Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
h : s ⊆ t
u : Set α
hu : MeasurableSet u

((μ.restrict t).restrict s) u = (μ.restrict s) u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: r : α → α → Prop

Context: a✝ b a : α

Context: l : List α

Context: IH : (∀ (a : α), ¬[a, a] <+ l) → l.Nodup

Context: h : ∀ (a_1 : α), ¬[a_1, a_1] <+ a :: l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
s t✝ : Set β
κ : Kernel α β
hs : MeasurableSet s
a : α
f : β → ℝ≥0∞
t : Set β

∫⁻ (b : β) in t, f b ∂(κ.restrict hs) a = ∫⁻ (b : β) in t ∩ s, f b ∂κ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k✝ : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
k : β → α
l : Filter β

IsBigOWith c (map k l) f g ↔ IsBigOWith c l (f ∘ k) (g ∘ k)


(∀ᶠ (x : α) in map k l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖) ↔ ∀ᶠ (x : β) in l, ‖(f ∘ k) x‖ ≤ c * ‖(g ∘ k) x‖


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hg : HasStrictDerivAt g₁ g₁' (h x)
hh : HasStrictDerivAt h h' x


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: hb : ∃ C, ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ.restrict (Box.Icc I), ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: hb : ∃ C, ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c₁ c₂ : ℝ≥0) (π₁ π₂ : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c₁ (r c₁) π₁ → π₁.IsPartition → l.MemBaseSet I c₂ (r c₂) π₂ → π₂.IsPartition → dist (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π₁) (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π₂) ≤ ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: hb : ∃ C, ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C

Context: ε₂ : ℝ

Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C

Context: ε₂ : ℝ

Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε

Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C

Context: ε₂ : ℝ

Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε

Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

Context: D : Set (ι → ℝ) := {x | x ∈ Box.Icc I ∧ ¬ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x}

Context: μ' : Measure (ι → ℝ) := μ.restrict (Box.Icc I)


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C

Context: ε₂ : ℝ

Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε

Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

Context: μ'D : μ' D = 0


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C

Context: ε₂ : ℝ

Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε

Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

Context: μ'D : μ' D = 0

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: UD : U ⊇ D

Context: Uopen : IsOpen U

Context: hU : μ' U < μ' D + ENNReal.ofReal ε₂


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C

Context: ε₂ : ℝ

Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε

Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

Context: μ'D : μ' D = 0

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: UD : U ⊇ D

Context: Uopen : IsOpen U

Context: hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C

Context: ε₂ : ℝ

Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε

Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

Context: μ'D : μ' D = 0

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: UD : U ⊇ D

Context: Uopen : IsOpen U

Context: hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂

Context: comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C

Context: ε₂ : ℝ

Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε

Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

Context: μ'D : μ' D = 0

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: UD : U ⊇ D

Context: Uopen : IsOpen U

Context: hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂

Context: comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)

Context: this : ∀ x ∈ Box.Icc I \ U, oscillationWithin f (Box.Icc I) x < ENNReal.ofReal ε₁


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C

Context: ε₂ : ℝ

Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε

Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

Context: μ'D : μ' D = 0

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: UD : U ⊇ D

Context: Uopen : IsOpen U

Context: hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂

Context: comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)

Context: r : ℝ

Context: r0 : r > 0

Context: hr : ∀ x ∈ Box.Icc I \ U, EMetric.diam (f '' (EMetric.ball x (ENNReal.ofReal r) ∩ Box.Icc I)) ≤ ENNReal.ofReal ε₁


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C

Context: ε₂ : ℝ

Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε

Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

Context: μ'D : μ' D = 0

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: UD : U ⊇ D

Context: Uopen : IsOpen U

Context: hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂

Context: comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)

Context: r : ℝ

Context: r0 : r > 0

Context: c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: h₁ : l.MemBaseSet I c₁ ((fun x x => ⟨r / 2, ⋯⟩) c₁) π₁

Context: h₁p : π₁.IsPartition

Context: h₂ : l.MemBaseSet I c₂ ((fun x x => ⟨r / 2, ⋯⟩) c₂) π₂

Context: h₂p : π₂.IsPartition

dist (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π₁) (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π₂) ≤ ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C

Context: ε₂ : ℝ

Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε

Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

Context: μ'D : μ' D = 0

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: UD : U ⊇ D

Context: Uopen : IsOpen U

Context: hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂

Context: comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)

Context: r : ℝ

Context: r0 : r > 0

Context: c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: h₁p : π₁.IsPartition

Context: h₂p : π₂.IsPartition

‖∑ x ∈ (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes, μ.toBoxAdditive x • (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag x) - f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag x))‖ ≤ ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

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Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C

Context: ε₂ : ℝ

Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε

Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

Context: μ'D : μ' D = 0

Context: U : Set (ι → ℝ)

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Context: hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂

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Context: r0 : r > 0

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Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: h₁p : π₁.IsPartition

Context: h₂p : π₂.IsPartition

Context: μI : μ ↑I < ⊤


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

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Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

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Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

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Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C

Context: ε₂ : ℝ

Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε

Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

Context: μ'D : μ' D = 0

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: UD : U ⊇ D

Context: Uopen : IsOpen U

Context: hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂

Context: comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)

Context: r : ℝ

Context: r0 : r > 0

Context: c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: h₁p : π₁.IsPartition

Context: h₂p : π₂.IsPartition

Context: μI : μ ↑I < ⊤

Context: t₁ : Box ι → ι → ℝ := fun J => (π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag J

Context: t₂ : Box ι → ι → ℝ := fun J => (π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag J

Context: B : Finset (Box ι) := (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes

Context: B' : Finset (Box ι) := Finset.filter (fun J => ↑J ⊆ U) B


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

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Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε

Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

Context: μ'D : μ' D = 0

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Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

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Context: h₂p : π₂.IsPartition

Context: μI : μ ↑I < ⊤

Context: hB' : B' ⊆ B


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

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Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

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Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

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Context: C0 : 0 ≤ C

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Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε

Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

Context: μ'D : μ' D = 0

Context: U : Set (ι → ℝ)

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Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: h₁p : π₁.IsPartition

Context: h₂p : π₂.IsPartition

Context: μI : μ ↑I < ⊤

Context: hB' : B' ⊆ B

Context: μJ_ne_top : ∀ J ∈ B, μ ↑J ≠ ⊤


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

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Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

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Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

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Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C

Context: ε₂ : ℝ

Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε

Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

Context: μ'D : μ' D = 0

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: UD : U ⊇ D

Context: Uopen : IsOpen U

Context: hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂

Context: comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)

Context: r : ℝ

Context: r0 : r > 0

Context: c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: h₁p : π₁.IsPartition

Context: h₂p : π₂.IsPartition

Context: μI : μ ↑I < ⊤

Context: hB' : B' ⊆ B

Context: μJ_ne_top : ∀ J ∈ B, μ ↑J ≠ ⊤

Context: un : ∀ S ⊆ B, ⋃ J ∈ S, ↑J ⊆ ↑I


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C

Context: ε₂ : ℝ

Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε

Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

Context: μ'D : μ' D = 0

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: UD : U ⊇ D

Context: Uopen : IsOpen U

Context: hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂

Context: comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)

Context: r : ℝ

Context: r0 : r > 0

Context: c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: h₁p : π₁.IsPartition

Context: h₂p : π₂.IsPartition

Context: μI : μ ↑I < ⊤

Context: hB' : B' ⊆ B

Context: μJ_ne_top : ∀ J ∈ B, μ ↑J ≠ ⊤

Context: un : ∀ S ⊆ B, ⋃ J ∈ S, ↑J ⊆ ↑I

‖∑ x ∈ B \ B', μ.toBoxAdditive x • (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag x) - f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag x)) + ∑ x ∈ B', μ.toBoxAdditive x • (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag x) - f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag x))‖ ≤ ε / 2 + ε / 2


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C

Context: ε₂ : ℝ

Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε

Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

Context: μ'D : μ' D = 0

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: UD : U ⊇ D

Context: Uopen : IsOpen U

Context: hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂

Context: comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)

Context: r : ℝ

Context: r0 : r > 0

Context: c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: h₁p : π₁.IsPartition

Context: h₂p : π₂.IsPartition

Context: μI : μ ↑I < ⊤

Context: hB' : B' ⊆ B

Context: μJ_ne_top : ∀ J ∈ B, μ ↑J ≠ ⊤

Context: un : ∀ S ⊆ B, ⋃ J ∈ S, ↑J ⊆ ↑I

‖∑ x ∈ B \ B', μ.toBoxAdditive x • (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag x) - f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag x))‖ ≤ ε / 2


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C

Context: ε₂ : ℝ

Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε

Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

Context: μ'D : μ' D = 0

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: UD : U ⊇ D

Context: Uopen : IsOpen U

Context: hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂

Context: comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)

Context: r : ℝ

Context: r0 : r > 0

Context: c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: h₁p : π₁.IsPartition

Context: h₂p : π₂.IsPartition

Context: μI : μ ↑I < ⊤

Context: hB' : B' ⊆ B

Context: μJ_ne_top : ∀ J ∈ B, μ ↑J ≠ ⊤

Context: un : ∀ S ⊆ B, ⋃ J ∈ S, ↑J ⊆ ↑I

‖∑ x ∈ B', μ.toBoxAdditive x • (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag x) - f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag x))‖ ≤ ε / 2


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.132772, u_2} D
L : C ⥤ D
W✝ : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W✝
W : MorphismProperty Cᵒᵖ
X Y : Cᵒᵖ
z₁ z₂ : W.RightFraction X Y
Z : Cᵒᵖ
t₁ : Z ⟶ z₁.X'
t₂ : Z ⟶ z₂.X'
hs : t₁ ≫ z₁.s = t₂ ≫ z₂.s
hf : t₁ ≫ z₁.f = t₂ ≫ z₂.f
ht : W (t₁ ≫ z₁.s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : TopologicalSpace γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : PseudoMetrizableSpace γ
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace γ
inst✝ : SecondCountableTopology γ
g : β → γ
hg : Measurable g
f : α →ₘ[μ] β

↑(compMeasurable g hg f) =ᶠ[ae μ] g ∘ ↑f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : Neg β
h1 : Periodic f c₁
h2 : Antiperiodic f c₂


Context:
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
n✝ : μ
s : Finset ι
n : μ
f a✝ : ι → μ


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s✝ : (a : α) → Finset (γ a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (δ a)
s : (i : α) → Finset (δ i)
i : α
a : δ i
ha : a ∈ s i

piFinset (update s i {a}) = filter (fun f => f i = a) (piFinset s)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
x : α

x ∈ closure s ↔ ∀ r > 0, (ball x r ∩ s).Nonempty


Context:
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0


Context: a x z✝ z : ℂ

Context: hre : z.re < 0

Context: him : z.im = 0

Context: this : arg =ᶠ[𝓝[{z | 0 ≤ z.im}] z] fun x => Real.arcsin ((-x).im / abs x) + π


Context: a x z✝ z : ℂ

Context: hre : z.re < 0

Context: him : z.im = 0

ContinuousWithinAt (fun x => Real.arcsin ((-x).im / abs x) + π) {z | 0 ≤ z.im} z


Context: a x z✝ z : ℂ

Context: hre : z.re < 0

Context: him : z.im = 0

z.arg = Real.arcsin ((-z).im / abs z) + π


Context:
α : Type u_1
inst✝ : BEq α
a : α
l₁ l₂ : List α


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ a : ℝ
ha : a ≠ 0

IsIntegralCurveOn γ v s ↔ IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) {t | t * a ∈ s}


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ a : ℝ

Context: ha : a ≠ 0

Context: hγ : IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) {t | t * a ∈ s}


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ a : ℝ

Context: ha : a ≠ 0

γ = (γ ∘ fun x => x * a) ∘ fun x => x * a⁻¹


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ a : ℝ

Context: ha : a ≠ 0


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P : Karoubi C

((toKaroubi C).map P.p).f = (P.decompId_p ≫ P.decompId_i).f


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Comon_ (C ⥤ D)
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝

A.X.map f ≫ A.counit.app Y✝ = A.counit.app X✝


A.counit.app X✝ ≫ 𝟙 (𝟙_ D) = A.counit.app X✝


A.X.map f ≫ A.comul.app Y✝ = A.comul.app X✝ ≫ (A.X.map f ⊗ A.X.map f)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Comon_ (C ⥤ D)
X : C


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Comon_ (C ⥤ D)
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : SymmetricCategory C
X Y : Mon_ C

(X ⊗ Y).mul ≫ (β_ X.X Y.X).hom = ((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ (Y ⊗ X).mul


(α_ X.X Y.X (X.X ⊗ Y.X)).hom ≫ X.X ◁ (α_ Y.X X.X Y.X).inv ≫ X.X ◁ (β_ Y.X X.X).hom ▷ Y.X ≫ X.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ Y.X ≫ (α_ X.X (Y.X ⊗ X.X) Y.X).inv ≫ (α_ X.X Y.X X.X).inv ▷ Y.X ≫ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ▷ Y.X ≫ (α_ (Y.X ⊗ X.X) X.X Y.X).hom ≫ (α_ Y.X X.X (X.X ⊗ Y.X)).hom ≫ Y.X ◁ X.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul) = ((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul)


(α_ X.X Y.X (X.X ⊗ Y.X)).hom ≫ X.X ◁ (α_ Y.X X.X Y.X).inv ≫ ((((((((((X.X ◁ 𝟙 (Y.X ⊗ X.X) ▷ Y.X ≫ (α_ X.X (Y.X ⊗ X.X) Y.X).inv) ≫ (α_ X.X Y.X X.X).inv ▷ Y.X) ≫ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ▷ Y.X) ≫ (α_ (Y.X ⊗ X.X) X.X Y.X).hom) ≫ (α_ Y.X X.X (X.X ⊗ Y.X)).hom) ≫ Y.X ◁ X.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv) ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X) ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom) ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv) ≫ (Y.mul ⊗ X.mul) = ((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul)


(α_ (X.X ⊗ Y.X) X.X Y.X).inv ≫ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ▷ Y.X ≫ (α_ (Y.X ⊗ X.X) X.X Y.X).hom ≫ (α_ Y.X X.X (X.X ⊗ Y.X)).hom ≫ Y.X ◁ X.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul) = ((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul)


(((((((((β_ X.X Y.X).hom ▷ (X.X ⊗ Y.X) ≫ (α_ (Y.X ⊗ X.X) X.X Y.X).inv) ≫ (α_ (Y.X ⊗ X.X) X.X Y.X).hom) ≫ (α_ Y.X X.X (X.X ⊗ Y.X)).hom) ≫ Y.X ◁ X.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv) ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X) ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom) ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv) ≫ (Y.mul ⊗ X.mul) = ((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul)


(β_ X.X Y.X).hom ▷ (X.X ⊗ Y.X) ≫ ((((((𝟙 ((Y.X ⊗ X.X) ⊗ X.X ⊗ Y.X) ≫ (α_ Y.X X.X (X.X ⊗ Y.X)).hom) ≫ Y.X ◁ X.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv) ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X) ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom) ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv) ≫ (Y.mul ⊗ X.mul) = ((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul)


(β_ X.X Y.X).hom ▷ (X.X ⊗ Y.X) ≫ ((((((α_ Y.X X.X (X.X ⊗ Y.X)).hom ≫ Y.X ◁ X.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv) ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X) ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom) ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv) ≫ (Y.mul ⊗ X.mul) = ((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul)


(β_ X.X Y.X).hom ▷ (X.X ⊗ Y.X) ≫ ((((((Y.X ⊗ X.X) ◁ (β_ X.X Y.X).hom ≫ (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom) ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv) ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X) ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom) ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv) ≫ (Y.mul ⊗ X.mul) = ((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul)


(((((((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom) ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv) ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X) ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom) ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv) ≫ (Y.mul ⊗ X.mul) = ((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫ Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul)


Context: x y : ℝ


Context: n m k : ℕ


Context: a b x : PGame


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
μ : Measure E

IsAddFundamentalDomain (↥(span ℤ (Set.range ⇑b)).toAddSubgroup) (fundamentalDomain b) μ


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
μ : Measure E
val✝ : Fintype ι


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hf' : UniformCauchySeqOnFilter f' l (𝓝 x)

Context: hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)

Context: this : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hf' : TendstoUniformlyOnFilter (fun n z => f' n.1 z - f' n.2 z) 0 (l ×ˢ l) (𝓝 x)

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)

TendstoUniformlyOnFilter (fun n z => f n.1 z - f n.2 z) 0 (l ×ˢ l) (𝓝 x)


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)

TendstoUniformlyOnFilter (fun n z => f n.1 z - f n.2 z - (f n.1 x - f n.2 x)) 0 (l ×ˢ l) (𝓝 x) ∧ TendstoUniformlyOnFilter (fun n x_1 => f n.1 x - f n.2 x) 0 (l ×ˢ l) (𝓝 x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ sup f
a : Ordinal.{max u v}
hao : a < sup f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ sup f
a : Ordinal.{max u v}
hao : a < sup f
hoa : sup f ≤ succ a


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞

∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h₀ : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h₀ : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: h₀ : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ 0

Context: L : ℕ → ℝ≥0∞

Context: left✝ : StrictMono L

Context: hLf : ∀ (n : ℕ), L n ∈ Ioo ⊥ (∫⁻ (a : α), f a ∂μ)

Context: hL_tendsto : Tendsto L atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), f a ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: h₀ : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ 0

Context: L : ℕ → ℝ≥0∞

Context: left✝ : StrictMono L

Context: this : ∀ (n : ℕ), ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ L n < ∫⁻ (a : α), g a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: h₀ : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ 0

Context: L : ℕ → ℝ≥0∞

Context: left✝ : StrictMono L

Context: g : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hgm : ∀ (n : ℕ), Measurable (g n)

Context: hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f

Context: hLg : ∀ (n : ℕ), L n < ∫⁻ (a : α), g n a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: h₀ : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ 0

Context: L : ℕ → ℝ≥0∞

Context: left✝ : StrictMono L

Context: g : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hgm : ∀ (n : ℕ), Measurable (g n)

Context: hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f

∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), (fun x => ⨆ n, g n x) a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: h₀ : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ 0

Context: L : ℕ → ℝ≥0∞

Context: left✝ : StrictMono L

Context: g : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hgm : ∀ (n : ℕ), Measurable (g n)

Context: hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f

∫⁻ (a : α), (fun x => ⨆ n, g n x) a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a✝ b : α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
a : α


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : V →ₗ[K] V


Context:
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
f : Module.End R M


Context:
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M✝ : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M✝
I : Ideal R
b : ι → M✝
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
f : Module.End R M✝
M : ↥(isRepresentation R b)
e : (toEnd R b hb) M = f


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Fintype n
v w : n → R
h : ∀ (u : n → R), v ⬝ᵥ u = w ⬝ᵥ u


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Fintype n
v w : n → R
h : ∀ (u : n → R), v ⬝ᵥ u = w ⬝ᵥ u
x : n


Context:
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w✝ : InfinitePlace K
w : InfinitePlace F
h : IsUnramified k w
f : K →ₐ[k] F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
mα : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hf : MeasurableEmbedding f
s : Set β

MeasurableSet (f ⁻¹' s) ↔ MeasurableSet (s ∩ range f)


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁵ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: S : Type u_7

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : S →+* R

Context: x : S

x ∈ (comap f v).supp ↔ x ∈ Ideal.comap f v.supp


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b

(η a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

(((κ + η).withDensity fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal) a) {x | 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x} = 0


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

(((κ + η).withDensity fun a x => ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x)) a) {x | 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x} = 0


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

∀ᵐ (x : γ) ∂(κ + η) a, x ∈ {x | 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x} → ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x) = 0 x


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

MeasurableSet {x | ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x) = 0 x}


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Measurable fun b => ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a b)


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Measurable (Function.uncurry fun a x => ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x))


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: x : γ

Context: hx : x ∈ {x | 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x}

ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x) = 0 x


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: x : γ

Context: hx : 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x


Context:
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
inst✝² : DecidablePred p
H : ∃ n, p n
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h : ∃ n, p n
n : ℕ


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
h : K ≤ K'
x✝ : ↥K'


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝³ : Semiring R✝
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
R : Type u_5
inst✝ : CommRing R
M : Matrix m n R

(Function.Injective fun v => v ᵥ* M) ↔ LinearIndependent R fun i => M i


Function.Injective ⇑M.vecMulLinear ↔ LinearIndependent R fun i => M i


(∀ (x : m → R), x ᵥ* M = 0 → x = 0) ↔ ∀ (g : m → R), ∑ i : m, g i • M i = 0 → ∀ (i : m), g i = 0


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝³ : Semiring R✝
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
R : Type u_5
inst✝ : CommRing R
M : Matrix m n R
h : ∀ (x : m → R), x ᵥ* M = 0 → x = 0
c : m → R
h0 : ∑ i : m, c i • M i = 0


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝³ : Semiring R✝

Context: l : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: inst✝² : Fintype m

Context: inst✝¹ : DecidableEq m

Context: R : Type u_5

Context: inst✝ : CommRing R

Context: M : Matrix m n R

Context: h : ∀ (g : m → R), ∑ i : m, g i • M i = 0 → ∀ (i : m), g i = 0

Context: c : m → R

Context: h0 : c ᵥ* M = 0


Context:
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
x : CliffordAlgebra Q

(contractRight ((contractRight x) d)) d' = -(contractRight ((contractRight x) d')) d


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝ : DecidableEq n
i✝ : n
j✝ : m

Mᵀ.updateRow j c i✝ j✝ = (M.updateColumn j c)ᵀ i✝ j✝


(if i✝ = j then c j✝ else Mᵀ i✝ j✝) = if i✝ = j then c j✝ else M j✝ i✝


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b : R
h : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℂ
a b : ℂ
hf : Tendsto f l (𝓝 b)
h : a ≠ 0 ∨ b ≠ 0

Tendsto (fun x => a ^ f x) l (𝓝 (a ^ b))


Context:
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : IsCyclic α
inst✝ : Fintype α


Context:
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : IsCyclic α
inst✝ : Fintype α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers g


Context: cs cs' : List Char

{ byteIdx := utf8ByteSize.go cs } ≤ { data := cs ++ cs' }.endPos


Context:
a : ℕ
han : 0 < a
ha : φ a ≤ 1


Context:
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
inst✝ : HasWidePullback B objs arrows
X : C
f : X ⟶ B
fs : (j : J) → X ⟶ objs j
w : ∀ (j : J), fs j ≫ arrows j = f
g : X ⟶ widePullback B objs arrows

g = lift (g ≫ base arrows) (fun j => g ≫ π arrows j) ⋯


∀ (j : J), g ≫ π arrows j = g ≫ π arrows j


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q✝ : α → Prop
q : Prop
p : α → Prop
inst✝ : Decidable q

(∀ (x : α), p x ∨ q) ↔ (∀ (x : α), p x) ∨ q


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
p₁ p₂ p₃ : ι
h₁₂ : p₁ = p₂
h₃₂ : p₃ = p₂


Context:
C : Type u
X : (Discrete ∘ NormalMonoidalObject) C
down✝ : X.as = X.as

inclusion.map { down := { down := down✝ } } = eqToHom ⋯


Context:
n✝ : ℕ
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ

∏ i ∈ n.divisorsAntidiagonal, f i.1 i.2 = ∏ i ∈ n.divisors, f (n / i) i


∏ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, f ((Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding x).1 ((Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding x).2 = ∏ i ∈ n.divisors, f (n / i) i


Context:
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
x✝ y✝ : ι → ℝ
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (I.lower i) (I.upper i)
y : Fin n → ℝ
hy : y ∈ ↑(I.face i)


x ∈ Ioc (I.lower i) (I.upper i) ∧ ∀ (j : Fin n), y j ∈ Ioc (I.lower (i.succAbove j)) (I.upper (i.succAbove j))


Context:
ι : Type u_1
k : ℕ
l : List ℕ


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
z w : N

∃ z' w' d, z * f.toMap ↑d = f.toMap z' ∧ w * f.toMap ↑d = f.toMap w'


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
z w : N
a : M × ↥S
ha : z * f.toMap ↑a.2 = f.toMap a.1


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
z w : N
a : M × ↥S
ha : z * f.toMap ↑a.2 = f.toMap a.1
b : M × ↥S
hb : w * f.toMap ↑b.2 = f.toMap b.1


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝¹ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: P✝ P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: γ : Q ⟶ R

Context: X : C

Context: x✝ : (J.Cover X)ᵒᵖ

(J.diagramNatTrans (η ≫ γ) X).app x✝ = (J.diagramNatTrans η X ≫ J.diagramNatTrans γ X).app x✝


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝¹ : Category.{max v u, w} D

Context: P✝ P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: γ : Q ⟶ R

Context: X : C

Context: x✝ : (J.Cover X)ᵒᵖ

Context: i : ((unop x✝).index R).L

(J.diagramNatTrans (η ≫ γ) X).app x✝ ≫ Multiequalizer.ι ((unop x✝).index R) i = (J.diagramNatTrans η X ≫ J.diagramNatTrans γ X).app x✝ ≫ Multiequalizer.ι ((unop x✝).index R) i


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝ : MeasureSpace α
s t : Set α
hs : NullMeasurableSet s volume
ht : MeasurableSet t

volume (Subtype.val ⁻¹' t) = volume (t ∩ s)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : CommMonoid β
inst✝² : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f✝ f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
inst✝¹ : EquivLike F α β
inst✝ : MulEquivClass F α β
f : F
hfAB : BijOn (⇑f) A B
s t : Multiset α
x✝³ : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
x✝² : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
x✝¹ : card s = n
x✝ : card t = n

(map (⇑f) s).prod = (map (⇑f) t).prod ↔ s.prod = t.prod


Context:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C

(λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom = ((α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).inv ≫ 𝟙_ C ◁ (β_ X₁ (𝟙_ C)).hom ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).inv) ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁷ : MonoidalCategory C

Context: inst✝⁶ : BraidedCategory C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝⁴ : MonoidalCategory D

Context: inst✝³ : BraidedCategory D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} E

Context: inst✝¹ : MonoidalCategory E

Context: inst✝ : BraidedCategory E

Context: X₁ X₂ : C

Context: this : (λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom = (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).inv ≫ (λ_ ((X₁ ⊗ 𝟙_ C) ⊗ X₂)).hom ≫ (ρ_ X₁).hom ▷ X₂


(α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).inv ≫ (λ_ ((X₁ ⊗ 𝟙_ C) ⊗ X₂)).hom ≫ (ρ_ X₁).hom ▷ X₂ = ((α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).inv ≫ 𝟙_ C ◁ (β_ X₁ (𝟙_ C)).hom ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).inv) ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom


(α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).inv ≫ (λ_ ((X₁ ⊗ 𝟙_ C) ⊗ X₂)).hom ≫ ((β_ X₁ (𝟙_ C)).hom ≫ (λ_ X₁).hom) ▷ X₂ = ((α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).inv ≫ 𝟙_ C ◁ (β_ X₁ (𝟙_ C)).hom ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).inv) ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom


Context:
a b c : EReal
h : 0 < b
h' : b ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : α → Set β
t : α → Set γ
inst✝ : Preorder α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : s ∈ 𝓝 x

lineDerivWithin 𝕜 f s x v = lineDeriv 𝕜 f x v


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_1} D

Context: Z : D

Context: F : C ⥤ D

Context: M : (x : C) → F.obj x ⟶ Z

Context: hM : ∀ (x y : C) (f : x ⟶ y), F.map f ≫ M y = M x

Context: x : C

(lift F M hM).map (starTerminal.from (incl.obj x)) ≫ (liftStar F M hM).hom = (inclLift F M hM).hom.app x ≫ M x


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_1} D

Context: Z : D

Context: F : C ⥤ D

Context: M : (x : C) → F.obj x ⟶ Z

Context: x : C

(lift F M hM).map (starTerminal.from (incl.obj x)) = M x


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
X Y Z : C

F.obj X ◁ F.μ Y Z ≫ F.μ X (Y ⊗ Z) ≫ F.map (α_ X Y Z).inv = (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).inv ≫ F.μ X Y ▷ F.obj Z ≫ F.μ (X ⊗ Y) Z


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a✝ b c✝ d : α
hb : IsUnit b
hd : IsUnit d
a c : α
h : a / b = c / d


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0

Integrable (fun x => (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * rexp (-(x - μ) ^ 2 / (2 * ↑v))) ℙ


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: hv : ¬v = 0

Context: g : ℝ → ℝ := fun x => (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * rexp (-x ^ 2 / (2 * ↑v))


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: hv : ¬v = 0

Context: hg : Integrable g ℙ


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y Z : Dial C

((X.tensorObj Y).tensorObj Z).rel = (Subobject.pullback (prod.map (prod.associator X.src Y.src Z.src).hom (prod.associator X.tgt Y.tgt Z.tgt).hom)).obj (X.tensorObj (Y.tensorObj Z)).rel


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice β
s : ι → Set α
f : α → β

⨆ a ∈ ⋃ i, s i, f a = ⨆ i, ⨆ a ∈ s i, f a


⨆ a ∈ ⋃ i, s i, f a = ⨆ j, ⨆ i, ⨆ (_ : j ∈ s i), f j


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
e : n ≃ m
A : Matrix m m α
i j : n

(A.submatrix ⇑e ⇑e).adjugate i j = A.adjugate.submatrix (⇑e) (⇑e) i j


((A.updateRow (e j) fun j => Pi.single i 1 (e.symm j)).submatrix ⇑e ⇑e).det = ((A.updateRow (e j) (Pi.single (e i) 1)).submatrix ⇑e ⇑e).det


(fun j => Pi.single i 1 (e.symm j)) = Pi.single (e i) 1


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
i : ι

MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i}) ↔ MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})


(∀ (i_1 : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | τ ω ≤ i_1})) ↔ (∀ (i_1 : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | τ ω ≤ i_1})) ∧ MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: s : Set Ω

Context: i : ι

Context: h : ∀ (i_1 : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | τ ω ≤ i_1})


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: s : Set Ω

Context: i : ι

Context: h : MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | τ ω ≤ i})


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P

s₁ ∥ s₂ ↔ s₁.direction = s₂.direction ∧ (s₁ = ⊥ ↔ s₂ = ⊥)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
h : s₁ ∥ s₂

s₁ = ⊥ → s₂ = ⊥


s₂ = ⊥ → s₁ = ⊥


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: s₁ s₂ : AffineSubspace k P

Context: h : s₁.direction = s₂.direction ∧ (s₁ = ⊥ ↔ s₂ = ⊥)


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i : ι
x : F
hi : i ∈ s
hxi : x ≠ v i

eval x (Lagrange.basis s v i) = eval x (nodal s v) * (nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹)


Context:
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type u_1
f : α → Option β → γ
as : List α
bs : List β

zipWithLeft f as bs = zipWithLeftTR f as bs


Context:
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type u_1
f : α → Option β → γ
as : List α
bs : List β
acc : Array γ
head✝ : α
tail✝ : List α

zipWithLeftTR.go f (head✝ :: tail✝) [] acc = acc.toList ++ zipWithLeft f (head✝ :: tail✝) []


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x : K

Context: b : A

Context: b_nonzero : b ∈ nonZeroDivisors A

Context: a : A

Context: hab : (algebraMap A K) a = ↑⟨b, b_nonzero⟩ • x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x : K

Context: a' b' c' : A

Context: no_factor : IsRelPrime a' b'

Context: b_nonzero : c' * b' ∈ nonZeroDivisors A

Context: hab : (algebraMap A K) (c' * a') = ↑⟨c' * b', b_nonzero⟩ • x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x : K

Context: a' b' c' : A

Context: no_factor : IsRelPrime a' b'

Context: b_nonzero : c' * b' ∈ nonZeroDivisors A

Context: left✝ : c' ∈ nonZeroDivisors A

Context: b'_nonzero : b' ∈ nonZeroDivisors A


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x : K

Context: a' b' c' : A

Context: no_factor : IsRelPrime a' b'

Context: b_nonzero : c' * b' ∈ nonZeroDivisors A

Context: left✝ : c' ∈ nonZeroDivisors A

Context: b'_nonzero : b' ∈ nonZeroDivisors A

(algebraMap A K) (c' * b') * mk' K a' ⟨b', b'_nonzero⟩ = (algebraMap A K) (c' * b') * x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x : K

Context: a' b' c' : A

Context: no_factor : IsRelPrime a' b'

Context: b_nonzero : c' * b' ∈ nonZeroDivisors A

Context: left✝ : c' ∈ nonZeroDivisors A

Context: b'_nonzero : b' ∈ nonZeroDivisors A

Context: hab : (algebraMap A K) c' * (algebraMap A K) a' = (algebraMap A K) c' * (algebraMap A K) b' * x

(algebraMap A K) c' * (algebraMap A K) b' * mk' K a' ⟨b', b'_nonzero⟩ = (algebraMap A K) c' * (algebraMap A K) b' * x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x : α
hf : StrictMono f
hx : x < f x
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
r : R

multichoose (r - ↑0 + 1) 0 = (r + 1) ^ 0


(fun x => Nat.factorial 0 • x) (multichoose (r - ↑0 + 1) 0) = (fun x => Nat.factorial 0 • x) ((r + 1) ^ 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
b : β

(p.bindOnSupport f) b = 0 ↔ ∀ (a : α) (ha : p a ≠ 0), (f a ha) b = 0


(∀ (i : α), ¬p i = 0 → (if h : p i = 0 then 0 else (f i h) b) = 0) ↔ ∀ (a : α) (ha : p a ≠ 0), (f a ha) b = 0


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
hfA : HasSum (fun a => f a ^ p) (A ^ p)
hgB : HasSum (fun a => g a ^ p) (B ^ p)

∃ C, 0 ≤ C ∧ C ≤ ↑A + ↑B ∧ HasSum (fun i => ((fun i => ↑(f i)) i + (fun i => ↑(g i)) i) ^ p) (C ^ p)


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: p q : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: f g : ι → ℝ≥0

Context: A B : ℝ≥0

Context: hfA : HasSum (fun a => f a ^ p) (A ^ p)

Context: hgB : HasSum (fun a => g a ^ p) (B ^ p)

Context: C : ℝ≥0

Context: hC₁ : C ≤ A + B

Context: hC₂ : HasSum (fun i => (f i + g i) ^ p) (C ^ p)


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: p q : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: f g : ι → ℝ≥0

Context: A B : ℝ≥0

Context: hfA : HasSum (fun a => f a ^ p) (A ^ p)

Context: hgB : HasSum (fun a => g a ^ p) (B ^ p)

Context: C : ℝ≥0

Context: hC₁ : C ≤ A + B

0 ≤ ↑C ∧ ↑C ≤ ↑A + ↑B ∧ HasSum (fun i => ((fun i => ↑(f i)) i + (fun i => ↑(g i)) i) ^ p) (↑C ^ p)


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: p q : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: f g : ι → ℝ≥0

Context: A B : ℝ≥0

Context: hfA : HasSum (fun a => f a ^ p) (A ^ p)

Context: hgB : HasSum (fun a => g a ^ p) (B ^ p)

Context: C : ℝ≥0

Context: hC₁ : C ≤ A + B

0 ≤ C ∧ C ≤ A + B ∧ HasSum (fun a => (f a + g a) ^ p) (C ^ p)


Context:
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
d : ℕ

mk 1 ^ (d + 1) = mk fun n => ↑((d + n).choose d)


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a b : ι → ℝ
h : a ≤ b

(volume (univ.pi fun i => Ico (a i) (b i))).toReal = ∏ i : ι, (b i - a i)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.6198, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.6202, u_2} D
F : C ⥤ Cat
X Y Z : Grothendieck F
f : X.Hom Y
g : Y.Hom Z

(F.map (f.base ≫ g.base)).obj X.fiber = (F.map g.base).obj ((F.map f.base).obj X.fiber)


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))

Context: this : NumberField K := numberField {2 ^ (k + 1)} ℚ K


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))

Context: h : hζ.toInteger - 1 = 0


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))

Irreducible (Ideal.absNorm (Ideal.span {hζ.toInteger - 1}))


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))

Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1))


Context: p : ℕ+

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (n✝ + 1 + 1))

Context: this : NumberField K := numberField {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K


Context: p : ℕ+

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: n✝ : ℕ


Context: p : ℕ+

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: n✝ : ℕ

(algebraMap ℤ ℚ) ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1)) = (algebraMap ℤ ℚ) 2


Context: p : ℕ+

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: n✝ : ℕ

(Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) (hζ.toInteger - 1)) = (algebraMap ℤ ℚ) 2


Context: p : ℕ+

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: n✝ : ℕ

(Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) (hζ.toInteger - 1)) = (Int.castRingHom ℚ) 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G

↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x)


↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (c • x)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x)


↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (c • x)) =ᶠ[ae μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)


↑↑(c • condexpIndSMul hm hs hμs x) =ᶠ[ae μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)


c • ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) =ᶠ[ae μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝² : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: c : ℝ

Context: x : G

Context: y : α

Context: hy : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) y = ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) y

(c • ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)) y = (c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)) y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
hs : s.Subsingleton


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : 0 < C
hf : Tendsto f l (𝓝 C)
hg : Tendsto g l atTop


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ

Context: h_anti : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Antitone fun n => f n x

Context: h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤

Context: h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))

Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (x : α), F x ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ

Context: h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤

Context: this : Antitone fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ

Context: h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤

∫⁻ (x : α), F x ∂μ = ⨅ n, ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ

Context: h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤

∫⁻ (x : α), F x ∂μ = ∫⁻ (a : α), ⨅ n, f n a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ

Context: h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
f : ι →₀ R
i : ι

(b.toDual ((Finsupp.total ι M R ⇑b) f)) (b i) = f i


∑ d ∈ f.support, (b.toDual (f d • b d)) (b i) = f i


(if i ∈ f.support then f i else 0) = f i


Context:
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z✝ : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z✝
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
Z : Type u_7
f : X → Y → Z
ta1 ta2 : TopologicalSpace X
tb1 tb2 : TopologicalSpace Y
tc1 : TopologicalSpace Z
h : Continuous fun p => f p.1 p.2


Context:
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z✝ : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z✝
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
Z : Type u_7
f : X → Y → Z
ta1 ta2 : TopologicalSpace X
tb1 tb2 : TopologicalSpace Y
tc1 : TopologicalSpace Z
h : Continuous fun p => f p.1 p.2
ha : Continuous id


Context:
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z✝ : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z✝
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
Z : Type u_7
f : X → Y → Z
ta1 ta2 : TopologicalSpace X
tb1 tb2 : TopologicalSpace Y
tc1 : TopologicalSpace Z
h : Continuous fun p => f p.1 p.2
ha : Continuous id
hb : Continuous id


Context: X✝ : Type u

Context: Y✝ : Type v

Context: Z✝ : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z✝

Context: inst✝² : TopologicalSpace W

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace ε

Context: inst✝ : TopologicalSpace ζ

Context: X : Type u_5

Context: Y : Type u_6

Context: Z : Type u_7

Context: f : X → Y → Z

Context: ta1 ta2 : TopologicalSpace X

Context: tb1 tb2 : TopologicalSpace Y

Context: tc1 : TopologicalSpace Z

Context: h : Continuous fun p => f p.1 p.2

Context: ha : Continuous id

Context: hb : Continuous id

Context: h_continuous_id : Continuous fun p => (id p.1, id p.2)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
M : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
Q : Type u_9
G : Type u_10
H : Type u_11
inst✝³ : EquivLike F α β
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
e : M ≃* N
f : P →* M


Context:
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
p : α × Bool
l : List (α × Bool)

Step (p :: l ++ L₁) (p :: l ++ L₂) ↔ Step L₁ L₂


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : Array α


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : Array α

(List.filter p l.data).length ≤ l.data.length


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₃
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module S M₃
σ✝ : R →+* S
σ : R →+* R
inst✝ : RingHomId σ
r : R
x : M

{ toFun := fun x => x, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) = σ r • { toFun := fun x => x, map_add' := ⋯ }.toFun x


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₃
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module S M₃
σ✝ : R →+* S
σ : R →+* R
inst✝ : RingHomId σ
r : R
x : M
this : σ = RingHom.id R


Context:
α : Type ?u.2288
inst✝ : LinearOrder α
a b : α

↑((fun s => ⟨(s.inf, s.sup), ⋯⟩) s(a, b)) = (a, b) ∨ ↑((fun s => ⟨(s.inf, s.sup), ⋯⟩) s(a, b)) = (a, b).swap


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
h : ¬IntervalIntegrable f μ a b


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
h : ¬IntegrableOn f (Ι a b) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
hs : autoParam s.Finite _auto✝
ht : autoParam t.Finite _auto✝

(s ∪ t).ncard + (s ∩ t).ncard = s.ncard + t.ncard


↑(s ∪ t).ncard + ↑(s ∩ t).ncard = ↑s.ncard + ↑t.ncard


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
f : ℕ → β
n : ℕ

∏ x ∈ range (n + 1), f x = f n * ∏ x ∈ range n, f x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin 2)

Context: f : E ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ

Context: hf : (map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o = Complex.orientation

Context: x : E


Context:
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Ring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
h : (x + y) ^ n = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: i : E ≃L[𝕜] F

Context: n : ℕ

Context: IH : ∀ m < n, p.removeZero.leftInv i m = p.leftInv i m

p.removeZero.leftInv i n = p.leftInv i n


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f : ι → α → M

Context: x : Filter α

Context: a : ι → M

Context: x✝ : ∀ i ∈ [], Tendsto (f i) x (𝓝 (a i))

Tendsto (fun b => (List.map (fun c => f c b) []).prod) x (𝓝 (List.map a []).prod)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f✝ : ι → α → M

Context: x : Filter α

Context: a : ι → M

Context: f : ι

Context: l : List ι

Context: h : ∀ i ∈ f :: l, Tendsto (f✝ i) x (𝓝 (a i))

Tendsto (fun b => (List.map (fun c => f✝ c b) (f :: l)).prod) x (𝓝 (List.map a (f :: l)).prod)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f✝ : ι → α → M

Context: x : Filter α

Context: a : ι → M

Context: f : ι

Context: l : List ι

Tendsto (fun b => f✝ f b * (List.map (fun c => f✝ c b) l).prod) x (𝓝 (a f * (List.map a l).prod))


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
K : IntermediateField F E


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: A : ValuationSubring K

Context: a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ

Context: h : A.primeSpectrumEquiv a✝ ≤ A.primeSpectrumEquiv b✝


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: A : ValuationSubring K

Context: a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ

Context: this : A.idealOfLE ↑(A.primeSpectrumEquiv b✝) ?refine_2 ≤ A.idealOfLE ↑(A.primeSpectrumEquiv a✝) ?refine_1


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: A : ValuationSubring K

Context: a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: A : ValuationSubring K

Context: a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ

Context: this : b✝.asIdeal ≤ a✝.asIdeal


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ
h : a✝ ≤ b✝


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R


Context: n : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.82092, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s s' : S.Splitting
h : s.r = s'.r


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.82092, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s s' : S.Splitting
h : s.r = s'.r
this : Epi S.g


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.82092, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s s' : S.Splitting
h : s.r = s'.r
this : Epi S.g
eq : s.r ≫ S.f + S.g ≫ s.s = 𝟙 S.X₂


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.82092, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s s' : S.Splitting
h : s.r = s'.r
this : Epi S.g
eq : s.s = s'.s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
l : Filter ι
s : ι → Set α
hl : Tendsto (⇑μ ∘ s) l (𝓝 0)

Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in s i, f x ∂μ) l (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: ι : Type u_5

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: l : Filter ι

Context: s : ι → Set α

Context: hl : ∀ (i : ℝ≥0∞), 0 < i → ∀ᶠ (a : ι) in l, (⇑μ ∘ s) a < i

∀ (i : ℝ≥0∞), 0 < i → ∀ᶠ (a : ι) in l, ∫⁻ (x : α) in s a, f x ∂μ < i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: ι : Type u_5

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: l : Filter ι

Context: s : ι → Set α

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : 0 < ε

∀ᶠ (a : ι) in l, ∫⁻ (x : α) in s a, f x ∂μ < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ✝ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: ι : Type u_5

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: l : Filter ι

Context: s : ι → Set α

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : 0 < ε

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δ0 : δ > 0

Context: hδ : ∀ (s : Set α), μ s < δ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ < ε


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
h : a < b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s

∑ i ∈ s, f (σ i) • g i = ∑ i ∈ s, f i • g i ↔ MonovaryOn (f ∘ ⇑σ) g ↑s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
hσinv : {x | σ⁻¹ x ≠ x} ⊆ ↑s


∑ i ∈ s, f (σ i) • g i = ∑ i ∈ s, f i • g i ↔ ∑ i ∈ s, f i • g (σ⁻¹ i) = ∑ i ∈ s, f i • g i


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
hσinv : {x | σ⁻¹ x ≠ x} ⊆ ↑s
h : MonovaryOn f (g ∘ ⇑σ⁻¹) ↑s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
hσinv : {x | σ⁻¹ x ≠ x} ⊆ ↑s
h : MonovaryOn (f ∘ ⇑σ) g ↑s


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
f : α → α
g : α → E
n : ℕ
x y : α

dist (birkhoffAverage 𝕜 f g n x) (birkhoffAverage 𝕜 f g n y) = dist (birkhoffSum f g n x) (birkhoffSum f g n y) / ↑n


Context:
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
α' : Type u_1
σ' : Type u_2
f : α' → α
x : List α'

x ∈ (comap f M).accepts ↔ x ∈ List.map f ⁻¹' M.accepts


x ∈ (comap f M).accepts ↔ M.eval (List.map f x) ∈ M.accept


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t : Multiset α
a : α


Context:
V : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Fintype ↑(G ⊔ edge s t).edgeSet
hn : ¬G.Adj s t
h : s ≠ t

(G ⊔ edge s t).edgeFinset.card = G.edgeFinset.card + 1


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
f : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
g : D ⟶ E
j : ι

(f j (c.prev j) ≫ g.f (c.prev j)) ≫ E.d (c.prev j) j = (f j (c.prev j) ≫ D.d (c.prev j) j) ≫ g.f j


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R

xgcdAux x 1 0 y 0 1 = (gcd x y, xgcd x y)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₀.toCompacts


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: this : Continuous eval


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: this : Continuous eval

closure (prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U}) ⊆ eval ⁻¹' {1}


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: this : Continuous eval

prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U} ⊆ eval ⁻¹' {1}


Context:
α : Type u
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : Subsingleton αˣ
a b : α
h : a * b = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
h : s ⊆ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a✝ b✝ : List α

Context: h : Quot.mk Setoid.r a✝ ⊆ Quot.mk Setoid.r b✝

(Quot.mk Setoid.r a✝ + Quot.mk Setoid.r b✝).dedup = dedup (Quot.mk Setoid.r b✝)


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X

SigmaCompactSpace X ↔ ∃ K, (∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)) ∧ ⋃ n, K n = univ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r r' : ℝ
h_le : r ≤ r'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r r' : ℝ
h_le : r ≤ r'
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
s : Set L

Submodule.span R s ≤ (lieSpan R L s).toSubmodule


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteSemilatticeSup α
s t : Set α
b : α


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
i : σ


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f : F
g₁ g₂ g₃ g : G
H₁ H₂ H₃ K₁ K₂ : Subgroup G
h1 : ⁅⁅H₂, H₃⁆, H₁⁆ = ⊥
h2 : ⁅⁅H₃, H₁⁆, H₂⁆ = ⊥

⁅⁅H₁, H₂⁆, H₃⁆ = ⊥


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : Group G'

Context: inst✝¹ : FunLike F G G'

Context: inst✝ : MonoidHomClass F G G'

Context: f : F

Context: g₁ g₂ g₃ g : G

Context: H₁ H₂ H₃ K₁ K₂ : Subgroup G

Context: h1 : ∀ g₁ ∈ H₂, ∀ g₂ ∈ H₃, ∀ h ∈ ↑H₁, ⁅h, ⁅g₁, g₂⁆⁆ = 1

Context: h2 : ∀ g₁ ∈ H₃, ∀ g₂ ∈ H₁, ∀ h ∈ ↑H₂, ⁅h, ⁅g₁, g₂⁆⁆ = 1

∀ g₁ ∈ H₁, ∀ g₂ ∈ H₂, ∀ h ∈ ↑H₃, ⁅h, ⁅g₁, g₂⁆⁆ = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α

s ∈ 𝓓 a 𝒜 ↔ s ∈ 𝒜 ∧ s.erase a ∈ 𝒜 ∨ s ∉ 𝒜 ∧ insert a s ∈ 𝒜


s ∈ 𝒜 ∧ s.erase a ∈ 𝒜 ∨ (∃ a_1 ∈ 𝒜, a_1.erase a = s) ∧ s ∉ 𝒜 ↔ s ∈ 𝒜 ∧ s.erase a ∈ 𝒜 ∨ insert a s ∈ 𝒜 ∧ s ∉ 𝒜


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
hs : s ∉ 𝒜

(∃ a_1 ∈ 𝒜, a_1.erase a = s) → insert a s ∈ 𝒜


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
a : α
t : Finset α
ht : t ∈ 𝒜
hs : t.erase a ∉ 𝒜


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
P Q : CochainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j
j : ℕ

P.d j ((ComplexShape.up ℕ).next j) ≫ f ((ComplexShape.up ℕ).next j) j = P.d j (j + 1) ≫ f (j + 1) j


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : Preadditive V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C D E : HomologicalComplex V c

Context: f✝ g : C ⟶ D

Context: h k : D ⟶ E

Context: i : ι

Context: P Q : CochainComplex V ℕ

Context: f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j

Context: j : ℕ

Context: this : (ComplexShape.up ℕ).next j = j + 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ q✝ : α → Prop
inst✝³ : DecidablePred p✝
inst✝² : DecidablePred q✝
s✝ t s : Finset α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q

_root_.Disjoint (filter p s) (filter q s) ↔ ∀ x ∈ s, p x → ¬q x


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
n d : F
hPz : P z ≠ 0
hd : d ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v w : E
hv : ¬v = 0

↑((orthogonalProjection (Submodule.span 𝕜 {v})) w) = (⟪v, w⟫_𝕜 / ↑(‖v‖ ^ 2)) • v


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v w : E
hv : ¬v = 0
hv' : ‖v‖ ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection K

Context: v w : E

Context: hv : ¬v = 0

Context: hv' : ‖v‖ ≠ 0

Context: key : ((↑(‖v‖ ^ 2))⁻¹ * ↑(‖v‖ ^ 2)) • ↑((orthogonalProjection (Submodule.span 𝕜 {v})) w) = ((↑(‖v‖ ^ 2))⁻¹ * ⟪v, w⟫_𝕜) • v


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
ι : Sort u_5
p : ι → Subgroup G


Context: α : Sort u_1

Context: β : Sort u_2

Context: γ : Sort u_3

Context: f : α → β

Context: hf : Injective f

Context: e' : β → γ

Context: g₁ g₂ : α → γ

Context: hg : (fun g => extend f g e') g₁ = (fun g => extend f g e') g₂


Context: α : Sort u_1

Context: β : Sort u_2

Context: γ : Sort u_3

Context: f : α → β

Context: hf : Injective f

Context: e' : β → γ

Context: g₁ g₂ : α → γ

Context: x : α


Context: α : Sort u_1

Context: β : Sort u_2

Context: γ : Sort u_3

Context: f : α → β

Context: hf : Injective f

Context: e' : β → γ

Context: g₁ g₂ : α → γ

Context: x : α

Context: H : (fun g => extend f g e') g₁ (f x) = (fun g => extend f g e') g₂ (f x)


Context: α : Sort u_1

Context: β : Sort u_2

Context: γ : Sort u_3

Context: f : α → β

Context: hf : Injective f

Context: e' : β → γ

Context: g₁ g₂ : α → γ

Context: x : α

Context: H : g₁ x = g₂ x


Context: m n k : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Finset α
x : α

x ∈ map (Embedding.subtype p) (Finset.subtype p s) ↔ x ∈ filter p s


Context: a b : ℕ+


Context: a b : ℕ+

(Ioo a b).card = (map (Embedding.subtype fun n => 0 < n) (Ioo a b)).card


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m : ℕ


Context:
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f : β → γ
x✝ : t β
x : t α


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁵ : NormedField 𝕜
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²² : PseudoMetricSpace P
inst✝²¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁸ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁷ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹⁴ : MetricSpace P₁'
inst✝¹³ : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝¹⁰ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝⁹ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁶ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁵ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝² : PseudoMetricSpace P₄
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₄ P₄
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
α : Type u_14
inst✝ : TopologicalSpace α
x y : P

dist ((pointReflection 𝕜 x) y) x = dist y x