Context: R : Type u

Context: ι : Type v

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type w

Context: M₁ : ι → Type w₁

Context: M₁' : ι → Type w₁'

Context: M₂ : Type w₂

Context: M₃ : Type w₃

Context: M₄ : Type w₄

Context: inst✝²¹ : Semiring R

Context: inst✝²⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝¹⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝¹⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)

Context: inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₄

Context: inst✝¹⁴ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝¹³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝¹² : (i : ι) → Module R (M₁' i)

Context: inst✝¹¹ : Module R M₂

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₃

Context: inst✝⁹ : Module R M₄

Context: inst✝⁸ : (i : Fin n.succ) → TopologicalSpace (M i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → TopologicalSpace (M₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → TopologicalSpace (M₁' i)

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M₄

Context: f f' : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝² : ContinuousAdd M₂

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: x y : (i : ι) → M₁ i

(∑ i : ι, (let __src := f.toLinearMap x i; { toLinearMap := __src, cont := ⋯ }).comp (ContinuousLinearMap.proj i)) y = ∑ i : ι, f (update x i (y i))


Context: R : Type u

Context: ι : Type v

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type w

Context: M₁ : ι → Type w₁

Context: M₁' : ι → Type w₁'

Context: M₂ : Type w₂

Context: M₃ : Type w₃

Context: M₄ : Type w₄

Context: inst✝²¹ : Semiring R

Context: inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₄

Context: inst✝¹³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝¹² : (i : ι) → Module R (M₁' i)

Context: inst✝¹¹ : Module R M₂

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₃

Context: inst✝⁹ : Module R M₄

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M₄

Context: f f' : ContinuousMultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝² : ContinuousAdd M₂

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: x y : (i : ι) → M₁ i

∑ c : ι, (⇑(f.toLinearMap x c) ∘ ⇑(ContinuousLinearMap.proj c)) y = ∑ i : ι, f (update x i (y i))


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝² : DenselyOrdered α

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: a b c : α

Context: h : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hc : c ∈ Icc a b


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝² : DenselyOrdered α

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: a b c : α

Context: h : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hc : c ∈ Icc a b

Context: this : f c ∈ f '' Icc a b


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝² : DenselyOrdered α

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: a b c : α

Context: h : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hc : c ∈ Icc a b

Context: this : f c ∈ Icc (sInf (f '' Icc a b)) (sSup (f '' Icc a b))


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ : Type x

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: s : Set α

Context: I : Set β

Context: S : β → Set α

Context: H : I.Finite

BddAbove (⋃ i ∈ ∅, S i) ↔ ∀ i ∈ ∅, BddAbove (S i)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ : Type x

Context: s✝¹ t : Set α

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: s : Set α

Context: I : Set β

Context: S : β → Set α

Context: H : I.Finite

Context: a✝ : β

Context: s✝ : Set β

Context: x✝¹ : a✝ ∉ s✝

Context: x✝ : s✝.Finite

Context: hs : BddAbove (⋃ i ∈ s✝, S i) ↔ ∀ i ∈ s✝, BddAbove (S i)

BddAbove (⋃ i ∈ insert a✝ s✝, S i) ↔ ∀ i ∈ insert a✝ s✝, BddAbove (S i)


Context: n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Finite ι
e : M ≃ₗ[R] ι → R
j : M
x✝ : ι


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f : PreTilt K v O hv p

Context: n : ℕ

Context: hfn : (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0

Context: h : ∃ n, (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0

valAux K v O hv p f = ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p n) f) ^ p ^ n


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f : PreTilt K v O hv p

Context: n : ℕ

ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h)) f) ^ p ^ Nat.find h = ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p n) f) ^ p ^ n


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f : PreTilt K v O hv p

Context: k : ℕ

Context: hfn : (coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + k)) f ≠ 0

ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h)) f) ^ p ^ Nat.find h = ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + k)) f) ^ p ^ (Nat.find h + k)


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f : PreTilt K v O hv p

Context: k : ℕ

Context: ih : (coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + k)) f ≠ 0 → ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h)) f) ^ p ^ Nat.find h = ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + k)) f) ^ p ^ (Nat.find h + k)

Context: hfn : (coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + (k + 1))) f ≠ 0

ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h)) f) ^ p ^ Nat.find h = ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + (k + 1))) f) ^ p ^ (Nat.find h + (k + 1))


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f : PreTilt K v O hv p

Context: k : ℕ

Context: x : O

Context: hx : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) x = (coeff (ModP K v O hv p) p (Nat.find h + k + 1)) f


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f : PreTilt K v O hv p

Context: k : ℕ

Context: x : O

Context: h1 : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) x ≠ 0


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f : PreTilt K v O hv p

Context: k : ℕ

Context: x : O

Context: h2 : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) (x ^ p) ≠ 0


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f : PreTilt K v O hv p

Context: k : ℕ

Context: x : O

v ((algebraMap O K) x) ^ (p * p ^ (Nat.find h + k)) = v ((algebraMap O K) x) ^ (p * p ^ (Nat.find h).add k)


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: ι : Type v

Context: dec_ι : DecidableEq ι

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: A : ι → Submodule R M

Context: s : Set ι

Context: h : CompleteLattice.Independent fun i => A ↑i

IsInternal fun i => Submodule.comap (⨆ i ∈ s, A i).subtype (A ↑i)


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: ι : Type v

Context: dec_ι : DecidableEq ι

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: A : ι → Submodule R M

Context: s : Set ι

CompleteLattice.Independent fun i => Submodule.comap (⨆ i ∈ s, A i).subtype (A ↑i)


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: ι : Type v

Context: dec_ι : DecidableEq ι

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: A : ι → Submodule R M

Context: s : Set ι

Context: p : Submodule R M := ⨆ i ∈ s, A i


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: ι : Type v

Context: dec_ι : DecidableEq ι

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: A : ι → Submodule R M

Context: s : Set ι

Context: p : Submodule R M := ⨆ i ∈ s, A i

Context: hp : ∀ i ∈ s, A i ≤ p


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: ι : Type v

Context: dec_ι : DecidableEq ι

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: A : ι → Submodule R M

Context: s : Set ι

Context: p : Submodule R M := ⨆ i ∈ s, A i

Context: hp : ∀ i ∈ s, A i ≤ p

Context: e : Submodule R ↥p ≃o ↑(Set.Iic p) := p.mapIic


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: ι : Type v

Context: dec_ι : DecidableEq ι

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: A : ι → Submodule R M

Context: s : Set ι

Context: p : Submodule R M := ⨆ i ∈ s, A i

Context: hp : ∀ i ∈ s, A i ≤ p

(⇑e ∘ fun i => Submodule.comap p.subtype (A ↑i)) = fun i => ⟨A ↑i, ⋯⟩


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: ι : Type v

Context: dec_ι : DecidableEq ι

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: A : ι → Submodule R M

Context: s : Set ι

Context: p : Submodule R M := ⨆ i ∈ s, A i

Context: hp : ∀ i ∈ s, A i ≤ p

Context: i : ↑s

Context: m : M

m ∈ Submodule.map p.subtype (Submodule.comap p.subtype (A ↑i)) ↔ m ∈ ↑⟨A ↑i, ⋯⟩


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : NonAssocSemiring A
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : SMulCommClass R A A
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : NonAssocSemiring B
inst✝² : Module R B
inst✝¹ : SMulCommClass R B B
inst✝ : IsScalarTower R B B
x : A ⊗[R] B


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace γ

Context: K : ℝ≥0

Context: f : α → β

Context: x✝ y✝ : α

Context: r : ℝ≥0∞

Context: h : ∀ (x y : α), edist (f x) (f y) ≤ edist x y

Context: x y : α


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁹ : CommRing R₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
N : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : Finite κ
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq ι'
b₁ : Basis ι R M
b₂ : Basis ι' R M
b₃ : Basis κ R N
A : Matrix κ ι R

A * b₁.toMatrix ⇑b₂ = (toMatrix b₂ b₃) ((toLin b₁ b₃) A)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁹ : CommRing R₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
N : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : Finite κ
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq ι'
b₁ : Basis ι R M
b₂ : Basis ι' R M
b₃ : Basis κ R N
A : Matrix κ ι R
val✝ : Fintype κ


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: κ : Type u_3

Context: κ' : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: R₂ : Type u_7

Context: M₂ : Type u_8

Context: inst✝⁹ : CommRing R₂

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁷ : Module R₂ M₂

Context: e : Basis ι R M

Context: v : ι' → M

Context: i : ι

Context: j : ι'

Context: N : Type u_9

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid N

Context: inst✝⁵ : Module R N

Context: b : Basis ι R M

Context: b' : Basis ι' R M

Context: c : Basis κ R N

Context: c' : Basis κ' R N

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: inst✝⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝³ : Finite κ

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι'

Context: b₁ : Basis ι R M

Context: b₂ : Basis ι' R M

Context: b₃ : Basis κ R N

Context: A : Matrix κ ι R

Context: val✝ : Fintype κ

Context: this : (toMatrix b₁ b₃) ((toLin b₁ b₃) A) * b₁.toMatrix ⇑b₂ = (toMatrix b₂ b₃) ((toLin b₁ b₃) A)


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s✝ t s : Set α

∏ᶠ (j : ↑s), f ↑j = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a b c : M
h : IsUnit a


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → β → α
u : α → γ
hu : UniformInducing u

UniformEquicontinuous F ↔ UniformEquicontinuous ((fun x => u ∘ x) ∘ F)


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: F : ι → β → α

Context: u : α → γ

Context: hu : UniformInducing u

Context: this : UniformInducing (⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => u ∘ x) ∘ ⇑toFun)


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: F : ι → β → α

Context: u : α → γ

Context: hu : UniformInducing u

UniformContinuous ((⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => u ∘ x) ∘ ⇑toFun) ∘ ⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) ↔ UniformContinuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap ((fun x => u ∘ x) ∘ F))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: M : Type u_4

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: i : ι

Context: m : M

Context: g : G i

(directLimitRight f M).symm ((of R ι (fun x => M ⊗[R] G x) (fun i j h => LinearMap.lTensor M (f i j h)) i) (m ⊗ₜ[R] g)) = m ⊗ₜ[R] (of R ι G f i) g


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
h : LinearIndependent F v

LinearIndependent F fun x => v x ^ q ^ n


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: q n : ℕ

Context: hF : ExpChar F q

Context: ι : Type u_1

Context: v : ι → E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable F E

Context: h : LinearIndependent F v

Context: h' : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range v }) F Subtype.val


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: q n : ℕ

Context: hF : ExpChar F q

Context: ι : Type u_1

Context: v : ι → E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable F E

Context: h : LinearIndependent F v

Context: ι' : Set E := h'.extend ⋯


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: q n : ℕ

Context: hF : ExpChar F q

Context: ι : Type u_1

Context: v : ι → E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable F E

Context: h : LinearIndependent F v

Context: ι' : Set E := h'.extend ⋯

Context: b : Basis (↑ι') F E := Basis.extend h'

Context: this : Fintype ↑ι' := fintypeBasisIndex b


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: q n : ℕ

Context: hF : ExpChar F q

Context: ι : Type u_1

Context: v : ι → E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable F E

Context: h : LinearIndependent F v

Context: ι' : Set E := h'.extend ⋯

Context: b : Basis (↑ι') F E := Basis.extend h'

Context: H : LinearIndependent F fun (x : ↑ι') => b x ^ q ^ n


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: q n : ℕ

Context: hF : ExpChar F q

Context: ι : Type u_1

Context: v : ι → E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable F E

Context: h : LinearIndependent F v

Context: ι' : Set E := h'.extend ⋯

Context: b : Basis (↑ι') F E := Basis.extend h'

Context: f : ι → ↑ι' := fun i => ⟨v i, ⋯⟩


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: q n : ℕ

Context: hF : ExpChar F q

Context: ι : Type u_1

Context: v : ι → E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable F E

Context: h : LinearIndependent F v

Context: ι' : Set E := h'.extend ⋯

Context: b : Basis (↑ι') F E := Basis.extend h'

Context: f : ι → ↑ι' := fun i => ⟨v i, ⋯⟩

Context: x✝ : ι

v x✝ ^ q ^ n = ((fun x => b x ^ q ^ n) ∘ f) x✝


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : PresheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Z

Context: hf : IsOpenImmersion f

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f g

Context: H : Set.range ⇑g.base ⊆ Set.range ⇑f.base

Context: l : Y ⟶ X

Context: hl : l ≫ f = g


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1

Context: z : ℤ_[p]


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: z : ℤ_[p]

∀ (n : ℕ), (toZModPow n).comp (RingHom.id ℤ_[p]) = toZModPow n


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: z : ℤ_[p]

Context: n✝ : ℕ

(toZModPow n✝).comp (RingHom.id ℤ_[p]) = toZModPow n✝


Context:
D : GlueData
U : Set ↑D.glued

IsOpen U ↔ ∀ (i : D.J), IsOpen (⇑(Multicoequalizer.π D.diagram i) ⁻¹' U)


Context:
D : GlueData
U : Set ↑D.glued

IsOpen U ↔ ∀ (i : D.J), IsOpen (⇑(Sigma.ι D.diagram.right i ≫ Multicoequalizer.sigmaπ D.diagram) ⁻¹' U)


Context:
D : GlueData
U : Set ↑D.glued

IsOpen (⇑(homeoOfIso (Multicoequalizer.isoCoequalizer D.diagram).symm) ⁻¹' U) ↔ ∀ (i : D.J), IsOpen (⇑(Sigma.ι D.diagram.right i ≫ Multicoequalizer.sigmaπ D.diagram) ⁻¹' U)


Context:
D : GlueData
U : Set ↑D.glued

IsOpen (⇑(colimit.ι (parallelPair D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap) WalkingParallelPair.one) ⁻¹' (⇑(homeoOfIso (Multicoequalizer.isoCoequalizer D.diagram).symm) ⁻¹' U)) ↔ ∀ (i : D.J), IsOpen (⇑(Sigma.ι D.diagram.right i ≫ Multicoequalizer.sigmaπ D.diagram) ⁻¹' U)


Context:
D : GlueData
U : Set ↑D.glued

IsOpen (⇑(colimit.ι (parallelPair D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap) WalkingParallelPair.one) ⁻¹' (⇑(homeoOfIso (Multicoequalizer.isoCoequalizer D.diagram).symm) ⁻¹' U)) ↔ ∀ (i : D.J), IsOpen (⇑(Sigma.ι D.U i ≫ Multicoequalizer.sigmaπ D.diagram) ⁻¹' U)


Context:
D : GlueData
U : Set ↑D.glued

(∀ (j : Discrete D.J), IsOpen (⇑(colimit.ι (Discrete.functor D.U) j) ⁻¹' (⇑(colimit.ι (parallelPair D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap) WalkingParallelPair.one) ⁻¹' (⇑(homeoOfIso (Multicoequalizer.isoCoequalizer D.diagram).symm) ⁻¹' U)))) ↔ ∀ (i : D.J), IsOpen (⇑(Sigma.ι D.U i ≫ Multicoequalizer.sigmaπ D.diagram) ⁻¹' U)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.284, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.288, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.292, u_3} E
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasShift D ℤ
inst✝² : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝ : G.CommShift ℤ
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝

F.map X✝.mor₁ ≫ F.map f.hom₂ = F.map f.hom₁ ≫ F.map Y✝.mor₁


F.map X✝.mor₂ ≫ F.map f.hom₃ = F.map f.hom₂ ≫ F.map Y✝.mor₂


(F.map X✝.mor₃ ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app X✝.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map (F.map f.hom₁) = F.map f.hom₃ ≫ F.map Y✝.mor₃ ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app Y✝.obj₁


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β


(κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ ENNReal.ofReal 1 * (ν a) (countablePartitionSet n x)


(κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y : V

Context: r : ℝ

Context: h : ¬(o.oangle x y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑π)

(o.oangle x (r • x + y)).sign = (o.oangle x y).sign


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y : V

Context: r : ℝ

Context: h' : ∀ (r' : ℝ), o.oangle x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ o.oangle x (r' • x + y) ≠ ↑π


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y : V

Context: r : ℝ

Context: s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y : V

Context: r : ℝ

Context: hc : IsConnected s


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y : V

Context: r : ℝ

Context: hc : IsConnected s

Context: hf : ContinuousOn (fun z => o.oangle z.1 z.2) s


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y : V

Context: r : ℝ

Context: hc : IsConnected s

Context: hs : ∀ z ∈ s, o.oangle z.1 z.2 ≠ 0 ∧ o.oangle z.1 z.2 ≠ ↑π


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y : V

Context: r : ℝ

Context: hc : IsConnected s

Context: hx : (x, y) ∈ s


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y : V

Context: r : ℝ

Context: hc : IsConnected s

Context: hx : (x, y) ∈ s

Context: hy : (x, r • x + y) ∈ s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
i : Fin l.length


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
hs : IsUpperSet s
ht : IsUpperSet t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
hs : IsUpperSet s
ht : IsUpperSet t
h : ¬s ⊆ t ∧ ¬t ⊆ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
hs : IsUpperSet s
ht : IsUpperSet t
h : (∃ a ∈ s, a ∉ t) ∧ ∃ a ∈ t, a ∉ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
hs : IsUpperSet s
ht : IsUpperSet t
a : α
has : a ∈ s
hat : a ∉ t
b : α
hbt : b ∈ t
hbs : b ∉ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
hs : IsUpperSet s
ht : IsUpperSet t
a : α
has : a ∈ s
hat : a ∉ t
b : α
hbt : b ∈ t
hbs : b ∉ s
hab : a ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
hs : IsUpperSet s
ht : IsUpperSet t
a : α
has : a ∈ s
hat : a ∉ t
b : α
hbt : b ∈ t
hbs : b ∉ s
hba : b ≤ a


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
i j : n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : Nonempty ι
s : ι → Set α
t : Set β
f : α → β
H : ∀ (i : ι), SurjOn f (s i) t
Hinj : InjOn f (⋃ i, s i)
y : β
hy : y ∈ t


Context:
x✝ y z✝ : ℝ
n : ℕ
x z : ℝ
hx : 1 < x
hz : z < 0


Context:
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0


Context:
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0

∃ j, (mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α (fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)).moveRight j ≤ 0


Context:
o : Ordinal.{u_1}
ho : 0 < o


Context:
s t : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a

∫ (x : ℝ) in 0 ..a, ↑x ^ (s - 1) * (↑a - ↑x) ^ (t - 1) = ↑a ^ (s + t - 1) * s.betaIntegral t


Context:
s t : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
ha' : ↑a ≠ 0


Context: s t : ℂ

Context: a : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: ha' : ↑a ≠ 0

Context: A : ↑a ^ (s + t - 1) = ↑a * (↑a ^ (s - 1) * ↑a ^ (t - 1))


Context: s t : ℂ

Context: a : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: ha' : ↑a ≠ 0


Context: s t : ℂ

Context: a : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: ha' : ↑a ≠ 0

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Ioc 0 a


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
hε : 0 < ε


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
i : ι

(b.repr (fract b m)) i = Int.fract ((b.repr m) i)


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝² : Mul M

Context: inst✝¹ : Mul N

Context: inst✝ : Semigroup P

Context: f : M →ₙ* P

Context: g : N →ₙ* P

Context: comm : ∀ (m : M) (n : N), Commute (f m) (g n)

Context: mn mn' : M × N

(fun mn => f mn.1 * g mn.2) (mn * mn') = (fun mn => f mn.1 * g mn.2) mn * (fun mn => f mn.1 * g mn.2) mn'


Context:
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G

inverse W D ⋙ functor W D = 𝟭 (W.FunctorsInverting D)


∀ (X : W.FunctorsInverting D), (inverse W D ⋙ functor W D).obj X = (𝟭 (W.FunctorsInverting D)).obj X


∀ (X Y : W.FunctorsInverting D) (f : X ⟶ Y), (inverse W D ⋙ functor W D).map f = eqToHom ⋯ ≫ (𝟭 (W.FunctorsInverting D)).map f ≫ eqToHom ⋯


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
x : X

∀ t ∈ 𝓝 x, ∃ r ∈ 𝓝 x, IsCompact r ∧ r ⊆ t


Context:
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
A : Finset σ
h : A ∈ powersetCard k univ

∑ j ∈ A, MvPolynomial.NewtonIdentities.weight σ R k (A, j) = ↑k * (-1) ^ k * ∏ i ∈ A, X i


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
id : IsDomain R
iic : IsIntegrallyClosed R
K : Type u_3
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : Algebra R K
ifr : IsFractionRing R K
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a b : R


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
id : IsDomain R
iic : IsIntegrallyClosed R
K : Type u_3
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : Algebra R K
ifr : IsFractionRing R K
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a b : R
x✝ : a ^ n ∣ b ^ n
x : R
hx : b ^ n = a ^ n * x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
id : IsDomain R
iic : IsIntegrallyClosed R
K✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommRing K✝
inst✝ : Algebra R K✝
ifr : IsFractionRing R K✝
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a b : R
x✝ : a ^ n ∣ b ^ n
x : R
hx : b ^ n = a ^ n * x
ha : ¬a = 0
K : Type u_1 := FractionRing R


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
id : IsDomain R
iic : IsIntegrallyClosed R
K✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommRing K✝
inst✝ : Algebra R K✝
ifr : IsFractionRing R K✝
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a b : R
x✝ : a ^ n ∣ b ^ n
x : R
hx : b ^ n = a ^ n * x
K : Type u_1 := FractionRing R
ha : (algebraMap R K) a ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: id : IsDomain R

Context: iic : IsIntegrallyClosed R

Context: K✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommRing K✝

Context: inst✝ : Algebra R K✝

Context: ifr : IsFractionRing R K✝

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: a b : R

Context: x✝ : a ^ n ∣ b ^ n

Context: x : R

Context: hx : b ^ n = a ^ n * x

Context: K : Type u_1 := FractionRing R

Context: ha : (algebraMap R K) a ≠ 0

Context: y : K := (algebraMap R K) b / (algebraMap R K) a


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: id : IsDomain R

Context: iic : IsIntegrallyClosed R

Context: K✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommRing K✝

Context: inst✝ : Algebra R K✝

Context: ifr : IsFractionRing R K✝

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: a b : R

Context: x✝ : a ^ n ∣ b ^ n

Context: x : R

Context: hx : b ^ n = a ^ n * x

Context: K : Type u_1 := FractionRing R

Context: ha : (algebraMap R K) a ≠ 0

Context: hy : IsIntegral R y


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: id : IsDomain R

Context: iic : IsIntegrallyClosed R

Context: K✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommRing K✝

Context: inst✝ : Algebra R K✝

Context: ifr : IsFractionRing R K✝

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: a b : R

Context: x✝ : a ^ n ∣ b ^ n

Context: x : R

Context: hx : b ^ n = a ^ n * x

Context: K : Type u_1 := FractionRing R

Context: ha : (algebraMap R K) a ≠ 0

Context: hy : IsIntegral R y

Context: k : R

Context: hk : (algebraMap R K) k = y


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: id : IsDomain R

Context: iic : IsIntegrallyClosed R

Context: K✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommRing K✝

Context: inst✝ : Algebra R K✝

Context: ifr : IsFractionRing R K✝

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: a b : R

Context: x✝ : a ^ n ∣ b ^ n

Context: x : R

Context: hx : b ^ n = a ^ n * x

Context: K : Type u_1 := FractionRing R

Context: ha : (algebraMap R K) a ≠ 0

Context: hy : IsIntegral R y

Context: k : R

Context: hk : (algebraMap R K) k = y

(algebraMap R K) b = (algebraMap R K) (a * k)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MulOneClass α

Context: inst✝² : LE α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
ι : Type u_4
inst✝ : Finite ι
f : ι → S


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
ι : Type u_4
inst✝ : Finite ι
f : ι → S
val✝ : Fintype ι


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommSemiring S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝² : CommSemiring P

Context: inst✝¹ : IsLocalization M S

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : ι → S

Context: val✝ : Fintype ι

Context: b : ↥M

Context: hb : ∀ i ∈ Finset.univ, IsInteger R (↑b • f i)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: x' : M

Context: y : M'

Context: hx : x' ∈ (chartAt H x).source

Context: hy : f x' ∈ (chartAt H' y).source

ContinuousWithinAt f univ x' ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' univ ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x') ↔ ContinuousAt f x' ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x')


Context: α : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: s : Set α

Context: t : Set α := toMeasurable (μ.withDensity f) s

∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ (μ.withDensity f) s


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K : Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap

((I.ofSigmaCoforkFunctor ⋙ I.toSigmaCoforkFunctor).obj K).π ≫ (Iso.refl ((I.ofSigmaCoforkFunctor ⋙ I.toSigmaCoforkFunctor).obj K).pt).hom = ((𝟭 (Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap)).obj K).π


∀ (j : Discrete I.R), colimit.ι (Discrete.functor I.right) j ≫ ((I.ofSigmaCoforkFunctor ⋙ I.toSigmaCoforkFunctor).obj K).π ≫ (Iso.refl ((I.ofSigmaCoforkFunctor ⋙ I.toSigmaCoforkFunctor).obj K).pt).hom = colimit.ι (Discrete.functor I.right) j ≫ ((𝟭 (Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap)).obj K).π


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K : Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap
j : I.R

colimit.ι (Discrete.functor I.right) { as := j } ≫ Sigma.desc (Multicofork.ofSigmaCofork I K).π ≫ 𝟙 K.pt = colimit.ι (Discrete.functor I.right) { as := j } ≫ K.π


(Multicofork.ofSigmaCofork I K).π j = colimit.ι (Discrete.functor I.right) { as := j } ≫ K.π


Context:
R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
M N P Q : Type u
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : AddCommGroup Q
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Coalgebra R M
inst✝² : Coalgebra R N
inst✝¹ : Coalgebra R P
inst✝ : Coalgebra R Q
K L : CoalgebraCat R

Coalgebra.comul = ↑(TensorProduct.tensorTensorTensorComm R ↑K.toModuleCat ↑K.toModuleCat ↑L.toModuleCat ↑L.toModuleCat) ∘ₗ TensorProduct.map Coalgebra.comul Coalgebra.comul


((comonEquivalence R).symm.inverse.obj K ⊗ (comonEquivalence R).symm.inverse.obj L).comul = ↑(TensorProduct.tensorTensorTensorComm R ↑K.toModuleCat ↑K.toModuleCat ↑L.toModuleCat ↑L.toModuleCat) ∘ₗ TensorProduct.map Coalgebra.comul Coalgebra.comul


(tensor_μ (ModuleCat R)ᵒᵖ (Opposite.op K.toModuleCat, Opposite.op L.toModuleCat) (Opposite.op K.toModuleCat, Opposite.op L.toModuleCat)).unop ∘ₗ TensorProduct.map Coalgebra.comul Coalgebra.comul = ↑(TensorProduct.tensorTensorTensorComm R ↑K.toModuleCat ↑K.toModuleCat ↑L.toModuleCat ↑L.toModuleCat) ∘ₗ TensorProduct.map Coalgebra.comul Coalgebra.comul


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: t : TopologicalSpace α

Context: B : Set (Set α)

Context: s : Set α

Context: ι : Sort u_2

Context: U : ι → Set α

Context: Uo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: Uc : ⋃ i, U i = univ

Context: b : (i : ι) → Set (Set ↑(U i))

Context: hb : ∀ (i : ι), IsTopologicalBasis (b i)

IsTopologicalBasis (⋃ i, image Subtype.val '' b i)


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: t : TopologicalSpace α

Context: B : Set (Set α)

Context: s : Set α

Context: ι : Sort u_2

Context: U : ι → Set α

Context: Uo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: Uc : ⋃ i, U i = univ

Context: b : (i : ι) → Set (Set ↑(U i))

Context: u : Set α

Context: hu : u ∈ ⋃ i, image Subtype.val '' b i


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: t : TopologicalSpace α

Context: B : Set (Set α)

Context: s : Set α

Context: ι : Sort u_2

Context: U : ι → Set α

Context: Uo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: Uc : ⋃ i, U i = univ

Context: b : (i : ι) → Set (Set ↑(U i))

∀ (a : α) (u : Set α), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ ⋃ i, image Subtype.val '' b i, a ∈ v ∧ v ⊆ u


Context:
x x₁ x₂ y y₁ y₂ : PGame
hx : x.Numeric
hx₁ : x₁.Numeric
hx₂ : x₂.Numeric
hy : y.Numeric
hy₁ : y₁.Numeric
hy₂ : y₂.Numeric
hp₁ : 0 < x₁
hp₂ : 0 < x₂


⟦0⟧ < ⟦x₁ * x₂⟧


Context:
x x₁ x₂ y y₁ y₂ : PGame
hx : x.Numeric
hx₁ : x₁.Numeric
hx₂ : x₂.Numeric
hy : y.Numeric
hy₁ : y₁.Numeric
hy₂ : y₂.Numeric
hp₁ : 0 < x₁
hp₂ : 0 < x₂
this : P3 0 x₁ 0 x₂

⟦0⟧ < ⟦x₁ * x₂⟧


Context:
x x₁ x₂ y y₁ y₂ : PGame
hx : x.Numeric
hx₁ : x₁.Numeric
hx₂ : x₂.Numeric
hy : y.Numeric
hy₁ : y₁.Numeric
hy₂ : y₂.Numeric
hp₁ : 0 < x₁
hp₂ : 0 < x₂
this : ⟦0⟧ < ⟦x₁ * x₂⟧

⟦0⟧ < ⟦x₁ * x₂⟧


Context:
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace X
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G X
inst✝² : IsometricSMul G X
inst✝¹ : PseudoMetricSpace G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G
r : ℝ

(fun x => x * a) ⁻¹' closedBall b r = closedBall (b / a) r


(fun x => x * a) ⁻¹' closedBall b r = closedBall (b * a⁻¹) r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : UpperSet α
t : Set α
a : α


Context:
m n✝ n : ℕ
a : ZMod n
h : IsUnit a


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a a' : α
b : β a
s✝ : Finmap β
h : a' ≠ a
s : AList β

lookup a' (insert a b ⟦s⟧) = lookup a' ⟦s⟧


Context:
η : Type u_1
α : Type u_2
ι : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α ι
i✝ : ι
a✝ x : α
l : Line α ι
a : Unit → α
i : ι

↑l.toSubspaceUnit a i = (fun x i => (l.idxFun i).getD x) (a ()) i


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hf_int : Integrable f μ
ε : ℝ

ε * (μ {x | ε ≤ f x}).toReal ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hf_int : Integrable f μ
ε : ℝ
hμ : μ {x | ε ≤ f x} = ⊤


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hf_int : Integrable f μ
ε : ℝ
hμ : μ {x | ε ≤ f x} < ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hg : g.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
F : α
F0 : F > 0
hF : ∀ (i : ℕ), abv (↑f i) < F
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, abv (↑g j) < ε / F
j : ℕ
ij : j ≥ i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : CauSeq β abv

Context: hg : g.LimZero

Context: ε : α

Context: ε0 : ε > 0

Context: F : α

Context: F0 : F > 0

Context: hF : ∀ (i : ℕ), abv (↑f i) < F

Context: i : ℕ

Context: H : ∀ j ≥ i, abv (↑g j) < ε / F

Context: j : ℕ

Context: ij : j ≥ i

Context: this : abv (↑f j) * abv (↑g j) < F * (ε / F)


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G
m : ℕ
hpos : 0 < m
hm : m < exponent G


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G
m : ℕ
hpos : 0 < m
hm : m < exponent G
h : ∀ (g : G), g ^ m = 1


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G
m : ℕ
hpos : 0 < m
hm : m < exponent G
h : ∀ (g : G), g ^ m = 1
hcon : exponent G ≤ m


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
p : R[X]


Context:
m n a b c d : ℤ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [ZMOD m]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : Semiring α
h : Periodic f c
n : ℕ


Context:
n p : ℕ
pp : Prime p
a✝ : ℕ


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : Semiring S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: ι : Type u_1

Context: n : Basis ι R ↥N

Context: H : Function.Injective ⇑(M.mulRightMap ⇑n)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
ι : Type u_1
n : Basis ι R ↥N
H : Function.Injective ⇑(M.mulMap N)


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : R
a : A


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
H : Subgroup G
x : Quotient G α
a b : ↑x.orbit
c : α
h : ⟦a⟧ = ⟦b⟧

↑a ∈ MulAction.orbit (↥H) c ↔ ↑b ∈ MulAction.orbit (↥H) c


c ∈ MulAction.orbit ↥H ↑a ↔ c ∈ MulAction.orbit ↥H ↑b


MulAction.orbit ↥H ↑b = MulAction.orbit ↥H ↑a


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ : α → ℝ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ
g : α → E

∫ (x : α), g x ∂μ.tilted f = ∫ (x : α), (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) • g x ∂μ


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : Countable ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : Countable ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
this : TopologicalAddGroup E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : Nonempty ι

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E ι

Context: inst✝ : TopologicalSpace E

Context: hp : WithSeminorms p

Context: this : TopologicalAddGroup E

Context: x✝ : UniformSpace E := TopologicalAddGroup.toUniformSpace E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : Nonempty ι

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E ι

Context: inst✝ : TopologicalSpace E

Context: hp : WithSeminorms p

Context: this✝ : TopologicalAddGroup E

Context: this : UniformAddGroup E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : Nonempty ι

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E ι

Context: inst✝ : TopologicalSpace E

Context: hp : WithSeminorms p

Context: this✝¹ : TopologicalAddGroup E

Context: this✝ : UniformAddGroup E

Context: this : (𝓝 0).IsCountablyGenerated


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : Nonempty ι

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E ι

Context: inst✝ : TopologicalSpace E

Context: hp : WithSeminorms p

Context: this✝² : TopologicalAddGroup E

Context: this✝¹ : UniformAddGroup E

Context: this✝ : (𝓝 0).IsCountablyGenerated

Context: this : (𝓤 E).IsCountablyGenerated


Context:
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
c : Cocone F
j j' : J
f : j ⟶ j'


c.ι.app j ≫ ((const J).obj c.pt).map f = c.ι.app j


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{?u.61043, u_3} E
L₁ L₂ : C ⥤ D
e : L₁ ≅ L₂
inst✝ : L₁.IsLocalization W


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{?u.61043, u_3} E
L₁ L₂ : C ⥤ D
e : L₁ ≅ L₂
inst✝ : L₁.IsLocalization W
h : W.IsInvertedBy L₁


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{?u.61043, u_3} E
L₁ L₂ : C ⥤ D
e : L₁ ≅ L₂
inst✝ : L₁.IsLocalization W
h : W.IsInvertedBy L₂


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : Category.{?u.61043, u_3} E

Context: L₁ L₂ : C ⥤ D

Context: e : L₁ ≅ L₂

Context: inst✝ : L₁.IsLocalization W

Context: h : W.IsInvertedBy L₂

Context: F₁ : W.Localization ⥤ D := Construction.lift L₁ ⋯


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : Category.{?u.61043, u_3} E

Context: L₁ L₂ : C ⥤ D

Context: e : L₁ ≅ L₂

Context: inst✝ : L₁.IsLocalization W

Context: h : W.IsInvertedBy L₂

Context: F₂ : W.Localization ⥤ D := Construction.lift L₂ h


Context:
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ι → α → M
s : Multiset (α → M)
hs : ∀ f ∈ s, AEMeasurable f μ

AEMeasurable (fun x => (map (fun f => f x) s).prod) μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : α → E
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f μ
s : Set E
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Set.range f ∪ {0} ⊆ s

Tendsto (fun n => setToFun μ T hT ↑(SimpleFunc.approxOn f fmeas s 0 ⋯ n)) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝¹ : IsIso f
inst✝ : IsIso inr
sq : CommSq f g inl inr
s : PushoutCocone f g

inl ≫ (fun s => inv inr ≫ s.inr) s = s.inl


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α


Context: X : UniformSpaceCat

Context: Y : CpltSepUniformSpace

Context: f : (CpltSepUniformSpace.of (Completion ↑X)).toUniformSpace ⟶ Y.toUniformSpace


Context: X : UniformSpaceCat

Context: Y : CpltSepUniformSpace

↑(extensionHom (X.completionHom ≫ f)) = ↑f


Context: X : UniformSpaceCat

Context: Y : CpltSepUniformSpace

Context: x : ↑(completionFunctor.obj X).toUniformSpace

↑(extensionHom (X.completionHom ≫ f)) x = ↑f x


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C₁

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} C₂

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: inst✝⁴ : Φ.IsLocalizedEquivalence

Context: inst✝³ : W₁.IsMultiplicative

Context: inst✝² : ∀ (X₂ : C₂), IsConnected (Φ.RightResolution X₂)

Context: inst✝¹ : Φ.arrow.HasRightResolutions

Context: inst✝ : W₂.ContainsIdentities


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C₁

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} C₂

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: inst✝⁴ : Φ.IsLocalizedEquivalence

Context: inst✝³ : W₁.IsMultiplicative

Context: inst✝¹ : Φ.arrow.HasRightResolutions

Context: inst✝ : W₂.ContainsIdentities

∀ {X₂ : C₂} {X₃ : W₂.Localization} (g : W₂.Q.obj X₂ ⟶ (𝟭 W₂.Localization).obj X₃), IsConnected (TwoSquare.CostructuredArrowDownwards (Φ.functor ⋙ W₂.Q).rightUnitor.symm.hom g)


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C₁

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} C₂

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: inst✝⁴ : Φ.IsLocalizedEquivalence

Context: inst✝³ : W₁.IsMultiplicative

Context: inst✝¹ : Φ.arrow.HasRightResolutions

Context: inst✝ : W₂.ContainsIdentities

Context: X₂ : C₂

Context: X₃ : W₂.Localization

Context: g : W₂.Q.obj X₂ ⟶ (𝟭 W₂.Localization).obj X₃

IsConnected (TwoSquare.CostructuredArrowDownwards (Φ.functor ⋙ W₂.Q).rightUnitor.symm.hom g)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c

(splitEpiOfIdempotentOfIsColimitCofork C ⋯ (isColimitCoforkOfCokernelCofork (isCokernelEpiComp i (retraction f) ⋯))).section_ ≫ retraction f = 0


i.desc (Cofork.ofπ (Cofork.π (cokernelCoforkOfCofork (Cofork.ofπ (𝟙 Y - retraction f ≫ f) ⋯))) ⋯) ≫ retraction f = 0


i.desc (Cofork.ofπ (Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (𝟙 Y - retraction f ≫ f) ⋯)) ⋯) ≫ retraction f = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: X✝ Y✝ : C

Context: inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsSplitMono f

Context: c : CokernelCofork f

Context: i : IsColimit c

Context: this : Epi (Cofork.π c) := epi_of_isColimit_cofork i


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: X✝ Y✝ : C

Context: inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsSplitMono f

Context: c : CokernelCofork f

Context: i : IsColimit c

Cofork.π c ≫ i.desc (Cofork.ofπ (Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (𝟙 Y - retraction f ≫ f) ⋯)) ⋯) ≫ retraction f = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: X✝ Y✝ : C

Context: inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsSplitMono f

Context: c : CokernelCofork f

Context: i : IsColimit c


(let c' := CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) ⋯; let i' := isCokernelEpiComp i (retraction f) ⋯; let i'' := isColimitCoforkOfCokernelCofork i'; (splitEpiOfIdempotentOfIsColimitCofork C ⋯ i'').section_) ≫ Cofork.π c = 𝟙 c.pt


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: s : ℝ

Context: hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume

Context: hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs_top : s < a

Context: hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: hs_bot : b < s

IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi 0) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: s : ℝ

Context: hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs_top : s < a

Context: hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: hs_bot : b < s

Context: c1 : ℝ

Context: hc1 : 0 < c1

Context: hc1' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c1) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: s : ℝ

Context: hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs_top : s < a

Context: hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: hs_bot : b < s

Context: c1 : ℝ

Context: hc1 : 0 < c1

Context: c2 : ℝ

Context: hc2 : 0 < c2

Context: hc2' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c2) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: s : ℝ

Context: hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs_top : s < a

Context: hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: hs_bot : b < s

Context: c1 : ℝ

Context: hc1 : 0 < c1

Context: c2 : ℝ

Context: hc2 : 0 < c2

Context: this : Ioi 0 = Ioc 0 c2 ∪ Ioc c2 c1 ∪ Ioi c1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: s : ℝ

Context: hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs_top : s < a

Context: hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: hs_bot : b < s

Context: c1 : ℝ

Context: hc1 : 0 < c1

Context: c2 : ℝ

Context: hc2 : 0 < c2

(IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c2) volume ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc c2 c1) volume) ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c1) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: s : ℝ

Context: hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs_top : s < a

Context: hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: hs_bot : b < s

Context: c1 : ℝ

Context: hc1 : 0 < c1

Context: c2 : ℝ

Context: hc2 : 0 < c2

IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Icc c2 c1) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: s : ℝ

Context: hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs_top : s < a

Context: hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: hs_bot : b < s

Context: c1 : ℝ

Context: hc1 : 0 < c1

Context: c2 : ℝ

Context: hc2 : 0 < c2

ContinuousOn (fun t => t ^ (s - 1)) (Ioi 0)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.24237
inst✝ : MulAction R X
r r' r₁ r₂ : R
s t : ↥S
h : ↑t * r = ↑t * r'
r₁' : R
t' : ↥S
hr₁ : ↑t' * r₁ = r₁' * ↑t


t' • (r₁ * r * r₂) = t' • (r₁ * r' * r₂)


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝ : p.IsHomLift f φ


Context: X : TopCat

Context: p₀ : ↑X

Context: inst✝² : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)

Context: C : Type v

Context: inst✝¹ : Category.{w, v} C

Context: inst✝ : HasTerminal C

Context: A a b c : C

Context: f : a ⟶ b

Context: g : b ⟶ c

Context: U : Opens ↑X

(map' p₀ (f ≫ g)).app (op U) = (map' p₀ f ≫ map' p₀ g).app (op U)


Context: X : TopCat

Context: p₀ : ↑X

Context: C : Type v

Context: inst✝¹ : Category.{w, v} C

Context: inst✝ : HasTerminal C

Context: A a b c : C

Context: f : a ⟶ b

Context: g : b ⟶ c

Context: U : Opens ↑X

(if h : p₀ ∈ U then eqToHom ⋯ ≫ (f ≫ g) ≫ eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from ((skyscraperPresheaf p₀ a).obj (op U))) = (map' p₀ f ≫ map' p₀ g).app (op U)


Context:
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s : Submodule K V

finrank K (V ⧸ s) + finrank K ↥s = finrank K V


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: s : Submodule K V

Context: this : Module.rank K (V ⧸ s) + Module.rank K ↥s = Module.rank K V


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: s : Submodule K V

Context: this : ↑(finrank K (V ⧸ s)) + ↑(finrank K ↥s) = ↑(finrank K V)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α


Context: R✝ : Type ?u.4933

Context: M✝ : Type ?u.4936

Context: N : Type ?u.5555

Context: inst✝⁷ : Ring R✝

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁵ : Module R✝ M✝

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R✝ N

Context: R M : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: ι : Finset M

Context: hι₁ : Submodule.span R ↑ι = ⊤

Context: hι₂ : (LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ ι } M R Subtype.val)).FG

∃ L x x_1 K x_2, Free R L ∧ Finite R L ∧ K.FG


Context: R✝ : Type ?u.4933

Context: M✝ : Type ?u.4936

Context: N : Type ?u.5555

Context: inst✝⁷ : Ring R✝

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁵ : Module R✝ M✝

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R✝ N

Context: R M : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: ι : Finset M

Context: hι₁ : Submodule.span R ↑ι = ⊤

∃ K x, Free R ({ x // x ∈ ι } →₀ R) ∧ Finite R ({ x // x ∈ ι } →₀ R) ∧ K.FG


Context: R✝ : Type ?u.4933

Context: M✝ : Type ?u.4936

Context: N : Type ?u.5555

Context: inst✝⁷ : Ring R✝

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁵ : Module R✝ M✝

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R✝ N

Context: R M : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: ι : Finset M

Context: hι₁ : Submodule.span R ↑ι = ⊤

∃ x, Free R ({ x // x ∈ ι } →₀ R) ∧ Finite R ({ x // x ∈ ι } →₀ R) ∧ (LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ ι } M R Subtype.val)).FG


Context: R✝ : Type ?u.4933

Context: M✝ : Type ?u.4936

Context: N : Type ?u.5555

Context: inst✝⁷ : Ring R✝

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁵ : Module R✝ M✝

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R✝ N

Context: R M : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: ι : Finset M

Context: hι₁ : Submodule.span R ↑ι = ⊤

Function.Surjective ⇑(Finsupp.total { x // x ∈ ι } M R Subtype.val)


Context: R✝ : Type ?u.4933

Context: M✝ : Type ?u.4936

Context: N : Type ?u.5555

Context: inst✝⁷ : Ring R✝

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁵ : Module R✝ M✝

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R✝ N

Context: R M : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: ι : Finset M

Context: hι₁ : Submodule.span R ↑ι = ⊤

LinearMap.range (Finsupp.total { x // x ∈ ι } M R Subtype.val) = ⊤


Context:
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
n : ℕ
ih : FP (Stream'.drop n a) ⊆ FP a


FP (Stream'.drop 1 (Stream'.drop n a)) ⊆ FP a


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

IsClosed s₁ → IsClosed s₂ → IsClosed (s₁ ∪ s₂)


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

o.oangle x y ≠ 0 ∧ o.oangle x y ≠ ↑π ↔ LinearIndependent ℝ ![x, y]


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y✝ : α
inst✝³ : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
x y : α
hy : y ∈ (f.cycleOf x).support


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f✝ g : Perm α

Context: x✝ y✝ : α

Context: inst✝³ : DecidableRel f✝.SameCycle

Context: inst✝² : DecidableRel g.SameCycle

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f : Perm α

Context: x y : α

Context: hy : (if f.SameCycle x y then f y else y) ≠ y


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{?u.21503, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.21507, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.21511, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.21515, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
n m mn : A
hnm : m + n = mn
a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.21511, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.21515, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
n m mn : A
hnm : m + n = mn
a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C

(F.shiftIso mn a a'' ⋯).inv.app X = (F.shiftIso n a a' ha').inv.app X ≫ (shiftFunctor D n).map ((F.shiftIso m a' a'' ha'').inv.app X) ≫ (shiftFunctorAdd' D m n mn hnm).inv.app ((F.functor a'').obj X)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : ℝ


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i : ι
x : F
j : ι
hj : j ∈ s

C (r j) * Lagrange.basis s v j = C (nodalWeight s v j) * (nodal s v / (X - C (v j))) * C (r j)


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E


Context: x✝ y x : ℝ


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K : LieSubalgebra R L
x y : ↥K

((ad R L) ↑x ∘ₗ ↑K.incl) y = (↑K.incl ∘ₗ (ad R ↥K) x) y


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
hF : IsPathConnected F


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
hF : PathConnectedSpace ↑F


Context:
F : Type u₀ → Type u₁ → Type u₂
inst✝¹ : Bifunctor F
inst✝ : LawfulBifunctor F
α₀ α₁ : Type u₀
β₀ β₁ : Type u₁
f : α₀ → α₁
f' : β₀ → β₁
x : F α₀ β₀


Context: x y : ℝ


Context:
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ : L.Substructure M
ι : Sort u_3
S : ι → L.Substructure M
x : M


Context:
α : Type u_1
a b : α
s : α → α → Bool
l r : List α
h : s a b = true

merge s (a :: l) (b :: r) = a :: merge s l (b :: r)


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
π : ι → Set (Set Ω)
m : ι → MeasurableSpace Ω
x✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
S : Finset ι
s : ι → Set Ω
m₁ m₂ _mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω

Indep m₁ m₂ μ ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), MeasurableSet t1 → MeasurableSet t2 → μ (t1 ∩ t2) = μ t1 * μ t2


(∀ (t1 t2 : Set Ω), t1 ∈ {s | MeasurableSet s} → t2 ∈ {s | MeasurableSet s} → μ (t1 ∩ t2) = μ t1 * μ t2) ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), MeasurableSet t1 → MeasurableSet t2 → μ (t1 ∩ t2) = μ t1 * μ t2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) = 0 ↔ μ ⟂ₘ ν


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ μ ν : Measure α

Context: inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

Context: h_dec : μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommMonoid M
ψ : AddChar R M
r s x✝ : R

(ψ.mulShift r * ψ.mulShift s) x✝ = (ψ.mulShift (r + s)) x✝


(ψ.mulShift r * ψ.mulShift s) x✝ = ψ (r * x✝) * ψ (s * x✝)


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
w : Word M
m : M i

⟨i, m⟩ ∈ ((equivPair j) w).tail.toList → ⟨i, m⟩ ∈ w.toList


(⟨i, m⟩ ∈ w.toList.tail ∨ i ≠ j ∧ ∃ (h : w.toList ≠ []), w.toList.head h = ⟨i, m⟩) → ⟨i, m⟩ ∈ w.toList


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : GroupWithZero G
inst✝⁶ : SmoothInv₀ I G
inst✝⁵ : SmoothMul I G
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H' M
f g : M → G
s : Set M
a : M
n : ℕ∞
hf : ContMDiffAt I' I n f a
hg : ContMDiffAt I' I n g a
h₀ : g a ≠ 0


Context:
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Fintype α
x y : α
H : x = y

sign (swap x y) = if x = y then 1 else -1


Context:
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Fintype α
x y : α
H : ¬x = y


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f✝ : M →ₗ[R] M₂
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
x✝ : M₂


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ✝ : Type u_3
inst✝ : Preorder α
β γ : Type u_4
f : α → Part (β → γ)
g : α → Part β
hf : Antitone f
hg : Antitone g

Antitone fun x => Seq.seq (f x) fun x_1 => g x


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R


{x | 1 x ∉ adicCompletionIntegers K x}.Finite


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: h_empty : {v | 1 ∉ adicCompletionIntegers K v} = ∅


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : IdemSemiring α
a✝ b c : α
n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0
a : α


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulWithZero R M
f : α → R
g : α → M
x : α
hfg : x ∈ support (f • g)
hf : f x = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
h : Integrable f (μ + ν)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
h : Memℒp f 1 (μ + ν)


Context:
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Ω
α : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
f : α →ᵇ ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] ⇑f
hf : HasFiniteIntegral (⇑f) μ

∫ (ω : α), f ω ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 ‖f‖, (μ {a | t ≤ f a}).toReal


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n : ℕ
hp : p ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α' : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α' i)
inst✝ : (i : ι) → BoundedOrder (α' i)
f g : (i : ι) → α' i

IsCompl f g ↔ ∀ (i : ι), IsCompl (f i) (g i)


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Type u_3
inst✝ : Nonempty ι
Fs : ι → Set α
hFs : ∀ (i : ι), M.Flat (Fs i)


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
ι : Type u_3
inst✝ : Nonempty ι
Fs : ι → Set α
hFs : ∀ (i : ι), M.Flat (Fs i)
I X : Set α
hI : M.Basis I (⋂ i, Fs i)
hIX : M.Basis I X
i : ι


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
ι : Type u_3
inst✝ : Nonempty ι
Fs : ι → Set α
hFs : ∀ (i : ι), M.Flat (Fs i)
I X : Set α
hI : M.Basis I (⋂ i, Fs i)
hIX : M.Basis I X
i : ι
J : Set α
hIJ : M.Basis J (Fs i)
hJ : I ⊆ J


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommMonoid M

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: m✝ m' : M

Context: G : Type u_2

Context: inst✝³ : CommGroup G

Context: g g' : G

Context: inst✝² : T2Space M

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable β

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: m : α → M

Context: m0 : m ⊥ = 1

Context: R : M → M → Prop

Context: m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∏' (i : ℕ), m (s i))

Context: s : β → α


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommMonoid M

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: m✝ m' : M

Context: G : Type u_2

Context: inst✝³ : CommGroup G

Context: g g' : G

Context: inst✝² : T2Space M

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable β

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: m : α → M

Context: m0 : m ⊥ = 1

Context: R : M → M → Prop

Context: s : β → α

Context: val✝ : Encodable β


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommMonoid M

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: m✝ m' : M

Context: G : Type u_2

Context: inst✝³ : CommGroup G

Context: g g' : G

Context: inst✝² : T2Space M

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable β

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: m : α → M

Context: m0 : m ⊥ = 1

Context: R : M → M → Prop

Context: s : β → α

Context: val✝ : Encodable β

R (m (⨆ i, ⨆ b ∈ decode₂ β i, s b)) (∏' (i : ℕ), m (⨆ b ∈ decode₂ β i, s b))


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.121165, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.121169, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
h : S.Splitting

(h.s.op ≫ S.op.f + S.op.g ≫ h.r.op).unop = (𝟙 S.op.X₂).unop


S.g ≫ h.s + h.r ≫ S.f = h.r ≫ S.f + S.g ≫ h.s


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁✝ a₂✝ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
h : ker f = IsSubgroup.trivial G
a₁ a₂ : G
hfa : f a₁ = f a₂


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁✝ a₂✝ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a₁ a₂ : G
hfa : f a₁ = f a₂
h : ∀ (x : G), f x = 1 ↔ x = 1


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁✝ a₂✝ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a₁ a₂ : G
hfa : f a₁ = f a₂
h : ∀ (x : G), f x = 1 ↔ x = 1
ha : a₁ * a₂⁻¹ = 1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedRing α
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
inst✝ : Fintype ι
hfg : Antivary f g

∑ i : ι, f i • g i < ∑ i : ι, f i • g (σ i) ↔ ¬Antivary f (g ∘ ⇑σ)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q

(z₁.comp (-z₂) h).v p q hpq = (-z₁.comp z₂ h).v p q hpq


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
hn : n ≠ 1
H : Irreducible (X ^ n - C 0)


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
hn : n ≠ 1
H : Irreducible (X ^ n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
u : Set α
hu : MeasurableSet u

MeasurableSet (Subtype.val '' (Subtype.val ⁻¹' u))


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝¹ : Module R M₂

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: z₁ z₂ : M₂

MultilinearMap.mkPiRing R ι z₁ = MultilinearMap.mkPiRing R ι z₂ ↔ z₁ = z₂


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝¹ : Module R M₂

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: z₁ z₂ : M₂

(∀ (x : ι → R), (∏ i : ι, x i) • z₁ = (∏ i : ι, x i) • z₂) ↔ z₁ = z₂


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝⁴ : NormedRing R
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 R
𝕜' : Type u_4
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜'
x : 𝕜'
hx : x ≠ 0
n : ℕ∞


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Bornology α
inst✝² : Bornology β
inst✝¹ : Bornology γ
inst✝ : Bornology δ
g : LocallyBoundedMap β γ
f₁ f₂ : LocallyBoundedMap α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
h : M.Basis I X


M.closure X ⊆ M.closure {x | M.Basis I (insert x I)}


Context:
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝⁷ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝⁶ : LinearOrder γ
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : OrderTopology γ
δ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrder δ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : OrderTopology δ
ι : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace ι
g : γ → δ
f : α → γ
hg : ContinuousAt g (f x)
hf : LowerSemicontinuousAt f x
gmon : Monotone g


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Preorder β

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: x : α

Context: s t : Set α

Context: y z : β

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁶ : LinearOrder γ

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁴ : OrderTopology γ

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝³ : LinearOrder δ

Context: inst✝² : TopologicalSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderTopology δ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝ : TopologicalSpace ι

Context: g : γ → δ

Context: f : α → γ

Context: hg : ContinuousAt g (f x)

Context: gmon : Monotone g

Context: hf : LowerSemicontinuousWithinAt f univ x

LowerSemicontinuousWithinAt (g ∘ f) univ x


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K : Compacts X


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K : Compacts X
x : X
a✝ : x ∈ K


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : AddGroup A

Context: s : Set G

Context: ι : Sort u_5

Context: S : ι → Subgroup G

Context: C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop

Context: hp : ∀ (i : ι) (x : G) (hx : x ∈ S i), C x ⋯

Context: h1 : C 1 ⋯

Context: hmul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯

Context: x : G

Context: hx : x ∈ ⨆ i, S i


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : AddGroup A

Context: s : Set G

Context: ι : Sort u_5

Context: S : ι → Subgroup G

Context: C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop

Context: h1 : C 1 ⋯

Context: x : G

Context: hx : x ∈ ⨆ i, S i


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : AddGroup A

Context: s : Set G

Context: ι : Sort u_5

Context: S : ι → Subgroup G

Context: C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop

Context: h1 : C 1 ⋯

Context: x✝ : G

Context: hx✝ : x✝ ∈ ⨆ i, S i

Context: i : ι

Context: x : G

Context: hx : x ∈ S i

(fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) x


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : AddGroup A

Context: s : Set G

Context: ι : Sort u_5

Context: S : ι → Subgroup G

Context: C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop

Context: h1 : C 1 ⋯

Context: x : G

Context: hx : x ∈ ⨆ i, S i

(fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) 1


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : AddGroup A

Context: s : Set G

Context: ι : Sort u_5

Context: S : ι → Subgroup G

Context: C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop

Context: h1 : C 1 ⋯

Context: x✝ : G

Context: hx : x✝ ∈ ⨆ i, S i

Context: x y : G

(fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) x → (fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) y → (fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) (x * y)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H K : Subgroup G

↑(map K.subtype (H.subgroupOf K)) = ↑(H ⊓ K)


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A

limsup (fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) atTop ≤ spectralRadius ℂ a


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
r_lt : ↑r < (spectralRadius ℂ a)⁻¹

↑r ≤ (limsup (fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) atTop)⁻¹


↑r ≤ liminf (fun i => 1 / ↑‖a ^ i‖₊ ^ (1 / ↑i)) atTop


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: r : ℝ≥0

Context: r_pos : 0 < r

Context: r_lt : ↑r < (spectralRadius ℂ a)⁻¹

Context: p : FormalMultilinearSeries ℂ ℂ A := fun n => ContinuousMultilinearMap.mkPiRing ℂ (Fin n) (a ^ n)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: r : ℝ≥0

Context: r_pos : 0 < r

Context: r_lt : ↑r < (spectralRadius ℂ a)⁻¹


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: r : ℝ≥0

Context: r_pos : 0 < r

Context: r_lt : ↑r < (spectralRadius ℂ a)⁻¹

Context: H₁ : HasFPowerSeriesOnBall (fun z => Ring.inverse (1 - z • a)) (cauchyPowerSeries (fun z => Ring.inverse (1 - z • a)) 0 ↑r) 0 ↑r


Context:
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝² : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x✝¹ : { x // x ∈ ↑(span R s) }
x : M
hx : x ∈ ↑(span R s)
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤


(fun x hx => ⟨x, hx⟩ ∈ span R (Subtype.val ⁻¹' s)) 0 ⋯


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝⁵ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x✝⁴ : { x // x ∈ ↑(span R s) }
x✝³ : M
hx : x✝³ ∈ ↑(span R s)
x✝² : ⟨x✝³, hx⟩ ∈ ⊤
x : M
x✝¹ : x ∈ span R s
y : M
x✝ : y ∈ span R s

(fun x hx => ⟨x, hx⟩ ∈ span R (Subtype.val ⁻¹' s)) x x✝¹ → (fun x hx => ⟨x, hx⟩ ∈ span R (Subtype.val ⁻¹' s)) y x✝ → (fun x hx => ⟨x, hx⟩ ∈ span R (Subtype.val ⁻¹' s)) (x + y) ⋯


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝⁴ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x✝³ : { x // x ∈ ↑(span R s) }
x✝² : M
hx : x✝² ∈ ↑(span R s)
x✝¹ : ⟨x✝², hx⟩ ∈ ⊤
r : R
x : M
x✝ : x ∈ span R s

(fun x hx => ⟨x, hx⟩ ∈ span R (Subtype.val ⁻¹' s)) x x✝ → (fun x hx => ⟨x, hx⟩ ∈ span R (Subtype.val ⁻¹' s)) (r • x) ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α

𝓤 α = comap (fun x => x.2⁻¹ * x.1) (𝓝 1)


comap ((fun x => x.1⁻¹ * x.2) ∘ Prod.swap) (𝓝 1) = comap (fun x => x.2⁻¹ * x.1) (𝓝 1)


Context:
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Invertible 2
a : αˢʸᵐ


Context:
θ : Angle
ψ : ℝ

θ.sin = Real.sin ψ ↔ θ = ↑ψ ∨ θ + ↑ψ = ↑π


Context: ψ x✝ : ℝ

(↑x✝).sin = Real.sin ψ ↔ ↑x✝ = ↑ψ ∨ ↑x✝ + ↑ψ = ↑π


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
hr : r ≠ 0
x : ↑(sphere 1 r)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : DiscreteTopology α

Context: f : α × β → γ

IsOpenMap f ↔ ∀ (a : α), IsOpenMap fun x => f (a, x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : DiscreteTopology α

Context: f : α × β → γ

(∀ (a : α) (b : β), 𝓝 (f (a, b)) ≤ map (f ∘ Prod.mk a) (𝓝 b)) ↔ ∀ (a : α) (x : β), 𝓝 (f (a, x)) ≤ map (fun x => f (a, x)) (𝓝 x)


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Preadditive C
J K : Type
inst✝² : Finite J
f✝ : J → C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
inst✝ : Fintype K
f : J → C
g : K → C
m : (j : J) → (k : K) → f j ⟶ g k
P : C
x : (k : K) → g k ⟶ P
j✝ : J

ι f j✝ ≫ matrix m ≫ desc x = ι f j✝ ≫ desc fun j => ∑ k : K, m j k ≫ x k


Context:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p : ↑(Ω^ N X x)
y✝ : N → ↑I


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
g : X → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
h : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, ‖g x‖ ≤ ‖f x‖
x : X
hx : x ∈ s
t : Set X
t_mem : t ∈ 𝓝[s] x
ht : IntegrableOn f t μ


Context:
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a b : R
hab : a < b
c : R
hc : IsRegular c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝¹ : AddCommSemigroup α
inst✝ : Neg β
h : Antiperiodic f c
a x : α


Context:
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : Scheme
inst✝ : IsAffine Y
f : X ⟶ Y

(∀ ⦃U₁ U₂ : Scheme⦄ (f₁ : U₁ ⟶ X) (f₂ : U₂ ⟶ X) [inst : IsAffine U₁] [inst_1 : IsAffine U₂] [inst_2 : IsOpenImmersion f₁] [inst_3 : IsOpenImmersion f₂], (fun X x x_1 x => CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace) (pullback f₁ f₂) (pullback (f₁ ≫ f) (f₂ ≫ f)) (pullback.mapDesc f₁ f₂ f) ⋯) ↔ QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace


(∀ ⦃U₁ U₂ : Scheme⦄ (f₁ : U₁ ⟶ X) (f₂ : U₂ ⟶ X) [inst : IsAffine U₁] [inst_1 : IsAffine U₂] [inst_2 : IsOpenImmersion f₁] [inst_3 : IsOpenImmersion f₂], (fun X x x_1 x => CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace) (pullback f₁ f₂) (pullback (f₁ ≫ f) (f₂ ≫ f)) (pullback.mapDesc f₁ f₂ f) ⋯) ↔ ∀ (U V : ↑X.affineOpens), IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₂ : Epi (app' φ 2 ⋯)
h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R

v.valuation ((algebraMap R K) r) < 1 ↔ v.asIdeal ∣ Ideal.span {r}


v.intValuation r < 1 ↔ v.asIdeal ∣ Ideal.span {r}


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x y z : R

Context: h : v x < v y


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x y z : R

Context: h : v x < v y


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
x✝ : a₁ ≡ b₁ [PMOD p]
m : ℤ
hm : b₁ - a₁ = m • p

(∃ b, b₁ - b₂ - (a₁ - a₂) = (Equiv.subLeft m).symm.symm b • p) ↔ a₂ ≡ b₂ [PMOD p]


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c a b : G


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.130873, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝¹ : Balanced C
hS : S.Exact
h : S.LeftHomologyData
inst✝ : Mono S.f


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.130873, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝¹ : Balanced C
hS : S.Exact
h : S.LeftHomologyData
inst✝ : Mono S.f
this : Epi h.f'


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.130873, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝¹ : Balanced C
hS : S.Exact
h : S.LeftHomologyData
inst✝ : Mono S.f
this✝ : Epi h.f'
this : Mono h.f'


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : CategoryWithHomology C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
n : ℤ

QuasiIso ((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (up ℤ)) n).map φ) ↔ QuasiIso φ


(∀ (i : ℤ), QuasiIsoAt φ (n + i)) ↔ ∀ (i : ℤ), QuasiIsoAt φ i


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : CommSemiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: s✝ t : Set A

Context: inst✝³ : CommSemiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: r : A

Context: s : Set B

Context: B' : Subalgebra R B

Context: hs : r • s ⊆ ↑B'

Context: x : B

Context: hr : (algebraMap A B) r ∈ B'

Context: hx : x ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : CommSemiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: s✝ t : Set A

Context: inst✝³ : CommSemiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: r : A

Context: s : Set B

Context: B' : Subalgebra R B

Context: hs : r • s ⊆ ↑B'

Context: x : B

Context: hr : (algebraMap A B) r ∈ B'

Context: hx : ∃ l, (Finsupp.total (↑↑(Submonoid.closure s)) B R Subtype.val) l = x


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
s✝ t : Set A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R

∃ n₀, ∀ n ≥ n₀, (r ^ n • l.sum fun i c => c • ↑i) ∈ B'


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : CommSemiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: s✝ t : Set A

Context: inst✝³ : CommSemiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: r : A

Context: s : Set B

Context: B' : Subalgebra R B

Context: hs : r • s ⊆ ↑B'

Context: hr : (algebraMap A B) r ∈ B'

Context: l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R

Context: n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ

Context: n₂ : ∀ (x : ↥(Submonoid.closure s)), r ^ n₁ x • ↑x ∈ Submonoid.closure (r • s)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : CommSemiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: s✝ t : Set A

Context: inst✝³ : CommSemiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: r : A

Context: s : Set B

Context: B' : Subalgebra R B

Context: hs : r • s ⊆ ↑B'

Context: hr : (algebraMap A B) r ∈ B'

Context: l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R

Context: n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ

∀ n ≥ l.support.sup n₁, (r ^ n • l.sum fun i c => c • ↑i) ∈ B'


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : CommSemiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: s✝ t : Set A

Context: inst✝³ : CommSemiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: r : A

Context: s : Set B

Context: B' : Subalgebra R B

Context: hs : r • s ⊆ ↑B'

Context: hr : (algebraMap A B) r ∈ B'

Context: l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R

Context: n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ l.support.sup n₁


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : CommSemiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: s✝ t : Set A

Context: inst✝³ : CommSemiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: r : A

Context: s : Set B

Context: B' : Subalgebra R B

Context: hs : r • s ⊆ ↑B'

Context: hr : (algebraMap A B) r ∈ B'

Context: l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R

Context: n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ l.support.sup n₁

∀ c ∈ l.support, (fun a b => r ^ n • b • ↑a) c (l c) ∈ Subalgebra.toSubmodule B'