R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p : R[X]
hp : p.Monic
ha : ¬IsUnit a
hap : a ∣ p
⊢ 0 < a.degree


R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p : R[X]
hp : p.Monic
hap : a ∣ p
h : a.degree ≤ 0
⊢ IsUnit a


R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p : R[X]
hp : p.Monic
hap : C (a.coeff 0) ∣ p
h : a.degree ≤ 0
⊢ IsUnit (C (a.coeff 0))


T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X : T
A B : Over X
f : A ⟶ B
⊢ f.left ≫ B.hom = A.hom


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: h : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'

Context: hs : s ∈ 𝓝 x

𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ HasMFDerivAt I I' f x f'


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G✝ : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E'✝ : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F✝ : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P✝ : Type uP

Context: inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E'✝

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F✝

Context: f✝ f' : G✝ → E

Context: g✝ g' : G✝ → E'✝

Context: x x' : G✝

Context: y y' : E

Context: inst✝²⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E'✝

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 F✝

Context: inst✝¹⁸ : CompleteSpace F✝

Context: inst✝¹⁷ : MeasurableSpace G✝

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup G✝

Context: inst✝¹⁵ : BorelSpace G✝

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G✝

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup P✝

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 P✝

Context: μ✝ : Measure G✝

Context: L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝

Context: G E' F P : Type uP

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup P

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 P

Context: f : G → E

Context: n : ℕ∞

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: g : P → G → E'

Context: s : Set P

Context: k : Set G

Context: hs : IsOpen s

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)

𝕜 : Type u𝕜
G✝ : Type uG
E : Type uE
E'✝ : Type uE'
E'' : Type uE''
F✝ : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P✝ : Type uP
inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E'✝
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F✝
f✝ f' : G✝ → E
g✝ g' : G✝ → E'✝
x x' : G✝
y y' : E
inst✝²⁴ : RCLike 𝕜
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E'✝
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²⁰ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 F✝
inst✝¹⁸ : CompleteSpace F✝
inst✝¹⁷ : MeasurableSpace G✝
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝¹⁵ : BorelSpace G✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G✝
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup P✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 P✝
μ✝ : Measure G✝
L✝ : E →L[𝕜] E'✝ →L[𝕜] F✝
G E' F P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ)


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: o : Ordinal.{max u_2 u_3}

Context: c : Cardinal.{max u_2 u_3}

Context: hc : c.IsRegular

Context: ho : o.card < c

α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{max u_2 u_3}
f : (a : Ordinal.{max u_2 u_3}) → a < o → Ordinal.{max u_2 u_3}
c : Cardinal.{max u_2 u_3}
hc : c.IsRegular
ho : o.card < c
⊢ o.card < c.ord.cof


Context: X : Compactum

Context: F : Ultrafilter X.A

Context: x : X.A

Context: ι : fsu → ssu := fun x => ↑x

Context: T1 : ssu := insert AA T0

Context: cond : ↑F ≤ 𝓝 x

X : Compactum
F : Ultrafilter X.A
x : X.A
fsu : Type u_1 := Finset (Set (Ultrafilter X.A))
ssu : Type u_1 := Set (Set (Ultrafilter X.A))
ι : fsu → ssu := fun x => ↑x
T0 : ssu := {S | ∃ A ∈ F, S = Compactum.basic A}
AA : Set (Ultrafilter X.A) := X.str ⁻¹' {x}
T1 : ssu := insert AA T0
T2 : Set (Set (Ultrafilter X.A)) := finiteInterClosure T1
cond : ↑F ≤ 𝓝 x
⊢ X.str F = x


Context: X : Compactum

Context: F : Ultrafilter X.A

Context: x : X.A

Context: ι : fsu → ssu := fun x => ↑x

Context: T1 : ssu := insert AA T0

Context: cond : ↑F ≤ 𝓝 x

X : Compactum
F : Ultrafilter X.A
x : X.A
fsu : Type u_1 := Finset (Set (Ultrafilter X.A))
ssu : Type u_1 := Set (Set (Ultrafilter X.A))
ι : fsu → ssu := fun x => ↑x
T0 : ssu := {S | ∃ A ∈ F, S = Compactum.basic A}
AA : Set (Ultrafilter X.A) := X.str ⁻¹' {x}
T1 : ssu := insert AA T0
T2 : Set (Set (Ultrafilter X.A)) := finiteInterClosure T1
cond : ↑F ≤ 𝓝 x
claim1 : ∀ (A : Set X.A), IsClosed A → A ∈ F → x ∈ A
⊢ X.str F = x


Context: X : Compactum

Context: F : Ultrafilter X.A

Context: x : X.A

Context: ι : fsu → ssu := fun x => ↑x

Context: T1 : ssu := insert AA T0

Context: cond : ↑F ≤ 𝓝 x

Context: claim2 : ∀ A ∈ F, x ∈ Compactum.cl A

X : Compactum
F : Ultrafilter X.A
x : X.A
fsu : Type u_1 := Finset (Set (Ultrafilter X.A))
ssu : Type u_1 := Set (Set (Ultrafilter X.A))
ι : fsu → ssu := fun x => ↑x
T0 : ssu := {S | ∃ A ∈ F, S = Compactum.basic A}
AA : Set (Ultrafilter X.A) := X.str ⁻¹' {x}
T1 : ssu := insert AA T0
T2 : Set (Set (Ultrafilter X.A)) := finiteInterClosure T1
cond : ↑F ≤ 𝓝 x
claim1 : ∀ (A : Set X.A), IsClosed A → A ∈ F → x ∈ A
claim2 : ∀ A ∈ F, x ∈ Compactum.cl A
⊢ X.str F = x


Context: X : Compactum

Context: F : Ultrafilter X.A

Context: x : X.A

Context: ι : fsu → ssu := fun x => ↑x

Context: T1 : ssu := insert AA T0

Context: cond : ↑F ≤ 𝓝 x

Context: claim2 : ∀ A ∈ F, x ∈ Compactum.cl A

Context: claim4 : ∀ S ∈ T0, (AA ∩ S).Nonempty

Context: claim5 : ∀ S ∈ T0, S.Nonempty

Context: claim6 : ∀ S ∈ T2, S.Nonempty

X : Compactum
F : Ultrafilter X.A
x : X.A
fsu : Type u_1 := Finset (Set (Ultrafilter X.A))
ssu : Type u_1 := Set (Set (Ultrafilter X.A))
ι : fsu → ssu := fun x => ↑x
T0 : ssu := {S | ∃ A ∈ F, S = Compactum.basic A}
AA : Set (Ultrafilter X.A) := X.str ⁻¹' {x}
T1 : ssu := insert AA T0
T2 : Set (Set (Ultrafilter X.A)) := finiteInterClosure T1
cond : ↑F ≤ 𝓝 x
claim1 : ∀ (A : Set X.A), IsClosed A → A ∈ F → x ∈ A
claim2 : ∀ A ∈ F, x ∈ Compactum.cl A
claim3 : ∀ S1 ∈ T0, ∀ S2 ∈ T0, S1 ∩ S2 ∈ T0
claim4 : ∀ S ∈ T0, (AA ∩ S).Nonempty
claim5 : ∀ S ∈ T0, S.Nonempty
claim6 : ∀ S ∈ T2, S.Nonempty
⊢ X.str F = x


Context: X : Compactum

Context: F : Ultrafilter X.A

Context: x : X.A

Context: ι : fsu → ssu := fun x => ↑x

Context: T1 : ssu := insert AA T0

Context: cond : ↑F ≤ 𝓝 x

Context: claim2 : ∀ A ∈ F, x ∈ Compactum.cl A

Context: claim4 : ∀ S ∈ T0, (AA ∩ S).Nonempty

Context: claim5 : ∀ S ∈ T0, S.Nonempty

Context: claim6 : ∀ S ∈ T2, S.Nonempty

Context: T : fsu

Context: hT : ↑T ⊆ T1

X : Compactum
F : Ultrafilter X.A
x : X.A
fsu : Type u_1 := Finset (Set (Ultrafilter X.A))
ssu : Type u_1 := Set (Set (Ultrafilter X.A))
ι : fsu → ssu := fun x => ↑x
T0 : ssu := {S | ∃ A ∈ F, S = Compactum.basic A}
AA : Set (Ultrafilter X.A) := X.str ⁻¹' {x}
T1 : ssu := insert AA T0
T2 : Set (Set (Ultrafilter X.A)) := finiteInterClosure T1
cond : ↑F ≤ 𝓝 x
claim1 : ∀ (A : Set X.A), IsClosed A → A ∈ F → x ∈ A
claim2 : ∀ A ∈ F, x ∈ Compactum.cl A
claim3 : ∀ S1 ∈ T0, ∀ S2 ∈ T0, S1 ∩ S2 ∈ T0
claim4 : ∀ S ∈ T0, (AA ∩ S).Nonempty
claim5 : ∀ S ∈ T0, S.Nonempty
claim6 : ∀ S ∈ T2, S.Nonempty
T : fsu
hT : ↑T ⊆ T1
⊢ (⋂₀ ι T).Nonempty


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X

X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ SimplyConnectedSpace X ↔ Nonempty X ∧ ∀ (x y : X), Nonempty (Unique (Path.Homotopic.Quotient x y))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasColimits C

Context: inst✝³ : HasLimits C

Context: X Y : SheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Y

Context: h₁ : Function.Injective ⇑f.base

Context: Z : SheafedSpace C

case right_cancellation
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasColimits C
inst✝³ : HasLimits C
inst✝² : PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)
inst✝¹ : PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
inst✝ : (CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms
X Y : SheafedSpace C
f : X ⟶ Y
h₁ : Function.Injective ⇑f.base
h₂ : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), Epi (PresheafedSpace.Hom.stalkMap f x)
Z : SheafedSpace C
g : ↑Z.toPresheafedSpace ⟶ ↑X.toPresheafedSpace
gc : X.presheaf ⟶ (pushforward C g).obj Z.presheaf
h : ↑Z.toPresheafedSpace ⟶ ↑X.toPresheafedSpace
hc : X.presheaf ⟶ (pushforward C h).obj Z.presheaf
e : { base := g, c := gc } ≫ f = { base := h, c := hc } ≫ f
⊢ { base := g, c := gc } = { base := h, c := hc }


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasColimits C

Context: inst✝³ : HasLimits C

Context: X Y : SheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Y

Context: h₁ : Function.Injective ⇑f.base

Context: Z : SheafedSpace C

case right_cancellation
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasColimits C
inst✝³ : HasLimits C
inst✝² : PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)
inst✝¹ : PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
inst✝ : (CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms
X Y : SheafedSpace C
f : X ⟶ Y
h₁ : Function.Injective ⇑f.base
h₂ : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), Epi (PresheafedSpace.Hom.stalkMap f x)
Z : SheafedSpace C
g : ↑Z.toPresheafedSpace ⟶ ↑X.toPresheafedSpace
gc hc : X.presheaf ⟶ (pushforward C g).obj Z.presheaf
e : { base := g, c := gc } ≫ f = { base := g, c := hc } ≫ f
⊢ { base := g, c := gc } = { base := g, c := hc }


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasColimits C

Context: inst✝³ : HasLimits C

Context: X Y : SheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Y

Context: h₁ : Function.Injective ⇑f.base

Context: Z : SheafedSpace C

Context: x : ↑↑Z.toPresheafedSpace

case right_cancellation
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasColimits C
inst✝³ : HasLimits C
inst✝² : PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)
inst✝¹ : PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
inst✝ : (CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms
X Y : SheafedSpace C
f : X ⟶ Y
h₁ : Function.Injective ⇑f.base
h₂ : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), Epi (PresheafedSpace.Hom.stalkMap f x)
Z : SheafedSpace C
g : ↑Z.toPresheafedSpace ⟶ ↑X.toPresheafedSpace
gc hc : X.presheaf ⟶ (pushforward C g).obj Z.presheaf
e : { base := g, c := gc } ≫ f = { base := g, c := hc } ≫ f
x : ↑↑Z.toPresheafedSpace
⊢ { base := g, c := gc }.stalkMap x = (X.presheaf.stalkCongr ⋯).hom ≫ { base := g, c := hc }.stalkMap x


Context: α : Type u


Context:
α : Type u
a : α
l : List α

α : Type u
a : α
l : List α
⊢ ofFn (a :: l).get = a :: l


p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq : Fact (Nat.Prime q)
n : ℕ
neq : p ≠ q
⊢ padicValNat p (q ^ n) = 0


X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : x ∈ closure (s₁ ∪ s₂)
h₁ : s₁ᶜ ∈ 𝓝 x
⊢ x ∈ closure s₂


𝓝 x ⊓ 𝓟 s₂ ≠ ⊥

X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : 𝓝 x ⊓ 𝓟 (s₁ ∪ s₂) ≠ ⊥
h₁ : s₁ᶜ ∈ 𝓝 x
⊢ 𝓝 x ⊓ 𝓟 s₂ ≠ ⊥


α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t : Set β
s : Set (Filter β)
m : α → β
⊢ comap m (sSup s) = ⨆ f ∈ s, comap m f


α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a b : α
⊢ {a} = {b} ↔ a = b


α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a b : α
⊢ a ::ₘ 0 = b ::ₘ 0 ↔ a = b


Context:
α : Type u
l : List ℕ

α : Type u
l : List ℕ
⊢ map length l.ranges = l


𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ ContDiff 𝕜 n f ↔
    (∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → Continuous fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m f x) ∧
      ∀ (m : ℕ), ↑m < n → Differentiable 𝕜 fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m f x


ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
M : Type u_6
inst✝ : CommGroup M
f : ℕ → M
n : ℕ
⊢ f n = ∏ i ∈ range (n + 1), if i = 0 then f 0 else f i / f (i - 1)


ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
M : Type u_6
inst✝ : CommGroup M
f : ℕ → M
n : ℕ
⊢ f 0 * ∏ i ∈ range n, f (i + 1) / f i = ∏ i ∈ range (n + 1), if i = 0 then f 0 else f i / f (i - 1)


Context: a : ↥circle

a : ↥circle
⊢ LinearMap.det ↑(rotation a).toLinearEquiv = 1


Context: a : ↥circle

a : ↥circle
⊢ ↑(Matrix.planeConformalMatrix (↑a).re (↑a).im ⋯) 0 0 * ↑(Matrix.planeConformalMatrix (↑a).re (↑a).im ⋯) 1 1 -
      ↑(Matrix.planeConformalMatrix (↑a).re (↑a).im ⋯) 0 1 * ↑(Matrix.planeConformalMatrix (↑a).re (↑a).im ⋯) 1 0 =
    1


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
⊢ ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0


𝕜 : Type v
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ x = y ↔ ∀ (g : Dual 𝕜 E), g x = g y


𝕜 : Type v
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ (∀ (g : Dual 𝕜 E), g (x - y) = 0) ↔ ∀ (g : Dual 𝕜 E), g x = g y


G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
U : Set (Quotient α_mod_G)
meas_U : MeasurableSet U
⊢ (Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (μ.restrict s)) U = μ (Quotient.mk α_mod_G ⁻¹' U ∩ s)


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.209500, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.209504, u_2} D
inst✝ : Abelian C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hg₁ : S₁.g = 0
hf₂ : S₂.f = 0
hg₂ : S₂.g = 0
⊢ S₁.f ≫ φ.τ₂ = 0


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.209504, u_2} D
inst✝ : Abelian C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hg₁ : S₁.g = 0
hf₂ : S₂.f = 0
hg₂ : S₂.g = 0
⊢ QuasiIso φ ↔ (mk S₁.f φ.τ₂ ⋯).Exact ∧ Epi φ.τ₂


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.209504, u_2} D
inst✝ : Abelian C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hg₁ : S₁.g = 0
hf₂ : S₂.f = 0
hg₂ : S₂.g = 0
⊢ (mk (opMap φ).τ₂ S₁.op.g ⋯).Exact ∧ Mono (opMap φ).τ₂ ↔ (mk S₁.f φ.τ₂ ⋯).Exact ∧ Epi φ.τ₂


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.209504, u_2} D
inst✝ : Abelian C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hg₁ : S₁.g = 0
hf₂ : S₂.f = 0
hg₂ : S₂.g = 0
this : Mono φ.τ₂.op ↔ Epi φ.τ₂
⊢ (mk (opMap φ).τ₂ S₁.op.g ⋯).unop.Exact ∧ Mono (opMap φ).τ₂ ↔ (mk S₁.f φ.τ₂ ⋯).Exact ∧ Epi φ.τ₂


ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α
⊢ (l ++ [a]).getLast ⋯ = a


R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
x y : R
h : Commute x y
n : ℕ
⊢ (x + y) ^ n = ∑ m ∈ antidiagonal n, n.choose m.1 • (x ^ m.1 * y ^ m.2)


Context: V : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: V₁ : Type u_3

Context: V₂ : Type u_4

Context: V₃ : Type u_5

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃

Context: f : NormedAddGroupHom V W

Context: W₁ : Type u_6

Context: W₂ : Type u_7

Context: W₃ : Type u_8

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃

Context: g : NormedAddGroupHom V W

Context: f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁

Context: f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂

Context: f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃

V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
ψ : NormedAddGroupHom V₁ ↥(f.equalizer g)
⊢ f.comp ((ι f g).comp ψ) = g.comp ((ι f g).comp ψ)


R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
hw : w ≠ 0
⊢ (trinomial k m n u v w).leadingCoeff = w


α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
g : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, f x < ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α) in s, (f * g) a ∂μ


R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
⊢ inverse Q hfg hg ∘ₗ rTensor Q g = (range (rTensor Q f)).mkQ


ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
⊢ hausdorffDist s t = hausdorffDist t s


case h
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a b : R
S : Type v
x✝ y : R
I : Ideal R
s : Set R
x : R
⊢ x ∈ ⇑(mk I) ⁻¹' (⇑(mk I) '' s) ↔ x ∈ ⋃ x, (fun y => ↑x + y) '' s


case h
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a b : R
S : Type v
x✝ y : R
I : Ideal R
s : Set R
x : R
⊢ (∃ x_1 ∈ s, x_1 - x ∈ I) ↔ ∃ i, ∃ x_1 ∈ s, ↑i + x_1 = x


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝¹ s₁ s₂ : Finset α
t✝¹ t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
s✝ : Finset α
t✝ : Finset β
f✝ : α → β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
b : α
⊢ b ∈ t.disjiUnion (fun a => filter (fun x => f x = a) s) ⋯ ↔ b ∈ filter (fun c => f c ∈ t) s


R : Type uR
S✝ : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring E
inst✝⁵ : Semiring K
inst✝⁴ : SMul F E
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : Semiring F
inst✝¹ : Module F K
inst✝ : IsScalarTower F E K
L : Submonoid K
S : Set K
h : ↑L = ↑(span F S)
⊢ toSubmodule (adjoin E ↑L) = span E S


R : Type uR
S✝ : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring E
inst✝⁵ : Semiring K
inst✝⁴ : SMul F E
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : Semiring F
inst✝¹ : Module F K
inst✝ : IsScalarTower F E K
L : Submonoid K
S : Set K
h : ↑L = ↑(span F S)
⊢ span E ↑(span F S) = span E S


α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝¹ μ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hf : AEMeasurable f ν
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤
⊢ μ.rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae ν] fun x => (f x)⁻¹ * μ.rnDeriv ν x


α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝¹ μ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hf : AEMeasurable f ν
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤
this : SigmaFinite (ν.withDensity f)
⊢ μ.rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae ν] fun x => (f x)⁻¹ * μ.rnDeriv ν x


α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝¹ μ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hf : AEMeasurable f ν
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤
this : SigmaFinite (ν.withDensity f)
⊢ μ.rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae (ν.withDensity f)] fun x => (f x)⁻¹ * μ.rnDeriv ν x


case h
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
a : α
μ : Measure α
c : β
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ (map (fun x => c) μ) s = (μ univ • dirac c) s


J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
s : Set c.pt
ls : Set lc.pt
⊢ descSet hc ls = s ↔ ∀ (j : J) (x : K.obj j), lc.ι.app j { down := x } ∈ ls ↔ c.ι.app j x ∈ s


F✝ : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f✝ g : ι → α
inst✝² : CommMonoid β
s : Multiset α
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : F
l : List α
⊢ (map ⇑f ⟦l⟧).prod = f (prod ⟦l⟧)


R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
⊢ (↑n * p).comp r = ↑n * p.comp r


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: p : R → R → Prop

Context: a b : R

Context: ha : a ∈ closure s

Context: hb : b ∈ closure s

Context: Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y

Context: H0_left : ∀ (x : R), p 0 x

Context: H0_right : ∀ (x : R), p x 0

Context: H1_left : ∀ (x : R), p 1 x

Context: H1_right : ∀ (x : R), p x 1

R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
p : R → R → Prop
a b : R
ha : a ∈ closure s
hb : b ∈ closure s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
H0_left : ∀ (x : R), p 0 x
H0_right : ∀ (x : R), p x 0
H1_left : ∀ (x : R), p 1 x
H1_right : ∀ (x : R), p x 1
Hneg_left : ∀ (x y : R), p x y → p (-x) y
Hneg_right : ∀ (x y : R), p x y → p x (-y)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
⊢ p a b


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: p : R → R → Prop

Context: a b : R

Context: ha : a ∈ closure s

Context: hb : b ∈ closure s

Context: Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y

Context: H0_left : ∀ (x : R), p 0 x

Context: H0_right : ∀ (x : R), p x 0

Context: H1_left : ∀ (x : R), p 1 x

Context: H1_right : ∀ (x : R), p x 1

R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
p : R → R → Prop
a b : R
ha : a ∈ closure s
hb : b ∈ closure s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
H0_left : ∀ (x : R), p 0 x
H0_right : ∀ (x : R), p x 0
H1_left : ∀ (x : R), p 1 x
H1_right : ∀ (x : R), p x 1
Hneg_left : ∀ (x y : R), p x y → p (-x) y
Hneg_right : ∀ (x y : R), p x y → p x (-y)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
⊢ ∀ x ∈ s, p a x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a✝ : α

Context: ha✝ : IsWellOrderLimitElement a✝

Context: a : α

Context: ha : a < wellOrderSucc a

α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
a✝ : α
ha✝ : IsWellOrderLimitElement a✝
inst✝¹ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
a : α
ha : a < wellOrderSucc a
inst✝ : IsWellOrderLimitElement (wellOrderSucc a)
⊢ False


R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ : R →+* S
x✝ : S
f : R →+* S
x : S
⊢ eval₂ f x p = p.sum fun e a => f a * x ^ e


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: hx : x ∈ s

ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
inst✝ : l.NeBot
s : Set E
hs : IsOpen s
hf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s
hf : ∀ (n : ι), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hx : x ∈ s
⊢ HasFDerivAt g (g' x) x


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: hx : x ∈ s

Context: h1 : s ∈ 𝓝 x

ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
inst✝ : l.NeBot
s : Set E
hs : IsOpen s
hf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s
hf : ∀ (n : ι), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hx : x ∈ s
h1 : s ∈ 𝓝 x
⊢ HasFDerivAt g (g' x) x


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: hx : x ∈ s

Context: h1 : s ∈ 𝓝 x

Context: h3 : Set.univ ×ˢ s ∈ l ×ˢ 𝓝 x

ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
inst✝ : l.NeBot
s : Set E
hs : IsOpen s
hf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s
hf : ∀ (n : ι), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hx : x ∈ s
h1 : s ∈ 𝓝 x
h3 : Set.univ ×ˢ s ∈ l ×ˢ 𝓝 x
⊢ HasFDerivAt g (g' x) x


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: hx : x ∈ s

Context: h1 : s ∈ 𝓝 x

Context: h3 : Set.univ ×ˢ s ∈ l ×ˢ 𝓝 x

ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
inst✝ : l.NeBot
s : Set E
hs : IsOpen s
hf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s
hf : ∀ (n : ι), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hx : x ∈ s
h1 : s ∈ 𝓝 x
h3 : Set.univ ×ˢ s ∈ l ×ˢ 𝓝 x
h4 : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
⊢ HasFDerivAt g (g' x) x


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: hx : x ∈ s

Context: h1 : s ∈ 𝓝 x

Context: h3 : Set.univ ×ˢ s ∈ l ×ˢ 𝓝 x

ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
inst✝ : l.NeBot
s : Set E
hs : IsOpen s
hf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s
hf : ∀ (n : ι), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hx : x ∈ s
h1 : s ∈ 𝓝 x
h3 : Set.univ ×ˢ s ∈ l ×ˢ 𝓝 x
h4 : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
⊢ TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)


ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
I : Box ι
π : Prepartition I
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ (μ π.iUnion).toReal = ∑ J ∈ π.boxes, (μ ↑J).toReal


ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
I : Box ι
π : Prepartition I
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ ∀ b ∈ π.boxes, MeasurableSet ↑b

ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
I : Box ι
π : Prepartition I
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
⊢ ∀ a ∈ π.boxes, μ ↑a ≠ ⊤


ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t u v : Set α
⊢ AEDisjoint μ s (t ∪ u) ↔ AEDisjoint μ s t ∧ AEDisjoint μ s u


ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsUpperSet s
⊢ volume (frontier s) = 0


ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsUpperSet s
x : ι → ℝ
hx : x ∈ frontier s
⊢ x ∈
    {x |
        (fun x =>
            Tendsto (fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) (𝓝[>] 0)
              (𝓝 ((closure s).indicator 1 x)))
          x}ᶜ


R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'
p : Submodule R M
⊢ lift.{v, v'} (Module.rank R ↥(Submodule.map f p)) ≤ lift.{v', v} (Module.rank R ↥p)


Context: R : Type u

Context: R' : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : Ring R'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : Module R' M'

Context: inst✝ : Module R' M₁

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: p : Submodule R M

R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'
p : Submodule R M
h : lift.{v, v'} (Module.rank R ↥(LinearMap.range (f ∘ₗ p.subtype))) ≤ lift.{v', v} (Module.rank R ↥p)
⊢ lift.{v, v'} (Module.rank R ↥(Submodule.map f p)) ≤ lift.{v', v} (Module.rank R ↥p)


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ

q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ
⊢ Irrational (↑m - x)


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
s t : Set α
⊢ DirSupInacc sᶜ ↔ DirSupClosed s


α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
⊢ μ.InnerRegularWRT (fun s => ∃ f, Continuous f ∧ HasCompactSupport f ∧ s = f ⁻¹' {1}) fun s =>
    MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤


α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
K : Set G
K_comp : IsCompact K
K_closed : IsClosed K
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ K
L : Set G := μ.everywherePosSubset K
⊢ ∃ K_1 ⊆ K, (fun s => ∃ f, Continuous f ∧ HasCompactSupport f ∧ s = f ⁻¹' {1}) K_1 ∧ r < μ K_1


α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
K : Set G
K_comp : IsCompact K
K_closed : IsClosed K
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ K
L : Set G := μ.everywherePosSubset K
L_comp : IsCompact L
⊢ ∃ K_1 ⊆ K, (fun s => ∃ f, Continuous f ∧ HasCompactSupport f ∧ s = f ⁻¹' {1}) K_1 ∧ r < μ K_1


α : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s k : Set α
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
K : Set G
K_comp : IsCompact K
K_closed : IsClosed K
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ K
L : Set G := μ.everywherePosSubset K
L_comp : IsCompact L
L_closed : IsClosed L
⊢ ∃ K_1 ⊆ K, (fun s => ∃ f, Continuous f ∧ HasCompactSupport f ∧ s = f ⁻¹' {1}) K_1 ∧ r < μ K_1


case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
x✝ : E
⊢ x✝ ∈ LinearMap.ker (orthogonalProjection K) ↔ x✝ ∈ Kᗮ


ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ map₂ f (span R s) (span R t) = span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)


F✝ : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F✝ E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F✝ K
F : Type u_1
inst✝ : Field F
⊢ PerfectField F ↔ ∀ (f : F[X]), f.natSepDegree = 1 → Splits (RingHom.id F) f


Context: F✝ : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F✝

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F✝ E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F✝ K

Context: F : Type u_1

Context: inst✝ : Field F

case refine_2
F✝ : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F✝ E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F✝ K
F : Type u_1
inst✝ : Field F
h : ∀ (f : F[X]), f.natSepDegree = 1 → Splits (RingHom.id F) f
⊢ PerfectField F


Context: F✝ : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F✝

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F✝ E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F✝ K

Context: F : Type u_1

Context: inst✝ : Field F

Context: p : ℕ

Context: h✝ : ExpChar F p

case refine_2.intro
F✝ : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F✝ E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F✝ K
F : Type u_1
inst✝ : Field F
h : ∀ (f : F[X]), f.natSepDegree = 1 → Splits (RingHom.id F) f
p : ℕ
h✝ : ExpChar F p
⊢ PerfectField F


Context: F✝ : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F✝

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F✝ E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F✝ K

Context: F : Type u_1

Context: inst✝ : Field F

Context: p : ℕ

Context: h✝ : ExpChar F p

Context: this : PerfectRing F p

case refine_2.intro
F✝ : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F✝ E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F✝ K
F : Type u_1
inst✝ : Field F
h : ∀ (f : F[X]), f.natSepDegree = 1 → Splits (RingHom.id F) f
p : ℕ
h✝ : ExpChar F p
this : PerfectRing F p
⊢ PerfectField F


‖A * B‖₊ ≤ ‖A‖₊ * ‖B‖₊

R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : RCLike α
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α
⊢ ‖A * B‖₊ ≤ ‖A‖₊ * ‖B‖₊


R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : RCLike α
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α
⊢ (∑ x : l, ∑ x_1 : n, ‖∑ j : m, A x j * B j x_1‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2) ≤
    (∑ i : l, ∑ j : m, ‖A i j‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2) * (∑ i : m, ∑ j : n, ‖B i j‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2)


case h₁.a.h.h
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : RCLike α
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α
i : l
a✝¹ : i ∈ Finset.univ
j : n
a✝ : j ∈ Finset.univ
⊢ ‖∑ j_1 : m, A i j_1 * B j_1 j‖₊ ^ 2 ≤ (∑ j : m, ‖A i j‖₊ ^ 2) * ∑ x : m, ‖B x j‖₊ ^ 2


case h₁.a.h.h
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : RCLike α
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α
i : l
a✝¹ : i ∈ Finset.univ
j : n
a✝ : j ∈ Finset.univ
⊢ ‖∑ j_1 : m, A i j_1 * B j_1 j‖₊ ≤ (∑ j : m, ‖A i j‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2) * (∑ x : m, ‖B x j‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2)


Context: R : Type u_1

Context: l : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: ι : Type u_7

Context: inst✝⁴ : Fintype l

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: inst✝² : Fintype n

Context: inst✝¹ : Unique ι

Context: inst✝ : RCLike α

Context: A : Matrix l m α

Context: B : Matrix m n α

Context: i : l

Context: a✝¹ : i ∈ Finset.univ

Context: j : n

Context: a✝ : j ∈ Finset.univ

case h₁.a.h.h
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : RCLike α
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α
i : l
a✝¹ : i ∈ Finset.univ
j : n
a✝ : j ∈ Finset.univ
this :
  ‖⟪(WithLp.equiv 2 (m → α)).symm fun j => star (A i j), (WithLp.equiv 2 (m → α)).symm fun k => B k j⟫_α‖₊ ≤
    ‖(WithLp.equiv 2 (m → α)).symm fun j => star (A i j)‖₊ * ‖(WithLp.equiv 2 (m → α)).symm fun k => B k j‖₊
⊢ ‖∑ j_1 : m, A i j_1 * B j_1 j‖₊ ≤ (∑ j : m, ‖A i j‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2) * (∑ x : m, ‖B x j‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2)


R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
e : Basis ι R M
inst✝ : Nontrivial R
h : e.det = 0
⊢ False


case a
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n : ?m.14608
s✝ t s a✝ : Finset α
⊢ a✝ ∈ powersetCard 0 s ↔ a✝ ∈ {∅}


a✝ ⊆ s ∧ a✝ = ∅ ↔ a✝ = ∅

case a
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n : ?m.14608
s✝ t s a✝ : Finset α
⊢ a✝ ⊆ s ∧ a✝ = ∅ ↔ a✝ = ∅


α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
I : Set α
hI : I ⊆ M.E
⊢ (M.map f hf).Indep (f '' I) ↔ M.Indep I


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f : α → β

Context: E I✝ s : Set α

Context: M : Matroid α

Context: N : Matroid β

Context: hf : InjOn f M.E

Context: I : Set α

Context: hI : I ⊆ M.E

Context: J : Set α

Context: hJ : M.Indep J

Context: hIJ : f '' I = f '' J

α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
I : Set α
hI : I ⊆ M.E
x✝ : ∃ I₀, M.Indep I₀ ∧ f '' I = f '' I₀
J : Set α
hJ : M.Indep J
hIJ : f '' I = f '' J
⊢ M.Indep I


R✝ : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : ℕ → ℕ → R
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ range (n + 2), ↑((n + 1).choose i) * f i (n + 1 - i) =
    ∑ i ∈ range (n + 1), ↑(n.choose i) * f i (n + 1 - i) + ∑ i ∈ range (n + 1), ↑(n.choose i) * f (i + 1) (n - i)


ι : Type u_1
I : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : I → Type u_6
x y : (i : I) → f✝ i
i : I
inst✝¹ : One γ
inst✝ : LE γ
f : α → β
g : α → γ
e : β → γ
hg : g ≤ 1
he : e ≤ 1
_b : β
⊢ extend f g e _b ≤ 1 _b


Context: x y : ℝ


R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
x : AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j)
j : ι
⊢ (component (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) ((sumInv I M) x) =
    (map I (component R ι M j)) x


ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
⊢ LinearMap.range hv.repr = ⊤


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
ι : Sort u_6
f : ι → Set H
⊢ (⋃ i, f i).innerDualCone = ⨅ i, (f i).innerDualCone


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
ι : Sort u_6
f : ι → Set H
x : H
hx : x ∈ ⨅ i, (f i).innerDualCone
y : H
hy : y ∈ ⋃ i, f i
⊢ 0 ≤ ⟪y, x⟫_ℝ


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
ι : Sort u_6
f : ι → Set H
x : H
hx : ∀ (i : ι), x ∈ (f i).innerDualCone
y : H
hy : y ∈ ⋃ i, f i
⊢ 0 ≤ ⟪y, x⟫_ℝ


𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
x : E
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {y | ‖y / x‖ < ε}


𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
x : E
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => ball x ε


Context: V : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace V

Context: inst✝⁴ : BorelSpace V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf : Integrable f volume

Context: h'f : Integrable (𝓕 f) volume

Context: v : V

V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
h'f : Integrable (𝓕 f) volume
v : V
A : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ) • 𝓕 f w) atTop (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))
⊢ Tendsto (fun c => ∫ (w : V), ((↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w) atTop
    (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))


Context: V : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace V

Context: inst✝⁴ : BorelSpace V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf : Integrable f volume

Context: h'f : Integrable (𝓕 f) volume

Context: v : V

V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
h'f : Integrable (𝓕 f) volume
v : V
A : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ) • 𝓕 f w) atTop (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))
B :
  Tendsto (fun c => ∫ (w : V), 𝓕 (fun w => cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ)) w • f w) atTop
    (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))
⊢ Tendsto (fun c => ∫ (w : V), ((↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w) atTop
    (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))


Context: V : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace V

Context: inst✝⁴ : BorelSpace V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf : Integrable f volume

Context: h'f : Integrable (𝓕 f) volume

Context: v : V

V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
h'f : Integrable (𝓕 f) volume
v : V
A : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ) • 𝓕 f w) atTop (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))
B :
  Tendsto (fun c => ∫ (w : V), 𝓕 (fun w => cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ)) w • f w) atTop
    (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))
⊢ (fun c => ∫ (w : V), 𝓕 (fun w => cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ)) w • f w) =ᶠ[atTop] fun c =>
    ∫ (w : V), ((↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w


Context: V : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace V

Context: inst✝⁴ : BorelSpace V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf : Integrable f volume

Context: h'f : Integrable (𝓕 f) volume

Context: v : V

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 < c

Context: w : V

case h.e_f.h
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
h'f : Integrable (𝓕 f) volume
v : V
A : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ) • 𝓕 f w) atTop (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))
B :
  Tendsto (fun c => ∫ (w : V), 𝓕 (fun w => cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ)) w • f w) atTop
    (𝓝 (𝓕⁻ (𝓕 f) v))
c : ℝ
hc : 0 < c
w : V
⊢ 𝓕 (fun w => cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖w‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪v, w⟫_ℝ)) w • f w =
    ((↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w


Context: G : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K V : Set G

Context: hK : IsCompact K

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: t : Finset G

case intro
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
K V : Set G
hK : IsCompact K
hV : (interior V).Nonempty
t : Finset G
ht : K ⊆ ⋃ x ∈ t, interior ((fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' V)
⊢ ∃ t, K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun x => g * x) ⁻¹' V


R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
ι : Type w
b : Finset ι
h : Basis { x // x ∈ b } R M
⊢ finrank R M = b.card


𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
j : n
⊢ A *ᵥ (WithLp.equiv 2 ((i : n) → (fun x => 𝕜) i)) (hA.eigenvectorBasis j) =
    hA.eigenvalues j • (WithLp.equiv 2 ((i : n) → (fun x => 𝕜) i)) (hA.eigenvectorBasis j)


R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁷ : CommRing R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Module S N
inst✝⁹ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝⁸ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁷ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
M' : Submodule R M
P : Type w
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R P
Q : Type w'
inst✝⁴ : AddCommGroup Q
inst✝³ : Module R Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : IsScalarTower R S Q
f' : P →ₗ[R] Q
inst✝ : IsLocalizedModule p f'
g : M →ₗ[R] P
x : M
hx : x ∈ ker g
⊢ f x ∈ ker ((IsLocalizedModule.map p f f') g)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: a : α

Context: ha : IsWellOrderLimitElement a

Context: b : α

Context: hb : b < a

α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
a : α
ha : IsWellOrderLimitElement a
inst✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
b : α
hb : b < a
⊢ wellOrderSucc b < a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: a : α

Context: ha : IsWellOrderLimitElement a

Context: b : α

Context: hb : b < a

Context: c : α

Context: hc₁ : b < c

Context: hc₂ : c < a

case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
a : α
ha : IsWellOrderLimitElement a
inst✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
b : α
hb : b < a
c : α
hc₁ : b < c
hc₂ : c < a
⊢ wellOrderSucc b < a


𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
f : ι → E → F
u : Finset ι
i : ℕ
h : ∀ j ∈ u, ContDiff 𝕜 (↑i) (f j)
x : E
⊢ iteratedFDeriv 𝕜 i (fun x => ∑ j ∈ u, f j x) x = (∑ j ∈ u, iteratedFDeriv 𝕜 i (f j)) x


Context:
μ : YoungDiagram
i j : ℕ

μ : YoungDiagram
i j : ℕ
⊢ (i, j) ∈ μ ↔ j < μ.rowLen i


Context:
μ : YoungDiagram
i j : ℕ

μ : YoungDiagram
i j : ℕ
⊢ (i, j) ∈ μ ↔ ∀ m ≤ j, (i, m) ∈ μ


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
⊢ P3 x₁ x₂ y₁ y₂ ↔ P3 (-x₂) (-x₁) y₁ y₂


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
⊢ ⟦x₁ * y₂⟧ + ⟦x₂ * y₁⟧ < ⟦x₁ * y₁⟧ + ⟦x₂ * y₂⟧ ↔ -⟦x₂ * y₂⟧ + -⟦x₁ * y₁⟧ < -⟦x₂ * y₁⟧ + -⟦x₁ * y₂⟧


R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type ?u.888157
S' : Type ?u.888160
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.890591
S'' : Type ?u.890594
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
x : ↥P.ker
⊢ f.toAlgHom ↑x ∈ P'.ker


α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
ha : a ≠ 0
h : n ≤ m
⊢ a⁻¹ ^ (m - n) = (a ^ m)⁻¹ * a ^ n


R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsBezout R
p n : R
hp : Irreducible p
⊢ IsCoprime p n ↔ ¬p ∣ n


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
e' : PartialEquiv α β
hs : Disjoint e.source e'.source
ht : Disjoint e.target e'.target
⊢ ↑e '' (e.source ∩ e'.source) = e.target ∩ e'.target


α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α Ω
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, (κ x) s = (ρ.condKernel x) s


α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α Ω
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
x✝ : ρ.fst t < ⊤
⊢ ∫⁻ (x : α) in t, (κ x) s ∂ρ.fst = ∫⁻ (x : α) in t, (ρ.condKernel x) s ∂ρ.fst


α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α Ω
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
x✝ : ρ.fst t < ⊤
⊢ ∫⁻ (x : α) in t, (κ x) s ∂ρ.fst = (ρ.fst ⊗ₘ κ) (t ×ˢ s)


S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
n : Type w
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Invertible 2
m : Type w
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
Q : QuadraticMap R (n → R) R
a : R
⊢ (a • Q).discr = a ^ Fintype.card n * Q.discr


C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.147899, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
ψ : S₃ ⟶ S₁
⊢ S₃.g ≫ ψ.τ₃ ≫ h.h₃ = 0


C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.147899, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
ψ : S₃ ⟶ S₁
⊢ (ψ ≫ φ₁).τ₁ = S₃.f ≫ ψ.τ₂ ≫ h.h₁ + ψ.τ₁ ≫ h.h₀ + (ψ ≫ φ₂).τ₁


C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.147899, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
ψ : S₃ ⟶ S₁
⊢ (ψ ≫ φ₁).τ₂ = S₃.g ≫ ψ.τ₃ ≫ h.h₂ + (ψ.τ₂ ≫ h.h₁) ≫ S₂.f + (ψ ≫ φ₂).τ₂


C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.147899, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
ψ : S₃ ⟶ S₁
⊢ (ψ ≫ φ₁).τ₃ = ψ.τ₃ ≫ h.h₃ + (ψ.τ₃ ≫ h.h₂) ≫ S₂.g + (ψ ≫ φ₂).τ₃


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f g : α → E

Context: X : Type u_7

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: fs : X → α → E

Context: bound : α → ℝ

Context: s : Set X

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s

α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
X : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : X → α → E
bound : α → ℝ
s : Set X
hfs_meas : ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (fs x) μ
h_bound : ∀ x ∈ s, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousOn (fun x => fs x a) s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => setToFun μ T hT (fs x)) s x


α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t✝ : Set α
f : Filter α
s t : Set α
⊢ s ∈ f ⊓ 𝓟 t ↔ {x | x ∈ t → x ∈ s} ∈ f


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : LeftCancelMonoid G

Context: x✝ y a : G

Context: m n : ℕ

Context: x : G

Context: h : ¬IsOfFinOrder x

G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n : ℕ
x : G
h : ¬IsOfFinOrder x
s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}
⊢ {y | ¬IsOfFinOrder y}.Infinite


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : LeftCancelMonoid G

Context: x✝ y a : G

Context: m n : ℕ

Context: x : G

Context: h : ¬IsOfFinOrder x

Context: hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}

G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n : ℕ
x : G
h : ¬IsOfFinOrder x
s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}
hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}
⊢ {y | ¬IsOfFinOrder y}.Infinite


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : LeftCancelMonoid G

Context: x✝ y a : G

Context: m n : ℕ

Context: x : G

Context: h : ¬IsOfFinOrder x

Context: hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}

G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n : ℕ
x : G
h : ¬IsOfFinOrder x
s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}
hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}
⊢ s.Infinite


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : LeftCancelMonoid G

Context: x✝ y a : G

Context: m n : ℕ

Context: x : G

Context: hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}

Context: h : ¬s.Infinite

G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n : ℕ
x : G
s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}
hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}
h : ¬s.Infinite
⊢ IsOfFinOrder x


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : LeftCancelMonoid G

Context: x✝ y a : G

Context: m n : ℕ

Context: x : G

Context: hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}

Context: h : ¬s.Infinite

Context: this : ¬Injective fun n => x ^ n

G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n : ℕ
x : G
s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}
hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}
h : ¬s.Infinite
this : ¬Injective fun n => x ^ n
⊢ IsOfFinOrder x


case h
α : Type u_1
G : Type u_2
A✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A✝
s : Set G
A B C : Subgroup G
h : C ≤ A
x✝ : G
⊢ x✝ ∈ ↑(A ⊓ B) * ↑C ↔ x✝ ∈ ↑A ∩ (↑B * ↑C)


case h.mpr.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
G : Type u_2
A✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A✝
s : Set G
A B C : Subgroup G
h : C ≤ A
y : G
hy : y ∈ ↑B
z : G
hz : z ∈ ↑C
hyz : y * z ∈ ↑A
⊢ y * z * z⁻¹ ∈ A


ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x : (i : ι) × α i
i j : ι
a✝ : α i
a : (i : ι) → α i
⊢ ({i}.sigma fun i => {a i}) = {⟨i, a i⟩}


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: k : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : LieRingModule L M₂

Context: inst✝¹ : LieModule R L M₂

Context: inst✝ : IsNilpotent R L M

Context: a✝ : Nontrivial M

R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
h : Disjoint (lowerCentralSeries R L M 1) (maxTrivSubmodule R L M)
a✝ : Nontrivial M
⊢ IsTrivial L M


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: k : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : LieRingModule L M₂

Context: inst✝¹ : LieModule R L M₂

Context: inst✝ : IsNilpotent R L M

Context: a✝ : Nontrivial M

Context: contra : ¬IsTrivial L M

R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
h : Disjoint (lowerCentralSeries R L M 1) (maxTrivSubmodule R L M)
a✝ : Nontrivial M
contra : ¬IsTrivial L M
⊢ False


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: k : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : LieRingModule L M₂

Context: inst✝¹ : LieModule R L M₂

Context: inst✝ : IsNilpotent R L M

Context: a✝ : Nontrivial M

Context: contra : ¬IsTrivial L M

R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
h : Disjoint (lowerCentralSeries R L M 1) (maxTrivSubmodule R L M)
a✝ : Nontrivial M
contra : ¬IsTrivial L M
this : lowerCentralSeriesLast R L M ≤ lowerCentralSeries R L M 1 ⊓ maxTrivSubmodule R L M
⊢ False


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: k : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : LieRingModule L M₂

Context: inst✝¹ : LieModule R L M₂

Context: inst✝ : IsNilpotent R L M

Context: a✝ : Nontrivial M

Context: contra : ¬IsTrivial L M

R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
h : Disjoint (lowerCentralSeries R L M 1) (maxTrivSubmodule R L M)
a✝ : Nontrivial M
contra : ¬IsTrivial L M
this : lowerCentralSeriesLast R L M ≤ lowerCentralSeries R L M 1 ⊓ maxTrivSubmodule R L M
⊢ ¬Nontrivial ↥↑(lowerCentralSeriesLast R L M)


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: k : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : LieRingModule L M₂

Context: inst✝¹ : LieModule R L M₂

Context: inst✝ : IsNilpotent R L M

Context: a✝ : Nontrivial M

Context: contra : ¬IsTrivial L M

Context: this : lowerCentralSeriesLast R L M = ⊥

R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
h : Disjoint (lowerCentralSeries R L M 1) (maxTrivSubmodule R L M)
a✝ : Nontrivial M
contra : ¬IsTrivial L M
this : lowerCentralSeriesLast R L M = ⊥
⊢ ¬Nontrivial ↥↑(lowerCentralSeriesLast R L M)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p : R[X]

Context: t : R

Context: hpt : p.IsRoot t

Context: h : ¬p = 0

case neg
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
hpt : p.IsRoot t
hnzd : ↑(rootMultiplicity t p) ∈ nonZeroDivisors R
h : ¬p = 0
⊢ rootMultiplicity t (derivative p) = rootMultiplicity t p - 1


case neg.intro.intro
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
hpt : p.IsRoot t
h : ¬p = 0
g : R[X]
hndvd : ¬X - C t ∣ g
m : ℕ := rootMultiplicity t p
hnzd : ↑m ∈ nonZeroDivisors R
hp : p = (X - C t) ^ m * g
⊢ rootMultiplicity t (derivative p) = m - 1


case neg.intro.intro
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
hpt : p.IsRoot t
h : ¬p = 0
g : R[X]
hndvd : ¬X - C t ∣ g
m : ℕ := rootMultiplicity t p
hnzd : ↑m ∈ nonZeroDivisors R
hp : p = (X - C t) ^ m * g
hm : m - 1 + 1 = m
⊢ rootMultiplicity t (derivative p) = m - 1


case neg.intro.intro
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
hpt : p.IsRoot t
h : ¬p = 0
g : R[X]
hndvd✝ : ¬X - C t ∣ g
m : ℕ := rootMultiplicity t p
hnzd : ↑m ∈ nonZeroDivisors R
hp : p = (X - C t) ^ m * g
hm : m - 1 + 1 = m
hndvd : ¬(X - C t) ^ m ∣ derivative p
⊢ rootMultiplicity t (derivative p) = m - 1


case neg.intro.intro
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
hpt : p.IsRoot t
h : ¬p = 0
g : R[X]
hndvd✝ : ¬X - C t ∣ g
m : ℕ := rootMultiplicity t p
hnzd : ↑m ∈ nonZeroDivisors R
hp : p = (X - C t) ^ m * g
hm : m - 1 + 1 = m
hndvd : ¬(X - C t) ^ m ∣ derivative p
hnezero : derivative p ≠ 0
⊢ rootMultiplicity t (derivative p) = m - 1


V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w x y : V
p : G.Walk v v
hp : ¬p.Nil
⊢ (p.tail hp).support = p.support.tail


case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
a : α
x : ℝ
⊢ ↑(condCDF ρ a) x = ↑(stieltjesOfMeasurableRat (fun p r => (preCDF ρ r p.2).toReal) ⋯ ((), a)) x


R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
⊢ ∀ᶠ (v : HeightOneSpectrum R) in Filter.cofinite, ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ 0

R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_supp : {v | ¬↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) = 0} = {v | v.asIdeal ∣ I}
⊢ ∀ᶠ (v : HeightOneSpectrum R) in Filter.cofinite, ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ 0

R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_supp : {v | ¬↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) = 0} = {v | v.asIdeal ∣ I}
⊢ {v | v.asIdeal ∣ I}.Finite


K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
x : K[X]
⊢ { toFractionRing := (algebraMap K[X] (FractionRing K[X])) x } = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x


R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r : R → R → Prop
n : ℕ
a✝ : Quot (Rel r)
a b : R
h : Rel r a b
⊢ Quot.mk (Rel r) (a ^ n) = Quot.mk (Rel r) (b ^ n)


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
t : Multiset ι
f₁ f₂ : ι → Set α
hf : ∀ i ∈ t, f₁ i ⊆ f₂ i
⊢ (Multiset.map f₁ t).prod ⊆ (Multiset.map f₂ t).prod


case h
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f₁ f₂ : ι → Set α
a✝ : List ι
hf : ∀ i ∈ ⟦a✝⟧, f₁ i ⊆ f₂ i
⊢ (Multiset.map f₁ ⟦a✝⟧).prod ⊆ (Multiset.map f₂ ⟦a✝⟧).prod


case h
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f₁ f₂ : ι → Set α
a✝ : List ι
hf : ∀ i ∈ ⟦a✝⟧, f₁ i ⊆ f₂ i
⊢ (List.map f₁ a✝).prod ⊆ (List.map f₂ a✝).prod


S✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring S✝
r✝ n✝ : ℕ
S : Type u_2
inst✝ : Semiring S
r n : ℕ
⊢ ↑r ! * eval (↑r + 1) (ascPochhammer S n) = ↑(r + n)!


case h
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Subspace K V
x✝ : V
⊢ x✝ ∈ comap (Module.Dual.eval K V) (dualAnnihilator W).dualAnnihilator ↔ x✝ ∈ W


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f i • g (σ i) < ∑ i ∈ s, f i • g i ↔ ¬MonovaryOn f (g ∘ ⇑σ) ↑s


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: ha✝ : autoParam (p a) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
ha✝ : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ cfc (fun a => eval a X) a = a


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ

z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ
⊢ cosh (dist z w / 2) = dist (↑z) ((starRingEnd ℂ) ↑w) / (2 * √(z.im * w.im))


Context:
ι : Sort u_1
f✝ f : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0

ι : Sort u_1
f✝ f : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0
⊢ a * ⨆ i, f i = ⨆ i, a * f i


Context:
ι : Sort u_1
f✝ f : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0

ι : Sort u_1
f✝ f : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0
⊢ ↑a * ⨆ i, ↑(f i) = ⨆ i, ↑(a * f i)


case h.h
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : Integrable f μ
h'f : Differentiable ℝ f
hf' : Integrable (fderiv ℝ f) μ
w : W
y : V
g : V → ℂ := fun v => ↑(𝐞 (-(L v) w))
⊢ (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (fderiv ℝ f) w) y =
    (fourierSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) w) y


case h.h
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : Integrable f μ
h'f : Differentiable ℝ f
hf' : Integrable (fderiv ℝ f) μ
w : W
y : V
g : V → ℂ := fun v => ↑(𝐞 (-(L v) w))
⊢ ∫ (x : V), g x • (fderiv ℝ f x) y ∂μ = ∫ (x : V), (2 * ↑π * I * ↑((L y) w) * g x) • f x ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace V

Context: inst✝² : BorelSpace V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : Integrable f μ

Context: h'f : Differentiable ℝ f

Context: hf' : Integrable (fderiv ℝ f) μ

Context: w : W

Context: y : V

Context: g : V → ℂ := fun v => ↑(𝐞 (-(L v) w))

case h.h
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : Integrable f μ
h'f : Differentiable ℝ f
hf' : Integrable (fderiv ℝ f) μ
w : W
y : V
g : V → ℂ := fun v => ↑(𝐞 (-(L v) w))
A : ∀ (x : V), (fderiv ℝ g x) y = -2 * ↑π * I * ↑((L y) w) * g x
⊢ ∫ (x : V), g x • (fderiv ℝ f x) y ∂μ = ∫ (x : V), (2 * ↑π * I * ↑((L y) w) * g x) • f x ∂μ


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : c < max a b
⊢ Ioo a b ∪ Ioi c = Ioi (min a c)


ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : Isometry Φ
⊢ hausdorffDist (Φ '' s) (Φ '' t) = hausdorffDist s t


⟨a₁, b₁⟩ = ⟨a₁, b₂⟩

case mk.mk
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
h : ∀ (a : α), Subsingleton (β a)
a₁ : α
b₁ b₂ : β a₁
⊢ ⟨a₁, b₁⟩ = ⟨a₁, b₂⟩


R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
n : ℕ
h : x.snd <• x.fst = x.fst •> x.snd
⊢ (x ^ n).snd = n •> x.fst ^ n.pred •> x.snd


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: E' : B → Type u_9

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: f : M → TotalSpace F E

Context: x₀ : M

𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
f : M → TotalSpace F E
x₀ : M
⊢ ContMDiffAt IM (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n f x₀ ↔
    ContMDiffAt IM IB n (fun x => (f x).proj) x₀ ∧
      ContMDiffAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x)).2) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: E' : B → Type u_9

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: f : M → TotalSpace F E

Context: x₀ : M

𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
f : M → TotalSpace F E
x₀ : M
⊢ ContMDiffWithinAt IM (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n f univ x₀ ↔
    ContMDiffWithinAt IM IB n (fun x => (f x).proj) univ x₀ ∧
      ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x)).2) univ x₀


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : LinearOrderedSemifield β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β
hf : ∀ i ∈ s, 0 < f i
hg : ∀ i ∈ s, 0 < g i
⊢ AntivaryOn f⁻¹ g⁻¹ s ↔ AntivaryOn f g s


C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂
⊢ S₁.LeftHomologyData


C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂
wi : i ≫ S₁.g = 0
⊢ S₁.LeftHomologyData


C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂
wi : i ≫ S₁.g = 0
hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)
⊢ S₁.LeftHomologyData


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h : S₂.LeftHomologyData

Context: inst✝² : Epi φ.τ₁

Context: inst✝¹ : IsIso φ.τ₂

Context: inst✝ : Mono φ.τ₃

Context: i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂

Context: wi : i ≫ S₁.g = 0

Context: hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)

C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂
wi : i ≫ S₁.g = 0
hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)
f' : (KernelFork.ofι S₁.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι i wi).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S₁.f ⋯)
⊢ S₁.LeftHomologyData


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h : S₂.LeftHomologyData

Context: inst✝² : Epi φ.τ₁

Context: inst✝¹ : IsIso φ.τ₂

Context: inst✝ : Mono φ.τ₃

Context: i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂

Context: wi : i ≫ S₁.g = 0

Context: hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)

Context: hf' : f' ≫ i = S₁.f

C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂
wi : i ≫ S₁.g = 0
hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)
f' : (KernelFork.ofι S₁.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι i wi).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S₁.f ⋯)
hf' : f' ≫ i = S₁.f
⊢ S₁.LeftHomologyData


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h : S₂.LeftHomologyData

Context: inst✝² : Epi φ.τ₁

Context: inst✝¹ : IsIso φ.τ₂

Context: inst✝ : Mono φ.τ₃

Context: i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂

Context: wi : i ≫ S₁.g = 0

Context: hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)

Context: hf' : f' ≫ i = S₁.f

Context: hf'' : f' = φ.τ₁ ≫ h.f'

C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂
wi : i ≫ S₁.g = 0
hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)
f' : (KernelFork.ofι S₁.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι i wi).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S₁.f ⋯)
hf' : f' ≫ i = S₁.f
hf'' : f' = φ.τ₁ ≫ h.f'
⊢ S₁.LeftHomologyData


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h : S₂.LeftHomologyData

Context: inst✝² : Epi φ.τ₁

Context: inst✝¹ : IsIso φ.τ₂

Context: inst✝ : Mono φ.τ₃

Context: i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂

Context: wi : i ≫ S₁.g = 0

Context: hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)

Context: hf' : f' ≫ i = S₁.f

Context: hf'' : f' = φ.τ₁ ≫ h.f'

Context: wπ : f' ≫ h.π = 0

C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂
wi : i ≫ S₁.g = 0
hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)
f' : (KernelFork.ofι S₁.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι i wi).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S₁.f ⋯)
hf' : f' ≫ i = S₁.f
hf'' : f' = φ.τ₁ ≫ h.f'
wπ : f' ≫ h.π = 0
⊢ S₁.LeftHomologyData


C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit
⊢ IsPushout b.inr 0 b.fst 0


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F : C ⥤ C

Context: V V₀ V₁ V₂ : Coalgebra F

Context: f : V₀ ⟶ V₁

Context: g : V₁ ⟶ V₂

Context: h : V₀.V ≅ V₁.V

C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ C
V V₀ V₁ V₂ : Coalgebra F
f : V₀ ⟶ V₁
g : V₁ ⟶ V₂
h : V₀.V ≅ V₁.V
w : autoParam (V₀.str ≫ F.map h.hom = h.hom ≫ V₁.str) _auto✝
⊢ V₁.str ≫ F.map h.inv = h.inv ≫ V₀.str


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F : C ⥤ C

Context: V V₀ V₁ V₂ : Coalgebra F

Context: f : V₀ ⟶ V₁

Context: g : V₁ ⟶ V₂

Context: h : V₀.V ≅ V₁.V

C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ C
V V₀ V₁ V₂ : Coalgebra F
f : V₀ ⟶ V₁
g : V₁ ⟶ V₂
h : V₀.V ≅ V₁.V
w : autoParam (V₀.str ≫ F.map h.hom = h.hom ≫ V₁.str) _auto✝
⊢ V₀.str ≫ F.map (h.hom ≫ h.inv) = V₀.str


C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i j : Fin (n + 1)
H : i ≤ j
⊢ X.map (SimplexCategory.σ i.castSucc) ≫ X.map (SimplexCategory.σ j) =
    X.map (SimplexCategory.σ j.succ) ≫ X.map (SimplexCategory.σ i)


α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
s : Set α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
hs : s.Finite
⊢ (↑(upperClosure s)).Finite


α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
s : Set α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
hs : s.Finite
⊢ (⋃ a ∈ s, Ici a).Finite


z : ℂ
h₀ : z ≠ ↑π / 2
h₁ : -(π / 2) < z.re
h₂ : z.re ≤ π / 2
⊢ (tan z).arctan = z


z : ℂ
h₀ : z ≠ ↑π / 2
h₁ : -(π / 2) < z.re
h₂ : z.re ≤ π / 2
h : cos z ≠ 0
⊢ -I / 2 * log ((1 + sin z / cos z * I) / (1 - sin z / cos z * I)) = z


z : ℂ
h₀ : z ≠ ↑π / 2
h₁ : -(π / 2) < z.re
h₂ : z.re ≤ π / 2
h : cos z ≠ 0
⊢ -I / 2 * log ((cos z + sin z * I) / (cos z - sin z * I)) = z


z : ℂ
h₀ : z ≠ ↑π / 2
h₁ : -(π / 2) < z.re
h₂ : z.re ≤ π / 2
h : cos z ≠ 0
⊢ -I / 2 * log ((cos z + sin z * I) / (cos (-z) + sin (-z) * I)) = z


C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
α β : F ⟶ G
⊢ F.a ≫ U.map (α.f + β.f) = (α.f + β.f) ≫ G.a


C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
⊢ F.a ≫ U.map 0 = 0 ≫ G.a


C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
n : ℕ
α : F ⟶ G
⊢ F.a ≫ U.map (n • α.f) = (n • α.f) ≫ G.a


C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
α : F ⟶ G
⊢ F.a ≫ U.map (-α.f) = (-α.f) ≫ G.a


C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
α β : F ⟶ G
⊢ F.a ≫ U.map (α.f - β.f) = (α.f - β.f) ≫ G.a


C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
r : ℤ
α : F ⟶ G
⊢ F.a ≫ U.map (r • α.f) = (r • α.f) ≫ G.a


case h
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
a✝ b✝ c✝ : F ⟶ G
⊢ (a✝ + b✝ + c✝).f = (a✝ + (b✝ + c✝)).f


case h
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
a✝ : F ⟶ G
⊢ (0 + a✝).f = a✝.f


case h
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
a✝ : F ⟶ G
⊢ (a✝ + 0).f = a✝.f


case h
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
x✝ : F ⟶ G
⊢ ((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) 0 x✝).f = Coalgebra.Hom.f 0


case h
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
n✝ : ℕ
x✝ : F ⟶ G
⊢ ((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) (n✝ + 1) x✝).f = ((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) n✝ x✝ + x✝).f


case h
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
a✝ b✝ : F ⟶ G
⊢ (a✝ - b✝).f = (a✝ + -b✝).f


case h
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
a✝ : F ⟶ G
⊢ ((fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) 0 a✝).f = Coalgebra.Hom.f 0


case h
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
n✝ : ℕ
a✝ : F ⟶ G
⊢ ↑(n✝ + 1) • a✝.f = ({ f := ↑n✝ • a✝.f, h := ⋯ } + a✝).f


case h
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
n✝ : ℕ
a✝ : F ⟶ G
⊢ ((fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) (Int.negSucc n✝) a✝).f =
    (-(fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) (↑n✝.succ) a✝).f


case h
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
a✝ : F ⟶ G
⊢ (-a✝ + a✝).f = Coalgebra.Hom.f 0


case h
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
a✝ b✝ : F ⟶ G
⊢ (a✝ + b✝).f = (b✝ + a✝).f


case h
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
P✝ Q✝ R✝ : U.Coalgebra
f✝ f'✝ : P✝ ⟶ Q✝
g✝ : Q✝ ⟶ R✝
⊢ ((f✝ + f'✝) ≫ g✝).f = (f✝ ≫ g✝ + f'✝ ≫ g✝).f


case h
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
P✝ Q✝ R✝ : U.Coalgebra
f✝ : P✝ ⟶ Q✝
g✝ g'✝ : Q✝ ⟶ R✝
⊢ (f✝ ≫ (g✝ + g'✝)).f = (f✝ ≫ g✝ + f✝ ≫ g'✝).f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: a b : α

α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ (a ⊓ b) * (a ⊔ b) = (a ⊓ b) * (a * b * (b⁻¹ ⊔ a⁻¹))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: a b : α

α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ (a ⊓ b) * (a * b * (b⁻¹ ⊔ a⁻¹)) = (a ⊓ b) * (a * b * (a ⊓ b)⁻¹)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: a b : α

α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ (a ⊓ b) * (a * b * (a ⊓ b)⁻¹) = a * b


R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
⊢ LinearMap.range f.inverse.toFun = f.domain


𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝¹ : NormedRing 𝔹
inst✝ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
⊢ 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius


𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝¹ : NormedRing 𝔹
inst✝ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
⊢ 0 < ⊤


α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (x.1 ∪ e • x.2).card + (x.2 ∩ e⁻¹ • x.1).card = x.1.card + x.2.card


L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
S : L.Substructure M
⊢ S.CG ↔ Structure.CG L ↥S


L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
S : L.Substructure M
⊢ S.CG ↔ ⊤.CG


Context: G : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: α : Sort u_4

Context: β : Sort u_5

Context: ι : Sort u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α → M

Context: p : M → Prop

Context: hp₀ : p 1

Context: hp₂ : ∀ (i : α), p (f i)

G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
p : M → Prop
hp₀ : p 1
hp₁ : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
hp₂ : ∀ (i : α), p (f i)
⊢ p (∏ᶠ (i : α), f i)


Context: G : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: α : Sort u_4

Context: β : Sort u_5

Context: ι : Sort u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α → M

Context: p : M → Prop

Context: hp₀ : p 1

Context: hp₂ : ∀ (i : α), p (f i)

Context: G : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: α : Sort u_4

Context: β : Sort u_5

Context: ι : Sort u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α → M

Context: p : M → Prop

Context: hp₀ : p 1

Context: hp₂ : ∀ (i : α), p (f i)

case pos
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
p : M → Prop
hp₀ : p 1
hp₁ : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
hp₂ : ∀ (i : α), p (f i)
h✝ : (mulSupport ((fun i => f i) ∘ PLift.down)).Finite
⊢ p (∏ i ∈ h✝.toFinset, f i.down)

case neg
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
p : M → Prop
hp₀ : p 1
hp₁ : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
hp₂ : ∀ (i : α), p (f i)
h✝ : ¬(mulSupport ((fun i => f i) ∘ PLift.down)).Finite
⊢ p 1


x✝¹ ≠ b ↔ b ≠ x✝¹

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝³ : DecidablePred p
inst✝² : DecidablePred q
s✝ t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset β
b x✝¹ : β
x✝ : x✝¹ ∈ s
⊢ x✝¹ ≠ b ↔ b ≠ x✝¹


K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
p : K[X]
⊢ RatFunc.mk p 0 = { toFractionRing := 0 }


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : (𝓝 1).IsCountablyGenerated
⊢ (𝓤 α).IsCountablyGenerated