case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (c • x)) =ᶠ[ae μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)


case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
⊢ ↑↑(c • condexpIndSMul hm hs hμs x) =ᶠ[ae μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)


case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
⊢ c • ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) =ᶠ[ae μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝² : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: c : ℝ

Context: x : G

Context: y : α

case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
y : α
hy : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) y = ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) y
⊢ (c • ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)) y = (c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)) y


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
hs : s.Subsingleton
⊢ s.einfsep = ⊤


𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : 0 < C
hf : Tendsto f l (𝓝 C)
hg : Tendsto g l atTop
⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atTop


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ

Context: h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_anti : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Antitone fun n => f n x
h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (x : α), F x ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ

Context: h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_anti : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Antitone fun n => f n x
h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
this : Antitone fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ
⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (x : α), F x ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ

Context: h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_anti : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Antitone fun n => f n x
h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
this : Antitone fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ
⊢ ∫⁻ (x : α), F x ∂μ = ⨅ n, ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ

Context: h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_anti : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Antitone fun n => f n x
h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
this : Antitone fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ
⊢ ∫⁻ (x : α), F x ∂μ = ∫⁻ (a : α), ⨅ n, f n a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ

Context: h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_anti : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Antitone fun n => f n x
h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
this : Antitone fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ
⊢ F =ᶠ[ae μ] fun a => ⨅ n, f n a


R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
f : ι →₀ R
i : ι
⊢ (b.toDual ((Finsupp.total ι M R ⇑b) f)) (b i) = f i


R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
f : ι →₀ R
i : ι
⊢ ∑ d ∈ f.support, (b.toDual (f d • b d)) (b i) = f i


X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z✝ : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z✝
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
Z : Type u_7
f : X → Y → Z
ta1 ta2 : TopologicalSpace X
tb1 tb2 : TopologicalSpace Y
tc1 : TopologicalSpace Z
h : Continuous fun p => f p.1 p.2
⊢ Continuous fun p => f p.1 p.2


X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z✝ : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z✝
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
Z : Type u_7
f : X → Y → Z
ta1 ta2 : TopologicalSpace X
tb1 tb2 : TopologicalSpace Y
tc1 : TopologicalSpace Z
h : Continuous fun p => f p.1 p.2
ha : Continuous id
⊢ Continuous fun p => f p.1 p.2


X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z✝ : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z✝
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
Z : Type u_7
f : X → Y → Z
ta1 ta2 : TopologicalSpace X
tb1 tb2 : TopologicalSpace Y
tc1 : TopologicalSpace Z
h : Continuous fun p => f p.1 p.2
ha : Continuous id
hb : Continuous id
⊢ Continuous fun p => f p.1 p.2


Context: X✝ : Type u

Context: Y✝ : Type v

Context: Z✝ : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z✝

Context: inst✝² : TopologicalSpace W

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace ε

Context: inst✝ : TopologicalSpace ζ

Context: X : Type u_5

Context: Y : Type u_6

Context: Z : Type u_7

Context: f : X → Y → Z

Context: ta1 ta2 : TopologicalSpace X

Context: tb1 tb2 : TopologicalSpace Y

Context: tc1 : TopologicalSpace Z

Context: h : Continuous fun p => f p.1 p.2

Context: ha : Continuous id

Context: hb : Continuous id

X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z✝ : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z✝
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
Z : Type u_7
f : X → Y → Z
ta1 ta2 : TopologicalSpace X
tb1 tb2 : TopologicalSpace Y
tc1 : TopologicalSpace Z
h : Continuous fun p => f p.1 p.2
ha : Continuous id
hb : Continuous id
h_continuous_id : Continuous fun p => (id p.1, id p.2)
⊢ Continuous fun p => f p.1 p.2


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
M : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
Q : Type u_9
G : Type u_10
H : Type u_11
inst✝³ : EquivLike F α β
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
e : M ≃* N
f : P →* M
⊢ (↑e.symm).comp ((↑e).comp f) = f


α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
p : α × Bool
l : List (α × Bool)
⊢ Step (p :: l ++ L₁) (p :: l ++ L₂) ↔ Step L₁ L₂


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : Array α

α : Type u_1
p : α → Bool
l : Array α
⊢ (filter p l 0).size ≤ l.size


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : Array α

α : Type u_1
p : α → Bool
l : Array α
⊢ (List.filter p l.data).length ≤ l.data.length


R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₃
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module S M₃
σ✝ : R →+* S
σ : R →+* R
inst✝ : RingHomId σ
r : R
x : M
⊢ { toFun := fun x => x, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) = σ r • { toFun := fun x => x, map_add' := ⋯ }.toFun x


α : Type ?u.2288
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
⊢ ↑((fun s => ⟨(s.inf, s.sup), ⋯⟩) s(a, b)) = (a, b) ∨ ↑((fun s => ⟨(s.inf, s.sup), ⋯⟩) s(a, b)) = (a, b).swap


ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
h : ¬IntervalIntegrable f μ a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = 0


ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
h : ¬IntegrableOn f (Ι a b) μ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = 0


α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
hs : autoParam s.Finite _auto✝
ht : autoParam t.Finite _auto✝
⊢ (s ∪ t).ncard + (s ∩ t).ncard = s.ncard + t.ncard


α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
hs : autoParam s.Finite _auto✝
ht : autoParam t.Finite _auto✝
⊢ ↑(s ∪ t).ncard + ↑(s ∩ t).ncard = ↑s.ncard + ↑t.ncard


ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
f : ℕ → β
n : ℕ
⊢ ∏ x ∈ range (n + 1), f x = f n * ∏ x ∈ range n, f x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin 2)

Context: f : E ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ

Context: x : E

E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
f : E ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
hf : (map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o = Complex.orientation
x : E
⊢ f (o.rightAngleRotation x) = I * f x


R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Ring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
h : (x + y) ^ n = 0
⊢ x ^ m ∣ y ^ p


R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Ring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
h : (x + y) ^ n = 0
⊢ x ^ m ∣ (-y) ^ p * (-1) ^ p


case h
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Ring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
h : (x + y) ^ n = 0
⊢ x ^ m ∣ (-y) ^ p


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: i : E ≃L[𝕜] F

Context: n : ℕ

case h.H
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
n : ℕ
IH : ∀ m < n, p.removeZero.leftInv i m = p.leftInv i m
⊢ p.removeZero.leftInv i n = p.leftInv i n


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f : ι → α → M

Context: x : Filter α

Context: a : ι → M

ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → α → M
x : Filter α
a : ι → M
x✝ : ∀ i ∈ [], Tendsto (f i) x (𝓝 (a i))
⊢ Tendsto (fun b => (List.map (fun c => f c b) []).prod) x (𝓝 (List.map a []).prod)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f✝ : ι → α → M

Context: x : Filter α

Context: a : ι → M

Context: f : ι

Context: l : List ι

ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f✝ : ι → α → M
x : Filter α
a : ι → M
f : ι
l : List ι
h : ∀ i ∈ f :: l, Tendsto (f✝ i) x (𝓝 (a i))
⊢ Tendsto (fun b => (List.map (fun c => f✝ c b) (f :: l)).prod) x (𝓝 (List.map a (f :: l)).prod)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f✝ : ι → α → M

Context: x : Filter α

Context: a : ι → M

Context: f : ι

Context: l : List ι

ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f✝ : ι → α → M
x : Filter α
a : ι → M
f : ι
l : List ι
h : ∀ i ∈ f :: l, Tendsto (f✝ i) x (𝓝 (a i))
⊢ Tendsto (fun b => f✝ f b * (List.map (fun c => f✝ c b) l).prod) x (𝓝 (a f * (List.map a l).prod))


F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
K : IntermediateField F E
⊢ lift ⊤ = K


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: A : ValuationSubring K

Context: a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ

K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ
h : A.primeSpectrumEquiv a✝ ≤ A.primeSpectrumEquiv b✝
⊢ a✝ ≤ b✝


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: A : ValuationSubring K

Context: a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ

Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: A : ValuationSubring K

Context: a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ

Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: A : ValuationSubring K

Context: a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ

case refine_3
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ
h : A.primeSpectrumEquiv a✝ ≤ A.primeSpectrumEquiv b✝
this : A.idealOfLE ↑(A.primeSpectrumEquiv b✝) ?refine_2 ≤ A.idealOfLE ↑(A.primeSpectrumEquiv a✝) ?refine_1
⊢ a✝ ≤ b✝

case refine_1
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ
h : A.primeSpectrumEquiv a✝ ≤ A.primeSpectrumEquiv b✝
⊢ A ≤ ↑(A.primeSpectrumEquiv a✝)

case refine_2
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ
h : A.primeSpectrumEquiv a✝ ≤ A.primeSpectrumEquiv b✝
⊢ A ≤ ↑(A.primeSpectrumEquiv b✝)


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: A : ValuationSubring K

Context: a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ

Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: A : ValuationSubring K

Context: a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ

case refine_1
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ
h : A.primeSpectrumEquiv a✝ ≤ A.primeSpectrumEquiv b✝
⊢ A ≤ ↑(A.primeSpectrumEquiv a✝)

case refine_2
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ
h : A.primeSpectrumEquiv a✝ ≤ A.primeSpectrumEquiv b✝
⊢ A ≤ ↑(A.primeSpectrumEquiv b✝)


K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ
h : a✝ ≤ b✝
⊢ __src✝ a✝ ≤ __src✝ b✝


R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R
⊢ W'.dblU (u • P) = u ^ 4 * W'.dblU P


Context: n : ℕ


R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
⊢ eval₂ f x X = x


R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R
⊢ IsCoprime x (z * x + y)


R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R
⊢ IsCoprime x (y + z * x)


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.82092, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s s' : S.Splitting
h : s.r = s'.r
⊢ s = s'


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.82092, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s s' : S.Splitting
h : s.r = s'.r
this : Epi S.g
⊢ s = s'


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.82092, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s s' : S.Splitting
h : s.r = s'.r
this : Epi S.g
eq : s.r ≫ S.f + S.g ≫ s.s = 𝟙 S.X₂
⊢ s = s'


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
l : Filter ι
s : ι → Set α
hl : Tendsto (⇑μ ∘ s) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in s i, f x ∂μ) l (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: ι : Type u_5

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: l : Filter ι

Context: s : ι → Set α

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : 0 < ε

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
l : Filter ι
s : ι → Set α
hl : ∀ (i : ℝ≥0∞), 0 < i → ∀ᶠ (a : ι) in l, (⇑μ ∘ s) a < i
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (a : ι) in l, ∫⁻ (x : α) in s a, f x ∂μ < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ✝ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: ι : Type u_5

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: l : Filter ι

Context: s : ι → Set α

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : 0 < ε

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δ0 : δ > 0

case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ✝ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
l : Filter ι
s : ι → Set α
hl : ∀ (i : ℝ≥0∞), 0 < i → ∀ᶠ (a : ι) in l, (⇑μ ∘ s) a < i
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
δ : ℝ≥0∞
δ0 : δ > 0
hδ : ∀ (s : Set α), μ s < δ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ < ε
⊢ ∀ᶠ (a : ι) in l, ∫⁻ (x : α) in s a, f x ∂μ < ε


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
h : a < b
⊢ 1 / b < 1 / a


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f (σ i) • g i = ∑ i ∈ s, f i • g i ↔ MonovaryOn (f ∘ ⇑σ) g ↑s


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
hσinv : {x | σ⁻¹ x ≠ x} ⊆ ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f (σ i) • g i = ∑ i ∈ s, f i • g i ↔ MonovaryOn (f ∘ ⇑σ) g ↑s


α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
f : α → α
g : α → E
n : ℕ
x y : α
⊢ dist (birkhoffAverage 𝕜 f g n x) (birkhoffAverage 𝕜 f g n y) = dist (birkhoffSum f g n x) (birkhoffSum f g n y) / ↑n


case h
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
α' : Type u_1
σ' : Type u_2
f : α' → α
x : List α'
⊢ x ∈ (comap f M).accepts ↔ x ∈ List.map f ⁻¹' M.accepts


case h
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
α' : Type u_1
σ' : Type u_2
f : α' → α
x : List α'
⊢ x ∈ (comap f M).accepts ↔ M.eval (List.map f x) ∈ M.accept


α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t : Multiset α
a : α
⊢ a ∈ s.ndinter t ↔ a ∈ s ∧ a ∈ t


V : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Fintype ↑(G ⊔ edge s t).edgeSet
hn : ¬G.Adj s t
h : s ≠ t
⊢ (G ⊔ edge s t).edgeFinset.card = G.edgeFinset.card + 1


ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
f : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
g : D ⟶ E
j : ι
⊢ (f j (c.prev j) ≫ g.f (c.prev j)) ≫ E.d (c.prev j) j = (f j (c.prev j) ≫ D.d (c.prev j) j) ≫ g.f j


R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
⊢ xgcdAux x 1 0 y 0 1 = (gcd x y, xgcd x y)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₀.toCompacts
⊢ chaar K₀ K₀.toCompacts = 1


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: this : Continuous eval

G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₀.toCompacts
this : Continuous eval
⊢ chaar K₀ ∈ eval ⁻¹' {1}


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: this : Continuous eval

G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₀.toCompacts
this : Continuous eval
⊢ closure (prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U}) ⊆ eval ⁻¹' {1}


α : Type u
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : Subsingleton αˣ
a b : α
h : a * b = 1
⊢ b * a = 1


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
h : s ⊆ t
⊢ (s + t).dedup = t.dedup


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a✝ b✝ : List α

case h
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
a✝ b✝ : List α
h : Quot.mk Setoid.r a✝ ⊆ Quot.mk Setoid.r b✝
⊢ (Quot.mk Setoid.r a✝ + Quot.mk Setoid.r b✝).dedup = dedup (Quot.mk Setoid.r b✝)


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K

K : Type u
inst✝ : Field K
⊢ denom 1 = 1


X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
⊢ SigmaCompactSpace X ↔ ∃ K, (∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)) ∧ ⋃ n, K n = univ


α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r r' : ℝ
h_le : r ≤ r'
⊢ ρ.IicSnd r ≤ ρ.IicSnd r'


α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r r' : ℝ
h_le : r ≤ r'
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (ρ.IicSnd r) s ≤ (ρ.IicSnd r') s


α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r r' : ℝ
h_le : r ≤ r'
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ρ (s ×ˢ Iic r) ≤ ρ (s ×ˢ Iic r')


R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
s : Set L
⊢ Submodule.span R s ≤ (lieSpan R L s).toSubmodule


R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
s : Set L
⊢ s ⊆ ↑(lieSpan R L s).toSubmodule


α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteSemilatticeSup α
s t : Set α
b : α
⊢ IsLUB s (sSup s)


R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
i : σ
⊢ coeff (Finsupp.single i 1) (X i) = 1


⁅⁅H₁, H₂⁆, H₃⁆ = ⊥

G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f : F
g₁ g₂ g₃ g : G
H₁ H₂ H₃ K₁ K₂ : Subgroup G
h1 : ⁅⁅H₂, H₃⁆, H₁⁆ = ⊥
h2 : ⁅⁅H₃, H₁⁆, H₂⁆ = ⊥
⊢ ⁅⁅H₁, H₂⁆, H₃⁆ = ⊥


α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
⊢ s ∈ 𝓓 a 𝒜 ↔ s ∈ 𝒜 ∧ s.erase a ∈ 𝒜 ∨ s ∉ 𝒜 ∧ insert a s ∈ 𝒜


α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
⊢ s ∈ 𝒜 ∧ s.erase a ∈ 𝒜 ∨ (∃ a_1 ∈ 𝒜, a_1.erase a = s) ∧ s ∉ 𝒜 ↔ s ∈ 𝒜 ∧ s.erase a ∈ 𝒜 ∨ insert a s ∈ 𝒜 ∧ s ∉ 𝒜


case intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
a : α
t : Finset α
ht : t ∈ 𝒜
hs : t.erase a ∉ 𝒜
⊢ insert a (t.erase a) ∈ 𝒜


V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2


V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₃ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0


ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
P Q : CochainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j
j : ℕ
⊢ P.d j ((ComplexShape.up ℕ).next j) ≫ f ((ComplexShape.up ℕ).next j) j = P.d j (j + 1) ≫ f (j + 1) j


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ q✝ : α → Prop
inst✝³ : DecidablePred p✝
inst✝² : DecidablePred q✝
s✝ t s : Finset α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
⊢ _root_.Disjoint (filter p s) (filter q s) ↔ ∀ x ∈ s, p x → ¬q x


R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
n d : F
hPz : P z ≠ 0
hd : d ≠ 0
⊢ W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (P x / P z ^ 2) (-n / (P z * d)) =
    (n ^ 2 - W.a₁ * n * P z * d - W.a₂ * P z ^ 2 * d ^ 2 - 2 * P x * d ^ 2) / (P z * d) ^ 2


case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v w : E
hv : ¬v = 0
⊢ ↑((orthogonalProjection (Submodule.span 𝕜 {v})) w) = (⟪v, w⟫_𝕜 / ↑(‖v‖ ^ 2)) • v


case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v w : E
hv : ¬v = 0
hv' : ‖v‖ ≠ 0
⊢ ↑((orthogonalProjection (Submodule.span 𝕜 {v})) w) = (⟪v, w⟫_𝕜 / ↑(‖v‖ ^ 2)) • v


G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
ι : Sort u_5
p : ι → Subgroup G
⊢ ⨆ i, p i = closure (⋃ i, ↑(p i))


Context: α : Sort u_1

Context: β : Sort u_2

Context: γ : Sort u_3

Context: f : α → β

Context: hf : Injective f

Context: e' : β → γ

Context: g₁ g₂ : α → γ

α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
hf : Injective f
e' : β → γ
g₁ g₂ : α → γ
hg : (fun g => extend f g e') g₁ = (fun g => extend f g e') g₂
⊢ g₁ = g₂


Context: α : Sort u_1

Context: β : Sort u_2

Context: γ : Sort u_3

Context: f : α → β

Context: hf : Injective f

Context: e' : β → γ

Context: g₁ g₂ : α → γ

Context: x : α

α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
hf : Injective f
e' : β → γ
g₁ g₂ : α → γ
hg : (fun g => extend f g e') g₁ = (fun g => extend f g e') g₂
x : α
H : (fun g => extend f g e') g₁ (f x) = (fun g => extend f g e') g₂ (f x)
⊢ g₁ x = g₂ x


Context: m n k : ℕ

m n k : ℕ
⊢ (m + k * n).Coprime n ↔ m.Coprime n


case a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Finset α
x : α
⊢ x ∈ map (Embedding.subtype p) (Finset.subtype p s) ↔ x ∈ filter p s


Context: a b : ℕ+


Context: a b : ℕ+

a b : ℕ+
⊢ (Ioo a b).card = (Ioo ↑a ↑b).card


Context: a b : ℕ+

a b : ℕ+
⊢ (Ioo a b).card = (map (Embedding.subtype fun n => 0 < n) (Ioo a b)).card


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m : ℕ

p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m : ℕ
⊢ padicNorm p ↑m < 1 ↔ p ∣ m


t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f : β → γ
x✝ : t β
x : t α
⊢ sequence (pure <$> x) = pure x


𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁵ : NormedField 𝕜
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²² : PseudoMetricSpace P
inst✝²¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁸ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁷ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹⁴ : MetricSpace P₁'
inst✝¹³ : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝¹⁰ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝⁹ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁶ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁵ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝² : PseudoMetricSpace P₄
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₄ P₄
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
α : Type u_14
inst✝ : TopologicalSpace α
x y : P
⊢ dist ((pointReflection 𝕜 x) y) x = dist y x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: hj₁ : MeasurableSet j

α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : VectorMeasure.restrict 0 i ≤ VectorMeasure.restrict s i
hi₁ : MeasurableSet i
hj₁ : MeasurableSet j
⊢ (s.toMeasureOfZeroLE i hi₁ hi) j = ↑⟨↑s (i ∩ j), ⋯⟩


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
n m : ℕ
h_eq : succ^[n] a = succ^[m] a
h_ne : n ≠ m
⊢ IsMax (succ^[n] a)


α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
ι : Sort w
inst✝ : Finite ι
f : ι → Set α
⊢ ⨅ i, 𝓟 (f i) = 𝓟 (⋂ i, f i)


case intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
ι : Sort w
inst✝ : Finite ι
f : ι → Set α
val✝ : Fintype (PLift ι)
⊢ ⨅ i, 𝓟 (f i) = 𝓟 (⋂ i, f i)


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m : Language α
a b x : List α
l : Language α
⊢ l∗ * l = l * l∗


case h
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
R₁ : Type u_10
inst✝⁴ : Semiring R₁
σ : R →+* R₁
σ' : R₁ →+* R
inst✝³ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝² : RingHomInvPair σ' σ
M₁ : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
f₁ f₂ : M ≃ₛₗ[σ] M₁
h : ∀ (i : ι), f₁ (b i) = f₂ (b i)
x : M
⊢ f₁ x = f₂ x


case h
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
R₁ : Type u_10
inst✝⁴ : Semiring R₁
σ : R →+* R₁
σ' : R₁ →+* R
inst✝³ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝² : RingHomInvPair σ' σ
M₁ : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
f₁ f₂ : M ≃ₛₗ[σ] M₁
h : ∀ (i : ι), f₁ (b i) = f₂ (b i)
x : M
⊢ f₁ (∑ a ∈ (b.repr x).support, (b.repr x) a • b a) = f₂ (∑ a ∈ (b.repr x).support, (b.repr x) a • b a)


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
s : Set Cardinal.{u}
hs : BddAbove s
a : Ordinal.{u}
⊢ (sSup s).ord ≤ a ↔ sSup (ord '' s) ≤ a


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
s : Set Cardinal.{u}
hs : BddAbove s
a : Ordinal.{u}
⊢ (∀ x ∈ s, x ≤ a.card) ↔ ∀ x ∈ ord '' s, x ≤ a


Context: R : Type u_1

Context: 𝕜₁ : Type u_2

Context: 𝕜₂ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝⁸ : OrderedSemiring R

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: inst✝³ : Module R F

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul R F

Context: inst✝¹ : LocallyConvexSpace R F

Context: inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F

Context: 𝔖 : Set (Set E)

Context: h𝔖₁ : 𝔖.Nonempty

R : Type u_1
𝕜₁ : Type u_2
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommGroup E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : AddCommGroup F
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁸ : OrderedSemiring R
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝³ : Module R F
inst✝² : ContinuousConstSMul R F
inst✝¹ : LocallyConvexSpace R F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖₁ : 𝔖.Nonempty
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
⊢ LocallyConvexSpace R (UniformConvergenceCLM σ F 𝔖)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s✝ s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: a b : ℝ

Context: ht₀ : t₀ ∈ Ioo a b

Context: hγ : IsIntegralCurveOn γ v (Ioo a b)

Context: hγ' : IsIntegralCurveOn γ' v (Ioo a b)

Context: h : γ t₀ = γ' t₀

Context: s : Set ℝ := {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b

Context: hs : s = {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b

E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝ : T2Space M
a b : ℝ
ht₀ : t₀ ∈ Ioo a b
hγt : ∀ t ∈ Ioo a b, I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
hγ : IsIntegralCurveOn γ v (Ioo a b)
hγ' : IsIntegralCurveOn γ' v (Ioo a b)
h : γ t₀ = γ' t₀
s : Set ℝ := {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b
hs : s = {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b
⊢ EqOn γ γ' (Ioo a b)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s✝ s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: a b : ℝ

Context: ht₀ : t₀ ∈ Ioo a b

Context: hγ : IsIntegralCurveOn γ v (Ioo a b)

Context: hγ' : IsIntegralCurveOn γ' v (Ioo a b)

Context: h : γ t₀ = γ' t₀

Context: s : Set ℝ := {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b

Context: hs : s = {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b

E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝ : T2Space M
a b : ℝ
ht₀ : t₀ ∈ Ioo a b
hγt : ∀ t ∈ Ioo a b, I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
hγ : IsIntegralCurveOn γ v (Ioo a b)
hγ' : IsIntegralCurveOn γ' v (Ioo a b)
h : γ t₀ = γ' t₀
s : Set ℝ := {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b
hs : s = {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b
⊢ Ioo a b ⊆ s


Context: a : ℤ

a : ℤ
⊢ Ideal.span {↑a.natAbs} = Ideal.span {a}


Context: a : ℤ


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
p q : Multiset (Associates α)
h : p ≤ q
this✝ : DecidableEq (Associates α)
this : DecidableEq α
⊢ p.prod ≤ q.prod


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
p q : Multiset (Associates α)
h : p ≤ q
this✝ : DecidableEq (Associates α)
this : DecidableEq α
⊢ p.prod * 1 ≤ p.prod * (q - p).prod


α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s : Set Q
y : Q
hy : y ∈ interior s
⊢ ∀ᶠ (δ : 𝕜) in 𝓝 1, (homothety x δ) y ∈ s


α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s : Set Q
y : Q
hy : y ∈ interior s
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ∀ ⦃x_1 : 𝕜⦄, x_1 ∈ {y | ‖y - 1‖ < i} → (homothety x x_1) y ∈ s


case inr
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s : Set Q
y : Q
hy : y ∈ interior s
h : y ≠ x
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ∀ ⦃x_1 : 𝕜⦄, x_1 ∈ {y | ‖y - 1‖ < i} → (homothety x x_1) y ∈ s


case inr
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s : Set Q
y : Q
hy : y ∈ interior s
h : y ≠ x
hxy : 0 < ‖y -ᵥ x‖
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ∀ ⦃x_1 : 𝕜⦄, x_1 ∈ {y | ‖y - 1‖ < i} → (homothety x x_1) y ∈ s


case inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s : Set Q
y : Q
hy : y ∈ interior s
h : y ≠ x
hxy : 0 < ‖y -ᵥ x‖
u : Set Q
hu₁ : u ⊆ s
hu₂ : IsOpen u
hu₃ : y ∈ u
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ∀ ⦃x_1 : 𝕜⦄, x_1 ∈ {y | ‖y - 1‖ < i} → (homothety x x_1) y ∈ s


case inr.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s : Set Q
y : Q
hy : y ∈ interior s
h : y ≠ x
hxy : 0 < ‖y -ᵥ x‖
u : Set Q
hu₁ : u ⊆ s
hu₂ : IsOpen u
hu₃ : y ∈ u
ε : ℝ
hε : ε > 0
hyε : Metric.ball y ε ⊆ u
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ∀ ⦃x_1 : 𝕜⦄, x_1 ∈ {y | ‖y - 1‖ < i} → (homothety x x_1) y ∈ s


case inr.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s : Set Q
y : Q
hy : y ∈ interior s
h : y ≠ x
hxy : 0 < ‖y -ᵥ x‖
u : Set Q
hu₁ : u ⊆ s
hu₂ : IsOpen u
hu₃ : y ∈ u
ε : ℝ
hε : ε > 0
hyε : Metric.ball y ε ⊆ u
δ : 𝕜
hδ : ‖δ - 1‖ < ε / ‖y -ᵥ x‖
⊢ (homothety x δ) y ∈ Metric.ball y ε


case inr.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s : Set Q
y : Q
hy : y ∈ interior s
h : y ≠ x
hxy : 0 < ‖y -ᵥ x‖
u : Set Q
hu₁ : u ⊆ s
hu₂ : IsOpen u
hu₃ : y ∈ u
ε : ℝ
hε : ε > 0
hyε : Metric.ball y ε ⊆ u
δ : 𝕜
hδ : ‖δ • (y -ᵥ x) - (y -ᵥ x)‖ < ε
⊢ (homothety x δ) y ∈ Metric.ball y ε


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
s : Finset α
hsn : s.card ≤ n
hnα : n ≤ Fintype.card α
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ t.card = n


R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : IsDomain R
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
⊢ IsFractionRing S T


R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : IsDomain R
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
this : Nontrivial T
⊢ IsFractionRing S T


R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : IsDomain R
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
this✝ : Nontrivial T
this : Nontrivial S
⊢ IsFractionRing S T


R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : IsDomain R
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
this✝ : Nontrivial T
this : Nontrivial S
x : R
hx : x ∈ M
⊢ x ∈ nonZeroDivisors R


R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : IsDomain R
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
this✝ : Nontrivial T
this : Nontrivial S
x : R
hx : x ∈ M
hx' : x = 0
⊢ False


case a
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : IsDomain R
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
this✝ : Nontrivial T
this : Nontrivial S
x : R
hx : x ∈ M
hx' : x = 0
⊢ 0 = 1


α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
⊢ Disjoint (map (Sym2.mkEmbedding a) (cons a s ha)) s.sym2


α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
P : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup P
f : α → P
hf : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ∫ (x : α), ‖f x‖ ∂μ = (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ).toReal


K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x : 𝓞 K
⊢ λ ∣ x * (x - 1) * (x - (↑η + 1))


ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
x : M →ₗ[R] N
⊢ (dualTensorHom R M N) ((dualTensorHomEquivOfBasis b).symm x) = x


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s : Set α
⊢ SurjOn id s s


Context: a b c d m n✝ k✝ : ℕ

Context: p q : ℕ → Prop

Context: n k : ℕ

a b c d m n✝ k✝ : ℕ
p q : ℕ → Prop
n k : ℕ
iter_next : ℕ → ℕ → ℕ := fun n guess => (guess + n / guess) / 2
⊢ (let next := (k + n / k) / 2;
    if _h : next < k then sqrt.iter n next else k) ≤
    iter_next n
      (let next := (k + n / k) / 2;
      if _h : next < k then sqrt.iter n next else k)


Context: G : Type u

Context: inst✝⁵ : Group G

Context: N : Subgroup G

Context: nN : N.Normal

Context: H : Type v

Context: inst✝⁴ : Group H

Context: M✝ : Type x

Context: inst✝³ : Monoid M✝

Context: I : Type u_1

Context: inst✝² : Group I

Context: M : Subgroup H

Context: O : Subgroup I

Context: inst✝¹ : M.Normal

Context: inst✝ : O.Normal

Context: f : G →* H

Context: g : H →* I

Context: hf : N ≤ Subgroup.comap f M

Context: hg : M ≤ Subgroup.comap g O

Context: x : G ⧸ N

G : Type u
inst✝⁵ : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝⁴ : Group H
M✝ : Type x
inst✝³ : Monoid M✝
I : Type u_1
inst✝² : Group I
M : Subgroup H
O : Subgroup I
inst✝¹ : M.Normal
inst✝ : O.Normal
f : G →* H
g : H →* I
hf : N ≤ Subgroup.comap f M
hg : M ≤ Subgroup.comap g O
hgf : optParam (N ≤ Subgroup.comap (g.comp f) O) ⋯
x : G ⧸ N
⊢ (map M O g hg) ((map N M f hf) x) = (map N O (g.comp f) hgf) x


Context: G : Type u

Context: inst✝⁵ : Group G

Context: N : Subgroup G

Context: nN : N.Normal

Context: H : Type v

Context: inst✝⁴ : Group H

Context: M✝ : Type x

Context: inst✝³ : Monoid M✝

Context: I : Type u_1

Context: inst✝² : Group I

Context: M : Subgroup H

Context: O : Subgroup I

Context: inst✝¹ : M.Normal

Context: inst✝ : O.Normal

Context: f : G →* H

Context: g : H →* I

Context: hf : N ≤ Subgroup.comap f M

Context: hg : M ≤ Subgroup.comap g O

Context: x✝ : G ⧸ N

Context: x : G

G : Type u
inst✝⁵ : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝⁴ : Group H
M✝ : Type x
inst✝³ : Monoid M✝
I : Type u_1
inst✝² : Group I
M : Subgroup H
O : Subgroup I
inst✝¹ : M.Normal
inst✝ : O.Normal
f : G →* H
g : H →* I
hf : N ≤ Subgroup.comap f M
hg : M ≤ Subgroup.comap g O
hgf : optParam (N ≤ Subgroup.comap (g.comp f) O) ⋯
x✝ : G ⧸ N
x : G
⊢ (map M O g hg) ((map N M f hf) ↑x) = (map N O (g.comp f) hgf) ↑x


α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
a b : α
⊢ 𝓝 (a, b) = (𝓤 α).lift' fun s => {y | (y, a) ∈ s} ×ˢ {y | (b, y) ∈ s}


α : Type u_1
G✝ : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
G : Type u_6
inst✝ : Group G
S : Set G
x : G
⊢ x ∈ closure S⁻¹ ↔ x⁻¹ ∈ closure S


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
a b : α
⊢ toUpperSet a ⤳ toUpperSet b ↔ b ≤ a


α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort u_5
f : Filter α✝
g : Filter β✝
α : Type u_6
β : Type u_7
ι : Type u_8
a : α
b : β
i : ι
⊢ map (Prod.map (fun x => b) id) ((𝓟 {a}).coprod (𝓟 {i})) = 𝓟 ({b} ×ˢ univ)


X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
⊢ Function.Surjective (F.stalkToFiber x)


case w
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
t : F.stalk x
⊢ ∃ U f, ∃ (_ : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred f), f ⟨x, ⋯⟩ = t


Context: X : TopCat

Context: F : Presheaf (Type v) X

Context: x : ↑X

Context: U : Opens ↑X

Context: m : x ∈ U

case w.intro.intro.intro
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U : Opens ↑X
m : x ∈ U
s : (forget (Type v)).obj (F.obj (op U))
⊢ ∃ U_1 f, ∃ (_ : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred f), f ⟨x, ⋯⟩ = (F.germ ⟨x, m⟩) s


I : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : I → Type v₁
g : I → Type v₂
h : I → Type v₃
x y : (i : I) → f i
i✝ : I
a a' : α → γ
b b' : β → γ
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : One γ
i : α
c : γ
⊢ Sum.elim (Pi.mulSingle i c) 1 = Pi.mulSingle (inl i) c


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: μ : Measure β

Context: f : β → E

Context: hf : Integrable f μ

α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsClosed s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: μ : Measure β

Context: f : β → E

Context: hf : Integrable f μ

α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsClosed s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
⊢ ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: μ : Measure β

Context: f : β → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsClosed s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
A : ∀ (t : Set β), MeasurableSet t → ∫ (x : β) in t, f x ∂μ = 0 → ∫ (x : β) in tᶜ, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0


𝔽 : Type u_1
inst✝¹ : Field 𝔽
inst✝ : Fintype 𝔽
n : ℕ
⊢ Nat.card (GL (Fin n) 𝔽) = ∏ i : Fin n, (q ^ n - q ^ ↑i)


R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
p q : Submodule R (CliffordAlgebra Q)
⊢ Submodule.comap reverse (p * q) = Submodule.comap reverse q * Submodule.comap reverse p


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁶ : StarRing R

Context: inst✝¹⁵ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹⁴ : StarRing A

Context: inst✝¹³ : Module R A

Context: inst✝¹² : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹¹ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝¹⁰ : StarModule R A

Context: inst✝⁹ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁸ : StarRing B

Context: inst✝⁷ : Module R B

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝⁴ : StarModule R B

Context: inst✝³ : FunLike F A B

Context: inst✝² : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: S : NonUnitalStarSubalgebra R A

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: K : ι → NonUnitalStarSubalgebra R A

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K

Context: f : (i : ι) → ↥(K i) →⋆ₙₐ[R] B

Context: i : ι

Context: x : ↥(K i)

Context: hx : ↑x ∈ iSup K

F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : StarRing R
inst✝¹⁵ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹⁴ : StarRing A
inst✝¹³ : Module R A
inst✝¹² : IsScalarTower R A A
inst✝¹¹ : SMulCommClass R A A
inst✝¹⁰ : StarModule R A
inst✝⁹ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁸ : StarRing B
inst✝⁷ : Module R B
inst✝⁶ : IsScalarTower R B B
inst✝⁵ : SMulCommClass R B B
inst✝⁴ : StarModule R B
inst✝³ : FunLike F A B
inst✝² : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝¹ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalStarSubalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →⋆ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
i : ι
x : ↥(K i)
hx : ↑x ∈ iSup K
⊢ Set.iUnionLift (fun i => ↑(K i)) (fun i x => (f i) x) ⋯ ↑(iSup K) ⋯ ⟨↑x, hx⟩ = (f i) x


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: v : Set E

Context: A : ι → Submodule 𝕜 E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: n : ℕ

Context: hn : finrank 𝕜 E = n

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: V : ι → Submodule 𝕜 E

Context: hV : IsInternal V

Context: a : Fin n

ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝² : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : finrank 𝕜 E = n
inst✝ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : IsInternal V
a : Fin n
hV' : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
⊢ (subordinateOrthonormalBasis hn hV hV') a ∈ V (subordinateOrthonormalBasisIndex hn hV a hV')


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: s : ℕ → Set α

Context: p : ℕ → Prop

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
s : ℕ → Set α
p : ℕ → Prop
h : ∀ (n : ℕ), p n → MeasurableSet (s n)
⊢ MeasurableSet (blimsup s atTop p)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: s : ℕ → Set α

Context: p : ℕ → Prop

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
s : ℕ → Set α
p : ℕ → Prop
h : ∀ (n : ℕ), p n → MeasurableSet (s n)
⊢ MeasurableSet (⋂ i, ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), s j)


R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : StarMul A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : StarModule R A
r : R
⊢ (algebraMap R A) (star r) = star ((algebraMap R A) r)


R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ ⁅I ⊓ J, N⁆ ≤ ⁅I, N⁆ ⊓ ⁅J, N⁆


R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ ⁅I ⊓ J, N⁆ ≤ ⁅I, N⁆ ∧ ⁅I ⊓ J, N⁆ ≤ ⁅J, N⁆


R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
A : Type u_2
inst✝ : Semiring A
f g : MvPolynomial σ R →+* A
hC : ∀ (r : R), f (C r) = g (C r)
hX : ∀ (i : σ), f (X i) = g (X i)
⊢ f = g


Context: R : Type u1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q Q' Q'' : QuadraticForm R M

Context: B B' : BilinForm R M

Context: h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q

Context: m₁ m₂ : M

R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' Q'' : QuadraticForm R M
B B' : BilinForm R M
h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'
m₁ m₂ : M
⊢ (changeForm h) ((ι Q) m₁ * (ι Q) m₂) = (ι Q') m₁ * (ι Q') m₂ - (algebraMap R (CliffordAlgebra Q')) ((B m₁) m₂)


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β
⊢ IsOpen s ↔ ∀ (i : ι), IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s)


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β
⊢ (∀ (i : ι), IsOpen (s ∩ ↑(U i))) ↔ ∀ (i : ι), IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s)


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β
i : ι
⊢ IsOpen (s ∩ ↑(U i)) ↔ IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s)


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β
i : ι
⊢ IsOpen (s ∩ ↑(U i)) ↔ IsOpen (Subtype.val '' (Subtype.val ⁻¹' s))


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β
i : ι
⊢ IsOpen (s ∩ ↑(U i)) ↔ IsOpen (s ∩ range Subtype.val)


case w
α β : HeytAlg
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget HeytAlg).obj α
⊢ ({ toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_bot' := ⋯, map_himp' := ⋯ } ≫
        { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_bot' := ⋯, map_himp' := ⋯ })
      x✝ =
    (𝟙 α) x✝


case w
α β : HeytAlg
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget HeytAlg).obj β
⊢ ({ toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_bot' := ⋯, map_himp' := ⋯ } ≫
        { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_bot' := ⋯, map_himp' := ⋯ })
      x✝ =
    (𝟙 β) x✝


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁸ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.52489, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: F : J ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape J G

Context: inst✝ : ReflectsColimitsOfShape J G

Context: H : IsVanKampenColimit (G.mapCocone c)

Context: F' : J ⥤ C

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ F

Context: f : c'.pt ⟶ c.pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

J : Type v'
inst✝⁸ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.52489, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
F : J ⥤ C
c : Cocone F
inst✝⁴ : (i j : J) → (X : C) → (f : X ⟶ F.obj j) → (g : i ⟶ j) → PreservesLimit (cospan f (F.map g)) G
inst✝³ : (i : J) → (X : C) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) G
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan G
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape J G
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape J G
H : IsVanKampenColimit (G.mapCocone c)
F' : J ⥤ C
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ F
f : c'.pt ⟶ c.pt
h : α ≫ c.ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
⊢ Nonempty (IsColimit c') ↔ ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f (c.ι.app j)


ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
⊢ μH[2] = volume


Context:
s b : ℝ
hb : 0 < b

s b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ Tendsto (fun x => x ^ s * rexp (-b * x)) atTop (𝓝 0)


Context:
s b : ℝ
hb : 0 < b

s b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ (fun x => rexp (b * x) / x ^ s)⁻¹ =ᶠ[atTop] fun x => x ^ s * rexp (-b * x)


ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
⊢ IsZero (X K none)


R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
p q : R[X]
inst✝ : NoZeroDivisors R
a : R
⊢ (a • p).mirror = a • p.mirror


𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hd : HasDerivWithinAt d d' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => (c y).comp (d y)) (c'.comp (d x) + (c x).comp d') s x


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G✝ : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝

Context: f f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: G : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: c : 𝕜 → F →L[𝕜] G

Context: c' : F →L[𝕜] G

Context: d : 𝕜 → E →L[𝕜] F

Context: d' : E →L[𝕜] F

Context: u : 𝕜 → F

Context: u' : F

Context: hc : HasDerivWithinAt c c' s x

Context: hd : HasDerivWithinAt d d' s x

𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hd : HasDerivWithinAt d d' s x
this :
  HasDerivWithinAt (fun y => (c y).comp (d y))
    ((((compL 𝕜 E F G) (c x)).comp (smulRight 1 d') + ((compL 𝕜 E F G).flip (d x)).comp (smulRight 1 c')) 1) s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => (c y).comp (d y)) (c'.comp (d x) + (c x).comp d') s x


case h
m n : ℕ
α : Fin 2 → Type u
s : Set (α 0)
t : Set (α 1)
f : (i : Fin 2) → α i
⊢ f ∈ (fun f => (f 0, f 1)) ⁻¹' s ×ˢ t ↔ f ∈ Set.univ.pi (cons s (cons t finZeroElim))


R✝ : Type u
S : Type u_1
σ✝ : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R✝
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u
σ : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Finite σ
inst✝ : NoZeroDivisors R
⊢ NoZeroDivisors (MvPolynomial σ R)


case intro
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ✝ : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R✝
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u
σ : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Finite σ
inst✝ : NoZeroDivisors R
val✝ : Fintype σ
⊢ NoZeroDivisors (MvPolynomial σ R)


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ✝ : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R✝

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R✝ M

Context: R : Type u

Context: σ : Type v

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : Finite σ

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: val✝ : Fintype σ

case intro
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ✝ : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R✝
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u
σ : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Finite σ
inst✝ : NoZeroDivisors R
val✝ : Fintype σ
this : NoZeroDivisors (MvPolynomial (Fin (Fintype.card σ)) R)
⊢ NoZeroDivisors (MvPolynomial σ R)


G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : OrderedCommGroup H
inst✝ : ContinuousInv H
a : H
⊢ Tendsto (fun a => a⁻¹) (𝓟 (Ici a)) (𝓟 (Iic a⁻¹))


ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s
⊢ (𝓝 l).HasBasis p fun i => {l' | s i ∈ l'}


Context: α : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s : Set α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: h₁ : MeasurableSet s

Context: h₂ : ν ≤ μ

α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
h₁ : MeasurableSet s
h₂ : ν ≤ μ
measure_sub : Measure α := ofMeasurable (fun t x => μ t - ν t) ⋯ ⋯
⊢ (μ - ν) s = μ s - ν s


Context: α : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s : Set α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: h₁ : MeasurableSet s

Context: h₂ : ν ≤ μ

Context: h_measure_sub_add : ν + measure_sub = μ

Context: h_measure_sub_eq : μ - ν = measure_sub

α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
h₁ : MeasurableSet s
h₂ : ν ≤ μ
measure_sub : Measure α := ofMeasurable (fun t x => μ t - ν t) ⋯ ⋯
h_measure_sub_add : ν + measure_sub = μ
h_measure_sub_eq : μ - ν = measure_sub
⊢ measure_sub s = μ s - ν s


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g' g✝ φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ f'✝ : ℝ → E

Context: f f' g : ℝ → ℝ

Context: h' : ContinuousOn f' [[a, b]]

Context: hg : ContinuousOn g (f '' [[a, b]])

ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
f f' g : ℝ → ℝ
h : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt f (f' x) x
h' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g (f '' [[a, b]])
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, (g ∘ f) x * f' x = ∫ (x : ℝ) in f a..f b, g x


ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
s : Multiset α
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
⊢ (Multiset.map f s).prod = ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ Multiset.count m s


ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
s : Multiset α
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
l : List α
⊢ (Multiset.map f (Quot.mk Setoid.r l)).prod =
    ∏ m ∈ Multiset.toFinset (Quot.mk Setoid.r l), f m ^ Multiset.count m (Quot.mk Setoid.r l)


R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
α : Type u_4
f : M →ₗ[R] α →₀ R
s : Surjective ⇑f
⊢ f ∘ₗ f.splittingOfFinsuppSurjective s = id


case e_a
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
α : Type u_4
f : M →ₗ[R] α →₀ R
s : Surjective ⇑f
x y : α
⊢ f ((Finsupp.single x 1).sum fun x r => r • ⋯.choose) = Finsupp.single x 1


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
⊢ Tendsto (fun i => ∑' (k : ℕ), f (k + i)) atTop (𝓝 0)


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
⊢ Tendsto (fun a => ↑(∑' (k : ℕ), f (k + a))) atTop (𝓝 ↑0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: s : Set α

Context: a : { x // x ∈ s }

Context: t u : Set { x // x ∈ s }

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : Set α
a : { x // x ∈ s }
t u : Set { x // x ∈ s }
⊢ t ∈ 𝓝[u] a ↔ t ∈ comap Subtype.val (𝓝[Subtype.val '' u] ↑a)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: C : ℝ

Context: f : (i : α) → E i

α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
C : ℝ
f : (i : α) → E i
hf : ∀ (s : Finset α), ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ C
⊢ Memℓp f p


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: C : ℝ

Context: f : (i : α) → E i

case hf
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
C : ℝ
f : (i : α) → E i
hf : ∀ (s : Finset α), ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ C
⊢ Summable fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: C : ℝ

Context: f : (i : α) → E i

case h
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
C : ℝ
f : (i : α) → E i
hf : ∀ (s : Finset α), ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ C
⊢ HasSum (fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal) (⨆ s, ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: C : ℝ

Context: f : (i : α) → E i

case h.hf
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
C : ℝ
f : (i : α) → E i
hf : ∀ (s : Finset α), ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ C
⊢ IsLUB (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal) (⨆ s, ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: C : ℝ

Context: f : (i : α) → E i

case h.hf.H
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
C : ℝ
f : (i : α) → E i
hf : ∀ (s : Finset α), ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ C
⊢ BddAbove (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)


V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ (∡ p₂ p₃ p₁).tan = dist p₁ p₂ / dist p₃ p₂


V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1
⊢ (∡ p₂ p₃ p₁).tan = dist p₁ p₂ / dist p₃ p₂


case intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
hs : s.IsWF
f : ℕ → ↑s
⊢ ∃ m n, m < n ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((fun i => ↑(f i)) m) ((fun i => ↑(f i)) n)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s : Set α

Context: hs : s.IsWF

Context: f : ℕ → ↑s

Context: m : ℕ

case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
hs : s.IsWF
f : ℕ → ↑s
m : ℕ
hm : ∀ x ∈ range f, ¬(fun x x_1 => x < x_1) ↑x ↑(f m)
⊢ ∃ m n, m < n ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((fun i => ↑(f i)) m) ((fun i => ↑(f i)) n)


α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b c d : α
h : IsUnit a
⊢ a / b / a = b⁻¹


ι : Type u
s : Finset ι
a b p q : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hpq : p.IsConjExponent q
⊢ a * b ≤ a ^ p / p + b ^ q / q


Context: R✝ : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing R✝

Context: inst✝¹⁰ : CommRing A

Context: inst✝⁹ : Ring B

Context: inst✝⁸ : CommRing S✝

Context: inst✝⁷ : Algebra R✝ A

Context: inst✝⁶ : Algebra R✝ B

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u_5

Context: S : Type u_6

Context: T : Type u_7

Context: U : Type u_8

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Ring U

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra T U

Context: φ : R →+* T

Context: ψ : S →+* U

Context: a : S

Context: ha : IsIntegral R a

Context: p : R[X]

R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R✝
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Ring B
inst✝⁸ : CommRing S✝
inst✝⁷ : Algebra R✝ A
inst✝⁶ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
R : Type u_5
S : Type u_6
T : Type u_7
U : Type u_8
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Ring U
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra T U
φ : R →+* T
ψ : S →+* U
h : (algebraMap T U).comp φ = ψ.comp (algebraMap R S)
a : S
ha : IsIntegral R a
p : R[X]
hp : p.Monic ∧ eval₂ (algebraMap R S) a p = 0
⊢ eval₂ (algebraMap T U) (ψ a) (Polynomial.map φ p) = 0


α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
⊢ image2 f s (insert b t) = (fun a => f a b) '' s ∪ image2 f s t


α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h : ((κ ⊗ₖ η) a) s = 0
⊢ (fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)) =ᶠ[ae (κ a)] 0


case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h : ((κ ⊗ₖ η) a) s = 0
t : Set (β × γ)
hst : s ⊆ t
mt : MeasurableSet t
ht : ((κ ⊗ₖ η) a) t = 0
⊢ (fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)) =ᶠ[ae (κ a)] 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: h : ((κ ⊗ₖ η) a) s = 0

Context: t : Set (β × γ)

Context: hst : s ⊆ t

Context: mt : MeasurableSet t

case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h : ((κ ⊗ₖ η) a) s = 0
t : Set (β × γ)
hst : s ⊆ t
mt : MeasurableSet t
ht : (fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' t)) =ᶠ[ae (κ a)] 0
⊢ (fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)) =ᶠ[ae (κ a)] 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: h : ((κ ⊗ₖ η) a) s = 0

Context: t : Set (β × γ)

Context: hst : s ⊆ t

Context: mt : MeasurableSet t

case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h : ((κ ⊗ₖ η) a) s = 0
t : Set (β × γ)
hst : s ⊆ t
mt : MeasurableSet t
ht : (fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' t)) =ᶠ[ae (κ a)] 0
⊢ (fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)) ≤ᶠ[ae (κ a)] 0 ∧ 0 ≤ᶠ[ae (κ a)] fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)


α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x y z : α
⊢ s.ordConnectedComponent x = ∅ ↔ x ∉ s


R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ (trace R M) f = ((toMatrix b b) f).trace


𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E
⊢ comap norm (𝓝[>] 0) = 𝓝[≠] 1


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring α
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : MulActionWithZero α β
inst✝¹ : CeilDiv α β
a : α
inst✝ : Nontrivial α
b c : β
⊢ b ⌈/⌉ 1 ≤ c ↔ b ≤ c


α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : c < 0
⊢ (fun x => x * c) ⁻¹' Icc a b = Icc (b / c) (a / c)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: p : α → Prop

Context: f : (a : α) → p a → β

Context: s t : List α

Context: hs : ∀ (a : α), a ∈ s → p a

Context: ht : ∀ (a : α), a ∈ t → p a

Context: h : s.Disjoint t

ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
s t : List α
hs : ∀ (a : α), a ∈ s → p a
ht : ∀ (a : α), a ∈ t → p a
hf : ∀ (a a' : α) (ha : p a) (ha' : p a'), f a ha = f a' ha' → a = a'
h : s.Disjoint t
⊢ (pmap f s hs).Disjoint (pmap f t ht)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: p : α → Prop

Context: f : (a : α) → p a → β

Context: s t : List α

Context: hs : ∀ (a : α), a ∈ s → p a

Context: ht : ∀ (a : α), a ∈ t → p a

Context: h : s.Disjoint t

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s

Context: a' : α

Context: ha' : a' ∈ t

Context: ha'' : f a' ⋯ = f a ⋯

case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
s t : List α
hs : ∀ (a : α), a ∈ s → p a
ht : ∀ (a : α), a ∈ t → p a
hf : ∀ (a a' : α) (ha : p a) (ha' : p a'), f a ha = f a' ha' → a = a'
h : s.Disjoint t
a : α
ha : a ∈ s
a' : α
ha' : a' ∈ t
ha'' : f a' ⋯ = f a ⋯
⊢ a ∈ t


M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
c : Con M
x✝ y : M
f✝ f : M →* P
g : P → M
hf : Function.RightInverse g ⇑f
x : (ker f).Quotient
⊢ (kerLift f) ((toQuotient ∘ g) ((kerLift f) x)) = (kerLift f) x


𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
p q : ℕ
⊢ (fun x => x ^ p / x ^ q) =ᶠ[atBot] fun x => x ^ (↑p - ↑q)


𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
p q : ℕ
x : 𝕜
hx : x < 0
⊢ (fun x => x ^ p / x ^ q) x = (fun x => x ^ (↑p - ↑q)) x


C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.Additive
inst✝² : F.Full
inst✝¹ : F.EssSurj
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).Additive
X Y : D
f g : X ⟶ Y
⊢ G.map (f + g) = G.map f + G.map g


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E

Context: inst✝⁶ : Preadditive C

Context: inst✝⁵ : Preadditive D

Context: inst✝⁴ : Preadditive E

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝³ : F.Additive

Context: inst✝² : F.Full

Context: inst✝¹ : F.EssSurj

Context: G : D ⥤ E

Context: inst✝ : (F ⋙ G).Additive

Context: X Y : D

Context: f g : X ⟶ Y

Context: f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y

case intro
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.Additive
inst✝² : F.Full
inst✝¹ : F.EssSurj
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).Additive
X Y : D
f g : X ⟶ Y
f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hf' : F.map f' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
⊢ G.map (f + g) = G.map f + G.map g


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E

Context: inst✝⁶ : Preadditive C

Context: inst✝⁵ : Preadditive D

Context: inst✝⁴ : Preadditive E

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝³ : F.Additive

Context: inst✝² : F.Full

Context: inst✝¹ : F.EssSurj

Context: G : D ⥤ E

Context: inst✝ : (F ⋙ G).Additive

Context: X Y : D

Context: f g : X ⟶ Y

Context: f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y

Context: g' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y

case intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.Additive
inst✝² : F.Full
inst✝¹ : F.EssSurj
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).Additive
X Y : D
f g : X ⟶ Y
f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hf' : F.map f' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
g' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hg' : F.map g' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
⊢ G.map (f + g) = G.map f + G.map g


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E

Context: inst✝⁶ : Preadditive C

Context: inst✝⁵ : Preadditive D

Context: inst✝⁴ : Preadditive E

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝³ : F.Additive

Context: inst✝² : F.Full

Context: inst✝¹ : F.EssSurj

Context: G : D ⥤ E

Context: inst✝ : (F ⋙ G).Additive

Context: X Y : D

Context: f g : X ⟶ Y

Context: f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y

Context: g' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y

case intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.Additive
inst✝² : F.Full
inst✝¹ : F.EssSurj
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).Additive
X Y : D
f g : X ⟶ Y
f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hf' : F.map f' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
g' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hg' : F.map g' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
⊢ G.map
      ((F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv +
        (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv) =
    G.map ((F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv) +
      G.map ((F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E

Context: inst✝⁶ : Preadditive C

Context: inst✝⁵ : Preadditive D

Context: inst✝⁴ : Preadditive E

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝³ : F.Additive

Context: inst✝² : F.Full

Context: inst✝¹ : F.EssSurj

Context: G : D ⥤ E

Context: inst✝ : (F ⋙ G).Additive

Context: X Y : D

Context: f g : X ⟶ Y

Context: f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y

Context: g' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y

case intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.Additive
inst✝² : F.Full
inst✝¹ : F.EssSurj
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).Additive
X Y : D
f g : X ⟶ Y
f' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hf' : F.map f' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ f ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
g' : F.objPreimage X ⟶ F.objPreimage Y
hg' : F.map g' = (F.objObjPreimageIso X).hom ≫ g ≫ (F.objObjPreimageIso Y).inv
⊢ G.map (F.map f' + F.map g') = G.map (F.map (f' + g'))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: H : T ∈ distinguishedTriangles

C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
H : T ∈ distinguishedTriangles
⊢ T.mor₁ ≫ T.mor₂ = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: H : T ∈ distinguishedTriangles

case intro
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
H : T ∈ distinguishedTriangles
c : (contractibleTriangle T.obj₁).obj₃ ⟶ T.obj₃
hc :
  (contractibleTriangle T.obj₁).mor₂ ≫ c = T.mor₁ ≫ T.mor₂ ∧
    (contractibleTriangle T.obj₁).mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map (𝟙 T.obj₁) = c ≫ T.mor₃
⊢ T.mor₁ ≫ T.mor₂ = 0


case some.mk
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝ : Inhabited Λ
M : TM0.Machine Γ Λ
x✝ : Cfg₀
q : Λ
T : Tape Γ
q' : Λ
s : TM0.Stmt Γ
e : M q T.head = some (q', s)
⊢ FRespects (TM1.step (tr M)) (trCfg M) (trCfg M { q := q, Tape := T }) (TM0.step M { q := q, Tape := T })


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝¹ : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝ : Inhabited Λ

Context: M : TM0.Machine Γ Λ

Context: x✝ : Cfg₀

Context: q : Λ

Context: T : Tape Γ

Context: q' : Λ

Context: s : TM0.Stmt Γ

Context: e : M q T.head = some (q', s)

case some.mk
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝ : Inhabited Λ
M : TM0.Machine Γ Λ
x✝ : Cfg₀
q : Λ
T : Tape Γ
q' : Λ
s : TM0.Stmt Γ
this :
  TM1.step (tr M) { l := some (Λ'.act s q'), var := (), Tape := T } =
    some
      { l := some (Λ'.normal q'), var := (),
        Tape :=
          match s with
          | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T
          | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T }
e : M q T.head = some (q', s)
⊢ Reaches₁ (TM1.step (tr M)) { l := some (Λ'.normal q), var := (), Tape := T }
    {
      l :=
        match
          match
            M q'
              (match s with
                | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T
                | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T).head with
          | some val => true
          | none => false with
        | true => some (Λ'.normal q')
        | false => none,
      var := (),
      Tape :=
        match s with
        | TM0.Stmt.move d => Tape.move d T
        | TM0.Stmt.write a => Tape.write a T }


α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n✝ : ℤ
a : G
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ a ^ (m - n) * a ^ n = a ^ m


α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : MetricSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : C(α, β)
C : ℝ
x : α
⊢ dist (f x) (g x) ≤ dist f g


case h
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x m : M
⊢ b.sumCoords m = ∑ᶠ (i : ι), (b.coord i) m


Context:
G : PGame
inst✝ : G.Impartial

G : PGame
inst✝ : G.Impartial
⊢ (-G).grundyValue = G.grundyValue


C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.40009, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift A
a b : A
⊢ F.commShiftIso (a + b) = CommShift.isoAdd' ⋯ (F.commShiftIso a) (F.commShiftIso b)


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M✝
M : Type u_13
inst✝ : AddZeroClass M
d : M
⊢ AddEquiv.finsuppUnique.symm d = single () d


E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
hf : LinearMap.det f ≠ 0
⊢ QuasiMeasurePreserving (⇑f) μ μ


E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
hf : LinearMap.det f ≠ 0
⊢ map (⇑f) μ ≪ μ


E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
hf : LinearMap.det f ≠ 0
⊢ ENNReal.ofReal |(LinearMap.det f)⁻¹| • μ ≪ μ


A : Type u_1
K : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
M : Submonoid A
inst✝⁵ : Algebra A S
inst✝⁴ : IsLocalization M S
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsFractionRing A K
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid A
p : A[X]
x : K
hr : (aeval x) p = 0
⊢ (p.scaleRoots ↑(den A x)).IsRoot (num A x)


A : Type u_1
K : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
M : Submonoid A
inst✝⁵ : Algebra A S
inst✝⁴ : IsLocalization M S
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsFractionRing A K
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid A
p : A[X]
x : K
hr : (aeval x) p = 0
⊢ eval₂ (algebraMap A K) ((algebraMap A K) (num A x)) (p.scaleRoots ↑(den A x)) = 0


A : Type u_1
K : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
M : Submonoid A
inst✝⁵ : Algebra A S
inst✝⁴ : IsLocalization M S
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsFractionRing A K
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid A
p : A[X]
x : K
hr : (aeval x) p = 0
⊢ (aeval (mk' K (num A x) (den A x))) p = 0


ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
⊢ (s.pi t).Nonempty ↔ ∀ (i : ι), ∃ x, i ∈ s → x ∈ t i


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

case intro
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
p : R
hp : Irreducible p
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ n, Associated (p ^ n) x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: fx : Multiset R

case intro.intro
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
p : R
hp : Irreducible p
x : R
hx : x ≠ 0
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
⊢ Associated (p ^ Multiset.card fx) x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: fx : Multiset R

Context: H : Associated fx.prod x

case intro.intro
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
p : R
hp : Irreducible p
x : R
hx : x ≠ 0
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associated fx.prod x
⊢ Associated (p ^ Multiset.card fx) x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: fx : Multiset R

case intro.intro
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
p : R
hp : Irreducible p
x : R
hx : x ≠ 0
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
⊢ Associates.mk (p ^ Multiset.card fx) = Associates.mk x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: fx : Multiset R

case intro.intro.e_a
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
p : R
hp : Irreducible p
x : R
hx : x ≠ 0
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
⊢ Multiset.map Associates.mk fx = Multiset.replicate (Multiset.card fx) (Associates.mk p)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: fx : Multiset R

case intro.intro.e_a
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
p : R
hp : Irreducible p
x : R
hx : x ≠ 0
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
⊢ Multiset.card (Multiset.map Associates.mk fx) = Multiset.card fx ∧
    ∀ b ∈ Multiset.map Associates.mk fx, b = Associates.mk p