Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R

Context: inst✝¹⁴ : StarRing R

Context: inst✝¹³ : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹² : MetricSpace R

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : PartialOrder A

Context: inst✝⁴ : StarOrderedRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: r : R

Context: a : A

Context: h : ∀ x ∈ spectrum R a, r ≤ x

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁴ : StarRing R
inst✝¹³ : StarOrderedRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.777615) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
r : R
a : A
h : ∀ x ∈ spectrum R a, r ≤ x
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ (algebraMap R A) r ≤ cfc id a


ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : ComplementedLattice α
h : IsAtomic α
⊢ IsStronglyCoatomic α


ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : ComplementedLattice α
h : IsCoatomic α
⊢ IsStronglyCoatomic α


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: u : E → F'

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp'0 : ¬p' = 0

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: hn : 0 < n

Context: hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Context: n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent

case neg
ι : Type u_1
inst✝¹³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: u : E → F'

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp'0 : ¬p' = 0

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: hn : 0 < n

Context: hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Context: n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent

Context: h2p : ↑p < ↑n

case neg
ι : Type u_1
inst✝¹³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
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inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
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inst✝ : CompleteSpace F'
u : E → F'
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h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
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hp'0 : ¬p' = 0
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hn : 0 < n
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n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: u : E → F'

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp'0 : ¬p' = 0

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: hn : 0 < n

Context: hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Context: n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent

Context: h2p : ↑p < ↑n

Context: h0n : 2 ≤ n

case neg
ι : Type u_1
inst✝¹³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
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μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
u : E → F'
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h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
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hp'0 : ¬p' = 0
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n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: u : E → F'

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp'0 : ¬p' = 0

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: hn✝ : 0 < n

Context: hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Context: n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent

Context: h2p : ↑p < ↑n

Context: h0n : 2 ≤ n

Context: hn : (↑n).IsConjExponent n'

case neg
ι : Type u_1
inst✝¹³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).IsConjExponent n'
⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: u : E → F'

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp'0 : ¬p' = 0

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: hn✝ : 0 < n

Context: hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Context: n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent

Context: h2p : ↑p < ↑n

Context: h0n : 2 ≤ n

Context: hn : (↑n).IsConjExponent n'

Context: h1n : 1 ≤ ↑n

case neg
ι : Type u_1
inst✝¹³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).IsConjExponent n'
h1n : 1 ≤ ↑n
⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: u : E → F'

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp'0 : ¬p' = 0

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: hn✝ : 0 < n

Context: hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Context: n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent

Context: h2p : ↑p < ↑n

Context: h0n : 2 ≤ n

Context: hn : (↑n).IsConjExponent n'

Context: h1n : 1 ≤ ↑n

Context: h2n : 0 < ↑n - 1

case neg
ι : Type u_1
inst✝¹³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).IsConjExponent n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: u : E → F'

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp✝ : 1 ≤ p

Context: hp'0 : ¬p' = 0

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: hn✝ : 0 < n

Context: hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Context: n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent

Context: h2p : ↑p < ↑n

Context: h0n : 2 ≤ n

Context: hn : (↑n).IsConjExponent n'

Context: h1n : 1 ≤ ↑n

Context: h2n : 0 < ↑n - 1

Context: hnp : 0 < ↑n - ↑p

Context: hp : 1 < p

Context: q : ℝ := (↑p).conjExponent

case neg.inr
ι : Type u_1
inst✝¹³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp✝ : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
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n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).IsConjExponent n'
h1n : 1 ≤ ↑n
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hp : 1 < p
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⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: u : E → F'

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp✝ : 1 ≤ p

Context: hp'0 : ¬p' = 0

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: hn✝ : 0 < n

Context: hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Context: n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent

Context: h2p : ↑p < ↑n

Context: h0n : 2 ≤ n

Context: hn : (↑n).IsConjExponent n'

Context: h1n : 1 ≤ ↑n

Context: h2n : 0 < ↑n - 1

Context: hnp : 0 < ↑n - ↑p

Context: hp : 1 < p

Context: q : ℝ := (↑p).conjExponent

Context: hq : (↑p).IsConjExponent q

case neg.inr
ι : Type u_1
inst✝¹³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp✝ : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).IsConjExponent n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hnp : 0 < ↑n - ↑p
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p).conjExponent
hq : (↑p).IsConjExponent q
⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

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Context: ι : Type u_1

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Context: ι : Type u_1

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case neg.inr
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case neg.inr
ι : Type u_1
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Context: ι : Type u_1

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Context: ι : Type u_1

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Context: h2n : 0 < ↑n - 1

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F' : Type u_5
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Context: ι : Type u_1

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Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

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Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: u : E → F'

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Context: h2u : HasCompactSupport u

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case neg.inr
ι : Type u_1
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μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
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γ : ℝ≥0 := ⟨↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p), ⋯⟩
h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)
h1γ : 1 < ↑γ
h2γ : γ * n' = p'
⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

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Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

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Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp✝ : 1 ≤ p

Context: hp'0 : ¬p' = 0

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: hn✝ : 0 < n

Context: hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Context: n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent

Context: h2p : ↑p < ↑n

Context: h0n : 2 ≤ n

Context: hn : (↑n).IsConjExponent n'

Context: h1n : 1 ≤ ↑n

Context: h2n : 0 < ↑n - 1

Context: hnp : 0 < ↑n - ↑p

Context: hp : 1 < p

Context: q : ℝ := (↑p).conjExponent

Context: hq : (↑p).IsConjExponent q

Context: h0p : p ≠ 0

Context: h1p : ↑p ≠ 1

Context: h3p : ↑p - 1 ≠ 0

Context: h0p' : p' ≠ 0

Context: h2q : 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'

Context: h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)

Context: h1γ : 1 < ↑γ

Context: h2γ : γ * n' = p'

Context: h3γ : (↑γ - 1) * q = ↑p'

case neg.inr
ι : Type u_1
inst✝¹³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
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μ : Measure E
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F' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
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h0n : 2 ≤ n
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h1n : 1 ≤ ↑n
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h1p : ↑p ≠ 1
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h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)
h1γ : 1 < ↑γ
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : (↑γ - 1) * q = ↑p'
⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

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case neg
ι : Type u_1
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F : Type u_3
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h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)
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h2γ : γ * n' = p'
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h3u : ¬∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ = 0
⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

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Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

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Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: u : E → F'

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Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

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Context: h1p : ↑p ≠ 1

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case neg
ι : Type u_1
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μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
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F' : Type u_5
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hp : 1 < p
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hq : (↑p).IsConjExponent q
h0p : p ≠ 0
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⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

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Context: E : Type u_4

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Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

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case neg
ι : Type u_1
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hq : (↑p).IsConjExponent q
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Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

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Context: F : Type u_3

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F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
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E : Type u_4
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F' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
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inst✝ : CompleteSpace F'
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hu : ContDiff ℝ 1 u
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h0n : 2 ≤ n
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h1n : 1 ≤ ↑n
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q : ℝ := (↑p).conjExponent
hq : (↑p).IsConjExponent q
h0p : p ≠ 0
h1p : ↑p ≠ 1
h3p : ↑p - 1 ≠ 0
h0p' : p' ≠ 0
h2q : 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'
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⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

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Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

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Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

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Context: μ : Measure E

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Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

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Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

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Context: hnp : 0 < ↑n - ↑p

Context: hp : 1 < p

Context: q : ℝ := (↑p).conjExponent

Context: hq : (↑p).IsConjExponent q

Context: h0p : p ≠ 0

Context: h1p : ↑p ≠ 1

Context: h3p : ↑p - 1 ≠ 0

Context: h0p' : p' ≠ 0

Context: h2q : 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'

Context: h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)

Context: h1γ : 1 < ↑γ

Context: h2γ : γ * n' = p'

Context: h3γ : (↑γ - 1) * q = ↑p'

Context: h4γ : ↑γ ≠ 0

Context: h3u : ¬∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ = 0

Context: h4u : ∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ ≠ ⊤

Context: h7u : Continuous u

case neg
ι : Type u_1
inst✝¹³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp✝ : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).IsConjExponent n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hnp : 0 < ↑n - ↑p
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p).conjExponent
hq : (↑p).IsConjExponent q
h0p : p ≠ 0
h1p : ↑p ≠ 1
h3p : ↑p - 1 ≠ 0
h0p' : p' ≠ 0
h2q : 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'
γ : ℝ≥0 := ⟨↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p), ⋯⟩
h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)
h1γ : 1 < ↑γ
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : (↑γ - 1) * q = ↑p'
h4γ : ↑γ ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ ≠ ⊤
h5u : (∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ⊤
h7u : Continuous u
⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: u : E → F'

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp✝ : 1 ≤ p

Context: hp'0 : ¬p' = 0

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: hn✝ : 0 < n

Context: hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Context: n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent

Context: h2p : ↑p < ↑n

Context: h0n : 2 ≤ n

Context: hn : (↑n).IsConjExponent n'

Context: h1n : 1 ≤ ↑n

Context: h2n : 0 < ↑n - 1

Context: hnp : 0 < ↑n - ↑p

Context: hp : 1 < p

Context: q : ℝ := (↑p).conjExponent

Context: hq : (↑p).IsConjExponent q

Context: h0p : p ≠ 0

Context: h1p : ↑p ≠ 1

Context: h3p : ↑p - 1 ≠ 0

Context: h0p' : p' ≠ 0

Context: h2q : 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'

Context: h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)

Context: h1γ : 1 < ↑γ

Context: h2γ : γ * n' = p'

Context: h3γ : (↑γ - 1) * q = ↑p'

Context: h4γ : ↑γ ≠ 0

Context: h3u : ¬∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ = 0

Context: h4u : ∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ ≠ ⊤

Context: h7u : Continuous u

Context: h8u : Continuous (fderiv ℝ u)

Context: v : E → ℝ := fun x => ‖u x‖ ^ ↑γ

case neg
ι : Type u_1
inst✝¹³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp✝ : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).IsConjExponent n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hnp : 0 < ↑n - ↑p
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p).conjExponent
hq : (↑p).IsConjExponent q
h0p : p ≠ 0
h1p : ↑p ≠ 1
h3p : ↑p - 1 ≠ 0
h0p' : p' ≠ 0
h2q : 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'
γ : ℝ≥0 := ⟨↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p), ⋯⟩
h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)
h1γ : 1 < ↑γ
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : (↑γ - 1) * q = ↑p'
h4γ : ↑γ ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ ≠ ⊤
h5u : (∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ⊤
h7u : Continuous u
h8u : Continuous (fderiv ℝ u)
v : E → ℝ := fun x => ‖u x‖ ^ ↑γ
⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: u : E → F'

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp✝ : 1 ≤ p

Context: hp'0 : ¬p' = 0

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: hn✝ : 0 < n

Context: hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Context: n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent

Context: h2p : ↑p < ↑n

Context: h0n : 2 ≤ n

Context: hn : (↑n).IsConjExponent n'

Context: h1n : 1 ≤ ↑n

Context: h2n : 0 < ↑n - 1

Context: hnp : 0 < ↑n - ↑p

Context: hp : 1 < p

Context: q : ℝ := (↑p).conjExponent

Context: hq : (↑p).IsConjExponent q

Context: h0p : p ≠ 0

Context: h1p : ↑p ≠ 1

Context: h3p : ↑p - 1 ≠ 0

Context: h0p' : p' ≠ 0

Context: h2q : 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'

Context: h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)

Context: h1γ : 1 < ↑γ

Context: h2γ : γ * n' = p'

Context: h3γ : (↑γ - 1) * q = ↑p'

Context: h4γ : ↑γ ≠ 0

Context: h3u : ¬∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ = 0

Context: h4u : ∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ ≠ ⊤

Context: h7u : Continuous u

Context: h8u : Continuous (fderiv ℝ u)

Context: v : E → ℝ := fun x => ‖u x‖ ^ ↑γ

Context: hv : ContDiff ℝ 1 v

case neg
ι : Type u_1
inst✝¹³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp✝ : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).IsConjExponent n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hnp : 0 < ↑n - ↑p
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p).conjExponent
hq : (↑p).IsConjExponent q
h0p : p ≠ 0
h1p : ↑p ≠ 1
h3p : ↑p - 1 ≠ 0
h0p' : p' ≠ 0
h2q : 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'
γ : ℝ≥0 := ⟨↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p), ⋯⟩
h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)
h1γ : 1 < ↑γ
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : (↑γ - 1) * q = ↑p'
h4γ : ↑γ ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ ≠ ⊤
h5u : (∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ⊤
h7u : Continuous u
h8u : Continuous (fderiv ℝ u)
v : E → ℝ := fun x => ‖u x‖ ^ ↑γ
hv : ContDiff ℝ 1 v
⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: u : E → F'

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : HasCompactSupport u

Context: p p' : ℝ≥0

Context: hp✝ : 1 ≤ p

Context: hp'0 : ¬p' = 0

Context: n : ℕ := finrank ℝ E

Context: hn✝ : 0 < n

Context: hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Context: n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent

Context: h2p : ↑p < ↑n

Context: h0n : 2 ≤ n

Context: hn : (↑n).IsConjExponent n'

Context: h1n : 1 ≤ ↑n

Context: h2n : 0 < ↑n - 1

Context: hnp : 0 < ↑n - ↑p

Context: hp : 1 < p

Context: q : ℝ := (↑p).conjExponent

Context: hq : (↑p).IsConjExponent q

Context: h0p : p ≠ 0

Context: h1p : ↑p ≠ 1

Context: h3p : ↑p - 1 ≠ 0

Context: h0p' : p' ≠ 0

Context: h2q : 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'

Context: h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)

Context: h1γ : 1 < ↑γ

Context: h2γ : γ * n' = p'

Context: h3γ : (↑γ - 1) * q = ↑p'

Context: h4γ : ↑γ ≠ 0

Context: h3u : ¬∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ = 0

Context: h4u : ∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ ≠ ⊤

Context: h7u : Continuous u

Context: h8u : Continuous (fderiv ℝ u)

Context: v : E → ℝ := fun x => ‖u x‖ ^ ↑γ

Context: hv : ContDiff ℝ 1 v

Context: h2v : HasCompactSupport v

case neg
ι : Type u_1
inst✝¹³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp✝ : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).IsConjExponent n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hnp : 0 < ↑n - ↑p
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p).conjExponent
hq : (↑p).IsConjExponent q
h0p : p ≠ 0
h1p : ↑p ≠ 1
h3p : ↑p - 1 ≠ 0
h0p' : p' ≠ 0
h2q : 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'
γ : ℝ≥0 := ⟨↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p), ⋯⟩
h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)
h1γ : 1 < ↑γ
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : (↑γ - 1) * q = ↑p'
h4γ : ↑γ ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ ≠ ⊤
h5u : (∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ⊤
h7u : Continuous u
h8u : Continuous (fderiv ℝ u)
v : E → ℝ := fun x => ‖u x‖ ^ ↑γ
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOneConst μ ↑n'
this :
  (∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / ↑n') ≤
    ↑C * ↑γ * (∫⁻ (x : E), ↑‖fderiv ℝ u x‖₊ ^ ↑p ∂μ) ^ (1 / ↑p) * (∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q)
⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ


V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
x : V
⊢ -(o.rotation θ) x = (o.rotation (↑π + θ)) x


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝² : SMul αᵐᵒᵖ β

Context: inst✝¹ : SMul β γ

Context: inst✝ : SMul α γ

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: t : Set γ

Context: x✝ : γ

case h
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : SMul αᵐᵒᵖ β
inst✝¹ : SMul β γ
inst✝ : SMul α γ
a : α
s : Set β
t : Set γ
h : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), (op a • b) • c = b • a • c
x✝ : γ
⊢ x✝ ∈ (op a • s) • t ↔ x✝ ∈ s • a • t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: n : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder n

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n

Context: S : Matrix n n 𝕜

Context: inst✝ : Fintype n

Context: hS : S.PosDef

𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder n
inst✝² : IsWellOrder n fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n
S : Matrix n n 𝕜
inst✝ : Fintype n
hS : S.PosDef
⊢ lowerInv hS = ((Pi.basisFun 𝕜 n).toMatrix ⇑(gramSchmidtBasis (Pi.basisFun 𝕜 n)))ᵀ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: n : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder n

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n

Context: S : Matrix n n 𝕜

Context: inst✝ : Fintype n

Context: hS : S.PosDef

𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder n
inst✝² : IsWellOrder n fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n
S : Matrix n n 𝕜
inst✝ : Fintype n
hS : S.PosDef
this : NormedAddCommGroup (n → 𝕜) := NormedAddCommGroup.ofMatrix ⋯
⊢ lowerInv hS = ((Pi.basisFun 𝕜 n).toMatrix ⇑(gramSchmidtBasis (Pi.basisFun 𝕜 n)))ᵀ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: n : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder n

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n

Context: S : Matrix n n 𝕜

Context: inst✝ : Fintype n

Context: hS : S.PosDef

Context: i j : n

case a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder n
inst✝² : IsWellOrder n fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n
S : Matrix n n 𝕜
inst✝ : Fintype n
hS : S.PosDef
this✝ : NormedAddCommGroup (n → 𝕜) := NormedAddCommGroup.ofMatrix ⋯
this : InnerProductSpace 𝕜 (n → 𝕜) := InnerProductSpace.ofMatrix ⋯
i j : n
⊢ lowerInv hS i j = ((Pi.basisFun 𝕜 n).toMatrix ⇑(gramSchmidtBasis (Pi.basisFun 𝕜 n)))ᵀ i j


R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P z = 0
hQz : Q z = 0
⊢ W.add P Q = P x ^ 2 • ![1, 1, 0]


M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Γ : Type u_4
inst✝⁶ : Group Γ
T : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace T
inst✝⁴ : MulAction Γ T
G₀ : Type u_6
inst✝³ : GroupWithZero G₀
inst✝² : MulAction G₀ α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ α
c : G₀
s : Set α
x : α
hc : c ≠ 0
⊢ c • s ∈ 𝓝 (c • x) ↔ s ∈ 𝓝 x


M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Γ : Type u_4
inst✝⁶ : Group Γ
T : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace T
inst✝⁴ : MulAction Γ T
G₀ : Type u_6
inst✝³ : GroupWithZero G₀
inst✝² : MulAction G₀ α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ α
c : G₀
s : Set α
x : α
hc : c ≠ 0
h : c • s ∈ 𝓝 (c • x)
⊢ s ∈ 𝓝 x


c⁻¹ • c • s ∈ 𝓝 (c⁻¹ • c • x)

M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Γ : Type u_4
inst✝⁶ : Group Γ
T : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace T
inst✝⁴ : MulAction Γ T
G₀ : Type u_6
inst✝³ : GroupWithZero G₀
inst✝² : MulAction G₀ α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ α
c : G₀
s : Set α
x : α
hc : c ≠ 0
h : c • s ∈ 𝓝 (c • x)
⊢ c⁻¹ • c • s ∈ 𝓝 (c⁻¹ • c • x)


K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) ∣ S.a + S.b


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : (λ ^ S.multiplicity) ^ 3 ∣ ↑S.u * S.c ^ 3
⊢ λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) ∣ S.a + S.b


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h :
  λ ^ (3 * S.multiplicity) ∣
    (S.a + S.b) * (λ * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S) * (λ * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S)
⊢ λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) ∣ S.a + S.b


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h :
  λ ^ (3 * S.multiplicity) ∣
    (S.a + S.b) * (λ * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S) * (λ * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S)
⊢ λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) ∣ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S * (S.a + S.b)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h :
  λ ^ (3 * S.multiplicity) ∣
    (S.a + S.b) * (λ * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S) * (λ * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S)
⊢ λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) ∣
    FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S * (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S * (S.a + S.b))


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: this : 2 ≤ S.multiplicity

K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h :
  λ ^ (3 * S.multiplicity) ∣
    (S.a + S.b) * (λ * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S) * (λ * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S)
this : 2 ≤ S.multiplicity
⊢ λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) ∣
    FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S * (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S * (S.a + S.b))


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: this : 2 ≤ S.multiplicity

K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h :
  λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) * λ * λ ∣
    (S.a + S.b) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S * λ * λ
this : 2 ≤ S.multiplicity
⊢ λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) ∣
    FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S * (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S * (S.a + S.b))


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
⊢ (fun n => (1 + ε ↑n) * asympBound g a b n) =O[atTop] T


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
⊢ (fun n => (1 + ε ↑n) * asympBound g a b n) =O[atTop] T


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
⊢ ∀ᶠ (n₀ : ℕ) in atTop, ∃ c > 0, ∀ n ≥ n₀, c * ‖(1 + ε ↑n) * asympBound g a b n‖ ≤ ‖T n‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁ : c₁ > 0

case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c₁ * g ↑n
⊢ ∀ᶠ (n₀ : ℕ) in atTop, ∃ c > 0, ∀ n ≥ n₀, c * ‖(1 + ε ↑n) * asympBound g a b n‖ ≤ ‖T n‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁ : c₁ > 0

Context: n₀ : ℕ

Context: n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀

Context: h_b_floor : 0 < ⌊b' * ↑n₀⌋₊

Context: n₀_pos : 0 < n₀

case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c₁ * g ↑n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
h_b_floor : 0 < ⌊b' * ↑n₀⌋₊
h_smoothing_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_smoothing_pos' : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_asympBound_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
h_asympBound_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < asympBound g a b (r i y)
h_asympBound_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
n₀_pos : 0 < n₀
h_smoothing_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < 1 + ε ↑(r i y)
bound2 : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b i ^ p a b * ↑y ^ p a b * (1 + ε ↑y) ≤ ↑(r i y) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i y))
h_smoothingFn_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_sumTransform : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i y) y ≤ c₁ * g ↑y
h_bi_le_r : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑y ≤ ↑(r i y)
h_exp : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ⌈rexp 1⌉₊ ≤ y
⊢ ∃ c > 0, ∀ n ≥ n₀, c * ‖(1 + ε ↑n) * asympBound g a b n‖ ≤ ‖T n‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁ : c₁ > 0

Context: n₀ : ℕ

Context: n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀

Context: h_b_floor : 0 < ⌊b' * ↑n₀⌋₊

Context: n₀_pos : 0 < n₀

Context: C : ℝ := min (2 * c₁)⁻¹ base_min

case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c₁ * g ↑n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
h_b_floor : 0 < ⌊b' * ↑n₀⌋₊
h_smoothing_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_smoothing_pos' : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_asympBound_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
h_asympBound_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < asympBound g a b (r i y)
h_asympBound_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
n₀_pos : 0 < n₀
h_smoothing_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < 1 + ε ↑(r i y)
bound2 : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b i ^ p a b * ↑y ^ p a b * (1 + ε ↑y) ≤ ↑(r i y) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i y))
h_smoothingFn_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_sumTransform : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i y) y ≤ c₁ * g ↑y
h_bi_le_r : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑y ≤ ↑(r i y)
h_exp : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ⌈rexp 1⌉₊ ≤ y
h_base_nonempty : (Ico ⌊b (min_bi b) / 2 * ↑n₀⌋₊ n₀).Nonempty
base_min : ℝ := (Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀).inf' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n)
base_min_def : base_min = (Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀).inf' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n)
C : ℝ := min (2 * c₁)⁻¹ base_min
⊢ ∃ c > 0, ∀ n ≥ n₀, c * ‖(1 + ε ↑n) * asympBound g a b n‖ ≤ ‖T n‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁ : c₁ > 0

Context: n₀ : ℕ

Context: n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀

Context: h_b_floor : 0 < ⌊b' * ↑n₀⌋₊

Context: n₀_pos : 0 < n₀

Context: C : ℝ := min (2 * c₁)⁻¹ base_min

Context: hC_pos : 0 < C

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ n₀

case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c₁ * g ↑n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
h_b_floor : 0 < ⌊b' * ↑n₀⌋₊
h_smoothing_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_smoothing_pos' : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_asympBound_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
h_asympBound_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < asympBound g a b (r i y)
h_asympBound_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
n₀_pos : 0 < n₀
h_smoothing_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < 1 + ε ↑(r i y)
bound2 : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b i ^ p a b * ↑y ^ p a b * (1 + ε ↑y) ≤ ↑(r i y) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i y))
h_smoothingFn_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_sumTransform : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i y) y ≤ c₁ * g ↑y
h_bi_le_r : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑y ≤ ↑(r i y)
h_exp : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ⌈rexp 1⌉₊ ≤ y
h_base_nonempty : (Ico ⌊b (min_bi b) / 2 * ↑n₀⌋₊ n₀).Nonempty
base_min : ℝ := (Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀).inf' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n)
base_min_def : base_min = (Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀).inf' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n)
C : ℝ := min (2 * c₁)⁻¹ base_min
hC_pos : 0 < C
n : ℕ
hn : n ≥ n₀
⊢ C * ‖(1 + ε ↑n) * asympBound g a b n‖ ≤ ‖T n‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁ : c₁ > 0

Context: n₀ : ℕ

Context: n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀

Context: h_b_floor : 0 < ⌊b' * ↑n₀⌋₊

Context: n₀_pos : 0 < n₀

Context: C : ℝ := min (2 * c₁)⁻¹ base_min

Context: hC_pos : 0 < C

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ n₀

case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c₁ * g ↑n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
h_b_floor : 0 < ⌊b' * ↑n₀⌋₊
h_smoothing_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_smoothing_pos' : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_asympBound_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
h_asympBound_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < asympBound g a b (r i y)
h_asympBound_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < asympBound g a b y
n₀_pos : 0 < n₀
h_smoothing_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < 1 + ε ↑(r i y)
bound2 : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b i ^ p a b * ↑y ^ p a b * (1 + ε ↑y) ≤ ↑(r i y) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i y))
h_smoothingFn_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 + ε ↑y
h_sumTransform : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i y) y ≤ c₁ * g ↑y
h_bi_le_r : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑y ≤ ↑(r i y)
h_exp : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ⌈rexp 1⌉₊ ≤ y
h_base_nonempty : (Ico ⌊b (min_bi b) / 2 * ↑n₀⌋₊ n₀).Nonempty
base_min : ℝ := (Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀).inf' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n)
base_min_def : base_min = (Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀).inf' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n)
C : ℝ := min (2 * c₁)⁻¹ base_min
hC_pos : 0 < C
n : ℕ
hn : n ≥ n₀
h_base : ∀ n ∈ Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀, C * ((1 + ε ↑n) * asympBound g a b n) ≤ T n
h_asympBound_pos' : 0 < asympBound g a b n
h_one_sub_smoothingFn_pos' : 0 < 1 + ε ↑n
⊢ C * ‖(1 + ε ↑n) * asympBound g a b n‖ ≤ ‖T n‖


F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
⊢ (interpolate {i} v) r = C (r i)


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a
⊢ a < ↑1 ↔ a < 1


R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDedekindDomain R
inst✝⁵ : Module.Free ℤ R
inst✝⁴ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : NoZeroDivisors K
I : FractionalIdeal R⁰ K
⊢ absNorm I = 0 ↔ I = 0


R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDedekindDomain R
inst✝⁵ : Module.Free ℤ R
inst✝⁴ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : NoZeroDivisors K
I : FractionalIdeal R⁰ K
h : absNorm I = 0
⊢ I.num = ⊥


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝⁵ : Module.Free ℤ R

Context: inst✝⁴ : Module.Finite ℤ R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : NoZeroDivisors K

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDedekindDomain R
inst✝⁵ : Module.Free ℤ R
inst✝⁴ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : NoZeroDivisors K
I : FractionalIdeal R⁰ K
h : ↑(Ideal.absNorm I.num) = 0 ∨ ↑|(Algebra.norm ℤ) ↑I.den| = 0
⊢ I.num = ⊥


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝⁵ : Module.Free ℤ R

Context: inst✝⁴ : Module.Finite ℤ R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : NoZeroDivisors K

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDedekindDomain R
inst✝⁵ : Module.Free ℤ R
inst✝⁴ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : NoZeroDivisors K
I : FractionalIdeal R⁰ K
h : ↑(Ideal.absNorm I.num) = 0 ∨ ↑|(Algebra.norm ℤ) ↑I.den| = 0
⊢ ¬↑|(Algebra.norm ℤ) ↑I.den| = 0


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝³ : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
x : α
⊢ ∀ (a : α), f a ∈ ↑(f.cycleOf x).support ↔ a ∈ ↑(f.cycleOf x).support


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝³ : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
x a : α
ha : a ∈ ↑(f.cycleOf x).support
b : α
hb : b ∈ ↑(f.cycleOf x).support
⊢ f.SameCycle a b


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝³ : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
x a : α
ha : f.SameCycle x a ∧ x ∈ f.support
b : α
hb : f.SameCycle x b ∧ x ∈ f.support
⊢ f.SameCycle a b


G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommMonoid G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ orderOf 1 = p ^ 0


G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommMonoid G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a✝ b✝ : G
hg₁ : a✝ ∈ {g | ∃ n, orderOf g = p ^ n}
hg₂ : b✝ ∈ {g | ∃ n, orderOf g = p ^ n}
⊢ ∃ m, (a✝ * b✝) ^ p ^ m = 1


case intro
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommMonoid G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a✝ b✝ : G
hg₁ : a✝ ∈ {g | ∃ n, orderOf g = p ^ n}
hg₂ : b✝ ∈ {g | ∃ n, orderOf g = p ^ n}
m : ℕ
hm : a✝ ^ p ^ m = 1
⊢ ∃ m, (a✝ * b✝) ^ p ^ m = 1


case intro.intro
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommMonoid G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a✝ b✝ : G
hg₁ : a✝ ∈ {g | ∃ n, orderOf g = p ^ n}
hg₂ : b✝ ∈ {g | ∃ n, orderOf g = p ^ n}
m : ℕ
hm : a✝ ^ p ^ m = 1
n : ℕ
hn : b✝ ^ p ^ n = 1
⊢ ∃ m, (a✝ * b✝) ^ p ^ m = 1


ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : Nonempty α
F : Filter β
u : α → β
⊢ (F ⊓ map u atTop).NeBot ↔ ∀ U ∈ F, ∀ (N : α), ∃ n ≥ N, u n ∈ U


ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : Nonempty α
F : Filter β
u : α → β
⊢ (∀ {p : β → Prop}, (∀ᶠ (x : β) in F, p x) → ∀ (a : α), ∃ b ≥ a, p (u b)) ↔ ∀ U ∈ F, ∀ (N : α), ∃ n ≥ N, u n ∈ U


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
⊢ (∃ b, (f ^ (Equiv.symm (Equiv.addRight 1)) b) (f x) = y) ↔ f.SameCycle x y


R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
f : R →+* S
s : Subring R
h : ⇑f ⁻¹' {0} ⊆ ↑s
⊢ comap f (map f s) = s


case h.e'_3
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
f : R →+* S
s : Subring R
h : ⇑f ⁻¹' {0} ⊆ ↑s
⊢ s = s ⊔ closure (⇑f ⁻¹' {0})


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α✝

Context: α : Type u_3

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: A : Set α

Context: ι : Type u_4

Context: L : Filter ι

Context: inst✝¹ : L.IsCountablyGenerated

Context: As : ι → Set α

Context: inst✝ : L.NeBot

α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_4
L : Filter ι
inst✝¹ : L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
inst✝ : L.NeBot
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
h_lim : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
⊢ MeasurableSet A


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α✝

Context: α : Type u_3

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: A : Set α

Context: ι : Type u_4

Context: L : Filter ι

Context: inst✝¹ : L.IsCountablyGenerated

Context: As : ι → Set α

Context: inst✝ : L.NeBot

α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_4
L : Filter ι
inst✝¹ : L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
inst✝ : L.NeBot
h_lim : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
As_mble : ∀ (i : ι), Measurable ((As i).indicator fun x => 1)
⊢ Measurable (A.indicator fun x => 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MulOneClass α

Context: inst✝² : LT α

Context: a b : α

α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : LT α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
⊢ a < b * a ↔ 1 * a < b * a


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α
⊢ [a] ∈ s.subchain ↔ a ∈ s


α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
a : α
l : List α
⊢ (map f (a :: l)).sublists = map (map f) (a :: l).sublists


𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
n✝ k n : ℕ
⊢ (fslope^[k] p).coeff n = p.coeff (n + k)


Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ
⊢ ENNReal.ofReal (variance X μ) = evariance X μ


Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ
⊢ evariance X μ ≠ ⊤


E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : ℝ → E
s : ℂ
hf : MellinConvergent f s
hg : MellinConvergent g s
⊢ MellinConvergent (fun t => f t - g t) s


E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : ℝ → E
s : ℂ
hf : MellinConvergent f s
hg : MellinConvergent g s
⊢ mellin (fun t => f t - g t) s = mellin f s - mellin g s


Context: A B : Grp

Context: f : A ⟶ B

Context: x : ↑B

A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
y : ↑(Set.range fun x => x • ↑(MonoidHom.range f))
⊢ x • ↑y ∈ Set.range fun x => x • ↑(MonoidHom.range f)


Context: A B : Grp

Context: f : A ⟶ B

Context: x : ↑B

Context: z : ↑B

case intro
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
y : ↑(Set.range fun x => x • ↑(MonoidHom.range f))
z : ↑B
hz : (fun x => x • ↑(MonoidHom.range f)) z = ↑y
⊢ x • ↑y ∈ Set.range fun x => x • ↑(MonoidHom.range f)


ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
t : κ → TopologicalSpace X'
F : ι → X' → α
S : Set X'
x₀ : X'
k : κ
hk : EquicontinuousWithinAt F S x₀
⊢ EquicontinuousWithinAt F S x₀


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: t : κ → TopologicalSpace X'

Context: F : ι → X' → α

Context: S : Set X'

Context: x₀ : X'

Context: k : κ

ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
t : κ → TopologicalSpace X'
F : ι → X' → α
S : Set X'
x₀ : X'
k : κ
hk : Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) (𝓝 x₀ ⊓ 𝓟 S) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀))
⊢ Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) (𝓝 x₀ ⊓ 𝓟 S) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀))


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: t : κ → TopologicalSpace X'

Context: F : ι → X' → α

Context: S : Set X'

Context: x₀ : X'

Context: k : κ

ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
t : κ → TopologicalSpace X'
F : ι → X' → α
S : Set X'
x₀ : X'
k : κ
hk : Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) (𝓝 x₀ ⊓ 𝓟 S) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀))
⊢ Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) ((⨅ i, 𝓝 x₀) ⊓ 𝓟 S) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀))


n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
⊢ p.succAbove i < p ↔ i.succ ≤ p


𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G
A : Set G
⊢ (Measure.map (fun h => h * g) μ) A = μ A


ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ a < c → b < c → c ∉ [[a, b]]


ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ a < c → b < c → ¬(a ⊓ b ≤ c ∧ c ≤ a ⊔ b)


V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
hc : p.IsTrail
h : u ∈ p.support
⊢ ((p.takeUntil u h).append (p.dropUntil u h)).IsTrail


C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} D'
X Y Z T : C
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y X
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W Y Y
f : Y ⟶ X
hf : W f
⊢ (equiv W W.Q) ((mk W f).comp (mkInv f hf)) = (equiv W W.Q) (mk W (𝟙 Y))


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ t p : Set α
s : Finset α
H : ∀ (x : α), x ∈ s ↔ x ∈ p
x : α
⊢ x ∈ p.toFinset ↔ x ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: r : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
r : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => if r i = 0 then 0 else a i * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / |r i| ^ s.re
⊢ HasSum (fun i => s.Gammaℝ * a i / ↑|r i| ^ s) (mellin F (s / 2))


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: r : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: hs' : 0 < (s / 2).re

ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
r : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => if r i = 0 then 0 else a i * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / |r i| ^ s.re
hs' : 0 < (s / 2).re
⊢ HasSum (fun i => s.Gammaℝ * a i / ↑|r i| ^ s) (mellin F (s / 2))


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Countable ι

Context: a : ι → ℂ

Context: r : ι → ℝ

Context: F : ℝ → ℂ

Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: hs' : 0 < (s / 2).re

ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
r : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hs : 0 < s.re
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / |r i| ^ s.re
hs' : 0 < (s / 2).re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => if r i ^ 2 = 0 then 0 else a i * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))) (F t)
⊢ HasSum (fun i => s.Gammaℝ * a i / ↑|r i| ^ s) (mellin F (s / 2))


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: N₁ : Type u_5

Context: N₂ : Type u_6

Context: P : Type u_7

Context: Mᵢ : ι → Type u_8

Context: Nᵢ : ι → Type u_9

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid P

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P

Context: Q' : (i : ι) → QuadraticMap R (Nᵢ i) P

Context: x : (i : ι) → Mᵢ i

ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Fintype ι
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
Q' : (i : ι) → QuadraticMap R (Nᵢ i) P
e : (i : ι) → (Q i).IsometryEquiv (Q' i)
x : (i : ι) → Mᵢ i
⊢ (QuadraticMap.pi Q') ((↑(LinearEquiv.piCongrRight fun i => (e i).toLinearEquiv)).toFun x) = (QuadraticMap.pi Q) x


case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center ≤ s.radius
h : ¬p' = p
⊢ Wbtw ℝ p p' (s.secondInter p (p' -ᵥ p))


case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center ≤ s.radius
h : ¬p' = p
he : p = s.secondInter p (p' -ᵥ p)
⊢ False


case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center ≤ s.radius
h : ¬p' = p
he : 0 = ⟪p -ᵥ p', p -ᵥ s.center⟫_ℝ
⊢ False


F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s : Multiset ℤ
n : ℤ
⊢ s.sum % n = (map (fun x => x % n) s).sum % n


X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
⊢ x ∉ mulTSupport f ↔ f =ᶠ[𝓝 x] 1


Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝² : DivisionRing K

Context: inst✝¹ : DivisionRing L

Context: inst✝ : DivisionRing M

Context: S : Set (Subfield K)

Context: Sne : S.Nonempty

Context: x : K

K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
S : Set (Subfield K)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : K
⊢ x ∈ ↑(sSup S) ↔ x ∈ ⋃ s ∈ S, ↑s


n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} (n + 1)
β : TypeVec.{u_2} (n + 1)
f g : α ⟹ β
h₀ : dropFun f = dropFun g
h₁ : lastFun f = lastFun g
⊢ f = g


n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : ⊥ = ⊤
⊢ IsCyclotomicExtension {1} A B


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: q : Stmt₂

Context: v : σ

Context: T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))

Context: k : K

Context: S : (k : K) → List (Γ k)

Context: o : StAct k

K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
q : Stmt₂
v : σ
T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))
k : K
S : (k : K) → List (Γ k)
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse
o : StAct k
IH :
  ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} {T : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))},
    (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) →
      ∃ b,
        TrCfg (TM2.stepAux q v S) b ∧
          Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b
⊢ ∃ b,
    TrCfg (TM2.stepAux (stRun o q) v S) b ∧
      Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal (stRun o q)) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: q : Stmt₂

Context: v : σ

Context: T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))

Context: k : K

Context: S : (k : K) → List (Γ k)

Context: o : StAct k

K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
q : Stmt₂
v : σ
T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))
k : K
S : (k : K) → List (Γ k)
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse
o : StAct k
IH :
  ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} {T : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))},
    (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) →
      ∃ b,
        TrCfg (TM2.stepAux q v S) b ∧
          Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b
⊢ ∃ b,
    TrCfg (TM2.stepAux q (stVar v (S k) o) (update S k (stWrite v (S k) o))) b ∧
      Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (goto fun x x => go k o q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b