Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: q : Stmt₂

Context: v : σ

Context: T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))

Context: k : K

Context: S : (k : K) → List (Γ k)

Context: o : StAct k

K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
q : Stmt₂
v : σ
T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))
k : K
S : (k : K) → List (Γ k)
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse
o : StAct k
IH :
  ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} {T : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))},
    (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) →
      ∃ b,
        TrCfg (TM2.stepAux q v S) b ∧
          Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b
hgo :
  Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) }
    { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T)) }
⊢ ∃ b,
    TrCfg (TM2.stepAux q (stVar v (S k) o) (update S k (stWrite v (S k) o))) b ∧
      Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (goto fun x x => go k o q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: q : Stmt₂

Context: v : σ

Context: T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))

Context: k : K

Context: S : (k : K) → List (Γ k)

Context: o : StAct k

Context: T' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

case intro.intro
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
q : Stmt₂
v : σ
T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))
k : K
S : (k : K) → List (Γ k)
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse
o : StAct k
IH :
  ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} {T : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))},
    (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) →
      ∃ b,
        TrCfg (TM2.stepAux q v S) b ∧
          Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b
hgo :
  Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) }
    { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T)) }
T' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hT' :
  ∀ (k_1 : K),
    ListBlank.map (proj k_1) T' = ListBlank.mk (List.map some (update S k (stWrite ?m.379536 (S k) o) k_1)).reverse
hrun :
  TM1.stepAux (trStAct ?m.379535 o) ?m.379536 ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) =
    TM1.stepAux ?m.379535 (stVar ?m.379536 (S k) o)
      ((Tape.move Dir.right)^[(update S k (stWrite ?m.379536 (S k) o) k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T')))
⊢ ∃ b,
    TrCfg (TM2.stepAux q (stVar v (S k) o) (update S k (stWrite v (S k) o))) b ∧
      Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (goto fun x x => go k o q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: q : Stmt₂

Context: v : σ

Context: T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))

Context: k : K

Context: S : (k : K) → List (Γ k)

Context: o : StAct k

Context: T' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

case intro.intro
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
q : Stmt₂
v : σ
T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))
k : K
S : (k : K) → List (Γ k)
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse
o : StAct k
IH :
  ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} {T : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))},
    (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) →
      ∃ b,
        TrCfg (TM2.stepAux q v S) b ∧
          Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b
hgo :
  Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) }
    { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T)) }
T' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hT' :
  ∀ (k_1 : K),
    ListBlank.map (proj k_1) T' = ListBlank.mk (List.map some (update S k (stWrite ?m.379536 (S k) o) k_1)).reverse
hrun :
  TM1.stepAux (trStAct ?m.379535 o) ?m.379536 ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) =
    TM1.stepAux ?m.379535 (stVar ?m.379536 (S k) o)
      ((Tape.move Dir.right)^[(update S k (stWrite ?m.379536 (S k) o) k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T')))
this :
  Reaches₁ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) }
    (TM1.stepAux (tr M (go k o q)) v ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T))))
⊢ ∃ b,
    TrCfg (TM2.stepAux q (stVar v (S k) o) (update S k (stWrite v (S k) o))) b ∧
      Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (goto fun x x => go k o q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: q : Stmt₂

Context: v : σ

Context: T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))

Context: k : K

Context: S : (k : K) → List (Γ k)

Context: o : StAct k

Context: T' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: c : TM1.Cfg Γ' Λ' σ

case intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
q : Stmt₂
v : σ
T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))
k : K
S : (k : K) → List (Γ k)
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse
o : StAct k
IH :
  ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} {T : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))},
    (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) →
      ∃ b,
        TrCfg (TM2.stepAux q v S) b ∧
          Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b
hgo :
  Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) }
    { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T)) }
T' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hT' :
  ∀ (k_1 : K), ListBlank.map (proj k_1) T' = ListBlank.mk (List.map some (update S k (stWrite v (S k) o) k_1)).reverse
hrun :
  TM1.stepAux (trStAct (goto fun x x => ret q) o) v ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) =
    TM1.stepAux (goto fun x x => ret q) (stVar v (S k) o)
      ((Tape.move Dir.right)^[(update S k (stWrite v (S k) o) k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T')))
this :
  Reaches₁ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) }
    (match
      match none with
      | some val => false
      | none => true with
    | true =>
      TM1.stepAux (goto fun x x => ret q) (stVar v (S k) o)
        ((Tape.move Dir.right)^[(update S k (stWrite v (S k) o) k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T')))
    | false =>
      TM1.stepAux (goto fun x x => go k o q) v
        (Tape.move Dir.right ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T)))))
c : TM1.Cfg Γ' Λ' σ
gc : TrCfg (TM2.stepAux q ?m.383145 (update S k (stWrite v (S k) o))) c
rc : Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) ?m.383145 (Tape.mk' ∅ (addBottom T'))) c
⊢ ∃ b,
    TrCfg (TM2.stepAux q (stVar v (S k) o) (update S k (stWrite v (S k) o))) b ∧
      Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (goto fun x x => go k o q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: q : Stmt₂

Context: v : σ

Context: T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))

Context: k : K

Context: S : (k : K) → List (Γ k)

Context: o : StAct k

Context: T' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: c : TM1.Cfg Γ' Λ' σ

case intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
q : Stmt₂
v : σ
T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))
k : K
S : (k : K) → List (Γ k)
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse
o : StAct k
IH :
  ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} {T : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))},
    (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) →
      ∃ b,
        TrCfg (TM2.stepAux q v S) b ∧
          Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b
hgo :
  Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) }
    { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T)) }
T' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hT' :
  ∀ (k_1 : K), ListBlank.map (proj k_1) T' = ListBlank.mk (List.map some (update S k (stWrite v (S k) o) k_1)).reverse
hrun :
  TM1.stepAux (trStAct (goto fun x x => ret q) o) v ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) =
    TM1.stepAux (goto fun x x => ret q) (stVar v (S k) o)
      ((Tape.move Dir.right)^[(update S k (stWrite v (S k) o) k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T')))
this :
  Reaches₁ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) }
    (match
      match none with
      | some val => false
      | none => true with
    | true =>
      TM1.stepAux (goto fun x x => ret q) (stVar v (S k) o)
        ((Tape.move Dir.right)^[(update S k (stWrite v (S k) o) k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T')))
    | false =>
      TM1.stepAux (goto fun x x => go k o q) v
        (Tape.move Dir.right ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T)))))
c : TM1.Cfg Γ' Λ' σ
gc : TrCfg (TM2.stepAux q (stVar v (S k) o) (update S k (stWrite v (S k) o))) c
rc : Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) (stVar v (S k) o) (Tape.mk' ∅ (addBottom T'))) c
⊢ ReflTransGen (fun a b => b ∈ TM1.step (tr M) a)
    (TM1.stepAux (tr M (ret q)) (stVar v (S k) o) (Tape.mk' ∅ (addBottom T'))) c


α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y z : (i : ι) → β i
⊢ hammingDist x y ≤ hammingDist x z + hammingDist y z


α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y z : (i : ι) → β i
⊢ hammingDist x y ≤ hammingDist x z + hammingDist z y


K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
v : M
hv : f.HasEigenvector μ v
n : ℕ
⊢ (f ^ n) v = μ ^ n • v


α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c a : M
h : IsUnit a
y : M
⊢ (fun x => x * a) (y * ↑h.unit⁻¹) = y


case neg
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
h0 : ¬x.gcd y = 0
⊢ ↑(x.gcd y) ∣ z


Context: z : ℤ

Context: k : ℕ

Context: x0 y0 : ℤ

Context: left✝ : 0 < k

Context: h2 : x0.gcd y0 = 1

Context: h0 : ¬(x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k) = 0

case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro
z : ℤ
k : ℕ
x0 y0 : ℤ
left✝ : 0 < k
h2 : x0.gcd y0 = 1
h : PythagoreanTriple (x0 * ↑k) (y0 * ↑k) z
h0 : ¬(x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k) = 0
⊢ ↑((x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k)) ∣ z


Context: z : ℤ

Context: k : ℕ

Context: x0 y0 : ℤ

Context: left✝ : 0 < k

Context: h2 : x0.gcd y0 = 1

Context: h0 : ¬(x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k) = 0

case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro
z : ℤ
k : ℕ
x0 y0 : ℤ
left✝ : 0 < k
h2 : x0.gcd y0 = 1
h : PythagoreanTriple (x0 * ↑k) (y0 * ↑k) z
h0 : ¬(x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k) = 0
⊢ ↑k ∣ z


Context: z : ℤ

Context: k : ℕ

Context: x0 y0 : ℤ

Context: left✝ : 0 < k

Context: h2 : x0.gcd y0 = 1

Context: h0 : ¬(x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k) = 0

case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro
z : ℤ
k : ℕ
x0 y0 : ℤ
left✝ : 0 < k
h2 : x0.gcd y0 = 1
h : PythagoreanTriple (x0 * ↑k) (y0 * ↑k) z
h0 : ¬(x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k) = 0
⊢ ↑k ^ 2 ∣ ↑k ^ 2 * (x0 * x0 + y0 * y0)


α : Sort u_2
inst✝ : DecidableEq α
β : Sort u_1
f : α ≃ β
a : α
b : β
⊢ (f.setValue a b) a = b


k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
s : Finset ι
p : ι → V
w : ι → k
hw : ∑ i ∈ s, w i = 1
⊢ (affineCombination k s p) w = ∑ i ∈ s, w i • p i


α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.203972}
α : Type u
ι : Type v
A : ι → Set α
s : Set ι
⊢ lift.{v, u} #↑(⋃ x ∈ s, A x) ≤ lift.{u, v} #↑s * ⨆ x, lift.{v, u} #↑(A ↑x)


α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.203972}
α : Type u
ι : Type v
A : ι → Set α
s : Set ι
⊢ lift.{v, u} #↑(⋃ x, A ↑x) ≤ lift.{u, v} #↑s * ⨆ x, lift.{v, u} #↑(A ↑x)


𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
x y : 𝕜
⊢ (fderiv 𝕜 f x) y = deriv f x * y


R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
⊢ ↑n ≤ (X ^ n).trailingDegree


R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
z : M
n : ℕ
⊢ (φ x ^ n) ⁅y, z⁆ = ∑ ij ∈ antidiagonal n, n.choose ij.1 • ⁅((ad R L) x ^ ij.1) y, (φ x ^ ij.2) z⁆


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β
p : Set β → Prop
⊢ (∃ s ⊆ range f, p s) ↔ ∃ s, p (f '' s)


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β
p : Set β → Prop
⊢ (∃ s ⊆ range f, p s) ↔ ∃ a ∈ 𝒫 range f, p a


n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq p
inst✝³ : DecidableEq q
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype n
A : Matrix n n R
⊢ A ∈ so n R ↔ Aᵀ = -A


n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq p
inst✝³ : DecidableEq q
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype n
A : Matrix n n R
⊢ IsSkewAdjoint 1 A ↔ Aᵀ = -A


C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.51683, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.51687, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.51691, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E✝ E'✝ : L.RightExtension F
Y : D
E E' : L.RightExtension F
φ : E ⟶ E'
G : StructuredArrow Y L
⊢ φ.left.app Y ≫ E'.left.map G.hom ≫ E'.hom.app G.right = E.left.map G.hom ≫ E.hom.app G.right


C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit
⊢ IsPullback b.inr 0 b.fst 0


case h
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit
⊢ IsPullback 0 b.inr 0 b.fst


Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
⊢ mgf X μ 0 = 1


X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
S : Set (Set X)
hf : S.Countable
hc : ∀ s ∈ S, IsLindelof s
⊢ IsLindelof (⋃₀ S)


X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
S : Set (Set X)
hf : S.Countable
hc : ∀ s ∈ S, IsLindelof s
⊢ IsLindelof (⋃ i ∈ S, i)


F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
⊢ ((interpolate (s.erase i) v) r).degree < ↑(s.card - 1)


F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
⊢ ((interpolate (s.erase i) v) r).degree < ↑(s.erase i).card


R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
h : EssFiniteType R T
⊢ EssFiniteType S T


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : CommRing T

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
h : ∃ σ, ∀ (s : T), ∃ t ∈ adjoin R ↑σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ adjoin R ↑σ
⊢ ∃ σ, ∀ (s : T), ∃ t ∈ adjoin S ↑σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ adjoin S ↑σ


𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU : U ∈ p.basisSets
⊢ 0 ∈ U


case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι'✝ : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
ι' : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (ι'.sup p).ball 0 r
⊢ 0 ∈ U


Context: m n : ℤ


Context: R : Type u1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q Q' Q'' : QuadraticForm R M

Context: B B' : BilinForm R M

Context: h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q

Context: x : CliffordAlgebra Q

R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' Q'' : QuadraticForm R M
B B' : BilinForm R M
h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'
x : CliffordAlgebra Q
⊢ (changeForm ⋯) x = x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : AddMonoidWithOne α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝ : ZeroLEOneClass α

Context: n : ℕ

α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : AddMonoidWithOne α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ZeroLEOneClass α
n : ℕ
⊢ ↑n ≤ ↑(n + 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : AddMonoidWithOne α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝ : ZeroLEOneClass α

Context: n : ℕ

α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : AddMonoidWithOne α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ZeroLEOneClass α
n : ℕ
⊢ ↑n ≤ ↑n + 1


G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
G₁ : Type u_5
G₂ : Type u_6
G₃ : Type u_7
inst✝² : Group G₁
inst✝¹ : Group G₂
inst✝ : Group G₃
f : G₁ →* G₂
f_inv : G₂ → G₁
hf : Function.RightInverse f_inv ⇑f
g : G₁ →* G₃
hg : f.ker ≤ g.ker
h : G₂ →* G₃
hh : h.comp f = g
⊢ h = (f.liftOfRightInverse f_inv hf) ⟨h.comp f, ⋯⟩


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : DistribMulAction 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x + b • f y + (a • g x + b • g y) = a • (f x + g x) + b • (f y + g y)


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁴ : DivisionRing k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: s : Set P

k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
s : Set P
inst✝ : FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k s)
⊢ Coplanar k s ↔ finrank k ↥(vectorSpan k s) ≤ 2


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁴ : DivisionRing k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: s : Set P

k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
s : Set P
inst✝ : FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k s)
h : Coplanar k s ↔ Module.rank k ↥(vectorSpan k s) ≤ 2
⊢ Coplanar k s ↔ finrank k ↥(vectorSpan k s) ≤ 2


Context: Γ✝ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝

Context: Γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: x : HahnSeries Γ R

Context: h : ℕ

Context: IH : (x ^ h).order = h • x.order

case succ
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝
Γ : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
x : HahnSeries Γ R
h : ℕ
IH : (x ^ h).order = h • x.order
⊢ (x ^ (h + 1)).order = (h + 1) • x.order


Context: Γ✝ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝

Context: Γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: x : HahnSeries Γ R

Context: h : ℕ

Context: IH : (x ^ h).order = h • x.order

Context: hx : x ≠ 0

case succ.inr
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝
Γ : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
x : HahnSeries Γ R
h : ℕ
IH : (x ^ h).order = h • x.order
hx : x ≠ 0
⊢ (x ^ (h + 1)).order = (h + 1) • x.order


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝⁴ : DecidableEq R

Context: inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)

Context: inst✝² : NormalizationMonoid R

Context: r d : R

Context: hr : r ≠ 0

Context: hd : d ∈ normalizedFactors r

R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝² : NormalizationMonoid R
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
r d : R
hr : r ≠ 0
hd : d ∈ normalizedFactors r
⊢ multiplicity d r = multiplicity (↑((normalizedFactorsEquivSpanNormalizedFactors hr) ⟨d, hd⟩)) (span {r})


μ : Measure ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
⊢ (cdf μ).measure = μ


μ : Measure ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
a : ℝ
⊢ (cdf μ).measure (Iic a) = μ (Iic a)


Context: σ : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype σ

Context: inst✝¹ : DecidableEq σ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: t : Finset σ × σ

σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
t : Finset σ × σ
h : t ∈ MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k
⊢ (-1) ^ t.1.card * ((∏ a ∈ t.1, X a) * X t.2 ^ (k - t.1.card)) +
      (-1) ^ (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t).1.card *
        ((∏ a ∈ (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t).1, X a) *
          X (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t).2 ^ (k - (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t).1.card)) =
    0


Context: σ : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype σ

Context: inst✝¹ : DecidableEq σ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: t : Finset σ × σ

σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
t : Finset σ × σ
h : t.1.card ≤ k ∧ (t.1.card = k → t.2 ∈ t.1)
⊢ (-1) ^ t.1.card * ((∏ a ∈ t.1, X a) * X t.2 ^ (k - t.1.card)) +
      (-1) ^ (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t).1.card *
        ((∏ a ∈ (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t).1, X a) *
          X (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t).2 ^ (k - (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t).1.card)) =
    0


case e_f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ (fun a => r * f a) = fun a => ⨆ n, ↑(const α r * eapprox f n) a


case e_f.h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α
⊢ r * f a = ⨆ n, ↑(const α r * eapprox f n) a


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (a : α), ⨆ n, ↑(const α r * eapprox f n) a ∂μ = ⨆ n, r * (eapprox f n).lintegral μ


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ⨆ n, r * (eapprox f n).lintegral μ = r * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: ι₂ : Sort u_6

Context: κ : ι → Sort u_7

Context: κ₁ : ι → Sort u_8

Context: κ₂ : ι → Sort u_9

Context: κ' : ι' → Sort u_10

Context: p : ι' → Prop

Context: q : ι → ι' → Prop

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
p : ι' → Prop
q : ι → ι' → Prop
s : (x : ι) → (y : ι') → p y ∧ q x y → Set α
⊢ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ (h : p y ∧ q x y), s x y h = ⋂ y, ⋂ (hy : p y), ⋂ x, ⋂ (hx : q x y), s x y ⋯


α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s✝ t : Set α
f✝ g✝ : α → M
a : α
s : Set α
f : β → M
g : α → β
hg : Injective g
x : α
⊢ (g '' s).mulIndicator f (g x) = s.mulIndicator (f ∘ g) x


R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
B F : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₂
B' : M₁ →ₗ[R] M₁ →ₗ[R] M₂
f f' : M →ₗ[R] M₁
g g' : M₁ →ₗ[R] M
h : B.IsAdjointPair B' f g
h' : B.IsAdjointPair B' f' g'
x : M
x✝ : M₁
⊢ (B' ((f - f') x)) x✝ = (B x) ((g - g') x✝)


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (t : ι), CompleteSpace ↥(U t)
hU : Monotone U
x : E
hU' : ⊤ ≤ (⨆ t, U t).topologicalClosure
⊢ Tendsto (fun t => ↑((orthogonalProjection (U t)) x)) atTop (𝓝 x)


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (t : ι), CompleteSpace ↥(U t)
hU : Monotone U
x : E
hU' : (⨆ t, U t).topologicalClosure = ⊤
⊢ Tendsto (fun t => ↑((orthogonalProjection (U t)) x)) atTop (𝓝 x)


case h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (t : ι), CompleteSpace ↥(U t)
hU : Monotone U
x : E
hU' : (⨆ t, U t).topologicalClosure = ⊤
⊢ x = ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x)


R : Type u_4
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι S M
⊢ B.dualSubmodule (Submodule.span R (Set.range ⇑b)) = Submodule.span R (Set.range ⇑(B.dualBasis hB b))


case intro
R : Type u_4
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι S M
val✝ : Fintype ι
⊢ B.dualSubmodule (Submodule.span R (Set.range ⇑b)) = Submodule.span R (Set.range ⇑(B.dualBasis hB b))


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : α), c ∂μ = c * μ univ


X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f : GromovHausdorff.Cb X Y
C : ℝ
⊢ BddAbove (range fun x => ⨅ y, f (inl x, inr y) + C)


case intro
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f : GromovHausdorff.Cb X Y
C Cf : ℝ
hCf : Cf ∈ upperBounds (range ⇑f)
⊢ BddAbove (range fun x => ⨅ y, f (inl x, inr y) + C)


case intro
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x✝ y z t : X ⊕ Y
f : GromovHausdorff.Cb X Y
C Cf : ℝ
hCf : Cf ∈ upperBounds (range ⇑f)
x : X
⊢ ⨅ y, f (inl x, inr y) + C ≤ Cf + C


α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
h₁ : c ≤ a
h₂ : c ≤ b
⊢ c ≤ min a b


Context: ι✝ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: b✝ : ι✝ → M

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Finite ι

Context: b : Basis ι R M

Context: n : ℕ

Context: b' : Basis (Fin n) R ↥⊥

case mk
ι✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι✝ → M
ι : Type u_4
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
n : ℕ
b' : Basis (Fin n) R ↥⊥
e : Fin n ≃ Fin 0 := b'.indexEquiv (Basis.empty ↥⊥)
⊢ ⟨n, b'⟩ = ⟨0, Basis.empty ↥⊥⟩


Context: ι✝ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: b✝ : ι✝ → M

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Finite ι

Context: b : Basis ι R M

Context: b' : Basis (Fin 0) R ↥⊥

case mk
ι✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι✝ → M
ι : Type u_4
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
b' : Basis (Fin 0) R ↥⊥
e : Fin 0 ≃ Fin 0 := b'.indexEquiv (Basis.empty ↥⊥)
⊢ ⟨0, b'⟩ = ⟨0, Basis.empty ↥⊥⟩


Context: α : Type u_1

Context: p : Set α → Prop

Context: t : Set α

Context: q : Set ↑t → Prop

α : Type u_1
p : Set α → Prop
t : Set α
q : Set ↑t → Prop
h : HasCountableSeparatingOn (↑t) q univ
hpq : ∀ (U : Set ↑t), q U → ∃ V, p V ∧ Subtype.val ⁻¹' V = U
⊢ HasCountableSeparatingOn α p t


Context: α : Type u_1

Context: p : Set α → Prop

Context: t : Set α

Context: q : Set ↑t → Prop

Context: S : Set (Set ↑t)

Context: hSc : S.Countable

Context: hSq : ∀ s ∈ S, q s

Context: V : Set ↑t → Set α

Context: hpV : ∀ s ∈ S, p (V s)

Context: hV : ∀ s ∈ S, Subtype.val ⁻¹' V s = s

case intro.intro.intro
α : Type u_1
p : Set α → Prop
t : Set α
q : Set ↑t → Prop
h : HasCountableSeparatingOn (↑t) q univ
hpq : ∀ (U : Set ↑t), q U → ∃ V, p V ∧ Subtype.val ⁻¹' V = U
S : Set (Set ↑t)
hSc : S.Countable
hSq : ∀ s ∈ S, q s
hS : ∀ x ∈ univ, ∀ y ∈ univ, (∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y
V : Set ↑t → Set α
hpV : ∀ s ∈ S, p (V s)
hV : ∀ s ∈ S, Subtype.val ⁻¹' V s = s
⊢ HasCountableSeparatingOn α p t


Context: α : Type u_1

Context: p : Set α → Prop

Context: t : Set α

Context: q : Set ↑t → Prop

Context: S : Set (Set ↑t)

Context: hSc : S.Countable

Context: hSq : ∀ s ∈ S, q s

Context: V : Set ↑t → Set α

Context: hpV : ∀ s ∈ S, p (V s)

Context: hV : ∀ s ∈ S, Subtype.val ⁻¹' V s = s

Context: x : α

Context: hx : x ∈ t

Context: y : α

Context: hy : y ∈ t

Context: h : ∀ s ∈ V '' S, x ∈ s ↔ y ∈ s

case intro.intro.intro
α : Type u_1
p : Set α → Prop
t : Set α
q : Set ↑t → Prop
h✝ : HasCountableSeparatingOn (↑t) q univ
hpq : ∀ (U : Set ↑t), q U → ∃ V, p V ∧ Subtype.val ⁻¹' V = U
S : Set (Set ↑t)
hSc : S.Countable
hSq : ∀ s ∈ S, q s
hS : ∀ x ∈ univ, ∀ y ∈ univ, (∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y
V : Set ↑t → Set α
hpV : ∀ s ∈ S, p (V s)
hV : ∀ s ∈ S, Subtype.val ⁻¹' V s = s
x : α
hx : x ∈ t
y : α
hy : y ∈ t
h : ∀ s ∈ V '' S, x ∈ s ↔ y ∈ s
⊢ x = y


Context: α : Type u_1

Context: p : Set α → Prop

Context: t : Set α

Context: q : Set ↑t → Prop

Context: S : Set (Set ↑t)

Context: hSc : S.Countable

Context: hSq : ∀ s ∈ S, q s

Context: V : Set ↑t → Set α

Context: hpV : ∀ s ∈ S, p (V s)

Context: hV : ∀ s ∈ S, Subtype.val ⁻¹' V s = s

Context: x : α

Context: hx : x ∈ t

Context: y : α

Context: hy : y ∈ t

Context: h : ∀ s ∈ V '' S, x ∈ s ↔ y ∈ s

Context: U : Set ↑t

Context: hU : U ∈ S

case intro.intro.intro
α : Type u_1
p : Set α → Prop
t : Set α
q : Set ↑t → Prop
h✝ : HasCountableSeparatingOn (↑t) q univ
hpq : ∀ (U : Set ↑t), q U → ∃ V, p V ∧ Subtype.val ⁻¹' V = U
S : Set (Set ↑t)
hSc : S.Countable
hSq : ∀ s ∈ S, q s
hS : ∀ x ∈ univ, ∀ y ∈ univ, (∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y
V : Set ↑t → Set α
hpV : ∀ s ∈ S, p (V s)
hV : ∀ s ∈ S, Subtype.val ⁻¹' V s = s
x : α
hx : x ∈ t
y : α
hy : y ∈ t
h : ∀ s ∈ V '' S, x ∈ s ↔ y ∈ s
U : Set ↑t
hU : U ∈ S
⊢ ⟨x, hx⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' V U ↔ ⟨y, hy⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' V U


∃ n, (↑n)⁻¹ < a⁻¹⁻¹

a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞
h : a ≠ 0
⊢ ∃ n, (↑n)⁻¹ < a⁻¹⁻¹


α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x y : α
⊢ x • ↑s = y • ↑s ↔ x⁻¹ * y ∈ s


α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x y : α
⊢ (∀ (x_1 : α), x_1 ∈ x • ↑s ↔ x_1 ∈ y • ↑s) ↔ x⁻¹ * y ∈ s


ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
f : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
j j' : ι
w : c.Rel j' j
⊢ (prevD j) f = f j j' ≫ D.d j' j


X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Finite ι
s : ι → Set X
h : ∀ (i : ι), IsClosed (s i)
⊢ IsClosed (⋃ i, s i)


X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Finite ι
s : ι → Set X
h : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)ᶜ
⊢ IsOpen (⋂ i, (s i)ᶜ)


α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : Nontrivial α
h : IsRelPrime 0 0
⊢ False


Context:
p : ℝ × ℝ
hp : p.1 ≠ 0

p : ℝ × ℝ
hp : p.1 ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) p


ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ
hr : 0 < r
⊢ Tendsto (fun x => f x / r) l atTop ↔ Tendsto f l atTop


Context: n : ℕ

n : ℕ
⊢ antidiagonal (n + 1) = (0, n + 1) ::ₘ map (Prod.map Nat.succ id) (antidiagonal n)


α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
⊢ (∃ b_1, b - a = (Equiv.symm (Equiv.neg ℤ)) b_1 • p) ↔ b ≡ a [PMOD p]


case intro.intro
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
t' : Set M
h : t'.Finite
⊢ ((closure L).toFun t').FG


J : Type w
C : Type uC
inst✝³ : Category.{uC', uC} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
inst✝ : HasZeroMorphisms D
F : J → C
B : Bicone F
j : J
⊢ B.ι j ≫ B.π j = 𝟙 (F j)


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X✝ : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

Context: X : ι → Ω → ℝ

Context: h_meas : ∀ (i : ι), Measurable (X i)

Context: s : Finset ι

Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
X : ι → Ω → ℝ
h_indep : iIndepFun (fun i => inferInstance) X μ
h_meas : ∀ (i : ι), Measurable (X i)
s : Finset ι
h_int : ∀ i ∈ s, Integrable (fun ω => rexp (t * X i ω)) μ
⊢ log (mgf (∑ i ∈ s, X i) μ t) = ∑ x ∈ s, log (mgf (X x) μ t)


R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s t : Set A
⊢ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) = span R ↑(Submonoid.closure s)


case a
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s t : Set A
⊢ span R ↑(Submonoid.closure s) ≤ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)


case a
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s t : Set A
⊢ Submonoid.closure s ≤ (adjoin R s).toSubmonoid


Context:
α : Type u_1
n : PosNum

α : Type u_1
n : PosNum
⊢ (↑n.pred').succ = ↑n


α : Type u_1
n : PosNum
this : (↑n.pred').succ = ↑n
h : ↑1 = ↑n
⊢ ↑(Num.casesOn 0 1 bit1) = (↑n + ↑n).pred


α : Type u_1
n : PosNum
this : (↑n.pred').succ = ↑n
p : PosNum
h : (↑p).succ = ↑n
⊢ ↑(Num.casesOn (pos p) 1 bit1) = ((↑p).succ + (↑p).succ).pred


B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : LaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a✝ b✝ c✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝
g h : b✝ ⟶ c✝
η : g ⟶ h
⊢ F.map₂ (f ◁ η) =
    ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f g).hom ≫ F.map f ◁ F.map₂ η ≫ ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f h).inv


B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : LaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a✝ b✝ c✝ : B
f✝ g✝ : a✝ ⟶ b✝
η : f✝ ⟶ g✝
h : b✝ ⟶ c✝
⊢ F.map₂ (η ▷ h) =
    ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f✝ h).hom ≫ F.map₂ η ▷ F.map h ≫ ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) g✝ h).inv


B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : LaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a b c d : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
⊢ F.map₂ (α_ f g h).hom =
    ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) (f ≫ g) h).hom ≫
      ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f g).hom ▷ F.map h ≫
        (α_ (F.map f) (F.map g) (F.map h)).hom ≫
          F.map f ◁ ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) g h).inv ≫ ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f (g ≫ h)).inv


B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : LaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ F.map₂ (λ_ f).hom = ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) (𝟙 a) f).hom ≫ (F'.mapIdIso a).hom ▷ F.map f ≫ (λ_ (F.map f)).hom


B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : LaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a b : B
f : a ⟶ b
⊢ F.map₂ (ρ_ f).hom = ((fun {a b c} => F'.mapCompIso) f (𝟙 b)).hom ≫ F.map f ◁ (F'.mapIdIso b).hom ≫ (ρ_ (F.map f)).hom


α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : ℚ
this : ↑(x + 1 / 2) = ↑x + 1 / 2
⊢ round ↑x = round x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : eLpNorm' (fun x => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
⊢ ∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

Context: hp_pos : 0 < p

α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : eLpNorm' (fun x => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
⊢ ∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: p : ℝ

Context: hp1 : 1 ≤ p

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

Context: hp_pos : 0 < p

α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : eLpNorm' (fun x => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
⊢ (∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ ≤ ∑' (i : ℕ), B i


R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
⊢ μ.restrict (s ∪ t) + μ.restrict (s ∩ t) = μ.restrict s + μ.restrict t


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂count = ∑' (a : α), f a


case e_f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → ℝ≥0∞
⊢ (fun i => ∫⁻ (a : α), f a ∂dirac i) = fun a => f a


α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : DecidableEq α
⊢ image2 f (↑s ∪ ↑s') ↑t = image2 f ↑s ↑t ∪ image2 f ↑s' ↑t


α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Fintype.card G
⊢ ∃ x, orderOf x = p


α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Fintype.card G
hp' : p - 1 ≠ 0
⊢ ∃ x, orderOf x = p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: G✝ : Type u_2

Context: inst✝² : Group G✝

Context: n : ℕ

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ∣ Fintype.card G

Context: hp' : p - 1 ≠ 0

α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Fintype.card G
hp' : p - 1 ≠ 0
Scard : p ∣ Fintype.card ↑(vectorsProdEqOne G p)
f : ℕ → ↑(vectorsProdEqOne G p) → ↑(vectorsProdEqOne G p) := fun k v => VectorsProdEqOne.rotate v k
⊢ ∃ x, orderOf x = p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: G✝ : Type u_2

Context: inst✝² : Group G✝

Context: n : ℕ

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ∣ Fintype.card G

Context: hp' : p - 1 ≠ 0

α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Fintype.card G
hp' : p - 1 ≠ 0
Scard : p ∣ Fintype.card ↑(vectorsProdEqOne G p)
f : ℕ → ↑(vectorsProdEqOne G p) → ↑(vectorsProdEqOne G p) := fun k v => VectorsProdEqOne.rotate v k
hf1 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f 0 v = v
⊢ ∃ x, orderOf x = p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: G✝ : Type u_2

Context: inst✝² : Group G✝

Context: n : ℕ

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ∣ Fintype.card G

Context: hp' : p - 1 ≠ 0

α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Fintype.card G
hp' : p - 1 ≠ 0
Scard : p ∣ Fintype.card ↑(vectorsProdEqOne G p)
f : ℕ → ↑(vectorsProdEqOne G p) → ↑(vectorsProdEqOne G p) := fun k v => VectorsProdEqOne.rotate v k
hf1 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f 0 v = v
hf2 : ∀ (j k : ℕ) (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f k (f j v) = f (j + k) v
⊢ ∃ x, orderOf x = p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: G✝ : Type u_2

Context: inst✝² : Group G✝

Context: n : ℕ

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ∣ Fintype.card G

Context: hp' : p - 1 ≠ 0

α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Fintype.card G
hp' : p - 1 ≠ 0
Scard : p ∣ Fintype.card ↑(vectorsProdEqOne G p)
f : ℕ → ↑(vectorsProdEqOne G p) → ↑(vectorsProdEqOne G p) := fun k v => VectorsProdEqOne.rotate v k
hf1 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f 0 v = v
hf2 : ∀ (j k : ℕ) (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f k (f j v) = f (j + k) v
hf3 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f p v = v
⊢ ∃ x, orderOf x = p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: G✝ : Type u_2

Context: inst✝² : Group G✝

Context: n : ℕ

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ∣ Fintype.card G

Context: hp' : p - 1 ≠ 0

α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Fintype.card G
hp' : p - 1 ≠ 0
Scard : p ∣ Fintype.card ↑(vectorsProdEqOne G p)
f : ℕ → ↑(vectorsProdEqOne G p) → ↑(vectorsProdEqOne G p) := fun k v => VectorsProdEqOne.rotate v k
hf1 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f 0 v = v
hf2 : ∀ (j k : ℕ) (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f k (f j v) = f (j + k) v
hf3 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f p v = v
σ : ↑(vectorsProdEqOne G p) ≃ ↑(vectorsProdEqOne G p) :=
  { toFun := f 1, invFun := f (p - 1), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
⊢ ∃ x, orderOf x = p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: G✝ : Type u_2

Context: inst✝² : Group G✝

Context: n : ℕ

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ∣ Fintype.card G

Context: hp' : p - 1 ≠ 0

α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Fintype.card G
hp' : p - 1 ≠ 0
Scard : p ∣ Fintype.card ↑(vectorsProdEqOne G p)
f : ℕ → ↑(vectorsProdEqOne G p) → ↑(vectorsProdEqOne G p) := fun k v => VectorsProdEqOne.rotate v k
hf1 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f 0 v = v
hf2 : ∀ (j k : ℕ) (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f k (f j v) = f (j + k) v
hf3 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f p v = v
σ : ↑(vectorsProdEqOne G p) ≃ ↑(vectorsProdEqOne G p) :=
  { toFun := f 1, invFun := f (p - 1), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
hσ : ∀ (k : ℕ) (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), (σ ^ k) v = f k v
⊢ ∃ x, orderOf x = p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: G✝ : Type u_2

Context: inst✝² : Group G✝

Context: n : ℕ

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ∣ Fintype.card G

Context: hp' : p - 1 ≠ 0

Context: hσ : σ ^ p ^ 1 = 1

α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Fintype.card G
hp' : p - 1 ≠ 0
Scard : p ∣ Fintype.card ↑(vectorsProdEqOne G p)
f : ℕ → ↑(vectorsProdEqOne G p) → ↑(vectorsProdEqOne G p) := fun k v => VectorsProdEqOne.rotate v k
hf1 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f 0 v = v
hf2 : ∀ (j k : ℕ) (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f k (f j v) = f (j + k) v
hf3 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f p v = v
σ : ↑(vectorsProdEqOne G p) ≃ ↑(vectorsProdEqOne G p) :=
  { toFun := f 1, invFun := f (p - 1), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
hσ : σ ^ p ^ 1 = 1
⊢ ∃ x, orderOf x = p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: G✝ : Type u_2

Context: inst✝² : Group G✝

Context: n : ℕ

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ∣ Fintype.card G

Context: hp' : p - 1 ≠ 0

Context: hσ : σ ^ p ^ 1 = 1

α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Fintype.card G
hp' : p - 1 ≠ 0
Scard : p ∣ Fintype.card ↑(vectorsProdEqOne G p)
f : ℕ → ↑(vectorsProdEqOne G p) → ↑(vectorsProdEqOne G p) := fun k v => VectorsProdEqOne.rotate v k
hf1 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f 0 v = v
hf2 : ∀ (j k : ℕ) (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f k (f j v) = f (j + k) v
hf3 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f p v = v
σ : ↑(vectorsProdEqOne G p) ≃ ↑(vectorsProdEqOne G p) :=
  { toFun := f 1, invFun := f (p - 1), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
hσ : σ ^ p ^ 1 = 1
v₀ : ↑(vectorsProdEqOne G p) := ⟨Vector.replicate p 1, ⋯⟩
⊢ ∃ x, orderOf x = p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: G✝ : Type u_2

Context: inst✝² : Group G✝

Context: n : ℕ

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ∣ Fintype.card G

Context: hp' : p - 1 ≠ 0

Context: hσ : σ ^ p ^ 1 = 1

Context: hv₀ : σ v₀ = v₀

α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Fintype.card G
hp' : p - 1 ≠ 0
Scard : p ∣ Fintype.card ↑(vectorsProdEqOne G p)
f : ℕ → ↑(vectorsProdEqOne G p) → ↑(vectorsProdEqOne G p) := fun k v => VectorsProdEqOne.rotate v k
hf1 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f 0 v = v
hf2 : ∀ (j k : ℕ) (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f k (f j v) = f (j + k) v
hf3 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f p v = v
σ : ↑(vectorsProdEqOne G p) ≃ ↑(vectorsProdEqOne G p) :=
  { toFun := f 1, invFun := f (p - 1), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
hσ : σ ^ p ^ 1 = 1
v₀ : ↑(vectorsProdEqOne G p) := ⟨Vector.replicate p 1, ⋯⟩
hv₀ : σ v₀ = v₀
⊢ ∃ x, orderOf x = p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: G✝ : Type u_2

Context: inst✝² : Group G✝

Context: n : ℕ

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Fintype G

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ∣ Fintype.card G

Context: hp' : p - 1 ≠ 0

Context: hσ : σ ^ p ^ 1 = 1

Context: hv₀ : σ v₀ = v₀

Context: v : ↑(vectorsProdEqOne G p)

Context: hv1 : σ v = v

Context: hv2 : v ≠ v₀

case intro.intro
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Fintype.card G
hp' : p - 1 ≠ 0
Scard : p ∣ Fintype.card ↑(vectorsProdEqOne G p)
f : ℕ → ↑(vectorsProdEqOne G p) → ↑(vectorsProdEqOne G p) := fun k v => VectorsProdEqOne.rotate v k
hf1 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f 0 v = v
hf2 : ∀ (j k : ℕ) (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f k (f j v) = f (j + k) v
hf3 : ∀ (v : ↑(vectorsProdEqOne G p)), f p v = v
σ : ↑(vectorsProdEqOne G p) ≃ ↑(vectorsProdEqOne G p) :=
  { toFun := f 1, invFun := f (p - 1), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
hσ : σ ^ p ^ 1 = 1
v₀ : ↑(vectorsProdEqOne G p) := ⟨Vector.replicate p 1, ⋯⟩
hv₀ : σ v₀ = v₀
v : ↑(vectorsProdEqOne G p)
hv1 : σ v = v
hv2 : v ≠ v₀
⊢ ∃ x, orderOf x = p


Context: θ : Angle

θ : Angle
⊢ (2 • θ).toReal = 2 * θ.toReal - 2 * π ↔ π / 2 < θ.toReal


Context: θ : Angle

θ : Angle
⊢ (2 • ↑θ.toReal).toReal = 2 * θ.toReal - 2 * π ↔ π / 2 < θ.toReal


Context: θ : Angle

θ : Angle
⊢ π < 2 * θ.toReal ∧ 2 * θ.toReal ≤ 3 * π ↔ π / 2 < θ.toReal


Context: n✝ n : ℕ

Context: h1 : 1 < n

n✝ n : ℕ
h1 : 1 < n
h : ∀ (m : ℕ), m < n → m ≠ 0 → n.Coprime m
⊢ Prime n


Context: n✝ n : ℕ

Context: h1 : 1 < n

Context: m : ℕ

Context: mlt : m < n

Context: mdvd : m ∣ n

n✝ n : ℕ
h1 : 1 < n
h : ∀ (m : ℕ), m < n → m ≠ 0 → n.Coprime m
m : ℕ
mlt : m < n
mdvd : m ∣ n
⊢ m = 1


Context: n✝ n : ℕ

Context: h1 : 1 < n

Context: m : ℕ

Context: mlt : m < n

Context: mdvd : m ∣ n

Context: hm : m ≠ 0

n✝ n : ℕ
h1 : 1 < n
h : ∀ (m : ℕ), m < n → m ≠ 0 → n.Coprime m
m : ℕ
mlt : m < n
mdvd : m ∣ n
hm : m ≠ 0
⊢ m = 1


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ (2 ^ (k + 1))

p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (2 ^ (k + 1))
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (2 ^ (k + 1)) K)
⊢ (Algebra.norm K) (ζ ^ 2 ^ k - 1) = (-2) ^ 2 ^ k


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ (2 ^ (k + 1))

p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (2 ^ (k + 1))
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (2 ^ (k + 1)) K)
this : IsPrimitiveRoot (ζ ^ 2 ^ k) (2 ^ (k + 1) / 2 ^ k)
⊢ (Algebra.norm K) (ζ ^ 2 ^ k - 1) = (-2) ^ 2 ^ k


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ (2 ^ (k + 1))

Context: this : IsPrimitiveRoot (ζ ^ 2 ^ k) 2

p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (2 ^ (k + 1))
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (2 ^ (k + 1)) K)
this : IsPrimitiveRoot (ζ ^ 2 ^ k) 2
⊢ (Algebra.norm K) (ζ ^ 2 ^ k - 1) = (-2) ^ 2 ^ k


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ (2 ^ (k + 1))

Context: this : IsPrimitiveRoot (ζ ^ 2 ^ k) 2

Context: H : -1 - 1 = (algebraMap K L) (-2)

p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (2 ^ (k + 1))
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} K L
this : IsPrimitiveRoot (ζ ^ 2 ^ k) 2
H : -1 - 1 = (algebraMap K L) (-2)
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(2 ^ (k + 1))) K)
⊢ (Algebra.norm K) (ζ ^ 2 ^ k - 1) = (-2) ^ 2 ^ k


α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f : α → M
s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
⊢ s ∩ mulSupport f = ↑s.toFinset ∩ mulSupport f


case h
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
s : Set ι
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
t : (i : ι) → Set (α i)
x✝ : (i : ι) → α i
⊢ (x✝ ∈ univ.pi fun i => if i ∈ s then t i else univ) ↔ x✝ ∈ s.pi t


case h
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
s : Set ι
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
t : (i : ι) → Set (α i)
x✝ : (i : ι) → α i
⊢ (∀ (i : ι), x✝ i ∈ if i ∈ s then t i else univ) ↔ x✝ ∈ s.pi t


V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ o.oangle y x = -o.oangle x y


R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
⊢ inverse Q hfg hg ∘ₗ lTensor Q g = (range (lTensor Q f)).mkQ


𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
h : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
st : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 t x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: x y : E

Context: s t : Set E

Context: st : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x

𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
st : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x
h : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ∧ x ∈ closure s
⊢ Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t x)) ∧ x ∈ closure t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: x y : E

Context: s t : Set E

Context: st : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x

𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
st : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x
h : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ∧ (𝓝[s] x).NeBot
⊢ Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t x)) ∧ (𝓝[t] x).NeBot


α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
f : α → β
l : Filter β
p : α → Prop
s : Set α
⊢ sᶜ ∈ comap f l ↔ (f '' s)ᶜ ∈ l


R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Free R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Free R M'
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Free R M₁
⊢ Module.rank R M < ℵ₀ ↔ Finite R M


R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Free R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Free R M'
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Free R M₁
⊢ _root_.Finite (ChooseBasisIndex R M) ↔ Finite R M


case intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α
c₀ c₁ : Chain α
h✝ : c₀ ≤ c₁
i w✝ : ℕ
h : c₀ i ≤ c₁ w✝
⊢ c₀ i ≤ ωSup c₁


C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : R₁ ⟶ R₂
d : D
⊢ L₂.map (α.app d) ≫ adj₂.counit.app d = ((conjugateEquiv adj₁ adj₂).symm α).app (R₁.obj d) ≫ adj₁.counit.app d


C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : R₁ ⟶ R₂
d : D
⊢ L₂.map (((conjugateEquiv adj₁ adj₂).toFun ((conjugateEquiv adj₁ adj₂).invFun α)).app d) ≫ adj₂.counit.app d =
    ((conjugateEquiv adj₁ adj₂).symm α).app (R₁.obj d) ≫ adj₁.counit.app d


ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
⊢ J ∈ split I i x ↔ ↑J = ↑I ∩ {y | y i ≤ x} ∨ ↑J = ↑I ∩ {y | x < y i}


ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x y : E
⊢ ∑ i : ι, ⟪x, b i⟫_𝕜 * ⟪b i, y⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E

Context: x y : E

ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x y : E
this : ((innerSL 𝕜) x) (∑ i : ι, b.repr y i • b i) = ((innerSL 𝕜) x) y
⊢ ∑ i : ι, ⟪x, b i⟫_𝕜 * ⟪b i, y⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E

Context: x y : E

Context: x✝ : ι

Context: a✝ : x✝ ∈ Finset.univ

case h.e'_2.a
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x y : E
this : ∑ x_1 : ι, ((innerSL 𝕜) x) (b.repr y x_1 • b x_1) = ((innerSL 𝕜) x) y
x✝ : ι
a✝ : x✝ ∈ Finset.univ
⊢ ⟪x, b x✝⟫_𝕜 * ⟪b x✝, y⟫_𝕜 = ((innerSL 𝕜) x) (b.repr y x✝ • b x✝)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E

Context: x y : E

Context: x✝ : ι

Context: a✝ : x✝ ∈ Finset.univ

case h.e'_2.a
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x y : E
this : ∑ x_1 : ι, ((innerSL 𝕜) x) (b.repr y x_1 • b x_1) = ((innerSL 𝕜) x) y
x✝ : ι
a✝ : x✝ ∈ Finset.univ
⊢ ⟪b x✝, y⟫_𝕜 * ⟪x, b x✝⟫_𝕜 = ⟪b x✝, y⟫_𝕜 • ((innerSL 𝕜) x) (b x✝)


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
p₁ p₁' : Path a₁ a₂
p₂ p₂' : Path b₁ b₂
q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃
c₁ c₂ : α × β
⊢ projLeft (prod q₁ q₂) = q₁


case h
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
p₁ p₁' : Path a₁ a₂
p₂ p₂' : Path b₁ b₂
q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃
c₁ c₂ : α × β
a✝ : Path a₁ a₂
b✝ : Path b₁ b₂
⊢ projLeft (prod ⟦a✝⟧ ⟦b✝⟧) = ⟦a✝⟧


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : G → E
f'✝ g' : G →L[ℝ] E
s✝ : Set G
x✝ : G
n : ℕ∞
f : ℝ → F
f' : F
s : Set ℝ
x : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => ‖f x‖ ^ 2) (2 * ⟪f x, f'⟫_ℝ) s x


x : ℝ
hx0 : 0 < x
hx : x ≤ 2
this : x / 2 ≤ 1
⊢ |x / 2| ≤ 1


x : ℝ
hx0 : 0 < x
hx : x ≤ 2
this : x / 2 ≤ 1
⊢ 2 * sin (x / 2) * cos (x / 2) = sin x


α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
⊢ M ↾ I = freeOn I ↔ M.Indep I


ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : x ∈ s
⊢ infDist x s = 0


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

a : UnitAddCircle
s : ℂ
⊢ completedHurwitzZetaOdd a (1 - s) = completedSinZeta a s


C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.85455, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasLeftHomology
hf : S.f = 0
⊢ S.cycles ≅ S.leftHomology


α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
x : α
n : ℤ
h : -x < ↑n
⊢ ↑(-n) < x


α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
x : α
n : ℤ
h : -x < ↑n
⊢ -↑n < x


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
x : β
f : Fin n → β
⊢ ∏ i : Fin n.succ, cons x f i = x * ∏ i : Fin n, f i


R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s s' : ↥S
m : M
⊢ 1 • s • s' • m = 1 • (s * s') • m


G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
U✝ V : OpenSubgroup G
g : G
inst✝ : ContinuousMul G
U : OpenSubgroup G
⊢ IsClosed ↑U


G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
U✝ V : OpenSubgroup G
g : G
inst✝ : ContinuousMul G
U : OpenSubgroup G
⊢ IsOpen (↑U)ᶜ


K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
h : I = 0
z : K
⊢ im z = 0


case h.mk
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f : Perm α
s : Set α
hf : f.IsCycleOn s
a b : α
⊢ (a, b) ∈ s ×ˢ s ↔ (a, b) ∈ ⋃ n, (fun a => (a, (f ^ n) a)) '' s


z : ℍ
N : ℕ
hn : 0 < N
n : ℤ := ⌊z.re / ↑N⌋
⊢ ∃ n, ModularGroup.T ^ (↑N * n) • z ∈ verticalStrip (↑N) z.im


case h
z : ℍ
N : ℕ
hn : 0 < N
n : ℤ := ⌊z.re / ↑N⌋
⊢ ModularGroup.T ^ (↑N * -n) • z ∈ verticalStrip (↑N) z.im


case h
z : ℍ
N : ℕ
hn : 0 < N
n : ℤ := ⌊z.re / ↑N⌋
⊢ ↑(↑N * -n) +ᵥ z ∈ verticalStrip (↑N) z.im


case h
z : ℍ
N : ℕ
hn : 0 < N
n : ℤ := ⌊z.re / ↑N⌋
⊢ |(↑(↑N * -n) +ᵥ z).re| ≤ ↑N


Context: z : ℍ

Context: N : ℕ

Context: hn : 0 < N

Context: n : ℤ := ⌊z.re / ↑N⌋

case h
z : ℍ
N : ℕ
hn : 0 < N
n : ℤ := ⌊z.re / ↑N⌋
h : (↑(↑N * -n) +ᵥ z).re = ↑(-↑N * ⌊z.re / ↑N⌋) + z.re
⊢ |(↑(↑N * -n) +ᵥ z).re| ≤ ↑N


Context: z : ℍ

Context: N : ℕ

Context: hn : 0 < N

Context: n : ℤ := ⌊z.re / ↑N⌋

case h
z : ℍ
N : ℕ
hn : 0 < N
n : ℤ := ⌊z.re / ↑N⌋
h : (↑(↑N * -n) +ᵥ z).re = ↑(-↑N * ⌊z.re / ↑N⌋) + z.re
⊢ |z.re + ↑(-↑N * ⌊z.re / ↑N⌋)| ≤ ↑N


Context: z : ℍ

Context: N : ℕ

Context: hn : 0 < N

Context: n : ℤ := ⌊z.re / ↑N⌋

Context: hnn : 0 < ↑N

Context: h2 : z.re + -(↑N * ↑n) = z.re - ↑n * ↑N

case h
z : ℍ
N : ℕ
hn : 0 < N
n : ℤ := ⌊z.re / ↑N⌋
h : (↑(↑N * -n) +ᵥ z).re = ↑(-↑N * ⌊z.re / ↑N⌋) + z.re
hnn : 0 < ↑N
h2 : z.re + -(↑N * ↑n) = z.re - ↑n * ↑N
⊢ |z.re + -(↑N * ↑⌊z.re / ↑N⌋)| ≤ ↑N


Context: z : ℍ

Context: N : ℕ

Context: hn : 0 < N

Context: n : ℤ := ⌊z.re / ↑N⌋

Context: hnn : 0 < ↑N

Context: h2 : z.re + -(↑N * ↑n) = z.re - ↑n * ↑N

case h
z : ℍ
N : ℕ
hn : 0 < N
n : ℤ := ⌊z.re / ↑N⌋
h : (↑(↑N * -n) +ᵥ z).re = ↑(-↑N * ⌊z.re / ↑N⌋) + z.re
hnn : 0 < ↑N
h2 : z.re + -(↑N * ↑n) = z.re - ↑n * ↑N
⊢ z.re - ↑⌊z.re / ↑N⌋ * ↑N ≤ ↑N


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: X Y : Dial C

Context: e₁ : X.src ≅ Y.src

Context: e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt

C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : Dial C
e₁ : X.src ≅ Y.src
e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt
eq : X.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel
⊢ (Subobject.pullback π(π₁, π₂ ≫ e₂.inv)).obj X.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom (𝟙 Y.tgt))).obj Y.rel


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: X Y : Dial C

Context: e₁ : X.src ≅ Y.src

Context: e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt

C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : Dial C
e₁ : X.src ≅ Y.src
e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt
eq : X.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel
⊢ (Subobject.pullback (π(π₁, π₂ ≫ e₂.inv) ≫ prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel ≤
    (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom (𝟙 Y.tgt))).obj Y.rel


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: X Y : Dial C

Context: e₁ : X.src ≅ Y.src

Context: e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt

C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : Dial C
e₁ : X.src ≅ Y.src
e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt
eq : X.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel
⊢ (Subobject.pullback π(π₁, π₂ ≫ e₂.hom)).obj Y.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map e₁.inv (𝟙 X.tgt))).obj X.rel


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: X Y : Dial C

Context: e₁ : X.src ≅ Y.src

Context: e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt

C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : Dial C
e₁ : X.src ≅ Y.src
e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt
eq : X.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel
⊢ (Subobject.pullback π(π₁, π₂ ≫ e₂.hom)).obj Y.rel ≤
    (Subobject.pullback (prod.map e₁.inv (𝟙 X.tgt) ≫ prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel


Context:
f : StieltjesFunction
c : ℝ

f : StieltjesFunction
c : ℝ
⊢ MeasurableSet (Ioi c)


Context:
f : StieltjesFunction
c : ℝ
t : Set ℝ

f : StieltjesFunction
c : ℝ
t : Set ℝ
⊢ f.length (t ∩ Ioi c) + f.length (t \ Ioi c) ≤ f.length t


f : StieltjesFunction
c : ℝ
t : Set ℝ
a b : ℝ
h : t ⊆ Ioc a b
⊢ f.length (t ∩ Ioi c) + f.length (t \ Ioi c) ≤ ofReal (↑f b - ↑f a)


f : StieltjesFunction
c : ℝ
t : Set ℝ
a b : ℝ
h : t ⊆ Ioc a b
⊢ f.length (Ioc a b ∩ Ioi c) + f.length (Ioc a b \ Ioi c) ≤ ofReal (↑f b - ↑f a)


A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : ↥(skewAdjoint A)
⊢ -I • ↑a ∈ selfAdjoint A


case a
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
a b : ↥(skewAdjoint A)
⊢ ↑((fun a => ⟨-I • ↑a, ⋯⟩) (a + b)) = ↑((fun a => ⟨-I • ↑a, ⋯⟩) a + (fun a => ⟨-I • ↑a, ⋯⟩) b)


case a
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : ℝ
b : ↥(skewAdjoint A)
⊢ ↑({ toFun := fun a => ⟨-I • ↑a, ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun (a • b)) =
    ↑((RingHom.id ℝ) a • { toFun := fun a => ⟨-I • ↑a, ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun b)


case a
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : ℝ
b : ↥(skewAdjoint A)
⊢ I • a • ↑b = a • I • ↑b


R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
g✝ : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g✝ ↑y)
inst✝ : Algebra R P
f g : S →ₐ[R] P
⊢ (↑f).comp (algebraMap R S) = (↑g).comp (algebraMap R S)


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L : Filter 𝕜

Context: ι : Type u_1

Context: u : Finset ι

Context: A : ι → 𝕜 → F

Context: A' : ι → F

𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
ι : Type u_1
u : Finset ι
A : ι → 𝕜 → F
A' : ι → F
h : ∀ i ∈ u, HasDerivAtFilter (A i) (A' i) x L
⊢ HasDerivAtFilter (fun y => ∑ i ∈ u, A i y) (∑ i ∈ u, A' i) x L


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cone G

Context: P : IsLimit s

Context: Q : IsLimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F✝ : J ⥤ C
t✝ : Cone F✝
F : J ⥤ C
s : Cone F
G : K ⥤ C
t : Cone G
P : IsLimit s
Q : IsLimit t
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
w' : e.inverse ⋙ F ≅ G := (isoWhiskerLeft e.inverse w).symm ≪≫ e.invFunIdAssoc G
⊢ Q.lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e.symm w').functor.obj s) ≫
      P.lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e w).functor.obj t) =
    𝟙 s.pt


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cone G

Context: P : IsLimit s

Context: Q : IsLimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

Context: j : J

J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F✝ : J ⥤ C
t✝ : Cone F✝
F : J ⥤ C
s : Cone F
G : K ⥤ C
t : Cone G
P : IsLimit s
Q : IsLimit t
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
w' : e.inverse ⋙ F ≅ G := (isoWhiskerLeft e.inverse w).symm ≪≫ e.invFunIdAssoc G
j : J
⊢ (Q.lift ((Cones.postcompose (whiskerLeft e.inverse w.inv ≫ (e.invFunIdAssoc G).hom)).obj (Cone.whisker e.inverse s)) ≫
        P.lift ((Cones.postcompose w.hom).obj (Cone.whisker e.functor t))) ≫
      s.π.app j =
    𝟙 s.pt ≫ s.π.app j


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cone G

Context: P : IsLimit s

Context: Q : IsLimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

Context: j : J

J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F✝ : J ⥤ C
t✝ : Cone F✝
F : J ⥤ C
s : Cone F
G : K ⥤ C
t : Cone G
P : IsLimit s
Q : IsLimit t
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
w' : e.inverse ⋙ F ≅ G := (isoWhiskerLeft e.inverse w).symm ≪≫ e.invFunIdAssoc G
j : J
⊢ s.π.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫
      w.inv.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫ G.map (e.counit.app (e.functor.obj j)) ≫ w.hom.app j =
    s.π.app j


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cone G

Context: P : IsLimit s

Context: Q : IsLimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

Context: j : J

J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F✝ : J ⥤ C
t✝ : Cone F✝
F : J ⥤ C
s : Cone F
G : K ⥤ C
t : Cone G
P : IsLimit s
Q : IsLimit t
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
w' : e.inverse ⋙ F ≅ G := (isoWhiskerLeft e.inverse w).symm ≪≫ e.invFunIdAssoc G
j : J
l : w.hom.app j = w.hom.app ((𝟭 J).obj j)
⊢ s.π.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫
      w.inv.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫ (e.functor ⋙ G).map (e.unitInv.app j) ≫ w.hom.app j =
    s.π.app j


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cone G

Context: P : IsLimit s

Context: Q : IsLimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F✝ : J ⥤ C
t✝ : Cone F✝
F : J ⥤ C
s : Cone F
G : K ⥤ C
t : Cone G
P : IsLimit s
Q : IsLimit t
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
w' : e.inverse ⋙ F ≅ G := (isoWhiskerLeft e.inverse w).symm ≪≫ e.invFunIdAssoc G
⊢ P.lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e w).functor.obj t) ≫
      Q.lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e.symm w').functor.obj s) =
    𝟙 t.pt


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ : Type x

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s : Set α

α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ s, x < y → y < z → False
⊢ ∀ ⦃x y z : ↑s⦄, x < y → y < z → False


α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z m : ℤ
hm : b - a = m • p
⊢ n • b - n • a = m • n • p


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
f : Filter β
u : β → α
⊢ (limsup u f)ᶜ = liminf (compl ∘ u) f


Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Martingale g ℱ μ
⊢ Martingale (f + g) ℱ μ


Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Martingale g ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
⊢ μ[(f + g) j|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] (f + g) i


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Mul G

Context: inst✝ : Mul H

Context: A B : Finset G

Context: a0 b0 : G

Context: h : UniqueMul A B a0 b0

Context: x1 y1 : G

Context: x2 y2 : G

case mk.mk
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
h : UniqueMul A B a0 b0
x1 y1 : G
hx : x1 ∈ A ∧ y1 ∈ B ∧ x1 * y1 = a0 * b0
x2 y2 : G
hy : x2 ∈ A ∧ y2 ∈ B ∧ x2 * y2 = a0 * b0
⊢ (x1, y1) = (x2, y2)


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Mul G

Context: inst✝ : Mul H

Context: A B : Finset G

Context: x1 y1 x2 y2 : G

Context: h : UniqueMul A B x1 y1

case mk.mk.intro
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
x1 y1 x2 y2 : G
h : UniqueMul A B x1 y1
hx : x1 ∈ A ∧ y1 ∈ B ∧ x1 * y1 = x1 * y1
hy : x2 ∈ A ∧ y2 ∈ B ∧ x2 * y2 = x1 * y1
⊢ (x1, y1) = (x2, y2)


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring α

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝³ : PosMulStrictMono α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α

α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α
inst✝³ : PosMulStrictMono α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ 0 ≤ a * b ↔ (0 < a → 0 ≤ b) ∧ (0 < b → 0 ≤ a)


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring α

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝³ : PosMulStrictMono α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α

α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α
inst✝³ : PosMulStrictMono α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0 ↔ (0 < a → 0 ≤ b) ∧ (0 < b → 0 ≤ a)


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring α

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝³ : PosMulStrictMono α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α

α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α
inst✝³ : PosMulStrictMono α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0 ↔ (a ≤ 0 ∨ 0 ≤ b) ∧ (b ≤ 0 ∨ 0 ≤ a)


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring α

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝³ : PosMulStrictMono α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α

Context: this : a ≤ 0 ∨ 0 ≤ a

α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α
inst✝³ : PosMulStrictMono α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
this : a ≤ 0 ∨ 0 ≤ a
⊢ 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0 ↔ (a ≤ 0 ∨ 0 ≤ b) ∧ (b ≤ 0 ∨ 0 ≤ a)


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring α

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝³ : PosMulStrictMono α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α

Context: this✝ : a ≤ 0 ∨ 0 ≤ a

Context: this : b ≤ 0 ∨ 0 ≤ b

α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α
inst✝³ : PosMulStrictMono α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
this✝ : a ≤ 0 ∨ 0 ≤ a
this : b ≤ 0 ∨ 0 ≤ b
⊢ 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0 ↔ (a ≤ 0 ∨ 0 ≤ b) ∧ (b ≤ 0 ∨ 0 ≤ a)


Context:
x y : ℝ
hx : 0 < x
hy : 0 < y

x y : ℝ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
⊢ log x < log y ↔ x < y


d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : 0 < a.x
hb : 0 < b.x
⊢ 0 < (a * b).x


d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : 0 < a.x
hb : 0 < b.x
⊢ 0 < a.x * b.x + d * (a.y * b.y)


d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : 0 < a.x
hb : 0 < b.x
⊢ |d * (a.y * b.y)| < a.x * b.x


d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : 0 < a.x
hb : 0 < b.x
⊢ 0 < 1 + d * a.y ^ 2 + d * b.y ^ 2


G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MulAction G β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsScalarTower G α β
a : α
b : β
h : Injective fun x => x • b
⊢ stabilizer G (a • b) = stabilizer G a


G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MulAction G β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsScalarTower G α β
a✝ : α
b : β
h : Injective fun x => x • b
a : G
ha : a ∈ stabilizer G (a✝ • b)
⊢ a ∈ stabilizer G a✝


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
s : Set α

α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
s : Set α
⊢ ∀ (x : α), x ∈ op 1 • s ↔ x ∈ s


ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
g : G i
w : NormalWord d
⊢ (lift (fun i => MulAction.toEndHom) MulAction.toEndHom ⋯) ((of i) g) w =
    (equivPair i).symm
      { head := g * ((equivPair i) w).head, tail := ((equivPair i) w).tail, fstIdx_ne := ⋯, normalized := ⋯ }


Context: a b : ℤ

a b : ℤ
⊢ ↑(range (a ⊔ b + 1 - a ⊓ b).toNat).card = ↑((b - a).natAbs + 1)


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)

Context: p : (Π₀ (i : ι), β i) → Prop

Context: h0 : p 0

Context: f : (i : ι) → β i

case mk'
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
p : (Π₀ (i : ι), β i) → Prop
h0 : p 0
ha : ∀ (i : ι) (b : β i) (f : Π₀ (i : ι), β i), f i = 0 → b ≠ 0 → p f → p (single i b + f)
f : (i : ι) → β i
s : Trunc { s // ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0 }
⊢ p { toFun := f, support' := s }


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)

Context: p : (Π₀ (i : ι), β i) → Prop

Context: h0 : p 0

Context: f : (i : ι) → β i

Context: s : Multiset ι

Context: H : ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0

case mk'.h.mk
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
p : (Π₀ (i : ι), β i) → Prop
h0 : p 0
ha : ∀ (i : ι) (b : β i) (f : Π₀ (i : ι), β i), f i = 0 → b ≠ 0 → p f → p (single i b + f)
f : (i : ι) → β i
s : Multiset ι
H : ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0
⊢ p { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨s, H⟩ }


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)

Context: p : (Π₀ (i : ι), β i) → Prop

Context: h0 : p 0

Context: i : ι

Context: s : Multiset ι

Context: f : (i : ι) → β i

case mk'.h.mk.cons
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
p : (Π₀ (i : ι), β i) → Prop
h0 : p 0
ha : ∀ (i : ι) (b : β i) (f : Π₀ (i : ι), β i), f i = 0 → b ≠ 0 → p f → p (single i b + f)
i : ι
s : Multiset ι
ih : ∀ (f : (i : ι) → β i) (H : ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0), p { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨s, H⟩ }
f : (i : ι) → β i
H : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ i ::ₘ s ∨ f i_1 = 0
H2 : p (erase i { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ })
⊢ p { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ }


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)

Context: p : (Π₀ (i : ι), β i) → Prop

Context: h0 : p 0

Context: i : ι

Context: s : Multiset ι

Context: f : (i : ι) → β i

case mk'.h.mk.cons
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
p : (Π₀ (i : ι), β i) → Prop
h0 : p 0
ha : ∀ (i : ι) (b : β i) (f : Π₀ (i : ι), β i), f i = 0 → b ≠ 0 → p f → p (single i b + f)
i : ι
s : Multiset ι
ih : ∀ (f : (i : ι) → β i) (H : ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0), p { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨s, H⟩ }
f : (i : ι) → β i
H : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ i ::ₘ s ∨ f i_1 = 0
H2 : p (erase i { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ })
H3 :
  single i ({ toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ } i) +
      erase i { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ } =
    { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ }
⊢ p (single i (f i) + erase i { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ })


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)

Context: p : (Π₀ (i : ι), β i) → Prop

Context: h0 : p 0

Context: i : ι

Context: s : Multiset ι

Context: f : (i : ι) → β i

Context: h : ¬f i = 0

case mk'.h.mk.cons.inr
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
p : (Π₀ (i : ι), β i) → Prop
h0 : p 0
ha : ∀ (i : ι) (b : β i) (f : Π₀ (i : ι), β i), f i = 0 → b ≠ 0 → p f → p (single i b + f)
i : ι
s : Multiset ι
ih : ∀ (f : (i : ι) → β i) (H : ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0), p { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨s, H⟩ }
f : (i : ι) → β i
H : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ i ::ₘ s ∨ f i_1 = 0
H2 : p (erase i { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ })
H3 :
  single i ({ toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ } i) +
      erase i { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ } =
    { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ }
h : ¬f i = 0
⊢ (erase i { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨i ::ₘ s, H⟩ }) i = 0


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ∆ b \ b = a \ b


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: μ' : Measure β

Context: f : α →ₛ ℝ≥0∞

Context: g : β →ₛ ℝ≥0∞

Context: m' : α → β

Context: eq : ∀ (a : α), ↑f a = ↑g (m' a)

Context: y : ℝ≥0∞

α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
β : Type u_5
inst✝ : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
f : α →ₛ ℝ≥0∞
g : β →ₛ ℝ≥0∞
m' : α → β
eq : ∀ (a : α), ↑f a = ↑g (m' a)
h : ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → μ' s = μ (m' ⁻¹' s)
y : ℝ≥0∞
⊢ μ {x | ↑g (m' x) ∈ {y}} = μ' {x | ↑g x ∈ {y}}


α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁷ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : MetricSpace Q
inst✝⁴ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : Invertible 2
p₁ p₂ : P
⊢ dist p₁ (midpoint 𝕜 p₁ p₂) = ‖2‖⁻¹ * dist p₁ p₂


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
⊢ Memℓp 0 p


S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]
⊢ star a + a = ↑(2 * a.re)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: hsum : Summable fun x => ‖f x‖

Context: hf₀ : f 0 = 0

R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
hf₀ : f 0 = 0
⊢ HasProd ({p | Nat.Prime p}.mulIndicator fun p => ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)) (∑' (n : ℕ), f n)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedCommRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : ℕ → R

Context: hf₁ : f 1 = 1

Context: hsum : Summable fun x => ‖f x‖

Context: hf₀ : f 0 = 0

R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
hf₀ : f 0 = 0
⊢ HasProd ((fun p => ∑' (e : ℕ), f (p ^ e)) ∘ Subtype.val) (∑' (n : ℕ), f n)


C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.71408, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
n i i' : ℤ
hi : n + i = i'
⊢ n + (up ℤ).prev i = (up ℤ).prev i'


C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.71408, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
n i i' : ℤ
hi : n + i = i'
⊢ n + (up ℤ).next i = (up ℤ).next i'


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
⊢ b \ a ⊔ a = b ⊔ a


R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
a : R
n : ℕ
⊢ rootMultiplicity a ((X - C a) ^ n) = n


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a✝ b : R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: a : R

Context: n : ℕ

R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
a : R
n : ℕ
this : rootMultiplicity a (C 1 * (X - C a) ^ n) = rootMultiplicity a (C 1) + n
⊢ rootMultiplicity a ((X - C a) ^ n) = n


ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
i : ι
⊢ MeasurableSpace (α i)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: C : (i : ι) → Set (Set (α i))

Context: h2C : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)

Context: μν : Measure ((i : ι) → α i)

ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), generateFrom (C i) = inst✝ i
h2C : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)
h3C : (i : ι) → (μ i).FiniteSpanningSetsIn (C i)
μν : Measure ((i : ι) → α i)
h₁ : ∀ (s : (i : ι) → Set (α i)), (∀ (i : ι), s i ∈ C i) → μν (univ.pi s) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)
⊢ Measure.pi μ = μν


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: C : (i : ι) → Set (Set (α i))

Context: h2C : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)

Context: μν : Measure ((i : ι) → α i)

ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), generateFrom (C i) = inst✝ i
h2C : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)
h3C : (i : ι) → (μ i).FiniteSpanningSetsIn (C i)
μν : Measure ((i : ι) → α i)
h₁ : ∀ (s : (i : ι) → Set (α i)), (∀ (i : ι), s i ∈ C i) → μν (univ.pi s) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)
h4C : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ C i, MeasurableSet s
⊢ Measure.pi μ = μν