Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : LieRing L

Context: inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: inst✝⁷ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁶ : LieModule R L M

Context: inst✝⁵ : Module.Free R M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R M

Context: inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝ : IsTriangularizable R L M

Context: z x y : L

case H
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : IsTriangularizable R L M
z x y : L
hxy : ∀ (χ : R), MapsTo ⇑(φ x ∘ₗ φ y) ↑(weightSpaceOf M χ z) ↑(weightSpaceOf M χ z)
⊢ ((traceForm R L M) x) y = ((∑ χ ∈ ⋯.toFinset, traceForm R L ↥↑(weightSpaceOf M χ z)) x) y


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : LieRing L

Context: inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: inst✝⁷ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁶ : LieModule R L M

Context: inst✝⁵ : Module.Free R M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R M

Context: inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝ : IsTriangularizable R L M

Context: z x y : L

case H
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : IsTriangularizable R L M
z x y : L
hxy : ∀ (χ : R), MapsTo ⇑(φ x ∘ₗ φ y) ↑(weightSpaceOf M χ z) ↑(weightSpaceOf M χ z)
hfin : {χ | ↑(weightSpaceOf M χ z) ≠ ⊥}.Finite
⊢ ((traceForm R L M) x) y = ((∑ χ ∈ ⋯.toFinset, traceForm R L ↥↑(weightSpaceOf M χ z)) x) y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x : M

Context: he : e ∈ maximalAtlas I M

Context: he' : e' ∈ maximalAtlas I' M'

Context: hs : s ⊆ e.source

Context: hx : x ∈ e.source

Context: hy : f x ∈ e'.source

𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
he : e ∈ maximalAtlas I M
he' : e' ∈ maximalAtlas I' M'
hs : s ⊆ e.source
hx : x ∈ e.source
hy : f x ∈ e'.source
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔
    ContinuousWithinAt f s x ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(e'.extend I') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I) '' s) (↑(e.extend I) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x : M

Context: he : e ∈ maximalAtlas I M

Context: he' : e' ∈ maximalAtlas I' M'

Context: hs : s ⊆ e.source

Context: hx : x ∈ e.source

Context: hy : f x ∈ e'.source

𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
he : e ∈ maximalAtlas I M
he' : e' ∈ maximalAtlas I' M'
hs : s ⊆ e.source
hx : x ∈ e.source
hy : f x ∈ e'.source
⊢ ContinuousWithinAt f s x →
    (ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(e'.extend I') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
        (↑(e.extend I) x) ↔
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(e'.extend I') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I) '' s) (↑(e.extend I) x))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝¹ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x : M

Context: he : e ∈ maximalAtlas I M

Context: he' : e' ∈ maximalAtlas I' M'

Context: hs : s ⊆ e.source

Context: hx : x ∈ e.source

Context: hy : f x ∈ e'.source

Context: x✝ : ContinuousWithinAt f s x

𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝¹ : M
m n : ℕ∞
x : M
he : e ∈ maximalAtlas I M
he' : e' ∈ maximalAtlas I' M'
hs : s ⊆ e.source
hx : x ∈ e.source
hy : f x ∈ e'.source
x✝ : ContinuousWithinAt f s x
⊢ 𝓝[↑(e.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(e.extend I) x = 𝓝[↑(e.extend I) '' s] ↑(e.extend I) x


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: f : K ⟶ L

Context: x y : ℤ

Context: inst✝¹ : K.HasTotal (up ℤ)

Context: inst✝ : L.HasTotal (up ℤ)

Context: n i₁ i₂ : ℤ

Context: h : i₁ + i₂ = n

case h.h
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
K L : HomologicalComplex₂ C (up ℤ) (up ℤ)
f : K ⟶ L
x y : ℤ
inst✝¹ : K.HasTotal (up ℤ)
inst✝ : L.HasTotal (up ℤ)
n i₁ i₂ : ℤ
h : i₁ + i₂ = n
⊢ ((shiftFunctor₁ C x).obj K).ιTotal (up ℤ) i₁ i₂ n h ≫
      (total.map ((shiftFunctor₁ C x).map f) (up ℤ)).f n ≫ (L.totalShift₁Iso x).hom.f n =
    ((shiftFunctor₁ C x).obj K).ιTotal (up ℤ) i₁ i₂ n h ≫ (K.totalShift₁Iso x).hom.f n ≫ (total.map f (up ℤ)).f (n + x)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: f : K ⟶ L

Context: x y : ℤ

Context: inst✝¹ : K.HasTotal (up ℤ)

Context: inst✝ : L.HasTotal (up ℤ)

Context: n i₁ i₂ : ℤ

Context: h : i₁ + i₂ = n

case h.h
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
K L : HomologicalComplex₂ C (up ℤ) (up ℤ)
f : K ⟶ L
x y : ℤ
inst✝¹ : K.HasTotal (up ℤ)
inst✝ : L.HasTotal (up ℤ)
n i₁ i₂ : ℤ
h : i₁ + i₂ = n
⊢ (f.f (i₁ + x)).f i₂ ≫
      𝟙 ((L.X (i₁ + x)).X i₂) ≫ L.ιTotal (up ℤ) (i₁ + x) i₂ (n + x) ⋯ ≫ 𝟙 ((L.total (up ℤ)).X (n + x)) =
    𝟙 ((K.X (i₁ + x)).X i₂) ≫
      K.ιTotal (up ℤ) (i₁ + x) i₂ (n + x) ⋯ ≫ 𝟙 ((K.total (up ℤ)).X (n + x)) ≫ (total.map f (up ℤ)).f (n + x)


Context: K : Type u

Context: inst✝² : CommRing K

Context: p : ℕ

Context: inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : CharP K p

Context: n : ℕ

Context: x : K

Context: m : ℕ

case succ
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
n : ℕ
x : K
m : ℕ
ih : mk K p (n, x) = mk K p (m + n, (⇑(frobenius K p))^[m] x)
⊢ mk K p (n, x) = mk K p (m + 1 + n, (⇑(frobenius K p))^[m + 1] x)


case intro.mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : MulActionWithZero 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
f : α → β
c : 𝕜ˣ
⊢ HasFiniteIntegral f μ → HasFiniteIntegral (↑c • f) μ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : IsDedekindDomain R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Module.Free R S

Context: inst✝⁸ : Module.Finite R S

Context: p : Ideal R

Context: hp0 : p ≠ ⊥

Context: inst✝⁷ : p.IsPrime

Context: Sₚ : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing Sₚ

Context: inst✝⁵ : Algebra S Sₚ

Context: inst✝³ : Algebra R Sₚ

Context: inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ

Context: inst✝ : IsDomain S

R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
this✝ : DecidableEq (Ideal Sₚ) := Classical.decEq (Ideal Sₚ)
this : DecidablePred fun P => P.IsPrime := Classical.decPred fun P => P.IsPrime
⊢ IsPrincipalIdealRing Sₚ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : IsDedekindDomain R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Module.Free R S

Context: inst✝⁸ : Module.Finite R S

Context: p : Ideal R

Context: hp0 : p ≠ ⊥

Context: inst✝⁷ : p.IsPrime

Context: Sₚ : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing Sₚ

Context: inst✝⁵ : Algebra S Sₚ

Context: inst✝³ : Algebra R Sₚ

Context: inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: P : Ideal Sₚ

R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
this✝ : DecidableEq (Ideal Sₚ) := Classical.decEq (Ideal Sₚ)
this : DecidablePred fun P => P.IsPrime := Classical.decPred fun P => P.IsPrime
P : Ideal Sₚ
⊢ P ∈ Finset.filter (fun P => P.IsPrime) ({⊥} ∪ (normalizedFactors (map (algebraMap R Sₚ) p)).toFinset) ↔
    P ∈ {I | I.IsPrime}


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : IsDedekindDomain R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Module.Free R S

Context: inst✝⁸ : Module.Finite R S

Context: p : Ideal R

Context: hp0 : p ≠ ⊥

Context: inst✝⁷ : p.IsPrime

Context: Sₚ : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing Sₚ

Context: inst✝⁵ : Algebra S Sₚ

Context: inst✝³ : Algebra R Sₚ

Context: inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: P : Ideal Sₚ

R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
this✝ : DecidableEq (Ideal Sₚ) := Classical.decEq (Ideal Sₚ)
this : DecidablePred fun P => P.IsPrime := Classical.decPred fun P => P.IsPrime
P : Ideal Sₚ
⊢ (P = ⊥ ∨ P ∈ normalizedFactors (map (algebraMap R Sₚ) p)) ∧ P.IsPrime ↔ P.IsPrime


ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
m n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ map { toFun := fun x => n • x, inj' := ⋯ } (s.piAntidiag m) =
    filter (fun f => ∀ i ∈ s, n ∣ f i) (s.piAntidiag (n * m))


C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
A : C
X✝ Y✝ : MonoOver A
k : X✝ ⟶ Y✝
g : MonoOver A
⊢ pullback.lift (pullback.fst g.arrow X✝.arrow) (pullback.snd g.arrow X✝.arrow ≫ k.left) ⋯ ≫
      pullback.snd g.arrow Y✝.arrow ≫ Y✝.arrow =
    pullback.snd g.arrow X✝.arrow ≫ X✝.arrow


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
l : List α
l₁ l₂ : List β
h : Forall₂ R l (l₁ ++ l₂)
⊢ Forall₂ R (drop l₁.length l) l₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: R S : α → β → Prop

Context: P : γ → δ → Prop

Context: Rₐ : α → α → Prop

Context: l : List α

Context: l₁ l₂ : List β

Context: h : Forall₂ R l (l₁ ++ l₂)

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
l : List α
l₁ l₂ : List β
h : Forall₂ R l (l₁ ++ l₂)
h' : Forall₂ R (drop l₁.length l) (drop l₁.length (l₁ ++ l₂))
⊢ Forall₂ R (drop l₁.length l) l₂


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ

p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
⊢ padicNorm p (q - r) ≤ max (padicNorm p q) (padicNorm p r)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ

p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
⊢ padicNorm p (q + -r) ≤ max (padicNorm p q) (padicNorm p (-r))


x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hzpos : 0 < z
⊢ h.IsPrimitiveClassified


case inr
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hzpos : 0 < z
h2 : x % 2 = 1 ∧ y % 2 = 0
⊢ h.IsPrimitiveClassified


case inr
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : y.gcd x = 1
hzpos : 0 < z
h2 : x % 2 = 1 ∧ y % 2 = 0
⊢ h.IsPrimitiveClassified


Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: hc : y.gcd x = 1

Context: hzpos : 0 < z

Context: h2 : x % 2 = 1 ∧ y % 2 = 0

Context: m n : ℤ

case inr.intro.intro
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : y.gcd x = 1
hzpos : 0 < z
h2 : x % 2 = 1 ∧ y % 2 = 0
m n : ℤ
H :
  (y = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ x = 2 * m * n ∨ y = 2 * m * n ∧ x = m ^ 2 - n ^ 2) ∧
    m.gcd n = 1 ∧ (m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0)
⊢ h.IsPrimitiveClassified


Context: x y z : ℤ

Context: h : PythagoreanTriple x y z

Context: hc : y.gcd x = 1

Context: hzpos : 0 < z

Context: h2 : x % 2 = 1 ∧ y % 2 = 0

Context: m n : ℤ

case h
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : y.gcd x = 1
hzpos : 0 < z
h2 : x % 2 = 1 ∧ y % 2 = 0
m n : ℤ
H :
  (y = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ x = 2 * m * n ∨ y = 2 * m * n ∧ x = m ^ 2 - n ^ 2) ∧
    m.gcd n = 1 ∧ (m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0)
⊢ (x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2) ∧
    m.gcd n = 1 ∧ (m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0)


C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.130934, u_1} C
inst✝⁵ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝⁴ : DecidableEq I₁₂
inst✝³ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝² : K.HasTotal c₁₂
inst✝¹ : L.HasTotal c₁₂
inst✝ : M.HasTotal c₁₂
⊢ map e.hom c₁₂ ≫ map e.inv c₁₂ = 𝟙 (K.total c₁₂)


C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.130934, u_1} C
inst✝⁵ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝⁴ : DecidableEq I₁₂
inst✝³ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝² : K.HasTotal c₁₂
inst✝¹ : L.HasTotal c₁₂
inst✝ : M.HasTotal c₁₂
⊢ map e.inv c₁₂ ≫ map e.hom c₁₂ = 𝟙 (L.total c₁₂)


case h
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x y : T
m : M
s : ↥S
⊢ (x + y) • mk m s = x • mk m s + y • mk m s


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: R' : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: inst✝² : AddGroup E

Context: inst✝¹ : FunLike F E ℝ

Context: f : F

Context: x y : E

ι : Type u_1
R : Type u_2
R' : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝² : AddGroup E
inst✝¹ : FunLike F E ℝ
inst✝ : NonarchAddGroupSeminormClass F E
f : F
x y : E
⊢ f (x - y) ≤ max (f x) (f y)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: R' : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: inst✝² : AddGroup E

Context: inst✝¹ : FunLike F E ℝ

Context: f : F

Context: x y : E

ι : Type u_1
R : Type u_2
R' : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝² : AddGroup E
inst✝¹ : FunLike F E ℝ
inst✝ : NonarchAddGroupSeminormClass F E
f : F
x y : E
⊢ f (x + -y) ≤ max (f x) (f (-y))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: c✝ : Set α

Context: inst✝ : Preorder α

Context: s : Set α

Context: c : Set ↑s

Context: hc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c

Context: p : { x // x ∈ s }

Context: hpc : p ∈ c

Context: q : { x // x ∈ s }

Context: hqc : q ∈ c

Context: hpq : ↑p ≠ ↑q

case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c✝ : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
ih : ∀ c ⊆ s, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∃ ub ∈ s, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
c : Set ↑s
hc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
p : { x // x ∈ s }
hpc : p ∈ c
q : { x // x ∈ s }
hqc : q ∈ c
hpq : ↑p ≠ ↑q
⊢ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑p ↑q ∨ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑q ↑p


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace E
A : E →ₗ.[𝕜] E
hA : IsSelfAdjoint A
⊢ Dense ↑A.domain


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace E
A : E →ₗ.[𝕜] E
hA : IsSelfAdjoint A
h : ¬Dense ↑A.domain
⊢ False


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace E
A : E →ₗ.[𝕜] E
hA : A† = A
h : ¬Dense ↑A.domain
⊢ False


ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝ : CharZero R
h : P.coroot i = 0
⊢ False


α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
x x' : α
⊢ typein r x ≤ typein r x' ↔ ¬r x' x


R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
ι : Type u_1
I J : Ideal R
coprime : IsCoprime I J
⊢ (fst (R ⧸ I) (R ⧸ J)).comp ↑(I.quotientMulEquivQuotientProd J coprime) = factor (I * J) I ⋯


Context: R : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: k : ℕ

Context: h : k ≤ Fintype.card σ

R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Fintype σ
k : ℕ
h : k ≤ Fintype.card σ
s : Multiset (MvPolynomial σ R) := Multiset.map (fun i => X i) univ.val
⊢ (∏ i : σ, (Polynomial.X + Polynomial.C (X i))).coeff k = esymm σ R (Fintype.card σ - k)


Context: R : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: k : ℕ

Context: h : k ≤ Multiset.card s

Context: this : Fintype.card σ = Multiset.card s

R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Fintype σ
k : ℕ
s : Multiset (MvPolynomial σ R) := Multiset.map (fun i => X i) univ.val
h : k ≤ Multiset.card s
this : Fintype.card σ = Multiset.card s
⊢ (∏ i : σ, (Polynomial.X + Polynomial.C (X i))).coeff k = esymm σ R (Multiset.card s - k)


Context: R : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: k : ℕ

Context: h : k ≤ Multiset.card s

Context: this : Fintype.card σ = Multiset.card s

R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Fintype σ
k : ℕ
s : Multiset (MvPolynomial σ R) := Multiset.map (fun i => X i) univ.val
h : k ≤ Multiset.card s
this : Fintype.card σ = Multiset.card s
⊢ (Multiset.map (fun i => Polynomial.X + Polynomial.C (X i)) univ.val).prod.coeff k =
    (Multiset.map X univ.val).esymm (Multiset.card s - k)


Context: R : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : Fintype σ

Context: k : ℕ

Context: h : k ≤ Multiset.card s

Context: this : Fintype.card σ = Multiset.card s

case h.e'_2.h.e'_3.h.e'_3
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Fintype σ
k : ℕ
s : Multiset (MvPolynomial σ R) := Multiset.map (fun i => X i) univ.val
h : k ≤ Multiset.card s
this : Fintype.card σ = Multiset.card s
⊢ Multiset.map (fun i => Polynomial.X + Polynomial.C (X i)) univ.val =
    Multiset.map (fun r => Polynomial.X + Polynomial.C r) s


Context:
x : EReal
y : ℝ

x : EReal
y : ℝ
⊢ (x * ↑y).exp = x.exp ^ y


α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
S : Multiset (Multiset α)
⊢ ∀ (a_1 : Multiset α) (s : Multiset (Multiset α)),
    (a ∈ s.join ↔ ∃ s_1 ∈ s, a ∈ s_1) → (a ∈ (a_1 ::ₘ s).join ↔ ∃ s_1 ∈ a_1 ::ₘ s, a ∈ s_1)


ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f✝ : SmoothBumpCovering ι I M s
inst✝ : Finite ι
f : SmoothBumpCovering ι I M
⊢ ∃ n e,
    Smooth I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e ∧
      Injective e ∧ ∀ (x : M), Injective ⇑(mfderiv I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e x)


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: hi : Fintype ι

Context: s : Set M

Context: f✝ : SmoothBumpCovering ι I M s

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M

Context: val✝ : Fintype ι

case intro
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f✝ : SmoothBumpCovering ι I M s
inst✝ : Finite ι
f : SmoothBumpCovering ι I M
val✝ : Fintype ι
F : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ (ι → E × ℝ)))
⊢ ∃ n e,
    Smooth I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e ∧
      Injective e ∧ ∀ (x : M), Injective ⇑(mfderiv I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e x)


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: hi : Fintype ι

Context: s : Set M

Context: f✝ : SmoothBumpCovering ι I M s

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M

Context: val✝ : Fintype ι

case intro
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f✝ : SmoothBumpCovering ι I M s
inst✝ : Finite ι
f : SmoothBumpCovering ι I M
val✝ : Fintype ι
F : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ (ι → E × ℝ)))
this : IsNoetherian ℝ (E × ℝ) := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance
⊢ ∃ n e,
    Smooth I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e ∧
      Injective e ∧ ∀ (x : M), Injective ⇑(mfderiv I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e x)


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: hi : Fintype ι

Context: s : Set M

Context: f✝ : SmoothBumpCovering ι I M s

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M

Context: val✝ : Fintype ι

case intro
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f✝ : SmoothBumpCovering ι I M s
inst✝ : Finite ι
f : SmoothBumpCovering ι I M
val✝ : Fintype ι
F : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ (ι → E × ℝ)))
this✝ : IsNoetherian ℝ (E × ℝ) := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance
this : FiniteDimensional ℝ (ι → E × ℝ) := IsNoetherian.iff_fg.mp inferInstance
⊢ ∃ n e,
    Smooth I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e ∧
      Injective e ∧ ∀ (x : M), Injective ⇑(mfderiv I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e x)


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: hi : Fintype ι

Context: s : Set M

Context: f✝ : SmoothBumpCovering ι I M s

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M

Context: val✝ : Fintype ι

case intro
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f✝ : SmoothBumpCovering ι I M s
inst✝ : Finite ι
f : SmoothBumpCovering ι I M
val✝ : Fintype ι
F : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ (ι → E × ℝ)))
this✝ : IsNoetherian ℝ (E × ℝ) := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance
this : FiniteDimensional ℝ (ι → E × ℝ) := IsNoetherian.iff_fg.mp inferInstance
eEF : (ι → E × ℝ) ≃L[ℝ] F := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq ⋯
⊢ ∃ n e,
    Smooth I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e ∧
      Injective e ∧ ∀ (x : M), Injective ⇑(mfderiv I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) e x)


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: hi : Fintype ι

Context: s : Set M

Context: f✝ : SmoothBumpCovering ι I M s

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M

Context: val✝ : Fintype ι

Context: x : M

case intro
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f✝ : SmoothBumpCovering ι I M s
inst✝ : Finite ι
f : SmoothBumpCovering ι I M
val✝ : Fintype ι
F : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ (ι → E × ℝ)))
this✝ : IsNoetherian ℝ (E × ℝ) := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance
this : FiniteDimensional ℝ (ι → E × ℝ) := IsNoetherian.iff_fg.mp inferInstance
eEF : (ι → E × ℝ) ≃L[ℝ] F := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq ⋯
x : M
⊢ Injective ⇑(mfderiv I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ (ι → E × ℝ)))) (⇑eEF ∘ ⇑f.embeddingPiTangent) x)


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: hi : Fintype ι

Context: s : Set M

Context: f✝ : SmoothBumpCovering ι I M s

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : SmoothBumpCovering ι I M

Context: val✝ : Fintype ι

Context: x : M

case intro
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f✝ : SmoothBumpCovering ι I M s
inst✝ : Finite ι
f : SmoothBumpCovering ι I M
val✝ : Fintype ι
F : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ (ι → E × ℝ)))
this✝ : IsNoetherian ℝ (E × ℝ) := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance
this : FiniteDimensional ℝ (ι → E × ℝ) := IsNoetherian.iff_fg.mp inferInstance
eEF : (ι → E × ℝ) ≃L[ℝ] F := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq ⋯
x : M
⊢ Injective ⇑((↑eEF).comp (mfderiv I 𝓘(ℝ, ι → E × ℝ) (⇑f.embeddingPiTangent) x))


Context: n : ℕ

Context: hpos : 0 < n

Context: p : ℕ

Context: hprime : Fact (Nat.Prime p)

Context: a : ℕ

n : ℕ
hpos : 0 < n
p : ℕ
hprime : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
hroot : (cyclotomic n (ZMod p)).IsRoot ((Nat.castRingHom (ZMod p)) a)
⊢ a.Coprime p


Context: n : ℕ

Context: hpos : 0 < n

Context: p : ℕ

Context: hprime : Fact (Nat.Prime p)

Context: a : ℕ

case a
n : ℕ
hpos : 0 < n
p : ℕ
hprime : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
hroot : (cyclotomic n (ZMod p)).IsRoot ((Nat.castRingHom (ZMod p)) a)
⊢ p.Coprime a


Context: n : ℕ

Context: hpos : 0 < n

Context: p : ℕ

Context: hprime : Fact (Nat.Prime p)

Context: a : ℕ

Context: h : p ∣ a

case a
n : ℕ
hpos : 0 < n
p : ℕ
hprime : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
hroot : (cyclotomic n (ZMod p)).IsRoot ((Nat.castRingHom (ZMod p)) a)
h : p ∣ a
⊢ False


Context: n : ℕ

Context: hpos : 0 < n

Context: p : ℕ

Context: hprime : Fact (Nat.Prime p)

Context: a : ℕ

Context: h : ↑a = 0

case a
n : ℕ
hpos : 0 < n
p : ℕ
hprime : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
hroot : (cyclotomic n (ZMod p)).IsRoot ((Nat.castRingHom (ZMod p)) a)
h : ↑a = 0
⊢ False


Context: n : ℕ

Context: hpos : 0 < n

Context: p : ℕ

Context: hprime : Fact (Nat.Prime p)

Context: a : ℕ

Context: h : ↑a = 0

Context: hone : ¬n = 1

case neg
n : ℕ
hpos : 0 < n
p : ℕ
hprime : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
hroot : (cyclotomic n (ZMod p)).coeff 0 = 0
h : ↑a = 0
hone : ¬n = 1
⊢ False


case neg
n : ℕ
hpos : 0 < n
p : ℕ
hprime : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
hroot : 1 = 0
h : ↑a = 0
hone : ¬n = 1
⊢ False


R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : M
x : OreLocalization S X
⊢ (r /ₒ 1) • x = r • x


case c
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : M
r' : X
s : ↥S
⊢ (r /ₒ 1) • (r' /ₒ s) = r • (r' /ₒ s)


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

a b : ℝ
n : ℕ
C : ℝ := cos b ^ (n + 1) * sin b - cos a ^ (n + 1) * sin a
h : ∀ (α β γ : ℝ), β * α * γ * α = β * (α * α * γ)
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ (n + 2) =
    (cos b ^ (n + 1) * sin b - cos a ^ (n + 1) * sin a + (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ n) -
      (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ (n + 2)


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

a b : ℝ
n : ℕ
C : ℝ := cos b ^ (n + 1) * sin b - cos a ^ (n + 1) * sin a
h : ∀ (α β γ : ℝ), β * α * γ * α = β * (α * α * γ)
hu : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt (fun y => cos y ^ (n + 1)) (-↑(n + 1) * sin x * cos x ^ n) x
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ (n + 2) =
    (cos b ^ (n + 1) * sin b - cos a ^ (n + 1) * sin a + (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ n) -
      (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ (n + 2)


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

a b : ℝ
n : ℕ
C : ℝ := cos b ^ (n + 1) * sin b - cos a ^ (n + 1) * sin a
h : ∀ (α β γ : ℝ), β * α * γ * α = β * (α * α * γ)
hu : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt (fun y => cos y ^ (n + 1)) (-↑(n + 1) * sin x * cos x ^ n) x
hv : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt sin (cos x) x
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ (n + 2) =
    (cos b ^ (n + 1) * sin b - cos a ^ (n + 1) * sin a + (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ n) -
      (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ (n + 2)


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

case refine_1
a b : ℝ
n : ℕ
C : ℝ := cos b ^ (n + 1) * sin b - cos a ^ (n + 1) * sin a
h : ∀ (α β γ : ℝ), β * α * γ * α = β * (α * α * γ)
hu : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt (fun y => cos y ^ (n + 1)) (-↑(n + 1) * sin x * cos x ^ n) x
hv : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt sin (cos x) x
⊢ IntervalIntegrable (fun x => -↑(n + 1) * sin x * cos x ^ n) MeasureTheory.volume a b

case refine_2
a b : ℝ
n : ℕ
C : ℝ := cos b ^ (n + 1) * sin b - cos a ^ (n + 1) * sin a
h : ∀ (α β γ : ℝ), β * α * γ * α = β * (α * α * γ)
hu : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt (fun y => cos y ^ (n + 1)) (-↑(n + 1) * sin x * cos x ^ n) x
hv : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt sin (cos x) x
⊢ IntervalIntegrable cos MeasureTheory.volume a b


Context: m n : ℕ

m n : ℕ
⊢ (subNatNat m n).bodd = xor m.bodd n.bodd


a • b₂ ≤ a • b₁

α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
h : b₁ ≤ b₂
ha : a ≤ 0
⊢ a • b₂ ≤ a • b₁


α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
h : b₁ ≤ b₂
ha : a ≤ 0
⊢ -a • b₁ ≤ -a • b₂


C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : C
inst✝ : HasTerminal C
X : MonoOver (⊤_ C)
Z : C
f g : Z ⟶ X.obj.left
⊢ f = g


f : ℕ → ℂ
s : ℂ
hs : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
⊢ LSeriesSummable f s


case intro.intro
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
y : ℝ
hy : LSeriesSummable f ↑y
hys : y < s.re
⊢ LSeriesSummable f s


α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTop α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : Nontrivial α
⊢ (𝓝 ⊤).HasBasis (fun a => a < ⊤) fun a => Ioi a


α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTop α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : Nontrivial α
this : ∃ x, x < ⊤
⊢ (𝓝 ⊤).HasBasis (fun a => a < ⊤) fun a => Ioi a


X : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring M
inst✝ : Module M X
P : M
h : IsLprojection X P
x : X
⊢ ‖x‖ = ‖(1 - P) • x‖ + ‖(1 - (1 - P)) • x‖


X : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring M
inst✝ : Module M X
P : M
h : IsLprojection X P
x : X
⊢ ‖x‖ = ‖P • x‖ + ‖(1 - P) • x‖


α : Type u
r : α → α → Prop
a : α
l✝ : List α
inst✝ : PartialOrder α
l : List α
h₁ : Sorted (fun x x_1 => x ≥ x_1) l
h₂ : l.Nodup
⊢ Pairwise (fun x x_1 => x_1 ≠ x) l


k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w₁ w₂ : ι → k
p : ι → P
⊢ (affineCombination k s p) w₁ -ᵥ (affineCombination k s p) w₂ = (s.weightedVSub p) (w₁ - w₂)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : μ'.IsHaarMeasure

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ.IsEverywherePos s

G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : μ.IsEverywherePos s
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
⊢ μ' s = ν s


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : μ'.IsHaarMeasure

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ.IsEverywherePos s

Context: k : Set G

Context: k_comp : IsCompact k

Context: k_closed : IsClosed k

Context: k_mem : k ∈ 𝓝 1

case intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : μ.IsEverywherePos s
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
k : Set G
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed k
k_mem : k ∈ 𝓝 1
⊢ μ' s = ν s


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : μ'.IsHaarMeasure

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ.IsEverywherePos s

Context: k : Set G

Context: k_comp : IsCompact k

Context: k_closed : IsClosed k

Context: k_mem : k ∈ 𝓝 1

Context: one_k : 1 ∈ k

Context: m : Set G

Context: m_max : ∀ a ∈ A, m ⊆ a → a = m

Context: sm : s ⊆ ⋃ x ∈ m, x • (k * k⁻¹)

case intro.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : μ.IsEverywherePos s
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
k : Set G
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed k
k_mem : k ∈ 𝓝 1
one_k : 1 ∈ k
A : Set (Set G) := {t | t ⊆ s ∧ t.PairwiseDisjoint fun x => x • k}
m : Set G
m_max : ∀ a ∈ A, m ⊆ a → a = m
mA : m ⊆ s ∧ m.PairwiseDisjoint fun x => x • k
sm : s ⊆ ⋃ x ∈ m, x • (k * k⁻¹)
⊢ μ' s = ν s


R : Type v
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : StarRing R
S T : StarSubsemiring R
h : S.toSubsemiring = T.toSubsemiring
x : R
⊢ x ∈ S ↔ x ∈ T


α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
f : α →o β
g : β →o γ
c : Chain α
⊢ OrderHom.id (ωSup c) = ωSup (c.map OrderHom.id)


R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M × N →ₗ[R] M
i : Injective ⇑f
n : ℕ
⊢ Submodule.map (((f.tunnel' i n).fst.subtype ∘ₗ ↑(f.tunnel' i n).snd.symm) ∘ₗ f) (Submodule.snd R M N) ⊔
      Submodule.map (((f.tunnel' i n).fst.subtype ∘ₗ ↑(f.tunnel' i n).snd.symm) ∘ₗ f) (Submodule.fst R M N) ≤
    (f.tunnel' i n).fst


R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M × N →ₗ[R] M
i : Injective ⇑f
n : ℕ
⊢ Submodule.map (f.tunnel' i n).fst.subtype (Submodule.map (↑(f.tunnel' i n).snd.symm) (Submodule.map f ⊤)) ≤
    (f.tunnel' i n).fst


R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
x y : M
⊢ (fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m)) (x + y) =
    (fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m)) x +
      (fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m)) y


R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
x y : M
⊢ (fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m)) (x + y) =
    (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R x + FreeAlgebra.ι R y)


R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r : R
x : M
⊢ { toFun := fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m), map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) =
    (RingHom.id R) r • { toFun := fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m), map_add' := ⋯ }.toFun x


R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r : R
x : M
⊢ { toFun := fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m), map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) =
    (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) ((RingHom.id R) r • FreeAlgebra.ι R x)


E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x✝ x : M
hx : ↑f x = 1 x
⊢ 1 x ≠ 0


α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
n : α →₀ ℕ
f : (α →₀ ℕ) → (α →₀ ℕ) → M
⊢ ∀ (i : (α →₀ ℕ) × (α →₀ ℕ)), i ∈ antidiagonal n ↔ (Equiv.prodComm (α →₀ ℕ) (α →₀ ℕ)) i ∈ antidiagonal n


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : Monoid N
inst✝² : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a : M
l : List M
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
f : F
⊢ (map (⇑f) l).prod = f l.prod


p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp2✝ : Fact (p % 2 = 1)
a : ℕ
hap : ↑a ≠ 0
hp2 : ↑p = ↑1
⊢ ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * x) = ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (a * x % p + p * (a * x / p)))


p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp2✝ : Fact (p % 2 = 1)
a : ℕ
hap : ↑a ≠ 0
hp2 : ↑p = ↑1
⊢ ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (a * x % p + p * (a * x / p))) =
    ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (↑(a * x)).val) + ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * x / p)


p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp2✝ : Fact (p % 2 = 1)
a : ℕ
hap : ↑a ≠ 0
hp2 : ↑p = ↑1
⊢ ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (a * x % p + p * (a * x / p))) =
    ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * x % p) + ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * x / p)


p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp2✝ : Fact (p % 2 = 1)
a : ℕ
hap : ↑a ≠ 0
hp2 : ↑p = ↑1
⊢ ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (↑(a * x)).val) =
    ∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, ↑((↑a * ↑x).valMinAbs + ↑(if (↑a * ↑x).val ≤ p / 2 then 0 else p))


p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp2✝ : Fact (p % 2 = 1)
a : ℕ
hap : ↑a ≠ 0
hp2 : ↑p = ↑1
⊢ ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (↑(a * x)).val) = ∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, ↑↑(↑a * ↑x).val


p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp2✝ : Fact (p % 2 = 1)
a : ℕ
hap : ↑a ≠ 0
hp2 : ↑p = ↑1
⊢ ∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, ↑((↑a * ↑x).valMinAbs + ↑(if (↑a * ↑x).val ≤ p / 2 then 0 else p)) =
    ↑(filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Ico 1 (p / 2).succ)).card +
      ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (↑a * ↑x).valMinAbs.natAbs)


p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp2✝ : Fact (p % 2 = 1)
a : ℕ
hap : ↑a ≠ 0
hp2 : ↑p = ↑1
⊢ ↑(filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Ico 1 (p / 2).succ)).card +
      ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (↑a * ↑x).valMinAbs.natAbs) =
    ↑(filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Ico 1 (p / 2).succ)).card + ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, x)


a⁻¹ ≤ a ↔ 1 ≤ a

α : Type u
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
⊢ a⁻¹ ≤ a ↔ 1 ≤ a


K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
x : (𝓞 K)ˣ
inst✝ : NumberField K
⊢ x ∈ torsion K ↔ ∀ (w : InfinitePlace K), w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x) = 1


K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
x : (𝓞 K)ˣ
inst✝ : NumberField K
⊢ IsOfFinOrder x ↔ ∀ (φ : K →+* ℂ), ‖φ ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x)‖ = 1


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: x : (𝓞 K)ˣ

Context: inst✝ : NumberField K

K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
x : (𝓞 K)ˣ
inst✝ : NumberField K
h : ∀ (φ : K →+* ℂ), ‖φ ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x)‖ = 1
⊢ ∃ n, 0 < n ∧ x ^ n = 1


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: x : (𝓞 K)ˣ

Context: inst✝ : NumberField K

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: hx : (algebraMap (𝓞 K) K) ↑x ^ n = 1

case intro.intro
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
x : (𝓞 K)ˣ
inst✝ : NumberField K
h : ∀ (φ : K →+* ℂ), ‖φ ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x)‖ = 1
n : ℕ
hn : 0 < n
hx : (algebraMap (𝓞 K) K) ↑x ^ n = 1
⊢ ∃ n, 0 < n ∧ x ^ n = 1


α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ✝ : Type u_5
mγ✝ : MeasurableSpace γ✝
f✝ : β → γ✝
g : γ✝ → α
κ : Kernel α β
γ : Type u_6
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
hf : Measurable f
⊢ (κ.map (fun a => (a, f a)) ⋯).fst = κ


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
s : ℕ → Set α
t : Set α
h : ∀ (n : ℕ), s n =ᶠ[ae μ] t
⊢ liminf s atTop =ᶠ[ae μ] t


α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
p : Associates α
hp : Irreducible p
hz : a ≠ 0
h_mem : ⟨p, hp⟩ ∈ factors' a
this : DecidableEq (Associates α)
⊢ p ∣ Associates.mk a


case hm
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
p : Associates α
hp : Irreducible p
hz : a ≠ 0
h_mem : ⟨p, hp⟩ ∈ factors' a
this : DecidableEq (Associates α)
⊢ p ∈ (Associates.mk a).factors


case hm
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
p : Associates α
hp : Irreducible p
hz : a ≠ 0
h_mem : ⟨p, hp⟩ ∈ factors' a
this : DecidableEq (Associates α)
⊢ p ∈ ↑(factors' a)


α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
n : ℕ
hst : 2 * n < (s ∪ t).ncard
⊢ ∃ r, n < r.ncard ∧ (r ⊆ s ∨ r ⊆ t)


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : InvolutiveInv α
s✝ : Finset α
a : α
s : Finset α
⊢ ↑(s.preimage (fun x => x⁻¹) ⋯) = ↑s⁻¹


Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁹ : Category.{w, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝⁸ : Category.{w', u₃} E

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: A A' B B' : C

Context: inst✝⁷ : HasBinaryProduct A B

Context: inst✝⁶ : HasBinaryProduct A' B'

Context: f : A ⟶ A'

Context: g : B ⟶ B'

Context: inst✝¹ : IsIso (prodComparison F A B)

Context: inst✝ : IsIso (prodComparison F A' B')

C : Type u
inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C
X Y : C
D : Type u₂
inst✝⁹ : Category.{w, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁸ : Category.{w', u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A A' B B' : C
inst✝⁷ : HasBinaryProduct A B
inst✝⁶ : HasBinaryProduct A' B'
inst✝⁵ : HasBinaryProduct (F.obj A) (F.obj B)
inst✝⁴ : HasBinaryProduct (F.obj A') (F.obj B')
inst✝³ : HasBinaryProduct (G.obj (F.obj A)) (G.obj (F.obj B))
inst✝² : HasBinaryProduct ((F ⋙ G).obj A) ((F ⋙ G).obj B)
f : A ⟶ A'
g : B ⟶ B'
inst✝¹ : IsIso (prodComparison F A B)
inst✝ : IsIso (prodComparison F A' B')
⊢ inv (prodComparison F A B) ≫ F.map (prod.map f g) = prod.map (F.map f) (F.map g) ≫ inv (prodComparison F A' B')


R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Ring B
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
x : B
hx : IsIntegral R x
p : R[X]
hp : p.Monic
hpx : eval₂ (algebraMap R B) x p = 0
⊢ eval₂ (algebraMap A B) x (Polynomial.map (algebraMap R A) p) = 0


J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cocone F
h : IsColimit t
W : C
m : t.pt ⟶ W
X✝ Y✝ : J
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ F.map f✝ ≫ (fun b => t.ι.app b ≫ m) Y✝ = (fun b => t.ι.app b ≫ m) X✝ ≫ ((const J).obj W).map f✝


Context:
m x y : ℤ
h : 2 * m = x ^ 2 + y ^ 2


m x y : ℤ
h : 2 * m = x ^ 2 + y ^ 2
this : Even (x ^ 2 + y ^ 2)
hxaddy : Even (x + y)
hxsuby : Even (x - y)
⊢ 2 * 2 * m = (x - y) ^ 2 + (x + y) ^ 2


Context:
m x y : ℤ
h : 2 * m = x ^ 2 + y ^ 2
this : Even (x ^ 2 + y ^ 2)
hxaddy : 2 ∣ x + y
hxsuby : 2 ∣ x - y


ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : SetLike σ M
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
inst✝ : Decomposition ℳ
x : M
i j : ι
hx : x ∈ ℳ i
hij : i ≠ j
⊢ ↑(((decompose ℳ) x) j) = 0


F : Type u_1
K✝¹ : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K✝¹
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K✝¹
inst✝¹ : Algebra F L
K✝ K' : IntermediateField F L
inst✝ : Normal F L
K : IntermediateField F L
⊢ Normal F ↥K ↔ ∀ (σ : L ≃ₐ[F] L), map (↑σ) K ≤ K


R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
⊢ Algebra.Transcendental R A ↔ ¬Algebra.IsAlgebraic R A


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: f : ι → E

Context: n : ι

𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
n : ι
⊢ f n = gramSchmidt 𝕜 f n + ∑ i ∈ Iio n, ↑((orthogonalProjection (span 𝕜 {gramSchmidt 𝕜 f i})) (f n))


C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (β_ X (𝟙_ C)).hom = (ρ_ X).hom ≫ (λ_ X).inv


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: b : K

K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
b : K
nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some b
⊢ |v - (of v).convs n| ≤ 1 / (b * (of v).dens n * (of v).dens n)


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: b : K

K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
b : K
nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some b
not_terminatedAt_n : ¬(of v).TerminatedAt n
⊢ |v - (of v).convs n| ≤ 1 / (b * (of v).dens n * (of v).dens n)


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: b : K

K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
b : K
nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some b
not_terminatedAt_n : ¬(of v).TerminatedAt n
⊢ 1 / ((of v).dens n * (of v).dens (n + 1)) ≤ 1 / (b * (of v).dens n * (of v).dens n)


ι : Type u_1
α : Type u_2
R✝ : Type u_3
S✝ : Type u_4
S : Type u_5
inst✝² : OrderedRing S
R : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
abv : R → S
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
a b c : R
⊢ abv (a - c) ≤ abv (a - b) + abv (b - c)


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: s t : Multiset α

Context: a : α

Context: m : Multiset ι

Context: f g : ι → α

Context: p : α → Prop

Context: hs : s ≠ ∅

Context: p_s : ∀ a ∈ s, p a

F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
p : α → Prop
p_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
hs : s ≠ ∅
p_s : ∀ a ∈ s, p a
⊢ p s.prod


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: s✝ t : Multiset α

Context: a✝ : α

Context: m : Multiset ι

Context: f g : ι → α

Context: p : α → Prop

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hsa : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → p s.prod

Context: hs : a ::ₘ s ≠ ∅

Context: p_s : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1

case cons
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
p : α → Prop
p_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hsa : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → p s.prod
hs : a ::ₘ s ≠ ∅
p_s : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
⊢ p (a ::ₘ s).prod


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: s✝ t : Multiset α

Context: a✝ : α

Context: m : Multiset ι

Context: f g : ι → α

Context: p : α → Prop

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hsa : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → p s.prod

Context: hs : a ::ₘ s ≠ ∅

Context: p_s : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1

Context: hs_empty : ¬s = ∅

case neg
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
p : α → Prop
p_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hsa : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → p s.prod
hs : a ::ₘ s ≠ ∅
p_s : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
hs_empty : ¬s = ∅
⊢ p (a * s.prod)


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: s✝ t : Multiset α

Context: a✝ : α

Context: m : Multiset ι

Context: f g : ι → α

Context: p : α → Prop

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hsa : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → p s.prod

Context: hs : a ::ₘ s ≠ ∅

Context: p_s : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1

Context: hs_empty : ¬s = ∅

Context: hps : ∀ x ∈ s, p x

case neg
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
p : α → Prop
p_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hsa : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → p s.prod
hs : a ::ₘ s ≠ ∅
p_s : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
hs_empty : ¬s = ∅
hps : ∀ x ∈ s, p x
⊢ p (a * s.prod)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid E

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid F

Context: inst✝² : SMul 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f g : E → β

Context: hf : ConvexOn 𝕜 s f

Context: x y : E

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ s

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: hyz : f y ≤ f (a • x + b • y)

case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hyz : f y ≤ f (a • x + b • y)
⊢ f (a • x + b • y) ≤ f x


R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ f.range = ⊤ ↔ Function.Surjective ⇑f


Context: F : Type w

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T

Context: inst✝¹ : FunLike F R S

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S

Context: g : S →ₙ+* T

Context: f : R →ₙ+* S

Context: s : Set R

Context: p : R → R → Prop

Context: a b : R

Context: ha : a ∈ closure s

Context: hb : b ∈ closure s

Context: Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y

Context: H0_left : ∀ (x : R), p 0 x

Context: H0_right : ∀ (x : R), p x 0

F : Type w
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S
s : Set R
p : R → R → Prop
a b : R
ha : a ∈ closure s
hb : b ∈ closure s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
H0_left : ∀ (x : R), p 0 x
H0_right : ∀ (x : R), p x 0
Hneg_left : ∀ (x y : R), p x y → p (-x) y
Hneg_right : ∀ (x y : R), p x y → p x (-y)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
⊢ p a b


Context: F : Type w

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T

Context: inst✝¹ : FunLike F R S

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S

Context: g : S →ₙ+* T

Context: f : R →ₙ+* S

Context: s : Set R

Context: p : R → R → Prop

Context: a b : R

Context: ha : a ∈ closure s

Context: hb : b ∈ closure s

Context: Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y

Context: H0_left : ∀ (x : R), p 0 x

Context: H0_right : ∀ (x : R), p x 0

F : Type w
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S
s : Set R
p : R → R → Prop
a b : R
ha : a ∈ closure s
hb : b ∈ closure s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
H0_left : ∀ (x : R), p 0 x
H0_right : ∀ (x : R), p x 0
Hneg_left : ∀ (x y : R), p x y → p (-x) y
Hneg_right : ∀ (x y : R), p x y → p x (-y)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : R), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : R), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
⊢ ∀ x ∈ s, p a x


R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : Field R
p q : R[X]
inst✝¹ : CommSemiring k
inst✝ : DecidableEq R
ϕ : R →+* k
f g : R[X]
α : k
hf : eval₂ ϕ α f = 0
hg : eval₂ ϕ α g = 0
⊢ eval₂ ϕ α (EuclideanDomain.gcd f g) = 0


𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ b ∈ ball a r ↔ ‖b / a‖ < r


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X W : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : W ⟶ X

Context: x : ↑↑W.toPresheafedSpace

X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
X W : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : W ⟶ X
x : ↑↑W.toPresheafedSpace
⊢ x ∈ Set.range ⇑((fun x => pullback.fst f (𝒰.map x)) ((fun x => 𝒰.f (f.val.base x)) x)).val.base


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X W : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : W ⟶ X

Context: x : ↑↑W.toPresheafedSpace

X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
X W : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : W ⟶ X
x : ↑↑W.toPresheafedSpace
⊢ x ∈
    Set.range
      ⇑((PreservesPullback.iso forgetToTop f (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))).hom ≫
          pullback.fst (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))))


R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.97943
inst✝ : MulAction R X
s s' : ↥S
⊢ ↑s /ₒ s' * (↑s' /ₒ s) = 1


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
x✝² : NonAssocSemiring α
x✝¹ : NonAssocSemiring β
x✝ : NonAssocSemiring γ
g : β →+* γ
f₁ f₂ : α →+* β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
x : α
⊢ g (f₁ x) = g (f₂ x)


α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
⊢ (A * C).card * B.card ≤ (A / B).card * (B / C).card


α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
⊢ (A * C).card * B⁻¹.card ≤ (A * B⁻¹).card * (B⁻¹ * C).card


α β : Type u
c : Cardinal.{?u.228574}
f : α → β
s : Set β
h : Injective f
h2 : s ⊆ range f
⊢ #↑(f ⁻¹' s) = #↑s


α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
hp : p ∈ normalizedFactors a
q : α
hq : q ∈ normalizedFactors a
hdvd : p ∣ q
⊢ p = q


k m n : Nat
H1 : k.Coprime m
H2 : k ∣ m * n
⊢ k ∣ n * m


G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint ↑K₁ ↑K₂
h₁ : IsClosed ↑K₁
h₂ : IsClosed ↑K₂
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) (K₁ ⊔ K₂) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K₁ + (fun s => ↑(μ.toFun s)) K₂


↑s₁ ⊂ ↑s₂ ↔ s₁ ⊆ s₂ ∧ ¬s₂ ⊆ s₁

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t s₁ s₂ : Finset α
⊢ ↑s₁ ⊂ ↑s₂ ↔ s₁ ⊆ s₂ ∧ ¬s₂ ⊆ s₁


k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w✝ : InfinitePlace K
inst✝¹ : IsGalois k K
inst✝ : FiniteDimensional k K
w : InfinitePlace k
hw : ¬IsUnramifiedIn K w
⊢ Even (card (K ≃ₐ[k] K))


Context: k : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : NumberField K

Context: inst✝⁵ : Algebra k K

Context: inst✝⁴ : Algebra k F

Context: inst✝³ : Algebra K F

Context: inst✝² : IsScalarTower k K F

Context: σ : K ≃ₐ[k] K

Context: w : InfinitePlace K

Context: inst✝¹ : IsGalois k K

Context: inst✝ : FiniteDimensional k K

Context: v : InfinitePlace K

case intro
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : IsGalois k K
inst✝ : FiniteDimensional k K
v : InfinitePlace K
hw : ¬IsUnramifiedIn K ((fun x => x.comap (algebraMap k K)) v)
⊢ Even (card (K ≃ₐ[k] K))


case intro
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : IsGalois k K
inst✝ : FiniteDimensional k K
v : InfinitePlace K
hw : ¬IsUnramified k v
⊢ Even (card (K ≃ₐ[k] K))


R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
h : ¬Module.Finite R S
x : S
⊢ (norm R) x = 1


case intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
h : ¬Module.Finite R S
x : S
s : Finset S
b : Basis { x // x ∈ s } R S
⊢ Module.Finite R S


case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁶ : AddCommGroup V
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommGroup W
inst✝¹² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalRing 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f g : V → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
w : W
⊢ (fourierIntegral e μ L f + fourierIntegral e μ L g) w = fourierIntegral e μ L (f + g) w


case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁶ : AddCommGroup V
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommGroup W
inst✝¹² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalRing 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f g : V → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
w : W
⊢ ∫ (v : V), e (-(L v) w) • f v ∂μ + ∫ (v : V), e (-(L v) w) • g v ∂μ = ∫ (v : V), e (-(L v) w) • (f v + g v) ∂μ


case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁶ : AddCommGroup V
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommGroup W
inst✝¹² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalRing 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f g : V → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
w : W
⊢ ∫ (v : V), e (-(L v) w) • f v ∂μ + ∫ (v : V), e (-(L v) w) • g v ∂μ =
    ∫ (v : V), e (-(L v) w) • f v + e (-(L v) w) • g v ∂μ


R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : N →ₗ[R] N
n : ℕ
⊢ lTensor M f ^ n = lTensor M (f ^ n)


R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : N →ₗ[R] N
n : ℕ
h : map id f ^ n = map (id ^ n) (f ^ n)
⊢ lTensor M f ^ n = lTensor M (f ^ n)


b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ι → ℂ
⊢ Integrable (fun v => cexp (-b * ∑ i : ι, ↑(v i) ^ 2 + ∑ i : ι, c i * ↑(v i))) volume


b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ι → ℂ
⊢ Integrable (fun v => cexp (-∑ i : ι, b * ↑(v i) ^ 2 + ∑ i : ι, c i * ↑(v i))) volume


α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
E : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : One β
s : ι → Set α
hs : Monotone s
f : α → β
a : α
⊢ (fun i => (s i).mulIndicator f a) =ᶠ[atTop] fun x => (⋃ i, s i).mulIndicator f a


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑↑(Proj.restrict ⋯).toPresheafedSpace
⊢ awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.Γgerm x =
    HomogeneousLocalization.mapId 𝒜 ⋯ ≫ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv ≫ (Proj.restrictStalkIso ⋯ x).inv


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑↑(Proj.restrict ⋯).toPresheafedSpace
⊢ awayToSection 𝒜 f ≫
      (structureSheaf 𝒜).val.map (homOfLE ⋯).op ≫
        (Proj.restrict ⋯).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩ ≫ (Proj.restrictStalkIso ⋯ x).hom =
    HomogeneousLocalization.mapId 𝒜 ⋯ ≫ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑↑(Proj.restrict ⋯).toPresheafedSpace
⊢ awayToSection 𝒜 f ≫
      (structureSheaf 𝒜).val.map (homOfLE ⋯).op ≫ Presheaf.germ (structureSheaf 𝒜).val ⟨(pbo f).inclusion x, ⋯⟩ =
    HomogeneousLocalization.mapId 𝒜 ⋯ ≫ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: f : K ⟶ L

Context: x y : ℤ

Context: inst✝ : K.HasTotal (up ℤ)

Context: a n b' : ℤ

Context: hb' : a + b' = n + y

Context: h : a + (b' - y) = n

C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K L : HomologicalComplex₂ C (up ℤ) (up ℤ)
f : K ⟶ L
x y : ℤ
inst✝ : K.HasTotal (up ℤ)
a n b' : ℤ
hb' : a + b' = n + y
h : a + (b' - y) = n
⊢ (K.ιTotal (up ℤ) a b' (n + y) hb' ≫
      𝟙 ((K.total (up ℤ)).X (n + y)) ≫
        K.totalDesc fun p q hpq =>
          (p * y).negOnePow • eqToHom ⋯ ≫ ((shiftFunctor₂ C y).obj K).ιTotal (up ℤ) p (q - y) n ⋯) =
    (a * y).negOnePow • eqToHom ⋯ ≫ ((shiftFunctor₂ C y).obj K).ιTotal (up ℤ) a (b' - y) n h


H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q✝ : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
U : Opens M
x : ↥U
⊢ LiftPropAt Q (id ∘ Subtype.val) x


H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q✝ : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
U : Opens M
x : ↥U
⊢ LiftPropAt Q id ↑x


p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R✝
R : Type u_2
inst✝ : Fintype R
⊢ Fintype.card (TruncatedWittVector p n R) = Fintype.card R ^ n


case mk.mk
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass α
A : Matrix m m α
B : Matrix n n α
hA : A.IsDiag
hB : B.IsDiag
a : m
b : n
c : m
d : n
h : (a, b) ≠ (c, d)
⊢ kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B (a, b) (c, d) = 0


X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : PseudoMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderWith C r f
x y : X
d : ℝ
hd : dist x y ≤ d
⊢ dist (f x) (f y) ≤ ↑C * d ^ ↑r


case intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : PseudoMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderWith C r f
x y : X
d : ℝ≥0
hd : dist x y ≤ ↑d
⊢ dist (f x) (f y) ≤ ↑C * ↑d ^ ↑r


case intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : PseudoMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderWith C r f
x y : X
d : ℝ≥0
hd : nndist x y ≤ d
⊢ nndist (f x) (f y) ≤ C * d ^ ↑r


case h.a
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g✝ : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
N : Submodule R M
g : Module.End R ↥N
G : Module.End R M
h : G ∘ₗ N.subtype = N.subtype ∘ₗ g
k : ℕ
hG : G ^ k = 0
m : ↥N
⊢ ↑((g ^ k) m) = ↑(0 m)


a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g
den : Nat := ad * b.den
num : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad
⊢ num.natAbs.gcd g = num.natAbs.gcd den


a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g
den : Nat := ad * b.den
num : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad
ae : ad * g = a.den
⊢ num.natAbs.gcd g = num.natAbs.gcd den


a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g
den : Nat := ad * b.den
num : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad
ae : ad * g = a.den
be : bd * g = b.den
⊢ num.natAbs.gcd g = num.natAbs.gcd den


a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g
den : Nat := ad * b.den
num : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad
ae : ad * g = a.den
be : bd * g = b.den
hden : den = ad * bd * g
⊢ num.natAbs.gcd g = num.natAbs.gcd den


case H
a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g
den : Nat := ad * b.den
num : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad
ae : ad * g = a.den
be : bd * g = b.den
hden : den = ad * bd * g
⊢ (ad * bd).Coprime num.natAbs


case H
a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g
den : Nat := ad * b.den
num : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad
ae : ad * g = a.den
be : bd * g = b.den
hden : den = ad * bd * g
cop : ad.Coprime bd
⊢ (ad * bd).Coprime num.natAbs


Context: a b : Rat

Context: g ad bd : Nat

Context: hg : g = a.den.gcd b.den

Context: had : ad = a.den / g

Context: hbd : bd = b.den / g

Context: den : Nat := ad * b.den

Context: num : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad

Context: ae : ad * g = a.den

Context: be : bd * g = b.den

Context: hden : den = ad * bd * g

Context: cop : ad.Coprime bd

case H
a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g
den : Nat := ad * b.den
num : Int := a.num * ↑bd + b.num * ↑ad
ae : ad * g = a.den
be : bd * g = b.den
hden : den = ad * bd * g
cop : ad.Coprime bd
H1 : ∀ (d : Nat), d.gcd num.natAbs ∣ a.num.natAbs * bd ↔ d.gcd num.natAbs ∣ b.num.natAbs * ad
⊢ (ad * bd).Coprime num.natAbs


R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
p : PrimeSpectrum ↑S
⊢ toStalk (↑R) ((PrimeSpectrum.comap f) p) ≫ PresheafedSpace.Hom.stalkMap (Spec.sheafedSpaceMap f) p =
    f ≫ toStalk (↑S) p


G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
hHK : H ≤ K
hKL : K ≤ L
⊢ H.relindex K * K.relindex L = H.relindex L


G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
hHK : H ≤ K
hKL : K ≤ L
⊢ (H.subgroupOf L).relindex (K.subgroupOf L) * K.relindex L = H.relindex L


case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : ¬x = 0
⊢ Real.tan (angle x (x + y)) = ‖y‖ / ‖x‖


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: a b c : α

α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
⊢ a⁻¹ < 1 ↔ 1 < a


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G

p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
⊢ Nat.card ↥⊥ = p ^ ?m.2519


C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝¹ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝ : PreservesLimit F G
c₁ c₂ : Cone F
t : IsLimit c₁
⊢ ∀ (j : J), G.map (t.lift c₂) ≫ (G.mapCone c₁).π.app j = (G.mapCone c₂).π.app j


α : Type u_1
a : α
m n : Nat
l : List α
h : m < l.length
⊢ (l.set m a).get? n = if m = n then some a else l.get? n


α : Type u_1
a : α
m n : Nat
l : List α
h : m < l.length
⊢ (if m = n then if m < l.length then some a else none else l[n]?) = if m = n then some a else l[n]?


case h
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x✝ : L ≃ₐ[K] L
⊢ x✝ ∈ ⊥.fixingSubgroup ↔ x✝ ∈ ⊤


A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : ContinuousStar A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : StarModule ℂ A
a b : ↥(selfAdjoint A)
h : Commute ↑a ↑b
⊢ selfAdjoint.expUnitary a * selfAdjoint.expUnitary b = selfAdjoint.expUnitary b * selfAdjoint.expUnitary a


ι : Type u
α : ι → Type v
i j : ι
l✝ : List ι
f : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
l : List ι
hnd : l.Nodup
h : ∀ (i : ι), i ∈ l
t : (i : ι) → Set (α i)
h2 : {i | i ∈ l} = univ
⊢ TProd.elim' h ⁻¹' univ.pi t = Set.tprod l t


ι : Type u
α : ι → Type v
i j : ι
l✝ : List ι
f : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
l : List ι
hnd : l.Nodup
h : ∀ (i : ι), i ∈ l
t : (i : ι) → Set (α i)
h2 : {i | i ∈ l} = univ
⊢ (fun x => TProd.mk l (TProd.elim' h x)) ⁻¹' Set.tprod l t = Set.tprod l t


Context:
n : ℕ
x : ℚ

n : ℕ
x : ℚ
⊢ eval (1 + x) (bernoulli n) = eval x (bernoulli n) + ↑n * x ^ (n - 1)


Context: n : ℕ

Context: x : ℚ

Context: d : ℕ

Context: nz : ↑d.succ ≠ 0

n : ℕ
x : ℚ
d : ℕ
hd : ∀ m < d, eval (1 + x) (bernoulli m) = eval x (bernoulli m) + ↑m * x ^ (m - 1)
nz : ↑d.succ ≠ 0
⊢ eval (1 + x) (bernoulli d) = eval x (bernoulli d) + ↑d * x ^ (d - 1)


Context: n : ℕ

Context: x : ℚ

Context: d : ℕ

Context: nz : ↑d.succ ≠ 0

n : ℕ
x : ℚ
d : ℕ
hd : ∀ m < d, eval (1 + x) (bernoulli m) = eval x (bernoulli m) + ↑m * x ^ (m - 1)
nz : ↑d.succ ≠ 0
⊢ ↑d.succ * eval (1 + x) (bernoulli d) = ↑d.succ * (eval x (bernoulli d) + ↑d * x ^ (d - 1))


Context: n : ℕ

Context: x : ℚ

Context: d : ℕ

Context: nz : ↑d.succ ≠ 0

n : ℕ
x : ℚ
d : ℕ
hd : ∀ m < d, eval (1 + x) (bernoulli m) = eval x (bernoulli m) + ↑m * x ^ (m - 1)
nz : ↑d.succ ≠ 0
⊢ eval (1 + x) ((monomial d) ↑d.succ) -
      ∑ x_1 ∈ range d, ↑((d + 1).choose x_1) • (eval x (bernoulli x_1) + ↑x_1 * x ^ (x_1 - 1)) =
    eval x ((monomial d) ↑d.succ - ∑ k ∈ range d, ↑((d + 1).choose k) • bernoulli k) + ↑d.succ * (↑d * x ^ (d - 1))


Context: n : ℕ

Context: x : ℚ

Context: d : ℕ

Context: nz : ↑d.succ ≠ 0

n : ℕ
x : ℚ
d : ℕ
hd : ∀ m < d, eval (1 + x) (bernoulli m) = eval x (bernoulli m) + ↑m * x ^ (m - 1)
nz : ↑d.succ ≠ 0
⊢ eval (1 + x) ((monomial d) ↑d.succ) -
      ∑ x_1 ∈ range d, ↑((d + 1).choose x_1) • (eval x (bernoulli x_1) + ↑x_1 * x ^ (x_1 - 1)) =
    eval x ((monomial d) ↑d.succ) - ∑ i ∈ range d, eval x (↑((d + 1).choose i) • bernoulli i) +
      ↑d.succ * (↑d * x ^ (d - 1))


Context: n : ℕ

Context: x : ℚ

Context: d : ℕ

Context: nz : ↑d.succ ≠ 0

n : ℕ
x : ℚ
d : ℕ
hd : ∀ m < d, eval (1 + x) (bernoulli m) = eval x (bernoulli m) + ↑m * x ^ (m - 1)
nz : ↑d.succ ≠ 0
⊢ eval (1 + x) ((monomial d) ↑d.succ) -
      ∑ x_1 ∈ range d,
        (↑((d + 1).choose x_1) • eval x (bernoulli x_1) + ↑((d + 1).choose x_1) • (↑x_1 * x ^ (x_1 - 1))) =
    eval x ((monomial d) ↑d.succ) - ∑ x_1 ∈ range d, ↑((d + 1).choose x_1) • eval x (bernoulli x_1) +
      ↑d.succ * (↑d * x ^ (d - 1))


Context: n : ℕ

Context: x : ℚ

Context: d : ℕ

Context: nz : ↑d.succ ≠ 0

n : ℕ
x : ℚ
d : ℕ
hd : ∀ m < d, eval (1 + x) (bernoulli m) = eval x (bernoulli m) + ↑m * x ^ (m - 1)
nz : ↑d.succ ≠ 0
⊢ eval (1 + x) ((monomial d) ↑d.succ) - eval x ((monomial d) ↑d.succ) =
    ∑ x_1 ∈ range d, ↑((d + 1).choose x_1) • (↑x_1 * x ^ (x_1 - 1)) + ↑((d + 1).choose d) * (↑d * x ^ (d - 1))


Context: n : ℕ

Context: x : ℚ

Context: d : ℕ

Context: nz : ↑d.succ ≠ 0

n : ℕ
x : ℚ
d : ℕ
hd : ∀ m < d, eval (1 + x) (bernoulli m) = eval x (bernoulli m) + ↑m * x ^ (m - 1)
nz : ↑d.succ ≠ 0
⊢ ∑ x_1 ∈ range (d + 1), ↑((d + 1).choose x_1) * (↑x_1 * x ^ (x_1 - 1)) =
    ∑ x_1 ∈ range (d + 1), ↑((d + 1).choose x_1) • (↑x_1 * x ^ (x_1 - 1))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: I : Ideal S

Context: n : ℕ

Context: hI : I ^ n = ⊥

case intro
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n : ℕ
hI : I ^ n = ⊥
⊢ P I


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: I : Ideal S

Context: hI' : ¬I = ⊥

Context: n : ℕ

Context: hI : I ^ (n + 1 + 1) = ⊥

case neg.succ.succ
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
n : ℕ
H : ∀ m < n + 1 + 1, ∀ {S : Type u_2} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : I ^ (n + 1 + 1) = ⊥
⊢ P I


C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
V : (↑U).Opens
⊢ Hom.app (f ∣_ U) V = Hom.app f (U.ι ''ᵁ V) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} C

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Y.Opens

Context: V : (↑U).Opens

C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
V : (↑U).Opens
this :
  Hom.app (f ∣_ U ≫ U.ι) (U.ι ''ᵁ V) = Hom.app ((f ⁻¹ᵁ U).ι ≫ f) (U.ι ''ᵁ V) ≫ (↑(f ⁻¹ᵁ U)).presheaf.map (eqToHom ⋯).op
⊢ Hom.app (f ∣_ U) V = Hom.app f (U.ι ''ᵁ V) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} C

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Y.Opens

Context: V : (↑U).Opens

C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
V : (↑U).Opens
this :
  Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ Hom.appLE (f ∣_ U) (U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V) ((f ∣_ U) ⁻¹ᵁ U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V) ⋯ =
    (Hom.appLE f (U.ι ''ᵁ V) (f ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V) ⋯ ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) ≫
      X.presheaf.map ((Hom.opensFunctor (f ⁻¹ᵁ U).ι).map (eqToHom ⋯)).op
⊢ Hom.app (f ∣_ U) V = Hom.app f (U.ι ''ᵁ V) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} C

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Y.Opens

Context: V : (↑U).Opens

Context: e : U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V = V

C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
V : (↑U).Opens
this :
  Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ Hom.appLE (f ∣_ U) (U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V) ((f ∣_ U) ⁻¹ᵁ U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V) ⋯ =
    (Hom.appLE f (U.ι ''ᵁ V) (f ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V) ⋯ ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) ≫
      X.presheaf.map ((Hom.opensFunctor (f ⁻¹ᵁ U).ι).map (eqToHom ⋯)).op
e : U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V = V
e' : (f ∣_ U) ⁻¹ᵁ V = (f ∣_ U) ⁻¹ᵁ U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V
⊢ Hom.app (f ∣_ U) V = Hom.app f (U.ι ''ᵁ V) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} C

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Y.Opens

Context: V : (↑U).Opens

Context: e : U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V = V

C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
V : (↑U).Opens
this :
  Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ Hom.appLE (f ∣_ U) (U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V) ((f ∣_ U) ⁻¹ᵁ U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V) ⋯ =
    (Hom.appLE f (U.ι ''ᵁ V) (f ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V) ⋯ ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) ≫
      X.presheaf.map ((Hom.opensFunctor (f ⁻¹ᵁ U).ι).map (eqToHom ⋯)).op
e : U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V = V
e' : (f ∣_ U) ⁻¹ᵁ V = (f ∣_ U) ⁻¹ᵁ U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V
⊢ Hom.appLE (f ∣_ U) V ((f ∣_ U) ⁻¹ᵁ V) ⋯ = Hom.appLE f (U.ι ''ᵁ V) ((f ⁻¹ᵁ U).ι ''ᵁ (f ∣_ U) ⁻¹ᵁ V) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} C

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Y.Opens

Context: V : (↑U).Opens

Context: e : U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V = V

C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
V : (↑U).Opens
this :
  Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ Hom.appLE (f ∣_ U) (U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V) ((f ∣_ U) ⁻¹ᵁ U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V) ⋯ =
    (Hom.appLE f (U.ι ''ᵁ V) (f ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V) ⋯ ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) ≫
      X.presheaf.map ((Hom.opensFunctor (f ⁻¹ᵁ U).ι).map (eqToHom ⋯)).op
e : U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V = V
e' : (f ∣_ U) ⁻¹ᵁ V = (f ∣_ U) ⁻¹ᵁ U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V
⊢ ((↑U).presheaf.map (eqToHom e).op ≫ Hom.appLE (f ∣_ U) (U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V) ((f ∣_ U) ⁻¹ᵁ U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V) ⋯) ≫
      (↑(f ⁻¹ᵁ U)).presheaf.map (eqToHom e').op =
    Hom.appLE f (U.ι ''ᵁ V) ((f ⁻¹ᵁ U).ι ''ᵁ (f ∣_ U) ⁻¹ᵁ V) ⋯


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} C

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Y.Opens

Context: V : (↑U).Opens

Context: e : U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V = V

C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
V : (↑U).Opens
this :
  Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ Hom.appLE (f ∣_ U) (U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V) ((f ∣_ U) ⁻¹ᵁ U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V) ⋯ =
    (Hom.appLE f (U.ι ''ᵁ V) (f ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V) ⋯ ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) ≫
      X.presheaf.map ((Hom.opensFunctor (f ⁻¹ᵁ U).ι).map (eqToHom ⋯)).op
e : U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V = V
e' : (f ∣_ U) ⁻¹ᵁ V = (f ∣_ U) ⁻¹ᵁ U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V
⊢ (Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ Hom.appLE (f ∣_ U) (U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V) ((f ∣_ U) ⁻¹ᵁ U.ι ⁻¹ᵁ U.ι ''ᵁ V) ⋯) ≫
      X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op =
    Hom.appLE f (U.ι ''ᵁ V) ((f ⁻¹ᵁ U).ι ''ᵁ (f ∣_ U) ⁻¹ᵁ V) ⋯


Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
hcs : μ s ≠ 0
hs : μ s ≠ ⊤
⊢ ((μ s)⁻¹ • μ.restrict s) univ = 1


Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
hcs : μ s ≠ 0
hs : μ s ≠ ⊤
⊢ (μ s)⁻¹ * μ s = 1


case h
R : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid R
m : ℕ
inst✝ : NeZero m
f : ℕ → R
n : ℕ
⊢ f n = (∑ a : ZMod m, {n | ↑n = a}.indicator f) n


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: hp : p ≠ 0

Context: f : ↥(lp E p)

Context: i : α

‖↑f i‖ ≤ ‖f‖

α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : p ≠ 0
f : ↥(lp E p)
i : α
⊢ ‖↑f i‖ ≤ ‖f‖


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: hp : p ≠ 0

Context: f : ↥(lp E p)

Context: i : α

Context: hp' : p ≠ ⊤

‖↑f i‖ ≤ ‖f‖

case inr
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : p ≠ 0
f : ↥(lp E p)
i : α
hp' : p ≠ ⊤
⊢ ‖↑f i‖ ≤ ‖f‖


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: hp : p ≠ 0

Context: f : ↥(lp E p)

Context: i : α

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hp'' : 0 < p.toReal

‖↑f i‖ ≤ ‖f‖

case inr
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : p ≠ 0
f : ↥(lp E p)
i : α
hp' : p ≠ ⊤
hp'' : 0 < p.toReal
⊢ ‖↑f i‖ ≤ ‖f‖


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: hp : p ≠ 0

Context: f : ↥(lp E p)

Context: i : α

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hp'' : 0 < p.toReal

Context: this : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖ ^ p.toReal

‖↑f i‖ ≤ ‖f‖

case inr
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : p ≠ 0
f : ↥(lp E p)
i : α
hp' : p ≠ ⊤
hp'' : 0 < p.toReal
this : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖ ^ p.toReal
⊢ ‖↑f i‖ ≤ ‖f‖