Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: C : (i : ι) → Set (Set (α i))

Context: h2C : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)

Context: μν : Measure ((i : ι) → α i)

Context: s : (i : ι) → Set (α i)

Context: hs : s ∈ univ.pi C

case intro.intro
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), generateFrom (C i) = inst✝ i
h2C : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)
h3C : (i : ι) → (μ i).FiniteSpanningSetsIn (C i)
μν : Measure ((i : ι) → α i)
h₁ : ∀ (s : (i : ι) → Set (α i)), (∀ (i : ι), s i ∈ C i) → μν (univ.pi s) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)
h4C : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ C i, MeasurableSet s
s : (i : ι) → Set (α i)
hs : s ∈ univ.pi C
⊢ (Measure.pi μ) (univ.pi s) = μν (univ.pi s)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: C : (i : ι) → Set (Set (α i))

Context: h2C : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)

Context: μν : Measure ((i : ι) → α i)

Context: s : (i : ι) → Set (α i)

Context: hs : ∀ (i : ι), s i ∈ C i

case intro.intro
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), generateFrom (C i) = inst✝ i
h2C : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)
h3C : (i : ι) → (μ i).FiniteSpanningSetsIn (C i)
μν : Measure ((i : ι) → α i)
h₁ : ∀ (s : (i : ι) → Set (α i)), (∀ (i : ι), s i ∈ C i) → μν (univ.pi s) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)
h4C : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ C i, MeasurableSet s
s : (i : ι) → Set (α i)
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ C i
⊢ (Measure.pi μ) (univ.pi s) = μν (univ.pi s)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: C : (i : ι) → Set (Set (α i))

Context: h2C : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)

Context: μν : Measure ((i : ι) → α i)

Context: s : (i : ι) → Set (α i)

Context: hs : ∀ (i : ι), s i ∈ C i

Context: this : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

case intro.intro
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), generateFrom (C i) = inst✝ i
h2C : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)
h3C : (i : ι) → (μ i).FiniteSpanningSetsIn (C i)
μν : Measure ((i : ι) → α i)
h₁ : ∀ (s : (i : ι) → Set (α i)), (∀ (i : ι), s i ∈ C i) → μν (univ.pi s) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)
h4C : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ C i, MeasurableSet s
s : (i : ι) → Set (α i)
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ C i
this : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
⊢ (Measure.pi μ) (univ.pi s) = μν (univ.pi s)


α : Type u_1
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b : α
ha : IsRegular a
hb : IsRegular b
⊢ IsRegular (a ⊓ b)


σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ f : σ → MvPolynomial τ R
p : MvPolynomial σ R
⊢ (aeval id) ((rename f) p) = (aeval f) p


R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
c : R
⊢ 0 ≤ c * a * star c


Context: x y : ℂ


X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X
hx : (𝓝[≠] x).NeBot
s : Set X
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ s.Infinite


X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X
hx : (𝓝[≠] x).NeBot
s : Set X
hs : s ∈ 𝓝 x
hsf : s.Finite
⊢ 𝓝[≠] x = ⊥


X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X
hx : (𝓝[≠] x).NeBot
s : Set X
hs : s ∈ 𝓝 x
hsf : s.Finite
⊢ IsOpen {x}


k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : ZeroHomClass F α α₂
f : F
⊢ mapDomain (⇑f) 1 = 1


α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsTrans α r
s t u : Multiset α
r1 : Rel r s t
r2 : Rel r t u
⊢ Rel r s u


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)

Context: f : (i : α) → E i

Context: hf : Memℓp f p

α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
⊢ Memℓp (star f) p


Context:
α : Type u_1
n : ℕ

α : Type u_1
n : ℕ
⊢ (↑(n + 1)).toZNum = ZNum.ofInt' ↑(n + 1)


R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Nontrivial B
x : σ → A
p : MvPolynomial σ R
⊢ (aeval (⇑(algebraMap A B) ∘ x)) p = 0 ↔ (aeval x) p = 0


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : GroupWithZero α
s t : Set α
hs : s.Nonempty
⊢ 0 ⊆ 0 / s


α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
b₁ b₂ : α
a d : β
hba : b₂ < b₁
hdc : d < a
⊢ b₁ • d + b₂ • a < b₁ • a + b₂ • d


α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
b₁ b₂ : α
a d : β
hba : b₂ < b₁
hdc : d < a
⊢ b₂ • a + b₁ • d < b₂ • d + b₁ • a


α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
a✝ b✝ : ℝ
h : dist a✝ b✝ < ε
⊢ dist (-a✝) (-b✝) < ε


α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
a✝ b✝ : ℝ
h : dist b✝ a✝ < ε
⊢ dist (-a✝) (-b✝) < ε


Context: α : Type u_1

Context: a b c d : α

Context: m n : ℕ

Context: ha : 1 < a

α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
ha : 1 < a
⊢ a ^ n < a ^ n.succ


Context: α : Type u_1

Context: a b c d : α

Context: m n : ℕ

Context: ha : 1 < a

α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
ha : 1 < a
⊢ 1 * a ^ n < a * a ^ n


ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
⊢ Isometry f ↔ ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) = dist x y


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : OrderTopology α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : OrderTopology β

Context: inst✝ : Nonempty γ

Context: s : Set α

Context: hs : s ∈ {s | IsPreconnected s}

α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : Nonempty γ
s : Set α
hs : s ∈ {s | IsPreconnected s}
⊢ s ∈
    range (uncurry Icc) ∪ range (uncurry Ico) ∪ range (uncurry Ioc) ∪ range (uncurry Ioo) ∪
      (range Ici ∪ range Ioi ∪ range Iic ∪ range Iio ∪ {univ, ∅})


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹¹ : Semifield R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : HasContinuousInv₀ R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: hf' : ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≠ 0

Context: n : ℤ

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹¹ : Semifield R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : HasContinuousInv₀ R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
hf' : ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≠ 0
n : ℤ
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ cfcUnits f a hf' hf ha ^ n = cfcUnits (f ^ n) a ⋯ ⋯ ha


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : DiscreteTopology β

Context: f : α × β → γ

Context: x : α × β

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α × β → γ
x : α × β
⊢ ContinuousAt f x ↔ ContinuousAt (fun x_1 => f (x_1, x.2)) x.1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : DiscreteTopology β

Context: f : α × β → γ

Context: x : α × β

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α × β → γ
x : α × β
⊢ ContinuousWithinAt f univ x ↔ ContinuousWithinAt (fun x_1 => f (x_1, x.2)) univ x.1


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)

p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
⊢ (algebraMap (𝓞 K) K) hζ.integralPowerBasis.gen = ↑hζ.toInteger


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)

p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
⊢ (algebraMap (𝓞 K) K) (hζ.adjoinEquivRingOfIntegers ⟨ζ, ⋯⟩) = ↑hζ.toInteger


C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
Z : C
I : InjectiveResolution Z
n : ℕ
⊢ (ComplexShape.up ℕ).next (n + 1) = n + 2


K : Type u_1
n : ℕ
g : GenContFract K
s : Stream'.Seq (Pair K)
inst✝ : DivisionRing K
⊢ g.convs' (n + 1) = (g.squashGCF n).convs' n


G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A B : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
a b c x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hA : A.Subsingleton
_x₁ _y₁ _x₂ _y₂ : G
hxyd : IsCorner A _x₁ _y₁ _x₂ _y₂
⊢ _x₁ = _x₂


Context: p q r : ℕ+

p q r : ℕ+
⊢ sumInv {p, q, r} = (↑↑p)⁻¹ + (↑↑q)⁻¹ + (↑↑r)⁻¹


α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c✝ d a b c : G
⊢ a / c * (b * c) = a * b


𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ ‖x + y + z‖ * ‖x + y + z‖ - ‖x + y - z‖ * ‖x + y - z‖ =
    ‖x + z‖ * ‖x + z‖ - ‖x - z‖ * ‖x - z‖ + (‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ - ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖) / 2


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: T₁ T₂ T₃ : Triangle C

Context: J : Type u_1

Context: T : J → Triangle C

Context: inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁

Context: inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂

Context: inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃

Context: T' : Triangle C

Context: φ : (j : J) → T' ⟶ T j

C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ : Triangle C
J : Type u_1
T : J → Triangle C
inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁
inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂
inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃
inst✝ : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
T' : Triangle C
φ : (j : J) → T' ⟶ T j
⊢ T'.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map (Pi.lift fun j => (φ j).hom₁) =
    (Pi.lift fun j => (φ j).hom₃) ≫
      (Pi.map fun j => (T j).mor₃) ≫ inv (piComparison (shiftFunctor C 1) fun j => (T j).obj₁)


E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
c : ℝ
f : ℝ → E
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi c, f (-x) = ∫ (x : ℝ) in Iic (-c), f x


E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
c : ℝ
f : ℝ → E
⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic (-c), f (- -x) = ∫ (x : ℝ) in Iic (- - -c), f x


R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
f g : R[X]
⊢ { toFun := ⇑derivative, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } (f * g) =
    f • { toFun := ⇑derivative, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } g +
      g • { toFun := ⇑derivative, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } f


α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c : α
⊢ max (a / b) (a / c) = a / min b c


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : HasExt C

Context: X : C

Context: n : ℕ

Context: X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: f' : Y✝ ⟶ Z✝

case w
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X : C
n : ℕ
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
f' : Y✝ ⟶ Z✝
α :
  ↑({ obj := fun Y => AddCommGrp.of (Ext X Y n),
          map := fun {X_1 Y} f => AddCommGrp.ofHom ((Ext.mk₀ f).postcomp X ⋯) }.obj
      X✝)
⊢ Ext.comp α (Ext.mk₀ (f ≫ f')) ⋯ = (Ext.comp α (Ext.mk₀ f) ⋯).comp (Ext.mk₀ f') ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : HasExt C

Context: X : C

Context: n : ℕ

Context: X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: f' : Y✝ ⟶ Z✝

case w
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X : C
n : ℕ
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
f' : Y✝ ⟶ Z✝
α :
  ↑({ obj := fun Y => AddCommGrp.of (Ext X Y n),
          map := fun {X_1 Y} f => AddCommGrp.ofHom ((Ext.mk₀ f).postcomp X ⋯) }.obj
      X✝)
⊢ (Ext.comp α (Ext.mk₀ f) ⋯).comp (Ext.mk₀ f') ⋯ = Ext.comp α ((Ext.mk₀ f).comp (Ext.mk₀ f') ⋯) ⋯


Context:
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ

a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
⊢ a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p


case inr
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
⊢ a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p


case inr.inr
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0
⊢ a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p


case inr.inr.inr
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
⊢ a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p


case inr.inr.inr
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
ha : a / p ^ a.factorization p ≠ 0
⊢ a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p


case inr.inr.inr
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
ha : a / p ^ a.factorization p ≠ 0
hb : b / p ^ b.factorization p ≠ 0
⊢ a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p


case inr.inr.inr
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
ha : a / p ^ a.factorization p ≠ 0
hb : b / p ^ b.factorization p ≠ 0
q : ℕ
⊢ (Finsupp.erase p a.factorization) q ≤ (Finsupp.erase p b.factorization) q


case inr.inr.inr.inr
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
ha : a / p ^ a.factorization p ≠ 0
hb : b / p ^ b.factorization p ≠ 0
q : ℕ
hqp : q ≠ p
⊢ (Finsupp.erase p a.factorization) q ≤ (Finsupp.erase p b.factorization) q


case inr.inr.inr.inr
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
hb0 : b ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
ha : a / p ^ a.factorization p ≠ 0
hb : b / p ^ b.factorization p ≠ 0
q : ℕ
hqp : q ≠ p
⊢ a.factorization q ≤ b.factorization q


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: g : ℂ → E

Context: hfd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}

Context: hgd : DiffContOnCl ℂ g {z | 0 < z.re}

Context: hfim : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: hgim : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖g (↑x * I)‖ ≤ C

E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z : ℂ
g : ℂ → E
hfd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hgd : DiffContOnCl ℂ g {z | 0 < z.re}
hfexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hgexp : ∃ c < 2, ∃ B, g =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x - g ↑x‖
hfim : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
hgim : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖g (↑x * I)‖ ≤ C
⊢ EqOn f g {z | 0 ≤ z.re}


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: g : ℂ → E

Context: hfd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}

Context: hgd : DiffContOnCl ℂ g {z | 0 < z.re}

Context: hfim : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: hgim : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖g (↑x * I)‖ ≤ C

E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z : ℂ
g : ℂ → E
hfd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hgd : DiffContOnCl ℂ g {z | 0 < z.re}
hfexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hgexp : ∃ c < 2, ∃ B, g =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x - g ↑x‖
hfim : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
hgim : ∃ C, ∀ (x : ℝ), ‖g (↑x * I)‖ ≤ C
⊢ EqOn (f - g) 0 {z | 0 ≤ z.re}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: a✝ : α

Context: f g : α → List β

Context: a : α

Context: l : List α

case cons
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ : α
f g : α → List β
a : α
l : List α
IH : l.bind f ++ l.bind g ~ l.bind fun x => f x ++ g x
⊢ (a :: l).bind f ++ (a :: l).bind g ~ (a :: l).bind fun x => f x ++ g x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: a✝ : α

Context: f g : α → List β

Context: a : α

Context: l : List α

case cons
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ : α
f g : α → List β
a : α
l : List α
IH : l.bind f ++ l.bind g ~ l.bind fun x => f x ++ g x
⊢ f a ++ (l.bind f ++ (g a ++ l.bind g)) ~ f a ++ (g a ++ l.bind fun x => f x ++ g x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: a✝ : α

Context: f g : α → List β

Context: a : α

Context: l : List α

case cons
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ : α
f g : α → List β
a : α
l : List α
IH : l.bind f ++ l.bind g ~ l.bind fun x => f x ++ g x
⊢ l.bind f ++ (g a ++ l.bind g) ~ g a ++ (l.bind f ++ l.bind g)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: a✝ : α

Context: f g : α → List β

Context: a : α

Context: l : List α

case cons
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ : α
f g : α → List β
a : α
l : List α
IH : l.bind f ++ l.bind g ~ l.bind fun x => f x ++ g x
⊢ l.bind f ++ g a ++ l.bind g ~ g a ++ l.bind f ++ l.bind g


R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
x : A
n : ℤ
⊢ (aeval x) (T R n) = eval x (T A n)


G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
n : ℕ
hx : orderOf x ≠ 0
hn : n ∣ orderOf x
⊢ orderOf (x ^ (orderOf x / n)) = n


G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
n : ℕ
hx : orderOf x ≠ 0
hn : n ∣ orderOf x
⊢ orderOf x / n ≠ 0


G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
n : ℕ
hx : orderOf x / n * n ≠ 0
hn : n ∣ orderOf x
⊢ orderOf x / n ≠ 0


C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
T : C
f : X ⟶ T
g : Y ⟶ T
⊢ desc f g = fst ≫ f + snd ≫ g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: a : Ordinal.{max u v}

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max u v}
⊢ o.blsub f ≤ a ↔ ∀ (i : Ordinal.{u}) (h : i < o), f i h < a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: a : Ordinal.{max u v}

Context: a✝ : Ordinal.{u}

case h.e'_2.h.a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max u v}
a✝ : Ordinal.{u}
⊢ (∀ (h : a✝ < o), f a✝ h < a) ↔ ∀ (h : a✝ < o), succ (f a✝ h) ≤ a


Context: α : Type u_1

Context: β : α → Type u_2

Context: i : ℕ

α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
i : ℕ
⊢ approx (⇑f) i ≤ approx (⇑f) i.succ


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)
⊢ ∃ C, ∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ C * (x - a) ^ (n + 1)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hab : a ≤ b

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)

Context: h : a < b

case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)
h : a < b
g : ℝ → ℝ := fun y => ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖
⊢ ∃ C, ∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ C * (x - a) ^ (n + 1)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hab : a ≤ b

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)

Context: h : a < b

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Icc a b

case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)
h : a < b
g : ℝ → ℝ := fun y => ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖
x : ℝ
hx : x ∈ Icc a b
⊢ ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ sSup (g '' Icc a b) / ↑n ! * (x - a) ^ (n + 1)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hab : a ≤ b

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)

Context: h : a < b

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Icc a b

case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)
h : a < b
g : ℝ → ℝ := fun y => ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖
x : ℝ
hx : x ∈ Icc a b
⊢ ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ sSup (g '' Icc a b) * (x - a) ^ (n + 1) / ↑n !


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hab : a ≤ b

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)

Context: h : a < b

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Icc a b

Context: y : ℝ

case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)
h : a < b
g : ℝ → ℝ := fun y => ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖
x : ℝ
hx : x ∈ Icc a b
y : ℝ
⊢ y ∈ Icc a b → ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖ ≤ sSup (g '' Icc a b)


𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
⊢ map (Prod.fst ∘ φ.prodFun) (𝓝 φ.pt) = 𝓝 (φ.prodFun φ.pt).1


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: b : β

Context: b₁ b₂ : α

α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
b : β
b₁ b₂ : α
h : (fun a => (a, b)) b₁ = (fun a => (a, b)) b₂
⊢ b₁ = b₂


p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ
⊢ ↑(count p n) ≤ Cardinal.mk ↑{k | p k}


p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ
⊢ Cardinal.mk { k // k < n ∧ p k } ≤ Cardinal.mk ↑{k | p k}


R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
x : R
B : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsLocalization.Away x B
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : WfDvdMonoid R
b : B
hb : b ≠ 0
hx : Irreducible x
⊢ ∃ a n, ¬x ∣ a ∧ selfZPow x B n * (algebraMap R B) a = b


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: x : R

Context: B : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing B

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: inst✝² : IsLocalization.Away x B

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : WfDvdMonoid R

Context: b : B

Context: hb : b ≠ 0

Context: hx : Irreducible x

Context: a₀ : R

Context: y : ↥(Submonoid.powers x)

case intro.mk
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
x : R
B : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsLocalization.Away x B
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : WfDvdMonoid R
b : B
hb : b ≠ 0
hx : Irreducible x
a₀ : R
y : ↥(Submonoid.powers x)
H : b * (algebraMap R B) ↑(a₀, y).2 = (algebraMap R B) (a₀, y).1
⊢ ∃ a n, ¬x ∣ a ∧ selfZPow x B n * (algebraMap R B) a = b


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: x : R

Context: B : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing B

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: inst✝² : IsLocalization.Away x B

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : WfDvdMonoid R

Context: b : B

Context: hb : b ≠ 0

Context: hx : Irreducible x

Context: a₀ : R

Context: y : ↥(Submonoid.powers x)

Context: d : ℕ

Context: hy : x ^ d = ↑y

Context: ha₀ : a₀ ≠ 0

case intro.mk.intro
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
x : R
B : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsLocalization.Away x B
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : WfDvdMonoid R
b : B
hb : b ≠ 0
hx : Irreducible x
a₀ : R
y : ↥(Submonoid.powers x)
d : ℕ
hy : x ^ d = ↑y
ha₀ : a₀ ≠ 0
H : b * (algebraMap R B) (x ^ d) = (algebraMap R B) a₀
⊢ ∃ a n, ¬x ∣ a ∧ selfZPow x B n * (algebraMap R B) a = b


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: x : R

Context: B : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing B

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: inst✝² : IsLocalization.Away x B

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : WfDvdMonoid R

Context: b : B

Context: hb : b ≠ 0

Context: hx : Irreducible x

Context: a₀ : R

Context: y : ↥(Submonoid.powers x)

Context: d : ℕ

Context: hy : x ^ d = ↑y

Context: ha₀ : a₀ ≠ 0

Context: m : ℕ

Context: a : R

Context: hyp1 : ¬x ∣ a

Context: hyp2 : a₀ = x ^ m * a

case intro.mk.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
x : R
B : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsLocalization.Away x B
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : WfDvdMonoid R
b : B
hb : b ≠ 0
hx : Irreducible x
a₀ : R
y : ↥(Submonoid.powers x)
d : ℕ
hy : x ^ d = ↑y
ha₀ : a₀ ≠ 0
H : b * (algebraMap R B) (x ^ d) = (algebraMap R B) a₀
m : ℕ
a : R
hyp1 : ¬x ∣ a
hyp2 : a₀ = x ^ m * a
⊢ ¬x ∣ a ∧ selfZPow x B (↑m - ↑d) * (algebraMap R B) a = b


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: x : R

Context: B : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing B

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: inst✝² : IsLocalization.Away x B

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : WfDvdMonoid R

Context: b : B

Context: hb : b ≠ 0

Context: hx : Irreducible x

Context: a₀ : R

Context: y : ↥(Submonoid.powers x)

Context: d : ℕ

Context: hy : x ^ d = ↑y

Context: ha₀ : a₀ ≠ 0

Context: m : ℕ

Context: a : R

Context: hyp1 : ¬x ∣ a

Context: hyp2 : a₀ = x ^ m * a

case intro.mk.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
x : R
B : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsLocalization.Away x B
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : WfDvdMonoid R
b : B
hb : b ≠ 0
hx : Irreducible x
a₀ : R
y : ↥(Submonoid.powers x)
d : ℕ
hy : x ^ d = ↑y
ha₀ : a₀ ≠ 0
H : b * (algebraMap R B) (x ^ d) = (algebraMap R B) a₀
m : ℕ
a : R
hyp1 : ¬x ∣ a
hyp2 : a₀ = x ^ m * a
⊢ ¬x ∣ a ∧ (algebraMap R B) x ^ m * mk' B a 1 = (algebraMap R B) x ^ m * (algebraMap R B) a


case h
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
e : ι ≃ ι₂
x : ⨂[R] (i : ι₂), M
⊢ (reindex R (fun x => M) e).symm x = (reindex R (fun x => M) e.symm) x


X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
S : Set α
f : α → Set X
ho : ∀ s ∈ S, IsOpen (f s)
hS : S.Countable
hd : ∀ s ∈ S, Dense (f s)
⊢ Dense (⋂ s ∈ S, f s)


X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
S : Set α
f : α → Set X
ho : ∀ s ∈ S, IsOpen (f s)
hS : S.Countable
hd : ∀ s ∈ S, Dense (f s)
⊢ Dense (⋂₀ (f '' S))


Context: n m k : ℕ

n m k : ℕ
⊢ n.dist k ≤ n.dist m + m.dist k


Context: n m k : ℕ

n m k : ℕ
this : n.dist m + m.dist k = n - m + (m - k) + (k - m + (m - n))
⊢ n - k + (k - n) ≤ n - m + (m - k) + (k - m + (m - n))


K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
c : ℝ
⊢ mixedEmbedding.norm (fun x => c, fun x => ↑c) = |c| ^ finrank ℚ K


R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
⊢ derivative (W.addPolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) =
    -((X - C x₁) * (X - C x₂) + (X - C x₁) * (X - C (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) +
        (X - C x₂) * (X - C (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))))


R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
⊢ derivative (-((X - C x₁) * (X - C x₂) * (X - C (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))))) =
    -((X - C x₁) * (X - C x₂) + (X - C x₁) * (X - C (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) +
        (X - C x₂) * (X - C (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))))


m n a b c d : ℕ
hmc : m.gcd c = 1
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
⊢ a ≡ b [MOD m]


case inr
m n a b c d : ℕ
hmc : m.gcd c = 1
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
hm : m > 0
⊢ a ≡ b [MOD m]


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: a b c✝ d c : α

α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c✝ d c : α
⊢ a / c ≤ b / c ↔ a ≤ b


α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
⊢ t ∈ ∂ 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, t ⊆ s ∧ (s \ t).card = 1


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f1 f2 g1 g2 : CauSeq β abv
hf : f1 ≈ f2
hg : g1 ≈ g2
⊢ f1 + g1 ≈ f2 + g2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝²³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝²² : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁸ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹¹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : FiberBundle F E

Context: inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: inst✝³ : SmoothVectorBundle F E IB

Context: inst✝² : MemTrivializationAtlas e✝

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e'

Context: e : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e

𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²³ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²² : NormedAddCommGroup EB
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝²⁰ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁸ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹¹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝¹⁰ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁶ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁵ : FiberBundle F E
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝³ : SmoothVectorBundle F E IB
e✝ e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝² : MemTrivializationAtlas e✝
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e'
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : MemTrivializationAtlas e
⊢ SmoothOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (↑e) e.source


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝²³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝²² : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁸ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹¹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : FiberBundle F E

Context: inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: inst✝³ : SmoothVectorBundle F E IB

Context: inst✝² : MemTrivializationAtlas e✝

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e'

Context: e : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e

𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²³ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²² : NormedAddCommGroup EB
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝²⁰ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁸ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹¹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝¹⁰ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁶ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁵ : FiberBundle F E
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝³ : SmoothVectorBundle F E IB
e✝ e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝² : MemTrivializationAtlas e✝
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e'
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : MemTrivializationAtlas e
this : SmoothOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) id e.source
⊢ SmoothOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (↑e) e.source


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝²³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝²² : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁸ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹¹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : FiberBundle F E

Context: inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: inst✝³ : SmoothVectorBundle F E IB

Context: inst✝² : MemTrivializationAtlas e✝

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e'

Context: e : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e

𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²³ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²² : NormedAddCommGroup EB
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝²⁰ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁸ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹¹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝¹⁰ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁶ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁵ : FiberBundle F E
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝³ : SmoothVectorBundle F E IB
e✝ e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝² : MemTrivializationAtlas e✝
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e'
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : MemTrivializationAtlas e
this :
  SmoothOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) IB (fun x => (id x).proj) e.source ∧
    SmoothOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) 𝓘(𝕜, F) (fun x => (↑e (id x)).2) e.source
⊢ SmoothOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (↑e) e.source


V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
⊢ Odd (Nat.card V) ↔ Odd (Nat.card ↑{c | Odd (Nat.card ↑c.supp)})


V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
⊢ Odd (Fintype.card V) ↔ Odd (Nat.card ↑{c | Odd (Nat.card ↑c.supp)})


V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
⊢ Odd (Finset.univ.biUnion fun x => x.supp.toFinset).card ↔ Odd (Nat.card ↑{x | Odd (Nat.card ↑x.supp)})


V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
⊢ Odd (∑ u : G.ConnectedComponent, u.supp.toFinset.card) ↔ Odd (Nat.card ↑{x | Odd (Nat.card ↑x.supp)})


V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
⊢ Odd (∑ x : G.ConnectedComponent, Nat.card ↑x.supp) ↔ Odd (Nat.card ↑{x | Odd (Nat.card ↑x.supp)})


V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
⊢ Odd (∑ x : G.ConnectedComponent, Nat.card ↑x.supp) ↔
    Odd (Finset.filter (fun x => x ∈ {x | Odd (Nat.card ↑x.supp)}) Finset.univ).card


C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y Z : C
q n : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
f : Z ⟶ Y
j : Fin (n + 1)
hj : n + 1 ≤ ↑j + q
⊢ (f ≫ φ) ≫ X.δ j.succ = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E

Context: ht : μ t ≠ ⊤

α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
ht : μ t ≠ ⊤
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, ‖f x‖ ≤ C
⊢ f =ᶠ[ae (μ.restrict t)] const α (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ∨ ‖∫ (x : α) in t, f x ∂μ‖ < (μ t).toReal * C


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E

Context: ht : μ t ≠ ⊤

Context: this : Fact (μ t < ⊤)

α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
ht : μ t ≠ ⊤
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, ‖f x‖ ≤ C
this : Fact (μ t < ⊤)
⊢ f =ᶠ[ae (μ.restrict t)] const α (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ∨ ‖∫ (x : α) in t, f x ∂μ‖ < (μ t).toReal * C


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E

Context: ht : μ t ≠ ⊤

Context: this : Fact (μ t < ⊤)

α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
ht : μ t ≠ ⊤
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, ‖f x‖ ≤ C
this : Fact (μ t < ⊤)
⊢ f =ᶠ[ae (μ.restrict t)] const α (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ∨ ‖∫ (x : α) in t, f x ∂μ‖ < ((μ.restrict t) univ).toReal * C


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: I : MultispanIndex C

Context: inst✝¹ : HasCoproduct I.left

Context: inst✝ : HasCoproduct I.right

Context: f : K₁ ⟶ K₂

Context: a✝ : I.L

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: I : MultispanIndex C

Context: inst✝¹ : HasCoproduct I.left

Context: inst✝ : HasCoproduct I.right

Context: f : K₁ ⟶ K₂

Context: a✝ : I.R

case left
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K₁ K₂ : Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap
f : K₁ ⟶ K₂
a✝ : I.L
⊢ (Multicofork.ofSigmaCofork I K₁).ι.app (WalkingMultispan.left a✝) ≫ f.hom =
    (Multicofork.ofSigmaCofork I K₂).ι.app (WalkingMultispan.left a✝)

case right
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K₁ K₂ : Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap
f : K₁ ⟶ K₂
a✝ : I.R
⊢ (Multicofork.ofSigmaCofork I K₁).ι.app (WalkingMultispan.right a✝) ≫ f.hom =
    (Multicofork.ofSigmaCofork I K₂).ι.app (WalkingMultispan.right a✝)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: I : MultispanIndex C

Context: inst✝¹ : HasCoproduct I.left

Context: inst✝ : HasCoproduct I.right

Context: f : K₁ ⟶ K₂

Context: a✝ : I.R

case right
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K₁ K₂ : Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap
f : K₁ ⟶ K₂
a✝ : I.R
⊢ (Multicofork.ofSigmaCofork I K₁).ι.app (WalkingMultispan.right a✝) ≫ f.hom =
    (Multicofork.ofSigmaCofork I K₂).ι.app (WalkingMultispan.right a✝)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: x y : α

Context: x_ne_y : x ≠ y

α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
s : Set α
a : α
inst✝ : MeasurableSpace.SeparatesPoints α
x y : α
x_ne_y : x ≠ y
⊢ dirac x ≠ dirac y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: x y : α

Context: x_ne_y : x ≠ y

Context: A : Set α

Context: A_mble : MeasurableSet A

Context: x_in_A : x ∈ A

Context: y_notin_A : y ∉ A

case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
s : Set α
a : α
inst✝ : MeasurableSpace.SeparatesPoints α
x y : α
x_ne_y : x ≠ y
A : Set α
A_mble : MeasurableSet A
x_in_A : x ∈ A
y_notin_A : y ∉ A
⊢ dirac x ≠ dirac y


α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s : Set M
a : α
⊢ span R (single a '' s) = map (lsingle a) (span R s)


Context: R : Type u_1

Context: M M₁ M₂ M₃ : Type u

Context: M' : Type v

Context: inst✝¹¹ : Ring R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M₁

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R

Context: f : M →ₗ[R] M₁

R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
f : M →ₗ[R] M₁
this : (p : Submodule R M) → DecidableEq (M ⧸ p)
⊢ Module.rank R ↥(LinearMap.range f) + Module.rank R ↥(LinearMap.ker f) = Module.rank R M


G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s✝ t : Set G
ht : IsOpen t
s : Set G
⊢ closure s * t = s * t


F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
⊢ finSepDegree F F = 1


F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
this : Cardinal.mk (Emb F F) = 1
⊢ finSepDegree F F = 1


Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ t : Set Ω
hA : MeasurableSet t
⊢ μ[|s] t = (μ s)⁻¹ * μ (s ∩ t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: a : α

Context: ha : Finite a 1

α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a : α
ha : Finite a 1
⊢ (multiplicity a 1).get ha = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: a : α

Context: ha : Finite a 1

α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a : α
ha : Finite a 1
⊢ 1 ∣ 1 ∧ ¬a ^ (0 + 1) ∣ 1


J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
A : Cone F
X✝ Y✝ : J
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ ((const J).obj (G.obj A.pt)).map f✝ ≫ (fun j => G.map (A.π.app j)) Y✝ =
    (fun j => G.map (A.π.app j)) X✝ ≫ (F ⋙ G).map f✝


J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
X✝ Y✝ : Cone F
f : X✝ ⟶ Y✝
j : J
⊢ G.map f.hom ≫
      ((fun A => { pt := G.obj A.pt, π := { app := fun j => G.map (A.π.app j), naturality := ⋯ } }) Y✝).π.app j =
    ((fun A => { pt := G.obj A.pt, π := { app := fun j => G.map (A.π.app j), naturality := ⋯ } }) X✝).π.app j


R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : Module R S
x : S
⊢ (p + q).smeval x = p.smeval x + q.smeval x


R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : Module R S
x : S
⊢ (p + q).sum (smul_pow x) = p.sum (smul_pow x) + q.sum (smul_pow x)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: ι : Sort x

Context: f✝ g : Filter α

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: f : β → Filter α

Context: s : Set β

Context: ne : s.Nonempty

Context: t : Set α

α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t✝ : Set α
f : β → Filter α
s : Set β
h : DirectedOn (f ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) s
ne : s.Nonempty
t : Set α
⊢ t ∈ (⨅ i ∈ s, f i).sets ↔ t ∈ ⋃ i ∈ s, (f i).sets


R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
E : EllipticCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
⊢ ↑((Units.map ↑φ) E.Δ') = (E.map φ).Δ


Context: u : ℕ → ℕ

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞

Context: C : ℕ

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n

Context: hu : Monotone u

Context: h_succ_diff : SuccDiffBounded C u

u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
C : ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
hu : Monotone u
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
⊢ ∑' (k : ℕ), (↑(u (k + 1)) - ↑(u k)) * f (u k) ≤ (↑(u 1) - ↑(u 0)) * f (u 0) + ↑C * ∑' (k : ℕ), f k


Context: u : ℕ → ℕ

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞

Context: C : ℕ

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n

Context: hu : Monotone u

Context: h_succ_diff : SuccDiffBounded C u

u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
C : ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
hu : Monotone u
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
⊢ ⨆ i, ∑ a ∈ range i.succ, (↑(u (a + 1)) - ↑(u a)) * f (u a) ≤ (↑(u 1) - ↑(u 0)) * f (u 0) + ↑C * ∑' (k : ℕ), f k


Context: u : ℕ → ℕ

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞

Context: C : ℕ

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n

Context: hu : Monotone u

Context: h_succ_diff : SuccDiffBounded C u

Context: n : ℕ

Context: u : ℕ → ℕ

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞

Context: C : ℕ

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n

Context: hu : Monotone u

Context: h_succ_diff : SuccDiffBounded C u

Context: n : ℕ

case refine_1
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
C : ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
hu : Monotone u
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
n : ℕ
⊢ ∑ a ∈ range n.succ, (↑(u (a + 1)) - ↑(u a)) * f (u a) ≤
    (↑(u 1) - ↑(u 0)) * f (u 0) + ↑C * ∑ x ∈ Ico (u 0 + 1) (u n + 1), f x

case refine_2
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
C : ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
hu : Monotone u
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
n : ℕ
⊢ 0 ≤ ↑C


Context: u : ℕ → ℕ

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞

Context: C : ℕ

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n

Context: hu : Monotone u

Context: h_succ_diff : SuccDiffBounded C u

Context: n : ℕ

case refine_2
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
C : ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
hu : Monotone u
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
n : ℕ
⊢ 0 ≤ ↑C


ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹¹ : EMetricSpace X
inst✝¹⁰ : EMetricSpace Y
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
inst✝⁸ : BorelSpace X
inst✝⁷ : MeasurableSpace Y
inst✝⁶ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace P
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor E P
inst✝ : BorelSpace P
x y : P
s : Set ℝ
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
⊢ μH[1] (⇑(IsometryEquiv.vaddConst x) '' ((fun x_1 => x_1 • (y -ᵥ x)) '' s)) = nndist x y • μH[1] s


α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁷ : Monoid α
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : MulAction α β
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : SMulPosStrictMono α β
inst✝ : SMulPosReflectLT α β
hb : 0 < b
⊢ a • b < b ↔ a • b < 1 • b


Context:
m n a✝ b✝ c d a b : ℤ
hb : 0 < b

m n a✝ b✝ c d a b : ℤ
hb : 0 < b
⊢ a % b < b


m n a✝ b✝ c d a b : ℤ
hb : 0 < b
this : a % b < |b|
⊢ a % b < b


M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MeasurableSpace M
inst✝¹ : MeasurableMul₂ M
μ : Measure M
inst✝ : SFinite μ
⊢ map (fun x => x.1 * x.2) (μ.prod (dirac 1)) = μ


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: assoc : Std.Associative op

Context: s : Multiset α

Context: a : α

Context: x : α

F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
assoc : Std.Associative op
s : Multiset α
a : α
h : {x | x ∈ a ::ₘ s}.Pairwise fun x y => op x y = op y x
h' : {x | x ∈ s}.Pairwise fun x y => op x y = op y x
x : α
⊢ noncommFold op (a ::ₘ s) h x = op a (noncommFold op s h' x)


E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
z : ℂ
x : E
s : Set E
m : z ∈ slitPlane
⊢ AnalyticAt ℂ log z


E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
z : ℂ
x : E
s : Set E
m : z ∈ slitPlane
⊢ ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z, DifferentiableAt ℂ log z


case h
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
z✝ : ℂ
x : E
s : Set E
m✝ : z✝ ∈ slitPlane
z : ℂ
m : z ∈ slitPlane
⊢ DifferentiableAt ℂ log z


V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V
⊢ G.IsBridge s(v, w) ↔ G.Adj v w ∧ ∀ ⦃u : V⦄ (p : G.Walk u u), p.IsCycle → s(v, w) ∉ p.edges


V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V
h : G.Adj v w
⊢ ¬(G \ fromEdgeSet {s(v, w)}).Reachable v w ↔ ∀ ⦃u : V⦄ (p : G.Walk u u), p.IsCycle → s(v, w) ∉ p.edges


V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V
h : G.Adj v w
⊢ (G \ fromEdgeSet {s(v, w)}).Reachable v w ↔ ∃ u p, p.IsCycle ∧ s(v, w) ∈ p.edges


V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V
h : G.Adj v w
⊢ (G \ fromEdgeSet {s(v, w)}).Reachable v w ↔ G.Adj v w ∧ (G \ fromEdgeSet {s(v, w)}).Reachable v w


V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ ((∡ p₁ p₂ p₃).tan⁻¹ / 2) • (o.rotation ↑(π / 2)) (p₃ -ᵥ p₁) +ᵥ midpoint ℝ p₁ p₃ = s.center


case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_5.h.e'_5
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ (∡ p₁ p₂ p₃).tan⁻¹ = (∡ p₃ p₁ s.center).tan


case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_5.h.e'_5.convert_3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ + 2 • ∡ p₃ p₁ s.center = ↑π