Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: fx : Multiset R

Context: q : R

Context: hq : q ∈ fx

case intro.intro.e_a
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
p : R
hp : Irreducible p
x : R
hx : x ≠ 0
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
q : R
hq : q ∈ fx
⊢ Associates.mk q = Associates.mk p


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: fx : Multiset R

Context: q : R

Context: hq : q ∈ fx

case intro.intro.e_a
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
p : R
hp : Irreducible p
x : R
hx : x ≠ 0
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
q : R
hq : q ∈ fx
⊢ Associated q p


‖a ^ 1‖₊ ≤ ‖a‖₊ ^ 1

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : SeminormedRing α
a : α
x✝ : 0 < 1
⊢ ‖a ^ 1‖₊ ≤ ‖a‖₊ ^ 1


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : SeminormedRing α
a : α
n : ℕ
x✝ : 0 < n + 2
⊢ ‖a ^ (n + 2)‖₊ ≤ ‖a‖₊ ^ (n + 2)


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: i : K →+* L

Context: f : K[X]

Context: hf : (map i f).degree = 1

Context: g✝ : L[X]

Context: hg : Irreducible g✝

Context: x✝ : g✝ ∣ map i f

Context: p : L[X]

Context: hp : map i f = g✝ * p

R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
hf : (map i f).degree = 1
g✝ : L[X]
hg : Irreducible g✝
x✝ : g✝ ∣ map i f
p : L[X]
hp : map i f = g✝ * p
this : (map i f).degree = (g✝ * p).degree
⊢ g✝.degree = 1


R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
hf : (map i f).degree = 1
g✝ : L[X]
hg : Irreducible g✝
x✝ : g✝ ∣ map i f
p : L[X]
hp : map i f = g✝ * p
this : g✝.degree = 1 ∧ p.degree = 0
⊢ g✝.degree = 1


α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s t : Set α
f g : α → M
a : α
h1 : s.mulIndicator f = f
h2 : s ⊆ t
⊢ t.mulIndicator f = f


α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s t : Set α
f g : α → M
a : α
h1 : mulSupport f ⊆ s
h2 : s ⊆ t
⊢ mulSupport f ⊆ t


G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G
x₀ : G
⊢ (𝓝 x₀).HasBasis (fun V => V ∈ B) fun V => (fun y => x₀ * y) '' V


G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G
x₀ : G
⊢ (B.N x₀).HasBasis (fun V => V ∈ B) fun V => (fun y => x₀ * y) '' V


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasProducts C

Context: X : TopCat

Context: F : Presheaf C X

Context: ι : Type v'

Context: U : ι → Opens ↑X

Context: f : c ⟶ d

case w
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasProducts C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → Opens ↑X
c d : Cone (SheafConditionEqualizerProducts.diagram F U)
f : c ⟶ d
⊢ f.hom ≫ 𝟙 d.pt = 𝟙 c.pt ≫ f.hom


ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsLowerModularLattice α
inst✝ : IsCoatomistic α
⊢ IsStronglyCoatomic α


ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsLowerModularLattice α
inst✝ : IsCoatomistic α
⊢ IsStronglyAtomic αᵒᵈ


case h
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
l : α →₀ M
h : l ∈ supported M R ∅
a✝ : α
⊢ l a✝ = 0 a✝


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : InvolutiveInv α
s✝ t : Set α
a✝ a : α
s : Set α
⊢ (insert a s)⁻¹ = insert a⁻¹ s⁻¹


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: A : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.32278, u_1} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: f₁ f₂ : S.preOneHypercover.I₀

Context: x✝ : C

Context: p₁ : x✝ ⟶ S.preOneHypercover.X f₁

Context: p₂ : x✝ ⟶ S.preOneHypercover.X f₂

C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.32278, u_1} A
J : GrothendieckTopology C
X : C
S : J.Cover X
f₁ f₂ : S.preOneHypercover.I₀
x✝ : C
p₁ : x✝ ⟶ S.preOneHypercover.X f₁
p₂ : x✝ ⟶ S.preOneHypercover.X f₂
w : p₁ ≫ S.preOneHypercover.f f₁ = p₂ ≫ S.preOneHypercover.f f₂
⊢ S.preOneHypercover.sieve₁ p₁ p₂ ∈ J.sieves x✝


ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
S : Set ι
hS : #↑S < c
p : α → (i : ι) → i ∈ S → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in l, ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), p x i hi) ↔ ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), ∀ᶠ (x : α) in l, p x i hi


ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
S : Set ι
hS : #↑S < c
p : α → (i : ι) → i ∈ S → Prop
⊢ ⋂ i, ⋂ (i_1 : i ∈ S), {x | p x i i_1} ∈ l ↔ ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), {x | p x i hi} ∈ l


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C C₁ C₂ C₃ : HomologicalComplex V c

Context: f : (i : ι) → C₁.X i ≅ C₂.X i

Context: i : ι

case h
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C C₁ C₂ C₃ : HomologicalComplex V c
f : (i : ι) → C₁.X i ≅ C₂.X i
hf : autoParam (∀ (i j : ι), c.Rel i j → (f i).hom ≫ C₂.d i j = C₁.d i j ≫ (f j).hom) _auto✝
i : ι
⊢ ({ f := fun i => (f i).hom, comm' := hf } ≫ { f := fun i => (f i).inv, comm' := ⋯ }).f i = (𝟙 C₁).f i


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C C₁ C₂ C₃ : HomologicalComplex V c

Context: f : (i : ι) → C₁.X i ≅ C₂.X i

Context: i : ι

case h
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C C₁ C₂ C₃ : HomologicalComplex V c
f : (i : ι) → C₁.X i ≅ C₂.X i
hf : autoParam (∀ (i j : ι), c.Rel i j → (f i).hom ≫ C₂.d i j = C₁.d i j ≫ (f j).hom) _auto✝
i : ι
⊢ ({ f := fun i => (f i).inv, comm' := ⋯ } ≫ { f := fun i => (f i).hom, comm' := hf }).f i = (𝟙 C₂).f i


α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s₁ s₂ : Stream' α
t : Stream' α := s₁.tail ⋈ s₂.tail
⊢ corec
      (fun x =>
        match x with
        | (s₁, snd) => s₁.head)
      (fun x =>
        match x with
        | (s₁, s₂) => (s₂, s₁.tail))
      (s₁, s₂) =
    s₁.head :: s₂.head :: t


α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s₁ s₂ : Stream' α
t : Stream' α := s₁.tail ⋈ s₂.tail
⊢ s₁.head :: corec (fun x => x.1.head) (fun x => (x.2, x.1.tail)) (s₂, s₁.tail) = s₁.head :: s₂.head :: t


K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x : ℕ × K
n : ℕ
⊢ mk K p x ^ n = mk K p (x.1, x.2 ^ n)


ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h₁ : a₁ ≤ b₁
⊢ Icc a₁ b₁ ⊆ Ioo a₂ b₂ ↔ a₂ < a₁ ∧ b₁ < b₂


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.58352, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.58356, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
⊢ S.g.op ≫ S.f.op = 0


Context:
α : Type u
n : ℕ

α : Type u
n : ℕ
⊢ Pairwise (fun x x_1 => x > x_1) (iota n)


k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : AffineSubspace k P₁
⊢ (map f s).direction = Submodule.map f.linear s.direction


C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
G : D ⥤ C
iso : e.inverse ≅ G
X : C
⊢ e.functor.map (e.unitIso.hom.app X ≫ iso.hom.app (e.functor.obj X)) ≫
      e.functor.map (iso.inv.app (e.functor.obj X)) ≫ e.counitIso.hom.app (e.functor.obj X) =
    𝟙 (e.functor.obj X)


V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
⊢ ∑ i : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2), mongePointWeightsWithCircumcenter n i = 1


V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
⊢ ↑(n + 2 + 1) * (↑(n + 1))⁻¹ + -2 / ↑(n + 1) = 1


case mk
o o' : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
h : o.split = (o', m)
a : ONote
n : ℕ
e : o.split' = (a, n)
⊢ ω ∣ o'.repr


case mk
o : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
a : ONote
n : ℕ
e : o.split' = (a, n)
snd_eq✝ : n = m
⊢ ω ∣ (scale 1 a).repr


Context: s : ℕ


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α✝ α : TypeVec.{u} n

Context: p : Fix F α → Prop

Context: x : (P F).W α

case mk
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α✝ α : TypeVec.{u} n
p : Fix F α → Prop
h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), LiftP (α.PredLast p) x → p (mk x)
x : (P F).W α
⊢ p (Quot.mk Setoid.r x)


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α✝ α : TypeVec.{u} n

Context: p : Fix F α → Prop

Context: x : (P F).W α

Context: a : (P F).A

Context: f' : (P F).drop.B a ⟹ α

Context: f : (P F).last.B a → (P F).W α

n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α✝ α : TypeVec.{u} n
p : Fix F α → Prop
h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), LiftP (α.PredLast p) x → p (mk x)
x : (P F).W α
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
ih : ∀ (i : (P F).last.B a), p (Quot.mk Setoid.r (f i))
⊢ p ⟦(P F).wMk a f' f⟧


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α✝ α : TypeVec.{u} n

Context: p : Fix F α → Prop

Context: x : (P F).W α

Context: a : (P F).A

Context: f' : (P F).drop.B a ⟹ α

Context: f : (P F).last.B a → (P F).W α

case a
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α✝ α : TypeVec.{u} n
p : Fix F α → Prop
h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), LiftP (α.PredLast p) x → p (mk x)
x : (P F).W α
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
ih : ∀ (i : (P F).last.B a), p (Quot.mk Setoid.r (f i))
⊢ LiftP (α.PredLast p) (abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩)


Context: C : Type w

Context: inst✝ : Category.{v, w} C

Context: X Y : LightCondensed C

Context: f g : X ⟶ Y

C : Type w
inst✝ : Category.{v, w} C
X Y : LightCondensed C
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (S : LightProfiniteᵒᵖ), f.val.app S = g.val.app S
⊢ f = g


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)

Context: p : R

Context: hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)

Context: d : ℕ

Context: hd : d ≠ 0

Context: s : Fin d → M

Context: hs : span R (Set.range s) = ⊤

R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
⊢ ∃ j, IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)

Context: p : R

Context: hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)

Context: d : ℕ

Context: hd : d ≠ 0

Context: s : Fin d → M

Context: hs : span R (Set.range s) = ⊤

Context: hoj : oj.isSome = true

R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
hoj : oj.isSome = true
⊢ ∃ j, IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)

Context: p : R

Context: hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)

Context: d : ℕ

Context: hd : d ≠ 0

Context: s : Fin d → M

Context: hs : span R (Set.range s) = ⊤

Context: hoj : oj.isSome = true

case h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
hoj : oj.isSome = true
⊢ IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s (oj.get hoj)))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)

Context: p : R

Context: hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)

Context: d : ℕ

Context: hd : d ≠ 0

Context: s : Fin d → M

Context: hs : span R (Set.range s) = ⊤

Context: hoj : oj.isSome = true

Context: i : Fin d

case h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
hoj : oj.isSome = true
i : Fin d
⊢ p ^ pOrder hM (s (oj.get hoj)) • s i = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)

Context: p : R

Context: hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)

Context: d : ℕ

Context: hd : d ≠ 0

Context: s : Fin d → M

Context: hs : span R (Set.range s) = ⊤

Context: hoj : oj.isSome = true

Context: i : Fin d

case h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : (x : M) → Decidable (x = 0)
p : R
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
hd : d ≠ 0
s : Fin d → M
hs : span R (Set.range s) = ⊤
oj : Option (Fin d) := List.argmax (fun i => pOrder hM (s i)) (List.finRange d)
hoj : oj.isSome = true
i : Fin d
this : pOrder hM (s i) ≤ pOrder hM (s (oj.get hoj))
⊢ p ^ pOrder hM (s (oj.get hoj)) • s i = 0


R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : L
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0
⊢ x⁻¹ = -((aeval x) p.divX / (algebraMap K L) (p.coeff 0))


case convert_2
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : L
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0
h : (aeval x) p.divX = 0
⊢ (algebraMap K L) (p.coeff 0) = (algebraMap K L) 0


case h.e'_2
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : L
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0
h : (aeval x) p.divX = 0
⊢ (algebraMap K L) (p.coeff 0) = (aeval x) p


case h.e'_2
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : L
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0
h : (aeval x) p.divX = 0
⊢ (algebraMap K L) (p.coeff 0) = (aeval x) (p.divX * X + C (p.coeff 0))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α

α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
⊢ some ⁻¹' Ioo ↑a ⊤ = Ioi a


C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
R : Type u
inst✝ : Semiring R
M : Mat R
i : ↑M
⊢ 𝟙 M i i = 1


Context: b x✝ y x : ℝ


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Finset β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ b ∈ s, AEMeasurable (f b) μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ∑ b ∈ s, f b a ∂μ = ∑ b ∈ s, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ


V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ o.oangle x (r • y) = o.oangle x (-y)


Context: n : ℕ

Context: p : (digits 10 n).Palindrome

Context: h : Even (digits 10 n).length

n : ℕ
p : (digits 10 n).Palindrome
h : Even (digits 10 n).length
dig : List ℤ := List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)
⊢ 11 ∣ n


Context: n : ℕ

Context: p : (digits 10 n).Palindrome

Context: h : Even dig.length

n : ℕ
p : (digits 10 n).Palindrome
dig : List ℤ := List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)
h : Even dig.length
⊢ 11 ∣ n


Context: n : ℕ

Context: p : (digits 10 n).Palindrome

Context: h : Even dig.length

n : ℕ
p : (digits 10 n).Palindrome
dig : List ℤ := List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)
h : Even dig.length
⊢ dig.alternatingSum = 0


Context: n : ℕ

Context: p : (digits 10 n).Palindrome

Context: h : Even dig.length

n : ℕ
p : (digits 10 n).Palindrome
dig : List ℤ := List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)
h : Even dig.length
this : dig.reverse.alternatingSum = (-1) ^ (dig.length + 1) • dig.alternatingSum
⊢ dig.alternatingSum = 0


Context: n : ℕ

Context: p : (digits 10 n).Palindrome

Context: h : Even dig.length

n : ℕ
p : (digits 10 n).Palindrome
dig : List ℤ := List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)
h : Even dig.length
this : (List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)).alternatingSum = -dig.alternatingSum
⊢ dig.alternatingSum = 0


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
a : α
⊢ ⇑e '' Iio a = Iio (e a)


α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : a ≠ b
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ {a, b}), f i = f a * f b


case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : a ≠ b
⊢ a ∉ {b}

case hs
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : a ≠ b
⊢ {b}.Finite


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}

α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}
⊢ c < 1 ↔ c = 0


𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E
⊢ ‖a / b‖ = 0 ↔ a = b


case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
m : ι → MeasurableSpace α
s : Set α
⊢ MeasurableSet s ↔ MeasurableSet s


case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
m : ι → MeasurableSpace α
s : Set α
⊢ GenerateMeasurable {s | ∃ i, MeasurableSet s} s ↔ MeasurableSet s


V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hxyne : x ≠ y
hxzne : x ≠ z
hxy : ‖x‖ = ‖y‖
hxz : ‖x‖ = ‖z‖
⊢ o.oangle y z = 2 • o.oangle (y - x) (z - x)


V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hxyne : x ≠ y
hxzne : x ≠ z
hxy : ‖x‖ = ‖y‖
hxz : ‖x‖ = ‖z‖
hy : y ≠ 0
⊢ o.oangle y z = 2 • o.oangle (y - x) (z - x)


V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hxyne : x ≠ y
hxzne : x ≠ z
hxy : ‖x‖ = ‖y‖
hxz : ‖x‖ = ‖z‖
hy : y ≠ 0
hx : x ≠ 0
⊢ o.oangle y z = 2 • o.oangle (y - x) (z - x)


V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hxyne : x ≠ y
hxzne : x ≠ z
hxy : ‖x‖ = ‖y‖
hxz : ‖x‖ = ‖z‖
hy : y ≠ 0
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ o.oangle y z = 2 • o.oangle (y - x) (z - x)


R : Type u
σ : Type v
a a' a₁ a₂ : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
i : σ
f : MvPolynomial σ R
n : ℕ
⊢ (pderiv i) (f ^ n) = ↑n * f ^ (n - 1) * (pderiv i) f


Context: x y : ℂ


α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c : α
⊢ |max a c - max b c| ≤ |a - b|


Context:
x y : ℝ
hy : 0 < y

x y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ x ≤ log y ↔ rexp x ≤ y


x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
h : y - ↑n ≠ 0
⊢ x ^ (y - ↑n) = x ^ y / x ^ n


𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
h : a ∉ s
⊢ (cons a s h).dens = s.dens + (↑(Fintype.card α))⁻¹


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
l₁ l₂ : List M
h : l₁ <+ l₂
⊢ l₁.prod ∣ l₂.prod


case intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
l₁ l₂ : List M
h : l₁ <+ l₂
l : List M
hl : l₂ ~ l₁ ++ l
⊢ l₁.prod ∣ l₂.prod


case intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
l₁ l₂ : List M
h : l₁ <+ l₂
l : List M
hl : l₂ ~ l₁ ++ l
⊢ l₁.prod ∣ l₁.prod * l.prod


Context:
d : ℤ
n m : ℤ√d

d : ℤ
n m : ℤ√d
⊢ (n * m).norm = n.norm * m.norm


α : Type u_1
s t : Finset α
a : α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ IsCoatom s ↔ ∃ a, s = {a}ᶜ


case h
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I✝ : Ideal A
I : HomogeneousIdeal 𝒜
⊢ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I.toIdeal).toIdeal = I.toIdeal


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hf_nontop : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤

Context: hg_nontop : ∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ ≠ ⊤

Context: hf_nonzero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ 0

Context: hg_nonzero : ∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ ≠ 0

α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_nontop : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤
hg_nontop : ∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ ≠ ⊤
hf_nonzero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ 0
hg_nonzero : ∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ ≠ 0
npf : ℝ≥0∞ := (∫⁻ (c : α), f c ^ p ∂μ) ^ (1 / p)
nqg : ℝ≥0∞ := (∫⁻ (c : α), g c ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
⊢ ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), g a ^ q ∂μ) ^ (1 / q)


α : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : One β
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α
⊢ Tendsto (fun δ => (cthickening δ E).mulIndicator f) (𝓝 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f))


α : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : One β
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α
x : α
⊢ Tendsto (fun i => (cthickening i E).mulIndicator f x) (𝓝 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f x))


α : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : One β
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α
x : α
⊢ Tendsto (fun x_1 => (closure E).mulIndicator f x) (𝓝 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f x))


L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ ψ : L.Formula α
v : α → M
f : L.Functions n
x : Fin n → M
y : M
⊢ (graph f).Realize (cons y x) ↔ funMap f x = y


L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ ψ : L.Formula α
v : α → M
f : L.Functions n
x : Fin n → M
y : M
⊢ (y = funMap f fun i => x i) ↔ funMap f x = y


Context:
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Infinite

p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Infinite
⊢ Set.range (nth p) = setOf p


p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Infinite
this : Infinite ↑(setOf p)
⊢ Set.range (Subtype.val ∘ ⇑(Subtype.orderIsoOfNat (setOf p))) = setOf p


C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f : w.StructuredArrowRightwards g
⊢ ((w.structuredArrowDownwards X₂).obj (StructuredArrow.mk f.hom.left)).hom ≫ B.map f.right.hom =
    (StructuredArrow.mk g).hom


C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f₁ f₂ : w.StructuredArrowRightwards g
φ : f₁ ⟶ f₂
⊢ f₁.hom.left ≫ T.map φ.right.left = f₂.hom.left


case h
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f₁ f₂ : w.StructuredArrowRightwards g
φ : f₁ ⟶ f₂
⊢ ((w.structuredArrowDownwards X₂).map (StructuredArrow.homMk φ.right.left ⋯) ≫
        ((fun f => CostructuredArrow.mk (StructuredArrow.homMk f.right.hom ⋯)) f₂).hom).right =
    ((fun f => CostructuredArrow.mk (StructuredArrow.homMk f.right.hom ⋯)) f₁).hom.right


C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
R : Presieve X
⊢ functorPushforward (F ⋙ G) R = functorPushforward G (functorPushforward F R)


C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z Z' : C
f : Z ⟶ Z'
⊢ (X ⊗ Y) ◁ f = (α_ X Y Z).hom ≫ X ◁ Y ◁ f ≫ (α_ X Y Z').inv


C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z Z' : C
f : Z ⟶ Z'
⊢ 𝟙 (X ⊗ Y) ⊗ f = (α_ X Y Z).hom ≫ (𝟙 X ⊗ 𝟙 Y ⊗ f) ≫ (α_ X Y Z').inv


R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k : ℕ
⊢ D k ⊥ = ⊥


R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k : ℕ
⊢ D k ⊥ ≤ ⊥


Context:
α : Type u_1
t : Set α
p : Set α → Prop

α : Type u_1
t : Set α
p : Set α → Prop
⊢ (∃ s, p (val '' s)) ↔ ∃ s ⊆ t, p s


k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
⊢ vectorSpan k ∅ = ⊥


G : Type u_1
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c a b : G
⊢ a⁻¹ * (a * b) = b


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
inst✝ : μ.InnerRegular
⊢ (∃ K, IsCompact K ∧ μ K ≠ 0) ↔ μ ≠ 0


α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoMod hp 0 (a - b) = p - toIocMod hp 0 (b - a)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: hb : AddLECancellable b

Context: hd : AddLECancellable d

Context: hba : b ≤ a

Context: hdc : d ≤ c

α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hb : AddLECancellable b
hd : AddLECancellable d
hba : b ≤ a
hdc : d ≤ c
⊢ a - b + (c - d) = a + c - (b + d)


X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X →. Y
h : PContinuous f
⊢ IsOpen f.Dom


X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X →. Y
h : PContinuous f
⊢ IsOpen (f.preimage Set.univ)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : X ⟶ Z

Context: g' : Z ⟶ W

Context: inst✝² : HasPushout f g

Context: inst✝ : HasPushout f (g ≫ g')

C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
g' : Z ⟶ W
inst✝² : HasPushout f g
inst✝¹ : HasPushout (pushout.inr f g) g'
inst✝ : HasPushout f (g ≫ g')
⊢ pushout.inl f g ≫ pushout.inl (pushout.inr f g) g' ≫ (pushoutLeftPushoutInrIso f g g').hom = pushout.inl f (g ≫ g')


case mk
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
P Q R : C
f✝ f' : P ⟶ Q
g✝ g' : Q ⟶ R
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
hc : IsColimit c
h : IsZero c.pt
R✝ : C
g : Y ⟶ R✝
hg : f ≫ g = 0
a : c.pt ⟶ R✝
ha : Cofork.π c ≫ a = g
⊢ g = 0


p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hGnt : Nontrivial G
k : ℕ
hk : Nat.card G = p ^ k
hk0 : k = 0
⊢ False


p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hGnt : Nontrivial G
k : ℕ
hk : Nat.card G = 1
hk0 : k = 0
⊢ False


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: e✝ : Trivialization F proj

Context: x : Z

Context: e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: x' : TotalSpace F E

Context: b : B

Context: y : E b

Context: B' : Type u_6

Context: inst✝ : TopologicalSpace B'

Context: e : Trivialization F proj

Context: s : Set B

ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b : B
y : E b
B' : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace B'
e : Trivialization F proj
s : Set B
⊢ e.source ∩ frontier (proj ⁻¹' s) = proj ⁻¹' (e.baseSet ∩ frontier s)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Sort x

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : Preorder β

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: a✝ b✝ : α

Context: s t : Set α

Context: a : α

Context: ha : a ∈ upperBounds s

Context: b : α

Context: hb : b ∈ upperBounds t

case intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t✝ : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
a : α
ha : a ∈ upperBounds s
b : α
hb : b ∈ upperBounds t
⊢ BddAbove (s ∪ t)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Sort x

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : Preorder β

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: a✝ b✝ : α

Context: s t : Set α

Context: a : α

Context: ha : a ∈ upperBounds s

Context: b : α

Context: hb : b ∈ upperBounds t

Context: c : α

Context: hca : a ≤ c

Context: hcb : b ≤ c

case intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t✝ : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
a : α
ha : a ∈ upperBounds s
b : α
hb : b ∈ upperBounds t
c : α
hca : a ≤ c
hcb : b ≤ c
⊢ BddAbove (s ∪ t)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Sort x

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : Preorder β

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: a✝ b✝ : α

Context: s t : Set α

Context: a : α

Context: ha : a ∈ upperBounds s

Context: b : α

Context: hb : b ∈ upperBounds t

Context: c : α

Context: hca : a ≤ c

Context: hcb : b ≤ c

case intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t✝ : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
a : α
ha : a ∈ upperBounds s
b : α
hb : b ∈ upperBounds t
c : α
hca : a ≤ c
hcb : b ≤ c
⊢ (upperBounds s ∩ upperBounds t).Nonempty


V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
v : V
inst✝² : Fintype ↑(G.neighborSet v)
inst✝¹ : Fintype ↑(Gᶜ.neighborSet v)
inst✝ : Fintype V
⊢ Gᶜ.degree v = Fintype.card V - 1 - G.degree v


case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hℒp : Memℒp f p μ
right✝ : eLpNorm f p μ < ⊤
f' : α → β
hf' : StronglyMeasurable f'
heq : f =ᶠ[ae μ] f'
⊢ ∃ δ,
    ∃ (_ : 0 < δ),
      ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hp_one : 1 ≤ p

Context: hp_top : p ≠ ⊤

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hℒp : Memℒp f p μ

Context: right✝ : eLpNorm f p μ < ⊤

Context: f' : α → β

Context: hf' : StronglyMeasurable f'

Context: heq : f =ᶠ[ae μ] f'

Context: δ : ℝ

Context: hδpos : 0 < δ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal δ

case h.e'_3
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hℒp : Memℒp f p μ
right✝ : eLpNorm f p μ < ⊤
f' : α → β
hf' : StronglyMeasurable f'
heq : f =ᶠ[ae μ] f'
δ : ℝ
hδpos : 0 < δ
hδ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator f') p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal δ
⊢ eLpNorm (s.indicator f) p μ = eLpNorm (s.indicator f') p μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hp_one : 1 ≤ p

Context: hp_top : p ≠ ⊤

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hℒp : Memℒp f p μ

Context: right✝ : eLpNorm f p μ < ⊤

Context: f' : α → β

Context: hf' : StronglyMeasurable f'

Context: heq : f =ᶠ[ae μ] f'

Context: δ : ℝ

Context: hδpos : 0 < δ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal δ

case h.e'_3
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hℒp : Memℒp f p μ
right✝ : eLpNorm f p μ < ⊤
f' : α → β
hf' : StronglyMeasurable f'
heq : f =ᶠ[ae μ] f'
δ : ℝ
hδpos : 0 < δ
hδ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator f') p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal δ
⊢ eLpNorm f p (μ.restrict s) = eLpNorm f' p (μ.restrict s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: b : ℝ

Context: f : ℕ → ℝ

Context: z : ℕ → E

Context: hfa : Antitone f

Context: hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)

α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : ℝ
f : ℕ → ℝ
z : ℕ → E
hfa : Antitone f
hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hzb : ∀ (n : ℕ), ‖∑ i ∈ Finset.range n, z i‖ ≤ b
⊢ CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i • z i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: b : ℝ

Context: f : ℕ → ℝ

Context: z : ℕ → E

Context: hfa : Antitone f

Context: hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hfa' : Monotone fun n => -f n

α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : ℝ
f : ℕ → ℝ
z : ℕ → E
hfa : Antitone f
hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hzb : ∀ (n : ℕ), ‖∑ i ∈ Finset.range n, z i‖ ≤ b
hfa' : Monotone fun n => -f n
⊢ CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i • z i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: b : ℝ

Context: f : ℕ → ℝ

Context: z : ℕ → E

Context: hfa : Antitone f

Context: hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hfa' : Monotone fun n => -f n

α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : ℝ
f : ℕ → ℝ
z : ℕ → E
hfa : Antitone f
hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hzb : ∀ (n : ℕ), ‖∑ i ∈ Finset.range n, z i‖ ≤ b
hfa' : Monotone fun n => -f n
hf0' : Tendsto (fun n => -f n) atTop (𝓝 0)
⊢ CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i • z i


F : Type u_1
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : Algebra F ℝ
p : F[X]
⊢ Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) ≤ Fintype.card ↑((derivative p).rootSet ℝ) + 1


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: a✝ a₁ a₂ b c : G

Context: inst✝ : Group G

Context: s✝ s : Set G

Context: a : G

Context: h : a ∈ closure s

Context: x✝² : G

Context: x✝¹ : InClosure s x✝²

Context: L : List G

Context: HL1 : ∀ x ∈ L, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s

Context: HL2 : L.prod = x✝²

Context: x : G

Context: hx : x ∈ List.map Inv.inv L.reverse

Context: y : G

Context: hy1 : y ∈ L.reverse

Context: hy2 : y⁻¹ = x

y ∈ s → y⁻¹⁻¹ ∈ s

G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s✝ s : Set G
a : G
h : a ∈ closure s
x✝² : G
x✝¹ : InClosure s x✝²
x✝ : ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s) ∧ l.prod = x✝²
L : List G
HL1 : ∀ x ∈ L, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s
HL2 : L.prod = x✝²
x : G
hx : x ∈ List.map Inv.inv L.reverse
y : G
hy1 : y ∈ L.reverse
hy2 : y⁻¹ = x
⊢ y ∈ s → y⁻¹⁻¹ ∈ s


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: a✝ a₁ a₂ b c : G

Context: inst✝ : Group G

Context: s✝ s : Set G

Context: a : G

Context: h : a ∈ closure s

Context: x : G

Context: x✝¹ : InClosure s x

Context: L : List G

Context: HL1 : ∀ x ∈ L, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s

Context: HL2 : L.prod = x

Context: hd : G

Context: tl : List G

G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s✝ s : Set G
a : G
h : a ∈ closure s
x : G
x✝¹ : InClosure s x
x✝ : ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s) ∧ l.prod = x
L : List G
HL1 : ∀ x ∈ L, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s
HL2 : L.prod = x
hd : G
tl : List G
ih : (List.map Inv.inv tl.reverse).prod = tl.prod⁻¹
⊢ (List.map Inv.inv (hd :: tl).reverse).prod = (hd :: tl).prod⁻¹


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: a✝ a₁ a₂ b c : G

Context: inst✝ : Group G

Context: s✝ s : Set G

Context: a : G

Context: h : a ∈ closure s

Context: x y : G

Context: x✝³ : InClosure s x

Context: x✝² : InClosure s y

Context: L1 : List G

Context: HL1 : ∀ x ∈ L1, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s

Context: HL2 : L1.prod = x

Context: L2 : List G

Context: HL3 : ∀ x ∈ L2, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s

Context: HL4 : L2.prod = y

G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s✝ s : Set G
a : G
h : a ∈ closure s
x y : G
x✝³ : InClosure s x
x✝² : InClosure s y
x✝¹ : ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s) ∧ l.prod = x
x✝ : ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s) ∧ l.prod = y
L1 : List G
HL1 : ∀ x ∈ L1, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s
HL2 : L1.prod = x
L2 : List G
HL3 : ∀ x ∈ L2, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s
HL4 : L2.prod = y
⊢ (L1 ++ L2).prod = x * y


𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ ContDiff 𝕜 n f ↔ ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContDiff 𝕜 (↑m) f


𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f univ ↔ ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContDiffOn 𝕜 (↑m) f univ


α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
⊢ 1 ≤ count a s ↔ a ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: p✝ : α → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p✝

Context: l✝ : List α

Context: a✝ : α

Context: p : α → Bool

Context: a : α

Context: l : List α

case cons
α : Type u_1
p✝ : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p✝
l✝ : List α
a✝ : α
p : α → Bool
a : α
l : List α
ih : l.all p = true ↔ ∀ (a : α), a ∈ l → p a = true
⊢ (a :: l).all p = true ↔ ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ a :: l → p a_1 = true


G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H : Subgroup G
f : G →* N
hf : Injective ⇑f
⊢ map f H = ⊥ ↔ H = ⊥


Context: α : Sort u_1

Context: β : Sort u_2

Context: p✝ q : α → Prop

Context: ι₁ : Sort u_3

Context: ι₂ : Sort u_4

Context: κ₁ : ι₁ → Sort u_5

Context: κ₂ : ι₂ → Sort u_6

α : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q : α → Prop
ι₁ : Sort u_3
ι₂ : Sort u_4
κ₁ : ι₁ → Sort u_5
κ₂ : ι₂ → Sort u_6
p : (i₁ : ι₁) → κ₁ i₁ → (i₂ : ι₂) → κ₂ i₂ → Prop
⊢ (∃ i₁ j₁ i₂ j₂, p i₁ j₁ i₂ j₂) ↔ ∃ i₂ j₂ i₁ j₁, p i₁ j₁ i₂ j₂


α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : MetricSpace α
t : Set ι
x : ι → α
r : ι → ℝ
R : ℝ
hr : ∀ a ∈ t, r a ≤ R
τ : ℝ
hτ : 3 < τ
⊢ ∃ u ⊆ t,
    (u.PairwiseDisjoint fun a => closedBall (x a) (r a)) ∧
      ∀ a ∈ t, ∃ b ∈ u, closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (τ * r b)


case neg
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : MetricSpace α
t : Set ι
x : ι → α
r : ι → ℝ
R : ℝ
hr : ∀ a ∈ t, r a ≤ R
τ : ℝ
hτ : 3 < τ
h✝ : t.Nonempty
ht : ∃ a ∈ t, 0 ≤ r a
t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ 0 ≤ r a}
⊢ ∃ u ⊆ t,
    (u.PairwiseDisjoint fun a => closedBall (x a) (r a)) ∧
      ∀ a ∈ t, ∃ b ∈ u, closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (τ * r b)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: t : Set ι

Context: x : ι → α

Context: r : ι → ℝ

Context: R : ℝ

Context: hr : ∀ a ∈ t, r a ≤ R

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 3 < τ

Context: h✝ : t.Nonempty

Context: ht : ∃ a ∈ t, 0 ≤ r a

Context: t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ 0 ≤ r a}

Context: u : Set ι

Context: ut' : u ⊆ t'

case neg.intro.intro.intro
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : MetricSpace α
t : Set ι
x : ι → α
r : ι → ℝ
R : ℝ
hr : ∀ a ∈ t, r a ≤ R
τ : ℝ
hτ : 3 < τ
h✝ : t.Nonempty
ht : ∃ a ∈ t, 0 ≤ r a
t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ 0 ≤ r a}
u : Set ι
ut' : u ⊆ t'
u_disj : u.PairwiseDisjoint fun a => closedBall (x a) (r a)
hu : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)).Nonempty ∧ r a ≤ (τ - 1) / 2 * r b
⊢ ∃ u ⊆ t,
    (u.PairwiseDisjoint fun a => closedBall (x a) (r a)) ∧
      ∀ a ∈ t, ∃ b ∈ u, closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (τ * r b)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: t : Set ι

Context: x : ι → α

Context: r : ι → ℝ

Context: R : ℝ

Context: hr : ∀ a ∈ t, r a ≤ R

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 3 < τ

Context: h✝ : t.Nonempty

Context: ht : ∃ a ∈ t, 0 ≤ r a

Context: t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ 0 ≤ r a}

Context: u : Set ι

Context: ut' : u ⊆ t'

case neg.intro.intro.intro
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : MetricSpace α
t : Set ι
x : ι → α
r : ι → ℝ
R : ℝ
hr : ∀ a ∈ t, r a ≤ R
τ : ℝ
hτ : 3 < τ
h✝ : t.Nonempty
ht : ∃ a ∈ t, 0 ≤ r a
t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ 0 ≤ r a}
u : Set ι
ut' : u ⊆ t'
u_disj : u.PairwiseDisjoint fun a => closedBall (x a) (r a)
hu : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)).Nonempty ∧ r a ≤ (τ - 1) / 2 * r b
A : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (τ * r b)
⊢ ∃ u ⊆ t,
    (u.PairwiseDisjoint fun a => closedBall (x a) (r a)) ∧
      ∀ a ∈ t, ∃ b ∈ u, closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (τ * r b)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: t : Set ι

Context: x : ι → α

Context: r : ι → ℝ

Context: R : ℝ

Context: hr : ∀ a ∈ t, r a ≤ R

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 3 < τ

Context: h✝ : t.Nonempty

Context: ht : ∃ a ∈ t, 0 ≤ r a

Context: t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ 0 ≤ r a}

Context: u : Set ι

Context: ut' : u ⊆ t'

Context: a : ι

Context: ha : a ∈ t

case neg.intro.intro.intro
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : MetricSpace α
t : Set ι
x : ι → α
r : ι → ℝ
R : ℝ
hr : ∀ a ∈ t, r a ≤ R
τ : ℝ
hτ : 3 < τ
h✝ : t.Nonempty
ht : ∃ a ∈ t, 0 ≤ r a
t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ 0 ≤ r a}
u : Set ι
ut' : u ⊆ t'
u_disj : u.PairwiseDisjoint fun a => closedBall (x a) (r a)
hu : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, (closedBall (x a) (r a) ∩ closedBall (x b) (r b)).Nonempty ∧ r a ≤ (τ - 1) / 2 * r b
A : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (τ * r b)
a : ι
ha : a ∈ t
⊢ ∃ b ∈ u, closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (τ * r b)


R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
⊢ ⁅comap I.incl I₁, comap I.incl I₂⁆ = comap I.incl ⁅I ⊓ I₁, I ⊓ I₂⁆


R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
⊢ ⁅comap I.incl I₁, comap I.incl I₂⁆ = comap I.incl ⁅I.incl.idealRange ⊓ I₁, I.incl.idealRange ⊓ I₂⁆


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
⊢ (blimsup u f p ⊔ blimsup u f fun x => ¬p x) = limsup u f


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
⊢ image l.get univ = l.toFinset


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f : ι → X → M

Context: hc : ∀ (i : ι), Continuous (f i)

ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
hc : ∀ (i : ι), Continuous (f i)
hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)
⊢ Continuous fun x => ∏ᶠ (i : ι), f i x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f : ι → X → M

Context: hc : ∀ (i : ι), Continuous (f i)

Context: x : X

ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
hc : ∀ (i : ι), Continuous (f i)
hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)
x : X
⊢ ContinuousAt (fun x => ∏ᶠ (i : ι), f i x) x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f : ι → X → M

Context: hc : ∀ (i : ι), Continuous (f i)

Context: x : X

Context: s : Finset ι

case intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
hc : ∀ (i : ι), Continuous (f i)
hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)
x : X
s : Finset ι
hs : ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, ∏ᶠ (i : ι), f i y = ∏ i ∈ s, f i y
⊢ ContinuousAt (fun x => ∏ᶠ (i : ι), f i x) x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f : ι → X → M

Context: hc : ∀ (i : ι), Continuous (f i)

Context: x : X

Context: s : Finset ι

case intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
hc : ∀ (i : ι), Continuous (f i)
hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)
x : X
s : Finset ι
hs : ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, ∏ᶠ (i : ι), f i y = ∏ i ∈ s, f i y
⊢ ContinuousAt (fun x => ∏ i ∈ s, f i x) x


Context: x y : ℂ

x y : ℂ
⊢ sin x = sin y ↔ ∃ k, y = 2 * ↑k * ↑π + x ∨ y = (2 * ↑k + 1) * ↑π - x


Context: x y : ℂ


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a : M
l : List (List M)
⊢ l.join.prod = (map prod l).prod


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: ht : t₀ ∈ Ioo a b

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfs : ∀ t ∈ Ioo a b, f t ∈ s t

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgs : ∀ t ∈ Ioo a b, g t ∈ s t

Context: heq : f t₀ = g t₀

E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
ht : t₀ ∈ Ioo a b
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (v t (f t)) t
hfs : ∀ t ∈ Ioo a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (v t (g t)) t
hgs : ∀ t ∈ Ioo a b, g t ∈ s t
heq : f t₀ = g t₀
⊢ EqOn f g (Icc a b)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: ht : t₀ ∈ Ioo a b

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfs : ∀ t ∈ Ioo a b, f t ∈ s t

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgs : ∀ t ∈ Ioo a b, g t ∈ s t

Context: heq : f t₀ = g t₀

E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
ht : t₀ ∈ Ioo a b
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (v t (f t)) t
hfs : ∀ t ∈ Ioo a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (v t (g t)) t
hgs : ∀ t ∈ Ioo a b, g t ∈ s t
heq : f t₀ = g t₀
⊢ EqOn f g (Icc a t₀ ∪ Icc t₀ b)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: hA : Presheaf.IsSeparated J A

Context: X : C

Context: r : ↑(R.obj (Opposite.op X))

Context: m : ↑(A.obj (Opposite.op X))

Context: P : Presieve X

Context: Y₁ Y₂ Z : C

Context: g₁ : Z ⟶ Y₁

Context: g₂ : Z ⟶ Y₂

Context: f₁ : Y₁ ⟶ X

Context: f₂ : Y₂ ⟶ X

Context: h₁ : P f₁

Context: h₂ : P f₂

Context: fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
α : R₀ ⟶ R
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
hA : Presheaf.IsSeparated J A
X : C
r : ↑(R.obj (Opposite.op X))
m : ↑(A.obj (Opposite.op X))
P : Presieve X
r₀ : FamilyOfElements (R₀ ⋙ forget RingCat) P
m₀ : FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp) P
hr₀ : (r₀.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r
hm₀ : (m₀.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
h₁ : P f₁
h₂ : P f₂
fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
a₁ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₁) := r₀ f₁ h₁
b₁ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₁) := m₀ f₁ h₁
a₂ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₂) := r₀ f₂ h₂
b₂ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₂) := m₀ f₂ h₂
a₀ : ↑(R₀.obj (Opposite.op Z)) := (R₀.map g₁.op) a₁
b₀ : ↑(M₀.obj (Opposite.op Z)) := (M₀.map g₁.op) b₁
⊢ (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₁.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₁ h₁) =
    (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₂.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₂ h₂)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: hA : Presheaf.IsSeparated J A

Context: X : C

Context: r : ↑(R.obj (Opposite.op X))

Context: m : ↑(A.obj (Opposite.op X))

Context: P : Presieve X

Context: Y₁ Y₂ Z : C

Context: g₁ : Z ⟶ Y₁

Context: g₂ : Z ⟶ Y₂

Context: f₁ : Y₁ ⟶ X

Context: f₂ : Y₂ ⟶ X

Context: h₁ : P f₁

Context: h₂ : P f₂

Context: fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
α : R₀ ⟶ R
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
hA : Presheaf.IsSeparated J A
X : C
r : ↑(R.obj (Opposite.op X))
m : ↑(A.obj (Opposite.op X))
P : Presieve X
r₀ : FamilyOfElements (R₀ ⋙ forget RingCat) P
m₀ : FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp) P
hr₀ : (r₀.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r
hm₀ : (m₀.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
h₁ : P f₁
h₂ : P f₂
fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
a₁ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₁) := r₀ f₁ h₁
b₁ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₁) := m₀ f₁ h₁
a₂ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₂) := r₀ f₂ h₂
b₂ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₂) := m₀ f₂ h₂
a₀ : ↑(R₀.obj (Opposite.op Z)) := (R₀.map g₁.op) a₁
b₀ : ↑(M₀.obj (Opposite.op Z)) := (M₀.map g₁.op) b₁
ha₁ : (α.app (Opposite.op Y₁)) a₁ = (R.map f₁.op) r
⊢ (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₁.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₁ h₁) =
    (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₂.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₂ h₂)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: hA : Presheaf.IsSeparated J A

Context: X : C

Context: r : ↑(R.obj (Opposite.op X))

Context: m : ↑(A.obj (Opposite.op X))

Context: P : Presieve X

Context: Y₁ Y₂ Z : C

Context: g₁ : Z ⟶ Y₁

Context: g₂ : Z ⟶ Y₂

Context: f₁ : Y₁ ⟶ X

Context: f₂ : Y₂ ⟶ X

Context: h₁ : P f₁

Context: h₂ : P f₂

Context: fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
α : R₀ ⟶ R
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
hA : Presheaf.IsSeparated J A
X : C
r : ↑(R.obj (Opposite.op X))
m : ↑(A.obj (Opposite.op X))
P : Presieve X
r₀ : FamilyOfElements (R₀ ⋙ forget RingCat) P
m₀ : FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp) P
hr₀ : (r₀.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r
hm₀ : (m₀.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
h₁ : P f₁
h₂ : P f₂
fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
a₁ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₁) := r₀ f₁ h₁
b₁ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₁) := m₀ f₁ h₁
a₂ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₂) := r₀ f₂ h₂
b₂ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₂) := m₀ f₂ h₂
a₀ : ↑(R₀.obj (Opposite.op Z)) := (R₀.map g₁.op) a₁
b₀ : ↑(M₀.obj (Opposite.op Z)) := (M₀.map g₁.op) b₁
ha₁ : (α.app (Opposite.op Y₁)) a₁ = (R.map f₁.op) r
ha₂ : (α.app (Opposite.op Y₂)) a₂ = (R.map f₂.op) r
⊢ (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₁.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₁ h₁) =
    (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₂.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₂ h₂)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: hA : Presheaf.IsSeparated J A

Context: X : C

Context: r : ↑(R.obj (Opposite.op X))

Context: m : ↑(A.obj (Opposite.op X))

Context: P : Presieve X

Context: Y₁ Y₂ Z : C

Context: g₁ : Z ⟶ Y₁

Context: g₂ : Z ⟶ Y₂

Context: f₁ : Y₁ ⟶ X

Context: f₂ : Y₂ ⟶ X

Context: h₁ : P f₁

Context: h₂ : P f₂

Context: fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
α : R₀ ⟶ R
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
hA : Presheaf.IsSeparated J A
X : C
r : ↑(R.obj (Opposite.op X))
m : ↑(A.obj (Opposite.op X))
P : Presieve X
r₀ : FamilyOfElements (R₀ ⋙ forget RingCat) P
m₀ : FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp) P
hr₀ : (r₀.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r
hm₀ : (m₀.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
h₁ : P f₁
h₂ : P f₂
fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
a₁ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₁) := r₀ f₁ h₁
b₁ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₁) := m₀ f₁ h₁
a₂ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₂) := r₀ f₂ h₂
b₂ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₂) := m₀ f₂ h₂
a₀ : ↑(R₀.obj (Opposite.op Z)) := (R₀.map g₁.op) a₁
b₀ : ↑(M₀.obj (Opposite.op Z)) := (M₀.map g₁.op) b₁
ha₁ : (α.app (Opposite.op Y₁)) a₁ = (R.map f₁.op) r
ha₂ : (α.app (Opposite.op Y₂)) a₂ = (R.map f₂.op) r
hb₁ : (φ.app (Opposite.op Y₁)) b₁ = (A.map f₁.op) m
⊢ (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₁.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₁ h₁) =
    (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₂.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₂ h₂)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: hA : Presheaf.IsSeparated J A

Context: X : C

Context: r : ↑(R.obj (Opposite.op X))

Context: m : ↑(A.obj (Opposite.op X))

Context: P : Presieve X

Context: Y₁ Y₂ Z : C

Context: g₁ : Z ⟶ Y₁

Context: g₂ : Z ⟶ Y₂

Context: f₁ : Y₁ ⟶ X

Context: f₂ : Y₂ ⟶ X

Context: h₁ : P f₁

Context: h₂ : P f₂

Context: fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
α : R₀ ⟶ R
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
hA : Presheaf.IsSeparated J A
X : C
r : ↑(R.obj (Opposite.op X))
m : ↑(A.obj (Opposite.op X))
P : Presieve X
r₀ : FamilyOfElements (R₀ ⋙ forget RingCat) P
m₀ : FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp) P
hr₀ : (r₀.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r
hm₀ : (m₀.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
h₁ : P f₁
h₂ : P f₂
fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
a₁ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₁) := r₀ f₁ h₁
b₁ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₁) := m₀ f₁ h₁
a₂ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₂) := r₀ f₂ h₂
b₂ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₂) := m₀ f₂ h₂
a₀ : ↑(R₀.obj (Opposite.op Z)) := (R₀.map g₁.op) a₁
b₀ : ↑(M₀.obj (Opposite.op Z)) := (M₀.map g₁.op) b₁
ha₁ : (α.app (Opposite.op Y₁)) a₁ = (R.map f₁.op) r
ha₂ : (α.app (Opposite.op Y₂)) a₂ = (R.map f₂.op) r
hb₁ : (φ.app (Opposite.op Y₁)) b₁ = (A.map f₁.op) m
hb₂ : (φ.app (Opposite.op Y₂)) b₂ = (A.map f₂.op) m
⊢ (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₁.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₁ h₁) =
    (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₂.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₂ h₂)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: hA : Presheaf.IsSeparated J A

Context: X : C

Context: r : ↑(R.obj (Opposite.op X))

Context: m : ↑(A.obj (Opposite.op X))

Context: P : Presieve X

Context: Y₁ Y₂ Z : C

Context: g₁ : Z ⟶ Y₁

Context: g₂ : Z ⟶ Y₂

Context: f₁ : Y₁ ⟶ X

Context: f₂ : Y₂ ⟶ X

Context: h₁ : P f₁

Context: h₂ : P f₂

Context: fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
α : R₀ ⟶ R
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
hA : Presheaf.IsSeparated J A
X : C
r : ↑(R.obj (Opposite.op X))
m : ↑(A.obj (Opposite.op X))
P : Presieve X
r₀ : FamilyOfElements (R₀ ⋙ forget RingCat) P
m₀ : FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp) P
hr₀ : (r₀.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r
hm₀ : (m₀.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
h₁ : P f₁
h₂ : P f₂
fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
a₁ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₁) := r₀ f₁ h₁
b₁ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₁) := m₀ f₁ h₁
a₂ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₂) := r₀ f₂ h₂
b₂ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₂) := m₀ f₂ h₂
a₀ : ↑(R₀.obj (Opposite.op Z)) := (R₀.map g₁.op) a₁
b₀ : ↑(M₀.obj (Opposite.op Z)) := (M₀.map g₁.op) b₁
ha₁ : (α.app (Opposite.op Y₁)) a₁ = (R.map f₁.op) r
ha₂ : (α.app (Opposite.op Y₂)) a₂ = (R.map f₂.op) r
hb₁ : (φ.app (Opposite.op Y₁)) b₁ = (A.map f₁.op) m
hb₂ : (φ.app (Opposite.op Y₂)) b₂ = (A.map f₂.op) m
ha₀ : (α.app (Opposite.op Z)) a₀ = (R.map (f₁.op ≫ g₁.op)) r
⊢ (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₁.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₁ h₁) =
    (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₂.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₂ h₂)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: hA : Presheaf.IsSeparated J A

Context: X : C

Context: r : ↑(R.obj (Opposite.op X))

Context: m : ↑(A.obj (Opposite.op X))

Context: P : Presieve X

Context: Y₁ Y₂ Z : C

Context: g₁ : Z ⟶ Y₁

Context: g₂ : Z ⟶ Y₂

Context: f₁ : Y₁ ⟶ X

Context: f₂ : Y₂ ⟶ X

Context: h₁ : P f₁

Context: h₂ : P f₂

Context: fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
α : R₀ ⟶ R
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
hA : Presheaf.IsSeparated J A
X : C
r : ↑(R.obj (Opposite.op X))
m : ↑(A.obj (Opposite.op X))
P : Presieve X
r₀ : FamilyOfElements (R₀ ⋙ forget RingCat) P
m₀ : FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp) P
hr₀ : (r₀.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r
hm₀ : (m₀.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
h₁ : P f₁
h₂ : P f₂
fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
a₁ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₁) := r₀ f₁ h₁
b₁ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₁) := m₀ f₁ h₁
a₂ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₂) := r₀ f₂ h₂
b₂ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₂) := m₀ f₂ h₂
a₀ : ↑(R₀.obj (Opposite.op Z)) := (R₀.map g₁.op) a₁
b₀ : ↑(M₀.obj (Opposite.op Z)) := (M₀.map g₁.op) b₁
ha₁ : (α.app (Opposite.op Y₁)) a₁ = (R.map f₁.op) r
ha₂ : (α.app (Opposite.op Y₂)) a₂ = (R.map f₂.op) r
hb₁ : (φ.app (Opposite.op Y₁)) b₁ = (A.map f₁.op) m
hb₂ : (φ.app (Opposite.op Y₂)) b₂ = (A.map f₂.op) m
ha₀ : (α.app (Opposite.op Z)) a₀ = (R.map (f₁.op ≫ g₁.op)) r
hb₀ : (φ.app (Opposite.op Z)) b₀ = (A.map (f₁.op ≫ g₁.op)) m
⊢ (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₁.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₁ h₁) =
    (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₂.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₂ h₂)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: hA : Presheaf.IsSeparated J A

Context: X : C

Context: r : ↑(R.obj (Opposite.op X))

Context: m : ↑(A.obj (Opposite.op X))

Context: P : Presieve X

Context: Y₁ Y₂ Z : C

Context: g₁ : Z ⟶ Y₁

Context: g₂ : Z ⟶ Y₂

Context: f₁ : Y₁ ⟶ X

Context: f₂ : Y₂ ⟶ X

Context: h₁ : P f₁

Context: h₂ : P f₂

Context: fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
α : R₀ ⟶ R
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
hA : Presheaf.IsSeparated J A
X : C
r : ↑(R.obj (Opposite.op X))
m : ↑(A.obj (Opposite.op X))
P : Presieve X
r₀ : FamilyOfElements (R₀ ⋙ forget RingCat) P
m₀ : FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp) P
hr₀ : (r₀.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r
hm₀ : (m₀.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
h₁ : P f₁
h₂ : P f₂
fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
a₁ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₁) := r₀ f₁ h₁
b₁ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₁) := m₀ f₁ h₁
a₂ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₂) := r₀ f₂ h₂
b₂ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₂) := m₀ f₂ h₂
a₀ : ↑(R₀.obj (Opposite.op Z)) := (R₀.map g₁.op) a₁
b₀ : ↑(M₀.obj (Opposite.op Z)) := (M₀.map g₁.op) b₁
ha₁ : (α.app (Opposite.op Y₁)) a₁ = (R.map f₁.op) r
ha₂ : (α.app (Opposite.op Y₂)) a₂ = (R.map f₂.op) r
hb₁ : (φ.app (Opposite.op Y₁)) b₁ = (A.map f₁.op) m
hb₂ : (φ.app (Opposite.op Y₂)) b₂ = (A.map f₂.op) m
ha₀ : (α.app (Opposite.op Z)) a₀ = (R.map (f₁.op ≫ g₁.op)) r
hb₀ : (φ.app (Opposite.op Z)) b₀ = (A.map (f₁.op ≫ g₁.op)) m
ha₀' : (α.app (Opposite.op Z)) a₀ = (R.map (f₂.op ≫ g₂.op)) r
⊢ (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₁.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₁ h₁) =
    (A ⋙ forget AddCommGrp).map g₂.op ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp)) f₂ h₂)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: hA : Presheaf.IsSeparated J A

Context: X : C

Context: r : ↑(R.obj (Opposite.op X))

Context: m : ↑(A.obj (Opposite.op X))

Context: P : Presieve X

Context: Y₁ Y₂ Z : C

Context: g₁ : Z ⟶ Y₁

Context: g₂ : Z ⟶ Y₂

Context: f₁ : Y₁ ⟶ X

Context: f₂ : Y₂ ⟶ X

Context: h₁ : P f₁

Context: h₂ : P f₂

Context: fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
α : R₀ ⟶ R
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
hA : Presheaf.IsSeparated J A
X : C
r : ↑(R.obj (Opposite.op X))
m : ↑(A.obj (Opposite.op X))
P : Presieve X
r₀ : FamilyOfElements (R₀ ⋙ forget RingCat) P
m₀ : FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp) P
hr₀ : (r₀.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r
hm₀ : (m₀.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
h₁ : P f₁
h₂ : P f₂
fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
a₁ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₁) := r₀ f₁ h₁
b₁ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₁) := m₀ f₁ h₁
a₂ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₂) := r₀ f₂ h₂
b₂ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₂) := m₀ f₂ h₂
a₀ : ↑(R₀.obj (Opposite.op Z)) := (R₀.map g₁.op) a₁
b₀ : ↑(M₀.obj (Opposite.op Z)) := (M₀.map g₁.op) b₁
ha₁ : (α.app (Opposite.op Y₁)) a₁ = (R.map f₁.op) r
ha₂ : (α.app (Opposite.op Y₂)) a₂ = (R.map f₂.op) r
hb₁ : (φ.app (Opposite.op Y₁)) b₁ = (A.map f₁.op) m
hb₂ : (φ.app (Opposite.op Y₂)) b₂ = (A.map f₂.op) m
ha₀ : (α.app (Opposite.op Z)) a₀ = (R.map (f₁.op ≫ g₁.op)) r
hb₀ : (φ.app (Opposite.op Z)) b₀ = (A.map (f₁.op ≫ g₁.op)) m
ha₀' : (α.app (Opposite.op Z)) a₀ = (R.map (f₂.op ≫ g₂.op)) r
hb₀' : (φ.app (Opposite.op Z)) b₀ = (A.map (f₂.op ≫ g₂.op)) m
⊢ (A.map g₁.op) ((φ.app (Opposite.op Y₁)) (r₀.smul m₀ f₁ h₁)) =
    (A.map g₂.op) ((φ.app (Opposite.op Y₂)) (r₀.smul m₀ f₂ h₂))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: hA : Presheaf.IsSeparated J A

Context: X : C

Context: r : ↑(R.obj (Opposite.op X))

Context: m : ↑(A.obj (Opposite.op X))

Context: P : Presieve X

Context: Y₁ Y₂ Z : C

Context: g₁ : Z ⟶ Y₁

Context: g₂ : Z ⟶ Y₂

Context: f₁ : Y₁ ⟶ X

Context: f₂ : Y₂ ⟶ X

Context: h₁ : P f₁

Context: h₂ : P f₂

Context: fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
α : R₀ ⟶ R
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
hA : Presheaf.IsSeparated J A
X : C
r : ↑(R.obj (Opposite.op X))
m : ↑(A.obj (Opposite.op X))
P : Presieve X
r₀ : FamilyOfElements (R₀ ⋙ forget RingCat) P
m₀ : FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp) P
hr₀ : (r₀.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r
hm₀ : (m₀.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
h₁ : P f₁
h₂ : P f₂
fac : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
a₁ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₁) := r₀ f₁ h₁
b₁ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₁) := m₀ f₁ h₁
a₂ : (R₀ ⋙ forget RingCat).obj (Opposite.op Y₂) := r₀ f₂ h₂
b₂ : (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).obj (Opposite.op Y₂) := m₀ f₂ h₂
a₀ : ↑(R₀.obj (Opposite.op Z)) := (R₀.map g₁.op) a₁
b₀ : ↑(M₀.obj (Opposite.op Z)) := (M₀.map g₁.op) b₁
ha₁ : (α.app (Opposite.op Y₁)) a₁ = (R.map f₁.op) r
ha₂ : (α.app (Opposite.op Y₂)) a₂ = (R.map f₂.op) r
hb₁ : (φ.app (Opposite.op Y₁)) b₁ = (A.map f₁.op) m
hb₂ : (φ.app (Opposite.op Y₂)) b₂ = (A.map f₂.op) m
ha₀ : (α.app (Opposite.op Z)) a₀ = (R.map (f₁.op ≫ g₁.op)) r
hb₀ : (φ.app (Opposite.op Z)) b₀ = (A.map (f₁.op ≫ g₁.op)) m
ha₀' : (α.app (Opposite.op Z)) a₀ = (R.map (f₂.op ≫ g₂.op)) r
hb₀' : (φ.app (Opposite.op Z)) b₀ = (A.map (f₂.op ≫ g₂.op)) m
⊢ (φ.app (Opposite.op Z)) ((M₀.presheaf.map g₁.op) (r₀.smul m₀ f₁ h₁)) =
    (φ.app (Opposite.op Z)) ((M₀.presheaf.map g₂.op) (r₀.smul m₀ f₂ h₂))


K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
K : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
⊢ ∃! P, map (Int.castRingHom K) P = cyclotomic' (↑n) K


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K✝

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : IsDomain K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: n : ℕ+

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: P : ℤ[X]

case intro
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
K : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
P : ℤ[X]
hP : map (Int.castRingHom K) P = cyclotomic' (↑n) K ∧ P.degree = (cyclotomic' (↑n) K).degree ∧ P.Monic
⊢ ∃! P, map (Int.castRingHom K) P = cyclotomic' (↑n) K


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K✝

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : IsDomain K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: n : ℕ+

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: P : ℤ[X]

Context: Q : ℤ[X]

case intro
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
K : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
P : ℤ[X]
hP : map (Int.castRingHom K) P = cyclotomic' (↑n) K ∧ P.degree = (cyclotomic' (↑n) K).degree ∧ P.Monic
Q : ℤ[X]
hQ : (fun P => map (Int.castRingHom K) P = cyclotomic' (↑n) K) Q
⊢ Q = P


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K✝

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : IsDomain K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: n : ℕ+

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: P : ℤ[X]

Context: Q : ℤ[X]

case intro.a
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
K : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
P : ℤ[X]
hP : map (Int.castRingHom K) P = cyclotomic' (↑n) K ∧ P.degree = (cyclotomic' (↑n) K).degree ∧ P.Monic
Q : ℤ[X]
hQ : (fun P => map (Int.castRingHom K) P = cyclotomic' (↑n) K) Q
⊢ map (Int.castRingHom K) Q = map (Int.castRingHom K) P


Context:
x : EReal
h : x < 0


ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : TaggedPrepartition I
⊢ integralSum (-f) vol π = -integralSum f vol π


Context: R : Type uR

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: S : Type uS

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: T : Type uT

Context: A : Type uA

Context: inst✝⁴ : Semiring A

Context: inst✝³ : Algebra S A

Context: r : R → R → Prop

Context: inst✝² : Semiring T

Context: B : Type u₄

Context: inst✝¹ : Semiring B

Context: inst✝ : Algebra S B

Context: s : A → A → Prop

Context: x✝ : A

case a.H
R : Type uR
inst✝⁶ : Semiring R
S : Type uS
inst✝⁵ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝² : Semiring T
B : Type u₄
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra S B
s : A → A → Prop
f : { f // ∀ ⦃x y : A⦄, s x y → f x = f y }
x✝ : A
⊢ ↑((fun F => ⟨F.comp (mkAlgHom S s), ⋯⟩) ((fun f' => preLiftAlgHom S ⋯) f)) x✝ = ↑f x✝


case w.H
R : Type uR
inst✝⁶ : Semiring R
S : Type uS
inst✝⁵ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝² : Semiring T
B : Type u₄
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra S B
s : A → A → Prop
F : RingQuot s →ₐ[S] B
x✝ : A
⊢ (((fun f' => preLiftAlgHom S ⋯) ((fun F => ⟨F.comp (mkAlgHom S s), ⋯⟩) F)).comp (mkAlgHom S s)) x✝ =
    (F.comp (mkAlgHom S s)) x✝


l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m K
⊢ (LinearIndependent K fun i => A i) ↔ IsUnit A


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Ring α

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: a b : α

Context: inst✝³ : PosMulStrictMono α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α

α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Ring α
inst✝⁴ : LinearOrder α
a b : α
inst✝³ : PosMulStrictMono α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
⊢ a * b < 0 ↔ 0 < a ∧ b < 0 ∨ a < 0 ∧ 0 < b


α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
n : ℕ
_l : List α
⊢ n ≤ count a (Quot.mk Setoid.r _l) ↔ replicate n a ≤ Quot.mk Setoid.r _l


α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
n : ℕ
_l : List α
⊢ n ≤ List.count a _l ↔ replicate n a ≤ ↑_l


V : Type u_1
G✝ : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝³ : G✝.LocallyFinite
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
k : ℕ
h : G.IsRegularOfDegree k
v : V
⊢ Gᶜ.degree v = Fintype.card V - 1 - k


R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x y : R
⊢ star x ≤ y ↔ x ≤ star y


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
f g : Filter α
⊢ (f ⊓ g).NeBot ↔ ∀ {p : α → Prop}, (∀ᶠ (x : α) in g, p x) → ∃ᶠ (x : α) in f, p x


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
f g : Filter α
⊢ (g ⊓ f).NeBot ↔ ∀ {p : α → Prop}, (∀ᶠ (x : α) in g, p x) → ∃ᶠ (x : α) in f, p x


Context:
a : UnitAddCircle
r : ℝ

a : UnitAddCircle
r : ℝ
⊢ (fun x => (ofReal' ∘ oddKernel a) x - 0) =O[atTop] fun x => x ^ r


Context: a : UnitAddCircle

Context: r v : ℝ

Context: hv : 0 < v

a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : oddKernel a =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)
⊢ (fun x => (ofReal' ∘ oddKernel a) x - 0) =O[atTop] fun x => x ^ r


Context: a : UnitAddCircle

Context: r v : ℝ

Context: hv : 0 < v

a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : (fun x => ‖oddKernel a x‖) =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)
⊢ (fun x => ‖(ofReal' ∘ oddKernel a) x - 0‖) =O[atTop] fun x => x ^ r


Context: a : UnitAddCircle

Context: r v : ℝ

Context: hv : 0 < v

a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : (fun x => ‖oddKernel a x‖) =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)
⊢ (fun x => ‖oddKernel a x‖) =O[atTop] fun x => x ^ r


Context:
a : UnitAddCircle
r : ℝ

a : UnitAddCircle
r : ℝ
⊢ (fun x => (ofReal' ∘ sinKernel a) x - 0) =O[atTop] fun x => x ^ r


Context: a : UnitAddCircle

Context: r v : ℝ

Context: hv : 0 < v

a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : sinKernel a =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)
⊢ (fun x => (ofReal' ∘ sinKernel a) x - 0) =O[atTop] fun x => x ^ r


Context: a : UnitAddCircle

Context: r v : ℝ

Context: hv : 0 < v

a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : (fun x => ‖sinKernel a x‖) =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)
⊢ (fun x => ‖(ofReal' ∘ sinKernel a) x - 0‖) =O[atTop] fun x => x ^ r


Context: a : UnitAddCircle

Context: r v : ℝ

Context: hv : 0 < v

a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : (fun x => ‖sinKernel a x‖) =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)
⊢ (fun x => ‖sinKernel a x‖) =O[atTop] fun x => x ^ r


Context:
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0

a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
⊢ (ofReal' ∘ oddKernel a) (1 / x) = (1 * ↑(x ^ (3 / 2))) • (ofReal' ∘ sinKernel a) x


α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
a b : Complementeds α
⊢ Codisjoint ↑a ↑b ↔ Codisjoint a b


R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
⊢ Polynomial.map (↑(bind₁ (toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ))))
      (charpoly.univ A ιM) =
    Polynomial.map (MvPolynomial.map (algebraMap R A))
      (Polynomial.map (↑(bind₁ (toMvPolynomial b bₘ.end φ))) (charpoly.univ R ιM))


R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
⊢ Polynomial.map (↑(bind₁ (toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ))))
      (Polynomial.map (MvPolynomial.map (algebraMap R A)) (charpoly.univ R ιM)) =
    Polynomial.map (MvPolynomial.map (algebraMap R A))
      (Polynomial.map (↑(bind₁ (toMvPolynomial b bₘ.end φ))) (charpoly.univ R ιM))


case e_f
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
⊢ (↑(bind₁ (toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ)))).comp
      (MvPolynomial.map (algebraMap R A)) =
    (MvPolynomial.map (algebraMap R A)).comp ↑(bind₁ (toMvPolynomial b bₘ.end φ))


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α

Context: hb : b < 0

Context: h : a < 1

α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hb : b < 0
h : a < 1
⊢ b < a * b


α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
hf : IsBigOWith c l f' k'
hg : IsBigOWith c l g' k'
⊢ IsBigOWith c l (fun x => (f' x, g' x)) k'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
hf : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f' x‖ ≤ c * ‖k' x‖
hg : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖g' x‖ ≤ c * ‖k' x‖
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖(f' x, g' x)‖ ≤ c * ‖k' x‖


α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
inst✝ : Nonempty β
hs : s.Finite
h : s.encard = t.encard
⊢ ∃ f, BijOn f s t


case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f✝ : α → β
inst✝ : Nonempty β
hs : s.Finite
h : s.encard = t.encard
f : α → β
hf : s ⊆ f ⁻¹' t
hinj : InjOn f s
⊢ ∃ f, BijOn f s t


case h
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f✝ : α → β
inst✝ : Nonempty β
hs : s.Finite
h : s.encard = t.encard
f : α → β
hf : s ⊆ f ⁻¹' t
hinj : InjOn f s
⊢ BijOn f s t


case h.e'_5
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f✝ : α → β
inst✝ : Nonempty β
hs : s.Finite
h : s.encard = t.encard
f : α → β
hf : s ⊆ f ⁻¹' t
hinj : InjOn f s
⊢ t = f '' s


K : Type u_1
n : ℕ
g : GenContFract K
s : Stream'.Seq (Pair K)
inst✝ : DivisionRing K
m : ℕ
m_lt_n : m < n
⊢ (g.squashGCF (n + 1)).s.get? m = g.s.get? m


Context: x y : ℕ∞


a b : ℤ
n : ℕ
m x : ℤ
h1 : m ∣ x
h2 : |x| < m
⊢ x = 0


case inr.intro
a b : ℤ
n : ℕ
m : ℤ
hm : m ≠ 0
d : ℤ
h2 : |m * d| < m
⊢ m * d = 0


case inr.intro.h
a b : ℤ
n : ℕ
m : ℤ
hm : m ≠ 0
d : ℤ
h2 : |m * d| < m
⊢ d = 0


case inr.intro.h
a b : ℤ
n : ℕ
m : ℤ
hm : m ≠ 0
d : ℤ
h2 : |m * d| < m
⊢ |m * d| < |m|


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : SFinite μ

Context: s : Set G

Context: inst✝² : MeasurableInv G

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: f : G → G → ℝ≥0∞

G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
f : G → G → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable (uncurry f) (μ.prod ν)
⊢ ∫⁻ (x : G), ∫⁻ (y : G), f (y * x) x⁻¹ ∂ν ∂μ = ∫⁻ (x : G), ∫⁻ (y : G), f x y ∂ν ∂μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : SFinite μ

Context: s : Set G

Context: inst✝² : MeasurableInv G

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: f : G → G → ℝ≥0∞

G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
f : G → G → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable (uncurry f) (μ.prod ν)
h : Measurable fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)
⊢ ∫⁻ (x : G), ∫⁻ (y : G), f (y * x) x⁻¹ ∂ν ∂μ = ∫⁻ (x : G), ∫⁻ (y : G), f x y ∂ν ∂μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : SFinite μ

Context: s : Set G

Context: inst✝² : MeasurableInv G

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: f : G → G → ℝ≥0∞

G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
f : G → G → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable (uncurry f) (μ.prod ν)
h : Measurable fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)
h2f : AEMeasurable (uncurry fun x y => f (y * x) x⁻¹) (μ.prod ν)
⊢ ∫⁻ (x : G), ∫⁻ (y : G), f (y * x) x⁻¹ ∂ν ∂μ = ∫⁻ (x : G), ∫⁻ (y : G), f x y ∂ν ∂μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : SFinite μ

Context: s : Set G

Context: inst✝² : MeasurableInv G

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: f : G → G → ℝ≥0∞

G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
f : G → G → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable (uncurry f) (μ.prod ν)
h : Measurable fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)
h2f : AEMeasurable (uncurry fun x y => f (y * x) x⁻¹) (μ.prod ν)
⊢ ∫⁻ (z : G × G), f (z.2 * z.1) z.1⁻¹ ∂μ.prod ν = ∫⁻ (z : G × G), f z.1 z.2 ∂μ.prod ν


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : SFinite μ

Context: s : Set G

Context: inst✝² : MeasurableInv G

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: f : G → G → ℝ≥0∞

G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
f : G → G → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable (uncurry f) (μ.prod ν)
h : Measurable fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)
h2f : AEMeasurable (uncurry fun x y => f (y * x) x⁻¹) (μ.prod ν)
⊢ ∫⁻ (z : G × G), f z.1 z.2 ∂map (fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)) (μ.prod ν) =
    ∫⁻ (z : G × G), f (z.2 * z.1) z.1⁻¹ ∂μ.prod ν


M : Type u_1
inst✝¹⁵ : Monoid M
N : Type u_2
inst✝¹⁴ : Monoid N
P : Type u_3
inst✝¹³ : Monoid P
φ : M →* N
φ' : N →* M
ψ : N →* P
χ : M →* P
A : Type u_4
inst✝¹² : AddMonoid A
inst✝¹¹ : DistribMulAction M A
B : Type u_5
inst✝¹⁰ : AddMonoid B
inst✝⁹ : DistribMulAction N B
B₁ : Type u_6
inst✝⁸ : AddMonoid B₁
inst✝⁷ : DistribMulAction M B₁
C : Type u_7
inst✝⁶ : AddMonoid C
inst✝⁵ : DistribMulAction P C
A' : Type u_8
inst✝⁴ : AddGroup A'
inst✝³ : DistribMulAction M A'
B' : Type u_9
inst✝² : AddGroup B'
inst✝¹ : DistribMulAction N B'
F : Type u_10
inst✝ : FunLike F A B
f : A →ₑ+[φ] B
x : A
⊢ ((DistribMulActionHom.id N).comp f) x = f x


case a
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : Perm α
h : ∀ (x : α), x ∈ s ↔ f x ∈ s
a✝ : { x // x ∈ s }
⊢ a✝ ∈ (f.subtypePerm h).support ↔ a✝ ∈ filter (fun x => decide (f ↑x ≠ ↑x) = true) s.attach


α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
⊢ ∃ f, o.cof.ord.blsub f = o


case intro.intro.intro
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
hf : lsub f = o
hι : #ι = o.cof
⊢ ∃ f, o.cof.ord.blsub f = o


case intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
r✝ : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
hf : lsub f = o
hι : #ι = o.cof
r : ι → ι → Prop
hr : IsWellOrder ι r
hι' : (#ι).ord = type r
⊢ ∃ f, o.cof.ord.blsub f = o


R✝ : Type u
inst✝²³ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝²² : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝²¹ : CommRing S
inst✝²⁰ : Algebra R S
A : Type u
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Algebra R A
inst✝¹⁷ : Algebra S A
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing B
inst✝¹⁴ : Algebra R B
inst✝¹³ : Algebra S B
inst✝¹² : IsScalarTower R S B
f✝ : A →ₐ[S] B
F : Type u
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R F
inst✝⁹ : Algebra S F
inst✝⁸ : IsScalarTower R S F
K : Type v
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : Algebra S K
inst✝⁴ : IsScalarTower R S K
f : F →ₐ[S] K
L : Type w
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : Algebra S L
inst✝ : IsScalarTower R S L
g : K →ₐ[S] L
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
⊢ (baseChange W K).toAffine.slope (f x₁) (f x₂) (f y₁) (f y₂) = f ((baseChange W F).toAffine.slope x₁ x₂ y₁ y₂)


Context: K : Type u_1

Context: g : GenContFract K

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: gp ppred pred : Pair K

Context: nth_s_eq : g.s.get? n = some gp

Context: nth_contsAux_eq : g.contsAux n = ppred

K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
gp ppred pred : Pair K
nth_s_eq : g.s.get? n = some gp
nth_contsAux_eq : g.contsAux n = ppred
succ_nth_contsAux_eq : g.contsAux (n + 1) = pred
⊢ g.conts (n + 1) = { a := gp.b * pred.a + gp.a * ppred.a, b := gp.b * pred.b + gp.a * ppred.b }


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: k f g g' : α → β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : Field β

Context: inst✝ : ContinuousMul β

Context: c : β

Context: hc0 : c ≠ 0

Context: x : α

α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Field β
inst✝ : ContinuousMul β
c : β
hc0 : c ≠ 0
h : SuperpolynomialDecay l k fun n => f n * c
x : α
⊢ f x * c * c⁻¹ = f x


Context:
o₁ o₂ : Ordering
h : o₁.swap = o₂.swap

o₁ o₂ : Ordering
h : o₁.swap = o₂.swap
⊢ o₁ = o₂


l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
x y : n → α
e : m ≃ n
x✝¹ : m
x✝ : x✝¹ ∈ Finset.univ
⊢ (u ∘ ⇑e.symm) (e x✝¹) * x (e x✝¹) = u x✝¹ * (x ∘ ⇑e) x✝¹


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing P

Context: Rₘ : Type u_4

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁶ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁵ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁴ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝³ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝² : Algebra S Sₘ

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral R S

Context: x : Sₘ

R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing Rₘ
inst✝⁵ : CommRing Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Rₘ
inst✝³ : IsLocalization M Rₘ
inst✝² : Algebra S Sₘ
inst✝¹ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
x : Sₘ
⊢ (IsLocalization.map Sₘ (algebraMap R S) ⋯).IsIntegralElem x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing P

Context: Rₘ : Type u_4

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁶ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁵ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁴ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝³ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝² : Algebra S Sₘ

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral R S

Context: x : Sₘ

Context: s u : S

Context: v : R

Context: hv : v ∈ ↑M ∧ (algebraMap R S) v = u

case intro.mk.mk.intro
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing Rₘ
inst✝⁵ : CommRing Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Rₘ
inst✝³ : IsLocalization M Rₘ
inst✝² : Algebra S Sₘ
inst✝¹ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
x : Sₘ
s u : S
v : R
hv : v ∈ ↑M ∧ (algebraMap R S) v = u
hx : x * (algebraMap S Sₘ) ↑(s, ⟨u, ⋯⟩).2 = (algebraMap S Sₘ) (s, ⟨u, ⋯⟩).1
⊢ (IsLocalization.map Sₘ (algebraMap R S) ⋯).IsIntegralElem x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing P

Context: Rₘ : Type u_4

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁶ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁵ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁴ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝³ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝² : Algebra S Sₘ

Context: inst✝ : Algebra.IsIntegral R S

Context: x : Sₘ

Context: s u : S

Context: v : R

Context: hv : v ∈ ↑M ∧ (algebraMap R S) v = u

Context: v' : Rₘ

case intro.mk.mk.intro.intro
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing Rₘ
inst✝⁵ : CommRing Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Rₘ
inst✝³ : IsLocalization M Rₘ
inst✝² : Algebra S Sₘ
inst✝¹ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
x : Sₘ
s u : S
v : R
hv : v ∈ ↑M ∧ (algebraMap R S) v = u
hx : x * (algebraMap S Sₘ) ↑(s, ⟨u, ⋯⟩).2 = (algebraMap S Sₘ) (s, ⟨u, ⋯⟩).1
v' : Rₘ
hv' : v' * (algebraMap R Rₘ) ↑⟨v, ⋯⟩ = 1
⊢ (IsLocalization.map Sₘ (algebraMap R S) ⋯).IsIntegralElem x


case a
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
x✝ : G
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq G
x : G
⊢ x ∈ Finset.image (fun i => x✝ ^ i) (Finset.range (orderOf x✝)) ↔ x ∈ (↑(zpowers x✝)).toFinset


Context:
a x✝ y✝ : ℂ
ha : a ≠ 0
x y : ℂ

a x✝ y✝ : ℂ
ha : a ≠ 0
x y : ℂ
⊢ angle (a * x) (a * y) = angle x y


α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
⊢ s.OrdConnected ↔ ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → [[y, x]] ⊆ s