case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α✝ : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α✝
s t u v : Set α✝
α : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TotallySeparatedSpace α
x y : α
hxy : x ≠ y
U V : Set α
hU✝ : IsOpen U
hV : IsOpen V
Ux : x ∈ U
Vy : y ∈ V
f : univ ⊆ U ∪ V
disj : Disjoint U V
hU : IsClopen (univ ∩ U)
⊢ ∃ U, IsClopen U ∧ x ∈ U ∧ y ∈ Uᶜ


case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α✝ : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α✝
s t u v : Set α✝
α : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TotallySeparatedSpace α
x y : α
hxy : x ≠ y
U V : Set α
hU✝ : IsOpen U
hV : IsOpen V
Ux : x ∈ U
Vy : y ∈ V
f : univ ⊆ U ∪ V
disj : Disjoint U V
hU : IsClopen U
⊢ ∃ U, IsClopen U ∧ x ∈ U ∧ y ∈ Uᶜ


p : ℕ
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Nontrivial G
inst✝ : Finite G
⊢ Nontrivial ↥(Subgroup.center G)


X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
p : X → Prop
f : X → Y
hf : QuotientMap f
s : Set Y
hs : IsOpen s
⊢ QuotientMap (s.restrictPreimage f)


X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
p : X → Prop
f : X → Y
hf : QuotientMap f
s : Set Y
hs : IsOpen s
U : Set ↑s
⊢ IsOpen U ↔ IsOpen (s.restrictPreimage f ⁻¹' U)


a ≤ aᶜ ↔ a = ⊥

ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b c : α
⊢ a ≤ aᶜ ↔ a = ⊥


ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m✝ : Set X → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure X
s✝ : Set X
m : Set X → ℝ≥0∞
s : Set X
⊢ Tendsto (fun n => (pre m (↑n)⁻¹) s) atTop (𝓝 ((mkMetric' m) s))


ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m✝ : Set X → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure X
s✝ : Set X
m : Set X → ℝ≥0∞
s : Set X
⊢ Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹) atTop (𝓟 (Ioi 0))


F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
⊢ (∀ (x : X), RestrictGermPredicate P A x ↑f) ↔ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ A, P x ↑f


F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
⊢ (∀ (x : X), RestrictGermPredicate P A x ↑f) ↔ ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑f


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : OrderTopology α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : OrderTopology β

Context: inst✝⁴ : Nonempty γ

Context: inst✝³ : DenselyOrdered α

Context: a✝ b✝ : α

Context: δ : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder δ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : OrderClosedTopology δ

Context: s : Set α

Context: hs : s.OrdConnected

Context: f : α → δ

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: a b : α

Context: ha : a ∈ s

Context: hb : b ∈ s

α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
s : Set α
hs : s.OrdConnected
f : α → δ
hf : ContinuousOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
⊢ SurjOn f s (uIcc (f a) (f b))


k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
⊢ (s.weightedVSub p) w = ∑ i ∈ s, w i • (p i -ᵥ Classical.choice ⋯)


α✝ : Type u
β : Type v
α : Type u_1
s : Set (Set α)
t : Set α
ht : GenerateOpen s t
⊢ generateFrom (insert t s) = generateFrom s


α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t✝ u : Finset α
f✝ : α → β
n : ℕ
t : Finset β
f : α → β
hf : Set.SurjOn f ↑s ↑t
⊢ t.card ≤ s.card


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝² : HasAffineProperty P Q

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
inst✝¹ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)
𝒰' : (i : 𝒰.J) → (pullback f (𝒰.map i)).OpenCover
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J) (j : (𝒰' i).J), IsAffine ((𝒰' i).obj j)
h𝒰' : ∀ (i : 𝒰.J) (j k : (𝒰' i).J), Q (pullback.mapDesc ((𝒰' i).map j) ((𝒰' i).map k) (𝒰.pullbackHom f i))
⊢ P.diagonal f


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝² : HasAffineProperty P Q

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

Context: i1 : ∀ (i : 𝒱.J), IsAffine (𝒱.obj i)

P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
inst✝¹ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)
𝒰' : (i : 𝒰.J) → (pullback f (𝒰.map i)).OpenCover
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J) (j : (𝒰' i).J), IsAffine ((𝒰' i).obj j)
h𝒰' : ∀ (i : 𝒰.J) (j k : (𝒰' i).J), Q (pullback.mapDesc ((𝒰' i).map j) ((𝒰' i).map k) (𝒰.pullbackHom f i))
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
𝒱 : (pullback f f).OpenCover :=
  (Scheme.Pullback.openCoverOfBase 𝒰 f f).bind fun i =>
    Scheme.Pullback.openCoverOfLeftRight (𝒰' i) (𝒰' i) (pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd f (𝒰.map i))
i1 : ∀ (i : 𝒱.J), IsAffine (𝒱.obj i)
⊢ P.diagonal f


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝² : HasAffineProperty P Q

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

Context: i1 : ∀ (i : 𝒱.J), IsAffine (𝒱.obj i)

Context: j k : (𝒰' i).J

case mk.mk
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
inst✝¹ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)
𝒰' : (i : 𝒰.J) → (pullback f (𝒰.map i)).OpenCover
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J) (j : (𝒰' i).J), IsAffine ((𝒰' i).obj j)
h𝒰' : ∀ (i : 𝒰.J) (j k : (𝒰' i).J), Q (pullback.mapDesc ((𝒰' i).map j) ((𝒰' i).map k) (𝒰.pullbackHom f i))
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
𝒱 : (pullback f f).OpenCover :=
  (Scheme.Pullback.openCoverOfBase 𝒰 f f).bind fun i =>
    Scheme.Pullback.openCoverOfLeftRight (𝒰' i) (𝒰' i) (pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd f (𝒰.map i))
i1 : ∀ (i : 𝒱.J), IsAffine (𝒱.obj i)
i : (Scheme.Pullback.openCoverOfBase 𝒰 f f).J
j k : (𝒰' i).J
⊢ Q
    (((Scheme.Pullback.openCoverOfBase 𝒰 f f).bind fun i =>
          Scheme.Pullback.openCoverOfLeftRight (𝒰' i) (𝒰' i) (pullback.snd f (𝒰.map i))
            (pullback.snd f (𝒰.map i))).pullbackHom
      (pullback.diagonal f) ⟨i, (j, k)⟩)


Context:
X : Scheme
r : ↑Γ(X, ⊤)

X : Scheme
r : ↑Γ(X, ⊤)
⊢ adjunction.unit.app X ⁻¹ᵁ basicOpen r = X.basicOpen r


Context:
X : Scheme
r : ↑Γ(X, ⊤)

X : Scheme
r : ↑Γ(X, ⊤)
⊢ adjunction.unit.app X ⁻¹ᵁ (Spec Γ(X, ⊤)).basicOpen ((Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).inv r) = X.basicOpen r


Context:
X : Scheme
r : ↑Γ(X, ⊤)

case e_f
X : Scheme
r : ↑Γ(X, ⊤)
⊢ (Scheme.Hom.app (adjunction.unit.app X) ⊤) ((Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).inv r) = r


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational (x ^ 0)

q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational (x ^ 0)
⊢ Irrational x


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational 1

q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational 1
⊢ Irrational x


q : ℚ
x y : ℝ
n : ℕ
h : Irrational (x ^ (n + 1))
⊢ Irrational x


q : ℚ
x y : ℝ
n : ℕ
h : Irrational (x ^ n * x)
⊢ Irrational x


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x

q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
⊢ Irrational (↑q - x)


case h
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ z₂' : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q
⊢ (z₁.comp (z₂ + z₂') h).v p q hpq = (z₁.comp z₂ h + z₁.comp z₂' h).v p q hpq


X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝¹ : TopologicalSpace X
f : Filter X
H : f ≤ 𝓝 x
inst✝ : f.NeBot
⊢ ClusterPt x f


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: X Y Z : C

Context: inst✝⁴ : HasPullbacks C

Context: S T : C

Context: f : X ⟶ T

Context: g : Y ⟶ T

Context: i : T ⟶ S

Context: inst✝³ : HasPullback i i

Context: inst✝² : HasPullback f g

Context: inst✝¹ : HasPullback (f ≫ i) (g ≫ i)

C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
X Y Z : C
inst✝⁴ : HasPullbacks C
S T : C
f : X ⟶ T
g : Y ⟶ T
i : T ⟶ S
inst✝³ : HasPullback i i
inst✝² : HasPullback f g
inst✝¹ : HasPullback (f ≫ i) (g ≫ i)
inst✝ : HasPullback (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯)
⊢ IsPullback (fst f g ≫ f) (map f g (f ≫ i) (g ≫ i) (𝟙 X) (𝟙 Y) i ⋯ ⋯) (diagonal i)
    (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯)


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Mul G

Context: inst✝ : Mul H

Context: A B : Finset G

Context: a0 b0 : G

Context: f : G ↪ H

G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
f : G ↪ H
mul : ∀ (x y : G), f (x * y) = f x * f y
⊢ UniqueMul (Finset.map f A) (Finset.map f B) (f a0) (f b0) ↔ UniqueMul A B a0 b0


R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r : X
s t : ↥S
⊢ (1 /ₒ t) • (r /ₒ s) = r /ₒ (s * t)


R : Type u
S : Type v
a b : R
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Ring R
p : R[X]
n : ℕ
H : p.degree ≤ ↑n
⊢ (X ^ (n + 1) - p).Monic


α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Group α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (mulETransformLeft e x).1 * (mulETransformLeft e x).2 ⊆ x.1 * x.2


α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Group α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ op e • x.1 * e⁻¹ • x.2 ⊆ x.1 * x.2


α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
s✝ : Finmap β
s : AList β
h : a ∉ ⟦s⟧
⊢ (insert a b ⟦s⟧).entries = ⟨a, b⟩ ::ₘ ⟦s⟧.entries


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f : α → PMF β
g : β → PMF γ
p : PMF α
q : PMF β
x : β
⊢ (p.bind fun x => q) x = q x


x✝ y✝ z : ℝ
n✝ : ℕ
x : ℝ
hx : x ≠ 0
y : ℝ
n : ℕ
⊢ x ^ (y - ↑n) = x ^ y / x ^ n


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Countable α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
p : PMF α
μ : Measure α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
x : α
⊢ p.toMeasure.toPMF x = p x


C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X : Dial C
⊢ (tensorUnit.tensorObj X).rel =
    (Subobject.pullback (prod.map (prod.leftUnitor X.src).hom (prod.leftUnitor X.tgt).hom)).obj X.rel


α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
⊢ μ.toFinite ≪ μ


α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
⊢ μ.toFinite ≪ Measure.sum (sFiniteSeq μ)


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : (Measure.sum (sFiniteSeq μ)) s = 0
⊢ μ.toFinite s = 0


α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : ∀ (i : ℕ), (sFiniteSeq μ i) s = 0
⊢ μ.toFinite s = 0


l m✝ n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
m n : ℕ
A : Matrix (Fin m) (Fin n) α
⊢ A.etaExpand = A


l m✝ n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
m n : ℕ
A : Matrix (Fin m) (Fin n) α
⊢ ((Equiv.refl (Fin m → Fin n → α)) fun i j => A i j) = A


R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
u : Rˣ
hu : 0 < ↑u
v : Ray R M
⊢ u • v = v


case h
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
u : Rˣ
hu : 0 < ↑u
v✝ : M
hv✝ : v✝ ≠ 0
⊢ u • rayOfNeZero R v✝ hv✝ = rayOfNeZero R v✝ hv✝


case h
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
u : Rˣ
hu : 0 < ↑u
v✝ : M
hv✝ : v✝ ≠ 0
⊢ SameRay R (u • v✝) v✝


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G

Context: inst✝ : Archimedean G

Context: H : AddSubgroup G

Context: hbot : H ≠ ⊥

Context: a : G

Context: h₀ : 0 < a

Context: hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)

G : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : Archimedean G
H : AddSubgroup G
hbot : H ≠ ⊥
a : G
h₀ : 0 < a
hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)
hex : ∀ g > 0, ∃ n, g ∈ Ioc (n • a) ((n + 1) • a)
⊢ ∃ b, IsLeast {g | g ∈ H ∧ 0 < g} b


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G

Context: inst✝ : Archimedean G

Context: H : AddSubgroup G

Context: hbot : H ≠ ⊥

Context: a : G

Context: h₀ : 0 < a

Context: hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)

Context: n : ℕ

Context: x : G

Context: hxH : x ∈ ↑H

Context: hnx : n • a < x

Context: hxn : x ≤ (n + 1) • a

case mk.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : Archimedean G
H : AddSubgroup G
hbot : H ≠ ⊥
a : G
h₀ : 0 < a
hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)
hex : ∀ g > 0, ∃ n, g ∈ Ioc (n • a) ((n + 1) • a)
this : ∃ n, (↑H ∩ Ioc (n • a) ((n + 1) • a)).Nonempty
n : ℕ
hmin : ∀ m < n, ¬(↑H ∩ Ioc (m • a) ((m + 1) • a)).Nonempty
x : G
hxH : x ∈ ↑H
hnx : n • a < x
hxn : x ≤ (n + 1) • a
⊢ ∃ b, IsLeast {g | g ∈ H ∧ 0 < g} b


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G

Context: inst✝ : Archimedean G

Context: H : AddSubgroup G

Context: hbot : H ≠ ⊥

Context: a : G

Context: h₀ : 0 < a

Context: hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)

Context: n : ℕ

Context: x : G

Context: hxH : x ∈ ↑H

Context: hnx : n • a < x

Context: hxn : x ≤ (n + 1) • a

case mk.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : Archimedean G
H : AddSubgroup G
hbot : H ≠ ⊥
a : G
h₀ : 0 < a
hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)
hex : ∀ g > 0, ∃ n, g ∈ Ioc (n • a) ((n + 1) • a)
this : ∃ n, (↑H ∩ Ioc (n • a) ((n + 1) • a)).Nonempty
n : ℕ
hmin : ∀ m < n, ¬(↑H ∩ Ioc (m • a) ((m + 1) • a)).Nonempty
x : G
hxH : x ∈ ↑H
hnx : n • a < x
hxn : x ≤ (n + 1) • a
hxmin : ¬∃ b, IsLeast {g | g ∈ H ∧ 0 < g} b
⊢ False


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G

Context: inst✝ : Archimedean G

Context: H : AddSubgroup G

Context: hbot : H ≠ ⊥

Context: a : G

Context: h₀ : 0 < a

Context: hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)

Context: n : ℕ

Context: x : G

Context: hxH : x ∈ ↑H

Context: hnx : n • a < x

Context: hxn : x ≤ (n + 1) • a

case mk.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : Archimedean G
H : AddSubgroup G
hbot : H ≠ ⊥
a : G
h₀ : 0 < a
hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)
hex : ∀ g > 0, ∃ n, g ∈ Ioc (n • a) ((n + 1) • a)
this : ∃ n, (↑H ∩ Ioc (n • a) ((n + 1) • a)).Nonempty
n : ℕ
hmin : ∀ m < n, ¬(↑H ∩ Ioc (m • a) ((m + 1) • a)).Nonempty
x : G
hxH : x ∈ ↑H
hnx : n • a < x
hxn : x ≤ (n + 1) • a
hxmin : ∀ (x : G), x ∈ H ∧ 0 < x → ∃ x_1, ∃ (_ : x_1 ∈ H ∧ 0 < x_1), x_1 < x
⊢ False


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G

Context: inst✝ : Archimedean G

Context: H : AddSubgroup G

Context: hbot : H ≠ ⊥

Context: a : G

Context: h₀ : 0 < a

Context: hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)

Context: n : ℕ

Context: x : G

Context: hxH : x ∈ ↑H

Context: hnx : n • a < x

Context: hxn : x ≤ (n + 1) • a

Context: y : G

Context: hxy : y < x

Context: hyH : y ∈ H

Context: hy₀ : 0 < y

Context: m : ℕ

Context: hm : y ∈ Ioc (m • a) ((m + 1) • a)

case mk.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : Archimedean G
H : AddSubgroup G
hbot : H ≠ ⊥
a : G
h₀ : 0 < a
hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)
hex : ∀ g > 0, ∃ n, g ∈ Ioc (n • a) ((n + 1) • a)
this : ∃ n, (↑H ∩ Ioc (n • a) ((n + 1) • a)).Nonempty
n : ℕ
hmin : ∀ m < n, ¬(↑H ∩ Ioc (m • a) ((m + 1) • a)).Nonempty
x : G
hxH : x ∈ ↑H
hnx : n • a < x
hxn : x ≤ (n + 1) • a
hxmin : ∀ (x : G), x ∈ H ∧ 0 < x → ∃ x_1, ∃ (_ : x_1 ∈ H ∧ 0 < x_1), x_1 < x
y : G
hxy : y < x
hyH : y ∈ H
hy₀ : 0 < y
m : ℕ
hm : y ∈ Ioc (m • a) ((m + 1) • a)
⊢ False


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)

Context: h : y = x

I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)
h : y = x
⊢ (List.map (⇑(LocallyConstant.evalMonoidHom y)) (factors C s x)).prod = 1


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)

Context: h : y = x

case hl
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)
h : y = x
⊢ ∀ x_1 ∈ List.map (⇑(LocallyConstant.evalMonoidHom y)) (factors C s x), x_1 = 1


Context:
lo hi a : ℕ
h : lo.succ ≤ a ∧ a ≤ hi

lo hi a : ℕ
h : lo.succ ≤ a ∧ a ≤ hi
⊢ a.pred.succ ≤ hi


F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∈ s
⊢ a * (s.erase a).prod = s.prod


X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
cond : f ≫ g = 0
hg : NormedAddGroupHom.NormNoninc g
⊢ NormedAddGroupHom.NormNoninc (explicitCokernelDesc cond)


X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
cond : f ≫ g = 0
hg : NormedAddGroupHom.NormNoninc g
⊢ ‖explicitCokernelDesc cond‖ ≤ 1


X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
cond : f ≫ g = 0
hg : NormedAddGroupHom.NormNoninc g
⊢ ‖explicitCokernelDesc cond‖ ≤ ↑1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: β₂ : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Sort u_5

Context: ι' : Sort u_6

Context: κ : ι → Sort u_7

Context: κ' : ι' → Sort u_8

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f✝ g s t : ι → α

Context: a b : α

Context: ι₁ : Sort u_9

Context: ι₂ : Sort u_10

Context: κ₁ : ι₁ → Sort u_11

Context: κ₂ : ι₂ → Sort u_12

α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
ι₁ : Sort u_9
ι₂ : Sort u_10
κ₁ : ι₁ → Sort u_11
κ₂ : ι₂ → Sort u_12
f : (i₁ : ι₁) → κ₁ i₁ → (i₂ : ι₂) → κ₂ i₂ → α
⊢ ⨆ i₁, ⨆ j₁, ⨆ i₂, ⨆ j₂, f i₁ j₁ i₂ j₂ = ⨆ i₂, ⨆ j₂, ⨆ i₁, ⨆ j₁, f i₁ j₁ i₂ j₂


K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
⊢ z + (starRingEnd K) z = ↑(re z) + ↑(im z) * I + (↑(re z) - ↑(im z) * I)


K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
⊢ ↑(re z) + ↑(im z) * I + (↑(re z) - ↑(im z) * I) = 2 * ↑(re z)


R : Type u
S : Type v
a b : R
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
H1 : p.degree ≤ ↑n
H2 : p.coeff n = 1
H : ¬p.degree < ↑n
⊢ p.Monic


C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
A : Type u
inst✝² : Category.{t, u} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : F.PreservesOneHypercovers J K
inst✝ : J.IsGeneratedByOneHypercovers
P : Dᵒᵖ ⥤ A
hP : Presheaf.IsSheaf K P
⊢ Presheaf.IsSheaf J (F.op ⋙ P)


Context: P : Type u_1

Context: inst✝² : LE P

Context: inst✝ : Nonempty P

Context: I : Ideal P

Context: hI : IsCoatom I

Context: x✝ : Ideal P

Context: hJ : I < x✝

P : Type u_1
inst✝² : LE P
inst✝¹ : IsDirected P fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : Nonempty P
I : Ideal P
hI : IsCoatom I
x✝ : Ideal P
hJ : I < x✝
⊢ ↑x✝ = univ


α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) μ
⊢ (μ.tilted f).tilted (-f) = (μ Set.univ)⁻¹ • μ


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: f : E → F

Context: U : Set E

Context: c : E

Context: hc : IsPreconnected U

Context: ho : IsOpen U

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f U

Context: hcU : c ∈ U

Context: hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c

E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DifferentiableOn ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set E := U ∩ {z | IsMaxOn (norm ∘ f) U z}
⊢ EqOn (norm ∘ f) (Function.const E ‖f c‖) U


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: f : E → F

Context: U : Set E

Context: c : E

Context: hc : IsPreconnected U

Context: ho : IsOpen U

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f U

Context: hcU : c ∈ U

Context: hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c

Context: hV : ∀ x ∈ V, ‖f x‖ = ‖f c‖

E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DifferentiableOn ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set E := U ∩ {z | IsMaxOn (norm ∘ f) U z}
hV : ∀ x ∈ V, ‖f x‖ = ‖f c‖
⊢ U ⊆ V


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: f : E → F

Context: U : Set E

Context: c : E

Context: hc : IsPreconnected U

Context: ho : IsOpen U

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f U

Context: hcU : c ∈ U

Context: hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c

Context: hV : ∀ x ∈ V, ‖f x‖ = ‖f c‖

Context: hVo : IsOpen V

Context: hVne : (U ∩ V).Nonempty

Context: W : Set E := U ∩ {z | ‖f z‖ ≠ ‖f c‖}

E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DifferentiableOn ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set E := U ∩ {z | IsMaxOn (norm ∘ f) U z}
hV : ∀ x ∈ V, ‖f x‖ = ‖f c‖
hVo : IsOpen V
hVne : (U ∩ V).Nonempty
W : Set E := U ∩ {z | ‖f z‖ ≠ ‖f c‖}
⊢ U ⊆ V


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: f : E → F

Context: U : Set E

Context: c : E

Context: hc : IsPreconnected U

Context: ho : IsOpen U

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f U

Context: hcU : c ∈ U

Context: hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c

Context: hV : ∀ x ∈ V, ‖f x‖ = ‖f c‖

Context: hVo : IsOpen V

Context: hVne : (U ∩ V).Nonempty

Context: W : Set E := U ∩ {z | ‖f z‖ ≠ ‖f c‖}

Context: hWo : IsOpen W

E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DifferentiableOn ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set E := U ∩ {z | IsMaxOn (norm ∘ f) U z}
hV : ∀ x ∈ V, ‖f x‖ = ‖f c‖
hVo : IsOpen V
hVne : (U ∩ V).Nonempty
W : Set E := U ∩ {z | ‖f z‖ ≠ ‖f c‖}
hWo : IsOpen W
⊢ U ⊆ V


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: f : E → F

Context: U : Set E

Context: c : E

Context: hc : IsPreconnected U

Context: ho : IsOpen U

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f U

Context: hcU : c ∈ U

Context: hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c

Context: hV : ∀ x ∈ V, ‖f x‖ = ‖f c‖

Context: hVo : IsOpen V

Context: hVne : (U ∩ V).Nonempty

Context: W : Set E := U ∩ {z | ‖f z‖ ≠ ‖f c‖}

Context: hWo : IsOpen W

Context: hdVW : Disjoint V W

E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DifferentiableOn ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set E := U ∩ {z | IsMaxOn (norm ∘ f) U z}
hV : ∀ x ∈ V, ‖f x‖ = ‖f c‖
hVo : IsOpen V
hVne : (U ∩ V).Nonempty
W : Set E := U ∩ {z | ‖f z‖ ≠ ‖f c‖}
hWo : IsOpen W
hdVW : Disjoint V W
⊢ U ⊆ V


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: f : E → F

Context: U : Set E

Context: c : E

Context: hc : IsPreconnected U

Context: ho : IsOpen U

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f U

Context: hcU : c ∈ U

Context: hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c

Context: hV : ∀ x ∈ V, ‖f x‖ = ‖f c‖

Context: hVo : IsOpen V

Context: hVne : (U ∩ V).Nonempty

Context: W : Set E := U ∩ {z | ‖f z‖ ≠ ‖f c‖}

Context: hWo : IsOpen W

Context: hdVW : Disjoint V W

Context: hUVW : U ⊆ V ∪ W

E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DifferentiableOn ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set E := U ∩ {z | IsMaxOn (norm ∘ f) U z}
hV : ∀ x ∈ V, ‖f x‖ = ‖f c‖
hVo : IsOpen V
hVne : (U ∩ V).Nonempty
W : Set E := U ∩ {z | ‖f z‖ ≠ ‖f c‖}
hWo : IsOpen W
hdVW : Disjoint V W
hUVW : U ⊆ V ∪ W
⊢ U ⊆ V


G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
f : G →* H
s : Set G
a : H
⊢ a ∈ Subgroup.map f (stabilizer G s) → a ∈ stabilizer H (⇑f '' s)


G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
f : G →* H
s : Set G
a : G
ha : a • s = s
⊢ f a • ⇑f '' s = ⇑f '' s


case a
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : ConcreteCategory A
K : GrothendieckTopology C
hJK : J ≤ K
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
h : IsLocallySurjective J f
U✝ : C
s : (forget A).obj (G.obj (op U✝))
⊢ imageSieve f s ∈ J.sieves U✝


Context: ι : Sort uι

Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: A : Type v

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: S T : Set A

Context: M✝ N✝ P Q : Submodule R A

Context: m n : A

Context: M N : Submodule R Aᵐᵒᵖ

ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M✝ N✝ P Q : Submodule R A
m n : A
M N : Submodule R Aᵐᵒᵖ
this : Function.Injective ⇑↑(opLinearEquiv R)
⊢ map (↑(opLinearEquiv R)) (map (↑(opLinearEquiv R).symm) (M * N)) =
    map (↑(opLinearEquiv R)) (map (↑(opLinearEquiv R).symm) N * map (↑(opLinearEquiv R).symm) M)


Context: q : ℚ

q : ℚ
⊢ Irrational √↑q ↔ ¬IsSquare q ∧ 0 ≤ q


case intro
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
hf : LinearMap.det f ≠ 0
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
this✝ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)
this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)
e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ
g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ
hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm
⊢ map (⇑f) μ = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det f)⁻¹| • μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E →ₗ[ℝ] E

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: this✝ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)

Context: this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: hf : LinearMap.det g ≠ 0

Context: hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm

case intro
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
this✝ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)
this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)
e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ
g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ
hf : LinearMap.det g ≠ 0
hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm
gdet : LinearMap.det g = LinearMap.det f
⊢ map (⇑f) μ = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det g)⁻¹| • μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E →ₗ[ℝ] E

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: this✝ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)

Context: this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: hf : LinearMap.det g ≠ 0

Context: hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm

Context: fg : f = ↑e.symm ∘ₗ g ∘ₗ ↑e

case intro
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
this✝ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)
this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)
e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ
g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ
hf : LinearMap.det g ≠ 0
hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm
gdet : LinearMap.det g = LinearMap.det f
fg : f = ↑e.symm ∘ₗ g ∘ₗ ↑e
⊢ map (⇑f) μ = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det g)⁻¹| • μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E →ₗ[ℝ] E

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: this✝ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)

Context: this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: hf : LinearMap.det g ≠ 0

Context: hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm

Context: fg : f = ↑e.symm ∘ₗ g ∘ₗ ↑e

case intro
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
this✝ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)
this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)
e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ
g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ
hf : LinearMap.det g ≠ 0
hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm
gdet : LinearMap.det g = LinearMap.det f
fg : f = ↑e.symm ∘ₗ g ∘ₗ ↑e
⊢ map (⇑e.symm ∘ ⇑g ∘ ⇑e) μ = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det g)⁻¹| • μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E →ₗ[ℝ] E

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: this✝ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)

Context: this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: hf : LinearMap.det g ≠ 0

Context: hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm

Context: fg : f = ↑e.symm ∘ₗ g ∘ₗ ↑e

Context: Ce : Continuous ⇑e

case intro
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
this✝ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)
this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)
e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ
g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ
hf : LinearMap.det g ≠ 0
hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm
gdet : LinearMap.det g = LinearMap.det f
fg : f = ↑e.symm ∘ₗ g ∘ₗ ↑e
Ce : Continuous ⇑e
⊢ map (⇑e.symm ∘ ⇑g ∘ ⇑e) μ = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det g)⁻¹| • μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E →ₗ[ℝ] E

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: this✝ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)

Context: this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: hf : LinearMap.det g ≠ 0

Context: hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm

Context: fg : f = ↑e.symm ∘ₗ g ∘ₗ ↑e

Context: Ce : Continuous ⇑e

Context: Cg : Continuous ⇑g

case intro
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
this✝ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)
this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)
e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ
g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ
hf : LinearMap.det g ≠ 0
hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm
gdet : LinearMap.det g = LinearMap.det f
fg : f = ↑e.symm ∘ₗ g ∘ₗ ↑e
Ce : Continuous ⇑e
Cg : Continuous ⇑g
⊢ map (⇑e.symm ∘ ⇑g ∘ ⇑e) μ = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det g)⁻¹| • μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E →ₗ[ℝ] E

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: this✝ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)

Context: this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: hf : LinearMap.det g ≠ 0

Context: hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm

Context: fg : f = ↑e.symm ∘ₗ g ∘ₗ ↑e

Context: Ce : Continuous ⇑e

Context: Cg : Continuous ⇑g

Context: Cesymm : Continuous ⇑e.symm

case intro
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
this✝ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)
this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)
e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ
g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ
hf : LinearMap.det g ≠ 0
hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm
gdet : LinearMap.det g = LinearMap.det f
fg : f = ↑e.symm ∘ₗ g ∘ₗ ↑e
Ce : Continuous ⇑e
Cg : Continuous ⇑g
Cesymm : Continuous ⇑e.symm
⊢ map (⇑e.symm ∘ ⇑g ∘ ⇑e) μ = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det g)⁻¹| • μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E →ₗ[ℝ] E

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: this✝ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)

Context: this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: hf : LinearMap.det g ≠ 0

Context: hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm

Context: fg : f = ↑e.symm ∘ₗ g ∘ₗ ↑e

Context: Ce : Continuous ⇑e

Context: Cg : Continuous ⇑g

Context: Cesymm : Continuous ⇑e.symm

case intro
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
this✝ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)
this : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)
e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ
g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ
hf : LinearMap.det g ≠ 0
hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm
gdet : LinearMap.det g = LinearMap.det f
fg : f = ↑e.symm ∘ₗ g ∘ₗ ↑e
Ce : Continuous ⇑e
Cg : Continuous ⇑g
Cesymm : Continuous ⇑e.symm
⊢ map (⇑e.symm) (map (⇑g) (map (⇑e) μ)) = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det g)⁻¹| • μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E →ₗ[ℝ] E

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: this✝¹ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)

Context: this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: hf : LinearMap.det g ≠ 0

Context: hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm

Context: fg : f = ↑e.symm ∘ₗ g ∘ₗ ↑e

Context: Ce : Continuous ⇑e

Context: Cg : Continuous ⇑g

Context: Cesymm : Continuous ⇑e.symm

Context: this : (map (⇑e) μ).IsAddHaarMeasure

case intro
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
this✝¹ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)
this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)
e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ
g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ
hf : LinearMap.det g ≠ 0
hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm
gdet : LinearMap.det g = LinearMap.det f
fg : f = ↑e.symm ∘ₗ g ∘ₗ ↑e
Ce : Continuous ⇑e
Cg : Continuous ⇑g
Cesymm : Continuous ⇑e.symm
this : (map (⇑e) μ).IsAddHaarMeasure
⊢ map (⇑e.symm) (map (⇑g) (map (⇑e) μ)) = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det g)⁻¹| • μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E →ₗ[ℝ] E

Context: ι : Type := Fin (finrank ℝ E)

Context: this✝¹ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)

Context: this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)

Context: e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ

Context: hf : LinearMap.det g ≠ 0

Context: hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm

Context: fg : f = ↑e.symm ∘ₗ g ∘ₗ ↑e

Context: Ce : Continuous ⇑e

Context: Cg : Continuous ⇑g

Context: Cesymm : Continuous ⇑e.symm

Context: this : (map (⇑e) μ).IsAddHaarMeasure

Context: ecomp : ⇑e.symm ∘ ⇑e = id

case intro
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
ι : Type := Fin (finrank ℝ E)
this✝¹ : FiniteDimensional ℝ (ι → ℝ)
this✝ : finrank ℝ E = finrank ℝ (ι → ℝ)
e : E ≃ₗ[ℝ] ι → ℝ
g : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ
hf : LinearMap.det g ≠ 0
hg : g = ↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm
gdet : LinearMap.det g = LinearMap.det f
fg : f = ↑e.symm ∘ₗ g ∘ₗ ↑e
Ce : Continuous ⇑e
Cg : Continuous ⇑g
Cesymm : Continuous ⇑e.symm
this : (map (⇑e) μ).IsAddHaarMeasure
ecomp : ⇑e.symm ∘ ⇑e = id
⊢ map (⇑e.symm) (map (⇑g) (map (⇑e) μ)) = ENNReal.ofReal |(LinearMap.det g)⁻¹| • μ


Context:
R : Type u_1
k x✝ : ℕ

case h
R : Type u_1
k x✝ : ℕ
⊢ (ζ * pow k) x✝ = (σ k) x✝


Context:
R : Type u_1
k x✝ : ℕ

case h
R : Type u_1
k x✝ : ℕ
⊢ ∑ i ∈ x✝.divisors, (pow k) i = { toFun := fun n => ∑ d ∈ n.divisors, d ^ k, map_zero' := ⋯ } x✝


case h
R : Type u_1
k x✝ x : ℕ
hx : x ∈ x✝.divisors
⊢ (pow k) x = x ^ k


R : Type u_1
k x✝ x : ℕ
hx : x ∈ x✝.divisors
⊢ ¬x = 0


V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
p : G.Walk u v
⊢ p.append nil = p


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
ι : Sort u_3
inst✝ : CompleteLattice β
f : ι → α →o β
⊢ ⇑(⨅ i, f i) = ⨅ i, ⇑(f i)


case h
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
ι : Sort u_3
inst✝ : CompleteLattice β
f : ι → α →o β
x : α
⊢ (⨅ i, f i) x = (⨅ i, ⇑(f i)) x


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ≤ b
⊢ Icc a b \ Ioo a b = {a, b}


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ≤ b
⊢ {a, b} ⊆ Icc a b


α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
f : α → F'
⊢ μ[f|⊥] = fun x => ∫ (x : α), f x ∂μ


α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
f : α → F'
⊢ (fun x => (μ Set.univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂μ) = fun x => ∫ (x : α), f x ∂μ


r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
ι : Sort u_1
s : ι → ℝ≥0
⊢ ↑(⨆ i, s i) = ⨆ i, ↑(s i)


a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b : ℕ
⊢ a / b * b + a % b = a


a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b : ℕ
⊢ b * (a / b) + a % b = a


R✝ : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹⁵ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁴ : Semiring A₁
inst✝¹³ : Semiring A₂
inst✝¹² : Semiring A₃
inst✝¹¹ : Semiring A₁'
inst✝¹⁰ : Semiring A₂'
inst✝⁹ : Semiring A₃'
inst✝⁸ : Algebra R✝ A₁
inst✝⁷ : Algebra R✝ A₂
inst✝⁶ : Algebra R✝ A₃
inst✝⁵ : Algebra R✝ A₁'
inst✝⁴ : Algebra R✝ A₂'
inst✝³ : Algebra R✝ A₃'
e : A₁ ≃ₐ[R✝] A₂
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
f : (S →ₐ[R] S)ˣ
x : S
⊢ ↑(f⁻¹ * f) x = x


R✝ : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹⁵ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁴ : Semiring A₁
inst✝¹³ : Semiring A₂
inst✝¹² : Semiring A₃
inst✝¹¹ : Semiring A₁'
inst✝¹⁰ : Semiring A₂'
inst✝⁹ : Semiring A₃'
inst✝⁸ : Algebra R✝ A₁
inst✝⁷ : Algebra R✝ A₂
inst✝⁶ : Algebra R✝ A₃
inst✝⁵ : Algebra R✝ A₁'
inst✝⁴ : Algebra R✝ A₂'
inst✝³ : Algebra R✝ A₃'
e : A₁ ≃ₐ[R✝] A₂
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
f : (S →ₐ[R] S)ˣ
x : S
⊢ ↑(f * f⁻¹) x = x


L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
S : L.Substructure M
⊢ S.FG ↔ Structure.FG L ↥S


L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
S : L.Substructure M
⊢ S.FG ↔ ⊤.FG


α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a✝ b✝ c✝ d e : α
m n : ℤ
x : α
hx : 1 < x
a b c : ℤ
⊢ x ^ (-c) ≤ max (x ^ (-a)) (x ^ (-b)) ↔ min a b ≤ c


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.254173, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.254180, u_2} D

Context: inst✝ : HasInitial C

Context: A : C

Context: f : A ⟶ ⊥_ C

J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.254173, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.254180, u_2} D
inst✝ : HasInitial C
H : IsUniversalColimit (BinaryCofan.mk (𝟙 (⊥_ C)) (𝟙 (⊥_ C)))
A : C
f : A ⟶ ⊥_ C
⊢ IsIso f


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.254173, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.254180, u_2} D

Context: inst✝ : HasInitial C

Context: A : C

Context: f : A ⟶ ⊥_ C

J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.254173, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.254180, u_2} D
inst✝ : HasInitial C
H : IsUniversalColimit (BinaryCofan.mk (𝟙 (⊥_ C)) (𝟙 (⊥_ C)))
A : C
f : A ⟶ ⊥_ C
⊢ IsColimit (BinaryCofan.mk (𝟙 A) (𝟙 A))


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.254173, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.254180, u_2} D

Context: inst✝ : HasInitial C

Context: A : C

Context: f : A ⟶ ⊥_ C

J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.254173, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.254180, u_2} D
inst✝ : HasInitial C
H : IsUniversalColimit (BinaryCofan.mk (𝟙 (⊥_ C)) (𝟙 (⊥_ C)))
A : C
f : A ⟶ ⊥_ C
⊢ ∀ (j : Discrete WalkingPair),
    IsPullback ((BinaryCofan.mk (𝟙 A) (𝟙 A)).ι.app j) ((mapPair f f).app j) f
      ((BinaryCofan.mk (𝟙 (⊥_ C)) (𝟙 (⊥_ C))).ι.app j)


α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hP : P.IsEquipartition
⊢ ↑(P.parts.biUnion offDiag).card ≤ ↑A.card * (↑A.card + ↑P.parts.card) / ↑P.parts.card


case inr
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hP : P.IsEquipartition
h : P.parts.Nonempty
⊢ ↑(P.parts.biUnion offDiag).card ≤ ↑A.card * (↑A.card + ↑P.parts.card) / ↑P.parts.card


case inr.calc_2
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hP : P.IsEquipartition
h : P.parts.Nonempty
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
⊢ U.offDiag.card ≤ A.card / P.parts.card * (A.card / P.parts.card + 1)


case inr.calc_2
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hP : P.IsEquipartition
h : P.parts.Nonempty
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
⊢ (U.card - 1) * U.card ≤ A.card / P.parts.card * (A.card / P.parts.card + 1)


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: A : Finset α

Context: P : Finpartition A

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε δ : 𝕜

Context: u v s t : Finset α

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: h : P.parts.Nonempty

Context: U : Finset α

Context: hU : U ∈ P.parts

case inr.calc_2
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hP : P.IsEquipartition
h : P.parts.Nonempty
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
this : U.card ≤ A.card / P.parts.card + 1
⊢ (U.card - 1) * U.card ≤ A.card / P.parts.card * (A.card / P.parts.card + 1)


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: A : Finset α

Context: P : Finpartition A

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε δ : 𝕜

Context: u v s t : Finset α

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: h : P.parts.Nonempty

Context: U : Finset α

Context: hU : U ∈ P.parts

case inr.calc_2
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hP : P.IsEquipartition
h : P.parts.Nonempty
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
this : U.card ≤ A.card / P.parts.card + 1
⊢ A.card / P.parts.card + 1 - 1 ≤ A.card / P.parts.card


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
a : Vector α n × Fin n
⊢ a.1.toList.get? ↑a.2 = some (a.1.get a.2)


R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
df dg : ℕ
f g : R[X]
hdf : f.natDegree ≤ df
hdg : g.natDegree ≤ dg
⊢ (f * g).coeff (df + dg) = f.coeff df * g.coeff dg


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: df dg : ℕ

Context: f g : R[X]

Context: hdf : f.natDegree ≤ df

Context: hdg : g.natDegree ≤ dg

Context: df' dg' : ℕ

Context: hne : (df', dg') ≠ (df, dg)

case h₀.mk
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
df dg : ℕ
f g : R[X]
hdf : f.natDegree ≤ df
hdg : g.natDegree ≤ dg
df' dg' : ℕ
hmem : (df', dg') ∈ antidiagonal (df + dg)
hne : (df', dg') ≠ (df, dg)
⊢ f.coeff (df', dg').1 * g.coeff (df', dg').2 = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: df dg : ℕ

Context: f g : R[X]

Context: hdf : f.natDegree ≤ df

Context: hdg : g.natDegree ≤ dg

Context: df' dg' : ℕ

Context: hne : (df', dg') ≠ (df, dg)

Context: hdf' : df' ≤ df

case h₀.mk.inr
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
df dg : ℕ
f g : R[X]
hdf : f.natDegree ≤ df
hdg : g.natDegree ≤ dg
df' dg' : ℕ
hmem : (df', dg') ∈ antidiagonal (df + dg)
hne : (df', dg') ≠ (df, dg)
hdf' : df' ≤ df
⊢ f.coeff (df', dg').1 * g.coeff (df', dg').2 = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: df dg : ℕ

Context: f g : R[X]

Context: hdf : f.natDegree ≤ df

Context: hdg : g.natDegree ≤ dg

Context: df' dg' : ℕ

Context: hne : (df', dg') ≠ (df, dg)

Context: hdf' : df' ≤ df

Context: hdg' : dg' ≤ dg

case h₀.mk.inr.inr
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
df dg : ℕ
f g : R[X]
hdf : f.natDegree ≤ df
hdg : g.natDegree ≤ dg
df' dg' : ℕ
hmem : (df', dg') ∈ antidiagonal (df + dg)
hne : (df', dg') ≠ (df, dg)
hdf' : df' ≤ df
hdg' : dg' ≤ dg
⊢ f.coeff (df', dg').1 * g.coeff (df', dg').2 = 0


α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
f : α → β
l : Filter β
p : α → Prop
s✝ : Set α
x : α
s : Set β
F : Filter (α × β)
⊢ s ∈ comap (Prod.mk x) F ↔ {p | p.1 = x → p.2 ∈ s} ∈ F


C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ : C
inst✝ : HasPushouts C
X Y : C
f : X ⟶ Y
x x' : Under X
u : x ⟶ x'
⊢ x.hom ≫ u.right ≫ pushout.inl x'.hom f = f ≫ pushout.inr x'.hom f


L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
h : T ⊨ᵇ φ
M : Type u_1
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Nonempty M
⊢ M ⊨ φ


Context: L : Language

Context: T : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: φ : L.Sentence

Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : L.Structure M

Context: inst✝¹ : M ⊨ T

Context: inst✝ : Nonempty M

L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
h : ¬(T ∪ {Formula.not φ}).IsSatisfiable
M : Type u_1
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Nonempty M
⊢ M ⊨ φ


L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
M : Type u_1
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Nonempty M
h : ¬M ⊨ φ
⊢ (T ∪ {Formula.not φ}).IsSatisfiable


L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
M : Type u_1
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Nonempty M
h : ¬M ⊨ φ
this : M ⊨ T ∪ {Formula.not φ}
⊢ (T ∪ {Formula.not φ}).IsSatisfiable


R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]
hp : p.Monic
⊢ (p * q).leadingCoeff = q.leadingCoeff


Context:
f : Bool → Bool → Bool
a : Bool
x : ℕ

f : Bool → Bool → Bool
a : Bool
x : ℕ
⊢ bit a x % 2 = 1 ↔ a = true


R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : MulAction R M
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : IsScalarTower R M M
inst✝ : SMulCommClass R M M
p : SubMulAction R M
x✝ : 1 ≠ 0
⊢ ↑(p ^ 1) = ↑p ^ 1


R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : MulAction R M
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : IsScalarTower R M M
inst✝ : SMulCommClass R M M
p : SubMulAction R M
n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0
⊢ ↑(p ^ (n + 2)) = ↑p ^ (n + 2)


R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
v : M
p : R[X]
⊢ ((aeval f) p) v = p.sum fun n b => b • (f ^ n) v


R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
v : M
p : R[X]
⊢ (p.sum fun e a => (algebraMap R (M →ₗ[R] M)) a * f ^ e) v = p.sum fun n b => b • (f ^ n) v


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
mα : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : CommGroup β
inst✝ : TopologicalGroup β
hf : StronglyMeasurable f
h : StronglyMeasurable (f * g)
⊢ g = f * g * f⁻¹


R : Type u_1
f : ArithmeticFunction ℕ
inst✝ : Semiring R
h : f.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
⊢ ↑f (m * n) = ↑f m * ↑f n


α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
p : α → Prop
f : Filter α
⊢ (¬∃ᶠ (x : α) in f, p x) ↔ ∀ᶠ (x : α) in f, ¬p x


R : Type u₁
inst✝¹ : CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
x : Ring.Perfection R p
n : ℕ
⊢ (coeff R p n) (((pthRoot R p).comp (frobenius (Ring.Perfection R p) p)) x) =
    (coeff R p n) ((RingHom.id (Ring.Perfection R p)) x)


C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ X.σ i ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [n + 1])) = 0


case h
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
A : IndexSet (op [n])
⊢ (s.cofan (op [n])).inj A ≫ X.map (SimplexCategory.σ i).op ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [n + 1])) =
    (s.cofan (op [n])).inj A ≫ 0


case h.h
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
A : IndexSet (op [n])
⊢ IndexSet.id (op [n + 1]) ≠ A.epiComp (SimplexCategory.σ i).op


case h.h
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
A : IndexSet (op [n])
⊢ ¬(A.epiComp (SimplexCategory.σ i).op).EqId


case h.h
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
A : IndexSet (op [n])
⊢ ¬(unop (A.epiComp (SimplexCategory.σ i).op).fst).len = (unop (op [n + 1])).len


R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
r : AdicCompletion I R
x : M ⧸ I ^ n • ⊤
⊢ ↑r n • x = (evalₐ I n) r • x


R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
r✝ : AdicCompletion I R
x : M ⧸ I ^ n • ⊤
r : AdicCauchySequence I R
⊢ ↑((mk I R) r) n • x = (evalₐ I n) ((mk I R) r) • x


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: b : HilbertBasis ι 𝕜 E

Context: v : E

Context: i : ι

ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
v : E
i : ι
⊢ ↑(b.repr v) i = ⟪(fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i, v⟫_𝕜


X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace X
s : Set X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
⊢ CompactSpace X ↔ SeqCompactSpace X


case succ.a
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x n : ℕ
ih : ↑x = mk K p (n, ↑x)
⊢ R K p (n, ↑x) (n + 1, ↑x)


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l l₁ l₂ ys : List M
⊢ [].prod * ys.prod = (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) [] ys).prod * (drop ys.length []).prod * (drop [].length ys).prod


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l l₁ l₂ xs : List M
⊢ xs.prod * [].prod = (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) xs []).prod * (drop [].length xs).prod * (drop xs.length []).prod


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l l₁ l₂ : List M
x : M
xs : List M
y : M
ys : List M
⊢ (x :: xs).prod * (y :: ys).prod =
    (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) (x :: xs) (y :: ys)).prod * (drop (y :: ys).length (x :: xs)).prod *
      (drop (x :: xs).length (y :: ys)).prod


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l l₁ l₂ : List M
x : M
xs : List M
y : M
ys : List M
⊢ x * xs.prod * (y * ys.prod) =
    x * y * (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) xs ys).prod * (drop ys.length xs).prod * (drop xs.length ys).prod


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l l₁ l₂ : List M
x : M
xs : List M
y : M
ys : List M
⊢ x * (y * ((zipWith (fun x x_1 => x * x_1) xs ys).prod * (drop ys.length xs).prod * (drop xs.length ys).prod)) =
    x * y * (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) xs ys).prod * (drop ys.length xs).prod * (drop xs.length ys).prod


α : Type u_1
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ map (fun x => c + x) (Ioo a b) = Ioo (c + a) (c + b)


ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α✝
f✝ : ι → α✝
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
f : β → α
s : Finset β
h : ∀ x ∈ s, IsCompactElement (f x)
⊢ IsCompactElement (s.sup f)


α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
⊢ rtakeWhile p l = l ↔ ∀ (x : α), x ∈ l → p x = true


R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 2 ≠ 0
⊢ 0 < W.preΨ₄.natDegree


α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
h : s.Finite
⊢ range ⇑(Fintype.equivFin ↑↑h.toFinset).symm.asEmbedding = s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ bound a * ‖x - x₀‖
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
⊢ Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε

α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ bound a * ‖x - x₀‖
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
⊢ Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε

Context: nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹

Context: b : α → ℝ := fun a => |bound a|

α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ bound a * ‖x - x₀‖
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a => |bound a|
⊢ Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε

Context: nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹

Context: b : α → ℝ := fun a => |bound a|

Context: b_int : Integrable b μ

α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ bound a * ‖x - x₀‖
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a => |bound a|
b_int : Integrable b μ
⊢ Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε

Context: nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹

Context: b : α → ℝ := fun a => |bound a|

Context: b_int : Integrable b μ

Context: b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a

α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ bound a * ‖x - x₀‖
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a => |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
⊢ Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε

Context: nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹

Context: b : α → ℝ := fun a => |bound a|

Context: b_int : Integrable b μ

Context: b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a

α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a => |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
⊢ Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε

Context: nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹

Context: b : α → ℝ := fun a => |bound a|

Context: b_int : Integrable b μ

Context: b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a

α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a => |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
⊢ Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε

Context: nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹

Context: b : α → ℝ := fun a => |bound a|

Context: b_int : Integrable b μ

Context: b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a

Context: hF'_int : Integrable F' μ

Context: hE : CompleteSpace E

case pos
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a => |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
hE : CompleteSpace E
⊢ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε

Context: nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹

Context: b : α → ℝ := fun a => |bound a|

Context: b_int : Integrable b μ

Context: b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a

Context: hF'_int : Integrable F' μ

Context: hE : CompleteSpace E

Context: h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀

case pos
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a => |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
hE : CompleteSpace E
h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀
⊢ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε

Context: nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹

Context: b : α → ℝ := fun a => |bound a|

Context: b_int : Integrable b μ

Context: b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a

Context: hF'_int : Integrable F' μ

Context: hE : CompleteSpace E

Context: h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀

case pos
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a => |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
hE : CompleteSpace E
h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀
this :
  ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀,
    ‖x - x₀‖⁻¹ * ‖∫ (a : α), F x a ∂μ - ∫ (a : α), F x₀ a ∂μ - (∫ (a : α), F' a ∂μ) (x - x₀)‖ =
      ‖∫ (a : α), ‖x - x₀‖⁻¹ • (F x a - F x₀ a - (F' a) (x - x₀)) ∂μ‖
⊢ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε

Context: nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹

Context: b : α → ℝ := fun a => |bound a|

Context: b_int : Integrable b μ

Context: b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a

Context: hF'_int : Integrable F' μ

Context: hE : CompleteSpace E

Context: h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀

case pos
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F' : α → H →L[𝕜] E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ x ∈ ball x₀ ε, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' a) x₀
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a => |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
hE : CompleteSpace E
h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀
this :
  ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀,
    ‖x - x₀‖⁻¹ * ‖∫ (a : α), F x a ∂μ - ∫ (a : α), F x₀ a ∂μ - (∫ (a : α), F' a ∂μ) (x - x₀)‖ =
      ‖∫ (a : α), ‖x - x₀‖⁻¹ • (F x a - F x₀ a - (F' a) (x - x₀)) ∂μ‖
⊢ Tendsto (fun x => ∫ (a : α), ‖x - x₀‖⁻¹ • (F x a - F x₀ a - (F' a) (x - x₀)) ∂μ) (𝓝 x₀)
    (𝓝 (∫ (a : α), ‖x₀ - x₀‖⁻¹ • (F x₀ a - F x₀ a - (F' a) (x₀ - x₀)) ∂μ))


C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : WellPowered C
inst✝¹ : HasCoproducts C
inst✝ : HasImages C
A : C
s : Set (Subobject A)
f : Subobject A
hf : f ∈ s
⊢ f ≤ sSup s


A : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : DivisionMonoid M
ψ : AddChar A M
a : A
⊢ ψ (-a) = (ψ a)⁻¹


case h
A : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : DivisionMonoid M
ψ : AddChar A M
a : A
⊢ ψ (-a) * ψ a = 1


α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
hs : (a : α) → ¬IsMax a → C (succ a)
hl : (a : α) → IsSuccLimit a → C a
hb : IsSuccLimit b
⊢ isSuccLimitRecOn b hs hl = hl b hb


M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x y : M
c : ↥S
h : f.toMap (x * ↑c) = f.toMap (y * ↑c)
⊢ f.toMap (↑c * x) = f.toMap (↑c * y)


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
c : ℝ≥0∞
h₁ : c ≠ 0
h₂ : c ≠ ⊤
h : Integrable f (c • μ)
⊢ Integrable f μ


R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
⊢ p.content = 0 ↔ p = 0


ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
t : Finset ι
h : t.Nonempty
I : ι → Ideal R
this : DecidableEq ι
⊢ ⨆ i ∈ t, ⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j = ⊤ ↔ (↑t).Pairwise fun i j => I i ⊔ I j = ⊤


ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
t : Finset ι
h : t.Nonempty
I : ι → Ideal R
this : DecidableEq ι
⊢ (∃ μ, ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1) ↔ (↑t).Pairwise fun i j => I i ⊔ I j = ⊤


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: I : ι → Ideal R

Context: this : DecidableEq ι

Context: a : ι

Context: t : Finset ι

Context: hat : a ∉ t

Context: h : t.Nonempty

case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih : (∃ μ, ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1) ↔ (↑t).Pairwise fun i j => I i ⊔ I j = ⊤
⊢ (∃ μ, ∑ i ∈ Finset.cons a t hat, ↑(μ i) = 1) ↔ (↑(Finset.cons a t hat)).Pairwise fun i j => I i ⊔ I j = ⊤


k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
⊢ card { φ // ¬ComplexEmbedding.IsReal φ } = 2 * NrComplexPlaces K


case mk
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
w : InfinitePlace K
hw : w.IsComplex
⊢ (Finset.filter (fun φ => mkComplex φ = ⟨w, hw⟩) Finset.univ).card = 2


Context: p✝ : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)

Context: n✝ p : ℕ

Context: h_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℕ

Context: h : n ≠ 0

p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
n✝ p : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
h : n ≠ 0
b : Basis { x // x ∈ IsNoetherian.finsetBasisIndex (ZMod p) (GaloisField p n) } (ZMod p) (GaloisField p n) :=
  IsNoetherian.finsetBasis (ZMod p) (GaloisField p n)
⊢ Fintype.card (GaloisField p n) = p ^ n


α : Sort u_2
β : Sort u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
P : α → Sort u_1
e : α ≃ β
f : (b : β) → P (e.symm b)
b : β
x : P (e.symm b)
⊢ (Equiv.piCongrLeft' P e).symm (update f b x) = update ((Equiv.piCongrLeft' P e).symm f) (e.symm b) x


Context:
xl xr : Type u
x x' : PGame

xl xr : Type u
x x' : PGame
⊢ x.insertRight x' ≤ x


Context:
xl xr : Type u
x x' : PGame

xl xr : Type u
x x' : PGame
⊢ -x ≤ (-x).insertLeft (-x')


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P✝

Context: P : Ideal R

Context: hp : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P

Context: x y : S

Context: hx : x ∈ nonunits S

Context: hy : y ∈ nonunits S

Context: hu : IsUnit (x + y)

R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
this : _root_.Nontrivial S := Nontrivial S P
x y : S
hx : x ∈ nonunits S
hy : y ∈ nonunits S
hu : IsUnit (x + y)
⊢ False


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P✝

Context: P : Ideal R

Context: hp : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P

Context: x y : S

Context: hx : x ∈ nonunits S

Context: hy : y ∈ nonunits S

Context: hu : IsUnit (x + y)

Context: z : S

Context: hxyz : (x + y) * z = 1

case intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
this : _root_.Nontrivial S := Nontrivial S P
x y : S
hx : x ∈ nonunits S
hy : y ∈ nonunits S
hu : IsUnit (x + y)
z : S
hxyz : (x + y) * z = 1
⊢ False


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P✝

Context: P : Ideal R

Context: hp : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P

Context: x y : S

Context: hx : x ∈ nonunits S

Context: hy : y ∈ nonunits S

Context: hu : IsUnit (x + y)

Context: z : S

Context: hxyz : (x + y) * z = 1

case intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
this✝ : _root_.Nontrivial S := Nontrivial S P
x y : S
hx : x ∈ nonunits S
hy : y ∈ nonunits S
hu : IsUnit (x + y)
z : S
hxyz : (x + y) * z = 1
this : ∀ {r : R} {s : ↥P.primeCompl}, mk' S r s ∈ nonunits S → r ∈ P
⊢ False


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P✝

Context: P : Ideal R

Context: hp : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P

Context: x y : S

Context: hx : x ∈ nonunits S

Context: hy : y ∈ nonunits S

Context: hu : IsUnit (x + y)

Context: z : S

Context: hxyz : (x + y) * z = 1

Context: rx : R

Context: sx : ↥P.primeCompl

Context: hrx : mk' S rx sx = x

case intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
this✝ : _root_.Nontrivial S := Nontrivial S P
x y : S
hx : x ∈ nonunits S
hy : y ∈ nonunits S
hu : IsUnit (x + y)
z : S
hxyz : (x + y) * z = 1
this : ∀ {r : R} {s : ↥P.primeCompl}, mk' S r s ∈ nonunits S → r ∈ P
rx : R
sx : ↥P.primeCompl
hrx : mk' S rx sx = x
⊢ False


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P✝

Context: P : Ideal R

Context: hp : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P

Context: x y : S

Context: hx : x ∈ nonunits S

Context: hy : y ∈ nonunits S

Context: hu : IsUnit (x + y)

Context: z : S

Context: hxyz : (x + y) * z = 1

Context: rx : R

Context: sx : ↥P.primeCompl

Context: hrx : mk' S rx sx = x

Context: ry : R

Context: sy : ↥P.primeCompl

Context: hry : mk' S ry sy = y

case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
this✝ : _root_.Nontrivial S := Nontrivial S P
x y : S
hx : x ∈ nonunits S
hy : y ∈ nonunits S
hu : IsUnit (x + y)
z : S
hxyz : (x + y) * z = 1
this : ∀ {r : R} {s : ↥P.primeCompl}, mk' S r s ∈ nonunits S → r ∈ P
rx : R
sx : ↥P.primeCompl
hrx : mk' S rx sx = x
ry : R
sy : ↥P.primeCompl
hry : mk' S ry sy = y
⊢ False


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P✝

Context: P : Ideal R

Context: hp : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P

Context: x y : S

Context: hx : x ∈ nonunits S

Context: hy : y ∈ nonunits S

Context: hu : IsUnit (x + y)

Context: z : S

Context: hxyz : (x + y) * z = 1

Context: rx : R

Context: sx : ↥P.primeCompl

Context: hrx : mk' S rx sx = x

Context: ry : R

Context: sy : ↥P.primeCompl

Context: hry : mk' S ry sy = y

Context: rz : R

Context: sz : ↥P.primeCompl

Context: hrz : mk' S rz sz = z

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
this✝ : _root_.Nontrivial S := Nontrivial S P
x y : S
hx : x ∈ nonunits S
hy : y ∈ nonunits S
hu : IsUnit (x + y)
z : S
hxyz : (x + y) * z = 1
this : ∀ {r : R} {s : ↥P.primeCompl}, mk' S r s ∈ nonunits S → r ∈ P
rx : R
sx : ↥P.primeCompl
hrx : mk' S rx sx = x
ry : R
sy : ↥P.primeCompl
hry : mk' S ry sy = y
rz : R
sz : ↥P.primeCompl
hrz : mk' S rz sz = z
⊢ False


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P✝

Context: P : Ideal R

Context: hp : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P

Context: x y : S

Context: hu : IsUnit (x + y)

Context: z : S

Context: rx : R

Context: sx : ↥P.primeCompl

Context: hx : mk' S rx sx ∈ nonunits S

Context: hrx : mk' S rx sx = x

Context: ry : R

Context: sy : ↥P.primeCompl

Context: hy : mk' S ry sy ∈ nonunits S

Context: hry : mk' S ry sy = y

Context: rz : R

Context: sz : ↥P.primeCompl

Context: hrz : mk' S rz sz = z

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
this✝ : _root_.Nontrivial S := Nontrivial S P
x y : S
hu : IsUnit (x + y)
z : S
this : ∀ {r : R} {s : ↥P.primeCompl}, mk' S r s ∈ nonunits S → r ∈ P
rx : R
sx : ↥P.primeCompl
hx : mk' S rx sx ∈ nonunits S
hrx : mk' S rx sx = x
ry : R
sy : ↥P.primeCompl
hy : mk' S ry sy ∈ nonunits S
hry : mk' S ry sy = y
rz : R
sz : ↥P.primeCompl
hxyz : mk' S ((rx * ↑sy + ry * ↑sx) * rz) (sx * sy * sz) = mk' S 1 ⟨1, ⋯⟩
hrz : mk' S rz sz = z
⊢ False


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P✝

Context: P : Ideal R

Context: hp : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P

Context: x y : S

Context: hu : IsUnit (x + y)

Context: z : S

Context: rx : R

Context: sx : ↥P.primeCompl

Context: hx : mk' S rx sx ∈ nonunits S

Context: hrx : mk' S rx sx = x

Context: ry : R

Context: sy : ↥P.primeCompl

Context: hy : mk' S ry sy ∈ nonunits S

Context: hry : mk' S ry sy = y

Context: rz : R

Context: sz : ↥P.primeCompl

Context: hrz : mk' S rz sz = z

Context: t : ↥P.primeCompl

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
this✝ : _root_.Nontrivial S := Nontrivial S P
x y : S
hu : IsUnit (x + y)
z : S
this : ∀ {r : R} {s : ↥P.primeCompl}, mk' S r s ∈ nonunits S → r ∈ P
rx : R
sx : ↥P.primeCompl
hx : mk' S rx sx ∈ nonunits S
hrx : mk' S rx sx = x
ry : R
sy : ↥P.primeCompl
hy : mk' S ry sy ∈ nonunits S
hry : mk' S ry sy = y
rz : R
sz : ↥P.primeCompl
hxyz : mk' S ((rx * ↑sy + ry * ↑sx) * rz) (sx * sy * sz) = mk' S 1 ⟨1, ⋯⟩
hrz : mk' S rz sz = z
t : ↥P.primeCompl
ht : ↑t * (↑⟨1, ⋯⟩ * ((rx * ↑sy + ry * ↑sx) * rz)) = ↑t * (↑(sx * sy * sz) * 1)
⊢ False


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P✝

Context: P : Ideal R

Context: hp : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P

Context: x y : S

Context: hu : IsUnit (x + y)

Context: z : S

Context: rx : R

Context: sx : ↥P.primeCompl

Context: hx : mk' S rx sx ∈ nonunits S

Context: hrx : mk' S rx sx = x

Context: ry : R

Context: sy : ↥P.primeCompl

Context: hy : mk' S ry sy ∈ nonunits S

Context: hry : mk' S ry sy = y

Context: rz : R

Context: sz : ↥P.primeCompl

Context: hrz : mk' S rz sz = z

Context: t : ↥P.primeCompl

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
this✝ : _root_.Nontrivial S := Nontrivial S P
x y : S
hu : IsUnit (x + y)
z : S
this : ∀ {r : R} {s : ↥P.primeCompl}, mk' S r s ∈ nonunits S → r ∈ P
rx : R
sx : ↥P.primeCompl
hx : mk' S rx sx ∈ nonunits S
hrx : mk' S rx sx = x
ry : R
sy : ↥P.primeCompl
hy : mk' S ry sy ∈ nonunits S
hry : mk' S ry sy = y
rz : R
sz : ↥P.primeCompl
hxyz : mk' S ((rx * ↑sy + ry * ↑sx) * rz) (sx * sy * sz) = mk' S 1 ⟨1, ⋯⟩
hrz : mk' S rz sz = z
t : ↥P.primeCompl
ht : ↑t * ((rx * ↑sy + ry * ↑sx) * rz) = ↑t * (↑sx * ↑sy * ↑sz)
⊢ False


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P✝

Context: P : Ideal R

Context: hp : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P

Context: x y : S

Context: hu : IsUnit (x + y)

Context: z : S

Context: rx : R

Context: sx : ↥P.primeCompl

Context: hx : mk' S rx sx ∈ nonunits S

Context: hrx : mk' S rx sx = x

Context: ry : R

Context: sy : ↥P.primeCompl

Context: hy : mk' S ry sy ∈ nonunits S

Context: hry : mk' S ry sy = y

Context: rz : R

Context: sz : ↥P.primeCompl

Context: hrz : mk' S rz sz = z

Context: t : ↥P.primeCompl

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
this✝ : _root_.Nontrivial S := Nontrivial S P
x y : S
hu : IsUnit (x + y)
z : S
this : ∀ {r : R} {s : ↥P.primeCompl}, mk' S r s ∈ nonunits S → r ∈ P
rx : R
sx : ↥P.primeCompl
hx : mk' S rx sx ∈ nonunits S
hrx : mk' S rx sx = x
ry : R
sy : ↥P.primeCompl
hy : mk' S ry sy ∈ nonunits S
hry : mk' S ry sy = y
rz : R
sz : ↥P.primeCompl
hxyz : mk' S ((rx * ↑sy + ry * ↑sx) * rz) (sx * sy * sz) = mk' S 1 ⟨1, ⋯⟩
hrz : mk' S rz sz = z
t : ↥P.primeCompl
ht : ↑t * ((rx * ↑sy + ry * ↑sx) * rz) = ↑t * (↑sx * ↑sy * ↑sz)
⊢ ↑t * ((rx * ↑sy + ry * ↑sx) * rz) ∈ P


C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F F₁ F₂ : C ⥤ Type w
α : F₁ ⟶ F₂
t₁ t₂ : F₁.Elements
k : t₁ ⟶ t₂
⊢ F₂.map (↑k) ((fun t => ⟨t.fst, α.app t.fst t.snd⟩) t₁).snd = ((fun t => ⟨t.fst, α.app t.fst t.snd⟩) t₂).snd


G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
inst✝ : Monoid H
f : G →* H
hf : Injective ⇑f
⊢ IsOfFinOrder (f x) ↔ IsOfFinOrder x


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
mα : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hg : MeasurableEmbedding g
⊢ Measurable (g ∘ f) ↔ Measurable f


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
mα : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hg : MeasurableEmbedding g
H : Measurable (g ∘ f)
⊢ Measurable f


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
mα : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hg : MeasurableEmbedding g
H : Measurable (g ∘ f)
⊢ Measurable ((rangeSplitting g ∘ rangeFactorization g) ∘ f)


R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module A M
inst✝³ : Module R M
D✝ D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b : A
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Algebra R K
D : Derivation R K M
a : K
⊢ D a⁻¹ = -a⁻¹ ^ 2 • D a


E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D
⊢ HasCompactSupport (w D)


E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D
⊢ IsCompact (closedBall 0 D)


M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S✝ : Type u_5
F✝ : Type u_6
inst✝⁸ : CommMonoid M
inst✝⁷ : CommMonoid N
inst✝⁶ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝⁴ : IsDomain R
S : Type u_7
F : Type u_8
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : MonoidHomClass F R S
ζ : R
n : ℕ+
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
this : CommMonoid Sˣ := inferInstance
⊢ Subgroup.map (Units.map ↑f) (rootsOfUnity n R) = rootsOfUnity n S


M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S✝ : Type u_5
F✝ : Type u_6
inst✝⁸ : CommMonoid M
inst✝⁷ : CommMonoid N
inst✝⁶ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝⁴ : IsDomain R
S : Type u_7
F : Type u_8
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : MonoidHomClass F R S
ζ : R
n : ℕ+
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
this : CommMonoid Sˣ := inferInstance
hζ : IsPrimitiveRoot ⋯.unit ↑n
⊢ Subgroup.map (Units.map ↑f) (rootsOfUnity n R) = rootsOfUnity n S


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R

Context: inst✝¹⁴ : StarRing R

Context: inst✝¹³ : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹² : MetricSpace R

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : PartialOrder A

Context: inst✝⁴ : StarOrderedRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: r : R

Context: a : A

Context: h : ∀ x ∈ spectrum R a, r ≤ x

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁴ : StarRing R
inst✝¹³ : StarOrderedRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.777615) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
r : R
a : A
h : ∀ x ∈ spectrum R a, r ≤ x
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ (algebraMap R A) r ≤ a