.B a → (P F).W α

∃ a_1 f_1, abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩ = abs ⟨a_1, f_1⟩ ∧ ∀ (i : Fin2 (n + 1)) (j : (P F).B a_1 i), α.PredLast p (f_1 i j)


Context: C : Type w

Context: inst✝ : Category.{v, w} C

Context: X Y : LightCondensed C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: h : ∀ (S : LightProfiniteᵒᵖ), f.val.app S = g.val.app S


Context: C : Type w

Context: inst✝ : Category.{v, w} C

Context: X Y : LightCondensed C

Context: f g : X ⟶ Y


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)

Context: p : R

Context: hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)

Context: d : ℕ

Context: hd : d ≠ 0

Context: s : Fin d → M

Context: hs : span R (Set.range s) = ⊤

Context: oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)

∃ j, IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)

Context: p : R

Context: hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)

Context: d : ℕ

Context: hd : d ≠ 0

Context: s : Fin d → M

Context: hs : span R (Set.range s) = ⊤

Context: hoj : oj.isSome = true


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)

Context: p : R

Context: hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)

Context: d : ℕ

Context: hd : d ≠ 0

Context: s : Fin d → M

Context: hs : span R (Set.range s) = ⊤

Context: hoj : oj.isSome = true

IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s (oj.get hoj)))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)

Context: p : R

Context: hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)

Context: d : ℕ

Context: hd : d ≠ 0

Context: s : Fin d → M

Context: hs : span R (Set.range s) = ⊤

Context: hoj : oj.isSome = true

∀ (y : Fin d), s y ∈ ↑(torsionBy R M (p ^ pOrder hM (s (oj.get hoj))))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)

Context: p : R

Context: hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)

Context: d : ℕ

Context: hd : d ≠ 0

Context: s : Fin d → M

Context: hs : span R (Set.range s) = ⊤

Context: hoj : oj.isSome = true

Context: i : Fin d

p ^ pOrder hM (s (oj.get hoj)) • s i = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)

Context: p : R

Context: hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)

Context: d : ℕ

Context: hd : d ≠ 0

Context: s : Fin d → M

Context: hs : span R (Set.range s) = ⊤

Context: hoj : oj.isSome = true

Context: i : Fin d

Context: this : pOrder hM (s i) ≤ pOrder hM (s (oj.get hoj))


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : L
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0

x⁻¹ = -((aeval x) p.divX / (algebraMap K L) (p.coeff 0))


-((aeval x) p.divX / (algebraMap K L) (p.coeff 0)) = (aeval x) p.divX / ((aeval x) p - (algebraMap K L) (p.coeff 0))


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : L
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0
h : (aeval x) p.divX = 0

(algebraMap K L) (p.coeff 0) = (algebraMap K L) 0


(algebraMap K L) (p.coeff 0) = (aeval x) p


(algebraMap K L) (p.coeff 0) = (aeval x) (p.divX * X + C (p.coeff 0))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
R : Type u
inst✝ : Semiring R
M : Mat R
i : ↑M


Context: b x✝ y x : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Finset β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ b ∈ s, AEMeasurable (f b) μ

∫⁻ (a : α), ∑ b ∈ s, f b a ∂μ = ∑ b ∈ s, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ b ∈ ∅, AEMeasurable (f b) μ

∫⁻ (a : α), ∑ b ∈ ∅, f b a ∂μ = ∑ b ∈ ∅, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : β → α → ℝ≥0∞

Context: a : β

Context: s : Finset β

Context: has : a ∉ s

Context: ih : (∀ b ∈ s, AEMeasurable (f b) μ) → ∫⁻ (a : α), ∑ b ∈ s, f b a ∂μ = ∑ b ∈ s, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ

Context: hf : ∀ b ∈ insert a s, AEMeasurable (f b) μ

∫⁻ (a_1 : α), ∑ b ∈ insert a s, f b a_1 ∂μ = ∑ b ∈ insert a s, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : r < 0


Context: n : ℕ

Context: p : (digits 10 n).Palindrome

Context: h : Even (digits 10 n).length

Context: dig : List ℤ := List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)


Context: n : ℕ

Context: p : (digits 10 n).Palindrome

Context: h : Even dig.length


Context: n : ℕ

Context: p : (digits 10 n).Palindrome

Context: h : Even dig.length

Context: this : dig.reverse.alternatingSum = (-1) ^ (dig.length + 1) • dig.alternatingSum


Context: n : ℕ

Context: p : (digits 10 n).Palindrome

Context: h : Even dig.length

Context: this : (List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)).alternatingSum = -dig.alternatingSum


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : a ≠ b

∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ {a, b}), f i = f a * f b


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
m : ι → MeasurableSpace α
s : Set α


GenerateMeasurable {s | ∃ i, MeasurableSet s} s ↔ MeasurableSet s


Context:
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hxyne : x ≠ y
hxzne : x ≠ z
hxy : ‖x‖ = ‖y‖
hxz : ‖x‖ = ‖z‖

o.oangle y z = 2 • o.oangle (y - x) (z - x)


Context:
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hxyne : x ≠ y
hxzne : x ≠ z
hxy : ‖x‖ = ‖y‖
hxz : ‖x‖ = ‖z‖
hy : y ≠ 0


Context:
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hxyne : x ≠ y
hxzne : x ≠ z
hxy : ‖x‖ = ‖y‖
hxz : ‖x‖ = ‖z‖
hy : y ≠ 0
hx : x ≠ 0


Context:
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hxyne : x ≠ y
hxzne : x ≠ z
hxy : ‖x‖ = ‖y‖
hxz : ‖x‖ = ‖z‖
hy : y ≠ 0
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0


Context:
R : Type u
σ : Type v
a a' a₁ a₂ : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
i : σ
f : MvPolynomial σ R
n : ℕ

(pderiv i) (f ^ n) = ↑n * f ^ (n - 1) * (pderiv i) f


Context: x y : ℂ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c : α


Context:
x y : ℝ
hy : 0 < y


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
h : y - ↑n ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
h : a ∉ s

(cons a s h).dens = s.dens + (↑(Fintype.card α))⁻¹


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
l₁ l₂ : List M
h : l₁ <+ l₂


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
l₁ l₂ : List M
h : l₁ <+ l₂
l : List M
hl : l₂ ~ l₁ ++ l


Context:
d : ℤ
n m : ℤ√d


Context:
d : ℤ
n m : ℤ√d

(n.re * m.re + d * n.im * m.im) * (n.re * m.re + d * n.im * m.im) - d * (n.re * m.im + n.im * m.re) * (n.re * m.im + n.im * m.re) = (n.re * n.re - d * n.im * n.im) * (m.re * m.re - d * m.im * m.im)


Context:
α : Type u_1
s t : Finset α
a : α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I✝ : Ideal A
I : HomogeneousIdeal 𝒜

(Ideal.homogeneousCore 𝒜 I.toIdeal).toIdeal = I.toIdeal


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hf_nontop : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤

Context: hg_nontop : ∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ ≠ ⊤

Context: hf_nonzero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ 0

Context: hg_nonzero : ∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ ≠ 0

Context: npf : ℝ≥0∞ := (∫⁻ (c : α), f c ^ p ∂μ) ^ (1 / p)

Context: nqg : ℝ≥0∞ := (∫⁻ (c : α), g c ^ q ∂μ) ^ (1 / q)


Context:
α : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : One β
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α

Tendsto (fun δ => (cthickening δ E).mulIndicator f) (𝓝 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f))


∀ (x : α), Tendsto (fun i => (cthickening i E).mulIndicator f x) (𝓝 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f x))


Context:
α : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : One β
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α
x : α

Tendsto (fun i => (cthickening i E).mulIndicator f x) (𝓝 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f x))


Tendsto (fun x_1 => (closure E).mulIndicator f x) (𝓝 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f x))


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ ψ : L.Formula α
v : α → M
f : L.Functions n
x : Fin n → M
y : M

(graph f).Realize (cons y x) ↔ funMap f x = y


(y = funMap f fun i => x i) ↔ funMap f x = y


Context:
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Infinite


Context:
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Infinite

Set.range (Subtype.val ∘ ⇑(Subtype.orderIsoOfNat (setOf p))) = setOf p


Context:
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Infinite
this : Infinite ↑(setOf p)


Context:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f : w.StructuredArrowRightwards g

((w.structuredArrowDownwards X₂).obj (StructuredArrow.mk f.hom.left)).hom ≫ B.map f.right.hom = (StructuredArrow.mk g).hom


Context:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f₁ f₂ : w.StructuredArrowRightwards g
φ : f₁ ⟶ f₂

f₁.hom.left ≫ T.map φ.right.left = f₂.hom.left


f₁.hom.left ≫ T.map φ.right.left = (f₁.hom ≫ (w.costructuredArrowRightwards X₃).map φ.right).left


((w.structuredArrowDownwards X₂).map (StructuredArrow.homMk φ.right.left ⋯) ≫ ((fun f => CostructuredArrow.mk (StructuredArrow.homMk f.right.hom ⋯)) f₂).hom).right = ((fun f => CostructuredArrow.mk (StructuredArrow.homMk f.right.hom ⋯)) f₁).hom.right


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
R : Presieve X

functorPushforward (F ⋙ G) R = functorPushforward G (functorPushforward F R)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
R : Presieve X
x : E


Context:
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z Z' : C
f : Z ⟶ Z'

(X ⊗ Y) ◁ f = (α_ X Y Z).hom ≫ X ◁ Y ◁ f ≫ (α_ X Y Z').inv


𝟙 (X ⊗ Y) ⊗ f = (α_ X Y Z).hom ≫ (𝟙 X ⊗ 𝟙 Y ⊗ f) ≫ (α_ X Y Z').inv


𝟙 (X ⊗ Y) ⊗ f = (((𝟙 X ⊗ 𝟙 Y) ⊗ f) ≫ (α_ X Y Z').hom) ≫ (α_ X Y Z').inv


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k : ℕ


Context:
α : Type u_1
t : Set α
p : Set α → Prop


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c a b : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
inst✝ : μ.InnerRegular


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIcoMod hp 0 (a - b) = p - toIocMod hp 0 (b - a)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: hb : AddLECancellable b

Context: hd : AddLECancellable d

Context: hba : b ≤ a

Context: hdc : d ≤ c


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X →. Y
h : PContinuous f


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : X ⟶ Z

Context: g' : Z ⟶ W

Context: inst✝² : HasPushout f g

Context: inst✝¹ : HasPushout (pushout.inr f g) g'

Context: inst✝ : HasPushout f (g ≫ g')

pushout.inl f g ≫ pushout.inl (pushout.inr f g) g' ≫ (pushoutLeftPushoutInrIso f g g').hom = pushout.inl f (g ≫ g')


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
P Q R : C
f✝ f' : P ⟶ Q
g✝ g' : Q ⟶ R
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
hc : IsColimit c
h : IsZero c.pt
R✝ : C
g : Y ⟶ R✝
hg : f ≫ g = 0
a : c.pt ⟶ R✝
ha : Cofork.π c ≫ a = g


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hGnt : Nontrivial G
k : ℕ
hk : Nat.card G = p ^ k
hk0 : k = 0


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hGnt : Nontrivial G
k : ℕ
hk : Nat.card G = 1
hk0 : k = 0


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: e✝ : Trivialization F proj

Context: x : Z

Context: e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: x' : TotalSpace F E

Context: b : B

Context: y : E b

Context: B' : Type u_6

Context: inst✝ : TopologicalSpace B'

Context: e : Trivialization F proj

Context: s : Set B

e.source ∩ frontier (proj ⁻¹' s) = proj ⁻¹' (e.baseSet ∩ frontier s)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Sort x

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : Preorder β

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: a✝ b✝ : α

Context: inst✝ : IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Set α

Context: a : α

Context: ha : a ∈ upperBounds s

Context: b : α

Context: hb : b ∈ upperBounds t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Sort x

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : Preorder β

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: a✝ b✝ : α

Context: s t : Set α

Context: a : α

Context: ha : a ∈ upperBounds s

Context: b : α

Context: hb : b ∈ upperBounds t

Context: c : α

Context: hca : a ≤ c

Context: hcb : b ≤ c


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Sort x

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : Preorder β

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: a✝ b✝ : α

Context: s t : Set α

Context: a : α

Context: ha : a ∈ upperBounds s

Context: b : α

Context: hb : b ∈ upperBounds t

Context: c : α

Context: hca : a ≤ c

Context: hcb : b ≤ c

(upperBounds s ∩ upperBounds t).Nonempty


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
v : V
inst✝² : Fintype ↑(G.neighborSet v)
inst✝¹ : Fintype ↑(Gᶜ.neighborSet v)
inst✝ : Fintype V

Gᶜ.degree v = Fintype.card V - 1 - G.degree v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hℒp : Memℒp f p μ
right✝ : eLpNorm f p μ < ⊤
f' : α → β
hf' : StronglyMeasurable f'
heq : f =ᶠ[ae μ] f'

∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hp_one : 1 ≤ p

Context: hp_top : p ≠ ⊤

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hℒp : Memℒp f p μ

Context: right✝ : eLpNorm f p μ < ⊤

Context: f' : α → β

Context: hf' : StronglyMeasurable f'

Context: heq : f =ᶠ[ae μ] f'

Context: δ : ℝ

Context: hδpos : 0 < δ

Context: hδ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator f') p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hp_one : 1 ≤ p

Context: hp_top : p ≠ ⊤

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hℒp : Memℒp f p μ

Context: right✝ : eLpNorm f p μ < ⊤

Context: f' : α → β

Context: hf' : StronglyMeasurable f'

Context: heq : f =ᶠ[ae μ] f'

Context: δ : ℝ

Context: hδpos : 0 < δ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal δ

eLpNorm (s.indicator f) p μ = eLpNorm (s.indicator f') p μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hp_one : 1 ≤ p

Context: hp_top : p ≠ ⊤

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hℒp : Memℒp f p μ

Context: right✝ : eLpNorm f p μ < ⊤

Context: f' : α → β

Context: hf' : StronglyMeasurable f'

Context: heq : f =ᶠ[ae μ] f'

Context: δ : ℝ

Context: hδpos : 0 < δ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal δ

eLpNorm f p (μ.restrict s) = eLpNorm f' p (μ.restrict s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: b : ℝ

Context: f : ℕ → ℝ

Context: z : ℕ → E

Context: hfa : Antitone f

Context: hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hzb : ∀ (n : ℕ), ‖∑ i ∈ Finset.range n, z i‖ ≤ b

CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i • z i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: b : ℝ

Context: f : ℕ → ℝ

Context: z : ℕ → E

Context: hfa : Antitone f

Context: hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hfa' : Monotone fun n => -f n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: b : ℝ

Context: f : ℕ → ℝ

Context: z : ℕ → E

Context: hfa : Antitone f

Context: hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hfa' : Monotone fun n => -f n

Context: hf0' : Tendsto (fun n => -f n) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: b : ℝ

Context: f : ℕ → ℝ

Context: z : ℕ → E

Context: hfa : Antitone f

Context: hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hfa' : Monotone fun n => -f n

Context: x✝ : ℕ

∑ i ∈ Finset.range x✝, f i • z i = (-fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, -f i • z i) x✝


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : Algebra F ℝ
p : F[X]

Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) ≤ Fintype.card ↑((derivative p).rootSet ℝ) + 1


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: a✝ a₁ a₂ b c : G

Context: inst✝ : Group G

Context: s✝ s : Set G

Context: a : G

Context: h : a ∈ closure s

Context: x✝² : G

Context: x✝¹ : InClosure s x✝²

Context: x✝ : ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s) ∧ l.prod = x✝²

Context: L : List G

Context: HL1 : ∀ x ∈ L, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s

Context: HL2 : L.prod = x✝²

Context: x : G

Context: hx : x ∈ List.map Inv.inv L.reverse

Context: y : G

Context: hy1 : y ∈ L.reverse

Context: hy2 : y⁻¹ = x

y ∈ s → y⁻¹⁻¹ ∈ s


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: a✝ a₁ a₂ b c : G

Context: inst✝ : Group G

Context: s✝ s : Set G

Context: a : G

Context: h : a ∈ closure s

Context: x✝² : G

Context: x✝¹ : InClosure s x✝²

Context: L : List G

Context: HL1 : ∀ x ∈ L, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s

Context: HL2 : L.prod = x✝²

Context: x : G

Context: hx : x ∈ List.map Inv.inv L.reverse

Context: y : G

Context: hy1 : y ∈ L.reverse

Context: hy2 : y⁻¹ = x


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: a✝ a₁ a₂ b c : G

Context: inst✝ : Group G

Context: s✝ s : Set G

Context: a : G

Context: h : a ∈ closure s

Context: x : G

Context: x✝¹ : InClosure s x

Context: x✝ : ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s) ∧ l.prod = x

Context: L : List G

Context: HL1 : ∀ x ∈ L, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s

Context: HL2 : L.prod = x

Context: hd : G

Context: tl : List G

Context: ih : (List.map Inv.inv tl.reverse).prod = tl.prod⁻¹

(List.map Inv.inv (hd :: tl).reverse).prod = (hd :: tl).prod⁻¹


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: a✝ a₁ a₂ b c : G

Context: inst✝ : Group G

Context: s✝ s : Set G

Context: a : G

Context: h : a ∈ closure s

Context: x y : G

Context: x✝³ : InClosure s x

Context: x✝² : InClosure s y

Context: x✝¹ : ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s) ∧ l.prod = x

Context: x✝ : ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s) ∧ l.prod = y

Context: L1 : List G

Context: HL1 : ∀ x ∈ L1, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s

Context: HL2 : L1.prod = x

Context: L2 : List G

Context: HL3 : ∀ x ∈ L2, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s

Context: HL4 : L2.prod = y


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

ContDiff 𝕜 n f ↔ ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContDiff 𝕜 (↑m) f


ContDiffOn 𝕜 n f univ ↔ ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContDiffOn 𝕜 (↑m) f univ


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α


Context: α : Type u_1

Context: p✝ : α → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p✝

Context: l✝ : List α

Context: a✝ : α

Context: p : α → Bool

Context: a : α

Context: l : List α

Context: ih : l.all p = true ↔ ∀ (a : α), a ∈ l → p a = true

(a :: l).all p = true ↔ ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ a :: l → p a_1 = true


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H : Subgroup G
f : G →* N
hf : Injective ⇑f


Context: α : Sort u_1

Context: β : Sort u_2

Context: p✝ q : α → Prop

Context: ι₁ : Sort u_3

Context: ι₂ : Sort u_4

Context: κ₁ : ι₁ → Sort u_5

Context: κ₂ : ι₂ → Sort u_6

Context: p : (i₁ : ι₁) → κ₁ i₁ → (i₂ : ι₂) → κ₂ i₂ → Prop

(∃ i₁ j₁ i₂ j₂, p i₁ j₁ i₂ j₂) ↔ ∃ i₂ j₂ i₁ j₁, p i₁ j₁ i₂ j₂


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : MetricSpace α
t : Set ι
x : ι → α
r : ι → ℝ
R : ℝ
hr : ∀ a ∈ t, r a ≤ R
τ : ℝ
hτ : 3 < τ

∃ u ⊆ t, (u.PairwiseDisjoint fun a => closedBall (x a) (r a)) ∧ ∀ a ∈ t, ∃ b ∈ u, closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (τ * r b)


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : MetricSpace α
x : ι → α
r : ι → ℝ
R τ : ℝ
hτ : 3 < τ
hr : ∀ a ∈ ∅, r a ≤ R

∃ u ⊆ ∅, (u.PairwiseDisjoint fun a => closedBall (x a) (r a)) ∧ ∀ a ∈ ∅, ∃ b ∈ u, closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (τ * r b)


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : MetricSpace α
t : Set ι
x : ι → α
r : ι → ℝ
R : ℝ
hr : ∀ a ∈ t, r a ≤ R
τ : ℝ
hτ : 3 < τ
h✝ : t.Nonempty


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : MetricSpace α
t : Set ι
x : ι → α
r : ι → ℝ
R : ℝ
hr : ∀ a ∈ t, r a ≤ R
τ : ℝ
hτ : 3 < τ
h✝ : t.Nonempty
ht : ∃ a ∈ t, 0 ≤ r a
t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ 0 ≤ r a}


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: t : Set ι

Context: x : ι → α

Context: r : ι → ℝ

Context: R : ℝ

Context: hr : ∀ a ∈ t, r a ≤ R

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 3 < τ

Context: h✝ : t.Nonempty

Context: ht : ∃ a ∈ t, 0 ≤ r a

Context: t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ 0 ≤ r a}

Context: u : Set ι

Context: ut' : u ⊆ t'

Context: u_disj : u.PairwiseDisjoint fun a => closedBall (x a) (r a)

Context: hu : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)).Nonempty ∧ r a ≤ (τ - 1) / 2 * r b


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: t : Set ι

Context: x : ι → α

Context: r : ι → ℝ

Context: R : ℝ

Context: hr : ∀ a ∈ t, r a ≤ R

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 3 < τ

Context: h✝ : t.Nonempty

Context: ht : ∃ a ∈ t, 0 ≤ r a

Context: t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ 0 ≤ r a}

Context: u : Set ι

Context: ut' : u ⊆ t'

Context: A : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (τ * r b)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: t : Set ι

Context: x : ι → α

Context: r : ι → ℝ

Context: R : ℝ

Context: hr : ∀ a ∈ t, r a ≤ R

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 3 < τ

Context: h✝ : t.Nonempty

Context: ht : ∃ a ∈ t, 0 ≤ r a

Context: t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ 0 ≤ r a}

Context: u : Set ι

Context: ut' : u ⊆ t'

Context: a : ι

Context: ha : a ∈ t

∃ b ∈ u, closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (τ * r b)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: t : Set ι

Context: x : ι → α

Context: r : ι → ℝ

Context: R : ℝ

Context: hr : ∀ a ∈ t, r a ≤ R

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 3 < τ

Context: h✝ : t.Nonempty

Context: ht : ∃ a ∈ t, 0 ≤ r a

Context: t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ 0 ≤ r a}

Context: u : Set ι

Context: ut' : u ⊆ t'

Context: a : ι

Context: ha : a ∈ t

Context: h'a : 0 ≤ r a


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: t : Set ι

Context: x : ι → α

Context: r : ι → ℝ

Context: R : ℝ

Context: hr : ∀ a ∈ t, r a ≤ R

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 3 < τ

Context: h✝ : t.Nonempty

Context: ht : ∃ a ∈ t, 0 ≤ r a

Context: t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ 0 ≤ r a}

Context: u : Set ι

Context: ut' : u ⊆ t'

Context: a : ι

Context: ha : a ∈ t

Context: h'a : r a < 0


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L

⁅comap I.incl I₁, comap I.incl I₂⁆ = comap I.incl ⁅I ⊓ I₁, I ⊓ I₂⁆


⁅comap I.incl I₁, comap I.incl I₂⁆ = comap I.incl ⁅I.incl.idealRange ⊓ I₁, I.incl.idealRange ⊓ I₂⁆


⁅comap I.incl I₁, comap I.incl I₂⁆ = ⁅comap I.incl I₁, comap I.incl I₂⁆ ⊔ I.incl.ker


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α

(blimsup u f p ⊔ blimsup u f fun x => ¬p x) = limsup u f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l : List α


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f : ι → X → M

Context: hc : ∀ (i : ι), Continuous (f i)

Context: hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f : ι → X → M

Context: hc : ∀ (i : ι), Continuous (f i)

Context: x : X

ContinuousAt (fun x => ∏ᶠ (i : ι), f i x) x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f : ι → X → M

Context: hc : ∀ (i : ι), Continuous (f i)

Context: x : X

Context: s : Finset ι

Context: hs : ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, ∏ᶠ (i : ι), f i y = ∏ i ∈ s, f i y


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f : ι → X → M

Context: hc : ∀ (i : ι), Continuous (f i)

Context: x : X

Context: s : Finset ι

ContinuousAt (fun x => ∏ i ∈ s, f i x) x


Context: x y : ℂ

sin x = sin y ↔ ∃ k, y = 2 * ↑k * ↑π + x ∨ y = (2 * ↑k + 1) * ↑π - x


Context: x y : ℂ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a : M
l : List (List M)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)

Context: ht : t₀ ∈ Ioo a b

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hf' : ∀ t ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (v t (f t)) t

Context: hfs : ∀ t ∈ Ioo a b, f t ∈ s t

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hg' : ∀ t ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (v t (g t)) t

Context: hgs : ∀ t ∈ Ioo a b, g t ∈ s t

Context: heq : f t₀ = g t₀


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: ht : t₀ ∈ Ioo a b

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfs : ∀ t ∈ Ioo a b, f t ∈ s t

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgs : ∀ t ∈ Ioo a b, g t ∈ s t

Context: heq : f t₀ = g t₀


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R

Context: inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J α

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: hA : Presheaf.IsSeparated J A

Context: X : C

Context: r : ↑(R.obj (Opposite.op X))

Context: m : ↑(A.obj (Opposite.op X))

Context: P : Presieve X

Context: r₀ : FamilyOfElements (R₀ ⋙ forget RingCat) P

Context: m₀ : FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp) P

Context: hr₀ : (r₀.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r

Context: hm₀ : (m₀.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m

Context: Y₁ Y₂ Z : C

Context: g₁ : Z ⟶ Y₁

Context: g₂ : Z ⟶ Y₂

Context: f₁ : Y₁ ⟶ X

Context: f₂ : Y₂ ⟶ X

Context: h₁ : P f₁

Context: h₂ : P f₂

Context: fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

Context: a₁ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₁) := r₀ f₁ h₁

Context: b₁ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₁) := m₀ f₁ h₁

Context: a₂ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₂) := r₀ f₂ h₂

Context: b₂ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₂) := m₀ f₂ h₂

Context: a₀ : ↑(R₀.obj (Opposite.op Z)) := (R₀.map g₁.op) a₁

Context: b₀ : ↑(M₀.obj (Opposite.op Z)) := (M₀.map g₁.op) b₁

(A ⋙ forget AddCommGrp).map g₁.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₁ h₁) = (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₂.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₂ h₂)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: hA : Presheaf.IsSeparated J A

Context: X : C

Context: r : ↑(R.obj (Opposite.op X))

Context: m : ↑(A.obj (Opposite.op X))

Context: P : Presieve X

Context: Y₁ Y₂ Z : C

Context: g₁ : Z ⟶ Y₁

Context: g₂ : Z ⟶ Y₂

Context: f₁ : Y₁ ⟶ X

Context: f₂ : Y₂ ⟶ X

Context: h₁ : P f₁

Context: h₂ : P f₂

Context: fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

Context: ha₁ : (α.app (Opposite.op Y₁)) a₁ = (R.map f₁.op) r


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: hA : Presheaf.IsSeparated J A

Context: X : C

Context: r : ↑(R.obj (Opposite.op X))

Context: m : ↑(A.obj (Opposite.op X))

Context: P : Presieve X

Context: Y₁ Y₂ Z : C

Context: g₁ : Z ⟶ Y₁

Context: g₂ : Z ⟶ Y₂

Context: f₁ : Y₁ ⟶ X

Context: f₂ : Y₂ ⟶ X

Context: h₁ : P f₁

Context: h₂ : P f₂

Context: fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

Context: ha₂ : (α.app (Opposite.op Y₂)) a₂ = (R.map f₂.op) r