Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: x' : M

Context: y : M'

Context: hx : x' ∈ (chartAt H x).source

Context: hy : f x' ∈ (chartAt H' y).source

𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (chartAt H x).source
hy : f x' ∈ (chartAt H' y).source
⊢ ContinuousWithinAt f univ x' ∧
      DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' univ ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x') ↔
    ContinuousAt f x' ∧
      DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x')


Context: α : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: s : Set α

α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
t : Set α := toMeasurable (μ.withDensity f) s
⊢ ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ (μ.withDensity f) s


C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K : Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap
⊢ ((I.ofSigmaCoforkFunctor ⋙ I.toSigmaCoforkFunctor).obj K).π ≫
      (Iso.refl ((I.ofSigmaCoforkFunctor ⋙ I.toSigmaCoforkFunctor).obj K).pt).hom =
    ((𝟭 (Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap)).obj K).π


case w.mk
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K : Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap
j : I.R
⊢ colimit.ι (Discrete.functor I.right) { as := j } ≫ Sigma.desc (Multicofork.ofSigmaCofork I K).π ≫ 𝟙 K.pt =
    colimit.ι (Discrete.functor I.right) { as := j } ≫ K.π


R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
M N P Q : Type u
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : AddCommGroup Q
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Coalgebra R M
inst✝² : Coalgebra R N
inst✝¹ : Coalgebra R P
inst✝ : Coalgebra R Q
K L : CoalgebraCat R
⊢ Coalgebra.comul =
    ↑(TensorProduct.tensorTensorTensorComm R ↑K.toModuleCat ↑K.toModuleCat ↑L.toModuleCat ↑L.toModuleCat) ∘ₗ
      TensorProduct.map Coalgebra.comul Coalgebra.comul


R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
M N P Q : Type u
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : AddCommGroup Q
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Coalgebra R M
inst✝² : Coalgebra R N
inst✝¹ : Coalgebra R P
inst✝ : Coalgebra R Q
K L : CoalgebraCat R
⊢ ((comonEquivalence R).symm.inverse.obj K ⊗ (comonEquivalence R).symm.inverse.obj L).comul =
    ↑(TensorProduct.tensorTensorTensorComm R ↑K.toModuleCat ↑K.toModuleCat ↑L.toModuleCat ↑L.toModuleCat) ∘ₗ
      TensorProduct.map Coalgebra.comul Coalgebra.comul


R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
M N P Q : Type u
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : AddCommGroup Q
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Coalgebra R M
inst✝² : Coalgebra R N
inst✝¹ : Coalgebra R P
inst✝ : Coalgebra R Q
K L : CoalgebraCat R
⊢ (tensor_μ (ModuleCat R)ᵒᵖ (Opposite.op K.toModuleCat, Opposite.op L.toModuleCat)
          (Opposite.op K.toModuleCat, Opposite.op L.toModuleCat)).unop ∘ₗ
      TensorProduct.map Coalgebra.comul Coalgebra.comul =
    ↑(TensorProduct.tensorTensorTensorComm R ↑K.toModuleCat ↑K.toModuleCat ↑L.toModuleCat ↑L.toModuleCat) ∘ₗ
      TensorProduct.map Coalgebra.comul Coalgebra.comul


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: t : TopologicalSpace α

Context: B : Set (Set α)

Context: s : Set α

Context: ι : Sort u_2

Context: U : ι → Set α

Context: Uo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: Uc : ⋃ i, U i = univ

Context: b : (i : ι) → Set (Set ↑(U i))

α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α
ι : Sort u_2
U : ι → Set α
Uo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
Uc : ⋃ i, U i = univ
b : (i : ι) → Set (Set ↑(U i))
hb : ∀ (i : ι), IsTopologicalBasis (b i)
⊢ IsTopologicalBasis (⋃ i, image Subtype.val '' b i)


x x₁ x₂ y y₁ y₂ : PGame
hx : x.Numeric
hx₁ : x₁.Numeric
hx₂ : x₂.Numeric
hy : y.Numeric
hy₁ : y₁.Numeric
hy₂ : y₂.Numeric
hp₁ : 0 < x₁
hp₂ : 0 < x₂
⊢ 0 < x₁ * x₂


⟦0⟧ < ⟦x₁ * x₂⟧

x x₁ x₂ y y₁ y₂ : PGame
hx : x.Numeric
hx₁ : x₁.Numeric
hx₂ : x₂.Numeric
hy : y.Numeric
hy₁ : y₁.Numeric
hy₂ : y₂.Numeric
hp₁ : 0 < x₁
hp₂ : 0 < x₂
⊢ ⟦0⟧ < ⟦x₁ * x₂⟧


⟦0⟧ < ⟦x₁ * x₂⟧

x x₁ x₂ y y₁ y₂ : PGame
hx : x.Numeric
hx₁ : x₁.Numeric
hx₂ : x₂.Numeric
hy : y.Numeric
hy₁ : y₁.Numeric
hy₂ : y₂.Numeric
hp₁ : 0 < x₁
hp₂ : 0 < x₂
this : P3 0 x₁ 0 x₂
⊢ ⟦0⟧ < ⟦x₁ * x₂⟧


M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace X
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G X
inst✝² : IsometricSMul G X
inst✝¹ : PseudoMetricSpace G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G
r : ℝ
⊢ (fun x => x * a) ⁻¹' closedBall b r = closedBall (b / a) r


M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace X
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G X
inst✝² : IsometricSMul G X
inst✝¹ : PseudoMetricSpace G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G
r : ℝ
⊢ (fun x => x * a) ⁻¹' closedBall b r = closedBall (b * a⁻¹) r


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : UpperSet α
t : Set α
a : α
⊢ s.erase a = s ↔ a ∉ s


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : UpperSet α
t : Set α
a : α
⊢ s.sdiff {a} = s ↔ a ∉ s


Context:
m n✝ n : ℕ
a : ZMod n
h : IsUnit a

m n✝ n : ℕ
a : ZMod n
h : IsUnit a
⊢ a⁻¹ * a = 1


α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a a' : α
b : β a
s✝ : Finmap β
h : a' ≠ a
s : AList β
⊢ lookup a' (insert a b ⟦s⟧) = lookup a' ⟦s⟧


case h
η : Type u_1
α : Type u_2
ι : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α ι
i✝ : ι
a✝ x : α
l : Line α ι
a : Unit → α
i : ι
⊢ ↑l.toSubspaceUnit a i = (fun x i => (l.idxFun i).getD x) (a ()) i


α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
⊢ ball x ε = ∅ ↔ ε ≤ 0


α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hf_int : Integrable f μ
ε : ℝ
⊢ ε * (μ {x | ε ≤ f x}).toReal ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hg : g.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
F : α
F0 : F > 0
hF : ∀ (i : ℕ), abv (↑f i) < F
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, abv (↑g j) < ε / F
j : ℕ
ij : j ≥ i
⊢ abv (↑(f * g) j) < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : CauSeq β abv

Context: hg : g.LimZero

Context: ε : α

Context: ε0 : ε > 0

Context: F : α

Context: F0 : F > 0

Context: hF : ∀ (i : ℕ), abv (↑f i) < F

Context: i : ℕ

Context: H : ∀ j ≥ i, abv (↑g j) < ε / F

Context: j : ℕ

Context: ij : j ≥ i

α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hg : g.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
F : α
F0 : F > 0
hF : ∀ (i : ℕ), abv (↑f i) < F
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, abv (↑g j) < ε / F
j : ℕ
ij : j ≥ i
this : abv (↑f j) * abv (↑g j) < F * (ε / F)
⊢ abv (↑(f * g) j) < ε


G : Type u
inst✝ : Monoid G
m : ℕ
hpos : 0 < m
hm : m < exponent G
⊢ ∃ g, g ^ m ≠ 1


G : Type u
inst✝ : Monoid G
m : ℕ
hpos : 0 < m
hm : m < exponent G
h : ∀ (g : G), g ^ m = 1
⊢ False


R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
⊢ eval 0 (map f p) = f (eval 0 p)


m n a b c d : ℤ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [ZMOD m]
⊢ a * c ≡ b * c [ZMOD m]


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : Semiring α
h : Periodic f c
n : ℕ
⊢ Periodic f (↑n * c)


Context:
n p : ℕ
pp : Prime p
a✝ : ℕ

case a
n p : ℕ
pp : Prime p
a✝ : ℕ
⊢ a✝ ∈ p.divisors ↔ a✝ ∈ {1, p}


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : Semiring S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: ι : Type u_1

Context: n : Basis ι R ↥N

R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
ι : Type u_1
n : Basis ι R ↥N
H : Function.Injective ⇑(M.mulRightMap ⇑n)
⊢ M.LinearDisjoint N


R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : R
a : A
⊢ r ∉ σ a ↔ IsUnit (↑ₐ r - a)


R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : R
a : A
⊢ ¬r ∉ σ a ↔ ¬IsUnit (↑ₐ r - a)


G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
H : Subgroup G
x : Quotient G α
a b : ↑x.orbit
c : α
h : ⟦a⟧ = ⟦b⟧
⊢ ↑a ∈ MulAction.orbit (↥H) c ↔ ↑b ∈ MulAction.orbit (↥H) c


G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
H : Subgroup G
x : Quotient G α
a b : ↑x.orbit
c : α
h : ⟦a⟧ = ⟦b⟧
⊢ c ∈ MulAction.orbit ↥H ↑a ↔ c ∈ MulAction.orbit ↥H ↑b


case h.e'_2.h.e'_5
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
H : Subgroup G
x : Quotient G α
a b : ↑x.orbit
c : α
h : ⟦a⟧ = ⟦b⟧
⊢ MulAction.orbit ↥H ↑b = MulAction.orbit ↥H ↑a


case h.e'_2.h.e'_5
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
H : Subgroup G
x : Quotient G α
a b : ↑x.orbit
c : α
h : ⟦a⟧ = ⟦b⟧
⊢ ↑b ∈ MulAction.orbit ↥H ↑a


case h.e'_2.h.e'_5
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
H : Subgroup G
x : Quotient G α
a b : ↑x.orbit
c : α
h : ⟦a⟧ = ⟦b⟧
⊢ b ∈ orbit ⟦a⟧


α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ : α → ℝ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ
g : α → E
⊢ ∫ (x : α), g x ∂μ.tilted f = ∫ (x : α), (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) • g x ∂μ


𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : Countable ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
⊢ FirstCountableTopology E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : Nonempty ι

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E ι

Context: inst✝ : TopologicalSpace E

Context: hp : WithSeminorms p

Context: this : TopologicalAddGroup E

𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : Countable ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
this : TopologicalAddGroup E
x✝ : UniformSpace E := TopologicalAddGroup.toUniformSpace E
⊢ FirstCountableTopology E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : Nonempty ι

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E ι

Context: inst✝ : TopologicalSpace E

Context: hp : WithSeminorms p

Context: this✝ : TopologicalAddGroup E

Context: this : UniformAddGroup E

𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : Countable ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
this✝ : TopologicalAddGroup E
x✝ : UniformSpace E := TopologicalAddGroup.toUniformSpace E
this : UniformAddGroup E
⊢ FirstCountableTopology E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : Nonempty ι

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E ι

Context: inst✝ : TopologicalSpace E

Context: hp : WithSeminorms p

Context: this✝¹ : TopologicalAddGroup E

Context: this✝ : UniformAddGroup E

Context: this : (𝓝 0).IsCountablyGenerated

𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : Countable ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
this✝¹ : TopologicalAddGroup E
x✝ : UniformSpace E := TopologicalAddGroup.toUniformSpace E
this✝ : UniformAddGroup E
this : (𝓝 0).IsCountablyGenerated
⊢ FirstCountableTopology E


J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
c : Cocone F
j j' : J
f : j ⟶ j'
⊢ F.map f ≫ c.ι.app j' = c.ι.app j


J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
c : Cocone F
j j' : J
f : j ⟶ j'
⊢ c.ι.app j ≫ ((const J).obj c.pt).map f = c.ι.app j


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{?u.61043, u_3} E
L₁ L₂ : C ⥤ D
e : L₁ ≅ L₂
inst✝ : L₁.IsLocalization W
⊢ L₂.IsLocalization W


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{?u.61043, u_3} E
L₁ L₂ : C ⥤ D
e : L₁ ≅ L₂
inst✝ : L₁.IsLocalization W
h : W.IsInvertedBy L₁
⊢ L₂.IsLocalization W


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{?u.61043, u_3} E
L₁ L₂ : C ⥤ D
e : L₁ ≅ L₂
inst✝ : L₁.IsLocalization W
h : W.IsInvertedBy L₂
⊢ L₂.IsLocalization W


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : Category.{?u.61043, u_3} E

Context: L₁ L₂ : C ⥤ D

Context: e : L₁ ≅ L₂

Context: inst✝ : L₁.IsLocalization W

Context: h : W.IsInvertedBy L₂

C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{?u.61043, u_3} E
L₁ L₂ : C ⥤ D
e : L₁ ≅ L₂
inst✝ : L₁.IsLocalization W
h : W.IsInvertedBy L₂
F₁ : W.Localization ⥤ D := Construction.lift L₁ ⋯
F₂ : W.Localization ⥤ D := Construction.lift L₂ h
⊢ L₂.IsLocalization W


α✝ : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ι → α → M
s : Multiset (α → M)
hs : ∀ f ∈ s, AEMeasurable f μ
⊢ AEMeasurable (fun x => (map (fun f => f x) s).prod) μ


α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : α → E
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f μ
s : Set E
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Set.range f ∪ {0} ⊆ s
⊢ Tendsto (fun n => setToFun μ T hT ↑(SimpleFunc.approxOn f fmeas s 0 ⋯ n)) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))


α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : α → E
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f μ
s : Set E
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Set.range f ∪ {0} ⊆ s
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ closure s


C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝¹ : IsIso f
inst✝ : IsIso inr
sq : CommSq f g inl inr
s : PushoutCocone f g
⊢ inl ≫ (fun s => inv inr ≫ s.inr) s = s.inl


E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
⊢ ball x δ * {y} = ball (x * y) δ


α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
⊢ (s \ t).card + (s ∩ t).card = s.card


Context: X : UniformSpaceCat

Context: Y : CpltSepUniformSpace

X : UniformSpaceCat
Y : CpltSepUniformSpace
f : (CpltSepUniformSpace.of (Completion ↑X)).toUniformSpace ⟶ Y.toUniformSpace
⊢ extensionHom (X.completionHom ≫ f) = f


Context: X : UniformSpaceCat

Context: Y : CpltSepUniformSpace

case a
X : UniformSpaceCat
Y : CpltSepUniformSpace
f : (CpltSepUniformSpace.of (Completion ↑X)).toUniformSpace ⟶ Y.toUniformSpace
⊢ ↑(extensionHom (X.completionHom ≫ f)) = ↑f


Context: X : UniformSpaceCat

Context: Y : CpltSepUniformSpace

case a.h
X : UniformSpaceCat
Y : CpltSepUniformSpace
f : (CpltSepUniformSpace.of (Completion ↑X)).toUniformSpace ⟶ Y.toUniformSpace
x : ↑(completionFunctor.obj X).toUniformSpace
⊢ ↑(extensionHom (X.completionHom ≫ f)) x = ↑f x


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C₁

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} C₂

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: inst✝⁴ : Φ.IsLocalizedEquivalence

Context: inst✝³ : W₁.IsMultiplicative

Context: inst✝¹ : Φ.arrow.HasRightResolutions

Context: inst✝ : W₂.ContainsIdentities

C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
inst✝⁴ : Φ.IsLocalizedEquivalence
inst✝³ : W₁.IsMultiplicative
inst✝² : ∀ (X₂ : C₂), IsConnected (Φ.RightResolution X₂)
inst✝¹ : Φ.arrow.HasRightResolutions
inst✝ : W₂.ContainsIdentities
⊢ Φ.IsRightDerivabilityStructure


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C₁

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} C₂

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: inst✝⁴ : Φ.IsLocalizedEquivalence

Context: inst✝³ : W₁.IsMultiplicative

Context: inst✝¹ : Φ.arrow.HasRightResolutions

Context: inst✝ : W₂.ContainsIdentities

Context: X₂ : C₂

Context: X₃ : W₂.Localization

C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
inst✝⁴ : Φ.IsLocalizedEquivalence
inst✝³ : W₁.IsMultiplicative
inst✝² : ∀ (X₂ : C₂), IsConnected (Φ.RightResolution X₂)
inst✝¹ : Φ.arrow.HasRightResolutions
inst✝ : W₂.ContainsIdentities
X₂ : C₂
X₃ : W₂.Localization
g : W₂.Q.obj X₂ ⟶ (𝟭 W₂.Localization).obj X₃
⊢ IsConnected (TwoSquare.CostructuredArrowDownwards (Φ.functor ⋙ W₂.Q).rightUnitor.symm.hom g)


C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
⊢ (splitEpiOfIdempotentOfIsColimitCofork C ⋯
          (isColimitCoforkOfCokernelCofork (isCokernelEpiComp i (retraction f) ⋯))).section_ ≫
      retraction f =
    0


C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
⊢ i.desc (Cofork.ofπ (Cofork.π (cokernelCoforkOfCofork (Cofork.ofπ (𝟙 Y - retraction f ≫ f) ⋯))) ⋯) ≫ retraction f = 0


C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
⊢ i.desc (Cofork.ofπ (Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (𝟙 Y - retraction f ≫ f) ⋯)) ⋯) ≫ retraction f = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: X✝ Y✝ : C

Context: inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsSplitMono f

Context: c : CokernelCofork f

Context: i : IsColimit c

C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
this : Epi (Cofork.π c) := epi_of_isColimit_cofork i
⊢ i.desc (Cofork.ofπ (Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (𝟙 Y - retraction f ≫ f) ⋯)) ⋯) ≫ retraction f = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: X✝ Y✝ : C

Context: inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsSplitMono f

Context: c : CokernelCofork f

Context: i : IsColimit c

C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
this : Epi (Cofork.π c) := epi_of_isColimit_cofork i
⊢ Cofork.π c ≫ i.desc (Cofork.ofπ (Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (𝟙 Y - retraction f ≫ f) ⋯)) ⋯) ≫ retraction f = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: X✝ Y✝ : C

Context: inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsSplitMono f

Context: c : CokernelCofork f

Context: i : IsColimit c

case a
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
this : Epi (Cofork.π c) := epi_of_isColimit_cofork i
⊢ 𝟙 Y ≫ retraction f = retraction f


C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
⊢ (let c' := CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) ⋯;
      let i' := isCokernelEpiComp i (retraction f) ⋯;
      let i'' := isColimitCoforkOfCokernelCofork i';
      (splitEpiOfIdempotentOfIsColimitCofork C ⋯ i'').section_) ≫
      Cofork.π c =
    𝟙 c.pt


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ∆ b ∆ c = a ∆ c ∆ b


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: s : ℝ

Context: hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs_top : s < a

Context: hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: hs_bot : b < s

E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
s : ℝ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s
⊢ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi 0) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: s : ℝ

Context: hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs_top : s < a

Context: hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: hs_bot : b < s

Context: c1 : ℝ

Context: hc1 : 0 < c1

case intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
s : ℝ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s
c1 : ℝ
hc1 : 0 < c1
hc1' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c1) volume
⊢ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi 0) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: s : ℝ

Context: hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs_top : s < a

Context: hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: hs_bot : b < s

Context: c1 : ℝ

Context: hc1 : 0 < c1

Context: c2 : ℝ

Context: hc2 : 0 < c2

case intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
s : ℝ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s
c1 : ℝ
hc1 : 0 < c1
hc1' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c1) volume
c2 : ℝ
hc2 : 0 < c2
hc2' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c2) volume
⊢ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi 0) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: s : ℝ

Context: hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs_top : s < a

Context: hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: hs_bot : b < s

Context: c1 : ℝ

Context: hc1 : 0 < c1

Context: c2 : ℝ

Context: hc2 : 0 < c2

case intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
s : ℝ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s
c1 : ℝ
hc1 : 0 < c1
hc1' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c1) volume
c2 : ℝ
hc2 : 0 < c2
hc2' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c2) volume
this : Ioi 0 = Ioc 0 c2 ∪ Ioc c2 c1 ∪ Ioi c1
⊢ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi 0) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: s : ℝ

Context: hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs_top : s < a

Context: hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: hs_bot : b < s

Context: c1 : ℝ

Context: hc1 : 0 < c1

Context: c2 : ℝ

Context: hc2 : 0 < c2

case intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
s : ℝ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s
c1 : ℝ
hc1 : 0 < c1
hc1' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c1) volume
c2 : ℝ
hc2 : 0 < c2
hc2' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c2) volume
this : Ioi 0 = Ioc 0 c2 ∪ Ioc c2 c1 ∪ Ioi c1
⊢ (IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c2) volume ∧
      IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc c2 c1) volume) ∧
    IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c1) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: s : ℝ

Context: hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs_top : s < a

Context: hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: hs_bot : b < s

Context: c1 : ℝ

Context: hc1 : 0 < c1

Context: c2 : ℝ

Context: hc2 : 0 < c2

case intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
s : ℝ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s
c1 : ℝ
hc1 : 0 < c1
hc1' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c1) volume
c2 : ℝ
hc2 : 0 < c2
hc2' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c2) volume
this : Ioi 0 = Ioc 0 c2 ∪ Ioc c2 c1 ∪ Ioi c1
⊢ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Icc c2 c1) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: s : ℝ

Context: hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs_top : s < a

Context: hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: hs_bot : b < s

Context: c1 : ℝ

Context: hc1 : 0 < c1

Context: c2 : ℝ

Context: hc2 : 0 < c2

case intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
s : ℝ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s
c1 : ℝ
hc1 : 0 < c1
hc1' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c1) volume
c2 : ℝ
hc2 : 0 < c2
hc2' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c2) volume
this : Ioi 0 = Ioc 0 c2 ∪ Ioc c2 c1 ∪ Ioi c1
⊢ ContinuousOn (fun t => t ^ (s - 1)) (Ioi 0)


case mk.mk
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.24237
inst✝ : MulAction R X
r r' r₁ r₂ : R
s t : ↥S
h : ↑t * r = ↑t * r'
r₁' : R
t' : ↥S
hr₁ : ↑t' * r₁ = r₁' * ↑t
⊢ r₁ * r * r₂ /ₒ s = r₁ * r' * r₂ /ₒ s


case mk.mk.e_r
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.24237
inst✝ : MulAction R X
r r' r₁ r₂ : R
s t : ↥S
h : ↑t * r = ↑t * r'
r₁' : R
t' : ↥S
hr₁ : ↑t' * r₁ = r₁' * ↑t
⊢ t' • (r₁ * r * r₂) = t' • (r₁ * r' * r₂)


𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝ : p.IsHomLift f φ
⊢ p.map φ ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯ ≫ f


Context: X : TopCat

Context: p₀ : ↑X

Context: C : Type v

Context: inst✝¹ : Category.{w, v} C

Context: inst✝ : HasTerminal C

Context: A a b c : C

Context: f : a ⟶ b

Context: g : b ⟶ c

Context: U : Opens ↑X

case w
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝² : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} C
inst✝ : HasTerminal C
A a b c : C
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
U : Opens ↑X
⊢ (map' p₀ (f ≫ g)).app (op U) = (map' p₀ f ≫ map' p₀ g).app (op U)


Context:
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ

f : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
⊢ term (-f) s n = -term f s n


K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s : Submodule K V
⊢ finrank K (V ⧸ s) + finrank K ↥s = finrank K V


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: s : Submodule K V

K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s : Submodule K V
this : Module.rank K (V ⧸ s) + Module.rank K ↥s = Module.rank K V
⊢ finrank K (V ⧸ s) + finrank K ↥s = finrank K V


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
⊢ ⌊a⌋ ≤ -1 ↔ a < 0


Context: R✝ : Type ?u.4933

Context: M✝ : Type ?u.4936

Context: N : Type ?u.5555

Context: inst✝⁷ : Ring R✝

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁵ : Module R✝ M✝

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R✝ N

Context: R M : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: ι : Finset M

Context: hι₁ : Submodule.span R ↑ι = ⊤

case mk.intro.intro
R✝ : Type ?u.4933
M✝ : Type ?u.4936
N : Type ?u.5555
inst✝⁷ : Ring R✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R✝ N
R M : Type u
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
ι : Finset M
hι₁ : Submodule.span R ↑ι = ⊤
hι₂ : (LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ ι } M R Subtype.val)).FG
⊢ ∃ L x x_1 K x_2, Free R L ∧ Finite R L ∧ K.FG


Context: R✝ : Type ?u.4933

Context: M✝ : Type ?u.4936

Context: N : Type ?u.5555

Context: inst✝⁷ : Ring R✝

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁵ : Module R✝ M✝

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R✝ N

Context: R M : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: ι : Finset M

Context: hι₁ : Submodule.span R ↑ι = ⊤

case h
R✝ : Type ?u.4933
M✝ : Type ?u.4936
N : Type ?u.5555
inst✝⁷ : Ring R✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R✝ N
R M : Type u
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
ι : Finset M
hι₁ : Submodule.span R ↑ι = ⊤
hι₂ : (LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ ι } M R Subtype.val)).FG
⊢ ∃ K x, Free R ({ x // x ∈ ι } →₀ R) ∧ Finite R ({ x // x ∈ ι } →₀ R) ∧ K.FG


Context: R✝ : Type ?u.4933

Context: M✝ : Type ?u.4936

Context: N : Type ?u.5555

Context: inst✝⁷ : Ring R✝

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁵ : Module R✝ M✝

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R✝ N

Context: R M : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: ι : Finset M

Context: hι₁ : Submodule.span R ↑ι = ⊤

case h
R✝ : Type ?u.4933
M✝ : Type ?u.4936
N : Type ?u.5555
inst✝⁷ : Ring R✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R✝ N
R M : Type u
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
ι : Finset M
hι₁ : Submodule.span R ↑ι = ⊤
hι₂ : (LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ ι } M R Subtype.val)).FG
⊢ Function.Surjective ⇑(Finsupp.total { x // x ∈ ι } M R Subtype.val)


Context: R✝ : Type ?u.4933

Context: M✝ : Type ?u.4936

Context: N : Type ?u.5555

Context: inst✝⁷ : Ring R✝

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁵ : Module R✝ M✝

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R✝ N

Context: R M : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: ι : Finset M

Context: hι₁ : Submodule.span R ↑ι = ⊤

case h
R✝ : Type ?u.4933
M✝ : Type ?u.4936
N : Type ?u.5555
inst✝⁷ : Ring R✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R✝ N
R M : Type u
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
ι : Finset M
hι₁ : Submodule.span R ↑ι = ⊤
hι₂ : (LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ ι } M R Subtype.val)).FG
⊢ LinearMap.range (Finsupp.total { x // x ∈ ι } M R Subtype.val) = ⊤


case succ
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
n : ℕ
ih : FP (Stream'.drop n a) ⊆ FP a
⊢ FP (Stream'.drop (n + 1) a) ⊆ FP a


case succ
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
n : ℕ
ih : FP (Stream'.drop n a) ⊆ FP a
⊢ FP (Stream'.drop 1 (Stream'.drop n a)) ⊆ FP a


X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ IsClosed s₁ → IsClosed s₂ → IsClosed (s₁ ∪ s₂)


V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ o.oangle x y ≠ 0 ∧ o.oangle x y ≠ ↑π ↔ LinearIndependent ℝ ![x, y]


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y✝ : α
inst✝³ : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
x y : α
hy : y ∈ (f.cycleOf x).support
⊢ y ∈ f.support


C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{?u.21503, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.21507, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.21511, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.21515, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
n m mn : A
hnm : m + n = mn
a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
⊢ mn + a = a''


C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.21511, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.21515, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
n m mn : A
hnm : m + n = mn
a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
⊢ (F.shiftIso mn a a'' ⋯).inv.app X =
    (F.shiftIso n a a' ha').inv.app X ≫
      (shiftFunctor D n).map ((F.shiftIso m a' a'' ha'').inv.app X) ≫
        (shiftFunctorAdd' D m n mn hnm).inv.app ((F.functor a'').obj X)


α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : ℝ
⊢ x - y ≤ dist x y


α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : ℝ
⊢ x - y ≤ x - y ∨ x - y ≤ -(x - y)


F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i : ι
x : F
j : ι
hj : j ∈ s
⊢ C (r j) * Lagrange.basis s v j = C (nodalWeight s v j) * (nodal s v / (X - C (v j))) * C (r j)


F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E
⊢ Module.rank F ↥K = 1 ↔ K = ⊥


Context: x✝ y x : ℝ


case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K : LieSubalgebra R L
x y : ↥K
⊢ ((ad R L) ↑x ∘ₗ ↑K.incl) y = (↑K.incl ∘ₗ (ad R ↥K) x) y


X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
hF : IsPathConnected F
⊢ IsConnected F


X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
hF : IsPathConnected F
⊢ ConnectedSpace ↑F


F : Type u₀ → Type u₁ → Type u₂
inst✝¹ : Bifunctor F
inst✝ : LawfulBifunctor F
α₀ α₁ : Type u₀
β₀ β₁ : Type u₁
f : α₀ → α₁
f' : β₀ → β₁
x : F α₀ β₀
⊢ snd f' (fst f x) = bimap f f' x


Context: x y : ℝ


L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ : L.Substructure M
ι : Sort u_3
S : ι → L.Substructure M
x : M
⊢ x ∈ ⨅ i, S i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ S i


α : Type u_1
a b : α
s : α → α → Bool
l r : List α
h : s a b = true
⊢ merge s (a :: l) (b :: r) = a :: merge s l (b :: r)


Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
π : ι → Set (Set Ω)
m : ι → MeasurableSpace Ω
x✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
S : Finset ι
s : ι → Set Ω
m₁ m₂ _mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
⊢ Indep m₁ m₂ μ ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), MeasurableSet t1 → MeasurableSet t2 → μ (t1 ∩ t2) = μ t1 * μ t2


Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
π : ι → Set (Set Ω)
m : ι → MeasurableSpace Ω
x✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
S : Finset ι
s : ι → Set Ω
m₁ m₂ _mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
⊢ (∀ (t1 t2 : Set Ω), t1 ∈ {s | MeasurableSet s} → t2 ∈ {s | MeasurableSet s} → μ (t1 ∩ t2) = μ t1 * μ t2) ↔
    ∀ (t1 t2 : Set Ω), MeasurableSet t1 → MeasurableSet t2 → μ (t1 ∩ t2) = μ t1 * μ t2


α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
⊢ ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) = 0 ↔ μ ⟂ₘ ν


case h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommMonoid M
ψ : AddChar R M
r s x✝ : R
⊢ (ψ.mulShift r * ψ.mulShift s) x✝ = (ψ.mulShift (r + s)) x✝


ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
w : Word M
m : M i
⊢ ⟨i, m⟩ ∈ ((equivPair j) w).tail.toList → ⟨i, m⟩ ∈ w.toList


𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : GroupWithZero G
inst✝⁶ : SmoothInv₀ I G
inst✝⁵ : SmoothMul I G
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H' M
f g : M → G
s : Set M
a : M
n : ℕ∞
hf : ContMDiffAt I' I n f a
hg : ContMDiffAt I' I n g a
h₀ : g a ≠ 0
⊢ ContMDiffAt I' I n (f / g) a


α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Fintype α
x y : α
H : x = y
⊢ sign (swap x y) = if x = y then 1 else -1


α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Fintype α
x y : α
H : ¬x = y
⊢ sign (swap x y) = if x = y then 1 else -1


case h
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f✝ : M →ₗ[R] M₂
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
x✝ : M₂
⊢ (f.coprod g ∘ₗ inr R M M₂) x✝ = g x✝


α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ✝ : Type u_3
inst✝ : Preorder α
β γ : Type u_4
f : α → Part (β → γ)
g : α → Part β
hf : Antitone f
hg : Antitone g
⊢ Antitone fun x => Seq.seq (f x) fun x_1 => g x


R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
⊢ IsFiniteAdele 1


R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
⊢ {x | 1 x ∉ adicCompletionIntegers K x}.Finite


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
h_empty : {v | 1 ∉ adicCompletionIntegers K v} = ∅
⊢ {x | 1 x ∉ adicCompletionIntegers K x}.Finite


α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : IdemSemiring α
a✝ b c : α
n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0
a : α
⊢ (n + 2) • a = a


α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulWithZero R M
f : α → R
g : α → M
x : α
hfg : x ∈ support (f • g)
hf : f x = 0
⊢ (f • g) x = 0


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
h : Integrable f (μ + ν)
⊢ Integrable f ν


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
h : Memℒp f 1 (μ + ν)
⊢ Memℒp f 1 ν


ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Ω
α : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
f : α →ᵇ ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] ⇑f
hf : HasFiniteIntegral (⇑f) μ
⊢ ∫ (ω : α), f ω ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 ‖f‖, (μ {a | t ≤ f a}).toReal


R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n : ℕ
hp : p ≠ 0
⊢ p.degree = ↑n ↔ p.natDegree = n


R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n : ℕ
hp : p ≠ 0
⊢ ↑p.natDegree = ↑n ↔ p.natDegree = n


ι : Type u_1
α' : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α' i)
inst✝ : (i : ι) → BoundedOrder (α' i)
f g : (i : ι) → α' i
⊢ IsCompl f g ↔ ∀ (i : ι), IsCompl (f i) (g i)


G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
⊢ (s • t).IsPWO


G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
⊢ ((fun x => x.1 • x.2) '' s ×ˢ t).IsPWO


ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
⊢ comap (⇑e) atTop = atTop


ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Type u_3
inst✝ : Nonempty ι
Fs : ι → Set α
hFs : ∀ (i : ι), M.Flat (Fs i)
⊢ M.Flat (⋂ i, Fs i)


ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
ι : Type u_3
inst✝ : Nonempty ι
Fs : ι → Set α
hFs : ∀ (i : ι), M.Flat (Fs i)
I X : Set α
hI : M.Basis I (⋂ i, Fs i)
hIX : M.Basis I X
i : ι
⊢ X ⊆ Fs i


case intro.intro
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
ι : Type u_3
inst✝ : Nonempty ι
Fs : ι → Set α
hFs : ∀ (i : ι), M.Flat (Fs i)
I X : Set α
hI : M.Basis I (⋂ i, Fs i)
hIX : M.Basis I X
i : ι
J : Set α
hIJ : M.Basis J (Fs i)
hJ : I ⊆ J
⊢ X ⊆ Fs i


case intro.intro
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
ι : Type u_3
inst✝ : Nonempty ι
Fs : ι → Set α
hFs : ∀ (i : ι), M.Flat (Fs i)
I X : Set α
hI : M.Basis I (⋂ i, Fs i)
hIX : M.Basis I X
i : ι
J : Set α
hIJ : M.Basis J (Fs i)
hJ : I ⊆ J
⊢ M.Basis J (Fs i ∪ X)


case h.e'_4
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
ι : Type u_3
inst✝ : Nonempty ι
Fs : ι → Set α
hFs : ∀ (i : ι), M.Flat (Fs i)
I X : Set α
hI : M.Basis I (⋂ i, Fs i)
hIX : M.Basis I X
i : ι
J : Set α
hIJ : M.Basis J (Fs i)
hJ : I ⊆ J
⊢ Fs i ∪ X = Fs i ∪ (J ∪ X)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommMonoid M

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: m✝ m' : M

Context: G : Type u_2

Context: inst✝³ : CommGroup G

Context: g g' : G

Context: inst✝² : T2Space M

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable β

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: m : α → M

Context: m0 : m ⊥ = 1

Context: R : M → M → Prop

Context: s : β → α

M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m✝ m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : T2Space M
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Countable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
R : M → M → Prop
m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∏' (i : ℕ), m (s i))
s : β → α
⊢ R (m (⨆ b, s b)) (∏' (b : β), m (s b))


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommMonoid M

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: m✝ m' : M

Context: G : Type u_2

Context: inst✝³ : CommGroup G

Context: g g' : G

Context: inst✝² : T2Space M

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable β

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: m : α → M

Context: m0 : m ⊥ = 1

Context: R : M → M → Prop

Context: s : β → α

Context: val✝ : Encodable β

case intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m✝ m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : T2Space M
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Countable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
R : M → M → Prop
m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∏' (i : ℕ), m (s i))
s : β → α
val✝ : Encodable β
⊢ R (m (⨆ b, s b)) (∏' (b : β), m (s b))


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.121165, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.121169, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
h : S.Splitting
⊢ (h.s.op ≫ S.op.f + S.op.g ≫ h.r.op).unop = (𝟙 S.op.X₂).unop


G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁✝ a₂✝ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
h : ker f = IsSubgroup.trivial G
a₁ a₂ : G
hfa : f a₁ = f a₂
⊢ a₁ = a₂


G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁✝ a₂✝ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a₁ a₂ : G
hfa : f a₁ = f a₂
h : ∀ (x : G), f x = 1 ↔ x = 1
⊢ a₁ = a₂


G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁✝ a₂✝ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a₁ a₂ : G
hfa : f a₁ = f a₂
h : ∀ (x : G), f x = 1 ↔ x = 1
ha : a₁ * a₂⁻¹ = 1
⊢ a₁ = a₂


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedRing α
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
inst✝ : Fintype ι
hfg : Antivary f g
⊢ ∑ i : ι, f i • g i < ∑ i : ι, f i • g (σ i) ↔ ¬Antivary f (g ∘ ⇑σ)


case h
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q
⊢ (z₁.comp (-z₂) h).v p q hpq = (-z₁.comp z₂ h).v p q hpq


K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
hn : n ≠ 1
H : Irreducible (X ^ n - C 0)
⊢ False


K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
hn : n ≠ 1
H : Irreducible (X ^ n)
⊢ False


case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
u : Set α
hu : MeasurableSet u
⊢ MeasurableSet (Subtype.val '' (Subtype.val ⁻¹' u))


case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
u : Set α
hu : MeasurableSet u
⊢ MeasurableSet (s ∩ u)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝¹ : Module R M₂

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: z₁ z₂ : M₂

R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Fintype ι
z₁ z₂ : M₂
⊢ MultilinearMap.mkPiRing R ι z₁ = MultilinearMap.mkPiRing R ι z₂ ↔ z₁ = z₂


𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝⁴ : NormedRing R
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 R
𝕜' : Type u_4
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜'
x : 𝕜'
hx : x ≠ 0
n : ℕ∞
⊢ ContDiffAt 𝕜 n Inv.inv x


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop

a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ ¬n % 2 = 1 ↔ n % 2 = 0


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Bornology α
inst✝² : Bornology β
inst✝¹ : Bornology γ
inst✝ : Bornology δ
g : LocallyBoundedMap β γ
f₁ f₂ : LocallyBoundedMap α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)


ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
h : M.Basis I X
⊢ M.closure I = M.closure X


ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
h : M.Basis I X
⊢ M.closure X ⊆ M.closure I


ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
h : M.Basis I X
⊢ M.closure X ⊆ M.closure {x | M.Basis I (insert x I)}


α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝⁷ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝⁶ : LinearOrder γ
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : OrderTopology γ
δ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrder δ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : OrderTopology δ
ι : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace ι
g : γ → δ
f : α → γ
hg : ContinuousAt g (f x)
hf : LowerSemicontinuousAt f x
gmon : Monotone g
⊢ LowerSemicontinuousAt (g ∘ f) x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Preorder β

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: x : α

Context: s t : Set α

Context: y z : β

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁶ : LinearOrder γ

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁴ : OrderTopology γ

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝³ : LinearOrder δ

Context: inst✝² : TopologicalSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderTopology δ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝ : TopologicalSpace ι

Context: g : γ → δ

Context: f : α → γ

Context: hg : ContinuousAt g (f x)

Context: gmon : Monotone g

α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝⁷ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝⁶ : LinearOrder γ
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : OrderTopology γ
δ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrder δ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : OrderTopology δ
ι : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace ι
g : γ → δ
f : α → γ
hg : ContinuousAt g (f x)
gmon : Monotone g
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f univ x
⊢ LowerSemicontinuousWithinAt (g ∘ f) univ x


X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K : Compacts X
⊢ (⇑Λ '' {f | ∀ x ∈ K, 1 ≤ f x}).Nonempty


X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K : Compacts X
⊢ {f | ∀ x ∈ K, 1 ≤ f x}.Nonempty


case h
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K : Compacts X
x : X
a✝ : x ∈ K
⊢ 1 ≤ 1 x


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : AddGroup A

Context: s : Set G

Context: ι : Sort u_5

Context: S : ι → Subgroup G

Context: C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop

Context: h1 : C 1 ⋯

Context: x : G

Context: hx : x ∈ ⨆ i, S i

α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
hp : ∀ (i : ι) (x : G) (hx : x ∈ S i), C x ⋯
h1 : C 1 ⋯
hmul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x : G
hx : x ∈ ⨆ i, S i
⊢ C x hx


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: S✝ : Type u_4

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : AddGroup A

Context: s : Set G

Context: ι : Sort u_5

Context: S : ι → Subgroup G

Context: C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop

Context: h1 : C 1 ⋯

Context: x : G

Context: hx : x ∈ ⨆ i, S i

α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
hp : ∀ (i : ι) (x : G) (hx : x ∈ S i), C x ⋯
h1 : C 1 ⋯
hmul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x : G
hx : x ∈ ⨆ i, S i
⊢ ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h


G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H K : Subgroup G
⊢ ↑(map K.subtype (H.subgroupOf K)) = ↑(H ⊓ K)


G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H K : Subgroup G
⊢ ↑K ∩ H.toSubsemigroup.1 = ↑(H ⊓ K)


𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
⊢ limsup (fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) atTop ≤ spectralRadius ℂ a


𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
r_lt : ↑r < (spectralRadius ℂ a)⁻¹
⊢ ↑r ≤ (limsup (fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) atTop)⁻¹


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: r : ℝ≥0

Context: r_pos : 0 < r

Context: r_lt : ↑r < (spectralRadius ℂ a)⁻¹

𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
r_lt : ↑r < (spectralRadius ℂ a)⁻¹
p : FormalMultilinearSeries ℂ ℂ A := fun n => ContinuousMultilinearMap.mkPiRing ℂ (Fin n) (a ^ n)
⊢ ↑r ≤ liminf (fun i => 1 / ↑‖a ^ i‖₊ ^ (1 / ↑i)) atTop


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: r : ℝ≥0

Context: r_pos : 0 < r

Context: r_lt : ↑r < (spectralRadius ℂ a)⁻¹

𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
r_lt : ↑r < (spectralRadius ℂ a)⁻¹
p : FormalMultilinearSeries ℂ ℂ A := fun n => ContinuousMultilinearMap.mkPiRing ℂ (Fin n) (a ^ n)
⊢ ↑r ≤ p.radius


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: r : ℝ≥0

Context: r_pos : 0 < r

Context: r_lt : ↑r < (spectralRadius ℂ a)⁻¹

𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
r_lt : ↑r < (spectralRadius ℂ a)⁻¹
p : FormalMultilinearSeries ℂ ℂ A := fun n => ContinuousMultilinearMap.mkPiRing ℂ (Fin n) (a ^ n)
H₁ :
  HasFPowerSeriesOnBall (fun z => Ring.inverse (1 - z • a)) (cauchyPowerSeries (fun z => Ring.inverse (1 - z • a)) 0 ↑r)
    0 ↑r
⊢ ↑r ≤ p.radius


V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
⊢ G ⊔ edge s s = G


α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
⊢ (succ o).card = o.card + 1


R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝² : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x✝¹ : { x // x ∈ ↑(span R s) }
x : M
hx : x ∈ ↑(span R s)
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤
⊢ ⟨x, hx⟩ ∈ span R (Subtype.val ⁻¹' s)


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
⊢ 𝓤 α = comap (fun x => x.2⁻¹ * x.1) (𝓝 1)


ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
⊢ x ∈ ↑(⨆ i, S i) ↔ x ∈ ⋃ i, ↑(S i)


α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Invertible 2
a : αˢʸᵐ
⊢ unsym (a * a) = unsym a * unsym a


Context:
θ : Angle
ψ : ℝ

θ : Angle
ψ : ℝ
⊢ θ.sin = Real.sin ψ ↔ θ = ↑ψ ∨ θ + ↑ψ = ↑π


Context: ψ x✝ : ℝ

case h
ψ x✝ : ℝ
⊢ (↑x✝).sin = Real.sin ψ ↔ ↑x✝ = ↑ψ ∨ ↑x✝ + ↑ψ = ↑π


R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
⊢ T R n = U R n - X * U R (n - 1)


𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
hr : r ≠ 0
x : ↑(sphere 1 r)
⊢ ‖↑x‖ ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : DiscreteTopology α

Context: f : α × β → γ

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology α
f : α × β → γ
⊢ IsOpenMap f ↔ ∀ (a : α), IsOpenMap fun x => f (a, x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : DiscreteTopology α

Context: f : α × β → γ

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology α
f : α × β → γ
⊢ (∀ (a : α) (b : β), 𝓝 (f (a, b)) ≤ map (f ∘ Prod.mk a) (𝓝 b)) ↔
    ∀ (a : α) (x : β), 𝓝 (f (a, x)) ≤ map (fun x => f (a, x)) (𝓝 x)


case w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Preadditive C
J K : Type
inst✝² : Finite J
f✝ : J → C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
inst✝ : Fintype K
f : J → C
g : K → C
m : (j : J) → (k : K) → f j ⟶ g k
P : C
x : (k : K) → g k ⟶ P
j✝ : J
⊢ ι f j✝ ≫ matrix m ≫ desc x = ι f j✝ ≫ desc fun j => ∑ k : K, m j k ≫ x k


case H
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p : ↑(Ω^ N X x)
y✝ : N → ↑I
⊢ (fromLoop i (toLoop i p)) y✝ = p y✝


case intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
g : X → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
h : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, ‖g x‖ ≤ ‖f x‖
x : X
hx : x ∈ s
t : Set X
t_mem : t ∈ 𝓝[s] x
ht : IntegrableOn f t μ
⊢ IntegrableAtFilter g (𝓝[s] x) μ


R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a b : R
hab : a < b
c : R
hc : IsRegular c
⊢ star c * a * c < star c * b * c


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝¹ : AddCommSemigroup α
inst✝ : Neg β
h : Antiperiodic f c
a x : α
⊢ (fun x => f (x + a)) (x + c) = -(fun x => f (x + a)) x


X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : Scheme
inst✝ : IsAffine Y
f : X ⟶ Y
⊢ (∀ ⦃U₁ U₂ : Scheme⦄ (f₁ : U₁ ⟶ X) (f₂ : U₂ ⟶ X) [inst : IsAffine U₁] [inst_1 : IsAffine U₂]
      [inst_2 : IsOpenImmersion f₁] [inst_3 : IsOpenImmersion f₂],
      (fun X x x_1 x => CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace) (pullback f₁ f₂) (pullback (f₁ ≫ f) (f₂ ≫ f))
        (pullback.mapDesc f₁ f₂ f) ⋯) ↔
    QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace


C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₂ : Epi (app' φ 2 ⋯)
h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)
⊢ R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0


R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R
⊢ v.valuation ((algebraMap R K) r) < 1 ↔ v.asIdeal ∣ Ideal.span {r}


R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R
⊢ v.intValuation r < 1 ↔ v.asIdeal ∣ Ideal.span {r}


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x y z : R

Context: h : v x < v y

K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v x < v y
⊢ v (x - y) = v y


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x y z : R

Context: h : v x < v y

case h
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v x < v y
⊢ v x < v (-y)


α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
x✝ : a₁ ≡ b₁ [PMOD p]
m : ℤ
hm : b₁ - a₁ = m • p
⊢ (∃ b, b₁ - b₂ - (a₁ - a₂) = (Equiv.subLeft m).symm.symm b • p) ↔ a₂ ≡ b₂ [PMOD p]


G : Type u_1
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c a b : G
⊢ a * (a⁻¹ * b) = b


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.130873, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝¹ : Balanced C
hS : S.Exact
h : S.LeftHomologyData
inst✝ : Mono S.f
⊢ IsIso h.f'


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.130873, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝¹ : Balanced C
hS : S.Exact
h : S.LeftHomologyData
inst✝ : Mono S.f
this : Epi h.f'
⊢ IsIso h.f'


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.130873, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝¹ : Balanced C
hS : S.Exact
h : S.LeftHomologyData
inst✝ : Mono S.f
this✝ : Epi h.f'
this : Mono h.f'
⊢ IsIso h.f'


C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : CategoryWithHomology C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
n : ℤ
⊢ QuasiIso ((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (up ℤ)) n).map φ) ↔ QuasiIso φ


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : CommSemiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: s✝ t : Set A

Context: inst✝³ : CommSemiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: r : A

Context: s : Set B

Context: B' : Subalgebra R B

Context: hs : r • s ⊆ ↑B'

Context: x : B

Context: hr : (algebraMap A B) r ∈ B'

R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
s✝ t : Set A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
x : B
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
hx : x ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
⊢ ∃ n₀, ∀ n ≥ n₀, r ^ n • x ∈ B'


case intro
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
s✝ t : Set A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R
⊢ ∃ n₀, ∀ n ≥ n₀, (r ^ n • l.sum fun i c => c • ↑i) ∈ B'


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : CommSemiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: s✝ t : Set A

Context: inst✝³ : CommSemiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: r : A

Context: s : Set B

Context: B' : Subalgebra R B

Context: hs : r • s ⊆ ↑B'

Context: hr : (algebraMap A B) r ∈ B'

Context: l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R

Context: n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ

case intro
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
s✝ t : Set A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R
n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ
n₂ : ∀ (x : ↥(Submonoid.closure s)), r ^ n₁ x • ↑x ∈ Submonoid.closure (r • s)
⊢ ∃ n₀, ∀ n ≥ n₀, (r ^ n • l.sum fun i c => c • ↑i) ∈ B'


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : CommSemiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: s✝ t : Set A

Context: inst✝³ : CommSemiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: r : A

Context: s : Set B

Context: B' : Subalgebra R B

Context: hs : r • s ⊆ ↑B'

Context: hr : (algebraMap A B) r ∈ B'

Context: l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R

Context: n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ l.support.sup n₁

case h
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
s✝ t : Set A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R
n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ
n₂ : ∀ (x : ↥(Submonoid.closure s)), r ^ n₁ x • ↑x ∈ Submonoid.closure (r • s)
n : ℕ
hn : n ≥ l.support.sup n₁
⊢ (r ^ n • l.sum fun i c => c • ↑i) ∈ B'


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : CommSemiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: s✝ t : Set A

Context: inst✝³ : CommSemiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: r : A

Context: s : Set B

Context: B' : Subalgebra R B

Context: hs : r • s ⊆ ↑B'

Context: hr : (algebraMap A B) r ∈ B'

Context: l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R

Context: n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ l.support.sup n₁

case h
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
s✝ t : Set A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R
n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ
n₂ : ∀ (x : ↥(Submonoid.closure s)), r ^ n₁ x • ↑x ∈ Submonoid.closure (r • s)
n : ℕ
hn : n ≥ l.support.sup n₁
⊢ (l.sum fun a b => r ^ n • b • ↑a) ∈ B'


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : CommSemiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: s✝ t : Set A

Context: inst✝³ : CommSemiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: r : A

Context: s : Set B

Context: B' : Subalgebra R B

Context: hs : r • s ⊆ ↑B'

Context: hr : (algebraMap A B) r ∈ B'

Context: l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R

Context: n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ l.support.sup n₁

Context: a : ↑↑(Submonoid.closure s)

Context: ha : a ∈ l.support

case h
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
s✝ t : Set A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R
n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ
n₂ : ∀ (x : ↥(Submonoid.closure s)), r ^ n₁ x • ↑x ∈ Submonoid.closure (r • s)
n : ℕ
hn : n ≥ l.support.sup n₁
a : ↑↑(Submonoid.closure s)
ha : a ∈ l.support
⊢ (fun a b => r ^ n • b • ↑a) a (l a) ∈ Subalgebra.toSubmodule B'


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : CommSemiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: s✝ t : Set A

Context: inst✝³ : CommSemiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: r : A

Context: s : Set B

Context: B' : Subalgebra R B

Context: hs : r • s ⊆ ↑B'

Context: hr : (algebraMap A B) r ∈ B'

Context: l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R

Context: n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ l.support.sup n₁

Context: a : ↑↑(Submonoid.closure s)

Context: ha : a ∈ l.support

Context: this : n ≥ n₁ a

case h
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
s✝ t : Set A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R
n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ
n₂ : ∀ (x : ↥(Submonoid.closure s)), r ^ n₁ x • ↑x ∈ Submonoid.closure (r • s)
n : ℕ
hn : n ≥ l.support.sup n₁
a : ↑↑(Submonoid.closure s)
ha : a ∈ l.support
this : n ≥ n₁ a
⊢ r ^ n • l a • ↑a ∈ Subalgebra.toSubmodule B'


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : CommSemiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: s✝ t : Set A

Context: inst✝³ : CommSemiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: r : A

Context: s : Set B

Context: B' : Subalgebra R B

Context: hs : r • s ⊆ ↑B'

Context: hr : (algebraMap A B) r ∈ B'

Context: l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R

Context: n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ l.support.sup n₁

Context: a : ↑↑(Submonoid.closure s)

Context: ha : a ∈ l.support

Context: this : n ≥ n₁ a

case h
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
s✝ t : Set A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R
n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ
n₂ : ∀ (x : ↥(Submonoid.closure s)), r ^ n₁ x • ↑x ∈ Submonoid.closure (r • s)
n : ℕ
hn : n ≥ l.support.sup n₁
a : ↑↑(Submonoid.closure s)
ha : a ∈ l.support
this : n ≥ n₁ a
⊢ (algebraMap A B) r ^ (n - n₁ a) * l a • r ^ n₁ a • ↑a ∈ Subalgebra.toSubmodule B'


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : CommSemiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: s✝ t : Set A

Context: inst✝³ : CommSemiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: r : A

Context: s : Set B

Context: B' : Subalgebra R B

Context: hs : r • s ⊆ ↑B'

Context: hr : (algebraMap A B) r ∈ B'

Context: l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R

Context: n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ l.support.sup n₁

Context: a : ↑↑(Submonoid.closure s)

Context: ha : a ∈ l.support

Context: this : n ≥ n₁ a

R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
s✝ t : Set A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R
n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ
n₂ : ∀ (x : ↥(Submonoid.closure s)), r ^ n₁ x • ↑x ∈ Submonoid.closure (r • s)
n : ℕ
hn : n ≥ l.support.sup n₁
a : ↑↑(Submonoid.closure s)
ha : a ∈ l.support
this : n ≥ n₁ a
⊢ l a • r ^ n₁ a • ↑a ∈ B'


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : CommSemiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: s✝ t : Set A

Context: inst✝³ : CommSemiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: r : A

Context: s : Set B

Context: B' : Subalgebra R B

Context: hs : r • s ⊆ ↑B'

Context: hr : (algebraMap A B) r ∈ B'

Context: l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R

Context: n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ l.support.sup n₁

Context: a : ↑↑(Submonoid.closure s)

Context: ha : a ∈ l.support

Context: this : n ≥ n₁ a

R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
s✝ t : Set A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R
n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ
n₂ : ∀ (x : ↥(Submonoid.closure s)), r ^ n₁ x • ↑x ∈ Submonoid.closure (r • s)
n : ℕ
hn : n ≥ l.support.sup n₁
a : ↑↑(Submonoid.closure s)
ha : a ∈ l.support
this : n ≥ n₁ a
⊢ r ^ n₁ a • ↑a ∈ B'.toSubmonoid


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : CommSemiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: s✝ t : Set A

Context: inst✝³ : CommSemiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: r : A

Context: s : Set B

Context: B' : Subalgebra R B

Context: hs : r • s ⊆ ↑B'

Context: hr : (algebraMap A B) r ∈ B'

Context: l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R

Context: n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ l.support.sup n₁

Context: a : ↑↑(Submonoid.closure s)

Context: ha : a ∈ l.support

Context: this : n ≥ n₁ a

R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
s✝ t : Set A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
r : A
s : Set B
B' : Subalgebra R B
hs : r • s ⊆ ↑B'
hr : (algebraMap A B) r ∈ B'
l : ↑↑(Submonoid.closure s) →₀ R
n₁ : ↥(Submonoid.closure s) → ℕ
n₂ : ∀ (x : ↥(Submonoid.closure s)), r ^ n₁ x • ↑x ∈ Submonoid.closure (r • s)
n : ℕ
hn : n ≥ l.support.sup n₁
a : ↑↑(Submonoid.closure s)
ha : a ∈ l.support
this : n ≥ n₁ a
⊢ r ^ n₁ a • ↑a ∈ Submonoid.closure ↑B'.toSubmonoid


F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : FiniteDimensional F E
heq : finSepDegree F E = finrank F E
x : E
⊢ IsSeparable F x


F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : FiniteDimensional F E
heq : finSepDegree F E = finrank F E
x : E
halg : IsAlgebraic F x
⊢ IsSeparable F x


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : FiniteDimensional F E

Context: heq : finSepDegree F E = finrank F E

Context: x : E

Context: halg : IsAlgebraic F x

F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : FiniteDimensional F E
heq : finSepDegree F E = finrank F E
x : E
halg : IsAlgebraic F x
h : finSepDegree F ↥F⟮x⟯ < finrank F ↥F⟮x⟯
⊢ False


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : FiniteDimensional F E

Context: heq : finSepDegree F E = finrank F E

Context: x : E

Context: halg : IsAlgebraic F x

F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : FiniteDimensional F E
heq : finSepDegree F E = finrank F E
x : E
halg : IsAlgebraic F x
h : finSepDegree F ↥F⟮x⟯ < finrank F ↥F⟮x⟯
this : finSepDegree F ↥F⟮x⟯ * finSepDegree (↥F⟮x⟯) E < finrank F ↥F⟮x⟯ * finrank (↥F⟮x⟯) E
⊢ False


Context: a b : ℤ


R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsArtinianRing R
S : Submonoid R
L : Type u_2
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsLocalization S L
r' : L
⊢ ∃ a, (algebraMap R L) a = r'


case intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsArtinianRing R
S : Submonoid R
L : Type u_2
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsLocalization S L
r₁ : R
s : ↥S
⊢ ∃ a, (algebraMap R L) a = IsLocalization.mk' L r₁ s


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsArtinianRing R

Context: S : Submonoid R

Context: L : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing L

Context: inst✝¹ : Algebra R L

Context: inst✝ : IsLocalization S L

Context: r₁ : R

Context: s : ↥S

Context: r₂ : R

case intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsArtinianRing R
S : Submonoid R
L : Type u_2
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsLocalization S L
r₁ : R
s : ↥S
r₂ : R
h : IsLocalization.mk' L 1 s = (algebraMap R L) r₂
⊢ ∃ a, (algebraMap R L) a = IsLocalization.mk' L r₁ s


R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x y : M
⊢ (fun m => mk m 1) (x + y) = (fun m => mk m 1) x + (fun m => mk m 1) y


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Nonempty β
a b : α
⊢ const β a < const β b ↔ a < b


n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
hprime : Fact (Nat.Prime p)
hdiv : ¬p ∣ n
Q : ℤ[X] := minpoly ℤ (μ ^ p)
⊢ map (Int.castRingHom (ZMod p)) (minpoly ℤ μ) ∣ map (Int.castRingHom (ZMod p)) Q ^ p


Context: n : ℕ

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing K

Context: μ : K

Context: h : IsPrimitiveRoot μ n

Context: inst✝¹ : IsDomain K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: p : ℕ

Context: hprime : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdiv : ¬p ∣ n

Context: Q : ℤ[X] := minpoly ℤ (μ ^ p)

n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
hprime : Fact (Nat.Prime p)
hdiv : ¬p ∣ n
Q : ℤ[X] := minpoly ℤ (μ ^ p)
hfrob : map (Int.castRingHom (ZMod p)) Q ^ p = map (Int.castRingHom (ZMod p)) ((expand ℤ p) Q)
⊢ map (Int.castRingHom (ZMod p)) (minpoly ℤ μ) ∣ map (Int.castRingHom (ZMod p)) ((expand ℤ p) Q)


Context: n : ℕ

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing K

Context: μ : K

Context: h : IsPrimitiveRoot μ n

Context: inst✝¹ : IsDomain K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: p : ℕ

Context: hprime : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdiv : ¬p ∣ n

Context: Q : ℤ[X] := minpoly ℤ (μ ^ p)

n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
hprime : Fact (Nat.Prime p)
hdiv : ¬p ∣ n
Q : ℤ[X] := minpoly ℤ (μ ^ p)
hfrob : map (Int.castRingHom (ZMod p)) Q ^ p = map (Int.castRingHom (ZMod p)) ((expand ℤ p) Q)
⊢ minpoly ℤ μ ∣ (expand ℤ p) Q


α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f : α → ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) ν
⊢ (fun x => (μ.rnDeriv (ν.tilted f) x).toReal) =ᶠ[ae ν] fun x =>
    (rexp (-f x) * ∫ (x : α), rexp (f x) ∂ν) * (μ.rnDeriv ν x).toReal


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) ν

Context: x : α

case h
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f : α → ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) ν
x : α
hx : μ.rnDeriv (ν.tilted f) x = ENNReal.ofReal (rexp (-f x) * ∫ (x : α), rexp (f x) ∂ν) * μ.rnDeriv ν x
⊢ (ENNReal.ofReal (rexp (-f x) * ∫ (x : α), rexp (f x) ∂ν) * μ.rnDeriv ν x).toReal =
    (rexp (-f x) * ∫ (x : α), rexp (f x) ∂ν) * (μ.rnDeriv ν x).toReal


Context: n✝ : ZFSet

Context: x : PSet

Context: x✝ : ⟦x⟧ ∈ omega

Context: n : ℕ

n✝ : ZFSet
x : PSet
x✝ : ⟦x⟧ ∈ omega
n : ℕ
h : x.Equiv (PSet.omega.Func { down := n })
⊢ insert (mk x) (mk x) = insert (mk (ofNat n)) (mk (ofNat n))


α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : Filter α
s : Set α
a : α
hf : f.NeBot
x : α
⊢ f = pure x ↔ {x} ∈ f


case h
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m n α
x y : m → α
x✝ : n
⊢ ((x + y) ᵥ* A) x✝ = (x ᵥ* A + y ᵥ* A) x✝


α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Set β
ht : t.Nontrivial
⊢ (SimpleGraph.map f G).IsClique t ↔ ∃ s, G.IsClique s ∧ ⇑f '' s = t


case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Set β
ht : t.Nontrivial
h : (SimpleGraph.map f G).IsClique t
⊢ ⇑f '' (⇑f ⁻¹' t) = t


case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Set β
ht : t.Nontrivial
h : (SimpleGraph.map f G).IsClique t
x : β
hxt : x ∈ t
⊢ x ∈ Set.range ⇑f


case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Set β
ht : t.Nontrivial
h : (SimpleGraph.map f G).IsClique t
u v : α
hyt : f u ∈ t
hxt : f v ∈ t
hyne : f u ≠ f v
⊢ f v ∈ Set.range ⇑f


R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
i : K →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : Algebra R L
f : R[X]
h : Splits (algebraMap R K) f
e : K →ₐ[R] L
⊢ Splits (algebraMap R L) f


R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
i : K →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : Algebra R L
f : R[X]
h : Splits (algebraMap R K) f
e : K →ₐ[R] L
⊢ Splits ((↑e).comp (algebraMap R K)) f


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: E : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: c : 𝕜

Context: f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝
E : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x
c : 𝕜
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (c • f)) = c • SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f)


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: E : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: c : 𝕜

Context: f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝
E : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x
c : 𝕜
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (c • f)) = SimpleFunc.setToSimpleFunc T (c • toSimpleFunc f)


Context: α : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: E : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: c : 𝕜

Context: f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝
E : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x
c : 𝕜
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ ↑(toSimpleFunc (c • f)) =ᶠ[ae μ] ↑(c • toSimpleFunc f)


M : Type u
N : Type v
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
e : M ≃* N
⊢ 𝟭 (SingleObj M) = e.toMonoidHom.toFunctor ⋙ e.symm.toMonoidHom.toFunctor


M : Type u
N : Type v
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
e : M ≃* N
⊢ e.symm.toMonoidHom.toFunctor ⋙ e.toMonoidHom.toFunctor = 𝟭 (SingleObj N)


case w
X✝ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : UCompactlyGeneratedSpace X✝
X Y : CompactlyGenerated
f : ↑X.toTop ≃ₜ ↑Y.toTop
x : (forget CompactlyGenerated).obj X
⊢ ({ toFun := ⇑f, continuous_toFun := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑f.symm, continuous_toFun := ⋯ }) x = (𝟙 X) x


case w
X✝ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : UCompactlyGeneratedSpace X✝
X Y : CompactlyGenerated
f : ↑X.toTop ≃ₜ ↑Y.toTop
x : (forget CompactlyGenerated).obj Y
⊢ ({ toFun := ⇑f.symm, continuous_toFun := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑f, continuous_toFun := ⋯ }) x = (𝟙 Y) x


𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x✝ x : 𝕜
hxs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
⊢ iteratedDerivWithin (n + 1) f s x = iteratedDerivWithin n (derivWithin f s) s x


α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
l : Filter β
a : α
h : Tendsto f l (𝓝 a)
⊢ Tendsto (fun i => max (f i) a) l (𝓝 a)


α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
l : Filter β
a : α
h : Tendsto f l (𝓝 a)
⊢ Tendsto (fun i => max a (f i)) l (𝓝 a)


M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x y : M
c : ↥S
h : f.toMap (↑c * x) = f.toMap (↑c * y)
⊢ f.toMap x = f.toMap y


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommMonoid P

Context: f : S.LocalizationMap N

Context: x y : M

Context: c : ↥S

M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x y : M
c : ↥S
h : f.toMap ↑c * f.toMap x = f.toMap ↑c * f.toMap y
⊢ f.toMap x = f.toMap y


M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x y : M
c : ↥S
u : Nˣ
h : ↑u * f.toMap x = ↑u * f.toMap y
hu : ↑u = f.toMap ↑c
⊢ f.toMap x = f.toMap y


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: n : ℕ

Context: R : L.Relations n

Context: i : ι

Context: x : Fin n → G i

L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
R : L.Relations n
i : ι
x : Fin n → G i
⊢ (RelMap R fun a => ⟦Structure.Sigma.mk f i (x a)⟧) = RelMap R x


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: n : ℕ

Context: R : L.Relations n

Context: i : ι

Context: x : Fin n → G i

Context: k : ι

Context: left✝ : i ≤ k

Context: right✝ : Classical.choose ⋯ ≤ k

case intro.intro
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
R : L.Relations n
i : ι
x : Fin n → G i
k : ι
left✝ : i ≤ k
right✝ : Classical.choose ⋯ ≤ k
⊢ (RelMap R fun a => Structure.Sigma.mk f i (x a)) = RelMap R x


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: n : ℕ

Context: R : L.Relations n

Context: i : ι

Context: x : Fin n → G i

Context: k : ι

Context: left✝ : i ≤ k

Context: right✝ : Classical.choose ⋯ ≤ k

Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: n : ℕ

Context: R : L.Relations n

Context: i : ι

Context: x : Fin n → G i

Context: k : ι

Context: left✝ : i ≤ k

Context: right✝ : Classical.choose ⋯ ≤ k

case intro.intro
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
R : L.Relations n
i : ι
x : Fin n → G i
k : ι
left✝ : i ≤ k
right✝ : Classical.choose ⋯ ≤ k
⊢ RelMap R (unify f (fun a => Structure.Sigma.mk f i (x a)) i ?intro.intro) = RelMap R x

case intro.intro
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
R : L.Relations n
i : ι
x : Fin n → G i
k : ι
left✝ : i ≤ k
right✝ : Classical.choose ⋯ ≤ k
⊢ i ∈ upperBounds (range (Sigma.fst ∘ fun a => Structure.Sigma.mk f i (x a)))


Context: A✝ : Type u_1

Context: ι✝ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Ring A✝

Context: A : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : CommRing A

Context: B : ι → AddSubgroup A

Context: x : A

Context: i j : ι

A✝ : Type u_1
ι✝ : Type u_2
inst✝¹ : Ring A✝
A : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : CommRing A
B : ι → AddSubgroup A
inter : ∀ (i j : ι), ∃ k, B k ≤ B i ⊓ B j
mul : ∀ (i : ι), ∃ j, ↑(B j) * ↑(B j) ⊆ ↑(B i)
leftMul : ∀ (x : A) (i : ι), ∃ j, ↑(B j) ⊆ (fun y => x * y) ⁻¹' ↑(B i)
x : A
i j : ι
hj : ↑(B j) ⊆ (fun y => x * y) ⁻¹' ↑(B i)
⊢ ↑(B j) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(B i)