Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: hp : p ≠ 0

Context: f : ↥(lp E p)

Context: i : α

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hp'' : 0 < p.toReal

Context: this : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖ ^ p.toReal

case inr
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : p ≠ 0
f : ↥(lp E p)
i : α
hp' : p ≠ ⊤
hp'' : 0 < p.toReal
this : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖ ^ p.toReal
⊢ ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ ‖f‖ ^ p.toReal


Context: θ : Angle


Context: x✝ : ℝ

case h
x✝ : ℝ
⊢ (↑x✝ - ↑(π / 2)).cos = (↑x✝).sin


R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' : Submodule R M
⊢ mk x = 0 ↔ x ∈ p


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)

Context: inst✝² : AddMonoid ι

Context: inst✝¹ : GSemiring A

Context: a a' : ⨁ (i : ι), A i

ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : (i : ι) → (x : A i) → Decidable (x ≠ 0)
a a' : ⨁ (i : ι), A i
⊢ a * a' =
    ∑ ij ∈ DFinsupp.support a ×ˢ DFinsupp.support a', (of A (ij.1 + ij.2)) (GradedMonoid.GMul.mul (a ij.1) (a' ij.2))


α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ mulETransformLeft e⁻¹ x = (mulETransformRight e x.swap).swap


Context: a : Rat


ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
op : α → α → α
ha : Std.Associative op
hc : Std.Commutative op
a : α
l : List α
a₁ a₂ : α
⊢ ((a :: l) <*> op a₁ a₂) = l <*> op a₁ (op a₂ a)


ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
op : α → α → α
ha : Std.Associative op
hc : Std.Commutative op
a : α
l : List α
a₁ a₂ : α
⊢ (l <*> op a₁ (op a₂ a)) = op a₁ ((a :: l) <*> a₂)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : SFinite ν

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : NeZero ν

Context: s : Set α

α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : NeZero ν
s : Set α
h : NullMeasurableSet (Prod.fst ⁻¹' s) (μ.prod ν)
⊢ NullMeasurableSet (s ×ˢ ?m.137705) (μ.prod ?m.137701)


α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f : α → ℝ
⊢ ((fun x => 1) =o[l] fun x => rexp (f x)) ↔ Tendsto f l atTop


case h
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
i : ι
j : ι'
⊢ (b'.repr ((b.prod b') (Sum.inl i)).2) j = (b'.repr 0) j


case h
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
i : ι
j : ι'
⊢ (Finsupp.single (Sum.inl i) 1) (Sum.inr j) = 0


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α →. σ
hf : ∀ (i : Fin (n + 1)), Partrec (f i)
⊢ Partrec fun a => Vector.mOfFn fun i => f i a


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α →. σ
hf : ∀ (i : Fin (n + 1)), Partrec (f i)
⊢ Partrec fun a => (f 0 a).bind fun a_1 => (Vector.mOfFn fun i => f i.succ a).bind fun v => Part.some (a_1 ::ᵥ v)


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
⊢ ↑⌈a⌉ < a + 1


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
⊢ ⌈a⌉ < ⌈a⌉ + 1


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
⊢ [[a, b]] = Icc a b ∪ Icc b a


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : SetLike σ M

Context: inst✝² : AddSubmonoidClass σ M

Context: ℳ : ι → σ

Context: inst✝¹ : Decomposition ℳ

Context: r : M

ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : SetLike σ M
inst✝² : AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
inst✝¹ : Decomposition ℳ
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(ℳ i)) → Decidable (x ≠ 0)
r : M
⊢ ∑ i ∈ DFinsupp.support ((decompose ℳ) r), ↑(((decompose ℳ) r) i) = r


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : SetLike σ M

Context: inst✝² : AddSubmonoidClass σ M

Context: ℳ : ι → σ

Context: inst✝¹ : Decomposition ℳ

Context: r : M

ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : SetLike σ M
inst✝² : AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
inst✝¹ : Decomposition ℳ
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(ℳ i)) → Decidable (x ≠ 0)
r : M
⊢ ∑ i ∈ DFinsupp.support ((decompose ℳ) r), ↑(((decompose ℳ) r) i) =
    (decompose ℳ).symm (∑ i ∈ DFinsupp.support ((decompose ℳ) r), (of (fun i => ↥(ℳ i)) i) (((decompose ℳ) r) i))


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : SetLike σ M

Context: inst✝² : AddSubmonoidClass σ M

Context: ℳ : ι → σ

Context: inst✝¹ : Decomposition ℳ

Context: r : M

ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : SetLike σ M
inst✝² : AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
inst✝¹ : Decomposition ℳ
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(ℳ i)) → Decidable (x ≠ 0)
r : M
⊢ ∑ i ∈ DFinsupp.support ((decompose ℳ) r), ↑(((decompose ℳ) r) i) =
    ∑ i ∈ DFinsupp.support ((decompose ℳ) r), (decompose ℳ).symm ((of (fun i => ↥(ℳ i)) i) (((decompose ℳ) r) i))


R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
⊢ X.leadingCoeff = 1


C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MulticospanIndex C
K : Multifork I
b : I.R
⊢ K.ι (I.fstTo b) ≫ I.fst b = K.ι (I.sndTo b) ≫ I.snd b


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p✝ q✝ p q : R[X]

Context: hpq : p ∣ q

Context: h₁ : q.natDegree ≤ p.natDegree

Context: h₂ : q.leadingCoeff ∣ p.leadingCoeff

Context: r : R[X]

Context: hr : q = p * r

Context: u : Rˣ

R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p q : R[X]
hpq : p ∣ q
h₁ : q.natDegree ≤ p.natDegree
h₂ : q.leadingCoeff ∣ p.leadingCoeff
r : R[X]
hr : q = p * r
u : Rˣ
hu : p.leadingCoeff * ↑u = q.leadingCoeff
⊢ p * ↑((Units.map ↑C) u) ∣ q


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p✝ q✝ p q : R[X]

Context: hpq : p ∣ q

Context: h₁ : q.natDegree ≤ p.natDegree

Context: h₂ : q.leadingCoeff ∣ p.leadingCoeff

Context: r : R[X]

Context: hr : q = p * r

Context: u : Rˣ

R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p q : R[X]
hpq : p ∣ q
h₁ : q.natDegree ≤ p.natDegree
h₂ : q.leadingCoeff ∣ p.leadingCoeff
r : R[X]
hr : q = p * r
u : Rˣ
hu : p.leadingCoeff * ↑u = q.leadingCoeff
⊢ q.natDegree ≤ (p * ↑((Units.map ↑C) u)).natDegree


α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : MetrizableSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ closure (interior s)
hmg : ContinuousOn g s
⊢ x₀ ∈ s


α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : MetrizableSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ closure (interior s)
hmg : ContinuousOn g s
⊢ x₀ ∈ closure s


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hf : IsMulFreimanHom 2 A B f
a b c d : α
ha : a ∈ A
hb : b ∈ A
hc : c ∈ A
hd : d ∈ A
h : a * b = c * d
⊢ f a * f b = f c * f d


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hf : IsMulFreimanHom 2 A B f
a b c d : α
ha : a ∈ A
hb : b ∈ A
hc : c ∈ A
hd : d ∈ A
h : {a, b}.prod = {c, d}.prod
⊢ {f a, f b}.prod = {f c, f d}.prod


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ : α → β
f : ι → Measure α
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s (sum f)
⊢ (sum f) s = ∑' (i : ι), (f i) s


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ : α → β
f : ι → Measure α
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s (sum f)
⊢ (sum f) s ≤ ∑' (i : ι), (f i) s


case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
f✝ : α → β
f : ι → Measure α
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s (sum f)
t : Set α
ts : t ⊆ s
t_meas : MeasurableSet t
ht : t =ᶠ[ae (sum f)] s
⊢ (sum f) s ≤ ∑' (i : ι), (f i) s


Context:
x✝ y : ℂ
x : ℝ


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
S : Set (Set α)
hS : S.Finite
a : α
⊢ 𝓝[⋃₀ S] a = ⨆ s ∈ S, 𝓝[s] a


V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
⊢ s.mongePoint ∈ s.mongePlane i₁ i₂


V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
⊢ (∀ u ∈ Submodule.span ℝ {s.points i₁ -ᵥ s.points i₂}, ⟪s.mongePoint -ᵥ centroid ℝ {i₁, i₂}ᶜ s.points, u⟫_ℝ = 0) ∧
    s.mongePoint ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P (n + 2)

Context: i₁ i₂ : Fin (n + 3)

Context: v : V

V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
v : V
hv : v ∈ Submodule.span ℝ {s.points i₁ -ᵥ s.points i₂}
⊢ ⟪s.mongePoint -ᵥ centroid ℝ {i₁, i₂}ᶜ s.points, v⟫_ℝ = 0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P (n + 2)

Context: i₁ i₂ : Fin (n + 3)

Context: r : ℝ

case intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
r : ℝ
hv : r • (s.points i₁ -ᵥ s.points i₂) ∈ Submodule.span ℝ {s.points i₁ -ᵥ s.points i₂}
⊢ ⟪s.mongePoint -ᵥ centroid ℝ {i₁, i₂}ᶜ s.points, r • (s.points i₁ -ᵥ s.points i₂)⟫_ℝ = 0


ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ
ha : IntegrableOn f (Iic a) μ
hb : IntegrableOn f (Iic b) μ
hab : a ≤ b
⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in Iic a, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ


case ht
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ
ha : IntegrableOn f (Iic a) μ
hb : IntegrableOn f (Iic b) μ
hab : a ≤ b
⊢ MeasurableSet (Ioc a b)

case hfs
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ
ha : IntegrableOn f (Iic a) μ
hb : IntegrableOn f (Iic b) μ
hab : a ≤ b
⊢ IntegrableOn f (Iic a) μ

case hft
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ
ha : IntegrableOn f (Iic a) μ
hb : IntegrableOn f (Iic b) μ
hab : a ≤ b
⊢ IntegrableOn f (Ioc a b) μ


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: hr₀ : r ≠ 0

Context: hr : ∀ (n : ℕ), r ≤ μ (s n)

ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
r : ℝ≥0∞
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hr₀ : r ≠ 0
hr : ∀ (n : ℕ), r ≤ μ (s n)
M : (α → ℝ) → Set α := fun f => {x | eLpNormEssSup f μ < ↑‖f x‖₊}
N : Set α := ⋃ u, M ((⋂ n ∈ u, s n).indicator 1)
⊢ ∃ t, t.Infinite ∧ ∀ ⦃u : Set ℕ⦄, u ⊆ t → u.Finite → 0 < μ (⋂ n ∈ u, s n)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: hr₀ : r ≠ 0

Context: hr : ∀ (n : ℕ), r ≤ μ (s n)

Context: hN₀ : μ N = 0

ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
r : ℝ≥0∞
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hr₀ : r ≠ 0
hr : ∀ (n : ℕ), r ≤ μ (s n)
M : (α → ℝ) → Set α := fun f => {x | eLpNormEssSup f μ < ↑‖f x‖₊}
N : Set α := ⋃ u, M ((⋂ n ∈ u, s n).indicator 1)
hN₀ : μ N = 0
hN₁ : ∀ (u : Finset ℕ), ((⋂ n ∈ u, s n) \ N).Nonempty → 0 < μ (⋂ n ∈ u, s n)
f : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun n => (↑(n + 1))⁻¹ • ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), (s k).indicator 1
⊢ ∃ t, t.Infinite ∧ ∀ ⦃u : Set ℕ⦄, u ⊆ t → u.Finite → 0 < μ (⋂ n ∈ u, s n)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: hr₀ : r ≠ 0

Context: hr : ∀ (n : ℕ), r ≤ μ (s n)

Context: hN₀ : μ N = 0

ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
r : ℝ≥0∞
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hr₀ : r ≠ 0
hr : ∀ (n : ℕ), r ≤ μ (s n)
M : (α → ℝ) → Set α := fun f => {x | eLpNormEssSup f μ < ↑‖f x‖₊}
N : Set α := ⋃ u, M ((⋂ n ∈ u, s n).indicator 1)
hN₀ : μ N = 0
hN₁ : ∀ (u : Finset ℕ), ((⋂ n ∈ u, s n) \ N).Nonempty → 0 < μ (⋂ n ∈ u, s n)
f : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun n => (↑(n + 1))⁻¹ • ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), (s k).indicator 1
hfapp : ∀ (n : ℕ) (a : α), f n a = (↑(n + 1))⁻¹ * ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), (s k).indicator 1 a
⊢ ∃ t, t.Infinite ∧ ∀ ⦃u : Set ℕ⦄, u ⊆ t → u.Finite → 0 < μ (⋂ n ∈ u, s n)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: hr₀ : r ≠ 0

Context: hr : ∀ (n : ℕ), r ≤ μ (s n)

Context: hN₀ : μ N = 0

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
r : ℝ≥0∞
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hr₀ : r ≠ 0
hr : ∀ (n : ℕ), r ≤ μ (s n)
M : (α → ℝ) → Set α := fun f => {x | eLpNormEssSup f μ < ↑‖f x‖₊}
N : Set α := ⋃ u, M ((⋂ n ∈ u, s n).indicator 1)
hN₀ : μ N = 0
hN₁ : ∀ (u : Finset ℕ), ((⋂ n ∈ u, s n) \ N).Nonempty → 0 < μ (⋂ n ∈ u, s n)
f : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun n => (↑(n + 1))⁻¹ • ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), (s k).indicator 1
hfapp : ∀ (n : ℕ) (a : α), f n a = (↑(n + 1))⁻¹ * ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), (s k).indicator 1 a
hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
⊢ ∃ t, t.Infinite ∧ ∀ ⦃u : Set ℕ⦄, u ⊆ t → u.Finite → 0 < μ (⋂ n ∈ u, s n)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: hr₀ : r ≠ 0

Context: hr : ∀ (n : ℕ), r ≤ μ (s n)

Context: hN₀ : μ N = 0

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

Context: hf₁ : ∀ (n : ℕ), f n ≤ 1

ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
r : ℝ≥0∞
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hr₀ : r ≠ 0
hr : ∀ (n : ℕ), r ≤ μ (s n)
M : (α → ℝ) → Set α := fun f => {x | eLpNormEssSup f μ < ↑‖f x‖₊}
N : Set α := ⋃ u, M ((⋂ n ∈ u, s n).indicator 1)
hN₀ : μ N = 0
hN₁ : ∀ (u : Finset ℕ), ((⋂ n ∈ u, s n) \ N).Nonempty → 0 < μ (⋂ n ∈ u, s n)
f : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun n => (↑(n + 1))⁻¹ • ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), (s k).indicator 1
hfapp : ∀ (n : ℕ) (a : α), f n a = (↑(n + 1))⁻¹ * ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), (s k).indicator 1 a
hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
hf₁ : ∀ (n : ℕ), f n ≤ 1
⊢ ∃ t, t.Infinite ∧ ∀ ⦃u : Set ℕ⦄, u ⊆ t → u.Finite → 0 < μ (⋂ n ∈ u, s n)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: hr₀ : r ≠ 0

Context: hr : ∀ (n : ℕ), r ≤ μ (s n)

Context: hN₀ : μ N = 0

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

Context: hf₁ : ∀ (n : ℕ), f n ≤ 1

ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
r : ℝ≥0∞
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hr₀ : r ≠ 0
hr : ∀ (n : ℕ), r ≤ μ (s n)
M : (α → ℝ) → Set α := fun f => {x | eLpNormEssSup f μ < ↑‖f x‖₊}
N : Set α := ⋃ u, M ((⋂ n ∈ u, s n).indicator 1)
hN₀ : μ N = 0
hN₁ : ∀ (u : Finset ℕ), ((⋂ n ∈ u, s n) \ N).Nonempty → 0 < μ (⋂ n ∈ u, s n)
f : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun n => (↑(n + 1))⁻¹ • ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), (s k).indicator 1
hfapp : ∀ (n : ℕ) (a : α), f n a = (↑(n + 1))⁻¹ * ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), (s k).indicator 1 a
hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
hf₁ : ∀ (n : ℕ), f n ≤ 1
hrf : ∀ (n : ℕ), r ≤ ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
⊢ ∃ t, t.Infinite ∧ ∀ ⦃u : Set ℕ⦄, u ⊆ t → u.Finite → 0 < μ (⋂ n ∈ u, s n)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: hr₀ : r ≠ 0

Context: hr : ∀ (n : ℕ), r ≤ μ (s n)

Context: hN₀ : μ N = 0

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)

Context: hf₁ : ∀ (n : ℕ), f n ≤ 1

Context: hμ : μ ≠ 0

ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
r : ℝ≥0∞
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hr₀ : r ≠ 0
hr : ∀ (n : ℕ), r ≤ μ (s n)
M : (α → ℝ) → Set α := fun f => {x | eLpNormEssSup f μ < ↑‖f x‖₊}
N : Set α := ⋃ u, M ((⋂ n ∈ u, s n).indicator 1)
hN₀ : μ N = 0
hN₁ : ∀ (u : Finset ℕ), ((⋂ n ∈ u, s n) \ N).Nonempty → 0 < μ (⋂ n ∈ u, s n)
f : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun n => (↑(n + 1))⁻¹ • ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), (s k).indicator 1
hfapp : ∀ (n : ℕ) (a : α), f n a = (↑(n + 1))⁻¹ * ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), (s k).indicator 1 a
hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
hf₁ : ∀ (n : ℕ), f n ≤ 1
hrf : ∀ (n : ℕ), r ≤ ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
hμ : μ ≠ 0
this : ∫⁻ (x : α), limsup (fun x_1 => f x_1 x) atTop ∂μ ≤ μ univ
⊢ ∃ t, t.Infinite ∧ ∀ ⦃u : Set ℕ⦄, u ⊆ t → u.Finite → 0 < μ (⋂ n ∈ u, s n)


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
n : ℕ
⊢ f.SameCycle ((f ^ n) x) y ↔ f.SameCycle x y


R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M✝ : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R M✝
x : M✝
p p' : Submodule R M✝
inst✝⁵ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝² : FunLike F M✝ M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M✝ M₂
s✝ t : Set M✝
M : Type u_9
inst✝ : AddCommGroup M
s : AddSubgroup M
⊢ (span ℤ ↑s).toAddSubgroup = s


α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
β : Type u_4
inst✝ : SetLike α β
l : LowerAdjoint SetLike.coe
s : Set β
x : β
⊢ x ∈ l.toFun s ↔ ∀ (S : α), s ⊆ ↑S → x ∈ S


α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
β : Type u_4
inst✝ : SetLike α β
l : LowerAdjoint SetLike.coe
s : Set β
x : β
⊢ l.toFun {x} ≤ l.toFun s ↔ ∀ (S : α), l.toFun s ≤ S → l.toFun {x} ≤ S


J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
inst✝ : HasWidePushout B objs arrows
j : J
⊢ arrows j ≫ ι arrows j = head arrows


Context: P : Game → Prop

Context: α✝¹ β✝¹ : Type u_1

Context: a✝³ : α✝¹ → PGame

Context: a✝² : β✝¹ → PGame

Context: α✝ β✝ : Type u_1

Context: a✝¹ : α✝ → PGame

Context: a✝ : β✝ → PGame

Context: i : (-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves

Context: j : (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves

Context: P : Game → Prop

Context: α✝¹ β✝¹ : Type u_1

Context: a✝³ : α✝¹ → PGame

Context: a✝² : β✝¹ → PGame

Context: α✝ β✝ : Type u_1

Context: a✝¹ : α✝ → PGame

Context: a✝ : β✝ → PGame

Context: i : β✝¹

Context: j : β✝

case h.e'_1
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : ∀ (k : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft k⟧
i : (-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves
j : (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves
⊢ ⟦(-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧ =
    ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft (Sum.inr (i, j))⟧

case h.e'_1
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h :
  (∀ (i : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves),
      P ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧) ∧
    ∀ (i : (-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves),
      P ⟦(-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧
i : β✝¹
j : β✝
⊢ ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft (Sum.inr (i, j))⟧ =
    ⟦(-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧


Context:
x : ℝ
h : |x| < 1


Context:
x : ℝ
h : |x| < 1

x : ℝ
h : |x| < 1
⊢ Summable fun n => x ^ (n + 1) / (↑n + 1)


Context:
x : ℝ
h : |x| < 1
i : ℕ


R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
G : Type u_3
inst✝ : AddCommGroup G
P : Submodule ℤ G
x✝ : P.FG
S : Finset G
hS : span ℤ ↑S = P
⊢ AddSubgroup.closure ↑S = P.toAddSubgroup


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : Semiring R

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: G : Type u_3

Context: inst✝ : AddCommGroup G

Context: P : Submodule ℤ G

Context: x✝ : P.toAddSubgroup.FG

Context: S : Finset G

R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
G : Type u_3
inst✝ : AddCommGroup G
P : Submodule ℤ G
x✝ : P.toAddSubgroup.FG
S : Finset G
hS : AddSubgroup.closure ↑S = P.toAddSubgroup
⊢ span ℤ ↑S = P


k : Type u
inst✝ : Field k
s : Finset (MonicIrreducible k)
f : MonicIrreducible k
hf : f ∈ s
⊢ (toSplittingField k s) (evalXSelf k f) = 0


k : Type u
inst✝ : Field k
s : Finset (MonicIrreducible k)
f : MonicIrreducible k
hf : f ∈ s
⊢ Polynomial.eval₂ (algebraMap k (∏ x ∈ s, ↑x).SplittingField)
      (rootOfSplits (algebraMap k (∏ x ∈ s, ↑x).SplittingField) ⋯ ⋯) ↑f =
    0


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : HasShift C ℤ

Context: T : Triangle C

C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasShift C ℤ
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
T : Triangle C
⊢ (1 • (CategoryTheory.shiftFunctor C 0).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 0).hom.app T.obj₁) ≫
      (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map ((CategoryTheory.shiftFunctorZero C ℤ).hom.app T.obj₁) =
    (CategoryTheory.shiftFunctorZero C ℤ).hom.app T.obj₃ ≫ T.mor₃


Context: N k : ℕ

N k : ℕ
⊢ (N.roughNumbersUpTo k).card ≤ ∑ p ∈ N.succ.primesBelow \ k.primesBelow, N / p


Context: N k : ℕ

N k : ℕ
⊢ ((N.succ.primesBelow \ k.primesBelow).biUnion fun p =>
        Finset.filter (fun m => m ≠ 0 ∧ p ∣ m) (Finset.range N.succ)).card ≤
    ∑ p ∈ N.succ.primesBelow \ k.primesBelow, N / p


R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : Fintype m
inst✝⁸ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
inst✝¹ : Finite l
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix l m R
B : Matrix m n R
⊢ (toLin v₁ v₃) (A * B) = (toLin v₂ v₃) A ∘ₗ (toLin v₁ v₂) B


case a
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : Fintype m
inst✝⁸ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
inst✝¹ : Finite l
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix l m R
B : Matrix m n R
this : DecidableEq l
⊢ (toMatrix v₁ v₃) ((toLin v₁ v₃) (A * B)) = (toMatrix v₁ v₃) ((toLin v₂ v₃) A ∘ₗ (toLin v₁ v₂) B)


case a
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : Fintype m
inst✝⁸ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
inst✝¹ : Finite l
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix l m R
B : Matrix m n R
this : DecidableEq l
⊢ (toMatrix v₁ v₃) ((toLin v₁ v₃) (A * B)) = (toMatrix v₂ v₃) ((toLin v₂ v₃) A) * (toMatrix v₁ v₂) ((toLin v₁ v₂) B)


G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m✝ n✝ : ℕ
a : M
m n : ℕ
⊢ a ^ m * a ^ n = a ^ n * a ^ m


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p : G.Walk a b
H : SimpleGraph β
f : G →g H
hf : Bijective ⇑f
hp : p.IsHamiltonian
⊢ (Walk.map f p).IsHamiltonian


a⁻¹ • b₁ < b₂ ↔ b₁ < a • b₂

α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : GroupWithZero α
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : Preorder β
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
ha : 0 < a
⊢ a⁻¹ • b₁ < b₂ ↔ b₁ < a • b₂


ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
⊢ b :: l = replicate (b :: l).length a ↔ ∀ (b_1 : α), b_1 ∈ b :: l → b_1 = a


α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : c < 0
⊢ (fun x => c * x) ⁻¹' Ico a b = Ioc (b / c) (a / c)


G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
g : G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
⊢ index ((fun h => g * h) '' K) V = index K V


G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
g : G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
⊢ index K V ≤ index ((fun h => g * h) '' K) V


case h.e'_3.h.e'_3
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
g : G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
⊢ K = (fun h => g⁻¹ * h) '' ((fun b => g * b) '' K)


case h.e'_3.h.e'_3
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
g : G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
⊢ (fun x => g⁻¹ * (g * x)) '' K = K


case h.e'_2.h.e'_3.h
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
g : G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : G
⊢ g⁻¹ * (g * h) = h


R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
⊢ ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = ⁅⁅x, y⁆, z⁆ + ⁅y, ⁅x, z⁆⁆


R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
⊢ ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) x) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) x) y)) z +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) x) z)


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π✝ π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: π : Prepartition I

Context: p : Box ι → Prop

ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π✝ π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π : Prepartition I
p : Box ι → Prop
⊢ ⋃ J ∈ π.filter fun J => ¬p J, ↑J = (⋃ J ∈ π, ↑J) \ ⋃ J ∈ π.filter p, ↑J


α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
f : ↥(Lp ℝ p μ)
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑↑(posPart (-f)) a = max (-↑↑f a) 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: g : E → F

Context: c : ℝ≥0

Context: f : ↥(Lp ℝ p μ)

Context: a✝ : α

Context: h₂ : ↑↑(-f) a✝ = (-↑↑f) a✝

case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
f : ↥(Lp ℝ p μ)
a✝ : α
h₁ : ↑↑(posPart (-f)) a✝ = max (↑↑(-f) a✝) 0
h₂ : ↑↑(-f) a✝ = (-↑↑f) a✝
⊢ ↑↑(posPart (-f)) a✝ = max (-↑↑f a✝) 0


X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
p : X → Prop
h : IsClosed {a | p a}
⊢ IsClosed (range Subtype.val)


X : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X.toTopCat
x : ↥U
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
⊢ (X.evaluation x) f = 0 ↔ ↑x ∉ X.toRingedSpace.basicOpen f


X : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X.toTopCat
x : ↥U
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
⊢ ¬(X.evaluation x) f = 0 ↔ IsUnit ((X.toRingedSpace.presheaf.germ x) f)


p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
⊢ frobenius (verschiebung x) = x * ↑p


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : CommRing R

Context: x : 𝕎 R

p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
this : IsPoly p fun {R} [CommRing R] x => frobenius (verschiebung x)
⊢ frobenius (verschiebung x) = x * ↑p


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : CommRing R

Context: x : 𝕎 R

p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
this✝ : IsPoly p fun {R} [CommRing R] x => frobenius (verschiebung x)
this : IsPoly p fun {R} [CommRing R] x => x * ↑p
⊢ frobenius (verschiebung x) = x * ↑p


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: R._inst : CommRing R

Context: x : 𝕎 R

case refine_3
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
this✝ : IsPoly p fun {R} [CommRing R] x => frobenius (verschiebung x)
this : IsPoly p fun {R} [CommRing R] x => x * ↑p
R : Type u_1
R._inst : CommRing R
x : 𝕎 R
⊢ ∀ (n : ℕ), (ghostComponent n) (frobenius (verschiebung x)) = (ghostComponent n) (x * ↑p)


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: c : 𝕜

Context: f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: m : (i : ι) → E i

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝² : NormedField 𝕜'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G

Context: inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G

𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
⊢ 𝓤 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G) = ⨅ r, ⨅ (_ : r > 0), 𝓟 {f | ‖f.1 - f.2‖ < r}


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: A✝ B✝ : Subalgebra R S

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: A B : Subalgebra R S

Context: inst✝¹ : Module.Free R ↥A

Context: inst✝ : Module.Free R ↥B

Context: hA : ¬Module.Finite R ↥A

R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
A✝ B✝ : Subalgebra R S
a✝ : Nontrivial R
A B : Subalgebra R S
inst✝¹ : Module.Free R ↥A
inst✝ : Module.Free R ↥B
h : ¬(Module.Finite R ↥A ∧ Module.Finite R ↥B)
hA : ¬Module.Finite R ↥A
⊢ finrank R ↥(A ⊔ B) ≤ finrank R ↥A * finrank R ↥B


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: A✝ B✝ : Subalgebra R S

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: A B : Subalgebra R S

Context: inst✝¹ : Module.Free R ↥A

Context: inst✝ : Module.Free R ↥B

Context: hA : Cardinal.aleph0 ≤ Module.rank R ↥A

R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
A✝ B✝ : Subalgebra R S
a✝ : Nontrivial R
A B : Subalgebra R S
inst✝¹ : Module.Free R ↥A
inst✝ : Module.Free R ↥B
h : ¬(Module.Finite R ↥A ∧ Module.Finite R ↥B)
hA : Cardinal.aleph0 ≤ Module.rank R ↥A
⊢ finrank R ↥(A ⊔ B) ≤ finrank R ↥A * finrank R ↥B


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: A✝ B✝ : Subalgebra R S

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: A B : Subalgebra R S

Context: inst✝¹ : Module.Free R ↥A

Context: inst✝ : Module.Free R ↥B

Context: hA : Cardinal.aleph0 ≤ Module.rank R ↥A

R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
A✝ B✝ : Subalgebra R S
a✝ : Nontrivial R
A B : Subalgebra R S
inst✝¹ : Module.Free R ↥A
inst✝ : Module.Free R ↥B
h : ¬(Module.Finite R ↥A ∧ Module.Finite R ↥B)
hA : Cardinal.aleph0 ≤ Module.rank R ↥A
this : Module.rank R ↥(toSubmodule A) ≤ Module.rank R ↥(toSubmodule (A ⊔ B))
⊢ finrank R ↥(A ⊔ B) ≤ finrank R ↥A * finrank R ↥B


case intro.intro
n b : ℕ
h₁ : 1 ≤ b
hp : n.ProbablePrime b
left✝ : ¬Prime n
hn₂ : 1 < n
⊢ n.Coprime b


ι : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
r : 𝕜
f : ℝ → E
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, r • f x ∂μ = r • ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ


Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass Ω
ω : Ω
t : Set Ω
inst✝ : Decidable (ω ∈ t)
⊢ (condCount {ω}) t = if ω ∈ t then 1 else 0


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
n : ℤ
⊢ Tendsto ceil (𝓝[≤] ↑n) (pure n)


R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
x y : M₁ i
⊢ f (update m i (x - y)) = f (update m i x) - f (update m i y)


Context:
a b c : PartENat
ha : a ≠ ⊤

a b c : PartENat
ha : a ≠ ⊤
⊢ a + b = a + c ↔ b = c


R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : Subsingleton R
s : Set ℕ := {k | x ^ k = 0}
⊢ s = univ


α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
g : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), g a ∂μ.withDensity f ≤ ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ


α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
g : α → ℝ≥0∞
⊢ ⨆ g_1, ⨆ (_ : Measurable g_1), ⨆ (_ : g_1 ≤ g), ∫⁻ (a : α), g_1 a ∂μ.withDensity f ≤
    ⨆ g_1, ⨆ (_ : Measurable g_1), ⨆ (_ : g_1 ≤ f * g), ∫⁻ (a : α), g_1 a ∂μ


α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
g i : α → ℝ≥0∞
i_meas : Measurable i
hi : i ≤ g
⊢ ∫⁻ (a : α), i a ∂μ.withDensity f ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : Measurable g_1), ⨆ (_ : g_1 ≤ f * g), ∫⁻ (a : α), g_1 a ∂μ


α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
g i : α → ℝ≥0∞
i_meas : Measurable i
hi : i ≤ g
A : f * i ≤ f * g
⊢ ∫⁻ (a : α), i a ∂μ.withDensity f ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : Measurable g_1), ⨆ (_ : g_1 ≤ f * g), ∫⁻ (a : α), g_1 a ∂μ


α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
g i : α → ℝ≥0∞
i_meas : Measurable i
hi : i ≤ g
A : f * i ≤ f * g
⊢ ∫⁻ (a : α), i a ∂μ.withDensity f ≤ ⨆ (_ : f * i ≤ f * g), ∫⁻ (a : α), (f * i) a ∂μ


Context:
a : EReal
h : a ≠ ⊥
h' : a ≠ ⊤

a : EReal
h : a ≠ ⊥
h' : a ≠ ⊤
⊢ a⁻¹⁻¹ = a


k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
w : ι → k
hw : s.sum w = 1
f : P →ᵃ[k] P₂
⊢ f ((affineCombination k s p) w) = (affineCombination k s (⇑f ∘ p)) w


k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
w : ι → k
hw : s.sum w = 1
f : P →ᵃ[k] P₂
b : P
⊢ f ((affineCombination k s p) w) = (affineCombination k s (⇑f ∘ p)) w


k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
w : ι → k
hw : s.sum w = 1
f : P →ᵃ[k] P₂
b : P
b₂ : P₂
⊢ f ((affineCombination k s p) w) = (affineCombination k s (⇑f ∘ p)) w


k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
w : ι → k
hw : s.sum w = 1
f : P →ᵃ[k] P₂
b : P
b₂ : P₂
⊢ f ((s.weightedVSubOfPoint p b) w +ᵥ b) = (s.weightedVSubOfPoint (⇑f ∘ p) (f b)) w +ᵥ f b


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
s : Multiset α
a : α
h : ∀ b ∈ s, Commute a b
⊢ Commute a s.sum


case h
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
s : Multiset α
a : α
a✝ : List α
h : ∀ b ∈ ⟦a✝⟧, Commute a b
⊢ Commute a (sum ⟦a✝⟧)


case h
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
s : Multiset α
a : α
a✝ : List α
h : ∀ b ∈ ⟦a✝⟧, Commute a b
⊢ Commute a a✝.sum


G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁵ : Group G✝
inst✝⁴ : TopologicalGroup G✝
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
g : G
hg : g ∈ connectedComponent 1
⊢ g⁻¹ ∈ connectedComponent 1


G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁵ : Group G✝
inst✝⁴ : TopologicalGroup G✝
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
g : G
hg : g ∈ connectedComponent 1
⊢ g⁻¹ ∈ connectedComponent 1⁻¹


α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
⊢ ((M⁻¹.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k) * M.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k) = 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M N : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝⁵ : DecidableEq m

Context: inst✝⁴ : Fintype m

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : Invertible M

Context: hM : M.BlockTriangular b

Context: k : α

Context: p : m → Prop := fun i => b i < k

α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
h_sum : M⁻¹.toBlock p p * M.toBlock p p + (M⁻¹.toBlock p fun i => ¬p i) * M.toBlock (fun i => ¬p i) p = 1
⊢ ((M⁻¹.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k) * M.toBlock (fun i => b i < k) fun i => b i < k) = 1


Context:
A B : Grp
f : A ⟶ B

A B : Grp
f : A ⟶ B
⊢ (Equiv.symm τ) ∞ = fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩


C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 1 ⋯)
h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)
⊢ R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0


p a b k : ℕ
hp : Prime p
hap : a < p
hbp : b < p
h : p ≤ a + b
⊢ p ∣ (a + b).choose a


p a b k : ℕ
hp : Prime p
hap : a < p
hbp : b < p
h : p ≤ a + b
h₁ : p ∣ (a + b)!
⊢ p ∣ (a + b).choose a


Context: p a b k : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: hap : a < p

Context: hbp : b < p

Context: h : p ≤ a + b

p a b k : ℕ
hp : Prime p
hap : a < p
hbp : b < p
h : p ≤ a + b
h₁ : (p ∣ (a + b).choose a ∨ p ≤ a) ∨ p ≤ b
⊢ p ∣ (a + b).choose a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M✝ N : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝⁴ : DecidableEq m

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: M : Matrix m m R

Context: p : m → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
M✝ N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
M : Matrix m m R
p : m → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h : ∀ (i : m), ¬p i → ∀ (j : m), p j → M i j = 0
⊢ M.det = (M.toSquareBlockProp p).det * (M.toSquareBlockProp fun i => ¬p i).det


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M✝ N : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝⁴ : DecidableEq m

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: M : Matrix m m R

Context: p : m → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
M✝ N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
M : Matrix m m R
p : m → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h : ∀ (i : m), ¬p i → ∀ (j : m), p j → M i j = 0
⊢ (fromBlocks (M.toBlock p p) (M.toBlock p fun j => ¬p j) (M.toBlock (fun j => ¬p j) p)
        (M.toBlock (fun j => ¬p j) fun j => ¬p j)).det =
    (M.toSquareBlockProp p).det * (M.toSquareBlockProp fun i => ¬p i).det


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M✝ N : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝⁴ : DecidableEq m

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: M : Matrix m m R

Context: p : m → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: i : { a // ¬p a }

Context: j : { a // p a }

case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_8.a
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
M✝ N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
M : Matrix m m R
p : m → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h : ∀ (i : m), ¬p i → ∀ (j : m), p j → M i j = 0
i : { a // ¬p a }
j : { a // p a }
⊢ M.toBlock (fun j => ¬p j) p i j = 0 i j


α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsModularLattice α
x y z : α
hxy : x ≤ y
hinf : y ⊓ z ≤ x
hsup : y ≤ x ⊔ z
⊢ y ≤ x


α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsModularLattice α
x y z : α
hxy : x ≤ y
hinf : y ⊓ z ≤ x
hsup : x ⊔ z ⊓ y = y
⊢ y ≤ x


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: α : E

Context: P : ↥(solvableByRad F E) → Prop

F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
P : ↥(solvableByRad F E) → Prop
base : ∀ (α : F), P ((algebraMap F ↥(solvableByRad F E)) α)
add : ∀ (α β : ↥(solvableByRad F E)), P α → P β → P (α + β)
neg : ∀ (α : ↥(solvableByRad F E)), P α → P (-α)
mul : ∀ (α β : ↥(solvableByRad F E)), P α → P β → P (α * β)
inv : ∀ (α : ↥(solvableByRad F E)), P α → P α⁻¹
rad : ∀ (α : ↥(solvableByRad F E)) (n : ℕ), n ≠ 0 → P (α ^ n) → P α
⊢ ∀ (α : ↥(solvableByRad F E)), P α


Context: m n a b c d : ℕ


k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b r : k
⊢ (lineMap (slope f ((lineMap a b) r) b) (slope f a ((lineMap a b) r))) r = slope f a b


case inr
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b r : k
hab : a ≠ b
⊢ (lineMap (slope f ((lineMap a b) r) b) (slope f a ((lineMap a b) r))) r = slope f a b


case inr
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b r : k
hab : a ≠ b
⊢ (lineMap (slope f b ((lineMap a b) r)) (slope f ((lineMap a b) r) a)) r = slope f b a


case h.e'_2.h.e'_6
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b r : k
hab : a ≠ b
⊢ r = (a - (lineMap a b) r) / (a - b)


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f✝ : α → γ
g✝ : β → γ
f : α → ℝ≥0∞
g : β → ℝ≥0∞
h : IdentDistrib f g μ ν
⊢ ∫⁻ (x : α), id (f x) ∂μ = ∫⁻ (x : β), id (g x) ∂ν


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
s : ℕ → Set α
⊢ ∃ t, Antitone t ∧ ⨅ i, 𝓟 (s i) = ⨅ i, 𝓟 (t i)


case h.right
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
s : ℕ → Set α
⊢ ⨅ i, 𝓟 (s i) = ⨅ i, 𝓟 (⋂ m, ⋂ (_ : m ≤ i), s m)


α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
⊢ |a| = -a ↔ a ≤ 0


α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
ht : IsUpperSet t
⊢ IsUpperSet (s * t)


α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
ht : IsUpperSet t
⊢ IsUpperSet (⋃ a ∈ s, a • t)


b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
⊢ logb b (b ^ x) = x


b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
⊢ log b ≠ 0


ι : Type u
s : Finset ι
w₁ w₂ p₁ p₂ : ℝ≥0
⊢ w₁ + w₂ = 1 → p₁ ^ ↑w₁ * p₂ ^ ↑w₂ ≤ w₁ * p₁ + w₂ * p₂


α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
l₁ l₂ : List α
s : Stream' α
⊢ a :: l₁ ++ l₂ ++ₛ s = a :: l₁ ++ₛ (l₂ ++ₛ s)


case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M✝ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g : α → M✝
a b : α
s t : Set α
M : Type u_7
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
h : ∀ (i : ι), 1 ≤ f i
hf : (mulSupport f).Finite
i : ι
hi : 1 < f i
⊢ 1 < ∏ᶠ (i : ι), f i


case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M✝ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g : α → M✝
a b : α
s t : Set α
M : Type u_7
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
h : ∀ (i : ι), 1 ≤ f i
hf : (mulSupport f).Finite
i : ι
hi : 1 < f i
⊢ 1 < ∏ i ∈ hf.toFinset, f i


case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M✝ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g : α → M✝
a b : α
s t : Set α
M : Type u_7
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
h : ∀ (i : ι), 1 ≤ f i
hf : (mulSupport f).Finite
i : ι
hi : 1 < f i
⊢ i ∈ hf.toFinset


α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y : M₀
h : IsUnit x
⊢ x * (inverse x * y) = y


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b c a : α
⊢ ￢a \ a = ￢a


M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
⊢ closure {1} = ⊤


M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
⊢ ∀ n ∈ closure {1}, n.succ ∈ closure {1}


M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
⊢ ∀ n ∈ closure {1}, n + 1 ∈ closure {1}


E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ℝ → F
a b c : ℝ
hf : (fun x => (x - c)⁻¹) =O[𝓝[≠] c] f
hne : a ≠ b
hc : c ∈ [[a, b]]
⊢ ¬IntervalIntegrable f volume a b


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: f : ℝ → F

Context: a b c : ℝ

Context: hf : (fun x => (x - c)⁻¹) =O[𝓝[≠] c] f

Context: hne : a ≠ b

Context: hc : c ∈ [[a, b]]

E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ℝ → F
a b c : ℝ
hf : (fun x => (x - c)⁻¹) =O[𝓝[≠] c] f
hne : a ≠ b
hc : c ∈ [[a, b]]
A : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[≠] c, HasDerivAt (fun x => Real.log (x - c)) (x - c)⁻¹ x
⊢ ¬IntervalIntegrable f volume a b


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: f : ℝ → F

Context: a b c : ℝ

Context: hf : (fun x => (x - c)⁻¹) =O[𝓝[≠] c] f

Context: hne : a ≠ b

Context: hc : c ∈ [[a, b]]

E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ℝ → F
a b c : ℝ
hf : (fun x => (x - c)⁻¹) =O[𝓝[≠] c] f
hne : a ≠ b
hc : c ∈ [[a, b]]
A : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[≠] c, HasDerivAt (fun x => Real.log (x - c)) (x - c)⁻¹ x
B : Tendsto (fun x => ‖Real.log (x - c)‖) (𝓝[≠] c) atTop
⊢ ¬IntervalIntegrable f volume a b


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedRing α
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
inst✝ : Fintype ι
hfg : Monovary f g
⊢ ∑ i : ι, f i • g (σ i) = ∑ i : ι, f i • g i ↔ Monovary f (g ∘ ⇑σ)


ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β✝
β : Type u_6
i : Finset β
f : β → Multiset α
a : Multiset α
⊢ (i.sum f).Disjoint a ↔ ∀ b ∈ i, (f b).Disjoint a


case h.e'_2.a
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β✝
β : Type u_6
i : Finset β
f : β → Multiset α
a : Multiset α
⊢ (∀ b ∈ i, (f b).Disjoint a) ↔ ∀ b ∈ map f i.val, b.Disjoint a


α : Type u_1
inst✝¹ : CommSemigroup α
a b c : α
inst✝ : DecompositionMonoid α
k m n : α
⊢ k ∣ m * n ↔ ∃ d₁ d₂, d₁ ∣ m ∧ d₂ ∣ n ∧ k = d₁ * d₂


case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : CommSemigroup α
a b c : α
inst✝ : DecompositionMonoid α
m n d₁ d₂ : α
hy : d₁ ∣ m
hz : d₂ ∣ n
⊢ d₁ * d₂ ∣ m * n


α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ t : Set α
h : (s ∩ mulSupport f).Finite
⊢ (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s \ t), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i


case hs
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ t : Set α
h : (s ∩ mulSupport f).Finite
⊢ (s ∩ t ∩ mulSupport f).Finite

case ht
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ t : Set α
h : (s ∩ mulSupport f).Finite
⊢ (s \ t ∩ mulSupport f).Finite


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
⊢ re ⟪x, y⟫_𝕜 = re ⟪y, x⟫_𝕜


𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : Nonempty α
⊢ s.dens = 1 ↔ s = univ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: ρ : Measure (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (ω : Ω), f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫⁻ (x : β × Ω), f x ∂ρ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: ρ : Measure (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (ω : Ω), f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫⁻ (x : β × Ω), f x ∂ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel


k : Type u_1
l : Type u_2
m✝ : Type u_3
n✝ : Type u_4
α✝ : Type v
m : Type u_5
n : Type u_6
α : Type u_7
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Semiring α
f : n ≃ n
M : Matrix m n α
i : m
j : n
⊢ (M * f.toPEquiv.toMatrix) i j = M.submatrix id (⇑f.symm) i j


α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
⊢ (𝓤 α).HasBasis (fun V => V ∈ 𝓤 α ∧ IsOpen V ∧ SymmetricRel V) id


α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
⊢ (𝓤 α).HasBasis (fun V => (V ∈ 𝓤 α ∧ IsOpen V) ∧ SymmetricRel V) id


α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α ∧ IsOpen s
⊢ (symmetrizeRel s ∈ 𝓤 α ∧ IsOpen (symmetrizeRel s)) ∧ SymmetricRel (symmetrizeRel s) ∧ id (symmetrizeRel s) ⊆ id s


A : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
x✝ : (C × D)ᵒᵖ
X : C
Y : D
⊢ (𝟙 (op X) ≫ 𝟙 (op X), 𝟙 (op Y) ≫ 𝟙 (op Y)) = (𝟙 (op X), 𝟙 (op Y))


Context:
α β γ : Cardinal.{u_1}
γ₀ : γ < ℵ₀

α + γ ≤ β + γ ↔ α ≤ β

α β γ : Cardinal.{u_1}
γ₀ : γ < ℵ₀
⊢ α + γ ≤ β + γ ↔ α ≤ β


α β γ : Cardinal.{u_1}
γ₀ : γ < ℵ₀
h : α + γ ≤ β + γ
⊢ α ≤ β


¬α + γ ≤ β + γ

α β γ : Cardinal.{u_1}
γ₀ : γ < ℵ₀
h : ¬α ≤ β
⊢ ¬α + γ ≤ β + γ


β + γ ≤ α + γ ∧ ¬β + γ = α + γ

α β γ : Cardinal.{u_1}
γ₀ : γ < ℵ₀
h : β ≤ α ∧ ¬β = α
⊢ β + γ ≤ α + γ ∧ ¬β + γ = α + γ


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ZMod 2

Context: x : CliffordAlgebra Q

Context: hx : x ∈ evenOdd Q n

R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ZMod 2
motive : (x : CliffordAlgebra Q) → x ∈ evenOdd Q n → Prop
range_ι_pow : ∀ (v : CliffordAlgebra Q) (h : v ∈ LinearMap.range (ι Q) ^ n.val), motive v ⋯
add :
  ∀ (x y : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q n) (hy : y ∈ evenOdd Q n),
    motive x hx → motive y hy → motive (x + y) ⋯
ι_mul_ι_mul :
  ∀ (m₁ m₂ : M) (x : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q n), motive x hx → motive ((ι Q) m₁ * (ι Q) m₂ * x) ⋯
x : CliffordAlgebra Q
hx : x ∈ evenOdd Q n
⊢ motive x hx


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ZMod 2

Context: x : CliffordAlgebra Q

Context: hx : x ∈ evenOdd Q n

R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ZMod 2
motive : (x : CliffordAlgebra Q) → x ∈ evenOdd Q n → Prop
range_ι_pow : ∀ (v : CliffordAlgebra Q) (h : v ∈ LinearMap.range (ι Q) ^ n.val), motive v ⋯
add :
  ∀ (x y : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q n) (hy : y ∈ evenOdd Q n),
    motive x hx → motive y hy → motive (x + y) ⋯
ι_mul_ι_mul :
  ∀ (m₁ m₂ : M) (x : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q n), motive x hx → motive ((ι Q) m₁ * (ι Q) m₂ * x) ⋯
x : CliffordAlgebra Q
hx : x ∈ evenOdd Q n
⊢ ∀ (val : ℕ) (property : ↑val = n) (x : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ LinearMap.range (ι Q) ^ ↑⟨val, property⟩),
    motive x ⋯


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ZMod 2

Context: x : CliffordAlgebra Q

Context: hx : x ∈ evenOdd Q n

Context: k : ℕ

Context: xv : CliffordAlgebra Q

case intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ZMod 2
motive : (x : CliffordAlgebra Q) → x ∈ evenOdd Q n → Prop
range_ι_pow : ∀ (v : CliffordAlgebra Q) (h : v ∈ LinearMap.range (ι Q) ^ n.val), motive v ⋯
add :
  ∀ (x y : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q n) (hy : y ∈ evenOdd Q n),
    motive x hx → motive y hy → motive (x + y) ⋯
ι_mul_ι_mul :
  ∀ (m₁ m₂ : M) (x : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q n), motive x hx → motive ((ι Q) m₁ * (ι Q) m₂ * x) ⋯
x : CliffordAlgebra Q
hx : x ∈ evenOdd Q n
k : ℕ
xv : CliffordAlgebra Q
⊢ ∀ (hx : xv ∈ LinearMap.range (ι Q) ^ (2 * k + n.val)), motive xv ⋯


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ZMod 2

Context: x : CliffordAlgebra Q

Context: hx : x ∈ evenOdd Q n

Context: k : ℕ

Context: xv : CliffordAlgebra Q

case intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ZMod 2
motive : (x : CliffordAlgebra Q) → x ∈ evenOdd Q n → Prop
range_ι_pow : ∀ (v : CliffordAlgebra Q) (h : v ∈ LinearMap.range (ι Q) ^ n.val), motive v ⋯
add :
  ∀ (x y : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q n) (hy : y ∈ evenOdd Q n),
    motive x hx → motive y hy → motive (x + y) ⋯
ι_mul_ι_mul :
  ∀ (m₁ m₂ : M) (x : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q n), motive x hx → motive ((ι Q) m₁ * (ι Q) m₂ * x) ⋯
x : CliffordAlgebra Q
hx : x ∈ evenOdd Q n
k : ℕ
xv : CliffordAlgebra Q
hxv : xv ∈ (LinearMap.range (ι Q) ^ 2) ^ k * LinearMap.range (ι Q) ^ n.val
⊢ motive xv ⋯


R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
r : R
x : LocalizedModule S M
a : M
b : ↥S
⊢ r • fromLocalizedModule' S f (LocalizedModule.mk a b) = fromLocalizedModule' S f (r • LocalizedModule.mk a b)


R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
r : R
x : LocalizedModule S M
a : M
b : ↥S
⊢ r • ↑⋯.unit⁻¹ (f a) = ↑⋯.unit⁻¹ (f (r • a))


Context:
R : Type u_1
p i : ℕ
hp : Nat.Prime p

R : Type u_1
p i : ℕ
hp : Nat.Prime p
⊢ (σ 1) (p ^ i) = ∑ k ∈ range (i + 1), p ^ k


case h
α : Type u_1
s : Set α
t : Set Bool
x : α
⊢ x ∈ s.boolIndicator ⁻¹' t ↔ x ∈ (if true ∈ t then s else ∅) ∪ if false ∈ t then sᶜ else ∅


G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n✝ : ℕ
a : G
n : ℕ
⊢ a ^ (n % Nat.card G) = a ^ n


α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s t : Set α
f : α → β
⊢ LipschitzOnWith K f s ↔ LipschitzWith K (s.restrict f)


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: f : (x : ↥U) → Localizations R ↑x

Context: r s : R

case intro.intro
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
f : (x : ↥U) → Localizations R ↑x
r s : R
h : ∀ (x : ↥U), s ∉ (↑x).asIdeal ∧ f x * (algebraMap R (Localizations R ↑x)) s = (algebraMap R (Localizations R ↑x)) r
⊢ ∃ r s, ∀ (x : ↥U), ∃ (hs : s ∉ (↑x).asIdeal), f x = IsLocalization.mk' (Localization.AtPrime (↑x).asIdeal) r ⟨s, hs⟩


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: f : (x : ↥U) → Localizations R ↑x

Context: r s : R

Context: x : ↥U

case intro.intro
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
f : (x : ↥U) → Localizations R ↑x
r s : R
h : ∀ (x : ↥U), s ∉ (↑x).asIdeal ∧ f x * (algebraMap R (Localizations R ↑x)) s = (algebraMap R (Localizations R ↑x)) r
x : ↥U
⊢ (algebraMap R (Localizations R ↑x)) r = f x * (algebraMap R (Localizations R ↑x)) ↑⟨s, ⋯⟩


case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x : α
hx : ¬p x = x
⊢ (p.toList x).Nodup


case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x : α
hx : ¬p x = x
hc : (p.cycleOf x).IsCycle
⊢ (p.toList x).Nodup


case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x : α
hx : ¬p x = x
hc : (p.cycleOf x).IsCycle
n m : ℕ
hn : n < (p.toList x).length
hm : m < (p.toList x).length
⊢ (p.toList x).nthLe n hn = (p.toList x).nthLe m hm → n = m


case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x : α
hx : ¬p x = x
hc : (p.cycleOf x).IsCycle
n m : ℕ
hn✝ : n < (p.toList x).length
hn : n < orderOf (p.cycleOf x)
hm✝ : m < (p.toList x).length
hm : m < orderOf (p.cycleOf x)
⊢ (p.toList x).nthLe n hn✝ = (p.toList x).nthLe m hm✝ → n = m


case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x : α
hx : x ∈ (p.cycleOf x).support
hc : (p.cycleOf x).IsCycle
n m : ℕ
hn✝ : n < (p.toList x).length
hn : n < orderOf (p.cycleOf x)
hm✝ : m < (p.toList x).length
hm : m < orderOf (p.cycleOf x)
⊢ (p.toList x).nthLe n hn✝ = (p.toList x).nthLe m hm✝ → n = m


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: p✝ : Perm α

Context: x✝ : α

Context: p : Perm α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ (p.cycleOf x).support

Context: hc : (p.cycleOf x).IsCycle

Context: n : ℕ

Context: hn✝ : n + 1 < (p.toList x).length

Context: hn : n + 1 < orderOf (p.cycleOf x)

Context: m : ℕ

Context: hm✝ : m + 1 < (p.toList x).length

Context: hm : m + 1 < orderOf (p.cycleOf x)

case neg.succ.succ
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x : α
hx : x ∈ (p.cycleOf x).support
hc : (p.cycleOf x).IsCycle
n : ℕ
hn✝ : n + 1 < (p.toList x).length
hn : n + 1 < orderOf (p.cycleOf x)
m : ℕ
hm✝ : m + 1 < (p.toList x).length
hm : m + 1 < orderOf (p.cycleOf x)
h : (p.cycleOf x ^ (n + 1)) x = (p.cycleOf x ^ (m + 1)) x
⊢ n + 1 = m + 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: p✝ : Perm α

Context: x✝ : α

Context: p : Perm α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ (p.cycleOf x).support

Context: hc : (p.cycleOf x).IsCycle

Context: n : ℕ

Context: hn✝ : n + 1 < (p.toList x).length

Context: hn : n + 1 < orderOf (p.cycleOf x)

Context: m : ℕ

Context: hm✝ : m + 1 < (p.toList x).length

Context: hm : m + 1 < orderOf (p.cycleOf x)

Context: hn' : ¬orderOf (p.cycleOf x) ∣ n.succ

case neg.succ.succ
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x : α
hx : x ∈ (p.cycleOf x).support
hc : (p.cycleOf x).IsCycle
n : ℕ
hn✝ : n + 1 < (p.toList x).length
hn : n + 1 < orderOf (p.cycleOf x)
m : ℕ
hm✝ : m + 1 < (p.toList x).length
hm : m + 1 < orderOf (p.cycleOf x)
h : (p.cycleOf x ^ (n + 1)) x = (p.cycleOf x ^ (m + 1)) x
hn' : ¬orderOf (p.cycleOf x) ∣ n.succ
⊢ n + 1 = m + 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: p✝ : Perm α

Context: x✝ : α

Context: p : Perm α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ (p.cycleOf x).support

Context: hc : (p.cycleOf x).IsCycle

Context: n : ℕ

Context: hn✝ : n + 1 < (p.toList x).length

Context: hn : n + 1 < orderOf (p.cycleOf x)

Context: m : ℕ

Context: hm✝ : m + 1 < (p.toList x).length

Context: hm : m + 1 < orderOf (p.cycleOf x)

Context: hn' : ¬orderOf (p.cycleOf x) ∣ n.succ

Context: hm' : ¬orderOf (p.cycleOf x) ∣ m.succ

case neg.succ.succ
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x : α
hx : x ∈ (p.cycleOf x).support
hc : (p.cycleOf x).IsCycle
n : ℕ
hn✝ : n + 1 < (p.toList x).length
hn : n + 1 < orderOf (p.cycleOf x)
m : ℕ
hm✝ : m + 1 < (p.toList x).length
hm : m + 1 < orderOf (p.cycleOf x)
h : (p.cycleOf x ^ (n + 1)) x = (p.cycleOf x ^ (m + 1)) x
hn' : ¬orderOf (p.cycleOf x) ∣ n.succ
hm' : ¬orderOf (p.cycleOf x) ∣ m.succ
⊢ n + 1 = m + 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: p✝ : Perm α

Context: x✝ : α

Context: p : Perm α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ (p.cycleOf x).support

Context: hc : (p.cycleOf x).IsCycle

Context: n : ℕ

Context: hn✝ : n + 1 < (p.toList x).length

Context: hn : n + 1 < orderOf (p.cycleOf x)

Context: m : ℕ

Context: hm✝ : m + 1 < (p.toList x).length

Context: hm : m + 1 < orderOf (p.cycleOf x)

case neg.succ.succ
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x : α
hx : x ∈ (p.cycleOf x).support
hc : (p.cycleOf x).IsCycle
n : ℕ
hn✝ : n + 1 < (p.toList x).length
hn : n + 1 < orderOf (p.cycleOf x)
m : ℕ
hm✝ : m + 1 < (p.toList x).length
hm : m + 1 < orderOf (p.cycleOf x)
h : (p.cycleOf x ^ (n + 1)) x = (p.cycleOf x ^ (m + 1)) x
hn' : (p.cycleOf x ^ n.succ).support = (p.cycleOf x).support
hm' : (p.cycleOf x ^ m.succ).support = (p.cycleOf x).support
⊢ n + 1 = m + 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: p✝ : Perm α

Context: x✝ : α

Context: p : Perm α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ (p.cycleOf x).support

Context: hc : (p.cycleOf x).IsCycle

Context: n : ℕ

Context: hn✝ : n + 1 < (p.toList x).length

Context: hn : n + 1 < orderOf (p.cycleOf x)

Context: m : ℕ

Context: hm✝ : m + 1 < (p.toList x).length

Context: hm : m + 1 < orderOf (p.cycleOf x)

case neg.succ.succ
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x : α
hx : x ∈ (p.cycleOf x).support
hc : (p.cycleOf x).IsCycle
n : ℕ
hn✝ : n + 1 < (p.toList x).length
hn : n + 1 < orderOf (p.cycleOf x)
m : ℕ
hm✝ : m + 1 < (p.toList x).length
hm : m + 1 < orderOf (p.cycleOf x)
h : (p.cycleOf x ^ (n + 1)) x = (p.cycleOf x ^ (m + 1)) x
hn' : (p.cycleOf x ^ n.succ).support = (p.cycleOf x).support
hm' : (p.cycleOf x ^ m.succ).support = (p.cycleOf x).support
⊢ p.cycleOf x ^ (n + 1) = p.cycleOf x ^ (m + 1)


Context: u✝ : Lean.Level

Context: arg : Q(Type u✝)

Context: sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)

Context: u : Lean.Level

Context: α : Q(Type u)

Context: sα : Q(CommSemiring «$α»)

Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommSemiring R✝

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : Ring R

Context: a b : R

u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
a✝ a' a₁ a₂ a₃ b✝ b' b₁ b₂ b₃ c c₁ c₂ : R✝
R : Type u_2
inst✝ : Ring R
a b : R
⊢ a - b = a + -b


C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
m₁ m₂ m₃ : A
X : C
⊢ (shiftFunctorComm C m₁ (m₂ + m₃)).hom.app X ≫ (shiftFunctor C m₁).map ((shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app X) =
    (shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app ((shiftFunctor C m₁).obj X) ≫
      (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorComm C m₁ m₂).hom.app X) ≫
        (shiftFunctorComm C m₁ m₃).hom.app ((shiftFunctor C m₂).obj X)


C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
m₁ m₂ m₃ : A
X : C
⊢ (((shiftFunctorComm C m₁ (m₂ + m₃)).hom.app X ≫ (shiftFunctor C m₁).map ((shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app X)) ≫
        (shiftFunctorComm C m₁ m₃).inv.app ((shiftFunctor C m₂).obj X)) ≫
      (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorComm C m₁ m₂).inv.app X) =
    (((shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app ((shiftFunctor C m₁).obj X) ≫
          (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorComm C m₁ m₂).hom.app X) ≫
            (shiftFunctorComm C m₁ m₃).hom.app ((shiftFunctor C m₂).obj X)) ≫
        (shiftFunctorComm C m₁ m₃).inv.app ((shiftFunctor C m₂).obj X)) ≫
      (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorComm C m₁ m₂).inv.app X)


C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
m₁ m₂ m₃ : A
X : C
⊢ (shiftFunctorComm C m₁ (m₂ + m₃)).hom.app X ≫
      (shiftFunctor C m₁).map ((shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app X) ≫
        (shiftFunctorComm C m₁ m₃).inv.app ((shiftFunctor C m₂).obj X) ≫
          (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorComm C m₁ m₂).inv.app X) =
    (shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app ((shiftFunctor C m₁).obj X) ≫
      (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorComm C m₁ m₂).hom.app X) ≫
        𝟙 ((shiftFunctor C m₃).obj ((shiftFunctor C m₁).obj ((shiftFunctor C m₂).obj X))) ≫
          (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorComm C m₁ m₂).inv.app X)


C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
m₁ m₂ m₃ : A
X : C
⊢ (shiftFunctorComm C m₁ (m₂ + m₃)).hom.app X ≫
      (shiftFunctor C m₁).map ((shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app X) ≫
        (shiftFunctorComm C m₁ m₃).inv.app ((shiftFunctor C m₂).obj X) ≫
          (shiftFunctor C m₃).map ((shiftFunctorComm C m₁ m₂).inv.app X) =
    (shiftFunctorAdd C m₂ m₃).hom.app ((shiftFunctor C m₁).obj X) ≫
      (shiftFunctor C m₃).map (𝟙 ((shiftFunctor C m₂).obj ((shiftFunctor C m₁).obj X)))


C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
m₁ m₂ m₃ : A
X : C
⊢ ((shiftFunctorAdd' C m₁ (m₂ + m₃) (m₁ + (m₂ + m₃)) ⋯).inv.app X ≫
        (shiftFunctorAdd' C (m₂ + m₃) m₁ (m₁ + (m₂ + m₃)) ⋯).hom.app X) ≫
      (shiftFunctor C m₁).map ((shiftFunctorAdd' C m₂ m₃ (m₂ + m₃) ⋯).hom.app X) ≫
        ((shiftFunctorAdd' C m₃ m₁ (m₁ + m₃) ⋯).inv.app ((shiftFunctor C m₂).obj X) ≫
            (shiftFunctorAdd' C m₁ m₃ (m₁ + m₃) ⋯).hom.app ((shiftFunctor C m₂).obj X)) ≫
          (shiftFunctor C m₃).map
            ((shiftFunctorAdd' C m₂ m₁ (m₁ + m₂) ⋯).inv.app X ≫ (shiftFunctorAdd' C m₁ m₂ (m₁ + m₂) ⋯).hom.app X) =
    (shiftFunctorAdd' C m₂ m₃ (m₂ + m₃) ⋯).hom.app ((shiftFunctor C m₁).obj X)


G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x✝ y : G
i : ℤ
x : G
⊢ orderOf x⁻¹ = orderOf x


case h.mk.h.mk.a
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
inst✝ : Preorder β
x✝¹ : (↑φ).Germ β
f : α → β
x✝ : (↑φ).Germ β
g : α → β
⊢ Quot.mk Setoid.r f < Quot.mk Setoid.r g ↔ LiftRel (fun x x_1 => x < x_1) (Quot.mk Setoid.r f) (Quot.mk Setoid.r g)


R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
a : R
⊢ (C a * X).leadingCoeff = a


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid B

Context: inst✝³ : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g✝ : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝² : DecidableEq β

Context: inst✝¹ : Zero M

Context: inst✝ : AddCommMonoid N

Context: f : α →₀ M

Context: g : α → M → β →₀ N

α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : AddCommMonoid B
inst✝³ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g✝ : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : AddCommMonoid N
f : α →₀ M
g : α → M → β →₀ N
⊢ (f.sum g).support ⊆ f.support.biUnion fun a => (g a (f a)).support


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid B

Context: inst✝³ : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g✝ : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝² : DecidableEq β

Context: inst✝¹ : Zero M

Context: inst✝ : AddCommMonoid N

Context: f : α →₀ M

Context: g : α → M → β →₀ N

α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : AddCommMonoid B
inst✝³ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g✝ : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : AddCommMonoid N
f : α →₀ M
g : α → M → β →₀ N
this : ∀ (c : β), (f.sum fun a b => (g a b) c) ≠ 0 → ∃ a, f a ≠ 0 ∧ ¬(g a (f a)) c = 0
⊢ (f.sum g).support ⊆ f.support.biUnion fun a => (g a (f a)).support


α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderBot α
a b : α
⊢ min a b = ⊥ ↔ a = ⊥ ∨ b = ⊥


x✝ y✝ z : ℝ
n : ℕ
x y : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < x ^ y
⊢ y * log x = log (x ^ y)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : CategoryWithHomology C

Context: X Y : HomotopyCategory C c

Context: f : X ⟶ Y

C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : CategoryWithHomology C
inst✝ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization
X Y : HomotopyCategory C c
f : X ⟶ Y
⊢ quasiIso C c f ↔ ∀ (n : ι), IsIso ((homologyFunctor C c n).map f)


R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Nontrivial S
h : IsAdjoinRootMonic S f
⊢ 0 < f.natDegree


case intro.mk
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Nontrivial S
h : IsAdjoinRootMonic S f
i : ℕ
hi : i < f.natDegree
⊢ 0 < f.natDegree


𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
⊢ ↑e 0 = 0


α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
H : l.Nodup
i : Fin l.length
⊢ indexOf (l.get i) l = ↑i


R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ : Set α
h : μ s ≠ ⊤
t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ (μ.restrict (toMeasurable μ s)) t = (μ.restrict s) t


ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
⊢ volume (frontier s) = 0


ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
x : ι → ℝ
hx : x ∈ frontier s
⊢ x ∈
    {x |
        (fun x =>
            Tendsto (fun r => volume (closure s ∩ closedBall x r) / volume (closedBall x r)) (𝓝[>] 0)
              (𝓝 ((closure s).indicator 1 x)))
          x}ᶜ


α : Type u_1
β : Type u_2
m : Multiset α
z : Sym2 α
xs : List α
⊢ z ∈ Multiset.sym2 ⟦xs⟧ ↔ ∀ y ∈ z, y ∈ ⟦xs⟧


C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
i✝ j k : ι
φ : K ⟶ L
i : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : Epi (φ.f i)
hi : ∀ (j : ι), ¬c.Rel i j
⊢ ¬c.Rel i (c.next i)


R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
f : Matrix ι ι R
⊢ LinearMap.det ((toLin b b) f) = f.det


C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : HasPullbacks C
X Y Z W : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
h : Y ⟶ W
k : Z ⟶ W
inst✝¹ : Mono h
inst✝ : Mono g
comm : f ≫ h = g ≫ k
t : IsLimit (PullbackCone.mk f g comm)
⊢ ∀ (p : Subobject Y), (map g).obj ((pullback f).obj p) = (pullback k).obj ((map h).obj p)


case h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : HasPullbacks C
X Y Z W : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
h : Y ⟶ W
k : Z ⟶ W
inst✝¹ : Mono h
inst✝ : Mono g
comm : f ≫ h = g ≫ k
t : IsLimit (PullbackCone.mk f g comm)
a : MonoOver Y
⊢ (map g).obj ((pullback f).obj (Quotient.mk'' a)) = (pullback k).obj ((map h).obj (Quotient.mk'' a))


case h.a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : HasPullbacks C
X Y Z W : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
h : Y ⟶ W
k : Z ⟶ W
inst✝¹ : Mono h
inst✝ : Mono g
comm : f ≫ h = g ≫ k
t : IsLimit (PullbackCone.mk f g comm)
a : MonoOver Y
⊢ (MonoOver.map g).obj ((MonoOver.pullback f).obj a) ≈ (MonoOver.pullback k).obj ((MonoOver.map h).obj a)


Context:
m n : Nat
h : m < n

m n : Nat
h : m < n
⊢ (range n)[m]? = some m


ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝ : CommSemiring R
s : Finset α
⊢ ↑s.card = ∑ a ∈ s, 1


Context:
a b : ℕ
h : a ∣ b


Context:
a b : ℕ
h : a ∣ b
ha0 : a ≠ 0

case inr
a b : ℕ
h : a ∣ b
ha0 : a ≠ 0
⊢ φ a ∣ φ b


case inr.inr
a b : ℕ
h : a ∣ b
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
⊢ φ a ∣ φ b


case inr.inr
a b : ℕ
h : a ∣ b
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
hab' : a.primeFactors ⊆ b.primeFactors
⊢ φ a ∣ φ b


case inr.inr
a b : ℕ
h : a ∣ b
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
hab' : a.primeFactors ⊆ b.primeFactors
⊢ (a.factorization.prod fun p k => p ^ (k - 1) * (p - 1)) ∣ b.factorization.prod fun p k => p ^ (k - 1) * (p - 1)


case inr.inr
a b : ℕ
h : a ∣ b
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
hab' : a.primeFactors ⊆ b.primeFactors
p : ℕ
x✝ : p ∈ a.factorization.support
⊢ p ^ (a.factorization p - 1) ∣ p ^ (b.factorization p - 1)


α β : Type u
ι : Type u_1
f g : ι → Cardinal.{u_2}
⊢ sum (f + g) = sum f + sum g


Context: α β : Type u

Context: ι : Type u_1

Context: f g : ι → Cardinal.{u_2}

α β : Type u
ι : Type u_1
f g : ι → Cardinal.{u_2}
this :
  #((i : ι) × ((Quotient.out ∘ f) i ⊕ (Quotient.out ∘ g) i)) =
    #((i : ι) × (Quotient.out ∘ f) i ⊕ (i : ι) × (Quotient.out ∘ g) i)
⊢ sum (f + g) = sum f + sum g


case intro.intro
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
s t : Set α
l : Filter α
hl : l ∈ (Iic ∘ 𝓟) s ∩ (Iic ∘ 𝓟) t
⊢ ∃ t₃ ∈ range (Iic ∘ 𝓟), l ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ (Iic ∘ 𝓟) s ∩ (Iic ∘ 𝓟) t


Context:
x✝ y : ℂ
x : ℝ


K : Type u
V : Type v
inst✝⁸ : DivisionRing K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module K V₂
L : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField L
W : Type v
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module L W
inst✝ : FiniteDimensional L W
t : Finset W
h : finrank L W + 1 < t.card
⊢ ∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∑ e ∈ t, f e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, 0 < f x


case intro.intro.intro
K : Type u
V : Type v
inst✝⁸ : DivisionRing K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module K V₂
L : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField L
W : Type v
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module L W
inst✝ : FiniteDimensional L W
t : Finset W
h : finrank L W + 1 < t.card
f : W → L
sum : ∑ e ∈ t, f e • e = 0
total : ∑ e ∈ t, f e = 0
nonzero : ∃ x ∈ t, f x ≠ 0
⊢ ∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∑ e ∈ t, f e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, 0 < f x


α : Type u_1
inst✝² : OrderedRing α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
n✝ n : ℕ
⊢ Disjoint (box (n + 1)) (Icc (-↑n) ↑n)


α : Type u_1
inst✝² : OrderedRing α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
n✝ n : ℕ
⊢ Disjoint (Icc (-↑n.succ) ↑n.succ \ Icc (-↑n) ↑n) (Icc (-↑n) ↑n)


p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : Finite α
hpα : ¬p ∣ Nat.card α
this : Finite α
⊢ Nonempty ↑(fixedPoints G α)


p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : Finite α
hpα : ¬p ∣ Nat.card α
this : Finite α
⊢ Nat.card ↑(fixedPoints G α) ≠ 0


p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ this : Finite α
hpα : Nat.card ↑(fixedPoints G α) = 0
⊢ p ∣ Nat.card α


p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ this : Finite α
hpα : Nat.card ↑(fixedPoints G α) = 0
⊢ Nat.card α ≡ Nat.card ↑(fixedPoints G α) [MOD p]


α : Type u
m : OuterMeasure α
s s₁ s₂ : Set α
⊢ m.IsCaratheodory s₁ → m.IsCaratheodory s₁ᶜ


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M'✝ : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁹ : Semiring R

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M'✝

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M'✝

Context: inst✝³ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: R' : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: inst✝² : Semiring R'

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝ : Module R' M'

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: i : ZeroHom R R'

Context: j : M →+ M'

Context: hi : Surjective ⇑i

Context: hj : ∀ (m : M), j m = 0 → m = 0

ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M'✝ : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M''
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
a b : R
x y : M
R' : Type u_8
M' : Type u_9
inst✝² : Semiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
hv : LinearIndependent R v
i : ZeroHom R R'
j : M →+ M'
hi : Surjective ⇑i
hj : ∀ (m : M), j m = 0 → m = 0
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
⊢ LinearIndependent R' (⇑j ∘ v)


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M'✝ : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁹ : Semiring R

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M'✝

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M'✝

Context: inst✝³ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: R' : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: inst✝² : Semiring R'

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝ : Module R' M'

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: i : ZeroHom R R'

Context: j : M →+ M'

Context: hi : Surjective ⇑i

Context: hj : ∀ (m : M), j m = 0 → m = 0

Context: i' : R' → R

Context: hi' : Function.RightInverse i' ⇑i

case intro
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M'✝ : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M''
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
a b : R
x y : M
R' : Type u_8
M' : Type u_9
inst✝² : Semiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
hv : LinearIndependent R v
i : ZeroHom R R'
j : M →+ M'
hi : Surjective ⇑i
hj : ∀ (m : M), j m = 0 → m = 0
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
i' : R' → R
hi' : Function.RightInverse i' ⇑i
⊢ LinearIndependent R' (⇑j ∘ v)


C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X Y : D
f : X ⟶ Y
⊢ f ≫ inv ((reflectorAdjunction i).counit.app Y) =
    inv ((reflectorAdjunction i).counit.app X) ≫ (reflector i).map (i.map f)


C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X Y : D
f : X ⟶ Y
⊢ (reflectorAdjunction i).counit.app X ≫ f = (reflector i).map (i.map f) ≫ (reflectorAdjunction i).counit.app Y


C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X Y : i.EssImageSubcategory
f : X ⟶ Y
⊢ ((i.essImageInclusion ⋙ reflector i) ⋙ i.toEssImage).map f ≫ (equivEssImageOfReflective_counitIso_app Y).hom =
    (equivEssImageOfReflective_counitIso_app X).hom ≫ (𝟭 i.EssImageSubcategory).map f


case a
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X Y : i.EssImageSubcategory
f : X ⟶ Y
⊢ i.essImageInclusion.map
      (((i.essImageInclusion ⋙ reflector i) ⋙ i.toEssImage).map f ≫ (equivEssImageOfReflective_counitIso_app Y).hom) =
    i.essImageInclusion.map ((equivEssImageOfReflective_counitIso_app X).hom ≫ (𝟭 i.EssImageSubcategory).map f)


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: E : Type u₃

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E

Context: i : D ⥤ C

Context: inst✝ : Reflective i

Context: X Y : i.EssImageSubcategory

Context: f : X ⟶ Y

case a
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X Y : i.EssImageSubcategory
f : X ⟶ Y
h :
  (reflectorAdjunction i).unit.app X.obj ≫ (reflector i ⋙ i).map f =
    (𝟭 C).map f ≫ (reflectorAdjunction i).unit.app Y.obj
⊢ i.essImageInclusion.map
      (((i.essImageInclusion ⋙ reflector i) ⋙ i.toEssImage).map f ≫ (equivEssImageOfReflective_counitIso_app Y).hom) =
    i.essImageInclusion.map ((equivEssImageOfReflective_counitIso_app X).hom ≫ (𝟭 i.EssImageSubcategory).map f)


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: E : Type u₃

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E

Context: i : D ⥤ C

Context: inst✝ : Reflective i

Context: X Y : i.EssImageSubcategory

Context: f : X ⟶ Y

case a
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X Y : i.EssImageSubcategory
f : X ⟶ Y
h : (reflectorAdjunction i).unit.app X.obj ≫ (reflector i ⋙ i).map f = f ≫ (reflectorAdjunction i).unit.app Y.obj
⊢ i.essImageInclusion.map
      (((i.essImageInclusion ⋙ reflector i) ⋙ i.toEssImage).map f ≫ (equivEssImageOfReflective_counitIso_app Y).hom) =
    i.essImageInclusion.map ((equivEssImageOfReflective_counitIso_app X).hom ≫ (𝟭 i.EssImageSubcategory).map f)


C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X : D
⊢ i.toEssImage.map ((NatIso.ofComponents (fun X => (asIso ((reflectorAdjunction i).counit.app X)).symm) ⋯).hom.app X) ≫
      (NatIso.ofComponents equivEssImageOfReflective_counitIso_app ⋯).hom.app (i.toEssImage.obj X) =
    𝟙 (i.toEssImage.obj X)


case a
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X : D
⊢ i.essImageInclusion.map
      (i.toEssImage.map
          ((NatIso.ofComponents (fun X => (asIso ((reflectorAdjunction i).counit.app X)).symm) ⋯).hom.app X) ≫
        (NatIso.ofComponents equivEssImageOfReflective_counitIso_app ⋯).hom.app (i.toEssImage.obj X)) =
    i.essImageInclusion.map (𝟙 (i.toEssImage.obj X))


Context: J : Type w

Context: C✝ : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C✝

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: B : C

Context: objs : J → C

Context: arrows : (j : J) → objs j ⟶ B

Context: inst✝ : HasWidePullback B objs arrows

Context: X : C

Context: f : X ⟶ B

Context: fs : (j : J) → X ⟶ objs j

Context: w : ∀ (j : J), fs j ≫ arrows j = f

Context: g1 g2 : X ⟶ widePullback B objs arrows

J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
inst✝ : HasWidePullback B objs arrows
X : C
f : X ⟶ B
fs : (j : J) → X ⟶ objs j
w : ∀ (j : J), fs j ≫ arrows j = f
g1 g2 : X ⟶ widePullback B objs arrows
h1 : ∀ (j : J), g1 ≫ π arrows j = g2 ≫ π arrows j
h2 : g1 ≫ base arrows = g2 ≫ base arrows
⊢ g1 = g2


K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : Weight R L M
x : L
⊢ weightSpaceOf M (χ x) x ≠ ⊥


K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : Weight R L M
x : L
this : ⨅ x, weightSpaceOf M (χ x) x ≠ ⊥
⊢ weightSpaceOf M (χ x) x ≠ ⊥


K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : Weight R L M
x : L
this : weightSpaceOf M (χ x) x = ⊥
⊢ ⨅ x, weightSpaceOf M (χ x) x = ⊥


K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : Weight R L M
x : L
this : weightSpaceOf M (χ x) x = ⊥
⊢ ⨅ x, weightSpaceOf M (χ x) x ≤ ⊥


case h
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
b : β
x : α
⊢ x ∈ ⇑e ⁻¹' Iio b ↔ x ∈ Iio (e.symm b)


R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ f, f x = 1


case intro
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
x : V
hx : x ≠ 0
f : V →L[R] R
hf : f x ≠ 0
⊢ ∃ f, f x = 1


α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
⊢ M.Basis I I ↔ M.Indep I


α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
⊢ M.Indep I → (∀ (J : Set α), M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ I → I = J) ∧ I ⊆ M.E


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: ι : Sort x

Context: p : α → Prop

Context: f : Filter α

Context: hp : ∀ᶠ (x : α) in f, ¬(fun x => p x) x

α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
p : α → Prop
f : Filter α
H : ∀ {q : α → Prop}, (∀ᶠ (x : α) in f, q x) → ∃ x, p x ∧ q x
hp : ∀ᶠ (x : α) in f, ¬(fun x => p x) x
⊢ False


ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e✝ : Pretrivialization F proj
x : Z
e e' : Pretrivialization F proj
⊢ (e.symm.trans e'.toPartialEquiv).target = (e.baseSet ∩ e'.baseSet) ×ˢ univ


p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
⊢ wittStructureRat p Φ n =
    C (1 / ↑p ^ n) *
      ((bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) Φ -
        ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p Φ i ^ p ^ (n - i))


p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
⊢ wittStructureRat p Φ n = C (1 / ↑p ^ n) * (wittStructureRat p Φ n * C (↑p ^ n))


case h
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
⊢ ↑p ^ n ≠ 0


ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCommMonoid M
a b : M
l : List M
hl₁ : ∀ x ∈ a :: b :: l, 1 < x
x✝ : a :: b :: l ≠ []
⊢ 1 < (a :: b :: l).prod


ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCommMonoid M
a b : M
l : List M
x✝ : a :: b :: l ≠ []
hl₁ : 1 < a ∧ 1 < b ∧ ∀ a ∈ l, 1 < a
⊢ 1 < (a :: b :: l).prod


ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCommMonoid M
a b : M
l : List M
x✝ : a :: b :: l ≠ []
hl₁ : 1 < a ∧ 1 < b ∧ ∀ a ∈ l, 1 < a
⊢ 1 < a * (b :: l).prod