case h
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
h : s ⊆ t
u : Set α
hu : MeasurableSet u
⊢ ((μ.restrict t).restrict s) u = (μ.restrict s) u


case h.h
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
h : s ⊆ t
u : Set α
hu : MeasurableSet u
⊢ u ∩ s ⊆ t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: r : α → α → Prop

Context: a✝ b a : α

Context: l : List α

Context: h : ∀ (a_1 : α), ¬[a_1, a_1] <+ a :: l

case cons
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a✝ b a : α
l : List α
IH : (∀ (a : α), ¬[a, a] <+ l) → l.Nodup
h : ∀ (a_1 : α), ¬[a_1, a_1] <+ a :: l
⊢ (a :: l).Nodup


α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
s t✝ : Set β
κ : Kernel α β
hs : MeasurableSet s
a : α
f : β → ℝ≥0∞
t : Set β
⊢ ∫⁻ (b : β) in t, f b ∂(κ.restrict hs) a = ∫⁻ (b : β) in t ∩ s, f b ∂κ a


α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k✝ : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
k : β → α
l : Filter β
⊢ IsBigOWith c (map k l) f g ↔ IsBigOWith c l (f ∘ k) (g ∘ k)


α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k✝ : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
k : β → α
l : Filter β
⊢ (∀ᶠ (x : α) in map k l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖) ↔ ∀ᶠ (x : β) in l, ‖(f ∘ k) x‖ ≤ c * ‖(g ∘ k) x‖


𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hg : HasStrictDerivAt g₁ g₁' (h x)
hh : HasStrictDerivAt h h' x
⊢ HasStrictDerivAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') x


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: hb : ∃ C, ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
hb : ∃ C, ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ.restrict (Box.Icc I), ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
⊢ Integrable I l f μ.toBoxAdditive.toSMul


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: hb : ∃ C, ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
hb : ∃ C, ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ.restrict (Box.Icc I), ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
⊢ ∃ r,
    (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧
      ∀ (c₁ c₂ : ℝ≥0) (π₁ π₂ : TaggedPrepartition I),
        l.MemBaseSet I c₁ (r c₁) π₁ →
          π₁.IsPartition →
            l.MemBaseSet I c₂ (r c₂) π₂ →
              π₂.IsPartition →
                dist (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π₁) (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π₂) ≤ ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

case intro.intro.intro
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ.restrict (Box.Icc I), ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
⊢ ∃ r,
    (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧
      ∀ (c₁ c₂ : ℝ≥0) (π₁ π₂ : TaggedPrepartition I),
        l.MemBaseSet I c₁ (r c₁) π₁ →
          π₁.IsPartition →
            l.MemBaseSet I c₂ (r c₂) π₂ →
              π₂.IsPartition →
                dist (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π₁) (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π₂) ≤ ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C

case intro.intro.intro
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ.restrict (Box.Icc I), ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
C0 : 0 ≤ C
⊢ ∃ r,
    (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧
      ∀ (c₁ c₂ : ℝ≥0) (π₁ π₂ : TaggedPrepartition I),
        l.MemBaseSet I c₁ (r c₁) π₁ →
          π₁.IsPartition →
            l.MemBaseSet I c₂ (r c₂) π₂ →
              π₂.IsPartition →
                dist (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π₁) (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π₂) ≤ ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C

Context: ε₂ : ℝ

Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε

case intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ.restrict (Box.Icc I), ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
C0 : 0 ≤ C
ε₂ : ℝ
ε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε
⊢ ∃ r,
    (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧
      ∀ (c₁ c₂ : ℝ≥0) (π₁ π₂ : TaggedPrepartition I),
        l.MemBaseSet I c₁ (r c₁) π₁ →
          π₁.IsPartition →
            l.MemBaseSet I c₂ (r c₂) π₂ →
              π₂.IsPartition →
                dist (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π₁) (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π₂) ≤ ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C

Context: ε₂ : ℝ

Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε

Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

case intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ.restrict (Box.Icc I), ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
C0 : 0 ≤ C
ε₂ : ℝ
ε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε
ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0
D : Set (ι → ℝ) := {x | x ∈ Box.Icc I ∧ ¬ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x}
μ' : Measure (ι → ℝ) := μ.restrict (Box.Icc I)
⊢ ∃ r,
    (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧
      ∀ (c₁ c₂ : ℝ≥0) (π₁ π₂ : TaggedPrepartition I),
        l.MemBaseSet I c₁ (r c₁) π₁ →
          π₁.IsPartition →
            l.MemBaseSet I c₂ (r c₂) π₂ →
              π₂.IsPartition →
                dist (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π₁) (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π₂) ≤ ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C

Context: ε₂ : ℝ

Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε

Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

Context: μ'D : μ' D = 0

case intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ.restrict (Box.Icc I), ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
C0 : 0 ≤ C
ε₂ : ℝ
ε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε
ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0
D : Set (ι → ℝ) := {x | x ∈ Box.Icc I ∧ ¬ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x}
μ' : Measure (ι → ℝ) := μ.restrict (Box.Icc I)
μ'D : μ' D = 0
⊢ ∃ r,
    (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧
      ∀ (c₁ c₂ : ℝ≥0) (π₁ π₂ : TaggedPrepartition I),
        l.MemBaseSet I c₁ (r c₁) π₁ →
          π₁.IsPartition →
            l.MemBaseSet I c₂ (r c₂) π₂ →
              π₂.IsPartition →
                dist (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π₁) (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π₂) ≤ ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C

Context: ε₂ : ℝ

Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε

Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

Context: μ'D : μ' D = 0

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: UD : U ⊇ D

Context: Uopen : IsOpen U

Context: hU : μ' U < μ' D + ENNReal.ofReal ε₂

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ.restrict (Box.Icc I), ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
C0 : 0 ≤ C
ε₂ : ℝ
ε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε
ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0
D : Set (ι → ℝ) := {x | x ∈ Box.Icc I ∧ ¬ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x}
μ' : Measure (ι → ℝ) := μ.restrict (Box.Icc I)
μ'D : μ' D = 0
U : Set (ι → ℝ)
UD : U ⊇ D
Uopen : IsOpen U
hU : μ' U < μ' D + ENNReal.ofReal ε₂
⊢ ∃ r,
    (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧
      ∀ (c₁ c₂ : ℝ≥0) (π₁ π₂ : TaggedPrepartition I),
        l.MemBaseSet I c₁ (r c₁) π₁ →
          π₁.IsPartition →
            l.MemBaseSet I c₂ (r c₂) π₂ →
              π₂.IsPartition →
                dist (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π₁) (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π₂) ≤ ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C

Context: ε₂ : ℝ

Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε

Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

Context: μ'D : μ' D = 0

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: UD : U ⊇ D

Context: Uopen : IsOpen U

Context: hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u
E : Type v
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inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
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inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ.restrict (Box.Icc I), ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
C0 : 0 ≤ C
ε₂ : ℝ
ε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε
ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0
D : Set (ι → ℝ) := {x | x ∈ Box.Icc I ∧ ¬ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x}
μ' : Measure (ι → ℝ) := μ.restrict (Box.Icc I)
μ'D : μ' D = 0
U : Set (ι → ℝ)
UD : U ⊇ D
Uopen : IsOpen U
hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂
⊢ ∃ r,
    (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧
      ∀ (c₁ c₂ : ℝ≥0) (π₁ π₂ : TaggedPrepartition I),
        l.MemBaseSet I c₁ (r c₁) π₁ →
          π₁.IsPartition →
            l.MemBaseSet I c₂ (r c₂) π₂ →
              π₂.IsPartition →
                dist (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π₁) (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π₂) ≤ ε


Context: ι : Type u

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Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

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Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C

Context: ε₂ : ℝ

Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε

Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

Context: μ'D : μ' D = 0

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: UD : U ⊇ D

Context: Uopen : IsOpen U

Context: hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂

Context: comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
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hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ.restrict (Box.Icc I), ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
C0 : 0 ≤ C
ε₂ : ℝ
ε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε
ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0
D : Set (ι → ℝ) := {x | x ∈ Box.Icc I ∧ ¬ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x}
μ' : Measure (ι → ℝ) := μ.restrict (Box.Icc I)
μ'D : μ' D = 0
U : Set (ι → ℝ)
UD : U ⊇ D
Uopen : IsOpen U
hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂
comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)
⊢ ∃ r,
    (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧
      ∀ (c₁ c₂ : ℝ≥0) (π₁ π₂ : TaggedPrepartition I),
        l.MemBaseSet I c₁ (r c₁) π₁ →
          π₁.IsPartition →
            l.MemBaseSet I c₂ (r c₂) π₂ →
              π₂.IsPartition →
                dist (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π₁) (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π₂) ≤ ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C

Context: ε₂ : ℝ

Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε

Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

Context: μ'D : μ' D = 0

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: UD : U ⊇ D

Context: Uopen : IsOpen U

Context: hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂

Context: comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ.restrict (Box.Icc I), ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
C0 : 0 ≤ C
ε₂ : ℝ
ε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε
ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0
D : Set (ι → ℝ) := {x | x ∈ Box.Icc I ∧ ¬ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x}
μ' : Measure (ι → ℝ) := μ.restrict (Box.Icc I)
μ'D : μ' D = 0
U : Set (ι → ℝ)
UD : U ⊇ D
Uopen : IsOpen U
hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂
comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)
this : ∀ x ∈ Box.Icc I \ U, oscillationWithin f (Box.Icc I) x < ENNReal.ofReal ε₁
⊢ ∃ r,
    (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧
      ∀ (c₁ c₂ : ℝ≥0) (π₁ π₂ : TaggedPrepartition I),
        l.MemBaseSet I c₁ (r c₁) π₁ →
          π₁.IsPartition →
            l.MemBaseSet I c₂ (r c₂) π₂ →
              π₂.IsPartition →
                dist (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π₁) (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π₂) ≤ ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C

Context: ε₂ : ℝ

Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε

Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

Context: μ'D : μ' D = 0

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: UD : U ⊇ D

Context: Uopen : IsOpen U

Context: hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂

Context: comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)

Context: r : ℝ

Context: r0 : r > 0

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ.restrict (Box.Icc I), ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
C0 : 0 ≤ C
ε₂ : ℝ
ε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε
ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0
D : Set (ι → ℝ) := {x | x ∈ Box.Icc I ∧ ¬ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x}
μ' : Measure (ι → ℝ) := μ.restrict (Box.Icc I)
μ'D : μ' D = 0
U : Set (ι → ℝ)
UD : U ⊇ D
Uopen : IsOpen U
hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂
comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)
this : ∀ x ∈ Box.Icc I \ U, oscillationWithin f (Box.Icc I) x < ENNReal.ofReal ε₁
r : ℝ
r0 : r > 0
hr : ∀ x ∈ Box.Icc I \ U, EMetric.diam (f '' (EMetric.ball x (ENNReal.ofReal r) ∩ Box.Icc I)) ≤ ENNReal.ofReal ε₁
⊢ ∃ r,
    (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧
      ∀ (c₁ c₂ : ℝ≥0) (π₁ π₂ : TaggedPrepartition I),
        l.MemBaseSet I c₁ (r c₁) π₁ →
          π₁.IsPartition →
            l.MemBaseSet I c₂ (r c₂) π₂ →
              π₂.IsPartition →
                dist (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π₁) (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π₂) ≤ ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C

Context: ε₂ : ℝ

Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε

Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

Context: μ'D : μ' D = 0

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: UD : U ⊇ D

Context: Uopen : IsOpen U

Context: hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂

Context: comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)

Context: r : ℝ

Context: r0 : r > 0

Context: c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: h₁p : π₁.IsPartition

Context: h₂p : π₂.IsPartition

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ.restrict (Box.Icc I), ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
C0 : 0 ≤ C
ε₂ : ℝ
ε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε
ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0
D : Set (ι → ℝ) := {x | x ∈ Box.Icc I ∧ ¬ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x}
μ' : Measure (ι → ℝ) := μ.restrict (Box.Icc I)
μ'D : μ' D = 0
U : Set (ι → ℝ)
UD : U ⊇ D
Uopen : IsOpen U
hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂
comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)
this : ∀ x ∈ Box.Icc I \ U, oscillationWithin f (Box.Icc I) x < ENNReal.ofReal ε₁
r : ℝ
r0 : r > 0
hr : ∀ x ∈ Box.Icc I \ U, EMetric.diam (f '' (EMetric.ball x (ENNReal.ofReal r) ∩ Box.Icc I)) ≤ ENNReal.ofReal ε₁
c₁ c₂ : ℝ≥0
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h₁ : l.MemBaseSet I c₁ ((fun x x => ⟨r / 2, ⋯⟩) c₁) π₁
h₁p : π₁.IsPartition
h₂ : l.MemBaseSet I c₂ ((fun x x => ⟨r / 2, ⋯⟩) c₂) π₂
h₂p : π₂.IsPartition
⊢ dist (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π₁) (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π₂) ≤ ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: ε₁ : ℝ

Context: ε₁0 : 0 < ε₁

Context: hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C

Context: C0 : 0 ≤ C

Context: ε₂ : ℝ

Context: ε₂0 : 0 < ε₂

Context: hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε

Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

Context: μ'D : μ' D = 0

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: UD : U ⊇ D

Context: Uopen : IsOpen U

Context: hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂

Context: comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)

Context: r : ℝ

Context: r0 : r > 0

Context: c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: h₁p : π₁.IsPartition

Context: h₂p : π₂.IsPartition

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ.restrict (Box.Icc I), ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
C0 : 0 ≤ C
ε₂ : ℝ
ε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε
ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0
D : Set (ι → ℝ) := {x | x ∈ Box.Icc I ∧ ¬ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x}
μ' : Measure (ι → ℝ) := μ.restrict (Box.Icc I)
μ'D : μ' D = 0
U : Set (ι → ℝ)
UD : U ⊇ D
Uopen : IsOpen U
hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂
comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)
this : ∀ x ∈ Box.Icc I \ U, oscillationWithin f (Box.Icc I) x < ENNReal.ofReal ε₁
r : ℝ
r0 : r > 0
hr : ∀ x ∈ Box.Icc I \ U, EMetric.diam (f '' (EMetric.ball x (ENNReal.ofReal r) ∩ Box.Icc I)) ≤ ENNReal.ofReal ε₁
c₁ c₂ : ℝ≥0
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h₁ : l.MemBaseSet I c₁ ((fun x x => ⟨r / 2, ⋯⟩) c₁) π₁
h₁p : π₁.IsPartition
h₂ : l.MemBaseSet I c₂ ((fun x x => ⟨r / 2, ⋯⟩) c₂) π₂
h₂p : π₂.IsPartition
⊢ ‖∑ x ∈ (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes,
        μ.toBoxAdditive x •
          (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag x) - f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag x))‖ ≤
    ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

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Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

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Context: ε₂ : ℝ

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Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

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Context: U : Set (ι → ℝ)

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Context: r0 : r > 0

Context: c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: h₁p : π₁.IsPartition

Context: h₂p : π₂.IsPartition

Context: μI : μ ↑I < ⊤

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
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y y' : F
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μ : Measure (ι → ℝ)
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C0 : 0 ≤ C
ε₂ : ℝ
ε₂0 : 0 < ε₂
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this : ∀ x ∈ Box.Icc I \ U, oscillationWithin f (Box.Icc I) x < ENNReal.ofReal ε₁
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r0 : r > 0
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c₁ c₂ : ℝ≥0
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h₁ : l.MemBaseSet I c₁ ((fun x x => ⟨r / 2, ⋯⟩) c₁) π₁
h₁p : π₁.IsPartition
h₂ : l.MemBaseSet I c₂ ((fun x x => ⟨r / 2, ⋯⟩) c₂) π₂
h₂p : π₂.IsPartition
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B' : Finset (Box ι) := Finset.filter (fun J => ↑J ⊆ U) B
⊢ ‖∑ x ∈ (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes,
        μ.toBoxAdditive x •
          (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag x) - f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag x))‖ ≤
    ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

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Context: l : IntegrationParams

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Context: ε₂ : ℝ

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Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

Context: μ'D : μ' D = 0

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: UD : U ⊇ D

Context: Uopen : IsOpen U

Context: hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂

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Context: r : ℝ

Context: r0 : r > 0

Context: c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: h₁p : π₁.IsPartition

Context: h₂p : π₂.IsPartition

Context: μI : μ ↑I < ⊤

Context: hB' : B' ⊆ B

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
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I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
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vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
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I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ.restrict (Box.Icc I), ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
ε : ℝ
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C0 : 0 ≤ C
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ε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε
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U : Set (ι → ℝ)
UD : U ⊇ D
Uopen : IsOpen U
hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂
comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)
this : ∀ x ∈ Box.Icc I \ U, oscillationWithin f (Box.Icc I) x < ENNReal.ofReal ε₁
r : ℝ
r0 : r > 0
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c₁ c₂ : ℝ≥0
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h₁ : l.MemBaseSet I c₁ ((fun x x => ⟨r / 2, ⋯⟩) c₁) π₁
h₁p : π₁.IsPartition
h₂ : l.MemBaseSet I c₂ ((fun x x => ⟨r / 2, ⋯⟩) c₂) π₂
h₂p : π₂.IsPartition
μI : μ ↑I < ⊤
t₁ : Box ι → ι → ℝ := fun J => (π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag J
t₂ : Box ι → ι → ℝ := fun J => (π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag J
B : Finset (Box ι) := (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes
B' : Finset (Box ι) := Finset.filter (fun J => ↑J ⊆ U) B
hB' : B' ⊆ B
⊢ ‖∑ x ∈ (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes,
        μ.toBoxAdditive x •
          (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag x) - f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag x))‖ ≤
    ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

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Context: I✝ J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

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Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

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Context: f : (ι → ℝ) → E

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Context: ε : ℝ

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Context: ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0

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Context: U : Set (ι → ℝ)

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Context: r : ℝ

Context: r0 : r > 0

Context: c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: h₁p : π₁.IsPartition

Context: h₂p : π₂.IsPartition

Context: μI : μ ↑I < ⊤

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Context: μJ_ne_top : ∀ J ∈ B, μ ↑J ≠ ⊤

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
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I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ.restrict (Box.Icc I), ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
C0 : 0 ≤ C
ε₂ : ℝ
ε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε
ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0
D : Set (ι → ℝ) := {x | x ∈ Box.Icc I ∧ ¬ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x}
μ' : Measure (ι → ℝ) := μ.restrict (Box.Icc I)
μ'D : μ' D = 0
U : Set (ι → ℝ)
UD : U ⊇ D
Uopen : IsOpen U
hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂
comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)
this : ∀ x ∈ Box.Icc I \ U, oscillationWithin f (Box.Icc I) x < ENNReal.ofReal ε₁
r : ℝ
r0 : r > 0
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c₁ c₂ : ℝ≥0
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
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h₂p : π₂.IsPartition
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μJ_ne_top : ∀ J ∈ B, μ ↑J ≠ ⊤
⊢ ‖∑ x ∈ (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes,
        μ.toBoxAdditive x •
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    ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

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Context: π : TaggedPrepartition I✝

Context: inst✝² : Fintype ι

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Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

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Context: h₂p : π₂.IsPartition

Context: μI : μ ↑I < ⊤

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Context: μJ_ne_top : ∀ J ∈ B, μ ↑J ≠ ⊤

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case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u
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inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
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I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
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f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
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ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
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C0 : 0 ≤ C
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c₁ c₂ : ℝ≥0
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h₁ : l.MemBaseSet I c₁ ((fun x x => ⟨r / 2, ⋯⟩) c₁) π₁
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h₂p : π₂.IsPartition
μI : μ ↑I < ⊤
t₁ : Box ι → ι → ℝ := fun J => (π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag J
t₂ : Box ι → ι → ℝ := fun J => (π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag J
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μJ_ne_top : ∀ J ∈ B, μ ↑J ≠ ⊤
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⊢ ‖∑ x ∈ (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes,
        μ.toBoxAdditive x •
          (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag x) - f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag x))‖ ≤
    ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

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Context: ε : ℝ

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Context: r : ℝ

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Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

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Context: h₂p : π₂.IsPartition

Context: μI : μ ↑I < ⊤

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case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ.restrict (Box.Icc I), ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε₁ : ℝ
ε₁0 : 0 < ε₁
hε₁ : 2 * μ.toBoxAdditive I * ε₁ < ε
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
C0 : 0 ≤ C
ε₂ : ℝ
ε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ : 4 * C * ε₂ < ε
ε₂0' : ENNReal.ofReal ε₂ ≠ 0
D : Set (ι → ℝ) := {x | x ∈ Box.Icc I ∧ ¬ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x}
μ' : Measure (ι → ℝ) := μ.restrict (Box.Icc I)
μ'D : μ' D = 0
U : Set (ι → ℝ)
UD : U ⊇ D
Uopen : IsOpen U
hU : μ' U < ENNReal.ofReal ε₂
comp : IsCompact (Box.Icc I \ U)
this : ∀ x ∈ Box.Icc I \ U, oscillationWithin f (Box.Icc I) x < ENNReal.ofReal ε₁
r : ℝ
r0 : r > 0
hr : ∀ x ∈ Box.Icc I \ U, EMetric.diam (f '' (EMetric.ball x (ENNReal.ofReal r) ∩ Box.Icc I)) ≤ ENNReal.ofReal ε₁
c₁ c₂ : ℝ≥0
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h₁ : l.MemBaseSet I c₁ ((fun x x => ⟨r / 2, ⋯⟩) c₁) π₁
h₁p : π₁.IsPartition
h₂ : l.MemBaseSet I c₂ ((fun x x => ⟨r / 2, ⋯⟩) c₂) π₂
h₂p : π₂.IsPartition
μI : μ ↑I < ⊤
t₁ : Box ι → ι → ℝ := fun J => (π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag J
t₂ : Box ι → ι → ℝ := fun J => (π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag J
B : Finset (Box ι) := (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes
B' : Finset (Box ι) := Finset.filter (fun J => ↑J ⊆ U) B
hB' : B' ⊆ B
μJ_ne_top : ∀ J ∈ B, μ ↑J ≠ ⊤
un : ∀ S ⊆ B, ⋃ J ∈ S, ↑J ⊆ ↑I
⊢ ‖∑ x ∈ B \ B',
          μ.toBoxAdditive x •
            (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag x) - f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag x)) +
        ∑ x ∈ B',
          μ.toBoxAdditive x •
            (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag x) - f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag x))‖ ≤
    ε / 2 + ε / 2


case intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.132772, u_2} D
L : C ⥤ D
W✝ : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W✝
W : MorphismProperty Cᵒᵖ
X Y : Cᵒᵖ
z₁ z₂ : W.RightFraction X Y
Z : Cᵒᵖ
t₁ : Z ⟶ z₁.X'
t₂ : Z ⟶ z₂.X'
hs : t₁ ≫ z₁.s = t₂ ≫ z₂.s
hf : t₁ ≫ z₁.f = t₂ ≫ z₂.f
ht : W (t₁ ≫ z₁.s)
⊢ LeftFractionRel z₁.unop z₂.unop


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : TopologicalSpace γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : PseudoMetrizableSpace γ
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace γ
inst✝ : SecondCountableTopology γ
g : β → γ
hg : Measurable g
f : α →ₘ[μ] β
⊢ ↑(compMeasurable g hg f) =ᶠ[ae μ] g ∘ ↑f


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : TopologicalSpace γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : PseudoMetrizableSpace γ
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace γ
inst✝ : SecondCountableTopology γ
g : β → γ
hg : Measurable g
f : α →ₘ[μ] β
⊢ ↑(mk (g ∘ ↑f) ⋯) =ᶠ[ae μ] g ∘ ↑f


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : Neg β
h1 : Periodic f c₁
h2 : Antiperiodic f c₂
⊢ Antiperiodic f (c₁ + c₂)


case a
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
n✝ : μ
s : Finset ι
n : μ
f a✝ : ι → μ
⊢ a✝ ∈ ∅.piAntidiag 0 ↔ a✝ ∈ {0}


α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s✝ : (a : α) → Finset (γ a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (δ a)
s : (i : α) → Finset (δ i)
i : α
a : δ i
ha : a ∈ s i
⊢ piFinset (update s i {a}) = filter (fun f => f i = a) (piFinset s)


α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
x : α
⊢ x ∈ closure s ↔ ∀ r > 0, (ball x r ∩ s).Nonempty


a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0
⊢ ContinuousWithinAt arg {z | 0 ≤ z.im} z


Context: a x z✝ z : ℂ

Context: hre : z.re < 0

Context: him : z.im = 0

a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0
this : arg =ᶠ[𝓝[{z | 0 ≤ z.im}] z] fun x => Real.arcsin ((-x).im / abs x) + π
⊢ ContinuousWithinAt arg {z | 0 ≤ z.im} z


α : Type u_1
inst✝ : BEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
⊢ a :: l₁ ∪ l₂ = List.insert a (l₁ ∪ l₂)


E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ a : ℝ
ha : a ≠ 0
⊢ IsIntegralCurveOn γ v s ↔ IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) {t | t * a ∈ s}


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ a : ℝ

Context: ha : a ≠ 0

E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ a : ℝ
ha : a ≠ 0
hγ : IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) {t | t * a ∈ s}
⊢ IsIntegralCurveOn γ v s


case h
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P : Karoubi C
⊢ ((toKaroubi C).map P.p).f = (P.decompId_p ≫ P.decompId_i).f


C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Comon_ (C ⥤ D)
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ A.X.map f ≫ A.counit.app Y✝ = A.counit.app X✝


C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Comon_ (C ⥤ D)
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ A.counit.app X✝ ≫ 𝟙 (𝟙_ D) = A.counit.app X✝


C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Comon_ (C ⥤ D)
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ A.X.map f ≫ A.comul.app Y✝ = A.comul.app X✝ ≫ (A.X.map f ⊗ A.X.map f)


case w
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Comon_ (C ⥤ D)
X : C
⊢ A.X.map (𝟙 X) = 𝟙 (A.X.obj X)


case w
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Comon_ (C ⥤ D)
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ A.X.map (f ≫ g) = A.X.map f ≫ A.X.map g


C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : SymmetricCategory C
X Y : Mon_ C
⊢ (X ⊗ Y).mul ≫ (β_ X.X Y.X).hom = ((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ (Y ⊗ X).mul


C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : SymmetricCategory C
X Y : Mon_ C
⊢ (α_ X.X Y.X (X.X ⊗ Y.X)).hom ≫
      X.X ◁ (α_ Y.X X.X Y.X).inv ≫
        X.X ◁ (β_ Y.X X.X).hom ▷ Y.X ≫
          X.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ Y.X ≫
            (α_ X.X (Y.X ⊗ X.X) Y.X).inv ≫
              (α_ X.X Y.X X.X).inv ▷ Y.X ≫
                (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ▷ Y.X ≫
                  (α_ (Y.X ⊗ X.X) X.X Y.X).hom ≫
                    (α_ Y.X X.X (X.X ⊗ Y.X)).hom ≫
                      Y.X ◁ X.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ≫
                        Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫
                          Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫
                            Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul) =
    ((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫
      (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom ≫
        Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫
          Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul)


C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : SymmetricCategory C
X Y : Mon_ C
⊢ (α_ X.X Y.X (X.X ⊗ Y.X)).hom ≫
      X.X ◁ (α_ Y.X X.X Y.X).inv ≫
        ((((((((((X.X ◁ 𝟙 (Y.X ⊗ X.X) ▷ Y.X ≫ (α_ X.X (Y.X ⊗ X.X) Y.X).inv) ≫ (α_ X.X Y.X X.X).inv ▷ Y.X) ≫
                          (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ▷ Y.X) ≫
                        (α_ (Y.X ⊗ X.X) X.X Y.X).hom) ≫
                      (α_ Y.X X.X (X.X ⊗ Y.X)).hom) ≫
                    Y.X ◁ X.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom) ≫
                  Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv) ≫
                Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X) ≫
              Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom) ≫
            (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv) ≫
          (Y.mul ⊗ X.mul) =
    ((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫
      (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom ≫
        Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫
          Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul)


C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : SymmetricCategory C
X Y : Mon_ C
⊢ (α_ (X.X ⊗ Y.X) X.X Y.X).inv ≫
      (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ▷ Y.X ≫
        (α_ (Y.X ⊗ X.X) X.X Y.X).hom ≫
          (α_ Y.X X.X (X.X ⊗ Y.X)).hom ≫
            Y.X ◁ X.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ≫
              Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫
                Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫
                  Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul) =
    ((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫
      (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom ≫
        Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫
          Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul)


C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : SymmetricCategory C
X Y : Mon_ C
⊢ (((((((((β_ X.X Y.X).hom ▷ (X.X ⊗ Y.X) ≫ (α_ (Y.X ⊗ X.X) X.X Y.X).inv) ≫ (α_ (Y.X ⊗ X.X) X.X Y.X).hom) ≫
                  (α_ Y.X X.X (X.X ⊗ Y.X)).hom) ≫
                Y.X ◁ X.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom) ≫
              Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv) ≫
            Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X) ≫
          Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom) ≫
        (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv) ≫
      (Y.mul ⊗ X.mul) =
    ((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫
      (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom ≫
        Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫
          Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul)


C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : SymmetricCategory C
X Y : Mon_ C
⊢ (β_ X.X Y.X).hom ▷ (X.X ⊗ Y.X) ≫
      ((((((𝟙 ((Y.X ⊗ X.X) ⊗ X.X ⊗ Y.X) ≫ (α_ Y.X X.X (X.X ⊗ Y.X)).hom) ≫ Y.X ◁ X.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom) ≫
                Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv) ≫
              Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X) ≫
            Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom) ≫
          (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv) ≫
        (Y.mul ⊗ X.mul) =
    ((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫
      (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom ≫
        Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫
          Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul)


C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : SymmetricCategory C
X Y : Mon_ C
⊢ (β_ X.X Y.X).hom ▷ (X.X ⊗ Y.X) ≫
      ((((((α_ Y.X X.X (X.X ⊗ Y.X)).hom ≫ Y.X ◁ X.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv) ≫
              Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X) ≫
            Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom) ≫
          (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv) ≫
        (Y.mul ⊗ X.mul) =
    ((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫
      (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom ≫
        Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫
          Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul)


C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : SymmetricCategory C
X Y : Mon_ C
⊢ (β_ X.X Y.X).hom ▷ (X.X ⊗ Y.X) ≫
      ((((((Y.X ⊗ X.X) ◁ (β_ X.X Y.X).hom ≫ (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom) ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv) ≫
              Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X) ≫
            Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom) ≫
          (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv) ≫
        (Y.mul ⊗ X.mul) =
    ((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫
      (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom ≫
        Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫
          Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul)


C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : SymmetricCategory C
X Y : Mon_ C
⊢ (((((((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫ (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom) ≫ Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv) ≫
            Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X) ≫
          Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom) ≫
        (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv) ≫
      (Y.mul ⊗ X.mul) =
    ((β_ X.X Y.X).hom ⊗ (β_ X.X Y.X).hom) ≫
      (α_ Y.X X.X (Y.X ⊗ X.X)).hom ≫
        Y.X ◁ (α_ X.X Y.X X.X).inv ≫
          Y.X ◁ (β_ X.X Y.X).hom ▷ X.X ≫ Y.X ◁ (α_ Y.X X.X X.X).hom ≫ (α_ Y.X Y.X (X.X ⊗ X.X)).inv ≫ (Y.mul ⊗ X.mul)


Context: x y : ℝ

x y : ℝ
⊢ ↑(tanh x) = ↑(sinh x / cosh x)


Context: n m k : ℕ


Context: a b x : PGame


E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
μ : Measure E
⊢ IsAddFundamentalDomain (↥(span ℤ (Set.range ⇑b)).toAddSubgroup) (fundamentalDomain b) μ


case intro
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
μ : Measure E
val✝ : Fintype ι
⊢ IsAddFundamentalDomain (↥(span ℤ (Set.range ⇑b)).toAddSubgroup) (fundamentalDomain b) μ


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)

ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : UniformCauchySeqOnFilter f' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)
this : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
⊢ UniformCauchySeqOnFilter f l (𝓝 x)


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)

ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter (fun n z => f' n.1 z - f' n.2 z) 0 (l ×ˢ l) (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)
this : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun n z => f n.1 z - f n.2 z) 0 (l ×ˢ l) (𝓝 x)


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ sup f
a : Ordinal.{max u v}
hao : a < sup f
⊢ succ a < sup f


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ sup f
a : Ordinal.{max u v}
hao : a < sup f
hoa : sup f ≤ succ a
⊢ False


K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
⊢ (of v).h = ↑⌊v⌋


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ


case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h₀ : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ 0
⊢ ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: h₀ : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ 0

Context: L : ℕ → ℝ≥0∞

Context: left✝ : StrictMono L

case inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h₀ : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ 0
L : ℕ → ℝ≥0∞
left✝ : StrictMono L
hLf : ∀ (n : ℕ), L n ∈ Ioo ⊥ (∫⁻ (a : α), f a ∂μ)
hL_tendsto : Tendsto L atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), f a ∂μ))
⊢ ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: h₀ : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ 0

Context: L : ℕ → ℝ≥0∞

Context: left✝ : StrictMono L

Context: g : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hgm : ∀ (n : ℕ), Measurable (g n)

Context: hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f

case inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h₀ : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ 0
L : ℕ → ℝ≥0∞
left✝ : StrictMono L
hLf : ∀ (n : ℕ), L n ∈ Ioo ⊥ (∫⁻ (a : α), f a ∂μ)
hL_tendsto : Tendsto L atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), f a ∂μ))
g : ℕ → α → ℝ≥0∞
hgm : ∀ (n : ℕ), Measurable (g n)
hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f
hLg : ∀ (n : ℕ), L n < ∫⁻ (a : α), g n a ∂μ
⊢ ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ


α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a✝ b : α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
a : α
⊢ (⨆ x, f x) ⊔ a = ⨆ x, f x ⊔ a


K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : V →ₗ[K] V
⊢ ker f = ⊥ ↔ range f = ⊤


ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
f : Module.End R M
⊢ ∃ a, (toEnd R b hb) a = f


m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Fintype n
v w : n → R
h : ∀ (u : n → R), v ⬝ᵥ u = w ⬝ᵥ u
⊢ v = w


case h
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Fintype n
v w : n → R
h : ∀ (u : n → R), v ⬝ᵥ u = w ⬝ᵥ u
x : n
⊢ v x = w x


k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w✝ : InfinitePlace K
w : InfinitePlace F
h : IsUnramified k w
f : K →ₐ[k] F
⊢ IsUnramified k (w.comap ↑f)


k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w✝ : InfinitePlace K
w : InfinitePlace F
h : IsUnramified k w
f : K →ₐ[k] F
⊢ (w.comap ↑f).mult ≤ w.mult


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
mα : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hf : MeasurableEmbedding f
s : Set β
⊢ MeasurableSet (f ⁻¹' s) ↔ MeasurableSet (s ∩ range f)


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁵ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: S : Type u_7

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : S →+* R

Context: x : S

K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝⁴ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v : Valuation R Γ₀
S : Type u_7
inst✝ : CommRing S
f : S →+* R
x : S
⊢ x ∈ (comap f v).supp ↔ x ∈ Ideal.comap f v.supp


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
⊢ (η a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
⊢ (((κ + η).withDensity fun a x => ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x)) a)
      {x | 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x} =
    0


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
⊢ ∀ᵐ (x : γ) ∂(κ + η) a, x ∈ {x | 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x} → ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x) = 0 x


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: x : γ

α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
x : γ
hx : x ∈ {x | 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x}
⊢ ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x) = 0 x


a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
inst✝² : DecidablePred p
H : ∃ n, p n
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h : ∃ n, p n
n : ℕ
⊢ Nat.find h ≤ n ↔ ∃ m, m ≤ n ∧ p m


case h
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
h : K ≤ K'
x✝ : ↥K'
⊢ x✝ ∈ ofLe h ↔ x✝ ∈ comap K'.incl K


case h
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
h : K ≤ K'
x✝ : ↥K'
⊢ ↑x✝ ∈ K ↔ x✝ ∈ comap K'.incl K


R✝ : Type u_1
inst✝³ : Semiring R✝
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
R : Type u_5
inst✝ : CommRing R
M : Matrix m n R
⊢ (Function.Injective fun v => v ᵥ* M) ↔ LinearIndependent R fun i => M i


R✝ : Type u_1
inst✝³ : Semiring R✝
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
R : Type u_5
inst✝ : CommRing R
M : Matrix m n R
⊢ Function.Injective ⇑M.vecMulLinear ↔ LinearIndependent R fun i => M i


R✝ : Type u_1
inst✝³ : Semiring R✝
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
R : Type u_5
inst✝ : CommRing R
M : Matrix m n R
⊢ (∀ (x : m → R), x ᵥ* M = 0 → x = 0) ↔ ∀ (g : m → R), ∑ i : m, g i • M i = 0 → ∀ (i : m), g i = 0


R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ (contractRight ((contractRight x) d)) d' = -(contractRight ((contractRight x) d')) d


case a
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝ : DecidableEq n
i✝ : n
j✝ : m
⊢ Mᵀ.updateRow j c i✝ j✝ = (M.updateColumn j c)ᵀ i✝ j✝


R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b : R
h : a ≠ 0
⊢ ¬a * b ≺ b


R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b : R
h : a ≠ 0
⊢ ¬b * a ≺ b


α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℂ
a b : ℂ
hf : Tendsto f l (𝓝 b)
h : a ≠ 0 ∨ b ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => a ^ f x) l (𝓝 (a ^ b))


α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : IsCyclic α
inst✝ : Fintype α
⊢ exponent α = Fintype.card α


case intro
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : IsCyclic α
inst✝ : Fintype α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers g
⊢ exponent α = Fintype.card α


case intro.a
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : IsCyclic α
inst✝ : Fintype α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers g
⊢ Fintype.card α ∣ exponent α


case intro.a
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : IsCyclic α
inst✝ : Fintype α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers g
⊢ orderOf g ∣ exponent α


Context: cs cs' : List Char

cs cs' : List Char
⊢ { byteIdx := utf8ByteSize.go cs } ≤ { data := cs ++ cs' }.endPos


Context:
a : ℕ
han : 0 < a
ha : φ a ≤ 1


J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
inst✝ : HasWidePullback B objs arrows
X : C
f : X ⟶ B
fs : (j : J) → X ⟶ objs j
w : ∀ (j : J), fs j ≫ arrows j = f
g : X ⟶ widePullback B objs arrows
⊢ g = lift (g ≫ base arrows) (fun j => g ≫ π arrows j) ⋯


α : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q✝ : α → Prop
q : Prop
p : α → Prop
inst✝ : Decidable q
⊢ (∀ (x : α), p x ∨ q) ↔ (∀ (x : α), p x) ∨ q


ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
p₁ p₂ p₃ : ι
h₁₂ : p₁ = p₂
h₃₂ : p₃ = p₂
⊢ eqToHom ⋯ ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯


case up.up.refl
C : Type u
X : (Discrete ∘ NormalMonoidalObject) C
down✝ : X.as = X.as
⊢ inclusion.map { down := { down := down✝ } } = eqToHom ⋯


n✝ : ℕ
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ
⊢ ∏ i ∈ n.divisorsAntidiagonal, f i.1 i.2 = ∏ i ∈ n.divisors, f (n / i) i


n✝ : ℕ
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ
⊢ ∏ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, f ((Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding x).1 ((Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding x).2 =
    ∏ i ∈ n.divisors, f (n / i) i


ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
x✝ y✝ : ι → ℝ
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (I.lower i) (I.upper i)
y : Fin n → ℝ
hy : y ∈ ↑(I.face i)
⊢ i.insertNth x y ∈ ↑I


Context:
ι : Type u_1
k : ℕ
l : List ℕ

ι : Type u_1
k : ℕ
l : List ℕ
⊢ k.Coprime l.prod ↔ ∀ n ∈ l, k.Coprime n


M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
z w : N
⊢ ∃ z' w' d, z * f.toMap ↑d = f.toMap z' ∧ w * f.toMap ↑d = f.toMap w'


M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
z w : N
a : M × ↥S
ha : z * f.toMap ↑a.2 = f.toMap a.1
⊢ ∃ z' w' d, z * f.toMap ↑d = f.toMap z' ∧ w * f.toMap ↑d = f.toMap w'


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝¹ : Category.{max v u, w} D

Context: P✝ P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: γ : Q ⟶ R

Context: X : C

Context: x✝ : (J.Cover X)ᵒᵖ

case w.h
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{max v u, w} D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
γ : Q ⟶ R
X : C
x✝ : (J.Cover X)ᵒᵖ
⊢ (J.diagramNatTrans (η ≫ γ) X).app x✝ = (J.diagramNatTrans η X ≫ J.diagramNatTrans γ X).app x✝


R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝ : MeasureSpace α
s t : Set α
hs : NullMeasurableSet s volume
ht : MeasurableSet t
⊢ volume (Subtype.val ⁻¹' t) = volume (t ∩ s)


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : CommMonoid β
inst✝² : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f✝ f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
inst✝¹ : EquivLike F α β
inst✝ : MulEquivClass F α β
f : F
hfAB : BijOn (⇑f) A B
s t : Multiset α
x✝³ : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
x✝² : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
x✝¹ : card s = n
x✝ : card t = n
⊢ (map (⇑f) s).prod = (map (⇑f) t).prod ↔ s.prod = t.prod


C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
⊢ (λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom =
    ((α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫
        𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).inv ≫
          𝟙_ C ◁ (β_ X₁ (𝟙_ C)).hom ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).inv) ≫
      (λ_ (𝟙_ C)).hom ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom


C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
⊢ (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).inv ≫ (λ_ ((X₁ ⊗ 𝟙_ C) ⊗ X₂)).hom ≫ (ρ_ X₁).hom ▷ X₂ =
    ((α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫
        𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).inv ≫
          𝟙_ C ◁ (β_ X₁ (𝟙_ C)).hom ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).inv) ≫
      (λ_ (𝟙_ C)).hom ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom


C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
⊢ (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫
      𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).inv ≫ (λ_ ((X₁ ⊗ 𝟙_ C) ⊗ X₂)).hom ≫ ((β_ X₁ (𝟙_ C)).hom ≫ (λ_ X₁).hom) ▷ X₂ =
    ((α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫
        𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).inv ≫
          𝟙_ C ◁ (β_ X₁ (𝟙_ C)).hom ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).inv) ≫
      (λ_ (𝟙_ C)).hom ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom


Context:
a b c : EReal
h : 0 < b
h' : b ≠ ⊤

a b c : EReal
h : 0 < b
h' : b ≠ ⊤
⊢ a / b ≤ c ↔ a ≤ b * c


Context:
a b c : EReal
h : 0 < b
h' : b ≠ ⊤

a b c : EReal
h : 0 < b
h' : b ≠ ⊤
⊢ a / b ≤ b * (c / b) ↔ a ≤ b * c


Context:
a b c : EReal
h : 0 < b
h' : b ≠ ⊤

a b c : EReal
h : 0 < b
h' : b ≠ ⊤
⊢ a / b ≤ c * b / b ↔ a ≤ c * b


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : α → Set β
t : α → Set γ
inst✝ : Preorder α
⊢ ⋃ x, Accumulate s x = ⋃ x, s x


𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ lineDerivWithin 𝕜 f s x v = lineDeriv 𝕜 f x v


case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ (fun t => x + t • v) ⁻¹' s ∈ 𝓝 0


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_1} D

Context: Z : D

Context: F : C ⥤ D

Context: M : (x : C) → F.obj x ⟶ Z

Context: x : C

C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} D
Z : D
F : C ⥤ D
M : (x : C) → F.obj x ⟶ Z
hM : ∀ (x y : C) (f : x ⟶ y), F.map f ≫ M y = M x
x : C
⊢ (lift F M hM).map (starTerminal.from (incl.obj x)) ≫ (liftStar F M hM).hom = (inclLift F M hM).hom.app x ≫ M x


C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
X Y Z : C
⊢ F.obj X ◁ F.μ Y Z ≫ F.μ X (Y ⊗ Z) ≫ F.map (α_ X Y Z).inv =
    (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).inv ≫ F.μ X Y ▷ F.obj Z ≫ F.μ (X ⊗ Y) Z


α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a✝ b c✝ d : α
hb : IsUnit b
hd : IsUnit d
a c : α
h : a / b = c / d
⊢ a * d = c * b


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0

μ : ℝ
v : ℝ≥0
⊢ Integrable (gaussianPDFReal μ v) ℙ


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: hv : ¬v = 0

case neg
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : ¬v = 0
g : ℝ → ℝ := fun x => (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * rexp (-x ^ 2 / (2 * ↑v))
⊢ Integrable (fun x => (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * rexp (-(x - μ) ^ 2 / (2 * ↑v))) ℙ


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: hv : ¬v = 0

Context: hg : Integrable g ℙ

case neg
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : ¬v = 0
g : ℝ → ℝ := fun x => (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * rexp (-x ^ 2 / (2 * ↑v))
hg : Integrable g ℙ
⊢ Integrable (fun x => (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * rexp (-(x - μ) ^ 2 / (2 * ↑v))) ℙ


C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y Z : Dial C
⊢ ((X.tensorObj Y).tensorObj Z).rel =
    (Subobject.pullback (prod.map (prod.associator X.src Y.src Z.src).hom (prod.associator X.tgt Y.tgt Z.tgt).hom)).obj
      (X.tensorObj (Y.tensorObj Z)).rel


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice β
s : ι → Set α
f : α → β
⊢ ⨆ a ∈ ⋃ i, s i, f a = ⨆ i, ⨆ a ∈ s i, f a


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice β
s : ι → Set α
f : α → β
⊢ ⨆ a ∈ ⋃ i, s i, f a = ⨆ j, ⨆ i, ⨆ (_ : j ∈ s i), f j


case a
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
e : n ≃ m
A : Matrix m m α
i j : n
⊢ (A.submatrix ⇑e ⇑e).adjugate i j = A.adjugate.submatrix (⇑e) (⇑e) i j


case a
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
e : n ≃ m
A : Matrix m m α
i j : n
⊢ (fun j => Pi.single i 1 (e.symm j)) = Pi.single (e i) 1


Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
i : ι
⊢ MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i}) ↔ MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})


Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
i : ι
⊢ (∀ (i_1 : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | τ ω ≤ i_1})) ↔
    (∀ (i_1 : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | τ ω ≤ i_1})) ∧ MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: s : Set Ω

Context: i : ι

Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
i : ι
h : MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | τ ω ≤ i})
⊢ MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})


k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
⊢ s₁ ∥ s₂ ↔ s₁.direction = s₂.direction ∧ (s₁ = ⊥ ↔ s₂ = ⊥)


F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i : ι
x : F
hi : i ∈ s
hxi : x ≠ v i
⊢ eval x (Lagrange.basis s v i) = eval x (nodal s v) * (nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹)


α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type u_1
f : α → Option β → γ
as : List α
bs : List β
acc : Array γ
head✝ : α
tail✝ : List α
⊢ zipWithLeftTR.go f (head✝ :: tail✝) [] acc = acc.toList ++ zipWithLeft f (head✝ :: tail✝) []


R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
⊢ ∃ a b, IsRelPrime a ↑b ∧ mk' K a b = x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x : K

Context: b : A

Context: b_nonzero : b ∈ nonZeroDivisors A

Context: a : A

case intro.mk.intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
b : A
b_nonzero : b ∈ nonZeroDivisors A
a : A
hab : (algebraMap A K) a = ↑⟨b, b_nonzero⟩ • x
⊢ ∃ a b, IsRelPrime a ↑b ∧ mk' K a b = x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x : K

Context: a' b' c' : A

Context: no_factor : IsRelPrime a' b'

Context: b_nonzero : c' * b' ∈ nonZeroDivisors A

case intro.mk.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
a' b' c' : A
no_factor : IsRelPrime a' b'
b_nonzero : c' * b' ∈ nonZeroDivisors A
hab : (algebraMap A K) (c' * a') = ↑⟨c' * b', b_nonzero⟩ • x
⊢ ∃ a b, IsRelPrime a ↑b ∧ mk' K a b = x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x : K

Context: a' b' c' : A

Context: no_factor : IsRelPrime a' b'

Context: b_nonzero : c' * b' ∈ nonZeroDivisors A

Context: left✝ : c' ∈ nonZeroDivisors A

Context: b'_nonzero : b' ∈ nonZeroDivisors A

case intro.mk.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
a' b' c' : A
no_factor : IsRelPrime a' b'
b_nonzero : c' * b' ∈ nonZeroDivisors A
hab : (algebraMap A K) (c' * a') = ↑⟨c' * b', b_nonzero⟩ • x
left✝ : c' ∈ nonZeroDivisors A
b'_nonzero : b' ∈ nonZeroDivisors A
⊢ mk' K a' ⟨b', b'_nonzero⟩ = x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x : K

Context: a' b' c' : A

Context: no_factor : IsRelPrime a' b'

Context: b_nonzero : c' * b' ∈ nonZeroDivisors A

Context: left✝ : c' ∈ nonZeroDivisors A

Context: b'_nonzero : b' ∈ nonZeroDivisors A

case intro.mk.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
a' b' c' : A
no_factor : IsRelPrime a' b'
b_nonzero : c' * b' ∈ nonZeroDivisors A
hab : (algebraMap A K) (c' * a') = ↑⟨c' * b', b_nonzero⟩ • x
left✝ : c' ∈ nonZeroDivisors A
b'_nonzero : b' ∈ nonZeroDivisors A
⊢ (algebraMap A K) (c' * b') * mk' K a' ⟨b', b'_nonzero⟩ = (algebraMap A K) (c' * b') * x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x : K

Context: a' b' c' : A

Context: no_factor : IsRelPrime a' b'

Context: b_nonzero : c' * b' ∈ nonZeroDivisors A

Context: left✝ : c' ∈ nonZeroDivisors A

Context: b'_nonzero : b' ∈ nonZeroDivisors A

case intro.mk.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
a' b' c' : A
no_factor : IsRelPrime a' b'
b_nonzero : c' * b' ∈ nonZeroDivisors A
left✝ : c' ∈ nonZeroDivisors A
b'_nonzero : b' ∈ nonZeroDivisors A
hab : (algebraMap A K) c' * (algebraMap A K) a' = (algebraMap A K) c' * (algebraMap A K) b' * x
⊢ (algebraMap A K) c' * (algebraMap A K) b' * mk' K a' ⟨b', b'_nonzero⟩ = (algebraMap A K) c' * (algebraMap A K) b' * x


α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x : α
hf : StrictMono f
hx : x < f x
n : ℕ
⊢ f^[n] x < f^[n + 1] x


α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x : α
hf : StrictMono f
hx : x < f x
n : ℕ
⊢ f^[n] x < f^[n] (f x)


R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
r : R
⊢ multichoose (r - ↑0 + 1) 0 = (r + 1) ^ 0


R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
r : R
⊢ (fun x => Nat.factorial 0 • x) (multichoose (r - ↑0 + 1) 0) = (fun x => Nat.factorial 0 • x) ((r + 1) ^ 0)


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
b : β
⊢ (p.bindOnSupport f) b = 0 ↔ ∀ (a : α) (ha : p a ≠ 0), (f a ha) b = 0


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
b : β
⊢ (∀ (i : α), ¬p i = 0 → (if h : p i = 0 then 0 else (f i h) b) = 0) ↔ ∀ (a : α) (ha : p a ≠ 0), (f a ha) b = 0


case intro.intro.intro.intro
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
hfA : HasSum (fun a => f a ^ p) (A ^ p)
hgB : HasSum (fun a => g a ^ p) (B ^ p)
⊢ ∃ C, 0 ≤ C ∧ C ≤ ↑A + ↑B ∧ HasSum (fun i => ((fun i => ↑(f i)) i + (fun i => ↑(g i)) i) ^ p) (C ^ p)


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: p q : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: f g : ι → ℝ≥0

Context: A B : ℝ≥0

Context: hfA : HasSum (fun a => f a ^ p) (A ^ p)

Context: hgB : HasSum (fun a => g a ^ p) (B ^ p)

Context: C : ℝ≥0

Context: hC₁ : C ≤ A + B

case intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
hfA : HasSum (fun a => f a ^ p) (A ^ p)
hgB : HasSum (fun a => g a ^ p) (B ^ p)
C : ℝ≥0
hC₁ : C ≤ A + B
hC₂ : HasSum (fun i => (f i + g i) ^ p) (C ^ p)
⊢ ∃ C, 0 ≤ C ∧ C ≤ ↑A + ↑B ∧ HasSum (fun i => ((fun i => ↑(f i)) i + (fun i => ↑(g i)) i) ^ p) (C ^ p)


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: p q : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: f g : ι → ℝ≥0

Context: A B : ℝ≥0

Context: hfA : HasSum (fun a => f a ^ p) (A ^ p)

Context: hgB : HasSum (fun a => g a ^ p) (B ^ p)

Context: C : ℝ≥0

Context: hC₁ : C ≤ A + B

case h
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
hfA : HasSum (fun a => f a ^ p) (A ^ p)
hgB : HasSum (fun a => g a ^ p) (B ^ p)
C : ℝ≥0
hC₁ : C ≤ A + B
hC₂ : HasSum (fun i => (f i + g i) ^ p) (C ^ p)
⊢ 0 ≤ C ∧ C ≤ A + B ∧ HasSum (fun a => (f a + g a) ^ p) (C ^ p)


Context:
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
d : ℕ

S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
d : ℕ
⊢ mk 1 ^ (d + 1) = mk fun n => ↑((d + n).choose d)


ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a b : ι → ℝ
h : a ≤ b
⊢ (volume (univ.pi fun i => Ico (a i) (b i))).toReal = ∏ i : ι, (b i - a i)


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.6198, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.6202, u_2} D
F : C ⥤ Cat
X Y Z : Grothendieck F
f : X.Hom Y
g : Y.Hom Z
⊢ (F.map (f.base ≫ g.base)).obj X.fiber = (F.map g.base).obj ((F.map f.base).obj X.fiber)


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))

p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))
⊢ Prime (hζ.toInteger - 1)


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))

p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))
this : NumberField K := numberField {2 ^ (k + 1)} ℚ K
⊢ Prime (hζ.toInteger - 1)


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))

case refine_2
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))
this : NumberField K := numberField {2 ^ (k + 1)} ℚ K
⊢ Irreducible (Ideal.absNorm (Ideal.span {hζ.toInteger - 1}))


Context: p : ℕ+

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: n✝ : ℕ

case refine_2.succ
p : ℕ+
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
n✝ : ℕ
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (n✝ + 1 + 1))
this : NumberField K := numberField {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K
⊢ Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1))


Context: p : ℕ+

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: n✝ : ℕ

case h.e'_3
p : ℕ+
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
n✝ : ℕ
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (n✝ + 1 + 1))
this : NumberField K := numberField {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K
⊢ (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = 2


Context: p : ℕ+

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: n✝ : ℕ

case h.e'_3.a
p : ℕ+
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
n✝ : ℕ
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (n✝ + 1 + 1))
this : NumberField K := numberField {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K
⊢ (algebraMap ℤ ℚ) ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1)) = (algebraMap ℤ ℚ) 2


Context: p : ℕ+

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: n✝ : ℕ

case h.e'_3.a
p : ℕ+
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
n✝ : ℕ
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (n✝ + 1 + 1))
this : NumberField K := numberField {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K
⊢ (Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) (hζ.toInteger - 1)) = (algebraMap ℤ ℚ) 2


Context: p : ℕ+

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: n✝ : ℕ

case h.e'_3.a
p : ℕ+
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
n✝ : ℕ
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (n✝ + 1 + 1))
this : NumberField K := numberField {2 ^ (n✝ + 1 + 1)} ℚ K
⊢ (Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) (hζ.toInteger - 1)) = (Int.castRingHom ℚ) 2


case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
⊢ ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x)


case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (c • x)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x)