∀ u ∈ Submodule.span ℝ {s.points i₁ -ᵥ s.points i₂}, ⟪s.mongePoint -ᵥ centroid ℝ {i₁, i₂}ᶜ s.points, u⟫_ℝ = 0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P (n + 2)

Context: i₁ i₂ : Fin (n + 3)

Context: v : V

Context: hv : v ∈ Submodule.span ℝ {s.points i₁ -ᵥ s.points i₂}

⟪s.mongePoint -ᵥ centroid ℝ {i₁, i₂}ᶜ s.points, v⟫_ℝ = 0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P (n + 2)

Context: i₁ i₂ : Fin (n + 3)

Context: r : ℝ

Context: hv : r • (s.points i₁ -ᵥ s.points i₂) ∈ Submodule.span ℝ {s.points i₁ -ᵥ s.points i₂}

⟪s.mongePoint -ᵥ centroid ℝ {i₁, i₂}ᶜ s.points, r • (s.points i₁ -ᵥ s.points i₂)⟫_ℝ = 0


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ
ha : IntegrableOn f (Iic a) μ
hb : IntegrableOn f (Iic b) μ
hab : a ≤ b

∫ (x : ℝ) in Iic b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in Iic a, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: hr₀ : r ≠ 0

Context: hr : ∀ (n : ℕ), r ≤ μ (s n)

Context: M : (α → ℝ) → Set α := fun f => {x | eLpNormEssSup f μ < ↑‖f x‖₊}

Context: N : Set α := ⋃ u, M ((⋂ n ∈ u, s n).indicator 1)

∃ t, t.Infinite ∧ ∀ ⦃u : Set ℕ⦄, u ⊆ t → u.Finite → 0 < μ (⋂ n ∈ u, s n)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: hr₀ : r ≠ 0

Context: hr : ∀ (n : ℕ), r ≤ μ (s n)

Context: hN₀ : μ N = 0


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: hr₀ : r ≠ 0

Context: hr : ∀ (n : ℕ), r ≤ μ (s n)

Context: hN₀ : μ N = 0

Context: hN₁ : ∀ (u : Finset ℕ), ((⋂ n ∈ u, s n) \ N).Nonempty → 0 < μ (⋂ n ∈ u, s n)

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun n => (↑(n + 1))⁻¹ • ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), (s k).indicator 1


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: hr₀ : r ≠ 0

Context: hr : ∀ (n : ℕ), r ≤ μ (s n)

Context: hN₀ : μ N = 0

Context: hfapp : ∀ (n : ℕ) (a : α), f n a = (↑(n + 1))⁻¹ * ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), (s k).indicator 1 a


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: hr₀ : r ≠ 0

Context: hr : ∀ (n : ℕ), r ≤ μ (s n)

Context: hN₀ : μ N = 0

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: hr₀ : r ≠ 0

Context: hr : ∀ (n : ℕ), r ≤ μ (s n)

Context: hN₀ : μ N = 0

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

Context: hf₁ : ∀ (n : ℕ), f n ≤ 1


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: hr₀ : r ≠ 0

Context: hr : ∀ (n : ℕ), r ≤ μ (s n)

Context: hN₀ : μ N = 0

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

Context: hf₁ : ∀ (n : ℕ), f n ≤ 1

Context: hrf : ∀ (n : ℕ), r ≤ ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: hr₀ : r ≠ 0

Context: hr : ∀ (n : ℕ), r ≤ μ (s n)

Context: hN₀ : μ N = 0

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

Context: hf₁ : ∀ (n : ℕ), f n ≤ 1

Context: hμ : μ ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: hr₀ : r ≠ 0

Context: hr : ∀ (n : ℕ), r ≤ μ (s n)

Context: hN₀ : μ N = 0

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

Context: hf₁ : ∀ (n : ℕ), f n ≤ 1

Context: hμ : μ ≠ 0

Context: this : ∫⁻ (x : α), limsup (fun x_1 => f x_1 x) atTop ∂μ ≤ μ univ


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: hr₀ : r ≠ 0

Context: hr : ∀ (n : ℕ), r ≤ μ (s n)

Context: hN₀ : μ N = 0

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

Context: hf₁ : ∀ (n : ℕ), f n ≤ 1

Context: hμ : μ ≠ 0

Context: x : α

Context: hxN : x ∉ N

Context: hx : ⨍⁻ (a : α), limsup (fun x => f x a) atTop ∂μ ≤ limsup (fun x_1 => f x_1 x) atTop


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
n : ℕ

f.SameCycle ((f ^ n) x) y ↔ f.SameCycle x y


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M✝ : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R M✝
x : M✝
p p' : Submodule R M✝
inst✝⁵ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝² : FunLike F M✝ M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M✝ M₂
s✝ t : Set M✝
M : Type u_9
inst✝ : AddCommGroup M
s : AddSubgroup M


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
β : Type u_4
inst✝ : SetLike α β
l : LowerAdjoint SetLike.coe
s : Set β
x : β

x ∈ l.toFun s ↔ ∀ (S : α), s ⊆ ↑S → x ∈ S


l.toFun {x} ≤ l.toFun s ↔ ∀ (S : α), l.toFun s ≤ S → l.toFun {x} ≤ S


Context:
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
inst✝ : HasWidePushout B objs arrows
j : J


Context: P : Game → Prop

Context: α✝¹ β✝¹ : Type u_1

Context: a✝³ : α✝¹ → PGame

Context: a✝² : β✝¹ → PGame

Context: α✝ β✝ : Type u_1

Context: a✝¹ : α✝ → PGame

Context: a✝ : β✝ → PGame

Context: h : ∀ (k : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft k⟧

Context: i : (-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves

Context: j : (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves

⟦(-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧ = ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft (Sum.inr (i, j))⟧


Context: P : Game → Prop

Context: α✝¹ β✝¹ : Type u_1

Context: a✝³ : α✝¹ → PGame

Context: a✝² : β✝¹ → PGame

Context: α✝ β✝ : Type u_1

Context: a✝¹ : α✝ → PGame

Context: a✝ : β✝ → PGame

Context: h : (∀ (i : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧) ∧ ∀ (i : (-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P ⟦(-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧

Context: i : β✝¹

Context: j : β✝

⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft (Sum.inr (i, j))⟧ = ⟦(-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧


Context:
x : ℝ
h : |x| < 1


Context:
x : ℝ
h : |x| < 1

Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ (i + 1) / (↑i + 1)) atTop (𝓝 (-log (1 - x)))


Context:
x : ℝ
h : |x| < 1

Summable fun n => x ^ (n + 1) / (↑n + 1)


Context:
x : ℝ
h : |x| < 1
i : ℕ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
G : Type u_3
inst✝ : AddCommGroup G
P : Submodule ℤ G
x✝ : P.FG
S : Finset G
hS : span ℤ ↑S = P

AddSubgroup.closure ↑S = P.toAddSubgroup


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : Semiring R

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: G : Type u_3

Context: inst✝ : AddCommGroup G

Context: P : Submodule ℤ G

Context: x✝ : P.toAddSubgroup.FG

Context: S : Finset G

Context: hS : AddSubgroup.closure ↑S = P.toAddSubgroup


Context:
k : Type u
inst✝ : Field k
s : Finset (MonicIrreducible k)
f : MonicIrreducible k
hf : f ∈ s

(toSplittingField k s) (evalXSelf k f) = 0


Polynomial.eval₂ (algebraMap k (∏ x ∈ s, ↑x).SplittingField) (rootOfSplits (algebraMap k (∏ x ∈ s, ↑x).SplittingField) ⋯ ⋯) ↑f = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : HasShift C ℤ

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: T : Triangle C

(1 • (CategoryTheory.shiftFunctor C 0).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 0).hom.app T.obj₁) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map ((CategoryTheory.shiftFunctorZero C ℤ).hom.app T.obj₁) = (CategoryTheory.shiftFunctorZero C ℤ).hom.app T.obj₃ ≫ T.mor₃


Context: N k : ℕ

(N.roughNumbersUpTo k).card ≤ ∑ p ∈ N.succ.primesBelow \ k.primesBelow, N / p


Context: N k : ℕ

((N.succ.primesBelow \ k.primesBelow).biUnion fun p => Finset.filter (fun m => m ≠ 0 ∧ p ∣ m) (Finset.range N.succ)).card ≤ ∑ p ∈ N.succ.primesBelow \ k.primesBelow, N / p


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : Fintype m
inst✝⁸ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
inst✝¹ : Finite l
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix l m R
B : Matrix m n R

(toLin v₁ v₃) (A * B) = (toLin v₂ v₃) A ∘ₗ (toLin v₁ v₂) B


(toMatrix v₁ v₃) ((toLin v₁ v₃) (A * B)) = (toMatrix v₁ v₃) ((toLin v₂ v₃) A ∘ₗ (toLin v₁ v₂) B)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : Fintype m
inst✝⁸ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
inst✝¹ : Finite l
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix l m R
B : Matrix m n R
this : DecidableEq l


(toMatrix v₁ v₃) ((toLin v₁ v₃) (A * B)) = (toMatrix v₂ v₃) ((toLin v₂ v₃) A) * (toMatrix v₁ v₂) ((toLin v₁ v₂) B)


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m✝ n✝ : ℕ
a : M
m n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p : G.Walk a b
H : SimpleGraph β
f : G →g H
hf : Bijective ⇑f
hp : p.IsHamiltonian


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : GroupWithZero α
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : Preorder β
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
ha : 0 < a

a⁻¹ • b₁ < b₂ ↔ b₁ < a • b₂


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α

b :: l = replicate (b :: l).length a ↔ ∀ (b_1 : α), b_1 ∈ b :: l → b_1 = a


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : c < 0

(fun x => c * x) ⁻¹' Ico a b = Ioc (b / c) (a / c)


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
g : G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty

index ((fun h => g * h) '' K) V = index K V


index K V ≤ index ((fun h => g * h) '' K) V


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
g : G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : G


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M


((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) x) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) = ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) x) y)) z + ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) x) z)


((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) 0) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) = ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) 0) y)) z + ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) 0) z)


∀ (x : A) (y_1 : L), ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (x ⊗ₜ[R] y_1)) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) = ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (x ⊗ₜ[R] y_1)) y)) z + ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (x ⊗ₜ[R] y_1)) z)


∀ (x y_1 : A ⊗[R] L), ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) x) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) = ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) x) y)) z + ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) x) z) → ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y_1) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) = ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) y_1) y)) z + ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y_1) z) → ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (x + y_1)) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) = ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (x + y_1)) y)) z + ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (x + y_1)) z)


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π✝ π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J

Context: π : Prepartition I

Context: p : Box ι → Prop

⋃ J ∈ π.filter fun J => ¬p J, ↑J = (⋃ J ∈ π, ↑J) \ ⋃ J ∈ π.filter p, ↑J


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π✝ π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: π : Prepartition I

Context: p : Box ι → Prop

Context: x✝ : Box ι

(x✝ ∈ π.filter fun J => ¬p J) ↔ x✝ ∈ ↑π.boxes \ ↑(π.filter p).boxes


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π✝ π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: π : Prepartition I

Context: p : Box ι → Prop

(↑π.boxes ∪ ↑(π.filter p).boxes).PairwiseDisjoint Box.toSet


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
f : ↥(Lp ℝ p μ)

∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑↑(posPart (-f)) a = max (-↑↑f a) 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: g : E → F

Context: c : ℝ≥0

Context: f : ↥(Lp ℝ p μ)

Context: a✝ : α

Context: h₁ : ↑↑(posPart (-f)) a✝ = max (↑↑(-f) a✝) 0

Context: h₂ : ↑↑(-f) a✝ = (-↑↑f) a✝


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
p : X → Prop
h : IsClosed {a | p a}


Context:
X : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X.toTopCat
x : ↥U
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))

(X.evaluation x) f = 0 ↔ ↑x ∉ X.toRingedSpace.basicOpen f


¬(X.evaluation x) f = 0 ↔ IsUnit ((X.toRingedSpace.presheaf.germ x) f)


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : CommRing R

Context: x : 𝕎 R

Context: this : IsPoly p fun {R} [CommRing R] x => frobenius (verschiebung x)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : CommRing R

Context: x : 𝕎 R

Context: this✝ : IsPoly p fun {R} [CommRing R] x => frobenius (verschiebung x)

Context: this : IsPoly p fun {R} [CommRing R] x => x * ↑p


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: R._inst : CommRing R

Context: x : 𝕎 R

∀ (n : ℕ), (ghostComponent n) (frobenius (verschiebung x)) = (ghostComponent n) (x * ↑p)


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: c : 𝕜

Context: f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: m : (i : ι) → E i

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝² : NormedField 𝕜'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G

Context: inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G

𝓤 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G) = ⨅ r, ⨅ (_ : r > 0), 𝓟 {f | ‖f.1 - f.2‖ < r}


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: c : 𝕜

Context: f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: m : (i : ι) → E i

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝² : NormedField 𝕜'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G

Context: inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G

∃ r, (ContinuousMultilinearMap.seminorm 𝕜 E G).closedBall 0 r ∈ 𝓝 0


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: c : 𝕜

Context: f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: m : (i : ι) → E i

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝² : NormedField 𝕜'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G

Context: inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G

Context: x✝¹ : Set ((i : ι) → E i) × ℝ

Context: s : Set ((i : ι) → E i)

Context: r : ℝ

Context: x✝ : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (s, r).1 ∧ 0 < (s, r).2

Context: hs : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (s, r).1

Context: hr : 0 < (s, r).2

∃ r_1 > 0, (ContinuousMultilinearMap.seminorm 𝕜 E G).ball 0 r_1 ⊆ {f | Set.MapsTo ⇑f (s, r).1 (closedBall 0 (s, r).2)}


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: A✝ B✝ : Subalgebra R S

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: A B : Subalgebra R S

Context: inst✝¹ : Module.Free R ↥A

Context: inst✝ : Module.Free R ↥B

Context: h : ¬(Module.Finite R ↥A ∧ Module.Finite R ↥B)

Context: hA : ¬Module.Finite R ↥A

finrank R ↥(A ⊔ B) ≤ finrank R ↥A * finrank R ↥B


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: A✝ B✝ : Subalgebra R S

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: A B : Subalgebra R S

Context: inst✝¹ : Module.Free R ↥A

Context: inst✝ : Module.Free R ↥B

Context: hA : Cardinal.aleph0 ≤ Module.rank R ↥A


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: A✝ B✝ : Subalgebra R S

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: A B : Subalgebra R S

Context: inst✝¹ : Module.Free R ↥A

Context: inst✝ : Module.Free R ↥B

Context: hA : Cardinal.aleph0 ≤ Module.rank R ↥A

Context: this : Module.rank R ↥(toSubmodule A) ≤ Module.rank R ↥(toSubmodule (A ⊔ B))


Context:
n b : ℕ
h₁ : 1 ≤ b
hp : n.ProbablePrime b
left✝ : ¬Prime n
hn₂ : 1 < n


Context:
ι : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
r : 𝕜
f : ℝ → E

∫ (x : ℝ) in a..b, r • f x ∂μ = r • ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ


Context:
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass Ω
ω : Ω
t : Set Ω
inst✝ : Decidable (ω ∈ t)

(condCount {ω}) t = if ω ∈ t then 1 else 0


Measure.count ({ω} ∩ t) = if ω ∈ t then 1 else 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
n : ℤ


Context:
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
x y : M₁ i

f (update m i (x - y)) = f (update m i x) - f (update m i y)


Context:
a b c : PartENat
ha : a ≠ ⊤


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : Subsingleton R
s : Set ℕ := {k | x ^ k = 0}


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
g : α → ℝ≥0∞

∫⁻ (a : α), g a ∂μ.withDensity f ≤ ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ


⨆ g_1, ⨆ (_ : Measurable g_1), ⨆ (_ : g_1 ≤ g), ∫⁻ (a : α), g_1 a ∂μ.withDensity f ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : Measurable g_1), ⨆ (_ : g_1 ≤ f * g), ∫⁻ (a : α), g_1 a ∂μ


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
g i : α → ℝ≥0∞
i_meas : Measurable i
hi : i ≤ g

∫⁻ (a : α), i a ∂μ.withDensity f ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : Measurable g_1), ⨆ (_ : g_1 ≤ f * g), ∫⁻ (a : α), g_1 a ∂μ


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
g i : α → ℝ≥0∞
i_meas : Measurable i
hi : i ≤ g
A : f * i ≤ f * g


∫⁻ (a : α), i a ∂μ.withDensity f ≤ ⨆ (_ : f * i ≤ f * g), ∫⁻ (a : α), (f * i) a ∂μ


Context:
a : EReal
h : a ≠ ⊥
h' : a ≠ ⊤


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
w : ι → k
hw : s.sum w = 1
f : P →ᵃ[k] P₂

f ((affineCombination k s p) w) = (affineCombination k s (⇑f ∘ p)) w


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
w : ι → k
hw : s.sum w = 1
f : P →ᵃ[k] P₂
b : P


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
w : ι → k
hw : s.sum w = 1
f : P →ᵃ[k] P₂
b : P
b₂ : P₂


f ((s.weightedVSubOfPoint p b) w +ᵥ b) = (s.weightedVSubOfPoint (⇑f ∘ p) (f b)) w +ᵥ f b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
s : Multiset α
a : α
h : ∀ b ∈ s, Commute a b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
s : Multiset α
a : α
a✝ : List α
h : ∀ b ∈ ⟦a✝⟧, Commute a b


Context:
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁵ : Group G✝
inst✝⁴ : TopologicalGroup G✝
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
g : G
hg : g ∈ connectedComponent 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k

((M⁻¹.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k) * M.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k) = 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M N : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝⁵ : DecidableEq m

Context: inst✝⁴ : Fintype m

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : Invertible M

Context: hM : M.BlockTriangular b

Context: k : α

Context: p : m → Prop := fun i => b i < k

Context: h_sum : M⁻¹.toBlock p p * M.toBlock p p + (M⁻¹.toBlock p fun i => ¬p i) * M.toBlock (fun i => ¬p i) p = 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M N : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝⁵ : DecidableEq m

Context: inst✝⁴ : Fintype m

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : Invertible M

Context: hM : M.BlockTriangular b

Context: k : α

Context: p : m → Prop := fun i => b i < k

Context: h_zero : M.toBlock (fun i => ¬p i) p = 0


Context:
A B : Grp
f : A ⟶ B

(Equiv.symm τ) ∞ = fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 1 ⋯)
h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)


Context:
p a b k : ℕ
hp : Prime p
hap : a < p
hbp : b < p
h : p ≤ a + b


Context:
p a b k : ℕ
hp : Prime p
hap : a < p
hbp : b < p
h : p ≤ a + b
h₁ : p ∣ (a + b)!


Context: p a b k : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: hap : a < p

Context: hbp : b < p

Context: h : p ≤ a + b

Context: h₁ : (p ∣ (a + b).choose a ∨ p ≤ a) ∨ p ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M✝ N : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝⁴ : DecidableEq m

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: M : Matrix m m R

Context: p : m → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: h : ∀ (i : m), ¬p i → ∀ (j : m), p j → M i j = 0

M.det = (M.toSquareBlockProp p).det * (M.toSquareBlockProp fun i => ¬p i).det


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M✝ N : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝⁴ : DecidableEq m

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: M : Matrix m m R

Context: p : m → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

(fromBlocks (M.toBlock p p) (M.toBlock p fun j => ¬p j) (M.toBlock (fun j => ¬p j) p) (M.toBlock (fun j => ¬p j) fun j => ¬p j)).det = (M.toSquareBlockProp p).det * (M.toSquareBlockProp fun i => ¬p i).det


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M✝ N : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝⁴ : DecidableEq m

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: M : Matrix m m R

Context: p : m → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M✝ N : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝⁴ : DecidableEq m

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: M : Matrix m m R

Context: p : m → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: i : { a // ¬p a }

Context: j : { a // p a }


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsModularLattice α
x y z : α
hxy : x ≤ y
hinf : y ⊓ z ≤ x
hsup : y ≤ x ⊔ z


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsModularLattice α
x y z : α
hxy : x ≤ y
hinf : y ⊓ z ≤ x
hsup : x ⊔ z ⊓ y = y


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: α : E

Context: P : ↥(solvableByRad F E) → Prop

Context: base : ∀ (α : F), P ((algebraMap F ↥(solvableByRad F E)) α)

Context: add : ∀ (α β : ↥(solvableByRad F E)), P α → P β → P (α + β)

Context: neg : ∀ (α : ↥(solvableByRad F E)), P α → P (-α)

Context: mul : ∀ (α β : ↥(solvableByRad F E)), P α → P β → P (α * β)

Context: inv : ∀ (α : ↥(solvableByRad F E)), P α → P α⁻¹

Context: rad : ∀ (α : ↥(solvableByRad F E)) (n : ℕ), n ≠ 0 → P (α ^ n) → P α


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: α : E

Context: P : ↥(solvableByRad F E) → Prop

∀ (α : E), IsSolvableByRad F α → ∃ β, ↑β = α ∧ P β


Context: m n a b c d : ℕ


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b r : k

(lineMap (slope f ((lineMap a b) r) b) (slope f a ((lineMap a b) r))) r = slope f a b


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a r : k

(lineMap (slope f ((lineMap a a) r) a) (slope f a ((lineMap a a) r))) r = slope f a a


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b r : k
hab : a ≠ b


(lineMap (slope f b ((lineMap a b) r)) (slope f ((lineMap a b) r) a)) r = slope f b a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f✝ : α → γ
g✝ : β → γ
f : α → ℝ≥0∞
g : β → ℝ≥0∞
h : IdentDistrib f g μ ν

∫⁻ (x : α), id (f x) ∂μ = ∫⁻ (x : β), id (g x) ∂ν


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
s : ℕ → Set α

∃ t, Antitone t ∧ ⨅ i, 𝓟 (s i) = ⨅ i, 𝓟 (t i)


(Antitone fun n => ⋂ m, ⋂ (_ : m ≤ n), s m) ∧ ⨅ i, 𝓟 (s i) = ⨅ i, 𝓟 (⋂ m, ⋂ (_ : m ≤ i), s m)


⨅ i, 𝓟 (s i) = ⨅ i, 𝓟 (⋂ m, ⋂ (_ : m ≤ i), s m)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
s : ℕ → Set α
i : ℕ

⨅ i, 𝓟 (s i) ≤ 𝓟 (⋂ m, ⋂ (_ : m ≤ i), s m)


⨅ i, 𝓟 (⋂ m, ⋂ (_ : m ≤ i), s m) ≤ 𝓟 (s i)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
ht : IsUpperSet t


Context:
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
w₁ w₂ p₁ p₂ : ℝ≥0

w₁ + w₂ = 1 → p₁ ^ ↑w₁ * p₂ ^ ↑w₂ ≤ w₁ * p₁ + w₂ * p₂


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
l₁ l₂ : List α
s : Stream' α

a :: l₁ ++ l₂ ++ₛ s = a :: l₁ ++ₛ (l₂ ++ₛ s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M✝ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g : α → M✝
a b : α
s t : Set α
M : Type u_7
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
h : ∀ (i : ι), 1 ≤ f i
hf : (mulSupport f).Finite
i : ι
hi : 1 < f i


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y : M₀
h : IsUnit x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b c a : α


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A


Context:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ℝ → F
a b c : ℝ
hf : (fun x => (x - c)⁻¹) =O[𝓝[≠] c] f
hne : a ≠ b
hc : c ∈ [[a, b]]


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: f : ℝ → F

Context: a b c : ℝ

Context: hf : (fun x => (x - c)⁻¹) =O[𝓝[≠] c] f

Context: hne : a ≠ b

Context: hc : c ∈ [[a, b]]

Context: A : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[≠] c, HasDerivAt (fun x => Real.log (x - c)) (x - c)⁻¹ x


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: f : ℝ → F

Context: a b c : ℝ

Context: hf : (fun x => (x - c)⁻¹) =O[𝓝[≠] c] f

Context: hne : a ≠ b

Context: hc : c ∈ [[a, b]]

Context: B : Tendsto (fun x => ‖Real.log (x - c)‖) (𝓝[≠] c) atTop


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedRing α
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
inst✝ : Fintype ι
hfg : Monovary f g

∑ i : ι, f i • g (σ i) = ∑ i : ι, f i • g i ↔ Monovary f (g ∘ ⇑σ)


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β✝
β : Type u_6
i : Finset β
f : β → Multiset α
a : Multiset α

(i.sum f).Disjoint a ↔ ∀ b ∈ i, (f b).Disjoint a


(∀ b ∈ i, (f b).Disjoint a) ↔ ∀ b ∈ map f i.val, b.Disjoint a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommSemigroup α
a b c : α
inst✝ : DecompositionMonoid α
k m n : α

k ∣ m * n ↔ ∃ d₁ d₂, d₁ ∣ m ∧ d₂ ∣ n ∧ k = d₁ * d₂


(∃ d₁ d₂, d₁ ∣ m ∧ d₂ ∣ n ∧ k = d₁ * d₂) → k ∣ m * n


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommSemigroup α
a b c : α
inst✝ : DecompositionMonoid α
m n d₁ d₂ : α
hy : d₁ ∣ m
hz : d₂ ∣ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ t : Set α
h : (s ∩ mulSupport f).Finite

(∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s \ t), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : Nonempty α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β

Context: ρ : Measure (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

∫⁻ (b : β), ∫⁻ (ω : Ω), f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫⁻ (x : β × Ω), f x ∂ρ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: ρ : Measure (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

∫⁻ (b : β), ∫⁻ (ω : Ω), f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫⁻ (x : β × Ω), f x ∂ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel


Context:
k : Type u_1
l : Type u_2
m✝ : Type u_3
n✝ : Type u_4
α✝ : Type v
m : Type u_5
n : Type u_6
α : Type u_7
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Semiring α
f : n ≃ n
M : Matrix m n α
i : m
j : n

(M * f.toPEquiv.toMatrix) i j = M.submatrix id (⇑f.symm) i j


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α

(𝓤 α).HasBasis (fun V => V ∈ 𝓤 α ∧ IsOpen V ∧ SymmetricRel V) id


(𝓤 α).HasBasis (fun V => (V ∈ 𝓤 α ∧ IsOpen V) ∧ SymmetricRel V) id


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α ∧ IsOpen s

(symmetrizeRel s ∈ 𝓤 α ∧ IsOpen (symmetrizeRel s)) ∧ SymmetricRel (symmetrizeRel s) ∧ id (symmetrizeRel s) ⊆ id s


Context:
A : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
x✝ : (C × D)ᵒᵖ
X : C
Y : D

(𝟙 (op X) ≫ 𝟙 (op X), 𝟙 (op Y) ≫ 𝟙 (op Y)) = (𝟙 (op X), 𝟙 (op Y))


Context:
α β γ : Cardinal.{u_1}
γ₀ : γ < ℵ₀

α + γ ≤ β + γ ↔ α ≤ β


Context:
α β γ : Cardinal.{u_1}
γ₀ : γ < ℵ₀
h : α + γ ≤ β + γ


Context:
α β γ : Cardinal.{u_1}
γ₀ : γ < ℵ₀
h : ¬α ≤ β

¬α + γ ≤ β + γ


Context:
α β γ : Cardinal.{u_1}
γ₀ : γ < ℵ₀
h : β ≤ α ∧ ¬β = α

β + γ ≤ α + γ ∧ ¬β + γ = α + γ


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ZMod 2

Context: motive : (x : CliffordAlgebra Q) → x ∈ evenOdd Q n → Prop

Context: range_ι_pow : ∀ (v : CliffordAlgebra Q) (h : v ∈ LinearMap.range (ι Q) ^ n.val), motive v ⋯

Context: add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q n) (hy : y ∈ evenOdd Q n), motive x hx → motive y hy → motive (x + y) ⋯

Context: ι_mul_ι_mul : ∀ (m₁ m₂ : M) (x : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q n), motive x hx → motive ((ι Q) m₁ * (ι Q) m₂ * x) ⋯

Context: x : CliffordAlgebra Q

Context: hx : x ∈ evenOdd Q n


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ZMod 2

Context: x : CliffordAlgebra Q

Context: hx : x ∈ evenOdd Q n

∀ (i : { n_1 // ↑n_1 = n }) (x : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ LinearMap.range (ι Q) ^ ↑i), motive x ⋯


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ZMod 2

Context: x : CliffordAlgebra Q

Context: hx : x ∈ evenOdd Q n

∀ (val : ℕ) (property : ↑val = n) (x : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ LinearMap.range (ι Q) ^ ↑⟨val, property⟩), motive x ⋯


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ZMod 2

Context: x : CliffordAlgebra Q

Context: hx : x ∈ evenOdd Q n

∀ (val : ℕ) (property : ∃ k, val = 2 * k + n.val) (x : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ LinearMap.range (ι Q) ^ val), motive x ⋯


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ZMod 2

Context: x : CliffordAlgebra Q

Context: hx : x ∈ evenOdd Q n

Context: k : ℕ

Context: xv : CliffordAlgebra Q

∀ (hx : xv ∈ LinearMap.range (ι Q) ^ (2 * k + n.val)), motive xv ⋯


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ZMod 2

Context: x : CliffordAlgebra Q

Context: hx : x ∈ evenOdd Q n

Context: k : ℕ

Context: xv : CliffordAlgebra Q

∀ (hx : xv ∈ (LinearMap.range (ι Q) ^ 2) ^ k * LinearMap.range (ι Q) ^ n.val), motive xv ⋯


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ZMod 2

Context: x : CliffordAlgebra Q

Context: hx : x ∈ evenOdd Q n

Context: k : ℕ

Context: xv : CliffordAlgebra Q

Context: hxv : xv ∈ (LinearMap.range (ι Q) ^ 2) ^ k * LinearMap.range (ι Q) ^ n.val


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
r : R
x : LocalizedModule S M
a : M
b : ↥S

r • fromLocalizedModule' S f (LocalizedModule.mk a b) = fromLocalizedModule' S f (r • LocalizedModule.mk a b)


r • ↑⋯.unit⁻¹ (f a) = ↑⋯.unit⁻¹ (f (r • a))


Context:
R : Type u_1
p i : ℕ
hp : Nat.Prime p

(σ 1) (p ^ i) = ∑ k ∈ range (i + 1), p ^ k


Context:
α : Type u_1
s : Set α
t : Set Bool
x : α

x ∈ s.boolIndicator ⁻¹' t ↔ x ∈ (if true ∈ t then s else ∅) ∪ if false ∈ t then sᶜ else ∅


(if x ∈ s then true else false) ∈ t ↔ x ∈ (if true ∈ t then s else ∅) ∪ if false ∈ t then sᶜ else ∅


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n✝ : ℕ
a : G
n : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s t : Set α
f : α → β

LipschitzOnWith K f s ↔ LipschitzWith K (s.restrict f)


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: f : (x : ↥U) → Localizations R ↑x

Context: r s : R

Context: h : ∀ (x : ↥U), s ∉ (↑x).asIdeal ∧ f x * (algebraMap R (Localizations R ↑x)) s = (algebraMap R (Localizations R ↑x)) r

∃ r s, ∀ (x : ↥U), ∃ (hs : s ∉ (↑x).asIdeal), f x = IsLocalization.mk' (Localization.AtPrime (↑x).asIdeal) r ⟨s, hs⟩


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: f : (x : ↥U) → Localizations R ↑x

Context: r s : R

Context: x : ↥U

(algebraMap R (Localizations R ↑x)) r = f x * (algebraMap R (Localizations R ↑x)) ↑⟨s, ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x : α
hx : ¬p x = x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x : α
hx : ¬p x = x
hc : (p.cycleOf x).IsCycle


∀ (i j : ℕ) (h₁ : i < (p.toList x).length) (h₂ : j < (p.toList x).length), (p.toList x).nthLe i h₁ = (p.toList x).nthLe j h₂ → i = j


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x : α
hx : ¬p x = x
hc : (p.cycleOf x).IsCycle
n m : ℕ
hn : n < (p.toList x).length
hm : m < (p.toList x).length

(p.toList x).nthLe n hn = (p.toList x).nthLe m hm → n = m


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x : α
hx : ¬p x = x
hc : (p.cycleOf x).IsCycle
n m : ℕ
hn✝ : n < (p.toList x).length
hn : n < orderOf (p.cycleOf x)
hm✝ : m < (p.toList x).length
hm : m < orderOf (p.cycleOf x)

(p.toList x).nthLe n hn✝ = (p.toList x).nthLe m hm✝ → n = m


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x : α
hx : x ∈ (p.cycleOf x).support
hc : (p.cycleOf x).IsCycle
n m : ℕ
hn✝ : n < (p.toList x).length
hn : n < orderOf (p.cycleOf x)
hm✝ : m < (p.toList x).length
hm : m < orderOf (p.cycleOf x)


(p.cycleOf x ^ n) x = (p.cycleOf x ^ m) x → n = m


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: p✝ : Perm α

Context: x✝ : α

Context: p : Perm α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ (p.cycleOf x).support

Context: hc : (p.cycleOf x).IsCycle

Context: n : ℕ

Context: hn✝ : n + 1 < (p.toList x).length

Context: hn : n + 1 < orderOf (p.cycleOf x)

Context: m : ℕ

Context: hm✝ : m + 1 < (p.toList x).length

Context: hm : m + 1 < orderOf (p.cycleOf x)

Context: h : (p.cycleOf x ^ (n + 1)) x = (p.cycleOf x ^ (m + 1)) x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: p✝ : Perm α

Context: x✝ : α

Context: p : Perm α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ (p.cycleOf x).support

Context: hc : (p.cycleOf x).IsCycle

Context: n : ℕ

Context: hn✝ : n + 1 < (p.toList x).length

Context: hn : n + 1 < orderOf (p.cycleOf x)

Context: m : ℕ

Context: hm✝ : m + 1 < (p.toList x).length

Context: hm : m + 1 < orderOf (p.cycleOf x)

Context: hn' : ¬orderOf (p.cycleOf x) ∣ n.succ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: p✝ : Perm α

Context: x✝ : α

Context: p : Perm α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ (p.cycleOf x).support

Context: hc : (p.cycleOf x).IsCycle

Context: n : ℕ

Context: hn✝ : n + 1 < (p.toList x).length

Context: hn : n + 1 < orderOf (p.cycleOf x)

Context: m : ℕ

Context: hm✝ : m + 1 < (p.toList x).length

Context: hm : m + 1 < orderOf (p.cycleOf x)

Context: hn' : ¬orderOf (p.cycleOf x) ∣ n.succ

Context: hm' : ¬orderOf (p.cycleOf x) ∣ m.succ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: p✝ : Perm α

Context: x✝ : α

Context: p : Perm α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ (p.cycleOf x).support

Context: hc : (p.cycleOf x).IsCycle

Context: n : ℕ

Context: hn✝ : n + 1 < (p.toList x).length

Context: hn : n + 1 < orderOf (p.cycleOf x)

Context: m : ℕ

Context: hm✝ : m + 1 < (p.toList x).length

Context: hm : m + 1 < orderOf (p.cycleOf x)

Context: hn' : (p.cycleOf x ^ n.succ).support = (p.cycleOf x).support

Context: hm' : (p.cycleOf x ^ m.succ).support = (p.cycleOf x).support


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: p✝ : Perm α

Context: x✝ : α

Context: p : Perm α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ (p.cycleOf x).support

Context: hc : (p.cycleOf x).IsCycle

Context: n : ℕ

Context: hn✝ : n + 1 < (p.toList x).length

Context: hn : n + 1 < orderOf (p.cycleOf x)

Context: m : ℕ

Context: hm✝ : m + 1 < (p.toList x).length

Context: hm : m + 1 < orderOf (p.cycleOf x)

p.cycleOf x ^ (n + 1) = p.cycleOf x ^ (m + 1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: p✝ : Perm α

Context: x✝ : α

Context: p : Perm α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ (p.cycleOf x).support

Context: hc : (p.cycleOf x).IsCycle

Context: n : ℕ

Context: hn✝ : n + 1 < (p.toList x).length

Context: hn : n + 1 < orderOf (p.cycleOf x)

Context: m : ℕ

Context: hm✝ : m + 1 < (p.toList x).length

Context: hm : m + 1 < orderOf (p.cycleOf x)

(p.cycleOf x ^ (n + 1)).support ⊆ (p.cycleOf x ^ (m + 1)).support


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: p✝ : Perm α

Context: x✝ : α

Context: p : Perm α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ (p.cycleOf x).support

Context: hc : (p.cycleOf x).IsCycle

Context: n : ℕ

Context: hn✝ : n + 1 < (p.toList x).length

Context: hn : n + 1 < orderOf (p.cycleOf x)

Context: m : ℕ

Context: hm✝ : m + 1 < (p.toList x).length

Context: hm : m + 1 < orderOf (p.cycleOf x)

∀ x_1 ∈ (p.cycleOf x ^ (m + 1)).support, (p.cycleOf x ^ (n + 1)) x_1 = (p.cycleOf x ^ (m + 1)) x_1


Context: u✝ : Lean.Level

Context: arg : Q(Type u✝)

Context: sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)

Context: u : Lean.Level

Context: α : Q(Type u)

Context: sα : Q(CommSemiring «$α»)

Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommSemiring R✝

Context: a✝ a' a₁ a₂ a₃ b✝ b' b₁ b₂ b₃ c c₁ c₂ : R✝

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : Ring R

Context: a b : R


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
m₁ m₂ m₃ : A
X : C

(shiftFunctorComm C m₁ (m₂ + m₃)).hom.app X ≫ (shiftFunctor C m₁).map ((shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app X) = (shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app ((shiftFunctor C m₁).obj X) ≫ (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorComm C m₁ m₂).hom.app X) ≫ (shiftFunctorComm C m₁ m₃).hom.app ((shiftFunctor C m₂).obj X)


(((shiftFunctorComm C m₁ (m₂ + m₃)).hom.app X ≫ (shiftFunctor C m₁).map ((shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app X)) ≫ (shiftFunctorComm C m₁ m₃).inv.app ((shiftFunctor C m₂).obj X)) ≫ (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorComm C m₁ m₂).inv.app X) = (((shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app ((shiftFunctor C m₁).obj X) ≫ (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorComm C m₁ m₂).hom.app X) ≫ (shiftFunctorComm C m₁ m₃).hom.app ((shiftFunctor C m₂).obj X)) ≫ (shiftFunctorComm C m₁ m₃).inv.app ((shiftFunctor C m₂).obj X)) ≫ (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorComm C m₁ m₂).inv.app X)


(shiftFunctorComm C m₁ (m₂ + m₃)).hom.app X ≫ (shiftFunctor C m₁).map ((shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app X) ≫ (shiftFunctorComm C m₁ m₃).inv.app ((shiftFunctor C m₂).obj X) ≫ (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorComm C m₁ m₂).inv.app X) = (shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app ((shiftFunctor C m₁).obj X) ≫ (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorComm C m₁ m₂).hom.app X) ≫ 𝟙 ((shiftFunctor C m₁ ⋙ shiftFunctor C m₃).obj ((shiftFunctor C m₂).obj X)) ≫ (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorComm C m₁ m₂).inv.app X)


(shiftFunctorComm C m₁ (m₂ + m₃)).hom.app X ≫ (shiftFunctor C m₁).map ((shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app X) ≫ (shiftFunctorComm C m₁ m₃).inv.app ((shiftFunctor C m₂).obj X) ≫ (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorComm C m₁ m₂).inv.app X) = (shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app ((shiftFunctor C m₁).obj X) ≫ (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorComm C m₁ m₂).hom.app X) ≫ 𝟙 ((shiftFunctor C m₃).obj ((shiftFunctor C m₁).obj ((shiftFunctor C m₂).obj X))) ≫ (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorComm C m₁ m₂).inv.app X)


(shiftFunctorComm C m₁ (m₂ + m₃)).hom.app X ≫ (shiftFunctor C m₁).map ((shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app X) ≫ (shiftFunctorComm C m₁ m₃).inv.app ((shiftFunctor C m₂).obj X) ≫ (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorComm C m₁ m₂).inv.app X) = (shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app ((shiftFunctor C m₁).obj X) ≫ (shiftFunctor C m₃).map (𝟙 ((shiftFunctor C m₁ ⋙ shiftFunctor C m₂).obj X))


(shiftFunctorComm C m₁ (m₂ + m₃)).hom.app X ≫ (shiftFunctor C m₁).map ((shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app X) ≫ (shiftFunctorComm C m₁ m₃).inv.app ((shiftFunctor C m₂).obj X) ≫ (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorComm C m₁ m₂).inv.app X) = (shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app ((shiftFunctor C m₁).obj X) ≫ (shiftFunctor C m₃).map (𝟙 ((shiftFunctor C m₂).obj ((shiftFunctor C m₁).obj X)))


((shiftFunctorAdd' C m₁ (m₂ + m₃) (m₁ + (m₂ + m₃)) ⋯).symm ≪≫ shiftFunctorAdd' C (m₂ + m₃) m₁ (m₁ + (m₂ + m₃)) ⋯).hom.app X ≫ (shiftFunctor C m₁).map ((shiftFunctorAdd' C m₂ m₃ (m₂ + m₃) ⋯).hom.app X) ≫ ((shiftFunctorAdd' C m₁ m₃ (m₁ + m₃) ⋯).symm ≪≫ shiftFunctorAdd' C m₃ m₁ (m₁ + m₃) ⋯).inv.app ((shiftFunctor C m₂).obj X) ≫ (shiftFunctor C m₃).map (((shiftFunctorAdd' C m₁ m₂ (m₁ + m₂) ⋯).symm ≪≫ shiftFunctorAdd' C m₂ m₁ (m₁ + m₂) ⋯).inv.app X) = (shiftFunctorAdd' C m₂ m₃ (m₂ + m₃) ⋯).hom.app ((shiftFunctor C m₁).obj X)


((shiftFunctorAdd' C m₁ (m₂ + m₃) (m₁ + (m₂ + m₃)) ⋯).inv.app X ≫ (shiftFunctorAdd' C (m₂ + m₃) m₁ (m₁ + (m₂ + m₃)) ⋯).hom.app X) ≫ (shiftFunctor C m₁).map ((shiftFunctorAdd' C m₂ m₃ (m₂ + m₃) ⋯).hom.app X) ≫ ((shiftFunctorAdd' C m₃ m₁ (m₁ + m₃) ⋯).inv.app ((shiftFunctor C m₂).obj X) ≫ (shiftFunctorAdd' C m₁ m₃ (m₁ + m₃) ⋯).hom.app ((shiftFunctor C m₂).obj X)) ≫ (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorAdd' C m₂ m₁ (m₁ + m₂) ⋯).inv.app X ≫ (shiftFunctorAdd' C m₁ m₂ (m₁ + m₂) ⋯).hom.app X) = (shiftFunctorAdd' C m₂ m₃ (m₂ + m₃) ⋯).hom.app ((shiftFunctor C m₁).obj X)


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x✝ y : G
i : ℤ
x : G


Context:
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
inst✝ : Preorder β
x✝¹ : (↑φ).Germ β
f : α → β
x✝ : (↑φ).Germ β
g : α → β

Quot.mk Setoid.r f < Quot.mk Setoid.r g ↔ LiftRel (fun x x_1 => x < x_1) (Quot.mk Setoid.r f) (Quot.mk Setoid.r g)


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
a : R


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid B

Context: inst✝³ : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g✝ : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝² : DecidableEq β

Context: inst✝¹ : Zero M

Context: inst✝ : AddCommMonoid N

Context: f : α →₀ M

Context: g : α → M → β →₀ N

(f.sum g).support ⊆ f.support.biUnion fun a => (g a (f a)).support


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid B

Context: inst✝³ : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g✝ : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝² : DecidableEq β

Context: inst✝¹ : Zero M

Context: inst✝ : AddCommMonoid N

Context: f : α →₀ M

Context: g : α → M → β →₀ N

Context: this : ∀ (c : β), (f.sum fun a b => (g a b) c) ≠ 0 → ∃ a, f a ≠ 0 ∧ ¬(g a (f a)) c = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderBot α
a b : α


Context:
x✝ y✝ z : ℝ
n : ℕ
x y : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < x ^ y


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : CategoryWithHomology C

Context: inst✝ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization

Context: X Y : HomotopyCategory C c

Context: f : X ⟶ Y

quasiIso C c f ↔ ∀ (n : ι), IsIso ((homologyFunctor C c n).map f)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Nontrivial S
h : IsAdjoinRootMonic S f


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Nontrivial S
h : IsAdjoinRootMonic S f
i : ℕ
hi : i < f.natDegree


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V


Context:
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
H : l.Nodup
i : Fin l.length


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ : Set α
h : μ s ≠ ⊤
t : Set α
ht : MeasurableSet t

(μ.restrict (toMeasurable μ s)) t = (μ.restrict s) t


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
x : ι → ℝ
hx : x ∈ frontier s

x ∈ {x | (fun x => Tendsto (fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 ((closure s).indicator 1 x))) x}ᶜ


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
x : ι → ℝ
hx : x ∈ frontier s
h : x ∈ closure s

¬Tendsto (fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
x : ι → ℝ
hx : x ∈ frontier s
h : x ∉ closure s

¬Tendsto (fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Multiset α
z : Sym2 α
xs : List α

z ∈ Multiset.sym2 ⟦xs⟧ ↔ ∀ y ∈ z, y ∈ ⟦xs⟧


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
i✝ j k : ι
φ : K ⟶ L
i : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : Epi (φ.f i)
hi : ∀ (j : ι), ¬c.Rel i j


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
f : Matrix ι ι R


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : HasPullbacks C
X Y Z W : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
h : Y ⟶ W
k : Z ⟶ W
inst✝¹ : Mono h
inst✝ : Mono g
comm : f ≫ h = g ≫ k
t : IsLimit (PullbackCone.mk f g comm)

∀ (p : Subobject Y), (map g).obj ((pullback f).obj p) = (pullback k).obj ((map h).obj p)


∀ (a : MonoOver Y), (map g).obj ((pullback f).obj (Quotient.mk'' a)) = (pullback k).obj ((map h).obj (Quotient.mk'' a))


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : HasPullbacks C
X Y Z W : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
h : Y ⟶ W
k : Z ⟶ W
inst✝¹ : Mono h
inst✝ : Mono g
comm : f ≫ h = g ≫ k
t : IsLimit (PullbackCone.mk f g comm)
a : MonoOver Y

(map g).obj ((pullback f).obj (Quotient.mk'' a)) = (pullback k).obj ((map h).obj (Quotient.mk'' a))


(MonoOver.map g).obj ((MonoOver.pullback f).obj a) ≈ (MonoOver.pullback k).obj ((MonoOver.map h).obj a)


(MonoOver.map g).obj ((MonoOver.pullback f).obj a) ⟶ (MonoOver.pullback k).obj ((MonoOver.map h).obj a)


(MonoOver.pullback k).obj ((MonoOver.map h).obj a) ⟶ (MonoOver.map g).obj ((MonoOver.pullback f).obj a)


Context:
m n : Nat
h : m < n


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝ : CommSemiring R
s : Finset α


Context:
a b : ℕ
h : a ∣ b


Context:
b : ℕ
h : 0 ∣ b


Context:
a b : ℕ
h : a ∣ b
ha0 : a ≠ 0


Context:
a : ℕ
ha0 : a ≠ 0
h : a ∣ 0


Context:
a b : ℕ
h : a ∣ b
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0


Context:
a b : ℕ
h : a ∣ b
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
hab' : a.primeFactors ⊆ b.primeFactors


(a.factorization.prod fun p k => p ^ (k - 1) * (p - 1)) ∣ b.factorization.prod fun p k => p ^ (k - 1) * (p - 1)


Context:
a b : ℕ
h : a ∣ b
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
hab' : a.primeFactors ⊆ b.primeFactors
p : ℕ
x✝ : p ∈ a.factorization.support

p ^ (a.factorization p - 1) ∣ p ^ (b.factorization p - 1)


Context:
α β : Type u
ι : Type u_1
f g : ι → Cardinal.{u_2}


Context: α β : Type u

Context: ι : Type u_1

Context: f g : ι → Cardinal.{u_2}

Context: this : #((i : ι) × ((Quotient.out ∘ f) i ⊕ (Quotient.out ∘ g) i)) = #((i : ι) × (Quotient.out ∘ f) i ⊕ (i : ι) × (Quotient.out ∘ g) i)


Context: α β : Type u

Context: ι : Type u_1

Context: f g : ι → Cardinal.{u_2}

Context: this : (sum fun i => f i + g i) = (sum fun i => f i) + sum fun i => g i


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
s t : Set α
l : Filter α
hl : l ∈ (Iic ∘ 𝓟) s ∩ (Iic ∘ 𝓟) t

∃ t₃ ∈ range (Iic ∘ 𝓟), l ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ (Iic ∘ 𝓟) s ∩ (Iic ∘ 𝓟) t


Context:
x✝ y : ℂ
x : ℝ


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁸ : DivisionRing K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module K V₂
L : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField L
W : Type v
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module L W
inst✝ : FiniteDimensional L W
t : Finset W
h : finrank L W + 1 < t.card

∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∑ e ∈ t, f e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, 0 < f x


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁸ : DivisionRing K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module K V₂
L : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField L
W : Type v
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module L W
inst✝ : FiniteDimensional L W
t : Finset W
h : finrank L W + 1 < t.card
f : W → L
sum : ∑ e ∈ t, f e • e = 0
total : ∑ e ∈ t, f e = 0
nonzero : ∃ x ∈ t, f x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝² : OrderedRing α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
n✝ n : ℕ


Disjoint (Icc (-↑n.succ) ↑n.succ \ Icc (-↑n) ↑n) (Icc (-↑n) ↑n)


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : Finite α
hpα : ¬p ∣ Nat.card α
this : Finite α


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ this : Finite α
hpα : Nat.card ↑(fixedPoints G α) = 0


Nat.card α ≡ Nat.card ↑(fixedPoints G α) [MOD p]


Context:
α : Type u
m : OuterMeasure α
s s₁ s₂ : Set α

m.IsCaratheodory s₁ → m.IsCaratheodory s₁ᶜ


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M'✝ : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁹ : Semiring R

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M'✝

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M'✝

Context: inst✝³ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: R' : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: inst✝² : Semiring R'

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝ : Module R' M'

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: i : ZeroHom R R'

Context: j : M →+ M'

Context: hi : Surjective ⇑i

Context: hj : ∀ (m : M), j m = 0 → m = 0

Context: hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M'✝ : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁹ : Semiring R

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M'✝

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M'✝

Context: inst✝³ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: R' : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: inst✝² : Semiring R'

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝ : Module R' M'

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: i : ZeroHom R R'

Context: j : M →+ M'

Context: hi : Surjective ⇑i

Context: hj : ∀ (m : M), j m = 0 → m = 0

Context: i' : R' → R

Context: hi' : Function.RightInverse i' ⇑i


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M'✝ : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁹ : Semiring R

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M'✝

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M'✝

Context: inst✝³ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: R' : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: inst✝² : Semiring R'

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝ : Module R' M'

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: i : ZeroHom R R'

Context: j : M →+ M'

Context: hi : Surjective ⇑i

Context: hj : ∀ (m : M), j m = 0 → m = 0

Context: i' : R' → R

Context: hi' : Function.RightInverse i' ⇑i

Context: x✝ : R'

Context: h : i' x✝ = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M'✝ : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁹ : Semiring R

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M'✝

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M'✝

Context: inst✝³ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: R' : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: inst✝² : Semiring R'

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝ : Module R' M'

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: i : ZeroHom R R'

Context: j : M →+ M'

Context: hi : Surjective ⇑i

Context: hj : ∀ (m : M), j m = 0 → m = 0

Context: i' : R' → R

Context: hi' : Function.RightInverse i' ⇑i

Context: r : R'

Context: m : M


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X Y : D
f : X ⟶ Y

f ≫ inv ((reflectorAdjunction i).counit.app Y) = inv ((reflectorAdjunction i).counit.app X) ≫ (reflector i).map (i.map f)


(reflectorAdjunction i).counit.app X ≫ f = (reflector i).map (i.map f) ≫ (reflectorAdjunction i).counit.app Y


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X Y : i.EssImageSubcategory
f : X ⟶ Y

((i.essImageInclusion ⋙ reflector i) ⋙ i.toEssImage).map f ≫ (equivEssImageOfReflective_counitIso_app Y).hom = (equivEssImageOfReflective_counitIso_app X).hom ≫ (𝟭 i.EssImageSubcategory).map f


i.essImageInclusion.map (((i.essImageInclusion ⋙ reflector i) ⋙ i.toEssImage).map f ≫ (equivEssImageOfReflective_counitIso_app Y).hom) = i.essImageInclusion.map ((equivEssImageOfReflective_counitIso_app X).hom ≫ (𝟭 i.EssImageSubcategory).map f)


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: E : Type u₃

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E

Context: i : D ⥤ C

Context: inst✝ : Reflective i

Context: X Y : i.EssImageSubcategory

Context: f : X ⟶ Y

Context: h : (reflectorAdjunction i).unit.app X.obj ≫ (reflector i ⋙ i).map f = (𝟭 C).map f ≫ (reflectorAdjunction i).unit.app Y.obj


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: E : Type u₃

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E

Context: i : D ⥤ C

Context: inst✝ : Reflective i

Context: X Y : i.EssImageSubcategory

Context: f : X ⟶ Y

Context: h : (reflectorAdjunction i).unit.app X.obj ≫ (reflector i ⋙ i).map f = f ≫ (reflectorAdjunction i).unit.app Y.obj


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X : D

i.toEssImage.map ((NatIso.ofComponents (fun X => (asIso ((reflectorAdjunction i).counit.app X)).symm) ⋯).hom.app X) ≫ (NatIso.ofComponents equivEssImageOfReflective_counitIso_app ⋯).hom.app (i.toEssImage.obj X) = 𝟙 (i.toEssImage.obj X)


i.essImageInclusion.map (i.toEssImage.map ((NatIso.ofComponents (fun X => (asIso ((reflectorAdjunction i).counit.app X)).symm) ⋯).hom.app X) ≫ (NatIso.ofComponents equivEssImageOfReflective_counitIso_app ⋯).hom.app (i.toEssImage.obj X)) = i.essImageInclusion.map (𝟙 (i.toEssImage.obj X))


i.essImageInclusion.map (i.toEssImage.map ((NatIso.ofComponents (fun X => (asIso ((reflectorAdjunction i).counit.app X)).symm) ⋯).hom.app X)) ≫ inv ((reflectorAdjunction i).unit.app ((𝟭 i.EssImageSubcategory).obj (i.toEssImage.obj X)).obj) = i.essImageInclusion.map (𝟙 (i.toEssImage.obj X))


Context: J : Type w

Context: C✝ : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C✝

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: B : C

Context: objs : J → C

Context: arrows : (j : J) → objs j ⟶ B

Context: inst✝ : HasWidePullback B objs arrows

Context: X : C

Context: f : X ⟶ B

Context: fs : (j : J) → X ⟶ objs j

Context: w : ∀ (j : J), fs j ≫ arrows j = f

Context: g1 g2 : X ⟶ widePullback B objs arrows

Context: h1 : ∀ (j : J), g1 ≫ π arrows j = g2 ≫ π arrows j

Context: h2 : g1 ≫ base arrows = g2 ≫ base arrows


Context: J : Type w

Context: C✝ : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C✝

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: B : C

Context: objs : J → C

Context: arrows : (j : J) → objs j ⟶ B

Context: inst✝ : HasWidePullback B objs arrows

Context: X : C

Context: f : X ⟶ B

Context: fs : (j : J) → X ⟶ objs j

Context: w : ∀ (j : J), fs j ≫ arrows j = f

Context: g1 g2 : X ⟶ widePullback B objs arrows

∀ (j : WidePullbackShape J), g1 ≫ limit.π (WidePullbackShape.wideCospan B objs arrows) j = g2 ≫ limit.π (WidePullbackShape.wideCospan B objs arrows) j


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : Weight R L M
x : L


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : Weight R L M
x : L
this : ⨅ x, weightSpaceOf M (χ x) x ≠ ⊥


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : Weight R L M
x : L
this : weightSpaceOf M (χ x) x = ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
b : β
x : α


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
x : V
hx : x ≠ 0


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
x : V
hx : x ≠ 0
f : V →L[R] R
hf : f x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α


M.Indep I → (∀ (J : Set α), M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ I → I = J) ∧ I ⊆ M.E


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: ι : Sort x

Context: p : α → Prop

Context: f : Filter α

Context: H : ∀ {q : α → Prop}, (∀ᶠ (x : α) in f, q x) → ∃ x, p x ∧ q x

Context: hp : ∀ᶠ (x : α) in f, ¬(fun x => p x) x


Context:
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e✝ : Pretrivialization F proj
x : Z
e e' : Pretrivialization F proj

(e.symm.trans e'.toPartialEquiv).target = (e.baseSet ∩ e'.baseSet) ×ˢ univ


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ

wittStructureRat p Φ n = C (1 / ↑p ^ n) * ((bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p Φ i ^ p ^ (n - i))


wittStructureRat p Φ n = C (1 / ↑p ^ n) * (wittStructureRat p Φ n * C (↑p ^ n))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCommMonoid M
a b : M
l : List M
hl₁ : ∀ x ∈ a :: b :: l, 1 < x
x✝ : a :: b :: l ≠ []


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCommMonoid M
a b : M
l : List M
x✝ : a :: b :: l ≠ []
hl₁ : 1 < a ∧ 1 < b ∧ ∀ a ∈ l, 1 < a


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
U V : Set (α × α)
hU : SymmetricRel U
hV : SymmetricRel V


Context:
a b m n : ℕ+
cop : m.Coprime n
am : a ∣ m
bn : b ∣ n


Context:
a b m n : ℕ+
cop : m.Coprime n
am : a.gcd m = a
bn : b ∣ n


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
B✝ : Type u
inst✝³ : CommRing B✝
inst✝² : Algebra R B✝
I✝ : Ideal B✝
B : Type u
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : FormallySmooth R A
I : Ideal B
hI : IsNilpotent I

∀ [_RB : Algebra R B], Function.Surjective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp


∀ ⦃S : Type u⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → ∀ [_RB : Algebra R S], Function.Surjective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp


∀ ⦃S : Type u⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → (∀ [_RB : Algebra R S], Function.Surjective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp) → (∀ [_RB : Algebra R (S ⧸ I)], Function.Surjective (Ideal.Quotient.mkₐ R (Ideal.map (Ideal.Quotient.mk I) J)).comp) → ∀ [_RB : Algebra R S], Function.Surjective (Ideal.Quotient.mkₐ R J).comp


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s t u : Set α

Context: π : δ → Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: p : δ → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Measurable ⇑(piEquivPiSubtypeProd p π).symm


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s t u : Set α

Context: π : δ → Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: p : δ → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: j : δ

Measurable fun x => (piEquivPiSubtypeProd p π).symm x j


Context: μ : Measure ℝ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

Context: x : ℝ

Context: this : IsFiniteMeasure ((Measure.dirac ()).prod μ)


Context: μ : Measure ℝ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

Context: x : ℝ

Context: h : ∫⁻ (a : Unit), ENNReal.ofReal (↑(condCDF ((Measure.dirac ()).prod μ) a) x) ∂((Measure.dirac ()).prod μ).fst = ((Measure.dirac ()).prod μ) (univ ×ˢ Iic x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
s : ι → Set α
t : Set β

image2 f (⋃ i, s i) t = ⋃ i, image2 f (s i) t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MulOneClass α

Context: inst✝² : LT α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
m : MeasurableSpace α
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, StronglyMeasurable f

StronglyMeasurable fun x => (List.map (fun f => f x) l).prod


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: B : ℝ

Context: x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

Context: hx : x ∈ convexBodySum K B

Context: y : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

Context: hy : y ∈ convexBodySum K B


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: B : ℝ

Context: hx : x ∈ convexBodySum K B

Context: hy : y ∈ convexBodySum K B


Context:
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
S : Subalgebra R A
x : A


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
p : α → Prop
x✝ : DecidablePred p
h : ∀ i ∈ s, p i
f : (i : α) → p i → β
g : (i : α) → ¬p i → β

(∏ i ∈ s, if hi : p i then f i hi else g i hi) = ∏ i : { x // x ∈ s }, f ↑i ⋯


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : OrderedCommRing R

Context: inst✝³ : StarRing R

Context: inst✝² : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹ : Algebra ℝ R

Context: inst✝ : OrderedSMul ℝ R

Context: A₀ A₁ B₀ B₁ : R

Context: T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁

Context: P : R := 2 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁

A₀ * B₀ + A₀ * B₁ + A₁ * B₀ - A₁ * B₁ ≤ 2


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : OrderedCommRing R

Context: inst✝³ : StarRing R

Context: inst✝² : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹ : Algebra ℝ R

Context: inst✝ : OrderedSMul ℝ R

Context: A₀ A₁ B₀ B₁ : R

Context: T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁

Context: i₁ : 0 ≤ P


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : OrderedCommRing R

Context: inst✝³ : StarRing R

Context: inst✝² : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹ : Algebra ℝ R

Context: inst✝ : OrderedSMul ℝ R

Context: A₀ A₁ B₀ B₁ : R

Context: T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁

Context: i₁ : 0 ≤ P

0 ≤ 2 - (A₀ * B₀ + A₀ * B₁ + A₁ * B₀ - A₁ * B₁)


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
t : ℕ
inst✝ : Invertible ↑t


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
h : α ≃ᵢ β
x : β
r : ℝ≥0∞

⇑h ⁻¹' EMetric.closedBall x r = EMetric.closedBall (h.symm x) r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
g₁ g₂ : α → F'
h₁ : f₁ =o[l] g₁
h₂ : f₂ =o[l] g₂

(fun x => f₁ x + f₂ x) =o[l] fun x => ‖g₁ x‖ + ‖g₂ x‖


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁴ : Algebra R R'
inst✝³ : Algebra S S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
f : P.Hom P'
i : P.vars
j : P'.vars

(P'.cotangentSpaceBasis.repr ((CotangentSpace.map f) (P.cotangentSpaceBasis i))) j = (aeval P'.val) ((pderiv j) (f.val i))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s t : Subgroup α
ι : Type u_2
f : ι → Subgroup α

∀ (a₁ a₂ : α), (fun q i => quotientMapOfLE ⋯ q) (Quotient.mk'' a₁) = (fun q i => quotientMapOfLE ⋯ q) (Quotient.mk'' a₂) → Quotient.mk'' a₁ = Quotient.mk'' a₂


Context: m k : ℕ+


Context: m k : ℕ+

(if ↑m % ↑k = 0 then ↑k else ↑m % ↑k) ≤ ↑m ∧ (if ↑m % ↑k = 0 then ↑k else ↑m % ↑k) ≤ ↑k


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ : Type x

Context: C : Set α → Prop

Context: S : Set α

Context: h : S.Finite

Context: H0 : C ∅

Context: H1 : ∀ {a : α} {s : Set α}, a ∈ S → s ⊆ S → a ∉ s → C s → C (insert a s)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ : Type x

Context: C : Set α → Prop

Context: S : Set α

Context: h : S.Finite

Context: H0 : C ∅

∀ {a : α} {s : Set α}, a ∉ s → s.Finite → (fun s => s ⊆ S → C s) s → (fun s => s ⊆ S → C s) (insert a s)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ : Type x

Context: C : Set α → Prop

Context: S : Set α

Context: h : S.Finite

Context: H0 : C ∅

Context: a : α

Context: s : Set α

Context: has : a ∉ s

Context: a✝ : s.Finite

Context: hCs : s ⊆ S → C s

Context: haS : insert a s ⊆ S


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ : Type x

Context: C : Set α → Prop

Context: S : Set α

Context: h : S.Finite

Context: H0 : C ∅

Context: a : α

Context: s : Set α

Context: has : a ∉ s

Context: a✝ : s.Finite

Context: hCs : s ⊆ S → C s

Context: haS : a ∈ S ∧ s ⊆ S


Context:
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hij : i < j

μ[(s j).indicator fun x => 1|↑(filtrationOfSet hsm) i] =ᶠ[ae μ] fun x => (μ (s j)).toReal


μ[(s j).indicator fun x => 1|↑(Filtration.natural (fun i => (s i).indicator fun x => 1) ⋯) i] =ᶠ[ae μ] fun x => (μ (s j)).toReal


(fun x => ∫ (x : Ω), (s j).indicator (fun _ω => 1) x ∂μ) =ᶠ[ae μ] fun x => (μ (s j)).toReal


(fun x => (μ (s j)).toReal) =ᶠ[ae μ] fun x => (μ (s j)).toReal


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F✝ G✝ : C ⥤ D
X Y : C
F G : C ⥤ D
H I : D ⥤ E
α : F ≅ G
β : H ≅ I
x✝ : C

((α.inv ◫ β.inv) ≫ α.hom ◫ β.hom).app x✝ = (𝟙 (G ⋙ I)).app x✝


((α.inv ≫ α.hom) ◫ (β.inv ≫ β.hom)).app x✝ = (𝟙 (G ⋙ I)).app x✝


Context:
M✝ : Type u_1
inst✝² : Monoid M✝
s✝ : Set M✝
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
t : Set A
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
s : Set M
hs : IsSubmonoid s
m : Multiset M


Context:
M✝ : Type u_1
inst✝² : Monoid M✝
s✝ : Set M✝
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
t : Set A
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
s : Set M
hs : IsSubmonoid s
m : Multiset M
l : List M
hl : ∀ a ∈ ⟦l⟧, a ∈ s


Context:
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n✝ : ?m.21109
s✝ t : Finset α
n : ℕ
s a✝ : Finset α

a✝ ∈ powersetCard n s ↔ a✝ ∈ filter (fun x => x.card = n) s.powerset


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
x y z : Multiset α
h : z ≤ y


Context: β : Type w

Context: α : Type w₂

Context: γ : Type w₃

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: f : β → C

Context: inst✝ : HasCoproduct f

Context: c : Cofan f

Context: x✝ : Nonempty (IsColimit c)

Context: hc : IsColimit c

Context: this : IsIso (((coproductIsCoproduct f).coconePointUniqueUpToIso hc).hom ≫ hc.desc c)

Context: e_3✝ : ∐ f = (mk (∐ f) (Sigma.ι f)).pt

Context: b✝ : β

Sigma.ι f b✝ ≫ Sigma.desc c.inj = Sigma.ι f b✝ ≫ ((coproductIsCoproduct f).coconePointUniqueUpToIso hc).hom ≫ hc.desc c


Context: β : Type w

Context: α : Type w₂

Context: γ : Type w₃

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: f : β → C

Context: inst✝ : HasCoproduct f

Context: c : Cofan f

Context: x✝ : Nonempty (IsColimit c)

Context: hc : IsColimit c

Context: e_3✝ : ∐ f = (mk (∐ f) (Sigma.ι f)).pt

Context: b✝ : β


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty


(s.sup fun b => (Lagrange.basis s v b).degree) < ↑s.card


∀ i ∈ s, eval (v i) (∑ j ∈ s, Lagrange.basis s v j) = eval (v i) 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
l₁ l₂ : List α


List.filter (fun b => elem b l₂) l₁ ~ l₁ ∩ l₂


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hs : s ∈ 𝒜

↑𝒜.card * ↑s.card * (↑m / (↑m + 1)) ≤ ↑(𝒜.sup id).card


↑𝒜.card * ↑m * ↑s.card ≤ ↑(𝒜.sup id).card * (↑m + 1)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
s : Set M
x✝¹ : { x // x ∈ ↑(closure s) }
x : M
hx : x ∈ ↑(closure s)
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤


(fun y hy => ⟨y, hy⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' s)) 1 ⋯


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
s : Set M
x✝¹ : { x // x ∈ ↑(closure s) }
x : M
hx : x ∈ ↑(closure s)
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤
g₁ : M
g₂ : g₁ ∈ closure s
hg₁ : M
hg₂ : hg₁ ∈ closure s

(fun y hy => ⟨y, hy⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' s)) g₁ g₂ → (fun y hy => ⟨y, hy⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' s)) hg₁ hg₂ → (fun y hy => ⟨y, hy⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' s)) (g₁ * hg₁) ⋯


Context:
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
hst : Disjoint s t
hsu : Disjoint s u
htu : Disjoint t u
x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ : α
h : {x₁, y₁, z₁} = {x₂, y₂, z₂}
hx₁ : x₁ ∈ s
hx₂ : x₂ ∈ s
hy₁ : y₁ ∈ t
hy₂ : y₂ ∈ t
hz₁ : z₁ ∈ u
hz₂ : z₂ ∈ u


Context: α : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s t u : Finset α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hst : Disjoint s t

Context: hsu : Disjoint s u

Context: htu : Disjoint t u

Context: x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ : α

Context: hx₁ : x₁ ∈ s

Context: hx₂ : x₂ ∈ s

Context: hy₁ : y₁ ∈ t

Context: hy₂ : y₂ ∈ t

Context: hz₁ : z₁ ∈ u

Context: hz₂ : z₂ ∈ u

Context: h : ((x₁ = x₂ ∨ x₁ = y₂ ∨ x₁ = z₂) ∧ (y₁ = x₂ ∨ y₁ = y₂ ∨ y₁ = z₂) ∧ (z₁ = x₂ ∨ z₁ = y₂ ∨ z₁ = z₂)) ∧ (x₂ = x₁ ∨ x₂ = y₁ ∨ x₂ = z₁) ∧ (y₂ = x₁ ∨ y₂ = y₁ ∨ y₂ = z₁) ∧ (z₂ = x₁ ∨ z₂ = y₁ ∨ z₂ = z₁)


Context: α : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s t u : Finset α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hst : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ t

Context: hsu : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ u

Context: htu : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ t → a ∉ u

Context: x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ : α

Context: hx₁ : x₁ ∈ s

Context: hx₂ : x₂ ∈ s

Context: hy₁ : y₁ ∈ t

Context: hy₂ : y₂ ∈ t

Context: hz₁ : z₁ ∈ u

Context: hz₂ : z₂ ∈ u


Context: α : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s t u : Finset α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hst : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ t

Context: hsu : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ u

Context: htu : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ t → a ∉ u

Context: x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ : α

Context: hx₁ : x₁ ∈ s

Context: hx₂ : x₂ ∈ s

Context: hy₁ : y₁ ∈ t

Context: hy₂ : y₂ ∈ t

Context: hz₁ : z₁ ∈ u

Context: hz₂ : z₂ ∈ u

Context: h : (x₁ = x₂ ∨ x₁ = y₂ ∨ x₁ = z₂) ∧ (y₁ = y₂ ∨ y₁ = x₂ ∨ y₁ = z₂) ∧ (z₁ = z₂ ∨ z₁ = x₂ ∨ z₁ = y₂) ∧ (x₂ = x₁ ∨ x₂ = y₁ ∨ x₂ = z₁) ∧ (y₂ = x₁ ∨ y₂ = y₁ ∨ y₂ = z₁) ∧ (z₂ = x₁ ∨ z₂ = y₁ ∨ z₂ = z₁)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Mul α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: a b c d : α

↑(Icc a b * Ico c d) ⊆ ↑(Ico (a * c) (b * d))


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
d : D


Context:
s : Finset ℕ
m n✝ p n k : ℕ
n0 : 0 < n
i : ℕ
e : k = 2 * i + 3
ih : ∀ (m : ℕ), Prime m → m ∣ n → k ≤ m
h : ¬n < k * k
k2 : 2 ≤ k

n.MinSqFacProp (if k ∣ n then if k ∣ n / k then some k else (n / k).minSqFacAux (k + 2) else n.minSqFacAux (k + 2))


Context:
s : Finset ℕ
m n✝ p n k : ℕ
n0 : 0 < n
i : ℕ
e : k = 2 * i + 3
ih : ∀ (m : ℕ), Prime m → m ∣ n → k ≤ m
h : ¬n < k * k
k2 : 2 ≤ k
k0 : 0 < k


Context: s : Finset ℕ

Context: m n✝ p n k : ℕ

Context: n0 : 0 < n

Context: i : ℕ

Context: e : k = 2 * i + 3

Context: ih : ∀ (m : ℕ), Prime m → m ∣ n → k ≤ m

Context: h : ¬n < k * k

Context: k2 : 2 ≤ k

Context: k0 : 0 < k

Context: IH : ∀ (n' : ℕ), n' ∣ n → ¬k ∣ n' → n'.MinSqFacProp (n'.minSqFacAux (k + 2))


Context: s : Finset ℕ

Context: m n✝ p n k : ℕ

Context: n0 : 0 < n

Context: i : ℕ

Context: e : k = 2 * i + 3

Context: ih : ∀ (m : ℕ), Prime m → m ∣ n → k ≤ m

Context: h : ¬n < k * k

Context: k2 : 2 ≤ k

Context: k0 : 0 < k

Context: pk : k ∣ n → Prime k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)

UniformContinuous fun f => (ofFun 𝔖) (UniformFun.toFun f)


∀ i ∈ 𝔖, ∀ i_2 ∈ 𝓤 β, ∃ i_4 ∈ 𝓤 β, ∀ ⦃x : (α →ᵤ β) × (α →ᵤ β)⦄, x ∈ UniformFun.gen α β i_4 → ((ofFun 𝔖) (UniformFun.toFun x.1), (ofFun 𝔖) (UniformFun.toFun x.2)) ∈ UniformOnFun.gen 𝔖 i i_2


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝¹⁰ : CommRing R₂
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
N : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : Finite κ
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq ι'

c.toMatrix ⇑c' * (toMatrix b' c') f * b'.toMatrix ⇑b = (toMatrix b c) f


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝¹⁰ : CommRing R₂
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
N : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : Finite κ
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq ι'
val✝ : Fintype κ


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_2
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
s : Set α
hs : MeasurableSet s

(μ.withDensity (∑' (n : ι), f n)) s = (sum fun n => μ.withDensity (f n)) s


∫⁻ (a : α) in s, tsum (fun n => f n) a ∂μ = ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α) in s, f i a ∂μ


∫⁻ (x : α) in s, tsum (fun n => f n) x ∂μ = ∑' (i : ι), ∫⁻ (x : α) in s, f i x ∂μ


∫⁻ (x : α) in s, tsum (fun n => f n) x ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, ∑' (i : ι), f i a ∂μ


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
h : p.degrees.Disjoint q.degrees


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
C : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X

HolderOnWith C 1 f s ↔ LipschitzOnWith C f s


Context:
f : ZFSet → ZFSet
H : PSet.Definable 1 f
x y : ZFSet
h : y ∈ x
z : ZFSet

Class.ToSet (fun x_1 => ↑(map f x) (x_1.pair z)) ↑y ↔ z = f y


(∃ z_1 ∈ x, z_1.pair (f z_1) = y.pair z) ↔ z = f y


Context:
α : Type u_1
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
f : ℕ → α
h : BddAbove (Set.range f)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
f : ℕ → α
h : BddAbove (Set.range f)
n : ℕ


BddAbove (Set.range fun n => (partialSups f) n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.15006, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
X Y : C
φ : W.RightFraction₂ X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

∃ ψ, φ.f ≫ ψ.s = φ.s ≫ ψ.f ∧ φ.f' ≫ ψ.s = φ.s ≫ ψ.f'


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.15006, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
X Y : C
φ : W.RightFraction₂ X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
ψ₁ : W.LeftFraction X Y
hψ₁ : φ.fst.f ≫ ψ₁.s = φ.fst.s ≫ ψ₁.f


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.15006, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
X Y : C
φ : W.RightFraction₂ X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
ψ₁ : W.LeftFraction X Y
hψ₁ : φ.fst.f ≫ ψ₁.s = φ.fst.s ≫ ψ₁.f
ψ₂ : W.LeftFraction X Y
hψ₂ : φ.snd.f ≫ ψ₂.s = φ.snd.s ≫ ψ₂.f


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.15006, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: X Y : C

Context: φ : W.RightFraction₂ X Y

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: ψ₁ : W.LeftFraction X Y

Context: hψ₁ : φ.fst.f ≫ ψ₁.s = φ.fst.s ≫ ψ₁.f

Context: ψ₂ : W.LeftFraction X Y

Context: hψ₂ : φ.snd.f ≫ ψ₂.s = φ.snd.s ≫ ψ₂.f

Context: α : W.LeftFraction ψ₁.Y' ψ₂.Y'

Context: hα : (RightFraction.mk ψ₁.s ⋯ ψ₂.s).f ≫ α.s = (RightFraction.mk ψ₁.s ⋯ ψ₂.s).s ≫ α.f


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.15006, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
X Y : C
φ : W.RightFraction₂ X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
ψ₁ : W.LeftFraction X Y
hψ₁ : φ.f ≫ ψ₁.s = φ.s ≫ ψ₁.f
ψ₂ : W.LeftFraction X Y
hψ₂ : φ.f' ≫ ψ₂.s = φ.s ≫ ψ₂.f
α : W.LeftFraction ψ₁.Y' ψ₂.Y'
hα : ψ₂.s ≫ α.s = ψ₁.s ≫ α.f


φ.f ≫ (LeftFraction₂.mk (ψ₁.f ≫ α.f) (ψ₂.f ≫ α.s) (ψ₂.s ≫ α.s) ⋯).s = φ.s ≫ (LeftFraction₂.mk (ψ₁.f ≫ α.f) (ψ₂.f ≫ α.s) (ψ₂.s ≫ α.s) ⋯).f


φ.f' ≫ (LeftFraction₂.mk (ψ₁.f ≫ α.f) (ψ₂.f ≫ α.s) (ψ₂.s ≫ α.s) ⋯).s = φ.s ≫ (LeftFraction₂.mk (ψ₁.f ≫ α.f) (ψ₂.f ≫ α.s) (ψ₂.s ≫ α.s) ⋯).f'


Context:
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x : ℝ≥0∞


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
b : E × F → G
u : Set (E × F)
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 b
p : E × F


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ✝
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ✝
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
γ : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : SFinite ν
f : β × α → γ
hf : AEStronglyMeasurable f (ν.prod μ)

AEStronglyMeasurable (fun z => f z.swap) (μ.prod ν)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ✝ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace γ✝

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ✝

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: γ : Type u_7

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: f : β × α → γ

Context: hf : AEStronglyMeasurable f (map Prod.swap (μ.prod ν))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
p : PMF α
b : β


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
inst✝ : Finite ι
π : Prepartition I


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: I J : Box ι

Context: i : ι

Context: x : ℝ

Context: inst✝ : Finite ι

Context: π : Prepartition I

Context: s : Finset (ι × ℝ)

Context: hs : π ⊓ splitMany I s = (splitMany I s).filter fun J => ↑J ⊆ π.iUnion


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: I J : Box ι

Context: i : ι

Context: x : ℝ

Context: inst✝ : Finite ι

Context: π : Prepartition I

Context: s : Finset (ι × ℝ)

((splitMany I s).filter fun J => ¬↑J ⊆ π.iUnion).iUnion = ↑I \ π.iUnion


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝⁵ : Monoid β

Context: inst✝⁴ : Monoid γ

Context: inst✝³ : FunLike F β γ

Context: M : ι → Type u_6

Context: inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f g : ((i : ι) → M i) →* γ

Context: h : ∀ (i : ι) (x : M i), f (Pi.mulSingle i x) = g (Pi.mulSingle i x)


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝⁵ : Monoid β

Context: inst✝⁴ : Monoid γ

Context: inst✝³ : FunLike F β γ

Context: M : ι → Type u_6

Context: inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f g : ((i : ι) → M i) →* γ

Context: val✝ : Fintype ι


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝⁵ : Monoid β

Context: inst✝⁴ : Monoid γ

Context: inst✝³ : FunLike F β γ

Context: M : ι → Type u_6

Context: inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f g : ((i : ι) → M i) →* γ

Context: val✝ : Fintype ι

Context: x : (i : ι) → M i


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝⁵ : Monoid β

Context: inst✝⁴ : Monoid γ

Context: inst✝³ : FunLike F β γ

Context: M : ι → Type u_6

Context: inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f g : ((i : ι) → M i) →* γ

Context: val✝ : Fintype ι

Context: x : (i : ι) → M i

univ.noncommProd (fun i => f (Pi.mulSingle i (x i))) ⋯ = univ.noncommProd (fun i => g (Pi.mulSingle i (x i))) ⋯


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
s t : Set α
ht : t.Finite


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : DivisionSemiring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M